Pengenalan Matematik merupakan perkara penting yang perlu dipelajari dalam kehidupan manusia. Sejak dari kecil lagi ada kanak-kanak yang sudah belajar mengira dan melukis sesuatu objek. Adakah anda sedar bahawa semua fenomena ini adalah merupakan persediaan yang penting dalam mempelajari algebra? Keupayaan dalam algebra akan membantu manusia berjaya dalam bidang yang kita ingin ceburi. Pelbagai bidang di dalam dunia ini mempunyai kaitan dengan pembelajaran algebra. Mungkin antara kita yang tidak tahu dan tidak sedar akan kewujudan “linear algebra” dalam kehidupan manusia. Jelasnya, linear algebra adalah merupakan bidang matematik yang mengkaji system persamaan linear dan penyelesaian vector serta transformasi linear. Matriks dan operasi juga merupakan antara bidang yang berkaitan dengan bidang linear algebra. Linear algebra juga adalah salah satu subjek penting dalam bidang matematik. Ia amat berguna dalam permasalahan kehidupan seharian kita. Oleh itu, kita perlu bersedia untuk tahu supaya kita boleh aplikasinya dalam kehidupan seharian. Antara tajuk dalam linear algebra ialah system persamaan dan ketaksamaan linear. Terdapat beberapa kaedah yang boleh digunakan untuk menyelesaikan persamaan linear. Antaranya:
Kaedah penghapusan
Kaedah gantian
Kaedah Gaus – Jordon
Dibawah ketaksamaan linear dan pengaturcaraan linear pula terdapat system homogen dan penggunaan persamaan dan ketaksamaan linear dalam kehidupan seharian
Melalui tugasan ini, saya akan merungkaikan aplikasi linear algebra dalam kehidupan manusia. Antaranya ialah :
1. Kewangan Adakah anda sedar yang anda menggunakan linear algebra dalam merancang kewangan seharian anda? Sebenarnya linear algebra
banyak diaplikasikan
semasa anda meminjam duit, membuka akuan pengurusan kewangan untuk diri sendiri dalam perbelanjaan harian. Contohnya : Pinjaman bank untuk membeli kereta, cara bayarannya adalah secara bulanan. Untuk
merancang
kewangan
dalam
pembayaran
kereta
,
kita
boleh
menggunakan formula ini :
Pmt = L x [r x ( (1+r)^n)]/ [( ((1+r)^n))-1]
L ialah jumlah pinjaman r ialah bunga setiap bulan n ialah tempoh bulan pembayaran Sekiranya harga kereta RM30,000 dengan APR of 9%, tempoh pembayaran 60 bulan Maka bayaran bulanannya RM622.75 untuk 59 bulan dan pembayaran terakhir adalah RM622.79 untuk bulan terakhir. Oleh itu, jumlah yang akan dibayar adalah RM37,365.04 Manakala jumlah bunga nya ialah RM7,365.04
Tetapi sekiranya menyelesaikan persamaan ini untuk n, dan menukarkan Pmt +A untuk Pmt di mana A ialah additional principle payment. Anda dapat membayar semua pinjaman anda lebih awal dan jimat dalam pembayaran bunga.
Contoh lain bagi menunjukkan aplikasi linear algebra. Seseorang individu perlu menaiki monorail ke pejabat dan kos pengangkutan setiap hari ialah RM 5.00.
Dengan penggunaan linear algebra beliau boleh
menganggarkan atau pengiraan tepat dalam mengira kos pengangkutan beliau ke pejabat selama sebulan mahupun kos pengangkutan selama setahun. Contoh pengiraan : RM 5.00 x X hari = RM Y RM 5.00 x 365 hari = RM 1,825.00
Contoh lain, berapa jumlah barang yang dapat dibeli dengan jumlah wang yang kita ada. Anda pergi ke kedai serbaneka dan mempunyai RM 10.00 dan anda ingin membeli coklat yang berharga RM 2.00. Berapakah jumlah coklat yang boleh dibeli dengan wang sebanyak RM 10.00? Persamaannya ialah 2x = 10 x = 10 ÷ 2 x = 5 X ialah jumlah coklat yang boleh dibeli dengan wang RM 10.00
Jelasnya, kebanyakkan orang tidak sedar tentang pengiraan yang dilakukan mereka adalah algebra.
2. Kriptografi Kriptografi ialah salah satu contoh aplikasi linear algebra dalam satu bidang matematik. Ia merupakan satu kajian tentang penyulitan (encryption) dan penyahsulitan (decryption) mesej. Mesej tanpa penyulitan dipanggil plaintext. Manakala mesej yang tersulit dipanggil chiphertext. Algorithma untuk proses penyulitan dan penyahsulitan dipanggil chipher. Salah satu jenis chipher yang melibatkan aplikasi linear algebra ialah Hill Chipher. Berikut contoh membuat kod rahsia. Contoh yang digunakan adalah I LOVE THE WAY YOU LOVE ME Sebelum membuat enkripsi, kita perlu menentukan nilai yang diwakili oleh setiap abjad tersebut, dimana index bermula dari 0 iaitu abjad A hingga 25 iaitu abjad Z.
Setelah itu, memilih key matrik yang akan digunakan dalam mod 29. Key matrik haruslah mempunyai matrik songsang yang betul. Contoh key matrik yang digunakan: Key matriks =
Langkah
pertama
matrik songsang =
,
gabung
semua
perkataan
menjadi
I*LOVE*THE*WAY*YOU*LOVE*ME. Selepas itu , tentukan nilai tiap-tiap huruf seperti berikut :
I*L
= 8, 28, 11
O V E = 14, 21, 4 *TH
= 28, 19, 7
E * W = 4, 28, 22 AY*
= 0, 24, 28
Y O U = 24, 14, 20 *LO
= 28, 11, 14
V E * = 21, 4, 28 M E * = 12, 4, 26 Setelah mendapat nilai setiap abjad dalam perkataan tersebut, maka lakukan pendaraban dengan key matrik yang sudah ditentukan di atas :
Dari hasil pendaraban matrik di atas, maka terdapat hasil perkataan baru yang membentuk ciphertext. Plain text
= I_LOVE_THE_WAY_YOU_LOVE_ME.
Chipper text
= DFPRBMPYYJEMNKQINK*CFJXYTWY
Untuk pengetahuan, kriptografi ini
sebenarnya amat penting dan digunakan
untuk keselamatan maklumat sulit pengguna seperti akaun email, kad kredit dan kad
pengenalan
daripada
disalahgunakan
oleh
pihak
yang
tidak
bertanggungjawab. Tambahan pula, kriptografi ini juga telah digunakan dalam bidang ketenteraan dari segi komunikasi dan isyarat.
3. Aliran trafik Aliran trafik dalam matematik
adalah kajian interaksi antara kenderaan,
pemandu dan infrastruktur ( termasuk lebuh raya, papan tanda dan alat kawalan lalu lintas) dengan tujuan untuk memahami dan membangunkan rangkaian
jalanraya yang optimum dengan pergerakan lalul lintas yang efektif dan masalah kesesakan lalu lintas yang minimum. Linear algebra digunakan untuk menyelesaikan masalah yang berlaku di dalam rangkaian lalu lintas terutama di persimpangan jalan. Ini boleh dibuktikan melalui penyelesaian berikut: Soalan Rajah menunjukkan sebahagian dari persimpangan jalan sehala di sebuah Bandar. Purata setiap jam kenderaan yang melalui persimpangan tersebut ditunjukkan seperti di dalam rajah. Tentukan bilangan kenderaan yang bertanda
Persamaan yang terlibat :
Pindahkan dalam bentuk matrik
Langkah 1 : jadikan kemasukan pelopor pada baris pertama = 1
Langkah ke 2 : Jadikan nombor-nombor dibawah pelopor baris 1 = 0
Langkah ke 3 : Jadikan kemasukan pelopor baris ke 2 = 1
Langkah ke 4 : Jadikan nombor-nombor di bawah kemasukan pelopor baris ke 2 =0
Langkah ke 5 : Jadikan nombor-nombor di bawah kemasukan pelopor baris ke 3 =0
X4 tiada sebarang pembolehubah. Maka, kita anggap X 4 = t pelopor pembolehubah dalam sebutan X4, dan kita dapati :
Katakan t = 10
Pindahkan jawapan dalam bentuk matrik
dan tunjukkan
4. Aliran elektrik Hukum Krichhoff merupakan hukum yang digunakan untuk menganalisis pelbagai lingkaran litar elektrik. I.
Hukum pertama : Jumlah arus elektrik yang masuk di persimpangan (anggap sebagai positif) adalah bersamaan dengan jumlah arus elektik yang keluar dari persimpangan (anggap sebagai negative)
II.
Hukum kedua : Hasil tambah algebra voltan mestilah bersamaan hasil tambah algebra yang menyusut
Hukum OHM pula ialah hubungan antara beza keupayaan dengan arus yang mengalir dalam satu litar elektrik yang lengkap.
Berdasarkan formula diatas ,dapat dirumuskan bahawa arus berkadar terus dengan voltan dan berkadar songsang dengan rintangan , V = IR
dimana V
adalah voltan (V) dan I adalah arus (A) dan R adalah rintangan (ohm). Contoh soalan:
Penyelesaian soalan : 1. Menggunakan Hukum Kirchhoff yang pertama pada bahagian kiri litar
Untuk I2 + I3 = I1 ( arus elektrik masuk = arus elektrik keluar). Persamaan ini sama dengan persamaan 1 diatas. 2. Menggunakan Hukum Kirchhoff yang kedua pada lingkaran 1 (Hukum Ohm
V = IR ) menggunakan Hukum Ohm untuk mendapatkan
persamaan 2 dan 3
Masukkan nilai dalam persamaan di atas
Untuk lingkaran 2,
Masukkan nilai dalam persamaan di atas
3. Tuliskan ketiga-tiga persamaan di atas untuk mendapatkan matrik imbuhan
4. Selesaikan ketiga-tiga persamaan menggunakan kaedah penghapusan Gauss-Jordan i.
ii.
iii.
iv.
v.
vi.
vii.
viii.
ix.
x.
xi.
xii.
5. Berdasarkan penyelesaian di atas , nilai
I1 , I2 dan
I3
dan dapat
dikenalpasti iaitu
Program
linear algebra adalah cabang ilmu matematik yang mempunyai banyak
manfaat dan kegunaannya dalam kehidupan seharian. Antara manfaat yang diperolehi ialah : Dalam sektor pendidikan :
Program linear dapat memudahkan tenaga pengajar dalam membuat jadual kuliah dan sekolah serta pembahagian kerja dan menyusun bahan kuliah juga kokurikulum Dalam sektor industri : Memudahkan untuk pengusaha perusahan kecil
dalam meminimumkan
kerugian dan memaksimumkan keuntungan. Program linear mudah diterapkan untuk pengilang , petani dan pengusaha dalam menyelesaikan permasalahan seharian. Dalam bidang pengurusan: Linear algebra dapat membantu serta memudahkan kehidupan sehariaan khususnya dalam pengurusan masa. Dengan bantuan linear algebra sesorang mampu mengurus masa dengan baik serta menjadikan kehidupan sehariannya lebih sistematik. Contohnya ibu bapa yang bekerja dan mempunyai anak harus memikirkan beberapa aspek yang penting bagi memastikan mereka dapat hadir ke sekolah dan pejabat sebelum masa yang ditetapkan. Bagi memastikan masa lebih singkat untuk sampai ke destinasi dan kos perjalanan yang rendah maka ibu bapa tersebut haruslah membuat pilihan jalan
yang tepat yang akan
digunakan setiap hari. Dalam sektor perniagaan : peniaga mampu mencapai kejayaan sekiranya mereka menguasai sepenuhnya linear algebra . di mana mereka mampu menganggar
pulangan dari hasil
perniagaan , bilangan pembeli dan juga mengenal pasti kos kerugian dalam sesuatu perniagan yang dijalankan. Selain itu, linear algebra juga mampu memberi pengetahuan tentang mengira dan memilih barangan yang lebih murah untuk dibeli dan dijadikan modal dalam perniagaan. Juga mampu memgenal pasti perbezaan harga barangan mereka dengan peniaga lain serta dapat mengubah harga barangan dan mengekalkan keuntungan yang diperolehi.
Kesimpulannya algebra linear amat penting dalam kehidupan seharian kita dan masih digunakan sehingga ke hari ini. Linear algebra merupakan asas pengetahuan dalam matematik di mana kita memerlukan kemahiran algebra linear untuk menyelesaikan masalah terutama yang berkaitan dengan pembolehubah. Daripada masalah tersebut , kita dapat membuat analisa atau data yang diperolehi untuk membuat perbandingan dan menentukan sesuatu nilai jawapan itu. Oleh itu, algebra linear bukan sahaja satu set langkah atau prosedur untuk menyelesaikan masalah tetapi suatu jenis pemikiran yang boleh diaplikasi dalam setiap masalah yang dihadapi dalam kehidupan seharian. Jelasnya kegunaan algebra linear boleh memudahkan dan membuat kerja seharian kita lebih sistematik. Selain itu, penggunaan nya juga sangat luas dalam pelbagai bidang.
BIBLIOGRAFI Aplikasi Fungsi linear http://mathed.utm.my/duniamatematik/index.php/2011/oktober-2011/735aplikasi/997-fungsi-linearq-dalam-ekonomi
Aplikasi matriks http://aljabarlineara4.blogspot.com/2013/03/aplikasi-aljabar-lineardalambidang.html
Tujuan mempelajari program linear
http://fungsi.org/tujuan-mempelajari-
program-linear
Application of linear algebra http://ndu2009algebra.blogspot.com/
Flow from traffic to pipes http://www.facstaff.bucknell.edu/ap030/Math345LAApplications/Flow.html
Apa itu algebra ? http://www.scribd.com/doc/88383028/Apa-Itu-Algebra http://www.scribd.com/doc/89640963/Mte-3110-Decode http://www.scribd.com/doc/87657484/koay
elements of algebraic concept http://mathematicalideas.blogspot.com/2011/04/elements-of-algebraicconcept.html
