Aplicaciones mecanica

75

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones

3. APLICACIONES DE LAS INTEGRALES MÚLTIPLES En este capítulo se presentan algunas de las aplicaciones tanto físicas como geométricas de las integrales múltiples, específicamente para las integrales dobles y para las integrales triples.

3.1 APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DOBLES Entre las aplicaciones de las integrales dobles, se tienen las aplicaciones geométricas y las físicas. En el primer grupo se encuentran: el cálculo del área de una figura plana y el cálculo de volúmenes de sólidos en el espacio; entre las aplicaciones físicas están el cálculo de: masa, momentos estáticos de figuras planas, centros de masa y momentos de inercia para una región bidimensional.

3.1.1. ÁREA DE UNA FIGURA PLANA En el capítulo 1 de este trabajo, se explicó el significado intrínseco de la integral doble de una función f positiva en una región bidimensional D,

∫∫ f ( x , y ) dA , D

como el volumen del sólido S

definido sobre la región D y bajo la gráfica de la función f . Ahora, si se considera que f ( x, y ) = 1 , entonces la integral anterior queda como:

∫∫

D

f ( x , y ) dA =

∫∫ d A D

(III.1)

Recuerde que la integral

∫∫ f ( x , y ) dA ,

doble

D

también puede escribirse como n

Lim

P → 0

m

∑ ∑ f (x i =1 j =1

* i

* , y j )∆Aij

Por lo tanto, empleando la definición de la integral doble, se tiene que: n

m

∫∫ dA = Lim ∑ ∑ ∆A D

UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

P →0

ij

i =1 j =1

(III.2)

76

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones donde ∆ Aij es el área del rectángulo genérico denotado Dij , el cual puede observarse en la figura 3.1

y

xi

(xi* ,y j* )

d = ym

y j y j-1

Dij

D

y j

c = y0 a = x0

xi-1

xi

xn= b

x

Figura 3.1 Región D dividida en subrectángulos Dij

En otras palabras, la integral

∫∫ dA D

representa el volumen de un

sólido de sección transversal constante, cuya base es la región D y cuya altura es igual a la unidad. Para un sólido con estas características, el volumen se obtiene como el producto del área de la base y la altura del mismo. A partir de todo lo anterior, se define el cálculo del área de una región plana.

ÁREA DE UNA FIGURA PLANA Sea D una región bidimensional D , tal que D ⊆  2 . Sea A el área de la región D , entonces: A=


∫∫ dxdy D

(III.3)

77

Geraldine Cisneros Recuerde que una región D es de tipo 1 si se cumple:

( x , y )

D = 



Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Observe que si la región D es de tipo 1,

la ecuación anterior

queda como:

∧   ( x ) ≤ y ≤ g ( x )  a≤ x≤b

A= A=

b

g(x)

a

f x

∫ ∫()

dydx =

b

g ( x )

a

f ( x )

∫ [ y ]

(III.3)

dx

b

∫  g ( x ) − f ( x ) dx

(III.4)

a

Donde la última integral, representa el área comprendida entre las gráficas de y = f ( x ) y y = g ( x ) en el intervalo cerrado [ a ,b ] . Esta integral se estudia en la asignatura Análisis Matemático II , dentro de las aplicaciones de la integral definida.

EJEMP EJEMPLO LO 3.1 3.1

Dibuje la región D y calcule su área, empleando las integrales dobles:

∫∫ dxdy y ∫∫ dydx , D = { ( x , y ) x ≥ y D

2

D

− 2 y ∧ x ≤ 4 − y2 }

Solución:

La región D se encuentra acotada por las gráficas de las parábolas horizontales x = y 2 − 2 y y

= 4 − y 2 , tal como se puede

observar en la siguiente figura.

Recuerde que la gráfica de la ecuación:

x = y2 − 2y

D

= ay 2 + by + c Es una parábola

horizontal

x = 4 − y 2

Figura 3.2 Región D del ejemplo 3.2


78

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones a) Para calcular el área de la región por medio de la integral doble

∫∫ dxdy , D

es necesario definir los límites de integración, que se

ilustran en la figura 3.3

D Observe que la región D es una región tipo 2, por lo cual el área se obtiene empleando una sola integral doble de la forma dxdy .

∫∫

Valor de x de x a la entrada de D de D

Valor de x de x a la salida de D de D x = 4 − y 2

x = y2 − 2y

D

Figura 3.3 Región D del ejemplo 3.1 como una región tipo 2 Por tanto el área se obtiene como: A=

2

∫ ∫

4 − y

2

−1 y 2 − 2 y

dxdy =

A=

Para la primera curva: x = y2 − 2 y Se tiene que:

y = 1 ± 1 + x

Para la segunda curva:

x = 4 − y 2

2

∫ 4 − 2 y −1

2

+ 2 y  dy = 9

∫∫ dxdy = 9 D

b) Cuando se desea calcular el área D con el orden de integración inverso, esto es A =

∫∫ dydx , entonces, se necesita conocer las D

ecuaciones de las curvas en función de la variable x y además identificar los límites de integración, que a continuación se muestran en la figura 3.4

entonces: y = ± 4 − x


79

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Valor de y a la salida de D de D1

Valor de y de y a la salida de D de D2

x = 0

y = 1 + 1 + x

y = 4 − x

Valor de y de y a la salida de D de D 3

x = 3

En este caso, la región D queda dividida en tres regiones tipo 1, identificadas como: D1, D2 y D3..

y = 4 − x

D1 D2

Valor de y a la entrada de D de D1

D3

y = 1 − 1 + x Valor de y de y a la entrada de D de D2

Valor de y de y a la entrada de D de D3

y = 1 − 1 + x

y = − 4 − x

Figura 3.4

Región D del ejemplo 3.1 como tres regiones tipo 1 Entonces D = D1 ∪ D2 ∪ D3 , donde:

{( x, y ) − 1 ≤ x ≤ 0 D = {( x , y ) 0 ≤ x ≤ 3 D = {( x , y ) 3 ≤ x ≤ 4

∧ 1 − 1 + x ≤ y ≤ 1+ 1 + x }

D1 =

Así: A =

2

∧ 1 − 1+ x ≤ y ≤ 4 − x }

3

∧ − 4 − x ≤ y ≤ 4 − x}

∫∫

D1

dydx +

∫∫

D2

0

1+ 1+ x

−

− 1+ x

= ∫ 1 ∫1 Al comparar los dos cálculos de área de la región D región D del ejemplo 3.1, resulta mucho más sencillo emplear la integral que dxdy

∫∫

A=

∫

0

−1

dydx +

∫∫ dydx D3

dydx +

2 1 + x dx +

3

∫( 0

A =

D

con el orden inverso.

4−x

0

1− 1+ x

∫∫

dydx +

4−x

4

∫∫

)

3

− 4 −x

4 − x − 1 + 1+ x dx +

4 3

A=


3

+

19 3

4

+ =9 3

∫∫ dydx = 9 D

4

dydx

∫ 2 3

4 − x dx

80

Geraldine Cisneros



Dada la región D , determine las ecuaciones de las curvas que la limitan y calcule su área empleando las integrales dobles: y

∫∫ dxdy D

∫∫ dydx . D

C 2

C 1 C 3 D

Figura 3.5 Región D del ejemplo 3.2 Solución:

Las ecuaciones de las curvas que limitan a la región D son: Las ecuaciones de las curvas en función de la variable y variable y son: y − 20 C1 : x = 16 20 − y C2 : x = 2

C1 :

x=±

y

C1 :

y = 16 x + 20

C2 :

y = −2 x + 20

C3 :

y = 4x2

y

2

a) Para el cálculo del área de la región D por medio de la integral doble

∫∫ dxdy , D

se necesita saber que valor toma la variable x a la

entrada y salida de la región. En la figura 3.6 se pueden observar estos valores.


81

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Valor de x de x a la entrada de D de D3

La región D no es una región tipo 2, sin embargo se puede dividir en tres regiones: D1, D2 y D3., que sí lo lo son. Por esta razón, para resolver la integral doble

∫∫ dxdy

se

debe

D

emplear la propiedad aditiva respecto a la región de integración.

x =

Valor de x de x a la salida de D de D3

y − 20

x =

D3

16

20 − y 2

y = 16

Valor de x de x a la entrada de D de D2 y − 20 x = 16

D2

x =

y = 4

Valor de x de x a la entrada de D de D1

x = −

Valor de x de x a la salida de D de D2 y 2

Valor de x de x a la salida de D de D1 y x = 2

D1

y 2

Figura 3.6 Región D del ejemplo 3.2 como tres regiones tipo 2 Como D = D1 ∪ D2 ∪ D3 , entonces: A =

∫∫

D1

dxdy +

∫∫

D2

dxdy +

donde:

 

D1 = ( x , y )

 

D2 = ( x , y )

0

y − 20 16

−

2 y

dxdy +

≤ x≤ ≤ x≤

16

∫ ∫ 4

2

y 2

y 2

 ∧ 0 ≤ y ≤ 4   ∧ 4 ≤ y ≤ 16 

20 − y

≤ x≤

16

y

4

∫∫

2

y − 20

 

D3 = ( x , y )

A=

y

−

2 y

2

y − 20

dxdy +

 ∧ 16 ≤ y ≤ 20  20

20 − y

∫ ∫ dxdy

16

16

2 y − 20 16

4 16  y 20  45 y − 20  9y  = ∫ 0 y dy + ∫ 4  −  dy + ∫ 16  −  dy 16   4 16   2

A =

16


3

+

157 6

9

+ = 36 2

∫∫ dxdy D3

82

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones A=

∫∫ dxdy = 36 D

b) En la figura 3.7 se muestran los límites de integración para la integral interna de A =

∫∫ dydx . D

Valor de y de y a la salida de D de D2 y = −2 x + 20

Valor de y de y a la salida de D de D1 y = 16 x + 20

La región D puede dividirse en dos regiones tipo 1, identificadas como: D como: D1 y D2 ; es decir: D = D1 ∪ D2

D2


D1

y = 4 x 2


y = 4 x 2

x = 0

Figura 3.7 Región D del ejemplo 3.2 como dos regiones tipo 1 Luego: A =

∫∫

D1

dydx +

0

D2

D1 =

{( x , y ) = {( x , y )

− 1 ≤ x ≤ 0 ∧ 4 x 2 ≤ y ≤ 16 x + 20}

D2

0≤ x≤2 ∧

A=

A=

∫∫ dydx , donde:

0

∫ ∫

16 16 x + 20

−1 4 x 2

dydx +

}

4 x 2 ≤ y ≤ − 2 x + 20 2

−2 x + 20

0

4 x2

∫ ∫

2

dydx

∫ − (16x + 20 − 4x ) dx + ∫ ( −2x + 20 − 4x ) dx = 2

1

0

A=


∫∫ dydx = 36 D

2

32 3

+

76 3

= 36

83

Geraldine Cisneros



Calcule, empleando integrales dobles, el área comprendida entre dos círculos concéntricos de radios 2 y 4. Solución:

Considere una corona circular con centro en el origen del sistema de coordenadas tal como se observa a continuación.

La región D región D planteada en el ejemplo 3.3 recibe el corona nombre de circular, y su área es:

x 2 + y 2 = 4

= π ( R 2 − r 2 ) donde R: Radio externo r: radio interno

D x 2 + y 2 = 16

Figura 3.8 Región D del ejemplo 3.3 Como A =

∫∫ dydx D

y la región D es simétrica respecto al origen,

entonces para simplificar el cálculo de área, sólo se evaluará A1 =

∫∫ dydx , donde A D1

1

es el área de la región D que se encuentra

en el primer cuadrante, denotada como D1 , de manera que: A = 4 A1

La región denotada como D1, se muestra en la figura 3.9.


84

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Valor de y a la salida de D de D1.A

y = 16 − x 2 x = 2

Valor de y a la salida de D de D1.B

D1.A

Para calcular el área de la región D1, se puede dividirla en dos regiones tipo 1:

y = 16 − x 2

D1 = D1. A ∪ D1.B D1.B Valor de y a la entrada de D de D1.A

y = 4 − x 2 Valor de y a la entrada de D de D1.B

y = 0

Figura 3.9 Región D1 del ejemplo 3.3 Luego: A1 =

∫∫

D1. A

dydx +

∫∫ dydx , donde: D1. B

{( x , y ) 0 ≤ x ≤ 2 ∧ D = {( x , y ) 2 ≤ x ≤ 4

D1.A =

1.B

A1 =

2

16 − x 2

0

4 − x

4 − x 2 ≤ y ≤ 16 − x2

∧ 0 ≤ y ≤ 16 − x 2 16 − x 2

4

A1 =

∫∫

∫(

16 − x 2 − 4 − x 2 dx +

2

0

2

dydx +

∫∫ 2

0

)

 

A1 =  2 3 +


∫

2

dydx

16 − x 2 dx

8π    +  −2 3 +  = 3π  3  3 

π

A=

4

∫∫ dydx = 12π D

}

}

85

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones 3.1.2. VOLUMEN DE UN SÓLIDO EN EL ESPACIO ESPACIO En el capítulo 1 de este trabajo, se determinó que la integral

∫∫ f ( x , y ) dA D

representa el volumen del sólido S definido sobre la

región D y bajo la gráfica de la función f ; sin embargo, la integral doble también puede emplearse para determinar el volumen de un sólido más general.

VOLUMEN DE UN SÓLIDO EN EL ESPACIO Sean f :  2 →  y g :  2 →  dos funciones reales, continuas en una región bidimensional D , tales que f ( x, y ) ≤ g ( x, y )

∀ ( x, y ) ∈ D .

Sea

el

V

volumen

del

sólido

acotado

superiormente por la gráfica de la función g y acotado inferiormente por la gráfica de la función f , entonces: V=


dA ∫∫  g ( x, y ) − f ( x, y ) dA D

(III.5)

Dibuje el sólido S acotado por las superficies: z = 2 x 2 + y 2 y z = 20 − x 2 − y 2

y plantear su volumen empleando integrales

dobles. Solución:

En la figura 3.10 se muestra el sólido S de este ejemplo, donde la superficie superior es z = 20 − x 2 − y 2 y la superficie inferior viene dada por la ecuación z = 2 x 2 + y 2 .


86

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Valor de z de z aa la salida de S z = 20 − x 2 − y 2

La superficie definida por la ecuación:

z = 20 − x 2 − y 2 Es una semiesfera (parte superior).

S

La superficie definida por la ecuación:

Valor de z de z aa la entrada de S

z = 2 x2 + y 2

z = 2 x2 + y 2

Es un cono .

Figura 3.10 Sólido S del ejemplo 3.4 El volumen del sólido S , mostrado en la figura anterior, se obtiene mediante la integral doble: V=

∫∫  D

20 − x 2 − y 2 − 2 x 2 + y 2  dA



donde D es la proyección del sólido S en el plano xy. Esta proyección, para este ejemplo, resulta ser un círculo con centro en el origen, al que se obtiene en la intersección de las dos superficies:

 z = 2 x 2 + y 2   z = 20 − x 2 − y 2

⇒ 2

2

4 ( x 2 + y 2 ) = 20 − x 2 − y 2

+ y 2 = 20 − x 2 − y 2

⇒ x2 + y2 = 4

Entonces: D=

{( x, y )


}

x2 + y 2 ≤ 4

87

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Valor de y a la salida de D de D

y = 4 − x 2

Donde D es una región tipo 1 y también tipo 2, pero en este ejemplo se trabaja como una región tipo 1.

D

Valor de y a la entrada de D de D

y = − 4 − x 2

Figura 3.11 Región D del ejemplo 3.4 Es decir, D = En el siguiente capítulo, se mostrará como resolver una integral de este tipo, empleando un cambio de variable apropiado.

{( x, y )

− 2 ≤ x ≤ 2 − 4 − x2 ≤ y ≤ 4 − x2

}

Volviendo a la integral de volumen, se tiene que: V =

2

∫ ∫

4 − x 2

− 2 − 4 − x

2

 20 − x 2 − y 2 − 2 x2 + y 2  dydx  

Ahora, para resolver esta integral se requiere un procedimiento muy riguroso y largo, por lo cual a continuación sólo se presenta el resultado de esta integral, el cual fue obtenido con software matemático: V =

∫∫  D

20 − x 2 − y 2 − 2 x 2 + y 2  dA = 19, 77678464




88

Geraldine Cisneros EJEMP EJEMPLO LO 3.5 3.5

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Dibuje el sólido S acotado por las superficies: z = 4 + xy y z = 1 y dentro del cilindro x 2 + y 2 ≤ 1 , calcule su volumen empleando integrales dobles. Solución:

En la figura siguiente se aprecia el sólido S , acotado por las superficies z = 4 + xy y z = 1 y dentro del cilindro x 2 + y 2 ≤ 1 . Valor de z de z aa la salida de S z = 4 + xy

x 2 + y 2 = 1

S

Valor de z de z aa la entrada de S z = 1

Figura 3.12 Sólido S del ejemplo 3.5 El volumen del sólido S , se obtiene mediante la integral doble: V =

∫∫ [4 + xy − 1] dA = ∫∫ [3 + xy] dA D

D

donde D es la proyección del sólido S en el plano xy. Esta proyección, se observa en la figura 3.13


89

Geraldine Cisneros


D En este ejemplo, la región D es de tipo 1 y también tipo 2, pero se trabaja como una región tipo 2.

Valor de x a la entrada de D de D

Valor de x a la salida de D de D

x = − 1 − y 2

x = 1 − y 2

Figura 3.13 Región D del ejemplo 3.5 En este caso, la región D se define como: D=

{( x, y )

− 1 − y2 ≤ x ≤ 1− y2

}

−1≤ y ≤ 1

Por lo tanto la integral de volumen queda como: V =

1

∫ ∫

1− y 2

−1 − 1− y 2

V =


1

[3 + xy ] dxdy = ∫ −1 6 1 − y 2 dy = 3π

∫∫ [3 + xy ] dA = 3π D

Dibuje el sólido S acotado por z = 1 + x3 y + xy3 , z = 0 , y = x3 − x y y = x 2 + x y calcule su volumen empleando integrales dobles. Solución:

En la figura 3.14 se observa el sólido S , acotado superiormente por z = 1 + x 3 y + xy 3

e inferiormente por z = 0 ; mientras que las

superficies y = x3 − x y y = x 2 + x definen las paredes de dicho cuerpo tridimensional.


90

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Valor de z de z aa la salida de S z = 1 + x3 y + xy 3

S

Valor de z de z aa la entrada de S z = 0

Figura 3.14 Sólido S del ejemplo 3.6 Donde, el volumen del sólido S , se obtiene como: V =

∫∫

D

1 + x3 y + xy3 − 0  dA = ∫∫ 1 + x3 y + xy3  dA D

Al proyectar el sólido anterior en el plano xy, se obtiene la región bidimensional D, la cual se aprecia en la figura 3.15 Valor de y a la salida de D de D

y = x3 − x En la figura 3.15, se observa que la región D región D del ejemplo 3.6 es una región de tipo 1.

D

Valor de y a la entrada de D de D

y = x2 + x

Figura 3.15 Región D del ejemplo 3.6


91

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Por lo tanto, la región D se define como: D=

{( x, y )

− 1 ≤ x ≤ 0 x2 + x ≤ y ≤ x3 − x}

La integral de volumen queda como: V =

0

3

x − x

∫ ∫

−1 x

2

1 + x3 y + xy3  dy dydx +x

 x13 11 7 x9 8  517 V = ∫  x + x − 4 x 7 − 2 x 6 + x 3 − x 2 − 2 x  dx = − − −1 4 4 1260   0

V =

517

3 3 ∫∫ D 1 + x y + xy  dA = 1260

3.1.3. MASA DE UNA FIGURA PLANA A continuación, se explica como determinar la masa de una figura plana no homogénea, de área D , como la región mostrada en la figura 3.16; es decir para regiones donde la densidad varía en En la figura 3.16 la región D es no homogénea, por lo cual su sombreado no es uniforme.

cada punto ( x , y ) ∈ D .

Adicionalmente: ρ

( x, y ) = 0 ∀ ( x, y ) ∉ D

La densidad tiene unidades de masa por área unitaria. Para esta aplicación, considere que la función densidad ρ es continua en la región D .

Figura 3.16 Región D no homogénea


92

Geraldine Cisneros


(

Si se escoge un punto arbitrario

* i

, y j* ) ∈ Dij , entonces la masa

de este subrectángulo, denotada como mij , se obtiene como: mij = ρ ( xi* , y j* ) ∆Aij

(III.6)

Por lo tanto la masa de la placa plana de área A , se puede estimar mediante la doble suma de Riemann: m≈

n

m

∑ ∑ ρ ( x

i

i =1 j =1

*

, y j* ) ∆Aij

(III.7)

Si se aumenta el número de subintervalos, de manera que la norma de la partición P tienda a cero, se tiene: m = L im

P →0

m = L im

P →0

n

n

m

∑ ∑ ρ ( x

i

i =1 j =1

m

∑ ∑ ρ ( x

i

i =1 j =1

*

*

, y j* )∆Aij

, y j* )∆Aij =

(III.8)

∫∫ ρ ( x, y ) dA

(III.9)

D

Entonces, el cálculo de la masa de una figura plana se obtiene mediante:

El cálculo de masa de una región D , también puede emplearse para calcular la carga eléctrica, Q, distribuida sobre una región D . Q=

∫∫

D

σ

( x, y ) dA

MASA DE UNA FIGURA PLANA Considere una lámina plana de densidad variable

ρ

(

, y ) ,

que ocupa una región D en el plano xy, entonces su masa, denotada m , se obtiene como:

Donde σ es la función densidad de carga.


m=

∫∫ ρ ( x, y ) dA D

(III.10)

93

Geraldine Cisneros EJEMP EJEMPLO LO 3.7 3.7

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Determine la masa de la placa plana limitada por las curvas x = y 2 − 1 y x = 2 y 2 − 2 , cuya densidad es igual a la unidad. Solución:

Recuerde que la densidad se calcula como m =

∫∫ ρ ( x, y ) dA , por D

lo tanto para esta placa se tiene: m=

∫∫ dA D

Ahora, se debe identificar la región D para definir los límites de integración.

D

Valor de x a la entrada de D de D

Valor de x a la salida de D de D

x = 2 y 2 − 2

x = y 2 − 1

Figura 3.17 Región D del ejemplo 3.7 Entonces la región D está definida como: D=

{( x , y )

2 y2 − 2 ≤ x ≤ y2 − 1 ∧

− 1 ≤ y ≤ 1}

Por lo tanto: m=

1

∫ ∫

y 2 −1 2

−1 2 y − 2

m=


dxdy = 1

4 ∫ (1 − y ) dy = 3

y 2 −1

∫ ∫

−1 2 y 2 − 2

1

2

−1

dxdy =

4 3

94

Geraldine Cisneros



Determine la masa de la placa plana limitada por las curvas y=

3 2

x 2 − 6 x + 4 y y = 2 x − 2 , cuya densidad varía de acuerdo a la

función

ρ

(

, y ) = 1+ 2x .

Solución: Según la definición del valor absoluto

 x − 2 si x − 2 ≥ 0  x − 2 =  2 − x si x − 2 < 0 

El cálculo de la masa se obtiene de la integral doble m=

∫∫ ρ ( x, y ) dA , por lo tanto: D

m=

entonces

2 x − 4 si x ≥ 2  y =  4 − 2 x si x < 2 

∫∫ (1 + 2 x ) dA D

A continuación se muestra la región D. y = 2 x − 4

y = −2 x + 4

La región D debe dividirse en dos regiones tipo 1, tal que:

D = D1 ∪ D2

D y=

3 2

x2 − 6 x + 4

Figura 3.18 Región D del ejemplo 3.8 Entonces: m=

∫∫

D

(1 + 2 x ) dA = ∫∫D (1 + 2 x ) dA + ∫∫D (1 + 2 x ) dA 1

2

Donde 3 2   x − 6 x + 4 ≤ y ≤ − 2 x + 4 0≤ x≤2 ∧ 2   3 2   D2 = ( x , y ) 2 ≤ x ≤ 4 ∧ x − 6x + 4 ≤ y ≤ 2x − 4 2  

D1 = ( x , y )


95

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones En la figura 3.19 se muestra el orden de integración para obtener la masa de la placa con la forma de la región D. Valor de y de y a la salida de D de D 2 y = 2 x − 4

Valor de y de y a la salida de D de D1 y = 4 − 2x

x = 2

D2

D1

Valor de y de y a la entrada de D de D2 3 2 y = x − 6x + 4 2


y=

3 2

x2 − 6 x + 4

Figura 3.19 Región D del ejemplo 3.8 como dos regiones tipo 1 Entonces: m=

2

4 − 2 x

4

2

2

2

m=

2 x −4

∫0 ∫ 3 x −6 x+4 (1 + 2 x ) dydx + ∫2 ∫ 3 x −6 x +4 (1 + 2x ) dydx 2

4 13 2 29    3 − + + + −8 − 3x 3 + x 2 − 8 x  dx x x x d x 3 4   ∫0  ∫ 2 2 2    2

m=

m=

40 3

+

80 3

= 40

∫∫ (1 + 2 x ) dA = 40


D

96

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones 3.1.4. MOMENTOS ESTÁTICOS DE FIGURAS PLANAS El momento estático de una partícula alrededor de un eje se define como el producto de su masa y la distancia que la separa de ese eje. A continuación, se trata específicamente, los momentos estáticos de una figura plana D alrededor de los ejes coordenados. Considere

una

lámina

o

placa

plana

D ,

dividida

en

subrectángulos Dij , tal como se muestra en la siguiente figura:

Los momentos estáticos son momentos de “equilibrio”. x

es una medida de la

tendencia a girar en torno al eje x, x, análogamente, es una medida de la y tendencia a girar alrededor del eje y eje y..

Figura 3.20 Región general D no homogénea Entonces, el momento estático alrededor del eje x, para cada subrectángulo Dij , denotado como x ij

xij

, viene dado por:

= y j * ρ ( xi* , y j * ) ∆Aij

(III.11)

Sumando el momento estático alrededor del eje x para cada subrectángulo, se tiene que: n

x

m

≈ ∑ ∑ y j * ρ ( xi* , y j * ) ∆Aij i =1 j =1


(III.13)

97

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Tomando el límite cuando el número de subrectángulos aumenta en la expresión anterior: n

x

= Lim ∑ ∑ y j * ρ ( xi* , y j* ) ∆Aij P → 0

n

x

m

m

= Lim ∑ ∑ y j * ρ ( xi* , y j* ) ∆Aij = ∫∫ y ρ ( x, y ) dA P →0

(III.14)

i =1 j =1

D

i =1 j =1

(III.15)

Análogamente, el momento estático alrededor del eje y, que se denota

y

, se obtiene como: n

y

m

= Lim ∑ ∑ xi * ρ ( xi* , y j* ) ∆Aij = ∫∫ x ρ ( x, y ) dA P →0

D

i =1 j =1

(III.16)

MOMENTOS ESTÁTICOS DE FIGURAS PLANAS Sea D una región del plano xy, tal que su densidad viene dada por la función

ρ : 

2

→  , la cual es continua

∀ ( x , y ) ∈ D , entonces el momento estático alrededor del eje x, denotado

x

, se obtiene como: x

= ∫∫ D y ρ ( x, y ) dA

(III.17)

Mientras que el momento estático alrededor del eje y, denotado

y

, se calcula como:

y


= ∫∫ x ρ ( x, y ) dA D

(III.18)

98

Geraldine Cisneros EJEM EJEMPL PLO O 3.9

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Determine los momentos estáticos de la placa plana descrita en el ejemplo 3.7.

La región del ejemplo 3.7 se muestra a continuación

Solución:

Los momentos estáticos se calculan de la siguiente manera: x

= ∫∫ y ρ ( x, y ) dA y

y

D

= ∫∫ x ρ ( x, y ) dA . D

Entonces: M x =

Y se encuentra acotada por las curvas x = y 2 − 1 y x = 2 y 2 − 2 . La densidad es : ρ ( x,y ) = 1 ( x , y ) 2 y 2 − 2 ≤ x ≤ y 2 −1 ∧  − 1 ≤ y ≤ 1  

D = 

M y =

1

∫ ∫

1

∫ ∫

y 2 −1 2

−1 2 y − 2

y 2 −1 2

−1 2 y − 2

ydxdy =

xdxdy =

1

∫ y (1 − y ) dy = 0 2

−1

 3 3

1

∫  − 2 − 2 y −1

4

8  + 3 y 2  dy = − 5 

Por lo tanto, los momentos estáticos para una lámina con la forma de la región D del ejemplo 3.7 son: M x = M y =

EJEMPL EJEMPLO O 3.10 3.10

∫∫ ydA = 0 D

∫∫

D

xdA = −

8 5

Determine los momentos estáticos de la placa plana descrita en el ejemplo 3.8.

La región del ejemplo 3.8 se muestra a continuación

Solución:

Los momentos estáticos se calculan como: y

La densidad: ρ ( x , y ) = 1 + 2 x

( x , y ) 0 ≤ x ≤ 2 ∧     3 2 x − 6 x + 4 ≤ y ≤ −2 x + 4   2   ( x , y ) 2 ≤ x ≤ 4 ∧    D2 =   3 2 x − 6 x + 4 ≤ y ≤ 2x − 4   2  

= ∫∫ D y ρ ( x, y ) dA y

= ∫∫ D x ρ ( x, y ) dA . x

=∫

2 0

Donde D = D1 ∪ D2 D1 = 

x

x

∫

4 − 2 x 3 2

x2 −6 x + 4

y (1 + 2 x ) dydx +

4

∫∫ 2

2 x −4 3 2

x 2 −6 x + 4

y (1 + 2 x ) dydx

2 9 135 4  = ∫  − x5 + x − 35 x3 + 10 x2 + 16 x  dx + 0 8  4  4 9 135 4  + ∫  − x5 + x − 35 x3 + 10 x2 + 16 x dx 2 8  4 


99

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones M x =

8 3

+

56 3

=

64 3

Calculando el momento estático respecto al eje y se tiene: 4 − 2 x

2

y

4

2 x −4

= ∫ 0 ∫ 3 x −6 x +4 x (1 + 2 x ) dydx + ∫ 2 ∫ 3 x 2

2

2

2

262

M y =

15

+

1162 15

=

−6 x + 4

x (1 + 2 x ) dydx

1424 15

Finalmente, para la región del ejemplo 3.8 se tiene que:

M x = M y =

∫∫ y (1 + 2 x ) dA = D

∫∫ x (1 + 2x ) dA = D

64

3 1424 15

3.1.5. CENTRO DE MASA El centro de gravedad de una figura plana D, es un punto P de El centro de gravedad también es llamado centro de masa. El significado físico del centro de gravedad, es que la lámina se comporta como si su masa estuviera concentrada en ese punto.

coordenadas

( x, y)∈ D,

en el cual la región se equilibra

horizontalmente. Las coordenadas de este punto se obtienen de las ecuaciones: x =

y = El centro de gravedad recibe el nombre de centroide cuando la densidad es constante.

y

m x

m

(III.19)

(III.20)

Donde tanto la masa de la placa plana como los momentos estáticos se calculan por medio de integrales dobles.


100

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones CENTRO DE MASA Sea D una región del plano xy, tal que su densidad viene dada por la función

ρ : 

2


∀ ( x , y ) ∈ D , entonces el centro de gravedad viene dado por: = y=

1

m

∫∫ x ρ ( x, y ) dA

(III.21)

∫∫ y ρ ( x, y ) dA

(III.22)

D

1 m

D

Donde m es la masa de la placa D , que se obtiene como

∫∫ ρ ( x, y ) dA . D


Determine el centro de masa de la placa plana descrita en el ejemplo 3.7.

La región del ejemplo 3.7 está acotada por las curvas x = y 2 − 1 y

x = 2 y 2 − 2 . Su densidad es : ρ

y 2 −1

1

∫ ∫

−1 2 y 2 − 2

M x = M y =

dxdy =

P ( x , y ) ∈ D , tal que sus

El centro de masa es un punto

coordenadas se obtienen empleando las ecuaciones III.21 y

( x,y ) = 1

Y adicionalmente obtuvo:

m=

Solución:

se

III.22. Como ya se calculó la masa y los momentos estáticos para

esta región, entonces sólo queda sustituir en las ecuaciones III.19 4 3

y III.20

∫∫ ydA = 0

8

D

8

∫∫ xdA = − 5

x =

D

M y m

=− 5 =− 4 3

y =

M x m

=

0 =0 4 3


6 5

101

Geraldine Cisneros


Entonces:

 6  P ( x, y ) =  − , 0  5  En la siguiente figura se observa el centro de masa o de gravedad de la placa D descrita en el ejemplo 3.7

 6   − 5 ,0    D

Figura 3.21 Centro de masa de la región D del ejemplo 3.7


Determine el centro de masa de la placa plana descrita en el ejemplo 3.8.

La región D del ejemplo 3.8, tiene una densidad que varía según: ρ ( x , y ) = 1 + 2 x En los ejemplos 3.8 y 3.10, se obtuvo:

m=

∫∫ D (1 + 2 x ) dA = 40

M x = M y =

∫∫ y (1 + 2 x ) dA = D

∫∫ x (1 + 2 x ) dA = D

64

3 1424

Solución:

Sustituyendo el valor de la masa y los momentos estáticos en las ecuaciones que permiten calcular las coordenadas del centro de masa, se tiene: 1424 x =

M y m

15


178 = 15 = 40

75

102

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones 64 y =

M x m

8 = 3 = 40

15

Luego:

 178 8  ,   75 15 

P( x, y ) = 

En la figura 3.22 se aprecia la región D y su centro de masa:

 178 8   75 ,15   

D

Figura 3.22 Centro de masa de la región D del ejemplo 3.8

3.1.6. MOMENTO DE INERCIA INERCIA Los momentos de inercia también son llamados segundos momentos.

El momento de inercia de una partícula alrededor de un eje se

Los momentos de inercia son momentos de “giro”.

que la separa de ese eje y se considera como una medida de la

define como el producto de su masa y el cuadrado de la distancia

oposición a girar del cuerpo cuando actúa sobre él una fuerza de rotación. Los segundos momentos más importantes son los momentos de inercia alrededor de los ejes coordenados y del origen.


103

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones El procedimiento para obtener estos momentos como integrales dobles es similar al que se ilustró para los momentos estáticos, por lo tanto, el momento de inercia de una placa D, respecto al eje x, denotado I x , se calcula como:

En las ecuaciones III.23 y III.24, el cuadrado de x de x o de y recibe el nombre de brazo de palanca.

I x = Li m

P →0

n

m

∑ ∑ ( y ) ρ ( x *

2

j

*

i

i =1 j =1

, y j* ) ∆Aij =

∫∫ y ρ ( x, y ) dA 2

D

(III.23)

Análogamente, el momento de inercia alrededor del eje y se denota como I y y se obtiene como: I y = L im

P →0

El momento de inercia alrededor del origen también es conocido como momento polar de inercia.

I 0 = I x + I y

n

m

∑ ∑ ( x ) ρ ( x *

2

i

i

i =1 j =1

*

, y j* ) ∆Aijij =

∫∫ x ρ ( x, y ) dA 2

D

(III.24)

La suma de estos dos momentos se conoce como momento de inercia alrededor del origen, I 0 , donde: n

m

 ( x * )2 + ( y * ) 2  ρ ( x * , y * ) ∆A = ( x2 + y 2 ) ρ ( x, y ) dA ∑ ∑  i j i j ij ij ∫∫ D P →0  i =1 j =1

I 0 = Li m

(III.25)

MOMENTOS DE INERCIA DE FIGURAS PLANAS Sea D una región del plano xy, tal que su densidad viene dada por la función

ρ : 

2


∀ ( x , y ) ∈ D , entonces los momentos de inercia alrededor de los ejes x y y, denotados I x e I y , se obtienen como: I x =

∫∫ y ρ ( x, y ) dA

(III.26)

I y =

∫∫ x ρ ( x, y ) dA

(III.27)

2

D

2

D

El momento polar de inercia, I 0 , es: I0 =


∫∫ ( x D

2

+ y 2 ) ρ ( x, y ) dA

(III.28)

104

Geraldine Cisneros EJEMPL EJEMPLO O 3.13 3.13

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Determine los momentos de inercia de la placa plana descrita en el ejemplo 3.7.

La gráfica de la región D del ejemplo 3.7 se muestra a continuación:

Solución:

Los momentos de inercia alrededor de los ejes coordenados se calculan I y =

de

la

∫∫ x ρ ( x, y ) dA y I = ∫∫ ( x 2

0

D

1

∫ ∫

I x =

Cuya densidad es : ρ ( x,y ) = 1 2 2 ( x , y ) 2 y − 2 ≤ x ≤ y −1 ∧  − 1 ≤ y ≤ 1  

I y =

D = 

siguiente

I0 =

1

1

∫ ∫

∫ ∫

2

−1 2 y − 2

y 2 −1

−1 2 y 2 − 2

(x

2

x 2 dxdy =

1

∫

−1

y 2 (1 − y 2 ) dy =

7 7

1

∫∫ y ρ ( x, y ) dA , 2

D

+ y 2 ) ρ ( x, y ) dA .

y 2 dxdy =

2

−1 2 y − 2

y 2 −1

2

D

y 2 −1

I x =

manera:

∫  3 − 3 y

6

−1

4 15

32  + 7 y 4 − 2 y 2  dy = 15 

1 7 7 12  + y2 ) dxdy = ∫  − y 6 + 6 y 4 − 6 y 2  dy = −1 3 3 5  

Nótese que el momento polar de inercia puede calcularse como se acaba de ilustrar, sin embargo, también puede obtenerse a partir de: I 0 = I x + I y =

4 15

+

32 15

=

36 15

=

12 5

Entonces los momentos de inercia para la placa plana descrita en el ejemplo3.7 son: 4

I x =

∫∫

I y =

∫∫ x dA = 15

I0 =

D

2


15 32

D

∫∫ ( x D

y 2 dA =

2

+ y 2 ) dA =

12 5

105

Geraldine Cisneros



Determine los momentos de inercia de la placa plana descrita en el ejemplo 3.8. Solución:

La gráfica de la región D del ejemplo 3.8 se observa a continuación:

Calculando el momento de inercia respecto al eje x, se tiene: I x =

2

∫∫ 0

4 − 2 x 3 2

2

x −6 x +4

I x =

(1 + 2 x ) 

2

∫

+ ∫

( x , y ) 0 ≤ x ≤ 2 ∧    D1 =   3 2 − + ≤ ≤ − + x 6 x 4 y 2 x 4   2   ( x , y ) 2 ≤ x ≤ 4 ∧    D2 =   3 2 x − 6 x + 4 ≤ y ≤ 2x − 4  2  

2

2

2

x −6 x + 4

y 2 (1 + 2x ) dydx 3

  dx + 

3 3 2   ( 2 − 4 ) −  x − 6 x + 4  dx 2   

3

3

712

I x =

Donde D = D1 ∪ D2

∫ ∫

3

3

(1 + 2 x ) 

2

2 x −4

4

3 2  ( 4 − 2 x ) −  x − 6 x + 4  2  

3

0

4

Cuya densidad vienen dada por: ρ ( x , y ) = 1 + 2 x

y 2 (1 + 2 x ) dydx +

35

+

2168

576

=

35

7

Calculando el momento inercia respecto al eje y se tiene: I y =

2

∫∫ 0

4 − 2 x 3 2

2

x −6 x + 4

x 2 (1 + 2 x ) dydx +

4

∫∫ 2

2 x −4 3 2

2

x −6 x + 4

x2 (1 + 2 x ) dydx

4 13 4 29 4  5 3 5 3 2  x x x d x x x x x − + + + − + − − 3 4 3 8 8     dx ∫0  ∫ 2 2 2    2

I y =

128

I y =

5

+

3472 15

=

3856 15

El momento polar de inercia puede obtenerse como: I0 =

2

∫∫ 0

4− 2 x 3 2

2

x −6 x + 4

(x

2

4

2 x −4

+ y2 ) (1 + 2 x ) dydx + ∫ 2 ∫ 3 x

2

2

O también como: I 0 = I x + I y =

I x =

∫∫

I y =

∫∫ x

I0 =

D

∫∫ ( x D

D 2

576 7

+

3856 15

(1 + 2 x ) dA =

=

+ y2 ) (1 + 2 x ) dydx

35632 105

576 7 3856 15 35632

+ y 2 ) (1 + 2 x ) dA =


2

−6 x + 4

y 2 (1 + 2 x ) dA = 2

(x

105

106

Geraldine Cisneros


3.2 APLICACIONES DE LAS INTEGRALES TRIPLES Las aplicaciones de las integrales triples, son similares a las aplicaciones de las dobles. Sus definiciones se obtienen a partir de la triple suma de Riemann; sin embargo a continuación se presentan de una vez con la integral triple correspondiente para cada una de ellas. Las aplicaciones que se mencionan a continuación son: volúmenes de sólidos en el espacio, masa, momentos estáticos, centros de masa y momentos de inercia de cuerpos en el espacio.

3.2.1.VOLUMEN 3.2.1. VOLUMEN DE UN SÓLIDO EN EL ESPACIO En el capítulo 2 se definió la integral triple de una función f sobre una región tridimensional B ,

∫∫∫ ∫∫∫ f ( x , y , z ) dV , como el límite de B

n

una triple suma de Riemann , L im P →0

m

l

∑∑∑ f (x

* i

i =1 j =1 k =1

, y j* , zk* )∆Vijk . Si la

función f es igual a la unidad; es decir, f ( x , y, y, z ) = 1 , entonces, la integral triple representa el volumen V del sólido B , resultando la siguiente integral: V =

∫∫∫ ∫∫∫ dV B

(III.29)

VOLUMEN DE UN SÓLIDO EN EL ESPACIO Sea B una región tridimensional, entonces su volumen, denotado como V , se obtiene como V =


∫∫∫ ∫∫∫ dV B

(III.30)

107

Geraldine Cisneros



Determine el volumen del sólido B acotado por las superficies: x = 0 , y = x ,

= 2 − x , z = 1 y z = 5 − x 2 − y 2 .

Solución:

Para calcular el volumen del sólido B, se emplea la integral triple

∫∫∫ ∫∫∫ dV . En la siguiente gráfica se ilustra el sólido B acotado por B

las superficies mencionadas en el ejemplo 3.15 y adicionalmente se señalan los valores que toma la variable z a la entrada y la salida del recinto B.

Valor de z de z aa la salida de B y = x

z = 5 − x2 − y 2

B y = 2 − x

Valor de z de z aa la entrada de B

z = 1

Figura 3.23 Sólido B del ejemplo 3.15 Por lo tanto el volumen se obtiene como: V =

5− x 2 − y 2

∫∫ ∫ D

1

dzdA

Donde D es la proyección del sólido B sobre el plano xy. Dicha proyección se muestra en la figura 3.24.


108

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Valor de y de y a la salida de D de D y = 2 − x

La región D región D del ejemplo 3.15 es una región tipo 1

D

Valor de y de y a la entrada de D de D

y = x

Figura 3.24 Proyección del sólido B del ejemplo 3.15 en el plano xy Entonces la región D, está definida como: D=

{( x , y )

}

0 ≤ x ≤1 ∧

x ≤ y ≤ 2− x

Luego: V =

1

2− x

∫∫ ∫ 0

x

V =

2

5− x − y

1

2

dzdydx =

2−x

0

x

∫ ∫ ( 4 − x

2

− y 2 )dydx

8  16 8 3  2 x x x d x + − − = 4 4   ∫ 0  3 3 3  1

V =


1

∫∫∫ ∫∫∫

B

dV =

8 3

Determine el volumen del sólido B acotado por las superficies: y = 4 , y = x 2 , z = 0 y z = 4 − y . Solución:

El cálculo de volumen del sólido B, se realiza por medio de la integral triple

∫∫∫ ∫∫∫ dV . En la figura 3.25 se ilustra el sólido B de B

este ejemplo. Adicionalmente se muestran los valores de la variable z a la entrada y la salida del recinto B.


109

Geraldine Cisneros


Valor de z de z aa la salida de B z = 4 − y

B


z = 0

Figura 3.25 Sólido B del ejemplo 3.16 Por lo tanto el volumen se obtiene como: V =

4 − y

∫∫ ∫ D

0

dzdA

Donde D es la proyección del sólido B sobre el plano xy. Esta proyección se observa en la figura 3.26. Valor de y de y a la salida de D de D y = 4

La región D región D del ejemplo 3.16 es una región tipo 1

D

Valor de y de y a la entrada de D de D

y = x2

Figura 3.26 Proyección del sólido B del ejemplo 3.16 en el plano xy


110

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones La región D, del ejemplo 3.16 está definida como: D=

{( x , y )

− 2 ≤ x ≤ 2 ∧ x2 ≤ y ≤ 4}

Luego: V =

2

4

∫ ∫ ∫ − 2 x 2

4 − y 0

dzdydx =

2

4

−2

x2

∫ ∫

V =


 x 4  256 2 ( 4 − y ) dydx = ∫−2  8 − 4 x + dx = 2  15  2

∫∫∫ ∫∫∫

B

dV =

256 15

Plantear mediante integrales triples el volumen comprendido entre dos esferas concéntricas de radios 1 y 4. Solución:

Sea B el sólido mencionado en el ejemplo 3.17. En la figura 3.27 se ilustran las dos esferas concéntricas de radios 1 y 4.

x2 + y 2 + z 2 = 16

La región tridimensional comprendida entre las dos esferas concéntricas es simétrica respecto al origen, razón por la cual, dicha región se divide en 8 partes correspondientes a cada cuadrante.

B

x 2 + y 2 + z 2 = 1

Figura 3.27 Sólido B del ejemplo 3.17


111

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones A continuación se muestra la porción del sólido B que se encuentra en el primer octante, el cual se denomina como B1. También se muestran los valores de la variable z a la entrada y la salida del recinto B1.

Valor de z de z aa la salida de B1

= 16 − x2 − y 2

Valor de z de z aa la salida de B1 z = 16 − x2 − y 2

B1

Valor de z de z aa la entrada de B1

Valor de z de z aa la entrada de B1

z = 0

= 1 − x2 − y 2

Figura 3.28 Sólido B1 del ejemplo 3.17 Entonces: V =

∫∫∫

B

dV = 8

∫∫∫ dV

B1

Como el valor de la variable z cambia a la entrada del sólido B1, entonces se debe emplear la propiedad aditiva respecto a la D1

D2

Figura 3.29 Proyección del sólido B1 sobre el plano xy

región de integración, por lo cual:

V =8

∫∫∫

 ∫∫  D

dV = 8  B1

1

∫

16 − x 2 − y 2 0

dzdA +

16 − x 2 − y 2

∫∫ ∫ D2

2

1− x − y

2

 

dzdA

Donde D1 y D2 son las regiones bidimensionales que se obtienen al proyectar el sólido B1 sobre el plano xy. En la figura 3.29 se aprecia dicha proyección.


112

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Valor de y de y a la salida de D de D1.1 y = 16 − x2 x = 1

La región bidimensional D1 se divide en dos regiones tipo 1; es decir:

Valor de y de y a la salida de D de D1.2

D1 = D1.1 ∪ D1.2

y = 16 − x2

D1.1

D1.2

Valor de y de y a la entrada de D de D1.1

Valor de y de y a la entrada de D de D1.2 y = 0

y = 1 − x2

Figura 3.30 Región D1 del ejemplo 3.17 Entonces, la región D1 viene dada por la unión de las regiones:

{( x , y ) 0 ≤ x ≤ 1 ∧ D = {( x , y ) 1 ≤ x ≤ 4

D1.1 =

1 .2

1 − x 2 ≤ y ≤ 16 − x 2

∧ 0 ≤ y ≤ 16 − x2

Valor de y de y a la salida de D de D2 y = 1 − x2

La región bidimensional D2 es una región tipo 1.

D2


Figura 3.31

y = 0

Región D2 del ejemplo 3.17


}

}

113

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Con base a la figura 3.31, se tiene que:

Resolver estas integrales es un proceso bastante laborioso; sin embargo con un software matemático se puede obtener que el volumen planteado en el ejemplo 3.17 es:

D2 =

{( x, y )

0 ≤ x ≤1 ∧

0 ≤ y ≤ 1− x2

}

Por lo tanto, las integrales triples que permiten calcular el volumen comprendido entre dos esferas concéntricas de radios 1 y 4 son:

V = 8 ( 32.9 32.986 8672 7228 287 7)

V =8

1

16 − x 2

0

1− x

∫∫ 1

+ 8 ∫0 ∫0

2

1− x 2

∫

16 − x 2 − y 2 0

∫

16 − x 2 − y 2 1− x 2 − y 2

dzdydx + 8

16 − x 2

4

∫∫ 1

0

16 − x 2 − y 2

∫ 0

dzdydx +

dzdydx

3.2.2.MASA 3.2.2. MASA DE UN SÓLIDO EN EL ESPACIO Considere una región tridimesional B , no homogénea, esto es que su densidad

ρ

varía en cada punto

( x , y , z ) ∈ B , donde la función

densidad está expresada en unidades de masa por unidad de volumen, entonces la masa se obtiene como la integral triple de la función densidad sobre la región B, tal como se define a continuación:

MASA DE UN SÓLIDO EN EL ESPACIO Considere un cuerpo tridimensional B de densidad variable ρ

( x,y,z ) , entonces su masa, denotada m=


m , se obtiene como:

∫∫∫ ∫∫∫ ρ ( x, y, z ) dV B

(III.31)

114


Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Calcular la masa del sólido comprendido entre los planos: z = 0 y z = 1 − y

y dentro de la superficie definida por la ecuación

x 2 + 4 y 2 = 4 , cuya densidad viene dada por ρ ( x , y , z ) = 2 z Solución:

El sólido B del ejemplo 3.18 se muestra en la figura 3.32, también se muestran los valores que toma la variable z a la entrada y salida de la región B. Valor de z de z aa la salida de B de B z = 1 − y

B


z = 0

Figura 3.32 Sólido B del ejemplo 3.17 Para calcular la masa del sólido mostrado en la figura anterior, se emplea la ecuación III.31, donde al sustituir el primer orden de integración y la función densidad, se obtiene: m=

1− y

∫∫ ∫ D

0

2 zdzdA

donde D es la proyección del sólido B en el plano xy. Esta proyección, junto con el segundo orden de integración se ilustra en la figura 3.33


115

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Valor de y de y a la salida de D de D

La gráfica de la ecuación:

4 − x 2

y =

x 2 + 4 y 2 = 4

2

Es una elipse horizontal.

D La región bidimensional D del ejemplo 3.18 es una región tipo 1 y también una región tipo 2.

Valor de y de y a la entrada de D

y = −

4 − x 2 2

Figura 3.33 Región D del ejemplo 3.18 La región D está definida como:

 D = ( x , y ) 

−2≤ x≤ 2 ∧ −

4 − x 2

≤ y≤

2

4 − x2   2

 

Volviendo al cálculo de la masa: m=

∫ ∫

m=

4 − x 2

2

−2

2

∫

−2

2

−

4 − x

2

∫

1− y 0

2 zdzdydx =

2



1 

1 +

3  



4 − x 2  2

m=


4− x2

2

∫ ∫ −2

2

−

3

4−x

2

(1 − y )

2

dy dx

2

 4 − x2  − 1 −   2  

   

3

  dx = 5π 2  

5π

∫∫∫ 2 zdV = 2 B

Calcular la masa del sólido comprendido entre los paraboloides z = 4 x 2 + 4 y 2 y z = 8 − 4 x 2 − 4 y 2 , cuya densidad viene dada por ρ

( x, y, z ) = x + y + z + 1 .


116

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Solución:

En la figura 3.34, se muestra el sólido B del ejemplo 3.19 y también los valores que toma la variable z a la entrada y salida de la región B, los cuales permiten establecer los límites para la primera

integración parcial.

Valor de z de z aa la salida de B de B

z = 8 − 4 x2 − 4 y2

B


z = 4 x2 + 4 y2

Figura 3.34 Sólido B del ejemplo 3.19 Por lo tanto, la masa se obtiene como: m=

8− 4 x 2 − 4 y 2

∫∫ ∫ D

4 x2 +4 y 2

( x + y + z + 1) dzdA

siendo D la proyección del sólido B en el plano xy. Para determinar la ecuación de la curva que delimita a esta región D, es necesario resolver el siguiente sistema:

 z = 4 x2 + 4 y 2  2 2  z = 8 − 4x − 4 y Sumando ambas ecuaciones se tiene que z = 4


117

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Sustituyendo el valor de z en la primera ecuación del sistema, se

Recuerde que la gráfica de la ecuación:

obtiene la ecuación x 2 + y 2 = 1 .

Valor de y de y a la salida de D de D

x 2 + y 2 = 1

y = 1 − x 2

Es una circunferencia.

La región D del ejemplo 3.19 puede clasificarse como una región tipo 1 y también como una región tipo 2.

D

Valor de y de y a la entrada de D

y = − 1 − x2

Figura 3.35 Región D del ejemplo 3.19 La región D queda definida como: D=

{( x , y )

− 1 ≤ x ≤ 1 ∧ − 1 − x 2 ≤ y ≤ 1− x 2

}

Luego, la masa se obtiene mediante la integral triple m=

m=

m=

1

∫ ∫

1− x 2

−1 − 1− x

2

1− x 2

1

∫ ∫

8 − 4 x 2 − 4 y2

−1 − 1− x 2

( 40 − 8 x

3

∫

2

4 x +4 y

2

( x + y + z + 1) dzdydx

− 40 x 2 + 8x − 8xy 2 − 8x2 y + 8 y − 40 y2 − 8 y3 ) dydx

32 160 2 32 3  160 2 2 2 2  x x x x x x x − + − − − − − 1 1 1 1  dx = 20π ∫ −1  3 3 3 3  1

m=

∫∫∫ ∫∫∫ ( x + y + z + 1) dV = 20 π B


118

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones 3.2.3.MOMENTOS 3.2.3. MOMENTOS ESTÁTICOS El momento estático de una región B tridimensional respecto a los planos coordenados xy, yz y xz , se definen de la siguiente manera:

MOMENTOS ESTÁTICOS DE UN SÓLIDO EN EL ESPACIO Sea B un recinto del espacio, tal que su densidad viene dada por la función

ρ : 

3

→  , la cual es continua ∀ ( x , y , z ) ∈ B ,

entonces los momentos estáticos alrededor de los planos xy, yz y xz, denotados

xy

,

yz

y

xz

, respectivamente, se

obtienen a partir de las siguientes expresiones: xy

yz

xz


= ∫∫∫ ∫∫∫ z ρ ( x, y, z ) dV

(III.32)

= ∫∫∫ ∫∫∫ B x ρ ( x, y, z ) dV

(III.33)

= ∫∫∫ ∫∫∫ B y ρ ( x, y , z ) dV

(III.34)

B

Calcular los momentos estáticos alrededor de los planos coordenados para el sólido descrito en el ejemplo 3.18. Solución:

El sólido B del ejemplo 3.18 se definió como: 2 2  4 − x 4− x B = ( x , y , z ) − 2 ≤ x ≤ 2 ∧ − ≤ y≤ 2 2 

 ∧ 0 ≤ z ≤ 1− y  

Calculando los momentos estáticos por medio de las ecuaciones: III.32, III.33 y III.34, se tiene:


119

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones 4 − x 2

2

xy

= ∫ −2 ∫

2

−

4− x 2

∫

1− y 0

z ( 2 z ) dzdydx =

2 (1 − y )

∫ ∫ −2

2

M xy =

4 − x2

2

2

−

4− x 2

3

dydx

3

2

3 1 7π 2 2 2 2 − + − = x x d x 4 4 ( ) ∫ −2  3  6 3 2

Respecto al plano yz : 4 − x

2

yz

= ∫ −2 ∫

2

2

−

4− x

2

∫

1− y 0

x ( 2 z ) dzdydx =

4− x

2

2

∫ ∫ −2

2

2

2

−

4− x

2

x (1 − y ) dydx

2

3 1   2 2 M yz = ∫  x 4 − x + x ( 4 − x ) 2  dx = 0 −2 12   2

Y finalmente, respecto al plano xz :

xz

=∫

2

−2

∫

4 − x 2 2

−

4− x

2

∫

1− y 0

y ( 2 z ) dzdydx =

2

M xz =

∫ ∫ −2

2

−

4− x

2

2

y (1 − y ) dydx

2

3  1 2 x − − 4 ) 2  dx = −π ∫ −2  6 (  2

M yz M xz

7π z ( 2 z ) dV = B 3

∫∫∫ ∫∫∫ = ∫∫∫ ∫∫∫ x ( 2 z ) dV = 0 = ∫∫∫ ∫∫∫ y ( 2 z ) dV = − π

M xy =


4− x 2

2

B

B

Calcular los momentos estáticos alrededor de los planos coordenados para el sólido descrito en el ejemplo 3.19. Solución:

El sólido B del ejemplo 3.19 está definido como: B=

{( x , y , z ) − 1 ≤ x ≤ 1 ∧ −

1 − x 2 ≤ y ≤ 1− x 2 ∧ 4 x 2 + 4 y 2 ≤ z ≤ 8 − 4x 2 − 4 y 2


}

120

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Calculando el momento estático respecto al plano xy:

=∫

xy

xy

=−

M xy =

32

1

3 ∫ ∫

1− x 2

−1 − 1− x

1

∫

−1

2

1

1− x 2

∫

−1 − 1− x 2

(4x

8 − 4 x 2 − 4 y2

∫

4 x2 + 4 y2

z ( x + y + z + 1) dzdydx

− 8 x 2 + 8 x2 y 2 + 3x − 8 y2 + 3 y + 4 y4 + 19) ( x2 + y2 − 1) dx

4

34688 2 128 3 4096 4 4096 6  272π  8832 128 + x− x − x + x − x = 3 105 3 35 105 3  35 

1− x2 

Respecto al plano yz :

yz

=∫

1

1− x 2

∫

−1 − 1− x 2

yz = −8 ∫

M yz =

1

∫

−1

1

∫

8 − 4 x 2 − 4 y2

∫

4 x2 +4 y 2

1− x 2

−1 − 1− x 2

x ( x + y + z + 1) dzdydx

x ( x + 5 + y ) ( x 2 + y 2 − 1) dx

32 2 160 3 32 4  2π  160 x+ x − x − x = 3 3 3  3  3

1 − x2 

Respecto al plano xz : xz = ∫

xz

1

1− x 2

∫

−1 − 1− x 2

= −8 ∫

M xz =

1

∫

8 − 4 x 2 − 4 y2

∫

2

4 x +4 y

1− x 2

−1 − 1− x

2

2

y ( x + 5 + y ) ( x 2 + y 2 − 1) dx

1

32 1 − x 2

−1

15

∫

y ( x + y + z + 1) dzdydx

(1 − 2 x

2

+ x4 ) =

2π 3

Entonces, para el sólido del ejemplo 3.19 se tiene: 272π z ( x + y + z + 1) dV = B 3 2π x ( x + y + z + 1) dV = B 3 2π y ( x + y + z + 1) dV = B 3

M xy =

∫∫∫ ∫∫∫

M yz =

∫∫∫ ∫∫∫

M xz =

∫∫∫ ∫∫∫


121

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones 3.2.4. CENTRO DE MASA A continuación se define el centro de masa para un sólido tridimensional como un punto P ( x , y, y , z ) , donde las coordenadas de este punto se obtienen de las ecuaciones:

x =

yz

(III.35)

m

y =

xz

(III.36)

m

z =

xy

(III.37)

m

Entonces:

CENTRO DE MASA DE UN SÓLIDO DEL ESPACIO Sea B un recinto del espacio, tal que su densidad viene dada por la función

ρ : 

3


entonces el centro de masa es un punto P ( x , y ,z , z ) , donde sus coordenadas son:

= = z=

1 m 1

m 1

m

∫∫∫ ∫∫∫ x ρ ( x, y , z ) dV

(III.38)

∫∫∫ ∫∫∫ y ρ ( x, y, z ) dV

(III.39)

B

B

∫∫∫ ∫∫∫ z ρ ( x, y, z ) dV B

(III.40)

Donde m es la masa del sólido B , que se obtiene como m=

∫∫∫ ∫∫∫ ρ ( x, y, z ) dV . B


122


Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Determine las coordenadas del centro de masa del sólido B descrito en el ejemplo 3.18. Solución:

Para el ejemplo 3.18 se obtuvo: m=

M xz

∫∫∫

7π

B

empleando las ecuaciones III.38, III.39 y III.40;

sin embargo,

como en el ejemplo 3.20 se calcularon los momentos estáticos

∫∫∫ ∫∫∫ z ( 2z ) dV = 3 = ∫∫∫ ∫∫∫ x ( 2 z ) dV = 0 = ∫∫∫ ∫∫∫ y ( 2 z ) dV = − π

M xy = M yz

5π 2 zdV = B 2

Las coordenadas del centro de masa del sólido B se obtienen

alrededor de los planos coordenados, a continuación se utilizan las ecuaciones III.35, III.36 y III.37:

B

x =

B

y =

M yz m

M xz m

=

=

0 5π

=0 2

−π 5π

=−

2

2 5

7π M xy 14 = 3 = z = 5π m 15 2

Entonces:

 

P ( x, x , y , z ) =  0 ,−

2 14  ,  5 15 

2 14    0 , − 5 ,15   

B

Figura 3.36 Centro de gravedad del sólido B del ejemplo 3.18


123


Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Determine las coordenadas del centro de gravedad del sólido descrito en el ejemplo 3.19. Solución:

Para el ejemplo 3.19 se obtuvo: m=

π ∫∫∫ ( x + y + z + 1) dV = 20 B

M xy =

272π

M yz =

2π

M xz =

Las coordenadas del centro de masa del sólido B, igual que en el ejemplo anterior, se obtienen a partir de las ecuaciones III.35, III.36 y III.37:

3

M yz

x =

3 2π

m

=

2π

3= 1 20π 30

3

M xz

y =

z =

m

M xy m

=

=

2π

3= 1 20π 30

272π

3 = 68 20π 15

Entonces:

 1 1 68  , ,   30 30 15 

P ( x , y ,z ) = 

En la siguiente figura, se aprecia el centro de masa del sólido B.

 1 1 68   30 , 30 , 15   

B

Figura 3.37 Centro de gravedad del sólido B del ejemplo 3.19


124

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones 3.2.5. MOMENTOS DE INERCIA INERCIA Los momentos de inercia del sólido B respecto a los planos coordenados, se obtienen como sigue:

MOMENTOS DE INERCIA DE FIGURAS PLANAS Sea B un recinto del espacio, tal que su densidad viene dada por la función

ρ : 

3


entonces los momentos de inercia alrededor de los ejes coordenados, denotados I x , I y e I z se obtienen a partir de: I x =

∫∫∫ ( y

2

+ z 2 ) ρ ( x, y, z ) dV

(III.41)

I y =

∫∫∫ ∫∫∫ ( x

2

+ z 2 ) ρ ( x, y, z ) dV

(III.42)

I z =

∫∫∫ ∫∫∫ ( x

2

+ y 2 ) ρ ( x, y, z ) dV

(III.43)

B

B

B

El momento polar de inercia, I 0 , es: I0 =


∫∫∫ ∫∫∫ ( x B

2

+ y 2 + z 2 ) ρ ( x, y, z ) dV

(III.44)

Calcular los momentos de inercia alrededor de los ejes coordenados y respecto al origen para el sólido descrito en el ejemplo 3.18. Solución:

El sólido B mencionado está definido como:

 4 − x 2 4 − x2 B = ( x , y , z ) − 2 ≤ x ≤ 2 ∧ − ≤ y≤ 2 2 

 ∧ 0 ≤ z ≤ 1− y  

Calculando los momentos estáticos por medio de las ecuaciones: III.41, III.42 y III.43, se tiene:


125

Geraldine Cisneros


∫ ∫

I x =

I x =

−2

4− x

−

∫ ( y

2

0

+ z 2 ) ( 2 z ) dzdydx

4 2 1 2 − + − 1 y y 1 y ( ) ( )  2  dydx

2 4 − x

−

2

2

4 − x 2

∫ ∫

1− y

2

−2

2

I x =

4 − x 2

2

2

2

5 3 3 1 27π 1 2 2 2 2 2 − + − + − = x x x d x 4 4 4 ( ) ( ) ∫ −2  2  160 3 8 2

Respecto al eje y:

∫ ∫

I y =

−2

∫ ∫ −2

−

4 − x

1− y

4 − x 2 2

2

∫ ( x 0

2

+ z 2 ) ( 2 z ) dzdydx

2

2

−

2

2

4 − x 2

2

I y =

4 − x

2

4 2 1 2  2 (1 − y ) + x (1 − y )  dydx

 4 − x 2 5 2 3 + x 2  3 ( ) ( ) 1 119π   2 2 2 2 I y = ∫  + 4 − x ) + 4 − x  + x   dx = ( −2  160 12 24 2    2

Respecto al eje z : I z =

4 − x 2

2

∫ ∫ −2

2

−

4 − x

2

1− y

∫ (x

2

0

4− x2

2

+ y ) ( 2 z ) dzdydx = ∫ −2 ∫ 2

2

(y −

2

−

4 x

2

2

2

+ x2 ) (1 − y ) dydx

2

5 3 1 37π 1  2 2 2 2 I z = ∫  ( 4 − x ) + (1 + x )( 4 − x ) 2 + x 2 4 − x 2  dx = ) ( − 2 80 12 12   2

Finalmente, el momento polar de inercia: I0 =

I0 =

∫ ∫ −2

2

∫ ∫ −2

4 − x 2

2

−

2 4 − x 2

−

2 2

∫ ( x 0

2

+ y 2 + z 2 ) ( 2 z ) dzdydx

2

4 − x 2 4 − x

1− y

2

4 2 1 2 2 y y x y − + + − 1 1 ( ) ( ) ( )  2  dydx


126

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones  3 4 − x 2 5 2 4 + x 2  2 3 ( ) ( ) 4 x 137π − + + x 2 4 − x 2  dx = I 0 = ∫  4 − x2 ) 2 + ( −2   160 12 2 24   2


I x =

∫∫∫ ∫∫∫ ( y

I y =

∫∫∫ ∫∫∫

I z =

∫∫∫ ∫∫∫

I0 =

∫∫∫ ∫∫∫

2

27π

+ z 2 ) ( 2 z ) dV =

8 119π x 2 + z 2 ) ( 2 z ) dV = ( B 24 37π x 2 + y 2 + z 2 ) ( 2 z ) dV = ( B 12 137π x 2 + y 2 + z 2 ) ( 2 z ) dV = ( B 24 B

Calcular los momentos de inercia alrededor de los ejes coordenados para el sólido descrito en el ejemplo 3.19. Solución:

Para resolver las integrales que permiten calcular los momentos de inercia pedidos en el ejemplo 3.25 se ilustra sólo el segundo momento respecto al eje x. x. Los demás resultados fueron calculados con un software matemático.

El sólido B del ejemplo 3.19 está definido como: B=

{( x , y , z ) − 1 ≤ x ≤ 1 ∧ −

1 − x 2 ≤ y ≤ 1 − x 2 ∧ 4 x 2 + 4 y 2 ≤ z ≤ 8 − 4 x2 − 4 y 2

Calculando los momentos de inercia: I x =

I x = −

8

1

∫ ∫

1− x 2

−1 − 1− x 2

1

3 ∫ ∫

1− x 2

−1 − 1− x

2

8− 4 x 2 −4 y 2

∫

(x

4 x2 + 4 y 2

2

(y

2

+ z 2 ) ( x + y + z + 1) dzdydx

+ y 2 − 1) 16 ( x5 + y5 ) + 16 x4 (13 + y ) +

32 x 2 (13 y2 + y3 − y − 13) + 16 16 x ( 3 + y4 ) + + 32 x3 ( y 2 − 1) + 32

+ y 2 ( −29 x − 401) + y ( 64 + 208 y3 − 29 y 2 ) + 448] dydx


}

127

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones I x =

1

1 − x 2

−1

105

∫

(143968 + 22240x − 251584x 2 − 30656x3 +

+ 160864x 4 + 12512x5 − 53248x 6 − 4096x 7 ) dx I x = 462π

Los momentos de inercia respecto a los ejes coordenados y al origen para el sólido del ejemplo 3.19, se muestran a continuación:

∫∫∫ ∫∫∫ ( y = ∫∫∫ ∫∫∫ ( x

I x = I y

2

+ z 2 ) ( x + y + z + 1) dV = 4 62π

2

+ z 2 ) ( x + y + z + 1) dV = 4 62π

2

+ y 2 + z 2 ) ( x + y + z + 1) dV =

B

B

I z =

∫∫∫ ∫∫∫ ( x

I0 =

∫∫∫ ∫∫∫

20π

3 1396π x 2 + y 2 + z 2 ) ( x + y + z + 1) dV = ( B 3 B


Aplicaciones mecanica

Recommend Documents