UNIVERSIDAD UNIVERSI DAD NACIONAL DE SAN AGUSTÍN FACULTAD DE INGENIERÍA DE PRODUCCIÓN Y SERVICIOS
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
APLICACIÓN DE DE CADENAS DE DE MARKOV
CURSO: INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
DOCENTE: ING. EFRAÍN MURILLO Q. ALUM LUMNOS:
VALVERDE BEGA GAZ ZO ALDO LDO R. SUNI PALACO LEONEL CHAMBI ROSELLO BETZABE ESCALANTE GIANCARLO
Arequ!" # Per$ %&'&
CADENAS DE MARKOV 1
APLICACIONES PROPUEST PROPUESTAS AS CADENAS DE MARKOV APLICACIÓN 1 Una máquina puede estar en ds estads! " #$un%ina& ' #a(eriada&) %n t"" * +,-) t'' * +,.) t'" * +,/) t"' * +,0, Cuand $un%ina da una utiidad de .-+ pr perid 2) %uand está a(eriada) s 3asts sn de 1/+ pr perid) %nsiderand a situa%i4n de r53imen esta6e! a7 Ca%ue Ca%ue a 3anan%ia 3anan%ia media media pr pr perid perid,, 67 Veri8que eri8que si un pan de mantenimie mantenimient nt pre(ent pre(enti( i( que %uesta %uesta 9:+ pr perid) aterand! t"" a +,; 2 t'' a +,< (ae a pena=, " +, +, /
T * " ' " * 9.-+ 9@ ' * 1/+ >1
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' +,0 +,. >n * >n1?T * ?T *
>1 >0
+,+,.
+,0 +,/
>1* +,->1 B +,/>0 >0* +,0>1 B +,.>0 >1 B>0 * 1 RESOLVIENDO LA ECUACION >1 * +,: >0 * +,0: * +,: +,0:
a) Ganancia promedio: 480*0.75 +0.25*- 160 = $ 320. b). evaluamos el plan de manen!m!eno. >1
>0
*
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+,; +, +,
+,1 +,<
CADENAS DE MARKOV 0
>1 * +,;>1 B +,>0 >0 * +,1>1 B +,<>0 >1 B>0 * 1 RESOLVIENDO LA ECUACION >1 * +,-: >0 * +,10: FG * +,-: +,10:
"anan#!a espe$ada es: 480*0.875 +0.125*- 160 = $ 400. .++ H :+ pan de mantenimient7 % &'(. Conviene el plan de mantenimiento, si vale la pena.
APLICACIÓN *.+ Ca%ue a situa%i4n de r53imen π para e mde %u2as pr6a6iidades de transi%i4n sn as si3uientes! t11* +,.
t00*+,<
t<1*+,:
t10* +,<
t0<*+,
t<<*+,:
t1<* +,<
Repita en e %as de t0<*+). en (eJ de +),
T*
t1
t0
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t1
+).
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! Ve%tr de distri6u%i4n de estad esta6e7,
π
Pr tant! π * π,T
CADENAS DE MARKOV <
Ca%uams s eements de π* πA
π
πC
) tenems!
0.4 0,3 0,3 0 0,3 0,7 0,5 0 0,5 πA
π
πC
* πA
π
πC
Además de! π1
B π0 B π< *1
E sistema de e%ua%ines sera! π1
B π0 B π< *1
+).π1 B +):π< * π1 +)<π1 B +)<π0 * π0 +)<π1 B +)π0 B +):π< * π<
Solución es:
= [ 0,3 0,!" 0,4"#
Con *'%,- en ve de ,/.
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0.4 0,3 0,3 0 0,7 0,4 0,5 0 0,5 πA
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E sistema de e%ua%ines sera! π1
B π0 B π< *1
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CADENAS DE MARKOV .
+)<π1 B +).π0 B +):π< * π<
Solución:
= [0,34 0,2" 0,4!#
APLICACIÓN '.+ Un asatante ntri puede estar en un de tres estads! i7 Suet) pra%ti%and asats, ii7 Pres en a dee3a%i4n de pi%a) esperand trans$eren%ia, iii7 Pres en a %ár%e, Cnsiderand as si3uientes pr6a6iidades de transi%i4n! taa * +,/ Permane%er suet, ta6 * +,. Ser pres 2 e(ad para a dee3a%i4n, t6a * +,0 "u3ar de a dee3a%i4n, t66 * +,0 Cntinuar en a dee3a%i4n, t6% * +,/ Ser e(ad a prisi4n, t%% * +,- Cntinuar en a prisi4n, t%a * +,0 "u3ar de a prisi4n, a) a2a un d!a2$ama de la s!ua#!3n.
b)
su
Cal#ule la p$obab!l!dad de 4ue un asalane, !n!#!almene suelo, s!2a suelo 5p$a#!#ando asalos) despu6s de dos pe$!odos.
CADENAS DE MARKOV :
a pro%a%ilidad de &ue el asaltante si'a suelto lue'o de dos periodos es de 3(.".
APLICACIÓN Se usa una máquina para prdu%ir erramientas de pre%isi4n, Si a máquina está 2 en 6uenas %ndi%ines) entn%es estará 6ien maana %n ;+ de pr6a6iidad, Si a máquina está en ma estad 2) entn%es estará en ma estad maana %n -+ de pr6a6iidad, SI a máquina está en 6uen estad) prdu%e 1++ erramientas pr da) 2 si está en ma estad) /+ erramientas pr da, En prmedi) Q%uántas erramientas pr da se prdu%en=, BC=Buenas condiciones MC=Malas condiciones
[
BC 0.9 T = MC 0.2
0.1 0.8
]
X n = X n− 1 T Cuandon → ∞
X n = X n− 1= π
π =Vector de estado estable
π = πT
[ X X ] [ X X ] 1
2
=
1
2
[
0.9
0.1
0.2
0.8
]
X 1= 0.9 X 1+ 0.2 X 2
X 2= 0.1 X 1+ 0.8 X 1
X 1 + X 2 =1
π
=[ 0.6667 0.3333 ]
CADENAS DE MARKOV /
HERRAME!"A# $%R &'A= 100 (0.6667) + (60) (0.) = "."""( = ( *tas. + da
APLICACIÓN ( La ep2r Ee%trni%s C, "a6ri%a t%a%intas prtáties, Antes de mandar a (entas un %asete prta %intas) se anaiJa e te, Las %ate3ras de inspe%%i4n sn! n $un%ina N"7) re3uar) 6uen 2 e%eente, Ls prta %intas N" se dese%an) mientras que s tes e%eentes se en(an inmediatamente a (entas, Ls tes re3uares 2 6uens se re3resan para austes 2 se (ue(en a pr6ar, Las prpr%ines de tes re3uares 2 6uens que %am6ian de %ate3ra se dan en a ta6a si3uiente!
a7 Des%r6ase este pr%es de prue6a %m una %adena de Mar( a6sr6ente 2 %a%ese a matriJ de transi%i4n, 67 Cuántas (e%es) en prmedi) se ((erá a inspe%%inar un te que 2a se a6a pr6ad 2 a6a resutad re3uar en a prue6a anterir= %7 Cuántas (e%es) en prmedi) se inspe%%inará de nue( un te que 2a se a6a pr6ad 2 di pr resutad ser 6uen= d7 Cuá es a pr6a6iidad de que se dese%e un te re3uar= e7 Cuá es a pr6a6iidad de que un te re3uar e3ue a (entas= $7 De <+ +++ tes pr6ads %m 6uens ri3inamente, Cuánts e3arán a (entas= a7
R T *
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N" E
R N" E +,0 +,< : : +,+: +,<: +,1 : +,0 + +,/: + +
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R
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R 1,./ 1
+, : @ +,1 :
@ +,< : +,-
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CADENAS DE MARKOV
I@'7@17?R *
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67 %7 d7 e7 $7
+,0 .
+,
N" E +,+ +,;0 < +,+1 +,;. /
Nmer de (e%es a inspe%%i4n 1,./1 B +,/<; * 0,1 (e%es, Nmer de (e%es a inspe%%i4n +,0. B +,
APLICACIÓN 0 "reeJ%) In%,) (ende re$ri3eradres, La $a6ri%a tr3a una 3aranta en tds s re$ri3eradres que espe%i8%a %am6i 3ratis de %uaquier unidad que se des%mpn3a antes de tres as, Se ns da a si3uiente in$rma%i4n! 17 e < de tds s re$ri3eradres nue(s $aa durante su primer a de $un%inamient 07 e : de tds s re$ri3eradres %n 1 a de $un%inamient $aa durante e se3und a de tra6a) 2 <7 e de tds s re$ri3eradres %n ds as de $un%inamient $aa durante su ter%er a, La 3aranta n (ae para e re$ri3eradr de repuest, a7 Use a tera de %adenas de Mar( para prede%ir a $ra%%i4n de tds s re$ri3eradres que de6erá %am6iar "reeJ%, "
N"
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De6erá %am6iar e +,+
CADENAS DE MARKOV -
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+,1: ? 1++++ ? 9:++*9:++++ +,+- ? 1++++ ? 9:++*9.+++++
-l aorro es de $3/0000 en costos de remplao
APLICACIÓN / E Pr3rama Pr$esina de In3eniera Industria) despu5s de a6er re%3id dats durante (aris as) puede prede%ir as prpr%ines de s estudiantes que pasarán de una %ate3ra a tra en un a dad, Ests dats se dan en a ta6a si3uiente, 1ER AWO 0DO AWO
1 0 < . : R T +,0 +,/ + + + +,0 + + +,1: +, + + +,1: + + + +,1: +,/: + +,0 + + + + +,1 +,- +,1 + + + + + +,+: +,+: +,; + +
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+ +
1 +
+ 1
Se 6ser(a e estad de %ada estudiante a prin%ipi de %ada a, Pr eemp) si un estudiante es de
1 * ' -
1 * ' +,0 +,/ + + + +,1: +, + + + +,1: +,/: + + + +,1
( R + +,0 + +,1: + +,0 +,- +,1
7 + + + +
CADENAS DE MARKOV ;
( R 7
+ + +
+ + +
+ + +
+ +,+: +,+: + + 1 + + +
+,; + 1
a7 Si un estudiante entra a Pr3rama a primer a) QCuánts as se espera que pasen siend estudiante=
51+8)91% 1
*
'
-
(
1,0 +,- +, +,: +,. 1 : < 0 . +,+ 1,1 +,; +, +,: * + + ; +,+ +,+ 1,1 +,- +, ' + + : 0 +,+ +,+ +,+ 1,1 +,; + + 1 . - + +,+ +,+ +,+ +,+ 1,+ + + + : ( +
1-S-S5: !.2/ 6 0. 6 0.(3 6 0./2 6 0.44 = 3.3 a7os 67 QCuá es a pr6a6iidad de que e3rese un estudiante de nue( in3res= 551+8)9+1)R% R 7 +, 1 /+
. -
+, +,: * . < +, +,/ '
1-S-S5: a pro%a%ilidada es de 40 para e'resar CADENAS DE MARKOV 1+
%7 Si a2 0:+ estudiantes de primer a) 1:+ estudiantes de se3und a) 10+ de ter%er a) -+ de %uart a 2 :+ de quint a, QCuánts de 5sts estudiantes %uminarán a %arrera=,
N :
;
1
0: 1+ + +,. * +
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1: ;, + +,:< * :
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10 /, + +,/. * -
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7O7 AL
'/ 1
1-S-S5: 3(! estudiantes culminaran la carrera.
APLICACIÓN <
APLICACIÓN = En un pr%es prdu%ti( as pieJas una (eJ pr%esadas sn inspe%%inadas para determinar si sn re%aJadas) repr%esadas a%eptadas para su psterir (enta, Estadsti%amente e -+ de as pieJas sn a%eptadas 2 e : sn re%aJadas, a7 Si e %st de pr%es es de 91: pr pieJa 2 e de repr%es 9:, QCuá sera e %st de un tem que termine en (entas=, 67 En un te de 1++++ pieJas Q%uántas serán re%aJadas=
CADENAS DE MARKOV 11
T *
insp%% ini%i , a%ept, re%, ini%i + 1 + + insp%%, + +,1: +,- +,+: a%ept, + + 1 + re%, + + + 1
insp%% ini%i , ' * ini%i + 1 insp%%, + +,1:
I *
1
+
+
1
I@'7X@17?R *
a%ept, Re%, R * a%ept, + + re%, +,+,+:
I@'7@1 *
insp%% ini%i , 1,1/ ini%i 1 : insp%% 1,1/ , + :
a%ept, re%, +,+:ini%i +,;.1 insp%% +,+:, +,;.1 -
a) Cst prmedi * 1:?1?1 B :?+,1:?1,17Y+,;.
Costo romedio = $ !".8
b) En un te de 1++++ %uantas serán re%aJadas=
!000090.0/) = / p. serian recaadas.
APLICACIÓN 1 Una $á6ri%a de a64n se espe%iaiJa en a64n de t%adr de u, Las (entas de este a64n Zu%tan entre ds ni(ees H6a 2 at@ 2 dependen de ds
CADENAS DE MARKOV 10
$a%tres! 17 si a%en n pu6i%idad 2 07 si s %mpetidres anun%ian 2 %mer%iaiJan nue(s prdu%ts, E se3und $a%tr está $uera de %ntr de a %mpaa) per quieren determinar %uá de6e ser su prpia pti%a pu6i%itaria, Pr eemp) e 3erente de %mer%iaiJa%i4n prpne a%er pu6i%idad %uand as (entas están 6aas 2 n a%era %uand están atas, La pu6i%idad que se a%e en un trimestre dad de a tiene su impa%t e si3uiente trimestre, De %uaquier manera) a prin%ipi de %ada trimestre se dispne de a in$rma%i4n ne%esaria para prnsti%ar %n ea%titud si as (entas serán atas 6aas ese trimestre 2 de%idir si a%er pu6i%idad n, E %st de pu6i%idad es de 91 mi4n de d4ares %ada trimestre de a que se a3a, Cuand se a%e pu6i%idad en un trimestre) a pr6a6iidad de tener (entas atas e si3uiente trimestre es [ \ se3n si en e trimestre a%tua se tiene (entas 6aas atas, Estas pr6a6iidades 6aan a ] 2 [ %uand n se a%e pu6i%idad en e trimestre a%tua, Las 3anan%ias trimestraes de a %mpaa sin in%uir s %sts de pu6i%idad7 sn de 9. mines %uand as (entas sn atas per s4 90 mines %uand sn 6aas, De aqu en adeante utii%e %i$ras en mines de d4ares7, a Cnstru2a a matriJ de transi%i4n de un pas7 para %ada una de as si3uientes estrate3ias de pu6i%idad! i7 nun%a a%er pu6i%idad) ii7 siempre a%er pu6i%idad) iii7 se3uir a prpuesta de 3erente de %mer%iaiJa%i4n, I,
Nun%a a%er pu6i%idad
Vena Ala >a?a
Ala [ ] 0.5 0.25
II,
>a?a [ \ 0.75 0.5
T* Siempre a%er pu6i%idad
Vena Ala >a?a
Ala \ [ 0.75 0.5
>a?a ] [ 0.25 0.5
T* III,
Se3uir a prpuesta de 3erente
Vena Ala >a?a
Ala [ [
>a?a [ [ CADENAS DE MARKOV 1<
0.5 0.5
0.5
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T*
6 Determine as pr6a6iidades de estad esta6e para s tres %ass de in%is a7, I7
Nun%a a%er pu6i%idad
* π,T
π
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0.5 0.25
πA
π
* πA
π
0.75 0.5
? π
* +,<<
+,/7
#i no se ace ,ulicidad e/ise un de ,oailidad 3ue aa una ena ala un 67 3ue aa una ena aa. II7
Siempre a%er pu6i%idad
* π,T
π
B π * 1
πA
0.75 0.5
πA
π
* πA
π
0.25 0.5
? T* π
* +,/
+,<<7
Haciendo ,ulicidad e/ise un 67 de ,oailidad 3ue aa una ena ala un 3ue aa una ena aa. III7
Se3uir a prpuesta de 3erente
* π,T
π
B π * 1
πA
0.5 0.5
πA
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* πA
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0.5
0.5
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+,:7
CADENAS DE MARKOV 1.
#i se siue la ,o,uesa del eene de ace ,ulicidad en enas aas no ace en enas alas al siuiene seese se e9a un 50 de enas alas aas. C7
En%uentre a 3anan%ia prmedi a a ar3a in%u2end una dedu%%i4n pr s %sts de pu6i%idad7 pr trimestre para %ada una de as estrate3ias de in%is a7, QCuá de estas estrate3ias es a mer se3n esta medida de desempe=, I,
Nun%a a%er pu6i%idad π
* +,<<
+,/7
Cm eiste ma2r pr6a6iidad de tener un (enta 6aa) entn%es ! 3anan%ia %st pu6i%idad Ganancia romedio II,
0 +++ +++ + +++ +++ 2 000 000
Siempre a%er pu6i%idad π
* +,/
3anan%ia %st pu6i%idad Ganancia romedio
+,<<7 . +++ +++ 1 +++ +++ 000 000
Cm eiste ma2r pr6a6iidad de tener una (enta ata III,
Se3uir a prpuesta de 3erente
* π,T
π
B π * 1
πA
0.5 0.5
πA
π
* πA
π
0.5
0.5
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* +,:
+,:7
La 3anan%ia (aria entre 0 2 < mines 2 depende de as (entas) es asi que tendrams un prmedi de 0,: mines de d4ares,
CADENAS DE MARKOV 1:
APLICACIÓN 11.+ E estad de as %uentas pr %6rar en una empresa se mdea %n $re%uen%ia %m una %adena a6sr6ente de Mar(, Supn3a que una empresa supne que una %uenta es in%6ra6e si an pasad más de tres meses de su $e%a de (en%imient, Entn%es) a prin%ipi de %ada mes) se puede %asi8%ar %ada %uenta en un de s si3uientes estads espe%8%s! Estad 1 Cuenta nue(a, Estad 0 Ls pa3s de a %uenta están retrasads un mes, Estad < Ls pa3s de a %uenta están retrasads ds meses, Estad . Ls pa3s de a %uenta están retrasads tres meses, Estad : Se a sadad una %uenta, Estad / Se a %an%ead a %uenta pr ser ma pa3adr, Supn3ams que s tims dats indi%an que a si3uiente %adena de Mar( des%ri6e %4m %am6ia e estad de una %uenta de un mes a si3uiente!
Pr eemp si a prin%ipi de un mes una %uenta e(a ds meses de (en%ida) a2 .+ de pr6a6iidades de que n se pa3ue a prin%ipi de mes si3uiente 2) pr tant) que ten3a tres meses de retras 2 una pr6a6iidad de /+ de que se pa3ue, Supn3a ademán que despu5s de tres meses) a %uenta se %6ra se %nsidera in%6ra6e, Una (eJ que una deuda se pa3a se %nsidera in%6ra6e) se %ierra 2 n se tiene más transi%ines, a7 QCuá es a pr6a6iidad que una %uenta nue(a sea %6rada a3una (eJ=,
nue(a 1 mes 0 meses
nue(a + + +
1 mes +)/ + +
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pa3ada +). +): +)/
in%6ra6 e + + +
CADENAS DE MARKOV 1/
< meses pa3ada in%6ra6 e
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-iste una pro%a%ilidad del 8".4 de &ue una cuenta nueva al';n da sea co%rada.
67 QCuá es a pr6a6iidad que una %uenta atrasada un mes se (ue(a 8namente in%6ra6e= %7
a1
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CADENAS DE MARKOV 1
1@'7@17R*
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-iste una pro%a%ilidad del " de &ue una cuenta atrasada un mes se vuelva inco%ra%le. d7 Si as (entas de a empresa sn 1++ +++ d4ares en prmedi mensua) Q%uánt diner será in%6ra6e %ada a=
•
Resumen de pr6a6iidades durante td un a 10 meses7
P$obab!l! dad 5!n#ob$ab Pe$!odo le) 1
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1@ 1++ +++ +,01/// * 01///, 0@ 1++ +++ +,0
<5= 28(400,4 dólares sin co%rar durante todo un a7o.
APLICACIÓN 1* En a si3uiente matriJ de pr6a6iidad de transi%i4n se resume a in$rma%i4n de pr3res de s estudiantes uni(ersitaris en una uni(ersidad en parti%uar, 1.00 0.00 0.00 T = 0.00 0.00 0.90
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
1.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.20
0.15
0.65
0.00
0.15
0.00
0.10
0.75
0.10
0.00
0.00
0.05
0.05
0.00
0.00
0.00
0.00 0.00 0.85 0.05
Dnde s estads sn! Estad 1! ^raduad) Estad 0! A6andna) Estad
CADENAS DE MARKOV 1;
T*
1 0 < . +,1: +,/: + + + +,1 +,: + + + +,+: +,-: + + + +,+: + + + + + + + +
1 0 < . ^ A
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a7 Q'u5 estads sn a6sr6entes=,
S<1?-@-S S<@ G A 5 67 QCuá es a pr6a6iidad de que un estudiante de se3und a se 3rade) Q%uá a pr6a6iidad de que a6andne=, 1 0 1 +,:. +,./ I@'7@1 R
./ 1
0 +,0; < +,-: +,1: . +,;: +,+:
5 1<>5>BB5 515 - @ -SB5@- - S-G@< 5D< S- G15E- -S (!. %7 En un dis%urs de 6ien(enida a /++ aumns de nue( in3res) e re%tr es pide que se den %uenta de que aprimadamente :+ de s presentes n e3ará a da de 3radua%i4n, QUn anáisis de s pr%ess de Mar( ap2a a de%ara%i4n de re%tr=, Epique, 1
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APLICACIÓN 1' E 1 de ener de este a7) as panaderas Ksman %ntra6an e .+ de su mer%ad %a) mientras que as tras ds panaderas) A 2 ) tenan .+ 2 0+ pr %ient) respe%ti(amente) de mer%ad, asándse en un estudi de una empresa de in(esti3a%i4n de mer%ad) se %mpiarn s si3uientes dats! a panadera Ksman retiene e ;+ de sus %ientes) 2 3ana e : de s %ientes de A 2 e 1+ de s de , La panadera A retiene e -: de sus %ientes 2 3ana : de s %ientes de Ksman 2 de s de , La panadera retiene -< de sus %ientes 2 3ana : de s %ientes de Ksman 2 1+ de s de A, a7 QCuá será a parti%ipa%i4n de %ada empresa en 1` de ener de a si3uiente,
Ksman de%ide a%er una %ampaa pu6i%itaria a e$e%ts de 3anar %ientes) di%a %ampaa atera as pr6a6iidades de transi%i4n de estads de a si3uiente manera! a panadera Ksman retiene e ;+ de sus %ientes) 2 3ana e 1: de s %ientes de A 2 e 0+ de s de , La panadera A retiene e : de sus %ientes 2 3ana : de s %ientes de Ksman 2 de s de , La panadera CADENAS DE MARKOV 00
retiene < de sus %ientes 2 3ana : de s %ientes de Ksman 2 1+ de s de A, Si a Ksman e %uesta <:+ d4ares pr mes una %ampaa pu6i%itaria 2 pr %ada %iente 3anad 6tiene un in3res i3ua a 1+ d4ares mensuaes) Qpr %uánts perids de6e mantener su %ampaa pu6i%itaria) sa6iend que se %mpite en un mer%ad de 1+++ %ientes=,
Supniend que as parti%ipa%ines se re%a%uan mensuamente %n esta nue(a matriJ de transi%i4n) e 6ene8%i net de a ini%iati(a pu6i%itaria para KLOSMAN (endra dada pr!
N * >+?Tn @ >+7?1+++I?1+) +) +7 T @ <:+?n
Para que a ini%iati(a sea 6ene8%isa para Ksman) este 6ene8%i net de6e ser ma2r a +, Ls resutads 6tenids %n a2uda de E%e se muestran a %ntinua%i4n!
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La %antidad de %ientes que mi3ren a%ia Ksman sera %ada (eJ menr 2 e 6ene8%i net de a pu6i%idad será menr, De esta manera se re%mienda que Ksman manten3a pu6i%idad pr : meses,
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