APLICACIONES DE LA TRASFORMADA DE LAPLACE En muchos procesos de la vida diaria está involucrada la Transformad Transformada a de Laplace, ya que, es una forma precisa y directa utilizada en el control de dichos procesos, como por ejemplo: en el ámbito doméstico para controlar la temperatura y humedad de las casas y edicios en la transportaci!n para controlar controlar que un autom!vil o avi!n se muevan de un lu"ar a otro en forma se"ura y e#acta y en la indust industria ria para para contr controla olarr m$ltip m$ltiples les variab variables les en los proce procesos sos de manufactura%
Esto si"nica que los sistemas de control jue"an cada d&a más, un papel muy importante en el desarrollo y avance de la civilizaci!n moderna y la tecnolo"&a%
'ara resolver ecuaciones diferenciales lineales usadas en el dise(o de control clásico de un proceso donde se considera un modelo dinámico lineal, es decir, un modelo de comportamiento variable respecto al tiempo y para ello el uso de las ecuaciones diferenciales respecto al tiempo para representar matemáticamente el comportamiento de un proceso, se usa la Transformada de Laplace%
)nvest )nvesti"a i"arr concr concreta etamen mente te cuatr cuatro o eje ejempl mplos os donde donde se apliqu apliquen en los *istemas de +ontrol y por ende la Transformada de Laplace, además del proce proceso so que se desea desea controla controlarr con su respect respectiva iva ecuaci ecuaci!n !n diferencial y controlador correspondiente% correspondiente%
CONTROL DE PROCESOS En nuestra vida diaria e#isten numerosos objetivos que necesitan cumplirse% En el ámbito doméstico%%%+ontrolar la temperatura y humedad de casas y edicios En transportaci!n +ontrolar que un auto o avi!n se muevan de un lu"ar a otro en forma se"ura y e#acta En la industria +ontrolar un sinn$mero de variables en los procesos de manufactura
+ontrol de 'rocesos En a(os recientes, los sistemas de control han asumido un papel cada vez más importante en el desarrollo y avance de la civilizaci!n moderna y la tecnolo"&a% Los sistemas de control se encuentran en "ran cantidad en todos los sectores de la industria: tales como control de calidad de los productos manufacturados, l&neas de ensamble automático, control de máquinasherramienta, tecnolo"&a espacial y sistemas de armas, control por computadora, sistemas de transporte, sistemas de potencia, rob!tica y muchos otros
Ejemplos de procesos automatizados:
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-n moderno avi!n comercial
*atélites +ontrol de la concentraci!n de un producto en un reactor qu&mico
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+ontrol en autom!vil
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+ontrol de proceso
)ncremento de la productividad .lto costo de mano de obra *e"uridad .lto costo de materiales /ejorar la calidad 0educci!n de tiempo de manufactura 0educci!n de inventario en proceso +erticaci!n 1mercados internacionales2 'rotecci!n del medio ambiente 1desarrollo sustentable2 El campo de aplicaci!n de los sistemas de control es muy amplio% 3 una herramienta que se utiliza en el dise(o de control clásico es precisamente: La transformada de Laplace
Trasformada de la place
En el estudio de los procesos es necesario considerar modelos dinámicos, es decir, modelos de comportamiento variable respecto al tiempo% Esto trae como consecuencia el uso de ecuaciones diferenciales respecto al tiempo para representar matemáticamente el comportamiento de un proceso%
El comportamiento dinámico de los procesos en la naturaleza puede representarse de manera apro#imada por el si"uiente modelo "eneral de comportamiento dinámico lineal: La transformada de Laplace es una herramienta matemática muy $til para el análisis de sistemas dinámicos lineales% 4e hecho, la transformada de Laplace permite resolver ecuaciones diferenciales lineales mediante la transformaci!n en ecuaciones al"ebraicas con lo cual se facilita su estudio% -na vez que se ha estudiado el comportamiento de los sistemas dinámicos, se puede proceder a dise(ar y analizar los sistemas de control de manera simple%
El proceso de dise(o del sistema de control: El proceso de dise(o del sistema de control 'ara poder dise(ar un sistema de control automático, se requiere +onocer el proceso que se desea controlar, es decir, conocer la ecuaci!n diferencial que describe su comportamiento, utilizando las leyes f&sicas, qu&micas y5o eléctricas% . esta ecuaci!n diferencial se le llama modelo del proceso% -na vez que se tiene el modelo, se puede dise(ar el controlador%
La función de transferencia La funci!n de transferencia 0epresenta el comportamiento dinámico del proceso 6os indica c!mo cambia la salida de un proceso ante un cambio en la entrada 4ia"rama de bloques 'roceso Entrada del proceso 1funci!n forzante o est&mulo2 *alida del proceso 1respuesta al est&mulo2
4ia"rama de bloques *uspensi!n de un autom!vil Entrada 17ache2 *alida 14esplazamiento del coche2
4ia"rama de bloques 6ivel en un tanque 8i1s2 1.umento del 9ujo de entrada repentinamente2 1s2 1.ltura del nivel en el tanque 4ia"rama de bloques +ircuito eléctrico Ei1s2 1;oltaje de entrada2 Eo1s2 1;oltaje de salida2
Propiedades teoremas de la transformada de Laplace m!s utili"ados en al !m#ito de control 'ropiedades y teoremas de la transformada de Laplace más utilizados en al ámbito de control TE<0E/. 4E T0.*L.+)=6 4E -6. >-6+)=6 16os indica cuando el proceso tiene un retraso en el tiempo2 TE<0E/. 4E 4)>E0E6+).+)=6 0E.L 1Es uno de los más utilizados para transformar las ecuaciones diferenciales2 TE<0E/. 4E ;.L<0 >)6.L 16os indica el valor en el cual se estabilizará la respuesta2 TE<0E/. 4E ;.L<0 )6)+).L 16os indica las condiciones iniciales2
Ejemplo aplicado: )ntercambiador de calor: *e tiene un intercambiador de calor ??, de tubos y coraza% En condiciones estables, este intercambiador calienta @@A "al5min de a"ua de BCD> a ?BD> por dentro de tubos mediante un vapor saturado a ?C psia% En un instante dado, la temperatura del vapor y el 9ujo de a"ua cambian, produciéndose una perturbaci!n en el intercambiador% Ejemplo aplicado: )ntercambiador de calor
Ejemplo aplicado: )ntercambiador de calor : a2 % b2 4etermine el valor nal de la temperatura de salida del a"ua ante un cambio tipo
escal!n de F@CD> en la temperatura del vapor, y un cambio de F?C "al5min en el 9ujo de a"ua% c2 Graque la variaci!n de la temperatura de salida del a"ua con respecto al tiempo% Ejemplo aplicado: )ntercambiador de calor
