Aplicaciones de Interpolación

MÉTODOS NUMÉRICOS Aplicaciones de los métodos de interpolación:

“Investigación de unidad “

Ingeniería Mecatrónica

Nombre del Alumno: Omar Alejandro Durón Martínez

Nombre del Profesor: MSC Guadalupe Lizeth López Rolón

Villa de Álvarez, Colima a 21 de noviembre del 2017

Omar Alejandro Durón Martinez

INTRODUCCIÓN .............................................................................................................................. 1

FUNCIÓN LINEAL ............................................................................................................................. 2 INTERPOLACIÓN LINEAL ................................................................................................................. 3 INTERPOLACIÓN LINEAL DE UNA VARIABLE INDEPENDIENTE ...................................................... 4 INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA ....................................................................................................... 6 APLICACIONES DE LA INTERPOLACIÓN A LA MECATRÓNICA ............................................................ 7 CONCLUSIÓN ................................................................................................................................... 8 BIBLIOGRAFÍA ................................................................................................................................. 9


En el subcampo matemático del análisis numérico, un spline es una curva diferenciable definida en porciones mediante polinomios.

En los problemas de interpolación, se utiliza a menudo la interpolación mediante splines porque da lugar a resultados similares requiriendo solamente el uso de polinomios de bajo grado, evitando así las oscilaciones, indeseables en la mayoría de las aplicaciones, encontradas al interpolar mediante polinomios de grado elevado.

Para el ajuste de curvas, los splines se utilizan para aproximar formas complicadas. La simplicidad de la representación y la facilidad de cómputo de los splines los hacen populares para la representación de curvas en informática, particularmente en el terreno de los gráficos por ordenado.


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En geometría y álgebra elemental, una función lineal es una función polinómica a lo sumo, de primer grado; es decir, una función cuya representación en el plano cartesiano es una línea recta. Esta función se puede escribir como:

Dónde  y  son constantes reales y  es una variable real. La constante  hace referencia a la pendiente de la recta, y  es el punto de corte con esa misma recta respecto al eje . Si se modifica la pendiente entonces se modificará la inclinación de la recta y al modificar la constante marcada como  entonces la línea recta cambiará su desplazamiento sea arriba o abajo


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La interpolación lineal es un caso particular de la interpolación general de Newton. Con el polinomio de interpolación de Newton se logra aproximar un valor de la función () en un valor desconocido de . El caso particular, para que una interpolación sea lineal es en el que se utiliza un polinomio de interpolació n de grado 1, que se ajusta a los valores en los puntos  y  . Se denota de la siguiente manera:


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En una tabla se representan algunos valores de la función, pero no todos. En ocasiones, nos interesa el valor de la función para un valor de la variable independiente distinto de los que figuran en la tabla; en este caso, podemos tomar el más próximo al buscado o aproximarnos un poco más por interpolación.

La interpolación casi siempre nos dará un pequeño error respecto al valor de la función verdadero, pero siempre será menor que tomar el valor más próximo de los que figuran en la tabla. Veamos cómo se calcula al valor de la función para un valor de la variable independiente que se encuentre entre dos valores de la tabla por interpolación lineal.

Por la tabla sabemos que:

Queremos determinar la siguiente ecuación en base a los parámetros:


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La interpolación lineal consiste en trazar una recta que pasa por (, ) , (, ),  = () y calcular los valores intermedios según esta recta en lugar de la función  = () Para ello nos basamos en la semejanza de triángulos Resolviendo y despejando el valor deseado:


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Cuando el polinomio que conviene es de 2º grado la interpolación recibe el nombre de cuadrática. El polinomio interpolador es único, luego como se encuentre da igual., sin embargo, a veces los cálculos son muy laboriosos y es preferible utilizar un método que otro. A la vista de los datos se decide. En el ejemplo anterior se da el método de resolver el sistema para encontrar los valores que determinan a la función cuadrática (a, b y c). También podemos utilizar la expresión del polinomio interpolador

 =  + ( − 0) + ( − 0)( − 1)

Lagrange dio una manera simplificada de calcular los polinomios interpoladores de grado  Para el caso de un polinomio de 2º grado. Con frecuencia se tienen que estimar valores intermedios entre valores conocidos. El método más común empleado para este propósito es la interpolación polinomial. La fórmula general de un polinomio de n-ésimo orden es:


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El método de interpolación ya sea lineal o cuadrático se emplea de la misma forma en todas las áreas de ingeniería debido a que este método sirve para calcular valores “intermedios” respecto a una función establecida, estos

valores

mencionados como intermedios también son considerados inexistentes debido a que no se ven reflejados en la tabla elaborada previamente o no son puntos especiales considerados dentro de la misma ecuación. Como se menciona anteriormente los métodos son los mismos para todas las áreas ya que se deben tomar esos valores no existentes y aplicar el tipo de interpolación deseada a partir de los datos que ya se tienen o que forman parte de una ecuación o tabla. Un ejemplo de esto puede ser el determinar un parámetro intermedio en el coeficiente de dilatación lineal de un metal a una temperatura constante, aquí podemos tomar un valor conocido “X“ en conjunto a otro “Y” y determinar el valor o parámetro intermedio en ambos valores con un margen de error reducido, de esta forma nos evitamos el realizar un elevado número de iteraciones para llegar a este valor medio Este mismo método es aplicable en la termodinámica al momento de calcular diferencias medias en las tablas de Presión vs temperatura o Volumen vs presión, aplicando la regresión lineal podemos saber el parámetro intermedio y determinar el punto en el cuál ambos valores convergen. Al igual que la termodinámica y la física aplicada a metales, se puede aplicar en el campo del análisis de mecanismos y la dinámica para poder calcular puntos intermedios en el desplazamiento y/o aceleración de un mecanismo eslabonado de 4 barras.


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Las técnicas numéricas son importantes en aplicaciones prácticas, ya que con frecuencia los ingenieros encuentran problemas en los cuales no es posible resolver usando técnicas analíticas tradicionales. Por ejemplo, modelos matemáticos simples que se pueden resolver analíticamente quizá no sean aplicables cuando se trata de problemas reales. Debido a esto, se deben utilizar modelos más complejos. En esta situación, es conveniente implementar una solución numérica en una computadora.


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De Boor, Carl; “A practical guide to Splines”, Springer -Verlag, 1978 Brunet, P.: “La interpolación con funciones Spline.”, Quesito, Diciembre 1982 C. Chapra, Steven “Métodos numéricos para ingenieros” 2006


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Aplicaciones de Interpolación

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