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Álgebra Lineal con George Nakos U.S. Naval Academy
David Joyner US. Naval Nav al Academy
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ISBN 0-534-95526-6
Álg Á lg eb ra line li ne al co n ap lic ac ione io ne s ISBN 968-7529-86-5 Derechos reservados respecto a la edición en español. © 1999 por International Thomson Editores, S. S. A. de C. V. I(T)P International Thomson Editores, S. A, de C. V. es una empresa te rn atio at iona na l Th om so n Pu blish bl ish ing, in g, La marc a registrada ITP se usa bajo licencia. . de In tern licencia.
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Traducción Ing. Virgilo González Pozo Traductor profesional
Revisión técnica Ana Elizabeth García Hernández Esc E scue uela la Su peri pe rior or de Inge In geni nier ería ía Quím Qu ímic icaa e Indu In dust stri rias as E xtra xt ract ctiv ivas as (ESIQIE) (ESIQIE ) Insti In stitu tuto to P olit ol itéc écni nico co N ac ion io n al (IPN)
D irec tor edito rial y de produ cción : Miguel Ángel Toledo Castellano Castellanoss Ed itora de de sarr ollo ; Leticia Leticia Medina Vigil Vigil Ed itor de produ cción: René Caray Argueta Argueta C orre cto r de estilo: estilo: Martha Martha Alvarad Alvaradoo Tipog rafía: Inés Inés Mendoza Mendoza Diseño de portada: Publicidad Williams-Lazarov Lecturas: Martha Alvarado y Carlos Zúñiga 987654321
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Impreso en México
Sistemas lineales Tú has ordenado todo en en medida, en número y en peso. peso. Sabiduría de Salomón, Capítulo 11, Versículo 20
Introducción
M
uchas preguntas preguntas en ingeniería, física, matemáticas, eco nomía y otras ciencias se reducen al problema de resolver un sistema lineal. El interés en la solución de esos sistemas es muy antiguo, com o lo demuestra el Problema Problema del ganado de Árquírriedes Árquírriedes (que se estudiará en la sección 1.5). 1.5). Veamos Veamos un proble ma donde interv iene un sistema lineal, del que se ocuparon los matemáticos de hace ochocientas años. Su solución se descríbe en la sección 1.4.
Fibonacci Nuestra histor ia es acerca de Leonardo Pisano, m atemát ico italiano (cerca 1175 1175 -1250 -1250 d.C.), d.C.), mejor conocido como Fibonacci. Durante sus viajes, aprendió la “nueva aritmética” árabe, que después presentó al Occidente en su famoso libro Li b er a b a d . Dice la leyenda que el emper ador Federico II de Sicilia invitó invitó a Fibonacci y a otros sabios a participar en una espe cie de torn eo de matemáticas, en el que se plantearon varios problemas. Uno de ellos era el el siguiente: Tres Tres hombres poseen una sola pila pila de monedas, y sus partes son j ^ . Cada uñó toma algo de dinero de ¡a pila hasta que no queda nada. El primero regre sa y de lo que tomó, el el segundo ^ y el el tercero ^ , Cuando el total reintegrado se divide po r igual entre los tres tres,, se descubre que cada uno po see h que le corres po nd e. ¿Cuá ¿C uánt ntoo d inero ine ro hab ía en la pila pi la origin ori ginal, al, y cu ánto án to tom ó cad a uno de esa pi la ?
Fibonacci llegó a la solución: solución: la cantidad total era 47, y las cantidades que toma ron los hô feb î^' dc y 1. ¿És correcto? correcto?
1.4 Aplicaciones Objetivo dei alumno para esta sección Adquirir una idea de las cuantiosas aplicaciones de los sistemas lineales. En esta sección describiremos algunas aplicaciones de los sistemas lineales a problemas an tiguos y modernos. Al lector le agradará saber que aun con los pocos medios que ha apren dido hasta ahora, puede resolver—o abordar— una diversidad de problemas de la vida real en varios campos de la ciencia. Ahora que el lector ya tiene bastante práctica en la solución de sistemas lineales. nos saltaremos, en la mayor parte de los casos, la descripción de la solución de un sistema lineal.
Asuntos de manufactura, sociales y financieros ■ EJEMPLO 24 (Manufactura) R.S.C.L.S y Asociados fabrica tres tipos de computado ra personal: Ciclón, Cíclope y Cicloide. Para armar una Ciclón se necesitan 10 horas, otras 2 para probar sus componentes y 2 horas más para instalar sus programas. El tiemp o re queri do para la Cíclope es 12 horas en su ensamblado, 2.5 para probarla y 2 horas para instalarla. La Cicloide, la más sencilla de la línea, necesita 6 hor as de armad o, 1.5 horas de pru eba y 1.5 horas de instalación. Si la fábrica de esta empresa d ispone de 1 560 horas de trabajo po r mes para armar, 340 horas para probar y 320 horas para instalar, ¿cuántas PC de cada tipo puede producir en un mes? SOLUCIÓN Sean x, y, z las cantidades de Ciclones, Cíclopes y Cicloides producidas cada mes. Entonces se necesitan 1Ox + 12^^ + horas para arma r las computa doras. P or consigu ien te, lOx -I- \2 y + 6 z ^ 1 560. En esta misma forma se obtienen ecuaciones para la pru eba y la instalación. El sistema que resulta es lOx -I- 12y +
6z = 1560
2x + 2.5 / -i- 1.5z = 340 2x-l-
2y-H 1.5z = 320
cuya solución es x = 60, y = 40 y z = 80. Por consiguiente, cada mes se pueden fabricar 60 --------- ¡ Ciclones, 40 Cíclopes y 80 Cicloides. |
■ EJEMPLO 25 (Cambio de moned a extranjera) Una empresaria internacional necesi ta, en promedio, cantidades fijas de yenes japone ses, libras inglesas y marcos ale man es du rante cada viaje de negocios. Este año viajó 3 veces. La primera vez cambió un total de $2 550 con las siguientes tasas: 100 yenes por dólar, 0.6 libras por dólar y 1.6 marcos por dólar. La segunda vez cambió $2 840 en total con las tasas de 125 yenes, 0.5 libras y 1.2 marcos por dólar. La tercera vez, cam bió un total de $2 800 a 100 yenes, 0.6 libras y l .2 marco s por dólar. ¿Cuántos yenes, libras y marcos compró cada vez?
EJEMPLO EJEMPLO 3
Las ecuaciones lineales lineales siguientes son homo géneas. -x ^ = O JC| + 2x 2 - y¡5x^ -x
x - y + z = (sen 4)w
EJEMPLO EJEMPLO 4 Las ecuaciones siguientes no son lineales, lineales, o no lineale s: x y - 3 = 2x
x^
l
sen x + y = O
Una solución (particular) de una ecuación lineal es una sucesión de números que, cuando se sustituyen en las variables, produce una ecuación que es una identidad. Por ejemplo, C = 5° y >P >P= 41° es es una solución de (1.2), porque -|· 5 + 32 =4 1. Por otro otro lado, C = 5® 5® y F = 40° no es una solución, porq ue j · 5 + 32 íé íé 40. El conjunto de todas las soluciones soluciones pairt pairticu icular lares es se llam a c on jun to solución , el cual se obtiene despejan do la variable delantera en función de las variable s libres, y haci endo que cada variable libre tome cualquier valor escalar escalar.. Co n ésto se llega a un elemento genérico del con ju nt o solu so luci ción ón , al cual c ual se le lla ma so lu ción ci ón ge ne ra l. ■ EJEMPLO EJEMPLO 5
Determine la solución general de la ecuación 2j c , + 0 x2 x 2 - 4 x3 x3 = - 2
SOLUCIÓN SOLUCIÓN Despeja remos la variable delantera, x¡, para obte ner X| X| = 0x2 + Zxy - 1. Las variables libres X2y X3pueden tomar cualquier valor, por ejemplo X2 = í y X3= r. Por consi guiente, la solución general se expresa como Xi=2r-1,
X2- S ,
X3 X3 = r
para tod a a: í G R
|
■|
Las letras r y s empleadas para representar a las variables libres se llaman parámetros. El conjunto solución que acabamos de determinar es un conjunto de dos parámetros, o biparamétrico; biparamétrico; Todasias soluciones particulares pueden encon trarse a partir de la solución ge neral, neral, asign ando valores a los parámetros. Por ejemplo, r = - \ y s = 2 produ ce la solución par ticula r X, X, = - 3 , X2 X2 = 2 y X3 X3 = - 1 .
Sistemas lineales Un sistema lineal es un conjunto de ecuaciones lineales, como por ejemplo 3x + 2y + 7 = 39 2x + 3 7+ 2 = 34
(1.3)
X + 2y + 3z = 26 N ue ve capít ca pítulo ulo s Este sistema, con su solución, se encuentra en el libro chino de matem áticas Nue del arte matemático^ matemático^ del siglo III a. C. Hist ory o f Mathem atics, atic s, de Carl Boyer, p. 219 (Nueva York: Wiley). Véase A History
