ANUAL SAN MARCOS 2 - 2016

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Trigonometría Razones trigonométricas de un ángulo agudo III NIVEL BÁSICO

NIVEL INTERMEDIO

1.

Si x es un ángulo agudo que cumple

sec(3 x –10º)cos(2 x+10º)=1 calcule el valor de sen ( x + 10º ) +

5.

3 tan 3 x .

En el gráfico mostrado, calcule el valor de EC a a partir de la siguiente condición. sec(60º – a)=csc(15º+2a), a: ángulo agudo B

A) 1/2

α

B) 4/3 C) 5/2

1

D) 7/2 E) 10/3 2α

2.

A

Si 2q – a y 3q+a son ángulos agudos, tal que sen(2q – a)=cos(3q+a),

A)

calcule el valor de la expresión

6.

B) 11/6

D) 13/6 3.

C) 3/4 E) 5/6

Si 2 x – y, x+2 y y x – y son ángulos agudos, sen(2 x – y) · csc( x+2 y)=1

tan( x – y) · cot 30º=1

A) D)

calcule el valor de la expresión

3

C) 1

−1

7.

2tan x+cos( x+ y)

E)

2 3

−1

Sea (cos17º+5sen73º)sec17º=4tan a, 0º < a < 90º Halle el valor de M =sen =sena+5cosa.

tal que

B)

2

D) 2

tan(3q –1º)+sen(2q – 6º) A) 5/4

3

C

E

3

13

2 4

B)

2

C) 2

13

3

E)

13

3

13

13

UNMSM 2002

En un triángulo rectángulo ABC , recto en C , se tiene

sen A

sen

A

sen

A

=

( cos B )sen A

Halle csc A. A) 5/2

B) 3/2

C) 1/2

D) 2

A)

E) 1

D)

4.

Si se cumple que

tan2 x cot( x+20º)=1, x: ángulo agudo

cos5 y sec x=1, y: ángulo agudo

 x + y 

8 7

B)

12

C)

11

3

E)

2

5 4 5 3

UNMSM 2005 - I 8.

4

Si tan (90º −α ) cot α = y a: ángulo agudo,







Trigonometría 10.

NIVEL AVANZADO 9.

Si a es la medida de un ángulo agudo que verifica la igualdad tan

 π sen θ  cot π = 1   8 4

Si a y q son ángulos agudos y complementarios donde cos α =

4 x + 4 5 x − 1 y sen θ = 5 x 6 x − 5

calcule an α + cot θ +

5 12

calcule el valor de tan2q · tanq. A) 1 D)

3 3

B) 2

C) 1/2 E) 3

A)

7 12

D) 1

B)

3 4

C) E)

1 2

4 3







Trigonometría Resolución de triángulos rectángulos A) 3tan acotb B) 3cotacosb C) 3tanacosb D) 3cotasenb E) 3tanasenb

NIVEL BÁSICO 1.

En el gráfico, halle AC . B

4.

Si ABCD es un cuadrado, halle EC .

3 m

B

37º

α

A

C

E a

A) m(3cosa+4sena) B) m(3cosa+sena) C) m(3sena+4cosa) D) 3 m(sena+cosa) E) 3 m(3cosa+4sena) 2.

θ

A

En el gráfico, halle BD en términos de a. D

D

A) a(cosq+senq) B) a(cosq – senq) C) a(senq – cosq) D) a(tanq – cosq) E) a(cscq – senq)

B

NIVEL INTERMEDIO

α

A

C

C

2

5.

A) 2sen acosa B) 2cos2a C) 2sen2a D) sen2a E) 2sen2acosa

Del gráfico, halle

BC

+

CD

m

en términos de q. D

B m

3.

Del gráfico, halle AB en términos de a y b. D

α

θ

3

A

m

C

E







Trigonometría 6.

Si ABCD es un cuadrado, halle MN .

8.

En el gráfico, el triángulo ABC es rectángulo, recto en A, CP=2 cm, PB=3 cm. Halle tana.

C

M C

B 2

P

2

D

β A

30º

N

α

B

A

A) 2(sen b+cosb) B) senb+cosb C) 2(cosb – senb) D) 2 (cos β − sen β ) E) 2 (sen β + cos β )

A) D)

3

B)

9

5 3 9

3 3

C) E)

2 3 9 2 3 3

UNMSM 2011- I 7.

En el gráfico, EM es es perpendicular a AD y DL es altura del paralelogramo ABCD. Si AL=a, determine el área del triángulo BEC . D

NIVEL AVANZADO

C 9.

En el gráfico, halle x.

α

α

M

x

A

A) B) C) D)

a2 2

a2 2

a2 2

a2

L

(tan α + cot α )

B

E

θ

k tan a

A) ksen5qcosq cot a

sen a cos a

B) ktanqcos6q C) ksec6qtanq D)

5







Trigonometría 10.

En el gráfico, el triángulo rectángulo ABC es recto en B. Si a < 45º y AM

=

MC =

1 2

cm, halle

el área del triángulo ABC .

A)

B)

1 2 1

cos cos a sen

cos

3

a

cm

4

a sen a

cm

2

a sen a

cm

2

2

2

C

C)

D)

E)

1

cos

2 1 2 1 2

cos cos a sen

cos

3

2

a

cm

a sen a

cm

2

2

2

α

A

M

B

UNMSM 2010 - II









Trigonometría Ángulos verticales NIVEL BÁSICO 1.

Un avión vuela en línea recta y horizontalmente a una altura de 2420 m; desde un punto en tierra, es observado con un ángulo de elevación de 53º. Calcule la distancia entre dicho punto y el avión. A) 2400 m D) 4200 m

2.

B) 3200 m

B) 400 m

D)

2 3

m

−1

6

m

B)

3 3

−1

m

C) E)

6 3

Una torre está al pie de una colina cuya inclinación con respecto al plano horizontal es de 15º. Una persona se encuentra en la colina a 12 m de la base de la torre y observa la parte más alta de esta con un ángulo de elevación de 45º. ¿Cuál es la altura de la torre? tor re? A) 4 6 m D) 14 m

6.

C) 200 m E) 600 m

Un asta de bandera de 6 m está parada sobre la azotea de una casa. Desde un punto del plano de la base de la casa, la punta y la base del asta se ven con ángulos de elevación de 60º y 45º, respectivamente. Encuentre la altura de la casa. A)

5.

C) 3000 m E) 3025 m

Desde un globo aerostático se observa las bases de dos árboles, que distan entre sí 100 m, con ángulos de depresión de 53º y 45º, respectivamente. Calcule la altura de vuelo del globo. A) 500 m D) 300 m

3.

NIVEL INTERMEDIO

6 m

C) 15 m E) 5 6 m

Una persona de 1,65 m de estatura observa la base de un poste de luz con un ángulo de depresión de 37º y la parte superior de este con un ángulo de elevación cuya tangente es 5. Calcule la altura del poste. A) 12 m D) 12,65 m

7.

B) 6

B) 12,3 m

C) 13 m E) 11,6 m

Se observa la parte alta de un muro con un ángulo de elevación q, nos acercamos 6 metros al muro y el nuevo ángulo de elevación para la parte alta del muro es 90º – q. Si la altura del muro es 2 metros, determine tan q+cotq.

m

−1

3

m

A) 3 2 D) 13

B) 2

13

C) 17 E) 2 5







Trigonometría NIVEL AVANZADO

A) B)

9.

Cuando el ángulo de elevación del sol es q y un poste de teléfono está inclinado un ángulo a (respecto a la vertical) en dirección opuesta al sol, este arroja una sombra de  metros de largo a nivel del suelo. Calcule la longitud del poste.

C) D)

 sen α + cot θ

cot θ cos α + sen α ta tan θ

tan θ cos α + sen α co c ot θ

Subiendo por un camino inclinado de d e ángulo q respecto a la horizontal, se observa lo alto de una torre con un ángulo de elevación 2q, verificándose que la torre mide a metros y la visual b metros. Calcule el valor de cotq. A)

θ



sen α + cos α co c ot θ

E) (sena+cosq) 10.

α



D)

a b a

2 b

B)

2a b

C) E)

b a

2 b a







Trigonometría Geometría analítica NIVEL BÁSICO 1.

NIVEL INTERMEDIO

Halle las coordenadas del punto que pertenece al eje de ordenadas y equidista de (–1; 2) y (3; 5).

 

A)  0;

 −2   3 

2

 3 

B)  0;

 −29   6 

D)  0; 2.

 

29 

 

11

C)  0; E)  0;

5.

2

En el gráfico, tan α = y M es es punto medio de 3

BC . Halle las coordenadas del punto A.



6 

Y

B(4;



6 

M

Del gráfico, halle PM si si AM = MB. Y

B(1;

5)

α

(6; C (6;

A

M P(6;

1)

A) (1; 0)

A) D) 5 3.

2

D)  ; 0 

–1)

B)

10

2

C) 6 E)

3

6.

10

C) 10 E) 14

X

1   2 

C)  ; 0  E) (3; 0)

Del gráfico, ABCD es un cuadrado y la ordenada del punto D es 6. Calcule las coordenadas del punto C . Y

B) 8

0)

2

Calcule el perímetro del triángulo de vértices A(4; 7), B(–1; – 8) y C (8; (8; – 5). 5). A) 6 10 D) 12 10

B) (2; 0)

3   4 

X A(– 3;

4)

10

5

C







Trigonometría 7.

Las coordenadas del punto P( x; y), que se encuentra en el primer cuadrante del plano cartesiano, se definen por las fórmulas x=2 t – 3, y=5 – 2 t. Halle los valores de t para que el punto P se encuentre más alejado del eje Y que del eje X .

NIVEL AVANZADO 9.

Del gráfico, AOB es un triángulo equilátero, EH =2( =2( BE ) y OP=OE . Calcule la suma de las coordenadas del punto P. Y

A) t ∈ 〈2; +∞〉

B

B) t ∈ 〈– ∞; 2〉 C) t ∈ 2;

D) t ∈

E) t ∈

P

5

E

2

3 5 ; 2 2 5 2

A(– 6;

A) 2 D) 2

;+∞ UNMSM 2007 - I

8.

P(4; 2) son vérLos puntos O(0; 0), Q(2; 4), R y P

10.

H

0)

3

+

3

+1

MS SR

las coordenadas de S.

=

X

B) 3 + 3

3

C) 3 + 1 E) 2 3 + 2

Del gráfico, halle el perímetro de la región sombreada. Considere que 0 < x < 2. Y A(2;

tices de un rombo. Si M es es el punto medio de QP y S ∈ MR, tal que

O

2)

2, halle la suma de x X

A) 9 B) 8







Trigonometría Ángulos en posición normal normal I 4.

NIVEL BÁSICO 1.

Del gráfico, calcule 2secq. Y

En el gráfico, PB=2( AB). Calcule el radio vector del punto P.

B

Y

3 2 P A(3;

2)

A) − 13 D) –13

45º B

A) 4 D) 2 2.

B) 6

X

C) 3 E) 5

Del gráfico mostrado, calcule tan a+sec a. Y

θ

45º A(– 5; 0)

X

B) − 5

C) – 3 E) – 5

NIVEL INTERMEDIO 5.

Del gráfico mostrado, calcule el valor de 3 sen θ + 5 tan θ. Y

X

α

A) 4 B) – 4 C) 0 D) – 2 E) 2

θ X

(5; –12)

A) 1/2 D) 12/13

B) 1/5

C) 2/5 E) 13/5

(– 2; – 5 )









Trigonometría 7.

En el gráfico, ABCD es un rombo. Si OA=3 y CP= PD, calcule el radio vector del punto P.

NIVEL AVANZADO 9.

Y C

B

En el gráfico, OABC es es un cuadrado y B(3; 5). Calcule 17 c os os θ − tan θ. Y

37º

B

P A

O

A

D

X C

A)

D)

8.

183

B)

2

173

185 2

C)

E)

2

13 2

A) – 5 D) 3

170

En el gráfico, AB= BC . Calcule cotb. Y

θ

2 10.

O

B) – 4

X

C) – 3 E) 5

Del gráfico mostrado, AOB es un cuadrante y PF = FH . Calcule tana.







Anual San Marcos RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO

AGUDO III

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

ÁNGULOS

VERTICALES

ANUAL SAN MARCOS 2 - 2016

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