Antonio Ferrer Soria-Física Nuclear y de Partículas (2006)

(3.24)

/La

siendo C (f,~j J¡ wm) los coefi cientes de Clebsch-Gordan. En lo que sigue, se re presentará la func ión de ondas 1/Jjm.(nf) por la no tac ión 1.7, m >. 106

copos Model os 1111cleo n1s. Modelos colecrivos y 111odelo de

esférico 3.7 Mod elos de partícula individual. Modelo de capas dades nuclea res a E l modelo de capas es un modelo que describe las propie ial. No se consideran partir de la interacción efectiva de un nucleó n con un potenc tuyente con el potenc ial las interac ciones nucleón-nucleón, sino la de un consti inación de modelos de medio fe nomenológic o. De aquí el origen de la denom el núcleo es el que partícul a individ ual. Contra riamen te a lo s átomo s, en donde de los núcleo s caso el crea el potencial en el que se mueven los electrones, en nuclear; todos campo el no existe un protagonista con el que se pueda identificar ico, que por empír , medio los nucleo nes coope ran y dan lugar a un potenc ial propiedades las ar explic lo tanto es fenom enológ ico. Un buen potencial deberá cuánticas de los núcleos. bien establecidos Así, ya se ha visto que uno de los hecho s experi me ntales númer os de nucleones es el de la existencia de núcleo s muy estables cuand o los coinciden con los números mágic os:

z = 2, 8, 20, 28, 50, 82 N

=2, 8, 20, 28, 50, 82, 126

cuyas propiedades más destacadas son: a) tienen energías de ligadura EL muy elevad as,

a e mitidas (véase la b) tiene n discontinuidades en las energías de partículas figura 3.8), r estado excitado c) presentan variaciones bruscas en las energí as del prime 3.3), 2+ de los núcleo par-par (véase la figura e n núcleos vecinos y d) tienen energí as de separa ción Sp y Sn mayores que esféricos e n el estado e) sus momentos cuadru polares Q ~ O, por lo que son fu ndame ntal. 20 8 90 4 16 4 Pb, son los más esf) Los doblem ente mágic os He, 0, °Ca, Zr, hidróg eno) e n el tables y más abund antes que sus vecinos (excep tuando el universo.

ial que dé luEl objetivo de un buen modelo de capas es buscar un potenc (que se llaman capas) y gar a una estruc tura de nivele s energéticos cuanti zados pri nci pio de exclus ión proced er al lle nado de los estados tenien do e n cuenta el miento entre dos nude Pauli. Las fuerzas de aparea miento produc en un acopla el otro ocupará el estado cleones favo reciendo que si uno ocupa el estado J.j, rn), cua ndo una capa l.j, - m), de fo rma que resulta un estado o+. Análo gamente, nes se acopla n a pa (2j + 1 estado s, que es un númer o par) se llena, los nucleo de con un mo mento res dando lugar a la config uració n más estable, que coinci angul ar O.

107

/\ 111011io F'errer Sorio 10 ,-----~------------~

86 Rn - - 84 Po+

>

a

6"'

tl

-

~

5

.. ... .. 115

.. . .

120

'

' '

125

130

135

N Figura 3.8: Energías de la partícula a en la desintegració n de los isótopos del s6 Rn. Obsérvese el rápido aumento c uando el hijo (s4 Po) tiene N = 126 neutrones, que es un número 1m1gico.

3.7.1 Modelo de capas esférico El modelo de capas esféri co es un mode lo ele partícula individual (denominado en la literatura modelo single-particle, abreviadamente sp) que describe la interacción de los nucleones con un campo medio con simetría esférica que representa la ligad ura media nuclear. El hamiltoniano se escribe: con siendo V(ri ) un potencial central efectivo (tipo Hartree-Fock) que describe la interacción media de un nucleón con el resto de los nucleones del núcleo. Se trata de una interacción a un cuerpo. Puede verse que es una aprox imación al hamiltoniano visto en la expresión (3.4), donde el potencial utilizado es el potencial nucleón-nucleón (interacción a dos cuerpos). Existi rán interacciones residuales que no están contenidas en el po tencial central efectivo. La más importante es la de apareamiento. La solución de la ecuac ión de SchrOclinger:

predice, para ca ~a función de ondas (cada estado nuclear), niveles energéticos cuantizados. Al tratarse de un potencial efectivo, que sólo depende del nucleón i, la funció n de ondas es separable y se puede escribir:

rr A

w(f1 , f2, ... , f A) = 108

(Pi u'i)

/\tfodel os 1111cll!ares. Modl'lo.1' coll'ct/110.1'y 11w de/o di' covo,1· 11u11quc más precisamenle en vez de un produclo de funciones debe ele ulilizarse la u11 dctcrm i nanlc de Sla1cr pan.1 cumpl ir con el pri ncipio ele simetri zaeión; nucleones: de l u11ci6 n de ondas debe ser antisimétric
... , 1. ( f''11)

2Uc:2), ... , 2(f"11)

1~ n cualqu ier caso, habrá una ecuación de Schrodinger para cada nucleón:

la energía del estado i de nucleón independiente. La energía del núcleo se pod rá escribir como una suma de energías, Ei , de partícula individual :

~ i c ndo f¡

Si el potencial V (ri) es central, ya se sabe que la función de ondas (ri) será fac1orizab le y se podrá separar Ja parte radial de la parte angular,

n,e,m(r.i)

(3.25)

= R,,e(r)Ye, m(B,)

l ,as funciones de onda de los estados partícula individual dependerán de números cuánticos tales como el momento angul ar orbital , y su proyección me. L a energía en el caso de potenciales centrales no dependerá de estos números cuánticos; es decir habrá muchos estados degenerados energéticamente. Los niveles energéticos predichos por estos potenciales, serán ocupados por los nu<.:leones cumpliendo el principio de exclu sión de PauJj; es decir, no podrá exi stir 111ás de un nucleón en un estado cuántico. Por ello, el número de nucleones que ocuparán la misma capa energética es: 2(2e 1), donde el primer factor 2 viene de los dos estados de espín posibles de los nucleones. Las discontinu idades energéti cas estarán asociadas a las capas y aunque sea difícil de imaginar, podrá hablarse de órbitas nucleares asociadas a las capas o subcapas. Se estudiarán a conti nuación al gunos ejemplos de potenciales centrales con solución analítica de la ecuación de Schrodinge r conoc ida, para ilustrar la ro rm a de los espectros obtenidos y poder compararlos con los resultados ex peri mentales.

e

+

Espectro del pozo esférico infinito Un pozo esférico infi nito puede defi nirse:

V (r) =

- Vo,

O~ r

~

R

r ;::: 17 109

Al//011io

Ferrer Soria

Como e l pote nc ia l es central , la soluc ió n de la ecuac ión de Schrodingc r para

h(1\) será de la forma:

t/Jnem (r) = Rne(r) Yem (e,
Espectro del oscilador armónico El potencial (central) del o scilador armónico , se escribe:

V(r t·) = -1 µ ·w 2 r 2. 2 " t

(3.26)

siendo r i la posición de l nucleón i y µi su masa reducida (que es prácticame nte la masa del nucleón, ya que la masa de l núcleo es mucho más gra nde). E l parámetro w es la frecue ncia del oscilador. El pote nc ial de l oscilador armónico es una buena aproximac ión para el pote nc ial efectivo del modelo de partícula individual. Al ser un potenc ial central (tiene simetría esfé rica), la función de ondas de l sistema podrá escribi rse:

Las soluciones para las func iones rad iales de la ecuación de Schrodinge r, para un oscilador armón ico, isótropo y tridimensio na l so n:

110

Mode/11.11111cleores. Modelos cole<'tivos y 11111delo de co¡1os

17f es el parámetro del osc ilador, c uyo va lor aproxi mado es

e n donde u = A - 1/:.1 rm- 2; p2 =

1/ 1.2

y

.c,k (z) =

"'

m °""""'

f:Q

- l)"(m + k·) .I z'' (m - r )!(k + r )!r ! (

s son los po linomios gene ralizados de Laguerre. Eje mplos de algunas funcione de onda radiales, Rne(r), del oscilado r armónic o son:

R

-

,1 -

Ri 9

t 1A e ( W5 -:rrV{25 vg )

(v" )*r4 e _ = yf2G" 945 1 '

,,,.2 2

(23 (

R Jp =

V3

_ R 2p-

v lf,

V& )

-:;r-

t

re

_ ,,,.2 2

2 - .,~f2:I (v") -:;r- i (52 - 1/7.2)e 2

v,.2 2

Los niveles de energía del o scilador armónico:

(3.27) podepende n del número cuántico N del osc ilador, que dete rmina los valores energía V, Me ~ sibles ele la e ne rgía de cada capa. El modelo predice liw ~ necesari a para excitar un nucl eón a una capa super ior N + l. Los estados están caracteri zados por dos números cuántico s N y

e,

• N, número cuántico del oscilado r (0, 1, 2 ,... ), que caracteri za Ja capa, y

• e, el momento angula r orbital del nucleón, c uyos valores permitidos son pares o impares según el valor de N : e=N , N - 2, .. ., 1 6 O. ro y que, además, están relacion ados por N = 2(n - 1) + e, siendo n el núme cuá ntico rad ial.3 Todos los estados con el mismo número cuánti co N tie ne n la misma e nerg ía estay la mi sma paridad del moment o angul ar orbital e. La degener ación de los nucleos lo porque dos es D N = 2 L (2C+ 1) = (N + l ) (N + 2); el factor 2 con nes tienen espín 112 y e l factor (2C + 1) q ue da Ja multiplic idad de estados (pros nucleone de D N da el número máximo momento a ngular La suma os para llenar una capa: necesari ) separado por s neutrone tones y

e.

L

2,8, 20,40, 70, 112, 168, ... 3EI número cuá111ico n no tiene l ns mi smas propi edadc.~ que en llsica atómica (n que siempre torna los val ores n = 1, 2 , ...

> P+ 1). si no I 11

/\111011io Ferrer Soria es dec ir, reproduce los prime ros-cuatro números mágicos. Para caracterizar los estados del oscilador se ut il iza la notac ión ( nf) , siendo n e l número c uántico rad ial, rel ac ionado con e l número de nodos de la func ión de o ndas radial: da el ordinal de la subcapa (enésima vez que aparece la onda e). El orden de llenado de las capas según lo visto es: [ 1s],

o 2

[ 1pl, 1 6

[ld,2s], 2 12

[ 1f,2p], 3 20

[I g,2d,3s], 4 30

l I h,2f,3p],... 5 42

correspondie ndo cada capa a N =O, J, 2, 3, e tc. En la figura 3. 1O puede observarse la estructura de capas e n función de la e ne rgía.

Espectro del potencial de Saxon-Wood s Si se quiere re produc ir la de nsidad nuc lear, se puede intuir que la forma del potenc ia l nuclear medio vendrá dada por una ex presió n de tipo Fe rmi o SaxonWoods:

1

V(r) = - 1

+ ,¡,v"- R)/i 1

(3.28)

con los valores de los parámetros:

Va "" 50 MeV

R = roAl /3

con

ro~

1,2 fm .

t = O, 55 ±O, 07 fm. e n donde 4t In 3 re presenta la conocida anc hura de supe rficie (la a nchura de fin ida como e l intervalo que separa e l 90 % y e l 10 % de la densidad máx ima). Sólo habría que te ne r en cuenta que para los protones, e l potencial cerca de la superficie nuclear será re pulsivo, y a gra n d istanc ia, igual al potenc ia l de Coulo mb, como se ha dibujado en línea de trazos e n la figura 3.9. Los estados e ne rgéticos predichos por este pote nc ial, difieren ligeramente de los que pred ice e l potenc ial de l oscilado r. Véase su efecto e n la figura 3.10, donde se observa que este potenc ia l rompe la degeneració n de los estados que, te nie ndo e l mismo número cuántico del osci lador N, poseen un mome nto angul ar orbital, d istinto. Pero aunque se mejora la di stribución e nergética de los estados, sigue sin predecir correctament e la secue nc ia conoc ida de números mágicos.

e,

112

1 co¡ws Mod<'l os 1111d1•111·es. M odelos colt•<'f11 0 .1· y 11111del o de

V(r)

p

-Vo Figura 3.9: Forma del potencial de Fermi o de Saxon-Woods. Res el radio nuclear.

3.7.2 Interacción espín -órbita espín. La inclusión Es bien sabido que la interacc ión N - N depende del o de interac ción espíni.:n el hami ltonian o de partícu la individ ual de un términ y J. H. Jensen (Premios 6rbita, introducida en 1949 por M aría Goppert M ayer describe correc tamen te Nobel de Física 1963) junto con D. Haxe l y H . Suess, los números mágicos:

h(r;)

= h,-h) + a·~~/

(3.29)

desplazar 1igeram entc los Se suele añadir un términ o propo rciona l a f2 , para nto angu lar e. Con esto valores de la energía en función del valor del mome a a los que produ ce el se consigue que los resultados se asemejen más todaví ano más correcto sería: potenc ial de Saxon -Woods. Es decir que el hamiltoni (3.30) a del nucleó n inLa interacción espín- órbita aumenta la energía de l igadur los estados del los; parale dividu al cuando el espín y el momento angular son = [ ¡ s'; es total r angula nucleó n se desdobl arán según el valor del momento r a dos, ya luga darán O > l decir, todos los estados con momento angular orbita a medida ta aumen ticos 1/ 2. La dif erencia entre esos niveles energé que j = números tres los por zados que aumenta Ahora, los estados quedarán caracteri e: obtien se s) (e· de cuánti cos 1N , j), y al ca lcular el valor esperado

s

e

e

e±

J

e.

e,

.j

= e+ i / 2

j = P- 1/2

11 3

A111011io Ferrer Soria lo que produce una separación y reagrupac ión de las capas obte nid as por e l oscilador en /'::;.[i +-J- = 2 (2C+ 1), que, como se ha dicho, aumenl a con e l valor de Según Bohr y Motlelson ( 1969), E j - - E.i+ ~ l0(2f + J ) A - 2 13 Me Y. Se verifica experimentalme nte que e l ni ve l de mayor j (o sea j = f + 1/2) está más ligado. Ello imp li ca que en e l té rmino [. de (3.29), e l factor a < O. En teo ría de perturbac iones, y si e l factor a depe nde de r, la corrección se calcularía:

e.

s

Incluyendo e l término correctivo de l hami ltoniano en €2 , cuyo va lor propio es e(e + 1), los nive les predic hos para las energías solución de la ecuación de Schrodinger serían :

J = e+ 1/ 2 (3.3 1) -~(e+ 1)

J = e- 1/ 2

e

con b ~ - 0, 03ñ.w lo que produce pequeños desp lazamientos en func ión de y a~ - 20A- 213 MeV, como ya se ha indicado más arriba. Ahora, e l orden de oc upación de estados, se encue ntra utili zando la notac ión (nei):

l s L¡2, (lp3¡2, lP1¡2), (ldr;¡2. 2s 1¡2, l d3¡2), l h¡2 , (2p3¡2, lfs¡2, 2p1 ¡2, 199¡2), (191¡2, 2ds¡2, 2d3¡2, 3s1¡2), l h u ¡ 2, (lh9¡2, 2/¡ ¡2, 2fr,¡2, li13¡2, 3p3¡2, 3P112), ... El número de estados posibles en la subcapa ne.i vie ne dado por 2j + l. Se obtiene una distri bución de niveles (véase la figura 3.10) en la que aparecen claramen te distanc iadas las capas comple tas q ue esta vez sí que reproducen los números mágicos:

N = 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126 , 184, .. .

z =2, 8, 20, 28, 50, 82, lli, 126, .. .

prediciendo además una isla de estabilidad de núcleos superpesados e ntre A

=

298 y A = 310, que todav ía no se ha e ncontrado, aunque rec ientemente (fi nes de 1998) se han observado indicios de formación de l núc leo con Z = 114 y A = 289. Tres laboratorios en el mundo compite n en la búsqueda de núcleos cerca de la isla de la estabil idad: Dubna (Moscú), LBL (EEUU) y Darmstadt (D). A ellos se de be e l descubrimiento de los núcleos con números atómicos compre ndidos e ntre Z = 93 (neptunio) y Z = 112 (s in nombre todavía). Los semiperiodos de estos núcleos son mu y pe queños co mo puede constatarse observando los valores correspo ndientes en las ta blas del Apéndice E. 114

Modelos 1111cleares. Modelos cole<·tivo.1· y 111odelo de copas

7 Jj

---"'.

'

6

3d -- -<-=-~:-:;~,

2g - - :.:_ - -11 ~ :,-- ·--

5

,.-

~2~

3p - ~-::.".. ___ '-,-

l h - - < ____

® ::::

3

::_,. ___

1r -

2 2s - -- - - _-------ld - -- -:.-____ _

1

N=O

1 OSC ILADOR

lp -- ~-:.:: ==

2 3p 112 4 3p 3/2 1 4 l i 13/2 2f 512 2f 7/2 10 l h 912

g

®

-:.-::--==

2p -

~d3/2

712 • . 5/2 35 J 13/2 1112 Zg9/2

12 lhl l/2 2 3s 112 2d312 4 yds12 . g712

3s - -- - - - - - - 2d- ---::.:.-_:-:_-

lg -

13.. g

2f - - - c-<-:."..:::_

4

4s 112

2 4

4s - -- -- -~,: ~-

®

®

!º ~

l.g9/2 2P112 JfS/2 2 P 312

8

l f 7/2

4 2

ld312 2s 112 l d 512

6

®

2 4

IP 112 lP312

@ ls

--~

.. ·• · · · ·

1 FERM I-WOODS

2

Is 112

1 WOODS +SL

Figura 3. 10: Estructura de niveles energéticos predicho por el modelo de capas esférico con acoplamiento espín-órbita. Los parámetros del potencial de Fermi o Saxon-Woods e legidos son: Vo::::: 42 MeV y R ::::: 10 fm. Otros parámetros dan lugar a una ordenación energética de los niveles ligeramente distinta. También puede ser distinta la ordenación para proto nes y neutrones. Obsérvese q ue el llenado de capas coinc ide con los números mágicos (dentro de un círc ulo).

3.7.3 Configu ración de estados par tícula ind ividual Para identificar los estados descri tos por el modelo de capas, se recurre a la config uración ele los nucleones. Esta , in forma ele manera si mplificada cuál es

11 5

A11trmio Ferrl'r Sorio la ocupació n de los niveles energéti eos. Si es un protón se ll ama estado 7r y si es un neutró n se llama estado v. Los estados excitados nuc leares correspo nderán a estados excitado s de los nucleones. L a configur ación sig ue la notación ( ?rrdJ )~ para protones y (vnl1 )~ para neutrones, donde el superínd ice /..: represen ta el número de nucleones en la subcapa ; si negativo , indica huecos o agujeros : k es el número de ocupació n; j el momento angular total del nucleón con moment o orbital y J el espín total del sistema de l os k nucleones. A sí en el caso del 17 O que se obser va en la figura 3. J l , si se interpreta el nivel excitado nuclear 1/ 2- , que se observa con una energía superior a 3 Me V, en términos de los nucleones que ocupan capas incompl etas, se ve que podría explicarse por un acoplam iento entre un estado de neutrón individu al , (vlp ¡ )~~ y 1 2 los dos neutrones de la config uración ( vld¡;¡z)6 y, efectivamente, dan lugar a un nivel con espín paridad 1/2 - . Se describi ría corno (vlp ¡2) ~/~ (JJ1d 1 5 ¡2)6 ~ - . L a paridad P = - es el resultado del producto de paridades de los nucleones en los estados p 1¡ 2 y d¡;¡z, es decir (-1) 1 x (-1) 2 . Se observa que algunos estados pueden ser descritos por más de una configur ac ión. Recuérd ese que, no rmalment e, las fuerzas de apaream iento acoplan a J = O cuando se trata de un número par de nucleones. Es .l o que ocurre con los pro tones, que son un número par para el 17 O . La misma expl icació n vale para el 17 F, in tercambiando protón por neutrón.

e

3.7.4 Espín-paridad de núcleos con A impar Una de las predicci ones más efectivas del modelo de partícula individu al en los núcleos con A impar es que supone que los números cuántico s de espín y paridad del núcleo son los del nucleón no apareado . A sí, el modelo de capas permite expl icar con éxito los números cuánticos fP del estado fundame ntal de un gran número de núcleos con A impar, en particula r lo s de los más esféricos . Para ello predice que el espín del núcleo J = j, coincide con el moment o angular del nucleó n aislado (no apareado), que se supone que se encuentra en la capa exterior incompl eta y l a Paridad P = (-1/ q ueda definida por el momento orbital .e de dicha capa.

Ejemplos:

¿tío ~5N ~70

~óCa

(neutrón aislado en (protón aislado en (neutrón aislado en (neutrón aislado en

l ]J1¡2, fP = l ]J1 i 2, J P = ld5¡z, J P = l h ¡z, f P =

1/ 2- ), 1/2 - ), 5/2+) , 7¡2- ), etc.

También explica los núcleos con un hueco (capa co mpleta menos un nucleón ), en los que predice el mismo J P que en nucleones aislados. H ay evidenci as experim entales de la ex istencia de capas, obtenida s en multitud de estudios de reacciones nucleares, entre los que cabe destacar los dos ej emplos siguientes:

116

Modelos 1111cfeares. Modelos coleuivos y modelo de copas 11) el cs111dio de las dislribucioncs energéti cas de los protones emitidos en 11 12 111 1cucc ión de k11ock-0111 C(µ, 2p) JJ , en el que se verifi ca que siguen distri hm iones de ondas .e; y p; 5 h) la medida de la di ferenc ia de la distribución de carga de l §? T l respectoa lt1 l k'I ~~n Pb, en la que se observa que sigue la forma esperada por una onda . 1 ~ 1 ¡;.i . es decir, la del protón extra en el Pb (¡onda s con tres nodos!). No LOdas las predicciones del espín-paridad de núcleos con A impar son 1 oi 1ce las. Hay algunas excepciones, en l as que se debe recurri r a correcciones 110 es féricas del modelo de capas, como se verá más adelante.

H (MeV) o estado vacío (hueco) • estado ocupado por un nucleón 3/2+ 5 - 3/2-

----- --- ---- -- -- - - - - -- -- -- - - -- -- ---- -- ----- -.

4 _ 5121/2 -eeiee--1-+-eee~c--~~~-l---O&OO--!--t--tl{Jeie-11-\_.eoo>-t- ld~2

- r - + - t -'9&-+--t--f--+--+-....,1-t-1-00--- +-+-ffA--+- 2s 112

2-

~~~~:!00aef--lf..ee!*~-+
_.._+-+-~~--1i---l1A--+-+-~~+-+--.l---l-+-il--+- 1Pin

l p.lll ----+-+--~--ll---l....-1--1--

-+-+--

--t-+-il-

-+-

1s 112

- - r--- -----1

o

Fig ura 3.1 1: Interpretación de niveles nucleares por el modelo de partícula in17 17 dividual para los núcleos espejo O y F, cuya estructura ya se ha visto en la los estados de nucleón individual. representan se ligura 1. 13. A la derecha

Por otra parte, el modelo de capas tiene poca precisión para magnitudes tales como los momentos multipolares electromagnétic osµ y Q, como se verá a con tinuación.

3.7.5 Momentos magnéticos dipolares: líneas de Schmidt El momento dipolar magnético del núcleo será debido al del nucleón no aparcado. El momento magnético vendrá dado por el valor esperado de ~t z (tomando como eje z el de la di rección del campo B), calculado en el estado de m~x ima proyección mJ = j:

ff 7

A111011io l·'errer Sorio

µ sp

= (j, m = jlP,zlJ, rn = j )

con

(3.32)

Para calcularlo se hace uso de la conocida fórmula de Landé: (3.33)

J

Un nucleón tie ne un momento a ngular total = l+s, siendo eel momento angular orbital y s = 1/ 2 su espín. Por consiguiente, los productos:

siendo fácil comprobar que se obtiene: (3.34) en donde e l signo ± indica cada uno de los valores que puede tomar el momento angular total de.I nucleón, j = 1/ 2. Al unir las predicciones para cada una de las dos paridades posibles con una línea recta, se obtie ne n las llamadas lfneas de Schmidt ( 1937). Evidentemente, los resultados de las medidas de los mome ntos magnéticos, sólo tie ne n sentido físico en la abscisa correspondiente al espín del núcleo. Los valores experimentales se encuentran cerca de las predicciones de Schmidt, pero hay una diferencia sistemática (véase la figura 3. 12). Es como si lo s nucleones ligados tuviese n un factor giromagnético ligeramente distinto. La comparac ión podría mejorarse si se uti lizara el factor empírico O, 6 x gs . El modelo de Yukawa sugiere que los nucleones tie ne n una nube p iónica que podría explicar la diferencia de valor de g .. . Tambié n se concluye que la función de ondas de partícula individual es una aproximación. Rec uérdese que para núcleos con N im par, debe utili zarse los pará metros del ne utrón: g8 = - 3, 83 y ge = O, mie ntras que para Z impar los del protón: 9s = 5, 59 y ge = l. En cualquier caso, cuando se mide n experimentalmente los momentos dipolares magnéticos de los núcleos se e ncue ntra:

e±

(3.35) sie ndo DJ el factor giromagnético nuclear, cuyo valor puede deducirse directame nte de la fórm ula (3.34), teniendo e n cuenta que J = j .

118

M odelos lltf('ll'fll 'l'.I'. M odelos colectivos y 111odclo de co¡u1.1·

11:jcrnplos:

1) El momcnLo dipolar del tritio: 1),(3 ll) = 2, 98 /L N, mu y parecido al del p1016n, que es el nucleón no aparcado. 2) El momenlo ¡t(' H e) = - 2, 13 /J,N, parecido al del neutrón i ndiv idual. 3) El momento ¡1.( 10B) = ] , 80 /J,N, cuya predicc ión es la suma de los nucleones individuales: (2, 79 - l. 91 + 1 )µN = 1, 88¡.tN.

~

2

1=3

µN

o

......

-2

'•* "*•*

l=O

1/2

I

1=4

1=5

t+

+

+

i

•2

l

•3

7/2 512 3/2 Espín N uc lea1·

+ +

•4 9/2

a) N impar

8

µ µN

~~~~~~~~~~~~~~~~~-----.

6 4

2

o -2 '--~~'--~~"--~~"'-~~-'-~~-'-~____.

1/2

7/2 5/2 3/2 Espín Nuclear

9/2

b) Z impar Figura 3. 12: Las líneas de Schmidt; predicen los momentos magnéticos para núcleos con A impar, suponiendo que éste es e l del nuc león no apareado. Para cada valor del espín nuclear se tienen dos valo res de l momento angu lar orbital posibles. Los va lores med idos(+) están contenidos entre las líneas de Schmidt.

El acuerdo entre el modelo teórico y los elatos experimenta les es ba stante hucno para núcleos ligeros. La tab la 3.2, contiene una comparación de v;i lorcs para núcleos con A = 15 y A = 17.

119

!111w11io /•(,rrer Sorio

TABLA 3.2: Valores Leóricos y expcrimc111ah.:s del 1110111cn10 Jipolar magnético para varios núcleos. L a confi guración es la del modelo de capas.

núcleo

';)N 150 11 0

11 F

f l-'

configuración

i ¡ 2i ¡ 25¡ 2+ 5¡ 2+

1

(7rl P1¡ 2)(vlp1 ¡2)- 1 ( // l d5¡2) 1 (7r l ds12) 1

µt (f.LN) -0, 264 + 0, 638 - 1, 913 +4, 722

µ c:r (µN ) - 0, 283 + o, 719 - 1, 94 +4, 721

3.7.6 Momentos cuadrupolares eléctricos El momento cuadru polar Q, en el modelo de partícula i ndividual en un estado IJ,r n > como el defi nido en (3.24), se calcu la:

(Q20)

(16; 2 j(j + 1) - 3m 2 = (jmly 5 r Y20 1Jm) = 2j(j + l ) (r 2 )

en donde (r 2 ) = ./ drR;, (r)r 4 R,,(r) =

(3.36)

Q0 es el momento cuadrupolar intrínse-

co. Si se trata de un núcleo con un protón aislado, fijando m = j en la expresión (3.36), se obtiene:

Q s p --

2j - 1 (

-

2 (j

+ 1)

1

.2)

(3.37)

y como se puede aproxi mar (1· 2 ) = ~ R 2 , entonces Q ,...., A 2 13 prediciendo valores co mprendidos entre 0,0 15 barn (para A = 10) y 0,5 barn (para A = 220), es deci r de 2 a 3 veces más pequeños que l os valores medidos experimental mente. En el caso de lantánidos y actínidos l a di ferencia es mucho mayor, pudiendo llegar a ser de hasta un orden de magnitud. En l a figura 1. 12, se presentó una recopilación de valores experi mentales de los momentos cuadrupolares de los núcleos. La figura 3.13 muestra la comparación de la distri bución de momentos cuadrupolares, a través de los momentos reducidos:

Q,·cd

=

Q/(Z (R 2 ))

(3.38)

medidos en núcleos con Z o N impar. Esta magnitud, permite comparar las deform aciones nucleares, independientemente del tamaño del núcleo. En la figura anterior se observa que Q ,..., O cerca de los números mágicos, y que abundan más los núcleos prolatos.

120

M odelos 1111c/eore.1·. f\/l odl'lo.1· col ec1i110.1· y 11wdelo de co1H1.1·

Figura 3. 13: Valores experimentales del momento cuadrupolar reducido, cuya definición puede verse en la escala de ordenadas. Es una magnitud que permite comparar los momentos cuadrupol ares de los núcleos, independientem ente de su tamaño.

Para núcleos con un neutrón aislado se debería tener Q = O ya que el neutrón no tiene carga; si n embargo no sucede así experimental mente. Se puede suponer que el momento cuaclrupolar es debido al movimiento de los Z protones, encontrándose el neutrón aislado en una posición ciada por 1'/(A - 1) , con lo que se cu mple:

(3.39)

4 2 o sea, Q sn "' A - 113 , que predice valores de 10- a 10- barn. En capas con más de un protón indiv idual, se pueden sumar las contribuciones de cada nucleón, teniendo en cuenta que un hueco se comporta como Q = - Q"": Por lo tanto, como el número máx imo de protones en una ca pu es 2j + J, el momento cuadrupolar eléctrico de un núcleo con n .r protones en la

12 1

A111011io Ferrer Sorio

capa incompleta valdrá:

Q = Q s p ( .1 - -2n,.c ---2) 2J - 1 En la tabla 3.3 se muestran algunos valores ex perimentales de momentos magnéticos y momentos cuadrupolares e léctricos de a lgunos núcleos, que ilustran los conceptos desarro ll ados anteriormente. TABLA 3.3: Valores experimentales del momento di polar magnético y cuadrupolar eléctrico para varios núcleos.

núc leo J.l(J.lN)

Q (barn) núcleo

µ,(µN )

Q (barn)

n - 1, 91 -

::,' Co 4,72 +0,52

p

2,79 lM N b

6, 17 - 0, 37

"H 0,857 +0, 00288 rt>1Dy

- 0,48 +2,51

"O -1 , 89 - 0, 025 ttl>Lu 3, 17 +5,0

'" F e 0,09 z:i::,u

-0,38 +4, 936

En conclusió n, los va lores de los momentos µ y Q no los reproduce con precisión e l mode lo ex tre mo de partícula individual. Sin embargo este mode lo da la tende nc ia coITecta de dichos valores y da tambié n las variac iones re lativas observadas. Las diferenc ias e ntre valo res pred ic ho s y me didas experimenta les aumentan e n los lantánidos y actínidos, debido sobre todo a la deformac ió n nuc lear. Pa ra Z y/o N elevados las discrepanc ias con las predicciones de Q e n e l modelo de part ícula individual llegan a ser de hasta un orden de magnitud.

3.7.7 Hipernúcleos Los núcleos estables están compuestos por nucleo nes (protones y ne utrones). Tambié n se ha n visto muchos núcleos inestables, a nálogamente compuestos por protones y neutrones, en e l plot de Segré (plano Z - N ). Como se verá en física de partículas, además de nuc leones, existen partículas ba rióni cas extrañas,4 por ejemplo aquellas en las que uno de los tres quarks del protón (uud) o del ne utrón (udd), se ca mbia por un quark extraño, s, dando un hipe rón sigma E+ (uus) o un lambda Aº (1ids), que puede n crearse y ex istir en e l interior de un núcleo tras una inte racc ión a gran energía y reemplazar a uno de los nucleones. Por ejemplo, si un neutrón de un núcleo de he lio se cambia por un hipe rón A0 , se obtie ne un hipernúcleo ~ He, compuesto por dos protones, un ne utrón y un hipe rón A0 . Este hipernúc leo no se rá esta ble y se desintegrará necesari amente con una vida media igua l a la de la partícul a Aº (1115). El número 1 115 que se da e ntre pa ré ntesis representa la masa (redondeada) de Ja pa rtícula en Me Y; en este caso, el hipe rón A 0 tie ne una masa de 1 1 15 MeY. 4Se estud i:111 con m:ís deial le en el lema 16 dedicado a los hadrones.

122

Modelos 1111c/eares. Modelos colectivos y 111ode!o de cr1pa.1· En la figura 3. 14 , se muestra el primer hipernúc leo descubierto ( M . D anysz y J. Pniewski , Philosophica/ Magazine 44 ( 195 3) 348), en una emul sió n fotonu<.:lcar expuesta a la radi ació n cós mica. L a reacció n del protón procedente de la 1atliación cósmica, de alta energía (con un momento de unos 30 G e V /c), intertu.:c io na con un núc leo de la emulsió n fotográfica (bromo o plata) .

.

1

1

j

•

..

.,·

1

... ..

·, / /

3

ª--.~-á:------~l------

, . .·

2---.

·,- ,,·

50 µ

Figura 3.14: Fotografía de una reacción nuclear producida por un rayo cósmico (protón) de alta energía, detectada por la técnica de la emulsión fotográfica (la ioni zació n de la partículas cargadas producen granos que dan lugar a trayectorias visibles al revelar la emulsión). El hi pernúcleo, identificado como 8 B e, tie ne una vida demasiado larga (segmento f) para ser un núcleo inestable típico. Obsérvese la resolución dada por la escala de 50¡;,.

123

A111011io flerrer Sorio La reacc ión del pro tón cósrr!ico con el blanco nuc lear da lugar a una estrella de fragmentos nucleares en el vértice A que se emiten en tocias direcciones; entre ellos hay uno que recon-e un largo segmento (el segmento f) porque tiene una vida media muy larga, característica de los hipernúcleos. En efecto, los fragmentos nucleares típicos producidos en la reacción tienen vidas medias del orden del tiempo nuclear característico ("' 10- 22 s), mientras que los hipernúcleos tienen v idas medias propi as de l os hiperones (el Aº( 1115) tiene una v ida media de 2, 6 x 10- JO s, corno puede verse en l a tabla 8.4 del apéndice B). El hipe1fragrnento acaba desintegrándose en el vértice B y se puede interpretar corno la desintegración del núcleo 8 B e dando:

~ Be--+

3

H e + 4 H e+n+7r-

La trayectoria marcada con 3 es la del pión ya que es la más gris, o sea la menos ionizante. Las trayectori as 1 y 2 corresponden al helio-3 y al hcl io-4, más negras, que acaban parándose. La importancia de los hipernúcleos es que permiten estud iar los niveles del modelo de capas ya que el hiperón A 0 no está sujeto al principio de exclusión, corno es el caso de los neutrones. En aceleradores se han estudiado procesos corno:

1<-

+

i2c __,

12c 11

+ 7f-

en donde la medida de las energías del 7r- informa sobre lo s estados energéticos del 12 C predichos por el modelo de capas. En los últimos 50 años, se han producido muchos hipernúcleos en el CERN (durante los años 1960 and 1970), BNL ( 1970-80) y KEK ( 1980-90), primero utilizando haces de 1<- , y posteriormente utilizando haces mucho más intensos de 7r+ . Recientemente, con memorando el 50 aniversario de la física de hipernúcleos, se ha iniciado un programa intensivo de estudios de hipernúcleos en el anillo de co lisiones e+e- DAFNE de Frascati . DAFNE es la única factoría de mesones (1020) en el mundo; produce 12 millones de mesones

, para producir hipernúcleos en un bl anco nuclear.

3.8 Modelo unificado Tanto los modelos co lectivos, que describen propiedades g lobales de los núcleos con magnitudes que suelen vari ar suavemente con el número de nucleones A, como los modelos microscópicos de partícula individual, son modelos que describen casos extremos. La realidad es que todos los núcleos presentan en mayor o menor medida, propiedades que pueden describirse por ambos tipo s de modelos. Se ha convenido en denominar modelo unificado, al modelo que trata de asociar predicc iones del modelo de capas (de partícula indi vidual) con el modelo colectivo. 124

Modelos 1111cleores. Mor/e/os col ectivo,1· y 111odefo de cr1¡ms

Se abordarán aquí solame nte dos va ri antes de modelo tipo un ificado.

3.8.1 Modelo de capas de muchas partículas Se supone e ntonces que todos los nucleones que se encue ntran e n un a capa no lle na, contribuyen , a través de interacciones residuales, a confi gurar la cslruclura de niveles.

3.8.2 Modelo de capas en núcleos deformados La existencia de núcleos deformados en equilibrio, produce desviaciones respecto a las predicciones del modelo de capas esférico, en el que se supone que los estados se obtienen a partir de una partícula individual en un potencial medio esférico. Sea un núcleo deformado ax ial mente. El hamiltoniano será ahora: (3.40)

,.2

co n hc(r;) = _ -2:.._ t, i 2¡),

+ V(r., ), e n donde V(ri) = ~µw 2 r2 , es el potencial de

un osci lador armónico isótropo tridimensional, que caracteriza la parte esférica del potencial y (3.4 1) re prese nta la deformación 5 debida a un campo c uadrupolar. Los estados propios de este hamiltoniano reciben e l nombre de orbitales de Nilsson, que foe e l físico nuclear que los calculó por primera vez. Ahora, en el caso de núcleo deformado, el momento angular .i ya no es un bue n número cuántico. Los nú cleos esféricos tienen por números cuánti cos JN l!j > .En el caso de un núcleo deformado ax ialrnente se denomina n a la proyección del momento a ngular según e l eje de sime tría y mi, la proyecc ión de J sobre el eje de l laboratorio, sigue sie ndo un buen número c uántico. Los estados de Nilsson se obtienen al desarrollar:

IND >=

L CNejlNPj D > e]

donde los coeficientes CNej depe nde n de la deformación nuclear /3. Pero para especificar unívocame nte un estado se necesitan dos números c uánticos más: 5

Rccuérclese que Q20

!(:¡ - R1

R

= r 2 V~ Y20 , y el parámetro de defor111aci611 : f3 =

~V~~

:::

. 125

/\111011io

Ferrer Sorio

11:1 -1 n J proyecc ión de N según eje de simetría; N ,\ proyección de l e n eje de sin~etría; ,\ = ±n_¡_, ±(n_i - 2) , ... , ±J ó O.

n;_¡

Los ni veles e nergéticos vienen dados ahora por la suma de las tres proyecciones: 3 E Nn 3 n

= L (ni

+ l / 2)fíwi = (n3 + 1/ 2)1'1.Wa + [(N - na)+ l]nw_¡_

i= l

La frecue ncia media del oscilador toma la forma w =

1(w 1+ w2 + w3) =

! (2w_¡_ + w3 ) siendo w la misma frecue ncia que en el caso esfé rico.

Ahora existe una re lación entre la frecuencia y la deformación:

/3=

W _¡_ -

W3

~ /J..R

R

w

En el esque ma de Ni lsson, los estados y sus niveles de energía se suelen tomar en función del número del oscilador: D[Nn3,\], o también [Nn3,\0] y se re presentan e n función del parámetro de defo rmación f3 = !J..R/ RofJ (véase la fig ura 3. 15).

4.00

(202M (

E

(2001n )

hw 1211112 1

)211Yl )

3.00 )2201n )

_________ _____l .!'ui. ___ __ ______________ -

2.50

¡ 1011n J

( IOIJn)

-~~---_- - - - - - - - - - - ,Si12

- -- - -- -- -- --- - -- -

--- -- --0.4

~

-0.2

o.o

Defom1ación (

0.2

0.4

P)

Figura 3. 15: Espectro de órbitas de partículas en un potencial esferoidal < 20) calculado por N il sson y Mottelson.

(N, Z

126

Modt1 /os 1111cfeores. Modelos cofrc rivos y 111odt1 fo de «011os

La co ncl usió n es q ue ahora la o rde nac ión e ne rgética de niveles no es la del 111mk:lo es fé rico (véase la fig ura 3. 10) sino que es func ió n ele la deform ac ión (J rn1110 acaba ele verse e n la fig ura 3.1 5. Así por ej empl o, núcleos po r e nc ima de l 111 0 , van llena ndo las capas sd y son prolatos; a l calcul ar los nive les energétit:os, se e ncuentran di fe rencias respecto al mode lo esfé rico. M ás convincente es lu pred icció n de espín-paridad de núc leos; por ejemplo 19 F , l 9 N e, 21 N e, 23 Na, que deberían ser fP = 5/2+ se e ncuentran 1/2+, 1¡2+, 3/2+ y 3/2+ respecti v11n1e nte, ele acuerdo con los resultados experime nta les. Si sólo la partíc ula no apareada determinase todas las propiedades nucleares se tendría por ejemplo que 41 Ca =: 43 Ca, lo que no sucede. En e l 43 Ca de ben rn nl
3.9 Ejercicios 3. 1 a) Determinar los momentos angul ares y paridades predichas por el mode lo de capas para los estados fu ndame ntales de los núc leos siguientes: t 2c, u

B,

20 Ne, 21 Al, 4LCa y

G9G a.

b) Hallar la configurac ió n, el espín y la paridad de los núcleos wo, 208 Pb. Representar en un diagrama la colocación de los nucleones.

4

°Ca y

3.2 El espín-paridad fP y energ ía de excitación E del estad o fundamental y una seH f vienen ciados en la sig uiente tabla: cuencia de estados excitados del núcleo

go

s+ E(keY)

O

100

32 1

64 1

104 1

Calcular e l momento de inercia del núcleo para cada uno de los estados excitados. Comparar los resultados con el momento de inercia del núc leo considerado como una esfera ríg ida rotando. DATOS: El mo mento de inercia de una esfera es fm.

ENl R 2 . Tomar R = 1, 2 A 113

g

3.3 Los niveles del 4 H f muestran dos bandas rotacio nales similares, con energías dadas en Me Y en la tabla siguiente:

Banda 1 2

E(o+)

o 0 ,827

0 ,09 1 0,900

0,297 1,063

0,60 8 1,307

1,01 0 1,630

1,486 2,026

2,02 1 2 ,489

Comparar los mo mentos ele inercia ele estas dos bandas y comentar cualquier dil"erencia observada .

127

A11w11io N•rrl'r Sorio 3.4 a) alcular el mo111en1 0 cuadrupq.Jar eléctrico del ~u!I 131 ( ~ ) según el modelo de capas y compararlo con el valor experimen tal , Q = - 0, :37 barn. b) Calcular los valores de los momentos dipolares magnélicos esperados según el modelo de capas y compararlos con los obtenidos experimentalmente, en el caso de los siguientes núcleos:

Núcleo 7GQ e 87 Sr

vizr

.1

Núcleo

2

/le:rp (µ N) +0,510

?

- 1, 093

1<11Eu

t-

g+

§+

J 2

Jle.cp (µ N) +5,34

2

+6,06

7-

47 S e

1t -

- 1, 304

3.5 Calcular a) el Volumen de un n(1cleo, \/ = ./ drl

l "(fl)

r 2 dr , hasta términos de

segundo orden, y b) las coordenadas del radio del centro de masas fl c111, 1,

7 = JJ1 p(r) d:Jr , 3

p(r )d r

hasta

térm inos de pri mer orden, en función de las coordenadas de superficie G>, 1, . 3.6 L os nC1clcos con A = 14 siguientes: 14 C, 14 N , 14 0, tienen una estructura de ni veles muy parecida. El estado fundamental de los tres núcleos tiene espín-paridad

f P

= Q+ .

a) Calcular el isospín total T y la tercera componente T3 de cada uno de los tres n(1cleos. b ) En la desintegración 13+ superpermitida, 14C --> 1' 1N +e+ + ve, cambia de estado uno de los nucleones. Dibujar el esquema de los niveles del modelo de capas individual y el cambio de configuración que tiene l ugar. 3.7 a) Comprobar que uti lizando un modelo si mpl i ficado en el cual un nucleón posee valores constantes de/. j y 111, su función de ondas se puede escribir como:

1fl (l, j, m )

= 1/;(r ) · {

(1 ~ (m + (l

~(

111

~) ~

1

+ ~) -

j m ) a Yi"' - !(O,
~ j 'In) f3Y¡ m+ ! ((}'
b) Calcular el momento cuadrupolar eléctrico de un protón desapareado.

128

Parte 11

Técnicas experimen tales en física nuclear

.f.

Interacción de las partículas con la materia

d. l Interacción de partículas cargadas con la materia El estud io de las interacciones de las partículas con la materia es un capítulo l undame ntal de la física nuclear y de partículas (también llamada física subnul k ar) que proporciona e l método más corriente de obtener información relativa 11 los núc leos que compone n la materia (tamaño, forrna, nivele s ene rgéticos, etc.) y 11dc1mís permite profundizar en las propiedades de las propias partículas. Cualquier experimento en física nuclear o subnuc lear, generalmente tiene poi' objeti vo el estudi o de reacciones entre partíc ul as o núcleos y e n otros casos l'sllldia la desintegración de las partículas o núcleos. Se compre nde así que, en todo experimento , existe n tres componentes: una fuente de partículas, un blanco 11 1111c ri a l (del que se conoce su composición atómica y nuclear) y un detector de p11 r1 íc u las. Se suele n considerar tres fuentes de partíc ulas (o de rad iació n): • radiacti vidad (natural o artificial), • rad iac ión cósmica (natural), • aceleradores de partículas (artifi cial). El func ionamie nto de los detectores de partículas explota generalme nte lrn6 mcnos e lectromagnéticos; es decir, está basado en el conocimie nto de la inte racción e lectro magnética de las partíc ulas cargadas con e l materia l (gas, líqu ido o só li do) que compone e l propio detector. Uno de los fenó menos más ln.:c ue ntes es e l de la ioni zación, en e l que la energía perdida por la partíc ul a es 111ili1.ada para a rrancar electrone s ele los átomos (ioni zar) ele la mate ri a. 13 1

/\ 11to11io Ferrer Soria La interacción electromagnét ica es la más probable de las inwracciones, a unque no es la más intensa. Su alca nce es inlinilo y la sección eficaz de ionizació n es del orden ele JO - Ju a J0- 17 c m 2 , o sea ¡entre 10 7 y 10 8 barn !1 Para el estándar de secciones e ficaces nucleares eslos va lo res !;On g iga nlcscos. Los fenómenos producidos por el paso de partíc ulas cargadas a través ele la materia suelen clasificarse según la masa del proyectil en:

partíc ulas cargadas masivas

{

partículas cargadas ligeras (e± )

colisiones con e- : pérdida de e nerg ía colisiones con núcleos: cambio de direcció n

¡

colisiones con e-: pérdida de e nergía colisiones con núcleos: cambio de di rección bremsstrahlung: emisión de radiación gamma

Las partíc ulas neutras no tienen interacción electromagnéti ca (exceptuando el fotón , que aunque tiene carga nula, es e l mediador del campo electromagnéti co con lo que ti ene in teracción electromagné tica) y, por lo tanto, puede suceder que atraviesen un detector sin dejar ninguna señal observable. En particul ar no ionizan. La detección ele las partículas neutras se reali za indirectamente grac ias a que sufre n otros tipos de interai.:ción que dan lugar e n el estado final a la aparición de partíc ulas cargadas. He aquí tres casos frecuentes ilustrados con ejemplos del tipo de interacción de partícu las neutras: fotones ('y)

ne utrones (n) ne utrinos

(1/p 1 1/ 111

v.,.)

interacción electromagnética; a través ele los fenómenos: efecto fotoeléctrico, efecto Compton, creación de pares interacc ión fue rte; por ejemplo: n + p --> n + p (elástica) interacción déb il ; ejemplo: ve.+ n --> e-+ p

que producen secundarios cargados, y que una vez de tectados, pe rm ite n calcu lar las magnitudes físicas de las partículas neutras. El objetivo de este capítulo será pues abordar de una manera completa los fenómenos más frecue ntes que se producen cuando las part ículas atrav iesan la materia, de fo rma que puedan utilizarse las señales inducidas e n los detectores. La electrod inámica cuántica (abrev iadamente QED) es la teoría que describe la inte racción electromagnética e ntre partíc ul as cargadas. En e lla, la magnitud física que e ntra en juego es la carga eléctrica. La interacción se desc ribe

132

/11 /em< ·ció11 r/e los /Jlll'/(1'11/0 .1· <·011 la materia

1111.:dianl<.: d intercambio de fotones, partíc ula fJllll.fJ<' de la propia teoría QED, 111varianl<.: fJOU.'J(' (véase la secció n 14.4, más adelante). Será la interacció n entre 111 carga de la partícula y los átomos del detector ( electrones o núcleos) la que d111 á una seña l observable. L a forma de la señal dependerá del tipo de detector que :-e utilice.

4.2 Interacción partícula-átomo La interacció n partícula-átomo puede visuali zarse gracias al parámetro de i111p;icto, b, que co rresponde cuánticamente al momento transferido en la colisi<'\ n. Esta magnitud se comparará a re, el radio cl ásico del electrón que vale y qu<.: por ej empl o aparece en la definición de l a sección eficaz de T homson que d1.:scribe la colisió n elástica, clásica , fotón-electró n: ·ar1i. ~71T~ O, 67 barn. Si li r (, entonces es muy probable que el átomo quede excitado. En el caso l' ll que b ~ re se produce una colisi ón de la partícula con el e - ; el e- puede Sl'I' arrancado y hay ionización. Por último, si b < re se produce una difusión n ilombiana; es decir, una interacción con la carga del núcleo.

=

»

=

Ya se ha v isto anteriormente que la interacción de una partícula cargada rn n los átomos dará lugar a dos fenómenos distintos: • pérdida de energía por ionización (colisiones con e - ), o • cambio de dirección (di fusio nes elásticas con núcleos). El primero de estos f enómenos viene descrito por la f órmula de Bethe1l loch, asociándose prácti camente a las col isiones con los electro nes del medio y

\'I segundo por la ecuación de Rutherford , que explica las co lisiones (cambios de di r<.:cción) con los núcleos. Se verá a cont inuación l a pérdida de energía debida u la io nización del medio atravesado por la partícula.

4.3 La fórmula de Bethe-Bloch Una partícula cargada, moderadamen te relativista, pierde energía en lama11: 1ia pri nci pal mente por ionizac ión. Para i lustrar el fenómeno de pérdida de l'll<.:rgía es mu y apropiado seguir el cálculo clásico de B ohr. Sea una partícula masiva, con masa M > m e, velocidad v y carga Z 1 e. l 11c idc sobre un átomo de un material (cuyo número atómico del núcleo es Z 2) y d parámetro de impacto es b. Se supondn1 de momento que la colisión tiene l ugar sobre un electrón. L a energía transferida en la co l isión es:

7J2 6.E = -

2m ,.

133

/\11fo11io Ferrer Soria

.

con pel mo me ntotransfen do p =

JF JE dt = e

c,J

rll = e

¡· ,

d:1; quc, apl 1.1i.i_ -;,

cando el teorema de Gauss sobre el cili ndro que define e l electrón, se c umple:

j E.i_21íbdx = 47rZ e 1

da ndo lugar a: (4. 1)

Sólo interviene la componente del campo eléctrico EJ. perpendicula r a la trayectoria de la partícul a. Al sumar sobre todos los electrones en el volume n dV = 27íb clb dx :

47íZfe4 db ne - dx b m eV 2

- dE(b ) = t:.E(b)nedV =

donde n e = Z2 P-){A es el número de electrones por unidad de volumen (NA es el número de Avogadro, p la densidad y A es el peso atómico del material), con lo que queda: bmax 47r Zre 4 dE n e 1n - 2 bmin m eV dx habiendo realizado la integral sobre el parámetro de impacto entre los valores que tie ne n sentido físico: 2

~, dado por el valor máximo de la e nergía transferida en rme'V 2 2 una colisión frontal , !::.Emax = 1me(2v) ::::: 2m(r/3c) , y

• b min

• brnax

=

= ~, que se obtiene al suponer el tiempo de interacción t ,. . ., --7v

mi lar aJ de la frecuencia Orbital media de Jos electrones, T fi nalme nte:

-

dE

ax

=

41íZ12e4 n ln -y2m,J13 2 rnev

e

Zie-v

rv

si-

~'quedando

(4.2)

Esta es la llamada fórmula de Bohr. En las fórm ulas anteriores, se ha introducido el factor -y relativista para corregir el cálcul o clásico. Si la velocidad de la partícula incidente es mayor que la de los electrones orbitales (,....., ac), y no se trata de un electrón, con lo que no existe radiación de frenado (bremsstrahlung), e nto nces la pérdida específica media de e nergía, al reali zar un cálc ulo relativista completo, vie ne dada por: (4.3) 2 La definición y s igni ficado ele las variables rcla1ivistas

134

f3 y 'Y puede verse en ( 15.5) y s iguie n1es.

/11f(• m1·<"i1111

de fos por1fc11fr1s co11 fa

ttt(lferifl

q11 • es la fórm ula de Be the -Bloch, y es vá lida para energías > 100 kc V. La 1q>rcse11tac ion grtlfica de l
1

1

lO

10

4

10

5

10

6

E (MeV) Figura 4 ..1: La fórmu la de Bethe-Bloch, calculada para un protón que atraviesa el g5cu.

La co nstante D e = 47rr~mec2 =5,0989 x 10 - 25 Me V· c m 2 ; I es e l potencial de e xcitación de l material, llamado también potencial medio de excitación. Se ha medido experimentalmente y en función del número atómico del material Z 2 ,

I = 12 Z2 + 7 I = 9, 76 Z 2 +

~h~

[eV]

( Z2

<

13)

[eV]

( Z2

~

13)

2

También se puede aprox imar por I "' 16 xzg·9 (e V). Ejemplos: I airc = 86 e V, IA t = 166 eV. Puede verse en la tabla 4.1 el potencial medio de excitación I para varios elementos. La pérdida específica de energía se suele denominar ta mbié n poder frenante y, como se verá inmed iata mente, se acostumbra a hab lar de lo ngitud red uc ida de = pdx, con lo que la lo ngitud del medio se mide en g r· c m- 2 . E n la fórmul a

de Bethe-B loch (4.3) se observan claramente las siguientes propiedades: Es independiente de la masa, M , de la partícula incidente. 2 Es proporcional al cuadrado de Ja carga, Z~, de la partícu la incidente. 3 A baja e nergía varía co n la velocidad como 1/112 . 4 A gran ene rgía ( ¡

=

E/ A!f) varía co mo l 11 ¡

2

.

135

/\//f onio F'err<'r Sorio

5 La dependenc ia co n e l medi o ele la pérd ida ele e nerg ía pequeña.

6 Tiene un mínimo

º:fr. ~ 2 MeV/(gr · cm-

2)

m~sica ~ !#f es

para -y(J,...., :3 ({J ~ O , 96).

Para colisiones de partícul as ullrarrelativ istas con medios densos es necesario corregir la fórmula de Bethe, añad ie ndo unos términos empíricos cuya magnitud es peque ña. El corchete de la ecuac ión (4.3) quedaría: [

In

2meC2 (32¡ 2

I

2

Ó

C]

- (J - - - 2 Z2

en donde ó representa el efecto densidad que para partícul as muy energéticas se aprox ima a 2 lll -y más una constante y C representa la corrección de capas, importante cuando la velocidad de la partícula es ,...., o:c, o sea, del orden de la ve locidad o rbital de los e lectrones atómicos. La fórmula de Bethe es válida sólo hasta unos varios%. Estas correcciones re lativistas y cuánticas reducen e l aumento de dE / dx con la e nergía, por lo que tiene se ntido hablar de par tículas e n e l mínimo de ionización y partícul as mínimo io nizantes (rnip). Así, después del mínimo aparece el ll amado plateau de Ferm i. Para cálculo s muy refinados de be ría consultarse la literatu ra e specializada. Ejemplos: el mínimo del poder frenante dE/ d:c es 1,82 MeV/(gr· c m- 2 ) para e l aire y 1, 13 MeV/(gr· cm- 2 ) para e l Pb. El aire de la atmósfera terrestre equivale a 1000 gr· cm- 2 , con lo que sólo protones cósmicos con una e nerg ía ~ 2 Ge V podrán alcanzar el njve l de l mar (sólo considerando ionizac ión). A baja energía la pé rd ida de energ ía es grande; un protón de 10 Me V se para completamente en 0 ,25 mm de Cu. Conviene ahora comparar la pé rdida de e nergía por colisiones con e lectrones y con núc leos de masa f\l[N : (4.4) ya que f\IIN ,...., 2Z2 m 71 y la de pendencia con la carga e n e l caso del núcl eo es Z:j . La pérdida de e nergía es debida a las colisiones co n los electrones de l medio.

4.3.1 Consecuencias de la fórmula de Bethe-Bloch Ley de mezclas Para una mezcla de e lementos con peso a tó mico Ai , si a ; e s e l e l número de átomos del e lemento i en la molécu la de la mezc la, entonces f ; = es A111 la fracc ión de peso molar de cada uno de e llos y A ,,, = ¿ a;A ;, se cumple la regla de Bragg:

ai-4L

dE = rlf. 136

¿1ildEI

d<: ;

Jn te1·a<·r·ir111 ,¡,, los w 11·1fc11la.1· co11 la 111(//erin 1h111dc se ohscr v:.i que se ut il iza el poder frenan1e 111ás ico f1/.'i- , práct icamente ( ¡( 1111k'pc11dic 111c del materi al, y que está rel acionado con el poder frcnanlc lineal

t1 1" 11 través de e = p.r.

1

1 1

Uclación alcance-energía L a io nizació n provoca una pérd id a gradual de la energía de las partíc ulas. 1'

un fenómeno estadístico ya q ue el número de co lisio nes fl uctúa de un evento 111 011o. Se dcl ine el alcance medio R para partículas de energía E 0 :

¡

1

Eo

R=

(dE/dx)

0

dE

1k hecho se util i za una fórmula semiem píri ca:

+l .,. . 10

R(To) = R (Tmin)

.

1

(dE / dx ) dE

que la fórmu la de Bethe es válida só lo a partir de un va lor T,,.;,. de la energía. Si se m ide la c urva de transm isión experi mentalmente, se obser va que la 1111 va pasa suavemente de 1 a O (véase figura 4.2). D e hecho el espectro de all 1111ccs para una energía determinada T 0 , sig ue una distribuc ión gaussiana. Es lo que se denomina stragg!ing, y está directamente relacionad o con el strag ,i¡l1J1g de energ ía deb ido a que la fór m ula de B ethe estima u n valor medio , válido 1·~ 1 :1 dís t icam e n te, que es: y 11

-

2

< E - E> =

(d l;' ) -.dx ..1

2

-



2

l1:jc111plos de alcances

rn

r-

1, Se espera q ue R ex con n ~ 2 ya que dE / dx ,...., {3- 2 "' siendo T 111 energía c inét ica. E x isten varias expresio nes fenomenológic as para el alcance,

• para protones y partículas a de baja energía en el air e (s i en condic iones STP,3 Paire = 1, 293 X 10 - 3 gr · c m - 3 ):

R(m) = (T/ To) l , B con

7'o (p) = 9, 3 M e V y

• para partíc ul as

To(n~ )

= 37, 2 M e V

a tales que T0 < 200 M e V : R a(cm ) = O, 318 T~l 2

1

[Ten M eV]

1,as ' iglas STP significan estándar de re111pem111ra y ¡1resió11. 0°(' y 1 at niósf"cra.

137

/\111011io Ferrer Soria

• para e lectro nes e n materiales (Al , C'll, ... ), [T e n McVJ En general las relac iones alcance-energía han sido muy utilizadas para calc ular la energía de las partículas. También son important es para calcul ar el tamaño de los blindajes contra la radiación . f

lo 1,0 t--- - - - -

0,5

-·

·----· -· --- - -- -·

Figura 4.2: La curva de transmisión, donde se observa el alcance medio R,,,, y el alcance extrapolad o R,,.

La curva de Bragg La curva de Bragg da la ionización e n función de la profundid ad. Es de gran interés médico: la ioni zación aume nta hacia e l final de la trayectori a de la partícula (v pequeña) , con lo que sirve para tratar tumores, localizado s, sin dañar excesivam ente e l resto del cuerpo. También se conoce como curva de ionizació n específica ; o sea, el número de pares de iones, N ±, produc idos e n función de la profundid ad x alcanzada por la partíc ula (véase la fig ura 4 .3). El cálculo del número de pares de iones es muy sencillo ; sea w la energ ía necesaria para crear un par e- x + (en el aire, w ,.._, 35, 5 e V, y en gases w ~ 25 - 50 eV), entonces, si 6.E es la e ne rgía total perdida, el número total de pares N ± = 6.jf.

La ley de Bragg-Kleeman La ley de Bragg permite relaciona r alcances e ntre disti ntos medios, para una misma partícul a: (4.5)

138

/111enu·r·itm de /ns pnr1fc11/os co11 In 1110/erlo

l '1\11 lo qu<.: co11ocido para un medio co mo po r ejemplo el aire (Paire = 1, 22G x 1() :i gr· cm :i y ~ = 3, 82), se tiene para otro material :

R1 (cm) ::::::: 3, 2 X 10- 4

JA 1 Rairc(cm) Pi

l'X prcsión que reproduce los resultados con un error inferior al 15 %.

X

Figura 4.3: La curva de Bragg.

Reglas de escala A partir de la dependencia dE/dx = Z?f (/3) pueden demostrarse fácil111cnlc las siguientes relaciones de escal a:

4.3.2 Difusión múltiple o colombiana. Fórmula de Rutherford Según la fórmul a de Bethe, la dependencia de l a pérdida de energía varía corno 111,- 1 , siendo m la masa del bl anco. La pérdida de energía por ioni zació n debida a colisiones con núcleos es despreciable (véase (4 .4)) comparada a la de lus <.:olisiones con los electrones. Por el contrario, la difusión con l os núc leos pL1cdc in troducir cambios importantes en la trayectoria de la partícul a im: iclente. La fórmul a de la sección eficaz diferencial de Rutherford es:

(4.6)

v~ li cla para part ícul as de espín O. En el caso de partículas ele espín l /2, la sccció 11

clicaz viene dada por la fórmula de M ott:

139

/\ 11to11io F'e rrer Sorio

(4.7) La fórmul a de Rutherford, ade más de probar la existenc ia del núcleo en e l famoso experimento de Geiger y Marsden, sirvió para determinar la carga de los núcleos. En 1920 Chadwick la utili zó para med ir Zcu = 29, 3 ± O, 45 y

Zpi = 77, 4 ± 0 , 77. Se puede observar que según la fórmula de Ruthe rford :

da (B) ) ( ar!

=

1(ZZe 4 1

2

2

2

1 sin4 ( g )

)

pv

R

la probabilidad de d ifusión es mayor para á ngulos pequeños, pero puede n existir d ifusiones a gran ángulo con los núcleos ya que la secció n efi caz es pro porc ional a mientras que para los e lectro nes es proporc iona l a Z2, puesto que cada uno interviene con carga 1. Cuando una partícula cargada atraviesa un medio materi al, sufre muchas difu siones con un á ngulo pequeño . La mayoría de estas difusiones son de tipo culombia no (sig ue n la ley de Ruthe rfo rd). La trayecto ria de la partíc ula no es rectilínea, sino tortuosa, de fo rma que después de atravesar un recorrido L , el á ngulo de sal ida será e n promedio e l mismo á ng ulo de entrada, pero hay una probabilidad de salida con un ángulo distinto. A este cambio de trayectoria dominada por difusiones con los núc leos se denomina difusió n múltiple o tambié n d ifusión culo mbiana. Esta difusión debe ser tratada como un fe nómeno estadístico . Para muc has difusio nes, cada una de e llas con ángulo pequeño, la distribución de probabi lidades del áng ulo de d ifusión 8 plano e n e l plano de colisión sigue la ley de Gauss (que se estudia en la sección 6.3.4), y que toma la forma:

Zi,

1

P(8)d8 = 80

J27í e

92 - plano

-~

280

d8 pano 1.

(4.8)

El parámetro 8 0 da la anchura de la distribución gausia na cuyo va lor cuadrático -? medio e (j viene dado po r:

62 = L O

na

J (da(8)) 92

dD

dD R

sie ndo L la longitud recorrida e n e l medio, con de nsidad volúmica de blancos nuc leares na . La re lac ión entre e l á ngulo en e l plano y e l ángulo espac ial es senc illame nte 8 pl ano = ~ 6espacio · Con ello se ti ene: .

2 2 2 me 2 60 = 8nreLnaZ 1 Z 2 (-{3 ) In

-2

p

que, aprox imadamente, es:

140

2

~ a: 2 AZ2

/111er
1in el cá lc ulo del á ng ulo medio de d.ifusión mú ltiple inte rvie ne X 0 , un paráme tro ll amado /011gitud de radiación, que depende del material Z 2 y c uyo va lor es:

1 183 X(i - 4üona In. ifZ2 -.ic ndo

110

=

(4.9)

ar;zi. Su aparic ión en esta fórmula es casual. Será estudiado en

c,;1 próximo apartado, donde se comprenderá su signifi cado físico.

¡¡¡mc

2 Definie ndo E 0 = = 2 1,2 Me V, se obtie ne la ecuación de Rossi(;rc isen, que da una estimación de l valor medio de la anchura de la distribución del ángulo de difu sión múltiple:

-8 0 = -ZL Eo pv

&, Xo

(4.10)

4.4 Interacción de e+ y e- con la materia La pequeñez de la masa de los e lectrones (me= 0,5 11 MeV/c2 ) introduce c iertas diferencias e n la pérdida de energía respecto a las partículas de mayor 111asa (p iones, protones, e tc.). Hay que te ner e n c uenta tambié n que son partículas idénticas a los electrones de l material. Lo más notable es que e n presencia de campos eléctricos intensos (la carga nuc lear), los e± son frenados brusca111cnte y por e llo pueden emitir foto nes (rad iación de nominada bremsstrahlung, de l ale má n: radiación de frenado). Este fenómeno tiene e l mismo origen que e l 4ue sucede e n los aceleradores de electrones con trayectoria curvada (los si nc rotrones) en los que existe emisión de radiación sincrotrón, consecuencia de la Hccleración centrípeta. La ex presión de la pérdida de energía e n e l caso de los electrones y positrones será pues:

dE) = (dE) (ax ax

col

+ (dE)

ax

rad

e n donde aparecen dos términos, uno para cada tipo de pérdid a de e nergía.

4.4.1 Pérdida de energía de e± por colisión En e l límite relativista, la pérdida de e nergía de e lectrones y positrones por unidad de recorrido en un medio homogéneo debida a las colisiones con los e lectrones del medio es muy similar a la pérdida de energía de partículas de 111asa e levada M > m e:

dE) col ( ([X

2

=

1 ) [ 2 ¡n ~ 2m c 2l D ene ( 7JI

+ 3 l Tl /

-

· 9u"] 1,

(4. 11 )

141

/\111011io Ferrer oria

4.4.2 Radiación de frenado. Longitud de radiación Xo Es bien sabido, en física clásica, que la potencia radiada (ondas electromagnéticas emitidas) por una carga con áceleración a viene dada por: 2 e2 2 dE - - -a dt - 3 c3

-

o sea, la energía perdida por la carga eléctrica por unidad de tiempo es proporcional al cuadrado de su aceleración. La radiación de frenado (bremsstrahlung) es el mecanismo dominante de pérdida de energía de los electrones y positrones a alta energía. En presencia de un campo eléctrico intenso los electrones, consecuencia de la brusca desace leración son frenados y emiten fotones. Este es el origen del espectro continuo de fotones que aparece junto a los espectros de rayos X (generados por el bombardeo de electrones contra un material) o de la radiación sincrotrón en trayectorias curvas de los aceleradores. El electrón de energía Ei emite un fotón de energía E, tal que E, = Ei - E¡ . El ángulo de emisión es independiente de E, y vale

e'"'"' mee Ei

2

.

El cálculo semiclásico de la sección eficaz de bremsstrahlung para partículas relativistas resulta:4

M/32 2 2 2 2 d e ln--1C_"f_ ~ 5~z4zg(_m_)2_r_ -ª1 dE,

lic

M

/31

E,

E,

en donde M es la masa de la partícula y m la del electrón atómico, luego la secc ión eficaz es proporcional a M - 2 , por lo que sólo es importante para e±. También se observa que la dependencia con el medio es según Zi. El cálculo de la sección eficaz de este proceso, según la teoría QED, se realiza teniendo en cuenta el apantallamiento de la carga nuclear que realizan los electrones del átomo, lo que se caracteriza por una variable:

y donde~ = O representa apantallado total y~ > > 1, sin apantallamiento. Para energías relativistas (> Me V), la sección eficaz de bremsstrahlung, según Koch y Motz, 5 es: .- = - dcr

dE-y

con E =

2 13 r/>1(~) 4cro{[( - - -lnZr l+E )[ 4 E -y

!ft, a

0 =

]2

1

r/>2 (~) - - - ln Z2-f(Z2) f(Z2) - -E [ 3 4 3

]}

o:Zir~, y en donde cPi son dos funciones de apantallamien-

to que se ca lculan en el marco del modelo de Thomas-Fermi y J(Z2 ) es una 4

J. Ja ·kson, lmsica/ Elec1rodynamics, New York, Wiley, 1962. ~ 11. W. Koch, J. W. Motz, Rev. Mod. Phys., 4 ( 1959) 920.

14

/111 er 1 · ·i

11

le l 1s ¡ 1r1 ·uf is e 111 lo 111cu •ri 1

p qu ña correcc ión cul omb iana a la aprox im ac ión ele Bo rn . Para más 1 tall s ·onsú ltese e l texto ele Leo [ 17) en la bibliografía. En e l lími te re lativi sta (Ei >> m c2 ) y para apantallamiento total (~ = O), se cumpl e: - dO"

dE-y

= -4 0"0 [ (

E-y

2 ) [ln -183 1 +E 2- -E 3 3 ijZ2

-

f(Z2)] + -E] 9

La pérdida de energía por radiación queda entonces:

siendo E~iax = Ei - mc 2 . Se puede extraer Ei quedando: (4.12) do nde:

r Ei Jo

·

1

O"ract =

Ellli\X

'Y

dO"

E-y dE-y dE-y

que en e l caso de apantallamiento completo y en el límite rel ativi sta resulta ser: (4.13) que es i.ndependiente de Ei. También puede incluirse el bremsstrahlung debido a la interacción con los e- del átomo, para lo que debe cambiarse Z2 (Z2 + l ). El resultado más importante es, pues, que la pérdida de energía por radiaci ón aumenta linealmente con Ei . Esta es la pérdida de energía dominante de electrones y positrones a a lta energía.

Z? . . . .

Longitud de radiación X

0

A alta energía, dado que O"rad es prácticamente constante, se puede definir un recorrido libre medio de radiación: (4.J4) que só lo depende del medio y que se denomina long itud de radiación cuyo signifi cado físico se puede comprender al integrar la expresión tando:

1E=Eie-x/Xo 1

d!f

~' resul (4 .1 5)

14.

A 111011i ) l •erPr 'o ri

1

s dec ir la pérdida de energía de un e lectró n o positró n por brern.1·s1rahlung es ex ponencia l, con un recorrido libre med io dado por la long itud ele radiac ión X 0 , q ue sólo depende del med io atravesado. Para ca lcular X 0 se utili za la ex pres ión (4. 14), sustituye ndo e l va lor ele la secc ión eficaz dacia e n (4. 13). U na recopil ac ión ele longitudes de radiac ión ha siclo calcul ada y tabulada por Y. S. Tsai 6 y dichos valores pueden calcul arse grac ias a la fórm ula:

Xo =

716 , 4 A

Z2(Z2

+ 1) ln(287 / .jZ;)

[gr·cm - 2).

Por lo que se acaba de ver, para e lectrones (y fotones) de alta energ ía, la anc hu ra del material atravesado se sue le med ir en unidades de long itud de radiación. Esta es la di stanc ia medi a en la que un e lectrón pie rde 1/e de su energía por bremsstrahlung. Obsérvese que es más conveniente utilizar las densidades su perficiales; o sea, long itud por densidad ( g c m- 2) que en long itudes (cm) al hablar de longitudes de rad iación ya que ento nces, los ritmos de pérdida de energía son independientes del medi o. Eje mplos de lon gitudes de radiación son: L 0 (Pb) = O, 56 cm, Lo(Ai re) = 300 , 5 m y L 0 (N al) = 2, 59 cm. E n la tabla 4.1 se pueden encontrar otros va lores de Lo o X 0 y una re lació n de vari as propiedades e lectro mag néticas ele algunos e lementos.

Energía crítica Se define la energía crítica como aq ué lla para la que las pérdidas por ioni zac ió n igua lan a las de radi ac ión. O sea que, como

(dE/dx) 00 1 (dE / d.1;)rad se igualan para la energía crítica:

Ec = ~MeY

(4. 16)

dando, por ejemplo, para e l Pb un valor de unos 10 Me V. Se puede habl ar de la absorc ión de electrones fJ, que es consecuencia de la for ma del espectro ele des integrac ió n fJ. La ley de aten uac ión es la típica ex ponenc ial: I = I 0 e - µ ,-,,,x _Se da también la circun stanc ia que la medida del coefic iente de absorción µm permite determinar el end point del espectro fJ; o sea, que estima la masa del neutrino. Se encuentra un valor empírico para el coefi c iente:

µm = 6 Y.

144

17 E 1 ,14

m

S. Tsai, Rev. Mod. Phys., 46 ( 1974) 8 15

[cm 2

gr - 1 )

~

ln t ' r 1c

·i

11 de los ¡Jortfcu l 1s co 11 lo 111o terio

TABLA 4.1 : Prop iedades electromagnéticas de varios elementos. na y n e dan el número

23 3 de átomos y electrones por unidad de volumen ( x 10 /cm ), respectivamente; J es el 2 polencial medio de excitación y L o (en cm) y X o (en g/cm ) representan la longitud de rad iación del elemento. La densidad, p, corresponde al estado sólido o l íq uido en pu nto de ebullición; en el caso del C es para grafito puro.

z

A

na

ne

I (e V)

H2 He Li Be B

e N2

02 Ne Al Si Ar Fe Cu Zn Kr Ag Sn

w Pt Au Pb

u

l 2 3 4 5 6 7 8 10 13 14 18 26 29 30 36 47 50 74 78 79 82 92

1,0 1 0,423 0 ,423 4,00 0,188 0,376 1,39 6,94 0,463 4,94 1,230 9,0 l 6,60 10,8 1 1,320 6,82 12,0 1 1, 146 2,43 14,01 0,347 3,43 16,00 0,429 3,58 20 ,18 0,358 7,84 26,98 0,603 6,99 28,09 0,500 3,80 39,95 0,2 11 22, l 55,85 0,849 24,6 63,55 0,845 19,6 ,658 0 65,39 5,59 155 0, 83,80 27,6 107,87 0,586 18,5 11 8,69 0,37 1 46,8 183,85 0,632 5 1,5 195,08 0,662 45,6 196,97 0,577 27,0 207, 19 0,330 44, l 238,03 0,479

21,8 4 1,8 40,0 63,7 76 78

85, 1 98,3 137 166 173 188 286 322 330 352 470 488 727 790 790 823 890

Lo (cm) 865 75 7 155 35,3 22,2 18,8 47 ,0 30,0 24,0 8,89 9,36 14,0 1,76 l ,43 l ,75 5,26 0,85 1,2 1 0,35 0,305 0 ,34 0,56 0,32

Xo

(g/cm 2) 6 1,28 94,32 82,76 65, 19 52,69 42,70 37,99 34,24 28,94 24,0 1 21,82 19,55 13,84 12,86 12,43 11 ,37 8,97 8,82 6,76 6,54 6,46 6,37 6,00

p

(g/cm 3 ) 0,0708 0,125 0,534 1,848 2,37 2,265 0,808 1, 14 1,207 2,70 2,33 1,40 7,87 8,96 7, 14 2, 16 10,5 7,3 1 19,3 2 1,45 18,88 11 ,35 18,95

4.4.3 Aniquilación de positrones. El orto- y para-positronio Los pos itro nes de gran energía tienen pérdidas por ionizac ió n y radiación igual que los e lectrones. A mu y baja veloc idad, el e+ acaba fre nándose y es captu rado por un e- atóm ico de l material, for mando e l positronio, un estado ligado mu y parecido al átomo de hi drógeno, pero las energ ías de sus estados 1igados son dos veces menos espac iadas que las del hidrógeno:

E = _ µ c2
(4. 17)

14

/\n 1011 io Ferrer

es dec ir: E

=

1ria

;: : : - ~ e Y, ya que la masa reduc ida de l pos itro ni o es / l = n2

'!!} , la mitad que la del átomo de hidrógeno.

11~MM

1n

E l positronio se des integra con una probabilidad igual a la de la superposic ión de las fun c iones de onda. Este fe nómeno se deno mina aniquilacián. Defi niendo ¡ = ~ ,siendo E + la energía del pos itrón, la secc ión eficaz de me aniquil ación en fun c ión de ¡ es: Cl

an

= 7rT2e ¡ + 1 l [12 +2 4] + 1 ln("-'1 + V~) _ 1 ' y- - J. 1

]+3 ] H-=-1

que tiene un máx imo alrededor de ¡ = l. La aniquilac ión de l positroni o puede tener lugar a través de un proceso de e mi sión de dos fo tones:

en el que e l positro nio está en estado singlete (espín J = O), denominado parapositronio. La energía de cada fotó n es de 0 ,511 Me V (aniquilac ió n en reposo). La vida media de este estado es T = 10- 10 s. Si la desintegrac ión se realiza en el estado triplete (espín del sistema J = 1), se denomina entonces orto-positronio. Su des integración es a través de tres fo tones:

y su vida media es T = 10- 7 s. Un posi trón que aparezca en la materi a, acabará siemp re aniq uilándose con un electrón, dando foto nes en el estado fi nal, después de un brevísimo tie mpo en e l que ha fo rm ado el estado ll amado posi tro nio.

4.4.4 Retrodifusión. Albedo Una consec uenc ia de la difu sión múltiple para e+ y e- es e l fe nómeno de la retrodifu sió n. Es un fe nómeno que se produce principalmente para energías infe riores a 1 Me V. Un electrón o positrón, al e ntrar en un materi al, puede sufrir d ifu sio nes a gran ángul o, que pueden llegar a di fu ndi rlo en la d irecció n opuesta a la de inc idenc ia (de ahí e l no mbre de retrodifusión). El coeficie nte de retrodifu sión A, también ll amado albedo, mide la probabilidad del fe nómeno; suele ser constante hasta energías de l orden del Me Y y se anul a para valores de unas decenas de Me Y. Es carac terístico del material. Para metales co mo Au , Ag, etc. se tiene A ;::::: 50 %. Este fe nó meno explica pérdi das importantes en la detección de e lectrones ele mu y baj a energ ía. Así, con un detector de NaT, cerca del 80 % de los electro n s miti dos po r fue ntes rad iactivas son retrodifund idos y, por tanto , no dan s · 1 al n 1 d tecto r. / 4(¡

/11tert1 ·ci

4.4.5 Alcance para

11

de l

1s

f>""'

·11/ 1s

•' "

l

1 11101

' rlo

e..L

La consecuencia de todos los fenómenos estudiados conduce a que la no·i in de alcance para e± es mucho más impreciso que para las partículas masivas. iml\l lo tamb ié n es debido a la difusión múltiple que, en este caso, también es sas. impreci más ias trayector a lugar dando , 1ortante con los electron es atómicos Para electron es suele hablarse de alcance extrapol ado (véase su definició n · 11 la figura 4.2).

4.5 Interacción de fotones con la materia En la interacción de partículas cargadas con la materia, se ha visto que si bien van frenando y acaban parándose , su naturaleza no cambia. Un fotón, . para poder ser detectado, debe interacci onar y dar lugar a partículas cargadas Las interacciones de los fotones con la materia siempre se abordan bajo su as pecto corpuscular. Se habla de propiedades corpuscu lares de la radiación. Tres son los fenómeo os físicos que describen la interacción de los fotones con la materia, con di stinto comport amiento energético: • efecto fotoeléctrico,~ • efecto Compton ,

~

1/ E~, importante para E-y < 500 keV,

1/ E-y, que es máximo para E-y ,. ,_, 1 Me V, y

• creación de pares e+e - , constant e con E-y y domina para E-y> 50 MeV. diOtros fenómen os son: la difusión coherent e (difusión Rayleigh), que es una despreno (fenóme itarlos fus ión con los electrones del material, sin llegar a exc en ciable a partir de energías de rayos X), y la absorción fotonuclear, proceso conocida región la en te el que se arranca un neutrón del núcleo y es importan como la de la resonanc ia gigante (se produce a energías entre 10 y 25 Me V). Es tradicional relacionar la naturaleza de la radiación ¡ con su energía de acuerdo con la siguiente tabla : infrarroja vis ible ultravioleta rayos X

0,01 1 3 0,1

1 3 100 100

eV eV eV keV

4.5.1 Efecto fotoeléctrico El fotón es absorbid o totalmente por un átomo que al desexc itarse emit un electrón, (a l estar ligado puede conserva rse el momento) , o sea :

147

l\n to11ío Ferrer 'oría

La e nergía del e- (denom inado fotoelectrón) será E e == E"I - Eb, en donde Eb es la energía ele li gadura del e- . Einstein propuso E"I = hu y exp li có los ex perimentos ele Millikan en los que se pusieron ele manifi esto las frecuencias de corte dependientes del material (o sea, las energías de ligadura atómicas). Como la energía del electrón e mitido es Ee = E-1 - Eb, al detectar el electrón se obtiene un pico para este valor de la energía, E e; es el llamado fotopico. Los cálculos de la sección eficaz son complejos. Por encima de la capa K pero E 1 < < m ec 2 en la aproximación de Born , la sección eficaz del efecto fotoeléctrico por átomo es:

(4.18)

con (}T h = ~7rr~, sección eficaz de Thomson que , como se ha visto, da el límite clásico de la difusión elástica 'Y + e -+ 'Y+ e. Se observa, en particul ar, una fuerte dependencia con el Z 2 del material ("" zg). En el caso de Pb, por eje mplo, (Jq, (E"I = 1 MeV) ~ 1 barn y sube hasta "" 1 Kbarn cerca del pico de la capa K (88 Me V). Existen picos para los valores de E que coinciden con los de las capas K , L , M, ... Así, en el Pb, para E"I > 88 keY ya se pueden arrancar e- de la capa K . Puede verse la forma de estos picos de la sección eficaz del efecto fotoeléctrico en la curva 4.6, obtenida tomando como blanco un cristal centelleador de N al .

4.5.2 Efecto Compton Se trata de la difusión elástica 'Y + e- -+ 'Y + e- , como si el electrón atómico estuviera libre. La conservación del cuadrivector energía-momento (véase la fi gura 4.4) se escribe: (4. 19) donde se observa que el electrón inicial se considera en reposo y se puede escribir Ee = 'Y m ec 2 y p"I = E"I /c. Suponiendo que el fotón es difundido según el ángulo

(energía reducida del fotón) y X = 1 e, y escribiendo E= !!:s m ee

COS

e

se obtiene:

E' "!

=__§_y_

(4.20)

1 +EX

e

con lo que la máxima ene rgía del fotón ( E~ = E"I ) se obtiene para = O y la mínima (E~ ~ mc 2 / 2) para = 180°. Si se escribe en términos de long itudes

e

le o nd a de l fotón >..' - .\ = ~e (1 - cos e ) entonces la constante >-e = O, 0243 Á rec ibe e l nombre ele longitud de onda Compton del electrón. ió n e fi caz (QED) fu e ca lc ul ada por Kle in -Ni shina: Las !4R

~e =

!111eroc ci n de l 1s ¡ art culos ·011 la

da) ( dfl

= f( N

r;

l (1 +

COS2

2 2 (1 + EX )

8+

111 11

E2X2 )

1 + EX

ri

1

(4.2 1)

que al integrarla queda: ac

=

do nde ª

Th

•

tiene que

} 1 4 1 2(E+l) ] {[ 3 ln (2E + 1) + 2 +-; - 2(2E + 1) 2 ' E2 18Eª 'T h

es la sección eficaz de Thom son. Se verifica que cuando E ----+ oo se Z / E,. a c----+ J¡_a'Th (in 2E +~) , o sea que, por átomo, va como 2 y

...... .. .. x

Figura 4.4: Colisión Compton entre un fotón y un electrón. 2 Ee Análog amente , como en (4.19) se cumple que E e = Te +mec , siendo : que barse compro puede , cinética la energía total del electrón y Te su energía

electrón (llaTambién se observa que existe un valor máximo de la energía del mc2 ~ mado el Compto n edge), para un choque con cos B = - 1, y que como O, 5 Me V, se tiene: Tmax e

4E 2 1E'Y +4 1

do: Este máximo corresponde al mínimo de la energía del fotón difundi

149

Anto11.io ,,.,rr r So ri

i

que suele aparecer en los espectros de las fuentes radiactivas 'Y como un pico muy ancho, llamado pico de backscattering, puesto que corresponde al efecto fotoeléctrico en el detector de los fotones con energía E~min, emitidos tras una difusión hacia atrás del fotón inicial ET Para valores elevados de E 1 el pico de backscattering tiende a E~ ~ mc 2 /2, es decir, cercano a unos 250 ke Y. En la figura 4.5, la distancia entre E 1 y el Compton edge viene dada por E c, que tiene un valor igual a E~min. Los espectros de fuentes emisoras de fotones suelen ser más complejos que el caso mostrado en la figura 4 .5. Así por ejemplo, si se mide el espectro de una fuente tal que la energía de los fotones es suficiente para crear pares e+ e- , entonces la aniquilación de los positrones produce la aparición de otros fotopicos que se superponen al fondo Compton. En efecto, si se mide el e- y los dos fotones del e+, aparecerá el pico con la energía del fotón. Pero, si uno de los fotones escapa del detector, aparecerá otro pico en E - O, 511 Me V (el llamado pico de escape simple) y, si los dos fotones escapan, aparecerá el pico de escape doble en E - 1, 022 Me V.

N(E)

E=hv El=n:

¡

8=0

/ '---~~-

Fondo Cornpton

Complon edge

"---E Figura 4.5: Espectro energético (teórico) de los electrones producidos en el efecto Compton. La distancia entre E , = hv y el Compton edge viene dada por E c, que ti ene un valor igual a E~nin , definido en el texto.

El espectro Compton se obti ene a partir de la sección eficaz de KleinNi shin a, y su expresión es: -da

2

7rr e dTe - mc 2 E2 -

·n donde se ha escrito t

=

2 [

E2 (1

t

- t) 2

2)]

+ -t- ( t - 1- t

T, y, como antes, E= ~ E 1

1. ()

2+

rn.e C

E

lnterocc i

11

de l

1.1·

fJ 11·1{. ·1.lias

con In 111oteria

4.5.3 Creación de pares e+ e El proceso 'Y --> e+ + e- , en presencia de un ca mpo eléctri co intenso, es posib le si E'Y 2 1, 022 Me V ya que la conservac ió n de la e nergía ex ige que:

E'Y

=

T+

+ mc2 + T _ + mc2 2

.

E~ La energía e l áng ulo de emisión del par e± a alta energía sigue B 2 2 . El total del electró n es E _ = T _ + mc y la del positrón E+ = T+ + m c energía, alta a fotón, del n direcció la a respecto e± par del ángul o de emi sión 2 ·ump1e rv 1E~ es decir, muy alta energía, electrón y positrón se emiten

;

e

ª

ª

muy pequeño ángulo. Se trata de l proceso dominan te para E'Y ;::: 5 MeY. Físicame nte se trata del proceso inverso del bremsstrahlung. El cálculo, hecho por Bethe y Heitler, usa ti ene de nuevo en cuenta e l apantalla miento de la carga nuclear. Para ello se 2 . 100mc E ~ ;::::; O represen ta apantalla1111ento e l parámetr o ~ = 11] , que cuando

E+E _ Z ·

lota l.

En la aproxim ación de Born , y en el caso de apantall amiento total (~ = O), la sección eficaz diferencial para producir un positrón de energía E+ es:

dO" dE+

=

4~o E~

- ] ~E E _ ) [in 183 _ j'(Z2 )] _ E+E [( E2 E2 9 ifZ2 ++ - + 3 +

ón de en do nde la func ión f(Z 2 ) se introduc e para tener en cuenta la interacci (4.9). en vista e constant misma los pares creados con la carga nuclear y O"o la Al integrar, e n el caso de apantall amiento total se obtiene: O'par

7 [ ln(l83/ Z21/3 ) = 40'o { g

f(Z2) ] -

l } 54

del Tam bién puede inc luirse la creación de pares por interacci ón con los eátomo; para e llo debe cambi arse Zi --> Z 2 (Z2 + 1).

4.5.4 Atenuación de fotones. Longitud de conversión Xc La probabil idad de absorció n total de un fotón será:

(4.22)

= La probabil idad de absorc ión por unidad de longitud será µ = na · O''Y N pO''Y , llamado coeficien te de absorc ió n total. Si se represen ta la variac i n la con la energía de l coefic iente de absorción total de los fotones se encue ntra blan m co mado to ha se nde do 4.6, gura depe ndenc ia que ·se muestra en la fi

A111onio f7errer 'oria

un cente lleador N aI. Esta figura co ntiene la dependencia de todos los efectos estudiados: fotoeléctrico, Compton y creación de pares. La fracción de fotones que sobrevive al atravesar una distancia de materia x es: (4.23) y es válida para toda energía. Se suele utilizar también el coeficiente de absorción másico,µ/ p (cm 2 /gr).

100

10 1

8 2-

Total

'

'

:::[ '

'_:

/

,- -

\~ ''

0.1

efecto fotoe léctrico

' /'

--

Compton

V

,, I

'

I

\

1

-

producción' ' , pares \

0.01 '------'---L~~--~-'--'...U..--L-'--~~~'----'-~ 0.1 O.O! 10 100

Energía del fotón (Me V)

Figura4.6: Coeficiente de absorción,µ, para fotones en un detector de N al.

Longitud de conversión Xc A altas energías, domina la producción de pares , y como O'par es constante se puede proceder como en el bremsstrahlung y se puede introducir la longitud de creac ión de pares o longitud e conversión X c:

qu está relac io nada con la lon gitud de radiación X 0 inversamente a la relación xisl ntc ntre las secc iones eficaces, O'par = ~O'ract·

l111er

l('ci 111 dr l 1s ¡mrt ·11/ 1s

·0 11

I 1 111 11erin

,67 Por ejemplo, par<1 e l centclleador N a l , que tiene una de nsid <1d el 2 cm 33 3, = c X sea •r· ·m :i, se ha visto que X 0 = 2, 59 cm (9,49 gr· c m- ) , o 2 ( 1 ,20 gr· cm- ). 1 or lo tanto , para alta energ ía:

(4 .24)

la inte nsidad de un haz de foto nes se atenúa ex pone ncialmente.

La teoría de Kle in-Ni shina da e l coefic iente de absorc ió n para energ ías del fotón E,

> > m ec2 : µ

2Z2 O, 038

= -A E (MeY ) (1, 86 + In E)

l 4 3 [m- ] que, por ejemplo, para el ag ua resulta ser µ agua = j;- (1 , 86 + In E) Se podría habl ar de alcance de fotones, definiendo lo como aque l recorrido e n e l que la inten sidad di sminuye de un factor 2. Así, por ejemplo, se puede 2 co mparar el alcance en e l alumini o (PAL = 2,7 gr· cm - ) para varios tipos de partícul as de 1 Me Y de energía, dando:

R,_, ;:::; 3 µm , RfJ ;:::; 1,6 mm , R, ;:::; 4,3 cm.

4.6 Otros fenómenos: Channeling, Efecto Cherenkov Se estudian aq uí, otros fenómenos que pueden tener lugar cuando las partículas atraviesan la materia, pudiendo ser utili zados para su detecc ión: se trata de l fe nó meno ll amado channeling y e l conocido efecto Cherenkov .

4.6.1 Channeling El fenó meno de channeling es debido a la estructura cristalina de ciertos materiales. En caso de que las partícul as incidan con un ángulo menor que e l crítico

cp _ JZ1Z2a0Ad 1670,B J;;;; e entonces la pérdida de e nerg ía es desprec iable. No se cumple la ley de Bethe. " n la anterio r fórmu la, a 0 es el radio de Bohr y des la separac ión inte r-ató mica.

4.6.2 Efecto Cherenkov El denomi nado efecto Cherenkov fue descubierto en los años 1930 por e l físico ruso C he renkov, a l observar las emj sio nes azul adas de una pi sc in a de agua que contenía mate ri ales rad iactivos de un reactor. I

3

Ant mio l·eir r ·aria El efecto Chere nko v es la emi sión co here nte de radi ac ió n (lu z e nt:r 350500 nm , que correspo nde a un ra ngo de longitudes de onda apto para utili zar fo to rnultiplicadores), debida a la excitac ió n polari zada de los átomos de un medio materi al, ll amado radiador, cuando una partícul a atraviesa dicho medio con una velocidad mayor que la velocidad de pro pagación de la luz en ese medio :

v > c/n sie ndo n el índice de refracc ión del medi o. Este efecto puede visualizarse medi ante la fi gura 4. 7. Mientras la partícula recorre la d istancia del punto l al punto O, o sea, € = vt, el fre nte de la onda El ángulo electromagnética se ha despl azado según la esfera de radio r 1 = Cherenkov luz de emisión la tanto, lo Por Che'renkov. luz de Be es el de e mi sión se produce a un ángulo, alrededor de la direcc ión del mov imiento de la partícul a, dado por 1 (4.25) cos Be = /Jn

-ftt.

Ex istirá una ve loc idad umbral (corres pondiente a un ángulo de emi sión

Be = O) a partir de la cual se producirá e l efecto Chere nkov: 1 n

(4.26)

/Ju = -

lo que se trad uce, eq ui va lentemente, en un a energía umbra l: 2

Eu =¡um c = me

2

n ~ vn 2 - 1

(4.27)

siendo m la masa de la partícula. Por ejemplo en el agua (n = 1,33), f3u = O, 75, o sea que si se trata de electrones , la energía cinética mínima será T~e) = E u m ec2 = b u - l)mec2 = O, 26 Me V. El áng ulo de emi sión vari ará con /3, o sea con la energía, hasta llegar a un valor máx imo (en teoría es para f3 = 1, aunque en e t caso . in alcanzable para tas partícul as) que vendrá dado por cos B~'ªx = del agua vale B~l ax = 41º 30'. Este fe nómeno es particul ar a este tipo de emi sión y se di stingue de la luz de centelleo que, po r el contrario, se e mi te de manera isótro pa. La electrodinámica clásica (cálculos reali zados por Frank y Tarnrn en 1937) pe rrnüe pro bar que la energía perdida por la partícul a al atravesar un espesor L , emitiendo foto nes de frec uencia w es,

A;

.2 dE 2 nw -d = Z 1 a - L sm Be e w Suponie ndo L muy delgado, puede tornarse L = dx con lo que esta última expres ió n se puede integrar para las frec uencias w de e mi sión de luz Cherenkov co n lo que se obtiene la pérdida de energía por unidad de recorrido,

I 4

/11i ' ro cci

11

de l 1s ¡1 1r l

·11/

1s co11 l

1 111

11erl

1

Tal que ti ene po r límites .A 1 = 350 nm y ,\ 2= 550 nm , es dec ir foton s n longitudes de o nda que van desde el ultravioleta hasta el co lor verde. Así pues, s' puede concluir que la pé rdida de energía por unidad de recorrido vale, para 1artícul as con número de carga Z 1 = 1: i nl

dE

2

(4.28)

[e V/cm]

dx = 1370 sin Be

o

vt Figura 4.7: Esquema del efecto Cherenkov.

Por ejemplo, para el agua, n = 1, 33, una partícula relativista pierde, por emi3 sión de fotones Cherenkov ) unos 590 eV/cm, cifra que es del orden de 10veces más pequeña que la pérdida de energía por ionización. En efecto; la can2 3 tidad de energía emitida sólo representa '"" 10 - Me V / g· cm - . Por lo tanto, 2 en los materiales sólidos ( 2 L g·cm - ) la pérdida de energía debida al efecto Cherenkov es unas mil veces menor que la de ionización . El espectro de fotones Cherenkov (dado que E = Nnw) sigue la ley 2ª - 2 d2N d = Z 1 - sm Be -d W

X

C

es decir

o sea que, en el espectro visible, el número de fotones emitidos por efecto Chercnkov por unidad de recorrido es

dN

2

. 2

dx =475·Z 1 sm Be

[ fotones/cm ]

(4.29)

El número de fotones emitidos es muy pequeño; por e llo su detección es más difícil que en el caso del centelleo. Si se compara el núme ro de foton es emitidos por efecto Cherenkov, con el número de fotones de centell eo, por cada 2 Me V de energía perdida por la partícula, se obtiene un factor 10- . Estos foton es son detectados por fotomu ltiplicadores, al igual que en el caso de los cente ll adores. Sin embargo, al ex istir un número de fotones mucho meno r, la efic i n ia

A nt< 11 io fi'err" r

)rio

de los detecto res de Che renkov puede ser me nor que la de los cente lleadorcs. El núme ro de fotoe lect:rones será N e = N 0 L s in 2 Be, siendo N 0 un parámetro que depe nde de l d iseño del detector y L la longitud del mi smo. Si N e es tan pequeño co mo 5, la efic iencia del detector se ca lcul a utili zando la estadística de Poisson; la probabilidad de detectar O fotoelectrones cuando se espera un a media de 5 es fp(O , 5) = e- 5 . La eficiencia será E = 1 - e- 5 ; es decir e l 99 %. A los detectores Cherenkov se les suelen dar tres tipos de utili zación : como detectores umbral , diferenci ales o RICH . Los detectores Cherenkov de tipo umbral suelen in stalarse en experimentos de blanco fijo . Si dan señal luminosa, la partícula tiene una velocidad superior a la velocidad umbral , que dependerá de l materi al radiador según (4.26). Los detectores Cherenkov diferenc iales, permiten medir e l ángulo del cono de luz Cherenkov, por lo tanto, pueden seleccionar partículas de una energía determinada. Se suelen instalar en los haces de partículas con lo que ayudan a di scriminar si la partícula incidente en un blanco de un ex perimento es un protó n, kaón o pión . Los detectores RICH son los más modernos y completos. Están diseñados para med ir el cono de luz, con lo que pueden identificar la partícul a (conocer su energía y su masa) que ha atravesado e l detector. Suelen utili zarse en todos los nuevos espectrómetros instalados en los co li sionadores.

4. 7 Ejercicios 4.1 Demostrar que una partícula con masa en reposo igual a cero se mueve con velocidad igual a la de la luz en el vacío, su cantidad de movimiento es E/c y no puede ser totalmente absorbida en un choq ue con una partícula libre de masa NI. 4.2 a) Dada la reacción

(a) + (b)

-->

(1)

+ (2) + (3) + · · · + (n)

demostrar que la energía cinética mínima de la partícul a incidente a (suponiendo el blanco ben reposo) para que dicha reacción pueda tener lugar viene dada por la ex presión

Taumbra l

siendo

Q=

m a

+m b -

2 l _( Ln m ,. + ma

__ _

-

L

'mb

.

+ mb )Q

1. = 1

m ; , el va lor

Q de la reacc ión.

i= l

b) Dado que la energía y la cantidad de movimiento son magnitudes que deben co nservarse en un proceso de producción de pares, demostrar que dicho proceso no puede tener lugar en el vacío. Demostrar, asimismo, que la energía mínima que debe tener un fotón para producir un par electrón-positrón en la vec indad de un núcleo es li geramente superi or a 2mec2 , mientras que si la materiali zación tiene lu •ar n la vecindad ele un electrón la energía a mínima necesari a es 4mec 2 .

I ó

/111er 1 ·ci 11 le lo s p 1rt c11/os con l 1 111 11erio

4.3 D 111os trar, con la ayuda ele un cá lculo re lativis ta, que la energía cinéti ca 111áx i111 a, 7 :,,.,.,., que puede ser traris111it icl a a un e lectró n, inicia l111ente e n reposo, por medio ele un choque e lástico con una partíc ula inc idente ele masa M., se puede escribir CO lllO

donde

M', m e: masa en reposo ele la partícula incidente y del electrón f3 = v/c, r = (1 - (32) - 1/ 2,

v, e: velocidad ele la partícula incidente y ele la luz en el vacío a) Obtener una forma aproximada ele la expresión anterior, válid a para partículas incidentes que satisfagan : f3 « 1 y M » m e. b) Calcul ar T ma x para el caso ele un muón incidente ele energía cinética T = 100 MeV (energía a en reposo 105,66 MeV) y para un a partícula a ele energía a cinética T = 5 , 3 Me V (energía en reposo 3727 Me V).

4.4 a) Calcu lar el valor numérico del coeficien te D e ele la fórmula ele Bethe (4.3) en

1

1

2

unidades ele Me V ·cm . b) Calcul ar la pérdida específica ele energía

1

~~ para un muón ele 100 MeY en

plomo. Expresar el resultado en MeY·cm 2 ·g- 1 y en MeY·cm plomo: Z = 82, A = 207 ,2 1 g; I = 826 e Y; p = 11 ,35 g·cm - 3 .

1

.

Datos para el

4.5 Experimentalmente se ha observado q ue cuando una partícula a ele 5 Me V atrav iesa e l aire en condic iones normales ele presión y tem peratura, libera 29.000 pares ele iones por mm ele recorrido. a) Calcular el valor correspondiente ele la pérdida específica ele energía ele dichas partículas en e l aire, expresándo las en Me V ·cm - 1 , sabiendo que, en el aire, w :::::: 35,5 cY /par ele iones. b) Eva lu ar e l número ele pares ele iones por mm que se liberan en el aire, tamb ién bajo co ndic iones normales, al ser atravesado por cleuterones ele la misma velocidad que las partículas a anteri ormente consideradas . 4.6 E l umbral fotoe léctrico del sod io es 5420 A. Calcular: a) La velocidad máxima ele los fotoelectrones emitidos cuando el sod io es irradiado con lu z de longitud de onda A = 4358 Á. b) El momento lineal de los fotoe lectrones de mayor velocidad y compararlo con el ele los fotones incidentes. 4.7 Un dispositivo fotoeléctri co consta de una cinta fotosensible de 1 mm ele ancha y 10 cm de larga, que se ilumina co n un foco puntual , de fluj o esférico, de 0 ,038 Watts y lu z monocromática de 4600 Á, desde un punto situado a una distancia de 5 cm norm al a uno ele los extremos de dicha cinta. Si el rendimi ento fotoeléctrico es de 0 ,327 electrones/fotón, ¿cuál será en µA la corri ente eléctrica acusada en el dispositivo?

4.8 En un a experienc ia de difusión de partículas a , se hace llegar un haz colimado ele di chas partículas, procedentes de un acelerador cascada de 500 kY, sobre un a lámina de lgada de Au, en incidencia normaL El número n de partículas CY di fundida s bajo án gulQs superi ores a 90u es dec ir, partículas a re llejadas sobre e l I

7

'1

/\ 111011 io l •err ' r

ori 1

blanco (en inglés backscatlering), se mide con un contador adecuado. A conti nu ac ión se reempl aza la lámin a de Au por otra de Ag de idé ntico espeso r, y se repite la ex periencia bajo las mi smas condic iones. Calcular el va lor de la re lac ión

n (Au) / n (Ag). 4.9 Considérese un a difusión Compton entre un fotón incidente de energía E-r = hv y un electrón casi libre inicialmente en reposo. a) Determínese la energía mínim a de los fotones difundidos y el ángul o para el qu e se presenta, en el caso de que E = (hv) / (m ec2 ) = 1 (energía reducid a). b) Calcú lese el valor máx imo del corrimi ento de Compton. c) Calcúlese la energía c inéti ca máx ima de los electrones de retroceso, as í como los ángulos en que saldrán el fotón y e l e lectrón. Supóngase E = l. d) ¿ Bajo qué ángulo se observarán los electrones de retroceso correspondientes a los fotones difundidos normalmente a la dirección de incidenc ia? Supóngase E = l. 4.10 La sección efi caz di fe rencial presentada por un electrón para la difu sión Compton de un fotón de energía E -y, por unidad de ángulo sólido dfl en la dirección de ángul o pol ar() , viene dada por la sigui ente expresión, deb ida a Kl ein y Ni shina, escrita de otra fo rma que la vista en (4.21 ) y válida para fotones incidentes no polarizados:

da ) ( dfl o =

r~ ( E~ ) 2 [ E -r

2

E -y

E~

E~ + E -y -

.

2

S lfl ()

l

a) Establecer la expresión de la sección efi caz di ferenci al correspondiente a la emi sión de un fotón difundido con energía comprendida entre E~ y E~ + dE~ . b) Integrando la ex presión anterio r, determin ar la secc ión efi caz total del efecto Compton, a c, para fo tones de energía reducida E. e) Obtener un a expresión asintótica para a c, válida a muy altas energías (E » 1), y un a aproximación válida para muy bajas energías (E « 1), limitándose a los términos de segundo grado en E. Aplicación: calcúlese a e para E = 10- 2 , 1 y 102. d) Trazar la curva de l espectro energéti co de los electrones de retroceso para los fotones con E = l. e) Considerando un gran número de difu siones Compton obteni das a partir de foto nes inc identes de la misma e nergía E, establecer la expresión de la energía medi a, < E' >, de los fotones difundidos y la fracción de energía que se transfi ere por término medi o a los electrones. 4.11 Un pul so de 10 18 fotones/m 2 procedente de un generador de rayos X de 100 keV de energía incide perpendicul armente sobre un a plancha de hierro de 0 ,5 cm de espesor. a) Estim ar e l coefi c iente de atenu ación más ico para fotones de 100 ke Y del hi erro , sabi endo que su densidad es prácti ca mente el doble que la del cri stal centelleador N aI , utili zando la fi gura 4.6. b) Calcular el aumento de temperatura de la plancha de hierro, sabiendo que el calor específi co del hierro es 444 J kg- 1 K- 1 .

1.

!?

Detectores de partículas

5.1 Generalidades sobre detectores de partículas El principio de funcion amiento de un detector es sencillo: una partícul a ·ar ada al atravesar el material del detector, ioniza el medi o (además de prod ucir · citac iones), pierde energía y como consecuencia da una señal observable y H ·ccs ibl e al observador. Se presentan brevemente a continu ac ión los fe nómenos más importantes ¡uc sufren las partícul as cargadas y los fo tones al atravesar la materia. Estos r ·nómenos serán los fundamentos del fun cionamiento de los detectores que se ·stud iarán más adelante.

5.1.1 Clasificación de detectores de partículas He aquí una cl as ificac ión de detectores de partículas cargadas: a) Detectores de ionizac ión, eléctricos. Los e - e mitidos por ioni zación son acelerados por un potencial y a su vez producen más ioni zación, con lo cual la señal fin al es amplificada. Si el medio es un gas, funcion an por las descargas en gases (cámaras de ioni zación, contadores proporcionales, tubos de Geiger-Müll er). Entre los líquidos se enc uentra el argón, que debe mantenerse a 80K, por lo tanto es necesario un siste ma criogénico. El argón líquido se usa sobre todo e n calorímetros. En los cristales semiconductores, son los pares e- - hueco creados por el paso de la partícul a los que determinan la señal. Son usados como detectores de trazas o de vértices (se ll aman entonces, detectores de microvértice). b) Contadores de centelleo, Cherenkov y radiac ión de transición. Las partíc ulas cargadas exc itan los átomos del medio. La e misión luminosa producida e n la desexcitac ión es convertida en pul so eléctrico por efecto fo toe léctrico y amplificada en un fo tomultiplicador. E n la radi ación de tra nsic ión, los foto nes tie ne n energías de rayos X bl andos (2 a 20 ke V) y se detecta n en contadores de gas . I

9

11/011 io F'errer

1ri 1

c) Detecto res de trazas. La trayec tori a de la partíc ula se hace visible; por ejempl o, en cámaras de niebl a o de Wil son, de burbujas, de chi spas, e mulsio nes fo to nuc lea res, etc. La única manera de poder detectar partícul as neutras es conseguir que interacc io nen con e l detector y que se produzcan en e l estado fin al partícul as cargadas . Grac ias a la detección de las partícul as cargadas (secundari as) se podrán reconstruir las características de la partícul a neutra incidente. Los detectore que se di señen para partícul as neutras deben ser sensibl es a las interacc iones siguientes: • Si se quiere detectar fotones(')'), hay que aprovechar la interacc ión electro magnética de dichos fotones, es decir, el efecto fotoeléctrico, e l efecto Compton o la creació n de pares. • Si se quiere detectar neutrones (n), hay que utili zar la interacción fue rte, por eje mplo, la coli sión elásti ca np --+ np, de forma que el protón adquiere energía y es e l que se detecta. • Si se pretende detectar neutrinos (1/), debe ex istir previ amente interacc ió n débil. Pero esto es só lo posible si se di spone de fluj os muy intensos ya que la probabilidad de interacción de un neutrino es insignificante. La noción de detector e ngloba también la electrónica asociada. E l tratamiento e lectró nico de las señales, las computadoras, etc., juegan un papel esenc ial en la detecc ión de partículas . La informac ión que se ex trae de los detectores es muy variada; he aquí las magnitudes que se sue len medir en los detectores: • Recuento. Es útil , por ejemplo, para medir acti vidades de fu entes radi acti vas. • Identifi cac ió n, o sea, conocer la masa. En detectores de trazas, normalmente la traza es debida a la ioni zación, que es una funci ó n f(/3, Z), de la veloc idad de la partícul a y de su carga eléctrica. Además suele utilizarse un campo mag nético B, que curva las partíc ul as en funció n de su momento. También puede identificarse una partícul a grac ias a los detectores Chere nkov. • E nerg ía , midiendo alcances en detectores de trazas, o a más alta energía en calorímetros. • Secc iones e ficaces de interacció n o vidas medi as; midiendo las lo ngitudes medi as de inte racc ión .A 1 o de desintegrac ión .A 0 en detectores de trazas. • Direcc ió n y ti empo de paso, con detectores de trazas, y utili zando téc nicas de co inc ide nc ias. • Flujo , co nta ndo número de partícul as inc identes. I ()

I ,, 'C lores d port ·11/os

Magnitudes características de los detectores l lay q ue pa rtir de la idea de que no exi ste un detecto r de partícul as univer-

11 1. Para cada tipo ele partícula y, dependi endo de l rango de energías, interesa un 11) o listinto de detector. Ex isten va ri as propiedades físicas de los detectores que conviene anali zar 1111 ·s de dec idir su uso. En cualquier caso, es siempre necesari o conocer mag11 i1ud s tales como la reso luc ión energéti ca y la efi c ienc ia. A continu ación se d ·ti n n una serie de mag nitudes características de los detectores.

5.2.1 Sensibilidad La sensibilidad de un detector es su capac idad para produc ir una señal útil. l.11 sensibilidad depende de a, la sección efi caz, y de la masa de l detecto r. Ami! is dete rminarán la probabilidad de interacc ió n de la partícul a en el medio de l 1·1 ·ctor (o en el caso de foton es, la probabilidad de conversión de la radiac ión 111 ·idcnte) . Detectores con poca masa detectarán un a pequeña parte de la energ ía y s ·rán poco sensibles a partícul as ne utras. Por e l contrari o e l materi al envolvente d ·I de tector y e l ruido (de l detector y de la e lectró nica) fij arán e l mínimo de s ·íia l detectabl e.

5.2.2 Respuesta Sea una partícula que al atravesar un detector pie rde una cantidad de e nergía f•,'1.,1•11• La respuesta del detector se define como : Erad

p = --

v

o

Erad

p = --

Q

siendo V o Q la señal (en voltaje o en carga) de l detector. La respuesta debe ser lo más lineal posibl e.

5.2.3 Función respuesta Se trata en este caso de medir la energ ía de las partícul as. Una partícula le e nergía E atraviesa un detector, depositando toda su energía. La señal del lctector, que frecuentemente es un pul so e lectrónico caracteri zable por su altura f >l [ (E) (ll amado altu ra del pul so, en ing lés pulse height), es la respuesta de l d ·tcctor. Idealme nte la respuesta de un detector a partícul as de energ ía E, deh · ría ser una di stribució n de lta de Di rae ó(E' - E). Lo más frecue nte es que s ·a un a fun c ión de Gauss, y a veces la func ión respuesta p(E' , E) es más com1 1icacl a. La func ión respuesta da la e nerg ía obte nida en e l detecto r E', cuando la e nergía de la pa rtícul a es E. Entonces, partiendo de un espectro teórico S(E) (po r eje mplo, la c urva de respuesta al paso de un fotón de energ ía E e n un del· ·to r ele cente ll eo tipo N al , como puede verse en la fi gura 5. 1) e l espectro 16 1

/\ ntonio FNrer

'l

ria

experimental de alturas de pul so, P H(E), que e obte ndría sería el resultado d la convo luc ión:

PH(E) = / S(E')p(E',E)dE' Normalmente esta es la expresión que se utiliza para determinar el espectro de origen S(E), conocida la función respuesta del detector. Una vez medido e l espectro experimental (es decir, las alturas de pulso) , debe invertirse la ex pres ió n anterior, lo que se convierte en un problema de desconvolución . I

Figura 5.1: Espectro ideal de energías de electrones, medibles en un detector al paso de fotones de energía Eo (en torno a 1 Me Y, sin creación de pares). El pico en Eo representa el efecto fotoeléctrico y la distribución continua es debida al efecto Compton con su máxi mo en el extremo del espectro (llamado límite Compton o Compton edge).

Ejemplos: a) Sea una fuente radiactiva que emite So partículas/seg de energía E 0 . El espectro teórico será S(E) = S 0 r5(E - E 0 ). Si las partículas se miden con un detector cuya función respuesta es p(E' , E), el espectro de alturas de pul so que se obtendrá será:

P H(E) = / p(E', E)Sob(E' - Eo)dE' = Sop(E, Ea) b) Si se trata de un espectro teórico cuya forma sig ue la funci ón uniforme (cuadrada) entre E 1 y E 2 y la función respuesta es una función de Gauss (véase la secc ió n 6.3.4):

1 -e Í .r· (E ') = - ar

16

,j'Fff

(E - E') 2 2a2r

Dele ·1ores le p mfc11/os •11 11 d

sviaci n estándar es a,.; entonces la distribución experimental será:

11 1/ (C)

=

.f~

dE 'f,.S(E' )

·s c ir, la di stribución experimental será una suma de funciones error. Re·u rdcse que la función error es: (5.1)

c) Si se trata de un espectro teórico cuya forma sigue la función de Gauss f,. (¡i = E 0 , a 8 ) y la función respuesta es también una función de Gauss cuya l ·s vi ac ión estándar es ar, entonces: 2

00

PH(E) = J

dE'fsfr=

-oo

So

_ (E - Eo ~ e 2(a; +ar )

J27r(a; +a;)

·s decir, la distribución experimental será una función de Gauss pero con a~tal :.!

=

?

n + a:;. . 8

5.2.4 Resolución energética Se define la resolución energética de un detector como el cociente: (5.2) siendo b.E la anchura total a media altura (FWHM; del inglés, full width at lw lf maximum) de la curva de Gauss correspondiente a la medida de un haz monoenergético de energía E 0 , también llamada en este caso curva de resolución (véase la figura 5.2). Por ejemplo para ¡ del Me V, un detector de centelleo tipo N al tiene una resolución energética aproximadamen te del 8 %. Para detectores delgados (en los que la pérdida de energía por unidad de recorrido dE/dx es pequeña), el número de ionizaciones N ± es pequeño y enton·cs se aplica la estadística de Poisson (véase la sección 6.3.3), con lo que, parti endo de N ± = E / w, siendo w la energía necesaria para crear un par e- x + se 2 1i ne que a = N±, con lo que la resolución en energía viene dada por el error ·stacl ístico que se tiene sobre la determinación de N ± :

R puesto que FWHM

b.E

= E = 2, 35

ft4: N±

= 2, 35y

fw E

= 2 V2fñ"2 a = 2, 35 a. 16

nlo11 io /•' ,rrer 'r r ia

N

nchurn N/2

E Figura 5.2: Esq uema para el cálcul o de la resolución energética de un detector. La anchura total a media altura 6 E = es denominad a FWHM.

r.

Si la partícula pierde toda la energía, entonces ya no existen las fluctuac iones debidas a dE / dx y, siguiendo a Fano, se cumple que ü 2 = F N ±, siendo F e l factor de Fano, que para gases vale F ::; O, 01, y para centellead ores F :::::; l. Entonces se tendrá una reso lución mejor:

(5.3)

El cá lculo de la resolució n total de l detector se hará sumando cuadrátic amente la resolución anterior a la debida a la e lectrónica y a la de otros factores que puedan intervenir.

5.2.5 Resolución espacial y temporal Se suele dar e n forma de desviació n típi ca: separador espacial y temporal respectiva mente.


Representan el poder

5.2.6 Tiempo de respuesta Es e l tiempo que transcurre entre e l paso de la partícula y la formación de la señal. Viene determina da por e l flanco de subida del pul so e lectrónico. Contribuy e a l tiempo muerto del detector que se verá más adelante.

5.2. 7 Eficiencia Un detector no es perfecto. Genera lme nte, no responde al paso de todas las partíc ul as que lo atrav iesa n. Se define la efic ie ncia tota l de un detector de 164

I ' te ·/ores le ¡J 11·t fi ·u./ is

1r1f ·u las co mo e l coc iente e ntre e l número de partículas detectadas y e l núme-

1· 1 artícul as emitidas. La efic ie nc ia total se puede descomponer en efic iencia tri ca E gco y efic ienc ia intrínseca [¡ 11 1• La eficiencia geométrica, es conse' ll ·n ·i:i de l tamaño finito del detector y de su distancia a la fuente de partículas. , ' • 1 duce un a vez conocida la probabilidad de la emisión de la radiación en l't111 ·ió n de l ángulo . S i la emis ión es isótropa, entonces: l'll

•0 111

dEgco

drl 47í

= -

27í sin ()d() 47í

(5.4)

·s decir, como era ele esperar, la probabilidad de emisión entre un ángulo () y = ~sin OdO. Dicho de otra manera, la eficiencia geométrica r ·presenta la porción ele ángulo sólido que subtiende el detector. A veces se le i ' no mina también factor geométrico. La eficiencia intrínseca, viene dada por la probabilidad ele interacción de la radiación en el detector; o sea, es función del recorrido libre medio de las 1 ·1rtícul as en el detector, >..i, o lo que es lo mismo de la sección eficaz de interm:c ió n, !J.; = ~-La expresión es:

() 1- d() es P( O)d()

nAi

(5.5)

con lo que la eficiencia total se puede factorizar quedando:

Utilizando las definiciones anteriores, se puede hablar ele eficiencia absoluta y eficiencia relativa. La determinación de eficiencias absolutas es generalme nte un problema muy complejo. Más fácil y frecuente es la determinación de efic iencias relativas, para las que es necesario disponer de un estándar, cumplié ndose la siguiente definición: eficiencia relativa= eficiencia absoluta estándar En el caso de los detectores de fotones, cuando se habla de efi ciencia de detecto r hay que tener en cuenta que puede tratarse de una de las cuatro le fi n iciones siguientes:

1111

1. Eficiencia total del detector (E101 ). 2. Eficiencia del detector a determinadas señales muy concretas. Sea el caso de un fotón con By > 1, 022 Me V. Si existe creación de pares, el positrón se aniquila y produce dos fotones de 0,511 Me V, pudiendo escapar del detector uno (escape simple) o los dos fotones (doble escape). Esto tiene como consecuenci a la aparición de picos en el espectro: a)

e l pico de energía total (fotopico), /

)

1\numio f'err>r Soria

h) e)

el pico de e cape simple, el pico de doble escape.

Otro pico posible es el llamado de hackscattering . Se trata de sucesos en los que tras el efecto Compton, el electrón sale del detector sin ser detectado. E Queda el fotón difundido cuya energía mínima es Emin = IT4E' valor en el que hay un pico de backscattering. La eficiencia total absoluta vale [ 101 = C;n 1 x Egeo siendo Cgco la fracción de ángulo sólido subtendido por el detector, igual que en el caso general presentado más arriba. La eficiencia intrínseca se podría escribir: E;n1 =

(1 -e -µ(E)L )

donde µ(E) es el coeficiente de absorción total y L la longitud del detector. La eficiencia geométrica se calcula de la misma manera que en el caso general. Sea por ejemplo el esquema de la figura 5.3. Supóngase que el detector detectar partículas por segundo (una vez corregido el efecto del tiempo muerto y sustraído el ruido de fondo) y que A es la actividad de la fuente radiactiva. La eficiencia del detector viene dada por:

r

E(E)

(5.6)

= AO.F(E)

donde .F(E) = f a · fb .. . es una combinación de factores de corrección que hay que aplicar para tener en cuenta varias pérdidas como por ejemplo, la autoabsorción en la fuente, el backscattering, pérdidas en el aire y en la ventana del detector, etc ... A este factor .F se le suele llamar aceptancia, y en general depende de la energía de la partícula detectada.

,

······~

I

r

'

fuente

····· ····· r ·······

.,'

R

Figura 5.3: Esquema para el cálcul o de la eficiencia geométrica de un detector.

El factor geométrico O o ángulo sólido, en el caso en el que se suponga una fuente puntual como la de la figura 5.3 es:

o -- ~2 166

(1 - -r=,;¡=;d+==;;c ) Jd2

r2

O •1ectore.1· le part ·1ilo.1· tividacl A ele una fuente (e l número total ele nte un número ele cuentas r experimentalme obtendrá se milicias),

r = DF(E)EA los los factores que intervienen, DF(E)E, representan la eficiencia total del · •so, o n lo que a partir de la medida de r, puede calcularse la actividad de 1 itt ·nt simple mente despejando en la fórmula anterior A: r (5.7)

¡i

A = DF(E)E

.2.8 Tiempo muerto · I tiempo muerto representa el tiempo de inoperatividad del detector origi11 l 1 l al pasar una partícula que crea una señal. Es importante conocer el tiempo 111u ·rto T del detector, ya que limita la capacidad de recuento. Se suele distinuir ntre tiempo muerto extensible y no extensible. En el caso extensible, si ttll 1 1 'Jrtícula atraviesa el detector en el tiempo muerto, lo prolonga. Se estudia 11 ·onlinuación el caso no extensible. En el caso de tiempo muerto no extensible, si durante un tiempo T el conl 1 lor registra un número K de cuentas, o sea, k = K /T cuentas por segun1 >. entonces el número verdadero de cuentas por segundo m cumple mT = k'/' + mkT, con lo que: (5.8)

Para determinar T puede utilizarse el método de las dos fuentes. Se cuentan s ' I aradamente las partículas de dos fuentes radiactivas, obteniéndose r 1 y r2 ·uc ntas por segundo, respectivamente. Se procede a continuación al recuento de las dos juntas, obteniéndose r 12 . Si los números ele cuentas verdaderos son n 1 y 11 ¿ , se cumple:

n1

= ri/(1 - r1T) , n2 = r2/(l - r2T), n1 + n2 = r12/(l - r12T)

de aquí: (5.9)

e trata de un método práctico aunque es un poco pesado y suele dar resultados con un a precisión del 5-10 %. La corrección del efecto del tiempo muerto es, pues, inmediata. Sea el caso !escrito por la ecuación (5.6). Si k es el número de cuentas/seg que se mielen en 1 detector y b el número de cuentas/seg del ruido de fondo, entonces el valor neto ele c uentas/seg, r, se calculará:

k

r = -- - b 1 - kT siendo T e l tiempo muerto del detector.

167

ni )//¡ 1 F'e rrr1 r 'orio

5.3 Detectores gaseo sos. Contador Geiger-Mi.iller La primer a idea de estos contad o res se de be a Ruthe rford y Geige r 1 qui enes observa ro n que era pos ible ampli fica r la señal en un detect or de gas . Estos detectores utili zan la io ni zación CN± pares e- x +) produc ida por la partíc ul a cargad a, propo rc ional a la energí a perd ida en el gas del detect or. E n efecto , la energ ía perdid a dE / dx , ca lcul ab le por la fórmu l a de Bethe, es debida a los procesos de: (1) exc itación de l áto mo X: q + X --> q + X* (para gases nobles , a ,..__, 10 7 barn y potenc ial de exc itación ,. __, 10 e Y) (2) ioni zac ió n, qX --> qX+c (para gases nobles , a ,. __, 108 barn , potenc ial de ionizac ión ,. __, l5 e Y). Este proces o tiene mayor umb ral que el anterio r. A veces se produ cen e- mu y e nergéticos (rayos ó), q ue a su vez, ioni zan.

La señal bás ica (los N± pares) es ampli ficada gracias a un campo e léctric o creado entre el ánodo y e l cátodo de l contad or, p roduc iendo un incre mento de l voltaje o sea una señal e léctrica:

(5. 10) siendo A la gananc ia o fac tor de ampli ficac ión, L , la lo ng itud de l detect or, Ca = 2m:_/ ln(rc/ ra) la capac itancia po r unidad de long itud de l de tector y E,

la consta nte dieléc trica de l gas. Se supo ne un detector de fo rma c il índ rica, con r e y Ta los radios del cátodo y de l hilo anódic o respec tivame nte. La tensió n aplica da al ánodo es Va, y e l cátodo , cuya pared c ilíndri ca es conductora, se conec ta a la masa (véase la fig ura 5.4). Al aplica r la tensió n Va, e l campo e léctric o E en el interio r de l contad or es:

E(r) _ CaVo _ -

27rtr -

Va

r ln (rc/ra )

Se sue le tener una capac idad , C , e n e l ánodo para a islar Va de la señal, c umpliénd ose que C > > Ca, ya que Ca "" 10 pF/m, es mu y pequeña.

'

'

1 - - - ----- .---· ..

e

'

'

Figura 5.4: M odelo de un co ntador gaseoso. 1

/ 6~

Proc. Roy. Soc ., A8 I ( 1908) 14 1.

I

et , ·tor ' s de ¡)(1r 1fi ·1,i/as

·I mismo di seño ele la fig ura 5.4 sirve para obtener tres tipos ele detectores, ·u us seña les pueden compararse utili zando (véase la fig ura 5.5) la curva de Mo1ll omery ( 194 1):

1.

ámara de ioni zac ión. Cá mara proporc ional.

3. Co ntador Geiger-Müller. Para la mejor comprensión, se tomarán dos tipos de partícul as : 1) Un muón (µ,)cósmico , relativi sta, que normalmente creará unos 50 par ·s e- x + en 1 cm de gas. Recuérdese que w ~ 35 e V y la pérdida de energía ·n 1 c m de gas Ar es de unos 2 keV. 2) Una partícul a a de una fuente radiactiva( ~ 5 MeV), que dejará unos 1()' 1 pares e- x + al atravesar J Cm de gas. ruptu ra

1

250

750

500

1000

V

0

(vo lti os)

Figura 5.5: La curva de Montgomery.

E n función de V0 se di stinguirán los siguientes fenómenos: a) Recombinación, fenómeno que tendrá lugar para V0 ~ O. Hay emi sión de ¡ como consecuencia del proceso x+ + e- ---> X+¡. El número de iones recomb inados será dn = f3n +n _ dt, con (3 coefic iente de reco mbin ac ió n que dependerá del gas. Se tendrá dn = (3n 2 dt, por lo que

n

=

no

(5. 1l )

1 + fJnot

siendo n 0 la concentración inicial de iones. La vida med ia de unión (para reco mbinarse) T =

k/J no da e l orden de mag nitud de duraci ón de l proce o.

Va lores norma les de (3 va n de 10- 6 a 10- 8 c m 3 s-

1.

I (¡

Antonio Ferrer Soria

b) Cámara de ioni zación (J). En la zona Va < 250 V, las seña les son proporcionales a la ionización producida (que a su vez es proporcional a la pé rdi da de energía dE/dx). Se mantendrá la relación D.Va/ D.V,, ::::o 10 4 /50. Por eso reciben el nombre de cámaras de ionización.

~

La señal será D. V = trón:

=

~, o sea, al

ti. V(Volt)

introducir Ja carga del elec-

= 1, 6 x 10- 7 c%±F)

(5.12)

una señal extremadamente débil ( < m V). c) Cámara proporcional (P) . Hasta unos 500 V, la energía de los e- primarios, acelerados por el campo eléctrico más intenso, permite ionizar a su vez. Se forma una cascada secundaria. La señal es ahora:

"V( Volt·) = 1, 6 x 1o-7C(pF) AN±

u

(5.13)

siendo A el factor de amplificación, o ganancia, función de Va. Para obtener ganancias del orden de 10 6 - 10 7 , es necesario mezclar gases. En el régimen proporcional se sigue teniendo ti. Va/ ti. Vµ ::::o 10 4 /50 . Al aumentar la tensión hasta los 750 V, fenómenos de carga espacial limitan la señal y se entra entonces en una zona de proporcionalidad limitada (LP). d) Contador Geiger-Müller (GM). Para valores aún mayores, alrededor de 1000 V, los átomos excitados cerca del ánodo, emiten fotones que pueden a su vez producir más electrones dando lugar a una reacción en cadena (descarga). Se entra en la región llamada de Geiger-Müller. La descarga se para gracias a la presencia de gases que puedan absorber los fotones (quenching). En la zona Geiger, se observa un plateau, en el que la saturación de la señal no permite distinguir entre distintas ionizaciones primarias. Así, ahora se tendrá que D. Va / D. Vµ = l. Si se continúa aumentando Va, se llega a la ruptura del contador. En todos estos detectores gaseosos, la resolución energética es la vista en (5.3):

con F factor de Fano para gases, F ::; O, 1 y w, energía necesaria para crear un par e- x +, w ::::o 35 e V para el aire y w ::::o 30 e V para gases. Estos tres tipos de detectores gaseosos todavía se usan en la práctica. En los experimentos de física de altas energías se utilizan variantes de estos detectores gaseosos tales como: las MWPC (cámaras proporcionales multi-hilos), las cámaras de deriva y más recientemente las TPC (cámaras de proyección tem poral), capaces de med ir las tres coorden adas espaciales de la trayectoria de las partículas cargadas. 170

I ,, ·1ores de par1fi ·11/ 1s

.3.1 .Movimiento de cargas en gases l,a t oría c in ética de los gases enseña que las velocidades de e- y x +, en ¡t1ilihrio t rmico sigue una di stribución de Maxwell con velocidad media: VT

=

-;;:;;; V(8kT

1 6 1u , a temperatura ambiente (T = 300 K), implica v.f '"" 10 cm s- y v:i '"" 1 . Los recorridos libres medios de los iones entre choques pueden 1() ·m s11 ·ul arse mediante la conocida expresión ,\ = nl. ,..., 10- cm. Los iones 11 ·n n recorridos muy pequeños entre choques. La velocidad de deriva en presencia de un campo eléctrico es:

11

1

V±= µ ±[

·on ¡¿ la movilidad del ión correspond iente. Esta velocidad se superpone a la 1 rmica, eV = 1kT, que para T = 300 K vale unos 0,04 eV y, en general, 1 •s mucho más pequeña. Por ejemplo para el argón , µ + = 1200 cm· s- /(Y· 1 yµ - (para los e- ) es unas 10 3 veces mayor. ), ·111

5.3.2 Avalancha Se llama así al proceso de multiplicación de los e- sec undarios, formando una especie de gota. Si a es la probabilidad de ionización por cm(,\ = l /a es ·ntonces el recorrido libre medio de un e- ), por tanto, a partir de n electrones, ·I número de e- creados en un recorrido dx será dn = nadx, con lo que: (5.14) O sea, que e l factor de amplificación es: (5.15) cuyo límite es ax ~ 20, llamado límite de Raether, que permite valores del 8 facto r de amplificación hasta A ::; 10 . Más allá hay ruptura.

5.3.3 Forma del pulso electrónico ;0,

Se ha visto que para una cámara con capacitanci a por unidad de longitud la señal obtenida al paso de una partícula es: (5. 16) 17 1

A11 ro11io F rrer 'orio

sie ndo L la lo ngitud del cilind ro de l co ntador. Es fác il de mostra r que la fo rma Vr Q d e lpul sode bidoa un acargae n r esV (r) =- ~ rf{\ l n (r / ra) =_ , '.hr E 7a 2 7ff 1._, 111 :...J::..l.. luego:

e

V(t) en do nde la consta nte t 0 =

=

-& In (i +fo)

(5. 17)

7rff2 ~ , lo

que se obtiene al in tegrar la velocid ad de µ G'o Vo . dr e 1 elen va 'Vd = Cl1 = µ 0 = µln (rVo c/r a) r, que a1 ·mtegra r da:

r=

{

r2

ª

+

2 Vr µ a t ln (r c/r a )

}1/2 '

Posteriormente la señal se amorti gua al pasar po r un ci rcuito difere nciado r con consta nte de tiempo T = RC, de fo rma que para t = T el pulso queda reducido a Va/e = O, 37 x Va.

5.4 Detectores de centelleo. Fotomultiplicadores Se basan en la emi sión de luz (luminiscenc ia) al desexc itarse los átomos , des pués de haber sido excitad os por el paso de las partícu las cargadas. Este mecani smo es comple jo y dife rente para materia les orgánicos e inorgán icos. En los primeros , es la desexc itación de los estados moleculares (véase la fi g ura 5.6) la que produc e radiac ión ultrav ioleta. En los segund os (cristal es) , la captura de electro nes por impure zas (los centros de activación del cristal) produc en emis ió n de luz al desexc itarse. La emisió n de luz (fotone s) sigue una ley ex ponenc ial:

y Se di stingue n dos tipos de emi sión: flu oresce ncia, muy rápida (T rv 10- S seg.) y fosforesce ncia, desexc itac ión de estados metastables que puede llegar a T d rv µs , o inclu so horas. Por supues to, para fís ica de partícul as se prefieren los materia les con ti_empos de desexc itación T , rápidos . El primer detecto r de este tipo fue el spinthariscope de Crooke s ( 1903), usado por Ge iger y Marsd en (el fa moso experim ento de difus ió n a + A u de Ru therford) . E l mate ri al era S Z n . Pero con el descubrimien to del fo tomultipli cado r (PM), por f= urra n y Baker en 1944 , se impuso extraor d in ariame nte el uso lec nte lleado res. Su fiabi lid ad pronto exced ió a la de los contad ores gaseosos.

17

l el "CI >1·.,s le ¡Jor1 ·11! 1s

.......

banda de cond ucc ió n

!:degradación inl erna (
::

(vacía) ce ntros de act ivac ión (impurezas)

- ~~ ------ - -- -- -- --

' ~

·~

--------- -----fluorescenc ia ( y, eV)

(l lena)

o --(a)

(b)

Figura 5.6: Mecani smo de emisión de lu z de centelleo (flu orescencia) en materiales a) orgánicos y b) inorgánicos.

5.4.1 Características generales Un montaje típico de un detector de centelleo puede observarse en la figura .. 7.

La información que proporcio na es: 1. sensible a la energía depositada (respuesta lineal) , 2. respuesta rápida (buen timing), 3. capaz de identificar el tipo de partícula por el tipo de pul so produc ido (pulse shape discrimination). se ex ige de ellos: 1. gran eficiencia de emisión de luz, 2. tra nsparencia a la radiación fluorescente, 3. espectro de emi sión similar al de los fotomultiplicadore s y 4. te ne r un a constante Tct muy corta.

17.>

Antonio Ferr r oria

Cenlclleador

Figura 5.7: Diseño de un contador de centelleo.

5.4.2 Tipos de materiales centelleadores A Orgánicos: son materiales compue stos de hidrocarburos aromáti cos con anillos de benceno. Muy rápidos (Td "' ns.). La luz de centelleo es debida a la desexcitación de electrones de valencia en orbitales 7r - molecu lares (véase la figura 5.6). La luz emitida no es fácilmente absorbida ya que hay muchos estados vibracionales y la energía del fotón es menor que la necesaria para excitar el electrón desde So (estado fundamental) . Todas las transiciones entre estados singlete (S, S*) son rápidas. Entre tripletes son lentas. La emisión de luz de centelleo sigue una ley suma de dos exponenciales; un a lenta caracterizada por un tiempo ta'Us y otra rápida caracterizada por T¡:

siendo el término rápido (T¡) domina nte. A continuación se realiza un sencilla clasificación de los diferentes tipos de centelleadores orgánicos. a) Cristale s: antraceno (C14H10), patrón de luminosidad (T "' 30 ns), compue sto por tres anillos de benceno; trans-stilbeno; naftaleno (C 10 H s). No son muy isótropos y son de difícil corte. b) Líquidos: se suele usar dopante centelleador, por ejemplo: p-terfen il (Cl8 H14), PBD (C20H 110N2) , PPO (C15 HuNO ), POPOP (C24H 16 N 20 2) disuelto s en concentraciones del orden de 3 gil en disolventes tales como xyleno, tolueno , benceno , fenilclorohexano, etc. Se suelen utilizar como detectores de neutrones; para ello se les disuelve cadmio o boro. c) Plásticos: se usan los mismos centelleadores que en el caso anterior , pero ahora se disuelven en concentracione s del orden de unos 1O gil en plásticos sólidos como poliviniltolueno, polifenilbenceno o poliestireno. Son los más fáciles de utilizar y de obtener industrialmente. El espectro de longitudes de onda de los¡ va de unos 350 a unos 500 nm y el máx imo ele emi sión se da en la zona de ~ 440 nm. Son muy ráp idos (T rv 2 ll S). 174

I el e ·1or-.1· de p a rl f. ·1.t!a.1·

'ri st·d s in orgá ni cos. Son c ri stales alca linos co n impurezas activadoras. l ~ l rfü s conoc ido es e l ioduro de sodio dopado con talio (N al(T€)). Tamhi n se utili za frecuente mente el Csl(T€) . Son hi groscópicos, por lo tanto debe evitarse su contacto con el aire (para ev itar su deterioro por la hume lacl) y producen una señal lenta. Otros ejemplos son Csl (Na) y f,i.{ ( E-n).

121 BGO (germanato de bi smuto : Bi 4 Ge3 0 12 ) y el ftuoruro de bario (BaF2 ) no son hi groscópicos. Son más eficientes pero con respuesta luminosa menor. Gases. Generalment e los gases nobles. También el N 2 . Emiten en el ultravio leta ; por ello se neces ita utili zar material que desplace la lo ngitud de onda wls (wave length shifter).

D Vidrios. Como el silicato de boro, e l óx ido de bario. Entre los vidrios más utilizados para calorimetría electromag nética se encuentra el vidrio de plomo (lead-glass) , muy eficiente y que proporciona una buena resoluc ión energética. Fue empleado por ejemplo en el calorímetro electromag nético forward del experime nto DELPHI en el coli sio nador LEP del CERN .

5.4.3 Respuesta luminosa La respuesta luminosa de un cente lleador es la e nergía necesaria para crear Cuanta más energía pierda una partícula al atraun "Y de centelleo: E = vcsa r un cente lleador, más fotones de cente lleo se producirán. Recuérdese que 3 e n un material de densidad p ::::o 1 gr/cm , como en e l caso de los plásticos, una partícul a rel ativista pierde aproxi madamente 2 Me Y/cm. La respuesta luminosa puede ente nderse como la eficiencia del detector para prod uc ir una señal. A esta eficienc ia habrá que añadi r la del fotomultipli-

t¡f}. '

cador, que sue le ser < 30 %. La siguiente tabla muestra la respuesta luminosa de materiales cente lleado res frec uentemente utili zados:

E=eVh antraceno

Nal pl ásticos BGO

60 25

lOO 300

La e misión luminosa es lineal con la energía (N, ex E), pero ex iste dependenc ia con la te mperatura, excepto en los cristales inorgáni cos. La fo rm a de l pul so luminoso permite (en cente lleadores líqui dos) d is ri minar e l tipo ele partíc ul a inc ide nte, sobre tocio entren y "'f.

17

/\ 11to11io F'e rrer 'o rio

5.4.4 Eficiencia en el transporte de luz En e l dispositivo de la figura 5.7, la lu z producida por e l paso de una partícul a en cualquier punto del detector, debe llegar al fotocátodo del foto mul tiplicador para que dé una señal. Ex isten diversas pérdidas de los foto nes que hay que conocer. La propia lu z de cente ll eo , al propagarse por e l cente lleador se atenúa según la ley de aten uación: N(x) = N 0 e- µ x . El coefic ienteµ es e l coeficiente de atenuación de la luz en e l medio. La propagación de la luz de centelleo se reali za por reflexión total. Sean n = 1, 58 y n 0 = 1, O los índices de refracción de l centelleador y del ai re, respectivamente. Un fotón incide con un ángulo B. El ángulo crítico es sin Be = ~.,y se toma respecto a la perpendicular a la superfi c ie del centelleador. La fracción de luz transmitida será:

f = J_ {ºe 27r sin (}d(} = 4n } 0

~

2

2

( 1 - _v'_n_

n

_-_l)

(5. 18)

o sea, para n = 1, 58, f = 14, 3 %. También hay que tener en cuenta las pérdidas en la guía de luz, as í como, por último, e l teorema de Liouville, que dice que e l porcentaje máximo de fotones que entrarán en e l fotomultiplicador viene dado por e l cociente entre las superfi c ies del fotomultiplicador y de l centelleador

ÍL =

S3¿1.

5.4.5 Fotomultiplicadores (PM) Son tubos e lectrónicos que convierten pulsos de lu z en pul sos de corrien te eléctri ca. Sus componentes son el fotocátodo, los dínodos y el ánodo. a) Fotocátodo. Hecho de material semi conductor, por ejemplo una mezcla de Sb con un elemento alcalino (Na , I<, Cs), con gran probabilidad de efecto fotoeléctrico. La energía del electrón arrancado es Ee = E'Y - B e, siendo B e la energía de li gad ura del e lectrón en su correspondiente capa atóm ica. Es la llam ada fun c ión trabajo work function. Hablando de fotomultiplicadores es costumbre distinguir entrefotoelectrones, nombre que reciben los electrones emitidos por efecto fotoeléctrico , que se denominarán 'Ye y los fotones que inciden e n el cátodo, "fine · La e ficiencia cuánti ca del cátodo es: ( r¡

número de fotoe lectrones 'Ye

>-) = número de fotones incidentes "fine

es dec ir, la probabilidad de efecto fo toeléctrico sobre e l cátodo y suele va ler 20 ó 30 % para fotones de una longitud de onda de unos 440 nm . b) Dínodos. En e llos se produce la multiplicación de e lectrones como consecuenc ia de l choq ue de los electrones, acelerados por e l campo e léctri·o ex istente, sobre la superfic ie de l dínodo. En cada dínodo e produce 17ó

l el ec tor ' .\' de p

1 rl ~ ·11{ 1.1·

emisió n secun da ri a de 8 e lectrones por e lectrón in c idente. El mate ri al de los dínodos sue le estar com pu esto de aleac iones ta les como Ag - M ·g,

Cu - B e ó Cs - Sb. c) Ánodo. En é l se recoge la avalancha fin al de e lectrones dando lugar al pul so e léctri co, que en general será un vo ltaje en func ión de l tiempo, V(t). La gananc ia de l PM es e l factor de amplifi cación de la cadena de dínodos:

(5. 19) 7 siendo n e l núme ro de dí nodos (entre 1O y 14). Gan anc ias típi cas son G >::; 10 y 8 "' 8 - 10. Vd es e l potenc ial e ntre dí nodos. El mínimo voltaje total Vr para 1 una gananc ia G vale, Vr = nVd = 'I_G f n y a partir de~';¡' = O se obtiene:

(5.20) y la vari ac ió n de G respecto a l Vr será:

dG

-

dVd

= n-

dVr

(5. 2 1)

= ri-.-

Vr Vd G es dec ir, un 1 o/o de cambio en VT produce un n % de ca mbi o en la ga nancia. El control y la estabilidad de la alta te nsión es un facto r primordi al para e l buen uso de un foto multi plicador.

Forma del pulso electrónico El circuito equivalente de un PM es e l de un generador de corrie nte. Si N es e l número de fotoe lectrones se tiene que cumpliJ·:

y como I (t)

=

* cªJf-, +

I (t) = GNe e- t / Ts Ts llamando T

= RC, se llega a:

G~2eRte- t/T8 V(t)

= { -

~s'~\~ [e- t/Ts -

e- t / T]

=

para

T

para

T -j. Ts

T8

En general C se suele mantener pequeña("' pF) para maximi zar la amplitud . Una fo rma típica de un pulso electrónico de un detector de cente lleo puede ve rse e n la fi gura 5.8. Sue len darse dos modos de operación: • modo corriente; con amplitudes pequeñ as y tie mpo de subida rise-t ime rápido. Caso T << T 8 • • modo vo ltaje; más lento y menos sensible a fluctuac iones. Es útil para baj as frecuenc ias y T >> Ts.

177

A111011io

Perrer 'orio

" "§1 o >

Figura 5.8: Pul so electrónico típico de un detector de centelleo. La anchura de la señal suele ser de unas decenas de nanosegundos (10 - 9 s).

Resolución temporal Los centellea dores, acoplados a fotomult iplicado res, suelen ser detector es muy rápidos. Por ello tienen aplicaciones importantes en la medida de tiempos y es muy importante conocer su resolución temporal. La reso luci ón temporal , en inglésjit ter, viene causada, principa lmente, por dos tipos de fluctuaciones: • fluctuaciones del tiempo de tránsito de los electrones, debido a las trayectorias en el campo eléctrico durante la travesía de todos los dínodos . Suele valer ~ 0 ,5 ns. • flu ctuacion es debidas al ruido , que a su vez suele clasificarse en: i) ruido negro o termoión ico, es simplem ente debido a la tempera tura y o bedece la ec uac ión de Ri chardson I = AT 2 e-e

< 6.1 2 >= I e/ T Otros fac tores ambient ales que afectan el funcionamiento de los PM son la lu z amb ienta l y el campo magnéti co B. Inc lu so el pequeño campo magnétic o Lcrrestre (cuya magn itud es del orden del gauss) afecta a los foto multiplicadores sensibl es. Por e llo, siempre se suelen proteger con un cilindro ex teri or metálico (mu -rn.eta l y hi erro) para apa nta ll arlo. l 7fl

l ' le ·1o r •.1· (h ¡ ort ~ ·ulos

Detectores de estado sólido 'uando se habl a de detecto res de estado sólido se sue le referir a detecto Su Ge. y i S de stales cri los de ras nducto ¡ 'N hu sados en las propied ades semico ahora p1 in ·ip io de o perac ió n es similar al de los contado res gaseoso s, salvo que res detecto buenos Son . ión epares de • ·r an pares e lectrón- hueco en vez caracte que nte importa más tro paráme el 1· 1arLícul as cargadas y 'Y· En efecto, la es as partícul de res detecto como s ductore 1i1. 1 las propied ades de los semicon (a ·n ·r ía necesaria para produc ir un par e- - hueco: wsi = 3, 62 e V para el Si . K) 77 (a V e 96 2, = wce 100 K) y es aún menor para el Ge: ra La pro piedad física que caracte riza los semiconductores es su estructu conlos de nte clarame e distingu los que ción, I · ba ndas de valenc ia y conduc la banda de lu ·Lores y de los aislante s. Los conduc to res poseen e lectrones en a. En eléctric e corrient hay siempre o eléctric campo ·ond ucc ión y si se aplica un c ión conduc de banda la en s lectrone e hay nunca o, los a islantes sucede lo contrari enica energét rencia dife a (l r alcanza de le imposib vel ni u que se enc uentra a un , es de E , gap del energía amada ll ción, conduc 9 de lr • la banda de valenci a y la nductores. Su linos 10 e V). Entre estas dos situacio nes se encuentran los semico ibilita que, en pos V) e 1 ,...., E gap l de rgía ene (con bandas 9 ~s r ec i a l estructu ra de a la banda ltar" "sa puedan que es electron r habe pueda tura l'un c ión de la tempera c ión deja conduc de banda la a saltar al electrón el que d ' conducc ión. Sucede smo. ni protago un ndrá te también que ia, valenc de un " hueco"e n la banda el Otra caracte rística importa nte de los semiconductores más utili zados, 3 respectivamente) silic io y e l germanio es su alta densidad (2,33 y 5,33 gr· cmles dotan su e levado número atómico (Z = 14 y Z = 32 respecti vament e) que as de partícul de y tones fo de res detecto buenos ser para as de aptitudes adecuad su energía en baj a energía . Así por ejemplo , un protón de 3 Me Y pierde toda interés como 100 µ m en el S i (una partícul a a de JO Me Y en 40 µ m). Pero su fabric ar letectores de partículas ha crecido por la fac ilidad con la que se pueden de medida detecto res de microba ndas, con los que es fácil obtener resoluc iones de la posició n de algunas micras.

5.5.l Semiconductores , Ca) o Son cri stales tetravalentes (Si , Ge) con impurez as tipo p (B , I n c ión es conduc y ia valenc de bandas las Lipo n (P, A s , Sb), ta les que e l gap e ntre s. aislante los de Y e 6 los a le l orden de E 9 ,...., 1 e Y, comparado e Para te mperatu ras > O K, a lgunos e- y huecos se liberan respectivament la te, corrien de tipos dos en Aparec a. en las bandas de conduc c ión y valenci receptores de los e- , do nantes en la banda de conducc ió n y la de los huecos, ia. nc mino ritari os e n la banda de vale En equilibr io térmico la concentración de portado res: np = n? = AT 3 e- Eg / kT ya q ue N v "' y 3 ! 2 e- Eg / kT y ni = vNvNc. 179

A111011io F'e rrer So rio

tiene:

Las concentracio nes típi cas son muy bajas; por ejemplo a T = 300 K

Ni ~

2,5 x 10 13 cm 3 para el Ge (o sea l átomo e n 10 9 ) l ,5 x 10 10 cm 3 para el Si (o sea l átomo en 10 12 ) La recombinación de pares es debida a la presencia de impurezas, que deben mantene rse < 10 10 cm - 3 . Sin embargo existen impurezas con efectos positivos: dopantes tipo no tipo p.

5.5.2 La unión p-n como detecto r En la unión p-n se produce una compens ación de portadores que crean un potencial eléctrico que impide la existencia de cargas en la unión . Aparece la denomin ada zona desierta, visible en la figura 5.9. o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

p

+

n

Figura 5.9: Principio de operación de una unión p-n como detector de partículas.

Un sencillo modelo de carga espacial permite calcular el potencial eléctri co y el tamaño de la zona desierta (véase la figura 5.10). Sean N y N R las 0 densidades de donantes y receptores de las zonas n y p, respectiv amente. Si x 11 y Xp dan los tamaños de la zona sin carga en las respectivas partes de la unión en el cristal (que es neutro), se tendrá que cumplir: N x = NR xp . El potencia 0 11 l es la solución de la ecuación de Poisson:

p(x)

(5.22)

f

siendo

E

la constant e dieléctrica del semiconductor. La solución es:

eN; (X 2 =f X;X ) V (X ) = =F-f

+ C;

(5.23)

2f

donde e l potencial de contacto (en :e,,) V0 = (No x;, + N Rxª ). Las constantes de integrac ión desapare cen al exigir V( x) = V en x y V( x ) = O en -Xr· 0 11 Se puede deducir la dimen sión de la zona sin carga:

(5 .24)

I 150

V ete ·tores d ' portf. ·1i/o,1·

vi ceve rsa co n lo que: 11 • tu 111 bi n se c um ple para : i; 1,, sustitu yendo N 0 por N R y

1 la > No se c umple que d ,. __, Xn y como

amente la región n . •s dec ir, da e l tamaño de la zona des ierta, que es práctic y V0 = 1 V, queda Kfkm 20 ,...., r ad Por ejemplo para e l Si de alta res istivid ña. peque y mu ta desier na rl ~ 75 µ m lo que da lugar a una zo V(x )

p (x) o----~ e N0

_ _ _x,_._P_--+----~- X

•

-- X

---~'---+--------'--

Xn

-e ~

ón p-n . Figura 5.10: Distri buc ió n de carga y pote nc ia l en la uni

5.5.3 Potencial de polarización zac ión Va), puede Si se apli ca un potenc ial externo (potencial de po lari 5.9). gura fi la (véase ta desier amplia rse e l tamaño de la zona e e = E ~, lo que A l aumentar e l tamaño, la capac itancia di sminu ye, porqu es e l verdad ero que ta mejora el ruido, pero sobre todo aumen ta la zona desier detector. Se obtienen tamaños de l o rden del mm . forzarse la condu cNo debe aumentarse Va indisc riminadame nte. Puede viene dado por límite El c ión eléctri ca a través del cri stal llegan do a rompe rse. la resistividad.

5.5.4 Características de los detectores de estado sólido preamplifica do res a) Se realiza n contac tos ó hmico s (p+ ,n+ ), co nectando ele carga ele bajo ruido. = 3, 62 (2,96) e V b) La energía necesa ri a para crear un par e - -hueco es w para el Si (G e). es lineal si la partíc ula pi erde toda la encr fa = c) La se ñal V = res. n e l detector. es la eñc ienc ia-de co lecc ió n ele po rtado

r¡

g

r¡;¡}fh

18 1

/\11 1011 io

Ferr •r oria

d) La reso lució n es R = 2, 35 JI!i- , con F = O, 12 para e l Si, ; Así por ejemplo, para una partícula o: de 5 Me V, R =0,07 % ( 3,5 keV), q ue e n la práctica es mayor (u nos 18 keV) debido al ruido introduc ido por la e lectrónic a. e) El ruido, debido a la corriente de fu ga, es del orden de nA/cm2 . Las impurezas o los efectos de superfi cie aumenta n esta corriente hasta µA/c m 2 . Se suele medir en equivale ntes de carga (ENC, carga equivale nte al ru ido). Si Vrms es el ruido, entonces, ENC =e ~J?8 C. Es importante mantene r C peq ueña. t) El pulso es rápido (del orden del ns).

5.6 Detección de partículas neutras La detecc ión de partícul as neutras es posible gracias a la detecc ión de las partíc ul as cargadas produc idas en la interacci ó n de di chas partículas neutras. Sólo la interacc ión electrom agnética de las partícul as cargadas produce señales observables y acces ibles en los detectores. La técnica emplead a en la detecc ión de las partículas neutras depende rá fundamenta lmente de la energía y del tipo de interacci ón. Para fotones de baja energía se pueden construir buenos detectores de ¡ como ya se ha vi sto (Nal , Ge, BGO, etc.). A alta energía se han desarroll ado los caloríme tros, detector es de partículas neutras por excele ncia que se han espec ializado en caloríme tros electrom agnéticos y caloríme tros hadrónicos. En todo caso, la detecció n de partíc ul as neutras está basada en el tipo de su interacc ió n con la materi a: • ¡, electromagnética • n, fuerte •

V,

débil

y éste será el enfoque que se util izará en lo que sigue.

5.6.1 Detección de neutrones por interacción fuerte E l neutró n fue descubierto e n ] 932 por Chadwick, como ya se ha visto, al bo mbardea r berili o con partícul as o: de una fu ente de polonio; es dec ir, ~ B e ( o:, n)~ 2 C, seguido de un bl anco de para fi na en el que detectó la coli sió n elástica n + p ~ p + n . El neutrón, en estado libre, tie ne una vida media muy larga: Tn = 885,7 ± 0,8 s. La des integrac ió n del neutrón es debida a la interacción débil. Es la conocida des integrac ió n beta del neutrón. Antes de desinteg rarse só lo tiene coli sio nes por in te racc ió n fue rte. La interacció n fuerte es menos probab le que la interacc ión electro mag néti ·a. Ésta ti ene un alcance infini to y la fu erza fue rte tie ne un alca nce de l o rden del I !j

I e1u ·1ores ¡ , p 1r 1 ·u/ 1.1'

l 111 1O 1:i c m). Como la m1:1tcria está prácti camente vacía , los neutrones pcncad trun mu ho más que las partículas ca rgadas, porque tienen menos probabilid 1 • ' n ·o ntrar un núc leo en su recorrido. Los neutrones pueden tener diversos tipos de reaccione s con la materia: o li siones e lásticas con núcleos; por ejemplo A ( n, n)A. Así los neutrones va n perdiendo energía. • Reacc iones inelásticas; A(n ,n)A* , o con producció n de más de un neutrón. El núcleo en el estado final , excitado, puede emitir fotones al desexcitarse. • Captura radiativa. Importante a bajas energías porque la sección eficaz varía u "" l /v, siendo v la velocidad del neutrón . Las reaccione s son n + A ---> 'Y + A', siendo A' un isótopo de A con un neutrón más. A veces aparecen superpues tos varios picos en las secciones eficaces (resonancias). • Reaccione s de captura del neutrón . Son procesos important es a baja energía (e Y al keV), como por ejemplo reaccione s tipo (n , p) , (n , d) , (n, a), (n, t). • Fisión por captura neutrónic a . Important e a energías térmicas (E "" kT = 1/40 eY). • Reacci ones a gran energía. En los detectores de neutrones que existen en el laboratori o, las reaccione s de interés para detectar neutrones térmicos utili zan frecuente mente el boro, 10 B(n, a) 7 Li + 2,79 Me Y, que es una reacción de captura neutrónica. Los 2,79 Me Y recuerdan que es el valor Q de la reacc ión y por lo tanto es exoenergé tica. El estudio de las reacc iones de Jos neutrones es muy importante porque determinan la estructura de los núcleos de los reactores de fisión, y de sus envolventes. Las secciones eficaces están generalm ente bien determinadas, y pueden íác ilmente encontrar se en la bibliografía especializ ada. El fenómeno más important e en los reactores de fisión (véase la sección 12.2) es conseguir que los 'neutrones pierdan energía (desde algunos Me V) hasta Lermalizarse (una fracción de e V) . Este proceso se denomina moderació n. Se consigue simpleme nte por choques e lásticos con material ligero (grafito, agua pesada). En efecto, un neutrón de energía (en e l sistema laboratorio) En que coli sion a elásticam ente con un núcleo de masa A, después del choque la energía le l neutrón (en el sistema laboratori o) E~, emitido en el ángulo O* (en el centro ele masas) de la reacción cump le: E~

A 2 + 1 +2Acos 0*

En

(A+ 1) 2

(5.25)

de donde se confirma que cuando A es muy ligero (A "" 1), se logra e l máximo de pérdida de ene rgía (supónga se por ejemplo cos O* = - 1). Si se utili zas hidrógeno como blanco, en unos diez choques e n promedio , e l ne utró n se L rmalizaría.

IR3

l\ 111011 io Ferrer Soria

S. 7 Eje1·cicios 5.1 Un contador proporc ional posee un cátodo cil índri co de alumini o de rad io r k = 7 cm y long itud L = 30 c m; el ánodo está constituid o por un hilo de tun gsteno de radi o r 0 . = 10- 2 cm, situado en e l eje del cátodo. La co nstante d ieléctri ca re lat iva de l gas que llena el co ntador se tom ará igual a 1. a) Obtener Ja capac idad de l condensador as í fo rmado. b) Obtener Ja ex pres ión del ca mpo e léctri co en fun c ión de la di stanciar al eje de l contador y de la d iferenc ia de potencial ánodo-cátodo , V. Dibujar la curva representati va para V= 1.500 vo ltios. ¿Qué se observa? e) Calcul ar la energía cinética adquiri da por un electrón resultante de una ioni zación en e l interi or del contador, cuando Ja di stancia de di cho electrón al eje del contador pasa de r1 a r2 (r2 < r1) , suponi endo que a lo largo de su trayectori a e l electrón no sufre ningú n choque con las moléc ul as del gas. d ) Sabiendo que a la presión de 1 mm de H gel recorrido libre medi o de un e lectrón entre dos choques sucesivos es A = 6, 8 x 10- 2 cm y que el primer potencial de ioni zación del argón es I = 15, 8 vo ltios, obtener Ja d iferencia de potenc ial mínima que debe ex istir entre los dos electrodos del contador para qu e éste funcio ne en régimen proporcional. La presión de l argó n en e l tu bo es de 60 mm Hg . e) Precisar las dime nsiones de Ja región donde se produce n las avalanchas mul tiplicati vas de electrones para una te nsión de fun cionami ento de l co ntador V = 1,500 vo ltios . ¿Qué conclusión se ex trae? 5.2 Calcul ar Ja acti vidad de un a fu ente rad iacti va colocada como en Ja fig ura 5.3, co n d = O, 1 m y R = 20 mm. En JO minutos se han co ntado 6.000 cuentas. El ruido de fo ndo es de 400 cuentas en los mi smos JO minutos. El tiempo muerto de l detector es T = 100 µseg. La e fi c ienc ia es E = O, 600 ± O, 005 y Ja ace ptancia :F = 1, 000 ±O , 001. (So l: S = 96, 392 part/min y O"s/ S = 1,7 %). 5.3 Un haz para lelo de foto nes monoenergéti cos de energ ía E infe ri or a 1 Me Y, inc ide perpendi cul armente sobre un cente lleador de NaI de es pesor e. a) Establecer Ja ley de evolución de Ja intensidad del haz inc idente a medi da que este penetra en e l cente lleador. b ) Encontrar Ja probabilidad que ti ene un fo tón inc idente de interaccionar en el centelleador : i) por efecto fo toeléctri co, ii ) por efecto Compton, iii ) por c ualquiera de los dos efectos anteriores. 5.4 Un haz para le lo y estrecho de fo tones de energía E = 0,662 MeV incide co n un ángul o cp sobre un a hoja de alumi ni o de espesor x = 1 mm . Se designa por I al número de foton es inc identes sobre Ja hoja de alumini o por unid ad de ti empo. Un detector que consta de un cente lleador de yoduro de sodi o registra los fotones difundidos en la direcc ión e. El cente lleador es de espesor e y subti ende un ángul o dw con res pecto al pun to de impacto del haz en e l di fusor. Utili za nd o los datos que se dan al fin a l de l enunciado, calc ul ar: a ) El número de fotones di fu ndidos por unidad de ti empo segú n la d irecc ión del detector. b) El número de estos fotones que serán detectados por efecto fotoeléctrico e n e l cente lleador. DATOS : J

=

106 fo tones por segundo ,

e= 90º, cp = 45°.

A lum inio: Z = :1 3 , A = 27, p = 2, 7 g·cm-

l ':54

3

.

f et 'Clores de ¡wrtfc11! 1s ' ·111 elleador : ' r..,..ci~wico rr, ,/ (J I 1- rT1 , No P N a·

=

O, 25 cm

1 ,

1 eº"'"'º" = O, 34 cm , donde ~

: S ·cción efi caz di fe rencial de difusión (ex presión de Kl ein y Nishina)

(dda)

= 1, 30 x 10

n

''

-26

cm

2

0 = 90 °

una cám ara de Un haz colimado y estrecho de rayos X paral elos es envi ado sobre intensidad B . de forme reacc ión co locada en el seno de un campo magnéti co uni se observa cámara la de interior del En una de las muchas fotograf ías reali zadas y con un R a curvatur de o radi un ene ti a ri trayecto cuya un electrón Compto n = 5.000 gauss -cm, R · B que o Sabiend . incidente haz al respecto 10º = ángulo() del fotón difundido . determin ar la energía y longitud de onda del fotón incident e y r es su capacidad para .6 Una de las ca racteríst icas fundamentales de todo contado se expresa medi ante cualidad Esta . elevadas idades v acti de permitir el recuento que es necesari o mínimo empo ti el como definido T, n resolució de empo ti el as, para que partícul dos de que transcurra entre la llegada consecutiva al detector un caso Ten de lor va el ar determin Para iadas. cien lugar a dos cuentas diferenc ésta (aunque idad v acti elevada de vas radiacti muestras dos con cuenta concreto , se iones: observac s es desconocida en principi o) . Si se llevan a cabo las siguiente , suces ivamente, el a) M edi ante una pan tal la adecuada se cubre la 2" o 1" muestra amente. respectiv , segundo cuentas/ 180 = 2 n o detector registra n 1 = 120 . segundo cuentas/ 295 = 3 n enen obti se , muestras ambas n b) Se descubre ca lcular el ti empo T . semicirc ul ares . NOTA: E n el laboratori o, esta medida se rea li za utili zando fuentes

/ lj

). Métodos esta díst icos en físic a nuclear y de par tícu las

El objetivo de todo experim ento es medir magnitu des físicas. Al realizar unidades de una medida, se obtiene un valor numérico, que vendrá dado en las él un error: con o medida del instrumento utilizado. Este número tendrá asociad que se obe probabl 1 error de medida . Si vuelve a repetirse la medida, es muy tales. strumen in errores de 1 ·nga otro resultado. Esto es debido a la existenc ia la esa gracias que lo con En un experim ento se suelen hacer varias medidas, un de o resultad el pues, tadística será posible estimar el error de medida . Así datos de ento tratami de xperimento será un conjunt o de datos. Se suele hablar nto ele o ele análisis de resultados de un experimento. La finalidad del tratamie es: datos es extraer los dos tipos de resultado siguient que es • Si se pretende determi nar el valor verdadero de un observa ble de un desconocido: se dice entonce s que el objetivo es la determi nación paráme tro. test de • Probar la consistencia de una teoría con los datos obtenidos: es un hipótesi s. imporLa teoría de probabi lidades y la estadística son dos instrumentos La entos. tantes de ayuda a la interpretación de los resultados de los experim toleranestadística es una hen-amienta de diseño y planific ación ; ayuda a estimar ayudará a c ias en instrumentos, tiempos de ejecució n, costes, etc. La estadística resolver los dos tipos de problem a aquí planteados.

6.1 Error es instru menta les y estadí sticos se ha Sea x* el valor verdade ro de la magnitud x , descono cido, del que valor el entre cia diferen la realizado una medida x. El en-or, según Webster, es óx, d cantida la a umbre medido y el verdadero. También se conoce por incertid d: magnitu la de ro verdade valor que define un intervalo en el que se encuent ra el X -

OX ~

x* ~

X

+ OX 187

1\1110 11 i o

F'errer 'oria

La incertidumbre es pues un a ca nti dad en princ ip io muy peq ue ña; por e ll o es muy frecuente que ciertos cá lculos sencill os de e rro res se realicen supo ni e nd que matemáticamente son diferenciales , con lo que los cá lcul os y las propaga- , cio nes de incertidumbre s se reali zan como si fuesen diferenciales. Aquí lo que inte resa son los errores estadísticos que, como se verá, se asoc ian a desviaciones típicas, que se propagan de otra manera (cuadráticam ente). Al estudi ar los errores en las medidas conviene antes aclarar que existen dos tipos de errores: a) Error sistem ático, debido a un bies (o un sesgo) en el experimento. Afecta por igual a todas las medidas (ejemplo: el cero del instrumento). No ex isten métodos ni procedimientos para calcularlos; debe conocerse muy bien el detector y el aparato utili zado. Para estimarlo, hay que recurrir a otro experimento independiente. b) Error aleatorio, que sí puede ser tratado por la estadística. Los errores aleatorios son debidos a las incertidumbres experimentales y/o a la naturaleza estadística del fenómeno estudiado. No es asignable a ninguna causa concreta; más bi en es fruto de una acumulación de peq ueñas alteraciones reg idas por las leyes del azar. Dentro de los errores aleatorios se puede, a su vez, di stinguir entre dos tipos de error: l ) El error instrumental, que explica las fluctu ac iones debidas a las imperfecciones de los aparatos de medida (o del observador). En magnitudes descritas por variables continuas suelen distribuirse segú n la ley de Gauss. Se puede dec ir que la prec isión de un in strumento de medida está ligada al error in strumental. 2) El error estadístico es debido a la incertidumbre propia de la med ida (por utili zar una muestra finita) o porql)e el proceso es intrínseca mente aleatorio (como sucede en las medidas de propiedades atómicas o nucleares, co mo por eje mplo el número de desi ntegrac iones de un núcl eo en un intervalo de tiempo ~t).

Medir, desde el punto de vi sta estadístico, es obtener una muestra finita de una població n teórica que debería estar compuesta por una muestra de datos infinita. El ex perimentador utili za los estimadores de la muestra para estim ar los verdaderos valo res de los parámetros. Los errores ex perimental es son variables aleatorias. Estas vari ables son objeto del estudio de la teoría de probabilidades y la estadística. Es tarea del físico experimental saber estimar y minimizar los errores aleatorios de su aparato y también red ucir los efectos de los sistemáti cos al mínimo. (No se consi deran aq uí los errores garrafa les, que simplemente hay que corregir.) El error indica la precisión de la medid a; por eje mpl o supóngase que cierto experimento reali zó la med ida de la ve locid ad de la luz e n el vacío y publicó su resul tado: e = (3, 09 ± O, 15) x 108 mis (6. 1)

I RR

M to los esl 1 I sti · 1s '" fisi ·r1 1111cle 1r

de ¡1 1rl ·11/os

·aso : ,09 x 10 8 mis es e l va lo r med io y para des ignar e l e rro r, nv ns u1ili za u, la desv iac ión cuad rática med ia o la desv iac ió n estándar ·nt 111 li n rr = 0 , 15 x 108 mis). Con e ll o se sabe de antemano la probab ili dad ·uso • 1 •s i 8 ti · o l t ·11 •r una med ida más o me nos alejada de l valor medio e = 3 , 09 x '!0

l'

1 'N i '

1/..

·o nlinu ac ió n se repasan las di stribucione s de probabilid ad más impor1 t 11 •s para la fís ica.

(,,

Distribuciones de probabilidad

En estadística no puede predecirse cuál será e l resultado de un fe nó meno 11 1• 11 irio (un a med ida, por ejemplo). Sólo se puede calcul ar Ja frec uenc ia de x) . 1 l.' il les resul tados, y ésta viene dada por la di stribuc ión de probabilidad f( Las d istribucione s de probabilidad pueden ser: • d iscretas; en este caso

f (xi) da la frec uencia de l valor Xi

• co ntinu as; ahora f( x) dx da la probabilida d de encontrar x en el interva lo

f:r,x + dx]. En general las di stribuc iones de probabilida d de penden de uno o vari os p 1d metros O: f (x; O), que pueden estimarse por métodos estadísticos. Las d istribuc io nes de probabilida d están normali zadas por lo que cumplen: Í i = 1, en e l caso de una fun ción di screta y

L 'i.

./ f( x)dx = 1, si se trata de una fun ción continua. Conocer las distribuc iones de probabilida d que se ve rán a continuació n es di sponer de una herra mienta mu y pote nte para entender y anali zar los datos de un •x perimento. Su importanc ia es doble: 1. Si se conocen los parámetros de una distribuc ión, puede utili zarse para predec ir el resultado que se espera de un a medida. Por ejempl o, sabiendo q ue la probabilida d al lanzar un dado salga un uno es 1/6, se puede ca lc ul ar la probabilida d de que al tirar cinco dados, aparezcan tres unos (d istri buc ión binomial). Si no se co nocen los parámetros de la distribuc ión, pero se dispone de N med idas Xi de una magni tud , como po r eje mplo la long itud de una mesa, y se sabe que es un proceso regido por la di stribuc ión de Ga uss, se pue le n determi nar los parámetros de dicha di stribuc ió n. El hecho es que norma lmente, las flu ctuaciones e n las medidas cond ucen u 1 sviacio nes entre lo que se espera y lo que rea lmente se o btiene . La so.luc ió n la da la ley de los gra ndes números. Esta ley dice que en cualq uier experimcn10 . ·ua n lo e l número de medidas N tiende a in fi ni to, las frec uenc ias med idas ti nden a las probab ili dades pred ichas por las d istri buc iones teóri cas. / 8(

Anlonio l'errer Sorio

6.2.1 Parámetros estadísticos: media y varianza A continuación se enumeran algunos parámetros estad ísti cos que tie ne n importanc ia para determinar las propiedades de las func iones densidad de probabilidad y, en particul ar, en la estimac ión de e rrores en las medidas de magni tudes.

Función acumulativa F(a) La función acumul ativa F(a) de la func ión distribu ción de probabilidad J (x ), da la probabilidad de que x < a:

F(a) =

.[ª J(x)dx

(6.2)

00

Es una fun ción monótona creciente, o:::; F (x ) :S: l y permite calcular la probabilidad de que la variable aleatori a tenga un valor contenido en un intervalo; por ejemplo, Prob (a < x :::;; b) = F(b) - F (a). .

Valores esperados Sea x la variable aleatoria. El valor esperado de x, E [x], se define:

E [x] =

j

·+oo

- oo

xf( x )dx

(6. 3)

La extensión al caso de una fun ción u(x ) de la variable aleatori a es inmedi ata,

E[u(x )] =

.l+::

u(x )f(x)dx

que c umple E[a:r + b] = aE [x ] + b, siendo a y b constantes. Existen valores esperados muy utilizados en fís ica. Son casos particul ares de los momentos de las func iones di stribuc ión de probabilidad, que se estudian a continuación.

Momentos de distribuciones de probabilidad Los mome ntos de las di stribuc iones de probabilidad caracteri zan completamente las di stribuciones de probabilidad. Son de uso frecuente los llamados momentos de orden k :

y los momentos centrales de orden k :

Los mo me ntos más importantes y más frecuentemente utili zados son: 190

M to

/ J,\'

esto l sticos e11 jisir· 1 1111. ·f •or

• lu 111 ·dia ¡1., q ue eq ui va le a µ 1

d • ¡1 1r 1 ·1t! is

= E [:i;]

= a 2 , que es e l momento centra l de orden 2: 2 2 2 Var(x) = ¡1; = E[(x - µ) ] = E[x ] - µ

"' va ria nza Var (x)

(6.4)

2 x ' usa ta mbién la notac ió n a = Var(x) = V( x). Se cumple V(a

+

11 ) = a2V(x).

• la desviac ió n estánda r es a

= v'V(X).

1/ 2. • la med iana se defi ne como el valor µ 1¡ 2 que cumple F(µ 1 ¡ 2 ) = 3 ía de un a 1 ll amado skewness ~ = E[( x - µ) ], mide e l grado de asimetr di stribuc ión. En el caso de fun c iones multiva riadas, f( x, y) , pueden defini rse momen , ejemplo por s, variable tos de cada una de las

µx = E[x]

=

JJ

x f( x, y)dxdy;

e llo y también pueden ex istir corre lac iones e ntre vari ables aleatorias, por se introduc e mpre que • la covaria nza: cov(x , y) = E[(x - µx)(y - µy)]. Se cumple sie cov(x, y) :S: ª xªy·

), ·oefic iente de corre lac ión lineal, adimen sio nal, se defin e: Pxy = co~~~~y las O, = ·umple IPxy 1 :S: l. Es decir, está compre ndido entre +1 y - 1. Si Pxy ndie nte de la variables x e y no están correlac ionadas; e l valor de una es indepe ido x se conoc ; otra . Sin embarg o si p = ± 1, están totalme nte corre lac ionadas sabe e l valor de y . · h(y), Dos variable s aleatori as son independie ntes si f( x, y) = fi(x)

! ~I

si ' ndo

Ji (x) =

J

f( x, y)dy y además Pxy = O. Tambié n cumpl en, E[.fi(x ) · h(y)] = E[fi(x )]E[f2( y)]

V( x + y) = V( x)

+ V(y)

na En teoría de errores, la covaria nza tiene una gran utilidad , ya que determi s lemento e los ar particul En s. variable as vari de caso el para 1:1 matri z de errores x) = V( x). 1 la diago nal, coinc iden con las varianzas: cov(x,

6.3 Distribuciones uniforme, binomial, Poisson, Gauss y

x: 2

ilidad e estud ian a continu ac ió n aquí las func io nes densidad de probab más impo rta ntes e n física ex perimental. 191

/\nt mio / 1', r rer ' Jr i

1

6.3.1 La distribución uniforme, fu ( x) La distribución uniforme entre los límites a y b (véase el ejempl o en la fig ura 6.1 ) se de fin e:

b ~a

f v,(x )

=

f (x)

= O

11

l

u

para a ::::; x ::::; b para cualquier otro valor de x.

(x)

o X

Figura 6. l: Distribució n uniforme entre x y X = 2.

=

1

La media y la varianza de esta di stribución puede comprobarse fácilmente que valen:

E[x] = b + a

Var( x )

(b - a) 2 12

= ---

2 La di stribución uniforme es la que describe las frecuencias ele sucesos al azar, por ejemplo las funciones random de los ordenadores. Estas distribuciones son muy utilizadas en los cálculos Monte Cario, que es el método utilizado para simular fenómenos complejos en física nucl ear y física de partículas.

6.3.2 La distribución binomial, fb ( x) Estudia procesos conocidos por el nombre de procesos Bernouilly, cuyo res ultado es dual: sí (éxito), o no (fracaso). Si se realizan n pruebas independientes y pes la probabilidad ele éxito (q = 1 - p , la ele fracaso), la di stribución bino mi al da la probabilidad de obtener r (= O, 1, 2, ... , n) éx itos :

(6 .5) La medi a y la varianza ele esta di stribuc ión valen:

E[r ] = n p /(

Var(r)

= np(l - p) = n pq

M todos .1·1ad stico.1· en ffsi ·o 1111 ·/eor d , part~ ·u/ is En e fe to,

°" · °" r- 1(1 - p )n- r (r - (nl )!(n µ = ~ rf& = np ~p - r)' ' n

n

o

o

1

1).

que con los cambios r' -+ r - 1 y n' -+ n - 1, se verifica que está normalizada ¡¡ l. Para calcular a 2 , se calcula el valor esperado del producto E[r(r - 1)] = 2 2 2 2 ¡1 n(n - 1) y como Var(r) = E[r ] - µ (véase (6.4)) resulta a = np(l - p). Entre las propiedades más interesantes de la función binomial cabe destacar que tiene por límite a dos de las funciones más importantes de la estadística; éstas son las funciones de Gauss y Poisson. En efecto, se cumple que

sin 2: 30 y p 2: 0,05,

f &------>

f 9 (µ , a 2 )

si p :::; O, 05 y np finito

fb

f p(µ ).

------>

en dondeµ = np y a 2 = npq.

6.3.3 La distribución de Poisson

f P ( x)

Da la frecuencia de sucesos r en un intervalo de la variable x (que puede ser por ejemplo espacio o tiempo) esperados cuando la media esµ. La distribuc ión de Poisson es:

r = O, 1, 2, ... ¡

(6 .6)

La media y la varianza ele esta distribución coinciden:

E[r] = µ

Var(r) = µ

Ésta es la propiedad más interesante de la distribución de Poisson que se aplica a los experimentos cuyo resultado es un número de cuentas n; se supone que el va lor medio esµ = n y por la tanto el mejor estimador del error es la desviación estándar a = fa. Es fácil verificar que está normalizada ya que

L

X

~ ! =eµ.

La distribución de Poisson describe la ley ele producción de sucesos raros , o sea, de sucesos cuya probabilidad ele producción es muy pequeña. Tómese por eje mplo la probabilidad de desintegración ele un núcleo radiactivo de vida media ,r, larga; o sea>.. = 1/ r muy pequeña. La probabilidad de una desintegración en e l interva lo de tiempo dt será >..dt, y el valor medio del número de desintegrac iones e n el intervalo ele tiempo t, µ = >..t. La probabilidad ele que no haya ning un a des integrac ión en dt será 1 - >..dt, luego la probabilidad de observar r des integrac iones e ntre t y t + dt será

Pr(t

+ dt)

=

p, (t) (l - >..dt)

+ Pr- 1(t)>..dt 193

1\ 111 JllÍO Ji'er ro r

'oria

o sea, ~ = ..\ [p.,. _ 1 - p,.] lo que conduce a la distribución de Poisso n simpl · mente redefi nie ndo fp(r) = Pr:

r

= o, 1, 2, ... ¡

Se comprueba fácilmente que para p --+ O, n --+ oo y np finito, f P resulta s ·r límite de la ley binomial, poniendo p = *·Un ejemplo de distribució n de Poi s son puede verse en la fi gura 6.2.

0.2

f.p (x) 0.1

2

3

4

5

6

7

8

9

X

Figura 6.2: La di stribuci ón de Poi sson para µ=3.

Procesos independie ntes -señal y ruido- definidos por la suma de medias µ 8 + µ.,. que contribuyen independie ntemente en una medida con los número de cuentas n s y n r, dan como resultado n 8 + n.,., que se distribuye como µ = µ 8 + µr . O sea, para dos fenómenos independie ntes s y r que contribuyen a un recuento x : X

fp( x ; µ)

L

fp(n s; µ s ) · fp( x - n s; µ,. )

n 8 =0

e- (µs

+ µr)(µ s + µrY x!

lo que prueba la ley de la suma de procesos independie ntes. Ejemplo: La probabilida d de desintegración de un núcleo de 13 7 C s es 2 = 8, ..\ = 2 X10- 10 s - 1 , ya que t1 ; 2(1 3 7 Cs) = 27 años. Si se tiene rv J µgr

!º

1/2

de Cs , o sea unos 10 15 núcleos, se cumple entonces queµ = n..\ = 10 5 desintegraciones/seg. Si se cuenta el número de desintegraciones cada milisegundo, se espera n¡ ¿ = 100 des integrac iones. En realidad se obtendrá una di stribu ción de P isson co n /J, = 100. 194

M todos <'.l'todfsti ·os<'" f fsi ·a 1111cleor

de port culos

'·· .4 La distribución normal o de Gauss 1~s la más importante y la que suele tener más aplicac iones en fís ica. Red1 1 • •

frecue nte me nte el comportamie nto de muchas medidas de magnitudes

• 1s. La prime ra referencia que se tiene de e ll a viene del matemático inglés 1 1vr • ( 1733 ). Se defi ne:

) f . (x; µ , a = 9

1~ e ay27r

(x - µ)2 2a.<:

(6.7)

1 11 111 ·dia y la varianza de esta di stribución son los propios parámetros utili zados ll

.· u de fi nición:

E [x] = µ

Var (x ) = a 2

1 Se suele usar la anchu ra total a medi a altura FWHM = 2av2 ln 2 . ' , :l!') I( a. La funció n de Gauss definid a en (6.7) está normali zada a 1. Su integral acumul ativa no es analítica, por eso se recurre a tablas de la 2 lu n ·ión de la variable reducida z = (x - µ) / a con µ = O y a = l. La variable suele llamarse tipificada. La función acumul ativa en este caso es ,

F9 (a;O, 1) = 0,5 [1 + erf (

~)] .

do nde erf (x) es la ll am ada fa nción er ro r , frec uentemente tabul ada, cuyo valor 'S

. ' in e mbargo, puede utili zarse una buena aproxi mac ión paramétrica:

do nde t = 1/ (1 + a 0 zc ) y los valores de los parámetros son:

a 0 = O, 33267; a 1 = O, 436 1836; a 2 = - 0, 1201676; a 3 = O, 93 72980 El 50 % del área de f 9 está limitada porµ ± O, 67a. El máx imo (df9 / dz = O) de la fun ción reducida tiene lugar para z = O y vale f 9 (0) = O, 3989. Los 2 2 pun tos de infl ex ión de la curva (d f 9 / dz = 0), correspo nden a z = ± 1 y n ell os la fun ción vale f 9 (± 1) = O, 24. Pueden verificarse estos valores en la gráfi ca de la fun ción de Gauss (fi gura 6.3). Es muy importante conocer las áreas contenidas en intervalos de zc x a , calcul ables con la función acumul ativa, Fg(zc) - Fg(-zc), dando la ----+ 68,3 % 2a ----+ 95,5 % 3a ----+ 99 ,7 % 1

FW HM , iniciales del in glés Ful/ Widrh 1-/alfMaximwn.

/\11io11io F'errer orio

0.5

µ =O

0.4

f

0.3

(x)

g

0.2 0.1

-3

-2

-1

o

3

2

4

X

Figura 6.3: La distribución de Ga uss (µ

= O y a = 1).

Estas áreas, defi nen los intervalos de probabilidad o intervalos de confi anza de la variable aleatoria (véanse las tablas F. I y F.2 del apéndice F). Así por ejemplo, si se conocen la media, µ, y la desv iación típica, u, de una muestra de datos xi ; i = 1, ... , n, se pueden calcular los intervalos de confi anza sobre Ja med ia:

_ X -

u(x) Zc

_

u(x)

fo < µ < X + Zc fo

en donde Zc = 1, 2, ... representaría la anchura del intervalo. Ahora queda claro el significado del error que se presentó en (6. 1); el valor de la desviación típi ca u = O, 15 x 108 mis, implica que el valor verdadero de la velocidad de la luz tiene un a probabilidad del 68,3 % de encontrarse en el intervalo (3,09± 0, 15) x 108 mis lo qu e equivale a más menos un sigma. Otra forma de entenderlo es que si se realiza un gran número de ex perimentos, el 68,3 % darán como resultado un valor medio de la velocidad de la luz en el interior del intervalo definido por ± 1 u . La función multidimensional de Gauss se define :

Integrales útiles:

e- ax 2 dx = ~ ~ DO a

• DO ; -

/ 96

o

J

-DO

.2

1

xe- ax dx = -

2a

M tod 1s eslod stico.1· e11 ff.vt' ·o 1111 ·teor

'

.. ..

1

el p irt fc ul 1s

J

oo x2ne - a.r2 dx = (2n - l )'' 2nan

:r:'2 / 2 dx = (2n- 1)11 ;2;

- oo

(i_f_

V-;:¡

1 ·st · último caso, las integrales se anulan para potencias impares. l ,a importancia de la distribución normal viene del hecho de que es el l 111i t • 1• muchas funciones cuando n --+ oo y también por el conocido teorema l •11 1niLc central.

Teorema del límite central La med ia Xn = (1/n) L.:: X; de n observaciones independientes de una 11·i11I le x ele cualquier distribución de probabilidad, que tenga media µ y va2 111 / .a u finitas, es una nueva variable aleatoria cuya distribución se aproxima 1 1111a gauss ian a, cuando n es muy grande. Se cumple entonces que la variable 1•11

~n ~ Xi ~

v 1rianza u 2 =

tiende a una distribución gaussiana con mediaµ =

~n ~ µ.; y ~

~ La}. n

Este teorema refleja la importancia de la di stribución ele Gauss en estaclísti-

·n.

6.3.5 La distribución

x2

Hasta ahora, las distribuciones que se han estudiado; especialmente la ele Po isson y la de Gauss , son distribuciones que dan la probabilidad ele obtener una 111 ·el ida, conocidos los parámetros de la distribución. La distribución x: 2 tiene ·o mo aplicación, el cálculo de la bondad o la calidad al comparar dos muestras ; por ejemplo, es capaz de calcular la probabilidad al realizar un ajuste entre un ·o njunto ele datos medidos, con una ley teórica (véase la sección 6.6.3). Si x 1 , x 2 , .. ., Xn son vari ables gaussianas, entonces la variable z, obtenida ·o mo suma de cuadrados: z

=

L n

(

Xi~ µ;

)2

sig ue una distribución chi-cuadrado, f x2 (z), con v = n grados de libertad. Se ·um ple: (6.9) ·o n h = ~ y z ;::: O. La función

r

de Euler:

197

!\ntonio Ferrer So ria

si hes entero puede escribirse: f (h ) = (h - l )f (h - 1) o sea, I' (h ) = (h - 1)!, cumpliéndose que f (l) = l. Para valores semienteros, hay que tener en cu enta que f(l / 2) = fa. El parámetro v representa el número de grados de libertad. Supóngase que se está ajustando una recta ax+ b a unos datos experimentales. Si se han hecho 8 medidas, como hay 2 parámetros a determinar a y b, el número de grados de libertad será v = 8 - 2. La media y la varianza de esta distribución son: E [z] = v; Var (z ) = 2v, respectivamente. La función x2 caracteriza las fluctuaciones de las medidas xi ; si los errores son gaussianos entonces z = v, y para cada ajuste, el valor de z fluctuará según predice la distribución f x2 . Para evaluar la bondad de un ajuste se suele utilizar el nivel de confianza. Si se ha obtenido un valor x6 = z , se define,

CL(x6) = 1 - F( x6 ) =

{~ f x2 (z; v)dz

.!Xo

siendo F( x6) la función acumulativa de la distribución x2 . El nivel de confianza da la probabilidad de obtener un valor de z ~ x6, al repetir el experimento, lo que equivale a decir que el experimento daría un resultado que es peor. Es lo que se llama probabilidad de x 2 . La tabla F.3, del apéndice F, contiene las probabilidades de x2 , o sea los niveles de confianza, que son las probabilidades utilizadas para medir la calidad de los ajustes de datos experimentales a curvas teóricas, que se estudiarán en la sección 6.6.

6.4 Propagación de errores estadísticos Sea u = f (x, y). En general se cumple que su valor medio es u = f (x, y). Se quiere calcular la desviación estándar de la función u, conocidas las de las variables x, y, es decir, O"~ = E [(u - u) 2 ]. Para ello, se desarrolla en torno a u:

a¡

a¡

('u - u) = (x - x ) ax +(y - y) ay

+ ...

se halla la expresión E[(u - u) 2 ], reteniendo los términos de primer orden, con lo que queda: 2

(} U

=

2

(} X

(ª!) ax

2

(ª!)

+(}y2 ay

2

+ 2COV(X, y) a¡ ax a¡ ay

Aplicado a las funciones más sencillas se obtiene:

(6.10)

M l. J fr s

' SI

1d sticos en fisica 11u ·le 11' y I • p 1r1 ·1ilas

v.= ax - by u = ± ax y X u = ±ay

3- = ~ + ~ _ 2 cov x, y X y xy 2

2

2

(

)

'U

~ 'U

=

b(Jx:

X

u = aln±bx u = ae±bx Ejemplo: Calcular el error sobre la actividad A de una fuente radiactiva con vida media T = 5 días, de la que inicialmente se conocía su actividad en t = O : Ao = 103 s- 1 , con CJ Ao = O. Al medirla a los t = 20 días se obtuvo A = 18, 3 s- 1 con una precisión CJt = 1 hora.

Se tiene A = Ao e- t / 7 , luego CJA / A = CJt/T, con lo que CJA = O, 154 s-

1

.

6.5 Método de máxima verosimilitud Sea una muestra finita de n medidas {x;,i = 1, ... ,n}. Se supone que

f (x; 8) es la función distribución de probabilidad teórica que describe los datos. El mejor estimador {j del parámetro 8 debe cumplir las siguientes condiciones: 1. Ser consistente, o sea,

n

lim {J oo

< {j >

2. No sesgado, que implica

___, 8

---+

3. Ser eficiente, lo que requiere

(J2

=8 mínimo.

El método de máxima verosimilitud es el método de obtención de los mejores estimadores estadísticos {j de los parámetros 8 de una distribución f (x; 8) y de sus errores, que se supone describe los datos x; . Si los datos x; son independientes, entonces la función verosimilitud

rr f( x;/8) n

[, (8/x) =

i= l

debe ser máxima. Por ello el mejor estimador se obtiene: 8(1n [, ) --ae-- 0 o 1

_

(6 .1 1)

19

11 /onio f' errer 'orio

. J(e - B) L (e/ J;) Il dx i n

y e l e rror

CJ

2

(B)

=

2

no es fáci lmente ca lcul abl e, pero

i= l

en e l lím ite de un gran número de datos , n -; oo y co mo la función de veros imili tud se aprox ima a un a func ió n de Gauss [, -; f 9 , se c umple:

(6. 12) lo que es mu y fác il de comprobar reali zando la aproximac ión:

En caso de tratarse de una func ión de varios parámetros, se calcul a la matri z

8 2 ln L

=-

V;j

[)()i [)() j

Las varianzas son e ntonces los ele mentos de la di ago na l de la matriz inversa, 2 ( Bi) = (v- 1 ) i'i . E l estimador Bes no sesgado, consiste nte y se cumpl e que si

CJ

u = f(() ) entonces u = f(B ). 6.5.1 Aplicaciones del método de máxima verosimilitud U na de las aplicac iones de l método de máxi ma verosimilitud es la de la obte nc ió n de los mejores estimado res de los parámetros de di stribuc io nes de pro babilidad. Se ve rá a continuac ión cómo se aplica para o btener la med ia y la varianza de las func io nes de di stribuc ión estudi adas anteriormente.

Distribución de Poisson La fun ción verosimilitud de una muestra que se supone que prov iene de una función de Po isson es simple mente :

n µ x'

L({l/ x) = IT -

x.; !

i= l

rr -

n µ x'

e- µ = e- n¡,

i= l

.xi !

y al ca lcul ar e l logaritmo:

ln L =

- n {l

+L

Xi ·

Inµ -

L

ln Xi !

La obtenc ión de l estimado r de la medi a, a partir de (6. l l ) da lugar a:

dL* = d(ln L ) = - n dµ

dµ

' ,) -- 1:!:. u 2(¡1 ri -K - n

00

+l ¿ µ

x i

~

~

1

1

f¿ =

~ L x.; = x

O' (µ) =

VII

1

M iodos es! 1df.1·1ico.1· en ff.1·ico 1111cleor

de porlfi ·1ilos 2

2 l ~s l ' último res ultado es genera l, ya que se de muestra que o- (x) = ~i, re la-

·io n;111do la varian za de la medi a con la varianza de la función distribución de 1 robab ilid ad. En efecto,

/\sí pues, c ua lquiera que sea el conjunto de medidas , si la desviación típica de «ida una de e ll as es o-, la desviación típica de la media es o-/fa; al reali zar la medi a den medidas el error de la media se divide por fa .

Distribución de Gauss De la misma manera que en e l caso anterior, se calcu la la fun c ión veros imilitud:

rr n

[, (µ , o- 2 /x) =

. i=l

-1- e ()"

(xi - µ) 2 2o--')

.

C/I V~

con lo que

1 ln[, = - - ln (27ro- ) - 2 2

n

2

µ L -()"

2

Xi -

(

)

Para obtener el parámetro ¡.i:

Estas ex presiones son válidas para el caso en e l que todos los errores o-i (las desviaciones típicas) de las medidas x .; que componen la muestra, es decir, O"i = oson iguales. Si fueran diferentes, la ap li cación del método de máxima verosimilitud , proporciona el método de ponderación de medidas gaussianas :

"'

µ

~ 0

0-2i x :/ 't

= ¿ (i/a-I)

o-(µ)

=

o sea, que cada medida se pondera con un peso w i =

1

¿ (i /o-I) Es útil definir e l peso -b. 0-i

total de la muestra w = L wi. Por último, el mejor estimador del parámetro o- se obtiene al hacer

01

A111011io Perrer 'orí 1

dando: 1 2 2 u = s =A

n

La expresión para 0- 2 es válida siempre que la media ¡.t sea conocida. Pero para 2 valores finitos den, el valor esti mado para 0- está sesgado. En efecto,

¿(xi - x)

2

2

¿ [xi - µ - (x - µ)] = 2: (xi - µ) 2 + 2: (x - µ)2 - 2 2: (x - µ )(xi - µ)

=

y al calcular el valor esperado

es decir,

u2

1 = -n - u 2 n n luego, la expresión correcta y no sesgada del estimador de la varianza de una distribución de medidas gaussianas viene dada por:

E [s2] =

u2 _ _

(6.13)

De la mi sma manera se demuestra que

2( 2) A

u u

=

2 (n - 1)0-

4

n2

r4 o sea, u 2 (0- 2 ) = ~ cuando n --> oo. También se demuestra que u(a) a/ J2(n - 1) y que u(0- 2 ) = 0- 2 / J2 /(n - 1). Resumiendo , la estimación de parámetros enla hipótesis de que las muestras obedezcan a la ley de Poisson o de Gauss, da lugar a los siguientes estimadores: Poisson

Gauss valor med io varianza muestra

x= l¿x " n 2 , ~ _ JL, (xi - x) n- I u~s -

bL WiXi

X=

ft L

a=

VYi

Xi

error del valor medio

u(x)

=

fo'

1

rw

u(x)

= {f,,

Si n = 1, se cumple u(¡t) = u, es decir, equivale a la varianza de la muestra, o lo que es lo mi smo , la prec isión del instrumento. ()

M l tHl os estflrl sti ·os e11 fisi ·o 11u ·/ or

1

de ¡ tirt c11/ 1s

6.5.2 Intervalos de confianza Conoc id a la media,µ, y la desviación típica, a , de una muestra de dat s xi; i = 1, ... , n, se pueden calcul ar los intervalos de confi anza sobre la media :

_

a(x )

_ Zc

X -

a(x)

fo < µ < X + Zc fo

en donde zc = 1, 2, ... representaría la anchura del intervalo. Sin embargo, cuando a(x) no es conocida, generalmente porque hay pocos valores, la varianza, 2 n ~ 1 L (xi - x ) y encomo se acaba de demostrar, se estima con s(x ) = tonces es necesario utilizar la función Student (bautizada así por el matemático inglés W. Gossett) para calcular el nivel de confianza sobre la media. Para ello ,

J

se defi ne la variable t

=

f 0Jn'

S X

n

que sigue la distribución:

Í s(t) = f(h + 1/ 2) f(h)y'Vif

(l + t2 / v) -

(v

+ 1) / 2

(6.14)

conh = v/ 2yv = n - 1. La función de Student es, pues, otra distribución de probabilidad cuyo interés es el de determinar niveles de confianza sobre los parámetros estadísticos de una muestra.

6.6 Ajustes de curvas A partir de un conjunto de N medidas Yi, i = 1, .. ., N realizadas en los puntos Xi , con sus errores respectivos a i , se pretenden obtener los parámetro de t una ley física ; por ejempl o N = N 0 e - ;¡:, con No y T, parámetros a determinar. Si se intenta trazar una curva suave que pase a través de los puntos medidos, se observa que unos puntos quedan de un lado y otros del otro lado de la curva. El problema es encontrar la mejor curva, que se resuelve aplicando una variant del método de máxi ma verosimilitud, conocido por el nombre de método de mínimos cuad rados.

6.6.1 Método de mínimos cuadrados El método supone que las N medidas Yi provienen de una distribuc i n teórica con med ia f( xi; a) y varianza aJ. Los mejores estimado res de los k parámetros se obtienen al minimi zar la suma de cuadrados:

a

(6. 1.

o.

Anto11 io Ferrer oria

En el caso en que los errores i = y,; - f (x i ; a) sean gauss ianos, además se cum plirá que S se di stribuye de ac ue rdo con una función f x2 con v = N - k grados de libertad, lo que permitirá ca lcular la bondad del ajuste. Los k parámetros se obtendrán al minimizar la función S, o sea, resolviendo las k ec uaciones: (6. L6)

y los errores se obtendrán a partir de la matriz de covarianza calcu lada en el mínimo: (6. 17)

que al invertirla (v- 1 ), da lugar a la matriz de errores. Así por ejemplo, las = (v - 1 )jj · varianzas de los parámetros serán los ele mentos de la diagonal

aJ

6.6.2 Ajustes lineales Uno de los ejemplos más característicos del método de mínimos cuadrados es el de los ajustes lineales. Sea y = a1. + a2x Como resultado de las fórmulas del método, si se constru yen las sumas

que condensa las cinco igualdades 5 1

= I:; ~; S x = I:; ~; etc. ai

ai

El sistema de ecuaciones para los dos parámetros a 1 y a 2 da lugar, por el método de Cramer, a las soluciones

siendo D = S 1 Sxx - S~ el discriminante de la matriz del sistema. La matriz de covarianza de los parámetros es

con lo que se obtiene 2

ªª1

por supu sto cov(a 1 , a 2) = 04

s - ]j.

1\11 1 idos est t lf.l'ti ·os en ffsi ·a nu ·/e 1r

de par! rn las

6.6.3 Bondad del ajuste Bajo la hipótes is de que los errores son gaussianos, el valor de la suma de ·uadrados (6 .15) con los valores de los parámetros en el mínimo, S 0 , define una probabilid ad 00

Px2( So , 1/) =

f lso

f x2 (z, 1/)dz

on 1/ el número de grados de libertad. En el caso de los ajustes lineales visto en el parágrafo anterior se cumple que 1/ = N - 2, ya que sólo hay 2 parámetros libres a determinar. La probabilidad de x2 calculada, da la probabilidad de obtener un resultado peor (o sea un valor de S > S 0 ) en caso de repetir el experimento. Es decir, da el nivel de confianza en el resultado. Para saber si el ajuste es razonable, basta con ver si el x2 reducido: x2 / 1/ es ~ l. Valores de la probabilidad sistemáticamente demasiado grandes suelen indicar errores anormalmente sobreestimados. En términos de probabilidad, se admite que un buen ajuste es aquél que da una probabilidad de x2 20>: 5 % (véase la tabla de probabilidades de x 2 reducido en el apéndice F). Es interesante comprobar que al cambiar el parámetro a en a + uª ' el x2 cambia a x2 + l. Esto se comprueba inmediatamente al desarrollar S(a) cerca deS(a),quedando

6.6.4 Ajuste de funciones cualesquiera En general el problema del ajuste de datos a funciones complicadas es un problema que se resuelve numéricamente, utilizando librerías de programas disponibles para ordenador (ejemplo: Minuit de la librería de programas CERNLIB del CERN). A veces, la función es fácil de lineal izar. Por ejemplo

lnN

puede reescribirse

=

t lnNo - T

y lo único que hay que cuidar es el cálculo de errores de las nuevas variables. En efecto, si ui es el error de la medida de N (o sea u'f = N), entonces por propagación de errores, 2

u (1nN)

=

2

0

u (N) ( ; : )

2

1 N

Normalmente la variable Xi se conoce con gran precisión. En caso contrario, el error de cada medida Yi se modificará según

o

Antonio Ferrer Soria

6.6.5 Nivel de confianza en experimentos con cern cuentas Una ley de conservación debe ser verificada experimentalmente; para e llo se buscan sucesos que estén prohibidos por dicha ley. Si, efectivamente, la ley es correcta la búsqueda de sucesos dará un resultado con un número de cuentas nulo. Otro caso frecuente es la búsqueda de fenómenos muy raros y poco frecuentes, dando lugar a cero cuentas. La forma de cuantificar los experimentos que dan un resultado nulo es introduciendo un límite superior de la magnitud medida, y el nivel de confianza asociado. El nivel de confianza da la probabilidad de que la magnitud sea inferior al límite superior. El análisis de experimentos que dan un número de cuentas cero depende de si existe o no ruido de fondo. Por ello, a continuación se estudian estas dos posibilidades por separado. a) Expe1imentos sin ruido de fondo : límite superior Un cierto fenómeno (por ejemplo una desintegración nuclear) se mide durante un tiempo T y no se encuentra ningún suceso del tipo buscado: el número de cuentas medido es cero, n e = O. Se supone que la probabilidad de desintegración por unidad de tiempo de la sustancia es >.. La probabilidad de no observar ningún suceso en un tiempo T, puede obtenerse a partir de la distribución de Poisson cuando el valor medio esperado de sucesos es n = >.T:

siendo N una constante de normalización; luego la ley de probabilidad para >. en el caso n e = O es:

P(>./O) = Te - >.T Al no haber detectado ninguna cuenta, n e = O, el resultado del experimento conduce a un límite superior >. 0 . De esta manera , el nivel de confianza o probabilidad de que >. sea inferior a >. 0 es:

Prob(>. ::; >. 0 ) =

j

·>-o

T e- >.T = 1 - e- >.oT = CL

0

en donde CL es el nivel de confianza; del inglés confidence leve!. Por ejemplo, si se elige dar un límite superior >. 0 con un nivel de confianza del 90 %; es decir: CL = O, 9, se cumplirá:

1

>. 0 =

- j, ln (l -

CL ) =

f

1

(6.18)

Convie ne aclarar que si en ausenci a de ruido de fondo, n.r = O, se obtiene un núme ro de cuentas reales n e > O, entonces el experimento tiene un resultado significati vo; o sea, no es cero. Puede, por ejemplo, calcularse una probabilidad 1 or unid ad ele ti e mpo>. = n e/T. ()

/111

todos ' .l'ft1d sticos en }'sic 1 1111<·/ ar d part c11/os

b) Exp ri me ntos co n ru ido de fo ndo: lím ite crítico En lo que sigue , se supo nd rá que ex iste ruido de fo ndo, n¡ > O. S i al med ir e l fe nómeno fís ico se obtiene un número de cuentas n e ,...., n¡, la señal scr,1 n s = n e - n ¡, y e l pro blema es saber si la señal es o no compatible con ·e ro. Para reso lverlo se in troduce el límite crítico le, que c las ifica en dos los resul tados de los experimentos: si la señal es n s < le, e l ex perimento no es sig ni fica tivo y só lo proporc iona un lími te superi or mientras que si la señal es '11 , > le, entonces e l experime nto es significativo. En el primer caso, como e l número de cuentas obtenido es prácti camente igual al ruido de fo ndo , la señal es compatible con cero: n s = n e - n ¡ ~ O; estadísticame nte la di stribución de ns seguirá la ley de Gauss con medi a ns = En efecto tanto n e como n ¡ ¡;, = O y desviac ión estándar u s = u 0 = so n vari ables que siguen la ley de Po isson y la varianza de n s es la suma de las va rianzas de n e y n ¡ que son igua les. La di stribuc ión de Gauss de la variable n s (véase la fi gura 6.4 a ) seguirá la

FnJ.

ley

f 9 (n s; O, u 0 ) =

N exp{ -

7 \

2

2Uo

}.

Esta será la curva de Gauss util izada para

defi nir un ni ve l de confi anza, CL = 1 - F9 (Cc ), a partir de la fun c ión ac umul ativa de Gauss, F 9 (Ce ) (véase parágrafo 6.3.4). Para que un ex perimento sea signi ficativo, la señal (el número de cuentas menos e l ruido de fo ndo) debe exceder e l lím ite crítico Ce , que es simplemente:

en donde k representa el número de desvi ac iones estándar. Así, si se desea dar un límite con un ni ve l de confia nza del 95 %, el va lor del área marcada en la gaussiana de la fi gura 6.4 a ) es 1 - CL = O, 05 y e l fac tor k = 1, 645. Un ex pe rimento que dé como resultado n s ::::; O, e l resultado es consistente con cero (n s = O) y el límite superio r coincide con Ce. Si e l experimento da una señal n s < Ce , no es significa tivo; sólo puede extraerse un límite supe rior que se calcul a /!," = n s + kus, ya que ahora la distribución de n s no es cero sino que tiene por mediaµ = n s y su desv iación típica es Us (véase la fig ura 6.4 b). Un ex perimento significativo proporc iona un a medi da cuyo res ultado es n s ± kus.

Límite de detección El límite de detecc ión se introduce para determinar si un a señal es rea lmente significati va (di stinta de cero), con un nivel de con fia nza fijado, que sue le ser de l 90 % o del 95 %. En este caso, la señal obtenida es mayor que cero, pero como ex iste un ruido de fo ndo igual a n ¡, no se sabe si se trata de un a flu ctu ac ión estad ísti ca o realme nte de una señal. El límite de detecc ión /!,d e , pues, la seña l mínima nd - n ¡ que hay que obte ne r para que e l experi mento proporcione un resul tado no nulo (s igni ficati vo). Es evidente que límite de detección y lími te crítico no son ig uales; si lo fu eran, siempre se tendría un O ~

07

Antonio Ferrer ona

de resultados no significativos. El límite de detecció n se define con un ni ve l de confianza CL dado por e l fac tor k de la ex presión fd = ec + küc1 = k(üo + üc1)Así, si se quiere fijar un límite con e l 90 % de confianza, k = 1, 29. Ahora la señal es ed = nc1 - n¡ cuya varianza es = nd + n¡ = ed + (]"5 y como , ed = küo + kJ f.c1 + (]"5 queda finalmente:

üJ

(6. 19)

a)

n =O s

µ =O

o

b) n >O

s

Figura 6.4: a) Di stribuc ión de Gauss (µ = O y a = ao), donde se señala el límite crítico fe - b) Distribuc ión de Gauss donde aparece e l límite de detección ed y su relación co n el límite c rítico

ec.

!VI f(J(fos 1 sto I .1·1i ·os '11 .f'si · 11111 ·fe ir

de ¡1or1 c1t!fls

6.7 Ejercicios 6.J Límite superi or a una vida medi a. Con el fin ele co mprobar la ley ele conservación del número leptó ni co se mantu vo 82 en obse rvac ión durante 100 días un a muestra ele 50 g de S e, con objeto ele observar e l proceso de desintegra c ión ,6-doble sin emisión de neutrinos: 82

Se

->

82

Kr

+ 2e -

proceso prohibido por di cha ley de conservación. La eficacia del detector es de l 20 % y no se observó ningún suceso de este tipo. Cal cular el límite superi or para la vicia medi a ele este proceso. 6.2 Resoluc ión en posición de un detector ele silicio. Un detector ele posición está construido a partir de un a lámina delgada de silicio sobre la que se han impl antado mi croband as ele 2 µm ele espesor, separadas por un a di stanc ia L = 50 µm . Las partícul as cargad as que atrav iesan la lámina depositan energía, que se puede medir en form a ele un a señal eléctri ca en las mi crobandas cercanas al punto de impacto. a) Demostrar que la resolución en posición de dicho detector, si únicamente se procesa la señal en la mi cro band a co n mayor carga clepositacla, es L / JI2. b) Calcular la resoluc ión si se procesan las señales en las dos mi croband as con mayor carga depositada. Para simpli ficar el problema, se podrá suponer que la señal es proporc ional a la di stanc ia entre e l punto ele impacto y la mi croband a correspondi ente, y que la flu ctu ac ión de di cha señal es de 10 %. 6.3 Promedi o de datos experimentales. Los cuatro experime ntos de LEP han efectuado la medida de la masa y anchura del bosó n Z , obteni endo los valores que se indican a continuación . experimento ALEPH DELPHJ L3 OPAL

M z (GeV)

r z (Ge Y)

91, 1881 ± o, 0031 91, 1866 ± 0, 0029 91, 1883 ± o, 0029 91, 1838± 0, 0029

2, 4951± o,0043 2, 4893 ± o, 0040 2, 4996 ± O, 0043 2, 4958 ± o, 0043

E l error indicado por cada experimento incluye la contribuc ión estadística y sistemáti ca. Para simplificar e l problema, se podrá suponer que el úni co error sistemáti co, tanto en la medida de Mz como en la de r z, es la incertidum bre de 2,0 Me V en la medid a de la energía en e l centro de masas. Dicho error es por supuesto co mún a todos los ex perimentos . a) Cal cular los valores de M z y r z que resultan de promedi ar las medidas anteri ores, con sus errores correspondientes. ¿Pueden mejorase di chas medi as tomando más datos? 2 b ) Cal cul ar e l x del promedio e fectuado y la probabilid ad de obtener di cho va lo r o bi en un valor superior. Di sc utir si las medid as ele los experimentos so n compa ti bles entre sí. 6.4 Error en la medi a y anchu ra de un a resonancia. Se prete nde medir la masa m y anchura O"m de una resonanc ia a pa1t ir ele la scc i n e fi caz ele producc ión e n torno al val or de m. Se di spone de un a mu stra el N

Antonio F'e rrer Soria sucesos. El va lor de m se calcul a como la medi a de los valores obteni dos y pa ra la anchu ra O"m se tom a la d istribuc ión c uadráti ca med ia de la di stribución obtenida. a ) Demostrar que el error en mes O"m/ ,JN, y que si la di stribución de masa es gausiana el error en O"m es O"m / ( ,/2H). b) Cada ex perimento de LE P ha medido la masa y anchura del bosón Z con un a muestra de unos 4 millones de sucesos hadróni cos. Estimar el error estadístico que cabe esperar en dichas medidas y compararlo con e l valor realmente obtenido (véase el problema anteri or). 6.5 Estudi o de la anchura de una resonancia. La anchura de una resonancia medid a experimentalme nte es la convoluc ión de la anchura natu ral de di cha resonancia y de la resoluc ión experimental, que se puede describir normalme nte por una ga usiana. a) Demostrar que si las distribuciones Ji y h tienen anchuras respectivas O" 1 y 0"2, la convolución de ambas, definida como

f( x ) =

./ dy fi(y)h(x

- y)

tie ne un a anchura O" que verifi ca 0" 2 = O"I +O"§ . En lo anteri or se ha identifi cado anchura con desv iac ión cuadráti ca medi a. b) La distribución de masa M debido a la anchu ra natu ral r de una resonanc ia de masa Mo se puede describir medi ante la curva de Bre it-Wi gner sigui ente

df dM 2

fo (M2 - MJ)2

+ MJf 2

donde fo es un a constante de norm ali zación. Discutir cómo se puede de finir una anchura para di cha di stribución en torno al va lor Mo. Concluir sobre el va lor de la anchu ra observado ex perimentalmente. 6.6 Descubrimi ento de un a nueva resonanc ia. En un espectrómetro se reconstruye la masa invari ante de pares de muones con carga opuesta procedentes de la coli sión de protones de alta energía contra un blanco de materia densa. Se obtiene el siguiente número de sucesos en función del intervalo de masa considerado: intervalo de masa (Ge V)

2, 8 - 2, 9 2, 9 - 3, 0 3,0 - 3 , 1 3, 1 - 3, 2 3, 2 - 3, 3

sucesos observados 5

8 19 2

6

Los intervalos de masa corresponden aprox imadamente con la resolución ex peri mental en masa invari ante. a) Si se interpretan estos sucesos como debidos a la presenc ia de un a resonancia, d iscutir qué inform ación se puede ex traer sobre la masa y anchu ra de la mi sma. b) Calc ul ar la probabilidad de que el exceso de sucesos observados entre 3,0 y3, 1 Ge V se deba úni ca mente a un a flu ctu ac ión estadísti ca. Co ncluir sobre la evidenc ia el una resonanc ia e n los da tos anteriores.

IO

Parte III

Desin tegra cione s nucle ares

7~

Radiactividad y desintegración nuclear

La Radiactividad es un fenómeno natural por el que un núcleo atómico emite uno o varios tipos de partículas, transmutándose o desexcitándose a un estado de menor energía. Los tipos más frecuentes son las conocidas desintegraciones a, fJ, y ¡ , así como la fisión y la emisión de nucleones. Esta propiedad la poseen unos 40 elementos de Ja corteza terrestre. Los más activos tienen Z > 80. También se han sintetizado cerca de 2500 nucleidos artificiales, todos ellos, necesariamente radiactivos. Las fuentes radiactivas y los rayos cósmicos, constituyen las fuentes naturales de partículas. Por otra parte, l ~s fuentes artificiales son los aceleradores de partículas. Los fenómenos relacionados con la radiactividad han tenido una historia enriquecedora y han influido directamente en el progreso del conocimiento de los átomos, núcleos y partículas. También han servido para desarrollar una metodología de la experimentación, sentando las bases de los modernos detectores. Es curioso que la mayoría de los científicos que han hecho descubrimientos relacionados con la radiactividad hayan sido premiados con el Nobel de Química, como Rutherford (1908), Marie Curie (1911), F. Soddy (1921), los esposos Joliot-Curie (1935), O. Hahn (1944) y W. Libby (1960). Por el contrario, sólo un premio Nobel de Física ha sido otorgado al descubrimiento de la radiactividad en 1903 a H. Becquerel y los esposos Marie y Pierre Curie. Hoy en día muchas fuentes naturales de radiación son utilizadas exhaustivamente en la investigación, la µiedicina y la industria. Siempre es necesario disponer en los laboratorios ele fuentes naturales de p_artículas, que se obtienen fácilmente y no son muy caras. Se estudiarán aquí las leyes que gobiernan la producción y desintegración de los materiales radiactivos. Al final del tema, se describirán varias aplicaciones ele la radiactividad y se finalizará con un estudio sobre los efectos biológicos de la radiación y los criterios de protección radiológica. 2 13

/\111011io Perrer Soria

7 .1 Generalidades Es lícito pensar que el origen de la física n.uclear se debe a las emisiones radiactivas de los minerales naturales de 238 U y 232 Th, con semividas t 1 ¡ 2 del orden de la edad de la Tierra (propiedades descubiertas en 1896 por H. Becquerel , premio Nobel de Física de 1903, compartido con los esposos Curie). En 1896, Henri Becquerel estudiaba fenómenos de luminiscencia de sales de uranio bajo excitación luminosa y descubrió 1 la emisión espontánea de radiación penetrante (atravesaba un papel negro) que revelaba papel fotográfico. Dicha emisión provenía de la desintegración (3 de elementos de la familia radiactiva del uranio. Casualmente, el descubrimiento de Becquerel sucede cuatro meses después del descubrimiento de los rayos X por Roentgen. Pierre y Marie Curie2 trabajaron intensamente con la pecblenda de la mina de St. Joachimstahl , Bohemia, y obtuvieron polonio y radio, dos elementos con propiedades similares al bisJlllili) y bario. ¡Fueron necesarias 10 Tm de pecblenda para obtener 1 gramo de Ra! Encontraron en sales de torio la misma pro.piedad de las sales de ]lranio. Por estos trabajos Marie Curie recibió su segundo premio Nobel, esta vez de química, en el año 191 l. Pero el físico que más ha aportado al estudio de la ~adiactividades sin duda E. Rutherford (premio Nobel de Química en 1908). Ya desde 1897, discípulo de J. J. Thomson en el Cavendish Laboratory de Cambridge, se sintió muy atraído por el estudio de las radiaciones del uranio. Después, como profesor de física de la Universidad de McGill de Montreal ( 1898-1907), realizó muchos trabajos con el torio, en colaboración con F. Soddy 3 (premio Nobel de Química de 1921 ). Se debe a Rutherford (en 1898) la evidencia de los dos tipos de d~s integraciones a yj 3. Los rayos ¡ los descubre en 1900, Vijlard. De esta época datan los grandes progresos en los estudios de las propiedades de la radiactividad. Entre ellos hay que destacar el concepto de vida media (Rutherford, 1900), que llevó a la revisión revolucionaria de la causalidad en el mundo micrsocópico. // Conviene recordar tres grandes descubrimientos con los primeros estudios de la radiactividad:

ti• La primera transmutación (Rutherford, 1919) observada en la reacción nuclear a + 14 N -+ 17 O+ p, donde los protones recorrían unos 40 cm en una cámara de niebla (en vez de los 6 cm que recorrían las partículas a en una colisión elástica).

V • El descubrimiento del neutrón (Chadwick, 1932, premiado con el Nobel de Física en 1935) a través del estudio de la reacción a+ 9 B e -+ 12 C + n. Se supo que se trataba de nuevas partículas porque si estas partícul as

neutras fueran fotones ¡deberían tener 50 Me V! , una energía enorme para dicho proceso nuclear. 1H. Becq uerel, Comptes Rendus, 122 ( 1896) 501. et M ari e Curie. Comple.1· Re11d11s. 127 ( 1898) 175 ; 127 ( 1898) 12 15. 3 E. Ru1hcrford , F. Soddy, Phi/. Mag, 4 ( 1902) 370; 5 ( 1903) 576. 2 Pierre

14

l
lesi11feRrO f'i 11

11u

·te 11·

La rad iacli vidad artifi c ia l (Ire ne y Frédé ri c .lo liot-C uri e, 19 4) q ue o bs r10 B ---> 13 N * + n, e l 10 N * s un núc l va ro n q ue e n la reacc ió n a + 13 C +e+ + ve) y no existe n 3 inestable; se desin tegra vía [J+ (1 N * ---> la natura leza. Se constató grac ias a la e mi sió n de un positró n (e+). Poste riorme nte al descubrimi e nto de la radiactividad arti fic ial e n I 934 po r Ire ne y Frédéric .loliot-Curi e (que compartier on el pre mio No bel de Química, 1935), yg P + n, utili zando stos mi smos o bservaron ta mbié n la reacción a+ ió n [J+ de l desintegrac la de seguido o, P de activa radi nte e fu una pa rtículas a de . 5 2 t + 305. Je> "IO . mm , = 2 1; con 15 ---> 1 4 ·¿ + e + Ve Tambié n es interesante recordar que, gracias a los estudios de la radiactividad, se descubre n c uatro ele me ntos no detectados hasta ento nces (huecos e n la ta bl a de M e nde leiev): tec neci o ( 43 T c), prometio (6 1 Pm), astato (85 ;).t) y fra nc io (s1F r ).

nAz ___..,

7.2 Ley de desintegración radiactiva Se de nomina acti vidad de una susta nc ia radi activa al número de átomos q ue se des integran por unidad de tie mpo:

dN - =- >.N dt

(7 . 1)

y es propo rc io nal al número de áto mos ex iste ntes, N . La consta nte >. es la denominada constante radi acti va o c9nstante de desint ow ción. D a la probabilida d de des integ rac ió n de un átomo por unidad de_tie mpo . De aquí se .t q ue es la mi sma ley que cumple la actividad:

A = A oe- >.t

(7.3)

La cantidad >.dt da pues la pro babilidad de des integrac ió n de un átomo e n e l inte rvalo (t , t + dt ). El número de desintegrac iones esperadas e n e l interva lo te mporal dt es (dN ) = >.N dt que de be ser considerad o como un valo r J"!"ledi o . Esto quie re decir que en un ex perime nto de medida de actividades se o bte ndrá un número de des integrac io nes n e n un intervalo de tie mpo dt que seguirá un a di str ibuc ió n de probabilidad de Poisson con m ediaµ = >.N dt: - ¡;

P(n ; µ ) = ~ µn

(7 .4)

n.

La v id a medi a de un átomo será:

.1: tdN T =

fo

00

t>.N dt

0

00

{ º dN

}No

f lo

>.N dt

1 )..

(7. )

1.

A111011io Ferrer 'oria

La semi vida o semiper iodo , t 1¡ 2 , se defi ne como e l tie mpo necesario pa ra que el núme ro de átomos se redu zca a la mitad, N = (7.2) da, senci ! lame nte, ln 2

t1; 2 =

!f¡, que al ap li carl o e n

T

y por lo tanto, ti; 2 = O, 693 x T . De esta manera, partie ndo de N 0 núc leos de una sustancia con semi periodo li¡ 2 , c uando haya transcurrido un tiempo ig ual a k semiperiodos, quedarán so lame nte N 0/ 2k núcleos in tactos. La unidad tradic io nal de acti vidad es e l c urie ( 1 C i 3,7 x 10 10 des/seg) , " que es la activ idad de ! _gramo de radio. La unidad SI es e l becque rel (Bq = 1 desintegración/segundo). A mayor masa de sustanc ia radiacti va, mayor "acti vidad . La masa M de una sustancia cuya acti vidad ..es 1 C i, puede ca lcul arse a parti r

=

~

I

A = >.. N = >.. M N ¿. A

siendo NAel número de Avogadro y A' el pe~o ~tó mi co de la sustanc ia. La actividad no in fo rma de qué tipo de radiac ió n se trata, ni de sus efectos biológicos. La medida de A e n varios intervalos 6.t pe rmi te medir >.. (só lo s i t1¡2 no es ni de masiado largo ni extre mada me nte corto).

V 7.2.1 Semividas parciales. Cocientes de desintegración Cuando se estudi a la desintegración de una.susta nc ia radi activa, no siempre se trata de un proble ma e n e l que todo q ueda ex plicado con una simple ley exponencial de desintegració n. He aquí tres variedades de modos de desintegración que conviene te ner presentes; (J] Caso más sencillo: N 1 --+ N 2 + x , N 2 es establ e y N 1 no se crea. Se cumplen las leyes:

N1(t )

=

Noe- >.. it

N2 (t) = No ( 1 - e- >..it )

+ N z = No . (2] Ex isten dos estados fi nales (dos modos de desin tegración). Ta mbié n se dice que N 1 , e l ele me nto padre, tie ne una desintegrac ió n multimodo:

y en cada insta nte se ti ene N1

N1

--+ -->

N2a +X N2b + y

Se int rod ucen en este caso las se mi vidas parc iales y los coc ie ntes de desintegración. O sea, en este caso, >.. a y >.. b son las constantes de des integrac ió n (semi vidas) parciales:

N) dN_ (dN) (d ([[

- ([[ - - ([[ ª 216

b

(

= N >.. a + >..b ) = N >.. i

No li r ·ti vi l 1 I

desi11 t ¡¡. ro ·/ 1

11 111 1 · / , 1

La ley de de integrac ió n viene le fini la só lo po r >., = >.n. + >.b,

sea cual sea e l canal o e l modo de d es integ ra~ i ó n que se mida. Las consta ntes ,\, y >.b, que po r defini c ión son las ll amadas semividas p11rciales, si rven para dar las pro porc io nes a cada modo parc ial, BR(a) = >.a/ At y BR(b) = >. 0 / A¿, es dec ir, los coc ientes de des integrac ió n (branching ratios) . Con esto, las leyes son:

N1(t) = No e- >.it

Es mu y frec ue nte encontrar núcleos o partícul as con varios modos de desin6 tegrac ión. Un eje mplo es e l ~~ Ac(t 1 ¡ 2 = 29h) cuya At = O, 693/t 1 ; 2 = 1 6 de des integració n y las semi vidas parciales modos tres 6, 6 x 10- ~ - . Ti ene son: h

~~ 6 Ac --->

~~ 6 Ac + e-

2 ~~ Fr

--->

2 6

5 Aa = 6 X 10- At;

+ a;

~ Ra

+ ve;

>., = O, 17 >.i;

t 1/ 2,a = 55 t1 ;2,c

= 170

años h

sin embargo la ~c ti v id ad seguirá una exponenc ial con A¡, suma de las >.i parc iales, cualquier a que sea el modo que se estudie. >.i o si se ex presa en se mi vid as : En general se tend rá>. =

L

1

1 t1 ; 2

=

~ t1 ; 2(i)

Otro caso aún más complejo es el de los modos de des integració n de la partícul as e lementa les, que cuando se trata de partícul as de masa e levada pue2 den tener muchos modos de des integrac ión. Por ejemplo el J<+ (493 ,7 MeY/c ) tiene 6 modos de desintegra c ión con los siguientes coc ie ntes de des integrac ió n (branclúng ratios, BR): J< +

desintegrac ión ---> {l+Vµ, ---> 71' + 71'0 ---> 7r + 7r + 7r ---> 7r+ 7ro7ro ---> 71'0 µ.+ //,, 7r

0e+ ve

frecuencia, BR 0,635 0,2 12 0,056 0,0 17 0,032 0 ,048

17

....... - ... .. ..... .

\.. . , '

,

l ./ f , . ,

l J Mez c la en e l estado in ic ia l. stc es e l caso de sustanc ias ( o mo e l Ou natural irrad iado) , que tie nen dos isóto pos radi activ os química me nte insepara bles: 64 C'U(l2 , 7 h) y 61 C'U(3 , 3 h). En este caso la ley de des integ rac ió n es una sum a de ex pone ncia les. Para identifi car la ley de de_s integ ració n de cada e leme nto hay que extrae r las dos constante s de des integ rac ión de los dos isóto pos. Para ell o, utili zand o los datos a mayor tiem po, se ajusta la curva y se obti ene la cons tante may or, ya que a tiem pos elev ados só lo existe isóto po con t ; may or. La 1 2 ex pone nc ial obte nida se extr apola a tiempos pequ eños y se sustrae de los datos, con lo que ya se puede obte ner la cons tante de l segu ndo e leme nto ajustand o los datos obte nidos.

7.3 Teoría cuántica de la desintegra ción radiactiva Una des integ rac ión es debida a una inter acción

desc rita por un pote nc ial V' < < V0 , siendo V0 e l pote nc ia l que desc ribe e l siste ma nucl ear estac iona ri o. E l pote ncia l del siste ma es ento nces V = V0 +V '. Puede apli cars e la teor ía de

perturbacion es depe ndie nte de l tiem po, que dice que la probabilidad de tran sición entre los esta dos 1'1/Ji > y l'l/J¡ >, solu c io nes del potencia l no perturba do V0 , viene dada por la regla d_2ra da de Ferm i: con y p(E ¡) el ll amado ~s pac i o fás ico, es decir, la dens idad de estados del esta do fin al. Una fun c ió n de o ndas de un esta do esta cio nario evo lucio na con el tie mpo según la fo rma bien cono cida:

que da una prob abilidad , inde pendi

ente de t, de enco

ntrar al siste ma e n e l estado · a y por lo tanto, si se ca lcul a la ener gía de l estado se obte ndrá siem pre Ea.

Si el estado es ines table (se desinteg ra con vida med ia Ta), la prob abili dad podr á escribirse:

con Ta =

1/ >.a . La func ión de ond as podrá escribirse: (7 .6)

Es como si la energía fues e ahor a Ea L.Ta Ya no se tiene un estado esta cionario con Ea bien definida, sino con una anch ura /:),.E = fa = li/Ta . El prin cipi o de ince rtidu mbre da e l signi ficad o de esta anchu ra : para dete rmin ar la ener gía de un esta do con un a precis ió n /:),. E, debe pode r obse rvarse dura nte un tiem po T, re lac io nado s por /:),.E ::::o li/T.

iA-.

2 18

/\ / li 1 ·ti vi 11 I desi11te ,,. / ·i

/1 1111 ·/ ' 11'

El estado físico in establ e será una superpo ició n (7 .7) con a ( E ) la amplitud de probabilidad de encontrar al estado con una energía E. La energía media es (E) = E a y al igualar las dos anteriores expresiones de Wa se puede ver que:

e- t / 2Ta =

J

.(E - E a)t

a(E) e - z

dE

y la transformada de Eourier dará la probabilidad P(E) = la(E) 12 de encontrar el estado con una energía entre E y E+ dE alrededor del valor medio Ea: (7.8)

que es una fórmula de Breit-Wigner, en la que r a = li/ Ta es la anchura del estado a. Fórmula de gran importancia en física nuclear y de partículas, ya que explica también ciertos fenómenos de colisiones entre partículas y núcleos: da la sección eficaz de reacción cuando aparece el conocido fenómeno de las resonancias. La anchura r ª ' llamada habitualmente anchura intrínseca del estado Wa, cuyo valor de la energía (más probable) es Ea , es mucho menor que el espaciado de los niveles nucleares, o sea que se podrá hablar de transiciones entre niveles nucleares. En efecto, como !i = 6, 6 x 10- 22 Me Y· s, si T > io- 12 s entonces r < 10- 10 Me V, que habría que comparar a separaciones entre niveles nucleares 2 10- 3 MeV.

7.4 Tipos de desintegraciones nucleares. Fuentes radiactivas más comunes Los núcleos se desintegran de manera que siempre tienden al estado energético más estable. A continuación se describen los tipos más frecuentes de desin tegraciones nucleares. Las tablas de emisores que se presentan a continuación pueden consultarse en R. B. Firestone y V. S. Shirley: Table of lsotopes, 8th Edit. , John Wiley & Sons, N.Y., 1996. También se presentan más adelante (véas por ejemplo la figura 7 .1) algunos esquemas de desintegración, en los que la escala vertical representa la energía explícitamente.

7.4.1 Desintegración a Es la emisión de núcleos ~ H e (que se denominan a ) por núc leos pesado. , y es un proceso facilitado , entre otros, por la enorme e ne rgía de li a lura d

,,

J\ 1110 11i 1

Ferrer

Jrio

las partículas a (véase la tabla 7.1 ). La teoría que describe este fen meno fu e desarro llada por Gamow, Condon y Gourney. Es un a bril lante aplicació n de l conocido efecto túnel de la Mecánica Cuántica. El capítulo 8 está dedicado a explicar estos efectos y al estudio de las propiedades físicas de la desintegración alfa. En la desintegración a, los números másico (A) y atómico (Z) de los elementos que entran en juego cumplirán:

AX Z por ejemplo: §~ 8 U ---->

§§6 Ra ---->

A- 4y

----> Z - 2

+

4H 2 e

§5 4 Th + a(4,2 MeV); §~ 2 Rn

+ a (4,8 Me V);

ti;2

=

4, 4 7 x 109 años.

t 1 ¡ 2 = 1600 años.

2

:,~ Th

o+ 5

+

( 15.0)

( S,27 99 , 93 % 0,0(, '*-'

u)

2626 2506

-

---

3-

290

4+

250

r

215

ºª

( 1,9 1 a)

=5520

keV

2 159

~

28.2 %

1333

2+

84

o

3+

"Na 11

(2,60 a)

T

(J-0,07 a)

: (h (9fi)

94,4 %

(12,/)

5,6 %

2+

'

:' 284\

1275

~l= l/2~~--66_2 (2,55 mini

~+ (0.04 %)

280 logft

~3_/2_ + -~--º 137 8

s6

.

~~Ne

ª

Figura 7. 1: Esquemas de desintegración nuc lear (a , 13±, CE y ¡ ) .

o

No l i 1 ·tlvl l 1 I y rlt1 sl11lefi ro ·i

TABLA 7. 1:

Isótopo

:.M lA·m 210 Po

242Cm

11

1111

·le 11•

aracterísticas de algunos emi so res alfa .

Semi v id a 433 días 138 d ías 163 días

7.4.2 Desintegración

Energías (Me V) 5,486 5,443 5,305 6, 113 6,070

Fracc ión ( %) 85 12,8 . LOO 74 26

/3

Conoc ida como des integración {3 o de Fermi . Se trata de emisiones de e± por parte de núcleos alejados de la línea de estabilidad . El proceso es una interacción débil en la que uno de los nucleones que se encue ntran en exceso, (n , p), se transforma en e l otro (cambio de cargan +-+ p), emi tiendo un e+ o un e- de fo rma que se conserve la carga eléctri ca. Ex isten tres variantes de la desintegraci ón {3 nuc lear ll amadas {3- , (3+ y CE (captura electró nica). Bás icamente las tres puede n ex plicarse medi ante transform ac iones que ti enen lu gar entre los nucleones constitu ye ntes,

t1 ;2

eje mpl o

tipo

proceso

l.

({3 - )

n-> p +e- +

2.

({3+ )

p -> n +e++ Ve

3.

(CE)

p +e -

--->

l/ e

n + Ve

á51¡ -> á~1X e + e-+ Ve

(8, o d)

i~Al-> i~Mg +e++

(7, 2s)

~~ Mn + e-

--->

l/e

~1Cr + Ve (312 d)

en el último caso, después de la captu ra e lectrónica (CE) de be haber emi sión de un rayo X por parte de l áto mo, al haber sido captu rado uno de los electro nes de las capas internas por un protón de l núcleo, dej ando un hueco en la estructu ra atómica. Hay que tener claro que estos procesos puede n tener lugar entre nygeo nes ligad9s. Sólo así se entiende que el protón pueda tra nsformarse en un neutrón dentro del núc leo, de bido a que hay que tener en c ue nta las e nergías de ligadu ra nuclear en e l balance e nergético. La interacción fund amental que orig ina esta desintegrac ión es la interacció n débil (intercambio de w ± ) con cambi o de sabor de quarks. Así, en e l caso de la des integrac ión {3- del neutrón el proceso, en rea lidad , es e l de cambio de sabor de l quark d:

E n e l capítul o 9 se re pasan las pro piedades fís icas de la des in tegra i n beta y se anali za la idea precw·sor a de Fermi de la teoría de la in teracció n dé bil. Tamb ié n se d iscuten las pro piedades del neutrino y la sorpresa q ue supu s la constatación ele la vio lac ió n ele la paridad e n las interacc io nes clé b ile .

An10 11 io F, rrer 'oria

Aunque ex isten e misores {3 puros (tabl a 7.2), e n la mayoría de los núcleos inestab les por des integrac ión beta, el núcleo final queda en un estado exc itado dando lugar a des integración ¡. TABLA 7.2: Em isores /3 puros. cinética máxima del electrón. Isótopo

0fi i4c 32p 33 p

35s 36Cl 45Ca 63Ni gºSrlgoy 99 Tc 147pm

204Tl

Tmax

Semivida 12,32 años 5730 años 14,28 días 24,4 días 87,9 días 3,08 x 10 5 años 165 días 92 años 27, 7 años/64 horas 2, 12 x 10 5 años 2,62 años 3,81 años

es la energía (MeV) 0,0186 0,156 1,710 0,248 0,167 0,714 0 ,252 0,067 0,54612,27 0 ,292 0,224 0 ,766

T.nax

7.4.3 Desintegració n¡ Es el proceso de desexcitación nuclear por excelencia. La interacción responsable es la electromagnética. Frecuentemente es un proceso rápido (t 1; 2 ~ 10- 9 s). Si t 1¡ 2 ;:::: O, 1 seg., entonces a esos estados se Les suele Ll amar .12.ómeros. Sucede para desintegraciones entre estados con números cuánticos de espín muy diferentes. Los isómeros se representan con un a m al lado del número másico del núcleo, por ejemplo el nivel exc itado 2+ del 6 °Co que tiene una energía de 58 ,59 keV y un semiperiodo t 1 ; 2 = 10, 47 min . y que se denomina 60mco. Existe también la conversión interna (tabla 7 .3), emi sión de un e- de las capas atómicas en vez de un fotón. Se trata en este caso de un e- monoenergético. Las fuentes de conversión interna se utilizan sobre todo para la calfüración energética de detectores de partículas. El electrón emitido procede de la corteza atómica, como resultado de la desexcitación. Si la energía de ligadura del electrón es B e, la energía del e- de conversión interna será E e = (Ei - E¡) - B e, siendo Ei - E¡ la diferencia de energía entre los ni veles nucleares. Como puede observarse en la tabl a 7.3, ex isten varios valores de la energía de los electrones emitidos por estas fu entes según la capa electrónica de la que procedan. Las propiedades físicas de la desintegración gamma se anali zan en el capítulo 1O, donde se introducen los coeficientes de Weisskopf para estimar las vidas med ias de las des integrac iones gamma de los núcleos.

N 1 l io ·1i vi /(1(/

1

lesi111e 1r 1ci

11

1111clet11·

TABLA 7. : ·u ntes de co nversi n intern a.

Fue nte

Energías (ke V)

u :isn

365 266, 319 624 480,967, 1047

133 B a 137 Cs 201 Bi

7.4.4 Fisión espontánea La fi sión es la fragmentac ión de un núcleo pesado en dos núcleos más li eros y con emi sión de varios neutrones. Sue le te ner lugar en núc leos muy 4 Es n os en neutrones como los transuránidos , por ejemplo §~ C f y fuerzas 11n fe nómeno de bido a la defo rmación nuclear creada por las e normes le re pul sió n eléctricas en núc leos mu y pesados. No hay núcleos estables más a ll á de l bi smuto porque sufren des integración a. Para valores A > 250, más a ll á de l califo rnio comienzan a tener fi sión espontánea tambié n. A partir ele A = :WO, los núcleos se fi sio narían espontáneamente . Esto explica por qué no pueden ex istir núcleos estables con A elevado. Otro fenómeno es e l de la fis ión iµ_ducida por neutrones; mu y probable 239 Pu. Es un fe nó me no que puede desarroll ar una para núcleos como 235 U y reacción en cadena. Sus aplicac iones son de gran enve rgadu ra a nive l mundi al; en los últimos quince años, más de l 15 % ele la energ ía e léctri ca consumida en e l mundo se debe a la fi sión nuc lear.

i83Fm.

7.4.5 Emisión de nucleones Se trata de desintegrac iones ele núcleos que se encuentran lejos de l valle ele la estabilidad . Este tipo de núcleos aparecen entre los productos de la fi sió n. Para que la e mi sión espo ntánea de nucleones pueda tener lugar, la energía ele separación nuc leónica de be ser S p, Sn < O, ya que, por convenio, se define la energ ía de separac ió n como la e nergía que hay que ceder a l núcleo para que se pueda arra ncar un nucleón. U n eje mplo de emi sor ele protones es e l X~ I
J\ 1110 11 io f"err •r 'o ri

1

Chadw ick en e l fa moso ex perimento de l descubrimiento de l neutrón.

7.5 Series naturales de elementos radiactivos La Tierra (y sus elementos constitu yentes, F e, O, C, S i , ... ) ti ene una edad estimada en unos 4 ,5 x 10 9 años . El Un iverso (cuyo ori gen se sitúa en e l in stante del Big-Bang) data de unos 13,5 x 10 9 años. Se supone que fu eron necesarios unos 1O x 10 9 años para fu sionar H y H e en núcleos más pesados, estre ll as, novas y supernovas. P uede dec irse que la Tierra y todo lo que contiene son los deshechos rec icl ados de las supernovas. La radi actividad natura l es debida a las des integrac iones de las cadenas de e lementos pesados: serie Torio Neptuni o Uranio Actinio

tipo 4n 4n+I 4 n+2 4 n+3

elemento

t 1 ; 2 (años)

~ 0 ~Th

14, 1 X lQ:OO 2, 14 x 10 6 (no natu ra l) 4, 47 X 10 9 0, 704 X 10 9

231Np 23su 235u

°

establ e ~u o Pb 201 B i 206 pb 201 Pb

4 Estas cadenas natu ra les de elementos rad iactivos, más el K (el potas io es de l 4 K es isotópica más abundante en la corteza terrestre, pero la propo rción una ejemplo, Por . anetas minúscul a: 0 ,0 11 7 %) ori g in an el calor interno de los pl 238 más de los contar in (s mW 9,6 a lente U genera un calor equ iva tone lada de e lementos de la cadena radiacti va). Para la salud pública, e l elemento más problemáti co es el gas Rn. El origen del gas radón puede verse, por ejemplo, en la fi gura 7.2, que muestra la serie de 15 e lementos que componen la cadena radiacti va natu ral de l ~~ 8 U .

°

Esta serie acaba en el ele mento estable §g6 Pb. Entre el ~~ 8 U y e l último elemento de la serie (§g 6 Pb) se observa que hay una di sminución de 32 nuc leones, por lo que hay 8 des integrac iones alfa y una di sminuc ión de 10 proto nes, lo que se consigue con 6 des integrac iones (3- que compensan las des integ raciones alfa. Ex isten otros e lementos radi acti vos en la Tie rra, pero no son natu ra les (no tienen vidas medias de l orden de o mayores que la edad de la Tierra) , aunque su pro porc ión es constante. Son produc idos en colisio nes de ra yos cósmi cos con los núcleos de l aire de la atmósfera o e l ag ua de l mar. Entre ellos se encuentra el triti o, que se des integra da ndo 3 H( 12,32 años) -; 3 H e+ e-+ ve y el carbono14, que sigue e l mi smo tipo de des integrac ión: 14 C (5730 años) -; 14 N + e-+ ve. E n estos casos no ex isten series radi acti vas co mo en los trJUlsuránidos. S in e mbargo estos dos últi mos elementos naturales radi activos tienen interesantes apli cac iones de datac ió n. 4

lesinte¡.:r 1ci

N 1 lio ·tivl f I(/ Ocsintcg.-:.1 c i(1n

• a ~

Elemento

:

a a a

~

a ~ ~

a

9

4,47

1.orio-234

24, 1 días

protactinio-234m

1, 17 min.

uranio-234

245.000 a ños

torio-230

8.000 años

radio-226

1.600 años

r adón-222

3,823 días

polonio-218

3,05 min.

plomo-214

26,8 min.

bismulo-214

19,7 min.

polonio-214

164 ~1 seg.

plomo-210

22,3 años

bismuto-210

5,01 días

polonio-210

138,4 días

plomo-206

estable

X

10 a ñO!

1

a

~

·te 11'

cmiperiodo

uranio- 238

~

a

11 1111

• i• •

238 U. Figura 7.2: Los quince e le mentos de la seri e radi activa natu ra l de l

7.6 Cadenas radiactivas. Ecuaciones de Bateman Es frecuente encontra r series de núcleos que se des integran dando lugar a un a cadena o fa mjJi a radiacti va, co mo se acaba de ver en e l parágrafo anterior. El problema es conocer en cada in stante qué número de átomos de cada elemento ex iste e n la muestra. Un caso particul ar de estas cadenas que conviene estudiar es e l que tie ne lugar con sólo tres elementos: 1 ___, 2 ___, 3, sie ndo 3 un núcleo estable. Las ecuac iones de la cadena radi acti va y sus so luc io nes para e l caso en e l que en e l in stante t = O no ex ista ningún núc leo hijo, es dec ir, N 2 (0) N 3(0) = O, son:

dN1 - _ , N 1 Al dt (7.9)

' N2 dN3 dt -- A2

/\111onio Fen" r 'oria

qu e conducen a:

N2(t)

= No ,\ ~ >-i ( e- >-1t 2

N3(t)

=No { 1 + )\ 2 ~ )\ ( >- 1e- >-2t - -\ 2e- >-1t)} 1

-

e- >-2t)

(7 .10)

d[/?

La actividad del núcleo hijo es ~ 2 = >-2N2 0)_ (y no porque además ele desintegrarse , se crean núcleos ele tipo 2 !). El número ele núcleos hijo pasa ' . . . . que (JT" dN2 = O, que el a 1ugar a: por un max1mo, que se o btiene a 1exigir (7.11)

instante en el que la actividad del hijo está en equilibrio ideal: >-2 N2 (tmax) = tmax). Para cualquier otro valor de t, el cociente entre la actividad del hijo y °la del padre vale: ,\ 1 N 1 (

(7 .12)

distinguiéndose tres casos (véase figura 7.3): •

,\ 2 > > ,\ 1 ; es decir, el hijo tiene una probabilidad de desintegración mucho mayor que la del padre. Se tiene eql;!.ilibd._o f¿ecular, ya que el cociente , ºd amente y se mantmene . . el e fi rnºd amente. >->-2N2 iNi se hace ~ 1 rap1 as1, m

Ejemplo: el 90 Sr({3-, Tmax = O, 546 Me V, 27,7 años)-> 90 Y ({3-, Tinax = . 2, 27 Me V, 64,8 h) -> 90 Zr. Es como si se tuviera una fuente de 9 oy con t 1 ¡ 2 = 27 , 7 años (en vez ele 64,8 h) . El núcleo hijo se desintegra con la misma velocidad con la que se crea, y el número de átomos sigue la ley:

\

•

•

6

,\ 2 > ,\ 1 ; la p!Qbabilidad de desintegración del núcleo hijo es mayor que la del padre. Se a lcanza un ~qy. ºlibrio transiente; el cociente de actividades va creciendo lentamente, sin alcanzar una constante como en el caso anterior. ,\ 2 < -\ 1 . El cociente de ·actividades aumenta con el tiempo. Los núcleos de tipo 1 se des integran rápidamente y los de tipo 2 varían según la ley ex ponencial:

cf us/11/ é f;t" 1 ·i n 1wcl ' ( ti'

No ll 1c1/vldo I

En el caso de k generac iones 1 ·u;tl ¡uier elemento i de la cadena:

--->

2

df;J/ =

--->

3 ...

--->

)..i _ 1 N i _ 1 (t)

k, se genera li za para

- >.iNi(t). Si se su-

Ni(O) = O para todos los elementos de la cadena (i > 1), excepto (O) = No, entonces la actividad del miembro n de la cadena vendrá dada por

1o ne que 1

lus ecuaciones de Bateman:

n n

"' ~ - >. i·t A n = 1vo ~ Cie

siendo

(7.13)

I1

i= l

(>.m - >.i )

m#i = l

ni endo en cuenta que en el cálculo de la ~ctividad del elemento n habrá n ·oc ficientes Cm. En el denominador anterior el producto significa que deben !ornarse todos los valores de i salvo i = m. Se tiene equilibrio secular si >. 1 N 1 = ,\ 2N2 = ... = AnNn. Si lo que se busca es el número de átomos del elemento n de la cadena rnd iactiva en el instante t, se podrá obtener a partir de:

Nn(t) = A1 · · · An- 1N1(0)

>.it L _n_e-_ __

rr

i= l

(7.14)

(>.m - >.i)

m#i = l

pud iendo comprobarse que, efectivamente, las actividades vistas en (7.13) coinc iden con A n(t) = AnNn(t).

7.6.1 Aplicaciones del equilibrio

rad~activo

Se 'dan dos ejemplos sencillos de aplicación del concepto de equilibrio rad iactiv-0.

Medida de li; 2 Sean dos elementos radiactivos en equilibrio (ejemplo: Ra - U), de los que se conoce la relación de masas entre ellos; MRa/ lvlu = 3, 4 x 10- 1 . Si conoce uno de los semiperiodos, por ejemplo: ti ¡ 2 (Ra) = 1600 años, se pued ca lcular t 1 ; 2 (U) teniendo en cuenta la condición de equilibrio: y como

al despejar queda , ti; 2 (U) =

1600 (~~~ ) ( t:i~~J

N = M~ = 4, 5 x 10 9 años.

7

/\ 11 to11io F'errer oria

'J. ¡N¡ 'J. ,N,

N(t) '

. ('Af 'A ),

equi librio

l

.' ' .. ' ' . '

·--

1

_'.'AJ''A) 1

tran sicntc

('Ai» 'J..) '

secular

'.··· 1max

a)

b)

Figura 7.3: a) Evolución Lemporal del número de núcleos de cada una de los miembros de la cadena radiacti va Ni -> N 2 -> N 3, siendo la sustancia N 3 estable. b) Cociente de actividades A2/ A 1 en fu nción del tiempo, para cada uno de los casos descritos e n la figura, e11tre e llos, el eq uilibri o secul ar.

Masa o edad de un material en equilibrio Para calcul ar la cantidad de 206 Pb producido anualmente por 1 gramo de U en equilibrio, se identifi ca la actividad del ura nio con el ritmo de producció n de 206 Pb: 238

y como >.u es conoc ido, se puede calcular N Pb y por lo tanto la masa. Para calcul ar la edad del material, T, conoc ido el número de átomos de Pb ex istente,

dN dt = )JI!

T = -1'!..e..L >.u N u

7.6.2 Medida de t 1 ¡ 2 por el método de máxima verosimilitud Esta es una bonita aplicac ión de los métodos estadísticds 4 aplicados a la física nuclear. Se supo ne un só lo elemento radiactivo, que se desintegra de acuerdo con la ley ex pone ncial N = N 0 e- >.t_ Durante un tiempo T se observan N desi ntegraciones, cada una en el in stante {ti, i = 1, .. . , N} . La probabilidad de observar un a desin tegrac ión por núcleo en el interva lo (t, t + dt) depende de>.:

P (>. , ti) dt = ( 4

1- e

- >.T) dt

que cumple

Véase el tema 6 dedicado a métodos estadísti cos

8

lT

P(>. , t)dt = 1

N 1 /i 1crivi l 1 I

1

lesinteg r 1ci

11

n11 ·le 1r

a que Tes finito y >.dt da la pro babilidad de des in tegración e n dl. Al fo rm ar la N

func ió n de ~ros~ .C

=

IT P(>. , t.;)

y reso lver la ecuac ió n:

dln .C =Ü

d>. se obtiene el mejor estimado r del parámetro >. , (7. 15) con lo que para el caso >.T > > se tiene:

(7.1 6)

±

Este método fun cio na para vid as medias T = que tengan un ra ngo que se extiende desde aproximadamente un minuto hasta unos pocos años. El erro( sobre el parámetro>. se ca lcula utilizando la fó rmul a de la varianza que se obtiene por el método de máx ima veroslmiJ@ d :

a2(5') = - ( d:~.c) - 1

7. 7 Radiactividad artificial En la obtención de radi oisótopos por bombardeo de materi al (del que inic ialmente se di spone n N 0 núcleos) con aceleradores de partícul as o con reactores (fluj o incidente F [cm- 2 ·s- 1 ])° se fo rm a el elemento N 1 (por ejempl o en la reacc ión p + No --+ N 1 + q) a un ritmo:

R = Fa No

(7 .17)

y este elemento N 1 es inestable. A continu ación el elemento N 1 se desintegra da ndo N 1 ---+ N 2 + x con constante radi activa >. 1 y el proceso da lugar, fin alme nte, al elemento N 2 estable. Típicamente las secc iones e fi caces a en la expresión (7. 17) son del orden del barn y los flujo s, F, del orden de 10 14 cm- 2 s- 1 , con lo que R/N0 Rj F(10 14 ) x a(l0 - 24 ) Rj 10- 10 s- 1 , tan pequeño que puede supo nerse No constante. Se ti ene pues,

dN1 -_ R, - /\J , N1 ([t

===}

N 1 (t) =

~ (i- e- >.1t )

A R(1- t) 1 (t)

=

e-/\ 1

) (7. 18)

que se integra fácilmente al multiplicar por e..\ 1l con IQ que se obti e ne la ecuación

ft (N1e..\1t) = k e..\1t.

El problema queda bien descrito por las dos condiciones límites siguientes:

t << t 1; 2

--+

A1(t);:::::; R..\ 1 t

(crecimiento lineal cerca de t=Ü)

t > > t 1; 2

--+

A1 (t) ;: : :; R

(equilibrio secular)

La evolución del número de átomos (o el de la actividad) creados artificialmente puede verse en la figura 7.4

~o

10

equilibrio secular

u

8

~

6

~

E

B

'
4

o

20

10

30

40

t (horas)

Figura 7.4: Evolución del número de átomos radiactivos producidos por bombardeo de un blanco de Ni en un ciclotrón que acelera protones. Los valores numéricos corresponden a la reacción p + 6 1 N i----> 6 1 C u + n, que produce 61 C u radiactivo que tiene un semiperiodo t 1 ¡ 2 = 3, 3 h.

\ Ejemplo: Cálculo de la actividad de los dos isótopos radiactivos 66

64 Cu

y

Cu que se producen al irradiar un blanco form.ado por 1 gramo de Cu natural ,

con un flujo F = 10 9 n/(cm 2 · s) de neutrones de muy baja energía(térmicos) durante 15 minutos. Se tienen los procesos y las secciones eficaces de producción siguientes: 63

n

+

{

0 u (69 %) } (31 %)

65 Cu

{ --+

64

Cu (t 1 ; 2 = 12, 7 h), (t 1; 2 = 5, 1 min) ,

66 Cu

El núc leo de 6 4 Cu se desintegra en un 39 % vía (3 - a a ptura Electró nica a 64 N i .

o

(J (J

64 Z n

= =

4, 4 b } 2, 2 b

+ /'

y en un 61 % vía

l
d '.l'i11teg ra ·i 111111 ·le 1r

Uti li zando la f rmula :

y co mo en 1 gra mo de material el número de átomos viene dado por

(NA / A) (a 3 ) x 1 g, en donde a 3

N (O)

es la abu ndancia de cada isótopo, se obtie ne

finalmente : .

>.. i Ni (l 5 mm .) =

{ 10, 43 µCi de 64 Cu 152 , O µCi de 66 Cu

E l tiempo óptimo de bombardeo puede calcularse utilizando la misma expresión obtenida para tmax en e l caso del equilibrio ideal vista en (7 .1 1). En este caso basta con la condición e- >..1t -> O, lo que se consigue en un tiempo de bombardeo inferior a unas 1O vidas medias. O sea, si el elemento tiene un semi pe ri odo t 1¡ 2 , no tiene ningún interés bombardear durante un tiempo superior a "" 10 x t 1 ¡ 2 , ya que no aumenta la cantidad de material radiactivo.

7 .8 Aplicaciones de la radiactividad Existen numerosas aplicac iones de l fe nómeno de la radiactividad. Unos se re fiere n a la ex plotación de la ley (ex ponencial) de la des integración radiactiva; por ello se ag rupan de ntro de los métodos de datac ión. Los otros son consecuenc ia de los efectos físicos producidos por la radiación y se clasifi can a su vez en aplicaciones en los campos • del agroa lime ntario • e l indu stria l • la med icina

7.8.1 Datación radiactiva Es una aplicac ión importante de la ley exponenc ial de des integrac ión. Se suele distinguir entre datación arqueológ ica , geo lógica o cosmo lógica, segú n la esca la de ti empo que se desee medir. a) Datac ión por

14

C .

Propuesta por W. Libby (premio No be l de Química, 1960). El 14 C es un isótopo con t 1 ¡ 2 = 5730 años que se produce en la atmósfera por el choque de rayos cós micos con los núcleos (n + ~ 4 N -> p + ~ 4 C). Se ha esti mado que e l ritmo de producción es "" 2,25 átomos cm- 2 s- 1 . El mismo mecanismo se apli ca a la producción del triti o (3 H, t 1 ¡ 2 = 12,33 años). Se supone que e n los últimos 50.000 años, la proporción 14 C/C = 1/ 10 12 , no ha cambiado ; e l método podría no func ionar de ntro de miles de año p r las

31

/\ 11!0 11i 1 Ferr>r 'oria

bombas atóm icas e n la atmósfera durante las décadas 1950- 1960, que ha n provocado un camb io (que sen'í muy difícil de ca lcul ar e n e l futuro) de su concentración. 12 El carbo no natural , c uya proporción isotópica es 98,89 % de C y 1, 11 % 13 de C, es absorbido por sustancias orgánicas e n forma de C 0 2 . También absorben la pequeñísima cantidad de 14 C presente. Al morir el organismo, cesa de adquirir 14 C, poniendo en marcha un reloj biológico. Se puede así conseg uir la datación de restos orgánicos con edades del orden de milenios (hasta unos 10 x t 1¡ 2 ~ 50.000 años) al comparar la actividad específica de muestras similares (antes y ahora) . Para hacerse una idea del contenido en 14 C presente en un gramo de carbono natural, piénsese que una medida de la actividad de un g ramo de carbono da 13 ,6 desintegraciones/mino sea~ 0,23 Bq. b) Dataci ó n geológica. Para tiempos geológicos, debe medirse No y no la actividad. Buenos elementos para medir tiempos geológicos son: elemento

t 1 ¡ 2 (años)

elemento

t 1¡ 2 (años)

4U J{

1, 28 4 8X ' 7, 7. X 4, 4 X

ui;La t76Lu i s 1Re

l , Q X 10 11 3 , 9 X 10 10 4, 1 X 10 10

23s u

4, 5

s1 Rb

n 3Cd 115 In

X lQ !c! 1

º

10 10 15 10 14

10 9

X

Para ilu strar las aplicaciones de datación geo lógica se estudiará el caso del 85 rubidio-estroncio, (Rb - Sr). El rubidio natural es una mezcla isotópica de Rb 7 87 (72, 15 %), estable, y Rb(27, 85 %) , inestable, que se desintegra en Sr + e- + ve con t 1¡ 2 = 4, 8 x 10 10 años. El rubidio es el ll amado núcleo padre y el estroncio, el núcleo hijo . Si se tienen en una muestra actual Np(t 1) núcleos de Rb y N1i(t 1 ) de Sr, y suponiendo que en t = O, se tenían Np(t 0 ) y O respectiva mente, o sea,

to ti se cumple, Np(t 1 )

N p(to) Np(ti)

= Np(to) e- >.. (ti - to),

O

\

N1i(t1) luego,

6.t = 1111 Np(to) = 1 111(1 + N1i(t1)) NJJ(t1) A" A" Np(t 1) ya que NJJ(to) constante.

= Np(t 1 ) + N1i( t 1 ) ,

NF~)

o sea, e l número de núcleos permanece

-

Medir N (87 Rb) permite medir 6.t. El error vendrá dacio por ü>- y

üN; ·

El

m todo funciona si N1i.(t 0 ) = O. En el caso en que N1i(t 0 ) =J O, hace falta otro el ato , onocer la proporc ión e n t 0 ele otro isótopo estable. Un buen ca ndidato es

.1

No l io ·ti vid 1 I

lesi11t •!( ro ·i n 1111 ·le 11•

·I Hli, 'n 1u cumple N 1,: (lo ) = Nti' (l 1 ) , y tal que la proporción N 11. (to )/ N 1, , (l 0 ) ·s ·onstantc, si se trata de minera les del mi smo ori gen. 1método co nsiste en calcular, para distintas muestras , el coc iente:

Np(ti) + Nh(t1) Nh'(t1)

N,,(to) + Nh(to) Nh' (to ) .

form a qu e llamando y -

Nh (t1) - N( 87 Sr) N( 86 Sr) Nh (t1)

(7 .1 9)

x -

y

1

N P (tL) Nh'(ti)

-

t:~ ~~~,sustituyendo en (7.19) se obtiene la ecuación de una recta; y = mx + /1 con pendiente m

= e>.llt -

l. El ajuste de los datos permite obtener también

N (t ) la ord enada en el origen b = N h (to). Los resultados experimentales conducen h' o a una distribución linea l, obteniéndose (véase fi gura 7.5),

í:l t

=

4, 5 x 109 años

b=

y

o, 7003 ± o, 0004

lo que además de confirmar la validez del método, permite determinar la edad de la Tierra en /:l t = 4, 5 x 109 años. Lo mi smo sucede con la lun a y meteoritos, de los que se han medido muestras, obteniéndose los mismos resultados implicando el mi smo origen temporal que la Tierra . 87sr 86 Sr 1.0

0.9

0.8

0.7 1.0

2.0

3.0

5.0

4.0 87 Rb

j

86 Sr

Figura 7.5: Ajuste lineal de las medidas de l método de datac ión del Rb - Sr, en el que se muestra la ex istenci a de 87 Sr en e l ti e mpo inicial. Tomada de G. W. Wetherill , Ann. Rev. Nucl . Sci. 25 ( 1975) 283 .

/\ntonio Ferr ' r 'ori

1

7.8.2 Otras aplicaciones de la radiactividad Se enumeran a continuación las aplicaciones de ciertos elementos radiactivos por sus características: a) En el campo agroalimentario. Se utiliza la radiactividad para lucha contra insectos , la esterilización de machos, etc. b) En el tejido industrial. He aquí varios ejemplos: • Baterías eléctricas en satélites (238 Pu , 6 °Co , 90 Sr). Llegan a alcanzar centenares de watios. Son de larga duración (el Voyager, lanzado en 1977, tiene 3 generadores de 238 Pu; llegó a Neptuno doce años después) . • Detectores de incendio (2 41 Am). Detectan el cambio de ionización del aire con y sin humos. • Protección de obras de arte (destrucción de larvas , insectos, hongos). La momia de Ramsés Il fue tratada en Saclay en 1977. • Indicadores de nivel para detectar fugas en oleoductos, presas o canalizaciones subterráneas. c) En la medicina, tanto para diagnosticar como para realizar tratamientos. Ejemplos de utilización son: • esterilización de material médico para uso quirúrgico (eliminación de virus, bacterias), • tratamiento de tumores con 6 ºCo, • trazadores: F e (hemoglobina), I (tiroides), X e, K r (neumonías), P (metabolismo) , • gammagrafía:

99 mTc.

7.9 Dosimetría. Unidades. Efectos biológicos de la radiación 7.9.1 Introducción El hombre está siempre expuesto a fuentes naturales de radiaciones io11izantes: rayos cósmicos, materiales radiactivos que se encuentran en la corteza terrestre, en el aire o incorporados a los alimentos, e incluso sustancias radiactivas que se encuentran en el interior del organismo humano (potasio, carbono, etc. ). A las radiaciones producidas por estas causas se les denomina radiaciones de fondo o naturales y forman parte del medio ambiente. Además de la radi ación de fondo natural , el hombre está expuesto a fuentes de radiaciones artificial es. La utilización de fuentes de radiaciones ionizantes, ·4

l?adioc1i vi la /

d si111egr 1 ·i 111t11 ·/eor

a1 aratos le rayos X, susta ncia rad iactivas naturales o rad ioi óto pos pr du idos arti fic ialmente, en actividades de la medicina, la indu stria, la agricul tura la investi gación ha reportado muchos benefic ios a la humanidad, pero ta mbi n la someten a ciertos riesgos que no quedan limitados a un pequeño gru po de pe rsonas, sino a numerosos trabajadores y a la poblac ión en su conjunto. A fi nales del siglo XIX , se vieron los efectos biológ icos noc ivos de las radiaciones en los primeros usuari os de los rayos X y materiales radi activos conce ntrados. Esto creó la neces idad de protegerse contra los efectos perjudiciales y a partir de 1928 se inicia la elaborac ión de normas de protección radiológica, un organi smo internacional de nominado "Comi sión Internacional de Protecc ión contra los rayos X y el Radium" que agrupaba a una serie de profesionales en e l tema. Después de una interrupción de esta comisión durante la segunda gue rra mundi al, pasó, a partir de 1950, a denominarse lnternational Committee f or Radiation Protection (ICRP). La fin alidad de la protección radiológica es " la protecc ión de los individuos, sus descendientes y la humanidad en su conjunto contra los riesgos que se derivan de las actividades humanas que por las características de los materi ales y equipos que utilizan pueden implicar irradiaciones''. E l ICRP ha sido y continúa siendo el organismo encargado de establecer la fi losofía de la protección radiológica, proporcionando las recomendaciones generales y fundam entales para la utili zación segura de las radiaciones ionizantes, en las múltiples aplicaciones que han hecho pos ible el amplio y rápido desarrollo de la energía nuclear y de las aplicaciones de los rad ionucleidos y de los equipos emi sores de este tipo de radiaciones.

7.9.2 Bases biológicas Las radi aciones no afectan úni camente a los tejidos sino que además la expos ición del tejido germinal puede afectar a los descendi entes. La magnitud de los efectos provocados por el ataque a tejidos y órganos , depende de las características del tejido y de su capac idad para compensar y reparar los daños causados. Hay distintas posibilidades para clasifi car los efectos de las radi aciones. se Aquí adoptará la que más frec uentemente se utiliza e n protección radiológ ica, que hace referencia a la tra nsmi sión celular de los e fectos y su relación con la dosis: estocásticos y determini stas . • Efectos estocásticos: Incl uso a dosis muy bajas es pos ible que se deposit energía sufi ciente en una célula como para provocar una tra nsformación o la muerte celul ar. La muerte de una o varias cé lul as, en la mayoría d los casos, no tendrá repercusiones sobre un tej ido. Sin embargo las modifi cac iones en las célul as aisladas tales como modi ficac iones genéticas o tra nsform aciones que conducen ulteriormente a la malignidad, tendrán serias consecuencias . Ex iste un a probabilidad de que se prod uzca est ti po de efectos estocásticos, incl uso a dosis extremad ament bajas. No ha >

. >.

An1011io F'err r 'or ia

evidencia cie ntífi ca de que ex ista o pueda ex istir un um bra l po r lebajo del cual no se produzcan efectos negativos en la sa lud. Si la dosis aumenta, la frec uencia de estos efectos también aumenta, sin embargo no es de espera r que aumente la severidad de los efectos, al co ntrario de lo que sucede con los efectos deterministas . • Efectos deterministas: A dos is más elevadas , puede producirse un grado importante de muerte celular, sufic iente para que se detecten cambios e n el tejido. Para c ualquie r daño no estocástico definido debe haber perec ido un determinado número de células para que el nivel de detecc ión sea alcanzado. Ello constituye un umbral, cuya magnitud dependerá del daño eleg ido, por debajo del cual la pé rdida celular y los daños producidos en la fu nción del tej ido u órgano no son detectables. En este tipo de efectos la severidad es fun ción de la dosis recibida.

7.9.3 Unidades Desde el comienzo de las aplicaciones médicas, cie ntíficas e industrial es de las fuentes de radi ac iones ioni zantes , se hizo necesario definir magnitudes y unidades que permitieran caracterizar de manera cuantitativa la radiación. Las magnitudes de interés metrológ ico son la actividad, que sirve para caracteri zar la emisión de radi ación (radiactividad ), y la exposición, kerma y dos is absorbida que definen su interacc ión con el medio material (dos imetría) . Las unidades de radi ación tradicionales siguen teniendo uso extendido, sin embargo desde 1975 el Comité Internac ional de Pesas y Medidas recomendó el uso de las unidades e n el llamado Siste ma Internac ional de Unidades Físicas (SI). La tabla 7.4 resume las cantidades medidas y las unidades empleadas, e n donde también se muestran las unidades tradicionales, ya que aún es frecuente encontrar referencias a las mi smas : TABLA 7.4: Magnitudes y unidades en dos imetría. uni dad SI defi ni c ión magnitud med ida (tradi cional) { Becquerel (Bq) veloc idad de desintegración Actividad (A) Curi o (Ci)

Exposic ión (X)

Ioni zación en aire

Dosis absorbida (D)

absorción de energía

Dos is equi va lente (H o DE)

efectividad biológica

3

{ { {

C/kg Roentgen (R) Gray (Gy) rad Sievert (Sv) rem

l
1111

·le 1r

Actividad (A ) La acti vidad es el ritmo de des integración. La actividad de un a sustancia radiactiva no depe nde (ni informa) del tipo de radiación (a, (3, "(, etc.) ni de su energía. Es simplemente un a unidad de recuento . La unidad hi stórica es el Curio. Su valo r es C i = 3, 7 x 10 10 desintegraciones/seg. En el sistema SI la unidad es el bequerelio (recibe el nombre del descubridor de la radi actividad H. Becquerel). 'Su valor es, simplemente, Bq = l desintegrac ión/seg. La actividad es una noción física ligada a la con stante de desintegración A. La masa de una sustancia radiactiva, NI, y su actividad, A, son proporcionales:

A = >-N = >-MNA

A'

(7.20)

siendo N A el número de Avogadro y A' el peso atómico de la sustancia (en gramos por mol, si M viene dada en gramos). Por lo tanto no es una buena unidad que sirva para comparar efectos biológicos de distintos tipos de des integración de dife rentes núcleos.

Exposición X (a rayos X o¡) La ex pos ición mide la carga liberada por unidad de masa en el aire, es decir [Q/M] y la unidad en el sistema SI será culombio/kilogramo [C/kg] En efecto, es bien sabido que las radi aciones ioni zan en su paso a través de la materia. La ioni zació n produce pares de cargas e lectrón-ión en la sustancia que atrav iesan. La ionización está provocada por partícul as cargadas. Los fotones y rayos X (partículas neutras) provocan ionización grac ias a los tres tipos de interacc ió n que tienen con los áto mos de la materi a, que acaban produciendo electrones y pos itrones. Estos son los conocidos: • efecto fotoeléctrico, en el que un electrón del áto mo es arrancado y se lleva toda la energía del fotón incidente (menos la de ligadura del electrón al áto mo), • efecto Compton, que es un choque elástico del fotón con un electrón del átomo como si el electró n estuviese libre, • y la producción de pares e±, que es el fenómeno de materialización de los fo tones. Este proceso tiene, po r supuesto, un umbral de energía E"! ;::::: 2mec 2 , y es el fe nómeno do minante cuando se trata de fo tones de alta energía . E l roentgen (R), es la unidad tradic io nal de expos ición a rayos X; mide el poder ionizante, o sea la cantidad de rayos X (o "() necesarios para crear una carga igual a 1 esu (la carga del electrón es qe = 4, 8 x 10- 10 esu) en un cm3 de aire en condicio nes estándar de presión y temperatura (lo que se deno min a STP y se re fi ere a un a te mperatura de Oº C y una presió n de 760 mm de H.r¡ ). La

7

Antonio Ferrer oria masa de un cm 3 de aire es maire = 1, 293 x 10- 3 g. Si se calcula la equivale ncia entre roentgen y la unidad en el sistema SI [C/kg] se obtiene pues, R = O,

1 4 esu/g = 2, 58 x 10- C/kg 001293

(7 .21)

Exposiciones ::; 25 R son despreciables, pero > 600 R provocan muerte segura (en dos semanas). Pero para estudiar los efectos biológicos de la radiación , el roentgen no es adecuado ya que se refiere a efectos de rayos X o ¡ en el aire.

Dosis absorbida, D Se introduce para medir la energía depositada por unidad de masa. Se define como la energía depositada por cualquier radiación ionizante por unidad de masa de material irradiado. Los efectos que la radiación produce en una sustancia están determinados por la energía que dicha sustancia absorbe y podrán ser cuantificados con esta magnitud . La dosis absorbida es el cociente

D = dEm dm

(7.22)

donde dEm es la energía media impartida por la radiación ionizante a una masa dm. Se entiende como energía impartida la suma de la energía incidente (suma de las energías de las partículas ionizantes, cargadas o no, que llegan al volumen), menos la energía saliente (suma de las energías de todas las partículas, cargadas o no , que salen del volumen), más la suma de todos los cambios de masa en reposo de las núcleos y partículas que se producen en cualquier transformación nuclear dentro de ese volumen. La unidad histórica de dosis es el rad = 100 erg/g; en el sistema SI, es el gray (Gy). La equivalencia es Gy = J/kg = 100 rad. También se tiene Gy = 6, 24 x 10 12 MeV/kg de energía depositada. Para convertir exposición en dosis, es decir co11vertir carga depositada en un material en energía depositada, hay que conocer n ±, el número de pares de iones (e- x +) creados por la radiación. La carga será Q = n ±qe; siendo Qe la carga del electrón (l ,6 x l0 - 19 C) y la energía se calculará E = n ±W, donde w es la energía necesaria para crear un par e- x +. Puede decirse que w es la energía media de ionización del medio. Entonces, el número de pares de iones (cargas unidad) equivalentes a una exposición de UA roentgen es: n ± /kg=2,58 x 10 - 4 [C/kg] /1 ,6 x 10-

19

[C] = l ,6 1x 10 15 iones/kg

3 9 lo que también puede convertirse por unidad de volumen en 2, 08 x 10 iones/c m de aire.

/? 1di 1 ·1i11idHI

1

lesl111e 1r 1ci 111111 ·/c(fr

·n 1 caso el 1 aire, w = 34 e V, con lo q ue puede ca lcul arse qu un R 13 10 ·orr ·s1o n le a n w = " , 47 x 10 Me V. E n suma, como 1 Me V = l ,6 x JO .1 , ¡u da q ue la dos is correspo nd ie nte a un roe ntgen es:

D(l R) = 88 erg/g = 8,8 mGy

(7.2 )

Di stintos materiales absorben de manera di stinta la radiac ión. Se aca ba de v r que para e l aire la dos is de bida a una exposició n de 1 R es 8,8 mG y. En e l caso del tejido animal, la dosis absorbida debida a 1 R es 9,3 mGy. La re lac ión entre la ex posición y la qosis absorbida viene dada por la ex1 rcs ión

D [Gy] = f · X[C/kg]

(7.24)

donde el fac tor f .e s un a func ión de l coefi ciente de absorción más ico del tejido, y depende de la energ ía y la composic ión de l tej ido. Por ejemplo, varía mu y poco con la ene rgía para el músculo.

El kerma, K El kerma (acrónimo de Kinetic Energy Released to Matter), es el cociente J( =

dEtr dm

(7.25)

do nde dEtr es la suma de e nergías c inéticas iniciales de tod as las partícul as ioni zantes cargadas produc idas por partícul as ioni zantes neutras en una masa dm. S u unidad también es e l Gy. Dosis equivalente, H o DE S in embargo, cada tipo de radi ación produce efectos bi ológicos difere ntes; la probabilid ad de destrucció n de célul as por cada radi ac ión es di stinta. Se puede a firmar que 1 rad de partículas a es más pe li groso que 1 rad de partícul as {3 ó f. Se di ce que tienen dife rente Efecti vidad biológica relati va (RB E) . Esta se defin e como el cociente (dosis de la rad iación)/(d os is de rayos X que produce el mi smo efecto bio lóg ico). Pero esta comparac ión es mu y difíc il de reali zar; por e llo para cuantificarlo, se introduce e l ll amado factor de peso de la radi ació n, WF . E l fac tor de peso (a veces ha sido ll amado facto r de calidad) se calcul a a partir de la energ ía de pos itada po r unidad de recorrido (la fó rmul a de Bethe-B loch). Depende de la energía y to ma valores comprend idos entre 1 y 20 como puede ve rse en la tabla 7 .5. La dosis equ ivalente m ide los efectos de la radiac ió n sobre los seres vivientes. S u de finic ió n es:

H

= 'WF

X

D

La unid ad hi stórica es e l re m (roentgen equivalen t man) . Se cumplirá que lre m 1 = [we x rad] . En e l sistema Internacio nal, la unidad es e l sievert, rsv] = lwp Gy], sie ndo Sv = 100 rem.

A111u11 io Ferr r Soria TABLA 7.5: Faclores el e ¡ eso, wr., ele la rad iación.

radi ació n X ,"(, cualquier energía e, µ, caulquier energía n térmi cos n,p > 20 MeY nde 2-20MeY n de 10- 100 ke Y n de 100 keY a 2 Me Y a y fragme ntos

WF 1 1

5 5 10 IO 20 20

Tasa de dosis La ex posició n a rad iac ión gamma o X, la dos is absorbida y la dosis equivalente de cualquie r radi ación, se han de finido independienteme nte de l tiempo que ha podido durar la irradiac ió n. Pero no es lo mi smo absorber la dosis total de un rad, po r ejempl o, en un minuto en un campo de radiac ión intenso, o en un año por estar en un cam po de radi ac ión débil. Se hace necesario de finir unas mag nitudes que de penden de l tiempo: las tasas. La tasa de ex posic ión (X), tasa de dosis (tanto absorbida, D, co mo equivale nte, H) son la ex pos ic ión o la dosis que rec ibirá en condic iones constantes, por unidad de ti empo .

Tasa de exposición para fuentes radiactivas La tasa o ritmo de ex posición está re lac ionada con la acti vidad, A , (7.26)

r

Constante específica de tasa de expos ic ió n "f de la fuente.

Los valores de r , e n unid ades [

~--~n

van de 0,33 (1 3 7 Cs ) a 1,33 ( 6 º C o), y

COITeSponde n a los va lores extremos que Se dan ep las fu entes "( más frecuentes. En la tabl a siguiente aparecen los valores de la constante de tasa de ex posición para a lgunos radionucle idos utili zados en gamrnagrafía. Radi o isótopo n Na

6oco 137Cs i 92 Ir

Constante de tasa de ex pos ición r (R·m 2 /h ·Ci) 1, 2 1, 33 0, 33 0, 47

Ejemplo: Ca lc ul ar la dos is rec ibida cuando se está tra bajando a 50 cm de un a fuente de 100 /J,C i de 22 Na (f3+ con 1;1¡ 2 ~ 2, 6 años).

40

!fo Jio ctivi l 1 I

d 'Si11teg r 1 ·i 11 1111 .¡ ,,,,.

Se sab (v ase la tab la a nte ri o r) q ue la co nsta nte espe ·ffi ·a d la fu ni. d ' 2 Na es r N a = 1, 2 R·m / h·Ci. Ento nces, segú n (7.26) ·

!::,.X

.

.

2 X = ~ = 1, 2( R m / h C1)

u t

_4 10- 4 C i R/h = O, 4 mR /h = 4 , 8 x 10 O, 5 2 m2

Record ando que el tejido humano absorbe aproximad a me nte 93 erg/g para de radi ac ió n gamma , queda: D . D = !::,.t =

f

R

!::,. X !::,.t = 93 x O, 48erg/g h = O, 45 mrad/h = 4, 5 ¡.lG y/h

Para ca lc ular las dosis de radiació n hay que medir ex posiciones y convertirl as e n dosis, como se acaba de ver. Una dosis de "' 3 gray e n todo el c ue rpo es letal, produce la mue rte e n e l 50 % de los casos. S in e mba rgo la medi a anu al de dos is recibida po r el ho mbre, por la radi activ idad natural , está e ntre 0,4 y 4 mS v. Para fo to nes de e nerg ía E..Y> la tasa de dos is absorbida, ÍJ'I, e n un punto está re lac io nada con e l fluj o de fo to nes '!, por la relac ió n

.

D 'I = '!

(µ pª)

E'I

(7.27)

do nde (f la / p) re presenta el coefic ie nte más ico de absorc ió n de l materi al para esa e ne rg ía.

Dosis equivalente efectiva Una vez de positada la radi ació n e n un ó rgano de l c ue rpo, hay que te ner e n c ue nta el daño específi co que produce esa radi ac ió n en esa parte del o rgani smo, pues e l daño bio lóg ico producido depende de la sensibilidad para la absorc ió n de la sustanc ia radi ac ti va que presente un ó rgano de te rminado . Se define e nto nces la dosis equivale nte efecti va como la medi a po nderada de la dos is equi va le nt rec ibida e n di stintos ó rganos. Se ex presa

(7.28) s ie ndo Wi e l fac tor de po nde rac ió n para el órgano 'Í fre nte al total. Y H i la do is equi va le nte rec ibida e n e l órgano i . Ejemplo: Una pe rsona ha sido expuesta a un a dos is eq ui valente de O, rc m en el pecho y de 3,2 re m en e l ti ro ides. Se sabe que e l fac to r de po nde ra i n para e l tiroides es 0,03 y el de l pecho O, 15 po r lo que la dosis equi vale nte e f ·ti va rec ibida es:

He =

L w.JJi = O, 03 x 3, 2 + O, 15 x O, 5 = O, 171 re m 41

Antonio F rrer Soria

7.9.4 Dosis recibidas Dosis medias de origen natural La tabla 7.6 resume la relación de dosis anuales medias que recibe una persona por causas naturales, por la radiación del entorno (centrales nucleares, industri as, fuentes radiactivas) o por placas de rayos X. Se ha determinado que la dosis anual que reciben las tripulaciones de los aviones es de 5 miliSievert. Recuérdese que la densidad de la atmósfera equivale a unos 4 metros de cemento y que si se viaja a JO km de altura, la atmósfera remanente equivale ya a sólo un metro de cemento. A esa altura, la dosis es 150 veces mayor que a nivel del mar. En la determinación de dosis debidas al radón se han llegado a medir hasta 5 mSv, aunque el valor medio es 1,2 mSv, como aparece en la tabla 7.6. El 4 K(l , 25 x 10 9 años), representa el 1, 17 x 10- 4 del potasio natural. Es un electrolito crítico en la sangre. Puede estimarse que una persona de 70 kg. , recibe una autodosis de 0,3 mSv/año sólo debido a los elementos radiactivos en su interior: 4 K y 14 C; casi un 10 % de la dosis media natural. En efecto, se calcula que unos 8.000 átomos por segundo de 4 K y 14 C se desintegran en e l interior del cuerpo humano.

°

°

°

TABLA 7.6: Dosis medias, de origen natural.

origen pl aca rayos X, etc: cósmicos

mSv/año

40 K, 14C

222Rn

Th + 226 Ra (corteza teITestre) Total

Radiactividad natural nociva. El radón

l , 15 0,35 0,30 1,20 0,50 3,50

la~

El radón es e l único gas que aparece en cadenas radiactivas naturales (por ejemplo de l 232 Th, 235 U y 238 U). Se calcula que unos 9.000 cánceres de pulmón/año en EEUU son debidos a la desintegración del Rn y sus hijos, acumulado en el interior de las casas. Se acumula sobre todo en sótanos y edificios poco ventilados. Sólo el 222 Rn (t 1¡ 2 = 3, 824 d) es importante; es e l que proviene de la desintegración del 226 Ra(t 1 ¡ 2 = 1600 años) que decae 226 Ra --+ 222 Rn + a. Las desintegraciones son: desintegración

+ a, 216 Po + a, 215 Po + a,

222 Rn --+ 218 Po 220 Rn ---+ 21!l Rn ---+

4

t112

3,82 d, 55,6 s, 3,96 s,

Ta (MeV) 5,49 6,29 6,82

cadena

'¿;j"'u

232Th 235u

lesintegr 1 ·i 11 n11 ·Le 1r

Nodio ·1ivi lod

·n un kg de suc io se producen unos 40 átomos de 222 R n /scg. La con ntra ·i n de l 226 R aen e l sue lo es de 1 pCi/g, luego e l Rn arroja una concentració n 3 5 111 dia e n e l suelo de 25 - 100 Bq/m , cantidad que puede ll egar a se r un ord n 3 i · mag nitud superior en los sótanos poco ventilados de las viviendas. ( 1 Bq/m = 0,027 pCi/f). Se estima que la dosis inhalada a cielo abierto, debida al R n e d l. o rde n de O,IO a 0,20 mSv por año.

Dosis en aceleradores A continuación se desarrolla un ejercicio en e l que se trata de calcu lar e l flujo de partículas que al irradiar un material , dan lugar a una dosis de 1 Gy. Se d istinguirá entre partículas cargadas y fotones. 1. Partícul~s cargadas. Se pretende calcular el número N de partículas 11dnimo ionizantes (mip) por cm 2 en el carbono, que producen una dosis de 1 y.

1 Gy= 1J/kg = 6,24 x l0

12

MeV/kg

~(dEÍ~~;

cm -

2

-->

N

~ 3, 5 x 109

·111.ip en carbono

2. Fotones. La dosis unitaria de radiación es
c/J-y =

9 6 ' 24 E X 10 ¡ /cm 2 -y µ E

~

4

X

11

10 1 de l Me V en

12

e

/l s (I MeV) ~ 3 , 1 x 10 - 5 cm - . 1

La conclusión es que, como consecuencia del bombardeo de un blanco de carbono por un haz de partículas de un ace lerador, al cabo de un flujo total de • ~ 3, 5 x 10 9 partículas cargadas, • ~ 4 x 10 11 fotones de 1 Me V e l blanco en cuestión ha recibido una dosis de 1 Gy.

7.9.5 Límites de dosis El comité internacional ICRP es e l que establece los valores máximos reco mendados de dosis recibidas por la pobl ación. La tabla 7 .7 muestra los límites de dosis recomendados. Según el TCRP, las dosis an uales, para público en genera l, permitidas osci lan entre 5 mSv (gónadas , huesos) y 50 mSv (pies, manos) por año ; alrededor de 10 veces superior a Ja cantidad aproximada que rec ibe e n pro medi o e l c uerpo humano debido al fondo natural (0,4 a 4 mSv, es dec ir, el 40 a 400 mre m) que se han visto en la tabla 7.6. La dosi s anua l medi a de ri g n natural e n España es de unos 3,5 mSv. La dosis leta l (50 o/o de probabilid ad el 5 W. J. M ako fske, M . R. Edcl srein. Rac/011 a11d rh e envi ronmenr. Noyes Pub.. N . Y.. 1988.

3

Antonio Ferrer Soria muerte en 30 días) es de 1 a 3 Sv. E n Hi ros hima y Nagasaki tras la exp los ión de sendas bo mbas atómicas en la segunda guerra mundial, se rec ibieron dosis superiores a l Sv. Habitualmente se di stingue entre dosis altas C:: 1 Sv) que son mu y destructivas (leucoc itos de la sangre, célul as intestinales, médul a) y si se reciben en poco tiempo (algun as horas) pueden causar la muerte, y dosis bajas. Para estas úl tim as es muy difícil fij ar un umbral de pe li gro. Los efectos parece ser que son proporcionales a la dos is total integrada.

Límites de dosis para las personas profesionalmente expuestas En las recomendac iones de 1976, y con el fin de controlar la inc idencia de efectos estocásticos, se establec ieron límites correspo ndientes a la dos is equivalente efectiva. Para e llo se estimó que pod ía considerarse aceptable, tanto en la industria nuclear, y en general para todo trabajo en presencia de radiac iones ioni zantes, un riesgo equiva lente al ex istente e n aque ll as industri as o trabajos que poseen el más elevado índice de seguridad. Para este tipo de industrias o trabajos, el promedio de mortalidad anu al deri vado del trabajo se encuentra en el orden de rn- 4 , es decir que puede morir una persona entre 10.000. Por tanto, tomando este valor de riesgo como referencia, la probabilidad med ia de muerte a causa de inducc ió n de tumores ma lignos no debía sobrepasar ese índice de 10- 4 y que para los máxi mamente ex puestos no debería ser superior a 10- 3 . A partir de los fac tores de riesgo que entonces se habían determinado se ll egó a la conclusió n de que una dos is efectiva no superior a 5 mS v por año implicaría un riesgo del orden de 10- 4 para la mortalidad por cáncer.

La dosis limitativa se puede ex presar como una dos is recibida uniformeme nte a lo largo de toda la vida labora l, o como una dos is anual rec ibida cada año de trabajo. E l establecimiento de un límite para la ex posición de 50 mSv por año, daba lugar, considerando la ex periencia de los años anteriores con distin tos grupos de personas profesionalmente expuestas, a un valor de la media aritmética de dosis rec ibidas inferiores a 5 mSv por año. Para la prevención de "efectos determini stas", los límites se establecieron en fun ción de las dosis umbrales para los efectos no estocásticos, establ ec iendo un límite de dosis equivalente anu al de 0,5 Sv para cualquier órgano, con excepción de las cataratas del cristalino, para las que se recome ndó un límite anu al de 0, 15 Sv. Estos límites se consideraban vá lidos tanto para la irradi ac ió n de un só lo Lej ido u órgano como para la del conjunto de ellos, si su inc idencia en la dos is e fectiva no sobrepasa el límite para ésta y te nían por objeto limi ta r las irracli aio n s q ue ya c umplían la limitac ión correspondie nte a los efectos estocásticos.

44

/fo lío ·1i 11i lod

desi11te)!,r 1ci 11 1111 ·I 1{11'

Límites ele dosis para el 11íiblico Haciendo co nsiderac iones análogas a las efectuadas para estab lecer los ni v 1 riesgos de las personas profesio nalmente ex puestas, e l lC RP as umió que un 6 a w- 5 por año, podría ser aceptable I0de orden l de de riesgo de morta lidad para e l caso de l público. En consec uenc ia reco mendó para cualquie1: ind ividuo la un lími te anu al de dos is de 5 mS v, siempre y cuando a lo largo de la vida, e riorment poste fue criterio Este v. mS 70 a superior dos is ac um ulada no fuese nes o exposici para is, dos de te lími un dar recomen para modi ficado, en 1985, prolonga das, de 1 mS v por año, aceptando que algunos años pudieran recibirse 5 mSv sie mpre y cuando la dos is a los 70 años no fu ese superior a 70 mSv. Estos n, límites deben aplicarse a todas las exposiciones, sujetas al sistema de protecció las todas de encia consecu como os individu los s sometido verse a que puedan ió n a actividades en que se vean impli cados y suponga n un ri esgo de exposic médicas es posicion ex las ialmente espec n excluye Se s. ionizante las radi aciones l. (como paciente) y en e l caso del público la ex pos ición a la radiación natu ra Las dos is anu ales permitid as para los profesion ales y trabajado res de ins7.7, talac iones radi activas son un fac tor LO superior a los límites de la tabla 3. por a multiplic se lo só donde en excepto para jóvenes La leg islac ión vigente en España está publicad a en e l Boletín Oficial de l 1 Estado (BOE 178 del 26 de jul io de 2001 ), y objeto del Real Decreto 783/200 racontra sanitaria ión protecc sobre nto Reglame el contiene de 6 de jul io que di ac io nes ioni zantes. estableciTAB LA 7.7: Límites anuales de dos is permüidas para el pú blico en general, dos por el comi té ICRP.

LÍMITE S ANUAL ES DE DOSIS (ICRP-2 6 1977) Límüe Dos is Personal Tej ido u órgano recomendado Todos excepto cristalin o Cristalin o Totalidad organi smo uni fo rme mente o a determ inados órganos o tejidos Tota lidad organi smo uni fo rme mente o a determin ados órganos o tejidos Cualquie ra incluidos piel y cristalin o

Profesio nalmente expuesto Profes ionalme nte expuesto Profesio nalmente ex puesto

Equivale nte

0,5 Sv (50 rem)

Eq uivalente

0, 15 Sv (15 re m)

Equi valente efectiva

50 mSv (5 re m)

Ind ividuos de l público en genera l

Equi valente efectiva

5 mS v (0 ,5 re m)

Indi viduos de l públi co e n general

Equi valente

50 mSv (5 re m)

4

Antonio Ferrer 'oria

7.10 Sistema de limitación de dosis El sistema de limitac ión de dosis está basado en tres criterios u objeti vos parciales fundamentales: • Justificac ión. • Optimi zac ión. • Limitación de dosis indi vidual.

7.10.1 Justificación La j ustificac ión de una nueva práctica o modifi cación de un a antigua debe basarse en un análi sis coste-benefi cio, con el fi n de comprobar que el conjunto de perju ic ios resultantes es compensado por los benefi cios derivados de la mi sma. El conjunto de perjuicios qué constituye el detrimento total, compre nde todos los costes y aspectos negativos de la actividad propuesta. E l proceso de justi ficac ión puede rep resentarse esque máti camente por la expres ión B = V - (P + X + Y) (7.29) donde:

• B es el benefi cio neto resultante de la actividad. • V es el va lor bruto de la actividad, que incluye el va lor del producto resultante, el de los be nefi cios soc iales tangibles y no ta ngibles y los be nefi cios de cualquier otra índole.

• P representa los costes de producc ión, incluidos los costes para la soc iedad de los detrimentos no radi ológ icos y los costes de protecc ión contra los riesgos radiológicos.

• X es el coste de la protección radiológ ica.

J

• Y es el coste para la sociedad del detrimento rad iológ ico, que es proporcional a la dos is efecti va co lectiva, SE .

7.10.2 Optimización El objetivo princ ipal de la optimi zac ión es consecuente con la idea de que cualquier dos is implica un riesgo; por lo tanto hay q ue mantener todas las expos ic iones "tan bajas como sea razonable me nte pos ible" ALARA (As Low As Reasonably Achievable) te niendo en cuenta las condiciones soc ioeconómicas ap licab les. El va lor ALARA corresponde al nivel de dos is efecti va colectiva por debajo de l cual el coste de cualquie r med ida ad icional de protecc ió n rad io lógica t{.(j

No

lioctivi l ul

desi11te¡v 1ci 11 1111 ·fe 1r

sería mayo r que el va lo r de la reducc ió n del detrime nto para la sa lud qu e n e ll a se conseguiría. Este cri terio se ha venido de no minando co mo optimi za i n de la protecc ió n radiológica. La determinac ión del nivel más bajo de exposició n que puede alca nzars razonablemente puede rea lizarse por distintas técnicas. U na de ell as es el análi sis diferencial de coste-bene fi cio con el fin de obtener la combinació n óptima de protección adecuada y coste bajo del detrimento. Esta técnica es aplicabl e sólo cuando los integrantes de la funci ón pueden ser cuantifi cados en términos de coste monetario. La protecc ión radi ológica podrá ser optimi zada cuando la suma del coste de la protecc ión, X, y del detrimento radiológico para la salud , Y, sea mínima. La optimi zación de la protecc ió n radiológica debe efectuarse tanto en el di seño como en la ejecución de toda operación justificable que pueda contribuir de manera signifi cativa a la in-adi ación de los profes ionales y el público.

7.10.3 Limitación de dosis individual Para poder desarroll ar un sistema de protecc ión radiológica se precisa un conocimie nto cuantitativo de cómo la probabilidad de los efectos estocástico s y la gravedad de los efectos determini stas varían con la dos is. Sin embargo la ausencia de datos epidemioló gicos, sobre todo a dos is y tasas de dos is baj as, hace necesari o as umir toda una serie de supos iciones para poder ll egar a establecer las curvas dosis-respu esta. La relac ión que mejor se ajusta a los datos epidemioló g icos di sponibles de los efectos estocástico s es la lineal-c uadrática. Para dos is de radiación baj as resulta muy improbable que e l núcleo de un a célul a sea atravesado por más de una partícul a ionizante, po r lo que la c urva dos is-respuesta para efectos en un a cé lul a debería ser lineal e independiente de la tasa de dosis. Luego, bajo las supos iciones mencionad as, la relación matemática entre la dosis rec ibida y la probabilidad de aparición de un efecto atribuible a la radi ac ión, por ejempl o, la generac ión de cánceres, está casi obli gada a ser lineal y a no tener un umbral de dosis. Así, para estimar la probabilida d de los efectos de la expos ició n a dosis bajas de radiación con propósitos de protecció n radiológica , se usa la ex pres ió n: p

= fJD

donde D es la dosis y fJ la pendiente de la curva, es decir la probabilidad d efecto considerad o por unidad de dosis. La limitación de dosis que las personas profes ionalmente ex puestas y la del públi co en general, puedan recibir, es el requi sito establecido para asegurar una protecc ión adecuada, incluso para las que están más expuestas. Los límil s recomend ados representan los valores infe riores de la dosis efectiva y de la dosis equi valente que no deben ser sobre pasados en las circun stancias en qu las perso nas se vean impli cadas du rante la rea li zación de las di stintas prácti ·as o n rad iacio nes.

47

Antonio !" rrer So ria

Es importante tener en cuenta que los límites de dosi s no deben ser considerados como la línea divi soria entre la seguridad y e l pe li gro y que han de ser rea lmente considerados como la exposición a un riesgo ace ptable.

7 .11 Medidas de protección La dosis de radiación recibida por una persona que permanezca en las proximidades de una fuente de radiaciones ioni zantes, depende de tres factores fundamentales: • Tie mpo de permanencia. • Di stanc ia e ntre la fu ente y la persona. • Blindaje interpuesto entre ambos.

La dos is ac umulada por el individuo al permanecer un tiem po ten las proximidades de una fu ente es (recordando la definición de tasa de dosis)

D = D·t

(7 .30)

por lo que, ev idente me nte, es conveni ente estar el menor tiempo posible. La radiación ¡ o rayos X, considerando la fuente de emisión puntual , se propaga en e l espac io siguiendo la conocida ley de proporc ión inversa al c uadrado de la di stancia 1 D ~ ­ (7.3 1)

d2

Según esto, al alejarse de la fu ente, la intensidad de radiación di sminuye en la mi sma proporc ión y viene expresado por (7.32) Se observa con esto que la dosis recibida en un mi smo intervalo de tiempo a un metro de la fuente di sminuirá a 1/4, al alejarse a 2 metros, como puede comprobarse viendo la ecuaci ón (7 .32). En e l caso de la radiación a o (3, hay que tener e n cuenta su alcance limitado en a ire, que depende de su energía umbral.

7.11.1 Blindajes Existen casos en los que no se puede reducir el tie mpo de permanenci a y la distancia de operación . Entonces se recurre a poner un blindaje. El blindaje interpuesto entre la fuente y e l individuo es un materia l absorbente de las rad iac iones ioni zantes de que se trate , con la finalidad de tener a la salida un a d isminuc ión adec uada de la radiación.

48

N 1 l io ·1ivi lo I

desi111 f.i m ·i m

1111

.¡ , 1r

cgCin e l ti po de radi ac ió n y la e nergía de la fue nt se puede n c las ifi car 1 s blindajes e n tres grupos: • Para radi ac ión directam ente ioni zante (partíc ul as cargadas , a, (3 ... ). • Para radi ac ión 'Y y rayos X. • Para ne utrones.

Blindaje s para partícul as cargada s a Los bl inclajes para partícula s a no o frecen probl emas espec iales clebiclo energía esa para a su corto alcance. Basta con conocer el alcance ele la partícul en ese materi a l y aumenta r li geramente el espesor ele material. Para partíc ulas (3 aparece e l problem a de la ex istenc ia de la radiac ión de nfrenado, que hay que te ner e n cuenta a la ho ra de diseñar e l blindaje correspo n U aire. en metro l de n diente, pero el a lcance de los e lectrones es corto, del orde mico ató número de te blindaje adecuad o en este caso sería un a capa de absorben bajo (pl ástico o aluminio ) para minimi zar e l efecto de Ja radiació n de frenado para (recuérd ese que es proporcio nal Z), seguido de una capa fina de plo mo . te absorben atenu ar la radi'ación de fre nado produc ida en e l primer

Blindaje s para radiació n gamma y rayos X En e l estudio de los blind ajes para radiac ió n gamma y rayos X, es necesasora, la ri o te ner en cue nta di ve rsos fac tores: naturale za y fo rma de la fuente e mj blindaje. l de energ ía de e mi sión y e l fluj o que se quiere obtene r al otro lado Para hace r un cá lculo senc illo, se puede consider ar que la fu ente es pun con r, espesor de tual e mitiendo S fo tones/s y se le interpone un abso rbente será coe fi c iente de absorc ión µ . Resulta que a la sa lid a de l absorbente e l flujo e - 1.ir

= S-4m·2

(7 .33)

r. donde el numerad or re presenta la atenuac ión sufrida al atravesa r e l espesor ía, dosimetr en es útil des magnitu en medir puede se Este fluj o de radi ación ntes. ndie correspo unidades de cambios los haciendo como la tasa de dos is, Al deduc ir esta senc illa expresió n, no se ha conside rado el hecho de que que los fo tones en su recorrido en el material sufren no sólo absorc ió n sino y pares) de ión creac n, (Compto spersivas di siones li co también pueden sufrir qu ce di Se s. ireccione d otras en n radiació ir c produ puede se ia como consecuenc uce se produce un efecto de ac umul ac ió n. Para contabili zar este efecto, se introd qu y Bp ión" ac umul ac de "factor amado ll .33) (7 n ió ecuac la n otro término e consider a e l incremento de rad iac ión produc ido. El término Bp(µ , r) depcnd Po r 1 del reco rrido de l fotó n e n e l materi al y de l coe fi ciente de ate nu ac ión ¡1.. : que queda fi nalmente

Antonio FerPr 'ori

1

Los fac to res de acumul ac ió n están tabulados para dife rentes materi ales y energías .

Blindajes para neutrones Para atenu ar la radi ac ió n neutrónica se utili zarán blindajes de di stintos materiales. Para estimar su tamaño se tiene en cuenta las propiedades de in teracc ió n de los neutrones con la materi a, que varían en función de la energía. Los neutrones rápidos (muy energéticos) se moderan en coli siones elásticas con materi ales ligeros (Z bajo). Los neutrones térmicos (baja energ ía) pueden ser absorbidos en materi ales con alta sección efi caz de absorció n (boro, cadmi o). E l blindaje para neutrones debe cumplir dos mi siones: la primera, rebajar la energía de los neutro nes hasta alcanzar el equilibrio térmico y la segunda, absorberlos una vez termalizados. Generalmente los neutro nes se producen a dife rentes energías y además, suelen ir acompañados de radi ac ión ¡. Un completo blindaje para neutro nes sería el siguie nte: • Un espesor de material hidrogenoide (bajo Z) para moderarlos hasta térmicos • Un espesor de Cd o B, para absorberlos. • Un espesor de alto Z (Pb) para detener la radi ac ión ¡, que aco mpaña a los neutro nes.

7.12 Ejercicios 7.1 U n elemento radi activo A decae a B que a su vez decae a C. El elemento A tiene una constante de des integración AA y la de Bes >.. a, siendo C estable. Inicialme nte la muestra co ntiene una mezcla de A, B y e;. a ) Encontrar una ex presión que proporcione e l tie mpo para e l cual la cantidad de B es máx ima. b) Aplica rl o a la cadena: 5,0 días 210 Bi

138,4 d ías 2 1op

0

205 Pb

(3 sabiendo que a t = O sólo se dispone de Bi pu ro. e) E ncontrar la razó n entre las acti vidades de A y B, cuando la ca ntidad de B in ic ial sea cero, si e l semiperiodo de A es mayor que el de B. Considerar después e l caso en que e l sem iperi odo de A es mucho mayor que el de B (t1 ¡ 2 A » t1 ¡ 2 ), 8 ¿qué ocurre entonces? 7.2 Se ti ene un a muestra que cont iene un elemento rad iactivo de período 3 min que decae a otro ele período 26,8 min, que a su vez decae a un isótopo estab le. a) Suponi e ndo q ue en e l momento ini cial había sólo e l primer isótopo, determ inar

.O

N 1 ti 1 ·1ivi l 1 I

lesi11teM r 1 ·i

11 1111

·le 1r

e l li cmpo e n que la can ti dad de l seg und o es máxima . b) Estudia r e l tipo de eqtiilibrio que lendrá lugar. 47 C a) puro. 7.3 Una muestra contie ne inicialmente 1O mg de calc io ( a ) Encontrar su actividad inic ial. .dos días. b) Encontrar la actividad de la muestra después de transcurridos a partir del formado o product del d activida la cual el para tiempo e) Encontrar el calcio alcanza un máx imo. 4 K a partir de los sigui entes 7.4 a) Calcula r e l sem iperíodo de desintegración del datos: y 41 en proporc iones i) El potasio natura l está formado por los isótopos 39, 40 4 dadas en número de iones c (propor e vament respecti 0,067 y 0,933, 1, 19 x 10átomos). Los isótopos 39 y 41 son estables. ondi ente a la desinteii) Un gramo de potasio natural tiene una actividad corresp gración {3 de 3 1 Bq. Dichos rayos ¡ acomiii) Un gramo de potas io natural emite 3,4 ¡ por segundo. figura 7.6). ¿Cómo se la de a esquem pañan a la desintegración por captura (véase corresp ondient e a la captura de proceso el que e podría verificar ex perimentalment lugar? ene ti no 7.6 gura fi la de a esquem el en línea a trazos visible han acumul ado 1,54 b) ¿Cuál es la edad de un mineral de potasio en el que se 40 en condiciones 3 2 medido lumen (Vo potasio? de gramo por Ar de cm x 10norm ales).

°

1,28 10

9

MeV 1,505 1,461

0,193

~A r

4 Figura 7.6: Esquema de desintegración del °K.

233 consecu encia Pa (t 1¡ 2 =27,0 d) se puede produc ir como 7.5 El isótopo radiactivo 233 23 2 Th se desinEl . Th del de un proceso de captura de un neutrón por parte 33 de 2 Th , ión 233 producc de tasa La min. 22,3 de Pa con una se mivida tegra a reactor típico, es de med iante captura neutróni ca con un flujo de neutron es de un 232 1 Th. 2,0 x 10 11 s- por cada gramo de 233 233 Pa al cabo de una hora de irradi aTh y de l a) Calcula r las activid ades del

ción. y almacenada du b) Transcu rrida un a hora de irrad iación, la muestra es retirada 233 y 233 Pa al cabo Th s rante 24 h. Calcul ar las actividades debidas a los isótopo de este tiempo. 233 233 U, que a su vez Pase produce e) Como resultad o de la desintegración del 5 se almaormente anteri nida obte muestra la Si años). 10 x ,6 =l ¡ (t es rad iactivo 1 2 233 er establec io necesar es (No U? ce na durante un año, ¿cuál será la acti vidad del 233 U) del dad activi la un a nueva ecuació n diferencial para obtener

1110 11 io

F'errer

Jr i

1

7.6 Du ra nte dos horas se expone un di sco de azufre 1gSde 3 c m de diámetro y de O, c m de espeso r a un fluj o de neutrones rápidos de 3, 5 x 10 9 neutrones·em- 2 ·s 1 Para la energía de los neutro nes considerados la sección e fi caz de la reacción

f~ S(n, p)f~ P es a = O, 32 b. El fó sforo f~P es radi activo (F ,

f~ P

---->

n s + (T + De

con un período de des integració n t 1 ¡ 2 = 14,3 días. La densidad del azufre es ps = 2 g·c m- 3 . Calcul ar: a) La actividad de la fu ente creada des pués de la activac ió n. b) ¿Al cabo de cuánto tiempo de exposició n se obtendrá la activid ad máx ima y cuál será di cha acti vidad? c) ¿A l cabo de cuánto tiempo de exposició n se obtendrá el 90 % de la acti vidad máx ima? 7.7 Una fu ente radiactiva de 24 Na con un semiperíodo de desintegración t 1 ¡ 2 = 15 h, se prepara bombarde ando 500 g. de N aF con neutrones térmi cos. La ve locidad de produ cción de 24 Na es de 50 C i/g. ¿Cuál es la máx ima acti vidad alcanzabl ey qué fra cción de l total de átomos de Na resulta radi activa? ¿Qué valor alcanza la actividad tras un ti empo de irradiación t=nt 1 ¡ 2 ? 7.8 Una mu estra de oro es irradiada co n un haz de neutrones de una c ierta intensidad , de modo que se produce la reacción 197 Au(n,¡ ) 198 Au, absorbi éndose un total de 10 10 neutrones por segundo. El núclido 198 Au se desintegra emitiendo un electrón con una semivida de 2,70 días. 198 a) ¿Cuántos áto mos de Au estarán presentes en la muestra des pués de 100 horas? ¿y después de 10 días? b) ¿Cuántos átomos de 198 H g habrá en los ti empos me nc ionados anteriorm ente, si se supone que el haz de neutrones no afecta a estos núcleos? 7.9 El método de l cálcul o de la edad de un determin ado materi al medi ante el 14 C se basa en la suposic ión de que la proporció n de 12 C a 1 4 C se ha mantenid o constante en la atmósfera du rante cie ntos de años (razón: 10 12 ) . Un a muestra de un trozo de madera de edad desconoc ida se quema de modo que se obtiene carbono puro, encontrándose que un gram o de este carbón ti ene un a actividad de 3 pCi/g. Dete rmin ar la edad de la muestra. ~ 1 ¡ 2 ( 14 C ): 5730 años) 7.10 Calcular la dosis absorbida en aire correspondiente a 1 roentgen de rayos ¡, suponi endo que para e lectrones la energ ía promedio necesari a para crear un par ionelectrón en aire es de 32 eY. 7.11 Alrededo r del 18 % de l peso del cuerpo hum ano se debe al carbón, del cual una pequeña pait e corresponde al isótopo inestable 14 C que es un emi sor (3 . Aproximadamente un tercio de la energía de desintegración (O, 156 Me V) se la lleva el e lectrón, no habi endo radiación ¡ asociada. La actividad de un gramo de carbón natu ral es 15,3 desintegr aciones por minuto. Estim ar la dosis anual que recibe el cuerpo debido a esta fu ente. 7.12 La acti vidad medi a de l 222 Rn es 10 pC i/fl. Calcular e l número de átomos por litro. (So l: l ,76 x l0 5 átomos/fl ).

8.

Teoría de las desintegraciones a

8.1 Propiedades generales de la desintegración a Ru therfo rd ( 1903), midiendo el coc iente q/m e n campos electromagnéticos By f, fu e el primero en identificar la natu raleza de las partícul as a (núcleos de H e) emitidas por el radio. Este descubrimi ento fu e confirmad o en 1909 cuando se encontraron indi cios de gas helio en la cámara del detector que contenía la fuente radi acti va de Ra. 2 1 La paitícul aa,cuya masaes m 0 c = 3727, 379 MeV, puedeex istir como tal en el núcleo (cosa que no sucede con los electrone s y fo tones en el caso de las des integraé iones {3 y ¡ ). La gran energía de ligadura (B 0 = 28 Me Y), del también llamado cluster a, origin a que la mayoría de los núcleos con A > 190 sean e nergéti camente inestab les respecto a la emi sión espontánea de partícul as a (hec ho que también puede tene r lugar para algunos núcleos con 150 < A < 190). Para que sea observabl e experi mentalme nte una des integració n a es necesario que: • la semi vida sea detectable (t 1 ¡ 2

< 10 16 años.)

• sea más probable que otros procesos, como el de la desintegrac ión {3.

8.1.1 Balance energético La conservac ión de la e nergía en el proceso:

Ax

Z

A- 4x' +a

(8. 1)

----+ Z - 2

suponiend o que el núcleo padre está en reposo, da lugar a: 2 m xc2 = mx ,c

+m

0

c2

+ Tx,

+Ta

(8 .2)

Para que la desintegrac ión sea pos ible, el valor Q de la reacc ión:

( . ) 1La masa ató m ica del H e es 3728,4 M e V, como puede veri fi carse tornand o el defecto ele 111;1su ele las tablas al fina l del li bro y apl ica ndo las fór111u las ( 1.23) y ( 1.25).

111111 ir

F'errer 'ori 1

debe ser Q" > O. Teniendo en cuenta la conservac ió n de l momento linea l, Pa = PX', y co mo la energía c inética puede tomarse no re lativista, T = p 2 / 2m, queda para la partícula a : (8 .4)

lo que para núcleos hijo con número másico A' = A - 4 ~ 200 implica que Ta ;:::;j Qa (l - m a/m x• ) ;:::;j Qa( l - 4/A') es el 98 % de Q . La energía ele retroceso del núcleo hijo es baja (Tx' ~ 100 keV), pero es superior a su energ ía ele ligadura en un cristal o en un sólido; de forma que puede ser arrancado de su posición en el sólido. La medida ele Ta en espectrómetros, permite determinar Qa y por lo tanto medir masas atómicas. En efecto, Qa = Ta Mx / Mx'· La gran energía de ligadura de la partícul a a , es la causa de que esta desintegración sea, frecuentemente, la única posible energéticamente . Por ejemplo, en la desintegrac ión del 232 U --+ X'+ y, los valores posibles de Q se dan en la siguiente tabla:

y

X'

n

4s1u

iH

231 Pa

2H

230 Pa

3H

229 Pa

3

229 Th

He

Q (Me V) - 7,27 - 6,10 - 10,70 - 10,24 - 9,91

y

X'

4

"'"'ºTh 221Th

He 5 He 6 He 6 Li 7 Li

226Th 226 A c 225 A c

Q (Me V) +5,41 - 2,59 - 6,18 - 3,79 - 1,94

A veces incluso es posible que se puedan e mitir núcleos como 8 B e o e l C, pero son procesos con semivida ti; 2 muy grande (constante de desintegración A muy pequeña). Otro ejemplo es el de la desintegración del 228 Th (la transición alfa del ejemplo que sigue es la que va al estado fundamental del Raen la figura 8.1): 12

núcleo --+ ~~q Ra --+

+a

~§ 7 A c + p

Q (MeV) +5 , 52 - 6,37 .

Más adelante, al presentar el modelo de Gamow, se comprenderá que aun siendo Q > O, la reacción no es instantánea porque lo impide la barrera culo mbi ana. Si el valor de Q fuera superior al de toda la barrera de potencial , la desintegración tendría una vida media del orden de 10- 2 1 seg, tiempo de salida de la partícula a en un recorrido igual al radio nuclear.

8.1.2 Predicción de Q por la fórmula semiempírica El valor de Q escrito en función de la energía de ligadura de los núcleos (8.5) 4

Teor

le l 1s l si111'!ir 1cio11 es

1

v

A partir de la fó rmul a semiempírica de masas, ya se ha visto una ex pres i n para las energías de ligad ura en ( 1.36). Tomando los parámetro propuestos por l(rane, se obtiene e l siguiente valor de Qca lc en el caso de algunos núcleos parpar: (MeV) 7,3

Qcalc

¿¿uTh

Qexp

6,2 5,2

226T h 232T h

(MeV)

8,95 6,45 4,08

e n donde se observa una tendencia bastante correcta, al comparar estos valores con las med idas experimentales. En la práctica hay que tener en cuenta efectos debidos a la estructura de capas nuclear, que no reproduce la fór mula de We iszacker, simplemente basada en un modelo macroscóp ico de gota líquida y que necesariamente pred ice una evolución muy suave de las energías de li gadura e n función del número másico A.

22sTh 90

( 1,9 1 a)

Q = 5520 keV

ex

3

a a a a a

290 250

0,04 % 0,24 % 0,4

%

28,2

%

71,1

%

Figura 8. 1: Desintegración alfa del

228

215

84

224R

ss

ª

Th.

La condición de inestab ilidad a puede obtenerse a partir de la expresión (8.5), ex igiendo que Q > O; es decir: EL( 4 H e) > EL(A , Z) - EL(A - 4, Z -

2)

~ 4 ~Ff4. · , que se puede escribir:

4(A d(ELdA/ A) + EL) 4dEL A dA =

La pendie nte de la curva de estabilidad representada en la figura 1.9 permi te \

d(~~A)

'"" - 7, 7 x 10- 3 MeV, de forma que, co mo la energía de ligadu ra de la partícula alfa es EL( 4 H e) = 28, 3 Me V, se obtie ne

calcul ar, para A > 120,

la condic ión de inestab ilidad a:

4(EL / A - 7, 7

X

10- 3 A) = 28, 3

A111011i 1 Ji'errer , 'orio

q ue define un a recta e n e l plan ',L/ A en f unc ió n ele A que corta la c ur va ele estab ilid ad e n A ,. . ., 151. Este es e l valor ele A , a partir del cua l la mayoría ele núc leos puede n des in tegrarse por emi sión a lfa.

8.1.3 Regla de Geiger-Nuttal Geiger y Nuttal 2 (1911 ), e ncontraron una relación sistemática e ntre la semi vida ele los núcleos par-par ele las series natura les y la e nergía cinética ele la partícula a (conoc ida a través del alcance, R a. ):

log 10 t 1¡ 2

= Alog 10 Ra. + A'

(8 .6)

en donde e l alcance de las partículas ll en e l aire (Ra. ) vie ne dacio en cm y e l semiperiod o ti; 2 en segundos, con las constantes A = - 57, 5 y A' que depende ele la serie radiacti va. Por ejemplo, para la serie del 238 U, que es del tipo 4n+2, vale A' = 41. Esta regla fue descubierta como consecuenc ia de med idas de a lta precisió n de a lcances inic iadas por Bragg en 1906. E l recorrido de la partícula a e n un detector gaseoso, como en los detectores Geiger-Mü ller, sigue una ley bien conocida. En el caso ele un detector que uti 1ice e l a ire:

y Ta. en Me Y. Midiendo e l alcance se conoce perfectame nte la e nergía Ta. . La gran calidad de las medidas de Ta. es lo que permitió comprobar la validez de la regla. Por ejemplo, s i se mide e l a lcance de las partículas a de la desintegrac ión · 2 38 Pu __, 234 U + a (c uya energía es T,,=5 ,5 Me V) se obtiene R a. = 3 , 87 cm. Otra forma que se ha utilizado para expresar la regla de Geiger-Nut tal es

(8.7)

Esta rel ación inversa entre la semivida de la desintegrac ió n a y la e nergía ele la desintegrac ión (e l va lor Q, que está directamente relacionado con Ta. por (8.4)) , puede verse e n la fi g ura 8.2, do nde se muestran varias series ele isótopos de núc leos par-par.

2 1-1. Gcigcr and

6

J. M . N uttal; Phi l. M ag. 22 ( 1911 ) 6 13.

'n,or

1

rl ' l

1,1·

l ,si 11t ~f4!' 1 ·i mes ~

10 ,-,

e1 ~

"' = ~

o ~~~~~~~--=-~""""-..?~--~~--",.,,.....-~~--1

~

......

...... '-'

:;

eJ)

~

-10

4

5

7

6

Q

8

9

10

(Me V)

Fi gura"8.2: Verifi cación de 1 regla de Geiger-Nuttal. Cada línea conecta isótopos del mismo e lemento.

Es inmed iato verifi car que esta regl a puede explicar los casos extremos presentados e n la siguiente tabla en la que se dan los valores de Q para dos desintegraciones del 90 T h:

Q (Me V) 1, 4 x 10 10 años

1, 0

X

10- 7

S

4,08

9,85

con lo que un factor 2 en Q i produce un fac tor 10 24 en t 1 ; 2 ! Este tipo de núcleos con peri odos muy largos son muy difíc iles de med ir. Así sucede por ejemplo con e l ~~ 2 Gd (t 1 ; 2 = 1, 08 x 10 14 años) y con Ta= 2,15 Me Y.

8.2 Modelo de Gamow de la desintegración a

\

La ex plicación de la desintegración a fue la primera confirm ac ión del efecto túnel predicho por la mecánica c uántica. La teoría de Gamow, 3 y de Condon Gurney (1928) ,4 es un a teoría de un cuerpo; se supone la partícul a a e n e l pozo nuclear del núcl eo . Para escapar, debe superar la barrera culom bi ana B respon sable de la pared del pozo en la posición de l radio (R = a) del pozo nucl ar 3 G . Gamow, Z. Phys. SI ( 1928) 204 y Z. Phys. 52 ( 1929) 5 10. 4

. E.U. Condon and R.W Gu rney, Natu re 122 ( 1928) 439 y Phys. Rev. 33 ( 1929) 1 7.

7

/\111 mir F'err ,,, 'o rí 1

(v ase fi gura 8.3). En la grá fica puede observarse la energía potencial de una partícu la a en función de su distancia al núcleo. Más allá del radio nuclear, la curva de la energía sigue la forma de Coulomb. V(r)

B

Q a

r

b

-Vo

Figura 8.3: Potencial del Modelo de Gamow. En lo que sigue, se supondrá que Z es el número atómico del núcleo padre, Z' e l del hijo, con lo que se cump lirá que 1 Z = Z' + z ¡, siendo z = 2. El potencial electrostático creado por el núcleo Z' es:

V(r)

=

1 ] z Z' e 2 2, 88Z' [ -4m:o -r- ;:::::; --MeV r

habiendo expresado r en fm. O sea, que la altura máxima de la barrera de potencial es: 1

E =

2Z~ñc

1

siendo ael radio nuclear a = roA 113 , con r 0 ;:::::; 1, 2 fm. Por ejemplo B(2 34 U) '"'"' 30 Me Y. Recuérdese también que para el 238 Pu, Ta= 5, 50 Me Y y t 1; 2 = 87, 7 años. Dentro del alcance de la fuerza nuclear (r < ·a), la partícula alfa está 1igada y su energía es positiva aunq ue inferior a la barrera (Q a < B) por lo que sólo puede escapar del núcleo por efecto túnel. El fenómeno no puede explicarse c lásicamente. Se cumple B = V(a) y Qa = V(b), siendo b la distancia a la que la energía de la partícula a es igual a la repulsión culombiana. Para denominar la energía cinética de la partícula a se utilizará Ta, para distinguirla de la energía total (cinética más masa) . Se cumple que Qª = TaA/A'. De hecho la energía disponible para la desintegración debería incluir un término de apanta llamiento de los electrones sobre la partícula a , ya que las desintegraciones siempre tienen lugar en núcleos atómicos; este término de apantallamiento vale 6. Eap = 6, 5 x 10- 5 Z 1 •4 Me Y; es decir para el uranio representa sólo 36 Ke Y. El hecho de que la energía de ligadura de la partícula a sea B a = 28 , 3 Me Y, proporciona una energía suficiente para que la partícula a ocupe una posi8

Te Jrfa le las d ,,·integ ra ·iones c ió n Qn > O en e l pozo nuclear (véase la figura 8.3). Como Q > O e l proc o es exotérmico, pero debe vencerse la barrera cu lombiana. La e nergía de la partícula a en e l interior del pozo es pos iti va y puede tomarse e l valor Q , aunqu e T'c, e la energía cinét\ca de la partícula a una vez es emitida; pero Q tiene cuenta de l retroceso del núcleo hijo. Si la barrera B fuese menor que Q n , habría em i ió n espontánea con una vida media ~ 10- 21 seg. Al tener una energía Qa < B , la partícula a aparecerá emitida a una distancia b del centro del núcleo hijo y con una energía dada por Ta = V(b) .

8.2.1 Probabilidad de desintegración a La teoría de Gamow expresa la probabilidad de desintegración a como un producto: (8.8) siendo • Pn : la probabilidad de que el cluster a preexista como tal en e l interior del núcleo padre (empíricamente se estima Pa ~ O,l),

• f: la frecuencia de colisión contra la barrera culombiana, f =

ifJ¡,

=

V 2 ~~/ma , siendo Q

0 la energía de la desintegración a, que, para hacer una estimación rápida se puede aproximar por Q0 = Ta , con lo que si se toma por ejemplo Ta = 5 , 5 Me Y, como en el caso de la desintegración 238 Pu -> 234 U +a, se obtiene f ~ 10 2 1 s- 1 , una frecuencia elevadísima.

• P : coeficiente de transmisión por la barrera, P factor de Gamow:

G=

~ 1b dr)V (r) -

= e- 2 G , siendo Gel

Q0

(8.9)

en dondeµ es la masa reducida del sistema a - X' : (8 .10) que, al ser M x' >> m n se cumple queµ ~ m 0 • Sin embargo, los cálcu los deben siempre hacerse empleandoµ ya que su efecto es importante puesto que interviene en el exponente. El factor de Gamow G está directamente relacionado con el coeficie nte de transmisión a través de una barrera. En efecto, para una partícu la de energía que intenta atravesar un pozo cuadrado de altura B > E y anchura d: 1

P

= {1+

B2 2 4E(B _ E) sinh k cl

}-1

A11 w 11 io f >rrer orio con k = j¡,.J2rn(B - E). En e l límite krl

(o sea B >> E) se ti ene:

-1

= e- 2kd

p

Esta expresión puede obtenerse aplicando la definición de coeficiente de trans-

~,en donde Ji es la densidad

misión a través de una barrera de potencial: T =

] cntrn

de corriente de una partícula. Si \fl es su función de ondas, entonces:

- = - in (\fl*\7\fl - -

j

2rn

~ \f/V\ll

*)

es la densidad de corriente buscada (número de partículas por segundo que atraviesan el punto r). Para el caso más general de un potencial culombiano, utilizando la aproximación WKB (Wentzel-Kramers-Brillouin), se obtiene el mismo resultado sustit.uyendo:

kd •i

1

siendo

(8.11)

Vi(r) el potencial culombiano con barrera centrífuga: Vi(r)

= 2Z'a.nc + €(€+ 1)/i2 2µr 2

r

(8.12)

Se observa que el momento angular orbital introduce un término en el potencial que varía como r - 2 . Fijada una distancia (por ejemplo r = b), la barrera es mayor si el momento angular es > O. Es una ban-era que se añade a la puramente culombiana y se denomina barrera centrífuga. Penetrar una barrera centrífuga es más difícil y por lo tanto las probabilidades de desintegración serán más bajas.

e

Probabilidad de desintegración a en el caso f

=O

Para € = O, la integral que da el factor G visto en la expresión (8 .9) es explícita, con lo que: J

G

siendo x =

= zZ'a.yf2;::? Q: [arccos JX - .)x(l - x) ]

%= ~-Como x <<

de los corchetes por [

G= 5 En efecto,

60

~-

7í ü.

2

JX],

1, se puede aproximar5 la expresión dentro

quedando una expresión de la forma:

Z' /2122-.¡r;¡;; - 4a

Ja función arccos(x) --->

(8.13)

7- x -

¡

J

2

µc r

r;;:-;-:;¡;;

- -_-ºV Z' A 1 13

a.he

~ - ... para x ---+ O.

Te 1r siendo n =

1d

, los lesint gro ·ir 11. 1 .1·

i±, la constanle de estructu ra f-in a.

Si se ap li ca para la des integració n de l 238 U, dacio que µ c 2 = 3662, 6 M eY es la masa reducida de l s istema a - 234 Th , e l factor de Gamow qu la numéricamente:

log 10 P

= 1, 52VZ'A 1/ 3 - 1, 71

Z'

rrr-

vT~

(8. 14)

Así pues, como la probabilidad ele desintegración es >.. = Pa f e- 2G , a'! calcular el logaritmo , se reproduce la regla ele Geiger-Nuttal vista e n (8.6), ya que Ta ~ Q; es decir, el modelo de Gamow explica la regla. Además, queda ele manifiesto la dependencia con Z', número atómico del núcleo hijo, en la expresión (8.14) anterior. La figura 8.4 contiene los datos experimentales que muestran efectivamente la dependencia del logaritmo de la probabilidad de desintegración en función de Z' //T:,_ visto en la ecuación (8.14 ), en donde se ha representado la recta a trazos cuya pendiente es - 1, 71 , valor encontrado en dicha ecuación .

• 411 series • 411 + 2 .t. 411 + 3

o

-10

30

40

35

45

Z' T -112 u

Figura 8.4: Representación del log .\ en func ión de Z' / VI'o, que verifi ca la depcnd ncia del t 1 ¡ 2 con 'J'c, plasmada por la regla de Geiger-Nuttal.

/\111 011io J•'> rrer 'ori .1

El s ig uie nte resultado e mpírico 6 re produ e bastante bie n los semipe riodos de todos los núcleos par-par:

.

_

log lOt1 ¡2 - - 51, 37 +

9, 54(Z - 2)º· 6 .jQ;,

(8 .15)

donde t 1 ¡ 2 viene dado en segundos y Qa en Me V. Se trata, pues , de una fórmula de gran utilidad. La semivida del núcleo inestable por desintegración a se calculará senci2 llamente utilizando t 1¡ 2 = 1 ~ , lo que da lugar a:

(8.16)

en donde, como se ha visto en la fórmula (8.8) , Pa es la probabilidad (empírica) de preexjstencia del cluster alpha en el núcleo padre; x = Q0 . / By para estimar el factor f, se ha usado Qª , la energía disponible para la des integración a. La tabla 8.1 compara, para los isótopos par-par del torio, las semividas experimentales con las calculadas por el modelo de Gamow (8 . 16), habiéndose deducido Pa = 2, 4 x 10- 2 , del cálculo de la desintegración del 23º Th . Por ello, en la tabla anterior el semiperiodo calculado y el valor del semiperiodo tomado de las tablas, coinciden. Se observan pequeñas discrepancias. Esto es así porque se han hecho aproximaciones muy simples al realizar el cálculo. Por ejemplo, se sabe que núcleos con A 2: 230 son muy deformados; es decir, no son esféricos y la fórmula de Gamow es muy sensible al radio nuclear. En cualquier caso, para una teoría completa de la de ~ integración a debe usarse la regla dorada de Fermi , incluyendo:

i, '¡/; ¡ ; a) funciones de onda nucleares W b) barrera centrífuga. Su efecto, como se ha visto en (8 . 12), es el de aumentar la altura máxima de la barrera B en una cantidad B = B (l + E) siendo f ~ O , 002C(C+ 1), lo que disminuye la probabilidad o aumenta el semiperiodo (8 . 16). Por ejemplo, para C = 1 puede aumentar el 50 %, pero para C = 6 puede aumentar t 1 ¡ 2 en un factor ~ 1000. c) núcleos no esféricos. Por ejemplo, un cambio del radio nuclear, a, del 4 % produce un cambio en t 1¡ 2 de un factor 5.

6B. A . Brow n; Phys. Rev. C46 ( 1992) 8 11.

6

7(, 1r 1 de l 1s l •si111e¡.; r 1cio11es ~

del moTABL A 8. 1: Compa ración de las predicc iones del T h. delo de Gamow, para alguno s isótopos par-par

A 220 222 224 226 228 230 232

t 1¡2 ( s) ,cale 1, 2 X 10- o 2, 6 X 10- 3 1,5

Q(Me V) 8,95 8, 13 7,30 6,45 5,52 4,77 4,08

3, 5 X 103 l , 5x108 2, 4 X 1012 2, 2 X 10 18

t 1 12 ( s ),expe r

9, 7

10- o

X

2, 0 X 10- 3 1,0 1, 8 X 103 7 6,0 X 10 2, 4 X 10 12 4, 4 X 10 17

8.2.2 Emisión de otras partículas o núcleos proba bilida des de emiSe puede utilizar la teoría de Gamo w para calcul ar lo, sión de otros núcleos, por ejemp a) núcle os más pesados que o:; que la detecc ión de núcleo s si se calcul an las semjvidas del §6ºTh, se obser va Así, comp arand o los valores más pesad os que Ja partícula a es poco proba ble. de la siguie nte tabla:

Q (Me V)

proce so

§6ºTh

_,

2os Po+

_, 21 6 Ra

i 2c

+o:

+32 , 14 +8,95

t 1 ¡ 2 calcul ado rv rv

2, 3 1, 2

X X

106 S. 10-s S.

12 la baja proba bilida d. se entien de que no se obser ve el canal con C , por iesto (Rose & Jones , Sin embar go, recientemente se ha puesto de manif 223 Ra dando un 14 C en el estado final. Las desint e1984) la desint egraci ón del gracio nes se comp aran:

proceso 223 Ra

_,

209 Pb

_, 219 Rn

+ 14c +o:

Q (Me V)

t 1 ; 2 medid o

+3 1, 82 +5, 98

2, 7 x 10 7 años. L1,4 d.

14 egrac iones de una fuente de La detecc ión del C se realizó estudiando las desint 238 U. 223 Raen equili brio con 22 7 Ac(t 1¡ 2 = 21 años), de la serie del 3,3 µCi de vidas media s provie ne de la Una explic ación para la enorm e diferencia entre las 14 Ra, que lógica mente s del o proba bilida d de prefor mació n del C en el núcle 6 En efecto, en la anteri or tabla el cocie nte de probab i1imuy peque ña ('"'"' 10- ) . lo de Gamo w es del orde n d ades de desint egraci ón ..\e/ ..\ 0 predicho por el mode 9. 10es te 10- 3 , mie ntras que el medid o experimentalmen b) em isió n de proton es;

Antonio Ferrer Sori 1 só lo posible en núc leos muy ricos e n protones; para este ti po de núcleos ento nces puede da rse que Sr < O y Q p > O. Estos núc leos se o btienen bomba rdea ndo 96 iones pesados; por ejemplo 58 N i + Ru, reacc ió n en la que Hofmann y co labo151 7 Lu y su poste rior desintegraradores observaro n la producció n de l núcleo ción: 15 1 Lu

-+

15üyb

+p

con t 1¡ 2 = 85 ± 10 ms. mientras que la predi cción utili zando el modelo de Gamow da ,. __, 3 , 6 µs ; desacuerdo pro bable mente de bido a la complejidad de las funciones de o nda nucleares y al mome nto angul ar orbital.

8.3 Espectroscopía alfa y estructura nuclear Los cálculos de Gamow hechos hasta ahora han to mado en consideració n tra nsiciones entre estados fundamentales. Pero desde que se pudo medir con mucha precisió n la energ ía cinética de las partículas a , por ejemplo a través de l alcance en detectores gaseosos. Si se utili za e l aire, se cumple:

(8. 17) se puso en ev idencia la llamada estructura fi na del espectro a; o sea, que aparecen varios ni veles nucleares, cada uno con un va lo r de Ta ( o lo que cas i es lo mismo Q a ) difere nte y con intensidad d iferente (véase la fi gura 8.5 ). La espectroscopía alfa es pues mu y útil para estudiar la estructura nuclear (de los núc leos hij o) . Ay uda a conocer los números cuánticos de los ni veles nucleares.

¡· 1

8.4 Reglas de selección: Momento angular y paridad E l momento angul ar lj la parid ad se conservan en la desintegració n a . En efecto, ell o es consecuencia de la inva ri anc ia de l hamiltoni ano de la interacc ió n (fu erte y e lectro mag nética) bajo las rotac iones y bajo la tra nsformación de paridad . Así pues en el proceso X -+ X'+ a se cumplirá:

Jx = Px =

Jx, +ea Px ,(-l)eª

J'!:.

= o+. ya que los corres pondientes nií meros cuánticos de la partíc ul a a son Sie mpre q ue ex ista un mo mento angular orbital Ca =f. O, se cumplirá que J x =f. J X' y ento nces se te ndrá: 7

S. Hofrnann et a l., Z. jiir P/1ys ik, A305 ( 1982) 111.

64

Teor o ¡ , l 2 12 8 ' I 8

kc V

1s

l 'si111ew·acfr

11 " ' '

t\'

60 ,6 111

0,43 0.06 0.6

40

o 2osTL 81

727

o

25, I

9.8

\

int ensidad Cl = 35.94%

Figura 8.5 : Estructura fi na en la des integrac ión alfa. C uando se mide la energía de las part íc ul as a se observan c inco picos de energía bien de finid a que corres ponden a las c inco des in tegraciones. La intensidad de cada des integrac ión se determinará mi d iendo e l área de cada pico.

Las consec uenc ias de las reg las de se lección pu eden cl as ifi carse en dos grandes conjuntos de desintegrac iones, como son los casos siguientes: a) transic iones entre núc leos par-par. Entre estados fund ame ntales será un proceso o+ ____, o+, co mo por eje mpl o en ~~ 2 Cm ----> ~~ 8 Pu + a(t 1 ¡ 2 = 162, 8 días). Si los valores de C0 son pares, aparecen bandas rotacionales (estados con espín-parid ad o+' 2+' 4 + ... ) con di stintas probabilidades de tra nsic ión para cada estado debido a los d istintos valores de Q y de la barrera centrífuga. Tambié n podrán tener luga r transiciones con C0 impar; en este caso la paridad de los ni veles ca mb ia rá y aparecerán tra nsic iones o+ ----) 1- ' 3- ' 5- ' etc. (véas e l ejempl o de la fig ura 8. 1). Por contra, no podrán ex istir transic iones pro hibidas, como o+ 3+ , 4- _

-->'+

2- ,

b) tra nsic io nes entre núcl eos con A impar.

\

Las reg las de selecció n no acotan e l valor de C0 , pudie ndo ex istir vari Cn posibles. Se recurre entonces a medidas de di stribuciones angul are d a, que in fo rm an sobre los momentos angul ares orbitales. He aq uí a lgun os ejempl os de des integrac iones entre estados funda m nwles:

Antonio Ferrer Soria 253 E s --+ 251 Fm 229 Pa

249

--+ --+

Bk + a (20 ,5 el.) C f + a (5,3 h.) 225 Ac +a ( 1,5 d .)

247

7; 2+ g;25/ 2+

--+ --+

7; 2+ 7 ; 2+ 3¡ 2-

La medida ele los espectros nucleares se realiza medi ante técnicas que facil itan la asignación correcta de los ni ve les ini ciales y fi nales del núcleo. La más popular es el la conoc ida como coincide ncia a - 'Y: • se determin an las intensidades de cada desintegrac ió n a mid iendo el área de los picos de las di stribucione s energéticas de las partículas a ; • a continuac ión, se seleccionan ventanas de T 0 , es dec ir, se selecciona una determinad a des integración a un ni vel nuclear defi nido, y se miden los espectros de 'Y asociados. Este método puede comprende rse ay udándose de la fig ura 8.5. La coincidenc ia a - 'Y podría emplea rse para identificar con prec isión los nive les exi stentes por debajo del estado 5+ de 328 keV, seleccionando las partículas a con la energía de ese estado (que además aparecerá como un pico en el espectro a que representará el 1,7 % del total) y representando el espectro de energías de fo tones 'Y asoc iados, se observarían dos picos: el de 328 keY , transición directa al estado fund amental y e l de 288 keV, es dec ir 328 - 40 keY, que es la transición del ni vel 5+ al primer estado excitado, 4+, del Tl. 8 Todo esto da lugar a la detección y medid a de espectros rotac ionales. En efecto, la energía de los ni veles nucleares perte necientes a un espectro rotacional viene dada por:

ñ,2

EJ

= 2IJ (J + 1) + E 1<

el mo mento angul ar J puede to mar una serie de valores que dependen de los números cuánticos del núcleo base (cuyo espín es K y su energía EK ). En el caso frec uente de núcleos con A impar y estado base con espín-parid ad diferente a o+, se cumple que los val ore~ posibles de J ""'. n , n + 1, n + 2, ... , varían de uno e n uno. Po r ejempl o, en el 247 C f aparecen picos con E, = (O, 55, 122, .. .) ke V, por lo que si se calcul an:

í:!. E31

/i2

+ 1)

+ l )(n + 2) - n (n + l)]

=

TI2 (n

= .q? ¡(n + 2)(n + 3) - n(n + l )]

=

~;2 (2n + 3)

l:!.E21 = .q? ¡(n

se obtiene, n = 3, 5± 0,2, es decir n = 7 / 2, lo que da lugar a la banda rotac io nal 247 f : 7 / 2+, 9/ 2+, 11¡ 2+, .. . Se puede determi nar C del estado funda mental del el valor intrínseco ~; = 6, 11 ± O, 02 keV, con lo que se puede predecir el valor ele los niveles l:!.E 41 = 201 , 6 ke Y, etc. xy ase la sección 3.5 en el capítu lo 3 sobre M odelos nucl eares.

66

'l'eo rf.1 le los d t,si111eg r

1

·iones n

8.5 Ejercicios 8.1 El factor de penetraci ón se define como la rel ac ión entre el fluj o de partícul as que inciden sobre un a barrera de potencial y el fluj o de partículas que consiguen atravesar dicha barrera. a) Para una partícula de masa m y energía E obtener la expresión del factor de penetración en el caso de una barrera de potencial como la de la figura 8.6 (a). Demostrar que puede aprox imarse por

b) Obtener dicho factor para la barrera de potencial que debe atravesar una partícula a emitida por un núcleo (figura 8.6 (b)).

V(r) V(r)

(1)

(111)

(11 )

E- .. -- ........... . -------------- .. ---- -- -

E ------------ .. - ...... -- -·------- --- -----------

(a)

(b)

Figura 8.6: Ejemplos de barreras de potencial. 4 8.2 La figura 8.7 muestra e l esquem a de desintegración a del §ci Cm al §!ºPu. Las transic iones están marcadas con sus correspond ientes tantos por cien. La probabilidad de des integración >. correspond iente a la transición entre ambos estados 1 2 fundamentales viene dada por la regla de Geiger-Nuttal: In>. = C - D Z / Q 1 , 1 2 donde C = 132,8; D = 3,97 (MeY) 1 ; Z es e l número atómico del núcleo hijo

y>. está en s- 1 .

4 a) Calcular la vida media del §~ Cm y compararla con el valor experimental. b) Suponiend o que los mi smos valores de C y D so n vál idos para la transición 4 desde e l estado fundamental del §~ Cm al nivel 5+ del §~º Pu, mostrar que la fórmula anterior sobrees tima la probabilida d de desintegra ción para esta transi ción y razonar un posible motivo para dicha discrepanc ia.

20 20 N e mediante la emi sión de Na se desintegra a un estado excitado de l 8.3 El Me V. El estado excitado se 5,55 de es ima máx cinética ía energ cuya positrones 16 desintegra posteriorm ente por emi sión a al estado fundam e ntal de l 0 . Ca lcul ar la e nerg ía de las partículas a emitidas. 2 8.4 El ~á P o tiene una se mivida de 299 nseg y se desintegra mediante la emi si n el partículas a con una energía cinética de 8,8 Me Y. a) Ut ili za ndo el mode lo ele Gamow de la desintegrac ión a , ca lcul ar 1 radi o d 1 núc leo de polonio.

2 7

A 111011io 1-'•rr r 'o rio 2 b) Calcul ar la probabilidad de que una partícula a emitida por e l ~!1 P o, pe netre a lra vés de la barrera de Coul omb en un choq ue frontal con un núcleo de ~gs Pb.

244 96

em

o+

6+

294

4+

142

18, 1 a

',, __ ', 0,0035%

E2

2+

43

o

o 240 94

' 0,022% ' 23,6% . - 76.4%

p. u

Figura 8.7: Desintegración alfa del

244

ª¿

Cm.

4 Cf al §ciºCm tiene un va lor 8.5 La desintegración a entre los estados o+ del Qa = 7 , 33 Me Y y la semivida del proceso es t 1¡ 2 = 19, 4 minutos. 4 8 a) Calcular la semivida de la desi ntegració n o+ ---> o+ del §6 Th ---> §~ Ra +a, suponiendo que la probabil idad Pa de preexistencia de la partícula a en e l núcleo padre es la misma que en e l §¿ 4 e f. b) Comparar e l resu ltado con la pred icción de la fórmula empíri ca de Brown (8.15).

1

/

ó

9.

Teoría de las desintegraciones

/3

9.1 Introducción La des integrac ión f3 nuclear es una manifestación de la interacción débil , responsable de la mayoría de las interacc io nes de los lepto nes (cargados o neutros) y de las desintegraciones de los leptones y de muchos hadrones (debidas a su vez a des integraciones de quarks). En los núcleos, los procesos básicos de des integración f3 pueden identifi carse como procesos que sufre n los nucleones constitu yentes. Pueden cl as ificarse en tres variantes; se de nominan /3- , f3+ y captura e lectrónica (CE) y se ex plicitan en la siguiente tabl a:

tipo

proceso

/3p+

n --+ p + e- + Ve (Rutherfo rd , 1898) 11 11 p --+ n +e++ l/ e (Joliot-Curie, 1934) p +e- --+ n + Ve (L. Al varez, 1938)

CE

Ejemplos N e-+ Na+ e- +ve 25 A l ---> 25 Mg"+e++ Ve 4ICa + e- ---> 41 J( +Ve

En todos ellos aparece e l neutrino Ve (o su antipartícula, e l antineutrino v e), partícula de masa nul a y espín 1/2, introduc ida por Pauli e n l 93 1 para pode r explicar la conservac ión de la energía en la des integración f3 nuclear. E n efecto, el espectro de energías de los electrones emitidos en la desintegración beta tienen una fo rma parecida al de la fig ura 9.1 , desde T e = O hasta Te = T 0 , que es e l valor máx imo posible de la ene rgía c inética de l e lectrón. Supóngase la desintegrac ión f3 de l neutrón: n --+ p + e- +Ve. El valor Q = (m,., - mp - m e - m;;.)c2 = Tp + Te+ T;;e. Si de mo mento se to ma mv = O, y habida cuenta de que la energía cinética del protó n es desprec iable (Tp ~ 300 e V) queda que:

Q = Te + T;;e = O, 782 Me V y por lo tanto To = (Te)max = Q, siendo Q la mag nitud que fija e l valor máx imo (end-point) de la energía c inéti ca de l e- . La med id a ex peri m nt::i l (Te)'nc'x = O, 782 ± O, 01 3 Me Y. Así quedó de manifiesto ori g inalment qu la masa de l neutrino podría conside rarse como compatible con un a masa nul a.

A111011io l·'errer 'orio

( end-point) To

Figura 9. 1: Espectro energético de los electrones emitidos en la desintegrac ión f3 de los núcleos. La energía ci nética máx ima To se conoce como el punto fi nal (end-point) del espectro.

También era necesari a la ex istencia del neutrino para conservar el momen14 to angular total. En efecto, la des integración del C no se podía ex plicar puesto 14 que el proceso 14 C --> N + e- no conserva el momento angular total ya que 14 14 el espín del C es Ji•c = O y el del estado fund amental de l N vale J,. N = l . Entre partículas, los procesos débil es se clas ifica n en:

• puramente leptónicos, como en el caso de la des in tegración µ +

-->

e+ +

v e+ vµ,;

• semi-leptónicos, por eje mpl o 7r± como en el caso nuclear y • no-leptónicos, por ejemplo ¿; -

-->

-->

µ ± + Vµ, o K -

-->

Kº +e - + Ve,

n + 7r - ; K + --> 7r+ 7ro .

La interacción débil está med iada por los denominados bosones interme2 2 diarios, w ±(80, 42 ± 0 , 04 GeV/c ) y Zº(91 , 188 ± 0 , 002 Ge V/c ) , muy mas ivos, que fue ron desc ubiertos en 1983 en los ex perimentos U Al (C. Rubbi a) 1 y U A2 (P. Darriul at) de l CERN. Por ello las primeras teorías consideraban que la interacc ión es puntu al ya que el alcance de la fuerza:

Ro

= -

n

me

,.....,

10- 3 fm

es 3 órdenes de magnitud inferior al caso del intercamb io de 7r de Yukawa. Se distingue entre dos ti pos de desintegrac iones débi les: las de nominadas corrientes neutras, que dan lugar a procesos sin cambio de carga (e+ e- --> 1.1ev e) y las corri'e ntes cargadas, que por ejempl o cambi an el sabor de los quarks 1¿ +e - + v e). En e l lenguaje de fuerzas por inte rcambio (véase la fig u(el y las corrientes ra 9.2), las corrientes ne utras están med iadas por el bosó n ca rgadas por los bosones w ±.

zo

1

Laborat orio europeo para la física de panículas, Ginebra, Suiza.

70

7" orfi 1 le los desinteg ro ·ion ' ,\' fl

µ¡

,,..- -b---w- -\j ~

_\

d

Vµ

(b)

(a)

Figura 9.2: a) Diagramas de Fey nman para la des in tegrac ión

13-

del qu ark d

(d ----> u+ e- +ve), que explica la des integración (3 de l ne utrón, y del pión (7í - ----> µ.- + v 1, ) y b) Diagrama de intercambio del

zº.

Inicialmente se postuló que una m isma constante de acopl amjento entraba en todos los procesos (hipótesis de uni versalid ad), la ll amada constante de Fermi , que vale: 2 (9.1) Gp = 1, 166 x 10- 11 (fi,c) 3 Mev cuyo val or será determin ado grac ias a las medi das de la desintegrac ión beta nuclear.

9.1.1 Balance energético Los va lo res de Q para cada uno de los tres procesos fJ nucleares se calcul an a continu ación en fu nción de las masas ató micas de los núcleos que entran en juego: X(Z , N)

-->

X'(Z+l,N - l)+ e- +ve

Q13 - = [M(Z , N) - M(Z X(Z , N)

-->

+1, N -

1)] c2

X'(Z - 1, N+l)+ e++ ve

2 Q13+ = [M(Z , N) - M.(Z - l , N + l)] o -- 2mec

X(Z , N)+ e-

__,

2

X'(Z - l , N+l)+v e

QcE = [M(Z, N) - M(Z - 1, N

+ 1)] c 2 -

Be

como Be~ 10 eV (núcleos ligeros), sólo debe co nsiderarse e n e l ca o de m di das precisas de la masa del v. Podrían haberse utili zado las energías de li adura, EL(Z, N), en vez de masas, con lo que aparecerían términ os ± O, 7 2 M Y, di fe rencia entre M n y M (1 H). Por conservació n de la e nergía , hay i rt s nú ·t · s

71

A111011 io

, .~ , ,..r

r ori 1

que puede n te ner captura e lectró nica y no f3+; por eje mplo e l ¡ B e(t 1¡ 2 = 53 , 4 días) ~ Di só lo puede des integrarse a través ele captu ra e lectró nica , C E, ya que 6.Alf = O, 86 MeV/c 2 y para que Q f3+ > O es necesario 2 que 6.M > 1, 022 Me Y. E n la tabla 9.1 se muestra n ejemplos de desintegrac ión beta nuc lear de los tres tipos descritos. Se observa q ue e l ra ngo de valores del semiperiodo es mu y ampli o y está li gado al valor de Q. M ás adelante se demostrará la regla de Sargent, que re laci ona la vida medi a de la desintegrac ión beta con la quinta potencia de la energía di sponibl e para la des integrac ión 1/ T rv Q 5 . A pesar de e ll o, es ev idente que, en e l caso de la desintegración beta, el rango medido de las vicias medi as (desde el mili segundo hasta unos 10 16 años) es más reduc ido que en e l caso de la desintegrac ión a. TABLA 9. 1: Ejem plos típi cos de procesos de desintegración beta nu clear.

Desintegración

tipo

Q(M eV)

23 Na + e- + v e + e- +Ve 25 Al -+ 25 M g + e+ + V e 124 I -+ 124 T e +e+ + V e 15 0 + e- -+ 15 N + lle 41 C a +e- -+ 4 1 J( + l e

{3 {3 f3+ f3+

4,38 0,29 3,26 2,14 2,75 0 ,42

23

N e-+

99

T c -+

99 Ru

CE CE

37,2 s. 2, 1 x 10 5 años 7,2 s. 4,2 días 122 s.

1,0 x 10 5 años

Un bue n ejempl o que ilu stra todos los modos de des integ ración f3 es e l del núc leo impar-impar que tiene un semiperiodo de 1,28 x 10 9 años (véase la fig ura 9.3). A la derecha de la fi g ura , se puede apreciar la esca la de e nergías. Se puede observar que e l balance energético de la des integrac ión f3+ requiere un a mayo r d ifere nc ia de energía que e n e l caso de la captura e lectró ni ca, o sea que se neces ita al menos un a ene rgía igual a 2mec 2 para que pueda ex istir la desintegrac ión f3+ , como se ha visto más arriba. El tiene una abundancia isotópica igual a 1, 14 x 10- 4 e n e l potasio natural. Es un ele mento que tiene una gran importanc ia para e l hombre ya que la transmi sión de señales de l sistema nervioso se rea li za interca mbi ando io nes de potasio. Su presenc ia hace que contribu ya en un ~ 16 3 a la radi ac ión de o rigen natu ra l a la que está ex puesto el cuerpo humano.

18I<,

i8I<

9.2 Teoría de la desintegración {3 nuclear Aunque se sabe que la des integrac ión {3 , en términos de quarks está mediada por e l intercambio de un bosón W virtual, se usará la teoría que inic ialmente 2 En efcclo, M (7 B e) 10- 6 1' 0,862 M eV.

=

7

=

7, 016928 u ; M (7 Li )

=

7, 016003 n , con lo que ~M

=

925 x

Teor

1

¡, l

1s

/('si111e1; r 1 ·io n 'S {J

M V 1,505 1,461

e

f3

'""'] o+

0,.193

0,002 %

40

zoca

o

40 Ar 18

Figura 9.3: Modos de desintegración del núcleo ~8K, uno de los núcleos imparimpar representativos que pueden tener desintegraciones p- y p+. La transición p+ (4 - ----> o+ ) es de las ll amadas 3.Q prohibidas.

propuso Fermi ( 1934), que supone la interacción débil como una interacc ió n puntual, cuya intensid ad viene cuantificada por la constante de Fermi. La inte nsidad de la interacció n es una pequeña perturbació n si se compara con los estados estac ionarios nuc leares. Por ello es aplicable la teoría de perturbac iones. Se ampliará la idea de Fermi para construir la teoría V - A que explica razo nable me nte bien los resultados de las desintegraciones beta nucleares.

9.2.1 Probabilidad de transición Se aplicará la regla dorada con lo que la probabilidad de desintegración por unidad de tiempo, viene dada por la expresión: (9.2)

Esto es posible porque e l hamilto niano nuclear puede escribirse H = Ha + H' , siendo H a el término responsable de los estados estac io narios nucl eares y H' una pequeña perturbación, con lo que se puede aplicar la teoría de perturbacione · dependiente del tie mpo, que da lugar a la regla dorad a de Fermi. Al té rmino H} i = UIH' li) se le ll ama elemento de matriz nuclear y p(E1 ) es e l ll amado espac io fásico . El estado inicial es un núc leo en un estado estac ionario, con mo m nt angul ar bien definido:

en donde ( representa los otros parámetros necesa rios para de finir c mpl Lnmente e l estado nuc lear (isospín, coordenadas espac ia le , ... ).

273

111011 io

F'errer or i 1

El estado fin a l, conside rando que los dos le ptones (electró n y neutrino) son partícul as libres (ond as pl anas) se describirá como producto de las fun c iones de onda de las tres partícul as del estado fin al:

en donde V es el volumen arbitrario de normali zac ión de las funcione s de onda le ptónicas (el volume n nuc lear) y~ (al igual que ( en el estado inicial ) re presenta e l conjunto de fun ciones que completan e l estado fin al. Se ha escrito k = ke+kv . Si e~ e l ángulo entre k y f , se puede desarro llar:

e

·k, 7-::

e2

·

~

1

~

= l +i k· f+- (ik· f') 2 + .. . 2

quedando:

1

.

[!) = v (l + ikr cos e + ... )[J¡M¡O

(9.3)

Cada uno de los términos de l desarrollo de la la onda pl ana suma de las ondas de l e lectrón y de l neutrino correspond e a un momento angul ar orbital /i, de los lepto nes, distinto ; el 1 de l primer sumando es e l término con /i, = O, y el expone nte de las potencias de k · f coinciden con R. Hi stóricamente, al término del 1, con /i, = O, se le ha conocido como e l de las transic iones permitidas y los siguientes, con R > O, los que generaban las transic iones prohibidas . Co mo las energías en juego son bajas (Q ,.__, Me V), los términos del desarrollo se van hac iendo muy pequeños, ya que pe,..., M e V y r ,..., f m; como /ic = 197 Me V fm se cumple que (pcr / /ic) ~ 10- 2 . A medida que /i, se haga mayor, la probabilidad de la transic ió n irá di sminuyend o aproximad amente como 10- 2 e; es dec ir, dará lu gar a vidas medias cada vez más largas.

9.2.2 Elemento de matriz en la teoría de Fermi E n principio , la invariané ia re lativi sta permite que e l e lemento de matri z de la tran sición (i) ,.......__, (!) se pueda escribir: (9.4)

siendo G la constante de acoplamiento , que da la intensidad de la interacc ión. Las pro piedades re lativi stas de l operador O x pueden dar lugar a los siguientes términos 3 X = S, P, V, A , T . Fermi postuló que el hamiltoni ano era de form a parec ida a la interacción e lectromagnética: tipo corriente por corriente y con interca mbio de un fotón; es decir un a interacción vectori al, pero en este caso, la in teracc ió n era puntual (interacc ión de contacto) y Ox = l. 3L as iniciales in forman del tipo de térm ino que se trata: S , esca lar; P , pseudoescalar ; V vector polar, A vector ax ial y T tensor.

74

Teor

1

l e los desi111 'g m c i mes {J

9.2.3 Elemento de matriz en la teoría V-A Sin e mbargo, la teo ría de Fermi fue mejorada después de mu chos años de estud io e investi gac ió n, puesto que quedó probado ex perimenta lme nte, q u e l o perador que describe la interacc ión débil es de la fo rma V - A, ele aq uí e l p, nom bre de la teoría. Como de li) a 11) puede darse una transform ac ión n 4 se a ebe utili zar el operador T ± de subida/bajada de isospín . Según la teoría V - A y en e l límite no re lativista el hamiltoniano es un operador de la forma: A

H ' = 0:>..µ, = L {GvT:r= (j)

+ GA
(9.5)

j= l

Se trata de una interacc ión puntual descrita mediante dos términos. El primero es un término vectori al; contiene la constante de acoplamiento Gv y en e l lím ite no relativi sta se representa por e l operador unidad multiplicado por el operador isospín T=r= . Este es el operador que describe la transic ión entre e l neutró n (protón) del estado inic ial con tercera componente de isospín To = - ~ (To = +~ ), al protón (neutrón) del estado fin al. Siempre ex iste un cambio de tercera co mponente de isospín l ~ Tol = l. El segundo término de l hamiltoniano, con la co nstante GA, es un vector ax ial fo rmado por el producto del operador espín y T=r= . Este té rmino explica la pos ibilidad de cambi o ele la tercera componente del espín de l nuc león además de l necesario camb io de l isospín. La notac ión 0:>..µ, rec uerda que se trata de un tensor esférico de rango .A (el sub índiceµ podrá tomar los 2.A + 1 valores .A, .A - 1, ..., - .A, como para cualquier mo me nto angular), que es lo mi smo que dec ir que e l operador O 'transporta' u'h mo mento angul ar igual a .A. Con e llo, H' es un operador cuyo primer término (vectorial), tran sporta .A = O y el segundo (ax ial) transporta momento angul ar .A = l. De esta manera, utili zando la aproximac ión ele longitud de onda larga vista en (9.3), quedará: A

H'¡; =

( J¡M¡~I L {GvT:r= (j) + GAu(j)T:r= (j)}· j= l

1

.

·V (1 + 't krcosB

+ ...)IJ;M ;()

en donde aparecen dos tipos de términos , los asoc iados con e l " l ", que genera n las transic iones perm itidas (que corresponden al valor í! = 0), y los asoc iados con el término (kr/, con í! > O, que da n lugar a las tra nsic iones pro hibidas. • I va lor de í! da lugar al ra ngo de prohibición; de esta mane ra se conocen Lran ic io2), etc. nes 1.Q pro hibidas (í! = 1), 2 .Q prohibidas Si se retienen los términos que multiplica n al " l ", que son los que se as -

ce=

4

A l igual que en el caso de los operadores ele espín (matrices ele Pa ul i). ahora 1ambi n s li

·11 •

T = (T.r ± 'tTy).

7.

A 111

m io Ji'errer 'oria

cian a las tra nsicio nes pe rmitid as, el hamil to ni ano se simplifi ca:

H'¡;

~ Gv L ~ { (J¡ M¡(IO.\µ IJ;M;() }

=

¡;M¡

= Gv L µM¡

~ { (J¡M¡( I t

T:r= (j)IJ; M;()+

j= l

+ gA (J¡M¡(I t

o-(j)T:r= (j) IJ;M;() }

=

j= l

=

~{L

A

(J¡M¡(I L T:r= (J)I J;M;()+

M¡

j= l

A ·

+gA L µM¡

(J¡M¡(I L

a(j)T:r= (J)IJ;M;() }

j= l

sie ndoµ el subíndice de la tercera componente del mome nto angular transportado por el término axial del hamiltoni ano (en transic iones prohibidas, el término vecto ri al también tra nsporta mo mento angul ar) y M¡ re presenta la suma sobre todos los posibles estados de polari zación del núcleo fin al. E l primer término corresponde a las tra nsiciones de Fermi . Llamando S = se + s,,, a] espín de l sistema leptónico, para cumplir con la conservación del momento angular entre e l estado inicial y final (J; = J¡) estas transiciones requiere n que S = O, es dec ir que el sistema e + ve está en estado singlete, o lo que es lo mjsmo, sus espines son antiparalelos; y el segundo, en donde se ha escrito gA = que corresponde a las transiciones Gamow-Telle r, deben cumplir que S = 1 (el sistema e + ve está en estado triplete de espín; es decir, las proyecciones de espín de los lepto nes están alineadas). Por ello el término G-T del hamiltoni ano tiene un operador de espín , a, que permite el cambio de la tercera compone nte del espín entre estados inicial y fin al nucleares. Por lo tanto , la fo rma más general,del ele mento de matri z de la teoría V - A será: J

&,

.----~~~~~~~~~~~--

---,

(9.6)

en do nde la integral (F ) corresponde a las transiciones Fermi y la integral (GT) a las de Gamow-Te ller. En la expresió n (9.3) el volumen de integraci ón V que se introdujo al definir las funciones de onda de los leptones, se cancelará con e l mi smo V que aparece en el término de espacio fásico, p(E¡ ), que se verá en la próx im a secc ión. Por e ll o no aparece explícitamente en la ex presión (9.6). La vi suali zac ió n gráfica de las tran siciones tipo Fermi y tipo GamowTe ll er se muestra en la fig ura 9.4 que representa la desintegrac ión del neutrón. o rno se ex plica en la fi gura, la desintegrac ió n del neutrón resulta ser un a mezc la (s uma) de los dos tipos de tra nsic io nes. Se cumpl e además que el mo mento

76

Teor a le las d 'Sinteg rocir 11es /1 angular o rbital ele los le ptones es e = O. Por e ll o la cles int.egrac i n el 1 n· ulr n es un a tran sició n permitida, mezcla ele Ferm i y Gamow -Telle r. En esta fig ura aparecen los ca mbios ele tercera componente ele espín posibles; si entre el neutrón y el protón no hay cambio ele espín, la conservació n d 1 momento angular exi ge que los dos leptones tienen que ser emitidos en la mi sma dirección, formando un singlete de espín, S = O; se trata de una tran sici ó n de Fermi y el término del hamiltoniano es (F) . Por el contrario, si las terceras componentes del espín del neutrón y del protón son opuestos, los dos lepto ne son emitidos en dirección opuesta y se acopl an formando un triplete de espín, S = l; entonces es una transición de tipo Gamow-Teller y el térmjno correspondiente del hamiltoniano es (GT). Todo ello es debido a que los lepto nes, cuando participan en la interacción débil, son levógiros (su dirección de espín es opuesta a la dirección de movimiento). Una simplificación importante tiene lugar en las desintegrac iones permi tidas, ya que IH!il es constante e independiente de la energía del electró n, T. Esto hace más sencillo el estudio de la forma del espectro {3 y el cálcu lo de las vidas medi as en dichas transiciones permitidas .

n

® a)

b)

Figura 9.4: Esq uema de los dos posibles tipos de des integrac ión del neutrón (las flechas íl' y .JJ. representan la proyección del espín de las partícul as): a) Es una transición tipo Fermi sin cambio de proyección del espín entren y p . b) Es un a transición tipo Gamow-Teller con cambio de proyección de espín entren y p.

9.2.4 Densidad de estados finales p(E¡) La densidad de estados finales en el volumen V, de partícul as con m to en el intervalo (p , p + dp) en un elemento de ángul o só li do drl es:

111

n-

dn

p(E¡) = dE.r

77

1\ntu 11io Ferrer

oria

con: dn

=

V d0r;2 dp

h

(9.7)

que efectivamente da el número de funciones de onda discretas, con longitud de onda..\ = h / Pe que pueden ocupar un volumen V. Las energías totales de los leptones serán:

y en e l caso de que mv = O entonces se simplifica Ev = Tv = p,/c , siendo E la energía total y T la energía c inética. Aplicando lo visto a cada uno de los leptones del estado final: a) para el V e , suponiendo que mv = O,

dn '/•

Vp 2V e dp V e

(9.8)

--~--

-

27í 2 n,3

y en caso de que se suponga que mv

=f. O, (9.9)

en donde se ha utilizado el ll amado end point (que representa e l valor máximo) de las energías cinéticas del e lectrón, T 0 , en vez de Q, puesto que Q = TN + Te + Ev. y como TN "' O queda To = T e + Tv• . b) para el e±, denom inando Z' e l número atómico del núcleo hijo,

(9.1 O) debe introducirse la función F de Fermi , que da cuenta de los efectos cu lombianos del e± al atravesar e l núc leo. De hecho es la única diferencia entre la desintegración /3- y f3+. Es una función bien conocida y tabulada. En el límite no relativista Ve<< e, se tiene F(Z' , Te) = x/(1 - e-x ) siendo x = ::¡:27raZ' //3 , para e±. Con la densidad de estados fi nales vista más arriba, el ritmo probabilidad de transición f3 en función del momento Pe queda:

En e l caso de transiciones prohibidas, hay que inc luir también un factor de forma, S(pe, p1/ ), función de los momentos de los leptones, debido a las integrales con los términos (kr) e, del desarrollo visto en (9.3). Por ejemplo en el caso de l 9 1 Y(l / 2- ) ---> 9 1 Zr(5/2+), transición l.º- prohibida, e l factor de forma se escribe S = p; + p~.

715

Teor a de f 1.1· desi111 'f.i mcirme.1·(J

9.3 Espectro {3 : Plot de Kurie. Medida de la masa del v e Suponiend o a) que IH.f ·i es constante e independie nte de Te, lo que sucede en las des in tegrac io nes permitidas, y 1

b) que la masa de l v e es despreciabl e se puede predecir el espectro (3 , que da la di stribuc ió n de l número de electrones en fu nción de su mo mento; si se estudi an No des integrac iones, el espectro viene 2 dado por N(pe) = dN/ dpe = Nod>.. / dPe· Si se calcula: JN(pe)/(p F) e observa q ue esta cantidad es simplemente proporc ional a (To - Te), o sea que al representar la cantidad

N' = JN(pe) p2F

en fu nc ió n de Te se espera un a recta cuyo end-point es T0 . Este es el llamado Plot de Kurie, que se muestra en la fig ura 9.5. En la ante rior ex pres ión N(pe) es el número de desintegrac io nes medidas experi menta lmente para cada interva lo de mome nto del e lectrón, Pe·

mV

F igura 9.5: Plot de Kurie. Se puede observar el denom inado end point, To es dec ir e l valor máxi mo de la energía cinética de l e lectrón emitido en la desintegrac ión /3.

La des in tegrac ió n del neutrón en re poso, cuya vida med ia es Tn == 8 5,7 0,8 ses decir su semiperiod o es ti; 2 (n) = 613,9 ± 0,6 s, da inmedi atamente una pred icción de la masa del ve. En efecto, la medida de la energía c inética máx ima de l e- es Te,max = O, 782 ± O, 013 Me Y. Como Q = (mn - m p - ·nie m,,Jc2 = (O, 782 - mv, c2 ) Me V, se tiene ento nces que la masa del neu trino ~s : 2 m,, = (O ± 13) keV /c ; o sea, co mpatible con masa nul a pero e l result ado n 0

puede exc luir un a masa superior a cero.

7

/\111

mio t·e rr-r 'o ri z

En princ ipi o, se espera e l mi smo va lor en la med ida ele la masa de l neutrin o que la de l antineutri no. En efecto, e l teorema CPT preclice5 que las masas ele las partículas deben ser iguales a las ele sus antipartícu las. La determinación más precisa ele m,,e se ha realizado con el tritio : 3 H ---> 3 H e+ e- +Ve (t 1 ¡ 2 = 12, 32 años, Qf3 = 18 , 6 keV). El bajo valor de Qf3 favorece la sensibilidad para detectar m,,e. Además sólo ex iste un nivel nuclear, e l de l estado fundamental del 3 H e, aunque dos estados atómicos. También las fuentes de tritio so n fáciles de preparar. La resolución experimental modifica e l espectro de Kurie cerca del end-point. En la figura 9.5 las curvas a trazos, representan los casos teóricos mv = O y mv =/= O. Al tener en cuenta la resoluc ión experimental esas curvas cerca del end-point cambian de forma. El cambio es calculable simulando todos los efectos del experimento y se tiene en cuenta. En la figura 9.6 pueden observarse los resultados de uno de los experimentos basados en la med ida del espectro de los electrones de la desintegración de l tritio, que han dado lugar a los valores límites de la masa del ve y en donde aparece con claridad el efecto de la resolución experimental cerca de l end point.

E'3

(unidades arb itrarias)

Figura 9.6: Medida de la masa del neutrino por el plot de Kurie en la des integració n beta del tritio. Se observa e l efecto de la resolución experimenta l cerca del en.d-point. Resultados del ex perimento de Bergkvist (K. E. Bergkv ist Nucl. Phys .. B39 ( 1972) 317).

5 Estc teorema se estudi a en la secc ión 15.5.4 del capítu lo dedicado a las simetrías.

'()

T 'or o le los desinteg ro ·iones /J Las med idas actua l s arrojan límites . uperiores: 1n ,,,

< 3 e V/c 2

muI '· < O, 19 MeV/c 2

m,,.,.

< 18 MeV/c 2

S i m ,, > O ex isten importantes consecuencias físicas, que son ele plena actua lidad. Alg unas ya han podido estab lecerse, otras están todavía sin confirmar: • ex isten oscilaciones entre neutrinos (ve - t vµ, 1;1, - t V7 ). La evidenc ia ha siclo puesta de manifiesto en el experime nto Superkam iokande (Japón), estudiando los neutrinos atmosféricos. Esta es una de las posibles exp li caciones a la reducción de un factor 3 del flujo de ve solares; el conocido dé ficit del flujo de neutrinos so lares. • podría explicarse la masa oscura del universo: las evidencias actuales apuntan que . sólo se conoce la naturaleza del 4 % del universo; hay un 23 % de materia oscura, porque no es luminosa y no se ha detectado, y un 73 % de energía oscura, que todavía no se sabe lo que es. Para explicar la materia oscura bastaría con que la masa de los neutrinos fuese m,, ~ Se V, lo que es poco probable. Según la teoría del big -bang deben ex istir ~ 10 8 v /m 3 , con lo que se puede "cerrar"e l universo. En relación con e l problema de la materia oscura del universo, en nuestra ga laxia de la Vía Láctea, la propia distribución de masa v isib le y su movimiento c ircu lar determinan que en la cerca nía del Sol, la densidad de masa oscura (dark malter) es pDrvI ~ 0,3 Ge V cm - 3 . Sea cual sea su naturaleza debe comportarse como un gas sin colisiones, con una distribución de Maxwell de velocidades, cuyo va lor medio es (v) ~ l::,, v ~ 300 km·seg- 1 . No se conoce la identidad de la materia oscura; hay cand idatos (no de tipo bariónico) que se denominan W I IVI P s (Weak Interacting Massive Particles) y se clasifican en dos grupos: a) Materia oscura ca li ente. Representada por v masivos (de 1 - 10 e V). b) Materia oscura fría. Los cand idatos podrían ser los neutralinos (fotinos , higgs inos, binos) de las teorías de supers imetría (con masas entre 20 - 350 Ge V) y e l axión (con una masa estimada entre 10- 5 - 10- 3 eV) que aparece para e liminar propiedades no deseables de la simetría CP fuerte, en la teoría QCD.

9.4 Semivida comparativa y transiciones prohibidas La probabilidad de desintegración por unidad de tiempo>. , que da la vida media del proceso /3 se obtiene al integrar:

(9. 11 ) e n donde:

(9. 1 )

81

A11to11 i 1 F'errer oria Toma ndo m,, = O y dado q ue 1HÍ.;1 s co nstante e inde pe nd iente de T e (sobre todo para las tra nsic io nes perm itidas), se pu de escri bir: (9. 13)

que es un a func ión ad imensional ll amada integral de Fermi , y que se calcul a numéricamente (excepto para Z = 1). E l valor de la integral de Fermi puede verse en la fi gura 9.7 para transic iones (J - y (J+ y para núc leos hijo con número atómico Z'. Tomando en e l hamilto ni ano de la ecuación (9. 1 J) sólo e l término de Fermi , IHÍil 2 = G~IM¡il 2 , en donde IMJil es el ele mento de matri z nuc lear; es dec ir, sin los leptones; suponiendo F (la func ión de Fermi) constante e igua l a 1, y aprox imando mu y burdamente T e > > m c 2 , la integra l de Fermi es inmedi ata ya que la integral:

(9 .14) obte niéndose la regla de Sargent: 6

(9 . 15) que da la depende ncia de >. según la potencia 5 del valo r máx imo de la energía de l e-. Fue una regla mu y bien ve rifi cada experimenta lmente, sobre todo en las tra nsic iones permitidas y superpermitidas, que fue utilizada inic ialmente para determin ar Gv . Se de fin e la semivida comparativa:

(9. 16) y es la cantidad 7 más representati va para el estudio de la des integrac ión (J nucl ea r ya que es inversamente pro porc ional al elemento de matri z nuclear IHÍi 2 , único término de l que de pende. El valor experimental del producto fti ¡z va de 10 3 a 10 20 s. y sue le utilizarse para c las ifi car las des integracio nes (J nucleares en permitidas y pro hibidas . De hecho se sue le to mar el log f t 1 ¡ 2 , con lo que en e l caso de las tra nsiciones superpermitidas co+ ----> o+) toma valores log fti ;2 = 3- 4. Para calcular el proceso de captura e lec tró nica habrá que tener e n cuenta 1

• que só lo se emite una partícul a en e l estado fin al (e l ve), es dec ir que la densidad de estados fin ales es pro porc ional a p~ ex Q ~ 0 , 68 .

W Sargent, Proc. of 1he Royal Socie1y, 139 ( 1933) 659-672.

7 EI va lor numérico de ( In 2)/k 1 = 1, 2' X 10- 120

28

J2

m 6 S,

Tr: 1r 1 de los desi11tegro f' io11 '.\' (J 6 5 ........,

4

~ Ñ '---

3

........

2

......_

.......,

o l:l-0

~

o -l

-2 -3

-4 -5 -6 0, 1

0,4

0,2

4

2

0,6 T max e

6

8

JO

(MeY)

Figura 9.7: Valores de la integral de Fermi definid a por la ecuac ión (9.1 3). E l núme ro atómi co Z ' es el del núcleo hijo y las curvas para Z ' positivo se refieren a transiciones {3 - , mientras que las curvas de Z ' negativos se refieren a transiciones {3+. Puede consultarse Feenberg and Tri gg, Rev. Mod. Phys ., 22 ( 1950) 399.

• que el e lemento de matri z es idéntico al de la desintegrac ión /3, 2 • y que habrá que incl uir la pro babilidad l 11! K(O)1 de que un e- de la ca pa K se encuentre en e l núcleo (r ,..., O) ,

con lo que:

>-c E = G~I MJi l lw I<(O) l Q~E 2

y al sustituir e l valor de l 11! K

>.

CE

2

(O) 12 queda fin almente:

= G~3 IMJi·l227fme "'4 2 7f

Cn

2 (!__)3Q ao

CE

(9. 17 )

siendo a 0 e l radi o de Bohr (a 0 = O, 529 Á.) . S i se compara >-c e con AfJ se o bserva que la captura e lectró ni ca do min a a gra n Z, pero que ,\ fJ dom in a a e ne r fa

8.f

/\ 111011 io l'err»r

)ria

e levada. Las capturas de e lectrones de la capa J( so n mu cho más probables que las capturas de electrones de otras capas más alejadas . En todo caso, la captura e lectrónica se detecta grac ias a la presencia de un rayo X resultante de ll enar e l vacío que dejó el electrón capturado e n e l núcleo hijo.

9.4.1 Tipos de transiciones y reglas de selección en la desintegración f3 nuclear Como siempre, las reglas de selección son consecuencia de los principios de conservación. Al igual que la conservación de la energía, el mo mento angular debe de conservarse en los procesos nucleares. Tambié n es posible encontrar relaciones entre las paridades de los núc leos . En el caso de la desintegración f3 se trata de conocer las relaciones que pueden darse entre los valores del espín y paridad de los estados nucleares inic ial y final. La ley de conservación del momento angular obliga a tener en cuenta tanto los núcleos como los leptones participantes. Sin embargo, una de las propiedades más sorprendentes de la interacc ión débil es que la paridad no se conserva. La parid ad no es un buen número cuántico para los leptones . Por e ll o, sólo tendrá sentido estud iar la relación entre paridades de los núcleos. Recuérdese que el hamiltoniano se puede escribir:

1Hjil 2

=

L

l(fl0 e,m(f3)li)l 2

mM¡

e,

El orden de la transición viene dado por e l momento angul ar o rbital o sea el rango del operador Oem(f3) que interviene en el elemento de matriz nuclear IH}-.J Ya se ha visto que el valor de .e de l hamiltoni ano clasifi ca las des integraciones f3 en: permitidas y prohibidas según que .e = O o .e -¡. O. Ahora bien , para cada tipo de tran sic ión de berán tenerse en cuenta las siguientes reglas: 1. La diferencia entre los esp ines de los estados nuc leares: 6.J = IJ¡ - Ji¡ , coincidirá con el mo m~nto angul ar total que poseen los lepto nes: 6.J = S e+ Sv +f.

2. La relación entre las paridades de los núcleos P;, = P ¡ · 6 P, e n donde 6 p = (- 1)1, viene definida por e l mo mento angul ar orbital e. Por lo tanto, para cada orden (o para cada valor de .€) se tendrá: • transiciones Fermi.

e

Se cumplirá 6.J = ya que S e + s,,= O; los e lementos de matri z serán los que den cuenta del cambio de carga p <-------+ n (cambi o de la tercera componentedel isospín);

84

'l"or o de lo.1' desi111e¡v 1 ·i ~" ,,,. f A

en donde T :¡: =

L

T:¡: (j),

es e l isospín nuclear y T:J re presenta la com -

.i = l

ponente z (ó tercera componente) del isospín nuclea r. En la anterior xpresión (9. 18), las deltas de Kronecker contienen ex plícitame nte las reglas de selección de las transiciones Fermi. • transiciones Gamow-Teller. En este caso se tendrá !::,,.J = R + 1 puesto que se + sv = 1. También podrá existir cambio de isospín además del cambio de la tercera componente. Los elementos de matriz serán: A

(fl

L T:¡: (.i)cr(.i) l·i) j=l

calcu lables una vez conocidos los estados li), IJ). Los cálculos de los elementos (f lu(j )li) pueden realizarse utilizando las componentes esféricas (las matrices de Pauli son tensores esféricos de rango 1) de la matriz u, relacionadas con las componentes x, y , z: <7 ±1

= =f

~(ux ± iuy)

y

ero

=

uz

Habrá transiciones permitidas y transiciones prohibidas en cada uno de los tipos de transiciones beta nucleares estudiadas, Fermi o Gamow-Teller, como se describe a continuación.

Transiciones permitidas (f = O) Se clasifican en dos tipos. Corresponden a los dos términos del hamiltoniano:

¡

~~ : ~',

a) Fermi: Se + Sv = O;

l/::,,.T3I =

pero Ti+ T¡

f

O,

1,

Pi = P f

no hay cambio de paridad entre núcleos

Las transiciones Fermi puras tipo o+ -+ o+ se llaman transiciones superpermitidas. Con ellas se puede determinar la constante de acoplam iento de Fermi G v. En efecto, el elemento de matriz de la transición vale H}·i

f t i ;2=

ln2

~

=

Gv../2 con lo que: (9 . 19)

Ejemplos de medidas experimentales realizadas con des integrac iones (3 1 entre núcleos (puede tratarse del estado fundamental o de un estado exc itad o, caso del 26 Al) con espín-paridad o+, son los siguientes:

H.

/\ n1011 io ''" rr('I' '1 ri

1

14

26 A l

t'1N __. 26 M

54 Co

__.

0

54 F

g e

3J00 309 30 l 3091

:1- 3 1 J:
±

r:

todos ellos emisores (3+ . Se trata de tran sic ione d 1 lemento T 3

= +1

T3 = Odel triplete de isospín. Por ello e l e leme nto de rTHllriz vale (F) =

al

v'2, al

calcular el valor esperado (9.18). O, 88 x 10- 4 Me V Se obtiene así para la constante de Fermi , v 3 fm , que, al eliminar las dimensiones, to mando la ma a del protón como unidad ( Gv (mp c2 ) 2 / (hc) 3 ), queda:

=

Gv '.::::' 1,0 x 10- 5

(9.20)

directamente comparable a las constantes de acoplami ento de las otras fuerzas: 1/137 y GN = 10- 39 . Ya se verá en su momento (en el estudio de las in t racc iones débiles entre partículas), que al comparar con otros procesos entre partículas, la constante universal de Fermi, Gp, está relacionada con Gv por la expr sión Gv = Gr cos Be , en donde aparece el ángulo de Cabibbo, que val e cos () · = O, 975. Un proceso en el que interviene Gr es la desintegración leptóni ca del ~t ± , por ejemplo en µ - __. e- vµD e, puesto que Gr es la constante de aco plo universal W Rv. Sin embargo, los procesos de desintegración de hadro nes (y núcleos) se explican a través del cambio de sabor de quarks o sea, en e l ca o del quark u, a través de los acopios W ud, W us y W ub que valen respectivamen te 0,975, 0,222 y 0 ,004. Esta propiedad de ausencia de mezcl a de generacion · 1 ptónicas contraria a la posibilidad de mezcla entre generaciones de quarks tiene consecuencias observables muy importantes ; entre ellas, la no exi stenc ia d hipernúcleos estables, es decir, núcleos en los que algún nucleón es reempl azado por un hiperón. Estos hipernúcleos se han observado (véase sección 3.7 .7), pero con vidas medias igual a las de los hiperones (&\ 0 , por ejemplo).8 as'.::::' l; a =

!J. J = o, ± 1 (O-++ O) Jí:5.TJ = O, l pero Ti + T¡ =f. O, b) Gamow-Teller. Se + s,,, - 1, Jí:5.T I = 1 3 { no cambi a la paridad. Pi = P¡ ._

_ _

Una tran sic ión pura Gamow-Teller, permi tida, es [-Je __. 6 L í +e- + De, que es de tipo o+ __. 1+. Su semiperi odo es t 1 ¡ 2 = O, s, la energía del endpoint To = 3, 51 Me V y log f t 1 ¡ 2 = 2, 77. 8 Estos conceptos se desc riben con más deta lle en el ca pítu lo 17 dedicado a las interacciones débiles en la parte de física de partícul as.

286

Teor

1

d ' l 1s lesinte¡.¡o ·i /// <'.\' fJ

n el caso más general en el que se cien transicio nes mezc la 1 Ferm i y Ga mow-Te ller, el elemento el e matriz nuc lear ya se ha visto que val e:

Aplicado a la desintegración del neutrón (1 / 2+ ----+ 1/2+), que es un caso en el que existe mezcla ele transición Fermi: (F) 2 = 1 y Gamow-Teller:

(CT) 2 =

L

1(xm¡ 1uµ,1 xm;) 12 = 3

µ,m¡

permite determinar 9A· La figura 9.4 ayuda a entender este proceso y el sign ificado de los dos términos. Así pues, en este caso se tiene: (9.21)

con

kl:~~

= 6141, 2 ± 3, 2 s. Para el neutrón, t 1¡ 2 (n) = 613 ,9 ± 0,6 s; con

ello y tomando el valor ele la función integral f, se llega a ft 1 ; 2 = 1061 ± g s, con lo que l9A = 1, 26. Otras medidas son sensibles al signo y se encuentra que el signo es negativo. La mejor determinación actual de la constante 9A da como valor: 1

19A

= - 1, 267 ± 0, 0031

(9.22)

Es por ello por lo que se denomina teoría V - A. Transiciones prohibidas (f -=f. O)

En este caso los operadores O transportarán momento angular orbital C=f O. Las probabilidades de transición >. serán muy pequeñas ya que con C > O habrá barreras de momento angular que inhibirán la emisión de los leptones. De nuevo habrá dos términos: a) Fermi: conteniendo productos rYe,m(B,
e,

(9.2 )

La paridad de los estados nucleares deberá cump lir 6.P = (- l )e, siendo Cel rango del armónico Ye,m(B, cf>) . Las reglas de selecc ión serán consecuencia del va lor de C, combinando con singlete de espín para tra nsiciones F y trip lete de espín para las de GT.

7

nlonio ¡; ,rr r 'r r i

1

i bien, según la rcla i n (9 . ist n un ~ ~ r i 1 angul ar o rbital f, perm itidos, só lo serán i mporta n! s aqu 11 s ILI bab les, que son los ele meno r y se ·ump li rán las r las d ' ( 111 manera que sig ue:

e,

i) J .Q prohibidas (f,

=

-+

76 S

22

JI

{

JiU"J

{

16.JJ

ce= 2)

Fermi , Gamow-'f"i 11

,· 1 ro11 d la

11 , 1

r, J .1¡

··,3.

N e (3+ -+ o+)

iii) 3.Q pro hibidas ( f,

= 3)

Pi = - P¡ Ej emplo: 4 0 I<

{

Fermi , 1 01 1 G amow-' f"i 11 r, IL\,/J

Pi = P¡ -+

,11

e (1 - -+ o+ )

ii ) 2.Q prohibidas

Ej empl o: 22 N a

111 111

1)

Pi= - P¡ Ej emplo: 76 Br

¡, 11 1

Ferm i , =3 G amow-'f"i 11 r, I

./ 1

:1,4.

-+ 4 °Ca (4 - -+ o+)

En las 2.Q pro hibid as (3 .Q prohi bidas) G amow-Tell r, n • 1h1• ¡ ' •n iderar el caso = 1(2), ya que entonces sería una tra nsición p ri 11 i1i l.1 I, prohi bida).

16.J J

(J6.JJ=

11

J 1¡ 1 / ~ ) -+ y cuya tra nsición li n lu 1 11 • 1111 1 nú leos con = 4. Para esta desintegración, Qf3 = 495 keV, el va l r lp 11 / l 1¡ 2 = 22,5 lo que da lugar a una semi v ida mu y larga, t 1 ; 2 = 4 , 4 x JO 1 ~ :1110,,

Incluso se conoce un caso de 4.Qpro hibi das

11 5

il , r:

,

Sn( l / 2+), que cumple P.; = Pr

J6.JJ

L os valores de la lsemivida comparativa Jog f t 1.¡ 2 , s \ )11 ·1.p1111d n bastante bien al nive l de pro hibic ió n de las tra nsic iones nu 1 nr<' H¡l.1 111111 lu ra r a una cl asi ficac ió n que puede verse en la fi gura 9.8 y cuyas r •ul111 il1 11h • tCi n de acuerd o (apro x im ado) con l a siguiente tabl a:

88

tipo

log f t 1. 12

super-perm iti das perm itid as l.Qpro hibidas 2.Q prohibidas 3.Q prohi bidas

3- 4 46 - LO 10 - ·14 14 - 20

'/'

N

1

11·

o le los lesii 11ep,ro ·Io nes (J

lllJ

S u¡lcrpcrmi1idas Permitid as Iº. prohibidas ~ 2°. prohibida s

O

60

rn

50

•

3º. y 4º. 11rohihida s

40 30

20

-L..l.__._•Ll_i

o lilE'.'.:L_L_L_i_CJ_)lil~:ll:!Sll::lHCEl!Ln_L_L_La._.ILJ;lj__L..tL 2

4

6

8

IO

12

14

16

18

20

22

24

log ft 112 ele Meyerhof, EleFigura 9.8: o ·stri bución de va lores observad os de log f lt ¡ 2 to mados ments o.f Nuclear Physics , 1967.

9.5 Experimento de Reines y Cowan Pe ri. A l En 1995 se conced ió el pre mio No bel de Física a F. Re ines y a M . n detecció la de través a ve del ntal rime pe primero , por la primera ev ide ncia ex 9 sobre lear, nuc reactor un de ntes procede de las interacc io nes de antine utrinos otro leptó n un blanco de CdCl 2 y agua; al segundo por el desc ub rimi ento de n e+ e- --; ió c 10 aniquila la a gracias tectado de (e l tauó n), el T±, leptón que fu e n Stanfo rd e SLAC rio laborato del SPEAR T+T - estudi ada en el colisionador 2 por lo tanto es el más m as ivo de los , /c V Me (EEUU ) . S u masa es rnT = 1777 12 le pto nes cargado s. Tiene una vida media T T = O, 291 x 10- seg. un fluj o Para reali zar el experim e nto, Reines y Cowan ( 1959) partiero n de se Como 9.9). gura fi (véase nuclear reactor un inc ide nte de ve procede ntes de el es e qu MW 000 1 de r to reac un n e n, sió fi r po e mite n, e n pro medio, unos 6 ve 3 1QL de orden del era ve de útil o fluj l e es), Cofrent que utili zaron (co mo el de c m - 2 s- 1 a va rios metros de d istanc ia del corazón de l reactor. extreL a probabi lidad de interacc ió n de los ne utri nos (o a ntineutrinos) es n: ió reacc la ese mada me nte pequeña ; considér

(9 . 4 Reines. C. L. Cowan , Ph ys. l?ev., 1J3 ( 1959) 273-279. º M. Peri et al.. Phys. l?ev. L~11 .. 35 ( 1975) 1489.

9 F. 1

/\ 111011io Ferrer Soria

que puede te ne r lugar po rque se conserva e l número le ptóni co e lectró nico L e, de finido para e l e y e l neutrino (L e = - 1 en (9.24) por tratarse de antileptones , en ambos lados de la reacción). La secció n eficaz será u = >./ cPi sie ndo cPi el fluj o incidente de neutrinos (proporcional a la ve loc idad de los neutrinos e n e l centro de masas, vi =c), o sea:

(J

=

prob de reacción/átomo fluj o de v

es dec ir: (9.25) 2 ya que (F )2 = 1, g1 (GT) "' 3 y p representa e l momento del neutrón o de l pos itrón en e l centro de masas .

, y

·> · haz

........... e -r , ~ y-:.:.¡NtV..~,

...........

de ve

Centelleador líquido

del reactor CdCl 2 + agua

Figura 9.9: Esquema del experimento de Reines y Cowan que detectó antineutrinos procedentes de un reactor nuclear. Se tiene así q ue, para ne utrinos de energías de l orden de l Me V, la secc ión e fi caz vale u ~ 10 - 4 3 cm 2 ; o sea, tienen un recorrido libre medi o en e l agua (f) = nlu = 10 20 cm (n es la densidad volúmica de bl ancos en e l ag ua), que re presenta ¡unos 100 años luz ! de recorrido en el agua. La detecc ión de l neutrino a partir de la reacció n (9.24) quedó probada al detectar vari as reacc iones medi ante la presencia de 2 pul sos separados entre sí de va ri os microsegund os. Los pul sos e lectrónicos corresponden a la interacc ión de 9 los foto nes 1 rocede ntes de la aniquil ación de l pos itró n ("' 10- s.), fenó meno ()

'f 'eorfa ¡ , los lesi11te¡.:r 1 ·ion es

fJ

cas i in stantáneo, seguidos d un pul so debido al fotón de la desexc itac i n d 1 Cd* , producido por captura neutró ni ca (proceso que tiene lu ga r tras e l tiemp necesari o de termalización de los neutrones en e l agua), es dec ir unos 10 mi crosegundos después. En ambos casos, los foto nes eran detectados a través el 1 efecto Compton o del efecto fotoeléctrico en el centelleador.

9.6 Violación de la paridad en la desintegración

f3

Se ha visto que los núcleos poseen un número cuántico, llamado paridad; toma los valores +,- y es necesario ya que se conserva en las interacc iones fuertes y electromagnéticas (véanse por ejemplo, las reglas de selección en las desintegraciones alfa y gamma). Sin embargo, fue una sorpresa descubrir que existe vio lación de la paridad en la desintegración beta (propuesta inic ialmente por T. D. Lee y C. N. Yang, 11 1956). Se tuvo evidencia tras la observación de que la partícula J( +( fP = o- ) podía desintegrarse a dos estados finales de distinta paridad (el estado 7r+7T 0 , con paridad P = +1, bautizado como partícula() o e l estado 7T + 7T + 7T - , con paridad P = - 1, bautizado r). Es lo que se denominó e l puzzle () - r. La primera confirmació n de la violación de la paridad viene del estudio de la di stribución angular de los electrones emitidos por el cobalto (figura 9.10) pol ari zado a baja temperatura, que confirmó ex perimentalmente que la paridad no se conserva en los procesos debidos a la interacción débil. Se observó una asimetría respecto al espín del Ca en la emi sión de los electrones (70 o/o de los eson emitidos en la dirección opuesta a la del espín del 6 °Co). Este experimento fue reali zado por Mme. Wu 12 y colaboradores. Posteriormente, la no conservación de la paridad en las interacciones débi les fue confirmada en otros procesos entre partículas (desintegración del muó n o de l pión). Esta violación está implícita en la propia teoría V-A que explica la desintegración beta de los núcleos (en efecto, e l hamiltoniano V-A es un a suma de térm inos que se comportan de manera opuesta ante la operación de paridad).

9.7 Espectroscopía {3. Desintegración doble beta La desintegración doble beta:

A(Z, N) __, A(Z

+ 2, N - 2) + 2e- + 2Ve

(9.26)

es un efecto de segundo orden, cuyo interés es profundi zar en la naturaleza d neutrino. La figura 9.11 muestra el ejemplo de la desintegración doble beta el

s2se. 11T. D. Lee, C. N. Yang, 12C.

Phys. Rev., 104 ( 1956) 254. S. Wu et al., Phys. Rev., 105 (1957) 14 13.

eI

A 111( 11 !0

l •errer

>ri

1

60 27

5+

o ( 5,27 n)

(7.5)

99,93 %

(1 5.0 )

0,06 %

¡

:t

' 4'" ~

2626 2506

2+

2 159

¡¡

fo1:ft

1333

60N1· 28

Figura 9. 10: Desintegración beta del 6 °Co. La des integración más probable, pueb lncl ni ve l excitado J P = 4+ del 60 Ni . Se trata de una tran sic ión tipo permitida, pura Gamow-Tell er.

La desintegrac ión doble beta ha sido considerada como la prueba de la natu raleza de los neutrinos. La teoría conve ncional supone que los neutrinos (s in masa) son soluciones de la ecuación de Di rac; só lo ex isten e l neutrino levógiro (vL) y el antineutrino dextrógiro (v R). Según la teoría de Majorana, neutrino y antineutrino son la mi sma partícul a, v = v (únicame nte se di stingue n por su he lic id ad , v L = vR). Pero, si tienen masa nul a, no puede di stinguirse entre Di rac y Majorana. Si existiera des integración doble beta sin e mi sión de neutrinos se demostraría (indirectamente) que la masa del neutrino es di stinta de cero. Se puede pensar que si los dos neutrinos son de tipo Majorana, se aniquil an y no son emitidos en la desintegrac ión . Por el ex perimento d e . ~. Da vis ( 1955), que estudi aba neutrinos procedentes de reactores nucl eares, se \abe que el neutrino real es di stinto de l antineutrino . En efecto, no se e ncontró ningún núcleo de 37 Ar radiactivo procedente de la reacción v e Cl --1-+ eAr. Ello es consistente con la conservac ió n del número leptónico: la reacción V e + n no puede te ner lu gar. Pero en la reacc ión doble beta se podría tratar de neutrinos virtuales, que podrían aniquil arse en el caso de ser tipo Maj orana. Entonces el dobl e beta sin neutrinos sería más rápido que los procesos con neutrinos en e l estado fi nal, por cuestiones de espac io fásico. · Hay dos tipos de medidas que se llevan a cabo en el estudio de las des integraciones doble beta.

+ri

+n

a) Por espectrosco pía de masas, contando el número de átomos de l núcleo padre e hijo. Por ejemplo, e n rocas de T se e nc uentra n núcleos de X e.

9

7'eorfa de l 1s l 'si111ervo

·iones /J

La med ida de /, 1¡ 2 (Tc) se obtiene al comparar los núme ros de átomos el · cada tipo:

N x e = N'Te (1 - e- >.T )

~ NTe ~ ln 2

(9.27)

t 1; 2

Así se han determin ado por ejemplo los siguientes.sem iperiodos de do ble beta: 128 T e _, 128 X s2 s e _,

e

82 Kr

(3, 5 ± 1, O) x 10 24 años (1, 7 ± O, 3) x 10 2 0 años

98 keV

Q

= + 2992

keY

Figura 9. 11 : Desintegración doble beta del 82 Se --> 82 I< r . A través de un a ampli ac ió n de la zona del mínimo de la parábo la de masas para A = 82, se muestra la imposibilidad de desintegración de l S e al Br ya que Q < O. La des integración 82 S e --> 82 J< r + 2e- + 2v e fu e la pri mera ev idencia ex pe rimenta l de la des integración doble beta de un núcleo (Elliot et al. , Phys. Rev. Le// ., 59 ( 1987) 2020) .

b) Método directo.

=

Si efectivamente e l neutrino y e l antineutrino son la mi sma partícula (ve v e), entonces puede tener lugar la des integración doble beta sin neutrinos en e l estado fin al: X _, X" + 2e- . Aparecería un pico correspond iente a la suma de las energ ías de los dos e- , por ejemplo en e l 76 G e _, 76 S e el pico estaría situado a un a energía E(2e- ) = ·2, 04 M e Y. El experimento en e l observatorio de l Mont-Blanc ha med ido la des integrac ión con neutrinos y ha obte nido t 1 ¡ 2 = 5 x 10 21 años. Otros ex perimentos (uno de ell os, español , en el túne l de Canfra nc, en los Pirineos arago neses), está n en funcio namiento actua lmente. No se tiene evidencia experimenta l concluyente de la ex istenc ia de desintegrac iones doble beta sin neutrinos . El límite ex perime ntal actual sobre la vida media de la des integrac ió n dob le beta sin neutrinos es:

que , es el límite con e l que se ha verificado la conservación de l núm ro d lepto nes.

A111011io Ferrer · rio

9.8 Ejercicios 17 N e se produce 17 F en un estado excitado de alta 9.1 En la des integración del al estado fundamental del 16 0 emitiendo un protón desintegra se cual el energía, de 10,597 ,MeY. ¿Cuánto vale la energía máxima de los positrones emitidos en la 17 F? desintegración al estado excitado del

9.2 Un cierto proceso {3+ tiene tres componentes, con energías máximas 0,672, 0,536 y 0,256 Me Y. La primera componente tiene asoc iados dos rayos r coincidentes de 0,468 y 0,316 Me Y. La segunda componente es acompañada por los sigu ientes r : 0,604; 0,308; O, 136; 0,468; 0,612 ; 0,296 y 0 ,3 16 Me Y. La tercera tiene asociados todos los anteriores, además de 0,885 ; 0,589; 0,416 y 0,280 MeY. Utilizar toda esta información para construi r un esquema del proceso y calcular la diferencia de masas entre los estados fundamentales. 9.3 E l 24 Na es un emisor {3 - con un período t 1 ¡ 2 = 15, O h. Con la tabla siguiente de cuentas por unidad de intervalo de momento y el producto BR (rigidez magnética expresada en gauss·cm) del espectrómetro magnético, construir e l diagrama de Kurie y determinar la energía del punto fi nal del espectro {3.

BR

5950

5600

•5280

4950

4280 . 3950

3600

3280

(gauss·cm) N(p)

0,7

4,0

9,3

15 ,5

29,9

34,6

39,7

42,0

BR

2950

2600

2280

1950

1600

1280

950

600

(gauss·cm) N(p)

41 , 1

39,7

37,8

32, 1

26,2

22,2

16,0

7,8

9.4 Estudiar la influencia del valor de la masa del neutrino, mu, sobre la forma teórica del espectro {3 en las proximidades de su límite superior.

9.5 Clas ificar las siguientes desintegraciones por su grado de prohibición: a) sg sr( r

) __, B9 y( ~ - )

b)

36

Cl(2+)

__, 36 Ar(o+ )

e)

26

Al(5+)

__,

' d) 97zr(V) __,

•

25

Mg(2+)

•97Nb(~ - )

9.6 Calcular la energía cinética máxima del positrón, T desintegración: 140 --> 14N

+e+ +

max

y la vida media t 1 ¡ 2 de la

Ve

conocido el valor de la integral de Fermi, f(Z' , To) = 43, 398. Comparar el resuftado con el valor medido experimentalmente, l 1¡ 2 = 70606 ± 18 mseg.

94

10.

Teoría de las desintegraciones ¡

10.1 Introducción Un núcleo puede ocupar una serie (infinita) de estados cuánticos. Estos, como en el caso de los átomos, tienen valores de energía di scretos, En. La desintegrac ión de los estados excitados de los núcleos X * -> X + ¡ (véase el esquema de la fi gura 10. J ), se realiza a estados de menor energía: • por emi sión de un nucleón, si su energía de excitación, Ei - E¡ es mayor que la energía de separac ión nucleónica, Sp o Sn . • a través de emi sión de fo tones ¡ , sin cambio de tipo de núcleo. En este último caso se habl a de radiactividad ¡ , descubi erta en 1900 por Vill ard . Se trata siempre de una emi sión de fotones monoenergéticos .

X*

E¡

y Er

X

*

X -~X+y

Figura 10.1: Di agrama de desintegrac ión '"Y de un .estado nuclear x· de energía E ; a otro, X , de menor energía E¡ .

Las energías de los fo tones, E1 , va n de O, l a LOMe V; o sea, con ener fa s generalmente mayores que las de los conoc idos rayos X de origen atómi ~ (qo

9

A111011 io Ferrer 'oria

ll ega n a tener has ta un centenar ele keV, ap rox im ada mente). Los fo to nes ele las 6 desintegrac io nes nuc lea res tienen e nergías del orden ele "' 10 veces la ele los foto nes de l espectro visible emi tidos por los átomos exc itados ("' e V). Por eje mplo, un fotón rojo del espectro visible (.A= 6.200 Á), eq uival e a E 1 .= 2, O e V. Los estados exc itados nuc leares resultan ele las eles integraciones a , (3 , ele núcleos radiactivos o de reacc iones nucleares. La interpretación física de los estados excitados de un núcleo y la ex plicación de los valores pos ibles de los nive les energéticos E,., es tema de estudi o de los modelos nucleares. Siguiendo ideas del modelo de capas nuclear, la desintegrac ión ¡ puede comprenderse como el resultado de transiciones de nuc leones entre nive les, al igual que las desexc itaciones de electrones en átomos. Otros procesos simil ares a la desintegración ¡ son:

X*

_, X + e_, X + (e+e- )

(conversi ón interna de capas K ,L,M ... ) (c reación interna de pares)

Ambos procesos &on poco probables excepto en tran siciones entre estados nucleares de espín-paridad o+ _, o+. Estas transiciones son posibles porque interviene un fotón virtu al. En efecto, recuérdese que al tener el fotón J P = 1 - , las . transiciones O _, O no pueden tener lugar por emisión de un fotón real ya que el momento angul ar total no se conservaría (un fotón real só lo tiene dos pol ari zac iones posi.bles M = ± 1, de las tres que debe tener cua lquier partícula de espín J = 1). Entre partícul as e lementales también existen procesos de desintegrac ión ¡, llamados a veces procesos radiativos. Si e l valor Q de reacc ión es bastante grande, la desintegrac ió n tendrá lugar emitiendo partículas. En los núcleos pueden darse estados muy exc itados, o sea con Q > 1Sn ¡, ento nc~s puede tener lu gar la emisión de un neutrón ; análogamente , puede te ner lugar la emisión de 15 un protón. Un ejemplo es e l estado exc itado de l N * a 12,15 Me V, que se compara con la desintegración hadrónica de la resonanci a '6. (1232) 'e n la tabla 1O. l.

TABLA 10.I: Modos de desintegración del estado excitado de 12, 1S Me V del 15 N y de la resonancia ti.( 1232). Es tos procesos no son electro mag néticos; tienen lugar por interacción fuerte .

proceso

96

Q(MeV)

.A(s - 1)

j5N*

--+

~4C + p

1, 94

2, 5. 10 19

j5N *

--..---->

j 4 N+n

2, 31

4, 5 : 10 19

,6. ++

--+

p + 7f +

154

1, 7. 10 23

Te 1rfo de los lesi11t 'gra ·io11 ,,,. "( ó lo c uando el va lor de Q no permite la e mi sión de un nu c lc n, e nto n · s la 1 sintegració n debe tene r lugar po r emi sión -y. En la tab la L0.2 se pre e nta11 1 1S jcmplos; uno entre partículas ex trañas y otro e ntre estados nucl ea res. TABLA 10.2: Dos ejempl os de des integracio nes gam ma; un a, de un isómero del núcleo t 3 7 Ba que aparece en la des integrac ión fr del 137 C s, y otra del hiperón Eº.

proceso

.\(s- 1)

Q

~~7mBa

----7

~~ Ba + ¡

~o

----7

Aº + ¡

7

662 keY

4, 5. 10- 3

76 , 9 MeV

l , 4·10 19

Los hiperones ~o y A0 son los dos bari ones ex traños más ligeros . Se observa que e l rango de probabilidade s de tran sic ión e lectromag nética es enorme. Los se miperiodos van desde 10 - 19 hasta 10 3 seg. La mayoría de las tran siciones 9 seg). tienen valores del t 1 ¡ 2 del o rde n del nanosegundo ( Ex perimentalme nte, el desarrollo de los.detectores de estado sólido (sobre todo los basados en el Ge) ha hecho muy popul ar la espectroscop ía ¡ nuclear, ya que se trata de detectores mu y efic ientes y con un a resolución energética muy buena (O, 1 % ).

w-

10.1.1 Desarrollo multipolar Los núcleos se desintegran emitie ndo fotones porque conti enen cargas en movi mie nto que radia n energ ía (la potencia emitida viene dada e n teoría clásica de l e lectromagneti smo por e l fluj o de l vector de Poynting) . Esta radiación puede clas ificarse según su momento angul ar L y su paridad . Son dos bue nos números cuá nti cos que se conservan en los procesos electromagné ticos. Para e llo es habitual utili zar un desarrollo multipolar de los campos e léctrico y magnético. El orden del multipolo Les 2L. Así los términos con L = O, l , 2, 3, ... correspo nden , respectivame nte, a un monopo lo , dipolo , c~1 adrup o lo , octupolo,. .. Además, para cada multipolo se di sting uen dos términos : el e léctrico (asoc iado a la di stribuc ión ele cargas e léctricas) que tiene paridad ( - 1) L y e l magnético (debí lo a las corrientes eléctricas y al espín), con paridad ( - 1) L+l. Se denominan, respectivamente, transiciones EL y NI L. El monopolo (EO o MO) se anula siempre ya que una distribución ele ca rgas con simetría esférica no emite radiación. El comportamie nto del monopo l eléctrico (EO) es idéntico a l de un a carga e léctrica. En e l caso del monopo l magnético (MO), aunque postulado, todavía no se ha probado su ex istenc ia. verá una exce pc i ~ n en e l caso ele transiciones monopolares e léctricas (EO) , n las que al no poder em itir un fotón, e l núcleo ex pul sa uno de los e lectro nes el las capas internas del átomo. Todo ello debido a la conservació n d 1 mom nt angul ar.

97

/\ 11/011 io F'e rru Sorio

A sí pues , el proceso de dcsin L ra ·i n 'Y s d bid o l 1 ·ti l 1111 1111 1ol • ·argas y del magnetismo in trín seco de los consti tuy nt s; 1 magnético multipo lar ; el núcleo inicial con espín J; con espín J¡, emitiendo un fotón de multi po lari da 1 L . ud) qt1 ¡ 1 l¡ ,¡ .,11 liene = i - (es un bosón vector ial), la mu llipo lt11 d11¡ I I 1 1 bida espín-paridad: 1 11 1, 1·o de al espín del fotón y al momento angul ar orbital f, cntr ' I l'ol 11 retroceso. Pero el fotón só lo tiene dos po lar i zac iones p . ib i<' : ,p t11 11111 111 lo o t antiparalelo res pecto a su dirección de mov im iento. transiciones 'Y entre estados de espín O ----) O.

J'i;

10.2 Conservación de la energía en las desinl: · •Tm·io11n U n núcleo, en un estado excitado con energía Ei, . d -.· 11 1!'/' 1 11 1111 1i ndo un fotó n 'Y de energía E'Y y el núcleo q ueda en un e tad '( 11 ·111·1¡·1 11 i '¡, que puede ser el estado fundamental u otro estado excitad , 1 ro ·11 1o1d" 111,o con energía menor que l a in ic ial. (V éase el diagrama que s pr \' 1111 1 11 111 li gura

lO. J ). Sea E¡ el estado fi nal y Ei el estado ex citad , ini inl. ,'' 111 11 • \ E = Ei - E¡ . A pli cando l a conser vación de la energía y d l 111 111 11 l! •

Ei = E f

+ E'Y + TR

0 = P'Y + PR y como

E'Y = p'Y c, queda: E2

6. E = E'Y +~ , 2Mc

10. 1)

siendo M l a m asa del núcl eo de retroceso. A l reso l ver

E

'Y

~

1

,(

íll 'i 11

= 6. E - (6.E)22

11 1 :

10 .2)

2Mc

q ue es La m isma expresión si se despeja

E'Y

p a r , 1 /~

E'Y de la expr si

11

1(l , I

)

" 1 ma

6. E.

·on L as energías de los foto nes emi tidos en las de i nt m ucho mayores que la de los análogos en físi ca at mi a. 1 ~ 11 ¡ . ' 111., 11 q11 la 1 separación energética entre niveles nucleares es mu ho mu 11'., 1 11 " 11" l nan las energías (o l as longitudes de onda >- = he/E"! ) d los re1< 11 , d1 1111d1·n de déc imas de eV para las atóm icas y centenares de keV paru In,• 11 t11 11 111 11 on el tam año atóm ico/ nuclear se obtiene:

n¡1 "' 'º ª Anú.,...., i o-

13

m,

Rnú.,...., 10- ·14 m

~7 1 "' 'º ll t1

98

1

7"orfo de l 1s desi11t •grr1n:l 11.es 'Y e verá más ade lante que las probab ilidades de tran sició n (vidas medi as) so n proporc ionales a los productos kR '"" ~, puesto que p = ñk; es por ell o qu e n física atómica basta con considerar radiac ión eléctrica clipol ar (primer orden) mientras que en física nuclear, en principio, siempre hay que tener en cuenta más multipolos.

10.3 Estimadores de Weisskopf. Vidas medias Antes ele pasar al cálculo de las probabilidades de transición, es muy instructivo estimar órdenes de magnitud de transiciones multipolares por argumentos dimensionales. ·

10.3.1 Órdenes de magnitud de transiciones¡ multipolares En teoría de perturbaciones, y considerando sólo el término de primer orden , la probabilidad de desintegración 'Y de un átomo o de un núcleo es proporcional al elemento de matriz del operador dipolo eléctrico, d~ = -er, que en efecto es el que representa la interacción elemental de un dipolo con el campo eléctrico: W = - d· f. El elemento de matriz será:

1Ulef1i)1 2 = 1(d)1 2 Dimensionalmente , en el caso dipolar (L = 1), para la probabilidad ele transición di polar eléctrica se tendrá:

,\ (El) ex acR

2 (

~~ )

3

y generalizando a cualquier multipolaridacl eléctrica:

(10. 3) en donde se puede observar la relación entre el orden multipolar y la potencia de R; en concreto, el momento cuadrupolar eléctrico es eQ teniendo Q dimensiones de superficie [L 2 ] , y así sucesivamente. La constante a es la constante de estructura fina, o constante de acoplamiento de la interacción electromag nética cuyo valor (adimensional) es a= 1/ 137. También puede observarse que, con cada aumento de una unidad en la multipolaridad, la probabilidad se reduce por lo menos en un facto r (

~)

2

io- 2 . En física nuc lear es frecuente hab lar de la resonanc ia d ipol ar g iga nte. u nombre es debido al hecho de que se trata ele un proceso cata logado como E 1,

Antonio Ferr r oria o sea, dipolar eléctrico, en el que los protones y neutrones oscilan alrededor del centro de masas nuclear produciendo un aumento de la sección eficaz de colisión de fotones con. núcleos. Para los núcleos ligeros el fenómeno tiene lugar en las interacciones con fotones de energía E 1 '"" 25 MeV y para los núcleos pesados disminuye hasta E 1 '"" 12 MeV. La resonancia nuclear gigante, tiene una anchura ele varios Me V y se suele desintegrar emitiendo un nucleón. Pero existen también transiciones magnéticas, asimilables a la interacción del espín con un campo magnético W = - ¡j, ·B. Dimensionalmente, en el caso di polar magnético se tendrá:

~~ ) ~~) 3

,\ (M 1) ex ac (

2

(

o sea, el elemento ele matriz ele 1(µ)1 2 . Si la transición es de orden NI L, entonces el espín nuclear puede llegar a cambiar de un valor igual a L y queda :

,\(ML) ex ac

(

~~ )

2L+l

R

2

L-

2

(

~~ p

) 2

Por último, es útil volver a recordar que la probabilidad ele transición racliativa ,\está relacionada con la vida media T 1 del estado nuclear y con la anchura intrínseca del estado r 1 por las conocidas relaciones: (10.4)

La anchura total del nivel, r, es mayor que la determinada con las desintegraciones¡ (radiativas) porque hay que incluir la conversión interna, de forma que, como se verá más adelante ,\ 1 = ,\1 (1 +a) .

10.3.2 Regla

dorada~e

Fermi

En teoría de perturbaciones dependiente del tiempo el cálculo de la probabilidad de emisión "( por un átomo/núcleo puede realizarse en la aproximación de Bohr (primer orden de teoría de perturbaciones), de forma que la probabilidad de desintegración por unidad de tiempo viene dada por la conocida regla dorada de Fermi: 2

Aji = d:t = ;

1UIH'li) 12 p(E¡)

(10.5)

e n donde el hamiltoniano de la interacción entre una carga q y el campo electromagnético, representado por el potencial vector A, es H' = H~ + H~, siendo:

H'

1

300

= _ !l._jf . p~+ m

q2 jf2

2m

(10.6)

Teor a de l 1s desin leR r 1cio11es 'Y

e l t rmi no e léctrico y si se toma en cue nta la interacc ión de un dipo lo (el spín de l protó n S71 ) con e l campo mag nético (recuérdese que B = V x .if):

( 10.7)

La de nsid ad de estados fi na les:

dn p(E¡ ) = dE con 2

2

dDdE Vw dn = Vp dp dD = (2n) 3 nc3 h3 ya que para e l fo tón, E = nw = p e. Se llega pues a las siguientes expresiones para la probabilidad de transic ión; a) para el caso de tran sic iones e léctricas:

e 2n ~;· 1 (JI-A · J31i) ¿__, m }j,

>.¡i(EL)

= -

2

1

p¡dD

(1 0. 8)

V

b) para e l de las tra nsic io nes magnéticas:

2n ~ ¿__, >.¡;(ML) = h

J

1

µN (flg~hS71

•

(\7- x A)li)

2

1

p¡dD

( 10.9)

//

en donde el subíndice v representa los estados de po lari zación del fo tón.

Estimadores de Weisskopf La probabilidad de des integrac ión po r unidad de tiempo, >., calcul ada tomando los operadores multipo lares erL entre estados de protón individual (single particle) en e l modelo de capas esférico, es dec ir, estados con momento angul ar bien defi nido l.im), y suponiendo q ue e l protón en el estado fi nal tiene mo mento angular orbital = O, da lugar a los llamados estimadores de Weisskopf, que se han convertido en los va lores estándar por convenio. Por su método de cá lcul o se observa que e l único ingrediente utilizado ha sido suponer que la emi sión gama es debida a un cambi o de estado de un protón en e l núcleo. Esto es una simplificación, pues no ti ene en cuenta otros efectos colecti vos. El res ultado de l cálculo de We isskopf da como probabi lidad de transici n en e l caso de multipo laridades e léctricas:

e

,

_

+ 1) E 7 + 1)!1]2 (

8n ( L

>.(E L )sp - ac L[(2L

2[,+l ( _ 3 _ ) 2 ¡ n l. L +3

lic )

( 10. 10

30 I

Antonio /''>rrer Soria

y para las transiciones magnéticas:

(10.11)

es decir, aproximadamente las dos probabilidades de desintegración, magnética y eléctrica, estarían relacionadas:

Los valores numéricos resultantes, en función del número másico A y de la energía del fotón E 1 se dan en la tabla 10.3.

TABLA l0.3: Valores de los estimadores de Weisskopf de las probabilidades de transición >-.(EL) y >-.(ML) para transiciones multipolares eléctricas y magnéticas respectivamente, en función del número másico A y de la energía del fotón emitido E 'Y en Me V.

L 1 2 3 4 5

>.(EL ), s - 1 1 O. 1014. A2/3. E3 ' 'Y 7 3. 101 . A 4/3 . E5 ' 'Y 33 9 · A 2 · E 7 '

'Y

1 1 · 10- 5 · A 8 13 . E 9 ' 'Y 2, 4 . 10- 12 . A lü/3 . E~1

L 1 2 3 4 5

>.(ML),s 1 3 15 · 10 13 · E 3 ' 'Y 2 2 · 10 7 · A 2 13 · E 5 ' 'Y 1 04 · 10 · A 4/ 3 · E 7 ' 'Y 3 3 · 10- 5 · A 2 · E 9 ' 'Y 7 4. 10-13 . As/3 . En

'

' "(

Puede verse el rango de valores de t 1¡ 2 , semiperiodo de desintegración ¡ de los núcleos, en la figura 10.2. La compai:ación de las probabilidades obtenidas con el experimento, muestra diferencias de un orden de magnitud (para transiciones E2) o incluso mayores (El), lo que demuestra que deben tenerse en cuenta los efectos colectivos nucleares. Para multipolaridades elevadas , los estimadores de Weisskopf son una bue na refere ncia, aunque siempre sobreestiman la probabilidad; incluso en más le un or le n de mag nitud. Esto se e ntiende debido a la aprox imación reali zada . .iO

Teorfo de l

1s

desi111e¡¡ro ·i Jl l fJ.\' 'Y

IS

JO IU

JO 5

JO

1 - -5

JO -

E2

- 10

JO - IS

El

JO

o,o1

0,02

0,05

0,2

0, 1

Ey

0,5

(Me V)

Figura 10.2: Semiperi odos calcul ados por los estimadores de We isskopf en fun ción de la energía E "I de l fotón emit ido en la des integrac ión. Los valores corresponden a un núcleo con A = 100.

La observación de las predi cciones de las probabilidades obtenidas en la aprox imación de Weisskopf (de partícul a indi vidu al) permite ex traer las sigui entes conc lusio nes importantes: a) Ex.isten estados exc itados que sólo pueden desexc itarse a través de t:ra nsic iones de alta multipo laridad. Tienen una vida media re lativame nte larga, por ejempl o t 1 ¡ 2 > 10- 6 seg. Se dice que esos estados son isómeros. Se les reco7 noce con la notación de una m en el ex ponente. Por ejempl o el ~~ m Ba q ue aparece tras la desintegración (3 de l ~res y que emite un fo tón de 662 ke V. Ti ene un semiperiodo de 2,55 min , y tiene una vida tan larga porque es una transición 11 / 2- - t 3/ 2+, o sea de tipo M4, idéntica por eje mpl o a la transic ió n de l nivel de 160 keV de l 13 1 X e que se desintegra al estado fundamental con un semiperiodo de 11 ,8 días. (Véase un ejemplo en la fi gura 10.3). Este fenómeno sue le darse antes del llenado completo de capa d los núcl eos con números mágicos N = Z = 50 , 82, 126, es dec ir mientras se n pletan las capas lh 11 ¡ 2 y li 13 ¡ 2 del mode lo de capas. b) Ex iste una di scre panc ia sistemática en las probabili dades pa ra las tra nsic io nes E2 entre el experimento y los valores de We isskopf. o nt ra r ia111 ~ n1 u las demás tra nsic iones, e n este caso los experimentos da n probab ilida 1 s 111 ,' .10.i

/\ ntr)lliO /i'errer 'oria

rrand s (/, 1¡ 2 más pequeños) que las predichas teóri camente. ll o se asoc ia a fe nó me nos co lecti vos, (por eje mpl o estados rotaciona les, donde vari os protones pu ede n interve nir) debid os a la deformac ión nuc lear. e) La conversión de pares interna es posible, siem pre que D..E

> 1, 022

M eV. d) Un método extend ido para la determinación ex perimental de la multipo laridad de un a determinada transic ión es e l de las correlaciones 1(8) entre fo tones que se emiten en cascada /'l - 1 2 , ya que la distribución angu lar entre estos fotones es sensible al espín -paridad de l estado y al tipo de multipolaridad EL, NI L de la transición. La forma genera l de l espectro angul ar entre los dos foto nes 1'1 y 1'2 es: L

1(8) = 1 +

L

a2k

2

cos k(8)

k= l

y e l máx imo L viene dado por la multipo laridad en juego.

~ 91 %

6+

1771

E2

-

2

109

418 años

M4

1,2 ns EJ

i+ 2,4 % (4,7) -

4+

108 Ag 47

o Logft

2,37 m

95,4 % 1,8 % (4,4) (5,4)

-~

E2

2+

MI

2+

2+

E2

633

434 E2 E2

o+

o 108 Pd 46

o

o+

*

108Cd 48

Figura 10.3: Un ej emplo ele uno ele los isómeros ele v icia medi a más larga : el estado 5+ ele 109 keY del núcleo 108 Ag. En este diagrama se i lustra tambi én có mo aparecen en las tablas nucleares otros parámetros como el logf t 1 ¡ 2 ele las des integraciones beta. Se recuerda al lector que los núcleos estables, en este tex to, se referencian con un asteri sco.

304

Teor o de los d si111eg rocio11es 'Y

10.4 Reglas de selección. Conversión interna L as reg las de selección se refieren al espín-paridad de los estados nuc leares intervi nie ntes e n la desintegrac ió n:

X* ----+ X+ 'Y La conservac ión del mome nto angul ar se expresa:

(J0 .12)

y la de la paridad :

( 10. 13) siendo i la multipo laridad de la radi ación. El fo tó n es un mesón vectoria l, es dec ir con espín-paridad i - , con lo que la multipo laridad L se obte nd rá a l to mar tambi én e n c uenta e l mo mento angular orbital de l mov imi ento de l fo tó n respecto de l núcleo. La multi po laridad L de la tra nsic ión podrá fijarse una vez co noc idos los espines de los estados nucleares, y viceversa. La re lació n que de be n cumplir los momentos ang ul ares es:

por lo tanto, según la multipo larid ad se de berán cumplir las reg las:

El, Ml : 6. J = O, ± 1 (O -A O) { E2 , M2: 6.J = O, ± 1, ± 2 (O -A O, O -A 1, 1

-A

O, 1/ 2

-A

1/2)

y as í suces ivame nte. Las tra nsic iones entre paréntes is están prohibidas, aunque cumplen e l va lor de 6.J, de bido a que e l fo tón tiene espín l. Como acaba de verse en la relac ión ( I0.1 3), PL re presenta la paridad de l fo tón multi po lar. Su valor de penderá de l tipo de transición. Ev identemente cuando uno de los dos núc leos ti ene espín O, e l otro es e l que determina la multi po larid ad . Se cumple, 7 a) P L = (- 1) L, para tra nsiciones EL (recué rdese que e l ope rador d = 1 es impar y es la magnitud re presentativa de tra nsiciones di po lares e léctricas, o sea para L = l. Las demás transic iones cambi an a lternativa ment segú n e l orden de multipo laridad).

b) PL = (- 1) L+i, para tra nsic iones ML (¡J, "" [i7 ca mbia de signo alternativamente).

x PJ es par para L = 1 y 30.

A 111011io ¡; ,rr ,r

S Jria

5¡ 2-1. Las mu ll ip l:iridndes posib les son: Ejemplo: Sea la tra nsic ión 3/21 L = J., 2, 3 , 4, y como no hay ca mbi o de paridad , s 1 pueden te ner lugar Ml , E2, Nl3, E4. Si e l estado ini c ia l fuese 3/2- , nton · \ habría cambio de paridad y por lo tanto las transic io nes permitida sería n l.!J 1, M2, E3 , M 4. Utili zando los estimado res de We isskopf puede co mprobars que las probabilidades siguen las proporciones sigui ent s:

>. (E l ) l

>. (M2) 2, 3. 10- 7

>.(E3) 2, 1. 10- 10

·n este último caso

,\(M4) 2, 1.10- 17

lo que ilustra que basta con tomar en consideración la mu l1ipolaridad más baja. Según estas reglas no puede ex istir des integrac ió n 'Y n las transiciones O ....,... O, aunque sí puede haber conversión inte rna o conv rsi n de pares interna. Generalmente pueden darse varias multipo laridacl s /~ [, y NI L, siempre que se cumplan las reglas de selección vistas más arriba. Sucede también que sólo la primera posible es suficiente pues las otras son d s¡ rec iables. En efecto, es fác il comprobar que >.(ML + l)/>.(EL) ""' 10- 7 , luego, con el primer multipolo eléctrico permitido hay sufici ente . S in e mbar · ta mbién se cumple que >. (EL+ 1)/ >.( ML) ""' 10- 2 , lo que impli ca que a v 'es las transiciones eléctricas no son despreci ables. Hay casos extremos en los que es necesario tener n ·uenta varias multipol aridades. Por ejemplo entre partículas e lementa les:

e n donde Q = 294 Me V. Es una transición 3/ 2+ __. 1/ 2 11 la que es necesario tene r en cuenta M l y E2. Una desintegración frecue nte es la 2+ __. o+ e n los núcleos par- par, por ejemplo la transición de 90 keV al estado fundamenta l el 1 JO H f, que debe ser una emisión E2 pura, de acuerdo con la conservació n de l me mento angul ar. Sin embargo es muy probable encontrar transiciones en las qu · es necesario tener en cuenta E2 + Ml, como por ejemplo 712- ---; 512 - n 1 47 T ·i . Ello es debido a que las transiciones E2 son frecuentemente tan e l ·vudas como las Nll . Eje mplos de este tipo de tran sic iones pueden ve rse en la fi 1ura 10.4, donde se Hg que al ' anzan por desintemuestran las transiciones entre nive les de l grac ión del §iºTl. Esta última fi gura es interesa nte por vari s motivos; en primer lugar se puede apreciar que los 9 nive les se puede n as c iar muy bien a dos bandas rotacionales, una que parte de l estado fund ame nta l y olra que tiene como base el nivel o+ de 1278,7 ke Y. Se trata de un a propiedad fr cuente en núcleos Hg. Dentro de una banda , lus desintegraciones par-par, como es el caso del son de tipo E2, y en la figura aparecen como des integra ·i n s gamma dadas por líneas contínuas; sin embargo, hay otras transiciones ntr estados de las dos bandas , que, bien pueden ser E2 puras o también pu d n ~ r E2 y Nll, según los números cuánticos de los estados; por eje mpl o pa ra tr~111 . iciones 2+ __. 2+ , representadas por líneas a trazos. Otra parti cularidad es q u ' upa recen tran sic iones o+ __. o+ , que, como se ha dicho, só lo pued n t n r lu ar por conversión inte rn a.

§6º

§6º

06

Teorfa d • las l •sin f'grar·iones 'Y 2509,6 2464,8

-~----------

-

-

'

r

-------------

E2

1974,9

---- --- --- - - -- -- -----~-----~

'

: : E2+Ml

1773 ,O 2 +

E2 - - - - - - - - - -- - ---- -- - -

4+

l04l ,8

o+

ij

157 l_,3

:::

1278,7

---L'--'---~----'---

' ''

--~----~- - - - - - - J _ : -~ - ~ '' ' '' E2 ' ' ''

_2 _+_ _~~-4_]6_,4_

o_+_ __

''

'

- - - - - - _j_ ~ _j_--"---

~l_E_2__o__ _________ t_ ____ y__ _

Figura 10.4: Esquema de niveles del 190 H g donde se muestran los tipos de transiciones multipolares permitidas, entre los estados excitados. Datos de M. O. Kortelahti et al., Phys . Rev., C43 (1991) 484

10.4.1 Conversión interna La conversión interna es una alternativa a la emisión ¡ nuclear; en este caso se emite un e- atómico, proceso que no hay que confundir con el efecto fotoeléctrico, ya que este último es una reacción ¡ + e- . La conversión interna es una interacción mono o multipolar electromagnética, y es muy probable en núcleos pesados (con Z elevado). El proceso de conversión interna se caracteriza por la emisión de un electrón monoenergético: siendo Te = 6.E - B e la energía del electrón (Be es su energía de ligadura atómica). Por ejemplo, el ~8 3 Hg(t 1 ¡ 2 = 46, 6 d.), JP = 5/ 2+ , se desintegra al nivel de 279 ,19 keV del ~~ 3 Tl, cuyo estado fundamental tiene JP = 1/2 + (véase figura 10.5); se emitirán electrones de una energía que puede verse en la tabl a 10.4.

Si se dispone de una buena resolución energética, se podrán medir lo · niveles energéticos de los orbita les atómicos , gracias a la medida ele la ener fa del electrón emitido, Te. Después de la emis ión del e- , quedará un hueco en la estructura atómica. Este hueco será llenado inmediatamente por otro e le tr n y habrá emisió n de un rayo X característico de l átomo.

.107

/\ 1110 11io

l'errer So ri 1

La probabilidad de des integració n ¡ total de un núcleo po r unidad ele tiempo será :

At = >.1 + Ae = >. 1 (1 +a) en donde a representa el coeficiente de convers ión interna, a = >-e/>., que puede descomponerse como suma de los coeficientes parciales correspondientes a cada capa atómica a = ag + a L + ªM + ... 198Au +

\

203

Hg

1910s

\

411 ,s

2

s1Co 279, 19 \

3/2+

---'=--+=- =:::: ~. _3_/2_+_~--1

*

zo3Tl

198 Hg

136/

+ '::::::_s12

191

144

o

~-~~-- ·

/r

s1 Fe

Figura 10.5: Diagrama de desintegración ¡ de núcleos frecuentemente usados en el efecto Mossbauer: 198 H g, 2 3 TI!, t 9 1 Ir y 57 F e, que se puebl an por desintegración 19 1 O s (l5,4 d) y 57 Co(27 l ,8 beta de núcleos radiactivos 198 Au(2,7 d), 203 H g(46,6 d) , d) respectivamente.

º

TABLA 10.4: Energías de ligad ura de electrones de las capas K y L y energías de em isión de electrones de conversión interna del estado de 279 keY del átomo de talio.

capa

(K) (Lr ), 2s1 ;2 (L n ), 2p1¡2 (LJf1) , 2p3¡2

(Mr)

B e (keY) 85,5 15,3 14,7 12,6 3,7

Te (keV) 193,6 263 ,8 264,4 266,5 275,4

El cálculo de los coeficientes de conversión interna no es sencillo . Una aprox imación no rel ativista es posible tomando en cuenta la función de ondas de l e lectrón (en e l estado inicial , el e lectrón ligado al átomo y en e l final , una onda pl ana de momento Pe), y debido a que los estados nucleares IJJ i , N y l]i f , N son mu y parec idos y no modifican la probabilidad de transición , se obtiene:

08

'Ti orfo de l 1s desinl , 'rl/ ·io11

rv.(EL ) =

a(ML)

. (L ~ 1 ) (2n~c2) $-a4 3

= ~ª4

(

2Ec

? )

.1·

-y

L+ (5/2)

L +(3/2)

en donde 1 se pueden observar las dependencias con Z, E'Y (opuestas a la que se vio en las expresiones de .\'Y ), L y n. Este último es el número cuántico principal atómjco que da la capa; n = 1, 2, 3, ... corresponde a las capas atómicas K , L , M , ... En particular, puede verse que para núcleos con Z elevado, los coeficientes de conversión interna son importantes. El factor ~ viene de l cálculo

n

de 1i!J i,e (O) 12 , que también aparece en la probabilidad de captura electrónica, siendo i¡J la función de ondas de un átomo hidrogenoide y donde se ha supuesto que el núcleo es puntual. Ahora li) = i!J i,N ·
aK 1171)

= 1, 73 · 10- 4

aK(1333) = 1, 28 · 10- 4

Pero las probabilidades de conversión interna aumentan considerablemente con L, así en el caso del 99 T c se tiene, para el estado de 141 ke V, aK (Ml) = O, 10 y para el de 143 keV, aK(M4) = 30, en el que la conversión interna es más probable que la desintegración ¡. Las predicciones para transiciones EL y M L son tan diferentes que los valores de o permüen distinguir qué tipo de transición tiene lugar. Un caso particular lo presentan las transiciones o+ _, o+, para las que o = oo ya que no puede haber emisión "Y (.A'Y = 0), que se da por ejemplo en la 72 desintegración (figura I0.6) del nivel 691 keV del Ge (t 1 ¡ 2 = O, 44 ¡¿s). lo tanto só lo posible por por Se trata de una transición EO, monopolar, a la conservación de l arriba, conversión interna, debido, como se ha visto más para lastranobtenida desintegración momento angular total. La probabilidad de 2 ) , valor del cua(r a proporcionales siciones monopolares se demuestra que son drado del radio nuclear. Por ello dan información interesante sobre la estructura nuclear. Se ha detectado la emisión de un par e+e - en la desintegración del estado 16 0* de 6,05 Me V, es decir por producción de pares interna, así como tambi n se ha detectado la emi sión de dos fotones: 16

0* (6 , 05 Me Y) -->"Y+ "Y+

16

0

al estado fundamental. Este es otro ejemplo de transiciones o+ _, o+. Sin embargo entre núcleos no se ha encontrado ningún ejemplo de transi ción O _, O con cambio de paridad. 1 No se debe confundir cx(E L ), parámetro de convers ión interna, con ex, constante d fin a, que también aparece en la mi sma ex pres ión.

stru turn

30

Antonio f" •n· ' ' 'oria 72

J1Ca

3

o

Q = 400 1, 1 keV

(8,5)

~

2+ ~------1 _4_64~·I ( 4,S ps) (8,9)

l

10,3%

M' •El

2+ ~-r-'----,--8 -'i~.,l4

3.3S ps)

E2 o+

69 1,

0,44µ s)

E2

o

o+

ne e

J2

Figura 10.6: Diagrama de desintegración ¡ del n ción monopolar EO, sólo puede tener lugar po r terna.

10.5 Espectroscopía gamma La espectroscopía gamma ha permitido mejorar e l no imiento de la estructura de niveles nucleares y de los números cuánti cos el di hos niveles. Esto se consigue gracias al resultado combinado de las sigui e nt s medidas: 1. Energías e intensidades de los picos ga mm a, o , a d los picos que se obtienen en las medidas de E 1 con buenos detect r , d fotones. 2. Coincidencias entre picos gamma. 3. Cocientes a.i/ a. j entre coeficientes de conve rsi n inl rna, que informan sobre la naturaleza multipolar (EL ,ML) . . 4. M edida de vidas medias.

10.6 Efecto Mossbauer El efecto Mossbauer (Premi o Nobe l de Físi a l. 6 1 utili za la absorción resonante de fotones (o au toabsorc ió n) ele ene rg ía ' 1 , n lo q ue permite medir variaciones ele e nerg ía de l orden ele la anchura intrfn s a d 1 nivel nucl ear, r '

10

Teor o le l 1s I si11tegroc i m N 'Y consigui e ndo por lo tanto reso lu c io nes:

R=

r /E,,...., 10- 12 -

10- 15

10.6.1 Emisión y absorción de ¡ Se ll ama absorció n a l proceso inverso de emi sión, quedando el núcleo en ta un estado exc itado. La energía del ¡ en la absorció n E 1 = 6.E + TR es d istin 1R. E 6. = E vale que 1 al caso de la emi sión que ya se ha visto ante riormente, 2

Como antes, hay que tener en cuenta el retroceso del núcleo TR

E2 1 2Mc2 ·

=

8 Numéric amente, en el caso de l ni vel de 4 1 l keY del §6 Hg, TR 1 e V, y en e l caso del ni vel de 129 ke V del j? Ir, es só lo TR = O, 05 e V.

fiv¡

~

= 0, 45

10.6.2 Anchura intrínseca de nivel La vida media de l ni ve l nuclear determin a su anchu ra in trínseca mediante 22 129 la relac ión = ~-Como !i = 6, 58. 10- MeY· s, se tie ne para el ni vel keV del Ir:

r

li lo = 3 ' 00 . io- 5 eV r (19 1 Jr) -- 2 .10De esta forma, si se rea li za un ex perimento de absorc ión, se encuentra una en el curva de Breit-Wi gner, que es un a cu rva típica de una resonanc ia, centrada va lor 6.E + TR de la energía de l fo tón:

(r /2) 2

2 a-(E, ) = ª (E, - [6.E + TR ]) 2 + (r / 2) 0

(10 . 14)

siendo ao, la sección eficaz de a bsorc ión resonant e, cuyo valor es:

a - 27r

o-

lic -

( E1

)

2

21¡ + 1 2Ji + 1

(

1 - -) 1+a

en donde a es el coefic iente de conversión in terna total y J e l espín del estado de la nuclear correspo ndiente; J¡ e l d e l exci tado y Ji e l del estado inic ial antes absorc ión.

10.6.3 Ensanchamiento Doppler Hasta ahora se ha supuest o que los procesos de emi sión o absorció n de un fotó n han teni do lugar con e l núc leo inic ial e n re poso. Supónga se ahora que e l núc leo inicial está en mov im ie nto con una v lot mn c idad Vx según el eje de la e mi sión o abso rc ión del ¡ , q ue a su v z s . /1

/\ 111011 io 1-', rr ' r 'orio

como ej e x . Sea (3 = v".jc la ve loc idad del núcleo. Entonces el efecto Doppler se aplica y la energía rea l de l fo Lón es ahora:2

E~ = E1 (1±{3) en donde el signo + es para la emi sión y el signo - para la absorción. Se cumple pues que, conocida la velocidad del núcleo, se puede eva luar el cam bi o de energía del fotón a partir de:

1(3 = ~1

( 10.15)

D ebido a este efecto, la agitac ión térmica modifi cará la energía del fotón emitido/absorbido por el núcleo. E n efecto, la distribución de velocidades de los núcleos a una temperatura T, sig ue l a forma de M axwell :

o sea, una distribución de energías gaussiana (véase la forma de la funci ón di stribución de Gauss en la expres ión (6.7) que se estudia en el tema dedicado a los métodos estadísticos) con desv iac ión típica:

cr 0 = E1 o lo que es lo mi smo, con anchu ra total a media altu ra (FW H M):

fo

= (2V2 ln 2)<;0 ;::; 2, 35cro

que para temperatura ambiente, T = 300 J<, kT = 0,025 e V, da un valor mucho mayor que la anchura intrín seca de los niveles nucleares, f 0 (1 91 Ir) = O, 07 e Y, del orden de TR, que como se ha visto valeTR = O, 05 eY. Así, puede verse en la fi gura 10.7 el perfi l esperado de estas contribuciones. Por ell o, la absorc ión resonante nuclear es un fenómeno poco probable a temperatura ambiente. E l prob lema consi ste en tratar de sal var la diferencia 2TR entre la energía del fotón emitido y absorbido. Se podría lograr: 1. A umentando la temperatura, con lo que aumenta fo (se ll ama entonces resonancia Au orescente). 2. M ediante técni cas de centrifugac ión:el núcleo emi sor se desp laza mecánicamente hac ia la fuente. En efecto, como f:..E'Y = 2TR, la velocidad de la 198 g, E 'Y = 411 fuente debe ser (3 = JE/ E = 2T1¡/ ET En el caso del 6 ke V, v = 2, 2 · 10- e = 660 m/s (i Mach 2 !), lo que se consigue colocando la fuente en un rotor que gire a 10 4 - 105 rpm.

H

2 Segú n

el efecto Doppler rela1ivisla , ta relación emre la frecuencia (v) ele un fotón emitido desde

una fuente que viaja a una veloc idad v y Ja detectada (v') en un blanco fijo es: v' = (

(l ~ ,

+ {3) 1/ , siendo {J = v/c.

~ ~g

) 1 v ;:::;; 1 2

Teor u d ' l 1s lr,sinteRm ti< nes "( 3. Po r e fec to Mossba ue r ( re a lizado e n 1958 ; se le co nced ió e l Pre mi o N b 1 de Fís ica 196 1). Mossba ue r observó e l fe nó me no de la autoa bsorc ió n co n las sig uie nte s condic io nes : a) sin re troceso (ll amado recoil) de l núcleo hijo (TR =Ü) , a l utili zar un a fue nl cri stalina y b) sin e nsanc ha mie nto D o pple r té rmico (fo

= 0) .

lo que con s ig ui ó a l e nfr iar a baj a te mperatu ra (T=88 K) tanto la fu e nte de l e mi sor 19 1 Ir, e n realidad una fu e nte de 191 0 s, que como la de l absorbe nte. Utili zó el colocó e n un roto r que g ira ba a un os cuantos c m/s, con e l que pudo o bservar la 5 anchura intrín seca de l nive l de 129 ke V (rv 3 · 10- e V) ; es decir, una medida 11 (véase la fi g ura 10.8) . En con una resoluc ió n e ne rgética de r / E-y '"" 4 · 105 efecto , para conseguir medir anchu ras de 2f = 6 · 10- e V es necesari o un 11 des pl aza mie nto Dopple r de ve loc idad v = 5 · 10- c = 15 mm/s.

:.

:: :,

:::

:··.

Figura 10.7: Perfi l energético del fe nómeno de la autoabsorció n. Se pueden observar los efectos del ensanchamie nto Doppler deb ido a la temperatu ra (fo) y del retroceso nuclear (TR) en la emi sión y absorción. La anchu ra intrínseca (o natu ra l), f , del estado nuclear es desprec iab le en la escala dibujada. Para fijar valores, si se toma el nivel de 4 12 keY del H g, con T = 32 ps, se tienen los 5 siguientes valores: r = 2 · 10- e Y; TR = O, 46 e Y yfo = O, 36 eY. 12 57 ya Utili za ndo una fu ente de F e se puede llegar a resoluc io nes de 10que la anc hu ra intrínseca de l ni vel de 14,4 keV es r '"" 10- s e V. M o ssba ue r ex pli có e l fe nó me no a través de las pro pi edade · de l movim i ·nto vibrac io na l de los núc leos li g ados a las e structuras c ri sta lin as, y n o nL r q u

.

'·'

/\ 11to 11 io F'e rrer 'o rio

un c ierto número de 111'.1cleos se encuenlran en e l esLado fundamenta l vibracional de la red; es dec ir, que no tienen retroceso. El coeficiente de Mossbaue r, f, que da la fracción de núcleos sin retroceso (TR == O) en un crista l, depende de la temperatura de Debye 3 del sólido (materiales típicos cumplen que ñwmax rv O, 01 e Y, o sea, (} 0 rv 10 3 K), y en la aprox imación para bajas temperaturas:

(10.16) Así por ejemp lo: • para el nivel de 129 ke V del bauer va le f = O, l ;

191

• para el nive l de 14,4 keY del bauer vale f = O, 92.

57

-4

-2

Ir (Bo

rv

300 K ) e l coefic iente de Moss-

F e (Bo ""400 K) el coeficiente de Moss-

o

+2

+4

v (cm s- 1 )

% absorción

0.5

-5

E ( x 10 eV)

1.0

-2

-1

o

+I

+2

Figura 10.8: Experimento de autoabsorción de Mi:issbauer reali zado con los fotones de 129 keY de una fuente de 191 J r a baja temperatura.

Todo pasa como si la estructura cristalina absorb iese e l momento de retroceso. Lo curioso es que Mossbauer quería precisamente demostrar lo contrario: que al enfriar el emisor, desaparecería la autoabsorción debida a TR. En su experimento encontró un 1 o/o de autoabsorción (producto de coeficientes f · f del emisor y absorbente del Ir). 3 La

ld)I).

14

temperatura de Debye está relacio nad a con la frecuencia vibrac ional máx ima ñwma.x

Teorfo le l 1s le.1·in1 f.1 1' 1c/rmes '"Y

10.6.4 Aplicaciones del efecto Mossbauer Medida del desplazamiento hacia el rojo (red sh.ift, gravitacional) Uno de los fundamento s de la teoría general de la relatividad (TG R) es e l princ ipio de equivalencia, según el cual , los efectos de un campo gravitac ional loca l uniforme no se pueden di stinguir de los efectos de un sistema de refe re nc ia uniformemente acelerado. Por ello, si se observa la emisión y absorción de un fotón en un campo gravitatorio (g) en el que entre emisor y absorbente hay 1-l metros, el tiempo que tarda en llegar el fotón del emisor al absorbente es t = H /c. En ese tiempo es como si el absorbente hubiese adquirido una velocidad v = gH /e, por el principio de equivalencia. Por lo tanto, los fotones sufren un desplazamiento Doppler, de magnitud:

=~=

gH = t:i E E c2 lo que representa un efecto sobre el desplazamiento de la energía t:iE del orden de 10- 16 por metro en el campo gravitatorio terrestre. Otra manera de entender el efecto del principio de equivalencia es que un fotón, de energía E, , en un campo gravitatorio debe comportarse como un a 2 partícula con masa gravitacional m = E, / c . Así, si un fotón se desplaza hacia (3

e

abajo en el campo terrestre, su energía aumentará l:i E = mgH = ~,con e lo que su longitud de onda se desplazará hacia el azul, y si su dirección es hacia arriba tendrá un desplazamiento de magnitud - l:iE; o sea, que su longitud de onda se desplazará hacia el rojo, ya que pierde energía. Efectivamente, como E = h* , aumentar la energía E equivale a disminuir la longitud de onda del fotón. Si se trata de un fotón en el espectro visible, es pues lógico decir que hay corrimiento hacia el azul. De la misma manera se habl a de corrimiento hacia el rojo cuando la longitud de onda aumenta. En 1959, Pound y Rebka realizaron el experimento en la torre de 22,6 m de la Universidad de Harvard, utilizando una fuente cuya actividad era de 1 Ci , de 57 Co(ti; 2 = 271 ,8 días) para usar el nivel de 14,4 keV del 57 F e (8 0 '""400 K), cuyo coeficiente de Mossbauer es f = O, 92. La medida se realizó moviendo la fuente con velocidades de '"" O, 75 µm / s, lo que se logra por medios hidráulicos. Después de cuatro meses de medidas con grandes precauciones encontraron:

6.E

E

=

(4,902 ±0,041)·10 -

15

que comparado con el valor teórico 4, 905 · 10- 15 , se considera uno de los tests más precisos de la TGR . Como se ve, se trata de medidas de energía con un a reso lución del orden rv 10- 15 . Otras aplicaciones del efecto Mossbauer son: • medida de espectros hiperfinos (importante para la física atómi a) • desdoblamientos Zeeman en ca mpos magnéticos.

31

11/l 11 io /•( rrer 'orio

10. 7 Ejercicios 10.l En e l esq uema ele desintegrac ión ele la figura 10.9 se representan las transiciones observadas en la des integración ¡ ele los ni veles más bajos del 13 C . Deducir a qué tipos ele transición corresponden dichos procesos racliativos . A título ele ejemplo, evalu ar la probabilidad ele la transición gamma ele 3,089 Me V.

3/2 -

112+

-

112

¡

3854 (8,60 ps) 3685 3089

( t, 10 fs) ( t ,07 fs)

o

Figura 10.9: Esquema ele desintegración del 13 C.

10.2 a) Establecer la relación que debe existir entre las masas ele los átomos neutros padre e hijo para que el núcl eo padre pueda producir un núcleo hijo isóbaro por emisión /3 - , /3+ y captura electrónica sobre la capa K . Sabiendo que la energía de ligad ura ele un electrón K en los átomos más pesados no supera los 150 keY, demostrar que cuando la emisión /3+ es energéticamente posi ble la captura electrónica lo es igualmen te, pero el inverso no es siempre c ierto. b) Las desintegraciones /3- del ~¿ 1 ce se reparten en dos espectros de energías máximas 0,435 y 0,58 Me Y. Por otra parte, alrededor del 30 % de las /3 - se em iten en coinc idencia con foto nes¡ de energía 0,145 Me Y, no ex istiendo otras emi siones ¡. Conociendo la masa del átomo neutro ~ª 1 Pr, calcul ar la masa del átomo ~¿ 1 Ce y rep resentar el diagrama energéti co de la desintegración. Calc ular la energía cinética del núcleo de retroceso asoc iado. 10.3 En la figura adjunta 10.1 0, se observa el esq uema ele niveles nucleares del 57 Fe, que se alcanzan grac ias a la desintegración del 5 7 Co . Las energías de dichos niveles son: EA = 14,4 keV y Es = 136,5 keY. a) Sabiendo que las energías de li gadura de los electrones de las capas K, L son BK = 7, 1 ke V y EL = O, 8 keY, calcul ar las energías de los electro nes de conversión interna. b) Los coeficientes totales de conversión son: a 1 = 0, 12 a2 = 0,021 y a3 = 8,4. Además los electrones de conversión observados en el detector obedecen la relac ión n1 /n2 = 0 ,85. Calcu lar el porcentaje de transic iones que tienen lugar a través de los cam inos 1 y 2. e) Obté ngase la rel ac ión n3/n2 para los electrones de conversión de las transiciones co nsec uti vas. d) El período de se miclesintegrac ión correspond iente al nivel A es t 1;2

= 0, 98· 10- 7 s.

¿C uá les son los períodos parciales de se mides in tegrac ión de este nive l?

16

57

21 Co 27 1,S clías

112 -

_51_2-_--.----,---13-6_.5_~:.

7 ns)

2

31_2_--+-~~--14~,4_

o

j3

112 -

A (98.1 ns)

57

26 Fe

Figura 10.10: Esq uema de desintegración del 5 7 Co, mostrando los nive les A y B del 57

F e.

6 10.4 El estado isómero 2+ de l ° Co de 58,6 keY (véase la figura 10.11 ), se desintegra al estado fundamental 5+ . La conversión intern a compite con la e mi sión ¡; los coeficientes de conversión interna observados son: Cl'K = 41. , Cl'L = 7, aM = l. a) Calcular la semivida de l estado 2+ suponi endo que se trata de una transición multipolar M3, y compararl a con la semivida observada ex perimentalmente de 10,47 min . b) Se sa be que la transición co nti ene además una pequeña com ponente de radiación E4, ¿bastarían las co ntribuciones M3 + E4 para exp licar el va lor experi mental de la semivida? 60 Ni, de modo que e) El estado 2+ del 6°Co decae tam bién por em isión 13- al ¡ y conversión isión em la el 0 ,25 % correspo nde a Ja em isión /3 y el 99,75. % a log valor el y Y Me 1,55 de es /3 las de intern a. La energía máxima 10 ft 1 ¡ 2 = 7,2. ¿Cómo afecta al valor de Ja semi vida la inclusión de Ja emisión /3? 152 Eu (véase Ja figura J7.6) se desintegra a un estad o 10.S Un estado isómero del 152 Sm de energía E i = 963 keY por captura e lectró ni ca: excitado del 152

Ezi

+e-

---+

152

Srn*

+ Ve

52 A con tinuació n, el estado exci tado del 1. Sm se desintegra al estado fundamental 1. 4 seg. io· 8 , 2 = ¡ t con ¡, o+ por emisión 1 2 152 Sm de 963 keY. a) Calcul ar Ja anchura intrínseca del estado excitado del b) Calcul ar la velocidad del Sm para poder tener autoabsorc ión. e) Calcul ar la velocidad de retroceso del Sm* en el proceso de captura y co ncluir si puede haber o no autoabsorció n. 0 10.6 Los bariones L:º y ti. pueden desintegrarse rad iativamente según los procesos:

0

0 L: (1193) ---+ A (1115)

+¡

0 ti. (1232) ---+ n

+¡

e l primero con un cociente de desintegrac ión del 100 % y e l seg undo con 1O, 6 % a) Determin ar las multipo laridacles posibles e n ambas clesinte rac i 1r s.

317

A 111 )//¡ J l 1'errer Sori

1

°

b) abi nclo qu la vicia m clia 1 1 barión s O, 6 x 10- 23 s, estimar la vicia media del barión ex traño I: 0 omparar el va lor obtenido con el ele la tabl a B.4 del a¡ énclice. 60

z7Co

(10,47 m) (S,27 a)

2+

58,6 99,75 o/o

5+

3+

2626

4+

2506

2+

2 159

Qp =2823,9

~-

(7,5)

99 ,93 o

( 15,0)

0,06 o/o

E2

2+

1333

logft

E2

o+

o

60N . 28 l

Figura 10.11: Esquema ele des integración beta del 6°Co y niveles del 60 Ni .

18

Parte IV

Reacciones nucleares

11.

Reacciones nucleares

11.1 Introducción Las reacciones nucleares proporcionan un método de estudio de las propiedades de los núcleos. Por una parte permiten el conocimiento de la dinámica que interviene en las transmutaciones nucleares y por otra proporcionan un método de estudio de la estructura nuclear. Las reacciones nucleares forman un extenso campo de la física nuclear. Sobre ellas se dispone de innumerables resultados y publicaciones. A pesar de ello no existe una teoría unificada de las reacciones nucleares que sea de uso práctico. Ello es consecuencia de la dificultad teórica que existe al abordar un problema de colisión entre sistemas de muchos cuerpos, más aún cuando las fuerzas entre dichos cuerpos no son conocidas con precisión. Una reacción nuclear entre un proyectil a y un blanco X suele representarse: (l 1.1) X(a, b)Y a + X -+ b + Y o Para llevarlas a cabo es necesario disponer de fuentes de partículas adecuadas. De entre ellas destaca el uso de los aceleradores de partícu las gracias a los cuales ha progresado mucho la física nuclear. Entre las reacciones históricas que han marcado el progreso de las reacciones nucleares se encuentran: • la primera transmutación nuclear (Rutherford, 1919) , ejemplo de una reacción inelástica de dos cuerpos: a+ 14 N --+ 17 O + p, • la obtenida con el primer acelerador electrostático (Cockroft y Walton , 1930): p + 7 Li --+ 4 H e+ a, premiados con el Nobel de Física en 1951 porque verificó experimentalmente que la masa y energía son equivalentes, E = mc2 , • el descubrimiento del neutrón (Chadwick, 1932): a+

9 B e--+ 12 C

+n

• el descubrimiento ele la radiactividad artificial (l. Y F. Joliot Curie, 1934) : a + nAL ____, ygP + n, utili za ndo una fuente rad iactiva de Po, seguid o de la des integrac ión /3+ de l zg P(t; 1¡ 2 = 2, 5 min ) --+ f~Si -1- e+ + 1/ r . .

I

111 mio f
S 1rl 1

Est (1ltimo pro ·eso (CY , n), enriquece e n protones a los núc l ·os; po r e ll se producen núc leos inestables bajo des integración (J+. • la ca ptura neutró ni ca, procesos que E. Fermi impul só sistemáticamente para sinteti zar los transuránidos. Ejemplo: n+ 238 U _, 239 U +¡, proce o 239 U que es ll amado captura rad iati va, seguido de la desintegración fJ del un núcleo inestable: 239

U(t 1¡2 = 23 min) _,

239

Np +e- + Ve

239

Np(t 1¡ 2 = 2, 4 d) _,

239

Pu + e- + Ve

y a su vez:

Así fue como, entre otras cosas, se descubrió por casualidad la fisión inducida por neutrones.

11.2 Leyes de conservación De entre las más interesantes se pueden considerar las leyes de conservación de:

• E, p, la energía y la cantidad de movimiento (el mo mento), • Q, la carga eléctrica,

• B, e l número bariónico (el número de nucleones), • JP, e l momento angular total y la paridad ,

• T, el isospín , etc.

11.2.1 Conservación de la energía-momento Sea de nuevo la reacción a+ X _, b +Y cuyo esq ue ma se representa en la fi gura 11 . 1. La conservación de la energ ía en la reacción se escribe:

Como la energía total es E = T se tiene:

+ m c2 , igual a la ene rgía cinética más la masa,

Co mo siempre, e l valor Q de la reacción da el balance energético y se ca lcula Q = (minicial - nir;,,a1)c2 o sea:

22

/( (' I '

·i )// ('S 1111

·/ " 11' (' ,\'

vá lida n c ua lquier si l. ma d referenc ia. Los cá lc ul os pueden perfec11 111 • s ·r no re lativi stas ya que la s veloc idades so n frecu ente mente muy baj as 111 1 ·u ·e io nes nuc leares. Por e llo también es frecuente tomar para la masa de ti 11u ·I ·o, 1 valor e ntero A en unidades ele masa atómica n. Si ello no fu ese 111 t 111! • pr e iso entonces es señal de que deben reali zarse cálculos relativistas. 2 3 N 1or ·jcmplo , para la reacción de Chadwick Q = 6, 12 x 10- n · c = +5 , 7 M • . · i ualmente, para la de Rutherford y la de Cockroft Walton dadas más encuentra: Q = - 1, 19 Me V y Q = + 17, 35 Me V respectivame nte. 11 •

i

11

y

b

e a

X

X

......

y

Figura 1 1.1: Reacción nuclear a+ X

1101a

--+

b + Y en el sistema laboratorio.

En lo que respecta a la conservación del momento, siguiendo también la ·ió n de la figura 11 . 1, se puede escribir:

Pa = Pb cos () + py cos ~ } O = Pb sin() - py s in~

( 11.2)

lo que conocidos Q y Ta quedan 4 incógnitas e,~ ' Pb , py. Experimental menTa y medi.r Tb y con lo que la conservación del momento 1 u ' de utilizarse para determinar Q:

ni n

l · se sue le conocer

e

(11.3) 1• fo rma que si se conoce m a y mb se puede determinar mv .

Suprimiendo ~ y py, a partir de las ecuaciones de conservación de la ·n ·rg ía y del momento se encuentra la siguiente relación entre Tb y B:

=

cos( B)vmambTª ± mv+mb ± [mambTa cos2 (B) + (mv

+ mb)(mvQ + (mv - m a)Ta)] 112 mv +mb

El valor Q sirve para c lasifi ca r e l tipo de reacción:

0

111011 i o l ·e rrer l r io

>

Q

O, exoenergéti ca

= O, e lásti ca < O, endoenergéti ca

11.2.2 Sistemas laboratorio y centro de masas En el estudio de las reacc iones nucleares, se recurre frecuentemente a utili zar dos sistemas de referencia: uno es el sistema laboratorio y el otro es e l sistema de centro de masas (abrev iadamente cdm). Normalmente e l sistema laboratorio es el que describe las reacc iones tal como suceden. El interés de l sistema cdm es que requiere menos vari ables para describir los choques y facilita c iertos cálculos teóricos . Ambos son sistemas inerc iales, y es inmedi ato relacionar las mag nitudes dadas en un sistema respecto al otro. El centro de masas de un siste ma de i partícul as de masa m i , por de finició n, tiene por coordenadas :

"'mf ~

'l,

'I,

Tcdm = - - - -

(11.4)

L rTli

L

S i, como es habitual, la masa total de l sistema es M = m i, la ex pres ió n para 1 las coordenadas del cdm se simplifi ca: Tcdm = NI m (/'i .

L i

Un siste ma de dos partícul as (o núc leos) que participan en una reacció n, se encuentran en el sistema laborato rio, representado en la fi gura 1 1.1 , en el que se cumple Tx = O puesto que e l bl anco está en reposo (véase también fi gura 11 .2).

LAB

CdM

------··---.,·-----·-

--

--- ·

--.--.....

-·

........... ....... .

m2 V¡=

Ü

p~' =µ. Vi

Figura 11.2: Transfo rm ac ión de var iab les c inemáti cas del siste ma laboratori o al sistema centro de masas. V c dm es la veloc idad de l centro de masas en el sistema laboratori o; µ es la masa reducida. Sólo se representa e n la fi gura e l esquema de la coli sión antes del choque, en sendos sistemas.

4

Re 1 ··iones 1111cle111·es " 11

1 s iste ma

labo ratorio, la vcl

id ad de l centro de masas es sen ill a1n n-

i • lu 1 rivacla el e las coord e nadas:

'Vcdrn

( J 1.5)

= ----

L

1T/,i

1in 1 s istema cdm, las variables cinemáticas se escribLrán con una * y, por defini c ió n, la suma de momentos es nula: P~. + p~ = O. Tratándose ele colisiones no re lativistas , la velocidad de cualquier partícula (o núcleo) , se obtiene apli ·ando la transformación clásica de Galileo: V* = iJ - Vcdrn · Así se entiende la • pres ión PZ = µ v 1 que se puede ver en la figura 11 .2. En una reacción encloenergética, la condición necesaria para que pueda l ·nc r lugar es:

T* ~

IQI

lo ncle T* es la energía cinética total en el sistema del centro de masas: T* = = - p*X' o lo que es lo mjsmo v*X = - mx ma. v*ª ' se tiene que: '' X' a ·

'/' A + T * y como p*

1~ n

e l sistema laboratorio la energía cinética total es T

pli é ndose que

Va

=

v~

la fi g ura l 1.2; luego T

-

= Ta. =

~ma.v;, cum-

v~ = v~ ( 1 + ~),como puede comprobarse en

= T* ( 1 +

~~)

con lo que la condición T*

~ IQI se

esc ribe también:

(l J.6) Es decir, toda reacción endoenergética tiene un umbral energético para que pueda iniciarse. Dicho umbral , que se especifica en el sistema laboratorio , se calcula (co n el signo=) gracias a esta última ecuación. En caso ele tener que usar transformaciones relativistas (las tran sforma·io nes ele Lorentz entre sistemas de coordenadas), puede consultarse la secc ió n ( 15.2.3) en el tema dedicado a las simetrías, donde se estudian dichas transformac io nes.

11.2.3 Otras leyes de conservación Otras magnitudes que se conservan en las reacciones nucl eares son: carga ctri ca , número bariónico, espín-paridad, isospín, etc. La conservación del isospín impone condiciones sobre los pos ibl valor d las secciones eficaces e ntre distintos estados de carga ele los pa rti cipan!. s n lar acc ió n.

3 .

J\111mi 1 Ferrer 'oria

11.3 Clasificación de reacciones nucleares La clasificación de las reacciones nucleares puede hacerse según varios criterios. Los más frecuentemente utilizados son los siguientes: a) Según la energía: • baja;

~

10 Me V/nucleón . Se estudia la estructura y los niveles nucleares .

• intermedia; 100 ~ E ción de mesones.

~

1000 Me V. Es el dominio de la física de produc-

• alta; E 2'. 1 Ge V. Física de partículas, estudio de quarks, etc. b) Según la topología. Siguiendo la notación dada en (11.1) : • difusión elástica (a = b), uno de cuyos ejemplos más conocidos es el del experimento de Rutherford , y • difusiones inelásticas; que se describen a continuación guardando su denominación en inglés: l. las de knock-out, en la que aparecen más de dos partículas en el estado final (a + X ---> Y + b + c),

2. y las de transf'er, clasificándose éstas a su vez en reacciones de stripping, tales como (d , p) , (d , n) o reacciones de pick-up: (p , d ), (n , d). c) Según el mecanismo: • reacciones directas, normalmente muy rápidas (10 - 22 s) y entre ellas se encuentran las reacciones inelásticas y de knock-out y las conocidas variantes de las de transfer: stripping y pick-up, • de formación de núcleo compuesto: a + X ---> X* ---> Y + b. Son reacciones lentas (10 - 14 s), y se interpretan como debidas a procesos de reestructuración de nucleones dentro del núcleo. Entre estas reacciones, las más conocidas son las de formación de resonancias (que se interpretan como excitaciones de modos colectivos) . Estas dos interpretaciones son paralelas a las de la estructura nuclear descrita por: • modelos de partícula individual (reacciones directas) o • modelos de comportamiento colectivo (reacciones de núcleo compuesto). También existen las reacciones entre iones pesados o sea entre núcleos con e levado número másico. Actualmente existe en marcha, en el CERN un ambicio o programa de estudio de reacciones a altas energías de iones relativistas. Ell o ha sido pos ibl e al conseguir acelerar iones de O , Ca e inclu so de P b, a

26

Neo ··iones

1111

·leor<: s

' n rgías superi ores a 200 Ge V/nucleón. Este programa prelen le encontra r 1 'Slado de la materi a conoc ido como de plasma de quar ks y gluo nes (consti tuyentes elementa les de los nucleones). Un estado que se alcanzaría a densidades de e nergía mu y elevadas. La importancia y el interés del estudio de reacc iones nucleares puede resum irse en las siguientes líneas de trabajo, que tantos prog resos han aportado a la fís ica nuclear: l. M asas y ni ve les energéticos nucleares a través de la espectroscopía nuclear, por ejemplo en reacciones a + X ---+ b + Y*, con posterior desintegración Y*---+ y +¡.

2. Tamaño y estructu ra nucleares. 3. Nucleosíntesis en astrofísica y cosmolog ía. 4. Generac ión de potencia (fis ión, fu sión) y producción de isóto pos arti fic iales. Antes de entrar en el estud io de las reacc iones nucleares, conviene conocer la mag ni tud más importante que caracteriza las interacc iones: la sección efi caz. Normalmente, en las reacc io nes nucleares se suele hablar de secció n e fi caz total de reacción, como suma de todos los procesos que pueden ocurrir en el choque de a+ X. Lo mismo sucede entre coli siones de partículas. Además se suele identificar fác ilmente la reacc ión elástica a+ X ------+ a+ X, con lo que la sección eficaz total (o sección eficaz de co lisión a c011 ) se suele escribir como suma: aT

= aE + a 1

de la secc ión efi caz elástica e inelástica. Esta última se suele de no minar sección eficaz de absorción, aabs- Uno de los canales inelásticos es a + X ------+ b + Y, ya q ue a -¡. b.

11.4 El concepto de sección eficaz La secc ión eficaz está relac ionada con la probabilidad de interacción de una partícula con un blanco. El esquema presentado en la fig ura 11 .3, muestra un experimento típico de coli sión entre partícul as . Puede observarse cómo las partículas inc identes (proyectiles ti po a cuyo fluj o es F [cm- 2 s- 1 ]) inciden contra un blanco materi al X cuya de nsidad de bl ancos por unidad de volumen es n [c m- 3 ] . Dado un materi al de de nsidad p, es fác il calc ul ar el número de áto mos (o núcleos) por unidad de volumen: (1 1.7)

sie ndo NA el número de Avogadro, que da e l número de átomos por mol y A' el peso atómico de l materi al que compone el bl anco (en gramos por mol). No hay q ue confund ir A' con el número más ico. 7

ntonio f?errer. 'ori

1

En lo qu sigue, se sup nclrá que el spesor del blanco 6.T es mu y del acl o. 2 -: 1 cl eteelor subLi encl e un ángul o só li do dfl = d / R , siendo rl la su1 erfi ci útil del cl elector. y

Detector

•

.,...

a

X

X

F[cm"s·' 1 '-".

y

Figura l J .3: Ex perimento de coli sión entre partícul as

a+ X

-+

b + Y.

El haz ele partículas siempre suele tener un tamaño finito ; en un corte tran sversa l del haz se supone que ocupa una superfi cie S. D e esta form a el número total ele partícul as incidentes por unidad ele ti empo será N ;nc = F S. Como consecuencia del choque, la partícul a incidente ya no sigue su direcc ión ori ginal (el ej e x ), sino que es clifunclicla y sale form ando un ángulo tal que puede incidir en el detector con lo que podrá producirse un reg istro en el mi smo. Sea N 8 (B) el número de difusiones por unidad de tiempo en el ángulo sólido dfl que subti ende el detector. Se defin e la secc ión efi caz di ferenc ial:

e

du dfl

1 d Ns F dfl

en donde F [cm- 2 s- 1 ] es el flujo de partículas in cidentes co mo ya se ha vi sto anteri ormente. Con ello la secc ión eficaz total es sencillamente la integral

u(E)

=/

~~dfl

A hora bien, al in tegrar N 8 para todo el ángul o só lido se obti ene N tai. es dec ir el número total de pa rtículas di fundidas por unidad de ti empo. Como S n 6 x es el núm ero de bl ancos en un materi al de espesor 6.x, siendo n la densidad vo lúmi ca de b lanco -, se tiene

N,0 ,

• R

= FSnu6 x = N.inc'n u6x

N ' OC ·iones 1111tle 11'

de fo rma que e puede defi ni r la probab ili dad un materi al de espesor t:>. x co mo:

.1·

in teracc ión de un a pa rtíc ul a en

~ = nut:>.x

(11. 8)

inc

con lo que e l concepto de secc ión eficaz es rea lme nte el de la probabilidad de in teracc ión por proyectil y por bl anco . 2 La unidad de secc ión e fi caz es e l barn (= 10- 24 crn ), que tiene dimensión de superfic ie , aunque en fís ica nuclear y sobre todo en fís ica de partícul as es mu cho más frec uente obtener va lores de secc ión e fi caz dadas en los submúlti plos mili-, micro-, nano- e inclu so pico- ofemto-barn (véase la tabl a de múltiplos en e l A péndice E. 1). El tipo de reacc iones que se detecta, o sea la manera de seleccionar experimentalmente N s, determin a la cantidad que se mide. Si N s, por ejemplo, cuenta el número de partícul as idénticas a las incidentes y el núcleo di fundido es también de l mi smo tipo que el bl anco entonces se trata de la secc ión eficaz e lástica . Caso contrario , se trata de secciones eficaces inelásti cas. 2 La secc ió n efi caz geométrica vendría dada por a = 7r R , que iría aumentando con el tamaño de l núcleo. Los núcleos tienen ta maños dados por un radio R "" 2 - 7 fm con lo que se tiene u ,.__, 12 - 150 fm 2. Por ell o se elig ió e l barn (= LOO fm2 = 10- 23 m 2 ), como unidad de secc ió n eficaz. Se puede tambi én calcul ar la probabilidad de supervi venc ia de l proyectil. Para ello hay que calcul ar la pro babilidad de que no haya interacc ión a lo largo de un recorrido x , o sea, hay q ue reso lver P (x + dx) = P( x)( l - nadx) , Jo que conduce a: (11 .9)

P( x ) = e- nux

O sea, en el caso de un haz de No partícul as que inc iden en un material de espesor x, la ley de atenuació n vendrá dada por:

De la mi sma manera se puede calcul ar la probabilid ad de sobrevivir hasta x e interaccionar entre x y x + dx : F( x) dx

=

P (x) nadx

O tra magnitud estadística mu y impo rtante es el recorrido libre medio:

>.

=

J

x P (x) dx _

j

P (x) dx

1

(l l.l O)

nu

3 9

/\ n t 111 io f"errer orio

que re presenta la long itud

111

d ia r

rri la p r In

co lisión . Se sue le escri bir tamb i n ? (:1;) - e c iente ele absorc ió n.

Ejemplo: la secc ión eficaz ele T homson ( ·o li si y un e lectrón ¡+ e ---. ¡ + e) va le: O"Th

siendo re =

2 -:!'-::x = m ee

=

8 2 3 ..1rrc

1 111 11

11 11 1n1 s d

:i; / i\

I, , l 'l• 1 l 1sica entre un fo tó n

11

= O, 7 bo 1n

2 , 82 fm, e l radio clás i

sufri r un a

'"'', si nclo ¡.i e l coefi-

(11.11 )

el ·I ·I · •(,. 111 ,

e= 1, 6 x 10- 19

e, Ja carga de l e lectró n. A partir de las defi niciones de los di st:in t den ca lcular las lo ngitudes (recorridos li bres m

• •ión e fi caz, se puen y de absorc ión: 1

)q -

'11

1

Una recopilació n de valores de estas mag nituclc u t1 ll 1. • 11 ·r•fa se puede ver en la tabla 1 l. I Teóricamente las secciones e fi caces se ca l ula11 Lll 1 111ndo la reg la dorada de Fermi , que da la probabilidad de interacci n (1ra nsi<• •11 del estado i ___, f) por unidad de tie mpo:

( 11.1 2) a partir del e lemento de matri z delhamiltoni anod inl 11 n H'¡iyla densidad de estados fin ales p(E¡ ). L a sección eficaz se bli ·n 11 ¡)urtir de la ex pres ión anterior: 1· · -

f

~~

1

(

sie ndo F e l fluj o de partícul as inc identes (en cm :¿ ,• 1, efi caz tiene unidades de superfi cie). E n el caso de la coli sión a+ X b Y, O"a _, b

=

1

~tA "n

I

1

(H¡i )

2

11¡¡

1

1 n,'li/1

¡•

1 L.1 3)

n lo que la sección

(11.14)

que podría haberse escrito también u x ir. Las varinu l ' 1 ¡11,, Va y Vb vienen ciadas todas e llas en e l centro de masas. Sa lvo ns1:111I (· , " 'Pr entan e l espacio fás ico di sponible en e l estado fi nal de la rea · i n, r> /~ r~{/J;°, como de costumbre . E l término (H'¡i) es e l e leme nt el matriz d 1 '11111 11 niano responsable de la interacc ió n estud iada. S i se apli ca la ex pres ión ( 11 . 14) a las r a ,' '
o

l
n la d ifu sió n lásti a, r a i n de tipo (n , n): v0 , = q u a es inde pe ndie nte de la e ne rgía,

Vb

= p/rn,,,, o n lo

• e n la producc ión de partíc ulas a; reacc ió n de tipo (n , a) : Pb y vb son inde pe ndie ntes de Va, con lo que a

1 ex Va

o ea, inversame nte proporcion a l a la velocidad del neutrón incide nte . Ta mbié n es aplicable a otros proyectiles como se verá por ejemplo en e l estudio de la fu sión nuclear.

T/\ BLA 1L1: Propiedades atómicas y nucleares de varios elementos. Se muestran los 1tlores de la sección eficaz total, aT, la sección eficaz de absorción (o inelástica), a 1, lu longitud de coli sión nuclear,AT y la longitud de absorción >-1, para colisiones con ¡ rotones o neutrones de alta energía (80-240 Ge Y/c), que dependen muy poco de la •nc rgía. La densidad, p, corresponde al estado sólido o líquido en punto de ebullición; ·n el caso del e es para grafito puro. Material

z

A

aT

(barns)

H2 D2 He Li Be

e N2 02 Ne Al Ar Fe Cu Sn

w Pb

u

2 3 4 6 7 8 10 13 18 26 29 50 74 82 92

1,01 0,0387 0,073 2,01 0,13 3 4,00 0,211 6,94 0,268 9,01 12,0 1 0,331 14,0 1 0,379 0,420 16,00 0,507 20,18 0,634 26,98 0,868 39,95 1,120 55 ,85 1,232 63,55 1,967 118,69 183,85 2,767 2,960 207, 19 3,378 238,03

AT

(g/cm

)

43,3 45 ,7 49,9 54,6 55,8 60,2 61,4 63,2 66,1 70,6 76,4 82,8 85 ,6 100,2 110,3 116,2 117,0

.A,

(barns)

(g/cm 2)

p (g/cm 3 )

0,033 0,061 0,102 0,157 0,199 0,231 0,265 0,292 0,347 0,421 0,566 0,703 0,782 1,21 1,65 1,77 l ,98

50,8 53,7 65, 1 73,4 75,2 86,3 87,8 91,0 96,6 106,4 117,2 131 ,9 134,9 163 185 194 199

0,0708 0,162 0,125 0,534 1,848 2,265 0,808 1, 14 1,20 2,70 1,40 7,87 8,96 7,3 l 19,3 11 ,35 18,95

O"abs

2

Para ilustrar e l concepto de secc ió n e ficaz, se han escogido una seri d procesos re presentativ os de las interacc iones e ntre partícul as (ya sea n hacl ro n s, l'o to nes, le ptones) , bie n conoc idos , que permite n rea li za r un a compa rac ió n el los dive rsos va lores que toma esta mag nitud para cada un a ele las inte racc i n ·s ·onoc icl as.

33 1

111111/ 1

l<'e rrer S ri

11.4.J

1

eccioncs eficace s de interacción fuerte

La secc ión e fi caz neutró n+protón a baja energía es muy bien conoc ida. Su caracte rística más importa nte es que es prácti camente consta nte en un amplio ra ngo de energ ías : a = 20 barn , entre Tn = 1 y 10 4 eV, como puede com proba rse en la fig ura 2.4, vista en e l tema en el que se estudió e l deuteró n. Esta secc ión e fi caz ha sido de gran valor hi stórico pues permiti ó compr ender las propi edades de la interacc ión fuerte. La ventaja de su estudio es que como e l neutrón no tiene carga, no sufre interac ción electromagné tica (o culo mbi ana). Las secc iones e fi caces de proyectiles cargad os a muy baja energía están do minadas por la interac c ió n cul ombi ana y deben de tenerse en cuenta hasta que la energía del proyec til es sufic ie ntemente grande de fo rm a que sólo intervi e ne la interacción fuerte. Esto se apreciará en las próx imas curvas . Los experim e ntos con acelera dores de partículas han permiti do medir las secciones eficace s más elementales. En la fi gura 11 .4 puede n verse las secc iones efi caces totales partícul a (anti partícula) + protón, es dec ir, p(p) + p; 7r+ (7r - ) + p; J<+(J< - ) + p. Estas secciones efi caces pueden parame trizarse , siguiendo las ideas de la teoría de Regge (en la que las interac c iones proced en mediante el interca mbio de trayecto ri as de Regge) y de la matriz S, medi ante expres iones en func ión de la energía total e n e l cdm , Js, del tipo

siendo A , B , e, D, consta ntes que depend en de l tipo de hadron es, So, S1 escalas de energía (se to ma s 1 = 1 GeV) y e l signo::¡:: se apli ca según que a sea la partícula o su antipar tícul a. La tabl a de partícul as (Review of Particle Physics, Particle Data Group , Phys. Lett., B592 (2004) 1-1109 ; véase ta mbién su página Web http://pdg.lbl. gov/) contiene los paráme tros y tabl as para todas las reaccio nes conocidas. De la observ ac ión de las curvas de la fi gura 11.4 se consta ta que: a) except o en e l caso J<+ + p, las seccion es efi caces di sminuyen con la energía incidente, hasta unos 100 GeV/c , en do nde las secc iones efi caces toman valores entre 20 y 40 mb. A partir de esta energía , aumen tan logarítmicamente co n la energía total en el cdm, s, lo que se asoc ia con el mecani smo de interca mbio de l Po merón y b) las secc iones efi caces partícula y antipartícula tienden a igualarse a gran energía . Sucede que cuando la partícula es negativ a tiene una secció n efi caz ligeramente superio r respect o a su compa ñera positiva. Po r otra parte, la fi gura 11 .5 muestr a con más detalle , pero en escala loga rítmi ca, las secc iones efi caces protón+ protón total y la elástic a. Esta última el sc ie nde en funció n de la ene rgía hasta los 100 Ge V/c y mantie ne un valo r ap rox imado igual al 16 % de la secc ió n e fi caz total.

N , 1c ·ion es 1111cle ,,. s

50

20

100

200

500

1000 2000

AGS • Serpukhov ., FNAL • ISR V

55

+~ t •..

PP

'...... .,

b

yV

V

V~

PP

....... ., .,., .,.,.,,

•

••

V

'i'vvv~ V

v v

15

s

.,.,

., ., v~ ........ .,··~;·

Yv

+

........ .,.,., .,. .,.,...·' K- p ., ..

vvy.¡... n P

vv~••._,..,. 10

50

K+p 100

500 1000

P1ab• GeV/c Figura 1 1.4: Sección eficaz total , <7t, partícula (antipartícula) + protón. En el eje de abscisas, abajo, la escala da el momento del proyectil en e l sistema laboratorio; arriba, la energía tota l en el cdm, JS. Fuente de secc iones eficaces: tablas del PDG (http://pdg.lbl.gov/).

También se conocen las secciones eficaces pión+ protón y kaón +protón, tal como se muestra en la figura 11.6. En este caso, se observa con mayor nitidez las estructuras que aparecen entre 1 y 2 Ge Y de energía en el centro de masaL y que corresponden a la producción de resonancias en la zona de baja e ncr ía. Estas resonancias están bien identificadas; corresponden a hadrones , partí ulas co mpuestas por quarks y c uya naturaleza es simil ar a la ele los nuclcon s (ba ri oncs) .

.'.iJ

l\ 11t

J11io p,,.,. r oria

·-·r········-···-··r ·

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+···········+ ··········) ...........

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10

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·····-··-*·-··········--~····-·

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2

--~---·-· ::::i::::::1:.~~:f.:::~!~:::::

..........

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Figura 11 .5: Sección eficaz total y elást ica protón + protón.

,fi..¡i

1 1

\

/ 1-0 1

l~l

O total .-:;;.......... _ _ ... . . . ...... .. ..... ..

·~1,:l\..

I

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10

ºelastlc

., 1•/ 11 1

10 p [GeV/c]

3

1.2

200

1

a ~ a 7 89fo

Va

do

[GeV]

:io 4o

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

1«>2

10 1

Oelastlc •

,1,

~OL-,~...__..._..._._.._._U1Lo~-'---'--'-...............1io_1~...L--'-_,_.....U......_.1_0~-'--'--'-................. 10

p [GeV/c] ~-5

'34

2

3

4

5

6 7 8 910

20

30

40

Fi gura 11.6: Secciones eficaces total y e lástica para las coli siones 7r+ y K - + p. Js es la energía total en e l cdm.

+p

v'á[GeV]

3

Reo · ·iones 1111

/~

11· " ' '

I , a partir d 1 La s secc iones efi ca es determinan el ritmo de co li siones ritmo de partículas inc idente s de l haz 10 ;

I

= J,o (PNA A x ) ()T

o de l materi a l que siendo p, x y A la densid ad, el espeso r y el peso atómic se ca lcul a fco l = n colisió de medio libre compo ne e l blanco. Así, el recorrido

A/ (pNA()T).

geomé trica pueCuand o se trata de blanco s nuclea res, la secció n eficaz tuviese un radio núcleo el si como decir, es de estima rse a partir de () = ?Tr;; 2 13 . Esta sección efic az repres enta muy bien las medid as de la abrn = r 0 A mejor ajuste a los datos sorció n nuclea r. O sea, parametrizando () = (jo Aª , el compr obarse que este Puede 711. O, = a y experimentales da (Jo = 41 , 2 mb o. tomad ha se que r nuclea radio ex ponente confirma ia forma del

11.4.2 Secciones eficaces de interacción débil más peq ueña que la La interac c ión débil es unos 11 órdene s de magnitud esta interac ción se de lo ejemp Como Y. Ge l interacción fuerte , a las energí as de cargada: Un haz nte corrie tipo nos neutri de ha selecc ionado las interac c iones ción de un muó n produc la a detect se y res nuclea de neutrinos incide en blanco s el haz es de antine utrinos en el estado fina l: vµ + N -> N + µ - mientras que si figura 17.1 l , del capítu lo entonc es se produc e unµ + en e l estado fin al. En la ar que las secc iones donde se estudi an las interac c iones débiles, se puede observ nucleo nes crecen los con s utrino antine de y os eficaces de coli sión de neutrin la teoría Vsegún , efecto En rango. amplio un en linealm ente con la energí a os y de antine utrino s es , A la secc ión efi caz para corrie ntes cargad as de neutrin respectivamente:

() v,, --

c2

7r(nc) 4

s

y

av,J.

==

(l l.15)

2 de masas. Si se repres enta con s = 2mec E v, la energí a al cuadra do en el centro figura. la nte como en () v µ / Ev,, se obtend rá una consta compu estos por De estos resulta dos se despre nde que los nucleo nes están e lástica menna colisio o neutrin l e que e ntes puntua les (los parlon es), con los corri ent (por s utrino antine de ciones te. La teoría V-A predice que las interac 17 . 11 ura g fi La o. neutrin del las que cargad a) son un factor 3 más peque ñas s utrin antine y os neutrin los de ión c muest ra las secc iones e ficaces de interac ri exp que r, rio ante figura la en obarse obtenidos en ace lerado res. Puede compr utrin antin y utrino ne de es eficac iones menta lmente e l cocien te entre las secc n corri e nte neutra s. El sobre nucleo nes es só lo 2, ya que se incluye n tambié obse rva que 1 va l r 1 se caso, todo En do. cá lcu lo teórico confirm a este resulta ño. las secc io nes efi caces es muy peque

..,

·'·

111 11io F'e rPr 'ori 1

11.4.3 Secciones eficaces de interacción electromagnética La d ispo nibilid ad de haces secundarios de foto nes ha permitido med ir las secc iones e fic aces de foto prod ucción de hadro nes (o sea la producció n de hadrones tras el choque de un fo tón contra un protón o un deuterón ). Un haz etiquetado de foto nes se consigue a partir de un haz de e lectrones extra ido de un ace lerador (véase fi gura 11 .7). E l haz se co lima mediante co limadores y se selecc iona en momento con imanes di polares. Al pasar por un rad iador (norma lmente un blanco de plomo), los e lectrones emiten foto nes por bremsstrahlung que inciden e n e l ex perimento. El electró n difundido se detecta en los contadores de etiq uetado (tagge r): conoc iendo e l contador, se conoce la ci nemáti ca del proceso y por lo ta nto el momento del fotó n. Este es e l principio utili zado e n los experimentos WA4 y NA 14 del CERN.

haz de fotones (a l experimento) CJ

Dl

.

••"~ T

Fig ura 11. 7: Elementos de un haz secund ari o de fo tones, con sistema de etiquetado; (D l ,D2) imanes di polares; (C l,C2) coli madores; (R) material radiador; (T) detectores de e lectro nes para etiquetar los foto nes.

La fi gura 1 1.8 presenta las secc iones eficaces fo tón+p rotón y fotó n+deuterón. Son práctimente constantes y su valor es de unos 100 µb para ¡+p has ta energías de unos 20 Ge V, es decir dos órdenes de mag nitud inferior que la secc ió n e fi caz de interacción entre hadrones. Esta es una propiedad de l fotón que recuerda que, en cierta manera, se acopla como un bosón vectorial y tie ne un a probabilidad de co mportarse como un hadrón (bosón con espín paridad 1- ). Medidas más recientes conc iernen resultados de la aniquil ac ión en colisionado res e+e - o pp. Los primeros han servido para comprobar la teoría QCD (interca mbio de fotó n) y la teoría e lectrodébi l (intercambio de Z). Así la figura J 6. 12, en e l tema dedicado al estudi o de la espectroscopía de hadrones, mu estra los resultados obtenidos con e l coli sion ador PETRA de DESY (Hambu r o) e n los años 1980, y se observa e l bue n ac uerdo co n la predi cc ió n teórica (11 = 7rn 2 / (3s )) .

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Figura 1 1.8: Cu rva de secc ión eficaz del proceso 1 +¡, así como de Ja fotoprod ucción de hadrones sobre protón / + p y sobre deuterio ¡ + d en fun c ión de la energía del fotó n, en Ge Y.

11.5 Mecanismos de reacción Las nociones de difusión y absorc ión son herenc ias del lenguaje ondul atorio. Con estas denomin ac iones se pretende definir qué tipo de proceso ti ene lugar en una reacción nuclear. La palabra difu sió n es cas i sie mpre sinónimo de reacción e lástica o quasielástica , en la que las dos partículas que entran en e l choque, son las que salen, con sus mi smas masas que en e l estado inicial. E l choque qu as ie lásti co define a los procesos en los que e l proyectil no cambi a de natural eza, pero e l núcleo del estado final (o si se quiere, e l blanco) queda en un estado excitado. Ya no1 ti ene la mi sma masa y por lo tanto no es una difusión e lástica. La absorc ió n, a l igual que en los fe nómenos de interacc ión de la luz, denom ina a las reacciones inelásticas en las que las partícul as cambi an totalmente. Hay un camb io de masas y de naturaleza de las partículas que intervi enen en el choq ue. En la difusión nuclear, sig ui endo un a propuesta de We isskopf, se suelen abo rdar las reacciones nucleares en tres etapas: • antes de chocar, tiene lugar la difusión culo mbi ana, consecuenc ia del largo alcance de la fu erza de Coulomb; • en el choque, se sue len di stinguir reacc iones directas y reacc io nes de núcleo compuesto ;

7

11/rmio Ferrer orio • por último, se suele abo rda r el estud io del mode lo óptico nuclear. A continu ac ión se estudian las características de estos procesos nucleares, cuyo esque ma se ha representado gráficame nte en la fi gura 11 .9.

Culombiana (Elástica) Difusión de Rutherford

Coulomb

(1) Directas

(2) Núcleo compuesto

(3)

(4) Iones relativistas

--(a)

(b)

Figura 11.9: Esquema representati vo de las 4 fases de estud io de reacciones nucleares que se d iscute en el tex to. Los núcleos en las colisiones de iones re lat ivistas (a), sufre n contracción espacial co mo en (b).

11.5.1 Difusión de Rutherford (colombiana) Se trata de la difu sión de partículas cargadas por un pote ncial tipo Coulomb :

Vc (r)

zZe 2

= -4nEor

La barrera energética que debe franquear la partícula es B = Vc(R), siendo R el radio nuclear. Por ejemplo B = 3 Me Y para el C y 17 Me V para el

Pb. En una colisión p + N, la barrera podrá ser penetrada, por efecto túnel, aunque la energía cinética del protó n sea Tp < B. Este fenóme no es inexpl icable por la fls ica clásica. La sección eficaz dife rencial de Ru therford (véase la fi gura 1. 1) es:

d(J d0. 33~

2

2

1- ] ( zZe --) [4nEo 4Ta

2

cosec4 -8 2

= -d6

16

cosec 4

~

2

/? •a · ·iones 11u ·Lear s

Recuérdese qu e para una energía cinética T, la di stancia ele máx imo acer2

·ami ento es do = z zeT . 41r<:o Con esta expres ión se puso en evidencia la existencia del núcleo atómico. Los procesos ele interacción culombiana son importantes porque son los res ponsables ele la excitación ele iones ele núcleos pesados a diferentes estados rolnc ionales .

11.5.2 Difusión por un potencial nuclear Al aumentar la energía ele la partícula incidente, ésta puede aproximarse más al blanco hasta que llega un momento en que entran en juego las fuerzas nucleares. La distancia mínima de acercamiento do a partir ele la cual falla la ley ele Rutherforcl , da la estimación del radio nuclear (véase la figura l.5). Se obtienen radios R '"" 1', 45 A 1 13 fm, valores 1igeramente mayores que los que se obtienen en la difusión e- N, para el alcance de la fuerza nuclear.

11.5.3 Reacciones de núcleo compuesto Concepto introducido por Bohr en 1936. El proceso, que se representa por ---> b + Y y que queda determinado si se conocen a y b, se explica por la formación de un nuevo núcleo (X* distinto ele X) que sufre una reestructuración. Los estados de núcleo compuesto forman un contínuo de estados nucleares entre los que destacan las resonancias. Después de la acumulación de muchos elatos sobre reacciones de captura neutrónica, por ejemplo:

a

+X

+

n

107 Ag

___,

108 Ag

+1

se observa la formación de resonancias; es decir, se forma un estado (un núcleo compuesto) que luego se desintegra 108 Ag ---> 108 Cd+ e- +ve, olvidando cómo se había formado. En estos casos, la sección eficaz del proceso a+ X ---> b +Y es un producto de la sección eficaz total de reacción a+ X (o-a), por el cociente de des integración (branching ratio) rb/r correspondiente al canal b: D"ab

=

a-ªrr b

en donde b representa un determinado canal de desintegración, cuya anchura es rb, y es uno de los posibles canales i que pueden tener lugar. La anchura total ri. Así pues , se forma una resonancia, cuya ley de probabilidad en será r =

L i

función de la energía cumple:

- +2 O"a -

1fA

rar

( l 1.1 6)

g(E.,-E)2+ r2¡4

la conocida fo rma de Bre it-Wi gner, co mo también sucede con las r accio nes 2J 1 , es e l fa tor entre partículas. En la anteri or expres ión g =

(2

n

+ 1)

0

2sx

+ .L )

1\111011 io Ferrer oria

estadístico que da la multiplic idad de espín y Eres la energía en el máximo de la secc ió n eficaz, valor que suele utili zarse para identificar Ja resonancia (q ue equivale a su masa); /i = li/p es la longitud de onda, reducida, del proyectil , que se escribe /i = 1/ k.

11.5.4 Reacciones directas Empiezan a observarse a partir de unos 5 Me V de energía del proyectil. Son generalmente interacc iones que se pueden interpretar como nucleónnucleón. Un ejemplo de este tipo de reacciones son las reacc iones de transfer:

que son muy sensibles a la estructura e n capas de los nucleones. Al igual que las reacciones de pick-up tales como (p , d) , (n, d) , (d , t), las de stripping son también de tipo periférico. Sea q el momento transferido entre proyectil y la partícula en el estado final (véase la figura 11 . 1): q

2

= k~ + k~

- 2kakbcosB

El valor del momento angular orbital transferido en la reacc ión está relacionado con q, por definición x q [ /t = J R(R + 1)/t, o sea, que si la reacción es efectivamente periférica y el proyectil tiene radio r ª se cumplirá: 1

r

(rª

+ R)q =

Jece+ 1)

lo que permite e ntender qué órbitas del modelo de capas han podido actuar en la reacción .

11.5.5 Reacciones entre iones pesados El estudio de colisiones entre iones pesados ha sido frecuentemente utilizado con fines muy distintos, según la energía de los iones: • A baja energía. Existen varias instalaciones en el mundo que permiten el estudio de colisiones de iones, con pequeños aceleradores: CAEN, GSI (Darmstadt), PSI (Zurich), ISOLDE (CERN), etc. Incluso ex isten aceleradores de iones de reciente instalación en España (Sevi ll a y Madrid). • Se han podido comprobar conceptos predichos por el modelo óptico, que se describe más adelante y que aborda los procesos de coli sión bajo el punto de vista ondulatorio. • Han podido verificarse propi edades rel acionadas con la estructura nuclear (excitaciones culombianas, coli siones periféricas, de transfe r de nucleones, etc.)

340

Nr1tt · ·io 11cs 1111 ·1 1res

o bj ti vo continu a entre iones re lati vistas), e l • A alta e nerg ía ( co li sio nes nue vo estado de la iste nc ia y pro pie dad es de l sie ndo e l de veri fica r la ex Actualme nte hay s ma de qu ark s y g luo nes . ma teri a conoc ido como pla o kha ven y en el Bro e l co li sio nad or RH IC de exp erim ent os en ma rcha en li sio nad or LH C co co lisio nes entre iones en el futuro se pretende estudi ar ar en 200 7. lug ga rcha se espera que ten del CE RN , cuya puesta en ma

11.6 Modelo óptico isskopf, 195 4) c ido (Feshb ach , Por ter y We odu intr e fu ico ópt o del mo El ondula tori as de la n nuclea r y las propie dades sió difu la re ent d ilitu sim po r la leo se pue de tratar de una par tícula con un núc ión c rac inte la que one luz. Sup U(r), que rep rese nta la inc ide nte por un potenc ial tícu par la de n sió difu la o com con un potenc ial). una inte rac ció n de un cue rpo de ase trat se si mo (co leo e l núc Sch rod inger. r y reso lve r la ecuac ión de La solu ció n pasa por plan tea a ene rgía, el potenc ial · baj con proyec tiles de Para las co li sio nes nuc leares óptico, de la fo rma s se esc ribe , seg ún e l mo de lo ace efic es ion c sec las a plic que ex da la difracc ió n "" 5 Me V. Esta fo rma rec uer W y V Me 50 "" V con iW V + ca la absorc ión. En compleja del pote nc ial ex pli te par La . sco di un por luz de la ial: e fec to, sup ó nga se un potenc U

= Vo

=0

+ i Wo

r R

pl amiento espín-ó rbita ood s más e l té rmino de aco con V0 de la fo rma Saxo n-W el núm ero de ond as cho me no r que V0 . Ent onces, y W 0 una fun ció n de V0 y mu , si Wo < < Vo: se esc ribe k = kr + iki o sea

as toma la fo rma: con lo que la fun ció n de ond

rio es e l que da un a ar a la difu sió n y e l imag ina así, e l término real k,. da lug 2 kir , resp onsabl e de la absorc ió n. pro babilid ad radi al p rv ees has ta ene rgías éx ito para explica r rea cc ion E l modelo óptico se usa con ie nto med io el tam por s de Me V y ex plic a e l com inc ide ntes de vari os centen are s valo res el uno Alg s. iale ión , absorc ión y dife renc las secc iones eficaces de di fus l tados el 1 resu s ore mej se en la tabl a 11 .1. Los ver den pue es cac efi es ion c estas sec leo s de número más i gías ;:::: 10 Me V y para núc mo de lo ópt ico son para e ner son ace ptab le .. nes o l eos mas ivos, las pre d icci medio. En e l caso ele los núc 41

Ant mio l'erPr 'oria

11.7 Ejercicios 11.1 La conservación de paridad en la interacción nuclear puede establecerse experimentalmente mediante la observac ión de transiciones a de paridad prohibida. a) Esto se puede realizar estudiando la reacción nuclear 19 F(p , a) 16 0 a la energía de resonancia (pico en la sección eficaz del proceso) Ev = O, 340 Me Y. Aplicando consideraciones de conservación de energía, cantidad de movimiento y paridad, determ inar los estados del 16 0 que son accesi bles a través de la desintegración a del estado intermed io l + ( 13,19 Me V) del 20 N e* . b) Una variante de este experimento consiste en estudiar la desintegración a del IGO que sigue a la desintegración del estado fundamental del 16 N. ¿A qué energía del espectro a en e l sistema laboratorio debería aparecer un pico que diera evidencias de violación de paridad? e) ¿Qué conclusiones se obtendrían tras la observación de un pico pronunciado a 1,82 Me V en el espectro a con cero cuentas en su vecindad entre 0,9 y 2,3 Me V?

r

E( Me V)

O

6,05

6, 13

6,92

7, 12

8,88

9,59

9,85

10,36

o+ Tomando el estado fundamental del 16 O como origen de energías, e l estado fundamental del 16 N está situado a 10,40 MeV y el de ( 12 C +a) a 7, 15 Me Y.

11.2 Considérense las siguientes reacciones nucleares: 9 B e(3 H e, p) 11 B y 9 Be(3He, t) 9 B. a) Calcul ar los correspond ientes valores Q de reacció11 y los valores umbrales energéticos de las partículas 3 H e incidentes. b) Supon iendo que la primera de las citadas reacciones se produce bombardeando un blanco de berilio ( 100 % 9 B e, e lemento monoisotópico) con un haz de partículas 3 H e de 1,4 Me Y, ¿q ué niveles excitados del núcleo residual cabe esperar?

11.3 Al estudi ar la reacción 11 B( a , n) 14 N, orig inada al bombardear un blanco de 11 B con partículas a de 4,0 Me V, se encuentra que el correspondiente va lor Q de reacción es O, 152 Me Y. La reacción se muestra acompañada de radiación gamma cuya energía E"I = 2,31 Me Y. Por otro lado, al estudiar la difusión de protones de energía Ep =7,0 Me Y sobre 14 N se observa la subsigui ente emisión de radiación: 5, lü; 4,91 ; 3,95; 2, 79; 2,31 Me V y 1,64 Me V. Las radiaciones de 2,79 y 2,3 1 Me V, por una parte, y las de 2,3 1 y 1,64 Me V, por otra, se emiten en coincidencia. a) A partir de los anteriores datos experimentales, establecer e l esquema de niveles del nucleido 14 N para bajas energías de excitac ión. b) ¿Cuáles de estos niveles se pondrán de manifiesto en un estudi o de la difusión inelástica de partículas a de 20 Me Y sobre dicho núcleo?

11.4 Considérese la reacción

2H + i oB -> llC +n en donde 'la energía cinética del deuterón es de 3,64 Me Y. Se sabe que los niveles exc itados de l 11 C se hallan situados a 1,90; 4,23; 4,77; 6,46; 6,87; 7,39; 8, 12; 8,44; 8,69; 8,97y9, 13 Me Y por encima del estado fundamental. a) ¿Qué nive les se pueden alcanzar por medio de esta reacción? ¿Cuál es la energía

34

Neo · ·io11 e.1· 1111cle tres 2 umbral de las part ícu las H incidentes? a GOº cuando la rea· ·i n b) Ca lcul ar la energía c inéti ca de los neutrones e mitidos V. Me 4,77 de tado exci l se produc e al ni ve 7 7 es usada frecuentemente para 11.5 La reacción Li(p,n ) Be (Q = - 1,64 MeY) produc ir neutron es monoenergéticos. r para los neutro nes con un a) ¿Cuál es la energía a máx ima que se puede obtene haz de protone s de 3 Me Y? protones, se emiten neutrob) ¿Con qué ángu lo, respecto a la dirección del haz de

nes de 1 Me Y? r para protones de 3 Me Y y e) La sección eficaz diferencial de la reacción anterio 7 r de 50 keV para protoa 0° es de 50 mb/s r. Si un blanco de Li ti ene un espeso s en la direcci ón hac ia emitido r nes de 3 Me V, ¿cuál es el número de neutro nes/s/s µA? 1 de te delante si se dispon e de un haz inciden 2 de LOO keY·cm /mg. La pérdida de energía para protones de 3 Me Y en Li es produ197 Au con deutero nes de 2,5 Me V (s istema laboratorio) se 19 11.6 Al bombard~ar 8 198 f1 g beta a 19 7 n emisió por decae núcleo Este Au. ) p d, Au( ce la reacció n sees F ( n emisió La V. siendo la energía máx ima del espectro del fr 0 ,963 Me Y. Me guid a por una emisió n ¡ de energía 0,412 19 7 198 Au y Au, to mando co mo dato las del a) Calcul ar la masa atóm ica del 198 Hg .

b) Determina r el va lor Qo de reacció n del proceso. 198 ku. en el nú cleo e) Obtene r la energ ía de separac ión del último neutrón 198 arla compar y Au el para n nucleó por a medi enlace d) Calcul ar la energía de con el resultado obtenido en el apartado c). , co mo produc to residua l, un 11.7 En una cierta reacció n nucl ear A(a, b)B se obtiene un core inerte de masa 24 y por uido constit nucleido B que puede considerarse enl ace es de 30 Me V. Se de energía iente pond corres La ico. un neutrón perifér son estados de ond a S . sabe, por otra parte, que los ni veles exc itados de tal núcleo nes cuya em isión es foto los de s De acuerd o con estos datos, calcular las energía . nuclear posible, tras la c itada reacción

J t.!

12. Fisión nucl ear

Se deno mina fis ió n nuclear a un proceso nuc lear en e l que e l núcleo A (normalm ente mu y mas ivo) se frag menta en dos núcleos más pequeños (con número másico cercano a A / 2). Es un proceso exoenerg ético, es dec ir, desprende una cantidad extraordin ari amente e levada de energ ía, lo que da lugar a apli cac iones importantes. Es, por eje mpl o, e l proceso bás ico en la concepc ión de los reactores nuc leares utili zados en la producc ió n de energía e léctrica. E n la prác tica, la fis ió n que se considera rá, es un fe nóme no que atañe a los núcleos más pesados (ura nio y plutoni o princ ipalmente ) y se estudi ará con detalle la fi sió n induc ida po r neutrones. En efecto, e l neutrón es un proyectil ideal porque al ser neutro no hay barrera cul o mbi ana que le impida penetrar en un núcleo y provocar una reacc ió n nuclear.

12.1 Fisión nuclear 12.1.1 Antecedentes E. Fermi (Premi o Nobe l de Física en 1938), rea li zó experime ntos de captu ra ne utró ni ca en los que un núcleo al absorber e l ne utrón, se tran sforma en un isótopo con un neutró n más, generalm ente dando lugar a un núcleo inestable que decae por la des in tegrac ió n ¡J- posterior, aparec ie ndo así el núc leo siguiente en la tabl a de Mende leiev. Efecti vame nte, al decaer por desintegra c ión f3 da lugar al núcleo Z + l. Este fu e e l mecani smo de síntesis de los e lementos tra nsurá nidos , aquéllos que se e ncuentra n más all á del urani o e n la tabl a de M ende leiev. El mi smo proceso es e l que expl ica la fo rmac ión de núcleos con A > 56 en las etapas fi nales de las estrell as. O tto Hahn (que fue e l único de los descubrid o res que rec ibi ó e l pre mio 1 No bel, de Q uímica , en 1944), Li sa Meitner y Fritz Strass mann en e l año 1939 , investigando en la síntes is de los tra nsuránidos advirtiero n la ex istenc ia de la fis ión in ducida por ne utro nes, un a reacción alta me nte exoenerg éti ca. Fue el pr pi o Fe rmi , en parale lo con F. Jo li ot y L. Kowarsk i, qui en descu brió la posibi li dad 1

Resu li aclos pub l i aclos en Na111nvisse11schajie11 27 ( 1939) 11.

34.

/\n tonio F'e rrer ori 1

ele reacc ión en cadena e n la fi sió n, convirtié ndo la en una reacc ión con apli cac iones prácticas como fuente ele energía, ya que o ri g inó la posibilidad ele reali zar reactores ele fisión. La fisión es un proceso en el que un núcleo se rompe en dos cuyos números másicos son cercanos a la mitad del número másico A del núcl eo padre. Dacia la riqueza en neutrones del núcleo inicial, en el proceso de fisión se suelen e mitir también varios neutrones:

X ---+ Y +Z+n+n+ ... Los núcleos resultantes Y y Z son altamente inestables ya que se encuentran lejos del valle de la estabilidad, razón por la que inician cadenas radiactivas.

12.1.2 Energética La fisión es el resultado de la competición entre fuerzas nucleares y culombianas. Sea un núcleo X (ejemplo: 238 U) que se escinde en dos Y, Z, que con el objeto de simplificar el razonamiento se supondrá que tienen aproximadamente el mismo número másico ~ A/2 (ejemplo, ~~ 9 Pd). De la curva de estabilidad se deduce para las energías de ligadura por nucleón, respectivamente, (EL/A)u ~ 7,6 MeY/nucleón y (EL/A)Pd ""' 8,5 MeY/nucleón ; se trata, pues, de un proceso exoenergético. En efecto, el valor Q = (mini - m f in )c 2 = EL(f in) - EL ('i ni) = 238(8, 5 - 7, 6) Me V, por lo tanto se ceden 238 x 0,9 ~ 214 Me Y por fisión; o sea, se liberan más de 6 órdenes de magnitud de energía que en el caso de las reacciones químicas (procesos atómicos). Siguiendo un modelo tipo Gamow de la desintegración a, los dos fragmentos de fisión que tienen un radio R ~ 6, l fm, ven una barrera culombiana Ve de 250 Me V, demasiado grande para franquearla de manera espontánea. La fisión espontánea de los uránidos es, en efecto, improbable. Así por ejemplo, la vida media por fisión para el 238 U es T¡( 238 U) = 10 16 años, aunque la probabilidad de fisión aumenta con el número másico A, de forma que es observable para el 100Fm: TJ(i88Fm) = 10- 4 años= 3,8 h. El i88Fm tiene 8 % de probabilidad de desintegración a y 92 % de fisión espontánea. De hecho , como se verá más adelante, la fi sión espontánea es el proceso dominante para núcleos con A ~ 300.

12.1.3 Modelo de gota líquida para la fisión Cuando se estudió la desintegración a siguiendo el modelo propuesto por Gamow y otros, se supuso un problema de una partícula (el núcleo a ) en el potencial nuclear creado por el núcleo padre. Para escapar de dicho pozo de potencial , la partícula a debe de vencer la barrera culombiana deb ida a la carga e léctrica del núcleo hijo . Ahora , en e l caso de la fi sió n, también se trata de un problema de venci miento de la barrera cu lombi ana, pero esta vez la barrera es debida a los dos 346

Fisi

11 1111rle , ,.

nú ·I os re. ultantes de la fi sió n. "Ste mode lo para ex pli ca r la fi sió n fu e inic ial m nte propuesto por Bohr y Whee le r en 1939. Es más sencillo ahora pensa r en un potenc ial debido a la deformac ión nuclear, como se puede ver en la fi gura 1 . 1. La deformac ión nuclear es causada por las enormes fu erzas centrífugas de l núc leo padre debidas a su estado rotacional elevado. Si se deforma un núcleo esférico, se observa un máximo de energía potenc ial en función de la deformación. La fisión no puede tener lugar porque existe una barrera, la llamada barrera de fisión: E¡ en la figura 12.1. Hay que aportar una energía, que permita franquear la barrera; esta energía se llama energía de activación (del orden de 6 Me V para el U) , entonces puede tener lugar el proceso de fisión nuclear (según el modelo de gota líquida). El valor Eren la fig ura es e l correspondie nte a la energía que se liberaría en la fisión (214 Me V en el caso de l 238 U) . Se demostrará más adelante que la barrera de fisión desaparece para los núcleos que cumplen Z 2 /A ?: 49, y entonces la energía potencial seguiría la línea de trazos; la fi sión sería entonces un proceso espontáneo.

-~ V

•• •• ----

"

.__. d

d

d

E

d Figura 12. l: Variación de la energía potenc ial con la deformación nuclear, mostrando la barrera de fisión E¡. Arriba, e l significado de d.

Para estudiar el origen de la energía de fisión , se utili zará un mode lo en e l que e l núcleo es un a gota líquida de forma el ipsoidal , con semieje mayo r 2 y cuyo vo lumen es V = ~1Tab , 1 a = R(l +E) y semieje menor b = . .:> vl +E mi smo que si fu ese es fé ri co (E = 0) , puesto que e l núc leo es inco mpre: ibl e. Al

rfi:-:

. 47

A111011io F'errer 'orio

deforma rse, la superfi c ie aumenta :2

S = 4nR 2 (1 + -2 E2 + ... ) 5 con lo que el aumento de la energía de superfi cie es: E~ y la energía culombi ana disminu ye:

Ec1

( 12. 1)

= as A 2 / 3 (l +

= E c ( 1 - 1 E2 + ... )

t E2 + ... ) ( 12.2)

5

de esta manera, la diferenc ia entre la energía de li gadura, hasta orden E2 , entre e l núcleo deforma do y el esférico es:

6.E

=

EL(E) - EL(O)

=

-asA 2 13 (1 + gE 2 ) - acZ 2A - 113 (1 - tE 2 )+ +asA2/ 3 + ac Z2A- 1/ 3+ ...

~ E2 ( -

tasA2/3 + t a c Z2A- 1/3 )

La fi sión espontán ea tendrá lugar si la configur ación nuclear deforma da es energéticame nte más favorabl e que la esférica; para e llo debe cumplirs e que 6.E > O, o sea, -!ac Z 2 > gasA, es decir Z 2 /A > 2a s /ac, que numéric amente :

( 12.3)

lo que implica que A 2'. 300. Casualm ente para A = 300 hay un máx imo de estabilid ad debido a que la capa ne utrónica con N = 184 se completa . Así pues, la estabilid ad bajo fisión depende de Z 2 / A; los núcleos ligeros (A < 200) son muy estables bajo fisión. La deforma ción nuclear, caracteri zada por E es la causante de la fisión ; produce un aumento de la energía de tensión superfi c ial y una disminu ción de la repul sión culombi ana. Una esfera presenta un cociente S / V mínimo, con lo que, en este caso, la repulsión culombi ana es mínima. En el supuesto que la deforma ción valga IEI = O, 29, puede calculars e que la barrera de fi sió n para los uránidos val e E¡ ~O , 45 (49 - Z 2 / A) Me V. La fisión es pues un fe nómeno de penetrac ión de barrera al igual que la desinteg ración a , pero esta vez la barrera es la creada por la energía debida a la deforma ción. La llamada barrera de fisión de altura E¡ que aparece (véase fi gura 12. 1) puede ser franquea da natural o artificial mente. Se di stingue así la fisión espontánea de la fi sión inducida por bombard eo de neutrones. La energía de activac ión va disminu yendo a medida que Z 2 /A aumenta (según el mode lo de la gota líquida) y para Z 2 /A > 49 la energía de activació n es despreci able, con lo que la barrera de fisión desapare ce. 2 En efecto, la superfi cie del elipsoide va le

a - b / a, el coefi ciente de deform ación.

348

S elip = 2rr ab (

V1=f2 +

arc:in e) siendo

E

=

f?i.l'i

I Í IÍ // •/(' I /'

en la fi ura 1 . onsiderando la fi sión spontánea, pucd - ompro barse , si 'lle, cualitaeríodo semip del que efectiv amente la variac ión del loga ri tmo de una barrer a cia presen en nel tú tivame nte, la forma espera da por el efecto núcleos co n Para fa. al ión c integra des cul ombi ana E¡, como se encon tró en la in stantá nea; es ción integra des la ión, A ;:::: 300, al desaparecer la barrera de fis ránidos, la transu s alguno y uranio el no pueden exi stir núcleos establ es. Para 8 tiene deU §~ el emplo ej Por le. ciab fi sión espontánea es prácticamente despre ilidades : probab ntes siguie las con ánea sintegrac ión a y puede tener fisión espont 23su ___, 23 4Th

2

38U---- >

5~ Br

>. 0 = 5 x 10- 1s s- 1

+a

+

5

~j La + 3n

AJ = 3

X

10- 24

}

S- l

7 n 6 x 10- de los casos, lo por lo que la fisión espon tánea representa una fracció que la hace despreciable y cas i indetectable .

Ui' 20

o

•C tll

r:

16 ·O "(ij ;;;: ~ 12

240 pu

~

•

....

e 138 pu • 236 pll

a::ll

.2

246cmz" cm

8

•

2•1cm • • •

•

4

~ Cm

2 2

200 cm

2wcr • • i4Bcr .

e 246 Cf

2so c m

• 252 F m e 2s0F m

o

•

•

l54Fm

254 cr

• 248 Fm

•

-4

l56F m • 2•6Fm

-8 lSB Fm

- 12

34

•

•

36

40

38

2"Fm

42

2

Z !A de fis ión espont ánea para F igura 12.2: Variac ión del logaritm o del semiperiodo 2 R. Yanclenbosch ancl J. de s tomado Datos . A / Z de n funció en s, varios núcleo R. Hui zenga Nuclea r jission. Academic Press ( 1973).

A111tmio F'e rrer 'ori

1

12.1.4 Características de la reacción de fisión inducida Un mecanismo que permite la fisión instantánea de algunos uránidos es el fenómeno de la captura neutrónica. Se consigue por bombardeo del núcleo fisible con neutrones térmicos. Se llama así a los neutrones con una energía cercana a 0,025 eV, es decir, la eq ui valente a la energía kT de la temperatur a ambiente (300 K). La reacción típica es: ( 12.4)

Los núcleos resultantes de la fisión (Y y Z) no son siempre los mismos. Existen otras posibilidades, por ejemplo: 40 Zr + 5 2T e o también 36 ]{ r + 56 Ba, etc. La fisión inducida por neutrones tiene lugar porque tras la captura neutrónica, e l sistema adquiere una energía de excitación que supera la barrera de fisión (E¡), con lo que la fisión es instantánea . La explicación es la siguiente; tomando por ejemplo el 236 U, que se fo1ma después de la captura neutrónica del 235 U, tiene, por lo menos, una energía de excitación (Eexc = 6, 5 Me V) superior a la energía de activación necesaria para vencer la barrera de fisión (E¡ = 6, 2 MeV). En efecto, la energía adq uirida por e l 236 U después de la captura neutrónica será E exc = Tn + Q con Q = (m[235 U] + m n - m[ 236 U])c2 que coincide con la energía de separación neutrónica del 236 U , es decir Q = Sn(2 36 U ). Si e l neutrón es térmico, la energía cinética T n es despreciabl e; sin embargo, para la fisión con neutrones rápidos, Tn es importante y contribuye a E exc· Si se hace el mismo cálcu lo para el 238 U se obtiene: E exc(2 39 U) = 4 , 8 Me V mientras que E¡ = 6, 6 Me V, por lo que no puede tener lugar la fisión por captura de neutrones térmicos. La diferencia de las energías de excitación entre núcleos pares e impares puede entenderse por el término ó de apareamien to de la fórmula de masas; la diferencia entre el 235 U y el 238 U es llEexc = 2J. La energía de excitación es mayor para núcleos con A impar (y Z par) y casi igual a la de activación . Ello es consecuenc ia del mayor valor de de la energía de separación Sn en los núc leos par-par. La energía de excitación se llama así porque e l estado n +235 U es un estado de masa superior a la del estado fundamenta l del 236 U y al formarse éste (después de li gar al neutrón) la energía de ligadura que sobra se transforma y se manifiesta como una energía de ·excitación . Se cumplen las sigu ientes regularidades en las reacciones de fisión inducida por captura neutrónica: l. Las secciones eficaces de fisión siguen la típica ley para neutrones térmicos CJ rv l /v, siendo v la velocidad del neutrón , con picos correspond ientes a resonancias entre l y 100 e V. Para el 235 U se tiene CJ = 582 b en e l caso de neutrones térmicos (Tn ~ O, 025 e V). Sin embargo para el 238 U no existe fis ión a menos que Tn 2 Me V, (véase la figura 12.3). 2. El número de neutrones producidos en la reacción de fisión , vn , no es siempre el mismo sino que depende del número másico (A) del elemento fisib le. Este número sigue una distribución cuya forma es una función de Gauss, universal, con una desviación típica CJ = 1, 08. Se tiene como va lor medio 1.1n =

3

o

2 21 , 9 J par a -1 :mpu_ sL s 233 U, 1.J" = 2, 47 para e l : ri u y 1.J.,. = 2 2 , 51 para el s n prá c Lico par a ori g in ar úni cos co mbu stibles qu e so s tres último s núc leos son los (1_~, "' Me Y), e mit ido trata de ne utrones rá pid os ue ig s ico una reac ció n en cad ena. Se gét ner ect ro e por ación (estadístico). Su esp com o en un pro ces o de eva una form a empfrica:

N( T) dT = Av 'T e-T /To dT 235 U. El val or me dio de la e ne rgía 29 Me Y par a el Con A = 1, 8 72 y T 0 = 1, ins tan tán eos (en ing lés, 2 Me Y. Se llam an neu tron es de los neu tron es es (T ) "' fi s ión , es dec ir en el mi smo en inst ant áne ame nte con la pro mp t) por que se pro duc me nto s Y y Z . 14 el que se pro duc en los frag inst ant e (un os 10- s) en

: 0,025 e V

' ' '

T,,

10

(eY )

ión eficaz de fi sión indu cida Figura 12.3: Variación de la secc rgía del neutrón, para los dos ene la por neutrones en función de 238 235 U. U y (b) el isótopos del uranio: (a) el s rad iact iva s arti de la fisión, orig ina n cad ena 3. Los núcleo s, productos neu tron es que tie ne n los elev ado núm ero me dio de ficiales que son deb ida s al mas prá c tico s de esta s ble . Uno de los gra ves pro sión fi la de tes ltan resu s núcleo mil es o mil lon es de año s element os que tien en var ios cad enas es que aca ban con de sem ipe riod o :

93 Rb

--->

Sr

--->

Te

--->

Ba

--->

08

--->

--->

Zr

J

--->

Xe

--->

Nb 3

--->

Cs

X

--->

6 10 a

Ba

33 d

4h

La

--->

9, 1 h

6,6 h

18 min

25 s 1•11

y

19s

1,7 s

13s Sb

--->

6 10 a

10 h

7 min

6s

Ce

--->

Pr 35 1

111011io 1-'e rrer 'orí

1

Estos elementos de vida med ia larga crean un prob lema de alm acenami ento, tran sporte, etc. , que tiene impacto med ioambiental y de seguridad . Entre ell os también aparecen venenos, como el 135 X e, denom in ándose así a núcl eos que tienen un a gran sección eficaz de captura neutrónica (crn+Xe = 2, 7 x 106 b). Estos venenos hay que eliminarl os porque ponen en peligro la reacción en cadena, ya que provocan un a gran disminución de los neutrones. 4. También se em iten neutrones retardados , debidos a la aparición de núcleos altamente exc itados en las desintegraciones de las cadenas radiactivas (véase la figura 12.4). Se ll aman retardados porque normalmente se producen después de la desintegración f3 del núcleo padre, con lo que son tempora lmente posteriores a los neutrones prompt. Un ejemp lo de em isor de neutrones retardados es la desintegración beta del 93 Rb ___, 93 Sr* a un estado exc itado de 7, 1 l\J eV ; es decir, tiene un energía de excitación mayor que Sn. energía de separación neutrónica del Sr. El retardo es debido al tiempo de desintegración f3 del núcleo padre 93 Rb(t 1 ¡2 = 5, 8 seg). Estos neutrones representan alrededor del 1 % del total de neutrones.

J3 98 ,6 o/o

7,1

McV

' :' N e u trón

' ' '

...

;~sr

2,7 h

-

~

Figura 12.4: Esquema de desintegración de l 93 Rb --+ 93 Sr , uno de los núcleos que se producen en la fisión. Se observa así el origen de la radiación fJ y ¡ y la emisión de neutrones retardados.

5. La distribución másica de los fragmentos se acumul a (para el 235 U) estadísticamente alrededor de Ax = 95 y Ay = 140 (por eso se llama fisión as imétri ca); este último fijo e independiente del núcleo fi sionable, consecuenc ia d la estructu ra de ca pas nu clea r; es decir, de la ex istencia de los número s mági-

3.

f·'isr 111 n11 ·te ,,.

= 2. Más 1 ·i n nú leos d istintos o n proclu id s · m 50 y l 1 1 •111 n1 os n la fi sió n; ntr llos, dos e le me nto · q ue no tie ne n núc l os esta99 111•s: ·I 1 rometi o (1 47 Prn.) y e l tec nec io ( T c). En c ua nto a la di stribuci ó n ele 1• 11 ·r •ías c iné ti cas ele los fra g me ntos, se c umple que se distribuye n in versamc nt 11 1 valor ele sus masas, y se verifi ca que Tx ~ 98 M e V y Ty ~ 66 M e V. De esta llll 1na, los frag mentos se lleva n alrecleclor del 80 % ele la e nergía ele fisión . e n ·s111 · ncrg ía , apenas llegarían a recorrer unos 2 c m e n el aire. En los reactores pi ·rd n tocia su energía c iné tica en el material del combustibl e, calentándo lo.

12.2 Reacción de fisión controlada La enorme energía clesprenclicla e n la fisión, junto con la posibilidad ele r ·acc ió n e n cadena,. cond ujo e n breve tiempo al diseño ele reacto res nucleares, ·uyo objetivo es la producc ió n, mas iva y centrali zada, ele e ne rgía eléctrica. La li s ió n nuclear control ada es e l proceso que tiene lugar en las centrales nucleares. El primer reactor nucl ear ele fisión controlada, formado por una pil a ele 1 !oques ele ura ni o (combustibl e) mezclados con grafito (moderado r), fue construido e n la Uni ve rsidad de C hicago por E. Ferm i e n 1942. Dos años después, ju nto con Leo Szilard, depositó una patente de su inve nto (Neutronic Reactor, patente número US2708656 , presentada e l 19 de diciembre ele 1944). Es posible diseñar reactores con una pil a homogénea (fis ió n con ne utrones rápidos, por ejemplo, con pluto nio y sin moderado r), o con una pila heterogéne a (combu stible y moderador) . S igu ie ndo a Fermi y Szilard e n su concepto del reactor ne utró nico, e l o bjetivo es mantener la reacc ió n de fi sió n e n cadena, contro lada. Para ello , se diseña una pila heterogénea e n la que se debe tener un conocimie nto preciso del flujo ne utrónico y que contie ne los s ig uie ntes compone ntes: combustible; el más utili zado es el uranio y sobre todo, e nriquec ido e n 233 235 U y 239 Pu, que se producen, artifi cialU. También puede usarse mente, en los reactores. - moderador de ne utro nes; genera lme nte ag ua, ag ua pesada o grafito. - barras de control (para la absorc ió n de neutrones), de cad mio, hafn io o boro. - circ uito primario de refrigeració n del núc leo del reactor; líquido (agua) o gas (C02 ). c ircu ito secundario de refrigerac ión, genera lme nte ag ua, que e n forma el vapor, se util iza para mover turbinas generadora s de e lectric idad. Se verá q ue ex isten varios di seños prácticos, con variantes ele cada uno ele los compo ne ntes descritos. Para e nte nder el funcionami ento ele un reactor, se es tud ia a continu ac ió n un mode lo ele reactor ele fis ió n con pila he terogénea c uyo nú 1

3 J

A111011io J' ,rrer Sorio

es una mezc la de barras de combustible (2:j 5 U,238 U) insertadas en un mal 1 .d moderador de ne utrones. En genera l, e l material fisible que se puede c ns id r111 (los combustibles típicos de la fisión nuclear) son 233 U, 235 U y 239 Pu. D llufl só lo e l uranio-235 es natural, aunque en una proporción isotóp ica (0,72 ~ ) 111ll baja. El 233 U se obtiene por captura neutrónica del 232 T h y el 239 J u, d 111 captura neutrónica del 238 U: 23 min.

n+ 238u

2,3 d. 239Np

(3

239pu

(3

donde el 239 Pu (t 1 ¡ 2 = 24 , 1 x 10 3 años), es fi sible por neutrones térmicos. Los procesos de captura neutrónica conducen, en cierta manera, a regenerar combustible. Por ello, al 238 U se le denomina material fértil. Pero además son un a fuente de producción de los peligrosos residuos transuránidos, también llamados actínidos. U na reacc ión típica de fisión , es la que ya se ha presentado en ( 12.4 ):

n

+

235U _, 93 Rb 37

+

i41Cs 55

+ 2n

o sea, que un neutrón térmico (que es el neutrón incidente que provoca la fisión) da lugar a 2 neutrones rápidos o prompt. En la reacción típica de fisión vista aquí arriba se producen exactamente 2 neutrones, pero estadísticamente se producen otros núcleos en el estado final, dando lugar en promedio a v neutrones rápidos, que ya se ha visto que vale v ~ 2, 47, para e l 235 U. Varía ligeramente según el blanco de fisión. Ya se ha visto que las secciones eficaces de fisión han sido determinadas con prec isión; en particular, su dependencia con la energía de los neutrones. También se conocen muy bien las secciones eficaces de otros procesos que pueden tener lugar en una pila heterogé nea, como la captura (o absorción) neutrónica , tanto en el combustible como en el moderador y los otros materiales presentes en la pila: por ejemplo, las pastillas de uranio enriquecido se suelen colocar en cilindros de zircaloy (aleación de 98 % de zirconio y el resto de estaño, hierro , cobre, niquel) . Los procesos de absorción neutrónica disminuyen el saldo de neutrones disponible para la fisión. En suma, hay que conocer los tres tipos de procesos que pueden tener los neutrones en e l material de un reactor: 1) las colisiones elásticas que moderan la energía de los neutrones, 2) la captura neutrónica que Jos absorbe y los red uce y, por último , 3) la fisión. A continuación se estudia el proceso de moderación .

12.2.1 Moderación de los neutrones El principal problema es moderar (reducir la energía media) los neutrones, es dec ir fren ar los ne utrones que se producen en la fisión y que tienen energías de varios Me Y hasta que alcancen la energía térm ica ( ~ 0 ,025 e Y). Para e llo es 4

Fisi 11 n11 ·f or •s 1rio introd uc ir material moderad or (gra fito, ag ua, ag ua pe ada , et.e.). Esreacc io nes nuc leares 1 1 NI i ·am nte, e l proceso ele moderac ió n de penderá de las raclor). o+mocle (urani reactor l de a pil la ele a materi la 1 1 1s 11 ' utrones con elásticaisiona col que T inética c ía nerg e ele utrón ne un o S ·a por eje mpl T', neutrón del energía la choque del Después A. masa ele leo 1 •111 ' ·o n un núc cumple: reacción la ele masas ele centro l e en B* ángulo 1111tido en e l •1

T'

A 2 + 1 +2Aco s B*

T

(A+ 1) 2

(12.5)

o, d · donde se confirma que cuando A es muy ligero (como el caso del hidrógen por (suponer qll • ·umple A ,....., 1), se logra el máximo de pérdida de energía s después •j ·mplo cos B* = - 1). La fracción de energía media de los neutrone 2 2 lo que con , d · ·ada choque se calcu la: x =< T' / T >= (A + l) /(A + 1) una de (pasar 1 11 ·ele ca lcularse el número medio de choques , q, para moderar desque de cuenta ·n rgía c inética de neutrón rápido, Tr, a térmico, Tt·, habida n

p 1 s den choques (Tn/To )

=

Il (Ti/Ti-

el valor medio del logaritm o vale

1 ),

i= l

log(Tn/ To)

>= n < log(T' / T)

>, con lo que:

Tr 1 q = - log(-) ~

s i endo ~

=<

(12.6)

Tt

log(T / T') >,el poder de frenado de l material, cuyo valor medio

es : 1 2

~ = --

¡

1

log(T/T ')dcosB * = 1 -

2 A+1 (A - 1) log - A A

- 1 para Si se toma grafito como moderad or, basta con unas 110 coli siones elásticas l). 12. moderar los neutrones emitidos en la reacción de fisión (véase la tabla - 1

2

TABLA 12. L: Magnitud es que interviene n en la moderación de neutrones ráp idos (Tr ,....., 2 Me Y) a térmicos (Tt = 0,025 e Y).

moderad or

X

lH 2H

0,5 0,56 0,86

12c

~ 1

0,725 0,158

q 18 25 115

CTcol (b)

CTa(b)

44,8 10,4 4,7

0,664 10- 3 4,5 x 10- 3

ó 0,76 0,998 0,895

Así por ejemplo , en e l grafito e l recorrido libre medio de moderac ió n se muy encuentra que vale f 8 ,....., 19 cm, y el tiempo transcur rido entre choques es de iones 4 generac entre stico caracterí tiempo el será Este seg. breve t 8 ,....., 10cadena. en reacción la ele temporal n evolució la nará ne utrones. Determi Si se calcu la la probabil idad de absorció n (p = o-a/ (a-col +o-a)), con el los valores de las seccione s eficaces de la tabla 12. 1, se obtie ne e l factor ra n atenuación de neutrone s ó = (l - p )q , después de q co li siones. Se observa la nt atenuac ión en e l hidrógeno (agua li gera) , que hace im posibl e un fun c iona mi críti co a menos que se e nriquezc a e l urani o.

3.

11/rmio /• •rrer

ori 1

12.2.2 Factor de reproducción k Sea un a pil a de un reactor, supuestam ente, de tamaño infinito. Se in trod uce el factor de multipli cac ión de neutrones o fac tor de reprodu cc ió n, k , y se 00 de fine corno el cociente del número de neutrones térmicos produc idos en una generació n por las fi siones, al número origi nal de neutrones térmicos en un sistema teóri co de tamaño infini to (donde no puede haber pérdidas de neutro nes). O sea k 00 = NNn . siendo Nn e l número de ne utrones térmicos de la generac ión n- l

n de la reacció n de fi sión. Un neutrón térmico produce k 00 neutro nes térmicos, de form a que podrá ex istir reacc ión en cade na si k 00 2 l. Una vez fij ado e l diseño de una pil a e l valor de k 00 será una constante de l sistema. En la práctica, el

núcl eo de l reactor es finito y por consiguie nte, habrá pérdidas de neutrones por la perife ria de l siste ma. Aparece entonces un factor de reproducc ió n efectivo, k, que quedará fij ado al fij ar el tamaño del sistema. Según e l valo r de l factor de reproducc ión efec tivo, k, que depende, e ntre otros, de la geometría de la pila nuc lear, se obtiene n tres regímene s de reacción posibles:

{

k = 1, crítica k < 1, subcrítica k > 1, supercríti ca

--+ --+ --+

reacc ión en cadena, controlad a se apaga la reacci ón explosión

Utili zando corno combu stible el 238 U puro, se tendría siempre k < 1 ya que la secc ió n e fi caz de fi sión es muy pequeña con neutrones rápidos. Pero es posible di señar un reactor crítico con U natu ral; la minú scul a presenc ia de 235 U lo permite, pero a condición de e leg ir correctam ente e l moderado r. El facto r de multiplica ción in fi nito se obtiene a parti r de la ll amada fórmul a de los cuatro fac tores:

( 12. 7) El significad o de los fac tores se compre nde cuando se anali zan los procesos que pu ede tener un neutrón en una pil a nuclear. • r¡ - Factor eta - Representa e l número de neutrones producido s por fisión, por cada neutrón térmico absorbido por e l combustible. Si partirnos de N ne utrones , quedarán r¡N neutrones aptos para causar la fi sión, número infe rior a v N ya que desaparec erán neutro nes por absorció n mientras

se terrnali zan. Se estima por la fó rmula r¡ = v N + ~55 CJa ª b + Ns a as , 5 a f5 5 siendo a¡ y las secciones eficaces de fi sión (bueno) y de absorc ión (malo), y N 5 y N 8 las fracc iones de 235 U y 238 U, respectiva me nte. Po r ejemplo, se sabe que par a e l ura nio natu ral (99,28 % de 238 U y 0 ,72 % de 235 U) , se tiene:

ªª

235 U

3 6

{ a¡ = 582 b = 108 b

ªª

238 U

{ af = Ob

ªª =

2, 75 b

l· isi

11 1111 ·/ ec11'

=

,47 , para 1 uranio natural s 11 ga a 1¡ = 1, 33. Para :¿;¡r, nri 1ucc icl a l 2,5 %, ·1¡ = L, 8 . Estos val ores se pueden deduc ir a partir 1 los pará metros ele cada e le me nto que se cla n en la tabla 12.2. 0 111 0 I/

• e - Factor ele fi sión rápida - Da la ganancia en neutrones debidos a la fi sió n de l 238 U (E = l , 03). Esta fi sión ti ene lugar só lo para neutro nes rápidos (véase la figura 12.3 y la tabla 12.3) con una sección e fi caz de l orden de 1 barn. TABLA 12.2: Magnitudes que intervienen en la fi sión de los blancos típicos para neutrones térmicos. El factor r¡ es para el elemento puro.

Núcleo ;¿;;;;U 235 1/ 2381/ 239 p'U

a¡ (b) 524 582

o 750

ªª (b) 69 108 2,75 300

Vn

r¡

2,51 2,47

2,29 2,08

o

o

2,91

2,08

• p - Probabilidad de escape a la resonancia - Da las pérdidas por captura de neutrones en el 238 U , debido principalmen te a las resonancias en e l 238 U) ~ l Kbarn. Esto sucede intervalo 10 - 100 eV, en el que aa(n + mientras se van moderando los n (para pilas tipo uranio-grafito se tiene 238 U antes de ser p ~ O, 9). La probabilidad de captura de neutrones por 238 U puro, no ex iste la reacción en cadena; frenados , es muy grande. Con con U natural y agua li gera tampoco; habría que enriquecer su contenido en 235 U hasta un 3 % al menos. Para optimizar la reducción de neutrones por captura se debe realizar un diseño de la pila del reactor en el que e l recorrido moderador y las barras de combustible estén separados por ~ libre medio de moderación (unos 19 cm en e l grafito).

e. ,

TABLA 12.3: Magnitudes que in tervi enen en la fi sión de los blancos típicos para neutrones rápi dos (energías de l orden del Me V)

Núcleo

'4"'"U 238 1/ 239 P 'U

a ¡ (b) 1,27 0,52 2

ªª (b) 0 , 10 2,36 0 , 10

lln

2,46 2,88 2,88

17 2,28 0 ,52 2,74

Factor de utilizac ión térmica - Es e l facto r que corri ge la p rdid as debidas a la captura den térmicos por e l moderador (f "' O, 9). Aunqu ) "' la sección e ficaz de captura sea muy pequeña para e l grafil , ª"·(n moderador. mucho 3, 4 mbarn , hay que te ner en c uenta que hay

• f -

J 7

AnlOni o Ferrer ' Jri

1

Co n estos valores se llega a k00 = l , 11 para el U natura l y rafito como 111 derado r, pero el problema es tener en cuenta e l tamaño finito del núc leo de l reactor. Ento nces aparecen dos nuevos facto res de ori gen geo métrico: las probabilidades de escape de neutron es rápidos y lentos, con lo que el valor de l facto r de reprodu cción real (tambi én ll amado facto r de multiplicac ión efecti vo, k) es: k = r¡Epj( l - l¡ )( l - l s)

( 12.8)

de for ma que cuanto más grande es la pila del reactor , menos neutrones se pierden. En alguno s textos a P¡ = 1 - l ¡ se le denomina probab ilidad de permanencia de neutron es ráp idos y a P8 = 1 - l probabilidad de permanencia de 8 neutron es lentos, quedan do la expres ión:

k = r¡Epf P¡ Ps

( 12.9)

Podría n diseñarse pilas sin moderador; para ello deberían utilizar se neutrones rápidos y 239 Pu o 235 U puro como combu stible. Ello es debido al elevado valor de r¡, que permit e un tamaño crítico muy red ucido (varios cm). De hecho sólo bastan unos 15 kg de 239 Pu para alcanza r el tamaño crítico.

12.2.3 Tamaño crítico y constante de tiempo Dada un a configuración geomé trica de una pila de un reactor , ex iste un tamaño crítico que se define como el tamaño para el cual el balance de ne utrones da lugar a un a reacción en cadena en régi men crítico (k = 1). Este sería el tamaño ideal de una pila de un reactor para produc ir energía a un ritmo consta nte y sostenido. Con un tamaño mayor, se ev itarían pérdida s de neutron es por escape y daría lugar probab lement e a un régime n superc rítico, mientr as que para un tamaño menor que e l críti co, la reacc ió n acabaría extinguiéndos e. Un neutrón quedar á confinado en la pila del reactor nuclear siempre que la probabilidad de moderac ión sea grande. Para ell o e l tamaño de la pila es determ inante puesto que definirá el recorrido libre medio de los neutron es. Se introdu ce la longitud media de migración, que es la que recoJTe un neutró n antes de ser absorbido y su valor es L m = Je~ + e~, siendo fl.d la longitu d de difusión antes de ser absorbido y fl. 8 la longi tud de modera ción o de frenado de rápido a térmico. El tamaño crítico es:

Lm R e ex ---;:= ==

Jk

(12.10 )

- 1 ya que la probabilidad de escape de un neutró n debe ser inversa mente proporcional al cuadrado de la distancia; por lo tanto, dimens ionalm ente se debe cump lir L2 que k00 - k = [{J· Para un a central de uranio natural-grafito en donde fl.d, lo ngitud de difusión antes de ser absorbido suele valer fl.d = 50 , 8 cm y fl. , longitu d de fre nado 8 (ráp ido a térmico) va le fl. 8 = 18, 7 cm, se tiene que L ,,, = 54, 1 c m. Tambié n se

3 8

00

J?isi lt

·1

= Rr =

isto que k

1

ti ·o sería

.l , J.

11

11u ·l ,or

i la pila de l reac to r tu viese fo rm a es féri ca su tamaño

J; L.,':_

1

, con lo que la pila de un a ce nt ra l de uranio-grafito,

d ·h · t nc r un radio Re = 5 111. En cuanto a la evo luc ión temporal de l proceso, se introduce T la constante d · t ic mpo de los neutrones, obtenida al supo ner que si en t 0 hay N neutrones, 2 · 11 / 1 = lo + T habrá kN neutrones, en t 2 = t 0 + 2T habrá k N , etc., con lo quedando: ll' ' rlN = (kN - N)

dj:

1

N(t ) = No e(k -

l)~

1

(12.11)

ne utrones crecen con una constante de tiempo dada por t 0 = T /( k - 1) . Como Tes del orden de 0,1 mili segundo en un reactor térmico, un pequeño in ·rc mento de k (supóngase k = 1, 01), en una déc ima de segundo e l número de n ' utro nes (o sea, la potencia de l reactor) se multiplica por 20 000. Un reactor, ·n estas condic iones, sería incontrolab le. Los reactores funcionan en modo sub·ríti co; pero gracias a la presencia del 1 % de neutrones retardados (emitidos por los núcleos de las cadenas secundarias de la fisión y por lo tanto son procesos ·on vidas med ias T entre segundos y minutos) y de las barras de control (que son ba rras de boro o cadmio, materia les que tienen una probabilidad muy grande de -¡1ptura de neutrones) se consigue e l funcionamiento críti co. La mayo r parte de la energía producida en la fisión es debida a la energía ·inética de los productos resultantes de la reacció n de fisión. Esta ene rgía calienta enormemente el núc leo de l reactor, que hay que refrigerar. E l método de refri•cració n da lugar a las di stintas tecnologías de las centrales nucleares (BW R, de boiling water reactor, PW R, de pressure water reactor, grafito+gas , etc.) . Las altas temperaturas alcanzadas por e l refrigerador primario (agua, gas, etc.) se tra nsmiten al refrigerador sec undario y, en fo rma de vapor, sirven para mover turb in as generadoras de electric idad. 1 lS

12.2.4 Potencia producida en la fisión Así pues , por cada fisión de un núcleo de 235 U, se di spone de unos 200 Me V para calentar el medio , ya que 12 Me V desaparecen con los neutrinos que no interaccionan. En efecto, se conoce la potencia energética produc ida por un reactor debida a la energía c inética de los productos primari os e in stantáneos co n la fis ión: • fragmentos de fisión: 165 M e Y

• n instantáneos: 5 Me V • ¡ insta ntáneos: 8 MeY y también se conoce la e nergía depositada por las partícul as em itidas por los nú c leos de las cadenas radiactivas secundarias, diferidas en e l tiempo , que dan lu ar a las sigui entes cantidades aprox imada mente:

3 9

Antonio F rr r 'orio

• fJ radiactivo:

19 Me V ( 12 Me V e n ne utrinos inofensivos)

• ¡ radiactivo: 7 Me V Suponiendo, pues, que cada fi sión proporciona unos 200 Me V de e nerg ía , la fisión de 1 gramo por día de 235 U equivale a una disipación de 0,946 MW día ; en efecto:

6

X

10 23

1

13 6 = 0 , 946 MW día X 10X 200 X 1, 6 X 1086400 235 Como la e nergía producida en una centra l proviene del calen tam iento del refrigerante, se sue le habl ar de potencia térmica (gigavatio térmico, GWt) y potencia e léctrica (gigavatio e léctrico, GWe) . En promedio, como e l rendimiento es aprox imadamen te un tercio, son necesarios 3 GWt para producir 1 GWe. Puede verifi carse, pues, que una central de 1 GWe (3 GWt), fisiona unos 3 kg diarios de 235 U . Esto no implica que se consuman enteramente; simplemen te su masa se transforma en productos de fisión . Sólo se quema 200 Me V sobre 2 19 Ge V (masa del 235 U) es decir un 1 por mil ; desaparece l kg por Tm de material fisionado . La existe ncia de gran cantidad de residuos radiactivos y material activado, impli ca que al apagar un reactor, la potencia em itida no se anul a inmediatamente sino que continúa (deb ido al semiperiodo de las desintegraciones) segú n la ley:

P(t)

=

4, 1

X

10 11 [t- 0 •2

-

(t + T) - 0 •2 ]

MeV/s

( 12. 12)

por watio de nivel operativo (s i e l reacto r opera a 1 GW, hay que multiplicar por

109 ) . En esta última fórmula de la potencia P(t), t signifi ca e l tiempo transcurrido desde e l apagado del reactor y T e l ti em po durante e l cual ha permanecido activo.

Ejemplo: Si un reactor ha estado trabajando durante 1 año a una potencia de l .000 MW, al cabo de un mes después de haberse apagado, la potencia que producirá se obtiene ap li cando la expres ión ( 12. 12) donde t = 30 días y T = 365 días: P (mes) / W

4, 1 x 10 11 (30 - 0 •2 - 395 - 0 •2 ) = = 8 , 36 x 10 10 Me V/s por cada watio.

=

P( mes) = 8 , 36 x 10 19 Me V /s, ya que trabajaba a 10 9 W P(mes) = 8 , 36 X 10 19 X 1, 602 X 10- 13 J/s = 1, 34 X 10 6 w = 1, 34 MW Prod uce J ,34 MW después de llevar un mes apagado. Esto es lo que se denomjna potencia calorífi ca de la desintegració n.

12.3 Reactores de fisión A fin ales de 2003, había 440 reactores nucleares de fi sión o perativos, repartidos en 30 países de todo e l mundo.3 La potencia total instalada se elevaba 3 Datos ele

360

la A gencia Internacional ele la Energía A tómica, Vi ena, A ustri a (hllp://www.iaea .org).

t•isi

11 1111

·te 11·

6 1 W , y la prod u ción mundial de el ctric idad de ori n nu lea r r pr s ·n n 16 % del total (un os 2570 TWh nucleares), siendo Estados Unidos 104 reactores), Fra ncia (5 9) , anti gua U RSS ( 45) y Japó n (53) los países más ;:i ·l ivos. La producc ión mundial ele uranio en el mundo roza las 50.000 toneladas 1.

luba

111ua les (Ca nad á y Au stralia so n los principales prod uctores) y se estima qu • isten reser vas para al go más de 140 años, al ri tmo de producción actu al. En 1 ~ ubs u e l o español se ti enen reservas est imadas en un as 32.000 Tm de U3 0 8 . La fi gura l 2.5 muestra cómo se reparte en el mundo la producc ión el ·I • ·1ricidad ele origen nuclear. 10.1

UTHUAlllA

11.0

F'RANCE

S1.3

DEl GIUM

54.l

SlOYAKIA

47.l
BULGARIA UKR/\INE

SV EOEN

....

48.7

SLO'IENIA

ARMENIA

3!1.5

8 \fl TZERl.AMl

31.G

Ol'lCA. OEP OF

lti.1

HllNGAAY

34.S

JAPA N

29.9 29.8

GERMANY FINLAMO

2S.I 24.ó 22.4 20.l

SPAtN ClEl:HHEP .

UK USA

1'-0

RIJf.SIA

12.J 10.l

CA.NAOA

nOM.ANIA ARG9HINA

S. AFmcA

F = S.,

M EXICO ~

N[ 1l lERLA N OS

12

=

..,

=q,o

BRAZ1l 1==4.0 INDIA ~ 3.l P l\.Klf.TAN

= z.s

CtllNA ~ 1.4

o.o

10.0

10.0

38.0

40.1

68.f

10.1

70.1

80.0

1:igura 12.5: Distribución, por países, de la proporción de electricidad produc ida de origen nuclear, en el año 2003. Fuente: lA EA , Viena, Austria.

En España , en los años 1980, más del 25 % ele l a energía eléctrica fabricada era de ori gen nuclear (reactores de fi sión). La producc ión actual representa el 1 %, debido al progresivo aumento de otras fu entes renovables como los gen radores eó licos. Ex isten actualmente 9 centrales nucl eares en marcha, basad as ·n dos tipos de di seños de reactores: PWR BWR

Almaraz I y Il, Aseó I y ll, Cabrera , Trillo y Vanclell ó 11 Co frentes y Sta. M aría de Garoña

M ás del 65 % de los reactores en el mundo son ele tipo PWR y el 2 % el ti p B WR . U n esquema de un reactor tipo BWR se mu stra en la fi urn 12. 6.

3

I

1\11to nin F. rrer

oria

El tipo de combustibl e más frecuentem e nte mente utili zado es e l uranio enriquecido de 235 U al 3 - 4 %. Estructura del contenedor Contenedor de acero AQua fria aQua supercalentada Barras de Presurizador control

por evaporación

Torre de enfriamiento

Turbina de vapor

Bomba LaQo o rio [fuente de aQua fria)

Figura 12.6: Esquema de un reactor de fisión de tipo BWR (Boiling Water Reactor) . El núcleo contiene las barras de óxido de uranio y las barras de control de cadmio. La generación de electricidad se obtiene gracias a una turbina movida por el vapor de agua del circuito secundario.

12.3.1 Residuos radiactivos de la fisión; los actínidos El 90 % de los residuos radiactivos que se producen provienen de las centrales de fisión. De entre los residuos de baja y media actividad originados en los reactores de fisión (elementos de vida corta; t 1 ; 2 < 30 años) están: 9

ºSr(27, 7 años),

137

Cs (30 años), 6 ºCo(5, 3 años),

55 F

e(2, 5 años)

sin embargo los más preocupantes son los residuos de vida media larga (miles de años). Además de los productos secundarios de la fisión con vida media larga, hay otros elementos que contribuyen a la radiactividad en el seno de un reactor de fisión: se trata de los actínidos. Estos núcleos transuránidos se generan por captura neutrónica. Su nombre proviene del actinio (Z = 89), un metal pesado que precede al uranio e n la tabla de Mendeleiev. El actínido que más se produce en las centrales de fisión es el plutonio (en particular el isótopo 239 Pu). También se producen: el neptunio 23 7 Np, los isótopos del americio 241 Am y 243 Am y los isótopos del curio 244 Cm y 245 Cm, que suelen denominarse actínidos menores y su producción es muy pequeñ a respecto a los productos de fi s ión y al plutonio. Ejemplo: Entre los productos resultantes de la descarga del combustible usado e n una central PWR típica de l GW e léctrico se encuentra anu alme nte :

.6

Visi 11 1111 .¡ ,

li'

Ion ladas de uranio nriqucc iclo a 0,9 %, • 1, tone ladas de productos de fi sió n,

• _87 kg ele actínidos , e ntre los que 360 kg corresponde n a l plutonio y 27 kg a los actíniclos menores, que se reparten e n: 14 kg ele neptunio, 12 kg ele americio y I kg ele cu ri o. l .11 ra lioactiviclacl del plutonio y ele los actíniclos menores es una pequeña frac.¡ n el e la ele los productos ele fisión, pero tienen una semiv icla más larga. 1 1 rob le ma sigue siendo e l del almacenam iento ele estos materiales. Por otra parte, los ac tín iclos tienen gran probabilidad de desintegración alfa y, en caso ele ingesti rn , son más tóxicos (au nque son poco solubles) que los e lementos inestables p lr des integración beta. Transcurridos unos 200 años, la actividad y toxicidad p ll ' nc ial de los actín idos es superior a la de los productos de fisión. La solució n 1 r ' vista es cristalizarlos en cerámicas y almacenarlos en capas geológ icas prol'und as. También es posible tra nsmutar los residuos radiactivos por bombardeo · ln ace leradores de protones, aunque esta tecnología no se ha puesto en práctica to lavía . Afortunadamente tam bién se obtienen isótopos radiactivos (en reactor ·s y sobre todo en cic lotrones) que tienen aplicac ión beneficiosa en medicina 11 11c/ear :

núcleo

·· Xe 1:11 ¡ :.!:.!

8 Ra

(jºCo H!í

{( r

(agujas),

192 Ir

(hilos),

192 Au

(semillas)

aplicación malfunción pulmonar hipertiro idismo braquiterapia teleterapia trazador y detector fugas

La dosis med ia de rad iac ión que recibe el público deb ida a la indu stri a 11u ·lear (centrales, retratamiento del com bustible, transporte) se ha evaluado en unos 2 µSv , despreciable frente a la dosis anual de ori gen natural que es de unos . ,50 mSv. Rec uérdese que la dosis de radiación mortal es del orden de unos 3 a Sv (300 a 500 rem). 4 Por último, no puede sile nc iarse que, hasta la caída del muro de Berlín (en 1989), símbolo de la guerra fría, se calcul a q ue las potenc ias mundi ales ac umu luba n hasta unos 10 000 megatones de potencia destructiva basada en artefacto nu ·lcares (basta con unos 15 kg de 239 Pu para disponer de un sistema super·ríti ·o); es decir, sufi c iente capacidad destructiva como para poner en pe li gro la ·x istcnc ia ele la human idad en la Tierra. Mucho materi al fisible se consigue ele las ce ntrales nucleares, aunque para su utilización como explosivos es necesa ri o d is¡ oncr ele gra neles indu strias de reprocesamiento ele los residuos rad iactivos y olras, no menos grandes, de armamento nuclear. 1 ' Sv - Sievert, uni dad ele dosis equi valente. El· rern también es una unidad ele dos is qui va l 111 ( 1 Sv = 100 rern). Estas unid ades se han visto en el capítulo 7. que tra ta sobre radia 1ivicla 1 d .,;111 e •ración nucl ear.

3ó3

/\n l o 11io F ' r re r 'oria

12.4 . Ejercicios 12.1 Un neutrón se produce con una energía de 2 Me V y se modera hasta 0 ,025 c V ·n un moderador de carbón (p = 1, 8 g/cm 3 ). Calcular: a) e l número de colisiones necesario para moderarse; b) la lo ngitud de difu sió n térmica del carbó n para neutrones térmi cos, siendo O"a = O, 0032 b Y 0' 8 = 4, 8 b; e) la longitud de moderación en e l carbón , siendo u s = 4, 23 b para neutrones rápidos. 12.2 Determinado reactor homogéneo es crítico cuando tie ne la fo rma de un cubo de 1 m de lado. Si a idénti co material se le da forma de esfera, ¿cuál será ento nces su tamaño crítico?¿ Cuál sería el factor de multiplicación infinito, k 00 , s i L= 18 cm? 12.3 Un 5,9 % de los procesos de fisión del 235 U producen 13 7 C sen aproximadamente 5 minutos. El 13 7 Cs es un isótopo radiactivo muy peli groso cuando se encuentra libre en la atmósfera y su vida medi a es de 44 años. Est imar la actividad del 137 Cs en un reacto r que ha estado func io nando durante un año con una potencia térmi ca de 3 GW. En e l accidente de Cherno byl se liberó un 13 % de este isótopo. Calcular su actividad media por metro cuad rado si se dispersó uniformemente en 106 km 2 . Dato: la energía med ia liberada por fi sió n induc ida en un núcleo de 2 35 U es de aproximadamente 205 MeV.

12.4 Entre los productos rad iact ivos que se e mitieron en e l acc idente del reacto r de C hernobyl en 1986, fi guran el 131 1 (t 1 ¡ 2 = 8,0 el) y el 137 Cs (t 1 ¡ 2 = 30 años). En un reactor de fisión se producen del orden de cinco átomos de de 13 1 ¡ _

137

Cs por cada uno

a) Suponiendo que e l reacto r ha estado funcionando continuamente durante 10 días con anteriorid ad a la emi sión de la radi ac ión , ¿cuál de los dos isótopos contribuye más a la actividad de la nube radiact iva? ¿en qué factor? b) ¿Cuánto tiem po de be transcurrir, después del accidente, para que ambas actividades se igualen ? e) Cada proceso de fisión proporcion a por término medio una energía de 200 Me V, y alrededor del 1 % de los procesos producen 131 J. Suponiendo un reactor de las mi smas características que el de Chernobyl ( 1.000 MW ), calcul ar la actividad en O i de l t 3 1 I después de 24 h de func ionami ento ininterrumpido. 12.5 Un haz de neutro nes de in tensidad In = 10 5 s- 1 y energía Tn = O, 29 e V, inc ide sobre una lámina de 235 U de 10- 1 kg m - 2 de espesor. Calcul ar: a) e l factor de atenuac ió n de los neutrones, b) e l número de fisiones por segundo, e) el fluj o de n difundidos elásticamen te que atraviesan un a pared situada a 10 m de l blanco. [ O'ciástica(n+ U) = 2 O"fisión = 200 barns ]

X

10-

2

barns; O'capturaradiativa(n+ U -+ ¡+ X) = 70 barns;

12.6 Sabiendo que las energías de activación de los nucle idos 235 U, 238 U, 239 Pu, 240 Pu son respectivamente 6,2 ; 6,6; 6,0 y 6,3 MeV, estudi ar la posibilidad de fi sió n inducida po r neutrones térmi cos de los mismos. Hac iendo uso de la fó rmul a se mi empíri ca de la masa, razonar los res ultados.

64

13. Fusión y astrofísica nuclear

Se entiende por fusión nuclear, el proceso por el que dos núcleos, normalmente ligeros, se aproximan uno al otro lo suficiente como para que entre en juego la fuerza nuclear, se funden y forman un núcleo más pesado. Como puede observarse en la figura 1.9, el núcleo resultante tiene mayor energía de ligadura, por lo que la fusión es un fenómeno exoenergético. La fusión nuclear es el proceso que tiene lugar de forma natural en las estrellas, gracias a las gigantescas fuerzas gravitatorias en juego y por eso son fuentes de una extraordinaria cantidad de energía: brillan (emiten fotones) y además emiten otras partículas (neutrinos) de gran interés para la astrofísica. La fusión solar es, desde siempre, la primera fuente de energía sobre la Tierra. Los fenómenos nucleares de fu sión , permiten entender la evolución y, consecuentemente, el final de las estrellas, sobre todo las grandes (dos o tres veces más masivas que el Sol); suele ser fulgurante y espectacular: acaban explotando (supernovas) dando lugar a una multitud de fenómenos nucleares. Al igual que en el caso de la fi sión nuclear, estos procesos tienen una aplicación práctica pues son básicos en la concepción de los reactores nucleares que podrían ser utilizados para la producción de energía eléctrica. Si bien existen centenares de reactores de fisión por todo el mundo , las instalaciones de fu sión se encuentran todavía en fase de experimentación, por ejemplo, el proyecto internacional ITER; esto es debido a la complejidad añadida por el hecho de que los núcleos que se fusionan tienen carga eléctrica. La física de partículas está íntimamente ligada a los recientes progresos en astrofísica y en cosmología. En la actualidad esta relación ha originado una nueva di sc iplin a denominada astrofísica de partículas o física de astropartículas. Por eso en este capítulo también se abordan algunos de los fenómenos de los que se ocupa esta especialidad. De cualquier manera, tanto para explicar la evolución del universo (nucleosíntesis), como para entender el origen, funcionamiento y fin de las estrellas , es necesario conocer los procesos nucleares que se estudian e n este tema .

13.1 Fusión nuclear Las reacc iones de fu sión son aquellas que tienen lugar entre núcleos li geros que se funden dando lugar a núcleos más pesados. Ya se vio al estudi ar la curva de estabilidad de los núcleos que éste es un proceso exoenergético. E l problema es que para que la reacción tenga lugar, los núcleos deben vencer la barrera culombi ana que los separa. Las reacciones de fusión son las que generan la energía solar (y la de las estrellas): este proceso es pues responsable de la evolución de la vida sobre la Tierra. Se trata de otra vía para la obtención indu strial de energía por procesos nucleares y es ventajosa respecto a la fisión porque: • en la Tierra hay más abundancia de núcleos ligeros, • no se producen tantos residuos radiactivos de larga duración, y • no se requiere un tamaño máximo (masa crítica) como en la fisión; no hay pe li gro de accidente por explosión . pero tiene la desventaja, ya apuntada, de que para que la reacc ió n tenga lugar debe di sponerse de energía para superar la barrera c ulombi ana (aunque tenga lugar por efecto túnel).

13.1.l Procesos básicos de fusión nuclear Como se acaba de ver, para que la fusión nuclear tenga lugar, es necesario que los núcleos venzan la fuerza de repulsión culombi ana. Esto implica que los núcleos que intervie nen en la reacción de fu sió n deben tener un a energía cinética suficiente para vencer la barrera culo mbiana o al me nos para tener una elevada probabilidad de efecto túne l. Los procesos más importantes son: a) reacciones de fusión con protones; la interacc ió n fuerte más ele mental 1 H ---> 2 H e + ¡ no es posible porque el 2 H e es inestab le. No ex iste un núcleo estable formado únicamente por dos protones. La reacc ión de fusión:

1

H

+

p

+ p ---> d +e++

Ve

(Q = O, 42 Me V)

( 13. l )

es la que tiene lugar en las estre ll as. Sin embargo es una interacc ión débil (su secc ión eficaz es minú sc ul a: 1 a ,. __, 10- 47 cm 2 ) por lo que es indetectable en el laboratorio. Es un proceso inverso a la desintegración beta del neutró n, puesto que el balance de la reacción es que se transforma un protó n, libre, en un neutrón, li gado en el deuterón. b) reaccio1-1es D-D:

2H + 2H _, 3He+ n 2H + 2H _, 3H+ iH 1

En efecto,

Ja secc ión eficaz de la interacción

(C: ,.·/ (i/,(") 3 ) 2 (/ic) 2 G2 , co n

366

(Q (Q

e = Q.

= 3, 27 MeV ) = 4,03 MeV ) débil

de fu sión p

( 13.2) p es a

h 1si

11

y 1.1·1roj'sicc1nucleor

4 iado La reacción 2 f/ 2 H ---> H e+y (Q = 23,8 Me V) tiene el va lor4 de Q demas ,6 20 = (S e H del cas nucleóni 11 ión separac de g ra nde; mayor que las energías able. aprovech es no tanto lo por Me Y; Sp = 19, 6 Me Y), y

c) reacc ión D-T: (1 3.3) lo q ue es una fu ente de neutrones rápidos (con ene rgía cinética T 11 = 14,l Me Y), den sponer di o necesari es que los en procesos para que la hace muy interesante secundar ios. También podría utili zarse:

(Q = 18, 4 Me V ) 3 má aunque para e llo debería di spone rse de H e y ade más, como3 se justifi cará 2. es e H del eléctrica carga la porque te interesan adelante, sería poco·

d) procesos con otros núcleos ligeros, también conside rados de fu sión: 4 n + 6 Li ---> 3 H + H e 4 4 6 H + Li ---> H e + H e 4 11 1 H + B ---> 3( H e )

2

(Q = 4,8 Me Y) (Q = 22, 4 Me Y) (Q = 8, 7 MeV)

( 13.4)

El primero, de gran utilidad para producir tritio, como se verá más adelante. En las estre ll as la energía provie ne de la fu sión de 4 protones en vari as 4 etapas: 4 1 H ---> H e + 2e+ + 2ve (Q=26,2 Me V). El paso siguiente que4 tiene e He y lugar en la fu sió n en las estrell as es cuando ya se di spone4 de suficient 1 2 C . Todos 12 ---> e entonces el proceso es la síntes is del C a través de: 3 x H a la estos procesos se di scuten con más detalle en el parágrafo 13.4.2 dedicado fu sión solar.

13.1.2 Características de la fusión nuclear Se prese ntan a continu ac ió n cuatro característi cas importantes de la fu sió n: a) energétic a En los procesos de fu sión, la energía cinética de los proyectil es suele ser Ta. ;: : : 1 - 10 ke Y, valores pequeño s respecto a Q. Por lo tanto, despreciando Ta. + T y y como Pb,....., Pv s en el proceso a + X ---> b + Y, se tiene que Q =

n

puede escribir Q =

n (1 + ::::t ) con lo que se cumple:

lo que impli ca que en la reacc ió n D-T por eje mpl o, el n es e mi tido con el 80 de la e nerg ía di spo nible (Q) .

~

A 111

mio Ferr ,,. '<

rio

b) barrera culombi ana Para que la fu sión a + X tenga lugar, los núcleos a y X deben aprox imarse hasta una di stancia sufi ciente (un as decenas de fm) . Al igual que en la desintegración cr, habrá que superar un a barrera culombi ana de va lor: Ve= afie R

Z aZx R

a+

( 13.5)

·X

siendo Ra y Rx los radios nucleares respectivos. En el caso de la reacc ión DT, la barrera alcanza Ve = o, 34 ZDZT = O, 34 Me V (mayor que los rv LO keY habituales de los reactores de fu sión), y por lo tanto la reacción de fu sión tendrá lugar por efecto túnel. La probabilidad de efecto túnel es la mi sma que la de Gamow para la desintegrac ión alfa: G = li,1

con

lb a

J2µ(V(r) - E)dr

( 13.6)

dondeµ es la masa reducida del sistema a+ X y E la energía centro de masas de la reacción. Ges el factor de Gamow, que contiene el factor de penetración de la barrera culombiana cuyo máximo es B = Ve de la ecuación ( 13.5) y recuerda que la fusión debe tener lugar por efecto túnel. Es el mi smo factor que en el caso de la des integrac ión a vi sta en (8.9), pero ahora se cumple Q = E, energía cinética en el centro de masas de la reacción a +X. Los límites de integración a y b corresponden a los va lores V(a) = By V (b) = E . Así, la reacc ión DD a una energía 2 de l keV tiene P = 10- 13 mientras que a 10 keV alcanza p = 10- 3_ c) sección eficaz Fuera de la reg ión de las resonancias, y como a baja energía la sección eficaz varía como a rv k - 2 , es dec ir, inversa mente proporcion al a la valocidad relativa de a y X al cuadrado, se cumpl e: a

1 ex - e- 2 G

v2

( 13.7)

Como Q << B, es decir, la energía en el centro de masas es mucho menor que la barrera cu lombiana, queda: G

=

e

2

47f<:o

7rZaZx liv

y aunque falta conocer el elemento de matri z nuclear y los factores de espín, la expresión anterior contiene toda la dependencia con la energía. La fórmu la exacta de Gamow para la secc ión eficaz de fu sión es: S(E) _ 27racZaZx a ax (E) = - - e v

E

2Se ut il iza

68

E para la energ ía cinética, con el obj eto ele no confundir con T, temperatura .

t•;1si n

1,1·1mfisi · / 11 ;1 ·le 11·

·ial da cuenta d 1 f ·to tú n ·l. l \l 1 rim r fa Lor es el l. rmin o nuclear y la xpon n = 1~,. "" 10 ke V · n la h' ( ! ~ ) es cas i consta nte y va le unos 5,4 M e V ·ba rn para E 1 rú ·tica se suele utili zar la parametri zac ión:

B' ln(Ea ax) = A' - -

( 13.8)

JE

en conoc idos ex perim endonde los valores de las constantes A' y B ' son bi efi caz en func ión de la ión lulmente. La observación de las curvas de la secc e conclu ir rápidamente ·nergía cinética, E = Td (véase la fi gura 13.1 ) permit ble, y a qu e es la más favora que, en cualqu i er caso, la reacci ón D-T es la más proba ble a menor energía. · 11

10

-1

10 A b

-4 10

-5

10

~~1--~~

~1-~~~>--~--'f--~--'f--~

20

60

40

Td

80

100

(keV)

s D-T y Fig ura 13. 1: Secció n eficaz de fu sió n para los proceso n. uteró de el D-D en función de la energía del proyec til:

d) veloc id ad de reacc ión viene dado por el va l r El ritm o de produ cc ión ele las reacc iones de fu sión va bl an ·o-proy 1i1 relati d med io del produc to ele la secc ión efi caz por la ve locida

3 >'

A111011i 1 l ·erl"'r 'ori

1

(av) (por ejemplo, en e l caso de la captura ne utrónica este producto es consta nte, ya que a "' l /v). Para calcularlo , se supone una distribución de velocidades de Maxwell (deducible de la distribución de energías de Boltzmann); en eq uilibrio térmico, la probabilidad de encontrar una partícula, de masa m, con un a velocidad en el intervalo (v , v + dv) a una temperatura T, es: f(v)dv

= 471" ( -1n- ) 3/2 v2 e-mu, 2/ 2kT dv 27rkT

Para la fu sión termonuclear, el valor medio de la velocidad de reacción:

(a(v)v) ex:

100 a(v)ve- mv2 / 2kT v2dv

(13.9)

viene determinado por el crecimiento de la sección eficaz de fusión y la disminución de la distribución de Maxwell; el resultado de la convolución entre el espectro de Maxwell y la probabilidad de efecto túnel que aparece en el cálculo de la velocidad de reacción < av > da un máximo para el valor de la energía, llamado pico de Gamow, Be, visible en la figura 13.2 cuyo valor es:

3 Be = B1¡/ (kT/ 2) 2 13

con

quedando:

y tras la integrac ión:

(a(v)v)

=

~ kT

( 2Be ) 3µc2

1/2

S(Be)e- 1, 89(BB/kT)l / 3

(13 .10)

con lo que el ritmo de la reacción D-T a energías de 1O ke V es de "' 10- 22 m 3 /seg . También se verifica que el valor óptimo del cociente (a1~v) se sitúa entorno a los 10-20 keY. En la figura 13.2 también se han representado la velocidad más probable, Vp = J2kT /m, la velocidad media , Vm = jSkT /7rm, y la velocidad cuadrática media Vrms = j3kT /m. Por lo tanto, de nuevo , se encuentra que la reacción D-T es ventajosa ya que tiene un ritmo mayor que las otras, si se compara dicho ritmo a las energías operacionales de los reactores de fusión termonuclear controlada previ stos (T "' 10 8 K o sea B"' 10 keV) : 10- 22 m 3 /s para D-Ty 10- 24 m 3 /s para D-D. La conclusión del estudio de las características de las reacciones de fusión más interesantes para ser utilizadas en la fusión termonuclear conduce a selecc io nar como la más eficiente a menor temperatura (T "' 10 7 - 10 8 K equivalentes a B "' 1 - 10 keV) a la reacción D-T.

370

F usi Jll

o .1· 1 rr~jisi

·a 1111cle 11·

f( v)

v cr(lj

Figura 13.2: Di stri bución de ve loc idades de Maxwe ll de partícu las con energía kT. Se observa e l pico de Gamow (Ea ), resultado de la convo lución con < o-v >.

13.2 Reactores de fusión Desde 1945 se han propuesto va ri as ideas para utili zar la fu sión como fuente de energía, • por confinam iento magnético ( 1945, Alvarez, Fermi , Te ller), utili zando imanes espec iales para ca lentar y concentrar e l plas ma (tokamak); • por confi namiento inercial: una pastill a de combustible (D y T) es bombardeada desde varias di recc iones por láse r y por partícul as; • y la ll amada fu sión fría, po r catáli sis deµ ( 194 7 , Frank, Andre i Sakharov

Las dos primeras utilizan e l confi namiento del pl as ma caliente de deuterio-trit io, En efecto, todo lo que se ha estudiado hasta ahora da la ve ntaja al proceso D-7': 2

H

+

3

H ___, 4 H e + n

(Q

= 17, 6 Me V)

éste es más favora ble energéticamente, y además tiene la sección e ficaz óp li111 r1 alrededor de unos 10-20 keV de energía c inética (véase la fig ura 13. 1). La fus ión D-T no presenta problemas de abunda nc ia de combustibk . l•I de ute rio se enc uentra en e l ag ua en una proporción 1/6500. E l tritio es in ·1.1,1 ble (t 1 ; 2 =12,26 años) pero se obtie ne fác il me nte por bombardeo neutróni ' (I d1 1 li tio:

1n +

6 L'i

___, 4H e+

3H1

1 1, 11 )

proceso exoenergético (Q = 4 , 8 M e V) o también:

n

+

7

Li ___,

4

H e + 3H

+n

1 1, 1 1

proceso endoenergético (Q = - 2, 47 Me V) . Las abunda nc ias re lativas d1•l li11 " son 7,4 % (6 L i ) y 92,6 % (7 L i ).

A111011 io P•rrer 'oria

Los di seños de las ce ntra les de fu sió n uti li za n e l ca lor prod uc ido po r estas reacc iones, que ca lientan e l Li y un a vez líquido, tra nsfiri endo e l ca lo r a otro c ircuito secundario, generan va por que puede mover turbinas . Ade más esta energía térmica, mantiene el plas ma caliente. Todo ello , grac ias a los ne utro nes de la reacc ión D-T (T11 = 14, 1 Me V) que, además , sirve n para fa bricar e l tritio necesario al reaccionar con el litio.

13.2.1 Reacción de fusión controlada. Criterio de Lawson Para lograr la fu sión termo nuclear control ada y poder extraer energía es necesario traspasar el punto de ignición, es dec ir, aquél en el que la e nergía produc ida es igua l a la que se necesita para mante ner la reacción de fu sión. Los requerimientos son: • calentar el combustible (D keV),

+ T) has ta te mperaturas T

,. __, 108 K (E ,. __, 1O

• mantener una den sid ad e levada du ra nte un tie mpo sufi c iente. Los prod uctos de reacción a e levada temperatura se encuentran en estado de plasma. Esto es, a la temperatura de operación los átomos no están ligados. El problema es la pérdida de energía por bremsstrahlung de los e- del plasma. Se demuestra que la densidad de potenci a radiada por bremsstrahlung es:

siendo n + y n e las densidades de iones y e lectro nes y donde kT viene dado en ke V. Se observa que los procesos D-T son ve ntajosos (véase la fi gura 13.3) ya que la de nsid ad de potenc ia emitida por la fu sión supera rápidamente las pérdidas por bremsstrahlung (a partir de T ,. __, 4 keV para D-Ty ,. __, 40 keV para D-D). El criterio de Lawson da la condició n mínima para que la energía e mitida en la fu sión supere las pérdidas por radiac ión y las del calentamiento de l plas ma. Sea T el tiempo de confinamiento del plasma, y n la de nsidad atómica (nD ,. __, ny ,. __, n / 2), que es igual a la densidad e lectrónica n e. La energía produc ida por unidad de volumen en la fu sión e n el pl as ma será: 1

E ¡ = ¡n2(uv) QT siendo , en el caso D-T, Q = 17, 6 Me V y la velocidad de reacc ión (u v) = 10- 22 m 3 /s , a la temperatura habitual de 10 keV. La energía térmi ca necesaria para cale ntar io nes y e lectrones a la te mperatura Tes senc illamente E y = 3nkT (la mitad iones y la mitad e lectrones) . Habrá producc ión de energ ía si E¡ > Ey ; o sea: nT

37

> l2kT

(uv) Q

( 13.1 3)

f.'11si 11

1

o.1·1rojisi ·o 1111cle 11'

!08

,--.

"'6

10

o...

106

~

7

Bremsstrahlung

1cf

104

1()3

IOO

10

1000

Td (ke V) Figura 13.3: Comparación de las pérdidas por bremstrahlung con la potencia emitida en las reacciones D-T 21 3 y D-D, suponiendo una densidad de iones de 10 /m , en fu nción de la temperatura. La reacción D-T supera las pérdidas por bremsstrahlung a menor temperatu ra que la reacción D-D.

º

es decir nT > 10 2 s/m 3 , si la te mperatura es de 1O ke Y. Ahora bie n, para prod uc ir e ne rg ía e léctrica hay que te ne r en cue nta e l rendimie nto e n la tra nsformac i n de e nergía té rmica (nucle ar) a la e léctrica, r¡ , que sue le va ler '"'"' 30 % con lo qu ·

1) l 2kT

nT

> ( ry (av )Q

El criterio de L awson ha sido ya a lcanzado po r las instalacio nes ex pe rime nta l s (tokamak) de fu s ió n. Todavía es pronto para di señar un reac to r capaz de prod u ir e ne rg ía industri a lme nte. Vi stas las ventajas de la fu s ió n fre nte a la fisió n, se dispone de una fu e nte de e ne rg ía no contamina nte, y sin probl e mas de combustibl , para e l futuro . Las insta laciones ex pe ri me nta les de fu sió n te rmo nuclear po r con fi nam i nl mag né tico tokamak (del ac ró nimo e n ru so) son gra neles to ros e n c uyo int ri r se hace e l vacío; los io nes ele deuteri o y tritio ll ega n a l estado el pl as n a por ·a li nta mie nto (po r ejem plo por in te nsas corrie ntes e léctri cas) y se co nfi na · n

37.1

An1011i' Perr •r Sorio

dos fu ertes ca mpos mag néticos ; uno toroidal y otro poloidal. Los iones y e lectrones del plasma, describen un a hé lice a lrededor del eje del toro. Mantener este plasma a la temperatura de 10 8 K, representa un reto tecnológico y un desafío para la selecc ión de los materiales de la instalación. Por eso la construcción de una central de fusión es mucho más compleja que la de una central de fisión . Tres proyectos de tokamak, iniciados a mitad de los años 1980, han alcanzado las prestaciones nominales del diseño; el TFfR (Toka mak Fusion Test Reactor, Princeton, EEUU), el JT-60 (Jaeri Tokamak, Japó n) y Europa desarrolló e l proyecto JET (Culham, Reino Unido). Estos dos últimos han conseguido alcanzar el criteri o de Lawson. Ahora se está negociando e l proyecto más ambicioso co ncebido hasta hoy: el ITER , promovido por todas las potencias mundiales. Su concepción prevé una potencia de 1,5 GW y mantener e l confinamie nto del pl as ma (de 2000 m 3 ) durante lOOO segundos.

13.3 Astrofísica nuclear El mejor laboratorio de fusión termonuclear se tiene e n cualquier estre lla. Pero antes de abordar el funcionamiento del Sol , primero se rev isan brevemente los conceptos de nucleosíntes is primordi al contenidos en la teoría del big-bang. El interés de l estudio de la fusión en el Sol , se centra en explicar la nucleosíntesis este lar y comentar las ev ide ncias sobre el déficit de los ne ut.rinos solares, problema que ha sido resuelto pero que ha ab ierto un n.uevo frente de investigac ión ligado a la masa de los neutrin os. Es una muestra de la conex ión entre fís ica de partículas, física nuclear y cosmología.

13.3.1 Cosmología del big-bang. Nucleosíntesis primordial El universo tiene unos 13.500 millones de años (con un error de unos 1.200 millones de años). Su edad ha sido determinada con una cierta verosimilitud gracias a la teoría del big-bang y a tres resultados de ex perimentos cruciales; la expansión del universo; es decir el alejam iento de las galax ias entre sí (Edw in Hubble, 1929); la medida de la radiación de fondo de microondas (fotones de energías de l orden del me V) de l un iverso, tanto en e l valor de su intensidad co mo en la magnitud de su ani sotropía (10 - 5 ), origen de las super estructuras (galax ias, clusters y superclusters) y, por último, las medidas de abundancia relativa de los e lementos li geros (1 H , 2 H , 4 H e, 7 Li). Se puede afirmar que estas observac iones son las reliquias de l big-bang, y que estos resultados han conve rtido a la cosmología en una teoría moderna con sólidas bases ex perimentales. Segú n la cosmo logía del big-bang, el universo es consecuencia de un a singul aridad espacio-temporal. Inic ialmente, la temperatura T y la densidad de mate ri a p eran infinitame nte grandes y se encontraban en equilibrio las partículas e lementales (q uarks, leptones y bosones intermed iarios; entre ell os los foto nes, que so n las pa rtícul as que compo nen la radiación) y sus antipartícul as . La fís ica 374

/<'11si 11 y ostrr~/Y.1· i · 1 1111 ·Icor

de pa rtícu las ex pli ca los procesos q ue pueden te ner lugar entre estos constituye ntes en fun c ión de su energía. A partir del in sta nte del big-bang, e l uni verso ini c ia su evo luc ión , es dec ir e l espac io y el tiempo se ex pande n. La fig ura 13.4 muestra las fases de la evoluc ión del uni verso, representando la energ ía po r partíc ul a (equi va lente a la temperatura) en función del tiempo. La relación entre la te mperatura (T, en grados K) y el tiempo (t, en segundos) en el período de domin anc ia de la radiació n (densidad energética de los foto nes superior a la densidad energética de la materi a) se demuestra que viene dada por:

T ~ 1, 5

10

X

10

[K]

( 13.14)

.ji,

y describe la evolución te mporal del uni verso primord ial. La expansión implica enfr iami ento, es dec ir, la ene rgía media de las partículas va disminu ye ndo y las pos ibles reacc iones que pueden tener lugar va n desaparec iendo. La progres iva d isminución de la e nergía (la temperatu ra) en fun c ión del tiempo fija la hi storia del uni verso. Ejempl o: só lo para temperaturas superiores a la masa del protón, kT > Jvlpc 2 existe eq uili brio con la radi ació n: ¡ + ¡ f---7 P + p.

1 TeV

1 GeV

cu

~c. 1 MeV .... o

c. ~

'

Fin de la unificación clectrodébil /'

Transición c1ua rk- hadrón

13

¡

10 Nucleosíntesis del big-bang

'3 ,::

,;s

'

¡

Radiación dominante kT

Ocsaco¡>hunicn1 o de los ncut rinos

a t

2 - 1/

T [K]

Desacoplo materia-radi ación formaci ón de átomos

1 keV

e +p <~ H +Y

4'

e

¡;.,¡ 1 eV

JO

Materia dominante 1 meV

kT

1

a

10

6

Tiempo

1-

213

J0

12

3

X

J0

17

[s]

Figura I 3.4: La evolució n del uni verso segú n la teoría del big-bang.

Para desc ribir la nucleos íntes is primordial, se han selecc ionado cuatro etapas:

1/ La nucleos íntes is primo rdi a l e mpieza hac ia los 3 segundos después de l 9 big-bang , en los que la te mperatura T ~ 9 x 10 J( y se tie ne que el coc iente de

7

Antonio F'err r Soria

neutrones y protones N n/Nv = O, 23. En efecto , a esta temperatura la distribu c ión de Boltzmann, que da Ja distribución de la energía entre partículas, predi ce e l cociente N 11 /Nv = exp(-Q/ kT) , siendo Q = m n - mp = 1, 293 Me V. A partir de aquí su evolución será tal que en el instante t habrá N n (O) e- t f'r ne utrones y Nv(O)

+ Nn(O) (l - c t/ 7 )

protones, fabricando deuterio en equilibrio:

p+n ,_.. d +¡ hasta que los fotones no tienen suficiente energía para disociar el deuterio (como Q = 2, 22 Me V, ello sucede cuando la temperatura baja hasta Q / 40 Me V o sea hacia los t ~ 400 seg). 21 A los 400 segundos el deuterio empieza a fusion arse creando otros núcleos , entre ellos el helio:

d +n----> d +p---->

3

3

H +¡ H e+¡

d + d ----> d + d ---->

3 3

H +p H e+ n

y fin almente: 3H 3H

+p----> 4 H e+¡ e +n ----> 4 H e+¡

y así se llega a explicar la abundancia primordial del H e. En el universo, el 90 % de átomos son de 1 H y el 9 % de H e. Resumiendo, las abundancias más representativas son: 4 H e/ 1 H = 0, 1; 2 H/1H = 1, 6 x 10- 5 y 7 Li/ 1 H = 10- 10. 31 Hasta unos 300.000 años después del big-bang , la materia (protones, electrones y átomos de hidrógeno) se encuentra e n equilibrio con la radiación (fotones) a través de los procesos:

pero al bajar ele unos 10 4 K la radiación se desacopla de la materia (es cuando los átomos de 1 H se forman y los fotones ya no tienen suficiente energía para ionizarlos). La temperatura de los fotones va descendiendo a medida que se expande el universo. Por eso se dice que se han convertido en una de las reliquias del big-bang. 41 La siguiente etapa es la de formación de las galaxias, a partir de la acción gravitatoria que se ejerce sobre los cúmulos de gas (1 H y H e principalmente) .

La ley de Hubble Una de las evidencias de la expansión del universo se debe a Hubble quie n observó el desplazamiento al rojo de los espectros de las galaxias lejanas, y dedujo que esas galaxias se alejan con una velocidad proporcional a su distancia a la Tierra:

(13 .15)

376

/.'11sir 11

1 strr~(is i ·o 11ucl 't11

sí y 1 Es la ll a mada Ley de Hu bb l . Es el c ir, toda. las ga lax ias se a lejan e ntre l· Hubb de uni ve rso se ex pande (véase la fi gura 13.5). El va lo r de la consta nte 1 ele l na io 65 ± 5 km s- J Mpc- . Recué rdese que la unid ad convenc es H0 3 di sta nc ia e n as tronomía es e l parsec (pe). za La de te rminació n de la veloc idad ele a lejam ie nto de las ga lax ias se rea li La z). lu la ele rojo l a nto ie corrim l de fenómeno l (e Doppler gracias a l efecto ll a ele longitud de onda,\ de una de las rayas del es pectro , emit ida por una estre ifica: mod se , v/c) = fJ sea, (o v idad veloc con a lej a se que una gal ax ia lejana

=

1 .\

= ,\V~ ~~= .\ (1 + z)

hasta sie ndo z = ~,\ / ,\ e l paráme tro de red-shift , que ha llegado a tomar valores de z = 5. ~--~--~--

so.000----------

bii

~ 40.000

E ó

~ 30.000

"O

·oo

-.;

> 20.000 10.000 ~----1---L---..+---,___ 400 300 200 100 o Distancia (M pc)

__¡_ ___¡._ __,

500

600

700

Figura 13.5: Veloc idad de expansión de las galax ias en fun ción de su d istanc ia a la Tierra.

El fondo de radiació n de microondas nEvidente me nte, al seguir ex pansioná ndose el universo , la radiac ió n va e confriándos e sigui e ndo la ley vi sta en (13. 14), de fo1111a que e l universo puede un a con fotones para negro cuerpo del espectro El . negro rpo ue c siderarse un 1 da e ne rg ía E = hv, vie ne dado por la di stribuc ión de Bose-Ein ste in , que 3 El parsec (del inglés paral/ax second), correspond e a la d istancia desde la cual una uni lucl

11 m, distanc ia del eje mayor Tierra-Sol ) subtiende un :íngulo de un astron ómi ca (UA= 1,49598 x 10 n. Su va lor es pe = 3,262 aílos segundo de arco (para laj e) perpendicul armente a la línea de obser vació lu z.

377

A111011io Ferrer 'orio

número de partíc ulas por unid ad de volumen con un mome nto co mprendido e ntre p y p + dp: 2 g, p dp n(E)d ( 13. 16) p -

7r2ñ,3

(é /kT _ 1) 2

donde g1 da cuenta de los posibles estados de espín del fotón (g 1 = 2). El fondo universal de radiación de mi croondas fue descubierto por A. Penzias y R. Wil son en 1964. Su medida fue .A = 7, 35 cm, correspondiente a una temperatura de cuerpo negro de 3, 1± J ,OK. Hoy se sabe que la temperatura del fondo es: 2,725 ± 0 ,002 K 4 gracias a las medidas del satélite COBE. Los resultados ex perimentales obtenidos con el saté lite COBE se muestran en la fi gura 13.6 donde, además, puede comprobarse que la curva continua sigue de manera extrao rdinaria la prev ista para una distribución de cuerpo negro a 2,7 K, segú n ( 13. 16).

E (.)

-;-

U;
1.0

E e> (/)

~

o

10 Frecuencia

v,

( cm - 1 )

20

Figura 13.6: Las medidas obtenid as por e l satélite COBE de la radiac ión de fondo de l unjverso. La curva corresponde a la di stribución de la rad iación de un cuerpo negro a una tem peratura T = 2, 73 K.

De la radiación del cuerpo negro se puede obtener la densidad de fotones e n función de la temperatura T:

n 1 = 2, 0 x 10 7 T 3 4

¡/m3

Por el lo, J . M alher y G. F. Smool rec ibieron el Premi o Nobel de Física en el año 2006.

37 ~

P11si

11

1

o.1·1mf si ·o 1111 ·/e 1r

2 o sea que hoy se ti enen 400 "Y/cm:J, cuyo equi va lente energ Li o E/c = O,';: 0 e V debido a los foto nes primo rdi ales por cm . La de nsidad de malcria es sin m9 bargo , mucho menor: n nuclcones = 10- n,. , pero la de nsid ad ene rgéti a d biela a los nucl eones es casi tres órdenes de mag nitud mayor; por eso en e l uni vers actual se dice que domina la materi a (véase la fig ura 13.4). Uno de los grandes retos pendientes de Ja cosmo logía (y de la física el partícul as) es que e l uni verso parece que se compo ne de un 30 o/o de materia y un 70 o/o de energía. Sin embargo, Ja densidad de materi a vi sible (estrell a', etc. ) representa sólo e l 0 ,3 o/o y se estima que la cantidad total de materi a barió nica e · ;:::; 3 %. Luego só lo se conoce la naturaleza del 10 o/o de la materia de l uni ver o. Hasta el 90 %, hay mucha materia que falta por descubrir, cuya natu raleza e desconoc ida: es la llamada materia oscura. La materi a oscura se deri va, entr otros, de la observac ión de la ve loc idad de rotac ión de las estrell as en las ga laxias (v ,...., constante e independie nte de r, di stancia al centro de la galax ia, en vez de v ,...., l / r , como por ejempl o en el siste ma solar). Esto ex ige la presencia de una masa invi sible, desconoc ida y di stribuida uni fo rmemente por e l ha lo galáctico. El otro reto aún más profundo es que e l 70 o/o del uni verso está compuesto de la llamada energía oscura, de la que no se sabe su natu raleza, aunque se supone que es la causante de la ex pansión acelerada de l uni verso (una fu erza gravitatori a repul siva?) .

13.4 Fusión solar y neutrinos solares 13.4.1 Evolución del Sol El sistema solar es más joven que e l universo. Su origen es muy pro bablemente la consecuenc ia de la reagrupac ión gravitatori a de las cenizas de una expl osión de una gran supernova. Las medidas de la edad de los meteoritos, la L una y otros objetos celestes, han llevado a calcular la edad de l sistema solar en unos 4.500 millones de años . E l Sol es una estrell a de tamaño pequeño-medi ano. Una de tantas, entre las 200.000 estre ll as de la galaxia de la Vi a Láctea. Brill a porque e mite fotones (cuantos de luz) resultado de las reaccio nes de fus ión de l hidrógeno que tie nen Jugar en su núcl eo. El resultado de las reacc io nes de fusión es crear helio , núcleo mu y li gado y estable, a partir del hidrógeno. A pesar de que las fuerzas de Ja grav itac ión son enormes, tanto en e l co mo en otras estre llas, e l siste ma no co lapsa precisamente debido a la eno rm energ ía emitida e n los procesos de fu sión de l So l que ca lienta e l gas y gen ra un a pres ió n de l gas y de la radi aci ón en contra de l col apso. Esto no du ra in cl fi nidamente ; todas las estre ll as tienen un fin al que puede seguir di stintos caminos dependiendo de su masa. Aparecen así fenó me nos as trofísicos especLa ul ar s como las supe rnovas , las enanas blancas , las estre ll as de ne utro nes y los a uj ros negros e ntre otros.

'7

Antonio Ferr"r 'ori

1

13.4.2 Los procesos de fusión en el Sol El Sol es un astro de tipo mediano que tiene los siguientes parámetros: 10 30 kg. R @ = 6, 96 x 108 m. ("-' 100 x R T ) L@= 3, 86 X 10 26 w.

M@= 1, 99

X

este último es la luminosidad del Sol, que equivale a "' 2 x 10- 4 W/kg. Por ello , a la Tierra llegan 1,4 KW/m 2 . El Sol, como las otras estrellas , es consecuencia de un cúmulo de gas resultado de una fluctuaci ón. La temperatura media del Sol, T"' 1, 16 x 10 7 K ("-' 1 keV, recuérdese que 1 eV== l ,16 x 10 4 K , simplemente el inverso de la constante de Boltzman) proviene de la energía gravitacional:

A esta temperatura , todos los átomos de 1 H y de 4 H e están ionizados (plasma). Esta energía gravitacional aumenta la temperatura y cuando alcanza los 10 7 K ("' 1 keV) puede iniciarse la fusión (el llamado ciclo P P) en el seno del plasma de 1 H:

Q (MeV)

PPI(60 %) 1H

____, 2 H +e++ V e H + H ____, 3 H e+ry 3 H e + 3 H e ____, 4 H e + 21 H

+

1

1H

2

PP II (24 %)

Q (Me V) 3

7B

H e+

4

H e____,

7

e+ e- ____, 7 Di+ 1.Je 0,86 + 1 H ____, 4 H e+ 4 H e l 7,35

7 Li

PP III (l %)

B e+ 'Y

0 ,42 5,49 12,86

Q (Me V) 1,59

B e+ iH _,s B +ry 0,14 ____, 8 B e* + e+ + 1.le l4,02 8 B e* ____, 4 H e+ 4 H e 3,03 7

8B

El balance en el caso del ciclo PP I se puede concretar diciendo que se fusionan 4 átomos de 1 H dando 4 H e+ 2e+ + 2ve con Q = 26 , 72 Me V. En efecto, hay que compensar con 4 electrones; dos se asocian con el helio y los otros dos se aniquilan con los dos positrones; el balance es Q = 2 x O, 42 + 2 x 5, 49 + 12, 86 + 4 x O, 511 = 26, 72 Me V. Cada átomo de 1 H quemado por el So l contribuye con 6,68 Me V de e nergía. De hecho, sólo se producen unos 25 Me V útil es, porque 4 neutrinos se escapan del Sol sin perder su energía.

3HO

J.'11sir 11

1

1.1·1mf sic 1 1111 ·I • 11'

7 Las vél ri anLes PP 11 y Pl 111 apa rece n cuando se produ e 8 y su ba lan · sigue sie ndo Q = 26, 72 Me V po r cada núcleo de he li o (Q = O, 42 + 5 , tl9 1 1, 59 + 0, 86+ 17, 35 + 2 x O, 511 Me V para PP lJ y Q = 0,42+5, 49+ J , 59 -1 O, 14 + 14, 02 + 4 x O, 511 Me V para PP llI). La diferencia entre cada un a d las variantes del c icl o PP se reconocen por la presencia de un neutrino con un espectro (o un valor) di ferente de energía. Física mente, e l embudo en la producc ión de energía en las estre ll as es la creación de deuterio, ya que es un proceso debido a la interacc ión débil. A 33 barn, que aumenta energías del orden de l keV la sección efi caz a(pp) ~ 101O órdenes de mag nitud si la energía es del orden de 1 Me V Como en cada fusi ón se producen 25 Me V, para ex plicar la luminosidad 3 38 del Sol, son necesarias 10 fu siones/segu ndo, con lo que se fusionan 4 x 10 56 protones/se gundo. Como en el Sol hay unos 10 protones, ¡todavía podrá fun 10 años! c ionar e l Sol du ra nte otros 10 7 En el centro .de l Sol T = 1, 5 x 10 f{ (~ 1, 3 keV) . A pesar de la alta 3 25 3 densidad protónica, Pv = 125 gr/cm (n p = 7, 5 x 10 p/c m ), la velocidad 56 18 s- 1 por protón x 10 p = 1038 /s. Se de reacción es baja: (av) ~ 5 x 101 ve que hay un cuello de botell a porque sólo se forma 1 deuterón por cada 10

protones. Mientras dura la fu sión de l hidrógeno, la temperatu ra del Sol, permanece constante porque luminosidad y potencia generada por fu sión son iguales. La contracción grav itatoria se compensa por la presión del gas (a temperatur a T) y la radiación . 1 La composic ió n interna de l Sol es, aproximad amente, un 71 o/o de H, un 27 o/o de 4 H e y sólo el 2 o/o lo co mponen núcleos de C, N, O, Ne, !Ylg, Si, S , F e, preferentem ente con Z par porque siguen la secuencia de la fu sión por he lio. Cuando la densidad de 4 H e es suficiente (lo que coincide con temperatura s 12 del orden de T ~ 108 K), puede sintetizarse C grac ias al ni vel exc itado o+ , conoc ido también como la resonancia de 7,65 MeV. Los estados nucleares de l 2 permiten entender los procesos que tienen lugar en el Sol. En la fi gura 13.7 t pueden observarse estos nive les. En efecto a temperatur as > 108 K pueden tener lugar los procesos:

c

a+ a

-+

~Be

-+

a+ a

do nde el ~ B e , núcleo muy inestabl e con una anchura intrínseca r = 6 , 8 e V 15 seg; a pesar de e ll o, vive correspondiente a una vida media T = O, 98 x 10 proceso: el lo sufi c iente para que tambié n pueda tener lugar

a + ~ Be

-+

~ C* 2

+'°Y

La primera reacc ió n es endoenergé tica (Q = - 0, 09 Me V) y la segunda, alLamente exoenergét ica (Q = 7, 367 M e V, a só lo 287 ke V de la resonanc ia). esta manera puede crearse e l estado excitado de 7654 keV del carbono qu , al des inLegrarse, alcanza de manera irrevers ible e l estado fund ame nta l. Ell o s 1 o17 sible porque la vida media del estado de 7654 ke V es de 5 x 10- s g, inf ri r a la de des integrac ión del ~ B e .

38 1

A11!011io F'errer 'orio

A partir de la ex istenc ia de sufi c ie ntes núcleos de

12

C, comienza e l c ic lo

CNO, en donde e l 12 C actúa como catali zado r de la fusión de l 4 H e, a l igual que en los ciclos PP. Aquí llega a perderse e l 5 % de la energía en emi sió n de ve. El c iclo CNO es más rápido ya que no existe el cue llo de bote ll a de la síntesis del deuterio. Sin embargo, la barrera culombi ana es mayor y e l ritmo de reacc ión se ve frenado a no ser que aumente la temperatura de la estre lla.

CNO (1 5 %) l4C + p ----> LJ N +'Y 13 N ----> 13C + e+ + V e 13C + p ----> 14N +'Y

Q(MeV) 1,94 1,20 7,55

o+

2+

l"

l

CNO 14N + P ____. 150 +'Y 15 0 ----> 15N + e+ + V e 15 N + P ____. i2c + 4H e

7654

r = 8,5

4439

r = 0,0 108 e V

Q(MeV) 7,29 1,73 4,96

eY

E2

o+

o

12c

Figura 13.7: Esquema energético de los dos primeros niveles excitados del núcleo 12 C . Las energías están en ke V.

Pero la temperatura aumenta y continúan los procesos de fu sió n hasta llegar al 56 F e, a partir de l cual ya no se crean más núcleos por fu sión, puesto que estas reacc iones son endoenergéticas . El proceso de fu sión de núcleos, se para. A temperatu ras de 108 K , materi a y radiación están en equilibrio (los fotones se materializan e n pares e+ e- y la aniquil ación e+ e- produce pares de fotones). Se hace posibl e de esta manera que un a serie de interacc io nes débiles sean posibles, po r eje mplo : l. e+ +e- ----> Ve + V e (Q = 1, 02 Me V) 2. e+ + e- ----> vµ + v1, 3. 'Y + e± ----> ve + i/e + e± 4. e±+(Z , A) ----> e±+ (Z , A) +ve+ve

Todos e ll os so n procesos por intercambio de bosones W o Z, o producción de Z virLU al.

.R

F11si 11 y a .1· 1 roJZ~· i ·a nucl •ar uand e l nú c leo de la estrell a ll ega a estas te mperaturas, e l gas de e lectro nes es degenerado. La energ ía de Fermi puede ser sufi c iente para que tenga lugar la ca ptu ra e lectrónica: y

y la presenc ia de neutrones va a ser capital para la continuac ió n de la evo lución de la estrella. A parti r de T'"" 109 K pueden sintetizarse núcleos con A par, po r ejem plo: 2 ~ C +a

->

6 ~ 0 +'Y

Se ve pues que los núcleos resultantes de reacc iones con a (núcleos pares) son más abundantes que los impares. También se ve que núc leos con A < 56 abundan mucho más que los que tienen A > 56. El proceso de síntesis de núc leos con A > 56 tiene lugar gracias a la presencia de neutrones e n la estre lla . 1 proceso es la captura neutrónica :

(Z , A) +n -+ (Z,A+ 1) +'Y seguida de des integrac ión beta, que orig ina el núc leo Z + l. Las estrellas tienen varios fina les distintos , según su masa. Las estrellas como e l Sol o más li geras, acaban como enanas blancas. Estas son astros muertos con una masa igual a la de l Sol y un radio casi igual al de la Tierra. Se bloquea su evolución porque la presió n del gas degenerado de e lectrones frena e l colapso grav itacional y no aumenta la temperatura, por lo que se van enfriando. Las que superan el límite de Chandraseka r (M ;::: 1, 44 x M @) suelen acabar ex plotando; la pres ión grav itatoria supera la del gas de Fermi , degenerado, de e lectrones re lativi stas. Entonces, al consumirse e l hidrógeno, se enfría la estrella, colapsa gravitac ion almente y explota (supernova) ; por ejemplo en 1054 dC en la constelac ión cangrejo o la más reciente SN l 987B. El co lapso gravitacion al puede dar lugar a la formación de una estrell a de neutrones (dependiendo de la masa de la estrell a). Bonito ejemplo de un e norme sistema que puede ser descrito como un gas de Fermi. Si la masa es suficientemen te grande puede dar lugar a un ag ujero negro.

13.4.3 Los neutrinos solares En los ciclos P P de fusi ón que tienen lu gar en e l Sol se emiten ve. Estos neutrinos informan sobre los fenómenos que tienen lugar en e l interi or de l So l. Por e l contrario, los fotones llegan a la superficie del Sol después de mill ones ele años de haber sido producidos, pudiendo entonces escapar, con lo que e ta energ ía emitida en forma de fotones contribuye al ca lentamiento de la fotosfe ra, la zo na ex terior de l Sol donde la e nergía despre ndida en las reacciones nuc lear s es fina lmente convertida en luz. El conoc ido Mode lo Estándar So lar (SSM), de Bahca ll et al., pred i · nC1mero de neutrino · so lares que son e mitidos po r e l So l. Estas pr cli io n s

/\ 1110 11 io l ·'errer 'orio

puede n o bservarse e n la fi gura 13.8, en donde para medir e l Aujo ele nc utrin os se utiliza co mo unidad e l ac ró nimo SNU (So lar Neutrino Unir), que mide e l producto
+r+ C l __,

e-

+r; Ar

(Q

=

- 0, 81 Me V)

Observó 0 ,40 ± 0,06 átomos de 37 Ar radiactivo por día, lo que equivale a 2,1 SNU, mientras que e l SSM predice 7,9 SNU. Este ex perime nto era inse nsible a los neutrinos ele la cadena PP I puesto que su energía es infe rior al umbral de la reacc ión de l C l (0 ,81 Me Y). Este ex perimento es el que originó e l conocido dé fi c it de neutrinos so lares. • El experimento KAMIOKANDE , propuesto por M. Koshiba (Premio Nobel de Física 2002) es un detector situado en Japón. Es un enorme tanque de 2 000 Tm de agua, situado en una mina subterránea, rodeado de fotomultipl icadores que detectan la luz Cherenkov produc ida por los secundarios de las interacciones de neutrinos con el ag ua. Ha publicado un cociente Exp/Teór = 0,46± 0,05, confirmando e l anterior déficit de neutrinos solares. Una de las aportaciones originales de Kamiokande es que mide la dirección de los neutrinos, confirmando su origen so lar. Este experimento , como el de Davies, es sensible a los neutrinos de l 8 B (véase la figura 13.8). Ahora ha sido ampliado en 50 000 Tm de agua (se llama Superkamiokande). Un resultado inesperado y sorprendente fu e la detección por Kamiokande y otros ex perimentos el 23 de febrero de 1987 de un paquete de 12 neutrinos (¡de los 10 16 que lo atravesaron' ) procedentes ele la supernova SN 1987 A que ex plotó (a 170 000 años lu z) en la cercana ga laxia de la Nube ele Maga llanes, en un intervalo de algunos segundos. • SAGE, (Soviet American Gallium Ex periment), basado en la reacc ión:

q ue es sensible a los neutrinos de la cade na P P J. En el ex perimento esperan 132 SNU y han reportado un resultado de 69 ± 10 (error estad ístico) ±20 (erro r sistemático) SNU, con un nive l de confian za de l 90 %. ·

384

F11si 10

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2

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10

E nerg ía de los neutrinos (M e V) Figura 13.8: Espectro de ne ut rinos solares inc identes en la Tierra. Se observan los espectros continu os de l proceso pp y de la des integrac ión de l 8 B así co mo los picos monoenergéti cos de la captura e lectrónica de l 7 B e (hay dos picos ; el de mayor energía prov ie ne de la des integrac ión 7 al estado fun damenta l del Li y e l de menor energía al pri mer estado 7 exc itado de l Li) y del proceso pep que tambi én contri buye a la síntes is 2 de l de uteri o: p + e- + p ---+ H + l/e .

• GALLEX, situado en e l Laboratori o del Gran Sasso, cerca de Roma, en un túne l bajo 3.500 m equi va lentes de ag ua, que red ucen e l fluj o de cósmicos en un fac tor 106 respecto a la superfi cie. Después de dos años de fun cionamie nto , el fluj o de ne utrinos medido es de 79 ± 10 ± 6 SNU , c ifra mu y infe rio r a los 128 ± 10 SNU esperados. Se puede conc lu ir que ex iste un défic it de neutrinos solares en la T ierra. Es e l conocido problema de los neutrinos so lares. Una de las ideas que ha res ue lto e l probl ema es que esta desa paric ión de neutrinos es debida a las osc il ac io nes entre fa mili as . Es un fe nómeno de natural eza cuántica. Lo mismo sucede cuando se estudian los conoc idos ne utrinos a tm os~ ri cos, que aparece n en las desintegrac iones de las partícul as q ue se prod ucen en las reacciones de los rayos cósm icos con los núcleos de la atmósfera. Las me li cias hechas en e l experime nto subterráneo de Kami okande (Japón), tamb ié n con luye n q ue los neutrinos osc ilan y por lo tanto tie nen masa, aun que probab l m nt muy peq ue ña .

'H.

Anl
¡:,,.,.,,. Sorio

La conc lu sió n de este tema de astro fís ica nuc lea r es que han apa rec ido dos grandes retos a la física de partícul as: uno, e l de la ex istenc ia de una gra n cantidad de materia, cuya natu ra leza ni es conoc id a ni fo rma parte de los constituyentes de la materi a que componen e l modelo estándar de las partíc ul as y que se estudiará en los siguientes temas. Por otra parte, e l estudi o de los neutrinos procedentes del So l, ha abierto un nuevo frente de investigac ió n e n física de neutrinos, habiendo quedado establecido que los neutrinos oscilan, es decir, cambian de naturaleza (sabor) al recorrer grandes di stancias. Fenó meno cuántico que implica que los neutrinos tienen masa, aunque ésta es minúscula. De nuevo este hecho no está previ sto por e l modelo estándar que supone que los neutrinos tienen masa nula. Se está ante uno de los pocos fe nómenos que neces itan la incorporac ió n de nuevas ideas físicas.

13.5 Ejercicios 4 3 13.1 En la reacc ión de fu sión D-T, H ( d, n ) He, la energía que se libera por cada fu sión es Q = 17, 6 Me Y, suponi endo que toda la energía es aprovec hable, calcular la ve locidad de consumo de deuterio y tritio para conseguir una potenc ia de 1

MW. 13.2 Teni endo en cuenta que la sección efi caz de fu sión ti ene un comportami ento u ex 1 - 20

-;i- e

,

a) calcul ar e l coc iente de las secc iones eficaces de fu sión D-D a 20 ke V y 100 ke V y verific ar dicho coc iente en la curva de la fi gura 13.1 ; b) hacer lo mi smo con las secciones eficaces de fu sión D-T.

13.3 Calcular: a) la te mperatura necesari a para vencer la barrera cul ombian a y b) la energía de fusión desprendi da en un pl as ma de : 1) io B; 2) i2C; 3) 14 N; 4) 14 N y 5) 160. 13.4 a) Demostrar que e n una reacc ión de captu ra de ne utrinos, v + A X --> e + 2 A X' , e l valor de Q, definido como Q = (m;. - m¡ )c , coinc ide con la diferencia de las masas ató mi cas de los núcleos invo lucrados. b) Des prec iando la energía c inética de l núcleo fin al, e l va lor de Q es igual a la energía mínim a que debe poseer e l neutrino para dar lugar a la reacc ión. Ca lcul ar la energía mínima del v para qu e se puedan producir procesos de captu ra por parte 37 C l, 71 Ga y 115 I n. de los núcleos: 37 e) En el ex perimento de Davis se utili za C l para detectar los v de la fu sión solar. Comentar el uso de estos detectores para observar neutrinos solares procedentes 7 7 de los procesos : p + p --> d + e+ + v y B e + e- --> Di + v. d) Calcular la energía del neutrino emitido y la ene rgía c inéti ca de los núcl eos de 7 7 7 Li, en e l proceso solar de captura e lectróni ca B e + e- --> Di + 1/. sión solar p + fu de reacción la en neutrino del e) Obtener el rango de energías p --> d + e+ + J/. Suponer que los protones inic iales ti enen energías c inéti cas des preciables.

386

Parte V

Física de partículas

14.

Constituyentes de la materia: introducción y generalidades

14.1 Introducción La física de partículas (denominada también física de altas energías o física subnuclear) es la disciplina científica que tiene por objetivo determinar cuáles son los constituyentes básicos o elementales de la materia y las propiedades de . las fuerzas que intervienen en sus interacciones. En los últimos 25 años del siglo XX, el progreso del conocimiento sobre las propiedades de los constituyentes fundamentales de la materia y sus fuerzas dio lugar al modelo estándar de la física de partículas (exceptuando la gravitación, que tiene poca influencia en el mundo de las partículas). Este modelo es la referencia que se tomará a lo largo de estas notas. Este modelo se basa en la ex istencia de doce fermiones constituyentes elementales de la materia; seis quarks y seis leptones, que interaccionan a través de tres fuerzas fundamentales representadas por sus correspondientes bosones. También se ha probado la 'x istencia de los doce antifermiones fundamentales. Las partículas elementales han ocupado durante mucho tiempo el papel preponderante de los estudios de la física de altas energías, y lo siguen ocupando, aunque el rol de lo que se ha venido denominando partícula elemental ha sido siempre más amplio que la propia definición. La denominación de física de altas energías proviene de dos conceptos: a) por el hecho de que hay partículas fundamentales, como el bosón Z 0 , cuya masa es elevadísima, M z = 91 ,1876 GeV/c 2 , casi 100 veces la masa del protón. La equivalencia entre masa y energía (E = m c 2 ) impli ca que para producir estas partículas es necesaria mucha energía, o sea, hay que provocar colisiones a alta energía; b) por la dualidad onda-corpúsculo, que postula que toda partícul a de momento p ti ene una longitud de onda asoci ada A = h /p . Para ex ¡ !orar 1 infinitamente pequeño (longitud de onda pequeña), es necesari o di sponer de proyectil es de a lta energía .

Antonio F'e rrer Soria Para ci mentar los conceptos contenidos en el mode lo esl
1

es decir, una velocidad cercana a los 300.000 km/s. Otra consecuencia es que la masa no se conserva; puede crearse o destruirse. Eso sí, la energía siempre se conserva. Para ello, hay que incorporar la masa como un a nueva forma de energía . Es bien conocida la relación entre la masa en reposo, m, de una partícula y la energía asociada, dada por la fó rmul a de Einste in : ( 14. 1)

La relati vidad obli ga a reconsiderar las nociones de espacio y ti empo absolutos e idénticos para todos los observadores, inj cialmente formuladas por Isaac Newton. Esta concepción, aproxi madamente válida en lo cotidi ano, es inapli cable a entes que se despl acen a grandes velocidades ya que tanto el espacio como el tiempo son relati vos al sistema de observación. Son conceptos tanto más di ferentes cuanto la velocidad re lativa de los sistemas de referencia sea más cercana a c. La mecánica cuánti ca por su parte introduce muchos conceptos revolucionarios que se aplican al mundo atómico y subatómico. U n concepto macroscó pico, el determjni smo cl ásico, queda re legado en el microcosmos por el principio de incertidumbre, que relaciona las incertidumbres de dos magnitudes conjugadas, por ejemplo la posición y el momento, x y p a través de la conocida expresión de Heisenberg:

6.. x i::..p 2 h/ 2n y, por lo tanto, postul a la imposibilidad de conocer simultáneamente la posición y la cantidad de mov imiento de una partícul a (por eje mpl o, del electró n en el áto mo) y en la que interviene la constante de Pl anck:

h

=

6, 626076

X

10- 34

] · S

cuyo va lor n_umérico es tan peq ueño que só lo tiene consecuencias importantes en el mundo atómico y subatómico. De especial relevancia es la relación de De Broglie:

( 14.2)

390

011.1·1i111 en/es d , lo 111m r i 1: i111 m du c ·i 11

y ge11era l idades

que da la longitud de onda ,A asoc iada a una partícul a cuyo momento es p. Ju stifica, corno ya se ha visto, la conex ión ex istente entre la fís ica de altas energías y el estudi o de los constitu yentes básicos de la materia. Al aumentar la energ ía de un proyectil , disminuye linealmente el tamaño mínimo de la estructura analizable po r la onda asoc iada a dicha partíc ul a. En el año 1997 se celebró el centenari o del descubrim iento del e lectrón, puesto de manifiesto en los trabaj os en los tubos de rayos catódicos ll evados a cabo por J. J. Thomson. Tambi én se celebró el cincuentenari o del descubrimiento de l pión en los rayos cós mi cos. Hace tan sólo cincuenta años eran conoc idas un as pocas partícul as: el electrón, el protó n, el neutró n y e l neutrino junto con e l cuanto del campo electro mag néti co, el fotó n. Lo curioso es que la materi a que nos rodea puede explicarse prácticamente con estas partículas. Sin embargo, el estudio de las propiedades de la fuerza nuclear entre protones y neutrones, así como la búsq ueda de nuevas partícul as inestables que se producen en las reacc iones de los rayos cósmi cos, dieron lugar al desc ubrimiento de centenares de partícul as inestables que sembraron la duda sobre el concepto de partícula elemental. Otra revolución, esta vez tecno lógica, marcará a partir del fin al de la segunda guerra mundi al el progreso de la fís ica de partícul as : el desarro ll o de los aceleradores. Éstos, que fueron pensados para escrutar el interior de los núcleos, permitieron fa bricar en e l laboratorio numerosas nuevas partícul as . Con ellos, en pocas décadas, se logró un considerable avance en la comprensión de las pro pi edades de la materi a. Entre los conceptos más originales cabe citar el del modelo de quarks constitu yentes de los hadrones. 1 En esta impresionante carrera en búsqueda de lo desconocido, cabe c itar los espectac ulares descubrimientos de los años l 970, debidos sobre todo a los colisionadores de partícul as, último es labón del desarrollo de los aceleradores. Se descubren nuevos q uarks, confirmando las especulac iones lógicas y abstractas sobre los constituyentes fun damentales de la materia. En 1983, se detectan por primera vez los bosones intermed iarios de la interacción electrodébil , partícul as ll amadas w ± y zo, en el CERN (G inebra). En los años 1990 se culmina otra etapa muy fructífera en la que se confirma la ex istencia de sólo tres fa mili as de neutrinos en el LEP (coli sionador e+ e - ) del CERN y en la que se descubre el sexto y úl timo de los quarks en el Tevatró n de Fermilab (Chi cago, EEUU), el quark top. Al mismo tiempo se confirman numerosas predi cciones de l modelo estándar de las partículas. Este conjunto de descubrimientos han revolucionado nuestro conocimi ento sobre las propiedades de la materi a al igual que hicieron las teorías de los años 1920 y l 930. En lo que sigue, se procederá en primer lugar a dar un breve repaso de la evolución hi stórica de los descubrimie ntos más relevantes de esta di sc iplina, fru to del progreso del conocimiento acumul ado en sólo un siglo. 1 Se denomi nan hadrones a las partíc ul as que sienten la interacc ión fuerte o interacc ión nucl ar. Se verán en el terna 16 dedicado a la es pectroscopía de had rones.

39 1

Antonio F rrer Sorio

14.2 Del e - al

zo. Los descubrimientos de partículas

14.2.1 Las tres primeras partículas (antes del neutrón) A finales del siglo XIX ya se hablaba, utilizando para e llo un lenguaje ondul atorio, de tres tipos de rayos : • canales(+), los conocidos iones positivos, medidos originalmente por W. Wien, • catódicos (- ) , es decir los e lectrones, • luminosos(¡ ), con las mi smas propiedades que los rayos X. Éstos fueron descubiertos en 1895 por W. C. Ri:intgen (el primer premio Nobel de Física en 1901 ). El electrón es uno de los primeros corpúsculos, identificado por primera vez por J. J. Thomson, 2 en 1897, precisamente un año después de l descubrimiento de la radiactividad (así ll amada por la propiedad que tenía e l radio de em itir ciertas radiaciones) por el físico francés H. Becquere l. A partir de entonces, nace un a nueva denominación de las partículas utilizando también la denominación ondulatoria de rayos y que aún perdura hoy:

• a , posteriormente identificados como núcleos de he lio,

• /3,

los e lectrones, y

• "'f , los fotones.

El experime nto de Thomson de medida de la carga del e lectrón fue realizado con un tubo de rayos catód icos. El físico francés J. Perrin demostró, uti li zando un campo e léctri co, que las partículas emitidas (por efecto térmico) en el cátodo de un tubo de rayos catód icos tenían carga negativa. Thomson utilizó un tubo de vacío en el que montó un campo e léctrico de intensidad E y un campo mag nético B. Midió la posición del impacto de los e lectrones después de atravesar los cam pos eléctrico y magnético, e n una pantalla de sulfuro de zi nc (S Zn). El principio de funcionamiento del ex perimento de Thomson es e l sigui ente. Sea un haz de electrones con dirección perpendicular a un campo e léctrico y magnético, conoc idos y perpendiculares e ntre sí, tal como puede verse en la figura 14. 1. Supó ngase que la deflexión de los electrones es nul a. Como consecuenci a, el efecto combinado de E y B permite determinar la ve loc idad de los electrones. En efecto, se cum ple que Fe = - F,n , las fuerzas e léctrica y magnética so n opuestas, con lo que:

q{ = qiJ o sea, v

X

B

= E/ B.

2 .J oseph John Thom son ( 1856- 1940) rec ibi ó el Nobel de Física en 1906. Fu e el terce r director del Laboratorio Cavendi sh, sucediendo a John Willi am Strutt ( 1842- 1919) y al geni al James Clerk M axwe ll ( 183 1- 1879).

39

011,,·1i1uye11ie.1· le lo 1110/erio : i11t md11c ·i m

g >nero l id l(/e.1·

N

- e

Fi gura 14. l: Esquema del ex perim ento de Thomson, con los campos [ y B implementados en el interi or de un tubo de rayos catódicos en el que se había producido un vacío muy elevado.

Para acelerar los electrones hasta la velocidad v, se establ ece un potencia l exterior V. La conservación de la energía toma ahora la forma: 1

2 - mv = eV

2

quedando para el coc i en~e

:i

= 2V

(~r

( 14.3)

La medida reali zada por J . J. Thomson no fu e muy precisa. Los va lore 11 que encontró iban de 1, 1 a 1,5 x 10 - kg/C. El valor aceptado hoy es: ~ = 0,568

X

10 - ll kg/C.

El éx ito del ex perimento fu e debido a la ca lidad del vacío conseguido en interior de l tubo de rayos catódicos (unos 10 - 3 mm de Hg). Posteriormente, propio Thomson, utili zando un di spositivo de condensac ión ideado por uno d sus alumnos, C. T. R. Wil son, premiado con el Nobel de Física en 1927, midi ó la 10 carga del electrón, obtenjendo: e = 3,4 x 10 - esu. También fue Thomson, en 1907, siguiendo los trabajos de Wi en sobr r a yos canales, quién determinó la carga y masa del protón. Gracias al nortea mer ica no R. Millikan (premio Nobel de Física en 1923 por sus medid as de la ca r a del electrón y del efecto fotoeléctrico) fue perfeccionad o el método de med i a de la carga del electrón. Hoy se sabe que la carga del electrón en valor abso lu t. es:

e = 4,803 x 10 -

10

esu = 1,602 x 10 -

19

3 3

A11to11 io Ferrer 'ori 1

Lomándose, po r co nven io, co mo un a car>a negativa ; o sea, q " = - e. Las cargas eléclricas del e leclrón y del protón son igua les y o pueslas. Sus masas son mu y diferenLes: me = ffi p =

9, 109 l ,672

X

X

10- 3 1 kg = 10 - 27 kg =

0 ,5 11 MeV/c 2 938,279 Me V/c 2

Así pues se tiene Qe = - qP y el coc iente mp / m e = 1836, 16. 2 En fís ica nuc lear se utiliza la unidad de masa atómica, urna = M(1 C)/l 2, 12 C . Se obtiene para esta unidad el valor que toma como refere ncia la masa del urna = 93 1,494 Me V/c 2 , con ell o, la masa del protón vale mp = 1,00727647 urn a. Además del e lectrón y del protón, otra partícul a era conocida a princi pios del siglo XX: el fotó n. La ev idencia experimental de la ex istenc ia del fotó n se debe al fís ico alemán H. Hertz, qui en en tre 1886 y 1887 verifi có la teoría unifi cadora del electro magnetismo de James C. Maxwell gracias a un experimento en el que, al incidir luz UV entre dos electrodos, logró la descarga eléctri ca entre e llos. Pero fu e a través del efecto fo toeléctri co (ex pli cado por Einstein en 1905 ) y del efecto Compton ( 1923) cuando quedó clara la ex istencia de l fo tón como corpúsculo de masa nul a.

14.2.2 Del neutrón al pión Hasta 1932 sólo se conocían, pues, tres partícul as e lementales:

las dos primeras bastaron para edificar la primera idea atómica, de Rutherfo rd y Bohr, que se compl etaron después del experimento de Rutherford de difusión de las partícul as a del radi o por una lámina de oro, con e l q ue se puso de mani fies to la existencia del núcleo atómico (véase la fi gura 14.2). E n 1932 James C hadwick 3 descubrió el neutrón (n), y le fue concedido por e llo el premi o Nobel de Física en 1935 , apareciendo así la primera versión razonabl e del modelo nuclear. Ese año puede considerarse como el del nacimiento de la fís ica nucl ear moderna. El mi smo año 1932, C. Anderson,4 di scípul o de Millikan, descubrió el positrón, antipartícul a del e lectrón cuya importancia es notori a ya que confirmó la predicción de la ecuación relati vista de Di rac, propuesta en 1928. La fi gura l 4 .3 muestra la fo tografía del paso de un positrón a través de una e ámara de niebla inserta en un campo mag nético. Car! Anderson fue premi ado por ell o con el Nobel de Fís ica en 1936. Tambi én se debe a Anderson la primera evidencia del muón (µ) pocos años después (en 1937). 3J . 4

Chadw ick, Nowre, 129 ( 1932) 3 12.

C. D . A nderson, T/1e positive elec1ro11 , Phys. Rev., 43 ( 1933) 49 1.

94

o nst i tu e111es d '

lo 1110 1erio : i111 rod1U"<'i 11

ge11 ero l i l 1d ' s

Fi gura 14.2: El esquema de l detector (que rec ibía el curi oso nombre de spinthariscope de Crookes, inventado en el año 1903) utili zado e n e l experimento de Rutherford por Geiger y Marsden en e l que se descubri ó el núc leo atómico.

\

(a)

(b)

Figura 14.3 : a ) Fotografía de l paso de un o de los primeros positrones a través de una cámara de ni ebl a que fu e e l detector utili zado por C. Anderso n para estudi ar la radi ac ión cós mi ca. La placa central es de plomo. El positró n, qu e entra por debajo, es frenado al atravesar di cha placa. La curvatu ra es debida a que la cámara estaba en el seno de un ca mpo magnéti co. b) Esquema de l suceso fotografi ado.

En estos años J 930, estos descubrimientos cru ciales, teni endo en cuenta los avances conceptu ales teóri cos, lograron una comprensión tan grande de lo. fenómenos subatómicos que el respetado premi o Nobel de Física H . Bcth r cuerd a el califi ca tivo de losfelices aiios 30 qu e le daban a pesa r ele las t. rrn ni.as

39.

Antonio Ferr r 'orio

sociales de la época. Hay que esperar hasta el año 1947 para que se resuelva otro nuevo e importante descubrimiento: el del pión (7!') de H. Yukawa . Fue efecti vamente predicho por el físico japo nés H. Yukawa en 1934 (por lo que recibió el premio Nobel de Física en 1949) para expli car la fuerza de cohesión nuclear a través del inter2 cambio de una partícula de masa cercana a los 100 MeV/c , partícula de masa salto para el enorme un so supu que intermedia (origen de la palabra mesón), a las reacgracias descubierto fue pión entendimiento de la fu erza nuclear. El en 1950), Física de Nobel o (premi ciones de la radiación cósmjca por Powell verificar en tiempo cierto un tardó Se 1947. en Lattes, Muirhead y Occhiallini confusión la aclarada quedó que lo con muón, un que el pión se desintegra dando inicial que existió e ntre e l muón, µ (un leptón) y e l pión, 7f' (un mesón). Un nuevo paso se dio con el experimento de Reines y Cowan en el que por primera vez identificaron reacciones del neutrino electrónico (v e), en 1956, 25 años después de que Pauli , en 1931, lo hubi ese propuesto argumentando la conservación de la energía en la desintegración (3 . Este experimento se reali zó en una central nuclear, fuente intensa de neutrinos. El neutrino muóni co (v 1,) fue descubierto en 1962, en un ex perimento reali zado en el acelerador AGS de Brookhaven, por L. Lederman, J. Steinberger y M . Schwartz, demostrando as í que cada leptón ll eva asoci ado un neutrino di stinto ; por ello, les fue conced ido el premio Nobel de Física de 1988.

14.2.3 La era de los quarks. Nuevas generaciones de partículas Inici almente, los primeros hadrones se descubren gracias al estudjo de la radiación cósmica pero, tras el boom de los aceleradores, los hallazgos se mul tiplican cas i anualmente. En los años 1960 se descubren más de un centenar de hadrones. El gran número de partículas descubiertas ; por ejemplo, los mesones 7!'± (140), K ± (494), Kº(498), p± (770), w 0 (783), etc. y los bariones p(938), Aº(1116), ¿;± (1189), ::::- (1315), n - (1672), etc. sembró la inquietud y la incredulidad de los físicos hasta que M . Gell-Mann (premio Nobel de Física en 1969) simultáneamente con Y. Neeman y G. Zweig, proponen el modelo de quarks (basado en la conocida simetría SU(3) de clasificación de las partículas conocidas hasta entonces) y postulan que los hadrones están compuestos por unos entes (en principio ficticios y matemáticos) que poco tiempo después se lograron ver en un ingenioso experimento de difusión de electrones contra proto nes realizado en SLAC desde 1967 por J. Friedman, H. Kendal y R. Taylor (premi os Nobel de Física en 1990). Si bien los quarks son los constitu yentes fund amentales de la materia, nunca se han podido detectar en estado libre. Se puede decir que los quarks al estar fuertemente li gados formando hadrones no pueden vivir en estado libre lo suficiente como para dej ar un a traza e n los detectores de partículas. Sólo pueden o bservarse trazas de partícul as que están compuestas por quarks que, de acuerdo con la simetría SU(3), son estados singletes de co lor. A estos singletes de ·o lor, o dicho de otra manera, e ntes sin color, se les ll ama hadrones. Estas son 3

011,\·ti/11 e11/( ,\' de /111101 eri 1: i111 m /11 · ·i . 11 1µe11er ilirl1des

las partícul as (s in gleLcs ele co lor) que puede n ser observadas n eslacl li br . Hoy en día ya se ti enen clasifi cadas y estudiadas las propi cl ades ele m,s de 200 hadrones. Un resu ltado trascendental tuvo lugar en 1973 con un experimento, h cho (Ginebra) con la cámara de burbujas Gargamelle, en el que e el sCERN l en e cubrieron las corrientes neutras. Se trata de reacciones elásticas v 1, + e- --+ proce osco1/ , +e- si n cambio de carga entre los leptones, al contrario que en 1 5 mo v e + p --+ e+ + n llamados de corrientes cargadas. También se descubr n r acciones inelásticas del tipo vµ + N --+ vµ + X, en las que e l nucleón rompe dando un sistema de partículas X . Con ello se da pie a nuevas ideas de unificación que lentamente van afianzándose con la identificación de dos nuevos quarks: • el quark e (de charm; es decir, encanto) , en 1974, con el descubrimjen to 2 del mesón Jh/; , con una masa de 3097 MeV/c , gracias a las iniciativas 6 y S. Ting en Brookhaven, 7 ambos en de los físicos B. Richter en SLAC EEUU. Se les concedió por ello el premio Nobel de Física en 1976. • el quark b (de beauty; es decir, belleza), en 1977, con e l descubrimien to 2 del Y, con una masa de 9460 MeY/c , por el grupo de L. Lederman e n 8 (Ch icago), también en EEUU y ganador por ello del premio Fermilab Nobel de Física en 1988. La década de los años 1970, conocida entre los físicos de partículas como la década prodigiosa por la cantidad de descubrimien tos que se realizaron en dicha época, también vio el descubrimien to, en 1975 , del tercer leptón cargado (el leptón tau), en un experimento conducido por Martín Peri, de SLAC, por lo que recibió el premio Nobel de Física en 1995 que compartió con F. Reines por su descubrimien to del neutrino electrónico. El estado J /'if; es un mesón compuesto por un par quark-antiqua rk e e, por tanto no es un mesón con encanto, ya que e l encanto se cancela. Curiosamente el quark e fue predicho en 1970, con anterioridad a su descubrimien to, por Glashow, lliopoulos y Maiaru. Análogament e el Y es un mesón compuesto por un par quark-antiqua rk b b, y que por lo tanto es un mesón que no tiene bell eza . Tanto el J /'lj; como e l Y fo rman parte de la espectroscop ía de estados conoc idos por el nombre de quarkonio (respectivame nte charmonio y bottomonio), el mucha importancia para el modelo de quarks. En 1979, Jos experimentos in sta lados en el anillo de co li siones PETI .A del laboratorio DESY (Hamburgo) presentaron la primera evidencia directa el la existenc ia del gluón. Mostraron claramente que, además de sucesos con el s 5 Este es prec isa mente el proceso que Reines y Cowan estud iaron y perm iti ó el descubrimi 111 0 por primera vez de interacciones de neutrinos. 6 Augustin , J. E., el al., Phys. Rev. Le11., 33 ( 1974) 1406. 7 Aubert, J. J., el al., Phys. Rev. L ell .. 33 ( 1974) 1404. 8 Herb, S. W., el al., Phys. Rev. Le11 .. 39 ( 1977) 252.

.1 7

A 11.1011.io

Ferrer Sorio

jets, tambi én ex istían sucesos con tres j ets en colis io nes e+e - : e l tercer.jet era un g luón resultado del bremsstrahlung de uno de los dos quarks. Merece recordarse el gran aumento de la energía obte nido gracias a l impul so de Jos co li sionadores, cuyo zenit se alcanza con los ex perimentos UA J y UA2 del CERN gracias a los que en 1983 se observan por primera vez los bosones intermediarios 0 y w ± en el co li sionador protón-antiprotó n, llamado SppS, confirmando las ideas uni ficadoras de la teoría de Glashow, Weinberg y Salam cuyo éxi to es aún más notorio después de los res ultados de los cuatro experimentos del coli sionador e+ e- LEP del CERN, que inició su fun cionamiento en verano de 1989 y fin alizó su operación a fin ales del año 2000, periodo en el que aportó innumerables datos c ientífi cos que consolidaron las predicc iones del modelo estándar.

z

14.2.4 Descubrimien tos más recientes En 1994 se descubrió 9 el quark t (de top; es dec ir, cima o tambié n truth, o sea verdad), en las co li siones pp a 1,8 Te V en el centro de masas, gracias al Tevatrón de Fermil ab (Chi cago, EEUU), el coli sionador que actualmente proporciona las coli siones de mayor energía. La masa encontrada para e l quark top es mt = 174,3 ± 5,1 Ge V. El último de los constitu ye ntes elementales de la materi a, el neutrino de l tau, ha sido el último en ser detectado en el experimento DONUT en el Tevatró n de Fermil ab, donde fin almente en el año 2000 se logró aislar (en emul siones fo tográfi cas) 4 sucesos en los que e l neutrino tau producía sendos leptones tau. Con éste, se puede concl uir que los seis lepto nes han sido ex perimentalmente detectados y medidos.

14.2.5 La búsqueda del bosón de Higgs En el esquema del modelo estándar de las partícul as y sus interacciones, la única partícul a (o partícul as) fund amental que queda por descubrir es e l bosón de Hi ggs, cuya masa es desconoc ida aunque pro bable mente mu y e levada (m H > 100 GeV/c 2 ) . Es la partícula que se predice para cumplir con la unifi cación e lectrodébil y dar masa a los constitu yentes y a los bosones intermedi arios W ± y Z, a través del ll amado mecani smo de Higgs. Para Ja búsqueda del bosón de Hi ggs (infructuosa en el coli sionador LE P), e l CERN está constru yendo el mayo r coli sionador protón-protón del mundo, el LHC (La rge Hadron Collide r), utili zando el mi smo túnel que albergó el LEP, y cuyo inic io se pl anifica para el año 2007 . 9 F. Abe el al. , Phys. Rev., 050 ( J 994) 2966. En esta publi cación se describe el experi mento que ll evó a ca bo la Co laboración C DF en el que se presenta la primera evidencia experi ment al del quark 1op en el año 1994.

39H

r111s1i111 e11tes de / 11110 /(' rio : i11tl'O /u T i . 11

y u 1er ili l 1 les

L4.3 Clasificación de partículas De esta extraordinari a cadena de descubrimientos se ha ll egado hoy a id nti ficar los constituyentes más elementales de la materia : los quarks y los 1 piones. De momento se ha establecido que existen só lo tres familias (pares) d ambos. Estos doce constituyentes son todos fermiones. Tambi én ex isten las corr spondientes anti partículas de cada fermión de forma que existe un a simetría total en el número de antifermiones constituyentes. Las cuatro interacciones puestas de manifiesto (grav itatoria, débil , e lectromagnética y fuerte) tienen también en común que la fuerza se ex pli ca medi a ni. e l intercambio de partículas elementales, que se suelen llamar partículas fuerza , y que en este caso son bosones, es decir, partícul as con espín entero. El conjunt de partículas descritas puede verse en las tabl as 14. 1 y 14.2. Podría darse una definición de partícula, como: ente físico con masa, espín y propiedades e lectromag néticas bien definidas de forma que en un campo electromagnético describe una trayectoria perfectamente calculable y conocida. En efecto, es bien conocida la relación entre e l momento, p (en GeV/c) y e l radio de curvatura R (en metros) de la trayectoria que describe una partícula de carga eléctrica Z e (siendo Z un número entero positivo, negativo o nulo) en un campo magnético de intensidad B (en tesla):

( 14.4)

Pero cabe también añadir a la anterior de fini ción el adjetivo de partícul a elemental o fundamental. En este caso se entiende que se trata de entes puntua les que no pueden explicarse como entes compuestos por otros más elementales o por estados excitados de éstos.

14.3.1 Partículas y antipartículas Cada partícul a, sea elemental o no, tiene su antipartícul a. La antipartícula tiene las mi smas propiedades físicas que la partícula (masa, espín , vida med ia) pero tiene todas las cargas opuestas. Por ello, si una partícula entra en con ta 1 con su antipartícula se aniquilan. Esta aniquilación es un proceso e lectrod bil. Puede tener lugar por intercambio de fotón o de bosón Z. El concepto de anti partícula es consecuencia de la mecáni ca cuánti ca y d · la relatividad. Para vi sualizarlo basta con recordar las ec uac iones de un a partí ula libre. Tanto en el caso no relativi sta como en e l caso re lativi sta , si s ap li ·a d· e l princ ipi o de sustituc ió n se enc uentra n las ecuaciones de S hrod in ,/(

111011io Ferrer 'orio

Klein-Gordo n, respectivamente:

E = p 2 / 2m

->

2 ñ v 2ifi( x' , t) ,.l ,_aifi~x, , t t) = _ 21TI l

Ambas ec uaciones de ondas tienen como solución:

( 14.5) Lo ll amativo es que si iJ! es solución de la ecuación de Klein-Gordon con E P > O, la función ifi * también lo es con Ep < O. (- t) toman d o . .JJifi(x, t) = H·T· . , re 1at1·v1·sta iú . ~ x, rep 1anteo, ,a ecuac10n D1rac como hamiltoniano H = apc + (3m c 2 , lineal en p y m en vez de cuad rático, y encontró que los coeficientes a y (3 debían ser matrices 4 x 4, en vez de escalares. Esto se verifica al ex igir que las funciones de onda cumplan también las ecuaciones de Kl ein -Gordon, con lo que encontró que iJ! es un vector co lumna de 4 co mponentes:

ot

ifi(x, t )

=

(14.6)

que se conoce por e l nombre de espinar de Dirac. De las cuatro componentes hay dos soluciones con Ep > O y otras dos con E¡; < O, que se interpretan como partículas y antipartíc ul as . Hay dos soluciones con Ep > O porque el electrón tiene espín 1/2. E l espín apa rece cuando se co loca al electrón en un campo magnético, responsable del té rmino de interacción , que está defi nido por el momento di polar magnético de Dirac: -

g (s)

q

-

µo = - - -- s /i 2m

( 14.7)

Este es el momento magnético que se predice para un a partícul a puntual (sin estructura) de carga q y masa m. En el caso del electrón s = ~ li, y, segú n la predicción de Di rac, el facto r g iromagnético de espín del electrón vale g ~s) = 2 ya que el resultado de la medida de µ e es e l magnetón de Bohr: µ e = - µB = - ;~e . C uri osa mente, el espín , una de las magnitudes físicas más importa ntes de las partículas, fue postulado antes que la ecuació n de Dirac por Uhlenbeck y Goudsmj t para poder exp licar el efecto Zeeman en física atómica. En concl usión, el e lectrón obedece a la ecuación de Di rac, que sue le escribirse:

2

(1'1,pµ - m)'t/;(x) = O 400

( 14.8)

'011s1i 111 1e111e.1· ¡ , /f/ 111 1terif/ : i111 m rlu c ·i

11 1 ¡;

•11 er ,¡¡ lo les

1 siendo '!f; (x) e l llam ado espinor de Dirac, de cuaLro co mponenLes, p ', drivecLo r energía-mo menlo (E , PJ y ¡ 1,,, las matri ces (4 x 4) de Dirac (v as ·j mpl o e l apéndi ce C). El es pinor de Dirac describe dos estados; un o de n r 2 2 pos itiva y e l otro de energía negativa: pº = ± /p + m asoc iados, res¡ va mente, a estados de partícula y antipartícula y además cada uno de ell os n dos estados de pol arización (los que correspond en a partícul as de espín 1/ ). Con esto, las partículas y antipartícul as tienen las mi smas propiedade s físi as espacio-tem porales (masa M , espín J, vida media) pero sus magnitudes e l tro magnéticas (carga, momento magnético) y sus números cuánti cos intern os Ch. extrañeza, encanto, belleza, verdad), cambian de signo. La teoría relativi sta de Dirac explica, por lo tanto, la ex istencia de anti partículas y contiene el espín como grado de libertad necesario para ex plicar las propiedade s de los electrones. Por contra, las medidas del momento magnético del protón y del neutrón, dan:

y

µ.,, = - l ,9lµN

( 14.9)

en donde, en primer lugar, sorprende que el neutrón , que tiene carga nula, te nga un momento magnético distinto de cero. Estos valores pusieron de manifi esto que ni el protón ni e l neutró n son puntuales como el e lectró n. En efecto, en la ex presión anterior se puede comprobar que los factores giromag néticos de espín del protón y del neutrón son, respectivam ente, g 1~s) = 5,58 y g~s) = - 3,82, muy diferentes del valor para e l electrón puntual de Dirac (g ~s) = 2). Ahora, la

para el que se tom a, po r unidad de med ida es el mag netón nucl ear (µN = ~), L,1T/,p

convenio, la masa de l protón. Hoy se sabe que e fectivamente el protón y e l neutrón están compuesto s por quarks y, como se verá más adelante, el mode lo de quarks ex plica el va lor de sus momentos magnéticos.

14.3.2 Fermiones y bosones La materi a observabl e que nos rodea está formada por conglomera do de moléculas obtenidas por uni ón de múltiples átomos con una nube electróni ca (compuesta por los leptones cargados de menor masa y mejor conocidos: 1 s electrones) y un núcleo. Los núcl eos atómicos, como bi en se sabe, están co mpuestos por protones y neutrones (ll amados nucleones). Estos últimos, a su vez, están compuesto s por quarks. La materia está, pues, compuesta por fermiones, partícul as de espín s mientero, y se clasifican en quarks y lepto nes . Estos constituyentes son partí ul::is sin estructura, puntuales, al menos hasta los menores tamaños qu e ha sid p si3 bl e ex plorar hasta hoy con los aceleradore s di sponibles (10 - fm). La int ra ción de los fe rmi ones entre sí se describe mediante e l intercamb io ele bos partícul as de espín entero. 401

1\nlonio J'errer 'oria Principio de conexión espín-estadística A los constituyentes fund amental es - fe rmiones y bosones - se les ap li ca el principio de conexión espín-estadísti ca, propuesto por E. Fermi en 1940, al igual que a otros sistemas cuánti cos. Este principio permite conocer la simetría de la función de ondas 'lf;( q 1 , q2, .. , q N) de un sistema de N partícul as idénti cas. Cuánticamente, las partículas idénticas (cuyas fun ciones de onda se superponen) son indi stinguibles. Cl ásicamente el concepto de trayectoria las di stingue. Por defini ción , el hamiltoniano, H, es simétrico en las variables q i ya que las i partículas son idénti cas. E l operador intercambio de dos partículas Pij : qi <-------+ q1 , conmuta con H y clas ifica las fun ciones de onda en simétricas ('l/Js ) o anti simétricas ('l/J A), correspondi endo a los valores propios ± 1 de P i1 , teniendo el mi smo valor propi o E de l hamiltoni ano. Para un sistema de N partícul as se puede defi ni r el operador P, operador permutación de N partícul as (N! posibilidades) , que conmuta con H y es una constante del mov imi ento. Los N! estados propios del operador P son pro pios de H y todos tienen la misma energía. En principio, todos los estados tienen la misma probabilidad de ex istir. En efecto, sea cual sea el tipo de partícul as idénti cas, el cuadrado de la función de ondas, J'lj; (q 1 , q2, .. . , qN) J2 , que da la probabilidad de que las partículas ocupen el estado definido por las coordenadas qi , no cambi ará bajo cualqui er intercambi o i ------> j . Sin embargo, exi sten dos tipos de funcion es de onda que se di stinguen por el val or propi o± del operador permutación P. Se tienen las siguientes posibilidades según sea e l estado totalmente:

simétrico anti simétrico

'l/J A(q1, .. , qN)

____, p

'l/JA

={

+'l/J A (perm . par) -'l/JA (perm . impar)

es dec ir, el operador P tiene dos valores propios di stintos (+ y - ) según la paridad de Ja permutación de las partícul as idénticas. La definición de paridad de la permutación P es que el número de intercambi os P ij es par (P = + ) o impar (P = - ) . El postul ado de simetri zación parte del hecho que todo sistema de N partículas idénticas se describe con un estado simétrico 'lj; s o anti simétrico 'lj; A . La conexión espín-estadística establece la sigui ente regla: • los bosones, partícul as con espín entero (ej empl o: '/, W, Z , g, 1f , p, etc.) son descritos por estados simétri cos 'lj; s y obedecen a la estadística de Bose-Einstein . • los fermiones, partícul as con espín semi-entero (ejemplo: leptones, quarks, p , n , A, etc.) se describen por estados anti simétricos 'lj; A y obedece n a la estadísti ca de Fenn i-D irac.

40

011 .1·1i111

111 s d • lo mo teri 1: i111 rr /11 · ·i ' "

Ht ner ,¡¡ l 1d es

El principio de exclusión de Pauli simet rización es e l prin Una conse cuenc ia mu y conoc ida del principio de no puede n encontrarse en cipi o de ex clusió n de Pauli , por el que dos electrones e de fe rmiones idénticos, la un mi smo estado cuánti co. Efectivame nte, al tratars de algun a de sus vari abl es funció n de ondas es anti simétrica baj o el interc ambio smo estado cuánt ico, la mi el y, en el caso en el que los dos fe rmiones ocupe n es, para los que no boson los funció n de ondas se anula. Este no es el caso de r el mi smo estado ocupa n hay limita cione s en el núme ro de boson es que puede cuántico. simétri cas bajo e l interLa construcció n ele fun cione s ele onda totalm ente ucció n ele func iones constr la cambi o ele cualquier par de ellas es inmedi ato. Para atómi ca: el de física en ido ele onda antisimétric as, ex iste un métod o bi en conoc partíc ul a inde lo mode del los determinantes de Sl ater. Se apli ca en el marco produ cto de n e rse toriza fac dividual en el que la fun ción de ondas total puede func iones de onda de una partíc ul a. a form ado por dos Un caso partic ular muy sencillo es el de un sistem he lio) . Se supone de átomo l de partíc ul as (como por ejemplo los dos electrones ial, , por la fun espac ón funci la que 'l/!( q1 , q2 ) = (r1 , f2)x( l , 2) , producto de endi entes y por indep ente totalm s ción de espín , x, que dependen de coord enada n anti simétrica ió func una rmar fo Para lo tanto se puede escrib ir como produ cto. se tendrá n dos pos ibilidades:

'lj!s=O(q1 , q2) = + (r 1, r2) xo,o(1, 2)

fun ción single te de espín

o de l y 2 mientras que las tres ya que xo,o(1, 2) es anti simétrica baj o in te rcambi posibl es fun cione s espac iales: dos isten fun cione s X l ,M s (1 , 2) son simétri cas. Ex interc ambio: dor opera del ± . Se di stinguen po r e l valor propi o

l de una partíc ul a alrede La fun ción espac ial, , describe el movimi ento orbita esféri cos Yr (e , ) . El cos i armón los a s dor de la otra, lo que se reali za gracia -+ + 7í , lo que in ()y 7í -+ e o interc ambi o 1 +---> 2 eq ui vale al cambi mane ra, ex iste un a re lac ión troduce e l fac tor (- 1 )e mul tipli ca ndo a . De esta l R y la si metría de la funció n; direct a entre el valor del mome nto angul ar orbita simétri ca). En concreto: si Res par (impar), la funció n es simétrica (anti

ta l los dos e lectro nes uEn e l caso de l átomo de helio, en el estado fund amen 10 por const rucc ión - - O; pan el estado espac ial l s , que es simétrico, luego ía es E 1. s, l s = - 78,99 V. só lo existe e l estado ll amad o para- helio , cuya energ 10 En notació n especLroscópica

= 1 l s represe nta el estado con número s cuánti ·os n

f

O.

403

Anwnio /'errer

1ria

Fue la observac ión de un úni co nive l e nergéti co de l estado fund amental del heli o la que condujo inev itabl emente a l principi o de exclu sión de Pauli . Otro buen ejemplo de aplicación del principio de simetri zac ión es e l de la desintegración del mesón p 0 (770), de espín J = 1, en dos piones. La desintegración p 0 __, 1í0 no está permitida porque al tratarse de dos bosones idénticos en el estado final se debe tener € par, y como los mesones Ir 0 tienen espín O no puede obtenerse un valor impar para el espín del p, luego dicha desintegrac ión no es compatible con el valor del espín del p.

n°

Principio de conservación del número de fermiones Por último, es importante tener presente el principio de conservación del número de ferrniones. Este principio implica que los fermiones se crean o se destruyen a pares, entendiendo el par como de fermión-antifermión. En los sistemas de bosones, por el contrario, el número de bosones total no es constante. Pueden crearse y destruirse siempre que se respeten los otros principios de conservación, como por ejemplo la carga eléctrica y todos los demás números cuánticos que son generalizaciones de la carga (S, C, B, T), y que se definen más adelante.

14.3.3 Las familias de quarks y leptones Apenas un mes después de haber iniciado su funcionamiento el colisionador e+e - LEP del CERN (Ginebra), en octubre de 1989 y gracias a la medida de la anchura de masa, r, del bosón intermediario Z 0 , medida que se llevó a cabo simultáneamente en los cuatro experimentos instalados en el LEP: ALEPH, DELPHI, L3 y OPAL, pudo determinarse el número de especies de neutrinos y de aquí inducir el número de constituyentes básicos de la materia; en el universo sólo existen doce fermiones (partículas de espín semientero) fundam entales, agrupados en tres familias de pares de quarks :

(u, d), (e, s ), (t , b)

(14.10)

y tres pares de leptones (los cargados: electrón , muón , tauón y sus correspondientes neutrinos que son neutros):

(14 . ll) Existen por supuesto también las doce antipartículas correspondientes. Sólo el doblete de quarks de la primera generación o fa milia; los qu arks u (up) y d (down) y el dobl ete de leptones de la primera familia (el electrón , e- y su neutrino asociado v e, llamado neu trino electrónico) son relevantes, es decir, aparecenen la materi a que nos rodea. Las denominadas segunda y tercera generación, tuvieron seguramente relevanci a in stantes después del big-bang, el supuesto origen del universo. Hoy por hoy se cree que quarks y leptones son entes puntuales, sin estructu ra, al menos hasta la escala que ha sido verificada experimentalmente, de 10 - 18 111. 404

<11stituye11te.1· de fo

1terir1: i111ro lu cci

111

11

1

e11ero litl 1 1 '.\'

En la tab la 14. 1 aparecen los constitu yentes de la materia con tod s . us números cuánticos. Los quarks son fe rmi ones, con espín ~, tie nen cargas fracc ionari as 11 1 y - ~ lel y se di stinguen entre sí por el número cuántico interno ll amado sabo r y y las otras car as denominad os ·u , d, e, s, t , b. Tienen número bari ónico B = además de la eléctrica son: S , C, T, B, es decir, la extrañeza (número cuánti o cuya ini cial recuerda e l nombre ing lés del sabor del quark: strange), e l encant (charm), la verdad (truth) y la belleza (heauty) , respectivam ente. Sólo hay un doblete de isospín (I = ~)formado por los quarks u, d cuya tercera component del operador isospín es h(u) = +~ e I 3 (d) = - ~.Se trata de dos quarks qu tienen masas muy parecidas. Esta es la causa de la invarianci a de carga de la interacción fuerte que está asociada a la simetría de isospín . Los demás quarks son todos singletes de isospín (por ello tienen I = O); una consecuenc ia de la gran diferencia de masas entre ellos.

-! ,

TABLA 14. l: Constituyentes de la materi a (fermi ones) y sus núm eros cuán ti cos . Ex isten también las doce antipartícul as correspondie ntes, co n las cargas cambiadas de signo. Cada qu ark, además, posee tres grados de libertad de color, propiedad que se supone ser la responsable de la Fuerza fuerte, descrita por la cromodinámi ca cuántica (teoría llamada QCD).

LEPTONES

S= ~ , B = O eVe

µ-

v,_, T Vr QUARKS

S= ~, B =} u d e s

t b

M (MeY/c 2 ) 0,51 l ::; 3 e Y 105,66 ::;o,19 1777,0 ::; 18,2 M (GeV/c 2 ) 0,39 0,39 l ,60 0,51 174.3 5,4

Q

Le

L¡.,

Lr

-

- 1

-

o

1 1

o o

o o o o

T

(seg.)

2, 197 X10 - 6 -

0,29lxl0 -

12

-

Q

I

2/3

1/2 1/2

- 1/3 2/3

- 1/3 2/3

- 1/ 3

o o o o

o o o - 1 o o o

- 1

[3

112

- 1/ 2

o o o o

e

s

o o o o 1 o o -1 o o o o

J 1

o o

1 1

T

B

o o o o

o o o o o

1

o

- l

Las masas de los quarks que se dan en la tabla 14. 1 deben tomars so larn ni. a títu lo indicativo. En efecto, todavía no se ha observado un quark en estad libr , por lo que la masa no ha pod ido ser determinad a y no puede dársel 1 si ni fi cado ortodoxo. Se trata de masas de quarks conslituyen.Jes, porqu se a l

o.

Antonio Ferrer Sori

1

partir de las masas de los hadrones. Los quarks tienen otra propiedad ll amada color. Cada quark puede tener tres colores identi ficados por las iniciales r , v, a. Esta es la pro piedad que se supone que da lugar a la fuerza fuerte a partir del intercambi o de gluones, que también tienen color. 11 Los leptones son también fe rmi ones, con espín ~ y número bariónico B = O. Cada famil ia se di stingue por un número leptónico distinto: L e, con f_ = e, µ , T llamado número JeptÓ niCO electróni co, muóniCO y tauóni CO, respecti vamente. El neutrino de cada fa mili a ti ene el mismo número leptónico que e l leptón cargado al que se asocia. Por conveni o, L e(e- ) = Le(ve) = 1 y así sucesivamente para cada fa milia. Como se trata de una carga, los números correspondientes de los antileptones, cambian de signo. Los leptones cargados más masivos son inestables (por interacción débil) y se des integran. La vida media de los leptones masivos viene ta mbi én dada en la tabla 14. 1. La conservació n de l número de fermi ones se traducirá en conservació n de l número de quarks y, en consec uencia, conservació n del número barió ni co, en e l sector de los quarks y la conservació n del número leptónico en e l sector leptónico. La definición del número leptóni co e lectróni co de un conjunto de leptones debe entenderse como la suma:

( 14. 12) extendiénd ose fác ilmente a los otros dos números leptóni cos L µ y L rUna característi ca de los constitu yentes fund amenta les es que cumplen que la suma de sus cargas eléctri cas (inclui do el color en el caso de los quarks) 3 x 3 x ~ - 3)lel = O. Es de especial cumpl e .L qi = O; en efecto: (3 x 3 x de campos renormaliza ble. ría teo una a conduce que puesto a importanci

¡-

14.3.4 Hadrones Si bi en los quarks son constitu ye ntes fu ndamenta les de la materi a, nunca se han podido detectar en estado li bre. Se puede dec ir que los quarks, al estar fu erte mente li gados formando hadrones, no pueden vivir en estado libre lo sufic iente como para dejar una traza en los detectores de partículas. Sólo pueden observarse com bin ac iones de quarks que, de ac uerdo con la simetría SU(3), son estados singletes de color. A estos si ngletes de color, o d icho de otra manera, entes si n color, se les llama hadro nes. Estas son las partícul as (singletes de co lor) que pueden ser observadas en estado libre. As í pues, rec iben e l nombre de hadro nes las partícul as que sienten la interacc ión fuerte. Todos los hadro nes se supone q ue están constituidos por quarks. Se verá más ade lante que el modelo de qu arks constituyen tes de los hadro nes exp li ca muchas, propiedades de los mi smos. arse 11 No debe haber confusión con la notac ió n ent re el espín y l a extrañeza, que suelen represent por l a por la le1ra S , ni tampoco entre el número bari óni co y la bell eza, representados genera l mente letra 13.

406

'011sri111 y e111es dr, lo 111(1/eri 1: i11t m /11 c ·i m y fi<' ll <' o / l 1 les

1 Se han descubi erto más ele 200 had roncs, todos e l los con ar a s no ron had los que laro c entera . Además, vista su estructu ra en quarks, queda sd lel sing son as partícul las ti enen color; los quarks se ag rupan de fo rm a q ue color. Los hadrone s se clasifi can en: fermi ones. • bariones: su estructu ra en quarks es q1 q2 q3 . Son, por lo tanto, s en genuino más ntantes represe Los l. = B o Tienen número bariónic tocias en a conserv se co barióni número El es. este grupo son los nucleon ele las interacc iones. Esto es consec uencia de la conservaci ón de l número númer otros poseen , espín ca, eléctri carga masa, ele fermiones. Además e. La cuánti cos como paridad , isospín , etc. que se estudi arán más adelant teracin la o (baj estables s barione los ene conti B ce tabl a B .4 del Apéndi c ión fuerte). lo tanto • mesones: el modelo de qu arks supone que son estados q 1 Zh. Por fue mesón de son bosones. Ti enen número barióni co B = O. El nombre Pue1r. mesón introduc ido por Yukawa cuando pro pu so la ex istencia del tocios den crearse y destruir se individu almente, siempre que se cumpl an los ene conti B ce los princ ipi os de conserv ación. La tabl a B .3 del Apéndi 12 mesone s estables (baj o la interacc ión fuerte). y sabo r Los número s cuántic os de los haclro nes son func ión del número y el de ks quar de número el N(qi) y ele sus quarks consti tuye ntes. Sean N(qi) amente, ill senc son, os antiqua rks de sabor q.i · Los números cuántic extrañeza:

S

= - (N(s) - N(s));

be lleza:

B

=

- (N(b) - N(b)) ;

encanto :

e = (N(c)

verdad :

T

=

- N(c))

(N(t) - N(t))

os hasta Se da la circuns tancia que T = O para todos los hadrone s conocid debe yentes, constitu sus entre t hoy. En efecto, la partícul a que te nga un quark 2 , lo que requi ere di sponer de GeY/c necesariame nte tener una masa !VI > 174,3 acelerad ores con energía s superio res a las actuales. ntes Los número s cuánti cos que acaban de describirse son muy importa se como as, agnétic electrom y fuertes iones porque se conservan en las interacc verá más adelante. El número bariónic o puede calcularse:

1

B = ?,(N(q) - N(q)) ones y B = O que resulta ser B = 1 para los bariones, B = -1 para los antibari a la ns rgada li está co barióni para los mesones. La conserv ación del número todas las por ado conserv es que vación del número de quarks. Este es un número en la pub li caci n hi · 11 0 1 qu elatos de las partícul as conteni das en estas tablas pueden verse of Parricle Phy.1·!1'.I' S. Review es: 2004 año al iente d correspon la ( Group, rea li za el Particle Data Eidelman el al. , Phys. Le// ., BS92 (2004) 1.). 12 Los

107

A ntonio F'e rrer 'orio

interacciones. Las interacc iones fuertes y electromag néti cas conserva n inc lu so e l sabor de los quarks. Por ejemplo, en la reacc ión: p + p -+ p + n + 7r +

( 14. 13)

que procede por interacción fuerte, e l número de quarks de cada sabor, se conserva. Sin embargo puede darse e l cambio de sabor de un quark. Esto sólo es posible por interacción débil. Un ejemplo es la desintegració n f3 de l neutrón que puede verse en la fi gura 14. 8, en la que e l quark d cam bia a l sabor u : (14.14) La carga eléctri ca de los hadrones es:

2 Q = -(U+ C 3

1 + T) - -(D - S - B)

( 14. 15)

3

siendo U = N (u) - N(u) y lo mi smo para D. Finalmente, es fác il comprobar que tanto a ni vel de quarks como de hadrones se cumple:

Q = h + B +S+C + B + T

( 14. 16)

2

que es la relaci ón generali zada de Gell-Mann Nishijima . Originalmente se ll amó hipercarga a la suma Y = B +S.

14.3.5 Hadrones excitados. Resonancias En las tablas B.4 y B .3 de l Apéndice B se han enumerado los mesones y bario nes establ es bajo interacción fu erte. Es decir, son estados li gados de quarks por interacción fu erte de menor masa. Si n embargo, todos e ll os (excepto e l protón) son inestables porque se desintegran debido a Ja acción de otras fuerzas: la interacción débil o la electromagné ti ca. También existen numerosos hadrones excitados (véanse las otras tabl as incluidas en el Apéndice B) que suel en denominarse resonancias. La primera resonancia detectada entre partícul as fue la conocida resonancia/;::,. ++ al estud iar las coli siones pió n-protón , en las que la sección efi caz sigue la forma de la curva de Breit-Wi gner:

a =

(2J + 1) 47r:X 2 r 2 / 4 (2s1 + 1)(2s2 + 1) [(E - MR) 2 + r 2 / 4]

(14.17)

donde X = n/p es la long itud de onda de De Broglie de las partículas que co li sionan, y p el momento del proyectil en e l centro de masas de la coli sión, siendo s 1 y s 2 el espín de las partícul as del estado ini cial, J, y !VI R el espín , la anchura y la masa de la resonancia. La sección eficaz tiene un máx imo para una energ ía total MR y di sminu ye a la mitad para los va lores E - MR = ± f/2; por ello r se ll ama FWHM (a nc hu ra total a medi a altu ra) . Un a reso nanc ia ti ene los

r

408

'rm .1·1i111ye111es d ' lo 1110 /erio : i111 md11cci m

Rener il i / / I

.1·

números cuánti cos bie n defi nidos. Eje mpl o, la D. (J 232); (se acos tumb ra a dar s u masa entre paréntes is), ti ene espín J = 3/ 2, isospín I = 3/2 y anchu ra r = J O 24 seg, tan peque ña porque su Me V. La vida media es T = /J,/ f = 5, 4 x 10 des integrac ió n es debida a la interacc ión fuerte , que es la más intensa. tros ejemplos de resonancias pueden verse entre los bosones vectori ales; co rno 1 caso del mesón Jf'tj; (fi gura 16.7) que ilustra la forma de la curva Bre it-Wi gn r. Otros bosones vectoriales pueden verse en la fi gura 16.14. El caso más rec ient en el LEP (fi gura 17 .J7), es decir 1 es el de la producción de la resonancia bosón intermediario responsable de las interacciones e lectrodé biles. En física nuc lear, se conocen también multitud de resonancias; por ejem238 U), donde se proplo en procesos de captura neutrónica (como el caso n + ducen muchas resonancias para captura de neutrones con energ ías de l orde n del keY. También han sido muy estudi adas las llamadas resonancias nucl eares gigantes, que se forman en reacc iones de fotoabsorción nuclear. Todos los ejemplos vistos corresponden a fenó menos deformación de resonancias en reacciones nucl eares. A veces , los números cuánticos de las resonanc ias no permiten su for mación en reacc iones; este fenómeno es frecuente en reacc iones entre hadrones . Esto implica que se pueden tambi én observar resonancias en mecani s mos ele producción: la resonanci a se produce junto a otras partícul as; por ejemplo en

zo

la reacc ión : 7í -

+p

--> 7í -

+ 7í + + 7í - + p

puede producirse la resonanc ia D. º( 1232), que se des integra en el canal neutro + p, aco mpañada de la producción del mesón pº( 770) que se des integra en dos piones 7í + 7í - . Se podría escribir 7í - + p --> D. 0 (1232) + pº (770) --> 7í - + 7í + + 7í - + p, o sea, un proceso que se conoce como reacción a quasi dos cuerpos porque aparece n dos resonancias de vida muy breve en la primera etapa, aunque al fin al aparecen cuatro hadrones.

7í -

14.4 Las cuatro interacciones fundamentales Actualmente se sabe que ex isten cuatro fuerzas fundamentales a través de las cuales interacc ionan estos constituye ntes o fermiones primarios: la grav itatori a, la electromag nética, la dé bil y la fuerte . El concepto de fuerza ha evo luc ionado de la física cl ás ica a la cuántica. Clásicamente una interacc ión (a di stancia) entre dos partícul as es debida a la acción de l pote ncial, o campo, creado por una sobre la otra . Cuánticamente, la interacc ión entre dos partículas se manifi esta a través del intercambio (emisión y absorc ión) de bosones (partículas de espín entero) , también ll amados cuantos del campo. La teoría de Yukawa es la precurs ra de esta idea. H. Yukawa (en 1934) , consiguió la primera ex pli cac ión válida d 1 corto alcance ("' 1 fm) de la fu e rza de cohes ión nuc lear; la fu erza entre nu cl ones. Para e ll o, utili zó la idea basada en la teoría de la e lectrod inámi ca uánti a que describe la interacc ión entre cargas a través de l interca mbi o de roto n '' que tanto é xito es taba teni endo , para supo ner que la interacc ión nlr dos nu-

40

A11/rmio F'errer 'oria

cleones es debida al intercambio de un cuanto (un bosó n) de l campo nuc lear q ue fue ll amado mesón y tras su descubrimiento se identificó co n el pión. El diagrama que describe esta idea puede verse en la figura 14.4, ll amado habitua lme nte di agrama de Feynman. Así, Yukawa introdujo la idea de que la interacc ión nuclear es mediada por e l intercambio de mesones. Sólo se intercambi an bosones, ya que para intercambiar fe rmiones habría que intercambiar también e l correspondi ente antifermió n para cumplir los principios de conservaci ón. Estas ideas dieron lugar al modelo ll amado OPEP (one pion e.xchange potential). Una de las grandes aportaciones de la teoría de Yukawa es que la masa del mesón intercambiado está relacionada con el alcance de la fuerza. En efecto, en los modelos de intercambio el principio de incertidumbre permite e l intercambio de una partícula de masa m, o sea equivalente a una incertidumbre energética 6.E = m c2 , siempre que el tiempo que dura el proceso cumpl a:

6.té::.E

~

li

---->

R

li me

=-

(14 .1 8)

ya que R = cé::.t, puesto que se supone que se propaga como máx imo a la velocidad de la luz en el vacío. Se dice que la partícul a intercambi ada es virtu al, ya que su energ ía y su momento no cumplen la relación de Einstein E 2 = (m c2 ) 2 + (pc) 2 (lo que equi va le a decir que la partícula intercambi ada no está en su capa másica), y no es detectable ya que no es un a partícula libre; no se trata de una partícula real. Los demás números cuánticos , tales como la carga, deben conservarse. A todos los efectos, se supone que la partícula intercambiada es puntual; no tiene estructura .

n; :

Figura 14.4: Diagrama de intercambi o de

7r

de Yukawa.

Para calcular e l potencial de intercambio de un bosón hay que recurrir a la teoría cuántica de campos relativista . Pero haciendo una sencill a analogía con la electrodinámica, puede encontrarse una expres ión para dicho potencial. El potenci al electrostáti co creado por una carga q en el origen cumple la ecuac ión de Poisson : ( 14. 19) 4 10

'r111.1·1ituye111e.1· dr• lo 111r11erio : i11trod1lf'ci 11 y Rf!ll ' I' ili lo les

qu ti ene por so lució n e l onoc ido potencia l de

Vc(r)

1 = [-

ou lomb:

( 14.

] !]_

41rEo r

o

La energía potencial de la carga q' en e l campo creado por q será U e = q'Vc(r ). Al cuantificar el campo e lectromagnético, la ecuación (14.1 9) se reinterpr La como la de la amplitud de probabilidad (función de ondas) de un fotón libre con masa nula. Aparecen los cuantos del campo, los fotones , cuya fuente es la carga e léctrica. La fuerza electromagnética tiene alcance infinito y los foton e , cuantos del campo, tienen masa nula. La intensidad de la interacción electromagnética viene dada por la constante de acoplamiento, proporcional a la carga eléctrica o la más comúnmente utilizada constante de estructura fina que es la 2 constante adimensional a= e /(4nE0 nc) = 1/ 137. Supóngase ahora el caso de un cuanto del campo nuclear, que en principio tiene masa m y que es el responsable de la fuerza de atracción entre nucleones. El cuanto debe ser un bosón, emitido y absorbido por una fuente caracterizada por una constante de acoplamiento g8 • Análogamente al caso electrostático la mejor ecuación relativ ista para el potencial creado por una fuente en el origen es la ecuación relativista de Klein-Gordon:

(14.2 1) válida para partículas de masa m y espín s de Yukawa:

= O. Tiene por so lución e l potencial

-rr¡fr

(14.22)

cp(r) = tire r

~ e-~/

R siendo R = tí/ m e, parámetr que suele escribirse también c/J(r) = que se interpreta como e l alcance de una fuerza mediada por un bosón de masa m, ya que la intensidad del campo se reduce en 1/ e a una distancia R = Esta expresión para el alcance coi ncide con la obtenida más arriba en (14. 18), utilizando el sencillo argumento del principio de incertidumbre de Heisenberg. 2 El pión, mc7T±) = 139,57 MeV/c , descubierto en 1947 por Lattes, O chialini , Muirhead y Powell, da para el alcance R rv 1,4 fm, representan 1 bien la parte de mayor alcance de la fuerza nuclear. Los piones cargados, junto 2 con el pión neutro (m (7Tº) = 134,97 MeV/c ), con vidas medias T = 26 ns 17 s, forman un triplete de isospín (lo que asegura la ind y To = 8,4 x 10pendencia de carga de la interacción nuclear) y son mesones pseudoesca lar s (JP = 0- ). Para estimar el valor numérico de g 8 , pueden utilizarse los parámetros 1 1 deuteró n R rv 2 fm y Vo rv 30 Me V, con lo que se obtiene:

j{ .

2

fn "" 100 MeV · fm

o sea, ad imensionalmente :

02

(l'

-~,....,

·' -

tl n t1c

,

4 11

/\ 111011 io F ' rrer 'oria

que puede compararse al valor de la constante de acop lamiento, ad imensional , que mide la intensid ad de la interacción e lectromagnét ica, la ll amada constante de estructura fina a = e 2 / ( 47rEo lic) = 1/ 137. Así se comprende e l ori gen de la denominación de fuerza fuerte. Los bosones intermed iarios de las fu erzas descri tas más arriba son: el gravitón, el fotón, los bosones zo y w ± descubiertos en e l CERN en 1983, y los gluones. Estas partículas y sus números cuánticos aparecen en la tabl a 14.2; sólo los bosones intermediarios de la interacción débil son masivos; todos los demás , ti enen masa nul a. El grav itón todavía no se ha descubierto ex perimentalmente. También se describen en la tabla 14.2 las fuentes del campo. Cada interacc ión tiene una intensidad diferente, depende de la propiedad física que genera la fu erza y se caracteriza por una constante que se ll ama la constante de acoplamiento de la interacción. Debe ser medida experimental mente. TABLA 14.2: Partículas fuerza (bosones). BOSÓN

(B = O, L e= O) fo tón, 'Y

w ±, zo

gluón, gi(i = 1,8) grav itón, E

fuente del campo

M

JV

(GeV/c 2 ) carga eléctri ca carga débil color masa

o 80,425 ; 91,1876

o o

11+, 112+

Q

o ± 1,0

o o

Los leptones son sensibl es a la interacción débil y si están cargados, sienten la interacción e lectromag nética. Los quarks tienen las mi smas interacc io nes que los leptones y además tienen interacción fuerte. Todos estos logros son e l resultado combinado de profundos desarrollos teó ricos y de un brillante trabajo de ex perimentació n en g iga ntescos aceleradores de partículas, y a un ni vel de complej idad prácticamente pi onero en el dominio de las c iencias puras. El estudi o de las partículas elementales se sigue realizando segú n los principios del ex perimento de Rutherford , aunque en la actualidad se utili zan los aceleradores como fuentes de partículas. El choque de partículas pone de mani fies to los efectos de las fuerzas entre constituyentes, por eso las magnitudes más importantes con las que se cata logan los ex perimentos son las secc iones eficaces. Muchas partículas tienen una vida efímera, se desintegran y por ell o la otra magnitud importante es la vida media. Estas dos magnitudes están relacionadas entre sí, ya que las dos dependen de la intensidad de la interacc ión responsable.

Los diagramas de Feynman Los cálcul os de secciones eficaces (probabilidades de reacción) y de vidas medias (probab ilidades de desintegració n) se reali zan gracias a las técni cas de cálculo de la teoría cuánti ca de campos contenidas en las reg las de Fey nman. Para e ll o, primero hay que fijar los diagramas de Feynman de l proceso que se

m .1·1i111 •11/e.1· de l 1 11w t ,ri 1: i111 m l11c ·i 11

'<'" ' l'til idr1 les

sea csLudi ar. Un diagrama de r ynman ( véase fi ura 14.6 y si ui ni. s o nLi ·ne líneas exlernas (que re pr sentan partículas rea les) , líneas internas es d ·ir, pa rtícul as virtuales y vérti ces, que re presentan e l acopl amiento de las partí ·u las al cam po de fuerzas . No representa trayectorias de partícul as ni impli ca di stanc ias entre las mi smas. Se trata simplemente de un método gráfico ele representar una interacc ión entre las mi smas, pudiendo tratarse ele una reacció n o un a des integración. En los diagramas de Feynman las partículas se representan con líneas que se diri gen en el sentido de l tiempo. Las antipartículas en el sentido opuesto a t. Sin embargo en estas notas, todas las partíc ulas o anti partículas se dibuj arán en el sentido del tiempo. Los diagramas de Feynman permiten calcular la ampli Lucl de probabilidad ele un proceso como resultado del producto de las siguientes cantidades: • la constante de acopl ami ento de cada vértice, que da la amplitud de probabilidad de emi sión y de absorción del cuanto del campo, y • del propagador del bosón virtual intermed iario (líneas intern as). En cada vértice se conserva p y Q; es decir, el momento y la carga eléctrica. L a líneas internas no son observables. Se trata de partícul as intercambiad as; se di ce también que son los propagadores ele la fuerza; de hecho tran sfieren el momento y la energía de la interacción. Son partículas virtuales, de exi stencia efímera, y no tienen la masa de la partícula (o sea, no están en su capa másica); es decir, 2 2 2 2 no cumplen la ecuaci ón de Einstein E = (pc) + (rnc ) . Pero en el proceso se g lobal, entre partícul as incidentes y salientes, la energía conserva siempre. En los procesos de coli sión se introduce e l concepto de amplitud de difusión, f (q2 ), que como su no mbre indica es la amplitud de probabilidad de interacc ión y es función del momento transferido en la interacción. Es equivalente al propagador de los diagramas de Feynman . La sección eficaz de difusión es e l 2 por el factor de espacio fásico, dividido por el flujo incidente. producto de lf 1 Este es el resultado que se obtiene en primer orden de teoría de perturbacione s y que coincide con la conoc ida regla dorada de Fermi. La amplitud de difusió n debida al intercambi o de un único bosón es igual al producto de los dos fac tores ele vértice g0 y g8 que describen el acoplamiento del bosón a las partículas difusora y difundida y del término debido al propagador. Para deducir una expresió n del término del propagador, se puede utili zar la idea de que la difu sión es causada por un potencial tipo Yukawa. En óptica clásica, la di stribución angul ar d difracción se calcul a como la transformada de Fourier de la di stribución espacial del bl anco. Análogamente, el potenc ial U(r) tiene una amplitud asoc iada de difusión que es su tran sformada de Fourier:

f (i[) = go ./ U(r) eiq · fdV siendo g 0 ahora, la constante de acoplamiento de la partícula al potencial. e l potenc ial es central se ll ega a:

J(q2) =

/s90 2 (q + m, )

o rno

( 14 . . tf. 13

A111r 11 io l ·'e r rer "orin

do nde q se ha generali zado y es el cuadrimomento tra nsfe ri do en la interacción. E l propagador .f representa la ley de fuerza debi da al potencial U . En el mundo subatómico la interacción grav itatori a es desp rec iab le. En efecto, como la constante de Newton GN = 6, 67 x 10- 11 Nm 2 /kg 2 , si se to ma como unidad la masa del protón, la constante adimensional vale: GNm2

47rnC

=46

x 10- 40

'

lo que es insignificante comparado con los acopl amientos de las otras fu erzas existentes. El hecho de no tomarl a en consideración no altera ninguna de las conclu siones, por ello se abandona su di scusión en lo que sigue. Se describen a conti nuación las otras tres fu erzas o interacciones.

14.4.1 Interacción electromagnética (QED) La interacció n electromagnética es debida a la carga eléctrica de los consti tuyentes. Sus propiedades las describe la teoría mejor conocida hasta hoy : la electrodinámica cuánti ca, abrevi adamente QED . Es la más simple y la que más éx itos ha cosechado. El fotón es el cuanto de l campo que se acopla a la carga eléctrica. Esta interacción puede representarse por un di agrama de Feynman de su vértice fund amental. La intensidad de la interacción viene dada por la constante de estructura fin a: e2 1 0'. = --- ~ ( 14.24) 47rEolic 137 proporcional al cuadrado de la carga e léctrica y es el parámetro que caracteriza la interacción electromag nética. La probabilidad de emi sión o absorción de un fo tón es pro porcional a la constante de acopl amiento. En la fi gura 14.5 aparecen cuatro vértices elementales, en donde se ha utili zado el e lectrón (o el positrón) como ejempl o aunque cualquier partícul a cargada posee el mismo acoplamiento. Aparecen los vérti ces elementales de la aniquil ación, materi ali zación, efecto Compto n y bremsstrahlung. Todos e llos tienen un acopl amiento dado por la constante de estructu ra fi na a = e 2/ (47rEolic) = 1/137. Estos procesos e lementales son pu ramente virtu ales porque no conservan la energía. En efecto, tómese por ejemplo el diagrama de bremsstrahlung del positrón de la fi gura 14. 5. La carga (Q), e l mo mento (p) y e l momento angul ar (J) se conservan , aunque sin embargo la energía no se conserva. En efecto, utili zando la notac ión (E, k) para indi car el cuadrivector energía-momento se tiene:

que explícitamente conserva la cantidad de movimiento . Si el e+ inicial está en reposo, Eo = m c2 , e l e+ fi nal tendrá una energía:

4 14

'rms1i111 entes le l

1111

11erio : i111ro /11 · ·i

ít

y !{enem l i l 1 les

·on lo que la diíerencia de energía entre el estado fin al y el ini cia l será t::..B = ¡.;A· 1- k · - E 0 ; es dec ir, se cumple kc < !:::..E < 2kc, en vez de ser nul a. En con·lu sión, todos los procesos de la fi gura 14. 5 só lo representa n vértices fundamenlales. Es una notac ión gráfica que describe las interacc iones electromag néti cas 1os ibles.

e-

e-t-

e-

y

y

e+

t

e+ e+

e-

Figura 14. 5: Di agra mas de Fey nman de los vértices que descri ben los acoplami entos básicos de la teoría e lec trod inámi ca cuántica.

Sin embargo un proceso en el que ex ista emi sión y absorción del fotón virtual puede tener lugar, ya que entonces la energía y el momento pueden conservarse entre las partícul as reales del estado ini cial y fin al, con lo que por ej emplo podría darse la difusión electrón-electrón según la fi gura 14.6.

Figura 14.6: Diagra ma de Fey nman de primer orden de teoría de perturbac iones q ue explica la difusió n elásti ca e- e- .

4 1.

11/011 io /•'errer So rio Este último es uno de los infinitos diagramas el Fey nman que ex ¡ li ca n la in teracción e _ e _ . Es e l diagrama más senc illo: só lo se interca mbi a un fotón virtua l, es decir representa un proceso de primer orden en teoría de perturbac io nes (leading-order) , que da la contribución dominante debido a que los otros di agramas de orden superior corresponden a procesos en los que intervi enen potencias más elevadas de a = 1 j , la constante de acoplamiento entre cargas. Al 7 ser pequeña, permite una buena convergencia de los cálculos. Puede entenderse tambi én un diagrama muy parecido al anterior que representa la interacc ión electrón-positrón e+ + e- _, e+ + e- y que se muestra en la figura 14.7 . Este proceso se denomina difusión Bhabha y en este caso hay dos posibilidades de intercambio de fotón y los dos diagramas son necesarios para ex plicar el fenómeno . Cada diagrama representa una amplitud de probabilidad; para calcular la probabilidad hay que calcular e l módulo de la suma al cuadrado . Los dos diagramas se suelen clasificar según las variables cinemáticas s , t, de Mandelstam (véase la secc ión 15.2.4): (a) Diagrama de la difusión e lástica e+ e- (en la vía t) (b) Diagrama de Feynman de aniquilación e++ e - _, e++ e - (en la vía s ). Este último mecani smo es e l mi smo que se podría utili zar para la reacción e++ e- _, µ + + µ - o inclu so para explicar la producc ión de hadrones a través del acopl am iento a un par qua.rk-antiquark: e+ + e- _, q + q.

e+

e+

y

(a)

(b)

Fig ura 14 .7: Di agra mas de Fey nm a n para la difusión Bhabha, es dec ir: e++

e - ----+ e++ e - ; a) difusión e lás ti ca y b) a niquil ac ió n.

La difusión de Rutherford Como ya se ha visto anteri ormente, las reglas de Feynman permiten el cá lc ul o correcto de las probabilidades de reacc ió n (secc iones eficaces y vidas medi as). Tómese por ej emplo la difusión de Rutherford , que se describe prácti ca me nte por un diagra ma muy simil ar al de la fi gura 14.6. La amp litud de probabilidad de un proceso es e l resultado de l producto de tres cantidades: 4 16

• 111s1i t11 e111e.1· / • /

1 111

1terio :

i 111 1 ' /11

·ti

11 1 ¡.:e11er

,¡¡ l 1 les

• la amplitud ele probab ilidad ele mi sión ele un f'o l n (propo rc ional a la carga e léctrica, e), • la ele pro pagació n de l fo tón y • la ele absorción de l fotó n (ex: e). 'S

decir, si q es e l momento tra nsferido entre el e lectrón inicial y el fi na l,

'9ffe

Jal 2 , o sea, un a pro babilidad proporcion al a o: 2 , e l cuadrado de la con 1,¡a-l, q" tante de estructu ra fi na. Más concretame nte, es bi en sabido que la sección efi caz dife renc ial de Rutherfo rd (

*1)

R

expli ca la difusión cul ombiana no re lati vista entre dos car-

gas puntuales. Por ejempl o podría aplicarse, en primera aproximaci ón, a la difusión de un e lectrón, con carga eléctrica - e, por un núcleo cuya carga eléctri ca es Z e; se obtiene la conoc ida fó rmula:

(dDda ) [47rEo1 J R

=

2

2 (

z e2

4T sin

2 (~)

)

d6

1

16 sin

4

(

~)

( 14.25)

siendo do la di stancia de máx imo acercamiento al núcleo, obtenida al igualar la energía cinética T co n la potenc ial , 2

1 JZe [ 47rEo do

Si se escribe en func ión de l momento tra nsferido e ntre el e lectró n ini cial y fin al, 2 if = Pi - p¡ , al tratarse de un a difu sión elástica (IP·;I = IP'1 I) se cumple q = 2 2 4p sin ( ~) con lo que se obtiene:

el~ ) ( clqPero en rea lidad es bien sabido que e l núcleo es un objeto ex tenso; para tenerlo en cuenta, se introduce el fac tor de fo rma F(if), que es la transforma da de Fourier de la densidad de carga de l bl anco, con lo que la secc ión e fi caz de Rutherford se escribe:

quedando, en func ión del mo me nto transferido:

Jgua lmente se podrían expli car los procesos de prod ucc ión de pa res o la o li si n Compton. 4 17

!\ 11 to11 io l•'errer 'oria La teoría QED es la mejor conoc ida y estudi ada y sus predi cc iones están verifi cadas ex perimentalmente hasta varias c ifras decimales. Esta teo ría ha servido de modelo para las otras teo rías de ca mpos. Una ele las características de Ja teoría QED es que es una teoría invariante gauge. Se dice que es una teoría invariante gauge local porque el lagrangiano de la interacción es invariante bajo las transformaciones de fase: Esta invari ancia lleva a una pro piedad de enorme repercusión práctica que es que la teoría es renormalizable. En efecto, ex isten diagramas de Feynman, ll amados de autoenergía, que dan lugar a valores infinitos. Afortunadamente estos infinitos se eliminan al redefinir la masa y la carga de l electrón. La teoría QED es ta mbién una teoría gauge abeli ana; la consecuencia es que no ex iste acoplami ento entre dos fo to nes(¡¡). Esto no sucede en las otras interacci ones que se estudi arán a continuación.

14.4.2 Interacción débil La primera manifestación de la interacción débil es la desintegrac ión beta de los núcl eos. Pronto se asoció la desintegración beta nuclear al proceso más elemental de la desintegración beta de l neutrón: n -> p + e- +ve. Ahora se sabe que en realidad es el cambio de l quark d al quark u el que ex plica la desintegración de l neutrón: d -> u+ e- + ve, ya que tanto el protón como el neutrón son partículas compuestas por quarks. Ini cia lmente las desintegraciones débiles fueron descritas por la teoría de Ja interacción puntual de Fermi , que después se amplió y dio origen a la teoría V-A. El tema 17 está dedicado al estudio de la desintegración de los lepto nes mas ivos y de los hadrones y se utilizará la teoría V-A . En particul ar se prestará atenc ión al fenómeno de la violación de la paridad. Pero del estudio de las desintegraciones de los hadrones y de las interacciones de los neutrinos se llegó a la llamada teoría electrodébil de Gl ashow, Weinberg y Salam (GWS), una teoría unificadora que ex plica las desintegraciones de los quarks y los leptones pesados. Tambi én ex plica las interacciones de los neutrinos y las interacci ones de los lepto nes cargados en las que aparecen neutrinos. Esta interacción conserva los números leptónicos L e, Lµ. y LT. La teoría GWS supone la ex istenc ia de un triplete (cargas eléctri cas 0,±) y un singlete (el fo tón, de carga eléctrica O) de bosones intermediari os sin masa; pero a baj a energía la simetría se rompe y tres de los bosones adquieren masa: son los bosones w ±, z 0 , descubiertos en 1983 en el CERN en un ex perimento realizado en el coli sionador SppS a una energía de 270 GeV por haz, a través de sus desintegraciones: y

Se ll ama teo ría electrodébil porque unifica la interacción electro mag nética y la dé bil. Un a manera inmedi ata de constatar que las dos interacciones está n uni.ficadas es que la teo ría pred ice que las constantes de acopl ami ento débil (la 4 18

0 11s1ilu en l t'.\' le la 1110 1 >r i a : i 111 roducci 11

y gen

r tf i fo les

constante de Fermi, G r) y la co nstante de estructura fi na, a:, están relacionadas e ntre sí:

G F -

7í

o:

( 14.26)

72 Mw 2sin 2 Bw

2 do nde sin Bw es un parámetro de la teoría (el ángulo de Weinberg, o el ángulo de mezcla débil) cuyo mejor valor medio actual, medido en los ex perimentos del coli sionador LEP del CERN y del SLC de SLAC, es:

sin 2 Bw

= O, 23152 ± O, 00023

(14.27)

2 Una vez co nocido el valor del sin Bw , se puede determinar Gr la constante débil (que ya introduj o Fermi en su teoría) y de aquí determinar la masa de los bosones intermediarios w ± y z que se dan en la tabla 14.2 y que están relacionados por: ( 14.28)

Si se utiliza una notación parecida a la de la constante de estructura fin a, es decir introduciendo una constante a: w proporcional a la carga débil , e ~, se encontraría un valor cercano a a: w ,.__, 4a: (véase la tabla 14.3). TABLA 14.3: Características de las interacciones entre constituyentes fun damentales (q uarks y leptones). interacción Electromagnética Fuerte Débil

cuanto del campo 1 g

w ±, zo

Acoplamiento a leptones qu arks qq¡

CC¡

Qr Qb9rb Wqu Qd

-

W Cve

Constante de acoplamiento a: = 1/ 137 a: s ::::::: lOOa: O: w ::::::: 4a:

alcance (m) 00

10- 15 10- 18

Otra de las pro piedades de la teoría que describe la interacción electrodébil es que es una teoría invariante gauge no abeliana. La teoría electrodébil postula que la interacción es debida al intercambi o de alguno de los tres bosones de la interacción débil : w ±, z o. La fuerza es debida a la carga débil , una propiedad que poseen todos los constituyentes elementales de la materia, quarks y leplo nes, tengan o no tengan carga eléctrica. Como Ja teoría es invariante gauge 1111 abeliana, se da la circun stancia que los bosones también interaccio nan e n tr ~ ~ l . ex istiendo acopl amiento entre los tres bosones. El bosón cargado W ± es resp• 111 sable de las llamadas corrientes cargadas, es decir, desintegraciones en las q11 1· un quark se transforma en otro cambi ando su carga eléctrica (cambio de sah1111 o un leptón se transforma en su neutrino. En este último caso el acopl ami1·11111 básico es W l've, siendo l' uno de los tres leptones y ve su neutrino asociad(1, "11 el caso de los quarks, el bosón w ± acopla quarks con di stinta carga el ·1·1111 1 ('Ud , es, tb); se puede entonces entender la desintegració n del neutrón con111 ll1 bi da al cambio de sabor de uno de sus quarks constituyentes, e l quark d, vt· 1"1 la fi gura 14.8 que muestra el di agrama de Fey nman correspondi ente). 1 h1 11 11111

f / ii

An1onio Fe1r r Soria menor probabilidad, a quarks que perte nezca n a dos famili as diferentes: (us, ub , ... ). Todos los aco pl ami entos básicos se pueden ver en los diagramas de Feynman de la fi gura l 4.9(a) .

w ± acopla también, pero con

Figura 14.8: Diagrama de Feynm an de primer orden de teoría de perturbaciones que ex plica la desintegración beta de l neutrón a través del cambi o de sabor del quark d.

-

z-

>

_____ W ____

~

zº

/'------- --l

-

V[

>

zº

q_ l

(a)

(b)

Figura 14.9: (a) Acopl amientos fundamentales de la interacción débil por intercambi o de w ± (corri entes cargadas) . (b) Acopl amientos bás icos de l bosón z 0 , es decir de procesos ll amados de corrientes neutras. Ambos procesos ti enen un a constante de acoplamiento aw , proporcional a la carga débil de los constitu yentes.

Hay, sin e mbargo, una observac ión sorprendente: las corrie ntes cargadas

4

o

011s1it11 e11 t '.1' le l 1 111 11, ri 1: i n im h/(' ·i Jll

JJe11er ilido les

a op lan pa res de quarks ti - d 1, e - s1, l - b1, siendo los quarks pri ma resultado de una mezcla entre ell os. La mezcla viene representada por la fa mosa matri z de ab ibbo- Kobayashi-Maskawa, genera li zac ión de la teoría de Cabibbo. El bosón z o, como no tiene carga e léctrica, sólo puede acopl arse al mismo par leptón-antileptón o al par q q de idéntico sabor. En la figura 14.9(b), pueden verse los diagramas de Feynm an básicos de las denominadas conientes neutras.

14.4.3 Interacción fuerte (teoría QCD) Hi stóricamente se conoce como interacción fuerte la que li ga los nucleones para formar los núcleos de la materi a. Los primeros in tentos de explicar la in teracción fuerte, fueron llevados a cabo por Yukawa, quien postuló por primera vez Ja idea de intercambio de mesones para ex plicar Ja interacción N N . Así, en fís ica nuclear ex isten modelos que han generali zado el intercambio de un pión y han explicado muchas propiedades de Ja interacción N N. Pero hoy en día, tras los éxitos de los modelos de quarks consti tu yentes de los hadro nes, se sabe que Ja interacción fuerte fund amental es la que ex iste entre quarks. Es la fuerza que los mantiene li gados en el interior de los hadrones. La teoría cromodinámica cuántica (QCD), pos tula que la fuerza es debida al color de los quarks (cada quark puede tener 3 colores, representados por sus iniciales r , v , a) y el bosón del campo es el g luón, partícul a sin masa y de espín 1, que al ser la teoría QCD una teoría gauge no abeliana, tienen ta mbién color, como los quarks, pero hay 8 gluones distintos. U n gluón acopla dos quarks con color, pero conserva el sabor (Ja interacción responsable del cambi o de sabor es la interacción débil de corriente cargada). Uno de los posibles acopl ami entos básicos de Ja teoría QCD puede verse en la fi gura 14. 1O a ) y la interacción fuerte aparece en e l d iagrama de Fey nman de fundamental entre dos quarks, q,. y la fi gura 14. 10 b). La intensidad de la in teracción entre quarks, viene de nuevo dada por una constante de acoplamiento a 8 ~ 1, mucho mayor que la de la interacción electromag néti ca (véase la tabl a 14.3). Los g luones, contrari amente al caso del fotó n, tam bién ti enen color. Por ell o, en este caso también ex isten acopl amientos entre gluones. Ello es consecuencia de q ue la teoría QCD es una teoría gauge no abeliana. Una de las ideas más chocantes de esta teo ría es q ue todas las partíc ul as observadas son singletes de color. Esta idea obliga a que los entes fun damentales, que tienen color, están confi nados en el interior de los hadrones. Esto es lo que se denomina la esclav itud infrarroja: la fuerza fuerte aumenta con la separación entre quarks. Sin embargo, ha sido probado que a pequeña distancia los quarks se comportan como entes totalmente libres; este fe nómeno se denomina libertad asintótica (este concepto puede visuali zarse corno la dis minución progresiva de la constante de acopl amiento fu erte a pequeña di stanc ia: as --> O, si r --> 0). Gracias a la libertad as intótica se han podido hacer pred icciones en el marco de la teoría QC D, reali zando desarroll os perturbativos. Por el contra rio, dado que la constante de aco pl am iento a 8 ~ 1, fe nó menos a grandes d ista ncias (bajas energías) entre quarks no son calcul ab les por teo ría de pertu rba ion s ya

ªª'

4 I

A111011.io F•rrer 'o ria que la seri e no converge. Este concepto del confinami ento de los quarks fu e desarroll ado por los fís icos estadounid enses David Gross, Frank Wi lczek y H. Dav id Politzer, por cuyo trabajo han compartido el premi o Nobel de Física de 2004.

(a)

(b)

Figura 14. 1O: (a) Diagrama de Fey nman de la interacción bás ica qqg de la teoría QCD. El color del quark cambi a de r a a y por ello el gluón g tie ne también color ra . (b) Diagrama de Feynm an de la interacción fun da mental entre dos qu arks (q,.. y qa) en la que se intercambia un gluón 9ra·

Las teorías invari antes gauge predicen, como en el caso de QCD, que las constantes de acopl amiento no son tales constantes sino que son en realidad función de la escala de energía de las interacciones, o del momento transferido en la interacción q 2 , es decir, función de la di stancia a la que interaccionan los constituyentes en el proceso elemental. Un resumen sobre las interaccion es fundament ales, los bosones intermedi arios y las constantes de acopl amiento puede verse en la tabl a 14.3, donde tambi én se pueden ver valores típicos de sus alcances.

14.4.4 Diagramas de quarks Una form a conveniente y sencill a de visualizar los procesos de interacción entre hadrones puede realizarse a través de los diagramas de quarks. Así por ejemplo, la des integración fuerte de la resonancia 6.(1232): (14.29) puede verse en la fig ura 14.11 (a). En efecto, los números cuánticos de la resonancia .6. ++ equivalen a los del estado ·uuu, luego el proceso entre quarks puede escribirse: uuu ---> uud + ud En la citada fi gura se observa que el intercambio de un gluón (la interacción fu erte) es el responsabl e de la creación de un par quark-antiquark. De la 4

111.,·titu 1e111es de la 1no1 •rio : i111rodu

·ci 11 g ' nero lido les

mi sma manera, en la reacción 7r p puede entenderse la fo rmac ión de la resonancia 6., como se muestra en e l esq uema de la figura 14.11 (b). Otro ejemplo 'Se l de la producció n de resonanc ias. Para e llo, debe existir producción de mu chas partícul as en el estado final. En la fi gura L4. l 2, se puede ver e l proces n - p ---> n+ n - n - p, en el que se pueden producir dos resonancias, la 6. 0 ---> n - p y la p ---> n + n - . Los di agramas de quarks no son di agramas de Feynman porque no representan interacciones. Sin embargo, los di agramas de quarks son de gran utilidad porque pl as man la conservación del número de quarks. También han servido para descubrir reglas, que prohiben por ejemplo que puedan ex istir procesos en los que las líneas de quarks se crucen entre sí (deben aparecer desconectadas); un ejem plo es la regla de OZI (se presentará en la secc ión 16.6).

/::,,++ ~ - - - - - \..,......._ u----~

d

up

u

(a)

(b)

Fig ura 14. 11 : a) Diagrama de quarks de la desi ntegración de la resonancia ~++ p + 7r + y b) Diagrama de quarks de la interacc ión 7r+ p.

7t

p

d

"] u u d

--->

d u n-

º n+ d 1

d

u 7t u u d

p

Fig ura 14. 12: Diagrama de quarks de la interacción 7r - p ~ 7r - 7r + 7r - p.

4

A 111011io F rrer 'ori

1

14.5 El Modelo Estándar A modo de síntesis de los conceptos vi stos en este te ma, es oportuno reunir en este apartado las ideas que estructuran e l esquema general del ll amado Modelo E stándar. El Modelo Estándar de las partícul as y sus interacc io nes está concebido como una teoría cuánti ca, relativi sta y que cumple la invariancia gauge . Hay 3 tipos de partícul as, que se clasifi can según su espín : 11 bosones vectori ales (de espín !), que contiene todos los bosones intermedi arios; los 8 gluones con color, que transmiten la fuerza fuerte descrita por la teoría QCD; los tres bosones masivos w ±,Z y el fotón sin masa que intervienen en las interacciones electrodébiles. 21 los fermiones constitu yentes (de espín 112), ag rupados en tres dobletes de famili as de quarks y lepto nes, con masa diferente. 3/ el bosón escalar de Hi ggs (de espín O); residuo de la rotura es pontánea de simetría en la interacció n e lectrodébil y cuyo va lor esperado en el vacío da la masa a los bosones intermedi arios masivos y a los fermi ones constituyentes. Podría haber más de un Hi ggs. Hay tres interacciones: la interacción fu erte, la débil y la electromag nética, estas dos últimas unificadas según e l esquema de Gl as how, Weinberg y Sa lam. Simbóli camente e l grupo gauge que engloba estas interacc iones se escribe:

SU(3) c

¡z; SU(2)L l8l U( l )y

C de color, L de levógiro e Y de hipercarga débil. Cada fa mili a de fe rmi ones aparece pues en 5 multipletes según su carga:

los singletes dextrógiros só lo ti enen hipercarga débil. Los dobletes que se acopl an al w ± son levógiros; sólo sienten la fu erza SU (2) . Como cada qu ark aparece con 3 colores, hay 15 partícul as por fa milia y en total 45 fe rmiones. Al añadir los bosones, ex isten 58 partícul as. Y a todo esto hay que añadir 19 parámetros que hay que medir: las 9 masas de fermiones (los neutrinos se supone que tienen masa nula), 4 parámetros de la matri z C KM, 3 constantes de acoplamie nto y M z, m~ y de QCD). Probablemente, de masiadas partícul as y demas iados parámetros.

e

14.6 La gran unificación E l hecho que se ha descrito, que las constantes de acoplami ento de las tres interacc iones descritas no son tales, sino que varían con la di stanc ia (o con la esca la de energía), puede interpretarse como un a con secuenci a de la po lari zac ió n de l vac ío. S i se acerca un a carga eléctrica a otra carga e léctrica, ésta se apantall a debido a la creac ió n de pares e+e - , con lo que todo pasa como si la ca rga

4 4

'011siit11 entes de lo 1110 /eri 1: i111 m l1 fl'ci 11

¡.¡e11eroli l 1 les

el.ri ca fu era aumentando a medid a que se ace rca más al electrón. La constante n, aumenta a medida que la di sta nc ia se hace más pequeña ; r ---> O. Este efecto, es e l opuesto al del color; en este caso ex iste antiapantallam iento, y como consecuenc ia de e llo, a 8 , la constante de aco plamiento fuerte , va di sminuyendo. Lo mi smo sucede con la constante débil , puesto que también se trata de una teoría gauge no abeli ana. Se ha comprobado efectivament e que las constantes de aco2 pla mi ento a de las interacciones evolucionan con Q , el momento transferido, según:

(14.30)

sie ndo Q0 un momento transferido que se toma arbitrariamen te y que por lo tanto puede hacerse todo lo grande que se quiera. La constante (J 0 depende de la interacción:

fJo =

- ~ L, e} (QED) f

_ 33 - 2n¡ (J o 12-rr

(QCD)

De esta manera, la constante de aco plami ento de QCD viene dada por:

as

(Q 2)

127f

= (33 - 2n ¡) ln (Q2 / A2 )

(14 .3 1)

2 2 donde n ¡ es el número de sabores de quarks cuya masa cumple m < Q (hasta hoy se sabe que el número de sabores máximo es n '.f'ªx = 6) y A es una constante que debe ser medida experimental mente; en la masa de l Z, como n ¡ = 2 5 su valor es A ::::o 100 MeY y depende de Q . Marca la esca la de masas que separa el mundo de los hadrones (región no perturbativa) del mundo de quarks y gluones que interaccionan como si estuvieran libres (región perturbativa). Se ha 2 verificado experimentalmente que a 8 di sminuye con Q . Puede comprobarse en la figura 14.13 , que muestra los valores de a 8 hasta la máxima energía alcanzada 2 en el coli sionador LEP del CERN en el año 2000. Por ejemplo para Q = 0 , la constante ha sido es decir para una energía equivalente a la masa de l Z

Mi,

determinada y vale:

as(Mz)

= 0,119 ± 0,002

( 14.

y tambi én se verifi ca la libertad as intótica; los quarks a pequeñas di sta n O cuand Q co mportan como si fu eran libres, lo que signifi ca que a- s

4 .

An tonio /i'errer Sorio

0.3

0.2

0 .1

o 10 µG e V

Figura 14. 13: Evo lución del va lor de la co nstante de acoplami ento

°'• en fun ción deµ , valor de la masa de la partícul a ines table o de l momento transferido en la in teracc ión.

Esta variación de las constantes de acopl ami ento, vi sibl e en la fig ura 14. 14, cuando di sminuye la di stancia (o lo que es lo mi smo, cuando aumenta la energía o el momento transferido Q), permite creer que las tres constantes de acoplo de las tres interacciones convergen en un punto. El punto de unificación que se obtendría aparece a di stancias del orden de R 0 '"" 10- 3 1 m. En el punto de unifi cación, se espera que las constantes de aco plamiento de las tres teorías tengan el mi smo valor. Es como si las tres teorías se fundi eran en una sola. Se tendría la unificac ión de las tres interacciones. El bosón X , ¡con una masa cercana a los 10 15 Ge V!, sería el responsable de e~tos procesos en el sector unificado. Los quarks pueden desintegrarse en leptones. El protón, por eje mpl o podría desintegrarse dando: ( 14.33) proceso del que se intenta determinar la vida medi a y que de momento sólo se ha determinado ex perimentalmente un límite inferior que vale T P > 10 3 1 a 10 33 años, dependi endo del modo de desintegració n. La medida de la desintegración del protó n es un desafío ini ciado por los años 1970 en ex perimentos subterráneos (KAMlOKANDE en Japón; IMB en EEUU) para protegerse de la co ntami nació n de rayos cósmi cos, motivada por las predicc iones de las teorías

4 6

'on.1·1i111 e111 •.1· d lo 11101•rio : in1rodu ·r·i m y gen •ro li l 1de.1·

de gran unifi cación. Los ex pe rimentos diseñados para medir la vida m ·clia l ·l protó n deben acumular mucho mate ri al (mil toneladas ele ag ua contie nen unos 10 32 protones, con lo que vidas medias del orden de 10 30 años ciarían lugar a una desintegración por día). La desintegración del protón no se ha detectado ha to hoy. Sin embargo, los ex perimentos di señados para ello, han tenido un éxito inesperado detectando las interacciones de neutrinos de supernova y re olvienelo el problema de los neutrinos solares y atmosféricos .

0.1

10' º

1020

Q(GeV)

Figura 14.14: Evolución de los acoplamientos gauge en fun ción de Q, el momento transferido en la interacción, según el esquema de gran unificación. Más allá de la escala de unificación,µ rv 1015 Ge V, las tres constantes de acoplamiento coincidirían . El factor 8/3 delante de la constante a resulta del cálculo de L e}, para f = u, d, e. J

La gravitación continuará siendo una fuerza sin influencia en la física ele partículas ya que la masa de Planck:

( 14. 4)

que fija la escala de masas relacionada con la constante de la gravitaci n 1 19 Newton, GN, es aú n mucho mayor (rnp ~ 10 Ge V) que la masa de l bos n X ele las teorías ele gran unifi cac ió n (ele las fu erzas e lectroel biles y fu ertes).

4

7

A1Lto11io l·"rn r 'orüi

14.7 Ejercicios 14.1 Co nstantes de acoplo de las interacciones fund amentales. a) Utilizando las fórmulas del texto, defi nir cuatro constantes ad imensionales, a, aw, a 8 y a 9 , que caracterice n las cuatro interacciones fund amentales (electromagnética, débil , fuerte y gravitacional). b) Calcul ar e l valor numéri co de dichas constantes as í como el error en di chos valores. lndicar cuando sea pos ible el método de medida utili zado (se podrán consu ltar los apéndices as í co mo los datos aportados en el resto del libro). 14.2 E l sistema de unidades naturales. a) En e l sistema de un idades naturales (ñ = e = 1), la vida medi a del muón resulta ser 3 T = 19271' /(G~ m;.) y la sección eficaz de coli sión e+ e- --> µ+ µ- se expresa en la fo rm a

a = 47ra 2 / (3s) Calcular T y a en s- 1 y barn, respectivamente. b) El sistema de unidades naturales se puede extender a la interacción grav itac ional hac iendo n = e = GN = 1, en cuyo caso todas las magnitudes son adimensionales. Calcul ar en dicho sistema de unidades m e , mp, Mz y MP1 anck ·

14.3 Cálculos con arg umentos dimensionales. a) Utilizando únicamente argwnentos dimensionales y los diagramas de Feynman correspondient es, estimar la vida medi a de las sigui entes partículas: µ , 7r+, n , n +, n+ y Z , as í como la vida media del positronio (estado li gado e+e- ). Comparar estas estimaciones con los valores ex perimentales . b) Con idénticos argumentos, obtener el va lor de las secciones eficaces para los procesos e+ e- --> µ+ µ - , e- ¡ --> e- ¡ y ven --> e- p. Comparar con los valores experimentales. 14.4 La ecuación de Dirac. a) Demostrar que si 'lj; verifi ca la ecuación de Dirac (i¡µ. 8µ. - m )·t/; = O, entonces verifica igualmente la de Kl ein-Gordon (82 + m 2 )'1/; = O y por tanto la ecuac ión de Dirac describe una partícula de masa m . b) Demostrar que la ecuac ión de Di rac es invariante ante la transformac ión de Lorentz x' = Ax , con tal de que se verifique la ley de transformación de los espina res 1 'l/;'( x') = S'lj;(x), donde la matriz S cumple Aµ.., ¡"= ,µ. S. Considerar una rotación infinitesimal y demostrar que 'lj; desc ribe una partícula de espín 112. 14.5 Límite no relativista de la ecuación de Di rac. a) Considerar la descomposición de los espinares de Dirac 'lj; = ('l/;A, 'lj; a) siendo 'l/;A y 'l/;s espina res de Pauli (es decir de 2 componentes). De mostrar que en e l límite no relativista y para soluciones de energía positiva (E > O) , la ecuac ión de Dirac en un potenc ial coulom biano Aº se red uce a la ecuación de autovalores

s-

(f>2 /2m

+ eAº)'l/; A ;::-:: (E -

m)'t/;A

mientras que 'l/;s ;::-:: O. Concluir que ·t/;A describe una partícul a de masa m , es pín 112 y carga +e. b) Demostrar que para E < O, se verifica

4 8

'011s1i1i1ye 111e.1· r/e / 1111 11eria : in 1ro /11 · ·i 11

p,ener ,¡¡ l 1 les

y por tanto '!/J u desc ribe un a partíc ul a de masa ·1n., es pín 1/2 y car•a

- <-'.

14.6 Límite ultra-re lat ivista de la ec uac ión de Dirac. O, se pueden eleg ir las solucione s libres de la ec uac ió n a ) Demostra r que si rn ig ualmente autoestad os del operador de heli cidad sean e qu rma fo de Dirac de

=

A = S · P'/IP1· 5 (se dice b) Demostra r q ue estas solucio nes son igualmen te estados propios de ¡ definida). ralidad ui q de que so n estados 5 levógira e) Demostra r que para rn = O, 'i/JL = (1 - ¡ )'1/J describe una partícula positiva). (heLicidad a (heli cidad negativa) o bien una antipartíc ul a dextrógir

t2

15. Simetrías y leyes de conser vación

15.1 Introducción Las simetrías y las leyes de conservación aparecen constante mente en la física. La importancia de las simetrías en física de partículas es que conducen a leyes de conservación . Este es el contenido del teorema de Noether, que dice que cada simetría de la natural eza está asoc iada a una ley de conservación y viceversa. Ejemplos de esta conexión pueden verse en la tabl a 15.1. TABLA 15. 1: Conex ión entre simetría y ley de conservación que cumplen los siste mas fís icos, consecuencia del teorema de Noether. Las tres primeras simetrías son espac iotemporales. La última simetría se refiere a la electrod inámica y es del es pacio interno de las propiedades de las partíc ul as.

invari ancia desplazami entos de t despl azamientos de x rotaciones de

e

transformacio nes gauge

---7

magnitud conservada E , energía total del sistema

---7

p, cantidad de movimiento total del sistema

---7

P.., momento angular total del sistema

---7

Q, la carga eléctrica

Matemáti camente, una simetría está asociada a una tran sformación que d j a invari ante la función de ondas del sistema físico, por lo tanto es una propi edad que puede cumplir cualquier tipo de interacción . Las leyes de conservación están emparejadas con la existencia de número cuánticos que se conservan, es decir, permanecen inalterados antes y despué d una interacción. Algunas leyes son un iversal es; son válidas para todas las i1Heraccio n · s. Por el contrario, hay simetrías que no son aplicables a ciertas interacc io n s. n ejempl o es la pari dad, que no se con erva en las interacciones d bil s. 4.1I

A111rm io l'errer 'oria

En ausenc ia de teorías, conocer bi en las simetrías de un sistema y las leyes de conservación permite conocer muchas propiedades sobre un a interacc ió n.

15.1.1 Clasificación de las simetrías Es posibl e establecer tres características que permiten clasificar las simetrías. En primer lu gar, ex isten dos tipos de simetrías según la naturaleza del espac io en el que se aplican: • simetrías espacio-temporales: son consecuenc ia de propi edades de l espac io-tiempo. Las leyes físicas son independientes del sistema de referencia utili zado para describir un fe nó meno: debe ex istir invariancia bajo traslac iones y rotaciones. • simetrías internas: son consecuencia de la propia estructu ra de las partículas . Las leyes físicas presentan invari ancias baj o transformac iones de propi edades de las partícul as, por ejemplo isospín I, conjugac ión de carga C o transformaciones del grupo SU(3), etc. Pueden también clasificarse en: • simetrías continuas La invari ancia bajo transformaciones continu as da lugar a números cuánti cos aditi vos. • simetrías di scretas La invari ancia bajo transformaciones di scretas da lugar a números cuánticos multipli cativos. Por último, exi sten teorías que cumplen un tipo de simetría muy particul ar, conocida como invari ancia gauge. Es un a simetría que se ori ginó en el estudi o del electromagnetismo, li gada a la e lección de l potencial (e/>, A). Se puede e legir un potencial di stinto si se ex ige la invari anc ia de las ecuac iones baj o la tra nsformación gauge :

\Jl (x, t) ---> \Jl' (x, t ) = e- iqf(x,t)\Jl (x, t)

( 15 . 1)

Estas simetrías pueden cl as ificarse como simetrías globales (se cumplen en todo el espacio; entonces la func ión f en ( 15. 1) es una constante) o simetrías locales (la fun ción escalar f (x, t), depende de la coordenada espac ial).

15.1.2 Invariancia y conmutación con H Una fo rma de visua li zar la conex ión entre simetría y ley de conservación es a través de la pro pia ecuación de Schrodinger dependiente del tiempo:

Hl\J! (t) = iñ:tl\J!(t) )) 43

• 'i111 et r as

le es de c o 11 .1'('1'W1 ·i m

/, ) qu pc rmit El ha milLo ni a no da lugar a l operad o r evo lució n U( t,, 0 : mpo e Li de slanle ncr la fun ción de o ndas para c ualqui e r in

bl -

l\JJ (t)) = U(t, to)l\JJ (to)) s ie ndo

U(t, to) = e-iH (t - to)/!i dada po r D(t) = Sea D una magni tud fís ica. Su evo lución tempo ra l vendrá e que: U D(to)U+. En la ll amada repres entaci ón de Heisenberg se cumpl

i!idD = [H D] dt

( 15 .2)

'

i ano H , da lugar a una con lo que s i un operad or conmu ta con el ha milton y l\JJ' ) = D l\JJ ) se c umpl e magni tud que se conser va. En efecto , s i 11> ' ) = D I) unitari o, puesto que deja la que (1>' IH I\11' ) = ('l \11' )12=1(1>1\11)12. li ano o no abeli ano) ; Las operac iones de simetr ía suelen forma r grupo (abe grupo contin uo o un de e puede ser un grupo finito o infinito y puede tratars discret o. e n estar repres enLos g rupos más interesantes e n fís ica de partícu las suel mento del grupo ele cada a Lados por matric es (por ejemp lo el grupo de Lore ntz): a, le corres ponde una matri z M a·

15.2 Invariancia relativista re lativis ta que se deDe capita l impor tancia es la noción de invarianc ia ipi os básicos: 1) e l princ dos Tiene riva de la teoría especial de la relatividad. la mi sma e n todo ser debe ica fís princip io de la relativ idad , que dice que la dad de la lu z, veloci la de ncia consta los siste mas inercial es y 2) el princi pio de tud en tomagni igual de y a isótrop que implic a que la veloci dad de la luz es a un a zarse despla puede ente ún ning e dos los sistem as inerci ales. Es por ello qu c. veloci dad supe rior a la de la luz en el vacío, físicas debe n ser in La in varian cia relativ ista impli ca que las ecuaci ones se conoc en las leyes si o, ell Por do. utiliza dependie ntes del sistema de refere nc ia transfo rma r s us obcómo e sabers de ha físicas que gobier nan un sistem a físico, se observ e. Estas que el desde a ci referen de servabl es depe ndiend o del siste ma cio nes d Losforma tran las son nadas coorde transfo rmacio nes e ntre sistem as de de la físi a eo Galil de ciones sforma tran idas rentz (gener alizac ión de las conoc y al · spampo tie al plano smo mi el en coloca clásica). La invarianci a Lo re ntz, c io.

de Lore ntz, s Para estudi ar las consec ue ncias de las transfo rm acio nes s. ector uadriv c n e basada ista relativ n ó senta a continuac ió n la notaci

1r

·

lf..13

15.2.1 Notación relativista Las coordenadas relativistas de un punto en el espacio-tiempo (et , x, y, z ) = xµ, , for man un vector contravariante, que se denomin a el cuadrivector posición

(xº ,x 1 ,x 2 ,x 3 ) = (xº ,x), con el bien entendido que la coordenada O se refiere al tiempo (x º = et). Análogamente se define el cuadrivector energía-momento: ( Ej,, j}) = pµ, . xJ-L, que también suele escribirse x µ,

=

x

Sea la coordenada de un punto en un sistema estacionario, cuyo origen de coordenadas es O, como puede verse en la figura 15.1. Respecto a un sistema O', que se mueve a una velocidad v constante respecto al sistema fijo , la coordenada se transforma en x', y se aplica la tran sformación de Lorentz según el eje z :

(15.3)

X /\

X

x'

o

O'

z'

z

Figura 15.1: Representac ión gráfica del movimiento de un sistema de coordenadas (01 ) respecto al sistema laboratorio (0), que se su pone fijo con el observador.

En el caso general en el que el sistem a O' se mueve con velocidad O, la transformación de Lorentz es:

x' = x + iJ1

(;yf-r iJ · x -

iJ respecto de

et) (15.4)

et' = ¡ (et -

iJ . x )

En el caso de e leg ir la direcc ión de O' según el eje z la transformación es más 4. 4

Si111 e1r

1.1·

l eyes de consP1'\ o('/1 11

sencilla, quedando malri ·i·ilm nl ',

et'

()(

1

y'

o o

z'

- (3¡

x'

o o 1 o o 1 o o

-(3¡

o o 1

et

)( ) X

y

( 15 .5)

z

en donde: (15.6)

f3 = v/e

Todo cuadrivector que se transforme según la ley (15.3) se dice que es un cuadrivector contravariante x µ . Los vectores covariantes tienen idéntica componente temporal y las espaciales cambiadas de signo; también se transforman según la misma matriz de Lorentz. El tensor métrico, g µv, cuya definición es:

gµµ ~

u

o

- 1

o o

o o - 1

o

j)

(15.7)

es el que permite transformar cuadrivectores contravariantes y covariantes entre sí:

e igualmente,

cumpliéndose o sea, que su producto es igual a la delta de Kronecker y, por lo tanto, los tensores métricos gµ v y 9 µv son iguales. Sucede, pues, que un cuadrivector covariante se diferencia del contravariante en el hecho de que tiene las coordenadas espaciales cambiadas de signo. Una curiosidad es el cuadrivector derivada. Si se trata del cuadrivector derivada respecto a las coordenadas contravariantes, será un cuadrivector covariante: 1

mientras que

fY' =

(~ at'

-v)

1 Se utili zan frecuente mente, en este tema, las unidades naturales, fi notación.

= e = 1, para s implificar la 43

Antonio F rrer Sori 1 con lo cual el operador de D' Alembert toma la forma:

( 15.8)

con el que se simplifica la notación ; por ejemplo la ecuación de Klein-Gord on es: (15.9)

15.2.2 Invariantes Lorentz El producto escalar de dos cuadrivectores, por ejemplo p ·{¡,será un escalar y por consiguien te un invariante Lorentz. No cambia bajo una transformac ión de Lorentz. El producto escalar se define: (15.10)

luego las normas de los vectores i:2

=

tP

= E2 -

t2

t2 -

ff2

= m2

serán invariantes Lorentz. Un invariante muy utilizado en el estudio de las propiedade s de las partículas inestables , con vida media muy corta (las resonancias hadrónicas) es la masa efectiva, lvf. Sea una partícula que se desintegra en otras dos, que tienen cuadrimomentos fh y fü. La masa efectiva se define

M2

=

(,

P1

en donde

, )2 ,2 , · P2 , = m12 + m2? 2 (E E + P2 = P, 12 + P2 + 2P1 + i 2-

P1P2 cos e)

e es el ángulo entre los vectores tridimensionales p1 y p2 .

15.2.3 Transformaciones entre sistemas de coordenadas Sea una partícula de masa m cuyo cuadrivecto r es p2 = m2. La energía y el momento relativistas son:

E = ¡ m c2

y

p = (E , 'f}); se cumple

p=¡mv

luego: ( 15 . L1)

4 6

is

'i11 P lr

le es le ·0 11s •r vo ·i m

upóngase aho ra e l caso de una co li sión entr dos pa rtícul as. Se tra ta el · conocer e l cuaclrivecto r e nergía- momento ele las partícul as que intervienen, en cualquier sistema de coordenadas. En fís ica de partícul as, los sistemas ele coordenadas más utili zados son el sistema laboratorio y el sistema centro de masas. Se designará con un asterisco (*) las magnitudes de l centro de masas. E l sistema laboratori o está fijo (por ejemplo con e l observador), y el centro de masas se mueve con veloc idad /Jcm respecto a aqué l. El cuadri vector energíamo mento de la partícula en el sistema centro de masas será (E *, p*). Si P11 es la componente de p paralela a /Jcm, se tendrá: /cm

-f3cm/cm

-f3cm /cm

/cm

(15.1 2)

quedando las componentes perpendicul ares invariantes: p*T = P'f

ya que las componentes perpendiculares no son alteradas por una transformación de Lorentz (en e l caso de la tra nsformació n (15 .3), las componentes según los ejes y y z , no cambi an).

+ p , en la q ue un haz de 7r -

bo mbardea 15 .2. En e l ura fig la un blanco de hidróge no en reposo tal como puede verse en = O. Pp siste ma laboratorio se tiene p"- =/= O, pero e l momento de l blanco,

Ejemplo l . Sea una coli sión 7r -

p~

p

1

1

m1

e* p

p p* 2

b)

a) Figura 15.2: La coli sión n - + p b) e l sistema centro de masas.

-->

m1

+ m2 , vista desde a) el sistema laborarodo v

El movimiento de l centro de masas de la co li sión tiene por pará m ·1111·1 /Jcm

=

/cm =

p1'

( f '1 1 \ 1

E" + mp E"+ m p Ecrn

~

11

111

A11!011. io /• rrer

oria

en do nde E'Tr y p'Tr se refieren al siste ma laborato ri o. La energía total del centro de masas, E cm puede calcul arse utili zando los invariantes relativistas. Los cuad ri vectores del pión y del protón son p.,,. = (E.,,. , p.,,.) y Pr = ( mp , O) en el siste ma en el que la partícula m 2 está en reposo (sistema laborato rio). E l cuadrivector suma de ambos: p = (p ., . + Pr ) tiene po r norma A2 -2 A A E 2 p- 2 = P.,,. + Pp + 2 p.,,. . Pp = cm es decir, la energía del centro de masas que se bu scaba. Este cálcul o tiene la ventaja que puede reali zarse en cualquie r sistema de coorden adas, ya que es un escalar Lorentz. En general se tend rá: P, 2 =

m12

+ m 22 + 2(E1 E 2 -

- - ) = E cm 2 P1P2

o sea, si se calcula en el sistema laborato rio: ( 15. 15) Si se conoce el ángulo e ntre las partículas 1 y 2 (0 de la fig ura 15.2) se obtiene:

E~m

= mi + m~ + 2E1E2( l -

+e/> en el sistema laborato rio

f31f32 cos (O

+e/>))

y así queda resuelto el probl ema, tanto en el caso de una colisión elástica, en la que las masas cumplirían m 1 = m .,,. y m 2 = mp como en el caso de cualquie r otra reacción inelástica, a dos cuerpos en el estado fi nal, por ejemplo : 7í - + p --+

7ío

+ n.

.

Se podría, a continuación, calcul ar el moment o de las partícul as incidente y blanco en el centro de masas, en el que se cumple por defi nición que l'ff; 1 I ~* ¡, resultand o al aplicar la transform ación (15 .12): ( 15.16) Otra manera de calcul ar estas cantidades, en función de la energía centro de masas, que se suele escribir E crn = .jS es la siguiente ; tomando como eje el de la direcc ión del 7í incident e, como aparece en la fi gura 15.2 se cumple para las partícul as del estado ini cial: ( 15. 17) y las del estado fi nal: ( 15. 18) de fo rma q ue el, ángulo Ose obtiene a partir de cos O = I~ · :~ ¡ · Análoga me nte, los cuadrim omentos en el centro de masas para el estado inicial: A* = (E* -*) A* = (E*P' PP -*) P.,,. ·•'" P.,,. ( 15. 19) Pp

11

438

Si1110r os y leyes de <·on,·ervo ·i n y las del estado fi nal:

,* Pi

P, 2*

~*) , 1 1 P1 = (E*

, 2, P~*2 ) = (E*

( 15.20)

ti i1!ii ·

obteniéndose el ángul o() * de la expresión cos B* = La conservac ión de l cuadrim omento en el sistema laborato ri o se ex presa: fJ1í

( 15.2 1)

+ Pp = fJ1 + fJ2

mi entras que en el centro de masas se cumple: (15.22) para el tri momento y ( 15.23) para la energía. Se observa que: (15 .24) enlo que si mpli fica enormemente los cálcul os. En efecto, se encuentra directam te que (15.25) y de aqu í: * _ P1í -

¡ *2 V E1í

_

2 _ w(s , m;.,m~)

m1í -

2y's

( 15.26)

2 2 2 donde la función w(x, y , z) = (x + y + z - 2x y - 2xz - 2yz )~, aparece mu y frec uenteme nte en los cálculos de invariantes relati vistas .

Ejemplo 2. Se pretende calcul ar el momento de una de las partículas resultantes de la desinteg ración de otra. La fi gura 15.3, muestra un esquema de la desinteg ración de una partícul a ft2. de masa M en otras dos, con masas m 1 y m 2 y cuyos momentos son Pi y ejemplo por e (piénses M a partícul la de En e l sistema de centro de masas las en la desinteg ración A 0 --t p + 7r - ), se puede calcul ar el mo mento de ando desarroll ado), cambi signo de y iguales dos partícul as res ultantes (que son 2 M 2 = (p 1 + P2) , obteniéndose: ( 15.27) que es otra fo rma de escribir (1 . 8

4.1<

/\ 11tonio l'•rrer ario

De la mi sma manera, se puede ca lcular la energía e n e l centro de masas de la partícula 1:

E* -

Jv[2

1 -

2

2

+ m1 - m 2

( 15.29)

2Jvf

o bien de la partícula 2, simplemente permutando 1

2.

f-t

p , rn 1

1

P, M

_ _ _ _ _ _ ____,.<-·-'¡- - - - - - - - - - - - --

p ,nz 2

2

Figura 15.3: Esq uema de la des integración de un a partícula de masa M en otras dos de masas m 1 y m 2, proceso que suele escribirse M ---> m1 + m 2.

15.2.4 La regla dorada de Fermi, relativista Se pueden di stinguir dos casos: des integrac ión de una partícula y procesos de interacción . En ambos, la finalidad de la regla dorada es ca lcular las probabilidades de desintegración o de reacción entre partícul as. Toda la información teórica está contenida en el ll amado e le mento de matri z M, invariante Lorentz. Este e lemento de matriz es proporcional a la amplitud de probabilidad de transici ón, es decir a la cantidad: 4 / j(x)V(x) 4>i (x) d x

(15.30)

donde ¡(x) son las funcion es que representan e l estado inicial y final del proceso, respectivamente, y V(:i;) la interacción. Los cálculos teóricos se suelen realizar a partir de los di agramas de Feynman que expli can cada proceso, aplicando a cada uno, las reg las de Feynman (consúltese la bibli ografía, por ejemplo Halzen and Martin [12] .)

Desintegración a n cuerpos Sea una partícul a de masa Jvl, inestable, que se desintegra e n otras n partícu las,

4

o

Si111 ' Ir 1s y leyes lt, · 11se1v 1 ·i

la ex pres ió n de l ritmo de tra nsic i n (probabilidad de Lra n, i 1ie mpo), to ma la form a:

d)...

=

(27r )4

?

2M IMl-d