Daftar Isi 4. BARI BARISAN SAN - BAGIA BAGIAN N II
ANALISIS REAL
(Semester I Tahun 2011-2012) Hendra Gunawan
∗
∗
Dosen FMIPA - ITB E-mail:
[email protected].
[email protected]. ac.id.
September 12, 2011
Daftar Isi 4. BARI BARISAN SAN - BAGIA BAGIAN N II
4.3 Barisan Cauchy 4.2 Sub-barisan 4.3 Barisan Konvergen ke
±∞
Daftar Isi 4. BARISAN - BAGIAN II
4.3 Barisan Cauchy 4.2 Sub-barisan 4.3 Barisan Konvergen ke ±∞
Teorema 11 pada Bab 3 memberi kita cara untuk menyelidiki kekonvergenan sebuah barisan tanpa harus mengetahui limitnya. Persisnya, jika kita dihadapkan pada sebuah barisan yang monoton dan terbatas, maka kita dapat menyimpulkan bahwa ia konvergen. Namun bagaimana bila barisan tersebut bukan barisan monoton dan limitnya tak dapat diterka? Upaya yang dapat kita lakukan dalam hal ini adalah mengamati jarak antara satu suku dengan suku lainnya.
4.3 Barisan Cauchy 4.2 Sub-barisan 4.3 Barisan Konvergen ke ±∞
Daftar Isi 4. BARISAN - BAGIAN II
∈
Barisan x n disebut barisan Cauchy apabila untuk setiap > 0 terdapat N N sedemikian sehingga untuk m, n N berlaku
≥
|x − x | < . m
n
Secara intuitif, suku-suku pada barisan Cauchy dapat sangat berdekatan satu sama lain, dan ini terjadi tidak hanya pada dua atau beberapa suku berturutan tetapi semua suku setelah indeks tertentu.
Daftar Isi 4. BARISAN - BAGIAN II
4.3 Barisan Cauchy 4.2 Sub-barisan 4.3 Barisan Konvergen ke ±∞
Proposisi 10
Jika x n konvergen, maka x n merupakan barisan Cauchy.
≥ | − | ≥ |x − x | ≤ |x − L| + |L − x | < 2 + 2 = . Ini membuktikan bahwa x Cauchy.
∈ N
Bukti. Misalkan x n konvergen ke L. Diberikan > 0, pilih N sedemikian sehingga untuk tiap n N berlaku x n L < 2 . Maka, untuk m, n N , kita peroleh m
n
m
n
n
Daftar Isi 4. BARISAN - BAGIAN II
4.3 Barisan Cauchy 4.2 Sub-barisan 4.3 Barisan Konvergen ke ±∞
Sifat Interval Bersarang
Kebalikan dari Proposisi 10 juga berlaku, namun untuk membuktikannya kita memerlukan lemma berikut. Lemma 11 (Sifat Interval Bersarang)
(i) Misal I n := [an , b n ] dengan an < b n sedemikian sehingga I n+1 I n untuk tiap n N. Maka n=1 I n = .
⊆
∈
∩
∅ (ii) Jika, sebagai tambahan, |I | := b − a → 0 bila n → ∞, maka ∩ I merupakan himpunan singelton (hanya mempunyai sebuah ∞
n
∞
n=1 n
anggota).
n
n
4.3 Barisan Cauchy 4.2 Sub-barisan 4.3 Barisan Konvergen ke ±∞
Daftar Isi 4. BARISAN - BAGIAN II
∈ N berlaku a ≤ a ≤ a < b ≤ b ≤ b . Jadi a naik dan terbatas di atas (sementara b turun dan terbatas di bawah). Akibatnya, a ↑ a := sup{a : n ∈ N} bila n → ∞. Lebih jauh, a ≤ a ≤ b untuk tiap n ∈ N, sehingga a ∈ ∩ I . (ii) Jika x , y ∈ ∩ I , maka |x − y | ≤ b − a untuk tiap n ∈ N. Karena b − a → 0 bila n → ∞, maka haruslah |x − y | = 0 atau Bukti. (i) Untuk tiap n 1
n
n+1
n+1
1
n
n
n
n
n
n
n
∞
n=1 n
∞
n=1 n
n
x = y .
n
n
n
Daftar Isi 4. BARISAN - BAGIAN II
4.3 Barisan Cauchy 4.2 Sub-barisan 4.3 Barisan Konvergen ke ±∞
Catatan. Ketertutupan interval I n pada Sifat Interval Bersarang merupakan hipotesis yang penting. Periksa bahwa bukti bagian (i) tidak sah bila I n := (an , b n ).
4.3 Barisan Cauchy 4.2 Sub-barisan 4.3 Barisan Konvergen ke ±∞
Daftar Isi 4. BARISAN - BAGIAN II
Teorema 12
Jika x n Cauchy, maka x n konvergen.
Bukti. Misalkan x n Cauchy. Kita definisikan secara induktif barisan bilangan asli nk sebagai berikut: Tetapkan n1 := 1 dan untuk tiap k N pilih nk +1 bilangan asli terkecil sedemikian sehingga nk +1 > nk dan jika i , j n k +1 , maka x i x j < 2k 1+2 . Tinjau 1 1 I k := x nk , x nk + k , k N. k 2 2
∈
≥
⊆ | − | ≤ | −
| − |
−
∈ | |
∈ − |
∈
∈
Maka I k +1 I k untuk tiap k N. (Jika x I k +1 , maka x I k karena x x nk x x nk +1 + x nk +1 x nk < 2k 1+1 + 2k 1+1 = 21k .)
4.3 Barisan Cauchy 4.2 Sub-barisan 4.3 Barisan Konvergen ke ±∞
Daftar Isi 4. BARISAN - BAGIAN II
Selanjutnya, I k = 22k 0 bila k . Akibatnya, n=1 I k := x untuk suatu x R. Kita klaim bahwa x n x bila n . Ambil > 0. Pilih K N sedemikian sehingga 21K < . Jika n nK +1 , maka 1 x n x nK +1 < K +2 . 2 Sementara itu, x I K +1 mengakibatkan
| | ∈ ∈
→
→ ∞
| −
|
∩ →∞ ≥ ∞
→
∈
|x − x | < 2 nK +1
1 K +1
.
Karena itu,
|x − x | ≤ 2 1 n
K +2
+
1 2K +1
Dengan demikian klaim kita terbukti.
<
1 < . K 2
{}
Daftar Isi 4. BARISAN - BAGIAN II
4.3 Barisan Cauchy 4.2 Sub-barisan 4.3 Barisan Konvergen ke ±∞
Contoh 13
Diketahui barisan x n dengan x 1 = 1, x 2 = 2, dan 1 x n+2 = (x n+1 + x n ), n N. 2 Maka, dapat diperiksa bahwa untuk tiap n N kita mempunyai 1 x n+2 x n+1 = n . 2 Dengan menggunakan Ketaksamaan Segitiga, kita peroleh untuk m>n 1 x m x n x m x m 1 + + x n+1 x n . n 2 2 Diberikan > 0, kita dapat memilih N N sedemikian sehingga 1 < . Maka, untuk m, n N , kita peroleh N 2 −2 1 x m x n < . Ini menunjukkan bahwa x n Cauchy, dan 2N −2 karenanya konvergen.
∈ ∈
|
| − |≤| −
| − |≤
−
|
| ··· | ∈ ≥
−
− |≤
−
4.3 Barisan Cauchy 4.2 Sub-barisan 4.3 Barisan Konvergen ke ±∞
Daftar Isi 4. BARISAN - BAGIAN II
Soal Latihan
1
Buktikan secara langsung bahwa jika x n Cauchy, maka x n terbatas (tanpa melalui fakta bahwa x n konvergen) .
2
Tentukan limit barisan x n pada Contoh 13.
3
Barisan x n dikatakan kontraktif apabila terdapat 0 < K < 1 sedemikian sehingga x n+2 x n+1 K x n+1 x n untuk tiap n N. Buktikan bahwa barisan kontraktif merupakan barisan Cauchy, dan karenanya konvergen.
∈
4
|
−
|≤ |
− |
Diketahui barisan x n dengan x 1 = 1, x 2 = 2, dan
√ = x
x n+2
n+1 x n ,
n
∈ N.
Buktikan bahwa x n merupakan barisan Cauchy. 5
1 n
kontraktif.
Selidiki apakah barisan
4.3 Barisan Cauchy 4.2 Sub-barisan 4.3 Barisan Konvergen ke ±∞
Daftar Isi 4. BARISAN - BAGIAN II
∈
∈ N
Misalkan x n barisan dan nk barisan naik murni dengan nk untuk tiap k N. Maka, barisan
x disebut sebagai sub-barisan dari x . nk
n
Catatan. Pada pembuktian Teorema 12, kita mengkonstruksi subbarisan x nk yang konvergen ke suatu x R. Secara umum, dapat ditunjukkan bahwa setiap barisan terbatas selalu mempunyai subbarisan yang konvergen.
∈
4.3 Barisan Cauchy 4.2 Sub-barisan 4.3 Barisan Konvergen ke ±∞
Daftar Isi 4. BARISAN - BAGIAN II
Contoh 1 (i) Diketahui barisan ( 1)n . Maka,
− (−1) = −1 dan (−1) = 1 merupakan sub-barisan dari (−1) . (Pada sub-barisan pertama n = 2k − 1, sedangkan pada sub-barisan kedua n = 2k .) (ii) Misalkan r adalah barisan 1, 2, , , , , . . . . Maka 2k −1
2k
n
k
k
3 5 8 13 2 3 5 8
n
3 8 1, , , . . . 2 5
dan
5 13 2, , , . . . 3 8
merupakan sub-barisan dari r n . (Pada sub-barisan kedua, nk = k + 1.
4.3 Barisan Cauchy 4.2 Sub-barisan 4.3 Barisan Konvergen ke ±∞
Daftar Isi 4. BARISAN - BAGIAN II
Hipotesis nk naik murni merupakan bagian penting dalam definisi sub-barisan. Salah satu akibat dari hipotesis ini, kita mempunyai
≥ k
nk
∈
untuk tiap k N. Fakta ini dapat dibuktikan dengan Prinsip Induksi Matematika. (Jelas bahwa n1 1. Selanjutnya, jika nk k , maka nk +1 > n k k dan karenanya nk +1 k + 1.)
≥
≥
≥
≥
Catat bahwa setiap sub-barisan dari barisan terbatas juga bersifat terbatas. Selanjutnya, kita mempunyai teorema berikut.
Daftar Isi 4. BARISAN - BAGIAN II
4.3 Barisan Cauchy 4.2 Sub-barisan 4.3 Barisan Konvergen ke ±∞
Teorema 2
Jika x n konvergen ke L, maka setiap sub-barisan dari x n konvergen ke L.
Bukti. Misalkan x nk adalah sub-barisan dari x n . Diberikan > 0, pilih N N sedemikian sehingga untuk setiap n N berlaku x n L < . Maka, untuk setiap k N , kita mempunyai nk k N , dan karenanya x nk L < . Dengan demikian x nk konvergen ke L.
∈ | − | ≥ ≥
| − |
≥
≥
Daftar Isi 4. BARISAN - BAGIAN II
4.3 Barisan Cauchy 4.2 Sub-barisan 4.3 Barisan Konvergen ke ±∞
Contoh 3
Kita telah membahas kedivergenan barisan ( 1)n . Bukti alternatif yang lebih sederhana dapat diberikan dengan menggunakan Teorema 2. Karena terdapat sub-barisan 1 yang konvergen ke -1 dan sub-barisan 1 yang konvergen ke 1, maka barisan ( 1)n tidak mungkin konvergen. (Jika ia konvergen, maka menurut Teorema 2 kedua sub-barisan di atas seharusnya konvergen ke bilangan yang sama.)
−
−
−
4.3 Barisan Cauchy 4.2 Sub-barisan 4.3 Barisan Konvergen ke ±∞
Daftar Isi 4. BARISAN - BAGIAN II
Contoh 4
Pada Soal Latihan 3.4 No. 3, anda diminta menunjukkan bahwa x n konvergen untuk 0 < x < 1. Sekarang kita dapat menentukan limitnya dengan menggunakan Teorema 2 sebagai berikut. Misalkan x n konvergen ke L. Maka, sub-barisan x 2k akan konvergen ke L juga. Namun,
x 2k = (x k )2
2
→L
untuk
→ ∞.
k
Karena itu L = L 2 , sehingga kita dapatkan L = 0 atau L = 1. Mengingat 0 < x < 1 dan x n turun, kita simpulkan bahwa L = 0. Hasil ini sesuai dengan Soal Latihan 3.3 No. 5.
4.3 Barisan Cauchy 4.2 Sub-barisan 4.3 Barisan Konvergen ke ±∞
Daftar Isi 4. BARISAN - BAGIAN II
Contoh 5 Pada Sub-bab 3.4, Contoh 13, kita telah menunjukkan bahwa barisan x n yang didefinisikan secara induktif dengan
x n+1
1 2 = x n + , 2 x n
n
∈ N,
konvergen. Sekarang misalkan limitnya adalah L. Maka, menurut Teorema 2, x n+1 juga konvergen ke L. Akibatnya
1 2 L = L + , 2 L
sehingga L2 = 2. Namun x 1 > 0 mengakibatkan x n > 0 untuk tiap n N. Karena itu mestilah L = 2.
∈
√
Daftar Isi 4. BARISAN - BAGIAN II
4.3 Barisan Cauchy 4.2 Sub-barisan 4.3 Barisan Konvergen ke ±∞
Soal Latihan 1
2
3
→
→∞ −
∈
4
Diketahui barisan x n . Tunjukkan jika x 2k 1 dan x 2k konvergen ke bilangan yang sama, maka x n konvergen. Buktikan jika x n Cauchy dan mempunyai subbarisan yang konvergen ke x , maka x n x bila n . Diketahui barisan x n didefinisikan secara induktif dengan x 1 = 1 dan 1 x n+1 = x n + , n N. x n Mungkinkah x n konvergen? Diketahui barisan r n didefinisikan secara induktif dengan r 1 = 1 dan 1 r n+1 = 1 + , n N. r n Tunjukkan jika r n konvergen, maka ia akan konvergen ke (1 + 5)/2.
∈
√
Daftar Isi 4. BARISAN - BAGIAN II
4.3 Barisan Cauchy 4.2 Sub-barisan 4.3 Barisan Konvergen ke ±∞
∞ dan kita tuliskan x → +∞ bila n → ∞ apabila untuk setiap M > 0 terdapat N ∈ N sedemikian sehingga untuk setiap n ≥ N berlaku x > M . Serupa dengan itu, barisan x dikatakan konvergen ke −∞ dan kita tuliskan x → −∞ bila n → ∞ apabila untuk setiap M > 0 terdapat N ∈ N sedemikian sehingga untuk setiap n ≥ N berlaku x < −M . Barisan x n dikatakan konvergen ke + n
n
n
n
n
Daftar Isi 4. BARISAN - BAGIAN II
4.3 Barisan Cauchy 4.2 Sub-barisan 4.3 Barisan Konvergen ke ±∞
Catatan.
Walaupun di sini kita menggunakan istilah konvergen dan notasi yang mirip dengan notasi untuk barisan konvergen, barisan yang kita bahas sebetulnya merupakan barisan divergen di R. Proposisi 5 pada Bab 3 tidak berlaku untuk barisan yang konvergen ke mengingat / R.
±∞
±∞ ∈
Daftar Isi 4. BARISAN - BAGIAN II
4.3 Barisan Cauchy 4.2 Sub-barisan 4.3 Barisan Konvergen ke ±∞
Contoh 16
−∞
∞
−
(i) Barisan n konvergen ke + ; sementara barisan n konvergen ke . 1 1 (ii) Barisan 1 + + + pada Soal Latihan 3.4 no. 5 2 n merupakan barisan yang konvergen ke + . (iii) Barisan ( 1)n n bukan merupakan barisan yang konvergen ke + ataupun konvergen ke .
∞
Catatan.
−
···
∞
−∞
Barisan x n yang divergen dan bukan merupakan barisan yang konvergen ke dikatakan berosilasi .
±∞
Daftar Isi 4. BARISAN - BAGIAN II
4.3 Barisan Cauchy 4.2 Sub-barisan 4.3 Barisan Konvergen ke ±∞
Teorema 17
∞ −∞
(i) Jika x n naik dan tak terbatas (di atas), maka ia konvergen ke + . (ii) Jika x n dan tak terbatas (di bawah), maka ia konvergen ke . Catatan. Teorema 17 merupakan perluasan dari Teorema 11 pada Bab 3. Sebagai akibatnya, pada sistem bilangan real yang diperluas, barisan monoton selalu konvergen.
Daftar Isi 4. BARISAN - BAGIAN II
4.3 Barisan Cauchy 4.2 Sub-barisan 4.3 Barisan Konvergen ke ±∞
Soal Latihan
1
Buktikan Teorema 17.
2
Buktikan bahwa untuk setiap bilangan rasional r > 0, barisan nr konvergen ke + .
3
∞
∈
∞
Misalkan x n > 0 untuk tiap n N. Buktikan bahwa x n konvergen ke 0 jika dan hanya jika x 1n konvergen ke + .
