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1\ ----.'
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ü/I'({
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e/J~I)J/\8Íú,
Ordem dos Economistas
de São Paulo
ProAnpec CURSO PREPARATÓRIO
PARA O EXAME NACIONAL ANPEC ""
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~'~~~J~:é~U "ffJerllJ),
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JJJ;~lA~J:)rrv..,:fv. ~ ,
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I
,~
1
-
,
"
..
! (ANPEC 2005, 15) As lâmpadas vermelhas,
coloridas
30% azuis e 20% verdes.
acaso, encontre
a probabilidade
azul. Multiplique
o resultado
Em
produzidas
uma amostra
de duas serem vermelhas,
por uma
fábrica
de 5 lâmpadas,
são 50%
extraídas
ao
duas serem verdes e uma ser
por! 00.
Solução: Temos: 50% vermelhas
(VM)
30% azuis (A) 20% verdes (V) Dessa
forma,
vermelhas,
em uma amostra
de cinco
lâmpadas,
a probabilidade
de duas
serem
".-
duas verdes e uma azul será dada por:
Ps
P(2VM,2V,
I A)
=
r, x Pz
P(2VM,2V,
IA)
=
5! xO,003 2!x2!x!l
P(2VM,2V,
IA)
= 30xO,003
P(2VM,2V,
I A)
= 0,09
Multiplicando
x P..
xO,50xO,50xO,20xO,20xO,30
por 100 como pede o exercício,
chegaremos
". "
ao valor de~.
(ANPEC 2003, 12) Três máquinas, A, B e C, produzem respectivamente 50%, 30% e 20% do número total de peças de uma fábrica. As porcentagens de peças defeituosas na produção dessas máquinas são respectivamente 3%, 4% e 5%. Uma peça é selecionada ao acaso e constata-se ser ela defeituosa. Encontre a probabilidade de a peça ter sido produzida pela máquina A. (Use apenas duas casas decimais. Multiplique o resultado final por! 00). Solução: O exercício
pede a probabilidade da peça ter sido produzida dado que essa peça é defeituosa (P(máquina Aldefeituosaj). Portanto:
pela máquina
A
"..
P(máquina
Ajdefeituosa)
P(máquina
= ~,-~--------"-
A e defeituosa)
P(defeituosa)
"
(
,-,
' . AI defeituosa) .;::' PCmaquina
0,50x 0,03
= ------'----------
0,50 x 0,03 + 0,30 x 0,04 + 0,20 x 0,05
P(máquina
A/defeituosa)
0,015
=
+ 0,012 + 0,01
0,015
Multiplicando
o resultado
== 0,40
por 100, como pede o exercício,
Nota: Observe que para a resolução desse exercício, que a Pfmáquinaldefeituosa) é dada por: P(maquina A) x P(defeiruo sa I máquina A) + P(máq/linaB
Punaquina
=P(B
/
A)
j
=
k
P(Bj)P(A
chegaremos
utilizamos
A) x P(defeiluo sa I maquina ) x P(defeiluo
ao valor de
o teorema
§].
de Bayes, já
A)
sa I máquina
B) + P(!lIáqllíJ1ÚC ) x Pídcfeituo
sa I maquina
/ Bj)
I P(B)P(A
/ B)
/=1
(ANPEC 2002, 01) Considere medida de probabilidade (O) Se P(A) =
li,
P(B)
o espaço amostral
S, os eventos A e B referentes
a Sea
P. = ~,
e A e B são mutuamente
exclusivos,
então P(An
B)
=11 /8 . Resposta: ..
'"
ocorrer
Se os eventos A e B são mutuamente lexclusivos (disjuntos) eles não podem juntos e, portanto, P(An B) = O, como mostra o diagrama de Venn abaixo.
'\
-------
<,_-----.,.,.-.
s IFALSAI
(I)
Se A c B. então P(A/B) .::;;P(A)
Resposta: Se A é um subconjunto de B. então a probabilidade de A ocorrer dado que B ocorreu certamente será maior (ou igual. no caso em que A = B) à probabilidade de /\ ocorrer. já que estaremos restringindo o espaço amostra] de S para B. Vejamos:
C)
P(AIS)
Já que AnS
=
=
P(A n S) P(S)
=
P(A) ;:::P(A) P(S). .
e P(S) S;.l.
A se AcS
,
't
IFALSAI
=
(2) Se P(A)
..x,
P(S)
=
,X' e P(A n S) = ·14' então
P(A e
n
Se)
=
X2'
em que A e
e Se indicam os eventos compleme~tares. Resposta:
seguinte.
A P(A c n Sc) está representada pela regrao cinza do diagrama de Venn A região branca corresponde à probabilidade de ocorrer A ou S, ou seja,
P(Au S).
'"'
-
! '\. ..
-'= Calculemos
P(A ou S), ou seja, a região branca do diagrama
P(A u B) = P(A)
1
1
+ P(B) - P(A n S)
P(Au S) =-+--234 P(Au S)
= -
Como P(S)
1
7
12 =
I, temos que:
de Venn acima:
P(A
c
ri
c
B )
=
I - P(A u B) = I - -
7
= -
12
5
12
IVERDADEIRAI
(3) Se B" B2 ,
, Bk representam
A c S tem-se que P(Bj I A)
uma partição de um espaço amostra I S, então para
= k
P(BJP(A .
. I:P(Bj)P(A
I B,)
.=
, I
?
I, _,
k.
I B)
}=I
Resposta: A afirmativa
acima refere-se exatamente
ao Teorema
de Bayes (veja Questão AN PEC
2003, 12).
IVERDADEIRAI
(4) Se P(AI B)
=
O então A e B são independentes.
Resposta: Os eventos A e B apenas serão independentes se P(AIB) = P(A), ou seja, se a probabilidade condicional for igual à probabilidade incondicional (o fato que B ocorreu não muda em nada a probabilidade de A ocorrer) IFALSAI
i
(ANPEC 2001, 01) Os formandos de determinada seguintes decisões para o ano seguinte: Decisão
Mulheres
Totais
7
9
16
Fazer outros cursos
5
6
11
Procurar emprego
16
9
? -)
Totais
28
24
em economia
Com base nessas informações,
continuem
Resposta: Temos que: P(mulheres
continuem
-?
)-
é correto afirmar:
(O) A probabilidade de que as mulheres 46% superior à dos homens.
estudando)
=.
2 = 62,5% 24
----
tomaram as
Homens
Fazer mestrado
-
faculdade de economia
estudando
é aproximadamente
P(homens
continuem
estudando)
Agora atenção: continuem estudando pela outra:
P(mulheres
=
.!2 == 42,86% 2.8
para saber em quanto a probabilidade de que as mulheres é maior que a dos homens temos que dividir uma probabilidade . .
continuem
estudando)
-'-------------!....=
P(homens continuem
estudando).
15 24
-=
15 28 -x - ::: 1 46
~
24
12 -
,
28 Portanto, a probabilidade de que as mulheres aproximadamente 46% superior à dos homens.
continuem
estudando
realmente
é -'\--
IVERDADEIRAI
(1) Sabendo-se
que alguém
optou por procurar
emprego,
a probabilidade
de ser homem
é 64%. '"\
-.
Resposta: Podemos
rapidamente
P(ser hornernloptou
obter essa probabilidade: procurar
emprego)
16
=. 25 =
0,64
=
64% ~
Porém, para os que preferirem
um caminho
mais longo:
..
"-\ ...
16 P(ser hornemloptou
procurar
emprego)
P(ser homem e procurar emprego)
= -'------'------=---='---'-
P(procurar
=
21= 52
16 -=064= 25
'
~
(2) Se a probabilidade de ser; aprovado no exame de seleção para mestrado em economia é de 30%, espera-se que 1/4 dos homens iniciem o curso no ano seguinte.
Resposta: A tabela acima nos mostra
que 7 homens
seja, ~ dos homens.
. se a probabilidade .
x 7 = 2,1),
seguinte. IFALSAI
pretendem
Portanto,
é de 30%, temos que aproximadamente (0,30
...;;
...
64%
IVERDADEIRAI
4
,.
25
emprego)
ou seja, aproximadamente
de ser aprovado
2 homens
I 14
fazer mestrado
iniciarão
dos homens
em economia,
ou
no exame de seleção
o curso no ano seguinte iniciarão
o curso no ano
-.
(3) Se a probabilidade de encontrar emprego é de 40% e a de ser aprovado nos exames de seleção é de 30% e 45%, respectivamente, para o mestrado em econorn ia e para os outros cursos, espera-se que 9 mulheres atingirão seus objetivos. Resposta: Temos que: mulheres que encontrarão
emprego: 9
mulheres que farão outros cursos: 6
x
x
0,40
0,45
==
mulheres que farão mestrado em economia: Portanto, 3,6 + 2,7 + 2,7
==
==
3,6
2,7
9 x 0,30
==
2,7
9 mulheres atingirão seus objetivos.
IVERDADEIRAI
(4) Entre os formandos que pretendem fazer mestrado em economia.
continuar
estudando,
1/3 é mulher que pretende
Resposta: Temos 27 formandos que pretendem continuar estudando. Desses, 9 são mulheres que pretendem fazer mestrado em econom ia. E sabemos que 1/3 de 27 é igual a 9
(1
x 27
realmente
=
9).
Portanto,
entre
os forrnandos
que
pretendem
continuar
estudando,
1/3 é mulher que pretende fazer mestrado em eccnom ia.
Iv ERDADEI RAI
(ANPEC 2000, 01) Considere a tema (S,L,P), em que S 7; 0 é o conjunto Universo, L dos possíveis eventos e, P é uma medida de probabilidade. Verifique quais das afirmativas abaixo são verdadeiras (V) e quais são falsas (F): é o conjunto
(O) Se dois eventos são disjuntos,
eles serão também independentes.
Resposta: Se dois eventos são disjuntos (e não vazios) ocorrência de um implica a não ocorrência de outro.
eles são dependentes,
já
que a
IFALSAI
(I)
Para dois eventos quaisquer A e S, Prob (A) que Se é O complemento de B.
=
Prob (AnSe)
+ Prob (AnS). em
Resposta: A probabilidade abaixo:
...
~
de A ocorrer
corresponde
à região cinza do diagrama
ele Venn
~,I
------~. ~.
-r-.
s Portanto,
temos que:
P(A) = P(A n BC) +P(A n B) /VERDADElRAI
(2) Sejam dois eventos eventos mutuamente
A e B, em que Prob (A) = 1/2 e Prob (8) = 113. Se A e B são exclusivos, então Prob (BnA c) é igual a 1/6.
Resposta: Se os dois eventos são mutuamente mostra o diagrama
exclusivos,
.
então Prob (BnA c)
=
P(B) = ~ como
->,
3
de Venn abaixo:
s
"'
IFALSAI
(3) Sejam os eventos A, B e C, tais que Prob (AnBnC) = Prob(A). Pode-se então afirmar que estes eventos são independentes.
Prob(B).
Prob(C).
Resposta: Vejamos,
através do seguinte
exemplo,
que essa implicação
não é válida.
Nota: Exemplo retirado de Sartoris (2003, p. 15-16) Considere o diagrama de Venn abaixo probabilidades das áreas delimitadas).
(os valores
marcados
correspondem
às
I
'"""\
.'
'
I
I
0,1
Temos que: P(A)
=:
0,1+
P(B) = 0,25 P(C) =: 0,15 P(AnB)
=:
0,15 + 0, I
+ 0,05
=:
0,4
+ 0,05 + 0, I + 0, I = 0,5 + 0,15 + 0, I +0,1 =: 0,5 0,1 + 0,05
=:
0,15
P(AnC) = 0,1 + 0,15 = 0,25 P(BnC) =: 0, I + 0, I = 0,2 P(AnBnC) = 0,1 Dessa forma, temos que P(AnBnC) eventos dois a dois, temos que:
P(A)xP(B)xP(C)
0, I. Mas,
tomando
os
P(AnB) cé P(A)xP(B) P(BnC):;é P(B)xP(C) P(AnC) :;éP(A)xP(C) Ou seja, a probabilidade condicional e, portanto, os eventos são dependentes.
é diferente
da probabilidade
incondicional
IFALSAI
(ANPEC 1999, 15) Com relação (O) Sendo A e B dois eventos = 0,5
a Teoria
independentes
Resposta: Se A e B são independentes, P(AuB)
P(Au
= P(A) + P(B) - P(A)x P(B) B) = 0,5 + OA - 0,2
Ip(A u B) = 0,71
_. ---.,
então:
das Probabilidade e se P(A)
=
podemos
0,5 e P(B)
=:
afirmar que:
OA, então P(AuB)
IFALSAI \.
(I) Sendo A e B dois eventos mutuamente exclusivos e se P(A) = 0,5 e P(B) = 0,4, então P(AuB) = 0,5. Resposta: Se A e B são mutuamente exclusivos, eles não podem ocorrer juntos e, portanto, P(Arl B) =0. Dessa forma:
IFALSAI "-""',:
~.
(2) Seja S um espaço amostral e
A e B dois eventos quaisquer associados a S. Então
P(AIB) + P(AIB) = I, onde P(AIB) dado de ocorreu o evento B. Resposta: Sabemos que: P(A
I B)
=
=
probabilidade de ocorrência do evento A
P(A e B) P(B)
j
-
PCA I B) = P(A e B) P(B)
Dessa forma: P(A
I B) + P(A I B)
P(A e B) + P(ÃeB) P(B) P{B)
=.
P(A e B) + P(A e B) P(B)
=
P(B) P(B)
=
1
~.,
Já que, como mostra o digrama de Venn abaixo, P(A e B) + P(A e B)
= P(B).
o <, ___
"">, •.
-o
s IVERDADElRAI
(3) Um projeto para ser transforin~d~ em lei deve ser 'aprovado pela Câmara dos Deputados e pelo Senado. A probabilidade de ser aprovado pela Câmara dos
~.
Deputados é de 40%. Caso seja aprovado pela Câmara, a probabilidade de ser aprovado no Senado é 80%. Logo, a probabilidade desse projeto ser transformado em lei é de 32%.
Resposta: P(projeto P(projeto
em lei) = 0,4 x 0,80 em lei) = 0,32 = 32%
ser transformado ser transformado
IVERDADElRAI
(4) Num processo eletivo 55% dos votantes são homens. Sabe-se que dentre os homens 40% preferem o candidato A, 50% o candidato B e os 10% restantes votam nos demais candidatos. Dentre as mulheres 60% preferem A, 25% preferem B e o restante os demais candidatos. Se um voto escolhido ao acaso for para o candidato A, a probabilidade deste voto ser de uma mulher é de 55,1 %.
Resposta:
PC mulherlcandidato
A)
=
P(voto ser de uma mulher e ser para o candidato '--
---2.
P(voto ser para o candidato
P( mu II1er Ican
di 0,45 x 0,60 idato A) = --------0,45 x 0,60 + 0,55 x 0,40
0,27 --:=
_
0,49'
A) -'-
A)
°~))
I --)) ~-
,
101' /0
IVERDADEIRAI
.>».
."
(ANPEC 1998, 02) Considere o conjunto Universo, probabilidade. Assim,
.
r
um espaço amostra I com a terna (o.,r,P), onde o. ;t 0 é
é o conjunto
dos possíveis pode-se afirmar que:
eventos
e, P ,
é lima medida de
""
(O) Se A, B e C são eventos de expresso
r ,então
na notação de conjunto
o evento "exatamente
como (A
um dos eventos ocorre" é
n BnC )U(AnBnC)U(Jn snC).
Resposta: O exatamente
diagrama
de
um dos eventos
Venn
abaixo
mostra
ocorrer é dada por
que
realmente
a
probabilidade
(An BnC)U(AnBnC)U(AnBnC):
de
,
(VERDADElRAI
(1) Se A e 8 são dois eventos quaisquer de
r, então
P(A u B) ~ P(A) + P(B).
Resposta: A probabilidade da união de dois conjuntos quaisquer é dada por: P(A u B) = P(A) + P(B) - P(An B)
Portanto, P(A u B) será igual à P(A) + P(B) quando P(An B) for igual a zero (eventos disjuntos) e será menor que P(A) + P(B) caso contrário, mas nunca será maior. IFALSAI
(2) Se A e B são dois eventos quaisquer de 1, onde P(A)=1/2 , P(B)=1/3 e P(AuB) =3/4, então P( A (8)=1I4 e P( IIn B) =1/4. Resposta: Temos que: P(A u B)
=
3
1
-=
423
1
P(A) + P(B) - P(A n B)
-+ -- P(An8)
P(An B) =
1
1
3
-+ --234
P(An B)
= -
1
12
A P( A nB) está representada pela região cinza do diagrama de Venn abaixo:
,
..
s Dessa forma, temos que: P( A nB) = P(B) - P(An B) P(AnB)=
1 1 --3
p(J nB)=
12
4 -1 -=-=-
3
1
12
12
4
Agora, calculemos P(A
P(A nB) -
P( A
=
n B)
I - P(Au B)
-,J
-
n B)= 1 - -
4 -
-
P(A nB)
I
=4
IVERDADEIRAI
(3) Se A e B são dois eventos P(BIA)
> P(B).
quaisquer
ele
r , então
se P(AIB) > P(A) tem-se que
-;) ~)
.,.)
-.) ---.}
,,) Resposta:
.-:..)
Temos que:
\ ......:.,)
P(AIB)
==
P(A n B) > P(A)
P(B) Então: P(A
n B) > P(A)
P(B) P(A n B)/> P(A)P(B) P(A
n B) > P(B)
P(A) E como P(BIA) ==
P(BnA)
, temos que:
P(A) P(BIA) > P(B) IVERDADEIRAI
(ANPEC 1998, 03) A tabela de contingência a seguir apresenta os dados de uma amostra de l50 empresas, classificados segundo quatro grupos industriais e se o retomo sobre o capital próprio é maior ou menor que o retomo médio na amostra. Grupo Industrial:
Retorno sobre o capital próprio Abaixo da média (B) Acima da média (A)
I
20
II
10
111·
20 25 75
IV Total Com base nestas informações,
verifique
.40 10 10 15 75 as seguintes
Total
60
20 30 40 150
afirmações:
(O) Se selecionarmos
urna- empresa ao acaso, a probabilidade da empresa [IJ ou ter o retorno sobre o capital próprio abaixo da média é 40%.
\
ser do grupo
Resposta: Pigrupo
~
I1I ou retomo
abaixo da média) =~
150
+ ~-~ == 63% 150 150
IFALSAI
(1) Se selecionarmos
é de 40%.
uma empresa
ao acaso, a probabilidade
da empresa
ser do grupo I '--"".
..
Resposta: P(grupo I)
60
= -=
ISO
O 40:= 40% '
!VERDADElRAI
(2) Se a empresa escolhida ao acaso for do grupo 11, a probabilidade capital próprio estar acima da média é 50%.
do retorno sobre o
Resposta: Podemos rapidamente
obter essa probabilidade:
P(retorno abaixo da médiajgrupo
11):= ~~
=
0,5
= 50%
E, como sempre existe um caminho mais longo para quem preferir: 10
P( retorno
abaixo
da médialgrupo
li)
:=
P(retomo abaixo da média e grupo lI)
150
P(grupo 11)
20
=
150 0,5
!VERDADElRAI
(3) Se duas empresas diferentes são escolhidas ao acaso, a probabilidade de sair primeiro uma empresa do grupo I e depois uma empresa do grupo /11 é aproximadamente igual a 8%. Resposta: Supondo que não haja reposição, temos que: P(empresa
60 30 grupo I e empresa grupo 111):= --x - == 0,08 150 149
=
8%
!VERDADEIRAI
(4) O evento
"grupo I" independe próprio acima da média".
----o
estatisticamente
do evento "retorno
sobre o capital
Resposta: Se esses dois eventos forem realmente independentes, a seguinte igualdade deve ser verificada: P(grllpo li retorno acima da média) = P(grupo I). Vejamos se isso é válido: Prgrupo " retorno acima da média) · P (grupo I) ~
60 150
= -=
40%
= ~~
-= 27%
"
=-«,
Portanto, como a igualdade entre a probabilidade condicional e a incondicional não é válida, os eventos "grupo I" e "retomo sobre capital próprio acima da média" são
dependentes.
IFALSAI
'"' '"' ---.,:.
-";"
~.'
,
,
"
" "'\ "\
-e--,
2: ----., r>;
(ANPEC 2005, 02) O retorno
Rc de uma carteira de investimentos
e B e um papel de renda fixa F é dado por R; são constantes. zero,
variância
RA e RIi são variáveis
= a.R,
aleatórias
+ Q2RH + a) R,," , em que
normalmente
0,5 e RI-' é uma
1 e covariância
com duas ações A
constante
distribuídas igual
ai, Q2
e a]
com média
a 0, I. Julgue
as
afirmativas:
(O) A média do retorno da carteira será igual a zero se, e somente se, a correlação os retornos
entre
das ações A e B for nula.
Resposta: (Rc) será dada por:
A média do retorno da carteira
.
,
Portanto,
a média de R; será igual a zero apenas se a) = 0, o que não tem nada a ver
com a correlação
entre o s retornos.
IFALSAI
(1) A média do retorno da carteira é: E(R()
=
ai
+ Q~ + Q).
Resposta: Como já calculamos
no item anterior,
a média do retorno da carteira
é dada por:
IFALSAI
(2) Se a covariância carreira
será
entre o retorno
Vart R, ) =
01
2
das ações A e B for 0,5, a variância
+ a~ + (fIO?
.
cio retorno da
Resposta: --.'
de R; é dada por:
A variância
Como
RI- é uma constante:
Utilizando
as propriedades
=
Como vare RA)
vare Rfi)
da variância
e covariância,
= 1 e cov( RA ,Rfi) =
temos que:
0,5:
lVERDADEIRAI
n;
(3) o retorno
é uma variável aleatória
normalmente1distribuída
com mé~ia
O,la).
Resposta: Como já calculamos
Rc é a
soma
no item (O), a média de
de duas variáveis
própria será também normalmente
aleatórias
R; é dada realmente normalmente
por 0,1 a) . E como
distribuídas
(RA e RH),
".
ela
distribuída.
IVERDADErRAI
-
" (4) O coeficiente
de correlação
entre RA e R" é 0,25.
Resposta: O coeficiente
de correlação
entre RA e RB é dado por:
(ANPEC 2004, 3) Sobre coeficiente variáveis (O)Seja
aleatórias,
de correlação, são corretas as afirmativas:
p(x, y) o coeficiente
p(ax,by)
==
p(x,y);
de correlação
e se ab
entre ==
covariância
as variáveis
e independência
de
x e y. Se ab>O, então
-p(x,y).
Resposta --~
,---""""'.
O coeficiente
de correlação
entre x e y é dado por:
(: ,\ _ cov(x,y) P x,y/ - r======== .Jvar(x) var(y)
E o coeficiente b ,\ _
I
PI ax, y/ -
cov(ax,by)
-r============
.J var(ax)
E pelas propriedades b ,\
I.
p; ax, y/ =
entre ax e by será:
de correlação
var(by)
da variância
e da covariância:
ab cov(x, y) ---,=.====='=====
.Ja'b' var(x)var(y)
I bv) abcov(x,y) PI (IX, y/ == :----:r===== var(x) var(y)
labl.J
Portanto,
se ab> I, teremos p(ax, by)
=
p(t,y). E se ab< I, teremos p(ax, by)
==-ptx,v).
IVERDADEIRAI
(I )Se a função
I(x,y)
==O
densidade
conjunta
de x e y for I(x,y)
para outros valores de x e y, então
p(x,y)=
== e-x-Y,
x > O, y > O e
O.
Resposta Note que a função densidade de probabilidade escrita como (já que quando temos multiplicação os expoentes):
conjunta de x e y nesse caso pode ser de potências de mesma base, somamos
Ou seja: ./(.\" ..1'.)
=ftx) xj(y)
O que é característica
de variáveis aleatórias independentes. E se as variáveis são independentes. o coeficiente de correlação entre elas será igual a zero (lembrando que o contrário não é verdadeiro). ----'"'
IVERDADEIRAI
(2)Sejam A e B dois eventos independentes, com probabilidades positivas, associados a um experimento aleatório G. Se as variáveis aleatórias x e y são definidas como: x = I, se ocorrer A e x = 0, em caso contrário; e y = 1, se ocorrer B e y = 0, em caso contrário, então p(x, y) ~ O. Resposta: Aqui devemos calcular o coeficiente de correlação precisamos da covariância entre elas. Lembrando que:
entre as variáveis.
E para isso
~'.
cov(x,y) = E(xy) - E(x)E(y) Primeiramente
então temos que calcular
as esperanças
acima. Vejamos
como.
Temos que: se A ocorrer x = {~ Calculemos
{
°
se B ocorrer caso contrário
de x e y:
a esperança
+ OX P(A)
=
E(y)
+ OXP(8)
= P(B)
I x P(B)
y =
caso contrário
E(x) = I x P(A) =
J
e
P(A) \.
'---
E o produto de x e y será: I , se A e B oc.orrerem xy= { 0, caso contrário Dessa forma: E(xy) =
.-,.
°
1x P( A n B) + x P( A n B)
=
P( A n B)
".' Agora podemos
calcular
cov(x,y)
- E(x)E(y)
= E(xy)
cov(x,y) = P( A
Lembrando
P(AnB)
cov(x,y): ~-'
n B) - P(A)
x P(B)
que A e B são eventos
=
independentes,
temos que:
P(A) xP(B)
E, dessa forma, a cov(x,y)
será:
cov(x,y) = P(A) x P(B)- P(A) x P(B) cov(x,y) =
°
E se a covariância
é igual a zero, o coeficiente
de correlação
também
será igual a zero:
cov(x, v)
p=
.
~varC-'() var(y)
-----r===o== ~var(x)var(y)
=
°
IFALSAI
(3)Em relação ao quesito diferente de zero.
anterior,
pode-se afirmar
ainda que a covariância
entre x e y é
Resposta: Como vimos no item anterior,
a covariância
entre x e y é igual a zero.
IFALSA!
(4) Se o coeficiente
de correlação
p(x, y)
=
0, a covariãncia
Assim sendo, pode-se afirmar que x e y são variáveis
entre x e y também
aleatórias
é zero.
independentes.
Resposta: A primeira parte da afirmativa ,.. entre x e y é igual a zero, sabemos _ cov(x,y) _ p - I - o<=> cov(x,y) I} var(x) var(y)
acima é verdadeira: se o coeficiente que a cov(x,y) também será zero: _
de correlação
=O.
Porém, o fato da cov(x,y) ser igual a zero não implica que as variáveis sejam independentes (lembrando que a recíproca é verdadeira). Para um exemplo de que cov(x,y) = não implica independência das variáveis, veja questão ANPEC 1998, 10, itens O e I, em distribuição de probabilidade conjunta.
°
IFALSA!
(ANPEC 2004, 04) Um importador
adquiriu vários artigos ao preço médio de US$ 15.00 com um desvio-padrão de US$ 1.00. Sabendo-se que a taxa de câmbio é de R$ 3,00 por dólar, é correto afirmar: (O)Conveliendo-se o valor das adquiridos será de R$ 45,00.
compras
para
reais,
o preço
méd io dos
Resposta: Se a taxa de câmbio é de R$3,00, temos que o valor médio das compras E(R$3,00x preço) = R$3,00x E(preço) = R$3,00x US$15,00 = R$45,00
produtos
em reais será:
IVERDADEIRA!
(I) Em reais, o desvio-padrão .~
será de R$ 3,00.
Resposta: Se o desvio-padrão é de US$I ,00 e a taxa de câmbio é de R$3,OO, obviamente. desvio-padrão em reais será de R$3.00:
o
dp(R$3,OO x preço) == R$3,00x dp(preço)
=
R$3,00x US$I ,00
=
R$3,00
IVERDADEfRAI \
=-.
(2)Se ao preço original de cada artigo, um intermediário adicionar uma margem de lucro fixa de R$ 10,00, o novo preço médio será R$ 55,00 com um desvio-padrão de R$ 6,00. Resposta: Se for adicionada uma margem de lucro fixa de R$I 0,00, o novo preço médio será: E(preço + 10) = E(preço) + E( 10) = 45 + 10 = 55 Mas o desvio-padrão continuará sendo o mesmo, já que I: dp(preço + 10) = dp(preço)
= R$3,OO
IFALSAI
(3) Se a margem de lucro for de 20%sóbre o preço em reais, o novo preço médio será R$ 54,00 e o novo desvio-padrão será R$ 3,60. Resposta: Acrescentando-se urna margem de lucro de 20% sobre o preço em reais, temos que o preço médio será dado por: E(preço + 0,20preço) = E(preço) + 0,20E(preço) = 45 + 9 = R$54,00 E o desvio-padrão: dp(preço +'O,20preço)
=
dp(l ,iOpreço)
=
11,20Idp(preço)
=
11,201x 3,00
=
R$3,60
;
IVERDADEIRAI
~
...
(4) O coeficiente de variação calculado em reais, devido à taxa de câmbio, será 3 vezes maior do que aquele calculado utilizando-se os valores em dólar. Resposta: O coeficiente de variação (desvio-padrão dividido pela média) não é afetado por mudanças nas unidades de medida. Portanto, não faz diferença se calcúlarrnos os valores em reais ou em dólares; o coeficiente de variação continuará sendoo mesmo. IFALSAI
,. I Lembre-se que o fato de adicionar urna constante não irá alterar a variabilidade da variável; apenas irá deslocar os seus valores para a direita (no caso de adição) ou para a esquerda (no caso de subtração).
"
..
(ANPEC 2003, 09) Sendo Y e X duas variáveis (O) Var(Y + X) = Var(Y) + Var(X) - 2Cov(Y,
aleatórias,
é correto afirmar que:
X);
Resposta: A variância Var(Y +
da soma de duas variáveis
X)= var(Y) +var(X)
quaisquer
+ 2cov(Y,
é dada por:
X)
Demonstração: Veja Sartoris (2003, p.55) IFALSAI
'" \
(I) Var(Y - X) ...
~
=
Var(Y) - Var(X) - 2Cov(Y,X);
Resposta:
-r--,
A variância
da diferença
entre duas variáveis
quaisquer
é dada por:
Var(Y - X) = var(Y) + var(X) - 2 cov(Y,X)
-r-,
Demonstração: Veja Sartoris (2003, p. 56)
~ IFALSAI
'<->,
,
_. .~
--,
(2) Var (Y + X) = Var(Y) + Var(X), se Y e X forem independentes;
Resposta: Se as variáveis Y necessariamente nula soma das variâncias.
e
X
forem
independentes, a covariância entre elas será da soma destas duas variáveis será igual à
e, portanto, a variância
I
IVERDADEIRAI
'" ~
(3) se Cov(Y,
X)
=
0, então Y e X são independentes;
Resposta:
..
~
O fato da covariância entre duas variáveis ser nula não implica que elas sejam independentes (a não. ser, por exemplo, que elas sejam normalmente distribuídas, corno veremos no próximo item). Mas se duas variáveis são independentes, a covariância entre elas será nula. Para um exemplo de que covariância nula não implica independência de variáveis, veja Sartoris (2003, p. 128) ou questão ANPEC 1998, 10, itens e I, em distribuição de probabilidade conjunta .
°
IFALSAI ...
, (4) se Covt Y, X) =
independentes. .. '\
..
..
---.
~
Resposta:
°
e se Y e X têm distribuição
conjunta
normal.
então Y e X são
~
~ /
Nesse caso, o fato da covariância entre X e Y ser igual a zero, implica que Y e X sejam independentes. Na questão ANPEC 1999, 14, item 4, mostramos que se duas variáveis são binomialmente distribuídas e se a covariância entre elas for igual a zero, então elas serão independentes. E, como sabemos, à medida que o tamanho da amostra aumenta, a binomial tende à distribuição normal. Portanto, os resultados obtidos naquela questão são válidos para esta também, ou 'seja, se as variáveis forem conjuntamente normalmente distribuídas e se a covariância entre elas for igual a zero, então essas variáveis serão independentes. Mas, apenas por curiosidade,
f(x,y)
=
.
~
2j[(}.o-.
"I - p
exp
a f.d.p. de uma normal bivariada
é dada por:
1 . 1:'- p'
2
Portanto, se p (eoeficiente de correlação entre x e y) for igual a zero (o que implica que a covariância também será zero), a expressão acima se r7duzirá a: f(x,y)
=
I
Zttocr , exp
[1-'2 (X-j.-L,)' ~
. (Y-f.-L, )']
+ -;;:-
•
~
que é a função densidade de probabilidade ,conjunta de duas variáveis independentes que possuem distribuição conjunta normal (já que nesse caso, f(x,y) = f(x)x f(y».
IVERDAD~IRAI .....
(ANPEC 2002, 03) Considere
um i~vestidor
cuja composição
'.~
da carteira é formada
por dois ativos A e B.
(O) Se os retornos esperados de A e B são iguais a 10% e 5%, e as participações de A e B na carteira são de 40% e 60%, respectivamente, então o retorno esperado da carteira é de 7,5%. Resposta
O retorno esperado da carteira será dado por: E( caIieira)
= 0,4 x O,I
IE(carteira)
=
0,07
=
°+
0,6 x 0,05
7%1
jFALSAj
(1) Supondo-se que os retornos dos dois ativos referidos no quesito anterior sejam independentes e que suas variãncias sejam iguais alO e 20, respectivamente, então a
variância
da carteira
\.~
será igual a 8,8.
Resposta:
\
.
. '"
'
A variância da carteira
van'casteira)
=
Se os retornos
será dada por:
+ 0,6B)
var(0,4 A
dos ativos são independentes,
então a variância
de sua soma é igual à .
soma das variâncias: varicarteira)
=
var(carteira)
== 0,42 var(A)
vare carteira)
= 0,16 x 10
var(carteira)
= 1,60
&ar(carteira)
=
+ var(0,6 B)
var(0,4 A)
+ 0,62 var(B)
+ 0,36 x 20
+ 7,20
8,81
IVERDADEIRAI
(2) Supondo-se que os retornos de A e B tenham a mesma variância, a diversificação dessa carteira nestes dois ativos somente reduzirá o risco total se o coeficiente de correlação entre os respectivos retornos for negativo.
Resposta: A variância
da carteira é dada por:
+ val:(,88) + 2cov(aA,,88)
var(carteira) = var(aA) onde
p=
(l-a).
Se A e B têm a mesma variância,
var(carteira)
+ ;Jvar(A)
= dvar(A)
Calculemos, então, cov(A,B). correlação entre os ativos: cov(A, B) P = --;========= .j var(A)var(B) Rearranjando, cov(A,B) -----
=
Substituindo
temos que:
cov(A,B)
+ 2a,Lkov(A,B) Para
ISSO,
(I)
primeiro
calculemos
o coeficiente
de
_ cov(A,B)
.j[var(A)]'
var(A)
temos que:
px var(A) a expressão
acima em (I), temos:
Portanto, para que o risco da carteira Vejamos se o coeficiente de correlação ocorra. Suponha
que p
=
O. A variância
seja eliminado, basta que (a2 +02 + 2af3p) < I. entre os ativos precisa ser negativo para que isso ela carteira
será dada então por:
-r-,
(d +11) var(A)
var(carteira)
==
Supondo que
IX =::
var(carteíra) var(carleira)
== [0,50 + (0,50i] var(A)
-_ ..
-....,-'
0,50 (e, portanto, (J=0,5), temos que: , ~:,
0,75 varCA) < varCA)
=::
Ou seja, o coeficiente de correlação entre os ativos não necessariamente precisa ser " negativo para que a diversificação dessa carteira reduza o risco. Como vimos, se p == 0, o risco também será reduzido. IFALSAI
(3) No caso de correlação negativa perfeita, se a variância
de A é duas vezes a variância de B, então é preciso investir duas vezes mais em A para eliminar o risco da carteira.
Resposta: Note que se a variância de A é maior que a variância de B, então é preciso investir mais em B para eliminar o risco da carteira. Mas, façamos os cálculos. Se investirmos duas vezes mais em A, temos que a variância da carteira será dada por:
)+
va{~A
var(carteira)
=::
var(carteira)
== -
4
9
va{l
B ) • 2cov(~A,lB)
1
4
9
9
var(A) + - var(B) + - cov(A,B)
E, como a var(A)
==
2var(B), temos que:
var(carteira)
== ~
2var(B) + i"var(B):+ ~ cov(A,B)
var(carteira)
== 9var(B)
var(carteira)
==
8
var(B)
,I
4
+ 9var(B) + 9"cov(A,B) 4
+ - cov(A,B)
(I)
9
Se existe correlação negativa perfeita entre A e B, então: -1 cov(A, B) == -1 .Jvar(A)var(B)
Pr.4.H) ==
cov( A, B) == - .jr-~-ar-(A-)-va-r-(B-) cov(A,B)
== -
cov(A,B) ==
.J2var(B)var(B)
-.fi
var(B)
Substituindo em (I), temos que: var(carteira)
==
var(B)
4
.'
+ - [-.fi var(B)] 9
','
~
---.\
var(carteira)
=
4-fi] [ l---C;-
var(B)
Para que o risco da carteira fosse eliminado, a expressão entre parênteses teria que ser igual a zero, o que, obviamente, não se verifica. Portanto, se a variância de A é duas vezes a variância de B e se investirmos duas vezes mais em A, o risco da carteira não será eliminado.
Bi2 (4) Se existir uma correlação negativa perfeita entre os retornos dos ativos A e B, haverá uma particular composição desses ativos que eliminará completamente o risco da carteira. Resposta: Como a variância
da carteira
var(carreira)
= vare
var(carteira)
=
aA) + varre l-a)B] + 2cov[aA, (1-a)8]
clvar(A)
+ (1-a)"var(8)
Se p = -I, então cov(A,B)=
var(carteira)
'I
Supondo
é dada por:
= c/var(A)
+ 2a(l-a)cov(A,B)
- .jvar(A)var(B)
+ (l-cdvar(B)
que var(A) = 4var(B),
. Substituindo:
+ 2a(l-a)[-.jvar(A)var(B)]
temos que:
var(carteira)
= 4dvar(B)
+ (I-a)1var(8)
+ 2a(1-a)[-
var(carteira) var(carteira) . var(cartetra) var(carteira)
= 4dvar(8)
+ (1-a)1var(8)
+ 2a(l-a)
= =
[-2var(8)]
[4d + (l-a/ -4a(1-a)] var(B) . ~ [4« +1- -2a+« -4a+ 4«] var(B) [9« - 6a + I] var(B) )
=
1
J4var(8)var(8)
)
Para eliminar o risco da carteira, nula. Portanto:
)
temos que a expressão
entre colchetes
acima deve ser
9« - 6a+ 1 = O Resolvendo
essa equação
do 2° grau, encontremos
1 o valor de :;- para a. Portanto,
se
J
houver lima correlação negativa perfeita entre os ativos, e a var(A) composição eliminará completamente o risco da carteira: . I 2 C arteira = -A+ - 8 3 3
IVERDADEIRAI
=
4var(8),
a seguinte
..-- ..
(ANPEC 1999, 14) Com relação 'as definições Esperança
Matemática,
de Coeficiente
de Correlação
e de
.,-.
pode-se afirmar que:
(O) Se X e Y são duas variáveis aleatórias de forma que Y=aX+b, onde a e b são constantes, então o coeficiente de correlação entre X e Y é igual a 1 se a < O e igual a -I se a> O. Resposta: O coeficiente de correlação entre X e Y será dado por:
-,""",-
._ cov(X, Y) Pu - ~var(X) var(Y) Como Y = aX+b: _ cov(X, aX + b)
P v. ,-
~var(X)var(aX
+ b)
Portanto, se a < O, o coeficiente igual a I.
a cov(X, X)
_ a var(X)
_ a
~var(X)a',var(X)
- lalvar(X)
-
de correlação .
ia! .
:"J
entre X e Y será igual a - I., e se a> 0, será
)
IFALSAI
é o coeficiente
(1) Se Pxr Z=cY+d
PIV'l =
de correlação
com a,b,c e d constantes,
zero. Resposta: O coeficiente
de correlação
então
entre as variáveis
Pwz = lac PJrT acl ,
X e Y onde W=aX+b
onde a e c são diferentes
e de
entre W e Z será dado por:
cov(W,Z) -;:::======== )varCW) var(Z)
E como W = aX+b e Z = cY+d, temos que:
PW'l
=
cov(aX + b, cY + d) -r============ )var(aX + b)var(cY +d)
Utilizando
as propriedades
cov(aX,cY)
PWl
== -;========== .Jvar(aX) var(cY)
da variância
e da covariância,
accov(X,Y) lacl~var(X)
sabemos
que:
_ ac
var(Y) - lacl
P'T
IVERDADEIRAI
(2) Se o coeficiente de correlação entre as variáveis X e Y é igual
',
-----;' , '-.;;
,.
.
Sabemos que se o coeficiente portanto: Cov(X, Y)
"'\
de correlação
é zero, a covariância
também
é zero e,
= E(XY) - E(X)E(Y) = O~ E(XY) = E(X)E(Y)
Porém, o fato da covariância ser igual a zero, não implica que as variáveis sejam independentes (a não ser que elas, por exemplo, sejam normalmente distribuídas). Para um exemplo de que covariância igual a zero não implica independência entre as variáveis, veja Questão ANPEC 1998, 10, itens (O) e (I). IFALSAI
(3) Se a função densidade de probabilidade de uma variável aleatória X é simétrica em relação a um ponto X=a , então E(X)=a. Resposta: Lembre-se que, quando uma distribuição é simétrica, temos que média = moda = mediana. Assim, o valor que divide a distribuição ao meio (mediana), que é exatamente o ponto em relação ao qual a distribuição é simétrica, é a própria média da distribuição. A figura abaixo
dá o exemplo da distribuição valor que a divide ao meio é a própria média:
normal, que é simétrica .
e, portanto,
o
/ -
. ""
\
\\ "
.
..'''-....--------. /
.l =ic
!VERDADEIRAI
(4) Dados os seguintes
eventos:
x= I
se o evento A ocorre, e O em caso contrário. Y= I se o evento B ocorre, e O em caso.contrário.
Se as probabilidades dos eventos A e B são, respectivamente, maiores do que zero. então o coeficiente de correlação entre X e Y igual a zero implica em que X e Y são independentes. Resposta:
) _ ,<1
Temos que: I. se A ocorre { X= caso contrário
.--
Ó,
E para Y, temos que: I, se B ocorre Y= { O, caso contrário Portanto,
a méd ia de Y será:
E~Y~= ! x P(B) + Ox
IE_ Y_ = P(B~
p(l3)
E sabemos que: I. se A e B ocorrem XY= '. { O, caso contrário \
somente
Sabemos que o coeficiente de correlação entre X e Y será igual a zero, se e se, a covariância entre X e Y for zero. E temos que:
cov(X,Y)
=
O
<:::>
E(:«Y) - E(X)E(Y) == O
Dessa forma: E(XY) - E(X)E(Y) == O E(XY) = E(X)E(Y) E, sabendo
que E(X)
=
P(A), E(Y) =P(Y)
e E(XY) == P(A n B), temos:
Ip(A f\ B) = P(A).P(B~ Portanto,
A e B são independentes
/VERDADEIRAI
,.
-r-,
,:.,
(ANPEC 1998, 1) Pode - se afirmar que: (O) Multiplicando (ou dividindo) de um conjunto de números, dividido) pela constante c.
por um valor constante e arbitrário, c, cada elemento o desvio padrão deste conjunto fica multiplicado (ou
Resposta
O desvio padrão, quando multiplicamos dp (cX)
=
por c é dado por:
cada elemento
c dp(X)
E, analogamente, para a divisão: X dp ( - )
1
c
.. '\
dp(X)
= -
c
/VERDADEIRAI
de nl e n2 valores,
(I) No caso de dois conjuntos suas variâncias
.
.
conjuntos
x
e XI e
quando,
_
x =
2
_ XI
suas médias,
onde
a variância
Sl2
e s~
são, respectivamente,
combinada,
S2,
destes
dois
_ ., ,(nl -l)s~ + tn, - l)s~ , e igual a S" = -'------'----"-----"... nl + n2 - 2
= X,
Resposta A variânc ia será dada par uma-média amostras:
ponderada
pelos graus de Iiberdade
nas duas
(2) Quando dois conjuntos de valores são expressos em unidades de medidas diferentes, é mais justificável o uso do desvio padrão (dispersão absoluta) do que o coeficiente de variação de Pearson, para efeito de comparação. Resposta
O coeficiente
de variação
ç=
de Pearson é dado por:
desvio padrão média
Portanto, será um número adirnensional, isto é, não tem unidades, já que a média e desvio padrão são medidos na mesma unidade. Portanto, ele será preferível ao desvio padrão para compararmos valores expressos em unidades de medidas diferentes .
.
..---,
°
.::
.'"
(3) Quando uma distribuição de frequência apresenta M o (Moda) > M" (Mediana) > x (Média aritmética) , ela diz-se assimétrica à direita e, assimétrica à esquerda, em caso contrário.
Resposta O caso em que M o (Moda) < M e (Mediana) < abaixo:
x (Média
aritmética) está mostrado
r, ,..I
I
/ ,,
I I I
/ I I
I'
I
I
II I
I
I
I
I
"\
\, \
\\
\
\ \\, \
\\ \ It
\
\
\
\, \
\ '''", -
_---
..•.•.... ...
.~.
/
E o caso em que M o (Moda) > M e (Mediana) >
x (Média
aritmética) abaixo:
-
.••.. -
..-....., ..
...--....
"""
.
...
"">, ....
.
/
r>:\
iI
/ i /I l
/
/
\
\I
I
\
\
(
\ I
\ J
I
,,/
\...
\
,
! I
,
\
\
,/
/
\
\
I
/
•..
\
I
\I
/
\\
/
\
----_.---,-_ ..•.. \ /
A primeira é dita assimétrica inverso do que foi afirmado.
IFALSAI
."
à direita
e a segunda,
à esquerda.
Portanto,
o
I I I I
~'
---, . (ANPEC 2003, 04) Com relação
.x~,são
(O) se XI, .'"
variáveis
à
variáveis
aleatórias
.aleatór ias identicarnente
discretas
é correto afirmar que:
distribuídas
com distribuição
n
com parârnetro p, então
Bernoulli
Z
= I: X/
terá uma distribuição
Poisson
quando
i=1
n for grande;
~.'
Resposta: A variável Z, que é uma variável com distribuição binomial (já que é a soma de n experimentos de Bernouilli), apenas terá distribuição de Poisson quando n for grande (n -7 C() e p for pequeno (p -7 0.), de forma que n x p (que é o parârnetro da distribuição
de Poisson)
permaneça
constante.
IFALSAI
(I)
uma variável aleatória com distribuição em 11 experimentos de Bernoulli;
binom ial representa
o número
de sucessos
,
Resposta:
A distribuição binomial é a generalização da distribuição de Bemouilli. Na distribuição de Bemouilli temos dois eventos mutuamente exclusivos (sucesso e fracasso) e apenas um experimento. Na binornial, também temos apenas dois eventos mutuamente exclusivos, mas o número de experimentos pode ser maior que um. É como se realizássemos 11 vezes um experimento de Bemouilli. Chamando de X um experimento de Bernouilli,
temos
que Y =
IX, '.1
assumir
apenas
experimentos
os valores
1 'e O,
será binomialmente
IX;
representa
distribuída. o número
E como X pode de sucessos
em n
de Bernouilli.
IVERDADEIRAI
(2) a distribuição
hipergeométrica
é um caso especial
da distribuição
Normal;
Resposta: A distribuição hipergeométrica é um caso especial da distribuição binomial. Ela se refere à probabilidade de ao retirarmos 11 elementos de um total de N, sem reposição, termos k elementos com o atributo sucesso (do total de N elementos, s possuem o atributo sucesso e N-s o atributo fracasso). Note que a distribuição hipergeométrica difere da distribuição binomial pelo fato da amostragem ser feita sem reposição e a amostra ser finita (já que é igual a N). Quando a amostra for infinita, ou seja, N for suficientemente grande em relação a n, não haverá diferença entre a distribuição
hipergeométrica e a binomial, já que não fará diferença retirarmos os elementos com ou sem reposição. Aliás, cabe notar que a média e a variância de uma distribuição hipergeométrica são dadas por: E(x) = np Var(x)
n)
np(l_p)(N
N-I Como podemos ver, a média da distribuição hipergeométrica é igual a da distribuição binomial. Já a sua variância difere da variância de uma distribuição binomial apenas =
(N-n), iV-1
pelo fator
que é exatamente
amostra é finita e a amostragern
o fator de correção
para a variância
é feita sem reposição.
(3) a distribuição
é
O
quando a
Qui-quadrado possui média igual a n e variância número de graus de liberdade;
igual a 4n, em que n
Resposta: Seja Z uma variável normal padronizada: x-p Z= --~N(O, I) a Então,
!Z,'
~ ;C,:, ou seja, a soma de n variáveis normais. padronizadas
uma distribuição Qui-quadrado com 11 graus de liberdade. distribuição Qui-quadrado será dada então por:
segue
E( x.~) E( ~ =
E( X,~) .-
'"'
=
da
t,., E(Z,') =
var (ZJ, já que E(Z;) == O. E, com sabemos, é igual a I. Portanto:
normal padronizada IE( X~) == 111 Calculemos
agora a variância de uma distribuição
vare X.' ) == var(
'"'
A esperança
Z,' )
Note que E( Z,')
..
ao quadrado,
var( X.~ ) =
t,
Z,' )
t var(Z,') 1=/
Qui-quadrado:
a variância
de uma
-".'
Como já tínhamos
visto antes, E( Z: ) = var
(Z,)
= I:
i=1
E a E( Z,') de umad istribuição relação à média de uma distribuição
normal
padronizada,
normal padronizada,
isto é, o quarto
momento
em
é igual a 3. Portanto:
". ;=1
,::
;=1
, -"">,
Dessa forma, a distribuição Qui-quadrado (n é O número de graus de liberdade).
possui média igual a n e variância
igual a 2n
--\-
, ,
IFALSAI
~ (4) a distribuição binomial pode ser aproximada pela distribuição de Poisson para . valores grandes de n (tamanho da amostrájie pequenos de [J (probabilidade de sucesso ). Resposta: ,
, , " -
I.
E exatamente distribuição
"
nesse caso que a distribuição binomial de Poisson (veja item (O) desta questão).
pode
ser
aproximada
pela
'"'
'
,
IVERDADEIRAI
... (ANPEC 2003, 13) A probabilidade de um homem acertar um alvo é K Quantas vezes ele deve atirar para que a probabilidade de acertar pelo menos uma vez no alvo seja maior que 2/3? Solução: A probabilidade
de acertar o alvo pelo menos uma vez será dada por:
P(pelo menos uma vez) = I - P(acertar
E como a probabilidade
2.. 4
Na tabela
abaixo
de acertar o alvo é de calculamos
'.
nenhuma)
±,
a probabilidade
essas probabilidades
P(pelo menos uma vez) seja maior que ~
(== 0,67):
de não acertá-lo
para os valores
de
11
é de
até que
..
N
P(acertar
nenhuma) ....J
1 ...
2
I
-
-
4 ....J
4
.J - X -=--
4
4
9
J
J
4
4
4
...
-
16
37(=058) 64 '
-x-x-=-
...
4
J
...
... J
J
...
64
81
-)
-x-x-x-=-4 4 4 4
.r>
•
7
16 3 27
...
3
Portanto,
P(pelo menos 1 vez)
175 (=068) 256 '
256
ele deve atirar ~ vezes para que a probabilidade
de acertar pelo menos uma
)
vez no alvo seja maior que'::'. 'I
.J
.
,"-
(ANPEC 2002,
07) Em relação às distribuições
(O) Uma variável ".,-~
"
,
repetições,
aleatória
aproxima-se
X com distribuição
de probabilidade binomial
de uma Poisson quando
discretas: p, baseada
de parârnetro
n ~ co e p permanece
em n
constante.
Resposta: Uma variável aleatória com distribuição binomial pode sim ser aproximada por uma distribuição de Poisson, desde que n co e p ~ O, de modo que np permaneça constante (veja da questão ANPEC 2003; 04, item O).
I
IFALSAI . "" .r>
(1) Uma variável primeira
aleatória
ocorrência
sejam independentes
Y, definida
como o número
de A, tem distribuição
de repetições
Geométrica,
desde
necessárias
para a
que as repetições'
e que P(A) = p e P(A c) = l-p.
Resposta: r<.
A distribuição geométrica se refere à probabilidade de A ocorrer exatamente na k-ésima repetição. Portanto, se a variável aleatória Y é o número de repetições necessárias para a primeira ocorrência de A, ela terá distribuição geométrica, cuja função de distribuição é dada por: P(x = k) = (l_p)k.lp
IVERDADEIRAI
(2) Pode-se
utilizar
de se encontrar sem reposição. ",
'"
a distribuição
Binomial
k peças defeituosas
para, por exemplo.
calcular
a probabilidade
em um lote de n peças selecionadas
ao acaso.
,
..
,-
,. Resposta: Nesse caso, deve-se peças.
utilizar a distribuição
hipergeométrica,já
que não há reposição
das
~
...--,'.
IFALSAI
(3) Se uma variável será próxima tamanho
aleatória
segue Uma distribuição
da Binornial
se
O
tamanho
Hipergeornétrica,
da população
sua distribuição
for grandeen-r.relação
ao
da amostra extraída.
Resposta: ~ A distribuição hipergeornétrica difere da binomial pelo fato da amostra ser finita e os elementos serem retirados sem reposição. Quando o tamanho da população for grande em relação ao tamanho da amostra, não fará diferença se retiramos os elementos com ou sem reposição e, portanto, a distribuição hipergeornétrica será próxima da distribuição binornial. Veja também questão ANPEC 2003, 4, item 2.' /VERDADEIRA! _
(4) Se Z tiver distribuição
de Poisson com parâmetro
a, então, E(Z)
=
VeZ) =a.
Resposta: A distribuição de Poisson é o caso limite de uma distribuição binomial fazendo n 4 co e p 4 O, ou seja, o número de repetisÕes do experimento tende a infinito e a probabilidade do evento ocorrer tende a zero, de modo que np permaneça constante. Portanto, a média e a variância de uma distribuição de Poisson serão dadas, respectivamente, por:
E(Z)
= np =
a
VareZ) = np(I-p)
=
np
=
,.
a
Dessa forma, na distribuição de Poisson, parâmetro da distribuição, a. IVERDADEIRAI
(ANPEC 2002, 14) Uma companhia
'.-
a média é igual à variância,
que são iguais ao' ...--,.
de seguros
tem 400 segurados
de certo tipo. O
prêmio do seguro é R$ 1.000,00 por ano. Caso ocorra um sinistro indenizará R$ 8.000,00 a cada acidentado. Sabe-se que a probabilidade
a seguradora de oqorrência
de sinistro, é 0, I por ano. Os custos fixos da seguradora são de R$ 8.000,00 por ano. Qual a probabilidade da seguradora ter prejuízo em um certo ano? (Ignore o fator de correção para continuidade, multiplique sua resposta por 100 e transcreva a parte inteira do número encontrado). Solução: / A receita total dessa companhia é dada por: R = 400 x 1000 = 400.000
'\.
Chamando de x o número de sinistros são: C = 8.000x + 8.000
ocorridos
por ano, temos que os seus custos totais
Portanto, o lucro dessa companhia é dado por: L= R- C L ="400.000 - (8.000x + 8.000) Se o lucro for igual a zero, obviamente, a empresa que:
L
.
=
O <=> 8.000x
não terá lucro nem prejuízo.
E temos
( = 400.000
- 8.000
392
~x=-8 x = 49
Portanto, para que a empresa tenha prejuízo, o número de sinistros ocorridos por ano (x) deve ser maior que 49. Então, devemos encontrar P(x>49). Note que a variável x tem distribuição binomial e, dessa forma, temos que: E(x) = np = 400xO,1 = 40 var(x) = np( l-p) = 400 x 0,1 x 0,9 = 36 dp(x) = -fvar(x)
=6
E, como a variável é binomialmente distribuída, podemos aproximá-Ia pela distribuição normal. Padronizando a variável para podermos consultar a tabela, ternos que: r- u 49 -40 9
Iz
= -'-'-
dp(x) Portanto,
-~
_ .r---
=
=- = 1 5
6
6
'
P(x>49) = P(z> 1,5):
I
\
\
~
0,4332
Consultando a tabela da distribuição normal para z = 1,5 encontraremos o valor de 0,0668 (lembrando que a tabela fomecida para o exame dá as probabilidades dos valores extremos). Portanto: . P(x>49)
=
P(z> 1,5) = 0,06f8
=
-
6,6~%; .
Transcrevendo apenas a p~rte inte iÚld o 'nú·m~ro encontrado, chegaremos ~o valor de
I§].
(ANPEC 1999, 12) Sobre as distribuições de probabilidade podemos afirmar que: (O) Na distribuição Binomial não é possível contar as não-ocorrências do evento e a média e a variância são iguais ao parâmetro da distribuição. Resposta: O enunciado desse item se aplicaria à distribuição de Poisson. Na 8inomial é possível sim contar as não-ocorrências do evento e, como sabemos a média e a variância de uma distribuição binomial não são iguais, já que sua média é dada por np e sua variância por np/ l-p), IFALSAI
(I) As características da distribuiçãodePoisson são: (i) 11 repetições. de um experimento de Bemoulli; (ii) as repetições são independentes; (iii) cada experimento .tem dois resultados possíveis que são mutuamente exclusivos;
~_.
•..
..
(iv)
a
distribuição
P( ./:r
= X) =
repetições = I -p.
de
(n) .p.q x
X
IJ-X
do experimento,
probabilidade
, x p
=
I, 2,
é
defi n ida
... , n, onde
= probabilidade
n
de ocorrência
como
= número
de
de sucesso
e
q
.0_:
~
Resposta: As características enunciadas na afirmativa são de uma distribuição distribuição de Poisson possui as seguintes características: não é possível contar as não-ocorrências do evento; E(x) = var(x) = np = À, ou seja, a média é igual à variância;
binomial.
A
e-i. Â,' a distribuição
de probabilidade
como P(X
é definida
= k) = --
k!
IFALSAI
."
(2) A média de uma distribuição Geométrica é I /p, onde p probabil idade de ocorrência de sucesso. Resposta: A distribuição geométrica refere-se à probabilidade de ocorrência de sucesso exatamente na n-ésima jogada. Portanto, temos que:
P(X
=
I)
=P
P(X = 2) = px(l-p) P(X = 3) = px(l-p)" P(X =n) = px(l_p)n-1 A média de X será então: E(X) = Ixp+2xpx(l-p)+3x
px(1_p)1+
...
Note que a expressão acima é "quase" uma progressão geométrica, exceto pelos números 1,2, 3, .... Como veremos abaixo, a expressão acima é a soma de progressões geométricas: p
+ p(l-p) + p(l-p)" + p(l_p)3 + ... p( l-p) + p( I-p i + p( l-p):' + '" p(l-pi
+ p(l_p)3 + p(l_p)3+
p + 2p(l-p)+3p(l-pi+4p(l-p)3+
. .
...
E a soma dos termos de lima progressão a e razão dada por q é:
S=
-r-,
_(f_
1- LJ Portanto.
temos que:
geométrica
infinita, com valor inicial dado por
-t-;.
''''''''':".'
E(X)
=
P l-(l-p)
+ p(l-p) l-(l-p)
E(X)=p+(I-p)+(1-p)2+(l-p)3+ E(X)
+p(1-pr 1-(l-p)
+p(l-pf 1-(l-p)
+ ...
...
I
=
1 - (1 - p) 1 E(X) = p
IVERDADElRAI -r-; ..
(3) Um levantamento junto ao Setor de Contabilidade de uma loja de departamentos mostrou que 30% dos clientes pagam suas mensalidades com atraso. Se em certo dia selecionarmos ao acaso 10 pessoas que pagaram suas dívidas mensais, a probabilidade de no máximo um cliente ter pago com atraso é aproximadamente 15%.
Resposta: Chamando de X a probabilidade de um cliente atrasar sua dívida, temos que, num grupo de 10 clientes: P(X=O) = 0,701°= 0,028 P(X=I) = IOx0,79xO,301 = 0,1211 .•...
Dessa forma, a probabilidade por: P(X s l) = P(X=O) + P(X=I) P(Xs I = 0,028 + 0,1211
de no máximo
um cliente atrasar o pagamento
-<:
será dada
I
~""-
..
P Xs I == 15%
~.
IVERDADElRAI
\.
~
'" ." /'.
li . .r'-.
~ ~,
(ANPEC 2004, 05) Uma variável aleatória contínua x tem a sua função densidade probabilidade dada pelo gráfico:
de
" KI
_
.
. ,~
São corretas as afirmativas: (O) O valor da constante KI não poderá ser maior do que I. Resposta: A constante K, poderá assumir qualquer valor positivodesde que a área do gráfico não seja maior do que 1, ou seja, a soma de todas as probabilidades (que, obviamente, não pode ser maior que I). IFALSAI
(I) O valor da co..nstante K2 será igual a
(K1+2)/2K1•
Resposta: Para encontrarmos o valor da constante K2, basta calcularmos a área do gráfico da f.d.p. de x e igualar a I. E, como podemos observar no gráfico, temos duas figuras, um triângulo e um retângulo. A área do triângulo é dada por: base
altura 2
IK,
x
2
E a do retângulo: base x altura
=
(KJ ..I) x K,
Somando essas duas áreas e igualando a I, temos que: K
-;- + (Krl )xK, (K] .. I)=
(K..., .. I)=
( 1--'K)2 _I
_l..
K,
K,= -
= 1
_I
-~+
K,
2
2 I
x-1
K,
-r-c-'
K2
==
1
1
K,
2
_"_o
-+--:-
2-! K
K2== ---'?:K,
,
IVERDADEIRAI
~. (2)
A
t;. ,...._-
função densidade
.{KI
X'
de. p~bªbilidade ..,
de x será f(x)
==
.
. '-L
OS:x<1
«; iS:xS: K
2
O, fora desses
intervalos .
Resposta: -, É exatamente essa a f.d.p. de x.o.~servando o gráfico, podemos ver claramente que se x estiver entre O e I, o valor de j(_) será Kix. Se x estiver entre I e K2, o valor daf(x) será igual à constante K, (já que f(x) e uma linha horizontal nesse intervalo). E fora desses intervalos, a f(x) é igual a zero. Observe que os sinais de desigualdade s: ou < são equivalentes nesse caso, já que a distribuição é contínua. IVERDADEIRAI
.
{KV"'(2
(3) A função de distribuição
acumulada
de
x seráF(x)= ,.;.. .
/2, OS:x
r;IX, lS:x< K2 _ 1, x z K2
--., ,
Resposta: Sabemos que:
F(x)=
ff(t)dt
Ou seja, a função de distribuição acumulada (Ffx) é a soma das probabilidades os valores possíveis que a variável x pode assumir até O valor de x propriamente Portanto,
de todos dito.
nesse caso, temos que: 2
F(x) =
fK,xdx
==
K, x + C 2
""""-
..
,. -
Como F(O) = O, substituindo F(O)
==
temos:
C =0
Então, para O s: x < 1
"\
..
o
F(x)
=
K ~
2
I
Para I S x < K2, temos:
Da primeira
r.. KI 2 2
F(I) = K
".
função, temos:
I
Substituindo
na segunda:
F(I)=K+C=-'
K
2
I
C=~-K
2
I
C= __K I 2 f
Dessa forma, a função de distribuição
F(x)=
K,x" /2,
OSx
K,x-&,
ISx
2
acumulada
de x será dada por:
I,
~" que K2 =1) a esperança
(4) Supondo Resposta: Supondo
f(x)
=
que K2
-x x, { 0,
=
matemática
de x, E(x), será 113.
I, a f.d.p de x será:
OSx
,~
tora desse
.
Intervalo
E para calcularmos a esperança de x, precisamos encontrar o valor da constante Nesse caso é fácil, já que no item (I) dessa questão encontramos que I:
K,.
7 -, ' K , K - --2K, )-
Portanto: !
Para aqueles que' não tivessem resolvido o irem (I) dessa questão (ou para os que não tivessem absolutu
f K,xdx I
ccric zu de sua \ crucidudc).
..
~
bustariu culculur
c igualar
a I.
,,") "') ~)
~) ')
'"
~) 2+K
1=--'
2K, 2K, = 2 + K, 2 K, - K, = 2 K,=2
:-.:
- ...<,
A esperança de x será então:
,
E(x)
fxf(x)dx
=
~'-
",
E(x)
= fX(2x)dx
E(x)
=
, f2x'dx
"
'"
J'
E(x)
=
2[X' 3 ..
E(x)
=
E(x)
= -
"
1 2x3
2 3
IFALSAI
(ANPEC 2003, 03) O custo X de produção de certo bem é uma variável aleatória com função densidade de probabilidade kxZ 1S x S 4 f(x) = { O caso contrário
,,-
É correto afirmar que: (O) o valor de k é 63;
Resposta: Para que f(x) seja uma f.d.p., a seguinte condição deve ser satisfeita:
,
--\.-
ff(x)dx
=
I
-----,
Ou seja, a soma das probabilidades deve ser igual a I, Portanto:
, -
,
k fx'dx=
,
t
1
,""",
'\.-
(I) o custo médio do produto é aproximadamente Resposta: Para encontrarmos
o custo médio do produto,
1,04;
basta encontrarmos
<
E(x) = f.if(x)dx <
E(x) = IXkx'dx I
<
E(x) = k IX'dx
-:<
I
4<
1<]
E(x) = k[
E(x) = k ---
[
E(x) =
I -x21
4
4 255 4
IE(x) ~ 3,0361 IFALSAI
(2) o custo é menor do que 2 com probabilidade
Resposta: A probabilidade
de x ser menor que 2 é dada por:
P(x < 2)
= Jf(x)dx
· < 2) P(x
=
'J'-:'C I "d.x ,21
P(x<2)=-:;-
[x']-
I --::;~I .J
I
1/9;
a esperança
de x:
"">, ..•
--~ ."
I
1']
P(x < 2)
=
li[21 3-3
P(x < 2)
=
-x-
1
7
21
3
-r>».
I P(x < 2) = 9 IVERDADEIRAI
(3) a variância
do custo do produto é aproximadamente
3,04;
Resposta: Sabemos que a variância de x é dada por: var(x) = E(x2) - [E(x)]2
----"," A média dos quadrados
E(x2)
=
f x' f(x)dx
E(xL)
=
Ix' _1 x'dx
de x é:
J
21
I
E(xL)
=
IxJdx
_I 21
I
1 [4 1'] 5
E(xl)
= -
---
21 E(xl)
5
5
_I x 1023 21 5 1 341 . E(x ) =-::= 9,743 35 =
A média de x já foi calculada
no item (I): E(x)
=
3,036,
A variância será então: vai(x) = E(i) - [E(X)]2 = 9,743 - (3,036l ::= 0,52
----....,
IFALSAI
(4) o custo é maior do que 3 com probabilidade
8/9.
Resposta: A probabilidade
x ser maior que 3 será:
J
P(x>3)=
ff(x)dx
~-,
'"
--'\
»-»;
~ -_.-....
~
-r-, ,-
, I
PCx> 3)
=
f-x'dx
,21
1 [4"--~ ", 1
P(x>3)=
-,
21
P( X>J ")
=
PCX>J ")
=-37
3
3
I 37 -x21 3 63
...--"
IFALSAI <">,
---.,
"
(ANPEC 2002, 08) Em relação às distribuições
de probabilidade
contínuas:
" (O) Se X tem distribuição
"
Normah
zr.zr "), então a função densidade
X, f(x), atinge o seu valor máximo quando x
=p
e nesse ponto
de probabilidade f(x)
=
~
de .
uv2Tr
"
Resposta: Nesse caso é evidente que a função densidade de probabilidade atinge seu ponto máximo quando x for igual a p (basta olhar para o gráfico da distribuição normal):
~'''''\
0,"
'-"'---
Porém, para os que gostam de cálculo, podemos mostrar facilmente que a f.d.p. de X atingirá seu máximo quando x for igual a JI. Para isso, basta derivarmos a função densidade de probabilidade de X e igualar a zero, para encontrar seu ponto de máximo: 1 ,j( x) =
df(x) c/x
ç--;-,
_1,- •.1'
,e
,.,'
v2Tru' I 1-, , -V ~lT(F
x e
11'-/11: -~'--.;o
1
(x - p)
x - - x 2 -'----'--'-
')
a
dfCx) _- - (x -dx
,Li)
I
x
a'
o,,
.J2;ra' :;
E temos que:
--dlCx) ""° <=:> dx
"
1(.-,,1' x e -,-----;;-
(x-u)
=
.
°
~""O ~
E quando x 1(,)
=
u, a f.d.p. de x será: \.'
I e" "" 1 .J2íra" .J27r0',
=
IVERDADElRAI
(I) Se X tem distribuição Uniforme no intervalo [O,a], igual a 4/3 para que P(X > 1) = 1/3.
IX
>0, então, a tem que ser
Resposta: Sabemos que a f.d.p. de uma variável uniformemente _1_,
que, nesse caso, equivale a ~ (já que
a-a rr
f-d>; ,a
" 1
I
,a
3
3
a
a
I I 1--= a 3 1 -2
a a=-
3 3 2
j, temo~ que:
1 =-
I [~a-~lJ=~ [~ x
a
O). Portanto, a P(X >1 )será dada por:
f-dx
E para queP(X > 1) seja igual a
I
~.:
a
P(X> I) ==
-""
a ""
distribuída é dada por f(x) ""
1 3
3
,. '"
.'
I
Portanto, a deve ser igual a
% _
para que P(X> 1) seja igual a ~. J
(2) A distribuição t de Student assemelha-se à Normal padrão, N(O, I), mas possui caudas mais pesadas, quando n, o tamanho da amostra, é maior do que 30. Resposta: Pelo contrário, à medida que n aumenta, vez mais da distribuição normal. Ela tem amostra é pequeno (menor que 30). Aliás, de Student será igual à distribuição normal
a distribuição t de Student se aproxima cada caudas "mais pesadas" quando o tamanho da quando a amostra for grande, a distribuição t padronizada.
IFALSAI
(3) Se uma variável aleatória contínua tem função de distribuição F(x)=l-e-x
O
=
então a função densidade
de probabilidade f(x)
se x z O se x < O . de X será
= e:'
se x ~ O
=O
se x < O.
RefPosta: A função densidade de probabilidade distribuição acumulada. Portanto: '!
-
de uma variável .'
é a derivada
de sua função de
dF(x)
fi(x)---
dx
ftx) = dei - e-') dx H'C)=O-(-e-')
f0T=-eJ Dessa forma, a f.d. p. de x será dada por: f(x)=e-' se x~O =
O
se x < O
observe que o fato do sinal de desigualdade ser;::: (.:õ:) ou > importância, já que se trata de uma distribuição de probabilidade contínua. IVERDADEIRAI Nora:
(4) A variável aleatória clistribu ição Norma I.
Z tem distribuição
Lognormal
se e somente
«)
não tem
se e:-.:p (Z) tiver
""
Resposta: A variável normal.
Z terá distribuição
log-Norrnal
se e somente
se ln(Z) tiver
distribuição
IFALSA/
(ANPEC
2001,
4) Seja
f(x) contínua,
probabilidade
X Uma variável aleatória, com função densidade definida sobre o espaço arnostral A, do universo U:
de
(O)Tanto A como U devem ser contínuos.
Resposta: Se a variável aleatória é contínua, devem ser contínuos também.
então seu espaço amostra! e universo
necessariamente
IVERDADEIRAI x.
(l)A probabilidade
P(X:S: xo) é dada por
ff(X)dX.
Resposta: A probabi Iidade de X ser menor que um valor qualquer é dada pela soma de j{X) intervalo, ou seja, pela integral de sua função densidade de probabilidade intervalo.
nesse nesse
IVERDADEIRA/
, (2)A probabilidade
P(X = xo) é dada por f(xo)'
Resposta: Quando a f.d.p. é contínua, a probabilidade de X assumir que é um valor entre infinitos valores possíveis: . J/(x)d>:
=
[ffCx)J:::
=
ff(X,.')-
ff(x,)
um número qualquer
é zero? já .
=O
.eu
IFALSA/
(3) A função cumulativa
de probabilidade
pode ser discreta.
Resposta: Se a função densidade de probabilidade é contínua, a sua função cumulativa de probabilidade (ou função de distribuição acumulada) também deve ser contínua, já que a primeira é a derivada desta última. IFALSAI
(4) A função
densidade
. de probabilidade
F(x) é a função de distribuição Resposta:
"'
d de X é calculada
por f(x) = -F(x)
dx
em que,
acumulada.
Como já foi dito no item anterior, a função densidade de probabilidade f(x) é a derivada da distribuição acumulada (e, portanto, a função de distribuição acumulada é a integral
'\ ..
..•
".
da f.d.p.). Porém, a função conter pontos em que há contínua para um ponto X{J, a função f(x) seja definida, das probabilidades através f.d.p. contínua é irrelevante
f(x) já foi definida no enunciado. Sendo assim, ela pode descontinuidade em F(x). Como sabemos, se F(x) não é sua derivada não existirá neste ponto. Mas nada impede que a priori, contendo estes pontos, o que não alteraria o cálculo dela (já que a inclusão ou não de um único ponto em uma para o cálculo das probabilidades).
IFALSAI
(ANPEC 2001, 14) Seja X uma variável probabilidade
dada
por
j(x)
= ~,
aleatória
I :o:; X:O:;3..
contínua,
Determine
com função
densidade
de
o valor
da mediana
dessa
Chamando
a mediana
de m,
2 distribuição. Solução: Sabemos que a mediana temos que:
divide
a distribuição
;I
no
P(x>m) = h·dx = 0,5 m
Tomando
'"I h·dx
P(x
e
-
a segunda
=
ao meio.
das expressões
=
I
h-c/x
,-
=
0,5
acima (mas poderia ser a primeira
0,5
,"'"
[~.\r [_.1
2
=
0,5
m -~] .2
=
-Jn=
I
-+-
1
I
2
2
2
I 111= -
I
°
'
5
=2
2 Portanto,
a mediana
(ANPEC 2000,
((x)
.
to
é igual a ~.
14) Seja Lima função de densidade
J .' Cy·
=
dessa distribuição
para poro
de probabilidade:
l-
O < x ~ :2 outros
valores
de
.\'J
também),
temos:
Calcule a probabilidade
de (O .$'x
.$' 1).
Arredonde
o resultado
e multiplique
por 100.
que encontrar
o valor
Solução: Antes
de calcularmos
constante
c. Portanto:
Jf(x)dx
=I
Jcx'dx
a probabilidade
pedida,
temos
da
=1
cJx'dx=1
[ ']'
x' c -' 3
=1
\I
8 -c=1
"'o
3
c=-
3 8
Agora podemos
calcular
P(O ~x:s; 1):
I
P(O~x~l)
P(O::;x::;I)=
ff(x)dx
=
"3
.
I
,
f -,'cdx 8
n
3
P(O ~ x:s; 1)= - fX'dx 8
P(O ~
li
--.....
[XJ]"
x ~ I) = -3 -
8
3
li
.
P(O ~ x ~ 1)= -3[1'--- O'J 8 3 3 P(O
'-
~..
.~.;
'
I
s x:s; 1)= -= 0,125 8
Arrendondando
o resultado
e multiplicando
por 100, chegaremos
ao valor de
§.
------ ..
"'
....
\\jl!
Hl~}~
(~}J .,
fi\')
~,fI. h.. f' . tI,; _,J
V
~
(ANPEC 1999, 11) Podemos afirmar que: .~
j
\t~\lii ri).. ~V~i~ ~1 [ N,r \p\.)f! fi ['lI
lU
.l1.j,jJJ,
J'
!~
\ ~~c)i I'i't
rff,(}I·
\OJ'
(O) A distribuição qui-quadrado muda de forma de acordo com o tamanho da amostra. Para amostras pequenas, a distribuição se inclina para a direita assirnetricamente e torna-se cada vez mais simétrica à medida que o tamanho da amostra cresce. Resposta: O formato da distribuição Qui-quadrado é dependente do número de graus de liberdade da amostra. Quanto menor for o número de graus de liberdade, mais assimétrica será a distribuição Qui-quadrado e quanto maior ele for, mais simétrica ela será. Aliás, quando I o número de graus de liberdade é grande, a distribuição se aproxima da normal.
<.;
x"
\j-
IVERDADEIRAI
(I) A distribuição
"t" é sempre simétrica com média zero e à medida que o tamanho da amostra aumenta, a distribuição "t" aproxima-se da distribuição normal padrão. Resposta: A distribuição t de Student é simétrica e possui sempre média zero e variância igual a
_n_
(n é o número
de graus de liberdade).
n-2
Quando
n é pequeno,
o formato
da
,
distribuição t é o de uma "normal" achatada, e conforme o tamanho da amostra aumenta, a distribuição t se toma cada vez mais simétrica, ou seja, aproxima-se da distribuição normal padronizada. !yERDADEIRf,\!
"F' é LIma razão entre duas variáveis aleatórias "t" independentes, cada LIma delas dividida pelo respectivo número de graus de liberdade. Resposta: 2 A distribuição F é uma razão entre duas variáveis aleatórias (qui-quadrado) independentes, cada uma delas dividida pelo respectivo número de graus de liberdade: Xi/k F= --~Fk , / .n X" n IFALSAI (2) A distribuição
"1...
(3) A distribuição normal apresenta dois pontos de inflexão na sua função de densidade de probabilidadef(x) nos pontos x = .u - 2.u e x = fi + 2.u, onde ,li é a média e a O desvio padrão. '~
Resposta: Sabemos que os pontos de inflexão de lima função ocorrem onde a derivada segunda é igual a zero, Na questão ANPEC 2002, 08, item/O). já calculamos a derivada primeira da f.d.p. normal: dj(x)=_(x-p) dx
-.--...,
(jl{~' (J'
J
I
a
,h.7[u'
e"':,,"
".,
Portanto,
sua derivada
d'~~x) dx
=_
d' f(x)
=_
~d'/~x) ri"
será dada por:
__X~_,J1e-Mx~"J'-2J 2(_x~-,J1)l
,[~e-~,~pr
I .J2ír(5-
(5
[_I
I
.J2lLu'
dx'
segunda
I ,
=
v
e -W:")'
v
(x - )1)' e -W:")']
u'
(5'
(~-:l)']
e-H':P)' [~_
.J2ír(5-
(5-
(5
(
E temos que:
=O<=>[_I,_(X-:)']=o
d'f~x) dx' I
(5"
(x -
(5'
)1)'
O
(5
u' -(x-
(5
---,-
)1r
O
a' -(x-ji)'=O
(x -
)1)' = (5'
)Cx
-)1)'
...--.....;
±
=
Fc;'
x-u = ± (5 k=)1±(51 Portanto,
a f.d.p. da distribuição
normal possui dois pontos de inflexão:
x
= ji
+aex
=
ji-a: \
IFALSAI
(4) Se X é uma variável
aleatória
probabilidade
f(x)
uniforme -
com a seguinte
função
de densidade
~
se a < x < b
= {~
quaisquer
outros
valores.
então k= b - a . . Resposta: Se X tem a distribuição basta lembrarmos
, fl(x)dx
=
, fkdx "
[Ia:]::=
=
I
I
kb-ka=1
1
uniforme.
então k
. - .
de
= _1_" b-a
que a soma das probabilidades
Para ver isso m~is formalmente,
deve ser igual a I e, portant~:
..
" '\
~ ~
"
k(b-a)==1
r->;
I
k=-b-a
<">,
-------
!FALSAI
"
(AN PEC 1998, falsas,
~
(O) A variável
"
O quociente
-r-,
respectivo
"">,
onde Z tem distribuição
I é uma
distribuição
qui-quadrado
com (n - 1) graus de liberdade,
i
entre uma variável normal padronizada e uma variável dividida pelo seu grau de liberdade (que nesse caso é igual a n-l) é uma variável aleatória t.
"r:
de Student
tem
média
igual
t de
Student
a (n - I) e variância
igual
a
Resposta:
->,
Aqui,
basta
achatada",
--..
------
e
(1) A distribuição (n - 1)/(n - J),
-">,
'"
z
como
IVERDADEIRAI
-"
-""'
,abaixo são verdade iras e quais são
Resposta:
~
-,
"t" é definida
aleatória
normal-padrão
-.,
---,
quais das afirmações
XI~i_l)
»<;
"'"'
05) Verifique
lembrar
Portanto,
que
a distribuição
sua méd ia será zero, E sua variância
é uma
"normal
será igual a
padronizada
_11_,
n-2 -..#
!FALSAI
(2) A distribuição de uma razão de duas variáveis aleatórias independentes, divididas cada uma pelo seu respectivo número liberdade, é chamada de distribuição "P'.
qui-quadrado de graus de
Resposta:
É exatamente
essa a distribuição
F, que é utilizada
para comparação
de variâncias.
!VERDADEIRAI
--~
(3)
A estatística provenientes
"'P" pode ser utilizada para verificar de duas populações quaisquer.
a igualdade
ele duas variâncias
Resposta: "'~
A estatística provenientes
"F" pode ser utilizada para verificar a igualdade de duas populações normalmente distribuídas,
de duas
variânc ias
_. .--..,
IFALSAl
(ANPEC 1998, 08) Seja X uma variável aleatória com função densidade f(x). (O) Se X - U]-o,«] é uniforme em [-0.,0.) , onde cx > 0, então é possível determinar de modo que P(x < 1)= 1/2.
a.
Resposta: Nesse caso, o gráfico da f.d.p. de x será dado por, já que se a variável aleatória X é distribuída uniformemente entre -ci e 0., então a área de -CL até será igual à área de O até a:
°
'-::'; ..
--"': ....
I(Ã)
'+------'----_.x
Portanto, a probabilidade de x ser menor que I certamente será maior que 112. IFALSAI
°
(1) Se ~ é uma constante entre e I e f(x), g(x) funções densidades de probabilidades definidas no mesmo intervalo, então ~f(x) + (1-~)g(x) também é uma função de densidade de probabilidade da variável x. Resposta: Se f(x) e g{-,) são funções densidades de probabilidades definidas no mesmo intervalo, então devemos verificar que: . <
If(x)dx
=
I
e
Ig(x)dx
=1
E para que fJf(x) + (l-fJ)g(x) também seja uma f.d.p. deve-se verificar que: ffJf(x)+(I-fJ)g(x)dx=
I
+
f,8f(x)dx ,8 ffCx)dx+
JO- ,8)g(x)dx= (1-,8) fg(x)dx
~ ff(x)dx=
E, como
I
=
~ fg(x)dx=l,
1
temos que:
P+(I-P)=l P+I-P=I
B Portanto, ,8f(-r:) + (l-j3)g(r:) variável x.
é também
uma função
densidade
de probabilidade
da
[VERDADEIRAl
(2) Se a variável aleatória X assumir os possíveis valores 1,2,3,4, ..... , de forma que sua função de probabilidade seja P(x= k )=c( I-P) k-I , 0< ~ < I, então o valor da . constante c é igual a p. Resposta: Calculemos P(x =1)
a probabilidade
= c(l-P)'"
=
de X assumir os valores 1,2,3,4,
... :
c
I-pi-' = c( 1-(3) P(x = 3) = ~(I_p)3-' = c(l-pi
P(x
=
2)
P(x
= 4) = c(l-p)
=
c( 1
4 ,
-
=
c(l-pr
'
E assim sucessivamente. Sabemos que a soma de todas as probabilidades
dever ser igual a I. Portanto:
o que é a soma dos termos de uma progressão igual a (1-/3). E sabemos que essa soma é dada por: .~
a s=l-L)
Portanto, temos que: a --=1 \-q
c
----=\
geométrica
infinita, com razão (q)
c
-=1
B
B IVERDADElRAI
-r-.
-r--,
I x>
(3) Se a variável aleatória X segue uma distribuição exponencial, então P(x >(s+t) s) = P(x > t), para quaisquer s, t> O. Resposta: A probabi lidade condicional é dada por: P( X > ( s+t )1 x > s )
=
P[x>(s+t)ex> --=----'-_":""'- __ P(x> s)
s] P[x> (s + t)] _ e-a, ••" _ _'"_ P( "::' ~---'---~--e x> P(x>s) e-" I.
t
) '
já que a probabilidade de x ser maior que s é dada por: P(x>s)
=
P(x>s) =
fae-'"
a[-
e~'
r
n
P(x>s)
=
a e-· =e-u.
a E, analogamente, a probabilidade de x ser maior que (s+t) é: P(x>s+t)
=
e-a"."
A propriedade que P(x >(s+t) 1 x> s) exponencial "não possui memória".
=
P(x> t) nos permite afirmar que a distribuição
IVERDADEIRAI
"';-----, ,.'
--.. <">,
----
~. \
..
-">,
-r'<,
"'\
" '""'\
""\.
"
5A) Contínuas
(ANPEC 2004, 15) Suponha variável aleatória
bidimensional
f(x,y)
"-------.."
que a função de densidade
Calcule a P(Y
da
(X,Y) seja dada por:
) xy x-+-
='
Multiplique
de probabi lidade conjunta
0
O 3
{
caso contrário
o resultado
por 48 e transcreva
este produto para a folha
Solução: A probabilidade
de Y ser menor que X será dada por:
IX
ffx'
P(Y
P(Y
P(Y
=
=
=
dydx
J
L
xy' 6
Ix'
+ x' dx
"
6
1
P(Y
x:
J1x'y+
=
11
P(Y
+
u
ti
< ~+~
[
4
,
]·'dX 11
J'
24"
~+_I
4 24 P(Y
= -
7
24 Multiplicando
o resultado
por 48 como pede o exercício,
chegaremos
ao valor de
[G!J:
7 -x48=7x2=14 24
(ANPEC 2003,
14) Considere
o vetor aleatório
X = ()tl, X~, )(3) com distribuição
probabilidade
..
f,:C·\"x".\,) . _. Encontre
a probabilidade
(Multiplique Solução:
o resultado
. _- {6X X:X) 1
O
de O ~ x, ~ 0,5. por 100).
o s x,
S:;1,O::;x~
::;1, O::; x,
caso contrário
::;12
de
o
exercício pede a probabilidade de XI estar entre O e 0,5. Portanto, antes de mais nada, precisamos encontrar a função densidade de probabilidade marginal de XI (que chamaremos de g(x)). Isso é feito integrando em X2 e X3: .[;,
g(x)
=:
j j6x,x:x,dx,dx, \I
(I
.[;,
g(x)
=:
I I x: xdxdx
6x,
(I
g(x)
=:
I1
6x,l"(,[~;]'
dx.
"
o
.[;1
o(x)
=:
b
6x J...:.. x.dx I
.,
J
.'
"J .[;j
o(x) o
=:
6x"', I-x 3
g(x)
=:
36x,
o(x)
=:
2x
dx
11
1
'"
.l
,l.
[x~].[; ~ "
(-fi\' ri!:..L '2
~ex)
=:
2xII
Agora, podemos
facilmente
obter a probabilidade
XI
estar entre
°
e O,S :
11.5
P(0~xl$0,5)
= Jg(x,)d"(, u
f 2x,dx,
U.5
peO
$XI
P(O $XI
s 0,5)
=
s O,S)
=:
2[x"
J""
2 "
P(O$XI
Ipeo
$O,S)
$XI $
0,5)
Multiplicando
OS'
2[
=:
=:
O'] "', ~-
0,2sl
por 100 como pede o exercício,
Nota: obviamente, lI_j~1
~-2
o mesmo resultado
J J J6x,x~x,dx,dx,dx,.
chegaremos
ao resultado
seria obtido se tivéssemos
de ~,
calculado
diretamente
'\ ~\
~ -r-,
~ ------'\
~
(ANPEC 2002, 13) Suponha variável aleatória domínio,
bidimensional
f(x,y)=kx(x-y)
-----,
Encontre E(X). Multiplique número encontrado.
-'\
Solução: Antes de calcular
, ~
" ~
que a função densidade de probabilidade (X,Y) seja uniformemente distribuída
5 JfCx,y)dxdv 1\
a resposta
li
f fkx(x
- y)dxdy
J J x'
- xydxdy
I
=
-'"'o
"
k
=
I
~
->,
k
-1[x'-:;- - ? x' y ]' dy -= 1 J
u
--
11
"" '"""",
->, _,""""
'8 4 k f---ydy= o 3 r
.
I
Y']'
k:;-y-2[8
---" ~....,
[8 2']' -= C3 -4}=1 k :;-2-2? J
-'"\
'""""
-"',
=1
2"
J
--
I
11
6
4
-k-=I 3 k= ~ 4
-">,
A esperança
~
E(X)
=
-'\
..-....,
5 J-ifCx,y)dxdy li
E(X)
~,
=
de X será dada então por:
11
nX~X(x"" 4
3 E(X) = -: 4
y)dxdy
'J'5.r' ' - .v.ydxdy ti
I,
'""""
~
~ X
3
'li
x'
...'-fI'
.........,
.r '
E(/ ) = - JI---:;-Y 4" L 4 J
E(X)
"
I'l-=- - -=:;-\'. '-I,; 4
= -=-
J
~ ..-....,
-r-,
~ ,""'
/\
]- I
c\'
"
] dv
da de
a parte inteira
do
0:>;y:>;2
por 10 e transcreva
E(X), teremos que encontrar
1
=
0:>;x:>;2,
conjunta na região
somente
o valor da constante
k:
3'
8
E(X) = - f4--ydy 4" 3 r E(X)
E(X) IE(X) E(X)
= -3
[ 4y--- 8 y' ]' 4 3 2 "
-,-..,
="43[ 8-316] := 6,- 4 =
2
Multiplicando por J O como pede o exercício, chegaremos ao resultado de ~ que, de fato, é O resultado fornecido pelo gabarito. Há algo estranho, porém. Se x está entre O e 2, como é possível que sua média seja 2? É que a função densidade apresentada na questão pode assumir valores negativos (faça y = 2 e x = J, por exemplo), o que a desqualifica como função densidade. Se o enunciado fornecesse a função abaixo, não haveria este problema: f(x,y)=kx(x-y)
O:S;y:S;x:S;2
Neste caso, a média será diferente de 2 (menor!). Para encontrá-Ia, faremos o mesmo procedimento anterior, respeitados os novos limites de integração. Antes de calcular E(x), teremos que encontrar o valor da constante k:
f ff(x,y)dxdy
f J kx(x k
- y)dxdy
=1
Jj(x' - xy)dxdy U
=
I
.'"
x' k -~x' ---y ,,3 k.
= I
'[8
]' dy= 1
2
.'
v']
y' ----2y+-'-
,,3
3
2
dy= I
) dy= 1 k- 8-:;-+L-2Y 6 ~ "j
y' k [8-y+--y 3 24
,]'
=1 u
k[~+Ji-4]=1 3 24
k[ 128 2k= 1
+~:-
96]
=
1
1 k= 2
A esperança
de X será dada então por:
E(X) = ffxf(x,y)dxdy \I
E(X)
=
.•
"
1
I Ix-x(x-
y)dxdy
".. 2 E(X)
I', f fx' - x' ydxdy 2-
= -
11 ,I_
E(X)
= ~
2 E(X)
l x"
y]' dy
_ x' 3
.lL 4
..
l'R 1'[ 8 '] 4-
= -
2
8y +L "} y L -J
4
3
3
4-_y+L
dy
u
E(X) = -
2"
3
12
I [ 4y--+4y' 2 3
E(X) = -
E(X)
= -1 [ 8
2 E(X)
11
3
60
1[ 8 --+-8J
= -
--
-"
60
16 32] --+-
2 E(X)
y;]'
=
16 3
15
~[120-80+8]
2
15
1[48J
E(X) = - 2 15 E(X) = 1,6 Multiplicando
o resultado
por 10, como pede o exercício,
chegaríamos
ao valor de ~.
, -~
B) Discreta
(ANPEC 1999, 13) Seja a seguinte distribuição conjunta de probabilidade variáveis aleatórias Xe Y.
entre as
y
..•.
1
X 2
0,1 4 0,2 Oi tl Podemos afirmar que:
3 0,2 0,1
5 0,3 0,1
. ,
(O) A distribuição marginal de X é X 0,3
P(X)
3 0,3
5 0,4
Resposta: A distribuição marginal de X é dada somando-se todos os valores possíveis de Y, ou seja, somando-se os valores ao longo da linha, o que é mostrado na tabela abaixo:
Y
1
3
5
P(X)
0,1 0,2 0,3
0,2 0,1 0,3
0,3 0,1 0,4
0,6
X
2 4 PCY)
0,4 I
A soma de todos os valores possíveis de X, ou seja, a soma dos valores ao longo das colunas, é a distribuição marginal de V, IFALSAI
, __
(1) A variância de Yé 2,76.
Resposta: Sabemos que a variância é igual à média dos quadrados menos o quadrado da média: var(Y)
= E(y2) _ [E(y)]2
Calculemos E(Y): E(Y) = I x 0,3 + 3 x 0,3 + 5 x 0,4 E(Y) = 3,20 E E(y2): E(y2) E(y2)
=
12xO,3 + 32xO,3 = 0,3 + 2,70 + 10
+ S2xO,4
o
Portanto, a variância de Y será: var(Y) = E(y2) - [E(y)f var(Y) = 13 - 3,202 var(Y) = 13 - 10,24 &ar(Y) = 2,761
IVERDADEIRAI
(2) A covariância
entre X e Y é -0,56.
Resposta: Sabemos que a covariância produto das médias: cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) A média de Y já calculamos Calculemos então E(X): E(X) = 2xO,6 + 4xO,4 E(X) = 1,20 + 1,6 E(X) = 2,8
entre X e Y é igual à média cios produtos
no item anterior: E(Y)
E para calcularmos E(XY), precisamos P(XY = 2) = 0,1 P(XY = 6) = 0,2 P(XY = 10) = 0,3 P(XY = 4) = 0,2 I P(XY = 12) = O, I I P(XY = 20) = 0,1
= 3,20.
das probabilidades
de XV:
Portanto, E(XY) será: E(XY) = 2xO,l + 6xO,2 + IOxO,3 + 4xO,2 + 12xO,1 + 20><0,1 E(XY) = 0,2 + 1,20 + 3 + 0,8 + 1,2 + 2 E(XY) = 8,4 A covariância entre X e Y será então: cov(X, Y) = 8,4 - 2,8 x 3,20 cov(X,Y) = 8,4 - 8,96 Icov(X, Y) = -0,561 IVERDADEIRAI
(3) O coeficiente Resposta:
de correlação
entre A' e
ré
0,344.
menos o
.. !
--\
..
... ----J
Depois de termos resolvido o item (2) dessa questão, esse aqui fica muito fácil. Como vimos, a covariância entre X e Y é negativa e, portanto, o coeficiente de correlação também será negativo, ou seja, não poderá ser igual a 0,344 (que é um valor positivo). Para os que desejarem
calcular
P'"
o seu valor é de aproximadamente
-0,344 (cuidado,
pois, em módulo, o valor estaria correto): ==
P"
-0,56
cov(X,Y) ~var(X) var(Y)
.)0,96
x
:::-0344
2,76 -
,
I-FA-L-S--'AI ..
-..
(4) O coeficiente
de correlação exprime a medida de dependência linear entre duas variáveis e pode assumir um valor qualquer no intervalo [O; 1]. Resposta: O coeficiente de correlação exprime sim a medida de dependência linear entre duas variáveis, mas pode assumir qualquer valor no intervalo [-I,IJ, já que podemos ter correlação negativa entre as variáveis, Quando o coeficiente de correlação for igual a -I, teremos correlação negativa perfeita.
IFALSAI
--~
....-,:.:..
(ANPEC 1998, 10) Considere acordo com a tabela abaixo:
a distribuição
O
-1.. .1/8 118
I
1/8
-1 Y
de probabilidade
X O . 1/8 O 1/8
I·
conjunta
I 1/8
.. -,
de (X,Y), de .
~/o
1/8 1/8
~.lt
Pode-se afirmar que:
(O) O coeficiente
de correlação,
Px!"
entre X e Y é igual a zero.
Resposta: Para calcularmos o coeficiente covariância, que é dada por: cov(X, Y) Calculemos E(X)
==
=
de correlação,
devemos
prImeiro
calcular
a
E(XY) - E(X)E(Y) então E(X) e E(Y): 323
-I x - +0 x - + I x -
=
O
888
Nota: sabendo-se
que E(X) == O, o cálculo da E(Y) toma-se questão, já que O x E(Y) = o. Mas, em todo caso:
desnecessário
para essa
"~,
E(Y)
" ? " x .:: +0 x .::. + I x .:: = O
= -I
8
8
E para calcular
8
E(XY), precisamos
das probabilidades
de XY:
')
P(XY
z:
= -1) =
8 P(XY
=
O)
= ~
8 ?
P(XY = I) =~
8
Dessa forma: ~.
E(XY)
2
4 2 + Ox - + I x 888
= -I
x -
=
O
Portanto: cov(X,Y)
=
O-
O=O
E, se a covariância zero:
P,I'
é zero, sabemos que o coeficiente
cov(X, Y) .jvar(X)var(Y)
=
O - .jvar(X)var(Y)
de correlação
também será igual a
- O
R/ERDADEIRAI
(1) As variáveis
aleatórias X e Y são independentes.
Resposta: Muita atenção aqui: o fato da covariância entre as variáveis ser igual a zero, não implica que elas sejam independentes. Mas se as variáveis forem independentes, a covariância entre elas será igual a zero. Portanto, para verificarmos se X e Y são independentes, devemos verificar se a igualdade entre a probabilidade condicional e a incondicional é válida. Vejamos: I
P(X
==
IIY
=
O)
=
P(X
= I
P(Y
e Y = O) = O)
== ~
3.
= ~
2
8
~.
P(X
=
I)
=
2 8
Como P(X = IIY = O) ;i: P(X = I), oU seja, como a igualdade entre a probabilidade condicional e a incondicional não se verifica, concluímos que as variáveis NÃO são independentes (apesar da covariância entre elas ser igual a zero). Cabe notar que. para mostrarmos que as variáveis não são independentes. basta encontrar lima situação em que a igualdade entre a probabilidade condicional e a incondicional não é válida. Mas, para mostrar que as variáveis são independentes, essa igualdade teria que ser válida para todos os valores de X e Y. IFALSAI
,
..
'"""'\:
.. \
(2) Se Z = a)( + b e W = cY + donde a,b,c e d são constantes com a :t O e c:t O, então o coeficiente de correlação, pzw' entre Z e W é diferente de zero .: Resposta: O coeficiente de correlação entre Z e W será dado por: _ cov(W,Z) dp(W)dp(Z)
PZIV -
-,
Como Z
PZII'
=
aX + b e W = cY + d, temos que:
cov(a + bX, c + dY)
cov(bX,dY)
bd cov(X,Y)
dp(a + bX) dp(c + dY)
dp(bX) dp(dY)
Ibdldp(X) dp(Y)
= ---------
Lembrando que o produto bd, no denominador, deve estar em módulo, já que o desvio padrão nunca é um número negativo. Como o coeficiente de correlação entre X e Y é dado por: =
e;
cov(X, Y)
dp(X)dp(Y)
Temos que o coeficiente de correlação entre W e Z será dado por: ( bd P7.II'j = Ibdl Pn
..
"\
.. \
E como vimos no item (O), a o coeficiente de correlação entre X e Y é igual a zero. Portanto, o coeficiente de correlação entre W e Z também será igual a zero: bd
PZIV
=
Ibdl
x 0= O
IFALSAI
.
'""'\
(3) As variáveis aleatórias X e Y apresentam uma relação linear. Sabemos que o coeficiente de correlação é uma medida de dependência linear. E o coeficiente de correlação entre X e Y nesse caso é igual a zero. Portanto, as variáveis aleatórias X e Y não apresentam uma relação linear. IFALSAI ..
\
(ANPEC 2005, 5) São corretas as afirmativas: (O) Uma variável aleatória X tem média zero e variância de Tchebychev, PCI X I~10) $; 0,36. Resposta: Pela desigualdade
de Tchebichev,
36. Então, pela desigualdade
temos que: .
pclX - lil~e) $; var\X) e-
Como nesse caso, li = 0, var(X) = 36 e
e
= 10:
"6
pclXI ~ 10) s 100 p(IXI ~ 10) s 0,36 _J_
IVERDADEIRAI
(1) Pela Lei dos Grandes
Números independentes, para
a distribuição da média amostra I de n variáveis n suficientemente grande, é aproximadamente
aleatórias Normal. Resposta: A Lei dos Grandes Números diz que a média amostra I converge para a média populacional quando a amostra é suficientemente grande, ou seja, que a média amostral é um estimador consistente da média populacional. A afirmação feita neste item referese ao Téorerna do Limite Central. . IFALSAI
(2) O estimador
de um determinado parârnetro é dito consistente se convergir, em probabilidade, para o valordoparârnetro verdadeiro. Resposta: Um estimador é consistente quando, à medida que o tamanho da amostra aumenta, o seu valor converge para o valor verdadeiro do parâmetro, Oll seja, o valor esperado da estimativa tende ao seu valor verdadeiro e a variância vai desaparecendo: I i111
li-H
I i rn
11-"
E( ê ) = f) vare e) = O
O que e equivalente a dizer que o valor estimado do parârnetro está próximo de seu va lor verdade] ro. com lima probab iIidade mu ira elevada. q uando ri é grande. Dessa forma. o Iirn ite da probabi Iidade (plim) do valor da estirnati va do parârnetro (e) menos (B) ser maior que um número e > O muito pequeno. tende a zero
O seu valor verdadeiro
quando
11
tende ao infinito:
Ou, então:
Dessa forma, dizer que um parârnetro 'écànsistente, probabilidade, para o seu valor verdadeiro.
significadizer '
que ele converge, em
tvERDADEIRAI
(3) A Lei dos Grandes Números' está relacionada com o conceito de convergência em probabilidade, enquanto que o Teorema Central do Limite está relacionado com convergência em distribuição., Resposta: Vejamos primeiro o significado de convergência em probabilidade e convergência em distribuição: - convergência em probabilidade: dizemos que uma variável aleatória x converge em probabilidade para y quando os resultados de x são próximos dos resultados de y com alta probabilidade para n suficientemente grande. Assim, os resultados de y são uma aproximação para os resultados dex. A convergência e~ probabilidade implica que os valores que a variável aleafória x pode tomar que não são próximos dos valores de y torna-se crescenternente improvável à medida que o tamanho da amostra aumenta, ou . ' seja: plirn ~x -
y/
ou
> e ]=0
plimijx-
Y/
<.d
=
1
onde e é um número positivo arbitrário muito pequeno. Representamos a convergência em probabilidade por: x~
y (x converge em probabilidade paray)
- convergência em distribuição: dizemos que uma variável z converge em distribuição para w, quando a distribuição de z toma-se cada vez mais próxima da distribuição de w à medida que o tamanho da amostra aumenta. Assim, a distribuição de w é uma aproximação para a verdadeira f.d.p. ou f.d.a. da variável aleatória z quando n (tamanho da amostra) é suficientemente grande; Representamos a convergência em distribuição por: z~w
(z converge em distribuição para w)
E, como a Lei dos Grandes Números diz que à medida que o tamanho da amostra aumenta, a média amostral converge para a média populacional, ela está relacionada ao conceito de convergência em probabilidade:
o
Teorema distribuição relacionado
do Limite Central diz que à medida que o tamanho da amostra aumenta, a da média amostra I aproxima-se da distribuição normal. Portanto, está ao conceito de convergência em distribuição:
IVERDADEIRAI
q dito não-tendencioso se a sua variância for igual à variância do parâmetro estiráado. Resposta: Um estimador é dito não-tendencioso (não-viesado) se, na média, acertar o valor verdadeiro do parâmetro, ou seja, se a sua média for igual à média do parâmetro populacional estimado: (4) Um estimador
E( ti) ..
..---..
=
IFALSAI
E( ti)
(ANPEC
2004,
12) Suponha
""",x"
que
,x"
independentes, cada uma delas.tendo distribuição teorema do limite central, estime a probabilidade Use a tabela da distribuição transcreva a parte inteira.
Normal
Padrão
sejam
32
variáveis
aleatórias
de Poisson com Ic = 8. Empregando o de que a média amostral seja $ 9.
x
anexa.
Multiplique
o resultado
por 100 e
Solução: Pelo Teorema suficientemente
do Limite Central,
grandes,
a a' , qualquer
sabemos
segue uma distribuição
que seja a distribuição
que a média amostral, normal
da população.
para amostras
com média Jl e variância Como
as variáveis
igual
possuem
17
distribuição
de Poisson
com parâmetro
À = 8, sabemos
serão iguais a 8 e o seu desvio padrão será a tabela:
que sua média e sua variância
J8. Padronizando,
para podermos
consultar
1
9-S
X-Ji.
Z
= -a- =
Fn Portanto,
-J8-8 J32
1
= --;18=S -
J8
I -=2 )
J4
.JSx4
a probabilidade
de x:$9
é igual à probabilidade
de z
$
2:
.-"--.'
PU:$ 9)
= P(z$2)
= 0,50
+ 0,477250
=
0,977250
Multiplicando
o resultado
por 100 e considerando
apenas a parte inteira, chegaremos
[Z].
valor de
(ANPEC
ao
.
2004,
13)
Suponha
que
x"x"
,x"
sejam
variáveis
aleatórias
independentes, identicamente distribuídas, com média E(Xi) = ~l (i = 1,2,3, ... n) e variância (í~ = 10. Utilizando a lei dos grandes números responda à questão. Qual deverá ser o valor de n de modo que possamos estar 95% seguros de que a média amostral _~difira da média ~l por menos de 0,1? Divida o resultado final por 1000. Solução:
~
fq,IV,.ÍÍJ)
'f,pI'J()
lfY~v-,·
Partindo do Teorema de Tchebichev:
rqtlx-;J.l (
I P( Ix - J11S;; ko) ~ 1 - k 2
\ \f/0'1 Como se trata da média amostral: "
i
Fazendo
E =
ko/Fn,
p(IX--j1IS;;E)~l-
temos:
o' -, n
E'
Que é uma das formulações
da lei dos grandes números (MEYER,
Nesse caso, a média amostral deve diferir da média populacional
-,lil S;; 0,1)
pclX-
o' ~ I - --I, nO,I, i
E como queremos estar 95% seguros, temos que: IJ'
1- -=095 nO, I' ' Como a variância 10 O,Oln
=095 '
1 - --
_1o_= 1-095 O,Oln
'
_Iº-= 0,0 I n
0.05 .
0,0005
n =
10 0,0005
n=---
11 =
20.000
10
é igual a 10:
1983, p. 287). por menos de O, I:
< '. ,
Dividindo
o resultado
por 1.000, chegaremos
ao valor de ~.' [, ,\
(ANPEC 2003, 11) O número de clientes - Y - que passa diariamente
pelo caixa de um supermercado foi observado durante certo período. Constatou-se que o valor médio de Y é de 20 clientes, com desvio padrão igual a 2. Encontre o limite mínimo para a probabilidade de que o número de clientes amanhã se situe entre 16 e 24. (Pista: Utilize o teorema de Tchebycheft). Multiplique o resultado por 100. Solução: Sabemos pelo teorema de Tchebichev que se conhecermos a média e o desvio padrão de uma variável aleatória, poderemos estabelecer um limite para a sua distribuição de probabilidade. O limite mínimo será dado por (SARTORIS, 2003, p. I15-116): I
k'
P(IX-~LI < ko ) ~ 1 -
Como o valor médio de Y é 20 e seu desvio padrão é 2, temos: 16 < Y < 24 20 - 4 < Y < 20 + 4 20 - 2x2 < Y < 20 ~l -
20 < Y < ~
+ 2x2
+ 20
Então, a probabilidade de Y estar entre 16 e 24 é igual a probabilidade desvios-padrão acima ou abaixo da média e, portanto: 1
P(lx-~1 < 20) ~ 1 - 2' Multiplicando
. '. =
o resultado
1 - 0,25
de Y estar 2
.
= 0,75
por 100, como pede o exercício,
chegaremos
ao resultado
de
§. (ANPEC 2002, 06) Indique Números, Desigualdade (V) ou falsas (F).
se as seguintes considerações sobre a Lei dos Grandes de Tchebycheff e teorema do Limite Central são verdadeiras
(O) De acordo com a desigualdade
de Tchebycheff, se a variância de uma variável aleatória X for muito próxima de zero, a maior parte da distribuição de X estará concentrada próxima de sua média.
Resposta: Suponhamos o caso extremo em que a variância de X seja igual a zero. Nesse caso, a probabilidade de X ser igual a sua média será de I, P(X = u) = 1.. Podemos demonstrar isso através da desigualdade de Tchebichev. Sabemos que os limites máximo e mínimo para a distribuição de probabilidade são dados, respectivamente, por:
P(IX-~ll ~ c)'s var~X) t-
P(IX-l-ll s c) ~ 1-
var(X)
c Se a variância for igual P(IX-pl~t)
=
\
, ..
à zero,
teremos que:
O
Ou seja,.41 probabilidade de IX-pl ser maior que um número E (que pode ser um número bem pequeno) é zero. E a probabilidade de IX-JlI ser menor que esse número é I. Dessa forma, se a variância for nula, toda a distribuição estará concentrada em único ponto, ou seja, na sua própria média. Portanto, quanto mais próxima de zero for a variância de uma variável aleatória, mais a sua distribuição estará concentrada próxima de suá média. IVERDADEIRAI
(I) O teorema do Limite Central afirma que, para uma amostra grande o suficiente, a distribuição de uma amostra aleatória de uma população Qui-quadrado se aproxima da Normal. Resposta: O teorema do Limite Central afirma que para uma distribuição da média amostral dessa população qualquer que seja a distribuição de probabilidade restringe apenas a populações que tenham distribuiçâo
amostra grande o suficiente, a distruibuída, será normalmente da população, ou seja, não se Qui-quadrado.
,
IFALSAI
(2) As condições
suficientes para identificar baseadas na Lei dos Grandes Números.
a consistência
de um estirnador
são
Resposta: As condições suficientes para que um estimador seja consistente sâo que seu viés (caso exista) e sua variância "desapareçam" à medida que o tamanho da amostra aumenta, ou seja, à medida que n cresce, o estirnador converge para o seu valor verdadeiro:
-~
E a lei dos grandes números nos diz que à medida que a amostra aumenta, a média amostra! converge para a média populacional. Aliás, uma das formulações da Lei dos Grandes Números é dada por: p(IX-JlIS;E)~I-
0"-,
I1E
E o limite da expressão
acima quando
17 -7 CI:
será:
'"
I"i~ p(lx -,uI::;E) =1 Portanto, as condições suficientes para identificar realmente baseadas na lei dos grandes números. [VERDADEIRAI" " .'
(3) Em n repetições ocorrência
independentesdeum
de A, então
P{If.A,-:-
experimento,
pl
. constante
do evento A e
E
a consistência
de um estimador
,se f A é a freqüência
PCl-/) nE
são
relativa
da
, em que P é a probabilidade
é qualquer número positivo.
Resposta: Sabemos
fA.
que fA é dada por:
n
= -'/ ,
n onde: ns; = número 11
de vezes que A' ocorre (sucesso)
= número total de experimentos.
Sabemos quenx é uma variável por nx P e variância nx Px (I-P). E(fA) =
u = E(~)=
~E(nA) = ~ n n
n
.'
Var(fA)=cr , Aplicando
2
=var
aleatória com distribuição Dessa forma, temos que:
(
n -' n
I )
a desigualdade
com média
dada
= P
XI1XP
I " = -, var(nA)= n:
binomial,
I' -, xnxPx(I-P)= n:
de Tchebichev
à variável
aleatória
P x (1- P) _"""":""---'11
fA, temos:
P(I-P)
1 1- PC -,P)
P(lfA-PI~E)::;
nf,'
É claro que o leitor não precisaria ter feito toda essa conta para concluir é falsa. Bastaria notar que o sinal de desigualdade está trocado.
que a afirmativa
IFALSAI
""',
(4) Se uma variável aleatória X tem distribuição 0,5,
então
Normal Resposta:
P{X::; a}
padrão,
::::!
( a-l0
)
Binomial
em que
com parâmetros
n
=
20 e P =
de distribuição
Sabemos que lima variável aleatória com distribuição binomial possui média igual a nP e variância igual a nP( I-P}. E sabemos, também, que a distribuição binomial pode ser aproximada pela distribuição normal. Padronizando a variável X para que possamos consultar a tabela, temos que: X - /I P(X S; a)= __ r a O que, no caso da distribuição binomial torna-se: p (X S; a) =
X - nP ~nP(lP)
Substituindo
os valores de n e p, temos:
P(XS;a)=
a-20xO,5 ~20 x 0,5 x (0,5) a-IO
J5
P(XS;a)=
tvERDADEIRAI
(AN PEC 2002, 15) Quantas vezes ter-se-á de jogar uma moeda eq LI il ibrada de forma a
se ter pelo menos 95% de certeza de que a freqüência a menos de 0,0 I da probabilidade intervalo
de confiança
Tchebycheff,
Divida
teórica
da probabilidade a resposta
relativa do resultado "cara" fique
Y2, ou seja, de maneira que a amplitude
do
teórica
de
seja 0,02?
por 1.000 e transcreva
(Utilize
a parte
o teorema
inteira
do número
encontrado). Solução: Pelo teorerna de Tchebichev,
temos que (veja questão ANPEC
2002,06,
item 3):
P[1f4 - p]« E] > 1- p(I-,p) n
Portanto, para
E =0,01
E-
queremos
encontrar
P[lf4 - 0,51< 0,0 I] > 1_ 0,5( I - ~,5) nO,OI'
Ass im: _
1 -~
""""
0,5(1-
nO,OI'
0,95
0,5(1-0,5) 09 1- ,5 nO,OI' ') O .-) = 0.05 O,OOOln 0,000005
..-,.....:..
0,5)
n
=
0.:25
n de modo que 1-
p( 1- p) , seja igual a 95%:
n
E'
n
= __0':.....2_5_
0,000005 25 xl 0-'
n=--5 x 10-<'
n
=
5 xl 04
n
=
50.000
Dividindo resu Itado de
o resultado
por
1.000,
como
pede
o exercício,
chegaremos
ao
[Q). -,
(ANPEC 2001, 13) Sabe-se que certa característica Qui-quadrado com 18 graus de liberdade. Tendo elementos
desta população,
estime a probabilidade
de uma população tem distribuição sido extraída uma amostra de 25 de que a média amostral
intervalo 15 S X S 21. Use a tabela da distribuição Normal em anexo. percentagem, aproximando para o inteiro superior mais próximo. Solução: Sabemos que a distribuição Qui-quadrado graus de liberdade. Portanto: E(X) = IJ.= n = 1 8 var(X) = cr2 = 211 = 36 Pelo Teorema distribuição
normal,
do limite com
Central
média
tem média n e
sabemos
,
~.
em
variância igual a 2n, onde n
que a média
IJ. e variância
X esteja no Resposta
Então,
amostral podemos
segue
=
uma
utilizar
a
11
distribuição normal para calcular a probabilidade podermos consultar a tabela, temos que: X-fi
Z]
z-
= --
=
15-18
= ---
(J"
6
Fn
5
_x_-_f.1
=
21-18
(J"
6
Fn
5
5
3x 6'
=3x
pedida.
Padronizando
os valores
para
= -2 5
2. = 2.5 6'
Dessa forma, a probabilidade probabilidade de z encontrar-se
da média amostralestar entre -2,5 e 2,5:
entre
15 e 21 é equivalente
a
.
,,-.'"'-
/'
P( 15 :; X :; 21)
=
P(2,5 :; z:; 2,5)
==
0,493790 + 0,493790
=
98,758%
(ANPEC 2001, 15) Seja uma variável aleatória X com média E(X) =
25. Qual
o limite de probabilidade
== b9%1
O e variância
G~
para que [X - E(X)] >1 O? Resposta
em
=
percentagem. ">
Solução: Da desigualdade
de Tchebichev
sabemos que:
I ? P(IX-~ll > E) < -. E(X-l-1t ~c:
Nesse caso,
E(X)
== 1-1 e E ==
. P[IX-E(X)I>
I 10] < 10'
P[IX-E(X)I>
10] < 0,01 x25
P[IX-E(X)I>
10] < 0,25
10. Dessa forma, a expressão
acima torna-se:
u;
Portanto, o limite de probabilidade
para que IX - E(X)I > 10 é de no máximo ~5%1·
Nota: para a resolução destaquestão assumimos que, no enunciado, o examinador queria dizer IX - É(X)I (isto é, módulo de X menos a esperança de X) .
.(ANPEC 2000, 12) Dados os seguintes (O)
enunciados.
é correto afirmar que:
A Lei Fraca dos Grandes Números diz que: dada lima variável aleatória com d istribu ição arbitrária e rnéd ia e variânc ia fi 11 iras. a rnéd ia amostra I obtida a partir de lima amostra aleatória de tamanho n terá distribuição Normal.
Resposta: O enunciado
acima diz respeito ao Teorema vál ido apenas para 11 suficientemente grande). a média amostra I converge em probabilidade tamanho da amostra aumenta, ou seja; diz consistente da média populaciona!.
do Limite
Central
(com a ressalva
que é
A Lei Fraca dos Grãndes números diz que para a média populacional à medida que o que a média
amostraJ
é um estimador
IFALSAI
(I) Se X I, X2, ... , X, são variáveis aleatórias independentes, com distribuição Poisson(8), 8> 0, então, para n "grande", é válida a seguinte aproximação:
me x - 8) / 8 -
N(O, I), em que
X
é a média amostra!.
Resposta: Sabemos que na distribuição de Poisson a média é igual à variância. Teorema do Limite Central, sabemos que para n "grande", a média amostral distribuição
normal com média 8 e variância
dada por ~ (e desvio padrão n
que a média siga uma distribuição normal dividir pelo desvio padrão. Portanto:
padronizada,
E, pelo segue a
1-).
E para
-../n
temos que subtrair
a média e
x-e .
.JB ~ N(O, 1).
J;; IFALSAI
(2)
Se X), X2,
... ,
X,
são
variáveis
aleatórias
2
independentes,
Normaltji.o '), u > 0, então, para qualquer tamanho
rn (X
- u) / o - Nonnal(O, 1), em que
X
com
distribuição
de n,
é a média amostra\.
Resposta: Se a distribuição é normal, então a sua média amostra I também será normalmente distribuída, independentemente do tamanho da amostra. E para que siga a normal padronizada, ou seja, com média zero e variância igual a l , temos que:
'---lx_----'-,uI_N
(O, I )
(J
.Jn IVERDADEIRAI
(ANPEC 1998, 11) Com relação a desigualdade do Limite, pode-se afirmar que:
de Tchebycheff
e ao Teorema
Central
(O) Se uma variável Var(X)
=
aleatória
O, então p{IX -
X tem média fl , E(X)=~l , e variância
fil se}
=
igual a zero,
I para todo e> O, ou seja, toda a probabilidade
na média E(X) = 11 .
estará concentrada
Resposta: Sabemos,
pela desigualdade
P(IX-~ll 5:E) ~ 1 -
de Tchebichev
que:
var(X)
,
f.-
Se var(X) = 0, temos que:
P(JX-1l1
SE)
=1
Ou seja, a probabilidade da diferença entre X e 11 ser menor que um número pequeno é de I. Dessa forma, toda a probabilidade está concentrada na média 11.
€
muito
.'
tyERDADElRAI
(1) Seja X uma variável evento complementar, p{IX
aleatória com média 11 e variância uma das formas da desigualdade
-,Lil >kcr} ~ 1- k\
,onde
Quando se considera o de Tchebycheff é igual a
(52.
k é um número real.
Resposta: Sabemos que a desigualdade de Tchebichev em Sartoris (2003, p. 115-1 16)):
pode ser escrita
como (veja demonstração
1
P(lX-~ll ~k(5)< k' Portanto,
o evento complementar 1 P(IX-1l1 < k(5)~ I -
será dado por:
e
IFALSAI
(2) Se a população tem distribuição Normal, então a distribuição também será Normal, independente do tamanho da amostra.
das médias amostrais
Resposta: Se a população for normalmente normalmente distribuída, qualquer IVERDADEIRAI
distribuída, então sua média amostra! que seja o tamanho da amostra.
também
será
(3) Se X tem distribuição desconhecida com média 500 e variância 2.500, para uma amostra aleatória de tamanho 100 podemos afirmar que a .média da amostra tem distribuição aproximadamente normalcom média 500 e variância 25.
Resposta: grandes,
Pelo Teorema do Limite Central sabemos que para amostras suficientemente a média arnostral segue uma distribuição normal com média IJ. e variância
()2/11,
Portanto,
distribuição
que a média
normal com média dada por:
E(X) e variância
nesse caso, temos
= 500
dada por:
var(X)
2.500
= --=
100 IVERDADEIRAI
25.
amostral
terá aproximadamente
uma
2004, 8) Com respeito à inferência e estimação
(ANPEC
de parârnetros populacionais,
é
correto afirmar: (O) Suponha f(x)
que
a variável X tenha distribuição > O. As estatísticas X e minimoi Xç.Xç,
= ~e-Jlx,x
exponencial com densidade ,X,,] são estimadores não-
viciados de l/~, mas a segunda é preferível à primeira por apresentar menor variância. Resposta:
Para "matar" esta questão, bastaria lembrar que apenas a média amostral é um estimador não viesado de l/~, que é a média da distribuição exponencial. Evidentemente, o mínimo da amostra será viesado, pois sempre estará jogando a média para baixo e, desta forma, a afirmação é falsa desde o princípio. Mas, vejamos isso mais formalmente.
o parâmetro
i
é a média da distribuição
e~ponencial, já que:
.-
+-,
'"
E(x)
= Jxf(x)d\: o cc
E(x)
=
Jx,&-flrd,,; o '"
E(x)
=
fJ Jxefl'dt o
--
--
Utilizando o método de integração
[
_ xe -flx
E(x)
= fJ
_
E(x)
=
E(x)
= -
I
j3 [
_ e -fl'
- J--dc j3
j3
xe-flx
fJ
e-flr
- fJ2
por partes (façaf(x)= ~
] o
]"0 o
I
fJ
Lembre-se
que:
Jf(x)g'(x)dx
=
f(x)gCr)
- fg(x)f'(x)dx
x e g'(x) =e" )', obtemos:
E, como sabemos, a média amostral é um estirnador não-tendencioso populacional, já que a média da média amostral é a própria média populacional:
E(X)
-
!X;]
f \
E
=
da média
_i.,_ 17.
I
E(X)
=
-E(X,
E(X)
=
~[E(X,)
.
+X,
n
+oooXJ
+ E(X,) +
000
E(XJ]
11
- I(I I I)
E( X )
= -;; fJ + fJ +
o
o
o
fJ
- = -;;I( 1)
E( X )
-
n fJ
1
E(X)
=-
fJ E para calcularmos a variância da média amostral, precisamos saber qual é a variância dá distribuiçãd exporiencial. Para tanto, calculemos a média dos quadrados de x: ~
E(x2) = fx'f(x)di:
Novamente,
utilizando o método de integração por partes, temos:
Aplicando integração por partes novamente, ') E(x-)
\
= ,B
[
-x
e
'-fi·
,B
E(x') = fi [ - x~"
2
+-
fJ
(-fi.-xe fJ
+ ~ ( - ~.
-
r-e
-Ik
-fJ
-:;)1
obtemos:
)]'"
dt
o
Dessa forma, a variância var(x) = E(x2) var(x) ~ ;,
de x será:
[E(x)f
-
-( ~
J
I
var(x) = fJ'
Então, temos que a variância da média amostral, X, será dada por: o:' Var(X) =n -,--
Vare X)
=
I
nfJ'
Vejamos agora o que acontece com a estatística minimot XI' X2
, ...•.•••
,X,,):
Como já foi dito, o mínimo da amostra não poderá ser um estimador não tendencioso da média populacional, já que ele estará sempre "jogando" a média para baixo. Portanto mínimo( XI' X 2 , •..••••• , XI)) é uma estatística viesada da média populacional. Mas vejamos isso mais formalmente. A distribuição amostra I da estatística m inimot Xi' X 2 , •....•.. , X" ) para uma população com d istri bu ição exponencial é dada por: ~-- ---
--
...---------------- ..__
; f( XmJl1Jmo .. ) = (nJ-') R\ e 1 \
-.f
'"
~_~
._--------.---;
-(np P'm;n"""
..--.._--,." ..,--",--.
i.
-,' ,
_
Como a média de x é dada por ~ e a variância é igual a ;, ' temos que a esperança ...
;..:....
' (V,.. de minimo A I'./{
.~. será, por ana I'ogia, - I e a vanancia -( I )' (flaça os ca' Icu Ios, I1fJ nfJ e confira!). Calculemos então o viés da estatística mínimo da amostra: V
,.A"
2'
)
",,"",
viés= E[mínimo(X,.X,
•
..
I
I
n{J
f3
vies = ---
"
_
X)]
I1
r
-I[
)
~
--.
--I
'. I-n vles =--
n/3 Portanto, o viés da estatística minimoi XI> X2
, •••.....
,
Xn)
será negativo para todo n>
I, corno já tínhamos visto intuitivamente. E corno a variância do mínimo
menor que a variância da média amostral para todo n> 1. Dessa forma, apesar da estatística minimot XI> X variância
I
da amostra é dada por
2 , ••••••••
ela será realmente
(nfiY , ,
X n) ser viesada,
ela tem
menor que a média amostra!.
IFALSAI
.' (I) O va 1ar espera do da estatístrca
-I ~( 6.
Xi -
x-)2.. e igua I a (11-1) --
variância
-
I
da
11
_
I(xi -x)
popu lação.
Então,
2
(5 ,
em que
CT
2 é a
n
l1i=l·
um
estimador
não-tendencioso
de
2
será
CT
2
.
11-1 i=1
Resposta: .' Sa bemos que a estatística .
que seu
-1;'6 (Xi 11i=l
l.
. dor viesa do de e rea Imente um estima
:;;\2.
-
x)
valor esperado é dado por: n -1 (J", que é diferente de
6'.
, Ja ..
CT- ,
Um estimador
não
11
tendencioso
da
variância é --
1112
I (xi
- X)
.
11-1 i=l
Mas, em todo o caso, calculemos
I,
~ (xi - x)2 , ou n i=1 seja, do estimador da variância populacional (é claro que no dia da prova você não precisa fazer isso, desde que se lembre desse resultado!):
I
~
11
i='
E( (J'- ) = - E[ L../Y, ~?
-
o valor esperado da estatística
_, -~t]
Façamos um pequeno artifício: somar e subtrair a média populacional
(u):
Temos agora um "quadrado da soma" onde consideramos ~l e o segundo ~ -x :
o primeiro termo como sendo
Xj -
.~
I (Xi) 11
E como
=
n s , temos que:
i=1
Ou:
E, numa expressão elevada ao quadrado, o sinal no interior cios parênteses importa, portanto podemos inverter o sinal da segunda expressão sem problemas
E, como a esperança da soma é a soma das esperanças. temos que: .~
E sabemos que:
ECrj - ~l):2 = var(x) = u
e
não
,
--.
,)
,
2
= vare x) = ~
E( X _~t)2
n Dessa forma: I
, 2
E(() ) =
n
11
, E( ()-
J )
--.;.
(}2
?
- [no' - n-]
n - I? = --cr-
*- ()-
7
n
Portanto, dado por: s
~
= --
I
(j-.2 é um estimador
tendencioso
de
()2.
O estimador
não tendencioso
será
".
-2
17
L(Xi -x)
n-I
i=1
Já que:
I ~ ( x,-x-)' .] E[ --L n- 1 i·I
=
1 E.[~L(x -x) - I] --o n- 1 i
/.1
I = --(n-I) n- I
o:7
=
c7
=-;
IVERDADEIRAI
(2) Suponha que a variável aleatória x seja uniformemente distribuída no intervalo [O, 13], em que 13 é um parâmetro desconhecido. O estimador de máxima verossimilhança de 13
j3 =mínimo[x],
será
-r--c,
x2,····.···, xn ].
Resposta: Se a variável é uniformemente distribuída função densidade de probabilidade é dada por: f(x)
I
1
13-0
13
= --=-
no intervalo
[O, 13], sabemos que a sua
E (3, obviamente, é o valor máximo que x pode assumir. Sendo assim, o estimador de máxima verossimilhança de (3, ou seja, aquele que dá a maior chance da amostra
""'.
pertencer
de fato à uma população
máxirnojx,
x i,
"',
com distribuição
uniforme,
é, sem dúvida,
/3=
x,,].
IFALSAI
(3) Se dois intervalos
de confiança que estão sendo comparados apresentam o mesmo coeficiente de confiança, então se deve preferir aquele que apresenta a maior amplitude.
Resposta:
--_o"
..-...
Dados dois intervalos com o mesmo coeficiente de confiança, o mais preciso será aquele que apresentar menor amplitude (ou seja, que tiver menor margem de erro); dessa forma, este deverá ser preferível. -IFALSAI
(4)
Suponha
que
x tenha distribuição
N(jl;0-2)
em que
2
0-
seja desconhecido.
O
~._----- - ~ u, será .
intervalo (_ P \x-z
de
confiança
~
para
6
j;;~fI.~x+z
j;;}=2
a
média
da
população,
em que cD(z)é a funçã? de distribuição
Padrão. Resposta: Se a variância ed) é desconhecida, Student, e não a normal padrão: x-Ji
então devemos
utilizar
Normal
a distribuição
t de
t=-A-
o-
J;,
-0.-
....,
Note que na distribuição t de Student, tanto o numerador quanto o denominador são variáveis aleatórias, ao contrário do que acontece na distribuição normal. Portanto, o intervalo de confiança para a média populacional será dado por:
p( x - t }; em que
~
fi. ~
x + t .J;;) =
28(1) -] ,
eCt) é a função de distribuição t de Student.
Cabe notar, porém, que para amostras grandes (maiores que 30), não fará diferença se utilizarmos uma ou outra distribuição, já que, nesse caso, elas serão aproximadamente iguais.
(ANPEC
2003,
normalmente
02)
Sejam:
distribuídas
XI,' Xl,
com média
~t
..., Xn variáveis e variância
()1;
X
aleatórias
independentes
n
==
/1-1
IX
i
;
e Z
=
I~2 , em
;=1
que
1': ==o--I(X-,Li).
e
n
i=1
É correto afirmar que:
(O) X é um estimador tendencioso da média p.; Resposta: A média amostral (X) é um estimador não tendencioso da média populacional já que o valor esperado da média amostral é a própria média populacionaJ:
u,
n-'E(X, +X, + ...+XJ
E(X)=
Como a esperança da soma é a soma das esperanças, E(X)
==
E( X
)=
n-'[E(X,)
temos que:
+ E(X,) + ... + E(XJ]
n -, (,Li + ,Li + ... ,Li)
E(X)
== n-'nj.1
IE(X)
== ~
Cabe notar que nesse caso, como ás variáveis são normalmente ser não tendencioso,
X é um estimador 'eficiente
distribuídas,
além de
de ~.
IFALSAI
(I) Z é uma variável aleatória com distribuição
X 2 com n graus de liberdade;
Resposta: A variável Z é a soma de n variáveis normais padronizadas ao quadrado (já que Y é uma variável normal padronizada); portanto, segue uma distribuiçãoXl com n graus de liberdade. !VERDADEIRAI
(2)
S2 == /1-1
t
(Xi .,
xy
é um estimador tendencioso
da variância
()1;
i~1
Resposta:
o
i
estimador é realmente um estimador tendencioso da variância populacional, que para ser não tendencioso teríamos que dividir a Soma das variáveis centradas quadrado por n-l e não por n (veja questão ANPEC 2004, 8, item I).
já ao
IVERDADEl RAI
(3) n}{ é lima variável Resposta:
aleatória
normalmente
distribuída
com média nu e variância '
a};
r
A méd ia de l1Lf será dada por: E(nX)
==
l1E(X)
==
11J.1
->-....
Mas a variância vare
-
será dada por:
,
J
nJ( )
= n: vare
-
J (5.
= n: -
X)
'J
== ncs:
n IFALSAI
(4) a variável
aleatória
W I
= ~~Z
possui distribuição
F com
,nl
e n. graus de liberdade,
em
n que n, = I e n: = 2n. Resposta: Note que a variável Wi é o quociente entre uma variável normal padronizada (Yi) e uma variável que é a raiz quadrada da soma de n variáveis normais padronizadas ao 2 quadrado (ou seja, uma variável X ) dividida por n. Portanto, Wi possui distribuição t de Student com n graus de liberdade. O quociente entre duas variáveis aleatórias X2 distribuídas independentemente e divididas por seus respectivos graus de liberdade, é que segue uma distribuição F: F= -._~
X:/k_F X,;, / n
"n
Cabe notar que, o quadrado de uma variável aleatória t de Student liberdade terá lima distribuição F com I é n graus de liberdade: 1,~-FI.n
Portanto,
w,'
seguirá a distribuição
com n graus de
1 '.
F com I e 11 graus de liberdade.
IFALSAI
~ :
···l -.,
(ANPEC 2002, 04) Seja X uma variável aleatória com distribuição de probabilidade que dependa do parâmetro desconhecido 8, tal que E(X) = 8. Seja também XI, Xl, ... , xn uma amostra aleatória de X. (O) Para amostras suficientemente grandes, o estirnador de máxima verossimilhança de 8, caso exista, segue uma distribuição Normal. Resposta: As estimativas por máxima verossimilhança possuem as seguintespropriedades: são consistentes; são assintoticamente eficientes; possuem' distribuição assintótica normal, com média 8 e variância dada por I
r
nE[aln~~X;tJ)J apresentam
'
a propriedade
.\
de invariância, ou seja, se
ê
é um estimador de 8 e g(8) uma
função qualquer de 8, então g( )será o estimador de g(8); podem ser viesadas. Portanto, para amostras suficientemente grandes, o verossimilhança de 8 seguirá realmente a distribuição normal.
, -0"-
õ
estimador
de
máxima
IVERDADEIRAI \
C I) Se
ê = I c,x,
é um estirnador de
e, este
não será viciado desde que
I e, = 1 , Além do
i-I
mais,
e terá
variância mínima see;=Jln
Resposta: O estimador será não viesado parâmetro, ou seja:
para todo i.
se seu valor acertar,
ECê) = ECIe,x, ) = 8 1=1
Calculemos então o valor esperado de
:te,x
ECê)
=
E(
ECê)
=
[E(clxI)
i
)
+ E(C2X]) + ...
E( tJ ) = c ,8 + C28 + E(tJ)=(C,+C2+
Se
Ie, 1",\
+ cn8 +cn)8
==1,teremos que:
*
õ •
E(cnXn)]
na média,
o valor verdadeiro
do
-\
Nesse caso então, o estimador será realmente não-viesado. Vejamos em que condições calculemos a variância de
o estimador
terá variância
mínima.
Para isso, primeiro
õ.
varCê)
=
var(~.>,xi
)
= var(c,x, + C]X2 + ... +c".:'C,,) var(B) = var(c,x,) + var(c2x2) + var(c".\',,) var(ê)
varCê)
=
c,' var(x,) + C:var(x2) +
vare ê)
=
c,' cr + c: cr + .:.
vare ê)
=
« +
vare ê)
= ( nc'
Portanto,
2
2
c.: var(xn)
< cr
2
c: + ... + c,: )cr
2
)a2
para que B tenha variância
mínima,
devemos
minimizar
vare B), sujeito
a
!>, (= nCi) seja igual a I:
restrição que
;=1
minimizar
(nc/ )cr2
s.a. nc, -I
=
O
o Lagrangiano L
=
t nc' )cr" -
será dada por: À.
(nc, -1)
As condições de I ordem serão então:
Utilizando a primeira das expressões acima, teremos: (ncí-1)=O
nc.= I C, == -
n
Portanto. B terá variância I
n \VERDADEIRAI
mínima entre os estimadores lineares não viesados quando c,
=
"
(2) Se 8
=-
I n
'2
I x, é um estimador não viciado de 8, então 8 também será um estimador
n i=1
não viciado de 82. Resposta: Já sabemos que 8 (estimador média populacional, 8. Vejamos se Sabemos que: . ,
,
var(8)
= E(8
,
1 )
da média amostral) é um estimador
ê
1
não viesado da
também será um estimador não viesado de 82•
?
[E(8)r'
-
Ou seja, a variância é dada pela média dos quadrados Rearranjando a expressão acima, temos que:
menos o quadrado da média.
E(ê~r= var(ê) + [E(ê)f .,
(5-
E(8')=
,
,
+8~'f'-8-·
11
Dessa forma, apesar viesado de 82 (note, porém, Cabe notar que, em obter uma estimativa para
ê
de que é geral, uma
ê
ser um estimador não viesado de 8, 1 é um estimador assintoticamente não tendencioso). se tivermos um estimador não tendencioso e desejarmos função g(.) qualquer desse estirnador, se empregarmos
g( B), este poderá ser um estimador viesado de g(8). Uma exceção OCOITequando g (.) for uma função linear de 8 (veja Questão ANPEC 1999,06, item 1). IFALSAI
(3) Se a variável aleatória X é uniformemente
. Bentão ,
= --11+1
tximo]: XI, máximo
X2,
... , X"
J' não
. dor consistente . e um estima
de 8 .
11
Resposta: Como a distribuição
é uniforme,
" a Ieatona
Portanto,
X po d'e assumir.
a, já
consistente
de
convergirá
para o parâmetro populacional
IFALSAI
no intervalo [0,8], com 8 > O,
distribuída
sabemos que
B-
e
é o valor máximo que a variável
,. [ = --n + 1 maxtmo
XI,
X2,
n
que à medida que a amostra aumenta, 8 ..
n+l -n
... ,
x; J e' um es tiima d or
. d or ten derá era a 1 e o estima
-
(4) Se
êl
e
ê2
são dois estimadores
do parâmetro
...... mas Var (e2 Var (81)' então o estimador
8 em que E
(ê = el )
l
..•
r<
.•
82 deve ser preferível
e E
(ê
)
2
-:t-
e]
a el.
Resposta: Quando comparamos dois estimadores não-viesados, devemos sim preferir aquele que tiver menor variância. Porém, quando comparamos dois estimadores quaisquer, como é o caso Uá que 82 é um estimador viesado de 8), devemos menor erro quadrático médio, que é dado por: ~
EQM Portanto, nenhuma
=
var(8
)
i
A
+ [viés(eJ]-
aquele
que apresentar
?
nesse caso, não dá para saber qual estimador
informação
preferir
sobre o valor do viés de
é preferível,
já que não temos
ê2.
IFALSAI
(ANPEC 2001, 03) Uma amostra elementos. Pode-se afirmar que:
de tamanho
n foi selecionada
(O) A média amostral ./Y é um estimador não tendencioso populacional ";L se todos elementos de m tiverem
de uma população
e eficiente da média a mesma probabilidade
de. m
de serem
selecionados. Resposta: A média arnostral é um estimador não tendencioso da média populacional, qualquer que seja a distribuição de probabilidade da população. Porém, para sabermos se é um estirnador eficiente (isto é, o de menor variância entre qualquer estimador não viesado), precisamos saber qual é a distribuição da população, o que não foi dito no enunciado. Se, por exemplo, a população for normalmente distribuída, sabemos que a média arnostral será um estirnador eficiente da média populacional. IFALSAI
(I) A variância
da distribuição
amostral
amostragern for com reposição. Resposta: Sabemos pelo Teorerna distribuição normal com média utilizado reposição
para a variância (veja o próximo
IVERDADEIRAI
apenas item).
deX
é
0"%
se a população
for infinita
ou se a
do
Limite Central que a média amostra I segue uma f.l e variância dada por 0",/11. O fator de correção é se a população
for finira e a amostragern
for feira sem
2
(2) Se a população
for finita, a variância
da distribuição
amostral
de X
ú
é -(1--) n
1 11
. porque as observações da amostra são independentes. Resposta: Evidentemente, se a população é finita, o tamanho da população (N) deveria importar, o que não acontece na fórmula apresentada no enunciado. O fator de correção é N-n. e a vanancia '''' da me'd'ta amostra I da do por --N-n e, portanto, var (X-) == -a? x --, N-I n N-I quando a população é finita e a amostragem é feita sem reposição, já que nesse caso à medida que forem sendo retirados elementos dessa amostra, a variância dos que restarem será diferente. Se a população for infinita ou se for finita e a amostragem for feita com reposição, esse "problema" não ocorrerá,
-....::......
IFALSAI
(3) Se X for uma variável aleatória Jl e variância
,úln _
qualquer, a distribuição
de
X
será normal com média
1'
Resposta: Pelo Teorema do Limite Central, sabemos que a distribuição será normal, com média J.l e variância
dada por
da média amostral,
qualquer que seja a distribuição n população, desde que a amostra seja aleatória e suficientemente grande, ú' ,
X, da
IFALSAI .::-.:.: ....
(4) Se lim
E(X)
==O, então
X
é um estimador assintoticamente
não tendencioso.
Il-}CfJ
Resposta: Um estimador é assintoticamente
não tendencioso,
amostra aumenta o viés vai desaparecendo,
ou seja:
quando à medida que o tamanho da
1}E:,l E (X) ==J.l.
IFALSAI
(ANPEC Norrnaltü.ê)
2000, e seja
04) Seja Xi, X2 T==I/n
,
.. "
X, uma amostra
!X/ ' É correto
(O) T é o estimador de máxima verossimilhança Resposta:
aleatória
da densidade
afirmar que:
(EMV) de
e. ,.
~,
o
estimador de máxima verossimiihança dado por (veja Sartoris, 2003, p. 184): T
=
da variância
de uma distribuição
normal é
-pr
!(X, ...:c;=,,-' ----
n Como nesse caso, a média é igual a zero, temos que:
fx'
T
~ ' = .:.....:...'-n
IVERDADEIRAI
(1) T é um estimador tendencioso
-~
.--.,
Sabemos que o estirnador de máxima verossimilhança da variância de uma distribuição norma! é viesado. Porém, nesse caso, a média já é conhecida (isto é, temos x, - /1 e não x, - x) e o estimador T é, portanto, não tendencioso:
IX'] [
E(T)
=
E(T)
= ~
E ~
n
E(!X/) ;=,
E (X,' +Xi + ... + .XJ n Note que E( ./'(') é a própria variância populacional, E(T)
--,
= ~
8 = E(X -
).lf =
E(X~)
Portanto, temos que: I E(T) = - E(8 + 8 + ... 8) n I E(T) = -n8 11
IE(T)
= 81
IFf\LSAI
(
de 8.
e, já
que:
\
/1
(2) A variável aleatória Z =
IX
2 i
/
f)
tem distribuição
qui-quadrado
com n graus de
i=1
liberdade. Resposta: Sabemos
que a distribuição
padronizadas
que Z
ao quadrado:
!(X,)" .
=
,-, dp
Qui-quadrado Z
=
é a soma de n variáveis
:t(x.:.:.. jJ)' ~ ,,' dp
E como o quadrado
Z tem distribuição
Qui-Quadrado
Como nesse casO,.1l = 0, temos
do desvio-padrão n
que nesse caso, é igual a 8, temos que: Z
=~
normais
e. X'
é igual à variância,
Portanto, a variável aleatória
com n graus de liberdade.
!VERDADElRAI
(3) E (X,l X;)
=
82.
Resposta: Note que a expressão acima é a esperança do produto entre uma variável ao quadrado e uma variável ao cubo: Portanto, o valdr da esperança não poderá ser um quadrado de 8, que • ',.., ! e a vanancra. IFALSAI (4) T é um estimador eficiente de 8. Resposta: Para que T seja um estimador eficiente, ele deve ter a menor variância que qualquer outro estimador não viesado.Se a média fosse desconhecida, um estimador não viesado para a variância teria que Ter n - 1 no denominador (e não n), embora este último tenha variância menor. Mas, como nesse caso, T é não viesado, e de fato, tem a menor variância, é um estimador eficiente de 8. IVERDADEIRAI
(ANPEC 2000, 07) Seja Y uma variável aleatória contínua com distribuição de probabilidade f(y;8), em que 8 = (81,82 , ..• ,8p). Considere uma amostra aleatória de Y, com tamanho n. Com relação à função de verossimilhança L(8), é correto afirmar que: /I
(O) 1(8)= In L(8)
=
I log f(Yi; ;=1
B) , em que In é o logaritmo natural. .
-~
Resposta: A função de verossimilhança L(8;Yj) = j(y,;8)x j(y.?;8) x Tomando
o logaritmo
é uma função dos parâmetros j(yn;8)
natural da função de verossimilhança,
1(8;Yi) = InL(8) = InfiYi;8)
e é dada por:
.. , x
temos:
+ Infly2;8) + ... lry(yn;8) = !lnf(Yi;B)
IVERDADEIRAI
(I) A função de verossimilhança é também uma função de densidade de probabilidade, que possui, assim, todas as propriedades matemáticas associadas à uma função de densidade de probabilidade.
Resposta: A função
portanto, ~
de verossimilhança não possui as propriedades
fL(B;x)dB;t:
não é uma função densidade de probabilidade e, matemáticas associadas à uma f.d.p.; por exemplo,
~ I (quem é igual a I é fL(B;x)di:).
IFALSAI
(2) Uma condição necessana satisfazer é que a matriz máximo,
seja negativa
a que os estimadores {a2/(B)/aB aB i,j j
}
j
de máxima verossimilhança devem = 1,2, ... , p, avaliada no ponto de
definida.
Resposta:
.~
'.~
A estimação por máxima verossimilhança consiste em achar os valores dos parâmetros que maximizem a função de verossimilhança, o que é análogo a encontrar o máximo da função do logaritmo da verossimilhança, ou seja, consiste em encontrar o ponto de máximo de 1(8). E sabemos que a condição necessária para um ponto de máximo é que a derivada primeira da função nesse ponto seja nula e a condição SUFICIENTE é que a derivada segunda seja negativa. E, como [a21(B)/aB aBj] nada mais é que a matriz com j
as derivadas segundas de 1(8), temos que todos os seus valores devem ser negativos para que a condição suficiente seja satisfeita. E temos que LIma matriz simétrica é definida negativa quando todas as suas raizes características são negativas. E para que uma matriz seja negativa definida, todos os seus elementos devem ser negativos. Portanto, temos que a condição SUFICIENTE que os estimadores de máxima verossimilhança devem satisfazer é que a matriz com as derivadas segundas de 1(8) seja negativa definida. IFALSAI
(3) Sendo Til o estimador de máxima verossimilhança que T, apresenta a seguinte propriedade:
do parâmetro
v
escalar
81,
segue-se
c > o.
Resposta: Essa é a propriedade de consistência, já que a expressão acima nada mais significa que, à medida que o tamanho da amostra cresce, o valor estimado convergirá para o valor verdadeiro. E como sabemos, os estimadores de máxima verossimilhança são consistentes (confira as propriedades dos estirnadores de máxima verossimilhança na questão ANPEC 2002, 4, item O) .' . !VERDADEIRAI
~= g(81),
(4) Sendo máxima
em que g(.) é uma
verossimilhança
de 81,
função
segue-se
um a um de 81, e
que o estimador
T, é o estimador
de máxima
de
verossimilhança
de ~ será G, = g(TIl )[d~/d8d ·;em que a derivada é avaliada em 81= Tn• Resposta: Como sabemos, os estirnadores de' máxima verossimilhança apresentam propriedade de invariância (veja questão ANPEC 2002, 4, item O). Sendo assim, estimador
de máxima
verossimilhança
a o
de ~ será g(Tn).
IFALSAI
(ANPEC
2000,
Binomial,
em que Y é a variável _ Y+l
~ Y p=-
pe
j5 dois
estimadores
desta distribuição
do
parâmetro
e n o tamanho
p da
distribuição
da amostra:
p=-n+1
11
(O)
08) Sejam
P é O estimador
de máxima
do parâmetro
verossimilhança
p.
Resposta: A proporção
amostraI,
dada
por
p
==
Y , é o valor que dá a maior chance
de Y
11
pertencer à distribuição parâmetro p.
binomial
e, dessa forma, é o estimador
de máxima
verossimilhança
do
IVERDADElRAI
(I) Sob o critério estimador
do erro quadrado
sobre o outro.
Resposta: O erro quadrático
médio
é dado por:
médio,
para pequenas
amostras,
não há supremacia
de um
= var(ê)
EQM
Calculemos,
+ [viés(ê)f
então, o EQM dos estimadores
houver) e a variância destes estimadores.
p e p.
Para isso, primeiro calculamos
Para o estimador
p temos
o viés (se
que:
ECp) = E(~) E(j))
=
~E(Y)
n Como a média de uma variável que tem a distribuição
binomial é dada por nx p, temos que:
= ~ xnxp
E(p)
n
=
Var(j))
var(:) _I, var(Y)
Var(p);=
n-
E corrio a variância de uma variável que tem a distribuição ~ ,I
Var(p)
np(l-p)
= -, n-
Var(p)=
binomial é dada por np( l-p):
p(l-p)
n Como
p
é
estimador não viesado, seu erro quadrático
rI/TI
médio será igual à sua variância:
I
EQMCJ;)
=
p(l- p) 1'1
Agora, façamos o mesmo cálculo para o estimador E( p ) = E ( Y
+
n+1 -) E·( P
E(Y) + I = ---'--'-1'1+
E( P-)
I)
I
-- --TÓp np + I 11 + I
Portanto,
pé
um estimador
variânc ia é dada por:
Var(
p:
p ) = var(
I)
Y + n+I
viesado de p (confira
o cálculo do viés no item seguinte).
Sua
~.
Vare
p) = var[_I_(y
I)]
+
11+1
Pelas propriedades
Vare
p)
(_1_)'
=
quadrático médio de
EQM(p)
=
EQM(p)
=
EQM(
var(Y)
+1
/1
o erro
da variância, temos que:
p
será dado então por:
+ [viés(p)f
var(p)
np(l- ~) + (n+I)-
p ) = np(1 -
(1-n+1
p)'
p) + (I - P
Y
(11+ 1)2
(I-p)[np+(!-p)] (n+ Iy
EQM(p)=
Ternos então que:
EQM(p) EQM(p)
p(l-p)
(n+lr
x
(1-p)[np-(I-p)]
n
Para que fique mais claro, faça, por exemplo,
EQM(p) EQM(p)
= n' + 2n + 1 = 2
/1
Ou ainda, se p
EQM(p) EQM(p)
=
=
n
-
+ rt
11'
p(I1+1r n1p-n+n
p = 1:
+ 211 + 1> 1 11'
O:
O< 1
Sendo assim, há, sim, supremacia
IFALSAI
=
de um estimador sobre o outro para pequenas amostras.
.,
·---.,
p
(2) O viés do estimador
. I
Resposta: O viés de
p
é dado por
[(1 - p)/(l
+ n)].
será dado por:
viés(p)=E(p)-p
= --np + I - p
" (~) p
vles
n+1
'. (~) v res p
=
., (~)
v Ies
p=
np + I - (n + 1)P ~---'---~ n+l np+l-np-p -=---~---'~
11+1 I-p
viés(p)=
n+1 !VERDADEIRAI
(ANPEC
1999,
06) Com
base
na teoria
da
estimação,
fazer
pode-se
as
seguintes
afirmações:
(O) De acordo
com o critério
estimadores, estimador
a média da média
de eficiência, amostral
populacional,
X
medido
pela comparação
é preferível
supondo-se
a primeira
entre as
variâncias XI
observação
que u1 seja a variância
dos como
da população.
I
Resposta:
I
Chamando
o estimador
que
utiliza
arnostral de XI, e supondo que a média são estirnadores não viesados, já que:
E( .;\')
= ~i
E(XI)
= ~l
a primeira
populacional
observação
seja u, temos
para
estimar
que tanto
a média
X quanto XI
Já a variância: -
(J'
Var(X)
=-
n Var(X
d
=
(j'~
Portamo. pelo enterre de eficiência relativa, temos que a média amostra I é preferível à primeira observação. já que sua variância será menor que a variância de X I para todo n > I.
IVERDADEIRAI
\ .~.
ê
(I) Seja
de B. Se g( ê) é uma função do parâmetro
um estimador não-viciado
E[g( e)]:;t linear. Resposta:
g[E( e)] $-Q1!I a igualdade ocorrendo
somente quando g( f)) for uma função
(\J ) ,''-',.
Na questão ANPEC 2002, 04, item (2), Mostraremos
f), então
agora, que E[g(ê)]
mostramos
= g[ECê)] quando
que, em geral, E[g( ê)]:;t
g[E( ê)].
g(B) for uma função linear.
Considere a seguinte função linear de 8: g(8) = a + bê. Calculemos
E[g(ê)]
=
E[g(ê)]: E (a
+ bê)
+ b E(ê) E[g(e)] = a + b8 E[g(ê)]
=
a
E agora g[E( f))]:
g[E(e)]
=
g(t1)
.!
=
;,
a + b8 A
A
Portanto, se g(.) for uma função linear de 8, E[g( e)]
= g[E( B)].
IVERDADEIRAI
.
I
(2) A função densidade de probabilidade O s: x
da variável aleatória x é dada por f(x)
.
s: a e O para outros valores. Assim sendo, considerando-se
de tamanho
11, XpX2'X3'"
igual ao Mínimo de
XpX2'X3'"
"Xn'
o estimador
= -a para
uma amostra aleatória
de Máxima Verossimilhança
de a será
',x",
Resposta: Se a f.d.p. de x
i dada
por f(x)
= ~, sabemos que
x é uniformemente
a que x pode assumir. Portanto,
distribuída
e
°
que o parâmetro a é o valor máximo estimador de máxima verossimilhança para a, ou seja, aquele que dá a maior chance dessa amostra pertencer de fato a uma população cuja f.d.p é dada por f(x) , é, sem dúvida, igual ao máximo de XI, X2,X],
....
IFALSAI
, X/1.
-
"
11
~)Xi-XY (3) Dado que as variâncias das estatísticas
S,'
L(X,-X)2
= ....:., ...:..'----
e S2 =
I~'são,
n
n-]
"
ICx
.
..
respectivamente,
20"4
Iguais a --
n-j
20"4
e --(--)n-l
n-
S2
j ,
= ...:..j~-,-l
-
j
, então
X)1 _
é mais
n
n
11
ICx; 2
preciso do que SI
=
í~1
_i)2
n _ '1
embora seja uma estatística viciada.
Resposta: Como é evidente, esta questão foi anulada pelo fato de aparecerem as mesmas estatísticas na comparação entre elas. Se a segunda parte do enunciado fosse: "C ... ) então 51 é mais preciso que S,' , embora seja uma estatística viciada", a afirmativa seria verdadeira. Vejamos: Sabemos
que
Si
é uma estatística
viesada da variância
(veja questão 08/2004, item l).Calculemos, ? _CJ
'
populacional,
enquanto
S I não é
então, as suas variâncias.
4
= --
var (S ,.)
n-j
, Za ' (n -I)'
vart S") = --
X
--
n
n-j
Como vareS,') ~
< vareS"), S,' é mais precisa, embora seja viesada.
!ANULADAI
ê
(ANPEC 1998, 06) Seja
(O)
o
o estimador do parâmetro
erro quadrático médio é igual a variância não-tendencioso de
e.
e:
do estimador
e
se
e
for um estimador
Resposta: O erro quadrático EQM Se
=
ê
varCê)
médio (EQM) é dado por:
+ [viés(ê)f
é um estimador
portanto. EQM IVERDADEIRAI
= var( ê).
não-tendencioso
de
e,
seu viés obviamente
será igual a zero e.
(I) Um estirnador
~ é dito eficiente se ~ for não-tendencioso
B, é outro qualquer estimador não-tendencioso
e Vare ~) .::;Var (~ ), onde
-_o ....,
de B.
Resposta: Um estirnador é de fato dito eficiente quando for não tendencioso variância que qualquer outro estimador não tendencioso.
e tiver a menor
IVERDADEIRAI
(2) Seja X uma variável aleatória normalmente distribuída com média f.1 e variância d. Sejam XI' e X2 duas observações de uma amostra aleatória de tamanho 2. Podemos ~ 3x, +2x2 afirmar que fl = 5 . é um e~oso de u.
.- .. ..-....,
Resposta: Um estimador é não tendencioso quando seu valor médio é igual a seu valor verdadeiro, seja, E(,u) = 1-1.. Vejamos se isso é válido para o estirnador jí.:'
_
E( fl )
3 =-
2
f.1 + - /-l
5 IE( fl)
=
ou
5
,l1
Portanto, jí. é um estimador não-tendencioso IVERDADEIRAI
(3) Se B é consistente,
de
---" ---------
u.
, -
então é não tendencioso.
Resposta: Um estimador é dito consistente aumenta, viés (se existir) e a variância
°
quando, à medida que o tamanho da amostra vão "desaparecendo", de forma que valor do
°
estimador converge para o valor verdadeiro. Portanto, para que B seja consistente, necessariamente precisa ser não tendencioso, mas precisa ser assintoticamente tendencioso. IFALSAI
não não
(ANPEC 1998, afirmações:
(O) Se B
07) Com
é um parâmetro
estimador
consistente
equivalente
base
na teoria
populacional de B se lim
e
ê
da estimação,
pode-se
seu estimador,
a afirmação
p{lê - ai SE}
de que se lim E(ê)
a afirmação
então B será um estimador
consistente
de
= 1 para todo
= ae
limVar(a)
fazer
E>
o
=
O
as seguintes
de que quando
ê
é um
11 ~
quando
00,
é
n ~ co,
e.
Resposta: Um ·estimador aumenta, ~~n}var(ê)
é dito consistente
o viés (se existir)
= O,
de forma
quando,
e a variância
que o valor
à medida
vão "desaparecendo",
do estimador
converge
que o tamanho ou seja,
da amostra
l..i!!:E(B)
(em probabilidade)
=
B e
para o
valor verdadeiro, isto é, o limite da probabilidade da diferença entre o valor estimado e o valor verdadeiro, em módulo, ser menor ou igual a um número E muito pequeno, quando 11 ~ CO, é igual a l :
"r-.
Dessa forma, as afirmações
são realmente
equivalentes.
jVERDADEIRAI
(I)
Se x é uma variável aleatória com E(X) = I-l e variância iJ1, então a média arnostral, será um estimador consistente da média populacional u.
X,
Resposta: Sabemos que Um estimador consistente é aquele que converge para o valor verdadeiro do parâmetro à medida que o tamanho da amostra aumenta, ou seja, seu viés (caso seja um estimador viesado) e sua variância 'vão desaparecendo. Sabemos que a média amostra I é um estimador não viesado da média populacional. Vejamos então o que acontece com a variância à medida que o tamanho da amostra aumenta: lim,,~, varC·?) POlianto,
=
a média amostra!
jVERDADEIRAI
.... ,.-....".
lim,,_o<~ n
=
O
é um estimador
consistente
da média populaciona!.
-\
-) "\ ---)
" I(x; (2) A estatística,
S2
""
-:f)2
== ;=1
--o) ,
n
baseada em uma amostra aleatória x I' X 2
.x 3 , .... .x
-""\ 11
é um estimador não tendencioso da variância populacional.
Resposta:
-, o
estirnador não tendencioso
da variância
é dado por ...;.'-'-."---n-I
(veja questãoANPEC
2004,08, item 1).
IFALSAI n
L(X;-5:)2
(3) A estatística, S2
==
;=1
,
n
baseada em uma amostra aleatória x i' x 2
.x 3 , ..•. .x ,
é um estimador inconsistente da variância populacional.
Resposta: Vimos "
LCx,
-ir
-,--,----
o
11-1
que o estimador
não viesado
Mas, apesar de ser viesado,
da variância
S2 é um estimador
populacional consistente
é dado
por
da variância
-
populacional, já que à medida que o tamanho da amostra aumenta, nãJ faz diferença dividir por t7\)U por n -1. IFALSAI
g. (ANPEC 2005, 4) Duas fábricas, A e B, produzem determinado tipo de lâmpada. Um comprador dessas lâmpadas decide verificar a origem de seu estoque. Para isso, seleciona uma amostra aleatória de 100 unidades (de seu estoque) e verifica a duração de cada uma delas. Se a duração média for maior do que 170 horas, conclui que a lâmpada foi fabricada pela empresa B; caso contrário, que a lâmpada veio da empresa A. Os dois fabricantes asseguram que a duração de suas lâmpadas segue distribuição normal:
a de A com média
169 horas e a da B com média ~B = 171 horas. As duas têm o mesmo desvio padrão c = 10 horas. Usando a tabela da normal
distribuições padrão, anexa, julgue
~lA =
as afirmativas:
(O) A probabilidade do erro Tipo I é 0,1587. Resposta: As h ipóteses desse teste são: Hi; fi = 169 HI: fi> 169
o
que é equivalente a: Hi: o estoque provém da empresa A HI: o estoque provém da empresa B A probabilidade nula quando ela A, quando na Assumindo que
de cometer o erro do tipo [ é a probabilidade de se rejeitar a hipótese é verdadeira, ou seja, rejeitar a hipótese que a lâmpada vem da empresa verdade ela vem. A hipótese nula será rejeitada quando x> 170. a hipótese nula é verdadeira, temos que: I
Ix - Jil_
----z a
.r:
/170 -1691 10
= 1
-lI 00 z=1 Dessa forma,
P(erro tipo I) = PU>
170) = P(z> 1) = 0,1587
-~
_"""
~.
IVERDADEIRAI
I
,
(1) A probabi lidade do erro Tipo 11é diferente de 0,1587. Resposta: --
A probabilidade de cometer o erro do tipo II é a probabilidade de se aceitar a hipótese nula quando ela é falsa, ou seja, aceitar que a lâmpada provém da empresa A quando na verdade vem da empresa B. A probabilidade disso ocorrer é dada pela região cinza da figura abaixo, já que se os valores amostrais estiverem nessa região, a hipótese nula, que é falsa, será aceita:
"'
I \
169 valor te stado
Calculemos
então a área da região cinza da figura acima:
'" '"
1170-17"
~
10
-r-,
,,/I 00
~ ~ Dessa forma, P( erro tipo 11) = P{ x < 170) = P(z< I) =0,1587 IFALSAI -r».
~ ~
(2) A regra de decisão,
ao nível de significância de 5%, será: se a duração média for maior que 170,64 horas, as lâmpadas foram fabricadas pela empresa B; do contrário, pela empresa A.
~
Resposta: COI11
..
~
5% de significância,
temos que:
~
Ix -}LI
--
=
(J
1.64 .
Fn
IX-1691 10 .)100
Ix - fll=
1,64
1,64
Como a hipótese alternativa é J.L> 170, temos:
x = 169 + 1,64 = 170,64 .~.
Dessa forma, a região de aceitação do teste será: R.A.
=
l- oo ,
170,64] -r-,
Então, se a duração média (x) for maior que 170,64, a hipótese nula deverá ser rejeitada, ou seja, conclui-se que as lâmpadas foram fabricadas pela empresa B.
'""
'"
~ ...
~\
~ "\ '""""'
\
/VERDADEIRA) (3) A probabilidade
do erro do Tipo 11, para o nível de significância
Com 5% de significância,
de 5%, é 0,70.
temos:
1X--1691 10
1,64
"\/100 A probabilidade seguir:
de se cometer o erro do tipo II é dada pela região cinza da figura a
/\
17ô,ó4
Calculemos
então a área da região cinza da figura acima:
1170,64 - 1711_ ~ 10 - 0,J6 --1100 P(erro tipo 11)
=
P(
x < 170,64)
=
P(z<0,36)
=
0,3594
171 valor verdadeiro
-c-,
(4) Para este teste de hipótese, a função poder do teste é crescente com a média 11, da distribuição sob a hipótese nula. Resposta: A potência (ou poder) de um teste é a probabilidade de rejeitar a hipótese nula quando realmente ela é falsa. Sendo assim, dado que de fato J-L não é fio, ou seja, J-L é maior que J-L{), o teste torna-se mais poderoso quanto mais distante o valor verdadeiro da média J-L for do valor hipotético j1{}. Portanto, quanto maior for a média verdadeira J1, maior será o poder do teste (pois será mais provável que rejeitemos a hipótese nula, que sabemos ser falsa). Nesse caso, a função potência do teste é crescente com a média J-L. Considere o gráfico a seguir onde a região hachurada corresponde ao nível de significância do teste e a região cinzenta, à probabilidade de cometer o erro do tipo 11,já que se os valores amostrais estiverem nessa região, a hipótese nula, que sabemos ser falsa, será aceita. À medida que J-L aumenta, a região cinza da figura aumenta e, conseqüentemente, o poder do teste -dimirn:li. Dessa forma, a função potência do teste é crescente com a méd ia J-L. n)' 'I. "\~IJY!i..lI'\IV\ .
J.f. valor verdadeiro
11' = 169
valor testado
IVERDADEIRA)
(ANPEC 2005, 06) Seja XpX2,X), LImapopulação normal com média (O) A probabilidade
J-L
.X; uma amostra aleatória de tamanho n de e variância
de a média populacional,
-
confiança [X -1,96
0'-
I'X -..jn
o-
2
0-
_
Julgue as afirmativas:
J-L,
estar contida no intervalo
+ 1,96 ,] é igual a 95%. -..jn
de
Resposta: -
(J"
[X -1,96
-
(J"
+ 1,96 ,]
"X
"n
é realmente
"n
média populacional
um intervalo
com 95% de confiança
u . Porém, isso NÃO significa que a probabilidade
conter a média da população
é de 95%. Uma vez construído,
para a
desse intervalo
esse intervalo
conterá
°
ou
não a média populacional f-l e, portanto, a probabilidade disso ocorrer é de ou I. O que podemos afirmar é que, se retirássemos infinitas amostras de mesmo tamanho dessa população, em 95% delas a média populacional estaria contida neste intervalo. -- ....----..
-----.....,
IFALSAI
(1) Se a variância será .
---
é desconhecida,
(J"~
[..'Y- te .}-;;,X
+ te
de forma que P(I t
fn]'
1
o intervalo
de confiança
em que s é o desvio
= 0,95,
e t segue
de 95% para a média f-l
padrão da amostra,
uma distribuição
( é calculado
de Student
com n -I
graus de liberdade. Resposta:
a
Sabemos que, se a variância é desconhecida e amostra é pequena, devemos utilizar a distribuição t de Student para construir um intervalo de confiança para a média. Dessa forma:
Ix - JlI = t S
c
'~
'---
E o intervalo
de confiança
para a média populacional
será então:
'~
Como queremos
'"
95% de confiança,
temos que P(itl
\'
",'
"
IVERDADEIRAI'
(2) Se construirmos vários intervalos de confiança para a média /-l. com amostras de idêntico tamanho, mesma variância CJ2 e mesma margem de confiança, estes terão extremos aleatórios, mas todos terão a mesma amplitude, Resposta:
o intervalo
de confiança para a média /-l. é dado por:
Se vários intervalos de confiança forem construídos para amostras de mesmo tamanho (11 constante), mesma variância (CJ2 constante) e mesma margem de confiança (z constante),
temos que a ;nargem de erro
(z Fn)
será a mesma para todos esses
intervalos, Portanto, eles terão sim a mesma amplitude; apenas os seus limites serão alterados (já que a média amostral X será diferente para cada amostra),
IVERDADEIRAI
"
,
(3) Num teste de hipótese: estimado hipótese
para a média de que Ji
=
Ha :,li
Ha :Ji = Jio contra Ji não contiver
* Jia - se
o valor
o intervalo
de confiança
então deve-se
de Jia,
aceitar
a
J.Lo'
Resposta: Se o intervalo de confiança para a média não contiver o valor que está sendo testado, então a hipótese nula deverá ser rejeitada. Note que o intervalo de confiança construído corresponde à região de aceitação do teste (área mais escura da figura abaixo). Assim,
se J.1a não estiver neste intervalo, a hipótese nula deverá ser rejeitada .
-.
-....--...
",r--..
IFALSAI
(4) Se a amostra normal,
aleatória
XI'X2,X),
não se pode construir
a amostra
,X"
um intervalo
não
provém
de confiança
de
lima
para a média
distribuição
u, ainda que
seja muito grande ..
Resposta: Pelo Teorema
do Limite Central,
normal
média
Portanto,
com
mesmo
Ji que
sabemos
e variância as
variáveis
que a média amostra I segue uma distribuição
(52/n
para
XI'X2'X3'
amostras ••.••.••
distribuídas, a sua média amostral seguirá a distribuição grande e poderemos construir um intervalo de confiança IFALSAI
,Xn
suficientemente não
sejam
grandes.
normalmente
normal, para n suficientemente para a média populacional.
, "\... ' "
(ANPEC 2004, 2) Sejam Xl, X2, "., Xn variáveis aleatórias independentes e 2 normalmente distribuídas com média 11 e variância a • Em relação ao teste de hipótese da média H O : ).1. ).1.0 contra H a :).1. <).1.0 ,são corretas as afirmativas:
=
(O) Se o p-valor do teste for menor que o nível de significância, a, a hipótese HO deve ser rejeitada.: Resposta: Suponha que o nível de significância escolhido (a) seja de 5%, como mostra o gráfico abaixo. A região mais escura corresponde à região de aceitação do teste eRA), isto é, à região em que não podemos rejeitar a hipótese nula, enquanto a região mais clara, à de rejeição (RR) ou região crítica, isto é, à região na qual a hipótese nula deve ser rejeitada.
~-/-',}RA
Dessa forma, se o p-valor do teste, que é o nível de significância mais baixo com o ual podemos rejeitar a hipótese nula, estiver na região de aceita ão não oderemos rejeitar a hlQotese nu a. as se o valor-p estiver na região de rejeição, a hipótese nula deverá ser rejeitada, Suponha, por exemplo, que encontremos um p-valor de 3% para esse teste, que corresponde à região hachurada do gráfico seguinte. Como o p-valor pertence à região de rejeição do teste, devemos rejeitar a hipótese nula.
a=
5% ~
2, =
valor-p = 3% ~
-1,645 Ze = -1,88
Mas, se encontrarmos um valor-p de 30% para esse teste, como mostra o gráfico a seguir, a hipótese nula não poderá ser rejeitada, já que estaremos na região de aceitação do teste.
a= 5% ~ z,=-1,645 valor-p = 30% ~.:c •. = -0,52
Portanto: Se valor-p
>
Se valor-p
S
fllJ não pode ser rejeitada. a -> Ho deve ser rejeitada.
CL ~
\.
~"
o que
é análogo a: Se o valor calculado da estatística < valor tabelado 0Ho não pode ser rejeitada Se o valor calcu lado da estatística> valor tabelado 0 Ho deve ser rejeitada
____
';
IVERDADEfRAI (I) Se a variância 0-2 for conhecida, a estatística do teste segue a distribuição t-Student. Caso contrário, a distribuição do teste será a Normal Padrão. Resposta: • Pelo contrário, a estatística t de Student é utilizada para o teste da média quando não conhecemos a variância, ou seja, quando esta também tiver que ser estimada. Quando a variância for conhecida, a estatística do teste seguirá a distribuição normal padrão: variância conhecida (distribuição normal padrão): z
._-
"
--.:
i - J1
=
o-
~ variância desconhecida (distribuição~deStude~t):
t
i -:: J.1
=
o-
Fn Note que t é o quociente entre duas variáveis aleatórias, ao contrário do que ocorre com z. Convém lembrar que. a distribuição t de Student aproxima-se da distribuição normal padrão à medida que o tamanho da amostra aumenta. Assim sendo, para I· amostras suficientemente grandes, podemos utilizar a distribuição normal padrão como aproximação da distribuição t de Student.
"'.
-r-.
IFALSAI ..
""'-
(2) Dados os parârnetros da população: Ji.o
= 50
e
2
0-
=
900, suponha que a média de
uma amostra aleatória de tamanho 36 retirada desta população seja X = 47. Neste caso, nível de significância do teste, a.,·será igual a 0,2743. Resposta: Aqui é preciso tomar bastarite cuidado para não confundir os conceitos de nível de significância e valor de probabilidade de significância (valor-p). O nível de significância é escolhido a priori pelo pesquisador. Dessa forma, se o 'enunciado da questão não nos forneceu o nível de significância, a, não é possível que saibamos o seu valor. Assim sendo, a afirmativa' é falsa. O que podemos fazer, é calcular o valor-p desse teste que, como veremos a seguir, é de fato 0,2743. Portanto; os mais desatentos poderiam facilmente errar essa questão. Para encontrarmos o valor-p deste teste, devemos primeiro obter o valor crítico (z) e então procurarmos na tabela da distribuição normal a probabilidade associada a esse valor. Como se trata da média, sabemos que:
°
..
-
"
z=
fn Portanto:
z = 147 - 501 30
3
z= 5 z = 0,6 Dessa forma, procuramos na tabela da distribuição normal o valor para z = 0,6, lembrando que o teste é unicaudal (como a hipótese alternativa é menor, devemos uti Iizar a cauda da esquerda): /
// \\ \
..
-.-,
<,
------
z = -0,6
E, dessa forma, temos que o valor-p do teste é de 0,2743. Porém, o nível de significância não é de nosso conhecimento, já que não foi dado no enunciado. Suponha que tivesse sido escolhido a = 0,05 = 5%. Nesse caso, não poderíamos rejeitar a hipótese nula, já que o valor-p seria maior que o nível de significância escolhido, como mostra o gráfico a seguir, onde a região hachurada corresponde ao valor-p, a região mais clara ao nível de significância escolhido e a mais escura, à região de aceitação do teste.
.'
\
~.
IFALSAI
(3)A função-potência média zz .
para este teste de hipótese será uma função decrescente
da
Resposta: A potência (ou poder) de um teste é a probabilidade de rejeitar a hipótese nula quando realmente ela é falsa. Sendo assim, dado que de fato u não é 141, ou seja, f.1 é menor que J..lo, o teste toma-se mais poderoso quanto mais distante o valor verdadeiro da média J..l for do valor hipotético J..lo. Portanto, quanto maior for a média verdadeira, menor será o poder do teste (pois será mais provável que aceitemos a hipótese nula, que sabemos ser falsa). Para que fique mais claro, considere a seguinte figura:
"
'
Sabemos que o valor verdadeiro é u. Mas o valor que está sendo testado é j.1/J, que é maior que u. O nível de significância do teste está representado pela região hachurada do gráfico acima. Porém, se os valores amostrais estiverem na área cinzenta, a hipótese nula, que sabemos ser falsa, será aceita. Dessa forma, essa região representa a probabilidade de cometermos o erro do tipo lI. Note que 'quanto maior for a média verdadeira, j.1, maior será a probabilidade de cometer o erro do tipo 11,já que maior será a probabilidade de aceitarmos a hipótese nula que J.1 = j.1(1 (desloque a distribuição com a verdadeira média para a direita e verifique). E como o poder do teste é a probabilidade de não cometer o erro do tipo 11, quanto maior for este último, menor será o poder do teste: Poder do teste = (1-j3) t fJ -} {.. poder do teste
Portanto, a função poder do teste será decrescente
com a média
~l.
!V ERDADEIRAI (4) Se a hipótese decrescente
alternativa
fosse
Ha: J.1 > J.1o, ainda assim a função-potência
seria
com a média I' .
Resposta: Como já vimos anteriormente, o poder do teste é a probabilidade de rejeitar a hipótese nula quando realmente ela é falsa. E, nessecaso, se Hi, é falsa, então u é maior que Jlo. E à medida que u se afasta de JI{}, ou seja, quanto maior for JI, maior será a probabi Iidade de rejeitarmos a h ipótese nula (que é falsa). Portanto, nesse caso, a função potência do teste é crescente com a médiA u . . Considere o gráfico abaixo onde, novamente, a região hachurada corresponde ao nível de significância do teste e a região cinzenta, à probabilidade de cometer o erro do tipo lI, já que se os valores amostrais estiverem nessa região, a hipótese nula, que sabemos ser falsa, será aceita. À medida que f.L aumenta, a região cinza da figura agora diminui e, conseqüentemente, o poder do teste aumenta. Dessa forma, a função potência do teste é, nesse caso, crescente com a média J.1.
-, -r-,
'.
--.
".-----
" -----.,'
"""""
.---
-;
IFALSAI _.
_" (ANPEC 2004, 6) SejaXuma variável aleatória normalmente distribuída com média ~l e variância conhecida 02 = I, da qual se obtém a~amostra aleatória XI, X2, ... , X, (com n observações). É correto afirmar que: ' / (O) A média amostra I é uma variável aleatória normalmente distribuída com média ~ e
variância 1In. Resposta: Como a população é normalmente
distribuída, a média amostral seguirá uma
distribuição normal com média ~ e variância dada por ~, n d a amos t ra, E como
2
0 =
I
, temos
qualquer que seja o tamanho
que a var iancta sera -I 'A',
n I
1~,ri;l.~ l
IVERDADEIRAI
I
l ( />.
(I) A ,p~obabilidade ~e
O
il~tervalo de confiança
media da populaçao, ~, e de 95%.
r 11 íJC~'1.:-:V..~ .v --'
\{:j-l,96/,J,;,X
+1,96/,J,;]
conter a
'
Resposta: Sabemos que o valor crítico z para 95% de confiança, é dado realmente por 1,96 (basta olhar na tabela). Porém apesar de [X -1,96/,J,;,X + 1,96/,J,;] ser realmente um intervalo cOm 95% de confiança, não podemos dizer que a probabilidade desse intervalo conter a média da população é de 95%, Uma vez construído, esse intervalo ou conterá ou não conterá a média populacional Jl e, portanto, a probabilidade de conter ou não .L1
'.
-será de O ou I. O que podemos mesmo tamanho dessa população, da média populacional.
afirmar é que, se retirássemos infinitas amostras de em 95% delas o intervalo conteria o valor verdadeiro
IFALSAI
(2) A probabilidade média amostral
de o intervalo
de confiança
[X -1,96/.[;;,J: + 1,96/.[;;] conter a
é de 95%.
Resposta: Note que a média amostral sempre estará contida nesse intervalo, já que é um intervalo de confiança para a média populacional (estam os somando e subtraindo a margem de erro da própria média amostral e, obviamente, ela estará contida nesse intervalo ). IFALSAI
(3) O intervalo -. =<,
..
~
independe
do tamanho
da amostra.
Resposta:
(já que
'
de 95% para a média populacional
Note que o intervalo (J = -Fr7 = 1):
de 95% de confiança
para a média populacional
é dado por
Portanto ele é dependente sim do tamanho da amostra n, já que para diferentes valores de n, obteremos diferentes intervalos com os mesmos 95% de confiança. E quanto maior for n, mais preciso será esse intervalo, já que a margem de erro irá diminuir. IFALSAI
.
""
(4) Em um intervalo de confiança de 95% para a média populacional, p, espera-se que, extraindo-se todas as amostras de mesmo tamanho dessa população, esse intervalo conterá /l 95% das vezes . Resposta:
É exatamente IVERDADEIRAI -,
,-..:..
esse o significado
do intervalo
de confiança.
<,':
(ANPEC
2003,
(O) o p-valor
05) Com relação a testes de hipótese,
de um teste representa
a probabilidade
é correto afirmar que:
de aceitação
da hipótese
nula;
"<:
Resposta: O valor-p de um teste representa a probabilidade exata de cometer o erro do tipo I, ou seja, de rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira. É o nível de significância mais baixo com o qual podemos rejeitar a hipótese nula. Portanto, ele não representa a probabilidade de aceitação da hipótese nula. Ele representa a probabilidade de estarmos errados rejeitando a hipótese nula ..
--.;
IANULADAI f
de um teste é a probabilidade
(I) o nível de significância
de se cometer
o erro tipo I;
Resposta: A probabilidade de cometer o erro do tipo I é exatamente o nível de significância de um teste; e é definido como a probabilidade de se rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira ("condenar um inocente"). Entretanto, cabe aqui novamente fazer uma advertência: os conceitos de nível de significância e valor-p não' são equivalentes. O nível de significância está sob o .controle do pesquisador, ou seja, ele é predeterminado. O valor-p corresponde ao nível mais baixo de significância com o qual poderíamos rejeitar a hipótese,nula, diào o valor calculado da estatística do teste. IVERDADElRAI
(2) a potência
1
do teste éa probabilidade
de se cometer o erro tipo 1\;
Resposta: (ou poder) do teste é dada pela probabilidade
A potência
de não cometer
o erro
do tipo Il, ou seja, rejeitar a hipótese nula quando realmente ela é falsa. Chamando de f3 a probabilidade de cometer o erro do tipo II, temos que o poder do teste será dado por (I
- fJ). IFALSAI
(3) em um modelo determinado
de regressão
coeficiente
linear
utiliza-se
é estatisticamente
um teste bilateral
diferente
para verificar
se
de zero;
Resposta: Em um modelo coeficiente
teste são, respectivamente:
Ho' {3= O
de regressão
é estatisticamente
diferente
linear,
utilizamos
o teste t para verificar
de zero, e as hipóteses
nula e alternativa
se um desse
<:
,
Que é um teste bilateral, quanto
menor
distribuição
t
ou seja, consideramos
que O. Graficamente,
de Student,
como mostra
isso significa
tanto que f3 poder ser maior
que utilizamos
a figura abaixo
as duas caudas
(para um nível de
da
significância
de 5%): ",
-;--.
IVERDADEIRAI
(4) o nível de significância
de um teste de hipótese
cresce com o tamanho
da amostra.
Resposta: Como o nível de significância.é escolhido pelo pesquisador, ali seja, como ele é predeterminado, se aumentarmos o tamanho da amostra, ele, evidentemente, continuará sendo o mesmo.
IFALSAI
.~
»<: -..
(ANPEC 2002, 05) Indique se as seguintes hipótese
considerações
sobre a teoria dos testes de ----:
(V) ou falsas (F).
são verdadeiras
.--"7-----~ (O) O erro do tipo 11 é definido como Gobabilida~de não se rejeitar uma hipótese nula quando esta for falsa e o erro do tipo I é definido- como a probabilidade de se rejeitar a hipótese
(!)
nula quando esta for verdadeira.
Resposta:
--
Note que o erro do tipo 11 e o erro do tipo I não são probabilidades erro do tipo 11 consiste tipo I consiste
em não rejeitar a hipótese
em rejeitar a hipótese
de nada. O
nula quando esta for falsa e o erro do
.-c:..;- -,
nula quando esta for verdadeira.
IANULADAI \'
(I) No teste de hipótese para proporções, se a variância da proporção populacional for desconhecida, a estatísticatde Student com n_~l graus de liberdade (n é o tamanho da amostra)
---\::
(I~_'__
é a indicada para o teste.
I ') \~
Resposta:
-"\---
O teste t não é o indicado para proporções. Utilizamos o teste t para testar a média quando a sua variância for desconhecida (ou seja, a variância deverá ser estimada) e a amostra for pequena (quando a amostra é grande, a distribuição t de Student se aproxima da normal). No teste para proporções podemos utilizar a distribuição normal, desde que a amostra seja suficientemente grande. Caso contrário, a distribuição binomial é a indicada para o teste.
I
IFALSAI
'
(2) Num teste de hipótese bi-caudal, o vezes a probabilidade da região .. d o teste., ~ estatistica
valor-p (ou valor de probabilidade) extrema
delimitada
pelo
valor
é igual a duas calculado da (\ di) \ VerL\ fII
I
.J (\-~
l"~-i(_(:./..
Resposta: acima é válida apenas para distribuições
Note que a afirmação distribuição probabilidade
seja
assimétrica,
das dU'lu.e-giões
como
delimitadas
do teste, já que ~~-s:ã-sd\as regiões não serão iguais.
IFALSAj
~
(MÁ"'';'
ou a F, devemos
a Qui-quadrado
extremas
O,JW'
pelo valor calculado 1(/1)~
I
t
/-"
IJ ,
(3) Não
se pode
realizar
estatística
do teste,
liberdade
(n é tamanho
Resposta:
um teste de hipótese
que segue
para a variância
uma distribuição
da amostra),
simétricas.
Qui-quadrado
não é simétrica.
Caso a
calcular
a
da estatística
\Q~ _
_~-f populacional
t}<)&.
Í'VF-~;.
(
'hol
il,;,P'-'
'x:
I
pois
com n -I graus
a de
É possível
sim realizar
testes
isso é muito feito em economia. - ;r--.
de um teste de hipóteses. direita e esquerda. O gráfico desejarmos críticos
'_.~
A diferença
abaixo
realizar
mostra
é que teremos
a distribuição
um teste bicaudal
tanto da cauda esquerda
para distribuições
para a variância
de hipóteses
O fato de ser ou não simétrica valores 2
X
para a variância,
quanto
com
populacional;
diferentes
5 graus
teremos
aliás
não impede a realização para as caudas
de
liberdade.
que encontrar
da direita, já que esses valores
Se
os valores
não são iguais
assimétricas.
r>.
/
._~
/
'----
.
:.--.....
'"
/
11,07
1.15
.; ....•....•...
"
IFALSAI
(4) No teste
de hipótese
significância
CL,
se o intervalo
de confiança
O, não se poderá rejeitar Ho.
p =
(Ho:
para a média
I-l =
O contra
H,;
O), ao nível de
~l 7:-
com I-o; de probabilidade
não contiver
("-)
Resposta: "--'"
Supondo que o nível de significância do teste seja C/., se o intervalo de confiança de l-« não contiver p = O, a hipótese nula deverá ser rejeitada (já que o valor que está sendo testado não pertence à região de aceitação). Nesse caso, não há evidência suficiente de que p seja realmente igual a zero. "'-'"
Considere mais escura,
o gráfico
abaixo.
Se o valor que está sendo testado
que é a região de aceitação.
estiver
então HII não pode ser rejeitada.
região mais clara, que é a região de rejeição,
então H; deve ser rejeitada.
na região
Se estiver na
---,:-.
,,~-
.
.---.;;-
~
IFALSAI
(ANPEC 2001, 05) Ao testar a significância do coeficiente angular 13 de um modelo de regressão linear simples encontrou-se valor-p = 3x 10.3. Pode-se afirmar que:
O erro tipo 11 será igual a 3x I O-3.
(O)
Resposta: O valor-p
-"-
é a probabilidade exata de cometer o erro do tipo I, ou seja, de rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira e, portanto, nesse caso, o erro do tipo I é 3 que será igual a 3 x 10. . Para podermos calc~lar o erro do tipo II precisamos conhecer o valor verdadeiro de f3, o que, em geral, não é de conhecimento do pesquisador (pois se fosse, não precisaríamos estimar (3)IFALSAI .
(l)A
probabilidade
jJ±2SjJ
de o verdadeiro
valor
do parâmetro
encontrar-se
no intervalo
é 99,7%.
--:.,-
Resposta: A probabilidade do verdadeiro valor do parâmetro encontrar-se nesse intervalo é de O ou 1 (já que este valor estará ou não estará contido nesse intervalo). Além disso, o intervalo
/J ± 2Sp
é de 95% de confiança.
~-
Esta é uma "regra de bolso"
para construir
um intervalo aproximado com 95% de confiança para a média (mas será uma aproximação pobre se o tamanho da amostra for pequeno). O significado do coeficiente
-.
_.
""
de confiança de 95% é que, se construíssemos vezes ele conteria o valor verdadeiro de jJ.
várias vezes esse intervalo, em 95% das
IFALSAI
(2) O mais baixo nível de significância 3xlO-
ao qual a hipótese
nula pode ser rejeitada
é
J
-- •..
-~
.
Resposta: Como já vimos, o valor-p é o nível de significância exato do teste, ou seja, o nível mais baixo ao qual podemos rejeitar a hipótese nula; e nesse caso, é de fato igual a 3 x 10.3.
IVERDADEIRAI -, .-'"
-_"
(3) O coeficiente é significante a 99% de confiança. Resposta: . Apesar de não ser muito usual, essa linguagem é também válida. Se o valor-p do teste é de 0,003 (0,3%), podemos dizer que o coeficiente é significante a 1%, ou, ele é significante a 99% de confiança, (1 - O,OI)x I 00%.
!VERDADEIRAI
-~.
(4) A potência do teste é definida por (1 - 0,003). Resposta: I A potência (ou poder) do teste é a probabilidade de não cometer o erro do tipo 11 (I - probabilidade de cometer o erro do tipo IJ), ou seja, rejeitar a hipótese nula quando realmente ela for falsa. O valor de (1-0,003) seria ó coeficiente do intervalo de confiança. IFALSAI
- ..••.....•
(ANPEC 2001, 06) Em relação ao intervalo de confiança (O) Utiliza-se a distribuição normal confiança da média populacional d istribu ida.
estatístico
pode-se afirmar:
z padronizada para estimar-se o intervalo de somente quando a população for normalmente
Resposta: Pelo Teorema do Limite Central, sabemos que qualquer que seja a distribuição da população, a sua média amostra I será normalmente distribuída com média I-' e variância
dada por ~,
desde que a amostra
seja aleatória
c suficientemente
grande.
n
Portanto. -..••.....•
podemos
utilizar
a d istri bu ição
norma I paclron izada
para
est imarmos
o
,.,
intervalo de confiança da média populacional,qualquer que seja a distribuição população, desde que tenhamos uma amostra suficientemente grande.
da ~.
IFALSAI
(I) Emprega-se um fator de correção para a estimativa do desvio-padrão população é finita, ou a amostra é extraída sem reposição.
quando
a
---.;
Resposta: O fator de correção para estimarmos o desvio-padrão (e conseqüentemente a variância) é utilizado quando a população é finita e a amostra é extraída sem reposição, já que nesse caso, à medida que forem sendo retirados os elementos dessa população, a variância dos que restaram será alterada. Se a população for finita mas a amostra for extraída com reposição, isso nãoacontecerá e o fator de correção não precisará ser utilizado. Já no caso de urna população que é infinita e a amostra é retirada sem reposição, esse fator também não é necessário. IFALSAI
(2) Para aumentar a precisão de uma estimativa por intervalo, o pesquisador aumentar o intervalo de confiança de 95% para 99%, por exemplo.
deve ~'-
Resposta: Para aumentar a precisão de uma estimativa por intervalo, o pesguisador aumenta-rOTãiTfãfílíõ da amostra. Aliás, aumentar o intervalo de confiança de 95% 99% irá diminuir a precisão da-estimativa por intervalo, já que os valores críticos níveis de confiança maiores também serão maiores e, sendo assim, a margem de será maior.
deve para para erro
IFALSAI (3) Aumentando-se intervalo. Resposta: Considere
o tamanho
o intervalo
da amostra,
de confiança
rc Se aumentarmos erro, que é dada por:
o tamanho
aumenta-se
a precisão
de uma estimativa
por
para a média populacional:
[x±z~]J-;;
da amostra,
estaremos
diminuindo
a margem
de
~.
a
margem
À medida diminui,
que n aumenta,
ou seja, a estimativa
\VERDADEIRAI
de erro
5-,; diminui
por intervalo
=
z x
J-;;
e, portanto,
torna-se
..--.;.
a. margem
mais precisa.
de erro também ~.
.. ';
(4) Sendo
x=
14 a média de uma amostra aleatória normal cujo desvio padrão é c
população
a 95%, será 14 ±
populacional,
=
de 36 elementos
2, o intervalo
0,55. Use a tabela
extraída de lima
de confiança
da distribuição
da média
Norma!
em
anexo. Resposta: Como queremos um intervalo com 95% de confiança, temos que consultar tabela da distribuição normal para área igual a 0,475, cujo valor é de 1,96.
a
-_.
'"\
Dessa forma, temos que:
Ix - J-LI
= I 96
,
(J"
Fn 114 2
lil
-'----'-'- =
1 96 '.
56 I 114- J-LI = 1,96 x ~ J
114
- J-LI == 0,65
Portanto, o intervalo com 95% de confiança por: IC95o, IFALSAI
= [14±
0,65]
para a média populacional
será dado
-.
;
,
(ANPEC 2001, 07) Sobre testes de hipóteses, pode-se afirmar que: (O) O erro do tipo I consiste em rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira, Resposta: Como já vimos anteriormente, ("condenar um inocente").
esta é realmente a definição do erro do tipo I
IVERDADEIRAI
(I) Nível de significância éa probabilidade de se cometer erro do tipo 11. Resposta: O nível de significância de um teste é a probabilidade de se cometer o erro do tipo I, ou seja, rejeitar a hipótese nula quando de fato ela é verdadeira ("condenar um inocente") e seu valor é predeterminado pelo pesquisador.
(2) Por .otência do teste entende-se a probabilidade quando esta for falsa.
de se rejeitar a hipótese nula
Resposta: A potência (ou poder) de um teste é exatamente a probabilidade de não cometer o erro do tipo II, ou seja, rejeitar a hipótese nula quando esta for realmente falsa.
."'\.
IVERDADEIRAI
(3) A opção pelo teste unilateral ou bilateral decorre da expectativa teórica sobre o parârnetro que estiver sendo testado. Resposta: Se tivermos alguma idéia sobre a direção em que o valor verdadeiro difere do valor que está sendo testado, utilizamos o teste unilateral. Caso contrário, utilizamos o teste bilateral. IVERDADEIRAI (4) Um intervalo de confiança de 100(1-0.)% também pode ser utilizado para o teste de significância de um parâmetro populacional, caso o teste seja bilateral. Resposta: Se construirmos um intervalo de confiança para a média podemos utilizá-Io para testar hipóteses. Nesse caso,' O intervalo de confiança é chamado de região de
~'
---...;::
aceitação do teste, e a hipótese nula será aceita se o valor testado estiver dentro dessa região e será rejeitada caso contrário. Note que, se o intervalo de confiança ou o teste de hipótese for para a proporção, isto não é exatamente válido, já que as variâncias em cada caso serão diferentes. tyERDADEIRAI
(ANPEC 2000, 05) Dadas as seguintes
afirmativas
sobre testes de hipóteses,
é correto
dizer que:
'"
(O) A probabilidade cujo cálculo
do erro tipo I é calculada utilizando-se presume-se que a hipótese nula é falsa.
a estatística
de teste,
para
Resposta: A probabilidade (máxima) do erro tipo I é definida a prior i pelo pesquisador, ou seja, ela não precisa ser calculada. O que podemos calcular utilizando a estatística do teste, é o valor-p, ou seja, a probabilidade exata de cometer o erro do tipo I (rejeitar a hipótese nula-quando ela é verdadeira).
(1) Uma vez população, confiança.
definida a reglao de confiança para um determinado parârnetro várias hipóteses nulas podem ser testadas utilizando-se este intervalo ,.
da de
Resposta: Dado que construímos um intervalo de confiança para determinado parârnetro, podemos testar várias hipóteses nulas a respeito desse parâmetro, já que podemos escolher vários valores para serem testados. E como o intervalo de confiança contém mais de um valor, várias hipóteses nulas poderão ser aceitas.
tyERDADEIRAI
(2) Quanto maior o p-valor, maior a credibilidadeda
hipótese alternativa.
Resposta: Quanto maior o p-valor, menor a credibilidade da hipótese alternativa. Suponha, por exemplo, que estejamos realizando um teste e escolhemos 5% de significância. Se o p-valor for 2%, poderemos rejeitar a hipótese nula (alta credibilidade da hipótese alternativa). lVIas se o p-valor for de 50%, a hipótese nula 11<1.0 poderá ser rejeitada (baixa credibilidade da hipótese alternativa). Veja também, questão 02/2004, item (O). IFALSAI
(3) A aceitação
de determinada
hipótese
nula implica que esta hipótese
seja verdadeira.
\
,
-- )
-
~
)
'Resposta: A aceitação de determinada hipótese nula não implica que esta hipótese seja realmente verdadeira. O que podemos dizer é que, dada a informação disponível, não é possível contestar tal hipótese. . IFALSAI
-"\.
(4) O poder de um teste é a-probabilidade falsa.
de se rejeitar a hipótese
nula quando esta for
Resposta:
-"\.
O poder de um teste é a probabilidade de não cometer rejeitar a hipótese nula quando realmente ela é falsa.
o erro do tipo Il, ou seja,
IVERDADElRAI
(ANPEC 2000, 09) Uma urna contém bolas azuis e bolas verdes. Para testar a hipótese de que a proporção de bolas azuis é igual a proporção de bolas verdes, obteve-se uma amostra de 64 bolas, com reposição, anotando-se as cores das bolas retiradas e adotando-se a seguinte regra: aceitar a hipótese de que a uma possui iguais proporções de bolas azuis e verdes se forem retiradas entre 28 e 36 (inclusive os extremos) bolas de uma mesma cor; rejeitá-Ia caso contrário. Calcule a probabilidade de se cometer um eiro do tipo I. (Multiplique o resultado por 100 e arredonde). ! Solução: As hipóteses
nula e alternativa
desse teste são:
1-10: p = 0,5 H1: p o;t 0,5 A variância var(p)
da proporção
= pCl -
p)
n
=
.
amostra I será dada por:
0,5 x 0,5 = 0,25 64
64
E o desvio-padrão:
d (~)=)0,25 P P 64
=.22=00625 8 '
O critério para que se aceite a hipótese nula é que sejam retiradas de 28 a 36 bolas da mesma cor (inclusive). Isso significa que a região de aceitação do teste será: R.A. [0,43 75 ;0,5625]
Já que:
,-
28 == 0,4375
e
64
--;.-
36 == 0,5625
64
E a margem de erro, dessa forma, é igual a 0,0625 (0,5 0,4375). Isso significa que:
=
0,0625 == __
z
+ 0,O?25
== 0,5625 e 0,5 - 0,0625 -
x 0,0625
'" z ==
0,0625
=1
0,0625 Portanto, procuramos na tabela da distribuição normal a probabilidade associada a esse valor crítico (I), que é de 0,341345. Subtraindo esse valor de 0,5 (e multiplicando por 2, já que se trata de um teste bicaudal e a distribuição é simétrica), encontramos a significância do teste, que é de aproximadamente
p2%1.
I
0,341345
0,341345
-;.---...
(ANPEC 1999, 07) O candidato X a governador
de certo estado afirma que detém mais de 45% das intenções de voto do eleitorado na próxima eleição. Para verificar a veracidade da informação, o candidato Y mandou realizar um levantamento estatístico utilizando, para tanto, uma amostra aleatória de 625 eleitores. O resultado do levantamento foi o seguinte: Candidato Número de votos
Total 625
--~
Com as informações
--,----"
dadas, podemos
concluir
(O) A afirmação do candidato X é verdadeira nível de significância de 5%. Resposta:
que: com base num teste de hipóteses,
para um
'""' As hipóteses
"
nesse caso são:
H,,: p = 0,45 H,: p < 0,45 Como é um teste monocaudal, 1,645:
a 5% de significância,
temos que o valor crítico
é de
,,:-
--;'"
-,,-\'., ,"""",,--o
~.
45%
-"','
A variância vare
p)
=:
da proporção
p
X
(I -
i)
=
-n
amostralserá
dada por:
0,45 x 0,55 == 0,000396 625
E o desvio-padrão será, portanto: p) = .jO,000396 == .jO,0004 ='0,02
dp(
Temos então que:
li) - pl = I 645 dp(p)
,
Ip, -, 045
1 =:
002 ,
li) -
0,451
1í3 - 0,451
1 645 '
=
1,645 x 0,02
~
0,033
Como é um teste monocaudaI, R,A, = [0,417; co [
a região de aceitação
E como o va 1or que fi.01' encontrado aceitação, candidato
na amostra
podemos rejeitar a hipótese X não é verdadeira.
será dada por:
O 408 (O,
=
255) 625
- pertence ' "a regiao '- d e nao
nula a 5% de significância,
isto é, a afirmação
do
IFALSAI -..-:...-
-~
--;..,---....
(1) Com lima confiança de 90%, o intervalo de confiança para a verdadeira proporção de intenções de voto para o candidato Y é (39%; 46%), arredondando para números inteiros as percentagens encontradas. Resposta: Com 90% de confiança temos que z = 1,645:
-- ""
E a proporção
encontrada
na amostra
para as intenções
é ele:
=»;
-""
~ 265 P=-=0424 625
'
A variância
será então:
var(p)=
0,424 x 0,576 :::000039 625 -,
pX(I-p)=
n E o desvio-padrão:
.-...,
elp( p )
=
.JO,00039
=: .JO,0004
..-..
Dessa forma:
Ip - pl = I 645 dptji)
,
10.424 - pl
-'----'-'-
0,02
10,424 10,424 -
=
I 645
'
pl = 1,645 x 0,02 pl = 0.0329
0.424 :I: 0,0329 0.424 - 0.0329
=: 0,46 =: 0,39
=
0,02
de voto para o candidato
Y
---.!
,"""".
Portanto, o intervalo com 90% de confiança candidato Y será dado por:
para a verdadeira
proporção
de votos para o
~.
IC90%
=
[39%; 46%]
IVERDADElRAI
(2) Com a mesma confiança de 90%, o intervalo estimado para a verdadeira proporção de intenções de voto para o candidato X é (38%; 44%), arredondando para números inteiros as percentagens encontradas,
~.
Resposta:
A proporção amostra] de votos para o candidato X, como já vimos é de 40,8%. Portanto,
Vare p' )
amostra I será dada por:
a variância
p x (1 - p)
=
n
0,408 x 0,592 == 000039 625 '
E o desvio-padrão: dp(
p)
=
.)0,00039
== .)0,Q004
=
0,02
Como o inte~valo é novamente ! de 1,645. Portanto: .
com 90% de confiança,
temos que o valor crítico é
Ir - pl = I 645 dp(p)
1°,41-
~.
,
pl
1,645
0,02
10,41 -
pl = 1,645 xO,02
10,41-
pl = 0,0329
0,41 + 0,0329 0,41 - 0,0329
o intervalo lC90% =
== 44%
= 38%
com 90% de confiança
será dado então por: .--..,
[38%; 44%]
!VERDADEIRAI
(3) A afirmação de que o candidato Y detém mais de 42% das intenções de voto é verdadeira, com base num teste de hipóteses com nível de significância de J %. Resposta: Nesse caso, as hipóteses são:
-"'.
-r-.
------.
Ho: p = 0,42 Hj: p> 0,42 Com 1% de significância,
temos que o valor crítico é de 2,33.
-·.0_.-
2
A variância amostral var (A)p
será dada por:
= rx(l-p)
= O,42xO,58
n
625
E o desvio-padrão: dp( r) = )0,00039
== 0,02
Portanto:
Ir - pl = 233 dp(p)
,
Ir - 0,421
"---'-= 2,33 0,02
Ir - 0,421 = 2,33 x 0,02 Ir - 0,421 = 0,0466 0.42 + 0.0466 ~ 0,4 7 0,42 - 0,0466 ~ 0.3 7 R.A. = ..
~
l-
CI):
47%]
0000""9
~,.J
= 2,33
· )
---, .)
."
=) -)
~
~) ....• ) +-,
Como a proporção encontrada na amostra (42,4%) pertence à R.A., não podemos rejeitar a hipótese nula, ou seja, a afirmação não pode ser contestada a 1% de significância.
:...)
~
:":'J
IFALSAI
(ANPEC 1999, 08) Deseja-se estimar o faturamento médio, 11 , de uma empresa. A informação que se tem é de que o desvio padrão dos valores das faturas desta empresa é de R$25,OO. Se existem 500 faturas desta empresa, encontre o tamanho da amostra necessário para estimar, 11, com um limite sobre o erro de estimação de R$5,00. Considere somente a parte inteira da resposta.
+-;
!Anuladal
Solução:
Esta questão foi anulada, pois não foi fornecido o nível de confiança. Considerando que fosse pedido um intervalo de 95% de confiança e houvesse um número ilimitado de faturas (isto é, bem maior do que 500), de modo que a população pudesse ser considerada infinita, teríamos um valor crítico de 1,96:
--<
Portanto:
Ix -
/11
=
(J
1,96
j;; A margem de erro será dada então por: 25 Margem de erro: 1,96x I "';11
E, como essa margem deve ser de 5: 25 196x-=5
,
j;;
49
~
-=)
J;;
j;; .j;
49 5 = 9,8 =
Elevando
(.rn)' n
=
ao quadrado
os dois lados da equação:
= (10)2
96,04 Dessa forma, o tamanho
margem
da amostra
necessário
para estimarmos
com uma
de erro de R$5,OO é de~.
(ANPEC 1999, 10) Com relação a teoria de Teste de Hipóteses, (O) Se o objetivo .
que;
,Li
é testar a hipótese Nula,
n, :o :f- f)o'
valor crítico,
então
deve-se
Ho : f) = f)o,' contra a hipótese
rejeitar
C1-
pode-se
n,
quando
da distribuição
I
afirmar que: Alternativa
de
f)-f) . d (8 ") > CI~;I, onde,
I
o
'P " t-Student' ou da distribuição
Normal em função do nível de significância a. Resposta: Tudo está correto se for, por exemplo, um teste para a média, em que a distribuição é simétrica, mas isto não é especificado no enunciado. O parâmetro 8 poderia ser, por exemplo, a variância, e o procedimento seria, então, diferente. IFALSAI
ii (I) Um teste de hipótese é dito o mais poderoso se tem o maior poder do que qualquer outro teste, ainda que os níveis de significâncias sejam diferentes. Resposta: Dado um nível de significância, um teste é dito o mais poderoso se tiver o maior poder que qualquer outro. Não se pode comparar o poder de dois testes que possuam níveis de significâncias (ou tamanhos) diferentes, já que, dado o tamanho da amostra, quando aumentamos o nível de significãncia, diminuímos a probabilidade de cometer o erro do tipo 11 (/3) e, portanto, aumentamos o poder do teste ( que é dado por
~ ~ ~,
1-/3).
~ ~
IFALSAI
/''':''''''',1
~ ~ ~ >--..
>--
~ '""'
" í\
.~
/'.,
~
(2) Um teste de hipótese é não-viciado se seu poder é maior ou igual do que a probabilidade do erro do tipo I para todos os valores dos parâmerros.
Resposta: Assim como os estimadores possuem algumas propriedades desejáveis, os testes de hipóteses também. E lima dessas propriedades desejáveis é que o teste seja não viesado(ou não viciado). Isso ocorre quando o poder do teste for maior ou igual a seu
nível de significância, ou seja, quando ele rejeita a hipótese quando ela é falsa que quando ela é verdadeira.
nula mais freqüentemente
IVERDADEIRAI
(3) A estatística
t-Student
quando a variância
é utilizada
dos elementos
nos testes de hipóteses
da população,
Resposta:
()2
para a média populacional
,não é conhecida.
.
.:.....;: ..
,
Quando a variância não é conhecida, ou seja, quando ela tem que ser estimada, e a amostra é pequena, a distribuição t de Student é a utilizada nos testes para a média populacional. Note, porém, que quando a amostra for grande, não fará diferença utilizar a distribuição normal ou a t, já que esta última se aproxima da normal padronizada à medida que o tamanho da amostra aumenta.
IVERDADEIRAI
(ANPEC 1998, 09) Uma máquina está sendo examinada
com o objetivo de substituir a máquina antiga de certa indústria. Segundo o fabricante da nova máquina, a proporção (P) de peças defeituosas produzida é de 3% ou menos. Uma amostra de 2.000 peças foi examinada e foram encontradas 74 peças defeituosas. (O) As hipóteses
para um teste estatístico
Ho: P
= 0,03
de hipóteses
e
devem ser
H.4: P < 0,03.
Resposta: As hipóteses
para este teste devem ser:
Ho: P = 0,03 HA: P> 0,03 A afirmação do fabricante é que a proporção de peças defeituosas máximo 3%. Portanto, a hipótese alternativa deve contestar esta afirmação, deve postular que a proporção de peças defeituosas é maior que 3%.
é de no ou seja, .,,~
IFALSAI
(1) Ao real izarrnos o teste de hipóteses para o problema, 5%, a hipótese nula deve ser rejeitada.
ao nível de significância
de
Resposta: Lembrando
que as hipóteses
para este teste devem ser:
Ho: P = 0,03 1-11: P> 0,03 A proporção
de peças defeituosas
encontrada
na amostra é de 0,037
( 74) = 2000
.
-.
....•
~ --
~ '" '" ~ ..--.,
5% de significância,
Como queremos
o valor crítico será de 1,645 .
~,
/
0,45
Nesse caso, a variância
amostra 1será:
"
"
P x (1- P) = -~_..:..
A
vareP)
da proporção
n
0,03 x 0,97 == O0000145 2000 '
E o desvio-padrão: dp(
j»
=
.)0,0000145
== 0,0038
Dessa forma:
Ip-pl
--A-
=
1,645
dp(P)
Ip-O,03I
1,645
0,0038
Ij> -
0,031 = 1,645 x 0,0038
Ij> -
0,031
Portanto,
R.A.
--
---,
=
0,006251
a região de aceitação
será dada por:
= ]-00; 3,62%]
Como o valor obtido da amostra, 3,7%, não pertence à região de aceitação, nula deve ser rejeitada, ou seja, a afirmação do fabricante de que a máquina máximo J% de peças defeituosas é falsa.
a hipótese produz no
IVERDADEIRAI
(2)
Utilizando estimativa
a proporção por intervalo
de peças defeituosas encontradas para a verdadeira proporção de
na peças
amostra, a defeituosas
produzida
pela
nova
máquina,
utilizando
uma
confiança
de 95%, é (2,87%;
4,53%). Resposta: Com 95% de confiança,
o valor crítico será de 1,96. \.
A variância será dada por: var(P)
E
= PX(I-Ê') n
= 0,037xO,96~ =0000018 2000 I '
° desvio-padrão:
dp(
P)=
~O,OOOO 18 = 0,0042
~
..
~
..
Dessa forma, temos que:
Ip-pl
--, dp(P)
= 1,96
10,037- pl 0,0042
-(".
1,96
pl = 1,96 x 0,0042 10,037 - pl == 0,0~8232 10,037-
0,037 + 0,008232= 4,5232% 0,037 - 0,008232 = 2,8768% Portanto,
° intervalo
com 95% de confiança
IC95% = [4,53%; 2,87%]
!VERDADElRAI
será dado por: -.;'-
(3) Admitindo que a verdadeira proporção de peças defeituosas seja 3%, seria necessário uma amostra de 3.000 peças para que o erro máximo admissível entre a proporção estimada e a verdadeira não excedesse a 1%, c~m probabilidade de 95%.
Resposta: Para 95% de confiança,
Ip-O,031
~-A""""':'
temos que:
,645
== J
dp(P) Ift-o,031 Sabemos
=
1,645xdp(P)
que o desvio-padrão
é a raiz quadrada
0,03xO,97
Portanto:
== ~0,0291
n P ortanto,
da variância.
n
dee erro será 0,0291 E como e Ia nao - po d e exce d er sera d a d a I , 64 )- x ~ --n-.
a margem
I%, temos que: 1,645 x ~0,0:91
~0,0291 n
=.~
~O,0291
-=
=
0,01
1,645 0,00608
n Elevando
ao quadrado:
0,0291 == 0,000037
n n ==
0,0291 0,000037
Portanto, 1%. -':';;;--'"
== 786 49 '
seria necessária
uma amostra
com 787 peças para que o erro máximo
fosse de
IFALSAI
"."-=-
(4)
Se as probabilidade
de que
um intervalo
de confiança
contenha
o verdadeiro
parâmetro populacional B é igual a (I - a), isto significa que se retirássemos um número infinito de amostras da população em estudo e se para cada uma das amostras
calculássemos
destes intervalos Resposta:
o intervalo
conteriam
de confiança
o verdadeiro
parârnetro
do
parârnetro (J.
6, então em (I - a)%
É exatamente esse o significado do intervalo de confiança. Uma vez construído,
não se pode dizer que a probabilidade deste intervalo conter o verdadeiro parârnetro é de (l-a) x l 00%: ou ele contém ou não contém (portanto a probabi lidade seria de I ou O).
Cabe notar, porém, que no enunciado da questão faltou multiplicar por 100 a expressão (l-a), para que esta realmente fosse dada em porcentagem.
,.'~ - - ..
[VERDADEIRAI ._'.
"
"
\.
, ,"-.
,.
(ANPEC 2005, 10) A respeito do modelo de regressão
Y
I
= JJI Ro
+ [J,X,-t + [J,X,+ e. _
em que e, tem média zero e variância
_I
(J} ,
(O) No caso de uma forte colinearidade nula de que jJ}
=
múltipla:
são corretas
entre
Xli
I
as afirmativas:
e X2i,
tende-se
a aceitar a hipótese
t é subestimada.
O, pois a estatística
Resposta: Quando existe alta colinearidade entre as variáveis independentes de um modelo de regressão, os desvios-padrão dos parâmetros são geralmente altos, o que significa que as estimativas têm pouca precisão (quanto maior a variância, menos preciso será o estimador). Dessa forma, as estatísticas t serão baixas (já que são calculadas dividindose o coeficiente por seu respectivo desvio-padrão), indicando possivelmente a insignificância dos parâmetros.
A variância
---
do coeficiente
de inclinação
jédada
por (veja Wooldridge,
p.96):
'\
var(jJj)
u"
-n-----
=
Ixt
x(l- R~)
i=1
RJ
onde
modelo
é o R" de uma regressão original
altamente quanto
(incluindo'o
correlacionada mais alto for
entre
Xj e todas as outras variáveis
intercepto).
Se
R}
J
for alto, isso significa
com uma ou mais variáveis
R~, mantendo
variância
do parâmetro
realmente
a aceitar a hipótese
estimado,
(J2
e a variância
incluídas
[J J-
=
o modelo escrito na forma de desvios
Y;
+ P2 X2i + ei
=
PI XI;
o coeficiente
de inclinação)
em relação à média:
pode ser escrito como:
n
)'rv ~-'I;I
/3.1 = "':"-::":-~-, -"~,I ;2 1"'1
Vejamos: Podemos
escrever
a variável
.\"11
da seguinte
forma:
Xj
-
do está
original.
maior
E
será a
t. Sendo assim, tende-se
O,já que a estatística
IVERDADEIRAI
Considere
que
no modelo
de x, constantes,
e menor será a sua estatística
nula de que
independentes
t é subestimada.
Xli
J'IX2i + rli
= =
Xli
+ rli
Xli
Analogamente: X2i = ~IXli
+ /» \,
""2' = '~2i + ':2i
Portanto, 'li é a "parte" de
xji
que não é correlacionada
com as demais variáveis do
modelo (no presente caso, temos apenas uma), ou seja, rj; é
Xii
depois de retirados os
efeitos das demais variáveis. As condições de I". ordem do método dos mínimos quadrados ordinários são dadas por:
Substituindo, temos:
fi, ==
--\
n
n
Ir
LruY;
li)';
fi2 = -,-i=-,-~__
...:.;=:.:.~--
Ir2~
Irl;
;=1
;=1
Já que: n
Xii
não é correJacionado com ei('L)jiei
= O);
;=1 n
Pi; é não correlacionado com x (LrjiXki k;
), comj
;;=
k;
;=1
IX/i; ;=1
=
I(~j;
+rji)Pji=
;=1
Substituindo agoray; em /31:
IPi~ . ;':::1
'-:';:"
n
/3,=
+ /31X2i
L~,(/3,X'i
+e
i)
~i=~'
_ n
Lr~~ ;=1
t
/31 rlx,. + /3,-L....J ~ P,x, + ~ L Pie /3,= __ ~i~=' ~i~='~ ~i=~' _ ~
I
J
I
_I
1
I
n
L~~ i=1
/3, Ip,;
/3, = _.!.:i=:;..' __ +
Ir'i
e;
i='
11
IJ
j::::1
i=J
Li;~ Lr,~ n
...•
-:--..,
/3, = /3,
2:>~'iei
+ ..!;i=:c.:.__
2>;; ;=,
._.~
-.;,--.."
Calculemos
vare /3,)
então, finalmente
(l), vare /3,):
=
11
Sabemos
que
LI:,; 1='
x,. Dessa forma:
é a soma dos quadrados
dos resíduos
(SQR) ela regressão
de x, em
SQR
=
SQT - SQE
SQR
=
SQT
(1-
-'\'
SQE) SQT
SQR == SQT(I - RI~) SQR == XI~ Ü
-
RI")
"
Onde RI" é o coeficiente
de determinação
da regressão
de
XI
em x2•
Assim:
(j2
vare /31)
= -----
"":
i>~(J- R12)
Generalizando:
, (j-
tvar(/lJ')
= ----I n
Ix~(1-R5) ;=1
com R J
=
variáveis
coeficiente
explicativas
de determ inação da regressão
de
Xi
em relação
a todas as outras
do modelo. ....:.;; ...
(I)
Se os erros Quadrados
são autocorrelacionados, Ordinários
ainda
assim
os estimadores
de Mínimos
de /31 e /32 são lineares e não tendenciosos.
Resposta: A hipótese de não existência de autocorrelação dos erros é necessana para que os estimadores de MQO sejam efícientese para que os testes de hipóteses tenham validade. Dessa forma, se os erros forem autocorrelacionados, os estimadores de MQO continuarão sendo não tendenciosos e consistentes, a não ser que haja entre as variáveis explicativas, a variável dependente defasada (que não é o caso). Quanto a continuarem sendo lineares, é evidente que continuarão! IVERDADElRAI
(2)
Se os erros são heterocedásticos, ainda assim os testes usuais t e F podem, sem prejuízo algum, ser empregados para se testar a significância dos parâmetros do modelo, caso estes sejam estimados por Mínimos Quadrados Ordinários.
Resposta: A hipótese de homocedasticidade (variância constante dos erros) é necessária para que os estimadores de MQO sejam eficientes e para que os testes de hipóteses tenham validade. Assim, se os erros forem heterocedásticos, os testes t e F não serão válidos, independentemente do tamanho da amostra.
IFALSAI
(3) Erros de medida da variável dependente Mínimos
Quadrados
Ordinários
reduzem
as variâncias
dos estimadores
de
de J31 e fi2'
Resposta: Se há erros de medida da variável
Y;, temos que:
dependente
y;'= Y;+Ei onde Ei corresponde
ao erro de mensuração
Dessa forma, o modelo estimado
.
-
com a variável
r;' = fio r;' = fio r;'= fio
+ fi,X'i
o novo
termo de erro JLi é composto
+ fi,X'i
da variável
dependente.
Y;' será:
+ fi2X2i + ei + Ei
+ fi, Xli + fi2X2; + k + EJ
+ Jli
+ fi2X2i
do erro da equação
variável
Yi (E,). Dessa forma, a variância de
vare JL; )
= varte.) + vare JlJ
vare
=
11.)
rI
)li
(e.) mais o erro de medida
da
será 'dada por:
+ 0-2fi
0-2
e
Que é maior que a variância do erro da regressão sem o erro de medida. E como vimos no item anterior, a variância do estimador do coeficiente de inclinação) é dada por: i
"
i=!
Portanto, quanto maior a variância dos erros, maior será a variância dos coeficientes de inclinação. E, como erros de medida na variável dependente aumentam a variância dos erros, aumentam também as variâncias dos estimadores de mínimos quadrados ordinários
dos coeficientes
de inclinação,
fi, e fi2'
IFALSAI
(4) A
0111 issão
dependente, inconsistente, variável
Resposta:
da
J~.
variáve I expl icativa torna
a estimativa
se e somente
incluída, X,.
re levante, dos
se, a variável
X2,
coeficientes omitida
para
expl icar
~o e
~I
avariá
tendenciosa
X], for correlacionada
vel e
com a
\
A omissão de uma variável explicativa relevante toma a estimativa dos coeficientes de inclinação viesada e inconsitente se e somente se, a variável omitida for correlacionada com a variável incluída. Porém, mesmo que a correlação entre a variável omitida da regressão e as variáveis incluídas seja igual a zero, a estimativa do intercepto, no caso
/3
será ainda viesada e inconsistente.
0,
Vejamos: Sabemos
que o modelo verdadeiro
é dado por: ~\-.
Com a omissão
de X},temos:
1'; = /3
+ f.1,
/3 Xli
+
0
1
em que: f.1;
= e;
+ /32Xz;
Para sabermos se os estimadores respectivas esperanças.
o estimador
de mínimos
desse modelo são não viesados,
quadrados
ordinários
de
/30
é dado por:
E o de /31:
/3, =
" LXliYi ...;...;=...;...1 __ /I
LXI~ ;=1
onde as letras minúsculas Calculemos
E( /31)
=
E(tXliYi)
A
E( /31 )
primeiro
=
---,-I~:,I_--,LXI~ ;=1
representam
E( /lI):
as variáveis
centradas.
precisamos
calcular
as
)
·."
Como
I(X'i -XI)
O:
=
;=1
é dado por Y; = /30 + /3, X'i + /32X2i + e., temos:
Como o modelo verdadeiro
.
-;:..-..",.
.;-....
-, Analisemos
agora
o pnrnerro
somatório
da expressão
acima:
I(X'i - _Y, )X'I
.
;=1
Somando e subtraindo
XI'
f(X'i
+x
-XI XXii -Xi
=
I(X'i
-x,y
+X,I(X'i
-X)= f(x"
-XIY
1=1
i=l
(verifique!):
I(Xli ~~Y'JX1i
=
I(Xli
i=1
--.--....
l)
i=J
i=1
Analogamente
obtemos:
---Y'JX2i -Xl)
;=1.
Dessa forma, temos:
Como XI e .Xl são não correlacionados igual a zero, temos:
com o termo de erro e e a média cios erros l
é
\
----.)
.: \
:'
"\
E, portanto:
"'"
Como /32
=F O,
p,
será viesado, a menos que
XI
'
e X2 sejam não correlacionados.
Vejamos agora o que ocorre com o intercepto:
E(Po) E(
=
P,X,)
E(Y -
Po ) == E( Y) - X, E( p, )
\
.
Portanto, para que
que
/Jo seja
[x, - X, ~,x"x,,]= "1\
~,
não viesado, isto é, para que E( Po)
= /30'
deve-se verificar
O, A não existência de correlação entre as variáveis X2 e
X,2
;=1
, ..., .' ,
. .., "
x,
. .
.
não garante que o estimador do intercepto seja não viesado. Além disso, deve-se verificar que
X
2
seja igual a zero,
"
.
!FALSAI
(ANPEC 2005, 11) É dada a seguinte
função de produção
= Po + PI In(L;)
In(Y;)
para determinada
+ P2 In(K;) + ti;
indústria:
,
em que Y é o valor adicionado por firma (em reais), L é o trabalho empregado, valor do capital (em reais) e ti é o termo aleatório. Uma amostra aleatória observações leva às seguintes estimativas: In(Y) I
= 1,1755 + 0,6022In(L)
I
+ 0,3856In(K)
K é o de 27
I
27
SQR
-= "2}/,2 -= 0,84 i=1
R2 São corretas
= 0,76
as afirmativas:
(O) Se Y passasse a ser medido em mil reais, somente regressão Resposta:
seria alterado.
Se Y passasse
a ser medido em mil reais, teríamos:
In(1 0001';) = Po + P1 In(L,)+ In( 1000) In(Y,)
=
+ In( Y;)
PI In(L;) + P2 In(K;) + LI; 2
C/..
onde
=
/3
0
lil(1 000).
-
.
~ ,.
....- .
da
+ u,
In(K1)
1
Dessa forma, m:udando a escala de Y, somente .
do intercepto
po-ln(1000) + Plln(L;) + P In(K;) + li; + PI In(L,) + P1ln(K,) + 1/;
In(Y,) = C/..
= Po +
P
o valor estimado
I
o valor do intercepto
seria alterado.
fiERDADEIRAI
.,........:.,
(1)
Ao nível de 5%, os coeficientes associados ao trabalho e ao capital são conjuntamente iguais a zero. Resposta: Para verificar se os coefic ientes de incl inação da regressão são conjuntamente iguais a zero, devemos utilizar o teste F, cujas hipóteses são: H!}: /31 = /32= O
H,. pelo menos um dos /3,
::F
O,
i = 1,2.
2
A forma R do reste F é dada por (veja questão
F
R.'I(k
-I)
= -.....---'-----'---
(I-R')/(n-k)
0.76/1 0.24/24
= 76
ANPEC
2002,
10. irem (3)):
:> .---;;\
",'-
'---'\'
Consultando a tabela da distribuição F com I grau de liberdade no numerador e 24 no denominador, encontramos que: FI,24 = 4,26. Como o valor calculado é maior que o valor tabelado, rejeitamos a hipótese nula a 5% de significância, ou seja, a regressão é válida, o que significa que os coeficientes do capital e trabalho são conjuntamente diferentes de zero. . IFALSAI
(2) Se o desvio
padrão do estimador
para o efeito 0,95 x 0,3856
de~2
for 0,0854,
Y de um aumento
sobre
de
o intervalo
de confiança
I% no estoque
de
a 95%
capital
será
0,0854 Resposta: O intervalo
Ip2 -
com 95% de confiança
para fJz será dado por:
fJ21
"-------:-~~
-
tn.k
dp(fJ2) 1°,3856 - /321 '------'-
-t24
0,0854
fJ2= [0,3856±{2~ x 0,0854] IFALSAI
(3) Os valores estimados permitem concluir que, para aquela indústria, a produtividade marginal do trabalho é menor que a produtividade média do mesmo fator. Resposta: O modelo estimado
pode ser escrito como: -;;:\
y"I
=
r;
X
LO.6022 X K'
Já que, aplicando InCY;) = In( y
;
0,3856
o logaritmo
x L~·6022
InCY;)= In(y)+
X
In(L;)+ 0,3856'ln(K;)'
marginal
é dada pela derivada
do trabalho
trabalho:
PMgL
=
ay = r x o 6022 àL
acima, temos:
0,6022 In(L;)+ 0,3856In(K;)
InCr;) = 1,1755+ 0,6022
A produtividade
natural em ambos os lados da equação
K;0.J856)
'
X L~,3978 I
x
KO,3856 I
do produto
em relação
ao
E a produtividade
y PMeL=
-=
média do trabalho:
rx LO.6022 x KO.J856 '
, r x L~·3978
,
i,
L
Dessa forma, podemos concluir que: PMgL < PMeL, já que x 0,6022 x L7o.3978 x
r
x
K°,J85ó
,
KjO.J85ó
L~·J978
x
K,O.J85Ó
•
/VERDADEIRAI
(4) Qualquer utilizada. Resposta:
o
que leve a um R2 maior que 0,76 será preferível
outra forma funcional
à
R2 não
pode ser utilizado para comparar modelos com diferentes variáveis 2 dependentes. Por exemplo, se estimássemos um modelo linear para Y, o R nos daria a informação de quanto da variação de Y é explicada pela variação nas variáveis explicativas. Já 'no modelo log-log, o R2 nos diz quanto da variação em InY é explicada pela variação nas variáveis explicativas.
(ANPEC 2005, 12) Um pesquisador estima o seguinte modelo de regressão simples: 1-'; = Po + /3,X, + e Outro pesquisador estima o mesmo modelo, mas com escalas , j•
para 1-'; e )(.
diferentes
x,
=
O segundo
modelo
w}.X, e w, e w2 são constantes
(O) Os estimadores
de Mínimos
é: 1-';'
=
p~ + p,'X;
+ ej',
em que: Y,'
= w,Y"
maiores que zero.
Quadrados
Ordinários
de
/30 e /J, são iguais aos de
p~ e 13,' . Resposta: Sabemos que o estimador
13,
é dado por: /)
'\' L.J ...•..v Ir
/J, =
...:..;:'=,,--'
I
--
Ix: ;=,
onde: x, = (X, - .A·) v, .,,,(Y,- y)
Dessa forma:
de mínimos
quadrados
ordinários
do coeficiente
de inclinação
~~ ~) ~)
.---;;)
,)
<). :~
--.,:1 n
LWzX,.w,y,. ;=1
;~1
Como
\VI
e
W2
são constantes:
11
W,IX"Yi ;==1
""\'.
",,"
E o estirnador de MQO do intercepto
J30
é:
Dessa forma:
/J~= Y· - A}(· J3o,"• = w Y - [2.'i)J3" ., w2
wZ
X ~,.,
/3~= wJi - ,vJj, X /3~= w, (Y - /3,X') 1/J~=w,/Jol Portanto, os estimadores de mínimos quadrados ordinários de aos de
J30
e
J3,
não são iguais
J3~ e J3,'.
IFALSAI
(1) Se ô-·2 é a variância estimada de
e; e Ô-
Z
é a variância estimada de
e
,
i
então
Resposta:
~
_.
que a variância
Sabemos
dos resíduos
é dada por:
/1
'2 O"
Ie"
SQR _ ;=1 n-2 n-2
_ ------
I
Dessa forma: 11
n
Y e,;........j
I
Ô"-~-= ~
n-2
&'"=
...:..i=::..:.I
_
n-2 /1
"I
Wl
&'1 =
e;2
;=1
n-2
IV ERDAD (2)
EI RAI
As variâncias dos estirnadores dos parâmetros que as variâncias dos estirnadores do segundo
do primeiro modelo.
Resposta: A variância
de
,
Var(
J31
(coeficiente
de inclinação)
é dada por:
~,
0"-
/3
1 )
=
-n-
Ix} i=1
E de
.A: '.
&'2
Vare j3 I )=-,;
'" LX'
'2
1=1
Como vimos no item anterior,
ô-.~=
\1'1252.
Substituindo:
modelo são maiores
do
---\.,
~.
Vare PI)=
'
( ) li'
_I
~
var(PI)
W1
Já a variância do estimador do intercepto
/30
é dada por:
-c-..
jJ~:
E a variância de n
Vare jJ;
) = 5'2
L X,.'
2
--,-i....:=I __
" nLx
2
i'
i=1
Substituindo:
"I
I (w x} 2
Vare P;)
= li'12
52 --'-i....:=I"
ir
_
I1L(wZX
----;.
;=1
Sabemos que li' I e W2 são constantes maiores que O. Para saber quais das variâncias são maiores, precisamos saber os valores destas constantes:
'T
\j
I
J. 'C2·.~· "'.,1,' ·L ao_.
"';\
vare /30)
vare
fio )
A)
vare
/3, ) >var(
/3~ )
vare /30»var(
vare
/3, )
vare /30»var( vare
/3, )
vare
/3, ) >var(
Assim, as variâncias dos estirnadores dos parâmetros maiores do que as do segundo se WI < I e WI < W2.
vare /30)
A)
vare
/3; )
vare /30»var(
A)
vare
do primeiro
/31 ) =vart /3,' ) /3; )
PI ) =vart P,' )
modelo
apenas serão
IFALSAI _'"
(3)
Os coeficientes
de determinação
Res pos 1ã:--=---"~--' O coeficiente
de determinação
são iguais nos dois modelos.
do primeiro
modelo é dado por:
n
Le,2 ;=, R"== 1- SQR == I --SQT li
LY" i=1
E do segundo:
I(w eJ1 1
R*2= I-~--=l-~
i>;" n
II
L(w,yr
=R~
Ly2
;=1
i=1
IVERDADElRAI
(4)
A transformação estirnadores
de escala de (~, Xi)
de Mínimos
Quadrados
para (y;' , ,()
Ordinários
não afeta as propriedades
dos
dos parâmetros.
Resposta: ... ,......".,.
..
_---..,
A transformação de escala nas variáveis regressão linear e, portanto, as propriedades
IVERDADEIRAI
não afeta nenhuma hipótese do modelo dos estirnadores continuam válidas .
de
~,.'
(ANPEC 2005, 14) Considere
o seguinte
em que u é o termo aleatório
ti,
indivíduos, variável
estimaram-se
e E(u
Z. Ou seja, o modelo
amostra em questão,
I X,
os parâmetros
t
,-
.
Xf
(X; -
todavia, Suponha
de n
sido omitida
a
ainda que, para
resultados: n
-1
== 0.7. em que X == -
..
A partir de uma amostra
tendo,
ê, + êlx;.
os seguintes
~(;/~"~(Xi - X) ~/
modelo,
foi: ~ ==
tenham sido obtidos
= O.
Z) = E(u)
deste
estimado
Y==2 + 4X - 5Z +
modelo para a população:
' ,
n
Ix. ;=1'
_1"
e Z =-
n
IZ; . ;=1
i=1
E(el I X).
Calcule
Multiplique
o resultado
por 10.
Solução:
(!, , j .
,
Como
81 é o estimador
do coeficiente
de inclinação
em uma regressão
linear simples,
temos que:
i
1
i
+-,-
j
í
vo Lembrando
que as letras minúsculas
exemplo:
x,
Sabemos
que
-
~ = 2+ {
=
X; - X).
Y
=2
+ 4X -
5Z. Escrevendo
4X; -5Z;
Y=2+4X-5Z
Substituindo
~
Yi em E( 81
[tX,(4X,
E( 8 ) = E
...;.:..'="-.1
),
-5Z,)]
----
I
n
LX,2 ,=1
~ [f
E(8) I
=
E
representam
4X,2 - 5Z,X,]
...:.:..,="-.1 --n
LX,2 ,-I
teremos:
desvios
em relação
I
à média
na forma de desvios em relação à média:
(por
.
'"'
"~
.
-" /I
'L rz, - Z)(X; Como
-
X) =
-,-j~-,-I ------
0,7, temos:
/I
2:(X,
_X)2
j=)
.~
Multiplicando por 10 como pede o exercício, chegaremos ao valor de
~
.
'-, '",
.-,
.",
§.
(ANPEC 2004, 11) Considere
modelo de regressão linear múltipla para dados
O
seccionais: y, = ~o
+ ~IXI' + J3zxu + ... + J3kXki + u.,
i = 1, ... ,n.
É correto afirmar que: (O) Para que os estimadores de mínimos quadrados sejam lineares não-tendenciosos menor variância (BLUE) é necessário que os erros sejam homocedásticos.
de
Resposta: O teorerna de Gauss-Markov garante que os estimadores de rmrumos quadrados ordinários são MELNV - melhores estimadores lineares não viesados (ou BLUE - best linear unbiased estimalor), desde que as seguintes hipóteses sejam satisfeitas (conhecidas como hipóteses de Gauss-Markov): (I) E(Ui)
=
O, os erros têm média zero;
(11) E(xi;uj) == O, nenhuma variável explicativa é correJacionada com o termo de erro;
(11/) Var(uj)
==
a1, a variância
(IV) E(u,ui)
=
O, os erros não são autocorrelacionados.
dos erros é constante (hornocedasticidade); -Ór
;.
Portanto, a hipótese de homocedasticidade é necessária sim para que os estimadores de MQO sejam lineares não-tendenciosos de menor variância. Para a demonstração do teorerna de Gauss-Markov, consulte Sartoris (2003, p. 284-285) ou Pindyck e Rubinfeld (1998, p. 110-111).
IVERDADEIRA'
(I) A hipótese que Var(u,
I x.,;
=a
Z
Xli'
•••
' Xki)
,
i
=
1,... , n , é necessária para que os
estimadores de mínimos quadrados sejam não-tendenciosos. Resposta: Para que os estimadores sejam não tendenciosos, bastam as duas primeiras hipóteses elencadas no item anterior, ou seja, a média dos erros é zero e as variáveis explicativas são não correlacionadas com o termo de erro. Dessa forma, ainda que a variância dos erros não seja constante, os estimadores de MQO continuarão sendo não tendenciosos (e consistentes). A hipótese de homocedasticidade é necessária para que os estimadores sejam eficientes e para realizar inferência estatística com o modelo de regressão linear. IFALSAI
(2) As estatísticas t e F continuam válidas assintoticamente regressão sejam heterocedásticos.
mesmo que os erros da
Resposta: Quando há heterocedasticidade, os estimadores das variâncias são viesados inconsistentes, invalidando as estatísticas t e F mesmo assintoticamente.
e
IFALSAI
(3)Se
COV(X1i,
* O,
x))
i = I, ... , n , os estimadores
regressão y, =Po +P1X1i
+P1XU
+~4X4i
+ ... +PkXki
de mínimos +Ui'
quadrados
ordinários
i=l, ... ,n,
da
serão
consistentes. Resposta: Em primeiro lugar, há que se notar que se a covariância entre x i, e X3i for diferente de zero (multicolinearidade), nenhuma hipótese do modelo clássico de regressão linear estará sendo violada (a hipótese é de não existência de multicolinearidade perfeita) e, portanto, os estimadores de MQO manterão as propriedades desejáveis de um estimador. Isso poderia nos levar a concluir que a afirmativa é verdadeira. Porém, note que a variável X3i não está incluída no modelo de regressão. Dessa forma, temos o problema de omissão de variável relevante (ou subespecificação do modelo), o que causa viés e inconsistência nos estimadores de MQO. A omissão de uma variável relevante não causaria viés e inconsistência nos estirnadores apenas se a variável omitida fosse não correlacionada com todas as outras variáveis incluídas no modelo, o que não ocorre, já que cov(x
li , X3i)
::t O.
IFALSAI
(4)Se
COV(X1i,XJJ
regressão
= O,
Yi = f)o
i = 1,...
,11
os estirnadores
de mínimos
+ PIXt; + P2X2i + P.X4i + ... + PkXki + u.,
quadrados
i = I,....n ,
ordinários
da
serão
consistentes. Resposta:
--;.-....,
-
.......-.....
I'
A variável X3i está novamente omitida do modelo. Agora temos a informação que a COV(."\:Jh X3i) = O. Isso poderia nos levar a concluir que a omissão da variável X3i não causa viés e inconsistência nos estimadores de MQO. Há que se notar, porém, que nada foi dito a respeito da covariância entre variávelxj, e .as outras variáveis do modelo. E se essas covariâncias não forem iguais a zero, os estirnadores de mínimos quadrados ordinários dessa regr-essão serão viesados e inconsistentes. Além disso, mesmo que a covariância entre a variável X3i e cada uma das outras variáveis explicativas do modelo seja igual a zero, o estimador do intercepto será geralmente viesado e inconsistente.
IFALSAI
(ANPEC 2004, 14) Um pesquisador estimou uma regressão múltipla com 5 variáveis independentes e n = 56, mas na pressa, não imprimiu os resultados e anotou apenas o valor do R~ = 0,90, o coeficiente de determinação. Este pesquisador precisa verificar se a regressão é significante. Ajude-o, calculando o valor da estatística do teste a ser empregado. Solução: Para verificarmos se a regressão é significante, como nos foi fornecido o R2 dessa regressão, estatística F, que é dada por (veja questão ANPEC
precisamos calcular a estatística F. E 2 deveremos utilizar a forma R da 2002,10, item (3»:
'""\
F=
R'/(k-l)
0,90/5
-----'----'---
(I-R')/(n-k)
0,10/50
90
Portanto, o valor da estatística do teste a ser empregado é de podemos concluir que a regressão é estatisticamente significante.
(ANPEC
2003, 06) Considere
§. E com
esse valor,
o modelo de regressão linear múltipla para dados
seccionais y, = /3 + /3,x" + /3,x" + ... + /3,x" + u, 0
i=
I, ... , n.
É correto afirmar que: ~ (O) para que os estimadores de rrurumos quadrados sejam os melhores estimadores lineares não-tendeciosos é necessário que os erros sejam normalmente distribuídos;
-'"\ -.
Resposta: A hipótese de normalidade dos erros é necessária para que se possa real izar testes de hipóteses com o modelo de regressão (em amostras finitas) e também para que os estimadores de m ínimos quadrados ordinários sejam os melhores estimadores não tendenciosos entre todos, não somente entre aqueles que são lineares. Para serem os melhores não-tendenciosos entre os estimadores lineares, a hipótese de normalidade dos erros não é necessária (veja questão ANPEC 2004, 11, item I). IFALSAI
(I) a hipótese que
Vartu, I x",x", ... ,x.,) =
(J"',
i=
I, ... ,n, não é necessana para que
os estimadores de mínimos quadrados sejam consistentes; Resposta: A hipótese de que a variância seja constante (homocedasticidade) é necessária para que os estimadores sejam eficientes e para fazer inferência estatística com o modelo de regressão (mesmo assintoticamente). A consistência dos estimadores de MQO necessita apenas das hipóteses de que os erros têm média zero e que nenhuma das variáveis explicativas tenha correlação com o termo de erro. /VERDADEIRAI
(2) a inclusão de uma nova variável explicativa no modelo reduzirá o coeficiente de determ inação R2 ; Resposta:. A inclusão de uma nova variável explicativa no modelo sempre (raramente) mantém constante o coeficiente de determinação R2, nunca que ao se incluir lima nova variável no modelo a soma dos quadrados sempre diminui (ou, raramente, permanece a mesma). Essa é a razão pela
aumenta ou o diminui, já dos resíduos qual o R2 não
..
-
'"
.,
é adequado
para comparar modelos com número de variáveis diferentes, já que ele não leva em consideração a perda de graus de liberdade quando se adiciona uma nova variável. Vejamos mais formalmente notação matric ial:
Y=XP+
Considere
uma variável
Z qualquer,
temos:
Xp + ~Z + J1
=
da 1 regressão
Os resíduos
._"-
isso ocorre.
E
Acrescentando-se
Y
porque
ê=Y-XjJ
(I)
E os resíduos
da 2' regressão:
Çl= Y-Xfi-fZ O veto r
são dados por:
fi
(11) será dado por:
fi = (X:rr'x'Y fi = (X'XI'X'Y
- (X:J(X'X' f Z
f
-
(X'X)-IX'Z
esse valor em (11), obtemos:
Substituindo
p. = Y - X(X',,'(r'X'Y + f X(X'X)-'X'Z- f
Z
iZ
~l= [I - X(X'Xr 'X'] Y - [I - X(J('xr'x'] ~l=lvfY- fMZ onde M é matriz que produz os resíduos M
=
(residual
maker):
;rr'X'
1- X(X' ..
Portanto:
AfY
Y em X
= resíduos
da regressão
de
M? = resíduos
da regressão
de Z em X, que chamaremos
Z*.
Dessa forma: ~l
_.
"
=
ê - f Z* dos resíduos
çl'rl
=
Z*) (Ê -
f
Z*)
~l'çl
= Ê'Ê. -
fÊ
Z* -
f
Z*'Ê + f' Z:" Z*
2i
Ê' Z*
Çl'~·l =
(Ê ,-
f
Ê 'Ê -
E como: Ê = M}' = }'* =
Temos:
-r-,
f
Z*
+ f' 2*' 2*
da
i regressão
A soma dos quadrados
será então:
o seguinte
modelo
em
~ '~
== É rÉ -
r'
z*' Z"
Ou seja, a soma dos quadrados dos resíduos da segunda regressão (com a adição da variável Z) é igual à soma dos quadrados dos resíduos da primeira regressão menos uma valor (que é positivo). Portanto, quando acrescentamos uma variável no modelo, a SQR sempre diminui e, dessa forma, o R2 aumenta. IFALSAI
t e F sejam
(3) para que as estatisticas erros sejam normalmente
válidas
é necessário
assintoticamente
que os
distribuídos;
Resposta: Assintoticamente, a hipótese de normalidade dos erros não é necessária para que as estatísticas t e F tenham validade. Mesmo que os erros não sigam uma distribuição normal, os estimadores de mínimos quadrados ordinários serão normalmente distribuídos assintoticamente (Teorema do Limite Central), validando o uso das estatísticas t e F, desde que as hipóteses de Gauss-Markov (elencadas na questão ANPEC 2004, 11, item O) sejam válidas. WALSAI
\
(4) se Cov(x",x,J regressão
=F
0,
i == 1, ...
,11
y, == fJ" + fJ,x,1 + fJ,x)i
os estirnadores
+ ... + fJ,x"
de mínimos
+ u"
quadrados
ordinários
da
i == 1, ... .n , serão tendenciosos.
Resposta: Note
que nenhuma
hipótese
do modelo
clássico de regressão
violada (a hipótese é de não existência de multicolinearidade perfeita, e, dessa forma, os estimadores de MQO manterão as propriedades estimador, sendo, portanto, não' tendenciosos.
linear
está sendo
ou seja, Pxi.xi =F lI!) desejáveis de um
IFALSAI
(ANPEC 2003, 7) O método dos mínimos quadrados ordinários foi empregado para estim,?:r O modelo de regressão abaixo, cujo objetivo é explicar as variações de renda entre ')2}J)indivíduos: . log(renda) == 0,417 - 0,297 sexo + 0,080 educ + 0,029 exper - 0,00058 exper' + LI, tflJIl)
IIl.U:-fi)
(U.007)
R'
"(U.005)
== 0,441,
'n ==
(O.tlOOIO)
526,
em que sexo é uma variável dicotômica (valor I, se for homem e 0, caso contrário), educ é o número de anos de escolaridade, exper é experiência profissional, também medida em anos. Os números entre parênteses são os erros-padrão das estimativas (s
"
i == 0,.\ ... ,4) . Com base nos resultados
(O) a regressão
não é estatisticamente
menor do que 0,5;
acima, é correto afirmar:
significante
pois o coeficiente
de determinação
é
Resposta:
-r--, I
Para sabermos se a regressão é ou não estatisticamente significante, precisamos 2 realizar o teste F. O fato do R ser menor que um valor qualquer não implica que a regressão não seja válida. Façamos o teste F: R' /(k -I) 0,441/4 == 102 75 F = ----'---'-- -9/ )-? I ' (1-R')/(n-k) O,)) Como podemos
ver pelo resultado
acima, a regressão
é "altamente"
válida.
IFALSAI
(I) a diferença
de renda entre homens e mulheres
não é estatisticamente
significante;
Resposta: ----"
A diferença de renda entre os homens e mulheres é dada pela variável binária Vejamos se seu coeficiente é estatisticamente significante realizando o teste t:
fJ
- 0297
SI'
0,036
t =-=
'
sexo.
== -8,25
.
Com 521 graus de liberdade (n - k = 526 - 5), podemos, sem dúvida, rejeitar a hipótese nula de que o coeficiente é igual a zero e, portanto, a diferença de renda entre homens e mulheres é sim estatisticamente significante. IFALSAI
(2) um ano a mais de escolaridade; mantidos constantes todos aumenta em 0,08% a renda de um indivíduo do sexo feminino;
os demais
fatores,
Resposta: Note que apenas a variável dependente está em logaritmo, ou seja, temos um modelo log-Iinear. Nesse caso, o coeficiente de inclinação nos fornece a variação relativa na variável dependente dada uma variação absoluta na variável explicativa. Quando multiplicamos P por 100 temos a mudança percentual aproximada em
log(renda ): Ó log(renda) ~ P(IOO)% ... ..:...,
Seduc
Portanto, um ano a mais aproximadamente 8% .
de escolaridade
aumenta
a renda
de LIma mulher
em
IFALSAI
(3) a significância estatística ..
------
._.~
Resposta:
f.
conjunta
das variáveis
educ e exper não pode ser medida
Para isto, o teste F deve ser utilizado:
por meio ela
~-J
o teste t é adequado para testar significâncias individuais. Se quisermos realizar um teste de significância conjunta, o teste F é que deve ser utilizado, já que ele leva em consideração o fato que os estimadores de mínimos quadrados podem ser correlacionados. Por isso, O teste F para significância conjunta das variáveis educ e exper pode levar a resultados diferentes do teste t para significância individual de cada uma dessas variáveis. IVERDADEIRAI
~.'
(4)0 modelo é incapaz de captar diferenças nos retornos da educação entre homens e mulheres. Resposta: Note que o modelo inclui uma variável dummyôe intercepto para sexo, que capta diferenças na renda entre homens e mulheres (o intercepto da reta de regressão será diferente entre os sexos), Para que o modelo fosse capaz de captar diferenças nos retornos da educação entre homens e mulheres, precisaríamos de uma variável dummy de inclinação, ou seja, uma variável binária multiplicando a variável educação .dever ia ser incluída no modelo: log(renda)
=
a + /3/sexo + /32 educ + /h exper + /3-1exper» + /35sexo x educ +
E
~:
Sendo assim, o retorno da educação seria dado por:
/3:
educ + /3, sexo x educ --'\
Se o indivíduo for homem, o retomo será /3, + /3, educ, e se for mulher será 1/3,educ. Dessa forma, conseguiremos captar diferenças nos retornos da educação entre homens e mulheres. IVERDADEIRAI
(ANPEC 2002, 9) Pode-se afirmar sobre o modelo de regressão linear clássico y,= 13/ + /32 X, + u, (O) A reta de regressão passa pelas médias amostrais de y e x, mesmo que o modelo não tenha intercepto. Resposta: O estimador de mínimos quadrados ordinários para o intercepto é dado por: ~
_-.:..'.
A
/3=)I-f3x I
f
~
I
Rearranjando, temos que: v=f3+f3x
.,
,
I
~
f
Portanto, temos a garantia de que a reta de regressão passa pelas médias amostrais de y e x apenas se o intercepto estiver incluído no modelo. A estimação do modelo por MQO sem o termo constante nãopossui essa propriedade:
~ALS~
.
"",,'
.
(I) Na presença de heterocedasticidade, o estimador de MQO é viesado e não se pode confiar nos procedimentos de testes usuais (F e t), já que o estimador além de viesado, é ineficiente. Resposta:
.. -------
A presença de heterocedasticidade no modelo não causa vies no estirnador de MQO. OS estimadores de MQO apenas serão viesados se forem violadas as hipóteses que os erros têm média zero e/ou que não há correlação entre as variáveis explicativas e o erro. Como a hipótese de homocedasticidade é necessária para a demonstração do teorema de Gauss-Markov, se for violada, os estimadores de MQO serão sim ineficientes. Além disso, como o estimador da variância será viesado na presença de heterocedasticidade, não poderemos confiar nos testes de hipóteses usuais (t e F), mesmo assintoticamente. IFALSAI
(2) Na presença de autocorrelação viesados e consistentes.
dos resíduos,
os estimadores
de MQO
são não
Resposta: A hipótese de não existência de autocorrelação dos resíduos nãoé necessária para que os estirnadores sejam não viesados e consistentes. Portanto, a sua presença não levará a viés e inconsistência nos estimadores de MQO (desde que não esteja incluída a variável dependente defasada entre' as variáveis explicativas, como é o caso). Quando a hipótese de autocorrelação dos erros é violada, os estirnadores serão ineficientes e os testes de hipóteses serão inválidos. IVERDADEIRAI '
(3) Quanto maior for a variação da variável o coeficiente angular pode ser estimado.
explicativa,
maior será a precisão
com que
Resposta: Suponhamos o caso extremo em que não haja variação da variável explicativa, Oll seja, ela assume apenas um valor. Nesse caso, não conseguiremos explicar a variação da variável dependente através dessa variável explicativa (já que essa não varia). Aliás, será mesmo impossível estimar o modelo. O diagrama de dispersão entre X e Y será uma linha horizontal, como mostrao gráfico abaixo.
-, .-\) --1 -,'
---;.
Y8-
7
J
6
•
••
5 4-
---..;-.
•
3·
•
•
2 1 O
X O
3
2
4
-,,Para que possamos explicar a variação de Y, a variável explicativa deve variar (l), e quanto maior for a sua variação, com mais precisão poderemos estimar o coeficiente angular. IVERDADEIRAI ...c::::.- •.
2
(4) Se R (coeficiente de determinação)
for zero, então a melhor previsão para um valor
de y é sua média amostral. Resposta: Se o R" é igual a zero, então a SQE
=
0, ou seja,
LY'
=
/1,
LX'
= O. Portanto, /1, =0.
Nesse caso, temos que:
_:...
p,- = y - p,x
y
=
-
fi, + OX2
=
-
fi,
=
Y
Sendo assim, se R2 for igual a zero, a melhor previsão para y será a sua própria média amostra!. IVERDADElRAI
--";
~.
(ANPEC 2002, 10) É correto afirmar a respeito do modelo de regressão linear clássico multivariado: Y = Xy + é, com n observações e k > 2 variáveis explicativas, incluindose o intercepto.
.,
(O) Os coeficientes
de inclinação não se alteram quando medida de Y e X multiplicando-os por uma constante, se seus valores de reais para dólares.
se modificam por exemplo,
as unidades de transformando-
Resposta: Quando alteramos as unidades de medida tanto da variável dependente quanto da (s) independente(s), as estimativas de seus coeficientes de inclinação não se alteram; o intercepto porém deverá ser multiplicado por essa constante, assim como os resíduos. Por exemplo, suponha que multipliquemos Ye X por c:
Note que, nesse caso, os parârnerros estimados todos por c, retomaremos ao modelo original).
não serão alterados
(se dividirmos
Convém lembrar aqui os efeitos de mudanças nas unidades de med ida só na variável dependente ou só nas variáveis explicativas: mudança apenas na variável dependente: os coeficientes deverão ser modificados para que a regressão estimada continue válida. Se multiplicarmos Y por uma constante, os parâmetros estimados dos coeficientes de inclinação e do intercepto também deverão ser multiplicados por essa constante para que as estimativas sejam válidas. mudança apenas nas variáveis independentes: nesse caso, também devemos alterar os coeficientes estimados para que a regressão continue válida. Se multiplicarmos os coeficientes das variáveis independentes por uma constante, os seus coeficientes deverão ser divididos por essa constante: Y =
r" + r,
(cX,)
C
+ ... ~(cXJ:)
+ E.
C
tvERDADEIRAI
(I) Se o modelo for estimado com apenas k-I variáveis explicativas (mas mantendo intercepto), os coefic ientes estimados poderão ser viesados e inconsistentes.
o
Resposta: Se a variável retirada for relevante (e for correlacionada com alguma outra variável explicativa), teremos o problema de omissão de variável relevante, o que causa viés e inconsistência nos estimadores de mínimos quadrados ordinários. Veja também questão AN PEC 2004, 1 I, itens 3 e 4). IVERDADEIRAI.
(2)
'-
Quando
os
coefic ientes
r .s
estimados
forem
altamente
s ign ificati vos,
individualmente, mas a estatística F e o R2 indicarem que o modelo como UIl1 todo tem um baixo poder expf icarivo. pode-se desconfiar da presença de mulr ico I i nearidade.
Resposta: Poderemos desconfiar da presença de multicolinearidade quando o contrário ocorrer, ou seja, quando a estatística F e o R2 indicarem que o modelo é significante, mas os coeficientes não forem significantes individualmente. Isso ocorre porque a variância dos coeficientes das variáveis explicativas aumenta quando há multicolinearidade. IFALSAI
(3) Para testar a hipóteseconjunta
de que Y2
= Y = ... = Y = O, pode-se 3
k
utilizar o teste
/
F ,
~7tk7 I)
,=
[(I - R2)(n - k)]
0',0-11.(,,-4)
modelo,
, em que R2 é o coeficiente
de determinação
do
/
Resposta: Podemos sim utilizar o teste F para testar essa hipótese. Mas vejamos se essa "forma R 1" da estatística F está correta. A estatística F é dada por: F
= ""(1-",,.-1)
SQE/(k-I) SQR/(n - k)
E sabemos que R2 é dado por: R2
=
SQE SQT
=
1 _ SQR
SQT
Rearranjando, temos que: SQR = (I - R2)SQT E como: SQE
= SQT
- SQR
Temos: SQE=SQT-
(1 - R2)SQT=
2
SQE= R SQT
Substituindo as expressões acima para SQR e SQE na estatística F, obtemos: F ~"-,, ••-.,
F
=
R'SQT/(k-I) (1 - R' )SQT /(n - k) R'/(k -I) (1- R')/(n - k)
= ---'-'--~~,I-I".-Il
IFALSAI
\,
(4) Sempre que o modelo tiver pelo menos duas 2 intercepto, o R será maior ou igual ao R2 ajustado.
variáveis
explicativas
além
do
Resposta: 2
O R é dado por:
R"
E
=
O
1 _ SQR SQT 2
1[1 (R ajustado
aos graus de liberdade):
1[1= 1- SQR/(n-k)
= 1 _ SQR x n-l
SQT /(n - I)
SQT
n- k
Portanto, se k = I , R2 = R1. E se k maior que I, R" > R' . Dessa forma, sempre que o 2 modelo tiver pelo menos uma variável explicativa além do intercepto, o R será maior ou igual ao R" ajustado.
IVERDADEIRAI
(ANPEC 2001, 9) A partir de uma amostra de n elementos, linear simples,
pelo método de mínimos
quadrados,
obtendo-se
foi estimada uma regressão os resultados:
êt. :;t O R2I = K I A seguir, população resultados: }~ =
a mesma regressão foi estimada sabendo-se que a reta de regressão passa pela origem das coordenadas (termo constante = O), obtendo-se
da os
jJ~X,
R22::: K 2 Pode-se afirmar
(O) ~ 1 == ~
que:
2
Resposta: O estimador de mínimos intercepto é dado por:
I(x, - X)O~ fi, =
quadrados
do coeficiente
de inclinação
de uma regressão
- Y)
f (r - v)' "'-" , ~I
E o coeficiente
'
de inclinação
de lima regressão
simples sem o intercepto
é:
com
"
-\'"
" Ixy , Ir' ,.,
fJ
= -"'-
-"i',
Portanto, a igualdade entre esses dois coeficientes apenas ocorrerá se a média de X e Y (X e Y, respectivamente) forem iguais a zero,
;-.-':::".,
IFALSAI
(2) s p, (desvio padrão de fJ2) < S fi, (desvio padrão de fJ, )
Resposta: \,
Se realmente a reta de regressão passa pela origem, então a equação sem o intercepto fornecerá uma estimativa mais precisa do coeficiente angular e, portanto, o seu desviopadrão será menor. Note, porém, que se o intercepto não estiver realmente ausente do modelo. as estimativas obtidas serão viesadas.
-----\", .-;"
IVERDÁDElRAI
(2) A reta ~2X passa pelo ponto médio da amostra (X, Y)
I ',.
.
Resposta: _ A reta de regressao apenas passa' pelas médias de X e Y quando o intercepto
está
incluído no modelo. Portanto, a reta â + /J,X, é que passa pelas médias amostrais de X e Y. (Veja questão ANPEC 2002,9, IFALSAI
item O).
-\"
Resposta: Em primeiro lugar há que se notar que não foi especificado como foi calculado o R2 da regressão sem o intercepto. Suponha que na segunda regressão tenhamos O R2 não centrado, que é dado por: _
K2-
z
_
ÍJ:'IX'
u; - Iy'
E o R2 da primeira regressão é:
A divisão entre eles será:
-:.::"
..
P,'IX'
p,2
IY' (X - X)'
"i
2)Y A divisão
-Y)'
será maior
que
I x' ::2: I (X - xr . Isso
Porém,
I apenas
note que os valores
saber qual é maior. medidas.
se o numerador
nos levar a concluir
poderia
/J
de
Portanto,
for maior
das duas regressões
nada se pode
afirmar
que
I. Sabemos
que a afirmativa
que
está correta.
não são iguais, e não podemos sobre
a razão
entre
essas
duas
IFALSAI
(4) A soma dos resíduos
de mínimos
quadrados
de ambas equações
estimadas
é zero.
Resposta: _ .."\
Consideremos
primeiro
Y=cc+fJX+& r I
Sabemos
/3,
I
If'
minimizar
=
A-
I(Y
minirnizar
=-2IcY-â-fJ,X)=0
ordinários
dos resíduos,
Oll
consiste
em encontrar
â e
seja:
-â- /J,X)'
A
(I)
= -2)' (Y -cc - fJ X)X = o (11) A
~
'
Note que o termo entre parênteses temos que:
-2L:i
quadrados
a soma dos quadrados
A
--=7-
dos mínimos
de I" ordem: temos que: .
Pelas condições
-:3'à aIF ap,
f
que o método
que minimizem
a)' i'
o modelo com intercepto:
são os próprios
resíduos
da regressão.
Utilizando
(I),
=0
Dessa forma:
)'i '"-'
=
O
Portanto, a zero.
quando
o intercepto
Vejamos
agora o que acontece
estiver
incluído
no modelo, a soma dos resíduos será igual
".:;;.-...,
l~ = fJ,X, A condição
quando
o intercepto
+ }i, de primeira
ordem é dada por:
não está incluído
no modelo:
,.) .) '\
.;) --.,,-' - -) '\-""
-)
-r-,
)
djJ
-,
= -
L (Y - fl,X)X ' 2
dfl,
"
~)
--J _,"o
=O
""'
-
E o que está entre parênteses
são os próprios
resíduos
da regressão.
Portanto: --...,.--'
-2 LCjLX) = O Dessa forma, temos que:
LU/X)
=O
Portanto, quando o intercepto será igual a zero.
não está incluído
no modelo,
Concluímos, então, que apenas a soma dos ordinários da primeira regressão é igual a zero.
resíduos
a soma dos resíduos
de
mínimos
não
quadrados
IFALSAI
(ANPEC, 2001, 12) No modelo clássico de regressão (O) A hipótese estimadores distribuídos.
linear:
Y; = fl, + fl2X; + u;
de que o erro é normalmente distribuído é necessária de mínimos quadrados "ordinários também sejam
para que os normalmente
Resposta: Se assumirmos que o erro é normalmente distribuído, então Y será também normalmente distribuído. E, como os estimadores de mínimos quadrados ordinários são somas ponderadas das observações de Y, (veja item 4 desta questão), podemos concluir que eles serão também normalmente distribuídos, já que uma soma ponderada de variáveis normalmente distribuídas será também normalmente distribuída. Cabe notar, porém, que para que os estimadores de MQO sejam distribuídos normalmente assintoticamente, a hipótese de normalidade do erro não é necessária. IVERDADEIRAI
(I) Se a hipótese quadrados
cov(u"uj
ordinários
I X"X = j)
serão viesados
O,i
*j
for violada,
os estimadores
de mínimos
e não eficientes.
Resposta: Apesar dos estirnadores de mínimos quadrados ordinários serem não eficientes na presença de autocorrelação, eles continuam sendo não viesados. A presença de autocorrelação apenas fará com que os estimadores de mínimos quadrados ordinários sejam viesados, quando houver entre as variáveis explicativas a variável dependente
defasada, já que nesse caso, o termo de erro estará correlacionado explicativa (veja questão ANPEC 1998, 13, item 2).
com a variável
IFALSAI
(2) As
hipóteses de cov(ui,Uj!Xi,X,)=O,
que
o
erro
i:;
é normalmente asseguram que
j
distribuído e de que e ujse distribuem
lt,
independentemente. Resposta:
'.~
Quando a distribuição é normal, o fato da covariância ser igual a zero implica que as variáveis são independentes (veja questão ANPEC 2003, 09, item 4, em esperança, medidas de dispersão e independência de variáveis aleatórias). Portanto, se os erros são normalmente distribuídos e suas autocovariâncias são nulas, então eles são independentemente distribuídos.
".r--.
IVERDADEIRAI
(3) A hipótese quadrados
Var(fij!
ordinários
Xj) =
(J
2
é necessana
para que os estimadores
de mínimos
sejam não tendenciosos.
Resposta: Para que os estimadores de MQO sejam não tendenciosos, bastam as hipóteses que os erros têm média zero e que nenhuma das variáveis explicativas é correlacionada com o termo de erro: A hipótese de homocedasticidade é necessária para que os estimadores seja eficientes e para os testes de hipóteses com o modelo de regressão. FALSA
(4) Os estimadores combinações
de mínimos
quadrados
lineares das observações
de
~I
e
~2
podem
ser escritos
como
Yi.
Resposta: Os estimadores de rrurumos quadrados podem ser escritos sim como combinações lineares das observações da variável dependente. Mais precisamente, eles podem ser escritos como uma média ponderada dessas observações:
!x,Y. {J, , ••I
\ Fazendo c
= ~, ~x' ;........;
--,...:..".
temos que (assumindo ,
tratá-Ia como uma constante):
/3. = fc r .
.:..-...J
,-
,
que
Xi
seja fixo e que, portanto,
possamos
'.
--"'1
--e.
""
.
l,'
~."
IVERDADEIRAI
(ANPEC 2000, 06) Seja o modelo de regressão linear clássico com duas variáveis explicativas X2 e X) Yr=
+ P2 X2i + P3 X3i + u, ' É correto afirmar que:
~I
(O) Se a correlação entre X2 e X) é zero, então o estimador de mínimos quadrados
ICX2; ordinários (MQO) de
j]2
-
-
-X2)CY;-Y)
é
Resposta: Quando a correlação entre X2 e X3 for igual a zero, o estimado r de MQO de uma regressão múltipla será igual ao estimador da regressão simples, Vejamos: Temos o seguinte modelo (o subscrito "i" foi omitido por simplicidade),
Utilizando as variáveis centradas, temos que: y = ~2X2 + P:Y'3 E =
Y -
A,XJ A", t-I_ _ - t-'>-.)
o método
dos MQO consiste em minimizar a soma dos quadrados dos resíduos:
minimizar
I>:' I(y=
j],x, -
/3,x}
As condições de l' ordem são:
aIE'
-I 2x, (y - ü», - j],x.)
aj],
Ix,y = /J,Ix;
=-
=
LX,y
O
/J,Ix: + /J,Ix,x; + /J,Ix,x, = Ix,y +
aIE' _ -=-~- - "2x, (y aj], L.. =-
=
j],X, - j],x.) - -
,.,
+ jJ,Ix,x,+
j]~2~"2'~ '\' x x
+ /3~.c: '\' x',;=
=
O (I)
_ - O
AIx: = O '" ~"J
x Y
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
(11)
--"';:",
,.
,8J~>~ + ,a,Ix,x, ft,Lx,x, + /l, Ix: Multiplicando
a
r'
Ix,y = Ix,y
=
equação
por
L x,x,
e a
i
por
I x;
e subtraindo
a
i
da I' ,
. obtemos:
ft,Lx; Ix,x, ft,Ix,x, :L><
Da equação
ft,Ix,x, + ft,Ix:
Ix,x,
+
Ix:
=
Ix,y LX,x, Ix,y Ix: =
(I) temos que:
ft, I-'< + ft,Ix,x, = Ix,y ~ ""'x,y - ft. ""'x, x,
/J,=
L
",L
..
Yx; -"-J . .
~
ft"
Substitu indo
temos:
P,= L": _ Lt'YLXt - L:',YLx: x LX,~,
Ix,
.
'"
.-
'"
Ix,x,
-
Ix;Ix;
Ix,
Y x,y /J~=~+
-"L·x,y('\' x,x,)' + L· '\' X.yY x~· x,x, L '. •....• .. 'Ix; I-< (Ix,x,)' - Ix:I< jJ,= Ix,y(Ix,xJ + Ix,YIx~Ix: -,Ix,y(Ix,xJ
.
ft
Ix: [(Ix,xJ - Ix:I-<]
=
I-< + IX] Ix,x, (Ix,xJ - IX::L><
Ix,y
, Dividindo
o numerador
Ix,y
IX]
ft,= N-
e o denominador
Ix,x,
~x:~'<
'\' x, '\' x; l_L .L. .'\' ' X LX,L '
~.
"
.
~Ix,yIx;Ix,x,
v"
'\' .r._.v'" L·x~- " L·#x L .1,.1 -' '\' ''\' ,( ~,) L"X-; L,x; 1- P,',
/J , :::::~
da expressão
acima por
L-r: LX: , temos:
Se
/J
P"
(coeficiente de correlação entre X2 e X3)
==
O a expressão acima toma-se:
Ix,yIx: - Ix,y Ix,x, Ix,y _"x ' Ix,x, , Ix;I-< _Ix~ c: ,} Ix::l>~ =
=
l:~','.
Analisemos a expressão
tL:CX, I(X,
x,
-X,)(X,
x,
Elevando o numerador ao quadrado, temos que:
-X,»)'
-X,)'I(X,
(
-X,)'
cov(X"X,) ~var(X,)-var(XJ
)' =
~, P~,
/J, será:
Portanto,
Ix,y _
Ix: -
IeX, -X,)(Y
-Y)
Ic.X',-X,)'
estimador
do coeficiente
de inclinação
de
urna
regressão simples. -;;""
IVERDADEIRAI
'\
"
<,",,,~
~~ (I) Mesmo que a correlação entre X2 e X) seja igual à unidade, pode-se estimar C~3, em que c é uma constante conhecida.
~2
+
Resposta: Quando a correlação entre as variáveis X2 e X) for igual a I, temos o problema de multicolinearidade perfeita e o modelo não poderá ser estimado (veja a expressão para iJ, no item anterior). Porém, façamos X3 Y
j
==
=
cXz. Nesse caso, o modelo toma-se:
/31 + /32X2i + /33(CX;} + u,
Y, == /3, + (/32 + cjh)X2i + u, Note que o "problema" foi eliminado. Agora temos uma regressão que pode ser estimada, já que não há nenhuma variável explicativa perfeitamente correlacionada com outra. IVERDADEIRA]
(2) A eficiência relativa dos estimadores de MQO, dentro da classe dos estimadores
lineares não viesados, garantida pelo Teorema de Gauss Markov, necessita da hipótese de normalidade do erro (u, ). Resposta: A hipótese de normalidade do erro não é necessária para que se garanta a eficiência dos estirnadores de MQO dentro da classe dos estimadores lineares. Como já sabemos, essa hipótese é necessária para que se garanta a eficiência dos estimadores
Ó,
-'"
de MQO dentro da classe de todos os estimadores, não apenas os lineares e também para que se possa realizar testes de hipóteses com o modelo de regressão (em amostras finitas). IFALSAI
(3) Se o erro (Ui) é heterocedástico,
os estimadores
de MQO serão
viesados.
Resposta:
"_ .
.--...,
Para que os estimadores sejam não viesados, necessitamos apenas das hipóteses de que a. média dos erros é zero e de que as variáveis explicativas não sejam correlacionadas com os erros. A hipótese de homocedasticidade é necessária para que se garanta a eficiência dos estimadores de MQO e para a realização de testes de hipóteses com O modelo de regressão linear (mesmo assintoticamente). Portanto, se o erro é heterocedástico, os estimadores de MQO continuarão sendo não viesados. IFALSAI
(4) Se as variáveis explicativas são estocásticas, porém não correlacionadas com o erro (u,'), então, os estimadores dos parâmetros do modelo são não-viesados, -\
Resposta: Uma das hipóteses do modelo clássico de regressão linear é que as variáveis sejam fixas em amostras repetidas, ou seja, sejam não estocásticas (não aleatórias). Porém, pode-se garantir que os estimadores dos parârnetros do modelo serão não-viesados ainda que as variáveis explicativas sejam estocásticas, desde que
explicativas
""
a covariância
entre elas e o erro seja nula, ou seja, E(s,x,) =
o.
IVERDADEIRAI
.------
""
(ANPEC 2000, 10) O seguinte trimestrais
modelo 1979 e 1998, inclusive:
entre
y,
=
de regressão
foi estimado
utilizando-se
dados
2.20 + O.J 04 X2i
A soma total explicada foi 100,5. Quando esta equação foi re-estimada, adicionando-se três "dumrnies" sazonais, a soma total explicada aumentou para 114,5 e a soma do quadrado dos resíduos foi igual a -20,00. Suponha que deseja-se testar se a sazonal idade é significativa. Calcule a estatística de teste adequada. Solução: Temos que:
""
.
"
"-,
"\.
""
...
'"'\ ..
Modelo [ (com 1 variável explicativa): SQE
= 100,5
SQR
=
34
SQT
=
134,5
n = 80
Modelo IJ (com adição de 3 variáveis dummies sazonais): SQE = 114,5 SQR
=
20
SQT
=
134,5 (SQE + SQR)
n
=
80
Note que a soma 'dos quadrados totais não muda com a adição de variáveis no modelo. A estatística F, que nos permite testar se a sazonalidade é' significativa, ou seja, se as variáveis dummies são conjuntamente estatisticamente significantes, será dada por: SQRR - SONR .~
F=
m
34 - 20
SQRNR n
')
=.J
20
14 75 =-x-=175 3
20
'
80-5
apenas a parte inteira do resultado acima, chegaremos
ao valor de
[!1].
. r.. ---.-..-......
(ANPEC 2000, 11) Considere o seguinte modelo de regressão linear clássico, relacionando as variáveis quantidade demandada (Q) e preço do produto (P). Admita que as duas variáveis sejam medidas em Reais, e que a estimação será efetuada por MQO (ln é logaritmo natural)
-~
i = 1,2, ...,100.
É correto afirmar que: (O) Variando-se
o preço em I %, a quantidade
demandada variará 10132%, ceteris paribus,
Resposta: Como temos um modelo log-log, aLI seja, um modelo no qual todas as variáveis estão em logaritmo, f32 nos dá a variação relativa no preço dada lima variação relativa na quantidade: A
~%O
/3, = IJ.%P J
..",
Se o preço variar em 1%: , ~%O /3,= --. 1%
~%º=ft, Portanto, variando-se
o preço em 1%, a quantidade
demandada
variará em f3~%.
IFALSAI (I) Ignorando-se o termo aleatório, se o preço ultrapassar determinado obter quantidades demandadas negativas.
"~
limite, será possível
Resposta:
.
----
Nore que não existe 1/1 de número negativo e, portanto. será impossível demandadas negativas . IFALSAI
obter quantidades
(2) S~ mudarmos as unidades de Q e P para dólares americanos, então a estimativa na nova equação será igual a sua estimativa obtida na equação em Reais.
de
B2
Resposta: Quando mudamos as unidades de medida tanto da variável dependente quanto da(s) variável(is) independente(s), os coeficientes de inclinação do modelo não são alterados (veja questão ANPEC 2002, 10, item O). IVERDADEIRAI (3) Se a variável In Y (Y = renda) for acrescentada ao modelo, o coeficiente regressão será maior ou igual ao coeficiente R2 da regressão original.
R2 desta nova
Resposta: Sempre que acrescentamos uma nova variável no modelo, o R2 aumenta (ou raramente permanece inalterado), já que a SQR irá diminuir (veja questão ANPEC 2003, 6, item 2).
,.:
IVERDADEIRAI (4) Se o coeficiente
2
ajustado da regressão com a variável In Y for maior do que o coeficiente R ajustado da regressão original, então necessariamente, o coeficiente de In Y é estatisticamente significante, ao nível de significância de 5%, em um teste bilateral. R
2
Resposta: Quando acrescentamos uma variável ao modelo original e seu R2 ajustado aumenta, podemos apenas afirmar que o valor da estatística t referente ao parâmetro dessa variável será maior que I. Isso, porém, não significa necessariamente que a variável seja estatisticamente significante a 5%. Aliás, para amostras grandes, a estatística t para 5% de signi ficância será igual a l , 96. Ou seja, se a estatística t for maior que I, nada garante que a variável seja sign ificante a 5%. IFALSAI
(ANPEC 1999,4)
Seja o seguinte modelo de regressão linear múltipla na forma matricial:
Y=X.j3
+&,
onde as dimensões das matrizes e dos vetores envolvidos fi =>(kx I);e li =>(nx I).
são: Y=> (17 x 1); X => (n x k);
Então, podemos fazer as seguintes afirmações: (O) Um dos pressupostos básicos do modelo é: Os elementos com valores fixados em amostras repetidas. Resposta:
da matriz X são estocásticos
,.
R2
Variáveis preditoras Constante
Coeficiente
XI X')
-1,26 -1,03
=
Desvio padrão 254,8 0,8263 3,213
__ J,J" ??"
81,2%; R2 ajustado
==
Estatística "t' 0,88 -1,52 -0,32
p-valor 0,410 0,172 0,752
76,1 %; Valor calculado da estatística
F=15, 1
Podemos afirmar que:
(O) A equação de regressão estimada é
Y = 223,3 -1,26,X,
-1,03. X2
•
Resposta: Aqui é só olhar para a tabela e ver que realmente a equação de regressão estimada é essa. tyERDADElRAI
(1) A um nível de significância
de 5% podemos afirmar que a regressão existe. Porém, após elaborarmos os testes de hipóteses para os coeficientes individuais, aceitamos a hipótese (a um nível de significância de 1%) de que o coeficiente para a variável X2 é zero. Resposta: Para uma amostra de tamanho 10, o valor de 15,1 da estatística F nos permite afirmar que a regressão é realmente estatisticamente significante a 5%, ou seja, ela existe. Porém, não só a variável X2 não é significante a 1%, como X3 e o intercepto t mbém, já que os valores-p para todos os coeficientes ultrapassam 0,0 I. ' IVERDADEIRAI
1
(2) O coeficiente de deterrn inação indica que 81,2% da variação amostra] de Y podem ser atribuídos as variações de XI e X2. Resposta: Como o valor do R2 é de 81,2%, sabemos que 8\ ,2% da variação amostra I de Y é explicada por variações em X, e X2. IVERDADEIRAI -~
"--~,
(3) O valor estimado para Y quando XI = 15 e X~ == 80, é 220. Resposta: Para encontrar o valor estimado de Y quando X, = 15 e X: valores na reta de regressão estimada: Y
= 233,3 - I ,26"Y, - 1,03 ..\']
Y=233J
- 1,26x \5 - 1,03x80
y= 233.3 - 18.9 - 82.4
= 80, basta substituir esses
y= 132 IFALSAI (4) Os valores teóricos das estatísticas "t" utilizadas para testar os coeficientes variáveis explicativas devem ser calculados para 7 graus de liberdade. Resposta: Como temos 10 observações realmente 7.
e 3 coeficientes
desconhecidos,
das
os graus de liberdade serão
IVERDADEIRA/
(ANPEC 1998, 13) Considere o seguinte modelo de Regressão
1'; = a onde E( JlI
)
=
O , Vare JlI
(O) Se, XII = X2/,
)
=
+ /32X21 + u, , t = 1,2,3, .... n
+ ~JÇII
X
cr/~ e XII'
21
são séries de valores fixos.
ainda assim é possível obter os estimadores
. I' ~ e~.
'.
Linear Multiplo :
de Mínimos Quadrados
de
a
.
Resposta: Se XII
= X21 teremos o problema de multicolinearidade
perfeita, caso em que não é possível
estimar o modelo. IFALSAI
(I) Se /-l, e Jl, são independentes lineares não tendenciosos,
para todo t
os estimadores
-:;t
s , então dentro da classe dos estimadores
de Mínimos Quadrados
de a, ~
e ~
são os
melhores. Resposta: Na questão ANPEC 2004, 11, item (O), elencamos as hipóteses que garantem que os estimadores de mínimos quadrados ordinários são os melhores dentro da classe dos estimadores lineares não viesados (MELNV). O próprio enunciado dessa questão já nos diz que as 3 primeiras hipóteses são satisfeitas, ou seja, os erros têm média zero e variância constante e os valores das variáveis explicativas são fixos em amostras repetidas (o que garante que as variáveis explicativas não são correlacionadas com o erro). Portanto para que os estimadores sejam MELNV, falta apenas a hipótese de não existência de autocorrelação entre os erros. Mas, se os erros são independentes, então as suas autocovariâncias são iguais a zero, o que nos garante que não existe autocorrelação. Portanto, nesse caso, se os erros são independentes, os estimadores de MQO de a, /3, e /32 são MELNV.
Um dos pressupostos básicos do modelo é que os elementos da matriz X são nãoestocásticos, ou seja, não aleatórios em amostras repetidas, ou ainda, possuem valores fixos em amostras repetidas. Aqui, deve ficar bem claro que estocástico é sinônimo de aleatório. IFALSAI
Outro pressuposto básico é: nenhuma das variáveis independentes deve estar perfeitamente correlacionada com qualquer outra variável independente OLl com qualquer combinação linear de outras variáveis independentes. Resposta: Um dos pressupostos básicos do modelo de regressão linear é que nenhuma variável explicativa deve ser perfeitamente correlacionada com outra variável explicativa, ou seja, não deve existir multicolinearidade perfeita. Essa hipótese é necessária para que possamos efetivamente estimar o modelo, já que se ela não for verificada, a estimação será (1)
impossível. ..
::--..
Na questão ANPEC 2000, 06, item O, mostramos
que fi,
em uma regressão
múltipla com 3 variáveis é dado por:
Se o coeficiente de correlação entre as variáveis for igual a I, o denominador da expressão acima será zero (assim como de todos os outros coeficientes de inclinação) e, portanto, os parârnetros da regressão não poderão ser estimados.
I [VERDADElRAI
As equações
(2)
normais
de mínimos
quadrados
para
o modelo A
apresentadas
em notação matricial como (X' Y)
:=
Resposta: O modelo de regressão
linear pode ser escrito em notação matricial como:
Y=X/3 '-r--
Pré-muítiplicando (X'V) = (X'X)
por X', temos:
jJ
E a solução para /3 será realmente:
jJ
-r-.)
=
(X'Xrl(X'Y)
podem
ser
A
(X' X)fJ e a solução para fJ será
fi = (X'X)-'(X'Y). :--,
dado
IVERDADElRAI
(3) Quando testamos a existência do modelo de regressão, sobre os coeficientes fJ da regressão (admitindo que passa pela origem): Hipótese nula =>
Ho': fJ2 = fJ3 H1: Todos os
Hipótese alternativa =>
fazemos as seguintes hipóteses /31 :f:. O, ou seja, a regressão não
=,--= /3k =
/3
i
:f:.
O
O, para i = 2,3,_. _, k:
Resposta: A hipótese nula realmente
é de que todos os coeficientes de inclinação sejam iguais a zero. Porém a hipótese alternativa é de que pelo menos um desses coeficientes seja diferente de zero. IFALSAI
(4) Os intervalos de confiança seguinte maneira:
dos coeficientes
da regressão
"
(J3; - t.,.Sfi, ; J3; + tn_k
podem ser calculados
da
fi, )
.S
A
onde
fl/ =
estimativa do coeficiente
- k) graus de liberdade,
fixado
Ó
fJi;
grau de
tn_k
= abcissa de uma distribuição "t" com
confiança
de intervalo; e Sfi.
(11
= erro padrão
A
esti mado de
fli.
Resposta: Sabemos que:
/,8,-0/_
1
,,-~,
Si.
Portanto, o intervalo de confiança para fJ, será dado por: (,8,
± t,,_,si')
IVERDADElRAI
-r-, -, (ANPEC 1999, 05) Foram encontrados os seguintes resultados para estimar regressão linear com duas variáveis explicativaspara uma amostra de tamanho 10.
LIma +-,
"
---." '"""-
'"
'"
~ -----.,
."
IVERDADEIRAI
(2) Caso X2,
=~-l
na equação acima, e os erros
de Mínimos Quadrados de a, f3t e
A
).lI
sejam autocorrelacionados,
mantém a propriedade
o estimador
de não-tendenciosidade.
Resposta: Se XlI
.0
=
=
Yt-/, o modelo torna-se:
a + fJr,'Yll + [32 Y1-l + Ji,
Supondo que a autocorrelação lU, =
seja de !' ordem, temos que:
pJir-l + E,
Escrevendo
o modelo para Y,_!, obtemos:
Y,-l = a + !3lXU-l Das expressões
+!3lY,-l + pl-1 acima, podemos concluir que:
u, é correlacionado Y,-l é correlacionado
E, como hipótese violada viesados
com PI-l. com /-l,-l-
com /-lI, Y,_I será também correlacionado com ).1,_ Portanto, a de que o erro não é correlacionado com nenhuma das variáveis explicativas é e, dessa forma, os estimadores de MQO serão, além de ineficientes, também e inconsistentes. /-l,-! é correlacionado
IFALSAI
(3) Quando a variância dos resíduos, Var(/-l,), Mínimos Quadrados
de a, f3t e
A
varia' para cada t, então os estimadores
ainda são não tendenciosos
de
mas ineficientes,
Resposta: Nesse caso, ocorre o problema de heterocedasticidade, ou seja, a variância dos resíduos não é constante, o que faz com que os estimadores de MQO sejam ineficientes. Porém a propriedade de não-tendenciosidade ainda é mantida. .,-"",
IVERDADEIRAI
(4) No caso da existência de autocorrelação e heterocedasticidade dos resíduos, as variâncias arnostrais dos estimadores de Mínimos Quadrados de a, ~ e /32 são tendenciosas, fazendo com que os testes de hipóteses destes parârnetros fiquem comprometidos.
."
Resposta:
,\"
J.o . (ANPEC 2005, 08) Considere o modelo de equações simultâneas:
o: =
+ CtIP, + Ct2X, + el, (demanda)
Cto
Q;' = /30 + /31?' + e21 (oferta) Q;' = Q,' (condição de equilíbrio)
Q/
e
Q;' são, respectivamente,
variável
exógena
constantes.
as quantidades
e el, e e21 são os termos
e ofertadas do bem, X, é uma
demandadas aleatórios,
com médias
zero e variâncias
São corretas as afirmativas:
(O) As equações de demanda e oferta são exatamente identificadas. Resposta: Para que lima equação seja exatamente identificada, o número de variáveis endógenas nela incluídas (G*- l ) deve ser igual ao número de variáveis exógenas excluídas dessa equação (K**). A única variável exógena nesse modelo é X" que está incluída apenas na equação da demanda. Dessa forma, temos que apenas a equação de oferta é exatamente E a equação da demanda é subidentificada: Demanda:
Oferta:
identificada.
{G * -1 = I ~ G* -I > K ,~* ~ equação subidentificada K** = O
!
' ,
'
G * -I = 1 { K * * = l ~ G * -I = K * * ~ equação exatamente identificada
IFALSAI
(I)
Os parârnetros estruturais do modelo são consistentemente Quadrados Ord inários.
estimados por Mínimos
Resposta: Nesse modelo, temos o problema da simultaneidade, já que as variáveis preço e quantidade se determinam mutuamente. Dessa forma, a variável endógena utilizada como variável independente está corre/acionada com o termo de erro da equação, violando uma das hipóteses básicas do modelo de regressão linear, necessária para que os estimadores sejam não viesados e consistentes: E(xjiUj)= O (nenhuma das variáveis explicativas está correlacionada com o termo de erro). Assim, os parâmetros do modelo estrutural, se estimados por mínimos quadrados ordinários, serão viesados e inconsistentes. Veja mais detalhes na questão A NPEC 2003, 8, item (O). IFALSAI
Resposta: Igualando as quantidades,
Q" I
=
Ost
ao +al~
+a1X,
/31)P' = /30 = /30 - ao _
(ai -
p
+ell=/3o
-/3IP,= /30 -ao
a.P,
ai -
I
obtemos a equação na forma reduzida para o preço:
/31
P,= Do+TII
-
-a2X,
+ell -ell
+ e]1
- a2X[
ao
X + e2/
aI ai -
+j3I~ +e]1
/31
I
el,
-
-
el/
ai -
/31
X,+V,
Assim, temos que:
fio - ao
Do
ai -
/31
aI
TI I
ai -
/31
e21 -eJI
11
I
ai
.'~
-/31
Bom, por aqui já dá para ver que a afirmativa é falsa (V,), também a equação na forma reduzida para a quantidade. na equação da oferta, obtemos:
Q, = fio + /31 P, + e 21 0=/3 -I
o
+/3I (fio - ao ai -
/31
0_1= /lo+/3o!3l-ao!31 a I - /31 O -I
=
a] ai -
_
21 /3 r + e -e I
!3la] aI
-
J31
ai -
.
ern que:
/31
X +f3le21 -fJlell
aI
I
Ct,/3o - Ct0/31 _ /3,Ct] X + ale]1 a I - J31 Ct I - /31 I aI
0,= n,+n ..X,+lI',
J+e
JI
I
.J
-
/lI
-
/3lel fil
l
li
+e 21
Mas, vamos encontrar
Substituindo
a equação do preço
'\.
rr, -
:=
a/3o - ao/31 -ai -
/31
'._-
TI.:= _ /3la2 .' ai -/31 w:=
cz,e , -/3eI I _,
I
ai
I1
_/3, -
Assim, a afirmativa então é falsa pois v,
_e21 -ell :=
-=--"ai -/3,
,
-
IFALSAI
(3) As estimativas dos parârnetros da forma reduzida Minimos Quadrados Ordinários, são consistentes.
descritos
no quesito anterior,
por
Resposta: Nas equações na forma reduzida, o problema da simultaneidade foi eliminado e, portanto, os parâmetros podem ser estimados consistentemente por mínimos quadrados ordinários, já que nenhuma hipótese do modelo de regressão linear está sendo violada. IVERDADEIRAI
I
(4) Os parâmetros das equações estruturais, obtidos dos parâmetros estimados por Mínimos Quadrados Ordinários.
da forma reduzida, são
Resposta: Note que a equação da demanda é subidentificada. Portanto, os parârnetros estruturais dessa equação, obtidos dos parâmetros da forma reduzida, não poderão ser estimados por mínimos quadrados ordinários. IFALSAI
.-----
(ANPEC 2004, 07) São corretas as afirmativas.
Em modelos de equações simultâneas:
(O) o problema da identificação precede o da estimação. Resposta: Em um modelo de equações simultâneas, devemos antes de estimar o modelo, verificar se as equações estão identificadas (ou seja, se é possível estimar os parâmetros do modelo estrutural a partir das equações na forma reduzida). Caso não estejam, não será possível obter estimativas consistentes do modelo.
'~
!VERDADEIRAI
(I) se a condição de ordem for satisfeita, a condição de postotambém
será satisfeita.
Resposta:
-.-
.............••
.. -..-....
Sabemos que a condição de ordem é necessária, porém não suficiente para a identiticação. é dada pela condição de posto. E se a "satisfação" da condição de ordem implicasse a "satisfação" da condição de posto, não precisaríamos verificar se ambas ocorrem. A condição de ordem consiste em verificar' se há informação suficiente, ou seja, variáveis exógenas excluídas de cada uma das equações, para que possamos diferenciar as equações do modelo; a condição de posto consiste em verificar se os parâmetros dessas variáveis realmente existem, ou seja, se são diferentes de zero. IFALSAI
A condição suficiente
(2) os estimadores de rrurnmos quadrados indiretos estágios são não-tendenciosos e consistentes. -~
--..•.•..•
e os de mínimos quadrados
Resposta: Os estimadores de mínimos quadrados indiretos e de dois estágios são tendenciosos, porém consistentes. Há que se notar que, em geral, em modelos de equações simultâneas não é possível obter estimadores não-tendenciosos. IFALSAI
(3) se lima equação é exatamente identificada, os métodos de mínimos quadrados e de dois estágios produzem resu Itados idênticos.
-
.
---
"'"
de dois
indiretos
Resposta: O método dos mínimos quadrados indiretos (MOI) consiste em estimar os parârnetros da forma reduzida por MOO e então encontrar os parâmetros da forma estrutural substituindo nela os parârnetros estimados. O método dos mínimos quadrados em dois estágios consiste em estimar as equações na forma reduzida por MOO e então calcular os valores estimados das variáveis endógenas e utilizar essas estimativas no lugar elas variáveis endógenas propriamente ditas para estimar o modelo estrutural por MQO. Se a equação for exatamente identificada, o método dos mínimos quadrados indiretos será igual ao M02E. já que estaremos faze ndo exatamente a mesma coisa (só que de forma diferenre) .
IVERDADEIRAI -----: (4) o método exatamente
de rmrurnos quadrados indiretos pode ser aplicado identificadas quanto a equações superidentificadas,
tanto
a equações --
-'o
Resposta: O método dos rrunrrnos quadrados indiretos só se aplica a equações exatamente identificadas. Se uma equação for superidentificada, este método irá produzir estimativas diferentes para o mesmo parârnetro, pois teremos mais de uma equação para cada coeficiente. O método que se aplica tanto a equações exatamente identificadas quanto a superidentificadas é o dos mínimos quadrados em dois estágios, lembrando que no primeiro caso, as estimativas de MQI e de MQ2E serão idênticas. IFALSAI
(ANPEC 2003, 8) Considere o modelo de equações simultâneas: Q;' = ai + fJ.?' + li" (demanda)
Q;' = a, + fi,?, + u" Q;' =Q;" em que:
QjlJ
(oferta)
é a quantidade
são termos aleatórios.
demandada,
É correto
Q;) é a quantidade ofertada, P, é
O
preço, e
Uli
e
U2i
afirmar que:
(O) o estimador de rrururnos quadrados ordinários aplicado a cada uma das equações é consistente e não-tendencioso; Resposta: . Em ambas as equações, temos como variável explicativa uma variável endógena (preço), ou seja, uma variável que é também determinada pelo modelo (quantidade determina o preço que por sua vez determina a quantidade). Quando isso acontece, o erro está correlacionado com a variável explicativa, o que viola uma das hipóteses básicas do modelo de regressão linear, necessária para que os estimadores sejam não viesados e consistentes. Para ver intuitivamente porque isso ocorre, suponha que ocorra um choque aleatório que diminua a quantidade produzida (uma geada, por exemplo). Esse choque fará também com que o preço suba (já que a quantidade ofertada diminuiu), o que, por sua vez, fará com que a demanda diminua (já que o preço está maior). Portanto, o preço está correlacionado com o termo de erro da regressão e, sendo assim, se aplicarmos o método dos mínimos quadrados ordinários a cada uma das equações deste modelo, obteremos estimadores tendenciosos e inconsistentes. IFALSAI
(I) no modelo acima a equação de demanda é identificada,
mas a equação de oferta não é;
.'"
Resposta: Nenhuma das equações está identificada neste modelo, já que não há nenhuma variável exógena que nos permita identificar qualquer uma das equações. Mais formalmente, temos que, pela condição de ordem, para que uma equação esteja identificada, é necessário que o número de variáveis endógenas incluídas na equação menos um seja igual ao (ou menor que) o número de variáveis exógenas excluídas da equação, o que, claramente, não se verifica nem na oferta nem na demanda. IFALSAI
(2) se a equação de demanda for definida por Q/) = ai + p.p; + rir; + li,;, em que Yi é a renda, a equação de oferta será identificada; Resposta: O fato de existir uma variável exógena excluída da equação da oferta permite-nos identificá-Ia. Aplicando a condição de ordem para a equação da oferta, temos que o número de variáveis endógenas incluídas nesta equação menos um (O-I) é igual a I. O número de variáveis exógenas excluídas da equação (K) também é igual a 1. Portanto, como O-I = K, a equação é exatamente identificada. IVERDADEIRAI
(3) a equação de demanda será identificada Resposta: A equação da demanda apenas poderá ser na equação de oferta. Incluir uma variável vimos no item anterior, torna a equação de !FALSAI
se for definida por Q/) = ai + j3.P; + rir; + 11 li ; identificada se incluirmos uma variável exógena exógena na própria equação de demanda, como oferta identificada.
(4) a variável renda, empregada nos dois itens anteriores, é uma "variável instrumental". Resposta: Uma variável instrumental deve possuir as seguintes características: é não correlacionada com o erro, ou seja, é uma variável exógena; , é correlacionada com a variável explicativa endógena. A variável renda atende a esses "requisitos". Como é lima variável exógena, não está correlacionada com o erro, e está correlacionada com a variável explicativa endógena, ou seja, com o preço. Portanto, a renda é uma variável instrumental. ..;.---..,
IVERDADEIRAI
(ANPEC 2002, 11) Considere as seguintes equações elo modelo estrutural: --.:.-....
Equação ele Demanda:
Equação de oferta: ~)
em que no período t, QI é a quantidade de produto; PI, o preço (endógeno) do produto; RI' a renda do consumidor; U;r, o distúrbio aleatório da equação de demanda e U2r , o distúrbio aleatório da equação de oferta. A partir destas equações são obtidas as equações na forma reduzida:
(O) Assim sendo,
.". _ 1'2 -
no = Po - ao 0',\ - p\
Resposta: Igualando as quantidades,
P2 aI
-Pl
obteremos a equação na forma reduzida para o preço:
~=~
. .~
ao + a.P, + a-R, + u i, = /30 + /3'Pr + /32Pro' + U2r cc.P, - /3'Pr = /30 - ao + /32Pro! - a2Rr + Ú2t - ui, (ai - /3,) PI = /30 - ao + /32Prol - a2Rr + U21 - UII P _ ~"-a,, v, R /31 .P 1 + --'-'--"U"-U,, ,,+ a, -~, a, a, - /3, ai -~, P, = 1Lo + 1L,Rr + 1L2P,0! + vi, 1
0
-~I
Assim sendo.ora=
~,,-au,nl=_ CI.,-~,
a,
en2=
a,-~,
'/3, a,-/31
IFALSAI
(I) A condição de posto indica que a primeira e a segunda equações são identifícadas. Resposta:
É muito fácil verificar a condição de posto neste caso. A condição de posto diz que: A matriz com os coeficientes das variáveis excluídas da equação deve ter posto I igual ao número de variáveis endógenas totais menos 1. Caso isso não se verifique, a equação está subidentificada. Sabemos que o número de variáveis endógenas totais do modelo é igual a 2 (preço e quantidade). Portanto, o posto da matriz com as variáveis excluídas de cada equação deverá st;r de ordem I ( 2 -1 = 1). A tabela abaixo nos ajudará a verificar se as equações desse modelo satisfazem à condição de posto (colocamos o número 1 se a variável está incluída na equação e O se está excluída):
I
O posto de uma matriz é a ordem do maior determinante
diferente
de zero contido nessa matriz.
Equação
1
Pt 1
RI 1
Pt-l O
I
1
O
I
Qt
Demanda Oferta
Agora, construímos uma matriz a partir da tabela acima de acordo com O seguinte critério: excluir a linha correspondente à equação que estamos analisando e excluir as colunas correspondentes às variáveis excluídas da equação. Então, verificamos se o posto desta matriz é igual a 1. É fácil verificar que tanto para a equação da oferta quanto para a equação da demanda a condição de posto é satisfeita.
(VERDADEIRAI
(2) Se multiplicarmos a equação de demanda por À (O < À < I) e a equação de oferta por (IA) e somá-Ias, desde que o resultado dessa soma seja diferente da equação de oferta e ~a equação de demanda, as duas serão identificadas. Resposta: Multipl icando a equação de demanda por A e a de oferta por (1- À) e somando, obtemos:
ÀQt
ao +1.. a, P,+À a-R, +1.. u i, (1-1..)01 = (I-À)fi) + (l-À) /3, P,+ (I-À) /32P,-, + (l-À)u't =
À
Fazendo:
00 ==
O,
À
= À
ao -/30 + A. /30 a.P, - p,P, + À/3,P,
02 = À a]R, 03 = /31Pt-' + A. /32P,-, E, = À UIi -/./],
Obteremos
"'.-
"
a seguinte equação:
Como essa equação é diferente tanto da equação de oferta quanto da equação de demanda, podemos concluir que tanto a oferta quanto a demanda estão identificadas.
jVERDADEIRA!
(3)
O método de rrururnos quadrados ordinários eficientes dos parârnetros da forma estrutural.
Resposta:
produz
estimadores
consistentes
e
o método dos mínimos quadrados ordinários produz estimadores inconsistentes e ineficientes dos parâmetros da forma estrutural, já que a hipótese de não existência de correlação entre as variáveis explicativas e o erro é violada (veja também questão ANPEC 2003, 8, item O) IFALSAI (4) Para verificar se qualquer equação do sistema é identificável, basta aplicar a condição de ordem. Resposta: A condição de ordem é necessana para a identificação do sistema, porém não é suficiente. A condição necessária e sufí"ciertte é dada pela condição de posto, já que para realmente estarem identificadas, os coeficientes das variáveis exógenas excluídas das equações devem de fato existir, ou seja, devem ser diferentes de zero. Portanto, para verificar se qualquer equação do sistema está ou não identificada, devem ser verificadas a condição de ordem e também a de posto. IFALSAI
(ANPEC 2001, 08) No modelo de equações simultâneas: Q/l = a, + f3,? + r, Y + u, (demanda) QS
= a2 + A. P +
01)
==os
~
LI
em que: QD é a quantidade LI,
(oferta)
z
~
e Uz são os componentes
\-
!
---.
I
demandada;
QS, a quantidade
ofertada; P, o preço; Y, a renda;
aleatórios. Neste modelo:
(O) A aplicação do método de mínimos quadrados ordinários (MQO) a cada uma das equações do sistema, desconsiderando-se a outra, fornecerá estimativas não tendenciosas. Resposta: Em ambas as equações, temos como variável explicativa uma variável endógena, ou seja, que também é determ inada pelo modelo e, dessa forma, o erro de cada equação estará correlacionado com tal variável, levando a estimativas tendenciosas e inconsistentes. (veja também questão ANPEC 2003,8, item O) IFALSAI (I) A equação de demanda é subidentificada. Resposta: Como não há nenhuma variávelexógena excluída da equação de demanda, ser identificada. Aplicando a condição de ordem, verificaremos que: G* - I (variáveis endógenas incluídas na equação - 1) = 1 K** (variáveis exógenas excluídas da equação) = O Portanto, como G*-l > K **, a equação está subidentificada.
esta não pode.
~.
IVERDADEIRAI
(2)A equação de oferta é exatamente identificada. Resposta: A existência da variável exógena renda (Y) na equação da demanda nos perm ite identificar a equação de oferta. Aplicando a condição de ordem, verificaremos que:
G* - 1=1 K** = 1 Como G*-1 = K**, temos que a equação de oferta está exatamente [VERDADEIRAI
identificada.
(3) Na equação de oferta, o estimador de MQO é consistente .. Resposta: Veja item (O). IFALSAI
(4) Caso seja subidentificada, a equação de demanda não pode ser estimada. Resposta: .. ' . Nada impede (a não ser o bom senso) que estimemos uma equação subidentificada pelo método dos mínimos quadrados ordinários, ou seja, é realmente possível estimá-Ia. Mas, se fizermos isso, obteremos estimativas viesadas e inconsistentes dos parâmetros. Portanto, caso seja subidentificada, não poderemos consistentemente estimar a equação da demanda. IFALSAI
(ANPEC 1998, 14) Considere o seguinte conjunto de equações simultâneas:
+ A P + ri Y + fil
Q=
12'1
Q=
ao- + fi>- P + fi?-
função de demanda função de oferta.
onde Q (quantidade) e P (preços) são as variáveis endógenas, Y (renda) é a variável exógena e fil, JI! ' representam os resíduos. Os valores 12'1' Ct2, A, ri e /32 são os parâmetros do modelo. Então, pode -se afirmar que: (O)
As equações na forma reduzida são definidas como:
º=
P
"'"
=
1!1
+ 1!2 Y +
VI
n, + n, Y + v~
~-
,-,---
v - _ f--11 ,-
-
f--12
-
/31 - /3,
Resposta: As equações na forma reduzida colocam cada variável endógena do modelo estrutural em função de todas as variáveis exógenas do modelo. Façamos isso para verificar se a afirmativa está correta. Primeiro, igualemos as quantidades para obtermos a equação na forma reduzida para o preço:
,-". -
"'-""'\.--
Q=Q a, + /3,P + YI Y + u, = a2 + /32P + f--12 /3,P - /32P = a2 - a, + f--12- f--1/ ,. (/3, - /32) P = a2 - a, - Y + f--12- f--1' .
r, y r,
P
P
=
=
+
a, -a,
-
r, y +
/3, - /3, /3,- /3, Jl"3 + Jl".f Y+ V2
f--1, - f--1,
/3,- /3,
~--
Substituindo a equação do preço acima na equação da oferta, obteremos na forma reduzida para a quantidade: Q=a1 +~P+~ Q=a2+/32(a,-a, 0=
-
/3,a,
+ /3,- /3,
- /3p,
/3,- /3,
Confrontando
-r,. /3,- /3,
a equação
-----------
y+/t1-f--1')+f--12
/3,- /3,
+ - /3], y + /3,f--1, - /3,f--1, /3,- /3, /3,- /3,
os resultados obtidos com os dados peJa afirmativa, concluímos
que esta é verdadeira (note que f--1, - f--1,
/3, - /3,
= _
f--1,+ f--1, =
realmente
V2)'
/3, - /3,
!VERDADElRAI (I) As funções de demanda e oferta são identificadas. Resposta: Apenas a equação de oferta está identificada, já que há uma variável exógena excluída desta equação. Quanto à equação de demanda, não há nenhuma informação adicional na equação de oferta que nos permita distingui-Ia desta última. IFALSAI
(2) A estimação dos parâmetros das equações na forma reduzida por Mínimos Quadrados Ordinários, produz estimadores consistentes.
Resposta: O termo de erro das equações na forma reduzida são não correlacionados com as variáveis explicativas (já que todas elas são exógenas) e, portanto, a estimação dessas equações através do método dos mínimos quadrados ordinários produzirá estimadores consistentes.
(VERDADEIRAI (3) Os resíduos
VI
e v]
são independentes.
Resposta: Note que os resíduos
VI
do modelo estrutural.
Portanto, eles não podem ser independentes.
IFALSAI
e v} são ambos combinações
lineares de,LI1 e 1'], ou seja dos erros
'""'\ ...
'\.
Tanto a existência de autocorrelação quanto de heterocedasticidade nos resíduos, faz com que as variâncias amostrais dos estimadores de MQO sejam viesadas, invalidando os testes te F, mesmo assintoticamente. IVERDADEIRAI
------.
----....
j 1·
(ANPEC
2005,
07) Com respeito
à teoria das séries temporais,
são corretas as
afirmativas:
(O) Considere lima série temporal Y, auto-regressiva de ordem I com parâmetro p. No
= hJ't_1 + li,
modelo: .l't - Y,-I
>
em que
ti,
é um ruído branco e 6
= p -I,
se 5
for de fato igual a zero, a série Y, será não estacionária. ".---"--.
Resposta: Considere o modelo original:
1'; = p 1';-1 + li, Sabemos que, se I p I
1';
=
P 1';-1 +
Y, - Y,-I ._--..---....
1'; -
1';-1 + U, P Y,-I - Y,-I + li,
=
}~.J =
1';- Y/-1
=
}~-I -
+
(p-l)1';_1
li,
5 1';-1 + li,
Dessa forma, se 5 = O (o que significa que p =1), a série não será estacionária. Note que essa "forma alternativa" de escrever o processo é utilizada para o teste de raiz unitária Dickey-Fuller, que testa a hipótese nula que = O (o que.equivale a p = I). I
de
o
tyERDADEIRAI
(1)
:
Numa regressão linear simples de duas séries temporais não estacionárias de Srudent ainda é válido.
de ordem I. o teste usual
i
Resposta: Temos que as duas variáveis são I( I). Porém, não sabemos se elas são ou não co-integradas, Se elas forem, o teste usual t de Student será válido. Mas, se não forem, a regressão será espúria e o teste I será inválido. Para que as variáveis sejam co-integradas, elas precisam ser integradas de mesma ordem e. além disso, devem "caminhar juntas". Se isso ocorrer, os resíduos da regressão entre elas serão estacionários.
(2)
Numa
regressão
linear múltipla de séries serem espúrios.
I'isc(l de os resultados
temporais
de ordem I. mas cuintcgráveis.
não se corre o
Resposta: Dado que as séries são 1(1) e cointegráveis, a regressão entre elas será válida e, por isso, não se corre o risco de obter resultados espúrios.
:
!VERDADElRAI
(3) Numa regressão linear múltipla de serres temporais de ordem I, mas cointegráveis, os resíduos da regressão são estacionários. Resposta: Se as séries. são cointegráveis, então os resíduos da regressão entre elas serão necessariamente estacionários. Aliás, o teste de co-integração consiste basicamente em verificar se os resíduos da regressão entre variáveis integradas de mesma ordem são estacionários. IVERDADEIRAI
(4) Se uma serre temporal tiver que ser diferenciada n vezes antes de se tornar estacionária, a série original é integrada de ordem n -1. Resposta: Se uma série temporal tiver que ser diferenciada n vezes antes de se tornar estacionária, a série original é integrada de ordem 11. Por exemplo, se a primeira diferença da série for estacionária, ela será integrada de ordem 1,1(1). IFALSAI (ANPEC 2004, 9) Considere a seguinte regressão entre y, e z.: y, = oz
em que
LI,
+LI"
é o erro. São corretas as afirmativas:
(O) Se y, for 1(1) e z, for 1(0), então y, e z, são co-integradas.
Resposta: As variáveis y, e z, apenas poderão ser co-integradas se forem integradas de mesma ordem (veja também item (2) desta questão).
IFALSAI (1) Se y, for 1(0) e z, for 1(1), então y, e
z, são co-integradas.
Resposta:
Novamente, como as variáveis não são integradas de mesma ordem, elas não podem ser co-integradas. IFALSAI
(2) Se y, for 1(1) e ZI for 1(1), então Resposta:
YI
e z, são co-integradas.
~.
-..,.
...
Para que duas variáveis sejam co-integradas, é necessária que sejam integradas de mesma ordem, mas, também, que "caminhem" juntas, sincronizadas. Se isso ocorrer, os resíduos da regressão entre essas variáveis serão estacionários. Portanto, mesmo que duas variáveis sejam integradas de mesma ordem, é possível que elas não sejam cointegradas. IFALSAI
(3) Se y, for 1(1), z, for 1(1) e
1/,
for 1(0), então YI e ZI são co-integradas.
Resposta: Nesse caso, as séries são realmente co-integradas: são integradas resíduos da regressão entre elas seguem um processo estacionário de ordem O).
de mesma ordem e os (já que 1I1 é integrado
IVERDADElRAI
(4)Se UI for 1(0) as séries YI e z, são necessariamente
co-integradas.
Resposta: Apenas a informação de que os resíduos dessa regressão são estacionários não nos permite concluir que estas variáveis sejam co-integradas, já que elas podem ser estacionárias e, nesse caso, não haverá co-integração entre elas. IFALSAI
(ANPEC 2005, 09) São corretas as afirmativas: (O) No processo AR(I): y, :::: r/Jo+ r/JIYt-I + e" em que média zero e variância
()2,
a variância
de y, será
lçbl<
1 e e, é um ruído branco de
1 - çb~ .
Resposta: Essa questão
foi anulada
pois não foi especificado
o subscrito
do parâmetro
1
Ir/JI< I e que a variância
se diz que afirmativa
seria verdadeira.
Vejamos:
var(Yl) = var(r/Jo + r/JIY/-I + e, ) var(Yl) ::::var(r/JIYt-I + e.)
+ vare e, )
var(y.)
=
var (fi Y'-J)
var(y,)
=
r/J12 var(v,_,) +
var0-',)
_r/JJ2
0-2
= 0-2
var(v,) 2
(1-r/J,2 )varü',)
= 0-
E a condição
de estacionariedade
0-
de y, = 1- r/J2 . Se considerarmos
é que IrPll< 1 •
rjJ
quando
~
que ~
a
"\,
IANULADAI
(1) Seja a função de autocovariância Yi = E[(Y'-i -1l)(Y,-; afirmar que y . ==
do processo
-11)], em que J.l
E[y,]
)j
(~ + ~ o
=
AR(l) definido no quesito anterior é a média do processo y,. É correto
I
1- ~~
J
Resposta: Em primeiro
Da
forma
lugar, há que se notar que a função de autocovariância
corno
foi
y j = E((YI-j -Il)(y,-j
Com essa ressalva,
dado -11)]
podemos
no
=
rj
enunciado,
E[(Y'_j
serra
a
é dada por:
variância
do
processo:
- J1.)2]
então calcular I
r
j:
\
Para facilitar
o cálculo,
façamos
Assim, temos: ri = E( y, Y,_)
ri ri ri
=
E[( rPlY,-I+el)Y':i]
=
E( rPlYI-IY,) + E( eIY':i)
=
rPl E(Y,-lY':i)
Paraj
ri = ri = ri = _
ri -
=
1:
rPl E(Y,-lY,-l) rPl E( Y'~I ) rPl var(y,) Á.
'f'1
CJ 2
1- rPI2
Paraj=2: Y2 = rPl E(Y,-IY,-2)
Y
2
= rPl
E[( rPIY,-2+e,) yf-2l
rPo
=
O, medindo y, em termos de desvios da sua média.
..
...-......
--/"""',.
....:-...
'-~
Generalizando:
IFALSAI
~
..
(2) O processo
AR(2),
].I,
média nula e variância ~!
O processo ...
..-....
~2
= ~o
+ ~!YI-I
()2,
+ ~2].1t-2 + e" em que e, é um ruído branco de
será estacionário
de segunda
ordem se, e somente
se,
< I.
AR(2) será estacionário
se, e somente
se,
Ir/J!+ r/Jll <1.
Vejamos:
Seja L o operador
(Ly,
= y.»,
L2
= y'.2). Podemos
escrever:
+ rpl Ly, + r/J2L2 y, + e,
y, =: rpo
(I -
defasagem
rp! L - rp2 L2 ) y,
A expressão estacionário, seja, devem
=:
r/Jo + e,
entre parênteses acima é um polinômio em L. Para que o processo seja todas as raízes desse polinôrnio devem ser maiores que I em módulo, ou estar fora do círculo unitário. Assim, uma condição suficiente de
estacionariedade
para um processo
AR(2) é que
Ir/J!+r/J21<1.
IFALSAI -.'"'
(3) A média do processo MA( I), y, = e, + 8e 1-1 , em que e, é um ruído branco, é igual a zero. Resposta: Calculemos a média de y,: E(v,) = E(e, + (Je,.i) E(v,) = E(e,) + f) E(e'_i) E(v,) = E(e,) + fJ E(e,) Como e, é urn ruído branco: E(\',)
=
O
IVERDADEIRAI
1), y, ==~o + ~JY'-J + e, + 8el-!' em que e, é um ruído branco
(4) No modelo ARMA(I,
de média nula e variância
constante, .
a média de y, é dada por ~. . I-~~ .
,
~"
Resposta: a média de y,:
Calculemos
E(,V,) ==E( ~o + ~JY'-J + e, + BeH
)
E(y,) ==~o +
e
~J
E(y',.,) + E(el) +
E(,V,) ==~o + ~, E(,V,) + E(e,) +
e
.-
\.
E(e,_,)
E(e,)
E(y,) - 1/;, E(,V,) == ~o (I-I/;,)E(,V,)==
t/;o
E(y,)== ~ I-I/;,
IVERDADEIRAI
(ANPEC 2004, 10) Em relação
aos modelos
de séries
temporais,
são corretas
as
afirmativas: (O) No processo de Z ,sera
.
AR(I),
Z, = ~ZI-l + aI + 80,
!~!< I, e
at é um ruído branco,
a média
e
o --o I-I/;
.~'.
Resposta: Calculemos
a média do processo:
E(Z,) = E (~Zt-I E(ll) ==E(~ZI_l) Sabemos
+ aI + eo) + E(a,) + E(eo)
que a média dos' erros é zero e que, como
!,p!
< 1, o processo
é estacionário.
Portanto:
E(Z,)
=
E( I/;Z,) + E( eo)
E(Z,) - E( ,pZ,) = eo (l-I/;) E(Z,) == o
e
E(Z,) = ~ l-I/; IVERDADEIRAI
(I) O
processo
MA( 1),
Z,= a, - a,_I,
em
que
at
é um
ruído
branco,
não
é
estacionário.
Resposta: Para que uma série seja estacionária (fracamente), sua média e variância devem ser constantes ao longo do tempo e suas autocovariâncias não devem depender do
tempo, mas apenas da ordem processo MA()) em questão.
da defasagem.
Verifiquemos
se isso
ocorre
para
o
A média de Z/ é igual a zero: E(Z,) = E(a, - a/.!) E(Z,) = E(o/) - E(a'_I) Como 0t é um ruído branco: IE(Z!)
=
ª
A variância de Z, será dada por: "_o"
'"'
var(Z/) = var(a, - a,-I) Como a, é um ruído branco: var(Z/) = var(a,) + var(a/) Far(Z,)
=
E agora cov(Z/, covt Z, cov(Z" cov(Z/,
2
0-: I
as autocovariâncias:
Z/_I) Z'_I) Z/_,) Z'_I) cov(Z/, Z/-/)
= E(Z/Z/_I) E[(a/ - a/-I)Z/-J] E(a/Z/_,) - E(a/_IZ/_I) = - E(a/_I(a/_, - alo})] = - E(a,'_J + E(0,_/a'_2) = =
Icov(Zt, Z'_I)='.. cov(2" cov(Z/. cov(Z(, Icov(2t,
iJ:1
2,-2)
= E(Z/Z/_2)
Z'-2)
=
E[(a,-a/_/)Z/_2] - E(a,_/Z,_2)
2'-2) = E(a/Z,_2) Zt-Ú = 01
I
.. -....--...
Se o leitor continuar calculando as covariâncias, verificará que todas as demais também serão iguais a zero. Portanto, como podemos observar pelos resultados acima, as condições para que o processo seja estacionário são satisfeitas sem a necessidade de se impor qualquer restrição sobre o coeficiente de um MA( I). Concluímos, então, que um processo MA(I) sempre é estacionário (aliás, isso não vale apenas para um ivlA( I), mas para um processo de média móvel de ordem q qualquer).
IFALSAI
(2) O processo
AR(I),
ZI = O,8Z{_1 + a.; em que at é um ruído branco, é estacionário.
Resposta: A condição de estacionariedade para um modelo AR( I), Z, = ~Zt-I + a., é dada por 1$1 < I. Como, nesse caso, o coeficiente de Zt_1 é menor que I em modulo, este processo é estacionário (um choque ocorrido em dado período será dissipado ao longo do tempo). IVERDADEIRAI
-.,-.,
(3) No processo AR( I), Z,
= rf;Z'_1+
a, , em que at é um ruído branco com Vare at ) =
-r-, ••
()2
();, a variância de Z, é __ a_ I- rf;2 . Resposta: Calculemos a variância de Z,: var(Z,) = var(~Z'_1 + a,) var(Z,) = var(~Z'_/) + var(a,) var(Z,) = ~2 vart Z) + (): var(Z,) -
var(Z,)
~2
(I - ~2) var(Z,) =
= ():
--"
.
()<~
()'
var(Z), = -'-
A. '
1-'1'·
......;;
IVERDADElRAI
-.;:,-;
(4) No modelo ARMA(I,I),
Z, =rf;Z'-1 +a, +élat-J,
em que at é um ruído branco, a
média de Z, é diferente de zero. Resposta: Nesse processo, a média de Z, é igual a zero (já que não há o intercepto). Mas, para os mais desconfiados, calculemos: E(Zt) E(Z() ECZt)
-,
E C~Zt-l + a, + 80,_,) E(~Z(_l) + ECa,) + EC8a,_/) = ~ECZ(-I) + ECo,) + SECo,_/) =
=
Como a, é um ruído branco, sua média é zero e, portanto:
--::;,.-
IFALSAI
(ANPEC 2003, 10) Considere o modelo de regressão linear
C,
=0'-0+0'-1.0
+u"
t=I, ... ,T,
em que: C, é o consumo pessoal em t, Y, é a renda pessoal em teu, é o termo aleatório. É correto afirmar que:
(O) se C, e Y, são l( 1), então u, será obrigatoriamente estacionário; Resposta: Se C, e Y, são variáveis integradas de mesma ordem, os resíduos da regressão entre elas apenas serão estacionários se elas caminharem juntas, ou seja, se forem cointegradas.
.-<
IFALSAI
(1) se o C, e 1'; são integradas, regressão
mas com ordens
de integração
diferentes,
então
a
será inválida;
Resposta: Como nesse caso as variáveis não são estacionárias e não poderá haver co-integração entre elas (já que são integradas, mas com ordens diferentes), a regressão será espúria, ou seja, não terá validade.
IVERDADEIRAI
(2) se C, e Yi são I( I), então o teste ADF aplicado -""
identificar
a presença
aos resíduos entre as variáveis;
de co-integração
da regressão
poderá
--~
Resposta:
._:-..,
Se as variáveis são integradas de mesma ordem, há a possibilidade de que elas sejam cointegradas, ou seja, que caminhem no mesmo passo. Se esse for o caso, os resíduos da regressão entre essas variáveis serão estacionários. Como o teste ADF verifica a presença de raiz unitária em uma série, ou seja, testa a hipótese nula de não estacionariedade, podemos utilizá-Io nos resíduos da regressão para verificar se as séries são co-integradas. E é exatamente isso que faz o teste de Engle-Granger. Há que se fazer a ressalva, porém, de que, como os resíduos dessa regressão são obtidos através de valores estimados dos parâmetros da regressão co-integrante, aumenta-se a incerteza e, portanto, devem ser utilizados valores críticos diferentes dos utilizados para o teste
ADF. IVERDADEIRAI
(3) se C, e }~ são 1(1), mas os resíduos
são
1(0), então
há co-integração
entre
as
variáveis; ";...-..",
Resposta: Nesse caso, todos os "requisitos" para que duas variáveis sejam co-integradas foram satisfeitos: as variáveis são integradas de mesma ordem e caminham juntas (já que os resíduos da regressão entre elas são estacionários).
IVERDADEIRAI
_""
(4) se C e }~ são l( 1) e os resíduos é inválida.
também
são I( I), então a regressão
de
6.
C, em
6.
YI
Resposta: Se as variáveis são I( I). a primeira portanto, a regressão de tJ.C, em
----.
..-"'"
variáveis
serem
integradas
diferença de cada uma delas será estacionária e. será válida. Note que, nesse caso, apesar das
6.}~
de mesma
ordem,
elas não são co-integradas.
já que os
\.
resíduos da regressão ordem 1.
entre elas não serão estacionários,
pois também
são integrados
de
IFALSAI
(ANPEC 2003, 15) Considere o modelo ARMA(l, I) definido por: y, = 0,5YH - 0,2cI-I + c" t = I, ... ,T,
,em que a variância de c" é igual a 1. Encontre a variância de Y,· (Multiplique resposta).
o resultado
final
por
10. Marque
somente
a parte
inteira
na folha
de
Solução: A variância
desse processo
var(y,) = var(0,5y,.,
será dada por:
- 0,2E'.1
+ Et)
Pelas propriedades da variância, sabemos que a variância da soma é igual ai soma das variâncias, desde que as variáveis sejam independentes. E nesse caso, isso não ocorre. Para ver porque, escrevamos o modelo para yi.]: y..,
=
0,5 Y'.2 - 0,2E'.2
+ Et_1
y,.,
e,_,
Como podemos observar, as variáveis e são claramente correlacionadas. Portanto, a covariância entre elas deve ser incluída no cálculo da variância do processo. Dessa forma, teremos que a variância será dada por: =
var(0,5y,.,-
var(jç)
=
var(0,5y,_/) + var(0,2Et_l) + varfs.) - 2cov(0,5y,./,
var(y,) = 0,25 var(y,) var(y,) - 0,25 var(y,) 0,75 var(y,)
=
Como var(E,)
0,2Et.1
+ E,)
var(y,)
+ 0,04var(c,,) + varts.) - 0,2 cov(y,." Et_!} =
0,04var(Et)
0,04var(EI)
=
0,2Et.l)
+ varfs.) - 0,2 cov(Y,./, Et.l)
+ var(Et} - 0,2 cov(y,./, Et-l)
I:
0,04 + 1 - 0,2 covtj» El.l)
0,75 var(y,)
=
Calculemos
agora a cov(y,_/, Et-l):
(I)
cov(y,./, Et.') = E(y,./EI.') - E(y,./)E(EI.l) Como a média dos erros é igual a z,ero: cov(y,./, Et.') = E(}',./Et.l) {;ov(y,./, c,t.') = E[(0,5 )".2 - 0,2EI.2 + cl.,)Et_'] cov(}',./, EI.') = E(0,5Y'·2Et.')
- E(0,2Et.2EI.') + EU'~I) ( II )
Substituindo
( 11) em ( I ), teremos:
+ I - 0,2
0,75 var(YI) = 0,04
COV(yI'
tI_I)
0,75 var(ya = 1,04 - 0,2 x I 0,75 var (YI) = 0,84 var
(y),
0,84
= --
=
0,75
I 12 '
Multiplicando o resultado por 10 e considerando exercício, chegaremos ào resultado final de [!].
">->,
apenas
a parte inteira,
como
pede o
(ANPEC 2002, 12) Em relação aos modelos de Séries de Tempo pode-se afirmar: (O) No modelo Autoregressivo ruído branco,
parâmetro
O
de ordem
J, Z, = rjJZH +
li,
+ f)o,
I~I< I ,em
que
li,
é um
80 é a média do processo.
Resposta: A média do processo E(Z,)
=
E(~Zt_l+
li,
é dada por:
+ 80)
E(Z,) = E(~ZI_I) + E(u,) + E(80) Como o processo
E(Zl) = ~E(ZI)
é estacionário
e a média dos erros é zero, temos que:
+ E(8o)
(I-~) E(ZI) = 80 E(ZI)
= ~
J -
rjJ
!FALSAI
(1) O
modelo misto Autoregressivo-Médias representado pela expressão Z, = rjJZ, + 111 é um ruído branco.
Móveis, em que
eu,_,
ARMA( I, I), pode rjJ e são parârnetros
e
ser e li,
Resposta: O modelo ARMA
(1,1) é dado por: Z,
=
rjJZr-' +
21, - f)u,_I_
IFALSAI
(2) Se um processo estocástico possui uma tendência determinística. y/= fJ, + fJ! I + li" então este é dito não-estacionário e sua não-estac ionariedade pode ser detectada por UIll teste para raiz unitária.
Resposta:
\.
o processo estocástico seria não estacionário se possuísse uma tendência aleatória. Note que o próprio teste de Dickey-Fuller considera a possibilidade de uma série possuir tendência deterrninística (J'fom1Ulação para a regressão auxiliar do teste), caso em que a variável pode ser estacionária em tomo da tendência. IFALSAI
(3) Em uma regressão com duas serres temporais, se estas são 1(1), 01,1 seja, não estacionárias, mas são co-integradas, pode-se empregar a estatística t de Student para testar a significância dos coeficientes da regressão.
Resposta: De fato, se a regressão é feita entre variáveis que são co-integradas, os procedimentos usuais de testes de hipóteses são válidos e, portanto, a significância dos coeficientes da regressão pode ser testada utilizando-se a estatística t de Student. . IVERDADElRAI
(3) O teste de Engle-Granger
para co-integração entre três variáveis consiste em utilizar a estatística e a tabela de valores críticos Dickey-Fuller nos resíduos de uma regressão entre estas variáveis.
Resposta: --""_.
Apesar do teste de Engle-Granger para c9-integração ser um teste de Dickey-Fuller aplicado aos resíduos da regressão entre as variáveis, a tabela de valores críticos de Dickey-Fuller não é adequada, já que os resíduos foram obtidos de parâmetros que foram estimados e, portanto, a incerteza aumenta. Para o teste de Engle-Granger devese, então, utilizar-se outros valores críticos.
-"""',.
IFALSAI
(ANPEC 2001, 10) Seja o processo
auto-regressivo:
. Yt =~IYt-l
-"
+Et
Pode-se afirmar que:
(O)
O processo
é estacionário
para
~ 1< 1.
Resposta: Para que o processo seja estacionário, sua média e variância devem ser constantes ao longo do tempo e suas autocovariâncias devem depender apenas da ordem da defasagem e não do tempo. A variância do processo acima é dada por: (J'
var(v) = -\)1 l-q5'
Portanto, para que esse processo seja estacionário isso não ocorrer, a variãncia será infinita. IFALSAI
deve-se
verificar
que
I~I<1, já
que se
.
..•..--,
(1) Se ~ I = I, o processo
é dito um caminho
aleatório
(random walk) .
Resposta: Se ~ I
=
1, teremos:
que é, por definição, Se o modelo YI =
um caminho
tivesse o intercepto,
e + YI-I
aleatório. teríamos
um caminho
com drift:
aleatório
+ Et
IVERDADEIRAI
o estimador
(2)
de mínimos
quadrados
ordinários
do parâmetro
~ I é não tendencioso.
Resposta:
O estimador de MQO do parâmetro $1 será não viesado quando 1$1/<1. O estimador de MQO, neste caso, será uma estimativa da correlação entre YI e YI_I e, portanto, mesmo na média, não poderá ser igual se este for o verdadeiro valor de $1 (ou mesmo se for O enunciado
muito próximo).
não dizia se
~I
era menor do que I, portanto
há que se
fazer esta ressalva. tvERDADElRAI
...
(com a ressalva
acima!')
(3) A estatística
t-Student
~ pode ser usada para testar a presença
de raiz unitária.
Resposta: -~
Se a variável será viesada raiz unitária, forma que a Fuller).
não é estacionária, sua variância será infinita e, dessa forma, a estatística t e não seguirá a distribuição t de Student. Portanto, para testar a presença de devemos utilizar a estatística r, que na realidade é calculada da mesma estatística t, só que com valores críticos próprios (tabelados por Dickey e
IFALSAI
(4)0
processo
que
o = qlI -
pode ser escrito I e 6. y [= Y I
-
em uma forma YH
Resposta: Considere
Subtraindo
o modelo original:
e somando
)'1-1,
obtemos:
alternativa
como
l\ YI
=
ôy
I_I
+ E I em
",.'
~.'\ ..
YI - YI-I = ~I YI.I
l\Y,=(~I-
- YI-l
+ CI
--\'
I)YI.I +CI
16)',=
8y,·,+f:1
onde
8 = (~I - I)
Note que essa "forma alternativa" unitária de Dickey-Fuller,
de escrever
que testa a hipótese
o processo nula que 8
é utilizada =
°
para o teste de raiz
(o que equivale
a
~I
=
1)
IVERDADEIRAI
(ANPEC 2001, 11) Um economettista estimou uma função consumo usando anuais da renda pessoaldisponfvel e consumo, a partir do modelo:
25
observações C, =
/31 + /3zy, + li" em que:
C,
consumo
=
em
t; Y,
=
renda pessoal disponível
em
t; u, = erro aleatório
Os resu Itados indicaram parâmetros significativos a 5%, coeficiente de determinação de 0,94 e d de Durbin- Watson 0,5421. Com base nesses números, o econometrista fez o teste de Dickey-Fuller aumentado (ADF) para as séries de renda e de consumo, obtendo estimativas de r menores que os valores críticos de r tabelados, a 1%, 5% e 10%. Conseqüentemente,
'O
econometrista:
(O) Aceitou a hipótese nula do teste ADF, concluindo
que as séries de renda e consumo
são não-estac ionárias; Resposta: O teste ADF (Dickey-FulJer aumentado) testa a hipótese nula de raiz unitária. Portanto, se os valores obtidos para a estatística t são menores que os valores tabelados (em módulo), não se pode rejeita,' a hipótese nula de existência de raiz unitária (nãoestacionariedade) nas séries das variáveis. IVERDADEfRAI
(1) Concluiu que os testes t e F não são válidos. Resposta: Como as variáveis são não estacionárias, a regressão pode ser espúria e, assim, os testes não seriam válidos. Mas elas podem ser co-integradas e, desta forma, a regressão seria válida.
IFALSAI
(2) Concluiu Resposta:
que o teste t não é válido.
---r-,
--'"
..-r-,
Note que, nesse caso, mesmo que as variáveis sejam co-integradas e a regressão tenha então validade, temos o problema de autocorrelaçãonos resíduos, já que a estatística de Durbin-Watson é de 0,5421 (próxima de zero). E, quando temos o problema de autocorrelação, a estatística t será viesada, invalidando os testes de hipóteses, mesmo assintoticamente. Mas cabe uma pergunta: se há autocorrelação, o teste F também não fica invalidado? Aí tem uma sutileza: para alguns tipos de autocorrelação (por exemplo, se for um processo ARei »), demonstra-se que a estimação por MQO é (quase) tão eficiente quanto a estimação corrigi da {por mínimos quadrados generalizados). Daí não se poder concluir que o teste F seja, necessariamente, inválido. (veja Judge et.al., p.281)
!yERDÁDElRA!
'--;.--.".
(3) Concluiu
que a regressão
estimada
é espúria.
Resposta: Como já salientamos no item (l), para concluir que a regressão estimada é espúria, o econometrista deveria verificar se as variáveis são ou não co-integradas, pois se forem, a regressão não será espúria. IFALSAI
(4) Necessita
fazer mais outros testes para verificar
se a regressão
estimada
é espúria.
Resposta: Realmente, como leitor já deve estar se. cansando de ler, para verificar espúria, o econometrista necessita realizar um teste de co-integração.
se a regressão
é
tyERDADE1fV\1
I --"
(ANPEC 2000, 15, ) Considere
um processo
= ~ YI_1 + SI, hipótese, I~I< I, a não Y,
-"
em que, por t seja muito distante
--,",
(O) A condição incondicionais
SI-
AR( I)
NID(O,
0"\
t
=
1,2, ...T,
ser que seja dito o contrário.
Considere
Yo fixo e que
da origem.
I~I<
I é necessarra para que o processo independentes do tempo.
apresente
média e variância
Resposta: A condição I~I< 1 é necessária para que o processo média e variância constantes e covariância dependente não do tempo. Se ~
=
Y1
YI-1 + Ei
=
I, teremos
que:
--r-, Ou seja, YI será lima soma de choques
y {= ~t 6:
-v->,
aleatórios:
seja estacionário, ou seja, tenha apenas da ordem da defasagem e
'\'
",-.-
Portanto, o valor esperado de YI será dado por:
,'':
E(Yt) = E(tl + t2 + '" +Et)
E(Y,)
E(t)
= t
Dessa forma, se ~ = I, a média do processo será dependente do tempo (note que nesse caso particular, E(Y,) = O). E a variância var(Y,)
será:
vare!>,
=
)
'.1 ;
var(Yt)
=
var (EI + E2 + ... +EI)
var(YI)
=
ta2
\-
De fato, se ~ =1, a variância do processo também será dependente do tempo. IVERDADElRAI (I) A média incondicional do processo é zero.
Resposta: No item anterior vimos que: E(YI)
::=
t
E(E)
=t
x O= O
.--:-..:,--
Ou, para quem preferir: E(Yt)
Como E(Yt)
=
E(~Yt_1 + EI)
I~I< I e E(Et) = O, temos: =
~E(Yt)
ª
E(YD - $(EYI) IE(Yt)
=
=
O
IVERDADEIRAI
(2) A função de autocorrelação deste processo é diferente de zero para o "Iag" I, e é igual a zero para todos os outros "Iags". Resposta: As funções de autocorrelação (FAC) e de autocorrelação parcial (FACP) nos permitem identificar o modelo a ser estimado. A tabela abaixo resume as características da FAC e da FACP para os diferentes modelos:
truncada em declinante declinante
Como temos um AR(I), a função de autocorrelação desse processo será declinante. E a função de autocorrelação parcial é que será diferente de zero para a I' defasagem e igual a zero para as demais defasagens.
IFALSAI
(3) A previsão = {
dois-passos
à frente é dada por: E(Yt+21 Vi)
=
(~+I)
+ ip2yi,
em que Y,
YI , Yl ,... , Yj].
Resposta: A previsão
dois-passos
E(Y'+2IYi) .0
'"
I
--'"
=
Como Y[+I
à frente para Y[ é dada por:
~Y[+I
= ~Yi,
temos que:
E(YI+2IYI)
=
~(~YD
!E(YI.dYt)
=
p2y J
jFALSAI
(4) Se ~
= I,
o processo
será não estacionário.
Resposta: .'\
Se ~
I, o processo
=
será um caminho
aleatório
e, portanto,
não será estacionário.
!VERDADEIRAI
(ANPEC 1999, 1) Com relação aos modelos Auto - Regressivoj Misto, pode-se
afirmar que:
(O) No modelo AR( I), Z, = rp Zi., + ai, onde t
:;t S ,
Média - Móvel e
a variância
de Z{ é finita qualquer
E(a,)=O,
E( a{~)=
O'~
e bCov( a., a, )
=
que seja o valor de rj;.
Resposta: A variância de Zi apenas será finita se Iç)! < I, ou seja, se o processo Sabemos que a variância será dada por:
. '"
+ ai) + vart a.) ~2var(Z() + u,~
var(ZI) = var (~Zlol var(Zi) == (fvar(Zto') var(Z,) == var(Z()
-
var(Zi)
==
= 0"
0"
.'
(I - (/J') Portanto,
IFALSA!
se lipl = I, a variância
de Z, será infinita.
for estacionário.
O se
....-...".
(I)No
modelo
E(a,2)
=
MA(I),Z,';jL+
a,-
(Ja'_I, onde
u: ,então E(Z,) = jL e Var(Z,)
=
E(a,)=O
(I + (J2)U:
para
todo [ e
o
Resposta: Calculemos o valor esperado de Z{: E(ZI) = E(J-L + aI - 8at_l) E(ZI) = J-L + E(at) - 8E(at_l) Ic~m)o EJal) = 0, temos que: E ZI =
--,--
E a variância:
IVERDADEIRAI
o
,-
(2) O processo ARMA(p,q) (Auto-Regressivo Média-Móvel) pode ser escrito na forma (P(L)Z, =0(L)a" onde (J)(L)=1-~IL-~2L2 - .... -~pLP e
I 0(L)
= 1 - (J,L - (J2L2-
o
o
o
o
-B'IL'f
são, respectivamente, n
i
e de média-móvel de ordem p e q onde, L Z,
= Z'_n
"-
os operadores auto-regressivo ~-
o
Resposta: O processo ARMA (p, q) é dado por:
Fazendo uso do operador defasagem L, podemos escrevê-Ia da seguinte forma: ZI = ~I L ZI + ~2L2Zt + +$pUZI + a, - 81Lal - 82L2al 8qL qat Zt - $1 LZI -
(J)(L)Z,
= 0(L)a,
-
-
.
'.
onde: <'D(L) =(1 - ~I L - $2L2 - ... - $pU) 0(L)=
(I - 81L - 82L2
- ..•
-
.-.
~
8qLq)
(3) Se o processo gerador de dados pode ser escrito como (1- L)Z,
raiz de sua equação característica será diferente de um. Resposta:
= jL
+
ar'
então a
Sua raiz característica será diferente de 1 apenas se (I-L) oj: O. O fato do processo gerador de dados poder ser escrito da forma mencionada não nos diz nada a respeito do valor da raiz de sua equação característica. IFALSAI
(ANPEC 1999, 2) Uma série temporal mensal de três anos, de janeiro de 1995 a dezembro de 1997, para o preço do produto agrícola Y, apresentou a seguinte tendência linear Y = 3 + 0,25X. Estime o preço do produto Y para o mês de janeiro de 1998, sabendo que as variações sazonais calculadas com base num modelo aditivo para os três anos considerados foram:
Mês Varia
Jun
ão sazonal
3,85
Solução: De janeiro de 1995 a dezembro de 1997, temos 36 observações. 1998 estaremos no 37° mês. Então: -.
Portanto,
em janeiro
de
-"">,
Y
Y
= 3 + 0,25 x 37 = 3 + 9,25 = 12,25
E como a variação sazonal para janeiro é de -1,25, temos que: 12,25-1,25
=
1I
O preço do produto .
Y em janeiro
de 1998 é, portanto~
[jJJ.
_~ (ANPEC 1998, 15) Com relação aos modelos Auto - Regressivo, M isto, pode - se afirmar
(O) No modelo branco,
Z,
=
rjJ Z'_I + a, + 8aH + 80
a média do processo
,
onde
~) é urna constante
será dada por (confira
Questão
E(Z() = ~ l-rjJ
'"
..
=
O, a média do processo
será igual a zero.
-......,
(I) No modelo
Auto-Regressivo
Z, =
"" ..
..-..,
-"
e a, um
ruído
será igual a zero se ~, =0.
Resposta: Sabemos que a média desse processo item (O)):
Portanto, se 80 IVERDADEIRAI
Média - Móvel e
que:
de ordem ~IZH
p,
+ rjJ:Z,_:+ .... +rjJI'Z,_,.
+0"
ANPEC
2004,
10,
~
...
",-. se I-~, -
~1-"""-~/J
= O, o modelo não será estacionário.
Resposta:
...--,.
A condição de estacionariedade é dada por:
rP' + rP2 + ... +rPP
=
I
Ou, equivalentemente: I -r/J, - rP2 - ... - ~P = O Portanto, se I -rP' será estacionário. /VERDADEIRAI
-
r/12 - ... - r/1p
=
O, a raiz do ,Polinômio será igual a I e o modelo não
(2) O processo ARMA(p,q) (Auto-Regressivo Média-Móvel) será estacionário e invertível, se todas as raízes dos operadores Auto - Regressivo e de Média Móvel caírem dentro do círculo unitário. Resposta: Considere um modelo AR(I):
+ Et
Y,= ~Y'_I
Uti lizando o operador defasagem (L), podemos escrever: Y,=$LYt+E, (1- $L) Y,
= Et
E (I-$L) é um polinôrnio em L, e sua raiz será dada por: 1 - ~L
=
O
L= ~
rP
E, como sabemos, para que o modelo seja estacionário, deve-se verificar que se
1~1<1,
então
~ > I. Portanto, para que o modelo seja estacionário,
1$1
Mas
a raiz do
pol inônimo do operador auto-regressivo deve ser maior que I. E, como a condição de invertibilidade de um modelo MA(q) é a contrapartida da condição de estacionariedade de um AR(p), temos que para que modelo ARMA(p,q) seja estacionário e invertível, as raízes dos operadores auto-regressivo e de média móvel devem ser maiores que 1, ou seja, devem cair FORA do círculo unitário.
°
Abaixo apresentamos aos leitores o círculo unitário:
,.
imaginário -----..,
,
"
'-'""""'
.1
"
real
-I ./
-li
"~
._-..-....
Portanto, dizer que a raiz do polínômio deve cair fora do círculo unitário.
deve ser maior que 1, equivale
a dizer que ela
IFALSAI .-.-.--....
(3) Se no modelo Auto-Regressivo de ordem 1, ZI = pZI_1 + ai' onde ai é um ruído branco, o verdadeiro valor de p é igual a um, então ZI = ai + al-l + al_~ +.,...+a" desde que Zo = O, Resposta:
--~
---~
-."------ .......•....... -.-~
Se p
= I
. e Zo = 0, temos que:
Z, = Z{J + a, = a I Z2 = Z, + a2 = ai + a: Z3 = Z] + 03 = ai + a] + a3 Z-I = Z3 + a; = o, + o] + 03 + a, E assim sucessivamente.
Generalizando,
temos que:
---~
Z=a,+o",+
, .. a,
. Portanto, se p for igual a I, o processo poderá ser descrito como uma soma de choques, já que um choque ocorrido em determinado período t não será dissipado. IVERDADEIRAI
"-'"
Órr-:
'-r---.
" \
·~:l . ..)
~
.----.
\~: (ANPEC 2005, 1) A respeito de números-índice,
é correto afínnar:
(O) O índice de quantidade de Fisher é a raiz quadrada do produto dos índices de quantidade de Laspeyres e dePaasche. Resposta: O índice de Fisher é a média geométrica
dos índices de Laspeyres e de Paasche. Portanto, o índice de quantidade de Fisher será dado por:
--,... I_i=",-I
__
X
;=1
tp~q~ tp:q~ ;=1
;:::::.1
!VERDADElRAI
(1) O índice de preço de Laspeyres é a média aritmética de relativos de preços ponderados pela participação do dispêndio com cada bem na época atual. Resposta: O índice de preços de Laspeyres realmente pode ser escrito como a média aritmética de
relativos de preços, porém, estes são ponderados pela participação do dispêndio com cada bem na época base. Vejamos. Sabemos que o índice de preços de Laspeyres é dado por: L=
-,-i~-,-I __
Desmernbrando, temos: I
1
2
2
n
n
L = PI qo + PI qo + ... + PI qo
!p~q~ i~1
L=
n
Ip~q~ ;=1
;=1
i=1
Multiplicando e dividindo cada termo da equação acima por p~:
_.
"
...
.
,.-..,\
1 .,.....-..,\
1
>
1
Poqo
L=~x P~
>
>
/I
)'
i
i
,,-,Poqo
P~
>
r:«:
+ PI- X
/I
Ip~q~
i=1
li
PI, + ...+-x Po"
j=1
i=1
Fazendo.
(que
p~q~ " Ip~q~
representa
a participação
do bem
no orçamento
no
i=1
período
inicial),
podemos
escrever:
'" li
----.
j
L = '" ; L E: i i=1 Po
i
wo
Portanto, o índice de preços de Laspeyres é uma média aritmética de relativos de preços, ponderada pela participação que cada bem representa no orçamento na época inicial (base ).
IFALSAI
(2) O índice ponderados Resposta:
de preço de Paasche é a média aritmética pelo valor de cada bem na época base.
!
O índice de Paasche
P
=
é dado por:
.-.:i_=I'-- __ li
Ip~q; i=1
Que podemos I p=---
escrever-como:
.~\
i=1
Desmembrando,
.. ,.---."
temos:
de relativos
de preços
p = --------------'I
Poql
I
2
+ Poql
2
11
Ip;q; ;=1
Multiplicando e dividindo cada termo por p=
p;,
obtemos: .-:..~--.
I ~I~~'~I~I~~~~~~~~~~~~~~-
Es. X
+ p~
p,q, n
I
r,
2
Ip;q:
PI
;=1
P12q,2 n
+ ... +
Ip;q;
p;
p;'q;'
p,n Ip:q;
;=1
wiI
Fazendo
X
;=1
(que representa
a participação
no orçamento
do bem
no
i=1
período atual), temos: P
= --,-----,--------I
. Po -I
:1
I X)VI
PI
Po +2 PI
11
X
WI
2
Po" + ... + -n 'x PI
\.
WI
P=---~I i
11
I P~ XW: i=1
-r-v
PI
Assim, o índice de preços de Paasche é a média harmônica de relativos de preços ponderados pela participação que cada bem representa no orçamento na época atual. IFALSAI
(3) Os Índices de Laspeyrese Paasche atendem ao critério de reversão do tempo. Resposta:
Para atender ao critério de reversão no tempo, deve-se verificar que: 101 X 110
=1
Ou seja, se calcularmos o índice do período 1 em relação ao período O e encontrarmos um aumento de preços, teríamos que encontrar uma diminuição dos preços da mesma magnitude ao calcularmos o índice do período O em relação ao período 1. Vejamos se os índices de Laspeyres e Paasche atendem a esse critério:
~'
...
~ " I; Poql;
11
Ip;q~ LIII xL/fI
_ ..
==
~ PrJ/ XPIIJ =
i=1
X
11
;=1
=Fl
/I
Ip~q~
LP;q;
i=1
i=1
" y; ; •......• Plql
L;Poqo
;=1
i
X
/I
Ip~q: i=1
/J
i=1
=FI
"
Ip:q~ i=1
Dessa forma, os índices de Laspeyres tempo.
e Paasche
não atendem
ao critério
de reversão
no
IFALSAl
(4) A diferença entre os índices, de Laspeyres e Paasche está na forma como os relativos são ponderados. Resposta: A diferença entre os índices de Laspeyres e Paasche está na forma como os preços são ponderados: o índice de Laspeyres utiliza as quantidades iniciais e o índice de Paasche as quantidades finais.
".~
/I
L.p;q;
!p:q~ ...
...•.........••
P
L == _'=-'.1__
~
=
-,,;='-'..1 __
Como vimos nos itens (1) e (2) dessa questão, esses índices podem ser escritos como médias ponderadas de relativos de preços: o índice de Laspeyres como uma média aritmética de relativos ponderados pela participação no orçamento de cada bem na época base e o de Paasche como uma média harmônica de relativos ponderados pela participação de cada bem na época atual. ~p;
L==L-:xw~ ;=1 Po
--~
"
p== ---n
1=1
IVERDADEIRAl """"", (ANPEC
..•...........•.
,
2004,
01) Dadas as seguintes
pi
~_o L..,
informações:
PI
i
xw'
. 1
~i-';;ç·
\.,C ..
É correto afirmar que o valor dos índices especificados duas decimais) é: (O) Laspeyres
abaixo,
~~,
para o período t = I (use
de preço: 1,64.
Resposta:
O índice de preços de Laspeyres é dado por:
'.
" p'q" 32 = -= 128 LP"q" 25 "
L= L-
~
..
IFALSAI
(I) Paasche de preço: 1,17.
, -"\
....
Resposta: O índice de preços de Paasche é dado por:
P
LP'q' ~p"q'
=
.
=
48 == 1.17 4\
.'
.'-\ ...
IVERDADEIRAI
(2) Laspeyres
de quantidade:
1,28.
Resposta:
.--('
O índiie de quant,~d~de de Laspeyres 'L
=
Lp
q
~p"q"
q
~
=
25
é dado por:
1 64 '
IF-A-LS-AI
(3) Paasche de quantidade:
1,20.
~,.
Resposta: O índice de Paasche de quantidade
é dado por: ~'.
p = q
LP'q' LP'qU
= 48 = 1 50
32
'
'-IF A-L-S-AI
(4) Um índice de valor que satisfaça
ao critério de decomposição
de causas:
1,50.
Resposta: Sabemos
~\
que o índice de valor é:
V
01 -
verificar
I p'q'
-=---
LP"q"
48
=- = 2S
1 92 '
Para atender ao critério de decomposição das causas (circularidade), V01 x V 12 = V 02. Vejamos se isso vale para o índice de valor:
--.;:
deve-se ~-
Portanto, este índice satisfaz vimos, é igual a 1,92.
ao critério
de decomposição
das causas
e, como
IFALSAI
(ANPEC 2003,
01) Com relação aos números
índice, é correto afirmar que:
:--'"\
(O) o índice de Fisher é uma média harmônica Resposta: O índice de Fisher é uma média Laspeyres:
dos índices de Paasche geométrica
dos
e Laspeyres.
índices
de
Paasche
e
F= .JLxP IFALSA!
(I) o índice de preços de Laspeyres é uma média harmônica de relativos de preços ponderados pelo valor dos bens no período base. Resposta: O índice de preços de Laspeyres é uma média aritmética de relativos de preços ponderados não pelo valor dos bens, mas pela proporção que cada produto representa a ' no orçamento no período base (li' ): p' L = '\' L..-x p"
11
li'
IFALSA!
(2) o índice de preços de Paasche é lima média aritmética de relativos de preços ponderados pelo valor dos bens no período atual; Resposta: O índice de Paasche é uma média harmônica de relativos de preços ponderados pela proporção que cada produto representa no orçamento no período atual (li''), e não pelo valor dos bens: """,
p
= ---::---
)' Lxw' "-' p' IFALSA!
(3) embora ."""
...•
--....
._~
os índices de l.aspeyres e de Paasche decomposição das causas, o produto cruzado de Paasche de quantidade satisfaz:
não UIl1
satisfaçam ao critério da Laspeyres de preço por um
Resposta: O produto cruzado de um índice de preço de Laspeyres por um índice de quantidade de Paasche é igual ao índice de valor: ~
Para atender ao critério de-decomposição das causas (circularidade), devemos ter que V01 x VI] = V02 _ Vejamos se isso é válido para o índice de valor:
Portanto, o produto' cruzado de um Laspeyres de preço por um Paasche de quantidade (ou seja, um índice de valor) satisfaz ao critério de decomposição das causas. /VERDADEIRAI
(4)
índ ice de Paasche de preços pode ser calculado pela divisão de um índice de valor por um índice Laspeyres de quantidade. Resposta: Dividindo um índice de _valor por um índice de Laspeyres de quantidade, obtemos o índice de preços dê Paasche: O
1
V
-7-
L
= q
LP'q' LPlq"
'\.
/VERDADElRAI
(ANPEC
2002,
02) Em relação a índices e deflacionamento
de preços é correto
afirmar: \.
(O) Os índices de preços de Laspeyres e de Paasche geram, em geral, resultados diferentes quando utilizados para avaliar a variação do nível dos preços de um conjunto de produtos, mas ambos atendem à condição de reversão no tempo. Resposta: Apesar de ser verdade que os índices de preços de Laspeyres e de Paasche produzem, em geral, resultados diferentes, ambos não atendem ao critério de reversão no tempo, já que:
IFALSAI
...
(1) Se um determinado
--> ..-- •..
índice de preços com ano base em 1992 assume os valores 195= 300 e 196 = 400 em 1995 e 1996, respectivamente, então um produto com preço corrente de R$ 10,00 em 1996, tem preço de R$ 7,50, em moeda de 1995. Resposta: Como queremos saber o preço de um produto que custava R$I 0,00 em 1996 em moeda de 1995, basta deflacionarmos (ou seja, multiplicarmos pelo índice de 1995 e dividirmos pelo índice de 1996) para obtermos: 300 IOx-=750 400
'
IVERDADEIRAI
(2) Multiplicando-se
~~ '\
Laspeyres,
um índice de preços de Laspeyres por um índice de quantidades obtém-se um índice relativo de valor das vendas (l(V1IVo)).
de
Resposta: Multiplicando um índice de Laspeyres de preços, obtemos:
de quantidades
por um índice de Laspeyres
~'\
o que, sem dúvida, não é um índice relativo de valor. IFALSAI
..
_-,..-...
.....
....-.....,
(3) Se os preços dos automóveis aumentam 0, I% no ICVO-3SM(Índice de Custo de aumento de 1,2% no ICV 10-20SM, então famílias típicas com renda entre 10-20 típicas com renda entre O a 3 SM.
em 20% e isso se reflete em um aumento de Vida de ~ a 3 salários mínimos) e em um o peso dos automóveis nas despesas dos SM.é 12 vezes maior do que nas famílias
Resposta: Se todos os outros preços permaneceram constantes, então a variação no índice de custo de vida será dada por (considerando o índice de preços de Laspeyres):
'''. ~ICV
= ~px
w"
Como houve um aumento de 20% nos preços dos automóveis que significou aumento de 0,1% no ICVO-3SM e um aumento de 1,2% no ICV 10-]051\,1, temos que:
..",
um
6ICVO_lSM 0,001 li
=
=
0,20
°,20 -
6ICVIO_20SM
o
W~_>.\M
'
W~.)SM
0,001 _
_
W (I.)SM -
0,012
Apx
=
0,005
Apx
.
_
o
- 0,5 Yo
o W 10-20.<;1/
= 0,20W~lI.2l1SM _
WIO_10SM -
0,012 .: _ o 020 - 0,06 - 6Yo , ---\.,
Dessa forma, o peso dos automóveis nas despesas das famílias com renda entre 10-20 SM é 12 vezes maior que das famílias com O a 3 salários mínimos, já que 12 x 0.5% = 6%. IVERDADElRAI (4) Para calcular o índice de preços dePaasche para uma série de anos requer-se menos informação do que para calcular o índice de Laspeyres. Resposta: Para calcular o índice de preços de Paasche requer-se bem mais informação do que para calcular o índice de Laspeyres, já que se utiliza as quantidades atuais para o cálculo em cada ano. Dessa forma, além de informações anuais dos preços dos produtos, deve-se também pesquisar as quantidades anuais consumidas dos produtos, o que não é uma tarefa fácil. Já o índice de Laspeyres necessita apenas de informações atualizadas dos preços, já que utiliza como ponderação as quantidades iniciais.
--.:.'.
IFALSAI ""'\"
(ANPEC 2001, 02) Em relação a índices de preços, é correto afirmar: (O)Os índices de Laspeyres e Paasche permitem comparar o custo de aquisição de uma cesta de mercadorias no período t, com o custo de aquisição dessa mesma cesta de mercadorias no período base. Resposta: É exatamente para isso que são usados os índices de preços: para comparação custo de aquisição de cestas' de mercadorias em dois períodos, e, tanto o índice Laspeyres quanto o de Paasche cumprem essa tarefa, com a diferença que o índice Laspeyres utiliza a cesta de mercadorias do período base, enquanto o de Paasche, a período atual. IVERDADEIRAI
do de de do
O índice de Laspeyres
(I)
subestima
a variação
do preço
entre
dois
momentos
o índice de Paasche superestima.
enquanto Resposta:
Sabemos que, em geral, o índice de preços de Laspeyres é maior que o índice de preços de Paasche. Portanto, em geral, o índice de preços de Laspeyres superestima a variação do preço entre dois períodos enquanto o índice de preços de Paasche subestima. IFALSAI
(2)
O índice
de Fischer
Paasche e obedece
é dado pela média
ao critério da decomposição
harmônica
dos índices
de Laspeyres
e
dos índices
de Laspeyres
e
das causas.
-~
Resposta:
o
-_ ........••.•
Paasche
índice de Fisher é dado pela média (F
= .J L x P)
(circularidade),
e não
obedece
L11
11
=.JL
ao critério
de decomposição
das
causas
já que:
IPi'q;' F xF
geométrica
!lI
xP
01
x.JL
11
xP n
/"1
Ip,"q,"
Ip:q; x ",:1
I.p:'q;
'IPi'q;'IPi'q; x
;:1
L,p,'q:
X
;~I
L,Pi'q,'
IFALSAI
(3) Se o preço de determinado produto teve acrescrrno de 16% e provocou crescimento do índice de custo de vida de 0,4%, então esse produto representa 2,5% das despesas da família típica objeto da pesquisa de orçamentos familiares. Resposta: Mantendo todos os outros preços constantes e considerando o índice de preços de Laspeyres, temos que a variação no índice de custo de vida será dada por:
i1ICV = i1p x w" O,,"",
Portamo:
0,004 w
..
=
0,16w"
0,004 ::: -::: O 025 ::: 2 5%
0,16'
IVERDADEIRAI -'~
,
(4) Tomando o ano zero como base, foram observados ano I: índice do PIB nominal = 120; índice de quantidade então concluir
que a taxa de inflação no período,
medida
os seguintes de Laspeyres
pelo deflator
valores para o = 80. Pode-se
implícito
do PIB,
foi de 50%. Resposta:
r--»
Aqui temos que calcular o valor do deflator implícito do PI B. E, para isso, foram fornecidos os valores do índice do PIB nominal e do índice de quantidade de Laspeyres, que são dados por: \.
L
= q
LpOq'
= 80
2.p"q"
o deflator
implícito
do PIBédado
pelo quociente
entre o PIB nominal
e o PIS
\.
real: \-
PIB nominal
D=-----
PIB real PIB nominal = quantidades atuais a preços correntes. PIB real = quantidades atuais a preços do ano-base Dividindo
o numerador
e o denominador
por
2.p"q" ,obtemos:
índice PIB nominal índice de quantidade
Portanto,
houve uma variação
de Laspeyres
\.
120
=
15
80
de 50% nos preços medida
IVERDADEIRAI
(ANPEC 2000, 2) A tabela abaixo apresenta,
'
pelo deflator
implícito
do PIB.
_
para os anos de 1994 e 1999, dados sobre preços e quantidades vendidas de 6 diferentes produtos cornercializados por certa companhia. Calcule a variação percentual dos preços dos produtos da companhia neste período, utilizando o índice de Paasche. hipotéticos
,
1994 Tipo duto
de
pro
I
Preço
A
Quantidade Vendida
I
C
1
D
I I
E
7
2 ., J
1 2
I
F
Preço
80 100 200 600 300 100
5
B
""
1999 Quantidade Vendida
100 1000 200 500 200 200
20 6 5 4
2 .,
J
Solução: Para
calcularmos
LP""'q"'"
índice
o
e LP""'q"'"
de
preços
de
Paasche,
precisamos
primeiro
calcular
, o que é feito na tabela abaixo:
.'"",
Tipo de produto
\
A B C D
E F Soma:
Pl994X QI999
500 7.000 400 1.500 200 400 10.000
PI999X 01999
2.000 6.000 1.000 2.000 400 600 12.000
Dessa forma, temos que: p=
'.
L p"'"
q"'" p"'"ql'''''
I
= 12.000 = 1 ?O 10.000
,-
-...
I Portanto, a variação período foi de ~.
percentual
dos preços
(ANPEC 1999, 3) Com base na teoria dos Números
do produto
dessa
Índices, pode-se
companhia
afirmar
nesse
que:
(O) Os índices de Laspeyres de preços e de quantidades podem ser obtidos ponderandose, respectivamente, os índices simples relativos de preços e de quantidades aos diferentes bens pelos valores no período base. Resposta: O índice simples ----....
LP.' [=-',,-"-
~p, '"'" 1":1
.,
relativo de preços é dado por (índice agregativo
simples):
Ponderando pelo valor da participação relativa (11';'), obteremos o índice de preços de Laspeyres:
de cada bem no período
base
L,p; L=
-"-'-XlV" ~
11
z:».
Já o índice simples
Ponderando
(
relativo de quantidades
pelos preços, obteremos
é dado por:
o índice de quantidade
de Laspeyres:
,., IVERDADEIRAI
(1) Em relação ao índice de Laspeyres e de Paasche, os de Fisher possuem duas vantagens: observam a propriedade de reversão no tempo, e O índice de preços vezes o de quantidade é igual ao Índice de valor. Resposta: Sabemos que o Índice de Fisher é dado pela média geométrica dos índices de Laspeyres e Paasche
F=JL;P o critério
de reversibilidade
Para atender
Portanto,
a este critério,
implica a seguinte
teríamos
condição:
que:
o índice de Fisher atende ao critério de reversibilidade.
"'~
Vejamos
agora se ele tem a propriedade
de que o índice de preços vezes o de quantidade
é igual ao índice de valor: .. .....-...,
..
-"
=
Portanto,
índice de valor
esta propriedade
também é satisfeita
pelo índice de Fisher.
(VERDADEIRAI
.--------
(2) O índice de preços de Laspeyres Paasche, pois para o primeiro, variável na época atual.
Resposta:
é, em geral, maior do que o índice de preços de a ponderação é fixa na época base e para o segundo é
.
Em geral, o índice de preços de Laspeyres é realmente maior que o de Paasche. Cabe notar que o índice de preços de Laspeyres será maior que o de Paasche quando o coeficiente de correlação entre preço e quantidade .. for negativo, situação que é mais comum (um aumento no preço provoca uma diminuição na quantidade). Porém, é bem possível que o coeficiente de correlação entre preço e quantidade seja positivo e, nesse caso, o índice de preços de Paasche será maior que o de Laspeyres.
!VERDADEIRAI
(3) Os índices de Fisher, definidos como a média geométrica dos índices de Laspeyres de Paasche, são sempre maiores do que estes dois últimos.
e
Resposta: .... ;----.,
O índice de Fisher, sendo uma média geométrica estará sempre entre estes dois, nunca será maior.
dos índices de Laspeyres
e de Paasche,
IFALSAI
(ANPEC 1998, 12) Com base na equação da Renda Nacional (Y= C dados a seguir, calcule a Renda Nacional em 1996, a preços constantes
"'"
RENDA NACIONAL A PREÇOS CORRENTES (em milhões de unidades monetárias) COM PON ENTES Consumo Investimento Expo/1ação
( C) ( J) ( .X")
1990
1996
15,0 5,0 2,0
20,0 8.4
I
3.0
+ J + X - M) e nos de 1990.
1,0
1,8 29,6
21,0
~
DEFLATORES (Base: 1990 = 100) ÍNDICES 1996 Custo de Vida Investimento Exportações Importações
.--\
125 105 ISO 180 ~
Solução: Note que o exercício fornece os valores nominais (tanto da renda quanto de cada um de seus componentes). Portanto, teremos que deflacionar cada um dos componentes da renda, utilizando seus respectivos deflatores (fornecidos na segunda tabela). O quadro abaixo mostra o cálculo realizado e os valores deflacionados:
Consumo (C)
20,0
20x 100 125
16
Investimento ( I)
8,4
8 4x 100 , 105
8
Exportação (X)
3,0
Importação (M)
1,8
3x-
100
2
150
I 8x 100 , 180
Com esses valores deflacionados, podemos agora facilmente obter o valor da renda nacional em 1996 a preços de 1990: Y=C+r+X-M Y=16+8+2-1
Iy =251
..
'"
-
(ANPEC 2005, 3) São corretas as afirmativas: (O) Se X é uma variável aleatória com distribuição
--~
- Z = entao
(X - u)' ?
normal de média
~l
e
variância
()2,
segue uma diistnibui uiçao X - com I grau d e Iib I er d a d e, _?
()-
Resposta: Sabemos que a soma de n variáveis c_._
""'.
2
X com n graus
a distribuição padronizada
ao quadrado,
aleatórias
normais padronizadas
ao quadrado
E como Z é uma variável
de liberdade,
segue normal
X2 com 1 grau de liberdade.
segue a distribuição
IVERDADEIRAI
(1) Se XI, ,.., Xn são variáveis
aleatórias
identicamente
distribuídas
com distribuição
n
-~
Bernoulli
com parâmetrop,
então Z =
IX;
segue uma distribuição
Poisson.
;=1
.. "",
., ....
Resposta: Como Z é a soma de n variáveis de Bernouilli, seguirá a distribuição binomial. Cabe lembrar, porém, que quando n é grande e p pequeno, a distribuição binornial pode ser aproximada pela distribuição de Poisson. Mas essenão é o caso! IFALSAI
, (2) Se X é uma variável aleatória com distribuição t com n graus de liberdade, Z = X2 segue uma distribuição F com I e n graus de liberdade. Resposta:
então
Uma variável aleatória com distribuição t de Student e n graus de Iiberdade, quadrado, segue realmente a distribuição F com I e n graus de liberdade. Vejamos. Sabemos que:
/.t -
Ji/
.......,
.- .
Elevando ao quadrado,
temos que:
ao
(x- -,u
r
{X--,uf
1
0-
\ Note que o numerador da expressão acima é uma variável normal padronizada ao quadrado e, portanto, segue a distribuição qui-quadrado com I grau de liberdade. E no denominador, ternos também uma variável aleatória que segue a distribuição quiquadrado com n graus de liberdade. Dessa forma:
(X--,u)'
IVERDADElRAI
(3) Se X é uma variável Resposta:
aleatória
Poisson com média
}", então a variância
de
X é ,,1," .
A distribuição de Poisson é o limite da distribuição binomial, quando n (o tamanho da amostra) tende ao infinito e p (probabilidade de ocorrência de sucesso) tende a zero, de modo que np permaneça constante. Portanto, a média e a variância de uma variável aleatória X com distribuição de Poisson serão dadas respectivamente por: E(X) np À Var(X) = np(l-p) = np = À
=
=
Dessa forma: IE(X)
=
var(X)
=
AI
IFALSAI ........, Se a variável X = lnY segue uma distribuição normal, então Y segue uma distribuição lognormal. Resposta: Uma variável aleatória tem distribuição lognormal se seu logaritmo seguir uma distribuição normal. Dessa forma, se a variável X = InY é normalmente distribuída, (4)
então Y = eX realmente seguirá a distribuição lognormal. Note apenas para valores positivos. E como grande parte das variáveis apenas valores positivos, a distribuição lognormal é muito utilizada Sabemos
que a f.d.p. da distribuição
normal é dada por:
que ln(.) é definido econômicas assume em economia.
...
1 F(x)
Jx-}~)'
2.,--
e
=
.J2 J((T 2 Aplicando
u(x)
=
e'
vlYJ
=
lny
v'(y)
o teorema 4.5.1 (Sartoris,
2003, p. 104), temos:
= ..!. y
Assim,
a f.d.p. de uma distribuição
lognormal
é dada por:
(10 )'-.11)'
/(y) =
e
1
20-'
y.J2íT(T2 !VERDADEIRAI
(ANPEC 2005, 13) Seja XI' X:2' X da variável
X, que
segue
, X 64
J'
distribuição
de
uma amostra aleatória
probabilidade
exponencial,
independente com
função
densidade
f(x)
.
= 2e -1x,
para x > O e, zero fora desse intervalo .
'--'"
Usando
o teorema
probabilidade (Multiplique
central
do limite e a tabela da distribuição
X
de que a média amosfral o resultado
por 100).
normal,
anexa, calcule
a
seja maior que ou igual a 0,5.
'
Solução: Pelo
Teorema
distribuição
do normal
suficientemente variável:
Ix - Jil
~---'.~
Limite com
grande.
Central, média
sabemos JL
Para podermos
que
e variância consultar
a média
a:,
amostral
X segue
uma
, desde que a amostra seja n a tabela, precisamos padronizar a
NeO, I)
(T
Fn Para tanto, precisamos' encontrar a média e a variânc ia da variável aleatória X. Sabemos que a média e a variância de uma distribuição exponencial são dadas, respectivamente. por (veja questão ANPEC 2004,8. item (O»: . I E(X) == - == 0,5 .... ""
fJ
",
1
var(X)
= -=
(32
4
E o desvio-padrão: dp(X)
=
-J4 = 2
Dessa forma, temos que: 10,5 - 0,51 = O 00 2 '
-!64 Portanto, P( X ;::: 0,5)
=
P(z;:::O)= 0,5.
,I
0,50
I
--/ M uItiplicando o resultado por 100, como pede o exercício, chegaremos ao valor de ~. (ANPEC 2000, 03) Dados os seguintes enunciados envolvendo variáveis aleatórias, é
correto afirmar que:
(O) Se Y" = a + by2 e X* = c + dX2, em que a, b, c, d são constantes reais, (b.d) E(X) = E(Y)=O, então correlação (Y*, X*) = correlação (Y,X).
O,
Resposta: O coeficiente de correlação é uma medida de dependência LlNEAR entre as variáveis. Portanto, não se pode afirmar que o coeficiente de correlação entre (Y,X) será igual ao de (Y*, X*), que não são funções lineares de Y e X.
..
Por exemplo, se W zero, isto é, E(X) = O.
X2, e X é uma variável
=
com distribuição
uniforme
de média
f(x)
~ 'o~
000" •.. x
o o,~
A covariância
entre W e X será dada por
cov(X, W) = E(WX) - E(X)E(W) cov(X, W) = E(X3)
-
E(X)E(X~)
É possível verificar que E(X3) cov(X,W) Portanto,
=
0- OxE(X2) =
o coeficiente
=
°
0, então:
de correlação
será zero, ainda que a relação entre We X seja
exata - porém, não linear.
IFALSAI
(I) Se (Y,X) possuem uma distribuição Normal bivariada, então, E(YIX) = a + b Y, em que a e b dependem dos momentos de Y e X.
segue-se
que
Resposta:
--~
"~
E(YIX) é chamada de regressão de Y em X. De fato, é possível mostrar que, se X e Y têm distribuição normal bivariada E(YIX) = a + bX, a e 9 constantes (e não a + bY). Independente disso, E(YIX), isto é, a esperança de Y dado X será função de X, nunca de Y. IFALSAI
(2) Se X - Normal(O, I) então Y= eX tem distribuição
lognormal
com
E(Y)=el;~,
Resposta: Sabemos que se X segue uma distribuição normal e Y = eX (ou seja, InX = V). então Y realmente seguirá uma distribuição log-normal e sua média será dada por:
,
\
.'\..
"'
Corno nesse caso, X segue a distribuição normal padronizada, zero e variância igual ai, ternos que a média de Y será: I
t1'~
E(Y)
= e", =
e""
ou seja, com média
I
= e'
IVERDADEIRAI
(3) Se
(X,Y) possuem
densidade
conjunta
f(x,y)
= ~2
e'$
Y, ~
>0,
e O ~ x ~ y, então
E(X)= I/~. Resposta: Antes de calcularmos a esperança de X, devemos (g("\:), o que é feito integrando em Y:
g(.x)
encontrar
a f.d.p.
marginal
ff(x,y)dy
=
.r z
f~'e-'"
g(.') =
dy
.r
~ r/J' e -~dy
f
g(x)
=
g(x)
= ~,[ - ;-~ ]~
g(x) =
(Ó,[ e~I']
Portanto:
E(x)
=
fxg(x)dx x
E(x) =
f-'(~e-I'dx
Para calcular Façamos
f(x) = x e g'(x) =
I ff(x)g'(x)dx Portanto:
a integral acima, devemos
= f(x)g(x)
e'!frr;
utilizar o método de integração
Temos que:
I
- fg(x)f'(x)dx
por partes.
de X
..
"
E(x) == ~ ff(x)g'(x)dx
-e
~ -e -I, - f-dx
-;h
E(x) == ~ x(-) [
~
xe
o
~
I"
-j,
E(x) == ~ [ --,-+ - fe-"dx lfJ
E(x)== ~
~
xe -r.,
[
~
]
<
fl
«: )]
--
~
~
u
e-"]"
E(x) == ~ ----, xe-" [ ~ E(x) ==
"
n
I (-
--+-
]
~"
~[~J,]
I E(x) == ~
Nota: obviamente, ...
~
J fxf(x,y)dxdy
o mesmo
resultado
seria
obtido
se tivéssemos
calculado
E(x) ==
.
IVERDADEIR-A.I
(ANPEC 2000, 13) Dados os seguintes .'"----.,
correto afirmar
enunciados
envolvendo
variáveis
(O) Se X é uma variável aleatória
Pr(IX-111
com média
~ 2)?:
11 finita e variância
(í]
0.75.
Resposta: Sabemos,
pelo Teorema
de Tchebichev
a:
P(jX - J-l1~ E) 2. 1 - 7 <::
Nesse caso, -,"",
P(IX -
E
==2 e
p! ~ 2) 2. I
(í]
I - 4
P(lX -111 ~ 2) 2. I - 0,25 P(IX - J-l! ~ 2) 2. 0.75 IVERDADEIRAI
--"
aleatórias,
que:
== I. Portanto:
(ver questão
13 de 2004) que:
=
I, então
é
,
(I) E( eX)
~
e'', em que E(X)
==
\
u.
Resposta: que X assuma apenas dois valores:
Suponha XI
=
I
X2
==
-I .-.
"
A média de X será dada por: I (-I) -L
E(X)
= I--l ='
=
2
°
Nesse caso, e'' será: e"
=
eO
=
X
E E( e
)
E(eX)
=
I
será: e'
+ e-I
2,71828 + 0,37
2
1,54414
2
Note que não precisaríamos ter número maior que 2, e como temos negativos, o numerador será maior será maior que I. E como tínhamos > e".
terminado esta conta. Bastaria lembrar que e é um uma soma no numerador de números que não são que o denominador, o que vale dizer, essa divisão X encontrado que e" = 0, temos que, nesse caso, E(e )
IFALSAI
(2) {E[(X-E(X))(YE(y))]}2 ~ E[X-E(X)]2 E[Y_E(y)]2, necessários ao cálculo de cada uma destas expressões
desde que todos os momentos existam.
Resposta: O primeiro termo da desigualdade acima é a covariância de X e Y ao quadrado. E o segundo termo é o produto da variância de X e da variância de Y. Vejamos se essa desigualdade é realmente válida. cov(X, y)2 ~ var(X) var(Y) Passando
o segundo
termo da expressão
acima para o primeiro
temos que:
cov(X,Y)' --~=---.;-;;:: 1 var(X) var(Y) Alguma coisa familiar na expressão acima? O primeiro termo nada mais é que o coeficiente de correlação ao quadrado de X e Y:
dessa desigualdade
". ,
- (
cov(X,Y)
P'UI -
~var(X)
]_
var(Y)
cov(X,Y) - ~var(X) var(Y)
cov(X,Y)'
cov(X,Y) x
~var(X)
var(Y)
var(X)
var(Y)
Sabemos que o coeficiente de correlação pode assumir valores entre -1 e I. Portanto o coeficiente de correlação ao quadrado jamais será maior que 1 (já que o valor máximo assumido ao quadrado, 11, é igual a I). Assim sendo, o correto seria: {E[(X-E(X))(Y-
E(y))]}2
~ E[X-E(X)f
E[Y-E(Y)f
[FALSAI
~. (3) E(Var(YIX))
~ Var(Y).
Resposta: A variância var(Y)
de Y pode ser escrita como (RAMANATHAN,
Rearranjando, E[ var(YIX)] ... ,...-...".,.,
+ var[E(YIX)]
E[var(YIX)]
=
temos: = var(Y)
E como a variância E[var(YIX)]
1993, p.89):
- var[E(YIX)]
é um número sempre
positivo,
temos que:
:s:; var(Y)
IVERDADEIRAI ""
,
........•.• ,~
(4)
Se Y e X são variáveis finitas, então a variância Var(X).
aleatórias independentes, ambas com média e variância da variável Z= V/X será dada por Var (Z) = Var(Y) /
Resposta: Suponha
que X seja uma constante.
= var
var(Z)
( -XY)
= -I
var(Y)
X'
Nesse caso, teremos: var(Y)
:;t. ---
var(X)
Um outro exemplo seria o da distribuição t de Student, que é o quociente entre lima variável normal padronizada e uma variável X2 dividida pelo seu respectivo grau de liberdade:
u
'
r=-, ondeU~N(OI)eV~x: V1k ' I
Sabemos que: ,"'"'
,
""
que a variância
, A
da distribuicão
.
t de Student é dada por ~.
k-2
Portanto, temos
é'\
.
~. ~
var(t)
U)
(
=
k .
= k _2:t.
var Vjk
var(U) var(V / k)
..
k
I
= 2k/ k2
2
~.,
•
(ANPEC
1999, 09) Podemos afirmar que:
(O) Pelo Teorema
do Limite Central
podemos
afirmar
que se a variável
aleatóriaXtem
"""
uma distribuição qualquer com média Jl. e variância cl, então a distribuição de X (média da amostra) aproxima-se da distribuição normal com os mesmos parâmetros média Jl. e variância cl, quando o tamanho da amostra aumenta.
Resposta: Pelo Teorema do Limite Central, sabemos distribuição qualquer com média )..l e variância distribuição
normal
com
média
)..l
que se uma variável aleatória então a sua média amostral
0'2,
0"
e variâncía
para
amostras
tem uma terá uma
suficientemente
n grandes. IFALSA' ~'.
(1) Sejam as variáveis distribuídas
IX,
X, (i= I, 2, ... , 10) independentes
aleatórias
com
média
10 e desvio
Jl.
padrão
O'
e normalmente =
2. Então,
se
lU
y
=
podemos
afirmar
que,
normal com média E(Y)
distribuição
a medida
=Ie
que
n cresce,
Y tende
para
uma
V(Y) = 0,2.
Resposta: .
f,-, X, IX, nX_ n-"-'
Note que Y =
Y
=
pode ser escrito como:
-=
n
E sabemos que a variável variância dada por /1(1: E(nX)
=
var(nX)
-
n E(X):=
nX seguirá
nu
= ,lvar(X)
= n2 ~= 11
Portanto: E(Y) = nJl. = 10 x 10 var(Y) = nd = IOx2
=
100 20
=
ncl
uma
distribuição
normal
com
média
nt: e
.
IFALSAI
(2) Uma distribuição
binomial tende a uma distribuição normal quando o número n de provas independentes de Bemoulli cresce. Resposta: Abaixo temos o histograma da distribuição binornial com p = 0,5 para diferentes valores de n: ---...,
,-
n=2
n=5
n=3
n = 10
.~
Note que à medida que aumentamos o tamanho da amostra (OLl seja, à medida que o número de provas de Bernouilli aumenta), a distribuição binomial se aproxima cada vez mais d.a d.istribuição normal e, dessa formal a distribuição binomial pode ser aproximada pela distribuição normal para valores grandes de n. --~ /VERDADEIRAI
-
""'
-.~ '--~
(3) Se a distribuição de probabilidade de uma variável aleatória X é conhec ida, podemos calcular sua esperança e sua variância, se existirem. Embora a recíproca não seja verdadeira, poderemos estabelecer um Iim ite superior (ou inferior) muito úti I para as probabilidades da distribuição através do uso da desigualdade ele Tchebycheff. Resposta: Conhecida a distribuição de probabilidade de uma variável aleatória, podemos calcular sua esperança e variância. Porém, dadas a esperança e a variância ele lima d istribu ição, não é possível encontrarmos sua distribuição de probabi I idade. A desigualdade de Tchebichev nos permite estabelecer limites para as probabilidades da distribuição, dadas apenas a média e a variância. IVERDADEIRAI
--.~
\.
(4) Para qualquer tamanho de amostra, a distribuição amostral de proporções de uma amostra de sucessos é mais dispersa quando a proporção populacional é igual Yí e é menos dispersa quando a proporção populacional é igual a zero ou a um. Resposta: Sabemos que a variável em questão possui distribuição binornial. A sua variância será . dada então por: ~~(p)
= ~x
crj;-jj
Quando a proporção
J
var(p)=-x
populacionalfor
( (--=J)
2
2
~
igual a ~ teremos: 2
.-.:..-.
1 4
E quando for igual a zero: var(p) = Ox(I-O) = O E para p = J: var(p)=lx(l-I)=O Portanto,
quando
menos dispersa
a proporção que quando
populacional
for igual a zero ou 1, a sua distribuição
será
for igual a ~. 2
(VERDADEIRAI
(ANPEC
1998, 04) Com
marginais,
pode-se
relação afirmar que:
às distribuições
de
probabilidade
conjunta
e
(O) Se a função densidade conjunta de (X,Y), f(x,y), pode ser fatorada na forma f(x,y) = f(x).g(y) , onde f(x) e g(y) são ,respectivamente, as funções densidade de X e Y, então as variáveis aleatórias X e Y são independentes.
Resposta: De fato, se f(x,y) = f(x).g(y), verdadeira).Isto é mostrado abaixo:
então
Se as variáveis são independentes, probabilidade não condicional, ou seja:
x e y são independentes
então
a probabilidade
/xy=J(t)
f;,x = g(y) E sabemos
t.: = f(x,y) '. Então:
g(y)
que a probabilidade
condicional
é dada por:
...
(e a recíproca
condicional
é
é igual à
Se X e Y são independentes, então o valor esperado de X não pode depender de Y, ou seja, o fato que Y existe não muda em nada a esperança de X, e vice-versa. Sabemos que: E(XIY)
=
+ X2XP(X2IY) +... + XnxP(XnIY)
X1xP(XdY)
Se X e Y são independentes, então P(XdY) = P(Xj). Portanto: E(XIY)
= XIXP(X1) + X2XP(X2) +... + XnxP(Xn) = O mesmo vale para variáveis contínuas,
E(X)
como vemos abaixo:
r
E(X)
""
fxf(x)d,
=
E(XIY)
=
Jxi..dx,
ondefxy é a f.d.p. condicional
de x.
"'~
Se as variáveis são independentes, então a probabilidade incondicional probabilidade condicional e, portanto.ji., = f(x). Sendo assim, temos: E(XIY)
=
Jxf(x)dx
=
será igual à
E(X)
Isto também vale, analogamente, para Y: E(Y) = E(YIX). Portanto, se duas variáveis são independentes, a esperança incondicional será igual à esperança condicional.
IVERDADElRAI (3) Seja j{x) a função de densidade então P( -00 < X <
00)
=
1:
de probabilidade
=
j(x)dx
da variávelaleatória
contínua X,
I.
Resposta: Sabemos que: P(a < X < b) = [, f(x)dx
Fazendo
-Q
e b tender ao infinito, temos:
P(-co < X < 00) = [f(x)dx
Que, como sabemos, ou seja,
f f(x)dx
=
é a soma de todas as probabilidades,
e portanto deve ser igual a I,
I.
[VERDADEIRAI ..
.
~
.
,'"
(4) Seja
/(x)
a função de densidade
então podemos Resposta:
ele probabilielade
definir o valor esperado
de ,X' como
ela variável aleatória E(X)
=
r' x.f(x).clx.
-'o
contínua
X.
f(x,y)
= .fx;yxg(y)
Mas, se as variáveis são independentes.ji., f(-,y)
= f(x)
= f(x).
Portanto:
xg(v)
Sendo assim, se a f.d.p. conjunta de X e Y puder ser fatorada na forma acima, as variáveis necessariamente são independentes. IVERDADEIRAI
(1) Se a variável aleatória bidimensional (X,Y) é uniformemente distribuída, de acordo com a função densidade conjunta f(x,y) = 2, para O< x < y < 1 e, O fora deste intervalo, então E(X)= 112. Resposta: Sabemos que o valor esperado de X será dado por: 1
E(X)
E(X)
,.
= fJxf(x,y)dxdy 11
u
I.
.r
= f fx2dxdy
E(X) = J2JxdxdY o
U
)
I
.J2[~ IdY I
E(X)
=
E(X)
=
E(X)
= fy'dy
E(X)
= [~;
E(X)
= -
f
2[Y'
l.-ly ,
" 2I" 1
I
I
3 IFALSAI
(2) Se as variáveis aleatórias X e Y são independentes, então E(XIY) E(Y). Resposta:
= E(X) e E(YIX)
=
....
~.
É exatamente esse o valor esperado de X para uma distrib I I uiçao 'contínua, como vimos no item (2) desta questão,
de pro b a bilid 1 I ad e
tyERDADEIRAI
.'\
\
littGU/lJft\·) \
o .')
"\
'"
""'. ~
,."
~,(O., t/-:f'fJ/
lrv'-
)!cfW fCÚA. 'Í ",lAr r, t'/1'71 ri
ifUt..{/OV
vlAJ
CJJJJ... O
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I'N.//Y"'A
j.v.:j .
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-r-..
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