UNIVERSIDAD DE CUENCA FACULTAD DE INGENIERIA ECUACIONES ECUACIONES DIFERENCIALES
Analogías entre sistemas eléctricos y sistemas mecánicos AUTOR: PABLO PABLO ANDRES VASQUEZ VELEZ PROFESOR: ng! "#UEL $ORRAL SERRANO
$UEN$A% & DE 'UNO DEL ()&* "ARZO ()&* + 'ULO ()&* &! O,-eti.os Generales. Uni.ersi/a/ /e $0enca!
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O,tener /estre1a en la in.estigaci2n so,re temas 3oco con.encionales y 3lasmar las i/eas concretamente ,asa/os en los conocimientos a/40iri/os en la in.estigaci2n! Reali1ar el tra,a-o 3resenta/o en 3ala,ras 3ro3ias /el al0mno! Enten/er me-or el 3roceso 40e /a como res0lta/o 40e los sistemas eléctricos y mecánicos 30e/an ser 5ácilmente re3resenta/os en mo/elos matemáticos!
Específcos. •
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6ener claro la relaci2n entre los sistemas eléctricos y los sistemas mecánicos% a/40irir conocimientos acerca /e s0s seme-an1as y s0s /i5erencias! Resol.er la in40iet0/ /e 3or40e a 3esar /el ser com3letamente /i5erentes los sistemas menciona/os% se 30e/en 3lantear a tra.és /e las ec0aciones /i5erenciales /e maneras tan 3areci/as! Esta,lecer 0na clara com3araci2n entre los sistemas mecánicos y eléctricos!
(! ntro/0cci2n En el m0n/o real m0c7os /e los mo.imientos y sistemas 40e se /an a n0estro alre/e/or están someti/os a 0n cam,io% y como 7emos .eni/o est0/ian/o tam,ién en las matemáticas es m0y com8n la resol0ci2n /e 3ro,lemas 40e tienen como 30nto cla.e el cam,io o tasa /e .ariaci2n! "0c7os /e estos mo/elos se e93resan a tra.és /e 0na ec0aci2n /i5erencial! Si y:5;t< es 0na 50nci2n 40e relaciona las .aria,les t e y% entonces s0 /eri.a/a
'
y =
dy dt nos in/ica la tasa /e cam,io o .eloci/a/
/e cam,io /e la .aria,le y con res3ecto a la .aria,le t! Las ec0aciones /i5erenciales se originan entonces 3ara la resol0ci2n /e 3ro,lemas 5ísicos y geométricos% 3ero 30e/e ser 0tili1a/a 3ara la resol0ci2n /e .arios 3ro,lemas /on/e allá cam,io! $0an/o se est0/ia 0n 3ro,lema /el m0n/o real se necesita /esarrollar 0n marco matemático! Sa,emos 40e el 3roceso 3or el 40e se crea y e.ol0ciona este marco es la constr0cci2n /e 0n mo/elo matemático% sien/o alg0nos /e ellos m0y 3recisos% es3ecialmente en los /e la 5ísica! Entre las m0c7as a3licaciones 40e tienen las ec0aciones /i5erenciales nos centraremos es3ecí=camente en los sistemas mecánicos y eléctricos% /an/o como conocimiento 3re.io a la ela,oraci2n /el tra,a-o as3ectos ,ásicos /e /ic7os temas! La analogía entre los ( sistemas nos in/ica 40e 7a,rá casos en los 40e 0n sistema mecánico 3o/rá ser mo/ela/o a tra.és /e 0n sistema eléctrico% y .ice.ersa% 7a,lan/o o,.iamente /e manera te2rica ya 3ara 40e la Uni.ersi/a/ /e $0enca!
3ráctica se necesitaría /e alg0nos sim0la/ores y el tema se .ol.ería más com3lica/o!
>! "arco te2rico
Sise!a El"crico.
En los circ0itos eléctricos 3o/emos encontrar cinco elementos lineales ,ásicos% > 3asi.os y ( acti.os! Los 3asi.os almacenan o /isi3an energía% y estos son? El resistor% el ca3acitor y la ,o,ina! Lo acti.os s0ministran energía en 0n circ0ito! Estos son% el genera/or /e .olta-e y el genera/or /e corriente! E9aminaremos el circ0ito RLC% 40e es 0n ,lo40e /e constr0cci2n ,ásico! Este consta con 0na 50ente /e energía tal como 0na ,atería o 0n genera/or 40e s0ministra 0n #ola$e V%& .oltios en 0n tiem3o %&. Resistor!@ es 0n elemento 3asi.o y tiene ( terminales% el 3arámetro 40e lo caracteri1a se llama resistencia R y es el cociente /e la /i5erencia /e 3otencial ;o .olta-e< me/i/a entre s0s /os terminales% /i.i/i/o entre la corriente 40e atra.iesa este elemento! La 0ni/a/ /el resistor es o7mios;
V ( t ) I ( t )
Don/e V ;t< es la /i5erencia /e 3otencial o .olta-e entre s0s terminales e ;t< la corriente 40e atra.iesa el elemento al reci3roco /e R se le llama con/0ctancia% en contra3osici2n a resistencia! n/0ctor o Bonina!@ es 0n com3onente 3asi.o /e 0n circ0ito eléctrico 40e% /e,i/o al 5en2meno /e la a0toin/0cci2n% almacena energía en 5orma /e cam3o magnético! El 3arámetro 40e lo /isting0e es la in/0ctancia L% y 3o/emos /e=nirla como el n8mero N /e .0eltas /e la es3ira% m0lti3lica/a 3or el cam,io res3ecto a la corriente /el C0-o magnético 3ro/0ci/o 3or ca/a es3ira!
I ( t )=
1
L
t
∫ V ( t ) dt + I (0 ) 0
Capacior.' tam,ién es 0n elemento 3asi.o% y s0 almacenamiento /e energía lo 7ace me/iante 0n cam3o eléctrico a la 3ro3ie/a/ 40e lo Uni.ersi/a/ /e $0enca!
/isting0e le llamamos ca3acitancia y es el cociente /e la carga ac0m0la/a entre la /i5erencia /e 3otencial 40e se mi/e entre s0s terminales Así tenemos 40e? C =
q ( t ) V ( t )
% /on/e?
$ es la ca3acitancia! 4;t< es la carga ac0m0la/a V;t< es el .olta-e!
Genera(or o F)ene (e Vola$e.' como ya 7a,íamos menciona/o es 0n elemento acti.o% 3or40e mantiene entre s0s /os terminales 0na /i5erencia /e 3otencial ;o 0n .olta-e< in/e3en/ientemente /e c2mo se conecte!
La corriente ;t< 40e circ0la 3or /ic7o genera/or es 0na 50nci2n /el tiem3o /esconoci/a 40e /e3en/e /e c2mo se conecte el mismo a 0n circ0ito eléctrico y en 3rinci3io es 3osi,le calc0larla! An*lisis (e los circ)ios el"cricos.
Las ec0aciones /e e40ili,rio 40e go,iernan el com3ortamiento /e los sistemas eléctricos son conoci/as como las leyes /e irc77o /e .olta-e y corriente ;LV y L$< las c0ales esta,lecen lo sig0iente? Le+ (e Vola$e (e ,irc--o %L,V&: FLa s0ma alge,raica /e las caí/as /e tensi2n a lo largo /e 0n trayectoria cerra/a es ceroF
∑ V =0 Le+ (e corrienes (e ,irc--o %L,C&: FLa s0ma alge,raica /e las corrientes en 0n no/o es ig0al a ceroF!
∑ I =0 Am,as leyes 30e/en ser 0sa/as /e manera com,ina/a 3ara /eterminar el con-0nto /e ec0aciones integro@/i5erenciales necesarias 3ara 3re/ecir el com3ortamiento /e 0n sistema eléctrico! Sistemas eléctricos en serie.
$omo ya se in/ic2 0n sistema eléctrico en serie está 5orma/o 3or elementos a tra.és /e los c0ales circ0la la misma corriente! En la sig0iente =g0ra se 7a coloca/o los elementos R% L y $! Si a3licamos la LV tenemos 40e? Uni.ersi/a/ /e $0enca!
Si el interr03tor 40e se m0estra e la =g0ra% se cierra% 3ro.oca 0na corriente ;t< am3eres en el circ0ito en serie y 0na carga /e Q;t< co0lom, en el ca3acitor en el tiem3o t! 6enemos la relaci2n entre la carga y la corriente 40e es? dQ = I ( t ) dt
La s0ma alge,raica /e las caí/as /e .olta-e a tra.és /e los elementos /e 0na malla sim3le /e 0n circ0ito eléctrico es ig0al al .olta-e a3lica/o! La carga y la corriente en el circ0ito en serie RL$ satis5acen la ec0aci2n? L
dI + RI + 1 Q =V ( t ) dt C
Si /eri.amos am,os miem,ros /e la ec0aci2n tenemos?
' '
'
L I + R I +
1
C
'
I =V ( t )
En concl0si2n no es necesario tener 0n conocimiento 3re.io /e circ0itos eléctricos 3ara resol.er mo/elar este 3ro,lema% 8nicamente tomar en c0enta los coe=cientes constantes /a/os 3or el resistor% el ca3acitor y la in/0ctancia en 0n circ0ito eléctrico! Una ,atería o 0n genera/or /escrito 3or V;t< 40e es el .olta-e 40e s0ministra en 50nci2n /e 0n tiem3o!
Sise!a /ec*nico. Los sistemas mecánicos son esenciales en n0estra .i/a% ya 40e c0al40ier c0er3o 5ísico se com3orta como tal! En general los sistemas mecánicos son go,erna/os las leyes /e NeGton% 3ero ya 40e la aceleraci2n es la tasa Uni.ersi/a/ /e $0enca!
/e .ariaci2n /e .eloci/a/ 3or 0ni/a/ /e tiem3o nos con.en/ría a3licar la seg0n/a ley /e NeGton 40e /ice?
∑ F =m . a $0an/o se trata /e sistemas mecánicos /e rotaci2n la seg0n/a ley /e NeGton /eclara?
∑ τ = ρ . α Q0e Fla s0ma /e tor40es es ig0al al momento /e inercia m0lti3lica/o 3or la aceleraci2n ang0larF! El mo.imiento /e 0na masa 0ni/a a 0n resorte es 3er5ecto 3ara anali1ar las .i,raciones 40e oc0rren en sistemas mecánicos! Estos sistemas 30e/en ser mo/ela/os 3or me/io /e ec0aciones /i5erenciales con coe=cientes constantes! S03onien/o 40e tenemos 0n c0er3o con masa m 0ni/o en 0n e9tremo con 0n resorte y al otro e9tremo 0n amortig0a/or 40e es 0n /is3ositi.o 40e 3ro3orciona 0na 50er1a com3letamente o30esta a la /irecci2n a la 40e se /irige la masa! 6enien/o estos com3onentes!
elementos
3o/emos
anali1ar
ca/a
0na
/e
s0s
La .alor /e 9 en la =g0ra m0estra la /istancia entre el 30nto /e e40ili,rio y el 30nto c0an/o el resorte no se enc0entra estira/o% este .alor es 3ositi.o c0an/o el resorte se enc0entra estira/o y es negati.o c0an/o esta com3rimi/o! Utili1an/o la ley /e HooIe% tenemos 40e la 50er1a /e resta0raci2n 40e el resorte e-erce so,re la masa es 3ro3orcional a la /istancia 9!
F =−kx
% /on/e I es la constante /el resorte!
Uni.ersi/a/ /e $0enca!
6enemos tam,ién 40e el amortig0a/or ya menciona/o% 3ro3orciona 0na 50er1a 40e es 3ro3orcional a la .eloci/a/ F =−cv =−c
v=
dx dt % /e la masa!
dx dt
Entonces 3or me/io /e la s0matoria /e 50er1as /e la seg0n/a ley /e NeGton tenemos? mx
' '
+ cx ' + kx = F ( t )
J! Desarrollo? Relaci2n y analogía entre sistemas mecánicos y eléctricos!
Dos sistemas 5ísicamente /i5erentes% 3ero 40e se com3ortan /e manera seme-ante% y 3or en/e s0s mo/ela/os matemáticos son seme-antes% se /ice 40e son sistemas análogos! Esto im3lica 40e 0na misma ec0aci2n 30e/e /escri,ir a más /e 0n sistema! Esta 3ro3ie/a/ nos 3ermite ciertas .enta-as en el est0/io /e sistemas 5ísicos% entre las 40e 3o/emos contar? 0. La sol0ci2n /e la ec0aci2n o ec0aciones% 40e /escri,e a 0n sistema se 30e/e a3licar a otros sistemas /e áreas /istintas% 40e estén /escritos 3or la misma ec0aci2n o ec0aciones! 1. Esto nos 3ermite mane-ar el est0/io más 5ácilmente% 30esto 40e 7ay sistemas más sim3les 3ara im3lementar en el la,oratorio ;como el eléctrico<% 40e otros más com3lica/os y costosos ;como 30e/e ser 0n sistema mecánico o 7i/rá0lico
Para com3ren/er las analogías .amos a .er 0n caso sencillo /e 0n circ0ito mecánico con 0n gra/o /e li,erta/! No im3orta en ning8n caso la com3le-i/a/ /e los sistemas% solo im3orta 40e las ec0aciones 40e rigen s0 com3ortamiento sean ig0ales! Sea el sig0iente sistema mecánico /e traslaci2n?
Uni.ersi/a/ /e $0enca!
En este sistema " es la masa% R el coe=ciente /e ro1amiento o amortig0amiento% la constante /e elastici/a/ /el m0elle% 9 el /es3la1amiento lineal y K la 50er1a a3lica/a! La ec0aci2n /i5erencial 40e /e=ne s0 com3ortamiento es?
Sea el sig0iente sistema eléctrico 3asi.o?
En este sistema L es la in/0ctancia /e la ,o,ina% R la resistencia% $ la ca3aci/a/ /el con/ensa/or% i la corriente 40e circ0la y V la tensi2n a3lica/a! La ec0aci2n integro@/i5erencial 40e rige s0 com3ortamiento es?
Uni.ersi/a/ /e $0enca!
Q0e 30e/e 3onerse en términos /e la carga eléctrica 4 como?
A la .ista /e las e93resiones s0,raya/as corres3on/ientes a los sistemas% es e.i/ente 40e las ec0aciones /i5erenciales 3ara am,os son i/énticos% 3or lo 40e estos sistemas se /enominan sistemas análogos% y las magnit0/es 40e los re3resentan se llaman magnit0/es análogas! La analogía 40e e9iste entre estos sistemas se /enomina analogía mecánica eléctricaM! Presentamos a40í 0na ta,la 40e com3ara las magnit0/es /e los sistemas y s0s m0t0as analogías!
Sise!a /ec*nico F)er2a %F& Despla2a!ieno %4& Veloci(a( %(47(& Ce. elasici(a( %,& Ro2a!ieno %R& /asa %/&
Sise!a El"crico Tensi3n %#& Car5a %6& Corriene %i& Capaci(a( %07C& Resisencia %R& In()cancia %L&
E9iste otro ti3o /e analogía% tam,ién m0y 8til% entre sistemas mecánicos y eléctricos 40e es la analo5ía (e !o#ili(a( o a(!iancia + 6)e es si!ple!ene la ()al (e la anerior! De 7ec7o% es este ti3o /e analogía la 40e se s0ele em3lear ;y la 40e se 7a em3lea/o en el análisis 40e reali1a este 3rograma< 3or la 5acili/a/ con 40e se 7alla el circ0ito eléctrico a 3artir /e s0 mecánico análogo% y 3or40e el circ0ito eléctrico es 5ácilmente anali1a,le eléctricamente 0san/o análisis no/al!
Sea el sig0iente sistema eléctrico 3asi.o?
Uni.ersi/a/ /e $0enca!
En este sistema L es la in/0ctancia /e la ,o,ina% R la resistencia% $ la ca3aci/a/ /el con/ensa/or% i la corriente 40e circ0la y V la tensi2n a3lica/a! La ec0aci2n integro@/i5erencial 40e rige s0 com3ortamiento es?
Q0e 30e/e 3onerse en términos /e carga eléctrica como?
$om3aran/o esta 8ltima e93resi2n con la 3rimera s0,raya/a /el sistema mecánico% .emos 40e al ig0al 40e oc0rría con la analogía /e im3e/ancia% las ec0aciones /i5erenciales son ig0ales! La corres3on/encia mecánico@eléctrica /e la analogía /e mo.ili/a/ se m0estra en la sig0iente ta,la?
Sise!a /ec*nico F)er2a %F& Despla2a!ieno %4& Veloci(a( %(47(& Ce. elasici(a( %,& Ro2a!ieno %R& /asa %/&
Sise!a El"crico Corriene %i& Car5a %689& Tensi3n %#& In()cancia %07L& Resisencia %07R& Capaci(a( %C&
La analogía se /a al /ecir 40e am,os sistemas oscilan y e9iste 0na contin0a con.ersi2n /e la energía cinética y 3otencial en am,os sistemas! Por ello es 40e las ec0aciones /i5erenciales /e los /os mo/elos son tan similares! Uni.ersi/a/ /e $0enca!
En el sistema mecánico% 7a,lan/o /e 0n resorte en 3artic0lar% este almacena energía 3otencial /e,i/o al estiramiento 40e s05re c0an/o la masa o la 50er1a e9terna 3ro.oca el estiramiento o la com3resi2n 3ero al contrario c0an/o 7ay más energía 3otencial 3or este estiramiento y se enc0entra com3letamente estira/o% la energía cinética es cero! $0an/o el resorte no está estira/o y no tienen energía 3otencial% este tiene 0na energía cinética! a 40e nos encontramos con 0n resorte i/eal este ciclo /0raría 3or siem3re! Pero si tenemos 0n amortig0a/or o alg8n ti3o /e 5ricci2n esa energía en 0n tiem3o será cero y el ciclo se /eten/rá! En 0n circ0ito RL$ oc0rre e9actamente lo mismo% en este caso tenemos 0na má9ima energía 3otencial almacena/a en el cam3o eléctrico /el ca3acitor c0an/o este se carga com3letamente% 3ero con5orme se /escarga la energía 3or corriente a0menta y la energía almacena/a /ismin0ye a cero% to/a esta energía se almacena en la ,o,ina L en 5orma /e cam3o magnético% 3ero c0an/o llega a s0 .alor má9imo otra .e1 em3ie1a a circ0lar corriente y el ca3acitor se /escarga; 3eor en senti/o contrario< y se re3ite el ciclo in/e=ni/amente! Las 3ér/i/as /e energía 3ro.oca/a 3or 0na resistencia e.itan esto como en el sistema mecánico el amortig0a/or o c0al40ier ti3o /e 5ricci2n! El 7ec7o /e 40e la misma ec0aci2n /i5erencial sir.a como 0n mo/elo matemático 3ara sistemas 5ísicos /i5erentes% es 0n e-em3lo /e la trascen/encia /e la regla /e 0ni=caci2n /e las matemáticas en la in.estigaci2n /e 5en2menos nat0rales! El /esem3eo /el sistema mecánico 30e/e entonces 3ronosticarse 0tili1an/o 0n méto/o e9acto 3or sim3les me/iciones en el mo/elo eléctrico! Esto es es3ecialmente 8til c0an/o el sistema mecánico real es caro 3ara s0 constr0cci2n% o c0an/o la me/ici2n /e los /es3la1amientos y .eloci/a/es son /i5íciles% ine9actas o incl0so 3eligrosas!
Uni.ersi/a/ /e $0enca!
*! E-em3los!
Un sistema mecánico /e masa@resorte con 0na 50er1a e9terna a3lica/a 5;t< y con las con/iciones iniciales a7í /escritas! Nos 3i/e 7allar la 50nci2n /e s0 mo.imiento? 9;t
Uni.ersi/a/ /e $0enca!
Un sistema /e masa@resorte@amortig0a/or /a/as s0s constantes y .alor /e la masa% 7allamos la 50nci2n /e s0 mo.imiento seg8n 0n tiem3o ;t
Uni.ersi/a/ /e $0enca!
Este e-em3lo% a3lican/o la analogía 3o/ría ser res0elto a tra.és /e 0n sistema eléctrico análogo% en la 40e la masa ten/ría 40e ser ig0al a la in/0ctancia% la constante /e amortig0amiento ig0al al .alor /e la resistencia o resistor y la constante /el resorte ;I< ig0al al .alor /e la 0ni/a/ /i.i/i/o 3ara el con/ensa/or o conector ;&c
A40í 3resentamos 0n sistema eléctrico con el .alor /e s0s constantes tal y como in/ica el grá=co! Uni.ersi/a/ /e $0enca!
En la ec0aci2n /escrita /el circ0ito esta como 0na 50nci2n 9;t<% 3ero es 0n sim3le cam,io /e nomenclat0ra% o,.iamente lo 40e encontramos al =nal es 0n 4;t<% 40e sería la carga en 50nci2n /el tiem3o% y a la .e1 .emos como 3o/ría ser tran40ilamente 0n sistema mecánico /e resorte y res0elto .isto /es/e esa manera!
Uni.ersi/a/ /e $0enca!
Re3resentar el sig0iente sistema eléctrico ;ya eti40eta/o< con 0n sistema mecánico 0san/o la relaci2n 50er1a@corriente!
Resol.ien/o ca/a no/o?
Reem3la1an/o 3or s0 ec0aci2n e40i.alente en el otro sistema?
Una .e1 o,teni/as las ec0aciones% 5ormaremos el /iagrama?
Este e-ercicio tam,ién se 30/o 7a,er res0elto con el méto/o .is0al 40e se 7a,ía comenta/o! Este consiste en sim3lemente /i,0-ar los elementos /el 0n sistema encima /e s0 e40i.alente en el otro sistema como se .e en este es40ema?
Uni.ersi/a/ /e $0enca!
Re3resentar el sig0iente sistema mecánico con 0n sistema eléctrico RL$ 0san/o la relaci2n 50er1a@corriente!
Hacien/o el cam,io al sistema eléctrico corres3on/iente nos 40e/a?
Para .eri=car matemáticamente 3o/ríamos esta,lecer las ec0aciones corres3on/ientes y reem3la1ar seg8n la ta,la% consig0ien/o?
Lo c0al si reCe-a el circ0ito eléctrico /i,0-a/o anteriormente!
E9isten .arias .enta-as /e conocer la estrec7a relaci2n entre estos /os sistemas% entre ellas 3o/emos consi/erar 40e la electrici/a/ al ser más a,stracto /e com3ren/er se 30e/e relacionar con e-em3los mecánicos mayormente .isi,les e inter3reta,les 3ara así /ar intro/0cciones a teorías eléctricas más com3lica/as!
Otra /e las .enta-as mas gran/es es 40e al tener 0n mo/elo mecánico gran/e y com3le-o /e constr0ir% es me-or lle.arlo a 0n sistema eléctrico 3ara reali1ar las me/iciones e93erimentales en 0n la,oratorio y con el material necesario y .er si se aseme-an a los res0lta/os es3era/os /e ser así ya se 30e/e tomar la /ecisi2n /e lle.ar a ca,o la o,ra /el sistema mecánico 40e 3o/ría tomar más tra,a-o y mayor rec0rsos econ2micos% 3ero con=an/o en 40e este 50ncionara correctamente!
Es im3ortante i/enti=car y esta,lecer el ti3o /e analogía a 0sar ya 40e a 3artir /e ello 3o/emos en5ocarnos en /i.ersos cam3os /e res0lta/os sin con50n/irse o llegar a me1clar las a=ni/a/es /e ac0er/o a la re5erencia toma/a% ya sea K0er1a@Volta-e o K0er1a@$orriente!
! $oncl0siones Al =nali1ar esta in.estigaci2n 7emos /e-a/o en claro .arios conce3tos /e lo 40e res3ecta a las ec0aciones /i5erenciales y s0 cam3o /e a3licaci2n% más es3ecí=camente acerca /e los sistemas mecánicos y eléctricos 3ara em3e1ar nos /imos c0enta /e c2mo 3o/emos resol.er 3ro,lemas en este cam3o sin tener conce3tos a.an1a/os en ning0no /e estos temas y al solo conocer las magnit0/es 40e inter.ienen en el 3roceso /escrito! La analogía mecánico@eléctrica nos res0lt2 0n 3oco sor3resi.a ya 40e son 3rocesos totalmente /i5erentes y 40e al ser /escritos en ec0aciones tan similares /em0estra lo am3lio 40e es el cam3o /e las ec0aciones /i5erenciales% la relaci2n 40e e9iste entre 0no 0 otro 3roceso% en este caso 3or la energía 40e 3ro.ocan! Los o,-eti.os 50eron totalmente c0m3li/os y esclarecimos /0/as con res3ecto a estos temas y la relaci2n entre am,os sistemas nos in/ic2 0na 7erramienta más en la 40e 3o/emos ela,orar 0na sim0laci2n en caso /e 40e 0no /e los 3rocesos sea no 5acti,le tan solo con 7acer coinci/ir las magnit0/es en s0 sistema 7omologo 40e sea o,.iamente más 5acti,le /e ela,orar y resol.er así el 3ro,lema 40e se nos esté 3resentan/o!
T! Bi,liogra5ía!
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