Analisis Uni y Bivariante

ANÁLISIS UNIVARIANT UNIVARIANTE E Y BIVARIANTE BIVARIANTE INDICE 1. INTRODUCCION...................................................2 2. DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS........................... FRECUENCIAS...........................2 2 3. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL........................ CENTRAL........................4 4 3.1. LA MODA.........................................................................5 3.2. LA MEDIANA.....................................................................5 3.3. LA MEDIA.........................................................................5

4. MEDIDAS DE DISPERSIÓ DISPERSIÓN...................... N............................... .........6 6 4.1. EL RANGO........................................................................6 4.2. EL RECORRIDO INTERCUARTILICO...................................7 4.3. LA DESVIACIÓN TIPICA.....................................................7 4.4. EL COEFICIENTE DE VARIACIÓN.......................................8

5. ANÁLISIS GRAFICO UNIVARIANTE..........................8 UNIVARIANTE..........................8 6. ANÁLISIS BIVARIANTE........................................11 6.1. TABLAS DE CONTINGENCIA...........................................11 6.2. TABULACION DE VALORES MEDIOS Y ANÁLISIS DE LA VARIANZA....................................................................16 6.3. COEFICIENTES DE CORRELACION..................................18

7. ANÁLISIS GRAFICO BIVARIANTE................. BIVARIANTE....................19 ...19 8. EL ANÁLISIS UNIVARIANTE Y BIVARIANTE EN SPSS........................................................22 8.1. ANALISIS UNIVARIANTE EN SPSS...................................22 8.2. EL ANALISIS BIVARIANTE EN SPSS.................................28 8.3. ANALISIS DE CORRELACION EN SPSS.............................31 8.4. ANALISIS GRAFICO EN SPSS...........................................33

® ESTOS APUNTES HAN SIDO ELABORADOS POR MONICA GOMEZ SUAREZ, PROF. TITULAR DE INVESTIGACION INVESTIGACION DE MERCADOS DE LA UAM. QUEDA PROHIBIDA LA REPRODUCCION TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO EXPRESO DE LA AUTORA

1. INTRODUCCION Antes de abordar la aplicación de cualquier técnica multivariante es necesario que se realice una exploración previa de los datos mediante análisis univariante y bivariante. De hecho, en una gran mayoría de los informes que entregan los Institutos de investigación a sus clientes sólo se util utiliz iza a este este tipo tipo de técn técnic icas, as, sien siendo do más más util utiliz izad adas as las las técn técnic icas as mult multiv ivar aria iant ntes es en la inve invest stig igac ació ión n acad académ émic ica a que que en la prác prácti tica ca empresarial. En este tema vamos a realizar un breve recorrido por las técnicas univ univar aria iant ntes es y biva bivari rian ante tess más más util utiliz izad adas as.. Empe Empeza zare remo moss con con la distribución de frecuencias, que es la primera medida que se observa cuando se tienen datos secundarios o procedentes de una encuesta. El siguiente apartado se dedicará a las medidas de tendencia central, haciendo especial énfasis en la media aritmética que no sólo es una medida descriptiva, sino también objeto de inferencia estadística. El cuarto apartado se dedica a las medidas de dispersión. Posteriormente, veremos el análisis gráfico univariante que suele ser una herramienta muy útil cuando complementa al análisis univariante. El quinto y sexto apartados se centran en la explicación de las técnicas y análisis gráficos bivariantes más usados en investigación comercial. Terminaremos el capítulo ilustrando cómo obtener estas medidas en SPSS con varios ejemplos.

2. DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS En la mayoría de los libros de estadística, la distribución de frecuencias es uno de los primeros temas que se abordan puesto que proporciona un método de organización de datos que se analizarán posteriormente con otras técnicas. La distribución de frecuencias es una relación de categorías o intervalos de medida y el número de medidas observado en cada intervalo (frecuencia). La frecu frecuen enci cia a abso absolu luta ta es el número número de veces veces que que se encuen encuentr tran an mediciones para el intervalo, es decir, el número de veces que se repite cada valor de la variable. La frecuencia relativa se calcula como el cociente entre la frecuencia y el número total de datos. La utilidad de la frecuencia relativa se debe a que permite comparaciones homogéneas entre diferentes mediciones, al expresarlas en tanto por ciento o tanto por uno. La frecuencia absoluta acumulada expresa el número de datos que hay igual al intervalo o número considerado y los inferiores a él. La frecuencia relativa acumulada es el resultado de dividir cada frecuencia acum cumulad ulada a por por el númer úmero o total tal de dat datos. os. En los los prog rograma ramass de ordenador suele aparecer además el porcentaje de casos válidos que es aquel en el que se han eliminado los datos perdidos.


1. INTRODUCCION Antes de abordar la aplicación de cualquier técnica multivariante es necesario que se realice una exploración previa de los datos mediante análisis univariante y bivariante. De hecho, en una gran mayoría de los informes que entregan los Institutos de investigación a sus clientes sólo se util utiliz iza a este este tipo tipo de técn técnic icas, as, sien siendo do más más util utiliz izad adas as las las técn técnic icas as mult multiv ivar aria iant ntes es en la inve invest stig igac ació ión n acad académ émic ica a que que en la prác prácti tica ca empresarial. En este tema vamos a realizar un breve recorrido por las técnicas univ univar aria iant ntes es y biva bivari rian ante tess más más util utiliz izad adas as.. Empe Empeza zare remo moss con con la distribución de frecuencias, que es la primera medida que se observa cuando se tienen datos secundarios o procedentes de una encuesta. El siguiente apartado se dedicará a las medidas de tendencia central, haciendo especial énfasis en la media aritmética que no sólo es una medida descriptiva, sino también objeto de inferencia estadística. El cuarto apartado se dedica a las medidas de dispersión. Posteriormente, veremos el análisis gráfico univariante que suele ser una herramienta muy útil cuando complementa al análisis univariante. El quinto y sexto apartados se centran en la explicación de las técnicas y análisis gráficos bivariantes más usados en investigación comercial. Terminaremos el capítulo ilustrando cómo obtener estas medidas en SPSS con varios ejemplos.

2. DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS En la mayoría de los libros de estadística, la distribución de frecuencias es uno de los primeros temas que se abordan puesto que proporciona un método de organización de datos que se analizarán posteriormente con otras técnicas. La distribución de frecuencias es una relación de categorías o intervalos de medida y el número de medidas observado en cada intervalo (frecuencia). La frecu frecuen enci cia a abso absolu luta ta es el número número de veces veces que que se encuen encuentr tran an mediciones para el intervalo, es decir, el número de veces que se repite cada valor de la variable. La frecuencia relativa se calcula como el cociente entre la frecuencia y el número total de datos. La utilidad de la frecuencia relativa se debe a que permite comparaciones homogéneas entre diferentes mediciones, al expresarlas en tanto por ciento o tanto por uno. La frecuencia absoluta acumulada expresa el número de datos que hay igual al intervalo o número considerado y los inferiores a él. La frecuencia relativa acumulada es el resultado de dividir cada frecuencia acum cumulad ulada a por por el númer úmero o total tal de dat datos. os. En los los prog rograma ramass de ordenador suele aparecer además el porcentaje de casos válidos que es aquel en el que se han eliminado los datos perdidos.


En la tabla 2.1. se observa la distribución de frecuencias de una muestra de 77 personas.

® ESTOS APUNTES HAN SIDO ELABORADOS POR MONICA GOMEZ SUAREZ, PROF. TITULAR DE INVESTIGACION DE MERCADOS DE LA UAM. QUEDA PROHIBIDA LA REPRODUCCION TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO EXPRESO DE LA AUTORA

Tabla 2.1. Ejemplo de distribución de frecuencias Edad Frecuencia

Frecuencia relativa

Frecuencia Relativa acumulada

17,0 18,0 19,0 20,0 21,0 22,0 23,0 24,0 25,0 26,0 27,0 28,0 29,0 30,0 31,0 32,0 34,0 35,0 37,0 39,0 43,0 47,0 51,0 Total

3 2 2 5 2 4 6 4 7 6 8 8 9 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 77

3,9 2,6 2,6 6,5 2,6 5,2 7,8 5,2 9,1 7,8 10,4 10,4 11,7 1,3 1,3 1,3 1,3 1,3 1,3 2,6 1,3 1,3 1,3 100,0

3,9 6,5 9,1 15,6 18,2 23,4 31,2 36,4 45,5 53,2 63,6 74,0 85,7 87,0 88,3 89,6 90,9 92,2 93,5 96,1 97,4 98,7 100,0

3. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Las tablas de frecuencias nos ofrecen toda la información disponible, pero en muchas ocasiones el analista encuentra dificultades en interpretar toda esa extensa información, por lo que intenta resumirla en una serie de expresiones, denominadas medias de posición. En concreto, estas medidas son de tendencia central, de dispersión, de asimetría y de curtosis. Las medidas de posición son valores sintéticos que fijan el comportamiento global de una variable a partir de los datos individuales recogidos y que presentan las siguientes características: -

Intervienen en su determinación todos y cada uno de los valores de la distribución

-

Siempre se pueden calcular

-

Son únicos para cada distribución de frecuencias.

Con las medidas de tendencia central tratamos de saber cuál es el


centro de los datos. Normalmente, estas medidas describen el total de los datos. Los valores de tendencia central que más se utilizan son la moda, la mediana y la media. A su vez, esta última es uno de los objetivos de la inferencia estadística. El cálculo de medidas de tendencia central con datos agrupados ha sido un área importante en la estadística descriptiva, debido a la necesidad de simplificar los cálculos que se iban a realizar. No obstante, con el uso extensivo de los programas estadísticos, su importancia en la actualidad es casi nula, ya que no es necesario agrupar los datos, introduciendo siempre las observaciones de cada individuo u objeto para cada variable y no las tablas de frecuencias que luego son calculadas por el programa. Por ello, en la explicación de las medidas de posición vamos a centrarnos en los datos individuales. 3.1. LA MODA

La moda es el valor que se repite más veces, es decir, el valor con mayor frecuencia en un conjunto de datos. Cuando sólo hay una moda, nos encontramos con una distribución unimodal. Si hay dos valores con máxima frecuencia, la distribución es bimodal. En la distribución que hemos expuesto en la tabla 2.1, el valor con mayor frecuencia (11.7) es 29, por tanto, esa es la moda de esa distribución. 3.2. LA MEDIANA

Es el valor de la distribución que ocupa el lugar medio de todos los valores ordenados de menor a mayor o al contrario. Por tanto, aquel valor cuya frecuencia acumulada es el número total de datos entre dos. La mediana divide los datos previamente ordenados en dos partes con el mismo número de casos a cada lado. Una parte tendrá los datos con menor valor que la mediana y la otra los datos que son mayores. En el caso anterior (tabla 2.1), el valor que divide a los datos en dos es 28, puesto que tenemos 23 datos y este valor es el que ocupa el lugar 12, dejando 11 valores a cada lado. Cuando tenemos un número par de dato, no es posible que un valor divida la distribución en dos partes iguales. Por tanto, para el cálculo de la mediana se tomará la media aritmética (medida que veremos en el siguiente apartado) de los dos valores centrales. 3.3. LA MEDIA

La media aritmética se utiliza para variables cuya escala es, al menos, de intervalos. Se expresa de la siguiente forma:


n

x=

∑ x × n / N i

i

i =1

Siendo Xi el valor de la variable observada y n i el número de observaciones tienen ese valor. En el ejemplo expuesto en la tabla 2.1., el cálculo de la media será el siguiente: _ X = (17*3+18*2+19*2+20*5+21*2+22*4+23*6+24*4+25*7+26*6+27*8+ 28*8+29*9+30*1 +31*1+32*1+34*1+35*1+37*1+39*2+43*1+47*1+51*1)/77 = 26,48 Estas son las medidas de tendencia central más utilizadas, aunque existen otras medidas como la media geométrica, que se utiliza para calcular el valor central de variables acumulativas, porcentajes, tasas y números índices y la media armónica, que se usa para promediar velocidades y tiempos.

4. MEDIDAS DE DISPERSIÓN Las medidas de dispersión nos ayudan a comprender si las medidas de tendencia central son verdaderamente representativas de los datos que hemos obtenido y analizado. Puede ser que tengamos dos distribuciones cuya media, mediana y moda sea la misma, pero cuyos datos sean muy diferentes. La simple utilización de las medidas de tendencia central nos podría hacer creer que estamos ante la misma distribución y, sin embargo, no es así. Por ejemplo, tenemos estas dos distribuciones: X1 = 4, 5, 6, 8, 8, 10, 11, 12 X2 = 1, 2, 5, 8, 8, 11, 14, 15 Para ambas, la media, la mediana y la moda es 8. No obstante, la primera distribución está mucho más concentrada que la segunda. Por ello, acompañaremos a la medida de tendencia central con una medida de la dispersión de los datos. Las medidas de dispersión más utilizadas son el rango, el recorrido intercuartílico, la desviación típica y el coeficiente de variación. 4.1. EL RANGO

El rango es la medida de dispersión más fácil de calcular. Es la resta entre el valor máximo y el valor mínimo de la distribución. Por ejemplo,


en el caso anterior, el rango para cada una de las distribuciones es: R1 = 12-4 = 8 R2 = 15-1 = 14 Habiendo una mayor dispersión en la segunda variable. En el ejemplo de la tabla 2.1. el rango es 34, diferencia entre 17 y 51. Sin embargo, el rango es una medida bastante inestable porque sólo se necesitan los valores extremos. Para superar esta inestabilidad, se puede utilizar el rango modificado. Esta medida se utiliza eliminando un determinado porcentaje de valores extremos. Los rangos modificados más utilizados son el del 90% (se elimina un 5% de los valores más bajos y un 5% de los más altos), el del 80% (se elimina un 10% de los valores más bajos y un 10% de los más altos) y el del 50% (se elimina un 25% de los más altos y un 25% de los más bajos). 4.2. EL RECORRIDO INTERCUARTILICO

Los cuartiles son aquellos valores que dividen a la distribución en cuatro partes con igual número de casos en cada una de ellas. El primer cuartil toma el 25% de los casos por debajo de su lugar, el segundo es la mediana y toma el 50% de los casos por debajo, el tercero deja el 75% de los casos por debajo. Se puede aproximar su lugar con las fórmulas 0,25*n+0,5 para el primer cuartil, 0,5*n+0,5 para el segundo y 0,75*n+0,5 para el tercero. El recorrido intercuartílico se define como la diferencia entre el primer y el tercer cuartil. A diferencia del rango, es una medida de dispersión que se ve poco afectada por los valores extremos de la distribución. 4.3. LA DESVIACIÓN TIPICA

A diferencia del rango, considera todos los valores de la variable. Se calcula como la raíz cuadrada del sumatorio de las diferencias al cuadrado de cada valor de la variable y la media. En concreto es: n

σ =

∑ (( x − x)² × n ) / N i

i =1

siendo: xi = valor de la variable para el sujeto i x = media

aritmética

ni = frecuencia absoluta para el valor i

i


N = número total de datos En el caso de la tabla 2.1. la desviación típica es 6,26. También es frecuente, utilizar la varianza en vez de la desviación típica que es simplemente su cuadrado. 4.4. EL COEFICIENTE DE VARIACIÓN

Las medidas de dispersión que hemos expuesto hasta ahora tienen un problema: están íntimamente relacionadas con las unidades de medida. Así si una variable se encuentra medida en unidades, las medidas de dispersión serán diferentes que si se encuentran medidas en miles. Lo mismo ocurre cuando tenemos un conjunto de variables que recogen aspectos diferentes (renta, edad, metros). En estos casos, no podremos decir qué variable tiene más dispersión. El coeficiente de variación soluciona este problema, pues es una medida relativa de dispersión que consiste en dividir la desviación típica entre la media. Es adimensional y por tanto, cuanto mayor sea más número de veces la desviación contendrá a la media y por tanto, menor representatividad tendrá esta última medida. En el caso de la tabla 2.1. el coeficiente de variación es de 0,23.

5. ANÁLISIS GRAFICO UNIVARIANTE Aunque la distribución de frecuencias representa toda la información disponible, siempre es útil traducirla a gráficos de modo que la referencia visual sirva para explicar mejor el fenómeno o sea un punto de partida para el análisis estadístico con técnicas que emplean dos o más variables. Esta etapa puede parecer insignificante a primera vista, pero es crucial en el análisis de datos, por si misma y como introducción a cualquier análisis bivariante o multivariante. Representa una primera aproximación al fenómeno que se va a analizar y facilita la interpretación de resultados. Muchos investigadores tienden a obviar esta etapa que, sin embargo, sirve para hacer una estimación óptima de los resultados cuando posteriormente se aplica métodos más sofisticados. Con la inspección gráfica de los datos univariantes observamos la forma de la distribución. Los tipos de gráficos son muy variados. Para fenómenos cuantitativos se suelen utilizar las gráficas de barras, los histogramas y los polígonos de frecuencias. Para fenómenos más cualitativos, existen los diagramas sectoriales, cartogramas y pictogramas, aunque estos últimos se utilizan muy poco, ya que la mayoría de los programas de ordenador facilitan esta tarea, representando sobre todo histogramas y gráficas de barras para ver la


forma de la distribución. Los histogramas se utilizan para representar generalmente frecuencias agrupadas. Tienen dos ejes perpendiculares. Normalmente, en el eje de ordenadas (Y) se sitúan los valores de las frecuencias y en el de abscisas (X), los límites del intervalo o marcas de clase. El histograma está formado por una serie de rectángulos de igual base. Por el contrario, la altura de los mismos es diferente, dependiendo del valor de la frecuencia correspondiente. Como resultado de ello, mayores valores de frecuencia significarán mayores áreas del rectángulo asociado y menores valores de frecuencias se traducirán en áreas menores. Por ejemplo, para la distribución de frecuencias de la tabla 1 el histograma es el siguiente (figura 2.1.): FIGURA 2.1. HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS 40

30

20

10 Desv. típ. = 6,26 Media = 26,5 N = 77,00

0 15,0

20,0

25,0

30,0

35,0

40,0

45,0

50,0

edad

En este gráfico se han agrupado las frecuencias de edad y además se ha obtenido una curva para ver si la distribución se ajusta a una normal. Como se puede observar en el gráfico, la curva no se ajusta a una normal. La normalidad es un requisito esencial en la aplicación de muchas de las técnicas multivariantes. En general, no sólo se observa mediante estos gráficos. Existen medidas univariantes, como la asimetría y la curtosis y test de normalidad, disponibles en la mayoría de programas estadísticos, que nos ayudarán a decidir si los valores de la variable se distribuyen como una normal. Pero la inspección gráfica del histograma nos da una idea previa sobre este supuesto. La gráfica de barras es similar al histograma, aunque en este caso no se pueden agrupar los datos. En la figura 2.2. se puede observar una


gráfica obtenida de la misma encuesta en la que se muestra la preocupación por la apariencia que tienen los individuos a los que se ha preguntado. FIGURA 2.2. GRAFICA DE BARRAS 26

24

22

20

a i c n e u c e r F

18

16 poco

regular

bastante

mucho

preocupación apariencia

El polígono de frecuencias o gráfico de líneas es otra de las formas habituales de representar la distribución de frecuencias. El eje de ordenadas representa las frecuencias relativas y el de abscisas representa las marcas de clases. Cada punto del polígono de frecuencias coincide con el punto medio del lado superior del rectángulo correspondiente en el histograma. En la figura 2.3 tenemos un polígono de frecuencias.


FIGURA 2.3. POLÍGONO DE FRECUENCIAS

26

24

22

20

a i c n e u c e r F

18

16 poco

regular

bastante

mucho

preocupacin apariencia

Los pictogramas o diagramas pictóricos utilizan dibujos más o menos artísticos para representar valores de las categorías relacionándolas con el tamaño.

6. ANÁLISIS BIVARIANTE Las técnicas de análisis bivariante expresan el grado de relación entre dos variables. Pueden considerarse, en algunos supuestos, como casos especiales o simplicados de algunas técnicas de análisis multivariante. Entre las más utilizadas en investigación comercial, cabe destacar: -

Tablas de contingencia (o tabulación cruzada) y X²

-

Tabulación de valores medios y análisis de varianza

-

Correlación entre rangos de Spearman y de correlación lineal

6.1. TABLAS DE CONTINGENCIA

En cualquier investigación de mercados basada en la encuesta como técnica de obtención de información y con variables cualitativas, después de realizar un análisis univariante se procede a llevar a cabo una serie de cruces entre variables con el fin de observar la relación entre dichas variables. Normalmente, se suelen cruzar variables de clasificación (sexo, edad, clase social, estado civil...) con variables relacionadas con el tema general de la encuesta (consumo del producto,


lugares de compra, hábitos de compra). También se pueden hacer cruces entre dos preguntas relacionadas con el tema de la encuesta (consumo del producto y lugar de compra). La única condición para realizar el cruce es que las variables sean no métricas (categóricas) o cualitativas (con escalas nominal u ordinal). Los cruces son tablas de doble entrada conocidas como tablas de contingencia y suelen acompañarse de dos subíndices (rxc) que indican el número de niveles de las variables analizadas (r filas y c columnas). El caso más simple es el de las tablas 2x2, que es con el que empezaremos explicando esta técnica. En las distribuciones bidimensionales se consideran simultáneamente dos caracteres de una misma muestra (por ejemplo, consumo de un producto y sexo). Los pares que contienen los valores de las variables junto con sus correspondientes frecuentas constituyen una tabla de doble entrada (2x2). Nuestro interés consiste en que se realiza un análisis simultáneo de ambos atributos o características y mediante su distribución conjunta, tratamos de establecer si existe relación entre ambas. El esquema de una tabla de contingencia 2x2 es el siguiente: TABLA 2.2. ESQUEMA DE UNA TABLA DE CONTINGENCIA

VARIABLE B NIVEL 1 NIVEL 1

VARIABLE A NIVEL 2 TOTAL MARGINAL

NIVEL 2

TOTAL MARGINAL

n11

n12

n1.

n21

n22

n2.

n.1

n.2

TOTAL N

Siendo: n11 = número de veces que se repite el nivel 1 de la variable A junto con el nivel 1 de la variable B n12 = número de veces que se repite el nivel 1 de la variable A junto con el nivel 2 de la variable B n21 = número de veces que se repite el nivel 2 de la variable A junto con el nivel 1 de la variable B n22 = número de veces que se repite el nivel 2 de la variable A junto con


el nivel 2 de la variable B n1.= número de veces que se repite el nivel 1 de la variable A sin importar el nivel de la variable B n2.= número de veces que se repite el nivel 2 de la variable A sin importar el nivel de la variable B n.1= número de veces que se repite el nivel 1 de la variable B sin importar el nivel de la variable A n.2= número de veces que se repite el nivel 2 de la variable B sin importar el nivel de la variable A N= número total de observaciones Generalmente es conveniente que la variable expresada como filas sea considerada como la independiente y en columnas esté la que consideremos dependiente. La hipótesis nula asociada a las tablas de contingencia es de independencia. Se dice que hay independencia entre dos variables cuando los valores que toma una de ellas no se ven influidos por los que adopte la otra. El contraste más utilizado para probar la independencia entre dos variables cualitativas es el de la X², cuya hipótesis nula es la independencia poblacional entre las variables. El estadístico calculado se basa en la suma de los cuadrados de la diferencia entre las frecuencias observadas y las esperadas (si las variables fueran completamente independientes), dividida entre las frecuencias esperadas: n

χ ²

= ∑ (n − E )² / E ij

ij

ij

i =1

siendo: nij = frecuencia observada de la fila i y la columna j Eij = frecuencia esperada de la fila i y la columna j Las estimaciones de las frecuencias esperadas utilizan la estimación máximo verosímil en la que la probabilidad se define como: Pi. = ni./N Por tanto, la independencia entre dos sucesos implica: P(i,j) = P (i) * P (j) = (n i./N) * (n. j/N) Como E(i,j) = N * P(i,j)


Entonces E(i,j) = (ni.*n. j)/N Respecto a la X² cuanto mayor sea la diferencia entre las frecuencias observadas y las esperadas mayor será la frecuencia. Si el valor del estadístico calculado supera al valor crítico (C) , obtenido de la búsqueda en unas tablas para unos grados de libertad (r-1)*(c-1) y para un nivel de significación, se rechaza la hipótesis nula y se dice que las variables no actúan de forma independiente. Si ocurre lo contrario, no se rechaza la hipótesis nula y se dice que las variables actúan de forma independiente. Como ya explicamos en el tema anterior, gracias a los programas de ordenador, obtenemos un valor de la probabilidad de rechazar la hipótesis nula siendo cierta (p-valor). Si esta probabilidad es inferior al nivel de significación fijado (1% o 5%) entonces se rechaza la hipótesis nula. Para poder calcular el estadístico, se debe cumplir una condición: no debe existir ninguna frecuencia teórica inferior a 5 individuos. Si se da ese caso, el resultado obtenido no se puede interpretar, es decir, aunque obtuviéramos un estadístico calculado superior al valor crítico, no estaríamos en condiciones de rechazar la hipótesis nula y no podríamos llegar a ninguna conclusión. Si no se cumple este requisito de que todas las frecuencias esperadas sean superiores a cinco, en las tablas 2x2 se puede utilizar el test exacto de Fischer, que utiliza la distribución de probabilidad exacta de la configuración de las frecuencias observadas. En el caso de las tablas con más filas y columnas, algunos investigadores permiten que si hay menos de un 20% de celdas con frecuencia esperada menor que cinco, se pueda interpretar la X². Existen una serie de medias de asociación basadas en el estadístico X² como el coeficiente de Pearson, el de contingencia y la V de Cramer. Estas tres medidas y algunas otras, nos permiten ver el grado de asociación entre las dos variables estudiadas 1. Vamos a exponer el cálculo de la X² con un ejemplo. Supongamos que un investigador quiere saber si hay relación entre el consumo de un producto light y el sexo. Para ello, entrevista a 200 personas y después de recoger datos los resultados expuestos en una tabla 2x2 son los siguientes: TABLA 2.3. EJEMPLO DE UNA TABLA DE CONTINGENCIA

SEXO 1

REFERENCIA BIBLIOGRAFICA


HOMBRE CONSUMO DE SI PRODUCT O LIGHT NO TOTAL MARGINAL

MUJER

TOTAL MARGINAL

n11 = 20

n12 = 80

n1. = 100

n21 = 80

n22 = 20

n2. = 100

n.1 = 100

n.2 = 100

N = 200

Si el sexo no influyera en el consumo del producto, las proporciones de consumidores y no consumidores serían del 50% independientemente del sexo. Se quiere contrastar, con un nivel de significación del 5% la hipótesis nula de independencia poblacional en el efecto del consumo de un producto light sobre el sexo, siendo los resultados de la frecuencia esperada (teórica) los siguientes: TABLA 2.4. FRECUENCIAS TEORICAS

HOMBRE

MUJER

SI

E11 = 50

E12 = 50

NO

E21 = 50

E22 = 50

Estas frecuencias se obtienen de multiplicar las frecuencias marginales de cada fila y columna en la celda correspondiente y dividirlas por el número total de datos. En concreto: E11 = 100*100/200 Y lo mismo para todas las demás. Para calcular el estadístico X² habrá que restar cada frecuencia conjunta observada de la tabla 2.3. de la frecuencia esperada de la tabla 2.4. en cada celda, elevarla al cuadrado y dividirla otra vez por la frecuencia teórica. La suma de todas las celdas será el valor del estadístico calculado. Para el ejemplo: X²= (20-50)²/50+(80-50)²/50+(80-50)²/50+(20-50)²/50 = 72 El valor crítico de una distribución X² con un grado de libertada al 5% es 3,84. Por tanto, al ser mayor el estadístico calculado que el de las tablas, rechazamos la hipótesis nula y decimos que el sexo influye en el consumo del producto light.


6.2. TABULACION DE VALORES MEDIOS Y ANÁLISIS DE LA VARIANZA

El análisis de la varianza trata de estudiar la relación entre una variable métrica y una variable no métrica. La prueba de hipótesis se hace mediante la F de Snedecor. La hipótesis nula es que hay igualdad de medias. Las variables que se suelen cruzar son las que provienen de una encuesta en la que se valoran determinados atributos o características del producto mediante escalas métricas y las de clasificación u otras relacionadas con el tema general de la encuesta. Antes de explicar cómo se realiza el cálculo del estadístico, vamos a observar de forma gráfica cómo sería el análisis de varianza. En la figura 2.4., representamos la media de la valoración del aroma de una colonia respecto de las personas que eligen su propia marca de colonia y las que no la eligen. Como se puede observar, las medias son bastante diferentes. En el caso de la valoración del envase, sin embargo, no hay grandes diferencias entre los dos grupos. Los círculos representan la dispersión entre los grupos. En el primer caso (figura 2.4.), las medias son diferentes para los que eligen y para los que no eligen. En el segundo (figura 2.5.), no. Además, en el primer caso, no hay demasiada dispersión entre las respuestas de los individuos y en el segundo sí. El análisis de la varianza, nos permitirá ver si esas medias son estadísticamente diferentes o no.


FIGURA 2.4. VALORACIÓN DEL AROMA DEL ENVASE

FIGURA 2.5. VALORACIÓN

Media = 8.44

Media = 6.63 Media = 3.29

Si

No

No

Si

Elección marca

Media = 3.24

Elección marca

El análisis de la varianza se basa en que la dispersión total se descompone en dispersión intra grupos y dispersión entre grupos o lo que es lo mismo, diferencias de respuesta de los individuos con respecto a su grupo y diferencias de respuesta entre los distintos grupos. Las dispersiones se miden como suma de cuadrados de la siguiente forma: SC TOTAL = SC INTRA + SC ENTRE n

m

∑ ∑ ( x i =1 j =1

n

ij

m

m

− x..)² = ∑ ∑ ( x − x. )² + k × ∑ (x..− x. )² ij

i =1 j =1

j

j

j =1

siendo: xij = valor de la observación i para el grupo j x.. = media total x. j = media del grupo j k = número de grupos

La F de Snedecor se calculará como el cociente entre la SC entre y la SC intra, divididas ambas por sus grados de libertad (el número de niveles menos uno y el número de observaciones menos el número de niveles, respectivamente). Cuanto mayor sea la F, mayor será la diferencia entre grupos y la menor la diferencia intra grupos. Si el valor del estadístico calculado supera al valor crítico (C) , obtenido de la búsqueda en unas tablas para unos grados de libertad (k-1) y (n-1) y para un nivel de significación, se rechaza la hipótesis nula y se dice que las variables tienen medias diferentes para cada grupo. Si ocurre lo contrario, no se rechaza la hipótesis nula y se dice que las variables tienen medias iguales en los dos grupos.


Como en el apartado anterior, con el programa de ordenador, obtenemos un valor de la probabilidad de rechazar la hipótesis nula siendo cierta (p-valor). Si esta probabilidad es inferior al nivel de significación fijado (1% o 5%) entonces se rechaza la hipótesis nula. El cálculo del estadístico se puede ver con un ejemplo. Vamos a suponer que tenemos ocho datos de personas a las que preguntamos cuánto valoran el aroma de una colonia (en una escala del 0 al 10) y si eligen ellos su propia marca. De estas ocho personas, cuatro eligen marca y cuatro no. Los resultados son: TABLA 2.5. VALORACIÓN AROMA Y ELECCIÓN DE MARCA

1 2 3 4 5 6 7 8

ELECCION VALORACIÓ N AROMA SI 8 SI 9 SI 7 SI 8 NO 5 NO 4 NO 6 NO 4

La media total es de 6,375. Para los que eligen marca, la media es 8 y para los que no la eligen 4,75. ¿son estadísticamente diferentes estas medias?. Para probar la hipótesis de igualdad de medias, calculamos la F que será:

SC entre = ((8-6,375)²+(4,75-6,375)²)*2 = 10,56 SC intra = (8-8)²+(9-8)²+(7-8)²+(8-8)²+(5-4,75)²+(4-4,75)²+(64,75)²+(4-4,75)² = 4,75 F = (10,56/1)/(4,75/7) = 15,56 El estadístico de tablas para 1 y 7 grados de libertad y un nivel de significación del 5% es de....BUSCAR ESTADÍSTICO. Como el estadístico calculado es mayor que el teórico, rechazamos la hipótesis nula de igualdad de medias. 6.3. COEFICIENTES DE CORRELACION

La correlación es la técnica estadística bivariante que se usa con mayor frecuencia para resumir la fuerza de la asociación entre dos variables métricas. En investigación comercial se suele utiliza para medir la intensidad de la relación entre dos variables como, por ejemplo, ventas


y gasto publicitario, cuota de mercado y número de puntos de distribución, percepciones de calidad y de precio, etc. La correlación producto-momento es el estadístico que se suele emplear en mayor medida cuando se trata de medir la fuerza de la asociación entre dos variables métricas. Si denominamos X e Y a dichas variables, la correlación lineal entre ambas indica el grado en el que la variación de la variable X se relaciona con la variación de la variable Y. Se conoce también con el nombre de coeficiente de correlación de Pearson. Y se expresa como: n

r=

∑ (x

i

i =1

n

- x)( yi − y ) /

∑ (x i =1

n

i

- x) ²

∑ (y

i−

y )²

i =1

Cuando queremos calcular la fuerza de la relación entre dos variables no métricas existen otras posibles medidas como la rho de Spearman (ρ) y la tau de Kendall (τ). Ambas medidas utilizan clasificaciones en vez de valores absolutos de las variables. También varían entre -1 y 1. Como regla general la τ de Kendall se prefiere cuando hay un número relativamente pequeño de categorías y existen muchos casos. Por el contrario, el uso de la ρ de Spearman rd más aconsejable cuando tenemos un número relativamente alto de categorías (Malhotra, 1997).

7. ANÁLISIS GRAFICO BIVARIANTE El análisis gráfico bivariante trata de ver las relaciones entre las variables y las diferencias entre grupos de variables. Para ello contamos con los gráficos de cajas y bigotes (representar las diferencias entre dos o más grupos de variables) y con los gráficos XY (comprobar la relación entre las variables). Son un complemento del análisis de varianza y del análisis de correlación. En cuanto a las diferencias entre dos o más variables métricas para grupos distintos de individuos, necesitamos entender cómo se distribuyen los valores para cada uno de ellos y si existen suficientes diferencias como para tener significación estadística. Otro aspecto importante es identificar los atípicos que pueden resultar sólo aparentes cuando los valores se separan en grupos. El método que se utiliza para analizar estas diferencias es el gráfico de cajas (box plot). Los límites superior e inferior de la caja marcan los cuartiles superior e inferior de los datos. Por tanto, la longitud de la caja es la distancia entre el primer y el tercer cuartil, de forma que la caja contiene los datos centrales de la distribución. La línea dentro de la caja señala la posición de la mediana. Si esta cae cerca del final de la caja, se indica la presencia de asimetría. Las líneas que se extienden desde cada caja (llamadas bigotes) representan la distancia entre la mayor y la menor de las observaciones que están a menos de un cuartil de la caja. Los casos atípicos (marcados con asterisco) son observaciones que se sitúan a


más de 1 cuartil fuera de los límites de la caja. En la figura 2.6 se muestra el gráfico de cajas para dos grupos de individuos: los que eligen marca y los que no. Los dos grupos tienen un conjunto de valores muy diferente, lo que indica que existen diferencias entre los grupos de la valoración del aroma. Además existen en el segundo grupo dos casos atípicos. El investigador debe examinar estas observaciones y ver qué solución aplica. FIGURA 2.6. DIAGRAMA DE CAJAS Y BIGOTES

12

10

8

6

4 72 21

a m o r a

2 63

0 N =

50

27

si

no

eleccin marca

Para ver la relación entre dos variables, podemos utilizar los gráficos de dispersión, de forma que el patrón de puntos representa la relación: cuando los puntos se organizan a lo largo de una recta, tenemos una relación lineal de correlación, mientras que un conjunto de puntos curvados puede indicar relación no lineal o incluso puede haber ausencia de relación cuando el conjunto de puntos es aleatorio. Por ejemplo, el gráfico de dispersión de las variables (figura 2.7) indica que los puntos están alineados alrededor de una línea recta, ya que tienen una correlación elevada de 0,839. FIGURA 2.7. GRAFICO DE DISPERSION ENTRE AROMA Y CALIDAD


11

10

9

8

7

6

5

a 4 m o r a 3 0

2

4

6

8

10

12

calidad

Sin embargo, la valoración del envase y del precio presentan una ausencia casi total de correlación como evidencia de la amplia dispersión de los puntos (correlación de 0,114), como se muestra en la figura 2.8. FIGURA 2.8.: GRAFICO DE DISPERSION ENTRE ENVASE Y PRECIO

10

8

6

4

2

e s a v n e

0 0

precio

2

4

6

8

10

12


8. EL ANÁLISIS UNIVARIANTE Y BIVARIANTE EN SPSS 8.1. ANALISIS UNIVARIANTE EN SPSS

El módulo de SPSS que permite analizar la información se encuentra en el menú de análisis. Son varios los sub-menús que nos permitirán aplicar las técnicas univariantes y bivariantes que hemos explicado hasta ahora. La distribución de frecuencias se encuentra en el menú Estadísticos Descriptivos, Frecuencias (Figura 2.9). FIGURA 2.9. MODULO ESTADISTICOS DESCRIPTIVOS

Cuando se acepta el submenú de frecuencias, al menos se debe introducir una variable para que sea analizada. Por defecto, la salida nos dará las frecuencias absolutas, relativas, válidas y acumuladas. Si queremos pedir otras medidas descriptivas, como las de posición central, de dispersión o de deformación, tendremos que marcar aquellas que queramos que aparezcan en la salida en la opción de Estadísticos. También podemos pedir gráficos (histogramas, sectores o gráficas de barras) en la opción Gráficos. Por último, podemos cambiar la organización de la información (que aparezca de forma ascendente, descendente; por valores o por frecuencias) en la opción Formato. En la


figura 2.10. se muestra cómo es el submenú frecuencias.

FIGURA 2.10. SUBMENU DE FRECUENCIAS

Para analizar las salidas del SPSS, vamos a utilizar una base de datos que proviene de una de las encuestas realizadas en los años 90 por el CIS. En esta base de datos, tiene 2491 individuos y 140 variables. Las variables provienen de un amplio cuestionario que contiene preguntas sobre posesión de bienes, actitudes y valores, así como variables sociodemográficas que permiten clasificar a los sujetos entrevistados. Vamos a analizar las salidas referentes a tres preguntas con diferentes tipos de escala. 1. Para la escala nominal, estudiaremos las respuestas a la pregunta ¿tiene ordenador personal?, cuyas respuestas son Si o No. 2. Para la escala ordinal, estudiaremos las respuestas a la pregunta


“Cómo utiliza el ordenador personal”, cuyas respuestas van desde 1 “Sin ninguna dificultad” hasta 5 “No sabe utilizarlo”. 3. Para la escala de intervalos, estudiaremos las respuestas a la pregunta “Los ordenadores son difíciles de manejar”, cuyas respuestas se determinan en una escala del 1 al 9 siendo 1 “totalmente de acuerdo” y 9 “totalmente en desacuerdo”.

En la tabla 2.6. se muestra la salida a la primera pregunta. Como de las 2491 personas encuestadas, 8 no contestan a esta pregunta, el porcentaje válido es distinto a la frecuencia relativa que aparece en la tercera columna. Del total de casos válidos, el 26,3% (654 personas sobre 2483 casos válidos) posee ordenador. TABLA 2.6. FRECUENCIAS DE LA PREGUNTA “¿TIENE ORDENADOR PERSONAL?” Ordenador personal

Válidos

Perdidos Total

S¡

Frecuencia 654

Porcentaje 26,2

Porcentaje válido 26,3

No

1829

73,4

73,7

Total

2483

99,7

100,0

8

,3

2491

100,0

Sistema

Porcentaje acumulado 26,3 100,0

En esta pregunta no nos interesa obtener una medida descriptiva. Si puede ser interesante pedir un gráfico (de sectores o de barras). Los gráficos de SPSS no son visualmente atractivos. Por ello, si lo que nos interesa es hacer una inspección rápida se pueden solicitar estos gráficos, pero si vamos a presentar un informe o un trabajo académico es mucho mejor preparar gráficos en una hoja de cálculo o con un programa de presentaciones. No obstante, en la figura 2.11. presentamos el gráfico de sectores que se obtendría cuando se marcara esta opción en SPSS. FIGURA 2.11. GRAFICO DE SECTORES DE LA PREGUNTA ¿TIENE ORDENADOR PERSONAL?


Ordenador personal

Perdido S¡

No

Casos ponderados por PESO

La siguiente pregunta, con escala ordinal, permite un análisis de frecuencias y obtener ciertas medidas descriptivas, como la mediana y la moda. Sin embargo, estas medidas no añaden gran información a la inspección visual de las frecuencias. Estas se pueden observar en la tabla 2.7. En este caso, los valores ausentes son 123 por lo que el porcentaje válido cambia en mayor medida que en el ejemplo anterior. El dato que más se puede destacar es que casi un 60% de la muestra (el 58,9%) no sabe utilizar el ordenador, mientras que un 23,6% afirma manejarlo sin dificultad. TABLA 2.7. FRECUENCIAS DE LA PREGUNTA “¿COMO UTILIZA EL ORDENADOR PERSONAL?” Ordenador personal

Válidos

Frecuencia 558

Porcentaje 22,4

Porcentaje válido 23,6

Porcentaje acumulado 23,6

Con alguna dificultad

214

8,6

9,1

32,6

Con bastante dificultad

113

4,6

4,8

37,4

86

3,5

3,6

41,1

No sabe utilizarlo

1395

56,0

58,9

100,0

Total

2368

95,1

100,0

123

4,9

2491

100,0

Sin dificultad

Con mucha dificultad

Perdidos Total

Sistema


La última pregunta que vamos a exponer se basa en una escala de intervalos de nueve posiciones. Con las variables métricas (escalas de intervalos o de razón) no es necesario analizar las frecuencias, sobre todo si tienen un rango muy amplio. Mucho más ilustrativo será el análisis de medidas de tendencia central y de dispersión. Para obtener estas medidas descriptivas, podemos pedir que no aparezcan las frecuencias en el submenú que hemos ilustrado y marcar la opción de descriptivos o podemos acudir a otro submenú dentro del módulo de Estadísticos Descriptivos, concretamente Descriptivos (figura 2.12). En este submenú, debemos introducir las variables con escala de intervalo o de razón que queremos analizar. Por defecto, se obtendrá la misma información que en el menú de frecuencias, es decir, media, desviación típica, máximo y mínimo. Si queremos alguna otra medida hay que marcarla en Opciones. También este submenú nos permite crear variables estandarizadas (nuevas variables que se denominan como las antiguas con una Z delante) que pueden ser objeto de análisis posteriores.


FIGURA 2.12. SUBMENU DESCRIPTIVOS

La salida de SPSS muestra por defecto los resultados que aparecen en la tabla 2.8. Según la escala utilizada (1-9), la media de las respuestas se concentra en torno al acuerdo con esta afirmación, aunque hay una elevada dispersión, ya que la desviación típica arroja un valor de 2,44. TABLA 2.8. MEDIDAS DESCRIPTIVAS DE LA PREGUNTA “LOS ORDENADORES SON DIFICILES DE MANEJAR” Estadísticos descriptivos N Los ordenadores son dificiles de manejar

2489

N válido (según lista)

2489

Mínimo 1

Máximo 9

Media 2,58

Desv. típ. 2,448


8.2. EL ANALISIS BIVARIANTE EN SPSS

La tabulación cruzada se analiza en SPSS en el submenú de tablas de contingencia, que se encuentra también en el módulo de Estadísticos Descriptivos. Habrá que introducir las variables que consideremos fila (o que dependen de otra) y las variables que consideremos columna (las que condicionan a las variables fila). En el ejemplo que desarrollamos en el apartado 5, pondríamos el consumo del producto light por filas y el sexo por columnas. También habrá que marcar en la opción de Estadísticos la Chi-cuadrado y en la opción de Casillas el porcentaje por columna. En la figura 2.13. se muestra la pantalla que reproduce una tabulación para la base de datos de la encuesta del CIS en que se trata de ver la relación de dependencia entre la posesión de antena parabólica y el tipo de residencia en la que vive en el encuestado. FIGURA 2.13. TABULACION CRUZADA EN SPSS

La salida que proporciona el programa muestra en primer lugar las tablas de contingencia (Tabla 2.9.). El porcentaje por columna nos indica que parece haber un mayor porcentaje de usuarios de antenas en los chalets y en los pisos. Para probar que realmente hay una relación de dependencia acudimos al estadístico Chi-cuadrado (Tabla 2.10.). El valor de esta prueba es de 46,98. Si nos fijamos en su p-valor y lo comparamos con un nivel de significación del 1%, podemos rechazar la hipótesis nula de independencia y concluir que hay una relación entre la


posesión de antena y el tipo de residencia. Es importante observar que no hay ninguna celda con frecuencia esperada menor que 5. Si hubiera más de un 20% de celdas con frecuencias esperadas menores que 5, no podríamos interpretar los resultados que nos arrojara esta prueba. TABLA 2.9. TABULACION CRUZADA TIPO DE RESIDENCIA Y ANTENA PARABOLICA Tabla de contingencia Antena parabolica de TV (personal o colectiva) * PISO PISO Casa unifamiliar (zona residencial deprimida o rural) 27

No consta 3

Total 269

Antena parabolica de TV S¡ (personal o colectiva)

Recuento

Piso 210

Chalet o casa (nivel medio y alto) 29

% de PISO

13,7%

12,9%

4,0%

6,1%

10,9%

No

Recuento

1322

195

641

46

2204

% de PISO

86,3%

87,1%

96,0%

93,9%

89,1%

Recuento

1532

224

668

49

2473

100,0%

100,0%

100,0%

100,0%

100,0%

Total

% de PISO

TABLA 2.10. ESTADISTICO CHI-CUADRADO Pruebas d e chi-cuadrado

3

Sig. asintótica (bilateral) ,000

55,357

3

,000

25,470

1

,000

Chi-cuadrado de Pearson

Valor 46,986 a

Razón de verosimilitud Asociación lineal por lineal N de casos válidos

gl

2473

a. 0 casillas (,0%) tienen una frecuencia esperada inferior a 5. La frecuencia mínima esperada es 5,33.

En cuanto al análisis de la varianza, hay varias opciones en SPSS para realizarlo, pero nosotros aconsejamos el módulo de Comparar medias, Anova de un factor. Entre las opciones, habrá que marcar descriptivos para que aparezcan las medias y desviaciones típicas. Para desarrollar un ejemplo vamos a utilizar otra base de datos. En este caso la que proviene de una encuesta a trabajadores sobre marketing interno. Cruzaremos la categoría profesional con la opinión que tiene el encuestado sobre el ambiente laboral. Los módulos y opciones se pueden ver en las figuras 2.14. y 2.15.


FIGURA 2.14. MODULO DE ANOVA

FIGURA 2.15. ANOVA DE UN FACTOR. OPCIONES

Los resultados se muestran en las tablas 2.11. y 2.12. En la primera, se observa que las medias parecen diferentes en función de la categoría profesional, ya que las categorías más elevadas puntúan mejor el ambiente laboral. La prueba de que las medias son estadísticamente diferentes se basa en la F-Snedecor. El valor de este estadístico es de


8,47 y tiene un p-valor de 0.000, lo que nos indica que para un nivel de significación del 1% podemos rechazar la hipótesis nula de igualdad de medias. TABLA 2.11. DESCRIPTIVOS DE AMBIENTE LABORAL POR CATEGORIA PROFESIONAL Descriptivos AMBIENTE LABORAL Intervalo de confianza para la media al 95%

501

Media 3,80

Desviación típica ,963

2

106

3,68

1,091

,106

3,47

3,89

1

5

3

259

4,06

,887

,055

3,95

4,17

1

5

4

51

4,25

,683

,095

4,06

4,44

2

5

916

3,89

,956

,032

3,82

3,95

1

5

N 1

Total

Error típico Límite inferior ,043 3,72

Límite superior 3,89

Mínimo 1

Máximo 5

TABLA 2.12. ANALISIS DE VARIANZA (AMBIENTE LABORAL POR CATEGORIA PROFESIONAL) ANOVA AMBIENTE LABORAL

Inter-grupos

Suma de cuadrados 22,699

3

Media cuadrática 7,566

Intra-grupos

813,798

912

,892

Total

836,496

915

gl

F 8,479

Sig. ,000

8.3. ANALISIS DE CORRELACION EN SPSS

La correlación bivariada se analiza en SPSS en el submenú de Correlaciones (figura 2.16). Concretamente, se debe elegir la opción Divariadas puesto que las otras opciones se refieren a las correlaciones parciales o a las distancias. Por defecto se calcula la correlación de Pearson, aunque también se pueden marcar los otros estadísticos que indican correlación para variables no métricas, como la tau de Kendall o la rho de Spearman. Además, el programa permite obtener aquellos coeficientes que tienen una correlación estadísticamente significativa. En el caso de la base de datos que estamos analizando vamos a obtener las correlaciones divariadas entre las preguntas que hemos estado analizando anteriormente referidas a los ordenadores. Como se puede ver en la tabla 2.13., la salida es una matriz cuya diagonal principal es la unidad. Las correlaciones entre las variables aparecen en los demás elementos de la matriz. En el ejemplo, todas las variables tienen una correlación estadísticamente significativa al 99%.


FIGURA 2.15. MODULO DE CORRELACIONES BIVARIADAS

TABLA 2.13. SALIDA DE CORRELACIONES BIVARIADAS

Analisis Uni y Bivariante

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