Structural Analysis
Truss 2-D Matrix Structural Analysis (Analisis Struktur Matriks Rangka Batang 2-D) SOAL: Tentuk Tentukan an matri matriks ks Kekaku Kekakuan an Global Global [K] dan dan Matri Matriks ks Beban Beban Nodal Nodal [Q] dari dari Struk Struktur tur TRUSS TRUSS 2-D yang tersebut di bawah ini. Y
Data Karakteristik Struktur: X B
P1
P2
D
F
ipika al Luas Tipik
A
Modulus Elastisitas
E=
1.5m
Tumpuan A, E SENDI
3.0m
G A
11
E
1.5m
Tumpuan G ROL
(semua elemen) 20000 kN/cm2
Structural Analysis
SOLUSI : Langkah
: Tentukan banyaknya koordinat nodal struktur.
Struktur TRUSS-2D yang diberikan dalam soal ini dimodelisasikan sebagai struktur yang tiap-tiap elemen terhubung dengan Sendi Putar (Pin-Jointed) sebagaimana Gbr. 2, y
AE
L
F1, u1
F2, u2 Gambar Gambar 2. Asumsi Asumsi Model Hubungan (Join) Sendi Putar (Pin-Jointed) (Pin-Jointed) di ujung-ujung ujung-ujung elemen TRUSS
Elemen-e Elemen-elemen lemen yang dihubungk dihubungkan an dengan dengan join sendi putar putar mengalami mengalami deformasi deformasi yang terutama dalam arah longitudinal longitudinal dan han dapa han gaya aksial/longit aksial/longitudin udinal. al. Pin yang terdapat di ujung-uju ujung-uju eleme tidak dapat isika kopel kopel
Structural Analysis
: Menentukan Dimensi dan Konstanta Transformasi Elemen-elemen.
Langkah
Untuk perakitan perakitan matriks matriks kekakuan kekakuan struktur struktur (keselur (keseluruhan), uhan), maka perlu perlu metransfor metransformasi masikan kan konfigurasi konfigurasi tiap-tiap tiap-tiap join (ujung-uju (ujung-ujung ng elemen) elemen) kepada kepada satu sistem sistem koordinat yang sejajar, yaitu sistem sistem koordinat global. global. Penentuan Penentuan arah orientasi orientasi elemen elemen adalah besar sudut yang dibentuk oleh sumbu lokal suatu elemen (sumbu-x lokal) terhadap sumbu global-X (horizontal) dengan putaran berlawanan arah jarum jam (CCW). Tabel 1 untuk menentukan konstanta-konstanta transformasi dari tiap-tiap elemen kepada sumbu global struktur. Tabel 1. Dimensi dan Konstanta Transformasi Sumbu Lokal Elemen terhadap Sumbu Global X. No. Join Awal i Dimensi 2 2 cs No. Elemen cos c sin s cos2 c sin2 s (o) - No. (meter) Join Akhir j 1
A-B
3
90.000
0
1
0
1
0
2
B-D
3
0.000
1
0
1
0
0
3
B-C
5,831
120.964
-0.5145
0.85749
0.26471
0.73529
-0.44118
4
A-C
3,606
146.310
-0.83205
0.55470
0.692309
0.307691
-0.46154
Structural Analysis
Menentukan Matriks Kekakuan Lokal untuk tiap elemen,sbb: 4
Elemen
,
L=30 L=3000 cm, cm, E=200 20000 kN/cm N/cm2, A=lua A=luass tipika tipikal.l.
Join oin A – B,
3
t t k 1 EA L1 t t 0 0 200 A 0 1 k 1 3 0 0 0 1 Elemen
,
k 2
Join oin B – D,
0
0 1
L=30 L=3000 cm, cm, E=200 =20000 00 kN/c kN/cm m 2, A=lua A=luass tipika tipikal.l.
EA t L2
t t t 1
0
2
0 1 2 0 0 3 1 0 1 4
4
1 0 3
8 3
7
Structural Analysis
Elemen
,
Join oin D – C,
t k 5 EA L5 t
L=50 L=5000 cm, cm, E=200 20000 kN/cm N/cm2, A=lua A=luass tipika tipikal.l. 8
t t
0 0 0 1 k 5 40 A 0 0 0 1
7
0
0 7
1 8 0 0 5 0 1 6 0
6
5
Elemen
,
Join oin D – C, (Simetri dengan elemen )
k
EA t
t
L=30 L=3000 cm, cm, E=200 20000 kN/cm N/cm2, A=lua A=luass tipika tipikal.l.
8
12
Structural Analysis
12
Elemen
2
,
Join oin F – E, (Simetri dengan elemen )
L=3 L=300 cm, cm, E=200 =200000 kN/cm N/cm , A=luas A=luas tipi tipika kal.l. 11
k 9
EA t L9
t t t
0 0 200 A 0 1 k 9 3 0 0 0 1
Elemen
,
Join oin F – G,
EA t
t
0
10
09
1 10 9 0 0 11 0 1 12 0
L=25 L=2500 cm, cm, E=200 20000 kN/cm N/cm2, A=lua A=luass tipika tipikal.l. 12
Structural Analysis
D
B
F
G13, u7 = 0 11
E
G10, v5= 0 AG , v = 0 2 1
G1, u1=0 G9, u5=0 Y
C
X Gambar Gambar 4. Skema Skema syarat syarat batas batas yang berlaku berlaku pada pada join-j join-join oin tumpua tumpuann A, E dan G.
G
Structural Analysis
Element Element 6: join D - join F. No.Deformas No.Deformasii 7/8/11/12 7/8/11/12 [K]6 = 0 0 0 0 0 0 0 0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
4
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
6
0
0
0
0
0
0
0
7
0
0
0
0
0
0.000 .00000 0.00 .00000
0
0
-666 -6666.66667 0.00 .00000
0
0
0.000 0.00000 0.00 .00000
0
0
6666.66667 0.00 .00000
0
0
8
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
9
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
10
0
0
0
0
0
0
0
11
0
0
0
0
0
0.000 .00000 0.00 .00000
0
0
6666.66 6.66667 0.00 .00000
0
0
0.000 0.00000 0.00 .00000
0
0
-666 -6666.666 .66667 0.00 .00000
0
0
12
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
13
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
14
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Structural Analysis MATRIKS KEKAKUANSTRUKTURdalam Rdal amSISTE SISTEM KOORDINATGLOBAL(CG BAL (CGS). Elements: 1-2-3-4-5-6-7-81-2-3-4- 5-6-7-8-9-10-11 9-10-11 -2560.15475 [K]= 3840.23213 -25
0.00000 0.00000 -2560.154 .15475 8373.43 .43650 0.00 .00000 -66 -6666.66 6.66667 0.00 .00000 0.00 .00000 7574.60 4.60035 -1513.22 3.22281 0.00 .00000 -6666.66 .66667 -15 -1513.22 .22281 9188.70 .70469 -3840.23213 2560.15475 -907.93368 1513.22281 2560.15475 -1706.76983 1513.22281 -2522.03802 0.00 .00000 0.00 .00000 -66 -6666.66 .66667 0.00 .00000 0.00 .00000 0.00 .00000 0.00 .00000 0.00 .00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00 .00000 0.00 .00000 0.00 .00000 0.00 .00000 0.00 .00000 0.00 .00000 0.00 .00000 0.00 .00000 0.00 .00000 0.00 .00000 0.00 .00000 0.00 .00000 0.00 .00000 0.00 .00000 0.00 .00000 0.00 .00000 1
2
3
-38 -3840.23213 2560.15 .15475 -90 -907.933 .93368 1513.22 .22281 8588.39794 -1513.22281 0.00 .00000 0.00 .00000 -3840.23213 -2560.15475 0.00 .00000 0.00 .00000 0.00 .00000 0.00 .00000
25 2560.15475 -17 -1706.76 .76983 1513.22 3.22281 -2522.03 .03802 -1513.22281 9935.57769 0.00 .00000 -40 -4000.00 .00000 -2560 -2560.15475 -1706.76984 0.00 .00000 0.00 .00000 0.00 .00000 0.00 .00000
5
6
4
0.00000 0.00000 0.00000 0.00 .00000 0.00 .00000 0.00 .00000 -6666.6 6.66667 0.00 .00000 0.00 .00000 0.00 .00000 0.00 .00000 0.00 .00000 0.00000 0.00000 -3840.23213 0.00000 -4000.00000 -2560.15475 15690.35 0.35594 -23 -2357.02 .02260 -2357.02 .02260 -23 -2357.0 7.02260 6357.02 .02260 2357.02 .02260 -2357 -2357.02260 2357.02260 11317.25473 2357.02260 -2357.02260 4043.13215 -66 -6666.6 6.66667 0.00 .00000 0.00 .00000 0.00 .00000 0.00 .00000 0.00 .00000 0.00 .00000 0.00 .00000 -51 -5120.00 .00000 0.00 .00000 0.00 .00000 -38 -3840.00 .00000 7
8
0.00000 0.0 0.00000 0.0 0.00000 0.0 0.00000 -2560.15475 -1706.76984 2357.02 .02260 -2357.02 .02260 4043 4043.13215 13610.45911 0.0 0.00000 -66 -6666.66 .66667 -3840.00 .00000 -28 -2880.00 .00000
9
0.00000 0.00000 0.000 .00000 0.000 .00000 0.000 .00000 0.000 .00000 0.000 .00000 0.000 .00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 -66 -6666.66 .66667 0.000 .00000 0.000 .00000 0.000 .00000 0.00000 0.00000 0.00000 -6666.66667 11786.66 .66667 -384 -3840.00 .00000 -38 -3840.00 .00000 9546.66 .66666 -51 -5120.00 .00001 3840.00 .00000 3840.00 .00000 -2879.99 .99999
10
11
12
0.00000 0.00 .00000 0.00 .00000 0.00 .00000 0.00 .00000 0.00 .00000 0.00 .00000 0.00 .00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00 .00000 0.00 .00000 0.00 .00000 0.00 .00000 -5120.00000 -3840 -3840.00000 -3840.00000 -2880.00000 -51 -5120.00 .00001 384 3840.00 .00000 384 3840.00 .00000 -2879.99 .99999 10 10240.00 .00001 0.00 .00000 0.00 .00000 5759.99 .99999 13
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
14
Bila tanpa menggunakan menggunakan komputer komputer maka perlu mengurangi mengurangi ordo matriks matriks dengan cara mengeliminasi iminasi komponen-k komponen-kompon omponen en derajat derajat kebebasan kebebasan (DOF) yang translasin translasinya ya ditahan ditahan (di-restrain (di-restraint) t) oleh karena karena menjadi menjadi perletakkan struktur, maka: Setelah Penerapan Syarat BatasPe Batas Perletakka rl etakkan:
1=u1= 0
MATRIKSKEKA KS KEKAKUANSTRUKTUR(C KTUR( CGS).
[K]=
7574.60 .60035 -1513.22 .22281 -907.93 .93368 1513.22 3.22281 -1513.22 .22281 918 9188.704 .70469 1513.22 .22281 -2522.0 2.03802 -90 -907.93 .93368 1513.22 .22281 8588.39 .39794 -15 -1513.22 .22281 1513.22 .22281 -2522.03 .03802 -1513.222 .22281 9935.57 5.57769 -6666.66 .66667 0.00 .00000 0.00 .00000 0.000 .00000 0.00 .00000 0.00 .00000 0.00 .00000 -40 -4000.00 .00000 0.00 .00000 0.00 .00000 0.00 .00000 0.000 .00000 0.00 .00000 0.00 .00000 0.00 .00000 0.00 .00000 0.00 .00000 0.00 .00000 0.00 .00000 0.00 .00000 3
Civil Structure Engineering
4
5
6
9= u5= 0
10= v5= 0
13= u7=0
-6666.66 .66667 0.000 .00000 0.000 .00000 0.000 .00000 0.0 0.00000 0.0 0.00000 0.000 .00000 0.000 .00000 0.000 .00000 0.0 0.00000 0.00 .00000 0.00 .00000 0.00 .00000 0.00 .00000 0.00 .00000 0.0 0.00000 -4000.0 0.00000 0.000 .00000 0.000 .00000 0.0 0.00000 15690.35 .35594 -2357.0 7.02260 -6666.66 .66667 0.000 .00000 0.0 0.00000 -23 -2357.02 .02260 63 6357.02 .02260 0.00 .00000 0.00 .00000 0.00 .00000 -6666.66 .66667 0.000 .00000 11786.66 .66667 -3840.00 .00000 38 3840.00 .00000 0.00 .00000 0.00 .00000 -38 -3840.00 .00000 95 9546.66 .66666 -28 -2879.99 .99999 0.00 .00000 0.00 .00000 3840.00 .00000 -28 -2879.99 .99999 5759.99 .99999 7
9
2= v1= 0
8
11
12
© Yoppy Soleman, 2007
14
3 4 5 6 7 8 11 12 14
Structural Analysis
Langkah
: Menentukan matriks vektor beban [Q].
MATRIKS VEKTOR BEBAN NODAL dalam SISTEM KOORDINAT GLOBAL [Q]: Diketahui terdapat 3 gaya luar terpusat, Q8=P1 ( oin D, DOF No.8), Q 12=P2 (join F, DOF No.12), dan Q6=P3 (join C, DOF No.6).
Q1 0 1 Q 0 2 2 Q3 0 3 Q4 0 4 Q5 0 5 Q6 P3 6 Q 0 7 Q 7 Q8 P1 8 Q9 0 9 Q10 0 10 Q 0 11 11 Q12 P2 12 Q 0 13 13 Q14 0 14
atau, (bila memasukkan syarat batas perletakkan):
Q3 0 3 Q 0 4 4 Q5 0 5 Q6 P3 6 Q Q7 0 7 Q P 8 8 1 Q11 0 11 Q P 12 2 12 Q14 0 14
SOLUSI ANALISIS STRUKTUR TRUSS 2D dengan METODA ELEMEN HINGGA (FEM) Langkah
titik-titik nodal (join) dengan menginput nilai numerik parameter-parameter parameter-parameter P1, P2, dan P3. : Menghitung translasi titik-titik
Untuk memperoleh solusi analisis struktur maka harus ada nilai-nilai numerik dari beban-beban yang bekerja. Diberikan nilai-nilai numerik dari beban-beban yang bekerja, sbb: Q8 = P1 = 200 kN Q12 = P2 = 250 kN Civil Structure Engineering
10
© Yoppy Soleman, 2007
Structural Analysis
Q6 = P3 = 150
kN
Rumus:
Q K d d K 1 Q MATRIKSBEBAN(kN) AN( kN)
[Q]=
3
0.030061
3
0.0
4 5 6 7 8 11 12 14
0.016254
4 5 6 7 8 11 12 14
0.0
[d] =
150.0 0.0 200.0 0.0 250.0 0.0
Civil Structure Engineering
TRANSLASI (cm)
0.0
0.008465 0.046263 0.039814 0.075333 0.037008 0.039604 -0.004870
11
=
© Yoppy Soleman, 2007
