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ANÁLISIS DE RIESGO EN PROYECTOS CON @RISK® Casos prácticos de evaluación financiera de proyectos y costos con análisis de riesgo Segunda edición

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Elkin A. Gómez Salazar Andrés M. Mora Cuartas. Ricardo Uribe Marín ___________________________ ________________________________________ ______________________ _________ Medellín-Colombia ANÁLISIS DE RIESGO EN PROYECTOS CON @RISK® Casos prácticos de evaluación financiera de proyectos y costos con análisis de riesgo Gómez Salazar Elkin A., Mora C. Andrés M., y Uribe M. Ricardo Segunda edición: enero de 2015 DERECHOS RESERVADOS. No está permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito de los autores Copyright © 2015 por: Elkin A. Gómez Salazar, Andrés M. Mora Cuartas y Ricardo Uribe Marín ISBN: 978-958-46-5926-2 978-958-46-5926-2 Diseño Cubierta: Lito Impresos SAS Impreso en Colombia

AGRADECIMIENTOS A Dios, a nuestras familias y amigos, y a la Universidad EAFIT.

ACERCA DE LOS AUTORES ELKIN ARCESIO GOMEZ SALAZAR : : Economista de la Universidad de Antioquia. Especialista en Evaluación Socio Económica de Proyectos de la Universidad de Antioquia. Magíster en Administración de la Universidad de Medellín. Magíster en Gerencia de Proyectos de la Universidad EAFIT. Master in Project Managment, Jones International University USA. Estudios en Estadística, Universidad Nacional de Colombia. Estudios de doctorado en ciencias económicas y administrativas. Profesor de tiempo completo del Departamento de Organización y Gerencia de la Universidad EAFIT en pregrado, postgrado (Especialización en Gerencia de Proyectos y Maestría en Administración


M.B.A.), y educación continua. Coautor de los libros: Análisis de Riesgo en Proyectos con @Risk, Gestión de Proyectos, Análisis Financiero: Un enfoque gerencial, Preparación de Proyectos: Casos Aplicados y Gestión de Proyectos con MS Project y Primavera. Se ha desempeñado como consultor empresarial en las áreas de proyectos, finanzas corporativas corporativas y análisis de riesgo. Se desempeñó como analista profesional en compañías del sector eléctrico tales como: INTERCONEXION ELECTRICA ELECTRICA S.A, E.SP., ISAGEN S.A. E.S.P y DINATEG S.A; Gerente comercial constructora VELEZGO; Gerente y Propietario de TECON LTDA; entre otros. Se ha desempeñado además, como docente de pregrado y posgrado de diferentes universidades del país. ANDRÉS MAURICIO MORA CUARTAS: Administrador de Negocios, Énfasis en Finanzas y Gerencia Internacional, Universidad EAFIT. Especialista en Finanzas, Universidad EAFIT. Especialista en Análisis Bursátil del Instituto de Estudios Bursátiles de Madrid. Magíster en Ciencias de la Administración convenio Universidad EAFIT – École École des Hautes Études Commerciales (HEC) Commerciales (HEC) de la Universidad de Montreal (Canadá). Magister en Administración Financiera, Universidad EAFIT. Estudios de doctorado en ciencias económicas y administrativas. Jefe del Departamento de Finanzas de la Universidad EAFIT. Profesor de tiempo completo del Departamento de Finanzas de la Universidad EAFIT en pregrado, postgrado (Especialización en Finanzas, Especialización en Administración, Maestría en Ciencias en Finanzas, y Maestría en Administración M.B.A.), y educación continua. Coordinador académico de la Diplomatura en Operación Bursátil, Diplomado de Derivados, Diplomado de Divisas, y demás cursos en convenio con la BVC, y de la Diplomatura en Tesorería, Centro de Educación Continua (CEC), Universidad EAFIT. Se ha desempeñado como Auditor en el Holliday Inn, Indian Creek, Miami Beach, Florida; Subgerente Administrativo y Financiero, Kostas International Inc., Miami, Florida y Gerente Administrativo y Financiero, Casa Musical Sonora, Los Angeles, California. RICARDO URIBE MARÍN: Ingeniero MARÍN: Ingeniero de Producción de la Universidad EAFIT. Magíster en Ingeniería Industrial de la Universidad de los Andes. Diplomado de Alta Gerencia EAFIT-ICESI de Cali. Estudios de doctorado en ciencias económicas y administrativas. Se desempeñó como Jefe de Logística a nivel de Colombia en la empresa Proleche-Parmalat y como Jefe de Planta de Terminación de Hermeco S.A. Se desempeñó como Jefe del Programa de Administración de Negocios de la Universidad EAFIT. Ha sido profesor de tiempo completo durante 10 años de las materias de Costos y Logística a nivel de pregrados y Maestrías en la Escuela de Administración y Escuela de Ingenierías de la Universidad EAFIT. Actualmente es Jefe del Departamento de Organización y Gerencia de la Universidad EAFIT y coordinador del área académica de Costos a nivel de pregrado y posgrado de la Universidad EAFIT, Presidente de la Asociación Colombiana de Facultades de Administración ASCOLFA Capítulo Antioquia, miembro del grupo de estudio en Finanzas, Proyectos y Costos de la universidad EAFIT. Profesor Profesor de materias de área de costos.

TABLA DE CONTENIDO CAPITULO 1 ................................ ................ ................................. ................................. ................................. ................................. ................................ ........................... ........... 10 NAVEGANDO POR LA HERRAMIENTA ................................ ................ ................................. ................................. ................................. .............................. ............. 10


1.1 ¿Qué es Palisade Decision Tools Suite? ................................ ................ ................................. ................................. ........................... ........... 10 1.2 Herramientas para toma de decisiones incluidas ................................ ................ ................................. ............................. ............ 10 1.3 Características de la Suite ................................ ................ ................................. ................................. ................................. ................................ ............... 13 1.4 Construcción de un modelo probabilístico con @RISK ................................ ................ ................................. ..................... .... 14 CAPITULO 2 ................................ ................ ................................. ................................. ................................. ................................. ................................ ........................... ........... 46 CASO APLICADO COMPAÑÍA CEMENTERA........................ CEMENTERA........ ................................ ................................. ................................. ............................... ............... 46 2.1 Identificación de las variables de entrada................................. entrada................ ................................. ................................ .............................. .............. 48 2.2 Explicación de las variables de entrada................................. entrada................ ................................. ................................ ................................. ................... 48 2.3 Desarrollo paso a paso del problema................................. problema................. ................................ ................................. ................................. .................... .... 49 2.4 Cálculo y descripción de resultados obtenidos.................................. obtenidos.................. ................................. ................................. .................... .... 57 2.5 Interpretación de los resultados ................................ ................ ................................. ................................. ................................. ............................ ........... 66 CAPITULO 3 ................................ ................ ................................. ................................. ................................. ................................. ................................ ........................... ........... 75 CASO APLICADO LABORATORIO FARMACÉUTICO....................... FARMACÉUTICO...... ................................. ................................. ................................. ..................... ..... 75 3.1 Identificación de las variables de entrada................................. entrada................ ................................. ................................ .............................. .............. 76 3.2 Explicación de las variables de entrada................................. entrada................ ................................. ................................ ................................. ................... 77 3.3 Desarrollo paso a paso del problema................................. problema................. ................................ ................................. ................................. .................... .... 78 3.4 Cálculo y descripción de resultados obtenidos.................................. obtenidos.................. ................................. ................................. .................... .... 86 3.5 Interpretación de los resultados Estadísticos e-Books & Papers Papers

................................................. ................................ ................................. ................................. ............................ ........... 94 CAPITULO 4 ................................ ................ ................................. ................................. ................................. ................................. ................................ ........................... ........... 98 CASO APLICADO PRODUCTORA DE CAFÉ ................................ ................ ................................. ................................. ................................. ......................... ........ 98 4.1 Escenario 1: Sin lluvia y sin seguro ................................ ................ ................................. ................................. ................................. ....................... ...... 101 4.1.1 Identificación de las variables de entrada................................. entrada................ ................................. ................................ ..................... ..... 101 4.1.2 Explicación de algunas de las variables de entrada ................................ ................ ................................. ....................... ...... 102 4.1.3 Desarrollo paso a paso del problema................................. problema................. ................................ ................................. ............................ ........... 104 4.1.4 Cálculo y análisis de resultados obtenidos.................................. obtenidos.................. ................................. ................................. .................... 106 4.1.5 Interpretación de los resultados ................................ ................ ................................. ................................. ................................. ..................... 108 4.2 Escenario 2: Con lluvia y sin seguro ................................ ................ ................................. ................................. ................................. ..................... .... 110 4.2.1 Identificación de las variables de entrada................................. entrada................ ................................. ................................ ..................... ..... 110 4.2.2 Explicación de algunas de las variables de entrada ................................ ................ ................................. ....................... ...... 110 4.2.3 Desarrollo paso a paso del problema................................. problema................. ................................ ................................. ............................ ........... 111 4.2.4 Cálculo y análisis de resultados obtenidos.................................. obtenidos.................. ................................. ................................. .................... 114 4.2.5 Interpretación de los resultados ................................ ................ ................................. ................................. ................................. ..................... 115 4.3 Escenario 3: Con lluvia y con seguro ................................ ................ ................................. ................................. ................................. .................... ... 116 4.3.1 Identificación de las variables de entrada................................. entrada................ ................................. ................................ ..................... ..... 116 4.3.2 Explicación de algunas de las variables de entrada ................................ ................ ................................. ....................... ...... 116 4.3.3 Desarrollo paso a paso del Estadísticos e-Books & Papers Papers

problema............................................................................. 117 4.3.4 Cálculo y análisis de resultados obtenidos..................................................................... 119 4.3.5 Interpretación de los resultados .................................................................................... 124 4.4 Análisis de Elasticidad ........................................................................................................... 144 4.5 Análisis de Escenarios........................................................................................................... 146 CAPITULO 5 ............................................................................................................................. 152 CASO DE APLICACIÓN DE RISK OPTIMIZER...................................................................................... 152 CAPITULO 6 ............................................................................................................................. 164 LA GESTION DE COSTOS Y EL RIESGO.............................................................................................. 164 CAPITULO 7 ............................................................................................................................. 175 CASO APLICADO: ANALISIS DE COSTOS EN LA TOMA DE DECISIONES CON EL RECURSO HUMANO ............................................................................................................................. 175 CAPITULO 8 ............................................................................................................................. 193 CASO APLICADO: TOMA DE DECISIONES A PARTIR DE ESTADO DE RESULTADOS POR COSTEO VARIABLE Y EL ANALISIS COSTO VOLUMEN UTILIDAD.................................................................... 193 CAPITULO 9 ............................................................................................................................. 219 CASO APLICADO: TOMA DE DECISIONES PARA DETERMINAR EL USO DE RECURSOS PROPIOS O A TRAVES DE LA SUBCONTRATACION

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................................................................................................ 219 CAPÍTULO 10 ............................................................................................................................. 248 CONCEPTOS DE ESTADÍSTICA .......................................................................................................... 248 CAPITULO 11 ............................................................................................................................. 275 CONCEPTOS DE PROYECTOS ........................................................................................................... 275 PROBLEMAS PROPUESTOS DE PROYECTOS .................................................................................... 299 PROBLEMAS PROPUESTOS DE COSTOS........................................................................................... 316 BIBLIOGRAFÍA................................................................................................. 323


INTRODUCCIÓN Este texto está dirigido a los cursos de análisis de riesgo en proyectos, y en general a los cursos de finanzas y evaluación financiera de proyectos que involucren riesgo en el proceso de toma de decisiones. El texto puede ser utilizado tanto en los programas de pregrado como de posgrado que involucren el tema dentro de los microcurrículos, puesto que el análisis de riesgo tiene cada vez más importancia en la evaluación de proyectos de inversión. Uno de los principales objetivos del texto es entregar al lector, de manera organizada y sencilla, los conceptos fundamentales de estadística y de proyectos requeridos para realizar análisis de riesgo en proyectos, conceptos que se encuentran diseminados en la literatura actual, además de una descripción clara y detallada sobre el manejo de algunos de los componentes de @Risk que pueden ser utilizados para el análisis de los proyectos, junto con casos prácticos desarrollados de manera completa. Con lo anterior, el lector podrá adquirir el conocimiento y las competencias necesarias para modelar y evaluar proyectos de forma probabilística. Es importante aclarar que @Risk es una de las herramientas que existen en el mercado para hacer análisis de riesgo, entre algunas otras reconocidas como Crystall Ball. Al ser @Risk una herramienta muy completa y potente, se toma como base para el desarrollo de este texto, no obstante, es posible que en un futuro se desarrolle material académico incorporando otras herramientas. Con el presente texto se pretende entonces llenar un vacío bibliográfico para el proceso de aprendizaje en el tema de evaluación financiera de proyectos con análisis de riesgo aplicando @Risk. El libro contiene 11 capítulos y su estructura se presenta a continuación: El capítulo uno pretende familiarizar al lector con @Risk, herramienta base para el desarrollo del texto. En este capítulo se presenta de manera detallada el manejo de la herramienta @Risk, además de una introducción a otros componentes de Palisade Decision Tools Suite, diseñada para analizar riesgos y tomar decisiones con elementos inciertos, software que se ejecuta en


Microsoft Excel.

En los capítulos dos, tres y cuatro se desarrollan ejercicios aplicando las diferentes funciones de la herramienta para llevar a cabo análisis de riesgo en casos prácticos. Para una adecuada comprensión por parte del lector, la solución detallada de los casos comprende diversas etapas, que van desde la identificación y explicación de las variables de entrada, el desarrollo paso a paso del problema, y el cálculo y descripción de los resultados obtenidos, hasta llegar a la interpretación de los resultados, combinando la herramienta con la evaluación financiera de proyectos, los conceptos básicos de estadística y de proyectos, y el manejo de Microsoft Excel. En el capítulo cinco se hace la introducción al manejo de la herramienta Risk Optimizer, también incluida en Palisade Decision Tools Suite, en el cual se ilustran los pasos a seguir para el desarrollo de un caso práctico de conformación de portafolio, para ser elaborados por parte del lector. Estadísticos e-Books & Papers

En el capítulo seis se hace una introducción al manejo de los costos y sus implicaciones en la toma de decisiones en los proyectos. En los capítulos siete al nueve se desarrollan casos aplicados de costos teniendo en cuenta variables como: recurso humano, estado de resultados por costeo variable, análisis de costo volumen utilidad y uso de recursos propios vs subcontratación. En los capítulos diez y once se recopilan en orden alfabético algunos de los conceptos de estadística y de proyectos requeridos para la comprensión y buen desarrollo de los casos presentados en el texto. Cada uno de dichos conceptos tiene una o varias definiciones dadas por parte de autores reconocidos y surgen de una completa revisión bibliográfica. Las definiciones han sido seleccionadas de diversas fuentes bibliográficas, considerándose completas y sencillas, según el criterio de los autores. Se han presentado en orden alfabético, con el objetivo de facilitarle al lector la búsqueda de los conceptos según sus propias necesidades dependiendo de su formación y preparación en la temática. Por último, se presenta la sección “Problemas Propuestos” en donde el lector encuentra diferentes casos que puede desarrollar aplicando los conocimientos adquiridos en los capítulos anteriores y siguiendo la metodología propuesta en el texto. Dichos ejercicios pueden ser utilizados por los docentes de los diferentes cursos para hacer seguimiento y evaluación al proceso de aprendizaje de sus estudiantes o por el lector con fines de autoevaluación.

CAPITULO 1 NAVEGANDO POR LA HERRAMIENTA 1.1 ¿Qué es Palisade Decision Tools Suite? “El DecisionTools Suite en Español son una serie de programas integrados diseñados para analizar riesgos y tomar decisiones con elementos inciertos, que se ejecutan en Microsoft Excel. El DecisionTools Suite en Español incluye @RISK para el análisis de riesgo mediante el uso de la simulación Monte Carlo, PrecisionTree para el análisis de decisiones, y TopRank para realizar análisis de sensibilidad automatizados de suposiciones “Y si…”. Además, este grupo de programas incluye StatTools, NeuralTools y Evolver para hacer predicciones, análisis de datos y optimización. Todos los Estadísticos e-Books & Papers

programas han sido diseñados y desarrollados para funcionar conjuntamente de forma sencilla” (www.palisade-lta.com). En esta página es posible descargar gratis una versión de prueba totalmente funcional sin límite de tamaño de modelos o funciones, la cual puede utilizarse hasta 15 días después de su instalación.

1.2 Herramientas para toma de decisiones incluidas Las herramientas incluidas en Palisade Decision Tools Suite son @RISK, RiskOptimizer, PrecisionTree, NeuralTools, StatTools, Evolver y TopRank. Las herramientas PrecisionTree, NeuralTools, StatTools, Evolver y TopRank están fuera del alcance de este libro. Sin embargo, en futuros textos de los mismos autores, se ilustrará la aplicación de estas herramientas, y así, en el presente libro se explica la utilización de @RISK y RiskOptimizer. En los párrafos siguientes se hace una breve descripción de todas las herramientas incluidas en la Suite: @RISK “@RISK realiza análisis de riesgo utilizando simulación de Monte Carlo para mostrar una gran cantidad de escenarios posibles en su hoja Excel; también le dice qué tan factibles son estos escenarios. Gracias a esto Usted puede evaluar que riesgos tomar y cuáles evitar. Con @RISK usted puede contestar preguntas como las siguientes: ¿Cuál es la probabilidad de que las utilidades sean más de $ 10 millones? ¿Cuáles son las posibilidades de perder dinero en cierto proyecto?” (www.palisade-lta.com). ·

A continuación se presentan las aplicaciones del @RISK en los ejercicios resueltos en el texto. Empresa o tipo de ejercicio APLICACIÓN Cementera Laboratorio Farmacéutico Productora de Café Conformación de un portafolio de inversión Aplicaciones en costos Estimación del comportamiento futuro de las ventas. Determinación de la rentabilidad del proyecto. Definir la viabilidad proyecto a partir financiera del Estadísticos e-Books & Papers

de variables cuantitativas. Determinación de la viabilidad financiera del proyecto a partir tanto de incertidumbre con variables cuantitativas. Elaboración de análisis de sensibilidad del proyecto. Búsqueda de soluciones para indicadores meta deseados. Construcción inversión genéticos. de un portafolio de utilizando algoritmos - Análisis de costos en la toma de decisiones con el recurso humano. - Toma de decisiones a partir de estado de resultados por costeo variable y el análisis costo volumen utilidad. - Toma de decisiones para determinar el uso de recursos propios o a través de la subcontratación. Es importante precisar, que el grado en el nivel de dificultad de los ejercicios planteados se incrementa, siendo el problema de la empresa cementera el de nivel mínimo y llegando a su nivel máximo en el de la empresa Productora de Café. El grado en el nivel de dificultad está dado de acuerdo con el número tanto de variables de entrada como de funciones utilizadas del @RISK para su análisis. RISKOptimizer “El RISKOptimizer se utiliza para resolver problemas de optimización en un amplio rango de industrias, desde finanzas hasta aerolíneas y manufacturas” (www.palisade-lta.com). ·

A continuación se presentan posibles aplicaciones del RISKOptimizer en los ejercicios resueltos en el texto. EMPRESA APLICACIÓN Optimización de las rutas de transporte del cemento vendido. Cementera Planeación de la producción de las toneladas de cemento. Planeación de la capacidad instalada. Determinación de mezclas óptimas de


Laboratorio Farmacéutico materias primas para la elaboración de medicamentos. Administración de inventarios. Conformación del portafolio de Productora de Café productos Definir estrategias de cobertura a través de instrumentos financieros. Precision Tree “El PrecisionTree lleva a cabo análisis de decisiones en el Excel de Microsoft usando árboles de decisión y diagramas de influencia. Los árboles de decisión le permiten mapear visualmente un conjunto de decisiones complejas en multi-capas de una forma secuencial y organizada. Esto le permite identificar todas las posibles alternativas y ayudar a seleccionar la mejor opción” (www.palisade-lta.com). ·

NeuralTools “El NeuralTools imita las funciones del cerebro para poder “aprender” la estructura de sus datos. Una vez que el NeuralTools comprende sus datos, puede considerar nuevas variables de entrada y realizar predicciones inteligentes” (www.palisadelta.com). ·

StatTools “El StatTools provee un administrador integral de conjuntos de datos y de variables justo en Excel...puede definir cualquier número de conjuntos de datos, cada uno con las variables que desee analizar, directamente desde sus datos en Excel. El StatTools evalúa inteligentemente sus bloques de datos, sugiriendo nombres de variables y localizaciones. Sus conjuntos de datos y sus variables pueden residir en distintos libros de trabajo, permitiendo organizar los datos de la manera que convenga” (www.palisade-lta.com). ·

Evolver “El Evolver utiliza la innovadora tecnología de algoritmos genéticos (AG) para resolver rápidamente problemas de asignación de recursos, manufactura, finanzas, distribución, programación, ·

presupuestación, ingeniería y más. Virtualmente cualquier tipo de problema que pueda ser modelado en Excel puede ser resuelto por el Evolver, Estadísticos e-Books & Papers

incluyendo algunos complejos problemas no lineales previamente irresolubles. Los algoritmos genéticos de Evolver llegan a la mejor solución “global” de un problema – las soluciones que los optimizadores tradicionales usualmente no logran resolver” (www.palisade-lta.com). TopRank “El TopRank lleva a cabo análisis de sensibilidad del tipo "qué pasa si" en una hoja de cálculo de Microsoft Excel. Se define cualquier celda o celdas como variable de salida o "línea final", y el TopRank encuentra y varía automáticamente todas las celdas de entrada que afectan a su variable de salida. El resultado final es la identificación y jerarquización de todos los factores de entrada que tienen un impacto por sobre su variable de salida final” (www.palisade-lta.com). ·

1.3 Características de la Suite Todas las herramientas incluidas en la Suite se añaden directamente a Microsoft Excel. Permite utilizar 61 distribuciones de probabilidad diferentes. ·

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Las simulaciones son realizadas con base en técnicas de muestreo aleatorio simple y muestreo estratificado. El muestreo aleatorio simple se hace con la simulación de Monte Carlo y el muestreo estratificado con Latin HyperCube. ·

La Suite permite cualquier número de iteraciones por cada simulación y cualquier número de simulaciones en cada corrida. El límite en el número de iteraciones y simulaciones está dado por la capacidad del computador en el cual se hace la corrida del modelo. ·

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1.4 Construcción de un modelo probabilístico con @RISK En los párrafos siguientes se muestra la diferencia entre un modelo de decisión determinístico y uno probabilístico, así como el menú requerido del @RISK para su construcción. Construcción de un modelo de decisión determinístico Antes de realizar la elaboración del modelo probabilístico se sugiere hacer su construcción en forma “determinística”, la cual es libre de riesgo. El éxito o fracaso en la toma de la decisión obedece a los buenos o malos resultados ·


obtenidos del modelo, los cuales dependen a su vez, de las variables controlables y no controlables contenidas en el modelo y de la cantidad y calidad de la información conocida. Para la construcción de este modelo de decisión determinístico se requiere: o Definir el problema de interés. o Identificar las variables de entrada del modelo. o Recolectar los datos de los variables de entrada. o Identificar las variables de salida del modelo. o Formular el modelo para la representación del problema. o Solucionar el modelo. o Analizar los resultados. o Tomar las decisiones respectivas. Construcción de un modelo de decisión probabilístico: A diferencia del modelo de decisión determinístico, en variables son de difícil estimación porque existe el probabilístico las variabilidad en su ·

comportamiento, ocasionando un aumento en el nivel de riesgo de las decisiones a tomar. Por lo tanto, la importancia de este modelo, radica en que suministra información para responder preguntas tales como: ¿cuál es la probabilidad de obtener un resultado deseado o qué pasa si cambian algunas variables de entrada en términos de valores esperados?, interrogantes que no son posibles resolver mediante un modelo de decisión determinístico. Para la construcción de este modelo de decisión probabilístico se requiere: o Definir el problema de interés. o Identificar las variables determinísticas 1de entrada del modelo. o Identificar las variables aleatorias de entrada del modelo. o Recolectar los datos de las variables determinísticas de entrada. o Modelar el comportamiento de las variables aleatorias de entrada. o Identificar las variables de salida del modelo. o Formular el modelo para la representación del problema. o Iniciar simulación del modelo. o Generar reportes con resultados o Analizar los resultados. o Tomar las decisiones respectivas. Estadísticos e-Books & Papers

Menú del @RISK para la construcción de un modelo de decisión probabilístico o Definición del modelo: ·

Para definir el modelo, la herramienta posee las siguientes opciones: Nombre permite asociarle un nombre a la celda y en Fórmula de celda se digitan los parámetros de la función de distribución seleccionada.

En primer lugar, la opción Definir distribuciones permite asociar una función de distribución de probabilidad a una celda determinada, la cual es una variable de entrada para el modelo. Allí, es posible seleccionar una función de distribución entre 61 funciones posibles y así asociar la celda seleccionada a una función de distribución específica. Para esto se tienen dos campos, Nombre y Fórmula de celda. El campo 1 Variables determinísticas hacen referencia a aquellas cifras que no tienen un comportamiento aleatorio


En segundo lugar, la opción Añadir salida define como variable(s) de salida la(s) celda(s) seleccionadas. Esta opción despliega un cuadro de diálogo en donde se nombra(n) la(s) variable(s) de salida(s). En tercer lugar, Insertar función despliega un submenú con tres opciones principales, Funciones de distribución, Funciones estadísticas y Otras funciones. En la opción Funciones de distribución se puede asociar la función de distribución a una celda, como se ilustró anteriormente en la opción Definir distribuciones. Funciones estadísticas, permite visualizar una medida estadística para una variable de salida y con Otras funciones es posible definir variables de salida, además de otras funciones no definidas en este texto. En cuarto lugar, con la opción Ajuste de distribución es posible realizar Estadísticos e-Books & Papers

pruebas de bondad de ajuste a una serie de datos determinada.

Esta opción despliega tres campos necesarios para configurar la prueba de bondad de ajuste, los cuales son Nombre, Rango y Tipo. El campo Nombre contiene el nombre de la serie de datos, Rango tiene el rango de datos de entrada para la prueba y el campo Tipo permite seleccionar si los datos son discretos o continuos. Al presionar el botón Ajustar se visualizan los resultados del ajuste, en donde se puede apreciar de manera gráfica, el histograma de frecuencia de los datos de entrada y la función de distribución que mejor se ajustó a los datos. Así


mismo, se puede apreciar la Jerarquización de Ajuste, la cual muestra las funciones de distribución que mejor se ajustan a la serie de datos, ordenándolos de mejor a peor ajuste, a partir de los estadísticos ChiCuadrado, Anderson Darling y Kolmogorov Smirnov. Es posible seleccionar el ranking mencionado con cada uno de los estadísticos anteriores.

Adicionalmente, el botón Escribir a celda permite asociarle a una celda específica los parámetros de la función de distribución obtenida luego de realizar la prueba de bondad de ajuste. Esta celda contiene no solamente el valor medio de la función de distribución, sino también su ecuación.


En quinto lugar, la opción Artista de distribución, que se encuentra en Ajuste de distribución, es útil en aquellos momentos en los que solamente se tiene una idea vaga sobre el comportamiento de una variable. Un buen caso para ilustrar la utilidad de esta opción es por ejemplo lo que sucede durante el lanzamiento de productos nuevos al mercado, en donde la gerencia únicamente conoce la tendencia que pueden tener los volúmenes de venta. Por tal motivo, sería imposible utilizar una función de distribución conocida. ¿Cómo se modelaría el comportamiento de las ventas? Por ejemplo, un estudio de mercado con una compañía especializada considera que las ventas se comportarán como sigue:

A continuación se ilustra la utilización de la opción Artista de distribución para modelar el comportamiento de la variable anterior: Se selecciona la opción Artista de distribución en donde se ingresa el nombre de la variable (ventas), su valor mínimo (2 unidades), su valor máximo (80 unidades) y el número de puntos (15), así:



Se dibuja en el gráfico anterior la función de distribución de acuerdo a la tendencia estimada, así:

Al presionar el botón Escribir a celda se obtiene el valor esperado de la función de distribución, a continuación se selecciona Fx para encontrar el valor esperado de la media de la función de distribución personalizada, la cual se puede visualizar al editar la celda en donde se encuentra este valor medio, así:


Al presionar el botón Gráfico se visualiza el gráfico con la función de distribución y su valor mínimo, máximo, medio y su desviación estándar:


En sexto lugar, la opción Ventana de Modelo sirve para verificar y editar el comportamiento de cada variable de entrada y salida ingresada al modelo:

o Configuración de la simulación Para configurar la simulación la herramienta posee las siguientes opciones:

En primer lugar, en la opción Iteraciones se determina el número de iteraciones que tendrá la simulación. En segundo lugar, en Simulaciones se determina el número de simulaciones que serán ejecutadas. Es importante precisar, que una simulación está compuesta del número de iteraciones definidas en el párrafo anterior. En tercer lugar, la opción Configuraciones de simulación, en la pestaña General, permite además de definir el número de iteraciones como de simulaciones, habilitar la opción de múltiples CPU para aumentar la Estadísticos e-Books & Papers

velocidad de procesamiento de los datos, y seleccionar si se quiere visualizar los cambios en los valores obtenidos a partir de cada iteración en pantalla. Si se quieren visualizar se activa la opción Números aleatorios, en caso contrario Valores Estáticos.

En la pestaña Visualizar es posible configurar si los resultados son mostrados en pantalla automáticamente o no durante la ejecución de la simulación.


En la pestaña Muestreo se puede configurar si la simulación se hace a través de simulación de Monte Carlo o Latino Hipercúbico; vale la pena resaltar que en esta pestaña Muestreo en la opción Recolecte Muestras de Distribución se debe seleccionar Todos y en la opción Análisis de Sensibilidad inteligente se debe seleccionar Habilitado, con el ánimo de poder una vez finalizada la simulación, hacer análisis de sensibilidad sobre los resultados obtenidos.


Regresando a la configuración de la simulación, en cuarto lugar, la opción Recálculo aleatorio/Estático sirve para observar en la hoja de cálculo los valores probabilísticos de todas las variables del modelo, siempre y cuando esté activado, de lo contrario, los valores mostrados son los valores medios de estas variables. En quinto lugar, la opción Mostrar gráfico de salida automáticamente muestra el gráfico de la función de distribución de la variable en la celda seleccionada cuando está activada. En sexto lugar, la opción Modo demo permite aumentar o disminuir la velocidad de procesamiento de los datos. o Inicio de la simulación Una vez se ha configurado la simulación se procede a ejecutarla con el botón Estadísticos e-Books & Papers

Iniciar Simulación

Al ejecutar la simulación aparece la ventana @Risk Simulando, la cual muestra el porcentaje de avance de la simulación, su número de iteraciones ejecutadas, el tiempo invertido y el cálculo del número de iteraciones por segundo.

Esta ventana contiene siete botones en su parte inferior. El primer botón, Mostrar ventana de resumen de resultados, permite visualizar, a medida que se está ejecutando la simulación, un resumen de los resultados obtenidos, tanto de las variables de entrada como de las variables de salida, es decir, los resultados son mostrados en pantalla automáticamente durante la ejecución de la simulación. A continuación se muestra un ejemplo de los resultados que se obtienen:


El segundo botón Apagar o encender despliegue de actualización de Excel permite visualizar cada uno de los cálculos realizados por la aplicación en cada iteración. El tercer botón Apagar o encender actualizaciones en tiempo real muestra de forma gráfica las fluctuaciones en las variables. Esta opción es útil cuando se requiere observar la volatilidad de las variables tanto de entrada como de salida, a medida que se ejecuta la simulación. Los tres botones siguientes Ejecutar simulación, Pausar simulación, Detener simulación son usados para ejecutar, dar pausa o parar la simulación. El último botón, Muestre el monitor de desempeño, muestra cuántos procesadores son utilizados para hacer la simulación y cuántas iteraciones se han ejecutado hasta el momento. o Resultados de la simulación Para visualizar los resultados de la simulación se utilizan las opciones Informes de Excel, Visualizar resultados, Resumen, Definir Filtros, Estadísticas detalladas de simulación, Datos de simulación, Sensibilidades de simulación, Escenarios de simulación y Permutar funciones hacia afuera que se encuentra adentro de Utilitarios.


En Informes en Excel se selecciona la forma como se quieren visualizar los resultados de la simulación, desde un reporte rápido hasta una simulación con un alto nivel de detalle, de acuerdo con las necesidades del analista.


Para utilizar la opción Visualizar resultados es necesario ubicar el cursor sobre una celda que contenga bien sea una variable de entrada o una variable de salida. Al presionar esta opción se visualiza el histograma de frecuencia de la variable seleccionada como se aprecia a continuación.


Adicional al gráfico se presenta una barra de herramientas con botones con diversas opciones. La utilización de estos botones se encuentra en la sección en donde se desarrollan los ejercicios. Al seleccionar nuevamente la opción Visualizar resultados, la ventana con el histograma de frecuencia se desactiva. El botón Resumen muestra para cada una de las variables de entrada y de salida el nombre la variable, la celda en la cual está ubicada, su histograma de frecuencia, los valores mínimo, máximo y medio y los valores para los percentiles 5% y 95%.


El botón Definir Filtros permite determinar los intervalos de confianza para cada variable de entrada o de salida.


En Estadísticos detallados de simulación se muestran todas las variables de entrada y salida con su nombre, descripción, celda, valor mínimo, máximo, media, desviación estándar, varianza, coeficiente de asimetría, curtosis, error, moda y percentiles del 5% al 95%.


Esta ventana contiene unos botones entre los cuales es importante resaltar el botón Editar y exportar, pues permite exportar los resultados a una hoja de cálculo con el fin de realizar otros análisis adicionales. Adicionalmente el botón Tabla pivote de estadísticos permite trasponer los resultados. En Datos de Simulación es posible obtener para cada variable de entrada y salida cada uno de los datos de cada iteración. Estos resultados es posible exportarlos a Excel con la opción Editar y exportar.


En Sensibilidades de simulación se muestran los datos, tales como el coeficiente de correlación y regresión de las variables de entrada con respecto a cada una de las variables de salida, necesarios para realizar análisis de sensibilidad y la construcción del gráfico de tornado.


Esta ventana contiene 4 botones adicionales entre los cuales vale la pena destacar el botón Gráfico de Tornado, el cual visualiza el gráfico de tornado así:


En Permutar funciones hacia afuera es posible intercambiar los valores aleatorios de las variables de entrada por valores determinísticos, es decir, los valores originales de las variables de entrada son cambiados por los valores que se visualizan en pantalla, los cuales fueron obtenidos mediante el proceso de simulación. o Análisis Avanzado de la Simulación El análisis avanzado de la simulación permite utilizar las herramientas Búsqueda de objetivo, Análisis de estrés y Análisis de sensibilidad avanzado. Con Búsqueda de objetivo es posible determinar el valor objetivo de una variable de salida para un valor determinado en una variable de entrada.


Para ello, se definen la celda objetivo, el estadístico a utilizar, el valor objetivo y la celda con la variable de entrada (esta celda no puede contener una fórmula). A diferencia de los modelos determinísticos, el valor objetivo de una variable de salida se puede definir con los siguientes estadísticos: mínimo, máximo, coeficiente de kurtosis, media, moda, mediana, percentil, coeficiente de asimetría, desviación estándar y varianza. Adicionalmente, en el botón Opciones se configuran los limites de la búsqueda, la holgura del valor objetivo y el número máximo de simulaciones a ejecutar.


Una vez definido todo lo anterior, la opción Analizar inicia la simulación con el fin de encontrar el valor objetivo de la variable de salida especificada previamente. La opción Análisis de estrés permite encontrar valores extremos máximos o mínimos para una variable de salida ante cambios en variables de entrada seleccionadas. Para ello, se selecciona la celda a monitorear, la cual contiene la variable de salida. En la opción Add se definen los campos de entrada necesarios para configurar el análisis, al igual que el método de variación a utilizar.


El campo de entrada Referencia permite seleccionar las variables de entrada a estresar. El método de variación a utilizar se puede escoger entre valores bajos, valores altos, valores en un rango determinado o sustituir una ecuación determinada por una función de distribución.


Una vez configurados todos los parámetros anteriores en el botón Opciones se seleccionan el tipo de resultados que se desean visualizar, como se aprecia en la ventana siguiente:


El botón Analizar muestra el número de simulaciones e iteraciones necesarias para hacer el análisis de stress.


Finalmente, en Análisis de sensibilidad avanzado es posible hacer análisis de sensibilidad para una variable de salida vs varias variables de entrada.

En esta ventana se selecciona la celda objetivo de la variable de salida a la cual se le realiza el análisis de sensibilidad. En el botón Añadir se configura el análisis de sensibilidad, en el cual se determina si el análisis se hace con una celda o con una función de distribución de una variable de salida.


Para efectuar este análisis de sensibilidad es posible utilizar cinco métodos de variación.


Una vez seleccionado el método de variación se configuran las opciones para visualizar los reportes de la simulación.


El botón Analizar muestra el número de simulaciones e iteraciones necesarias para hacer el análisis de sensibilidad avanzado.


CAPITULO 2 CASO APLICADO COMPAÑÍA CEMENTERA Estimar el comportamiento futuro de una variable, caso aplicado a las ventas de una compañía cementera. Para resolver este tipo de problemas se requiere manejar los siguientes conceptos: Variable aleatoria Método Delphi Valor esperado Función Distribución Función de probabilidad relativa Pruebas de bondad de ajuste

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Se desea estimar las ventas de una empresa cementera, en toneladas de cemento, para el próximo período, una variable aleatoria sobre la cual se tiene poca experiencia, puesto que el cargo del gerente de ventas de la compañía es reciente y toda su trayectoria comercial ha sido en otros sectores. Para enfrentar dicha situación, se ha decidido consultar a cuatro expertos en el tema. El gerente de mercadeo de la compañía (experto A) estima que las ventas tendrán un valor mínimo de 45 toneladas, un valor más probable de 50 y un Estadísticos e-Books & Papers

valor máximo de 70 toneladas. Un asesor externo de la compañía (experto B) considera que los valores deben ser 50, 65 y 80 toneladas. Un alto ejecutivo de la compañía, quien trabajó quince años con el principal competidor, (experto C), estima un valor mínimo de 50 toneladas y un valor máximo de 90 toneladas para las ventas de la empresa para el próximo periodo. Se contrató un estudio de mercado con una compañía especializada (experto D) que considera que las ventas se comportarán como sigue:

El término valor se refiere a las ventas en toneladas de cemento estimadas, mientras que la probabilidad relativa indica el peso o importancia relativa asignado por el experto para cada uno de los valores. Sobre la base de la reputación de cada experto, usted asigna una ponderación a cada opinión. En su ponderación se asigna un peso del 40% a la opinión del experto A, y un peso del 20% a cada uno de los otros expertos. NOTA: Las ventas de cemento están expresadas en miles de toneladas.

Preguntas: ¿Cómo se comportarán las ventas durante el próximo período, incluyendo su valor esperado, en toneladas de cemento, según cada experto? ¿Cómo se comportarán las ventas durante el próximo período, incluyendo su valor esperado, en toneladas de cemento, teniendo en cuenta la opinión de los cuatro expertos? ¿Cuál es la probabilidad de que las ventas de cemento para el próximo período sean mayores o superiores a 65 toneladas? Solución: Para elaborar el presupuesto de la compañía para el próximo periodo es fundamental estimar el comportamiento de las ventas en toneladas de


cemento. Es necesario entonces, trabajar con los datos obtenidos a partir de la opinión de los expertos, para la variable en cuestión.

Resolviendo el ejercicio paso a paso 2.1 Identificación de las variables de entrada

2.2 Explicación de las variables de entrada El experto A considera que el valor mínimo que tendrán las ventas el próximo período es de 45 toneladas, con unas ventas máximas de 70 y un valor más probable de 50 toneladas. Estos datos se modelan con una función de distribución triangular, al igual que los datos entregados por el experto B, quien considera ventas mínimas de 50 toneladas, un valor más probable de 65 y unas ventas máximas de 80. Por otra parte, el experto C considera que las ventas estarán en un mínimo de 50 toneladas y un máximo de 90, cifras que se modelan con una función de distribución uniforme. Finalmente, el experto D realiza un análisis más profundo acerca de la


variable, entregando datos más detallados con respecto al valor en el que estima pueden estar las ventas, además de otorgarle una probabilidad relativa a cada uno de estos valores. La ponderación otorgada a cada uno de los expertos depende de su experiencia, conocimiento, y reputación. 2.3 Desarrollo paso a paso del problema Para encontrar el valor esperado de las ventas según cada experto, se modelan los datos entregados por ellos a partir de la función de distribución que más se ajuste a los mismos. Por ejemplo, para los expertos A y B se utiliza la función de distribución triangular así:

Luego, se asocian las celdas con los datos de entrada esperados de las ventas para ambos expertos así: Experto A:


Igualmente para el experto B así:

Por otra parte, para encontrar el valor esperado de las ventas según el experto C, se modelan los datos entregados por él a partir de una función de distribución uniforme así:


Luego, se asocia la celda con los datos de entrada esperados para las ventas según este experto así:

Finalmente, se realiza el mismo procedimiento para el experto D, en donde es importante resaltar que sus datos se ajustan a una función de distribución general2. Su modelación se hace a partir de la función RiskGeneral, así:


2 Esta función de distribución general se utiliza cuando se conoce el comportamiento de los datos, a través de una función de probabilidad relativa.

Esta función requiere el ingreso de un valor mínimo y un valor máximo esperado para la variable ventas, así como los valores que puede tomar esta variable con su respectiva probabilidad relativa, como se puede apreciar a continuación:

Con el procedimiento anterior se finaliza el proceso de ingreso de los datos de entrada del valor esperado de las ventas, según cada experto. Estadísticos e-Books & Papers

2.4 Cálculo y descripción de resultados obtenidos El valor esperado de la variable ventas se calcula mediante el promedio ponderado del valor esperado según cada uno de los expertos, de acuerdo con la ponderación asignada. A continuación, se puede apreciar con detalle su cálculo:

El valor esperado de las ventas se muestra en términos determinísticos, siempre y cuando la función Recálculo aleatorio/estático se encuentre desactivada. En este caso el valor esperado para las ventas es de 58.06 toneladas, que se obtiene de ponderar los resultados de los valores esperados según cada experto, y acorde a su importancia relativa. Al activar la función Recálculo aleatorio/estático, el resultado obtenido para el valor esperado de las ventas será probabilístico. Estadísticos e-Books & Papers

Para calcular y analizar la función de distribución de la variable ventas, es necesario definirla como variable de salida en la opción Añadir salida, así:

Posteriormente, se configura la simulación, en donde se define tanto el número de iteraciones (10.000 en este caso), como de simulaciones necesarias (una en este caso). Se utiliza la opción Configuraciones de simulación, así:


Es importante verificar que las variables modeladas probabilísticamente hayan sido definidas de acuerdo con sus características. La opción Ventana de modelo permite visualizar la modelación de cada variable para realizar la verificación:


En esta misma opción es posible hacer las correcciones que sean pertinentes a cada una de las variables de entrada. Hecha la verificación, se da inicio al proceso de simulación con la opción Iniciar simulación. Una vez finalizada la simulación se selecciona la celda de salida con el ánimo de visualizar el resultado del valor esperado de las ventas, así:

Es posible además, realizar una prueba de bondad de ajuste para determinar el tipo de función de distribución a la que más se ajustan los datos, seleccionando la opción Ajuste de distribución 3, así:


3 La opción Ajuste de distribución se encuentra en la posición 11 de izquierda a derecha debajo del el gráfico de la función de distribución.

A continuación, se selecciona la opción Ajustar en donde es posible realizar las pruebas de bondad de ajuste Chi Cuadrado, Kolmogorov Smirnov y Anderson Darling. Los resultados de dichas pruebas se muestran a continuación: Prueba Chi cuadrado:

Prueba Anderson Darling:


Prueba Kolmogorov Smirnov:

2.5 Interpretación de los resultados ¿Cómo se comportarán las ventas durante el próximo período, incluyendo su valor esperado, en toneladas de cemento, según cada experto? Una vez ejecutada la simulación, el software permite visualizar el comportamiento de las ventas por experto, luego de haber corrido 10.000 iteraciones para cada uno de ellos teniendo en cuenta los datos de entrada suministrados. Para el experto A se obtienen los siguientes resultados:


Se puede apreciar que para los datos entregados por el experto A, el valor esperado de las ventas es 55,000 toneladas con una tendencia a alejarse por encima o por debajo de la media en 5.394 toneladas en promedio, con un valor mínimo de 45,064 y un valor máximo de 69,781 toneladas. Vale la pena destacar las ventajas de este procedimiento, con el cual se supera la obtención de resultados estáticos (determinísticos) y se obtiene un rango en el cual pueden ubicarse los datos con una probabilidad determinada. Para este experto, por ejemplo, del gráfico anterior se observa que existe un 90% de probabilidad de que las ventas estén entre 47,51 y 64,88 toneladas. De igual forma, se obtienen los datos para los expertos B, C y D, así:



Sin embargo, no es suficiente conocer de forma probabilística el comportamiento estimado de las ventas según cada experto, sino, determinar el valor esperado de dicha variable a partir de la combinación de los resultados individuales obtenidos anteriormente. ¿Cómo se comportarán las ventas durante el próximo período, incluyendo su valor esperado, en toneladas de cemento, teniendo en cuenta la opinión de los cuatro expertos? Para visualizar el valor esperado de las ventas en toneladas de cemento, incluyendo la opinión de los cuatro expertos, es suficiente con ubicarse en la celda de salida “Valor Esperado de la Variable (B30)”, luego de corrida la simulación, tal como fue explicado en el numeral 4, así:


Para el comportamiento esperado de las ventas para el próximo período, a partir del procedimiento realizado, se puede concluir que: El valor esperado de las ventas (media) es de 58,073 toneladas con una variabilidad promedio de 5,421, un valor máximo de 73,868 y un valor mínimo de 41,941 toneladas, con una probabilidad del 90% de que las ventas oscilen entre 49,10 y 66,82 toneladas. Además, se tiene una probabilidad del 5% de que las ventas sean inferiores a 49,10 toneladas. Es importante precisar que estos resultados pueden ser ligeramente diferentes a los obtenidos por el lector, debido a que la generación de números es aleatoria. ¿Cuál es la probabilidad de que las ventas de cemento para los próximos períodos sean mayores o superiores a 65 toneladas? Adicionalmente, es posible calcular la probabilidad de obtención de un determinado valor de ventas para el próximo período. Por ejemplo, si se desea conocer la probabilidad de que las ventas para el próximo período sean iguales o superiores a 65 toneladas, en el gráfico anterior es posible cambiar el rango de valores deseados, seleccionando y desplazando las barras que definen el intervalo de confianza 4, así: Para este caso se obtiene una probabilidad del 10,5% de que las ventas, para


el próximo período, sean iguales o superiores a 65 toneladas. Esta información, se convierte en una excelente herramienta de apoyo para la toma de decisiones gerenciales, como son la compra de insumos o suministros, determinación de capacidad instalada, planeación de la producción, entre otras decisiones, en donde el nivel de ventas es una variable fundamental. 4 También, es posible realizar este procedimiento digitando el valor deseado en el límite superior y/o inferior en el intervalo de confianza motivo de análisis.

Por otra parte, si se desea obtener un consolidado de los resultados con fines comparativos, incluyendo a todos los expertos y al resultado general, la aplicación entrega un reporte denominado Resumen de resultados de entrada y salida obtenido en el ícono Informes en Excel:


Para finalizar, es importante resaltar que hasta este punto no se ha interpretado el resultado obtenido de las pruebas de bondad de ajuste, las cuales determinan que la función de distribución que más se ajusta al comportamiento de las ventas en toneladas de cemento es la función Beta General, procedimiento realizado luego de haber corrido la simulación en el punto cuatro. En otras palabras, ¿para qué sirve conocer la función de distribución a la que mejor se ajustan los datos? Aunque esta pregunta se tratará a profundidad en posteriores ejercicios, se invita al lector a reflexionar sobre este asunto.

CAPITULO 3 CASO APLICADO LABORATORIO FARMACÉUTICO Evaluación financiera de un proyecto de inversión, caso aplicado a un Laboratorio Farmacéutico. Para resolver este problema se requiere manejar los siguientes conceptos: Valor del dinero en el tiempo VPN

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TIR TIO Valor de salvamento Valor de mercado Valor en libros Costos variables Costos fijos Funciones de distribución Pert, Normal y Triangular

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Se desea evaluar la posibilidad de invertir en un proyecto para producir y comercializar un nuevo medicamento genérico para el dolor, bajo una marca actualmente bien posicionada en el mercado. Se estima que el proyecto tenga una duración de 5 años, al cabo de los cuales, nuevos avances científicos y la evolución del mercado, ocasionarán la pérdida de vigencia del producto y por lo tanto será necesario retirarlo del mercado. Para efectos de facilidad en el manejo de las cifras los datos se expresan en miles de pesos. El monto de la inversión inicial se estima en $600.000. Aunque se espera que el proyecto termine en 5 años, los activos requeridos para la producción del medicamento podrán venderse solamente tres años más tarde, debido a su especificidad y baja rotación, estimando su valor residual en $180.000. El estudio de mercado realizado durante la fase de preparación del proyecto indica que las ventas proyectadas oscilan en un rango entre un valor pesimista de 70.000 unidades, un valor más probable de 100.000 unidades, y un valor optimista de 130.000 unidades por año. Adicionalmente, el estudio sugiere un precio medio del producto de $12.5 con una desviación de $1.5 por unidad. Los costos variables, representados en la materia prima involucrada para la producción del medicamento se estiman en $5.85 por unidad como valor mínimo, $6.3 por unidad como valor medio y $6.75 por unidad como valor máximo, cifras obtenidas del estudio técnico. Adicionalmente, los costos fijos se estiman en $160.000 al año. La tasa mínima de retorno requerida 5 es del 20% efectivo anual. La tasa de impuesto a las utilidades es del 33%.

Preguntas:


¿El proyecto es rentable? ¿Se debería invertir en el proyecto?

Solución: Para estimar la rentabilidad esperada del proyecto es necesario calcular su tasa interna de retorno (TIR), para lo cual se requieren los flujos de caja proyectados. Adicionalmente, uno de los indicadores que le permite al inversionista tomar la decisión sobre si invierte o no en el proyecto es el valor presente neto (VPN), el cual se calcula a partir de los flujos de caja del proyecto y la tasa mínima requerida de retorno. (T.M.R.R.). Resolviendo el ejercicio paso a paso 3.1 Identificación de las variables de entrada

5 Costo de oportunidad del capital, tasa esperada, TIO, W.A.C.C., entre otros nombres utilizados para señalar la rentabilidad mínima con la cual el inversionista quedaría satisfecho al invertir en el proyecto.

3.2 Explicación de las variables de entrada La duración del proyecto es 5 años, pero el horizonte de evaluación del proyecto es de 8 años debido a que sólo entonces se realizará el valor residual de los activos, razón por la cual se proyectan los flujos de caja incluyendo los 3 años adicionales a su duración. Cabe precisar que los años seis, siete y ocho no tienen operación. La inversión inicial de $600.000 es determinada a partir del estudio técnico del proyecto. Al igual que el valor de salvamento por un monto de $180.000.


La proyección de ventas es estimada a partir de un estudio de mercado, en donde se incluye la participación de un panel de expertos y se determinan sus valores pesimistas, medios y optimistas así: 70.000, 100.000 y 130.000 unidades. Estos datos se modelan con una función de distribución PERT. El precio es determinado en el estudio de mercado mencionado, y se define un precio medio de $12.5 con una desviación estándar de $1.5, variable modelada con una función de distribución Normal. Los costos variables unitarios son estimados a partir del estudio técnico, en donde se determina un valor mínimo de $5.85, medio de $6.30 y máximo de $6.75, variable modelada con función de distribución triangular. Los costos fijos totales estimados en $160.000 por año son obtenidos a partir de la experiencia adquirida en proyectos similares como en el estudio técnico. La rentabilidad mínima requerida por el inversionista, es decir, su tasa de interés de oportunidad (TIO), es el 20% efectivo anual. Los activos se deprecian utilizando el método de línea recta a 5 años, de acuerdo a su vida útil, estimada por un perito. La tasa impositiva del país, de acuerdo con la normatividad, es del 33%. En caso de que en algún período el proyecto genere pérdidas, el impuesto a cargo será cero. 3.3 Desarrollo paso a paso del problema Para determinar la tasa interna de retorno (TIR) y el valor presente neto del proyecto (VPN) es necesario construir el flujo de caja proyectado para los períodos que conforman el horizonte de evaluación. El flujo de caja proyectado de acuerdo con las características señaladas se construye a partir de la siguiente estructura:


Construcción del flujo de caja con @Risk: Para modelar las ventas, se selecciona la función de distribución Pert en la opción Definir distribución, así:

Luego se asocian las celdas con los datos de entrada de las ventas así:

Para los cuatro años siguientes las ventas se modelan de la misma manera, por lo tanto se deben fijar las celdas utilizadas para estimar las ventas del primer año, y así copiar la función arrastrándola hasta el año cinco. El valor obtenido para cada año a través de este procedimiento representa el valor Estadísticos e-Books & Papers

medio de las ventas a partir de una función de distribución PERT; hasta este paso no se ha activado la función recalculo aleatorio/estático, la cual generará valores aleatorios a esta variable con la función de distribución mencionada y por consiguiente los valores obtenidos son iguales. Para modelar los precios se selecciona la función de distribución normal en la opción Definir distribución, así:

Luego se asocian las celdas con los datos de entrada de los precios así:


En caso de que las variables tengan diferentes estimaciones para cada período sería necesario repetir este procedimiento para cada año. Dado que en este problema se tienen variables con datos de entrada estimados constantes, es suficiente copiar la función para todos los años. El procedimiento anterior, se aplica con una función de distribución triangular para los costos variables unitarios. Con todo lo anterior, se obtiene el flujo de caja proyectado (para facilidad del lector se presenta además el flujo de caja con sus fórmulas en Excel y sus datos numéricos):


Se puede apreciar en el flujo de caja anterior, que los valores de las variables de entrada de cada uno de los años son iguales, dado que la herramienta muestra los valores medios de la función de distribución de cada variable, hasta que se active recálculo aleatorio/estático. Con dicha función activa, los valores de las variables de entrada de cada año, al igual que los valores de las variables de salida, toman aleatoriamente un valor dentro de los límites de la distribución, por lo tanto, cada vez que se active la función Recálculo aleatorio/estático, los valores cambiarán. No sobra aclarar que el procedimiento anterior no es necesario, puesto que al correr la simulación la herramienta lo hará automáticamente el número de veces indicado, almacenando los resultados en una base de datos, a partir de los cuales posteriormente se podrán obtener los resultados para las variables de salida.

3.4 Cálculo y descripción de resultados obtenidos Las variables de salida que permiten resolver las preguntas del problema son el valor presente neto (VPN) y la tasa interna de retorno del proyecto (TIR), las cuales se calculan, utilizando los flujos de caja del proyecto para la TIR, y los flujos de caja del proyecto y la T.M.R.R para el VPN. A continuación se ilustra paso a paso el procedimiento necesario para su cálculo.

Luego de haber calculado el VPN y la TIR, estas celdas se asocian como variables de salida en la opción Añadir salida, indicando el nombre de cada una de ellas así:


Posteriormente, se configura la simulación, en donde se definen tanto el número de iteraciones, como de simulaciones necesarias. Para esto se utiliza la opción Configuración de la simulación, así:


Luego, es importante verificar que las variables modeladas probabilísticamente, hayan sido definidas de acuerdo con las características propias de cada una de ellas. La opción Ventana de modelo permite lograr lo anterior:

En esta misma opción es posible hacer las correcciones que sean pertinentes a cada una de las variables de entrada. Una vez validado lo anterior, se da inicio al proceso de simulación con la opción Iniciar simulación. Es importante resaltar, que se tiene la opción de activar el Modo Demo para simular de forma más lenta su operación, con el fin de poder visualizar de mejor manera los resultados:


Al finalizar la simulación, se seleccionan las celdas de salida, teniendo en cuenta que la opción Visualizar resultados debe estar activada, con el ánimo de visualizar los resultados del VPN y la TIR, así:


Cabe anotar que no solamente es posible observar los resultados de la simulación para las variables de salida, sino también para las variables de entrada.

3.5 Interpretación de los resultados ¿El proyecto es rentable? ¿Se debería invertir en el proyecto? En las celdas (B34 Y B35) se observan los resultados del VPN y la TIR, respectivamente, pero dichos resultados están calculados a partir de los valores medios de las funciones de distribución de las variables de entrada, sin tener en cuenta la simulación. Los valores que se señalan e interpretan a continuación son resultados probabilísticos obtenidos a partir de la simulación efectuada y se pueden apreciar en las gráficas de las variables de salida, así como en los reportes que la herramienta posibilita, los cuales se explicarán en detalle en el último ejercicio de este texto. En las dos últimas gráficas, se puede apreciar que la ganancia por encima de lo esperado (VPN medio) es de $467.640,65 pesos, con una variabilidad en sus resultados (desviación estándar) de $155.286,76.


Además, se tiene un 90% de confianza de que el valor presente neto esté entre $216.000 y $726.000. Por otra parte, la rentabilidad media del proyecto (TIR) es de 51,221%, con una variabilidad en sus resultados de 11,050% (desviación estándar). Además, se tiene un 90% de confianza de que la rentabilidad del proyecto esté entre 34,0% y 70,3%. Algunos de estos resultados se pueden comparar con los resultados obtenidos a partir de los valores medios de las funciones de distribución de las variables de entrada, logrados antes de ejecutar la simulación:

Resultados con : Valores Medios Simulación VPN $468.183 $467.640 TIR 50,95% 50,95% 51,22% El lector podría cuestionar la utilidad de la herramienta, pues luego de invertir un tiempo considerable para abordar el problema de forma probabilística, los resultados para el VPN y la TIR son muy similares como se aprecia en el cuadro anterior. Sin embargo, la utilidad de la herramienta consiste en las posibilidades que se tienen en cuanto al análisis de dichos resultados, incluyendo probabilidades, lo que no sería posible realizar de otra manera. Por ejemplo, luego de obtener los resultados de la simulación, podemos establecer que la probabilidad de que el VPN del proyecto sea inferior a $216.000, es del 5%, y que existe un 90% de probabilidad de que el VPN del proyecto esté entre $216.000 y $726.000, entre otras tantas posibilidades de interpretación que se tienen, a partir del gráfico del histograma de frecuencias para las variables, VPN para el ejemplo dado anteriormente. Dicho lo anterior y retomando la pregunta que indaga sobre la rentabilidad del proyecto, los resultados obtenidos permiten concluir que el proyecto sí es rentable. Como ya se ilustró la rentabilidad esperada del proyecto es del 51,22% con una variabilidad del 11,05% en promedio. Pero la herramienta permite hacer análisis que superan por mucho esta información, por ejemplo, profundizando sobre la rentabilidad del proyecto se puede apreciar que existe una probabilidad del 90% de que el proyecto rente entre 34,0% y 70,3%, y que se tiene una probabilidad menor del 5% de que el proyecto rente menos de 34,0%. Esto representa una situación no sólo positiva desde el punto de Estadísticos e-Books & Papers Papers

vista de la rentabilidad sino también desde el punto de vista del riesgo, recordando que la tasa mínima requerida de retorno es del 20%. Se puede concluir además trabajando con el histograma de frecuencia para la variable TIR que la probabilidad de que la rentabilidad sea inferior al 20% es 0,1%, en otras palabras, se tiene una probabilidad del 99,9% de que el proyecto supere la tasa mínima requerida de retorno del inversionista, como se muestra a continuación:

Se sugiere al lector que compruebe los resultados anteriores utilizando la herramienta. La anterior conclusión sirve además para dar respuesta a la segunda pregunta planteada, sobre si se debe invertir o no en el proyecto. Teniendo claro que el proyecto es rentable es fundamental recordar que esto no es suficiente para tomar la decisión sobre si invertir o no, puesto que se deben incorporan dentro del análisis otras variables como por ejemplo la tasa mínima requerida de retorno6. En el último gráfico, ya se está incorporando la tasa mínima requerida de retorno para analizar la rentabilidad del proyecto, concluyendo


que la probabilidad es casi del 100% de que ésta supere la exigida por el inversionista. Vale la pena recordar que la segunda variable de salida en el ejercicio es el valor presente neto, el cual incorpora en su cálculo la tasa mínima requerida de retorno. La lectura más simple que puede hacerse para los resultados del VPN es que su valor esperado es de $467.640 con una variabilidad de 155.286. Pero, se puede avanzar más en el análisis trabajando con el histograma de frecuencia para la variable de salida VPN, en donde se aprecia que la probabilidad de que el VPN sea negativo es inferior al 0,1%, lo que significa 6 Es común rechazar proyectos de inversión que son rentables, puesto que dicha rentabilidad puede estar por debajo de la tasa mínima requerida de retorno del inversionista.

una probabilidad de casi el 100% de que el VPN del proyecto sea positivo, como se puede apreciar a continuación.

Como el valor presente neto es positivo, esto significa que el proyecto renta por encima de lo esperado, es decir, que la rentabilidad del proyecto TIR es superior a la tasa mínima requerida de retorno T.M.R.R.


En conclusión, trabajando con las dos variables de salida, el proyecto es rentable y viable financieramente bajo condiciones de riesgo. Sin embargo, cabe aclarar que es posible que no sea suficiente con la TIR y el VPN para evaluar un proyecto financieramente, y que sea necesario incluir variables adicionales como por ejemplo el período de recuperación de la inversión (PRI), que podrán apreciarse en el desarrollo del último ejercicio del presente texto.

CAPITULO 4 CASO APLICADO PRODUCTORA DE CAFÉ Evaluación financiera de un proyecto con análisis de riesgo. Para resolver este problema se requiere manejar los siguientes conceptos: Valor del dinero en el tiempo VPN TIR TIRM TIO Costos variables Costos fijos Seguro Función de distribución binomial PRI RBC VAUE IRVA

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Novedad de este problema: Aleatoriedad en variables cualitativas (Lluvia). ·

Un latifundista en Ecuador tiene 1.000 hectáreas de tierra. Un inversionista está interesado en arrendarlas, con el fin de sembrar café Arábigo. Con el ánimo de analizar si esta opción es viable financieramente, se contrata un experto, para que realice un estudio de este proyecto. La información que se le entrega al experto para que realice el estudio es la siguiente: El valor del arrendamiento por hectárea de tierra al año es de USD 1.530 En los años anteriores las tierras recibieron un tratamiento especial para ser aptas para este tipo de cultivos. Un asesor externo estima que el rendimiento


por hectárea de este tipo de terrenos puede ser clasificado como malo, regular, bueno o excelente, relacionando esta clasificación con las toneladas de café por hectárea generadas como se muestra a continuación:

Malo Regular Bueno Excelente Probabilidad 10% 20% 40% 30% Rendimiento en 5.0 y 5.5 5.5 y 7.0 7.0 y 9.5 9.5 y 11.0 Ton/hectárea El café es procesado y comercializado en los Estados Unidos. Las expectativas de precio son: precio medio de venta por tonelada de USD 970, el precio mínimo de USD 920 y el precio máximo de USD 1020. Los costos variables por hectárea cultivada se estiman en USD 653. Adicionalmente, otros costos variables de cosecha dependen del rendimiento del cultivo, el cual a su vez, varía según las condiciones climáticas. Estos costos se estiman en USD 1.000.000 para el primer año, con un incremento del 3% anual para los años siguientes. Los gastos para la comercialización del café, incluyen el proceso de empaque y flete, estimados en un valor de USD 192 por tonelada y adicionalmente, unas comisiones de los intermediarios requeridos, las cuales se estiman en del 5,3% del ingreso bruto. Los gastos del área administrativa se estiman en USD 99 por hectárea sembrada. El horizonte de planeación del proyecto es de 10 años. Se espera que el incremento anual promedio del precio del café sea mínimo del 3% y máximo del 7%. Adicionalmente, con un incremento anual promedio de los costos variables por hectárea de mínimo 10% y máximo del 15%, los gastos de administración por hectárea mínimo 7% y máximo 10%, con un incremento anual de los gastos de comercialización por tonelada de café del 8% con una desviación estándar del 2% y un incremento del 3% anual en el costo del arrendamiento. El inversionista espera una tasa mínima de retorno del 29% efectivo anual y requiere una inversión inicial en la cual USD 1.000.000 son necesarios para la adquisición de maquinaria y equipo, con una vida útil de 10 años, durante


los cuales se depreciará en línea recta, con un valor residual de 0, y el resto de la inversión por valor de USD 3.282.000 en capital de trabajo requerido para operar durante el primer año, el cual está conformado por el arrendamiento, los costos variables por hectárea, otros costos variables de cosecha, y los gastos de administración. Las ventas de toneladas de café son realizadas de contado al final de cada año y todo lo que está en capacidad de producir se venden en el período. La tasa impositiva fijada por el gobierno es del 33% sobre las utilidades antes de impuestos y en caso de que en el período no se generen utilidades la tasa impositiva es 0%.

Preguntas: ¿Este proyecto es rentable para el inversionista? ¿Cuál es la probabilidad de que el inversionista tenga pérdidas en este proyecto? ¿Cuál es la probabilidad que tiene el inversionista de obtener una rentabilidad mayor al 45% efectiva anual en el proyecto? Para el caso de lluvia: El inversionista tiene la posibilidad de tomar un seguro con una empresa local, el cual le cubre los costos de cultivo por valor de USD 653 por hectárea y el arrendamiento pagado por valor de USD 1.530 por hectárea, en caso de que se presente una tormenta y dañe el cultivo. Según estudios metereológicos, la probabilidad anual de que exista una tormenta que dañe el cultivo es del 8%. ¿Cuál es la probabilidad de pérdida si llueve y no se compra una póliza de seguro? ¿Cuál es la probabilidad de pérdida si llueve y se compra una póliza de seguro, cuyo valor es el 10% del valor asegurado, pagadero de forma vencida? La aseguradora expide la póliza siempre y cuando se compre para todos los años. Explique si la probabilidad de pérdida calculada a partir del VPN es igual a la probabilidad de pérdida calculada a partir de la TIR del proyecto. ¿A partir de los resultados encontrados, vale la pena entonces tomar el seguro?

Apalancamiento financiero Existe la posibilidad de solicitar un préstamo por un valor de $1.640.000 Estadísticos e-Books & Papers

financiado a 10 años a una tasa de interés del 14% efectivo anual, pagadero en cuotas anuales iguales. ¿Le conviene al inversionista solicitar el préstamo? Supuestos para cálculos adicionales: Tasa de reinversión: 29% Tasa de financiación: 18%

Solución: Resolviendo el ejercicio paso a paso: Para la solución del siguiente ejercicio y dado que en los ejercicios anteriores cada paso se ha descrito a profundidad, no se explicarán con el mismo nivel de detalle algunos de los pasos requeridos para la construcción del modelo, con el fin de que el lector aplique los conocimientos previamente adquiridos. El ejercicio se analiza a partir de los siguientes escenarios: Sin lluvia y sin seguro. Con lluvia y sin seguro. Con lluvia y con seguro.

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Además, en cada uno de estos escenarios el proyecto puede ser evaluado con o sin financiación. Por lo tanto, se pueden construir y analizar seis flujos de caja, tres para el proyecto y tres para el inversionista.

4.1 Escenario 1: Sin lluvia y sin seguro

4.1.1 Identificación de las variables de entrada 4.1.2 Explicación de algunas de las variables de entrada En este problema, es importante resaltar el comportamiento que tienen las variables de entrada. El precio sigue una función de distribución triangular, y el incremento del precio por tonelada, así como el incremento de los costos Estadísticos e-Books & Papers

variables por hectárea y el incremento de los gastos de administración por hectárea tienen una distribución uniforme. El incremento de los costos variables de cosecha es determinístico, al igual que los gastos de comisiones de intermediarios y el incremento en el costo de arrendamiento; el incremento de los gastos de comercialización por tonelada tiene una función de distribución normal. La variable rendimiento (tonelada/hectárea) se calcula como un valor esperado, que resulta a partir de las ponderaciones entre las probabilidades y el rendimiento en toneladas por hectárea, que tiene una función de distribución uniforme, dado un escenario determinado como se muestra a continuación:

4.1.3 Desarrollo paso a paso del problema Para solucionar el problema es necesario construir el flujo de caja del proyecto a 10 años según lo planteado como horizonte de evaluación; es importante tener en cuenta que los impuestos se calculan según lo causado cada año. A continuación se ilustra el flujo de caja construido y el cálculo de los impuestos:


Los costos de arrendamiento, los costos variables por hectárea, otros costos variables de cosecha y los gastos de administración, son desembolsos que se realizan por anticipado para poder comenzar la operación del proyecto. Por tal razón, en el flujo de caja sus valores aparecen desde el período cero hasta el período nueve. Adicionalmente, la sumatoria de estos rubros es el capital de trabajo requerido en el período cero, así: Para el cálculo de los impuestos de cada período es necesario construir el estado de resultados, así:

4.1.4 Cálculo y análisis de resultados obtenidos Como se ilustró en el ejercicio anterior, se calcula el VPN y la TIR de manera determinística en principio, obteniendo los siguientes resultados: Luego, se configura y se ejecuta la simulación, que arroja los resultados que se muestran a continuación:


4.1.5 Interpretación de los resultados ¿Este proyecto es rentable para el inversionista? Para responder si el proyecto es rentable para el inversionista es pertinente observar tanto la función de distribución del VPN como de la TIR. La simulación arrojó que el mínimo valor posible para el VPN es USD 842.543 y el valor máximo USD 3.689.519 con un valor medio de USD 2.202.347. Se puede afirmar con una probabilidad del 90% que el valor esperado del VPN estará en USD 1.557.000 y USD 2.864.000. Adicionalmente, el valor mínimo posible para la TIR es 34,93%, máximo 54,09% y promedio de 44,31%. Se puede afirmar con una probabilidad del 90% que el valor esperado de la TIR estará entre el 39,96% y 48,78%. En conclusión, bajo las condiciones modeladas en este escenario este proyecto es rentable para el inversionista pues supera ampliamente su tasa mínima requerida de retorno. ¿Cuál es la probabilidad de que el inversionista tenga pérdidas en este proyecto? Como se mencionó anteriormente, el valor mínimo del VPN en la función de Estadísticos e-Books & Papers

distribución es USD 842.543, lo que implica que la probabilidad de que el inversionista tenga pérdidas en este proyecto bajo el escenario sin lluvia y sin seguro es de cero. Lo anterior, se confirma con el valor mínimo de la TIR, a partir del cual se concluye que la rentabilidad mínima que se obtendría en el proyecto es 34,93%. Lo anterior, se puede apreciar en las gráficas de función de distribución del VPN y de la TIR luego de ampliado el intervalo de confianza al 100%.


¿Cuál es la probabilidad que tiene el inversionista de obtener una rentabilidad mayor al 45% efectivo anual en el proyecto? Modificando el límite inferior en la gráfica de la función de distribución de la TIR se puede observar que existe una probabilidad del 39,3% de que el inversionista obtenga una rentabilidad mayor al 45% efectiva anual.


4.2 Escenario 2: Con lluvia y sin seguro 4.2.1 Identificación de las variables de entrada Evento con lluvia y sin seguro Probabilidad de tormenta 8,0% 4.2.2 Explicación de algunas de las variables de entrada En este caso aparece una variable adicional de entrada al caso anterior sin lluvia y sin seguro, denominada probabilidad de tormenta, la cual según los estudios meteorológicos es del 8%. Esta variable se modela con una función de distribución binomial así: Evento lluvia: RiskBinomial (1; 8%). Lo anterior modela un evento de lluvia con una probabilidad de 8% de ocurrencia. 1- RiskBinomial (1; 8%) simula un evento sin lluvia, es decir, una probabilidad del 92% de que no llueva. A continuación se modela esta variable:

Como se puede apreciar, un cero en el campo evento sin lluvia significa que si llueve y un uno significa sin lluvia. Estadísticos e-Books & Papers

4.2.3 Desarrollo paso a paso del problema Para solucionar el problema es necesario construir el flujo de caja del proyecto a 10 años según lo planteado como horizonte de evaluación. A continuación se ilustra el flujo de caja determinístico construido:

De este flujo de caja se puede observar que el evento sin lluvia se presenta todo con número uno, lo cual significa que no lloverá en ningún período. Sin embargo, como se requiere simular el evento de lluvia, es necesario activar la función de aleatoriedad de @Risk para simular tal evento. A continuación se ilustra el flujo de caja probabilístico, en el cual se presenta probabilidad de lluvia en los años dos, cuatro, nueve y diez. Nótese que para estos años las variables ingresos, gastos de comercialización y gastos comisiones de intermediaros están en cero, puesto que se presentó el evento lluvia.

4.2.4 Cálculo y análisis de resultados obtenidos Como se ilustró en el ejercicio anterior, se calcula el VPN y la TIR de manera determinística en principio, obteniendo los siguientes resultados:


Luego, se configura y se ejecuta la simulación, que arroja los resultados que se muestran a continuación:

4.2.5 Interpretación de los resultados ¿Este proyecto es rentable para el inversionista? ¿Cuál es la probabilidad de pérdida si llueve y no se compra una póliza de seguro? Para responder si el proyecto es rentable para el inversionista es pertinente observar tanto la función de distribución del VPN como de la TIR. La simulación arrojó que el mínimo valor posible para el VPN es USD – 11.759.535 y el valor máximo USD 3.672.311 con un valor medio de USD 709.884. Se puede afirmar con una probabilidad del 71,2% que el valor esperado del VPN estará entre USD 0 y USD 3.800.000. La probabilidad de pérdida de acuerdo con la simulación es de 28.8% Adicionalmente, el valor mínimo posible para la TIR es -45.60%, máximo 54.20% y promedio de 34.87%. Se puede afirmar con una probabilidad del 71.4% que la TIR superará la tasa de interés de oportunidad con un intervalo de confianza de 29% y 58%. Además, se tiene una probabilidad del 28.6% de Estadísticos e-Books & Papers

que la TIR no supere la tasa mínima de retorno. En conclusión, se puede apreciar que en el caso en que se presente lluvia y el inversionista no pague una póliza de seguros la probabilidad de pérdida aumentará significativamente.

4.3 Escenario 3: Con lluvia y con seguro 4.3.1 Identificación de las variables de entrada Las variables de entrada adicionales son gasto póliza de seguro e ingreso por cobro de seguro. 4.3.2 Explicación de algunas de las variables de entrada En este caso aparecen dos variables adicionales de entrada al caso con lluvia y sin seguro, una denominada gasto póliza de seguro, y otra ingreso por cobro de seguro. El valor del gasto póliza de seguro es el 10% del costo del arrendamiento más los costos variables por hectárea. El ingreso por cobro de seguro es el costo del arrendamiento más los costos variables por hectárea, puesto que sería el valor recibido en caso de que se presente la tormenta y dañe el cultivo.

4.3.3 Desarrollo paso a paso del problema Para solucionar el problema es necesario construir el flujo de caja del proyecto a 10 años según lo planteado como horizonte de evaluación. A continuación se ilustra el flujo de caja determinístico construido:

De este flujo de caja se puede observar que el evento sin lluvia se presenta todo con número uno, lo cual significa que no lloverá en ningún período. Sin embargo, como se requiere simular el evento de lluvia, es necesario activar la función de aleatoriedad de @Risk para simular tal evento. A continuación se ilustra el flujo de caja probabilístico, en el cual se presenta Estadísticos e-Books & Papers

probabilidad de lluvia en los años cuatro, ocho y nueve.

Nótese que para estos años las variables ingresos, gastos de comercialización y gastos comisiones de intermediaros están en cero, puesto que se presentó el evento lluvia, además existe un gasto de póliza de seguro y en los períodos en los cuales se presenta la lluvia se cobra el valor de ingreso por cobro de seguro.

4.3.4 Cálculo y análisis de resultados obtenidos Como se ilustró en el ejercicio anterior, se calcula el VPN y la TIR de manera determinística en principio, obteniendo los siguientes resultados: VPN $ 1.646.768,03 TIR 40,54% Luego, se configura y se ejecuta la simulación, que arroja los resultados que se muestran a continuación:


A este escenario se le calculan algunos indicadores adicionales al VPN y la


TIR con el fin de tener elementos adicionales que apoyen el proceso de toma de decisiones en el proyecto. Estos indicadores son: Período de recuperación de la inversión (PRI), razón beneficio costo (RBC), valor anual uniforme equivalente (VAUE), inversión recuperada y valor agregado (IRVA). Para el análisis del período de recuperación de la inversión se calcula el valor presente neto del flujo de caja acumulado en el tiempo a la tasa de interés de oportunidad determinada, con el ánimo de encontrar a lo largo del horizonte de evaluación del proyecto en qué punto este flujo de caja acumulado se hace cero, como se observa en el siguiente gráfico. Periodo de recuperación de la inversión Periodo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 VPN acumulado en t-4.282.000 -2.998.024 -1.978.756 -1.172.446 -537.101 -38.701 350.278 652.064 884.576 1.062.236 1.646.768


VPN acumulado en t 2,000,000 1,000,000 - 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 -1,000,000 -2,000,000 -3,000,000 -4,000,000 -5,000,000

La razón beneficio costo puede obtenerse de dos formas. La primera consiste en calcular la razón entre el valor presente de los flujos de caja del proyecto desde el período uno hasta n y la inversión inicial. Este índice indica la capacidad que tiene cada peso invertido de generar flujo de caja. La segunda forma consiste en determinar la razón entre los valores presentes tanto de las entradas como de las salidas del proyecto con el fin de analizar la capacidad que tiene cada peso invertido en salidas de generar entradas. El RBC calculado a partir de la razón entre el flujo de caja y la inversión inicial se presenta a continuación, se sugiere que el lector calcule el otro indicador. Análisis RBC Valor Presente FC 5.928.768 Inversion Inicial 4.282.000 RBC 1,385 El VAUE consiste en diferir el valor presente neto de los flujos de caja del proyecto en un valor constante durante el horizonte de evaluación del proyecto. VAUE $ 518.167,09 El análisis IRVA es un enfoque realizado con base en el mismo procedimiento efectuado para el cálculo de una tabla de amortización de un préstamo. Es decir, si se realiza una comparación entre un préstamo y la inversión para un proyecto, el costo del capital invertido es equivalente al interés del préstamo y la recuperación del capital es equivalente a la amortización de capital. Por lo tanto, el análisis IRVA permite calcular el


costo del capital invertido, la amortización de la inversión y la inversión por recuperar para cada período en el horizonte de evaluación del proyecto, así: T Inversión por Costo del capital recuperar al inicio invertido 0 1 -4.282.000 -1.241.780 2 -3.867.452 -1.121.561 3 -3.292.849 -954.926 4 -2.516.876 -729.894 5 -1.487.356 -431.333 6 -138.251 -40.093 7 1.614.177 468.111 8 3.876.304 1.124.128 9 6.783.483 1.967.210 10 10.508.200 3.047.378 Análisis IRVA Amortización de la inversión y valor agregado 414.548 574.603 775.972 1.029.520 1.349.105 1.752.429 2.262.127 2.907.179 3.724.717 10.506.806 FCN Inversión por recuperar al final del período -4.282.000 1.656.328 -3.867.452 1.696.164 -3.292.849 1.730.898 -2.516.876 1.759.414 -1.487.356 1.780.439 -138.251 1.792.521 1.614.177 1.794.015 3.876.304 1.783.051 6.783.483 1.757.507 10.508.200 7.459.428 21.015.007 Tasas de VPN Acum en T descuento -4.282.000 29% -2.998.024 29% -1.978.756 29% -1.172.446 29% -537.101 29% -38.701 29% 350.278 29% 652.064 29% 884.576 29% 1.062.236 29% 1.646.768

En la tabla anterior se observa que la primera columna contiene los períodos en los cuales se evalúa el proyecto, la segunda columna muestra la inversión por recuperar al inicio de cada período, la tercera es el costo del capital invertido, la cuarta la amortización de la inversión, la quinta el flujo de caja neto, la sexta la inversión por recuperar al final del período, la séptima la tasa de interés de oportunidad y la última el valor presente neto acumulado en el tiempo. Los valores iníciales para construir esta tabla son el flujo de caja neto, la inversión inicial y la tasa de descuento de cada período, los cuales se Estadísticos e-Books & Papers

presentan sombreados. En la tabla siguiente se presentan con detalle las fórmulas requeridas para el análisis IRVA. Observe que la columna flujo de caja neto son valores traídos directamente del flujo caja construido inicialmente.

4.3.5 Interpretación de los resultados ¿Este proyecto es rentable para el inversionista? ¿Cuáles son los indicadores necesarios para afirmar si el proyecto es rentable para el inversionista? ¿Cuál es la probabilidad de pérdida si llueve y se compra una póliza de seguro, cuyo valor es el 10% del valor asegurado? La aseguradora expide la póliza siempre y cuando se compre para todos los años. Para responder si el proyecto es rentable para el inversionista es pertinente observar tanto la función de distribución del VPN como de la TIR. La simulación arrojó que el mínimo valor posible para el VPN es USD – 5.535.099 y el valor máximo USD 3.249.786 con un valor medio de USD 765.289. Se puede afirmar con una probabilidad del 76,9% que el valor esperado del VPN estará entre USD 0 y USD 3.450.000. La probabilidad de pérdida de acuerdo con la simulación es de 23.1% Adicionalmente, el valor mínimo posible para la TIR es 1,68%, máximo 50,36% y promedio de 34,78%. Se puede afirmar con una probabilidad del 76,9% que la TIR superará la tasa de interés de oportunidad con un intervalo de confianza de 29% y 52%. Además, se tiene una probabilidad del 23,1% de que la TIR no supere la tasa mínima de retorno. Otro indicador importante para acompañar la toma de la decisión es el período de recuperación de la inversión, para este caso se presenta entre el


año cinco y el año 6, donde el valor presente neto acumulado en t pasa de USD -38.701 a USD 350.278, período en el cual se comienza a generar VPN positivo. En muchas ocasiones el comportamiento del VPN acumulado en el tiempo permite analizar si en algún momento éste comienza a decrecer o por el contrario sigue creciendo en forma sostenida. Su comportamiento generalmente tiene forma en “S”. Cuando se presenta esta forma es posible realizarle un ajuste polinómico de grado 3 y obtener el punto de inflexión para determinar en qué momento cambia su pendiente, como se observa a continuación.


VPN acumulado en t y = 7016.5x3 - 157531x2 + 1E+06x - 4E+06 R² = 0.9991 2,000,000 1,000,000 - 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 -1,000,000 -2,000,000 -3,000,000 -4,000,000 -5,000,000

La segunda derivada de la función ilustrada en el gráfico arroja como resultado su punto de inflexión. Para un análisis completo de la curva en “S” se sugiere al lector remitirse a los capítulos cinco y seis. Encontrar este punto de inflexión es bastante importante puesto que las posibles causas en la disminución de la pendiente del crecimiento del VPN pueden ser: Etapa de madurez en el volumen de ventas del producto o servicio. Incremento en la estructura de costos y gastos del proyecto. Exigencias del proyecto de nuevas inversiones. Reducción de las ventas debido al ingreso de nuevos competidores. Cambios en las necesidades de los clientes. Obsolescencia de la tecnología. ·

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Por todo lo anterior, es necesario que al momento de realizar la evaluación financiera del proyecto, se realicen este tipo de análisis, con el fin de identificar estas causas y así tomar decisiones que permitan potencializar la creación del VPN en el futuro. Otra forma de analizar el PRI es mediante el análisis IRVA, el cual determinará si el desempeño del proyecto a lo largo del tiempo es adecuado o no, es decir, muestra si se genera valor o no se genera valor. Para su análisis es necesario: Determinar si la amortización de la inversión y valor agregado es positiva o negativa. En caso de que sea positiva, significa que el flujo de caja del período paga el costo del capital invertido y genera una suma adicional para ·


recuperar la inversión inicial y para crear VPN. En caso de que sea negativa, significa que el flujo de caja del período no tiene capacidad para pagar el costo del capital invertido, como consecuencia de una destrucción de valor y/o de una reinversión efectuada durante el período. Comparar los signos y valores entre la amortización de la inversión y valor agregado (IRVA) y la inversión por recuperar al final del período. o Para los períodos anteriores al PRI se tienen las siguientes posibilidades: ·

Si IRVA > inversión por recuperar al final del período, el desempeño del flujo de caja es mejor que lo esperado, por lo tanto existe recuperación de la inversión. Si IRVA < inversión por recuperar al final del período, el desempeño del flujo de caja no cumple las expectativas esperadas, no se recupera la inversión y el flujo de caja no cubre el costo de capital para ese período. o Para los períodos posteriores al PRI se tienen las siguientes posibilidades: Si IRVA > inversión por recuperar al final del período, el desempeño del flujo de caja es mejor que lo esperado, y existe creación de VPN. Si IRVA < inversión por recuperar al final del período, el desempeño del flujo de caja no cumple las expectativas esperadas, y se da destrucción de VPN. Retomando los datos obtenidos del análisis IRVA se tiene: Analisis IRVA T Inversión por recuperar al inicio 0 1 -4.282.000,0 2 -3.867.451,6 3 -3.292.848,6 4 -2.516.876,5 5 -1.487.356,3 6 -138.251,1 7 1.614.177,4 8 3.876.304,3 9 6.783.483,3 10 10.508.200,2 Costo del capital invertido Amortización de la inversión y valor agregado -1.241.780,0 -1.121.560,9 -954.926,1


-729.894,2 -431.333,3 -40.092,8 468.111,5 1.124.128,3 1.967.210,2 3.047.378,1 414.548,4 574.602,9 775.972,1 1.029.520,1 1.349.105,2 1.752.428,6 2.262.126,9 2.907.179,0 3.724.716,9 10.506.806,3 FCN Inversión por Tasas de VPN Acum en T recuperar al final descuento del período -4.282.000 -4.282.000 1.656.328,4 -3.867.451,6 29% -2.998.024,5 1.696.163,9 -3.292.848,6 29% -1.978.756,5 1.730.898,2 -2.516.876,5 29% -1.172.445,8 1.759.414,3 -1.487.356,3 29% -537.101,3 1.780.438,5 -138.251,1 29% -38.700,8 1.792.521,4 1.614.177,4 29% 350.278,1 1.794.015,5 3.876.304,3 29% 652.063,5 1.783.050,7 6.783.483,3 29% 884.575,8 1.757.506,8 10.508.200,2 29% 1.062.235,8 7.459.428,2 21.015.006,5 29% 1.646.768,0

En este cuadro se observa que la columna IRVA presenta valores positivos entre el período 1 y 5, y la columna inversión por recuperar al final del período presenta cifras negativas entre el período 1 y 5, lo cual significa que hasta ese momento el flujo de caja sí ha paga el costo del capital invertido, sí amortiza la inversión inicial, pero aún no recupera la inversión inicial (observe los valores sombreados en este cuadro). Adicionalmente, entre los períodos 6 y 10 el IRVA es positivo y la inversión por recuperar al final del período también es positiva, lo que significa que se recupera la inversión inicial y se crea VPN. A partir de la inversión por recuperar al final del período es posible calcular el VPN acumulado en el tiempo, y por lo tanto el PRI. Esta cifra se obtiene al calcular el valor presente de cada uno de los valores de la inversión por recuperar al final del período a la TIO determinada por el inversionista. En el cuadro anterior, la columna VPN acumulado en el tiempo es igual a los valores obtenidos en el análisis PRI, en el cual se aprecia que entre el período cero y cinco los valores son negativos y entre el seis y el diez son positivos. Del gráfico que aparece a continuación se puede apreciar que el valor esperado del VAUE es USD 249.841,49 con un valor mínimo de USD -1.734.283,72 y un valor máximo de USD 949.307,38 con una probabilidad de que este valor sea mayor que cero de un 77,6%, lo cual concuerda con la probabilidad de que el valor presente neto sea mayor o igual a cero.


El gráfico siguiente presenta la función de distribución de la razón beneficio costo, en la cual se observa que existe una probabilidad del 77,6% de que este valor sea mayor que uno, es decir, significa que existe una probabilidad del 77,6% de que los flujos de caja generados en el proyecto permitan recuperar la inversión. Adicionalmente, se observa que su valor esperado es 1,183, lo cual significa que por cada dólar invertido en el proyecto, éste genera 1,18 dólares de flujo de caja. Su mínimo valor es - 0,3402 y su máximo valor 1,777. El lector puede apreciar que el RBC tendrá valores negativos en aquellos casos en que el proyecto genere flujos de caja negativos. También se puede observar que existe una probabilidad del 22,4% de que el proyecto no genere el suficiente flujo de caja para pagar la inversión.


El gráfico de tornado que se presenta a continuación muestra cómo se relacionan cada una de las variables de entrada aleatorias del modelo con relación con las variables de salida (VPN, TIR, entre otras…). Para el caso del valor presente neto se puede observar que la variable “evento no lluvia” entre los años 1 y 8 es la variable que más incidencia tiene en las variaciones del valor presente neto, seguida de la variable precio por tonelada y finalmente del rendimiento por tonelada hectárea. La variable “evento no lluvia” tiene una correlación negativa, lo cual indica que en el caso de presentarse lluvia se afecta negativamente el valor presente neto del flujo de caja y una correlación positiva para las variables rendimiento por tonelada por hectárea y precios por tonelada.


En el caso evento no lluvia año 1 un coeficiente de correlación igual a -0,43, equivalente a un coeficiente de determinación 7 de 18,49% significa que los cambios en el valor presente neto están explicados en un 18,49% por este evento. El lector puede comprobar que la suma de los coeficientes de determinación de las variables que aparecen en el gráfico explica máximo el 100% en los cambios del valor presente neto. Se sugiere que el lector realice el análisis del coeficiente de correlación para la TIR, el cual se presenta a continuación: Otro análisis importante que se puede realizar es encontrar respuestas a preguntas tales como ¿cuántas hectáreas de tierra adicionales se deben alquilar con el fin de obtener un valor medio de la TIR del 50%?, ¿cuál sería el incremento mínimo de precio por tonelada para obtener un VPN de USD 1.700.000? 7 Coeficiente de determinación: es el cuadrado del coeficiente de correlación de la variable.


Para responder la pregunta sobre el número de hectáreas adicionales es necesario utilizar la opción Búsqueda de objetivo de Análisis avanzados, la cual se explicó en la sección análisis avanzado de la simulación al comienzo del texto: Del cuadro anterior se observa que con un aumento de 611.5 hectáreas se alcanzaría un valor medio de la TIR del 49.977%. Se sugiere al lector responder la pregunta para el VPN. También, es posible efectuar análisis de estrés, el cual permite encontrar valores extremos máximos o mínimos, un rango determinado de valores o sustituir una función de distribución por otra. Por ejemplo, si se requiere analizar los valores mínimos del valor presente neto ante cambios en la variable de entrada precios por tonelada en los años 1 y 2 (es posible realizar el análisis a todos los años, para efectos ilustrativos se realiza únicamente a los años 1 y 2), se debe tener en cuenta que el precio está compuesto por dos funciones de distribución, una triangular el precio base y otra uniforme la tasa de crecimiento del precio. El análisis de estrés simula los valores mínimos de cada función de distribución hasta el percentil 5. Para efectuar lo anterior se Estadísticos e-Books & Papers

debe seleccionar la opción Análisis de estrés en Análisis avanzados, allí se escoge la celda a monitorear (VPN) y las variables de entrada a cambiar (precios por tonelada para los años 1 y 2). Los resultados obtenidos son la variación del valor medio del VPN, de la desviación estándar, del percentil 5% y del percentil 95%, cuyos gráficos se muestran a continuación:

Media (Valor real) 787850 787800 787792.1867 787750 787728.6043 787730.7518 787700 787695.3433 787650 787604.0931 787600 787550 787500 Línea de base PRECIO por tonelada / PRECIO por tonelada / 1 Q4 5.00% a 95.00% 1 Q4 5.00% a 95.00% PRECIO por tonelada / PRECIO por tonelada / 2 R4 5.00% a 95.00% 2 R4 5.00% a 95.00%

El gráfico anterior muestra el valor medio inicial del valor presente neto y el VPN obtenido a partir de valores generados por las variables precio año 1 y 2 hasta el percentil 5% y 95%. En él se aprecia la línea base, la cual es el VPN medio (primera barra). Adicionalmente se presentan cuatro barras. La segunda y tercera barra son el resultado del VPN ante los valores mínimos entre el percentil 0% y 5% de las funciones de distribución triangular y uniforme del precio del año 1; las dos restantes, cuarta y quinta barra, contienen el resultado del VPN ante los valores mínimos entre el percentil 0% y 5% de las funciones de distribución triangular y uniforme del precio del año 2. Al hacer análisis de stress con percentiles entre 0% y 5% se construye un análisis pesimista de lo que podría sucederle a la viabilidad del proyecto en caso de que se den unos precios bajos. Se sugiere que el lector visualice los valores obtenidos del gráfico.

Desviación estándar (Valor real) 1162600 1162388.654 1162400 1162257.438 1162200 1162000 1161923.015 1161800 1161712.435 1161600 1161400 1161269.928 1161200


1161000 1160800 1160600 Línea de base PRECIO por tonelada / PRECIO por tonelada / PRECIO por tonelada / PRECIO por tonelada / 1 Q4 5.00% a 95.00% 1 Q4 5.00% a 95.00% 2 R4 5.00% a 95.00% 2 R4 5.00% a 95.00%

El gráfico anterior muestra la desviación estándar del VPN tanto en la línea base como con los resultados obtenidos del análisis de stress para los precios del año 1 y 2. La desviación estándar del valor medio del VPN es USD 1.162.388 con un valor mínimo de USD 1.161.269 y un valor máximo de USD 1.163.257 ambos obtenidos para precios del año 1, el primero debido a la función de distribución triangular y el segundo a la uniforme.

Percentil 5to (Valor real) -1466000 -1468000 -1469532.301 -1469611.78 -1470000 -1472061.865 -1472000 -1474000 -1475923.475 -1475487.461 -1476000 -1478000 Línea de base PRECIO por tonelada / PRECIO por tonelada / PRECIO por tonelada / PRECIO por tonelada / 1 Q4 5.00% a 95.00% 1 Q4 5.00% a 95.00% 2 R4 5.00% a 95.00% 2 R4 5.00% a 95.00%

En el gráfico anterior analiza el percentil 5% del valor presente neto por un valor de USD 1.475.923. Este valor es obtenido al ordenar de menor a mayor los diez mil datos arrojados por la simulación de Montecarlo, escogiendo el dato número quinientos. Al realizar el análisis de stress se observa cómo estos valores son inferiores a los de la línea base, alcanzando un valor mínimo de USD -1.469.532, valor que pertenece a los mínimos obtenidos de la función de distribución triangular del precio del año 1.

Percentil 95vo (Valor real) 2127000 2126000 2125768.274


2125000 2124000 2123660.359 2123000 2122000 2120985.796 2121000 2120434.98 2119961.452 2120000 2119000 2118000 2117000 Línea de base PRECIO por tonelada / PRECIO por tonelada / PRECIO por tonelada / PRECIO por tonelada / 1 Q4 5.00% a 95.00% 1 Q4 5.00% a 95.00% 2 R4 5.00% a 95.00% 2 R4 5.00% a 95.00%

Del gráfico percentil 95% se ilustra el valor presente neto por un valor de USD 2.123.660. Este valor es obtenido al ordenar también de menor a mayor los diez mil datos arrojados por la simulación de Montecarlo, escogiendo el dato número nueve mil quinientos. Al realizar el análisis de stress se observa cómo estos valores son inferiores a los de la línea base, alcanzando un valor mínimo de USD 2.120.434, valor que pertenece a los mínimos obtenidos de la función de distribución triangular del precio del año 1. Los dos gráficos siguientes muestran las variaciones porcentuales tanto del VPN como de la desviación estándar para el percentil 5%. Media (Cambio sobre la línea de base) 100 0.01% 50 0.00% 0 -50 0.00% -100 -0.02% -150 PRECIO por tonelada / 1 Q4 5.00% a 95.00% PRECIO por tonelada / 1 Q4 5.00% a 95.00% PRECIO por tonelada / 2 R4 5.00% a 95.00% PRECIO por tonelada / 2 R4 5.00% a 95.00%

Desviación estándar (Cambio sobre la línea de base) 0 -200 -0.01% -400 -0.04% -600 -0.06%


-800 -1000 -1200 -0.10% PRECIO por tonelada / 1 Q4 5.00% a 95.00% PRECIO por tonelada / 1 Q4 PRECIO por tonelada / 2 R4 5.00% a 95.00% 5.00% a 95.00% PRECIO por tonelada / 2 R4 5.00% a 95.00%

Otro análisis adicional para evaluar si se lleva a cabo el proyecto o no, es posible obtenerlo mediante una tabla de datos, herramienta que permita hacer un análisis bivariado para una variable de salida determinada. En este caso se desea evaluar cómo se comporta el VPN ante cambios en los rendimientos por tonelada hectárea y precio de venta. Si el rendimiento por tonelada hectárea oscila entre 5 y 11 y si el precio de venta medio cambia entre USD 970 y USD 1.100 por tonelada del año 1. En este caso se supone que el rendimiento medio por hectárea es igual para todos los años y el precio de venta medio del año 1 es de USD 1018,50 con un crecimiento entre un 3% y un 7% cada año. Para la construcción de esta tabla de datos es necesario construir en Excel una tabla como la que aparece a continuación: El vértice superior izquierdo es la variable de salida, los valores de la fila son los rendimientos por hectárea y los valores de la primera columna son los precios. Se observa que los rendimientos por hectárea tienen un crecimiento de 0,5 entre cada escenario y los precios crecen USD 15 entre cada escenario. Estos valores son asignados por el experto de acuerdo al análisis que se quiere realizar. VPN Rendimiento (ton/hectárea) $ 2.399.816,67 5,00 5,50 6,00 6,50 7,00 7,50 8,00 8,50 9,00 9,50 10,00 10,50 11,00 970 975 980 985 990 995 1.000 1.005 1.010 1.015 1.020 1.025 1.030 1.035 1.040 1.045 1.050 1.055 1.060 1.065 1.070 1.075 1.080 1.085 1.090 1.095 1.100

Para obtener los resultados se selecciona la opción Tabla de datos del menú


Datos – Herramientas de datos - Análisis de hipótesis:

Al seleccionarlo se obtiene el siguiente cuadro de diálogo:

A la celda de entrada de la fila se asocia la variable de entrada rendimiento tonelada hectárea y a la celda de entrada de la columna se asocia la variable precio por tonelada. Para efectos del ejercicio se asume todos los periodos presentan la misma variabilidad del año 1 en precios y cantidades, así:

Los resultados obtenidos son:


De la tabla se puede observar que el valor mínimo del VPN es USD -4.190.693 y un valor máximo USD 9.939.965. La zona sombreado muestra las combinaciones entre rendimiento y precio que generan un VPN negativo y también se aprecia que el rendimiento mínimo de tonelada por hectárea y el precio mínimo por tonelada para comenzar a generar VPN positivo es de 6,5 y USD 1.065 respectivamente. Otra pregunta adicional que se puede resolver en este punto es ¿cuáles son las combinaciones entre rendimiento tonelada hectárea y precio por tonelada que generan un VPN entre USD 2 y USD 3 millones? La segunda zona sombreada muestra que estos valores se alcanzan cuando el rendimiento por tonelada hectárea está entre 7,5 y 9 y cualquier rango de precios definidos anteriormente. Si a juicio del experto se selecciona la combinación entre 8,5 toneladas por hectárea y un precio de USD 1.015 por tonelada ¿qué análisis adicional se podría realizar? Para responder esta pregunta es necesario extraer el valor presente neto seleccionado de la tabla de datos elaborada anteriormente, tal como se ilustra a continuación:


El valor extraído se selecciona como una variable de salida con el fin de ejecutar una simulación (nótese que este tipo de simulación podría requerir un tiempo considerable para su ejecución) para analizar la función de distribución del VPN resultante, así:


De allí se puede observar que para una combinación entre 8,5 toneladas por hectárea y un precio de USD 1.015 por tonelada existe una probabilidad de pérdida de 7.5% y una probabilidad de que el VPN sea mayor que cero del 92,5%, adicionalmente, el valor más probables del VPN es USD 2.035.635, el mínimo valor es USD -5.885.046 y el máximo valor posible USD 3.973.138.

4.4 Análisis de Elasticidad En términos matemáticos elasticidad es él % de variación porcentual en el VPN dividió por él % de variación porcentual en el precio. Para calcular la elasticidad en un intervalo de datos, se utiliza la definición de “Elasticidad Arco” la cual mide la elasticidad en un punto del VPN y se hace sobre un rango específico de precios, es decir sobre un arco, obteniendo una definición de elasticidad precio que permite hacer una aproximación numérica. = ΔVPN 12(1 + 2) = ΔVPN(1 + 2) ΔP12(1 + 2) ΔP(1 + 2) 

Donde: EVPNp: elasticidad arco del VPN con respecto al precio P1: precio inicial seleccionado para el análisis P2: precio final seleccionado para el análisis VPN1: resultado del VPN arrojado por el flujo de caja con el precio inicial (P1) VPN2: resultado del VPN arrojado por el flujo de caja con el precio final (P2) Para este ejemplo, si se supone un precio inicial de USD 800 / tonelada, se obtiene un VPN de USD 770.889 y a un precio de USD 900 / tonelada, se obtiene un VPN de USD 1.171.749.Lo que significa que un incremento de USD 100 / tonelada arroja como resultado un incremento en el VPN de USD 400.860 y una elasticidad de 3.51; lo cual significa que la variación porcentual del VPN con respecto al precio es elástica, es decir, el VPN varía en mayor proporción que los precios. El procedimiento para su cálculo es el siguiente: Se crea una tabla con el rango de precios a analizar y para cada precio (en Estadísticos e-Books & Papers

términos del año 1) se calcula el VPN y la TIR mediante la herramienta análisis de datos, del menú Datos – Análisis Y Si. Posteriormente se ajustan las variables a una línea recta obteniendo el intercepto y la pendiente, para poder calcular con estos resultados la elasticidad. Precios VPN TIR 1.646.768 40,5% 800,0 770.889,0 33,8% 850,0 971.319,0 35,2% 900,0 1.171.749,0 36,7% 950,0 1.372.179,0 38,3% 1.000,0 1.572.608,9 39,9% 1.050,0 1.773.038,9 41,7% 1.100,0 1.973.468,9 43,5% 1.150,0 2.173.898,9 45,5% 1.200,0 2.374.328,9 47,5% 1.250,0 2.574.758,8 49,7% 1.300,0 2.775.188,8 52,0% Intercepto -2.435.990,7 4,09% Perndiente 4.008,6 3,00%


VPN y = 4008.6x - 2E+06 R² = 1 3,000,000 2,500,000 2,000,000 1,500,000 VPN Lineal (VPN) 1,000,000 500,000 - 200.0 400.0 600.0 800.0 1,000.0 1,200.0 1,400.0


TIR y = 0.0004x + 0.0409 60.0% R² = 0.9942 50.0% 40.0% 30.0% TIR Lineal (TIR)20.0% 10.0% 0.0% - 200.0 400.0 600.0 800.0 1,000.0 1,200.0 1,400.0 Se sugiere al lector el cálculo de la

elasticidad de la TIR con respecto al precio y su análisis correspondiente. 4.5 Análisis de Escenarios Otro análisis adicional que se puede realizar es utilizar la opción análisis de escenarios en donde se puede variar el rendimiento por tonelada hectárea de acuerdo con las diversas posibilidades de producción definidas por el experto, así, para un escenario excelente, bueno, regular y malo. Se propone el caso de que el rendimiento por tonelada / hectárea varíe de acuerdo a diferentes condiciones meteorológicas y de acuerdo a la calidad del abono utilizado así: Rendimiento (ton/hectárea) Periodo / Escenario 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Excelente 8,00 8,20 8,40 8,60 8,80 9,00 9,20 9,40 9,60 9,80 Bueno 7,30 7,60 7,90 8,20 8,50 8,80 9,10 9,40 9,70 10,00 Regular 7,60 7,70 7,80 7,90 8,00 8,10 8,20 8,30 8,40 8,50 Malo 6,90 7,00 7,10 7,20 7,30 7,40 7,50 7,60 7,70 7,80

Para modelar los escenarios, se utiliza la opción Datos, Análisis Y si Administrador de Escenarios:

En la opción Agregar se asigna el nombre a los diferentes escenarios a analizar y se señalan las celdas cambiantes en el flujo de caja, en este caso, Rendimiento (ton/hectárea) así:


Se sugiere antes de digitar los datos del escenario, nombrar las celdas tanto de variables de entrada como de salida, con el fin de poder identificar en el reporte que arroja el Excel cada uno de los resultados con mayor facilidad. Este procedimiento se hace digitando el nombre de la celda en la esquina superior izquierda de la hoja de cálculo así: Note que la celda correspondiente al rendimiento por tonelada / hectárea el año 1 corresponde a la celda Q3 y se ha nombrado como R_1 (rendimiento por tonelada / hectárea del año 1).

Note que la celda correspondiente al flujo de caja del año 0 corresponde a la celda P26 y se ha nombrado como FC_0 (flujo de caja del año 0). Después de nombrar las celdas, se procede a digitar los datos de los escenarios propuestos uno a uno.


Luego de haber configurado cada uno de los escenarios, se oprime la opción Resumen y se seleccionan los resultados que se analizaran con base en los escenarios propuestos, en este caso, el flujo de caja neto y los valores del VPN y la TIR Los resultados arrojados se presentan a continuación, donde se pueden observar los diferentes flujos de caja asociados a cada escenario, así como el VPN y TIR de cada uno, en los cuales se muestra que el único escenario no viable financieramente es el “Malo”, el cual da como resultado un VPN de USD -89,114.3; el resto de los escenarios a pesar de tener una expectativa baja de por rendimiento por tonelada / hectárea son viables financieramente. Se sugiere al lector desarrollar el análisis de escenarios para los resultados del RBC y VAUE. Resumen de escenario Valores actuales: Excelente Bueno Regular Malo Celdas cambiantes: R_1 8,15 8,00 7,30 7,60 6,90 R_2 8,15 8,20 7,60 7,70 7,00 R_3 8,15 8,40 7,90 7,80 7,10 R_4 8,15 8,60 8,20 7,90 7,20 R_5 8,15 8,80 8,50 8,00 7,30 R_6 8,15 9,00 8,80 8,10 7,40


R_7 8,15 9,20 9,10 8,20 7,50 R_8 8,15 9,40 9,40 8,30 7,60 R_9 8,15 9,60 9,70 8,40 7,70 R_10 8,15 9,80 10,00 8,50 7,80 Celdas de resultado: FC_0 -4.282.000 -4.282.000 -4.282.000 -4.282.000 -4.282.000 FC_1 1.656.328 1.580.234 1.225.126 1.377.315 1.022.207 FC_2 1.696.164 1.722.589 1.405.492 1.458.342 1.088.396 FC_3 1.730.898 1.868.503 1.593.294 1.538.252 1.152.960 FC_4 1.759.414 2.017.299 1.788.068 1.616.145 1.214.992 FC_5 1.780.439 2.168.150 1.989.206 1.690.967 1.273.431 FC_6 1.792.521 2.320.060 2.195.933 1.761.490 1.327.046 FC_7 1.794.015 2.471.834 2.407.279 1.826.293 1.374.414 FC_8 1.783.051 2.622.056 2.622.056 1.883.731 1.413.888 FC_9 1.757.507 2.769.058 2.838.820 1.931.912 1.443.577 FC_10 7.459.428 8.655.328 8.800.286 7.713.104 7.205.753 VPN $ 1.646.768,03 $ 2.403.289,13 $ 1.657.005,69 $ 1.170.375,14 $ -89.114,13 TIR 40,54% 44,14% 38,91% 36,77% 28,41%

Se sugiere que el lector elabore los tres escenarios restantes planteados al inicio del capítulo, correspondientes a la proyección de flujos de caja con financiación.

CAPITULO 5 CASO DE APLICACIÓN DE RISK OPTIMIZER Construcción modelo de Markowitz con RiskOptimizer (Algoritmos Genéticos) En el siguiente ejemplo se señalan los pasos que deben seguirse para la conformación de un portafolio mediante el modelo de Markowitz, utilizando la herramienta “Risk Optimizer”, incluida en Palisade Decision Tools Suite. Dicha aplicación puede ser utilizada, entre otras opciones, para analizar alternativas de inversión para excedentes en efectivo generados por proyectos de inversión. Luego de leer y entender la descripción del desarrollo paso a paso para la construcción del modelo utilizando Risk Optimizer, el lector puede enfrentarse a la construcción de un modelo siguiendo las recomendaciones y respondiendo las preguntas propuestas. Pasos a seguir para la construcción del modelo:


1. Obtener una matriz de Precios (Puede ser de bonos, acciones, petróleo, oro, etc.) Date E1 E2 E3 En Fecha 1 P11 P21 P31 Pn1 Fecha 2 P12 P22 P31 Pn2 Dónde: P11 es el precio de la acción de la empresa 1 en el día 1. P12 es el precio de la acción de la empresa 1 en el día 2 y así sucesivamente. 2. Calcular matriz de rendimientos Date E1 E2 E3 En Fecha 2 LN(P12/P11) LN(P22/P21) LN(P32/P31) LN(n2/n1) Fecha 3 LN(P13/P12) LN(P23/P22) LN(P33/P32) LN(n3/n2)

3. Calcular rendimientos promedio con base en la matriz de rendimientos. =Promedio (Rendimiento 1 ; Rendimiento n) =Desvest (Rendimiento 1 ; Rendimiento n) 4. Calcular matriz de covarianza con base en la matriz de rendimientos. Ruta en Excel: Datos, Análisis de datos, Covarianza


En el rango de entrada se seleccionan los rendimientos desde la fecha inicial hasta la fecha final, incluyendo los nombres de las variables, teniendo cuidado de no señalar los resultados de promedio y desviación. Si se selecciona “rótulos en la primera fila”, se debe tener cuidado de haber seleccionado en el rango de entrada los nombres de las variables. En rango de salida, se selecciona la celda en la cual se desea presentar los resultados.

Matriz de Covarianza E1 E2 E3 E4 E1 Cov11 E2 Cov12 Cov22 E3 Cov13 Cov23 Cov33 E4 Cov14 Cov24 Cov34 Cov44 El resultado es una matriz triangular inferior, y al ser la matriz de covarianza simetrica, ésta debe ser completada para poder realizar los cálculos del modelo. 5. Generar una matriz de ponderaciones ( Wi) así: Ponderaciones Empresa Wi E1 25% E2 25% E3 25% E4 25% SUMA 1


Si la sumatoria de esta matriz es igual a 1, se supone que no hay apalancamiento y que el inversionista sólo cuenta con el capital propio; no obstante, es posible simular un apalancamiento o recursos adicionales con los cuales pueda contar el inversionista si se permite un número mayor a 1. 6. Hacer los siguientes cálculos:

Calculos Varianza Diaria Varianza Anual Desviacion Anual Rendimiento Anual -Varianza Diaria: =MMULT(MMULT(TRANSPONER(Matriz de Ponderaciones);Matriz de Covarianza); Matriz de Ponderaciones). Ejemplo de construcción de la Varianza Diaria: Observe los rangos que se plantean en el siguiente gráfico y compare con la ecuación presentada: =MMULT(MMULT(TRANSPONER(B264:B267);B257:E260);B264:B267) Para que la formula anterior opere como una funcion matricial es indispensable, estando ubicado en la celda activa, presionar la tecla F2 y luego presionar simultaneamente las teclas SHIFT + CTRL + ENTER.


-Varianza Anual: = Varianza Diaria*252 (Siempre y cuando se trabajen datos diarios ) -Desviacion Anual: =Raiz (Varianza Anual) -Rendimiento anual: =SUMAPRODUCTO(TRANSPONER(Matriz de Ponderaciones);Rendimiento Promedio)*252 Ejemplo de construcción del rendimiento anual: Observe los rangos que se plantean en el siguiente gráfico y compare con la ecuacion presentada: =SUMAPRODUCTO(TRANSPONER(B264:B267);B252:E252)*252


7. Construir un modelo con las siguientes restricciones. ∑  = 1  ≥

0

8. Construcción del modelo en Risk Optimizer. Pasos a seguir en el software: RiskOptimizer – Definición del modelo.


En los campos: Meta de optimización se selecciona el tipo de resultado requerido (Máximo, mínimo o un valor objetivo). Celda se selecciona la celda a optimizar. Estadístico se selecciona el estadístico a analizar. Rangos de celdas ajustables se selecciona el botón Grupo – Nuevo y se seleccionan las celdas ajustables


Al aceptar aparece la siguiente ventana:

Se selecciona la opción Presupuesto (Indica que la sumatoria de los Wi =100%) y se le da una descripción. Posteriormente se adicionan las restricciones necesarias al modelo.


Luego de configurar el modelo, se selecciona la opción Configuraciones.

En la ventana configuraciones selecciona la pestaña Generador y las opciones Manual y Algoritmo genético.


Asegúrese de que en la opción Operadores estén seleccionadas todas las opciones. Luego de configurar el modelo, se selecciona Iniciar.

Y se despliega la siguiente ventana


Al darle click al botón de la lupa se despliega una ventana con las siguientes opciones: Progreso, Resumen, Registro, Población, Diversidad y Opciones de detención. En la opción Progreso se pueden observar los gráficos de las simulaciones realizadas por el RiskOptimizer y los resultados obtenidos.

La opción Resumen presenta el mejor resultado obtenido hasta el momento, los datos originales, y los últimos resultados obtenidos. Estadísticos e-Books & Papers

Las opciones Registro y Population recopilan todas las simulaciones generadas por el software hasta el momento.


La opción Diversidad al principio de la simulación muestra una pantalla con múltiples colores, indicando esto que el algoritmo genético aún está lejos de obtener un buen resultado. Cuando esta pantalla comience a tornarse monocromática, es un indicador de que se está llegando a un resultado convergente o que se ha llegado a una derivada genética.


Se sugiere al lector la conformación de un portafolio de inversión siguiendo la metodología propuesta y respondiendo las siguientes preguntas: a) ¿Qué combinación de Wi maximiza el rendimiento del portafolio? b) ¿Qué combinación de Wi minimiza el rendimiento del portafolio? c) ¿Qué combinación de Wi maximiza el riesgo del portafolio? d) ¿Qué combinación de Wi minimiza el riesgo del portafolio? e) Dado un riesgo esperado, ¿Qué combinación de Wi maximiza el rendimiento del portafolio?

CAPITULO 6 LA GESTION DE COSTOS Y EL RIESGO En este capítulo el lector puede encontrar una breve descripción de la importancia de la gestión de costos, la relación entre la gestión de costos y el riesgo, algunas clasificaciones de los costos y gastos importantes, los estados de resultados por costeo absorbente y variable, la gestión de costos y la toma de decisiones gerenciales, algunos indicadores financieros y el cálculo de los Estadísticos e-Books & Papers

costos de la mano de obra en Colombia.

Importancia de la Gestión de Costos La globalización de la economía, la firma de tratados de libre comercio con diversos países y las crisis económicas que se han presentado durante las últimas décadas, han generado una fuerte exigencia de una adecuada gestión de los costos tanto en compañías grandes, medianas y pequeñas, provenientes de los sectores manufacturero, comercializador y de servicios. La búsqueda de unos niveles de eficiencia a través de un adecuado aprovechamiento de los recursos y de unos apropiados niveles de eficacia que le permita alcanzar los objetivos, son elementos dinamizadores de la efectividad de las empresas, y son fundamentales para el logro de la excelencia y sostenibilidad en el largo plazo. Es así, como la eficiencia, la eficacia y la efectividad de los procesos, generan un fuerte impacto en la estructura de costos de las empresas, y en ellas participan de manera importante una serie de variables controlables y no controlables por la dirección, con las cuales es posible medir de cierta forma su nivel de riesgo desde el punto de vista operativo. Por lo anterior, algunos de los propósitos y objetivos cuando se realiza un análisis de la información de costos con el fin de que la dirección realice una adecuada gestión de sus recursos son: Suministrar información a la dirección de la compañía para planear, evaluar y controlar sus operaciones. Determinar los precios de ventas de los productos y/o servicios. Elaborar los presupuestos de la empresa. Identificar los niveles de eficiencia, eficacia y efectividad de sus procesos. Apoyar los procesos de toma de decisiones estratégicas, tácticas y operativas. Identificar aquellos procesos críticos en los cuales debe concentrar los esfuerzos la administración. Establecer los productos y servicios más rentables. Generar informes para determinar las utilidades de la empresa. ·

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La Gestión de los Costos y el Riesgo Estadísticos e-Books & Papers

Cuando tradicionalmente se realiza un análisis de costos de una empresa, los recursos y las variables que generan la magnitud del costo son modeladas de forma determinística. La alta dinámica de los mercados actuales, los cambios acelerados en variables micro y macro económicas, el fortalecimiento de posiciones dominantes tanto de proveedores como de clientes, los cambios en el medio ambiente, en situaciones políticas, entre otras, pueden generar una aumento en la volatilidad de las variables generadoras del costo que impactan el desempeño de la empresa. Es por esto que es imprescindible modelar en la actualidad a través del uso de modelos más robustos que incorporen la aleatoriedad y el comportamiento probabilístico de las variables de entrada generadoras del costo. Así, se logra que en una adecuada proyección y gestión del costo sea necesario que la dirección se apoye en herramientas que le permitan analizar los posibles escenarios con sus niveles de probabilidad ante los cambios generados por las variables endógenas y exógenas. Con lo anterior, no es posible garantizar el éxito en el desempeño de la empresa, pero sí garantiza que la dirección tenga un nivel de responsabilidad superior en los procesos de toma de decisiones gerenciales, con lo cual se aumenta la probabilidad de éxito. A continuación se presentan algunos conceptos fundamentales de la contabilidad de costos indispensables para la solución de los casos que se presentan en los capítulos siguientes:

Algunas Clasificaciones de los Costos y Gastos Algunas de las categorías más importantes para el análisis de la información en las que se pueden clasificar los costos y los gastos de las compañías son: De acuerdo con la identificación con el objeto de costos De acuerdo con la función De acuerdo con el comportamiento según el volumen de actividad De acuerdo con el grado de control De acuerdo con el momento del tiempo al cual hacen referencia. ·

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De acuerdo con la identificación con el objeto de costos: Para un adecuado proceso de toma de decisiones gerenciales es necesario Estadísticos e-Books & Papers

identificar los objetos de costos que se requiere analizar. Como lo plantea Uribe (2011), los objetos de costos son aquellos elementos a los que se desea hacer una medición de los costos, algunos ejemplos de objetos de costos son los productos, servicios, procesos, actividades, proyectos de las compañías. En la medida en que sea posible establecer fácil y económicamente cuánto de la magnitud de un recurso es consumida por un objeto de costos, el recurso es clasificado como una cifra directa, en caso contrario es clasificado como una cifra indirecta. En esta clasificación aparecen los costos y gastos directos y los costos y gastos indirectos. Los costos directos de producción están compuestos de los materiales directos, la mano de obra directa y otras cifras directas que son consumidas por los productos elaborados, en las cuales es posible establecer fácil y económicamente cuánto de la magnitud del recurso es consumida por el producto. Un ejemplo de costo directo es el costo de la mano de obra cuando el pago es por unidad terminada en una empresa en donde la compañía paga a destajo a sus empleados. Los costos indirectos de producción se componen de los materiales indirectos, la mano de obra indirecta y otras cifras indirectas en las cuales no es posible establecer fácil y económicamente cuánto de la magnitud del recurso es consumida por el producto. Un ejemplo de un costo indirecto es el arrendamiento que se paga a un tercero por el uso del espacio físico en el cual se fabrican las diversas referencias de la compañía. El lector puede deducir que es posible clasificar otros rubros que no fueron necesarios en la fabricación de los productos, como los recursos destinados a la administración, la distribución, las ventas y la financiación como cifras directas e indirectas a los objetos de costos motivo de análisis. De acuerdo con la función: En esta categoría se encuentran los costos de producción o prestación de servicios, los gastos de operación (administración, distribución y ventas) y los gastos de financiación.


Los costos de producción se componen de los costos de los materiales directos y los costos de conversión (mano de obra directa y los costos indirectos de fabricación) indispensables para la fabricación del producto. Los gastos administración, distribución y ventas componen los gastos operacionales del negocio. En ellos se encuentran el transporte del producto terminado empleado para la entrega de la mercancía, las comisiones de los vendedores, la publicidad, el salario del personal administrativo, entre otros. Los gastos financieros son incurridos al tener acceso a recursos financieros ajenos a la empresa. De acuerdo con el comportamiento según el volumen de actividad: En esta categoría se encuentran los costos y gastos fijos, los costos y gastos variables y los mixtos. Los fijos se componen de aquellas cifras en las que la magnitud a nivel total permanece constante con los incrementos en el volumen de actividad en un rango relevante determinado por la capacidad normal de la compañía. La capacidad normal es la cantidad de unidades que la compañía es capaz de producir y vender en un horizonte de tiempo de mediano y/o largo plazo, generalmente definida durante el proceso de presupuestación de la empresa. Un ejemplo de un costo fijo es el arrendamiento del espacio físico en el cual se encuentra la planta manufacturera, el cual es constante al incrementarse los volúmenes de producción. Es importante precisar que la magnitud es constante hasta que se utiliza toda la capacidad de la empresa, pues en ese caso es necesario contratar espacio adicional por el que es necesario “pagar” un arriendo adicional. Al presentarse esta situación es posible que se presenten unos costos fijos escalonados ascendentes determinados por intervalos o rangos relevantes de capacidad. En esta categoría de cifras fijas se encuentran los arrendamientos, el costo de la mano de obra cuando se paga un salario básico independiente de los volúmenes de actividad, la depreciación de los equipos al utilizar el método de depreciación de línea recta, entre otros. En los costos y gastos variables la magnitud cambia a nivel total al incrementarse el volumen de actividad. Este es el caso de los materiales directos, las comisiones de los vendedores determinadas a partir de un Estadísticos e-Books & Papers

porcentaje de los ingresos de la empresa, los pagos efectuados a terceros por unidad terminada. Algunos recursos pueden tener un comportamiento fijo y variable al incrementarse el volumen de actividad, es el caso cuando las comisiones de ventas están determinadas por un salario básico, pagado hasta un volumen de actividad determinado, punto en el cual a partir de allí se paga un valor por unidad vendida o comercializada. En estos casos aparecen los costos y gastos mixtos, los cuales se caracterizan por tener un comportamiento fijo y variable al incrementarse los volúmenes de actividad. De acuerdo con el grado de control Los costos y gastos se pueden clasificar de acuerdo con el grado de control que puede ejercer quien administra los recursos. Los costos y gastos controlables se presentan cuando es posible determinar su magnitud por un determinado tiempo y los no controlables son aquellos en los cuales el entorno y variables exógenas determinan por completo su valor. Cuando se realiza la clasificación de costos y gastos controlables y no controlables se puede establecer una relación entre la estructura de costos de la empresa y el nivel de riesgo desde el punto de vista de costos, es decir, una empresa con altos niveles de cifras no controlables indican un alto nivel de riesgo, pues en este caso es difícil que la administración pueda controlar su magnitud a través de su gestión. Lo anterior sugiere que es interesante establecer a través de la clasificación anterior la relación entre el riesgo y la gestión de costos del negocio. De acuerdo con el momento del tiempo al cual hacen referencia. La información de costos y gastos de una empresa puede hacer referencia a hechos económicos que ocurrieron en el pasado, es el caso de los costos y gastos reales, o pueden referirse a lo que debería ser su magnitud si se lograran niveles normales de eficiencia de sus procesos, costos estándar, o pueden asociarse con lo que debería ocurrir en el futuro ante volúmenes de actividad presupuestado, a los que se denominan costos presupuestados. En los procesos de toma de decisiones gerenciales y cuando se realiza la Estadísticos e-Books & Papers

gestión del costo, la dirección está interesada en establecer las diferencias entre el deber ser, es decir los costos estándar, lo realmente consumido, costos reales. Adicionalmente es posible analizar las diferencias entre los costos reales y los costos proyectados o presupuestados. Al analizar las variaciones entre los costos reales, los estándar y los presupuestos, es factible determinar las pérdidas en el desempeño ocasionadas por unos menores ingresos, bien sea a través de un menor precio y/o un menor volumen de ventas, y por sobrecostos generados por una inadecuada gestión de los recursos o por la presencia de capacidad ociosa del sistema, de lo anterior se puede apreciar la importancia que tiene esta clasificación en los procesos de toma de decisiones gerenciales.

Los Costos y Gastos en los Estados de Resultados Una vez se realizan a cada una de los recursos las clasificaciones anteriores, es posible construir los estados de resultados que permiten analizar el desempeño financiero de la empresa. Las clasificaciones indispensables para su elaboración son costo y gasto, fijos y variables, directos e indirectos. Con estas tres clasificaciones se elaboran el estado de resultados por costeo absorbente o total y el estado de resultados por costeo variable. El estado de resultados por costeo absorbente, también denominado costeo total tiene la siguiente estructura en las empresas del sector manufacturero y comercializador:

+Ingresos - Costo de la mercancía vendida = Utilidad Bruta - Gastos de operación: + Gastos fijos operación + Gastos variables operación = Utilidad operación + Otros ingresos no operacionales - Otros egresos no operacionales = Utilidad antes de intereses e impuestos - Gastos financieros = Utilidad antes de impuestos - Impuestos Estadísticos e-Books & Papers

= Utilidad neta En el sector servicios tiene la siguiente estructura:

+Ingresos - Costo de la prestación de servicios = Utilidad Bruta - Gastos de operación: + Gastos fijos operación + Gastos variables operación = Utilidad operación + Otros ingresos no operacionales - Otros egresos no operacionales = Utilidad antes de intereses e impuestos - Gastos financieros = Utilidad antes de impuestos - Impuestos = Utilidad neta Se puede apreciar en las estructuras anteriores, que en el estado de resultados por costeo absorbente o total, la utilidad bruta es la ganancia generada por la empresa que queda una vez a los ingresos operacionales se le restan los costos de la manufactura de los productos producidos y vendidos en el caso del sector manufacturero, o los productos comercializados en el caso de la comercializadora, o los costos de los servicios prestados en las empresas del sector servicios. Asimismo, se puede afirmar que la utilidad bruta es la ganancia generada para atender los gastos de operación (administración, distribución y ventas) y los gastos no operacionales y financieros del negocio. El estado de resultados por costeo variable tiene la siguiente estructura en las empresas del sector manufacturero: + Ingresos

- Costo variables de la mercancía vendida = Margen de contribución bruto o de la producción - Gastos variables de operación = Margen de contribución total - Fijos: + Costos fijos de producción + Gastos fijos de operación Estadísticos e-Books & Papers

= Utilidad operación En el sector comercializador tiene la siguiente estructura:

+ Ingresos - Costo de la mercancía vendida = Margen de contribución bruto o de la comercialización - Gastos variables de operación = Margen de contribución total - Fijos: + Costos fijos de producción + Gastos fijos de operación = Utilidad operación El estado de resultados en el sector servicios es:

+ Ingresos - Costo variables de la prestación de servicios = Margen de contribución bruto o de la prestación de servicios - Gastos variables de operación = Margen de contribución total - Fijos + Costos fijos de producción + Gastos fijos de operación = Utilidad operación Algunos de las diferencias entre el estado de resultados por costeo variable y el estado de resultados por costeo absorbente o total son: El costeo variable permite realizar el análisis costo-volumen-utilidad, pues contiene todos los elementos para hacerlo. La información requerida para este análisis no es suministrada por el costeo absorbente o total. ·

Las utilidades operativas de un período depende de los niveles de venta y no de los niveles de producción, es decir, evita que se presente el efecto de las utilidades “fantasmas” ocasionadas cuando los niveles de producción de ·


un período son superiores a los niveles de ventas del mismo, pues los costos fijos unitarios, cifras inventariables en el estado de resultados por costeo absorbente son capitalizadas en los valores de los inventarios de productos en proceso y productos terminados, las cuales solamente son descargadas del estado de resultados cuando las unidades sean terminadas y vendidas. El costeo variable permite calcular algunos conceptos importantes como el margen de contribución bruto y el margen de contribución total, indispensables en procesos de toma de decisiones gerenciales. ·

Con el costeo variable es posible determinar el coeficiente de contribución unitario, el cual indica que porción de cada peso vendido queda para cubrir los costos y gastos fijos y así estar en capacidad de generar utilidades operativas. ·

El costeo variable permite calcular el punto de equilibrio, el margen de seguridad, el grado de apalancamiento operativo y los márgenes de contribución bruto y total como se expresó anteriormente. ·

El costeo variable permite hacer un análisis marginal a partir del estudio de los costos e ingresos marginales. Los costos marginales son los costos en los que incurre una compañía por una unidad adicional. ·

La Gestión de Costos y la Toma de Decisiones Gerenciales Algunas de las decisiones gerenciales en las que el estado de resultados por costeo variable es importante son: Determinación de precios de ventas de los productos y/o servicios. Identificación de los productos y/o servicios más rentables. Analizar la introducción de un producto o un servicio dentro del portafolio de la ·

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compañía y determinar estrategias y políticas de ventas. Identificar las unidades de negocios más rentables. Definir políticas de precios cuando se trata de pedidos especiales. Determinar la posibilidad de tercerizar parte de las operaciones de la ·

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compañía.


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Definir políticas de precios con el fin de vender capacidad en exceso y capacidad ociosa. Realizar análisis marginal para aceptación de propuestas adicionales. ·

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A partir de este estado de resultados es posible analizar algunos conceptos importantes que ayudan a analizar estructura de costos del negocio, tales como: Margen de contribución bruto Margen de contribución total o neto Margen de contribución unitario Coeficiente de contribución unitario Punto de Equilibrio operacional Margen de seguridad Grado de apalancamiento operativo ·

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En primer lugar, el margen de contribución bruto se calcula a partir de la diferencia entre los ingresos y únicamente los costos variables de producción de los productos terminados y vendidos. Este margen indica la ganancia que queda para cubrir los gastos variables de operación y toda la estructura de costos y gastos fijos de la empresa, con el fin de poder generar una utilidad operativa. En segundo lugar, el margen de contribución total o neto es la resta entre los ingresos y toda la estructura variable de la compañía, es decir, costos y gastos variables. Significa la ganancia obtenida para cubrir su estructura fija. De lo anterior, se puede observar que es deseable que tanto el margen de contribución bruto y el margen de contribución total sean cifras grandes, con el fin de que se genere más ganancia para cubrir la estructura fija del negocio. En tercer lugar, a diferencia de los dos anteriores, el margen de contribución unitario se expresa en términos unitarios, por ejemplo pesos por unidad vendida. Se calcula a partir de la diferencia entre el precio de venta unitario y la suma de los costos y gastos variables unitarios. Este margen de contribución unitario es cuántos pesos por unidad vendida quedan para cubrir los costos y gastos fijos totales del negocio. También es deseable una magnitud mayor. En cuarto lugar, el coeficiente de contribución unitario es la división entre el margen de contribución unitario y el precio de venta unitario. Es una cifra adimensional y en aquellos casos en que el precio de venta unitario es mayor Estadísticos e-Books & Papers

que la suma entre el costo variable unitario y el gasto variable unitario; es un valor entre cero y uno. Este coeficiente significa cuántos pesos quedan disponibles por cada peso vendido por la compañía con el fin de cubrir los costos y gastos fijos totales de la empresa. Es deseable que sea un valor más cercano a uno. En quinto lugar, el punto de equilibrio operacional en unidades se obtiene al dividir toda la estructura fija total (costos y gastos fijos totales) entre el margen de contribución unitario del producto o servicio. Este punto de equilibrio se puede calcular también en pesos y es posible hacerlo de dos formas. La primera, multiplicando el número de unidades en el punto de equilibrio por el respectivo precio de venta. La segunda, dividiendo toda la estructura fija total entre el coeficiente de contribución unitario. Es importante precisar que cuando se desea calcular el punto de equilibrio de una empresa que tiene varios productos o servicios, es necesario dividir toda la estructura fija entre el margen de contribución unitario promedio ponderado. Este margen de contribución ponderado es calculado a partir de la sumatoria de cada margen de contribución unitario de cada producto por su respectiva fracción de ventas. Esta fracción de ventas es calculada como un porcentaje de las unidades vendidas y no sobre el ingreso realizado en pesos. Adicional al punto de equilibrio es posible calcular el punto de abandono de un producto o un servicio del mercado dividiendo los costos fijos totales directos evitables del producto o servicio analizado con su respectivo margen de contribución unitario. Los costos fijos totales directos evitables son aquellas partidas que desaparecerían de la estructura de costos de la compañía en aquellos casos en los que se elimina el producto o el servicio analizado. En sexto lugar, el margen de seguridad se calcula a partir de la diferencia entre las ventas de la compañía y las ventas en el punto de equilibrio, dividida con las ventas de la compañía. Es un valor que comúnmente se expresa en términos porcentuales. Este margen de seguridad significa hasta qué porcentaje pueden disminuir las ventas con respecto al nivel de ventas de la compañía, para mínimo mantenerse en el punto de equilibrio operativo. Se invita al lector a analizar la relación entre el margen de seguridad y el nivel de riesgo del negocio, desde el punto de vista operativo. Finalmente el grado de apalancamiento operativo indica el número de veces Estadísticos e-Books & Papers

que ante un incremento en los niveles de ventas, se genera un efecto sobre el incremento en las utilidades de la compañía. Se calcula a partir de la división entre el margen de contribución total y las utilidades operativas de la compañía. Se puede apreciar que tanto el margen de seguridad como el grado de apalancamiento operativo se calculan para un nivel de ventas específico.

Algunos indicadores financieros Algunos indicadores financieros útiles para analizar el desempeño de diversas alternativas de decisión son: Margen de Utilidad Rotación de activos Rentabilidad de los Activos Valor Económico Agregado

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El margen de utilidad se calcula a partir de la división entre la utilidad y los ingresos de la compañía. Al calcular esta razón en términos porcentuales, significa la capacidad que tienen los ingresos de generar utilidades. La rotación de los activos se obtiene al dividir los ingresos entre los activos de la compañía. Significa el número de veces que los recursos se convierten en ingresos. La rentabilidad de los activos es la razón entre la utilidad y los recursos de la empresa. Es la capacidad que tienen los recursos de generar utilidades. El valor económico agregado es la resta entre la utilidad operativa después de impuestos y el costo de capital de los recursos que son necesarios para la generación de esa utilidad.

Cálculo del costo de la mano de obra en Colombia Para el cálculo del costo de la mano de obra en Colombia es necesario tener en cuenta no solamente el salario básico, sino también todas aquellas cifras constitutivas de salario tales como: Pensión Salud Riesgos Profesionales Parafiscales: SENA, ICBF y Cajas de Compensación Prima

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Cesantías Intereses a las Cesantías Vacaciones

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Estas cifras indican que por cada peso definido en el salario básico, la compañía incurre en 1,51842 pesos. El factor 51,842% es calculado de 12% de pensión, 8.5% de salud, 0,522% de riesgos profesionales, 2% del SENA, 3% del ICBF, 4% de la caja de compensación, 8.33% de prima, 8.33% de cesantía, 1% de intereses de cesantías y 4.16% de vacaciones. Adicionalmente es necesario tener en cuenta el auxilio de transporte que sirve también de base para liquidar prima, cesantía e intereses a las cesantías. Estos tres elementos componen un factor del 17,66% En el costo de la mano de obra también pueden estar presentes la alimentación, la dotación, primas extralegales, entre otros. Como afirma Uribe, Ricardo (2011) la fórmula para determinar el costo de la mano de obra en Colombia, es: “Costo o Gasto Mano de Obra = [(Salario + Recargos Nocturnos + Horas Extras) * (1+FP)] + [Auxilio de Transporte * (1+0.0833+0.0833+0.01) + Bonificaciones + Alimentación + Prestaciones Extralegales no Constitutivas de Salario + Dotación + Viáticos no Constitutivos de Salario]”. Las horas extras están determinadas cuando se exceden las 48 horas semanales. Las horas extras diurnas se recargan con un 25%, las horas extras nocturnas con un 75%, las horas extras diurnas festivas o dominicales con un 100% y las horas extras nocturnas festivas o dominicales con un 150%. Los recargos nocturnos están determinados por la jornada comprendida entre las 10 de la noche y las 6 de la mañana. Se paga un recargo del 35% con respecto al valor de la hora diurna, pero únicamente el tiempo correspondiente a las horas trabajadas y no al descanso remunerado.

CAPITULO 7 CASO APLICADO: ANALISIS DE COSTOS EN LA TOMA DE DECISIONES CON EL RECURSO HUMANO Estadísticos e-Books & Papers

Estimar la apertura de un turno adicional de trabajo

Para resolver este tipo de problemas se requiere manejar los siguientes conceptos: Costos de la mano de obra directa en Colombia Factor prestacional Auxilio de Transporte Eficiencia Horas extras Capacidad normal Costo diferencial Función de distribución Variable aleatoria Valor esperado Prueba de bondad de ajuste

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Enunciado del Problema Determinístico Una compañía presta en promedio 149 servicios mensuales a los clientes. En la prestación del servicio se utiliza una persona a la cual se le paga el salario mínimo $535.600 y se le dan todas las prestaciones de ley, las cuales incluyen pensión, salud, riesgos profesionales, primas, vacaciones, cesantías, parafiscales, con un factor prestacional de 51,842%, auxilio de transporte de $63.600 mensuales, y una dotación equivalente a $30.000 mensuales. En la prestación de cada servicio se utilizan 2 horas en promedio y el número de días disponibles en el mes es 24. La empresa necesita determinar cómo prestar sus servicios, es decir, si contrata otra persona para que labore en un turno adicional diurno o extender el horario de la persona actual incurriendo en horas extras nocturnas (recargo del 75%), presupuestando que en este caso la persona debido a la fatiga y al cansancio se demora un 18% más del tiempo (durante el tiempo extra).

Determinar: ¿Cuál alternativa es mejor para la compañía y por qué? ¿A partir de cuántos servicios es mejor implementar el turno adicional? ¿Cuánta es la máxima pérdida de eficiencia aceptada por la persona para que ·

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sea mejor trabajar con horas extras si se desean prestar 149 servicios? Efectuar un análisis de sensibilidad para servicios con tiempos desde 1.5 horas hasta 2.2 horas y con pérdidas de eficiencia desde 0% hasta el 60%. Si se tuviese una restricción de máximo 6 horas extras diarias en promedio, con un deseado de 2 horas extras diarias en promedio, ¿qué le recomendaría a la gerencia? ·

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Resolviendo el ejercicio paso a paso (caso determinístico) Identificación de las variables de entrada

Cálculo y descripción de los resultados obtenidos (caso determinístico) Para resolver el problema es necesario evaluar dos alternativas. La primera consiste en trabajar un solo turno, incurriendo en horas extras, cuando el número de servicios demandados superen la capacidad práctica (96 servicios al mes). alternativa es trabajar dos turnos, cada uno con una persona, con La segunda lo cual se aumentaría la capacidad práctica a 192 servicios al mes. Cabe precisar, que en cualquiera de las dos alternativas la empresa no incurre en costos adicionales a los costos de la mano de obra relacionados con los dos turnos o las horas extras. Para calcular los costos totales de cada alternativa es necesario evaluar la capacidad práctica con un solo turno, vs la capacidad requerida para atender la demanda media, y las horas extras, así: Estadísticos e-Books & Papers

En el escenario 1, denominado un turno con horas extras, se calculan los costos de la mano de obra, teniendo en cuenta el básico con las prestaciones sociales, el auxilio de transporte y las horas extras:


En el escenario 2, denominado dos turnos, se calculan los costos de la mano de obra de dos personas:

Interpretación de los resultados obtenidos ¿Cuál alternativa es mejor para la compañía y por qué? Al comparar ambas alternativas se observa que la opción un turno con horas extras tiene un costo total de $1,659,829,76, un costo diferencial de $176,365,26 con respecto a la opción dos turnos. Lo anterior llevaría a la compañía a seleccionar la primera opción y trabajar con un solo turno, dado que los costos adicionales por trabajar horas extras son inferiores a aquellos en los que se incurriría en el caso de operar dos turnos. ·

¿A partir de cuántos servicios es mejor implementar el turno adicional?

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Para responder la pregunta anterior, es necesario encontrar el punto de indiferencia, es decir, aquel número de servicios en el que los costos de


ambas alternativas son los mismos. Para ello se utiliza la función buscar objetivo, la cual permite determinar el punto de indiferencia en 161,6 servicios. Lo anterior significa que el costo total de ambas alternativas sería aproximadamente igual si se prestan 162 servicios. Al calcular el costo diferencial como la resta entre el costo de la alternativa 2 y la alternativa 1, se puede identificar que a partir del servicio 162 sería más costoso trabajar un turno con horas extras. Las anteriores conclusiones pueden apreciarse a continuación:

Punto de Indiferencia para el número de servicios 2,500,000.00 2,300,000.00 2,100,000.00 161.60 ; Escenario 11,900,000.00 1,836,195.02 1,700,000.00Escenario 2 Punto de Indiferencia 1,500,000.00 1,300,000.00 1,100,000.00 900,000.00 90.00 140.00 190.00 240.00

¿Cuánta es la máxima pérdida de eficiencia aceptada por la persona para que sea mejor trabajar con horas extras si se desean prestar 149 servicios? ·


Al igual que en el punto anterior es necesario utilizar la función buscar objetivo para encontrar el punto de indiferencia para la pérdida de eficiencia. El resultado obtenido es de 46,1% como se evidencia a continuación:

Lo anterior significa que el costo total de ambas alternativas sería aproximadamente igual para una pérdida de eficiencia del 46,1%.

Punto de Indiferencia para pérdida de eficiencia 1,950,000.00 1,900,000.00 1,850,000.00 46%; 1,836,195.02 1,836,195.02 Escenario 1 Escenario 2 Punto de Indiferencia 1,800,000.00 1,800,000.00 1,750,000.00 1,700,000.00 20.0% 30.0% 40.0% 50.0% 60.0% 70.0%

En la tabla anterior se puede observar que cuando la pérdida de eficiencia durante las horas extras supera el 46,1% es mejor trabajar con dos turnos, puesto que el costo total de esta alternativa sería inferior que el costo total de trabajar con un turno y horas extras para cualquier nivel de pérdida de eficiencia superior al señalado. Efectuar un análisis de sensibilidad para servicios con tiempos desde 1.5 horas hasta 2.2 horas y con pérdidas de eficiencia desde 0% hasta el 60%. ·


El análisis de sensibilidad que se ilustra a continuación es construido a partir de la herramienta tabla de datos, incluida en Microsoft Excel. En la fila se especifican los diversos valores para la variable tiempos y en la columna los diferentes valores para la variable pérdida de eficiencia.

La zona sombreada representa las combinaciones entre duración del servicio y pérdida de eficiencia, en las cuales el costo total de trabajar con un turno y horas extras (opción 1) es menor que el costo total de trabajar con dos turnos (opción 2). Si se tuviese una restricción de máximo 6 horas extras diarias en promedio, con ·

un deseado de 2 horas extras diarias en promedio, ¿qué le recomendaría a la gerencia? En el cuadro siguiente se puede observar que para que el número de horas extras diarias en promedio deseadas se cumplan, la duración de los servicios no puede ser superior a 1.5 horas y la pérdida de eficiencia puede ser máximo del 45%. Para que el número de horas extras diarias en promedio no exceda de 6 horas, los tiempos de los servicios pueden ser hasta 1,8 horas, y una pérdida máxima del 60%. Cuando los tiempos del servicio son superiores a 1,8 horas, la pérdida de eficiencia máxima permitida para no superar las 6 horas en promedio diarias va disminuyendo, hasta el punto en el cual con una duración de 2,2 horas la pérdida de eficiencia máxima permitida debes ser inferior al 5%.


Hasta aquí, el problema ha quedado resuelto de forma determinística, pero este procedimiento presenta limitaciones porque las variables de entrada son estáticas. A continuación se presenta el problema asumiendo que algunas de estas variables pueden tener comportamientos aleatorios.

Enunciado del problema probabilístico Un estudio de mercado muestra que es posible que el número de servicios demandados esté entre 140 y 160. Cada uno de estos servicios tienen la misma probabilidad de ocurrencia. Un estudio de métodos, tiempos y movimientos indica que el tiempo promedio requerido para la prestación de un servicio es de 2 horas, con la posibilidad de que el tiempo mínimo sea de 1.5 horas y un tiempo máximo de 2.5 horas. La experiencia le ha mostrado a la gerencia que en aquellos casos en que es necesario incurrir en horas extras la pérdida de eficiencia promedio es del 18% con una desviación estándar del 2%.

En el desarrollo del problema se podrá responder las siguientes preguntas: ¿Cuál alternativa es mejor para la compañía? Si se tuviese una restricción de máximo 6 horas extras diarias en promedio, con un deseado de 2 horas extras diarias en promedio, ¿qué le recomendaría a la gerencia? ¿Cuáles son las variables más importantes? (Número de servicios, tiempo por servicio, ineficiencia). ¿A partir de cuántos servicios es mejor implementar el turno adicional? A partir de la información anterior sugiera en qué momento se debe hacer ·

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la apertura del segundo turno de trabajo.

Resolviendo el ejercicio paso a paso (Caso probabilístico) Identificación de las variables de entrada

Explicación de las variables de entrada Es claro que el número de horas extras requeridas depende fundamentalmente de dos variables, el número de servicios demandados (se requieren horas extras cuando el número de servicios demandados supera la capacidad práctica) y la duración de cada servicio. Adicional a lo anterior cuando se requieran horas extras se presenta una pérdida de eficiencia que se debe considerar. El número de servicios demandados y la duración del servicio están afectadas por factores exógenos y endógenos que hacen que tengan un comportamiento dinámico, por lo tanto, el modelo que se construye a continuación muestra que el número de servicios puede variar entre 140 y 160 servicios con la misma probabilidad y el tiempo por servicio tiene una duración mínima de 1.5 horas, máxima de 2.5 y con una valor más probable de 2.0 horas. Para construir el problema de forma probabilista es necesario definirle a las 3 variables de entrada su función de distribución. El número de servicios demandados tiene una función de distribución uniforme puesto que como se explicó anteriormente con el estudio de mercado se tiene la misma probabilidad de ocurrencia entre 140 y 160 servicios. Para el caso del tiempo por servicio, una función de distribución triangular permite expresar el valor mínimo, el máximo y el más probable. Además, para la pérdida de eficiencia Estadísticos e-Books & Papers Papers

una función de distribución normal permite simular un valor medio de 18% con su desviación estándar de 2%.

Desarrollo paso a paso del problema Una vez definidas las variables de entrada con sus respectivas funciones de distribución se procede a identificar las variables de salida a las cuales se les realizará la simulación. En este caso para la alternativa un turno con horas extras se selecciona el costo total de la alternativa y horas extras diarias como variables de salida.

Luego, se ejecuta la simulación con un número sugerido de 10.000 iteraciones. Como se mencionó en el capítulo Navegando por la Herramienta se configura la simulación en la opción Configuraciones de simulación; allí se definen el número de iteraciones y simulaciones para el modelo como se muestra a continuación:

Cálculo y análisis de los resultados obtenidos Al ejecutar la simulación se obtiene sobre la variable de salida seleccionada, en este caso el costo total, un histograma de frecuencia en donde se puede apreciar que el costo de la alternativa un turno con horas extras tiene un 90% de probabilidad de que sea un valor entre $1.215.000 y $1.964.000. Su valor mínimo posible es de $968.971,19 y un valor máximo posible de $2.271.392 como se aprecia en el siguiente gráfico:


Vale la pena analizar que la probabilidad de que el costo de la alternativa un turno con horas extras sea menor que los costos de dos turnos ($1.686.531) es del 67,8%, así:


Adicionalmente la simulación permite visualizar cuáles son las variables que más impacto tienen en el costo de la alternativa un turno con horas extras. Para ello es necesario analizar el gráfico de tornado, el cual se encuentra en la opción Sensibilidad de la simulación en el botón el botón Gráfico de tornado como se muestra a continuación:


De este gráfico se puede apreciar que la variable que tiene un mayor impacto en la magnitud de los costos de esta alternativa es el tiempo por servicio con un coeficiente de correlación de 0,93, el cual significa que existe una fuerte asociación positiva entre el costo total y el tiempo empleado en cada servicio. La segunda variable es el número de servicios y la de menor impacto es la pérdida de la eficiencia. En la tabla siguiente se calcula el coeficiente de determinación (correlación elevada al cuadrado), el cual muestra, que la variable costo total de la alternativa está determinada en una 87% por la variable tiempo por servicios, el número de servicios en un 11,7% y un 0,3% por la pérdida de eficiencia. Se puede observar que la sumatoria de los coeficientes de determinación debe ser igual al 100%. Coefic ientes de Regresión para Costo Total Nombre Regr Corr Det 1 Tiempo por servicio 0.9284 0.9207 86.19% 2 Número de Servicios 0.3698 0.3438 13.68% 3 Pérdida de Eficiencia 0.1018 0.0886 1.04% Total 100%

Lo anterior, sugiere que la administración debe concentrar sus esfuerzos en la disminución de los tiempos por servicio, con el ánimo de que la alternativa un turno con horas extras sea más atractiva que abrir un segundo turno.


Adicionalmente al ejecutar la simulación, la variable de salida horas extras diarias muestra sin restricción alguna que existe un 90% de probabilidad de que las horas extras diarias requeridas sea hasta 7,87 horas:

Sin embargo, el máximo de horas extras deseadas es de 6 horas y existe una probabilidad del 69,5% de que se logre:


Al realizar el análisis sobre el número de horas extras deseadas (2 horas), se observa que apenas existe una probabilidad del 1,3% de que este valor se alcance:


En conclusión, la alternativa un turno con horas extras tiene una probabilidad del 67,8% de que su costo sea menor al de la alternativa con dos turnos, con una probabilidad del 69,5% de que el número de horas extras diarias requeridas sea menor de 6 horas. Finalmente, para responder la pregunta ¿a partir de cuántos servicios es mejor implementar el turno adicional? es necesario utilizar la función Búsqueda de objetivo, la cual se encuentra ubicada en Herramientas – Análisis Avanzados, así:

Este interrogantes se puede responder al encontrar el número de servicios que


hace que el costo de la alternativa un turno con horas extras sea igual al costo de dos turnos ($1.686.531). Al seleccionar Búsqueda de Objetivo se despliega una ventana en donde es necesario definir la celda objetivo, en este caso el costo de la alternativa un turno con horas K9 y el valor objetivo, en este caso $1.686.531.5, cambiando la celda C4 número de servicios:

Una vez ingresados los valores se presiona el botón Opciones donde se define el porcentaje de error permitido con respecto al valor objetivo, en este caso 0,1%:


Luego, se presiona el botón Analizar para realizar la búsqueda del valor objetivo, al encontrarlo el programa muestra el resultado así:

De este cuadro se puede observar que con un promedio de 157,5 servicios al mes el costo total de la alternativa un turno con horas extras es igual a la alternativa con dos turnos. Es importante precisar que el valor en el costo de la alternativa un turno con horas extras es de $1.702.750,10 es levemente diferente al costo de los dos turnos $1.686.531.5, debido al margen de error permitido durante la simulación:

Escenario 1: Un turno con horas Extras Costo de Mano de Obra Básico con prestaciones 813,265.75 Horas Extras 859,484.35 Dotación 30,000.00 Costo total 1,702,750.10

Escenario 2: Dos turnos Costo de Mano de Obra Básico con prestaciones 813,265.75 Horas Extras Dotación 30,000.00 Costo total 1,686,531.50 Capacidad Práctica 384.00 horas mes Capacidad Práctica 192.11 servicios Estadísticos e-Books & Papers

De acuerdo con el desarrollo anterior se invita al lector a responder en qué momento se debe hacer la apertura del segundo turno de trabajo.

CAPITULO 8 CASO APLICADO: TOMA DE DECISIONES A PARTIR DE ESTADO DE RESULTADOS POR COSTEO VARIABLE Y EL ANALISIS COSTO VOLUMEN UTILIDAD Comparación de la estructura de costos de cada producto e identificación de puntos de cierre o abandono de productos del mercado

Para resolver este tipo de problemas se requiere manejar los siguientes conceptos: Costos Gastos Costos y gastos fijos Costos y gastos variables Costos y gastos directos Costos y gastos indirectos Costos y gastos evitables Costos marginales Capacidad Normal Punto de equilibrio Margen de seguridad Coeficiente de contribución unitario Grado de apalancamiento operativo Estado de resultados por costeo variable Margen de contribución bruto Margen de contribución total o neto Función de distribución Variable aleatoria Valor esperado Sesgo de especificación

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Enunciado del Problema Determinístico (Propuesto en Uribe Ricardo, 2011) Una compañía fabrica chaquetas y pantalones. Durante el último mes se han fabricado 500 chaquetas y 600 pantalones. Sus inventarios iniciales han sido de 10 unidades para las chaquetas y de 20 para los pantalones. Al final del Estadísticos e-Books & Papers

han quedado sin vender 100 chaquetas y 30 pantalones. La empresa ha utilizado su capacidad normal. En la fabricación de una unidad se requieren tela, botones, energía y procesos tercerizados de estampación. A su mano de obra se le paga a destajo (por unidad terminada). A continuación aparecen los valores unitarios de cada uno de estos elementos:

Chaquetas Pantalones Tela $ 60.000 $ 50.000 Botones $ 2.000 $ 2.000 Mano de obra $ 30.000 $ 40.000 Energía $ 5.000 $ 6.000 Estampado $ 10.000 $ 10.000 Nota: Los costos de la mano de obra ya tienen incluido el valor de las prestaciones sociales de la empresa. La empresa incurre en $10.000.000 por concepto de arriendo y depreciación de sus máquinas y $3.000.000 por la Gerencia, la vigilancia y la depreciación de los equipos de cómputo de sus áreas administrativas. A los vendedores les paga una comisión equivalente al 10% del precio de venta de cada prenda con las prestaciones sociales ya incluidas. Para entregarle la mercancía a sus clientes, utiliza un transportador quien cobra $1.000 por cualquier tipo de prenda entregada. Los precios de venta de las chaquetas y los pantalones son $180.000 y $160.000 respectivamente.

Preguntas: a. Calcular los márgenes de contribución unitarios de las chaquetas y pantalones. b. Calcular la utilidad operativa de la compañía con la estructura de un estado de resultados por costeo variable con el fin de determinar el desempeño operativo del negocio. c. Calcular el punto de equilibrio, el margen de seguridad, el coeficiente de contribución unitario. d. La gerencia estima que el 25% de los costos fijos de producción podrían ser costos evitables, pues podría hacer un adelgazamiento de la empresa en el caso en que se elimine el producto con menor margen de contribución Estadísticos e-Books & Papers

unitario. Determine el punto de cierre o abandono del producto identificado e indique si debe ser eliminado del portafolio de la compañía.


Cálculo y descripción de los resultados obtenidos (caso determinístico) Para calcular los márgenes de contribución unitarios de las chaquetas y los pantalones es necesario restarle a los precios de venta los costos variables de producción unitarios y los gastos variables de operación unitarios. Los costos variables de producción unitarios se componen de la tela, los botones, la mano de obra, la energía y el estampado de cada uno de los productos. Es así como en este problema los costos variables unitarios son $107.000 por unidad para las chaquetas y $108.000 para los pantalones. Los gastos variables de operación se componen del transporte y de las


comisiones de ventas. Los gastos variables de operación unitarios de las chaquetas son $19.000 y $17.000 para los pantalones. Con las cifras anteriores es posible obtener el margen de contribución unitario de cada producto, al restarle a cada precio de venta la suma de los costos y gastos variables unitarios. Por lo tanto, el margen de contribución unitario de las chaquetas es de $54.000 y de $35.000 para los pantalones, lo que indica que por cada chaqueta vendida le quedan a la compañía $54.000 para cubrir la estructura de costos y gastos fijos del negocio para generar unas utilidades operativas. Adicionalmente, es posible calcular los coeficientes de contribución unitarios de cada producto a partir de la razón entre el margen de contribución unitario y el precio de venta de cada producto. Es importante recordar que este coeficiente significa cuántos pesos le quedan a la compañía por peso facturado para cubrir su estructura de costos y gastos fijos. El coeficiente de contribución unitario de las chaquetas es 0,3 y para los pantalones es 0,22. Lo anterior indica que por cada peso vendido, las chaquetas tienen un mejor nivel de contribución para cubrir la estructura fija del negocio y para generar utilidades. Los volúmenes de ventas se obtienen al sumar el inventario inicial y la producción del período y restarle el inventario final del período. Las ventas de chaquetas son 410 unidades y 590 unidades para los pantalones. Una vez calculados los costos y gastos variables unitarios y los márgenes de contribución unitarios es posible construir la parte operativa del estado de resultados por costeo variable, con el fin de calcular el desempeño operativo de la empresa, tal como se muestra a continuación:


En el estado de resultados anterior se puede apreciar que la utilidad de operación es de $29.790.000, en donde los márgenes de contribución total son de $42.790.000, que sirven para cubrir los $ 13.000.000 de costos y gastos fijos de la empresa y para generar utilidades operativas. A pesar de que las chaquetas tienen unos volúmenes de ventas inferiores a los pantalones, arrojan un mayor margen de contribución total, puesto que sus precios de ventas son superiores, con lo cual se obtienen unos márgenes de contribución unitarios mayores. Para calcular el punto de equilibrio operacional es necesario dividir los costos y gastos fijos totales sobre el margen de contribución unitario. Debido a que la empresa se consume $13.000.000 de fijos para los dos productos, se requiere calcular el margen de contribución unitario promedio ponderado, teniendo en cuenta los márgenes de contribución unitario de cada producto. Para ello, se multiplica el margen de contribución unitario de cada uno por su respectiva participación en el mercado de las unidades vendidas. Con esto se obtiene un margen de contribución unitario promedio ponderado de $42.790 por unidad vendida, el cual significa que en promedio por cada unidad vendida quedan casi $43.000 para cubrir los costos y gastos fijos de la empresa, cuando la mezcla de ventas en unidades es 41% de chaquetas y 59% de pantalones. Al dividir los $13.000.000 de costos y gastos fijos entre los $42.790 de margen de contribución unitario en promedio, se obtiene un punto de equilibrio operacional de la mezcla de productos de la compañía por un valor de 304 unidades. Al multiplicar esta cifra por los respectivos porcentajes de Estadísticos e-Books & Papers

participación en unidades de cada referencia se obtiene que se deben vender 125 chaquetas y 179 pantalones. Lo anterior se puede apreciar en los dos cuadros siguientes:

En el primer cuadro se puede observar que el coeficiente de contribución unitario es de 0.30 y 0.22 para las chaquetas y pantalones. Estas cifras se obtienen al dividir el margen de contribución unitario sobre el precio de venta de cada producto. El coeficiente de contribución unitario de 0.30 para las chaquetas, significa que por cada peso vendido de chaquetas quedan 0.3 pesos para cubrir los $13.000.000 de costos y gastos fijos y para obtener utilidades operativas. Si se quiere obtener el punto de equilibrio en pesos de este negocio es posible hacerlo dividiendo los $13.000.000 de costos y gastos fijos de la empresa con el coeficiente de contribución unitario promedio ponderado. Para su cálculo se realiza la sumatoria ponderada entre el precio de venta de cada producto y su porcentaje de participación en el mercado (mezcla de ventas), obteniendo un valor de $168.200. Luego se divide el producto entre el precio de venta de cada producto y su participación en el mercado entre este valor obtenido ($180.000*0.41/$168.200 y $160.000*0.59/$168.200). Con esto se obtiene el porcentaje de participación de cada referencia por cada peso vendido (44% para chaquetas y 56% para pantalones). Esto significa que por cada $100 vendidos el 44% provienen de las chaquetas y el 56% de los pantalones, diferente a la mezcla de ventas en unidades, en donde por cada 100 unidades vendidas, 41% provienen de las chaquetas y el 59% de los pantalones. Así, el


coeficiente de contribución unitario promedio de 0.25 es la suma ponderada entre el coeficiente de contribución unitario de cada producto y la mezcla de ventas obtenida en pesos (0.44*0.30+0.56*0.22) Con lo anterior, se dividen los $13.000.000 de fijos entre el coeficiente de contribución unitario promedio obtenido de 0.25 obteniendo un punto de equilibrio en pesos de $51.100.724.47. Es posible calcular este mismo punto de equilibrio en pesos al realizar la suma entre el precio de venta unitario de cada producto y el número de unidades vendidas de cada uno en el punto de equilibrio ($180.000*125+$160.000*179). En el cuadro que aparece a continuación se puede apreciar el estado de resultados por costeo variable que se obtendría para un nivel de ventas igual al punto de equilibrio:


El margen de seguridad proyectado del 25.44% se obtiene de la diferencia entre el nivel de ventas presupuestado y el punto de equilibrio presupuestado sobre el nivel de ventas presupuestado ((410+490)-(125+179))/(410+590). Esto significa que el nivel de ventas presupuestado puede caer hasta un 25.44% para no tener pérdidas operativas. Para determinar el punto de cierre o abandono del producto con menor margen de contribución unitario, en este caso los pantalones ($35.000), es necesario identificar los costos fijos directos evitables de los pantalones. Estos son aquellas cifras que desaparecerían dado el caso de que dicho producto se eliminara del portafolio de la empresa. La gerencia estima que el 25% de los $10.000.000 de costos fijos de producción podrían ser evitables al eliminar los pantalones, por lo tanto, el punto de cierre se calcula al dividir los fijos evitables (10.000.000*0.25) entre el margen de contribución unitario de los pantalones ($35.000), obteniendo una cifra de 71.43 pantalones al mes. Esto significa que si la empresa no vende más de 71.43 pantalones al mes no se justificaría ofrecerlo dentro del portafolio de la compañía, porque dicho producto estaría siendo subsidiado por las chaquetas. Estadísticos e-Books & Papers

Lo anterior se puede apreciar de una mejor manera al comparar dos estados de resultados por costeo variable, uno para unas ventas de 71.43 pantalones y otro para unas ventas de solamente chaquetas:


Enunciado del problema probabilístico Para el enunciado anterior a continuación se presentan las cifras probabilísticas para algunas de las variables de entrada obtenidas a partir del comportamiento histórico de los precios de las materias primas y de las variaciones de mercado de este tipo de productos: Se espera que la tela utilizada para la fabricación de las chaquetas sea como mínimo $55.000 por unidad, máximo $65.000 y el valor más probable $60.000. Para los pantalones un mínimo de $45.000, un máximo de $55.000 y el valor más probable de $50.000. Adicionalmente, la mano de obra utilizada para la fabricación de las prendas es tercerizada y debido a la amplia oferta de maquiladores en la región se espera que los costos de mano de obra por unidad tengan un valor esperado de $30.000 con una desviación estándar de $2.000 para las chaquetas y un valor esperado de $40.000 y una desviación estándar de $1.000 para los pantalones. El precio de venta unitario depende de la temporada, la oferta de la competencia y las promociones que se obtienen en el mercado, por tal motivo se espera que el precio mínimo sea $140.000, el máximo $190.000 con un valor más probable de $180.000 para las chaquetas y un mínimo de $130.000, y máximo de $165.000 para los pantalones. El área de producción estima que los tiempos de procesamiento dependan de los ajustes de las máquinas, la calidad de las telas, el diseño de la prenda y los niveles de eficiencia del personal, por lo tanto, se espera que el tiempo requerido para la terminación de una chaqueta sea de 30 minutos con una desviación estándar de 3 minutos por unidad y de 12 minutos con una desviación estándar de 1 minuto por unidad para los pantalones. Es importante recordar que el resto de las variables presentan las cifras del enunciado determinístico. En el desarrollo del problema se podrán responder las siguientes inquietudes: a. Calcular los márgenes de contribución unitarios de las chaquetas y Estadísticos e-Books & Papers

pantalones. b. Calcular la utilidad operativa de la compañía con la estructura de un estado de resultados por costeo variable con el fin de determinar el desempeño operativo del negocio. c. Calcular el punto de equilibrio, el margen de seguridad, el coeficiente de contribución unitario.

d. La gerencia estima que los costos fijos directos evitables de los pantalones pueden oscilar entre un 18% y un 30% costos fijos de producción. Determinar la probabilidad de que el punto de cierre o abandono de los pantalones sea superior a 120 unidades.

Resolviendo el ejercicio paso a paso (Caso probabilístico) Identificación de las variables de entrada



Explicación de las variables de entrada El precio de compra de la tela depende de la oferta de las materias primas y de sus diversos proveedores a nivel mundial. Así, los expertos en el proceso de compra han estimado sus valores mínimos, máximos y más probables con base en sus altos niveles de experiencia adquiridos durante los últimos años, lo cual se simula con una función de distribución triangular. Así mismo, el costo de la mano de obra (maquiladores) utilizados para la fabricación de las prendas, dependen de la oferta existente a lo largo de los diversos meses del año. El área de producción ha estimado el comportamiento de su magnitud con base en las negociaciones previas que han realizado con los maquiladores, los cuales tienen un comportamiento normal. Estadísticos e-Books & Papers

El área de ventas espera que los precios de venta dependan de la temporada del año, la oferta de la competencia y sus promociones, para el caso de las chaquetas se estima que tengan un comportamiento triangular y para los pantalones un comportamiento uniforme.

Desarrollo paso a paso del problema Una vez definidas las variables de entrada con sus respectivas funciones de distribución se procede a identificar las variables de salida a las cuales se les realizará la simulación. Para resolver las tres primeras inquietudes se seleccionan el margen de contribución unitario, el coeficiente de contribución, el punto de equilibrio unitario tanto de las chaquetas como de los pantalones, la utilidad operativa, el punto de equilibrio de la mezcla y el margen de seguridad como variables de salida. A continuación se ilustra la variable de salida margen de contribución unitario de las chaquetas:


Adicionalmente, para responder la cuarta inquietud es necesario identificar otra variable de entrada (Porcentaje de costos fijos directos evitables), la cual se espera se comporte de manera uniforme con un mínimo del 18% y un máximo del 30%. Posteriormente, se selecciona la variable de salida punto cierre de los pantalones, así:

Antes de ejecutar la simulación, en la opción Ventana de modelo se pueden verificar tanto las variables de entrada como las de salida. A continuación se visualizan las 7 variables de entrada: Luego, se ejecuta la simulación con un número sugerido de 10.000 iteraciones. Como se mencionó en el capítulo Navegando por la Herramienta


se configura la simulación en la opción Configuraciones de simulación, se definen el número de iteraciones y simulaciones para el modelo como se muestra a continuación:

Cálculo y análisis de los resultados obtenidos Al ejecutar la simulación se obtienen resultados sobre 10 variables de salida: Margen de contribución unitario chaquetas Margen de contribución unitario pantalones Coeficiente de contribución unitario chaquetas Coeficiente de contribución unitario pantalones Utilidad operativa Punto de equilibrio de la mezcla Punto de equilibrio de los pantalones Punto de equilibrio de las chaquetas Margen de seguridad Punto de cierre de los pantalones Los resultados obtenidos sobre los márgenes de contribución unitarios de cada prenda son:


En el gráfico anterior se observa que existe un 90% de probabilidades de que el margen de contribución unitario de las chaquetas esté entre $26.493 y $59.280, con un valor más probable de $44.849, y un valor mínimo de $11.713, lo cual indica que no existe probabilidad de que el margen de contribución de este producto sea negativo, por lo tanto, siempre existirá dinero por chaqueta vendida para cubrir los costos y gastos fijos de la empresa. Dado que el gráfico muestra que la función de distribución del margen de contribución está sesgada a la derecha es importante analizar el índice de sesgo (Sk). Para su cálculo se utiliza la función RiskSkewness. En el campo Fuente de datos se selecciona la celda de Excel que contiene la función de distribución de la variable a analizar (margen de contribución unitario de las chaquetas), como se presenta a continuación:


Un Sk<0 indica que la función de distribución es pesada hacia la derecha. Un Sk=0 indica que la función de distribución está centrada alrededor de la media. Un Sk>0 indica que la función de distribución es pesada hacia la izquierda. El valor de -0,41 confirma lo observado en el gráfico, que la función de distribución es pesada hacia la derecha, lo cual para este caso es pertinente, pues sugiere que existe una mayor probabilidad de obtener un margen de contribución unitario más alto, aspecto positivo para el desempeño de la compañía. Al realizar un análisis similar sobre el margen de contribución de los pantalones se obtiene que: Existe un 90% de probabilidades de que el margen de contribución unitario de los pantalones esté entre $9.156 y $38.235, con un valor más probable de $23.623, y un valor mínimo de $2.232, lo cual también indica que no existe probabilidad de que el margen de contribución de este producto sea negativo, por lo tanto, siempre existirá dinero por pantalón vendido para cubrir los costos y gastos fijos de la empresa, así:


Al calcular el Sk se obtiene un valor de 0,01 lo cual hace referencia a una función de distribución simétrica, es decir que está centrada alrededor de la media. Si se quisiera realizar un análisis comparativo de los márgenes de contribución unitarios de ambos productos se superponen las dos funciones de distribución, así:


El anterior gráfico muestra que el margen de contribución de las chaquetas tienen una probabilidad mayor de ser superior que el de los pantalones. Al utilizar el procedimiento anterior sobre los coeficientes de contribución unitarios de las chaquetas y los pantalones se obtiene lo siguiente:


Para las chaquetas se tiene un coeficiente mínimo de 0,082 y un máximo de 0,3705 con un valor más probable de 0,2613. Existe una probabilidad del 90% que el coeficiente de contribución unitario de las chaquetas esté entre 0,1763 y 0,3234 y para este mismo rango existe una probabilidad del 40,6% para los pantalones. Para los pantalones se tiene un coeficiente mínimo de 0,017 y un máximo de 0,27 con un valor más probable de 0,156. Lo anterior indica que existe una mayor probabilidad de que los pantalones generan menos pesos por peso facturado con respecto a las chaquetas. Al calcular el comportamiento de las utilidades operativas a partir de la estructura de costos, gastos y comportamiento de los precios se obtiene:


Del gráfico se puede apreciar que existe una probabilidad del 0,01% de generar utilidades operativas negativas, con un mínimo valor de -$3.123.709. Adicionalmente, se espera con un 90% de confianza que la utilidad operativa esté entre $7.740.000 y $30.480.000, con un valor esperado de $19.326.400. Asimismo, es interesante comparar los resultados obtenidos en el modelo determinístico (utilidad operativa de $29,790,000) y la probabilidad de que este valor sea superado en el modelo probabilístico, así : Del gráfico se observa que la probabilidad de superar la utilidad operativa del modelo determinístico es apenas del 6,5%, con un 93,5% de probabilidad de no alcanzar este valor. Al calcular el punto de equilibrio de la mezcla (para unas ventas 41% chaquetas y 59% pantalones), se obtiene: Del gráfico se aprecia que el número de unidades a vender entre los productos es en promedio 423 unidades, con una valor mínimo de 249 y un Estadísticos e-Books & Papers

valor máximo de 1316. Además, se observa un 90% de probabilidad de que el número de unidades a vender entre los dos productos es mínimo 299 y máximo 627.

Nótese que la función de distribución está sesgada a la izquierda (Sk=1,54), lo cual indica una mayor probabilidad de que sea necesario vender menor cantidad de producto para alcanzar el punto de equilibrio, lo cual es deseable para la compañía, pero también existe una “pequeña” probabilidad del 6,6% de que sea necesario producir y vender entre 600 unidades y 1200 unidades, esto podría ser inalcanzable dependiendo de la capacidad productiva de los dos productos de la empresa. Al analizar los puntos de equilibrios de manera individual (para unas ventas 41% chaquetas y 59% pantalones), se obtiene:


Se sugiere que el lector analice estos resultados obtenidos. Adicionalmente al calcular el margen de seguridad, se obtiene:


En el gráfico anterior se observa que existe una probabilidad del 90% de que el margen de seguridad esté entre el 37,3% y el 70,1%. Del gráfico también se observa que el valor mínimo del margen de seguridad es de 31,63%; se invita a reflexionar sobre ¿cuánto sería el valor que tendrían que incrementarse las ventas para alcanzar el punto de equilibrio? Es interesante comparar los resultados obtenidos en el modelo determinístico (margen de seguridad del 25,44%) y la probabilidad de que este valor sea menor en el modelo probabilístico, así:


Como resultado se obtiene una probabilidad del 1,5% de que el margen de seguridad sea inferior al 25,44% obtenido en el modelo determinístico. Finalmente, al calcular el punto de cierre de los pantalones se obtiene:


Del gráfico se observa que existe una probabilidad del 20,1% de que el número mínimo de pantalones a vender sea menor de 72 unidades (cifra obtenida en modelo determinístico) para que se justifique mantenerlos dentro del portafolio de la compañía.

CAPITULO 9 CASO APLICADO: TOMA DE DECISIONES PARA DETERMINAR EL USO DE RECURSOS PROPIOS O A TRAVES DE LA SUBCONTRATACION Para resolver este tipo de problemas se requiere manejar los siguientes conceptos: Costos Gastos Costos y gastos fijos Costos y gastos variables Costos y gastos directos

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Costos y gastos indirectos Costos y gastos evitables Margen de utilidad Rotación de activos Rentabilidad del activo EVA Costo unitario Margen de contribución total o neto Coeficiente de correlación Gráfico de tornado Función de distribución Simulación de Montercalo Scatter Plot

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Enunciado del Problema Determinístico Un distribuidor tiene la posibilidad de utilizar vehículos de 2.0 toneladas para el reparto de la mercancía. Diariamente se requiere entregar 2500 pedidos en la ciudad principal. El distribuidor necesita determinar si entrega los pedidos utilizando vehículos propios, o si subcontrata la operación de distribución con un tercero. Para efectuar el análisis se conocen las siguientes cifras: La inversión en un camión de las características requeridas es $45.000.000 Se tiene una capacidad diaria de reparto de 150 pedidos por vehículo. El rendimiento promedio del combustible es de 20 kilómetros por galón. El costo del combustible es $8.000 por galón. Se laboran 22 días al mes. Para la operación de cada vehículo se requiere un conductor $1.000.000 y dos ·

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auxiliares de entrega $950.000 cada uno, cifras que ya incluyen las prestaciones sociales. La tasa de oportunidad de la compañía es del 1.0% mensual. Cada vehículo recorre en promedio 60 kilómetros diarios por ruta. El vehículo tiene 4 llantas. Cada una vale $400.000 y tienen una vida útil estimada de 30.000 kilómetros. El costo promedio de cambio de aceite es de $100.000 y la frecuencia de cambio es cada 5.000 kilómetros. El mantenimiento preventivo diario equivale a $7.000 por día laborado. ·

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El SOAT cuesta al año $500.000 La revisión técnico-mecánica cuesta $0 al año, debido a que es un vehículo nuevo. Los impuestos anuales del vehículo son $200.000 La depreciación es a 5 años con método de línea recta. El GPS anual es $600.000 El seguro anual del vehículo equivale a $2.500.000 Cuando se subcontrata la operación con un tercero se le paga $1.800 por pedido entregado. ·

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Preguntas Parte A: 1. ¿Cuál de las dos alternativas le recomendaría a la compañía? 2. ¿Qué tan sensible es la alternativa de recursos propios a un cambio en las siguientes variables? a. Capacidad de pedidos por vehículo (rango entre 120 y 160) y demanda diaria requerida (2.000 y 3.000)

Propuestos para el lector: b. Rendimiento del combustible (rango entre 10 kmts/galón y 25 kmts/galón) y costo del combustible (entre $8.000 y $10.000 por galón) c. Tasa de oportunidad (entre 0,8% y 1,2% y valor de la inversión (entre $40.000.000 y $50.000.000) d. Número de kilómetros diarios recorridos por ruta (entre 60 kmts y 80 kmts) y costo del combustible (entre $8.000 y $10.000 por galón)

Información adicional para continuar el análisis (Parte B): El distribuidor cobra $2.800 por cada pedido entregado (de los 2.500 pedidos iniciales). Adicionalmente, el distribuidor requiere entregar otros 9.800 pedidos al mes en la ciudad principal ubicados en puntos más extremos, por los cuales el distribuidor recibe $2.800 por pedido y paga $1.800 a un tercero por pedido entregado. Asimismo, el distribuidor requiere entregar otros 13.000 pedidos al mes en municipios cercanos, por los cuales el distribuidor recibe $1.800 por pedido y paga $1.500 a un tercero por pedido entregado. Estadísticos e-Books & Papers

Las cuentas por cobrar promedio del distribuidor son $50.000.000 y requiere de un efectivo promedio para operar de $10.000.000 al mes para entregar la totalidad de los pedidos al mes. La tasa impositiva es del 33% sobre las utilidades. Los gastos mensuales adicionales de operación del distribuidor incluyendo los gastos administrativos son de $50.000.000. Preguntas Parte B: 3. Analice el desempeño financiero de la alternativa propia. Pregunta propuesta para el lector a. En caso en que el distribuidor tercerice toda la operación, incluyendo los 2.500 pedidos iniciales, pagando $1.800 por cada pedido entregado, ¿qué alternativa escogería? b. ¿Qué pasaría si el distribuidor planteara una opción de 30% subcontratado y 70% con recursos propios sobre el desempeño de la empresa?, ¿qué pasaría si fuera 50% y 50%?



Cálculo y descripción de los resultados obtenidos (caso determinístico)} Para comparar las dos alternativas es necesario calcular los costos por vehículo al mes y los costos de toda la operación mensual y así determinar el costo por pedido entregado al utilizar los vehículos propios para el reparto. Este costo por pedido se compara con los costos de la tercerización. De la diferencia entre la magnitud entre las cifras obtenidas se calcula el costo diferencial entre ellas. A continuación se presenta el procedimiento para analizar la alternativa de recursos propios: Inicialmente se determinan el número de vehículos requeridos para soportar toda la operación, así:


Se divide el número de pedidos diarios a entregar entre la capacidad de pedidos diarios que cada vehículo puede realizar (2500/150). Con esto se obtiene 16.67 vehículos lo cual significa que se requieren 17 vehículos en toda la operación. Posteriormente se calculan los costos mensuales de cada vehículo obteniendo:

De la tabla anterior se puede apreciar que el costo mensual de combustible de un vehículo se calcula al multiplicar los 3 galones diarios que se consume (60 kmts/día divido 20 kmts/galón) por el número de días laborados en el mes (22 días) por el precio de compra del combustible ($8000/galón). El conductor y los dos auxiliares suman $1.000.000 y $1.900.000 respectivamente con el factor prestacional ya incluido. El costo de las llantas se obtiene así: (Valor de la llanta * número de llantas por vehículo) / (Vida útil) * (distancia diaria recorrida)* (número de días laborales) ($400.000 * 4) / (30.000*60*22) = $70.400 El costo del aceite se calcula de la siguiente forma: (Valor cambio de aceite / frecuencia de cambio) * (Distancia diaria recorrida)* (número de días laborales) ($100.000 / 5.000) * (60*22) = $26.400 El costo del mantenimiento se obtiene a partir del producto entre el valor del


mantenimiento preventivo diario ($7.000) y el número de días laborados (22). El costo del SOAT de $41.666.67, la revisión técnico mecánica $0, los impuestos $16.666.67; el GPS $50.000 y el seguro $208.333.33 se obtienen al dividir sus costos anuales por vehículo entre los doce meses del año. El valor de la depreciación de $750.000 se obtiene al dividir el valor de la inversión ($45.000.000) entre su vida útil (5 años) y los doce meses del año. Es importante hacer énfasis en que es necesario calcular el costo de oportunidad mensual de cada vehículo de los recursos invertidos en esta alternativa. Un valor de $450.000 mensuales se obtiene de multiplicar la inversión ($45.000.000) por la tasa de oportunidad mensual (1%). Una vez calculadas las cifras anteriores se procede a realizar su sumatoria para obtener el costo mensual de cada vehículo, una cifra de $5,195,466,97 Al multiplicar cada uno de los costos anteriores por el número de vehículos se obtiene el costo mensual total para entregar los 2.500 pedidos diarios, así:

Luego, se calculan el número de pedidos mensuales totales por vehículo y por los 17 vehículos requeridos, así: El número de pedidos que un vehículo puede repartir en el mes es de 3.300, el cual se obtiene al multiplicar la capacidad de pedidos diarios por vehículo (150) y el número de días laborados en el mes (22).


El número de pedidos que debe atender toda la flota es de 55.000 al mes, obtenidos del producto entre la demanda diaria requerida (2500) y el número de días laborados en el mes (22). En este punto es importante resaltar que el costo por pedido de un vehículo es diferente al costo por pedido de toda la operación, puesto que el número de vehículos requeridos (16,66) indica que para la demanda diaria de 2.500 pedidos, un vehículo no utilizará toda su capacidad y por tanto el costo por pedido de todo el sistema se incrementa unitariamente. El costo por pedido de un vehículo es de $1.574, el cual se obtiene al dividir los costos mensuales de un vehículo ($5.195.466.7) entre el número de pedidos que puede atender el vehículo en el mes (3.300). El costo por pedido al analizar toda la operación es de $1.606, el cual se obtiene al dividir los costos mensuales de toda la operación ($88.322.933.3) entre el número de pedidos que se atienen al mes (55.000). La diferencia de $31.5 que se calcula al restar $1.606 y $1.574 indica el sobrecosto unitario por pedido entregado, esto como consecuencia de tener un vehículo al 67% de su capacidad. Al comparar los costos por pedido entregado con recursos propios y la opción de subcontratar la operación con un tercero quien cobra $1.800 por pedido entregado, se obtiene el costo diferencial de $225.62 para un vehículo y $194.13 para toda la operación. El cuadro que aparece a continuación presenta todos los resultados anteriores y el ahorro obtenido con respecto a la opción de la subcontratación:


En conclusión, se aprecia que la alternativa de recursos propios es menos costosa que la opción de la subcontratación. Para responder la pregunta ¿qué tan sensible es la alternativa de recursos propios a un cambio en las variables capacidad de pedidos por vehículo y demanda diaria requerida?, es necesario realizar un análisis de sensibilidad, que permita apreciar el impacto que un cambio en la capacidad de pedidos por vehículo y un cambio en la demanda diaria requerida generan sobre el costo diferencial unitario de la operación de todos los vehículos, utilizando la herramienta tabla de datos de Microsoft EXCEL, así:

En la tabla anterior se puede apreciar que cuando la capacidad de pedidos por Estadísticos e-Books & Papers

vehículo cae a 130 pedidos diarios, la alternativa de recursos propios es más costosa que la tercerización, independientemente del comportamiento de la demanda requerida por el mercado. Para responder las preguntas de la parte B (la 3 y la a y la b) es necesario construir el estado de resultados de la compañía y calcular algunos indicadores financieros como el margen de utilidad, la rotación de los activos, la rentabilidad del activo y el EVA. El estado de resultados de la empresa se presenta a continuación:

El ingreso de $154.000.000 en la ciudad principal es el producto entre los pedidos diarios (2.500), el número de días laborables (22) y el precio por pedido ($2.800). El ingreso de $27.440.000 en los puntos extremos es el producto entre el número de pedidos mensuales (9.800) y el precio por pedido ($2.800). El ingreso de $23.400.000 en los municipios es el producto entre el número de pedidos mensuales (13.000) y el precio por pedido ($1.800). El costo de la prestación de servicios ($80.672.933) en la ciudad principal es la diferencia entre los costos total mensuales de la operación con recursos propios ($88.322.933.3) y el costo de oportunidad ($7.650.000). El costo de la prestación de servicios ($17.640.000) en los puntos extremos es el producto entre el número de pedidos mensuales (9.800) y el pago a Estadísticos e-Books & Papers

terceros por pedido entregado ($1.800). El costo de la prestación de servicios ($19.500.000) en los municipios es el producto entre el número de pedidos mensuales (13.000) y el pago a terceros por pedido entregado ($1.500). La utilidad bruta es la diferencia entre los ingresos y el costo de la prestación de los servicios, alcanzando $87.027.067 entre los tres canales de la empresa. La utilidad de operación es la diferencia entre la utilidad bruta y $50.000.000 de gastos de operación correspondientes a los gastos administrativos mensuales. En el estado de resultados se puede apreciar que no existen ingresos no operaciones, egresos no operaciones, ni gastos financieros, con lo cual la utilidad antes de impuestos es igual a la utilidad de operación. Los impuestos de $12.218.932 son el 33% de la utilidad antes de impuestos. La utilidad neta de $24.808.135 es la diferencia entre la utilidad antes de impuestos y los impuestos. El margen de utilidad neta es del 12.11%, el cual es la razón entre la utilidad neta y los ingresos. Esto significa que por cada $100 vendidos $12.11 son utilidades netas. La rotación de activos 0.25 es la razón entre las ventas y los activos totales. En este caso, los activos totales son $825.000.000, que se obtienen de sumar el valor de los activos fijos (17 vehículos * $45.000.000), $50.000.000 de cuentas por cobrar y $10.000.000 de efectivo. Esta rotación significa que los ingresos son 0.25 veces el tamaño de los activos requeridos para generar ese nivel de ventas. La rentabilidad de los activos (neta) es de 3.01%, se obtiene a partir de la razón entre la utilidad neta ($24.808.135) y los activos totales ($825.000.000). Este indicador mide la capacidad que tiene cada peso invertido en activos de producir utilidad neta. El EVA (Valor Económico Agregado) es la diferencia entre la utilidad operativa después de impuestos (UODI) y el costo de oportunidad de los activos fijos y el capital de trabajo de corto plazo requerido para generar esa utilidad operativa después de impuestos. Así, el EVA es $16.558.134,7. Estadísticos e-Books & Papers

La tabla que aparece a continuación muestra un resumen de los resultados anteriores:

Enunciado del problema probabilístico El problema ilustrado hasta este punto se ha abordado de manera determinística, sin embargo es interesante analizar los resultados obtenidos teniendo en cuenta el comportamiento probabilístico de algunas de las variables anteriores. Para lograr esto se utiliza la Simulación de Montecarlo. Las variables con comportamiento probabilístico son: a. Valor vehículo: la compañía puede utilizar diferentes marcas de vehículos. Los concesionarios ofrecen diversas opciones en donde el precio mínimo es de $40.000.000, el máximo $48.000.000 y el precio del camión más vendido es de $45.000.000 b. Capacidad: la capacidad del vehículo depende de la mezcla de productos que se vendan en una temporada. La capacidad mínima de 130 pedidos diarios por vehículo se genera cuando la mezcla de ventas se compone de productos con un volumen y un peso alto. La capacidad máxima es de 160 pedidos díarios por vehículo, cuando la temporada tiene productos con peso y volumen bajo. c. Rendimiento combustible: el comportamiento de esta variable, depende de la ruta recorrida, el tráfico de la ciudad, del estado de mantenimiento del vehículo y del volumen y peso de carga del mismo. La información histórica de la empresa muestra que el rendimiento promedio es de 20 kmts/galón con una desviación estándar de 2 kmts/galón. d. Precio combustible: esta variable es determinada por el gobierno nacional y depende de las zonas geográficas en donde esté ubicado el vehículo. El precio fluctúa entre $8.600 por galón y $9.500 por galón. Estadísticos e-Books & Papers

e. Distancia recorrida: esta variable depende de la zona geográfica, los tiempos de desplazamiento y atención, de los horarios de los clientes y de los volúmenes de mercancía. Para el problema se tiene un valor optimista de 50 kmts/diarios, un valor pesimista de 75 kmts/diarios y un valor medio de 60 kmts/diarios. f. Vida útil llanta: esta variable depende de la marca de la llanta, de los hábitos de manejo, de la zona geográfica, del peso y volumen de carga y del estado de mantenimiento del vehículo. La vida útil mínima esperada es de 27.000 kmts y máxima de 35.000 kmts. g. Número de pedidos: esta variable depende de las épocas del año, del comportamiento de la economía y de la inversión en publicidad efectuada por la empresa. Se espera que el número de pedidos mínimos sea 2.200, máximo 2.700 y un valor más probable de 2.500.

Preguntas: 1. ¿Cuál de las dos alternativas le recomendaría a la compañía? 2. Analice el desempeño financiero de la alternativa propia. Resolviendo el ejercicio paso a paso (Caso probabilístico) Identificación y explicación de las variables de entrada Debido a que la compañía puede utilizar diferentes marcas de vehículos, porque los concesionarios ofrecen diversas opciones en donde el precio mínimo es de $40.000.000, el máximo $48.000.000 y el precio del camión más vendido es de $45.000.000, la función de distribución triangular permite modelar esta situación, así:


Por otra parte, la capacidad del vehículo depende de la mezcla de productos que se vendan en una temporada. La capacidad mínima de 130 pedidos diarios por vehículo se genera cuando la mezcla de ventas se compone de productos con un volumen y un peso alto. La capacidad máxima es de 160 pedidos diarios por vehículo, cuando la temporada tiene productos con peso y volumen bajo. La función de distribución uniforme permite modelar esta variable, así:


Asimismo, el rendimiento del combustible, depende de la ruta recorrida, el tráfico de la ciudad, del estado de mantenimiento del vehículo y del volumen y peso de carga del mismo. La información histórica de la empresa muestra que el rendimiento promedio es de 20 kmts/galón con una desviación estándar de 2 kmts/galón. La función de distribución normal simula estos valores, así: El precio del combustible es una variable sobre la cual no se tiene control en la empresa porque es determinada por el gobierno nacional y depende de las zonas geográficas en donde esté ubicado el vehículo. El precio fluctúa entre $8.600 por galón y $9.500 por galón, una función de distribución uniforme simula este comportamiento, así:

La distancia recorrida por cada vehículo depende de la zona geográfica, los tiempos de desplazamiento y atención, de los horarios de los clientes y de los volúmenes de mercancía. Un valor optimista de 50 kmts/diarios, un valor pesimista de 75 kmts/diarios y un valor medio de 60 kmts/diarios. Una función de distribución Pert permite simular esta situación, así: La vida útil llanta depende de la marca de la llanta, de los hábitos de manejo, de la zona geográfica, del peso y volumen de carga y del estado de mantenimiento del vehículo. La vida útil mínima esperada es de 27.000 kmts y máxima de 35.000 kmts. Una función de distribución uniforme modela estos valores, así: Estadísticos e-Books & Papers

El número de pedidos que se requiere entregar diariamente depende de las épocas del año, del comportamiento de la economía y de la inversión en publicidad efectuada por la empresa. Se espera que el número de pedidos mínimos sea 2.200, máximo 2.700 y un valor más probable de 2.500. La función de distribución triangular simula estas cifras, así:

Desarrollo paso a paso del problema Una vez definidas las variables de entrada con sus respectivas funciones de distribución se procede a identificar las variables de salida a las cuales se les realizará la Simulación de Montecarlo. Para resolver la pregunta ¿cuál de las dos alternativas le recomendaría a la compañía?, es necesario identificar como variables de salida el costo por pedido y el ahorro, y para analizar el desempeño financiero de la empresa se requiere identificar como variables de salida la utilidad neta, el margen de utilidad, la rotación de activos, la rentabilidad de activos, el EVA, la UODI y el Ck.



Cálculo y análisis de los resultados obtenidos Al ejecutar la simulación se obtienen resultados sobre 9 variables de salida. Las dos primeras variables permiten responder la primera pregunta y las siete restantes la pregunta adicional: Costo por pedido Ahorro Utilidad Neta Margen de Utilidad Rotación de Activos EVA UODI Ck Los resultados obtenidos sobre el costo por pedido entregado en la alternativa recursos propios son: ·

·

·

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·

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En el gráfico anterior se observa que existe un 90% de probabilidad de que el costo por pedido esté entre $1.540 y $1.884, con un valor más probable de $1.703,62 y un valor mínimo de $1.445,2. Esto indica que existe probabilidad de que el costo por pedido sea superior a la tercerización ($1.800 por pedido). Por lo anterior, es importante analizar la probabilidad de que el costo por pedido en la alternativa con recursos propios sea menor al costo de un pedido entregado por un tercero, así:


De este gráfico se observa que existe un 78,2% de probabilidad de que el costo de la alternativa propia sea menor al costo de un tercero. Un análisis adicional importante que se puede realizar es observar el gráfico de tornado de las variables de entrada sobre esta variable de salida, con el fin de evaluar cuáles son las variables de entrada que tienen un mayor nivel de incidencia en la magnitud del costo por pedido, así:


De este gráfico se puede apreciar que la variable que mayor nivel de incidencia negativa tiene sobre el costo por pedido, es la capacidad de pedidos que puede entregar un vehículo diariamente en cada ruta, seguida por el rendimiento del combustible. Posteriormente se puede complementar este análisis con un Diagrama de dispersión, sobre la variable capacidad, así: Como se puede apreciar en el gráfico anterior, la zona sombreada muestra el costo por pedido en función de la capacidad. Cuando la capacidad está entre 130, el costo por pedido varía entre un mínimo de $1.800 y un máximo de $2.000 aproximadamente; cuando la capacidad está en 160 pedidos el costo por pedido varía entre un mínimo de $1.450 y $1.650 aproximadamente. Se invita al lector a analizar qué otras conclusiones se pueden plantear de este gráfico. Los resultados obtenidos sobre ahorro de la alternativa recursos propios son:


De los gráficos se puede reafirmar que existe una probabilidad del 21,8% de que el costo por pedido de la alternativa de recursos propios sea superior a la alternativa de tercerización. Para analizar el desempeño financiero de la empresa es necesario analizar las 7 variables restantes. Los resultados obtenidos sobre la utilidad neta son: En el gráfico anterior se observa que existe un 90% de probabilidad de que la utilidad neta esté entre $13.950.000 y $27.310.000, con un valor más probable de $20.719.171,8 y un valor mínimo de $8.480.340,29. Esto indica que no existe probabilidad de pérdida en el ejercicio. El gráfico de tornado que se ilustra a continuación, permite observar que las variables más críticas sobre la utilidad neta son la capacidad y el número de pedidos diarios demandados. Se invita al lector a realizar el análisis de estas variables utilizando el Estadísticos e-Books & Papers

Diagrama de dispersión. Los resultados obtenidos sobre el margen de utilidad neta son:

En el gráfico anterior se observa que existe un 90% de probabilidad de que el margen de utilidad esté entre $7,06 y $13,13, con un valor más probable de $10,2 y un valor mínimo de $4,47. Esto indica que no existe probabilidad de margen de utilidad negativo. Los resultados obtenidos sobre la rotación de activos son:


En el gráfico anterior se observa que existe un 90% de probabilidades de que la rotación de activos esté entre 0,2172 y 0,27, con un valor más probable de 0,2429 y un valor mínimo de 0,2022. Los resultados obtenidos sobre la rentabilidad del activo son: En el gráfico anterior se observa que existe un 90% de probabilidad de que la rentabilidad del activo esté entre 15,64% y 34,47%, con un valor más probable de 2,5% y un valor mínimo de 0,95%.


En este gráfico se aprecia que existe un 90% de probabilidad de que el EVA esté entre 5.090.000 y 19.320.000, con un valor más probable de $12.337.495 y un valor mínimo de -$477.617%. A continuación se presentan los comportamientos esperados de la utilidad operativa después de impuestos y el costo de oportunidad de los activos requeridos para generarla. Se invita al lector a analizar estos resultados.


CAPÍTULO 10 CONCEPTOS DE ESTADÍSTICA Los términos que se presentan a continuación han sido seleccionados con el objetivo de resolver las dudas que el lector pueda tener alrededor de conceptos estadísticos importantes manejados en el texto y requeridos para la evaluación financiera de proyectos con análisis de riesgo. Se presentan en orden alfabético para facilitar su búsqueda. Para cada uno de los términos se presentan una o varias definiciones seleccionadas y debidamente referenciadas de diferentes textos y autores reconocidos en el tema, consideradas completas y sencillas según el criterio de los autores.

Algoritmos genéticos - “Son métodos de búsqueda basados en los mecanismos de la selección natural (supervivencia del más apto) y los principios de la genética. Fueron Estadísticos e-Books & Papers

desarrollados tratando de imitar algunos de los procesos observados en la evolución natural”. (Cerrolaza & Annicchiarico, 1996) - “El algoritmo genético (A.G) busca resolver problemas de reconfiguración para minimizar las pérdidas de un sistema cumpliendo con restricciones con los límites de las caídas de tensión y la capacidad de corriente”. (Arango Lemoine, 2000)

Análisis de regresión - “El análisis de regresión trata del estudio de la dependencia de la variable dependiente, respecto a una o más variables (las variables explicativas) con el objetivo de estimar o predecir la media o valor promedio poblacional de la primera en términos de los valores conocidos o fijos (en muestras repetidas) de las ultimas”. (Gujarati, 1997) - “La regresión es una expresión cuantitativa de la naturaleza básica de la relación entre las variables dependiente e independiente. Por ejemplo, dado un modele de regresión simple con una variable independiente el modelo determinara si las 2 variables tienden a desplazarse en la misma dirección (las dos crecen o decrecen al mismo tiempo) o en sentidos opuestos (una aumenta cuando la otra disminuye. También indicará la cantidad en que Y cambiará cuando la variable independiente varíe en una unidad”. (Webster, 2000) - “El análisis de regresión se utiliza para fines de predicción. En el análisis de regresión el objetivo es desarrollar un modelo estadístico que se pueda usar para predecir los valores de una variable dependiente o de respuesta basada en los valores de por lo menos una variable explicatoria o independiente”. (Berenson & Levine, 1996) - “Los análisis de regresión se basan en la relación o asociación existente entre dos (o más) variables. La variable (o variables) conocida recibe el nombre de variable independiente. La variable que estamos intentando predecir es la variable dependiente”. (Levin & Rubin, 2004 )

Análisis de regresión múltiple - “La principal ventaja de la regresión múltiple es que nos permite utilizar más información disponible para estimar la variable dependiente. En algunas ocasiones la correlación entre dos variables puede resultar insuficiente para Estadísticos e-Books & Papers

determinar una ecuación de estimación confiable. Sin embargo, si agregamos los datos de más variables independientes, podemos ser capaces de determinar una ecuación de estimación que describa la relación con mayor precisión. La regresión múltiple y el análisis de correlación implican un proceso de tres pasos como el que usamos en la regresión simple. En este proceso, nosotros: 1. Describimos la ecuación de la regresión múltiple 2. Examinamos el error estándar de regresión múltiple de la estimación. 3. Utilizamos el análisis de regresión múltiple para determinar que tan bien describe la ecuación de regresión los datos observados. Además en la regresión múltiple podemos observar cada una de las variables independientes y probar si contribuyen significativamente a la forma en que la regresión describe los datos”. (Levin & Rubin, 2004 ) - “El modelo de regresión lineal múltiple expresa la media de la variable de respuesta Y como función de una o más variables de predicción distintas X1, X2, …, Xp. Asume la forma siguiente:

Advierta que este modelo difiere conceptualmente del modelo polinomial. En el modelo polinomial se trata de una variable de predicción que puede estar elevada a potencias mayores que 1. En este caso, se trata de p variables de predicción distintas, cada una de primer grado”. (Milton & Arnold, 2004)

Análisis de sensibilidad - “El análisis de sensibilidad se trata de la determinación de cómo los cambios en las entradas o parámetros afectan las salidas. La capacidad de las tablas de Excel brinda mucha facilidad para realizar análisis de sensibilidad sobre uno o dos datos de entrada simultáneamente. Si deseamos encontrar un valor sobre una sola variable de entrada que determina un nivel deseado en la variable de salida entonces la función de Buscar Objetivo es muy útil. Si deseamos determinar la combinación de variables de entrada que optimice (maximice o minimice) una variable de salida, entonces el solver de Excel o Estadísticos e-Books & Papers

el algoritmo genético Evolver pueden resolver su problema”. (Winston, 2008)

Coeficiente de asimetría - “Utilizando la información muestral, el coeficiente de asimetría de la población se estima de la siguiente manera

Donde y s son la media y la desviación típica muestrales, respectivamente. La parte más importante de esta expresión es el numerador; el único fin del denominador es la estandarización, de forma que el valor del coeficiente de asimetría sea independiente de las unidades de medida. Tendremos un coeficiente de asimetría positivo cundo la distribución este desplazada hacia la derecha, al ser en este caso la media del cubo de las diferencias respecto a la media muestral positiva. De la misma forma, el coeficiente de asimetría será negativo en distribuciones desplazadas hacia la izquierda y 0 en distribuciones, como es el caso de la normal, que son simétricas en torno a la media”. (Newbold, Carlson, & Thorne, 2008) - “Skewness describes the degree to which a distribution is not symmetric. Negatively skewed distributions tail off to the left (most of their density is to the right); positively skewed distributions tail off to the right (most of their density is to the left). The coefficient of skewness is a measure of skewness and is computed as”. “

(Evans & Olson, 2002)

Coeficiente de correlación - “Es la raíz cuadrada de el coeficiente de determinación .Se designa con la letra r. El valor de r se sitúa en el intervalo de +1 y -1. Si r>0, la recta tendrá pendiente ascendente. Si r<0 la recta de regresión tendrá pendiente negativa. Estadísticos e-Books & Papers

El valor absoluto de r indica la fuerza de la relación entre X e Y; mientras que el signo nos dice si están relacionados de forma directa o inversa. Un r que valga +1 indica una correlación positiva perfecta, mientras que r=-1 sugiere una correlación negativa perfecta. Si r=0, no hay relación lineal entre X e Y”. (Webster, 2000) - “El coeficiente de correlación es una medida estandarizada de la asociación lineal que existe entre las variables aleatorias X y Y en relación con sus dispersiones. El valor del coeficiente igual a cero indica la ausencia de cualquier asociación lineal, mientras que los valores -1 y +1 indican relaciones lineales perfectas, negativas y positivas respectivamente”. (Canavos, 1987 ) - “Medida que podemos usar para describir que tan bien una variable es explicada por otra. Cuando tratamos con muestras el coeficiente de correlación de muestra se denota como r y es la raíz cuadrada del coeficiente de determinación. Cuando la pendiente de la ecuación es positiva, r es la raíz cuadrada positiva, pero si b es negativa, es la raíz cuadrada negativa. Por lo tanto el signo de r indica la dirección de la relación entre las 2 variables, X y Y. Si existe una relación inversa, esto es, si Y disminuye al aumentar X, entonces r caerá entre 0 y -1. De manera similar, si existe una relación directa (si Y aumenta al aumentar X) entonces r será un valor en el intervalo de 0 a 1”. (Webster, 2000)

Coeficiente de determinación - “Mide el poder explicativo del modelo de regresión, es decir, la parte de la variación de Y explicada por la variación de X. De esta forma, r2 mide la fuerza de la relación lineal entre X e Y. r2 solo tiene significado para relaciones lineales. Dos variables pueden presentar un coeficiente de determinación cero y sin embargo estar relacionadas de manera no lineal. El valor de r2 ha de estar entre 0 y 1 puesto que es imposible explicar más del 100% de la variación de Y”. (Webster, 2000) - “El coeficiente de determinación, R2, es la proporción de variabilidad de la variable dependiente explicada por su relación lineal con la variable independiente. La proporción de variabilidad explicada verifica que 0<=R2<=1, y que a mayor R2, mayor capacidad explicativa de la regresión”. (Newbold, Carlson, & Thorne, 2008) Estadísticos e-Books & Papers

- “El coeficiente de determinación es la principal forma en que podemos medir la extensión o fuerza de la asociación que existe entre dos variables, X y Y. El coeficiente de determinación de muestra se desarrolla de la relación entre dos tipos de variación: la variación de los valores Y en un conjunto de datos alrededor de: 1. La línea de regresión ajustada y 2. Su propia media. … En los problemas con que se topa la mayoría de los responsables de la toma de decisiones, R2 caerá en alguna parte entre estos dos extremos de 0 y 1. Recuerde no obstante que un R2 cercano a 1 indica una fuerte correlación entre X y Y, mientras correlación entre estas que un R2 cercano a 0 significa que existe poca dos variables. Un punto que debemos subrayar fuertemente es que R2 mide solo la fuerza de una relación lineal entre 2 variables”. (Levin & Rubin, 2004 )

Coeficiente de Curtosis - “La curtosis nos da una idea de la masa que tienen las colas de una función de densidad. En la distribución normal, la curtosis poblacional es 3”. (Newbold, Carlson, & Thorne, 2008) - “Cuando medimos la curtosis de una distribución estamos midiendo su grado de pico. Existen muchos grados diferentes de curtosis, pero los estadísticos normalmente utilizan tres clases generales: mesocurtica, una curva que tenga más pico, leptocurtica, y una curva que tenga menos pico, se denomina platicurtica”. (Levin & Rubin, 2004 ) - “Kurtosis refers to the peakedness (i.e., high, narrowa9 or flatness (i.e., short, flat-topped) of the distribution. The coefficient of Kurtosis measures the degree of Kurtosis of a distribution and is computed as

A normal distribution has a coefficient of Kurtosis of 3. If the value of CK is less than 3, the distribution is relatively flat with a very wide degree of


dispersion. If the value o CK is grater than 3, the distribution is highly peaked with little dispersion”. (Evans & Olson, 2002)

Distribución binomial - “En una distribución binomial cada intento da lugar a la aparición de uno de dos resultados mutuamente excluyentes. Cumple determinadas condiciones: Debe haber únicamente 2 resultados posibles. Uno de ellos se señala como ·

éxito, el otro como fracaso. Pero no conviene vincular ninguna connotación de “bueno” o “malo”. Son completamente objetivos, y un “éxito” no implica necesariamente un resultado deseable. La probabilidad de un éxito, π, permanece constante de un intento al siguiente, igual la probabilidad de fracaso, 1- π. ·

La probabilidad de éxito en un intento es totalmente independiente de lo obtenido en cualquier otro intento. El experimento se puede repetir muchas veces”. (Webster, 2000) ·

·

- “Esta distribución describe una variedad de procesos de interés para los administradores y describe datos discretos, no continuos, que son resultado de un experimento conocido como el proceso de Bernoulli, en honor al matemático suizo del siglo XIX, Jacob Bernoulli. El lanzamiento de la moneda no alterada un número fijo de veces es un proceso Bernoulli, y los resultados de tales lanzamientos pueden representarse mediante la distribución binomial de probabilidad. El éxito o fracaso de los solicitantes de empleo, entrevistados para pruebas de aptitudes, también puede ser descrito como un proceso Bernoulli. Podemos utilizar el resultado del lanzamiento de una moneda no alterada un cierto número de veces como ejemplo del proceso de Bernoulli. Podemos describir el proceso de la manera siguiente: 1. Cada intento (cada lanzamiento en este caso) tiene solamente 2 resultados posibles: cara o cruz, sí o no, éxito o fracaso. 2. La probabilidad del resultado de cualquier intento (lanzamiento) permanece fijo con respecto al tiempo. Con una moneda no alterada la probabilidad de tener cara siempre es 0.5 para cada lanzamiento, Estadísticos e-Books & Papers

independientemente del número de veces que se lance la moneda. 3. Los intentos son estadísticamente independientes, es decir, el resultado de un lanzamient0o no afecta el resultado de cualquier otro lanzamiento”. (Levin & Rubin, 2004 ) - “La distribución binomial está ligada a un tipo de experimento llamado ensayo de Bernoulli, en honor a Jacques Bernoulli (1654-1705). El ensayo de Bernoulli es un experimento aleatorio que solo puede concluir de dos maneras distintas mutuamente excluyentes e independientes. Uno de los resultados se llama éxito y el otro fracaso. Ejemplos de ensayos de Bernoulli son: Seleccionar un artículo para clasificarlo como bueno o defectuoso Seleccionar una persona para clasificarla como apta o no apta de acuerdo con algún criterio. Los ensayos de Bernoulli dan origen a una variable aleatoria. Y algo bastante particular, solo toma dos valores y cuyos valores de probabilidad (distribución) están dados por la formula siguiente ·

·

P(Y=y)= p, y=1 q, y=0 0, otro caso En donde p corresponde a la probabilidad de que se dé o de que ocurra un éxito y q = 1-p, la probabilidad de que ocurra un fracaso”. (Chao, 1993)

Distribución de probabilidad - “Es una lista de todos los resultados posibles de un experimento y de la probabilidad asociada a cada resultado. En la distribución de probabilidad se relacionan todos los resultados posibles, junto con la probabilidad de cada resultado. Las probabilidades de todos los resultados posibles suman 1”. (Webster, 2000) - “La distribución de probabilidad de una variable aleatoria es una representación de las probabilidades de todos los resultados posibles. Esta representación puede ser algebraica, grafica o tabular”. (Newbold, Carlson, & Thorne, 2008) - “Una distribución de probabilidad es un listado de las probabilidades de todos los posibles resultaos que podrían obtenerse si el experimento se llevara Estadísticos e-Books & Papers

a cabo”. (Levin & Rubin, 2004 )

Distribución de probabilidad normal - “Es una distribución de probabilidad continúa. Se utiliza para reflejar la distribución de variables como alturas, pesos, distancias, y otras medidas que admiten subdivisión infinita. Es una disposición única de valores en la cual si estos se representan de manera gráfica la curva resultante toma la forma simétrica y acampanada. En una distribución normal el 50% de las observación está por encima de la media y el 50% restante por debajo de la misma. Hay 2 parámetros que determinan por completo la forma y posición de una distribución normal: su media y su desviación típica”. (Webster, 2000) - “Una distribución de probabilidad continua que es muy importante es la distribución normal. Varios matemáticos han contribuido a su desarrollo entre los que podemos contar al astrónomo-matemático del siglo XIX Karl Gauss. En honor a su trabajo la distribución de probabilidad normal a menudo también se le llama distribución gaussiana. Existen dos razones básicas por las cuales la distribución normal ocupa un lugar tan prominente en la estadística. Primero, tiene algunas propiedades que la hacen aplicable a un gran número de situaciones en las que es necesario hacer inferencias mediante la toma de m muestras. Segundo la distribución normal casi se ajusta a las distribuciones de frecuencia reales observadas en muchos fenómenos, incluyendo características humanas (pesos, alturas, IQ), resultados de procesos físicos (dimensiones y rendimientos) y muchas otras medidas de interés para los administradores, tanto en el sector público como en el privado. Características de la distribución normal de probabilidad: 1. La curva tiene un solo pico; por tanto, es unimodal. Tiene forma de campana. 2. La media de una población distribuida normalmente cae en el centro de su curva normal. 3. Debido a la simetría de la distribución normal de probabilidad, la mediana y la moda de la distribución se encuentran también en el centro; en consecuencia, para una curva normal, la media, la mediana y la moda tienen el mismo valor. 4. Los dos extremos de la distribución normal de probabilidad se extienden


indefinidamente y nunca tocan el eje horizontal. (Levin & Rubin, 2004 ) - La distribución normal es de vital importancia en estadística por tres razones principales: 1. Numerosos fenómenos continuos parecen seguirla o se pueden aproximar mediante ella. 2. Se puede utilizar para aproximar varias distribuciones discretas de probabilidad y de esta forma evitar molestos cálculos. 3. Proporcionar la base para la inferencia estadística clásica por su relación con el teorema del límite central. La distribución normal tiene varias propiedades teóricas interesantes. Entre estas: 1. Tiene “forma de campana” y es de apariencia simétrica 2. Sus mediciones de tendencia central (media, mediana, moda, rango medio y eje medio) son idénticas. 3. Su “dispersión media” es igual a 1,33 desviaciones estándar. Es decir, el rango intercuartilico está contenido en un intervalo de dos tercios de una desviación estándar por debajo de la media, hasta dos terceras partes de una desviación estándar por encima de la media. 4. Su variable aleatoria asociada tiene rango infinito (-∞
Distribución de probabilidad uniforme - “La probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor en cada subintervalo de igual longitud, es la misma. En un evento en que una variable aleatoria toma valores de un intervalo infinito, de manera que estos se encuentran distribuidos igualmente sobre un intervalo”. (Canavos, 1987 ) - “Es una distribución en la cual las probabilidades de todos los resultados son las mismas. Todos los resultados posibles tienen la misma probabilidad de ocurrir y por consiguiente forman una distribución de probabilidad uniforme”. (Webster, 2000)

Distribución t-student - “A la distribución t se le conoce como distribución t de student o simplemente distribución de student. Debido a que se le utiliza cuando el tamaño de la muestra es de 30 o menor, los estadísticos con frecuencia, Estadísticos e-Books & Papers

asocian la distribución t con estadísticas de muestras pequeñas. Esto no es del todo cierto, pues el tamaño del amuestra es solamente una de las condiciones que nos llevan a utilizar la distribución de Student. La segunda condición es que la desviación estándar de la población debe ser desconocida. El uso de la distribución t para hacer estimaciones se requiere siempre que el tamaño de la muestra sea de 30 o menor y la desviación estándar de la población no se conoce. Además al utilizar la distribución t, suponemos que la población es normal o aproximadamente normal. Sin derivar la distribución t de manera matemática, podemos obtener un entendimiento intuitivo de la relación que existe entre la distribución t y la distribución normal. Ambas son simétricas. En general la distribución t es más plana que la distribución normal y hay una distribución t diferente para cada tamaño posible de la muestra. Incluso con esto, conforme el tamaño de la muestra se hace más grande, la forma de la distribución t pierde su horizontalidad y se vuelve aproximadamente igual a la distribución normal”. (Levin & Rubin, 2004 ) - “…trataremos ahora el caso, de considerable interés practico, en el que la varianza poblacional es desconocida y el tamaño de la m muestra es pequeño. Para ello es necesario presentar una nueva clase de distribución de probabilidad. La variable aleatoria

Tiene una distribución normal estándar. En el caso que la desviación típica poblacional sea desconocida, este resultado no puede ser utilizado directamente. En tales circunstancias es natural considerar la variable aleatoria que resulta de sustituir el valor desconocido en la ecuación por la desviación típica muestral Sx, obteniéndose

T Sx Esta variable aleatoria no sigue una distribución normal estándar. Sin Estadísticos e-Books & Papers

embargo, su distribución es conocida y es de hecho, un miembro de una familia de distribuciones denominada t de Student.

La distribución de t de Studet Dada una muestra de n observaciones con media y desviación tipi9ca Sx, procedente de una población normal con media µ, la variable aleatoria T Sx Sigue una distribución de t de student con (n-1) grados de libertad. Un miembro determinado de la familia de distribuciones t de student se caracteriza por el número de grados de libertad para el cual emplearemos el parámetro v. Una variable aleatoria t de Student con v grados de libertad la denominaremos por tv. La forma de la distribución t de Student es bastante similar a la de la normal estándar. Ambas distribuciones tienen media 0 y las funciones de densidad son simétricas alrededor de la media. Sin embargo, la función de densidad de la t de Student tiene una dispersión mayor (que se refleja en una mayor varianza) que la normal estándar. ... La dispersión mayor de la t de Student surge como resultado de la incertidumbre adicional provocada por el hecho de sustituir la desviación típica poblacional conocida por un estimador muestral. A medida que el número de grados de libertad aumenta, la t de student toma una forma cada vez más similar a la de la normal estándar. Cuando el número de grados de libertad es elevado ambas distribuciones son virtualmente idénticas. Esto resulta razonable intuitivamente y se deduce del hecho de que para una muestra grande, la desviación típica muestral es un estimador muy preciso de la desviación típica muestral es un estimador muy preciso de la desviación típica poblacional”. (Newbold, Carlson, & Thorne, 2008) - “Existe un número de propiedades importantes de las distribuciones t que vale la pena observar. En primer lugar una distribución t tiene una variación de -∞ a ∞ exactamente como una distribución normal. En segundo lugar al igual que la distribución normal típica, una distribución t es simétrica con una media, una moda y una mediana igual a cero, excepto que t1 (la distribución t con 1 gl) no tiene media. En tercer lugar la varianza de tρ, con ρ>2, es


ρ/(ρ-2); cuando ρ<=2, tρ no posee varianza. En cuarto lugar una distribución t tiene una dispersión mayor que la distribución normal estandarizada. Sin embargo cuando ρ se vuelve grande, tρ se aproxima a la distribución normal estandarizada como límite”. (Chou, 1972)

Errores tipo 1 y tipo 2 - “El rechazo de una hipótesis nula cuando es cierta se denomina error de tipo 1, y su probabilidad (que como hemos visto es también el nivel de significancia de la prueba) se simboliza como α (alfa). De manera alternativa, al hecho de aceptar una hipótesis nula, cuando es falsase le denomina error de tipo 2, y su probabilidad se simboliza como β (beta). Existe un equilibrio entre estos dos tipos de errores: la probabilidad de cometer un tipo de error puede reducirse solo si deseamos incrementar la probabilidad de cometer el otro tipo de error…puesto de otra manera, con el fin de obtener una β baja tendremos que tolerar una α alta”. (Levin & Rubin, 2004 ) - “Hay dos posibles estados de la naturaleza: la hipótesis nula es cierta o falsa. Un error que se puede cometer, llamado error tipo 1, es rechazar una hipótesis nula cierta. Si la regla de decisión es tal que la probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando es cierta es α, entonces α se llama nivel de significación del contraste. Puesto que la hipótesis nula tiene que ser aceptada o rechazada la probabilidad de aceptar la hipótesis nula cuando es cierta es (1- α). El otro error posible llamado error de tipo II, ocurre cuando se acepta una hipótesis nula falsa. Supongamos que para una determinada regla de decisión particular, la probabilidad de cometer este error, cuando la hipótesis nula es falsa se denota por β. Entonces la probabilidad de rechazar una hipótesis nula falsa es (1- β) y se denomina potencia del contraste”. (Newbold, Carlson, & Thorne, 2008) - “Cuando tomamos decisiones referentes a un todo (población) con base en la evidencia que presenta un parte de este todo (muestra) nos exponemos a equivocarnos (cometer error) respecto a la situación verdadera de este todo. El error puede ser causado porque “rechazamos Ho al ser Ho verdadera” – error tipo I- o porque “aceptamos Ho al ser Ho falsa” –error tipo II-. De los errores a que estamos expuestos a cometer, el error tipo I se considera el más grave. La probabilidad de cometerlo se llama nivel de significancia. Los niveles de significancia se toman de valores pequeños”. (Chao, 1993)


Función de distribución continua - “Sea X una variable aleatoria y x un valor especifico que esta puede tomar. En este contexto llamaremos función de distribución acumulada a la probabilidad de que X sea menor que X. La función de distribución acumulada Fx(X) de una variable aleatoria continua X expresa la probabilidad de que X sea menor o igual que x, como función de x, es decir,” Fx(X)=P(X<=x) (Newbold, Carlson, & Thorne, 2008) - “La idea de una función de distribución acumulativa en el caso continuo es útil. Se define exactamente como en el caso discreto si bien se calcula con la integración, no con la suma. Sea X una variable aleatoria continua con densidad f. la función de distribución acumulativa de X, denotada con F, está definida por: F(x)=P(X<=x) x real. El cálculo de F(x) para un número real específico x precisa integrar la densidad para todos los numero reales que sean menores o iguales que x. Calculo de F en el caso continuo P(X<=x)= F(x)= para todo número real x. Desde el punto de vista grafico esta probabilidad corresponde al área bajo la gráfica de la densidad a la izquierda del punto x, al cual incluye”. (Milton & Arnold, 2004)

Función de distribución discreta - “Supongamos que X es una variable aleatoria discreta y que x es uno de sus posibles alores. La probabilidad de que la variable aleatoria X tome el valor x se representa P(X=x). la distribución de probabilidad de una variable aleatoria es una representación de las probabilidades de todos los resultados posibles. Esta representación puede ser algebraica, grafica o tabular. Para las variables aleatorias discretas, un procedimiento sencillo consiste en


confeccionar una lista con la probabilidad de cada uno de los posibles resultados. La función de probabilidad Px(X) de una variable aleatoria discreta X representa la probabilidad de que X tome el valor de x, como función de x. es decir, Px(X)=P(X=x) Donde la función se eleva en todos los posibles valores de x”. (Newbold, Carlson, & Thorne, 2008) - “La segunda función usada para calcular probabilidades es la función de distribución acumulativa, F. El adjetivo “acumulativa” indica el uso de esta función. Suma o acumula las probabilidades calculadas por medio de la densidad. Esta función se define como sigue: Sea X una variable aleatoria discreta con densidad f. la función de distribución acumulativa de X, denotada con F, se define con la formula siguiente: F(x)= P(X<=x) para todo número real x. Considérese un numero especifico x. A fin de calcular P(X<=x= F(x) se suma la densidad f de todos los valores de X que ocurren con probabilidad distinta de cero y son menores o iguales que x. El cálculo se hace con la formula siguiente”: F(x)=Σf(x) (Milton & Arnold, 2004) - “La distribución de probabilidad para una variable aleatoria discreta es una formula, una gráfica o una tabla, que proporciona la probabilidad asociada a cada valor de la variable aleatoria. Como se asigna uno y un solo valor de x a cada evento simple, los valores de x representan eventos numéricos mutuamente excluyentes. Al sumar p(x) para todos los valores de x, se obtiene la suma de las probabilidades de todos los eventos simples y, por lo tanto, es igual a 1. Es posible entonces señalar dos requisitos para una distribución de probabilidad”: 0<=p(x)<=1 Σp(x)=1 (Mendenhall, 1990)

Función de densidad - “La afirmación de que la probabilidad de que una variable aleatoria continua asuma cualquier valor especifico sea 0 es indispensable en la definición. Las variables discretas no tienen esa restricción. Por ello en el Estadísticos e-Books & Papers

caso continuo se calculan las probabilidades de manera distinta que en el caso discreto. En este último se define la función f llamada densidad, que posibilita el cálculo de las probabilidades relacionadas con la variable aleatoria X. Esta función se da por: f(x)= P(X=x) donde x es un número real. La definición precedente no puede usarse en el caso continuo ya que P(X=x) siempre es cero. Sin embargo se necesita una función que permita calcular la probabilidad de una variable aleatoria continua. Esa función también se llama densidad. Sea X una variable aleatoria continua. Una función f tal que 1. F(x)>=0para todo x real. 2.

3.

en donde a y b son número reales. Se llama densidad de x” (Milton & Arnold, 2004) - “El modelo probabilístico para la distribución de frecuencias de una variable aleatoria continua implica la selección de una curva generalmente regular o alisada a la que se llama distribución de probabilidad o función d densidad de probabilidad de una variable aleatoria. Si la ecuación de esta distribución de probabilidad continua es f(x) entonces la probabilidad de que x este en el intervalo a

infinitamente grande y no se puede contar, la probabilidad de que x sea igual a un valor especifico por ejemplo a, es cero. Entonces las afirmaciones probabilísticas acerca de las variables aleatorias continuas siempre corresponden a áreas bajo la distribución de probabilidad sobre un intervalo por ejemplo, de a a b- y se expresa como P(a
Histograma - “Una descripción informativa de cualquier conjunto de datos está dada por la frecuencia de repetición u arreglo distribucional de las observaciones en el conjunto. Para identificar los patrones en un conjunto de datos es necesario agrupar las observaciones en un número relativamente pequeño de de clases que no se superpongan entre si, de tal manera que no exista ninguna ambigüedad con respecto a la clase a que pertenece una observación en


particular. El número de observaciones en una clase recibe el nombre de frecuencia de clase, mientras que el cociente de una frecuencia de clase con respecto al número al número combinado de observaciones en todas las clases se conoce como la frecuencia relativa de esa clase. Al graficar las frecuencias relativas de las clases contra sus respectivos intervalos en forma de rectángulos, se produce lo que comúnmente se conoce como Histograma de frecuencia relativa”. (Canavos, 1987 ) - “Los subintervalos en los que se dividen el conjunto de datos, reciben el nombre de clases, y el número de observaciones en cada clase se llama frecuencia. Para cada clase particular, la frecuencia acumulada s el número total de observaciones que hay en esa clase y las anteriores. La información tabulada de esta forma puede ser representada gráficamente usando un diagrama llamado histograma. Los límites de cada clase aparecen señalados en el eje horizontal. Encima de cada clase aparece dibujado un rectángulo cuya área es proporcional a la frecuencia de esa clase. El histograma nos permite hacernos una idea visual rápida y adecuada de la proporción de observaciones que se encuentran dentro de un determinado intervalo”. (Newbold, Carlson, & Thorne, 2008) - “Un histograma consiste en una serie de rectángulos cuyo ancho es proporcional al alcance de los datos que se encuentran dentro de una clase, y cuya altura es proporcional al número de elementos que caen dentro de la clase. Si las clases que utilizamos en la distribución de frecuencia son del mismo ancho, entonces las barras verticales del histograma también tienen el mismo ancho. La altura de la barra correspondiente a cada clase representa el número de observaciones de la clase. Como consecuencia de lo anterior, el área contenida en cada rectángulo (ancho por altura) ocupa un porcentaje del área total de todos los rectángulos igual al porcentaje de la frecuencia de la clase correspondiente con respecto a todas las observaciones hechas. Un histograma que utiliza las frecuencias relativas de los puntos de dato de cada una de las clases, en lugar de usar el número real de puntos se conoce como histograma de frecuencias relativas. Este tipo de histograma tiene la misma forma que un histograma de frecuencias absolutas, construido a partir del mismo conjunto de datos. Esto es así, debido a que e n ambos, el tamaño relativo de cada rectángulo es la frecuencia de esa clase comparada con el número total de observaciones”. (Levin & Rubin, 2004 )


Intervalos de confianza - “Es el intervalo dentro del cual puede estar el parámetro desconocido. Este suele ir acompañado de una afirmación sobre el nivel de confianza que se puede asignar a su precisión. El coeficiente de confianza es el nivel de confianza que tenemos en que el intervalo contiene el valor desconocido del parámetro. Son 3 los niveles que por lo común se asocian a los intervalos de confianza: 99, 95 y 90%. Un intervalo de confianza tiene un límite inferior de confianza (LCL) y un límite superior de confianza (UCL). Para hallar estos dos límites se calcula la media muestral. Después se le suma una cantidad para hallar el UCL y se le resta la misma cantidad para hallar el LCL. Se interpreta como la probabilidad de construir un intervalo que comprenda la media, no a la probabilidad que la media este en él”. (Webster, 2000) - “Un estimador por intervalos de un parámetro poblacional es una regla (basada en información muestral) para determinar un rango, o un intervalo. En el cual posiblemente se encuentre dicho parámetro. La estimación correspondiente se denomina estimación por intervalos. Hasta ahora hemos dicho que los estimadores por intervalos contienen “posiblemente” o “muy posiblemente” el verdadero, aunque desconocido, parámetro poblacional. Para formalizar estas expresarlas en términos probabilísticos. Sea afirmaciones, es necesario Ø el parámetro a estimar. Supongamos que hemos extraído una muestra aleatoria, y que basándonos en la información muestral es posible encontrar dos variables aleatorias, A y B, con A menor que B. Si estas variables aleatorias tienen la propiedad de que la probabilidad de A sea menor que Ø y que B sea mayor que Ø es 0.9, podemos decir que P(A< Ø

De manera más general podemos definir intervalos de confianza del porcentaje que nosotros queramos, siempre menor, por supuesto, del 100%”. (Newbold, Carlson, & Thorne, 2008) - “En estadística, la probabilidad que asociamos con una estimación de intervalo se conoce como el nivel de confianza. Esta probabilidad, entonces, indica que tanta confianza tenemos de que la estimación parámetro de la población. Una probabilidad del intervalos incluya al indica más confianza. En estimación los niveles de confianza que se utilizan con más frecuencia son 90, 95 y 99%, pero somos libres de aplicar cualquier nivel de confianza. El intervalo de confianza es el alcance d la estimación que estamos haciendo. Si informamos que tenemos 90% de confianza de que la media de la población de ingresos de las personas que viven en una cierta comunidad está entre $8,000 y $24,000, entonces el intervalo $8,000-$24,000 será nuestro intervalo de confianza. A menudo sin embargo, expresamos el intervalo de confianza en términos de errores estándar, más que con valores numéricos. Así pues con frecuencia expresaremos los intervalos de confianza se esta forma: en la que: +1.64 =límite superior del intervalo de confianza

±1.64

-1.64 =límite inferior del intervalo de confianza Por consiguiente tenemos que los límites de confianza son los límites superior e inferior del intervalo de confianza”. (Levin & Rubin, 2004 )

Media aritmética - “Es el promedio o medición de tendencia central de uso más común. Se calcula sumando todas las observaciones de una serie de datos y luego dividiendo el total entre el número de elementos involucrados. Por lo tanto para una muestra que contiene una serie de n observaciones x1, x2,…, xn, la media aritmética puede escribirse como:” Estadísticos e-Books & Papers

(Berenson & Levine, 1996) - “La media de las observaciones X1, X2, …, Xn es el promedio aritmético de estas y se denota por -

La media es una medida apropiada de tendencia central para muchos conjuntos de datos. Sin embargo, dado que cualquier observación se en conjunto se emplea para su cálculo, el valor de la media puede afectarse de manera desproporcionada por la existencia de algunos valores extremos”. (Canavos, 1987 ) - “La media aritmética de un conjunto de n observaciones Y1, Y1, …, Yn es igual a la suma de las observaciones dividida entre n”. (Mendenhall, 1990) - “La media aritmética es solamente el nombre técnico dado al promedio para distinguirlo de otras medidas que también se podrían denominar promedio. Cuando usamos los datos originales o brutos, la media de la población se define como la sumatoria de todas las observaciones divididas por el número de observaciones”. (Mills, 1980) - “La media de un conjunto de observaciones numéricas es la suma de los valores del conjunto, dividida por el número de observaciones, es decir, su promedio”. (Newbold, Carlson, & Thorne, 2008)

Muestra - “La muestra es un subconjunto representativo seleccionado de una población. Una buena muestra es aquella que refleja las características esenciales de la población de la cual se obtuvo. En estadística, el objetivo de las técnicas de muestreo es asegurar que cada observación de la población tiene una oportunidad igual e independiente de ser incluida en la muestra”. (Canavos, 1987 ) - “Es una colección de mediaciones seleccionadas de la población de interés”. Estadísticos e-Books & Papers

(Mendenhall, 1990) - “Porción representativa de la población que se selecciona para su estudio porque la población es demasiado grande para analizarla en su totalidad. Es la porción de la población que se selecciona para análisis”. (Webster, 2000)

Percentiles - “Es una forma de medir la dispersión de un conjunto de datos. Los percentiles dividen un conjunto de datos en 100 partes iguales. El primer percentil es el valor por debajo del cual se localizan no más del 1% de las observaciones y el resto por encima. Un percentil y su localización en una serie ordenada se indican por medio de subíndices. Por ejemplo, el percentil 15º se indica como P15 y su localización en l serie ordenada es L15”. (Webster, 2000) - “Hay algunas medidas útiles de posición “no central” que suelen utilizarse al resumir o descubrir propiedades de grandes conjuntos de datos cuantitativos. A estas medidas se les denomina cuantiles. Algunos de los cuantiles más utilizados son los deciles (que dividen los datos ordenados en decimos) y los percentiles (que los dividen en centésimos)”. (Berenson & Levine, 1996) - “Son fractiles que dividen los datos en 100 partes iguales”. (Levin & Rubin, 2004 ) Población - “La población es la totalidad de elementos o cosas que se consideran”. (Berenson & Levine, 1996) - “Es la colección completa de todas las observaciones de interés para el investigador”. (Webster, 2000) - “La población es la colección de toda la posible información que caracteriza un fenómeno. Es cualquier colección ya sea de un número finito de mediciones o una colección grande virtualmente infinita, de datos acerca de algo de interés”. (Canavos, 1987 ) - “Es el conjunto de todas las mediciones de interés al muestrista”. (Mendenhall, 1990)


Prueba de bondad de ajuste Anderson-Darling - “This method is similar to the Kolmogorov –Smirnov approach except that it weights the differences between the two distributions at their tails grater than at their midranges. This approach is useful when you need a better fit at the extreme tails of the distribution. A computed value of less than 1,5 generally indicates a good fit”. (Evans & Olson, 2002) Prueba de bondad de ajuste JI-cuadrada - “…utilizando la prueba ji-cuadrada para determinar si la proporción de éxitos era o no igual en cada uno de los diversos grupos, así como para probar si había alguna asociación entre 2 variables cualitativas. En cada una de estas aplicaciones de la prueba ji-cuadrada con la ecuación se tuvo, para un numero particular de grados de libertad, -

Este estadístico de la prueba midió la diferencia al cuadrado entre las frecuencias teóricas (fe) y la observada (f0) en una celda dividida entre la frecuencia teórica en cada celda. La frecuencia teórica en la celda se basó en una hipótesis nula de, ya sea, no hay diferencia en la proporción de éxitos en todos los grupos o no hay asociación entre las variables. Otra importante aplicación de la prueba ji cuadrada es la de probar la bondad de ajuste de un grupo de datos en una distribución especifica probabilidad. Al probar la bondad de ajuste de un grupo de datos, se comparan las frecuencias reales en cada categoría (o intervalo de clase) con las frecuencias que, teóricamente se esperarían si los datos siguiera una distribución especifica de probabilidad. Al efectuar la prueba ji cuadrada para la bondad del ajuste se requieren varios pasos. Primero, hay que establecer la hipótesis de la distribución de probabilidad que se va a ajustar a los datos. Segundo, una vez determinada la distribución de probabilidad hipotética, los valores de cada parámetro de la distribución (tal como la media) se deben poner como hipótesis o estimar con los datos reales. A continuación se utiliza la distribución de probabilidad hipotética específica para determinar la probabilidad, y luego, la frecuencia teórica para cada categoría o intervalo de


clase. Para terminar se puede emplear el estadístico de la prueba ji cuadrada para probar so la distribución especifica tiene o no un buen ajuste con los datos”. (Berenson & Levine, 1996) - “Utilizamos la prueba ji cuadrada para decidir si aceptamos o no una hipótesis nula que era una hipótesis de independencia entre dos variable. La prueba ji cuadrada puede utilizarse también para decidir si una distribución de probabilidad en particular, como la binomial, la de Poisson o la normal, es la distribución apropiada. Esta es una habilidad importante, porque como tomadores de decisiones que utilizamos la estadística, necesitaremos escoger una cierta distribución de probabilidad para representar la distribución de los datos que tengamos que trabajar. Necesitaremos la habilidad de cuestionar que tan lejos podemos avanzar a partir de las suposiciones que subyacen en una distribución particular antes de que debamos concluir que tal distribución ya no se puede aplicar. La prueba ji cuadrada nos permite hacernos esta pregunta y probar si existe una diferencia significativa entre una distribución de frecuencias observada y una distribución de frecuencias teórica. De esta manera podemos determinar la bondad de ajuste de una distribución teórica (es decir, que tan bien se ajusta a la distribución de datos que observaos en realidad). Así pues, podemos determinar si debemos creer que los datos observados constituyen una muestra obtenida de la distribución teórica hipotetizada”. (Levin & Rubin, 2004 ) - “Es un procedimiento con el cual pretendemos determinar si los datos observados provienen de una distribución método consiste en comparar la frecuencia teóricamente considerada. El observada con la frecuencia esperada según el modelo teórico considerado. Si la diferencia entre las frecuencias observadas y esperadas es tan apreciable que difícilmente pueda deberse al azar solamente se concluye que la muestra no se ha tomado de la población que ha dado lugar a las frecuencias esperadas”. (Chao, 1993)

Prueba de bondad de ajuste Kolmogorov-Smirnov. - “Se trata de un método no paramétrico sencillo para probar si existe una diferencia significativa entre una distribución de frecuencia observada y otra de frecuencia teórica. La prueba K-S es por consiguiente otra medida de la bondad de ajuste de una distribución de frecuencia teórica como lo es la


prueba jicuadrada. Sin embargo la prueba K-S tiene varias ventajas sobre la prueba jicuadrada: es una prueba más poderosa y es más fácil de utilizar, puesto que no requiere que los datos se agrupen de alguna manera. La estadística K-S, Dn, es particularmente útil para juzgar que tan cerca está la distribución de frecuencia observada de la distribución de frecuencia esperada, porque la distribución de probabilidad de Dn depende del tamaño de muestra n, pero es independiente de la distribución de frecuencia esperada (Dn es una estadística de “distribución libre”)”. (Levin & Rubin, 2004 ) - “The X² test requires a fair amount of data to have a reasonable number of cells, each with at least five observations. For small samples, the kolmogorovSmirnov test provides a more suitable test for goodness of fit. Furthermore, the X² test often requires using the data itself to estimate distribution parameters. The Kolmogorov-Smirnov test is not limited by these factors. The underlying idea of the Kolmogorov -Smirnov test is to sort the data in ascending order and find the gratest difference between the theoretical value for each ranked observation and that observation´s theoretical counterpart”. (Evans & Olson, 2002)

Rango - “El rango es la diferencia entre las observaciones mayor y la menor de un conjunto de datos”. Rango= Xmayor - Xmenor (Berenson & Levine, 1996) - “Para datos brutos o sin agrupación, el rango se define como la diferencia entre el valor más alto y el más bajo en un conjunto de datos. Con datos agrupados no se saben los valores máximos y mínimos. Si no hay intervalos de clase abiertos podemos aproximar el rango mediante el uso de los límites de clase. Se aproxima el rango tomando el límite superior del intervalo de clase menos el límite inferior”. (Mills, 1980) - “El rango o recorrido de un conjunto de datos es la diferencia entre la mayor y la menor de sus observaciones”. (Newbold, Carlson, & Thorne, 2008)


Sesgo muestral - “Ocurre cuando en el proceso de muestreo hay una tendencia a seleccionar determinado elementos de la muestra en lugar de otros. Si el diseño del procedimiento no es correcto y tiende a promover la selección de demasiadas unidades con una característica particular a expensas de otras que no tengan esa característica, se dice que la muestra es sesgada”. (Webster, 2000) - “Las curvas A y B son curvas sesgadas. están sesgadas porque los valores de su distribución de frecuencia están concentradas en el extremo inferior o en el superior de la escala de medición del eje horizontal. Los valores no están igualmente distribuidos. la curva A esta sesgada hacia la derecha (o positivamente sesgada) debido a que va disminuyendo poco a poco hacia el extremo izquierdo de la escala. La curva B es exactamente lo opuesto. Esta sesgada hacia la izquierda (negativamente sesgada) ya que disminuye poco a poco si la recorremos hacia el extremo inferior de la escala.

CURVA A

CURVA B La curva A podría representar la distribución de frecuencias del número de días que un producto se encuentra en existencia en un negocio de venta de frutas al mayoreo. La curva estaría sesgada hacia la derecha con muchos valores en el extremo inferior y pocos en el extremo derecho, debido a que el inventario debe agotarse rápidamente. De manera análoga la curva B podría representar la frecuencia del número de días que requiere un agente de bienes raíces para vender una casa. Estaría sesgado hacia la izquierda, con muchos Estadísticos e-Books & Papers Papers

valores en el extremo superior de la escala y pocos en el inferior, debido a que el inventario de casas se coloca muy lentamente”. (Levin & Rubin, 2004 ) - “La distribución de los datos es o no simétrica. Si la distribución de los datos no es simétrica se llama asimétrica o sesgada. Por tanto el sesgamiento se aplica a la falta de simetría en la distribución de los datos. Aunque se han desarrollado varias medidas para la forma, es suficiente (para fines descriptivos) comentar la importante propiedad de los datos en términos de simetría o carencia de ella., sin emplear ninguna medida particular. Para describir la propiedad de la forma solo se necesita comparar la media y la mediana. Si estas dos medidas son iguales se puede considerar que los datos son simétricos (o con sesgamiento cero). Por otra parte, si la media excede de la mediana, se pueden describir los datos como positivos o con sesgamiento a la derecha, mientras que si la mediana excede de la media, los datos se pueden llamar negativo o con sesgamiento a la izquierda. El sesgamiento positivo ocurre cuando se aumenta la media con valores inusitadamente altos, mientras que el sesgamiento negativo surge cuando se disminuye la media con valores en extremo bajos”. (Berenson & Levine, 1996)

Simulación - “Sería conveniente describir algunas de las definiciones más aceptadas y difundidas de la palabra simulación. Thomas H. Naylor la define así: Simulación es una técnica numérica para conducir experimentos en una computadora digital. Estos experimentos comprenden ciertos tipos de relaciones matemáticas y lógicas las cuales son necesarias para describir el comportamiento y la estructura de sistemas complejos del mundo real a través de largos periodos de tiempo. La definición anterior está en un estado muy amplio, pues puede incluir desde una maqueta, hasta un sofisticado programa de computadora. En sentido más estricto, H. Maisel y G. Gnugnoli, definen simulación como; Simulación es una técnica numérica para realizar experimentos en una computadora digital. Estos experimentos involucran ciertos tipos de modelos Estadísticos e-Books & Papers Papers

matemáticos y lógicos, que describen el comportamiento de sistemas de negocios, económicos, sociales, biológicos, físicos o químicos a través de largos periodos de tiempo. Otros estudiosos del tema como Robert E. Shannon. Definen simulación como: Simulación es el proceso de diseñar y desarrollar un modelo computarizado de un sistema o proceso y concluir experimentos con este modelo con el ropósito de entender el comportamiento del sistema o evaluar varias estrategias con las cuales se puede operar el sistema”. (Coss Bu, 1994) - “La simulación de un sistema antes de su construcción suele requerirse en el diseño de sistemas operativos de diversos tipos. Dicha simulación se logra usualmente con la ayuda de una computadora. Sin embargo, la idea subyacente a ella puede ilustrarse con una tabla de dígitos aleatorios”. (Milton & Arnold, 2004) - “Simulation is the process of building a mathematical or logical model of a system or a decision problem, and experimenting with the problem to obtain insight into the system`s behavior or to assist in solving the decision problem. The two key elements of this definition are model and model and experiment. The principal advantage of simulation lies in its ability to model any appropriate assumptions about a problem or system, making it the most flexible management science tool available”. (Evans & Olson, 2002)

Simulación Montecarlo - “Monte Carlo simulation is basically a sampling experiment whose purpose is to estimate the distribution of an outcome variable that depends on several probabilistic input variables. The term Monte term Monte Carlo Simulation was Simulation was fir used during the development of the atom bomb as a code name for computer simulations of nuclear fission. Researchers coined this term because of the similarity to random sampling in games of chance such as roulette in the famous casinos of Monte Carlo. Monte Carlo simulation is often used to evaluate the expected impact of policy changes and risk involved in decision making”. (Evans & Olson, 2002) Estadísticos e-Books & Papers Papers

Valor esperado - “El valor esperado, E(X), de una variable aleatoria X se define como -

Donde la notación indica que la suma es sobre todos los posibles valores de x. el valor esperado de una variable aleatoria se conoce como su media y se representa µx”. (Newbold, Carlson, & Thorne, 2008) - “Es el promedio pesado del valor de cada resultado posible multiplicado por la probabilidad de dicho resultado. Aunque existen muchos valores diferentes posibles que la variable aleatoria puede tomar, el valor esperado es un solo número”. (Levin & Rubin, 2004 ) - “Se puede considerar como su promedio ponderado sobre todos los resultados posibles, siendo las ponderaciones la probabilidad relacionada con cada uno de los resultados. Esta medida de resumen se puede obtener multiplicando cada resultado posible X por su probabilidad correspondiente P(X), y después sumando los productos resultantes. Por lo tanto el valor esperado de la variable aleatoria discreta X, representada como E(X) se puede expresar de la forma siguiente.

Donde X= variable aleatoria discreta de interés Xi= resultado i de X P(Xi)= Probabilidad de ocurrencia del evento i de X i= 1, 2, …, N” (Berenson & Levine, 1996)

Valor P o valor de significancia - “El valor p es la probabilidad de obtener una prueba estadística igual o más Estadísticos e-Books & Papers Papers

rigurosa que el resultado observado, dando por sentado que Ho es cierta. Con frecuencia al valor p se le denomina nivel observado de significación, el nivel más pequeño en el cual se puede rechazar Ho para un determinado grupo de datos. Si el valor p es mayor o igual que α, la hipótesis nula no se rechaza; si el valor p es menor que α, se rechaza la hipótesis nula”. (Berenson & Levine, 1996) - “El nivel de significancia de una prueba corresponde a la probabilidad de cometer el error tipo I. Es decir, es la probabilidad de rechazar Ho, siendo Ho verdadera. Esta probabilidad se denota con la letra α y corresponde al área de rechazo; de tal forma que se igualara al total del área derecha o del área izquierda si se tratara de pruebas de una cola o se repartirá en partes iguales entre las dos colas, si se trata de una prueba bilateral. El termino significancia se debe a que la diferencia entre el valor hipotético y el resultado muestral es de una magnitud que se puede considerar de una significancia tal como para no pensar que su valor observado es debido al azar. Por otra parte cuando el valor de la estadística de prueba cae en la región de rechazo la prueba se dice significativa. Los niveles de significancia, como es de esperarse, se toman de magnitud pequeña y son los más usuales: 0.1, 0.5, 2.5, 5, 10%. Dentro de la metodología moderna de la estadística una vez determinado el valor de la estadística de prueba se calcula el área superior p (inferior); luego esta área se compara con la dada por el nivel de significancia; si es menor, se rechaza la hipótesis nula; si no lo es, no se rechaza. Pero el asunto va mucho más allá, puesto que hay una tendencia a no fijar de antemano el nivel de significancia α, sino a determinar el valor p y luego tomar ese valor como referencia para decir hasta donde el valor de la estadística de prueba hace significativa la prueba y surge así el concepto del valor p. Un valor p es el nivel más bajo (de significancia) en el cual el valor observado de la estadística de prueba es significativo”. (Chao, 1993)

Variable aleatoria - “Sea S un espacio muestral sobre el que se encuentra definida una función de probabilidad. Sea X una función de valor real definida sobre S, de manera que transforme los resultados de S en puntos sobre la recta de los reales. Se dice entonces que X es una variable aleatoria. Se dice que X es aleatoria porque involucra la probabilidad de los resultados del espacio muestral, y X


es una función definida sobre el espacio muestral de manera que transforma todos los posibles resultados del espacio muestral en cantidades numéricas”. (Canavos, 1987 ) - “Una variable Y es una variable aleatoria si los valores que toma corresponden a los distintos resultados posibles de un experimento, y por ello el hecho de que tome un valor particular es un evento aleatorio”. (Mendenhall, 1990) - “Una variable aleatoria es una variable que toma valores numéricos determinados por el resultado de un experimento aleatoria”. (Newbold, Carlson, & Thorne, 2008)

Varianza - “Es la media aritmética de las desviaciones respecto de la media aritmética elevadas al cuadrado. Para esto hay que hallar: 1) la cantidad en que cada observación se desvía de la media aritmética, 2) elevar al cuadrado esas desviaciones y 3) hallar la media aritmética de estas desviaciones elevadas al cuadrado. La varianza de una población es:

Donde X1, X2, X3,…, Xn son las observaciones individuales Es la media aritmética de la población n es el número de observaciones”. (Webster, 2000) - “La varianza de las observaciones X1, X2, …, Xn, es, en esencia, el promedio del cuadrado de las distancias entre cada observación y la media del conjunto de observaciones. La varianza se denota por

La varianza es una medida razonablemente buena de la variabilidad debido a que si muchas de las diferencias son grandes (o pequeñas) entonces el valor de la varianza será grande (o pequeño). El valor de la varianza puede sufrir un cambio muy desproporcionado, aún más que la media, por la existencia de Estadísticos e-Books & Papers

algunos valores extremos en el conjunto”. (Canavos, 1987 ) - “La varianza de una muestra de n observaciones Y1, Y2,…, Yn se define como la suma de los cuadrados de las desviaciones de las observaciones respecto a su media, dividida esta suma entre (n-1)”. (Mendenhall, 1990)

CAPITULO 11 CONCEPTOS DE PROYECTOS Los términos que se presentan a continuación han sido seleccionados con el objetivo de resolver las dudas que el lector pueda tener alrededor de conceptos de proyectos importantes manejados en el texto y requeridos para la evaluación financiera de proyectos con análisis de riesgo. Se presentan en orden alfabético para facilitar su búsqueda. Para cada uno de los términos se presentan una o varias definiciones seleccionadas y debidamente referenciadas de diferentes textos y autores reconocidos en el tema, consideradas completas y sencillas según el criterio de los autores.

Amortizaciones - “Pago o extinción de una deuda, generalmente a largo plazo, como en el caso de deudas públicas o hipotecarias, que se amortiza mediante pagos periódicos a cuenta de la deuda contraída”. (Brand, 1999) - “El término “amortización” se utiliza para describir una eliminación sistemática o gastos del costo de un activo intangible durante su vida útil. El asiento contable usual para la amortización consiste de un debito a Gasto de amortización y un crédito a la cuenta de Activos intangibles. No existe objeción teórica para acreditar una cuenta de amortización acumulada, en lugar de una cuenta de activos intangibles, pero este método se encuentra rara vez en la práctica. Aunque es difícil estimar la vida útil de un intangible tal como una marca registrada, es bastante probable que tal activo no contribuya a las utilidades futuras de manera permanente. Por consiguiente, el costo del activo intangible debe ser deducido del ingreso durante los años en los cuales se puede esperar que éste ayude a producir ingresos. Bajo las reglas corrientes del Financial Accounting Standards Board –FASB-, el periodo máximo para


la amortización de un activo intangible no puede exceder 40 años. Normalmente se utiliza el método en línea recta para amortizar activos intangibles”. (Meigs, Meigs, Battner, & Whittington, 1998) - “Termino contable que viene a significar la pérdida del valor de un activo financiero, mediante un pago o anulación, como consecuencia del uso, del transcurso del tiempo, de los adelantos de la técnica o del cumplimiento del fin para el que estaba destinado”. (Estupiñán Gaitan & Estupiñán Gaitan, 2006)

Análisis de escenarios - “Constituye la técnica más sencilla y de uso más común en el análisis de riesgos. Los miembros del equipo valoran la importancia de cada evento de riesgo en términos de lo siguiente: Probabilidad del evento Impacto del evento En pocas palabras, es necesario evaluar los riesgos en términos de la probabilidad de que éste se presente y en su impacto o consecuencia. Proceso en el que se identifica y se analizan los acontecimientos de riesgo potencial”. (Gary & Larson, 2009) ü

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- “Mecanismo para evaluar la consecución de posibles resultados de un proyecto si se tiene en cuenta tres escenarios probables: optimista, pesimista y más probable o esperado”. (Toro López, 2009) - “Análisis de los proyectos según diversas combinaciones de supuestos”. (Brealey, C., & Marcus, 2007)

Análisis de sensibilidad - “Tiene como objetivo medir los efectos en el criterio de decisión (valor presente neto, tasa interna de retorno, etc.) de cambios en las variables que conforman el proyecto, como precio, cantidad demanda, costos tasa de descuento”. (Rosillo, 2008) - “Todas las estimaciones del proyecto son variables que dependen de los acontecimientos futuros. Seguramente, nunca vamos a acertar con exactitud las estimaciones de nuestro proyecto. Por tal motivo, es sumamente Estadísticos e-Books & Papers

importante realizar un análisis de sensibilidad para responder a preguntas tales como: ¿Qué pasaría con nuestras estimaciones en caso de que alguna variable cambie? ¿Cuánto puede incrementar una variable de costo y el proyecto sigue siendo rentable? ¿Cuánto pueden caer las ventas (precios o cantidades) y el proyecto sigue siendo rentable? ¿Cuáles son las variables que más afectan al proyecto? ¿Cómo se vería afectado el proyecto si cambian muchas variables en forma simultánea? ¿Cuánto cambiaría la duración del proyecto si cambia alguna variable? Cuatro herramientas de análisis de sensibilidad muy utilizadas en la planificación del proyecto: Punto de equilibrio Elasticidad de las distintas variables Análisis de sensibilidad de dos variables Análisis de escenarios”. (LLedó & Rivarola, 2007) ü

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- “Análisis de los efectos que los cambios de las ventas, los costes, etc., producen en la rentabilidad de los proyectos”. (Brealey, C., & Marcus, 2007)

Análisis IRVA - “Este método se basa en dos herramientas analíticas que completan el método del VAN como son: la amortización de la inversión inicial y el payback descontado. Para analizar la amortización de la inversión inicial se utiliza un enfoque semejante al de la amortización de un préstamo. Si se examina la tabla de amortización del préstamo es posible determinar cuánto valor se crea y cuando ocurre esa creación de valor. Si se compara el préstamo con una inversión existe una similitud entre el pago o anualidad en el caso del préstamo y el FCL en el caso de la inversión. De la anualidad del préstamo es posible deducir la amortización siendo el interés del préstamo similar al coste del capital invertido y la amortización similar a la recuperación del capital invertido. Si se examina la tabla de la amortización de la inversión será posible encontrar si ocurre o no creación de


valor y si es así, cuando. Si se recuerda la idea del VAN y como mide la creación de valor, esta sugiere que se crea valor cuando en una inversión se recupera el capital invertido y se remunera a las fuentes de financiación y lo que quede es el valor creado. Pues bien, con esta idea se trata de medir en cada periodo lo que queda del FCL después de pagar el coste del dinero invertido. Lo que queda se destina a recuperar la inversión y después de recuperada la inversión en su totalidad, se puede hablar de creación de valor. El remanente que queda en cada periodo después de pagar. El IRVA se calcula así: Flujo de caja libre real menos el coste del capital de la empresa por el saldo de los activos totales al inicio del periodo. El valor que tome el IRVA nos va a servir para medir la labor de la dirección y saber si se ha creado o destruido valor. Cuando la inversión se recupere en su totalidad, se estará creando valor si el IRVA es positivo. La expresión matemática que lo define es la siguiente: IRVAt = FCLt – Ko x (Io - Σ IRVAj) Donde, IRVAt, es la inversión recuperada y valor agregado en t. FCLt, es el flujo de caja libre en el periodo t. Ko, es el coste del capital medio ponderado en t. Io, es la inversión inicial. IRVAj, es el IRVA de los periodos anteriores. El momento del tiempo en el que se recupera el capital invertido y su coste, a partir de ese momento hay creación de valor y este punto en el tiempo se llama periodo de repago descontado”. (Vélez Pareja, 2002)

Apalancamiento financiero y tipos de apalancamiento financiero - “Utiliza como instrumento de apalancamiento los costos fijos financieros que debe pagar una empresa a sus fuentes externas de financiamiento de sus inversiones y operaciones. El grado de apalancamiento financiero (GAF) se define de la siguiente forma: Grado de apalancamiento financiero=((Ventas-Costos variables totales))/((Ventas-Costos variables totales-intereses) ) La interpretación de este indicador ya no parte de duplicar la producción y las Estadísticos e-Books & Papers

ventas, sino de incrementar en un 100% las utilidades antes de impuestos e intereses, lo que usualmente, se conoce como EBIT”. (Rosillo, 2008) - “Surge de la existencia de las cargas fijas financieras que genera el endeudamiento y se define como la capacidad de la empresa de utilizar dichas cargas fijas con el fin de incrementar al máximo el efecto que un incremento de la UAII puede tener sobre las utilidades por acción. Por lo tanto, el A palancamiento Financiero como medida, muestra el impacto de un cambio en la UAII sobre la UPA. La medida de apalancamiento se denomina “grado de apalancamiento financiero” o “grado de ventaja financiera” y muestra la relación de cambio de la UPA frente a un cambio determinado en las UAII, siempre para un determinado volumen de referencia. Se calcula así”: °  =%      %      (García S., 1999) Atributos de un proyecto - “Los atributos siguientes ayuda a definirlo: El proyecto tiene un objetivo bien definido ü

Un proyecto se realiza por medio de una serie de tareas interdependientes Un proyecto utiliza varios recursos para realizar las tareas Un proyecto tiene un marco de tiempo específico, o una duración finita Un proyecto puede ser una tarea única o que se realiza una sola vez Un proyecto tiene un cliente Por último, un proyecto involucra cierto grado de incertidumbre” (Gido & Clements, 2007) ü

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Capacidad Exceso u Ociosa - “Cuando es posible observar capacidad subutilizada de una empresa para producir. Por ejemplo, cuando tiene la posibilidad de producir más y no lo hace por razones fundamentalmente de falta de demanda o por inconvenientes económicos”. (Sapag Chaín, 2007) Capacidad Instalada - “El tamaño de un proyecto corresponde a su capacidad instalada y se Estadísticos e-Books & Papers

expresa en número de unidades de producción por año. Se distinguen tres tipos de capacidad instalada: Capacidad de diseño: tasa estándar de actividad en condiciones normales de funcionamiento; Capacidad del sistema: actividad máxima posible de alcanzar con los recursos humanos y materiales trabajando de manera integrada; Capacidad real: promedio actual de actividad efectiva, de acuerdo con variables internas (capacidad del sistema) y externas (demanda)”. (Sapag Chaín, 2007) ü

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Capital de trabajo - “Los recursos que una empresa adquiere para llevar a cabo sus operaciones sin contratiempo alguno. Dichos recursos están representados por el inventario, las cuentas por cobrar y el efectivo que la empresa combina a través de un proceso que denomina rotación, con el fin de aprovechar en forma eficiente su capacidad instalada, a través de la generación de utilidades y flujo de caja”. (García S., 1999) - “El capital de trabajo es otra medida utilizada frecuentemente para expresar la relación entre activos y pasivos corrientes. “el capital de trabajo” es el exceso de activos corrientes sobre pasivos corrientes”. (Meigs, Meigs, Battner, & Whittington, 1998)

Ciclo de vida de un proyecto - “El ciclo de vida del proyecto atraviesa, en forma secuencial, cuatro etapas: definición, planeación, ejecución y entrega. El punto de partida se inicia en el momento en que arranca el proyecto. Los esfuerzos comienzan poco a poco, pero llegan a un punto máximo y luego caen hasta la entrega del proyecto al cliente. 1. Etapa de definición: se definen las especificaciones del proyecto; se establecen sus objetivos; se integran equipos; se asignan las principales responsabilidades. 2. Etapa de planeación: aumenta el nivel de esfuerzo y se desarrollan planes para determinar qué implicara el proyecto, cuándo se programará, a quién beneficiará, que nivel de calidad debe mantenerse y cuál será el presupuesto. Estadísticos e-Books & Papers

3. Etapa de ejecución: una gran parte del trabajo del proyecto se realiza tanto en el aspecto físico como en el mental. Se elabora el producto físico (un puente, un informe, un programa de software) Se utilizan las mediciones de tiempo, costo y especificaciones como medios de control del proyecto. ¿El proyecto está dentro de lo programado, dentro de lo presupuestado y cumple con las especificaciones? ¿Cuáles son los pronósticos para cada una de estas medidas? ¿Qué revisiones/cambios se necesitan? 4. Etapa de entrega: comprende dos actividades: entregar el producto del proyecto al cliente y volver a desplegar los recursos del proyecto. Lo primero puede comprender la capacitación del cliente y transferencia de documentos. Lo segundo implica, por lo general, la liberación del equipo/materiales del proyecto hacia otros proyectos y encontrar nuevas asignaciones para los integrantes del equipo”. (Gary & Larson, 2009) - “En general, los proyectos se dividen en destinas fases con el objeto de hacer más eficiente la administración y el control. A estas fases en su conjunto se les denomina ciclo de vida del proyecto. Cada fase del proyecto se considera completa cuando finaliza la producción de entregable. Los entregables son los bienes o servicios claramente definidos y verificables que se producen durante el proyecto o que son sus resultados. Ejemplo de entregable son: un estudio de pre factibilidad, un estudio de factibilidad, el diseño de un producto, la implementación de un producto en el mercado, etcétera. Si bien las fases de cada proyecto en particular tienen similares nombres y requerimientos de entregables, casi todos los proyectos son distintos. La mayoría comprende cuatro o cinco fases, pero algunos pueden tener varias fases adicionales en función del tamaño del emprendimiento”. (LLedó & Rivarola, 2007) - “El término “proyecto” involucra una secuencia de tareas que se inicia con la definición y delimitación de una jerarquía de objetivos interrelacionados en una cadena medio-fin. Incluye la información la formulación y evaluación de diversas alternativas, la selección de la mejor alternativa, la gestión de la misma y solo se considera “terminado” con una evaluación ex post, cuyas conclusiones deben servir para alimentar la definición y ejecución de Estadísticos e-Books & Papers

proyectos futuros. Este conjunto de actividades es comúnmente denominado “el ciclo del proyecto”. Todos los proyectos siguen su propio ciclo. Existen muchas versiones acerca de lo que es “el ciclo de un proyecto” diferenciadas esencialmente por el manejo de la terminología y la cronología o secuencia de algunas actividades. En este texto, proponemos un enfoque flexible de la definición del ciclo del proyecto, basado en tres principios básicos: Cada etapa del ciclo tiene su razón de ser y, por tanto, no debería limitarse a hacer una repetición más detallada de las labores realizadas en etapas anteriores. ü

Es importante involucrar, desde el principio del ciclo del proyecto, a los distintos actores interesados o involucrados en el mismo, para que colaboren conjuntamente en su diseño, evaluación y gestión. Con ello se evitará la necesidad de replantear sustancialmente un proyecto en las atapas avanzadas de su preparación, con el fin de corregir aspectos básicos que se hubieran podido concebir de manera correcta desde el inicio. Asimismo, se adquiere continuidad en los procesos de planeación y gestión.

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El ciclo no se debe entender como una secuencia inflexible; se necesita construirlo sobre una secuencia flexible que se adapte con facilidad frente a las realidades de cada proyecto. El ciclo no representa una camisa de fuerza lineal, sino una lógica de progresión de un proyecto. Sobre las diversas etapas, se puede proceder de manera interactiva, de tal forma que los hallazgos y las decisiones de una etapa pudieran conducir a revisitar etapas ya trabajadas. ü

En su forma general, el ciclo del proyecto comprende tres etapas, a saber: Etapa de formulación Desarrollo de alternativas, evaluación ex ante

Etapas de gestión Ejecución de actividades e inversiones,


evaluación sobre la marcha

Etapa ex post Gerencia de efectos e impactos de mediano y largo plazo y largo plazo Evaluación post Las etapas sugieren una secuencia para el desarrollo del proyecto, que permite avanzar sobre la formulación y gestión del mismo. No obstante, la secuencia necesariamente tiene que entenderse de manera flexible, a fin de que las propuestas y las decisiones de la etapa de formulación se puedan revisitar en la medida que la gestión del proyecto sugiera que no se están logrando los objetivos propuestos o se están generando efectos o impactos no esperados. Por tanto, el ciclo podría entenderse gráficamente de la siguiente forma:

Etapa de formulación Desarrollo de alternativas, evaluación ex ante

Etapas de gestión Ejecución de actividades e inversiones,

evaluación sobre la marcha


Etapa ex post Gerencia de efectos e impactos de mediano

y largo plazo y largo plazo Evaluación post No existe consenso universal sobre la denominación de estas diferentes etapas ni sobre los límites entre una y otra. Sin embargo, una discusión detallada de la terminología resultaría poco fructífera. En este texto, se presenta una definición básica de las diferentes etapas y algunas fases dentro de cada etapa, sin ánimo de introducir rigidez en el manejo de la terminología. No obstante, cabe destacar una limitación de algunas presentaciones del ciclo del proyecto, con el fin de diferenciarlas se propone un ciclo de tres actividades o tres etapas que se interrelacionan de manera circular: la formulación, la gestión y la evaluación. Es nuestro pensar que la evaluación no constituye una etapa separada del ciclo del proyecto, sino una actividad que se realiza en las diversas etapas del ciclo. La evaluación apoya los análisis y las decisiones en las diferentes fases de la etapa de formulación; es, a su vez, una herramienta que apoya la gestión de las actividades e inversiones y, realizada en la etapa ex post, documenta experiencia y alimenta futuras iniciativas. La separación de la evaluación como etapa separada del ciclo del proyecto ha facilitado que la evaluación se entienda como una actividad que puede ser posterior a la gestión. En su lugar, si definimos la evaluación como actividad y herramienta de todas las etapas del ciclo, toma un rol de apoyo a las decisiones y las actividades durante todo el ciclo”. (Mokate, 2004)

Costo Anual Uniforme Equivalente (CAUE) - “El costo anual equivalente consiste en reducir todos los ingresos y todos los egresos a una serie uniforme de pagos que sea equivalente a los ingresos y egresos originales, de esta forma, los costos durante un año de una alternativa


se pueden comparar con los costos durante un año de la otra alternativa. Normalmente el periodo de comparación es el año, pero puede darse el caso en que el periodo de comparación sea el mes en cuyo caso se puede decir como costo mensual uniforme equivalente (CMUE). La ventaja de este índice es que no exige que se tenga que tomar tiempos iguales como en el caso del VAN, sino que únicamente se comparan los costos, que de forma equivalente, se hayan causado durante un año”. (Baca Currea, 2005)

Costos de operación - “Corresponde al gasto en remuneraciones, arriendo, comunicaciones, uniformes, publicidad, insumos varios, contabilidad, sistemas de información, seguros, mantenimiento de oficinas y maquinarias, materiales de oficina y energía”. (Sapag Chaín, 2007) - “La segunda gran categoría de costos corresponde a los costos de operación, que consisten en los desembolsos por insumos y otros rubros necesarios para el ciclo productivo del proyecto a lo largo de su funcionamiento. Estos costos se pueden clasificar en costos de producción, de ventas, administrativos y financieros. Éstos, a su vez, se pueden desagregar, entre otros, en costos de mano de obra, materias primas e insumos, arriendos y alquileres, y costos financieros e impuestos. Los costos de operación se registran en el periodo en que se producen los respectivos desembolsos (contabilidad de caja) En toda evaluación es necesario distinguir entre los costos de operación que son deducibles de impuestos sobre la renta y los que no se pueden deducir. Donde la mayoría de ellos son deducibles, cualquier costo que no lo sea se registrará en el flujo de fondos de una manera diferente a los demás costos. Generalmente, la estimación de los costos del proyecto incluye también un rubro para “imprevistos””. (Mokate, 2004)

Costos fijos - “Son aquellos que permanecen constantes durante un período determinado y para una escala pertinente de producción. Están directamente relacionados con la capacidad instalada de la empresa, su incurrencia es fruto de decisiones específicas que toma la administración y pueden variar dependiendo de dichas decisiones. Por ejemplo, la administración pue4de Estadísticos e-Books & Papers Papers

decidir si para un volumen determinado de producción utiliza 1 o 2 supervisores, 1 o 2 mecánicos, lubricantes de X o Y calidad, etc. Esto le da a algunos costos fijos el carácter de “discrecionales”, que al ser planeados o programados para mantener una determinada capacidad de producir y vender, adquieren el carácter de “costos periódicos”, que deberían confrontarse contra los ingresos del período en el que se incurren y no ser considerados como costos del producto susceptibles de capitalizar en forma de inventario, tal como lo hace el sistema tradicional de costeo total, también llamado “costeo absorbente” Desde el punto de vista unitario, los costos fijos son variables por unidad”. (García S., 1999) - “Los costos fijos son aquellos independientes del volumen de unidades asignadas a una tarea y/o de su duración”. (Toro López, 2009) - “Son aquellos que no se alteran ante cambios en los niveles de producción; por ejemplo, el arriendo, los salarios del personal administrativo, los servicios públicos (según el producto o servicio), la depreciación, etc. Esta definición no debe mirarse de manera absoluta, porque puede ocurrir que después de determinado nivel de producción sea necesario incrementar el personal administrativo u otros costos fijos”. (Rosillo, 2008)

Costos variables - “Los variables se modifican –no necesariamente en forma proporcional – con el nivel de uso de los recursos requeridos por una tarea”. (Toro López, 2009) - “Son los que cambian con la producción, como la materia prima y la mano prima y la mano de obra directa; directa; por ejemplo, si para fabricar 100 camisas por día se requiere 150 metros de tela, la fabricación de 200 camisas necesitara 300 metros”. (Rosillo, 2008)

Depreciaciones - “El reconocimiento de un costo o de un gasto como consecuencia de un costo o de un gasto como consecuencia del deterioro o la obsolescencia de ciertos activos fijos (los depreciables). Por lo tanto, período tras período deberá afectarse o castigarse la utilidad con una parte proporcional del costo de dichos activos con lo que su valor en libros para efectos de su presentación Estadísticos e-Books & Papers Papers

en el Balance, disminuirá. Expliquemos la anterior definición. La depreciación puede ser costo o gasto en la medida en que afecte los activos destinados a la producción o a aquellos que se utilizan en las actividades administrativas y de ventas”. (García S., 1999) - ““Los activos depreciables” son objetos físicos que conservan su medida y forma, pero que eventualmente se desgastan o se vuelven obsoletos. No son consumidos físicamente al igual que otros activos como los suministros, pero aun así su utilidad económica es “gastada” con el paso del tiempo. Los activos depreciables incluyen, por ejemplo, los edificios y todo tipo de equipo, inmueble, muebles y hasta vías de ferrocarril. Sin embargo, el terreno no es visto como un activo depreciable porque su vida útil es ilimitada. En cada periodo expira una parte de los activos útiles depreciables. Allí la parte correspondiente al gasto es reconocida como un gasto de depreciación”. (Meigs, Meigs, Battner, & Whittington, 1998) - “El termino depreciación se utiliza para referirse a la pérdida de valor contable de activos fijos”. (Sapag Chaín, 2007)

Diferidos - “Comprende los gastos pagados por anticipado, tales como, intereses, primas de seguro, arrendamientos, contratos de mantenimiento, honorarios, comisiones y los gastos incurridos de organización y preoperativos, remodelaciones o adecuaciones, mejoras de oficina, estudios y proyectos, construcciones en propiedades ajenas tomadas en arrendamiento, contratos de ejecución, contribuciones y afiliaciones e impuestos diferidles”. (Romero Romero, 2008) Fases del proyecto - “Como en cualquier otro plan, lo primero que se debe hacer es un desglose del proyecto desde un punto de vista general, describiendo y ordenando claramente cada uno de los componentes y segmentos que lo constituye. Este paso es fundamental en aras de mejorar proyectos que por su misma complejidad y envergadura requieren de una clara asignación de responsabilidades y de mecanismos que faciliten la supervisión de las tareas. Como una recomendación inicial, aborde siempre la administración de un proyecto como si estuviera compuesto de tres etapas principales: Estadísticos e-Books & Papers Papers

1. La definición de objetivos y la creación del plan básico del proyecto 2. El desarrollo y supervisión del proyecto. 3. El cierre del proyecto. La definición de objetivos y la creación del plan básico del proyecto. Una vez definidos los objetivos de un proyecto, se entran a definir estos aspectos en el orden mostrados: 1. El marco de tiempo deseable o factible para el desarrollo del proyecto. 2. La lista de tareas que conforman el proyecto y su secuencia. 3. Ordenar las tareas en fases y establecer sus interdependencias. 4. Programar las tareas teniendo en cuenta su tiempo de duración y las relaciones de ejecución que guarden entre si las tareas. 5. Identificar los recursos que cada tarea requiere, y 6. Estimar los tiempos de ejecución y los costos asociados con los recursos y con el desarrollo del proyecto en general. Las demás fases del proyecto se basarán directamente en la información que se registre en esta que pasa a ser llamada el plan general del proyecto 8. Dependiendo de la experiencia y los conocimientos de los responsables de un proyecto, es posible identificar las tareas y grupos de tareas que conforman un proyecto. Como principio práctico, es posible romper un proyecto en al menos tres fases generales: 1. Iniciales o de arranque 2. Intermedias o de desarrollo general, y 3. Terminación o finalización Desde un punto de vista administrativo, los procesos de manejo de proyectos se desarrollan en cinco fases, en las que los flujos de información se traslapan en muchos casos y la información de un proceso no solo sirve al siguiente sino que retroalimenta procesos anteriores. La siguiente figura muestra estos procesos en el que las flechas indican los flujos de información; observe como un proceso de control alimenta con datos tanto a procesos de planeación como de ejecución: Figura 1.2 Procesos administrativos de un proyecto (Derechos de autor PPMC Intrenational 2000) 8 Algunas personas lo llaman el Plan maestro, otros el Plan base y algunas otras, lo llaman inclusive el Presupuesto.


Procesos de iniciación Procesos de planeación Procesos de control Procesos de ejecución Procesos de cierre Enlaces entre procesos” (Toro López, 2009)

Flujo de caja del inversionista - “En el flujo de caja libre del Inversionista se toma únicamente como inversión de proyecto únicamente los dineros que aporta el inversionista” (Baca Currea, 2005) Flujo de caja del proyecto puro - “Este flujo revela la capacidad del proyecto para generar ingresos netos, sin entrar en la preocupación con respecto a las fuentes de financiamiento. En dicho flujo se registran los ingresos gravables que se concentran en los ingresos por venta o prestación de servicios. También se contemplan los ingresos financieros procedentes de la inversión de excedentes temporales te efectivo. De este ingreso, se restan los costos deducibles, que son los de operación, mantenimiento, administración, mercadeo, ventas, impuestos indirectos y depreciación. El resultado de este cálculo es la ganancia neta gravable, que sirve de base para el cálculo de los impuestos atribuibles a la realización del proyecto. A las ganancias netas gravables se restan los impuestos directos, se suma la ganancia extraordinaria por la venta de activos, ajustada por el pago de impuestos sobre la misma. Además se restan los costos no deducibles y se suman los ingresos no gravables, incluyendo la venta de activos por su valor en libros y subsidios, principalmente. El resultado se puede denominar la “ganancia neta”. A esta ganancia neta hay que hacerle un ajuste por la depreciación, pues no representa un desembolso efectivo del proyecto. Asimismo, hay que restarle los costos de inversión (activos fijos y nominales, gastos preoperativos y capital de trabajo) y sumarle los valores de salvamento de activos que no serán vendidos al final del proyecto. El resultado final es el flujo de fondos del proyecto (sin financiamiento). Por supuesto, las operaciones que se han discutido se realizan para cada período del flujo, manteniendo la ubicación temporal de cada rubro”. (Mokate, 2004)


Horizonte de planeación del proyecto - “La calidad del estimado depende del horizonte de planeación; los estimados de los acontecimientos actuales son hasta 100 por ciento precisos, pero no tanto para hechos más lejanos. La precisión de los estimados de tiempos y costos mejorará a medida que usted avance de la fase conceptual al punto en que se definen los paquetes de tareas individuales”. (Gary & Larson, 2009) - “Horizonte de evaluación del proyecto: (o plazo en que se evaluará la inversión) depende mucho de las características de cada proyecto. Si es uno al que se le augura una vida útil real de 5, 8 o 15 años, por ejemplo, lo mejor será construir un flujo de caja a ese número de años. Pero si el proyecto pretende mantenerse en el tiempo, hay una convención no escrita que hace que la mayoría de los evaluadores usen un periodo de evaluación de 10 años”. (Sapag Chaín, 2007) - “Horizonte de planificación: Límite temporal de un plan financiero”. (Brealey, C., & Marcus, 2007) - “El horizonte de planeamiento: Cuando pensamos en el futuro, podemos imaginarnos diferentes periodos de tiempo. Por lo general, pensamos en el corto plazo como un periodo entre seis meses y un año. En ese período el ejecutivo financiero suele “operar” antes que “planear”. Por ejemplo, en el corto plazo sigue de cerca el flujo de efectivo para ver cuando precisará el dinero para pagar los salarios o los impuestos. Cuando pensamos en el largo plazo, hablamos de un horizonte de planeamiento, período durante el cual el ejecutivo financiero planea, imagina como serán las operaciones en el futuro, se mueve hacia un lado y hacia otro, examina, trata de optimizar, cuenta con más tiempo para pensar. En la planificación financiera de largo plazo, pensamos en un plazo de cinco años o más; describimos todo lo que pensamos que ocurrirá en ese período: como pueden evolucionar las ventas, si podemos expandirnos a otros mercados, cómo evolucionarán los, que activos requerimos y cómo los financiaremos. En general, al preparar un plan financiero se combinan todos los proyectos de la empresa con el objeto de determinar la inversión total requerida, y se le pide a cada división de la empresa que prepare un plan de negocio con escenarios alternativos para los siguientes años”. (Dumrauf, 2003)


Ingresos operacionales - “Comprende los valores recibidos y/o causados como resultado de las actividades desarrolladas en cumplimiento de su objeto social mediante la entrega de bienes o servicios, así como los dividendos, participaciones y demás ingresos por concepto de intermediación financiera, siempre y cuando se identifique con el objeto social principal del ente económico”. (Romero Romero, 2008) Innovación incremental ¿y/o? innovación radical - “La innovación incremental se produce cuando se agrega (o quita, o combina, o resta, o suplanta) una parte a un producto o servicio. La innovación radical se produce cuando se incorpora al mercado un producto o servicio que en sí mismo es capaz de generar una categoría. Radical proviene del latín radix, raíz. En una se comienza a trabajar sobre una base conceptual. En la otra sobre un concepto absolutamente nuevo. Veamos un ejemplo. La aparición en el mercado del teléfono celular fue decididamente una innovación radical. La incorporación al móvil de las cámaras de fotos es una innovación de tipo incremental. La creciente tendencia de hibridaciones tecnológicas nos ubica en permanentes incrementos en las prestaciones de los productos. Las dos son absolutamente imprescindibles en una compañía o en un emprendimiento. Suele verse con frecuencia que las compañías consolidadas son más renuentes a las acciones innovativas radicales porque hay “un prestigio” que sostener, quedando en emprendedores la aparición de las innovaciones radicales o disruptivas. Este ciclo suele cerrarse en muchos casos con la aplicación de un proceso “me too” de las grandes compañías (con mayor presupuesto y con un resultado final eh algunos casos de calidad superior) o con un proceso de adquisión e incorporación de compañías innovadoras. No hace mucho un ejecutivo de una gran compañía multinacional me confesaba que no están dispuestos a correr riesgos en función de la protección de la marca. Lo lamento muchísimo, porque estoy seguro que la próxima oportunidad de negocio no estará bajo el paraguas de su marca. Así, a grandes empresas consolidadas se le “adelantaron” en la oportunidad de negocios emprendedores o empresas que jugaban por fuera del negocio.


Amazón, con ese gran emprendedor que es Jeff Bezos, visionó el negocio de venta virtual de libros a Barnes & Noble quien finalmente debió ingresar en el negocio virtual. Apple se le adelantó a Sony respecto del posicionamiento de reproductores MP3 con su iPod y quien fuera inventor del walkman se encuentra realizando esfuerzos permanentes por acortar la distancia del innovador iPod. Cuidando el negocio actual….¡puedes perderte el negocio del futuro!. Léase: concentrase solo en las innovaciones incrementales fortalecen el negocio….siempre y cuando no aparezca una innovación radical que rompa con todo lo anterior. Generalmente orientados con las innovaciones incrementales devienen de esfuerzos procesos creativos enfocados a determinados fines. La creatividad muy enfocada solo puede ofrecer diminutas innovaciones. Brainstorming, scampers, sinéctica, palabras al azar, mindmapping componen un abanico de posibilidades para hallar posibilidades innovativas de este tipo. La creatividad está delimitada en un tiempo y espacio. Sin embargo las innovaciones radicales provienen de procesos de “insight” en los cuales las oportunidades se hacen visibles en un instante, quizá como un cúmulo de experiencias, deseos, condimentos y una buena dosis de casualidad o serendipity. La creatividad vuela sin ataduras de tiempo ni espacio. Un enfoque diversificado de la creatividad es un soporte imprescindible para que las compañías puedan jugar a “sostener” algunos mercados e “inventar” otros”. (Berenstein)

Innovación y tecnología: la curva “S” - “La curva “S” nos permite reflexionar sobre los comportamientos empresariales frente a las discontinuidades tecnológicas. La curva “S”


Las etapas de la curva “S” son: Etapa 1: Aparece una nueva tecnología que se encuentra todavía en fases de desarrollo y mejora, por lo que no ofrece competencia directa a la anterior. En este punto parece que su aplicación está muy limitada en el futuro y su éxito es incierto. Esta fase se suele prolongar un largo periodo de tiempo, durante el cual la nueva tecnología es perfeccionada. Etapa 2: Finalmente el uso de la nueva tecnología se desarrolla da a gran velocidad, ofreciendo grandes ventajas y superando a la anterior en varias, si no en todas, las dimensiones de rendimiento. Las empresas que utilizan la antigua tecnología reaccionan y se defienden intentando mejorar su producto/proceso, por lo que pueden aparecer ciertas innovaciones incrementales, que no permiten superar a la larga a la nueva tecnología. Las conclusiones que se pueden sacar de la curva “S” son: Los defensores tiene que tomar decisiones difíciles. Abandonar una tecnología establecida hace que las empresas se enfrenten a tres opciones. o Abandonar la actividad que ya conocen. o Seguir con lo que ya tienen y esforzarse mucho para mejorar o ganar clientes. o Seguir con su actividad y empezar a invertir en la nueva tecnología para prepararse para el futuro. Los líderes de una generación de tecnología raramente son los de la siguiente. Los líderes de una tecnología no suelen ver la utilidad de la siguiente y pierde su posición estratégica. Los atacantes gozan de ventajas importantes, como focalización y habilidad para atraer talento, no son prisioneras de sus clientes más importantes, tienen ü

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poca burocracia y no necesitan proteger las inversiones anteriores en activos o capacidades”. (Carrión Maroto, 2007)

Inversiones durante la operación - “Además de las inversiones en capital de trabajo y previas a la puesta en marcha, es importante proyectar las reinversiones en remplazo y las nuevas inversiones por ampliación que se tengan en cuenta. Es preciso elaborar calendarios de reinversiones de equipos durante operación, para maquinaria, herramientas, vehículos, mobiliarios, etc. Igualmente, será posible que ante cambios programados en los niveles de actividad sea necesario incrementar o reducir el monto de la inversión en capital de trabajo, de manera tal que permita cubrir los nuevos requerimientos de la operación y también evitar los costos de oportunidad de tener una inversión superior a las necesidades ralaes del proyecto”. (Sapag Chain & Sapag Chain, 1998)

Inversiones previas a la puesta en marcha - “Las inversiones efectuadas antes de la puesta en marcha del proyecto pueden agruparse en tres tipos: activos fijos, activos intangibles y capital de trabajo. Las inversiones en activos fijos son todas aquellas que se realizan en los bienes tangibles que se utilizarán en el proceso de transformación de los insumos o que sirven de apoyo a la operación normal del proyecto. Constituyen activos fijos, entre otros, los terrenos; las obras físicas (edificios industriales, sala de ventas, oficinas administrativas, vías de acceso, estacionamientos, bodegas, etc.); el equipamiento de la planta, oficinas y salas de ventas (en maquinaria muebles, herramientas vehículos y alhajamineto en general), y la infraestructura de servicios de apoyo (agua potable, desagües, red eléctrica, comunicaciones, energía). Las inversiones en activos intangibles son todas aquellas que se realizan sobre activos constituidos por los servicios o derechos adquiridos necesarios para la puesta en marcha del proyecto. Constituyen inversiones intangibles susceptibles de amortizar y, al igual que la depreciación, afectaran al flujo de caja indirectamente, por la vía de una disminución en la renta imponible y, por tanto, de los impuestos pagados. Los principales ítems que configuran Estadísticos e-Books & Papers

esta inversión son los gastos de organización, las plantas y licencias, los gastos de puesta en marcha, la capacitación, las bases de datos y los sistemas de información peroperativos. La inversión en capital de trabajo constituye el conjunto de recursos necesarios, en forma de activos corrientes, para la operación normal del proyecto durante un ciclo productivo”. (Sapag Chain & Sapag Chain, 1998)

Período de recuperación de la inversión - “El periodo de recuperación de la inversión, PRI, es el tercer criterio más usado para evaluar un proyecto y tiene por objeto medir en cuánto tiempo se recupera la inversión, incluyendo el costo de capital involucrado”. (Sapag Chaín, 2007)

Proyecto - “Un proyecto es un esfuerzo complejo, no rutinario, limitado por el tiempo, el presupuesto, los recursos y las especificaciones de desempeño y que se diseña para cumplir las necesidades del cliente”. (Gary & Larson, 2009) - “Es la unidad de inversión menor que se considera en la programación. Por lo general constituye que se considera en la programación. Por lo general constituye un esquema coherente, desde el punto de vista técnico cuya ejecución se encomienda a un organismo público o privado y que puede llevarse a cabo con independencia de otros proyectos. (Enciclopedia Contable Universal. Europea Americana. Editorial Espasa, S. A. Madrid Barcelona). Conjunto de datos, cálculos y dibujos articulados en forma metodológica, que dan los parámetros de cómo ha de ser y cuánto ha de costar una obra o tarea. Esta información se somete a evaluaciones para fundamentar una decisión de aceptación o rechazo. (L.A. Ernestina Huerta y L. C. Carlos Siu Villanueva. Análisis y Evaluación de Proyectos de inversión para Bienes de Capital. De lo anterior concluimos que el proyecto es una serie de planteamientos encaminados a la producción de un bien o la presentación de un servicio, con el empleo de una cierta metodología y con miras a obtener determinado resultado, desarrollo económico o beneficio social”. (Hernández Hernández, Hernández Villalobos, & Hernández Suárez, 2005) - “Un proyecto es un esfuerzo para lograr un objetivo específico por medio de una serie particular de tareas interrelacionadas y la utilización eficaz de Estadísticos e-Books & Papers

recursos”. (Gido & Clements, 2007)

Razón beneficio costo - “Antes de definir y planificar los niveles de calidad del proyecto, es necesario realizar un análisis de la relación entre los beneficios de mejorar la calidad y los costos en que se debe incurrir para implementar los controles de calidad. Entre los costos de implementar acciones de control de calidad se pueden mencionar: Inversiones de capital en procesos tecnológicos. Contrataciones de expertos. Diseño de procesos de calidad. Monitoreo de la calidad.

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Por otra parte, entre los beneficios de manejar la calidad del proyecto se pueden mencionar: Evitar daños irreparables para el proyecto. Ahorro de costos en reparación. Reducción de gastos futuros para enfrentar acciones legales. Ahorro de costos operativos para atender reclamos. Aumento de la productividad. Disminución de la calidad de productos fallados. Mejoras en la imagen empresarial. Menores costos en cambios y devoluciones de productos con fallas. ü

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Si bien los beneficios aumentan cuanto mayor es la calidad del proyecto, a medida que se exija mayor calidad los costos asociados también serán mayores. La optimización de la calidad del proyecto se logrará en aquel punto donde el beneficio marginal del aumento de calidad iguale al costo marginal. Esta calidad óptima será la que se tome en cuenta al momento de realizar la planificación. El beneficio marginal mide el cambio en el beneficio total cuando se incrementa la calidad. Por otra parte, el costo marginal mide el cambio en el costo total al aumentar la calidad”. (LLedó & Rivarola, 2007) - “La relación beneficio-costo compara el valor actual de los beneficios proyectados con el valor actual de los costos, incluida la inversión. El método lleva a la misma regla de decisión del VAN, ya que cuando este es cero, la relación beneficio-costo será igual a uno. Si el VAN es mayor que cero, la Estadísticos e-Books & Papers

relación será mayor que uno, y si el VAN es negativo, esta será menor que uno. Este método no aporta ninguna información importante que merezca ser considerada”. (Sapag Chaín, 2007)

Tasa de interés bancaria - “La tasa de interés a la que el Banco Central presta al sistema bancario. En la práctica significa la tasa a la que el Banco Central redescuenta los documentos elegibles presentados por los bancos comerciales”. (Brand, 1999) TIO - “Se expresa porcentualmente (%) para un determinado periodo de tiempo y se usa para calcular la rentabilidad de un proyecto de inversión; refleja las diferentes alternativas disponibles para un inversionista, la rentabilidad generalmente se estima calculando los ingresos netos y descontándolos al día de hoy”. (Toro López, 2009) TIR - “Tasa de descuento con la cual el VPN de los flujos de caja proyectados y sustraída la inversión es igual a cero. Es la tasa que iguala la suma de los flujos descontados a la inversión inicial”. (Rosillo, 2008) - “Es el tipo de interés que, cuando se usa para disminuir los flujos de caja asociados a un proyecto de inversión, reduce a cero le valor actual neto de éste. Por tanto, proporciona una medida del “cambio completo” de la tasa de retorno de una inversión, puesto que muestra el más alto tipo de interés al cual el proyecto no producirá ni ganancias, ni pérdidas. Si la tasa interna de retorno es mayor que el tipo de interés que habría que pagar, esto haría ver que ese proyecto es lucrativo y procede llevarlo a cabo; lo contrario sería si la tasa fuera más baja que el tipo de interés. No obstante, como medida de lo lucrativo de una inversión tiene dos defectos: a) un proyecto determinado puede tener más de un tipo de interés que reduzca a cero los egresos en efectivo y en ese caso, el método puede no dar una respuesta clara y precisa. Esto puede suceder cuando las ganancias durante el tiempo de vida de un proyecto van seguidas por egresos en efectivo y b) el método puede dar clasificaciones incorrectas de proyectos operativos ya que el rendimiento actual de un proyecto puede ser mayor que el de otro, aun cuando su tasa de retorno sea más baja. La tasa interna de retorno también es conocida como la Estadísticos e-Books & Papers

eficiencia marginal del capital, la ganancia del inversionista y la ganancia por la disminución de los egresos en efectivo. Conceptualmente puede considerase también como la tasa de descuento que anula la diferencia entre valor actualizado de los beneficios y el valor actualizado de los costos”. (Brand, 1999) - “La tasa interna de retorno, conocida como TIR, que mide la rentabilidad de un proyecto como un porcentaje y corresponde a la tasa que hace al valor actual neto igual a 0”. (Sapag Chaín, 2007)

TIRM = TUR - “TIR modificada, consiste en sumar aritméticamente los flujos de caja positivos y situarlos en el último periodo de la vida útil. Los negativos se suman también y se sitúan en el período cero de la misma forma en que se hizo para el valor presente neto. Con lo anterior se tiene un flujo de caja en el período cero y otro en el último período, con base en los cuales se calcula la tasa de interés, que es la TIRM”. (Rosillo, 2008) - “Con el fin de resolver los problemas inherentes en el uso de la TIR en la selección de proyectos, se ha definido la TIR ajustada, la cual también ha sido denominada tasa única de retorno, TUR. Concretamente, el ajuste de la TIR busca resolver los problemas de inexistencia o existencia de múltiples de TIR y reinversión de los flujos excedentes a la tasa de interés interna del proyecto y no a la tasa de interés de oportunidad. Con la TIR ajustada se garantizará la existencia de una sola tasa, independiente de la estructura de los flujos. Además, se elimina el supuesto de que todos los recursos excedentes se reinvierten a la misma TIR y se introduce la reinversión a la tasa de interés de oportunidad”. (Mokate, 2004)

TVR - “La tasa interna de retorno (TIR) y la tasa única de retorno (TUR) suponen que algunos flujos de los proyectos se pueden reinvertir a la tasa que se generan internamente en los proyectos que se están analizando. Este supuesto es el que conduce a las inconsistencias con el concepto de tasa de interés de oportunidad y el VPN, que plantean que se pueden reinvertir a la tasa generada por las mejores inversiones alternativas. La tasa verdadera de retorno, igual que la TUR, supone reinversión de los Estadísticos e-Books & Papers

flujos netos positivos del proyecto a la tasa de interés de oportunidad. No obtente, hace además el ajuste del tratamiento de los excedentes del inversionista que no resultan comprometidos dentro del proyecto, suponiendo que también se invierten a la tasa de oportunidad. Gracias a este nuevo supuesto, se logra que la TVR sea un criterio coherente con el VPN”. (Mokate, 2004)

Valor de mercado - “Los valores de mercado miden los valores actuales de los activos y los pasivos”. (Brealey, C., & Marcus, 2007) Valor de salvamento - “El valor de salvamento se asocia con los activos adquiridos por el proyecto. Busca reconocer el valor que existe al finalizar el periodo de evaluación, gracias a la realización del proyecto, que no existiría si éste no se hubiera realizado. Se registra independientemente de que al final del proyecto al activo se venda o no. El valor de salvamento hace referencia al valor producido por vender los activos al terminar el proyecto o a la potencialidad de los activos para generar productos e ingresos hacia el futuro. Las dos técnicas más conocidas para registrar valores de salvamento son: El valor en libro de los activos El valor comercial de los activos” (Mokate, 2004) Valor del dinero en el tiempo ü

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- “El dinero en el tiempo tiene la capacidad de generar más dinero, es decir, de generar más riqueza o más valor”. (García S., 1999) - “El dinero tiene un valor en sí mismo, también tiene un valor dependiendo del momento del tiempo en que se reciba o se entregue”. (Agudelo R. & Fernández G, 2000)

Valor en libros - “En el Balance General los activos fijos depreciables se muestran por su costo de adquisición restándoles a continuación la depreciación que se les haya imputado a través del tiempo y que se denomina “depreciación acumulada”. El costo de un activo menos su depreciación acumulada se denomina a su vez “valor en libros” o “valor contable””. (García S., 1999) Estadísticos e-Books & Papers

- “Los activos fijos se muestran en el balance general por sus valores en libros (o valores contables). El “valor en libros” de un activo fijo es su costo menos la depreciación acumulada relacionada. La depreciación acumulada es una contracuenta del activo que representa esa porción del costo del activo que ya ha sido asignada al gasto. Por lo tanto, el valor en libros representa la porción del costo del activo que resta por ser asignada al gasto en periodos futuros”. (Meigs, Meigs, Battner, & Whittington, 1998) - “El valor en libros, o costo contable de un activo, se calcula como la diferencia entre el valor de adquisición y la depreciación acumulad a la fecha de la venta. Es decir, representa lo que falta por depreciar al activo en el momento de su venta”. (Sapag Chaín, 2007)

Valor terminal - “Valor que se calcula en el último año de la vida económica del proyecto por cuanto se supone que este funcionará indefinidamente. Para su cálculo se emplea el concepto de matemáticas financieras llamado perpetuidades”. (Rosillo, 2008) VPN - “Valor monetario que resulta de restar la suma de los flujos descontados a la inversión”. (Rosillo, 2008) - “Es el valor actual de los flujos de fondos futuros descontados a una tasa de descuento”. (Estupiñán Gaitan & Estupiñán Gaitan, 2006) - El valor actual neto, conocido como VAN, que mide en valores monetarios, los recursos que aporta el proyecto por sobre la rentabilidad exigida a la inversión y después de recuperada toda ella”. (Sapag Chaín, 2007)

PROBLEMAS PROPUESTOS DE PROYECTOS Ejercicio 1 Usted intenta determinar el rango de valores que puede tomar una variable aleatoria sobre la cual tiene poca experiencia. Para subsanar su falta de experiencia, ha decidido consultar a tres expertos en el tema. El experto A estima que la variable puede tomar un valor mínimo de 45, un valor más probable de 50 y un valor máximo de 70. Estadísticos e-Books & Papers

El experto B estima valores de 50, 65 y 90 para los mismos parámetros. El experto C considera que los valores de esos parámetros deberían ser 50, 65 y 80. El experto D considera que los valores de esos parámetros son: Valor 0 10 25 60 75 80 Probabilida 1 6 7 8 10 7d Relativa

Sobre la base de la reputación de cada experto, usted asigna una ponderación a cada opinión. En su ponderación le da un peso del 40% a la opinión del experto A, y un 20% a cada uno de los otros expertos. ¿Cuál es la distribución que va a emplear para definir la aleatoriedad de esta variable?

Ejercicio 2 Su empresa de equipamiento para industrias ha desarrollado un prototipo para un nuevo modelo de motor eléctrico. Los análisis de mercado preliminares han llevado a estimar un precio de venta de 250 $/unidad. El presupuesto de gastos administrativos y de publicidad para el primer año es de $400.000 y $600.000 respectivamente. Los gastos de personal y de materiales, y la demanda del primer año, no se pueden anticipar con exactitud, pero se estiman con base en las siguientes distribuciones de probabilidad: Costo materiales: Rango de valores entre 88 y 100 $/unidad Demanda: Distribución normal, media 15.000 unidades/año, desviación estándar 4.700 unidades/año. Costo mano de obra Probabilidad 30% 15% 40% 15% $ / Unidad 43 44 45 46 Calcule el resultado esperado proveniente de la incorporación de este motor eléctrico a la línea de productos de la empresa. Sobre la base de un análisis de riesgo con 10.000 iteraciones, estime los siguientes valores: a) Resultado esperado b) Desviación Estándar del resultado c) Rango de dispersión de valores probable d) Intervalo de confianza del resultado con un 95% de probabilidad e) Probabilidad de lograr resultados mayores a $220,000, valor considerado como Umbral Crítico de aceptación o rechazo del proyecto. ·

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¿Cambiarían sus estimaciones si el análisis de riesgo se efectuara sobre la base de 15.000 iteraciones? ¿Cambiarían sus estimaciones si el análisis de riesgo se efectuara sobre la base de 20000 iteraciones? ·

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Ejercicio 3 Usted está evaluando la posibilidad de invertir en un proyecto cuya duración esperada es de 14 años. El monto de la inversión inicial es de $1.600.000. Se estima que al cabo de los 18 años los activos del proyecto tendrán un valor residual de $180.000. Las ventas estimadas oscilan en un rango entre un valor pesimista de 70.000 unidades, un valor más probable de 100.000 unidades, y un valor optimista de 130.000 unidades por año (Distribución PERT). Para efectos prácticos, se estima que este rango cubre un 85% de los valores que pueda tomar la demanda. El precio del producto puede oscilar en un rango entre 8 $/unidad como valor pesimista, 9 $/unidad como valor más probable, y 10 $/unidad como valor optimista. El gasto variable puede estar entre 5.85 $/unidad como valor mínimo, 6.3 $/unidad como valor medio y 6.75 $/unidad como valor máximo. Los gastos fijos se estima ascenderán a 160.000 $/año y se espera incrementen en un 4% anual con una desviación de 0.5%. El costo de oportunidad del capital es de mínimo 6% Efectivo Semestral y máximo 13% Efectivo Anual. Estime el valor esperado y la variabilidad del VAN y la TIR del proyecto. ¿Cuál es la probabilidad de que el proyecto supere el costo de oportunidad del capital invertido? ¿Cambiarían sus estimaciones si las ventas del primer año cubrieran el 89% del total de la demanda, y se fueran incrementando cada año en entre un 2.7% y 3.5%? ·

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Ejercicio 4 Se estima que en un proyecto las ventas estén entre 30.000 y 32.000 toneladas anuales de un producto a un precio de $1.000 la tonelada durante los dos primeros años, entre $1.200 y $1.500 en el tercer año, y se espera un incremento en los precios del cuarto año en adelante como mínimo del 3%, máximo de 7% y en promedio del 5.3%, cuando el producto se haya Estadísticos e-Books & Papers

consolidado en el mercado. Las proyecciones de ventas muestran que a partir del año sexto, éstas se incrementarán entre el 40% y el 48%. El estudio técnico definió una tecnología óptima para el proyecto que requeriría las siguientes inversiones para el volumen de 30.000 toneladas. Terrenos: $20.000.000 Obras físicas: $50.000.000 Máquina: $30.000.000 Sin embargo, el crecimiento de la producción para satisfacer el incremento de las ventas, requerirá comprar otra máquina de igual valor y efectuar obras físicas por $40.000.000. Los costos de fabricación para un volumen de hasta 40.000 toneladas anuales son de: Mano de obra: $150 Materiales: $200 Costos Indirectos: $80 Los costos de fabricación para un volumen después de 40.000 toneladas anuales son de: Mano de obra: $130 Materiales: $180 Costos Indirectos: $60 Los costos fijos de fabricación se estiman en $5.000.000. La ampliación de la capacidad en un 40%, incrementaría estos costos $1.500.000. Los gastos de venta variables corresponden a una comisión de 3% sobre las ventas, mientras que los fijos ascienden a $1.500.000 anuales. El incremento de ventas no hace que este monto varíe. Los gastos de administración serían de $1.200.000 anuales los primeros cinco años y de $ 1.500.000 cuando se incremente el nivel de operación. La legislación vigente permite depreciar los activos de la siguiente forma: Obras físicas: 10% anual Maquinaria: 20% anual Horizonte de evaluación del proyecto: 10 Años Inflación: Mínimo 3% y Máximo 5% efectiva anual.


Al cabo de 15 años se estima que la infraestructura física (con terrenos) tendrá un valor comercial de $100.000.000. La maquinaria tendría un valor de mercado de $28.000.000. Se espera obtener un crédito para realizar las obras físicas, el cual se amortizará a lo largo de la vida del proyecto a una tasa del 15.63% EA. (Plantee 4 opciones de amortizar dicho crédito). La tasa de impuesto a las utilidades es de un 33%. Se requiere conocer el flujo de caja del proyecto y del inversionista a precios constantes y corrientes y decir si el proyecto es rentable o no, bajo el criterio del VPN y la TIR (o TIRM, y otras según el caso). (Analice los resultados). ·

¿A qué precio puede vender la tonelada del producto para que la compañía tenga un VPN 15% mayor de lo esperado? Realice un análisis de sensibilidad para el VPN constante, suponiendo que el precio por tonelada puede variar entre $1.000 y $1.800. ¿Qué se puede decir al respecto? Analice todos los parámetros estudiado, para cada flujo de caja. Ejercicio 5 ·

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Una compañía va a ingresar al mercado de los Minicomponentes y estima que puede ofrecer máximo 10.500 unidades al año. Estudiando las características del mercado al cual se enfrenta, encuentra que sólo puede capturar una porción de la demanda así (siempre y cuando no entren nuevos competidores): Para el año uno entre el 20% y el 23%, para el segundo y tercero entre el 25% y 28%, para el cuarto entre el 32% y el 40%, y para el quinto en delante se espera capturar entre el 50% y el 60% del total de la demanda. Es probable que una nueva compañía entre al mercado, pero no inmediatamente, sino posiblemente entre el año 4 y 7. Si no entra en esos años ya no tendrá posibilidad de entrar, y si entra, no se retirará del mercado. Si entra, el porcentaje de captura de mercado se reduce en un 12% sobre el estimado. La demanda en el primer año es de 22.000 minicomponentes y, según estudios, ésta posiblemente se incremente mínimo el 2% y máximo el 5%, Estadísticos e-Books & Papers

con un valor más probable de 3,9%. El precio de venta de cada unidad es de $790.000 en el primer año y se espera que el precio tenga un incremento mínimo de 1% y máximo de 3.5% anual, con un valor medio de 2.75%. Los costos de fabricación de cada minicomponente son: Mano de Obra: $290.000 con incrementos entre el 1% y 2,5% anual Materiales: $200.000 con incrementos entre el 1,6% y 2,6% anual Costos Indirectos: $50.000 con incrementos entre el 1% y 5% anual Otros costos fijos de fabricación por unidad: $38.000. Para poder fabricar los minicomponentes es necesario: - Pagar alquiler de un local por valor de $12.000.000 anuales, valor que se incrementa entre 1.5% y 2.3% anualmente. - Comprar un local por valor de $200.000.000, el cual se financiará a una tasa del 18% E.A, y se pagará en 10 cuotas iguales. - Comprar maquinaria por valor de $1.600.000.000 en el año cero, la cual se deprecia en 10 años, y necesita un mantenimiento anual por valor de $49.000.000. - Se realizan estudios por valor de $ 300.000.000. Se espera que los gastos de administración estén entre $84.000.000 y $96.000.000 anuales el primer año, y luego se espera que se incrementen entre un 14.3% y un 16.4% cada año. Tasa de impuesto a las utilidades: 33%. El valor de salvamento del local es de $135.000.000, y el de la máquina es de $336.000.000. La depreciación de todos los activos se hace en línea recta a 10 años. Realice los flujos de caja necesarios para el análisis de esta inversión. (del proyecto y del inversionista) Para realizar los flujos de caja suponga que el proyecto sólo dura 10 años. ¿Es rentable el proyecto? Justifique. ¿Cuál es la TIR esperada? ·

¿Cuál es el valor presente neto esperado si la tasa de interés de oportunidad

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varía entre 18% y 22%? ¿A qué precio debo vender los minicomponentes cada año si deseo obtener una TIR esperada del 68%? ¿Cuál es el período de recuperación de la inversión con los nuevos precios? Realice un análisis de inversión recuperada y valor agregado para cada periodo. Realice una tabla de datos variando los precios y la TIO, ¿qué se puede decir sobre los valores del VPN que hacen el proyecto viable? Analice la capacidad ociosa de la compañía, ¿qué puede usted recomendarle a la empresa? Ahora suponga que existe información sobre una disminución del 75% en la demanda de minicomponentes en el año 5 y siguientes. Como analista, usted debe indicarle al inversionista si debe abandonar proyecto. ¿Cómo sustentaría usted esta respuesta? ·

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Ejercicio 6 La empresa Jugos S.A elabora anualmente entre 68.000 y 80.000 litros de concentrado de frutas en su planta de procesamiento de pulpa de frutas, de los cuales 20.000 son transferidos a la planta de jugos para la elaboración y venta de 30.000 litros en caja de un litro de Tetra Brick de larga duración. Cada planta tiene una administración propia y se lleva una contabilidad separada para cada una. La planta de jugos (según el contador) ha mostrado inestabilidad en su flujo de caja, lo que ha hecho que algunos directores hayan planteado la posibilidad de cerrar y vender sus instalaciones, máximo dentro de 9 años. Para tomar la decisión le encargan a usted un estudio para el cual el gerente le da los siguientes datos de la planta de procesamiento de pulpa. Las ventas a otras empresas oscilan entre 55.000 y 60.000 Litros, a un precio promedio de 120 el litro, teniendo en cuenta que este precio puede variar dependiendo de la oferta y demanda del mercado; mínimo se vende a $116 y máximo a $ 125. Para los 20.000 litros que se transfieren a la planta de jugos, se usa un precio de transferencia interno de $ 90. Si se cierra la planta de ugos, se estima posible vender a otras empresas entre el 45% y 50% de lo que actualmente se transfiere, a un precio mínimo de $ 75 el litro y máximo Estadísticos e-Books & Papers

de $ 83. Sin embargo, deberá destinarse el 15% de este ingreso a pagar una comisión a los vendedores. Los costos directos, que varían proporcionalmente con la producción son anualmente: Mano de obra: $900.000 (Crece entre el 4% y el 7% anual), Materia Prima: 3.300.000 (Crece entre el 1% y el 1.7% anual) Suministros: 1.200.000 (Crece entre el 1%, 1,6% y el 2.7% anual) Energía: 600.000. (Este costo se incrementa entre el 1.5% y el 4% anual) Otros costos indirectos de fabricación son la remuneración de supervisores $1.200.000 anuales y la depreciación de los equipos $900.000 anuales; además, las remuneraciones a los vendedores ascienden a $900.000 anuales. Por otra parte, la planta de jugos presenta la siguiente información para un año normal: Las ventas están entre $18.000.000 y $22.000.000. Los costos directos de esta planta alcanzan anualmente los siguientes valores: Mano de obra: $ 6.600.000 (Crece entre el 4% y el 7% anual), Concentrado de frutas $1.800.000 (Crece entre el 1% y el 1.7% anual), Otras materias primas $2.700.000, Suministros: $1.200.000, Energía: $1.500.000 (Este costo se incrementa entre el 1.5% y el 4% anual). Otros costos indirectos son de $ 750.000 (Crece entre el 4% y el 7% anual), $1.800.000 la depreciación. Los gastos de administración y ventas son de $1.380.000. Los costos de administración general ascienden a $1.350.000 anuales y se distribuyen entre ambas plantas en función a los montos de los ingresos por venta. Si se cerrase la planta de jugos, se estima que este costo podría reducirse a $ 750.000. La planta de jugos tuvo un valor de adquisición de $ 9.000.000. Su depreciación acumulada asciende a $5.400.000. Al cerrarse se podría vender en $ 1.800.000. Ambas plantas tienen una vida útil esperada de 15 años más (a partir de este hoy, incluyendo los dos de depreciación que hacen falta), al cabo de las cuales los valores de desecho son cero. Si se vende la planta de jugos, la compañía tiene la opción de reinvertir ese Estadísticos e-Books & Papers

dinero conformando un portafolio con las 5 siguientes empresas y se supone que el rendimiento permanecerá constante. (Se anexa matriz de rentabilidad mensual).

Datos Mensuales Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre Empresa A Empresa B Empresa C Empresa D Empresa E 0.24% 0.04% 0.43% 0.66% 0.23% 0.10% 0.10% 0.70% 0.83% 0.35% 0.61% 0.29% 0.53% 0.26% 0.85% 0.96% 0.61% 0.83% 0.32% 0.26% 0.28% 0.57% 0.65% 0.96% 0.23% 0.86% 0.74% 0.91% 0.41% 0.42% 0.60% 0.51% 0.57% 0.83% 0.32% 0.89% 0.09% 0.81% 0.77% 0.68% 0.86% 0.82% 0.00% 0.57% 0.57% 0.99% 0.21% 0.86% 0.64% 0.51% 0.99% 1.00% 0.46% 0.65% 0.20% 0.76% 0.28% 0.43% 0.22% 0.69% Con esta información se le pide que elabore un informe (aplicando todos los conocimientos adquiridos en el texto) para ayudar al director a tomar la decisión al respecto. Ejercicio No 7 “Suponga que usted está considerando comprar una empresa. El flujo de caja de de dicha compañía es muy incierto, y depende de parámetros como el Estadísticos e-Books & Papers

crecimiento de las ventas, el margen de utilidades, los gastos de administración y ventas, las variaciones del capital de trabajo, las obligaciones, y el valor terminal. Los dueños de la empresa solicitan 20 millones de dólares y le han facilitado la siguiente información para que tome una decisión: Ingresos anuales por ventas: $40 millones Costos de la mercancía vendida: $28 millones. Gastos de administración y ventas: $10 millones Capital de trabajo: $4 millones Tasa de impuestos 34% Utilizaremos una tasa de descuento del 12%.

¿Se debe o no comprar la empresa? Se necesita proyectar 7 años y luego utilizar una tasa de crecimiento futuro de ahí en adelante, el cual estima el valor terminal de la empresa. A continuación se presentan otros datos requeridos para el análisis:

Crecimiento en Ventas: Durante los años 1 y 2 se tiene un 70% de probabilidad de que el crecimiento esté entre un 3% y un 6%, y un 30% de probabilidad que esté entre 0% y 3%. Durante el año 3 se tiene un 40% de probabilidad de que el crecimiento esté ·

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entre el 3% y el 6%, y el 60% de que las ventas decrezcan un 3% o aumenten un 3%. Durante los años 4 al 7 existe un 10% de probabilidad de crecimiento entre un 6% y un 12%, un 40% de probabilidad de que esté entre un 3% y 6%, y un 50% que disminuya un 3% y crezca un 3%. ·

Margen de Utilidades: En caso en que las ventas disminuyan, se tiene un 60% de probabilidades de que el margen de utilidades esté entre 29% y 32%, un 30% de probabilidades de que esté entre un 32% y 34%, y un 10% que esté entre 34% y 36% ·

En caso en que las ventas aumenten, se tiene un 15% de probabilidad de

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que el margen esté entre un 29% y un 32%, un 50% que esté ente un 32% y un 34%, y un 35% que esté entre 34% y 36%.

Gastos de Administración y Ventas Existe un 30% de probabilidades de que la tasa de crecimiento de los gastos de administración y ventas oscilen entre un 2% o se incrementen en un 1%. 50% de probabilidades de que el crecimiento esté entre 1% y 4%. 20% de que el crecimiento del gasto esté entre 4% y 7%. ·

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Variaciones en el Capital de Trabajo En el caso en que las ventas crezcan, el capital de trabajo será el 15% de lo que se incrementen las ventas entre un año y otro. En caso en que las ventas disminuyan, existe un 40% de posibilidades de que el cambio en el capital de trabajo sea del 15%, y el restante 60% de probabilidad de que esté entre 10% y 15% del cambio en las ventas.

Obligaciones Durante el año 2 hay un 5% de probabilidad de incurrir en obligaciones entre 2 y 3 millones. Si no hay obligaciones en el año 2, entonces en el año 3 hay un 5% de probabilidades de que las obligaciones estén entre 2 y 3 millones. Si hay obligaciones en el año 2, entonces no abran obligaciones en el año 3. Valor Terminal Luego del año 7, hay un 15% de probabilidad de que el crecimiento del Flujo de Caja Libre oscile entre 0% y 3%, un 60% de opciones que esté entre un 3% y 6%, y un 25% de que caiga entre 6% y 9% (NOTA El flujo de caja Terminal se calcula como una anualidad infinita, así:

” Tomado, traducido, y adaptado de “Financial Models using Simulation and Optimazation” página 225 (Winston, 2008). Estadísticos e-Books & Papers

Ejercicio No 8 Un inversionista desea analizar la viabilidad de invertir en un proyecto y lo contrata a usted como gerente de proyectos para tomar la decisión. Para ello es necesario realizar una evaluación financiera del nuevo proyecto y decidir si es conveniente financieramente o no. Se cuenta con información del estado de resultados y el plan de negocios proyectado para 5 años. A continuación se presentan los datos para la proyección del estado de resultados. Se esperan unos ingresos por ventas entre 15.000 y 18.000 millones de pesos anuales siempre y cuando no entren competidores. Los costos de producción se calculan entre 3.000 y 5.000 millones de pesos, con un valor más probable de 4.660 millones sin competidores. Los gastos de administración y gastos de ventas se estiman en 500 y 700 millones de pesos respectivamente y se espera que crezcan entre 1% y 3.4% anual. Si entra algún competidor, estos costos se reducen en 20%. En el año inicial es necesario comprar una máquina por valor de 10.000 millones de pesos, la cual se deprecia a 10 años a línea recta y su valor residual es 0. Al cabo de 5 años esta máquina se puede vender por un valor entre el 8% y el 15% más de su valor en libros. Como información adicional se sabe que: Los ingresos se deben a la venta de un único producto, del cual se producen 300.000 unidades a un precio variable y se supone que se trabaja a una capacidad instalada inicial sin competidores del 100%. Los estudios de mercadeo que se han realizado han arrojado como conclusión que la empresa resultante del proyecto realizará solo el 80% de sus ventas de contado y el 20% al año siguiente. Por otra parte, se sabe que los proveedores le venden el 40% con un plazo de un año (Esta consideración tiene que ver solamente con los costos de producción). La anterior información es válida sin importar si entra algún competidor o no. Es posible realizar un préstamo por valor de $5.000 millones de pesos a una


tasa del 1,76% mensual, pagadero en cuotas fijas anuales e iguales durante 5 años. Para el caso de la entrada de competidores se tiene que hay tres compañías que pueden competir en el mercado. Al inicio de cada año, cualquier candidato que no haya entrado en el mercado tiene un 40% de probabilidad de entrar. El año después de la entrada de uno o varios competidores, la participación de XYZ se reduce en un 20% por cada competidor nuevo. Así, si durante el Año 1 ingresan dos competidores nuevos, la participación de XYZ se verá reducida por un 40%. (Para modelar la entrada de competidores use la función distribución binomial. Esto se logra en @RISK usando la función =RISKBinomial (n,p) que genera n muestras, cada una un éxito o fracaso, teniendo una probabilidad p de éxito. El valor de esta función es igual al número de éxitos). Si consideramos como “éxito” el hecho que un competidor entre al mercado, la Formula =RISKBinomial(2,.4) simulará el número de nuevos competidores en un año, cuando aún quedan dos competidores por entrar. Si los tres competidores ya han entrado, no ingresa ninguno más. Usted es la persona encargada de evaluar dicha situación y definir si se invierte o no el dinero, teniendo en cuenta si se realiza el préstamo o no y si entra algún competidor o no entra ninguno. La tasa impositiva es del 33% (si la utilidad es negativa no se paga impuestos). Construya el flujo de caja del proyecto y del inversionista. Presente un informe donde soporte todas sus respuestas. El informe debe contener análisis de indicadores tales como: VPN, TIR, RBC, VAUE, IRVA, PRI, Coeficiente de Pearson, coeficiente de asimetría, coeficiente de curtosis, árbol de tornado, análisis de curva S, probabilidad de pérdida, intervalo de confianza al 90% y al 95%, entre otros. Realice un análisis de sensibilidad a los indicadores más importantes del flujo de caja. ¿Cuáles deben ser los precios anuales para que se cumplan las anteriores condiciones? ¿Qué recomendaciones daría al inversionista? Estadísticos e-Books & Papers

Desarrolle los siguientes ejercicios de forma determinística y luego proponga diferentes funciones distribución para cada una de las variables. Analice las diferencias. Ejercicio No 9 Un proyecto requiere de una inversión de $1.000.000, de los cuales los socios aportaran el 60% y el resto con un crédito con un interés del 15.75% anual, pagadero en cinco cuotas al final de cada período más interés de los saldos. La demanda inicial se estima en 25.500 unidades, y se espera que esta crezca en un 5%, 7.5%, 11%, 5.2% para los períodos 2 al 5 respectivamente. El costo unitario es de $10.000 y se incrementará de acuerdo a la inflación estimada en los períodos 2 al 5, así: 4.5%, 4.0%, 3.7%, y 3.0%. Los gastos de administración para el período 1 son de $57.000.000, los gastos de ventas sin incluir depreciaciones, amortizaciones y provisiones se estiman en un 8% de las ventas. La inversión inicial: Terreno $200.000.000 Edificio $250.000.000 Maquinaria $350.000.000 Preoperativos $50.000.000 Capital de trabajo $150.000.000 Todo lo que se produce se vende de contado. Depreciaciones línea recta a 5 años Los preoperativos se difieren a 5 años A qué precio se debe vender cada unidad del producto de forma tal que el inversionista obtenga un VPN de $185.000.000 Los activos se venden al final de la proyección por el 20% de su costo inicial La tasa de interés de oportunidad es del 22% anual Elabore el flujo de caja del inversionista y analice con todos los indicadores de evaluación financiera. (VPN, TIR, RBC, CAUE, PRI, IRVA)

Ejercicio No 10 Un grupo de inversionistas está interesado en adelantar un proyecto en donde


se pretende instalar una pequeña planta procesadora de pulpa de mora, dada la abundancia de la fruta en la región y la disponibilidad de mano de obra. Un estudio preliminar arrojó los siguientes resultados: Al ser una experiencia nueva, se ha decidido limitar el proyecto a 6 años: En el primer año se elaborarán los estudios complementarios y se negociarán los equipos. El proyecto funcionará durante cuatro años ya que en el siguiente se liquidará. Se estima que el valor de salvamento de los equipos será del 30% de su valor inicial. La capacidad instalada total se ha calculado en 500 toneladas por año. El precio de venta en el mercado es de $100.000 por tonelada. El costo estimado para procesar una tonelada de fruta es de $80.000 de los cuales un 85% es costo variable y el resto fijo. Las inversiones requeridas son: Equipo: $70.000.000 Estudios y gastos de organización y montaje: $ 4’000.000. Capital de trabajo: $3’000.000. Los inversionistas aportarán $50.000.000 y las necesidades adicionales de capital se cubrirán con un crédito de $ 27.000.000, pagaderos en cuatro años, (dentro de los cuales el primer año es de gracia), mediante cuotas de amortización constante e intereses sobre saldos, la tasa de interés es del 35% anual. El crédito se recibirá al final del primer año. La tasa impositiva para esta industria es del 33% anual. Los planes de producción y ventas están dados por la utilización de la capacidad instalada en un 80% para el primer año de funcionamiento; 90% para el segundo y 100% de allí en adelante. Los activos tangibles se depreciarán en cuatro años y los intangibles se difieren a cinco años. Se requiere conocer el flujo de caja del inversionista y decir si el proyecto es rentable o no, bajo el criterio del VPN. Ejercicio No 11 Existe una compañía que va a entrar al mercado de los computadores y Estadísticos e-Books & Papers

estima que puede ofrecer 10.000 al año. Estudiando las características del mercado al cual se enfrenta, ve que sólo puede capturar una porción de la demanda así: para el año uno 17%, el segundo y tercero 24%, el cuarto 32% y el quinto y sexto ganan participación subiendo a 56% del total de la demanda. La demanda en el primer año es de 18.000 computadores y se incrementa anualmente en 2% El precio de venta de cada unidad es de $1.850.000 en el primer año y se reduce anualmente en 15 % Para poder fabricar los computadores se necesita: Pagar alquiler de un local por valor de $12.000.000 anuales, valor que se incrementa 1.5% anual. (Este pago se hace vencido) Comprar Local por valor de $200.000.000. Comprar maquinaria por valor de $1.600.000.000 en el año cero, la cual se deprecia en 5 años. Los costos de fabricación de cada computador son: Mano de obra: $190.000 Materiales: $1.800.000 Costos Indirectos: $50.000 Costos fijos de fabricación por unidad: $30.000. Gastos de administración $7.000.000 mensuales durante los primeros 2 años, y luego se incrementan el 14.3% cada año. Tasa de impuesto a las utilidades: 33% Tasa de inflación 5,3% anual El horizonte de evaluación del proyecto es de 10 años. ¿Cuál es el valor presente neto si la tasa de interés del mercado es de 20%? ¿Cuál es la Tasa Interna de Retorno? ¿Es rentable el proyecto? Sí, ¿Por qué? No, ¿Por qué? A qué precio se deben vender los computadores si se desea una TIR del 65%.

Ejercicio No 12 En un proyecto se estima posible vender 30.000 toneladas anuales de un producto a $1.000 la tonelada durante los dos primeros años y a $1.200 a partir del tercer año, cuando el producto se haya consolidado en el mercado. Las proyecciones de ventas muestran que a partir del año sexto, estas se incrementaran en 40%.


El estudio técnico definió una tecnología óptima para el proyecto que requeriría las siguientes inversiones para el volumen de 30.000 toneladas. Terrenos: $ 20.000.000 Obras físicas: $ 50.000.000 Maquinaria: $ 30.000.000 Sin embargo, el crecimiento de la producción para satisfacer el incremento de las ventas, requeriría duplicar la inversión en maquinaria y efectuara obras físicas por $40.000.000. Los costos de fabricación para un volumen de hasta 40.000 toneladas anuales son de: Mano de obra: $ 150 Materiales: $ 200 Costos Indirectos: $ 80 Sobre este nivel, es posible lograr descuentos por volumen en la compra de materiales equivalentes en 10%. Los costos fijos de fabricación se estiman en $5.000.000 sin incluir depreciación. La ampliación de la capacidad en un 40%, hará que estos costos se incrementen en $ 1.500.000. Los gastos de venta variables corresponden a una comisión de 3% sobre las ventas, mientras que los fijos ascienden a $1.500.000 anuales. El incremento de ventas no variará este monto. Los gastos de administración alcanzarían a $1.200.000 anuales los primeros cinco años y a $ 1.500.000 cuando se incremente el nivel de operación. La legislación vigente permite depreciar los activos de la siguiente forma: Obras físicas: 5% anual Maquinaria: 10% anual Al cabo de 10 años se estima que la infraestructura física (con terrenos) tendrá un valor comercial de $120.000.000. La maquinaria tendría un valor de mercado de $ 28.000.000. La tasa de impuesto a las utilidades es de un 33% Confeccione el flujo de caja y evalúe el proyecto.

Ejercicio No 13 En el estudio de la viabilidad económica de un proyecto se identificaron los siguientes ítems de inversión:


Terrenos $1.700.000 Construcciones $3.500.000 Equipos $1.000.000 Capital de Trabajo $ 600.000 De las inversiones totales $3.500.000 deberán ser financiados por un banco que exige se le cancele el préstamo en 4 pagos anuales e iguales de capital e intereses sobre saldos con una tasa de interés del 18% E.A. El proyecto producirá cierto artículo y su capacidad máxima de producción es de 19.000 unidades al año, pero el primer año sólo estará en capacidad de producir el 60%, el segundo el 70% y de allí en adelante aumentará un 10% hasta completar la máxima capacidad en el último año (año 5). El estudio de mercado determinó que cada artículo puede venderse en $700 durante los dos primeros años y los últimos 3 años en $900. Los costos de producción se estiman en el equivalente al 70% de los ingresos totales de cada año. La reglamentación vigente establece que las tasas de depreciación son las siguientes: construcciones 5% anual y los equipos 25% anual. En el último año los equipos pueden tener un valor de $700.000 y las construcciones incluyendo los terrenos un valor de $2.000.000. Suponiendo una tasa de impuestos del 33% anual: Elaborar el flujo de caja a precios constantes para evaluar el proyecto, si la tasa de inflación es del 3% anual. Evalúe el proyecto por medio del criterio del VPN suponiendo una tasa de interés de oportunidad del inversionista del 22% E.A. Analice el resultado. Calcule la tasa interna de retorno (TIR) y analice.

Ejercicio No 14 Una empresa desea invertir en un equipo que tiene un costo inicial de $ 200 millones y una vida útil de 7 años, al cabo de los cuales su valor de desecho o salvamento es de $65 millones. Los costos de operación y mantenimiento anual ascienden a $25 millones al año y se espera que los ingresos por la operación del equipo asciendan a $ 130 millones por año. El equipo se depreciará mediante el método de suma de dígitos. Bajo esta situación: ¿Qué le puede usted sugerir a esta empresa? Estadísticos e-Books & Papers

¿Qué se puede decir si en vez de suma de dígitos, la depreciación se hace por línea recta?

Ejercicio No 15 Un proyecto requiere una inversión de $380 millones. De éstos son necesarios $250 millones para la adquisición de un equipo, un vehículo y muebles de oficina. El resto de la inversión se utiliza en gastos preoperativos por un costo $20 millones y para la compra de un local pequeño por $110 millones, este valor incluye adecuaciones mínimas para su normal funcionamiento. El proyecto tiene una vida útil 6 años y todas las inversiones se realizan en el año cero del proyecto. Al final del año 6 el equipo puede ser vendido por $50 millones, su precio de adquisición fue de $150; y el vehículo por $35 millones, su precio de adquisición fue de $60 millones. Los muebles de oficina tienen un valor de salvamento igual a su valor en libros. Se calcula que el local puede venderse por $150 millones de pesos. Acorde con el sistema tributario en Colombia, el equipo lo podemos depreciar a través de método suma de dígitos de los años y, el vehículo, los muebles y el local por el método lineal. La inversión se financia en un 40% con capital propio y 60% con un préstamo, el cual se amortiza de manera constante cada año a partir del primer año. Los intereses se pagan sobre saldos a una tasa de interés del 23% ATV. Las ventas proyectadas para los tres primeros años son de $ 160 millones, y se espera que para los demás años, se incrementen en un 18% cada año con respecto al anterior. Sin incluir gastos financieros ni depreciación, los costos variables, para el primer año, representan un 15% de las ventas y aumentan, para los demás años, en la misma proporción que éstas. Los costos fijos de producción son de $20 millones y los gastos fijos de administración y ventas de $12 millones. Con una tasa de oportunidad del inversionista del 30% y una tasa impositiva Estadísticos e-Books & Papers

del 33% calcular: Flujo de caja del inversionista: VPN, TIR, TIRM, RBC, PRI. Flujo de caja del proyecto: VPN, TIR, TIRM, RBC, PRI.

PROBLEMAS PROPUESTOS DE COSTOS Ejercicio No16 Una compañía fabrica alimentos concentrados para animales y utiliza los procesos de mezcla y empaque para su producción. Con la información de Abril que aparece a continuación, responda las preguntas que aparecen más adelante. La política de precio de venta es un 75% más que el costo de producción unitario. Se vende todo lo que la empresa está en capacidad de producir en el turno actual. El salario básico del vendedor es de $1.000.000 Comisión de ventas es 1.5% del precio de venta El valor del transporte para entregar una unidad al cliente final es de $2.500 La depreciación del edificio administrativo es $500.000 mensuales. El salario básico del gerente de ventas es de $3.000.000 mensuales. El salario del personal de calidad del proceso de mezcla es $1.500.000 mensuales ·

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En Abril del 2012 se utilizaron en el proceso de mezcla los siguientes elementos: ·

- Mano de obra: Turno Nocturno. - 2 operarios a quienes se les paga el salario mínimo con todas las prestaciones de ley - 1 operario a quien se le paga a destajo a un valor de $10.000 por unidad fabricada más sus prestaciones sociales. - El tiempo empleado por los 3 operarios para la fabricación de una unidad es de 2.5 horas en promedio y se les paga una dotación al año de $240.000. Para la fabricación de una unidad se emplean los 3 operarios al mismo tiempo.


- Días laborables 23, y 7 días de descanso remunerado - El mantenimiento por unidad fabricada es de $6.000 - La capacidad normal está dada por la mano de obra - El costo de la energía por unidad: $2.500 - Depreciación total de los equipos es con el método de la línea recta con una vida útil de 5 años y un valor de los equipos de $30.000.000 - Cada empleado trabaja 15 horas extras diurnas durante el mes. - Los materiales utilizados tienen un nivel de desperdicio del 12% y se consumen 45 kilogramos por unidad cuando se le compra a un proveedor en Santa Marta a un valor de $700 por kilo. En caso de comprarle a un proveedor en Cartagena se consumen 44.5 kilogramos por unidad a un precio de $850 por kilo con un nivel de desperdicio del 15%. En Abril se utilizaron en el proceso de empaque los siguientes elementos:

El valor de la mano de obra directa fue el equivalente al valor del salario mínimo de un trabajador con todas las prestaciones de ley. - Costos primos por valor de $5.000.000 - Costos de conversión por valor de $4.300.000 Preguntas para la solución determinística: Recuerde que todo lo que la empresa esté en capacidad de producir se vende.

1. ¿A cuál de los dos proveedores se le deben comprar los materiales? Sustente con los cálculos respectivos 2. Identificar cuáles son los costos fijos, los gastos fijos, los costos variables y los gastos variables. 3. Identificar y calcular los costos de producción y los gastos de operación 4. ¿Cuál es el costo de producción unitario? 5. Presentar y analizar el estado del costo del producto manufacturado y vendido 6. Elaborar el estado de resultados de la compañía y analizar los resultados obtenidos. 7. ¿Considera pertinente la política de precios establecida por la compañía? 8. Analizar el efecto sobre las utilidades operativas del negocio ante un cambio en el nivel de desperdicio de las materias primas y el precio al que sean compradas al proveedor seleccionado, de acuerdo con los valores ofrecidos a continuación y determine la zona en la que se obtiene una mayor


utilidad operativa con respecto a la situación inicial . a. Nivel de desperdicio: 5%, 10%, 15% y 20% b. Precio de compra: $400, $500, $600, $700 9. ¿Valdría la pena invertir $10.000.000 en un equipo el cual reduciría los tiempos por unidad entre un 10% y un 20%, el cual tendría una vida útil de 5 años, con lo cual se podrían aumentar los niveles de producción de la empresa y vender estas unidades adicionales a un precio inferior en un 20% de la política establecida? 10. ¿Cuál sería el mínimo precio de venta al que se podrían vender estas unidades adicionales con el fin de que se justifique invertir en el equipo? Para modelar el problema de forma probabilística se deben considerar el comportamiento de las siguientes variables: - El precio de venta se espera que oscile entre un 65% y un 85% del costo de producción unitario. - Las comisiones de ventas cambian con respecto al tipo de clientes y se espera que fluctúen con un valor mínimo de 1%, un valor máximo del 3%, con un valor más probable de 1,5%. - El tiempo empleado por los tres operarios para la fabricación de una unidad en el proceso de mezcla depende de la calidad de materia prima utilizada y del ajuste de las máquinas, se tiene un valor optimista de 2,3 horas por unidad, un valor medio de 2,8 y un valor pesimista de 3 horas. - El mantenimiento requerido por cada unidad fabricada depende de los ciclos productivos y se espera que en promedio sea de $6.000 por unidad con una desviación estándar de $200 pesos por unidad. - El costo de energía requerido por unidad depende del comportamiento de los precios de las empresas que la suministran y del horario en que se utilicen los equipos. Un estudio técnico ha arrojado que el costo mínimo por unidad es de $2.300 y el máximo de $2.700 - Históricamente los empleados han trabajo entre 10 y 18 horas extras diurnas durante el mes. - Los desperdicios de los materiales utilizados con el proveedor de Santa Marta oscilan entre un 9% y un 14%.

Pregunta: Con las cifra anteriores de deben responder las preguntas 3, 4, 5,6,9 y 10


en términos probabilísticos. Ejercicio No 17 Una empresa está analizando la posibilidad de tercerizar los servicios de atención de llamadas telefónicas. Para ello dos proveedores ofrecen las siguientes alternativas: Proveedor 1: ofrece una tarifa de $200 el minuto Proveedor 2: ofrece una tarifa de $240 el minuto con una promoción de primer minuto de llamada gratis. ·

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Actualmente la empresa tiene una infraestructura propia para atender sus llamadas telefónicas. Tiene 10 personas dedicadas de manera exclusiva a esta operación, a quienes se paga un salario de $600.000 mensuales a cada uno, con las prestaciones sociales de ley y reciben una dotación de $360.000 al año por persona. Adicionalmente se les paga una bonificación de $50 por llamada telefónica atendida. El turno de trabajo comprende de 8 horas al día durante los 22 días laborables del mes. En caso de que se requieran horas extras serán diurnas. La depreciación mensual de los equipos es de $1.000.000, el arriendo mensual es de $2.000.000, el valor de otros insumos mensuales requeridos para la operación es de $300.000 y la energía mensual consumida $250.000. El servicio telefónico se paga a una tarifa de $60 por minuto. Mensualmente se reciben 25.000 llamadas telefónicas con una duración promedio por llamada de 5 minutos. Preguntas ¿Cuál de las alternativas resulta atractiva para la compañía? Sustente con los cálculos respectivos. ¿Valdría la pena en la alternativa de recursos propios contratar una persona adicional con el fin de disminuir el número de horas extras requeridas? ¿Qué pasa si se contratan dos personas, cambia la decisión? ¿A partir de qué número de llamadas telefónicas sería conveniente contratar solamente una persona adicional en la alternativa de recursos propios? En el caso de que se tengan solamente 10 personas en la operación, analice el impacto que tendría una variación en los tiempos promedio por llamada telefónica entre 4.5 minutos y 6 minutos.¿ Cuál de las alternativas le resulta ·

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atractiva a la compañía? Aceptaría una tabla de precios (tarifa por minuto) propuesta por el proveedor 1 para un número de llamadas entre 24.000 y 30.000, en donde sea mejor contratar los servicios con este proveedor. Se ofrece un descuento de $10 por minuto sobre el precio inicialmente propuesto por cada incremento de 2.000 llamadas telefónicas a partir de 24.000. ·

Pregunta para resolver el problema de forma probabilística: ¿Qué implicaciones tiene para la empresa si el número de llamadas mensuales que se reciben fluctúan entre 20.000 y 30.000 y si la duración de ellas oscila entre 3 y 7 minutos? ·

Ejercicio No 18 Empresa de Montajes Una empresa de montajes logísticos ofrece 3 tipos de servicios. El tipo A tiene un precio de venta de $4.000.000 por montaje, el tipo B $6.000.000 y el tipo C, dada su complejidad y tamaño un valor de $13.000.000. En cada montaje se utilizan insumos, personal, energía, servicios subcontratados y depreciación de los equipos, de acuerdo con el número de montajes realizados, así: Tipo A Tipo B Tipo C Unidad Insumos directos Mano de obra directa 300.000,00 400.000,00 600.000,00 $/montaje 20.000,00 25.000,00 40.000,00 $/hora Energía Servicios subcontratados Depreciación equipos 20.000,00 18.000,00 22.000,00 $/montaje 30.000,00 35.000,00 32.000,00 $/montaje 10.000,00 10.000,00 10.000,00 $/montaje


En la realización de un montaje tipo A se emplean 60 horas, en uno tipo B son 90 horas y en un montaje tipo C se utilizan 120 horas. La empresa estima realizar al mes 5 montajes tipo A, 6 tipo B y 7 tipo C. El valor mensual del arriendo de las oficinas administrativas es $6.000.000, la nómina del personal administrativo $5.000.000 más las prestaciones sociales, la depreciación de las oficinas administrativas $1.000.000 y a los vendedores se les paga un salario básico de $800.000 más las prestaciones sociales, con una comisión de ventas del 3% para los montajes tipo A, 4% para los tipo B y 5% para los tipo C. El factor prestacional de la compañía es del 80%. Actualmente la empresa tiene 12 personas dedicadas exclusivamente a los servicios de montaje, quienes laboran 22 días al mes con una disponibilidad diaria de 7.5 horas. Con la información anterior: Construya y analice el estado de resultados por costeo variable para los montajes estimados. Para la mezcla de ventas estimada, determine el punto de equilibrio operacional y construya el estado de resultados por costeo variable para ese nivel de ventas. Calcule e interprete el margen de contribución unitario y el coeficiente de contribución unitario de cada montaje, el margen de seguridad y el grado de apalancamiento de la compañía. La empresa está analizando la posibilidad de invertir en unos nuevos equipos, con lo cual las horas de montaje requeridas para los tipo C disminuirían un 10%. Esta inversión incrementa las cifras fijas en $10.000.000 al mes. Con esto se estima que las ventas de este tipo de montajes sean el doble al mes. En caso de que se requieran horas extras se pagarán a $60.000 hora ya incluidas todas las prestaciones de ley. Determine si se justifica realizar la inversión en los equipos. En caso de invertir en el equipo analice los siguientes escenarios y determine las recomendaciones: ·

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Tipo C Escenario Nro. 1 2 3 Pvu ($/montaje) 15.000.000,00 16.000.000,00 10.000.000,00 Tiempos montaje (horas/montaje) 112,00 110,00 108,00 Comisión 3% 6% 3% Número de montajes al mes (montajes) 12,00 11,00 18,00


Para modelar el problema de forma probabilística se deben considerar el comportamiento de las siguientes variables: Los precios de los insumos directos pueden variar de acuerdo con las condiciones del mercado. Para el tipo A podrían oscilar entre $280.000 y $320.000, para el tipo B entre $370.000 y $410.000 y para el tipo C entre $590.000 y $630.000. ·

Los tiempos de cada montaje dependen de su nivel de complejidad y del tipo de cliente a quien se preste el servicio. Se espera que un montaje tipo A dure mínimo 55 horas, máximo 64, con un valor más probable de 60 horas. El montaje tipo B se espera que dure entre 85 y 95 horas. El montaje tipo C se espera que requiera mínimo 100 horas y máximo 130 horas. ·

La proyección del número de montajes al mes es entre 4 y 7 para los tipo A, 5 y 8 tipo B y 6 y 10 tipo C. Se espera que la disponibilidad diaria de los trabajadores esté entre 6 y 9 horas. ·

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Con la información anterior se deben responder probabilísticamente las tres primeras preguntas .

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