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Práctica #8: Análisis mediante el criterio de Routh Hurwitz de la Estabilidad del sistema eléctrico con carga RLC . Pablo A. Ambrosi
Resumen en el presente informe se encontrará la función de transferencia mediante la transformada de Laplace para un circuito RLC y se analizará su estabilidad mediante el criterio de Routh Hurwitz —
.
Términos claves — Estabilidad, función de transferencia.
I. INTRODUCCIÓN El criterio de Routh establece que la cantidad de r aíces positivas o con parte real positiva es igual a la cantidad de cambios de signo en los coeficientes de la primera columna [3].
II. OBJETIVOS -
Objetivo general: •
-
Analizar la estabilidad mediante el criterio de Routh Hurwitz del sistema eléctrico propuesto.
B. Respues ta transit oria en si stemas d e control:
Está definida como la parte de la respuesta en el tiempo que tiende a cero cuando el tiempo se hace muy grande. Por tanto, !& # tiene la propiedad de que:
)*+ !& # % .
&,-
C. Función de Trans ferencia:
Es la representación matemática del comportamiento de un sistema de control. La función de transferencia de un sistema lineal invariante con el tiempo se define como la transformada de Laplace de la respuesta al impulso, con todas las condiciones iniciales iguales a cero.
Objetivos Específicos:
/ # % 012 34"5$6 •
•
•
•
Analizar teóricamente la estabilidad del sistema eléctrico propuesto utilizando el criterio de Routh Hurwitz. Desarrollar matemáticamente la tabulación de Routh Hurwitz de la ecuación característica. Determinar la ubicación de los polos de la ecuación característica. Determinar el número de cambios de signo que tienen los coeficientes de a tabulación de Routh Hurwitz.
III. SUSTENTO TEÓRICO A. Análisis de sistem as de con trol en el dominio del tiemp o:
La respuesta en el tiempo de un sistema de control se divide normalmente en dos partes: la respuesta transitoria y la respuesta en estado estable. Sea !"#$ la respuesta en el tiempo
La función de transferencia es una función racional con polinomios en el numerador y en el denominador.
a y b son constantes reales
Cuando el grado del numerador > grado del denominador: es una función impropia m>n es una función impropia m=n es una función impropia m
2 D. Sistemas de segundo orden:
La función de transferencia de un sistema de segundo orden se expresa como:
Fig2. Sistema de control prototipo de segundo orden [1]. El comportamiento dinámico del sistema de segundo orden se describe a continuación en términos de dos parámetros ! y 78 . El valor de ! toma diferentes valores dependiendo de su ubicación en el plano s. El semiplano izquierdo del plano s corresponde a un amortiguamiento positivo (!>0), esto causa que la respuesta escalón unitario establezca un valor final constante en el estado estable debido al exponente negativo (- !78 #$ . Por lo tanto, el sistema es estable. " El semiplano derecho del plano s corresponde a un amortiguamiento negativo (!<0). El amortiguamiento negativo da una respuesta que crece en magnitud sin límite de tiempo, por lo tanto, el sistema es inestable.
"
El eje imaginario corresponde a un amortiguamiento de cero (!=0). Este resulta en una amortiguación sostenida, y el sistema es marginalmente estable o marginalmente inestable.
Si 0 < ! < 1, los polos en lazo cerrado son complejos conjugado s y se encuentran en el semiplano izquierdo del plano s. El sistema, entonces se denomina subamortiguado y la respuesta transitoria es oscilatoria. Si ! = 1, el sistema se denomina críticamente amortiguado. Los sistemas sobreamortiguados corresponden a ! > 1. La respuesta transitoria de los sistemas amortiguados y sobreamortiguados no oscila.
críticamente
Si ! = 0, la respuesta transitoria no se amortigua [1].
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1. Primero se verifica si no existe algún o algunos coeficientes nulos o negativos en presencia de un coeficiente positivo al menos.
IV. DESARROLLO Diagrama del circuito eléctrico:
Por ejemplo, sea el polinomio: s
4
+ 2 s
3
+ 4 s + 5 = 0
Coeficientes {1, 2, 0, 4, 5} Un coeficiente nulo Existe una raíz o raíces imaginarias con parte real positiva El sistema es inestable. Otro ejemplo, sea el polinomio: s
4
+ 2 s
3
" 3 s
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Fig5. Sistema eléctrico propuesto.
+ 4 s + 5 = 0
Coeficientes {1, 2, -3, 4, 5} Un coeficiente negativo en presencia de coeficientes positivos Existe una raíz o raíces imaginarias con parte real positiva El sistema es inestable. Todos los coeficientes deben ser positivos Condición necesaria pero no suficiente para la estabilidad de un sistema.
2. Si todos los coeficientes son positivos y no nulos se procede a construir la siguiente tabla con los coeficientes de la función. Sea el polinomio:
1.
Determinar la función de transferencia de 9 5 % :; "($ <="($
del diagrama de estado
2.
Desarrollar matemáticamente la tabulación de Routh Hurwitz de la ecuación característica.
3.
Graficar la ubicación de los polos de la ecuación característica.
4.
Determinar el número de cambios de signo que tienen los coeficientes de la tabulación de Routh Hurwitz.
Los puntos 1, 2, 3,4 serán desarrollados en anexos. 4
3
2
a0 s +a1 s +a2 s +a3 s+a4= 0
V. SIMULACIONES: 1. Obtención de polos en la función de la ecuación característica: Código:
solo se llenan las dos primeras filas, los demás valores se calculan:
gs=tf([1,0],[1,5,-4]); polos=roots(gs.den{1}); zeros=roots(gs.num{1}); pzmap([1,0],[1,5,-4])
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Simulacion2. Resultado obtenido mediante programación en Matlab_R2015b. VI.
CONCLUSIONES
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El teorema proporciona un criterio capaz de determinar en cuál semiplano (izquierdo o derecho) del plano complejo están localizadas las raíces del denominador de la función de transferencia de un sistema; y también nos permite conocer si este sistema es estable o no. En este caso aplicamos el criterio y nos dio como resultado que hay un polo en el semiplano izquierdo y uno en el semiplano derecho, por ese único polo en el semiplano derecho el sistema presenta inestabilidad.
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Por lo antes estudiado en la práctica 7 se determinó que el sistema era inestable ya que se realizó el análisis de la función de transferencia del sistema mediante el cálculo de polos y el sistema presento inestabilidad por el polo s1 = 0,7 en el semiplano derecho.
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No cumple con el criterio de estabilidad de Routh Hurwitz ya que existe una variación de signos en la tabulacion de Routh Hurwitz, como existe una sola variación esto nos deja como conclusión de la existencia de un polo a la derecha.
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Mediante la determinación de la Función de Transferencia a partir de pasar las ecuaciones a Laplace de llego a modelar matemáticamente el comportamiento del circuito RLC.
