Análisis de elementos finitos en Ingeniería geotécnica
Teoría David M. Potts y Lidiia Zdraković 1. Análisis geotécnico 1.1 Sinopsis En este capítulo se considera el análisis de estr ucturas geotécnicas. se presentan los re quisitos de diseño, se analizan consideraciones teóricas fundamentales y los diversos métodos de análisis categorizados. El objetivo principal del capítulo es proporcionar un marco en el que se pueden comparar diferentes métodos de análisis. Esto proporcionará y una visión de las ventajas potenciales de análisis numérico sobre los enfoques más "convencionales" actualmente en uso.
Figura 1.1: Ejemplos de estructuras geotécnicas
1.2 Introducción Casi todas las estructuras de ingeniería civil implican el suelo de alguna manera. Taludes de corte, la tierra y diques de escollera, véase la Figura 1.1, están hechos de materiales geológicos. El suelo (o roca) proporciona tanto la desestabilización y la estabilización de las fuerzas que mantienen e l equilibrio de la estructura. Balsa y bases apiladas transferir cargas de edificios, puentes y estructuras offshore para ser resistidas por el suelo. Los muros de contención verticales permiten excavaciones a re alizar. En la mayoría de situaciones, el suelo proporciona tanto la activación y fuerzas de resistencia, co n la pared y su soporte estructural que proporciona
un mecanismo de transferencia. La ingeniería geotécnica, por lo tanto, juega un papel importante en el diseño de estructuras de ingeniería civil. El ingeniero de diseño debe evaluar las fuerzas impuestas en el suelo y los miembros estructurales, y los movimientos posibles de la estructura y el suelo circundante. Por lo general, estos tienen que ser determinada dete rminada bajo las dos condiciones de carga de trabajo y finales. Tradicionalmente diseño geotécnico se ha llevado a cabo utilizando análisis simplificados o enfoques empíricos. La mayoría de los códigos de diseño o manuales de asesoramiento se basan en este tipo de enfoques. La introducción de bajo costo, pero sofisticado, hardware y software de ordenador ha dado lugar a considerables avances en el análisis y diseño de estructuras geotécnicas. Se ha avanzado mucho en el intento de modelar el comportamiento de las estructuras geotécnicas en servicio y para investigar los mecanismos de interacción suelo-estructura. En la actualidad, hay muchos métodos diferentes de cálculo disponibles para el análisis de estructuras geotécnicas. Esto puede ser muy confuso para un ingeniero geotécnico sin experiencia. En este capítulo se presenta un análisis geotécnico. Las consideraciones teóricas básicas y se discuten los distintos métodos de análisis categorizados. Los principales objetivos son describir los procedimientos de análisis que están en uso actual y para proporcionar un marco en e l que se pueden comparar los diferentes mé todos de análisis. Una vez establecido el lugar de análisis numérico en este marco general, es entonces posible identificar sus potenciales ventajas. 1.3 Objetivos de diseño En el diseño de cualquier estructura geotécnica, el ingeniero debe asegurarse de que es estable, estabilidad puede tomar varias formas. En primer lugar, la estructura y el soporte del sistema sea estable en su conjunto. No debe haber ningún riesgo de fracaso de rotación, traslación vertical u, véase la Figura 1.2
Figura 1.2: la estabilidad local
Fig 1.3: la estabilidad global
En segundo lugar, se debe establecer la estabilidad general. Por ejemplo, si una estructura de retención soporta un terreno inclinado, la posibilidad de la construcción de la promoción de un frac aso general de pendiente debe ser investigado, ver Figura 1.3. Las cargas sobre los elementos estructurales implicados en la construcción también se deben calcular, de manera que éstos pueden ser diseñados para llevar con seguridad. Los movimientos deben ser estimados, tanto de la estructura y de la tierra. Esto es especialmente importante si hay edificios adyacentes y / o servicios sensibles. Por ejemplo, si una excavación debe ser hecho en una zona urbana cerca de los servicios y edificios existentes, véase la figura 1.4, una de las limitaciones de diseño clave es el efecto que tiene la excavación de las estructuras y servicios adyacentes. Puede ser necesario para predecir cualesquiera fuerzas estructurales inducidos en estas estructuras y / o servicios existentes.
Fig 1.4 Interacción de las estructuras
Como parte del proceso de diseño, es necesario que un ingeniero para re alizar cálculos para proporcionar estimaciones de las cantidades anteriores. El análisis proporciona el marco matemático para e stos cálculos. Un buen análisis, que simula el comportamiento real y permite al ingeniero para entender mejor los problemas. Mientras que una parte importante del proceso de diseño, el análisis sólo proporciona el ingeniero con una herramienta para cuantificar los efectos una vez que las propiedades del material y condiciones de carga se han establecido. El proceso de diseño implica mucho más que su análisis. 1.4 Los requisitos de diseño Antes de que el proceso de diseño puede comenzar, una cantidad considerable de información debe ser montado. Se deben establecer las condiciones básicas de la geometría y de carga. Estos suelen se r definidos por la naturaleza del proyecto de ingeniería. Se requiere entonces una investigación geotécnica sitio para establecer las condiciones del terreno. Tanto la estratigrafía del suelo y las propiedades del suelo deben se r determinados. A este respecto, será necesario determinar la resistencia del suelo y, si los movimientos del terreno son importantes, para evaluar su rigidez también. La posición de la capa freática y de si hay o no hay que establecer las condiciones alse dre naje interno o artesianos. La posibilidad de cualquier cambio en estas condiciones del agua debe ser investigada. Por
ejemplo, en muchas de las principales ciudades de todo el mundo el nivel de agua subterránea está aumentando. La investigación del sitio también debe establecer la ubicación de los servicios (gas, agua, electricidad, telecomunicaciones, alcantarillado y / o túneles) que se e ncuentran en las proximidades de la construcción propuesta. El tipo (tira, balsa y / o acumulado) y la profundidad de los cimientos de los edificios adyacentes también deben ser determinados. Los movimientos permitidos de estos servicios y fundaciones se deben establecer. se deben identificar cualquier restricción sobre e l rendimiento de la nueva estructura geotécnica. Tales restricciones pueden adoptar muchas formas diferentes. Por ejemplo, debido a la estrecha proximidad de los servicios y las estructuras adyacentes puede haber restricciones impuestas a los movimientos del terreno. Una vez que la información anterior se ha recogido, el diseño limita a la estructura ge otécnica puede ser establecida. Estos deben cubrir el período de construcción y de la vida de diseño de las estructuras. Este proceso también identifica implícitamente qué tipo de estructura son y no son adecuados. Por ejemplo, en el diseño de una excavación, si hay una restricc ión a los movimientos de la tierra retenida, apoyados o anclados incrustado muros de contención es probable que sean más apropiados que la g ravedad o muros de tierra armada. La restricción de diseño también determinar el tipo de análisis de diseño que necesita ser llevado a cabo. 1.5 Consideraciones teóricas 1.5.1 Requisitos para una solución general En general, una solución teórica debe satisfacer e l equilibrio, compatibilidad, la conducta constitutiva de materiales y condiciones de contorno (tanto en fuerza y desplazamiento) .Cada de estas condiciones se considera por separado más adelante, 1.5.2 equilibrio Para cuantificar cómo se transmiten las fuerzas a través de una serie continua ingenieros utilizan el concepto de estrés (fuerza / unidad de área). La magnitud y la dirección de un estrés y la manera en que varía espacialmente indica cómo se transfieren las fuerzas. Sin em bargo, estos esfuerzos no pueden variar al azar, sino que deben obedecer ciertas reglas.
Figura 1.5: trayectorias de flujo
Antes de considerar el concepto de tensiones, un ejemplo análogo del problema del agua que fluye a t ravés de un tanque lleno de arena se prese nta en la Figura 1.5. El depósito lleno de arena tiene una entrada y dos salidas. Esta figura indica los vectores de la velocidad del agua en puntos discretos dentro del tanque. El tamaño de las flechas representa la magnitud de la velocidad de flujo, mientras que su orientación muestra la dirección del flujo. Debido a la proximidad más estrecha de la salida de la mano izquierda a la e ntrada, más el agua fluye en esta dirección que a la salida de la mano derecha. Como sería de esperar, la flujos son muy pequeños en las regiones A, B y C. Este resultado se pudo observar mediante el uso de un tanque transparente y la inyección de medio de contraste en el flujo. Del mismo modo, una viga de hormigón, con el apoyo de dos reacciones en su superficie inferior y cargado por una carga L, en su superficie superior, se presenta en la Figura 1 .6. Es evidente que, para el equilibrio global de
las reacciones deben ser 2L / 3 y L / 3. ¿Qué no está tan claro, sin embargo, es cómo la carga se transfiere a través de la viga. No es posible ve r cómo la carga se transmite en este caso. Como se señaló anteriormente, los ingenieros utilizan el concepto de estrés para investigar la transferencia de carga. Destaca son esencialmente cantidades ficticias. Por ejemplo, la manera en que la tensión principal mayor varía a través del haz se da en la Figura 1.6. La longitud de las trayectorias re presenta la magnitud de las tensiones y su orient ación su dirección.
Figura 1.6: trayectorias de estrés
Mientras que la velocidad de flujo es un vector con esencialmente tres componentes, uno en cada una de las direcciones de coordenadas cartesianas, el estrés es un tensor que consta de seis componentes. De la misma manera, ya que hay normas que reg ulan el flujo de agua a través del de pósito, también hay normas que controlan la forma en que los componentes de la tensión varían a lo largo la viga de hormigón. Despreciando los efectos de inercia y todas las fuerzas del cuerpo, excepto pe so propio, el estrés de una masa de suelo debe cumplir las tres ecuaciones siguientes (Timoshenko y Goodier (1951)):
=0 =0 =0
Figura 1.7: Destaca en un elemento típico
El Cabe señalar lo siguiente: - Peso propio, γ, actúa en la dirección x;
(1.1)
- Las tensiones de compresión se supone positivo; - Las ecuaciones de equilibrio (1.1) están en términos de tensiones totales; - Destaca deben satisfacer las condiciones de contorno (es decir, en los límites de las te nsiones deben estar en equilibrio con las fuerzas de tracción aplicadas superficie) 1.5.3 Compatibilidad Compatibilidad física Compatible deformación no implica ningún solapamiento de material y no la generación de agujeros. El significado físico de la compatibilidad se puede explicar considerando una placa compuesta de un elementos de placa más pequeñas, como se muestra en la figura 1.8a. Después de filtrar, los elementos de placa pueden ser tan distorsionada que forman la matriz se muestra en la figura 1.8b. Esta condición podría representar el fracaso por rotura. Alternativamente, la deformación puede ser tal que los distintos elementos de placa encajan entre sí (es decir, no hay agujeros creados o superpuestas) como se muestra en la figura 1.8c. Esta condición representa una deformación compatible.
Figura 1.8: Modos de deformación
Compatibilidad matemática La interpretación física por encima de la compatibilidad se puede expresar matemáticamente, teniendo en cuenta la definición de las cepas. Si deformaciones son definidos por funciones continuas U, V y W en las direcciones X y Z, respectivamente, las cepas (suponiendo que la teoría del esfuerzo peque ño y un convenio de signos positivos de compresión) se definen como (Timoshenko y Goodier (1951)):
=− ; =− ; = − =− − ; =− − ; =− −
(1.2)
Como las seis cepas son una función de sólo tr es desplazamientos, no son independientes. Se puede demostrar matemáticamente que para que exista un c ampo de desplazamiento compatibles, deben existir todos los componentes anteriores de la cepa y sus derivados (están acotadas) y ser continua a por lo menos la segunda orden. El campo de desplazamiento debe satisfacer cualquier desplazamientos especificados o restricciones impuestas en el límite. 1.5.4 Condiciones de equilibrio y compatibilidad Combinando las ecuaciones ((1,1)) y la compatibilidad Condiciones de equilibrio (ecuaciones (1.2)), se obtiene: Incógnitas: 6 + 6 tensiones cepas + 3 = 15 desplazamientos
Ecuaciones: 3 + 6 equilibrio compatibilidad = 9 Para obtener por lo tanto una solución requiere 6 ecuaciones más. Estos provienen de las re laciones constitutivas. 1.5.5 comportamiento constitutivo Esta es una descripción del comportamiento del material. En términos simples, es e l comportamiento tensión deformación del suelo. Por lo general toma la forma de una relación entre el estrés y las tensiones y por lo tanto proporciona un vínculo entre el equilibrio y la compatibilidad. A efectos de cálculo de la conducta constitutiva tiene que ser expresado matemáticamente:
∆∆∆ 3 3 3333 3 5535 6636 ∆∆∆ ∆∆ = 5 5 353 5 555 656 ∆∆ {∆} 6 6 63 6 65 66 {∆} ∆=⌈⌉ ∆ 1− 1− 00 00 00 0 0 0 + 0 0 1− 1 ⁄ 0 2 − 0 0 00 00 00 00 1⁄20− 1⁄20−
O
(1.3)
Para un material elástico lineal el [D] de la matriz tiene la siguiente forma:
(1.4)
Donde E y are módulo de Young y el coeficiente de Poisson, respectivamente. Sin embargo, porque el suelo por lo g eneral se comporta de manera no lineal, es más realista para las ecuaciones constitutivas de relacionarse incrementos de estrés y la tensión, como se indica en la ecuación (1.3), y para la matriz [D] a depende de la tensión actual y pasado historia. El comportamiento constitutivo o bien puede expresarse en té rminos de tensiones totales o eficaces. Si se especifica en términos de tensiones efectivas, el principio de la tensión efectiva puede ser invocado para obtener tensiones totales requeridas para su uso con las ecuaciones de equilibrio:
(= ) ∆ = ∆; ∆ =∆; therefore ∆=(′ )∆ (1.5)
Donde [D] es una relación constitutiva que relaciona el c ambio en la presión del fluido de poro para e l cambio en la tensión. Para el comportamiento sin drenaje, el cambio en la presión del fluido de poro está relacionado con la deformación volumétrica (que es pequeño) a través de la compresibilidad mayor parte del fluido de los poros (que es grande), véase el capítulo 3. 1.6 idealización geométrica Con el fin de aplicar los conceptos ante riores a un problema geotécnico real, se deben hacer ciertas suposiciones y idealizaciones. En particular, es necesario especificar el comportamiento del suelo en forma de una relación constitutiva matemático. También puede ser necesario simplificar y / o idealizar la geometría y / o las condiciones de contorno del problema.
1.6.1 deformación plana Debido a las características geométricas especiales de muchos de los problemas físicos tratados en la mecánica del suelo, simplificaciones adicionales de magnitud considerable se pueden aplicar. Problemas, tales como el análisis de los muros de contención, zapatas continuas, y la estabilidad de las pendientes, en g eneral, tienen una dimensión muy grande en comparación con los otros dos, vé ase la Figura 1.9. Por lo tanto, si las condiciones de fuerza y / o desplazamiento aplicado límites son perpendiculares a, e independiente de esta dimensión, todas las secciones transversales serán los mismos. Si la dimensión z del problema e s grande, y se puede suponer que el estado existente en el plano xy se mantiene para todos los planos paralelos a la misma, el desplazamiento de cualquier sección transversal xy, en relación con cualquier paralela a la misma, el desplazamiento de cualquier sección transversal xy, en relación con c ualquier sección transversal xy paralelo, es cero. Esto significa que w = 0 , y los desplazamientos u y v son independientes de la coordenada z. Las condiciones compatibles con estas aproximaciones se dice para definir el caso muy importante de deformación plana:
=− =0; =− − =0; =− − =0 ∆∆ ∆∆ = 3 3 3 ∆∆ ∆{∆} 56 56 56 ∆ 5 =5 =5 =6 =6 =∆6 =0, ∆, ∆ ∆ ∆ =∆ =0 , , , , , , , , =
La relación constitutiva después se redujo a:
(1.7)
Sin embargo, para la mayoría elástica y si idealizaciones materiales actualmente utilizados para representar el comportamiento del suelo , y, en consecuencia . Este resultado en cuatro cambios de esfuerzos que no son cero, Es común a considerar sólo las y tensiones y cuando la realización de análisis para los problemas de deformación plana. Esto es aceptable si no son dependiente. Esta condición se cumple si el suelo se supone que es elástica. También es cierto si se adopta la condición de fallo o Tresca Mohr -Coulomb (véase el capítulo 7) y se supone que la tensión intermedia . Tal un supuesto generalmente se adoptó por el simple análisis de los problemas geotécnicos. Cabe señalar, sin embargo, que estos son casos especiales. 1.6.2 Axi-simetría Algunos problemas poseen simetría rotacional. Por ejemplo, un uniforme o ce ntralmente cargan base circular, que actúa sobre una base homogénea u horizontalmente en capas, tiene simetría de rotación alrededor de un eje vertical a fondo el centro de la base. Muestras cilíndricas triaxial, pilas individuales y cajones son otros ejemplos en los que puede existir tal simetría, véase la Figura 1.10.
Figura 1.10: Ejemplos de eje de simetría
En este tipo de problema es común para llevar a cabo análisis utilizando coordenadas cilíndricas r (dirección radial, z (dirección vertical) y (dirección circunferencial). Debido a la simetría, no hay desplazamiento en la dirección y los desplazamientos en las direcciones r y z son independientes de y por lo tanto las cepas se reducen a (Timoshenko y Goodier (1951)):
=− ; =− ; =− ; =− − ; = =0
(1.8)
Donde u y v son los desplazamientos en el R y Z, respectivamente.
Esto es similar a la situación de deformación plana se discutió anteriormente y, en consecuencia, los mismos argumentos relativos a la [D] de la m atriz se aplican aquí también. En cuanto a deformación plana, hay cuatro cambios de esfuerzos que no son cero, and .
∆, ∆, ∆ ∆
1.7 Métodos de análisis Como se señaló anteriormente, las consideraciones fundamentales afirman que para una solución teórica exacta los requisitos de equilibrio, la compatibilidad , el comportamiento del material y de las condiciones de frontera, tanto la fuerza y el desplazamiento, deben estar todos satisfechos. Por tanto, es útil revisar las amplias categorías de análisis actualmente en uso en contra de estos requisitos teóricos. Corrientes métodos de análisis pueden ser convenientemente agrupados en las siguientes categorías: forma cerrada, simples y análisis numérico. Cada una de estas categor ías se considera por separado. La capacidad de cada método para satisfacer los requisitos teóricos fundamentales y proporcionar información sobre el diseño se resumen en las Tablas 1.1 y 1 .2, respectivamente. Tabla 1.1 Requisitos básicos solución satisfecha por los distintos métodos de análisis METODO DE ANALISIS
REQUISITOS DE LA SOLUCION CONDICIONES DE FRONTERA D A
IO DI
R LI
BI IL
BI
Q
P
T
U A
E M
E O C
Closed form
S
S
Limit equilibrium
S
NS
Stress field
S
NS
Lower bound
S
NS
Upper bound
NS
s
si ti s mi
yl L a
n
a
Beam-Spring approaches
S
S
Full Numerical analysis
S
S
COMPORTAMIENTO CONSTITUTIVO Linear elastic Rigid with a failure criterion Rigid with a failure criterion Ideal plasticity with associated flow rule Soil modeled by springs or elastic interaction factors Any
FORCE
DISP
S
S
S
NS
S
NS
S
NS
NS
S
S
S
S
S
Tabla 1.2: Diseño requisitos satisfechos por los distintos métodos de análisis DESIGN REQUIREMENTS Wall & supports
Stability tr
METHOD OF ANALYSIS
t
o p
e s
e
p h W
s
e
Closed foms (Linear elastic)
No
No et
Limit equilibrium
a S
S et
S
c
et l. e
a n a
a
L
Beam-Spring approaches Full Numerical analysis
a
e S
c
No
No
No
e No
No
No
e No
No
mi t s
c
C et
.l u p e S
c
d mi
ur a
a e
d cl
et
a e
a a
No
ur
ar cl
No
a
lc
u p
Yes
e
.l
No
d
et
ar
Yes
et
u S
et
Yes
e
p
a im
l.
c
D
Yes
c Yes
a
S
it
a
ar lc
is
cl S
u
of
p
u
et
ar
Upper bound
e
p a
p yl
.l a
cl
a s
ar u
e
S
t D
c Yes
.l p
Yes
a
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a
of
is
al cr
cl p
a
Yes
S
ur
u
cl e
ar
si
e
a
p
Yes
.l
u
et
Stress field Lower bound
ar .l
e
c
ut p
cr
Yes et
ar
e t
O
No
c ur v
B
c
e
c
ut
e a
al
m ar
e
ar
l&l
e
m
l
ar ll
n
e l
a u
t n
v a
Adjacent structures
C
e
s
t
mi ur C
t s
Yes
No
No
Yes
Yes
No
No
Yes
Yes
Yes
Yes
Yes
Yes
Yes
1.8 soluciones de forma cerrada Para una estructura geotécnica en particular, si es posible establecer un modelo constitutivo realista para e l comportamiento del material, identificar las condiciones de contorno, y solución teórica exac ta puede ser obtenida. La solución es exacta en el sentido teórico, pero todavía es aproximada para el problema real, como suposiciones sobre la geometría, las condiciones de contorno aplicadas y el comportamiento constitutiva se han hecho en idealizar el problema físico real e n una forma matemática equivalente. En principio, es posible obtener una solución que permite predecir el comportamiento de un problema desde la primera carga (construcción / excavación) hasta el largo plazo y para propor cionar información sobre los movimientos y la estabilidad de un solo análisis. Una solución de forma cerrada es, por lo tanto, el último método de análisis. En este enfoque todos los requisitos de la solución son satisfechas y las teorías de las matemáticas se utilizan para obtener expresiones analíticas completas que definen el comportamiento del problema. Sin embargo, como e l suelo es un material de múltiples fases muy complejo que se comporta de forma no lineal cuando está cargado, las soluciones analíticas completas a problemas geotécnicos realistas no son generalmente posible. Soluciones sólo se pueden obtener por dos clases muy simples de problema. En primer lugar, hay soluciones donde se asume que el suelo se comportan de una manera lineal elástico isótropo. Si bien estos pueden ser útiles para proporcionar una primera estimación de los movimientos y las
fuerzas estructurales, son de poca utilidad para la investigación de la estabilidad. La comparación con el comportamiento observado indica que tales soluciones no proporcionan predicciones realistas. En segundo lugar, hay algunas soluciones para los problemas que contienen suficientes simetrías geométricas de que el problema se reduce a que es esencialmente unidimensional. La expansión de cavidades cilíndricas esféricas e infinitamente largos en un infinito continuo elastoplástico son ejemplos. 1.9 Los métodos simples
Para habilitar soluciones más realistas que se obtenga, se deben introducir aproximaciones. Esto se puede hacer en una de dos maneras. En primer lugar, las limitaciones en la satisfacción de las nece sidades básicas de solución pueden estar relajados, pero las matemáticas todavía se utiliza para o btener una solución analítica aproximada. Este es el enfoque utilizado por los pioneros de la ingeniería geotéc nica. Tales planteamientos se consideran como "métodos simples" en lo que sigue. La segunda forma, por el cual se pueden obtener soluciones más realistas, es introducir aproximaciones numéricas. Todos los requisitos de una solución teórica se consideran, pero sólo pueden ser satisfechas de manera aproximada. Este último enfoque se considera con más detalle en la siguiente sección. Limitar el equilibrio, campo de esfuerzos y la c aída del límite de análisis en la categoría de 'métodos simples. Todos los métodos esencialmente asumen el suelo está en fallo, pero difieren en la manera e n que llegan a una solución. 1.9.1 Límite de equilibrio En este método de análisis se adoptó una superficie de falla 'arbitraria' (supuesto) y las condiciones de equilibrio se consideran para la masa de suelo en s u defecto, en el supuesto de que el criterio de fallo sostiene todas partes a lo largo de la superficie de falla. La superficie de falla puede ser plana, curvada o alguna combinación de estos. Sólo el equilibrio global de los "bloques" de suelo entre las s uperficies de rotura y de los límites del problema se consideran. La distribución de la tensión interna dentro de los bloques de tierra no se considera. análisis de cuñas de Coulomb y el método de las rebanadas son ejemplos de cálculos de límite de equilibrio.
Figura 1.11: Mecanismo de la falta para la solución de equilibrio límite Las distribuciones reales de σ y τ lo largo de la superficie de falla 'ac', presentado en la figura 1.11, son desconocidos. Sin embargo, si l es la longitud de la superficie de falla 'ac', entonces:
tan′ ∫ ′ ∫ =∫′ ∫ t a n = Donde c ' y φ' y τ son la cohesión y el ángulo de la resistencia al corte, respectivamente, de la tierra.
(1.19)
Aplicando el equilibrio de la cuña 'abc', es decir, la resolución de las fuerzas normal y tangencial a la superficie fracaso 'ac', se obtiene:
∫′ =sin ∫ =cos
Nada de lo que
(1.10)
⁄ =1/2 tan =cos 2 = cos′cos′ sin y
, las ecuaciones (1.9) y (1.10) se pueden c ombinar para dar:
(1.11)
El valor de los ángulos , que produce el valor más co nservador (inferior) de H se obtiene a partir
cos2′ = −2si cos ncos′ cos2′ =0 = ⁄4 −′2⁄ 2 4′ = cos⁄4 ′2⁄cos′ = sin⁄4 −′2⁄ tan⁄4 ′2⁄
La ecuación (1.12) es igual a ce ro si . Por lo tanto Sustituyendo este ángulo en la ecuación (1.11) se obtiene el valor de equilibrio límite
⁄ =0
:
(1.12)
:
(1.13)
En cuanto a la tensión total, la e cuación se reduce a:
= 4
(1.14)
Donde es la fuerza sin escurrir Nota: Esta solución es idéntica a la solución de límite superior obtenida suponiendo una superficie de deslizamiento plana (véase la Sección 1.9.3). La solución límite inferior da la mitad del valor anterior. 1.9.2 solución de campo Estrés En este enfoque, el suelo se supone que es en el punto de fallo en todas partes y una solución se obtiene mediante la combinación del criterio de fallo con las ecuaciones de equilibrio. Para las condiciones de deformación plana y el criterio de fallo MHR-Coulomb esto da lo siguiente: Ecuaciones de equilibrio:
=0
(1.15)
=
Mohr-Coulomb criterio de fallo (de la Figura 1.12):
′ −3 =2 cos 3sin′
(1.16)
Nada que:
⁄ ′ ⁄ ==12 cot′12 (′ ′ ) ′3= cot′12 . 5 ⁄ ′ −′ =14⁄ (′ −′ ) 3
Figura 1.12: círculo de tensión de Mohr
y la sustitución en la ecuación (1.16), da las siguientes ec uaciones alternativas para el criterio de MohrCoulomb:
=sin′ 1⁄4 (′ −′) .5 = cot′12⁄ (′ ′)sin′
(1.17) (1.18)
Las ecuaciones de equilibrio (1.15) y el crite rio de fallo (1.18) proporcionan tres ecuaciones en términos de tr es incógnitas. Por tanto, es teóricamente posible para obtener una solución. Combinando las ecuaciones anteriores se obtiene:
1sin cos2 sin′sin2 2sin′cos2 −sin2 =0 sin sin2 1−sin cos2 2sin′sin2 cos2 =
(1.19)
Estas dos ecuaciones diferenciales parciales se puede demostrar que ser del tipo hiperbólico. Una solución se obtiene considerando las direcciones característicos y la obtención de las e cuaciones para las variaciones de tensión a lo largo de estas características (Atkinson y Potts (1975)). Las ecuaciones diferenciales de las características de tensión son:
= −4⁄ −′2⁄ =tan ⁄4 −′2⁄
(1.20)
−2tan=−tan′ 2tan′ =tan′
(1.21)
A lo largo de estas características tienen las siguientes ecuaciones:
Las ecuaciones (1.20) y (1.21) proporcionan cuatro ecuaciones diferenciales con cuatro incógnitas x, y, s, y que, en principio, pueden resolverse matemáticamente. Sin embargo, hasta la fecha, sólo ha sido posible obtener soluciones analíticas para problemas muy simples y / o si e l suelo se supone que es sin peso, . En general, se resuelven numéricamente mediante la adopción de una aproximación en diferencias finitas. Las soluciones basadas en las ecuaciones anteriores por lo ge neral proporcionan un campo de tensión parcial que no cubre toda la masa del suelo, pero está restringida a la zona de interés. En general, se trata de soluciones, por tanto, no cota inferior (véase la Se cción 1.9.3). Las ecuaciones anteriores proporcionan lo que parece se r, y a veces es, determinación estática, en el sentido de que hay el mismo número de e cuaciones como componentes de tensión desconocidos. En problemas más prácticos, sin embargo, las condiciones de contorno implican ambas fuerzas y desplazamientos y la determinación estática es engañosa. La compatibilidad no se considera en e ste enfoque. Rankine campos de activo y pasivo de estrés y las tablas de presión de tierra obtenidos por Sokolovski (1960, 1965) y utilizados en algunos códigos de práctica son ej emplos de soluciones de campo estrés. campos de esfuerzos también forman la base de las soluciones analíticas para el problema de capacidad de soporte.
=0
1.9.3 Análisis Límite Los teoremas de análisis límite (Chen (1975)) se basan en los siguientes supuestos: el comportamiento del suelo exhibe plasticidad perfecta o ideal, e l trabajo de endurecimiento / ablandamiento no se produce. Esto implica que hay una superficie de fluencia único que separa comportamiento elástico y elasto-plástico. La superficie de fluencia es de forma convexa y las cepas de plástico se puede derivar de la superficie de fluencia a través de la condición de normalidad. Los cambios en la geometría de la m asa de suelo que se producen en e l fracaso son insignificantes. Esto permite que la ecuación del trabajo virtual que debe aplicarse. Con estos supuestos se puede demostrar que e xistirá una condición de fallo único. Los teoremas unidos permiten estimaciones de los cargas de co lapso, que se producen en la rotura, a obtener. Las soluciones basadas en el teorema de "seguro" son e stimaciones seguras de estas cargas, mientras que los obte nidos
usando el teorema 'insegura' son estimaciones poco seguras. Usos de los dos teoremas permiten límites a las verdaderas cargas de colapso que se obte ngan. Teorema inseguro Una solución insegura para las verdaderas cargas de colapso (por el material plástico ideal) se puede encontrar al seleccionar cualquier cinemáticamente posible mecanismo de falla y realizar un cálculo de la tasa de trabajo adecuado. Las cargas son así determinados, ya sea en el lado inseguro o igual a las verdaderas cargas de colapso.
Este teorema se refiere a menudo como el teorema 'Límite superior'. A medida que el equilibrio no se considera, hay un número infinito de soluciones que se pueden encontrar. La precisión de la solución depende de la proximidad del mecanismo de falla es asumido a la real. Teorema de la seguridad Es estáticamente campo de tensiones admisibles que cubre t oda la masa de suelo se pueden encontrar, lo cual viola ninguna parte la condición de r endimiento, a continuación, las cargas en equilibrio con el campo de tensión se encuentran en el lado seguro o iguales a las verdaderas cargas de colapso.
Este teorema se refiere a menudo como el teorema de 'Límite inferior'. Un campo de esfuerzos estáticamente admisible consiste en una distribución de equilibrio de la tensión que equilibra las cargas aplicadas y las fuerzas del cuerpo. A medida que la compatibilidad no es considerado, hay un número infinito de soluciones. La precisión de la solución depende de la proximidad del campo de e sfuerzos es asumido a la real. Si no se encuentran soluciones de venta y no seguras que dan las mismas estimaciones de cargas de colapso, entonces esta es la solución correcta para el material plástico ideal. Cabe señalar que e n tal caso todos los requisitos fundamentales solución son satisfechos. Esto rara vez se puede lograr en la práctica. Sin embargo, dos de estos casos en los que se ha logrado son (i) la solución de la capacidad de c arga sin drenaje de un pie de tira, en un suelo con una fuerza de corte sin drenaje constante, (Chen (1975)), y (ii) la solución para la capacidad de carga sin drenaje lateral de la pila e infinitamente larga rígida incrustado en un co ntinuo infinito de suelo, con una resistencia al corte sin drenaje constante (Randolph y Houlsby (1984)).
Ejemplo: altura crítica de un corte vertical en arcilla sin escurrir Solución insegura (Límite superior)
Figura 1.13 mecanismo de la falta para el análisis insegura
Rígida bloque 'abc' se mueve con respecto a la base rígida a lo largo de la zona de cizalla de plástico fino 'ac', figura 1.13. El desplazamiento relativo entre los dos bloques rígidos es u. t asa interna de disipación de energía es:
⁄ =cos
(1.22)
Tasa del trabajo realizado por las fuerzas ext ernas es:
= sin =4⁄sin2
(1.23)
Igualando las ecuaciones (1.22) y (1.23) se obtiene:
(1.24) Debido a que esta es una estimación segura, se requiere que el valor de β que produce el menor valor de H.
Por lo tanto:
La ecuación (1.25) es igual a ce ro si (1.24), da:
=− 8 cos2 2 cos2=0 = ⁄4 =4⁄ . Por lo tanto
(1.25)
que, cuando se sustituye en la ecuación
(1.26)
Solución segura (Límite inferior) Discontinuidades de estrés son asumidos a lo largo de las líneas AB y AC en la Figura 1.1. De los círculos de Mohr, ver figura 1.14, las tensiones en las regiones 1 y 2 rendimiento enfoque simultáneo como H se incrementa. Como se trata de una solución segura, se requiere el valor máx imo de H. Esto ocurre cuando los círculos de Mohr para las zonas 1 y 2 acaban de llegar a la condición de rendimiento. Por lo tanto:
=2⁄
Figura 1.14 Tensión por un campo solución segura
(1.27)
1.9.4 Comentarios La capacidad de estos métodos simples para satisfacer los requisitos básicos de solución se muestra en la Tabla 1.1. La inspección de esta tabla muestra claramente que ninguno de los métodos de satisfacer todos los requisitos básicos y por lo tanto no producen necesariamente una solución t eórica exacta. Todos los métodos son, por tanto, aproximado y es, tal vez, no es de extrañar que hay muchas soluciones diferentes para el mismo problema. Como no se aproxima a asumir el suelo para estar en todas partes al fracaso, que no son estrictamente apropiada para investigar el comportamiento en condiciones de carga de trabajo. Cuando se aplica a problemas geotécnicos, que no distinguen entre los diferentes métodos de construcción (por ejemplo, frente de excavación del relleno), ni represe ntan en condiciones de estrés in situ. Se proporciona información sobre la estabilidad local, pero no se da ninguna información sobre los movimientos de tierra o estructurales y no se requieren cálculos separados para investigar la estabilidad general. A pesar de las limitaciones anteriores, méto dos sencillos forman la estancia principal de la mayoría de los enfoques de diseño. Donde han sido calibrado frente a la o bservación de campo, su uso puede ser apropiado. Sin embargo, es para los casos con interacción suelo-estructura compleja más, donde la c alibración es más difícil, que estos métodos simples son tal vez menos fiable. Debido a su simplicidad y facilidad de uso e s probable que siempre jugarán un papel importante en el diseño de estructuras geotécnicas. En particular, son apropiados en las primeras etapas del proceso de diseño para obte ner las primeras estimaciones de la estabilidad y las fuerzas estructurales. 1.10 Análisis numérico 1.10.1 Bearn-primavera enfoque Este enfoque se utiliza para investigar la interacción e ntre la estructura del suelo. Por e jemplo, se puede utilizar para estudiar el comportamiento de pilas cargados axialmente y lateralmente, fundaciones balsa, muros de contención incrustadas y revestimientos de túneles. La mayor aproximación es el comportamiento de los suelos asumido y dos enfoques se utilizan comúnmente. El comportamiento del suelo o bien se aproxima por un conjunto de resortes verticales y horizontales no conectados (Boring (1989)), o por un conjunto de factores de interacción elásticos lineales (Papin et al, (1985)). Sólo una única estructura puede ser acomodados en e l análisis. Por consiguiente, sólo una única pila o muro de contención pueden ser analizados. Otras aproximaciones se deben introducir si hay más de una pila, conservando interactúan pared o fundación. Cualquier soporte estructural, tales como apoyos o anclajes (retención problemas de pared), están representados por los resortes simples (ver F igura 1.15).
Figura 1.15: Ejemplos de problemas de haz-Springs
Para habilitar la limitación de presiones para obtener, por ejemplo a cada lado de un muro de contención 'cortan offs' se aplican generalmente a las fuerzas de los resortes y los factores de interacción que representan el comportamiento del suelo. Estas presiones cortadas se obtienen g eneralmente a partir de uno de los procedimientos de análisis simples descritas anteriormente (por ejemplo equilibrio límite, campos de esfuerzos
o el Limite de análisis). Es importante apreciar que estas presiones no limitantes son el resultado directo del proceso de cálculo haz de primavera. Después de haber reducido el problema de contorno para el estudio del comportamiento de una sola estructura aislada (por ejemplo, una pila, una base o un muro de contención) y hace suposiciones sobre el comportamiento del suelo bruto, se busca una solución teórica completa al problema. Debido a la complejidad del proceso, esto se consigue normalmente mediante un ordenador. El elemento estructural (por ejemplo, la pila, o pie de muro de contención) se representa usando cualquiera de diferencias finitas o elementos finitos y una solución que satisfaga todos los requisitos de soluciones fundamentales se obtiene por iteración. A veces los programas informáticos que realizan estos cálculos son i dentificados como diferencias finitas o programas de elementos finitos. Sin embargo, hay que se ñalar que sólo es el elemento estructural que se representa de esta manera y estos programas no deben confundirse con los que implican completa discretización tanto del suelo y de los elementos e structurales de las diferencias finitas o elementos finitos, consulte la Sección 1.10. 2. Como soluciones obtenidas de este modo incluyen límites a las presiones de la tierr a que se pueden desarrollar adyacente a la estructura, pueden proporcionar información sobre la estabilidad local. Esto a menudo se indica mediante un fracaso del programa a converger. Sin embargo, la inestabilidad numérica puede ocurrir por otras razones y por lo tanto una falsa impresión de inestabilidad puede ser dado. Las soluciones de estos cálculos incluyen fuerzas y movimientos de la estructura. Que no proporcionan información sobre la est abilidad global o movimientos en el suelo adyacente. No tienen en cuenta las estructuras adyacentes. Es difícil seleccionar las rigideces resortes adec uados y para simular algunas de las características de apoyo. Por ejemplo, cuando el análisis de un muro de c ontención que es difícil para tener en cuenta de manera realista los efectos de bermas de suelo. Mantenimiento de los programas de pared utilizando los factores de interacción para representar el suelo tienen problemas para hacer frente a la fr icción de la pared y las tensiones a menudo olvidan de cizallamiento en la pared, o enviar nuevas hipótesis para tr atar con ellos. Para el análisis de los muros de una sola pared se considera de forma aislada y soportes estructurales están representados por simples muelles fijos en un extremo (a tier ra). Por tanto, es difícil dar cuenta de la interacción realista entre los componentes estructurales, tales como las losas de piso y otros muros de contención. Esto es particularmente cierto si "pin-joint" o conexiones "lleno momento 'son apropiadas. Como sólo el suelo que actúa sobre la pared se considera en el análisis, es difícil modelar de manera realista el comportamiento de rastrillar apoyos y anclajes de tierra que se basan en la resistencia del suelo alejado de la pared. 1.10.2 análisis numéricos completos Esta categoría de análisis incluye métodos que tratan de satisfacer todos los requisitos teóricos, modelos constitutivos incluyen suelo realista e incorporan condiciones de contorno que simulan de forma realista las condiciones de campo. Debido a la complejidad del proceso y las no linealidades en el comportamiento del suelo, todos los métodos son de naturaleza numérica. Enfoques basados en diferencias finitas y métodos de elementos finitos son los más utilizados. Estos métodos consisten esencialmente en una simulación por ordenador de la historia del problema de contorno de las condiciones del campo verde, a través de la construcción y en el largo plazo. Su capacidad para reflejar con pre cisión las condiciones de campo depende esencialmente de (i) la capacidad del modelo constitutivo para representar el comportamiento de l suelo real y (ii) la corrección de las condiciones de contorno impuestas. El usuario sólo tiene que definir la geometría adecuada, el procedimiento de construcción, los parámetros del suelo y las condiciones de contorno. Los elementos estructurales pueden ser añadidos y retirados durante la simulación numérica para modelar las condiciones del campo. Conservando estructuras compuestas de varios muros de contención, interconec tados por componentes estructurales, pueden ser considerados y, debido a que la ma sa de suelo se modela en el análisis, la compleja interacción entre puntales o rastrillar las anclas de t ierra y el suelo se puede explicar. El efecto del tiempo en el desarrollo de presiones de agua de poros también se puede simular mediante la inclusión de consolidación acoplado. No se requiere ningún mecanismo de fallo postulado o el modo de comportamiento del problema, ya que estos se
predijeron por el análisis. El análisis permite la historia completa del problema de contorno que se predijo y un único análisis puede proporcionar información sobre todos los requisitos de diseño. Potencialmente, los métodos pueden resolver total de tre s problemas dimensionales y sufrir ninguna de las limitaciones mencionadas anteriormente para los otros métodos. En la actualidad, la velocidad de hardware del equipo restringe análisis de la mayoría de los problemas prác ticos a dos secciones de deformación plana o axi-simétrica dimensionales. Sin embargo, con el rápido desarrollo de equipos informáticos y su reducción en e l costo, las posibilidades de plenos tres simulaciones tridimensionales son inminentes. Con frecuencia se afirma que estos enfoques tienen limitaciones. Por lo general, éstos se relac ionan con el hecho de que se necesitan información suelos detallados o un c onocimiento del procedimiento de construcción. En opinión del autor, ninguna de estas limitaciones. Si se prevé un análisis numérico durante las etapas de diseño de un proyecto, que entonces no es difícil asegurar que la información adecuada del suelo es obtenida de la investigación del sitio. Sólo en caso de un análisis numérico es una ocurrencia tardía, una vez que se ha obtenido los datos del suelo, que esto puede presentar dificultades. Si el comportamiento del problema de contorno no es sensible al procedimiento de construcción, entonces cualquier procedimiento asumida razonable es adecuada para el análisis. Sin embargo, si el análisis es se nsible al procedimiento de construcción entonces, claramente, esto es importante y será necesario para simular las condiciones de campo lo más estrechamente posible. Por lo tanto, lejos de ser una limitación, análisis numérico puede indicar que el ingeniero de diseño dónde y en qué medida, e l problema de contorno es probable que sea influenciado por el procedimiento de construcción. Esto permitirá a la provisión adecuada de hacerse dentro del diseño. Análisis numéricos completos son complejas y deben ser realizadas por personal cualificado y experimentado. El operador debe comprender la mecánica de suelos y, en particular, los modelos constitutivos que utiliza el software, y estén familiarizados con el paquete de software para ser empleado para el análisis. Análisis numérico no lineal no es sencillo y en la actualidad existen varios algoritmos disponibles para resolver el sistema lineal de ecuaciones que gobiernan. Algunos de estos son más prec isos que otros y algunos son tamaño de incremento dependiente. Hay aproximaciones dentro de estos algoritmos y los errores asociados con la discretización. Sin embargo, éstos pueden ser controlados por el usuario experimentado para que predicciones exactas pueden ser obtenidos. El análisis numérico completo se puede utilizar para predecir el comportamiento de situaciones de campo complejos. También se puede utilizar para investigar las bases de suelo interacción / estructura y para calibrar algunos de los métodos simples descritos anteriormente. El método de los elementos finitos y su uso en el análisis de estructuras geotécnicas es el tema de los capítulos restantes de este libro. 1.11 Resumen 1. La ingeniería geotécnica juega un papel importante en el diseño de casi t odas las estructuras de ingeniería civil 2. Diseño de estructuras geotécnicas tener en cuenta: - Estabilidad: local y global; - Las fuerzas estructurales: los momentos de flexión, fuerzas axiales y cortantes en los elementos estructurales; - Los movimientos de la estructura geotéc nica y la tierra adyacente; - Movimientos y fuerzas estructurales inducidos en las estructuras y / o servicios adyacentes. 3. Para una solución teórica completa los siguientes cuatro condiciones deben cumplirse: - Equilibrio; - Compatibilidad; - Comportamiento constitutivo de material; - Las condiciones de contorno. 4. No es posible obtener soluciones analíticas de forma cerr ada que incorporan modelos constitutivos realistas del comportamiento de los suelos que cumplen los cuatro requisitos fundamentales.
5. Las soluciones analíticas disponibles (por ejemplo de equilibrio límite, campos de esfuerzos y el análisis del límite) no cumplen al menos uno de los requisitos fundamentales. Esto explica por qué hay una gran cantidad de soluciones diferentes en la literatura para e l mismo problema. Estos enfoques simples también sólo dan información sobre la estabilidad. Que no proporcionan información sobre los movimientos o fuerzas estructurales en condiciones de carga de trabajo. 6. Métodos numéricos simples, tales como el enfoque de haz-r esortes, pueden proporcionar información sobre la estabilidad local y en movimientos de la pared y las fuerz as estructurales en condiciones de carga de trabajo. Son, por tanto, una mejora sobre los métodos analíticos más simples. Sin embargo, no proporcionan información sobre la estabilidad general o en movimientos en el suelo adyacente y los efectos sobre las estructuras o servicios adyacentes. 7. análisis numérico completo puede proporcionar información sobre todos los requisitos de diseño. Un único análisis puede ser utilizado para simular la historia de la construcción completa de la estructura de retención. En muchos aspectos que proporcionan el último método de análisis, que cumplan todos los requisitos fundamentales. Sin embargo, requieren grandes cantidades de recursos de computación y un operador experimentado. Se están convirtiendo en muy utilizado para el análisis de estructuras geotécnicas y esta tendencia es probable que aumente el costo de la informática sigue disminuyendo.