ANALISIS FINANCIERO E INDICADORESDescripción completa
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MATERI TENTANG ANALISIS AKTOR DAN ANALISIS CLUSTER
ANALISIS COMPARTIMENTAL COMPARTIMENTAL
Estudiaremos modelos básicos de análisis compartimental. Se trata de describir mediante una función x(t) la cantidad de una sustancia que esté presente en un compartimento en el instante de tiempo t. El “compartimento” puede ser de cualquier tipo: un lago, un tanque de mezclas, etc. La idea básica de estos modelos está en una ley de conservación evidente: la tasa de cambio de la sustancia en el compartimento
será
igual a la velocidad de entrada de la sustancia en el compartimento en el instante t menos la velocidad de salida de la misma:
= () () () () Dado que las velocidades de entrada y salida de la sustancia en el compartimento dependen del proceso en cuestión, poco más podemos decir de manera general sobre estos modelos. Pasamos por tanto directamente a analizar un problema concreto:
EJEMPLO: El agua del Lago Magdalena se está viendo sujeta a un proceso contaminante debido a la concentración de plaguicidas consecuencia de la fumigación de los naranjales cercanos. Por otro lado, el río Aguadulce, que desemboca en el lago, fluye hacia este a razón de 200 l/m portando una concentración de plaguicidas de 5 partes por millón. Si se suspende la fumigación en los alrededores del lago en el momento en el que la concentración de plaguicidas había alcanzado el valor de 40 partes por millón y se supone que en dicho instante el volumen del lago es de 100 millones de litros, calcular el tiempo que transcurrirá hasta que la concentración sea inferior a 20 partes por millón.
¿Qué volumen tendrá el lago en ese instante? Nota: Suponer que el lago pierde agua a razón de 300 l/m.
SOLUCION: Denominaremos x(t) a la cantidad de plaguicidas presentes en el lago a tiempo t. La concentración de plaguicidas en el lago a tiempo t, que denominaremos c(t), será obviamente: c(t) = x(t) vol (t), donde vol (t) denota el volumen del lago en cada instante de tiempo. Es importante, en este tipo de problemas, distinguir con precisión las velocidades de entrada y salida de la disolución y las correspondientes al soluto, es deci r a la sustancia en cuestión (en este caso los plaguicidas). Desde este punto de vista la velocidad de entrada de disolución en el compartimento (lago) es v(entrada) dis. = 200 l/m y la de salida v (salida) dis. = 300 l/m, donde l denota litro de disolución. Las respectivas velocidades del soluto se obtendrán multiplicando las de la disolución por la concentración correspondiente. De esta manera, al tener la disolución entrante una concentración de 5 partes por millón (es decir 5 mg/l) tendremos: v (entrada) = 200 l/m 5 mg/l = 1000 mg/m.
Por otro lado, el volumen vol(t) será evidentemente: vol(t) = vol (0) + (v(entrada) dis. – v(salida) dis.) t. Como: vol (0) = 100
() 3() 1 = 300 100(106 ) 1 = 106 / y así escribir la ecuación diferencial:
= 1000 3 10 La ecuación es fácilmente identificable como una ecuación lineal de primer orden en las variables (t, x). La ecuación lineal homogénea asociada:
+ 3 = 0 ≫ = (10 ) 10 y en consecuencia el cambio de variable adecuado para resolver la ecuación completa será
= (10 )
. Este cambio convierte la ecuación en:
= 1000 (10 ) cuya integración nos conduce a la solución general (tras deshacer el cambio de variable):
∫ = ∫ (10 1000 6 )3
= (106 ) = Reemplazando:
∫ =
1000 ∫ ()3
= 2 (101000 ) + Luego:
= (10 ) ≫≫ = (−) () = 500(10 )+ (10 ) () ≫≫ () = 5 + (10 ) () = 100(10 ) 100 Para la cantidad de plaguicidas y para la concentración de plaguicidas en el lago, respectivamente. Si se tiene en cuenta ahora la condición inicial: c (0) = 40, es fácil calcular la constante C que determina la solución particular que estamos buscando:
