Politecnico di Torino I Facoltà di Ingegneria Anno Accademico 2003/2004
Corso di Scienza delle Costruzioni D Titolare: Titolare: Prof. Alberto Alberto Carpinteri
ESERCITAZIONI DI ANALISI NON-LINEARE DELLE STRUTTURE Ing. Marco Paggi
Indice 1
2
Instabilità dell’equilibrio elastico
5
1.1
Lastra compressa nel piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.2
Guscio cilindrico cilindrico con carico carico concentrato: concentrato: fenomeno fenomeno dello snap-through . .
12
1.3 1.3
Telai elaio o pian piano o a due due camp campat atee dise disegu gual alii e dodi dodici ci pian pianii . . . . . . . . . . . . .
16
Collasso rigido-plastico 2.1
23
Analisi Analisi incrementa incrementale le plastica plastica di una trav travee incastrata incastrata alle alle estremità estremità soggetta soggetta ad un carico distribuito uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2
Analisi Analisi elasto-plast elasto-plastica ica in piccoli piccoli spostam spostamenti enti di un telaio telaio piano piano a due camcampate diseguali e dodici piani
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Instabilità dell’equilibrio elasto-plastico 3.1
23
28
33
Analisi Analisi elasto-pla elasto-plastica stica in in grandi spostamenti spostamenti di un telaio telaio piano piano a due camcampate diseguali e dodici piani
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
33
Indice 1
2
Instabilità dell’equilibrio elastico
5
1.1
Lastra compressa nel piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.2
Guscio cilindrico cilindrico con carico carico concentrato: concentrato: fenomeno fenomeno dello snap-through . .
12
1.3 1.3
Telai elaio o pian piano o a due due camp campat atee dise disegu gual alii e dodi dodici ci pian pianii . . . . . . . . . . . . .
16
Collasso rigido-plastico 2.1
23
Analisi Analisi incrementa incrementale le plastica plastica di una trav travee incastrata incastrata alle alle estremità estremità soggetta soggetta ad un carico distribuito uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2
Analisi Analisi elasto-plast elasto-plastica ica in piccoli piccoli spostam spostamenti enti di un telaio telaio piano piano a due camcampate diseguali e dodici piani
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Instabilità dell’equilibrio elasto-plastico 3.1
23
28
33
Analisi Analisi elasto-pla elasto-plastica stica in in grandi spostamenti spostamenti di un telaio telaio piano piano a due camcampate diseguali e dodici piani
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
33
Elenco delle figure 1
Mesh indefor indeformat mataa con con i vincol vincolii ed ed i carich carichii per per la lastra lastra quadra quadrata ta (a/b = a/b = 1).
6
2
Prim Primaa defo deform rmat ataa crit critic icaa per per la last lastra ra con con a/b = a/b = 1
. . . . . . . . . . . . . .
7
3
Second Secondaa deform deformata ata critic criticaa per la lastra lastra con a/b = a/b = 1 . . . . . . . . . . . . .
7
4
Terza erza deforma deformata ta critic criticaa per la lastra lastra con a/b = a/b = 1 . . . . . . . . . . . . . . .
7
5
Conver Convergen genza za della della solu soluzio zione ne numer numerica ica a quel quella la anali analitic ticaa al cresc crescere ere dell dellaa risoluzione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
9
Diagram Diagramma ma del del caric carico o critic critico o adime adimensi nsional onalizz izzato ato in funzi funzione one del del rappo rapporto rto
a/b (tratto da [1]). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
7
Prim Primaa defo deform rmat ataa crit critic icaa per per la last lastra ra con con a/b = a/b = 1.8
. . . . . . . . . . . . .
11
8
Second Secondaa deform deformata ata critic criticaa per la lastra lastra con a/b = a/b = 1.8 . . . . . . . . . . . .
11
9
Terza erza deforma deformata ta critic criticaa per la lastra lastra con a/b = a/b = 1.8 . . . . . . . . . . . . . .
11
10
Schema del guscio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
11
Vista ista di di un un quart quarto o di di gusci guscio o nel nel piano piano X
. . . . . . . . . . . . . . . .
13
12
Curva carico-spostamento del nodo 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
13
Deform Deformata ata del guscio guscio in uno dei passi passi nel nel trat tratto to OM . . . . . . . . . . . . .
15
14
Deform Deformata ata del guscio guscio in uno dei passi passi nel nel trat tratto to P Q.
. . . . . . . . . . . .
15
15
Sche Schema ma del del tela telaio io a due due camp campat atee dise disegu gual alii e dodi dodici ci pian piani. i. . . . . . . . . . .
17
16
Discret Discretizz izzazi azione one ad elemen elementi ti finiti finiti del telai telaio o indeform indeformato ato con i carich carichii ap-
− Y .
plicati. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
17
Prim Prima, a, seco second ndaa e terza erza defo deform rmat ataa crit critic icaa del del telai elaio. o. . . . . . . . . . . . . .
21
18
Prima, seconda seconda e terza terza deforma deformata ta critica critica per una una trave trave incastr incastrata ata soggett soggettaa a carico di punta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
Carico adimensiona adimensionalizza lizzato to in in funzione funzione della freccia in mezzeri mezzeriaa adimensi adimensioonali nalizz zzat ataa dura durant ntee l’an l’anal alis isii incr increm emen enta tale le plas plasti tica ca.. . . . . . . . . . . . . . . .
20
21
22
27
Mesh deformate deformate in corrispondenz corrispondenzaa del del carico carico applicato applicato ed in in corrispon corrispondenza denza dell dellaa form formaz azio ione ne dell dellee cern cernie iere re plas plasti tich chee di estr estrem emit ità. à. . . . . . . . . . . . .
27
Locali Localizzaz zzazion ionee dell dellee cern cernier ieree plas plastic tiche he nei nei passi passi di di cari carico co 6, 7, 8, 8, 9, 9, 10 10 e 11.
30
3
22
Localizzazio Localizzazione ne delle delle cerniere cerniere plastiche plastiche nei passi passi di di carico carico 12, 13, 14, 14, 15, 16 e 17. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
31
(a) Curva Curva del molti moltiplicat plicatore ore dei dei carichi carichi in in funzione funzione dello spostamento spostamento orizzontale zontale dell’ultim dell’ultimo o piano. (b) Schema riassuntivo riassuntivo della localizzazi localizzazione one delle cerniere plastiche nei vari passi di carico e deformata finale al limite di collasso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
24
Locali Localizzaz zzazion ionee dell dellee cern cernier ieree plas plastic tiche he nei nei passi passi di di cari carico co 1, 6, 7, 7, 8, 8, 9 e 10. 10. .
35
25
Localizzazio Localizzazione ne delle delle cerniere cerniere plastiche plastiche nei passi passi di di carico carico 11, 12, 13, 13, 14, 15, e 16. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
36
(a) Curva Curva del molti moltiplicat plicatore ore dei dei carichi carichi in in funzione funzione dello spostamento spostamento orizzontale zontale dell’ultim dell’ultimo o piano. (b) Schema riassuntivo riassuntivo della localizzazi localizzazione one delle cerniere plastiche nei vari passi di carico e deformata finale al limite di collasso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
37
Conf Confron ronto to tra tra le curv curvee del molt moltip ipli licat catore ore dei dei cari carich chii in funz funzio ione ne dello dello spost spostaamento orizzontale dell’ultimo piano, per le analisi rigido-plastica ed elastoplastica in grandi spostamenti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
38
Curva Curva del moltiplica moltiplicatore tore dei dei carichi carichi in funzione funzione dello spostamento spostamento del del piano piano più più alto alto dell dell’e ’edi dific ficio io otte ottenu nuta ta da Orbi Orbiso son n et al. al. [2] [2].. . . . . . . . . . . . . . .
39
29
Schema del telaio analizzato in [2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
30
Curva Curva del moltiplica moltiplicatore tore dei dei carichi carichi in funzione funzione dello spostamento spostamento del del piano piano più più alto alto dell dell’e ’edi dific ficio io otte ottenu nuta ta da Bozz Bozzo o e Gamb Gambaro arott ttaa [3]. [3]. . . . . . . . . . .
31
40
Schema Schema del telai telaio o con il modello modello delle delle sollec sollecita itazio zioni, ni, del materi materiale ale e della della geometria geometria considerato considerato in [3]. E’ inoltre illustrat illustrataa la localizzazi localizzazione one delle cerni rniere plasti stiche nei vari passi di cari arico. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
40
1
Instabilità dell’equilibrio elastico
1.1
Lastra compressa nel piano
Si vogliano valutare numericamente i primi tre carichi critici e le corrispondenti deformate critiche per instabilità dell’equilibrio elastico di una lastra compressa nel piano. Le dimensioni della lastra siano 1 m
× 1 m in pianta, con uno spessore di 1 mm.
Il materiale
costituente è assunto omogeneo, isotropo, elastico lineare con i seguenti parametri meccanici: modulo di Young E = 70
9
× 10
N/m2 , coefficiente di Poisson ν = 0.3. Si vuole inoltre
confrontare la soluzione numerica con quella analitica riportata in [1], valutando la velocità di convergenza alla soluzione teorica di riferimento all’aumentare della discretizzazione del reticolo ad elementi finiti. Si ripete infine il calcolo dei primi tre carichi critici di una lastra compressa nel piano come la precedente ma con dimensioni in pianta 1 m
× 1.8 m e
spessore 1 mm. Anche per questo problema si confronterà la soluzione numerica con quella analitica, proponendo un’analisi critica sugli andamenti delle auto-deformate ottenute. La mesh in condizioni indeformate per la lastra quadrata è rappresentata in Figura 1. I nodi dei quattro lati della lastra sono vincolati con appoggi ad asse verticale, mentre i nodi del lato opposto al carico sono vincolati con cerniere che impediscono sia gli spostamenti nel piano che quelli ortogonali ad esso. Per risolvere il problema con il codice di calcolo LUSAS si eseguono i seguenti passi: (1) Definizione della geometria. Con il comando Geometry>Surface>Coordinates si definisce la geometria della superficie assegnando le coordinate dei quattro vertici della lastra. (2) Definizione della mesh. Con il comando Attributes>Mesh>Surface si modella la lastra con elementi finiti quadrilateri tipo Thin shell dotati di funzioni di forma di ordine quadratico. In questa fase si stabilisce il numero di elementi finiti con cui discretizzare il piano medio della lastra. (3) Assegnazione delle proprietà geometriche.
5
Nel menu Attributes>Geometric>Surface si specifica lo spessore della lastra pari a 0.001 m. (4) Definizione del materiale. Con l’opzione Attributes>Material>Isotropic si definisce un materiale elastico lineare, omogeneo ed isotropo con il modulo elastico ed il rapporto di Poisson richiesti. (5) Assegnazione dei vincoli. Si definiscono i vincoli appoggio e cerniera e si assegnano ai lati della lastra. (6) Assegnazione del carico. Con il comando Attributes>Loading>Structural si procede a definire un carico distribuito lineare di compressione avente intensità pari ad 1 Pa.
Figura 1: Mesh indeformata con i vincoli ed i carichi per la lastra quadrata (a/b = 1).
Eseguiti i precedenti passi preliminari, si procede al calcolo dei carichi critici per instabilità dell’equilibrio elastico e le corrispondenti deformate critiche. A tal fine si utilizza la funzione Linear buckling analysis (tra le proprietà del menu Model data>Loadcase). Risolvendo il problema si ottengono le deformate critiche riportate nelle Figure 2, 3 e 4 corrispondenti ai primi tre carichi critici di instabilità per la lastra quadrata (rapporto tra i lati
a/b = 1). Nel seguito si denoterà con a la lunghezza del lato maggiore della lastra, mentre con b la lunghezza del lato minore. E’ importante osservare come le deformate ottenute differiscano tra loro per il numero di semionde lungo il lato compresso. Nel caso della prima
6
deformata critica si ha una sola semionda lungo tale lato, mentre per la seconda deformata critica si hanno due semionde e così via per la terza. Al contrario, lungo il lato ortogonale al precedente si osserva sempre una sola semionda, indipendentemente dal carico critico indagato.
Figura 2: Prima deformata critica per la lastra con a/b = 1
Figura 3: Seconda deformata critica per la lastra con a/b = 1
Figura 4: Terza deformata critica per la lastra con a/b = 1
7
Il codice di calcolo fornisce i valori dei moltiplicatori del carico λ corrispondenti alle diverse deformate critiche. Semplicemente moltiplicando il carico applicato per il fattore
λ si ottengono i valori dei carichi critici. E’ possibile calcolare tali carichi critici in modo analitico applicando la seguente formula [1]
N cnm
a2 = π 2 D 2 n
m 2 + a2 b2
n
2
2
(1)
dove D rappresenta la rigidezza della lastra. I parametri n ed m denotano, rispettivamente, il numero di semionde in cui la deformata può essere decomposta lungo i lati maggiore e minore. Il più piccolo valore di N cnm è da considerarsi il carico critico per instabilità dell’equilibrio elastico della lastra. Tale valore si ottiene per m = 1, poiché m compare soltanto a numeratore
D N cn1 = π 2 2 b
b 1a n + a nb
2
(2)
A tale carico critico corrisponde una deformata con una sola semionda lungo il lato minore
b ed n semionde lungo il lato a. In particolare, calcolando N cn1 per n = 1, 2, 3 si ottiene N c11 = 253.1 N
(3)
N c21 = 395.4 N
(4)
N c31 = 703.0 N
(5)
Il carico critico per instabilità, ovvero il primo carico critico che si incontra facendo crescere in modo monotono il carico da zero è dunque pari a N c = 253.1 N. In Figura 5 si presenta il confronto in termini di errore percentuale relativo tra la soluzione numerica e quella analitica all’infittire della discretizzazione impiegata. Da tale Figura si evince che, al fine di ottenere i valori dei primi tre carichi critici con un errore inferiore al 3%, è necessario utilizzare almeno sei elementi finiti su ciascun lato. In ogni caso, la soluzione numerica è rapidamente convergente a quella teorica attesa. Ripetendo il calcolo dei moltiplicatori di carico critico per una lastra rettangolare con
a/b = 1.8 si ottiene, applicando l’eq. (2) con n = 1, 2, 3 N c11 = 351.0 N
(6)
N c21 = 255.9 N
(7)
N c31 = 325.0 N
(8)
8
Figura 5: Convergenza della soluzione numerica a quella analitica al crescere della risoluzione.
In questo caso il carico critico per instabilità è pari a N c = 255.9 N e corrisponde ad una deformata critica costituita da due semionde lungo il lato maggiore. Dal diagramma del carico critico adimensionalizzato in funzione del rapporto tra i lati del rettangolo, a/b , rappresentato in Figura 6 si osserva infatti che, per lastre con
√ 2 < a/b < √ 6, N
n1 c
è
minimo in corrispondenza di n = 2. Da un punto di vista numerico, dal momento che la versione educativa di LUSAS consente di utilizzare un numero massimo di 1500 gradi di libertà (corrispondenti a circa 100 elementi finiti), si decide di realizzare una mesh costituita da 4 elementi finiti sul lato minore e da 24 su quello maggiore. Infatti, mentre lungo il lato b si ha sempre solo una semionda, lungo il lato a si presentano deformate critiche con un numero di semionde vieppiù crescenti con n . Pertanto, al fine di ottenere valori precisi dei carichi critici, si infittisce la discretizzazione lungo il lato maggiore in modo da meglio approssimare le deformate critiche. La
9
Figura 6: Diagramma del carico critico adimensionalizzato in funzione del rapporto a/b (tratto da [1]).
sequenza dei moltiplicatori di carico critico così ottenuti è la seguente
λ1 = 255.2 N λ2 = 324.3 N λ3 = 350.2 N Dalle deformate critiche rappresentate nelle Figure 7, 8 e 9 si osserva come la prima deformata critica corrispondente a λ1 presenti due semionde lungo il lato a. A tale moltiplicatore corrisponde dunque, con ottima approssimazione, il carico critico N c21 . Per quanto riguarda la seconda deformata critica si hanno tre semionde lungo il lato a, pertanto λ2 corrisponde al carico critico N c31 . Come era lecito attendersi, la terza deformata critica presenta un’unica semionda dal momento che il terzo carico critico calcolato analiticamente è rappresentato da N c11.
10
Figura 7: Prima deformata critica per la lastra con a/b = 1.8
Figura 8: Seconda deformata critica per la lastra con a/b = 1.8
Figura 9: Terza deformata critica per la lastra con a/b = 1.8
11
1.2
Guscio cilindrico con carico concentrato: fenomeno dello snap through
In questo paragrafo si vuole studiare il legame non-lineare tra carico e spostamento per un guscio cilindrico appoggiato lateralmente lungo le direttrici e sottoposto ad una forza concentrata diretta verso il basso ed applicata al centro del guscio stesso. Lo schema qualitativo del guscio con i vincoli ed il carico è illustrato in Figura 10.
Figura 10: Schema del guscio.
Sfruttando la simmetria è possibile considerare solo un quarto del guscio nell’analisi ad elementi finiti. Si considererà ad esempio il quarto di guscio tratteggiato in Figura 10. La geometria del problema è definita dai seguenti parametri: raggio di curvatura del parallelo
R = 2540 mm, θ = 11 .75, lunghezza del cilindro l = 520 mm e spessore del guscio ◦
t = 7 mm. In Figura 11 si è rappresentata la vista del quarto di guscio in esame nel piano X
− Y .
Il lato sinistro, essendo appoggiato al suolo, ha i nodi vincolati alla traslazione
lungo gli assi X , Y e Z . Il lato inferiore corrisponde al lato libero del guscio mentre sul lato superiore (rispettivamente sul lato destro) si sono vincolati i nodi alla traslazione lungo l’asse Y (rispettivamente alla traslazione lungo l’asse X ) per le condizioni di simmetria.
12
Figura 11: Vista di un quarto di guscio nel piano X
− Y .
Il materiale del guscio è omogeneo, isotropo, elastico-lineare con modulo di Young
E = 3103 MPa e coefficiente di Poisson ν = 0.3. Gli elementi finiti utilizzati per realizzare la mesh sono del tipo thin shell quadrilateri ad otto nodi con funzioni di forma quadratiche. Al fine di cogliere l’intera curva non-lineare carico-spostamento del nodo al centro del guscio, si può procede imponendo lo spostamento verticale nel nodo in questione. In questo modo, per il problema in esame, non è necessario impiegare metodi di soluzione di tipo vincolato quali l’arc-length , in cui la soluzione al generico passo di carico è vincolata ad appartenere ad una certa superficie definita nello spazio degli spostamenti. Nel calcolo automatico delle strutture l’imposizione di uno spostamento nodale viene trattata alla stessa stregua dei cedimenti vincolari nelle strutture intelaiate. Il nodo soggetto allo spostamento imposto viene vincolato in modo automatico e, nel procedimento di assemblaggio, lo spostamento del nodo non sarà più presente tra le incognite del problema, essendo in questa fase noto. Una volta determinati gli spostamenti dei nodi liberi il programma provvede al calcolo delle reazioni vincolari tra le quali figurerà la forza cercata agente nel nodo in que-
13
stione. Durante l’analisi lo spostamento iniziale imposto è assunto pari a 2 mm. Esso verrà incrementato in trenta passi sino al raggiungimento di un abbassamento complessivo di 17 mm. Essendo il problema fortemente non-lineare da un punto di vista geometrico, è necessario far uso della formulazione Total Lagrangian attivabile nel menu di risoluzione nonlineare. Questa formulazione permette di calcolare le tensioni e le deformazioni rispetto alla configurazione iniziale indeformata. Essa è basata sulle deformazioni di Green-Lagrange ed è dunque valida nelle ipotesi di piccole deformazioni. In Figura 12 si può osservare la curva carico-spostamento per il nodo centrale del guscio. Incrementando in modo monotono il carico nel nodo, si percorre stabilmente il tratto iniziale della curva, sino al raggiungimento del punto M . Se si continua ad aumentare il carico P si salta in modo discontinuo sul ramo stabile P Q che, a parità di forza, presenta una deformata completamente diversa da quella iniziale. Si può infatti osservare come nel tratto OM si hanno deformate in cui il massimo abbassamento si raggiunge sempre nel nodo punzonato (Figura 13). Al contrario, nelle deformate del tratto P Q della curva carico-spostamento tutti i nodi appartenenti al lato di simmetria presentano lo stesso abbassamento (Figura 14).
Figura 12: Curva carico-spostamento del nodo 2.
14
Figura 13: Deformata del guscio in uno dei passi nel tratto OM .
Figura 14: Deformata del guscio in uno dei passi nel tratto P Q.
15
1.3
Telaio piano a due campate diseguali e dodici piani
Nella Figura 15 si è rappresentato il telaio metallico oggetto dell’analisi. Esso è costituito da due campate diseguali lunghe rispettivamente 3.656 m e 7.315 m e da dodici piani con una distanza di interpiano di 3.048 m. I pilastri sono incastrati al piede. Le travi ed i pilastri sono in acciaio tipo Fe 400 (modulo elastico E = 200 GPa e coefficiente di Poisson
ν = 0.3). Le sezioni delle travi e dei pilastri indicate in Figura 15 sono profili della serie americana W (Weight per Foot). Questi profili sono codificati attraverso due numeri: il primo indica l’altezza della sezione in pollici, il secondo indica il peso per unità di lunghezza misurato in libbre al piede. Le principali caratteristiche geometriche di questi profili sono già disponibili nella libreria delle sezioni del programma LUSAS. Il telaio è sollecitato da un carico uniforme q = 2838 N/m sulle travi orizzontali e da forze concentrate F = 17793 N applicate ai nodi di sinistra di ciascun piano. L’obiettivo dell’analisi è di determinare i valori dei moltiplicatori dei primi tre carichi critici per instabilità dell’equilibrio elastico e le corrispondenti deformate. Volendo confrontare i moltiplicatori dei carichi di instabilità dell’equilibrio elastico, di collasso rigido-plastico e di instabilità dell’equilibrio elasto-plastico con quelli ottenuti con le analisi elasto-plastiche in grandi spostamenti da Orbison et al. [2] e da Bozzo e Gambarotta [3], è necessario applicare i medesimi carichi considerati in quegli studi. In particolare, in [2] ed in [3] le travi orizzontali minore e maggiore sono modellate, rispettivamente, con 2 e 4 elementi finiti. Sui sette nodi complessivi di ogni piano erano state applicate forze concentrate di intensità 1 kip ciascuna. Per semplicità di modellazione, nella presente analisi si considera un carico distribuito uniforme di intensità equivalente a quella dei carichi concentrati
q =
7
× 4448.22 ∼= 2838 N 10.971
m
(9)
Alle forze orizzontali concentrate di 4 kip corrispondono invece forze F di intensità 4
∼
×
4448.22 = 17793 N. I passi da eseguire in LUSAS per risolvere il problema sono i seguenti: (1) Definizione della geometria. Con il comando Geometry>Point>Coordinates si definiscono le coordinate
16
Figura 15: Schema del telaio a due campate diseguali e dodici piani.
dei nodi del telaio. I 39 nodi così definiti verranno poi uniti da linee in modo da ottenere gli elementi del telaio. (2) Definizione della mesh di elementi finiti. Con il comando Attributes>Mesh>line si discretizza ad elementi finiti ogni trave e pilastro del telaio. In particolare, si scelgono elementi finiti bi-dimensionali
17
lineari tipo Thin beam dotati di funzioni di forma di ordine quadratico. Si suddividono le travi di maggior luce in sei elementi finiti, mentre per quelle di minor luce si useranno quattro elementi. I pilastri verranno infine suddivisi in due elementi finiti. (3) Assegnazione delle proprietà geometriche. Nel menu Attributes>Geometric>Section Library si richiamano le caratteristiche geometriche delle sezioni delle travi in parete sottile tipo W da assegnare alle corrispondenti linee. (4) Definizione del materiale. Con l’opzione Attributes>Material>Isotropic si definisce un materiale elastico lineare, omogeneo ed isotropo con il modulo elastico ed il rapporto di Poisson richiesti. (5) Assegnazione dei vincoli. Si definisce il vincolo incastro da assegnare alle basi dei pilastri. (6) Assegnazione del carico. Con il comando Attributes>Loading>Structural si procede a definire sia in carico distribuito lineare q , sia i carichi orizzontali concentrati F . Tali carichi verranno poi applicati alle travi ed ai nodi corrispondenti. Il problema in esame viene risolto agli elementi finiti attraverso l’operazione di espansione e di assemblaggio delle matrici locali di rigidezza degli elementi del telaio. L’operazione di assemblaggio, infine, consegna la matrice di rigidezza globale, così che il problema agli autovalori per la ricerca dei carichi critici è formulato nel seguente modo Det([K ]
− λ[K ]) = 0 g
(10)
dove λ rappresenta il moltiplicatore dei carichi esterni e con [K g ] si denota la matrice geometrica globale del telaio. In Figura 16 si osserva il telaio discretizzato agli elementi finiti con i carichi applicati (in rosso) ed i gradi di libertà bloccati per simulare la presenza di incastri al piede dei pilastri
18
(in verde). In Figura 17 sono rappresentate le prime tre deformate critiche per instabilità. Esse corrispondono ai seguenti moltiplicatori di carico critico
λ1 = 109.3 λ2 = 143.7 λ3 = 169.3 Confrontando tra loro le deformate critiche del telaio, l’analogia con la soluzione di Eulero per le travi caricate di punta risulta immediata. E’ infatti lecito attendersi che, per moltiplicatori di carico critico maggiori, la deformata del telaio presenti lunghezze libere di inflessione minori. Come anche osservato in [1], il telaio in esame tende a comportarsi come una mensola tozza e le deformate critiche calcolate con LUSAS presentano visivamente lunghezze libere di inflessione via via minori al crescere del carico critico (si veda anche la Figura 18 dove si sono rappresentate le prime tre deformate critiche calcolate con LUSAS per una trave incastrata e caricata di punta).
19
Figura 16: Discretizzazione ad elementi finiti del telaio indeformato con i carichi applicati.
20
Figura 17: Prima, seconda e terza deformata critica del telaio.
21
Figura 18: Prima, seconda e terza deformata critica per una trave incastrata soggetta a carico di punta.
22
2 2.1
Collasso rigido-plastico Analisi incrementale plastica di una trave incastrata alle estremità soggetta ad un carico distribuito uniforme
Si vuole eseguire una analisi incrementale plastica per una trave lunga l = 1 m con entrambi gli estremi incastrati e soggetta ad un carico verticale distribuito uniforme q di intensità pari a 100 N/m lungo l’intera lunghezza della trave. La struttura è realizzata in acciaio ed ha i seguenti parametri meccanici: modulo elastico E = 200 GPa, coefficiente di Poisson
ν = 0.3, tensione di snervamento σ p = 248 MPa. Per semplicità, si assume di sezione rettangolare con base b = 0.1 m ed altezza h = 0.2 m. I passi da eseguire in LUSAS per risolvere il problema sono i seguenti: (1) Definizione della geometria. Con il comando Geometry>Point>Coordinates si definiscono le coordinate dei nodi del telaio. In questo caso, vista la semplicità del problema, non si sfrutta la simmetria e si definiscono i nodi estremi e quello di mezzeria. (2) Definizione della mesh di elementi finiti. Con il comando Attributes>Mesh>line si discretizza la trave ad elementi finiti. In particolare, si scelgono elementi finiti tri-dimensionali lineari tipo Cross section beam dotati di funzioni di forma di ordine quadratico. Si suddivide la trave in 40
elementi. (3) Assegnazione delle proprietà geometriche. Nel menu Attributes>Geometric>Line>Cross section beam si definiscono le coordinate dei quattro vertici della sezione rettangolare. Sulla base di questi dati il programma provvede a calcolare tutte le caratteristiche geometriche di interesse. (4) Definizione del materiale. Con l’opzione Attributes>Material>Isotropic si definisce un materiale elastico-plastico con modulo elastico e rapporto di Poisson desiderati. Per l’analisi
23
si assume un comportamento plastico regolato in base al modello Stress resultant , supportato dal tipo di elemento finito scelto. (5) Assegnazione dei vincoli. Si definisce il vincolo incastro e si assegna agli estremi della trave. (6) Assegnazione del carico. Con il comando Attributes>Loading>Structural si procede a definire il carico distribuito lineare q specificandone l’intensità voluta. E’ da sottolineare come nel modello plastico Stress resultant il passaggio tra il comportamento elastico lineare e quello perfettamente plastico avvenga istantaneamente non appena il momento applicato raggiunge il valore del momento plastico. Tale modello è basato sul criterio di plasticizzazione di Von Mises. Per sezioni rettangolari la superficie di plasticizzazione F è definita nel seguente modo
≤ 23 (1 − p) ≤ m ≤ 23 (1 − p) ≤ m
6 3 rp + p2 5 5
−
3 p2 + rmx + m2y + t2 = 1 per m y 4 3 p2 + m2x + rmy + t2 = 1 per m x 4 2 4 p 9 + (r p)(my + mx )+ 5r 10 9 my mx + t2 = 1 per m y 20
− −
≥ 23 (1 − p)
x y
e
my
≥ 23 (1 − p)
dove
my =
|M | = |M |
(12a)
mx =
|M | = |M |
(12b)
y
y A/ 2σ p S y 2
M py x
x A/ 2σ p S x 2
M px N N = p = N p Aσ p M z t = M zp r =
√
1
−t
2
(12c) (12d) (12e)
A causa della non-linearità del materiale è necessario ricorrere ad una procedura di tipo incrementale. In altre parole, superato il limite elastico, i carichi vengono assegnati attraverso incrementi piccoli ma di entità finita. La risposta strutturale non-lineare agli incrementi
24
di carico viene determinata con procedimenti di tipo iterativo. Nel caso specifico il codice di calcolo LUSAS fa uso dell’algoritmo iterativo Predictor-corrector . La fase di predizione è eseguita supponendo la struttura elastica con rigidezza pari a quella tangente nel punto considerato; in seguito il risultato viene corretto per tener conto della non-linearità elastoplastica. In altre parole, ove lo stato tensionale si collochi al di fuori della superficie di plasticizzazione F (situazione fisica non possibile), una procedura di correzione viene eseguita per ricondurre lo stato tensionale sulla superficie di snervamento. Fissata una certa tolleranza, il procedimento di correzione può giungere o meno a convergenza. Nel primo caso si procede ad applicare il successivo incremento di carico, mentre nel secondo il programma termina l’analisi supponendo di aver raggiunto un livello di carico in corrispondenza del quale la rigidezza della struttura si annulla. Una riduzione del valore dell’incremento di carico porta in genere a minor iterazioni di convergenza ma ad un maggior tempo complessivo per completare l’analisi. D’altro canto, se si impiegano incrementi di carico relativamente grandi al fine di ridurre il tempo di analisi, si paga la scelta con un numero di iterazioni maggiore e con una conseguente maggior propagazione degli errori numerici. Per il problema in esame si è lasciato operare il programma in modo automatico per quanto riguarda la scelta dell’ampiezza degli incrementi di carico. L’unico vincolo imposto è stato quello di vincolare gli incrementi di carico ad essere minori del valore del carico iniziale. Nel problema test trattato, essendo possibile eseguire l’analisi incrementale-plastica passo a passo manualmente, è disponibile la soluzione analitica di riferimento. In particolare, essendo il momento massimo agli incastri, saranno tali punti a raggiungere per primi il valore del momento plastico
ql 2 M = λ 12 M p = σ p 2S xA/2
(13)
h2 = σ p b 4
(14)
Ponendo M = M p , si determina il carico che porta alla formazione contemporanea delle due cerniere plastiche nelle sezioni di estremità della trave
q 1 = λ1 q = 12
25
M p l2
(15)
La terza ed ultima cerniera plastica si localizzerà invece nella sezione di mezzeria allorquando il carico applicato raggiungerà il seguente valore
q 2 = λ2 q = 16
M p l2
(16)
In Figura 19 si sono riportati i valori della freccia δ nella mezzeria della trave e del carico applicato q calcolati dal programma ad ogni passo. Essi sono stati rappresentati sul piano adimensionalizzato che ha per ordinate il rapporto ql 2 /M p e per ascisse i valori
32δEI/(M p l2 ). Da tale grafico si osserva una riduzione della pendenza della curva in corrispondenza del punto di coordinate (1; 12), allorquando si formano le cerniere plastiche agli incastri. In corrispondenza del punto (16.3; 2.61) la rigidezza della trave si annulla, trasformandosi essa in una catena cinematica. Dal confronto con la soluzione analitica si ha che la formazione delle prime due cerniere plastiche di estremità è prevista in modo esatto dal codice LUSAS, mentre l’occorrenza dell’ultima cerniera plastica avviene in corrispondenza del punto (16.3; 2.61) invece del punto di coordinate (16; 2.66). L’errore commesso è ad ogni modo accettabile e potrebbe essere ulteriormente ridotto agendo sulla tolleranza del metodo iterativo. In Figura 20 si sono rappresentate le mesh deformate in corrispondenza del carico applicato ed in corrispondenza della formazione delle cerniere plastiche di estremità. Il programma consente di visualizzare la posizione delle cerniere plastiche con un asterisco colorato.
26
Figura 19: Carico adimensionalizzato in funzione della freccia in mezzeria adimensionalizzata durante l’analisi incrementale plastica.
Figura 20: Mesh deformate in corrispondenza del carico applicato ed in corrispondenza della formazione delle cerniere plastiche di estremità.
27
2.2
Analisi elasto-plastica in piccoli spostamenti di un telaio piano a due campate diseguali e dodici piani
Si consideri il telaio a dodici piani precedentemente analizzato dal punto di vista della stabilità elastica. Si vuole determinare il carico di collasso eseguendo un’analisi incrementale plastica nell’ipotesi di piccoli spostamenti. A tal fine si assume un legame costitutivo elastico-perfettamente plastico per gli elementi in acciaio del telaio con i seguenti parametri meccanici: modulo di Young E = 200 GPa, coefficiente di Poisson ν = 0.3, tensione di snervamento σ p = 248 MPa. Per eseguire questo tipo di analisi con LUSAS è necessario definire la geometria ed il reticolo ad elementi finiti del telaio come già precedentemente fatto per lo studio della stabilità dell’equilibrio elastico. In aggiunta a tali dati di ingresso bisogna specificare la legge costitutiva elasto-plastica con il comando Attributes>Material>Isotropic. Per quanto riguarda la fase plastica si assegna il valore della tensione di snervamento dell’acciaio e si seleziona il modello Stress resultant . Nel precedente studio inerente l’analisi incrementale plastica di una trave incastrata a sezione rettangolare soggetta ad un carico distribuito uniforme, la struttura era stata modellata con elementi finiti tipo Cross-section beam. Come precedentemente osservato, il raggiungimento della condizione di plasticizzazione si ha quando il momento applicato uguaglia il valore del momento plastico. A sua volta, il momento plastico dipende sia dalla tensione di plasticizzazione del materiale, sia dalla geometria della sezione trasversale
M P = 2σP S xA/2 A/2
dove S x
(17)
rappresenta il momento statico di mezza sezione rispetto all’asse X . Si può così
definire il modulo plastico rispetto all’asse X come quella costante che lega il momento plastico alla tensione di plasticizzazione
M P = Z x σ p dove Z x = 2 S xA/2
(18)
In modo analogo si definisce il modulo plastico rispetto all’asse Y . Nella modellazione ad elementi finiti con elementi tipo Cross-section beam, utilizzabili unicamente per travi a sezione rettangolare o circolare, il codice LUSAS provvede automaticamente al calcolo dei
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moduli plastici a partire dai dati geometrici della sezione. Nel problema in esame, dovendo modellare travi in parete sottile con sezione ad I , si deve far uso degli elementi tipo Thin beam e specificare manualmente i valori dei moduli plastici di ogni sezione. Nella Tabella
1 si sono riportati i valori dei momenti plastici per le travi costituenti il telaio (per maggiori dettagli riguardanti le caratteristiche geometriche delle sezioni in esame si faccia riferimento al manuale [4]). Profilo w12x16 w12x35 w12x45 w12x53 w14x22 w14x68 w14x74 w14x90 w16x26 w21x44
Z x [m3 ]
Z y [m3 ]
3.294
× 10 8.390 × 10 1.060 × 10 1.277 × 10 5.441 × 10 1.885 × 10 2.065 × 10 2.573 × 10 7.243 × 10 1.563 × 10
4
−
4
−
3
−
3
−
4
−
3
−
3
−
3
−
4
−
3
−
3.703
× 10 1.885 × 10 3.114 × 10 4.769 × 10 7.194 × 10 6.047 × 10 6.653 × 10 1.239 × 10 8.980 × 10 1.671 × 10
5
−
4
−
4
−
4
−
5
−
4
−
4
−
3
−
5
−
4
−
Tabella 1: Moduli plastici Z x e Z y delle travi costituenti il telaio in esame. Eseguita l’analisi non-lineare con LUSAS, nelle Figure 21 e 22 si mostra la localizzazione delle cerniere plastiche che si manifestano in corrispondenza dei vari passi di carico. In Figura 23 si è rappresentato il moltiplicatore di carico in funzione dello spostamento orizzontale dell’ultimo solaio dell’edificio. A partire dal 6 passo di carico si ha la formazione ◦
di cerniere plastiche. In corrispondenza del 17 passo di carico la struttura si è trasformata ◦
in una catena cinematica. E’ importante osservare come le cerniere plastiche si localizzino prevalentemente agli estremi delle travi, mentre gli estremi dei pilastri sono interessati da plasticizzazione solo quando la struttura è assai prossima al collasso. Il moltiplicatore di collasso ottenuto attraverso l’analisi rigido plastica risulta sensibilmente inferiore rispetto a quello relativo all’instabilità globale dell’equilibrio elastico dello stesso telaio.
29
Figura 21: Localizzazione delle cerniere plastiche nei passi di carico 6, 7, 8, 9, 10 e 11. 30
Figura 22: Localizzazione delle cerniere plastiche nei passi di carico 12, 13, 14, 15, 16 e 17.
31
(a)
(b) Figura 23: (a) Curva del moltiplicatore dei carichi in funzione dello spostamento orizzontale dell’ultimo piano. (b) Schema riassuntivo della localizzazione delle cerniere plastiche nei vari passi di carico e deformata finale al limite di collasso.
32
3
Instabilità dell’equilibrio elasto-plastico
3.1
Analisi elasto-plastica in grandi spostamenti di un telaio piano a due campate diseguali e dodici piani
In questo esempio si vuole studiare il telaio piano a due campate diseguali e dodici piani oggetto delle precedenti analisi da un punto di vista di stabilità dell’equilibrio elasto-plastico. Per risolvere questo problema si parte dai dati di ingresso utilizzati per l’analisi elastoplastica in piccoli spostamenti descritta nel precedente paragrafo. Volendo ora considerare l’effetto dei grandi spostamenti sul comportamento della struttura, è necessario far uso della formulazione Total Lagrangian attivabile nel menu di risoluzione non-lineare. Questa formulazione permette di calcolare le tensioni e le deformazioni rispetto alla configurazione iniziale indeformata. Essa è basata sulle deformazioni di Green-Lagrange ed è dunque valida nelle ipotesi di piccole deformazioni. Inoltre, nel caso di grandi rotazioni, la formulazione Updated Lagrangian è in genere preferibile. In tale caso il calcolo delle tensioni e delle deformazioni viene eseguito rispetto all’ultima configurazione geometrica dell’analisi che ha ottenuto convergenza. Per il problema in esame, caratterizzato principalmente da grandi spostamenti, si farà uso della formulazione Total Lagrangian. In questo modo, accanto alla non-linearità del materiale, è possibile considerare anche l’effetto della non-linearità geometrica. Per il problema in esame si sono rappresentate le posizioni delle cerniere plastiche nelle Figure 24 e 25. In Figura 26 si è rappresentato l’andamento del moltiplicatore dei carichi in funzione dello spostamento orizzontale dell’ultimo piano del telaio. In Figura 27 si propone il confronto tra la curva carico-spostamento ottenuta dalla presente analisi e quella concernente l’analisi elasto-plastica in piccoli spostamenti calcolata nel precedente capitolo. Per quanto riguarda l’analisi di instabilità linearizzata discussa nel Paragrafo 1.3 si era ottenuto un moltiplicatore di collasso λ ins = 103, troppo grande da poterlo rappresentare in scala in Figura 27. Il carico di primo snervamento in
∼
corrispondenza del quale si presenta la prima cerniera plastica si ha per λ = 1.5, in buon accordo con i risultati ottenuti in [2, 3]. La lieve differenza tra il moltiplicatore di collasso
∼
ottenuto dalla presente analisi ( λcoll = 2.1) e quelli ottenuti in [2, 3] ( λcoll = 2 ) è da imputare al fatto che ai carichi nodali concentrati sulle travi considerati in tali studi si siano sostituiti
33
i carichi distribuiti equivalenti. La differenza è comunque modesta. E’ importante osservare come in questo caso l’analisi incrementale elasto-plastica in piccoli spostamenti non sia cautelativa. Il corrispondente moltiplicatore di collasso ( λep =
2.3), è infatti maggiore di quello ottentuo dall’analisi elasto-plastica in grandi spostamenti (λcoll = 2.1) di circa il 10% . Il problema in questione rappresenta dunque un esempio di collasso strutturale in cui tutte e due le ipotesi di linearità, sia geometrica che fisica, devono essere abbandonate simultaneamente. Questi problemi fortemente non-lineari non possono essere formulati nè in termini di autovettori, nè di analisi limite. Venendo meno la linearità non è possibile applicare il principio di sovrapposizione degli effetti e dunque il carico ultimo può essere determinato soltanto con un’analisi incrementale. All’interno di ciascun passo di carico la convergenza alla soluzione dovrà essere ricercata a mezzo di algoritmi ricorsivi computazionalmente onerosi. Una stima approssimata della capacità portante di una struttura, prendendo in considerazione l’interazione tra i diversi meccanismi di collasso, può essere ottenuta attraverso le formule di Rankine e di Merchant-Rankine. Nel caso in esame, partendo dal valore del moltiplicatore di collasso ottenuto da un’analisi linearizzata d’instabilità (λins ) e da quello ottenuto da un’analisi incrementale elasto-plastica in piccoli-spostamenti (λep ), applicando la formula di Rankine si ottiene
λcoll = λep
1 = 2.25 λep 1+ λins
(19)
(20)
Applicando invece la formula di Merchant-Rankine si ha
λcoll = λep
1 λep 0.9 + λins
= 2.5
Si può pertanto concludere che, in casi in cui la snellezza della struttura sia rilevante, l’instabilità dell’equilibrio elasto-plastico può avvenire prima del collasso plastico ed è quindi la condizione più critica che deve essere considerata a livello progettuale.
34
Figura 24: Localizzazione delle cerniere plastiche nei passi di carico 1, 6, 7, 8, 9 e 10. 35
Figura 25: Localizzazione delle cerniere plastiche nei passi di carico 11, 12, 13, 14, 15, e 16. 36
(a)
(b) Figura 26: (a) Curva del moltiplicatore dei carichi in funzione dello spostamento orizzontale dell’ultimo piano. (b) Schema riassuntivo della localizzazione delle cerniere plastiche nei vari passi di carico e deformata finale al limite di collasso.
37
Figura 27: Confronto tra le curve del moltiplicatore dei carichi in funzione dello spostamento orizzontale dell’ultimo piano, per le analisi rigido-plastica ed elasto-plastica in grandi spostamenti.
38
Figura 28: Curva del moltiplicatore dei carichi in funzione dello spostamento del piano più alto dell’edificio ottenuta da Orbison et al. [2].
Figura 29: Schema del telaio analizzato in [2].
39
Figura 30: Curva del moltiplicatore dei carichi in funzione dello spostamento del piano più alto dell’edificio ottenuta da Bozzo e Gambarotta [3]. Figura 31: Schema del telaio con il modello delle sollecitazioni, del materiale e della geometria considerato in [3]. E’ inoltre illustrata la localizzazione delle cerniere plastiche nei vari passi di carico.
40
