CV
PRÓLOGO La “Comisión de Vinculación de la Facultad de Ingeniería con la Escuela nacional Preparatoria y el Colegio de Ciencias y Humanidades”, tiene como objetivo mejorar el aprendizaje de los alumnos que ingresan a la Facultad de Ingeniería, fomentando la comprensión de los conocimientos adquiridos en el nivel medio y con la intención de que su ingreso y desarrollo, dentro del nivel superior, sea exitoso. Dentro de las muchas acciones que se han realizado, la obra denominada “Álgebra, Teoría y Ejercicios” es un esfuerzo más para proporcionarle a dicha población los elementos necesarios para que su desarrollo a lo largo de los primeros semestres de ingeniería sea basado en fundamentos teóricos sólidos, que les otorguen la capacidad de adquirir, fielmente, nuevos conocimientos que permitan su firme avance ante los nuevos retos que involucran diferentes métodos y técnicas avanzadas de enseñanza. Esta obra contiene los conceptos básicos del álgebra, resultado de un análisis entre las tres instituciones y considerando los contenidos que se imparten en el bachillerato y las necesidades de los primeros semestres de la carrera de ingeniería; logrando un mejor desenvolvimiento de los alumnos en asignaturas claves de las Ciencias Básicas, como soporte fundamental en el área de las ingenierías. El libro, por lo tanto, se presenta como una obra esencial para que los alumnos, al egresar del Bachillerato, respondan al perfil del plan de estudios establecido en la Facultad. Por lo tanto, el ejercicio de vinculación entre las instituciones involucradas en el programa, representa fielmente el trabajo en equipo de los profesores que participaron en la elaboración de esta obra, cuyo objetivo final es formar mejores profesionistas, capaces de tomar decisiones y de ejercer el liderazgo con responsabilidad. Continuando con la sinergia entre los responsables de las obras que se generen, los participantes en este proyecto lograrán difundir los conocimientos que el alumnado requiere para fomentar su formación y logrando se curse, con altas probabilidades de éxito, el nivel superior en el área de las ingenierías. ING. JUAN URSUL SOLANES JEFE DE LA DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS DE LA FACULTAD DE INGENIERÍA, DE LA UNAM
RECOMENDACIONES PARA RESOLVER PROBLEMAS DE MATEMÁTICAS
Para obtener un mayor provecho del libro se te sugiere que lleves a cabo las siguientes recomendaciones: Cuando inicies la lectura de cada capítulo lee los objetivos que se encuentran al inicio y atiende a las diferencias entre los que se refieren a la comprensión y a la aplicación de los temas. Cuando revises algún problema evita consultar la respuesta que se encuentra en la página http://dcb.fi-c.unam.mx/lalgebra hasta que lo hayas resuelto por ti mismo
Antes de resolver cualquier problema que se te presenta o durante el proceso de solución del mismo toma en cuenta lo siguiente: I. II. III. IV. V. VI. VII. VIII.
IX.
Lee con atención los problemas que se plantean, es muy importante que comprendas lo que tienes que resolver. Identifica y diferencia cuales son los problemas que te parecen más difíciles de los más fáciles y trata de encontrar la razón de esto. Las reglas no deben aprenderse de memoria sin haberlas comprendido. Expresa en voz alta cada uno de los pasos del procedimiento de solución. Utiliza Mapas Conceptuales para resumir conceptos y elaborar opciones de solución. Trata de representar gráficamente cada problema. Anota el procedimiento que llevaste a cabo para resolver cada problema así como cada uno de los pasos. Cuando leas el problema, elige la fórmula adecuada que vayas a utilizar, luego sustituye las variables por los valores que se te den y te quedará una o varias incógnitas por despejar. Hazlo con cuidado y repasa los cálculos antes de anotar el resultado final. Cuando hayas resuelto el problema, trata de encontrar otras maneras de hacerlo y en ese caso, llevarlas a cabo observando si obtienes los mismos resultados en cada caso.
CAPÍTULO 1 EXPONENTES Y RADICALES 1.1 EXPONENTES .......................................................................................................................... 4 1.1.1 PROPIEDADES ........................................................................................................ 5 Ejercicios Resueltos ........................................................................................................... 6 Ejercicios Propuestos ......................................................................................................... 7 1.2 RADICALES .............................................................................................................................. 9 Ejercicios Resueltos de radicales .................................................................................... 10 Ejercicios Propuestos de radicales .................................................................................. 11 1.3 RACIONALIZACIÓN ............................................................................................................... 13 Ejercicios Resueltos ......................................................................................................... 13 Ejercicios Propuestos de racionalización ......................................................................... 14
CAPÍTULO 2 OPERACIONES CON POLINOMIOS 2.1 SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS ........................................................................................ 15 Regla para la suma de polinomios ................................................................................... 15 Opuesto o inverso aditivo de un polinomio ...................................................................... 16 Regla para la resta de polinomios .................................................................................... 16 2.1.1 SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS CON SÍMBOLOS DE AGRUPACIÓN ........... 17 Regla para la suma de polinomios con símbolos de agrupación..................................... 17 Ejercicios Resueltos ......................................................................................................... 17 Ejercicios Propuestos ....................................................................................................... 19 2.2 MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS .................................................................................... 20 Regla para la multiplicación de monomio por monomio .................................................. 21 Regla para la multiplicación de monomio por polinomio .................................................. 25 Regla para la multiplicación de polinomio por polinomio ................................................. 25 Ejercicios Propuestos ....................................................................................................... 26 2.3 DIVISIÓN DE POLINOMIOS ................................................................................................... 28 Regla para la división de monomio entre monomio ......................................................... 28 Regla para la división de polinomio entre monomio ........................................................ 30 Algoritmo de la división .................................................................................................... 31 Regla para dividir polinomio entre polinomio ................................................................... 32
CAPÍTULO 3 PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN 3.1 PRODUCTOS NOTABLES ..................................................................................................... 39 Cuadrado de la suma de dos monomios ......................................................................... 39 Cuadrado de la diferencia de dos monomios................................................................... 40 Ejercicios del cuadrado de un binomio ............................................................................ 42 Producto de la suma por la diferencia de dos monomios ................................................ 43 Cubo de un binomio ......................................................................................................... 44 Ejercicios del cubo de un binomio .................................................................................... 46 Producto de dos binomios de la forma
x a x b .................................................. 47
Ejercicios de producto de dos binomios con un término común ...................................... 47
ax 2
bx c .................................. 50 2 Ejercicios Propuestos de factorización de trinomios de la forma ax bx c ............. 51
3.2 FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO DE LA FORMA
3.2.1 FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS CUADRADOS PERFECTOS ........................ 51
1
Ejercicios Propuestos ...................................................................................................... 52 3.3 FACTORIZACIÓN POR AGRUPACIÓN ................................................................................. 53 Ejercicios Propuestos ...................................................................................................... 54
CAPÍTULO 4 OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS 4.1 MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO ................................................................................................. 55 4.2 ADICIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS ........................................................................ 58 4.3 SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS ............................................................. 58 4.4 MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES ................................................................................... 60 Ejercicios Propuestos ....................................................................................................... 61 4.5 DIVISIÓN DE FRACCIONES .................................................................................................. 62 Ejercicios Resueltos ......................................................................................................... 62 4.6 FRACCIONES COMPLEJAS .................................................................................................. 65 Ejercicios Propuestos ....................................................................................................... 66
CAPÍTULO 5 RAZONES Y PROPORCIONES 5.1 RAZÓN .................................................................................................................................... 67 5.2 PROPORCIÓN ........................................................................................................................ 70 5.2.1 PROPIEDAD DE UNA PROPORCIÓN ................................................................... 70 Proporción Continua......................................................................................................... 70 Proporción Directa............................................................................................................ 72 Proporción Inversa ........................................................................................................... 73 Variación Lineal ................................................................................................................ 76 Ejercicios Propuestos ....................................................................................................... 79
CAPÍTULO 6 LOGARITMOS 6.1 LOGARITMO DE UN NÚMERO.............................................................................................. 82 Ejercicios Resueltos: ........................................................................................................ 83 Ejercicios Propuestos ....................................................................................................... 84 6.2 PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS ............................................................................... 84 6.2.1 PROPIEDADES DE CANCELACIÓN ..................................................................... 84 Ejercicios Resueltos ......................................................................................................... 85 Ejercicios Propuestos ....................................................................................................... 85 6.2.2 PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS OBTENIDAS A PARTIR DE LAS PROPIEDADES DE LOS EXPONENTES ....................................................................... 86 Ejercicios Resueltos ......................................................................................................... 86 Ejercicios Propuestos ....................................................................................................... 89 6.2.3 ECUACIONES LOGARÍTMICAS ............................................................................ 89 Ejercicios Propuestos ....................................................................................................... 95 6.3 APLICACIONES DE LOS LOGARITMOS .............................................................................. 95 6.3.1 ANTILOGARITMO................................................................................................... 95 Ejercicios Resueltos ......................................................................................................... 95 Ejercicios Propuestos ....................................................................................................... 96 6.4 CÁLCULOS ARITMÉTICOS UTILIZANDO LOGARITMOS.................................................... 96 Cálculo del producto de dos números.............................................................................. 96 Cálculo del cociente de dos números. ............................................................................. 97 Cálculo de potencias ........................................................................................................ 97 Cálculo de raíces .............................................................................................................. 97 Ejercicios Resueltos ......................................................................................................... 98 Ejercicios Propuestos ....................................................................................................... 99
2
CAPÍTULO 7 ECUACIONES DE PRIMER GRADO 7.1 NOCIONES BÁSICAS ........................................................................................................... 100 Ecuaciones ..................................................................................................................... 100 Clasificación de ecuaciones ........................................................................................... 100 Soluciones de una ecuación .......................................................................................... 101 7.2 ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA ............................................ 101 Resolución de Ecuaciones ............................................................................................. 101 Propiedades de la igualdad ........................................................................................ 101 Ejercicios Resueltos ....................................................................................................... 102 Ejercicios Propuestos ..................................................................................................... 109 7.3 EL LENGUAJE ALGEBRAICO.............................................................................................. 112 Ejercicios Propuestos ..................................................................................................... 113 7.4 PLANTEAMIENTO Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE CONDUCEN A ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA ........................................................................... 114 Ejercicios Propuestos ..................................................................................................... 116
CAPÍTULO 8
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS
INCÓGNITAS 8.1 ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS .......................................... 118 8.2 ECUACIONES SIMULTÁNEAS ........................................................................................... 118 8.3 ECUACIONES EQUIVALENTES ......................................................................................... 119 8.4 SISTEMAS DE ECUACIONES CON DOS VARIABLES ...................................................... 119 8.5 RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE DOS ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS. ............................................................................................................................. 120 8.5.1 ELIMINACIÓN POR REDUCCIÓN ..................................................................... 120 Ejercicios Propuestos ..................................................................................................... 125 8.5.2 ELIMINACIÓN POR SUSTITUCIÓN .................................................................... 125 Ejercicios Propuestos ..................................................................................................... 129 8.5.3 ELIMINACIÓN POR IGUALACIÓN ..................................................................... 130 Ejercicios Propuestos ..................................................................................................... 131 8.5.4 SISTEMAS CON ECUACIONES FRACCIONARIAS ........................................... 132 Ejercicios Propuestos ..................................................................................................... 135
CAPITULO 9
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
9.1 MÉTODO DE COMPLETAR EL TRINOMIO CUADRADO PERFECTO. ............................ 136 Ejercicios Propuestos ..................................................................................................... 141 9.2 MÉTODO DE FACTORIZACIÓN. ......................................................................................... 142 Ejercicios Propuestos ..................................................................................................... 145 9.3 FÓRMULA GENERAL ........................................................................................................... 145 Ejercicios Propuestos ..................................................................................................... 150
BIBLIOGRAFÍA .................................................................................. 151
3
CAPÍTULO 1
EXPONENTES Y RADICALES
Al final del Capítulo se espera que el alumno alcance los siguientes objetivos Objetivos
Nivel Taxonómico
IDENTIFICARÁ LAS PROPIEDADES DE LOS EXPONENTES SIMPLIFICARÁ EXPRESIONES ALGEBRAICAS QUE CONTIENEN EXPONENTES ENTEROS SIMPLIFICARÁ EXPRESIONES ALGEBRAICAS QUE CONTIENEN EXPONENTES FRACCIONARIOS IDENTIFICARÁ LAS PROPIEDADES DE LOS RADICALES SIMPLIFICARÁ EXPRESIONES ALGEBRAICAS QUE CONTIENEN EXPONENTES ENTEROS Y FRACCIONARIOS APLICARÁ LAS PROPIEDADES DE LOS EXPONENTES Y RADICALES PARA EXTRAER O INTRODUCIR FACTORES EN RADICALES EXPRESARÁ UNA FRACCIÓN ALGEBRAICA EN DIFERENTES FORMAS RACIONALIZANDO EL NUMERADOR O EL DENOMINADOR
Comprensión Aplicación Aplicación Comprensión Aplicación Aplicación Aplicación
1.1 EXPONENTES Para iniciar el estudio de los exponentes y radicales, se partirá
de algunas
definiciones.
La notación exponencial a n , donde n es un natural se define como el producto del número real “a” multiplicado “n” veces por sí mismo.
an = a a a
a
“n” factores
Al natural “ n ” se le llama exponente y al número real “ a ” la base.
Para complementar esta información se citan los siguientes casos:
a1
a
a2
a a
a3
a a a
a6
a a a a a a
4
Por definición:
a0
an
1
1 a n
1.1.1 PROPIEDADES Sean los números reales a y b y los enteros m y n, entonces: 1) a m a n
am
n
2) (a n ) n
a mn
3) (ab) n
a nb n
4)
a b
5)
am an
n
an bn am
n
Demostración de la propiedad (1)
Si m y n son enteros positivos, entonces m
a man
a a a
n factores de a
a a a a
m factores de a
a
n factores de a
5
Por lo tanto
am
n
am an
Ejercicios Resueltos Exponentes Simplificar las siguientes expresiones
1)
x4 x6 x3
2) (a 5 ) 6
3
5)
6)
3
c 2
x 13
a 30
4 4 4
c3 23
27c 3
xc 8 c3
6 3
a (5)( 6 )
4
3)
4)
x4
c3 8
3
xc 8
4 4
27c 3 33
3
c3
xc 5
6
7)
z3 z7
8)
vu 2 v2u8
9)
9u 4 y 5 6u 1 y 2
1 z
1 z4
7 3
1 v u
1 vu 6
2 1 8 2
9u 4 6y2
y u
5
3u 4 2y2
u1 y5
1
3u 5 2y7
Ejercicios Propuestos Exponentes Simplificar las siguientes expresiones:
1) a 2 a 6 xa 3
2) (ax 5 )6
7
3)
3
4)
x 4a
5)
abf 8 f3
6)
(3 y ) 4 (2 y ) 2
7)
v5 yv 8
8)
16 a 4 b 4 8 a 1b 3
9)
3u 4 w 4 2 w3 u 5
8
1.2 RADICALES El símbolo
se conoce como signo de radical; la expresión dentro del radical se
denomina radicando.
Una expresión algebraica que contiene un radical se
conoce como expresión radical.
El símbolo
lleva un índice que indica la potencia a la que hay que elevar la raíz
para obtener el radicando. Cuando el radical
no lleva índice entonces se trata
de una raíz cuadrada.
Cuando la raíz cuadrada de un número real no negativo “ a ” se eleva al cuadrado, el resultado es ese número real positivo, es decir:
( a )2
Si “ a ” es negativo,
a
y
(
a )2
a
a no es un número real.
Propiedad de multiplicación de radicales con índice 2:
Si
y
son números no negativos
ab
a b
Propiedad de división de radicales con índice 2:
Si
y
son números positivos
Para cualquier número real “a”, se tiene que
a b
a b
a2
a
9
Generalización: m
Definición:
Sean m, n
;
0 y x
n
;
n
xn
xm
Las propiedades de la multiplicación y la división de radicales con índice 2 pueden generalizarse como sigue: n
a b
n
n
a b
n
a
n
b
m n
Por último puede demostrarse que
a
a
n
b
mn
a
Ejercicios Resueltos de radicales Simplificar las siguientes expresiones:
5
1)
5 40
40
4
2)
32
4
4
2
32 2
1 8
4
3
81 3 9
3
(34 )(32 )
4)
3
128
6
128
5)
a8 b9 c10
6
1
8
8
24
2
4
16
3)
1
3
1
(33 )(33 )
27
a8 b9 c10
6
6
2 2
1
(2) 2 (2)
3
33 3 33
1
22 2
(3)(3)
2 2
32
9
26 2
a 4 b8 bc5
a 4 b 4 bc5
a 4 b 4 c5 b
10
3a 3 3 2a 4 b 2
6)
6
8
7)
x16 y 9 3
x y
2
8 8
x16 y 9 3
9)
6 4 22aa6 bb 9
55
10)
77 99
aa b
x x x
8
2 4
(x y )
3
xy 2 6 x 6 y13
33
6
2a 4 b 2
a12 6 108a 5 b 4
3 7 6 11 x 4 y 7 xx6 yy11
33
8)
6
108a17 b 4
3
3a 3
6
x
27 a 9 6 4a 8 b 4
6
27 a 9
4a 8 b 4
x4 y
xy 2 3 y x 6 y11
xy 2 xy 2 6 y
xy 2 3
x 6 y 2 y11
x2 y4 6 y
5 15
a7b
8
x 3 y 6 y x 6 y11
2a 6 b 9
15
6
a 2 6 108a 5 b 4
x16 y 9 x12 y 8
xy 2 6 x 6 y12 y
15
2
9 3
x2 x
32a 30 b 45 a 21b 27
x
x3
15
32a 9 b18
x 4 x3
15
4
32a 9 b15 b3
x 4 x3
8
b15 32a 9 b3
x7
Ejercicios Propuestos de radicales Simplificar las siguientes expresiones:
1)
5
128 5 8
3
3125
2)
3)
3
4
25
243m 7 n 6 ( q 2 )3
11
256 x 2 y17
5
4)
5
2 x19 y11
40 x 5 y 7 z 10 x 7 y11 z10
5)
3
6)
m6 n7 m5 n13
7)
2x 2x
8)
1 2 x3 4 16 32 x8 8
(3x)2 (2 y)3
9) 3
10)
3
4 x3
3
(5 y)4
64 x 2 y 7 128 x 2 y 8
12
1.3 RACIONALIZACIÓN Ejercicios Resueltos Racionalizar el denominador de:
1)
1
2
1
2 1
2
1
2 1
2
1
2
2
2 2
1
2
1
2 1
2
1
2 1
2
1
2
2
2 2
1 2 2 2 1 2
2)
3 2 2 1
2 3 5
2 3 5 3 2 5
2 3 5 3 2 5
6 4 5 9 5 6 5 5
3 2 5
3 2 5 3 2 5
3 2 5 3 2 5
9 6 5 6 5
6 5 5 6(5) 9 4(5)
3)
3 2 2
24 5 5 11
5
2
5
2
5
2
5
2
5
2
5
2
5
2
5
2
5
2
5
2
24 11
2
5 2
2 5
2
5 2
2 5
2
2
2
5
4)
5 5 11
2
5
5
4 5 5
10 10 2 5 2
7 2 10 3
7 3
2 10 3
2a 1
2a
2a 1
2a
2a 1
2a
2a 1
2a
2a 1
2a
2a 1
2a
2a 1
2a
2a 1
2a
2a 1
2a
2a 1
2a
2
2a 1
2
2a 1 2a
2a 2a 1
2a
2a 1 2a
2a 2a 1
2a
2
2a 1
2
2a 1 2 2a(2a 1) 2a 1 2a
4a 1 2 4a 2
2a
4a 1 2 4a 2 1
2a
2a 13
Ejercicios Propuestos de racionalización Racionalizar el denominador de: 1)
2)
3)
4)
3
3
3
3
6 2 2 1
2
2
7
2
7
a
2 b
a
b
14
CAPÍTULO 2
OPERACIONES CON POLINOMIOS
Al final del Capítulo se espera que el alumno alcance los siguientes objetivos Objetivos
Nivel Taxonómico
DEFINIRÁ EL INVERSO ADITIVO DE UN POLINOMIO APLICARÁ LAS REGLAS PARA LA SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS APLICARÁ LAS REGLAS PARA LA MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE MONOMIOS APLICARÁ LAS REGLAS PARA LA MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE POLINOMIOS
CONOCIMIENTO APLICACIÓN APLICACIÓN APLICACIÓN
2.1 SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS Regla para la suma de polinomios Para sumar polinomios se escriben en forma secuencial con sus propios signos, se agrupan los términos semejantes y se reducen sumándolos o restándolos según sus signos. Ejercicio Calcular la suma de los siguientes polinomios:
3x , 5 x 2
4 x3
6x 1 ,
3x 4 x 2
Resolución:
Escribirlos en secuencia con sus propios signos:
3x 5 x 2
6 x 1 4 x3
3x 4 x 2
Agrupar los términos semejantes y reducirlos: 4 x3
5x2
x2
3x
6 x 3x
1 4
4 x3
4 x2
6x 3
Otra alternativa es alinear verticalmente los términos semejantes y reducirlos:
2
3
4x 4 x3
5x x2 4 x2
3x 6x 1 3x 4 6x 3
15
Opuesto o inverso aditivo de un polinomio El opuesto, simétrico o inverso aditivo de un polinomio es otro polinomio que se obtiene cambiando el signo de cada uno de sus términos.
Regla para la resta de polinomios Para dos polinomios P1 y P2, restar P2 de P1 se calcula sumando el opuesto de P2: P1 – P2 = P1 + (– P2) Ejercicio Obtener la diferencia de 2 x 4
3x3
9 x 2 12 x 7 menos 5 x3
4 x 2 12 x 3
Resolución
Sumar al polinomio minuendo 2 x 4 sustraendo 5 x3
3x3
9 x 2 12 x 7 , el opuesto del polinomio
4 x 2 12 x 3 : 2x4 2 x4
3x3
9 x 2 12 x 7
3 x3
5 x3
9 x 2 12 x 7 5 x3
4 x 2 12 x 3 4 x 2 12 x 3
Agrupar los términos semejantes y reducirlos:
2x4 2x4
3 x3
5 x3
8 x3 13x 2
9 x2
4 x2
12 x 12 x
7 3
4
También se puede ejecutar la resta alineando verticalmente los términos semejantes:
2 x4
3x 3 5x3
9x 2 12 x 7
2x4
4 x 2 12 x 3 2x4
3x3
9x 2 12 x 7
5x 3
4 x 2 12 x 3
8 x 3 13 x 2
4
16
2.1.1 SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS CON SÍMBOLOS DE AGRUPACIÓN Regla para la suma de polinomios con símbolos de agrupación Para simplificar estas expresiones se eliminan uno a uno los símbolos de agrupación, suprimiendo cada vez el símbolo que no tiene en su interior otros símbolos de agrupación. Después se agrupan y reducen los términos semejantes. Un símbolo de agrupación precedido de un signo positivo se suprime sin alterar el polinomio contenido en su interior. Un símbolo de agrupación precedido de un signo negativo se suprime obteniendo el opuesto del polinomio contenido en su interior.
Ejercicios Resueltos Ejercicio Eliminar los símbolos de agrupación y simplificar la expresión:
3a
2a 5b
a 7
2b 15
Resolución Suprimir en primer lugar el paréntesis precedido de signo positivo: 3a
2a
5b
a
7
2b 15
Eliminar el corchete precedido de signo negativo:
3a
2a 5b a 7 2b 15
Suprimir la llave precedida de signo negativo:
3a 2a 5b a 7 2b 15 Agrupar los términos semejantes y reducirlos:
3a 2a a
5b 2b
7 15
6a 3b 8
Ejercicio Suprimir los símbolos de agrupación y reducir términos semejantes de:
4 xy
5y
6 x 9 xy
7 x 2 xy
12 y 5 x
17
Resolución Suprimir los dos paréntesis en orden de izquierda a derecha según el signo que les precede: 4 xy
5y
6 x 9 xy
7x
2 xy
12 y
5x
Eliminar el corchete precedido de signo negativo:
4 xy
5 y 6 x 9 xy 7 x 2 xy 12 y 5 x
Suprimir la llave precedida de signo positivo:
4 xy 5 y 6 x 9 xy 7 x 2 xy 12 y 5 x Agrupar términos semejantes y reducirlos:
6x 7 x 5x
4 xy 9 xy 2 xy
5 y 12 y
8 x 15 xy 7 y
Ejercicio Eliminar los símbolos de agrupación y simplificar la expresión:
a b
2a 3b
4
2a 4b 1
3
a
b 5
Resolución Eliminar los paréntesis en orden de izquierda a derecha según el signo que les precede: a b 2 a 3b
4 2a
4b 1
3
a b 5
Suprimir los corchetes de izquierda a derecha según el signo que les precede:
a b 2a 3b 4 2a 4b 1 3 a b 5 Eliminar la llave precedida de signo negativo:
a b 2a 3b 4 2a 4b 1 3 a b 5 Agrupar términos semejantes y reducirlos:
a 2a 2a a
b 3b 4b b
4 1 3 5
2a b 13
18
Ejercicio Simplificar la siguiente suma de polinomios: 2ab 3
1 2 a 2
3b
2
5a
1 ab 4
2
2b 2 3
b
2
a2 6
ab
Resolución
Suprimir símbolos de agrupación según el signo que les precede: 2ab 3
1 2 a 2
3b 2
1 ab 4
5a 2
2b 2 3
b2
a2 6
ab
3b 2
b2
2b 2 3
Agrupar términos semejantes y reducirlos: 1 2 a 2
5a 2
3 2 a 6
30 2 a 6
a2 6
2ab 3
a2 6
26 2 a 6
7 14 2 ab b 12 3
13 2 a 3
7 14 2 ab b 12 3
1 ab ab 4
8ab 12
3 12 ab ab 12 12
9 2 b 3
3 2 b 3
2b 2 3
Ejercicios Propuestos Sumar los siguientes polinomios: 1)
7x , 15 x3
2)
7 3 a 12
2 x 2 13x 8 ,
3 2 2 ab 8
6b3
17 x 4
4 2 2 ab 3
25 x3 11x 13
5 3 a 4
1 3 b 2
15 3 b 4
11 2 2 ab 6
a3
Restar el segundo polinomio del primero: 3) 22 x 4 11x 2 4)
1 3 4 ab 2
a 2 b3
3x 7 , 5 2 ab 4
13 x 4 18 x3 12 x 3 9 , 2
7 2 ab 3
4 3 4 ab 5
2a 2 b3
3
19
Simplificar las siguientes expresiones: 5) 18a 2 6)
7x
7)
4 a2
5a 8 xy
2x 5 y
2a 4
3b
3a
8 7a
3a 2 11
xy 4 y 9
8b 11
5 12 x
5a b 6
14 xy
15 8a
13b
7a
2.2 MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS En la multiplicación de polinomios se distinguen tres casos: La multiplicación de monomio por monomio. La multiplicación de monomio por polinomio. La multiplicación de polinomio por polinomio. En los tres casos suele ser necesaria la aplicación de las siguientes leyes de los exponentes: Para cualesquiera números reales “a” y “b” y
cualesquiera números enteros
positivos “m” y “n” se cumple que:
am an am ab
am n
m
n
(Producto de potencias de igual base)
a mn
(Potencia de potencia)
ambm
(Potencia de un producto)
Y la aplicación de las reglas de los signos de la multiplicación:
El producto de dos números de igual signo es positivo y el producto de dos números de diferente signo es negativo. En general, el producto de un número par o impar de factores positivos es positivo; el producto de un número par de factores negativos es positivo y el producto de un número impar de factores negativos es negativo.
20
Regla para la multiplicación de monomio por monomio Para multiplicar monomios se calcula el producto de sus coeficientes numéricos respetando las reglas de los signos y se multiplican las potencias de igual base empleando las leyes de exponentes.
Ejercicio Calcular el siguiente producto: 7 a 2 bc 3
2 ab 2 c 2
a3c
Resolución Simplificar calculando el producto de los coeficientes y multiplicando las potencias de igual base: 7 a 2 bc 3
2 ab 2 c 2
a3c
1 a 2 aa 3
7 2 14 a 2
1 3
b1
2
c3
bb 2
c3c 2 c
2 1
14a 6 b3 c 6 Nota: Observar que si una potencia no tiene exponente y coeficiente explícitos, se debe suponer que son uno:
x 1x1
Ejercicio Ejecutar el siguiente producto: 8x4 y 15
3 y3 z5 2
25 7 6 xy z 12
Resolución
Simplificar calculando el producto de los coeficientes y multiplicando las potencias de igual base:
8x4 y 15
3 y3 z5 2
25 7 6 xy z 12
8 15
3 2
25 12
x4 x
yy 3 y 7
z5 z6
21
8 3 25
x 4 1 y1
15 2 12
23 3 5 2 3 5 2 2
2
3 7
z5
6
x5 y11 z11
3
5 5 11 11 x y z 3
Nota: Observar que es conveniente simplificar las fracciones numéricas, antes de efectuar su producto.
Ejercicio
7
Simplificar:
2
a 3 b3 c 4
30 a 3 bc 2
4
3
Resolución
Simplificar calculando el producto de los coeficientes y multiplicando las potencias de igual base: 7
2
a 3 b3 c 4
30 a 3 bc 2
4
3
1 4
30 3
a 3
30 a 3 4 3 2 3 5 2
2
3
7 2
7
a 3
b3
1
2
c4
b3 b c 4 c 2
2
9
a 3 b4 c6
5 9 a 3 b4 c6 2
22
Ejercicio
Simplificar la siguiente expresión:
3
3
4
2
x4
3
y2
2
y5
4
x3
2
Resolución
Ejecutar primero las potencias de potencias, después calcular el producto de los coeficientes y multiplicar las potencias de igual base:
3
4
3
x4
2
3
y2
2
4
y5
2
x3
192 x 24
3
64 x 4
y4
y 20
2 3
y2
2
y5
4
x3
2
x6
192x30 y 24
Nota: Observar que
4
3
4 3 , porque
4
3
4
4
4
64
Ejercicio
Calcular la siguiente expresión:
2 a
2
1
2
5
b
2
1
3
3
2
45 a 2 1 b 2 1
3
2
36
23
Resolución
Ejecutar primero las potencias de un producto, después las potencias de potencias y al final calcular el producto de los coeficientes y multiplicar las potencias de igual base: ( )( )( )
( )
( )( )( )
( )( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
Nota: Observar que es conveniente expresar las fracciones numéricas en potencias de bases primas para simplificar sus productos. Y que para todo número real “a” y cualquier número entero positivo “n” se cumple que: a a
n
n
a n , si “n” es par a n , si “n” es impar
24
Regla para la multiplicación de monomio por polinomio Para multiplicar un monomio por un polinomio se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio, utilizando la propiedad distributiva. Ejercicio Calcular el producto: 8ab 2 2 a 2
7 ab 5
Resolución Multiplicar el monomio por cada término del polinomio: 8ab 2 2 a 2
8ab 2 2 a 2
7 ab 5
16a 3 b 2
8ab 2
56a 2 b3
7 ab
8ab 2
5
40ab 2
Otra alternativa es multiplicar en forma vertical: 2a 2
7 ab 5 8ab 2
16a 3 b 2
56a 2 b3 +40ab 2
Nota: Observar que la propiedad distributiva reduce el proceso a la suma de multiplicaciones de monomios.
Regla para la multiplicación de polinomio por polinomio Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada uno de los términos del primer polinomio por el segundo polinomio, utilizando la propiedad distributiva.
Ejercicio Calcular el producto: 9 x 2
5 xy
7 y2
2 y2
3 xy
x2
Resolución
25
Multiplicar cada término del primer polinomio por el segundo polinomio, con lo que se reduce el proceso a la suma de multiplicaciones de monomios por polinomios: 9x2 2 y2
x2
3 xy
5 xy 2 y 2
3 xy
x2
7 y2 2 y2
3 xy
x2
Ahora ejecutar en cada sumando el producto del monomio por cada término del polinomio, con lo que se reduce el proceso a una suma de productos de monomios: 18 x 2 y 2
27 x 3 y 9 x 4 10 xy 2 15 x 2 y 2
5 x 3 y 14 y 4
21xy 3
7 x2 y2
Reducir los términos semejantes: 9x4
32 x 3 y 10 x 2 y 2
31xy 3 14 y 4
Otra alternativa es multiplicar en forma vertical ordenando los términos de los polinomios en forma descendente respecto al grado de una de sus variables. Escribiendo los polinomios en orden descendente respecto a “x”: 9 x2
5xy 7 y 2
x2
3 xy 2 y 2
9x4
5 x3 y
7x 2 y 2
27x 3 y
15 x 2 y 2
21xy 3
18x 2 y 2 10 xy 3 14 y 4 9x4
32 x 3 y
10 x 2 y 2
31xy 3 14 y 4
Ejercicios Propuestos Ejecutar las siguientes multiplicaciones: 1)
5a 5 b 3 c
2)
18 x 4 yz 3 35
3a 7 c 3
4 3 5 x y 3
12b 5 c 5 d
21 y 2 z 6 16
26
3)
2 bc5
2
2
9 x2 y
3
6)
2 b7 c9 27
3
2
4
2
x3
2 xy 2
6 a2
2
39 3a3
26
4)
5)
3
9 3a3
3
3
b2
2
x3 z
4
3
2
3
y4
x2
2
y
2
20 a 2
3
24
7)
12 a 5 b 4 c 3
8)
4 3 2 x y 5
9)
12 a 2
10)
10 3 x y 3
4
b2
4
2
3
28
3a 2 b
15 8 6 x y 4 5ab
2
3y4 z4
2
4
2b 2
5 2 2 x y 2
4b 2 c 2
2c 3
5 4 3 x y 8 6b 2
1 2 x 6
25 32
7a 2
3ab
15 3 xy 4
7
12 3 xy 5
24 x 2 y 2 12 x3 y
Simplificar las siguientes expresiones:
11)
12)
5 9 x3 3 7a 2
3b
3x 2
4x 6
2x 14 x 2 7
2 4 a 8b 5
a
21 7 x 2 6
2 a 6 a 8b
1 2 x 8 x 12 4 9b 3 a 2
4b
27
2.3 DIVISIÓN DE POLINOMIOS En la división de polinomios se distinguen tres casos: La división de monomio entre monomio. La división de polinomio entre monomio. La división de polinomio entre polinomio. En los tres casos suele ser necesaria la aplicación de las siguientes leyes de los exponentes:
Para cualesquiera números reales “ a
0” y “b
0” y
cualesquiera números
enteros positivos “m” y “n” se cumple que:
Si m
n
Si m
n
Si m
n
a b
n
am bn
am an am an am an
am
n
a0
1 (Cociente de potencias de igual base)
1 a
n m
(Potencia de un cociente)
Y las reglas de los signos de la división: El cociente de dos números de igual signo es positivo y el cociente de dos números de diferente signo es negativo.
Regla para la división de monomio entre monomio Para dividir monomios se calcula el cociente de sus coeficientes numéricos respetando las reglas de los signos y se dividen las potencias de igual base usando las leyes de exponentes. Ejercicio Calcular la siguiente división:
45a 8 b5 c 2 63a 3 b 4 c 6
28
Resolución Simplificar calculando el cociente de los coeficientes los coeficientes y dividiendo las potencias de igual base: 45a 8 b 5 c 2 63a 3 b 4 c 6
a8 a3
45 63
32 5 2
3
7
b5 b4
a8
3
c2 c6
b5
1
4
c
6 2
5a 5 b 7c 4
Nota: Observar que es conveniente expresar la fracción numérica en potencias de bases primas para simplificarla. Y que si “a”, “b” son números reales positivos con b 0, entonces:
a b
a y b
a b
a b
a b
Ejercicio
Ejecutar el siguiente cociente:
15 2 4 3 7 w x y z 8 21 2 2 8 w x y 28
Resolución
Simplificar calculando el cociente de los coeficientes y dividiendo las potencias de igual base: 15 2 4 3 7 w x y z 8 21 2 2 8 w x y 28
15 8
28 21
w2 w2
x4 x2
y3 y8
z7
29
22 7
3 5 3
1 x4
3 7
2
2
1 y8
3
z7
5x2 z 7 2 y5 Nota: Observar que para cualesquiera números reales “ a “d
0 ”, “ b
0 ”, “ c
0” y
0 ” se cumple que:
ac bd
a b
c d
ac b
a
c b
a c b
a b
a
1 1 , tal que “ ” es el recíproco de “b” b b
a b
c d
a b
d d c , tal que “ ” es el recíproco de “ ” c c d
Regla para la división de polinomio entre monomio Para dividir un polinomio entre un monomio se divide cada uno de los términos del polinomio entre el monomio, utilizando la propiedad distributiva, las reglas de los signos y las leyes de exponentes correspondientes.
Ejercicio Calcular el siguiente cociente:
48 x 4 y 2
36 x3 y 3 9 x 2 y 4 12 x 2 y 2
Resolución
Dividir cada término del polinomio entre el monomio:
48 x 4 y 2
36 x3 y 3 9 x 2 y 4 12 x 2 y 2
48 x 4 y 2 12 x 2 y 2 4 x2
3xy
36 x3 y 3 12 x 2 y 2
9 x2 y 4 12 x 2 y 2
3 2 y 4 30
Nota: Observar que la división de un monomio entre un polinomio no es simplificable porque la propiedad distributiva no es aplicable:
a
a b c d
b c d
a b
a c
a d
Ejercicio Verificar en la siguiente expresión numérica que no es aplicable la propiedad distributiva:
120 20 40 30 Resolución
Simultáneamente simplificar la fracción y aplicar la “propiedad distributiva” para mostrar que los resultados son diferentes:
120 20 40 30 120 30
120 120 120 20 40 30 6 3 4
4 5
Algoritmo de la división Un algoritmo es simplemente un procedimiento ordenado de cálculo que se describe paso a paso. Para la división el algoritmo establece:
dividendo divisor
cociente
residuo , si divisor divisor
0
El cual puede expresarse también como:
dividendo
divisor cociente
residuo
Que se utiliza para la comprobación de la división.
31
Si la división no es exacta, el residuo es diferente de cero porque el dividendo no es múltiplo del divisor.
La aplicación sistemática de este algoritmo a la división de dos polinomios se describe en seguida:
Regla para dividir polinomio entre polinomio 1. Ordenar los términos de los polinomios dividendo y divisor en potencias decrecientes respecto al grado de una de sus variables (agregando con coeficiente cero cualquier término de grado intermedio que falte en el dividendo); y se colocan en el lugar que les corresponde de la galera o llave de división. divisor dividendo
2. Dividir el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, y escribir el resultado como el primer término del cociente. 3. Restar del dividendo el resultado de multiplicar el término del cociente por el divisor, para obtener el residuo. 4. Bajar el siguiente término del dividendo como último sumando del residuo. 5. Dividir el primer término de este residuo entre el primer término del divisor, y escribir el resultado como el siguiente término del cociente. 6. Repetir los pasos 3, 4 y 5, hasta que el residuo sea cero o de grado inferior al grado del divisor. 7. Comprobar la solución verificando que el dividendo sea igual al divisor por el cociente más el residuo. Ejercicio Dividir: 4 x3
9 x 4 entre 3 2x
Resolución
32
1. Escribir los polinomios dividendo y divisor en la galera o llave de división en orden decreciente respecto al grado de la variable, agregando en caso necesario con coeficiente cero los términos de grado intermedio que falten en el dividendo:
2 x 3 4 x3
0x2
9x
4
2. Dividir el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, para obtener el primer término del cociente.
2 x2 2 x 3 4 x3 0 x 2
Calcular
4 x3
2x
9x 4
3. Restar del dividendo el resultado de multiplicar el término del cociente por el divisor, para obtener el primer residuo. 2x2 2 x 3 4 x3
0x2
4 x3
6x2
Restar 2 x 2
6x2
Primer residuo
9x 4
2x 3
4. Bajar el siguiente término del dividendo como último sumando del residuo. 2x2 2 x 3 4 x3
0x2
4 x3
6x2 6x2
9x 4 9x
Bajar 9 x
5. Dividir el primer término de este residuo entre el primer término del divisor, para obtener el segundo término del cociente.
Restar 6 x 2
2x
33
2 x 2 3x 2 x 3 4 x3 0 x 2 4x
3
6x
9x 4
2
6x2
9x
6. Restar del residuo parcial el resultado de multiplicar el segundo término del cociente por el divisor, para obtener el segundo residuo.
2 x 2 3x 2 x 3 4 x3 0 x 2 4x
3
6x
9x 4
2
6x2
9x
2
9x
Restar
0x 4
Segundo residuo
6x
3x
2x 3
El grado del residuo “– 4” es cero y es menor que el grado uno del divisor “ 3 2x ”, así que el proceso de la división ha terminado.
7. Comprobar la solución verificando que el dividendo sea igual al divisor por el cociente más el residuo. 2x 3 2 x2
4 x3
6x2
3x
4
4 x3
9x
4
6x2
9x 4
4 x3
9x 4
4 x3
9x 4
4 x3
9x 4
34
Ejercicio Dividir:
21 5a 3b
2
2 5a 3b
8
7 5a 3b
4
Resolución Ejecutar un cambio de variable para simplificar la división: Sea z
5a 3b , entonces la división es: 21z 2
2z 8
7z
4
1. Escribir los polinomios dividendo y divisor en la galera o llave de división en orden decreciente respecto al grado de la variable, agregando en caso necesario con coeficiente cero los términos de grado intermedio que falten en el dividendo:
7z
4 21z 2
2z 8
2. Dividir el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, para obtener el primer término del cociente. 3z 7 z 4 21z 2
Calcular 21z 2
7z
2z 8
3. Restar del dividendo el resultado de multiplicar el término del cociente por el divisor, para obtener el primer residuo.
3z 7 z 4 21z 2
2z 8
21z 2 12 z 14 z
Restar 3 z 7 z 4 Primer residuo
35
4. Bajar el siguiente término del dividendo como último sumando del residuo.
3z 7 z 4 21z 2
2z 8
21z 2 12 z
Bajar
14 z 8
8
5. Dividir el primer término de este residuo entre el primer término del divisor, para obtener el segundo término del cociente.
3z 7 z 4 21z 2
Calcular 14 z 7 z
2 2z 8
21z 2 12 z 14 z 8
6. Restar del residuo parcial el resultado de multiplicar el segundo término del cociente por el divisor, para obtener el segundo residuo.
3z 7 z 4 21z 2
2 2z 8
21z 2 12 z 14 z 8 Restar 2 7 z 4
14 z 8 0
Segundo residuo
7. Comprobar la solución verificando que el dividendo sea igual al divisor por el cociente más el residuo.
7 z 4 3z 2
21z 2 14 z 12 z 8
21z 2
2z 8
21z 2
0
21z 2
21z 2
2z 8 2z 8
2z 8
36
8. Obtener la solución de la división sustituyendo el valor de “z”: Si 21z 2
2z 8
21 5a 3b
2
7z
4
2 5a 3b
2 y z
3z
8
5a 3b , entonces:
7 5a 3b
4
3 5a 3b
2
Ejercicio Dividir: 15a 5 b 14a 4 b 2
51a 3b3
30a 2 b 4
32ab5
48b6 entre 6b3
ab 2
2a 2 b 5a 3
Resolución Ordenar los polinomios en forma descendente respecto al grado de la variable “a” y efectuar la división:
5a 3
2a 2 b ab 2
6b3
3a 2 b 4ab 2 15a 5 b 14a 4 b 2 15a 5 b
8b3 51a 3 b3 30a 2 b 4
6a 4 b 2
3a 3 b3 18a 2 b 4
20a 4 b 2
48a 3 b3 12a 2 b 4
20a 4 b 2
8a 3 b3
32ab5
48b6
32ab5
4a 2 b 4
24ab5
40a 3 b3 16a 2 b 4
8ab5
48b6
40a 3 b3 16a 2 b 4
8ab5
48b6 0
Comprobar la solución verificando que el dividendo sea igual al divisor por el cociente más el residuo. 5a 3 15a 5 b
2a 2 b
ab 2
6b3
3a 2 b 4ab 2
8b3
6a 4 b 2 20a 4 b 2
15a 5 b 14a 4 b 2
3a 3 b3 18a 2 b 4 8a 3 b3
4a 2 b 4
24ab5
40a 3b3 16a 2 b 4
8ab5
48b6
32ab5
48b6
51a 3b3
30a 2 b 4
Se ha verificado que la solución es correcta.
37
Ejercicios Propuestos Efectuar las siguientes divisiones: 1)
42 x 6 y 3 z 8 54 x 2 y 5 z 6
2)
35 5 2 6 ab c 18 10 2 4 3 abc 27 2
3
3 a b2
3
c7 d 5
28
3) 12 a b
2 4
c4 d 3
5
35
4)
5)
6)
20 7 3 x y 9
5 5 6 x y 18 5 3 3 x y 54
1 3 9 x y 27
5ab 3 3a 3 b a 4 3b 4 b 2 2ab a 2
2 5x 2 y
2
5 5x 2 y
2 5x 2 y
12
3
38
CAPÍTULO 3
PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN
Al final del Capítulo se espera que el alumno alcance los siguientes objetivos: Objetivos
Nivel Taxonómico
DESARROLLARÁ EL CUADRADO Y EL CUBO DE UN BINOMIO EXPRESARÁ UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO COMO EL PRODUCTO DE DOS BINOMIOS IGUALES IDENTIFICARÁ TRINOMIOS QUE PUEDEN EXPRESARSE COMO EL PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CON UN TÉRMINO COMÚN 2 EXPRESARÁ UN TRINOMIO DE LA FORMA a x + b x + c COMO EL PRODUCTO DE DOS BINOMIOS IDENTIFICARÁ EL PRODUCTO DE BINOMIOS CONJUGADOS COMO UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS EXPRESARÁ LA DIFERENCIA DE CUADRADOS COMO EL PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CONJUGADOS OPERARÁ CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS CUYA FACTORIZACIÓN POR AGRUPACIÓN ES IGUAL AL PRODUCTO DE DOS O MÁS FACTORES IDENTIFICARÁ TÉRMINOS SEMEJANTES PARA REDUCIR UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA ELIMINARÁ SÍMBOLOS DE AGRUPAMIENTO EN EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Aplicación Aplicación Aplicación Aplicación Conocimiento Aplicación Aplicación Comprensión Comprensión
3.1 PRODUCTOS NOTABLES Los Productos Notables son un conjunto de reglas cuya aplicación simplifica la obtención de algunos productos algebraicos.
Cuadrado de la suma de dos monomios Elevar al cuadrado
a b equivale a multiplicar este binomio por sí mismo y
tendremos: a
2
b
a2
2 ab b 2
Demostración: a
b
2
a b a b
a2
ab
ab b 2
a2
2 ab b 2
Regla con palabras:
El cuadrado de la suma de dos términos es igual al cuadrado del primer término más el doble producto de ambos términos más el cuadrado del segundo término.
Ejercicio
3x 5
2
39
a) El cuadrado del primer término es: 3x 3x
9 x2
b) El doble producto de ambos términos es: 2 3x 5 c) El cuadrado del segundo término es: 5 5
Entonces:
3x 5
2
9x2
30 x
6x 5
30 x
25
25
Cuadrado de la diferencia de dos monomios Elevar
a b
al cuadrado equivale a multiplicar esta diferencia por sí misma,
luego:
a b
2
a2
2 ab b 2
Demostración:
a b
2
a b a b
a2
ab
ab b 2
a2
2 ab b 2
Regla con palabras:
El cuadrado de la diferencia de dos términos es igual al cuadrado del primer término menos el doble producto de ambos términos más el cuadrado del segundo término.
Ejercicio
2x 7 y2
2
a) El cuadrado del primer término es: 2 x 2 x
4 x2
b) El doble producto de ambos términos es: 2 2 x 7 y 2
4x 7 y2
28 xy 2
40
c) El cuadrado del segundo término es:
Entonces:
2x 7 y2
2
4 x2
28 xy 2
7 y2
7 y2
49 y 4
49 y 4
41
Ejercicios del cuadrado de un binomio 1) (9ab 2
5a 2 b 3 ) 2
(9ab 2 ) 2
81a 2 b 4
2)
5 3 x 6
3 2 xy 5
2
3)
4a 2 7b
2
a3 8
a6 64
4)
3 6 a 8
4a 2 9b5
2
2
2
a3 2 8
9a12 64
3 2 xy 5
9 2 4 x y 25
25 6 x 36
a6 64
3 2 a6 8
a8 3b 5
3 2 xy 5
4a 2 7b
16 a 4 49b 2
2
25a 4 b 6
5 3 x 6
30 4 2 x y 30
8a 5 56b
3 6 a 8
90a 3 b 5
2
5 3 x 6
25 6 x 36
a3 8
2(9ab 2 )(5a 2 b 3 ) (5a 2 b 3 ) 2
4a 2 7b
a5 7b
4a 2 9b5
2
x4 y 2
9 2 4 x y 25
2
16 a 4 49b 2
4a 2 9b5
2
9 12 a 64
24a8 72b5
16a 4 81b10
16a 4 81b10
42
Producto de la suma por la diferencia de dos monomios Sea el producto a b a b :
a b a b
a2
b2
a2
ab ab b 2
Demostración:
a b a b
a2
b2
Regla con palabras:
La suma de dos términos multiplicada por su diferencia es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término.
Ejercicio
3x 5 y 3x 5 y
a) El cuadrado del primer término es:
b) El cuadrado del segundo término es:
Entonces:
3x 5 y 3x 5 y
9x2
3x 3x
5y 5y
9 x2
25 y 2
25 y 2
43
Cubo de un binomio 1)
a b
3
a3
3a 2 b 3ab 2
b3
Demostración: a
b
3
a
a3
b
2
a
a2
b
3a 2 b 3ab 2
2 ab
b2
a
a3
b
a2b
2a 2 b
2 ab 2
ab 2
b3
b3
Regla con palabras:
El cubo de la suma de dos términos es igual al cubo del primer término más el triple del cuadrado del primer término por el segundo término más el triple del primer término por el cuadrado del segundo término más el cubo del segundo término. Ejercicio
2x
6y
3
2x
3
3 2x
2
6y
3 2x 6 y
2
a) El cubo del primer término es:
6y
3
2x 2x 2x
8 x3
b) El triple del cuadrado del primer término por el segundo término es: 3 2x 2x 6 y
6x 2x 6 y
12 x 2
6y
72 x 2 y
c) El triple del primer término por el cuadrado del segundo término es:
3 2x 6 y 6 y
6x 6x 6 y
36 xy 6 y
d) El cubo del segundo término es:
Entonces:
2x
6y
3
8 x3
72 x 2 y
216 xy 2
216 xy 2
6y 6y 6y
216 y 3
216 y 3
44
2)
a b
3
a3
3a 2 b 3ab 2
b3
Demostración: a
b
3
a
a3
2
b
a
a2
b
3a 2 b 3ab 2
b2
2 ab
a
a3
b
a 2b
2a 2 b
2 ab 2
ab 2
b3
b3
Regla con palabras:
El cubo de la diferencia de dos términos es igual al cubo del primer término menos el triple del cuadrado del primer término por el segundo término más el triple del primer término por el cuadrado del segundo término menos el cubo del segundo término.
Ejercicio
7x
y
3
7x
3
3 7x
2
y
3 7x
y
2
y
a) El cubo del primer término es:
3
7x 7x 7x
343 x3
b) El triple del cuadrado del primer término por el segundo término es: 3 7x 7x
y
21x 7 x
y
147 x 2
147 x 2 y
y
c) El triple del primer término por el cuadrado del segundo término es:
3 7x y
y
21x y
y
21xy
d) El cubo del segundo término es:
Entonces:
7x
y
3
343 x 3 147 x 2 y
21xy 2
21xy 2
y y
y
y
y3
y3
45
Ejercicios del cubo de un binomio
1)
2a
2)
7a 4
3b
3
2a
3
3
5a 2 b3
2
3 2a
7a 4
3
3 2 a 4
4 2 b 5
3
3 2 a 4 27 a 6 64
4)
5)
5a 2 b 3 4 b 6 10
x 2y
3y x2
3
3
x 2y x3 8 y3
2
5a 2 b3
735a10 b3
3
3
3 2 a 4
108a 4 b 2 80
5a 2 b 6
3 2 a 3b
3 7a 4
343a12
3)
3b
3
2
125a 6 b 3 216
225a 4 b 6 360
125a 6 b3 216
25a 4 b 6 40
3
x 3 2y 9 x2 y 4 x2 y 2
2
3y x2
27 xy 2 2 x4 y
3
3b
8a 3
3 7 a 4 5a 2 b3
36 a 2 b 54 ab 2
2
5a 2 b 3
27b 3
3
525a8 b6 125a 6 b9
4 2 b 5
144a 2 b 4 100
5a 2 b 3 6
2
2
3 2 a 4
3
4 2 b 5
64b 6 125
27 a 6 64
135a 2 b 9 600
27b12 1000
x 3 2y
3y x2 x3 8 y3
3 4 b 10
2
3
36a 2 b 4 25
3 4 b 10
64b 6 125
3
27b12 1000
9a 2 b 9 40
27 y 3 x6
4 2 b 5
27 a 4 b 2 20
5a 2 b 3 6
3 4 b 10
2
2
3y x2 9 4y
3
27 y 2 x3
27 y 3 x6
46
Producto de dos binomios de la forma x a x b El resultado de multiplicar x a x b es:
x2
x a x b
a b x ab
Regla con palabras: El producto de dos binomios que tienen un término común, es igual al cuadrado del término común, más la suma de los términos no comunes multiplicada por el término común, más el producto de los términos no comunes. Ejercicio x
2 x
6
x
2
2 6 x
2 6
1) El primer término del producto es el producto de los primeros términos de
x2
los binomios: x x
2) El coeficiente del segundo término del producto es la suma algebraica de los segundos términos de los binomios y en este término la x está elevada a un exponente que es la mitad del que tiene esta letra en el primer término del producto: 2 6 x
8x
3) El tercer término del producto es el producto de los segundos términos de los binomios: 2 6
12
x2
Entonces x 2 x 6
8 x 12
Ejercicios de producto de dos binomios con un término común 1)
x 3 x 5
2)
2x 2 2x 3
3)
4 xy
2 a 4 xy
x2
3 5 x 4 x2
3b
3
5
2 3 2x 4 xy
2
16 x 2 y 2
x2
2 3
2 x 15 4 x 2 10 x 6
2 a 3b 4 xy
2 a 3b
8a 12b xy 6ab
47
4)
2
16 x
4
16 x
2
16 x
4 2
16 x 8 x
16 x
4
2
16 x
2 16 x
8
8
Efectuar los siguientes productos:
bx
1 2
ax
2)
m n m n
m2
3)
2x
y
y
z
ax
2
1)
2x
2 ax bx
1
bx
1 2
a2x
2a x b x
1
z
4 x2
b2 x
2
n2 z
2x
y
4x 2
y2
z
2x
y
2 yz z 2
4x 2
y2
y
z
2
2 yz z 2
Diferencia de cuadrados Ejercicios 1) (2 y a )(2 y a ) 2) ( x
7 a )( x
3) ( 4 4 x 2
4 y2
x 49a 2
7a)
8)( 4 4 x 2
a2
8)
4) (3a 2 b 2 x)(3a 2 b 2 x)
4x2
64
9a 4 b 2
2 x 64
4x 2
Producto de dos binomios con un término común Ejercicios 1) ( x 3)( x 5)
x2
2) (2 x 2)(2 x 3)
2 x 15 4 x 2 10 x 6
3) (4 xy 2a )(4 xy 3b) 16 x 2 y 2
(2a 3b)(4 xy ) (2a )(3b) 16 x 2 y 2
4) ( 25 x
2 25 x
6)( 25 x
4)
25 x
8 16 x 10 x
(8a 12b) xy 6ab
24
48
Desarrollar: 1) (m 3) 2
m2
2) (3a 3
8b 4 ) 2
3) ( x n
y m 2 )2
1
4) (a x
6) (10 x 3
9a 6
b x 1)2
5) (2a 3b) 2
6m 9 48a 3 b 4
x 2n
2
a 2x
2( x n 1 y m 2 )
2a x b x
1
4a 2 12ab
9 xy 5 ) 2
64b 8
b2x
m2
n2
a2 )
x4
8) ( x 2
a 2 )( x 2
9) (3 x n
5 y m )(5 y m
9b 2 81x 2 y 10
a4
3x n )
9 x 2n
25 y 2 m
10) (2a b c)( 2a b c)
4a 2
4ab b 2
11) (2 x
y
4x 2
(y
12) (2a
x) 3
z )(2 x
y
z)
8a 3 12a 2 x 6ax 2 x2
13) ( x 2)( x 4) 5)( a 2
15) (m 2
m n)(n m m 2 )
16) (a 3 12)( a 3 15)
a4
a6
4a 2
7)( a 6
9)
z) 2
x3
a 12
45 m4
2m 2 n n 2
m2
3a 3 180
17) (a 2)(a 3)(a 2)(a 3) 18) (a 6
c2
6x 8
14) (a 2
9)
4
2
100 x 6 180 x 4 y 5
7) (m n)(m n)
y 2m
2a 6
a 4 13a 2
36
63
49
3.2 FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO DE LA FORMA ax 2 bx c Ejercicios de factorización de trinomios de la forma ax 2 bx c : 1) 6 x
2
19 x 15
6 6 x 2 19 x 15
6x
4x
11x 20
3)
2 2x
4)
2
5)
8x
4x
2
3x
2 xy
4
y
3
2
4x
2
2 2 x2
3x 2
10 x y 4 x y
2
4 x 16 4 x 5 4
2x
2
3 2x
2
2 xy
y2
8x
4
2
2
2 y 8x
8
2
80
4
3x 2
8 8x2
6
11 4 x
4
2x
6 x 9 6 x 10
2 x 3 3x 5
4 4 x 2 11x 20
2
90
6
6
2)
19 6 x
6
3 2 x 3 2 3x 5
2
2
8 y2
8x 4 y 8x 2 y
8
4 4 x 4 10 x3 y 4 x 2 y 2
8
4x2
2
10 xy 4 x 2
4 4x
2
8 xy 4 x
4 2
2 xy
4
2x
2
16 x 2 y 2
x 2 y 2x
4x x 2 y 2x 2x
y
4
y
50
Ejercicios Propuestos de factorización de trinomios de la forma ax 2
bx c
1)
2 x 2 11x 12
2)
12 x 2
3)
8 x 2 10 xy 3 y 2
4)
2x 2
3 xy 5 y 2
5)
3x 4
2 x 3 y 3x 2 y 2
7x 1
3.2.1 FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS CUADRADOS PERFECTOS Expresar los siguientes trinomios cuadrados perfectos como el producto de dos binomios iguales.
1)
x2
10 x
25
x2
2 x 5
5
2)
x2
12 x 36
x2
2 x 6
6
3) 4 x 2 12 x 9 4) 25 x 2 5) 4 x 2 6)
9x2
7) 4 a 2
2x
40 x 16 4 xy
y2
2
2
2
36 y 2
3x
32 ab 64b 2
2a
36 xy
x 5
2
2 2x 3
5x 2x
2
x 6 2
3
2 5x 4 2 2x 2
2
y
4 y
2
x 5 x 5
2
x 6 x 6
2x 3 2
2
2
5x
4
2x
y
2 3x 6 y
6y
2 2 a 8b
8b
2
2
2x 3 2x 3 2
2
5x
4 5x
4
2x
y 2x
y
2
3x 6 y 2 a 8b
2
3x 6 y 3x 6 y 2 a 8b 2 a 8b
51
8) 9a 4 12a 2 b 2
4b4
3a 2
2
3a 2
9) 25m4 10m2 n 2
n4
5m2
2 3a 2 2b 2 2
5m 2
10)
9a 6
24a 3b 2 16b 4
3a 3 3a 3
3a 2
2b 2
2 5m2
n2
5m 2
n2
n2 2
2b 2
2 3a 3 4b 2
3a 3
4b 2
2b2
2
3a 2
2b 2
n2
2
5m2
n2
4b 2
2
3a 3
2
2
4b 2
2
4b 2
Ejercicios Propuestos Expresar los siguientes trinomios cuadrados perfectos como el producto de dos binomios iguales. 1)
x 2 18 x 81
2)
4 x 2 16 x 16
3)
25 x 2
80 x 64
4)
9x 2
60 x 100
5)
x2
6)
4x 2
7)
16 x 2
8)
4x2
9)
16 x 6
10)
8 xy 16 y 2
36 x 8
28 xy
49 y 2
24 xy 9 y 2 20 xy 2
25 y 4
8x 3 y 3 24 x 4 y 2
y6 4y4
52
3.3 FACTORIZACIÓN POR AGRUPACIÓN Ejercicios Resueltos de factorización por agrupación: 1) 2 x mx 2 y my
2) 2mx 2nx my ny
(2 x mx) ( 2 y my )
(2mx my ) (2nx ny )
x(2 m)
y (2 m)
(2 m)( x
m(2 x
y ) n(2 x
y)
y)
(2 x y )(m n) 3) a 2
b2
a b
a b a b
a b
a b a b
1 a b
a b a b 1
4) 4 x 2
9a 2
6ab b 2
5) 25b 2 10b 1 9 x 2
4x2
9a 2
4x2
3a b
5b
2
5b 1
6 ab b 2 2
2x
2 5b 1 2
3x
2
1
4 x2 2
2
3a b
9x2
3a 2
2
2 3a b
b
2
2 x 3a b 2 x 3a
5b 1
2
b
9 x2
5b 1 3 x 5b 1 3 x
53
Ejercicios Propuestos Factorizar por agrupación las siguientes expresiones: 1)
ab 5b 2a 10
2)
2ab 6a 2b 6
3)
m2
4)
16 x 2
5)
4x 2
mn m n
4a 2
4 xy
4ab b 2
y2
49a 2
70ab 25b 2
54
CAPÍTULO 4 OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS Al final del Capítulo se espera que el alumno alcance los siguientes objetivos Objetivos
Nivel Taxonómico
REALIZARÁ OPERACIONES DE ADICIÓN Y MUTIPLICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS QUE TENGAN DOS O TRES VARIABLES CALCULARÁ EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS REALIZARÁ ADICIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS EFECTUARÁ LA MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS OBTENDRÁ LA DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS HASTA SU MÍNIMA EXPRESIÓN IDENTIFICARÁ UNA FRACCIÓN COMPUESTA SIMPLIFICARÁ FRACCIONES COMPUESTAS
Aplicación Aplicación Aplicación Aplicación Aplicación Conocimiento Aplicación
4.1 MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO El mínimo común múltiplo ( m.c.m. ) de dos o más expresiones algebraicas es la expresión algebraica de menor coeficiente entero
y de menor grado
que es
divisible entre cada expresión algebraica.
Para determinar el m.c.m. de dos o más expresiones algebraicas, se multiplican todos los factores primos constantes y literales diferentes de las expresiones algebraicas, considerando cada factor con su máximo exponente.
Ejercicios Obtener el m.c.m. de: a) 15 x 2 y 2 z 3
y
18 2
15 3 5 5
9 3 3 3
1
1
15 x 2 y 2 z 3
(3)(5) x 2 y 2 z 3
Factores primos: m.c.m.
18 x 2 y 5
18 x 2 y 5
(2)(3) 2 x 2 y 5
2,3,5, x, y, z
(2)(32 )(5) x 2 y 5 z 3
55
m.c.m. 90 x 2 y 5 z 3
b) 9x5 ,
9 x5
4x 4
(32 ) x5
4x 4
(32 )( x 1)
4( x 1)
Factores primos: 2,3, x, x 1 m.c.m.
(22 )(32 ) x 5 ( x 1)
m.c.m. 36 x5 ( x 1)
c) 20a 4 , 20a 4
15a 3 10a 2 ,
30a8
15a 3 10a 2
(22 )(5)a 4
5a 2 (3a 2)
30a 8
(2)(3)(5)a 8
Factores primos: 2,3,5, a,3a 2 m.c.m.
(2 2 )(3)(5) a 8 (3a
m.c.m.
60a 8 (3a
2)
d) 16a 3b 2 , 2a 2 16a 3 b 2 2a 2
2)
5a 3 , 16a 2b 8b 4
(2 4 ) a 3 b 2
5a 3
16a 2 b 8b 4
(2a 1)(a 3) 8b(2a 2
b3 )
(23 )(b)(2a 2
Factores primos: 2, a, b, 2a 1, a 3, 2a 2
b3 ) b3
56
m.c.m.
(2 4 ) a 3
b 2 ( a 3)(2 a 1)(2 a 2
m.c.m. 16a 3 b 2 (a 3)(2a 1)(2a 2
b3 )
b3 )
57
4.2 ADICIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
1)
4 8ab3
2)
1 3 xy 2
5 4b 4
4b 10a 8ab 4
y 1 2y
2
2 3 xy
y
y 1
y2
3x x
2
y
3y x y
2
3x y x
x
4)
y2 y2
x2 x2
x2
y2 y2
y2 x2
2 x4 x2
5)
x x
2
4 x 4
16
y2
y
2
x 4
x
xy
y2
x
y x
y
x2
y2
x2
x
y
x4
2 x2 y 2 x2
y4
x4
2x2 y2
y 2 ( x2
y4
y2 )
2( x 4 y 4 ) x4 y 4
y2
2
y
2
y2
2 y4 x2
y x
3 x
x 4 x 4
4
3x 3 y x
3y x y
y2
2 3 xy 2 9 xy 12 x 6 xy 2
3xy 12 x 6 xy 6 xy 2
3 x 3 xy 3 y 2 x y x y
x2 x2
y
6 xy 2
2 3 xy 2
3)
6x 2
4 x 4
x 4 x 16 4 x 16 x 2 16
16
9x x 16 2
4.3 SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
1)
y2 2
x y
2
y
3
1 x2
y2 y2 x2
y
1 x2
x2 y2
x2 y2
x2 y 2 x2
y3 y
y3 x2 y 2 x2
y y
x2 x2
y
58
2)
3 a
2 a
2
a a
a 5 a a3
2
3 a 1 a
2 a 1 a
a 5 a 1 a2
3 a 1 a
2 a 1 a
a 5 a 1 a 1 a
31 a
2 1 a
a 5
3 3a 2 2a a 5 a 1 a 1 a
a 1 a 1 a 6 1 a
6 6a a 1 a 1 a
3)
2 x
2
2 4
x
2
2 x
2x
2x 2x 4 x x 2 x 2
4)
cx x
2
xy
c x
c x
y
cx x x y
a 1 a 1 a
2x 2 x 2
2 x x 2
2 x 2
c x
6 a 1 a
x x 2 x 2 4
( x
2 x 2
c x
cx cx cy cx x x y
4 x x
cx c x
y
x x
y
y cy cx x x y
2
4
cx
c x
y
x x
y
c x
5) a 7 2 a 5a 6
a 1 2 a 3a 2
a 7 a 2 a 3
a2
a 7a 7
a 1 a 2 a 1
a2
3a a 3
a 7 a 1 a
a2
a 2 a 3 a 1
a
6a 10 2 a 3 a 1
a 1 a 3
2 a 3 a 1
8a 7 a 2 3a a 3 a 2 a 3 a 1
2 3a 5 a
2 a 3 a 1
59
6)
2x x 1
2 2
4x 4
x 1
x 1
2x x 1
2 x 1
3
2x2
x 1
2x 2 x2
2x 1
x 1
2x 2
2 x 1
3
3
x 1
x 1
2
4x 4
3
4x 4
2x2
2x 2x2
3
4x 2 4x 4
x 1
3
2 x 1
2
4.4 MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES Para multiplicar fracciones se multiplican los numeradores y denominadores. Se utilizan las mismas reglas que con fracciones comunes
a c b d
ac bd
Efectuar las siguientes operaciones:
1)
x 2 x 1
x 1 x 1
2)
x 3 x 1 2x x 2
3)
a2 b 2a a b 3a b
4)
2a 1 b b a b
5)
2x 2 y 2 y 1 2y 2
x
2 x 1
x 2 x 1
x 1 x 1 x2 2x 3 2x2 4x
2a 3 2ab 3a 2 ab 3ab b 2
b 2a 1 b a b
2a 1 a b
2 x 1 y y 1 2
2a 3 2ab 3a 2 b 2 4ab
2 y 1
x 1 y y
2
1
2
xy
2x y y2 1
2
60
6)
x y2
7)
y 2 y 1
8)
z2 2z
9)
2a b 3a 2 3b 3a b
z 2
b (a 2) x 2a
2
y
2y 1 y
z 1 z
z2 z
2z 2
z z 1 z 1 2 z 1 z
z
b
2a b a 2
3ab b a 2 b 2ab ab
3
3y y
2
z 1 2
2a b 3 a 2
z z
z 1 z 3
y2
y 1 y 1 y 1 y
2a
10)
2
ab
b
2a 3
2ab a 2 b b 2 ab
2
2 z 1 2 z 3
z z 1 z 3
z2 z z 3
Ejercicios Propuestos Efectuar las siguientes operaciones:
1)
2x 1 x2 x 2
2)
x 2 x 1 3x 1 x2
3)
4)
a2
4x x
2ab b 2 2a b
4
2ab a b
2a 2b ab 2 a b b ab
61
5)
3z 2 z 2
6)
x 2 x2 3x x 1 x2 1
7)
x2
z z 1
3x 1 x 1 x 1 3x
8)
xz xy z2 y
y x
9)
4ac 2ab a b a b a
10)
3zb 6b b 1 b 1 b
4.5 DIVISIÓN DE FRACCIONES Se aplica la regla del emparedado. El producto de extremos entre el producto de los medios, en otras palabras, se multiplica la fracción dividendo por la inversa de la fracción divisor. a b c d
a d
ó
b c
a b
c d
ad bc
Ejercicios Resueltos Efectuar las siguientes operaciones: x2
1)
7x 1 x 2 2 x 7x 1 x 3
x 3 x2
7x 1
2
7x 1
x 2 x
x 3 x 2
62
2)
3)
x x2
2a 3 a 3
x
x 2 x 1
5)
z3
2
7)
8)
x2 x x 2
x 1 x3 1
2a 3 a 3 a 3
a b
a b 2a 2
z 1 z z z
b b 2 1 a 2
x 1 x
xx x 2
2
2 z
x x2
2a 2
2
z2
2
1 a 2ab 4b 2 b b 2 b 2
x
x 2 x 3
x3 x2
b2
2a 2 2b 2 2a 2 b 2
z 1 z
2
2 a b a b
b2
x3 2 x 2 x3 1
2a 3
a 3 a 3
x x 2 x 1
2 a b
z z2
x 3 x
9
x 2
4ab 2b 2 a b 2a 2 b 2 a b
2ab 4b b 2
x x x 1 x 2
x 1 x3 1
2x x 1 x
z2 z z 2 z 2 z 4
x x 2
a 3 a 3
x2
2
x x2
2a 3 a 2
a 3 a2 9
2x
2a 2
6)
x3 1 x 2
x 1
x2
4)
x
a 2 b 2ab b b 2 b 2
b a2
2a
b b 2 b 2
a 2 2a b2 4
x2 5x 6
63
9)
10)
x 3 x2
x3
3x 2 x
abc 2a 2 b ab
x x 3 x
a b c2
2
x
3
x x 3
3x
2
x
4
abc 2a 2 b c 2 ab a b
x 3
1 x3
abc 2 c 2a
c 2 c 2a
ab a b
a b
c3
2ac 2 a b
Ejercicios Propuestos Efectuar las siguientes operaciones:
1)
2)
3)
4)
5)
x 1 x2
2x 1
x 2 x2
2x 4 2x 2
x 1 x2
4
x x 3 x2
ab ab 2 a b b2 b a zxy
2 xz xy
x3
2x 1 x 2
6)
abc 2ab 3b
7)
3 x 2 27 x 3
2 xz 3z
x 2 x 1
4ab 2ac
x 3 x2
64
8)
9)
a3
3ab b 2a 2b
x 3 2x
x 2 x 1
x 2 x2 1
10)
a b 2b
x 1 x 1
4.6 FRACCIONES COMPLEJAS 1 x 1 x
1 1)
1 1
x 1 x 1 x 1 x 1 x
1 x
x x 2
x x 2
x y
2)
x
y
x
1
y
y x x x
y
1
x x
x x x
y
y
x
y y y
y
x
x x x
x 1 x x 1 1 x 1
x 1 x x 2 x 1
2
x 1
x
x
x 1 x 1 1 x 1
x 1 x 1
y
x
x 1 x x 1 x x 1
y x
x x y y x y x y y
y
y
y x x y
y x
x
x
x
y y
x
y x y
x x y x
y
x y
x
y
y
x
65
Ejercicios Propuestos 1) Obtener el mínimo común múltiplo de: a)
x2 y ,
8 xy , 16 x 3 y 2
b) 20abc 3 , 50a 2 b , 60b 2 c 4 2
c) 15 x 1 , 3 x 1 , 25 x 1 x 2 2) Realizar las siguientes operaciones: a)
b)
c)
d)
e)
3 a
2
2
4a
3 3y
y
2
4
x 5
5 x
6 a
2
1
1
4
3 y 3y
2
a
2
x 3 x x 2
x 1
x 1
y 9 3y
8 2a 1
2
1
f)
a
2
x 1 x 2x 1 2
x 1
x 1
x
x 1
1 x
66
CAPÍTULO 5
RAZONES Y PROPORCIONES
Al final del Capítulo se espera que el alumno alcance los siguientes objetivos Objetivos
Nivel Taxonómico
DEFINIRÁ LOS CONCEPTOS DE RAZÓN Y PROPORCIÓN DEFINIRÁ EL CONCEPTO DE PROPORCIÓN DIRECTA DEFINIRÁ EL CONCEPTO DE PROPORCIÓN INVERSA DEFINIRÁ EL CONCEPTO DE VARIACIÓN LINEAL EFECTUARÁ EJERCICIOS DE PROPORCIÓN DIRECTA E INVERSA
Conocimiento Conocimiento Conocimiento Conocimiento Aplicación
5.1 RAZÓN Una razón es el cociente indicado entre dos números y se representa como una fracción o mediante dos puntos. Por ejemplo la razón entre el par de números 3 y 7 se escribe como:
3 ó 3: 7 7 y se lee “tres es a siete” Las razones pueden ser utilizadas para comparar dos cantidades de la misma especie, tales como: dos estaturas, dos velocidades, dos edades, etc., y para ello las cantidades deben expresarse en las mismas unidades. Si a y b son cantidades de la misma especie expresadas en la misma unidad, la a razón es un número adimensional que indica qué tan grande o tan pequeña es b la cantidad a comparada con la cantidad b . Ejercicio Obtener la razón entre la estatura de Javier que mide 1.40 metros y la sombra de 40 centímetros que proyecta en un momento dado. Resolución Se escriben las cantidades en la misma unidad, por ejemplo en centímetros: Estatura de Javier = 140 cm. Sombra proyectada = 40 cm.
67
Ahora se escribe el cociente y se simplifica:
140 40
7 2
7 7 y significa que la estatura de Javier es la medida de su 2 2 sombra proyectada en un momento dado. Con frecuencia también se expresan razones entre cantidades de diferente Entonces la razón es
especie tales como: la velocidad que es la razón de la distancia recorrida por un objeto entre el tiempo empleado en recorrerla; la densidad que se define como la razón de la masa de una cierta cantidad de sustancia entre su volumen; el precio de un producto que es la razón del costo total entre el número de unidades del producto, etc. Así entonces:
a es un número que indica b la cantidad de unidades de a correspondiente a una unidad de b . Si a y b son cantidades de distinta especie, la razón
Ejercicio
Si 300 centímetros cúbicos de aluminio tienen una masa de 810 gramos, encontrar la densidad del aluminio en kg/m3. Resolución
Se obtiene la masa en kilogramos, sabiendo que 1 gr = 0.001 Kg: 810 gr = 810(0.001 Kg) = 0.81 Kg Se obtiene el volumen en metros cúbicos, sabiendo que 1 cm3 = 1 300 cm3 = 300(1 10-6 m3) = 0.0003 m3
10-6 m3
Se escribe la razón de la masa entre el volumen y se simplifica: 0.81 Kg 2700 Kg/m3 3 0.0003 m
68
Entonces la densidad del aluminio es de 2700 Kg/m3 y significa que cada metro cúbico de aluminio tiene una masa de 2700 Kilogramos.
a es la razón entre el par de números a y b tal que b b a se llama antecedente y el número b consecuente.
En general,
0. El número
Ejercicio Una herencia de $500 000 se reparte entre dos hermanos, de tal forma que uno de 2 ellos recibe de lo que recibe el otro. ¿Cuánto recibe cada hermano? 3 Resolución Se suman los términos de la razón (antecedente y consecuente): 2 3 5 Se divide la herencia entre la suma obtenida: 500 000 5 100 000 Se multiplica cada término de la razón por el cociente obtenido:
2 100 000 3 100 000
200 000 300 000
Entonces un hermano recibe $200 000 y el otro $300 000 Si se multiplican o dividen ambos términos de una razón por un mismo número diferente de cero, se obtiene otra razón equivalente. Así entonces:
5 15 y , son razones equivalentes 8 24 5 5 3 15 porque: 8 8 3 24
69
5.2 PROPORCIÓN Una proporción es una ecuación que expresa que dos razones son iguales:
a b
c o a:b d
c : d con b
0 y d
0
Las cantidades a, b, c y d son los términos de la proporción, tal que a y d se llaman extremos, b y c se llaman medios.
5.2.1 PROPIEDAD DE UNA PROPORCIÓN Para los números reales cualesquiera a, b, c y d con b
0y d
0, se cumple
que: Si
a b
c entonces ad d
bc
Proporción Continua Una proporción es continua si sus medios son iguales o sus extremos son iguales, entonces:
a b
b a y d b
c , son proporciones continuas. a
Donde el término que se repite se llama la media proporcional, y cualquiera de los términos no repetidos se llama la tercera proporcional. Ejercicio Identificar los términos de la proporción continua
4 12
12 . 36
Resolución 12 es la media proporcional entre 4 y 36. 4 es la tercera proporcional entre 12 y 36. 36 es la tercera proporcional entre 12 y 4. Si la proporción no es continua, cualquiera de sus términos es la cuarta proporcional.
70
Ejercicio Identificar los términos de la proporción no continua
3 8
15 40
Resolución 3 es la cuarta proporcional de 8, 15 y 40. 8 es la cuarta proporcional de 3, 15 y 40. 15 es la cuarta proporcional de 3, 8 y 40. 40 es la cuarta proporcional de 3, 8 y 15. Ejercicio Calcular el valor del término desconocido de la proporción
6 7
21 x
Resolución Se aplica la propiedad de una proporción: 6 x 7 21 Se despeja la incógnita:
147 6 24.5
x x Ejercicio
Calcular el valor de w de la proporción w : 2.61 3.45 : w Resolución Se aplica la propiedad de una proporción:
w2
2.61 3.45
Se despeja la incógnita:
w2 w
w
9 3
3 ó w 3
71
Proporción Directa Se establece que dos cantidades son directamente proporcionales si el aumento de una de ellas corresponde al aumento de la otra, o la disminución de una de ellas corresponde a la disminución de la otra. Ejercicio Si un albañil cobró $680 por la colocación de 8 m2 de teja, ¿cuánto deberá cobrar por la colocación de 25 m2 de teja? Resolución Sea x el costo de colocar 25 m2 de teja. La razón del cobro al área de teja colocada en el primer caso es:
640 8
y en el segundo caso es:
x 25 Como el precio por metro cuadrado de colocación es el mismo en los dos casos, se establece la siguiente proporción directa:
640 8
x 25
Aplicando la propiedad de una proporción y despejando la incógnita se obtiene: 8 x 640 25 x x
640 25 8 2000
Entonces el cobro por la colocación de 25 m2 de teja es de $2000.
Comprobación:
72
640 2000 8 25 80 80 Ejercicio Se estima que en la fabricación de bombillas eléctricas la posibilidad de que salgan defectuosas está en razón de 2 a 1500. Si se detectaron 30 defectuosas, ¿cuántas bombillas fueron revisadas? Resolución Sea k el número de bombillas fabricadas. Como se conoce la razón de bombillas defectuosas entre bombillas revisadas, se establece la siguiente proporción directa:
2 :1500 30 : k Aplicando la propiedad de una proporción y despejando la incógnita se obtiene: 2k 1500 30 k k
1500 30 2 22 500
Entonces fueron revisadas 22 500 bombillas eléctricas. Comprobación: 2 30 1500 22 500 1 1 750 750
Proporción Inversa Se establece que dos cantidades son inversamente proporcionales si el aumento de una de ellas corresponde a la disminución de la otra, o la disminución de una de ellas corresponde al aumento de la otra. Ejercicio 73
Si para instalar una red de cómputo en una sala internacional de prensa 50 técnicos ocupan 21 días, ¿cuántos técnicos se necesitan para que la instalación se concluya en 7 días? Resolución Sea x el número de técnicos para ejecutar la instalación en 7 días. La razón entre los tiempos ocupados para la instalación en las situaciones planteadas es:
21 7 y la razón entre las cantidades de técnicos para instalar la red es: 50 x Debido a que un aumento en el número de técnicos corresponde a una disminución en el número de días de instalación, se establece una proporción inversa con la primera razón y el recíproco de la segunda razón:
21 7
x 50
Ahora se aplica la propiedad de una proporción y se despeja la incógnita: 7x x x
21 50 21 50 7 150
Entonces se necesitan 150 técnicos para ejecutar la instalación en 7 días.
Ejercicio 74
Si el plano arquitectónico de una casa habitación se traza con la escala 1: 50 (1 centímetro es a 50 centímetros), ¿qué longitud en metros tiene el largo de la estancia si se emplearon 9.5 centímetros en su trazo? Resolución Sea x la longitud en metros del largo de la estancia. Como se conoce la escala empleada, se establece la siguiente proporción directa:
1: 50 9.5 : x Se aplica la propiedad de una proporción y se despeja la incógnita: 1x 50 9.5 x
475 cm
Se obtiene la longitud en metros, sabiendo que 1 cm = 0.01 m: x 475 0.01
x
4.75 m
Entonces la estancia tiene de largo 4.75 m Ejercicio Una cuadrilla de 200 obreros son enviados a ejecutar un trabajo con viáticos para 120 días. Si se desea que los viáticos duren 40 días más, ¿Cuántos obreros deberán disminuirse de la cuadrilla? Resolución Sea z el número de obreros con viáticos para 120 40 160 días. Con las cantidades de obreros enviados en las situaciones planteadas, se forma la razón:
200 z
75
y con los tiempos que deben durar los viáticos en ambas situaciones la razón es:
120 160 Debido a que una disminución en el número de obreros corresponde a un aumento en el tiempo de duración de los viáticos, se establece una proporción inversa con la primera razón y el recíproco de la segunda razón:
200 z
160 120
Se aplica la propiedad de una proporción y se despeja la incógnita:
200 120 160 z z z
160 z 200 120 200 120 160 150
Se obtiene la diferencia del número de obreros con viáticos para 120 días y el número de obreros con viáticos para 160 días:
200 150 50 Entonces deben disminuirse 50 obreros de la cuadrilla.
Variación Lineal La variación de dos cantidades a y b es lineal si la razón
a no cambia cuando a b
varía directamente con b . Así entonces:
a k , donde k es una constante, se cumple que a kb , tal que a varía b linealmente al variar b y k se llama constante de variación. Si
Ejercicio Suponiendo que y varía linealmente con la variación de x, y que y
x
16 cuando
4 , obtener la ecuación que define la variación lineal y encontrar el valor de y
cuando x
2.
76
Resolución: La ecuación que define la variación es de la forma y Para encontrar el valor de k , se sustituye y
kx
16 y x
4 , en la ecuación y se
despeja la constante de variación: 16 k
k 4 4
Entonces la ecuación que define la variación lineal es y Para encontrar el valor de y cuando x
4x
2 , se sustituye este valor en la ecuación: y
4 2
y
8
Ejercicio Suponiendo que la ecuación de variación lineal es de la forma y la constante de variación sabiendo que y
12 cuando x
mx n , obtener
2 y y
21 cuando
x 5. Resolución Se sustituyen las dos soluciones dadas en la ecuación y
12 m 2 21 m 5
n n
mx n :
1 2
Se resuelve el sistema (se emplea el método suma y resta. Ver 8.5.1)
2m n 12 5m n 21
1 2
77
Se multiplica la ecuación (1) por –1: 2m n
12 21
5m n
1 2
Se suman miembro a miembro las dos ecuaciones: 2m n 5m n
12 21
3m 0
9
Se despeja la incógnita m:
9 3 m 3 m
Se sustituye el valor de m en la ecuación (1) y se despeja la incógnita n: 2 3 n 12
n 6 Entonces la ecuación de variación lineal es y y
3x 6 que puede expresarse:
3 x 2
Como esta ecuación es de la forma
a
entonces la constante de variación es k
a
kb , donde
y, k
3 y b
x 2,
3.
Es importante observar que la constante de variación es el coeficiente m de la ecuación
y1 y2
x1 x2
enunciada y
mx n
y que para
y
3 x 2 ,
se tiene que
2 es una proporción si y solo si x1 , y1 y x 2 , y 2 son dos soluciones de 2
la ecuación. Ejercicio La presión hidrostática en el fondo de una fosa de clavados varía en forma lineal con la altura del agua. Si se desprecia la presión atmosférica local y se sabe que el agua ejerce sobre el fondo una presión de 1 kg/cm2 cuando la columna de agua es de 10 metros, obtener la ecuación que define la variación de presión y determinar la presión en el fondo si la altura del agua es de 5.25 m.
78
Resolución: La ecuación que define la variación de presión es de la forma P
kh , donde P es
la presión, k es la constante de variación y h es la altura del agua en la fosa. Se calcula la constante de variación sustituyendo P = 1 kg/cm2 y h = 10 m en la ecuación de variación:
Entonces la ecuación es P
1
k 10
k
1 10
1 h 10
Si h = 5.25 m, la presión hidrostática en el fondo de la fosa es:
P P
1 5.25 10 0.525 kg/cm2
Ejercicios Propuestos 1. Obtener la razón de la capacidad de un tanque elevado de 600 litros al volumen de 2.5 metros cúbicos de la cisterna que lo abastece e interpretar el resultado. 2. Si 0.8 litros de alcohol tienen una masa de 0.648 kilogramos, encontrar la densidad del alcohol en kg/m3 e interpretar el resultado. 3. Una barra de acero de 60 centímetros de longitud se corta en dos pedazos, uno 5 de ellos tiene de longitud de la longitud del otro. Hallar la longitud de cada 7 pieza. 4. Calcular la media proporcional entre 13 y 52. 5. Determinar la tercera proporcional entre 12 y 48. 6. Encontrar la cuarta proporcional de 8, 3 y 56.
79
7. Calcular el valor del x de la proporción 3x 1 : 4
x:2
8. Si la detonación de un arma de fuego se escucha a 567 metros en 7 segundos, calcular a qué distancia del disparador se localiza una persona que oye el disparo 10 segundos después de ocurrido. 9. Entre las enfermedades hereditarias, se encuentra el trastorno conocido con el nombre de fenilcetonuria que es exteriorizada en forma de graves trastornos mentales y se estima que aproximadamente 4 personas de cada 100 000 la padecen. ¿Qué número de personas enfermas de este mal habrá en una población de 105 millones de habitantes? 10. Una constructora estima que con una cuadrilla de 250 hombres se restaura un edificio colonial en 180 días. ¿Cuántos hombres más se necesitarán para terminar la obra en 125 días? 11. En un dibujo a escala un edificio de 85 metros de altura mide 42.5 centímetros. Calcular la escala empleada y determinar con cuántos centímetros debe dibujarse sobre la azotea una antena de 15 metros de altura. 12. Una cuadrilla de 200 obreros son enviados a ejecutar un trabajo con viáticos para 120 días. Si se incorporan 40 obreros más, ¿cuántos días les durarán los viáticos? 13. Suponiendo que w varía linealmente con v,
y que w
28 cuando v 12 ,
obtener la ecuación que define la variación lineal y encontrar el valor de w cuando v
24 .
14. El voltaje en volts medido a través de un alambre conductor varía linealmente con la corriente en amperes que pasa por dicho conductor. Si la constante de variación es la resistencia del alambre conductor en ohms, expresar la ecuación que define la variación del voltaje y determinar el valor de la resistencia del alambre por el que circula una corriente de 5 amperes, cuando se le aplica un voltaje de 100 volts.
80
15. Suponiendo que la ecuación de variación lineal es de la forma y obtener la constante de variación sabiendo que y
y
10 cuando x
35 cuando x
mx n , 7
y
2 . ¿Cuál es la ecuación de variación lineal?
81
CAPÍTULO 6
LOGARITMOS
Al final del Capítulo se espera que el alumno alcance los siguientes objetivos Objetivos
Nivel Taxonómico
DEFINIRÁ EL CONCEPTO DE LOGARITMO ENUNCIARÁ LAS PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS APLICARÁ LA DEFINCIÓN Y LAS PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS EN LA SOLUCIÓN DE EJERCICIOS OBTENDRÁ LA SOLUCIÓN DE ECUACIONES LOGARÍTMICAS Y EXPONENCIALES
Aplicación Aplicación Aplicación Aplicación
6.1 LOGARITMO DE UN NÚMERO La palabra logaritmo proviene de las dos palabras griegas “logos” que significa calcular o razón y “arithmos” que significa número. El logaritmo de un número dado x , es el exponente o potencia a la que debe elevarse un número b llamado base, para obtener el número dado x . Como 16
4 2 , el logaritmo de 16, en base 4 es 2. Una manera de escribir esto es log 4 16 2
Si b es un número positivo (distinto de 1) y x es un número positivo, hay exactamente un exponente y , tal que
by
x
Por lo que todo número positivo x tiene un único logaritmo en base b . Definición: Para todo número positivo x , y para todo número positivo b (con b 1 ): y log b x si y sólo si b y x
Si la base b es el número 10, log10 x
se expresa simplemente como log x , es
decir, se tiene que: y log10 x log x es equivalente a x 10 y Si la base b es el número e , existe un símbolo especial para log e x , se trata de ln x , es decir, se tiene que: y log e x ln x es equivalente a x e y
Ejemplos: a) Como 243 35 , el logaritmo de 243 en base 3 , es 5 que se expresa como log 3 243 5 b) Como 103 1000 , el logaritmo de 1000en base 10 , es 3 que se expresa como log10 1000 3
82
c) La expresión 5 d) log2
1 16
1 1 implica que log5 125 125
3
4 porque 2
e) log 6 1 0 porque 60
4
3
1 16
1
4
f) Como 10000 10 , el logaritmo de 10000 en base 10 es 4. Que se puede expresar como log 10 10000 4 , o bien como log 10000 4 De esta manera podemos expresar una expresión en forma logarítmica, en su equivalente, en forma exponencial, como se muestra a continuación: Proposición logarítmica log2 8 = 3 log5 78125 = 7 1 log 4 2 16 log10 0.00001 = - 5 o log 0.00001 = - 5 log2 750 = 9.55 log1.08 2 = 9
Proposición exponencial 23 = 8 57 = 78 125 1 4 2 16 10-5 = 0.00001 29.55 = 750 1.089 = 2
Ejercicios Resueltos 1. Expresar en notación logarítmica las siguientes potencias: a) 52 = 25 b) 42 = 16 c) 103 = 1000. 1/2 1/2 d) 4 = 2 e) 10 = 3.162 f) 25 -1/2 = 1/5 Resolución: a) log5 25 = 2 d) log4 2 = 1/2
b) log4 16 = 2 c) log10 1000 = 3 e) log10 3.162 = 1/2 f) log25 1/5 = - 1/2
2. Expresar los siguientes logaritmos en forma exponencial a) log5 25 = 2 b) log3 27 = 3 c) log4 64 = 3 d) log6 36 = 2 e) log9 729 = 3 f) log7 2401 = 4 Resolución: a) 25 = 52 b) 27 = 33 c) 64 = 43 2 3 d) 36 = 6 e) 729 = 9 f) 2401 = 74
83
Ejercicios Propuestos 1. Escribir las siguientes expresiones exponenciales en la forma y 1 k) 2 1/2 = 1.414 a) 34 81 1 f) 121 2 11 4 4 l) 10 3/4 = 5.623 b) 5 625 3 g) 8 16 3 5 h) 3 = 27 m) 8 -2/3 = 0.25 c) 10 0.00001 1 i) 73 = 243 d) 5 2 25 1 j) 54 = 625 e) 8 3 2
2. Escribir las siguientes expresiones logarítmicas en la forma b y a) log 5 625
4
b) log 3 81 4 1 6 64 d) log 0.000001
1 2 1 4 f) log 8 16 3 g) log6 216 = 3
i) log2 128 = 7
h) log 10 000 = 4
l) log3 729 = 6
e) log144 12
c) log 2
6
log b x
x
j) log5 625 = 4 k) log8 512 = 3
6.2 PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS 6.2.1 PROPIEDADES DE CANCELACIÓN Existen dos propiedades de cancelación de los logaritmos. 1) log a a x x 2) a log a x
x
Como se puede observar, la segunda se obtiene al escribir la primera en la forma exponencial. Esto se ilustra en los siguientes ejemplos. 1. Se desea conocer a qué equivale 5 log5 3 , lo cual puede escribirse como:
5 log5 3 =x Al escribir lo anterior en forma logarítmica, se tiene que:
84
log 5 x
log 5 3
Por lo tanto, x=3 2. Se desea conocer a qué equivale log 7 7 2 , lo cual puede escribirse como: log 7 7 2 = x Al escribir lo anterior en forma logarítmica, se obtiene: 7x
72
Por lo tanto: x=2
Ejercicios Resueltos a) b) c) d) e) f)
5 log5 6 las bases del logaritmo y del exponente son 5, por lo tanto, 5 log5 6 =6 10 log10 12 12 42 log 42 1 1 7 log 7 x x 888 log888 27 27 e ln 7 7 porque ln log e , de modo que e ln 7 e loge 7 7
g) log 5 5 3 h) log b b i)
3
x
x
log 67 67
45
45
j) log 4 4 2 2 8 k) log 10 8 porque log= log10, de modo que: log 10 8
log 10 10 8
8
Ejercicios Propuestos Simplificar las siguientes expresiones: 1. 2. 3. 4.
11log11 3 10log 5 9log 9 12 11log11 3
5. log
34
8. ln e8 9. eln 27 10. log 101 / 4 11. log m m 7 34
6. log 10 2 7. log 71 719
4
12. eln 78 13. 8log 8 6 14. ln e1/ 2
85
6.2.2 PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS OBTENIDAS A PARTIR DE LAS PROPIEDADES DE LOS EXPONENTES Dado que la expresión y log b x es equivalente a b y x , las propiedades de los logaritmos son similares a las propiedades de los exponentes, las cuales se muestran a continuación: Propiedades de logaritmos log b xy log b x log b y x log b log b x log b y y log b x n n log b x
bm
Propiedades de exponentes n b bm n
bm bn
bm
bm n
b mn m
m
log b n x m log b x n m log b x n log b x log b y si x
log b b
bm
n
y
1
log10 10 1 o bien log10 1 log b 1 0 log10 1
n
0 o bien log1 0
bm 1
b
b n si m
n
b
101
b0 10
bn
10
1 0
1
Ejercicios Resueltos: 1) Desarrollar las expresiones siguientes, aplicando las propiedades de los logaritmos: t2 a) logb acd b) logb 5a c) logb a4 d) log 3 2 5 2 m e) log 6 3 xy f) ln 3 g) log 2 6mn3 x Resolución: a) logb acd = logb a + logb c + logb d b) logb 5a = logb 5 + logb a c) logb a4 = 4 logb a t2 d) log 3 log 3 t 2 log 3 8 2 log 3 t log 3 8 8 1 1 1 e) log 6 3 xy = log 6 xy 3 = log 6 xy = log 6 x log 6 y 3 3
86
f)
ln
2 m x3
ln x 3
ln 2 m
ln 2 ln m
3 ln x
1
ln 2 ln m 2 3 ln x 1 ln 2 ln m 3 ln x 2
g) log 2
5 6mn3
log 2 5 log 2 6mn3 log 2 5 log 2 6 log 2 m log 2 n3 log2 5 log2 6 log2 m 3 log2 n log2 5 log2 6 log2 m 3 log2 n
2) Expresar en un sólo término: a) logb m + logb n d) g)
b) 5 logb d + 2 logb e 1 1 e) logb 4 + logb16 2 3 h) ( x 6) log4 3
3 log 2 x 1 log 2 7 log 2 y 5
c) log 4 x log 4 z 1 f) log 7 h 3 log 7 x 2 1 i) ln w 4 ln 2 z 5 ln y 3
Resolución: a) logb m + logb n = logb (mn) b) 5 logb d + 2 logb e = logb d5 + logb e2 = logb (d5 e2) c) log 4 x log 4 z d)
3 log 2 x
log 4
log 2 x
x z
3
e)
1 1 logb 4 + logb 16 = logb 2 3
f)
1 log 7 h 3 log 7 x 2
1 log 2 7 log 2 y 5
3
16 )
1
log 7 h 2
log 7 x 3
log 7 h
log 7 x 3
log 7
g)
4 + logb 3 16 = logb ( 4
h x3
1 log 2 7 y 5
log 2 7 y
1 5
log 2 5 7 y
87
h) ( x 6) log4 3 = log 4 3x
6
1
i)
1 ln w 4 ln 2 z 5 ln y = ln w 3 3 = ln 3 w
ln( 2 z ) 4
ln( 2 z ) 4
ln y 5
ln y 5
3
= ln
w (2 z ) 4
ln y 5
w 5 y5 3 w y ln = (2 z ) 4 (2 z ) 4 3
= ln
3) Si se conoce que : log 2 = 0.3010, log 3 = 0.4771 y log 5 = 0.6990, calcular las 72 expresiones siguientes: a) log 6, b) log 20, c) log 25 Resolución: a) log 6 = log (2)( 3) = log 2 + log 3 = 0.3010 + 0.4771 = 0. 7781 b) log 20 = log (4)( 5) = log (22 x 5) = log 22 + log 5 = 2 log 2 + log 5 = 2 (0.3010) + 0.6990 = 0.6020 + 0.6990 = 1.3010 2 3 32 72 8 9 c) log = log 2 = log = log 23 + log 32 – log 52 = 2 25 5 5 = 3 log 2 + 2 log 3 – 2 log 5 = 3 (0.3010) + 2 (0.4771) – 2 (0.6990) =0.9030 + 0.9542 – 1.3980 = 0.4592 4) Calcular el valor de log (4.23 x 10301) Resolución: Se toma x = 4.23 x 10301 entonces log x = log (4.23 x 10301) log x = log 4.23 + log 10301 log x = log 4.23 + 301 log 10 Utilizando una calculadora, se obtiene: log 4.23= 0.626 y log 10 = 1: log x = 0.626 + 301 log x = 301.626
88
Ejercicios Propuestos: 1) Desarrollar las siguientes expresiones, aplicando las propiedades de los logaritmos: a) ln5 g
e) log2
b) log 27 324 y 6 c) log
54 m
d) log6
27 x3
6k m
i) log 7
f) log 3 7 xy g) ln wz
j) ln
9
17 x 4 y
3x 4 x2
4r 2 k) log3 s 2 x l) log 3 z
h) log 5 x 2
cd n n) log 3 a 2 m) log
o) log
25
x2
3. Si se conoce que : log 2 = 0.3010, log 3 = 0.4771 y log 5 = 0.6990, calcular las expresiones siguientes: a) log 10, b) log 900, y c) log 3 50
2) Expresar en un sólo término las siguientes expresiones: a) log 5 3 log 5 2 log 5 4 b) ln 4 2 ln x
e) 2 y log 7 5 f) 9 log m 3 log x
c) log 6 log 8
g) t ln 4 2 ln x
d) 6 log 3 b
h) 2 log 6 x
1 log 6 w 3
i) 5 log 7 t log 7 w 1 j) 3 log 2 m log 2 p 4 1 k) log 3 log q 2 1 l) 3 ln x 4 ln y 2
6.2.3 ECUACIONES LOGARÍTMICAS Utilizando la definición de logaritmo y sus propiedades, es posible resolver ecuaciones sencillas como se muestra en los siguientes ejemplos:
89
Ejemplos: 1. Resolver las siguientes ecuaciones utilizando la definición de logaritmo: d) 10 (log5 25) x e) log 4 64 log 4 4 f) log 4 (2 x 6) 2
a) log5 25 y b) log 9 x 2 c) log b 8 3
g) log x 25
log 4 x
h) log(3 x
2
2 2 x 4)
0
Resolución: Se escriben las expresiones en su forma exponencial para encontrar la solución: a) log5 25 y equivale a 5 y 25 , por lo tanto y 2 . b) log 9 x
2 se puede escribir como 9 2
c) log b 8
3 es equivalente a b 3
x , por lo tanto x 81.
8 , por lo tanto b
d) 10 (log5 25) x log5 25 es el exponente que hace que 5? log 5 25 2 por lo que 10 (log5 25)
x equivale a 10 2
2.
25 , de manera que
x y la solución es: x 100
e) log 4 64 log 4 4 log 4 x Se consideran los términos del miembro izquierdo de la expresión: log4 64 es el exponente que hace que 4 ? 64 , por lo que log 4 64 3
log4 4 es el exponente que hace que 4? 4 , por lo que log 4 4 1 Al sustituir en la expresión original se tiene log 4 64 log 4 4 log 4 x 3 1 log 4 x 2 log 4 x , que al reescribir en la forma exponencial se tiene 4 2 Por lo que x 16 f) log 4 (2 x 2x 2x 2x 2x
x
2 equivale a
6) 6 6 16 10 10 2
x
2
4 16 6 5
90
g) log x 25
2
5 , y como las bases de un logaritmo deben x 2 25 , por lo que x ser positivas, entonces, el valor de x que satisface la ecuación dada es x 5 h) log(3 x 2 2
3x 3x 2 3x 2
2 x 4)
0
2 x 4 100 2x 4 1 2x 5 0
Los valores de x que satisfacen la ecuación son: x 1 y x
5 3
2. Resolver las siguientes ecuaciones utilizando las propiedades de los logaritmos: a) log 3 ( x 4)
2
b) 2 log 4 ( x 1) 2 1 c) log3 (5 x 2) 1 2
d) log (x + 3) + log (x) = 1
g) (1 log x) log x
e) log( x 3) log( x 3)
h) log( x 1) log x i) log(x 2) 0
f) 2 log x
1 log x
8 5
1
0 3
Resolución: a) log 3 ( x 4) 2 Escribiendo esta expresión en forma exponencial: x 4 32 x 4 9 x 5 es el valor de x que satisface la ecuación dada. b) 2 log 4 ( x 1) 2 Utilizando las propiedades de los logaritmos, la expresión es equivalente a: log 4 ( x 1) 2 2 Escribiendo esta expresión en forma exponencial: (x 1) 2 42 ( x 1) 2 16
x 2 2 x 1 16 x 2 2 x 15 0 3 Los valores de x que satisfacen x 2 2 x 15 0 son: x 5 y x Al sustituirlos en la ecuación 2 log 4 ( x 1) 2 , se encuentra que la solución es x 5 (porque con la solución x 3 se llega al logaritmo de un número negativo y esta operación no está permitida).
91
c)
1 log3 (5 x 2) 1 2 Utilizando las propiedades de los logaritmos, la expresión es equivalente a: 1
log 3 (5 x
2) 2
1
log3 5 x 2 1 Escribiendo esta expresión en forma exponencial: 5x 2 31 5x 2 3 Elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad: ( 5 x 2 ) 2 32 5x 2 9 5x 7 7 x es el valor de x que satisface la ecuación dada. 5 d) log (x+ 3) + log (x) = 1 log (x (x + 3)) = 1 x(x + 3) = 101 x2 + 3x = 10 x2 + 3x – 10 = 0 (x + 5)(x – 2) = 0 x = - 5, x = 2 Se toma sólo el valor positivo ya que no se puede obtener el logaritmo de un valor negativo, entonces, el valor de x que satisface la ecuación dada es x=2 e) log( x 3) log( x 3) 1 Utilizando las propiedades de los logaritmos, expresamos en un solo término la expresión anterior: log( x 3) log( x 3) 1 x 3 log 1 x 3 x 3 log10 1 x 3 Escribiendo esta expresión en forma exponencial: x 3 101 x 3 x 3 10 x 3 x 3 10( x 3) x 3 10 x 30
92
9x 33 0 33 11 x 9 3 Por lo tanto, el valor de x que satisface la ecuación es: x
f)
8 dado que 5 8 1 log x 5 8 log x 1 5
2 log x 1 log x log x 2 log x 2
log
x2 8 x 5 x2
log10
8 x 5
x2 8 x 5 2 x 8 x 5
2 log x
11 3
log x 2
1
1
101
10
8 5 80 x 2 10 x 5 2 x 10 x 16 x 2 10 x 16 0 Los valores de x que satisfacen x 2 10 x 16 x2
10 x
0 son: x 2 y x 8 8 Al sustituirlos en la ecuación 2 log x 1 log x , se encuentra que ambos 5 valores la satisfacen.
g) (1 log x) log x
0
Para que se cumpla la igualdad se debe cumplir que : 1 log x log x 0
0 , o bien que
93
Para que 1 log x log x 1 log10 x 1
0 , se tiene que
Escribiendo esta expresión en su forma exponencial se tiene 10 1 x 1 Por lo que x 10 Por otro lado log x
0 , es equivalente a log10 x
0
Escribiendo esta expresión en su forma exponencial se tiene: Por lo que x 1
100
Los valores de x que satisfacen la ecuación (1 log x) log x
0 son: x
x 1 y 10
x 1 h) log( x 1) log x 3 Utilizando las propiedades de los logaritmos se puede reescribir como: x 1 log 3 x x 1 log10 3 Escribiendo esta expresión en su forma exponencial se tiene: x x 1 103 x x 1 1000 x 1000x x 1 1000x x 1 999x 1 1 x es el valor que satisface la ecuación dada. 999 i)
log(x 2) 0 Utilizando las propiedades de los logaritmos se puede reescribir como: log( x 2) 1 0 log10 ( x 2) 1 0 Escribiendo esta expresión en su forma exponencial se tiene: 100
( x 2) 1 100 x 2 1 1 x 2
1
94
(x 2)(1) 1 x 2 1 x 3 es el valor de x que satisface la ecuación dada.
Ejercicios Propuestos: 1) Resolver las siguientes ecuaciones utilizando la definición de logaritmo: g). log 6 x 1.5 j) log( x 2 16) 0 a) log 2 16 y d). log 4 x 3 x e). log 7 x 2 h) log b 36 2 k) 10 = 2 b) log2 4 y l) 2x = 76 c) log x 64 2 i) log b 121 2 f). log 4 x 2.5 2. Resolver las siguientes ecuaciones utilizando las propiedades de los logaritmos: a) log4 (3x 1)
2
b) log 5 (6 x 5) 2 c) 2 log x 2 1 d) log 4 (1 15 x) 2 2
1 log(x 2 75) 1 2 f) log( x 1) 1 log( x 2) g) ln x 1 ln( x 2) h) (3 log x)(2 log x) 0 e)
i) log x log( x 3)
1
j) 2 log x 1 log(30 2 x) k) log(x 1) 2
6.3 APLICACIONES DE LOS LOGARITMOS Los logaritmos se pueden utilizar para determinar productos, cocientes, potencias de números como a continuación se expresa.
6.3.1 ANTILOGARITMO Si el logaritmo (en una base b , dada) de un número N es L, entonces N es el antilogaritmo de L. Es decir, si L log b N N
bL
anti log b L
En adelante se empleará el término “antilogaritmo” asumiendo que la base es 10. En caso de que se trate de otra base, ésta se especificará.
Ejercicios Resueltos: 1. Si se sabe que log 2 8 base es 2) es: :
3 . El antilogaritmo de log 2 8 anti log 2 3
23
3 (se observa que la
8
2. En el caso de un logaritmo con base 10 (log), es posible utilizar la calculadora para determinar su antilogaritmo. Para ello se tiene que pulsar 95
la tecla “10x”. Generalmente esta tecla suele venir como segunda función de la tecla "log". Si se sabe que log x 2.5472, se tiene que:
2.4572 , y se quiere encontrar el antilogaritmo de anti log 2.4572 10 2.4572
3. Determinar el antilogaritmo de 3.21 anti log 3.21 103.21
286.55
1621.81
Ejercicios Propuestos: Utilizando una calculadora, encuentre los antilogaritmos de los siguientes números. a) log N
2.5119
d) log N
2.6053
b) log N
3.7825
e) log N
2.42
f) log N
1.798
c) log N
1.9101
6.4 CÁLCULOS ARITMÉTICOS UTILIZANDO LOGARITMOS Cálculo del producto de dos números Empleando logaritmos, es posible obtener el cualesquiera.
producto M, de dos números
Ejercicio Resuelto: Resolver el siguiente producto empleando logaritmos: M=(17)(24) Resolución: log M log17 log 24 Como log 17 = 1.2304 y log 24 = 1.3802. Se tiene que: log M log17 log 24 1.2304 1.3802 2.6106 Como log M = 3.2338
entonces M = antilog 2.6106 = 407.943
96
Cálculo del cociente de dos números. Empleando logaritmos, es posible obtener el cualesquiera.
cociente C, de dos números
Ejercicio Resuelto: Resolver el siguiente cociente empleando logaritmos:
C
842 233
Resolución: logC log 842 log 233 Como log 842 = 2.9253 y log 233 = 2.3674 logC log 842 log 233 2.9253 2.3674 0.5579 Como log C = 0.5579
entonces C = antilog 0.5579= 3.6133
Cálculo de potencias Empleando logaritmos, es posible obtener la potencia P, de un número cualquiera.
Ejercicio Resuelto: P = 7.385
Determinar empleando logaritmos: Resolución: log P = log 7.385 log P = 5 log 7.38= 5(0.8681)=4.3405 Como log P
4.3405
entonces P
anti log 4.3405
21902.8182
Cálculo de raíces Se desea calcular el valor R que representa el resultado de obtener la raíz de un número, utilizando logaritmos.
Ejercicio Resuelto: Determinar empleando logaritmos: R= 5 96.72 Resolución:
log R
log 5 96.72
Como log R
1 log 96.72 5
0.3971
1 (1.9855) 5
0.3971
entonces R
anti log 0.3971 2.4952
97
Ejercicios Resueltos: 1) Si se sabe que : log 2 = 0.3010, log 3 = 0.4771 y log 5 = 0.6990, calcular las expresiones siguientes: 72 a) log 6, b) log 20, c) log 25 Resolución: a) log 6 = log (2 )( 3) = log 2 + log 3 = 0.3010 + 0.4771 = 0. 7781 b) log 20 = log (4)( 5) = log (22 )( 5) = log 22 + log 5 = 2 log 2 + log 5 = 2 (0.3010) + 0.6990 = 0.6020 + 0.6990 = 1.3010 c) log
(8)(9) 72 ( 23 )(32 ) log = log = = log 23 + log 32 – log 52 = 2 2 25 5 5
= 3 log 2 + 2 log 3 – 2 log 5 = 3 (0.3010) + 2 (0.4771) – 2 (0.6990) =0.9030 + 0.9542 – 1.3980 = 0.4592 2) Calcular el cociente C
36.43 0.004719
Resolución: log 36.43 = 1.5615 y log 0.004719 = -3.6738
log C = log 36.43 – log 0.004719 = 1.5615 – (-3.6738) = 1.5615 – (- 3 + 0.6738) = 1.5615 – (-2.3262) = 1.5615 + 2.3262 = 3.8877 Como log C = 3.8877 entonces C = antilog 3.8877 = 7721 3) Calcular la expresión (0.45214 )( 172) Resolución: log (0.45214 )( 172 ) = 4 log 0.4521 + 2 log 17 = 4 (-1.6552) + 2 (1.2304) = 4(-1 + 0.6552) + 2(1.2304) = (- 4 + 2.6208) + 2.2608 = - 2.6208 + 2.2608 = ( -2 + 0.6208) + 2.2608 = -1.3792 + 2.2608
98
= 1.0816 Como log P = 1.0816 entonces P = antilog 1.0816 = 12.07
4) Calcular R= 3 0.0254 Resolución: 1 log R = log 0.0254 = -2.4048/3 = (-3 + 1.4048)/3 = (-1.4682) 3 Como log R = -1.4682 entonces R = antilog -1.4682 = 0.294
Ejercicios Propuestos: 1. Realizar las siguientes operaciones utilizando logaritmos:
M
(2.408)(3.5476)
P
14 5
M
(6.534)(9.647)
P
0.36744
M
(5.4833)(7.917)
R
M
(3.47)(5.76)(4.921)
R
3
10
R
4
2.984
237.9 136.5 12.56 C 798.6 76.19 C 1.0005 P 113 C
5
x
(231) 2 (7)
x
(7.16) 4 (34.1) 2.18
99
CAPÍTULO 7
ECUACIONES DE PRIMER GRADO
Al final del Capítulo se espera que el alumno alcance los siguientes objetivos Objetivos
Nivel Taxonómico
OBTENDRÁ LA SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA EXPRESARÁ ALGEBRAICAMENTE PROBLEMAS QUE CONDUCEN A ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA Y OBTENDRÁ SU SOLUCIÓN
Aplicación Aplicación
7.1 NOCIONES BÁSICAS Ecuaciones Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, en la que existe al menos una variable o incógnita cuyo valor hay que averiguar. Resolver una ecuación es encontrar el valor de la incógnita y se denomina raíz o solución de una ecuación, al valor o conjunto de valores de la incógnita que hacen cierta la igualdad. Por ejemplo, la igualdad 7x 28 se llama ecuación, y solo es cierta cuando x 4 . Si en lugar de 4 se sustituye otro número cualquiera, se obtendrá un número mayor o menor que 28. Así, una ecuación es una igualdad que sólo es cierta para un valor determinado (o valores determinados) de la incógnita; es decir, una ecuación es una igualdad condicional. En la ecuación 4 x 5 x 27 , el conjunto de términos que están a la izquierda del signo igual, se llama primer miembro de la ecuación, y el término que está a la derecha, se conoce como segundo miembro. En una ecuación puede haber varios términos en cada miembro, tal como en el caso 2 x 1 3 2 x .
Clasificación de ecuaciones Las ecuaciones pueden clasificarse de acuerdo con: El grado: es el valor del exponente más grande que afecte a las incógnitas, El número de incógnitas distintas que aparezcan en la ecuación. Ejemplos: 3x 2 x 7 12
5x 3 y 8 6 z
4x 2
6x 2 7 x
Es una ecuación de primer grado (porque el mayor exponente que afecta a la x es 1) con una incógnita (en este caso es x ). Es una ecuación de primer grado (porque el mayor exponente que afecta a la x , y o z es 1) con tres incógnitas (en este caso son x , y y z ). Es una ecuación de segundo grado (porque el mayor exponente que afecta a la x es 2) con
100
3x 4 x3
8 y4
3
6x 3 x2
2
2 7x 7 y3
6y 9
una incógnita (en este caso es x ). Es una ecuación de tercer grado (porque el mayor exponente que afecta a la x es 3), con una incógnita (en este caso es x ). Es una ecuación de cuarto grado (porque el mayor exponente que afecta a la x o a la y es 4), con dos incógnitas (en este caso son x y y ).
Soluciones de una ecuación Una ecuación puede tener ninguna, una o varias soluciones.
Resolución de ecuaciones Las ecuaciones Para ello se utilizan las propiedades de la igualdad.
7.2 ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA Son aquellas ecuaciones que tienen solamente una variable y el mayor exponente de dicha variable es 1. Ejemplos: a) 3x 4 c) 4z 8
5x 8
b) 4 y 2 y 3 7 6x d) 7 x 5 x 7
x 8
Resolución de Ecuaciones Resolver una ecuación es determinar su solución Para resolver una ecuación, se pasa a otra equivalente cuya apariencia sea más sencilla. Se resuelven realizando en ambos miembros operaciones matemáticas válidas, buscando aislar (despejar) la incógnita en un miembro de la igualdad. La variable se despeja utilizando las propiedades de la igualdad que se presentan a continuación:
Propiedades de la igualdad Sean 1. 2. 3. 4.
a , b y c números reales, en donde a b : Si a b , entonces a c b c Si a b , entonces a c b c Si a b , entonces ac bc , donde c 0 Si a b , entonces a / c b / c , donde c 0
A partir de las propiedades 1 y 2 se concluye que se puede sumar o restar el mismo número en ambos miembros de la ecuación y el conjunto solución no va a cambiar. De la misma manera, a partir de las propiedades 3 y 4 se infiere que
101
se puede multiplicar o dividir por el mismo número (distinto de cero) ambos miembros de la ecuación y el conjunto solución no variará.
Sugerencias generales para resolver ecuaciones Los pasos que se enuncian a continuación sirven de guía para resolver una ecuación. Cabe mencionar que no todas las ecuaciones requieren que se sigan todos los pasos:
Paso 1: Eliminar las fracciones. Esto se logra multiplicando ambos miembros de la ecuación por un denominador común. Paso 2: Simplificar cada miembro por separado. Es importante simplificar cada miembro tanto como sea posible: simplificar paréntesis, reducir términos semejantes, etc. Paso 3: Colocar en un mismo miembro los términos que contengan a la variable y en el otro miembro los números. Paso 4: Hacer que el coeficiente de la variable sea 1. A veces será necesario dividir ambos miembros de la ecuación por el número que multiplica a la variable. Paso 5: Comprobar el resultado sustituyendo la solución obtenida en la ecuación original (no en una ecuación intermedia porque se pudieron haber cometido errores).
Ejercicios Resueltos 1) Resolver x 7
12
Resolución: x 7 7 12 7 Se suma -7 en ambos miembros: x 5 Al simplificar: El resultado es x 5 ó el conjunto solución es 5 . Comprobación:
x 7 12 5 7 12 12=12 satisface la ecuación
2) Resolver la ecuación: 6x 7 Resolución: Se multiplican ambos miembros por el inverso multiplicativo de 6: 1 1 6x 7 6 6
102
x Al simplificar: Comprobación:
7 6 7
6x 7 6 7 6 7=7 satisface la ecuación.
3) Resolver la ecuación 6 x 2 x 6
7 4x 3
Resolución: Se reducen términos semejantes en ambos miembros de la ecuación: 4 x 6 10 4 x Se colocan en el miembro izquierdo los términos que tienen x , y en el 4 x se anule en el miembro derecho los números. Para que el término derecho, se suma 4 x en ambos miembros de la ecuación: 4 x 6 4 x 10 4 x 4 x 4 x 4 x 6 10 4 x 4 x Reordenando términos: 8x 6 10 Al simplificar: Para que el -6 se anule en el izquierdo sumamos +6 en ambos miembros de la ecuación: 8x 6 6 10 6 8x 16 Al simplificar: Finalmente, buscamos que el coeficiente del término sea 1. Dividimos ambos miembros de la ecuación por 8. 8x 16 8 8 x 2 Simplificando: 6x 2x 6 7 4x 3 Comprobación: 6(2) 2(2) 6 7 4(2) 3
12 4 6 7 8 3 2 2 Como se obtuvo un enunciado verdadero, la solución es x solución es 2 . 4) Resolver la ecuación 5(m 2) 3(m 5)
2 . El conjunto
7(m 5)
Resolución: Se simplifican los paréntesis en ambos miembros de la ecuación: 5m 10 3m 15 7m 15 2m 5 7m 35 Al reducir términos semejantes:
103
Se colocan en el miembro izquierdo de la ecuación los términos que tienen m, y en el miembro derecho los números. Se suma 7m en ambos miembros de la ecuación: 2m 5 7m 35
2m 5 2m
5
7m
7m
35
35
2m 7 m 5 Reordenando términos: 5m 5 Al simplificar: Adicionando el -5 ambos miembros: 5m Al simplificar: 5m Se dividen ambos miembros por -5: 5 m Simplificando: 5(m 2) 3(m 5) Comprobación:
7m 7m 35 35 30 30 5 6 7(m 5)
5( 6 2) 3( 6 5)
7( 6 5)
5( 8) 3( 11) 7( 1) 40 33 7 7 7 Como se obtuvo un enunciado verdadero, la solución es m=-6. El conjunto solución es 6 . 5) Encontrar el valor de x si: 5 x 9 x 6 11 Resolución: Adicionando 6 en ambos miembros:
5x 9 x 17 Al simplificar:
14x 17
Se dividen ambos miembros por 14:
14x 14 x
Comprobación:
5
17 14 17 14
17 17 +9 – 6 = 11 14 14
104
85 + 14
153 14
- 6 = 11
238 - 6 =11 14 17 – 6 = 11 11 = 11
satisface la ecuación
6) Resolver la ecuación 8( x 7) 10( x 9) Resolución: Al distribuir en ambos miembros por la izquierda el 8 y por la derecha el 10
8x 56 10x 90 Adicionando -56 en ambos miembros:
8x 10x 34 Adicionando 10x en ambos miembros:
2x
34
Se dividen ambos miembros por - 2: Al simplificar: 7) Resolver la ecuación
2x 2
34 2
x
17
5( x 7) 3( x 8)
Resolución: Al eliminar paréntesis:
5 x 35 3x 24
Adicionando -35 en ambos miembros: Adicionando 3 en ambos miembros: Al simplificar: Se dividen ambos miembros por 2: Al simplificar:
2x
11
2x 2
11 2
x
11 2
105
8) Encontrar el valor de x si:
8
3x 4
2 5
Resolución:
24x 4
2 5
6x
2 5
6x
1 6
2 1 5 6
x
2 30
1 15
Al simplificar:
Al aplicar el inverso multiplicativo de 6:
9) Resolver la ecuación:
3x 4
+7=
5x 3
Resolución: Como el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de 4 y 3 es 12, la ecuación se multiplica por 12:
12
3x 4
12(7) 12
5x 3
3(3x) 84 4(5x)
Al simplificar:
9 x 84 20x Adicionando -84 en ambos miembros se obtiene:
9x
Adicionando -20 x en ambos miembros se obtiene:
9 x 20x
Al simplificar:
11x
Se dividen ambos miembros por -11: Al simplificar:
10) Resolver
84
84
11x 11 x
4 x
20 x 84
84 11 84 11
3 x 2
106
Resolución:
a c b d Al multiplicar ambos miembros por el mínimo común múltiplo (m.c.m.), bd se obtiene: ad bc A este mismo resultado se hubiera llegado multiplicando el numerador de cada miembro por el denominador del miembro opuesto. Es decir, realizando el producto en cruz: 4 3 La ecuación es: x x 2 4( x 2 ) 3 x Multiplicando en cruz: 4x 8 3x 4x 3x 8 x 8 Al simplificar: Ambos términos están escritos de la forma
11) Encontrar el valor de x si:
7x 2 = 4
3x 2 3
3(7 x 2)
4(3x 2)
Resolución: Multiplicando en cruz: Al distribuir 3 y 4 se obtiene:
21x 6 12 x 8 21x
Al simplificar:
12 x 8 6
21x 12x 14 21x 12x
Al simplificar:
9x 14
Se dividen ambos miembros por 9:
9x 9
14 9 x =
12) Encontrar el valor de x si:
14
14 9
( x + 8)2 = ( x + 5) ( x + 7)
Resolución: Al resolver los binomios:
x 2 16x 64
x2
Al simplificar:
x2 16x 64
x2 12x 35
x2
7 x 5x 35
x 2 16x 12x 35 64
107
Al simplificar:
4x
29
Se dividen ambos miembros por 4:
4x 4
29 4
x = -
13) Resolver la ecuación:
x 10 = x 2
29 4
x 5 x 4
Resolución: Multiplicando en cruz:
( x + 10) ( x + 4) = ( x + 5) ( x - 2)
Al resolver los binomios:
x2
4 x 10x 40
x2
2 x 5x 10
x 2 14x 40
x2
3x 10
Al reducir términos semejantes:
x2
x 2 14x 3x
10 40
Al simplificar:
11 x = - 50
Al despejar x :
x = -
14) Encontrar el valor de x si:
3 x
5 2x
50 11
4 3
Resolución: En esta ecuación hay varias fracciones. Para eliminarlas, se multiplican ambos miembros por el mínimo común múltiplo (m.c.m.), que en este caso es 6 x . Multiplicando ambos miembros por 6 x :
6x
6x Al simplificar: Al simplificar: Se dividen ambos miembros por 8:
3 x 3 x
6x
6x
5 2x 5 2x
4 3 6x
4 3
18 15 8 x 18 15 8 x 3 8x 3 x 8
108
15) Resolver la ecuación:
4
x
x 4
x 4
5
Resolución: En esta ecuación hay varias fracciones. Para eliminarlas, se multiplican ambos miembros por el mínimo común múltiplo (m.c.m.), que en este caso es x 4 . Multiplicando ambos miembros por x 4 :
(x 4)
(x 4)
4 x 4
4 x 4
(x 4)
(x 4)
x x 4
x x 4
5
( x 4 )( 5 )
4 x 5x 4 4 x 5 x 20 4 6 x 20 4 20 6 x 6x 24 24 x 4 6 4 x 5 x 4 x 4
Al simplificar:
Al despejar x : Comprobación:
4
x
4 4
4 4
5
Al sustituir la solución se lleva a una división por cero. Se dice que x 4 es una solución extraña de la ecuación. Por lo tanto, la ecuación no tiene solución. Es importante realizar la comprobación de las soluciones. En este último ejemplo se ilustra que al multiplicar la ecuación por un mcm que contenga la incógnita, es posible introducir soluciones extrañas.
Ejercicios Propuestos 1) Resuelve las siguientes ecuaciones a) x + 2 =6
k)
m 7
9
rr) 2n +5 = n + 12
109
b) y + 9 =43
c) x + 15 =26 d) x - 9 =6
g) -3 + x = -9
s)
ll)
t 3
7
t)
11 12
j) -21x=-126
b – 5 =9 3
2x +8 =6 5 1 u) 30= a 8 v) 12 – 3 (x – 5 ) = 21 w) 5r – 2 (2r +8) = 16
21 =3 r p) 5(3x – 2) =35
h) 24= x + 5
5 6
11
3x 9 5 10 2y n) 30 3 ñ) -7m – 24 =-129
f) -7 + y =13
m
y 8
m)
e) x - 7 =-21
i)
l)
1 1 x + 2( x +5) = 1 3 3 y) 2(3x +5) + 3(2x + 5) = 1
o)
x)
q) 9= 3(5x – 2)
z) 3 (x -6) +2 = 4 (x +2) - 21
r) 2(3 + 4m) – 9 =45
zz)
1 1 (8y +4)–17 = (4y – 8 ) 4 2
2) Encontrar el valor de x en las siguientes ecuaciones: a) x a
b
b) x b
a
c) ax
b
d)
x =b a
e)
a =b x
f) ax -
g)
x -2=0 a
h)
x x -1=4a a
i)
x x -4=0 a 3
j) ax b cx
k)
3x c 2
3ax e 5bx
x 2a 5c
1 =0 b
110
3) Resuelve las siguientes ecuaciones a) 3 x = 6
1 1 (6x + 24) – 20 = (12x – 72) 3 4 5x 3 2x 4 j) = 7 3 6x 3 3x 4 k) = 2x 1 x 1 4s 3 l) = 7s – 8 4 3p 2 m) =5p 3 5 7x 2 9x 10 n) = 3 4 x 4 x 2 o) = x 3 x 1 x x p) + = y 5 6 i)
b) 2 m -1 = 3 m – 2 c) 4( y – 2) = 3( y + 4) – 2 d) 6 ( d – 8) = 3 ( d + 5)
4x 3 2x - = 2 4 5 7 1 3 1 f) x– + x= +x 8 4 4 16 5 2 25 5x 3 g) + = + + 3 3 12 4 4 7 1 3 5 h) x + x = 3x + + x 2 2 2 2 e)
4)
Encontrar y en la ecuación:
2y =8 5a
5) Determinar w en la siguiente ecuación: 6) Obtener t de la ecuación: a t
a 3 = w b
3t 3
7) Despejar el valor de y de la ecuación: 8) Obtener n en la siguiente ecuación:
y a b y = b a an b = cn c
9) ¿Cuál es el valor de x en la siguiente ecuación, cuando a = 1?
9a
7 x 54 x 5
27a
x
111
7.3 EL LENGUAJE ALGEBRAICO Los modelos matemáticos son una herramienta que permiten solucionar problemas cotidianos cuando se presentan en ellos incógnitas. Para plantear este tipo de modelos, se traduce del lenguaje cotidiano al lenguaje algebraico y se representan las incógnitas con una letra o literal; así, se forma una expresión algebraica y se hace uso de la igualdad “=” para establecer la ecuación a resolver. Para transformar un problema de un lenguaje común a un lenguaje algebraico se recomienda:
a) Leer detenidamente el problema con el fin de analizar la información determinar que se desea obtener. b) Identificar los datos (cantidades conocidas) y la o las incógnitas (cantidades desconocidas), así como las relaciones entre ellos. c) Separar cada parte del problema y a cada incógnita asignar una letra ( u , w , x , y , z ). d) Expresar la igualdad correspondiente, es decir, el modelo matemático requerido. En este tipo de problemas, al modelo matemático se le conoce como ecuación de primer grado con una incógnita.
Ejercicio 1. ¿Cuál es la representación algebraica del enunciado que dice: el doble de un número más el mismo número? Resolución: Sea x el número desconocido. El doble de un número se representa por 2 x El doble de un número más el mismo número es: 2 x + x La solución es: 3 x
Ejercicio
2.
Determinar
cuál
de
las
siguientes
opciones
representa
algebraicamente el enunciado: el cuádruplo de un número disminuido en 10 unidades. a) 4 x + 10
b) 4( x + 10)
c) 4 x + 10
d) 4 x – 10 112
Resolución: Sea x el número desconocido El cuádruplo de un número se representa por 4 x El cuádruple de un número disminuido en diez unidades es 4 x – 10 Por lo tanto, el inciso (d) es el correcto.
Ejercicios Propuestos 1)
En una secundaria hay x número de estudiantes en la planta baja, mientras que en el primer piso hay el doble de los que hay en la planta baja, y en el segundo piso solo la mitad de los que tiene el primero. ¿Cuál es la expresión algebraica que representa al enunciado y cuál es el total de estudiantes existentes? a) expresión: x + 2 x +
Total: 2 x estudiantes
b) expresión: x + 2 x + x
Total: x 4 estudiantes
c) expresión: x + 2 x + x
Total: 4 x estudiantes
d) expresión: x + 2 x + 2)
x 2
x 2
Total:
3x estudiantes 2
El enunciado, el triple de un número más el mismo número se representa mediante el modelo algebraico: a) 3 x + 3; cuyo resultado es 6 x . b) 3 x + x ; cuyo resultado es 4 x .
3)
c)
x 2x + x ; cuyo resultado es . 3 3
d)
x 5x + 3; cuyo resultado es 3 3
En un grupo de 25 estudiantes hay 8 hombres menos que el doble de mujeres. Determine cuántos estudiantes hay de cada sexo.
4)
Representa el modelo algebraico del enunciado: la suma de dos números consecutivos es 143.
113
5)
La suma de dos números es 27, si el mayor es el triple del menor menos 5 unidades, ¿Cuál es el valor de cada número?
7.4 PLANTEAMIENTO Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE CONDUCEN A ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA Con ayuda de las ecuaciones es posible resolver problemas de una manera sencilla, como se ilustra en el siguiente ejemplo.
Ejercicios Resueltos 1) La edad de Pedro es el triple de la edad de Juan. Hace 6 años la edad de Juan era un sexto de la edad de Pedro. Obtener las edades actuales de Pedro y de Juan. Resolución: a) Al leer detenidamente el problema, se observa que se necesita calcular la edad de Pedro y Juan. b) Datos: La edad de Pedro es el triple de la de Juan Hace 6 años la edad de Juan es un sexto de la edad de Pedro. c) Incógnitas: Nombre de las incógnitas
Representación algebraica
Edad actual de Juan
x
Edad actual de Pedro
3x
Edad de Juan hace 6 años
x–6
Edad de pedro hace 6 años
3x – 6
d) Por lo tanto, la expresión correspondiente a “Hace seis años la edad de Juan era el sexto de la de Pedro” es: x –6=
3x 6 6
114
Si el denominador del lado derecho se traslada multiplicando del lado izquierdo se tiene:
6( x – 6) = 3 x – 6
Al realizar la operación:
6 x – 36 = 3 x – 6 6 x – 3 x = - 6 + 36
Al simplificar se obtiene:
3 x = 30 x =
30 = 10 años. 3
Por lo tanto, las edades actuales de Pedro y Juan son: Edad de Juan:
x = 10 años
Edad de Pedro: 3 x = 30 años 2) Luis pensó en un número que multiplicó por 2, al resultado le sumó 5 para después dividir entre 5, restar 1, multiplicar por 8 y finalmente sumarle 7. El resultado que obtuvo fue el número 39. ¿Cuál es el número que pensó Luis? Resolución: Planteamiento del problema utilizando el lenguaje algebraico: LENGUAJE COMÚN
LENGUAJE ALGEBRAICO
Luis pensó un número
x
El cual multiplicó por 2
2x
A cuyo resultado le sumo 5
2x + 5
Para después dividir entre 5
2x 5 5
Restarle 1
2x 5 -1 5
Multiplicar por 8
Para finalmente sumarle 7
2x 5 5
1
2x 5 5
8
8
1
2x 5 5
8
Obteniendo el número 39
Así, la ecuación a resolver es:
2x 5 5
8
1
7
1
+7
7
39
39
115
Al resolver en el interior del paréntesis:
2x 5 5 5
8
Trasponiendo el 7:
7
8
2x 5
39 7
8
2x 5
32
Al pasar dividiendo el 8 al otro lado de la igualdad:
2x 5
32 8
2x 5
4
39
2 x = 4(5) 2 x = 20 Al despejar la x:
x
20 2
10
Por lo que, se concluye que Luis pensó en el número 10.
Ejercicios Propuestos 1) Un tronco de 72 m se divide en tres partes de tal manera que la parte de en medio sea cinco metros mayor que la primera parte, y la última sea el triple de la segunda menos 2. Determinar la longitud de cada parte.
2) Dos corredores se entrenan en una pista para correr el maratón. Si el corredor A hizo un tiempo x al correr una determinada distancia y el corredor B hizo el doble del tiempo del corredor A, menos 10 minutos. ¿Qué tiempo hizo cada uno, si la suma de los tiempos es de 50 minutos?
3)
La edad de Pedro y la de su primo Pablo suman 35 años; si Pablo tiene el triple de la de Pedro menos 5 años ¿qué edad tiene cada uno?
4) La suma de tres números enteros consecutivos es de 246. Determinar cada número.
116
5) A dos familias se les repartió arroz que se extrajo de un bulto de 50 Kg, si la familia A recibió el doble de kilogramos que recibió la familia B menos 7 Kg. ¿Cuántos kilogramos recibió cada familia?
6) En una alcancía hay monedas de $10, $50 y $1, haciendo un total de $3952.00. El número de monedas de $50 es el triple de las de un peso, y el número de $10 es el doble del número de monedas de $50. ¿Cuántas monedas de cada denominación hay en la alcancía?
117
CAPÍTULO 8 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS Al final del Capítulo se espera que el alumno alcance los siguientes objetivos Objetivos
Nivel Taxonómico
IDENTIFICARÁ SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS DETERMINARÁ EL CONJUNTO SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS EXPRESARÁ ALGEBRAICAMENTE PROBLEMAS QUE CONDUCEN A SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES DE 2 x 2
Aplicación Aplicación Aplicación
8.1 ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS Como su nombre lo indica son aquellas ecuaciones que tienen dos variables y el máximo exponente de las mismas es 1. Por ejemplo, sea la ecuación 2 x
y= 3
Para obtener las soluciones de esta ecuación, se despeja una de las incógnitas; por ejemplo, la y y = 3 — 2x A continuación, se dan valores a la x ; de tal modo que para cada valor de x , se obtiene otro correspondiente para y . Como a cada valor de x corresponde otro de y , se dice que y es función de x . Cada par de valores así obtenido es una solución de la ecuación. Por ejemplo: Si Si Si
x = 0, y = 3 x =1, y = 1 x = 2, y = — 1
De esta manera, hay un número infinito de pares de valores que satisfacen a la ecuación, por este motivo, estas ecuaciones reciben el nombre de indeterminadas. Aunque también se llaman lineales, porque su representación gráfica es una línea recta.
8.2 ECUACIONES SIMULTÁNEAS Dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas reciben el nombre de simultáneas cuando se satisfacen para iguales valores de sus incógnitas.
118
Por ejemplo, a continuación se muestran dos ecuaciones con dos incógnitas:
x 5y = 8 2x - y = 5 Se dice que estas ecuaciones son simultáneas, porque los valores x = 3, y satisfacen a ambas ecuaciones.
1,
8.3 ECUACIONES EQUIVALENTES Son aquellas ecuaciones que se obtienen a partir de otra multiplicando o dividiendo sus términos por una constante. Por ejemplo, las ecuaciones 2 x + 3y = 3 6x + 9y = 9 son equivalentes, porque la segunda se obtiene multiplicando por 3 los dos miembros de la primera.
8.4 SISTEMAS DE ECUACIONES CON DOS VARIABLES El conjunto de dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas forma un sistema. De este modo, las ecuaciones 4 x +3y =9 x -3 y =1
forman un sistema de dos ecuaciones de primer grado (o lineales) con dos incógnitas. Las ecuaciones en un sistema establecen condiciones sobre las mismas variables al mismo tiempo. Las soluciones de un sistema son los valores de las incógnitas que satisfacen a todas las ecuaciones del mismo. Un sistema es compatible, cuando tiene solución; y es incompatible, cuando no la tiene. Un sistema compatible es determinado, cuando tiene una sola solución; y es indeterminado, cuando tiene infinitas soluciones.
119
La gráfica de un sistema de dos ecuaciones lineales en dos variables pueden ser dos líneas paralelas, dos líneas que se intersecan, o dos líneas que coinciden.
Si la gráfica de un sistema son dos líneas paralelas, entonces el sistema no tiene solución.
Si la gráfica de un sistema son dos líneas que se intersecan, el sistema tiene una solución: el par ordenado (x,y) que corresponde al punto de intersección.
Si la gráfica de un sistema es una línea, entonces el sistema tiene un número infinito de soluciones.
8.5 RESOLU RESOLUCIÓN CIÓN DE UN SISTEMA D DE E DOS ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓG INCÓGNITAS. Resolver un sistema de ecuaciones es realizar las transformaciones necesarias con las ecuaciones dadas, para obtener una sola ecuación con una incógnita. A este proceso se le llama eliminación. eliminación. Existen tres métodos usuales de eliminación: a) reducción o de sumas y restas restas; b) sustitución sustitución; c) igualación igualación. 8.5.1 ELIMINACIÓN POR REDUCCIÓN Este método consiste en igualar los coeficientes de una misma incógnita en ambas ecuaciones, por medio de multiplicaciones adecuadas, y después sumar o restar miembro a miembro las ecuaciones para eliminar dicha incógnita.
120
Para resolver un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas por el método de reducción se realiza el siguiente procedimiento: 1. Se igualan los coeficientes de la incógnita que se quiere eliminar, multiplicando las dos ecuaciones por números convenientes. 2. Si los signos de estos coeficientes son iguales, se restan ambas ecuaciones, miembro a miembro; y, si los signos son contrarios, se suman las ecuaciones. 3. Se resuelve la ecuación que resulta y tenemos así el valor de una incógnita. Sustituyendo este valor en cualquiera de las ecuaciones dadas, obtenemos el valor de la otra incógnita. 4. Se comprueba la solución, sustituyendo los valores de las incógnitas en las ecuaciones dadas. Ejercicio 1: Resolver por el método de reducción el siguiente sistema: 2 x -3 y = 3 5 x +
y = 16
RESOLUCIÓN: Lo más sencillo en este caso es igualar los coeficientes de la y, para los cual basta multiplicar la segunda ecuación por 3. Entonces se obtiene 2x - 3y = 3 15 x + 3 y = 48 Observemos ahora que los dos términos que contienen a la incógnita y son simétricos (iguales en valor absoluto y de signos contrarios); por lo que, sumando miembro a miembro las dos ecuaciones, se elimina la incógnita y. Así se tiene: 2 x -3 y = 3 15 x + 3 y = 48
17 x
= 51
Resolviendo esta ecuación, resulta x = 3
121
Para encontrar el valor de y, y, sustituimos el valor obtenido para x,, en cualquiera de las ecuaciones dadas, por ejemplo, en la segunda, y tenemos 5 (3) + y = 16 15 + y = 16 y = 16 - 15 y =1 Por tanto, la solución del sistema es x = 3
y = 1 Comprobación: En el sistema dado se sustituyen las dos incógnitas por los valores encontrados 2 (3) – 3 (1) = 3 5 (3) + 1 = 16 6–3= 3 15 + 1 = 16 3 = 3 16 = 16 Se concluye que x =3, y =1, o bien la pareja ordenada ( x, y )=(3,1) es la solución del sistema de ecuaciones. La gráfica del sistema se muestra muestra a continuación:
Se observa que el punto de intersección de las rectas es el punto (3,1), la solución del sistema de ecuaciones. 122
Ejercicio 2: Resolver por el método de reducción el siguiente sistema: 4 x -3 y = 5 8 x - 6 y = 10
RESOLUCIÓN: RESOLUCIÓN Se multiplica la primera ecuación por 2. Entonces se obtiene 8 x - 6 y = 10 8 x - 6 y = 10 Restando las ecuaciones se tiene: 8 x - 6 y = 10 8 x - 6 y = 10
0 = 0 Ambas variables han desaparecido y el resultado es una identidad. El sistema es dependiente o indeterminado porque tiene infinitas soluciones. La gráfica del sistema se muestra a continuación:
Se observa que la gráfica del sistema es una sola recta, lo cual indica que el sistema tiene infinitas soluciones.
123
Ejercicio 3: Ejerci Resolver por el método de sumas o restas el siguiente sistema: x - y = 7 4 x - 4 y = 10 RESOLUCIÓN: RESOLUCIÓN Se multiplica la primera ecuación por 4. Entonces se obtiene 4 x - 4 y = 28 4 x - 4 y = 10 Restando las ecuaciones se tiene: 4 x - 4 y = 28 4 x - 4 y = 10
0 = 18 Ambas variables han desaparecido y como resultado hay una igualdad incorrecta. Por lo tanto el sistema es incompatible o inconsistente porque no tiene solución. La gráfica del sistema se muestra a contin continuación: uación:
Se observan dos rectas paralelas. El sistema no tiene solución porque no existe ningún punto de intersección.
124
Ejercicios Propuestos Resolver por el método de reducción o de sumas y restas, los siguientes sistemas: 1.
x + y x - y
= 12 =6
6.
5 x + 2 y = 9 3 x - 2 y = -5
2.
x + y = 18 2 x - y = 15
7.
4 x - 3 y = 10 2 x + 5 y =-8
3.
x + 2 y = 8 3 x - y = 3
8.
2 x - 4 y = 20 3 x + 2 y =2
4.
4 x -6 y =-2 x + 3y =-5
9.
3 x + 7 y = 13 -5 x + 3 y = 29
5.
3 x + 2 y = 11 5 x + 4 y = 21
10.
- y + 4 x = 16 3 x + y = 12
8.5.2 ELIMINACIÓN POR SUSTITUCIÓN Consiste en despejar en una de las ecuaciones dadas el valor de una incógnita en función de la otra incógnita y sustituir después este valor en la otra ecuación. Para resolver un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas por el método de sustitución: 1. Se despeja en cualquiera de las ecuaciones el valor de una de las incógnitas. 2. Este valor se sustituye en la otra ecuación, que se transforma así en una ecuación de primer grado con una incógnita. 3. Se resuelve esta ecuación para obtener el valor de una de las incógnitas. Sustituyendo el valor hallado en cualquiera de las ecuaciones, se encuentra el valor de la otra incógnita. 4. Se comprueba la solución obtenida.
125
Ejercicio 4: Resolver por el método de sustitución el siguiente sistema: 2 x - 3 y = 5 x + 2 y= 6
RESOLUCIÓN: En cualquiera de las ecuaciones (por ejemplo, en la segunda) despejamos el valor de una de las incógnitas x = 6-2 y Sustituyendo este valor de x en la primera ecuación, tenemos 2 (6 - 2 y ) - 3 y = 5 Haciendo operaciones, resulta 12 - 4 y - 3 y = 5 -7 y =-7 7 y = 7 y= 1 Sustituyendo este valor de y en la ecuación x = 6 - 2 y , tenemos x = 6 - 2 (1) x = 4
La solución del sistema es: x = 4
y = 1 Comprobación: 2 (4) - 3 (1) = 5 4 + 2 (1) = 6 8 - 3= 5 4 + 2 = 6 5 = 5 6 = 6
126
Ejercicio 5: Resolver por el método de sustitución el siguiente sistema: 2 x + 3 y = 12 3 x - 4 y = 1 RESOLUCIÓN: Despejamos la incógnita x en la primera ecuación 12 3 y x = 2 Sustituyendo este valor de x en la segunda ecuación, se obtiene 12 3 y 3 -4 y =1 2 Resolviendo esta ecuación 36 9 y - 4 y =1 2 36 - 9 y - 8 y = 2 - 17 y = - 34 17 y = 34
y =2 Ahora sustituimos el valor de y en la ecuación x = x =
12 3(2) 2
x =
12 6 2
12 3 y y tenemos 2
x =3
La solución del sistema es x = 3
y = 2
127
Comprobación: 2 (3) + 3 (2) = 12 3 (3) - 4 (2) = 1 6 + 6 = 12 9 -8 =1 12 = 12 1 = 1 Ejercicio 6: Resolver por el método de sustitución el siguiente sistema: 6 x = 3 y + 4
y= 2 x - 2 RESOLUCIÓN: En la ecuación 2 la variable y ya está despejada. Sustituimos y = 2 x - 2 en la primera ecuación: 6 x = 3 y + 4 6 x = 3 (2 x - 2) + 4 6 x =6 x -6+4 6 x -6 x =-6+4 0 = -2 Las variables desaparecen y se llega a una igualdad que no es correcta. Se concluye que el sistema de ecuaciones es incompatible o inconsistente porque no tiene solución. Ejercicio 7: Resolver por el método de sustitución el siguiente sistema: 2 x + 3 y = 12 6 x + 9 y = 36
128
RESOLUCIÓN: Despejamos la incógnita x en la primera ecuación 12 3 y x = 2 Sustituyendo este valor de x en la segunda ecuación, se obtiene 12 3 y 6 + 9 y = 36 2 Resolviendo esta ecuación
72 18 y + 9 y = 36 2 72 - 18 y + 18 y = 72 72 = 72 La variable ha desaparecido y el resultado es una identidad. El sistema es dependiente o indeterminado porque tiene infinitas soluciones.
Ejercicios Propuestos Resolver por el método de sustitución los siguientes sistemas:
11.
x + 3 y =7 2 x - y =7
16.
5 x - 3 y = 14 2 x + 9 y = 26
12.
3 x + y =9 2 x + 3 y = 13
17.
5 x + 3 y =2 x + 2 y =6
13.
2 x - y =1 x + 3 y = 18
18.
3 x - 4 y =5 2 x + y =-4
14.
x + 7 y = 28 3 x - 2 y = 15
19.
4 x - 3 y = -7 y =4 2 x +
15.
6 x + 3 y =3 2 x - 5 y =7
20.
3 x 5 x
+ 6 y =-2 - 3 y = - 12
129
8.5.3 ELIMINACIÓN POR IGUALACIÓN Este método consiste en despejar el valor de la misma incógnita en función de la otra, en las dos ecuaciones dadas, igualando después ambos valores. Para resolver un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas por el método de igualación: 1. Se despeja la misma incógnita en cada una de las ecuaciones dadas. 2. Se igualan estos valores obteniéndose así una ecuación de primer grado con una incógnita. 3. Se resuelve esta ecuación para obtener el valor de una incógnita. Sustituyendo el valor hallado en cualquiera de las ecuaciones, se determina el valor de la otra incógnita. 4. Se comprueba la solución. Ejercicio 8: Resolver por el método de igualación el siguiente sistema: 2 x + 3 y = 7 3 x -4 y = 2 RESOLUCIÓN: Despejando la incógnita x en cada una de las ecuaciones, se obtiene x =
7 3y 2
x =
2 4y 3
Igualando estos valores, tenemos
7 3y 2
2 4y 3
130
Resolviendo la ecuación 3 (7 - 3 y ) 21 - 9 y -9 y -8 -17 17
= 2 (2 + 4 y ) = 4+8 y y = 4 - 21 y = - 17 y = 17 y =1
Sustituyendo este valor en una de las ecuaciones, tenemos x =
7 3(1) 2
x = 2
La solución del sistema es x = 2
y= 1 Comprobación: 2 (2) + 3 (1) = 7 3 (2) - 4 (1) = 2 4 + 3= 7 6 -4 =2 7 = 7 2 = 2
Ejercicios Propuestos Resolver por el método de igualación los siguientes sistemas:
21.
x + 6 y = 27 3 x -2 y =1
26.
3 x + 5 y = 14 -7 x + 2 y = 22
131
22.
5 x + 8 y = 21 4 x + y =6
27.
2 x + 5 y =1 4 x - 2 y = 14
23.
7 x - 4 y = 13 5 x + 3 y = 21
28.
5 x - 3 y =2 2 x + 4 y = - 20
24.
3 x + y = 23 2 x - 5 y = - 13
29.
8 x - 3 y = 12 12 x + 4 y = 1
25.
9 x — 2 y = 34 x + 7 y = 11
30.
3 x + 5 y =5 6 x — 10 y = — 2
8.5.4 SISTEMAS CON ECUACIONES FRACCIONARIAS Ejercicio 9: Resolver el siguiente sistema por cualquier método: 2x y 3 5 x 2y 2 5
1 15 2 3
RESOLUCIÓN: Se eliminan los denominadores multiplicando cada ecuación por el mínimo común múltiplo (m.c.m) de sus denominadores. Así, la primera ecuación se multiplica por 15 y la segunda por 30: 15
2x 3
y 5
1 15
30
x 2
2y 5
2 3
30 x 3 30 x 2
15 y 5 60 y 5
15 15 60 3
132
10 x 3 y 1 15 x 12 y 20 Se resolverá el sistema por igualación. Para ello se despeja x de ambas ecuaciones, y se obtiene: 1 3y 20 12 y x y x 10 15 A continuación se igualan ambas expresiones: 1 3y 20 12 y 10 15 Se realiza el producto en cruz: 15( 1 3 y ) 10( 20 12 y ) 15 45 y 200 120 y - 120 y 45 y 200 15 165 y 185 185 37 y 165 33 Se sustituye este valor de y en x
1 3y : 10
37 33 10
1 3 x
1 x
111 33 10
33 33
x
111 33 10
144 33 10 1
144 330
24 55
24 55
Comprobación: Sustituyendo estos valores en las ecuaciones originales: 24 37 2 1 55 33 3 5 15 = 24 2 37 2 33 55 2 5 3
133
48 55 3 24 55 2
37 1 33 5 15 74 33 2 5 3
48 15 55 3
37 33 5
24 30 55 2
5 15
48 11 3
24 11
37 11 2
74 11
48 55
74 33 5
3
24 55
6
1 20
1 1 220 11
1 15
2 3
37 33
15 15
74 33
60 3
11 1 11 = 72 148 11 11
20
20
1 1 20 20
134
Ejercicios Propuestos Resolver por cualquier método los siguientes sistemas:
31.
2x y 5 2 x 3y 3 4
8 2 1
32.
x 1 y 2 12 3 2 2 2x 2 y 1 4 3 4 2
33.
x 2y 2 3 3x y 5 2
34.
x 3
2y
x
2y 3
2 5
3 4 0
135
CAPITULO 9
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Al final del Capítulo se espera que el alumno alcance los siguientes objetivos Objetivos
Nivel Taxonómico
APLICARÁ LOS MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN, COMPLETAR EL TRINOMIO CUADRADO PERFECTO Y FÓRMULA GENERAL EN LA RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA OPERARÁ CON POLINOMIOS
Aplicación Aplicación
Una ecuación de segundo con una incógnita es una expresión de la forma
ax 2
bx c
0 , con a, b, c
, a
0 . Para obtener el conjunto solución de este
tipo de ecuaciones, se estudiarán tres métodos: 1) Completar el trinomio cuadrado perfecto. 2) Factorización. 3) Fórmula General. En lo sucesivo al término ax 2 se le llamará término cuadrático; al término bx se le llamará término lineal y al término “ c ”, se le llamará término independiente.
9.1 MÉTODO DE COMPLETAR EL TRINOMIO CUADRADO PERFECTO. Ejercicio Resolver la ecuación 2 x 2
x 3 0
Resolución Paso 1. Cancelar el término independiente en el miembro izquierdo de la ecuación:
2x 2
x
3
Paso 2. Multiplicar en ambos miembros de la ecuación por el inverso multiplicativo del coeficiente de x 2 :
136
1 (2 x 2 2
x)
1 (3) 2
1 3 x 2 2 Paso 3: Completar el trinomio cuadrado perfecto en el miembro izquierdo de la x2
ecuación:
1 1 x ( )2 2 4
x2
1 1 x 2 16
x2
3 2
1 2 ) 4
(
25 16
Para completar el trinomio cuadrado perfecto, el coeficiente de x se divide entre 2 y el resultado se eleva al cuadrado. Paso 4: El miembro izquierdo se escribe como el cuadrado de un binomio:
(x
1 2 ) 4
25 16
Paso 5: Se extrae la raíz cuadrada en ambos miembros:
1 2 25 ) 4 16 1 5 x 4 4 1 5 o (x 4 4 (x
x
Paso 6: Se resuelven las ecuaciones x
x
1 4
5 4
1 4
5 y 4 (x
1 ) 4
5 4
(x
1 ) 4
1 ) 4
5 4
5 4
137
x
5 4
x
6 4
x El conjunto solución es S
1 4
3 2 3 1, 2
x
5 4
x
4 4
x
1 4
1
Ejercicio Resolver
3x 2
5x 2
0
Resolución: En este caso el coeficiente de x 2 es negativo; se recomienda multiplicar en ambos miembros de la ecuación por –1, para que el coeficiente de x 2 sea positivo. Posteriormente se siguen los pasos del ejemplo anterior.
3x 2 ( 1)( 3x 2
5x 2
5x 2
3x 2
0)
5x 2 3x 2
x
0
5x
1 0
0 2
1 (3x 2 3
5 x)
1 (2) 3
x2
5 x 3
2 3
5 x 3
2
x2
5 x 3
5 6
2
25 36
2 3
5 6
2
49 36
138
x
5 6
x
5 6
x
x
x
5 6
5 6
2
49 36
2
49 36
5 6
7 6
7 6
7 6 o
x
5 6
5 6
7 6
7 6 7 6
5 6
x
7 6
x
2 6
x
12 6
x
1 3
x
2
El conjunto solución es S
2,
5 6
x
x
1 3
Ejercicio Resolver 5 x 2
x
0
Resolución: El término independiente en la ecuación 5 x 2 directamente se multiplica por
x
0 es igual a cero, de modo que
1 en ambos miembros de la ecuación. 5
139
5x2
x
x
1 (5 x 2 5
x)
1 (0) 5
x2
1 x 5
0
1 x 5
2
x2
1 10
1 x 10
x
El conjunto solución es S
1 10
2
1 1 x 5 100 1 x 10
x
0
2
2
1 10
1 10
1 10
2
1 100 1 100
1 100
1 10
x
1 10
x
1 1 10 10
x
x
0
x
1 10 1 1 10 10 1 5
1 ,0 5
Ejercicio Resolver
9 x 2 18
0
Resolución:
140
La ecuación
9 x 2 18
0 se puede escribir como
9x 2
0 x 18 0 .
Se considera esta última expresión y se aplica el método descrito:
9 x 2 0 x 18 0 1 ( 9 x 2 0 x 18) ( 1)(0) 9x2
0 x 18 0 9x2
x
0 x 18
1 (9 x 2 9
0 x)
1 (18) 9
x2
0x
2
2
0 2
0x
x2
2
El conjunto solución es S
2
0 x 02 ( x 0)
0 2
2
2 0 2
2
( x 0) 2
2
x 0
2
x 0
2
x 0
x
2
x
2
2
2, 2
Ejercicios Propuestos Resolver por el método de completar el trinomio cuadrado perfecto las siguientes ecuaciones:
1) 2 x 2
5 x 12
0
141
2)
4 x 2 11x 3 0
3)
3x 2
5x 4
4) 16 x 2
2x
5) 4 x 2 16
0
0 0
9.2 MÉTODO DE FACTORIZACIÓN. Ejercicio Resolver 5 x 2
7x 6
0
Resolución Paso 1. Se multiplica por el coeficiente numérico del término 5x 2 en ambos miembros de la ecuación: 5(5 x 2 2
5 x
2
(5 x)
7 x 6)
5(0)
5(7 x) 5(6)
0
7(5 x) 30
0
2
Nota: Observar que el término lineal 5 7x se expresó como 7 5x . Paso 2. Se buscan 2 números cuya suma sea 7 y cuyo producto sea –30. Estos son 10 y –3. Luego: (5 x) 2
7(5 x) 30
(5 x 10)(5 x 3)
Por lo tanto:
(5 x 10)(5 x 3)
5 x 10
0
0
5x 3 0
5x
10
5x
3
x
10 5
x
3 5
x
2
142
El conjunto solución es S
2,
3 5
Ejercicio Resolver 14 x 2
31x 10
0
Resolución: Nuevamente se sugiere multiplicar por (–1) en ambos miembros de la ecuación. 14 x 2
1
31x 10
14 x 2
31x 10
14 14 x 2
31x 10
14 x
2
31 14 x
140
14 x 35 14 x 4
El conjunto solución es S
1 0
0 14 0 0
0
14 x 35 0
14 x 4 0
14 x
35
14 x
x
35 14
x
4 14
x
5 2
x
2 7
4
2 5 , 7 2
143
Ejercicio Resolver x 2
8 x 20
0
Resolución En este caso, dado que el coeficiente de x 2 es uno, simplemente se buscan los números cuya suma es –8 y cuyo producto es –20. Estos números son 2 y –10. Se factoriza el trinomio de x 2
x 2 x 10
El conjunto solución es S
x 2
0
x
2
8 x 20
0:
0
x 10
0
x 10
2,10
Ejercicio Resolver 12 x 2
27 x
0
Resolución Como se trata de una ecuación con término independiente nulo, se factoriza el binomio por el método del factor común y se obtienen las raíces de la ecuación:
12 x 2
27 x
3x 4 x 9
El conjunto solución es S
0
3x
0
4x 9 0
x
0 3
4x
9
x
0
x
9 4
0,
9 4
Nota: Toda ecuación de la forma ax 2
x
0
bx
0 tiene como una de sus soluciones a
0
144
Ejercicios Propuestos Resolver las siguientes ecuaciones por medio de factorización. 1)
4 x2
27 x 4
04
2)
x2
4 x 60
0
3)
9 x 2 17 x 8
4) 15 x 2
x
23x 2
5)
0
0 8x
0
9.3
FÓRMULA GENERAL
Ejercicio Obtener
ax 2
la
bx c
fórmula
0
a, b, c
general , a
para
resolver
una
ecuación
de
la
forma
0
Resolución: Para obtener la formula general, se utiliza el método de completar un trinomio cuadrado perfecto.
ax 2
bx c ax 2
1 a
x
x2
c
ax 2
bx
1 a
x2
b x a
c a
b x a
2
bx
0
b x a
b 2a
2
b2 4a 2
c
c a
b 2a
c a
b2 4a 2
2
145
x
b 2a
x
b 2a
x
b 2a
x
x
b 2a
x
x
b2
2
2
4ac 4a 2
b2
4ac 4a
b 2a
b2
4ac 4a
x
b2
4ac 2a
b 2 4ac 2a
b
b2
2
4ac 4a
b 2a
4ac b 2 4a 2
b2
b 2a
x
x
b 2a b
4ac 4a
b2
4ac 2a
b 2 4ac 2a
b ± b 2 4ac Fórmula general 2a
x
b
El conjunto solución es S
b 2 4ac b , 2a
b 2 4ac 2a
Ejercicio Resolver 12 x 2
52 x 9
0
52 , c
9
Resolución: Aquí a 12 , b
Aplicando la fórmula general:
146
x
El conjunto solución es S
x
52± (52) 2 4(12)( 9) 2(12)
x
52± 2704 432 24
x
52± 3136 24
x
52±56 24
52 56 24
x
52 56 24 108 24
x
4 24
x
x
1 6
x
9 2
9 1 , 2 6
147
Ejercicio Resolver 4 x 2
x 1 0
Resolución:
En este caso a
4, b
1, c
1
( 1)± ( 1) 2 4(4)( 1) 2(4)
x
1± 1 16 8
x
x
x
El conjunto solución es S
1
1± 17 8
17
x
8
1 8
17 1 ,
1
17 8
17 8
148
Ejercicio
Resolver 7 x 2
x
0
Resolución
Ahora se tiene a
7 , b 1, c
0
1± 1 2 4(7)(0) 2(7)
x
x
x
x
0
1± 1 14
x
1±1 14
1 1 14
x x
1 1 14 1 7
149
Ejercicio Resolver 11x 2
3
0
Resolución: Como a 11 , b
0, c
3 x
0
x
0± 0 2 4(11)( 3) 2(11)
132 22
132 22
x
x
4 33
x
x
22
x
0
132 22
132 22 4 33 22
x
2 33 22
x
2 33 22
x
33 11
x
33 11
El conjunto solución es S
33 33 , 11 11
Ejercicios Propuestos Utilizar la fórmula general para resolver cada una de las siguientes ecuaciones: 1) 3x 2
7 x 26
2) 9 x 2
7x 2
3)
x2
4) 20 x 2 5)
x 17 9x
0 0
0 0
2 x2 1 0
150
BIBLIOGRAFÍA 1. De Oteyza, Elena et al., Conocimientos Fundamentales de Matemáticas ÁLGEBRA. México, Pearson Educación, 2006. 2. De Oteyza Elena et al., ÁLGEBRA. México, Prentice Hall, 1996. 3. Fuenlabrada, Samuel, ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA. México, Mc Graw Hill, 2007. 4. Gustafson, R. David et al., ÁLGEBRA INTERMEDIA 7ª. Edición. México, Thomson, 2006. 5. Larson, Ronald E. et al., ÁLGEBRA INTERMEDIA 2ª. Edición. México, Mc Graw Hill, 2000. 6. Baldor, Aurelio, ÁLGEBRA. México, Publicaciones Cultural, 2000. 7. Rees, Paul K, , ÁLGEBRA. México, Reverte, 1997
151
