SEMANA 1
TEORÍA DE EXPONENTES ECUACIÓN DE 1º GRADO 1.
E
Efectuar: 31
E 27
36
A) 3 D) 1
B) 6 E) 0
21
4 * 3
22
A) 8 D) 2
1
* 362
* 22
1 6
C) 4
6 2 9 3
1
2
23
23
E
1 4
3
1 8
3
1
2
23
23
E 8
RPTA.: D
3 82 4 RPTA.: C
Simplificar: 2 5 4 3 E 27 27 3 2 3
A)
2 3
3 2
B)
D) 3
0,2
4.
1 625
C) 2
* 27
* 3
4
2 3
5 3
1 3
3
27 1
27
E
2
1 9
5
1 243
1 625 4
B) 22 E) 25
C) 23
1 4
1 9
1 2
1 4
2
625 9 4² RPTA.: D
0,2
27 1 6 243
243 32
0,2
0,2
2 5 10
3 2
3 2
5.
Para n ; n 2 el equivalente de la expresión n² n a a² a³...a será:
A) a
RPTA.: B Calcule:
1
0,250,5
5 + 3 + 16 = 24
1 2 1 E 9 243 81 32 E 243
1 9
1
42
RESOLUCIÓN
1 81
0,2
1 16
A) 21 D) 24
E) 1
* 27
Efectuar: 0,5
RESOLUCIÓN
3.
B) 6 E) 5
0, 6
3 4
20 ,6
RESOLUCIÓN
E 1 1 2.
3
2
1
C) 2
RESOLUCIÓN 1 1 * 27 3 3 1
4 3
0, 125 3
D)
n
n
5
a a³ a ...a
B) a²
a
E)
RESOLUCIÓN
n
2n1
a
C) 0
n3
n
n² nn1 a 2
n
a2 b2 P 1 1 a b
n 3 n2 nn1 n 3 n n2 n 2 a a a
n n 3 a 2
n n 3
1
a2
a
C)
48 factores
A
3
x
3
x
x
44 factores
A) x6 D) x7
B) x9 E) x7
A
x
48
x
44
x x3
9.
2
1
b a
2
Simplificar:
14a 14b 2 b 14a 2 a 14b
A) 14a+b D)
x 1
20 4 22x 2
14 2
; si: a + b = ab
B) 14
C) 7
ab
E) 7a+b
x 2
B) 3 E) 6
RESOLUCIÓN C) 4
M
x
20x 20 4x 42 4x 41
x
5x 5
14a 14b
2 14a1 14b1
14a 14b
2 141 14a 14b
1 1 7 M 7
M
RESOLUCIÓN x
20x 20 4x 20
RPTA.: D Si:
2
RPTA.: E
RPTA.: E
8.
b a
PQ
A x7
A) 2 D) 5
a b
1
M
x
D)
2
1 ab ab
ab 1 y Q ba ab b a ab 1 PQ b a ab b a
x18 A 11 x
Efectuar:
B)
P
C) x4
x16 A 11 x2 x
7.
1
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN 3
a b
E)
x 3 1 ; x 0 x... x x
x...3 x
x
1 ba ab
A)
Efectuar: 3
a1 b1 y Q 2 b2 a
Halle P . Q, siendo b > a > 0
RPTA.: D 6.
1
RPTA.: C 10.
Si: a+b = 2ab ; {a;b}
-{0;1}
1 1 a b
Reducir:
x y
A)
a a 1 b
x
b 2a
2b
RESOLUCIÓN
y 1
y
a b
1 1 a b
x y x1 y1
1 1 b
y
y
12.
1 1 2 1 b
11.
Resolver
5
5
y
5
5
x2
Calcule:
E x 4x
1 2
B)
Elevando m. a.m.
x 2
x 2
x2
5
1 2
5 e indicar
E x
5
E)
2 x 1
1 4
C) 2
x
x
cuadrado
el dato
1
x
2x
1 C) 5
B) 5
5
5
22 x 2 2
4x
2
4x
2 x
4x
2 xx
Luego: E x
x 1
al
E x
D)
y
E) 5
RESOLUCIÓN
el valor de: x1
1 A) 5
y
2
D) 4
x y
1 x
Si: x
A)
RPTA.: A
x 1
RPTA.: B
1 1 2 a b 1 1 2 1 2 2 1 a b b b
x y
5
1 b
(*) a + b = 2ab
1 2
5
x 1 5
1 1 b
x
y y
y
y 5
x y
1 1 b
y
1
E) 1
1 a
y
y
RESOLUCIÓN 1 1 a b
1 y x
Cambio de variable:
x C) y
y x
B)
y D) x
x
x
4x2
x
1 2
4x
Ex
1 4 2
E = x² 2
1 1 E 2 2
1 5
RPTA.: A
13.
Calcule “x” en:
21 23 x
21 23 x
2123 x
x
xx
30
x27 60 x 51
60
x54 60 x51
A) 27 D)
21
3
B)
3
E)
3
9
C)
9
3
RPTA.: E 15.
n
n
Luego:
A) 236 D) 128
21 2 3 x
2 x 3
Si: 52x = 2(10x) 4x
n 21
21 n 21
5 2
n 21
x
2
2 x n 21.............()
2
3 n
x
n n 21
Solo se verifica para: n = 27
E
2 1
E
33
2x 0 5x 2x
1 2
2
1 16
4
1 E 16
16.
Reducir:
3 3
x² x 4 x7 3
B) x 4
A) x D) x
1 2
2
RPTA.: B
RPTA.: C
5
2 5x 2x 0
E = 16² = 256
x 93
14.
C) 512
Reemplazando:
2 3 n n 21
27
2
x4
x=0
n
x
x
5
() en ():
x 2
B) 256 E) 0
RESOLUCIÓN
n
3
x 21
Calcule: E
n x n x n.......()
23 x
x7 7
Trabajando con cada miembro.
x
x105
x4
20
RESOLUCIÓN xx
4
60
E) x
RESOLUCIÓN
4
1 x6 x x²
Resolver: 1 3 2 2 3 1 0 x x 1 x 2 x 3 x 4 x 5
5
3 2 5 D) 2 A)
5
C) x 4
B)
2 5
E) 4,5
7 4
RESOLUCIÓN
C)
2 3
1 3 2 1 3 3 x x 1 x 3 x 5 x 1 x 4
RESOLUCIÓN d ax d bx d cx x x x bc ac ab
2 2x 5 3 2x 5 2x 5 2 2 2 x 5x x 5x 6 x 5x 4 1 2 3 2 2 2x 5 2 0 x 5x x 5x 6 x 5x 4 0
2x 5 0 5 x 2
RPTA.: D 17.
d x0 abc
d ax bx cx d bx ax cx bc ac d cx ax bx d ax bx cx 0 ab abc 1 1 1 1 d a b c x 0 b c a c a b a b c
0
d = (a + b + c) x
Halle el conjunto de solución de la ecuación en “x”. a b x a x b x ; a 0 ; b a
A) B) {a} D) {a + b} E) {a b}
x
b0
C) {b}
RPTA.: C 19.
Multiplicando por “ab”. a²x a³ + b²x + b³ = ab x
A)
(a² + ab + b²)x = a³ b³
3 2
C)
2 3
E) 1
Recordando que:
RPTA.: E Resolver en “x”; {a; b; c; d} R
ax + b = 0 tiene soluciones, si y solo si:
+
a=0
d ax d bx d cx d 4x bc ac ab abc
E)
B)
RESOLUCIÓN
Cs = {a b}
d abc
1 4
D) 3
(a²+ab+b²)x = (ab)(a²ab+b²) x=ab
C)
admite
infinitas soluciones.
a² (x a) + b² (x + b) = ab x
A) 1
Calcule a + b sabiendo que la ecuación en “x”
ax 1 x 2 x2 b 4
RESOLUCIÓN
18.
d abc
B) d D)
a 2b 3c d
infinitas
b=0
a 1 x 1 x x20 b b 4 2
a 1 1 1 b 4 1 x b 2 2 0
a 1 1 b 4
a 5 b 4
5 3 2 2
1 1 2 b 2
4
5 9 8
1 3 b 2
6
22 RPTA.: A
SEMANA 2
b
2 3
ab
POLINOMIOS – V.N. - GRADOS
5 6
a
21.
9 3 6 2
RPTA.: B 20.
A) 1 D) 4
Resolver la ecuación
x 2 3 5
x 3 2 5
x 5 2 3
3
x x
3 3
x 5
5
2
B) 25
D) 5 3
E) 7 5
T.I. = P(o) = nn coef = P(1) = (1 + 2 + n)n
2
4
2n . nn = (3 + n)n 2n = 3 + n n = 3
RPTA.: C 22.
1
x 3 2 5
Calcule “m” si la expresión:
M x
C) 3 2
m
x
m
x²
m
x³
m
xm
se transforma a una expresión algebraica racional entera de 5to grado.
RESOLUCIÓN 3 5
C) 3
6
A) 22
x 2
B) 2 E) 5
RESOLUCIÓN
luego indique el valor de: 2
Sea el polinomio: P(X) = (xn1 + 2xn2 + n)n, si 2n veces su término independiente es igual a la suma de sus coeficientes, entonces “n” es:
A) 8 D) 11
1
B) 9 E) 12
C) 10
RESOLUCIÓN x 5 2 3
1 0
1 x 2 3 5 3 5
M x 1 2 5
0
x
2 3 5
Pero nos piden:
0 2 3 1
m
M X x
123....m
x
m1 2
m
m1 m 2
x
x5
m=9
RPTA.: B
23.
Calcule “n” para que el monomio sea de 2º grado.
M x
xn2
A) 4 D) 8
3
xn
x x
x2n3
2
2
25.
4
A) 0 D) 3
2
4
B) 5 E) 9
M x
x
x
2n 4
2
RPTA.: A x
2
4
x10n4 x4n8
26.
en donde: G.Rx G.Ry = 3 G.A(P) = 13 Calcule: a + b A) 6 D) 11
RPTA.: A a b c ab bc ac Halle el grado absoluto de: Si:
ab2 c2
RESOLUCIÓN G. RX = a + 3 G. Ry = b 2 a + b = 12
2
B) 4 E) 8
27.
C) 5
G.A(P) = a+b+1
Sea P(x) un polinomio lineal tal que verifica la relación
P P x P6X 9x 21
Para todo valor de “x”. Halle P(4) A) 17 D) 32
9a² 8ac 8bc ..... a b ² c²
de la condición: a b c k ab bc ac
B) 18 E) 33
C) 19
RESOLUCIÓN
Propiedad de proporciones: abc 1 2 a b c 2
C) 8
RPTA.: E
RESOLUCIÓN El G.A. =
B) 7 E) 12
x9a y8ac z8bc
transformable a una E.A.R.E. A) 3 D) 7
Del siguiente polinomio
P(x; y) = 7xa+3yb2z6a+5xa+2yb3za+b
M(x) = x6n 22 = x2 6n 22 = 2
E x;y;z
C) 2
E = 3² 3(3) + 1 + 1 3 + 1 E=0
n=4
24.
B) 1 E) 7
RESOLUCIÓN
C) 6
RESOLUCIÓN
3n6 2n3
Si: P(x+5) = x² 3x + 1 Calcule: E = P(8) + P(6)
a 1 abck ab 2 Lo reemplazamos en “” 9a² 8a² 8a² 25a² G.A. 5 4a² a² 5a²
RPTA.: C
Sea P(x) = ax + b P(6X) = 6ax + b P(P(x)) = a(ax+b)+b = a²x+ab+b Luego: a²x + ab + b 6ax b = 9x+21
(a² 6a)x + ab = 9x + 21
a² 6a = 9 ab = 21 (a3)² = 0
a=3
3b = 21 b=7 Entonces: P(x) = 3x + 7
P(4) = 3(4) + 7 = 19
RPTA.: C 28.
Calcule “n”, si monomio es 6.
M x;y;z;w A) 12 D) 11
4
el
G.A.
x2n4
3
z2n3
y2n
5
w16
5
B) 13 E) 10
30.
del
Además P(P(x)) es independiente de “x”. Calcule “n”
C) 14
B) 8
D) 8
E) 5
P p x
2n 4 2n 3 2n 16 6 4 3 5 5
n
2
1 x n 8
n 8 x 65
46n = 552
n² 16n + 64 64n² + 16n + 1 = 0
RPTA.: A
Calcule “n” si el monomio es de
A) 1 1 D) 2
x
n
x2
B) 3 1 E) 3
3
x
C) 2 31.
M x x
2n
x²
8n
1n=
8n
1
27x 52
1 8
RPTA.: C
Si: P P P x
Calcule: P(1)
RESOLUCIÓN 6n
A) 1 D) 5
x
1 1 1 n 6n
M x x 2
B) 4 E) 1
C) 4
RESOLUCIÓN Como
es
P P P x
lineal,
1 1 1 4 2 n 6n
entonces: P(x) es lineal. Luego
3n + 6 + 1 = 24n
P(x) = ax + b
1 8
46n = 360 + 192
30n 60 + 40n + 60 24n 192 = 360
4to. grado M x
C)
como es independiente de “x” se cumple: n² 1 n 8 65n² + 65 = n8 65
n = 12 29.
A) 1
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN G.A. =
nx 1 Si: P x x8
27x + 52 = a³ + a²b + ab + b
7 = 21n n=
P(P(P(x))) = a³x + a²b + ab + b
1 3
a=3
b=4
P(x) = 3x + 4
RPTA.: E
P(1) = 3 + 4 = 1
RPTA.: E
34. 32.
Halle la suma de los valores de “n” que hacen que la expresión: n 1 Px 2xn3 73 x x7n 6 sea 3 racional entera. A) 7 D) 12
B) 8 E) 13
A) 0 D) 729
n 3 n3n=3
n=3
RPTA.: E 7n 0 n7
35.
n=6
de "n" 9
Sabiendo que:
P x;y 5xm2yn²5
B) 3 E) 13
C) 5
Por ser ordenado y completo: a = 3; b = 2 y c = 1 2(3) + 2 + 3(1) = 6 + 2 + 9 = 17 Calcule “m” si el polinomio 2n
P x 7xn
8n
6x
n
n1
5x2n2
xn1 ... xm²m3
RESOLUCIÓN
C) 15
RPTA.: A 36.
A) 1 D) 8
B) 13 E) 18
RESOLUCIÓN
Q x;y
2xn5ym4 son semejantes. Calcule el menor valor de m + n.
Si el polinomio en “x” e “y” P(x, y) = 5xa + 3xbyc + 2xcyb + ya es homogéneo ordenado y completo respecto de “x” e “y”. Calcule: 2a + b + 3c A) 17 D) 16
RPTA.: C 33.
C) 728
P(x)= (x+1)³ P(1)=0 P(P(1)) = 1 P(1) = (2)³ = 8 P(P(1)) = P(8) = 9³ = 729 P(P(1)) + P(P(1)) = 1+729 = 730
n=6
B) 3 E) 730
RESOLUCIÓN
C) 9
RESOLUCIÓN n30
Sea P(x) = x³ + 3x + 3x² + 1 Calcule: P(P(1)) + P(P(1))
Si: P(x; y) Q(x; y)
es completo y ordenado; en forma ascendente; de 4nn términos.
m 2 = n + 5 m n = 7 ....() n² + 5 = m+4 n²m = 1 ...() + : n² n 6= 0 n = 3 n = 2
A) 4 D) 7
B) 5 E) 8
RESOLUCIÓN
Es ordenado ascendente: Luego: n=3 m = 10 n = 2 m=5 menos: m + n = 3
RPTA.: B
C) 6
en
forma
n2n 8n = 0 n = 2 Luego:
Px 7x0 6x 5x² x³ ...xm³m3 El número de términos es:
P(x) = (3x 1)n+5x + 1; además la suma de coeficientes es 70.
m² m + 3 + 1 m² m + 4 = 4nn m² m + 4 = 16 m² m 12 = 0 m=4
Calcule el valor de: A) 6 D) 12
RPTA.: A 37.
Halle a y b en la identidad: b4ax7 bby8 abx7 aay8
B)
1 1 y 2 4 E) 0 y 1 C)
RPTA.: C 40.
aa = bb
a b ...
ab = b4a b = 2a
RPTA.: C Siendo: P(xn + 1) = x 1 7 Halle: “n”, si: P(3) = 8
Dado el polinomio mónico P(x) = 5x4 7ax5 + (n2)x74x 1 Calcule el valor de: nn A) 1 D) 25
1 1 a= b 4 2 38.
2n = 64 n = 6 10 6 4
RESOLUCIÓN b a
C) 4
RESOLUCIÓN coef P 1 2n 5 1 70
1 1 y 2 3 1 D) 1 y 4
A) 1 y 3
B) 5 E) 3
10 n
B) 4 E) 16
C) 27
RESOLUCIÓN
Por ser mónico y de una variable “x” (coeficiente principal = 1) (n 2) = 1 n = 3 Luego nos piden: nn = 33 = 27
RPTA.: C A)
1 3
D)
1 2 1 E) 3 B)
2 3
1 2
C)
PRODUCTOS NOTABLES 41.
RESOLUCIÓN n
SEMANA 3 Si
x2 y2 3x y , halle y x 4
n
x +1=3x =2x=
n
2
xy yx W x y x 0, y 0 x y
Luego: P(3) =
2 1
7 8
2
D) 2
1 n
Sea P(x) un polinomio
4
E) 16
C) 4
2
1 / 2
RESOLUCIÓN
x3 y3 3xy x y
RPTA.: E 39.
3
B) 2
A) 16
1 2 23 8 1 n 3 n
n
x y3 3xyx y 3xyx y x y3 0
4
RESOLUCIÓN
xx xx x y W x x 16 x x
x y z
3
6
3
6
6
1 12 12 Si a a 1 , halle W a a
x 6y
3
3
6
6
6
2
A)256 D)322
B)306 E)196
C) 343
= = = = =
1 3 7 343 322
Si
8
45.
Si
z ab c
Halle:
W
A) mnp
B)1
C) mnp
D) m n p
x2yz xy 2z xyz 2 b c ac a ba b ca b c
1
E) 2
A)
8
mn 0 m n
8
mp 0 m p
8
pm 0 p m
W
4
93 xyz x y z , x, y, z R 0 W xy xz yz 1
B) 32 E) 8
1 abc
C) 18
xyz x y z 1 xyz a b c
x+y+z=a+b+c
x 6 y 6 z 0, halle
A) 16 D) 16
D)
RESOLUCIÓN RPTA.: B
6
B) b c a
E) 1
w=1
Si:
x y
C) 2y z
RESOLUCIÓN
44.
x bca y c ab
m4n n2p 1 m4m p2n 1
m, np R
93 xyz x y z 2 4
m n 8 m p 8 p m 0,
Halle W
yz 93 xyz
3 9 xyz x y z W 24 16 93 xyz x y z 2 RPTA.: D
RPTA.: D 43.
z
2
6
xy xz yz
RESOLUCIÓN
a² 2 + a2 a² + a2 a4 + a4 a12 + a12 + 3(7) a12 + a12
36 xyz
z x 3 xy z y x y z 3 xyz x y z 2 xy xy
RPTA.: A 42.
3
6
RPTA.: E 46.
W
Simplificar: 5
4
8 2 1 4
A) 343
8
4
8
2 1
B) 4 2
2 1
C) 32 2
D) 8 2
D 2 12 1 22 1
E) 32
2 12 1 2 2
RESOLUCIÓN 24 8 2
2
f
4
f
4
2 1 2 1
8
2 1
n
2
1
8
f 2f 2
8
N 2 1 D 28
5
W 2 W4 2
1 24 1
4
2
2
3
N 1 22 1 22 1
22
2
N
22 22 28
1
. . .
8 2 1
8
24 8
2
22
2
2N3
D
1
. . .
RPTA.: B
2256 1
Si xy 1 3 x 1y, halle
47.
N 32 2256 28
x y 4 3x2y2 W 2 2 4 x y A)11 D)4
B)7 E)8
RPTA.: E
C)-6
49.
RESOLUCIÓN
x y 3 y x x2 y2 3xy x2 2xy y2 5xy
25x²y² 3x²y² 4x²y²
W
Simplificar: 32 2
n3
1 3 22 1 24 1 28 1 ... 2128 1
1 2 1 22 1 24 1 28 1 ...n fact
A) 0,5 D) 0,25
B)2 E)1
B)2
D) 2 7
E) 2 3
C)3
2 7 2 7 28 W 1 33 1 27 3 3 3 3 1 W3 2 33 W 27 W3 2 W W3 W 2 W 1 RPTA.: A
RPTA.:B 48.
A)1
W3 1
x y 5xy x y4 25x2y2 w
3
RESOLUCIÓN
2
1
2 7 3 2 7 1 3 3 3 3
Operar: W
C)4
50.
Si ab
1
ac bc
Halle: W
1
1
1 ,
a 1b 1c 1 , a 1b 1c 1
a, b, c 0
RESOLUCIÓN
A)1
B)-1
C)2
D)
1 abc
52.
E) 21
2
x
a b c abc 0
abc ac bc c ab a b 1 W 1 abc ac bc c ab a b 1
ab bc ac 1 1 ab bc ac 1
B) 0 E) 4096
x
D) a
2
2 C) 211
4
2048
4
1024
8
2048
8
2048
2048
2
2
1 ² 1 x2048 ² 2
1024
Halle: x1 y1 z1 , x, y, z 0 1
W = x² 1 ² x² 1 ² x 1 ²... x 1 ² 1 x ² 2 W = x 1 ² x 1 ²... x 1 ² 1 x ² 2 W = x 1 ² x 1 ².... x 1 ² 1 x ² 2 1 ² x 1 ² 2 W = x 1024
4
Si 1 a1x a y 1 a1z a x y z ,
B) a
2
x 1 ² x 1 ² x² 1 ² x4 1 ²...
1024
RPTA.:B
A)a
RESOLUCIÓN
W=
51.
2
1 1 x2048
A)1 D)-2
a b c abc
2
1024
1 1 1 1 ab ac bc
W=
W x 1 x 1 x2 1 x4 1 ...
RESOLUCIÓN
Simplificar:
1
C) a
E)1
2048
W = 2
RPTA.: D
RESOLUCIÓN x z 1 a a y 1 a a x y z
a xa y a z a a x y z 2
a3 a2 x y z axy xz yz xyz a3 a2 x y z
axy xz yz xyz xy xz yz 1 xyz a 1 1 1 a1 z y x x 1 y 1 z 1 a1
53.
Si n a b c 4ab bc ac 4
a
2
b2 c2 ab ac bc a 2 b 2 c2 8 y: Halle: n, a b c A) 2 2
B)
D)4
E)8
2 2
C)2
RESOLUCIÓN RPTA.: C
a2 b2 c2 x ab bc ac y n x 2y 4yx y n x2 4xy 4y2 4xy 4y2 2
n x²
n a2 b2 c2
a
2
n
a
2
2
2 2
2
b c
() β
8
a b c a b c 2 2abcc b a RPTA.: E a b c a b c 4abca b c Operar: a b c W a b c a b c 6ba c b a b c 2ab 2ac 2bc Si: b = 0,5 2
2 2
2
2
54.
b2 c2 a4 b4 c4 2 a2b2 a2c2 b2c2 ...( )
4
4
2 2
2
4
4
4
2
3
3
2
D)
B)2
1 16
E) 16
C)
2 2
2
2
2
A)1
4
1 4
Ε
3 4
2
a
2
a
2
2
2
b2 c 2
2
b2 c 2 2ab ac bc
1
0
RPTA.: C
RESOLUCIÓN a+c=n
W n b n b 6b n2 b2 3
3
W n3 3n2b 3nb2 b3 n3 3n2b 3nb2 b3 2
56.
¿Cuál es el intervalo de valores de “”, de modo que la ecuación
2x2 2(1) x 8 0,
3
6bn 6b W 8b3
tenga
raíces de distinto signo?
3
1 W 8 1 2
A)
RPTA.: A
1 , 2
C) ;2 E)
55.
2
B) 2; D) 6;2
8;
Si a1 b 1 c 1 0; a, b c 0,
RESOLUCIÓN
Halle:
2 1 x2 x 4 0 0 2
E
a4 b 4 c 4 4abca b c
A) 4abc D)2
a b c4
B)4abc E)abc
2
2 1 16 0 , como c<0, se 2 C)1
RESOLUCIÓN 1 1 1 0 a b c bc ac ab2 02 b2c2 a2c2 a2b2 2abc2 2ab2c 2a2bc 0 b2c2 a2c2 a2b2 2abc c b a...() Además:
presentan 2 posibilidades:
2 1 1 0 2 1 0 2 2 2 1 1 ii) b 0 0 2a 1 0 2 2 i) b 0
En este caso una respuesta seria 1 1 x ; ; 2 2
RPTA.:A 57.
Los valores de “x” que satisfacen la ecuación:
2x 13
x 3 x 6
tiene la propiedad que su suma es: A)-14 D)-2
B)-7 E)7
C)-9
entonces 2b2 9ac
RESOLUCIÓN
2x 13 x 3 2 x 3x 6 x 6 4 2 x2 9x 18 4 x2 9x 18 0 x2 9x 14 0 x 7x 2
I. Si la suma de sus raíces es igual a su producto, entonces b+c=0. II. Si una raíz es la negativa de la otra, entonces b=0. III. Si una raíz es doble de la otra,
x= -7No cumple
A) Las 3 afirmaciones son verdaderas. B) Solo I y II son verdaderas. C) Solo I y III son verdaderas. D) Solo II y III son verdaderas. E) Solo II es verdadera.
x=-2 Si cumple Únicamente ecuación.
(-2)
satisface
la
RPTA.: D 58.
Sea A la suma de las raíces de
ax bx c 0 y B la suma de las 2
raíces a
x 12 bx 1 c 0 ,
entonces B-A es: A)-2 D)1
B)-1 E)2
C)0
RESOLUCIÓN S
b c ; P a a
I. x1 x 2 x1.x 2
b c bc 0 a a
II. x1 x 2 , pero x1 x 2
x2 x2
b a
b a
RESOLUCIÓN
0
b c b x 0S a a a 2 ax 2ax a bx b c 0 ax 2 2a bx a b c 0
0 b (V)
x2
2a b a b c x2 x 0 a a 2a b S a b b B A 2 2 a a RPTA.: A 59.
(V)
En la ecuación cuadrática:
ax2 bx c 0 afirmamos:
b a b 2x 2 x 2 a b 3x 2 a
III. x1 2x 2 x1 x 2
x2
x2
2
b 3a
b 3a b2 2 x2 2 9a
...........................(1)
2
b a
Luego: x1.x 2
x 22
c a
2x2 x2
c a
2x 22
c a
SEMANA 4
DIVISIBILIDAD COCIENTES NOTABLES FACTORIZACIÓN I 61.
c ...........................(2) 2a
(2) toma el valor de 5?
De (1) y (2) b² c 9a² 2a 2b² = 9ac
RPTA.: A 60.
2x 2 m 1x 3 n 0
B) 4x2 4x 3
C) 4x2 4x 3
D) 4x2 4x 2
RESOLUCIÓN
3x 3nx m 2 0
Sea este Polinomio Px 4x2 ax b :
2
Son equivalentes, para m n R, calcule n.
B)15
A) 4x2 4x 3 E) 4x2 4x 2
Si las ecuaciones cuadráticas:
23 A) 5 11 D) 9
¿Cuál será aquel polinomio cuadrático de coeficiente principal 4, capaz de ser divisible por 2x 1 y que al ser evaluado en
Por condición: 4x2 ax b 2x 1 .q'x 2
1 1 4 a b 0 2 2 -a+2b=-2.............................(1)
15 C) 7
E) 9
Además: 4x2 ax b (x 2)q''x 5
RESOLUCIÓN 2 m1 3n 3 3n m2
Entonces: 4(2)² + 2a+b = 5 2a+b = 11 .........................(2) De: 2(1)+(2)
2m 4 9 3n 6n 3m 3 13 3n m 2
: 5b=-15b=-3
En (2) :2a=-8a=-4 Conclusión: Px 4x2 4x 3
13 3n 6n 3 3 2
RPTA.: C 62.
39 9n 3 2 12n 39 9n 6 15 n 7
6n
RPTA. C
¿Para qué polinomio:
x
2
y2 z2
valor
x
2
de
“m”
y2 z2 mx2 yz
es divisible por (x+y+z)? A) 4 D) -8
el
B) 2 E) -4
C) 1
RESOLUCIÓN
Px a c (b c)x a bx 2 6x 3 2x 4
En la base a la identidad:
x
2
2
2
2
2
2
x y z q'x,y,z
A) -2 D) -1360
Con: x=1 ; y=1; z=-2 evaluando: (1-1+4)(1+1-4)+m….(-2)=0 -8=2mm=-4
Px x 1q'x R 1 0
Px x 1q' 'x R 2 0
Px x 3q' ' 'x R 3 0 Empleando Ruffini ( tres veces) -2
Resulte ser divisible por x a
2
A) P q
2
D) P.q 1
1
C) P q
B) P q 2
3
-2 -1
E) P q2
RESOLUCIÓN
3
a2 3ap -a a2 1 -a (a2 3p) 3ap 2q a3
-a
-a 2a2 2 1 -2a 3a 3P
2 Si: 3a 3P 0
-2
-8
a+b-8
-8 -6 -6
(c+a) a+2b+c-8
(a+b-8) (a+2b+c-81) 2(a+b+c-4) 6 -a-b+2 R1 (a+b-2) b+c-6 R2
-36 a+b-38
Si: a+b+c-4=0a+b+c=4 b+c-6=0 b+c=6 a+b-38=0a+b=38 en (1) c=-34 en (2) b=40 Luego: abc=2720.
R1 0
RPTA.: E
R1 0
a2 P a2
65.
3
P3 Reemplazando en: R1 0
a q 3 2
Si el Polinomio:
Px x3 6x2 11x 6; es
3a3 2q a3 0 a3 q
2
Conclusión: P3 q2.
divisible por: (x-a), (x-b) y (x-c) indistintamente. ¿Cuál será el residuo de:
RPTA.: A 64.
(b+c)
R3
2q
-a
(a+b)
-2 -12
Aplicando dos veces ruffini bajo el principio de divisibilidad.
0 -3P
-6
+2 1
1
C) 40
Por Teorema de divisibilidad
Busque la relación que debe existir entre “p” y“q” a fin de que el polinomio: Px x3 3px 2q 3
B) -34 E) 2720
RESOLUCIÓN
RPTA.: E 63.
es divisible por x 3 x 2 1
y z x y z mx yz 2
Determine “abc” sabiendo que el polinomio :
Px x a1b 1 b 1c 1 c 1a1 A) 0 C) ab + bc + ca D) ab + cb + ca
B)1 D) 1
?
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Al ser divisible indistintamente lo será también por el producto es decir:
Acondicionando el divisor:
3
Px (x a)(x b)(x c) q(x)
x3 6x2 11x 6 3er grado
Uno
1
Sabiendo que el cociente de la división
De donde: a+b +c =6 ab +bc + cd= 11 abc= 6
x 30 y m ; consta de 10 xn y2
términos. Determine el valor de: mn
Se pide: P x 1 1 1 x ab bc ca
P x c a b x abc
P x
A) 60 D) 600
x 1
Evaluando en x=1: R P1 0
20 C) 3
B) 8000 E) 8
RESOLUCIÓN
RPTA.: A
Por condición: 30 m 10 n 2
¿Cuál será aquella división notable que genere al cociente 35
3 1
RPTA.: C
x3 6x2 11x 6 x3 a b c x2 ab bc cax abc 68.
a
2
1001001
(monico)
66.
10
109 1 103 1 103 103 1 103 1
n=3 m=20
a30 a25 ... a5 1 .
Luego: 20³ = 8000
a 1 A) a1
RPTA.: B
a 1 B) 5 a 1
36
40
69.
a 1 a5 1 40
C)
Por principio teórico de signo y variación de exponente de 5 en 5, es la B.
RPTA.: B Encuentre
10
9
el
valor
1 999
A) 1000001 C) 1001001 E) 1
x 1 sabiendo que x 1 T10 T50 T100 x 236
cociente de :
RESOLUCIÓN
67.
Se desea conocer de cuántos términos está constituido el
B) 1010101 D) 0
de:
A) 396 D) 236
B) 133 E) 131
C) 132
RESOLUCIÓN x 1 x1 x2 x3 ...xk ... 1 x 1 T2
T3
Tk
T10 x 10
x10 .x50 .x100 x236
71.
x6n1 1 ; n N . Entre x 1; se x 1
T50 x 50
obtiene un nuevo cociente que al
T100 x 100 x3160 x236
De donde:
Después de dividir el cociente de
ser
dividido
por
x
2
x 1
obtendremos como residuo.
3 160 236 3 396 132
A) 0 D) x-1
Luego: # términos=132+1=133
B) -x E) 1
C) x+1
RPTA.: B
RESOLUCIÓN P
70.
x y x3 yP
Si la división indicada:
genera un cociente notable. Averigüe al término antepenúltimo A) x 2y9
B) x6 y324
C) x36 y360
D) 0
Efectuando la división notable
432
x6n 1 x6n1 x6n2 x6n3 x2 x 1 x 1 Luego en: x6n1 x6n2 x6n3 ... x2 x 1 x 1 Aplicando Ruffini
E) x6 y314
Existen “6n” términos
RESOLUCIÓN
Si la división indicada es notable, debe cumplir que: P 432 3 P P2 3.432
1
1 -1
1
0
-1
Existen “6n-1” términos
P2 3.33.24 P 32.22 36
Luego:
1 ... 1 1 1 0 -1 -1 1 0 ... 0 1 0
qx x6n2 x6n4 x6n6 ... x4 x2 1
y y
x3 x36 y432 x3 y36 x3
12
1
36
36
12
Finalmente en:
1
qx x2 x 1
Según el teorema del residuo Si: x2 x 1 x Que al evaluarlo en este valor R q 2 1 0
T1 T2 ... T10 T11 T12
antepenúltimo
Cero
Tantep T10 x3
1210
y 36
10 1
x6 y324
RPTA.: B
72.
RPTA.: A
Factor Primo de: Q a,b 1+b+c+a(1+b+c+bc)+bc será: A) 1+c D) 1+bc
B) 1+b E) 1+abc
C) 1+ab
75.
RESOLUCIÓN Asociando:
Qa,b 1 b c bc a1 b c bc Extrayendo factor común
A) m-n-P C) m-n+P E) mn+nP+Pn
Qa,b 1 b c bc 1 a
Qa,b 1 b c1 b 1 a Qa,b 1 c 1 b 1 a
Mediante la distribución segundo y tercer término:
RPTA.: B ¿Cuántos factores primos binómicos admite el polinomio; n2
Px X
n
x x x x 1;n N.
A) 1 D) n
3
2
el
Asociando:
m n P nP n2 p2 m(n3 p3) 3
…......
n P…...... n P …...... 2 n P n np P2 (n-P) m3 n2P nP2 mn² mnP mP2
RESOLUCIÓN
Asociando de 2 en 2:
Px xn.x2 xn x3 x2 x 1 Px xn (x2 1) x(x2 1) (x2 1) … …...... ….....
en
m3 n P n3P n3m P3m P3n
B) 2 C) 3 E) ninguno
n
Px (x 1) x x 1 2
B) m+n-P D) m+n+P
RESOLUCIÓN
Constante
73.
¿Cuál será el divisor trinomio del polinomio en variables: m,n,p. m3 n P n3 P m P3 m n ?
Px (x 1)(x 1) xn x 1
RPTA.: B
(n-P) mm2 n2 nP m n P2 m n (m+n)(m-n)
(n P) m n m2 mn nP P2 m Pm… P) n(m … P (n P)m n (n P)m nm P m n P RPTA.: D
76.
El Polinomio:
Mx, y x y 3xy1 x y 1 3
74.
Uno de los divisores de:
a2 b 2 c 2 d2 2ad bc Será:
A) a-b+c-d C) a-b-c + d E) a-b-c-d
B) a+b-c+d D) a+b+c-d
RESOLUCIÓN
Asociando convenientemente a2 b2 c2 d2 2ad 2bc a =
a
2
2ad d2 b2 2bc c2 =
a d
2
b c 2
a d b c a d b c RPTA.: A
Será divisible por: A) x 2 xy y 2 x y 1 B) x 2 xy y 2 x y 1 C) x 2 xy y 2 x y 1
RESOLUCIÓN
Asociando convenientemente
Mx, y x y 1 3xyx y 1 3
Diferencia de cubos 2 M x, y x y 1 x y x y 1 -3xy(x+y-1)
Px,y ax by2 ax by2 bx2 ay4
Extrayendo el factor común M x, y x y 1 x2 xy y2 x y 1
Nº divisores: (1+1)(1+1)(1+1)
RPTA.: C 77.
Un
factor
primo
racional
de:
R a a b 9ab 27 ; será: 3
3
RPTA.: A 79.
A) a+b+3 B) a-b+3 C) ab-3(a+b)
D) a2 b2 ab 3a b 9
A) 4x D) 2(x-y)
E) a2 b2 ab 3a b 9
B) 4y E) 2(x+y)
3
2
C) 4z
z2
2
a b c a b 9 ab 3a b RPTA.: D Cuántos divisores Polinomio:
admitirá
x y
2
2
x y
z2
a b 3 a2 b2 3 ab a 3 3b 2
Q z4 2 x2 y2 z2 x2 y2
Corresponde a la identidad Gaussiana, que proviene de:
78.
Mediante un aspa simple
R a a3 b3 3 3ab 3
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
2
Halle la suma de los elementos de aquellos Polinomios irreductibles que se desprenden de:
Qx, y,z z4 2 x2y2 z2 x2 y2
2
Q z2 x y z2 x y 2
2
Q x, y,z z x y z x y z x y z x y
Sumando estos elementos =4z
el
RPTA.: C
Px;y a2bx4 b3 a3 x2y4 ab2y8 A) 8 D) 4
B) 7 E) 3
C) 15
80.
Px,y 2x 2x 7y 3y(5y 12) 48x
RESOLUCIÓN
Empleando el aspa simple:
Px,y a2bx4 b3 a3 x2.y4 ab2y8
ax 2
b y
2
2
bx2
ay 4
Un divisor del Polinomio:
Px,y a2x2 b2y4 bx2 ay4
4
será: A) 3x-4y D) 2x-3x
B) 4x-3y C)2x-3y E) 2x-5y+12
82.
RESOLUCIÓN
x 2
16
Buscando la forma de un aspa doble:
16
; halle el valor
numérico del quinto término para x=1
2
-3y 5y
x 2
2 x2 4
Px,y 8x 14xy 15y 48x 36y 0 2
4x 2x
En el cociente notable
A) 729 D) 243
0 12
Px, y 4x 3y 2x 5y 12
B) 126 E) 729
C) 81
RESOLUCIÓN
Dando la forma de un C.N:
RPTA.: B 8
SEMANA 5
COCIENTES NOTABLES FACTORIZACIÓN 81.
Hallar el menor término racional del cociente notable. 3
47 23 2 3
3
B) -1 E) 8
x=1
C) 3
83.
Halle el grado absoluto del primer término central del C.N.
7
4 2 3
4 2
Por
el
término
A) 11 D) 40
general
Tk
4 2 3
7k
25 k 6
Por la condición necesaria suficiente se debe de cumplir:
....................()
y
15n 50 15n 10 n6 n1 n2
25 k debe ser mínimo k 7; 6 luego en :
T7 2
C) 63
RESOLUCIÓN
Por lo que piden:
25 7 6
B) 106 E) 72
k 1
efectuando por exponentes
Tk 2
T5 36.(1)8 729 RPTA.: E
x15n 50 y15n 10 xn 1 yn 2
RESOLUCIÓN 7
4
2 2 T5 x 2 x 2 (x 2)6 (x 2)8
4 2
A) 9 D) 5
3
8
x 22 x 22 2 2 x 2 x 2
x y x y 7
luego:
20
4
7
20
4
Hallamos los términos centrales.
T7 23 8 RPTA.: E
y x y
T10 x7
10
T11
9
7
9
T10 x70y36
10
T11 x63y40
4
4
G.A. T10 106
RPTA.: B
84.
Si… x195y140 x190y147 ... son términos consecutivos del desarrollo de un C.N. Halle el número de términos. A) 61 D) 60
B) 59 E) 65
Aplicando la identidad de Argan a
39
7
20
87.
y
x5
38
21
7
x ,
en
indique el número de
factores primos.
Número de términos = G.A +1
NT 59 1 60
A) 5 D) 6
B) 3 E) 2
P(x) x x 1 x x 1 x x 1 x x x 1 P(x) x x 1 x x 1 x x 1 x P(x) x x 1 x x 1 x x x 1 P(x) x x 1 x x 1 x x 1 x 1 x x 1 P(x) x x 1 x x 1 x 1 x x 1 P(x) x8 x4 1 x7 x5 x3 2
x20 y30 . Calcule el lugar que x2 y3
4
ocupa el término que contiene a x10.
2
2
3
2
4
B) quinto D) cuarto
2
RESOLUCIÓN
Tk x
20 2k
x
10 k
x
10
y 3
k 1
2
?
x y 10
2
2
3
2
2
2
2
k 5
2
3
2
4
4
2
2
2
C) 4
RESOLUCIÓN
En el siguiente cociente notable
A) sexto C) octavo E) décimo
Luego de factorizar
P(x) x8 x7 x5 x4 x3 1
RPTA.: D 85.
RPTA.: A
Formando un C.N. de:
y
Luego: fac. primos= x4 x2 3
C) 58
RESOLUCIÓN ... x5
P(x) x2 x 1 x2 x 1 x4 x2 1
2
3
El lugar es quinto
RPTA.: B
Hay 4 factores primos
RPTA.: C 88. 86.
Luego de factorizar: P(x) x8 x4 1; halle la suma de los factores primos. A) x4 x2 3 B) x 3 2
Factorizar:
P x x6 x4 2x2 1 indicar la
suma de coeficientes de un factor primo. A) 1 D) 2
B) 0 E) -2
C) x2 3 D) x4 2 E) x4 1
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
C) 1
P x x x 1 x x 1x x
P x x6 x4 2x2 1 6
3
2
2
2
3
2
A) 3x +2 D) x+2
1
Aplicando Ruffini
RPTA.: C Factorizar:
F x abx2 a2 b2 x ab , e
indicar la suma de los T.I. de los factores primos. A) a+b D) b
B) a-b E) ab
12 1 2 12 6
C) a
RESOLUCIÓN
8
-3 -2
6
7
2
14
4
0
7
2
2
2
ax
b
bx
a
90.
Al factorizar: P(x) 10x2 17xy 3y2 5x y Indicar la suma de sus términos de sus factores primos. A) 7x-4y+1 C) 4x-7y-1 E) 5x+2y-1
RESOLUCIÓN
91.
5x
-y
0
2x
-3y
1
P(x) 5x y2x 3y 1 RPTA.: A
Factorizar:
P(x) 12x3 8x2 3x 2 , e indicar un factor primo lineal.
2x
1
92.
Factorice:
P(x) x5 5x4 7x3 x2 8x 4 Indique el promedio aritmético de los T.I. de los factores primos.
4 3 3 D) 2
6 5 2 E) 3 B)
C)
1 4
RESOLUCIÓN
P(x) 10x2 17xy 3y2 5x y 0
2
P(x) 2x 13x 22x 1 RPTA.: A
A)
B) 7x-1 D) 4y-1
3x
F(x) ax bbx a RPTA.: A
P(x) 2x 1 6x2 7x 2
F(x) abx a b x ab 2
C) -2x+1
RESOLUCIÓN
de coef = 1 89.
B) -3x1 E) 4x+3
1
5
7
-1
-8
-4
6 13 12 13 12 4 -5 -8 -4
4
1
1 6 -1
1
5
8
4
1
-2 3
-6 2
-4 0
1 -1 -2
0
0
P(x) x 1 x 1 x 2 x2 3x 2
P(x) x 1
x 1 x 2
2
Luego: M.A
93.
x x
2 1
A) 2 D) 6
2
112 2 3 3
P(x) x2 x 1 x 1
P(x) x 1 x 1 x 1
P(x) x 1 (x 1) 2
Calcule el número de factores algebraicos. B) 3 E) 8
Nf.A 32 1 6 1 5 RPTA.: B
C) 6 96.
RESOLUCIÓN
P(x;y) x4 4y4 4x2 y2 2xy
2
P(x;y) x2 2y2
P(x;y) x2 2xy 2y2
94.
2
x
2
2xy
2
A) 7 D) 5
2xy 2y2
Cambio de variable: x5 y
e indicar el número de factores. B) 3 E) 6
C) 4
97.
2x
2x 3 x2 2x 3
Nf 2 2 4
RPTA.: C
95.
Factorizar P(x) x3 x2 x 1 en
(x) , luego indique la cantidad
de factores algebraicos.
15
x5 1
coef 3 1 Factorice:
2
x5
P(x) x x2
P(x) x4 6x2 9 (2x)2
1 x
RPTA.: C
P(x) x4 2x2 9 4x2 4x2
2
P(x) x
10
RESOLUCIÓN
2
P(x) y5 y4 1
P(x) y2 y 1 y3 y 1
P(x) x4 2x2 9 ,
C) 3
RESOLUCIÓN
P(x) x
B) 4 E) 2
Factorice
P(x) x2 3
Calcule la suma de coeficientes, de un factor primo del polinomio factorizado.
P(x) x25 x20 1
Nf .A 2 2 1 4 1 3 RPTA.: B
A) 2 D) 5
P(x) x 1 x2 1
P(x;y) x4 4y4
A) 4 D) 7
C) 3
RESOLUCIÓN
RPTA.: E
Al factorizar:
B) 5 E) 7
2
1 x2 1 x2
2
Indique el número de factores cuadráticos. A) 2 D) 4
B) 3 E) 5
C) 1
RESOLUCIÓN P(x) x2 x4 2x3 1 x2 1 x 4 2x2 P(x) 2x3 2x2 2x2 (1 x)
D) 72
x2 x(1 x)
Son 2 factores cuadráticos
RESOLUCIÓN
RPTA.: A 98.
E) 71
NF.A 6 4 1 24 1 23
Señale un factor primo de:
Ojo: y 2 no parámetro
P(x) 2x 1 4x(x 1) 2 7
es
variable,
es
RPTA.: A 2 A) 4x 6x 3
2 B) 4x 5x 1
C) 4x2 7 E) 2x² + 3x + 1
D) 4x2 7x 1
SEMANA 6
MCD – MCM - FRACCIONES 101. Halle el MCD de los polinomios P(x) y Q(x).
RESOLUCIÓN
P(x) 2x 1 4x2 4x 1 1 7
P(x)= 12x5 8x4 45x3 45x2 8x 12
P(x) 2x 1 2x 1 1 7
4 3 2 Q(x)= 2x 5x 8x 17x 6
2
Cambio de variable: y=2x+1
A) x+1 C) (x-2)(2x-1) E) (2x+3)(2x-1)
y7 y2 1 y2 y 1 y5 y4 y² y 1
un factor es : 4x² + 6x + 3
RPTA.: A 99.
Cuántos presenta:
factores
B) (x+1)(x-2) D) 3x+2
RESOLUCIÓN
lineales
Factorizando P(x)
P(x;y) x y x4 y4 4
A) 1 D) 3
B) 0 E) 6
2
2
4
x²
xy
y2
x²
xy
y2
P(x;y) 2 x2 xy y2
12
0
c(x) 6x2 13x 6 2x2 5x 2
RPTA.: B
B) 8
-4
4 -12
c(x) x2 12p2 4p 65 c(x) 6p 132p 5
2
P(X;Z) 32 x5 y2 z3
-4 -41
41
12
1 1 c(x) x2 12 x2 2 4 x 41 x x 1 1 x p x2 2 p2 2 x x
100. Calcule el número de factores algebraicos en (x) , el polinomio.
4
8
c (x) 12x4 4x3 41x2 4x 12
No tiene factores lineales.
A) 23
-12
-45
Luego el cociente c(x)
x y 4
P(x;y) 2 x4 2x3y 3x2y2 2xy3 y4
8 -45
12
P(x;y) x y 2xy
-1
C) 2
RESOLUCIÓN 2
12
P(x) x 13x 22x 32x 1x 2 Factorizando Q:
Q(x) 2x4 5x3 8x2 17x 6 C) 10
Q(x) x 1 x 2 x 32x 1
Por tanto:
Gº = 1 + 2 + 2 + 2 = 7
MCD(P,Q) x 1 x 2
RPTA.: E 103. Halle el M.C.D. de:
RPTA.: B
A x 4x4 4ax3 36a2x2 44a3x 16a4
102. Indicar el grado del M.C.M. de los polinomios P(x) y Q(x) , donde:
B x 6x4 6ax3 18a2x2 30a3x 12a4
P (x) x 8x 17x 9x 9x 17x 8x 1
A) 2 x a
B) x-a
Q(x) x5 5x4 x3 x2 5x 1
C) x a
D) 2 x a
2
7
6
5
A) 3 D) 6
4
3
2
3
2
B) 4 E) 7
E) x a²
C) 5
RESOLUCIÓN
Factorizando A por el aspa doble especial:
A x 4 x4 ax3 9a2 x2 11a3x 4a4
RESOLUCIÓN
Factorizando P (x); el polinomio es recíproco.
1 -1 1
8
17
9
-1
-7
-10
7
10
-1
9
17
8
1
1 -10
-7
-1 0
10
7
1
3ax 2 ax
x2 x2
4a2
a2
Por tanto:
A(x) 4 x 4a x a
3
Similarmente B x 6 x4 ax3 2a3x2 5a3x 2a4
el polinomio cociente es reciproco también, pero de grado par:
x x2 2
1 1 1 c (x) x3 x3 3 7 x2 2 10 x 1 x x x
ax
2 ax
B x 6 x 2a x a
3 3
1 1 m x2 2 m2 2 x x 1 x3 3 m3 3m x P (x) x 1 x2 3x 1 x2 5x 1x2 x 1 x
RPTA.: D 104. Sabiendo que el M.C.D. de los polinomios:
A x 2x3 x2 3x m
B x x3 x2 n , es:
Factorizando Q(x) similarmente:
x
2
Q x x 1 x2 5x 1 x2 x 1
2a a2
Por consiguiente el MCD= 2 x a
Haciendo:
Por tanto:
2
MCM x 1 x2 5x 1 x2 x 1 x2 3x 1
x 2 . Halle “m+n”
A) 4 D) 7
B) 5 E) 0
RESOLUCIÓN
C) 6
Usando el método de Horner:
1 2 1 -2
-1
3
2
-4
m -2
A) 27 D) 125
0 m-2=0 m 2
1
2
Calcule: "a b c "
1 2
P(x) Q(x) MCD P Q
B) 16 E) 9
C) 64
RESOLUCIÓN 1 1
1
0
1
-2
1 -2
2 2
1
Sumando P(x) Q x se obtiene:
n
ax4 b 4a x3 4b 4a c x2 4c 4b x 4c.............................(1)
-4
Por otro lado polinomios
n=4
0 n-4=0
Conclusión: m+n=6 105. Halle el MCD de los polinomios:
P(x) X
m
ax2 bx 2 ox x 2 P(x) ax bx c x2 1
n
x x 1
Q(x) m n xmn1 mxm1 nxm1 Sabiendo que m;n;
A) xk 1 k 1
D) x
m n
B) xm 1
Q(x) 4x 5 ax2 bx c
RESOLUCIÓN
MCD 2 MCD
2
Consideremos: m=nk Entonces:
P(x) x
n
x
n
x 1
nk
P(x) x 1 x
2ac b x
ax2 bx c
a2 x4 2abx3
2
2
2
2bcx c2 ...............................(2)
1
Comparando coeficientes de 1 y +2
Similarmente:
Q(x) nk n xnk n 1 nk xnk 1 n xnk 1
c -1
Por lo tanto: 2 MCD= ax bx c
C) xn 1
Desarrollamos
nk
Factorizando Q x :
1 E) xk 1 1
nk n
los
P(x) ax4 bx3 a c x2 bx c
RPTA.: C
mn
factorizando
Q(x) nk n xnk 1 xn 1
a=1; b=4; c=4 a+b+c=9
RPTA.: E
Por lo tanto: M.C.D P(x),Q(x) xn 1
RPTA.: C
107. Sea D(x) el Mínimo común múltiplo de los polinomios M(x) y N(x) si:
M(x).N(x) Halle el resto de D(x)
106. Sean los polinomios:
A(x)
P(x) ax4 bx3 a c x2 bx c
dividir A(x) entre (x-3n), sabiendo que:
Q(x) 4ax3 4b 5a x2 4c 5b x 5c Los cuales verifican:
Descomponiendo parciales
M(x) x4 nx3 7n2 x2 n3 x 6n4 N(x) x3 4nx2 n2 x 6n3 A) 0
2 2 B) 6n C) 6n
D) 10 n2
E) 12 n2
por
fracciones
5 10 3 3 2 x 1 2x 1 Por tanto:
RESOLUCIÓN
Como D(x) es MCM entonces A (x) representa MCD (M.N). Factorizando los polinomios obtenemos.
M(x) x n x 3n x 2n x n N(x) x n x 2n x 3n
Por lo tanto: MCD (M,N)= (x-n) (x+2n) 2 2 MCD (M,N)= x nx 2n
5 10 ; c 3 3 A 2 5 10 3 B C 3 3 3 1 RPTA.: A
A= 2 ; B=
109. Sabiendo que A,B,C y D son los numeradores de las fracciones parciales en que puede ser descompuesta la siguiente fracción:
4x3 x2 3x 2 x2 x 1
Se pide el resto de la división:
x nx 2n R(x) 10n2 x 3n RPTA.: D 2
108. Si
2
2
la
fracción
4x2 2x 3 se 2x2 x 1
transforma en otra equivalente
B C donde A,B,C son A x 1 2x 1
constantes
reales.
Calcule:
A 3 B C
A) 2 D) -1
B) -5 E) 0
RESOLUCIÓN
Descomponiendo parciales:
4x3 x2 3x 2 x2 x 1
2
A) -1
B) 1
1 D) 3
5 E) 3
RESOLUCIÓN
C) 3
Dividendo: 4x2 2x 3 5 2 2 2 2x x 1 2x x 1
2
Halle: A+B+C+D
5 2x 1 x 1
4x3 x2 3x 2 x2 x 1
2
C) 1
en
fracciones
A B C D 2 x x x 1 x 12
Ax x 1 B(x 1)2 Cx2 x 1 Dx2 2
Desarrollando comparando obtiene: A=1; B= -2;
x2 x 1
2
y luego coeficientes se C=3; D=-4
Por lo tanto: A+B+C+D= -2
RPTA.: D
110. Sabiendo que la fracción se transforma en otra equivalente.
5x2 9x 4 A Bx C 2 3 2 x 3x 3x 2 x 2 x x 1 Halle: A + B + C A) 1 D) 8
B) 5 E) -5
RESOLUCIÓN
C) 6
A + B + C =
2 3
Por lo tanto: m= 6
Factorizando P (x) y Q(x)
P(x) x 1 x 2 x 4 Q(x) 2 x 1 x 2
MCM = 2 x 1 x 4 x 2 x 2 Grado =3
5x2 9x 4 A x2 x 1 Bx C x 2 Comparando coeficientes se tiene A=2 A B 5 B=3 A 2B C 9 C=1 A 2C 4 A+B+C=6
RPTA.: C 111. Si la fracción se descompone en fracciones parciales de la forma: 2
x 1 A Bx C 2 2 x 3x 3x 2 x 2 x x 1
RPTA.: A 112. Al descomponer la expresión en fracciones parciales se tiene los numeradores A, B y C:
x2 5 x3 8x2 17x 10 Luego se dan los polinomios:
P(x) x3 m 5 x2 11x 6 Q(x) x3 m 1 x2 x m 3
3
Halle el grado del MCM de los polinomios P y Q. Donde:
P(x) x3 5x2 2x 8 Q(x) 2x mx 4 ;
m 9 (A B C) B) 2 E) 5
Halle el grado del MCM A) 2 D) 6
2
A) 4 D) 3
siendo : m= A + B + C
B) 4 E) 3
C) 5
RESOLUCIÓN C) 3
Descomponiendo parciales se tiene:
fracciones
x2 5 A B C x 1 x 2 x 5 x 1 x 2 x 5
x2 5 A x 2x 5 B(x 1) x 5 C x 1x 2
RESOLUCIÓN
Desarrollando fracciones parciales
x2 1 A B x2 A 2B C x A 2C A B 1 , A+ 2B + C = 0, A + 2C = 1
5 A , 3
2 B , 3
1 C 3
Si x= -2B=-3 3 Si x=-1A= 2 Si x=-5C=
A+B+C=1=m
5 2
Entonces:
P(x) x3 6x2 11x 6 Q(x) x3 2x2 x 2
P(x) x 3 x 1 x 2
Q(x) x 1 x 2 x 1
MCM P,Q = x 1 x 2 x 3 x 1 Grado =4
RPTA.: B 113. Si: a,b,c, son números diferentes y:
P(x) x x x xd (x a) (x b)(x c) x a x b x c a2 b2 c2 Calcule: p(a) p(b) p(c) A) -2 D) 1
B) -1 E) 2
B) x E) -1
RESOLUCIÓN Desarrollando tiene:
el
C) 2x
numerador
se
8x 2 6x y el denominador :
8 2 6x
reemplazando y simplificando
Desarrollando se tiene:
P(x) x x a x b x b x c x a x c +x-d Evaluando:
8x 2 6x E x 8 2 6x
RPTA.: B
p(a) a(a b)(a c) p(b) b(b a)(b c) p(c) c(c a)(c b)
115. Si: ab bc ac abc 2
2
2
2
Simplificar:
reemplazando en M:
a2 b2 c2 a a ba c b b ab c c(c a)(c b) M=0
RPTA.: C 114. Indicar la respuesta luego de simplificar:
A) 1 D) 3x
C) 0
RESOLUCIÓN
M
1x 1 3x 1 1x 1 3 1 3x E 1x 1 1 3x 1 3 1 x 1 3 1 3x 1
Factorizando se tiene
correcta,
1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 a b b 2c c 2a 2c2 1 2a 1 2b 1 A) 0
B) 1
2 2 2 C) a b c
D)
a2 b2 c2 2
E) abc
RESOLUCIÓN
De la condición se tiene:
1 1 c2 1 a2 b2 c2 1 1 a2 1 b2 c2 a2
1 1 b2 1 c2 a2 b2 Entonces reemplazando en la expresión: c2 1 a2 1 b2 1 1 1 1 2 2 c2 a b 2c2 1 2a2 1 2b2 1
RPTA.: B 116. Si se verifica que: 2 a b 2ab a ba 1b 1 Simplificar:
ab a 2 ba b 2 b 1 a1
A) 1 D) 4
B) 2 E) 5
RESOLUCIÓN E
a b 1 2
A) 1 D) -2
C) 3
abc c2 a c
b a 1 2
de la ecuación se tiene:
c 1 . 1 1 a c c 2
2
a 2 ac a 2 c
RPTA.: D
118. Al reducir la expresión:
Entonces reemplazando en E
2a 2b 2 2 a1 b 1 b 1 a1
E=4
RPTA.: D 117. Simplificar la siguiente expresión
a c
cb a c c c2 a
2a 2b ab a1 b 1
y halle:
C) -1
a a c a c a2 ac c2 . 2 2 a ac c b a c a c c c2 a bc a a c c2 a c . b a c a c c 2 c c2 a bc
b 1 a1 2 2 E a b b 1 a1
E
B) 2 E) 3
RESOLUCIÓN
1 1 1 2 2 1 2 c a b
E
a a c a3 c3 c 1 c . . 1 2 2 2 2 ac c a ac c a b bc 2 c 1 c a bc
x 1 x 1 2 2 1 1 1 x 1 x 2 x 1 1 1 x x 1 x 1 x 1 x 1 Se obtiene: B) x x 1 2
A) 1 C) x x 1 2
E) x x 1 4
2
RESOLUCIÓN
D) x x 1 4
2
Desarrollando:
RPTA.: A
2x2 x 1 x 1 x 1 x 1 x4 1 x 1 x 1 x2 x2 x2 x2 2x2 2 2 4 x 1 x 1 x 1
120. Simplificar:
ax ax 1 ax 2 ax 3 1
1 ax 1 2ax 1 3ax a4x4 ax 1 ax 2
A)
2x2 2x2 1 4 4 x 1 x 1
ax a 2x a E) x B)
D) 1
RPTA.: A
C)
xa x 2a
RESOLUCIÓN
119. Sabiendo que la fracción:
Haciendo: ax=m
ax by
2
p2x2 2m2xy m2y2
m m 1 m 2 m 3 1
toma un valor constante k.
1 m 1 2m 1 3m m4
k 0 , para todo valor de x,y; xy 0 , Halle:
a2 b2 p2 m2 en términos de a2 b2 p2 m2
Agrupando:
m
2
k.
2m
2
A)
k 1 k 1
k 1 k2 1
B)
Factorizando:
E) k 1 2
ax by
2
m m
2
k p x 2m xy m y 2 2
2
2 2
a2x2 2abxy b2y2 k p2x2 2m2xy m2y2
2
3m 1 3m 1
2
2
2
a2 b2 p2 m2 kp2 km2 p2 m2 a2 b2 p2 m2 kp2 km2 p2 m2
m p k 1 a b p m 2 2 2 2 a b p m m2 p2 k 1 2
2
a2 b2 p2 m2 k 1 a2 b2 p2 m2 k 1
1
2
NÚMEROS COMPLEJOS 121. Sea el complejo : 1 i 12 Calcule
Entonces reemplazando en:
2
2
SEMANA 7
a kp ; b km ; ab km 2
2
RPTA.: D
Comparando coeficientes:
2
3m 1 3m 1 m4
C) k+1
RESOLUCIÓN
2
2
D) k-1
2
3m m2 3 2 1
A) 32 D) 64
B) -32 E) 128
C) -64
RESOLUCIÓN
2 Si: Z 1 i Z 1 i 2i 2
2 4 Si: Z 2i Z 2i 4 2
12 4 64 3
RPTA.: C 122. El equivalente de:
RESOLUCIÓN
8
1i 1i 1i 1 1 i 1 1i 1i 1 1 1i 1 i será:
E) 2in1
D) -2i
1 i n 2 1 i 1 i n
in 2i 2in1 17
B) 0 E) 256
C) -2i
RESOLUCIÓN 1i 1i i i 1i 1i
Sabemos:
8
B) -3
D) -i
E)
1 2i3
2i 256
4n 6
E 11 2i
C) 1
i 2
n
B) i
D) 1
n 1
i
i
17
1 1 RPTA.: A
RESOLUCIÓN
1 i 2 2
2n 3
2
2n 3
2i 2
i2n3
*
i2 i 1 (1)i 1 n
n 1
i
RPTA.: D
124. Calcule el valor de :
1 i ; donde n n2 1 i n
A) -2
11 2i
1 1i 1i m ni 1 1 2 1 1 A) B) C) 5 5 5 1 2 D) E) 7 7
RESOLUCIÓN 4n 6
17
126. Halle “m + n”; a partir de
E) 1
1 1 i 2 2
11 2i
2
A) 4
n 1
1 3 i 2 2
17
17
n , calcule el valor de
1 2 i 2 2
1 ; es: C) -2
11 2i
Luego:
8
RPTA.: E 123. Si,
51
RESOLUCIÓN
Operando:
i i
1 2i
A) 1
17
RPTA.: C
125. El equivalente de:
11 2i
A) 2i D) 64
n
2 1 i 1 i 1 i
n
B) 2i
n1
C) 2i
1i 1 i i 1 1i 1 i 1 i2 m ni 1 2 i m ni 2 i 2 i 2 m 2 i 2 1 5 m ni i 5 5 5 1 n 5 1 mn 5
RPTA.: C k 3i 127. ¿Qué valor asume “k”, si es 2 5i
Cis 2340º Cis 6 360º 180º 239 1 20
2
219
RPTA.: E
un complejo imaginario puro?
A) 2
B) -2
15 2
D)
C) 15
130. Si: Z C Z Z 7 Im(z) Calcule: Z 3,5i
E) 1
A) 3,5 D) 2,4
RESOLUCIÓN 2k 15 k
15 2
Sea: Z a bi
a bi x yi .
b Calcule: 2 ay y 4
nos piden : Z 3,5i a bi
B) -4 E) 1
C)-2
RESOLUCIÓN
7b 7b
49 7 3,5 4 2
RPTA.: A
i sen 131. Calcule: 2 cos 12 12
4 ay y
b2 4 a y2 y2 b2
2
7 i 2
7 49 a b i a2 b2 7b 2 4
a x2 y2 b 2xy x2 a y2 b2 4x2y2
a bi x2 y2 2xyi
a bia bi 7b
a2 b2 7b
2
A) 4 D) 2
C) 2,1
RESOLUCIÓN RPTA.: D
128. Sabiendo que:
B) 2,2 E) 1,2
6
4
A) 8i D) -8
b2 4 ay2 y 4
B) 8 E) 32
C) -8i
RPTA.: A
RESOLUCIÓN
1 3i
39
129. Calcule:
1 i
6 2 cos i sen 2 2 23 0 i 1 8i
40
20
19
B) 2 C) 2 19 E) 2
A) 2 20 D) 2
1 3i
2Cis60º
1 i
239 Cis 2340º
39
40
132. Sean los complejos
Z1 1 i Z2 3 6i
RESOLUCIÓN 39
RPTA.: A
1 i
4
10
220
2 Halle el módulo de Z1
Z23
1 2 13 D) 2
7 2 29 E) 2
A)
B)
C)
27 2
RESOLUCIÓN o
o
555555 4 3 333 4 1
i3 1
333
i1 i i 21 RPTA.: D
RESOLUCIÓN Z12 1 i
Z32
2
2i
1
3 6i 3 6 i 3 6 i 3
2
135. Halle un número complejo cuyo cuadrado sea igual a su conjugado.
15 3 3 6i
1 i 2 1 3 i C) 2 2
Piden:
Z12 Z32
Z32 15 3 3 6I 2 Z1 2I
3 6 15 3i 2 2
3 6 15 3 3 6 15 3 i 2 2 2 2
2
RESOLUCIÓN Sea el complejo: Z a bi
27 El módulo es: 2
Z a bi
Luego: a bi a bi 2
RPTA.: C
133. Calcule:
i2343 i331 i542 i300 i55 i242 i328 A) -3 D) -2
B) -4 E) -1
C) -5
RESOLUCIÓN o
a2 b2 2abi a bi a2 b2 a 2ab b 1 Resolviendo: a =2 2 1 1 Luego: b2 2 2 1 1 3 b2 b2 4 2 4
o
2343 4 3 ;300 4
o
331 4 3 ;
3 2
b
Luego el complejo buscado será
o
542 4 32;
B) 1
E) 1 2
1 i 2 1 3 i D) 2 2
A)
Z
i3 i3 i2 1 2i 2 i i2 1 i
1 3 i 2 2
RPTA.: C
RPTA.: D 555555
134. Calcule: i A) i D) -2i
136. Si: Z
333
i
B) -i E) 0
C) 2i
2
3Re Z
Halle: Z
3 2
A)
1 2
B)
D) 2
3 2
C)
E) 1
3 2
RPTA.: A 138. Indicar
RESOLUCIÓN
A) 4 D) 2 i
Por condición: (a+bi)² = 3a
E a² b² 3a; 2ab 0
E4
B) 4 E) 2i
C) + 2
3 4i 3 4i
3 4i 3 4i
2
E4 6 10 E4 16
E=2
RPTA.: C
3 3 2 2
139. Resolver la ecuación en C/ C
RPTA.: B 5 12i
Ln2 3iLn 4 0
A) 3 2i
B) 2 3i
C) 3i E) 1 + i
D) 2i
Recordemos:
Z a Z a a bi i 2 2 5 12 i 25 144 169 13 Luego:
13 5 13 5 5 12i i 2 2
5 12i 3 2i
D) e4i ;ei
4i C) e
B) ei
A) 4i
RESOLUCIÓN
3 4i 3 4i
E4 6 2 25
a2 3 a1 0 ó b 0 b2 0 1
complejos
E4 3 4i 3 4i 2 9 16
Resolviendo el sistema:
137. Calcule :
los
RESOLUCIÓN
(a²b²) + 2abi = 3a + 0i
Z
de
resultantes de:
Sea: Z = a + bi
uno
E) ei ; e4i
RESOLUCIÓN (LnZ)² 3i LinZ 4i2 = 0 LnZ
4i
LnZ
i
De donde: LnZ = 4i ó LnZ = i Z1 = e4i
Z2 = ei
RPTA.: E
142. Calcule el valor de x en:
140. Calcule:
x n x m 1 n m
4 12i 3 4i
A) m A) 13
B) 14
D) 17
E) 20
mn m n n E) nm
C) 16
C)
RESOLUCIÓN *
3 4i 5
*
12i 5 144 25 13
4 13 17 17
B) n D)
m nn
RESOLUCIÓN
RPTA.: D
xm mn nx mn mn x(m n) mn mn mn x m n m n RPTA.: C
SEMANA 8
TEORÍA DE ECUACIONES 141. Calcule “k” para que la ecuación se reduzca a una de primer grado.
2
143. Halle x en :
2 x 2x x ; x C x 2
2k 3 3kx 2 2k 3 x 1 x 1 A) -2 D) 2
B) -3 E) 3
A)
C)1
2k 3x 1 3kx 2x 1 2k 3 x
2
1
2kx2 2kx 3x 3kx2 3kx 2x 2
3 C) x C 4
E) -4
RESOLUCIÓN
x2 4 4x2 2x2 5x2 2x2 4 4 3x2 4 x2 3 RPTA.: C
144. Resolver en “x”
2 2 = 2kx 2k 3x 3 2
B)
D) -3
RESOLUCIÓN
2
4 3
2
5kx kx 5x 1 2kx 3x 2k 3 3kx2 3x2 k 5 x 2k 2 0
3k 3 x2 k 5 x 2k 2 0 3k 3 0 k 1
RPTA.: C
a bx a bx abx a b a b ab
a b A) -2 D) 3
B) 1 E) a + 2b
RESOLUCIÓN
C) 2
a bx a b a bx a b abx ab a b a b
a b
ab x = 2 ab x=2
RESOLUCIÓN
RPTA.: C 145. Si x1;x2 ;x3 son las raíces de la ecuación
x3 n 1 x2 2nx n 3 0
Calcule: x1 1 x2 1 x3 1 A) 1 D) 4
B) 2 E) -1
C) -3
a2 2a 7 0 a2 5 2a 2 a2 5 2 b2 2b 7 0 a1 b2 5 2 b 1 a² 5 b² 5 4 a1 b 1
RPTA.: C 148. ¿Qué podemos afirmar acerca de esta ecuación?
x
RESOLUCIÓN Por cardano:
1 x 2 x 3 x 2 2 0 x
*
x1 x2 x3 n 1
*
x1x2 x1x3 x2x3 2n
A) Tiene 5 soluciones B) Tiene 4 soluciones
lo pedido es : 1 x1 x2 x3
C) la suma de las soluciones es
*
x1x2x3 n 3
D) es incompatible E) 3 soluciones
x1x2 x1x3 x2x3 x1x2x3 3 RPTA.: C
146. Si la ecuación paramétrica en “x” presenta infinitas soluciones calcule el valor de a + b.
RESOLUCIÓN
x 0 x 0 (no)
ax 1 2x b2 A) -2 D) -2
B) 2 E) -3
C) 3
RESOLUCIÓN
2
b 1 a2 2 a = 2 b 1 b 1 a + b = 3 a +b = + 1 RPTA.: C
a 2 x b2 1 x
solución única. A) 2 D) 2 y 4
x2 2x 7 0 a2 5 b2 5 Calcule a1 b 1 B) 2 E) 7
x 2 0 (no) x 3 0 x 3 1 1 2 0 x x 2 1 7 x1 x2 3 2 2 RPTA.: C
149. Calcule el valor de si la ecuación de segundo grado 4 x2 2 x 1 0; tiene
147. Si a y b son las soluciones de la ecuación cuadrática
A) 3 D) 5
B) 4 y -2 E) 2
RESOLUCIÓN C) 4
7 2
4 0 2 2 8 0
C) -4 y 2
4 2 0 4 2 RPTA.: C 150. Si 3 2 2 es una raíz irracional
B) 8 E) *
E)
4 9
2 3
ax4 bx2 c 0 están en P.A. 9b2 100 ac
9 k 4 100 1 4k ; k 0
RESOLUCIÓN
x1 3 2 2 x2 3 2 2 11 de la ecuación x1 x2 x3 2
3k 20 k 12 0 4 k k 36 9
6
153. Indique una ecuación.
1 x3 2
A) – 9 D) 3
x2 1 x 1
14 1 RPTA.: C
A) 2 D) 2
B) 1;2
C)
E) 4
RESOLUCIÓN
x 2 4x-x=4+2 3x 6 x2 Pero x 2 x RPTA.: C
152. Calcule el menor valor de k, si las raíces de la ecuación 4 2 x k 4 x 4k 0 ; están en progresión aritmética.
B) – 2 E) -3
9x4 7x2 2 0 9x2 +2 2 -1 x 2 9x 2 x2 1 0
m = 4
1 1 2 x 4 x2 x2
de
la
C) – 1
RESOLUCIÓN
2
151. Encontrar el conjunto de solución de:
solución
9x4 7x2 2 0
n n1 2 m luego: x1x2 x1x3 x2x2 2
4x
2
RPTA.: C
además: x1x2x3
D) 36
C)
Si: las raíces de:
C) 1
Si:
B) -9
RESOLUCIÓN
de: 2x3 11x2 mx n m,n , calcule el valor: nm A) 4 D) 7
A) -4
RPTA.: C 154. Si: x1;x2;x3;x 4 son raíces de la 4 2 ecuación: 10x 7x 1 0 Calcule el valor de x14 x24 x34 x44
2 25 1 D) 25
1 2 1 E) 4
A)
B)
RESOLUCIÓN Factorizando:
5x
2
1 5x2 1 0
C)
29 50
x1
x3
5x 1
5x 1
2x 1
1
x2
5 1
x4
2
2 a3 7 5 a; a 5
2x 1 0
1
al cuadrado miembro a miembro
5 1
2a3 7 25 a2 10a 2a3 a2 10a 32 0
2
2
1 1 1 1 25 25 4 4 2 1 29 x14 x24 x34 x44 25 2 50 RPTA.: C
2
x14 x24 x34 x44
1 2
x x 1
1 4
B)
D) 4
1 4
C)
1 8
a=2
x4 2x48
x=4 2 nos piden : x 16
B) 3 E) -2
C) 1
De:
x3 mx2 18 Cs ; ;
x3 nx2 12 Cs ; ; Por cardano –
156. Resuelve la ecuación
2x 1 3 x 4 5 e indique el
2
A) 4
B) 3
D) 19
E)
C) 16
1 4
x 4 a x a3 4
2 a3 4 1 a 5
=-m m ...(I) =0
además:
18 3 12 2
RESOLUCIÓN
0
RESOLUCIÓN
RPTA.: C
16
A) -3 D) 2
3
3
que tienen dos raíces comunes señale el valor de m.
1 1 2 8
3
32
x3 mx2 18 0; x3 nx 12 0
x2 x 1 1 x2 x 2 0 x 2 x 1 0 x 2 x 1
Sea:
6
157. Dadas las ecuaciones
E) 2
valor de x
4
RPTA.: C
RESOLUCIÓN
-32
a 2 a2 3a 16 0
3
3
10
aquí a R
2
x Señale el menor valor de 2 A)
155. Luego de resolver:
x2 x 1
2
-1
3k 2k en (I): - k = m En la ecuación:
3m
x 2
2
27 m3 9m3 18 0
18m3 18 m 1 RPTA.: C
158. Si: 3 25 es una raíz ecuación:
2x2 k 1 x k 1 0
de la
A) - 2 D) 1
A) 2 D) 4
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
E) 5
B) -3 E) 2
x1 x2 x1 x2
k 1
2
x2 x3 bx2 cx 34 0
160. Halle “k” para que la diferencia de raíces sea uno.
x5 bx4 cx3 34x2 0 Calcule el valor de “b” ; b y c R B) 3 E) 7
0 x 2 RPTA.: C
x2 0 ( raíz doble) x3 bx2 cx 34 0 Si x1 3 5i x2 3 5i
1
C) 11
b2 4ac a
4 2 k 1 2
2
Por cardano:
x1x2x3 34
2 k 2k 1 8k 8 4 k2 10k 7 k2 10k 11 0 k 11 (k 1) 0 k = -1 k = 11 RPTA.: C
34 x3 34 x3 1 Además: x1 x2 x3 b 6 + -1 =b b = 5
RPTA.: C 159. Resolver:
x2 4x 8 x2 4x 4 2x2 8x 12 A) x = 2 D) x = 3
B) x = 1 E) x = 0
C) x = -2
SEMANA 9 SISTEMAS DE ECUACIONES 161. ¿Qué valores de “K” haría que el sistema
K 3 x 2K 3 y 24 K 3 x K 1 y 8
no acepte solución?
RESOLUCIÓN x2 4x 6 n n 2 n 2 2n al cuadrado m.a.m:
A) 2 D) 3
B) 1 E) 6
C) - 1
2
n 2 n 2 2 n2 4 2n 2
(I)
2n 2 n 4 2n n2 4 n 2 n 0 n=2 2 luego : x 4x 6 2 x2 4x 4 0
RESOLUCIÓN Como:
a1x b1 y c1 a2x b2 y c2
a1 b1 c 1 a2 b2 c2
solución
K 3 2K 3 K 3K 1 2K 3K 3 K 3 K 1 K2 2K 3 2K2 3K 9 K2 5K 6 0 K K
A + 4 + 2b – (- b + 1) = 0 3b = - 3 b=-1
-6 +1
K 6K 1 0
K = 6 K = -1
a x b = -1
Además:
RPTA.: C
K 3 24 K 3 8 K3 3 K 3 K 3 3K 9 12 2K 6 K
163. Señale una raíz de la ecuación:
x3 4x2 6x 4 0 A) 1 + i D) 3 - i
K = -1
B) 1 - i E) A y B
C) 3 + i
RESOLUCIÓN RPTA.: C
Divisores
A) 0 D) 2
B) 1 E) -2
1
-4 +6 -4
X=2
2 1
posee infinitas soluciones, indique a x b. C) -1
1,2, 4
T.I.:
evaluando para x = 2
162. Examine para que valores de a y b el sistema:
xyz 0 x y 2z 1 2 x 4 y az b
del
-4 +4
-2 +2
0
Una raíz es x = 2 Las otras raíces se obtienen al resolver.
x2 2x 2 0 x
2 4 2
RESOLUCIÓN
RPTA.: E
Para infinitas soluciones:
g 0
164. El conjunto ecuación:
x 0 1 1 1
g
1 -1 1 0 a 4 4 2 8 a 0
solución
de
K 4 x3 K 3 x2 3 0 es 1; ; Calcule el valor
2 4 a 1 1 1
A) 1
B) 3
1 -1 2
D) 2 3
E) 4 3
1 1 1 x
1 -1 2 b 4 1 0 1 1 1 -1 2
RESOLUCIÓN =0
Como una raíz es x = 1 K–4+ K-3-3=0
C) - 3
la
de
K=5 3 2 La ecuación es: x 2x 3 0 Por Ruffini:
1
2 1 3
X=1 1
166. Formar la ecuación de cuarto grado de coeficientes racionales si una de sus raíces es
0 -3 3 3 3 0
A) x4 4 x2 64 0 B) x4 8 x2 16 0 C) x4 4 x2 16 0
x
3 3 i 3 3 i; 3 2 2 2
D) x4 16 x2 64 0
x
3 3 i 3 3 i; 3 2 2 2
RESOLUCIÓN
E) x4 16 x2 16 0
x 3 5i
2 3
Elevando al cuadrado.
x2 3 5 2 15 i
RPTA.: B
x 2 2 2 5 i
165. Formar la ecuación de cuarto grado de coeficientes reales; si dos de sus raíces son: 1 2i y
Elevando al cuadrado.
x4 4x2 4 60
x4 4x2 64 0
1 2i. 4
3
RPTA.: C
2
A) x 4x 12x 16x 15 0 4 3 2 B) x 4x 12x 16x 15 0 4 3 2 C) x 4x 12x 16x 15 0 4 3 2 D) x 4x 12x 16x 15 0 4 3 2 E) x 4x 12x 16x 15 0
167. En el polinomio cúbico
P(x) x3 x 1 Se observa que
P a P b P c 0
Calcule el valor numérico de
RESOLUCIÓN
P a3 b3 c3 ab ac bc abc
x1 1 2i
x2 1 2i S 2 y P 5
A) - 17 D) - 28
x2 2x 5 0
x2 1 2i
S 2
x3 x 1 x a x b x c x3 x 1 x3 a b c x2
x 2x 3 0 Multiplicando: 2
2x
2
C) - 21
Se cumple que
y
2
x
B) - 11 E) - 29
RESOLUCIÓN
x1 1 2i P3
3 5i.
ab ac bc x abc
a b c 0 a3 b3 c3 3 abc
8 x2 2x 15 0
ab + ac + bc = + 1 abc = -1 3 abc = - 3
Ecuación resultante:
x2 4 x3 12 x2 16 x 15 0
RPTA.: A
P 3 1 1 P 3 27 3 1
P 3 29
RPTA.: E
168. Calcule el valor de (a + b) en la ecuación: 2 x4 x3 3 x2 a x b 0 ; {a;b} Si se sabe que una de sus raíces es: 1 + 2 i A) 31 D) 38
B) 34 E) 39
C) 35
RESOLUCIÒN
x1 = 1 + 2i x2 = 1 2i x1.x2 = 2; x1.x1 = 5 x² 2x + 5 = 0 Por Horner:
1
2
1
2
3
2
3
5
0
a = 19 ; a + b = 34
b
2
2
RESOLUCIÓN
Obsérvese que:
x ix i x2 1 x 2ix 2i x2 4 . . .
x nix ni x2 n2 T.I 1 4 ... n2
T.I 1 2 ... n
2
n
2
B) 2 E) 5
C) 3
RESOLUCIÒN 2 6a ; Producto= 2a 7 2a 7
b = 15
B) n E) n
A) 1 D) 4
a–4=2a–7 3=a
0
RPTA.: C
i; i; 2i; 2i;.......; ni; ni
T.I
si se sabe que la suma de sus raíces excede al producto de las mismas en una unidad.
2 6a 1 ; operando 2a 7 2a 7
169. Halle el término independiente de una ecuación de grado mínimo de coeficientes reales, si se sabe que su conjunto solución es
n
2a 7 x7 2 x6 5x2 a 6 0
Ecuación:
RPTA.: B
A) n D) n2
170. Señale el valor de “a” en la ecuación:
Suma=
4 - 10 10 - 25 6 - 15
-5
a
RPTA.: E
C) n
171. No es solución de la ecuación:
10 10 x x 1 x x 1 48 ; es A) -1 D) 4
B) 2 E) A ó D
C) -5
RESOLUCIÓN 10 z z2 1 48 x z 7 10 10 Si: x x 7 7 x x x2 7x 10 0 ; x2 7x 10 0 x
(x 2) (x 5) = 0 ; (x+2)(x+5) = 0 x=5 ó x=2
x=-2 ó x=-5
RPTA.: E
172. Halle la relación entre coeficientes de la ecuación:
x 5 x 4 x 7 x 6 504 x2 x 20 x2 x 42 504
los
a x4 b x2 c 0
Haciendo x2 x z
para que sus raíces reales estén en progresión aritmética.
z 20z 42 504
z2 62 z 336 0
A) 4b2 49 ac
z 56z 6 0
B) 8b2 49 ac
Regresando a la variable original.
C) 9b2 100 ac
x
2
D) 16 b2 100 ac
x 56
x
x 56 0
ó
x = -2
2
x 8x 7 x 3x 2 0
E) 25b2 100 ac
x 7
RESOLUCIÓN
7
2
2 53 2
RPTA.: A
3
(x + 3) (x+)(x)(x3) = 0
x
2
92
x
2
2 0
174. Resolver:
x3 y3 35
xy 5
2;3 c.s 3;2 c.s 1;2 ; 2;3 c.s 2;3 ; 3;2 c.s 3;2 ; 1;2
A) c.s
Equivalencia resultante
b c x 10 x 9 x x2 a a 2 b b 10 2 100 4 2 ... 1 a a b c 10 2 9 4 ... 2 a a
B)
También:
RESOLUCIÓN
4
2
2
4
4
100 b2 9b2 100 ac 1 2 9 ac RPTA.: C
C) D) E)
x3 y3 35 ;
x y x
2
x+ y = 5
xy y 35 2
5 x2 xy y2 35 x xy y 7 2
173. Resolver: La ecuación
2
x 5x 7x 4x 6 504
5 y
y halle la suma de los cuadrados de las raíces negativas.
3y2 15y 18 0
A) 53 D) 62
B) 57 E) 64
RESOLUCIÒN
x =5–y
C) 61
Multiplicando convenientemente
2
y 5 y y2 7
y2 5y 6 0
y 3 x 2 y 2 x 3
c.s 2;33;2
RPTA.: D
175. Resolver:
RESOLUCIÓN
5y2 7x2 17
Haciendo x v y v
v
5xy 6x 6 2
2
B) 14 E) 1
xy 1 xy 4 4 v v v v
C) 0
8 2 v2
RESOLUCIÓN
90 2 v2
5y2 7x2 17 5xy 6x2 6
0 2 2 8 90
30y 42x 102 2
2
0 2 4 45
85 xy 102x2 102
9 v 3 5 v 65
30y2 85xy 60x2 0 6y2 17xy 12x2 0
3y 4 2y -3x x 3 -4x x
3y 2y
2
3y 3y Si x 5 y2 7 17 4 4 y 4 2
Si x
2y 2y 5y2 7 17 3 3 y 3
4 3 0
C.S. 12;66;12 ; 5
C.S.;v 9;3 ; 9; 3 5; 65 5; 65
5
65; 5 65
65 5
65; 5 65
x 12 6 5
RPTA.: B
177. Resolver:
x2 3xy 2y2 3 x2 5xy 6y2 15
según esto halle (a + b + c + d). A) 0 D) 3
B) 1 E) -2
RESOLUCIÓN x2 3xy 2y2 3 x (-5)
e indicar como respuesta la suma de todos los valores posibles de “x” B) 8 E) -4
65
x 8
x2 y2 180 1 1 1 x y 4
A) 7 D) 4
Se obtuvo: C.S.= a;b c;d ,
RPTA.: C
176. Resolver:
2
2 v2 90
e indicar como respuesta la suma de todos los valores de “y” A) 7 D) -7
v 180
C) 28
5x2 15xy 10y2 15 x2 5 xy 6 y2 15 4x2 10xy 4y2 0 2 x2 5 xy 2y2 0
C) 2
2x
y
x
2y
y = - 2x x y= 2
3 x 4 x 2 2 3 x 4 x 3
2
x 1
A) 7 D) 4
Si x 1 y 2 1; 2
Si x 1 y 2 1;2
x x x x2 5x 6 15 2 2 2
3x a 4x b
a3 b3 ab Luego: 2 a b2 a3 b3 a3 ab2 a2b b3 0 ab b a
RPTA.: A
b a 0 ab 0 70 3 x4 x 0 x 3 x 4 C.S. 4;3
4
2
A) 1 D) -4
B) 2 E) 4
C) 3
2 a2
2
a 2a 1 4a 8 a2 6a 7 0
5x x 34 x3 296
2
x
2
2x
2
A) 4 D) 16
6 x2 2 x 7 0
x4 4 x3 4x2 6 x2 12 x 7 0 x 4x³ 2x² + 12x 7 = 0
S
a1 4 4 a0 1
C) 31
5 x3 34 x3 296
RPTA.: E 179. Al resolver:
B) 11 E) 17
RESOLUCIÓN
4
2
180. Halle el valor de “x” , sabiendo que es un número entero positivo de:
2 Haciendo x 2x a
2
3 7 RPTA.: A
RESOLUCIÓN
a 1
+
7=a+b
Luego a + b + c + d = 0
x2 2x 2 x2 2x 2 1
C) 5
Haciendo:
2x2 5x2 3x2 15(2) 0 30 C.S. 1; 2 ; 1;2 ;
178. Halle la suma de las raíces de la ecuación:
B) 6 E) 3
RESOLUCIÓN
2
7
indicar como respuesta la diferencia de los cuadrados de sus raíces.
Si y = - 2x x2 3x 2x 2 2x 3
Si y
3
x3 a 5a2 3a 296 0 a 8 a 7, 4
haciendo
4
x3 8
x3 23
4
4
4
x3 7, 8
x = 16
RPTA.: D SEMANA 10
A) 1 D) 4
INECUACIONES 181. Resolver: x 1 x 2 x 2 x 3 0 ,
A) - 2 D) 1
B) - 1 E) 2
RESOLUCIÓN
x
2
C) 0
x2 x 2 x2 x 6 0 2x 4 0 x 2 x 2;
RPTA.: B 182. Si: x , ¿a que intervalo pertenece la expresión algebraica: 5 2 x 4 5
A) , 4
C)
0,5
E)
5 0, 4
5 B) 0, 4 D) 0, 4
3a 5b
2
2
0
2
9 a 25b 30 ab 3 a 5b 2 5b 3 a
RPTA.: B
184. Si 1< x < 5 Simplificar: x2 2x 1
A) 2 D) x-3
x2 10x 25
B) 4 E) x + 3
C) 2 x-6
RESOLUCIÓN E
x 1
2
x 5
2
E x 1 x 5
Como: 1 x 5
0 x 1 4
y: 1x5 4 x 5 0
E x 15 x 4
RPTA.: B
RESOLUCIÓN
185. Halle el menor numero impar que se debe asignar a “K” en: k x2 8x 4 0 , con la condición que sus raíces sean números complejos:
x x2 0 1 1 x 4 4 5 5 0 2 x 4 4
0
E
El menor valor entero será: -1
C) 3
Como 3 a 5b
x 2 x2 x 6 0
B) 2 E) 5
RESOLUCIÓN
e
indicar el menor valor entero.
3 a 5b hallar el M que cumpla lo 5b M. 3a
183. Si a>0, b>0, mayor numero 3a siguiente: 5b
2
RPTA.: E
A) 1 D) 7
B) 3 E) 9
RESOLUCIÓN k x2 8 x 4 0
C) 5
0 b2 4 ac 0
A) 4, 0 C) 0, 3
2
8 4k x 4 0 64 16k 0 4 k 0 k 4 menor impar: k = 5
3 E) 0, 2
RPTA.: C
RESOLUCIÓN Si: 2 x 0
186. Halle el complemento del conjunto 1 solución de: 3 x
1 A) 0, 3
1 B) 0, 3
1 3
C)
0,
E)
1 , 3
D) 0,
1 3
4 x2 2 3 0 4 x2 3 2
0
RPTA.: C 188. Resolver: x2 6x 16 0 7 , 2 4 B) x
D) , 8 4, E) x
RESOLUCIÓN x 2 6x 16 0 x 2 6x 9 7 0 x 32 7 0 x RPTA.: E 189. Indicar el intervalo solución que satisface la desigualdad:
+
-
C) 8, 4 4,
1 3 x 1 3 0 x 1 3x 0 x 1 3x 0 x 3x 1 0 x Puntos críticos
0
0 4 x2 4
A)
RESOLUCIÓN
+
B) 0,2 D) 0, 4
4 x2 3x 7 0 x2
1 3
A) x 1;
0
B) x 7 / 4;1 2;
1 3
C) x ;
1 Complemento: 0; 3
RPTA.: A 187. Si:
7 1;2 4
D) x
1;2
E) x
;
2 x 0 , a que intervalo
pertenece la expresión:
3 4 x2 2
RESOLUCIÓN 4x2 3x 7
7 4
4x x
A) x
7 -1
C) x
4 x 7 x 1 x2
7 4
x
0;x 2
4x 7 0 x x 1 0 x 1 x2 0x 2
+
-
7 4
+
1
2
31 16
D) x
31 3 ; 16 4
3 4
E) x
Puntos críticos
-
B) x
RESOLUCIÓN 2x2 3x 5 0 3 5 x2 x 0 2 2 2 3 3 x2 2 4
7 ;1 2; 4
2
2
5 3 4 2 0
la mitad
RPTA.: B
2
190. Halle la suma de todos los números enteros que satisfacen la siguiente inecuación:
4x2 3x 2x 1 A)
5 4
B) 0
2
3 9 5 x 4 16 2 2
C)1
E)
D) 3
3 9 5 x 4 16 2 0
3 31 x 4 16
+
RESOLUCIÓN
1 4
-
192. El intervalo en el cual se satisface x2 x 6 la inecuación: 2 0 x x6 es: a;b c;d ; Calcule:
1 4x 1 0 x Puntos críticos: 4 x 1 0 x 1
-
>
RPTA.: A
4x2 3x 2x 1 0 4x2 5x 1 0 4x -1 x -1 4x 1 x 1 0
-
x
+ 1
1 x ;1 4
a2 b2 c2 d2
A) 13 D) 26
B) 18 E) 32
RESOLUCIÓN Factorizando el númerador denominador; vemos que: x 3 x 2 0 x 3 x 2
RPTA.: C 191. Resolver: 2x2 3x 5 0
C) 23
N P.C D
x=3 x=-2 x=2 x=-3
y
xa xb 2 x a xb Si: 0 < b < a
En la recta real:
A)
-
+
-
+
-3
-2
0
x 0
+
C) a;b
x 3; 2 2;3 a=-3 b = - 2 a2 b2 c2 d2 26 c=2 d=3
D) b;0 E) a;b
RESOLUCIÓN
RPTA.: D 193. Indique el conjunto solución de la x2 x 6 inecuación: 1 x2 x 6
2 ab ab
B) a;0
3
2
b;
xa xb 2 x a xb 2 a b x 4 ab
x a x b
Puntos referenciales: 2 ab x ;x a;x b ab
A) ; 2 0;3 B) ; 1 1; C) ;0 3;
-a
D) ; 2 1;6 E) ; 2 1;
0
b
Como x 0 x a,0
2 ab ab
RPTA.: B
RESOLUCIÓN
Pasando todo al primer miembro x2 x 6 1 0 x2 x 6 2
2
x x6x x6 0 x2 x 6 x=0 N 2x P.C x 3 x 2 x=3 D x = -2
195. Calcule el conjunto solución de: x3 1 x2 x A) 4, 1 C) 1,
B) 1,1 D) ,1
E) 1,
RESOLUCIÓN x3 1 x2 x x3 x2 x 1 0
x x 1 x 1 0 x 1 x 1 0 x x2 1 x2 1 0
-
+ -2
0
+ 3
2
2
x ; 2 0,3
194. Resolver:
2
RPTA.: A
x 1 x 1 x 1 0
x 1 x 1
2
0
Puntos críticos: -
+
+
-1
x 4,5 3
1
RPTA.: E
x 1,
197. El conjunto solución de la 2 inecuación: a x b x c 0
RPTA.: E
Es: ;3 6; Calcule a+b+c.
196. Resolver: x2 x 20 0 ………………………….(1) x2 6x 9 0 ………………….………(2) x2 x 2 0 ………..……….………..(3)
A) 6 D) 12
B) 8 E) 14
RESOLUCIÓN
C) 10
A) x 4 B) x 5 C) x 4 D) solución E) 4 x 5;x 3
La solución se inecuación x 3 x 6 0
RESOLUCIÓN
x2 9 x 18 0 Con lo cual ax2 bx c x2 9x 18
De (1): x2 x 20 0 x -5 x +4 x 5 x 4 0
deduce
de
la
a=1 b =-9 c =18
a + b + c = 10
RPTA.: C 5 -4 Por puntos críticos: +
+
-
198. Señale el valor máximo de k en la inecuación: 2 x2 k x 2 3 x de modo que la desigualdad se cumpla para todo valor de “x”.
-4
5
De (2): x2 6x 9 0
x 3
2
x
0
A) 8 D) 5
B) 7 E) 4
RESOLUCIÓN
Preparando la inecuación, se tendría 2x2 k 3 x 2 0
3
De (3): x2 x 2 0 1 7 x2 x 0 4 4
la condición es : 0 ; es decir
k 3 4 2 2 0 2 k 3 42 0 k 3 4 k 3 4 0 k 1 k 7 0 2
2
1 7 x 2 4 0
x
Los puntos críticos son k= -1; k=7 en la recta real
Al interceptar:
-
+
-4
C) 6
3
5
-1
0
+ 7
A) - 4 D) - 3
B) - 5 E) -1
C) - 2
RESOLUCIÓN k 1;7
Factorizando, se tiene
k max 6
x
3
RPTA.: C 199. Señale el valor entero satisface al sistema.
que
x
x
1
2
3
x2 2x 24...(2)
4
x 2 0
1
x 1 x 3
4
1
3
3
; se descarta ya que sus
x 1 x2 x 1 x 1 x2 x 1 x 2 0 x 1 x 3 2
2
B) 4 E) 8
C) 5
2
2
se
descartan los factores: 2 x x 1 y x x 1 con lo cual
RESOLUCIÓN 1.
2
raíces sus complejas. Factorizando de nuevo.
x2 5x 24...(1)
A) 3 D) 7
x
1
2
x2 5x 24 0 x 8 x 3 0
x =1 N
-
+
+
x=2
x 1 x 1 x 2 0 x 1 x 3 2
-3
0
x=-1
8
2
P.C x=-1 D
2.
Recta real:
2
x 2x 24 0
x 6 x 4 0
-
-
+
3.
-4
+
0
6
+
-
-3
-
-1 0 1
+ 2
x 3, 1 1 2; RPTA.: C
Interceptando 201. Halle
el
intervalo
6
8
x=7
RPTA.: D 200. El mayor valor entero negativo que satisface a la inecuación:
x
6
x
1
2
4
x 2 0 es:
1
3
x2 4x 3
solución
al
resolver: x x 1 3x 1 4 2 1 4x 2
2
x=-3
3 5
3
A) x ;0
B) x ;0 5
C) x ;
3 5
E) x ;
3 0; 5
RESOLUCIÓN
D) x 0;
x2 x2 2x 1 3x 1 3x 1 2 8x 5 x 3 5x 3 3 x 5
x2 x2 2x 1 3x 1 2x 3x
0x
A) 1 D) 6
B) 2 E) 11
C) 5
RESOLUCIÓN
0
3 5
203. Halle la suma de los , al resolver la inecuación: 16 x3 35 x2 51x 0 x4 x2 1
3
x 0;
RPTA.: D 202. Indicar
la suma de aquellos números enteros que satisfacen la inecuación:
x 5 2x4 32 3x2 x 2 2
48
A) 1 D) 5
17
B) 0 E) 6
0
C) 4
RESOLUCIÓN
x 5 2x4 32 3x2 x 2 2
48
X=5 “par”
17
3x
x4 16 0 2
2
+
2 3
16 x3 35 x2 51x 0
x 16x2 35x 51 0 16 x 51 x -1 x 16x 51 x 1 0
Puntos críticos x=0x=0 16 x + 51 =0
2 3
+ 1
+ 2
+ 5
-
+ 51 16
x ;
-
x=
x – 1 = 0 x = 1
-
x
3
x
-1
“par”
-2
0
2
x 4 x 4 0 x x 2 x
+
x4 x2 1 x2 x 1 x2 x 1
0
51 16
+ 1
51 0;1 16
1
RPTA.: A
2 x ;1 2;5 3 1 + 2 -2 + 5 = 5
RPTA.: D
204. Si: x 5,10 , halle : 32 M-17 N 2x 1 tal que: N M 3x 2 A) 18 D) 12
B) 16 E) 10
C) 14
206. Halle el conjunto 4x 3 2 3x
RESOLUCIÓN
2x 1 2 7 3x 2 3 3 3x 2
19 9 ; N 32 17 32M 17N 10
2
6 5
7x = 5 5 x 7
9 C) 4
2 3
C.S.
- 4x+3 = 2-3x 1 =x
5 7
1
1
RPTA.: B
M x 5 x5 2 Haciendo cambio de variable yx
1 5
5 8 8 B) C.S. 1; 5 8 C) C.S. 5
y2 y M 2 0 ; y 0 1 4 M 2 0
M
4x 7 2x 3 3
207. Resolver:
A) C.S. 1;
M y2 y 2
2 3
4x 3 2 3x 4x 3 2 3x
1
SOLUCIÓN 2
E) 0
2 3x 0 3x 2 0 x
se cumple: M x 5 x5 2
D)
5 7
4x 3 2 3x
205. Encontrar el número mayor M con la propiedad de que para todo
5 B) 6 2 E) 5
C)
de:
RESOLUCIÓN RPTA.: E
2 A) 3
5 7
D) 1;
M
x
B) 1
A)
Como: 5 x 10 9 2 7 19 17 3 3 3x 2 32
solución
9 4
D) C.S. 1;3
9 El mayor valor M 4
E) C.S.
RESOLUCIÓN RPTA.: C
SEMANA 11
INECUACIONES, VALOR ABSOLUTO, INECUACIONES EXPONENCIALES
4x 7 2x 3 3
2x 3 0 x
3 2
4x 7 4x 7 2x 3 2x 3 3 3 4x-7=6x-9 -4x+7=6x-9 2=2x 16 = 10x 1=x 1,6= x 2 3
1
4x2 3x 1 x2 2x 1
4x
2
5x
2
1 6
4x 3 2x 1 ,
+
e
D) 3
-
+
+
2 3
1
1 2 ;1 5 3
El menor número entero
4x 3 2x 1 4x 3 2x 1 0 6x 4 2x 2 0 x
2 3
210. Halle la suma de los valores enteros que pertenecen al complemento del conjunto solución de la inecuación: x2 1 x x2
A) 0 D) 3
x=1
+
-
2 3
+
C) 2
x2 1 elevando al x x2 cuadrado y por diferencia de cuadrados: 1 x 2 1 x2 x x 2 x x 2 0
2 x ;1 =1 3
RPTA.: B
x2 4 x x2 4 x 0 x x 2 x x 2
209. Al resolver, indicar el menor valor entero que satisface la 2 2 desigualdad: 4x 3x 1 x 2x 1
RESOLUCIÓN
B) 1 E) 4
RESOLUCIÓN
1
B) E) -2
RPTA.: B
E) 5
4x 3 2x 1
A) 0 D) 2
2 x=1 3
x
C) 2
RESOLUCIÓN
1 5
x 0;
1 5
0
indicar como respuesta el mayor de los números enteros que pertenece a su conjunto solución.
B)1
x 3x 5x 2 0
x=0 x
RPTA.: C
2 A) 3
2
x 5x 1 3x 2 x 1 0
8 C.S. 5
208. Resolver:
3x 1 x2 2x 1 4x2 3x 1 x2 2x 1 0
x
2
x 4 x2 x 4 x2 x 2
C) 1 C.S.
,
2
1 17 1 17 1 17 1 17 , , 2 2 2 2
Entonces: {2, 2}
211. Si
-4x-7; x
RPTA.: B
el
x-7; x 7
conjunto solución de la x 1 1 inecuación 2 tiene x 1 x 4x 8 la forma:
;
a c Halle: b
a+b+c
A) 5 D) 9
B) 7 E) 10
Elevando al cuadrado 2
x 1 1 x2 4x 8 x 1 Luego: 1 x 1 1 x 1 x2 4x 8 x 1 x2 4x 8 x 1 0
x2 2x 1 x2 4x 8 x2 2x 1 x2 4x 8 0 x2 4x 8 x 1 x2 4x 8 x 1
2x 7 2x2 6x 9 2 x2 4x 8 x 12
E
4x 7 7 x x
5
RPTA.: E
A) 60 D) 63
B) 61 E) 64
C) 62
RESOLUCIÓN
x60 x 12 0 x6 x 12 x= 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
214. Resuelva la inecuación
x 1 x
A) 0;
B) 1;
C) ;1 E) ;0
D) 1;1
4x 7 x 7
x se resuelve a una constante, para x 2,5 ; halle dicha constante.
B) 2 E) 5
RESOLUCIÓN 4x+7; x 4x 7
para x 2;5
RPTA.: D
RPTA.: E
A) 1 D) 4
0
7 x ; 1 2 a + b + c = 7 + 2+1 = 10
212. Si la expresión E
7-x; x<7
213. Halle la suma de los valores enteros que verifican a la inecuación x 6 x 12 0
RESOLUCIÓN
x 7
C) 8
2
7 4
RESOLUCIÓN
x 1 0 x 0 x0 x1
C) 3
7 4
1
Universo: x 1 Elevando al cuadrado x 1 x2 x2 x 1 0 ; 3
x
interceptando
x 1;
RPTA.: B
217. Cuántos valores enteros satisfacen a la inecuación 1 1 4 0 4 x2 9x
A) 31 D) 34
215. Indicar el conjunto solución de x2 x5 3
A) 5;
B) 6;
D) 6;
E)
C) 5;
2;5
RESOLUCIÓN
1. 2. 3. 4.
Universo x 2 0 x 5 0 x 5 x5 3 x2 Elevando al cuadrado x5 96 x2 x2
RESOLUCIÓN
x–2>0 x>2 9–x>0 x<9 3; 4; 5; 6; 7; 8. 3 45 6 7 8
218. Señale el intervalo en el cual le satisface la inecuación 2x 5 x2 5x 6
x2 2 x2 4 x 6
A) 2; RPTA.: B
C)
216. Indique el conjunto solución de
C) E)
1 ; 2
5 2
B) 0; 1 D) ; 2
B) 3;0
5 ;4 2
E) 7;
x3 3x2 5x 2 x 1
A) ;0
C) 33
RPTA.: C
6 x 2 12
3
B) 32 E) 35
D) 3;6
5 2
RESOLUCIÓN 1.
1 0; 2
x2 5x 6 0 x2 5x 6 0 x 3 x 2 0 +
RESOLUCIÓN
Elevando al cubo. x3 3x2 5x 2 x3 3x2 3x 1 2x 1 1 x 2 1 x ; 2
RPTA.: C
+ 0
2.
2x – 5 < 0 5 x 2
3.
De …(1) y …(2)
2
3
x 2;
5 2
RPTA.: A 219. Al
resolver: x 4 3 x 1 4 ,
indicar como respuesta la suma de sus raíces.
9 11 2 D) 7
7 8 9 E) 4
A)
B)
C)
4 7
220. Indicar el menor valor entero positivo que satisface la desigualdad: x 1
RESOLUCIÓN x+4=0 x=-4
x -1 = 0 x=1
-4
+ +
x 4;1 x 1;
1 x 1 25
- …. - …. + ….
0,04
C) 3
x 2 3
x
1 25
x 3 2
x 3
6x 3 0 x x 1 puntos críticos x
(x+4) +3 (x-1) = 4 x + 4 + 3x – 3 = 4 4x = 3 3 x 4;1 4 3 x 4
+
-
0
+
1
1 x 0; 1; 2 2
RPTA.: B se
Cálculo de (): (x + 4) 3(x1) = 4 3 1 x= 2
1 ;0;1 2
-
1 2
2x 1 x 3 1 ,
221. Al resolver:
x a;b ;
obtiene
según esto, hallar (b+c).
A) 17 D) 14
Luego:
x 3 2
B) 2 E) 0
x2
(x+4) + 3(x-1) = 4 x – 4 + 3x -3 = 4 2x = 11 11 x= ; 4 2 x
Cálculo de
x
1 x 1 1 x 5 5 x2 x3 x 1 x x2 x3 0; x 0;1 x 1 x x2 2x x2 4x 3 0 x x 1
Cálculo de -
RESOLUCIÓN
1
x ; 4
x 2 3
A) 1 D) 4
x 4 3 x 1 4
0,008
B) 16 E) 13
C) 15
RESOLUCIÓN
3 3 , 4 2 3 3 9 4 2 4
2x 1 x 3 1
1 2 x 3 0 x 3
2x 1 0 x
RPTA.: E
1 x ; ..Universo 2
2
2x 1 1
x3
2 6x 4x 7 6x 2 2 6x 4x 7 4x 7 6x 2 9 < 10x -5 < 2x 9 5 x x 2 10
2
2x 1 1 2 x 3 x 3
x 5
2
2 x3
2
x2 10x 25 4x 12 x2 14x 13 0
x 13 x 1 0
1 2
9 10
5 1 2 9 3 C.S. x ; 10
x = 13 x = 1
1
13
RPTA.: B
1 x ;1 13; 2
b c b + c = 1 + 13 =14
RPTA.: D 222. Halle el valor de “x” que satisface la desigualdad. 3 4
2 4x 7 8
64 27
A) 9 ; 10
;
223. Halle la suma de los valores enteros positivos que pertenecen al complemento del conjunto solución de la inecuación x 5
A) 6 D) 17 C)
9 D) ; 10
2 4x 7 8
E)
3 3 4
2 4x 7 8
4 x 1
B) 12 E) 20
2 x 4
C) 15
2x
2 x 5 2 x 1 2 x 4 2x x5 x 1 x4 x 0 x 5 x 1 x2 3x 4 x2 5x 0 x 5 x 1 2 x 2
12x 12
3 3 4 4 2 4x 7 8 12x 12
x 5 x 1 +
0
+
-
2 4x 7 12x 4 4x 7 6x 2
22x
RESOLUCIÓN
5 2
3 4
x 1
4 x 1
B)
RESOLUCIÓN
4x 4
-1
2
5
C.S. 1;2 5;
1 6x 2 0 x 3
C.S.
C
3 4 5 12
RPTA.: B
SEMANA 12
224. Halle el conjunto solución de la inecuación:
x 3
1 3 3 x
2
x2
1 9 9
A) 3;
B) ; 3
C) ;3 E) 2;3
D) 3;
FUNCIONES
x
226. Sea la función: f x ax2 b , a b constantes y “x” un número real cualquiera. Los pares ordenados (0;3); (2;2) y (3;R) corresponden a los puntos de la función, ¿Calcular el valor de “R”?
RESOLUCIÓN x 2
1 x
3 4
A) 1
B)
D) 2
E) 5
C) 1; 3
3 x 3 9 x 2 x 2 x 3
1 x 2 x 2
3 3 x2 1 x 2 x3 x 2 x 2 2 x 1 0 x3 x2 3x2 4x 10 0 x 3 x 2
RESOLUCIÓN f x ax2 b
y ax2 b Evaluando:
(0;3) 3 a 0 b b 3 2
C.S. 2;3
(2;2) 2 a 2 b b 2 4a b a 2
(3;R) R a 3 b 2
RPTA.: E
225. Indicar el mayor valor entero del conjunto solución de la inecuación
R
x2 2x 15 x 1
R=
A) -1 D) - 4
B) -2 E) -5
C) -3
Halle el dominio de f x 22 x2
A) B) x / 4 x 4
Si: x2 2x 15 0 x 3 x -5
C) 2;2 D) 2; E)
-3
5
2;2
RESOLUCIÓN
Si además x+ 1 0 x 1 C.S. ; 3
3 4
1 9 3 4
RPTA.: B 227.
RESOLUCIÓN
1 4
Como
f x 0 ,
entonces
definida solo si 4 x2 0 Luego: x2 4 0 x 2 x 2 0
mayor valor entero = -3
RPTA.: C
esta
x = 2 x = -2
f x 3 x 1 6 2
g x 2 x 1 3 2
+
-
+
-2
2
x 2;2 Dom f 2;2 ó x / 2 x 2
Señale Rang f Rang g
A) 2;6
B) 3;6
C) 6;
D) ; 3
E) 3;6 RPTA.: C 228. Halle el dominio de la función: y f x ; tal que f x x 2 6 x
A) 2;4
B) 2;6 C) 2;4
D) 2;6
E) 6;
RESOLUCIÓN Rang f ;6 Rang g 3; Interceptando Rang f Rang g = 3;6
RPTA.: B
RESOLUCIÓN x2 0 x2 x 2;6
6x0 x6
231. Halle “p” para que el conjunto de pares ordenados de: f 2;3 ; 1;3 ;2;P 6 sea función
RPTA.: B 229. Halle el rango de la función f cuya x2 regla es f x x3
A)
1
B)
C)
2 3
D) ;1
E)
1
2 3
C) - 3
RESOLUCIÓN
(2;3) = (2; P + 6) Luego: 3= P + 6 - 3 =P
232. Señale el dominio de la función f;
x2 xy 3y x 2 x3 xy x 3y 2 x y 1 3y 2
x
Rang f
B) - 4 E) - 1
RPTA.: C
RESOLUCIÓN y
A) -5 D) 2
3y 2
si f x
A) ; 1 1; 0 B) 1;1 1; C)
y 1
D)
1
E) RPTA.: B
230. Dada las funciones f y g cuyas reglas de correspondencia son
x2 x2 1
; 1 U;1 1;1
RESOLUCIÓN x2 0 x2 1
x2 0 x 1 x 1
P.C.
N
x=0 x=1 x = -1
D
1 2 1 ;4 2
A) ;
B)
C)
D)
3;
E)
RESOLUCIÓN
+
-1
-
+ 1
Como f x 0, entonces
Dom f ; 1 1; 0
x3 1 0 x 2x 1 2 Luego x 3 0 x 3 puntos 1 críticos 2x 1 0 x 2 definida si:
+
1 233. Halle el dominio de f x 1 x2 x
B)
-
1 2
RPTA.: A
+ 3
1 3; 2 1 Dom f ;3 2
0
RPTA.: B
C) 1;1 0 D) E)
235. Si la función parabólica 1;1
f
RESOLUCIÓN Como
f x 0 ,
pues
x 0,
A) 1 D) 4
x 1 x 1 0 x=1
+ -1
/ y ax2 bx c
B) 2 E) 5
C) 3
x=0c=4 x = 1 a + b+ 4 = 2 a + b = -2……………….…
+
x = -1 a-b +4 = 12 a – b = 8……………………
1
x 1;1
De y a = 3 y b = -5
dom f 1;1 0
RPTA.: C 234. Si f x
2
RESOLUCIÓN
x = -1
-
x, y
pasa por los puntos A (1,2); B (-1;12); C (0;4) Calcule a b c
1 x2 0 x2 1 0
entonces:
x ;
A) ; 1
esta
x3 , halle su dominio. 2x 1
f x 3x2 5x 4
f1 3 5 4 2
RPTA.: B
236. Señale el valor máximo de la función f, si la regla de correspondencia es:
f x x 1 x 2 x 3 2
A) - 1 D) - 4
2
B) - 2 E) - 5
2
1-3x; x
f x
1 2 1 1 Si: x y 2 2 1 1 Si: x y 2 2 1 R f ; 2 x- 1; x
C)- 3
RESOLUCIÓN
Operando: f x x2 2x 1
1 2
f x x2 4x 4
RPTA.: B
f x x2 6x 9
238. Dada la función f x ax b; x
f x 3x2 12x 14
a = -3; b = 12; c = - 14 fmáx 4a 144 4 3 14
donde a y b son ctes reales, si f x y f x f y x, y , y si
144 168 24 24 4 fmáx 2 3
A) 1 D) 4
f x 2 6 Halle: a +b
1
1 2
A) ; 2
B) ;
1 ; 2
1 D) ; 2
C)
Como f x y f x f y a x y b ax b ay b
b=0 luego: f x ax f 2 2a 6 a 3
a +b = 3
RPTA.: C 239. Halle la suma de los valores enteros del dominio de la función:
1 1
E) ; 2 2
C) 3
RESOLUCIÓN
RPTA.: D 237. Halle el rango de la función f definida por: f x 2x 1 x
B) 2 E) 5
f x
RESOLUCIÓN
1 2x-1; x 2
2x 1 =
1-2x; x
1 2
A) 0 D) 5
x2 3x 4 21 x2 4
B) 1 E) - 5
RESOLUCIÓN
C) - 1
El dominio esta dado por solución de la inecuación:
x2 3x 4 21 x2 4
0
la
- 3a+b = -13 x 3x 4 0 x , 1 4; 2
21
x2 4 0
x2 4
21
a + b = - 1 (-) -3a + b = - 13
x2 4 0 x2 25 0
4a
= 12 a=3 b=-4 3a – 2 b = 3 (3) – 2 (-4) = 17
x ; 2 2;
x 5,5
RPTA.: A
Dom f 5; 2 4;5
RPTA.:E 240. Si M 2;6 ;1;a b ;1;4 ;2;a b ;3;4
242. Halle el rango de: f x x2 6 3
es una función, halle: a2 b2
A) 12 D) 26
B) 16 E) 27
RESOLUCIÓN
C) 32
7;1
B)
C)
0
D) 7;1
E) 1;
(2;6)= (2;a+b)
1;a b 1;4
6 = a+b
a–b=4 a +b = 6 a–b=4 2a = 10
RESOLUCIÓN
Como f x 0 ,
+
y 3
2
x2 16
x2 y2 6y 7
x y2 6y 7 0 y2 6y 7 0
f1 1 f 3 13, hallar:
y 7 y 1 0
(3a-2b)
y = -7
C) 15
y =1
+
RESOLUCIÓN
Si f x ax b , evaluando: f1 1 a 1 b 1
*
a +b = -1 f 3 13 a 3 b 13
2
y2 6y 9 x2 16
241. Sea una función definida en el conjunto de los números reales, por f x ax b y además
*
esta
x2 16 3
y
RPTA.: D
B) 16 E) 23
entonces
definida solo si: x2 16 0 pero, como nos solicitan el rango, entonces:
a=5 b = 1 a2 b2 52 12 26
A) 17 D) 19
A)
-7
+ 1
y ; 7 1;
Ranf
7;1
RPTA.: A
243. Si
f x x2 2 ;
g x x a ,
determinar el valor de “a” de modo que (f o g) (3) =(g o f)(a-1)
8 7 1 E) 8
A) -8 D)
B) -
1 7
C)
245. Señale el valor de “n” en la función f ; si f x x 2 x 3 ... x n y el dominio es 10;
7 8
A) 6 D) 10
B) 7 E) 13
C) 9
RESOLUCIÓN
f og3 f g 3 f 3 a a2 6a 11 2 gof a 1 g f a 1 g a 1 2
RESOLUCIÓN
gof a 1 g f a 1 a2 a 3
Reemplazando resultados: (fog) (3) = (gof) (a1) a² + 6a + 11 = a² a+3 8 a= 7
RPTA.: B 244.
Si:
x2 0 x 2 x3 0 x 3 . . . xn 0 x n Como : n > 2 > 3... Domf n;
n = 10
f x 2x 3b , determinar el
valor
de
“b”
de
manera
f b 1 3 f * b ;b
RPTA.: D
que
2
A) 3 D) - 4
B) 4 E) 2
SEMANA 13
C) -3
TEMA: 246. Calcule el siguiente límite
RESOLUCIÓN
x3 5x2 3x 3 x 1 3x3 6x2 9x
Calculando f * x :
lim
f f * x x , x Df *
2 f * a 3b x
x 3b ;x Df * 2 Como: f b 1 3f * b2 f * x
D)
1 3 6 E) 5
A) 5
B)
1 6
C)
RESOLUCIÓN
b2 3b 2 b 1 3b 3 2 2 3b 11b 4 0 1 b= b=-4 3
Factorizando denominador. x 1 x2 6x 3 lim x 1 3x x 1 x 3
RPTA.: D
x2 6x 3 5 x 1 3x(x 3) 6 lim
5 6
numerador
RPTA.: C 247. Calcule el siguiente limite: x 8 lim x 64 3 x 4 A) 4
B) 3
1 4
E) 2
D)
C)
x 8
lim
x 64 3
x 4
1 3
C) 1
1 E) 2
2
x y2
lim y 2
y3 8 y2 4
a ax x2
1 4 3 1 5 2 como x P 1 2 5 1 6 2
a ax
A) 3a D) 1
B) a E) a2
RPTA.: C
C) -a
250. Halle el V.V. de la expresión x2 x2 12x , para x =4 T x2 5x 4
RESOLUCIÓN
Multiplicando al numerador y denominador por su conjugada se tiene: a2 ax x4 a ax lim x a a2 ax a ax x2
a a x a ax x a lim a a x a ax x
2
x a
B) 2
1 1 8 2 3 2 2 13 0 2 P 1 2 3 12 0 1 1 2 12 2 2 2 2 Factorizando: 2x 1 4x 3 4x 3 , y Luego: Px 2x 1 6x 2 6x 2
RPTA.: B
x a
P x
Evaluando:
3
lim
expresión
límite de la 8x2 2x 3 ; 12x2 2x 2
RESOLUCIÓN
y 2 y2 2y 4 lim y 2 y 2 y 2
248.
valor
A) -3 3 D) 4
Hacemos un cambio de variable x y3 y6 x
el
para x=0,5
RESOLUCIÓN 3
249. Hallar
2
ax
2
= 3a
RPTA.: A
1 2 1 D) 6 3
1 3 1 E) 5 2
A) 11
B) 9
C)
7
RESOLUCIÓN
4 4 12 4 T 2 4 5 4 4 3
2
64 16 48 0 16 20 4 0
Factorizando num. y den. N = x x2 x 12
x x
-4 3
2 3
x x 4 x 3
=
x2 5x 4 x -1 x -4 (x-1)(x-4)
D= = T
RPTA.: B
x x 4 x 3
x 1 x 4
253. Calcule: lim x 1
x x 3 x 1
,
y
como x = 4 4 7 28 T 3 3
D)
A) 6 D) 2
1 3
C)
RESOLUCIÓN
lim
RPTA.: B
x
B)
1 4
x 1
251. Halle el lim
1 2 1 E) 5
A) 1
x 1 x 1
x 1 x 1
RPTA.: B
8x2 5x 6 4x2 x 1 B) 0 E)
1 x 1 2
x 1
C) 1
x10 a10 xa x5 a5
254. Halle lim
B) a2 E) 2 a5
A) 2 D) a5
C) 5
RESOLUCIÓN 8 5 2
lim x
4 1 2
RESOLUCIÓN
Dividiendo numerados y denominados entre x² 5 6 x2 8 2 8 5 6 x x 2 8 0 0 2 lim x 1 1 1 1 400 2 x2 4 2 x x
RPTA.: D 252. Calcule: lim x 1
2 A) 3 1 D) 4
x3 1 x2 1
Factorizando: x5 a5 x5 a5 lim x a x5 a5
1 C) 2
D)
3 2
B)
3 4
1 2
C) -2
E)
RESOLUCIÓN x
5
255. Halle el valor de 2x20 3x10 1 lim x 4x20 2x5 1
lim
RESOLUCIÓN
2a
RPTA.: E
A) 2
3 B) 2 5 E) 4
x 1 x2 x 1 lim x 1 x 1 x 1
Coef de x20 Denominador
lim x
Coef de x20 Númerador
2 1 4 2
RPTA.: B
x10 x 2 x x2 x 1
256. Calcule lim
B) E)
A) 0 D) -1
RESOLUCIÓN T
C)
46 4 1 10 5 2 2 0 0 4 16 4 4 4
Efectuando operaciones: x6 x 1 x x 6 x 1 x 6 T x x 4 x 4 x 4 x 4 x x 4
RESOLUCIÓN x10 x 2 ; ya que el x x2 x 1 exponente de númerador es mayor que el exponente del denominador. lim
x4 1 y como x x 4 x 4 x x 4 x=4 T
1 1 ó 25 4 4 4 32
RPTA.: B 257. Halle el lim x2 4x x2 x
RPTA.: A 259. Halle el lim
x
4x
x 3
2 3 5 E) 7
A)
B)
3 D) 2
C)
2 3
lim 2 4 2
Multiplicando la expresión por conjugada x2 4x x2 x x2 4x x2 x
lim
x
4x x x
la
3x
x2 4x x2 x
D)
E)
C)
4 7
el
B) 24 E) 0,25
27 6 5 16 5 2 3
2
4x
lim 3
valor aproximado de x6 x 1 la función Tx 2 , para 2 x 16 x 4x x=4
A) 25 1 D) 3
B) 0
1 7
Indeterminado Transformando adecuadamente
RPTA.: D 258. Halle
x 3
x
4 4 x 1 x 1 x x 3 3 2 4 1 1 1
x
A) 6
4
lim
x
2
27x 6x 5 16x2 5x 2
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
2
3
27
6 5 5 2 3 x2 16 2 2 x x x x
6 5 2 2
5 2 2
6
5
5
2
0
0
0
0
4x x 3 27 16
4 7
RPTA.: E
C) 23 260. Si: lim x 0
senkx 1 kx
sen5 x sen3 x Calcule lim x 0 3x 5x
34 15 5 E) 3 A)
B)
15 20 17 C) D) 34 31 19
RESOLUCIÓN 5 sen5x 3 sen3x E lim x 0 3x 3 5x 5 3 5 9 25 34 E 5 3 15 15
RPTA.: A 261. Halle la suma de las constantes k x3 1 y b, que cumple lim k x b 2 0 x 0 x 1 A) 1 D) 3
B) 0 E) -1
RPTA.: D 263. Calcule el siguiente limite 1 cos 6x lim x 0 sen 6x
C) 2 A) 0
1 6 E) 2 B)
RESOLUCIÓN
D) 6
x 1 lim k x b 2 x 0 x 1
RESOLUCIÓN
3
lim
kx b x2
1 x3 1
x2 1 kx3 b2 kx b x3 1 lim x 0 x2 1 3 k 1 x bx2 kx b 1 lim x 0 x2 1 como el limite es cero, entonces k = 1, b = 0 k +b = 1 x 0
6x 5 sen 2x x lim x 0 2x 3 sen 4x x sen 2x 6 x lim x 0 sen 4x 23 x sen2x 62 x lim x 0 sen 4x 23 4 4x 62 2 2 12 7
RPTA.: A 262. Calcule el siguiente limite: 6x sen2x lim x 2x 3 sen 4x A) 3 D)
2 7
B) 0 E)
RESOLUCIÓN
1 6
C)
6 5
C) 1
Aplicando la Regla de H´ospiral d 1 cos 6x 0 sen 6x 6 lim dx lim x 0 x 0 d cos 6x sen6x dx Evaluando: 0 0 uno
RPTA.: A 264. Calcule el siguiente limite: tg x sen x lim x x3 A) D)
B) E)
RESOLUCIÓN sen x sen x cos x lim x x3
C)
lim
sen x 1 cos x
a1 5
3
x cos x sen x 1 cos x 1 lim 2 x x cos x x 1 2 x
2 a1 n 1 r S n 2 2 5 n 1 2 437 n 2 437 4 n n
RPTA.: B 265. Halle el valor de “a”, sabiendo que:
a > 0
x3 2a2x ax2 2a 5 x 2ax x2
D)
1 2
B)
1 3
267. Encontrar la mayor edad de tres personas; sabiendo que forman una P.A creciente, cuya suma es 63 y la suma de sus cuadrados es 1373.
C) 2
E) 3
A) 27 D) 24
RESOLUCIÓN
Factorizando numerador denominador: x x 2a x a lim x x x 2a lim x
Este 2a-5 a=2
x x a
B) 26 E) 23
C) 25
RESOLUCIÓN
y
a-r,a,a+r S = 63 3a = 63 a = 21
a r
2
a2 a r 1 373 2
2 21 r 21 1 373 2 441 r 441 1 373 2 a2 r2 a2 1 373
1a
x resultado
n = 19
RPTA.: B
lim
A) 1
2
igualamos
con:
2
2
RPTA.: C
SEMANA 14
2
r2 25 r 5 16 , 21 , 26
PROGRESIONES
RPTA.: B
266. Cuántos términos debe tener una P.A. cuya razón es 2. Sabiendo que el noveno término es 21 y la suma de todos ellos es 437. A) 11 D) 23
B) 19 E) 25
RESOLUCIÓN a9 a1 8r
C) 21
268. La suma de los tres primeros términos de una P.A. es 42, la suma de los tres últimos es 312, y la suma de todos los términos 1062, ¿de cuántos términos consta dicha progresión? A) 14 D) 18
B) 16 E) 19
C) 17
RESOLUCIÓN 21 a1 8 2
a1,a2 ,a3.....an2,an1,an a1 a2 a3 42
+
an , an1 an 312
RESOLUCIÓN a3 4a1....
a1 an an a1 a1 an 354
3 a1 an 354
a6 17
a1 an 118
S 1 062
a6 3r 4 a6 5r 17 3r 4 17 5r
a1 an 2 n 1 062 118 2 n 1 062 n = 18
17 3r 4 17 20r 17r 3 17 r=3 a1 a6 5r
a1 17 5 3
RPTA.: D
a1 2
269. En una P.A. los términos de lugares 11 y 21 equidistan de los extremos y suman 48. Determinar la suma de todos los términos de dicha progresión. A) 360 D) 744
B) 372 E) 804
C)
720
a8 a6 2r
a8 17 2 3 a8 23
RESOLUCIÓN a1 ,........a11................a21 ..........an 10
RPTA.: C 271. Dadas las aritméticas: * x 2y 4x 1 ...
48
Último: a31 n 31
*
a an S 1 n 2 48 S 31 2 S = 744
x y 2y 2 ...
A) 3 D) 9
C) 80
B) 4 E) 12
C) 7
RESOLUCIÓN
2y – x = 4 x + 1 - 2y 4y - 5x = 1
270. En una P.A el tercer término es igual a 4 veces el primero y el sexto término es igual a 17. Halle la suma de los 8 primeros términos. B) 30 E) 20
y
progresiones
Calcule el valor de (xy)
RPTA.: D
A) 50 D) 10
a a8 a1 a2 ..... a8 1 8 2 2 23 a1 a2 ..... a8 8 2 a1 a2 ..... a8 25 4 100
10
a1 an a11 a21
De :
x + y – y = 2 y + 2 – x –y x=y+2–x 2x –y = 2 y=2x-2 4 2x 2 5x 1
8x - 8 - 5x = 1 3x = 9 x = 3 y = 4 x y = 12
7n 1 Sn n, a21 ?? 2 a an Sn 1 n 2
RPTA.: E
272. Calcule: 2 26 242 K 1 2 6 10 ... 3 3 3
201 80 80 D) 201
101 80 200 E) 81
A)
B)
2 a1 8
C)
a1 4
301 80
S1 : n 2
RESOLUCIÓN 2 26 242 K 1 2 6 10 .... 3 3 3 3 1 27 1 243 1 K 1 2 2 6 6 10 10 .... 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 K 1 3 5 ... 3 5 ... 3 3 3 9 9 9
1 3
K 1
1 1 1 2 2 3 9 1 3 9 9 1 80 8 80 81
RPTA.: A 273. La suma de los “n” términos de una P.A. es:
7n 1 Sn n 2 Calcule el término que ocupa el lugar 21. A) 122 D) 105
B) 144 E) 100
RESOLUCIÓN
a1 a2 15 r 7
4
11
a21 a1 20r a21 4 20 7 a21 144
RPTA.: B 274. En una P.A. la suma de sus “n” términos está dada por: S 3n2 n , ¿Cuál será la expresión de la suma sino se considera el primero ni el último?
1 9
1
1 K 1 3 8 9 201 K 80
a1 an 7n 1 2 n 2 n a1 an 7n 1 S1 : n 1
C)
169
A) B) C) D) E)
3n2 5n 2 3n2 5n 2 3n2 5n 2 3n2 5n 2 3n2 5
RESOLUCIÓN S 3n2 n a1 an a1 an 2 3n 1 2 n 3n n 2
Sin considerar a1 y an
a an1 S 2 n 2 2
T1 x 2, T3 x 6
a an S 2 n 2 2 S 3n 1 n 2 3n2 5n 2
RPTA.: D 275. En una P.G. de tres términos la suma de ellos es 248 y su producto es 64 000. Escribir la progresión y dar como respuesta el mayor de sus términos. A) 50 D) 200
B) 100 E) 220
C)
150
T1 T3 5 x2 5 2 T2 3 T2 3 3 T2 x 2 5 Además: T3 T 2 T22 T1 T3 T2 T1
9 2 x 2 x 6 x 2 25 Resolviendo x = 3
RPTA.: B
RESOLUCIÓN T1 , T2 , T3 T , T, T q q T T T q 248 …………………. q T T T q 64 000 q T 3 64 000 T = 40
1 40 1 q 248 q Resolviendo: q=5 T q 40 5 T q 200
B) 4 E) 7
C) 5
RESOLUCIÓN T1 T1q2 T1q4 637
T1 q T1q3 T1q5 1911
RESOLUCIÓN
q T1 1 q2 q4 1 911
276. Determinar “x”, si el primer término de una P.G. es igual a (x-2); el tercer término es igual a (x+6) y la media aritmética de sus términos primero y tercero se 5 refiere al segundo como . 3 B) 3 E) 2
T1 1 q2 q4 637
RPTA.: D
A) 7 D) 5
A) 3 D) 6
T1 , T1 q, T1 q2 , T1 q3 , T1 q4 , T1 q5
En
277. La suma de los términos que ocupan el lugar impar en una PG. De 6 términos es 637 y la suma de los que ocupan el lugar por 1 911. Halle la razón.
C) 4
q=3
RPTA.: A 278. La suma de los términos de una P.G. de 5 términos es 484. La suma de los términos de lugar par es 120. ¿Cuál es la razón entera de la progresión? A) 3 D) 6
B) 4 E) 7
RESOLUCIÓN
C) 5
T1 T1q T1q2 T1q3 T1q4 484
T1 1 q q2 q3 q4 484
A) 30 D) 33
B) 31 E) 34
C) 32
3
T1q T1q 120
RESOLUCIÓN
T1 q q3 120
a1 100
:
an ?
1 q q2 q3 q4 121 30 q q3 Resolviendo: q = 3
r = 96-100= -4 n = 18
RPTA.: A 279. La suma de 3 números en P.A. es 15, si a estos números se agregan el doble de la razón excepto al término central entonces ahora se encontrarán en P.G. indicar la razón de esta última progresión.
20 3 10 D) 3 A)
B) -3 E)
C) 5
5 3
an a1 n 1 r a18 100 18 1 4
a18 100 68 a18 32
RPTA.: C 281. Calcule el séptimo término de la sucesión 21 22..... A) 26 D) 20
B) 27 E) 22
C)
20
RESOLUCIÓN 1 2 n=7 1 1 1 r 4 2 4
RESOLUCIÓN
a1
a - r, a, a + r 3a = 15 a=5 5 – r, 5, 5 + r
a7
5+r, 5, 5+ 3r P.G. 5 5 3r 5r 5
1 1 6 2 4
1 3 2 2 2 a7 1 2
a7
25 5 r 5 3r
25 25 20r 3r2
RPTA.: C
2
3r 20r 20 r 3
RPTA.: A 280. En la P.A. 100 96 92.... Calcule el término que ocupe el lugar 18.
282. Señale el valor de: 1 1 1 1 1 P 1 ... 2 3 4 9 8 A) 0,2 D) 0,8
B) 0,4 E) 1, 0
RESOLUCIÓN
C) 0,5
1 1 1 1 3 S1 1 ..... 2 1 3 9 3 2 1 3 1 1 1 1 1 S2 ..... 2 2 1 1 1 2 4 8 1 2 2 S2 1
P
3 32 1 1 2 2 2
x 1 x 2 x 3 2
283. Halle el n-esimo término de la sucesión 8 13 18....
B)
C)
D)
E)
D) 4n2 2n 1
2x
2
6
n n 1
n n 1 2n 1
2 3 2n 1 2n 1 2x , x 3 6
E) 64n2 8n 21
RESOLUCIÓN
a1 = 8 = 5 + 3 a2 = 13 = 5 2 + 3 a3 = 18 = 5 3 + 3 an = 5n + 3 an² = 25n² + 30n + 9
RPTA.: C SEMANA 15 RPTA.: C
284. Calcule el valor de P 1 2 3 4 ... n
D) n -1
2 n n 1
Operando x2 2x 1 x2 4x 4 x2 6x 9
C) 16n2 25n 9
n E) 2
2n 1 6 n 1
A)
nx2 2x 1 2 3 ... n 12 22 32 ... n2 nx2
B) 25n2 30n 9
B) n
2n 1 6 n 1
2
x2 2nx n2 n x2
A) 16n2 30n 6
A) -n
... x n nx2
2
RESOLUCIÓN RPTA.: C
2
C)
n+1
LOGARITMOS E INECUACIONES LOGARÍTMICAS 286. Determine el valor L og100 N 1,5 L og512 29 A) 10 D) 2 200
“N”,
B) 100 E) 512
si
C) 1 000
RESOLUCIÓN
n: es un número par Para 2 términos: 1- 2 = -1 Para 4 términos: 1 - 2 + 3 - 4= -2 Para 6 términos:1-2+3-4+5-6=3 n Para n términos: 2
RPTA.: E 285. Señale el valor de “x” en la ecuación
RESOLUCIÓN L og100 N
3 3 L og512 512 L og100 N 2 2 3
1
N = 1002
N = 102
3 2
1 000
RPTA.: C
287. Calcule k L og 1 0,00032 L og 2 20,5 25
5 2 7 D) 2 A)
B)
3 2
C)
3 2
289. Halle el valor de W=Log2 L og3 antilog3 L og1,5 2,25 A) 0 D) 1,5
E) 3,7
B) 1 E) 0,75
C) 2
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN k L og 1 32 105 L og
2
2
w Log2 L og3 antilog3 L og1,5 1,5
2
1 2
25
x
2 w Log2L og3 antilog3 2 1
1
x
5 1 5 25 2 2 5 2x 5 25 25 55
2x
RPTA.: B Log23 x 2 Log3 x 3 ,
290. Resolver
5
5 5 -2x=-5 5 x 2 5 7 K 1 2 2
e
indicar el producto de sus raíces. A) -4
B) 9
D) -3
E) 1
1 9
C)
RPTA.: D 288. La expresión: 1 1 antilog L oga L ogb 2L ogc es 2 3 igual a: A)
ab c
B)
a b c2
D) 3
a b c2
E) 3
ab c2
C) 3
ab 2c
RESOLUCIÓN
Log3x
2
2 Log3x 3 0
a a 2a 3 0 a 3 a 1 0 2
a = -3 Log3 x 3
a=1 Log3 x 1
1 27 1 1 x1x2 = 3 2 9
RESOLUCIÓN
1 antilog L oga L og b L ogc2 3
a b c2
RPTA.: C 291. Resolver:
1 a b antilog L og 2 3 c
antilog L og 3
x2 3
x1
Logx xx
xx
x2
x 2
,
indicar el valor x2 1 3
a b c2
A) 15 D) 37
RPTA.: D
B) 8 E) 48
RESOLUCIÓN
C) 24
e
1
x
xx Logxxx x2x4 x x2x xx x 4 x x 4 x x x x2x
8
4
2 23 2 4
13
24
Log84 2 2 2 Log
1
23 2 4
1 2 22
3
Log 13 22
xx5 x2x x + 5 = 2x x=5 52 1 24
24
RPTA.: C 292. Resolver Ln 12 Ln x 1 Ln(x 2) ,
3 2 13 4 6 13
RPTA.: C
e indicar su conjunto solución: A) 5; 2
B) 2
D) 1;5
E) 3; 2
C) 5
RESOLUCIÓN Ln12 Ln x 2 Ln x 1 Ln12 Ln x 2 x 1
12 5 5 B) 12 C) Indeterminado D) Incompatible E) x A)
12 x2 3x 2 0 x2 3x 10 x -5 x 2 (x-5)(x+2)=0 x = 5 x = -2
294. Señale el valor de x que satisface a la igualdad. 7x2 1 Log (x 3) 5 5 7x 3
RESOLUCIÓN 7 x2 1 7x 3 7x2 3 x 21x 9 7x2 1 - 24 x +9 = - 1 10 = 24 x 5 x 12 x3
Verificando, no será valor de la ecuación C.S.= 5
RPTA.: C 293. Calcule el logaritmo de 2 2 en
7 2 8 D) 7
295. Resolver la ecuación 2
Logxxx Logx2 xx 24
base 8 4 2 A)
RPTA.: B
11 3 9 E) 4 B)
C)
6 13
A) 3 D) -8
B) 4 E) C ó D
RESOLUCIÓN Como: Log an am
RESOLUCIÓN 1 2
Log2 2 Log2 2 Log2
3 2
x
x2 24 2
m n
C) 6
2x x2 48 x2 2x 48 0
x 8 x 6 0
x=-8 x=6
ó
x2= x=6
298. Señale el valor de “x” que verifica la igualdad
B) 8 C) 10 E) Incompatible
Logx a a
1 27
RPTA.: C
296. Resuelva la ecuación 1 Logx Log x 2
RESOLUCIÓN
1 81
x1x2
RPTA.: C
A) 6 D) 100
1
x2 4 3
nlogn x
nn
A) n D) nn1
B) nn n 1 E) nn
logn x
1 1 a 2 2
n
C) nn1
RESOLUCIÓN
2 a a 1
Elevando a la potencia “n”
2 a a 1
nLogn x
nLognx
Elevando al cuadrado 4 a a2 2a 1
nn
nn
n
nLogn x n
2
0 a 2a 1 a = 1 Logx = 1 x = 10 Incompatible
Logn x nn1 n 1
x nn
RPTA.: E
RPTA.: E
297. Señale el producto de las raíces de la ecuación: 81 Logx 3 27 x
299. Halle la suma de las raíces de la siguiente ecuación
1 A) 3 1 D) 81
1.
E)
1 243
Log2x Log2 x
1 C) 27
A) 16 D) 21
b)
C) 19
Log2x z
Tomando logaritmo en base “x” Logx 3 Logx 81 Logx 27 Logx x
2 z z
z=4 4z z2 z = 0 Log2x 0 Log2x 4
4Logx 3 3Logx 3 1
Logx 3 z 4 z2 3z 1
x 20 x=1
2
a)
B) 17 E) 32
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN Logx 3
2.
1 B) 9
x 24 x = 16
4 z 3z 1 0 4z 1 z z -1-4z - 3z 4z 1 z 1 0
z = 1 x=3 1 z = 4
300. Indicar el producto de las raíces de la siguiente ecuación
16 + 1 = 17
RPTA.: B
Log2 y2 y Log2
xLog5x2 125 A) 5 D) 25
B) 15 1 E) 5
Log2y3 Log2y 8
C) 125
Logy
3
Logy Logy3 Logy 8
3Logy Log y 3Logy Log y 8 2Log y 4Log y 8
RESOLUCIÓN
Log2 y 1 Logy 1
Tomando logaritmos en base “x” Log5x 2 Logx x Logx125 Log5x 2 3Logx 5
Logy 1
Haciendo Log5x z; se tiene
3 z 2 z 2z 3 0
z- 2=
z 3 z 1 0
Logy 1
y1 10
y2 101
x1 102
x2 102
x1 x2 102 102 100 1
Log5x 3
y2 8 y
x = 125 Log5x 1
RPTA.: D
1 5 Por consiguiente: Producto = 25 x=
302. Si a;b
A) 2 D) 10
301. Resolver el sistema: x Log2 xy Log2 8 , y Logx Logy 2 4
D) 1
E) 0
RESOLUCIÓN 2Los x 22Logy Logx 2Logy
Logx Logy2 x y2 Log2xy Log2
x 8 y
B) 5 E) 12
C) 7
RESOLUCIÓN
1 b a1 a Ahora reemplazando: De: ab= 1 b
e indicar el producto de valores “x” B) 100
distintos de la unidad y
además: ab = 1 averigüe el valor de: aLogb 0,5 bLoga 0,2
RPTA.: D
A) 10
C)
1 10
Log
a
5
a1 10
Log
b
2
b1 10
aLoga 2 bLogb 5 2 5 7
RPTA.: C 303. Halle el Log 6!, sabiendo que Log 2=a; Log 3=b A) 2a+3b+1 B) 3a+2b+1 C) 4a+b+1 D) a+2b+1 E) 3a+b+1
RESOLUCIÓN
Log 6!= Log 1 2 3 4 5 4 6 Log 6!= Log 1 Log2 Log3 Log4 Log5 Log6
Pero la necesidad es expresado en términos de 2 y 3. Por ello. 10 Log 6!=0 a b Log2 22 Log Log2 3 2
1
x
2
2 2
x1x2 2
RPTA.: D
Log 6!=a b 2Log2 1 Log2 Log2 Log3
Log 6!=3a+2b+1
SEMANA 16 RPTA.: B
306. Halle la suma de valores de “n” que satisfagan la igualdad n! 3 n! 2 3 n! 6
304. El valor de la expresión: Log 4 3 Log9 27Log4 9
10
; será:
A) 0,001 D) 1 000
B) 0,1 C) 10 E) 100 000
A) 1 D) 4
RESOLUCIÓN
Aplicando la regla del sombrero dos veces en:
Log4 9Log3 4
10Log2 27
3
10Log3 4 Log4 9 Log9 27 10Log3 3
103 1 000
RPTA.: D 305. Halle el producto de los raíces de: Logx 2x
BINOMIO DE NEWTON Y RADICACIÓN
B) 2 E) 5
C) 3
RESOLUCIÓN
Sea n! = z z2 z 6 3z 18 z2 2z 24 0 z 6 z 4 0 z=6 n=3 n=3
ó
z = -4 n 4 no existe
x2 2
RPTA.: C
A) 2
B) 4
D)
2 E) 2
2
C) 8
RESOLUCIÓN
1 Log2x2 Log2 2 Logx 2x
Log2 x2
Log2 2x Log2 x
2 Log2x 1 Log2x 2
2Log2x Log2x 1 0 2Log2x
+1
Log2x
-1
Log2x 1 x 2
Log2x
1 2
307. Reducir: 12! 13! 14! K 12! 13! 12!x7 A) 28 D)
28 3
14 3 7 E) 3 B)
C) 14
RESOLUCIÓN K K
K
12! 13! 14! 12! 13! 12! 7 12! 1 13 13 14 12! 1 13 7
14 14 28 3 7 3
RPTA.: D
308. Calcule la suma de valores de “n” n 3 ! n2 3n 2 n2 3n
A) 3 D) - 8
B) -3 E) 9
11 12 12 12 P C11 6 C7 C4 C7 C8
C) 8
13 P C13 8 C5
RPTA.: C
RESOLUCIÓN
n 3! n2 3n 2 n2 3n
n 3 ! n 1 n 2 n n 3 n 3 ! n n 1 n 2 n 3 n 1!n n 1n 2n 3 n n 1n 2 n 3 n 1 ! 1
10 11 12 P C10 5 C6 C7 C4
311. Resolver: 19 20 C18 C18 6 C7 C8 E 5 21 C13 C21 8
E) 6
C)
1 2
RESOLUCIÓN 18 19 20 C18 5 C6 C7 C8 E 21 C13 C21 8
309. Halle el valor de “n” en:
5!
A) 3 D) 6
719!
n!!
E
6!
n!!
B) 4 E) 7
720!
5!
19 20 C19 6 C7 C8 21 8
C
21 8
C
C21 8 2C
21 8
C) 5
719!
n!!
1 2
RPTA.: C 312. Si se cumple que Cxy 12 C6y 5
RESOLUCIÓN 119!
1 4
D)
n=1
RPTA.: A
720!
B) 4
n=2
3
119!
A) 2
6!
n!!
Halle x + y
n!!
720!119!x120 719! 6! 720
A) 13 D) 17
720! 120! 720!
B) 15 E) 18
C) 16
n!!
RESOLUCIÓN
n!!=120! n!=5! n= 5
RPTA.: C 310. Simplificar: 11 12 P C38 C84 C59 C10 6 C7 C4 A) C12 8 13 4
D) C
B) 2 C12 8
1)
y -1 = 6 y = 7 x + 2 = y + 5 x = 10
2)
y - 1 = 6 y-1+6 = x+2 = y+5 y=7 12 = x + 2 = 12 x = 10 X +y = 17
C) C13 5
12 5
E) C
RESOLUCIÓN 11 12 P C38 C84 C59 C10 6 C7 C4
11 12 P C94 C59 C10 6 C7 C 4
RPTA.: D
313. Reduzca 20 26 C10 C20 C19 C26 9 6 25 19 C525 C19 C C 9 6 10
A) 1 D) 4
B) 2 E) 5
C) 3
RESOLUCIÓN 19 20 C26 6 C10 C9 E 19 25 C9 C5 C25 6 C26 .3 C19 E 619 269 C9 .C6 E= 3
*
RPTA.: C RPTA.: C
314. Determine el valor de “n” , si 18 17 16 15 20 cumple 4C19 11 C7 C10 C7 2C8 n C8 A) 2 D) 5
B) 3 E) 6
C) 4
15 8
15 7
2C
2.
16 16 16 17 C16 7 C8 C9 C8 C9
3.
17 18 C17 10 C9 C10
4.
18 18 18 19 C18 7 C10 C11 C10 C11
5.
19 11
4C
19 11
19 11
C
C
C
iii)
5C
nC
5C19 11
20 11 n C19 n 3 12
n+1 - n = n n ; n ; n 12! 1 3 5 7 9 11 64 6!
B) VVF E) FFF
C) VFV
Para el caso (i)
n 1 1 n(n)
Para el caso (ii) n 1 1 n 1 n n n 1 n
n2 n2
n 2n2 n2
n n
-1 -1
Luego:
n
n 1
n
n 1
2
1 n2 n 1 1 n2 n
1 n2 n 1 1 n2 n
2
2
RPTA.: B 317. Determine la suma de todos aquellos valores de “n” que verifiquen la igualdad: n! n! 321 80 5n! 9 A) 5 D) 8
RESOLUCIÓN =n
2
2
n 1 1 n1 n n1
n n 2 n4 2n3 n2 2n 1
3
Indique la razón de verdad
*
E) n
n
20 12
(n+1) n - n
D) n +1
20 8
nC
A) VVV D) VFF
C) n n 1
n n2 1
315. Respecto a las proposiciones
ii)
B) n n 1
1 n n…. 1 1 1 n 2 n….
RPTA.: B
i)
A) n2 1
Procesando el radicando
16 8
1.
C
n2 1 1 n2
316. El equivalente de:
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN 15 8
n n2 n n2 n1 n1 0 = 2 ( falso) Para el caso (iii) Operando el segundo miembro 12! 12 11 10 9 8 7 6 64 6 64 6
B) 6 E) 9
RESOLUCIÓN
Hagamos que: a = n! a a 321 80 5a 9 a2 721a 720 0
C) 7
a a
- 720 -1
5
a' 720 a'' 1 Regresando el cambio n! = 720 n!=1
n2 1
n! = 6!
n3 0
n1 6
En consecuencia: n1 n2 n3 7
RPTA.: C 318. El valor de:
A) 8 D) 1 024
T6 256
RPTA.: C 320. Halle el grado absoluto del término 16 en la expansión de
P x, y x3 2y2
A) 20 D) 45
25
B) 25 E) 60
C) 35
RESOLUCIÓN
4 5 6
9 4 7 8
2 3
5
x y T51 C y x 10 9 8 7 6 T51 1 2 3 4 5 T51 4 9 7 10 5
Tk 1 Ckn a
nk
B) 256 E) 64
C) 512
b
k
2y
25 T151 C15 x3
10
15
2
25 T16 215 C15 x30 y30
G.A = 30+30=60
RPTA.: E
RESOLUCIÓN
Procesando por partes para el radicando: 9 9 8 7 9 8 7 8 7 8 7 8 7 7 1 8 Exponentes: 4 5 4 6 5 4 4 1 5 30 36 4 Ahora reemplazando en:
2 6
4
8
4
36
83 512
319. Halle el valor del termino central 10
x y del desarrollo de y x B) 128 E)1 024
RESOLUCIÓN
Analicemos un término genérico (Lugar K+1), en:
C) 265
k
14 K
TK 1 C
14k
x
TK 1 1
k
t central = t 111 2
b
k
C) 7
14
#t =10+1=11
nk
B) 8 E) 5
1 x = T1 T2 ..... TK 1 .......T15 x
RESOLUCIÓN
tk 1 Ckn a
14
1 x ; existe un termino que x 2 contiene a x . El termino que ocupa este termino contado a partir del extremo final es: A) 9 D) 6
RPTA.: C
A) 64 D) 512
321. En el desarrollo de la expresión
;k 0,1,2,.....n
12 x
14 k
C14 x k
k 2
Por condición: 3 3k 14 k 2 12 2 2 k=8
En consecuencia:
RESOLUCIÓN
14
1 x T1 T2 .....T9 T10 T11........T15 x Séptimo lugar
RPTA.: C
En el desarrollo de esta expresión existen 9 términos entonces el central estará ocupado por el quinto. 84 4 8 8 x TCnetral T5 T4 1 C4 8 x
n
n 322. En el desarrollo de x y los 8 coeficientes de los términos de lugar séptimo y octavo son iguales. Entonces el número de términos que presentará será:
A) 49 D) 45
B) 48 E) 44
C)47
n
n Si: x y T1 T2 .....T7 T8 .....Tn1 8 Averigüemos a los términos deseados n 6 n 6 n n 6 n n T7 T6 1 C6 x y C xexp y6 8 8 n7
n T8 T71 C x 8 Por condición: n 6 n 7 n n Cn6 Cn7 8 8 n 7
n n n n 6 6 8 8
Coef. n 7 7 N n y C7 xexp y7 8
n 7
n n n 7 7 8
1 1 n n 6 n 7 6 8 n 7 7 6 7n 8 n 6 48 n # términos = 49
RPTA.: A 323. Averigüe al termino central central 8 x 8 al expansionar: 8 x A) 80 D) 60
B) 70 E) 50
C) 60
RPTA.: B 324. En el desarrollo de
1 x
43
los
coeficientes de los términos de los lugares “2x+1” y “r+2” son iguales ¿De qué términos estamos hablando?
RESOLUCIÓN
n 7
8 7 6 5 70 4 3 2
TCentralC84
A) 14 y 29 C) 16 y 26 E) 18 y 30
B) 16 y28 D) 16 y 27
RESOLUCIÓN
Admitimos que en: 1 k T1 T2 .... T2r1 ....Tr2 .... t44 43
43 2r r 1 T2r 1 C2r r ; Tr 2 Tr 1 1 Cr43 1 r Según condición 43 43 C2r Cr431 C2r Cr431(r 1)
2r=r+1 r= 1
2r=42-r 3r=42 r=14
En base es esto los términos ocupan los lugares: Cuando r 1 T3 T3 Para
r 14 T29 T16 (esto
permite
decir
que
nos
T2 2 )
es
primero.
RPTA.: C 325. Si los exponentes de “x” en los 1 términos del desarrollo xm m x3
n
van disminuyendo de 6 en 6 unidades y el décimo tercero resulta independiente de x. Indique al término independiente. A) 10 9 8 C) 10 13 14 E) 10 11 12
B) 10 3 2 D) 11 12 13
327. Calcule “a x b” si el resto de
x 14 4x 13 2x1 15x 2 Es equivalente a: (ax+b) A) 1 D) 4
B) 2 E) 5
C) 3
RESOLUCIÓN
x 1
RESOLUCIÓN Por condición:
n TIndependiente T12 1 C12 xm
n12
x
m 3
12
mn - 16m
4
4 x 1 2x3 15x 2 3
Si: x + 1=a 2x2 4x 11x 2 2 x2 2x 1 11 x 1 1
a4 4a3 2a2 11a 11 -1
n T13 C12 x
Será Independiente mn-16m=0 m(n-16)=0 De donde: m=0 v n = 16 16 n 16 Luego: TIndependiente C12 C12 12 4 16 15 14 13 12 14 13 10 12 4 3 2 1
RPTA.: C
4 -4
-2 -4 -6 6
1
2
(2 2) (2) (2 4
-11 12 +1
11 -9 2
R = a + 2 R= x + 1 + 2 R= x + 3 ax + b A=1,b=3
326. Extrae la raíz cuadrada de: 4x6 13x4 22x3 12x5 8x 25x2 16 A) B) C) D) E)
3x3 2x2 x 4 5x2 7x 2 2x3 3x2 x 4 4x2 8x 2 x4 2x3 x2 x 1
RPTA.: C 328. Calcule:
19 4 21 7 12 29 2 28 A) x+1 D) x+4
B) x+2 E) x+5
C) x+3
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN 4x6 13x 4 22x3 12x5 8x 25x2 16 4 -12 13 -22 -4 -12 13 12 9 4 - 22 -4 6 -16 16
-3) (-3)
25 -8 16 2 -3 1 -4 (4 -3)(-3) (4 -6 1)(1) (4 -6 2 -4)(-4) 25 -1 24 -8 16 24 8 -16
19 4 21 7 12 29 2 28 19 2 84 7 12
12+7 12x7 12 7 7 12 2 7 1 1
RPTA.: A
329. Reducir:
E 6 2 10 2 8 2 7
2x3 3x2 x 4
28 1
RPTA.: C A)
7
B)
2 C) 7 1
D)
2 1
2 1
E)
RPTA.: A
RESOLUCIÓN
332. Simplificar:
3x 1 3x 1
E 6 2 10 2 8 2 7
2 3x 9 x 2 1
7 1
E 6 2 10 2 7 2 6 2 8 2 7
E 6 2 7 1 8 2 7 2 1
B) 2 E) 0
2 3x 9x2 1
C) 3
7 1 6 5
6 1
E=0
RPTA.: E
331. Calcule:
6 4 3 1 8
5 24
B) 8 E) 6
1
2 2x 4x2 1
6 4 3 1 8
2
1 5 24
2
3 2
1
2
52 6 6 4 3 3 2 6 4 3 6 1
6 4 3
2
3x 1 3x 1 2
5x2 9x2 1 4x2 1 a b
2x 1 2x 1 2x 1 2x 1
2
5x2 a b
2x 1 2x 1
5x2
2
2
5 a b 5
6x 9x2 1 2 4x 2 4x2 1 ab 2 2
333. Efectuar: K 13 7 5 7
C) 9
6 4 3 1 8
3x a 2x b a b 5x
2
RESOLUCIÓN
P P=7
C) x 2
2x 1 2x 1
3x 1 3x 1
E 12 2 35 8 7 11 2 30 7 2 6
P
B) 2x E) 3x
3x 1 3x 1
E 12 140 8 28 11 2 30 7 2 6
P
9x2 1 4x2 1
3x 1 3x 1
RESOLUCIÓN
P
RESOLUCIÓN
A) 1 D) 7
A) 7 D) 5
2 2x 4x 2 1
5x 2
A) -x D) 5x
12 140 8 28 11 2 30 7 2 6
P
2x 1 2x 1
RPTA.: D
330. Reducir
E 7 5
A) 1 D) 4
B) 2 E) 5
K K
7 5
13 7 3
32 10 7 8 2 7
K 5 7
4
5 7 3 7
7
2
K
4
3 7 7 3 7
13 7 5 7
13
3 7 C) 3
RESOLUCIÓN K
RPTA.: D
7 1 2
RPTA.: B 334. Reducir: 18
P
6
48
9 72 5 24 8 48 B) 1 C) 3 E) 4
A) 0 D) 2
RESOLUCIÓN 18
P
9 72
3 2
P
P
6 3
3 2 6 3 3
6
5 24
6
3 2
48
8 48
4 3
6 2
4 3 6 2
6 3 2
4
P 2 3 6 3 2 2 3 3 2 6 0
RPTA.: A
335. Transformar a radicales simples:
10 108
3
A)
3 2
B) 2
C)
3 1
D)
E)
2 3
3
3 1
RESOLUCIÓN Si:
3
10 108 A B
3
10 108 A B
10 3
108 3 10 108
(+)
3
2A
3
20 6 2A 8A3 10 6A 4A3 10 4A3 6A A 1
A 3 A 3
3
10 108 3 10 108
A2 B 2 1-B=-2B=3
3
10 108 1 3
RPTA.: D
SEMANA 1
CONJUNTOS I 336. Si: A ;a;a;a,b; Indicar las proposiciones que son verdaderas. I. aA {a, b} A II. {} A {} A III. A A A) solo I C) solo III E) II y III
B) solo II D) II y IV
RESOLUCIÓN
A ;a;a;a,b;
I.
II.
III.
aA
{a, b} A
F
F
{} A
=F
{} A
F
V
A
A
V
V
=V
=V
I y III son verdaderas
RPTA.: D 337. Dados los conjuntos: A x N 2x 13
B x A
x² 2x A
Indicar si es verdadero o falso, las siguientes proposiciones. I. x A / x² 5 > 4 II. x (A B) / 2x + 5 < 8 III. x (A B) / x² B A) VVF D) VFF
B) FVF E) VVV
C) VFV
339. Halle el cardinal del conjunto B e indicar el número de subconjuntos ternarios que tiene. B x Z x 8 x 2
RESOLUCIÓN A x N
2x 13
A 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 B x A
x² 2x A
siendo : p q p q A B CONJUNTOS LÓGICA
´
x = 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 x² 2x = 0 ;1; 0 ; 3 ; 8; 15; 24
A) 48 D) 56
B = {1; 4; 5; 6} I.
x A / x² 5 > 4
II.
III. x (A B) / x² B
C) 63
RESOLUCIÓN
(V)
x (A B)/2x + 5 < 8
B) 42 E) 45
B x Z
x 8 x 2
(F)
(x > 8) (x = 2)
(V)
(x> 8) (x = 2)
RPTA.: C
338. Sea A n Z
x = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8
n 600
n(B) = 8
Calcule la suma de elementos del conjunto B; si B a 2 3 a A a A
A) 1000 D) 1424
B) 1296 E) 1528
RESOLUCIÓN
8 #Subconjuntos 8! C 3! 5! 3 Ternarios de B
C) 1312
A n Z
n 600 1,2,3, 4,5,...,600
B a 2
3 a A a A a es cubo perfecto
6x7x8 56 6
RPTA.: D 340. Dados los conjuntos unitarios A = {a + b; a + 2b3; 12} y
a = 1³ ; 2³; 3³; ...; 8³
B = {xy ; yx ; 16};
B 1³ 2 ; 2³ 2 ; 3³ 2 ;....; 8³ 2
halle el valor de (x + y + a² + b)
2
elementos 8 x 9 2 8 de B 2
A) 81 D) 87
1312
Nota: SN3
n n 1 2
B) 92 E) 90
C) 96
RESOLUCIÓN
A y B son unitarios:
2
*
RPTA.: C
A = {a + b; a + 2b 3; 12} a+b = 12 a + 2b 3 = 12 a + 2b = 15 como: a + b = 12 b =3 a=9
*
B = {xy; yx; 16} xy = yx = 24 x=2;y=4 x + y + a² + b =
*
nP(B) = 32 = 25 n(B) = 5 nP(AB) = 8 = 23 n(AB) = 3
90
RPTA.: E 341. Calcular el número de subconjuntos binaros del conjunto D, si: D = {(x² 1)Z / 0 < x 4} A) 132 D) 124
B) 126 E) 120
C) 105
RESOLUCIÓN
D = {(x² 1)Z / 0 < x 4} 0 < x 4 0 < x² 16
n(AB) = 7 + 5 3 = 9
nP(AB) = 29 = 512
*
5 C = 3x 1 Z x 3 5 x 3 5 x 31 3 1 3 (3x + 1) < 6 C = {1; 2; 3; 4; 5} n(C) = 5
1
343. Oscar compra 9 baldes de pinturas de diferentes colores. Los mezcla en igual proporción. ¿Cuántos nuevos matices se pueden obtener?
15 x16 15 x 8 2
RPTA.: E 342. Si: n [P(A)]= 128; n [P(AB)] = 8
n[P(B)]= 32
y
Halle el cardinal de P(AB) sumado con el cardinal de:
C = 3x 1 Z B) 517 E) 520
5 x 3 C) 519
nP(AB) + n(C) = 517
RPTA.: B
120
A) 521 D) 512
nP(A) = 128 = 27 n(A) = 7
A) 512 D) 503
C) 247
RESOLUCIÓN
# de colores =9 # de nuevos matices= 29 1 9 = 512 10 = 502
RPTA.: E 344. El conjunto A tiene 200 subconjuntos no ternarios. ¿Cuántos subconjuntos quinarios tendrá? A) 64 D) 21
RESOLUCIÓN
B) 246 E) 502
B) 56 E) 35
RESOLUCIÓN
C) 48
Sea n(A) =x Subconjuntos x x 2 C3 200 no ternarios 2x
2
x
x! 200 3! x 3
x 2 x 1 x 6
n
346. Sean los conjuntos A E ; B E y C E; E conjunto universal, tal que:
200
Luego : 8 #Subconjuntos 8! C 5! x 3! 5 Quinarios 8x7x6 56 6
RPTA.: B 345. Si el conjunto “C” tiene (P + 1) elementos y (2P + 3) subconjuntos propios; además: n(A) = 4P + 2
= 18
RPTA.: C
x 8
(AB)
; n(B) = 3P + 6 y
E = {x Z+ / x < 10} A = x E x 7
´
AB BC BC AC
= = = =
{x E / x 9 x > 2} {3} {x E / x 7} A B C
´ ´ ´
Determinar n(A) + n(B) + n(C) A) 9 D) 13
B) 12 E) 11
C) 10
RESOLUCIÓN
E={xZ+/x<10} = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
n(AB) = 2P 2
A x E / x 7 1,2,3, 4,5,6
Halle n(AB)
A = {7, 8, 9} De:
A) 14 D) 17
´
B) 16 E) 20
C) 18
A C A B C A B C A
RESOLUCIÓN
n(C) = P + 1 # subconjuntos 2P 3 propios de C P+1 2P + 1 1 = 2P + 3 P=2 Luego: n(A) = 4(2) + 2 = 10 n(B) = 3(2) + 6 = 12 n(AB) = 2
B = 12
A = 10 8
2
10
.8 .9
B
C
.4 .1 .5 .7 .3 .2 .6
A B = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} B C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} n(A) + n(B) + n(C) = 3 + 5 + 3 = 11
RPTA.: E 347. Sean A, B y C tres conjuntos no vacíos que cumplen las condiciones: * ABBA
*
si x C x B
RESOLUCIÓN Sean n(A) = x n(B) = 2x
Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones. I) II) III) IV)
# subconjuntos # subconjuntos 993 de B propios de A
A y B son disjuntos (A B) C C (A B) C (A B)
A) FVVF D) VFVF
B) FFVV E) FFFV
22x (2x1) = 993 2x(2x1) = 992 = 25 x 31 x=5
C) FFFF Luego:
RESOLUCIÓN
U A=5
ABBA xCxB
B = 10
10
5
Graficando las dos condiciones: B
2
A
C
# subconjuntos de B 128 27 # subconjuntos propios de A 212 1
RPTA.: D I) II) III) IV)
A y B son disjuntos (A B) C C (A B) C (A B)
(F) (F) (F) (V)
349. Dados los conjuntos: 3x 5 A x N / N 4 x x 1 B N / N 2 2
RPTA.: E
C x N / 2x 25
348. Sean A y B dos conjuntos finitos tales que: * * *
Halle: n[(AB) C ]
´
A) 2 D) 5
AB= n(B) = 2 . n(A) B tiene 128 subconjuntos.
´
El número de subconjuntos de B excede al número de subconjuntos propios de A en 993. ¿Cuántos subconjuntos propios tiene A ? A) 281 D) 2121
B) 2101 E) 2131
C) 2111
B) 3 E) 6
RESOLUCIÓN *
3x 5 A x N / N 4
3x 5 4N 5 Nx 4 3 N = 2; 5; 8 ...... X = 1; 5; 9 ......
C) 4
*
A = {1, 5, 9, 13, 17, 21, .....}
elementos n(AB)
comunes;
x x 1 B N / N 2 2
A) 14 D) 11
B) 13 E) 10
x 1 2
RESOLUCIÓN
x 2
1 No existe natural 2
NATURAL
B= *
C x N / 2x 25
C = {13, 14, 15, 16, 17, .....} n(AB) C A B (DIFERENCIA SIMÉTRICA)
determine C) 12
320 = n(PA) + n (PB) 320 = 2n(A) + 2n(B) 320 = 26 + 28 Luego: n(A) = 6 n(B) = 8
B
A
4 22 6
n (A C ) = n(A C) = n {1, 5, 9} =3
RPTA.: B 350. Para los conjuntos A, B y C afirmamos:
n(AB) = 10
RPTA.: E 352. Sean A, B y C conjuntos no vacíos diferentes dos a dos, tales que:
I. II.
Si A B C C B A A A
III.
A B
IV.
Si A B B A
V.
A BA BA
´
´ ´ ´ ´ ´
´ ´ ´
B A ; C B A C
´ ´ ´
A B
Son verdaderas:
´
Al simplificar: [B(C A)] [A (B C)] se
´
obtiene:
A) todas B) solo II y III C) todas excepto V D) solo II, III, IV y V E) solo I, II y V
A) A D) A C
B) B E)
C) A B
RESOLUCIÓN B A ; C B ; A C
RESOLUCIÓN I. II.
Si A B C C B A A A
(V) (V)
III.
A B
(V)
IV.
Si
(V)
V.
A BA BA
(V)
´ ´ ´
´ ´ ´ A B B A ´ ´ ´ ´ A B
´
´ ´
´
A B ; C B ; A C
RPTA.: A
351. Si A y B son dos conjuntos finitos, tal que, el número de subconjuntos de A y de B suman 320, los conjuntos A y B tienen 2
Graficando regiones:
y
enumerando B C
A 1 2
3
las
I) II) III)
B C A A B C
[2]
[1; 3] =
RPTA.: E 353. Sean A y B dos conjuntos cualesquiera, simplificar: A B A B A B
A) solo I C) solo I y II E) todos
A
E)
B C
B) A B D) A B
´
B) solo II D) solo II y III
RESOLUCIÓN
´ ´ ´ ´´
A) A B C) A B
[A(BC)] [C D] (A B) (B C) [(A D) C] [A (BC)]
1
2
RESOLUCIÓN
3
47
D
5
6
Graficando los conjuntos A y B I) A
B
2
II)
3
1
4
III)
A B A B A B (A B)
´
(BA)
1,2,3 2,3 1,2,3 1, 4 1 A B
´
RPTA.: A
RPTA.: A 355. Dado 3 conjuntos A; B y C: Si n(A) = m ; n(B) = m + r n(C) = m + 2r ; además: n[P(A)] + n[P(B)]+ n[P(C)] = 896 Se sabe además que A, B y C son disjuntos. Calcule n(A B C) A) 16 D) 32
354. En el gráfico, las zonas sombreadas están representadas por: A
B C
D
[A(BC)] [C D] [{1,2,3} {2,6,5}] {7} = {1,3,7}: si (A B) (B C) {1,2,3,4,5,6,7} {2,5,6} = {1,3,4,7} no [(A D) C] [A (BC)] {1,2,5} {1,3} = {1} no
B) 22 E) 48
C) 24
RESOLUCIÓN n(A) = m ; n(B) = m + r ; n(C) = m + 2r
nP A nPB nPC 896
2m + 2m+r + 2m+2r = 896 2m [1 + 2r + 22r] = 896 = 27 x 7
m=7
llevaron corbata, si 16 señoritas no llevaron cartera ni casaca y 28 señoritas no llevaron casaca?
r=1
A
B
C
7
8
9
A) 8 D) 11
n(A B C) = 24
U=
SEMANA 2
H=
6x
U = 50 B
12x
M=
Cartera = 24
rb
at a
=
Casaca = 40 17
11 x 9 12
12 16
40 = 11 + 9 + 12 + x x = 8
RPTA.: A
C) 32
RESOLUCIÓN A = 18x
Co
356. Se hizo una encuesta a 50 personas sobre preferencias respecto a dos revistas A y B. Se observa que los que leen las dos revistas son el doble de los que leen solo A, el triple de los que leen solo B y el cuádruplo de los que no leen ninguna de las dos revistas. ¿Cuántas personas leen la revista A?
28
CONJUNTOS II
B) 30 E) 40
C) 10
RESOLUCIÓN
RPTA.: C
A) 24 D) 36
B) 9 E) 12
4x
358. De los residentes de un edificio se ha observado que 29 de ellos trabajan y 56 son mujeres, de los cuales 12 estudian pero no trabajan. De los varones 32 trabajan o estudian y 21 no trabajan ni estudian, ¿cuántas mujeres no estudian ni trabajan, si 36 varones no trabajan? A) 32 D) 26
3x
B) 30 E) 34
C) 28
6x + 12x + 4x + 3x = 50 x = 2 n(A) = 18(2) = 36
RPTA.: D
RESOLUCIÓN
357. A una ceremonia asistieron 24 señoritas con cartera, 28 varones con corbata, 40 portaban casaca, 17 varones con corbata no tenían casaca, 9 señoritas portaban casaca pero no tenían cartera. ¿Cuántos varones con casaca no
) T(29
E
17
21
H
15
12
12 56
M x
X = 56 – 24 X = 32
RPTA.: A 359. En una clase de 50 alumnos, se practica tres deportes: Atletismo, Básquet y Fulbito. * Los que practican atletismo o fulbito pero no básquet son 30. * Los que practican básquet o fulbito pero no atletismo son 27. * Los que practican atletismo y fulbito son 7. * Los que practican fulbito pero no atletismo o básquet son 15. * Los que no practican estos deportes son la cuarta parte de los que practican básquet y fulbito pero no atletismo. * 4 practican atletismo y básquet pero no fulbito. * Los que practican básquet pero no atletismo o fulbito son 4. ¿Cuántos practican solo dos deportes o no practican ninguno? A) 21 D) 2
B) 17 E) 18
C) 19
50 = 15 + 8 + (7x) + x + 8 + x +4+4+2 X = 50 48 = 2 solo 2 deportes o ninguno de los tres: 5 + 4 + 8 + 2 = 19
RPTA.: C
360. Dado los conjuntos A; B y C contenidos en el universo de 98 elementos, tal que: n(A B) = 21 n(B C) = 25 n(C A) = 32 3n (ABC) = n(ABC )
´
Hallar: A B C
´
A) 93 D) 77
B) 95 E) 91
C) 87
RESOLUCIÓN Diagrama de visualizar:
Ven
–Euler
Planteando tenemos: 98 = 4x + 21 + 25 + 32 20 = 4x 5 =x
RESOLUCIÓN
B
A
U = 50 x
A
B 8+x 4
4
3x 98
x 8
7-x
2 15
C
para
Piden: A B C
U A B C 98 5 93 RPTA.: A 361. Usando las leyes del álgebra de conjuntos, simplificar:
= 10
´
A B B A B C C
A) A C) U E) (A B)C
B) B D) (A B)C
RESOLUCIÓN
363. En una encuesta a los estudiantes se determinó que:
[(AB)B] = [(AB)C]C = (AB)CC {[(AB)B][(AB)C]}C {}C = U
RPTA.: C 362. En un condominio de 100 personas, 85 son casados, 70 son abonados de teléfono, 75 tienen bicicleta y 80 son empresarios. ¿Cuál es el mínimo número de personas que al mismo tiempo son casados, poseen teléfono, tienen bicicleta y son empresarios? A) 15 D) 24
RPTA.: B
C
B) 10 E) 15
C) 20
* * * * * * *
68 se portan bien 160 son habladores 138 son inteligentes 55 son habladores y se portan bien 48 se portan bien y son inteligentes 120 son habladores e inteligentes 40 son habladores, inteligentes y se portan bien.
¿Cuántos estudiantes inteligentes solamente? A) 10 D) 12
B) 20 E) 8
son
C) 40
RESOLUCIÓN U=
RESOLUCIÓN
Tomando por partes: CASADOS Y TELÉFONO
CASADOS
70
15
55
TELÉFONO
75
45
30
PORTAN BIEN: 68
HABLADORES: 160
AUTO
15
5
30
30 15
25
85
45
CASADOS, TELÉFONO Y AUTO
80
70
10
25
EMPRESARIOS
55
25
40 80
8
10
INTELIGENTES: 138
365. Dado el conjunto universal “U” y los subconjuntos A, B y C; se tiene los siguientes datos: Solo inteligentes = 10
RPTA.: A 364. Un club consta de 78 personas, de ellas 50 juegan fútbol, 32 básquet y 23 voley. Además 6 figuran en los 3 deportes y 10 no practican ningún deporte. Si “x” es el total de personas que practican exactamente un deporte, “y” es el total de personas que practican exactamente 2 deportes, entonces el valor de (xy) es: A) 9 D) 15
B) 10 E) 16
C) 12
n(U) = 44
n(BC) = 12
n(AC) = 14
n[(ABC ) ]=6
n(ABC) = 5
n(B) = 17
n(A) = 21
n(ABC ) =3
´
Hallar n(C) A) 31 D) 26
B) 27 E) 28
C) 29
RESOLUCIÓN n(AB C ) =3 n[(AB)C] =3 U = 44
RESOLUCIÓN U = 78 F = 50
b
B = 32
A = 21
B = 17
4
2
3 5
a
a
–
´
44
–
9
7
6 c
b
x
C 6
10
17 – b – c V = 23
a+b+c=y x : solo un deporte
21 + 2 + 7 + 6 + x = 44 x = 8 n(C) = 9 + 5 + 7 + 8 = 29
RPTA.: C
Del universo: 44ab+b+17bc+32+10 = 78 a + b + c = 25 = y También: x + y + 6 + 10 = 78 x = 37 x y = 12
RPTA.: C
366. En un grupo de 80 estudiantes, se encuentra que las cantidades que estudiaban las diversas lenguas eran en número de 72, distribuidas de la siguiente manera:
* * * * *
Alemán solamente 25 Español solamente 12 Francés pero no alemán español, 15 Alemán y francés 10 Alemán y español 8
de trabajadores con menos de 20 años y el número de mujeres solteras con menos de 20 años.
ni
A) 5 D) 18
Además los que estudiaban español y francés eran tantos como los que estudiaban alemán y español. Determinar cuántos estudiaban 2 lenguas solamente o estudiaban las 3 lenguas. A) 14 D) 8
B) 20 E) 18
B) 10 E) 8
C) 15
RESOLUCIÓN C
A(60)
U(100)
B
a
b
z
x
y
C) 12 25
A: personas con más de 20 años B: hombres C: casados
RESOLUCIÓN U = 80 A
Por datos: x + y = 25 x + z = 15 x = 10 y = 15 z=5
E
25
8-x
12
x 10 - x
8
8-x
* F
*
15
Dos lenguas solamente ó lenguas = (80) (25 + 15 + 12 + 8) = 20
Trabajadores con menos de 20 años: 15 + 25 = 40 Mujeres solteras con menos de 20 años = 25 40 25 = 15
RPTA.: C
tres
RPTA.: B 367. En una encuesta realizada a 100 trabajadores de una fábrica se obtuvo la siguiente información: todos los hombres tenían más de 20 años, 25 de las mujeres eran casadas mientras que 15 de los trabajadores casados tenían más de 20 años y 10 de las mujeres casadas tenían más de 20 años. Si hay 60 que tienen más de 20 años, hallar la diferencia entre el número
368. ¿Qué operación gráfico? A
representa
B
C
A) [(AC)(BC)] C B) [(AB)(BA)]C
el
Datos: a + b + x + y + z = 25 ......(1) x + y + z = 2(a + b + c) ....(2) (2) en (1) a + b + 2 (a + b + 2) = 25 3(a + b) = 21 a+b=7
C) C (AB) D) (CA) (CB) E) A B C
´
RESOLUCIÓN RPTA.: C
369. En un colegio hay 35 niños. Cada uno de ellos tiene una bandera que puede ser monócroma, bicolor o tricolor, habiéndose usado únicamente 3 colores: rojo, amarillo y azul. El número de banderas bicolor es el doble del número de banderas monocromas, mientras que el número de banderas que tienen el color rojo es igual al número de banderas que tienen el color azul e igual al número de banderas que tienen el color amarillo. Si sólo 8 niños tienen banderas tricolor y dos alumnos banderas color amarillo. ¿Cuántas banderas bicolor rojo – azul hay? A) 2 D) 7
B) 3 E) 10
C) 5
RESOLUCIÓN U = 35 Azul
Rojo y
a
b
RPTA.: C 370. A cuántas personas le gusta 2 cursos solamente si la cantidad de personas que le gusta aritmética pero no álgebra ni física es el doble de los que les gusta álgebra, pero no aritmética ni física y además a los que les gusta física pero no aritmética ni álgebra es el triple de los que les gusta álgebra pero no aritmética ni física y a los que les gusta los 3 cursos es la cuarta parte de los que les gusta aritmética pero no álgebra ni física, si a 24 personas le gusta solamente un curso y además el total de personas que gusta de al menos un curso es 36. A) 5 D) 4
B) 8 E) 10
C) 12
RESOLUCIÓN x
A
8 z
x
Dato: a+x+y=y+z+b=x+z+c a + 18 z = 18 x + b = 18y+ c De donde: a = z y + c b=xy+c Sumando: 7 = x + z 2y + 4 7 = 18 y 2y + 4 3y = 15 y=5
c=2 Amarilo
A: aritmética X: álgebra F: física
n
4y
2y
y p
m 6y F
RPTA.: A 372. De 60 personas se sabe: Datos: A (xF) = 2[x (AF)] F (Ax) = 3[x(AF)]
A x F
* * * *
1 A x F 4
AxF = y Por dato: 4y + 2y + 6y = 24 12y = 24 y =2
6 hombres tienen 20 años 18 hombres no tienen 21 años 22 hombres no tienen 20 años Tantas mujeres tienen 20 años como hombres tienen 21 años. ¿Cuántas mujeres no tienen 20 años? A) 18 D) 22
13y + m + n + p = 36 .... dato 13 x 2 + m + n + p = 36 m + n + p = 10
B) 20 E) 28
C) 24
RESOLUCIÓN
RPTA.: E H
371. A, B y C son conjuntos contenidos en un mismo universo, simplifique la siguiente expresión: E=
21+ x = 10
{{[(A B) (A B )] (A B )} (C A)} {((A C) (A C)}
´
A) AC D) AC
B) B E) C
M
6
´
21 x = 10
20 20 -
C) A
60
28
32
= 22
RPTA.: E 373. De un grupo de personas se sabe lo siguiente: * Algunos provincianos son casados. *
RESOLUCIÓN E={{[(AB)(ABC)](ABC)}(CA)} (AC) A(B(ABC)............................... A(BA)
* * *
(AB) (ABC)
*
[(AB)A] [(AB)BC] A (ABC) A
*
* *
(CAC) (AC)
(AC)
(AC)
Todos los profesores no son provincianos. Ninguno de los que tienen hijos es profesor Todos los casados tienen hijos 9 personas no son provincianas, ni casadas, pero tienen hijos. Hay 12 profesores y son tantos como el número de casados De los 25 provincianos, 15 tienen hijos. 5 casados no son limeños 10 limeños no son profesores ni tienen hijos.
¿Cuántas personas conforman el grupo y cuántos no tienen hijos, ni son profesores?
A) 63 y 20 C) 59 y 23 E) 63 y 22
B) 57 y 10 D) 64 y 9
RESOLUCIÓN CASADOS
LIMA
SOLTEROS
7
12
9
10 PROVINCIA
5
10
HIJOS
10
HIJOS
= 25
RPTA.: B
375. En una ciudad el 60% de los habitantes comen pescado; el 50% come carne; el 40% de los que comen carne también comen pescado. ¿Qué porcentaje de los habitantes no comen pescado ni comen carne? A) 15% D) 10%
HIJOS
Total = 63 No tienen hijos ni son profesores = 20
B) 23% E) 30%
C) 20%
RESOLUCIÓN RPTA.: A
374. En una academia de 100 alumnos, se rindieron 3 simulacros con los siguientes resultados: 40 aprobaron el primero; 39 el segundo; y 48 el tercero. 10 aprobaron 3 simulacros. 21 ninguno; 9 los dos primeros, pero no el tercero; 19 el tercero, pero no los dos primeros. ¿Cuántos aprobaron por los menos dos exámenes? A) 19 D) 27
B) 38 E) 29
C) 24
P = 60%
C = 50%
40%
30%
20%
x U = 100% 40 50% 20% 100 60% + 30% + x = 100% X = 10%
RESOLUCIÓN
RPTA.: D
S = 39
P = 40
SEMANA 3:
NUMERACIÓN I
9 10 x
376. Calcule “a” si:
y
19 21
T = 48 U = 100
x + y + 10 + 19 = 48 x + y + 19 = 38
p a n 2c 1 aa7. 3 9
c 4c3 2 p
Además 5p7n
RPTA.: C
A) 2 D) 5
B) 3 E) 6
C) 4
378. Si: n n 1 n 2 n 3 n 4 n5 abcd7
RESOLUCIÓN
Halle: a b c d
c p 5p7n 4c3p ; a n9 2c 1 aa7 2 3
A) 10 D) 11
p4
n7
n9 c3 p 3ó6
C= par
n=8 ; p6 ; c2
n(n 1)(n 2)(n 3)(n 4)(n5) abcd(7)
n 5
7
n1
a289 5aa7 81a 2 9 8 245 7a a 81a 26 245 8a 73.a 219 a 3 RPTA.: B
12345(6) abcd7 1 6 1
377. ¿Cuántos valores puede tomar “k”
kn 0,125 ? kk n
A) 4 D) 7
C) 13
RESOLUCIÓN
Luego:
en
B) 12 E) 14
B) 5 E) 8
2
3
4
5
6
48
306 1860
8
51
310 1865 a=5
1865 53037 abcd7
b=3 C=0 D=3
C) 6 a + b + c + d = 11
RPTA.: B
RESOLUCIÓN k n
kk n
0,125
1 8
Descomponiendo
379. Halle m n p , si 110n ,81n1 y
1mp(n1) son números consecutivos. A) 15 D) 12
B) 14 E) 11
C) 13
k 1 k 1 kn k 8 k (1 n) 8
RESOLUCIÓN
1 1 n1 8 n1 8 n7
Por dato: 110n 1 81n1
Pero k n 7
k 1;2;3;4;5;6
K puede tomar 6 valores
110n;81n1;1mpn1
n2 n 1 8 n 1 1 n2 7n 8 0 n 8n 1 0 n n
-8 1
n=8
1818..
1108 ;819 ;1mp7
.. 1818n
72 ; 73 ; 74 74 7 4 10 3
“m” veces A) 8 D) 14
7 1
1mp7 1347 m 3;p 4;n 8
m n p 15 RPTA.: A 380. Sabiendo que : a7bn aoc9;
B) 9 E) 10
Propiedad tenemos:
1818..
.. 1818n
C) 3
RPTA.: C
a7b n aoc 9
382. Si:
a b 1 c 2 c9 b 1 10 xy 123
7 n 9 n 8
Calcule: a b c x y
También por dato:
6d68 mbmb5 6 82 d 8 6 mb5.52 mb 5 390 8 d 26 mb 5
A) 9 D) 12
B) 10 E) 13
C) 11
RESOLUCIÓN
195 4d 13.mb5
Caso Especial: b b2
15
a b 1 c 2 c9 b 1 /10 / xy /123
d 0 mb5 15 305
“m” es máximo n>8
Pensando: m 14 (mayor valor) n 8 14 123 n 123 112 n 11
RESOLUCIÓN
0
n 8 m 123
“m” veces
valor de (m + b + d). B) 4 E) 8
C) 11
RESOLUCIÓN
además 6d6n mbmb5 . Halle el
A) 2 D) 6
123
a b 1 c 2 c9 b 1 3 3x y 59
m = 3; b = 0
Igualando:
m b d 3 RPTA.: C
381. Calcule el valor de “n” si “m” es máximo en:
*c=5 * b 1 3;b 2 * a b 1;a 1
*c 2 3 x y 5 2 3x y
7 3x y ; x = 2
y=1
abcax 17a29 abcx.x a 1729.29 a abc x .x 36.29 Si
Pide: a b c x y 11
RPTA.: C
x 9 abc9 116 1389
383. En la siguiente expresión: Luego:
M 4n6m 54n 3mn8
a=1 ; b=3; c=8
x 1113n 9
n 1 3 9 n 5
Halle M. A) 42 D) 220
B) 532 E) 44
C) 24
Analizando:
A) 27 D) -3
n5
54n 4n6m
m6 mn
3mn8
5 n m8
C)-5
4 b a n m (Ordenando) 4 5 6 7 8 Luego: 656 7 517 8
M 4667 546 3768
34
B)3 E)5
RESOLUCIÓN
m7 y n6
M 244
a b c m n , sabiendo
que: aban bcnm Sabiendo que: m < 9 y b > 4
RESOLUCIÓN
RPTA.: E
385. Halle
254
a b c m n 6 5 1 7 3
3
M = 24
RPTA.: D
RPTA.: C
386. Calcule la suma de las dos últimas
384. Si se cumple que:
cifras del numeral: 16 1213 8n ,
abcaaaabn 17a29
al expresarlo en el sistema de base n 1 .
Calcule el valor de “n”
A) 6 D) 4
A)3 D)9
B)4 E)5
C)6
RESOLUCIÓN abcaaaabn 17a29 x 29 x cambio de variable
B) 7 E) 3
C) 5
RESOLUCIÓN N 1612138n Base n 1
Por descomposición:
16 12 13 8 n n 1 11n 11 5 12 n
1576n
11n
11n
143n 11n
5 5 n
44n
7n
36n
68n
33n
66n
3
Por división a base 4: 89 4 1 22 2
47n
7 13n 7
324 5 3 55 2 5 4 89
4 1
Números equivalentes
3245 11214 abcdx a 1;b 1; c 2; d 1; x 4 m3
2 N ...32(n 1)
4 5 1
a b c d x m 12
de las 2 últimas cifras = 5
RPTA.: C
A) 12 D) 18
B) 14 E) 19
C) 16
RESOLUCIÓN
Calcule a b c d m x B) 10 E) 15
388. Calcule : a n m Si: 120an 64a 2553m
387. Si se cumple: 9 6 12 abcd x m m m 2m1
A) 8 D) 13
RPTA.: C
120an 64a 2553m C) 12
1200 n 640 n³ + 2n² = n² (n+2) = 8²(8+2)
n3 2n2 (n 2) 82 (8 2) n8
RESOLUCIÓN
64a 120a8 2553m ;m 5 m8 m6
9 6 12 abcdx m m m 2m1 “m” divide a 9; 6 y 12 por tanto m=3 Reemplazando.
3245 abcdx
a
mayor
valor
aparente menor base x 5 Se verifica para:
x=4
25536 2 63 5 6² 5 6 3 645 64a
a5 a m n 5 6 8 19 RPTA.: E 389. Halle “x” en:
abxn ccn7 , A)0
B) 2
D)5
E) 6
si: c 2
y ba
C) 3
2 2 En base n 18 324
RESOLUCIÓN abxn ccn7...(I) ; C 2 ; b a
Número 210 324 02 01 0018
RPTA.:E
2 c a b n 7 c 3 a4 b5 n6
391. Halle a b n k en la siguiente expresión:
9abk 213312n ; donde k n2
Luego en I 45x6 3367 174
A) 18 D) 41
45x6 4506 x 0 RPTA.:A
14
B) 24 E) 37
Luego: n
k n2 k
9abn2 213312n 10
15 14 15
1 11 12
Transformando de base (n) a base n2
21 33 12n
13
9
a
b n2
1 n 1n
¿Cuántas cifras tendrá el menor numeral de la base “n”, cuya suma de cifras sea 210, cuando se exprese en la base n2 ? A) 6 D) 9
C) 28
RESOLUCIÓN
390. Si se cumple que:
(2n) numerales
Número de cifras =5
n7
n(n 1) 2 n(n 1) 91 n n 18 2 9 9n
B) 7 E) 5
C) 8
RESOLUCIÓN Aplicando propiedad.
15 n(4) (n 1).5 n 0 1 2 3 ... (n 1) 1
21n 9
n 4 ; k 16
33 4 a
a 15
12 4 b
b 6
a b n k 41 RPTA.: D 392. El mayor número de 3 cifras diferentes de la base n, se escribe en base 8 como 4205. Halle n. A) 10 D) 13
B) 11 E) 14
RESOLUCIÓN
C) 12
Sea: abc n el mayor a b c
abcn n 1 n 2 n 3n 42058
394. Si se cumple:
a10b11b2 15c8
pasando a base 10.
Halle: a b c
n 1.n2 (n 2).n n 3 4 83 2 82 0 8 5 2181
A)6 D)9
n3 n 2184 n(n2 1) 2184
= 15c 8
a 10b 11b2
n 1nn 1 12 13 14 n 13
a(4 b)(6 b)8 = 15c 8 RPTA.: D
*a 1 * 4 b 5 ;b 1 * 6 b c ;c 7 *a b c 9
393. Se desea repartir S/. 1000000 entre un cierto número de personas, de tal modo que lo que les corresponda sea:
RPTA.: D
S/. 1 ; S/. 7 ; S/. 49 ; S/. 343;…
395. Si se cumple: abn ba7 Halle la suma de cifras de n ; si es el máximo valor posible.
y que no más de 6 personas reciban la misma suma. ¿Cuántas personas se beneficiaron? B) 15 E) 12
A) 37 D) 21
C) 11
RESOLUCIÓN
Descomponiendo:
Transformando a base 7:
7 2 915 (3)
B) 13 E) 10
C) 14
RESOLUCIÓN 1 000 000 7 (1) 142 857 7 20 408 (1) (3)
C)5
RESOLUCIÓN
n(n 1)(n 1) 2184
A) 16 D) 13
B) 7 E) 10
7 416 (3)
n a b 7b a 6b n 1 a 7
59 (3)
7 8 (1)
7 1
a7 y b7 a 1 ;b 6 n 37 3 7 10
1 000 000 11 333 311 7
RPTA.: D SEMANA 4
Número de personas:
1 1 3 3 3 3 1 1 16 N 16 RPTA.: A
NUMERACIÓN II 396. Si
el
término
ab
avo
de
siguiente serie aritmética es ba .
la
Calcule “a +b” si: 30;…;48;51… A) 6 D) 9
B) 7 E) 10
2
1
305 110 n= 1 16 13
C) 8
a + b + n=19
RESOLUCIÓN
30;…;48;51… Razón: 3. Término 1: 30 Término n: tn t1 n 1 razón
398.
RPTA.: E
¿Cuántos términos tiene siguiente progresión aritmética:
la
233 x ;242 x ;301 x ;........;1 034 x
A) 26 D) 19
t ab 30 ab 1 3 ba Descomponiendo: 30+3x ab -3= ba 30+3(10a+b)-3=10b+a 27+29 x a = 7 x b
B) 17 E) 22
C) 20
RESOLUCIÓN
Cálculo de la razón R:
242x 233x 301x 242x 1 a=1; b=8 a+b=9
Descomponiendo polinómicamente 2x2 4x 2 2x2 3x 3
8
3x
2
397. Dada la siguiente aritmética:
RPTA.: D
progresión
1 2x2 4x 2
2335 ;2425 ;3015 ;.........;1 0345
+4 “n” términos Halle: a+b+n B) 16 E) 19
x=5 R = x- 1 R=4
aa0;ab(a 2);a(b 1) 3b;.....3a 05
A) 15 D) 18
+4
10345 2335 1 4 n = 20 n
C) 17
RESOLUCIÓN
“n” términos
aa0; ab(a 2); a(b 1)3b ;.....3a05
RPTA.: C 399.
En la numeración de las páginas impares de un libro se han empleado 440 tipos de imprenta. ¿Cuántas páginas puede tener el libro?
r ab(a 2) aa0 a(b 1)(3b) ab(a 2)
A) 165 D) 145
r = 10b+a+2-10a=10(b-1)+3b-10b-a-2
RESOLUCIÓN
r =10b-9a+2=3b-a+8 7b = 8a+6 r = 13
B) 330 E) 325
C) 320
Suponiendo la última página con numeración PAR. Cantidad de cifras de las páginas impares: 1, 3, 5, 7, 9,
5#s 5 x 1 = 5 cifras
A) 159 D) 195
La numeración de las páginas será: 1, 2, 3, 4,……., 71, 72,……..,
45#s 45x2=90cifras
“x” Cifras utilizadas
101, 103, 105, 107,……….
n 72, n 71, n 70........,N
440-(5+90) = 345 cifras
“(x+69)” cifras utilizadas
Se han utilizado 345 cifras para escribir números de3 cifras:
(La cantidad de cifras del 1 al 72) = (72+1)2-11=135
345 115 3
La cantidad de cifras utilizadas en las 72 últimas páginas será:
números de 3 cifras
135+69=204
Total de páginas impares = 5+45+115=165 páginas.
Entonces si al total de cifras desde 1ª “N”, le quitamos el total de cifras utilizadas desde 1 hasta (N72) es igual a 204.
Total de páginas =330
RPTA.: B 400.
Al escribir la secuencia adjunta que tiene 113 términos. ¿cuantas cifras en total se han utilizado?
Asumiendo para N=3 N 1 3 111 N 72 1 2 11 204
6667 ,6970;7273;7576 ;........... A) 664 D) 653
B) 665 E) 655
N=159
RPTA.: A
C) 620 402.
RESOLUCIÓN abc 1
6667 , 6970 ;...9697 ;99100 ;102103...abc 11#s
1#
101#s
En la siguiente serie, halle el término que ocupa el lugar ante penúltimo. 3, 9, 17, 27,……., 699 A) 559 D) 649
B) 597 E) 585
RESOLUCIÓN 11 x 4
1x5
101.6
RPTA.: E 401.
C) 148
RESOLUCIÓN
11, 13, 15, 17,……., 97, 99
3 cifras =
B) 157 E) 185
Las 72 primeras páginas de un libro utilizan 69 tipos de imprenta menos en su numeración que las utilizadas por las 72 últimas ¿Cuántas páginas tiene el libro?
tn = t1 n 1.r1
C) 647
n 1n 2 .r2 2
En el problema
tn
n 699 3 n 1.6
700 n2 3n n 25
2
3n 2 .2 2
t23 3 22.6 403.
22.21 .2 597 2
405.
RPTA.:B
¿Cuántos números de la forma:
a a 1 b b 2 c c / 2
d
A) 500 D) 635
existen? A) 960 D) 3600
B) 2160 E) 2400
C) 3200
a b
2 0 3 2 4 4 . 6 . 8 . . . 9 8 x 5
x
Para hallar los números de3 cifras que tengan al menos 1 cifra impar y 1 cifra par, al total de números de 3 cifras se le debe restar los números de 3 cifras pares e impares luego:
RPTA.: C En que sistema de numeración existen 136 números de las formas:
aa bbK
A) 16 D) 19
B) 17 E) 20
C) 18
RESOLUCIÓN
a+b= k-1 (máximo) a=1; b=0; 1; 2; 3…;k-2 k-1 a=2; b=0; 1; 2; .…;k-3 k-2 a=3; b=0; 1; 2; .…;k-4 k-3 . . . . . . a=k-2; b=0,12 a=k-1; b=0 1
#s =
k 1 k
136
2 k 1 k 8 17 2
k=17
RPTA.: B
c
9x10x10=900 números de 3 cifras
0 1 2 . . . . . 9 10 =3200
2 2 d= 0; 1; 4; 9; 16;…..; 8 ; 9
404.
C) 675
RESOLUCIÓN
N aa 1bb 2cc / 2 d
x
B) 625 E) 600
Sabemos:
RESOLUCIÓN 1 2 3 . . . . 7 8 C#s= 8
¿Cuántos números de tres cifras existen, que tengan por lo menos una cifra par y por lo menos una cifra impar?
# de 3 cifras a b 2 0 4 2 6 4 8 6 8 4 x 5 x
pares c 0 2 4 6 8 5 = 100#s
# de 3 a 1 3 5 7 9 5 x
impares c 1 3 7 5 9 5 = 125 #s
cifras b 1 3 5 7 9 5 x
Entonces: 900-(100+125)675 #s
RPTA.: C 406.
¿Cuántos números capicúas existe entre 800 y 80000? A) 900 D) 750
B) 800 E) 810
RESOLUCIÓN
C) 700
800 < ”capicúas”< 80000 Capicúas
a b a ;
a b b a ;
8 9
1 0 2 1 3 2 . . . . . . 9 9 9x10=90
0 1 2 . . . 9 2x10 = 20
RESOLUCIÓN Nro capicúa: abcba Tenga 2 cifras “2” En su escritura: 2 b c b 2x a 2 c 2 a x 0 0 1 0 1 1 3 1 3 3 . 3 . . . . . . . . . . . .
a b c b a 1 0 0 2 1 1 1 2 2 . . . . . . . . . 7 9 9 7x10x10=700 C#s Capicúas= 20+90+700=810
x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
2
x 1 x 1 x 2 x 1
x 2 x 1 66
x 1 x 1 x 2 66 6 11 x 1 2x 3 7 1 2 7 3 x7
RPTA.: B
RPTA.: C 407.
¿Cuántos números de 10 cifras hay en base 16 tal que el producto de sus cifras sea 30? A) 990 D) 500
B) 800 E) 600
409.
C) 720
Se escriben en forma consecutiva los números enteros positivo uno a continuación del otro hasta emplear 2226 cifras. ¿Cuál es la cifra que ocupa el último lugar? A) 5 D) 8
RESOLUCIÓN
Casos: I II Producto de =30= 2x3x5 = 5x6 cifras III IV =15 x 2 =10 x 3 Caso I : 10x9x8 = 720#s Caso II : 10x9 = 90#s Caso III : 10x9 = 90#s Caso IV : 10x9 = 90#s Total = 990#s ¿En que sistema de numeración hay 66 números capicúas de 5 cifras, que exactamente tenga 2 veces la cifra 2 en su escritura? A) 5 D) 8
B) 6 E) 9
C) 7
C) 7
RESOLUCIÓN
2226 cifras
1,2,…9; 10,11,….99,100,……U 9 #s Cifras: 9x1
90 #s 90x2
2037 cifras
2037 3 679 # s de 3 cifras
RPTA.: A 408.
B) 6 E) 9
679 U 100 1 U 778 Última cifra =8
RPTA.: D 410.
Un libro se empieza a enumerar desde una primera página y se observa que 58 números comienzan
con la cifra 7. ¿Cuántos números escritos terminan con la cifra 7? A) 76 D) 74
B) 67 E) 73
C) 70
RESOLUCIÓN
La numeración de las páginas que comienzan con la cifra 7 será: 1,2,3,….,7,…..,70,71,…,78,79…, 1#s
10#s
700,701,702,..,746 47#s El libro tiene 746 páginas La secuencia de las páginas que terminan con la cifra 7 será: 7,17,27,37,47,…….,717,727,737 Total de números que terminan en la cifra 7: 737 7 Total= 1 74 10 Total= 74 números
RPTA.: D 411.
Se han arrancado las 50 últimas hojas de un libro, notándose que el número de tipos de imprenta que se han utilizado en su numeración, ha disminuido en 361. ¿Cuántos tipos de imprenta se han utilizado en la numeración de las hojas que quedaron.
Si cada página de 4 cifras reemplazamos por una de 3 cifras, la cantidad de tipos disminuye en 1. Cantidad de páginas de 3 cifras = 400 -361 =39 La última página de 3 cifras es la 999 La última página de 3 cifras que quedaron es =999-39=960 Cantidad de tipos=3(960+1)111=2 772 Total de tipos = 2 772
RPTA.: D 412. Si de los números del 1 a 1000, no se marca ni un solo número que contenga la cifra 4 ó la cifra 7 ¿Cuántos números se marcan? A) 506 D) 512
B) 510 E) 515
RESOLUCIÓN
Sin 4 ó 7 del 1 al 1000, por análisis combinatorio tenemos: * De 1 cifra:(1,2,3,5,6,8,9)=7#s * De 2 cifras: a
B) 2 771 E) 2 774
RESOLUCIÓN
C) 2 769
En total de páginas =100 Si las 100 páginas arrancadas fueran todas de 4 cifras, faltarían en total 400 tipos de imprenta, pero sólo faltan 361, esto indica que algunas páginas son de 3 cifras.
b
7 x 8 = 56 #s * De 3 cifras: a
A) 2 661 D) 2 772
C) 511
b c
7 x8x 8=448 #s * De 4 cifras: (1000) 1# Luego : 7 +56 +448+1 =512#s
RPTA.: D 413. Un libro tiene entre 100 y 1500 páginas, si en las 40 últimas páginas utiliza 155 cifras ¿Cuántas
cifras tendría si se enumerara en el sistema octal?
cifras más que el otro, y que la suma de dichas bases es 15.
A) 3555 D) 4125
A) 5 D) 6
B) 4005 E) 4325
C) 3750
RESOLUCIÓN
B) 4 E) 7
C) 3
RESOLUCIÓN
x números de 3 cifras x+y=40 x=5
aba w
y números de 4 cifras 3x+4y=155 y= 35 Última página =1034 = 2012 8
Nros capicúas:
xyxz Además: w+z=15
# cifras = 4 2013 8 11118 3555
RPTA.: A Método combinatorio: 414. Sea la P.A.:
4a6;.....;68b;6c b 2;70d donde el término del trigésimo lugar de la P.A. es 68b . Halle (a + b + c + d). A) 26 D) 25
B) 24 E) 13
b a (w)
1 2 3 . . . .
0 1 2 3 . . .
x
y
1 2 3 . . . .
0 1 2
w 1 w 1 w 1. w
C) 30
RESOLUCIÓN 4ab;.......;68b;6c b a;70d r=8; c=9 t30 68b 4a6 29. 8
xz
. . .
z 1 z 1 z 1. z
680 406 10a 232
42 b 10.a d 4 8
a
Por dato:
5
w w
2
a+b+c+d+=26 RPTA.: A 415. Halle la diferencia de las bases de 2 sistemas de numeración; si uno tiene 56 números capicúas de 3
2
z z w 56 w z2 z 56 2
w zw z 1 56 14
wz
6cifras+ 42x2 cifras +294x3 cifras +x.4 =996
56 4 14
RPTA.: B 416.
4x=996-972 4x=24 x=6 números
Una persona empieza a numerar las páginas de un libro desde el número 4000, se detiene en el número que representa la cantidad de cifras utilizadas. Dar la suma de las cifras del último número. A) 12 D) 14
B) 13 E) 15
abcd7 10057 1 + 0+ 0+ 5=6
RPTA.: C
C) 11
SEMANA 5
ADICIÓN - SUSTRACCIÓN
RESOLUCIÓN
Sucesión será: 4000;4001;4002………….…;N
418. Si : a0ca 8abc b7c8 ccab 24022
Halle: a b2 c “N” tipos de imprenta
A) 270 D) 245
Planteando el enunciado: (Cantidad de números) x 4 =N
a0ca abc b0c0 ccab 24022 - 8000 -708=15314.
Suma de cifras: 5+3+3+2=13
Entonces: a + b + c =14 (único valor que cumple)
RPTA.: B Al enumerar las páginas de un libro en base siete se emplean 996 cifras. Indicar la suma de las cifras del numeral correspondiente a la última página. B) 5 E) 8
C) 6
RESOLUCIÓN
1;2;...6; 10 7 ;…; 66 7 ; 6 números 607 números
100 7 … 6667 1000 7 .. abcd7 600 7 números x números
C) 320
Si:
3N= 4x 3999 N= 4(1333) =5332 N=5332
A) 4 D) 7
B) 256 E) 325
RESOLUCIÓN
4N 3999 N
417.
* * *
1+(a+ b+ c)+c =.........1 15 + c=..........1 c = 6 2 + a + c = ...........3 8 + a = ...........3 a=5 1+ a + b + c = 15 1 + 5 + b +6 = 15 b=3 a b2 c 5 32 6 270
RPTA.: A 419. Halle : a b c ; si n + x =16 y
x1x x2x x3x ... x n 1 x abc4 A) 13 D) 16
B) 14 E) 19
RESOLUCIÓN
C) 15
n + x = 16 ; (n 1) . x = ... 4 n = 10 x=6
SEMANA 6
MULTIPLICACIÓN-DIVISIÓN 420. Si al multiplicando y multiplicador se le disminuye en 2 y 4 respectivamente, el producto disminuye en 198. Halle la suma de los factores de dicha multiplicación si su diferencia es 8. A) 63 D) 66
B) 65 E) 69
C) 67
Mxm=P (M-2)(m-4) =P-198 M m -4M-2m+8= P -198 206 = 4M + m x 2
103=2M + m + 8= M-m 111 = 3M; M = 37 m = 29 M + m = 66
421. Si abcd7 22227 ...31257 Halle el número de divisiones de d dividendo ca y residuo ab b B) 2 E) 6
entonces a=4 b=2 c=5 d=6 luego d b ca Divisor
ab
Cociente
354 = divisor. cociente + 42 312= divisor. Cociente además divisor >42 divisor =52,104,78,156,312 hay 5 divisiones (tabla de divisores)
422. Calcular la cantidad total de números enteros los cuales al ser divididos entre 31, producen un resto triple que el cociente corresponde. A) 13 D) 11
B) 4 E) 12
C) 10
RESOLUCIÓN RPTA.: D
A) 1 D) 5
66667 100007 1 abcd7 100007 1 abcd00007 abcd7 ...24117
RPTA.: D
RESOLUCIÓN
+
Expresando:
C) 4
RESOLUCIÓN abcd7.22227 ...31257 Multiplicando por 3. abcd7.22227 ...31257 ;
Sea “N” uno de dichos números: N= 31q + 3q N= 34q Además, sabemos: resto < divisor
3q 31
q 31 / 3 q 1, 2, 3, 4,5, 6, 7, 8, 9,10
Cantidad de valores =10
RPTA.: C 423. Si multiplicamos al número abc n0n (0 por = cero)
observamos que el producto total es **435 (cada asterisco representa una cifra). Dar como respuesta a + b + c; si además; a<9. A) 17 D) 14
B) 16 E) 13
C) 15
RESOLUCIÓN
que le falta a xyz para que sea un número cuadrado (el menor posible).
abc non
A) 36 D) 68
n=5 c=7 b=8 a=1
.935 935
B) 134 E) 45
C) 34
RESOLUCIÓN abc 47
. . 435
...256 ...32
a + b + c = 16
RPTA.: B
...576 o
7 c 10 6 c 8 424. Si en una división, el residuo por exceso, residuo por defecto, divisor y cociente son números pares consecutivos. ¿Cuál es el valor del dividendo? A) 25 D) 60
B) 52 E) 56
C) 48
RESOLUCIÓN
Al ser pares consecutivos, entonces cada uno es igual al anterior incrementado en 2 unidades. R E N ; RD N 2 : d N 4 N;
q N6
N 2
o
10 2 a 6
CA 66 CA 60 CA xyzw 34 40 CA xyzw 1360 CA xyzw CA aa CA ab CA xyzw
1 x 9 x 8 3 x 9 y 6 6 z 10 z 4 0
Falta = 900-864 = 36
RD
N
RPTA.: A
d
RE 2 ; R D 4;
N 4
N=2
d 6 ; q=8
D = 6 8 + 4 = 52
RPTA.: B 425. Si: abc x 47 ...576
7 a
xyz 864
Sabemos que:
RE
o
7 b 5 10 5 b 0
y
CA aa x
CA ab CA xyzw . Calcule lo
426. Calcule el producto total de la siguiente multiplicación:
aa 16 a 2 a 36
Si la diferencia de sus productos parciales es 29. A) 10336
B) 10036
20026 D) 20036
E) 21006
C)
RESOLUCIÓN x
a 2a 36 a a 1
º
2 n 1 n 5
a<3
2n2 = n+5 n=7
6
Reemplazando:
Productos parciales:
a 16 a 2 a 36 a6
a 2 a 36
a 2 a 36
29 456
a2 Reemplazando: 456
...124512(7) ......6666(7) ...120305(7) ...120305(7) ...120305 ...120305 ...120305 ...120305 ...............542155
236
abcde57
5421557
2236
abcn8
54278 2839
1346
2839
2003(6)
178712
1 7 8 7 392
RPTA.: E
Producto: 2003(6)
RPTA.: D 428. Se obtienen 4 residuos máximos
427. Si:
1245124512....(n) n 1 n 1 ... n 1n 38 cifras
A) 51 D) 39
...abcde5n
base 12. B) 148 E) 392
RESOLUCIÓN
C) 321
Como tiene 38 cifras termina en 12. ...124512(n) ... n 1 n 1n =
...abcde5n ; n 5
B) 45 E) 42
Halle:
C) 40
RESOLUCIÓN
Calcule el producto de cifras del numeral abcnn1 expresado en
A) 72 D) 254
al dividir abcde por 43. (a+b+c+d+e)
abcde 43 -rpqz 42c --42d --42e -42
ab 43 r 42;r 1 a=8
ab 85 b=5
42c 43(p) 42;p 9
42c 429 c 9 42d 43 q 42, q 9 42d 429 d 9 42e 43 z 42 z 9 42e 429; e 9
3q 2 q 36 q = 17 D= 39 x 17 + 26 = 689
cifras de D = 23 (6 + 8 + 9)
a + b + c + d + e =40
RPTA.: C 429.
1 del divisor. El menor 3
exceso es
número que se debe sumar al dividendo para aumentar en 2 al cociente es 52. Al triplicar al dividendo, el cociente aumenta en 36. Halle la suma de las cifras del dividendo. A) 15 D) 23
B) 17 E) 24
C) 20
RESOLUCIÓN re
1 2 dr d 3 3
Luego:
*
D
d
2 d 3
q
D + 52 0
2 D dq d 3
d q +2
52 dq 52 *
RPTA.: D
Es una división el residuo por
D 52 d q 2
2 d dq 2d 3
4 d d 39 r 26 3
3D
39
3x26 3q +2 0
430. En una división inexacta por defecto, el divisor y el residuo son 34 y 14 respectivamente, si al divisor se le agrega 5 unidades entonces el cociente disminuye en 2 unidades. Halle el nuevo residuo sabiendo que es el menor posible. A) 1 D) 4
B) 2 E) 5
C) 3
RESOLUCIÓN D
34
14
q
D
39
r
q-2
D 34q 14
D 39(q 2) r
34q + 14 = 39q – 78 + r 92 =5q + r q=18 r=2; Residuo = 2
RPTA.: B 431. En una división entera inexacta la suma de los 4 términos es 744, el mínimo valor que se debe quitar al dividendo para que el cociente disminuye en 1 es 49, y el máximo valor que se debe agregar al dividendo para el
cociente aumente en 1 es 67. Halle el dividendo. A) 608 D) 628
B) 622 E) 632
C) 618
RESOLUCIÓN D r
d q
D d q r 744...(I)
D - 49 d D 49 d(q 1) (d 1) d -1 q-1
D+67 d D 67 d(q 1) (d 1) d -1 q+1 116 = 2d d = 58 En (1) 58q + r + 58 + q + r = 744 59q + 2r = 686
10 48 D=58 x 10 +48 = 628
RPTA.: D 432. Sea “N” un número que tiene entre 49 y 57 cifras que multiplicando por 91 se obtiene un número formado por un 1, un 3, etc. Halle la suma de cifras de dicho número A) 168 D) 108
B) 156 E) 86
C) 96
RESOLUCIÓN
RPTA.: D 433. Halle la suma de cifras del menor número que multiplicando con 14 de un número formado por puras cifras 3 y en las unidades un 0. A) 17 D) 27
B) 19 E) 31
C) 26
RESOLUCIÓN N. 14 =33…30
333……. 28 53 42 113 112 133 126 70 70 --
14 N=238095
Cifras =27
RPTA.: D
434. Se tiene 943 número consecutivos, si se divide el menor de ellos entre 78 se obtiene 29 de residuo ¿que residuo se obtiene al dividir el mayor entre este divisor? A) 49 D) 29
B) 25 E) 35
C) 38
RESOLUCIÓN
N.91 = 1313… 131313... 91 403 364 391 364 273 273 ---
cifras = 9x12 =108
943 números consecutivos: n+1, n+2…, n+943
91 N=1443 001443...001443 4 cifs 6 cifs
6 cifs
Luego deben ser: 4 +6 .8 =52 cifras.
n+1 29
78 k
n+943 78 R h
942 6
78 12
n 1 78k 29... 1 n 943 78h R...
2
942 78 12 6... 3
1 + 3 n 943 78k 12 35 4 Comparando 2 y 4 ; h=k+12 R =35
RPTA.: E 435. Si
se
divide
a 2 a
2
m a2 2 n
entre
dicho complemento aritmético. Determine la suma de cifras del numeral primitivo. A) 13 D) 16
C) 15
RESOLUCIÓN
1 ; tanto por defecto
como por exceso se obtiene; que la suma del residuo por defecto más el residuo por exceso y más el cociente por exceso es 34. Halle (m + n + a), si el residuo por defecto excede al residuo por exceso en 16.
B) 14 E) 17
abc
CA abc
r (10 c)
3
abc 3 CA abc 10 c abc 3 1000 abc 10 c 4 abc 3000 10 c o
A) 16 D) 12
B) 8 E) 20
C) 10
4 c 10 c o
5 c 10
RESOLUCIÓN a=3
divisor:
a 2 a
2
c=
1 d = 18
Dato:
rd re q 1 34
0 2 4 6 8
cumple sólo para c=2
abc
d 18 +q +1 =34; q=15
4
3008
rd re 18
c = 2; b = 5; a = 7
rd re 16
a+b+c+=14
rd=17
RPTA.:B
re=1
437. En una división el dividendo es
m8n 1815 17 m8n 287
par, el divisor es 2n 1n 2 , el
m=2 n=7
cociente residuo
m + n + a =12
RPTA.: D 436. Al dividir un número de tres cifras diferentes entre su complemento aritmético se obtuvo cociente 3 y como residuo la última cifra de
a 13a
es
b b 3
4
y
el
9 . Calcule la
suma de los términos de la división si se realiza por exceso. A) 2 870 D) 3 037
B) 2 900 E) 3 039
C) 3 000
Cantidad de valores: 10
RESOLUCIÓN
2n 1 n 2
2N
a 1 3a
r b3 b4 9
3a 10 a 3, 3 1 a 4 a 2;3 b2
RPTA.: C 439. En una división le faltan 15 unidades al residuo para ser máximo y sería mínimo al restarle 18 unidades. Determinar el dividendo, si el cociente es el doble del residuo por exceso.
Por algoritmo de la división
A) 1139 D) 1193
Par
RESOLUCIÓN
2N 2n 1 n 2 a 1 3a 87
impar
impar
a = 3 residuo < divisor
87 2n 1n 2... 2n 1 10 n 5, 5.
Impar n= 1; 3;5 en : sólo cumple si n=5 divisor =97 cociente =29 residuo=87 dividendo =2900
re 10
qe 30
Piden: 97+30+10+2900 Piden: 3037
RPTA.: D 438. Calcular la cantidad total de números enteros los cuales al ser divididos entre 31, producen un resto triple que el cociente correspondiente. A) 13 D) 11
B) 4 E) 12
C) 10
B) 1123 E) 1137
C) 1107
D=d.q+R RMÍNIMO = R 18 = 1 R= 19 RMÁXIMO = R + 15 = d 1 d = 35 Además: RD + RE = d 19 + RE = 35 RE = 16 q = 2RE q = 32 D = 35 32 + 19 D = 1139
RPTA.: A 440. Sabiendo:
E An B7; E tiene (9n+1) cifras como mínimo y que “A” y “B” tiene 8 y 5 cifras respectivamente. Halle “n”. A) 12 D) 10
B) 14 E) 16
C) 8
RESOLUCIÓN 107 A 108 104 B 105 107n An 108n 1028 B7 1035 107n28 An B7 103n35
RESOLUCIÓN
Sea “N” uno de dichos números: N = 31 q + 3 q N = 34 q
Además, sabemos: resto < divisor 3q < 31 q < 31/3 q = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
Cifras mínimas:
7n 28 1 9n 1 n = 14
RPTA.: B
441. Si M1,M2,M3,......,Mn son números
Por dato: E tiene “ 6x ” cifras
de 1,3,5,………., 45 cifras respectivamente ¿Cuántas cifras puede tener como mínimo el producto de dichos números?
10x 14 6x 10x 18
x 5
A) 529 D) 507
443. Halle el valor de “n” si E tiene 15 cifras, A tiene 18 cifras y B tiene
B) 526 E) 506
C) 527
RPTA.: B
13 cifras, siendo: E
RESOLUCIÓN
A) 4 D) 12
Observamos que la cantidad de cifras de los numerales respectivos forman una serie aritmética de razón 2, entonces:
#de tér minos
45 1 2
B) 5 E) 15
# cifras de En = Min = 15n n + 1 Máx = 15n # cifras de A² . B³ = Min= 2(18) +3(13)5+1 Máx= 2(18) + 3(13)
36 + 39 = 15n n=5
RPTA.: D
E
A.B2 C2
Tiene
6x
C) 7
En = A² . B³
La cantidad de cifras de: M 1, M 2 , M 3
442. Si:
A2 B3
RESOLUCIÓN
23 ; n 23
Máx. = 1 + 3 + 5 + ... + 45 = 23 (1 + 45) 529 2 Min.= 529 23 + 1 = 507
n
RPTA.: B
cifras
enteras; además: “A” tiene x8 cifras; “B” tiene x4 cifras y “C” tiene x0 cifras. Halle “x” A) 4 D) 7
B) 5 E) 8
C) 6
RESOLUCIÓN
6
Max x8 2.x4
A.B2 E 2 C
Min x8 2.x4 3 1 Max 2.x0
Min 2.x0 2 1 E
x (n-1) 4
*
Max x8 2 x4 2 x0 1 1 10x 18 Min x8 2.x4 2 2 x0 10x 14
9
x=6 n=10
a + b + c = 14
RPTA.:B 444. Halle en base 10 el valor de “S” si sus 15 términos forman una progresión aritmética: S = 12(n) + 21(n) + 30(n) + ... + 210(n)
A) 637 D) 675
B) 625 E) 645
C) 5481
3 columna = 1 2 3 4 5 50 4 columna = 2 4 6 8 5 100
RESOLUCIÓN
RPTA.:E
S 12n 21(n) 30n ... 210n Razón: 21n 12n n 1 446. Si: S n 102 104 106 .......... ..........
Último término: 12n 14 n 1 210n
“n” sumandos
Resolviendo:
n2 7n 6 0 n 6
Halle la siguiente suma:
S 126 216 306 ... 2106
S= 8 + 13 + 18 + … + 78
S
15 x 86 645 2
S S1 S2 S3 S4 ......... S49
A) 26 615 C) 161 450 E) 146 150
B) 16 415 D) 164 150
RPTA.:E
RESOLUCIÓN S1 102
445. Halle la números
suma de
a a / 2 b 2b
A) 84440 D) 104480
de todos los la forma:
B) 84480 E) 105480
C) 84840
RESOLUCIÓN 5 N=
a 2 4 6 8
S= 105
4 a 2
1 2 3 4 4
8 b (2b) 0 0 1 2 2 4 3 4 6 8 8 0
:20#s
1 columna = 0 2 4 6 8 4 80 2 columna = 0 1 2 3 4 4 40
S2 102 104 S3 102 104 106
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S49 102 104 106
……….. ……….. ……….. ……….. ……….. ……….. ……….. ……+198
S = 49(102)+48(104)+47(106)+...1(198) S = 2[49(51) + 48(52)+47(53)+...1(99)] S = 2[49(10049)+48(10048)+... +47(10047)+...+1(1001)] S = 2[100(49+48+47+....+1).... (49²+48²+47²+...+1²] 49 49 1 49 49 1 2 49 1 S 2 100 2 6 164150 S = 164150
RPTA.: D
C.A. 9ab 41ab
A) 1 D) 10
C) 8
C.A. 1ab C.A 2ab C.A. 3ab ...
447. Efectuar: S = 6 + 66 + 666 + 6666 + ....+ 66...66
B) 6 E) 4
RESOLUCIÓN
“n” cifras
CA 1ab CA 2ab ... CA 9ab 41ab A) B) C) D)
10n1 9n 9 n1 10 9n 10 27 10n 9n 10 27 10n1 9n 10 2 27
10
3
A) 27 D) 4
m k 3 2n 8 13
B) 13 E) 25
C) 53
k m k CA mn 2n 5 13 3 8 13
Método Práctico:
m m9 3 12 n 2n n 4
12 m
k k k 40 5 8 k m n 40 9 4 4
n(1)
RPTA.: D
27
RPTA.: D 448. Halle: a b si:
si se cumple
13
101 10n 1
n
RESOLUCIÓN
3S 101 1 102 1 103 1 ....... 10n 1 2
S
449. Calcule: k m que: k CA mn 5 13
“n” cifras
2 10n 1 9n 10
1ab 9ab 9 4100 ab 2
RPTA.: E
Multiplicando por : 9: 9 S = 6 (9+ 99+999+9999 + ... + 99999 ....... 9999
(10 1)
a+b=4
“n” cifras
400 10 ab ab 40
6 (1+11+111+1111+... + 11111 ....... 1111
3S 2
9000 500 ab 9 4100 ab
Factorizando el 6:
9 103
RESOLUCIÓN
9 103 1ab 2ab ... 9ab 4100 ab
10n 9n 10 E) 2 27
S=
1ab 103 2ab ... 103 9ab 41ab
450. Si:
abcm cbam xyzm , xyzm zyxm
defgm y d e f g 16;
Halle el valor de m. A) 5 D) 8
B) 6 E) 9
C.A 901000...000 99000...000 C) 7 (n+2)cifs.
RESOLUCIÓN abcm cbam xyzm x z m1
Suma de cifras: 9+9 =18
RPTA.: C
y= m – 1
x y zm
452. Si N y M son números de 200 y 150 cifras respectivamente, y
CA N M CA(N).
z y xm
Halle la suma de cifras del complemento aritmético de M.
d e f gm z+x=m-1=g
A) 151 D) 9
f m2 1 x z m 10m dem
RESOLUCIÓN
2y = 2m-2= 1 m 2m
D=1;e=0 Luego: d + e + f + g =16 (por dato) 1 + 0 +m – 2 + m – 1 =16 2m=18
B) 1 E) 450
C) 50
C.A. N-M C.A.(N)
10k N M 10n N
M 10n 10K 10K 99...9
CA(M) 10k.1 100...0
m9 RPTA.: E
451. Calcule el complemento aritmético n 1 n 1 del número M 9 10 10 Dar como respuesta la suma de sus cifras. A) 10n+2 D) 9n-1
( n+1)cifs.
B) 15 E) 10n-9
C) 18
Cifras = 1 RPTA.: B 453. ¿Cuál es el mayor sistema de numeración en el cual se puede escribir con tres cifras un número entero que en el sistema decimal tiene por complemento aritmético a otro numeral de 3 cifras iguales? A) 26 D) 19
B) 29 E) 22
C) 20
RESOLUCIÓN M 9 10n1 10n1
RESOLUCIÓN
Se puede expresar:
Sea “n” el valor máximo de la base, que representa al número
M 9 102 10n1 10n1
dado como: abcn N10
n 1
M 10
Además: CA N10 XXX
Factor común: n 1
900 1 901 10
Cómo N10 debe ser máximo, por lo tanto su CA deberá ser el más pequeño posible, luego x=1
capicúas de base “n”?
Luego: CA N10 111;N 889 Entonces: abcn 889 n2 889; n 29,7 Luego el mayor valor de la base será: n = 29
A) 6 D) 9
RPTA.: B
B) 4 E) 8
C) 7
RESOLUCIÓN
Planteando el enunciado.
454. Si:
21ab 24ab 27ab .... 69ab
11n 22n 33n ... n 1 n 1n 330n
es xyz63
1 n 1 2 n 1 3 n 1 ... n 1 n 1 3n n 1
Calcule: (a+b+x+y+z) A) 28 D) 26
2 cifras es 330 en
B) 27 E) 32
Simplificando tendremos: 1+2+3+4+….+(n-1)=3n
C) 24 Suma
RESOLUCIÓN 21ab 24ab 27ab .... 69ab
n n 1 3 n 2
de
es xyz63
naturales
2100 2400 2700 .... 6900 17 ab
n 1 = 6; n = 7 Heptanal
17#s.
RPTA.: C
9000 17 17 ab xyz63 2 Observando: ceros)
(otras
cifras
son
ab
ab 39 17 * 7 b .3;b 9 73 * 7 a 6 .7;a 3 9 63
4500 17 17 39 xyz63 X=7
17 4539 77163 xyz63
Y=7
a b x y z 27
Z=1
RPTA.: B 455. ¿En que sistema de numeración “n” la suma de todos los números
456. Halle la suma mínima de siguientes números que encuentran en P.A.:
los se
S = ab;ac; a 1 3; a 1 c;....; a 7 c De como respuesta la suma de cifras de S. A) 16 D) 21
B) 18 E) 22
RESOLUCIÓN
C) 20
ab;ac; a 1 3; a 1 C... a 7 c 5 b=3
amin 1
5
5 c=8
S
13 88 88 13 1 2 5
S
101 16 808 2
RESOLUCIÓN Desdoblando en dos sumas:
S1 134 136 138 ... 13100
Cifras de S=16 RPTA.: A 457. Si: aba8 ab8 ba8 ccdd8 Halle el valor de (a+b+c+d). A) 15 D) 18
B) 16 E) 19
C) 17
S1 7
9 11
… +103
103 7 103 7 S2 1 2695 2 2
S2 315 317 319 ... 3199 S2 16 22 28 ... 298 298 16 298 16 S1 1 7536 2 6
RESOLUCIÓN Ordenando:
aba8
S S1 S2 2 695 7536 10 231 RPTA.: E
ab8
459. Halle: “ a+b+c” si:
ba8 c c d d8 a b a 2d8 16 d
a1b9 a2b9 a3b9 ... a8b9 48c29 A) 16 D) 20
b=5
b a b 2 2d8 16 d d=3
B) 17 E) 18
C) 15
RESOLUCIÓN a1b9
a 2 CC8 9C
a2b9
c= 1 a=7 a + b + c + d = 16
RPTA.: D
. . .
a8b9 48c29 458. Halle la suma:
Unidades:
13 4 315 136 317... 13100 A) 2 895 C) 12 301 E) 10 231
B) 7 536 D) 10 321
º
8 b x29 8.b 9 2 b 7 Decenas: 89 6 42 4 9 6 c 6 2 Centenas:
8 a 4 489 8 a 40 a 5 a + b + c = 18
RPTA.: E 460. Halle la diferencia de las cifras de un número de 2 cifras; tal que la suma del número con el que resulta de invertir sus cifras, sea igual a la suma de todos los números de 2 cifras hasta el inclusive. A) 0 D) 1
B)4 E) 3
5 5 5 =125 Números
C. A. abc (9 a)(9 b)(10 c)
C) 2
RESOLUCIÓN
Planteando el enunciado: Nro. Inicial: ab
ab ba 10 11 12 13 ... ab
6 4
7 5
2
2
3
0
0
1
5
5 = 125
Números
Sumando: Unidades: 25 (9 + 7 + 5 + 3 + 1) = 625 Decenas: 25 (8 + 6 + 4 + 2 + 0) = 500
Centenas: 25 (8 + 6 + 4 + 2 + 0) = 500 55625
22=10+ab ab 12 3 = 12 9 Pide la diferencia b a = 1
RPTA.: D
461. Halle la suma de los C.A. de todos los números que tienen tres cifras impares.
a b c 1 1 1 3 3 3 5 5 5
6 4
22 a b 10 ab ab 9
RESOLUCIÓN
9
10 ab 11 a b ab 9 2
A) 55 6615 C) 45 625 E) 55 625
8
5
Nro. Invertido: ba
8
B) 55635 D) 55 525
RPTA.: E 462. Se realiza una reunión de Peruanos y Bolivianos para tratar con respecto a la agricultura, son 12 en total, los peruanos son más que los bolivianos, los peruanos llegan y se dan los buenos días mutuamente; los bolivianos lo mismo, pero los peruanos no saludan a los bolivianos y lo mismo los bolivianos, si en total se efectuaron 31 saludos ¿Cuál es la diferencia entre Peruanos y Bolivianos? A) 2 D) 5
B) 3 E) 4
C) 1
d=d c= d+r b=d+2r a=d+3r
RESOLUCIÓN P+B=12 Saludos Peruanos 1 P-1 2 P-2
Resolviendo
r 1 e 2
P 1 2 P
.
.
. . P-1
. . 1
a b c d e 6 7 8 9
Saludos Bolivianos 1 B-1 2 B-2 3 B-3 B 1 . . 2 B . . . . B-1 1
4 5 6 7
3 4 5 6
2 2 2 2
Si r 2 e 4
ab c de 119 7 5 4 No hay números
RPTA.: E
P² + B² (P + B) = 62 P² + B² = 74 7² + 5² = 74 75=2
464. Halle la suma de cifras de la suma de todos los números de la forma
RPTA.: A 463. ¿Cuántos números de la forma abcde existe, tales que: a b c d e y la suma de los cuadrados de las cifras de segundo y quinto orden es igual a la suma de los cuadrados de las demás cifras? (Las cifras a, b, c, y d forman una progresión aritmética). B) 5 E) 4
5 6 7 8
Solo hay 4 números
P 1 B 1 2 P 2 B 31 2 2 P P B B 62
A) 1 D) 9
e=2r
C) 6
a 3 b 1 2b 5 2 3
a 2 A) 15 D) 16
B) 14 E) 17
C) 13
RESOLUCIÓN UM M C b 1 a 3 a 2 2 3 1 3 0 3 4 1 5 5 7 6 9 7 5
x
D (2b)
U
2
5
(2)
5
8
=10
RESOLUCIÓN abcde;a b c d e a2 d2 b2 c2 e2.
d 3r
2
d2 d 2r d r e2 2
2
b = {1; 4} a = {3; 5; 7; 9; 11} Ordenado los productos parciales
U
10 (5) 1
D
10 (10) = 2
50
C
10 (1) 2
5
M
10 (25) = 5
UM
=
Si la factura total fue S/. 2213. Halle el número de relojes.
50+
=
A) 4 D) 7
Planteando el enunciado: “a” # de relojes 143 a + 91 b + 77 x c = 2 2 1 3 12 31
50
S=
C) 6
RESOLUCIÓN
5 0
10 (25) = 5
B) 5 E) 8
(1) +1
55 1 0 5 0
Cifras 16 RPTA.: D
*
º
Módulo de 7 : º
465. Si: A = 3k + 1 ; B = 3k + 2 Halle el residuo que deja expresión: E = [2A + 22B + 2³] entre 7 B) 2 E) 4
la
C) 3
2B
E = (2 + 2
RPTA.: B 467. ¿Cuál es el residuo de dividir: 666...666 (8) entre 13?
A) 2 D) 5
+ 8) 7
E = (2³)k . 21 + (2³)2k 24 + 1 º
B) 8 E) 9
C) 3
RESOLUCIÓN
E = (23k+1+26k+4+ 7 +1)
º
3a + 7 = 7 + 1 7m 1 a 3 m=2 ; a=5
102 cifras
RESOLUCIÓN A
º
º
DIVISIBILIDAD I
A) 1 D) 5
º
[( 7 +3)a+ 7 + 7 ] = 3 + 3 4 2 ¨
SEMANA 7
Calculando restos potenciales de base 8 respecto al módulo 13.
º
E = ( 7 +1)2 + ( 7 +1)( 7 +2)+1
Base 8:
º
E=2+2+1+ 7
80; 81; 8²; 8³; 84 1; 8; 12; 5; 1 1; 5; 1; 5; 1
º
E = 7 + 5 residuo = 5
RPTA.: D 466. Una importadora ha comprado relojes a S/. 143 c/u, lapiceros a S/. 91 c/u; pulseras a S/. 77 c/u.
Cada 4 cifras se anula: 102 4
2 25 6 6 6 ..... 6 6 6(8)
5 1
100 cifras = 0
º
n + 7 = 25 n = 18; 43; 68; 93 º
º
30 6 13 r
13 + 2 = 13 + r r=2
º
n 7 = 25 n = 7 ; 32 ; 57; 82 # términos = 8
º
RPTA.: C RPTA.: A
470. Si al dividir por exceso: º
468. Si: 43a43 es la suma de 83 números consecutivos, halle el valor de “a”. A) 1 D) 4
B) 2 E) 5
C) 3
RESOLUCIÓN
Sean los 83 números consecutivos: n41; ...; n1; n; n+1,...;n+41 Luego: n41 + ....+n+41= 43a43 83n = 43a43 º
83 = 43043 + 100a º
º
83 = 49 + 17a + 83 º
83 = 17a 34 a=2
RPTA.: B 469. ¿Cuántos términos son múltiplos º
de 25 ? 2; 5; 10; 17; .......; 10001 A) 12 D) 5
B) 9 E) 6
C) 8
RESOLUCIÓN
Término n ésimo: an = n² + 1 ; n = 1,...., 100 º
n² +1 = 25 º
n² + 1 50 = 25 º
(n + 7) (n 7) = 25
2304606902b31 con 23 no deja residuo, halle el valor de b. A) 1 D) 7
B) 2 E) 8
C) 5
E = [26n+3+9k.4k] entre 7?
RESOLUCIÓN Se tiene:
º
2304606902b31 23 2b31 º
= 23 + 2031 + 100b º
= 23 + 7 + 8b
B) 2 E) 5
RESOLUCIÓN
7 + 8b = 23 b=2
. 2³ + ( 7 +2)k.4k
º
RPTA.: B
por 10
A) 1 D) 6
B) 2 E) 7
º
E = ( 7 +1)( 7 +1) + 2k.4k
471. Halle el residuo de dividir: unac2008
2n
E = 23
º
3abc3
C) 3
E = 26n+3 + 9k.4k entre 7
Como el residuo es “0”
A) 1 D) 4
Ojo: 2k.4k º
º
= 8k=( 7 +1)
º
E = ( 7 +1)+( 7 +1) = 7 +2
RPTA.: B C) 5 474. Sea: º
n! = 23 + 2;
RESOLUCIÓN unac2008
3abc3
...1 ...3
º
(n+1)! = 23 + 6 ¿Cuál es el residuo de (n+3)! entre 23?
4k
k
= ...1
A) 3 D) 12
º
= 10 + 1
B) 6 E) 13
C) 5
RPTA.: A 472. Halle el residuo de dividir:
RESOLUCIÓN
nm
abba2 cde14 fgh36 por 2. A) 0 D) FD
B) 1 E) N.A.
RPTA.: Cç
C) 0.1
475. ¿Cuántos términos de la serie: 4; 11; 22; 37; 56; ....(100 términos)
RESOLUCIÓN
º
nm
E = abba2 cde14 fgh36 ; a = 1 , b=0
son: ( 13 +1)? A) 14 D) 8
º º º = 2 1nm 4 1 6 3 º º º = 2 1 2 1 2 3
B) 15 E) 12
º
= 2 +3 E
º
= 2 +1
RPTA.: B 473. ¿Cuál es el residuo de dividir la siguiente suma:
RESOLUCIÓN
Sucesión de 2º orden:
C) 9
c=
1
a+b =
4; 11; 22; 37; 56;... 3
2a =
4
a=2 ;
7
11 4
15 19
A) 7 D) 2
B) 3 E) 1
C) F.D.
RESOLUCIÓN
4
4 columna secundaria b=1 ;c=1
135ab1 base 11 º 11 3
ab1
º
11 r
º
º
11 3ab1
11 r
º
2n² + n + 1 = 13 + 1 º
Restos potenciales de impotencia 3 con respecto al módulo 11.
º
n(2n+1) = 13 ; n = 13 k #s: {13; 26; 39; 52; 65; 78; 91} (7 nros) #s: {2n+1= 13; 6; 19; ...97} (8 nros)
30; 31; 3²; 3³; 34; 35 1; 3; 9; 5; 4; 1 º
º
11 3ab0 31 11 r
Total de números 7 + 8 = 15
RPTA.: B 476. Halle “a” si (a+b) = 6, además:
º
º
k
11 35 3 11 r º
º
º
11 +( 11 +1).3 = 11 +r º
aabbaabb...ab5
1334
11 9
y el
º
11 + 3 = 11 +r r=3
RPTA.: B
exponente tiene 88 cifras. A) 3 D) 6
B) 4 E) 2
478. Halle el resto de dividir E entre 7:
C) 5
E 1426 1425
RESOLUCIÓN
A) 2 D) 1
++ º
1334 = 11 +3; calculando restos potenciales. º
º
º
º
( 11 +3)5k+b =( 11 +3)5k( 11 +3)b= 11 +9 º
º
º
º
1424 1423
B) 6 E) 5
21
C) 3
RESOLUCIÓN E = 1426
Impar
º
º
º
= 7 +r º
( 7 2)Impar = 7 +r
=( 11 + 35k)( 11 +3b) = 11 +9
º
º
7 2k = 7 + r
=( 11 +3b) = 11 +9 b=2 ; a=5
RPTA.: B
K = múltiplo de 3 k = 3n º
º
º
7 23n = 7 1 = 7 + r º
477. Si el número 135
ab1
º
7 +6= 7 +r r =6 Residuo = 6 se convierte
en base 11. ¿Cuál será la cifra de unidades del resultado?
RPTA.: B
479. Halle (d+u), si el
número º
la
de
RESOLUCIÓN
º
forma: mcdu 11, tal que md 7
2 ; 6 ; 12 ; 20 ; 30 ; .... 14762
y m + c + d + u = u² A) 9 D) 15
B) 13 E) 45
1x2; 2x3;3x4;4x5; 5x6; ....;121x122
C) 12
(por dato en base 5 acaba en 1)
RESOLUCIÓN º
º
tn = n (n+1) = 5 + 1 ; n= 1,2,...,121
º
mcdu 11;md 7;m c d u u² u² =16 ++ 31 u² = 25 u² = 36
º
n² + n = 5 + 1 + 5
º
n² + n 6 = 5 º
(n+3)(n2) = 5
º
c + u (m+d) = 11 ;
Luego: º
para u = 4
º
º
n+3= 5 n= 5 3= 5 +2
º
c (m+d) = 11 4 .......... () º
3m+d = 7 .......................()
º
Para u = 4 m + c + d = 12 m + d = 12 c ..................() si: c = 4 m + d = 8 ........................() de () y () º
c = 11 + 4 c=4 de () y () m = 3; d = 5 d+u=9
º
n2= 5 n= 5 +2 n = 5k + 2 k = 0; 1; 2; ....23 n 121
24 valores
RPTA.: B 481. En una fiesta infantil el payaso “POPI” juega con un grupo no más de 150 niños y observa que si los agrupa de 7 en 7 le sobran 5 niños; si los agrupa de 4 en 4 le faltaría un niño para formar un nuevo grupo y si los agrupa de 9 en 9 le sobran 2 niños. Calcule el número de niños que hay en dicha fiesta.
RPTA.: A A) 42 D) 122
480. ¿Cuántos términos de la siguiente sucesión: 2; 6; 12; 20; 30; ....;14762 al expresarlos en base 5, resultan que su cifra de menor orden es 1?
B) 130 E) 56
C) 47
RESOLUCIÓN # niños (N) 150 º
N = 7 +5 º
N= 4 +3 º
A) 12 D) 42
B) 24 E) 28
N= 9 +2
C) 36
º
º
N = 4 + 11
N = 9 + 11
º
N = 36 +11 = 36 k + 11
k=1;2;3 N = 47; 83; 119
º
M = 36 = 36y 105x + 36y = 528 4 3
Pero: º
N= 7 +5 N = 47
2(420) Vlentes 15 56 3(108) M 81 lentes 4
RPTA.: C 482. En una conferencia a la que asistieron 528 personas; se sabe que de los varones: la tercera 2 parte usan corbata; los usan 15 3 lentes y los llevan saco. De las 7 mujeres se sabe que: la sexta 3 parte usa minifalda; las usan 4 2 lentes y las tienen ojos azules. 9 Calcule el número de personas que usan lentes. A) 137 D) 420
B) 56 E) 48
C) 81
Personas con lentes: 137
RPTA.: A 483. Un comerciante va a la “Galería Gamarra” con S/. 3060 para comprar polos, camisas y pantalones de precios unitarios iguales a S/. 15; S/. 24 y S/. 60 respectivamente. Si entre pantalones y camisas debe comprar más de 10 prendas. Calcule cuántas prendas en total compró; si la cantidad de polos fue la mayor posible; además compró al menos uno de cada uno y empleó todo su dinero.
RESOLUCIÓN
* * *
* * *
# personas = 528
A) 183 D) 184
B) 172 E) 195
De los varones (V): º V usan corbata = V3 3 º 2 usan lentes = V V 15 15 º 3 llevan saco = V V 7 7
RESOLUCIÓN
C) 163
Artículo: camisas; polos, pantalones 24 ; 15 ; 60 Nº artículos x ; y ; z Máximo
Precios Unitarios
x + z > 10
º
V = 105 = 105x De las mujeres (M): º M usan minifalda = M6 6
Luego: 24x + 60z + 15y = 3060 ........() º
º
º
Por 5 : 24x + 5 + 5
=
º
5
º
usan lentes = 3M/4 M = 4 º 2 tienen ojos azules = M M 9 9
24x = 5 x = 5 xmin = 5 en()
24 5 + 60z + 15y = 3060 20z + 5y = 980 4z + y = 196
Zmin = 6 ymax = 172 x + y + z = 183
1 2 3 4 71 72 3.71 214
3 x 71 x 2 = 426 71 x 4 = 284 72 x 3 = 216 214
c c c c
= = = =
4 2 2 2
RPTA.: A cdu = 426
484. El residuo de dividir el número
RPTA.: D
143
657 entre 25 es ab . Calcule el resto de dividir dicho número entre a b A) 1 D) 4
B) 2 E) 5
486. Halle el mayor número abc , tal que: 1492abc al ser dividido entre 40, deje como residuo 24.
C) 3
A) 996 D) 995
RESOLUCIÓN 143
657
º
= ( 25 +7) º
Sabemos que:
143
= 25 + 7 º
º
º
1492 = 40 + 12
= 25 +(7²) 7= 25 +( 25 1) .7 71
º
71
º
= 25 +( 25 171)7 º
º
Aplicando el Binomio de Newton:
º
1492abc 40 12
= 25 + 25 17 = 25 7 º
º
67143 = 25 +18 = 25 + ab ab = 18
º
º
º
º
RPTA.: A
P c 2 d 1u 3 B) 316 E) 441
C) 213
º
12abc 40 2 4
º
º
º
º
º
º
121 4 40 12
RESOLUCIÓN
122 4 40 24
o
cdu c 2 d 1 u 3 c 2 d 1 u 3 k
123 4 40 8
cdu cdu 213 k 213k k cdu cdu
124
3.71.k= cdu k 1 Dando valores obtenemos: (k1)
k
cdu
º
Determinando los restos potenciales de 12 respecto al módulo 40, hallamos como valor del Gaüssiano cuatro, entonces el abc exponente deberá ser múltiplo de cuatro, más aquel exponente del grupo periódico que deja resto potencial 24.
485. Halle el menor valor de N = cdu , sabiendo que es múltiplo de:
A) 214 D) 426
abc
1492abc 40 12abc 40 24
657143=( 8 +1)143= 8 + 1143= 8 +1 r=1
C) 989
RESOLUCIÓN
º
143
B) 249 E) 998
º
º
40 16 º
abc 4 2 además, como debe ser el mayor posible abc 100 0 1000 2 4k + 2 < 1000 k < 249,5 4
kmáximo = 249 abc 4 249 2 998
0
999 a 999 b 7 0
RPTA.: E SEMANA 8
DIVISIBILIDAD II
La diferencia: 999(7) 6993
487. La suma de trece números enteros consecutivos es de la forma 4 a 9 a . Halle el mayor de los números. A) 363 D) 375
B) 368 E) 374
RPTA.: E 489. Si: 0
abc 11 0
C) 369
bac 7 0
cab 5 Calcule el menor valor de: (a + b + c)
RESOLUCIÓN
De la condición:
N 6 N 5 N 4 ...... N ...... N 5 N 6 4a9a
A) 16 D) 12
Efectuando la suma indicada:
RESOLUCIÓN
13N 4 a9 a
B) 10 E) 14
0
0
0
0
0
bac 7 2 b 3 a c 7 0
cab 5 b 5
0
1 4 4 a 3 9 1(a) 13 a = 7 13 N = 4797 N = 369
De las ecuaciones: a + c =5 0
RPTA.: D 488. Si un número de 4 dígitos donde sus 3 últimas cifras son iguales se le ha restado otro que se obtuvo al invertir el orden de las cifras del primero. Si la diferencia es múltiplo de 7. Halle la diferencia. B) 1 554 E) 6 993
RESOLUCIÓN 0
abbb bbba 7 Descomponiendo
C) 2 331
0
3a c 7 3 2a 7 1
a + b + c = 3 + 5 + 2 = 10.
a=3 c=3
El mayor número: N 6 375
A) 777 D) 4 662
C) 15
abc 11 a b c 11
4 a9 a 13
999(a b) 7 a b 7.
RPTA.: B 0
490. Se cumple: mnp 22 0
pnm 7 0
mp 9 Calcule: m x n x p A) 72 D) 126
B) 81 E) 162
RESOLUCIÓN
C) 90
0
mnp 22 p : par; m
5
0
n
p 11
(+)(-)(+)
0
b c b 5 99
1 (10) 1 (10) 1 0
0
m n p 11…………………………… 1
5 10b c 10b 5 99 0
10 20b c 9 9
0
pnm 7 ;
4 9
231
9 8 0
0
2 p 3n m 7 …………………………... 2
Hay 2 números 4 95 .
a b c b a
0
mp 9
0 0 1 0
m p 9 ; p: par. m p 9 …………………………………
1 1 2 3
2 2 3
. . .
3 en 1
. . . . . .
9 - n = 11
9 9 9
n=9
10 10 9 900# s.
3 en 2 0
0
9 p 27 7
Números que no son 4 95 900 - 2 = 898
0
p 36 7
RPTA.: D
p=6
º
m=3
492. Si: 1185 a2 47 6 032 0 0 0 19! Halle “a”
m n p 3 9 6 162 RPTA.: E
A) 4 D) 7
B) 5 E) 8
C) 6
491. ¿Cuántos números capicúas de 5 cifras no son múltiplos de 495? A) 872 D) 898
B) 890 E) 899
ab c b a 4 95
RESOLUCIÓN 0
RESOLUCIÓN 0
C) 896
0
5 0
99
El criterio más preciso es 9 ; porque se analiza todas las cifras. Tendremos
0
19! 9
A) 50 D) 56
0
1 1 8 5a2 4 7 603 2000 9
B) 52 E) 58
C) 54
0
a39
RESOLUCIÓN
a=6
0
Como 364 = 7
RPTA.: C
493. Halle: n x p si:
º
abcd 7
abcd 364 d a 2b 3c … 1
0
x8 n 5 nx 25 y
1231 - + 7 d a 2b 3c 364(d a 2b 3c)
0
n 5 ppxp 7
0
0
A) 15 D) 18
B) 16 E) 20
C) 17
0
7 363 d a 2b 3c (d a 2b 3c) 7
d a 2b 3c 21 en 1 abcd 364 21 7644
RESOLUCIÓN
a=7 b=6 c=4 d=4
0
x8 n 5 nx 25 0
n 5 pp x p 7
Verificando:
n5 1 ;n 6
d-a+2b+3c = 4-7+12+12=21 ab + cd = 7 x 6 + 4 x 4 = 58
RPTA.: E
0
495. El número de la forma: a a0 b b c al ser dividido entre 4; 9 y 25 deja como residuo 2; 4 y 7 respectivamente. Halle “a”.
Criterio: 25 0
nx 25 ; n 7 0
7x 25 ; x 5 0
A) 6 D) 2
2 ppxp 7 º
Criterio 7 0
B) 4 E) 0
RESOLUCIÓN
2 pp5 p 7
M a a0 b b c
31 231 - +
0
4 2
0
3p 15 p 6 7
C) 3
0
0
M
9 4
2p 9 7 p + n + x = 18
0
25 7 RPTA.: D
494. Sabiendo que:
Por lo tanto:
abcd 364(d a 2b 3c) .
Halle la expresión: ab cd
0
0
4 2 80 4 82 M
º
0
25 7 75 2 5 82
497. ¿Cuántos capicúas de 4 cifras son divisibles por 99 pero no por 15?
Propiedad:
M m.cm.(4;25) 82 0
A) 8 D) 7
M 100 82 entonces:
B) 9 E) 11
C) 10
RESOLUCIÓN 0
b=8
0
Sea: abba 99 15 a 5
aa0b b c 100 82 c=2
*
Caso 1 ab ba 99
a + b=9 9 0 8 1 7 2 6 3 4 5 3 6 2 7 1 8 Hay ocho números
0
aa0 8 8 2 9 4 0
2a 9 4 0
a 9 2 ; a = 2 RPTA.: D 496. Halle el residuo que se obtiene al ab 5
dividir: ab1ab 4 A) 2 D) 1
Entre 11.
B) 3 E) 6
C) 4
*
RESOLUCIÓN
0
M a b 1 a b 4 11
Caso 2 ab ba 189 a9 b= 9 Hay un número Rpta. 9 números
RPTA.: B
- +- +- +
4 a b a 1 b 11 0
0
11 3 ab5
M
º 11 3
ab5
º
11 3ab5
B) 6 E) 4
C) 7
0
5 6 7 8 9 10 11 12 … 98 99
0
= 11 99 98 ... 10 56789
0
= 11
3 11 3
0
32 11 9
0
33 11 5 4
A) 5 D) 2
el
RESOLUCIÓN
Gaus: modulo: 11 1
498. Halle el residuo de dividir número 5678…979899 con 11.
99 10 90 5 7 9 6 8 2
0
0
= 11 109.45 7
0
= 11 6
3 11 4
0
35 11 1 Cada vez que la potencia de 3 es múltiplo de 5 el residuo es 1.
RPTA.: D
RPTA.: B
499. Halle el residuo de dividir el número 13579…959799 con 9. A) 6
B) 7
C) 3
D) 1
E) 0
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
1 3 5 7 …. 95 97 99
a53b72c4 8
2 c 4 8 8 2c 4 8
0
0
0
421
9 1 3 5 ... 99
(Criterio de divisibilidad) 0
0
*
= 9 50 (Suma de números impares)
*
-+-+-+-+ 0 0 a53b 7 2 c 4 11 10 55 11 65
*
a53b 72 c 4 9 2 63 9 65
a53b72c4
2
0
= 9 25 0
c = 2; 6
0
0
0
9 7
a5 3b 72 c4 99 65 RPTA.: B
500. Halle el resto de dividir el número:
N 321aaa321aaa4 Entre 7.
0
a5 3b c4 7 99 99 2 198 Si c 6 b 2 ; a 9
a b c 17
RPTA.: E A) 1 D) 4
B) 2 E) 0
C) 3
502. Se sabe que
mnpq mnpq
m
7
RESOLUCIÓN
n
7
N = 321 aaa
321 aaa(4)
3
4
N = (57) (21a) (57) (21a)(64)
N 57 644 21a 642 57 64 21a 0
0
0
0
mnpq
p
7
0
11 5 0
11 4 0
11 2
Calcule el residuo de dividir N
entre 11. Si N mnpq7
N 57(7 1) 4 7 57(7 1) 4 7 0
0
A) 5 D) 2
N 7 57 57 7 114 0
0
0
N 7 (7 2) 7 2
N 7 r 2 RPTA.: B 501. Se tiene el numeral a5 3b 7 2 c 4 es divisible por 8 y que al ser dividido entre 11, el residuo es 10; y al ser dividido entre 9 el residuo es 2. Halle el mayor valor de: (a + b + c). A) 10 D) 16
B) 12 E) 17
C) 14
B) 3 E) 1
mnp 4
C) 8
RESOLUCIÓN N mnpq7
mnp 4
descomponiendo:
mnp 4 16 m 4n p
N mnpq7 mnpq7 mnpq7 16 m
4n
p
mnpq mnpq
m 16
N mnpq7
16
0 N 11 5
n 4 7 4
p 7
º 0 11 4 11 2
0 0 0 N 11 516 11 44 11 2
0 0 0 N 11 5 11 3 11 2
0
RPTA.: D
0
N 11 30 11 (33 3) 0
N 11 3
505. Calcule “a x b”; si 4 a056 7b 9
Resto: 3
es divisible entre 10 y al ser dividido entre 8 el resto es 2.
RPTA.: B
A) 4 D) 21
503. Halle el residuo de dividir con 10
66...66 el número 7 mnp00 cifras A) 0 D) 6
abc
*
66...667 mnp00cifras
abc
abc
66...667 mnp00 cifras
66...667 mnp00cifras
7
...1
k
1
4 a056 7b9 8 2 a b 22 8 2
a b 20 8 a b 4 ó 12
k
abc
1
...0
504. ¿Cuántos valores puede tomar “a” si el número aaa.............aa9 16 cifras es divisible entre 8?
RESOLUCIÓN 16 cifras
0
0
Para a b 12 b=7 b a 2a = 5
a b 35
C) 6
de
506. Un animalito va de “A” hacia “B” dando saltos de 15 cm y regresa dando saltos de 16 cm. Después de haber recorrido 1,22 m se detiene. ¿Cuánto le falta para llegar al punto A? A) 48 cm. B) 42 cm. C) 52 cm. D) 58 cm. E) menos de 40 cm.
RESOLUCIÓN
15
15
0
N aaa...aa 9 8
0
0
8 16 a 8 : se cumple para todo “a” a = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 a toma 8 valores
0
abc
abc
B) 4 E) 7
I
RPTA.: C
RPTA.: A
A) 2 D) 8
*
;mnp00 4
abc
66...667 mnp00cifras
abc
4
ba2
0
abc
abc
7mnpoo 1
74k 1
0
4 a05 6 7b9 10 b a 2 18 +-+-+- +
C) 3
RESOLUCIÓN
C) 35
RESOLUCIÓN
B) 1 E) 8
66...667 mnp00cifras
B) 15 E) 5
…... …
15 16 16
15a 16b 122 0
Modulo 3
0 0 0 3 3 1b 3 2
0
b 3 2
k = 0 ; b = 2 (sí)
b 3k 2
k = 1 ; b = 5 (No) Reemplazando:
15a 16(2) 122 122 32 90 a 6 15 15
La distancia de A a B es: 16(6) = 90 cm Falta: 90 16(b) = 58
RPTA.: D 0
507. Si 333... 41 . Con “n” mínimo.
508. Un niño si cuenta sus canicas agrupándolas de 5 en 5 le faltan 2 canicas; si las cuentan de 6 en 6 le sobran 3; y si las cuentan de 8 en 8 le faltan 5; por lo que decidió agruparlos de 9 en 9, así no le sobra ninguna canica. Si la cantidad de canicas se encuentra entre 400 y 650. ¿Cuántas canicas tiene el niño? A) 438 D) 485
Sea “N” la cantidad de canicas que tiene el niño: 0
5 3 0
N 6 3 0
8 3 0
A) 8 D) 16
B) 12 E) 10
C) 14
5 cifras.
0
N MCM (5;6;8) 3 120 3 Entonces:
N 123; 243; 363; 483; 603........
RESOLUCIÓN 33333
C) 483
RESOLUCIÓN
"n" cifras
¿Cuál será el residuo por exceso que se obtiene al dividir entre 26 al menor número de 5 cifras diferentes de la base n?
B) 480 E) 603
41
0
Pero: N 9 400 N 650
813
Menor número de diferentes en base 5:
5
cifras
El niño tiene 603 canicas. RPTA.: C
0
10234 5 26 r Descomponiendo:
1 54 0 2 52 3 5 4 694 694
26
674
26
509. ¿Cuál es la suma de las cifras del mayor número entero de tres cifras, tal que si se le resta la suma de sus tres cifras el resultado es divisible por 13? A) 26 D) 23
18 Por defecto = 18 Por exceso = 8
B) 20 E) 24
RESOLUCIÓN RPTA.: A
C) 15
0
abc a b c 13
431 0
+ 5a 4b 13 a=9 b=5 c=9
a b c 9 23 RPTA.: D
510. ¿Cuántos números de dos cifras hay, que al elevarse al cuadrado y al ser divididos entre cinco dejan resto cuatro? A) 18 D) 45
B) 48 E) 36
C) 32
RESOLUCIÓN 0
0
5
5
0
ab 5 1
ab
0
2
0
51 0
5 2
ab
0
ab 5 2
5 4 ó
0
ab 5 2
12; 17; 22; 27; ……..; 97
18 valores
13; 18; 23; 28; ……..; 98
18 valores
Existen36números RPTA.: E
