2 E 3 0,125 3
1.
Efectuar:
20,6
1
E 27
31
A) 3 D) 1
*
36
4 22 3
B) 6 E) 0
1
273
1
4 *
1 3
3
4 3 E 1 1
2.
21
B) 6 E) 5
C) 4
C) 2 0, 6
*
362
1
*
22
6
1
9
1
1 E 3 8
6
1 4
3
1 23
E 8
23
2 23
2 3 2
2 3
3 82 4
Simplificar: 2 5 4 3 E 27 27 3 2 3
A)
2
B)
3
D) 3
3
0,2 0,2
1 625
C) 2
2
2 3
3 2
Calcule:
0,2
243 32
1 16
A) 21 D) 24
32 E 243
Efectuar: 0,5
1 1 2 3 9 27 5 1 1 * 27 3 5 3 243 27 1 4 * 3 81 0,2 0,2 1 1 2 27 1 6 E 9 243 81 243
E
4.
E) 1
* 27
3.
A) 8 D) 2
0,2
2 5 10
3 2
1 9
1
42
0,51
0,25
B) 22 E) 25
1 4
1 2
1 1 1 625 9 4 4 625 9 4² 4²
C) 23
2
5 + 3 + 16 = 24 5.
Para n ; n 2 el equivalente de la expresión n² a a² a² a³. a³...a ..an n a a³ a³ a5...a ...a2n1 será:
A) a D) a
B) a² E) n a
C) 0
n n3
2 E 3 0,125 3
1.
Efectuar:
20,6
1
E 27
31
A) 3 D) 1
*
36
4 22 3
B) 6 E) 0
1
273
1
4 *
1 3
3
4 3 E 1 1
2.
21
B) 6 E) 5
C) 4
C) 2 0, 6
*
362
1
*
22
6
1
9
1
1 E 3 8
6
1 4
3
1 23
E 8
23
2 23
2 3 2
2 3
3 82 4
Simplificar: 2 5 4 3 E 27 27 3 2 3
A)
2
B)
3
D) 3
3
0,2 0,2
1 625
C) 2
2
2 3
3 2
Calcule:
0,2
243 32
1 16
A) 21 D) 24
32 E 243
Efectuar: 0,5
1 1 2 3 9 27 5 1 1 * 27 3 5 3 243 27 1 4 * 3 81 0,2 0,2 1 1 2 27 1 6 E 9 243 81 243
E
4.
E) 1
* 27
3.
A) 8 D) 2
0,2
2 5 10
3 2
1 9
1
42
0,51
0,25
B) 22 E) 25
1 4
1 2
1 1 1 625 9 4 4 625 9 4² 4²
C) 23
2
5 + 3 + 16 = 24 5.
Para n ; n 2 el equivalente de la expresión n² a a² a² a³. a³...a ..an n a a³ a³ a5...a ...a2n1 será:
A) a D) a
B) a² E) n a
C) 0
n n3
6.
n
n
n² nn1 a 2
n3 n2 nn1 n3 n n2 n 2 a a a
n n3 a2
n3 1 a2
1
a2 b 2 a1 b 1 P 1 1 y Q 2 b 2 a b a Halle P . Q, siendo b > a > 0
n
a
48 factores
A
B)
ba ab C) a b 2
Efectuar: 3
1
A)
E)
x 3 x 3 x...3 x x 3 1 ; x 0 x x x... x x
1
1
ab ab D) a b 2
1
b a
2
44 factores
A) x6 D) x7
A
3
B) x9 E) x7
x
48
x
44
ab 1 y Q ba ab b a ab 1 PQ b a ab b a P
C) x4
x 3 x
PQ
x16 2 A 11 x x
9.
A x7
D)
20x 1 Efectuar: 4x 2 22x 2 B) 3 E) 6
C) 4
20x 20 20x 20 x 4x 42 4x 41 4x 20 x x 5 5 10.
Si:
14 2
B) 14
C) 7
a b
E) 7a+b
14a 14b 14a 14b M 2 14a1 14b1 2 141 14 14a 14b 1 M 1 7 M 7
x
8.
2
Simplificar:
A) 14a+b
x
A) 2 D) 5
b a
14a 14b M b a ; si: a + b = ab a b 2 14 2 14
x18 A 11 x
7.
1
Si: a+b = 2ab ; {a;b}
-{0;1}
1 1 a b 1 a b
Reducir:
x y
A)
x2b
b 2a
y x
B)
y x
D)
x
a
y
1
Cambio de variable:
a 1 b
y
yy y y
y
x C) y
y
y
5
5
5
y y 5
5
5
1 y
E) 1
5
x
y
y
5
5
x 1 5 1
1
1
a b
1
x a yb x1 y1
12.
Si: x
x2
2 4x 2 x 1 Calcule: E x
1
1
1
x
1
a b
1
y
1 b 21 b1 x y
1
1
b 1
b
(*) a + b = 2ab
1
1
a b
2
1
x y
1
1
a b
A)
B)
2
D) 4
1 2 1 b b 2
x
al
2 2 x
x2
11.
1 Resolver x x el valor de: x1
1 2
A) D)
1
B) 5
5 5
E)
5 e indicar
C)
E xx E x
1
2x
x 4x
4x
2x
1 1 E 2 2
5
13.
Calcule “x” en:
x
x 2 12 x
x
2
1
1 2
x
E = x²
5
el dato
22 x 2 2
x1 5
C) 2
4
cuadrado
Luego: E x 4x 1
1
E) 5
Elevando m. a.m.
2
x y
2
1
4x2
4x
Ex
1 4 2
21 2 x 3
A) 27 D)
30
x
x27 60 x 51 60 54 x 60 x51 4 x7
xx
C) 9 3
B) 3 9
21
3
21 23 x 3 21 2 x
x
E) 3 20 15.
Trabajando con cada miembro. xx
n
x n x n x n.......() Luego:
2 x 3
23 x
Si: 52x = 2(10x) 4x
A) 236 D) 128
21 23 x
21 n 21
n 21
E
2 1
E
1 2
2 4 1 E 16
1 16
2
E = 16² = 256
x 93 16.
Reducir:
3
x²3 x 4 x7
D) x
2
Reemplazando:
Solo se verifica para: n = 27 x 27 33
B) x 1 2
C) 512
x = 0
n
A) x
4
5x 2x 0 5x 2 x
n n 21 2 3 n n 21
5
B) 256 E) 0
2
() en ():
14.
x 2 x
5x 2x 2 5x 2x 0
n
n
x 21
n 21
2 3 x n 21.............()
23
x105
7 4
Calcule: E
n
60
E) x
3 4 7 4
4
1 x6 x x²
Resolver: 1
5
x
C) x
5 4
3
2
x 1 x 2
A)
3
D)
5
2 2
B)
2
3
x3 x4 2 5
E) 4,5
C)
1
x 5 2 3
0
1 3 2 1 3 3 x x 1 x 3 x 5 x 1 x 4
d ax d bx d cx x x x bc ac a b
2 2x 5 3 2x 5 2x 5 x2 5x x2 5x 6 x 2 5x 4
d x 0 ab c
2 3 2 2x 5 x2 1 5x x 2 5x 0 6 x 5x 4 0
d ax bx cx d bx ax cx bc ac d cx ax bx d ax bx cx 0 ab ab c
2x 5 0
1 1 1 1 d a b c x b c a c a b a b c
5 x 2
0
17.
d = (a + b + c) x
Halle el conjunto de solución de la ecuación en “x”.
a b x a x b x ; a b a
A) B) {a} D) {a + b} E) {a b}
0
; b
x 0
C) {b}
19.
Calcule a + b sabiendo que la ecuación ax 1 x
b
Multiplicando por “ab”.
en
2
“x”
x 2
4
admite
infinitas soluciones.
a² (x a) + b² (x + b) = ab x a²x a³ + b²x + b³ = ab x
A)
(a² + ab + b²)x = a³ b³
1
B)
4
D) 3
(a²+ab+b²)x = (ab)(a²ab+b²) x = a b
18.
d abc
3
C)
2
2 3
E) 1
Cs = {a b}
Recordando que:
Resolver en “x”; {a; b; c; d} R+
ax + b = 0 tiene infinitas soluciones, si y solo si: a=0 b=0
d ax d bx d cx d 4x bc ac ab ab c
A) 1 C)
d abc
E)
B) d D)
a 2b 3c d
a x 1 x b b 4
a b
1 4
1 2
x2
1 1 x b
1 2
0
2
0
0
a b
1
a b
5
b
2
4
1
1
1
4
b
ab
9 6
2
2
4
6
5 9 8 22
2
5 6
21.
3
2
5 3 2
3
a
3
b
1
2
Sea el polinomio: P(X) = (xn1 + 2xn2 + n)n, si 2n veces su término independiente es igual a la suma de sus coeficientes, entonces “n” es:
20.
Resolver la ecuación x 2 x 3 x 3 5 2 5 2
A) 1 D) 4 5 3
x
5
3
2
T.I. = P(o) = nn coef = P(1) = (1 + 2 + n)n 2n . nn = (3 + n)n 2n = 3 + n n = 3
4
x 5 2
6
A) 22 D) 5 3
22.
B) 25 E) 7
C) 3 2
A) 8 D) 11
x
2
3
Pero nos piden:
1 23.... m
M x x
0
5
xm
B) 9 E) 12
m
1 1 1 2 3 5 0 2 5 2 3 3 5
m
se transforma a una expresión algebraica racional entera de 5to grado.
5
x 5 1 0 2 3
Calcule “m” si la expresión:
Mx m x m x² m x³
x 2 x 3 1 1 3 5 2 5
x
C) 3
3
luego indique el valor de: x 3 2
B) 2 E) 5
M X x
m1 2
m = 9
x5
C) 10
m
x
m 1 m 2
23.
Calcule “n” para que el monomio sea de 2º grado. n 2 3
Mx
x
x n 2
x
A) 4 D) 8
4
x4
C) 6
2
x10n4 4n8 x
B) 1 E) 7
C) 2
E = 3² 3(3) + 1 + 1 3 + 1 E=0 26.
Del siguiente polinomio
P(x; y) = 7xa+3yb2z6a+5xa+2yb3za+b en donde: G.Rx G.Ry = 3 G.A(P) = 13 Calcule: a + b
M(x) = x6n 22 = x2 6n 22 = 2 n = 4
24.
Si: P(x+5) = x² 3x + 1 Calcule: E = P(8) + P(6) A) 0 D) 3
2
B) 5 E) 9
x3n62n3 x4 Mx 2n 4 2 x
2
x
2n3
25.
A) 6 D) 11
a b c ab b c ac Halle el grado absoluto de:
B) 7 E) 12
C) 8
Si:
E x;y;z
ab2 c2
2
G.A(P) = a+b+1
x9a y8ac z8bc
transformable a una E.A.R.E. A) 3 D) 7
G. RX = a + 3 G. Ry = b 2 a + b = 12
B) 4 E) 8
27.
C) 5
Sea P(x) un polinomio lineal tal que verifica la relación P Px P6X 9x 21 Para todo valor de “x”. Halle P(4)
El G.A. =
de la condición: a b c k ab b c ac
A) 17 D) 32
9a² 8ac 8bc ..... a b ² c²
Propiedad de proporciones: ab c 1 2 a b c 2 a 1 abck ab 2
C) 19
Sea P(x) = ax + b P(6X) = 6ax + b P(P(x)) = a(ax+b)+b = a²x+ab+b Luego: a²x + ab + b 6ax b = 9x+21
(a² 6a)x + ab = 9x + 21
a² 6a = 9 ab = 21
Lo reemplazamos en “”
9a² 8a² 8a² 25a² G.A. 5 4a² a² 5a²
B) 18 E) 33
(a3)² = 0
a=3
3b = 21 b=7 Entonces: P(x) = 3x + 7
P(4) = 3(4) + 7 = 19
28.
Calcule
“n”,
si
monomio es 6.
el
Además P(P(x)) es independiente
z2n3 5 16 w
B) 13 E) 10
C) 14
2n 4 2n 3 2n 16 6 4 3 5 5
n = 12
4to. grado M x x n x2 B) 3 E)
Mx x Mx x
2n
x
31.
6n
x
8n
1 n =
8n
1
1 8
Si: P P P x 27x 52 A) 1 D) 5
B) 4 E) 1
C) 4
Como
P P P x
1 1 1 2 n 6n
es
lineal,
entonces: P(x) es lineal. Luego P(x) = ax + b P(P(P(x))) = a³x + a²b + ab + b 27x + 52 = a³ + a²b + ab + b
7 = 21n 1 3
n 8 x 65
Calcule: P(1)
1 1 1 4 2 n 6n 3n + 6 + 1 = 24n
n =
n2 1 x n 8
C) 2
1 3
x²
3
E) 5
1 8
64n² + 16n + 1 = 0
Calcule “n” si el monomio es de
1 2
D) 8
C)
cumple: n² 1 n 8 65n² + 65 = n8 65 n² 16n + 64
46n = 552
D)
B) 8
como es independiente de “x” se
30n 60 + 40n + 60 24n 192 = 360
A) 1
A) 1
P px
46n = 360 + 192
29.
nx 1 x8
3
x2n4 M x;y;z;w 5 y2n
G.A. =
del
Si: Px
de “x”. Calcule “n” 4
A) 12 D) 11
G.A.
30.
a=3
b=4
P(x) = 3x + 4
P(1) = 3 + 4 = 1
34. 32.
Halle la suma de los valores de
Sea P(x) = x³ + 3x + 3x² + 1 Calcule: P(P(1)) + P(P(1))
“n” que hacen que la expresión:
A) 0 D) 729
n 1 Px 2xn3 73 x x7n 6 sea 3 racional entera.
A) 7 D) 12
B) 8 E) 13
n 3 n 3 n = 3 n=6 n 3 0
n=3
C) 9
7n 0 n 7
35.
completo respecto de “x” e “y”.
n=6
Calcule: 2a + b + 3c A) 17 D) 16
2xn5ym4 son semejantes. Calcule el menor valor de m + n.
36. B) 3 E) 13
Si el polinomio en “x” e “y”
P(x, y) = 5xa + 3xbyc + 2xcyb + ya es homogéneo ordenado y
Sabiendo que: P x;y 5xm 2yn²5 Q x;y
A) 1 D) 8
C) 728
P(x)= (x+1)³ P(1)=0 P(P(1)) = 1 P(1) = (2)³ = 8 P(P(1)) = P(8) = 9³ = 729 P(P(1)) + P(P(1)) = 1+729 = 730
de " n" 9
33.
B) 3 E) 730
C) 5
B) 13 E) 18
C) 15
Por ser ordenado y completo: a = 3; b = 2 y c = 1 2(3) + 2 + 3(1) = 6 + 2 + 9 = 17 Calcule “m” si el polinomio n 2n Px 7xn 8n 6x n1 5x2n2
xn1 ... xm²m3 Si: P(x; y)
es completo y ordenado; en forma ascendente; de 4nn términos.
Q(x; y)
m 2 = n + 5 m n = 7 ....() n² + 5 = m+4 n²m = 1 ...() + : n² n 6= 0 n = 3 n = 2
A) 4 D) 7
B) 5 E) 8
Es ordenado ascendente: Luego: n=3 m = 10 n = 2 m = 5 menos: m + n = 3
C) 6
en
forma
n2n 8n = 0 n = 2 Luego: Px 7x0 6x 5x² x³ ...xm³m3 El número de términos es:
37.
P(x) = (3x 1)n+5x + 1; además la suma de coeficientes es 70. Calcule el valor de: 10 n
m² m + 3 + 1 m² m + 4 = 4nn m² m + 4 = 16 m² m 12 = 0 m = 4
A) 6 D) 12
Halle a y b en la identidad: b4ax7 bby8 abx7 aay8 A) 1 y 3
B)
1 1 C) y 2 4
C) 4
coef P 1 2n 5 1 70
1 1 y 2 3
2n = 64 n = 6 10 6 4
1 4
D) 1 y
B) 5 E) 3
E) 0 y 1 40. aa = bb b a
a b ... ab = b4a b = 2a 1 1 a = b 4 2 38.
A) 1 D) 25
D)
1 2 1 E) 3
B) 2 3
C)
C) 27
“x” (coeficiente principal = 1)
7 Halle: “n”, si: P(3) = 8 1 3
B) 4 E) 16
Por ser mónico y de una variable
Siendo: P(xn + 1) = x 1
A)
Dado el polinomio mónico P(x) = 5x4 7ax5 + (n2)x74x 1 Calcule el valor de: n n
(n 2) = 1 n = 3 Luego nos piden: nn = 33 = 27
41.
x2 y2 3x y , halle Si y x
1 2
4
xn + 1 = 3 xn = 2 x = n 2 Luego: P(3) = n 2 1
7 8
1 1 2 2n 23 8 1 n 3
39.
Sea P(x) un polinomio
x y yx W x y x 0, y 0 x y A) 16 D) 24
B) 23 E)161 / 2
C) 42
n
x3 y3 3xy x y x y3 3xyx y 3xyx y x y3 0
4
x y
42.
xx xx W x x 16 x x
B)306 E)196
3
3
3
x 6 y 6 z 36 xyz
6 x 6 y 3 6 z 3 x 36 xy 6 z y z x y z 2 36 xyz 2 x y z 2 xy xy yz 93 xyz
Si a a1 1 , halle W a12 a12 A)256 D)322
6
C) 343
93 xyz x y z 2 4 3 9 xyz x y z 24 16 W 3 9 xyz x y z 2 xy xz yz
a² 2 + a2 a² + a2 a4 + a4 a12 + a12 + 3(7) a12 + a12
43.
Si 8 m n 8 m p 8 p m 0,
=1 =3 =7 = 343 = 322
45.
x b c a y c ab z ab c
Si
m4n n2p 1 Halle W 4m 2n m p 1 m, np R
Halle:
A) mnp C) mnp
B)1 D) m n p
x2yz xy 2z xyz 2 W b c ac a ba b c a b c
E) 21
A)
x y
B) b c a
C) 2y z 8
mn 0 m n 8 mp 0 m p 8pm 0 p m
E) 1
w=1
W
44.
Si:
6
4
A) 161 D) 16
B) 32 E) 8
C) 18
1 abc
xyz x y z 1 xyz a b c
x+y+z=a+b+c
x 6 y 6 z 0, halle
93 xyz x y z , x, y, z R 0 W xy xz yz
D)
46.
Simplificar:
W
5
4
8 2 1 4 8 4 8 21
A) 343
B) 4 2
2 1
C) 32 2
D) 8 2
E) 32
D 2 12 1 22 1 22
2 12 1 2 2
. . . 2
24 8 2 8 2 1 2 f 4 8 2 1 24 8 2 1 2 f 2 4 8 2 1 f 2 2 f 2 5 W 2 W4 2 47.
Si xy
1
2
2N3
D
N
3
22 22 28
1 N1 n
2
2
1
4
1 2 1
2
2
2
12 1 4
2
8
N 28 1 D 28
1 . . . 2256 1
1
3 x y, halle
N 32 2256 28
x y 4 3x2y2 W 2 2 4x y A)11 D)4
B)7 E)8
C)-6
49.
A)1 D) 2 7
x y 3 y x x2 y2 3xy x2 2xy y2 5xy x y2 5xy x y4 25x2y2
W3 1
w
48.
Simplificar:
2 7 3 2 7 1 3 3 3 3
B)2 E) 2 3
C)3
2 7 2 7 3 28 1 3 1 W 27 3 3 3 3
W3 2 33
25x²y² 3x²y² 4x²y²
Operar: W 3 1
1 W 27
W3 2 W W3 W 2 W 1
1 322 124 128 1...2128 1 50. W n3 2 1 2 122 124 128 1...n fact 32
Si ab1 ac1 bc1 1 ,
A) 0,5 D) 0,25
B)2 E)1
C)4
Halle: W
a 1b 1c 1 , a 1b 1c 1
a, b, c 0 A)1
B)-1
C)2
D)
1 abc
52.
E) 21
W x 12 x 12 x2 1 x4 1 ... x1024 12 1 x2048 2 2 2
1 1 1 1 ab ac bc
Simplificar:
A)1 D)-2
a b c abc a b c abc 0
B) 0 E) 4096
C) 211
W= x 1 ² x 1 ² x² 1 ² x4 1 ²... abc ac bc c ab a b 1 W 1 abc ac bc c ab a b 1
ab bc ac 1 1 ab bc ac 1
W=
Si 1 a1x a y1 a1z a x y z ,
W=
W=
51.
W=
Halle: x1 y1 z1, x,y,z 0 W= A)a D) a2
1
B) a E)1
1
C) a
x z ax y z 1 a y 1 a a
a xa ya z a2 a x y z
a3 a2 x y z axy xz yz xyz a3 a2 x y z
x1024 1 ² 1 x2048 ² 2 x² 1 ² x² 1 ² x4 1 ²... x1024 1 ² 1 x2048 ² 2 x4 1 ² x4 1 ²... x1024 1 ² 1 x2048 ² 2 x8 1 ² x8 1 ².... x1024 1 ² 1 x2048 ² 2 x2048 1 ² x2048 1 ² 2
W = 2
53.
Si n a b c4 4ab bc ac a2 b2 c2 ab ac bc 2 2 2 y: a b c 8
Halle: n, a b c
axy xz yz xyz
A) 2 2
B)
xy xz yz 1 xyz a
D)4
E)8
1 1 1 a1 z y x x 1 y1 z1 a1
2 2
C)2
a2 b2 c2 x ab bc ac y n x 2y2 4yx y n x2 4xy 4y2 4xy 4y2 n x²
2
2
n a2 b2 c2 n 54.
a
2
() β
a2 b2 c2 2 8
Operar: W a b c a b c 6b a c b2 3
3
2
Si: b = 0,5 A)1 1 D) 16
B)2 E) 16
C)
b2 c2 a4 b4 c4 2 a2b2 a2c2 b2c2 ...( )
1 4
a2 b2 c2 2 a4 b4 c 4 2 2abcc b a a2 b2 c2 2 a4 b4 c4 4abca b c 2 a2 b2 c2 a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc2 Ε
3 4
W n b3 n b3 6bn2 b2
56.
W n3 3n2b 3nb2 b3 n3 3n2b 3nb2 b3
6bn2 6b3 W 8b3 3 1 W 8 1 2
b c 2ab ac bc 2
2
2
1
B)4abc E)abc
¿Cuál es el intervalo de valores de “”, de modo que la ecuación tenga 2x2 2(1) x 8 0, raíces de distinto signo?
1 , 2 C) ;2 E) 8; A)
Si a1 b 1 c 1 0; a, b c 0, Halle: a4 b 4 c 4 4abca b c E a b c4 A) 4abc D)2
a
2
0
a+c=n
55.
a2 b2 c2 2
C)1
B) 2; D) 6;2
1 x 4 0 0 2 2 1 16 0 , como c<0, se 2 presentan 2 posibilidades: 2 1 1 i) b 0 0 2 1 0
x 2
2
2
2
1 1 1 0 a b c bc ac ab2 02 b2c2 a2c2 a2b2 2abc2 2ab2c 2a2bc 0 b2c2 a2c2 a2b2 2abcc b a...() Además:
ii) b 0
1
2
2
2
0 2a 1 0
En este caso una respuesta seria 1 1 x ; ; 2 2 57.
Los valores de “x” que satisfacen
la ecuación:
1 2
x 13 x 3 x 6
2
tiene la propiedad que su suma es: A)-14 D)-2
B)-7 E)7
C)-9
I. Si la suma de sus raíces es igual a su producto, entonces b+c=0. II. Si una raíz es la negativa de la otra, entonces b=0. III. Si una raíz es doble de la otra, entonces 2b 9ac 2
x 13 x 3 2 x 3x 6 x 6 4 2 x 9x 18 4 x 9x 18 0 x 9x 14 x= -7No cumple 0 x 7x 2
2
2
2
2
A) Las 3 afirmaciones son verdaderas. B) Solo I y II son verdaderas. C) Solo I y III son verdaderas. D) Solo II y III son verdaderas. E) Solo II es verdadera.
x=-2 Si cumple Únicamente ecuación.
(-2)
satisface
la
b c S ; P a a I. x x x .x 1
58.
Sea A la suma de las raíces de ax bx c 0 y B la suma de las raíces a x 1 bx 1 c 0 , entonces B-A es: 2
2
1
2
b c b c 0 a a
(V)
2
A)-2 D)1
B)-1 E)2
II. x x , pero x x 1
2
2
2
2
2
2
2
b a
0
b (V)
b a b 2x x a b 3x a
III. x 2x x x 1
2
1
2
2
2
2
b 3a b 3a
x2
x 2
En la ecuación cuadrática: ax bx c 0 afirmamos:
b a
0
2
59.
2
x x
C)0
b c b x x 0S a a a 2 ax 2ax a bx b c 0 ax 2a b x a b c 0 2a b a b c x x 0 a a 2a b S a b b B A 2 2 a a
1
b x 9a
2
2 2
...........................(1)
2
2
b a
Luego: x .x 1
2
c a
c a
2x2 x2
c a
x
2
x 2 2
2 2
61.
c ...........................(2) 2a
De (1) y (2) b² c 9a² 2a 2b² = 9ac 60.
¿Cuál será aquel polinomio cuadrático de coeficiente principal 4, capaz de ser divisible por 2x 1 y que al ser evaluado en (2) toma el valor de 5? A) 4x2 4x 3 C) 4x2 4x 3 E) 4x2 4x 2
Si las ecuaciones cuadráticas: 2x m 1x 3 n 0 3x 3nx m 2 0 Son equivalentes, para m n R, calcule n.
B) 4x2 4x 3 D) 4x2 4x 2
2
Sea este Polinomio Px 4x2 ax b : Por condición: 4x2 ax b 2x 1.q'x
2
2
A)
23
D)
11
2 3
B)15
5
C)
1 1 4 a b 0 2 2
15 7
-a+2b=-2.............................(1)
E) 9
9
m1 3n 3n m2
De: 2(1)+(2)
m 4 9 3n 6n 3m 3
2
m
13
Además: 4x2 ax b (x 2)q''x 5 Entonces: 4(2)² + 2a+b = 5 2a+b = 11 .........................(2)
3n
: 5b=-15b=-3
En (2) :2a=-8a=-4 Conclusión: Px 4x2 4x 3
2
13 3n 3 2
6n 3
62.
n
6
39
9n 2
3
n 39 9n 6
12
n
15 7
¿Para
qué
valor
de
“m”
el
polinomio: x2 y2 z2 x2 y2 z2 mx2 yz es divisible por (x+y+z)? A) 4 D) -8
B) 2 E) -4
C) 1
En la base a la identidad:
Px a c (b c)x a bx 6x 2x es divisible por x 3x 1 2
3
2
x y z x y z mx yz 2
2
2
2
2
2
2
A) -2 D) -1360
x y z q'x,y,z Con: x=1 ; y=1; z=-2 evaluando: (1-1+4)(1+1-4)+m….(-2)=0 -8=2mm=-4
B) -34 E) 2720
C) 40
Por Teorema de divisibilidad Px x 1q'x R 0 Px x 1q' 'x R 0 Px x 3q' ' 'x R 0 Empleando Ruffini ( tres veces) 1
63.
Busque la relación que debe
2
existir entre “p” y“q” a fin de que
3
el polinomio: Px x3 3px 2q
-2
Resulte ser divisible por x a A) P q B) P q C) P q D) P.q 1 E) P q 2
3
2
2
1
3
-2 -1
2
1 3
-a
-a 1 -a
-a
-a 1 -2a
a 3ap a (a 3p) 3ap 2q a 2a R 0 3a 3P 2
-2
-8
a+b-8
-8
(c+a) a+2b+c-8
+2
(a+b-8) (a+2b+c-81) 2(a+b+c-4) 6 -a-b+2 R
-6
(a+b-2)
1
-6
b+c-6
R
-36
2
a+b-38 3
Si: a+b+c-4=0a+b+c=4 b+c-6=0 b+c=6 a+b-38=0a+b=38 en (1) c=-34 en (2) b=40 Luego: abc=2720.
2
2
(b+c)
R
2q
0 -3P
(a+b)
-2 -12
Aplicando dos veces ruffini bajo el principio de divisibilidad. 1
-6
3
2
1
2
R 0 1
Si: 3a 3P 0 a P a P Reemplazando en: R 0 3a3 2q a3 0 a3 q 2
2
2
3
65.
3
Px x 6x 11x 6; es 3
1
a q 3
2
2
Conclusión: P q . 3
Si el Polinomio:
2
2
divisible por: (x-a), (x-b) y (x-c) indistintamente. ¿Cuál será el residuo de:
Px ? x a b b c c a 1
64.
Determine “abc” sabiendo que el
polinomio :
1
1
A) 0 C) ab + bc + ca D) ab + cb + ca
1
1
B)1 D) 1
1
4
Al ser divisible indistintamente lo será también por el producto es decir: Px (x a)(x b)(x c) q(x )
x 6x 11x 6 3er grado 3
Acondicionando el divisor: 9
10
3
10
Uno
2
10 3
3
3
10
1 10 1
3
10 2
3
1
1
1001001
(monico)
x 6x 11x 6 x a b cx ab bc cax abc 68. 3
1 1
2
3
2
Sabiendo que el cociente de la x ym división ; consta de 10 n x y términos. 30
De donde: a+b +c =6 ab +bc + cd= 11 abc= 6
2
Determine el valor de: mn
Se pide: P x 1 1 1 x ab bc ca
Px Px c ab x 1 x abc
A) 60 D) 600
B) 8000 E) 8
C)
20
3
Evaluando en x=1: R P 0 1
66.
Por condición: 30 m 10 n 2
¿Cuál será aquella división notable que genere al cociente a a a ... a 1 . 35
30
25
n=3 m=20
5
Luego: 20³ = 8000 a 1 A) a1 36
a 1 B) a 1 40
5
69.
a 1 a 1 40
C)
5
Se desea conocer de cuántos términos está constituido el x 1 cociente de : sabiendo que x 1 T T T x 236
Por principio teórico de signo y variación de exponente de 5 en 5, es la B. 67.
Encuentre el 109 1 999 A) 1000001 C) 1001001 E) 1
valor
B) 1010101 D) 0
10
50
100
A) 396 D) 236
B) 133 E) 131
C) 132
de:
x 1 1 2 3 x x x ...xk ... 1 x 1 T2
T3
Tk
x10 .x50 .x100 x236
T10 x 10
71.
Después de dividir el cociente de x n 1 ; n N . Entre x 1; se x 1 obtiene un nuevo cociente que al ser dividido por x x 1 obtendremos como residuo. 6
T50 x 50 T100 x100 x3160 x236
De donde:
2
160 236 3 396 132
3
A) 0 D) x-1
Luego: # términos=132+1=133 P x y Si la división indicada: x yP
B) -x E) 1
C) x+1
Efectuando la división notable
432
70.
1
3
genera un cociente notable. Averigüe al término antepenúltimo A) x y C) x36y360 E) x6 y314 2
B) x6 y324 D) 0
9
x6n 1 6n1 6n2 x x x6n3 x2 x 1 x 1 Luego en: x6n1 x6n2 x6n3 ... x2 x 1 x 1 Aplicando Ruffini Existen “6n” términos
1
Si la división indicada es notable, debe cumplir que: P 432 3 P 2 P 3.432 P2 3.33.24 P 32.22 36
432
x y x3 y36
-1
-1 1
0
1 ...
1 1
1
0 -1 -1 1 0 ... 0 1 0
Existen “6n-1” términos qx x6n2 x6n4 x6n6 ... x4 x2 1
Luego: 36
1
12
12
x3 y36 1 1 x3 y36
Finalmente en: q x x2 x 1 Según el teorema del residuo Si: x2 x 1 x Que al evaluarlo en este valor R q 2 1 0
T1 T2 ... T10 T11 T12 antepenúltimo
Cero 1210
Tantep T10 x3
101
y36
x6 y324
72.
Factor Primo de: Q a,b 1+b+c+a(1+b+c+bc)+bc será: A) 1+c D) 1+bc
B) 1+b E) 1+abc
C) 1+ab
75. Asociando: Qa,b 1 b c bc a1 b c bc Extrayendo factor común Qa,b 1 b c bc 1 a Qa,b 1 b c1 b 1 a Qa,b 1 c 1 b 1 a Constante
¿Cuál será el divisor trinomio del polinomio en variables: m,n,p. m3 n P n3 P m P3 m n ? A) m-n-P C) m-n+P E) mn+nP+Pn
Mediante la distribución en el segundo y tercer término: m n P n P n m P m P n Asociando: m n P nP n p m(n p ) 3
73.
¿Cuántos factores primos binómicos admite el polinomio;
Px Xn xn x x x 1;n N. 2
3
A) 1 D) n
2
B) m+n-P D) m+n+P
3
3
2
3
3
2
3
3
3
…......
n P …...... n P…...... n P n np P
B) 2 C) 3 E) ninguno
2
2
(n-P) m3 n2P nP2 mn² mnP mP2
Asociando de 2 en 2:
Px xn.x xn x x x 1 2
3
2
2 2 1) (x…..... 1) Px xn(x2… 1) x(x…...... Px (x 1) xn x 1 2
Px (x 1)(x 1) xn x 1
(n-P) mm n nP m n P m n 2
2
2
(m+n)(m-n) (n P) m n m mn nP P (n P)m n m Pm… P) n(m … P (n P)m nm Pm n P 2
76.
2
El Polinomio:
Mx, y x y 3xy1 x y 1 3
74.
Uno de los divisores de: a b c d 2ad bc Será: 2
2
2
2
A) a-b+c-d C) a-b-c + d E) a-b-c-d
B) a+b-c+d D) a+b+c-d
Asociando convenientemente a2 b2 c2 d2 2ad 2bc a = a2 2ad d2 b2 2bc c2 =
a d2 b c2 a d b c a d b c
Será divisible por: A) x xy y x y 1 B) x xy y x y 1 C) x xy y x y 1 2
2
2
2
2
2
Asociando convenientemente
Mx, y x y 1 3xyx y 1 3
Diferencia de cubos 2 M x, y x y 1 x y x y 1 -3xy(x+y-1)
Px,y ax by ax by bx ay 2
Extrayendo el factor común M x, y x y 1 x2 xy y2 x y 1 77.
Un factor primo racional de: R a a b 9ab 27; será: 3
A) a+b+3 B) a-b+3 C) ab-3(a+b) D) a b ab 3a b 9 E) a b ab 3a b 9 2
A) 4x D) 2(x-y)
R a a b 3 3ab 3
4
z
a b 3a b 3 ab a 3 3b
2
2
B) 4y E) 2(x+y)
2
2
C) 4z
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x y
2
2
2
a b ca b 9 ab 3a b 2
78.
2
Q z 2x y z x y z x y
Corresponde a la identidad Gaussiana, que proviene de: 2
2
Mediante un aspa simple
3
3
Halle la suma de los elementos de aquellos Polinomios irreductibles que se desprenden de: 4
2
3
4
Qx,y,z z 2x y z x y
2
2
2
Nº divisores: (1+1)(1+1)(1+1)
79.
3
2
Q z x y z x y 2
2
2
2
2
Cuántos divisores Polinomio:
Q x,y,z z x y z x yz x yz x y
admitirá
Sumando estos elementos =4z
el
Px;y a bx b a x y ab y 2
4
A) 8 D) 4
3
3
2
B) 7 E) 3
4
2
8
C) 15
80.
Px,y 2x 2x 7y 3y(5y 12) 48x
Empleando el aspa simple:
Px,y a bx b a x .y ab y 2
4
ax 2
bx
3
3
2
4
2
b y
2
2
ay
2
Px,y a x b y bx ay 2
2
2
4
2
Un divisor del Polinomio:
4
4
4
8
será: A) 3x-4y D) 2x-3x
B) 4x-3y C)2x-3y E) 2x-5y+12
82.
En el cociente notable x 2 x 2 ; halle el valor 2 x 4 numérico del quinto término para x=1 16
Buscando la forma de un aspa doble:
2
Px,y 8x 14xy 15y 48x 36y 0 2
2
4x 2x
-3y 5y
16
A) 729 D) 243
0 12
B) 126 E) 729
C) 81
Px, y 4x 3y 2x 5y 12 Dando la forma de un C.N: 8
8
x 2 x 2 x 2 x 2 2
2
2
Hallar el menor término racional del cociente notable. 4 2 2 4 2 3
7
3
3
4
T x 2 x 2 (x 2) (x 2) 2
81.
2
2
6
8
5
T 3 .(1) 729
x=1
83.
Halle el grado absoluto del primer término central del C.N.
6
8
5
3
A) 9 D) 5
B) -1 E) 8
C) 3
x
n 50 50
15
7
2 Por 4 2 general 3
xn
7
4
3
k
3
4
término
Tk 2
k
6
B) 106 E) 72
Por la condición necesaria suficiente se debe de cumplir: 15n 50 15n 10 n6 n1 n2
....................( )
x
luego en :
luego:
y
4
7
25 7
7
20
20
x y 7
6
T 2
C) 63
2
Por lo que piden: 25 k debe ser mínimo k 7;
6
10
2
A) 11 D) 40
efectuando por exponentes 25
15
k 1
7
Tk
el
1
y n yn
4
Hallamos los términos centrales. T x y T x y
T 2 8 3
7
7
10
4
9
10
36
9
10
T x y T x y G.A. T10 106 7
11
70
10
4
63
11
40
y
84.
Si… x
x y ... son términos consecutivos del desarrollo de un C.N. Halle el número de términos. A) 61 B) 59 C) 58 D) 60 E) 65 195
y
140
190
Aplicando la identidad de Argan a
147
P(x) x x 1 x x 1 x x 1 2
Formando un C.N. de: ... x5 y x y Número de términos = G.A +1 NT 59 1 60
7
20
5
38
7
7
A) 5 D) 6
30
2
3
4
C) 4
B) quinto D) cuarto
4
7
2
2
2
2
2
2
4
2
x x 2
Tk x
2
k
k 1
y 3
x
El lugar es quinto
86.
20
2k
x
x y? 10
Luego de factorizar: P(x) x x 1; halle la suma de los factores primos. 8
A) B) C) D) E)
x x x x x
4
2
2
4
4
4
x 3 3 3 2 1 2
3
2
3
2
1 x 1 x x 1 2
P(x) x x 1 x x 1 x 1 x x 1 2
k 5
10
2
5
3
2
10
3
B) 3 E) 2
4
A) sexto C) octavo E) décimo
5
P(x) x x 1 x x x P(x) x x 1 x x 1 x4 x2 1 x3 x4 x2 1 P(x) x x 1 x x 1 x x 1 x P(x) x x 1 x x 1 x x x 1 P(x) x x 1 x x 1
En el siguiente cociente notable x y . Calcule el lugar que x y ocupa el término que contiene a x10. 20
2
Luego de factorizar P(x) x x x x x 1 en x , indique el número de factores primos. 8
21
2
Luego: fac. primos= x x 3
8
85.
4
4
87. 39
2
2
3
Hay 4 factores primos
88.
Factorizar:
P x x x 2x 1 indicar la 6
4
2
suma de coeficientes de un factor primo. A) 1 D) 2
B) 0 E) -2
C) 1
P x x6 x4 2x2 1
A) 3x +2 D) x+2
2
P x x x 1 6
2
B) -3x1 E) 4x+3
C) -2x+1
x3 x2 1 x3 x2 1 de coef = 1 89.
Aplicando Ruffini
Factorizar:
12
8 6
-3 -2 7 2
12
14
4
6
7
2
1
F x abx2 a2 b2 x ab ab , e
2
indicar la suma de los T.I. de los factores primos. A) a+b D) b
B) a-b E) ab
C) a
P(x) 2x 1 6x 7x 2 2
3x
2
2x
1
F(x) abx a b x ab 2
90.
2
0
2
ax
b
bx
a
P(x) 2x 1 3x 2 2x 1
92.
Factorice: P(x) x 5x 7x x 8x 4 Indique el promedio aritmético de los T.I. de los factores primos.
F(x) ax b bx bx a Al factorizar: P(x) 10x2 17xy 3y2 5x y Indicar la suma de sus términos de sus factores primos. A) 7x-4y+1 C) 4x-7y-1 E) 5x+2y-1
5
A)
B) 7x-1 D) 4y-1
D)
4
4 3 3 2
3
B) E)
2
6 5 2 3
C)
1 4
P(x) 10x2 17xy 3y2 5x y 0 5x
-y
0
2x
-3y
1
1 1 1
P(x) 5x y 2x 3y 1
-1
91.
Factorizar: P(x) 12x3 8x2 3x 2 , e indicar un factor primo lineal.
-2
1 1
5
7
-1
-8
-4
1
6
13
12
4
4
0
6
13 12
-1
-5
-8
-4
5
8
4
0
-2
-6
-4
3
2
0
P(x) x 1 x 1 x 2 x2 3x 2
x x
93.
2 1
A) 2 D) 6
P(x) x 1 x 1 x 2 112 2 Luego: M.A 3 3 2
2
A) 4 D) 7
2
4
B) 3 E) 8
C) 3
P(x) x x 1 x 1 P(x) x 1 x2 1 P(x) x 1 x 1 x 1 2 P(x) x 1 (x 1) Nf.A 3 2 1 6 1 5
Al factorizar: P(x;y) x 4y Calcule el número de factores algebraicos. 4
B) 5 E) 7
C) 6 96.
P(x;y) x4 4y4 4x2 y2 2xy2 2
P(x;y) x2 2y2 2xy
2
Calcule la suma de coeficientes, de un factor primo del polinomio factorizado. P(x) x25 x20 1 A) 7 D) 5
B) 4 E) 2
C) 3
P(x;y) x2 2xy 2y 2 x2 2xy 2y 2 Nf .A 2 2 1 4 1 3
Cambio de variable: x y P(x) y y 1
P(x) y y 1 y y 1 P(x) x x 1 x x 1 coef 3 1
97.
Factorice:
5
94.
Factorice P(x) x4 2x2 9 , e indicar el número de factores. A) 2 D) 5
B) 3 E) 6
C) 4
5
4
2
10
3
5
15
5
2
4
2
2
2
P(x) x 2x 9 4x 4x P(x) x4 6x2 9 (2x)2 P(x) x 3 2x
Indique el número de factores cuadráticos.
P(x) x2 2x 3 x2 2x 3 Nf 2 2 4
A) 2 D) 4
2
95.
P(x) x x2 1 x2 1 x2
2
2
Factorizar P(x) x3 x2 x 1 en (x) , luego indique la cantidad de factores algebraicos.
B) 3 E) 5
2
C) 1
P(x) x2 x4 2x3 1 x2 1 x4 2x2 P(x) 2x3 2x2 2x2 (1 x)
D) 72
x x(1 x) 2
98.
E) 71
Son 2 factores cuadráticos
NF.A 6 4 1 24 1 23 Ojo: y no es variable, es
Señale un factor primo de:
2
P(x) 2x 1 4x(x 1) 2 7
A) 4x2 6x 3 C) 4x2 7 E) 2x² + 3x + 1
parámetro
B) 4x2 5x 1 D) 4x2 7x 1 101. Halle el MCD de los polinomios P(x) y Q(x). P(x)= 12x 8x 45x 45x 8x 12 Q(x)= 2x 5x 8x 17x 6
P(x) 2x 1 4x 4x 1 1 P(x) 2x 1 2x 1 1 7
2
7
5
4
3
4
2
Cambio de variable: y=2x+1
3
2
un factor es : 4x² + 6x + 3
A) x+1 C) (x-2)(2x-1) E) (2x+3)(2x-1)
99.
Cuántos presenta:
Factorizando P(x)
y7 y2 1 y2 y 1 y5 y4 y² y 1
factores
lineales
P(x;y) x y x y 4
A) 1 D) 3
4
12 -1
C) 2
12 2
P(x;y) x y 2xy x y 2
4
4
P(x;y) 2 x 2x y 3x y 2xy y 4
3
x²
2
2
3
4
y2
xy
2
P(x;y) 2 x xy y
No tiene factores lineales.
2
2
100. Calcule el número de factores algebraicos en (x) , el polinomio. P(X;Z) 32 x5y2 z3 A) 23
B) 8
C) 10
-12
4
-4
-41
-45
8
41 -4
12
4 -12 12
0
1
p x 2
1
p 2 2
x x c (x) x2 12p2 4p 65 c (x) 6p 13 2p 5 c(x) 6x2 13x 6 2x2 5x 2
y2
xy
8 -45
Luego el cociente c(x) c(x) 12x4 4x3 41x2 4x 12 1 1 c(x) x2 12 x2 2 4 x 41 x x
x
x²
B) (x+1)(x-2) D) 3x+2
4
B) 0 E) 6
2
2
2
P(x) x 1 3x 2 2x 3 2x 1 x 2
Factorizando Q: Q(x) 2x 5x 8x 17x 6 Q(x) x 1x 2x 32x 1 4
3
2
Por tanto:
Gº = 1 + 2 + 2 + 2 = 7
MCD(P, Q) x 1 x 2
103. Halle el M.C.D. de: 102. Indicar el grado del M.C.M. de los polinomios P(x) y Q(x) , donde: P(x) x 8x 17x 9x 9x 17x 8x 1 7
6
5
4
3
2
4
3
2
A) 3 D) 6
x a C) x a A)
2
2
B) x-a
2
Q(x) x 5x x x 5x 1 5
A x 4x4 4ax3 36a2 x2 44a3 x 16a4 B x 6x 4 6ax3 18a2x 2 30a3x 12a 4
B) 4 E) 7
D)
2
x a
3
E) x a²
C) 5
Factorizando A por el aspa doble especial:
Factorizando P (x); el polinomio es recíproco. 1 -1 1
8
17
9
9
-1
-7
-10
7
10
-1
17
8
1
1 -10
-7
-1
1
0
10
7
el polinomio cociente es reciproco también, pero de grado par:
1 1 1 c (x) x3 x3 3 7 x2 2 10 x 1 x x x Haciendo:
x
1
x
x 3
2
2
2
2
Por tanto:
A(x) 4 x 4a x a
3
Similarmente B x 6 x4 ax3 2a3x2 5a3x 2a4
x x
ax
2a
2ax
a
2 2
2
2
B x 6 x 2a x a
3
1
x
2
Por consiguiente el MCD= 2 x a
m 2 2
m 3m 3
x P (x) x 1 x2 3x 1 x 2 5x 1 x 2 x 1 3
2
3
mx
1
A x 4 x4 ax3 9a2 x2 11a3 x 4a4 4a 3ax x a 2 ax x
104. Sabiendo que el M.C.D. de los polinomios:
A x 2x x 3x m B x x x n , es: 3
3
Factorizando Q(x) similarmente:
2
2
x x 2 . Halle “m+n” 2
Q x x 1 x 5x 1 x x 1 2
2
Por tanto: MCM x 1 x2 5x 1 x 2 x 1 x 2 3x 1
A) 4 D) 7
B) 5 E) 0
C) 6
Usando el método de Horner:
1
2
-1
3
2
-4
1 -2
1
m -2
2
1
0 m-2=0
1
1
0
1
-2
2
A) 27 D) 125
m2
4c 4b x 4c.............................(1)
-4
n=4
Por otro lado factorizando los polinomios
Conclusión: m+n=6
P(x) ax bx a c x bx c 4
105. Halle el MCD de los polinomios: P(x) Xmn xm xn 1 1
1
2
2
1
2
Desarrollamos MCD ax bx c
Consideremos: m=nk Entonces: P(x) xnk n xnk xn 1 Similarmente: Q(x) nk n xnk n nk xnk n xnk 1
Q(x) nk n xnk xn 1 1
Por lo tanto: M.C.D P(x),Q(x) xn 1 106. Sean los polinomios:
P(x) ax bx a c x bx c Q(x) 4ax 4b 5a x 4c 5b x 5c 2
Los cuales verifican:
2
2bcx c2...............................(2) Comparando coeficientes de 1 y +2
P(x) x 1 x 1
3
2
2 MCD a2x4 2abx3 2ac b2 x2
nk
2
2
Por lo tanto: MCD= ax bx c
1
3
c -1
2
2
4
2
2
A) xk 1 B) xm 1 C) xn 1 D) xk 1 E) xk 1
1
3
ax bx ox x P(x) ax bx c x 1 Factorizando Q x : Q(x) 4x 5 ax bx c
Q(x) m n xmn mxm nxm m Sabiendo que m;n; n
n
C) 64
ax 4 b 4a x 3 4b 4a c x 2
0 n-4=0
1
B) 16 E) 9
Sumando P(x) Q x se obtiene:
n
2 1
2
Calcule: " a b c "
1
1 -2
P(x) Q(x) MCD P Q
1
a=1; b=4; c=4 a+b+c=9
107. Sea D(x) el Mínimo común múltiplo de los polinomios M(x) y N(x) si: A(x)
M(x).N(x) Halle el resto de D(x)
dividir A(x) entre (x-3n), sabiendo que:
Descomponiendo por fracciones parciales
M(x) x 4 nx 3 7n2x 2 n3x 6n 4 N(x) x3 4nx2 n2x 6n3
5 3
10 2 3 x 1 2x 1
B) 6n C) 6n E) 12 n
A) 0 D) 10 n
2
2
2
2
Por tanto: Como D(x) es MCM entonces A (x) representa MCD (M.N). Factorizando los polinomios obtenemos.
M(x) x n x 3n x 2n x n N(x) x n x 2nx 3n Por lo tanto: MCD (M,N)= (x-n) (x+2n) MCD (M,N)= x nx 2n 2
2
Se pide el resto de la división: x nx 2n R(x) 10n x 3n 2
2
A= 2 ; B=
5 3
; c
10 3
A 2 5 10 B C 3 3 3 3 1
109. Sabiendo que A,B,C y D son los numeradores de las fracciones parciales en que puede ser descompuesta la siguiente fracción: 4x3 x2 3x 2 2 x2 x 1
2
Halle: A+B+C+D A) 2 D) -1
2x 3 108. Si la fracción se 2x x 1 transforma en otra equivalente 4x
2
2
A
B x 1
C donde A,B,C son 2x 1
constantes A 3 B C A) -1 D)
1 3
reales.
C) 1
Descomponiendo parciales:
Calcule:
en
fracciones
x x 3x 2 A B C D x x x 1 x 1 x x 1 3
4
2
2
2
B) 1 E)
C) 3
5 3
Dividendo: 4x2 2x 3 5 2 2 2 2x x 1 2x x 1
2
B) -5 E) 0
5
2x 1 x 1
4x
2
2
2
x 3x 2 Ax x 1 B(x 1) Cx x 1 Dx x x 1 x x 1
3
2
2
2
2
2
2
2
Desarrollando y luego comparando coeficientes se obtiene: A=1; B= -2; C=3; D=-4 Por lo tanto: A+B+C+D= -2
2
110. Sabiendo que la fracción se transforma en otra equivalente. 2 5x 9x 4 A Bx C x3 3x2 3x 2 x 2 x2 x 1
A + B + C =
B) 5 E) -5
C) 6
5x2 9x 4 A x2 x 1 Bx C x 2 Comparando coeficientes se tiene A B 5 A=2 A 2B C 9 B=3 C=1 A 2C 4 A+B+C=6
3
Por lo tanto: m= 6
Halle: A + B + C A) 1 D) 8
2
Factorizando P (x) y Q(x)
P(x) x 1 x 2 x 4 Q(x) 2 x 1x 2
MCM = 2 x 1 x 4 x 2 x 2 Grado =3 112. Al descomponer la expresión en fracciones parciales se tiene los numeradores A, B y C: x2 5 x3 8x2 17x 10 Luego se dan los polinomios:
P(x) x m 5 x 11x 6 Q(x) x m 1 x x m 3
111. Si la fracción se descompone en fracciones parciales de la forma:
3
2
3
x 1 A Bx C x3 3x 2 3x 2 x 2 x 2 x 1 2
2
siendo : m= A + B + C
Halle el grado del MCM de los polinomios P y Q. Donde: P(x) x3 5x2 2x 8
Halle el grado del MCM A) 2 D) 6
Q (x) 2x 2 mx 4 ;
B) 4 E) 3
C) 5
m 9(A B C)
A) 4 D) 3
B) 2 E) 5
Descomponiendo parciales se tiene:
C) 3
fracciones
x 5 A B C x 1 x 2 x 5 x 1 x 2 x 5 2
x 5 A x 2 x 5 B(x 1) x 5 C x 1 x 2 2
Desarrollando fracciones parciales
x 1 A B x A 2B C x A 2C A B 1 , A+ 2B + C = 0, 2
2
A + 2C = 1 5
A , 3
2
1
3
3
B , C
Si x= -2B=-3 Si x=-1A= Si x=-5C=
3 2
A+B+C=1=m
5 2
Entonces: P(x) x3 6x2 11x 6 Q(x) x3 2x2 x 2
1x 1 3x 1 1 x 1 3 1 3x 1
Factorizando se tiene
P(x) x 3 x 1 x 2 Q(x) x 1 x 2 x 1 MCM P,Q = x 1 x 2 x 3 x 1
E
Grado =4 113. Si: a,b,c, son números diferentes y:
A) 1 D) 3x
P(x) x x x xd (x a) (x b)(x c) x a x b x c
Calcule: A) -2 D) 1
2
B) -1 E) 2
2
C) 0
8 2 6x reemplazando y simplificando 8x E 2 6x x 8 2 6x
P(x) x x a x b x b x c x a x c
+x-d Evaluando: p(a) a(a b)(a c) p(b) b(b a)(b c) p(c) c(c a)(c b)
115. Si: ab bc ac abc Simplificar: 2
1
reemplazando en M: M
2
2
a b c a a b a c b b a b c c(c a)(c b)
a
2
1
b
2
1
c 1
2
2
2
1
b
2
1
c
2
1
a 1
2
2
A) 0
M=0
2
1
c
2
2
C) a b c 2
2
2
1
2
a b c
D)
E) abc De la condición se tiene: 1 1 c2 1 2 2 2
a
a
b 1
2
2
correcta,
1
B) 1 2
114. Indicar la respuesta luego de simplificar:
C) 2x
y el denominador :
Desarrollando se tiene:
2
B) x E) -1
Desarrollando el numerador se tiene: 8x 2 6x
a b c p(a) p(b) p(c) 2
1x 1 1 3x 13 1 x 1 3 1 3x
b
c
1 1 a 1 2 2 b c a2 2
2
2
2
1 1 b2 1 c2 a2 b2
3
2
Entonces reemplazando en la expresión: c2 1 a2 1 b2 1 1 1 1 2 2 c2 a b 2c2 1 2a2 1 2b2 1
a a c a c 1 c c 1 . . a ac c a b bc a c c 2 c 1 c a
1 1 1 2 2 1 2 c a b
A) 1 D) 4
B) 2 E) 5
2
A) 1 D) -2
aa c a ac c
B) 2 E) 3
2
2
2
b 1
a a c c a c . b a c a c c
ab
a
2
2
cc a bc abc c
a1 b1
a
2
b
2
a1 b1
E=4
2
b1
2
a1
117. Simplificar la siguiente expresión y halle:
a c
2
a
2
a 2 ac a 2 c
118. Al reducir la expresión:
Entonces reemplazando en E
E
cb a c c c
b
1 1 ac c
c
2
a c 2
a1
2
. 1
2
2
de la ecuación se tiene:
bc
C) 3
b
2
2
a b 1 2 b a 1 2 b 1 a1
E a
C) -1
a c a ac c . b a c a c cc a
2
E
2
bc
2
116. Si se verifica que: 2 a b 2ab a b a 1b 1 Simplificar: ab a 2 ba b 2 E b 1 a1
2
3
x 1 x 1 2 2 1 1 1 x 1 x 2 x 1 1 1 x x 1 x 1 x 1 x 1 Se obtiene: A) 1 C) x x 1 E) x x 1 2
4
2
B) x x 1 D) x x 1 2
4
2
Desarrollando:
2x 2 x 1 x 1 4 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2 x x2 x2 x2 2x2 x2 1 x 2 1 x 4 1 2x2 2x2 x4 1 x 4 1 1
120. Simplificar: ax ax 1 ax 2 ax 3 1 1 ax 1 2ax 1 3ax a x 4
D) 1
119. Sabiendo que la fracción: ax by p x 2m xy m y toma un valor constante k. k 0 , para todo valor de x,y; xy 0 , Halle: a b p m en términos de a b p m k. 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
B)
ax a 2x
E)
a x
C)
2
m m 1m 2m 3 1 1 m 1 2m 1 3m m
4
Agrupando:
m
3m m 3 2 1 2m 3m 1 3m 1 m 2
2
2
k 1 A) k 1
k 1 B) k 1
D) k-1
E) k 1
4
2
C) k+1
2
Factorizando:
2
m m
2
ax by
k p x 2m xy m y
2
2
2
2
2
2
2
a x 2abxy b y k p x 2m xy m y 2
x a x 2a
Haciendo: ax=m
2
2
ax 1 ax 2
A)
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3m 1
2
3m 1
1
Comparando coeficientes:
a kp ; b km ; ab km 2
2
2
2
2
121. Sea el complejo : 1 i Calcule 12
Entonces reemplazando en:
a b p m kp km p m a b p m kp km p m 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
a b p m m p a b p m m p a b p m k 1 a b p m k 1 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k 1 k 1
A) 32 D) 64
B) -32 E) 128
C) -64
Si: Z 1 i Z2 1 i 2i 2
Si: Z2 2i Z4 2i 4 2
12 4 64 3
E) 2in1
D) -2i 122. El equivalente de: 8 1i 1i 1 i 1 i 1 1 1i 11i 1 1i 1 i será: A) 2i D) 64
B) 0 E) 256
Sabemos:
1 in 1 in 1 i2
n
1 i 1 i 2 1 i
in 2i 2in1
125. El equivalente de:
11 2i17 1 2i51 1 ; es:
C) -2i
A) 1
B) -3
D) -i
E)
1i 1i i i 1i 1i
C) -2
1 3 i 2 2
17
Operando: 8 8 i i 2i 256
17
4n 6
1 1 i 2 2
D)
2n3
2i 2
i2n3
*
n
124. Calcule el valor de : 1 in ; donde n 1 in2 n
B) 2i
1 7
E)
2 7 2
2n3
n n 1 i2 i2 i 1 (1)i 1 i
A) -2
2
1i 1 i m ni 1 1 1 2 1 A) B) C) 5 5 5
B) i n 1 D) 1 i
1 i 2 2
17
126. Halle “m + n”; a partir de
1
A) 4 n 1 C) 1 i E) 1
4n6
Luego:
E 11 2i 11 2i 1 1
123. Si, n , calcule el valor de
1 2 i 2 2
1 2i3 11 2i 17 11 2i 17
1i 1 i i 1 1i 1 i 1 i2 m ni 1 2 i m ni 2 i 2 i 2 m 2i 2 1 5 m ni i 5 5 5 1 n 5
n1
C) 2i
mn
1 5
Cis 2340º Cis 6 360º 180º
k 3i es 2 5i
239 1 219 20 2
C) 15
130. Si: Z C Z Z 7 Im (z) Calcule: Z 3,5i
127. ¿Qué valor asume “k”, si
un complejo imaginario puro? A) 2 D)
B) -2
15 2
E) 1
A) 3,5 D) 2,4
2k 15 k
15 2
Calcule: A) 4 D) 2
b
a bi x yi .
ay 2 y 4 C)-2
b2 4 a y2 y2 b2 4 ay2 y4
129. Calcule: A) 2 D) 220
3i
1 i
isen 131. Calcule: 2 cos 12 12 A) 8i D) -8
4
1
7 2 7 49 a b i a2 b2 7b 2 4 49 7 3,5 7b 7b 4 2
nos piden : Z 3,5i a bi i
a bi x2 y2 2xyi a x2 y2 b 2xy x2 a y2 b2 4x2 y2
ay2 y 4
a bi a bi 7b a2 b2 7b
2
B) -4 E) 1
b2
C) 2,1
Sea: Z a bi
128. Sabiendo que:
B) 2,2 E) 1,2
39
40
B) 220 C) 219 E) 219
B) 8 E) 32
C) -8i
6 2 cos isen 2 2 23 0 i 1 8i
132. Sean los complejos
Z1 1 i Z2 3 6i
1 3i
39
2Cis 60º 239 Cis 2340º 39
1 i 1 i 40
4 10
220
Halle el módulo de Z12 Z23
6
1 2 13 D) 2
7 2 29 E) 2
A)
B)
Z12 1 i 2i 2
Z32
3
3 6i
C)
27 2
o
1
3 6i
2
3 6i
135. Halle un número complejo cuyo cuadrado sea igual a su conjugado.
15 3 3 6i
1 i 2 1 3 i C) 2 2 A)
Piden:
Z32 15 3 3 6I Z1 Z 2 Z1 2I 2
3 2
3 6 15 3i 2 2
3 6 15 3 3 6 15 3 i 2 2 2 2
El módulo es:
27 2
i2343 i331 i542 i300 i55 i242 i328 B) -4 E) -1
C) -5
o
o
o
331 4 3 ;
a2 b2 2abi a bi a2 b2 a 2ab b 1 Resolviendo: a =2 2 1 1 Luego: b2 2 2 1 1 3 b2 b2 4 2 4 3 2
b
Luego el complejo buscado será
o
542 4 32;
Z
i3 i3 i2 1 2i 2 i i2 1 i
1 3 i 2 2
136. Si: Z 3Re Z 2
134. Calcule: A) i D) -2i
i
1 3 i 2 2
Sea el complejo: Z a bi Z a bi 2 Luego: a bi a bi
2343 4 3 ;300 4
D)
1 i 2
2
133. Calcule:
A) -3 D) -2
B) 1
E) 1 2
o
555555 4 3 333 4 1 333 i3 1 i1 i i 21
555555
i
B) -i E) 0
333
C) 2i
Halle: Z
3 2
A)
1 2
D) 2
B)
3 2
C)
E) 1
3 2
138. Indicar uno de los complejos resultantes de: 3 4i 3 4i
Sea: Z = a + bi
A) 4 D) 2 i
Por condición:
B) 4 E) 2i
C) + 2
(a+bi)² = 3a (a²b²) + 2abi = 3a + 0i
E
3 4i 3 4i 2
a² b² 3a; 2ab 0
E4 3 4i 3 4i
Resolviendo el sistema:
E4 3 4i 3 4i 2 9 16
a2 3 a1 0 ó b1 0 b2 0
E4 6 2 25
Z
E4 6 10 E4 16
3 3 2 2
E=2
139. Resolver la ecuación en C/ C
Ln2 3iLn 4 0 137. Calcule : 5 12i A) 3 2i C) 3i E) 1 + i
A) 4i B) 2 3i D) 2i
C) e4i
B) ei
D) e4i;ei E) ei ; e4i
Recordemos:
(LnZ)² 3i LinZ 4i2 = 0
Z a Z a a bi i 2 2 5 12 i 25 144 169 13 Luego: 13 5 13 5 5 12i i 2 2 5 12i 3 2i
LnZ
4i
LnZ
i
De donde: LnZ = 4i ó LnZ = i Z1 = e4i
Z2 = ei
142. Calcule el valor de x en: xn xm 1
140. Calcule:
4 12i 3 4i
n
m
A) m A) 13
B) 14
D) 17
E) 20
mn m n n E) nm
C) 16
*
3 4i 5
*
12i 5 144 25 13
4 13 17 17
C)
141. Calcule “k” para que la ecuación se reduzca a una de primer grado.
B) -3 E) 3
4 3
D) -3
B)
3
4
C) x C
E) -4
x2 4 4x2 2x2 5x2 2x2 4
3x2 4 x2
2
2kx 2kx 3x 3kx 3kx 2x 2
5kx2 kx 5x 1 2kx2 3x2 2k 3 3kx2 3x2 k 5 x 2k 2 0 3k 3 x2 k 5 x 2k 2 0 3k 3 0 k 1
nn
xm mn nx mn mn x(m n) mn mn mn x m n m n
A)
C)1
= 2kx2 2k 3x2 3
m
2 x 2x x ; x C x 2
2k 3 x 1 3kx 2 x 1 2k 3 x2 1 2
D)
143. Halle x2 en :
2k 3 3kx 2 2k 3 x 1 x 1 A) -2 D) 2
B) n
4
3
144. Resolver en “x” a bx abx a b aabx b a b a b A) -2 D) 3
B) 1 E) a + 2b
C) 2
a bx a b a bx a b abx a b ab a b a b ab x = 2 ab x=2
145. Si x1;x 2; x 3 son las raíces de la ecuación
x3 n 1 x2 2nx n 3 0 Calcule: x1 1 x2 1 x3 1 A) 1 D) 4
B) 2 E) -1
C) -3
1 x x 2 x 3 x 2 2 0 x
x1 x2 x3 n 1 x1x2 x1x3 x2 x3 2n x1x2x3 n 3 lo pedido es : 1 x1 x2 x3 x1x2 x1x3 x2 x3 x1 x2 x3 3
A) Tiene 5 soluciones B) Tiene 4 soluciones C) la suma de las soluciones es D) es incompatible E) 3 soluciones
146. Si la ecuación paramétrica en “x” presenta infinitas soluciones calcule el valor de a + b.
ax 1 2x b2 A) -2 D) -2
B) 2 E) -3
a2 5 2 b2 2b 7 0 a1 b2 5 2 b 1 a² 5 b² 5 4 a 1 b 1
148. ¿Qué podemos afirmar acerca de esta ecuación?
Por cardano: * * *
a2 2a 7 0 a2 5 2a 2
C) 3
b2 1 a 2 x b 1 x a 2
7 2
x 0 x 0 (no) x 2 0 (no) x3 0 x 3 1 1 2 0 x x 2 1 7 x1 x2 3 2 2
2
a = 2 b2 1 b 1 a + b = 3 a +b = + 1
147. Si a y b son las soluciones de la ecuación cuadrática
149. Calcule el valor de si la ecuación de segundo grado 4 x2 2 x 1 0; tiene solución única. A) 2 D) 2 y 4
2
x 2x 7 0 a2 5 b2 5 Calcule a 1 b 1
A) 3 D) 5
B) 2 E) 7
C) 4
B) 4 y -2 E) 2
4 0 2 2 8 0
C) -4 y 2
4 2 0 4 2
150. Si 3 2 2 es una raíz irracional de: 2x3 11x2 mx n m,n , calcule el valor: nm A) 4 D) 7
B) 8 E) *
x1 3 2 2 x2 3 2 2 11 de la ecuación x1 x2 x3 2 6
x3
2
1 x2
A) 2 D) 2
2 x
1 x2
B) 1;2 E) 4
2 3
9 k 4 100 1 4k ; k 0
3k 20 k 12 0 4 k 36 k 9
2
solución
de
la
9x4 7x2 2 0 A) – 9 D) 3
2
151. Encontrar el conjunto de solución de:
4 9
n n1 2 m luego: x1x2 x1x3 x2 x2 2
4x
E)
153. Indique una ecuación.
1
m = 4 14 1
D) 36
C)
ax4 bx2 c 0 están en P.A. 9b2 100ac
además: x1x2x3
B) -9
Si: las raíces de:
C) 1
Si:
A) -4
B) – 2 E) -3
C) – 1
9x4 7x2 2 0 9x2 +2 -1 x2 2 9x 2 x2 1 0 x2 1 x 1
4
C)
x 2 4x-x=4+2 3x 6 x2 Pero x 2 x 152. Calcule el menor valor de k, si las raíces de la ecuación 4 2 x k 4 x 4k 0 ; están en progresión aritmética.
154. Si: x1 ;x2 ;x3;x4 son raíces de la ecuación: 10x4 7x2 1 0 Calcule el valor de x14 x24 x 43 x 44 2 25 1 D) 25
A)
1 2 1 E) 4
B)
Factorizando:
5x2 15x2 1 0
C)
29 50
5x 1
5x 1
2x 1
1 x1 5 1 x3 2
1 x2 5 1 x4 2
4 2
4 3
al cuadrado miembro a miembro
2a3 7 25 a2 10a 2a3 a2 10a 32 0 2
1 1 1 1 x x x x 25 25 4 4 2 1 29 x14 x24 x34 x44 25 2 50 4 1
2 a3 7 5 a; a 5
2x 1 0
2
4 4
2
-1
10
-32
4
6
32
3
16
0
a 2 a2 3a 16 0 aquí a R
155. Luego de resolver:
1 2 2 x x 1 3 x Señale el menor valor de 2 x2 x 1
A)
1 4
B)
D) 4
E) 2
1 4
C)
1 8
3
D) 19
E)
3
B) 3 E) -2
C) 1
De:
x3 mx2 18 Cs ; ; x3 nx2 12 Cs ; ;
Por cardano –
C) 16
=-m
m ...(I) =0
además:
1 4
x 4 a x a3 4 2 a3 4 1 a 5
Sea:
x=4 nos piden : x2 16
A) -3 D) 2
156. Resuelve la ecuación 2x 1 3 x 4 5 e indique el valor de x2 B) 3
x4 2x 4 8
157. Dadas las ecuaciones x3 mx2 18 0; x3 nx 12 0 que tienen dos raíces comunes señale el valor de m.
x2 x 1 1 x2 x 2 0 x 2 x 1 0 x 2 x 1 3 1 1 2 8
A) 4
a=2
18 3 12 2 3k 2k en (I): - k = m 3m En la ecuación:
x 22 0 x 2
27m3 9m3 18 0
18m3 18 m 1 160. Halle “k” para que la diferencia de raíces sea uno.
2x2 k 1 x k 1 0
158. Si: 3 25 es una raíz de la ecuación: x5 bx4 cx3 34x2 0 Calcule el valor de “b” ; b y c R A) 2 D) 4
B) 3 E) 7
B) -3 E) 2
C) 11
E) 5
b2 4ac x1 x2 x1 x2 a
k 1
2
x2 x3 bx2 cx 34 0
A) - 2 D) 1
x2 0 ( raíz doble)
x3 bx2 cx 34 0 Si x1 3 5i x2 3 5i
Por cardano: x1x2x3 34
1
4 2 k 1 2
2 k2 2k 1 8k 8 4 k2 10k 7 k2 10k 11 0 k 11 (k 1) 0 k = 11
k = -1
34 x3 34 x3 1 Además: x1 x2 x3 b 6 + -1 =b b = 5 159. Resolver: x2 4x 8 x2 4x 4 2x2 8x 12
A) x = 2 D) x = 3
B) x = 1 E) x = 0
C) x = -2
161. ¿Qué valores de “K” haría que el sistema
K 3 x 2K 3 y 24 K 3 x K 1 y 8
no acepte solución?
x2 4x 6 n n 2 n 2 2n al cuadrado m.a.m:
A) 2 D) 3
B) 1 E) 6
C) - 1
2
(I)
n 2 n 2 2 n2 4 2n 2n 2 n2 4 2n n2 4 n 2 n 0 n=2 luego : x2 4x 6 2 x2 4x 4 0
Como: a1x b1 y c1
a2x b2 y c2
a1 b1 c1 a2 b2 c2
solución
K 3 2K 3 K 3 K 1
K 3 K 1 2K 3 K 3
K2 2K 3 2K2 3K 9 K2 5K 6 0
K 6K 1 0
A + 4 + 2b – (- b + 1) = 0 3b = - 3 b=-1
K = 6 K = -1
a x b = -1
K K
-6 +1
Además: K 3 24 K3 8 K3 3 K 3
163. Señale una raíz de la ecuación:
x3 4x2 6x 4 0
K 3 3K 9 12 2K
A) 1 + i D) 3 - i
6 K
B) 1 - i E) A y B
C) 3 + i
K = -1
1,2,4
Divisores del T.I.: evaluando para x = 2 162. Examine para que valores de a y b el sistema:
xyz0 x y 2z 1 2 x 4 y az b
B) 1 E) -2
C) -1
1 1 1 1 -1 1 0 a 4 4 2 8 a 0 2 4 a 1 1 1 1 -1 2
1 1 1 1 -1 2 = 0 x b 4 1 0 1 1 1 -1 2
2 1
Para infinitas soluciones: g 0 x 0
g
-4 +6 -4
X=2
posee infinitas soluciones, indique a x b. A) 0 D) 2
1
-2
-4 +4 +2
0
Una raíz es x = 2 Las otras raíces se obtienen al resolver. 2 4 x2 2x 2 0 x
2
164. El conjunto ecuación:
solución
de
la
K 4 x3 K 3 x2 3 0 es 1; ; Calcule el valor
de
A) 1 D) 2 3
B) 3 E) 4 3
Como una raíz es x = 1 K – 4 + K - 3 - 3 = 0
C) - 3
K=5 La ecuación es: x3 2x2 3 0 Por Ruffini: 1 X=1 1
x
x
3 3 i 2
3 3 i
2 1 3
0 -3 3 3 3 0
x4 4 x2 64 0 x4 8 x2 16 0 x4 4 x2 16 0 x4 16 x2 64 0 x4 16 x2 16 0
3 3 i; 3 2 2
A) B) C) D) E)
3 3 i; 3 2 2
x 3 5i
2 2 3
166. Formar la ecuación de cuarto grado de coeficientes racionales si una de sus raíces es 3 5 i .
Elevando al cuadrado.
x2 3 5 2 15 i x 2 2 2 5 i 165. Formar la ecuación de cuarto grado de coeficientes reales; si dos de sus raíces son: 1 2i y 1 2i. A) x4 4x3 12x2 16x 15 0 B) x4 4x3 12x2 16x 15 0 C) x4 4x3 12x2 16x 15 0 D) x4 4x3 12x2 16x 15 0 E) x4 4x3 12x2 16x 15 0
Elevando al cuadrado. x4 4x2 4 60
x4 4x2 64 0
167. En el polinomio cúbico P(x) x3 x 1 Se observa que
P a P b P c 0
Calcule el valor numérico de P a3 b3 c3 ab ac bc abc
x1 1 2i x2 1 2i S 2 y P 5 x2 2x 5 0
P3
x1 1 2i x2 1 2i
S 2
A) - 17 D) - 28
C) - 21
Se cumple que
x3 x 1 x a x b x c
y
x3 x 1 x3 a b c x2
2
x 2x 3 0 Multiplicando: 2 x2 2x 8 x2 2x 15 0 Ecuación resultante: x2 4 x3 12 x2 16 x 15 0
B) - 11 E) - 29
ab ac bc x abc a b c 0 a3 b3 c3 3 abc
ab + ac + bc = + 1 abc = -1 3 abc = - 3 P 3 1 1 P 3 27 3 1
P 3 29
168. Calcule el valor de (a + b) en la ecuación: 2 x4 x3 3 x2 a x b 0 ; {a;b} Si se sabe que una de sus raíces es: 1 + 2 i A) 31 D) 38
B) 34 E) 39
C) 35
x1 = 1 + 2i x2 = 1 2i x1.x2 = 2; x1.x1 = 5 x² 2x + 5 = 0 Por Horner: 1
2
2
3
a
b
4 - 10 10 - 25 6 - 15
-5 2
1
3
5
a = 19 ; a + b = 34
0
0
i; i; 2i; 2i;.......; ni; ni B) n2 E) n
2
Obsérvese que:
x i x i x2 1 x 2ix 2i x2 4 . . .
x ni x ni x2 n2 T.I 1 4 ... n2 2 T.I 1 2 ... n T.I n
2
2a 7 x7 2x6 5x2 a 6 0
si se sabe que la suma de sus raíces excede al producto de las mismas en una unidad. A) 1 D) 4
Suma=
B) 2 E) 5
C) 3
6a 2 ; Producto= 2a 7 2a 7
Ecuación:
2 6a 1 ; operando 2a 7 2a 7 a – 4 = 2 a – 7 3=a
b = 15
169. Halle el término independiente de una ecuación de grado mínimo de coeficientes reales, si se sabe que su conjunto solución es
A) nn D) n2
170. Señale el valor de “a” en la ecuación:
C) n
171. No es solución de la ecuación: 10 10 x x 1 x x 1 48 ; es A) -1 D) 4
B) 2 E) A ó D
C) -5
10 z z2 1 48 x z 7 10 10 Si: x x 7 7 x x x2 7x 10 0 ; x2 7x 10 0 x
(x 2) (x 5) = 0 ; (x+2)(x+5) = 0 x=5 ó x=2
x=-2 ó x=-5
172. Halle la relación entre los coeficientes de la ecuación: ax4 b x2 c 0 para que sus raíces reales estén en progresión aritmética.
x 5 x 4 x 7 x 6 504 x2 x 20 x2 x 42 504
Haciendo x2 x z
z 20 z 42 504 z2 62 z 336 0 z 56 z 6 0
2
A) 4b 49 ac B) 8b2 49 ac C) 9 b2 100 ac D) 16 b2 100 ac E) 25 b2 100 ac
Regresando a la variable original. x2 x 56 x2 x 56 0
3
(x + 3) (x+)(x)(x3) = 0
x2 92 x2 2 0 b c x 10 x 9 x x2 a a 2
4
4
b b2 4 10 100 2 ... 1 a a 2
10 2
ó x = -2 x 7 72 22 53
174. Resolver: x y 35 3
3
xy5 A) c.s 2;3
Equivalencia resultante 2
x 8x 7 x 3 x 2 0
4
b c 9 4 ... 2 a a
B) c.s 3;2 C) c.s 1;2 ; 2;3 D) c.s 2;3 ; 3;2 E) c.s 3;2 ; 1;2
También: 100 b2 9 b2 100 ac 1 2 9 ac
x y 35 ; x+ y = 5 x = 5 – y x y x xy y 35 5 x xy y 35 x xy y 7 5 y y 5 y y 7 3y 15y 18 0 y 5y 6 0 3
3
2
2
2
2
173. Resolver: La ecuación
x 5 x 7x 4x 6 504
y halle la suma de los cuadrados de las raíces negativas. A) 53 D) 62
B) 57 E) 64
2
C) 61
Multiplicando convenientemente
2
2
2
2
2
y 3 x 2 y 2 x 3
c.s 2;3 3;2
175. Resolver: 5y 7x 17 5xy 6x 6 2
Haciendo x v y v
2
v v
2
2
2
v 90 2
e indicar como respuesta la suma de todos los valores de “y”
A) 7 D) -7
B) 14 E) 1
C) 0
2
xy xy
2
1 4
v v v v 8 v 90 v 4
y 7x 17 5xy 6x 6 30y 42x 102 85 xy 102x 102 5
180
2
2
2
2
2
2
2
2 8 90 0 4 45 9 v 3 5 v 65 2
2
y 85xy 60x 0 6y 17xy 12x 0 30
2
2
2
2
3y 2y
Si x
y
3
4
y
- 4 x x
3
-3x x
2
4
y
3
3y 5 y 7 17 4 y 4 2
2
y
2y Si x 5y 7 17 3 3 y 3 4 3 0 2
2
2
176. Resolver: x y 180 2
1
x
1
y
C.S.;v 9;3 ;9; 3 5;
C.S. 12;66;12 ; 5
5
65
65
;
65; 5
65
5
2
2
2
2
B) 1 E) -2
C) 2
x 3xy 2y 3 x (-5) 5x 15xy 10y 15 2
2
C) 28
2
x 5 xy 6 y 2
2
4x 10xy 4y 0 2 x2 5 xy 2y2 0 2
B) 8 E) -4
65
65
Se obtuvo: C.S.= a;b c;d , según esto halle (a + b + c + d).
4
“x”
65
177. Resolver: x 3xy 2y 3 x 5xy 6y 15
1
e indicar como respuesta la suma de todos los valores posibles de
5
x 8
2
A) 7 D) 4
; 5
65
x 12 6 5
A) 0 D) 3
2
2
0
2
2
15
x
y = - 2x x y =
y
2
x
2y
3 x 4 x 3 x 4 x
2
2
x 1
Si y 2
2
a3 Luego: 2 a
178. Halle la suma de las raíces de la ecuación: x 2x 2 x 2x 2 1
2
B) 2 E) 4
C) 3
2
2
x x 3 x 296
a 6a 7 2
2
x 4 x 4x 6 x 12 x 7 3
2
2
x4 4x³ 2x² + 12x 7 = 0 a1 4 S 4 a0
179. Al resolver:
1
3
A) 4 D) 16
0
2x 6 x 2 x 7 0 2
4
5
2
a b
a3 b3 a3 ab2 a2b b3 0 ab b a b a 0 ab 0 70 3 x 4 x 0 x 3 x 4 C.S. 4;3 42 32 7
a 2a 1 4a 8
4
b3 b2
2
a 1 2 a 2 2
C) 5
180. Halle el valor de “x” , sabiendo que es un número entero positivo de:
Haciendo x 2x a
x
B) 6 E) 3
7=a+b
Luego a + b + c + d = 0
A) 1 D) -4
7
3x a + 4x b
2
2
2
Haciendo:
2
x x x 5x 6 15 2 2 2
5x 3x 15(2) 0 30 C.S. 1; 2 ; 1;2; 2x
2
2
A) 7 D) 4
Si x 1 y 2 1;2 Si x 1 y 2 1;2
x
3
indicar como respuesta la diferencia de los cuadrados de sus raíces.
Si y = - 2x x 3x 2x 22x 3 2
3
B) 11 E) 17
C) 31
0
x 3 x 296 haciendo x a
3
4
2
4
x 8
3
4
x 2 3
3
3a 296 0 a 8 a 7, 4
5a
4
3
5
3
4
x 7, 8 3
x = 16
183. Si a>0, b>0, mayor numero 3a siguiente: 5b A) 1 D) 4
3a 5b hallar el M que cumpla lo 5b M. 3a
B) 2 E) 5
C) 3
181. Resolver: x 1 x
2
x
2 x
3
0,
e
indicar el menor valor entero.
A) - 2 D) 1
B) - 1 E) 2
C) 0
x2 x 2 x2 x 6 0 x2 x 2 x2 x 6 0 2x 4 0 x 2 x 2; El menor valor entero será: -1
Como 3a 5b
3a 9 a2 3a 5b
2
5b 0 25b2 30 ab 5b 2 3a
184. Si 1< x < 5 Simplificar: E x 2 2x
A) 2 D) x-3
1
B) 4 E) x + 3 2
182. Si: x , ¿a que intervalo pertenece la expresión algebraica: 5 x2
C) 0,5 0,
5 4
x
0 0
25
C) 2 x-6
2
5 B) 0, 4 D) 0,4
y: 1x5 4 x 5 0
E x 1 5 x 4 185. Halle el menor numero impar que
x 2
E x 1 x 5 E x 1 x 5 Como:
10x
1 x 5 0 x 1 4
4
A) 5 , 4
E)
x2
se
0
debe
asignar
a
“K”
2
1
1 x2 4 4 5 5 x2 4 4
en:
k x 8x 4 0 , con la condición que sus raíces sean números complejos: A) 1 D) 7
k x2
B) 3 E) 9
8x 4 0
C) 5
0 b2 4 ac 0 82 4k x 4 0 64 16k 0 4 k 0 k 4 menor impar: k = 5
A) 4,0 C) 0,3 3 E) 0, 2
186. Halle el complemento del conjunto solución de:
1 x
3
1 A) 0, 3 1 C) 0, 3 E)
1 x
,
B) 0, 1 3 D)
0,
1 3
188. Resolver: x2 6x 16 0
x 2 6x 16 0 2 x 6x 9 7 0 2 x 3 7 0 x
189. Indicar el intervalo solución que satisface la desigualdad: +
-
0
Si: 2 x 0 0 4 x2 4 0 4 x2 2 3 0 4 x2 3 2
A)
1 3 0 x 1 3x 0 x 1 3x 0 x 3x 1 0 x Puntos críticos
0
0,2 0,4
7 , 2 4 B) x 4, C) 8,4 D) , 8 4, E) x
1 3
3
+
B) D)
1 3 1 3
1 Complemento: 0; 3
4 x2 3x 7 x 2
A) x 1; 7 / 4;1 B) x 7 C) x ; 4 D) x 1;2 E) x
187. Si: 2 x 0 , a que intervalo 3 pertenece la expresión: 4 x2 2
0
4x2 3x 7
;
2; 1;2
7 4
4x x
7 -1
A) x
4x 7 x 1 x 2
-
7 4
+
-
+
1
7 ;1 4
x
C) x
31 16
E) x
3 4
0; x 2
7 4x 7 0 x 4 x 1 0 x 1 x 2 0 x 2
Puntos críticos
B) x
2
2x2 3x 5 0 3 5 x2 x 0 2 2 3 3 2 2 x 2 4
2;
31 3 ; 16 4
D) x
2
3 4
2
5 2
0
la mitad
190. Halle la suma de todos los números enteros que satisfacen la siguiente inecuación:
2
x
3 4
2
x
3 4
2
x
3 4
4x2 3x 2x 1 5 A) 4
B) 0
D) 3
E)
C)1
+
9 16
5 2
9 16
5 2
0
31 16
>
-
x
4x2 3x 2x 1 0 2
4x
5x
1
0
4x -1 x -1 4x 1 x 1
0
1 4 x 1 0 x Puntos críticos: 4 x 1 0 x 1
-
1 4
x
+ 1
1 ;1 4
191. Resolver: 2x2 3x 5 0
192. El intervalo en el cual se satisface x2 x 6 la inecuación: 2 0 x x 6 es: a;b c;d ; Calcule: a2 b2 c 2 d2 A) 13 D) 26
B) 18 E) 32
C) 23
Factorizando el númerador denominador; vemos que: x
3
x
2
x
3
x
2
N P.C D
0
x=3 x=-2 x=2 x=-3
y
x x
-2
x
-
+
-3
0
3; 2
a=-3 b=-2 c=2 d=3
+ 3
2
2;3
a2 b2
2
2
c
d
26
193. Indique el conjunto solución de la x2 inecuación: 2 x
A) B) C) D) E)
x x
; 2 ; 1
0;3 1;
;0
3;
6 6
x x2
1;6
; 2
1;
2
x
6 6
x
1
x
0
2
6 2
x x
x
6
6
P.C
x=3 D
-
x
-2
0
; 2
0,3
194. Resolver:
x = -2
-
+
0 x=0
N
2x x 3 x 2
b b
2
x
0
2 ab a b
A)
b;
B) C) D) E)
a;0
a;b b;0
a;b
x a x b 2 x a x b 2 a b x 4 ab 0 x a x b Puntos referenciales: 2ab x ;x a;x b a b -a
; 2
x x
1
Pasando todo al primer miembro 2
x x
Si: 0 < b < a
En la recta real: +
a a
+ 3
b
Como x 0 x a,0
2 ab a b
195. Calcule el conjunto solución de: x3 1 x2 x A) 4, 1 C) 1, E) 1,
B) D)
x3 1 x2 x x3 x2 x 1 0 x x2 1 x2 1
0
x x2 1
0
x2 1
x2 1 x 1 0 x 1 x 1 x 1 0
x 1 x 1
2
0
1,1
,1
Puntos críticos: -
+
+
x -1
x
1,
196. Resolver: x2 x 20 0 ………………………….(1) x2 6x 9 0 ………………….………(2) x2 x 2 0 ………..……….………..(3) A) x B) x 5 4 C) D) solución x 4 E) 4 x 5;x 3 De (1): x2
x
4, 5
3
1
20
0
x -5 x +4 x 5 x 4
0
197. El conjunto solución de la inecuación: a x2 b x c 0 ;3 6; Calcule a+b+c. Es: A) 6 D) 12
B) 8 E) 14
C) 10
La solución se deduce de la inecuación x 3 x 6 0 x2 9 x 18 0 Con lo cual ax2 bx c x2 9x 18 a=1 b =-9 c =18 a + b + c = 10
5 -4 Por puntos críticos: +
+
-4
5
De (2): x2 6x 9 0 2 x 3 0 x 3 De (3): x2 x 2 0 1 7 x2 x 0 4 4 x
1 2
2
7 4
198. Señale el valor máximo de k en la inecuación: 2 x2 k x 2 3 x de modo que la desigualdad se cumpla para todo valor de “x”.
A) 8 D) 5
B) 7 E) 4
Preparando la inecuación, se k 3 x 2 0 tendría 2x 2 la condición es : 0 ; es decir
k 3
2
42 2
0
2
k 3 42 0 k 3 4 k 3 4 k 1 k 7 0
0
x
0
Los puntos críticos son k= -1; k=7 en la recta real
Al interceptar:
-
+ -4
C) 6
3
5
-1
0
+ 7
A) - 4 D) - 3 k 1;7 kmax 6
199. Señale el valor entero satisface al sistema.
A) 3 D) 7
0
x3
1
2
x4
1
3
x 2
0
3
x 4 1 ; se descarta ya que sus raíces sus complejas. Factorizando de nuevo.
B) 4 E) 8
5x 24
2
que
C) 5
x 1
2
x2
x 1
2
x 1
2
x2
x 1
2
x 2
x 1 x 3
se x
1
x 1 x 3
x2 5x 24...(1) x2 2x 24...(2)
1.
C) - 2
Factorizando, se tiene x3
2
B) - 5 E) -1
x 8 x 3
descartan los factores: x 1 y x2 x 1 con lo cual
x2
0
x =1 N
-
+
+
x=2 2
-3
x=-1
0
2
x 1 x 1 x 2 x 1 x 3
8
0
P.C x=-1 D
2.
Recta real:
2
x 2x 24 0 x 6 x 4 0
-
+ -3
-
+ -4
3.
x=-3
+
0
x
3, 1
-
-
-1 0
1
1
+ 2
2;
6
Interceptando
6
8
x=7
200. El mayor valor entero negativo que satisface a la inecuación: 2
3
x6 1 x 4 1 x 2 x2 4x 3
0 es:
201. Halle el intervalo 2 resolver: x2 x 1 3x 3 A) x B) ;0 5 3 ; C) x D) 5 3 ; 0; E) x 5
solución al 1 4 2 1 4x
x
x
3 ;0 5
0;
0
x2 x2
x2
2x 1
x2
2x 1
3x 1
3x 1 2 8x
5x 3 5x 3 3 x 5
3x 1
2x 3x 0 x
A) 1 D) 6
B) 2 E) 11
C) 5
0
3 5 x
203. Halle la suma de los , al resolver la inecuación: 3 2 16 x 35x 51x 0 x 4 x2 1
x4
x2
x2
1
x 1 x2
3
0;
x 1
3
x
202. Indicar la suma de aquellos
números enteros que satisfacen la inecuación: x 5
48
2x
4
32
A) 1 D) 5
x 5
2
3x
2
x 2
B) 0 E) 6
48
X=5
2x4
32
2
x
0
C) 4
3x2
0
x 2
17
3x
2
x
-1
x4 16 0
“par” x2 4 x2 4
17
2 x
x
+ -2
2 3
+ 1
2 ;1 2;5 3 1 + 2 -2 + 5 = 5
+ 2
16 x + 51 =0
x=
x – 1 = 0 x = 1 -
-
+
51 16 +
5
51 -1 0
Puntos críticos x = 0 x = 0
x
-
0 0
16 x x x 16x 51 x 1
2 3
“par” +
0
16 x3 35 x 2 51x x 16x2 35x 51
51 16
+ 1
0
;
51 16
0;1
1
x
204. Si: x
5,10 , halle : 32 M-17 N
tal que: N
2x 1 3x 2
A) 18 D) 12
B) 16 E) 10
M C) 14
206. Halle el conjunto solución de: 4x 3 2 3x 2x 3x
1 2
2 3
7 3 3x
2
A)
Como: 5 x 10 9 17
2 3
7 3 3x
D) 1; 5
19 32
2
B) 1 E) 0
7
19 9 ;N 32 17 32M 17N 10
M
4x 3
2 3x
2 3x 0 205. Encontrar el número mayor M con la propiedad de que para todo se cumple:
x
A)
2 3
D)
B) 6 5
E)
M
x
5 6 2 5
2 5
x
1 5
C)
2
9 4
3x 2 0
4x 3 2 3x 7x = 5 5 7
x
2 3
M x
2 5
x
1 5
1 =x
5 7
1
2
Haciendo cambio de variable y M y2 1 M
1 5
x y2 y 2 y M 2 0;
A) C.S. y
0
4 M 2
0
B) C.S. C)
9 4
El mayor valor M
4x 7 3 5 1; 8 8 1; 5
207. Resolver:
9 4
8 5
C.S.
D) C.S. E) C.S. 4x 7 3
1;3
2x 3
2x 3 0
x
x
2 3
4x 3 2 3x - 4x+3 = 2-3x
C.S.
5 7
C)
3 2
2x 3
4x 7 2x 3 3 4x-7=6x-9 2=2x 1=x
4x 7 2x 3 3 -4x+7=6x-9 16 = 10x 1,6= x
2 3
1
4x2 3x 1
4x2 3x 1 x2 2x 1 4x2 3x 1 x2 2x 1
1 6
x=0 x
+
2 3
B)1
D) 3
4x
2x 1
3 2x 1 4x
3 2x 1
6x 4 2x 2 x
2 3
+
x
-
2 3
+ 1
0;
0
0
210. Halle la suma de los valores enteros que pertenecen al complemento del conjunto solución de la inecuación: x 2 1 x x 2
A) 0 D) 3
B) 1 E) 4
C) 2
+
x 2 1 elevando al x x 2 cuadrado y por diferencia de cuadrados: x 2 1 x 2 1 0 x x 2 x x 2 x2 4 x x2 4 x 0 x x 2 x x 2
1
2 ;1 =1 3
B) E) -2
-
+
1 2 ;1 5 3 El menor número entero
209. Al resolver, indicar el menor valor entero que satisface la 2 2 desigualdad: 4x 3x 1 x 2x 1
A) 0 D) 2
2 x = 1 3
1 5
x
x=1
2 3
x
C) 2
E) 5
4x 3
1 5
0
208. Resolver: 4x 3 2x 1 , e indicar como respuesta el mayor de los números enteros que pertenece a su conjunto solución.
A)
0
5x2 x 3x2 5x 2 0 x 5x 1 3x 2 x 1 0
8 5
C.S.
x2 2x 1
x2
x 4 x2 x2 x 2
C) 1 C.S.
,
x 4 2
1 17 1 17 1 17 1 17 , , 2 2 2 2
Entonces: {2, 2}
-4x-7; x x-7; x 7
211. Si el conjunto solución de la inecuación
x 1 2 x 4x 8
la forma:
;
1 x 1
a b
c
x 7
7-x; x<7
tiene
Halle:
a+b+c
A) 5 D) 9
B) 7 E) 10
x 1 x 4x 8 x2 2x 1 x2 x2
1
x
4x 8
x
A) 60 D) 63
x 1 x 4x 8
1 x 1
;
7 2
2
x 1
2
0
x 6 0 x 12 0 x 6 x 12 x= 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
214. Resuelva la inecuación x 1
A) 0; C) ;1 E) ;0
a + b + c = 7 + 2+1 = 10
4x 7
B) 2 E) 5
B) 1; D) 1;1
x 7
x se resuelve a una constante, para x 2,5 ; halle dicha constante.
A) 1 D) 4
C) 62
0
1
212. Si la expresión E
B) 61 E) 64
0
x2 4x 8 x 1
2x 7 2x2 6x 9 2
2
4x 8 x 2 2x 1 x2 4x 8
4x 8 x 1
5
213. Halle la suma de los valores enteros que verifican a la x 12 0 inecuación x 6
2
x 1
para x 2;5 4x 7 7 x E x
C) 8
Elevando al cuadrado 2 x 1 1 2 x 1 x 4x 8 Luego: 2
x 1 0 x 1
x 0 x 0
C) 3 1
4x+7; x 4x 7
7 4
7 4
Universo: x 1 Elevando al cuadrado x 1 x2 3 x2 x 1 0 ;
x
x x
interceptando 1;
217. Cuántos valores enteros satisfacen a la inecuación 1 1 0 4 x 2 49 x
A) 31 D) 34
215. Indicar el conjunto solución de x 2 x 5 3
A) 5; D) 6;
B) 6; C) E) 2;5
5;
Universo x 2 0 x 5 0 x 5 x 5 3 x 2 Elevando al cuadrado x 5 9 6 x 2 x 2 6 x 2 12 x 2 2 x 2 4 x 6
1. 2. 3. 4.
B) 32 E) 35
x – 2 > 0 x > 2 9 – x > 0 x < 9 3; 4; 5; 6; 7; 8. 3 4 5 6 7 8
218. Señale el intervalo en el cual le satisface la inecuación 2x 5 x2 5x 6
A) 2; 5
B)
3;0
C) 5 ;4
D)
3;6
2
2
216. Indique el conjunto solución de 3 3 x 3x2 5x 2 x 1
A)
;0
C)
;
E)
B)
0;
E)
7;
5 2
0;
D) 1 ;
1 2
C) 33
2
1.
1 2
x2 5x 6 0 x2 5x 6 0 x 3 x 2 0 +
+ 0
Elevando al cubo. x3 3x2 5x 2 x3 3x2 3x 1 2x 1 x x
2.
;
3
2x – 5 < 0 x
3.
1 2
2
5 2
De …(1) y …(2)
x
2;
5 2
1 2
219. Al resolver: x 4 3 x 1 4 , indicar como respuesta la suma de sus raíces.
A) D)
9 11 2 7
7 8 9 4
B) E)
4 7
C)
220. Indicar el menor valor entero positivo que satisface la desigualdad: x 1
x+4=0 x=-4
x 4
x -1 = 0 x=1
3x 1
-4
x
+ +
+
11 2
0,04
x 3 2
B) 2 E) 0
C) 3
4 x 1
. . .
1 25
…
1 5
…
…
x x x x x2
Cálculo de - (x+4) + 3(x-1) = 4 - x – 4 + 3x -3 = 4 2x = 11 x=
x
A) 1 D) 4
1
; 4 x 4;1 x 1;
0,008
x 2 3
; 4 x
x 2 3 x
x 2 x 1
1 25
x 3 2
x 3 x
1 5
2 x 3 1 x 2 x 3 0; x 0;1 1 x 2x x2 4x 3 0 x x 1
6x 3 x x 1
0
puntos críticos x Cálculo de (x+4) +3 (x-1) = 4 x + 4 + 3x – 3 = 4 4x = 3 3 x 4
x
Cálculo de (): (x + 4) 3(x1) = 4 x=
3 1 2
Luego: 3 3 , 4 2
3 3 9 4 2 4
+
0
4;1
3 4
x
0;
1 2
1 ;0;1 2
-
1 2
+ 1
1;
2 x 3 1, 221. Al resolver: 2x 1 se obtiene x a;b ; según esto, hallar (b+c).
A) 17 D) 14
B) 16 E) 13
2x 1
2x 1 0
x 3 0
x
x
x 3
1
1 2 x 3
1 ; 2
C) 15
..Universo
2x 1
2
1
x 3
2x 1 1 2 x 3 x 5
2
2 6x 4x 7 6x 2 2 6x 4x 7 4x 7 6x 2 9 < 10x -5 < 2x 9 5 x x 10 2
2
x 3 2
2 x 3
x2 10x 25 4x 12 x2 14x 13 0 x 13 x 1 0 x = 13 x = 1
C.S.x 1 2
1
1 ;1 2
x
13;
222. Halle el valor de “x” que satisface la desigualdad. 2 4x 7 8
3 4
2 4x 7 8
3 4
2 4x 7 8
x 5
4x
D) 9 ; 10
B) 12 E) 20
E)
2 x 4
2 2 x
2
x 5
4
C) 15
2x x 1
2x x 1
5
x 4 x 0 x 5 x 1 3 4 3 4
3 4x 1
x2
3x 4 x2 5x x 5 x 1
2 x 2 x 5 x 1
12x 12
+
x
1 3
0
2
C.S.
0
+
-
-1
C.S. 6x 2 0
22x
C)
x
2 4x 7 8 12x 12 2 4x 7 12x 4 4x 7 6x 2
x 1
4
A) 6 D) 17 B)
9 10 5 ; 2
223. Halle la suma de los valores enteros positivos que pertenecen al complemento del conjunto solución de la inecuación
4 x 1
64 27
A) ;
9 10
1 9 3 ; 10
13
b c b + c = 1 + 13 =14
3 4
5 2
1;2 C
5
5; 3 4 5 12
224. Halle el conjunto solución de la 2 x 1 x 1 x 3 x 2 inecuación: 3 9 3 9
ax2 b , a b
226. Sea la función: f x
constantes y “x” un número real
A) C) E)
3
3
cualquiera. Los pares ordenados (0;3); (2;2) y (3;R) corresponden a los puntos de la función,
B) ; 3 D) 3;
3;
;3
¿Calcular el valor de “R”?
2;3
x
2
x
3
x 2 x 3
1
x
9
x
2
2
1 x x 2
3
x 2 1 x 2 x 3 x 2 x 2 2 x 1 0 x 3 x 2 3x2 4x 10 0 x 3 x 2 C.S. 2;3
3 4
A) 1
B)
D) 2
E) 5
C) 1; 3
f x ax2 b y ax2 b Evaluando: (0;3) 3 a 0 2 b (2;2) 2
a2
2
b
b
3
b 2 4a b
a
1 4
2
(3;R) R a 3 b 1 R 9 3 4
225. Indicar el mayor valor entero del conjunto solución de la inecuación x2 2x 15 x 1
A) -1 D) - 4
B) -2 E) -5
R=
C) -3 227.
Halle el dominio de f x
22
x2
A) B) x / 4 x 4 C) 2;2 D) 2; 2;2 E)
Si: x2 2x 15 0 x 3 x -5
-3
3 4
5
Si además x+ 1 0 x 1 C.S. ; 3 mayor valor entero = -3
Como
fx
0,
entonces
definida solo si 4 x2 0 Luego: x2 4 0 x 2 x 2 0
esta
x = 2 x = -2
+
-
x
2;2
Dom f
2
2;2
ó
x
/ 2
x
2
228. Halle el dominio de la función: y f x ; tal que f x x 2 6 x
A) 2;4 D) 2;6
B) 2;6 C) 2;4 E) 6;
x 2 0 x 2 x 2;6
6 x 0 x 6
1
2 3
C)
2
6
gx
2 x 12
3
A) C) E)
Rang g
B) D)
2;6 6;
3;6 ; 3
3;6
Rang f ;6 Rang g 3; Interceptando Rang f Rang g = 3;6
231. Halle “p” para que el conjunto de pares ordenados de: f 2;3 ; 1;3 ; 2;P 6 sea función
229. Halle el rango de la función f cuya x 2 regla es f x x 3
A)
3 x 1
Señale Rang f
+
-2
fx
B)
1
D)
2 ;1 3
A) -5 D) 2
B) - 4 E) - 1
C) - 3
(2;3) = (2; P + 6) Luego: 3= P + 6 - 3 =P
E) 232. Señale el dominio de la función f;
y
x 2 xy 3y x 3 xy x x y 1 x
Rang f
x 2
3y 2 3y 2
3y 2 y 1
1
230. Dada las funciones f y g cuyas reglas de correspondencia son
x2
si f x
A) B) C) D) E)
x2
1
; 1 1; 1;1 1; ; 1 U;1 1;1
x2 x2 1
0
0
x2 x 1 x 1
P.C.
N
A)
0
C)
x=0 x=1 x = -1
D
+
1 2 1 ;4 2
B) D)
-
-1
Como f x
+
definida si:
1
; 1
Luego x 3
1;
0, entonces
x 3 2x 1 x
2x 1 0
x
-
1 2 1 x
; 1 0 1;1 0 1;1
Como
0,
fx
pues
x
0,
1 x2 0 x2 1 0 x 1 x 1 0
+
x = -1 -
-1
x 1;1 1;1 dom f
234. Si f x
Dom f
+ 1
0
x 3 , halle su dominio. 2x 1
;
1 2
puntos
+ 3
3;
1 ;3 2
235. Si la función parabólica 2 f x,y / y ax2 bx c pasa por los puntos A (1,2); B (-1;12); C (0;4) Calcule a b c
A) 1 D) 4
entonces:
x=1
x
1 x2
x
esta 1 2
1 críticos 2
0
233. Halle el dominio de f x
0
3
0
+
A) B) C) D) E)
3;
E)
-
Dom f
;
B) 2 E) 5
C) 3
x = 0 c = 4 x = 1 a + b+ 4 = 2 a + b = -2……………….… x = -1 a-b +4 = 12 a – b = 8…………………… De y a = 3 y b = -5 f x 3x2 5x 4 f1 3 5 4 2
236. Señale el valor máximo de la función f, si la regla de correspondencia es: 2 2 2 fx x 1 x 2 x 3
A) - 1 D) - 4
B) - 2 E) - 5
C)- 3
Si: x
144 168
24 2 3
fmáx
1 ; 2
1 2
C)
;
E)
1 1 ; 2 2
2x
x- 1; x
1 2
R f
1 y 2 1 y 2
1 ; 2
A) 1 D) 4
24
4
B)
1 ; 2
D)
;
2x-1; x
1 2
1-2x; x
1 2
1 =
1 2 1 2
238. Dada la función f x ax b; x donde a y b son ctes reales, si f x y f x f y x,y , y si fx 2 6 Halle: a +b
237. Halle el rango de la función f definida por: f x 2x 1 x
A)
1 2
f x
Si: x Operando: fx x2 2x 1 fx x2 4x 4 fx x2 6x 9 fx 3x2 12x 14 a = -3; b = 12; c = - 14 f máx 4a 144 4 3 14
1-3x; x
1 2
Como f x
B) 2 E) 5 y
fx
C) 3
f y
a x y b ax b ay b b=0 luego: f x ax f 2 2a 6 a 3 a +b = 3
239. Halle la suma de los valores enteros del dominio de la función: x2 3x 4 f x 21 x2 4
A) 0 D) 5
B) 1 E) - 5
C) - 1
El dominio esta dado por la solución de la inecuación: x2 3x 4 0 21 x2 4
- 3a+b = -13 2
x
3x 4
0
x
, 1
x2
4
0
x2
21
x2 2
4
4;
4
21 a + b = - 1 (-) -3a + b = - 13
0
x x
25 0 ; 2
x
5,5
4a
= 12 a=3 b=-4 3a – 2 b = 3 (3) – 2 (-4) = 17
2;
Dom f
5; 2
4;5
240. Si M 2;6 ; 1;a b ; 1;4 ; 2;a b ; 3;4 es una función, halle: a2 b2
A) 12 D) 26
B) 16 E) 27
(2;6)= (2;a+b) 6 = a+b
C) 32
1;a b
a – b = 4
a +b = 6 a – b = 4 2a = 10
a=5 b = 1 a2 b2
1;4
+
7;1 A) 0 C) E) 1;
Como f x
0
x2
* *
,
16
5
2
1
26
B) 16 E) 23
C) 15
entonces
3
y 32 x2 16 y2 6y 9 x2 16 x2 y2 6y 7 x y2 6y 7 0 y 6y 7 0 y 7 y 1 0 2
y = -7 y =1 -
y Ranf
; 7
+ 1
-7
ax b , evaluando:
f1 1 a1 b 1 a +b = -1 f 3 13 a 3 b 13
6 3
7;1
2
2
+
Si f x
B) D)
x2
esta
definida solo si: x2 16 0 pero, como nos solicitan el rango, entonces: y
241. Sea una función definida en el conjunto de los números reales, ax b y además por f x f1 1 f 3 13, hallar: (3a-2b)
A) 17 D) 19
242. Halle el rango de: f x
1; 7;1
243. Si f x
2;
x2
g
a,
x
x
determinar el valor de “a” de
modo que (f o g) (3) =(g o f)(a-1)
B) - 8
A) -8 D)
1 7
7 1 8
E)
f og 3
f g3
7 8
C)
y el dominio es 10;
A) 6 D) 10 a2
f 3 a
2
g f a 1
g a 1
gof a 1
gf a 1
a2 a 3
x 2 0 x 2 x 3 0 x 3 . . . x n 0 x n Como : n > 2 > 3... Domf n; n = 10
8 7
244.
Si: f x valor
C) 9
2
Reemplazando resultados: (fog) (3) = (gof) (a1) a² + 6a + 11 = a² a+3 a=
B) 7 E) 13
6a 11
gof a 1
245. Señale el valor de “n” en la función f ; si f x x 2 x 3 ... x n
2x 3b , determinar el
de
“b”
de
manera
f b 1
3f * b2 ;b
A) 3 D) - 4
B) 4 E) 2
que SEMANA 13
C) -3
TEMA:
246. Calcule el siguiente límite
x3 5x2 3x 3 lim x 1 3x3 6x2 9x
Calculando f * x :
f f* x
x ,x
Df *
2 f* a
3b x x 3b f* x ;x Df * 2 Como: f b 1 3f* b2
2 b 1
3b2 11b 4
b=
1 3
3b
3
b2
0
b=-4
3b 2
A) 5
B)
1 6
E)
D)
1 3 6 5
C)
5 6
Factorizando numerador denominador. x 1 x2 6x 3 lim x 1 3x x 1 x 3 x2 6x 3 5 lim x 1 3x(x 3) 6
249. Hallar
D)
1 4
B) 3
C)
1 3
A) -3
B) 2
3 4
E)
D)
1 2
Evaluando: 2
P 1 2
1 1 8 2 3 2 2 2 13 0 2 3 1 2 0 1 1 12 2 2 2 2
Factorizando: Luego: P x
a ax x2 248. lim x a a ax
B) a E) a2
2x 1 4x 3 4x 3 ,y 2x 1 6x 2 6x 2
1 4 3 1 5 2 1 x P 2 5 1 6 2
como
C) -a
Multiplicando al numerador y denominador por su conjugada se tiene: a2 ax x4 a ax lim xa a2 ax a ax x2
a a x a2 ax x 2 a ax
= 3a
C) 1
E) 2
lim xa
límite de la 8x2 2x 3 ; Px 12x2 2x 2
para x=0,5
Hacemos un cambio de variable x y3 y6 x 3 x y2 x 8 y3 8 lim 3 lim 2 x 64 y 2 y 4 x 4 y 2 y2 2y 4 lim y 2 y 2 y 2 3
A) 3a D) 1
valor
expresión
247. Calcule el siguiente limite: x 8 lim 3 x 64 x 4 A) 4
el
a a x a ax x2
250. Halle el V.V. de la expresión x2 x2 12x , para x =4 T 2 x 5x 4 1 2 1 D) 6 3
1 3 1 E) 5 2
A) 11
3
B) 9
C)
2
7
4 4 12 4 64 16 48 0 T 2 16 20 4 0 4 5 4 4 Factorizando num. y den. N = x x2 x 12 x -4 x 3
2 3
=
x x 4 x 3
D=
x2 5x 4 x -1 x -4 (x-1)(x-4)
=
253. Calcule: lim x 1
x x 4 x 3 x x 3 , x1 x 1 x 4 como x = 4 4 7 28 T 3 3 T
y
8x2 5x 6 251. Halle el lim x 4x2 x 1 A) 6 D) 2
B) 0 E)
C) 1
x 1 x 1
A) 1
B)
1 4
E)
D)
lim x1
x 1 x 1
1 2
1 3
C)
1 5
x 1 x 1
1 2
x10 a10 254. Halle lim xa x5 a5 A) 2 D) a5
B) a2 E) 2 a5
C) 5
2
8 5
2 x 4 1 Dividiendo numerados y denominados entre x² 5 6 x2 8 2 8 5 6 x x 2 8 0 0 2 lim x 1 1 400 1 1 2 x2 4 2 x x lim
x3 1 252. Calcule: lim x 1 x2 1 A) D)
2 3 1 4
B) E)
3 2 5 4
x 1 x2 x 1 3 lim x 1 2 x 1 x 1
Factorizando:
x lim
5
x a
C)
x
5
x
5
a
5
a5
2a
5
255. Halle el valor de 2x20 3x10 1 lim x 4x20 2x5 1 A) 2
1 2
a5
D)
3 4
B)
1 2
C) -2
E)
Coef de x 20 Númerador lim x Coef de x 20 Denominador 2 1 lim x 4 2
256. Calcule lim x A) 0 D) -1
x10 x 2 x2 x 1 B) E)
T
C)
Efectuando operaciones: x6 x 1 x x 6 x 1 x 6 T x x 4 x 4 x 4 x 4 x x 4 x4 1 y como x x 4 x 4 x x 4 1 1 x=4 T ó 25 4 4 4 32
x10 x 2 lim ; ya que el x x2 x 1 exponente de númerador es mayor que el exponente del denominador.
257. Halle el lim x2 4x x2 x x A) D)
B)
3 2
E)
2 3 5 7
C)
259. Halle el
2 3
2 2 lim 4 x Multiplicando la expresión por la conjugada x2 4x x2 x x2 4x x2 x
lim x
2
x
4x x2 x
x 4x x x 2
2
3 1 4 1 1 258. Halle
4 4 x 1 x 1 x x
3 2
D)
1 3
B) 24 E) 0,25
x 3
27x3 6x 5 16x 2 5x 2
A) 6
B) 0
D)
E)
C)
1 7
4 7
4x
lim
6 5 5 2 27 2 3 x2 16 2 x x x x
6
valor
4x
3 2 3 27 6 5 16 5 2 Indeterminado Transformando adecuadamente
3
aproximado de x6 x1 la función Tx 2 , para 2 x 16 x 4x x=4
A) 25
el
3x
lim
4
x
x lim
46 41 10 5 2 2 0 0 4 16 4 4 4
5
5
2
2 2
2
6
5
5
2
0
0
0
0
C) 23 260. Si: lim x0
senkx 1 kx
4x x 3 27 16
4 7
sen 3 x sen 5 x Calcule lim x 0 3x 5x 34 15 5 E) 3
A)
B)
15 20 17 C) D) 34 31 19
3 sen 3x 5 sen 5x E lim x 0 3x 3 5x 5 E
3 5 9 25 34 5 3 15 15
6x 5 sen 2x x lim x 0 2x 3 sen 4x x sen2x 6 x lim x 0 sen 4x 2 3 x sen2x 62 x lim x 0 sen4x 23 4 4x 62 2 2 12 7
261. Halle la suma de las constantes k y b, que cumple
lim k x b x 0
x3 1 0 x2 1
263. Calcule el siguiente limite lim x 0
A) 1 D) 3
B) 0 E) -1
C) 2
x 1 x2 1
kx b x2 1 x3 1 lim x 0 x2 1 lim x 0
kx3 b2 kx b x3 1 x2 1
k 1 x3 bx 2 kx b 1 lim 2 x 0
x 1 como el limite es cero, entonces k = 1, b = 0 k +b = 1
2 7
D) 6
E) 2
C) 1
B) 0 E)
1 6
Aplicando la Regla de H´ospiral d 1 cos6x 0 sen 6x 6 dx lim lim x 0 x 0 d cos 6x sen6x dx Evaluando: 0 0 uno
lim
6x sen2x lim x 2x 3sen4x
D)
B)
264. Calcule el siguiente limite: tg x sen x
262. Calcule el siguiente limite:
A) 3
1 6
A) 0
3
lim k x b x 0
1 cos 6x sen6x
x
C)
6 5
A) D)
x3
B) E)
senx senx cos x lim x x3
C)
lim
sen x 1 cos x
a1 5
x3 cos x sen x 1 cos x 1 lim 2 x x cos x x 1 2 x
265. Halle el valor de “a”, sabiendo que: lim x
D)
B)
1 3
1 2
267. Encontrar la mayor edad de tres personas; sabiendo que forman una P.A creciente, cuya suma es 63 y la suma de sus cuadrados es 1373.
C) 2
A) 27 D) 24
numerador
y
lim x
x x 2a
1a
x xa x
2 441 r2 441 1 373
A) 11 D) 23
B) 19 E) 25
a9 a1 8r 21 a1 8 2
C) 21
C) 25
2 212 r2 212 1 373
Este resultado igualamos con: 2a-5 a=2
266. Cuántos términos debe tener una P.A. cuya razón es 2. Sabiendo que el noveno término es 21 y la suma de todos ellos es 437.
B) 26 E) 23
a-r,a,a+r S = 63 3a = 63 a = 21 a r 2 a2 a r 2 1 373 2 a2 r2 a2 1 373
x x 2a x a
x
E) 3
Factorizando denominador: lim
a > 0
x3 2a2 x ax2 2a 5 2ax x2
A) 1
2 a1 n 1 r n 2 2 5 n 1 2 437 n 2 437 4 n n n = 19 S
r2 25 r 5 16 , 21 , 26
268. La suma de los tres primeros términos de una P.A. es 42, la suma de los tres últimos es 312, y la suma de todos los términos 1062, ¿de cuántos términos consta dicha progresión? A) 14 D) 18
B) 16 E) 19
a1,a2 ,a3.....an2,an 1 ,an a1 a2 a3 42 +
C) 17
an ,an 1 an 312 a1 an an a1 a1 an 354 3 a1 an 354 a1 an 118 S 1 062
a1 an 2 n 1 062 118 2 n 1 062 n = 18
a1 a6 5r a1 17 5 3 a1 2
269. En una P.A. los términos de lugares 11 y 21 equidistan de los extremos y suman 48. Determinar la suma de todos los términos de dicha progresión. A) 360 D) 744
B) 372 E) 804
C)
720
a8 a6 2r a8 17 2 3 a8 23
a1 ,........a11................a21 ..........a n 10
271. Dadas las progresiones aritméticas: * x 2y 4x 1 ... * y x y 2y 2 ... Calcule el valor de (xy)
48
Último: a31 n 31 a an S 1 n 2 48 S 31 2 S = 744
A) 3 D) 9
B) 30 E) 20
C) 80
B) 4 E) 12
C) 7
2y – x = 4 x + 1 - 2y 4y - 5x = 1
270. En una P.A el tercer término es igual a 4 veces el primero y el sexto término es igual a 17. Halle la suma de los 8 primeros términos. A) 50 D) 10
a1 a8 8 2 2 23 a1 a2 ..... a8 8 2 a1 a2 ..... a8 25 4 100 a1 a2 ..... a8
10
a1 an a11 a21
a3 4a1.... a6 17 De : a6 3r 4 a6 5r 17 3r 4 17 5r 17 3r 4 17 20 r 17r 3 17 r=3
x + y – y = 2 y + 2 – x –y x = y + 2 – x 2x –y = 2 y=2x-2 4 2x 2 5x 1
8x - 8 - 5x = 1 3x = 9 x = 3 y = 4 x y = 12
272. Calcule: 2 26 242 K 1 2 6 10 ... 3 3 3 201 80 80 D) 201
101 80 200 E) 81
A)
K 1 K 1
B)
C)
301 80
S1 :n 2 a1 a2 15 r 7
2 26 242 .... 32 36 310
4 11
3 1 27 1 243 1 .... 32 32 36 36 310 310
1 1 1 1 1 1 K 1 3 5 ... 3 5 ... 3 3 3 9 9 9
K 1
1 3
273. La suma de los “n” términos de una P.A. es:
7n 1 n 2 Calcule el término que ocupa el lugar 21. Sn
B) 144 E) 100
a21 a1 20r a21 4 20 7 a21 144
A) 3n2 5n 2 B) 3n2 5n 2 C) 3n2 5n 2 D) 3n2 5n 2 E) 3n2 5
201 80
A) 122 D) 105
274. En una P.A. la suma de sus “n” términos está dada por: S 3n2 n , ¿Cuál será la expresión de la suma sino se considera el primero ni el último?
1 9
1 1 1 2 1 2 3 9 1 1 3 9 K 1 3 9 1 8 80 8 80 9 81
K
7n 1 n, a21 ?? 2 a an Sn 1 n 2 a1 an 7n 1 2 n 2 n a1 an 7n 1 S1 : n 1 2a1 8 a1 4 Sn
C)
169
S 3n2 n a1 an a1 an 2 2 n 3n n 2 3n 1
Sin considerar a1 y an a an1 S 2 n 2 2
a2 an n 2 2 S 3n 1 n 2 3n2 5n 2 S
275. En una P.G. de tres términos la suma de ellos es 248 y su producto es 64 000. Escribir la progresión y dar como respuesta el mayor de sus términos. A) 50 D) 200
B) 100 E) 220
C)
150
T1 , T2 ,T3 T , T , Tq q T T T q 248 …………………. q T T T q 64 000 q T 3 64 000 T = 40
T1 x 2, T3 x 6 T1 T3 2 5 x2 5 T2 3 T2 3 3 T2 x 2 5 Además: T3 T2 T22 T1T3 T2 T1
9 2 x 2 x 6 x 2 25 Resolviendo x = 3 277. La suma de los términos que ocupan el lugar impar en una PG. De 6 términos es 637 y la suma de los que ocupan el lugar por 1 911. Halle la razón. A) 3 D) 6
B) 4 E) 7
C) 5
T1, T1 q, T1 q2 , T1 q3 , T1 q4 , T1 q5
En 1 40 1 q 248 q Resolviendo: q=5 T q 40 5 T q 200
T1 T1q2 T1q4 637 T1 1 q2 q4 637 T1 q T1q3 T1q5 1911 qT1 1 q2 q4 1 911
276. Determinar “x”, si el primer término de una P.G. es igual a (x-2); el tercer término es igual a (x+6) y la media aritmética de sus términos primero y tercero se refiere al segundo como
5 . 3
A) 7 D) 5
C) 4
B) 3 E) 2
q=3 278. La suma de los términos de una P.G. de 5 términos es 484. La suma de los términos de lugar par es 120. ¿Cuál es la razón entera de la progresión? A) 3 D) 6
B) 4 E) 7
C) 5
T1 T1q T1q2 T1q3 T1q4 484 T1 1 q q2 q3 q4 484 T1q T1q3 120 T1 q q3 120 : 1 q q2 q3 q4 121 30 q q3 Resolviendo: q = 3
279. La suma de 3 números en P.A. es 15, si a estos números se agregan el doble de la razón excepto al término central entonces ahora se encontrarán en P.G. indicar la razón de esta última progresión. A) D)
20 3
10 3
B) -3 E)
C) 5
5 3
a - r, a, a + r 3a = 15 a=5 5 – r, 5, 5 + r 5+r, 5, 5+ 3r P.G. 5 5 3r 5r 5 25 5 r 5 3r 25 25 20r 3r2 3r2 20r 20 r 3
280. En la P.A. 100 96 92.... Calcule el término que ocupe el lugar 18.
A) 30 D) 33
B) 31 E) 34
C) 32
a1 100 an ? r = 96-100= -4 n = 18 an a1 n 1 r a18 100 18 1 4 a18 100 68 a18 32
281. Calcule el séptimo término de la sucesión 21 22..... A) 26 D) 20
a1
B) 27 E) 22
C)
20
1 2
n=7 1 1 1 r 4 2 4 a7
1 1 6 2 4
1 3 2 2 2 a7 1 2 a7
282. Señale el valor de: 1 1 1 1 1 P 1 ... 2 3 4 9 8 A) 0,2 D) 0,8
B) 0,4 E) 1, 0
C) 0,5
1 1 1 1 3 2 S1 1 ..... 1 3 2 3 9 1 3 1 1 1 S2 ..... 2 4 8
S2 1 3 32 1 P 1 2 2 2
1 2
1 2 1 1 1 1 2 2
283. Halle el n-esimo término de la sucesión 8 13 18....
2n 1 6 n 1 C) 2 n n 1 E) 6 A)
2n 1 6 n 1 D) 2
B)
Operando x2 2x 1 x2 4x 4 x2 6x 9
x2 2nx n2 nx2 n x2 2x 1 2 3 ... n 12 22 32 ... n2 nx 2
A) 16n2 30n 6 B) 25n2 30n 9 C) 16n2 25n 9 D) 4n2 2n 1 E) 64n2 8n 21
2 2 2 2 x 1 x 2 x 3 ... x n nx2
n n 1 n n 1 2n 1 2 3 2n 1 2n 1 2x ,x 3 6 2x
a1 = 8 = 5 + 3 a2 = 13 = 5 2 + 3 a3 = 18 = 5 3 + 3 an = 5n + 3 an² = 25n² + 30n + 9
284. Calcule el valor de P 1 2 3 4 ... n A) -n
B) n
D) n -1
E)
C)
n+1
n 2
A) 10 D) 2 200
n: es un número par Para 2 términos: 1- 2 = -1 Para 4 términos: 1 - 2 + 3 - 4= -2 Para 6 términos:1-2+3-4+5-6=3 Para n términos:
286. Determine el valor L og100 N 1,5 L og512 29
n 2
L og100 N
B) 100 E) 512
si
C) 1 000
3 3 L og512 512 L og100 N 2 2 3 1 2
N = 100
3 2 2
N = 10 285. Señale el valor de “x” en la ecuación
“N”,
1 000
287. Calcule k L o g 1 0, 00032 L o g 2 2 0,5 25
A) D)
5 2 7 2
3 2
B)
C)
3 2
E) 3,7
5
k L og 1 32 10 L og 2 2
1 2
289. Halle el valor de W=Log2 L og3 antilog3 L og1,5 2,25 A) 0 D) 1,5
B) 1 E) 0,75
C) 2
w Log2 L og3 antilog3 L og1,5 1,5
2
25
2
x
w Log2L og3 antilog3 2 1
1
x
5 1 5 25 2 2 5
52x 25 25 55 52x 55 -2x=-5 x
K
290. Resolver Log23 x 2Log3 x 3 , e indicar el producto de sus raíces.
5 2
5 7 1 2 2
288. La expresión: 1 1 antilog L og a L ogb 2L og c es 2 3 igual a: A)
ab c
D) 3
a b c2
a b c2 ab E) 3 2 c
B)
ab C) 3 2c
A) -4
B) 9
D) -3
E) 1
1 9
C)
Log3x2 2 Log3x 3 0 a a2 2a 3 0 a 3 a 1 0 a = -3 Log3 x 3 x1
1 27
x1x2 =
a=1 Log3 x 1
x2 3
1 1 3 2 9
1 L og a L og b L og c2 3
antilog
1 a b L og 2 3 c a b a b antilog L og 3 2 3 2 c c antilog
291. Resolver: Logx x
x x x
x2
x 2
, e
indicar el valor x2 1 A) 15 D) 37
B) 8 E) 48
C) 24
x
xx Logxxx x2x4 x x2x x x x 4 x x 4 x x x x2x xx5 x2x x + 5 = 2x x=5 52 1 24
8 2 2 2
Log 13 2
B) 2 E) 3; 2
C) 5
3 2
6 13
294. Señale el valor de x que satisface a la igualdad. 7x2 1 Log5 (x 3) 5 7x 3 12 5 5 B) 12
A)
C) Indeterminado D) Incompatible E) x
293. Calcule el logaritmo de 2 2 en base 8 4 2
D)
1
1 2 22
3 2 13 4
Verificando, no será valor de la ecuación C.S.= 5
A)
2
24
0 x2 3x 10 x -5 x 2 (x-5)(x+2)=0 x = 5 x = -2
7 2 8 7
13 4
23 24
Ln12 Ln x 2 Ln x 1 Ln12 Ln x 2 x 1 12 x2 3x 2
1 4
Log84 2 2 2 Log
292. Resolver Ln 12 Ln x 1 Ln(x 2), e indicar su conjunto solución: A) 5; 2 D) 1;5
3
4
11 B) 3 9 E) 4
6 C) 13
7 x2 1 x3 7x 3 2 7x 3x 21x 9 7x2 1 - 24 x +9 = - 1 10 = 24 x 5 x 12 295. Resolver la ecuación 2 Logxxx Logx2 xx 24 A) 3 D) -8
B) 4 E) C ó D
Como: Log an am 1 2
3 2
Log2 2 Log2 2 Log2
x2 24 x 2
m n
C) 6
2x x2 48 x2 2x 48 0 x 8 x 6 0 x=-8 ó x=6 x=6
x2 3
x2=
B) 8 C) 10 E) Incompatible
297. Señale el producto de las raíces de la ecuación: 81 Logx 3 27 x
1.
2.
a) b)
1 B) 9
nlogn x log x nn A) n D) nn1
B) nn E) nn
C) nn1
n 1
Elevando a la potencia “n”
nLogn x
nLognx
n n n
n
nLogn x nn Logn x nn1 n 1
x nn
299. Halle la suma de las raíces de la siguiente ecuación
Log2x Log2 x
1 C) 27
A) 16 D) 21
1 E) 243
Logx 3 Logx 81 Logx 27 Logxx Logx 3 4Logx 3 3Logx 3 1 Logx 3 z 4 z2 3z 1 4z2 3z 1 0 4z 1 z z -1-4z - 3z 4z 1 z 1 0 z = 1 x=3
n
n
B) 17 E) 32
C) 19
Log2x z 2 zz z = 4 4z z2 z = 0 Log2x 0 Log2x 4 x 24 x 20 x = 16 x = 1
Tomando logaritmo en base “x”
1 z = 4
1 27
298. Señale el valor de “x” que verifica la igualdad
1 1 Logx a a a 2 2 2 a a 1 2 a a 1 Elevando al cuadrado 4a a2 2a 1 0 a2 2a 1 a = 1 Logx = 1 x = 10 Incompatible
1 A) 3 1 D) 81
1 81
x1x2
296. Resuelva la ecuación 1 Logx Log x 2 A) 6 D) 100
1 4
16 + 1 = 17
300. Indicar el producto de las raíces de la siguiente ecuación
y2 Log2 y2 y Log2 8 y Log2y3 Log2y 8 Log y3 LogyLog y3 Log y 8 3 Logy Log y 3 Logy Log y 8 2 Log y 4 Log y 8 Log2 y 1 Logy 1
xLog5 x2 125 A) 5
B) 15
D) 25
E)
C) 125
1 5
Tomando logaritmos en base “x”
Log5x 2 Logx x Logx 125
Log5x 2 3Logx 5 Haciendo Log5x z; se tiene z- 2=
3 z
z2 2z 3 0 z 3 z 1 0
Log5x 3 x = 125 Log5x 1 1 x= 5 Por consiguiente: Producto = 25
302. Si a;b distintos de la unidad y además: ab = 1 averigüe el valor de: aLogb 0,5 bLoga 0,2
2Los x 22Log y Logx 2Logy Logx Logy2 x y2 x Log2xy Log2 8 y
B) 5 E) 12
C) 7
1 b a1 a Ahora reemplazando: Log
a
E) 0
y2 101 x2 102
De: ab= 1 b
“x”
D) 1
y1 10 x1 102
A) 2 D) 10
e indicar el producto de valores
B) 100
Logy 1
x1 x2 102 102 100 1
301. Resolver el sistema: x Log2 xy Log2 8 , y 2Logx 4Logy
A) 10
Logy 1
C)
1 10
5
a1 10
Log
b
2
b1 10
aLog 2 bLog 5 2 5 7 a
b
303. Halle el Log 6!, sabiendo que Log 2=a; Log 3=b A) 2a+3b+1 B) 3a+2b+1 C) 4a+b+1 D) a+2b+1 E) 3a+b+1
Log 6!= Log 1 2 3 4 5 4 6 Log 6!= Log 1 Log2 Log3 Log4 Log5 Log6
Pero la necesidad es expresado en términos de 2 y 3. Por ello. 10 Log2 3 2
Log 6!=0 a b Log2 22 Log
1 2 2 2
x
x1x2 2
Log 6!=a b 2 Log 2 1 Log 2 Log 2 Log 3
Log 6!=3a+2b+1
306. Halle la suma de valores de “n” que satisfagan la igualdad n! 3n! 2 3 n! 6
304. El valor de la expresión: Log Log927Log4 9 34
10
; será:
A) 0,001 D) 1 000
B) 0,1 C) 10 E) 100 000
A) 1 D) 4
Aplicando la regla del sombrero dos veces en: 10Log 27 10Log 4 Log4 9 Log9 27 10Log 3 103 1 000 2
Log4 9Log3 4
3
3
305. Halle el producto de los raíces de: Logx 2x 2 x 2 A) 2
B) 4
D) 2
E)
2 2
1 Log2x2 Log2 2 Logx 2x Log2 x2
Log2 2x Log2x
2 Log2x 1 Log2x 2Log2x Log2x 1 0 2Log2x +1 Log2x -1 2
Log2x 1 x 2 1 Log2x 2
C) 8
3
B) 2 E) 5
C) 3
Sea n! = z z2 z 6 3z 18 z2 2z 24 0 z 6 z 4 0 z=6 ó z = -4 n=3 n 4 no existe n=3
307. Reducir: 12! 13! 14! K 12! 13!12!x7 A) 28 D)
28 3
14 3 7 E) 3
B)
12! 13! 14! 12! 13! 12! 7 12!1 13 13 14 K 12! 1 13 7 14 14 28 K 3 7 3 K
C) 14
308. Calcule la suma de valores de “n” n 3 ! n2 3n 2 n2 3n A) 3 D) - 8
B) -3 E) 9
n 3! n
2
3n 2 n 3n n 3 ! n 1 n 2 n n 3 n 3 ! n n 1 n 2 n 3 n 1!n n 1 n 2 n 3 n n 1 n 2 n 3
3
11 12 12 12 P C11 6 C 7 C 4 C7 C 8 13 P C13 8 C5
C) 8
2
n 1 ! 1
10 11 12 P C10 5 C6 C7 C 4
311. Resolver: 18 19 20 C18 5 C6 C7 C8 E 21 C21 C13 8
B) 4 E) 7 5!
720!119! 720!
1 4
E) 6
C)
1 2
18 19 20 C18 5 C6 C7 C8 E 21 C21 C13 8 19 19 C6 C7 C20 C21 1 8 8 E 21 2 C21 2 C21 8 C8 8
C) 5
719!
n!!
6!n!!
312. Si se cumple que Cxy 12 C6y 5 Halle x + y
n!!
119!x120
B) 4
D)
n=1 n=2
309. Halle el valor de “n” en: 5! 720!119! 719!n!! 6!n!! A) 3 D) 6
A) 2
719! 6! 720
A) 13 D) 17
720! 120! 720! n!!=120! n!=5! n= 5
B) 15 E) 18
C) 16
n!!
310. Simplificar: 11 12 P C38 C84 C59 C10 6 C7 C 4 A) C12 8 D) C13 4
B) 2C12 8 12 E) C5
1)
y -1 = 6 y = 7 x + 2 = y + 5 x = 10
2)
y - 1 = 6 y-1+6 = x+2 = y+5 y=7 12 = x + 2 = 12 x = 10 X +y = 17
C) C13 5
11 12 P C38 C84 C59 C10 6 C7 C 4 11 12 P C94 C59 C10 6 C7 C4
313. Reduzca 20 19 26 C10 C26 20 C 9 C 6 25 19 C525 C19 9 C6 C 10
A) 1 D) 4
B) 2 E) 5
C) 3
n
20 C26 C10 C19 6 9 E 19 25 25 C9 C5 C6
*
19 C26 6 . 3 C9 E 19 26 C9 .C6
n2 n n2 n1 n1 0 = 2 ( falso) Para el caso (iii) Operando el segundo miembro 12! 12 11 10 9 8 7 6 64 6 64 6
E= 3
n2 1 1 n2
316. El equivalente de: 314. Determine el valor de “n” , si cumple 4C1911 C187 C1017 C167 2C158 n C820 A) 2 D) 5 1. 2. 3. 4. 5.
B) 3 E) 6
C) 4
Procesando el radicando
15 15 16 2C15 8 C8 C 7 C8 16 16 16 17 C16 7 C8 C 9 C 8 C 9 17 18 C17 10 C9 C10 18 18 18 19 C18 7 C10 C11 C10 C 11 19 20 4C19 11 C11 nC 8 20 5C19 11 nC12 20 11 5C19 C n3 11 n 12 19
n 2 n .1 n n .1 1 1 …
ii) iii)
n+1 - n = n n ; n
n
1 1 n 1 n n 1 ; n 12! 1 3 5 7 9 11
n
3
*
n2 n2
n n
-1 -1
Luego: 2
n2 n 1 1 n2 n 1 1 n2 n 2
n2 n 1 1 n2 n 1 1 n2 n 317. Determine la suma de todos
Indique la razón de verdad B) VVF E) FFF
n n 2 n4 2n3 n2 2n 1
n2 2n2 n2
64 6!
A) VVV D) VFF
…
n n2 1
315. Respecto a las proposiciones i)
B) n n 1 D) n +1
A) n2 1 C) n n 1 E) n
C) VFV
aquellos
valores
de
verifiquen la igualdad: n! n! 321 80 5n! 9
Para el caso (i)
A) 5 D) 8
B) 6 E) 9
(n+1) n - n = n n 1 1 n(n) Para el caso (ii) n 1 1 n 1 n n n 1 n
Hagamos que: a = n! a a 321 80 5a 9 a2 721a 720 0
“n”
C) 7
que
a a
- 720 -1
5
a' 720 a'' 1 Regresando el cambio n2 1 n! = 720 n!=1 n3 0 n! = 6! n1 6 En consecuencia: n1 n2 n3 7
2 3
4 7 8
9
A) 8 D) 1 024
320. Halle el grado absoluto del término 16 en la expansión de 25 P x,y x3 2y2 A) 20 D) 45
318. El valor de:
5
x y T51 C y x 10 9 8 7 6 T51 1 2 3 4 5 T51 4 9 7 T6 256 10 5
B) 25 E) 60
C) 35
4 5 6
B) 256 E) 64
Tk1 Cnk a
bk
nk
10
C) 512
15
25 T151 C15 x3 2y2 25 30 30 T16 215 C15 x y G.A = 30+30=60
Procesando por partes para el radicando: 9 9 8 7 9 8 7 8 7 8 7 8 7 7 1 8 Exponentes: 4 5 4 6 5 4 4 1 5 30 36 4 Ahora reemplazando en: 4 36 2 6 4 8 83 512
321. En el desarrollo de la expresión 14 1 x ; existe un termino que x contiene a x 2 . El termino que ocupa este termino contado a partir del extremo final es:
319. Halle el valor del termino central 10 x y del desarrollo de y x
Analicemos un término genérico (Lugar K+1), en: 14 1 = T1 T2 ..... TK 1 .......T15 x x 1 k 14 14 k TK 1 CK x x 2
A) 64 D) 512
B) 128 E)1 024
C) 265
A) 9 D) 6
B) 8 E) 5
TK 1 1
k
#t =10+1=11
t central = t 111
2 nk n
tk 1 Ck a
bk ;k 0,1,2,.....n
14 k
C
C) 7
14 k
x
k 2
Por condición: 3 3k 14 k 2 12 2 2 k=8
En consecuencia: 14 1 x T1 T2 .......T9 T10 T11 ........T15 x Séptimo lugar
En el desarrollo de esta expresión existen 9 términos entonces el central estará ocupado por el quinto. 8 4 4 8 8 x TCnetral T5 T4 1 C4 8 x
n
n 322. En el desarrollo de x y los 8
coeficientes de los términos de lugar séptimo y octavo son iguales. Entonces el número de términos que presentará será: A) 49 D) 45
B) 48 E) 44
C)47
8 7 6 5 70 4 3 2
8 TCent Centra rallC4
324. En el desarrollo de 1 x los coeficientes de los términos de los 43
lugares
“2x+1”
y
“r+2”
son
iguales ¿De qué términos estamos hablando? n
n Si: x y T1 T2 .....T7 T8 .....Tn1 8 Averigüemos a los términos deseados n6 n 6 n n 6 n n T7 T6 1 C 6 x y C x exp y6 8 8 Coef. n7
n T8 T71 Cn7 x 8
n 7
n y7 C7N 8
xexp y7
Por condición: n 6
n C 8
n7
n C 8 n7 n7 n n n n n n 6 6 8 8 n 7 7 8 1 1 n n 6 n 7 6 8 n 7 7 6 7n 8 n 6 48 n # términos = 49 n 6
n 7
A) 14 y 29 C) 16 y 26 E) 18 y 30
B) 16 y28 D) 16 y 27
Admitimos que en:
1 k
43
T1 T2 .... T2r1 ....Tr2 .... t 44
T2r 1 C24r3 r2r ; Tr 2 Tr 1 1 Cr431 rr 1 Según condición C24r3 Cr431 C24r3 Cr431(r 1) 2r=r+1 2r=42-r r= 1 3r=42 r=14
En base es esto los términos ocupan los lugares: Cuando r 1 T3 T3 Para r 14 T29 T16 (esto nos permite decir que T2 2 ) es primero.
323. Averigüe al termino central central x 8 al expansionar: 8 x
A) 80 D) 60
B) 70 E) 50
8
C) 60
325. Si los exponentes de “x” en los n 1 términos del desarrollo xm m x3
van disminuyendo de 6 en 6 unidades y el décimo tercero resulta independiente de x. Indique al término independiente. A) 10 9 8 C) 10 13 14 E) 10 11 12
B) 10 3 2 D) 11 12 13
327. Calcule “a x b” si el resto de
x 1
4
4 x 13 2 x1 15x 2
Es equivalente a: (ax+b) A) 1 D) 4
B) 2 E) 5
C) 3
x 14 4 x 13 2x3 15x 2
Por condición: 12
TIndependiente T121 C
n 12
n12
x m
m3 x
mn - 16m T13 C1n2 x Será Independiente mn-16m=0 m(n-16)=0 De donde: m=0 v n = 16 Luego: TIndependiente Cn12 C16 12
16 12 4
16 15 14 13 12 14 13 10 12 4 3 2 1
Si: x + 1=a 11x 2 2x2 4x 11 2 2 x 2x 1 11 x 1 1 a4 4a3 2a2 11a 11 1 2 -1 (2 2) (2) 4 -2 (2 4 -3) (-3) -4 -4 -6 -11 11 6 12 -9 +1 2
R = a + 2 R= x + 1 + 2 R= x + 3 ax + b A=1,b=3
326. Extrae la raíz cuadrada de: 4x6 13x 4 22x3 12x5 8x 25 25x2 16 A) B) C) D) E)
3x3 2x2 x 4 5x2 7x 2 2x3 3x2 x 4 4x2 8x 2 x4 2x3 x2 x 1
4x 6 13x 4 22x 3 12x5 8x 25 2 5x 2 1 6 4 -12 -12 13 -22 25 -8 16 2 -3 1 -4 -4 (4 -3)(-3) -12 13 (4 -6 1)(1) 12 9 (4 -6 2 -4)(-4) 4 - 22 25 -4 6 -1 -16 24
-8 16
16 24
8 -16 - 16
2x3 3x2 x 4
328. Calcule: 19 4 21 7 12 29 2 28
A) x+1 D) x+4
B) x+2 E) x+5
C) x+3
19 4 21 7 12 29 2 28 19 2 84 7 12 28 1 12+7 12x7 12 7 7 12 2 7 1 1 329. Reducir: E 6 2 10 2 8 2 7
A)
7
B)
2 C) 7 1
D)
2 1
2 1
E)
332. Simplificar:
E 6 2 10 2 8 2 7
7 1
2 3 x
E 6 2 7 1 8 2 7 2 1
3 x 1
9 x
3x 1 3x 1
4 x
2
1
C) x 2
2x 1 2x 1
2 3x 9x 1
C) 3
2 2 x
B) 2x E) 3x
2 2x 4x 1
2
B) 2 E) 0
2 x 1
9 x 2 1 4 x 2 1
A) -x D) 5x
330. Reducir 12 140 8 28 11 2 30 7 2 6 A) 1 D) 7
1
2
2 x 1
5 x 2
E 6 2 10 2 7 2 6 2 8 2 7
3 x 1
2
3x 1 3x 1 3x 1 3x 1
5x 2 9x2 1 4x2 1 a b
2x 1 2x 1
2x 1 2x 1
5x2 a b 5x2
E 12 140 8 28 11 2 30 7 2 6
E 12 2 35 8 7 11 2 30 7 2 6
E 7 5 7 1 6 5 6 1
E=0
6 4 3 1 8
A) 7 D) 5
3x 1 3x 1 2
2
2x 1 2x 1
2
2
5 a b 5
6x 9x2 1 2 4x 2 4x2 1 ab 2 2
331. Calcule: P
5 24
B) 8 E) 6
1
3x a 2x b a b 5x
2
333. Efectuar: K 13 7 5 7 4 3 7
C) 9
2
1 P 6 4 3 1 8 5 24 2 1 P 6 4 3 1 8 3 2 2 1 P 6 4 3 52 6 2 2 P 6 4 3 3 2 6 4 3 6 P=7
B) 2 E) 5
C) 3
A) 1 D) 4
4 3 7
K
K K
K
7 3 7
13 7 5 7
13 7 5
13 7 3 7 5 7 3 7 32 10 7 8 2 7
K 5 7
7 1 2
334. Reducir: 18
P
9 72
A) 0 D) 2
P
P P
6
5 24
B) 1 E) 4
18
8 48
C) 3
6
48
9 72 5 24
48
8 48
3 2 6 4 3 6 3 3 2 6 2
3 2 6 3 3
6 3 2
4 3 6 2
4
P 2 3 6 3 2 2 3 3 2 6 0
335. Transformar a radicales simples: 10 108
3
A) 3 2 C) 3 1 E) 2 3
B) 2 3 D) 3 1
3
Si:
10 108 A B 3 10 108 A B
(+)
3
3
3
10 108 10 108
2A
3
20 6 2A 8A3 10 6A 4A3 10 4A3 6A A 1
A 3 A 3
3
10 108 3 10 108
A2 B 2 1-B=-2B=3 3 10 108 1 3
336. Si: A ;a;a;a,b; Indicar las proposiciones que son verdaderas. I. a A {a, b} A II. {} A {} A III. A A A) solo I C) solo III E) II y III
B) solo II D) II y IV
A ;a;a;a,b; I.
II.
III.
a A
{a, b} A
F
F
{} A
=F
{} A
F
V
A
A
V
V
=V
=V
I y III son verdaderas
337. Dados los conjuntos: A x N 2x 13
B x A x² 2x A Indicar si es verdadero o falso, las siguientes proposiciones. I. x A / x² 5 > 4 II. x (A B) / 2x + 5 < 8 III. x (A B) / x² B A) VVF D) VFF
B) FVF E) VVV
C) VFV
A x N
339. Halle el cardinal del conjunto B e indicar el número de subconjuntos ternarios que tiene. B x Z x 8 x 2
2x 13
A 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6
x² 2x A
B x A
x = 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 x² 2x = 0 ;1; 0 ; 3 ; 8; 15; 24 B = {1; 4; 5; 6}
I.
siendo : p q p q A B ´ CONJUNTOS
LÓGICA
A) 48 D) 56
B) 42 E) 45
C) 63
B x Z
x 8 x 2
x A / x² 5 > 4
II.
x (A B)/2x + 5 < 8
III. x (A B) / x² B
(V) (F)
(x > 8) (x = 2)
(V)
(x> 8) (x = 2) x = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8
338. Sea A n Z n 600 Calcule la suma de elementos del conjunto B; si B a 2 3 a A a A A) 1000 D) 1424
B) 1296 E) 1528
A n Z
B a 2
n(B) = 8 8 #Subconjuntos 8! Ternarios de B C 3 3!5!
C) 1312
6x7x8 56 6
n 600 1, 2, 3, 4, 5,..., 600 3
a A a A a es cubo perfecto
340. Dados los conjuntos unitarios A = {a + b; a + 2b3; 12} y
a = 1³ ; 2³; 3³; ...; 8³
B = {xy ; yx ; 16};
B 1³ 2 ; 2³ 2 ; 3³ 2; ....; 8³ 2 2 elementos 8 x 9 de B 2 2 8
halle el valor de (x + y + a² + b) A) 81 D) 87
B) 92 E) 90
C) 96
1312
n n 1 Nota: SN 2 3
A y B son unitarios:
2
*
A = {a + b; a + 2b 3; 12} a+b = 12 a + 2b 3 = 12 a + 2b = 15 como: a + b = 12 b = 3 a = 9
*
B = {xy; yx; 16} xy = yx = 24 x=2;y=4
*
nP(B) = 32 = 25 n(B) = 5 nP(AB) = 8 = 23 n(AB) = 3
x + y + a² + b = 90
341. Calcular el número de subconjuntos binaros del conjunto D, si: D = {(x² 1)Z / 0 < x 4} A) 132 D) 124
nP(A) = 128 = 27 n(A) = 7
B) 126 E) 120
C) 105
D = {(x² 1)Z / 0 < x 4} 0 < x 4 0 < x² 16
n(AB) = 7 + 5 3 = 9
nP(AB) = 29 = 512
*
5 C = 3x 1 Z x 3 5 x 3 5 x 3 1 3 1 3 (3x + 1) < 6 C = {1; 2; 3; 4; 5} n(C) = 5
1
D = {0; 1; 2; 3; ...;15} n(D)= 16 16 #Subconjuntos 16! Binarios de D C 2 2! 14!
nP(AB) + n(C) = 517
343. Oscar compra 9 baldes de pinturas de diferentes colores. Los mezcla en igual proporción. ¿Cuántos nuevos matices se pueden obtener?
15x16 15x8 2
120
A) 512 D) 503 342. Si: n [P(A)]= 128; n [P(AB)] = 8
n[P(B)]= 32
y
Halle el cardinal de P(AB) sumado con el cardinal de: C = 3x 1 Z
A) 521 D) 512
B) 517 E) 520
5 x 3 C) 519
B) 246 E) 502
C) 247
# de colores =9 # de nuevos matices= 29 1 9 = 512 10 = 502
344. El conjunto A tiene 200 subconjuntos no ternarios. ¿Cuántos subconjuntos quinarios tendrá? A) 64 D) 21
B) 56 E) 35
C) 48
Sea n(A)
=x
Subconjuntos x x no ternarios 2 C3 200 2x
n (AB) = 18
x! 200 3! x 3
346. Sean los conjuntos A E ; B E y C E; E conjunto universal, tal que:
x 2x 1 x 200 2x 6 x 8 Luego : 8 #Subconjuntos 8! Quinarios C 5 5! x 3!
8x7x6 56 6
E = {x Z+ / x < 10} A = x E x 7 AB = {x E / x 9 x > 2} BC = {3} BC = {x E / x 7} AC = A B C ´
´
´
´
Determinar n(A) + n(B) + n(C) 345. Si el conjunto “C” tiene (P + 1) elementos y (2P + 3) subconjuntos propios; además: n(A) = 4P + 2 ; n(B) = 3P + 6 y n(AB) = 2P 2
B) 12 E) 11
C) 10
E={xZ+ /x<10} = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
A x E / x 7 1,2,3, 4,5,6 ´
A = {7, 8, 9}
Halle n(AB) A) 14 D) 17
A) 9 D) 13
B) 16 E) 20
C) 18
De: A C A B C A B C A
B .4
n(C) = P + 1 # subconjuntos 2P 3 propios de C P+1 2P + 1 1 = 2P + 3 P=2
Luego: n(A) = 4(2) + 2 = 10 n(B) = 3(2) + 6 = 12 n(AB) = 2
B = 12
A = 10 8
2
10
.8 .9
.7
.5 .6
C .1
.3
.2
A B = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} B C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} n(A) + n(B) + n(C) = 3 + 5 + 3 = 11 347. Sean A, B y C tres conjuntos no vacíos que cumplen las condiciones: * A B B A
*
si x C x B Sean n(A) = x n(B) = 2x
Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones. I) II) III) IV)
# subconjuntos # subconjuntos propios de A 993 de B
A y B son disjuntos (A B) C C (A B) C (A B)
A) FVVF D) VFVF
B) FFVV E) FFFV
22x (2x1) = 993 2x(2x1) = 992 = 25 x 31 x=5
C) FFFF Luego:
U
A = 5
A B B A x C x B
B = 10
10
5
Graficando las dos condiciones: B
2
A
C
# subconjuntos de B 128 27 #subconjuntos propios de A 212 1
I) II) III) IV)
A y B son disjuntos (A B) C C (A B) C (A B)
349. Dados los conjuntos: (F) (F) (F) (V)
3x 5 A x N / N 4 x 1 x B N / N 2 2 C x N / 2x 25
348. Sean A y B dos conjuntos finitos tales que:
Halle: n[(AB) C ] ´
* * *
A) 2 D) 5
A B = n(B) = 2 . n(A) B tiene 128 subconjuntos.
B) 3 E) 6
´
El número de subconjuntos de B excede al número de subconjuntos propios de A en 993. ¿Cuántos subconjuntos propios tiene A ? A) 281 D) 2121
B) 2101 E) 2131
C) 2111
*
A x N /
3x 5 N 4
3x 5 4N 5 Nx 4 3 N = 2; 5; 8 ...... X = 1; 5; 9 ......
C) 4
A = {1, 5, 9, 13, 17, 21, .....} *
elementos comunes; determine n(AB)
x 1 x N / N 2 2
A) 14 D) 11
B
x 1 2
x 2
1 No existe natural 2
NATURAL
B =
*
C x N / 2x 25 C = {13, 14, 15, 16, 17, .....} n(AB) C A B (DIFERENCIA SIMÉTRICA)
Si A B C C B A A A A B A B Si A B B A A B A B A Son verdaderas: ´
´
352. Sean A, B y C conjuntos no vacíos diferentes dos a dos, tales que: ´
´
´
´
Al simplificar:
´
[B(C A)] [A (B C)] se
´
´
B
A
B A ;CB AC
´
´
´
320 = n(PA) + n (PB) 320 = 2n(A) + 2n(B) 320 = 26 + 28 Luego: n(A) = 6 n(B) = 8
n(AB) = 10
350. Para los conjuntos A, B y C afirmamos: ´
C) 12
4 22 6
n (A C ) = n(A C) = n {1, 5, 9} =3
I. II. III. IV. V.
B) 13 E) 10
´
obtiene:
A) todas B) solo II y III C) todas excepto V D) solo II, III, IV y V E) solo I, II y V
A) A D) A C
B) B E)
C) A B
B A ; C B ; A C I. II. III. IV. V.
Si A B C C B A A A A B A B Si A B B A A B A B A ´
´
´
´
´
´
´
´
´
(V) (V)
´
´
´
´
A B ; C B ; A C
(V) (V) (V)
´
351. Si A y B son dos conjuntos finitos, tal que, el número de subconjuntos de A y de B suman 320, los conjuntos A y B tienen 2
Graficando regiones:
y
enumerando B
C A 1 2
3
las
I) II) III)
B C A A B C
[2]
[1; 3] =
[A(BC)] [C D] (A B) (B C) [(A D) C] [A (BC)]
A) solo I C) solo I y II E) todos
353. Sean A y B dos conjuntos cualesquiera, simplificar: A B A B A B ´
A
B
´
´
C
B) A B D) A B
A) A B C) A B E)
B) solo II D) solo II y III
´
1
2
´
´
3
4
D 75
6
Graficando los conjuntos A y B I) A
B
2
II)
3
1
4
III) A B A B A B (A B) (BA)
´
1,2,3 2,3 1,2,3 1,4 1 A B ´
355. Dado 3 conjuntos A; B y C: Si n(A) = m ; n(B) = m + r n(C) = m + 2r ; además: n[P(A)] + n[P(B)]+ n[P(C)] = 896 Se sabe además que A, B y C son disjuntos. Calcule n(A B C) A) 16 D) 32
354. En el gráfico, las zonas sombreadas están representadas por: A
B C
D
[A(BC)] [C D] [{1,2,3} {2,6,5}] {7} = {1,3,7}: si (A B) (B C) {1,2,3,4,5,6,7} {2,5,6} = {1,3,4,7} no [(A D) C] [A (BC)] {1,2,5} {1,3} = {1} no
B) 22 E) 48
C) 24
n(A) = m ; n(B) = m + r ; n(C) = m + 2r
nPA nPB nPC 896
2m + 2m+r + 2m+2r = 896 2m [1 + 2r + 22r] = 896 = 27 x 7
m=7
llevaron corbata, si 16 señoritas no llevaron cartera ni casaca y 28 señoritas no llevaron casaca?
r=1
A
B
C
7
8
9
A) 8 D) 11
B) 9 E) 12
C) 10
n(A B C) = 24 U= H=
356. Se hizo una encuesta a 50 personas sobre preferencias respecto a dos revistas A y B. Se observa que los que leen las dos revistas son el doble de los que leen solo A, el triple de los que leen solo B y el cuádruplo de los que no leen ninguna de las dos revistas. ¿Cuántas personas leen la revista A? A) 24 D) 36
B) 30 E) 40
6x
B
12x
Casaca = 40
Cartera = 24
11 x 9 12
12 16
40 = 11 + 9 + 12 + x x = 8
C) 32
U = 50 A = 18x
2 8 = t a a b o r C 17
M=
4x
358. De los residentes de un edificio se ha observado que 29 de ellos trabajan y 56 son mujeres, de los cuales 12 estudian pero no trabajan. De los varones 32 trabajan o estudian y 21 no trabajan ni estudian, ¿cuántas mujeres no estudian ni trabajan, si 36 varones no trabajan? A) 32 D) 26
3x
B) 30 E) 34
C) 28
6x + 12x + 4x + 3x = 50 x = 2 n(A) = 18(2) = 36
357. A una ceremonia asistieron 24 señoritas con cartera, 28 varones con corbata, 40 portaban casaca, 17 varones con corbata no tenían casaca, 9 señoritas portaban casaca pero no tenían cartera. ¿Cuántos varones con casaca no
) T ( 2 9
E
17 12 56
21
H
15 12 M x
X = 56 – 24 X = 32
359. En una clase de 50 alumnos, se practica tres deportes: Atletismo, Básquet y Fulbito. * Los que practican atletismo o fulbito pero no básquet son 30. * Los que practican básquet o fulbito pero no atletismo son 27. * Los que practican atletismo y fulbito son 7. * Los que practican fulbito pero no atletismo o básquet son 15. * Los que no practican estos deportes son la cuarta parte de los que practican básquet y fulbito pero no atletismo. * 4 practican atletismo y básquet pero no fulbito. * Los que practican básquet pero no atletismo o fulbito son 4. ¿Cuántos practican solo dos deportes o no practican ninguno? A) 21 D) 2
B) 17 E) 18
C) 19
50 = 15 + 8 + (7x) + x + 8 + x +4+4+2 X = 50 48 = 2 solo 2 deportes o ninguno de los tres: 5 + 4 + 8 + 2 = 19
360. Dado los conjuntos A; B y C contenidos en el universo de 98 elementos, tal que: n(A B) = 21 n(B C) = 25 n(C A) = 32 3n (ABC) = n(ABC ) Hallar: A B C
´
´
A) 93 D) 77
B) 95 E) 91
C) 87
Diagrama de Ven –Euler para visualizar: Planteando tenemos: 98 = 4x + 21 + 25 + 32 20 = 4x 5 =x
B
A
U = 50 x
A
B 8+x 4
4
3x 98
x 8
7-x
2 15
C
Piden: A B C
U A B C 98 5 93
361. Usando las leyes del álgebra de conjuntos, simplificar: = 10
A B B A B C
´
A) AC C) U E) (A B)C
B) BC D) (A B)C 363. En una encuesta a los estudiantes se determinó que:
[(AB)B] = [(AB)C]C = (AB)CC {[(AB)B][(AB)C]}C {}C = U 362. En un condominio de 100 personas, 85 son casados, 70 son abonados de teléfono, 75 tienen bicicleta y 80 son empresarios. ¿Cuál es el mínimo número de personas que al mismo tiempo son casados, poseen teléfono, tienen bicicleta y son empresarios? A) 15 D) 24
B) 10 E) 15
C) 20
* * * * * * *
68 se portan bien 160 son habladores 138 son inteligentes 55 son habladores y se portan bien 48 se portan bien y son inteligentes 120 son habladores e inteligentes 40 son habladores, inteligentes y se portan bien.
¿Cuántos estudiantes inteligentes solamente? A) 10 D) 12
B) 20 E) 8
son
C) 40
U=
Tomando por partes: CASADOS Y TELÉFONO
CASADOS
70
15
30
55
TELÉFONO
30 15
70
85
10
45
25
EMPRESARIOS
30
HABLADORES: 160
AUTO
15
5
25 45
CASADOS, TELÉFONO Y AUTO
80
75
PORTAN BIEN: 68
55
40 8
25 80
10
INTELIGENTES: 138
365. Dado el conjunto universal “U” y los subconjuntos A, B y C; se tiene los siguientes datos: Solo inteligentes = 10
n(U) = 44
n(BC) = 12
n(AC) = 14
n[(ABC ) ]=6 ´
364. Un club consta de 78 personas, de ellas 50 juegan fútbol, 32 básquet y 23 voley. Además 6 figuran en los 3 deportes y 10 no practican ningún deporte. Si “x” es el total de personas que practican exactamente un deporte, “y” es el
total de personas que practican exactamente 2 deportes, entonces el valor de (xy) es: A) 9 D) 15
B) 10 E) 16
C) 12
F = 50
B = 32 b
a
n(B) = 17
n(A) = 21
n(ABC ) =3 ´
Hallar n(C) A) 31 D) 26
B) 27 E) 28
C) 29
n(AB C ) =3 n[(AB)C] =3 U = 44
U = 78
–
n(ABC) = 5
A = 21
B = 17 4
2
3 5
a
9
–
4 4
7
6 c
b
10
x
C
6
17 b c –
–
V = 23
a+b+c=y x : solo un deporte Del universo: 44ab+b+17bc+32+10 = 78 a + b + c = 25 = y También: x + y + 6 + 10 = 78 x = 37 x y = 12
21 + 2 + 7 + 6 + x = 44 x = 8 n(C) = 9 + 5 + 7 + 8 = 29
366. En un grupo de 80 estudiantes, se encuentra que las cantidades que estudiaban las diversas lenguas eran en número de 72, distribuidas de la siguiente manera:
* * * * *
Alemán solamente 25 Español solamente 12 Francés pero no alemán español, 15 Alemán y francés 10 Alemán y español 8
de trabajadores con menos de 20 años y el número de mujeres solteras con menos de 20 años.
ni
A) 5 D) 18
Además los que estudiaban español y francés eran tantos como los que estudiaban alemán y español. Determinar cuántos estudiaban 2 lenguas solamente o estudiaban las 3 lenguas. A) 14 D) 8
B) 20 E) 18
B) 10 E) 8
C) 15
C
A(60)
U(100)
B a
b
z
x
y
C) 12 25
A: personas con más de 20 años B: hombres C: casados
U = 80 A
Por datos: x + y = 25 x + z = 15 x = 10 y = 15 z=5
E
25
8-x
12
x 10 - x
8
8-x F 15
Dos lenguas solamente ó tres lenguas = (80) (25 + 15 + 12 + 8) = 20 367. En una encuesta realizada a 100 trabajadores de una fábrica se obtuvo la siguiente información: todos los hombres tenían más de 20 años, 25 de las mujeres eran casadas mientras que 15 de los trabajadores casados tenían más de 20 años y 10 de las mujeres casadas tenían más de 20 años. Si hay 60 que tienen más de 20 años, hallar la diferencia entre el número
* *
Trabajadores con menos de 20 años: 15 + 25 = 40 Mujeres solteras con menos de 20 años = 25 40 25 = 15
368. ¿Qué operación gráfico?
representa
A
B
C
A) [(AC)(BC)] C B) [(AB)(BA)]C
el
Datos: a + b + x + y + z = 25 ......(1) x + y + z = 2(a + b + c) ....(2) (2) en (1) a + b + 2 (a + b + 2) = 25 3(a + b) = 21 a+b=7
C) C (AB) D) (CA) (CB) E) A B C
369. En un colegio hay 35 niños. Cada uno de ellos tiene una bandera que puede ser monócroma, bicolor o tricolor, habiéndose usado únicamente 3 colores: rojo, amarillo y azul. El número de banderas bicolor es el doble del número de banderas monocromas, mientras que el número de banderas que tienen el color rojo es igual al número de banderas que tienen el color azul e igual al número de banderas que tienen el color amarillo. Si sólo 8 niños tienen banderas tricolor y dos alumnos banderas color amarillo. ¿Cuántas banderas bicolor rojo – azul hay? A) 2 D) 7
B) 3 E) 10
C) 5
U = 35 Azul
Rojo y
a
370. A cuántas personas le gusta 2 cursos solamente si la cantidad de personas que le gusta aritmética pero no álgebra ni física es el doble de los que les gusta álgebra, pero no aritmética ni física y además a los que les gusta física pero no aritmética ni álgebra es el triple de los que les gusta álgebra pero no aritmética ni física y a los que les gusta los 3 cursos es la cuarta parte de los que les gusta aritmética pero no álgebra ni física, si a 24 personas le gusta solamente un curso y además el total de personas que gusta de al menos un curso es 36. A) 5 D) 4
B) 8 E) 10
C) 12
b
x
A
8 z
x
Dato: a+x+y=y+z+b=x+z+c a + 18 z = 18 x + b = 18y+ c De donde: a = z y + c b = x y + c Sumando: 7 = x + z 2y + 4 7 = 18 y 2y + 4 3y = 15 y=5
c=2 Amarilo
A: aritmética X: álgebra F: física
n
4y
2y
y p
m 6y F
372. De 60 personas se sabe: Datos: A (xF) = 2[x (AF)] F (Ax) = 3[x(AF)]
A x F
* * * *
1 A x F 4
AxF = y Por dato: 4y + 2y + 6y = 24 12y = 24 y =2
6 hombres tienen 20 años 18 hombres no tienen 21 años 22 hombres no tienen 20 años Tantas mujeres tienen 20 años como hombres tienen 21 años. ¿Cuántas mujeres no tienen 20 años? A) 18 D) 22
13y + m + n + p = 36 .... dato 13 x 2 + m + n + p = 36 m + n + p = 10
B) 20 E) 28
H
371. A, B y C son conjuntos contenidos en un mismo universo, simplifique la siguiente expresión: E=
A) AC D) AC
B) B E) C
M 21+
x = 10
{{[(A B) (A B )] (A B )} (C A)} {((A C) (A C)} ´
C) 24
6
21 x = 10
´
20 20 -
C) A
60
28
32
= 22 373. De un grupo de personas se sabe lo siguiente: * Algunos provincianos son casados. *
E={{[(AB)(ABC)](ABC)}(CA)} (AC) A(B(ABC)............................... A(BA)
* * *
C
(AB) (AB )
*
[(AB)A] [(AB)BC] A (ABC) A
*
* *
(CAC)
(AC) (AC)
(AC)
Todos los profesores no son provincianos. Ninguno de los que tienen hijos es profesor Todos los casados tienen hijos 9 personas no son provincianas, ni casadas, pero tienen hijos. Hay 12 profesores y son tantos como el número de casados De los 25 provincianos, 15 tienen hijos. 5 casados no son limeños 10 limeños no son profesores ni tienen hijos.
¿Cuántas personas conforman el grupo y cuántos no tienen hijos, ni son profesores?
A) 63 y 20 C) 59 y 23 E) 63 y 22
B) 57 y 10 D) 64 y 9
CASADOS
LIMA
SOLTEROS
7
12
9
10 PROVINCIA
5
10
HIJOS
10
HIJOS
= 25
HIJOS
375. En una ciudad el 60% de los habitantes comen pescado; el 50% come carne; el 40% de los que comen carne también comen pescado. ¿Qué porcentaje de los habitantes no comen pescado ni comen carne? A) 15% D) 10%
B) 23% E) 30%
C) 20%
Total = 63 No tienen hijos ni son profesores = 20 374. En una academia de 100 alumnos, se rindieron 3 simulacros con los siguientes resultados: 40 aprobaron el primero; 39 el segundo; y 48 el tercero. 10 aprobaron 3 simulacros. 21 ninguno; 9 los dos primeros, pero no el tercero; 19 el tercero, pero no los dos primeros. ¿Cuántos aprobaron por los menos dos exámenes? A) 19 D) 27
B) 38 E) 29
C) 24
P = 60%
C = 50%
40%
30%
20%
x U = 100%
40 50% 20% 100 60% + 30% + x = 100% X = 10%
S = 39
P = 40
9 10 x
376. Calcule “a” si:
y
19 21
T = 48 U = 100
x + y + 10 + 19 = 48 x + y + 19 = 38
p a n 2c 1 aa7. 3 9 c Además 5p7n 4c3 2 p
A) 2 D) 5
B) 3 E) 6
C) 4
378. Si: n n 1n 2n 3n 4 n5 abcd7 Halle: a b c d
c p 5p7n 4c3p ; a n 9 2c 1 aa7 2 3
n7
p4 C= par
n9 c3 p 3ó 6
n=8 ; p6 ; c2
A) 10 D) 11
B) 12 E) 14
n(n 1)(n 2)(n 3)(n 4)(n5) abcd(7)
n 5
7 n 1
Luego:
a289 5aa7 81a 2 9 8 245 7a a 81a 26 245 8a 73.a 219 a 3
12345(6) abcd7 1 6
kn 0,125 ? kk n
A) 4 D) 7
B) 5 E) 8
2
3
4
5
6 48 306 1860 1
377. ¿Cuántos valores puede tomar “k” en
C) 13
8 51 310 1865 a=5 b=3
1865 53037 abcd7
C=0 D=3
C) 6 a + b + c + d = 11
k n 1 0,125 kk n 8 Descomponiendo
k 1 k 1 kn k 8 k (1 n) 8 1 1 n1 8 n1 8 n7
379. Halle m n p , si 110n ,81n1 y 1mp(n1) son números consecutivos. A) 15 D) 12
B) 14 E) 11
C) 13
Pero k n 7 k 1;2;3;4;5;6 K puede tomar 6 valores
110n ;81n1 ;1mpn1 Por dato: 110n 1 81n1
n2 n 1 8 n 1 1
n2 7n 8 0 n 8n 1 0 n n
-8 1
n=8
1818...
1108 ;819 ;1mp7 72 ; 73 ; 74
.1818 n
“m” veces
74 7 4 10 7 3 1
A) 8 D) 14
1mp7 1347 m 3;p 4;n 8 m n p 15
Propiedad tenemos:
B) 9 E) 10
1818..
.. 1818 n
380. Sabiendo que : a7bn aoc 9 ; además 6d6n mbmb5 . Halle el valor de (m + b + d). A) 2 D) 6
a7b n
B) 4 E) 8
C) 11
n 8 m 123 “m” es máximo
n>8
“m” veces
Pensando: m 14 (mayor valor) n 8 14 123 n 123 112 n 11
C) 3
382. Si:
aoc 9
7 n9 n 8 También por dato:
6d68 mbmb5 6 82 d 8 6 mb5.52 mb 5 390 8 d 26 mb 5 195 4d 13.mb5 0
15
d 0 mb5 15 305
123
m = 3; b = 0
m b d 3
381. Calcule el valor de “n” si “m” es máximo en:
a b 1 c 2 c9 b 1 10 xy 123 Calcule: a b c x y A) 9 D) 12
B) 10 E) 13
C) 11
Caso Especial: b b2 a b 1 c 2 c9 b 1 /10 / xy /123
a b 1 c 2 c9 b 1 3 3x y 59 Igualando: *c=5 * b 1 3;b 2 * a b 1 ; a 1 *c 2 3 x y
5 2 3x y
7 3x y ; x = 2
y=1
Pide: a b c x y 11
abcax 17a29 abc x.x a 1729.29 a abc x.x 36.29 Si x 9 abc9 116 1389
383. En la siguiente expresión: Luego:
M 4n6m 54n 3mn8 Halle M. A) 42 D) 220
B) 532 E) 44
C) 24
Analizando: 4n6m
m6 mn
3mn8
5 n m8
m 7 y n 6
C)-5
4 b a n m (Ordenando) 4 5 6 7 8
a b c m n 6 5 1 7 3
386. Calcule la suma de las dos últimas cifras del numeral: 16 1213 8n , al expresarlo en el sistema de base n 1 .
abcaaa abn 17a29
A) 6 D) 4
Calcule el valor de “n”
B)4 E)5
B)3 E)5
3
M = 24
384. Si se cumple que:
A)3 D)9
385. Halle a b c m n , sabiendo que: aban bcnm Sabiendo que: m < 9 y b > 4
Luego: 656 7 517 8
M 4667 546 376 8 M 244 34 254
x 1113 n 9 n 1 3 9n 5
A) 27 D) -3
n5
54n
a=1 ; b=3; c=8
B) 7 E) 3
C) 5
C)6
N 1612138n Base n 1 abcaaaab n 17a29 x 29 x cambio de variable
16 12 13 8n n 1 11n 11 5 12 n 5 5 n
11n
11n
143n 11n
44n
7n
36n
68n
33n
66n
3
Por división a base 4: 89 4 1 22 2
47n
7 13n 7
1576n
Por descomposición: 324 5 3 55 2 5 4 89
4 1
Números equivalentes
3245 1121 4 abcdx a 1;b 1; c 2; d 1; x 4 m 3
2 N ...32(n1)
4 5 1
a b c d x m 12
de las 2 últimas cifras = 5
387. Si se cumple: 9 6 12 abcdx m m m 2m1 Calcule a b c d m x A) 8 D) 13
B) 10 E) 15
388. Calcule : a n m Si: 120an 64a 2553m A) 12 D) 18
B) 14 E) 19
C) 16
120an 64 a 2553m C) 12
1200 n 640 n³ + 2n² = n² (n+2) = 8²(8+2) n3 2n2 (n 2) 82 (8 2) n8
9 6 12 abcdx m m m 2m1 “m”
m=3
divide a 9; 6 y 12 por tanto
Reemplazando. 3245 abcdx a mayor valor aparente menor base x 5 Se verifica para:
x=4
64a 120a8 2553m ;m 5 m8
m 6 25536 2 63 5 6² 5 6 3 645 64a
a5 a m n 5 6 8 19 389. Halle “x” en:
abxn ccn7 , si: c 2 A)0
B) 2
D)5
E) 6
y b a
n(n 1)
2
91 n
C) 3
n(n 1) n 18 2
En base n2 182 324
abxn ccn7...(I) ; C 2 ; b a
Número 210324 02 01 0018 Número de cifras =5
n7
2 c a b n 7c 3 a4 b5 n6
391. Halle a b n k en la siguiente expresión:
9abk 213312n ; donde k n2
Luego en I 45x6 3367 174
9 9n
A) 18 D) 41
B) 24 E) 37
C) 28
45x6 4506 x 0 Luego: n k n2 k
390. Si se cumple que:
9abn2 213312n 10
14 15
(2n) numerales
1 11
14 15
Transformando de base (n) a base n2
12
21 33 12n
13
9 1 n 1n
¿Cuántas cifras tendrá el menor numeral de la base “n”, cuya suma
B) 7 E) 5
C) 8
Aplicando propiedad. 15 n(4) (n 1).5 n 0 1 2 3 ... (n 1) 1
bn2
21n 9 n 4 ; k 16 334 a a 15 124 b b 6
a b n k 41
de cifras sea 210, cuando se exprese en la base n2 ? A) 6 D) 9
a
392. El mayor número de 3 cifras diferentes de la base n, se escribe en base 8 como 4205. Halle n. A) 10 D) 13
B) 11 E) 14
C) 12
Sea: abc n el mayor a b c
394. Si se cumple:
abcn n 1 n 2 n 3n 42058 pasando a base 10.
a10b11b2 15c8 Halle: a b c
n 1.n2 (n 2).n n 3 4 83 2 82 0 8 5 2181
A)6 D)9
3
n n 2184
B) 7 E) 10
C)5
n(n2 1) 2184
n(n 1)(n 1) 2184
a 10b 11b2
n 1nn 1 12 13 14 n 13
a(4 b)(6 b)8 = 15c 8 *a 1 * 4 b 5 ;b 1 * 6 b c ;c 7 *a b c 9
393. Se desea repartir S/. 1000000 entre un cierto número de personas, de tal modo que lo que les corresponda sea: S/. 1 ; S/. 7 ; S/. 49 ; S/. 343;…
395. Si se cumple: abn ba7 Halle la suma de cifras de n ; si es el máximo valor posible.
y que no más de 6 personas reciban la misma suma. ¿Cuántas personas se beneficiaron? A) 16 D) 13
B) 15 E) 12
A) 37 D) 21
7 2 915 (3)
B) 13 E) 10
Descomponiendo: n a b 7b a
n 7 416 (3)
C) 11
C) 14
Transformando a base 7: 1 000 000 7 (1) 142 857 7 20 408 (1) (3)
= 15c 8
7 59 (3)
7 8 (1)
7 1
6b 1 a
a7 y b7 a 1 ;b 6 n 37 3 7 10
1 000 000 11 333 311 7 Número de personas:
1 1 3 3 3 3 1 1 16 N 16
SEMANA 4
396. Si el término ab avo de la siguiente serie aritmética es ba .
Calcule “a +b” si: 30;…;48;51…
A) 6 D) 9
B) 7 E) 10
C) 8
n=
2 1 305 110 13
1 16
a + b + n=19
30;…;48;51…
Razón: 3. Término 1: 30 Término n: tn t n 1 razón
398. ¿Cuántos términos tiene siguiente progresión aritmética:
la
233 x ;242x ;301x ;........;1034x
1
tab 30 ab 1 3 ba Descomponiendo: 30+3x ab -3= ba 30+3(10a+b)-3=10b+a 27+29 x a = 7 x b
A) 26 D) 19
B) 17 E) 22
C) 20
Cálculo de la razón R:
233x 301x 242x Descomponiendo polinómicamente 2x2 4x 2 2x2 3x 3 242x
1 a=1; b=8 a+b=9
8
3x2 1 2x2 4x 2
397. Dada la siguiente aritmética:
progresión
aa0;ab(a 2);a(b 1) 3b;.....3a 05
x = 5 R = x - 1 R = 4 2335 ;2425 ;3015 ;.........;10345 +4
“n” términos
Halle: a+b+n A) 15 D) 18
B) 16 E) 19
+4
10345 2335 1 4 n = 20 n
C) 17
“n” términos
aa0; ab(a 2); a(b 1)3b ;.....3a05 r ab(a 2) aa0 a(b 1)(3b) ab(a 2)
r = 10b+a+2-10a=10(b-1)+3b-10b-a-2 r =10b-9a+2=3b-a+8 7b = 8a+6 r = 13
399. En la numeración de las páginas impares de un libro se han empleado 440 tipos de imprenta. ¿Cuántas páginas puede tener el libro? A) 165 D) 145
B) 330 E) 325
C) 320
Suponiendo la última página con numeración PAR. Cantidad de cifras de las páginas impares: 1, 3, 5, 7, 9,
5#s 5 x 1 = 5 cifras
A) 159 D) 195
11, 13, 15, 17,……., 97, 99
B) 157 E) 185
C) 148
La numeración de las páginas será:
45#s 45x2=90cifras
1, 2, 3, 4,……., 71, 72,…….., “x” Cifras utilizadas
101, 103, 105, 107,……….
n 72, n 71, n 70........,N
440-(5+90) = 345 cifras
“(x+69)” cifras utilizadas
Se han utilizado 345 cifras para escribir números de3 cifras: 3 cifras =
345 3
(La cantidad de cifras del 1 al 72) = (72+1)2-11=135
115
La cantidad de cifras utilizadas en las 72 últimas páginas será:
números de 3 cifras
135+69=204
Total de páginas impares = 5+45+115=165 páginas.
Entonces si al total de cifras desde
Total de páginas =330
1ª “N”, le quitamos el total de
cifras utilizadas desde 1 hasta (N72) es igual a 204.
400. Al escribir la secuencia adjunta que tiene 113 términos. ¿cuantas cifras en total se han utilizado?
Asumiendo para N=3 N 1 3 111 N 72 1 2 11 204
6667 ,6970;7273;7576;........... A) 664 D) 653
67
B) 665 E) 655
70
97
N=159
C) 620 402. En la siguiente serie, halle el término que ocupa el lugar ante penúltimo. 100
103
66 ,69 ;...96 ;99 ;102 ...abc
abc1
3, 9, 17, 27,……., 699
11#s
1#
101#s
A) 559 D) 649
B) 597 E) 585
11 x 4
1x5
101.6
tn = t n 1.r 1
1
C) 647
n 1n 2 .r
2
2
En el problema 401. Las 72 primeras páginas de un libro utilizan 69 tipos de imprenta menos en su numeración que las utilizadas por las 72 últimas ¿Cuántas páginas tiene el libro?
n
2
tn 699 3 n 1.6
700 n2 3n n 25
3n 2 2
.2
t23 3 22.6
22.21 .2 597 2
403. ¿Cuántos números de la forma: a a 1 b b 2 c c / 2 d
405. ¿Cuántos números de tres cifras existen, que tengan por lo menos una cifra par y por lo menos una cifra impar? A) 500 D) 635
existen? A) 960 D) 3600
B) 2160 E) 2400
B) 625 E) 600
C) 675
C) 3200
Sabemos:
N aa 1bb 2cc / 2 d
1 2 3 . . . . 7 8 C#s= 8
2 3 4 . . . . . 9 8 x
x
0 2 4 6 8
0 1 2 . . . . . 9 10 =3200
5 x
d= 0; 1; 4; 9; 16;…..;8 ; 2
2
9
404. En que sistema de numeración existen 136 números de las formas:
aa bbK
A) 16 D) 19
B) 17 E) 20
C) 18
a+b= k-1 (máximo)
a=1; b=0; 1; 2; 3…;k-2 k-1 a=2; b=0; 1; 2; .…;k-3 k-2 a=3; b=0; 1; 2; .…;k-4 k-3
.
.
.
a=k-2; b=0,12 a=k-1; b=0 1
#s =
.
k 1 k 136
.
.
2 k 1 k 8 17 2 k=17
a b c 9x10x10=900 números de 3 cifras Para hallar los números de3 cifras que tengan al menos 1 cifra impar y 1 cifra par, al total de números de 3 cifras se le debe restar los números de 3 cifras pares e impares luego: # de 3 cifras pares a b c 2 0 0 4 2 2 6 4 4 8 6 6 8 8 4 x 5 x 5 = 100#s # de 3 cifras impares a b c 1 1 1 3 3 3 5 5 7 7 7 5 9 9 9 5 x 5 x 5 = 125 #s Entonces: 900-(100+125)675 #s 406. ¿Cuántos números capicúas existe entre 800 y 80000? A) 900 D) 750
B) 800 E) 810
C) 700
800 < ”capicúas”< 80000
Capicúas
a b a ; a b b a ; 8 0 9 1 2 . . . 9 2x10 = 20
Nro capicúa: abcba
1 0 2 1 3 2 . . . . . . 9 9 9x10=90
Tenga 2 cifras “2”
a b c b a 1 0 0 2 1 1 1 2 2 . . . . . . . . . 7 9 9 7x10x10=700 C#s Capicúas= 20+90+700=810
407. ¿Cuántos números de 10 cifras hay en base 16 tal que el producto de sus cifras sea 30? A) 990 D) 500
B) 800 E) 600
C) 720
En su escritura: a 2 c 2 a x 2 b c b 2 x 0 0 1 0 1 1 3 1 3 3 . 3 . . . . . . . . . . . . x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 2 x 1
x 12 x 2 x 1 66 x 1 x 1 x 2 66 6 11 x 1 2x 3 7 1 2 7 3 x7 409. Se escriben en forma consecutiva los números enteros positivo uno a continuación del otro hasta emplear 2226 cifras. ¿Cuál es la cifra que ocupa el último lugar? A) 5 D) 8
Casos: I II Producto de =30= 2x3x5 = 5x6 cifras III IV =15 x 2 =10 x 3 Caso I : 10x9x8 = 720#s Caso II : 10x9 = 90#s Caso III : 10x9 = 90#s Caso IV : 10x9 = 90#s Total = 990#s 408. ¿En que sistema de numeración hay 66 números capicúas de 5 cifras, que exactamente tenga 2 veces la cifra 2 en su escritura? A) 5 D) 8
B) 6 E) 9
C) 7
B) 6 E) 9
C) 7
2226 cifras 1,2,…9; 10,11,….99,100,……U
9 #s Cifras: 9x1
90 #s 90x2
2037 cifras
2037 3 679 # s de 3 cifras 679 U 100 1 U 778
Última cifra =8 410. Un libro se empieza a enumerar desde una primera página y se observa que 58 números comienzan
con la cifra 7. ¿Cuántos números escritos terminan con la cifra 7? A) 76 D) 74
B) 67 E) 73
C) 70
La numeración de las páginas que comienzan con la cifra 7 será: 1,2,3,….,7,…..,70,71,…,78,79…,
1#s
10#s
700,701,702,..,746 47#s El libro tiene 746 páginas La secuencia de las páginas que terminan con la cifra 7 será: 7,17,27,37,47,…….,717,727,737
Total de números que terminan en la cifra 7: 737 7 Total= 1 74 10 Total= 74 números
411. Se han arrancado las 50 últimas hojas de un libro, notándose que el número de tipos de imprenta que se han utilizado en su numeración, ha disminuido en 361. ¿Cuántos tipos de imprenta se han utilizado en la numeración de las hojas que quedaron.
Si cada página de 4 cifras reemplazamos por una de 3 cifras, la cantidad de tipos disminuye en 1. Cantidad de páginas de 3 cifras = 400 -361 =39 La última página de 3 cifras es la 999 La última página de 3 cifras que quedaron es =999-39=960 Cantidad de tipos=3(960+1)111=2 772 Total de tipos = 2 772
412. Si de los números del 1 a 1000, no se marca ni un solo número que contenga la cifra 4 ó la cifra 7 ¿Cuántos números se marcan? A) 506 D) 512
B) 510 E) 515
C) 511
Sin 4 ó 7 del 1 al 1000, por análisis combinatorio tenemos: * De 1 cifra:(1,2,3,5,6,8,9)=7#s * De 2 cifras: a b 7 x 8 = 56 #s * De 3 cifras: a b c
A) 2 661 D) 2 772
B) 2 771 E) 2 774
C) 2 769
7 x8x 8=448 #s * De 4 cifras: (1000) 1#
En total de páginas =100 Si las 100 páginas arrancadas fueran todas de 4 cifras, faltarían en total 400 tipos de imprenta, pero sólo faltan 361, esto indica que algunas páginas son de 3 cifras.
Luego : 7 +56 +448+1 =512#s
413. Un libro tiene entre 100 y 1500 páginas, si en las 40 últimas páginas utiliza 155 cifras ¿Cuántas
cifras tendría si se enumerara en el sistema octal?
cifras más que el otro, y que la suma de dichas bases es 15.
A) 3555 D) 4125
A) 5 D) 6
B) 4005 E) 4325
C) 3750
B) 4 E) 7
x números de 3 cifras x+y=40 x=5
C) 3
aba w
y números de 4 cifras 3x+4y=155 y= 35 Última página =1034 = 2012 8 # cifras = 4 20138 11118 3555
Nros capicúas:
xyxz Además: w+z=15
Método combinatorio: 414. Sea la P.A.:
4a6;.....;68b;6c b 2;70d donde el término del trigésimo lugar de la P.A. es 68b . Halle (a + b + c + d). A) 26 D) 25
B) 24 E) 13
1
x y xz 1 0 2 1 3 2 . . . . . . . z 1 z 1 z 1. z
680 406 10a 232
42 b 10.a d 4
415. Halle la diferencia de las bases de 2 sistemas de numeración; si uno tiene 56 números capicúas de 3
0 1 2 3 . . .
1
t30 68b 4a6 29. 8
a+b+c+d+=26
1 2 3 . . . .
1
r=8; c=9
5
b a (w)
w w w . w
C) 30
4ab;.......;68b;6c b a;70d
8
a
Por dato:
w w z z 56 w z z w 56 w zw z 1 56 2
2
2
2
14
wz
56 14
6cifras+ 42x2 cifras +294x3 cifras +x.4 =996
4
4x=996-972 4x=24 x=6 números
416. Una persona empieza a numerar las páginas de un libro desde el número 4000, se detiene en el número que representa la cantidad de cifras utilizadas. Dar la suma de las cifras del último número. A) 12 D) 14
B) 13 E) 15
abcd7 10057 1 + 0+ 0+ 5=6
C) 11
418. Si :
Sucesión será: 4000;4001;4002………….…;N
a0ca 8abc b7c8 ccab 24022 Halle: a b2 c
“N” tipos de imprenta
A) 270 D) 245
Planteando el enunciado: (Cantidad de números) x 4 =N 4N 3999 N 3N= 4x 3999 N= 4(1333) =5332 N=5332
A) 4 D) 7
B) 5 E) 8
C) 6
a0ca abc b0c0 ccab 24022 - 8000 -708=15314. Entonces: a + b + c =14 (único valor que cumple) * * *
1;2;...6; 107 ;…; 66 7 ;
1+(a+ b+ c)+c =.........1 15 + c=..........1 c = 6 2 + a + c = ...........3 8 + a = ...........3 a = 5 1+ a + b + c = 15 1 + 5 + b +6 = 15 b=3
a b2 c 5 32 6 270
419. Halle : a b c ; si n + x =16 y x1x x2x x3x ... x n 1 x abc4
6 números 607 números 100 7 … 6667 1000 7 .. abcd 7
600 7 números x números
C) 320
Si:
Suma de cifras: 5+3+3+2=13 417. Al enumerar las páginas de un libro en base siete se emplean 996 cifras. Indicar la suma de las cifras del numeral correspondiente a la última página.
B) 256 E) 325
A) 13 D) 16
B) 14 E) 19
C) 15
n + x = 16 ; (n 1) . x = ... 4 n = 10 x=6
420. Si al multiplicando y multiplicador se le disminuye en 2 y 4 respectivamente, el producto disminuye en 198. Halle la suma de los factores de dicha multiplicación si su diferencia es 8. A) 63 D) 66
B) 65 E) 69
C) 67
Mxm=P (M-2)(m-4) =P-198 Mm -4M-2m+8= P-198 206 206 =4M + m x 2 +
103=2M + m + 8= M-m 111 = 3M; M = 37 m = 29 M + m = 66
Halle el número de divisiones de dividendo ca y residuo ab b d
B) 2 E) 6
66667 100007 1 abcd7 10 100007 1 abcd00007 abcd7 ...2 ..24117
entonces a=4 b=2 c=5 d=6 luego d b ca Divisor ab Cociente
354 = divisor. cociente + 42 312= divisor. Cociente además divisor >42 divisor =52,104,78,156,312 hay 5 divisiones (tabla de divisores)
422. Calcular la cantidad total de números enteros los cuales al ser divididos entre 31, producen un resto triple que el cociente corresponde. A) 13 D) 11
B) 4 E) 12
C) 10
Sea “N” uno de dichos números:
421. Si abcd7 22227 ...31257
A) 1 D) 5
Expresando:
C) 4
abcd abcd7 .2222 .22227 ...3 ...312 125 57 Multiplicando por 3. abcd abcd7 .222 .2222 27 ...3 ...312 125 57 ;
N= 31q + 3q N= 34q Además, sabemos: resto < divisor
3q 31
q 31 /3 q 1,2,3 ,2,3,, 4,5,6 ,5,6,7 ,7,8 ,8,9 ,9,1 ,10 0
Cantidad de valores =10 423. Si
multiplicamos al número abc por n0n (0 = cero) observamos que el producto total es **435 (cada asterisco representa una cifra). Dar como respuesta a + b + c; si además; a<9.
A) 17 D) 14
B) 16 E) 13
C) 15
que le falta a xyz para que sea un número cuadrado (el menor posible).
abc non .935 935
..
A) 36 D) 68
n=5 c=7 b=8 a=1
B) 134 E) 45
abc 47
435
C) 34
...256 ...32
a + b + c = 16
...576 o
7
424. Si en una división, el residuo por exceso, residuo por defecto, divisor y cociente son números pares consecutivos. ¿Cuál es el valor del dividendo? A) 25 D) 60
B) 52 E) 56
C) 48
c 10
6
c 8
o
7 7
b 5 10 5 b 0 o
a
10 2 a 6
CA aa CA ab CA xyzw CA 66 CA 60 CA xyzw
34
40
CA xyzw
1360
CA xyzw
Al ser pares consecutivos, entonces cada uno es igual al anterior incrementado en 2 unidades. RE N ; RD N 2 : d N 4 N;
x9x8 3 x 9 y 6 6 z 10 z 4 0
q N6
xyz 864
Sabemos que: RE RD d N 2 N N 4 N=2 RE
2
; R D 4 ; d 6 ; q=8
D = 6 8 + 4 = 52
1
Falta = 900-864 = 36 426. Calcule el producto total de la siguiente multiplicación:
y
CA aa x
CA ab CA xyzw . Calcule lo
6
Si la diferencia de sus productos parciales es 29. A)
425. Si: abc x 47 ...576 576
a a 1 6 a 2 a 3
1033 6
B)
1003 6
E)
2100 6
2002 6
D)
2003 6
C)
º
2 n 1 n 5
x
a 2 a 3 a a
a<3
6
1
2n2 = n+5 n=7
6
Reemplazando:
Productos parciales: a 16 a 2 a 36
a6 a 2 a 36
a 2 a 3 6
29 45 456
a2 Reemplazando: 456 236 2236 1346 2003(6)
...124512(7) ......6666(7) ...120305(7) ...120305(7) ...120305 ...120305 ...120305 ...120305 ...............542155 abcde57 5421557 abcn8
54278 2839
2839
178712
1 7 8 7 3 92
Producto: 2003(6)
427. Si: 1245124512....(n) n 1 n 1 ... n 1n 38 cifras
A) 51 D) 39
...abcde5n Calcule el producto de cifras del numeral abcnn expresado en base 12. 1
A) 72 D) 254
428. Se obtienen 4 residuos máximos al dividir abcde por 43. Halle: (a+b+c+d+e)
B) 148 E) 392
C) 321
B) 45 E) 42
abcde
--
C) 40
43 rpqz
42c
--42d --42e --
42
ab 43r 42;r 1 Como tiene 38 cifras termina en 12. ...124512(n) ... n 1 n 1n =
...abcde bcde5 5n ; n 5
a=8
ab 85 b=5
42c 43(p) 42;p 9
42c 429 c 9 42d 43 q 42, q 9 42d 429 d 9 42e 43 z 42 z 9 42e 429; e 9 a + b + c + d + e =40 429.
1 3
q = 17 D= 39 x 17 + 26 = 689
cifras de D = 23 (6 + 8 + 9)
del divisor. El menor
número que se debe sumar al dividendo para aumentar en 2 al cociente es 52. Al triplicar al dividendo, el cociente aumenta en 36. Halle la suma de las cifras del dividendo. A) 15 D) 23
B) 17 E) 24
1
2
3
3
C) 20
re d r d Luego: D 2 3
d q
d
D + 52 0 52
2
D dq d 3
d q +2
D 52 d q 2
2
dq d dq 2d 3
52
4
d d 39 r 26 3
*
3q 2 q 36
Es una división el residuo por exceso es
*
3D 3x26 0
39 3q +2
430. En una división inexacta por defecto, el divisor y el residuo son 34 y 14 respectivamente, si al divisor se le agrega 5 unidades entonces el cociente disminuye en 2 unidades. Halle el nuevo residuo sabiendo que es el menor posible. A) 1 D) 4
B) 2 E) 5
D
34
14
q
D
39
r
q-2
C) 3
D 34q 14
D 39(q 2) r
34q + 14 = 39q – 78 + r 92 =5q + r q=18 r=2; Residuo = 2 431. En una división entera inexacta la suma de los 4 términos es 744, el mínimo valor que se debe quitar al dividendo para que el cociente disminuye en 1 es 49, y el máximo valor que se debe agregar al dividendo para el
cociente aumente en 1 es 67. Halle el dividendo. A) 608 D) 628 D r
B) 622 E) 632
C) 618
d D d q r 744...(I) q
D - 49 d d -1 q-1
D 49 d(q 1) (d 1)
D+67 d D 67 d(q 1) (d 1) d -1 q+1
116 = 2d d = 58
En (1) 58q + r + 58 + q + r = 744 59q + 2r = 686
10 48 D=58 x 10 +48 = 628
432. Sea “N” un número que tiene entre 49 y 57 cifras que multiplicando por 91 se obtiene un número formado por un 1, un 3, etc. Halle la suma de cifras de dicho número A) 168 D) 108
B) 156 E) 86
C) 96
N.91 = 1313… 131313... 91 403 364 391 364 273 273 - --
433. Halle la suma de cifras del menor número que multiplicando con 14 de un número formado por puras cifras 3 y en las unidades un 0. A) 17 D) 27
B) 19 E) 31
C) 26
N. 14 =33…30
333 28
.
……
53 42 113 112 133 126 70 70 --
14 N=238095
Cifras =27
434. Se tiene 943 número consecutivos, si se divide el menor de ellos entre 78 se obtiene 29 de residuo ¿que residuo se obtiene al dividir el mayor entre este divisor? A) 49 D) 29
B) 25 E) 35
C) 38
943 números consecutivos: n+1, n+2…, n+943
91 N=1443 001443...001443 4 cifs 6 cifs
cifras = 9x12 =108
6 cifs
Luego deben ser: 4 +6 .8 =52 cifras.
n+1
78
29
k
n+943 78 R
942 6
n 1 78k 29 ... 1 n 943 78h R...
2
h
78 12
942 78 12 6... 3
n 943 78k 12 35 Comparando 2 y 4 ; h=k+12 R =35 1
+
3
4
dicho complemento aritmético. Determine la suma de cifras del numeral primitivo. A) 13 D) 16
435. Si
se
divide
a 2 a2 1 ;
ma
2
a=3 divisor: Dato:
tanto por defecto
B) 8 E) 20
a 2 a
2
C) 15
2 n entre
como por exceso se obtiene; que la suma del residuo por defecto más el residuo por exceso y más el cociente por exceso es 34. Halle (m + n + a), si el residuo por defecto excede al residuo por exceso en 16. A) 16 D) 12
B) 14 E) 17
C) 10
r (10 c)
rd re q 1 34
d 18 +q +1 =34; q=15 rd re 18 rd re 16 rd=17
3
abc 3 CA abc 10 c
abc 3 1000 abc 10 c 4
abc 3000 10 c
4
c 10 c
5
c 10
o
o
c=
1 d = 18
CA abc
abc
0 2 4 6 8
cumple sólo para c=2
abc 4 3008
c = 2; b = 5; a = 7 a+b+c+=14
re =1
m8n 1815 17 m8n 287 m=2 n=7
437. En una división el dividendo es par, el divisor es 2n 1n 2 , el cociente
es
436. Al dividir un número de tres cifras diferentes entre su complemento aritmético se obtuvo cociente 3 y como residuo la última cifra de
y
el
residuo b b 9 . Calcule la suma de los términos de la división si se realiza por exceso. 3
m + n + a =12
a 13a
A) 2 870 D) 3 037
4
B) 2 900 E) 3 039
C) 3 000
Cantidad de valores: 10
2n 1n 2
N
2
r b
3
b
4
a 13a
9
a 10 a 3, 3 1 a 4 a 2;3 3
b 2
Por algoritmo de la división 2N 2n 1n 2 a 13a 87 Par
impar
impar
a = 3 residuo < divisor
2n 1n 2... 2n 1 10 n 5, 5.
87
Impar
n= 1; 3;5 en : sólo cumple si n=5 divisor =97 cociente =29 residuo=87 dividendo =2900 qe 30 re 10 Piden: 97+30+10+2900 Piden: 3037
439. En una división le faltan 15 unidades al residuo para ser máximo y sería mínimo al restarle 18 unidades. Determinar el dividendo, si el cociente es el doble del residuo por exceso. A) 1139 D) 1193
B) 1123 E) 1137
C) 1107
D = d . q + R RMÍNIMO = R 18 = 1 R= 19 RMÁXIMO = R + 15 = d 1 d = 35 Además: RD + RE = d 19 + RE = 35 RE = 16 q = 2RE q = 32 D = 35 32 + 19 D = 1139 440. Sabiendo: E An B ; E tiene (9n+1) cifras 7
como mínimo y que “A” y “B”
tiene 8 y 5 cifras respectivamente. Halle “n”.
438. Calcular la cantidad total de números enteros los cuales al ser divididos entre 31, producen un resto triple que el cociente correspondiente.
A) 12 D) 10
A 10 n n n 10 A 10 7
8
10
7
A) 13 D) 11
B) 4 E) 12
C) 10
B) 14 E) 16
n28
7
10
8
C) 8
4
B 10 B 10 5
10
28
10
7
An B 10 n 7
3
35
Sea “N” uno de dichos números:
N = 31 q + 3 q N = 34 q
Además, sabemos: resto < divisor 3q < 31 q < 31/3 q = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
Cifras mínimas:
7n 28 1 9n 1 n = 14
35
441. Si M ,M ,M ,......,M n son números de 1,3,5,………., 45 cifras respectivamente ¿Cuántas cifras puede tener como mínimo el producto de dichos números? 1
2
Por dato: E tiene “ 6x ” cifras
3
A) 529 D) 507
B) 526 E) 506
C) 527
x 14 6x 10x 18
10
x 5
443. Halle el valor de “n” si E tiene 15 cifras, A tiene 18 cifras y B tiene 13 cifras, siendo: E n A B 2
A) 4 D) 12
Observamos que la cantidad de cifras de los numerales respectivos forman una serie aritmética de razón 2, entonces:
#de tér minos
C) 7
En = A² . B³
45 1 23 ; n 23 2
# cifras de En = Min = 15n n + 1 Máx = 15n
La cantidad de cifras de: M1, M2, M3 Máx. = 1 + 3 + 5 + ... + 45 = 23 (1 + 45) 529 2 Min.= 529 23 + 1 = 507
A.B E Tiene C
B) 5 E) 15
3
# cifras de A² . B³ = Min= 2(18) +3(13)5+1 Máx= 2(18) + 3(13)
36 + 39 = 15n n=5
*
x (n-1) 4
2
442. Si:
2
x cifras
6
enteras; además: “A” tiene
x8
cifras; “B” tiene x4 cifras y “C” tiene x0 cifras. Halle “x”
A) 4 D) 7
B) 5 E) 8
C) 6 6
Max x8 2.x4 A.B C
2
E
2
Min x8 2.x4 3 1 Max 2.x0
Min 2.x0 2 1 Max x8 2 x4 2 x0 1 1
E
Min x8 2.x4 2 2 x0 10x 14
10x
18
9
x=6 n=10
a + b + c = 14
444. Halle en base 10 el valor de “S” si sus 15 términos forman una progresión aritmética: S = 12(n) + 21(n) + 30(n) + ... + 210(n)
A) 637 D) 675
B) 625 E) 645
C) 5481
3 columna = 1 2 3 4 5 50 4 columna = 2 4 6 8 5 100
S 12n 21(n) 30n ... 210n Razón:
21 n
12n n 1 446. Si: S n 102 104 106 .......... ..........
Último término: 12n 14 n 1 210n
“n” sumandos
Resolviendo: n 7n 6 0 n 6 2
Halle la siguiente suma:
S 126 216 306 ... 210 6 S= 8 + 13 + 18 + … + 78
S
15
x 86 2
645
445. Halle la suma de todos los números de la forma: a a / 2 b 2b A) 84440 B) 84480 C) 84840 D) 104480 E) 105480
5 N=
4
a
a 2
2
1
4 6 8
2 3 4
S= 105
4
8 b (2b) 0 0 1 2 2 4 3 4 6 8 8 0
:20#s
1 columna = 0 2 4 6 8 4 80 2 columna = 0 1 2 3 4 4 40
S S1 S2 S3 S4 ......... S49 A) 26 615 C) 161 450 E) 146 150
B) 16 415 D) 164 150
S1 102 S2 102 104 S3 102 104 106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S49 102 104 106
……….. ……….. ……….. ……….. ……….. ……….. ……….. ……+198
S = 49(102)+48(104)+47(106)+...1(198) S = 2[49(51) + 48(52)+47(53)+...1(99)] S = 2[49(10049)+48(10048)+... +47(10047)+...+1(1001)] S = 2[100(49+48+47+....+1).... (49²+48²+47²+...+1²] 49 49 1 49 49 1 2 49 1 S 2 100 2 6 164150 S = 164150
C.A. 9ab 41ab
A) 1 D) 10
C) 8
C.A. 1ab C.A 2ab C.A. 3ab ...
447. Efectuar: S = 6 + 66 + 666 + 6666 + ....+ 66...66 “n” cifras
A)
n1
10
9n
9 10 9n 10 B) 27 n 10 9n 10 C) 27 10n1 9n 10 D) 2 27 n1
10n 9n 10 E) 2 27
Factorizando el 6: S=
6 (1+11+111+1111+... + 11111 ....... 1111 “n” cifras
Multiplicando por : 9: 9 S = 6 (9+ 99+999+9999 + ... + 99999 ....... 9999 “n” cifras 3S 101 1 102 1 10 3 1 ....... 10 n 1 2 1 n 3S 10 10 1 n( 1) 2 (10 1)
S
B) 6 E) 4
CA 1ab CA 2ab ... CA 9ab 41ab
103 1ab 103 2ab ... 103 9ab 41ab 9 103 1ab 2ab ... 9ab 4100 ab 1ab 9ab 9 4100 ab 2 9000 500 ab 9 4100 ab 9 103
400 10 ab ab 40 a+b=4 449. Calcule: k m n si se cumple que: k m k CA mn 2n 8 13 5 13 3 A) 27 D) 4
B) 13 E) 25
C) 53
k k m CA mn 2n 5 13 3 8 13
Método Práctico:
m m9 3 12 n 2n n 4 k k k 40 13 12 m
5
8
k m n 40 9 4 4
2 10n 1 9n 10 27
448. Halle: a b si:
450. Si:
abcm cbam xyzm, xyzm zyx m defgm y d e f g 16;
Halle el valor de m. A) 5 D) 8
C.A 901000...000 99000...000
B) 6 E) 9
C) 7 (n+2)cifs.
abcm cbam xyzm x z m1
Suma de cifras: 9+9 =18
y= m – 1
452. Si N y M son números de 200 y 150 cifras respectivamente, y
x y zm
( n+1)cifs.
CA N M CA(N).
z y xm
Halle la suma de cifras del complemento aritmético de M.
d e f gm
A) 151 D) 9
z+x=m-1=g 2y = 2m-2= 1 m 2m
f m2 1 x z m 10m dem
D=1;e=0 Luego: d + e + f + g =16 (por dato) 1 + 0 +m – 2 + m – 1 =16
B) 1 E) 450
C) 50
C.A.N-M C.A.(N) 10k N M 10n N M 10n 10K 10K 99...9
CA(M) 10k.1 100...0
m 9
2m=18
Cifras = 1 451. Calcule el complemento aritmético del número M 9 10n 10n Dar como respuesta la suma de sus cifras. 1
A) 10n+2 D) 9n-1
B) 15 E) 10n-9
1
C) 18
453. ¿Cuál es el mayor sistema de numeración en el cual se puede escribir con tres cifras un número entero que en el sistema decimal tiene por complemento aritmético a otro numeral de 3 cifras iguales? A) 26 D) 19
B) 29 E) 22
C) 20
M 9 10n 10n 1
1
Sea “n” el valor máximo de la
Se puede expresar: n1
M 9 10 10 2
n1
10
Factor común:
M 10n 1 900 1 901 10n 1
base, que representa al número dado como: abcn N 10
Además: CA N10 XXX Cómo N10 debe ser máximo, por lo tanto su CA deberá ser el más pequeño posible, luego x=1
capicúas de
Luego: CA N10 111;N 889 Entonces: abcn 889 n2 889; n 29,7 Luego el mayor valor de la base será: n = 29 454. Si: 21ab 24ab 27ab .... 69ab es xyz63 Calcule: (a+b+x+y+z) A) 28 D) 26
B) 27 E) 32
2 cifras es 330 en
base “n”?
A) 6 D) 9
B) 4 E) 8
C) 7
Planteando el enunciado. 11n 22n 33n ... n 1 n 1n 330n
1n 1 2 n 1 3 n 1 ...n 1 n 1 3n n 1
Simplificando tendremos: 1+2+3+4+….+(n-1)=3n
C) 24 Suma
21ab 24ab 27ab .... 69ab es xyz63
2100 2400 2700 .... 6900 17 ab
n n 1 3n 2
de naturales
n 1 = 6; n = 7 Heptanal
17#s. 9000 17 17 ab xyz63 2
Observando: (otras cifras son ceros) ab 17 * 7 b .3;b 9 ab 39 73 * 7 a 6 .7;a 3 9 63
4500 17 17 39 xyz63 X=7 17 4539 77163 xyz63 Y=7 a b x y z 27 Z=1
456. Halle la suma mínima de los siguientes números que se encuentran en P.A.: S = ab;ac; a 1 3; a 1 c;....; a 7 c De como respuesta la suma de cifras de S. A) 16 D) 21
“n” la suma de todos los números
C) 20
ab;ac; a 1 3; a 1 C... a 7 c 5 b=3
455. ¿En que sistema de numeración
B) 18 E) 22
amin 1
5
5 c=8
S
S
13 88 88 13 1 2 5 101 2
16 808
Desdoblando en dos sumas:
S 13 13 13 ... 13 S 7 9 11 … +103
Cifras de S=16
1
4
6
8
100
1
457. Si: aba8 ab8 ba8 ccdd 8
103 7 103 7 1 2695 2 2
S2
Halle el valor de (a+b+c+d).
S 31 31 31 ... 31 2
A) 15 D) 18
B) 16 E) 19
5
7
S 16
C) 17
22
2
9
28
99
... 298
298 16 298 16 1 7536 2 6
S1 Ordenando: aba
S S1 S2 2 695 7536 10231
8
ab 8
459. Halle: “ a+b+c” si:
ba 8
c c d d 8
a b a 2d8 16 d b=5 b a b 2 2d8 16 d d=3
a1b9 a2b 9 a3b 9 ... a8b 9 48c2 9
A) 16 D) 20
B) 17 E) 18
C) 15
a1b 9
a 2 CC8 9C c= 1 a=7 a + b + c + d = 16
a2b . . . 9
a8b9 48c29 458. Halle la suma:
Unidades: º
13 4 315 136 317 ... 13100
A) 2 895 C) 12 301 E) 10 231
B) 7 536 D) 10 321
8 b x29 8.b 9 2 b 7 Decenas: 89 6 42 4 9 6 c 6 2 Centenas:
8 a 4 489 8 a 40 a 5 a + b + c = 18 460. Halle la diferencia de las cifras de un número de 2 cifras; tal que la suma del número con el que resulta de invertir sus cifras, sea igual a la suma de todos los números de 2 cifras hasta el inclusive. A) 0 D) 1
B)4 E) 3
5 5 5 =125 Números C. A. abc (9 a)(9 b)(10 c)
C) 2
Planteando el enunciado: Nro. Inicial: ab Nro. Invertido: ba ab ba 10 11 12 13 ... ab
8 6 4
8 6 4
9 7 5
2 0
2 0
3 1
5 5 5 = 125
Números
Sumando: Unidades: 25 (9 + 7 + 5 + 3 + 1) = 625
10 ab 11 a b ab 9 2
Decenas: 25 (8 + 6 + 4 + 2 + 0) = 500
22 a b 10 ab ab 9
Centenas: 25 (8 + 6 + 4 + 2 + 0) = 500 55625
22=10+ab ab 12 3 = 12 9 Pide la diferencia b a = 1
461. Halle la suma de los C.A. de todos los números que tienen tres cifras impares. A) 55 6615 C) 45 625 E) 55 625
a b c 1 1 1 3 3 3 5 5 5
B) 55635 D) 55 525
462. Se realiza una reunión de Peruanos y Bolivianos para tratar con respecto a la agricultura, son 12 en total, los peruanos son más que los bolivianos, los peruanos llegan y se dan los buenos días mutuamente; los bolivianos lo mismo, pero los peruanos no saludan a los bolivianos y lo mismo los bolivianos, si en total se efectuaron 31 saludos ¿Cuál es la diferencia entre Peruanos y Bolivianos? A) 2 D) 5
B) 3 E) 4
C) 1
d=d c= d+r b=d+2r a=d+3r
P+B=12 Saludos Peruanos 1 P-1 2 P-2 P 1 . . 2 P . . . . P-1 1
Resolviendo
r 1 e2 a bc d e
6 7 8 9
Saludos Bolivianos 1 B-1 2 B-2 3 B-3 B 1 . . 2 B . . . . B-1 1
4 5 6 7
3 4 5 6
2 2 2 2
Si r 2 e 4
abcde 119 7 5 4
No hay números 464. Halle la suma de cifras de la suma de todos los números de la forma
a 2 a 2 3 b 3 1 2b 5
463. ¿Cuántos números de la forma abcde existe, tales que: a b c d e y la suma de los cuadrados de las cifras de segundo y quinto orden es igual a la suma de los cuadrados de las demás cifras? (Las cifras a, b, c, y d forman una progresión aritmética). B) 5 E) 4
5 6 7 8
Solo hay 4 números
P 1P B 1B 2 2 31 P2 P B2 B 62 P² + B² (P + B) = 62 P² + B² = 74 7² + 5² = 74 7 5 = 2
A) 1 D) 9
e=2r
C) 6
A) 15 D) 16 UM
a 2
B) 14 E) 17 M
C) 13
C
D
a 3 b 1 (2b) 2 3
1 3 5
3 4 5
7 9
6 7 5
abcde;a b c d e a2 d2 b2 c2 e2. 2 2 2 d 3r d2 d 2r d r e2
0
2
1
8
x
(2)
U 5
5
=10
b = {1; 4} a = {3; 5; 7; 9; 11} Ordenado los productos parciales
U
10
D
10
C
10
M
1
(5)
50
A) 4 D) 7
(1)
5
Planteando el enunciado:
=
B) 5 E) 8
C) 6
“a” # de relojes
10 5
UM
Si la factura total fue S/. 2213. Halle el número de relojes.
50+
(10) =
2
2
=
(25) =
10 5
5 0
(25) = S=
143 a + 91 b + 77 x c = 2 2 1 3
50
12 31
55 1 0 5 0
(1) +1
Cifras 16 *
º
Módulo de 7 : º º º [( 7 +3)a+ 7 + 7 ] = 3 +
34
2¨
º
465. Si: A = 3k + 1 ; B = 3k + 2 Halle el residuo que deja la expresión: E = [2A + 22B + 2³] entre 7 A) 1 D) 5
B) 2 E) 4 A
C) 3
A) 2 D) 5
E = (2 + 2 + 8) 7 E = (23k+1+26k+4+ 7 +1) E = (2³)k . 21 + (2³)2k 24 + 1 º
E = ( 7 +1)2 + ( 7 +1)( E=2+2+1+
467. ¿Cuál es el residuo de dividir: 666...666 (8) entre 13? 102 cifras
2B
º
3a + 7 = 7 + 1 7m 1 a 3 m=2 ; a=5
Base 8:
º
7
80; 81; 8²; 8³; 84 1; 8; 12; 5; 1 1; 5; 1; 5; 1
º
E = 7 + 5 residuo = 5 466. Una importadora ha comprado relojes a S/. 143 c/u, lapiceros a S/. 91 c/u; pulseras a S/. 77 c/u.
C) 3
Calculando restos potenciales de base 8 respecto al módulo 13.
º
7 +2)+1
B) 8 E) 9
Cada 4 cifras se anula: 102 4 2 25
6 6 6 ..... 6 6 6(8)
5 1
100 cifras = 0
º
n + 7 = 25 n = 18; 43; 68; 93 º
º
n 7 = 25 n = 7 ; 32 ; 57; 82 # términos = 8
30 6 13 r º
º
13 + 2 = 13 + r
r=2
470. Si al dividir por exceso: º
468. Si: 43a43 es la suma de 83 números consecutivos, halle el valor de “a”.
A) 1 D) 4
B) 2 E) 5
C) 3
Sean los 83 números consecutivos: n41; ...; n1; n; n+1,...;n+41 Luego: n41 + ....+n+41= 43a43 83n = 43a43 º
83 = 43043 + 100a º
º
83 = 49 + 17a + 83 º
83 = 17a 34
a=2
469. ¿Cuántos términos son múltiplos º
de 25 ? 2; 5; 10; 17; .......; 10001 A) 12 D) 5
B) 9 E) 6
C) 8
Término n ésimo: an = n² + 1 ; n = 1,...., 100 º
n² +1 = 25 º
n² + 1 50 = 25 º
(n + 7) (n 7) = 25
2304606902b31 con 23 no deja residuo, halle el valor de b. A) 1 D) 7
B) 2 E) 8
C) 5
E = [26n+3+9k.4k] entre 7?
Se tiene: º
2304606902b31 23 2b31 º
= 23 + 2031 + 100b
A) 1 D) 4
B) 2 E) 5
C) 3
º
= 23 + 7 + 8b E = 26n+3 + 9k.4k entre 7 2n E = 23 . 2³ + ( 7 +2)k.4k
Como el residuo es “0”
º
7 + 8b = 23 b=2
º
E = ( 7 +1)( 7 +1) + 2k.4k
471. Halle el residuo de dividir: unac2008
3abc3 A) 1 D) 6
º
Ojo: 2k.4k º
por 10
º
= 8k=( 7 +1)
º
E = ( 7 +1)+( 7 +1) = 7 +2
B) 2 E) 7
C) 5 474. Sea: º
n! = 23 + 2; º
unac2008
3abc3
...3
(n+1)! = 23 + 6 ¿Cuál es el residuo de (n+3)! entre 23?
4k
k
...1
= ...1
A) 3 D) 12
º
= 10 + 1
B) 6 E) 13
C) 5
472. Halle el residuo de dividir: nm
abba2 cde14 fgh36 por 2. A) 0 D) FD
B) 1 E) N.A.
C) 0.1 475. ¿Cuántos términos de la serie: 4; 11; 22; 37; 56; ....(100 términos) º
nm
E = abba2 cde14 fgh36 ; a = 1 , b=0 º º º = 2 1nm 4 1 6 3
º º º = 2 1 2 1 2 3
son: (13 +1)? A) 14 D) 8
B) 15 E) 12
º
E
= 2 + 3 º = 2 +1
473. ¿Cuál es el residuo de dividir la siguiente suma:
Sucesión de 2º orden:
C) 9
c=
1
a+b =
4; 11; 22; 37; 56;... 3
2a =
4
a=2 ;
7
A) 7 D) 2
B) 3 E) 1
C) F.D.
11 15 19 4
4
4 columna secundaria b=1;c=1
135ab1 base 11 ab1
º 11 3
º
11 r
º
º
11 3ab1 11 r
º
2n² + n + 1 = 13 + 1 º
Restos potenciales de impotencia 3 con respecto al módulo 11.
º
n(2n+1) = 13 ; n = 13 k
30; 31; 3²; 3³; 34; 35 1; 3; 9; 5; 4; 1
#s: {13; 26; 39; 52; 65; 78; 91} (7 nros) #s: {2n+1= 13; 6; 19; ...97} (8 nros)
º
º
11 3ab0 31 11 r
Total de números 7 + 8 = 15
º
º
k
11 35 3 11 r º
476. Halle “a” si (a+b) = 6, además: aabbaabb...ab5
11 9 y
º
11 +( 11 +1).3 = 11 +r º
1334
º
el
º
11 + 3 = 11 +r r=3
exponente tiene 88 cifras. A) 3 D) 6
B) 4 E) 2
C) 5
E 1426 1425 A) 2 D) 1
++ º
1334 = 11 +3; calculando restos potenciales. º º º º 5k+b 5k b ( 11 +3) =( 11 +3) ( 11 +3) = 11 +9 º º º =( 11 + 35k)( 11 +3b) = 11 +9 º
478. Halle el resto de dividir E entre 7:
B) 6 E) 5
E = 1426 Impar
º
K = múltiplo de 3 k = 3n º
º
º
7 23n = 7 1 = 7 + r º
477. Si el número 135 se convierte en base 11. ¿Cuál será la cifra de unidades del resultado? ab1
21
C) 3
= 7 + r º º ( 7 2)Impar = 7 +r º º 7 2k = 7 + r
º
=( 11 +3b) = 11 +9 b=2 ; a=5
1424 1423
º
7 + 6 = 7 + r r =6 Residuo = 6
479. Halle (d+u), si el
número º
la
de º
forma: mcdu 11, tal que md 7
2 ; 6 ; 12 ; 20 ; 30 ; .... 14762
y m + c + d + u = u² A) 9 D) 15
B) 13 E) 45
1x2; 2x3;3x4;4x5; 5x6; ....;121x122
C) 12
º
tn = n (n+1) = 5 + 1 ; n= 1,2,...,121 (por dato en base 5 acaba en 1)
º
º
mcdu 11;md 7;m c d u u² u² =16 31 u² = 25 ++ u² = 36
º
n² + n = 5 + 1 + 5
º
n² + n 6 = 5 º
(n+3)(n2) = 5
º
c + u (m+d) = 11 ;
Luego: º
para u = 4
º
º
c (m+d) = 11 4 .......... () º
3m+d = 7 .......................()
º
si: c = 4 m + d = 8 ........................()
º
n 2 = 5 n = 5 + 2
Para u = 4 m + c + d = 12 m + d = 12 c ..................()
n = 5k + 2 k = 0; 1; 2; ....23 n 121
24 valores
481. En una fiesta infantil el payaso “POPI” juega con un grupo no más
de 150 niños y observa que si los agrupa de 7 en 7 le sobran 5 niños; si los agrupa de 4 en 4 le faltaría un niño para formar un nuevo grupo y si los agrupa de 9 en 9 le sobran 2 niños. Calcule el número de niños que hay en dicha fiesta.
de () y () º c = 11 + 4 c=4 de () y () m = 3; d = 5 d+u=9
A) 42 D) 122
480. ¿Cuántos términos de la siguiente sucesión: 2; 6; 12; 20; 30; ....;14762 al expresarlos en base 5, resultan que su cifra de menor orden es 1?
B) 130 E) 56
º
º
B) 24 E) 28
C) 47
# niños (N) 150 º N = 7 +5 N = 4 + 3
A) 12 D) 42
º
n + 3 = 5 n = 5 3 = 5 + 2
N = 9 + 2
C) 36
º
º
N = 4 + 11 º
N = 9 + 11
N = 36 +11 = 36 k + 11
k=1;2;3 N = 47; 83; 119
º
M = 36 = 36y 105x + 36y = 528 4 3
Pero: º N = 7 + 5 N = 47
2(420) V 56 lentes 15 3(108) M 81 lentes 4
482. En una conferencia a la que asistieron 528 personas; se sabe que de los varones: la tercera 2 parte usan corbata; los usan 15 3 lentes y los llevan saco. De las 7
Personas con lentes: 137 483. Un comerciante va a la “Galería Gamarra”
mujeres se sabe que: la sexta parte usa minifalda; las lentes y las
2 tienen 9
B) 56 E) 48
S/.
3060
para
comprar polos, camisas y pantalones de precios unitarios iguales a S/. 15; S/. 24 y S/. 60 respectivamente. Si entre pantalones y camisas debe comprar más de 10 prendas. Calcule cuántas prendas en total compró; si la cantidad de polos fue la mayor posible; además compró al menos uno de cada uno y empleó todo su dinero.
3 usan 4
ojos azules.
Calcule el número de personas que usan lentes. A) 137 D) 420
con
C) 81
A) 183 D) 184
# personas = 528
B) 172 E) 195
C) 163
De los varones (V):
* * *
º V V 3 3 º 2 usan lentes = V V 15 15 º 3 llevan saco = V V 7 7
usan corbata =
* *
x + z > 10
º
V = 105 = 105x De las mujeres (M) :
*
Artículo: camisas; polos, pantalones 24 ; 15 ; 60 Precios Unitarios Nº artículos x ; y ; z Máximo
º M usan minifalda = M 6 6 º usan lentes = 3M/4 M = 4 º 2 tienen ojos azules = M M 9 9
Luego: 24x + 60z + 15y = 3060 ........() º
º
º
Por 5 : 24x + 5 + 5
º
= 5
24x = 5 x = 5 xmin = 5 en()
24 5 + 60z + 15y = 3060 20z + 5y = 980 4z + y = 196
Zmin = 6 ymax = 172 x + y + z = 183
1 2 3 x 71 x 2 = 426 3 4 71 x 4 = 284 71 72 72 x 3 = 216 3.71 214 214
B) 2 E) 5
º
143
486. Halle el mayor número abc , tal que: 1492abc al ser dividido entre 40, deje como residuo 24.
C) 3
A) 996 D) 995 º
143
º
71
º
º
º
= 25 +( 25 171)7 º
º
Aplicando el Binomio de Newton: º
= 25 + 25 17 = 25 7 º
143
67
abc
1492
º
º
abc
1492 º
657143=( 8 +1)143= 8 + 1143= 8 +1 r=1
B) 316 E) 441
C) 213
Dando valores obtenemos: k
cdu
40 12
abc
º
40 24
º
º
12
º
40 12
º
º
º
º
122 4 40 24 123 4 40 8 º
cdu cdu 213 k 213k k cdu cdu 3.71.k= cdu k 1
º
12abc 40 2 4
1 4
o cdu c 2 d 1 u 3 c 2 d 1 u 3 k
(k1)
abc
Determinando los restos potenciales de 12 respecto al módulo 40, hallamos como valor del Gaüssiano cuatro, entonces el exponente ser abc deberá múltiplo de cuatro, más aquel exponente del grupo periódico que deja resto potencial 24.
485. Halle el menor valor de N = cdu , sabiendo que es múltiplo de: P c 2 d 1u 3 A) 214 D) 426
40 12
º
= 25 +18 = 25 + ab ab = 18
C) 989
1492 = 40 + 12
71
= 25 +(7²) 7= 25 +( 25 1) .7 º
B) 249 E) 998
Sabemos que:
657 = ( 25 +7) = 25 + 7143 º
=4 =2 =2 =2
cdu = 426
484. El residuo de dividir el número 657143 entre 25 es ab . Calcule el resto de dividir dicho número entre a b A) 1 D) 4
c c c c
12
4
º
40 16 º
abc 4 2 además, como debe ser el mayor posible abc 100 0 1000 2 4k + 2 < 1000 k < 249,5 4
kmáximo = 249 abc 4 249 2 998
0
999 a 999 b 7 0
999(a b) 7 a b 7.
La diferencia: 999(7) 6993 487. La suma de trece números enteros consecutivos es de la forma 4 a 9 a . Halle el mayor de los números. A) 363 D) 375
B) 368 E) 374
489. Si: 0
abc 11 0
C) 369
bac 7 0
cab 5 Calcule el menor valor de: (a + b + c)
De la condición:
N 6 N 5 N 4 ...... N ...... N 5 N 6 4a9a
A) 16 D) 12
Efectuando la suma indicada: 13N 4 a9 a
0
0
0
0
0
bac 7 2 b 3 a c 7 0
cab 5 b 5
0
1 4 4 a 3 9 1(a) 13 a = 7 13 N = 4797 N = 369
De las ecuaciones: a + c =5 0
488. Si un número de 4 dígitos donde sus 3 últimas cifras son iguales se le ha restado otro que se obtuvo al invertir el orden de las cifras del primero. Si la diferencia es múltiplo de 7. Halle la diferencia. B) 1 554 E) 6 993 0
abbb bbba 7
Descomponiendo
C) 2 331
0
3a c 7 3 2a 7 1
a + b + c = 3 + 5 + 2 = 10.
a=3 c=3
El mayor número: N 6 375
A) 777 D) 4 662
C) 15
abc 11 a b c 11
4 a9 a 13
B) 10 E) 14
0
490. Se cumple: mnp 22 0
pnm 7 0
mp 9
Calcule: m x n x p A) 72 D) 126
B) 81 E) 162
C) 90
0
mnp 22 p : par;
0
5 b c b 5 99
0
m n p 11 (+)(-)(+)
1 (10) 1 (10) 1 0
m n p 11……………………………
0
1
5 10b c 10b 5 99 0
10 20b c 99
0
pnm 7 ;
4 9
231
9 8 0
0
2 p 3n m 7 ………………………….. . 2
Hay 2 números 4 95 . a b c b a
0
mp
9 0
m p 9;
p: par.
m p 9 ………………………………… 3
en
0 1 2 . . . 9
3
1
9 - n = 11
n =9 3
en
0 1 1 2 2 3 . . . . . . 9 9
10 10 9 900 # s.
2 0
9 p 27 7
0
Números que no son 4 95 900 - 2 = 898
0
p 36 7
p=6 º
m=3
492. Si: 1185a2476032000 19! Halle “a”
m n p 3 9 6 162
A) 4 D) 7
B) 5 E) 8
C) 6
491. ¿Cuántos números capicúas de 5 cifras no son múltiplos de 495? A) 872 D) 898
B) 890 E) 899
C) 896 0
0
ab c b a 4 95 5 0 99 0
El criterio más preciso es 9 ; porque se analiza todas las cifras. Tendremos
0
19! 9
A) 50 D) 56
0
1 1 8 5a2 4 7603 2000 9
B) 52 E) 58
C) 54
0
a39
a=6
0
Como 364 = 7
493. Halle: n x p si:
º
abcd 7
abcd 364 d a 2b 3c … 1
0
x8 n 5 nx 25 y 0
1231 - +
n 5 ppxp 7
7 d a 2b 3c 364(d a 2b 3c)
A) 15 D) 18
7 363 d a 2b 3c (d a 2b 3c) 7
0
0
B) 16 E) 20
C) 17
0
d a 2b 3c 21 en 1 abcd 364 21 7644
a=7 b=6 c=4 d=4
0
x8 n 5 nx 25 0
Verificando:
n 5 pp xp 7
n5 1 ; n 6 0
d-a+2b+3c = 4-7+12+12=21
ab + cd = 7 x 6 + 4 x 4 = 58
495. El número de la forma: a a 0 b b c al ser dividido entre 4; 9 y 25 deja como residuo 2; 4 y 7
Criterio: 25 0
nx 25 ; n 7 0
respectivamente. Halle “a”.
7x 25 ; x 5 0
A) 6 D) 2
2 ppxp 7 º
Criterio 7
B) 4 E) 0
C) 3
0
2 pp5 p 7
M aa0b bc
31 231 - +
0
4 2 9 4
0
3p 15 p 6 7
0
0
M
2p 9 7 p + n + x = 18
494. Sabiendo que:
0
25 7
Por lo tanto:
abcd 364(d a 2b 3c) . Halle la expresión: ab cd
0
0
4 2 80 4 82 M
º
0
25 7 75 25 82
497. ¿Cuántos capicúas de 4 cifras son divisibles por 99 pero no por 15?
Propiedad: M m.cm.(4;25) 82 0
A) 8 D) 7
M 100 82
B) 9 E) 11
C) 10
entonces: 0
b=8
0
aa0bbc 100 82
c=2
*
Sea: abba 99 15 a 5 Caso 1 ab ba 99
a + b=9 9 0 8 1 7 2 6 3 4 5 3 6 2 7 1 8 Hay ocho números
0
aa0 8 8 2 9 4 0
2a 9 4 0 a 9 2 ; a = 2 496. Halle el residuo que se obtiene al ab 5
dividir: ab1ab4 A) 2 D) 1
Entre 11.
B) 3 E) 6
C) 4
*
0
M a b 1 a b 4 11 0
4 a b a 1 b 11 0
11 3 ab5
M
º 11 3
ab5
º
11 3
ab5
Gaus: modulo: 11 1
0
3 11 3 0
32 11 9 0
33 11 5 0
34 11 4 0
35 11 1 Cada vez que la potencia de 3 es múltiplo de 5 el residuo es 1.
Caso 2 ab ba 189 a 9 b = 9 Hay un número Rpta. 9 números
498. Halle el residuo de dividir el número 5678…979899 con 11.
A) 5 D) 2
B) 6 E) 4
C) 7
5 6 7 8 9 10 11 12 … 98 99 0
= 11 99 98 ... 10 56789 0 99 10 = 11 90 5 7 9 6 8 2 0
= 11 109.45 7 0
= 11 6 499. Halle el residuo de dividir el número 13579…959799 con 9.
A) 6
B) 7
C) 3
D) 1
E) 0
1 3 5 7 …. 95 97 99
a53b72c4 8
2 c 4 8 8 2c 4 8
0
0
0
421
9 1 3 5 .. . 99
(Criterio de divisibilidad) 0
0
*
*
= 9 50 (Suma de números impares)
c = 2; 6
-+-+-+-+
0
0
*
a5 3b 7 2 c 4 11 10 55 11 65 0 0 a53b72 c 4 9 2 63 9 65
a53b72c4
a5 3b 72 c4 9 9 65 0 a5 3b c4 7 99 99 2 198
2
0
= 9 25 0
0
9 7 500. Halle el resto de dividir el número: N 321aaa321aaa4 Entre 7. A) 1 D) 4
B) 2 E) 0
C) 3
Si c 6 b 2 ; a 9
a b c 17
502. Se sabe que
mnpq7
n
mnpq 7
N = 321 aaa
321 aaa
3
(4)
0
m
p
11 5 0
11 4 0
N = (57) (21a) (57) (21a)
N 57 644 21a 642 57 64 21a
Calcule el residuo de dividir N
4
mnpq7
11 2
(64)
0
N 57(7 1) 4 0
0
0
0
7 57(7 1) 4 7 0
A) 5 D) 2
N 7 57 57 7 114 0
0
mnp 4
entre 11. Si N mnpq7
0
N 7 (7 2) 7 2 N 7 r 2
B) 3 E) 1
N mnpq7
501. Se tiene el numeral a 5 3 b 7 2 c 4 es divisible por 8 y que al ser dividido entre 11, el residuo es 10; y al ser dividido entre 9 el residuo es 2. Halle el mayor valor de: (a + b + c). A) 10 D) 16
B) 12 E) 17
C) 14
C) 8
mnp 4
descomponiendo: mnp 4 16m 4n p 16m
N mnpq7
mnpq74n mnpq p7
mnpq mnpq
m 16
N mnpq7
16
n 4
p
7
7
4
º 0 11 110 2 4 0 0 0 N 11 516 11 44 11 2
N 11 5
11 5 11 3 11 2 0
N
0
0
0
0
N 11 30 11 (33 3) 0
505. Calcule “a x b”; si 4a0567b 9 es divisible entre 10 y al ser dividido entre 8 el resto es 2.
N 11 3
Resto: 3
A) 4 D) 21
503. Halle el residuo de dividir con 10
el número 66...667 mnp00 cifras A) 0 D) 6
*
B) 1 E) 8
66...667 mnp00cifras 66...667 mnp00cifras
abc
7mnpoo 1
abc
abc
66...667 mnp00 cifras
66...667 mnp00cifras
66...667 mnp00cifras
abc
...1 1
1
abc k
abc
...0
B) 4 E) 7
C) 6
N aaa...aa 9
0
0
0
4 a05 6 7b 9 8 2 a b 22 8 2
a b 20 8 a b 4 ó 12
0
Para a b 12 b=7 b a 2a = 5 a b 35
506. Un animalito va de “A” hacia “B” dando saltos de 15 cm y regresa dando saltos de 16 cm. Después de haber recorrido 1,22 m se detiene. ¿Cuánto le falta para llegar al punto A? A) 48 cm. B) 42 cm. C) 52 cm. D) 58 cm. E) menos de 40 cm.
15
15
16 cifras
I
abc
504. ¿Cuántos valores puede tomar “a” si el número aaa.............aa 9 de 16 cifras es divisible entre 8? A) 2 D) 8
ba2
*
;mnp00 4 k
0
4 a0567b9 10 b a 2 18
abc
74
0
abc
74k 1
C) 35
+-+-+- +
C) 3
abc
B) 15 E) 5
8
8 16 a 8 : se cumple para todo “a” a = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 a toma 8 valores
15
…
0
0
...
…
16 16 15a 16b 122 0
Modulo 3
0 0 3 3 1b 3 2 0
0
b 3 2
k = 0 ; b = 2 (sí)
b 3k 2 k = 1 ; b = 5 (No)
Reemplazando: 15a 16(2) 122
a
122 32 90 6 15 15
La distancia de A a B es: 16(6) = 90 cm Falta: 90 16(b) = 58
508. Un niño si cuenta sus canicas agrupándolas de 5 en 5 le faltan 2 canicas; si las cuentan de 6 en 6 le sobran 3; y si las cuentan de 8 en 8 le faltan 5; por lo que decidió agruparlos de 9 en 9, así no le sobra ninguna canica. Si la cantidad de canicas se encuentra entre 400 y 650. ¿Cuántas canicas tiene el niño? A) 438 D) 485
B) 480 E) 603
Sea “N” la cantidad de canicas que
0
507. Si 333... 41 . Con “n” mínimo. "n" cifras
¿Cuál será el residuo por exceso que se obtiene al dividir entre 26 al menor número de 5 cifras diferentes de la base n?
tiene el niño: 0
5 0
N 6 0
8
3 3 3 0
A) 8 D) 16
B) 12 E) 10
33333 5 cifras.
C) 483
C) 14
0
N MCM (5;6;8) 3 120 3
Entonces: N 123; 243; 363; 483; 603........
41
0
Pero: N 9 400 N 650
813
Menor número de diferentes en base 5:
5
cifras
El niño tiene 603 canicas.
0
10234 5
26 r
Descomponiendo: 1 54 0 2 52 3 5 4 694 694
26
674
26
18
Por defecto = 18 Por exceso = 8
509. ¿Cuál es la suma de las cifras del mayor número entero de tres cifras, tal que si se le resta la suma de sus tres cifras el resultado es divisible por 13? A) 26 D) 23
B) 20 E) 24
C) 15
