Algebra lineal UNAM

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE M ÉXICO

FACULTAD DE INGENIERÍA

FUNDAMENTOS DE

ÁLGEBRA LINEAL Y EJERCICIOS Francisco Barrera García

DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS C OORDINACIÓN DE M ATEMÁTICAS

BARRERA GARCÍA, Francisco. Fundamentos de álgebra

lineal. México, Universidad Nacional Autónoma de México, Facultad de Ingeniería, 2014, 197 p.

Fundamentos de álgebra lineal Primera edición: 1 de septiembre de 2014

D.R. © 2014, UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO Avenida Universidad 3000, Col. Universidad Nacional Autónoma de México Ciudad Universitaria, Delegación Coyoacán, México, D.F. C.P. 04510 ISBN 978-607-02-6046-9

FACULTAD DE INGENIERÍA http://www.ingenieria.unam.mx/

Prohibida la reproducción o transmisión total o parcial por cualquier medio sin la autorización escrita del titular de los derechos patrimoniales. Impreso y hecho en México.

INTRODUCCIÓN La presente obra fue elaborada con la intención de ofrecer a los estudiantes un material escrito que les pueda facilitar el estudio y la comprensión de los conceptos fundamentales del Álgebra Lineal. La obra consta de cuatro capítulos: 1. Espacios vectoriales, 2. Transformaciones lineales, 3. Espacios con producto interno y 4. Operadores lineales en espacios con producto interno. En cada uno de estos capítulos se presentan los conceptos teóricos de la manera más sencilla posible, buscando facilitar su comprensión pero sin perder formalidad y rigor matemático; se incluyen también ejercicios resueltos donde se explica, en forma detallada cada uno de los pasos realizados en la resolución del problema, con la finalidad de que al estudiante le resulte sencillo comprenderlos y asimile con ello más fácilmente los conceptos teóricos presentados. Al final de cada capítulo se incluye una serie de ejercicios propuestos con respuesta, con la idea de que el estudiante los resuelva, reafirme los conceptos estudiados y adquiera un aprendizaje más sólido del Álgebra Lineal. Es importante señalar que buena parte de los ejercicios resueltos y propuestos incluidos en la obra, han sido tomados o rediseñados de exámenes colegiados departamentales que fueron aplicados en nuestra Facultad desde 1980. Es necesario entonces reconocer el trabajo de muchos profesores que participaron en el diseño de tales ejercicios y que en la actualidad algunos de ellos ya no laboran en la Facultad o bien ya no se encuentran entre nosotros. A pesar de que esta obra fue elaborada pensando en proporcionar un material escrito que fuese de gran ayuda para los estudiantes que cursan la asignatura Álgebra Lineal, se considera que este trabajo puede resultar de mucha utilidad también para los profesores que la imparten como un material de apoyo para sus clases.

A los profesores Alicia

Pineda

Ramírez

y

Juan Velázquez Torres

quiero expresarles mi agradecimiento por la revisión de este trabajo, ya que con sus atinados comentarios y observaciones permitieron mejorar esta obra.

Agradezco

también profundamente a la señorita María Guadalupe Martínez Dávalos la paciencia, el esmero y todo el trabajo realizado en la captura de este libro, quien con su gran interés y entusiasmo hizo posible la culminación del mismo. ¡Mil gracias Lupita! Quiero hacer patente mi agradecimiento a la M. en Letras María Cuairán Ruidíaz, Jefa de la Unidad de Apoyo Editorial de nuestra Facultad, por el apoyo y las facilidades que me brindó durante todo el proceso de revisión y preparación de la versión final de esta obra. De igual forma quiero agradecer a la Lic. Elvia Angélica Torres Rojas por todo el trabajo realizado en la corrección editorial y cuidado de la edición de este libro, así como por su profesionalismo y buena disposición durante todo el tiempo que trabajamos juntos. A las dos, mi más sentido agradecimiento. Finalmente, agradezco también al Comité Editorial de nuestra Facultad, que preside el Ing. Gonzalo López de Haro, por realizar el dictamen técnico de esta obra y dar el visto bueno para su publicación. Consciente

que

todo

trabajo

es

perfectible,

mucho

agradeceré

todas

las

observaciones y comentarios que tengan a bien hacerme los usuarios de la obra con el fin de mejorar futuras ediciones y que ésta sea de mayor utilidad.

FRANCISCO BARRERA GARCÍA Ciudad Universitaria, México D.F., septiembre de 2014

ÍNDICE INTRODUCCIÓN ...............................................................................................v

Capítulo 1. ESPACIOS VECTORIALES .............................................................. 1 Espacio vectorial ............................................................................................. 3 Subespacio vectorial ....................................................................................... 9 Dependencia lineal, conjunto generador y base ............................................... 11 Dimensión y vector de coordenadas ................................................................ 12 Isomorfismo entre espacios vectoriales ........................................................... 21 Matriz de transición........................................................................................ 27 Espacio renglón y espacio columna de una matriz ............................................ 32 Criterio del Wronskiano .................................................................................. 35 Ejercicios propuestos ..................................................................................... 40 Respuestas a los ejercicios propuestos ............................................................ 43 Capítulo 2. TRANSFORMACIONES LINEALES ..................................................45 Transformación lineal ..................................................................................... 47 Recorrido y núcleo de una transformación lineal .............................................. 48 Matriz asociada a una transformación lineal ..................................................... 53 Álgebra de transformaciones lineales .............................................................. 57 Transformaciones lineales inyectivas, suprayectivas y biyectivas ....................... 62 Inversa de una transformación lineal............................................................... 62 Efectos geométricos de las transformaciones lineales de R 2 en R 2 ................... 68 Valores y vectores característicos .................................................................... 73 Propiedades de los valores y vectores característicos ........................................ 74 Espacios característicos .................................................................................. 74 Matrices similares .......................................................................................... 84 Diagonalización ............................................................................................. 84 Ejercicios propuestos ..................................................................................... 94 Respuestas a los ejercicios propuestos ............................................................ 98 Capítulo 3. ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO......................................... 101 Producto interno .......................................................................................... 103 Propiedades del producto interno.................................................................. 103

Norma de un vector ..................................................................................... 107 Propiedades de la norma .............................................................................. 108 Vectores unitarios ........................................................................................ 108 Desigualdad de Cauchy-Schwarz ................................................................... 108 Distancia entre vectores ............................................................................... 109 Propiedades de la distancia entre vectores .................................................... 109 Ángulo entre vectores .................................................................................. 109 Vectores ortogonales ................................................................................... 110 Conjuntos ortogonales y ortonormales .......................................................... 116 Coordenadas de un vector con respecto a una base ortogonal y respecto a una base ortonormal ...................................................................................... 116 Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt ............................................... 117 Complemento ortogonal ............................................................................... 126 Proyección de un vector sobre un subespacio ................................................ 127 Teorema de proyección ................................................................................ 128 Mínimos cuadrados ...................................................................................... 134 Ejercicios propuestos ................................................................................... 141 Respuestas a los ejercicios propuestos .......................................................... 147 Capítulo 4. OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO ........................................................ 151 Adjunto de un operador ............................................................................... 153 Propiedades del operador adjunto................................................................. 153 Operador normal ......................................................................................... 156 Propiedades de los operadores normales ....................................................... 157 Operadores hermitianos, antihermitianos, simétricos y antisimétricos .............. 159 Propiedades de los operadores hermitianos, antihermitianos, simétricos y antisimétricos .......................................................................................... 160 Operadores ortogonales y unitarios ............................................................... 164 Propiedades de los operadores ortogonales y unitarios ................................... 165 Teorema espectral ....................................................................................... 172 Formas cuádricas ......................................................................................... 179 Ejercicios propuestos ................................................................................... 188 Respuestas a los ejercicios propuestos .......................................................... 193 BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................. 197

CAPÍTULO 1 ESPACIOS VECTORIALES

ESPACIOS VECTORIALES

Espacio vectorial Sea V un conjunto no vacío, en el cual se definen dos operaciones llamadas adición y multiplicación por un escalar y, sea K un campo. Se dice que V es un espacio vectorial sobre K si las dos operaciones cumplen con los diez axiomas siguientes:

 u, v, w  V

y

1.

 u  v  V

2.

 u v 

3.

 0 V

    K

 w u  v  w

 u V ; u  0  0  u  u

4.

 u V ;   u  V

5.

u  v  v u

6.



7.

 u v



8.







u  u   u

9.

  u





u

u   u    u   u  0

 V   u  v



  u

10. Si 1 es la unidad de K , entonces

1 u  u ;  u V

A los elementos del conjunto V se les llama vectores y a los elementos del campo K se les llama escalares.

3


EJEMPLO 1.1 Determine si el conjunto A 

x



x

 y las operaciones de

adición y multiplicación por un escalar definidas por:

x  y  xy ;

 x, y 

x  x ;

 x





y

 

es un espacio vectorial. SOLUCIÓN: Veamos si se cumplen los diez axiomas de espacio vectorial.

 x, y, z  A 1)

y

x  y  xyA

 ,  

, tenemos:

Dado que la multiplicación de dos reales positivos da un real

positivo, entonces se cumple.

2)

x y

z  x



yz



xy  z  x  yz xyz  xyz

 cumple

Con el fin de simplificar la demostración del cumplimiento de los axiomas 3 y 4 , se demostrará primero el cumplimiento del axioma 5 .

De no ser así, en los

axiomas 3 y 4 se tendrían que determinar los idénticos e inversos izquierdos y derechos, y compararlos para saber si son iguales en cada caso, y con ello concluir sobre su existencia o no existencia. Si se procede como se está sugiriendo, entonces no será necesario realizar el procedimiento descrito renglones arriba, pues se demuestra primero el axioma de la conmutatividad. De lo anterior se tiene que: 5)

x y  yx xy  yx

Se cumple dada la conmutatividad de la multiplicación en

4

.


3)

 x  A;  e  A de donde:

e  x  x  e  x

x  e  x xe  x



e  1 x 4)

 x  A;  i  A de donde:

6)

xi  e xi  1 1 i   A x



 Si

  0,

entonces x

 Si

  0,

entonces x

 Si

  0,

entonces x



cumple

 x   y

 xy 

 x  y 

 xy 



 x y 

 xy 









es positivo.



 1





1 x

cumple

xy 

8)

i  x  x  i  e

 x  x   A dado que:

 7)

cumple

 xy 





cumple



cumple

x  x  x

x  x   x  x  x  x  x  x

5

que es positivo.


   x      x

9.



 x 

 x 



 x   x 

x   x  10.





cumple

x  x;  x  A

x  x x  x



  1 que es la unidad en

cumple

Dado que se cumplen los diez axiomas, podemos concluir que el conjunto A es un espacio vectorial. EJEMPLO 1.2 Determine si 2 es un espacio vectorial sobre multiplicación por un escalar definidas por:

para la adición y la

 x1,

  x 2,

  x2,

y1 

y2





x, y 

 x1 x 2 ,  y ,

x

y1 y 2

;





;



 x1, y1 ,

x, y

2

;



y2 



En caso de no serlo, indique cuáles propiedades de la definición no se cumplen. SOLUCIÓN:



 x1,

y1

 ,  x2,

y2

 ,  x3,

y3

 6



2

y

  

, tenemos:

2


1)

 x1 ,

2)

 x1, y1 

y1





 x2 ,

y2

   x2,

y2



 x1 x 2 ,



 x1  x 2 ,





y1  y 2

 cumple

2

    x 3 ,

y3





 x1,

y1

    x 2 ,

   x3,

y3





 x1,

y1

   x 2  x3,

y1 y 2  y 3





 x1 x 2  x 3 ,

y1 y 2

 x1  x 2  x 3 ,



 



y 2  x 3 , y 3  y2 y3

y1 y 2  y 3





cumple

Siguiendo la recomendación hecha en el ejercicio anterior, demostraremos primero que se satisface el axioma 5 . 5)

 x1,

y1

   x2,

 x1 x 2 ,

y2





 x2,

   x1,

y1 y 2





 x 2  x1 ,

y2

y 2  y1

Dada la conmutatividad de la adición en 3)   x , y  

2

 e1 , e 2  

; 

2

y1





, entonces se cumple.

 x, y  

 e1 , e 2    e 2 , e1    x , y    x , y 

De donde se tiene que:





x, y

 e1,



e2

   x,



y

esta igualdad se cumple, si y sólo si:

 e1 , 4)

  x, y  

2

e2

; 





 0,

0

 i1, i 2  

 2



2

 x, y    i 1 ,

cumple

 

Considerando:

 x,

y





 x  i1 ,

 i1 ,

i2





 e1 ,

y  i2





 0,

7





i 2  i 1, i 2   x, y   e 1, e 2

e2 0






con lo cual se llega a: i1   x

 i1 ,



i2  y





i2

  y1,

6)

 x1, y1

7)

  x1, y1  x 2 , y 2 





 













 

  x1, y1





x , y

x1

2





 x1  x 2 , y1  y 2









  y1,



 cumple

2

cumple

    x2,  y2,

x1 







    x1,

y1

y2



x2



  y 1 , y 2 ,  x 1 , x 2    y 1 , y 2 ,  x 1 , x 2     

 8)

   

 x1 , y 1 

cumple



  x1, y1

      y 1 ,      x 1  

  y1, x1    y1,



 x1

      y 1 ,      x 1         y 1 ,      x 1 



9)





   x1 , y1        y 1 ,  x 1  

   x1 ,

  y1







cumple

     x1 , y 1 

   y1 ,

 x 1



   y1 ,

 x 1



no cumple

8








10)  x 1 , y 1



; 

2

de donde:



 x1, y1

  y1 ,

 x1





   x1,  x1 ,

y1

y1





por igualdad:

 y1  x1





x1

 x1  y1





y1

y1 x1

(1)

(2)

Se aprecia en ( 1 ) y ( 2 ) que  toma valores diferentes, lo cual no es posible pues  es la unidad del campo y este valor es único.



no cumple

En consecuencia podemos concluir que operaciones definidas.

2

no es un espacio vectorial con las

Subespacio vectorial Sea W un subconjunto de un espacio vectorial V . Si W es a su vez un espacio vectorial con respecto a las operaciones de adición y multiplicación definidas en V , se dice entonces que W es un subespacio de V .

Teorema Sea V un espacio vectorial sobre un campo K . Si W es un subconjunto no vacío de V , entonces W será un subespacio de V , si y sólo si, se cumplen las condiciones siguientes: 1)

 u, v  W ,

2)

u W

y

 u  v  W  K , u  W

9


EJEMPLO 1.3 Determine si el conjunto

A

 a x 2  bx  c

2a  b  c  0 ; a , b, c 



es un subespacio del espacio vectorial

P2  definido sobre el campo

 a x 2  bx  c



a, b, c 

.

SOLUCIÓN: Despejando c de la ecuación que se tiene en el conjunto A , tenemos:

c  2a  b Si se sustituye como término independiente en A , entonces dicho conjunto se puede expresar como:

A

 a x 2  b x   2a b 

a, b 



Dado que el conjunto A es un subconjunto del espacio P 2 , entonces sólo restaría comprobar que A es cerrado para la adición y la multiplicación por un escalar, para demostrar que es un subespacio. De esta forma se tiene que: 1)

 a 1 x 2  b1 x 

 2a 1  b 1  ,



a 2 x 2  b 2 x





 2a 2  b 2   A



a 1 x 2  b 1 x  2 a 1  b 1    a 2 x 2  b 2 x  2 a 2  b 2      

 a 1  a 2  x 2   b 1  b 2  x   2  a 1  a 2    b 1  b 2    A  cumple 2)

 ax2  bx 

 2a

 b A

2   a x  b x   2a  b 

 

y

 

 ax  bx   2a  b  A 2

 cumple Dado que se cumplen las dos cerraduras, entonces podemos concluir que A es un subespacio de P 2 . 10


Dependencia lineal

Sea A 

v

1,

v2 ,

, vn



un conjunto de vectores.

Se dice que A es

linealmente independiente si la ecuación

1 v 1   2 v 2  sólo se satisface cuando 1   2  existen escalares  1 ,  2 ,

 n v n  0

  n  0 . En caso contrario, es decir, si

,  n no todos nulos, para los cuales se satisface

dicha ecuación, entonces se dice que el conjunto A es linealmente dependiente.

Conjunto generador

Sea V un espacio vectorial sobre K,

y sea

G 

v

1,

v2 ,

, vn



un

conjunto de vectores de V. Se dice que G es generador de V si todo vector de V puede expresarse como una combinación lineal de los vectores de G .

Base

Se define como base de un espacio vectorial V , a cualquier subconjunto B de vectores de V , tal que: 1)

Cualquier vector de V puede expresarse como una combinación lineal de los vectores de B .

2)

B es linealmente independiente.

11


Dimensión La dimensión de un espacio vectorial V , se define como la cantidad de elementos de cualquiera de sus bases y se denota como:

Dim V Si V 

 0  , entonces

Dim V  0

Vector de coordenadas Sea B 

v

1,

v2 ,



, vn

una base del espacio vectorial V y sea v un

vector cualquiera de V tal que:

v  1 v1   2 v 2  A los escalares

B

1 ,  2 ,

 n vn

,  n se les llama coordenadas de

y al vector:

 v  B   1 ,  2 ,

,  n )T

se le llama vector de coordenadas de v en la base B .

12

v en la base


EJEMPLO 1.4 Sean

3

subespacios de

S1 

  a,

b, c 

a  2c ; a , b, c 

S2 

  a,

b, c 

b  c ; a , b, c 

 

.

a)

Determine si el conjunto S 1  S 2 es un subespacio de

b)

En caso de resultar afirmativo el inciso anterior, obtenga una base y la dimensión de S 1  S 2 .

3

.

SOLUCIÓN: a)

De acuerdo con las condiciones dadas en S 1

y

S2

,

dichos conjuntos se

pueden expresar de la siguiente forma:

S1 

  2c,

S2 

  a,

b, c 



b, c 



c, c  a, c 

Obsérvese que la característica de las ternas del conjunto S 1 , es que la primera componente es el doble de la tercera, en tanto que en S

2 ,

la característica es que la

segunda componente y la tercera son iguales. Tomando en cuenta lo anterior, el conjunto que considera ambas características, es precisamente la intersección de ambos conjuntos, esto es:

S1  S2 

  2c,

c, c 

c



Otra forma de obtener el conjunto S 1  S 2 es empleando los conceptos estudiados en la asignatura Geometría Analítica. En estos términos el planteamiento sería el siguiente: El conjunto S 1 conjunto S

2

es el conjunto de puntos que pertenecen al plano a  2 c y el

son los puntos que pertenecen al plano

contienen al punto

 0,

b  c;

ambos planos

0 , 0  , lo que implica que dichos planos se intersecan y, por lo

tanto, definen una recta cuyos puntos son precisamente el conjunto buscado S 1  S 2 . Lo que se hará es obtener la recta de intersección entre estos planos. 13


Sean

1:

a  2c  0 

N1 

 1,

0, 2



2 :

b  c  0

N2 

 0,

1, 1





Un vector u paralelo a la recta viene dado por:

i u  N1  N 2 

j

k

1 0 2 0 1

 2i  j  k

1

entonces:

u 



2, 1, 1

P0 



0, 0, 0

 

de donde la ecuación de la recta en forma paramétrica es:

 x  2t   L:  y t   z  t de esta forma se tiene que:

1   2  S1  S 2 

  2t ,

t, t





t

que es igual al conjunto intersección que se obtuvo en primera instancia. Determinemos ahora si S 1  S 2 es un subespacio de Comprobando si se cumplen las dos cerraduras, tenemos:

14

3

.


Cerradura para adición



 2c

 2 c1, c1, c1 ,

2c

1,

c1, c1





2c



2

, c2 , c2  S1  S 2

2

, c2 , c2







 2 c 1  c 2 , c 1  c 2 , c 1  c 2   S 1  S 2  



cumple

Cerradura para multiplicación por un escalar



2c,

c , c   S1  S 2

 2c, c, c 





y

 

2c, c, c

  S1 

S2

cumple

con lo cual podemos concluir que S 1  S 2 es un subespacio de b)

3

.

Es evidente que el conjunto S 1  S 2 es de dimensión uno, puesto que depende de una sola variable, con lo cual se tiene que una base será:

B 

 2,

1, 1



 Dim S 1  S 2  1 EJEMPLO 1.5 Sea el conjunto A 

   1,

k , 2  ,   1, 1,  1  ,  1, 0, 2   .

a)

Determine el valor de k para que el conjunto A sea linealmente dependiente.

b)

Con el valor obtenido en el inciso anterior, obtenga el espacio vectorial que genera el conjunto A .

c)

Determine una base y la dimensión del espacio vectorial obtenido en el inciso anterior.

SOLUCIÓN: a)

Para obtener el valor de k solicitado, se mostrarán tres caminos distintos, con la idea de que el estudiante pueda utilizar cualquiera de ellos en problemas de dependencia o independencia lineal de conjuntos. 15


MÉTODO

1:

Aplicando la ecuación de dependencia lineal.

 1   1, k , 2    2

  1, 1,

 1    3  1, 0, 2   0

 

 

(1)

 

1,

k 1, 2 1    2 ,  2 ,   2 

3,

 

1

 2   3 , k  1   2 , 2 1  2  2 3

   0, 0, 0 

0, 2  3

   0, 0, 0 

Por igualdad de vectores se llega al sistema:

 1 2 3  0   k 1   2  0    2    2  0 1 2 3  Conmutando la primera columna con la tercera, tenemos:

32 1  0 ( 2 )     2  k1  0     2 3   2  2 1  0 

 321  0     2  k1  0    ( 1)   2  4 1  0 

 32 1  0     2  4 1  0     k 41  0 

16


Se trata de obtener el valor de k , de tal forma que el sistema de ecuaciones sea compatible indeterminado y, con esto, existan valores  1 ,  2 ,  3 distintos de cero para los cuales se satisfaga la ecuación ( 1 ) y entonces poder concluir que el conjunto A es linealmente dependiente. Es evidente en el sistema escalonado que con k  4 , el sistema se reduce a dos ecuaciones con tres incógnitas y se convierte en un sistema compatible indeterminado, que admite múltiples soluciones y, por lo tanto, el conjunto A sería un conjunto linealmente dependiente. Si por el contrario k toma valores diferentes de cuatro, entonces A sería un conjunto linealmente independiente. MÉTODO

2:

Este método consiste en formar una matriz con los vectores del conjunto A y mediante el escalonamiento de dicha matriz, buscar el valor de k para el cual uno de los renglones de la matriz se hace ceros. Cuando se realiza el escalonamiento de una matriz y uno o más renglones se hacen ceros, esto implica que dichos renglones son linealmente dependientes. De esta forma se tiene:

 1 k  1 1   1 0

2 1   2 

(1)  1 0 1 1    1 k

2 1   2 

 1 0 2 (4)  0 1 1     0 k 4 

1  0  0

0 1

 k 4 

Con k  4 el tercer renglón se hace ceros y se puede concluir que con este valor, el conjunto A es linealmente dependiente. MÉTODO

3:

Este tercer y último método consiste en formar un determinante con los vectores del conjunto A y determinar para qué valor de k el determinante es igual a cero. Cuando un determinante es igual a cero, implica que los renglones o las columnas que lo conforman son linealmente dependientes. De acuerdo con esto, tenemos:

1

k

2

1 1

1 0

1 2

  2  k  2  2k  0

17

2  1 0 


de donde se obtiene que:

k  4  0 k  4



con este valor de k el conjunto A es linealmente dependiente. b)

Dado que con k  4 el conjunto A es linealmente dependiente, entonces podemos suprimir cualquiera de los vectores de A y con los restantes, que resultan ser linealmente independientes, generar el espacio vectorial solicitado. Si suprimimos el primer vector, entonces el espacio generado sería:



a

 1 ,

1 , 1   b

E

 A    a  b ,

 1,





 a  b,

a , a  2 b

a, a 2b



a, b 



0, 2



Es importante aclarar que al suprimir el segundo o tercer vector, el espacio vectorial que se genera es igual al espacio generado con los vectores considerados. c)

Una base del espacio vectorial sería:

B 

   1,

1,  1  ,

 1,

0, 2



dado que se trata de un conjunto generador con vectores linealmente independientes, entonces:

Dim E ( A )  2

EJEMPLO 1.6 Sean el espacio vectorial

P  y el conjunto A 

 at 2  bt

 c a, b, c 

 t 2 4 t  3, t 2 2 t  5,

2t

2



 3 t, t  3



a)

Determine si el conjunto A es generador del espacio vectorial P .

b)

En caso afirmativo, obtenga una base de dicho espacio.

c)

Determine las coordenadas del vector P 1  t obtenida en el inciso anterior. 18

2

 2 t  1 , referidas a la base


SOLUCIÓN: a)

Como se sabe, el conjunto P de los polinomios de grado menor o igual a dos es de dimensión tres, por lo que el conjunto A , al tener cuatro elementos, se puede afirmar que es un conjunto linealmente dependiente. De acuerdo con esto, se tomará un subconjunto de A con tres elementos y, si éste es linealmente independiente, sería entonces una base de P y por lo tanto generador de dicho espacio vectorial. Consideremos entonces el subconjunto:

B 



t 2  4 t  3, 2 t

2

 3t , t  3



Para determinar si B es linealmente independiente, se formará un determinante de 3  3 con los coeficientes de cada polinomio y, si dicho determinante es diferente de cero, entonces B es un conjunto linealmente independiente. De esta forma se tiene:

1

4

3

2

3

0

0

1

3

  9  6  24   39

Al ser el determinante diferente de cero, podemos concluir que B es linealmente independiente y, por lo tanto, una base de P y generador del mismo. De acuerdo con lo anterior se ha dado respuesta tanto al inciso a) como al inciso b), con lo cual, sólo resta dar respuesta al inciso c). c)

Las coordenadas del vector P1  t 2  2 t  1 vienen dadas por:

t

2

 2t 1   1

 t 2  4 t  3    2  2 t 2  3t    3  t  3 

de donde se llega a:

t 2  2t 1 

 1  2 2  t 2   41  3 2   3  t   3 1  3 3  19


por igualdad de polinomios de obtiene:

1 ( 3) (  4 )   1  2 2    4  1  3 2   3  2   3   3 3  1 1 

  1  2 2 1   ( 3)   11 2   3   2   6  2  3 3  4 

  1  2 2 1    11 2   3   2    39  2  10 

(1) (2) ( 3)

de ( 3 ) : 2 

10 39

( 4)

sustituyendo ( 4 ) en ( 2 ) :

 10   11     3  2  39   3  2  3 

110 39

32 39

(5)


 10  1  2   1  39  1  1  1 

20 39

19 39

por lo que el vector de coordenadas es:

 P1  B

10 32   19   , ,  39 39   39 20


Isomorfismo entre espacios vectoriales

Sean U y V dos espacios vectoriales de dimensión finita, definidos sobre un campo K . Se dice que la función

f : U  V es un isomorfismo de U a

V , si f es biyectiva y además cumple con las condiciones siguientes: 1)

f

 u1 u 2 

2)

f

 u 



 f1 u 1

  f

u 

;



 f

u2 

 u  U

;

 u1 y u 2 U

y

  K

Los espacios vectoriales isomorfos sólo difieren en la naturaleza de sus elementos, sus propiedades algebraicas son idénticas.

Teoremas

1)

Si V es un espacio vectorial real de dimensión n , entonces V es isomorfo a

n

.

2)

Todo espacio vectorial es isomorfo a sí mismo.

3)

Si un espacio vectorial V es isomorfo a otro espacio W , entonces W es isomorfo a V .

4)

Si un espacio vectorial U es isomorfo a un espacio V y V es a su vez isomorfo a un espacio W , entonces U es isomorfo a W .

5)

Dos espacios vectoriales de igual dimensión son isomorfos.

21


EJEMPLO 1.7 Para cada espacio vectorial dado, establecer un isomorfismo con un n espacio del tipo .

 a x 2  b x   2 a  6b 



a)

Q 

b)

 b  a N    c  2a ; a , b, c    a b c  

a, b 

    

SOLUCIÓN: a)

La base natural del espacio vectorial Q es:

B

 x 2  2,

x6



Con lo cual Q es un espacio vectorial de dimensión dos, entonces Q

es

2 isomorfo a o a cualquier otro subespacio del tipo n de dimensión dos. De acuerdo con lo anterior, podemos establecer las funciones f y g entre el espacio Q y los espacios: 2



H 

  a, b    a,



a, b 

b, 2 a  6b



a, b 



Ambos espacios de dimensión dos. Con lo cual se tiene:

f

 a x 2  b x   2 a  6b     a , b  , 

esto es,

f : Q 

2



g a x 2  b x   2 a  6 b    a , b , 2 a  6 b  , esto es, g : Q  H Las dos funciones cumplen con ser biyectivas, por lo que se procederá a verificar el cumplimiento de las dos condiciones para ver si establecen o no un isomorfismo. 22


Para f se tiene: 1)

 a 1 x 2  b1 x 

 2 a 1  6 b1  , f

f  

a

1

x 2  b1 x 

f  a 1 x 2  b 1 x 

 u1  u 2 

 2 a 1  6 b1  

 2 a 1  6 b 1  

a 2 x 2  b2 x 

 u1   f  u 2 

 f

a



 2a 2  6b2   Q

2

x 2  b2 x 

 2 a 2  6 b 2    

 f  a 2 x 2  b 2 x 

 2 a 2  6 b 2  

Sumando del lado izquierdo de la igualdad y aplicando f del lado derecho, tenemos:



















 

f  a1  a 2 x 2  b 1  b 2 x  2 a 1  a 2  6 b 1  b 2   a 1 , b 1  a 2 , b 2   Aplicando f del lado izquierdo y sumando del lado derecho, tenemos:

 a1 a 2 ,

b1  b 2



 2)

 a x 2  b x   2 a  6b   Q

f



 u 



 a1 a 2 ,

b1  b 2



cumple



y

u 

  f



f    x 2  b x   2 a  6 b     f   x 2  b x   2 a  6 b   de donde:

f   a x 2   b x   2  a  6  b

  a,

 

   a, b 

b  

  a,

b 

 cumple Dado que

f

espacios Q y

es biyectiva, entonces 2

. 23

f

establece un isomorfismo entre los




Para g se tiene: 1)

 a 1 x 2  b1 x 

 2 a 1  6 b1  , a 2 x 2  b 2 x   2 a 2  6 b 2   Q g

 u1  u 2 

 u 1   g  u2 

 g

g  a 1 x 2  b 1 x 

 2 a 1  6b1 

 a 2 x 2  b2 x 

 2 a 2  6 b 2   

g  a 1 x 2  b 1 x 

 2 a 1  6 b 1  

 g  a 2 x 2  b 2 x 

 2 a 2  6 b 2  

sumando y aplicando g :



g  a 1  a 2

 x 2   b 1  b 2  x  2  a 1  a 2   6  b 1  b 2  

 a 1,

b 1 , 2 a 1  6b 1

   a 2,

b 2 , 2a 2  6b 2





aplicando g y sumando, tenemos:

a

1



a 2 , b1  b 2 , 2 a 1  a 2

  6  b1  b 2     a 1  a 2 , b1  b 2 , 2  a 1  a 2   6  b1  b 2    cumple

2)

 a x 2  b x   2 a  6b   Q

g  u





y



 g  u







g    x 2  bx   2 a  6 b     g   x 2  bx   2 a  6 b 

 

de donde:

g   a x 2   bx   2  a  6  b



 

a , b, 2 a  6b



   a , b, 2 a  6b 





a , b, 2a  6b



 cumple Dado que

g es biyectiva, entonces g establece un isomorfismo entre los

espacios Q y H . 24


b)

El espacio vectorial N se puede establecer como:

   a N     a  b 

b   2 a 

a, b 

    

La base natural de N es:

  B    

1   1

0  , 2 

0   1

1     0   

Con lo cual N es un espacio vectorial de dimensión dos, entonces N es isomorfo a

2

o a cualquier otro subespacio del tipo

n

de dimensión dos.

De acuerdo con lo anterior, podemos establecer la función biyectiva h : N  con la siguiente regla de correspondencia:

  a h     ab  

b   2a 

    

2

 a, b 

Veamos si h cumple con las dos condiciones.

1)

 a1    a 1  b 1

b1   , 2 a 1 

h

 a2   a 2  b 2

b2  N 2 a 2 

 u1  u 2   h  u1   h  u 2 

de donde:

 h  

b1   a1  a2     a 2  b 2  a 1  b 1 2 a 1 

b2   b1     a1   a2  h  h       a 1  b 1 2 a 1     a 2  b2 2 a 2        

25

b2    2 a 2   


sumando y aplicando h , tenemos:

 h    

   

a1  a 2



a1 a 2

  

b1  b 2

b1  b 2





2 a1 a 2



   

     

 a1 ,

b1

b1  b 2



aplicando h y sumando, se tiene:

 a1  a 2 ,

b1  b 2





 a1  a 2 ,



2)

 a    a  b

b   2 a 

 

y

h  u

cumple



 h (u )

de donde:

  a h      a  b   h   

αa    α a  α b

b   2 a  αb   2α a 



 a, b

   a   h      ab         a, b  







a, b

b   2 a 

   

 

 cumple Entonces h establece un isomorfismo entre los espacios N y

26

2

.

   a2,

b2




Matriz de transición

Sean A 

 v1,

v2 ,

, vn



y B 

 w1 ,

w2 ,

, wn

 dos

bases de un

espacio vectorial V . La matriz de transición M BA tiene por columnas los vectores de coordenadas de los elementos de la base A con respecto a la base B , esto es:

  v 

M BA   v 1 

2

B

B

v  n

B

 

Esta matriz M BA conocida también como matriz de cambio de base, es tal que, si conocemos de

v A

donde v  V y deseamos obtener el vector de coordenadas

v en la base B , esto es

 v B,

entonces es suficiente con efectuar el

v A



producto:

M BA

 v B

Además, se tiene que la matriz de transición es una matriz no singular, esto es, siempre tiene inversa y se cumple que:

M  A B

1

27

 M AB


EJEMPLO 1.8 Sean A 

 u1,

u2, u3



y

B 

 v1, v 2 , v3 

dos bases de

un espacio vectorial de dimensión tres, las cuales están relacionadas de la siguiente manera:

v1  u1  u 3 v2  2u2 v3  u2  u3 a)

Obtenga la matriz de transición de la base A a la base B .

b)

Obtenga las coordenadas en la base

 w A

B

del

vector

w , si se tiene que

  3, 5, 2 .

SOLUCIÓN: a)

La relación que se proporciona entre los elementos de las bases A y B , nos define la matriz de transición de la base B a la base A , esto es:

M

Se sabe que:

M  B A

1

B A

1   0  1

0 2 0

0  1  1 

 M BA

Entonces será suficiente con obtener la inversa de la matriz M AB para llegar a la matriz solicitada. Al obtener la inversa de M AB se llega a:

M BA

b)

Se tiene que:

       

M BA  w  A 

1

0

1 2

1 2

1

0

 wB 28

0   1   2   1 


entonces

 w B

       

1

0

1 2

1 2

1

0

0   1   2   1 

3  3     5   3      2   1 

  w  B   3 , 3 , 1 



EJEMPLO 1.9 Sean A  a 1 , a 2 , a 3 y B



 b1 ,

b2 , b3



   x 2  x  3,

3 x 2  x  5, x 2  2 x  2

dos bases del espacio vectorial

P  a x 2  b x  c a , b, c 

.

Si se sabe que:

 a1  B 

 1,

0, 1



,

 a2B 



2, 1, 2



,

 a 3  B    1, 1, 0 

obtenga los vectores de la base B . SOLUCIÓN: Este ejercicio se resolverá siguiendo dos métodos distintos. MÉTODO

1.

De los datos del enunciado se tiene que:

M BA

1   0   1

2 1 2

1   1   0 

si se obtiene la inversa de esta matriz se llega a:

M  A B

1

 M AB

3  2 2     1 1 1      1 0 1  29




considerando las columnas de M AB se tiene que:

 b 1  A    2,

1,  1



 b 2  A    2,

,

1, 0



,

 b 3  A   3,

 1, 1



son los vectores de coordenadas de los elementos de la base B con respecto a la base A , con lo cual se tiene que:

b1   2

 x 2  x  3   1  3x 2  x  5   1  x 2  2 x  2 

al realizar las operaciones y simplificar se llega a:

b1  x  1 en forma análoga se tiene que:

b 2  2

 x 2  x  3   1  3x 2  x  5 

b 2  x 2  x 1 finalmente:

b3  3

 x 2  x  3   1  3x 2  x  5   1  x 2  2 x  2 

b3  x 2  2 por lo tanto, la base B es:

B  MÉTODO

 x  1,

x 2  x  1, x 2  2



2.

En el enunciado del problema nos proporcionan los vectores de coordenadas de los elementos de la base A con respecto a la base B . Con las componentes de estos vectores podemos obtener los vectores a 1 , a 2 , a 3 expresándolos como una combinación lineal de los elementos de la base B , esto es: 30


 b1  b3  a1    2b 1  b 2  2b 3  a 2   b  b  a3 1 2  sustituyendo los vectores a 1 , a 2 , a 3 , se llega al sistema:

 b1  b 3  x 2  x3    2  2b 1  b 2  2b 3  3 x  x  5    x 2  2x  2   b 1  b 2 escalonando el sistema tenemos:

(1) ( 2 )  b 1  b3  x2  x 3    2  2b 1  b 2  2b 3  3x  x  5    x 2  2x  2   b 1  b 2 de ( 2 ) se tiene:

b2  x 2  x 1 sustituyendo ( 2 ) en ( 3 ) , tenemos:

 x 2  x 1   b 3

 2 x 2  x 1

de donde:

b3  x 2  2

( 4) 31

 b1        

 b3 

x 2  x 3

(1)



x 2  x 1

(2)

b2  b3  2 x 2  x 1

( 3)

b2


sustituyendo ( 4 ) en ( 1 ) , se tiene:

b1 

 x 2  2   x 2  x3

entonces

b 1  x 1 con lo cual se llega a que la base B es:

B 

 x  1,

x 2  x  1, x 2  2



Espacio renglón y espacio columna de una matriz Sea A una matriz de orden m  n . 1)

Si consideramos a los renglones A como vectores del espacio

n

, entonces

al espacio generado con los renglones de A se le llama espacio renglón y se le representa con:



L AR 3) Si consideramos a las columnas de

 A como vectores del espacio

m

,

entonces al espacio generado con las columnas de A se le llama espacio columna y se le representa con:

L  AC



Teorema Para cualquier matriz A , se tiene que:



Dim L A R

  Dim L  AC  32


EJEMPLO 1.10 Para la matriz

 1  A   2    1

2

1

1

2

3

3

3   2   1 

Obtenga:





a)

El espacio renglón L A R , una base y su dimensión.

b)

El espacio columna L A C , una base y su dimensión.





SOLUCIÓN: a)

Para obtener el espacio renglón, se obtendrá primero una base del mismo mediante el escalonamiento de la matriz A .

(1) ( 2 )  1 2 1 3       2 1 2 2        1 3  3 1 

2 1 3  1     (1)  0  5 4 4       0 5 4 4 

2 1 3  1     0 5 4 4       0 0 0 0 

Los renglones no nulos de la matriz equivalente, una vez concluido el escalonamiento, constituyen una base del espacio renglón y, por consiguiente, el número de renglones no nulos, nos definen la dimensión de dicho espacio vectorial. A este número también se le conoce como rango de la matriz A .

33


De acuerdo con lo anterior, se tiene que una base del espacio renglón será:

BR 

  1,

2 ,  1, 3  ,



Dim L

 AR   2



0 ,  5 , 4,  4



Generando el espacio renglón, tenemos:

a  1, 2 ,  1, 3   b  0 ,  5, 4 ,  4  

 a,

2 a  5b ,  a  4 b , 3a  4 b 

 L  A R     a , 2 a  5b ,  a  4 b , 3a  4 b  a , b  b)



Como sabemos que la dimensión del espacio columna es igual a la dimensión del espacio renglón, entonces será suficiente con tomar dos vectores columna de la matriz original, cuidando que éstos no sean proporcionales, para obtener una base del espacio columna.

De esta forma una base será:

BC 

  1,



Dim

2,  1  ,

 AC 



2,  1, 3





 a  2 b,

2 a  b,  a  3b

 2

y el espacio columna será:

a  1, 2,  1



 b  2,  1, 3



 L  A C     a  2 b , 2 a  b ,  a  3b  a , b 

34






Criterio del Wronskiano

Sea



f1, f

2

,

, f

n



un conjunto de n funciones reales de variable real,

cada una de las cuales admite por lo menos

 a, b  .

n  1 derivadas en el intervalo

El determinante

f1

f2

fn

f 1'

f 2'

f n'

f 1n 1

f 2n 1

f nn 1

Wx 

se denomina Wronskiano del conjunto de funciones dado.

   0 , entonces el

Si existe al menos un valor x 0   a , b  , para el cual W x 0

conjunto de funciones es linealmente independiente en dicho intervalo. Cabe hacer notar que si W  x   0 ,

 x   a , b  , entonces no se puede

concluir nada en cuanto a la dependencia o independencia lineal del conjunto de funciones. En este caso se deberá recurrir a la ecuación de dependencia lineal para su análisis.

EJEMPLO 1.11 Determine si el conjunto de funciones

 e x,

e 2 x , e x 2

linealmente dependiente o independiente en el intervalo

  ,

 .

SOLUCIÓN: Obteniendo el Wronskiano tenemos: 35



es


W x 

ex

e 2x

e x2

ex

2 e 2x

e x2

ex

4 e 2x

e x2



  e x2   e x  4 e 2 x   e x2  e x  e 2 x   e x2   e x  2 e 2 x   e x2  e x  e 2 x   e x2   e x  4 e 2 x   e x2 

 e x 2e 2 x  

W  x   2 e 4 x2  4 e 4 x2  e 4 x2  2 e 4 x2  e 4 x2  4 e 4 x2

de donde:

W x  0 Dado que W  x   0 , entonces el criterio del Wronskiano no permite decidir en cuanto a la dependencia o independencia lineal del conjunto de funciones. Por lo tanto, se procederá de la siguiente manera:

Como se puede apreciar:

e x2  e 2 e x es decir, e x 2 se puede obtener al multiplicar la función e x por la constante e 2 , esto implica que las funciones e x y e x 2 son linealmente dependientes entre sí, con lo cual podemos concluir que el conjunto de funciones dado es linealmente dependiente.

EJERCICIO 1.12

Si H 

 e x  2 e x ,

2  sen 2 x , e x  2



es un subconjunto

del espacio vectorial de las funciones reales de variable real, determine si el conjunto H es linealmente independiente en el intervalo

36

  ,

 .


SOLUCIÓN: Calculando el Wronskiano, tenemos:

W

W

x

x



e x  2 e x

2  sen 2 x

e x  2 e x

2 cos 2 x

e x  2 e x

 4 sen 2 x

e x  2  e x e x



 e x  2 e x   2 cos 2 x   e x    e x  2 e x    4 sen 2 x   e x  2 



 2  sen 2 x    e x   e x  2 e x 



  4 sen 2 x    e x   e x  2 e x 



 e x  2 e x   2 cos 2 x   e x  2  

 e x  2 e x   2  sen 2 x   e x 

Si hacemos x  0 , tenemos:

W  0   3 2 1   1 0  3   2  1 3   3 2  3   0  1 3   1 2 1 W  0   16

Esto implica que al menos existe un valor de x en el intervalo de definición de las funciones, esto es, x 0  0 , para el cual W

 x 0   0 , lo que nos permite concluir que

el conjunto H es linealmente independiente.

37


EJERCICIO1.13 Determine si el conjunto de funciones

G 

 2 sen 2 x ,

 cos 2 x , 3



es linealmente dependiente o independiente en el intervalo

 ,

 .

SOLUCIÓN: Obteniendo el Wronskiano, tenemos:

W

x



2sen 2 x

 cos 2 x

3

4sen x cos x

2cos x sen x

0

 4sen 2 x  4 cos 2 x

2cos 2 x  2 sen 2 x

0

Aplicando el método de cofactores en la tercera columna, tenemos:









W  x   3   4sen x cos x  2cos 2 x  2sen 2 x   2cos x sen x   4sen 2 x  4cos 2 x    desarrollando los productos y simplificando, se tiene:



W  x   3 8sen x cos 3 x  8sen 3 x cos x  8sen 3 x cos x  8sen x cos 3 x



W x 0 Dado que el Wronskiano resultó igual a cero, entonces el criterio no decide, por lo que se tendrá que recurrir a la ecuación de dependencia lineal para determinar si el conjunto G es linealmente independiente o dependiente. Se sabe que:

sen 2 x  cos 2 x  1 38


de donde

 cos 2 x   1  sen 2 x con lo cual, la ecuación de dependencia lineal se puede expresar como:



 1 2sen 2 x

   2   1  sen 2 x    3  3   0

(1)

multiplicando y factorizando términos semejantes, tenemos:

 2  1   2  sen 2 x



   2  3 3 

 0 sen 2 x  0

por igualdad se tiene:

  1   2       3 2 3 

 0  0

Se trata de un sistema de ecuaciones compatible indeterminado, que admite múltiples soluciones, esto es, se pueden obtener valores para los escales  1 ,  2 ,  3 diferentes de cero, con los cuales se satisface la ecuación ( 1 ) , por lo que, se puede concluir que el conjunto G es linealmente dependiente.

39


EJERCICIOS PROPUESTOS 1.

Demuestre que el conjunto

  A    

a 0   0

0 0 c

0 b  0 

a  2b  0 ;

a , b, c 

    

es un espacio vectorial sobre el campo de los números reales, considerando las operaciones de adición y multiplicación por un escalar usuales con matrices. 2.

Determine si el conjunto P 

 ax  b

a, b 

,

es un espacio vectorial

sobre el campo de los números reales, si la adición de vectores es la adición ordinaria de polinomios, y la multiplicación por un escalar se define como:

k  ax  b  kb ; 3.



x, y, z



  a x b   P

y 3

Sea A un subconjunto del espacio vectorial

A

4.

k 

, tal que:

2x  y  z  0 ; x, y, z 



a)

Determine si A es un subespacio de

b)

En caso afirmativo, obtenga una base y la dimensión del subespacio A .

3

.

Sea M un espacio vectorial de las matrices simétricas de orden 2 con elementos en y sea N el conjunto definido por:

 b  a N      b a  

a, b 

    

Determine si N es un subespacio de M ; si lo es, obtenga para M y N , una base y su dimensión. 40


5.

6.

Dado el conjunto A 

  a,

 1, 1  ,

a, 2 ,



 1, 0 , 1



a)

Determine el valor de a  dimensión 2 .

b)

Con el valor obtenido en el inciso a), obtenga el espacio generado.

  x Sea N     z  a)

y  0 

   un espacio vectorial.  

x, y, z 

Determine cuál de los siguientes conjuntos es una base de N :

B2

b)

, tal que el espacio generado por A sea de

z  x y,

  1 B1      0

7.

 0,

   

0 , 0 

1   0

1  , 0 

2   3

1 , 0 

 a  bx  3 

M

4 A   B  3   2

es la matriz de transición de la base A 

1     0  

1   1

0     0  

2

1 respecto a la base elegida 0 

Obtenga el vector de coordenadas de  1 en el inciso anterior.

En el espacio vectorial P 1 

1   1

a, b 

 , la matriz

7  2   1  

 6  3x ,

10  2 x

 a la base

a)

Determine cuál es la base B .

b)

Calcule el vector de coordenadas en la base B del vector

P x



 4  x. 41

B.


8.

Sean B 

 2 sen x  cos x ,

3 cos x  y

B' 

 sen x ,



cos x

dos base del

espacio vectorial

F 

9.



f

f

x



 a sen x  b cos x ; a , b 

a)

Obtenga la matriz de transición de la base B a la base B ' .

b)

Si h  x   2sen x  cos x , obtenga  h  x   B

Dada la matriz

 3  2 A    1   1

9  7   5   2 

5 1 3 4

determine: a)

el espacio vectorial generado por los renglones de la matriz A .

b)

el espacio vectorial generado por las columnas de la matriz A .

c)

una base y la dimensión del espacio renglón y del espacio columna de la matriz A .

d)

si los espacios renglón y columna son isomorfos.

10. Determine si el conjunto

B 

P x ,

P'

 x ,

P"

 x ,

P "'  x

  es

linealmente dependiente o independiente, donde

P x



 ax 3  bx 2  cx  d ,

a , b, c d 

y

P' x





d P x, dx

P"  x

11. Dado el conjunto de funciones





 2,

d

2

d x2

P x ,

cos 2 x , cos 2 x

P '"  x





d

3

d x3



a)

Calcule el Wronskiano del conjunto.

b)

Determine si el conjunto es linealmente dependiente o independiente. 42

P x




RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS 2.

No es un espacio vectorial.

3.

a)

Sí es un subespacio.

b)

Una base sería B 

4.

5.

  1,

0, 2  ,

 0,

1,  1



Dim A  2

N sí es un subespacio de M .

BM

    

1   0

0 ,  0

BN

    

1  0 

0 ,  1 

0   1 0  1 

1 ,  0

0   0

1  0 

   ; 

0   1

   ; Dim M  3 

Dim N  2

a)

a1  1 y

b)

Si a  1 y tomando al segundo y tercer vector como una base, se tiene:

a2  2

L

 A



 k

2,

k 1 ,  2k 1  k 2



k 1, k2 



Si a   2 y tomando al segundo y tercer vector como una base, se tiene:

L

Nota:

 A



 k

2,

 2k 1 ,  2 k 1  k 2

En el inciso b) las respuestas no son únicas.

43



k 1, k2 




6.

7.

8.

9.

a)

  BN    

2   3

b)

   

1  0 

2   1

 2,

1   , 0 

   



0     0   

1   1



7,  3



BN



a)

B 

b)

 P

a)

2 M BB '    1

b)

2    h  x   B   1,   3  

a)

L AR

b)

L

c)

Una base del espacio renglón es:

3 2x

 x   B



 11    , 4  0  3 

    a,

 AC     a ,

BR 

  1,

1   2 

4 a  7 b , 2 a  3b



a, b 





a, b 

2 a  b ,  a  b , 3a  b

4, 2  ,



0 , 7, 3

T







Dim L

 AR   2

Dim L

 AC   2

Una base del espacio columna es:

BC  d)

  1,

2 ,  1, 3



T

,



0 , 1,  1, 1

b)

T





Como ambos espacios son de igual dimensión, entonces son isomorfos.

10. El conjunto B es linealmente independiente. 11. a)



W x 0 El conjunto es linealmente dependiente. 44

CAPÍTULO 2 TRANSFORMACIONES LINEALES

TRANSFORMACIONES LINEALES

Transformación Sean V y W espacios vectoriales. La función T : V  W recibe el nombre de transformación y, los espacios V y W se llaman dominio y codominio de la transformación, respectivamente. Esquemáticamente se tiene:

T

V

Dominio

W

Codominio

Transformación lineal Sean V y W espacios vectoriales definidos sobre un campo K . La función T : V  W se llama transformación lineal si se cumplen las siguientes dos propiedades:

 u, v  V

y

  K

1)

T u v



 Tu



2)

T u

 Tu





 Tv



47


Recorrido y núcleo de una transformación lineal

Sean V y W espacios vectoriales y T : V  W una transformación lineal. 1)

Se llama recorrido de T al conjunto de todas las imágenes de los vectores del dominio, el cual se denota como T  V  y es tal que:

T  V   T  v 2)



v V 

Se llama núcleo de T al conjunto de vectores del dominio, cuya imagen es el vector cero de W , el cual se denota como N  T

N T







 v V T  v   0 W

y es tal que:



Teoremas

Si T : V  W es una transformación lineal, entonces: 1) T

 0V   0W

2) T  V  es un subespacio de W . 3) N  T



es un subespacio de V .

 v1 , v 2 , , v n  es una base V , entonces el conjunto G   T  v1  , T  v 2  , , T  v n   es generador del recorrido de T .

4) Si B 

5) Si V es un espacio de dimensión finita, entonces se cumple que:

Dim V  Dim T  V   Dim N  T 

48


EJERCICIO 2.1 Determine si la transformación T : P  D , donde

P   a x  b a, b  definida por

T





  D    

y

 f 0 f    0

a 0  0 b  a, b   

  ;  f 1 

    

0

 f P

es lineal. SOLUCIÓN: Para que una transformación sea lineal se deben cumplir las dos propiedades que se señalan en la definición de este concepto. Dichas propiedades se conocen con los nombres de superposición y homogeneidad, respectivamente, de acuerdo con el orden en que aparecen en la citada definición. Verifiquemos si se cumplen estas propiedades: 1)

Superposición:

 f 1  x   a 1 x  b1 ,

T sustituyendo



f1 y

f 2  x   a 2 x  b 2  P , se tiene que:

 f1  f 2   T  f1  T  f 2 

f 2 , tenemos:

T  a 1 x  b 1

   a 2 x  b 2  

 T

a

1

x  b1

  T  a 2 x  b2 

efectuando la suma del lado izquierdo de la igualdad y aplicando T del lado derecho, tenemos:







T  a 1  a 2 x  b 1  b 2



0   b1  b2           0  0 a 1  b1   49

  a 2  b 2  0


aplicando T del lado izquierdo y sumando del lado derecho, se tiene:

 b1  b 2   0

0

 a1  a 2    b1  b2  

2)

   

 b1  b 2   0

0

 a1  a 2    b1  b2 

  

cumple

Homogeneidad:

 f ( x)  a x  b y   

T f

T  f 

de donde:

T    a x  b     T  a x  b  b T  a x  b     0

0  a  b 

0 0  b   b   0 a  b    0 a  b     



cumple

entonces podemos concluir que la transformación T es lineal. EJERCICIO 2.2

Dada la transformación T :

3

 P1 , donde P1   a x  b a , b 

cuya regla de correspondencia es:

T

 a , b, c    a  b  x

  a c  ;

  a , b, c  

a)

Determine si T es lineal.

b)

Obtenga el recorrido y el núcleo de T .

c)

Dé una base y la dimensión del recorrido y del núcleo.

50

3

,


SOLUCIÓN: a)

Las dos propiedades de superposición y homogeneidad que son necesarias demostrar para determinar si una transformación es o no lineal, se pueden juntar en una sola expresión y, si ésta se cumple, se puede concluir sobre la linealidad de la misma, como a continuación se muestra.

 v1 

a

1

, b1 , c 1

,

v2 

a

2

T  v 1  v 2 T    a 1 , b 1 , c 1  

a

2

, b2 , c2





3

 

y

 T  v1  T  v 2 

, b 2 , c 2     T  a 1 , b 1 , c 1   T  a 2 , b 2 , c 2



de donde se tiene:

T    a 1  a 2 ,  b1  b2 ,  c1  c 2      a 1  b1  x   a 1  c 1    a 2  b 2  x   a 2  c 2  aplicando la regla de correspondencia de T del lado izquierdo y efectuando operaciones y factorizando del lado derecho, se tiene:

  a 1  a 2     b1  b 2   x    a 1  a 2     c 1  c 2      a 1   b1  x    a 1   c 1      

a

2

 b2



x 

a

2

 c2 

  a 1  a 2     b1  b 2   x    a 1  a 2     c 1  c 2      a 1  a 2     

   b

  a1  a 2 

   c

1

 b 2   x 

1

 c 2  

como se cumple la igualdad, entonces podemos concluir que la transformación T es lineal. b)

Para obtener el recorrido se hará uso del teorema 4 enunciado anteriormente. Tomemos entonces la base canónica del dominio, esto es:

B    1, 0, 0  ,

 0, 1, 0  ,  0, 51

0, 1 


de donde:

T 

 1,

0, 0   x  1

T 



0, 1, 0   x

T 



0, 0, 1    1

con lo cual el conjunto G   x  1 , x , 1 es generador del recorrido. Es evidente que G es un conjunto linealmente dependiente ya que x  1 se puede obtener como una combinación lineal de los otros dos elementos del conjunto. De acuerdo con esto, se puede llegar a que el conjunto C   x , 1  es una base del recorrido y, por lo tanto, se tiene que:

a  x   b 1   a x  b con lo cual se llega a que el recorrido es:

T

   ax  b 3

a, b 



Por otro lado, el núcleo se obtiene a partir de la igualdad:

T  a , b, c  0 x  0 de donde:

 a  b x

  a  c  0 x  0

por igualdad de polinomios se llega al sistema:

 a  b  0  a  c  0 



  b  a  c  a 

por lo tanto, el núcleo de la transformación es:

N T





 a, a, a 

52

a




c)

Una base del recorrido es:

C 

 x , 1



Dim T



3

2

Una base del núcleo es:

  1,  1, 1 

D 

Dim N  T   1



Obsérvese que el teorema 5 se cumple, ya que:

Dim T



3



Dim N  T   3

que es igual a la dimensión del dominio. Nota:

Cuando se traten los temas de transformaciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas e inversa de una transformación, se retomarán los conceptos de recorrido y núcleo.

Matriz asociada a una transformación lineal Sean V y W dos espacios vectoriales de dimensión n y sean A 

v

1

, v n  y B   w1 , w 2 ,

, v2 ,

Si T : V  W

m , respectivamente, y

, w m  bases de dichos espacios.

es una transformación lineal, existe una matriz única M BA  T  , de

orden m x n , tal que:

M BA  T

  v A

  T  v   B

;

 v V

Las n columnas de la matriz M BA  T  , llamada matriz asociada a T , son los vectores de coordenadas en la base B , de las imágenes de los vectores de la base A , esto es:

M BA  T



   T  v 1   B 

T  v 2    B

53

 T vn     B 


EJERCICIO 2.3 Sean los espacios vectoriales

P2 

 ax

2

 bx  c

 a b M    b c  

a, b, c 

a, b, c 



    

Ambos definidos sobre el campo real, y sea la transformación lineal T : P2  M definida por:

T

 ax

2

 a  c 3b   bx  c     ;  a , b, c  3 b a  c  

Obtenga la matriz asociada a la transformación T . SOLUCIÓN: Para obtener la matriz asociada a la transformación se requiere una base del dominio y una del codominio. Consideremos las bases:

A



x 2, x , 1

 1 B      0

y

0 0 ,  0   1

Las imágenes de los elementos de la base A son:

T

1 2 x      0

0  1 

T

 x

0    3

3  0 

T

 1

1    0

0  1 

54

1 0  ,  0   0

0    1   


B,

Obteniendo los vectores de coordenadas de estas imágenes referidas a la base tenemos:

1 0 1 0 0 1 0 0  0 1   1  0 0    2  1 0    3  0 1          Al realizar las operaciones correspondientes y por igualdad de matrices, fácilmente puede llegarse a:

 1 0        1, 0, 1   0 1  B En forma análoga con las otras dos imágenes, se llega a:

0 3 

3 1   1 0 0  

0 0   2 1 0  



 0    3

1 0 

0 1   1 0 1  



 1    0

3    0   B

 0,

1 0   3 0 0  

0 1 

3, 0 

0 0   2 1 0  

1 0   3 0 0  

0 1 

0     1, 0,  1  1   B

Con lo cual, la matriz asociada a la transformación viene dada por la disposición en columna de dichos vectores de coordenadas, esto es:

M

A B

T 

1  0   1

0 3 0

1 0  1 

EJERCICIO 2.4 Sea la transformación lineal H :

3



H  x, y, z    2 x  z,  y  z,  4 x  y  z  ;

3

, definida por:

  x, y, z  

3

Obtenga la matriz asociada a la transformación H referida a la base canónica de 55

3

.


SOLUCIÓN: 3

Como se sabe, la base canónica de

B 

es:

  1, 0, 0  ,  0, 1, 0  ,  0, 0, 1  

Las imágenes de sus elementos son:

T

 1,

0, 0  

T

 0, 1, 0 

T

 0,



2, 0,  4 



 0,

 1,  1 

0, 1  

 1,

1,  1 

Los vectores de coordenadas de las imágenes vienen dadas por:



2, 0,  4    1  1, 0, 0    2  0, 1, 0    3  0, 0, 1 

Realizando las operaciones correspondientes y mediante la igualdad de vectores, se llega a:

  2, 0,  4   B 

 2,

0,  4 

 0,

 1,  1 

En forma similar, fácilmente se puede llegar a:

  0,  1,  1   B    1, 1,  1   B 

 1, 1,

1 

Con lo cual, la matriz asociada a la transformación H es:

M BB  H 

 2   0    4

0 1 1

1  1   1 

Obsérvese que las columnas de la matriz asociada a la transformación H , son precisamente las imágenes de los vectores de los elementos de la base canónica. En general, cuando se obtenga la matriz asociada a una transformación lineal del tipo T :

n



n

, será suficiente con obtener las imágenes de los elementos de la

base canónica del dominio, y dichas imágenes disponerlas como columnas para llegar a definir la matriz asociada a la transformación. 56


Álgebra de transformaciones lineales Adición y multiplicación por un escalar:

V y W dos espacios vectoriales definidos sobre un campo K , y sean T : V  W y H : V  W dos transformaciones lineales.

Sean

1) La suma T  H de T y H es una transformación lineal de V en W definida por:

TH  v 

 T v



 H v



;

 v V

2) El producto de un escalar   K por la transformación T es una transformación lineal de V en W que se denota con  T y se define como:

 T   v 

 T

v 

;

 v V

Composición: 3) Sean T : U  V y H : V  W dos transformaciones lineales. La operación

H T es una transformación lineal de U en W definida por:

H

T

 u 

 H  T  u   ;

u U

La operación composición puede representarse gráficamente de la siguiente forma:

V T

U

u

H

Tu 

H T

57

W

H  T  u  


Teoremas Sean V

y W dos espacios vectoriales definidos sobre un campo K , y sean

A y B

bases de

V y W respectivamente.

T

Si

y

H son dos

transformaciones lineales cualesquiera de V en W , entonces. 1)

M BA  T  H



 M BA  T



2)

M BA   T

  M BA  T





 M BA  H



K

;

Sean U , V y W tres espacios vectoriales definidos sobre un campo K , y sean A , B y C bases de U , V y W respectivamente. Si T : U  V 3)

y H : V  W son dos transformaciones lineales, entonces

M CA  H T



 M CB  H



M BA  T



EJERCICIO 2.5 Dadas las transformaciones lineales:

T:

2



2

donde

T  x, y     x, 2 x  3 y

S:

2



2

donde

S  x, y  

 x  y,

3 y

Obtenga el vector v , tal que:



S T

  v     1, 1 

SOLUCIÓN: Considerando a

v   x , y  , entonces se tiene que:

S

T

  x , y   S  T  x , y  

de donde

S

  x,

2x  3y   58



  1, 1 

  1, 1 


aplicando la regla de la transformación S , tenemos:

  x   2 x  3 y  , 3  2 x  3 y    simplificando se tiene:



  1, 1 

 3 x  3 y , 6 x  9 y     1, 1



por igualdad de vectores se llega al sistema de ecuaciones:

  3 x  3 y  1    6 x  9 y  1 cuya solución es:

x

2 3

y

1 3

con lo cual el vector v es:

 2 1 v  ,   3 3

  M    

EJERCICIO 2.6 Sea el espacio vectorial

x   0

0  y 

x, y 

   y las  

transformaciones lineales:

H:

S:

2

2

 x, y 

x y    0

 M dada por

H



S  x, y  

2

dada por

0  ; y 

  x, 0 

;





 x, y  

Determine la regla de correspondencia de la transformación T : M 

 2 S   T

H  

 x, y 

59

  0, y 

 x, y 

2

2

tal que:

2


SOLUCIÓN: Partiendo de la expresión dada, tenemos:

 2 S   T de donde se tiene:

H    x , y    0, y 

2S  x, y    T H

despejando:

T

H

  x, y 

  x, y 

  0, y 

  0, y   2 S  x , y 

aplicando S , tenemos:

T

H

  x, y 



 0, y 

 2   x, 0 

T

H

  x, y 



 2 x, y 

(1)

Por otro lado, en términos de matrices asociadas sabemos que:

M T



MH



 M T H



Siempre que las matrices asociadas estén referidas a bases canónicas o bases naturales. Esta ecuación resulta ser una ecuación matricial, de la cual podemos despejar M

T ,

esto es:

M T



M  H  M 1  H   M  T H  M 1  H 

de donde se tiene:

M T Para obtener M



T ,

 M T H



M 1  H 

( 2)

necesitamos obtener las matrices asociadas de

T

de H . Si aplicamos isomorfismo, podemos expresar a la transformación H como:

H  x, y  

 x y, y 

;

aplicando

60

 f   

a 0       0 b  

 a, b 

H



y


Considerando la base canónica, tenemos:

H H

 1, 

0 

0, 1  

 1,

0 

 1, 1 

M

1 0

H

1 1 

(3)

Por otro lado, considerando la expresión (1) , tenemos:

T T

H H

  1, 0    0, 1 



 2, 0 

2 MT H    0



  0, 1 

0 1 

( 4)

de ( 3) se obtiene que:

M

1

H

1  1 

1   0

(5)

sustituyendo ( 4) y (5) en ( 2) , tenemos:

M T



2   0

0 1 1   0

1  1 

de donde:

M T Como la transformación T : M  lograr que T :

2



T esto es:

2

 2

2   0

2  1 

, entonces mediante el isomorfismo podemos

, con lo cual se puede expresar:

 x, y 

2   0

 2 x  2 y 2   x     1   y    y

T  x, y    2 x  2 y, y 

Finalmente, aplicando el isomorfismo inverso, tenemos:

x T  0

0   y   61

 2 x  2 y,

y


Transformaciones lineales inyectivas, suprayectivas y biyectivas 1) Transformación inyectiva: Una transformación lineal es inyectiva, si y sólo si, el núcleo de dicha transformación es de dimensión cero. 2) Transformación suprayectiva: Una transformación lineal es suprayectiva, si y sólo si, la dimensión del recorrido es igual a la dimensión del codominio, o bien, si la dimensión del núcleo es igual a cero, entonces la transformación será suprayectiva, si la dimensión del dominio es igual a la dimensión del codominio. 3) Transformación biyectiva: Una transformación lineal es biyectiva, si y sólo si, es inyectiva y suprayectiva, es decir, si la dimensión del núcleo es igual a cero y la dimensión del recorrido es igual a la dimensión del codominio.

Inversa de una transformación lineal Sea T : V  W una transformación lineal. La inversa de T es una transformación lineal T 1 : W  V , para la cual se cumple que: 1)

T 1 T  I V

2)

T T 1  I W

Donde I V e

I W son transformaciones identidad en V y W , respectivamente.

Gráficamente:

T

V

W

Tv 

v

T 1

62


Teorema Sean V y W dos espacios vectoriales de dimensión finita, T : V  W una transformación lineal y A , B bases de V y W , respectivamente: 1)

T 1 existe, si y sólo si, M BA  T



2)

Si T 1 existe, entonces  M BA  T  

es no singular. 1



 M AB T

1

.

EJERCICIO 2.7 Sea la transformación lineal T : M  P1 definida por:

 T  

a   b

b   a  

 a b x   a b 

;

a    b

b M a 

donde:

 a M     b 

b  a, b  a 

    

y

P1 

ax

a)

Determine si T es biyectiva.

b)

De ser posible, obtenga la transformación inversa T

 b a, b 

1

.

SOLUCIÓN: a)

Obteniendo el núcleo de T . Al igualar a cero el recorrido, se genera el sistema de ecuaciones:

 a b  0    a  b  0

63




cuya única solución es:

a  0 b  0 de donde el núcleo de T es:

N T





0



Dim N  T   0

con lo cual podemos concluir que T es inyectiva. Por otro lado, se puede apreciar que el dominio y el codominio de T son espacios de dimensión dos, y como el núcleo es de dimensión cero, entonces

T es

suprayectiva. Al ser T inyectiva y suprayectiva, entonces T es biyectiva. b)

Como T resultó ser biyectiva, entonces Para obtener T

1

,

isomorfos a

1

existe.

primeramente transformaremos los espacios vectoriales n

M y P 1 a espacios del tipo Como M

T

, mediante dos isomorfismos.

P 1 son espacios vectoriales de dimensión dos, entonces son

y 2

. De acuerdo con esto, podemos plantear los isomorfismos:

 a f    b   g

b  a 

    

ax  b



 a, b   a, b 

Con lo cual, la regla de correspondencia de T quedaría como:

T

 a, b 



 a b,

a b 

Obteniendo la matriz asociada a T con la base canónica, tenemos:

T  1, 0    1, 1  T  0, 1  

  1, 1 



64

M T



1   1

1  1 


de donde se tiene que:

 M  T  

1

 1 1   2  1 

1   M T 1 



1



a partir de esto tenemos que:

T

1    1 

 ab  a       2     a  b   b   2 

1

 a, b 

 1 1   2   1

1

 a, b 

 ab ba    ,  2   2

esto es:

T

aplicando los isomorfismos inversos y tomando en cuenta que T 1 : P1  M , tenemos:

T 1  a x  b

EJERCICIO 2.8



 a b  2    ba   2

T : P1  P1 ,

Sea

ba  2   a  b  2  P1 

donde

 ax  b

transformación lineal tal que:

M

A B

T 

 2 4     0 1  

es su matriz asociada referida a las bases.

A

 2x ,

3

y B 

x,

del dominio y codominio respectivamente. a)

Determine si la transformación T es biyectiva.

b)

Obtenga, si existe, T

1

.

65

x3 

a, b 

,

una


SOLUCIÓN: a)

Dado que Det



M BA  T    2 , entonces podemos garantizar que:  M BA  T 

Como M AB

 T  1    M

A B

 T  

1

1

existe

, entonces T

1

existe, por lo que podemos

asegurar que T es biyectiva.

b)

2 Como M  T    0  A B

4  1 



M

B A

T  1

Para obtener la regla de correspondencia de T forma:

1

1 1   2 0 

4  2 

se procede de la siguiente

Obtengamos primero el vector de coordenadas de un vector cualquiera a x  b de P 1 , referido a la base B .

  x     x3

ax  b  ax  b 

x 

3

por igualdad de polinomios:

   a     b  

66



 

b 3


sustituyendo en la primera ecuación, se tiene:



b  a 3



 ax  b B



a

b 3

b b    a ,  3 3   M AB

al multiplicar este vector de coordenadas por la matriz obtiene es  T

T 

1

1

 a x  b   A

 a x  b   A

1 1   2   0

 T 1 

, entonces:

b b 4b  4   a   a    3 3 3 1        b  2  2b 2     3  3  

entonces:

T 

1

 a x  b   A

 ab  2    b  3

    

de donde:

ab b   T  1  a x  b     ,   A 3   2 con este vector de coordenadas y la base A , se tiene:



T 1  a x  b  

ab 2

T 1  a x  b  

a bx b

67

 2x 



b 3

3

    

, lo que se


Efectos geométricos de las transformaciones lineales de Transformación

2

y

Sobre el eje x

T

0 1  y

 1 0   0 1  

y 1 x

x

1

y -1

T

0 1 

x -1

y

y

 k  0 

0 1  0 k 1

T

1

1 x

k

Vertical

x

1

1 0 

0 k  0 k 1

T

y

k x

1 y

Horizontal

y

 k  0  Expansión

x

-1

Horizontal

Contracción

T

1

Con respecto al origen

 1  0 

1 -1

Sobre el eje y Reflexión

2

Efecto geométrico Dominio Codominio

Matriz de transformación

1 0 

en

0 1  k 1

T

1

1

k

Vertical

1

1 0 

0 k  k 1

x

x

y k

T 1

68

x


Transformación

Proyección

Efecto geométrico

Matriz de transformación

Dominio

Sobre el eje x

y

1 0 0 0  

1

Codominio y

T

x 1

Sobre el eje y

1

0 0 0 1  

x

y 1

T

x

A lo largo del eje x con

y

k0

1

T

1 k  0 1   

k

k 0 1 k  0 1   

Deformación o Deslizamiento

y

1

T

1

1 k

A lo largo del eje y

k0  1 0  k 1  

con

x

1

k 0  1 0  k 1  

1

 sen   cos  

x

y

T

1

1

69

x

y k 11 kk

T

y

 cos   sen  

1

k

con

x

y 1

T

A lo largo del eje y

Rotación

x

y

A lo largo del eje x con

1

x

 1

x


EJERCICIO 2.9 Determine el efecto geométrico que produce: a)

El realizar un giro de considerando k  3 .

b)

El realizar primero la expansión horizontal con k  3 y posteriormente realizar el

90

y posteriormente efectuar una expansión horizontal

giro de 90 . Realice, para cada caso, la representación geométrica considerando la región que se define con los puntos

 0, 0  ,  1, 0  ,  1, 1 

y

 0, 1  .

SOLUCIÓN: a)

De acuerdo con la tabla anterior, la matriz de giro es:

 cos   sen  

 sen   cos  

Como   90 , entonces:

0

Matriz de giro   1

1   G 0 

La matriz de expansión horizontal es:

k 0 

0 1 

3

0  E 1 

como k  3 , entonces: Matriz de expansión   0

como se nos pide realizar primero el giro y después la expansión, esto equivale a realizar la composición de ambas transformaciones, esto es:

E

G  u  E  G  u   70


obsérvese que en el lado derecho de la igualdad se aplica primero el giro al vector u y posteriormente se aplica la transformación de expansión E . Sabemos que:

M E G  ME MG

de donde:

3 ME G   0

0  0 1   1

1   0  0   1

3   T 0 

Aplicando esta transformación a los puntos dados, tenemos:

 0 3   0  0 T  0, 0          1 0 0 0



T  0, 0  

 0, 0 

 0 3   1  0 T  1, 0       1 1 0 0  



T  1, 0  

 0, 1 

 0 3   1   3  T  1, 1          1 0  1  1



T  1, 1  

  3, 1 

 0 3   0   3  T  0, 1       0 1 0 1  



T  0, 1  

  3, 0 

Gráficamente: y

y

T (-3, 1)

(1, 1)

(0, 1)

0

(1, 0)

(0, 1)

x

x (-3, 0)

71

0


b)

Si se aplica primero la expansión horizontal y posteriormente el giro de 90 , entonces se tiene:

1   3 0   0

0 MG E    1

0 0  1   3

1   H 0 

Aplicando esta transformación a los puntos, tenemos:

0 H  0, 0    3

1  0 

0 0  0 0    



H  0, 0  

 0, 0 

0 H  1, 0    3

1  0 

1 0 0  3    



H  1, 0  

 0, 3 

0 H  1, 1   3

1  0 

1  1   1  3    



H  1, 1  

  1, 3 

0 H  0, 1   3

1  0 

0  1  1   0    



H  0, 1  

  1, 0 

Gráficamente:

y ( -1 , 3 ) ( 0, 3 )

y H

( 1, 1 ) ( 0, 1 )

0

x ( 1, 0 )

( -1 , 0 )

0

x

Como podemos darnos cuenta, el orden en que se aplican las transformaciones sí modifica el resultado que se obtiene, lo cual era de esperarse pues la composición de transformaciones lineales, en general no es conmutativa. 72


Valores y vectores característicos (valores y vectores propios)

A las transformaciones lineales que se aplican de un espacio vectorial V al mismo espacio V , se les conoce como operadores lineales

T : V V Para este tipo de transformaciones pueden existir vectores diferentes de cero que tienen la siguiente característica:

T  v   v Donde v  V V .

y  es un escalar perteneciente al campo de definición del espacio

El concepto anterior se puede definir formalmente de la siguiente manera. Definición Sea V un espacio vectorial de dimensión finita definido sobre un campo

K y sea

T : V  V un operador lineal para el cual: T  v   v

con

v

0

donde  es un escalar perteneciente a K . Al escalar  se le llama valor característico de T y al vector

v , diferente de cero, se le conoce como vector

característico de T correspondiente al valor  . El vector característico tiene que ser diferente característico  sí puede tomar el valor de cero.

de

cero,

pero

el

valor

Algunos autores llaman al valor característico valor propio y al vector característico le llaman vector propio.

73


Propiedades de los valores y vectores característicos

1.

Los vectores característicos asociados a valores característicos distintos son linealmente independientes.

2.

Si v es un vector característico asociado a un valor característico  , entonces

 v es también un vector característico asociado a  ,    K y  3.

Si u y v son dos vectores característicos asociados a  y entonces u  v es un vector característico asociado  .

u

 0.  v

,

Espacio característico

Al conjunto formado por todos los vectores característicos asociados a un valor característico  , al cual se le agrega el vector cero, se le llama espacio característico y se representa con E    .

EJERCICIO 2.10 Sea P

el espacio de polinomios de grado menor o igual a dos

sobre el campo real y sea T : P  P el operador lineal definido por:

T  f

 x  

 f

x

 f"x x f 'x ;

 f

x P

a)

Obtenga los valores y vectores característicos de T .

b)

Determine los espacios característicos asociados a cada valor característico.

74


SOLUCIÓN: a)

Expresemos primero la regla de correspondencia de T de la siguiente manera: Sea f

 x   ax2  bx  c

un polinomio cualquiera del espacio P .

Se tiene

que:

x

 ax2  bx  c

Si

f



f '  x   2a x  b f "  x   2a

sustituyendo en la definición de la regla de correspondencia dada, tenemos:

T  a x2  bx  c    a x2  bx  c  

 2a 

 x  2a x  b 

simplificando:

T  a x 2  b x  c   a x 2  b x  c  2a  2a x 2  b x T  a x 2  b x  c   3a x 2  2 b x   2 a  c  Con la finalidad de simplificar el procedimiento aplicaremos el concepto de isomorfismo. Como el espacio vectorial P es de dimensión tres, entonces es isomorfo con con lo cual se aplicarán los siguientes isomorfismos:

h

ax

h 1



2

 bx  c  



a , b, c 

a , b, c   a x 2  b x  c

de acuerdo con esto, la regla de correspondencia del operador T queda:

T  a , b , c    3a , 2 b , 2 a  c 

75

3

,


Obteniendo la matriz asociada a T referida a las bases canónicas, tenemos:

T  1, 0, 0  

 3,

0, 2 

T  0, 1, 0  

 0,

2, 0 

T  0, 0, 1  

 0,

0, 1 

de donde la matriz asociada a T es:

M

T 

3 0 0    0 2 0  A    2 0 1 

Obteniendo el polinomio característico, se tiene:

3

0

0

0

2 

0

2

0

1 

Det  A   I  



 3     2    1  

con lo cual el polinomio característico en forma factorizada es:

P





 3   2  1

los valores característicos son:

1  3 2  2 3  1

Obteniendo

 A   

los

vectores

característicos

haciendo

uso

de

u  0 , tenemos:

3 0 2

x 0     2 0 y    0      0  0 1    z  0

0

76

(1)

la

expresión


Para  1  3 , sustituyendo en (1) y por igualdad de matrices, se tiene:

00   y 0    2 z  0   2 x

y0 xz

Si hacemos z  k 1 , entonces:

x  k1 con lo cual se tiene:

v  1

B

  k 1 , 0, k 1 

siendo B la base con la cual se obtuvo la matriz asociada a la transformación pero del espacio

P . Aplicando h 1 a los elementos de la base canónica,

tenemos:

h 1  1, 0, 0   x 2 h 1  0, 1, 0   x h 1  0, 0, 1   1



La base B es:

B   x 2 , x , 1

Con la base B y el vector de coordenadas de v 1 , se tiene:

v1  k1 x 2  k1 vectores característicos asociados a  1

77

con

k1

0


Para  2  2 se tiene:

 0  x  0  0   2x  z  0 

Como



x  0



z  0

y no figura en el sistema de ecuaciones, entonces

cualquier valor, esto es:

y  k2

si entonces:

v  2

B

  0, k 2 , 0 

Con lo cual los vectores característicos asociados a  2 son:

v2  k2 x

con

k2

0

Para  3  1 se tiene:

 0  2x  y  0    0  2 x entonces:



x 0

 z  k3

y0

v  3

B

  0, 0, k 3 

de donde los vectores característicos asociados a  3 son:

v3  k3

con

78

k3

0

y

puede tomar


b)

De acuerdo con los resultados obtenidos en el inciso anterior, se tiene que los espacios característicos son:

k E     k E     k E  1  

1

x2  k1 k1 

2

2

x k2 

3

3

k3 



 

EJERCICIO 2.11 Para el operador lineal T : M  M donde:

  M    

a b b c  

a , b, c 

    

y cuya regla de correspondencia es:

 x T    y

y    3x  y  5z   z    x  3 y  5 z

x  3 y  5z  x ;   y 2z  

y M z 

obtenga los valores, vectores y espacios característicos de T . SOLUCIÓN: Como el espacio vectorial

M es de dimensión tres, entonces se emplearán los

siguientes isomorfismos:

 a b  f     b c    f

1



 a,

 a,

b, c 

a b b, c     b c

Con lo cual la regla de correspondencia de T queda:

T  x, y, z    3x  y  5z, x  3 y  5z, 2 z  ; 79



 x, y, z  

3


Obteniendo la matriz asociada a T referida a las bases canónicas, tenemos:

T  1, 0, 0    3, 1, 0  T  0, 1, 0    1, 3, 0  T  0, 0, 1  

  5,

 5, 2 

entonces la matriz asociada a T es:

M T



3  1   0

1 5  3 5   A  0 2 

con lo cual el polinomio característico se obtiene a partir de:

Det  A   I 

1  3   1 3  0  0

Det  A   I  

5

 5    2   

 2      3   

2

 1  

 3    3    2      2   

 2     2  6   8 

factorizando se tiene:

Det  A   I    2       2     4  entonces los valores característicos son:

1  2 2  2 3  4

80


como

A

 



u  0 es:

1 3  1 3  0  0

5

 5   2   

 x  0  y   0      z   0 

(1)

los vectores característicos se obtienen a partir del siguiente procedimiento: Para  1   2  2 , sustituyendo en (1) tenemos:

 1 1 5   x   0   1 1 5   y    0        0   z   0   0 0 con lo cual se llega al sistema de ecuaciones:

 x  y  5z  0   x  y  5z  0  0  0  al escalonarlo se obtiene:

 x  y  5z  0  0  0   0  0  Se trata de un sistema de ecuaciones compatible indeterminado con dos grados de libertad, entonces:

Si

y 

k1

y

z 

k2



x   k1  5 k 2

81



v  1

B



 k

1

 5k 2 , k1 , k 2



como la base B es:

 B   

1 0 0 1 0 0  0 0 , 1 0 , 0 1        

Esta base se obtiene al aplicar f

1

a los elementos de la base canónica, que es la

base con la cual se obtuvo M  T  .

v 1 y la base B , entonces los vectores

Conocido el vector de coordenadas de característicos asociados a  1 y  2 son:

  k1  5 k 2 v1   k1 

k1  k 2 

con

k 1 y/o k 2

Para  3  4 se tiene que:

 1  1   0

1 1 0

5  5    2 

 x  0  y   0      z   0 

de donde se llega a:

  x  y  5z  0   x  y  5z  0   2z  0 

82

0


al escalonarlo se obtiene:

 x  y  5z  0   10 z  0    2z  0  Como z  0 , entonces de la primera ecuación se obtiene:

xy si

y  k3



x  k3

con lo cual:

v    k 2

3

, k 3, 0 

entonces, de la misma forma como se procedió en el caso anterior, se llega a:

k3 v2    k 3

k3   0 

con

k3

0

vectores característicos asociados a  3  4 . Finalmente, se tiene que los espacios característicos son:

E



1



      

 k 1  5 k 2  k1 

 

      

k3   k 3

y 2

E

3

k3   0 

k1   k 2 

k3

k1 y k

2



     

     

Obsérvese que el espacio característico asociado a  1 y  2 es de dimensión dos. 83


Matrices similares Se tiene que dos matrices A y B de orden no singular C , tal que:

n x n son similares, si existe una matriz

B  C 1 AC Teorema: Dos matrices representan al mismo operador lineal, si y sólo si, son similares.

Propiedades de las matrices similares

 A

 Det  B  .

1.

Si A y B son matrices similares, entonces Det

2.

Dos matrices similares tienen el mismo polinomio característico y, por lo tanto, los mismos valores característicos.

Diagonalización Si V es un espacio vectorial de dimensión n y T : V  V es un operador lineal, entonces existe una matriz diagonal asociada a T , cuando se puede definir una base de V formada por vectores característicos de T . La matriz asociada a T referida a esta base, es una matriz diagonal D cuyos elementos d ii son los valores característicos de T .

Teorema Sea A de n x n una matriz asociada a un operador lineal T . La matriz A será similar a una matriz diagonal D , si y sólo si, existe un conjunto linealmente independiente formado por n vectores característicos de T . Para este caso, existe una matriz no singular P , para la cual se cumple que D  P 1 AP , P tiene como columnas a los n vectores característicos de T donde correspondientes a los valores característicos d ii que definen a la matriz diagonal D .

84


EJERCICIO 2.12 Para el operador lineal T :

T  x, y, z  

 x,

3



3

definido por:

5x  2 y  2 z, x  3z  ; 

a)

Obtenga los valores y vectores característicos de T.

b)

Determine los espacios característicos de T.

c)

Defina una matriz diagonalizadora P.

d)

Compruebe que D  P

1

 x, y, z  

3

AP .

SOLUCIÓN: a)

Obtengamos primero la matriz asociada al operador T referida a la base canónica de

3

.

T  1, 0, 0    1, 5, 1  T  0, 1, 0  

 0,

2, 0  

T  0, 0, 1  

 0,

 2, 3 

0 1 0 M T    5 2  2   A 1 0 3  

de donde el polinomio característico se obtiene con:

Det  A   I 

0  1    5 2  0  1

 2    3    0

por lo tanto, los valores característicos son:

1  1 2  2 3  3

85

1     2     3   


Obteniendo los vectores característicos, tenemos: Para  1  1 se tiene:

0  5   1

0  2   2 

0 1 0

 x  0      y   0      z   0 

si

z  k1



x  2k1



 v 1    2 k 1 , 12 k 1 , k 1

y  12 k 1 Para

 5x  y  2z  0     2z  0  x





con k 1

x  2z

0

vectores característicos asociados a λ 1

 2  2 se tiene:  1   5   1

0 0 0

0  2   1 

 x  0     y   0     z   0

    



 x  0    5x  2z  0   x  z  0


x  0 y  k2 z  0 Para



v2 

 0,

k2, 0



con k 2

0

vectores característicos asociados a λ 2

 3  3 se tiene:

0  2 0  5 1  2     1 0 0 

 x  0  y   0      z   0 

 2x  0    5x  y  2 z  0  x  0 



 y  2z


x  0 y   2k 3 z  k3



v3 

 0,

 2k 3 , k 3



con k 3

 0

vectores característicos asociados a λ

86

3


b)

c)

Los espacios característicos son:

   2 k , 12 k , k  k       0, k , 0  k       0,  2 k , k  k  



 





2





3

1



1

1

1

2

1

2

3

3

3

En forma general la matriz P es:

 2 k 1 0   P   12 k 1 k 2   k1 0  si se hace que:

   2 k 3   k 3  0

k1  1 k2  2 k 3  1

entonces una matriz diagonalizadora sería:

 2  P   12    1

0   2     1 

0 2 0

cuya inversa es:

P

1

 1  1   7 2     1

87

0 1 0

0   2     2 


d)

Sustituyendo tenemos que:

 1  1  D  7 2     1

0 1 0

0  2    2 

1  5    1

 2   12    1

0   2    3 

0 2 0

desarrollando los productos se tiene:

 1  1  D  7 2     1

0   2   2 

0 1 0

D 

2   0   0

1 2

 2    12   1

0 4 0

0 4 0

0   0  6 

de donde:

1  D  0    0

88

0 2 0

0   0    3 

0   6   3 

0 2 0

0   2     1 


EJERCICIO 2.13 Para el operador lineal T : P2  P2 donde:

P2   a x 2  b x  c a , b , c 



definido por:

T  a x 2  b x  c    a  2c  x 2   2a  4c  ;

 a x 2  b x  c  P2

a)

Determine si la matriz que representa al operador T es diagonalizable,

b)

en caso afirmativo, obtener una matriz diagonal D asociada a T , y

c)

determine una base a la cual está referida la matriz diagonal D del inciso anterior.

SOLUCIÓN: Con el fin de simplificar el procedimiento se emplearán los siguientes isomorfismos:

f f

ax 1



2

 bx  c  

a, b, c





a, b, c



 ax2  bx  c

De esta forma, la regla de correspondencia del operador T es:

T  a , b , c    a  2 c , 0,  2 a  4 c  ;

a)

  a , b, c  

3

Obteniendo los valores y vectores característicos, tenemos:

T  1, 0, 0    1, 0,  2  T  0, 1, 0  

 0,

T  0, 0, 1  

  2,

 1 0 2  M T    0 0 0  A  2 0 4  

0, 0   0, 4 

89


El polinomio característico viene dado por:

Det  A   I 

 1     0    2

2

  0    4   

0  0

 1        4     4

P        4    4   2   4  P      3  5 2  4   4  P      3  5 2  2       Por lo que los valores característicos son:

1  0 2  0 3  5 Obteniendo los vectores característicos, tenemos: Para  1   2  0 se tiene:

 1   0    2

0 0 0

2   0   4 

 x  0     y   0     z   0

     

 x  2z  0  0  0     2 x  4 z  0

al escalonar el sistema se reduce a:

 x  2z  0



x  2z

Se trata de un sistema compatible indeterminado con dos grados de libertad, con lo cual se tiene que su solución general es:

si

z  k1

con

y  k2

 x  2 k1

90


con lo cual los vectores característicos asociados a  1 y



v1  2 k1, k 2 , k1 Para

 4    0    2



k1

con

0

 2 son:

y/o

k2

0

k 3  5 se tiene: 0 5 0

2    0  1 

 x  0          y   0      z   0 



 2z  0   4x    5y  0    z  0   2x



y  0

al escalonar el sistema se llega a:

 2x  z  0    y  0 

 z  2 x

Obteniendo la solución general tenemos: Si

x  k3



z   2k3

con

y0  3 son:

por lo que los vectores característicos asociados a

v3 

k

3

, 0 , 2 k 3



 0

con k 3

Obsérvese que el espacio característico asociado a  1 y

 2 es de dimensión dos,

por lo que una base de dicho espacio sería:

B 

  2,

0, 1 ,

91

 0,

1, 0




Los elementos de esta base son vectores característicos asociados a  1 y

 2.

Para el caso de v 3 un vector característico es:

 1,

0, 2



P está formada con los vectores característicos

Como la matriz diagonalizadora

dispuestos en forma de columna, entonces tenemos que:

2  P 0   1 Si P es no singular, esto es, si existe P

0 1 0 1

1  0   2 

, entonces la matriz A es diagonalizable.

Dado que:

Det  P  

entonces:

Det  P 

0

2

0

1

0

1

0

1

0

2



P 1

 5

existe

con lo cual podemos asegurar que A es diagonalizable. Tenemos que los valores y vectores característicos del operador original T , aplicando

f

1

, son:

Para

1   2  0

 v 1  2 k 1 x 2  k 2 x  k 1 con k 1  0 y / o k 2  0

Para

1  5

 v3  k 3 x2  2 k 3

92

con k 3  0


b)

Con esta matriz P y empleando la expresión D  P

1

AP se llega a que la

matriz D es:

0  D  0   0 c)

0  0  5 

0 0 0

Una base a la cual está referida la matriz característicos obtenidos, esto es:

f f f



D es la formada por los vectores

1



2, 0, 1



 2 x2  1

1



0 , 1, 0





1

La base solicitada es

 1,

0, 2

B 



 x2

 2 x 2  1,

93

x  2

x, x2  2





T  x, y, z  

2.





3

definida por:

y  2 z, y  z, x  2 y  3z  ;



 x,

y, z  

3

a)


b)

Obtenga el recorrido y el núcleo de T y la dimensión de ambos.

c)

Verifique que se cumple que la dimensión del dominio es igual a la dimensión del recorrido más la dimensión del núcleo.

d)

Obtenga

T

3T 1 

 x,

y, z  .

Sea la transformación T : M  3 , donde M es el espacio de matrices cuadradas de orden dos con elementos reales, tal que:

 a b T     c d   

3.

3

Sea la transformación T :

    

 a  b  c,

ad, bcd

a)


b)

Obtenga el núcleo de T y su dimensión.

c)

Determine el recorrido de T y su dimensión.



;

a b   M c d  

Sean V y W los espacios vectoriales

V 

ax  b

a, b



y

W

 a x2  bx  c

Si la transformación lineal T : V  W se define por:

T

 P x   

x P x  94

;

 P x   V

a, b, c




obtenga la matriz asociada a T referida a las bases:

4.

A

 x , 1

B 

x

2

del dominio.

 2 x 1, 9 x  2, 4 x 2  3 x  3  del codominio.

Dadas las transformaciones lineales

T:

2



2

definida por

T

 x, y 

   y, x 6 y 

S:

2



2

definida por

S

 x, y 

  2 x 7 y, 9 x  y 

H:

2



2

definida por

H

 x, y 



determine las componentes del vector u 

 T 1 5.



2

 x2y,

2x y 

tal que:

S  3 H   u   8,  3 

Sean las transformaciones lineales 2



2



2

,

S  x, y  



2x  y, x  y  ;

 x, y 





y, x

 x, y 

 x    0

S:

T:

2

H:

y

2

 M

definidas por:

T H

donde

   x M      0 

0   y 



;

0   ; y 

x, y 





x, y





2





x, y





2





x, y





2

    

Determine la regla de correspondencia de la transformación Q , tal que:

3S  T  Q 95

H


6.

Sean los espacios vectoriales

 a x 2  bx c

P2 

ambos

definidos



a , b, c 

sobre

  y M    

el campo

a   b

b  a , b, c  c 

real, y sea

la

    

transformación

lineal

T : P2  M definida por:



T ax 2  bx c

ac

3b   a  c 



 3 b

 a x 2  bx  c  P2

;

Obtenga la regla de correspondencia de T 1 .

7.

Sea

la

región

definida

por

los

 0 , 0  ,  1, 0  ,  1, 1  ,  0, 1  .

puntos

Determine el efecto geométrico que produce: a)

El realizar primero una reflexión con respecto al origen y después una contracción vertical con k 

b)

8.

1 . 2

El realizar primero una deformación a lo largo del eje x con k  1 y después una reflexión sobre el eje y .

Sean A 

u

1



y B 

u1 

 2, 1 

, u2

 v1 ,

2

 T

2

 u1 



dos bases de

2

, donde:

v 1   1,  2 

u 2   1,  1  y sea T :

v2

v 2   0, 1 

una transformación lineal, tal que:

 2 v1  v 2

y

T

 u2 

v1  v2

Determine: a)

Los valores y vectores característicos de T .

b)

Los espacios característicos asociados a cada valor característico. 96


9.

Sea la matriz:

M T



 2    2   0

0 1 0

0  2  2 

la representación matricial del operador lineal T : canónica.

3



3

, referida a la base

a)

Obtenga los espacios característicos asociados a los valores característicos del operador T .

b)

Determine si T es diagonalizable.

c)

En caso de resultar afirmativo el inciso anterior, obtenga la matriz diagonal asociada a T y una base a la cual esté referida.

10. Sea T :

3



3

un operador lineal definido por:

T  x, y, z    4 x  z, 2 x  3 y  2 z, x  4 z  ;





x, y, z





3

a)

Obtenga los espacios característicos asociados a los valores característicos del operador T .

b)

Determine si T es diagonalizable.

c)

En caso de resultar afirmativo el inciso anterior, obtenga una matriz diagonalizadora P .

d)

Compruebe que se cumple la expresión P obtenida en el inciso anterior.

e)

Dé una base de

3

D  P 1 AP

con la matriz

para la cual la matriz asociada a T es diagonal.

97



a)

T es lineal.

b)

Como la Dim R  T

  3 , esto implica que el recorrido de

N  T     0, 0, 0  

2.

c)

Si se cumple.

d)

T

a)

T es lineal.

3T 1 

 x,

b)

N T



   d     c 

c)

R T





3.

M T

4.

u 

5.

  x Q    0  

6.

T

1



  a,

 21    3    5

  4,

 a    b  

 Dim N  T   0

y, z    3x, 3 y, 3z  .

    Dim N  T  

 c d   c, d  d  a  b , b a , b 



 Dim R  T

8   1    2 

1 

0   y 

    

b  c 

T es

 6x  2 y ,

4x  3y



  ac  ac  b     x2   x      2  2  3   98





 2

 2

3

.


7.

a) y

0, 1

y

T

1, 1  1 , 0 

0

1, 0 

x

0

x

0,  1    2  

1,  1    2  

b) T y

 0,

1



0

y

 1,

 1,

1

0







x

2, 1







99

1, 0

1, 1





x 0


8.

a)

1   2  1 v 1, 2 

9.

 0,

k



b)

E

 

a)

E

     k

E

 3

1, 2

  0,



1, 2



k

k3 , 0

b)

T sí es diagonalizable.

c)

2  D  0   0 B 

10. a)

0



  3

  k 

k

1

3

c)

 1  P   1   1

e)

B 

  1,

0



k1 y k 2 





k3 

2, 1 ,

, 2k3 , k3

T sí es diagonalizable.

1



, k 2 ,  k1

b)

0



k 

0  0  1 

  1,  2 , 0  ,  0 ,

E  1, 2 E

2



0

,  2 k1  2 k 2 , k 2

1

  0,

0

k

con





 0,

1, 0



k1 y k 2  k3 





1  2  1 

1, 1  ,

 0,

1, 0  ,

vectores característicos.

100

 1,

2, 1



base

formada

por

CAPÍTULO 3 ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

Producto interno

Sea V

un espacio vectorial sobre un campo de definición complejo. Un producto

interno es una función de V x V en

u

u y v de V un escalar

v

que asocia a cada pareja de vectores



, llamado el producto interno de u y v ,

que satisface los siguientes axiomas: 1.

u

v



2.

u

v  w  u v

3.

 u

4.

u

u

v



v





 0

u

   u

 u v

w



u0

si

Propiedades del producto interno

Sean u ,

v

y w vectores de un espacio V sobre



sea

.

1.



2.

u

u



3.

0

u

  u

0

4.

u

u

0

si y sólo si

5.

u

v w 

u v



 

u



v



0

u

v

  u

u 0

w

103

con producto interno y


EJERCICIO 3.1 intervalo

Sea F el espacio vectorial

 0, 1  .

de las funciones continuas en el

Determine si la función:

f



g 

1

et f  t  g  t  d t ;

 f, g F

0

es un producto interno. SOLUCIÓN: Para determinar si la función dada es un producto interno, se deberá demostrar el cumplimiento de los cuatro axiomas de la definición.



1)

f

g

g

f



Esto es:



1

e f t  g t  dt  t

0



1

et g  t  f

t dt

0

como el producto de funciones es conmutativo, entonces se cumple la propiedad.



2)

f

g h



g 

f



f h

De donde:



1 0

 e t f  t



0



gt  dt  e f t

1

e f  t   g  t   h  t   d t  t

t



h  t  d t  



1

e f t t



gt  dt 

0



1

e f t t



gt dt 

0



1

et f  t

 ht dt

et f  t

 ht  dt

0



1 0

como la integral de una suma es igual a la suma de las integrales, se tiene:



1

e f t  g t  d t  t

0





1

e f t  h t  d t  t

0

cumple.

104



1

e f t  g t  d t  t

0



1 0

e t f t  h t  d t


f

3)

g   f

g

Entonces



1

e   f  t   g  t  d t   t

0



1

et f t  g t  d t

0

por propiedades de las integrales se tiene:





1

e f t  g t  d t   t

0

 4)



f

f



 0

f

si



1


0

cumple

0

axioma conocido como positividad.

De donde se tiene que:

 

1

et f t  f t  d t  0

0

1

e t  f  t  

2

dt  0

0

y la función  f  t   también es elevada al cuadrado, entonces la gráfica de la 2

Como e t es una función positiva  t  positiva  t  función

por

e t  f  t  

2

estar

se encuentra por arriba del eje de las abscisas y en

consecuencia el área bajo la curva en el intervalo

 0,

1



siempre será positiva,

por lo tanto se cumple el axioma de la positividad, con lo cual, podemos afirmar que la función:



1


0

es un producto interno.

105


EJERCICIO 3.2 En el espacio vectorial

 b   a W    a, b  a  b 2 a     sobre

u

    

se define la función:

b   a ; u    , a  b 2 a  

  ac  2 ad  2 bc  4 bd

v

 c v   cd

d  W 2 c 

Considerando que se cumplen:

u

v  w 

 u u

determine si

v



v



u

v

  u

 u v



w

;

 

;

 u, v, w W y  u, v  W

es un producto interno en W .

SOLUCIÓN: Dado que se da por hecho que se cumplen dos de los cuatro axiomas, entonces sólo resta comprobar el cumplimiento de los restantes (simetría y positividad). Simetría:

u

v

  v

u



Dado que el campo de definición son los reales, entonces el conjugado no tiene ningún efecto, por lo que la propiedad a demostrar es:

u

v

  v

u



;

b   a  c  u   , v    cd  a b 2a  

d  W 2 c 

esto es:

  a b   c       a  b 2a   c  d

d  2 c 

   c       cd

d   a b    2 c   a  b 2 a 

ac  2 a d  2 bc  4 b d  c a  2 cb  2 d a  4 d b 106

  


dada la conmutatividad del producto de reales, tenemos:

ac  2 a d  2 bc  4 bd  ac  2 a d  2 bc  4 bd



cumple

Positividad:

u

u

0

si u

0

esto es:

  a b  a b      a  b 2 a    0 a  b 2 a       de donde se tiene:

a 2  2 ab  2 ab  4 b2  0 a 2  4 ab  4 b2  0

 a  2b 

2

 0

cuando a  2 b entonces a  2 b  0 , por lo que podemos concluir que este axioma no se cumple, por lo tanto:

u

v



 ac  2 a d  2 bc  4 bd

no es un producto interno. Norma de un vector Sea V un espacio vectorial sobre un campo de definición complejo, en el cual se define un producto interno. La norma del vector v  V , denotada por define como:

v

 v v

107



1 2

v , se


Propiedades de la norma Sea V un espacio vectorial con producto interno.

 u, v V 1.

v

2.

v

3.

u v



y

 0

v

y

 

, se tiene que:

 0 si y sólo si

v  0

v



 v

u

Vectores unitarios Si

v

 1 , entonces al vector v se le llama vector unitario. Si v es un vector

diferente de cero, entonces el vector unitario se obtiene como:

   

  v  

1 v

Desigualdad de Cauchy - Schwarz Sea V un espacio vectorial sobre

, en el cual se define un producto interno.

 u, v V

u Donde

u

v



v



es el módulo de

2

u

La igualdad se cumple, si y sólo si, u

u



v

u

 v

v



.

y

108

v son vectores linealmente dependientes.


Distancia entre vectores Sean u

y v dos vectores de un espacio V con producto interno. Se define como

distancia de u

a v , y se denota con d  u , v

d u, v







al número definido por:

v u

Propiedades de la distancia entre vectores Sea V

un espacio con producto interno.

La distancia entre vectores tiene las

siguientes propiedades:

u, v  d u, v  d u, v  d u, w

1. d

 0

2.

 0

3. 4.

u  v

si y sólo si

 d v, u  d u,

 v 

 d v, w

Ángulo entre vectores Sean u

y v

dos vectores no nulos de un espacio vectorial V sobre

producto interno. El ángulo entre los vectores

cos θ =

u v u

con

u y v está dado por la expresión:

donde

0  θ  π

v

Si el campo de definición de V es por:

, entonces el ángulo entre u

cos θ =

R u v u

donde R  u v  representa la parte real de

109

v

 u v .

y v está dado


Vectores ortogonales Sea V un espacio vectorial con producto interno. Dos vectores ortogonales si:

u

v

u, v V

son

0


P2 

 ax

2

 b x  c a , b, c 



donde se define el producto interno:

f a)

Calcule

la

g   f  1  g  1   f  0  g  0  ;  f , g  P2 distancia

y

el

ángulo

entre

q  x    2 x  1. b)

Si

f  x.

SOLUCIÓN: Sabemos que la distancia viene dada por:

d

 p,

q  q p

se tiene que:

q x  p  x  x2  2x  2 Si

polinomios p  x   x 2  1 y

f  x   2 x  1, determine un polinomio distinto del polinomio nulo, que sea

ortogonal a

a)

los

h x  q  x  p  x  x2  2x  2

110


entonces

hx



 hx

hx



1 2

1

  h  1  h  1   h  0  h  0   2     1    1    hx



1 4 

 2   2  

1 2

1 2

5

por lo que la distancia entre los polinomios p  x  y q  x  es:

d  p, q  

5 u

Calculando el ángulo entre los polinomios p  x  y q  x  , tenemos:

p x





p x p x



1 2

  p  1  p  1   p  0  p  0      0   0   

1 1

111

  1    1  

1 2

1 2




p x

qx

 1



 qx

qx



1 2

  q  1  q  1   q  0  q  0  

1 2

1

    1    1    1   1   2



qx



2



2

además, se tiene que:

 p x 

q x

 

 p x

q x



p 1  q  1   p  0  q  0 

 0   1 



 1   1 

1

Como el ángulo entre los polinomios viene dado por:

cos θ =

 p x  p x 

q x 



q x 

112


entonces

cos θ =

1

1 

2

 θ  cos 1    

 b)

  2 

1

θ  135

Se pide determinar un polinomio g  x  Si hacemos:



0

que sea ortogonal a f

g  x  ax2  bx  c

x.

(1)

entonces se debe cumplir que:

 f x esto es:

g x



 0

f 1 g 1  f  0  g  0   0

 3  a  b  c 

 1  c   0

3a  3b  3 c  c  0 3a  3b  4 c  0 de donde:

4 c   3a  3b 

c  

3 3 a  b 4 4

sustituyendo c en (1) tenemos si hacemos que: a  0

y

3   3 g  x   ax2  bx    a  b 4   4

b  4 , entonces

este polinomio g  x  resulta ser ortogonal a Evidentemente la solución no es única. 113

g  x  4x  3

f x.


EJERCICIO 3.4 Sea F el espacio de funciones reales de variable real, donde se define el producto interno:



f

Para las funciones f



g

t





1

f t gt dt ;

 f, g  F

0

gt   t2 :

 t 1 y

a)

Obtenga un vector unitario a partir de la función

b)

determine si f y

c)

verifique la desigualdad de Cauchy – Schwarz.

f,

g son ortogonales, y

SOLUCIÓN: a)

f , tenemos:

Calculando la norma de la función



f

f







1



f t f t dt 

0

  t 1  3   3 

  

1

 0

2 3

1

 t 1   t 1  d t



0

3

1 8 1 7    3 3 3 3



entonces:

f



7 3

por lo que el vector unitario pedido será:

f t f t



t 1 7 3

114



3 t  7

3 7



1 0

 t 1 

2

dt


b)

f y g son ortogonales, entonces se debe cumplir que:

Si



f

t  dt 



g

0

entonces



f



g





1

 t 1 

2

0

1

 t4 t3  t  t  dt   4  3    3

0

1

2

0

1  7  1      0  3  12  4 como

c)



f

g



 0 , entonces f y g no son ortogonales.

La desigualdad de Cauchy – Schwarz establece que:



f

g



2





f

como en los incisos anteriores ya se obtuvo falta calcular





g g .

g g







1

t   t  dt 2

2

0





f

g

g



f

g



y





1

t 0

4

f

f

 t5  dt     5 

 , entonces sólo 1

 0

1 5

sustituyendo en la desigualdad, tenemos:

7 12

2

 7   1        3   5 

49 7  144 15



se verifica la desigualdad de Cauchy – Schwarz.

115


Conjuntos ortogonales y ortonormales

Sea V un espacio vectorial con producto interno y sea un subconjunto de V . Se dice que A

v

i

v

j

A

v

1

, v2,

, vn



es un conjunto ortogonal cuando:

0

;

i  j

Si cada vector del conjunto A tiene norma igual a uno, entonces al conjunto A se le llama conjunto ortonormal. Es importante destacar que todo conjunto de vectores ortogonales no nulos, es linealmente independiente.

Coordenadas de un vector con respecto a una base ortogonal y respecto a una base ortonormal Sea V un espacio vectorial con producto interno y sea B  base ortogonal de Si

v

1

, v2 ,

, vn



una

V.

a  V y se tiene que: a  1 v 1   2 v 2 

 n vn

entonces los escalares α i vienen dados por la expresión:

a v

αi 

i

vi vi

 

Si los vectores de la base B fueran vectores unitarios, es decir, si B fuese una base ortonormal, entonces las coordenadas del vector a respecto a la base B vendrían dadas por:

ya que

v

i

vi

1

αi 

a

116

vi




Proceso de ortogonalización de Gram - Schmidt

, bn

 una base

es una base ortogonal del espacio V ,

entonces

Sea V un espacio con producto interno y sea

Bort 

v

b

1

, b2 ,

V.

cualquiera de

Si

B 

1

, v2 ,

, vn



sus elementos vienen dados por:

v 1  b1 v 2  b2 

b v

2

v1

1

v1

 

v1

. . . v i  bi 

b  v i 1

k 1

para i  1 , 2 ,




x y



vk

k

vk

 

2

se tiene el producto interno:

1    1,   de 3   117

vk

, n

 x1 y 1  3 x 2 y 2 ;   x1 , x 2

1   1 ,  , 2   2

y la base A   

i

2

,  .

y1 , y 2



2


a)

Determine si la base A es ortonormal.

b)

En caso de resultar negativo el inciso anterior, obtenga una base ortonormal a partir de A .

c)

Obtenga las coordenadas del vector u 

 3,

1



en la base ortonormal

propuesta. SOLUCIÓN: a)

Determinemos primero si la base A es ortogonal:

  1 1   1   1 1 1  1   3   ,    1,        0 2   3   2 2 2  6    2

 A

es una base ortogonal

Calculando la norma de los vectores de A para determinar si es una base ortonormal, tenemos:

1   1  ,   2   2

  1 1   1 1      ,    ,    2   2 2     2 3   1     4   4

1 2

 1

1 2

1 2

1

el primer vector de A es unitario.

1    1,  3  

  1   1      1,   1,   3   3       1     1 3     9   

1    1,  3  



1 2

1 2

1

 4 2     3 

2 3

como el segundo vector de A no es unitario, entonces A no es una base ortonormal. 118


b)

Una base ortonormal sería:

 1   1 B    ,  , 2    2

3  1   1 ,   2  3  

esto es:

  3 1   1 B   ,   ,  ,  2 2 2      c)

Las coordenadas del vector u 

 α =    β =   

 3,

 3,

 3,

3 6

  

    

1  serán:

1   3  1  1  1   ,   3      3 2   2  2  2   3 ,   2

1 

3 6

  

  3  3 3    3   6   2   

3

con lo cual, el vector de coordenadas de u referido a la base B , es:

 u B



 3,

3




 a 0 M    a, b  0 b    

    

se define el producto interno:



A B



 tr



AB



119

;

 A, B  M


Obtenga, mediante el método de Gram – Schmidt, una base ortonormal de M a partir del conjunto:

0  1 G    ,   0 1 

 0 0  1 0   0 1 ,  0 1      

SOLUCIÓN: Como puede apreciarse fácilmente, el espacio vectorial M es de dimensión dos, por lo que, cualquiera de sus bases deberá contener únicamente dos vectores.

Como el

conjunto G contiene tres elementos, entonces podemos asegurar que

G es un

conjunto linealmente dependiente y por lo tanto no es una base de M .

En el enunciado del ejercicio nos piden obtener una base ortonormal de M a partir del conjunto G , entonces apliquemos el método de Gram–Schmidt directamente al conjunto G y veamos lo que sucede. Si consideramos que:

G 

b

1

, b2 , b3



entonces, aplicando el método de Gram – Schmidt, tenemos:

v 1  b1 esto es:

0 1 v1     0 1  además:

v 2  b2 

b v

2

v1

1

v1

120

 

v1

(1)


desarrollando tenemos:





b

2

v1

    0

b

2

v1

  1

 



v1 v1

v

1

0 1 

0

v1



 0 0    tr     1    0

1 0 

 1  1 0 1 0      tr         0 1   0 1    0  

0     1  

0   1  

2

sustituyendo en (1) tenemos:



0 v2   0

0 0 1  1  1  2  0  1 

0 v2   0

0 0 1 1    1 2  0  1 

v2

 1    2  0 

 0   1  2 

De acuerdo con el método de Gram – Schmidt, tenemos que:

v 3  b3 

b v

3

v1

1

v1

 

v1 

121

b v

3

v2

2

v2

 

v2

( 2)









b b



3

v1

    0

3

v1

0

 1 0 1 0  0   tr      1   0  1     0 1  

1



  1     0  

b

3

v2



b

3

v2

1       

 1 0  2  1   0 

 1  2   0 

v

2

v2



v

2

v2

  12

 0   1  2 

 1  2   0 

 0   1  2 

 0   1  2 

   1      tr   2    0      

 0   1  2 

   1      tr   4    0      

 0   1  4 

sustituyendo en ( 2) tenemos:

v3

 1 0 1 0 0 1 1  2      1  2  0  1  0 1 0 2 

1 0 1 0 v3       0 1 0 1 0 0

 v3    0 0 122

 0   1  2 

     

     


Como era de esperarse, la base ortogonal B vectores v 1 y v 2 , esto es:

   1 0 B    ,   0 1  

estará formada únicamente por los

  0      1   2  

 1  2   0 

base ortogonal

Calculando la norma de cada vector tenemos:

v1

como

v

1

v1



v

v1





v

1

v1



1 2

  2 , entonces: 2

Por otro lado:

v2

Como

v

2

v2

2

v2



1 2

  12 , entonces: v2



1 2

con lo cual, la base ortonormal B ' será:

  B'    

1 2

0 1  0 1  ,  

 1  2 2   0 

  0      1   2  

0 1  0 1  ,  

2 1 2  0

0 1 

o también:

  B'    

1 2

123

    



P2 

 ax

2

 b x  c a , b, c 



en el cual se define el producto interno:



f

g



A partir de la base





B 

1

f

t

gt  dt

;

1

1,

 f , g  P2

x , x 2  , empleando el método de Gram–Schmidt,

obtenga una base ortonormal del espacio P 2 .

SOLUCIÓN: Sabemos que:

v1  b1 esto es:

v1  1 v2  b2 

b v

2

v1

1

v1

 

v1

(1)

desarrollando por partes:

b

2

v1



1 1

1 x  d x 



 x2  xdx     2  1 1

1

 1

1 1   0 2 2

al sustituir este resultado en (1) tenemos que:

v2  x Se tiene que:

v3  b3 

b v

3

v1

1

v1

 

v1 

124

b v

3

v2

2

v2

 

v2

( 2)



b b v

3

3

1



v1



v2

v1









  

1

 x  1 d x 2

1

1

1



1 1 d x





1

 x3  x dx     3  1

1

2



x xdx 2

1





1

1

1

1

 x4  x dx     4  1 3

1

1

1 2  1      3 3  3

d x   x 

1 1



1

1  1      0 4  4

 1  1

 2

sustituyendo en ( 2) se tiene que:

v3  x2

2  3 2

v3  x2 

1

1 3

por lo que la base ortogonal es:

1   Bort   1, x , x 2   3   Obteniendo la norma de cada uno de los vectores de la base ortogonal, tenemos:

v1

v2



v



v

1

2

v1



v2



1 2

1 2

  x3 1      3  1  v3



v

3

v3



     

2 1



2  xxdx      1   1

1

1

2 1 2  1        3   3 

1 2

125

2 3

1



1

x2 1

2 dx   


se tiene que:

v

3

v3



1 1

 2 1  2 1   x   x  dx  3  3 



1

 4 2 2 1  x  dx  x  3 9  1 

1

 x5 2 3 1  2 1   1 2 1   1    x  x             9 9  1   5 9 9   5 9 9    5 

4 4  8       45  45  45

entonces:

v3



8 8  45 3 5

al dividir cada vector entre su norma, se tiene que la base ortonormal pedida es:

       

Bortonormal

1

x

,

2

2 3

 1  x2  3  ,  8   3 5 

simplificando se tiene:

  Bortonormal    

1

3 x, 2

,

2

5 8

 3x

2

1



    

Complemento ortogonal Sea V un espacio con producto interno y sea W un subespacio de V . Se dice que un vector v  V es ortogonal a W si se cumple que:

v

u

0

 u W

;

Al conjunto de todos los vectores de V ortogonales a W se le llama Complemento ortogonal de W y se denota con W  , esto es:

W 

v V  v

u

126



 0 ;  u W




Proyección de un vector sobre un subespacio Sea V de V .

un

espacio vectorial con producto interno y sea W

un

subespacio

Cualquier vector v  V puede expresarse en forma única como la suma de dos vectores, uno de W y el otro de W  , esto es:

v  w  w'

donde w  W

y

w' W



gráficamente:

V v

w'

w W

La proyección de v  V sobre el subespacio W viene dada por la expresión: n



w  v i 1

donde el conjunto

e

1

, e2 ,

, en

ei

e

i

 es una base ortonormal de W .

127


Teorema de proyección Sea V un espacio con producto interno y sea W proyección de un vector v  V sobre W

un subespacio de V .

La

es más próxima a v que cualquier otro

vector de W . Esto es, si w es la proyección de v sobre W , entonces:

v w



vt

;  t W

El signo de igualdad se cumple, si y sólo si, t  w .


x y sea 3

3

con producto interno definido por:

y   x1 y1  2 x2 y2  x3 y3 ;  x   x1 , x2 , x3 W 

  x,

y, z 

,

y   y1 , y2 , y3



x  2 y  z  0 con x , y , z 





3

un subespacio de

. Determine el complemento ortogonal de W .

SOLUCIÓN: Si se despeja z de la ecuación del plano, entonces el subespacio W puede ser expresado de la siguiente forma:

W 

  x,

y, x  2y 

x, y 



Una base de W es:

B  Si

consideramos

un

vector

  1, 0, 1  ,  0, 1, 2   cualquiera

u 



a, b, c



que pertenezca al

complemento ortogonal de W , entonces se debe cumplir que:

  a, b, c 

 1,

0, 1



 0

y 128

  a, b, c 



0, 1, 2



 0


Desarrollando ambos productos internos se tiene que:

ac0

... (1)

y

2b  2 c  0 , de donde bc0

... ( 2)

De (1) y ( 2) se llega a:

ac

y

bc

Por lo tanto, al sustituir en el vector u  W  , se obtiene que:

W 

 (  c,  c, c )

c



Para comprobar que se llegó al resultado correcto, se tomará un vector cualquiera de

W y otro de W  para comprobar que dichos vectores son ortogonales. Sean v  ( 1, 1, 3 )  W definido, se tiene que:

v

u

y u  (  3,  3, 3 )  W  .

Con el producto interno

   1, 1, 3  3,  3, 3    3  6  9  0

por lo tanto, v y u resultan ser ortogonales. EJERCICIO 3.9

v 

  1,

2, 6, 0 

Mediante el teorema de proyección, expresar al vector en la forma v  w 1  w 2 , donde w 1 pertenece al subespacio

W generado por los vectores u 1   1, 0, 1, 0  y u 2   0, 1, 0, 1  y w 2 es ortogonal a W . Considere como producto interno el producto escalar ordinario en

4

.

SOLUCIÓN: Una base del subespacio W es el conjunto:

B 

   1 , 0, 1, 0  ,  0 , 1, 0, 1     b 1 , b 2  129


Si efectuamos:

b

     1 , 0, 1, 0 

b2

1

 0 , 1,

0, 1 

0

con lo cual podemos afirmar que B es una base ortogonal de W . Calculando las normas de los vectores de B , tenemos:

b1 b2



b

b1





b2 b2





1

1 2

1 2



  1, 0, 1, 0 



  0, 1,

0, 1

 1,

0, 1, 0

 1

  0, 1,

0, 1

 2

1 2





2 2

Dividiendo cada vector entre su respectiva norma, tenemos que una base ortonormal de W es:


   

1

 , 0 ,  2 

  0,  

1

, 0,

2

1 2

, 0,

1 2

    

Se tiene que la proyección de v sobre W , es decir, el vector w 1 , se obtiene a partir de la expresión:

w1   v

ei

e

e  v

e2

e

2

i 1



i

desarrollando:

w1  donde los vectores

v

e1

1

(1)

2

e 1 y e 2 son los vectores de la base ortonormal de W , esto es:

 e1     

e2

   0,  

1

, 0,

2

1 2

130

, 0,

 , 0  2 

1

1 2

   


sustituyendo v , e 1 y e 2 en (1) , tenemos:

 w1        



   

 1, 2, 6, 0 

  1,

1 2

  0,  

2, 6, 0 

, 0,

1

 , 0  2 

1

, 0,

2

1 2

   

   

   

   

  0,  

1

, 0,

2

1

, 0,

2

 , 0   2 

1

1 2

   

desarrollando los productos internos tenemos:

7

w1 

2

    

1

, 0,

2

 , 0    2 

1

2 2

  0,  

1

, 0,

2

1 2

   

7  7  w 1    , 1, , 1 2  2  como v  w 1  w 2 , entonces:

w 2  v  w1 sustituyendo tenemos:

w2 



 1 , 2, 6 , 0



7  7     , 1, , 1 2  2 

5  5  w 2   , 1, , 1  2  2  por lo tanto, se tiene que:

7 5  7   5  v  w 1  w 2    , 1, , 1    , 1, ,  1   2 2  2   2  131



 1 , 2, 6 , 0




EJERCICIO 3.10 Obtenga el polinomio h  x   W que tiene la menor distancia al

 x   x2  2x 1,

polinomio g

si g

 x   P2 .

Se sabe que W es un subespacio de P 2 y que dichos espacios son:

P2 

 ax

2

 b x  c a, b c 

W 

 ax

2

 3a x a 





Considere para su desarrollo el producto interno en P 2 definido por:



p q





2

 p i  q  i 

 p  x  , q  x   P2

;

i0

SOLUCIÓN:

h  x  que se pide es la proyección del polinomio

El polinomio

g  x  sobre el

subespacio W .

h  x  necesitamos obtener una base ortonormal de W . Como W

Para calcular

es un espacio de dimensión uno, entonces una base sería:

B   x 2  3x



Calculando la norma del elemento de la base, tenemos:

x  3x 2



x

2

 3x

x  3x 2



1 2

  p  0  p  0   p  1  p  1   p  2  p  2   2   0  

 2

2



 2

de donde la base ortonormal de W es: Bortonormal

132

2

 

1 2

     



8

1

x

8

2

 3x



1 2

    


La proyección del polinomio g

x

sobre el espacio W viene dada por la expresión:

hx 

 g x

e1

e

1

donde e 1 es el elemento de la base ortonormal de W .

Sustituyendo tenemos:

 h x    



x2  2x 1



1 8



 x 2  3x    

   



1 8



   

 3x



x 2  3x

por propiedades del producto interno se tiene que:

hx 

1 8

x

2

 2x  1

x

2

 3x

  x

2

 3x



aplicando el producto interno:

hx 

1  8 

hx 

1 8

6

hx 

3 4

x

hx 

3 2 9 x  x 4 4

 1   0     2    2    1    2 

2

x

2

 3x

 3x





133



x

2


Mínimos cuadrados La solución de mínimos cuadrados v de un sistema incompatible:

Ax  y donde A es una matriz de orden m x n , satisface la ecuación normal:

AT A x  AT y y recíprocamente, cualquier solución de la ecuación normal es solución de mínimos cuadrados. Además, si el rango de la matriz A es igual a n , la solución es única y viene dada por la expresión:

v 

EJERCICIO 3.11 Para

 2, 6 

los



AT A

puntos



1

AT y

  2, 1  ,  1, 0  ,  0, 2  ,  1, 3 

y

, determine:

a)

La ecuación de la recta de mínimos cuadrados que mejor se ajuste a los puntos dados.

b)

La ecuación de la curva de mínimos cuadrados de segundo grado que mejor se ajuste a dichos puntos.

c)

Cuál de las dos opciones presenta el menor error. Considere al producto escalar 2 ordinario en como producto interno.

SOLUCIÓN: a)

Consideremos que la ecuación de la recta buscada es de la forma:

y  mx  b Al sustituir las coordenadas de los puntos dados en la ecuación de la recta, se genera el siguiente sistema de ecuaciones: 134


   S1 :    

2m m 0m m 2m

    

    

b b b b b

1 0 2 3 6

Si se expresa matricialmente este sistema se tiene:

 2  1   0   1  2

1  1   m 1      b  1  1  A



      

1  0   2   3  6 

x

y

Dando lugar a la ecuación matricial A x  y , donde:

 2  1  A   0   1  2

1 1 1 1 1

    ;   

m x     b 

;

   y     

1 0 2 3 6

      

Se sabe que toda solución de mínimos cuadrados satisface a la ecuación normal:

AT A x  AT y

(1)

se tiene que:

 2 T A A    1

1 1

0 1

1 1

 2  1 2   0 1    1  2 135

1 1 1 1 1

    10      0  

0 5 

(2)


Por otro lado, se tiene que:

 2 T A y    1

1 1

0 1

  2   1    

1 1

1 0 2 3 6

    13        12   

( 3)

sustituyendo ( 2 ) y ( 3 ) en ( 1 ) tenemos:

 10  0 

0 m  13    12  5   b   


10 m  13



5 b  12

m 



b 

13 10 12 5

Por lo tanto, la recta buscada tiene por ecuación:

y  b)

13 12 x  10 5

Se nos pide ajustar a un polinomio de segundo grado de la forma:

y  P  x   a x2  bx  c

( 4)

cuyos coeficientes a , b y c desconocemos y vamos a determinar. Al sustituir en la expresión ( 4) las coordenadas de los puntos dados, llega al sistema de ecuaciones:

   S2 :    

4a  2b  c a  b  c c a  b  c 4a  2b  c 136

    

1 0 2 3 6


Este sistema puede ser expresado matricialmente de la siguiente forma:

      

4 1

2 1

0 1 4

0 1 2

1  1   a     1   b   1   c  1 

A



      

x

1  0   2   3  6  y

de donde:

   A     

4 1 0 1 4

2 1 0 1 2

      

1 1 1 1 1

   y     

 a  x   b  ;    c 

;

1 0 2 3 6

      

obteniendo:

 4 A A   2   1 T

1 1 1

0 0 1

1 1 1

4 2 1

   

      

2 1 0 1 2

4 1 0 1 4

1 1   34  1   0   1   10 1 

0 10 0

10 0 5

   

además:

 4 A y   2   1 T

1 1 1

0 0 1

1 1 1

4 2 1

137

   

      

1 0   31   2    13     3   12  6 

( 6)

(5)


sustituyendo ( 5 ) y ( 6 ) en ( 1 ) tenemos:

 34 0 10   a   31   0 10 0   b    13         10 0 5   c   12  lo cual genera un sistema de ecuaciones que al resolverlo se obtiene:

a 

1 2

b 

13 10

c 

7 5

sustituyendo estos valores en ( 4 ) , se tiene que el polinomio buscado es:

P x   c)

1 2 13 7 x  x  2 10 5

Calculando el vector de errores para cada curva de ajuste tenemos: Para el caso de la recta se tiene: Tomando las abscisas de los puntos dados y sustituyéndolas en la ecuación de la recta tenemos que:

 

Para P1



 2, 1



se tiene que el punto en la recta es Q 1   2, 

Para P2



1, 0



se tiene que el punto en la recta es Q 2  1,

Para P3

 0,

2



se tiene que el punto en la recta es Q 3  0,

Para P4

 1,

3



se tiene que el punto en la recta es Q 4  1,

Para P5



2, 6



se tiene que el punto en la recta es Q 5  2, 5

138

1   5 

 

11   5 

 

12   5 

 

37   10 




De donde se tiene que las componentes del vector de errores viene dado mediante la diferencia de las ordenadas de los puntos Pi y Q i , esto es:

6  1  e1  y  y 1  1      5  5  11 11 e2  y  y2  0    5 5 e3  y  y3  2 

12 5

 

e4  y  y4  3 

37 10

 

e5  y  y5  6  5



2 5

7 10 1

por lo que el vector error es:

11 2 7  6  e1   ,  ,  ,  , 1 5 5 10  5  calculando su norma:



e1



e1 e1



1 2



e

1

e1 

1 2

1

121 4 49  36 2      1 25 25 100  25 

Entonces se tiene que el error es:

e1

 2.816

Para el caso del polinomio de segundo grado, tenemos: Para P1



 2, 1



se tiene que el punto en P  x  es R 1

 2 ,

0.8



Para P2



1, 0




 1 ,

0. 6



Para P3

 0,

2






Para P4

 1,

3




 1,

Para P5



2, 6






139

0 , 1 .4 3. 2

2, 6



 


Obteniendo la diferencia de las ordenadas, tenemos:

e 1  1  0.8 

0.2

e 2  0  0.6   0.6 e 3  2  1.4 

0.6

e 4  3  3.2   0.2 e5  6 

6 

0

por lo que el vector de errores para el caso de P  x  es:

e 2   0.2,  0.6, 0.6,  0.2, 0



calculando su norma:

e2





e2

e2



1 2



e

2

e2



1 2



1

 0.04  0.36  0.36  0.04  0  2

Entonces se tiene que el error es:

e2

 0.894

Por lo tanto, el menor error se obtiene con el polinomio de segundo grado, lo cual quiere decir que dicha curva es la que mejor se ajusta a los puntos dados.

140



En el espacio vectorial

P2  sobre

p

q

 es un producto interno en 2


v

u

v



v

2

4.

 9, 1 

v

1

2

 u   x1 , y 1

,

v   x2 , y2



2

;  u 

x

1

, y1

,

v   x2 , y2



que, con el producto interno dado, sea ortogonal al

y su norma sea

Si en el espacio vectorial que B 

P2 .


  x1 x 2  x1 y 2  x 2 y 1  3 y 1 y 2

Obtenga un vector w  vector

 p, q  P 2

es un producto interno.


u



se define la función:

  x1 x 2  x1 y 2  y 1 x 2  3 y 1 y 2 ;

Determine si

3.

 b x  c a , b, c 

q   p 1 q1  p  0  q 0   p  2  q 2  ;

Determine si

u

2

se define la operación:

p

2.

 ax

4

33 .

se define el producto escalar ordinario y se tiene

, v 2 , v 3 , v 4  es su base canónica, obtenga un vector unitario que

cumpla simultáneamente las dos condiciones siguientes: a)

Que se ortogonal a v 1 y v 4 , y

b)

que forme ángulos iguales con v 2 y v 3 . 141

2


5.


  M    

 a  d   g

c  f   i 

b e h

    

a, b, c, d , e, f, g, h, i, 


A

B



 t r  BT A 

 A, B  M

;

Considerando las matrices:

 1  A   0   1

1   0   1 

2 1 1

 0  B   2   1

y

1

1   1   1 

1 0

Calcule:

6.

a)

La norma de la matriz A .

b)

La distancia entre las matrices A y B .

c)

El ángulo que forman las matrices A y B .

Sea el espacio vectorial P2 

 at

2

 bt  c a , b , c 

 , en el cual se define

el producto interno:



p q

Determine





un



1

pt  qt  dt

 p  t , q  t



 P2

ortogonal

a

los

0

vector f 3  t 

f1  t   t2 1 y

;

0

que

f2 t   t 1.

142

sea

vectores


7.

En el espacio vectorial F de funciones continuas reales en el intervalo

  π, π 

se define el siguiente producto interno:



8.

f

g







π

f

t  gt  dt

;

 f, g  F

π

f  t   sen t y g  t   cos t son ortogonales.

a)

Determine si las funciones

b)

Calcule la norma de la función g  t



 cos t .

Sea F el espacio vectorial de las funciones reales de variable real continuas en el intervalo

 0,

 a)

f

2 π  y el producto interno definido por:

g







2π

f

x gxdx

;

 f, g  F

0

f

Calcule el ángulo y la distancia entre las funciones

g  x   cos x ;  x   0, 2 π  . b)

Sea

el conjunto

espacio vectorial

B  3

 3,

y

cos x ,  9 

  1, 1, 1  ,  0, 1, 1  ,  1,

1, 0   una base del

. Determine a partir de B una base ortonormal de dicho

espacio, considerando el siguiente producto interno definido en

x

 3

Obtenga una base ortogonal del subespacio de F generado por el conjunto:

A  9.

x

3

:

y   3 x1 y 1  2 x 2 y 2  x 3 y 3 ;  x   x1 , x 2 , x 3  , y   y 1 , y 2 , y 3  

143

3


10. En el espacio vectorial

  M    

 a   0

0   b 

    

a, b 


M

1

M2



     

 a1 0     0 b  1  

 a2   0 

0   b 2 

   a a b b ;  M , M M 1 2 1 2 1 2   

Empleando el proceso de ortogonalización de Gram–Schmidt, obtenga una base ortonormal del espacio M a partir de la base:

  B    

1  0 

11. Sea el espacio vectorial P 2 

0 0  ,  0  2  

 ax

2

 bx  c

0  1 

    

a, b, c 

,

en el cual se

define el producto interno:

 p  x y

sea

W 

 ax

2

c

  p n q n

q  x 

1

n 1

a, c 

complemento ortogonal de W .

144



un subespacio de

P2 .

Obtenga el


12. Sean W 



x, x, y

un subespacio de

3



x, y 



y una base de

y B 

  1,

1, 0

, 

0, 0, 1



W , respectivamente. Considerando el

producto interno:

u

v

  x1 x 2  3 y 1 y 2  z1 z 2

;  u   x1 , y 1 , z1  , v   x 2 , y 2 , z 2  

obtenga: a)

El vector

b)

La distancia entre los vectores w y a .

w  W más próximo al vector a 



6, 2 , 1 .

13. Sean M el espacio vectorial de matrices cuadradas de orden dos con elementos reales y el producto interno en M definido por:

   

a b     c d 

y sea

 x y     z w 

   a W      b 

   ax  by  cz  d w ;  

ab   a 

a, b 

a b   x y     ,    M  c d   z w 

   un subespacio de M .  

a)

Determine el complemento ortogonal W  de W .

b)

Exprese al vector A  

3 2  como la suma B  C , donde B  W y  2 0 

CW . c)

Obtenga la proyección del vector A sobre W  . 145

3


14. Para los puntos

a)



2, 2

 ,  3,

4 ,



4, 5



y

 5,

7



determine:

La ecuación de la recta de mínimos cuadrados que mejor se ajuste a los puntos dados.

b)

La ecuación de la curva de mínimos cuadrados de segundo grado que mejor se ajuste a dichos puntos.

c)

Por qué se llega a la respuesta obtenida en el inciso b ) .

146



p

q  sí es un producto interno.

2.

u

v

3.

w 

 3,

4.

v 

1



sí es un producto interno.

4



(La respuesta no es única)

 0, 1, 1, 0 


2

5.

6.

7.

a)





A, B

10



b)

d

c)

θ  78.46

 4

f 3  t   110 t 2  112 t  9 a) b)

8.

A

f

t

y g t



g t



π


son ortogonales.

x

x

a)

El ángulo entre f

b)

El subespacio generado por el conjunto A es:

y g

es 90 , y la d

E  A    a  b cos x a , b  y una base ortogonal de E

Bort 

 1,

 A

 es:

cos x  147



f, g





19 π .


9.


10. Bortonormal

11.

W 

12. a) b)

13. a)

b)

   

 bx  3,



w, a

W



     

1

,

6

     

w d

1

6

0 1  0 2  ,  

5

 ,  

   

1

1

,

6

, 

6

 2  5 5   0 

  0      1   5  

y, w 

    

1 6

 ,  

  0,  

1 6



b



1

6

1

3, 1

, 



 2

3

 yw  y 

2 1 B    W 1 2  

y   w 

y

1 1 C    W 1  2  



1 2 1 1  A      1 2  1 2   c)

La proyección del vector A sobre W

14. a)

y 

8 11 x  5 10

b)

y 

8 11 x  5 10 148



1

1

es el vector C     1 2 

,

2 6

    


c)

Como se busca un polinomio que pertenezca al conjunto de los polinomios de grado menor o igual a dos, el que mejor se ajusta es el polinomio obtenido, que resulta ser de primer grado e igual a la respuesta del inciso a ) , esto es, no existe un polinomio de segundo grado que se ajuste mejor que la recta obtenida.

149

CAPÍTULO 4 OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

Adjunto de un operador

En un espacio vectorial V

con producto interno, cada operador lineal T tiene un

operador llamado su adjunto que también es lineal y representamos con

T * , cuya

definición es: Definición Sea V un espacio con producto interno y sea T : V  V un operador lineal. Un operador T * : V  V se dice que es el adjunto de T si se cumple que:



u) v





u

 *( v )

;

 u, v  V

Esta definición está basada en el producto interno, por lo que, el operador adjunto depende del producto interno considerado, es decir, el operador T tiene tantos adjuntos como productos internos se consideren, pero para cada producto interno el adjunto es único.

Propiedades del operador adjunto

Sea V un espacio vectorial sobre un campo K , con producto interno. Si S y T son operadores lineales en V y α es un escalar de K , entonces: 1.

 T * *

2.



3.

 S  T *

4.

 T* 

5.

S

 T

T *   T *

1

 S*  T* 

 T 1 *

T *  T * S *

153


EJERCICIO

P1 

 ax  b

4.1 Obtenga el adjunto del operador lineal T : P1  P1 , donde

a, b 



y cuya regla de correspondencia es:

T





ax  b



 2b x 



ab

con respecto al producto interno en P1 definido por

  ax  b 





mx  r

 2 a m  2b r ;

 p = a x  b, q  m x  r  P 1

SOLUCIÓN: 2

Como el espacio P 1 es de dimensión dos, entonces es isomorfo a

, con lo cual si

aplicamos dicho isomorfismo tenemos que la regla de correspondencia de T producto interno quedarían como:

T





m, r

 a , b 

a, b









2 b, a  b



y el

(1)

 2a m  2br

Se sabe que el adjunto de T es un operador T * : P1  P1 para el cual se debe cumplir que:

T p



q





p T* q



(2)

Si suponemos que el adjunto de T es de la forma:

T *  m, r







y como

p 



α m  βr , γm  δr a, b



y



(3)

q   m, r



entonces al sustituir en ( 2 ) tenemos:

 T  a, b 



m, r





  a,

b



T*

 m, r  

Aplicando las reglas de correspondencia de T y T * , tenemos:

  2 b,

ab

 

m, r





  a, b  154

 αm

 βr, γm  δr




desarrollando el producto interno en ambos lados:

4 b m  2 a r  2 b r  2α am  2 β a r  2γ b m  2δ b r al agrupar tenemos:

 4b  m



 2a  2b  r



 2α a

 2γb  m 

 2β a

 2δ b  r

Por igualdad se llega a:

α  0

β 

γ  2

δ  1

1

con lo cual al sustituir estos valores en ( 3 ) tenemos que:

T *  m, r







r , 2m  r



Si se aplica el isomorfismo inverso, entonces el adjunto de T es:

T *  mx  r



 rx 



2m  r



2 EJERCICIO 4.2 Sea el espacio vectorial definido en el campo de los números complejos, en el cual se define el producto interno usual, y sea el operador 2 2 lineal T : con regla de correspondencia: 

T



x, y







x  y , ix 

 3  2i  y 

Obtenga el operador adjunto de T . SOLUCIÓN: Para resolver este ejercicio haremos uso de una propiedad de las matrices asociadas a estos operadores que establece: Si T : V  V es un operador lineal y B es una base ortonormal de V , entonces:

M

B B

 T *

  M

B B

 T   *

Dado que el campo de definición del espacio vectorial V es de los números complejos, entonces la dimensión de V es dos, por lo que una base ortonormal del espacio es:

B 

  1, 0  ,  0, 1   155


Dado que se trata de la base canónica, entonces la matriz asociada a T referida a dicha base sería:

T

 1, 0 



 1, i  

T

Como M

B B

 T *



0, 1



  M



M BB

1 1      i 3  2i 

T 

 1, 3  2 i 

B B

 T   * , entonces: M

B B

 T *

i  1     1 3  2i 

de donde la regla de correspondencia del operador adjunto de T viene dada por:



T *  w, z



1   1

T *  w, z





i   w   w  iz        3  2i   z   w   3  2i  z 

 w  iz,

w



3  2i

 z

Operador normal Sea V un espacio con producto interno y sea

T : V  V un operador lineal.

Se dice que T es un operador normal si se cumple que:

T

T*  T* T

Debido a que para cada producto interno considerado el adjunto es diferente, un operador puede ser normal respecto a un producto interno y no serlo respecto a otro.

156


Propiedades de los operadores normales

Sea V un espacio con producto interno y sea T : V  V un operador normal.



v



2. Si T



v

1.

T

3. Si

T* v







 v V

;

 λ v entonces T *  v



 λv

v 1 y v 2 son vectores característicos de T correspondientes a valores

característicos distintos, entonces los vectores decir,

v

v2

1

EJERCICIO 4.3 correspondencia

  0.

v 1 y v 2 son ortogonales, es



T

x, y







2

T :

Determine si el operador lineal

2i x  y ,  x  2i y



2

con regla de



es un operador normal, considerando el producto interno usual en

2

.

SOLUCIÓN: Lo primero que tenemos que determinar es el operador adjunto de

T . Para ello,

consideremos a los vectores:

u 



x, y



w, z



y

v 





w, z

(1)

y supongamos que:

T*





 α1w  α 2 z ,

α3w  α 4z



(2)

con lo cual se debe cumplir:

Tu 

v





u

T* v



(3)

sustituyendo ( 1 ) y ( 2 ) en ( 3 ) , tenemos:

 T  x,

y

 

w, z





157

  x,

y



T *  w, z




de donde:

  2i x 

y ,  x  2i y

 

w, z





  x, y   α

 α 2z , α3w  α 4z

1w



aplicando la regla de correspondencia del producto interno se tiene:

2i x w  y w  x z  2i y z  α1 x w  α 2 x z  α 3 y w  α 4 y z agrupando y factorizando tenemos:



2i w  z

x





y 

 α1 w

si

α1  2i



α1   2i

si

α 2  1



α 2  1

si

α3  1



α3  1

si

α 4   2i



α 4  2i



w  2i z

 α2 z

 x   α3 w

 α4 z



y

por igualdad se tiene que:

Al sustituir los valores de α i en la expresión ( 2 ) , tenemos que el adjunto de T es:

T *  w, z







 2i w  z , w  2i z



Para determinar si T es un operador normal, debemos comprobar si se cumple que:

T esto es:

T

T*

T  T *

 

T*  T* T

x, y

x, y





 



 T *  T

aplicando las reglas de correspondencia de tenemos:

T



T* T

 2i x  y , x  2i y   T *



T y





x, y

x, y



 

T * dentro de los corchetes,

2i x  y ,  x  2i y 

aplicando de nuevo dichas reglas, se tiene:

 2 i   2 i x  y

 

x  2i y

,

  2 i  2 i x  y

 

 x  2i y





,  158

 2i x  y 2i x  y





 2i

 2i





x  2i y

 

 x  2i y

 




realizando operaciones:



4 x  2 i y  x  2i y , 2 i x  y  2 i x  4 y





4 x  2 i y  x  2i y , 2 i x  y  2 i x  4 y





sumando términos semejantes, tenemos:

 5x ,

5y  

 5x ,

5y 

Como se cumple la igualdad, entonces se puede concluir T es un operador normal. Operadores hermitianos, antihermitianos, simétricos y antisiméticos Definición Sea V un espacio vectorial definido en

, en el cual se define un producto interno

y sea T : V  V un operador lineal. Si se cumple que:

T  v  1

v2

  v

1

T

 v2  

 v1 , v2  V

;

entonces se dice que T es un operador hermitiano. Al operador T se le llama antihermitiano si se cumple que:

T  v  1

v2



 

v

1

T

 v2  

;

 v1 , v 2  V

Si T es un operador hermitiano definido sobre el campo de los números reales, se le llama también operador simétrico. Si T es un operador antihermitiano definido sobre el campo de los números reales, se le llama también operador antisimétrico. Un operador T puede ser hermitiano con respecto a un producto interno y no serlo con respecto a otro; sin embargo, es suficiente con que sea hermitiano para algún producto interno para que se le llame de esta forma y cumpla con todas las propiedades de todo operador hermitiano.

159


Propiedades de los operadores hermitianos, simétricos, antihermitianos y antisimétricos 1) Si T es un operador hermitiano, entonces: a) T es diagonalizable. b) Sus valores característicos son números reales. c) Los vectores característicos son ortogonales, siempre y cuando los valores característicos sean diferentes. 2) Si

T : V  V es un operador hermitiano y

B es una base ortonormal

de V para algún producto interno definido en V , entonces M

B B

T 

es una

matriz hermitiana. 3) Si M

B B

T 

es una matriz asociada a un operador hermitiano referida a una

base B ortonormal, entonces: a) La matriz diagonalizadora P es una matriz unitaria, si el campo de definición del espacio vectorial es complejo. b) La matriz diagonalizadora P es una matriz ortogonal, si el campo de definición del espacio vectorial es real. 4) Si T es un operador antihermitiano, entonces sus valores característicos son imaginarios puros. 5) Si

T : V  V es un operador antihermitiano y B es una base ortonormal

de V , entonces M

B B

T 

es una matriz antihermitiana.

160


EJERCICIO

4.4 Sea el operador lineal T :

2



2

2

, donde

está definido

en el campo de los números complejos y cuya regla de correspondencia es:

T



a  bi , c  d i  

 a  d   b  c i, 2

Considerando al producto escalar ordinario en

b  ai

;

 a, b, c, d 

como producto interno:

a)

Determine si T es un operador hermitiano.

b)

En caso de ser afirmativa la respuesta del inciso anterior, obtenga una matriz 2 asociada a T referida a una base ortonormal de y compruebe que dicha matriz es hermitiana.

c)

Si T es un operador hermitiano, compruebe que sus valores característicos son reales.

d)

¿Los vectores característicos de T resultan ser ortogonales?

SOLUCIÓN: a)

Para determinar si T es un operador hermitiano se debe cumplir que:

T  v 

v2

1

  v

1

T

 v2  

 v1 , v 2 

;

2

si consideramos los vectores

v1 



a  bi , c  d i



y

v2 



x  y i , z  wi



entonces

 T  a  bi ,

c  di 

 x  yi,

z  wi 

    a  bi ,

c  d i  T  x  y i , z  wi 

desarrollando el lado izquierdo de la igualdad, tenemos:

 T  a  bi ,

c d i 

 x  yi,

z  wi 

    a  d   b  c  i , b  ai 

 x  yi,

z  wi 

   a  d    b  c  i   x  y i    b  a i   z  wi  

 a x  a y i  d x  d y i  b xi  b y  c xi  c y    b z  b wi  a z i  a w 



 a x  d x  b y  cy  b z  aw     a y  d y  b x  c x bw  a z  i 161

(1)






desarrollando el lado derecho se tiene:

  a  bi ,

c  d i  T  x  y i , z  wi 

    a  bi , c  d i   x  w   y  z i ,



 a  bi    x  w    y  z  i    c  d i   y  xi 



 a x  a w  a y i  az i  b xi  b wi  b y  b z    c y  c xi  d y i  d x 



 a x  a w  b y  bz  c y  d x     a y  a z  b x  b w  c x  d y  i

y  xi 

Como las expresiones ( 1 ) y ( 2 ) son iguales, entonces el operador T es hermitiano. b)

Como el campo de definición del espacio

2

es complejo, entonces su dimensión

es igual a dos y una base ortonormal de dicho espacio es:

B 

  1, 0  ,  0, 1  

Con lo cual la matriz asociada al operador T será:

T T

 1, 

0

0, 1









 1, 

i

i, 0

 



M BB

T 

 1 i      A  i 0 

Comprobando que A es hermitiana tenemos:

 1 i  A*     i 0  como A  A * , entonces A es una matriz hermitiana. c)

Obteniendo los valores característicos de T , tenemos:

det



A  λI





1 λ

i

i

λ

 λ  1 λ



1  λ 2  λ  1

Aplicando la fórmula para ecuaciones de segundo grado se tiene:

λ 

1

1 4 1 5  2 2 162



(2)


por lo tanto, los valores característicos son:

λ1 

1  2

5 2

λ2 

1  2

5 2

que resultaron ser números reales como se esperaba. d)

Dado que los valores característicos son diferentes, entonces de acuerdo con la propiedad 1.c los vectores característicos son ortogonales.

EJERCICIO

4.5 Sea el operador lineal T :

T





x, y

Determine el o los valores de k 



 0,



2

2

kx  2y

definido por



de tal forma que T sea un operador simétrico

con el siguiente producto interno:

x , y  x 1

1

2,

y2

25    144

x1 x 2 

1 9



y1 y 2  x1 y 2  x 2 y1

SOLUCIÓN: Para que T sea un operador simétrico se debe cumplir la igualdad:

 T v  1

esto es:

v2

  v

T x , y  x 1

1

2

1

, y2

 

T v2

 v1 , v 2 

;





x , y  T x





  x , y   0, k x

1

1

2

, y2

2



aplicando la regla T tenemos:

  0, k x

1

 2 y1

  x2 ,

y2

163

1

1

2

 2 y2






desarrollando el producto interno en ambos lados:

















1  1  k x1  2 y 1 y 2  0  x 2 k x1  2 y 1   y k x2  2 y2  x1 k x2  2 y2  0    9  9  1 de donde se obtiene:

k x1 y 2  2 y 1 y 2  k x1 x 2  2 x 2 y 1  k x 2 y 1  2 y 1 y 2  k x 1 x 2  2 x 1 y 2 simplificando términos semejantes tenemos:

k x1 y 2  2 x 2 y 1  k x 2 y 1  2 x 1 y 2 de donde se puede concluir que con k  2 se cumple la igualdad y por lo tanto, con dicho valor, el operador

T es simétrico.

Operadores ortogonales y unitarios

Definición Sea V un espacio vectorial definido en

, en el cual se define un producto interno

y sea T : V  V un operador lineal.

Si se cumple que:

 T v  T v     v 1

2

1

v2



;

 v1 , v 2  V

entonces se dice que T es un operador unitario. Si T es un operador unitario definido sobre el campo de los números reales, se le llama también operador ortogonal.

164


Propiedades de los operadores unitarios y ortogonales

Cabe resaltar el hecho de que todo operador ortogonal es también un operador unitario, por lo que las propiedades que a continuación se enuncian se cumplen para ambos operadores. 1) Si T es un operador unitario, entones T conserva las normas, esto es:

T

v 



v

 v V

;

2) Los valores característicos de un operador unitario tienen módulo uno, esto es:

λ 1 3) La matriz asociada a un operador unitario referida a una base ortonormal es una matriz unitaria y tiene las siguientes propiedades. a)

La suma de los productos de los elementos de cualquier fila (renglón o columna) por los conjugados de los correspondientes elementos de cualquier otra fila paralela es igual a cero, es decir, si las filas se consideran como vectores, entonces éstos resultan ser ortogonales.

b)

La suma de los cuadrados de los módulos de los elementos de cualquier fila es igual a uno, esto es, si las filas se consideran como vectores, entonces éstos son vectores unitarios.

EJERCICIO se

T

tiene

 1,

0



    

4.6 En el espacio vectorial el

1 2

operador

, 

1 2

2

T:

ortogonal

  . Calcule T   165

con el producto escalar ordinario



0, 1 .

2



2

en

donde


SOLUCIÓN: Se sabe que un operador ortogonal cumple la condición:

Tv  Tv   v 1

2

1

v2



de donde se tiene:

 T  1, 0     

   

T

1

 0, 1   1

, 

2

2

  1, 0 

    



a, b



 0, 1  

   0  

desarrollando el producto interno:

1

a 

2

1

b  0

2 ab  0

(1)

Por otro lado, como se trata de un operador ortogonal, entonces preserva la norma, esto es:

T

 0, 1 



 a, b 

 1

a2  b2

 1

 0, 1 

a2  b2  1

(2)

166


Resolviendo el sistema de ecuaciones que se forma con ( 1 ) y ( 2 ) , tenemos:

 a  b  0    a 2  b2  1 



a  b

de ( 2 ) se tiene:

a2  a2  1 2a 2  1 a2 

1 2



1

a  



b  

2

1 2

Dado que los vectores para los cuales se obtiene su imagen bajo T , esto es,

T  1, 0 M

T



y

T  0, 1



constituyen una base ortonormal de

2

, entonces la matriz

referida a dicha base tiene que ser ortogonal, es decir, debe cumplir que:

M M

T

 M

M  I

T

entonces las únicas imágenes correctas del vector

T1  0 , 1



T 2 0, 1



    

1

,

2

     

 0 , 1  son: 1 2

1 2

, 

    1 2

   

Es importante aclarar que, el hecho de tener dos posibles imágenes para el vector



0 , 1  , en realidad esto implica que existen dos operadores ortogonales T1 y T2 con 167


los cuales se satisfacen las condiciones del problema y con cada uno de estos



operadores se obtiene la imagen correspondiente del vector

0 , 1  . Las matrices

asociadas a estos operadores, referidas a la base canónica son:

 1    1

1

M T1  

2

1    1 

y

1

M T2  

2

1    1 

 1    1

Lo cual implica, obviamente, dos operadores ortogonales T1 y T2 con sus respectivas reglas de correspondencia.

EJERCICIO

4.7

Determine si el operador lineal

3

T:



3

cuya regla de

correspondencia es

T



x, y, z

 2x  2 y  z 2x  y  2z x  2 y  2z    , ,  3 3 3  



es un operador ortogonal, considerando como producto interno el producto escalar ordinario en

3

.

SOLUCIÓN: Para resolver este ejercicio se pueden seguir dos métodos. El primero de ellos sería verificar si el operador

T satisface la condición

Tv  Tv   v 1

si es así, entonces

2

1

v2



T es un operador ortogonal.

El otro método sería verificando la condición relativa a la matriz asociada a dicho operador. Si T es un operador ortogonal, entonces la matriz asociada a T referida a una base ortonormal deber ser una matriz ortogonal. De estos dos métodos de solución, el primero resulta ser muy laborioso dadas las características de la regla de correspondencia de T , por lo cual se optará por el segundo método descrito. 168


3

Si consideramos como base de

a la base canónica, ésta resulta ser una base

ortonormal con el producto interno considerado. Obteniendo la matriz asociada a T , tenemos:

T  1, 0 , 0



 2 2 1    , ,   3 3 3 

T  0 , 1, 0



2 1 2      , ,  3 3 3  



2 2   1   ,  ,  3 3   3

T  0, 0, 1

M T 



         

2 3



2 3

2 3

1 3

1 3

2 3

1  3   2    A 3  2   3 

Comprobando si la matriz A es ortogonal, se tiene que:

         

A AT

2 3



2 3

2 3

1 3

1 3

2 3

1   2 3   3   2   2   3   3   2   1 3   3

A A T  I , entonces

Como

1  3   2   3   2  3 

2 3 1 3 

2 3

 1 0 0    0 1 0  I    0 0 1 

A es una matriz ortogonal y por lo tanto podemos

afirmar que T es un operador ortogonal.

EJERCICIO lineal T :

T



x, y

4.8



2



Sea el espacio vectorial 2

2

definido sobre

y el operador


 1 i   x   3 

i 3

y ,

1 3

169

 x  αy  ;  





x, y



2


Determine el valor de

α 

para el cual T sea un operador unitario. Considere 2

como producto interno al producto escalar ordinario usual en

.

SOLUCIÓN: Para que T sea un operador unitario se debe cumplir que:

Tv  Tv    v 1

si consideramos v 1 

2

 x1 ,

Tx , y  1

1

y1

T



 x2,

v2

1



;  v1 , v 2 

y

v2 

 x2 ,

y2



x , y  x



,

y2

1

2

entonces:

1

2,

y2



aplicando T tenemos:

  1 i x   3 1 

i 3

y1 ,

1 3

 x1  α y 1   

1 i  x2   3 

i 3

 x 2  α y 2    x1 x 2  y 1 y 2  

1

y2 ,

3

desarrollando el producto interno del lado izquierdo, se tiene:  1 i  x   3 1 

i 3

 1 i y1   x2   3 

conjugando y factorizando

1

i 3

  y2       

1 3

 x1  α y 1   

   

1 3

 x 2  α y 2   x1 x 2  y 1 y 2  

, tenemos:

3 1  3 

  1  i  x1  i y1    1  i  x 2  i y 2    x1 

3 α y1

 x

2



3 αy2

   x

1 x2

 y1 y 2

multiplicando por 3 en ambos lados y desarrollando los productos, tenemos: 2 x1 x 2  i x1 y 2  x1 y 2  i x 2 y1  x 2 y1  y1 y 2  x1 x 2   3 x1 x 2  3 y 1 y 2

170

3 α x1 y 2 

3 α x 2 y 1  3α α y 1 y 2


simplificando y agrupando: 3 x1 x 2 

 1 i 



3 α x1 y 2 

 1 i 



3 α x 2 y 1   1  3α α  y 1 y 2  3 x1 x 2  3 y 1 y 2

Por igualdad se tiene:

 1 i     1 i    1  3 α α

3 α  0

(1)

3 α  0

(2)

 3

(3)

de ( 2 ) tenemos que:

α  

1i 3

verificando si el valor de α satisface a las ecuaciones ( 1 ) y ( 3 ) , se tiene: sustituyendo en ( 1 ) :

 1 i 3    3 

1i 

   0  

1  i   1  i



 0

0  0



satisface

sustituyendo en ( 3 ) :

 1 i 1 3    3 

   

1   1  i

 1 i    3 

   3  





1  i

 3

1 2  3 3  3 Por lo que si

α  

1i



satisface

, entonces el operador T es unitario.

3 171


Teorema espectral Sea V un espacio vectorial sobre

de dimensión finita y con producto interno, y

sea T : V  V un operador normal:

, λ k son los diferentes valores característicos de T , E  λ i  es el espacio característico correspondiente a λ i y P i es el operador de proyección Si λ 1 , λ 1 ,

ortogonal sobre E  λ i



, entonces:

a) T  λ 1 P 1  λ 2 P 2  b) P 1  P 2  c) P i

 λk Pk

 Pk  I

P j  0 , para toda i

j

Si el espacio vectorial V está definido sobre un campo real, entonces el teorema espectral también se cumple para un operador T simétrico.

EJERCICIO

4.9

Para

el operador simétrico

2

T:



2

cuya regla de

correspondencia es:

T



x, y







 x  2 y , 2x  2 y

a)

Obtenga la descomposición espectral del operador T .

b)

Verifique que se cumple la condición P1  P 2  I

c)

Compruebe que P1



P2  0 .

SOLUCIÓN: a)

Obteniendo los valores, vectores y espacios característicos, tenemos:

T  1, 0







 1, 2

 

T  0, 1







2, 2

 172

M

T 

 1    2

2  A 2 


de donde:

det



AλI



1  λ 2



2 2λ



 1  λ  

2λ

4

 λ2  λ  2  4 entonces:

P λ



 λ2  λ  6

P λ







λ3



λ2



con lo cual los valores característicos son:

λ1  3 λ 2  2 Obteniendo los vectores característicos, se tiene: Para λ 1  3 :

4   2

2   1 

 x  0       y   0 

donde surge el sistema de ecuaciones:

   4x  2 y  0   2x  y  0  si

x  k1





  2x  y  0  0  0  



y  2x

y  2k 1

con lo cual los vectores característicos asociados a λ 1  3

v1 

 k 1,

2k 1

173



con k 1

0

son:


λ2  2:

Para

1   2 si

2  4 

 x  0       y   0 

y  k2

 x  2 y  0   2 x  4 y  0



 x  2 y  0  0  0 





x   2y

 x   2k 2

con lo cual los vectores característicos asociados a λ 2   2 son:

v2 

  2k 2 ,

k2



con k 2

0

Por lo que, los correspondientes espacios característicos son:

E

 λ 1     k1 ,

E

 λ 2      2k2 ,



2 k1

k2



k1 



k2 



Obsérvese que los vectores característicos con el producto escalar ordinario en

2

como producto interno, resultan ser ortogonales y por lo tanto, los

espacios característicos son uno complemento ortogonal del otro, por lo que cualquier vector



x, y





2

puede ser expresado en forma única como la

suma de dos vectores que, en este caso, serían uno de cada espacio característico. Los operadores

P1 y

P 2 que proyectan cualquier vector de

2

sobre los

espacios característicos son:

P1  a , b P2



a, b



=



=



a, 2a





 2b, b

 E



Al expresar un vector cualquiera

 E



 λ1   λ2 

x, y





     2

I

como la suma de vectores

pertenecientes a los espacios característicos, tenemos:



x, y







a, 2a







 2 b, b

174



(1)


de donde surge el sistema de ecuaciones:

  x  a  2b    y  2a  b

(2) (3)

de ( 2 ) se tiene:

a  x  2b

(4)


y  2  x  2b



 b

y  2 x  5b b 

2x  y 5

(5)


 2x  y  a  x2  5   a 

x  2y 5

(6)

De acuerdo con las reglas de correspondencia que tienen los operadores proyección que se muestran en

I

y los valores obtenidos de a y b , se

tiene que:

P1



x, y



 x  2 y 2x  4 y  =  ,  5 5  

P2



x, y



 4x  2 y 2x  y  =  ,  5 5  

Como la descomposición espectral del operador T es de la forma:

T  λ 1 P1  λ 2 P 2 175


entonces la descomposición espectral de T es:

T



x, y



 x  2 y 2x  4 y   4x  2 y 2x  y  = 3 , ,   2   5 5 5 5    

realizando las operaciones indicadas para comprobar que dicha descomposición es correcta, tenemos:

T



x, y

 3 x  6 y 6 x  12 y    8x  4 y =  ,    5 5 5   





4x  2 y   5 

sumando se llega a:

T



x, y





=

 x  2 y , 2x  2 y



Como se llega a la misma regla de correspondencia dada en el enunciado del ejercicio, entonces podemos concluir que la descomposición espectral de T a la que se llegó, es correcta. b)

Se debe verificar que la suma de los operadores proyección es igual al operador identidad, esto es:

P1  P 2  I Esto se puede expresar como:

sustituyendo

I





x, y





I



x, y



 P1

P1 y

x, y



 P1

I



  x,

 P2 x, y



y



+ P2



x, y



P 2 tenemos:

 x  2y 2x  4y   4x  2y 2x  y    , ,     5 5 5 5    

al sumar se obtiene:

I



x, y







x, y

176





cumple


c)

Se debe cumplir que:

P2  0

P1 Cabe hacer notar que el

P 2  0 en realidad nos

" 0 " de la expresión P1

representa al operador nulo, esto es:

0



x, y





 0, 0 



;



x, y





2

De acuerdo con esto, entonces se tiene que:

 P1

P2





a, b



 0  a, b





donde

a, b





2

Aplicando la definición de la operación composición del lado izquierdo de la igualdad y el operador nulo del lado derecho, tenemos:

P 1  P 2



a, b

 





0, 0 

Aplicando la regla de correspondencia del operador P 2 se tiene que:

 4a  2b P1  , 5 

 2a  b    5 

 0,

0



aplicando ahora la regla de P 1 tenemos:

 4a  2b   2a  b   2    5 5   ,  5  

 4a  2b    2a  b   2   4    5 5       5  

177

 0,

0




realizando operaciones se tiene:

 4a  2b  4a  2b   5 5 ,  5  

8a  4b  8a  4b  5 5 5

     

 0,

0



sumando:

 0 ,   5



0    5  0, 0







0, 0

 0,

0

 

Con lo cual se comprueba que la composición de los operadores proyección nos da el operador nulo.

178


Formas cuádricas Una de las múltiples aplicaciones que tienen los valores y vectores característicos es la que se da en las formas cuádricas, que nos permite simplificar el estudio de las cónicas y de las superficies, cuando éstas tienen sus ejes oblicuos a los ejes del sistema de referencia, esto es, los valores y vectores característicos pueden ser usados para resolver problemas donde se requiere hacer una rotación de ejes. Las ecuaciones:

ax 2  bx y  c y 2  d x  e y  f  0 ax 2  by 2  cz 2  d x y  exz  f yz  g x  h y  iz  j  0 2

corresponden a las ecuaciones generales de segundo grado en respectivamente.

3

y

,

A las expresiones que sólo consideran los términos de segundo grado, se les llaman formas cuádricas o formas cuadráticas, esto es:

ax 2  bx y  c y 2

  Forma cuádrica para el caso de

2

.

a x 2  b y 2  c z 2  d x y  e x z  f y z   Forma cuádrica para el caso de

3

.

Las formas cuádricas pueden ser expresadas matricialmente de la siguiente forma:

ax 2  bx y  c y 2 



x y x



T

  a   b  2

b  2   x      x y c     x

T

Ax

A

ax 2  by 2  cz 2  d x y  exz  f yz 



x y z x

T



       

a d 2 e 2

d 2 b f 2 A

Considerando la ecuación general de segundo grado se tiene:

ax 2  bx y  c y 2  d x  e y  f  0

179

      c  

e 2 f 2

 x   y   x TAx    z  x


representando en forma matricial esta ecuación tenemos:





x y x

T

  a   b   2

b  2   x       y  c     x

d

e

 x     f  0  y  x



k

A con lo cual la ecuación queda como:

x T Ax  k x  f  0

(1)

x  Px '

(2)

si se hace:

esto es:

 x   x'   P      y   y ' 

y ' son los ejes del nuevo sistema de referencia ya rotado. P es la matriz diagonalizadora de la matriz A que figura en la ecuación ( 1 ) , formada por vectores característicos unitarios, con lo cual P es una matriz ortogonal, es Donde

x' y

decir, P

1

 P T . Se debe cuidar además que det  P   1 , lo cual garantiza el Si el det

giro de ejes.

P

  1 , entonces será suficiente con intercambiar las

columnas de P . Al sustituir la expresión ( 2 ) en ( 1 ) se tiene:

 de donde:

Px'



T





T

x'

A



Px'



 k

PT A Px ' 





Px'



 f  0

kP x'  f  0

dado que el producto de matrices es asociativo tenemos:



x'



T

 PT AP 

x' 



kP x'  f  0

180

( 3)


como

 λ1 PT A P    0

0   λ 2 

donde λ 1 y λ 2 son los valores característicos de A . Entonces la ecuación ( 3 ) expresada con matrices quedaría como:



x'

y'



 λ1   0

0   λ 2 

 x'      y ' 

d

e



 P 11   P 21

P 12   P 22 

 x'     f  0  y ' 

efectuando los productos indicados llegaríamos a una ecuación de la forma:

λ1  x'



2

 λ2





y'

donde:

2

 d ' x'  e' y'  f  0

(4)

d '  d P 11  e P 21 e '  d P 12  e P 22

Como se puede apreciar en la ecuación ( 4 ) , se trata de una ecuación de segundo grado donde el término

x y ya no aparece, lo cual quiere decir que los ejes de la

cónica son coincidentes referencia x ' , y ' .

o

paralelos

a

los

ejes

Para el caso de la ecuación general de segundo grado en

del

nuevo

3

sistema

de

, es decir, cuando se

tienen superficies cónicas cuyos ejes sean oblicuos al sistema de referencia, el procedimiento a seguir para rotar dicho sistema, de tal manera que los nuevos ejes resulten coincidentes o paralelos a los ejes de la superficie, es exactamente el mismo al seguido para el caso de

2

, con la única diferencia de que la matriz

será de 3  3 y se tendrán tres valores y tres vectores característicos.

181

A ahora


EJERCICIO

4.10 Para la cónica cuya ecuación es:

9 x 2  4 x y  6 y 2  12 x  36 y  44  0 a)

Determine una matriz P correspondiente al giro que hace paralelos los ejes coordenados con los ejes de la cónica.

b)

Obtenga la ecuación de la cónica, en un sistema de referencia



x" ,

y"

 , que

no contenga término mixto ni términos lineales. c)

Calcule el ángulo de giro.

d)

Dibuje la cónica así como los distintos sistemas de referencia.

SOLUCIÓN: a)

La matriz P que se pide determinar es la matriz diagonalizadora de A .

La representación matricial de la ecuación de la cónica es:

x

T

A x  k x  44  0

(1)

donde:

9 A    2

2  6 

k 

;

 12

36



;

 x  x     y 

Como se sabe, la matriz P está formada por la disposición en columna de los vectores característicos unitarios de la matriz A , entonces:

det  A  λ I  



  λ 1  10    λ2  5

9λ

2

2

6λ

  9  λ   6  λ   4  λ 2  15 λ + 50 =  λ 10   λ  5 

valores característicos

182


Obteniendo los vectores característicos tenemos: Para λ 1  10 :

 1   2

si

2   4 

( 2)    x  0  x  2y  0  x  2y  0        0  0  y   0     2x  4 y  0 

y  k 1  x  2k 1

 v 1   2k 1 , k 1 

Para

λ2  5:

4   2

2  x  0      1   y   0  (  2)

si x  k 2  y   2 k 2 Si hacemos que

con k 1

  4x  2 y  0   2x  y  0 

 v 2   k 2 ,  2k 2 

k1  1 y

0

0

x  2y

vectores característicos

  2x  y  0   0  0  

con k 2





y  2x

vectores característicos

k 2   1 , entonces se obtienen los siguientes vectores

característicos:

u1  u2 

 

2, 1



1, 2

donde



u1



5

Considerando como producto interno el producto escalar ordinario.

donde

u1



5

Entonces los vectores característicos unitarios son:

 e1      e2     

2

   

1

,

5

5

1 5

183

,

2 5

   


Con lo cual la matriz diagonalizadora P buscada es:

   P =    

2



      

1

5

5

1

2

5

5

Se tiene además que:

det  P



1

y al ser P una matriz ortogonal, entonces se cumple que:

P T  P 1 Por otro lado, si realizamos:

u

u2

1

   ( 2, 1)

( 1 , 2 )



2  2  0

con lo cual se tiene que los vectores característicos son ortogonales. Estos vectores nos definirán la dirección de los ejes del nuevo sistema de referencia con el giro requerido. b)

Si hacemos x  P x ' y sustituimos en la ecuación ( 1 ) , tenemos:





Px'

T

A



Px'



 k



Px'



 44  0




x'



agrupando:



x'



T

T

PT A P x ' 

 PT A P  x ' 184

 kP 





kP

x '  44  0



x '  44  0


Como P T  P

1

entonces P T A P = D , con la cual se llega a:



x '

T

D x' 

 kP 

x '  44  0

sustituyendo tenemos:



x'

y'



 10   0

0  5 

 x'      y ' 

 12

36

      



2

1



5

5

1

2

5

5

      

 x'     44  0  y ' 

realizando operaciones:

10



x'



2

 5



y '

2



1 5

10



x'



2

 5



y '

2



1 5

10



x'



2

 5



y '

2



60

1   x '   44  0 2   y ' 

 12

36



2 1 

 60

60



 x'   y '   44  0  

60

x' 

5

y '  44  0

5

Obsérvese que en esta ecuación ya no se tiene término con producto entre las variables; sin embargo, aún se tienen términos lineales. Para eliminar estos términos se hará un desplazamiento del sistema de referencia para hacer coincidir el centro de la cónica con el origen del nuevo sistema de referencia



x" ,

y "  . Para esto se

requiere completar trinomios que sean cuadrados perfectos y hacer la factorización correspondiente. Agrupando y factorizando tenemos:

 10  



x'



2



6 5

  x'   5   

185



y'



2



12 5

 y '    44 


completando trinomios:

 10  



x'



2



5

 10  x '   

  x'   

6

   

3 5

3 5

   

2

2

 9   x'   5  5   

  5 y'   

5

   

6 5

y'





12 5

   

6

1   y'   2  



2

36     44  18  36 y'  5  

2

 10

2

1

si se hace que:

3

x"  x ' 

5

6

y"  y ' 

5 entonces se tiene:





x"

En este sistema de referencia



2





x" , y"

y" 2





2

 1

la ecuación carece de término mixto y

lineal, que es lo que se pedía obtener en el inciso b ) . Al observar la ecuación a la que se llegó es evidente que se trata de una elipse con centro en el origen y con semiejes a  1 y b 

186

2 .


c)

Para calcular el ángulo de giro, se deberá obtener el ángulo que forman el vector característico u 1   2 , 1  que define la dirección del eje x ' , con el vector unitario i 

 1, 0  .

Sabemos que:

 u1 i 

cos θ =

u1 sustituyendo:

cos θ =

cos θ =

 (2,

i

1) (1, 0 )



2

5

 1 



θ = 26.56

5 d)

Trazo aproximado de la cónica y los sistemas de referencia.

187



correspondencia es:

T



x, y





2

T:

Obtenga el adjunto del operador lineal

 2x  y,

x  3y



2

, cuya regla de



Considere como producto interno el producto escalar ordinario en

2.

2

.

Sea el espacio vectorial:

   a M     0 

0  b 

    

a, b 

definido en el campo de los números reales y sea el operador lineal T : M  M con regla de correspondencia:

 T   

a   0

0  b 

  ab      0 

  a  b  0

Determine el operador adjunto de T , considerando el siguiente producto interno:

 a     0  3.

0  b 

 x   0

0   y 

   ax  by ;   2

Sea el operador lineal T :



2

a    0 2

, donde

0  x  ,  b   0

0  M y 

está definido en el campo

complejo y cuya regla de correspondencia es:

T a)

x, y







2x  i y , y  i x



;





x, y



2

Determine si T es un operador normal respecto al producto interno usual en

b)



2

.

Obtenga

T*

 1 i ,

1i



.

188


4.

Sea el espacio vectorial de polinomios P   a x  b a , b 

 sobre

el

, y sea T : P  P un operador lineal definido por:

campo

T



ax  b







2 a  2b

x



 5b  2 a  ;

 ax  b  P

Considerando como producto interno:



5.

f



g

 f

0 g 0

 f ' 0 g ' 0 ;

 f, g P

a)

Determine si T es un operador hermitiano.

b)

En caso de ser afirmativa la respuesta del inciso anterior, obtenga una matriz asociada a T referida a una base ortonormal de P y compruebe que dicha matriz es hermitiana.

c)

Si T es un operador hermitiano, compruebe que sus valores característicos son reales.

d)

Verifique que los vectores característicos de T resultan ser ortogonales.

Determine la relación que deben tener a , b 

T



x, y





 2x  a y ,

bx  y

tal que el operador lineal

;







x, y

2

sea un operador simétrico con el producto escalar ordinario. 6.

Sea la transformación lineal T : P  P definida por:

T donde

P 

 ax 2  bx  c 

 ax 2  bx  c

  2b x 2 

a , b, c 



2a  c



x  b



Determine si T es un operador antihermitiano con el producto interno.

p

q 

1 p " (1) q " (1)  p ' ( 0 ) q ' ( 0 )  p ( 0 ) q ( 0 ) ; 4

189

 p, qP


7.

2


2

se define el operador lineal T :

sobre



2



2

de la siguiente manera:

T a)



a  bi , c  d i







 b  ai , d  ci





;

 a  bi ,

c  di

Determine si el operador T es hermitiano, antihermitiano y/o unitario, considerando como producto interno al producto escalar ordinario complejo.

b)

8.

En caso de ser posible, obtenga una matriz diagonal que represente al operador lineal T .

3

Determine si el operador lineal T :

 2x T  x , y , z     14 

y

3z



14

x

,

14



3

y



3



3


z

, 

3

4x 42



5y



42

  42  z

es un operador ortogonal, considerando como producto interno el producto escalar ordinario en

9.

3

.

Sea el espacio vectorial:

 sobre

z

z  a  bi ;



y el operador T :

T

 a, b 

z

donde i 2   1



definido por:

 zi

;

 z

Determine si T es un operador unitario con el siguiente producto interno:

u

v



 uv ;

donde v es el conjugado de v .

190

 u, v


10. Para el operador hermitiano T :

T



x, y

2



2


1     2x,  x  y  3  



y el producto interno:

x

y   x1 x 2  x1 y 2  x 2 y1  3 y1 y 2 ;  x   x1, y1  , y 

a)

Obtenga la descomposición espectral del operador T .

b)

Verifique que se cumple la condición

c)

Compruebe que

P1



2

, y2



2

P1  P 2  I .

P2  0.

11. Para el operador simétrico T :

T

x

x, y

2







2


 2 x  y,

x  2y



y el producto interno:

x

y   x1 x 2  x1 y 2  x 2 y1  3 y1 y 2 ;  x   x1 , y1  , y   x 2 , y 2



obtenga la descomposición espectral del operador T . 12. Para la cónica cuya ecuación es:

x2  2x y  y2 

10 2

x 

2

y  14  0

2

a)


b)

Obtenga la ecuación de la cónica, en un sistema de referencia que no contenga término mixto ni términos lineales.

c)

Calcule el ángulo de giro.

d)

Dibuje la cónica así como los distintos sistemas de referencia. 191



x" , y"  ,

2


13. Dada la elipse de ecuación 3 x 2  2 y 2  5 , obtenga la ecuación de esta elipse referida a un sistema



x ', y '  ,

donde el eje x ' forma un ángulo de 30 ,

medidos en sentido antihorario, con respecto al eje x .

14. Para la cónica cuya ecuación es:

2x2  a)

3 xy  y2  4


b)

Obtenga la ecuación de la cónica, en un sistema de referencia que no contenga término mixto.

c)

Dibuje la cónica así como los distintos sistemas de referencia.

192



x ', y '  ,


RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS



1.

T*

2.

 T*   

3.

a)

w, z

w   0 

a)



 2w  z ,

0  z 

 w  3z

  wz      0  



   w  z  0

T es un operador normal.

b)

4.



T*

 1i ,

1i





26

El operador T sí es hermitiano.

T 

 2    2 

2   es una matriz hermitiana donde B  5 

b)

M

c)

λ 1  1 y λ 2  6 valores característicos reales.

d)

Sí son ortogonales.

B B

5.

a  b

6.

T sí es un operador antihermitiano.

193

 x, 1 


7.

a)

T

no es hermitiano.

T

no es antihermitiano.

T

es unitario.

 i D   0 

b)

0   i 

8.

T

sí es un operador ortogonal.

9.

T

sí es un operador unitario.

10. a)

T





x, y

x  x     2  x,   y    1  0, 3  3   

b)

Sí se cumple.

c)

Sí se cumple.

11. T

12. a)



x, y



 xy  1  ,  2

   P     

b)



c)

θ = 45

x"



2

1



xy  x y   xy ,   3   2  2  2 

1

2

2

1

1

2

2

 3 y"



      

2

194


d)

13.

11  x '



14.

  a) P     

2

 2

3 2 1 2

3 x' y'  9  y '





2

    3  2 

1 2

195

 20


b)

5 x '



2





y'



2

8

ó

c)

196

 x ' 8 5

2



 y ' 8

2

 1

BIBLIOGRAFÍA

ANTON, H., Introducción al Álgebra lineal. 3a. edición, México, Limusa, 2003. GROSSMAN, S. I., J.J. Flores G., Álgebra lineal. 7a. edición, México. Mc Graw Hill, 2012. LAY, D. C., Álgebra lineal y sus aplicaciones. 3a. edición, México, Pearson, 2007. LARSON, R., D. Falvo, Fundamentos de Álgebra lineal. 6a. edición, México, Cengage Learning Editores, 2010. POOLE, D., Álgebra lineal. 2a. edición, México, Thomson Editores, 2006. SOLAR G. E., L. Speziale, Apuntes de Álgebra lineal. 3a. edición, México, LimusaFacultad de Ingeniería-UNAM, 1996.

Algebra lineal UNAM

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