ÁLGEBRA LINEAL
Universidad Nacional de San Cristóbal de Huamanga Vladimir Acori Flores July 13, 2015
remove the next line if you don't want a background image Vladimir Acori Flores (UNSCH)
Álgebra Lineal
July 13, 2015
1 / 31
Outline 1 Capítulo 2
Transformaciones Lineales Núcleo e Imagen de una transformación lineal Isomorsmos Determinación de una transformación lineal Matriz de una aplicación lineal Dimensión de la Imagen y el Núcleo Rango de una transformación lineal Composición de una transformación lineal Matriz de cambio de Base Cambio de Base en una transformación lineal
Vladimir Acori Flores (UNSCH)
Álgebra Lineal
July 13, 2015
2 / 31
Next Subsection 1 Capítulo 2
Transformaciones Lineales Núcleo e Imagen de una transformación lineal Isomorsmos Determinación de una transformación lineal Matriz de una aplicación lineal Dimensión de la Imagen y el Núcleo Rango de una transformación lineal Composición de una transformación lineal Matriz de cambio de Base Cambio de Base en una transformación lineal
Vladimir Acori Flores (UNSCH)
Álgebra Lineal
July 13, 2015
3 / 31
Transformaciones Lineales Denición (Transformación Lineal) Sean V y W espacios vectoriales reales. Una aplicación T : V → W es lineal si: 1 T (u + v) = T (u) + T (v), ∀u, v ∈ V . Es decir, T es lineal si conserva combinaciones lineales y los coecientes de éstas.
Vladimir Acori Flores (UNSCH)
Álgebra Lineal
July 13, 2015
4 / 31
Transformaciones Lineales Denición (Transformación Lineal) Sean V y W espacios vectoriales reales. Una aplicación T : V → W es lineal si: 1 T (u + v) = T (u) + T (v), ∀u, v ∈ V . 2 T (αu) = αT (u), ∀u ∈ V , α ∈ R. Es decir, T es lineal si conserva combinaciones lineales y los coecientes de éstas.
Equivalente: Estas dos condiciones son equivalentes a la única condición: T (αu + β v) = αT (u) + β T (v), ∀u, v ∈ V ; ∀α, β ∈ R.
Vladimir Acori Flores (UNSCH)
Álgebra Lineal
July 13, 2015
4 / 31
Ejemplos La transformación de reexión Sea la aplicación T : R2 → R2 dada por T (x , y ) = (−x , y ). T toma un vector de R2 y lo reeja sobre el eje y .
Vladimir Acori Flores (UNSCH)
Álgebra Lineal
July 13, 2015
5 / 31
Ejemplos La transformación de reexión Sea la aplicación T : R2 → R2 dada por T (x , y ) = (−x , y ). T toma un vector de R2 y lo reeja sobre el eje y .
El operador de transposición
Sea la aplicación T : Mmn → Mnm dada por T (A) = At . T toma una matriz de orden mn y le aplica su transpuesta.
Vladimir Acori Flores (UNSCH)
Álgebra Lineal
July 13, 2015
5 / 31
Ejemplos La transformación de reexión Sea la aplicación T : R2 → R2 dada por T (x , y ) = (−x , y ). T toma un vector de R2 y lo reeja sobre el eje y .
El operador de transposición
Sea la aplicación T : Mmn → Mnm dada por T (A) = At . T toma una matriz de orden mn y le aplica su transpuesta.
Transformación que no es lineal
Sea la aplicación T : R2 → R2 dada por T (x , y ) = (x + 1, e x ), no es lineal.
Vladimir Acori Flores (UNSCH)
Álgebra Lineal
July 13, 2015
5 / 31
Ejemplos La transformación de reexión Sea la aplicación T : R2 → R2 dada por T (x , y ) = (−x , y ). T toma un vector de R2 y lo reeja sobre el eje y .
El operador de transposición
Sea la aplicación T : Mmn → Mnm dada por T (A) = At . T toma una matriz de orden mn y le aplica su transpuesta.
Transformación que no es lineal
Sea la aplicación T : R2 → R2 dada por T (x , y ) = (x + 1, e x ), no es lineal.
Transformación que no es lineal La aplicación T : C [0, 1] → R dada por T (f ) = f (0) + 1, no es lineal. Vladimir Acori Flores (UNSCH)
Álgebra Lineal
July 13, 2015
5 / 31
Propiedades Propiedades: Sean V y W espacios vectoriales reales y T : V → W aplicación lineal entonces: • T (0) = 0.
Vladimir Acori Flores (UNSCH)
Álgebra Lineal
July 13, 2015
6 / 31
Propiedades Propiedades: Sean V y W espacios vectoriales reales y T : V → W aplicación lineal entonces: • T (0) = 0. • T (−u) = −T (u).
Vladimir Acori Flores (UNSCH)
Álgebra Lineal
July 13, 2015
6 / 31
Propiedades Propiedades: Sean V y W espacios vectoriales reales y T : V → W aplicación lineal entonces: • T (0) = 0. • T (−u) = −T (u). • S es un subespacio vectorial de V =⇒ T (S ) es un subespacio vectorial de W .
Vladimir Acori Flores (UNSCH)
Álgebra Lineal
July 13, 2015
6 / 31
Propiedades Propiedades: Sean V y W espacios vectoriales reales y T : V → W aplicación lineal entonces: • T (0) = 0. • T (−u) = −T (u). • S es un subespacio vectorial de V =⇒ T (S ) es un subespacio vectorial de W . • R es un subespacio vectorial de W =⇒ T −1 (R ) es un subespacio vectorial de V .
Vladimir Acori Flores (UNSCH)
Álgebra Lineal
July 13, 2015
6 / 31
Propiedades Propiedades: Sean V y W espacios vectoriales reales y T : V → W aplicación lineal entonces: • T (0) = 0. • T (−u) = −T (u). • S es un subespacio vectorial de V =⇒ T (S ) es un subespacio vectorial de W . • R es un subespacio vectorial de W =⇒ T −1 (R ) es un subespacio vectorial de V . • Si L es un subconjunto de vectores LD en V , entonces T (L) es un subconjunto de LD en W .
Vladimir Acori Flores (UNSCH)
Álgebra Lineal
July 13, 2015
6 / 31
Ejemplo La aplicación lineal no conserva vectores LI ni sistema de generadores Sea la transformación lineal T : R2 → R2 dada por T (x , y ) = (x − 3y , 2x − 6y )
Vladimir Acori Flores (UNSCH)
Álgebra Lineal
July 13, 2015
7 / 31
Ejemplo La aplicación lineal no conserva vectores LI ni sistema de generadores Sea la transformación lineal T : R2 → R2 dada por T (x , y ) = (x − 3y , 2x − 6y ) La transformación T lleva la base canónica {e = (1, 0), e = (0, 1)} de R2 en los vectores {u = (1, 2), v = (−3, −6)} que son linealmente independientes, pues v = −3u, luego una transformación lineal no
tiene porqué conservar la independencia lineal ni tampoco conserva sistema de generadores.
Vladimir Acori Flores (UNSCH)
Álgebra Lineal
July 13, 2015
7 / 31
Next Subsection 1 Capítulo 2
Transformaciones Lineales Núcleo e Imagen de una transformación lineal Isomorsmos Determinación de una transformación lineal Matriz de una aplicación lineal Dimensión de la Imagen y el Núcleo Rango de una transformación lineal Composición de una transformación lineal Matriz de cambio de Base Cambio de Base en una transformación lineal
Vladimir Acori Flores (UNSCH)
Álgebra Lineal
July 13, 2015
8 / 31
Núcleo e Imagen de una transformación lineal Denición (Subespacios asociados a una transformación lineal) Sean V y W dos espacios vectoriales y sea T : V → W una transformación lineal, se denen:
Vladimir Acori Flores (UNSCH)
Álgebra Lineal
July 13, 2015
9 / 31
Núcleo e Imagen de una transformación lineal Denición (Subespacios asociados a una transformación lineal) Sean V y W dos espacios vectoriales y sea T : V → W una transformación lineal, se denen: • El núcleo de T , denotado por Ker(T), como Ker(T)
Vladimir Acori Flores (UNSCH)
= {u ∈ V : T u = 0 }
Álgebra Lineal
July 13, 2015
9 / 31
Núcleo e Imagen de una transformación lineal Denición (Subespacios asociados a una transformación lineal) Sean V y W dos espacios vectoriales y sea T : V → W una transformación lineal, se denen: • El núcleo de T , denotado por Ker(T), como Ker(T)
= {u ∈ V : T u = 0 }
• La imagen de T , denotado por Im(T), como Im(T)
Vladimir Acori Flores (UNSCH)
= {w ∈ W : w = T u para algún u ∈ V }
Álgebra Lineal
July 13, 2015
9 / 31
Ejemplos Núcleo e imagen de la transformación cero La aplicación lineal cero T : V → W dada por T (v) = 0.
Vladimir Acori Flores (UNSCH)
Álgebra Lineal
July 13, 2015
10 / 31
Ejemplos Núcleo e imagen de la transformación cero La aplicación lineal cero T : V → W dada por T (v) = 0.Ker(T) = V y Im(T) = {0}.
Vladimir Acori Flores (UNSCH)
Álgebra Lineal
July 13, 2015
10 / 31
Ejemplos Núcleo e imagen de la transformación cero La aplicación lineal cero T : V → W dada por T (v) = 0.Ker(T) = V y Im(T) = {0}.
Núcleo e imagen de la transformación identidad La aplicación lineal identidad T : V → V dada por T (v ) = v .
Vladimir Acori Flores (UNSCH)
Álgebra Lineal
July 13, 2015
10 / 31
Ejemplos Núcleo e imagen de la transformación cero La aplicación lineal cero T : V → W dada por T (v) = 0.Ker(T) = V y Im(T) = {0}.
Núcleo e imagen de la transformación identidad La aplicación lineal identidad T : V → V dada por T (v) = v.Ker(T) = {0} y Im(T) = V .
Vladimir Acori Flores (UNSCH)
Álgebra Lineal
July 13, 2015
10 / 31
Ejemplos Núcleo e imagen de la transformación cero La aplicación lineal cero T : V → W dada por T (v) = 0.Ker(T) = V y Im(T) = {0}.
Núcleo e imagen de la transformación identidad La aplicación lineal identidad T : V → V dada por T (v) = v.Ker(T) = {0} y Im(T) = V .
Núcleo e imagen de una transformación proyección La aplicación lineal proyección T : R3 → R3 dada por T (x , y , z ) = (x , 0, z ).
Vladimir Acori Flores (UNSCH)
Álgebra Lineal
July 13, 2015
10 / 31
Ejemplos Núcleo e imagen de la transformación cero La aplicación lineal cero T : V → W dada por T (v) = 0.Ker(T) = V y Im(T) = {0}.
Núcleo e imagen de la transformación identidad La aplicación lineal identidad T : V → V dada por T (v) = v.Ker(T) = {0} y Im(T) = V .
Núcleo e imagen de una transformación proyección La aplicación lineal proyección T : R3 → R3 dada por T (x , y , z ) = (x , 0, z ).Es el operador proyección de R3 en al plano xz. T (x , y , z ) = 0 =⇒ (x , 0, z ) = (0, 0, 0) =⇒ x = z = 0 = {(x , y , z ) : x = z = 0, x ∈ R}: Eje x Im(T) = {(x , y , z ) : x = 0}: Plano yz Ker(T)
Vladimir Acori Flores (UNSCH)
Álgebra Lineal
July 13, 2015
10 / 31
Nulidad y Rango de una transformación lineal Denición (Nulidad y Rango ) Sean V y W dos espacios vectoriales y T : V → W una transformación lineal, se denen:
Vladimir Acori Flores (UNSCH)
Álgebra Lineal
July 13, 2015
11 / 31
Nulidad y Rango de una transformación lineal Denición (Nulidad y Rango ) Sean V y W dos espacios vectoriales y T : V → W una transformación lineal, se denen: • Nulidad de T , denotado por Nul(T), como Nul(T)
Vladimir Acori Flores (UNSCH)
= dim Ker(T)
Álgebra Lineal
July 13, 2015
11 / 31
Nulidad y Rango de una transformación lineal Denición (Nulidad y Rango ) Sean V y W dos espacios vectoriales y T : V → W una transformación lineal, se denen: • Nulidad de T , denotado por Nul(T), como Nul(T)
= dim Ker(T)
• Rango de T , denotado por Ran(T), como Ran(T)
Vladimir Acori Flores (UNSCH)
= dim Im(T)
Álgebra Lineal
July 13, 2015
11 / 31
Ejemplos Nulidad y Rango de un operador transpuesto Sea T : Mmn → Mnm dada por T (A) = At . Ran(T) = nm.
Vladimir Acori Flores (UNSCH)
Álgebra Lineal
Nul(T)
=0y
July 13, 2015
12 / 31
Ejemplos Nulidad y Rango de un operador transpuesto Sea T : Mmn → Mnm dada por T (A) = At . Ran(T) = nm.
Nul(T)
=0y
Nulidad y Rango de una transformación P4 (R) en P2 (R) Sea T : P4 → P2 dada por T (p ) = T (a0 + a1 x + a2 x 2 + a3 x 3 + a4 x 4 ) = a0 + a1 x + a2 x 2
Vladimir Acori Flores (UNSCH)
Álgebra Lineal
July 13, 2015
12 / 31
Ejemplos Nulidad y Rango de un operador transpuesto Sea T : Mmn → Mnm dada por T (A) = At . Ran(T) = nm.
Nul(T)
=0y
Nulidad y Rango de una transformación P4 (R) en P2 (R) Sea T : P4 → P2 dada por T (p ) = T (a0 + a1 x + a2 x 2 + a3 x 3 + a4 x 4 ) = a0 + a1 x + a2 x 2 Ker(T)
= p ∈ P4 : p (x ) = a3 x 3 + a4 x 4 , y
Vladimir Acori Flores (UNSCH)
Álgebra Lineal
Im(T)
= P2 .
July 13, 2015
12 / 31
Ejemplos Nulidad y Rango de un operador transpuesto Sea T : Mmn → Mnm dada por T (A) = At . Ran(T) = nm.
Nul(T)
=0y
Nulidad y Rango de una transformación P4 (R) en P2 (R) Sea T : P4 → P2 dada por T (p ) = T (a0 + a1 x + a2 x 2 + a3 x 3 + a4 x 4 ) = a0 + a1 x + a2 x 2 = p ∈ P4 : p (x ) = a3 x 3 + a4 x 4 , y Nul(T) = 2 y Ran(T) = 3. Ker(T)
Vladimir Acori Flores (UNSCH)
Álgebra Lineal
Im(T)
= P2 . Luego,
July 13, 2015
12 / 31
Next Subsection 1 Capítulo 2
Transformaciones Lineales Núcleo e Imagen de una transformación lineal Isomorsmos Determinación de una transformación lineal Matriz de una aplicación lineal Dimensión de la Imagen y el Núcleo Rango de una transformación lineal Composición de una transformación lineal Matriz de cambio de Base Cambio de Base en una transformación lineal
Vladimir Acori Flores (UNSCH)
Álgebra Lineal
July 13, 2015
13 / 31
Isomorsmos Denición (Monomorsmo-Epimorsmo-Isomorsmo) Sea T : V → W una transformación lineal, se denen:
Vladimir Acori Flores (UNSCH)
Álgebra Lineal
July 13, 2015
14 / 31
Isomorsmos Denición (Monomorsmo-Epimorsmo-Isomorsmo) Sea T : V → W una transformación lineal, se denen: • T es un monomorsmo si T es inyectiva (uno a uno), es decir T (u) = T (v) =⇒ u = v
Vladimir Acori Flores (UNSCH)
Álgebra Lineal
July 13, 2015
14 / 31
Isomorsmos Denición (Monomorsmo-Epimorsmo-Isomorsmo) Sea T : V → W una transformación lineal, se denen: • T es un monomorsmo si T es inyectiva (uno a uno), es decir T (u) = T (v) =⇒ u = v • T es un epimorsmo si T es sobreyectiva (sobre), es decir
∀w ∈ W , ∃v ∈ V : T (v) = w
Vladimir Acori Flores (UNSCH)
Álgebra Lineal
July 13, 2015
14 / 31
Isomorsmos Denición (Monomorsmo-Epimorsmo-Isomorsmo) Sea T : V → W una transformación lineal, se denen: • T es un monomorsmo si T es inyectiva (uno a uno), es decir T (u) = T (v) =⇒ u = v • T es un epimorsmo si T es sobreyectiva (sobre), es decir
∀w ∈ W , ∃v ∈ V : T (v) = w Im(T)
Vladimir Acori Flores (UNSCH)
Álgebra Lineal
=W
July 13, 2015
14 / 31
Isomorsmos Denición (Monomorsmo-Epimorsmo-Isomorsmo) Sea T : V → W una transformación lineal, se denen: • T es un monomorsmo si T es inyectiva (uno a uno), es decir T (u) = T (v) =⇒ u = v • T es un epimorsmo si T es sobreyectiva (sobre), es decir
∀w ∈ W , ∃v ∈ V : T (v) = w Im(T)
=W
• T es un isomorsmo si T es biyectiva (inyectiva y sobreyectiva). Vladimir Acori Flores (UNSCH)
Álgebra Lineal
July 13, 2015
14 / 31
Isomorsmos Teorema (condición necesaria y suciente de monomorsmo) Sea T : V → W una transformación lineal. T es inyectiva ⇐⇒ Ker(T) = {0}
Vladimir Acori Flores (UNSCH)
Álgebra Lineal
July 13, 2015
15 / 31
Isomorsmos Teorema (condición necesaria y suciente de monomorsmo) Sea T : V → W una transformación lineal. T es inyectiva ⇐⇒ Ker(T) = {0}
Teorema (condición necesaria y suciente de monomorsmo) Sea T : V → W una transformación lineal y dim V = dim W = n. Entonces T es inyectiva ⇐⇒ T es sobre
Vladimir Acori Flores (UNSCH)
Álgebra Lineal
July 13, 2015
15 / 31
Isomorsmos Teorema (condición necesaria y suciente de monomorsmo) Sea T : V → W una transformación lineal. T es inyectiva ⇐⇒ Ker(T) = {0}
Teorema (condición necesaria y suciente de monomorsmo) Sea T : V → W una transformación lineal y dim V = dim W = n. Entonces T es inyectiva ⇐⇒ T es sobre
Nota Cuando el espacio inicial y nal coinciden (V = W ), la transformación lineal y el isomorsmo se denominan endomorsmo y automorsmo respectivamente. Vladimir Acori Flores (UNSCH)
Álgebra Lineal
July 13, 2015
15 / 31
Next Subsection 1 Capítulo 2
Transformaciones Lineales Núcleo e Imagen de una transformación lineal Isomorsmos Determinación de una transformación lineal Matriz de una aplicación lineal Dimensión de la Imagen y el Núcleo Rango de una transformación lineal Composición de una transformación lineal Matriz de cambio de Base Cambio de Base en una transformación lineal
Vladimir Acori Flores (UNSCH)
Álgebra Lineal
July 13, 2015
16 / 31
Determinación de una transformación lineal Si B = {v1 , v2 , . . . , vn } es una base de V y {w1 , w2 , . . . , wn } son n vectores cualesquiera de W , entonces existe una única transformación lineal T : V → W tal que T (vi ) = wi
Vladimir Acori Flores (UNSCH)
para 1 ≤ i ≤ n.
Álgebra Lineal
July 13, 2015
17 / 31
Determinación de una transformación lineal Si B = {v1 , v2 , . . . , vn } es una base de V y {w1 , w2 , . . . , wn } son n vectores cualesquiera de W , entonces existe una única transformación lineal T : V → W tal que T (vi ) = wi
para 1 ≤ i ≤ n.
Observación
Si T : Rn → Rm viene denida por T (v) = Av, para A ∈ Mmn (R), entonces 1 Ker(T) son las soluciones del sistema homogéneo Av = 0. 2 Si B = {e1 , e2 , . . . , en } es la base canónica de Rn , entonces Im(T)
= {f (e1 ), f (e2 ), . . . , f (en )} = L ({c1 , c2 , . . . , cn }) ,
donde ci es la columna i-ésima de la matriz A. Vladimir Acori Flores (UNSCH)
Álgebra Lineal
July 13, 2015
17 / 31
Ejemplo Calcular la imagen y núcleo de T Si T : R3 1 0 A= 1
→ R3 es la aplicación lineal asociada a la matriz
0 1 1 0 , entonces 1 1
Vladimir Acori Flores (UNSCH)
Im(T)
y
Álgebra Lineal
Ker(T)
son:
July 13, 2015
18 / 31
Ejemplo Calcular la imagen y núcleo de T Si T : R3 1 0 A= 1 Im(T)
→ R3 es la aplicación lineal asociada a la matriz
0 1 1 0 , entonces 1 1
Im(T)
y
Ker(T)
son:
= L ({(1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 0, 1)}) = L ({(1, 0, 1), (0, 1, 1)}) .
Vladimir Acori Flores (UNSCH)
Álgebra Lineal
July 13, 2015
18 / 31
Ejemplo Calcular la imagen y núcleo de T Si T : R3 1 0 A= 1 Im(T)
→ R3 es la aplicación lineal asociada a la matriz
0 1 1 0 , entonces 1 1
Im(T)
y
Ker(T)
son:
= L ({(1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 0, 1)}) = L ({(1, 0, 1), (0, 1, 1)}) . Ker(T)
Vladimir Acori Flores (UNSCH)
= {v : Av = 0} = L ({(1, 0, −1)}) .
Álgebra Lineal
July 13, 2015
18 / 31
Next Subsection 1 Capítulo 2
Transformaciones Lineales Núcleo e Imagen de una transformación lineal Isomorsmos Determinación de una transformación lineal Matriz de una aplicación lineal Dimensión de la Imagen y el Núcleo Rango de una transformación lineal Composición de una transformación lineal Matriz de cambio de Base Cambio de Base en una transformación lineal
Vladimir Acori Flores (UNSCH)
Álgebra Lineal
July 13, 2015
19 / 31
Matriz de una aplicación lineal
Teorema Si V es un espacio vectorial de dimensión n y W un espacio vectorial de dimensión m y T : V → W una transformación lineal. Sea BV = {v1 , v2 , . . . , vn } una base de V y sea BW = {w1 , w2 , . . . , wm } una base para W . Entonces existe una única matriz AT de orden m × n tal que (T x)BW = AT (x)BV
Vladimir Acori Flores (UNSCH)
Álgebra Lineal
July 13, 2015
20 / 31
Ejemplo Para la transformación lineal T : R4 → R3 dada por T (x , y , z , t ) = (x + t , x + y + z , x + y + z ). Encontrar la expresión matricial de la transformación lineal respecto de las bases canónicas, el núcleo y la imagen.
Vladimir Acori Flores (UNSCH)
Álgebra Lineal
July 13, 2015
21 / 31
Ejemplo Para la transformación lineal T : R4 → R3 dada por T (x , y , z , t ) = (x + t , x + y + z , x + y + z ). Encontrar la expresión matricial de la transformación lineal respecto de las bases canónicas, el núcleo y la imagen. La matriz de la yransformación lineal es 1 0 0 1 1 1 1 0 A= 1 1 1 0
Vladimir Acori Flores (UNSCH)
Álgebra Lineal
July 13, 2015
21 / 31
Ejemplo Para la transformación lineal T : R4 → R3 dada por T (x , y , z , t ) = (x + t , x + y + z , x + y + z ). Encontrar la expresión matricial de la transformación lineal respecto de las bases canónicas, el núcleo y la imagen. La matriz de la yransformación lineal es 1 0 0 1 1 1 1 0 A= 1 1 1 0
El núcleo es Ker(T)
Vladimir Acori Flores (UNSCH)
= {(1, 0, −1, −1), (0, 1, −1, 0)} .
Álgebra Lineal
July 13, 2015
21 / 31
Ejemplo Para la transformación lineal T : R4 → R3 dada por T (x , y , z , t ) = (x + t , x + y + z , x + y + z ). Encontrar la expresión matricial de la transformación lineal respecto de las bases canónicas, el núcleo y la imagen. La matriz de la yransformación lineal es 1 0 0 1 1 1 1 0 A= 1 1 1 0
El núcleo es Ker(T)
= {(1, 0, −1, −1), (0, 1, −1, 0)} .
La imagen es Im(T)
= {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 1, 1), (1, 0, 0)} = {(1, 1, 1), (0, 1, 1)}
Vladimir Acori Flores (UNSCH)
Álgebra Lineal
July 13, 2015
21 / 31
Next Subsection 1 Capítulo 2
Transformaciones Lineales Núcleo e Imagen de una transformación lineal Isomorsmos Determinación de una transformación lineal Matriz de una aplicación lineal Dimensión de la Imagen y el Núcleo Rango de una transformación lineal Composición de una transformación lineal Matriz de cambio de Base Cambio de Base en una transformación lineal
Vladimir Acori Flores (UNSCH)
Álgebra Lineal
July 13, 2015
22 / 31
Dimensión de la Imagen y el Núcleo
Vladimir Acori Flores (UNSCH)
Álgebra Lineal
July 13, 2015
23 / 31
Next Subsection 1 Capítulo 2
Transformaciones Lineales Núcleo e Imagen de una transformación lineal Isomorsmos Determinación de una transformación lineal Matriz de una aplicación lineal Dimensión de la Imagen y el Núcleo Rango de una transformación lineal Composición de una transformación lineal Matriz de cambio de Base Cambio de Base en una transformación lineal
Vladimir Acori Flores (UNSCH)
Álgebra Lineal
July 13, 2015
24 / 31
Rango de una transformación lineal
Vladimir Acori Flores (UNSCH)
Álgebra Lineal
July 13, 2015
25 / 31
Next Subsection 1 Capítulo 2
Transformaciones Lineales Núcleo e Imagen de una transformación lineal Isomorsmos Determinación de una transformación lineal Matriz de una aplicación lineal Dimensión de la Imagen y el Núcleo Rango de una transformación lineal Composición de una transformación lineal Matriz de cambio de Base Cambio de Base en una transformación lineal
Vladimir Acori Flores (UNSCH)
Álgebra Lineal
July 13, 2015
26 / 31
Composición de una transformación lineal
Vladimir Acori Flores (UNSCH)
Álgebra Lineal
July 13, 2015
27 / 31
Next Subsection 1 Capítulo 2
Transformaciones Lineales Núcleo e Imagen de una transformación lineal Isomorsmos Determinación de una transformación lineal Matriz de una aplicación lineal Dimensión de la Imagen y el Núcleo Rango de una transformación lineal Composición de una transformación lineal Matriz de cambio de Base Cambio de Base en una transformación lineal
Vladimir Acori Flores (UNSCH)
Álgebra Lineal
July 13, 2015
28 / 31
Matriz de cambio de Base
Vladimir Acori Flores (UNSCH)
Álgebra Lineal
July 13, 2015
29 / 31
Next Subsection 1 Capítulo 2
Transformaciones Lineales Núcleo e Imagen de una transformación lineal Isomorsmos Determinación de una transformación lineal Matriz de una aplicación lineal Dimensión de la Imagen y el Núcleo Rango de una transformación lineal Composición de una transformación lineal Matriz de cambio de Base Cambio de Base en una transformación lineal
Vladimir Acori Flores (UNSCH)
Álgebra Lineal
July 13, 2015
30 / 31
Cambio de Base en una transformación lineal
Vladimir Acori Flores (UNSCH)
Álgebra Lineal
July 13, 2015
31 / 31