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Del colegio a la Universidad
Mes: Diciembre 2013
ÁLGEBRA. NIVEL: SECUNDARIA
SEMANA Nº 01
PRIMER GRADO
INECUACIONES DE PRIMER GRADO. 1. Desigualdes. Simboliza las siguientes proposiciones: Lenguaje verbal
________________________________
Simbolización
•Mayor que •es mas que
>
•menor que •es menos que
<
•mayor o igual que •por lo menos
•menor o igual que •a lo más
f) La suma de dos números naturales es menor o igual que 7: _________________________________ Definición: Una inecuación es una desigualdad con una o más incógnitas que se satisface para un conjunto de valores asignados a dicha o dichas variables. Ejemplos: • 2x < 4 • 3x + 1 -5 • x+47 • 2x - 1 > 5 3. Conjunto solución Está formado por los valores de la variable (Números) que satisfacen la desigualdad.
a) 3 es menor que 6: _______________________ b) 5 es mayor que 2: _______________________
a) x ZZ + y x<5: C.S. = {1; 2; 3; 4}
c) 4 es un número positivo: ___________________
b) x IN y x + 4 < 13: C.S. = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}
d) -2 es menor que -1: _______________________
c) x IN y 2x > 7: C.S. = {4; 5; 6; 7; ...}
4. Resolución de una Inecuación: Resolver una inecuación es encontrar un conjunto solución. Hay que tener cuidado cuando un número negativo multiplique o divida a los términos de una desigualdad ya que cambia el sentido de la desigualdad.
e) -3 es un número negativo: __________________ 2. Inecuaciones Simboliza los siguientes enunciados: a) "x" es un número entero positivo menor que 5:
Ejemplos:
________________________________________
Resolver:
b) La suma de un número natural y menor que 13:
a)
________________________________________ c) El doble de un número natural es menor que 11:
4 + 3x < 13 3x < 13 – 4 3x < 9
b) 7 - 2x < 19 -2x < 19 - 7 -2x < 12 2x > -12
x<3 x > -6 5. Resolución de un problema de texto: Enunciado: "El doble de la edad de Antonio más 5 es menor que 8". ¿Qué edad tiene Antonio? Solución:
________________________________________ d) La diferencia del doble de un número natural y 5 es mayor que 3: ___________________________
1. Comprender el problema: ¿Cuál es la incógnita del problema?
e) La suma del triple de un número natural y 4 es mayor o igual que 5:
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Del colegio a la La edad de Antonio: x Universidad
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TALLER DE APRENDIZAJE PREVIO.
1. Expresar de manera simbólica: b) 3(x - 2) + 2(x - 3) < 2(2x + 8) a) Un número "x" menor que 6. b) El duplo de "x" mayor o igual que 24. c) La sexta parte de "x" menor o igual que 5. d) Los dos tercios de un número "y" es mayor que 16. c) 5(x - 4) - 3(x + 1) < x + 5
2. Expresar el conjunto solución de cada caso del problema 1.
d) 2(3x + 4) - 5(x + 6) < 20
3. Resolver cada caso: a) Si: x IN;
x+4<6 5. Resolver: 3x 15 4
b) Si: x ZZ +; 2x - 4 8
c) Si: x IN;
-2x > -8 6. Resolver: 5(x 3) 10 e indicar el mayor valor entero que toma "x"
2
d) Si: x ZZ - ; 10x > -30
4. Resolver cada caso: 7. Resolver:
a) 2(x + 3) + 5(x + 9) < 6x + 100
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x 4 2x 5 x 3 4 12
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PROBLEMAS PARA LA CLASE. 1. Simboliza cada una de las siguientes proposiciones. 8. Indique el menor valor entero al resolver la siguiente inecuación. 3 2 x 9 x -3 2 3
a) "n" es un número natural mayor que 7. b) "x" es un número natural menor que 11. c) Un número natural sumado con 3 es mayor o igual que 12. d) "x" es un entero negativo menor que o igual a 10.
9. Resolver:
2. Encuentra el conjunto solución de cada una de las inecuaciones del ejercicio 1.
2x 1 2 - x 1 ;xZ 5 3
10. Resolver:
3. Si: x Z , resuelve las siguientes inecuaciones:
5x - 1 3x - 13 5x 1 ;xZ 4 10 3
a) 3x + 4 < 7 b) -2 - 5x 3
11. Resolver:
c) 3 - 4x 11
3x - 1 x 1 x ;xZ 15 2 7
d) 3x + 4 > 13
12. Resolver:
4. Si: x Z +, resuelve las siguientes inecuaciones:
x 1-3 x 2 ;xZ 3 10 12
a) 2x + 5 < 4x - 9 b) x 8 5x - 7
13. Se desea saber el menor número de alumnos que hay en un aula, si al triple de dicho número se le disminuye
c) -7 + 3x < -2x + 4
en 7, el resultado es mayor que 21.
d) -13x + 9 > 5x - 18
14. Determinar el mínimo número entero, cuyo triple
5. Simboliza y encuentra el conjunto solución de los siguientes enunciados:
disminuido en 6 sea mayor que su mitad aumentada en 4.
a) La suma de un número natural y 15 es mayor o igual a 23. b) La diferencia entre un número natural y 13 es menor que o igual a 48. c) El doble de un número entero más 9 es menor que 33. d) El triple de un número natural disminuido en 15 es mayor 47.
15. ¿Cuántos números naturales pares cumplen con la condición de que la tercera parte del número aumentado en 15 sea mayor que su mitad más 1? 16. Una fábrica de lapiceros quiere rematar un saldo de lapiceros que le sobró de la producción anterior; el costo de fabricar un lapicero es S/. 500 y él desea venderlo en S/. 800 c/u. ¿Cuántos lapiceros se deben
6. Hallar el mayor valor Z de "x" en: x
vender para garantizar una ganancia mínima de S/. 1500?
3 7 x 4 4 2
17. Un libro de matemática tiene el cuádruple de hojas que
7. Dar la suma de valores enteros y positivos de "x" que verifican la inecuación: 9
uno de Biología y entre los dos tienen menos de 180 hojas. Si el libro de Biología tiene el mayor número de
1 1 x 15 - x 3 2
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Del colegio a la hojas posible, ¿cuántas Universidad
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hojas tiene el libro de
matemática?
TAREA DOMICILIARIA. 1. Simboliza cada una de las siguientes proposiciones:
5 x x 1 (5 2x) 4 3 2 3 9. Resolver:
a) "p" es un número natural menor que 7. b) "x" es un número natural menor que o igual a 18. c) El doble de un número entero disminuido en 11 es mayor que 27. d) La cuarta parte de un número aumentado en 3 es mayor que o igual a 7.
2x 1 3x - 1 x 5 2x - 3 ; x Z 4 3 6 2
10. Resolver: 3x 4x x - 1 2x - 3 ;xZ 2 3 5 6
2. Encuentra el conjunto solución de cada una de las inecuaciones del ejercicio 1.
11. Resolver:
3. Si: x IN, resuelve las siguientes inecuaciones:
2x x 2 x 3 ;xZ 3 4 6
a) 2x + 8 < 21 b) 4x 7 13 c) 5x + 8 > 85 d) 5x - 3 28
12. Resolver: 4 x - 3 2x x 1 2x - 3 ; x Z 5 3 6 15
4. Si: x Z, resuelve las siguientes inecuaciones. a) 3(x - 1) - 4(x - 2) > 6(x - 3) - (x - 4)x - 1) - 4(x - 2) b)
13. Se desea saber el mayor número de alumnos que hay
2 (x 3) 5 (x - 2) 2x - 1 - 2 (x - 3)
en un aula, si al quíntuple de dicho número se le aumenta 13, el resultado es menor que 97.
c) 2(3x - 5) - 3(4x + 8) < 17 - 3x
14. ¿Cuántos números naturales impares cumplen con la
d) 4(2x + 1) - 3(3x + 1) < 6(x + 5) + 2(2x - 3)
condición de que la cuarta parte del número disminuido
5. Simboliza y encuentra el conjunto solución de los siguientes enunciados:
en 3 sea mayor que su mitad disminuida en 13? 15. Calcular el menor número que cumpla lo siguiente:
a) La suma de un número natural y 13 es menor que 45. b) La diferencia entre un número natural y 15 es menor que o igual a 12. c) El triple de un número entero más 15 es mayor que 37. d) La diferencia de cinco veces un número entero es mayor que o igual a 4.
"Cinco veces este número aumentado en 20 no es menor que el triple del mismo aumentado en 78". 16. Katia tiene una cierta cantidad de dinero. Si al triple de esta cantidad se le disminuye S/. 75, le quedan menos de los tres cuartos de su dinero aumentado en S/. 13. ¿Podrá Katia comprar una blusa que cuesta S/.
6. Hallar el mayor valor entero de "x" luego de reducir: 2x -
42? (Justifique su respuesta).
1 11 7 x 3 3 4
17. Un libro de Literatura cuesta cuatro veces lo que cuesta un libro de Historia y entre los dos cuestan menos de 240 soles. Si el libro de Historia cuesta lo máximo posible, ¿cuánto cuesta el libro de Literatura?
7. Hallar la suma de valores enteros y positivos, luego de resolver la siguiente inecuación. 3 x - 1 2 x (2x 1) 2 2 3
18. Para aprobar un examen de elección múltiple que consta de 20 preguntas, debe obtenerse por lo menos 60 puntos. Cada pregunta respondida correctamente
8. Hallar el menor valor entero de "x" luego de resolver:
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Del colegio a la vale 4 puntos y por cada respuesta incorrecta se resta Universidad 1 punto. Pablo respondió todas las preguntas. ¿Cuántas
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respuestas correctas debe tener como mínimo para aprobar?
SISTEMAS DE INECUACIONES DE PRIMER GRADO Antonio tenía "x" kg de tocino y medita "Si vendiera
1. Definición.
1 x 2 kg de tocino a S/. 100 el kg; recaudaría entre 2
Un sistema de inecuaciones con una variedad está conformado por dos o más inecuaciones lineales.
S/. 900 y S/. 960; si oferta a S/. 50 el kg de tocino y al mismo precio el kg de jamón, obtendría entre S/. 900 y S/. 1000". ¿Cuántos kilogramos de tocino y cuántos kilogramos de jamón se tienen sabiendo que son números enteros?
Ejemplos: 2x 3 3x - 5 2x - 5 x - 7
Comprender la solución del problema:
x 2x 5 3 2 3x - 5 x 1 3 2
1° La incógnita del problema son: - número de kilogramos de tocino: x - número de kilogramos de jamón: y 2° Desarrollar el plan. En la venta de tocino se
2. Resolución de un sistema. Para encontrar el conjunto solución de un sistema, se resuelve cada una de las inecuaciones que lo conforman y
luego
se
interceptan
los
conjuntos
recauda: S/. 100.
solución
encontrados.
1 x 2 2
Entonces: 900 < 100
< 960... ()
Al ofertar el tocino, en la venta de tocino y de jamón se recauda 50 (x + y); entonces: 900 < 50 (x + y) < 1000... ().
Ejemplos: Si x Z , resolver: x 1 2x 3 1...() 2 3 7 x 3x 5...() 4 2
Debemos resolver ( y () 3° Llevar a cabo el plan.
En () el m.c.m. de los denominadores es 6, luego:
5 () : 900 100 x 960 2 5 96 9x 2 10 90 10x 25 96
3(x - 1) + 2(2x - 3) < 6 3x - 3 + 4x - 6 < 6 7x < 15 1 x2 7
65 10x 71 5 65 71 6 x7 10 10 10 1 1 6 x7 2 10 x7 () : 900 50(7 y) 1000 18 7 y 20 7 y 19 y 12
C.S(a) = {... -1; 0; 1; 2} En ( el m.c.m. de los denominadores es 4, luego: 2(7x) + 3x > 5(4) 14x + 3x > 20 7x > 20 x 1
1 x 2 2
3 17
C.S () = {2; 3; 4; ...}
4° Verificar. Venta de tocino:
Intersectando se tiene que el conjunto solución del
100 7
sistema es: C. S. = {2}
5 2
= 950; 900 < 950 < 960
Venta de tocino y jamón:
3. Un problema de texto. Respuesta: Se tiene 7kg de tocino y 12kg de jamón.
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TALLER DE APRENDIZAJE PREVIO. 1. Calcular los valores enteros que cumplen: 2x 3 5 3x 9 21
5. Resolver: 5( x 1) 3( x 1) 16 2 x 12
2. Resolver: 4x 16 2x 3 0
6. Resolver: 2x 3 x 1 2 6 x 2
3. Resolver: 3(x 4) 2(x 10) 3x 45
7. Sabiendo que x ZZ , resolver: x 1 3(2x 1) 2 3 2(x 1) 20
4. Resolver: 4x 6 x 33 2x 24 13 13
8. Resolver el sistema: 2(5x 1) 4(2x 3) x 3 1
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PROBLEMAS PARTA LA CLASE. 1. Hallar que valores de "x" satisfacen las inecuaciones:
(Véase figura). Si 4 1 F 8 , ¿cuáles son los valores 2
2 x - 4 6 3x 5 4x - 7 ; (x Z)
enteros que corresponde a "x"? Longitud natural
2. Resuelve el siguiente sistema, si: x Z - 3 < 2x - 5 < 7
Alargamiento de "x" centímetros
3. Hallar la suma de valores enteros que satisfacen las inecuaciones:
x
11. Se desea saber el mayor número de alumnos que hay en una aula, si al doble del número de éstos se le disminuye en 9, el resultado es mayor que 31 y si al triple se le disminuye en 7, el resultado es menor que el doble del número aumentado en 16.
x 1 3(2x 1) 2 3 2(x 1) 20
4. Resolver el sistema; si: x Z 2x - 3 3 7 5
12. Un padre dispone de 320 soles para ir a un concierto con sus hijos, si toma entradas de 50 soles le falta dinero y si las toma de 40 soles le sobra dinero. ¿Cuál es el número de hijos?
5. Resolver el sistema; x Z 2x - 3 0 3x 2 0
13. Antonio vende 100 libros y le quedan más de la mitad de los que tenía. Si luego vende 48 libros le quedan menos de 54. ¿Cuántos libros tenía?
6. Resolver el sistema: (x Z ) 3x - 7 5 4x 5 2x 17
14. Hallar el número natural que sumado con 11 sea menor que la diferencia entre su triple y 7, y que sumando con 8,5; resulte mayor que la diferencia entre su doble y 2.
7. Resolver el sistema: (x Z ) 7 2x 6 2 x 3 3 5 5 5x 17 9x - 63
15. Para elaborar un determinado número de problemas, se duplicó este número, eliminando 40 de ellos por ser muy fáciles, quedaron menos de 60. Si se hubiera triplicado el número original de problemas y aumentado 20, habrían más de 164. ¿Cuántos problemas habían inicialmente?
8. Resolver el sistema: (x Z ) x -1 x 2x 3 4 6 5 4 x - 1 - 2x x 1 2 5 4 10
16. Para aprobar una prueba de elección múltiple que consta de 50 preguntas, deben obtenerse por lo menos 100 puntos. Cada pregunta respondida correctamente vale 4 puntos. Por cada respuesta incorrecta se resta 2 puntos.
9. Las lecturas de temperatura en las escalas Fahrenheit y
Celsius
se
relacionan
mediante
la
fórmula.
5 C (F - 32) ¿Qué valores impares de "F" corresponde 9
a) Marco respondió todas las preguntas, ¿cuántas respuestas correctas debe tener como mínimo, para aprobar? b) Pablo respondió 35 preguntas. ¿Podrá aprobar con menos respuestas correctas que Marco?
a los valores de "C" tales que 30 C 40 ?
10. Según la Ley de Hooke, la fuerza F, en kilogramos, necesaria para entrar "x" centímetros en determinado
17. Dos hermanos gemelos discuten sobre su edad, el primero dice: "Si a la edad que tengo le resto la cuarta parte de la diferencia de mi edad y 3, a lo más se
resorte respecto a su longitud natural, es F 2x
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Del colegio a la obtienen 15 años"; respondiendo el segundo "Si a Universidad edad le resto la quinta parte de la diferencia de
mi mi edad y 4, se obtiene no menos de 16 años". ¿Qué edad tienen?
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1.
Del colegio a la Universidad Hallar que valores enteros de "x" satisfacen las inecuaciones:
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x - 3 5 2x 5 7
2. Resolver el sistema. (x Z ) 2x - 5 < x + 3 < 3 x - 7
3. Hallar la suma de valores enteros que satisfacen el sistema de inecuaciones: 5 x 4 7 x - 18 8 - 7x 14 - 5x
4. Resolver el sistema: (x Z ) 3x 4 2x 10 3x 6 5x - 10
5. Resolver el sistema: (x Z ) 2x 5 5x - 9 5x 14 3x - 2
6. Resolver el sistema: (x Z ) 3x - 1 1 - 2x 2 3 7 x - 9 10 - x 3
7. Resolver el sistema: (x Z ) x - 3 2 - x 2 4 x - 2 3x - 1 3
8. Resolver el sistema: (x Z ) x 1 1 - 2x x +1 2 5 3 4
9. Se compra un número par de naranjas, si se vende la cuarta parte, quedan menos de 118 por vender, y si se vendiera la sexta parte, quedaría más de 129 por vender. ¿Cuántas naranjas se compraron? 10. Se tiene un cierto número de monedas, si se forman montones de a 7, no se pueden completar 8 de aquellos, y si se forman montones de a 6, se completa 9 y queda una sobrante. ¿Cuál es el número de monedas? 11. Tres supervisores cuentan el número de piezas que por minuto fábrica una máquina. El primero contó la mitad menos 3, el segundo contó la sexta parte y 7 piezas, y el tercero contó la cuarta parte y 5 piezas. Si el primero contó más piezas que el segundo, pero menos que el tercero, ¿qué número de piezas arroja la máquina por minuto?
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12. Hallar un número entero y positivo, sabiendo que la tercera parte del que le precede disminuida en una decena, es mayor que 14, y que la cuarta parte del que le sigue, aumentado en una decena es menor que 29. 13. En una granja había cierto número de gallinas, si al triplicar dicho número se vendieron 95 gallinas, quedaron menos de 87, pero si se hubiera duplicado dicho número, al vender 40, quedarían más de 79 gallinas. ¿Cuántas gallinas habría en la granja? 14. Miguel tiene "x" monedas dentro de una bolsa, el cuádruplo de dicho número disminuido en 8 es menor que o igual a 30, y que el quíntuplo de dicho número, aumentado en 7, es mayor que o igual a 50. Hallar el total de monedas. 15. Se compró un número impar y múltiplo de 3 de manzanas. Si se vende la cuarta parte, quedaría por vender menos de 120; pero si se vendiera la sexta parte, quedarían por vender más de 129 manzanas. ¿Cuántas manzanas se compraron? 16. "Luis tiene por lo menos 8 primos", dice -Antonio. "No, tienen menos de 8"- corrige Francisco "Tal vez tengas razón, pero lo que yo sé, es que tienen más de 2 primos"- Agrega Manuel. Si sólo uno de los chicos dice la verdad, ¿cuál es el mayor número de primos que tiene Luis? 17. Un carpintero hizo un cierto número de mesas. Vende 49 y le quedan por vender más de la mitad. Hace después 9 mesas y vende 20, quedándole menos de 41 mesas que vender. ¿Cuántas mesas ha hecho sabiendo que inicialmente fabrica un número par de mesas? 18. Un comerciante adquirió cierto número de artículos de los que vendió 70 y le quedaron más de la mitad; al día siguiente le devolvieron 6; pero logró vender 36, después de los cual le quedaron menos de 42. ¿Cuántos artículos formaban el lote?
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