ÁLGEBRA 2º - 2017

Índice Unidad I Capítulo 1

Expresiones algebraicas

4

Capítulo 2

Teoría de exponentes I

7

Capítulo 3

Teoría de exponentes II

10

Capítulo 4

Ecuaciones exponenciales

13

Capítulo 5

Valor numérico en polinomios

16

Capítulo 6

Teoría de grados

19

Capítulo 7

Polinomios especiales

22

Capítulo 8

Multiplicación algebraica

25

Capítulo 9

Repaso I

28

Unidad II Capítulo 10

Productos notables I

32

Capítulo 11

Productos notables II

35

Capítulo 12

División algebraica I

38

Capítulo 13

División algebraica II

41

Capítulo 14

Factorización I

44

Capítulo 15

Factorización II

47

Capítulo 16

Fracciones algebraicas I

50

Capítulo 17

Repaso II

53

Unidad III Capítulo 18

Fracciones algebraicas II

57

Capítulo 19

Radicación I

60

Capítulo 20

Radicación II

63

Capítulo 21

Radicación III

66

Capítulo 22

Teoría de ecuaciones

69

Capítulo 23

Ecuaciones de 1er grado I

72

Capítulo 24

Ecuaciones de 1er grado II

75

Capítulo 25

Repaso III

78

Unidad IV Capítulo 26

Sistemas de ecuaciones I

81

Capítulo 27

Sistemas de Ecuaciones II

85

Capítulo 28

Repaso IV

89

Capítulo 29

Sistemas de ecuaciones III

93

Capítulo 30

Desigualdades

97

Capítulo 31

Intervalos

100

Capítulo 32

Inecuaciones I

105

Capítulo 33

Inecuaciones II

108

Álgebra

1

Capítulo

Expresiones Algebraicas Problemas para la clase 1. Calcula en cada caso:

6. Indica las partes del siguiente término algebraico:

a) 4+9= b) −8+3= c) −10+6= d) −9+(−4)=

9

T(x)=−4x

• Variable : _____________ • Exponente

: _____________

• Coeficiente

: _____________

• Parte literal

: _____________

2. Calcula en cada caso: a) −4−5= b) −9−11=

7. Indica con un aspa (x), el término algebraico que no es semejante a los demás en cada caso:

c) −9+5= 3

−8x

2 3

5x y

5x

d) 7−10= 3. Calcula el valor de: −3+8−11+2

4x y

3

2 3

2

9x

3 2

5xy

4x

9y x

3

2

8. Reducir en cada caso: 4

4

a) 5x +8x = 3

3

b) 2m −7m = 4. Calcula en cada caso: a) (−2)(4)=

c) −4ab−5ab= 2

2

d) 11x y−5x y=

b) (−5)(−3)= c) (7)(−5)=

2

2

2

2

9. Reducir: −2x y+x y−3x y+5x y

d) (8)(9)(−2)= 5. Calcula el valor de: −3(2−5)−8(5−3) 3

2

3

2

10. Reducir: 4x −2x −5x +7x

Colegios

4

TRILCE

Central: 6198 – 100

Álgebra 3

11. Siendo: A=5xy–4xy–2xy

3

B=–xy+3xy–4xy Hallar A–B a) 0 d) –xy

Determine 2 P(x)+ Q(x) c) xy

d) x

2

2

2

P(x;y)=5x –2xy+y –4x +xy+2y –x +3xy–5y a) 2xy–2y d) 2xy–y

2

2

b) 2xy+y

2

c) 2xy+2y

2

e) –y –2xy

b) 2x –8

2

2

e) 2x +6

2

2

20. Reducir la siguiente expresión: E(x;y)=

16x + 20y − 2 (3x + 5y) 2 b) 8x+10y e) 5x+2y

21. Sabiendo que P(x)=4x

B=2xy–[xy–2xy]

Q(x)=–5x

Hallar A–B b) 2xy e) 5xy

c) −3xy

2a–3

, hallar

a) 2 d) 5 a b–1

a) 13mn d) 15mn

b) –15mn e) 12mn

c) –13mn

b) 3mnp e) mnp

c) 0

b) –2xyz e) –6xyz

c) –4xyz

2m+p

2x será:

c) 3xy

2

P(x)=–x +x–1

c) 10

3n+p

17

=px ; entonces “m+n+p” b) 9 e) 26

c) 10

b–c

;

son semejantes; calcular: a + c b

a) 1

b) 2

d) 4 3

e) 1 2

c) 3 2

25. Si la expresión:

2

Q(x)=2x –x+2

P(x)=(a+3)x

Hallar P(x)+ Q(x)

b+2

+2x

a+3

6

+(b+4)x , se reduce a

un solo término. Calcule su coeficiente.

2

b) x +1

2

e) x

www.trilce.edu.pe

+3x

a) 15 d) 11

T2=nx b) –14xy e) 0

b) 9 e) 12

a–b

18. Siendo

d) x –x–1

4 5

; R(x;y)=5x y son semejantes,

a) 8 d) 11

3xy–{2xy–[–5xy–(12xy–5xy)]–3xy}

a) x –x+1

c) 4

24. Si los términos en variable "x", T1=mx

17. Reducir:

a) 8xy d) –3xy

a

23. Si:

16. Reducir: –2xyz–{3xyz–[4xyz–5xyz]} a) 2xyz d) 4xyz

es semejante con

hallar “a+b”

15. Restar –2mnp de –mnp a) –3mnp d) –mnp

5

c) 3x+2y

b) 3 e) 6

22. Si T(x;y)=3x y

14. De 14mn restar –mn

2

c) 2x +8

2

a) 5x+5y d) 13x+15y

13. Si: A=–xy+3xy–(4xy–2xy)

a) xy d) 4xy

2

a) x +8

12. Reducir: 2

2

Q(x)=–2x –4x –4x+2

b) 3xy e) –3xy 2

2

19. Si P(x)=x +3x +2x+3

2 2

2

c) x –1

a) 10 d) 16

b) 12 e) 18

c) 14

Segundo año de secundaria

5

1

Capítulo

Practica en casa 1. Siendo: A=6xy–4xy–5xy B=–2xy+5xy–6xy Hallar: A+B

10. Reducir la siguiente expresión: E(x;y)= 18x − 30y − 4 (2x − 5y) 5

2. Reducir: 2

2

2

2

2

P(x;y)=2x +xy–2y –x –3xy+y +xy–2x +y

2

3. Si: A=2mp–[mp–(3mp–mp)] B=–mp–(mp–4mp) Hallar: A+B

R(x)=–5x

2a–6

12. Si: M(x;y)=5x

, hallar:

a+1 b+2

y

12

es semejante con

a 7 7

; A(x;y)=7x y

son semejantes, hallar: a+b

4. De: (4x–7y+3) restar (–3x–7y+2)

13. Si: 3x

5. Restar: (3m+4) de (5m+4)

m–1

+4x

p+1

=qx

5

Hallar: m+p+q

6. Reducir: –{5mn–[4mn–(2mn–5mn)+4mn]–4mn}+mn 7. Reducir: P(x;y)=2x–y–[3x–(4x–2y)+3y]–x+2y 2

14. Si se cumple: (a–2)x

b–1

4

+(a+3)x ≡ 11x

c+1

Hallar: ab–c b+1

8. Siendo: P(x)=2x +4x–2 2 Q(x)=x –4x+1 Hallar: P(x)+Q(x) 3

11. Sabiendo que Q(x)=3x

15. Si la expresión: P(x)=(a+6)x

a+2

+5x

8

+(b+3)x

se reduce a un solo término, calcule su coeficiente.

2

9. Si: F(x)=2x +2x –x+4 3 2 Q(x)=x +x +2x+3 Hallar: F(x)–2Q(x)

Tú puedes 4

n+1 m

1. Si x y; 3x y son semejantes; ¿qué podemos 5 3 5 m+2 afirmar de: (m+2)x y ∧ nx y ? a) Diferentes

¿Cuánto le costó el tercero?

b) Iguales

a) $a d) 3a+2b

c) Semejantes d) Hay 2 correctas

2. Sabiendo que “a” y “b” son números naturales 8+m

10

b 5–n

tales que: 3x +x =a x de: m+n+a+b, si: a!b a) 1 d) 4

, hallar la suma

b) 2 e) 5 6

6

Colegios

TRILCE

c) 3a–b

6

b) 81 e) 196

B(x)=2x+4x+6x+8x+10x Reducir S(x)=5A(x)–{2B(x)+(4A(x)–3B(x))}

c) 3

3. Al sumar x +2x +3x +....+nx 6 2 55x , indique: n a) 76 d) 100

b) 7a e) a+2b

5. Sea: A(x)=x+3x+5x+7x+9x

e) Constantes

6

4. Jorge compró tres artículos distintos en $(4a+b). El primero le costo $a y el segundo $(2a–b).

6

a) 35x d) 65x

b) 45x e) 75x

c) 55x

se obtuvo

c) 49

Central: 6198 – 100

Capítulo

Teoría de Exponentes I

2

Problemas para la clase Calcular las siguientes operaciones: 1. –9–(–5)+(–11)–(–12)+5–(–7)

50 veces

6 44 7 44 8 a 7. Reducir: .a.a.....a ; a ^ 0 a.a.a.....a 1 44 2 44 3 40 veces

2. 3x+4(3x–4)+5x+4(–5x+4)

2

24 32 8. Reducir: (3 ) .4(35 ) (3 )

3. 5 + 3 4 4

–1

–2 –1

9. Calcular: (4 + 4 )

4. 5 − 4 2 3

5. 5 − 2 2 –1

10. Calcular: 9.3 +16.2

0

0

0

0

6. Efectuar: 4 –2 –(–4) –5(–7 )+3

www.trilce.edu.pe

–1

0 2


7

2

Capítulo

19. Si: A = ` 1 j 3

-2

11. Reducir: 3 # 3 # 3 # ..... # 3 − (− 3) 38 .32 1 4444 2 4444 3 40 veces

a) 1

b) –3

d) 0

e) 1

c) 2

30 23 42 12. Reducir: x 7. (x12) . (7x 3) ; x ! 0 x .x . (x )

a) x

4

b) x

d) x

6

e) x

2

5 8

23

13. Efectuar: M=(b ) .(–b) .(b ) .(–b) a) b

6

b) –b

d) b

2

e) b

6

7

c) b

5

e) 40 2

4

5

15. Reducir: (((a 3.b) 2.b3 ) .a7) ((a .b ) .b) 18

a) a .b d) a.b

2

c) 162

2

2 3

b) a b

5

c) ab

19

e) a .b

3x + 2 x + 12 16. Reducir: 272x 3 .32x 4 81 + .3 +

a) 3

b) 6

d) 12

e) 18 2

-4 -8 17. Si: M = e a 8 o e a 4 o ; aa-

Calcular: M a) a

3

d) a

6

b) 7

d) 9

e) 10

c) 9

c) 8

-50

a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

c) 3

m+5 m+3 21. Reducir: m m 3 + m m 1 m + +m + 2

c) m

5

e) m

a) 2

b) 3

d) 5

e) 6

a

23. Si: a =3, calcular: aa

b) 27

d) 243

e) 39

24. Reducir:

10

c) 4

a+1

a) 25

d) n

c) 81

5n + 2n

5-n + 2-n b) 10

–n

c) 10

2n

25. Si: x =9; reducir: 81x +x b) a

4

e) a

7

c) a

5

n

e) 10n

–n

–1

3

b) m

n+4 n+3 22. Reducir: 2 n 2 − 2 n 1 2 + −2 +

a) 10 a!0

entonces el valor

20. Reducir: 89-2 + 2.3-2B

4

d) 62

-3

a) 6

d) m

2 3 14. Reducir: 6 .18 362

b) 160

+ ` 1j 2

A

a) m

a) 150

-3

0

c) x

–3 5

de:

+ ` 1j 4

a) 81/82

b) 1/82

d) 82/81

e) 82

–2n

c) 1/81

18. Indicar el exponente de "x" luego de reducir: -5 2 -4 N = ((7x ) 4) 3 ; x . (x- )-

a) 19

b) 20

d) 22

e) 23

Colegios

8

x!0

TRILCE

c) 21

Central: 6198 – 100

Álgebra Practica en casa 8. Indicar el exponente de "x" luego de reducir:

1. Reducir: 2 # 2 # 2 # ... # 2 − (− 2) 30 .25 1 4 44 4 2 444 43 35 veces

20 32 52 2. Reducir: x 5. (x 7) . (3x 6) ; x ! 0 (x ) (x ) (x ) –4 2

2

24

Si: B = ` 1 j 5

-2

3. Efectuar: R=(x ) .(–x) .(–x ) .(–x)

x!0

+ ` 1j 3

-2

+2

entonces el valor de:

3

B

0 0 0 9. Reducir: (16-3 + 15.16-4 )-11

4 2 4. Reducir: 15 .75 453

5. Reducir:

(((xy) 2 .x) 3 .y) 4 ; xy ! 0 ((x2 .y) 2 .y) 8

6. Reducir:

492x - 1.7x + 3 343x - 2 .72x + 7

x+5 x+3 10. Reducir: x x 3 + x x 1 + x +x + n+5 n+3 11. Reducir: 3 n 3 − 3 n 1 3 + −3 +

12. Si: b b = 2, 13. Reducir:

2

-3 -6 7. Si: N = e x 6 o e x 3 o ; x ! 0 xx-

Calcular: N

((x-4) 2)-3 ; 3 x6 . (x(- 2) )-2

M=

bb

b+1

7a + 2a 7-a + 2-a

–n

14. Si: x =8

–1

2n

Reducir: 64x +x

–2n

Tú puedes 4. Determinar el valor de:

x 2x x 1. Efectuar: ` 2 j . ` 9 j . ` 8 j 3 4 27

a) 2 3

b) 3 2

d) 9 4

e) 4 9

5x + 5x + 1 + 5x + 2 + 5x + 3 5x + 5x - 1 + 5x - 2 + 5x - 3

c) 1

2

2

2

2. Efectuar: A = (− x2) 3 (− x- 3) 2 (x3 ) (− x(- 3) ) (x- 3 ) a) x

9

b) –x

d) x

6

e) x

3. Efectuar: A

9

3

60 - 2 59 c m 4h- 3j ` j ` ^ ... = ... 2011

a) 0

b) 1

d) infinito

e) absurdo

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c) –x

6

a) 5

b) 25

c) 125

d) 625

e) 3125

5. Efectuar:

); 5 ^ 5

5 5 5 5 3 / 5 3 -1 5 E

h

a) 0,1

b) 0,2

d) 0,55

e) 0,5

c) 0,25

c) 30


9

3

Capítulo

Teoría de Exponentes II Problemas para la clase 1. Efectuar: x.x.x....x 14 24 3

7. Calcular en cada caso:

20 veces

a) 36

1/2

=

b) 27

1/3

=

2. Efectuar: 1 + 1 4 5

3. Efectuar: 8 + 1 3 3

4. Reducir: 5(m+3)+2(4–m)–3(m–1)

8. Calcular en cada caso: 2/3

=

b) 125

2/3

a) 8

5. Simplificar: a)

4 = 24

=

b) 30 = 105 9. Reducir la expresión: A =

2

3

x +3 x +4 x

4

6. Calcular en cada caso: a)

81= 2

5

10. Reducir la expresión: A = 6 7 # 15 7 # 9 7

3

b) 3 125 =

Colegios

10

TRILCE

Central: 6198 – 100

Álgebra 11. Reducir: 5 x . 5 x . .... . 5 x 1 4444 2 4444 3

19. Efectuar: A = 9 2. 4 32

60 factores

a) x

5

d) x

12

12. Reducir:

2

e) x

24

2 2 2

a) 2 d)

b) x

7

c) x

9

2

c) 8

e) 16

13. Reducir: M = x

3x + 7x 3-x + 7-x

a) 10

b) 21

d) 7

e) 21

c) 3 x

2 n + 4 . n 23n + 10 . n (2 n - 7) 2 ; n ! N n H 2

a) 8

b) 16

d) 64

e) 128

c) 32

m

a16 .b64 ; se obtiene a .b

15. Al efectuar: Calcular: m+n a) 2

b) 3

d) 5

e) 6

16. Efectuar:

64

3

x .

c) 4

x@

24

a) x

4

b) x

8

d) x

24

e) x

32

17. Efectuar: 6 x5 .

e) 6 2

c) 4 2

2

15

b) x

25

d) x

35

e) x

24

a) 2

b) 4

d) 1

e) 16

n

c) x

16

a

d) a

e) b

22. Efectuar: m + n

b) a/b

d) a

e) b

23. Reducir: L = x

b) 3

d) 9

e) 1/2

a) 2 2

30

c) ab

1 + 3x + y 1 + 3-x

a) 2

20 c2

c) b a

a m . b-n ; a ! 0 / b ! 0 a-n . b m

a) 1

25. Simplificar: 2n

18. Hallar el exponente de "x" luego de efectuar:

b

aa ; ab ! 0 b a. a b b b.

b) a b

d) x

c) x

c) 8

a) 1

24. Efectuar:

12 x . 3 x@

a) x

3

d) 3 2

21. Reducir: R =

14. Efectuar: n

b)

3 5 20. Efectuar: A = 5 2 . 4 3 2 . 16

b) 4 2

a) 2

8(x

c) 6

2 642 16 B

)

1 + 6y 1 + 6-y

16 3 4 16 m

.x

b) 1

; x>0 c) x

e) 2x 80 n + 16 n 20 n + 4 n

a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

c) 3

x x

a) 1/2

b) 3/2

d) 3/4

e) 5/2

www.trilce.edu.pe

c) 5/4


11

3

Capítulo

Practica en casa 1. Reducir: 3 a . 3 a . .... . 3 a 1 4444 2 4444 3

9. Efectuar: L =

3

3. 310

4

3 16 2 4 9

90 factores

2. Reducir:

3

2

3. 3. 3

2

10. Efectuar: L =

2a + 3a

3. Reducir: L = a

2x

11. Reducir: L = 2y

2-a + 3-a

4. Efectuar: n 3 n - 2 . n (3 n - 1) 2 . n 34 - 3n 5. Al efectuar:

2

3

x

a36 .b324 ; se obtiene a .b

Calcular: x y2

y

8. Hallar el exponente de "x" luego de efectuar: 4

x. x y y

-2 1

x ) 32

xx

1 + 2a + b 1 + 2-a

13. Reducir: a

x .4 4 x .

y

; xy ! 0

ax .b-2y ; a ! 0 b ! 0 a-2y .bx

12. Efectuar: x + 2y

6. Efectuar: (5 x2 . 3 5 x ) 45 7. Efectuar: (4

y.

1 + 5b 1 + 5-b -2 1

14. Calcular: 16-4

+ 25-4

15. Reducir: M= n

64 n + 16 n 8 n + 32 n

x3 x

Tú puedes 1. Reducir:

0 3 4 1 -1 ;(− 2) + (− 2) + (− 3 ) + 4 3 E

a) 4

b) 2

d) 3

e) 1

-2 1

-4 2. Calcular: E = ` 1 j 36

a) 6

b) 8

d) 12

e) 20

c) 0

53

c) 10

d) 4

e) 5

Colegios

12

TRILCE

a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

1/3

c) 3

5. Halle el exponente final de "x" luego de reducir la siguiente expresión: x.

x+2 + 2 .3 x + 1 S=3 x+1 2.3 − 3x

b) 2

3 M = = 8 . 18 − 3500 − 5 − 1G 4

57

+ 20 + 31

3. Simplifique la expresión "S":

a) 1

4. Calcule el valor de "M":

5

x2 .

3

x 7 . x4

a) –2

b) –1

d) 1

e) 3

c) 0

c) 3

Central: 6198 – 100

Capítulo

Ecuaciones Exponenciales

4

Problemas para la clase Reducir las siguientes expresiones:

7. Resolver: 7

2x–3

=3

2x–3

1. –5x+6x–7x+11x

2. –7(x+4)

3–x

Resolver las siguientes ecuaciones:

8. Al resolver la ecuación 7 Indicar el valor de: 3x+1

=49

x–1

3. 3x–2=91

4. 4x − 1 = 5 3

9. Resolver: 49

x–2

=343

x–5

5. 5x+8=3x+30

5-x 10. Resolver: ` 1 j = 9x + 1 3

6. Resolver: 5

x–2

www.trilce.edu.pe

=25


13

4

Capítulo

11. Resolver: 8

x–2

=4

x+3

x+5 2x + 1 19. Hallar “x” en: 53 = 1253

a) 6

b) 5

d) 10

e) 11

12. Resolver: 4

x–1

. 5=5

x–1

a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

13. Resolver: 7

3x–2

=49

c) 12

.4

b) 6

d) 5 6

e) 1 6

c) 6 5

b) –3

d) 1

e) 2

a) 1 3

b) 3 4

d) 2

e) 1 2

2

=4

x @3

c) 4 3

b) 8

d) 10

e) 11

17. Hallar “x”, si (4

x+1

)(8

x–1

a) 10

b) 13

d) 15

e) 20

c) 9

b) 2

d) 1 3

e) 1 4

Colegios

14

TRILCE

b) 2

d) 4

e) 5

c) 3

2x

a) 2

b) 3

d) 5

e) 6

22. Resolver: (3). (2 =9

x+3

)=16

c) 4

)=(192) . (3

a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

a) 1 3

b) 2 3

d) 5 3

e) 3

x–3

) c) 3

1

1

1 ( y–12 ) b

= b 8y

c) 4 3

x-5 x+2 24. Resolver: 55 = 312525

x+3

c) 14

x+3 5x + 1 18. Encontrar el valor de “x”: 33 = 279

a) 1

a) 1

23. Encontrar el valor de "y", si:

82x + 3

a) 7

c) 1 5

= 84 , se obtiene como solución la fracción irreductible: a ; indique b a+b.

16. Determinar el valor de “x”, al resolver: 2 7x - 1

e) 1

2x

c) –4

15. Encontrar el valor de “x”, al resolver: 6 3

d) 5

21. Al resolver: 163

x-2 x+1 14. Resolver: 45 =425

a) –2

b) 3

20. Calcular el valor de “x” en: x+1 x–1 x 3 +3 +3 =351

c) 3

2–x

a) 1 5

a) 2

c) 1 2

a) 10

b) 15

d) –10

e) –5

c) –15

-1

-x - 32- 25

25. Hallar "x+3"; en: 9 a) 3

b) 4

d) 6

e) 7

= 3- 1 c) 5

Central: 6198 – 100

Álgebra Practica en casa 1. Resolver: 5

3x–2

=25

x+9

x+3 5x + 1 8. Resolver: 33 = 279 3x 93 9 3 9. Resolver: `5 j = 59

x-1 x+1 2. Resolver: 936 = 9216 2x + 1

3. Hallar "x" en: 74

x+1

4. Calcular el valor de "x" en: 5 3x

5. Al resolver: 815 Se

obtiene

-1

2x - 1

= 492

10. Resolver: x

+5 +5

x–1

=3875

x

fracción

8x

7. Resolver: 23

–5

-1

12. Si: irreductible:

m n

- 27-x 25- 8

x 13. Resolver: 6x8 @

14. Si: 11

4x

= 5- 1, hallar: x+1

4- x

indique: m+n 16 6. Resolver: x81 = x3

=1 3

11. Si: 216 . 6 =6 , hallar el valor de x

3x

= 2434

la

- 9-x 9- 8

12

= x16

a25 + a n = a . Determinar "n" a3 + a n

2a + 2 15. Si 5 a 1 = 24 , encontrar "a" 10 -

= 512

Tú puedes 1. Hallar "x", si 7

4. Hallar "x"; en: x - 1 x = 3 4

712 + 7x + 5 = 7 7 x + 73

a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

c) 3

Indicar el producto de soluciones. a) –2 d) 2

–3

b) 4

c) 32

d) 40

e) 54

1/3 3 5. Hallar "x" en: xx = 9 3

2. Resolver: x = 1 . 2 x

–1

a) 2

b) –2

–2

e) –2

–3

c) 2

–2

a) 3

–6

b) 3

–2

d) 3

–3

e) 3

–9

c) 3

–8

n 3. Hallar "x"; si xx =n

a) n –1 d) n

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b) 2 n –2 e) n

c) n n


15

5

Capítulo

Valor Numérico en Polinomios Problemas para la clase 1. Completar: Polinomio

M(x)=–4x

Variables Exponentes Coeficiente

7. Sea: P(x;y)=3xy–2xy Hallar: P(2;–2)

2

3

2 5

T(x;y)=8x y

2. Efectuar: C=–5+7–3–10–8+23

2

3

3. Efectuar: A=(–2) +(–1) +(2)(–5)–(–1)

10

4. Efectuar: 9.3 −27.3

2

8. Sea: F(x−1)=4x+3 Hallar: F(3)

9 2

9. Sea: M(x−5)=x –3x Hallar: M(1)

2

5. Sea: P=(x+5)(x+2)+x –xy Hallar el valor que toma "P", si: x=3 ∧ y=5

10

2

6. Si: P(x)=x +5x+1 Hallar: P(1)+P(−1)

Colegios

16

TRILCE

10. Sea: P(x)=25x –125x Hallar: P(5)

9

Central: 6198 – 100

Álgebra 2

99

a) 4

b) 5

d) 7

e) 8

c) 6

2

Calcular: P ` 1 j 2

a) 1 2

b) 3 2

d) 7 2

e) 4 2

13. Si: M(x;y)=(x+y) –(x–y) Calcular: M(0;5)

c) 5 2

2

a) 0

b) 1

d) 16

e) 25 2

3

b) 6

d) 12

e) 15

b) 4

d) 36

e) 49

c) 9

c) 25

2

16. Si: A(x)=x –60x+900, hallar: A(31) a) 1

b) 4

d) 16

e) 25

c) 9

17. Si "B", es el cuadrado de la suma de "x" y el doble de "y", hallar el valor de "B" si: x=5; y=–10 a) 100

b) 220

d) 226

e) 625 5

d) 4

e) 5

c) 3

a) 44

b) 46

d) 50

e) 52

c) 48

21. Si: Q(3x−1)=3−8x Hallar: Q(2)−4.Q(−4) a) –48

b) −49

d) −50

e) −52

c) −47

22. Si: P(5x+3)=x –4x+2 Hallar: P(−2)+3.P(3) a) 11

b) 12

d) 14

e) 15 2

15. Si "E" es el cuadrado de la diferencia de "x" y "4", hallar el V.N. de "E" cuando: x=–1 a) 0

b) 2

2

c) 4

14. Si: A(m;n)=m +n +3mn Hallar: A(−2;−1) a) 3

a) 1

20. Si: P(x−2)=4x+11 Hallar: P(2)+P(0)

12. Si: P(x)=8x +2x –x+ 3 2 3

94

19. Si: P(x)=2x −64x +x+1 Hallar: P(2)

11. Si: A=x +2xy Hallar el V.N. de "A" cuando: x=5; y=–2

c) 13

2

23. Si: R=x –48 , hallar el V.N. para: x=50 a) 200

b) 198

d) 194

e) 192

c) 196

2

24. Si: M=(x+y)(x–y)+y ; hallar el V.N. para: x=100; y=89 a) 1

b) 10

c) 100

d) 1000

e) 10000 2

25. P(x–3)=2x –5x Hallar: P(2)+P(0) a) 15

b) 25

d) 35

e) 38

c) 28

c) 225

4

18. Si: P(x)=27x −81x +x Hallar: P(3) a) 0

b) 1

d) 1000

e) 27000

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c) 3


17

5

Capítulo

Practica en casa 2

2

1. Si: M(x;y)=3x –xy

2

9. Si: F=x –y ; hallar el V.N. de "F" para: x=38; y=22

Hallar: M(1;3) 2

10. Si: G=(x+2y)(x–2y)–x

2. Si: P(x)=27x +9x Hallar: P ` 1 j

2

Hallar el V.N. cuando: x=100; y=–1

3

2

3. Si: P(x;y)=(x+y) –(x–y)

98

2

96

11. Si: M(x)=4x –16x +x Hallar: M(2)

Hallar: P(–1;4) 2

4. Si: M(x;y)=x –2xy+y

2

2

12. P(x)=(x+3) +5x Hallar: P(0)+P(1)+P(–2)

Hallar: M(15;10) 2

5. Si: Q(x;y)=x +2xy+y

13. Si: M(x)=x

2

3

Hallar: M(–1)+M(–2)+M(3)

Hallar: Q(20;–10)

14. Si: P(x–2)=3x+8

2

6. Si: A(x)=x –40x+400

Hallar: P(9)

Hallar: A(22) 7. Si "R" es el cuadrado de la suma de "x" e "y",

Hallar: Q(2)+Q(5)

hallar el valor de "R" cuando x=–5; y=8 8. P(x;y)=2xy+y

15. Si: Q(x+3)=5x–7

2

Hallar: P(0;2)+P(0;5)

Tú puedes 2 1–x

1. Cuál es el valor numérico de: (2–x–x ) x=–2 a) 0

b) 1

d) 3

e) 4 99

c) 2

94

2. Si: P(x)=3x –729x +x+1 Calcular: P(3) a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

d) 3

e) 4

Colegios

18

TRILCE

2

Hallar: P(2;–3) a) 184

b) 185

d) 189

e) 200

2

c) 3

2

b) 1

2

4. Si: P(x;y)=(3x+y)(9x –3xy+y ) c) 187

5. Sabiendo que:

3. Si: P(x;y;z)=x +xy+xz+yz Hallar: P(–3;3;–2) a) 0

; para:

2

(a+b+2c) +(a+b–2c) =8(a+b)(c) Calcular el valor de: E = ` a − c j c−b

3

a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

c) 3

c) 2

Central: 6198 – 100

Capítulo

Teoría de Grados

6

Problemas para la clase 5 7 3

8 7 10

1. Dada la expresión: M(x;y)=6x y z Indicar: • Las variables • Los exponentes de las variables

6. Si: H(x;y)=5x y z Determina: G.R(x)= G.R(y)= G.A.=

2. Determina la suma de coeficientes de: 4 3 2 E(x)=x +2x +3x +4x+5

a–2

a–3

7. Si el grado relativo de: M(x)=3x Obtenga: "a"

a–1

3. De la expresión: P(x)=x +x +x Calcular el valor de "a", si el mayor exponente de "x" es 5.

9 5

8 7

6 6

4. Dada la expresión: A(x;y)=x y +x y +x y Indicar: a) El mayor exponente de "x". b) El mayor exponente de "y".

a–2

es 5.

8. Si el exponente de la variable es un número 12/a entero positivo en: R(x)=8x Calcular la suma de los posibles valores que puede asumir "a".

5 10

7 8

2 12

9. Del polinomio: E(x;y)=x y +x y +x y Determina: G.R(x)= G.R(y)= G.A.=

5. Halla "x" en cada caso: a) x–3=11

7

6

10. Del problema: A(x;y)=x +y +1 Hallar: G.R(x)=

b) x+2=7

G.R(y)= G.A.=

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19

6

Capítulo

8 6

11. Del monomio: H(x;y)=3x y Calcular: G.R(x)–G.R(y) a) 1 d) 4

19. Calcular el valor de "a", en: H(x)=x

b) 2 e) 5

c) 3

b) 10 e) 7

c) 9

.y

a) 17 d) 15

m–13

a) 3 d) 5

b) 2 e) 6

M(x;y)=(2a+3b)x

c) 4

+x

m–3

+x

m–7

+x

10

b) 14 e) 17

c) 15

m–2 n+3

y

+x

m–3 n+5

si el grado absoluto además: m>3 ∧ n>3

de

"A"

y

+x

m+1 n–3

y

es

15,

3a–2

a) 18 d) 20

.y

c) 24

a–1

+x

17–a

c) 8 7 6

5 10

b) 36 e) 26

c) 30 a+5 5

a–3

a

a

+ x 2 + x 3 +x

6 8

a) 85 d) 90

c) 45

31–a

b) 87 e) 76

7 b+2

.y +x .y

c) 98

24. Si la suma de coeficientes del trinomio: a–3 a–2 a–1 K(x)=(a+2)x +(a+1)x +(a+3)x es 21, calcular su grado absoluto. a) 4 d) 7

Calcular: G.R(x)+G.R(y)+G.A

18. En el polinomio: F(x;y)=x

b) 39 e) 31

Calcular la suma de los posibles valores de "a"

3n–5 2

b) 7 e) 10

b) 5 e) 8

c) 6

2 2 25. Del polinomio: P(x;y)=3x35 - a .y5 + 7x2 .y3b - 11

se sabe que: 2

2

G.R(x)=a +3 ∧ G.R(y)=b +7; a<0
G.R(x)=10 ∧ G.R(y)=8 Calcular: "a.b" b) 36 e) 31

a

N(x)=x

17. Del polinomio: P(x;y)=3x y +4x y +2x y

a) 32 d) 28

c) 14

23. Del polinomio:

16. De: H(x;y)=8(x ) .(y ) Se sabe que el grado absoluto es 47, calcular "m+n" a) 6 d) 9

b) 13 e) 16

a) 40 d) 63

2b–3

b) 16 e) 22 2m+3 3

a) 12 d) 15

Calcular la suma de los posibles valores de "a".

si: G.R(x)=13 ∧ G.R(y)=5

TRILCE

m–5

22. Del polinomio: H(x)= x 3 +x

15. Calcular el coeficiente de:

20

c) 7

2m–1

5m

Colegios

a

20. Calcular el valor de "m", en:

A(x;y)=x

B(x;y)=–6x . y Poseen igual grado absoluto, calcular "m".

a) 35 d) 30

+x

21. Calcular m+n en el polinomio: c) 19

14. Si los monomios: m

a+3

b) 6 e) 9

a) 13 d) 16

10+m

b) 12 e) 13

A(x;y)=5x . y

+x

si el grado absoluto es 13

calcular el grado absoluto del monomio: m–3

a+1

a) 5 d) 8

R(x)=x

13. Si el G.R(x)=2, R(x;y)=–7x

+x

si: G.R(x)=21–2a

12. Calcular: "a+b", si G.R(x)=3 ∧ G.R(y)=5, en: a a–7 b+7 P(x;y)=2 .x .y a) 11 d) 8

a+2

c) 20

a) 8 d) 2

b) –3 e) 5

c) –1

Central: 6198 – 100

Álgebra Practica en casa 7 8 3

1. Del monomio: E(x;y;z)=5x y z Calcular: 2(G.R(x))+3(G.R(y))–5(G.R(z)) 2. Si el G.R(y)=8, calcular el grado absoluto del 3m–2 m+3 monomio: H(x;y)=12x y 3. Si: G.R(x)=12 ∧ G.R(y)=5 a+3 b–8 en: M(x;y)=–10x .y calcular: "a+b"

12. Calcular la suma de los posibles valores de "a", a/5 a–3 32–a en el polinomio: P(x)=x +x +x

5. Calcular el coeficiente de: 5a–3 4b–1 S(x;y)=(3a–2b)x .y si: G.R(x)=12 ∧ G.R(y)=15

43–a

2n–1 6

6 11

8

7. Del polinomio: H(x;y)=5x y +3x y +4x y Calcular: G.A.+G.R(x)–G.R(y) m+7 8

a–1

a/2

a/5

13. Del polinomio: E(x)=x +x +x +x Calcular la suma de posibles valores de "a".

6. De: A(x;y)=(x ) .(y ) se sabe que el grado absoluto es 48, calcular "m+n" 9 5

10. Calcular el valor de "m", en: m–4 m–6 m–2 13 A(x)=x +3x +x +x si su grado absoluto es 18. 11. Del polinomio: m–5 n+4 m+3 n–6 m–2 n+5 H(x;y)=x y +x y +x y se sabe que el G.A(H)=16 Calcular: "m+n"

4. Si: G.R(x)=12 ∧ G.R(y)=4 5a+2 b–5 en: E(x;y)=(3a–2b)x .y calcular el coeficiente.

4m–2 3

9. Calcular el valor de "a", en: a+5 a+7 a+2 a+1 P(x)=x +x +x +x si: G.R(x)=35–3a

14. Si la suma de coeficientes del polinomio: a–4 a–3 a–1 R(x)=(a+5)x +(a–3)x +(a+1)x es 27, calcular su grado absoluto. 2 2 15. Del polinomio: M(x;y)= x9 + a .y7 + x4 .y2b + 1 2

2

se sabe que: G.R(x)=2a +5 ∧ G.R(y)=b +10 Calcular el mínimo valor de "a+b"

3 n+4

8. Del polinomio: E(x;y)=x y +x y se sabe que: G.R(x)=16 ∧ G.R(y)=14 calcular el valor de "m+n"

Tú puedes m n p

1. En el monomio: E(x;y;z)=2012.x .y .z la suma de sus grados relativos tomados de 2 en 2 es 9, 10, 11 respectivamente, calcular el valor p-n de: m + n ; además GR(y)
b) 2 e) 7

b) 30 e) 16

3. Si el grado del monomio: P(x;y;z)=

c) 21

www.trilce.edu.pe

b) 5 e) 8

x n - 2 . 7 x3 n 4 n+1 x

a) 8

b) 5

d) 2

e) 7

c) 10

5. Calcule la suma de posibles valores de "n", en: H(x)=2x

n-2 3

+ 3x

19 - n 2

+ 4x

n

si es un polinomio. a-b

a+b

x .y b-a a+b w .z

xa . y b es 16. Hallar el grado de: S(x;y;z;w)= b w . za a) 4 d) 7

P(x)= 3

es de grado 2. Calcular el valor de "n".

c) 3

2. Calcular: m.n, si G.A(p)=11, n+3 m–2 n+2 m–3 en: P(x;y)=6x y +x y , si además: G.R(x)–G.R(y)=5 a) 25 d) 24

4. Si el monomio:

a) 27

b) 30

d) 33

e) 35

c) 31

c) 6


21

7

Capítulo

Polinomios Especiales Problemas para la clase 5 4 6 3

1. En: P(x;y;z)=3 x y z Determinar:

6. Hallar: "a–1"; si el polinomio: P(x;y)=5x

a+3 7

6 8

y –x y es homogéneo.

• G.R(x)= ______________________________ • G.R(y)= ______________________________ • G.R(z)= ______________________________ 5 4

4 7

2 8

2. En Q(x;y)=x y +2x y –3x y Determinar:

7. Dado el polinomio completo: 4

• G.R(x)= ______________________________

2

b

Q(x)=x –2x +5x +3x+7 Hallar el valor de "b"

• G.R(y)= ______________________________ • G.A(Q)= ______________________________ 3 7 9

3. Dado el monomio: P(x;y)=6 x y Calcular: G.R(x)+G.R(y)+G.A(P)

8. Dado el polinomio completo y ordenado en a+1 b–2 c–3 forma decreciente: P(x)=x +x +x +5 Calcular: "a+b+c" 4 2

3 5

4. Dado el polinomio: S(x;y)=7x y –3x y –y Determinar: G.R(x)+2G.R(y)–G.A(S)

9

9. Si: (a–3)x+16 ≡ 5x+2b Hallar: "a.b"

5. Hallar el valor de "x" en: a) x+3=15

b) x–4=10

2

10. Si: (m–5)x +(n+1)x+(P-2)≡0 Hallar: "m+n+p"

c) 3x–5=2x+1

d) 4x–1=2x+7

Colegios

22

TRILCE

Central: 6198 – 100

Álgebra 11. Calcular "a"; si el siguiente polinomio: Q(x;y)=x

3+a 2

19. Si el polinomio es completo y ordenado en forma n–1 m–2 p–3 a creciente: P(x)=2a+x +3x +x +5x Hallar: m+n–p+a

4 7

y –5x y es homogéneo

a) 6 d) 7

b) 3 e) 11

c) 5

a) 3 d) 4

12. Calcular: "a+b"; si el polinomio: 4 a

b 5

2 8

M(x;y)=3x y –5x y +2x y es homogéneo. a) 10 d) 12

b) 9 e) 11

c) 8

2

P(x;y)=x

m–1 4

y +7x

a) 14 d) 17

m+1 n

9 5

y –x y es homogéneo.

b) 15 e) 18

c) 16 n 3 m+2

b) 150 e) 190

n–3 4

c) 160

2

a

P(x)=x +x –3x +1+x Hallar: a

c) 9

2

16. Calcular: a +b ; si el siguiente polinomio: 5

2

a

4

P(x)=x –6x +3x +x –5x (b>a) es completo a) 5 d) 8

a+b

–7

b) 6 e) 9

c) 7

Calcular la suma de los posibles valores de "a". b) 7 e) 10

c) 8 a

b

2

c

18. Si el polinomio: P(x)=18x +x +2x –x +5 es completo y ordenado en forma decreciente, hallar: "a+b+c"

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b) 8 e) 11

c) 16

21. Dada la identidad: 2 2 (a–1)x +(b–2)x+12 ≡ 3x +x+3c

a) 12 d) 9

b) 3 e) 6

c) 11

22. Calcular: "m.n" Si: (m+n–3)x+m–n ≡ 8x+7 b) 16 e) 22

c) 20

Hallar: a + b + c 5 a) 2 d) 10

b) 5 e) 1

c) 1/2

24. Dado el polinomio: idénticamente nulo, hallar: a) 5 d) 6

b) 3 e) 7

a + b + 2c c) 2

25. Dado la identidad:

a

a) 7 d) 10

b) 32 e) 72

2

P(x)=x +x +2; (a ! Z+)

a) 6 d) 9

a) 64 d) 18

a–2010

P(x)=(a–9)x +(b–6)x+(3c–15)

17. Dado el trinomio ordenado: 4

5

2

b) 16 e) 1 2

n

23. Si: (a–8)x +(b–5)x+(c+3) ≡ 0

2

a) 4 d) 25

a

+x +...+x +x +...+2n

a) 5 d) 18

15. Sea el polinomio completo: 4

2013

Calcular: a+b+c

14. Dado el polinomio: N(x;y)=2 x y –3x y tiene como grado de homogeneidad a 15; calcular "m.n". a) 140 d) 180

c) 7

20. Hallar el término independiente del siguiente polinomio completo y ordenado: P(x)=x

13. Calcular: m+n , si el siguiente polinomio:

b) 5 e) 8

2

2

2

(a –8)x +(b+2)x+16 ≡ x +5x+c

2

Hallar el máximo valor de: a+b+c; (c<0) a) 10 d) 2

b) –4 e) 5

c) 6

c) 9


23

7

Capítulo

Practica en casa m

1. Calcular "a" si el siguiente polinomio: 5 8 4+a 3 Q(x;y)=x y –3x y es homogéneo 2. Calcular: m–n; si el siguiente polinomio: 7 m 5 6 n 3 9 P(x;y)=5 x y –3x y –7x y es homogéneo.

n–4 5

4. Dado el polinomio: N(x;y)=2x y –4x y tiene como grado de homogeneidad a 16, hallar "n–m" 5. Si el polinomio: a–2b a+b b a+2b a–b 8 P(x;y)=x y –5x y +7x y es un polinomio homogéneo, el valor de: E=(a+b)ab es:

p

11. Hallar el término independiente del siguiente polinomio completo y ordenado. 215 a n 4 a–212 P(x)=x +x +...+x +x +...+3n 12. Calcular "a.b" Si: 3ax+12 ≡ 24x+4b 13. Dada la identidad: 2 2 (a+1)x +(b–1)x+3 ≡ 4x +5x+c Hallar: a+b+c 4

2

14. Si: (a–3)x +(b+2)x +(5–c) ≡ 0 Hallar: a + b + c 3

6. Sea el polinomio completo: 6 5 m 2 4 A(x)=4x +x +x +x+x +3+x Hallar: "5–m" 2

2

10. Si el polinomio es completo y ordenado en forma n–1 m–2 p–3 a creciente: P(x)=3a+x +x –4x +x Hallar: m+n+p–a

3. Dado el polinomio homogéneo: a+3 a–1 b+2 b+8 P(x;y)=ax –abx y +2by Hallar: "a.b" 4 m+3

n

9. Si el polinomio: Q(x)=2013x +x +3x –5x +7 es completo y ordenado en forma decreciente, hallar: m+2n–p

2

7. Calcular: m +n ; si el siguiente polinomio: 4 2 m m+n S(x)=x +7x –x +x +4; (n>m) es completo m

5

8. Dado el trinomio ordenado: P(x)=5+2x +x Calcular la suma de los posibles valores de "m".

15. Dada la identidad: 2 2 2 2 (a –2)x +(b–3)x+c ≡ 2x +4x+25; a>0 Hallar el mínimo valor de a+b+c

Tú puedes 1. Si el polinomio: 2b a+2 2a 4b P(x;y)=5ax y +10bx y es un polinomio homogéneo, calcular P(1;1) a) 5 d) 20

b) 10 e) 25

c) 15

2. Si el polinomio: m–2 n–1 7 2n–3 P(x;y)= 5 x y (x +y ) es homogéneo cuyo grado de homogeneidad es 16, determinar los valores de m y n respectivamente. a) 2;6 d) 5;8

b) 7;5 e) 6;9

c) 6;8

4. Si los polinomios: 2 P(x)=mx(1+x)+n(x+p)+x 2 Q(x)=3x +8x+12 son idénticos , hallar: m+n+p a) 5

b) 10

d) 14

e) 16

c) 13

5. El polinomio: 2 2 P(x)=x(ax +bx+c)–2x(bx +cx+d)+2d–1 es idénticamente nula, halla: acd abcd a) 8

b) 6

d) 2

e) 1

c) 4

3. Si el polinomio: a+b a+2 2a a a–1 P(x;y)=ax +x –x +3x +x es completo y ordenado, hallar el valor de "b+1" a) 12 d) 2

Colegios

24

TRILCE

b) 6 e) 1

c) 4

Central: 6198 – 100

Capítulo

Multiplicación Algebraica

8

Problemas para la clase 2

1. Efectuar: 3 3 a) 4x –7x =

6

6. Efectuar: (4x )(5x)

6

b) –8a –4a = 3

2

7. Efectuar: (–4xy )(–5x y) 2. Efectuar: a) (–4)(5)=

b) (–8)(–4)= 2

8. Efectuar: (–2x )(2x+5) 3. Efectuar: a) x.x.x=

4 3 6

b) a .a .a = 9. Efectuar: (–4xy)(2x–3y)

4. Indicar verdadero (V) o falso (F): • 3.5=5.3 ..........................................(

)

• x.y=y.x ...........................................(

)

5. Calcular: a) 5×3×4=

10. Efectuar: (3x+5)(x–1)

b) (–4)(–2)(–5)=

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25

8

Capítulo

2 3

4

6 4

11. Efectuar: (3x y )(–5x y)+14x y

20. Efectuar: 2

6 4

8 3

a) x y

2

b) –x y

6 4

c) 29x y

4

d) –x y

e) –x y

6

12. Efectuar: x(x+6)–6(x–1)–x a) 6x

b) 12x

d) 6

e) 12

2

c) 2x

2

b) 16x

d) 0

e) 12x 2

3

14. Efectuar: 3x.2x .3x .5x

10

d) 90x

24

e) 90x

10

3

24 8

3

b) 10x

c) 16x

2

2

c) 2x

e) –2x

2

d) –5x

2

b) 3x y 4

2

4 4

c) 9x y–21x y

4

e) 6x y

23. Efectuar: 2 2 2 2 (x +x–1)(x +x–2)–(x +x+1)(x +x+2)

4 2

9 7

4

22. Efectuar: 2 2 2 2 (x +2y)(3y–5x )+6y(x –y)+x y

c) 90

b) –96x y

d) –96x y

e) 4

d) 10

15. Efectuar: (–8x y )(–2x y)(–6x y ) 9 7

d) 0

a) 5x

b) 45x

a) 96x y

b) 16x

4

10

2 4

a) 4x +16

a) 2x c) 4x

a) 13x

2

21. Efectuar: 2 3 (x–5)(x +2)–x +5x(x+2)–10(x–1)

13. Efectuar: (2x+1)(4x)–8x(x+1) a) –4x

3

A=x(x –2x+4)–(x –2x ) 2 Hallar: A

24 8

c) 64x y

9 7

e) –16x y

2

a) –6(x +x)

b) 2

d) 5x

e) 0

c) –6x

2

24. Dados: 16. Efectuar: 3x(x–2)–(3x+2)x+8x a) 6x

b) 9x

d) 8x

e) 0

2

c) 1

d) 3x

b) 3x 2

c) 6 2

d) 48x

e) 30x 3

2

B=

a2 + 8a + 16 − (a + 1) (a + 7)

a) 2

b) 1

d) –1

e) 0

2

c) –2

2

25. Si: x +y =2

a) 4 d) 1

18. Efectuar: (4x–6)(5x–8)–20x +62x b) 30x

a2 + 6a + 9 − (a + 4) (a + 2)

Hallar:

e) x

a) 32x+48

A=

Hallar: A–B

17. Dados: A=3x(x–2) B=6x(x+1) Hallar: A + B a) 2x

(x + 2y) (x + y) − x (3y − x) b) 2 e) 0

c) 3

c) 48

3

19. Si: A=3x(2x –5x )–x (6x–16) Hallar: 3 A a) x d) x

Colegios

26

b) 3 6 x 2

TRILCE

c) 3 6

e) 2x

Central: 6198 – 100

Álgebra Practica en casa 2

2 4

4 5

2

1. Efectuar: (2a b)(–3a b )+5a b 2

2. Efectuar: x(x +5)–5(x–2)–x

11. Efectuar: (a+1)(a–1)(a +1)+1

3

2

2

12. Efectuar: (a+1)(a –a+1)+(a–1)(a +a+1)

3. Efectuar: 4x(2x+1)–8x(x–1)–11x 2

3

4. Efectuar: 4a.5a .3a .7a 2 4

13. Efectuar:

4

10

3

5. Efectuar: (–5a b )(–2a b)(6a b ) 6. Efectuar: 4x(x–5)–(3x–2)x–x

14. Si: A =

2

B=

2

7. Si: A=5.(x –3)

10

10

7

10

7

a2 + 6a + 9 − (a + 5) (a + 1) a2 + 8a + 16 − (a + 1) (a + 7)

2

Hallar:

2

8. Efectuar: (5x–3)(3x–4)–15x +29x 3

4

15. Si: a +b =2

A + B + 2x 2

2

7

Hallar: A–B

2

B=3.(5+3x ) Hallar:

7

(x +x –1)(x +x –2)–(x +x +1)(x +x +2)

4 2

(a + 2b2) (a + b2) − a (3b2 − a)

3

9. Si: A=6x(2x +x )–x (6x–4) Hallar: 3 4A 2 2 10. Efectuar: M= x. (x – x + 21) + x – x x

Tú puedes 1. Dada la expresión: P(x;y)=( n x3 y2) n - 1 cuyo grado es igual a 15. Halle el valor de su coeficiente. a) 4

b) 6

d) 16

e) 20

c) 8 n

3

2. Dado el polinomio cúbico: P(x)=4x .(3x –2x+n) Halle el grado de: Q(x)=x a) 6

b) 7

d) 9

e) 10

n+m+4

.(x

3–m

)

c) 8

3. Halle el grado de siguiente polinomio: 4

4. Dada la identidad: 5

m

(5x+3)(2x–2)(x +3x–5) ≡ ax +...+bx+6k; m ! N ∧ m>6 Hallar el valor de: a+m+k a) 20

b) 21

d) 23

e) 24

c) 22

5. Halle el grado de: 8

3

4

2

5

P(x)=(x +4)(x +2)(x–1)+5x(x –3)(x +x+5)+3x (x–300) a) 10

b) 12

d) 25

e) 27

c) 20

2

R(x)=(x+2)(x–2)(x +4x +16) a) 4

b) 5

d) 7

e) 8

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c) 6


27

9

Capítulo

Repaso I Problemas para la clase 4

4

4

4

1. Reducir: A=7ab –5a b+9a b–18ab

2. Efectuar: B = ` 1 j 4

-1

+ 50 − 811/4

10. Hallar el grado de Q 4 5 4 3 2 si: Q(x;y;z)=4x .y .z .y .z .x

2 33 3. Reducir: C = (a 3.b )2 (a .b)

3

11. Hallar el grado de P 4 3 2 3 3 2 4 Si: P(x;y)=x y +5x y –7x y z

2

4. Sea: P(x)=4x –5x +4 Calcular: P(–1)

5. Resolver: 7

x x-1 9. Calcular: Q = x9 1.5 x 1 3 - .15 +

3x–2

12. Dado el polinomio homogéneo: 2 a 4 b 3 8 P(x;y)=4x y +5x y –ax y ; hallar: "a.b"

2–x

=49

3

5

8

5

8

a

b

13. Sea: P(x)=4x +2x +3x +70 un polinomio completo y ordenado, hallar 2 2 a +b

6. Reducir: P(x)=4x +x –9x +4x

4

3

7. Reducir: (–x) .(–x) .(–x)

8. Hallar "x"; si: 4

Colegios

28

TRILCE

3x–1

5

14. Halle: Q(5) si: Q(2x+1)=4x+3

15. Resolver: 3 2x - 2 = 8x - 2

=0,25

Central: 6198 – 100

Álgebra 16. Completar el siguiente cuadro: Coeficiente 3

0

Variables

Exponentes

2 x 4 y2

7 xy3 z4 5

26. Resolver: 8

x–2

17. Reducir: 2 3 2 3 2 3 A=x y –7xy+x y –3xy+8xy–2x y a) xy d) –2xy

b) –xy e) 0

c) 2xy 4 a+b y ; 1x y 3

a–b 5

18. Dado los términos semejantes: 5x 2 2 Calcular: a –b a) 0 d) 15

b) 1 e) 20

c) 10

19. Dado el polinomio: 3 n+5 m+1 5 8 6 P(x;y)=4x y –3x y –2x y Halle el valor de "m.n"; si P(x;y) es un polinomio homogéneo. a) 47 d) 50

b) 48 e) 52

c) 49

0 0 0 0 0 20. Efectuar: A=7 +4 –(–3) +2` − 1 j –3 5 3 a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

21. Efectuar: B = 5.5.5....5 − (− 5) 58 .25 14 424 43 60 veces

60

b) –1 60 e) 2.(5)

c) 1

x+3

b) 1 e) 27

`^a2 bh3 aj

c) 3

5

23. Efectuar: D = 7

^a7 b3h

;

4

a) a b d) ab

b) ab e) 1

ab ! 0

3

7 3

c) a b 22

0 24. Reducir: A = 5 − 3 + `37 j − ^− 10h2 21

a) 0 d) 3

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12

b) 1 e) –3

b) 4 e) 32

c) 12

5-x 27. Resolver: ` 1 j = 9x + 1 3 a) 1 b) 6 d) –5 e) –7

c) 7

x+1 x-2 28. Resolver: 425 = 45

a) –4 d) 1

b) –3 e) 2

29. Hallar "x" en: 1253

x+5

c) –2 2x + 1

= 53

a) 1/5 b) 1 d) 3 e) 5 30. Calcular el valor de "x" en: x x+1 x–1 5 +5 +5 =3875 a) 2 d) 8

b) 4 e) 10


x–2

a) 0 d) 3

=5

c) 2

c) 6

x–2

b) 1 e) 4

c) 2

2

32. Sea: P(x)=x –16x+64 Hallar: P(10) a) 4 d) 64

b) 8 e) 128

c) 16

2

33. Sea: M(x+3)=2x +7x–25 Hallar: M(5)+M(4)

19 21 33 37 22. Efectuar: C = 3 .39 8.3 38.3 (3 ) .3

a) 0 d) 9

c) 3

=4

a) 1 d) 16

5 x 4 + 3y 2

a) –2.(5) d) 0

6 4 )2 25. Efectuar: M = (15) (45) (81 2 (32) 9 .53 a) 1 b) 5 d) 9 e) 25

c) 2

a) –20 d) 10

b) –10 e) –19

c) 20

2

34. Sea: P(x)=x +1 Q(x)=5–3x Hallar: P^Q (2)h + Q^P (1)h a) 1 d) 2

b) 3 e) 4

c) 5

2 35. Sea: P (x) = ) x − 5; si x < 0 2x + 3; si x H 0

Calcular: P(–3)+P(1)+P^P ( a) –1 d) 4

b) –4 e) 5

2)h

c) –5


29

9

Capítulo

Practica en casa 1. Completar el siguiente cuadro: Coeficiente

0

7

0

9. Efectuar: M = 23 − 51 + (23) 4 − (− 5) 2

Variables

Exponentes 7 5 )3 10. Efectuar: N = 6 . (2245) . (632 (3 ) . (2 ) 6

5 x3 y5 − 2 xy3 z4 3

11. Resolver: 25

x–2

=125

x–4

6 3

–7x y

3-x x+5 12. Resolver: ` 1 j =49 7

2. Reducir: 7 2 3 5 7 2 3 5 7 2 A=–5x y +3x y +2x y –9x y +x y

2x + 1

3. Dado los términos semejantes: b+8 a–7 2 7 9 7x y ; x y 5 2

Calcular: a .b

14. Hallar "x" en: (49) 2

2

15. Calcular "x"en: 3


4. Dado el polinomio: 4 n+1

m+2 4

5. Reducir: A = ^− 5h2 + ` − 1 j + 5 2 + 72 3 0

0

6. Efectuar: B =S 3.3.3...3 − (3) 98 .81 102 veces

2

3

4

10

3 7. Efectuar: C = 3.3 .93 5.3 .... 25 (3 ) . (3 )

^(x3 y2) 5 y3h

Colegios

30

TRILCE

3x–1

x

+3 +3

=9

x+5

x+1

=117

3x–1

0

2

17. Sea: M(x)=x –24x+144 Hallar: M(15)

2

18. P(x)=x +40x+400 Hallar: P(–18)

2

19. P(x)=x –5 R(x)=3x+7 Hallar: P(5)–R(7)+P^R (

2)h

20. Si: S (x) = )3x + 2; si x H 0 x2 + 10; si x < 0

2

2 ^x10 y13h

x–1

= 72

9 5

Q(x;y)=8x y –2x y –13x y Halle el valor de m.n; si Q(x;y) es un polinomio homogéneo.

8. Reducir: D =

x+1 x-2 13. Resolver: 34 = 32

; xy ! 0

Hallar: S(–3)+S(–4)+ S^S (

2)h

Central: 6198 – 100

Álgebra Tú puedes 1. Calcular el valor numérico de:

1

x- n + y- n n 3. El valor simplificado de: M = e n o x + yn

xy F (x; y) = 4 x (x − y) + 5 (x + y) − 3 4 5

tal que xy! 0, es:

Para: x= 1 ; y= 2 4 3 a) 443 60

b) 331 30

d) 141 31

e) 101 720

2. De: ` 4 ab2 − 5 bc2 + 7 a2 b2j 3 2 4 Restar: ` 2 bc2 − 9 a2 b2 − 3 ab2j 5 2 4 2 2 2 2 a) ab + 1 a b – 1 bc 4 10

–1

c) 143 37

a) x y d) (xy)

–1

b) xy

–1

c) xy

e) x/y

n + 1 1 - 2n .9 + 272 - n 4. Simplificar: P = 3 81 (3 n)- 3

a) 9

b) 3

d) 1/3

e) 5

c) 28/3

y.y3 .y5 .y7 ......."n" factores 5. Simplificar: Q = 2 4 6 8 ; y .y .y .y ......."n" factores

2 2 2 2 b) 25 ab + 25 a b – 29 bc 12 4 10

y! 0

2 2 2 2 c) ab + 13 a b – 19 bc 4 10

a) y d) y

–3

b) y

–1

e) y

–n

c) y

–2

2 2 2 2 d) 25 ab + 25 a b + 29 bc 12 4 10

e) ab + 25 a b 4 2

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2 2


31

10

Capítulo

Productos Notables I Problemas para la clase

1. Reducir:

4. Siendo a y b dos números cualesquiera, exprese literalmente las siguientes operaciones:

• 4x–7x+8x–2x=

• El cuadrado de la suma de dos números disminuido en su producto. 3

3

3

3

• –2y +6y +8y –12y =

• La suma de cuadrados de dos números. 2

2

2

2

• 12x –8x –9x +x =

• El cuadrado de la diferencia de dos números aumentado en su producto.

2. Completar: 4 7 2

• x .x .x =

2

3

• (2x )(–3x )= 5. Efectuar: 22 • (3x ) = 2

4

• (–4a)(–2a )(–8a )=

33

• (2m ) = 3. Efectuar: 2 2 2 2 • 3(2x –5y )–6(3x –2y )=

52

• (–4x ) = 3

2

2

3

2

• –4(m –3n )+5(–2n +7m )+n =

Colegios

32

TRILCE

Central: 6198 – 100

Álgebra 2

2

2

13. Reducir: (3x+5) +(2x–3) –13x –34

6. Efectuar: 2 a) (x+3) =

a) 0 d) x+34

b) 1 2 e) x +18 2

c) 18x

2

14. Reducir: (2x+1) +(2x–3) –8x(x–1) a) 1 d) 10

2

b) (m–4) =

b) 2 e) 12

c) 4

2 2 15. Reducir: ( 5 + 1) 2 − ( 5 − 1) 2 ( 5 + 1) + ( 5 − 1)

7. Efectuar: (2x+5)

2

a)

5

b) 0

d)

5 /3

e)

c) – 5 /2 5 /2

16. Reducir: (x+7)(x–7)–(x–6)(x+6)+13 8. Efectuar: (3x–4)

2

a) x d) 17

2

b) 0 e) –13 2

c) 1 2

4

4

17. Reducir: (x–y)(x+y)(x +y )(x +y )+y a) x d) x

9. Efectuar: a) (x+8)(x–8)=

8

4

b) x 8 e) y 2

b) 2 e) 4

2

2

2

b) x +1

d) 2 5

e) 4 5 2

2

c) 31

2

b) 86 e) 43

c) 46

2

Hallar: "a +b " a) 68 d) 76 2

2

2

b) 6x e) 0

12. Reducir: (x–3) +6(x–1)–x

2

22. Si: x +y =56; xy=44 Calcular el máximo valor de "x+y"

11. Reducir: (x+5) +(x+3) –2x –34

b) 1 e) 15

b) 5 e) 9

21. Si: ab=29 a+b=12

2

2

c) 1

Hallar: "a +b "

b) (y+3) –(y–3) =

2

c) 0

a) x –1

a) 7 d) 4

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2

20. Si: a+b=9; ab=37

10. Efectuar: 2 2 a) (x+2) +(x–2) =

a) 0 d) 3

2

2

2 2 2 2 19. Efectuar: (x + 1 + 5 ) 2− (x + 1 − 5 ) x +1

b) (3x–5)(3x+5)=

a) 16x d) x

c) x

18. Efectuar: (x+6) –(x–6) +(x+4) –(x–4) –40x a) 1 d) 6

2

8

c) 16 2

a) 10 b) 11 d) 13 e) 14 23. Si: x–y=9; xy=3 2

Calcular: x +y c) x

2

a) 47 d) 78

c) 12

2

b) 82 e) 74

c) 87


33

10

Capítulo

24. Si: a=6+5 3 b=4+5 3 Calcular: E=16 2 (a + b) (a2 + b2) (a4 + b4) (a8 + b8) + b16 a) 5 3 +6

b) 4+5 3

c) 2– 3

d) 3 5 –6

e) 10(1+ 3 )

25. Si: x+y= 5 x.y=2 y Calcular: x + y x a) d) 2

b) 1

5 –1

c) 2

e) 5/2

Practica en casa 2

2

1. Reducir: (x+10) +(x+3) –2x 2

2

2

2. Reducir: (x–6) +(x+4) –(x+2)

2

3. Reducir: ( 7 + 2) ( 7 − 2) − ( 5 + 3 ) ( 5 − 3 ) 2

2

4. Reducir: (3x+2) –(3x+1) –3(2x+1) 2

2

5. Reducir: (x+2) –(x–2) –4(2x–1) 6. Efectuar: (x+4)(x–4)+(5+x)(5–x) 2

2

4

4

8

7. Efectuar: (x+b)(x–b)(x +b )(x +b )+b –x

8

8. Efectuar: 2 2 2 2 (x+10) +(x–10) +(x+8) –(x–8) –2(100+16x) 9. Si: a+b=7 ∧ ab=16 2 2 Calcular: a +b

11. Si: a–b=11 a.b=6 2 2 Calcular: a +b 12. Calcular el mínimo valor de "x+y" 2 2 Si: x +y =55 ∧ xy=33 13. Si: a=9+7 5 b=7 5 +6 Calcule: E= 8 3 (a + b) (a2 + b2) (a4 + b4) + b8 2 2 14. Reducir: ( 7 + 1) 2 − ( 7 − 1) 2 ( 7 + 1) + ( 7 − 1)

15. Si: a+b=9 ab=14 2 2 Calcular: a + b ab

10. Si: a+b= 5 ; ab=3 2 2 Calcular: a +b

Tú puedes x

y

2

b

2

2

2

2

1. Si: 2 +2 =a x+y=b x y entonces: 4 +4 equivale a: 2

a) a +2 2 d) a –2b

b

b) a –2 +1 2 b+1 e) a +2

2

c) a –2

b+1

2. Si: a +b = m +1

5. Si se cumple: a + b =

x +y = m –1 2

4. Si se cumple que: 2 2 x +y =2(3y+2x)–13; {x;y} ! R x+y Calcular: 5 a) –1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 3

ab =

2

Halle: (ax+by) +(ay–bx) –m a) m d) –1

b) 1 e) 0

3. Si: x+ 1 =3; calcular: E = x a) 0 d) 3 Colegios

34

TRILCE

b) 1 e) 4

c) –m (x3 + x5) (x7 + x3) 21x9

4

2+5 4+3 4

Calcular: "a–b" ; si: a>b a) 2

b) –2

d) – 2

e) –1

c)

2

c) 2

Central: 6198 – 100

Capítulo

Productos Notables II

11

Problemas para la clase 3

1. Efectuar: • 3x (x+1)=

6. Efectuar: (x+5) =

2

• –2x . (x–3)=

2. Efectuar: • (3x–5)(4x+1)=

7. Desarrollar: (3x+2)

3

• (2x+1)(3x–7)=

8. Efectuar: (x–2)

3

3. Efectuar: 2 • (x+2) =

2

• (3x–5) =

2

9. Efectuar: (x+11)(x –11x+121) – x

4. Efectuar: • (4x+5)(4x–5)=

2

3

2

• (3x+4) –(3x–4) =

5. Efectuar: 2 • (x+6)(x –6x+36)=

4

2

10. Reducir: (m+2)(m–2)(m +4m +16)–m

6

2

• (x–5)(x +5x+25)=

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35

11

Capítulo

11. Efectuar: (x+5)(x+3)+(x+3)(x+4)–2x a) x+27

b) 15x+27

d) 15x+7

e) 0

2

c) 27x+20

b) –1

d) –3

e) –4

c) –2

b) 0

2

e) 1

d) 2x

c) x

d) x

4

b) x

2

e) x

5

c) x

3

20. Reducir: (x + 4) (x2 − 4x + 16) − (x − 4) (x2 + 4x + 16) 8

13. Efectuar: (x+2)(x+3)+(x–1)(x–3)–x–9 a) 10x

(x + 5) (x2 − 5x + 25) + (x − 5) (x2 + 5x + 25) ; x ! 0 2x a) x

12. Efectuar: (x+1)(x+2)–(x+2)(x+3)+2x a) 0

19. Efectuar:

2

a) 1

b) 4

c) 16

d) 64

e) 128

21. Efectuar:

14. Efectuar: 2

2

2

2

(x+10)(x –10x+100)–(x+5)(x –5x+25)

E=(2x–3)(4x +6x+9)–(2x+1)(4x –2x+1)

a) 100

a) –28

b) 10

d) 475

c) 875

b) –2

3

e) 575

d) x +7

15. Calcular: "A–B"

c) –18

3

e) x +28

22. Reducir: 2

Si: A =

(x + 3) − (x + 4) (x + 2)

B=

(x + 4) 2 − (x + 1) (x + 7)

a) 2

b) 1

d) –1

e) –2

E=(3 7 + 3 5 ) (3 49 − 3 35 + 3 25 ) − ( 7 − 3) ( 7 + 3)

c) 0

a) 4

b) 5

c) 6

d) 7

e) 14

23. Determinar el área de:

3

16. Si al desarrollar (2x+3) se obtiene el polinomio 3 2 de la forma: ax +bx +cx+d. m–3

Calcular: a+b+d–c a) –23

b) –47

d) 17

e) 101

c) 51

3

17. Al efectuar: (3x–2) se obtiene un polinomio de 3 2 la forma: mx +nx +px+q Calcular: (m–n)+(p–q) a) –3

b) 71

d) 3

e) 125 2

c) 26

2

18. Efectuar: (x+2)(x –2x+4)+(x–2)(x +2x+4) a) 2x

3

b) x

d) 2x

6

e) 0

Colegios

36

TRILCE

6

;

c) x

3

m>3

2

m +3m+9 3

b) m +9

3

3

e) m +27

a) m –9

3

c) m –27

3

d) m

3 –3 24. Si: x + 1 = 5; obtener el valor de: x +x x

a) 90

b) 110

d) 130

e) 140

c) 12

25. Si: a+b=5 ab=3 3

3

Calcular: a +b a) 40

b) 15

d) 105

e) 27

c) 80

Central: 6198 – 100

Álgebra Practica en casa 1. Efectuar: (x+6)(x+2)+(x+4)(x+1)–2x

2

2. Efectuar: (x+10)(x–3)–(x+4)(x+2)+29 3. Reducir: (x+4)(x–2)+(x–6)(x+4)–2x

2

10. Reducir: (3 6 + 3 2 ) (3 36 − 3 12 + 3 4 ) 11. Reducir: (3 10 − 3 4 ) (3 100 + 3 40 + 3 16 ) 12. Determine el área de:

4. Reducir: (x+3)(x+2)–(x+7)(x+2)+(x+9)(x–4)–(x+4)(x+1) 2

m–2

;

m>2

2

5. Reducir: (x+8)(x –8x+64)–(x–6)(x +6x+36) 2

m +2m+4

6. Calcular: A+B si: A = B=

(x + 5) 2 − (x + 2) (x + 8)

13. Determine el área de:

2

(x + 6) − (x + 3) (x + 9)

7. Reducir: (x + 6) (x2 − 6x + 36) + (x − 6) (x2 + 6x + 36) ; x ! 0 2x

2(m–3)

;

m>3

2

8. Reducir:

m +3m+9

(x + 3) (x2 − 3x + 9) − (x − 3) (x2 + 3x + 9) ; x ! 0 6 3

9. Al efectuar: (2x+1) se obtiene un polinomio de 3 2 la forma: ax +bx +cx+d Determine el valor de: a+b+c+d

14. Si: x + 1 = 4 ; calcular: x3 + 13 x x 15. Si: a+b=6 ab=2 3 3 Calcular: a +b

Tú puedes 1. Si se cumple: x = 5 − 3 , calcular: y = 3− 3 F = 16 2 (x + y) (x2 + y2) (x4 + y4) (x8 + y8) + y16 + 3 a) 1

b) 2

d) 4

e) 5 4

c) 3

b) 9

d) 11

e) 12

2 Calcular: T= x + 1 + c x2 + 12 m x x

a) 50

b) 51

d) 53

e) 54 2

4

2

c) 10

a) 0

b) 1

d) 3

e) 4

c) 2

5. Siendo: x+ 2 =3. Calcular el valor de: x P=(x–1)(x+2)(x–2)(x–5)+2011 a) 2008 d) 2011

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c) 52

4. Efectuar: (x +5x+5) –(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)

2. Efectuar: e 1 4+ 3 o + e 1 4− 3 o 7 7 a) 8

2

3. Siendo: x –3x+1=0

b) 2009 e) 2012

c) 2010


37

12

Capítulo

División Algebraica I Problemas para la clase 2

4

3

1. Dado el polinomio: P(x)=3x –5x +4–9x +6x Determinar: a) Grado de P(x)=_________________________ b) Coeficiente principal=__________________ c) Término lineal=________________________ d) Término cuadrático= ___________________ e) Término independiente=________________ 2. Realizar las siguientes operaciones:

6. Si se divide el polinomio: 4 2 2 P(x)=x +x −1 entre x +1, entonces • Grado del polinomio dividendo: ______________________________________ • Grado del polinomio divisor: ______________________________________ • Grado del polinomio cociente: ______________________________________ 7. Del problema anterior, obtenga el grado máximo del residuo.

a) −30 ÷ 6=

b) −44 ÷ −11= c) + 110 = − 10

4 2 8. Si se van a dividir los polinomios: x 2+ 5x + 3 x − 3x + 2 complete su esquema de división:

d) − 72 = −6

1

3. Realizar las siguientes operaciones: a) −15−8= c) 10−40= 4. Completar y ordenar los siguientes polinomios: 5

a) P(x)=5x +3−4x+7x 3

b) S(x)=5x −1 S(x)= ________________________________ 4

2

6

5. Dado el polinomio: P(x)=8x−2x +5x +6x coloca en cada cuadrícula solo los coeficientes de P(x); una vez que se encuentre "completo y ordenado en forma descendente".

TRILCE

cociente: Q(x)=___________________________ residuo: R(x)= ____________________________

P(x)= ________________________________

38

0

9. Del problema anterior, una vez operado y completo el esquema indique:

d) −17−(−8)=

Colegios

5

−2

b) −23+13=

2

1

5 3 10. Si se van a dividir los polinomios: x + x − x − 30 x−2 complete su esquema de división:

1

0

−1

cociente: Q(x)= ___________________________ residuo R(x)= _____________________________ Central: 6198 – 100

Álgebra 11. Hallar el cociente de la siguiente división: 3

2

2

(x +5x –7x+5)÷(x +2x–3) a) x+5 d) –10x+14

2

b) x +3 e) 10x–14

c) x+3

12. Hallar el residuo de la división

2

b) 4x–6 e) 4x

c) –2

x5 + 2x3 − 13x2 + mx + n x 2 − 3x + 3 b) –9 e) 12

c) 24

14. Hallar la suma de los coeficientes del cociente y residuo de la siguiente división: x3 + 3x2 − x − 3 x 2 + 2x − 3 a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

a) 9 d) 8

a) 2 d) 9

c) 100

c) 1/2

3 4 17. Dividir e indicar su cociente: 6x + x + 2x + 3 x+3 2

a) 2x +1 3 d) 2x –1

4

b) 2x +1 4 e) 2x –1

b) 5 e) 13

c) 7

4

3

2

2

(4x +13x +25x+12+28x )÷(4x +6+5x)

b) –(2x+6) e) –2x+6

c) –6+2x

23. Hallar "A+B"; si la siguiente división es exacta 2x4 + 3x2 + Ax + B 2x 2 + 2x + 3

3 2 16. Dividir e indicar su residuo: 4x − 5x + 3x − 3 x−1

b) –1 e) 0

c) 5

22. Al efectuar la siguiente división:

x4 + 3x3 − 5x2 + mx − n x2 + x − 2

a) 1 d) –1/2

b) 2 e) 7

21. Hallar la suma de coeficientes del cociente, al 4 3 2 dividir: 2x + 5x 2− 2x + 4x + 8 2x + x − 2

a) 2x+6 d) x–2

c) 3

b) 90 e) 120

c) 3

el residuo es:

15. Hallar "mn"; si la siguiente división es exacta:

a) 80 d) 110

b) 2 e) 5

2x3 + x2 − 5x + (n − 7) x+2

13. Hallar "m+n"; si la siguiente división es exacta:

a) 9 d) –12

a) 1 d) 4

20. En la siguiente división exacta; hallar "n"

x4 − 3x3 + 2x2 + x − 5 x 2 − 3x + 1 a) x +1 d) –6

19. Indicar la suma de coeficientes del cociente al 3 2 dividir: 3x − 32x + 52x − 63 x−9

3

c) 2x +1

a) 2 d) 12

b) 4 e) 13

c) 5

24. Hallar el término independiente del cociente, 4 3 2 luego de dividir: 6x − 4x + x + 10x − 2 3x + 1 a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

4 3 2 25. Hallar el resto en: 15x − 8x − 9x + 7x + 1 5x − 1

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

3 2 18. Dividir: x + x − 2x − 2 x−1

Indicar el término independiente de su cociente a) 1 d) –2

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b) –1 e) 0

c) 2


39

12

Capítulo

Practica en casa 4

3

2

2

1. Al dividir: (x +4x +6x –7x+2)÷(x +2x+1) indicar el cociente y residuo. 4 3 2 2. Luego de dividir: 4x − 5x2 − 2x + 3x − 1 x − 2x − 1 indicar la suma de coeficientes del cociente.

3. Dar el residuo de la siguiente división: 3x4 − 2x3 − 5x − 4 x2 − x − 1 4 3 2 4. Calcular el residuo de: x – 3x 2 + 5x – 3x + 4 x – 3x + 4 4 2 5. Dividir: 8x − 24x + 5x − 2 4x − 2x + 1 e indicar la suma de coeficientes del cociente.

10. Calcular "A+B" si la división: x4 – 2x3 + 3x2 + Ax + B es exacta x2 – x + 1 4 3 2 11. Dividir: 12x + 2x2 − x − 5x − 9 3x − x − 2 indicar el producto de coeficientes del residuo.

12. Indicar "ab", si la siguiente división es exacta: 2x4 + 3x2 − ax + b 2x 2 + 2x + 3 13. Obtener: a + b + c p + q + r + t , luego dividir a b

6

9

p

q

c

5 4 6. Hallar el resto: 8x + 16x − 5x + 9 x+2 4

8

5 4

5

11

1

t

r 11

22

22

32

3

7. Hallar el residuo de: 5x + 16x − 8x + 2 x+3 8. Dar el cociente de: 2x − 8x + 9x − 4x − 16 x−3

14. Señalar el término independiente del cociente, 4 3 2 al dividir: 5x − x − 10x + 17x + 5 5x − 1

9. Hallar "a" para que la división sea exacta: 2x3 − 5x2 + 2x + a x−1

15. Señalar el resto, al dividir: 2 x4 + x3 − 8 x2 + 2x + 32 x+ 2

4

3

2

Tú puedes 1. Hallar la suma de coeficientes del cociente en la 101 siguiente división: x 2 + 2007 x − 2x + 1 a) 2007 d) 4040

b) 5050 e) 3030

c) 2020

2. Calcular "m+n" en la siguiente división exacta: mx4 + nx3 + 3x2 + 4 x2 − 3x + 2 a) –5 d) 7

b) –7 e) –3

c) 5

3. El residuo en la siguiente división es: x+3 2 2 2 Hallar el valor de: b –a 2 x4 − 3x3 + 2 x2 + ax + b x2 − 2 x − 2 a) 5 d) 1 Colegios

40

TRILCE

b) –7 e) –1

4. En la siguiente división; si el residuo es numéricamente igual a la suma de coeficientes del cociente. Hallar "m" 4x 4 − x 2 + 3 x + m 2x − 3 a) 3 3

b) 2 3

d) 4 3

e) 5 3

c)

3

5. Hallar el valor de "m", si la suma de coeficientes , tanto del cociente como del residuo, resultan iguales. x3 − 3x2 + (3 − m2 − 3m) x − (4m + 1) ; x ^ m + 3 x−m−3 a) 5 d) 2

b) 4 e) 1

c) 3

c) 3

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Capítulo

División Algebraica II

13

Problemas para la clase 1. Efectuar: 2 a) (−4) =

4. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones: a) x+y=8 x−y=2

3

b) (−4) =

c) (−1)

20=

13

d) (−1) =

2. Dado el siguiente polinomio: 4 3 2 P(x)=x −2x +x −x−1 Obtener:

b) 4a+b=7 −a+b=3

5. Construya un polinomio lineal en variable "x" tal que: "a": coeficiente lineal. "b": término independiente. considerando que (a≠0) 400 20 6. Hallar el residuo en: x − 3x + 4x + 5 x−1

a) P(1)=

b) P(−1)=

5 4 2 7. Hallar el resto en: x − 2x + x − 1 x+2

c) P(−2)=

3. En cada igualdad; despeje la potencia de mayor exponente: a) x+4=0

2

b) x −3=0

8 6 4 2 8. Hallar el resto en: x + 2x −23x + x + 2 x −1

7 6 3 9. Hallar el resto en: x − 3x +2 x − 2x + 5 x +1

5

c) x −4x+1=0 10. Hallar el residuo en: 5

x3 − x + 2 (x − 1) (x + 2)

d) x +7=0

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41

13

Capítulo

11. Hallar el resto en la siguiente división: x11 − 8x7 + 3x + 9 x+1 a) 11 d) 14

b) 12 e) 15

c) 13

12. Calcular el residuo en: x

− 3x + 3x − 1 x−1

b) 2 e) 0

c) 3

b) –2 e) –5

c) –3

x30 − 4x12 + x + a x+1 b) 3 e) 6

c) 4

x4 + 13x3 + 2x2 + x + n x−1 b) −5 e) 0

c) −7

b) –1 e) 27

c) 9

28 22 4 17. Calcule el resto de dividir: x − 4x 3 + 5x + 6 x +2

a) −10x+6 d) 8x−8

c) 11

4 3 21. Hallar el resto de dividir: 2x + 17x − 68x + 32 x− 1 2

a) 0,25 d) –3,5

b) 3,5 e) 0,75

c) –1,25

b) −8x+9 e) 0

(x − 3) (x + 5) (x − 6) (x + 2) + 2x2 − 147 x2 − x − 1 a) x d) 4x

b) 2x e) 5x

23. Calcular el resto en:

8 4 2 16. Hallar el resto de dividir: x − 2x 2 − 7x + 5 x +2

a) 1 d) –9

b) 10 e) 8

22. Calcular el resto en:

15. Hallar "n", si el resto de la división es 15:

a) −6 d) −2

c) 8

(x4 − 3x + 6)102 + (x4 − 3x + 4) 53 − 2 (x4 − 3x) − 1 x 4 − 3x + 5 a) 9 d) 12

14. Calcular el valor de "a" si la división es exacta:

a) 2 d) 5

b) 3 e) 5

20

30 29 13. Hallar el residuo en: x − 4x + x − 8 x−4

a) –1 d) –4

a) 1 d) 4

20. Calcular el resto en: 30

a) 1 d) 4

10 5 19. Hallar el resto en: (2x + 1) + 6x − 4 2x − 1

c) 10x+9

a) 30x−33 d) 3x−10

x 5 + 2x (x − 2) (x − 1)

b) 33x−11 e) 33x+30

c) 33x−30

3 24. Hallar el resto en: 2x − 3x x − 2x − 3

a) 4x+2 d) 4x+5

b) 4x+4 e) 4x−6

c) 4x+6

25. Calcular el resto luego de dividir: (x4 − 3x + 6)102 + (x4 − 3x + 4) 53 − 2x4 + 6x − 1 x 4 − 3x + 5 a) 9 d) 12

18. Calcule el residuo en:

c) 3x

b) 10 e) 8

c) 11

4x25 − 3x20 + 4x15 − x10 − x5 + 2 x5 + 1 a) –11 d) −5

Colegios

42

TRILCE

b) −9 e) −7

c) −8

Central: 6198 – 100

Álgebra Practica en casa 9. Hallar el resto en la siguiente división:

4 1. Hallar el residuo en: 2x + 3x − 5 x−1

9x105 − 3x60 + 5x21 − 6x12 + x3 + 7 x3 − 1

10 2. Hallar el residuo en: x + 3x − 1 x−1

10. Hallar el resto de la división:

3. Hallar el resto en la siguiente división: 4x25 − 3x2 + 5 x+1 5 4 4. Hallar el resto en: 8x + 16x − 5x + 9 x+2

5. Hallar "n", si en la siguiente división el resto es 4 2 cero: 3x + x + 5x + (2n − 3) x+1

x18 + 3x9 + 5x6 + 7x + 1 x2 − 1 18 11. Hallar el valor de "a" si el resto es 8: 5x + 3x + a x+1 92 91 2 12. Hallar el resto en: x − 2x + 2x − 3x + 1 x−2 2000 + (x + 1) 35 − x − 2 13. Hallar el resto de: (3x + 5) x+2

24 15 4x6 − x3 + 2 6. Hallar el residuo en: x − 3x + x3 − 1 6 4 2 7. Hallar el resto en: x + 3x +25x + 6x − 4 x −1

5 3 14. Calcular el resto de: x − 3x2 + 2x + 5 x −5 7 7 7 15. Calcular el residuo de dividir: (x + a) − x − a x + 2a

2 8. Hallar el resto de dividir: 2x + 5x + 3 2x − 1

Tú puedes 1. Calcule el resto de la siguiente división: (2x − 4) 2 + (2x − 3) 2 + (2x − 2) 2 + ... + (2x + 2) 2 2x − 4 a) 91

b) 81

d) 55

e) 70

2. Hallar "n", si

c) 76

(x + y) 4 − nx4 − y4 es exacta x − 2y

a) 4

b) 7

d) 8

e) 10

c) 5

37 15 3 4. El resto de dividir: 2x + 5x2 + 4x + 13 , es x +1 2

R(x)=ax+b +4; calcular ab a) –21

b) 18

c) 21

d) 0

e) más de una es correcta

5. Hallar el resto en: (x + 1) (x + 22) (x + 3) (x + 4) + 5 x + 5x + 5 a) 0

b) 1

d) 3

e) 4

c) 2

17 14 2 3. Si el residuo de: 2x + 3x2 + 4x − 1 , es de la x +1 forma R(x)=mx+n. Halle: R(m–n)

a) 0

b) 12

d) 15

e) 14

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c) 1


43

14

Capítulo

Factorización I Problemas para la clase

1. Efectuar las siguientes operaciones: 11 a) x 9 = x 5 b) 20a2 = 5a

6. Indique los factores algebraicos del siguiente polinomio: P(x)=x.(x+1).(x−1)

7. Del problema anterior, indique los factores primos de P(x).

7 c) − 323x = 4x

d)

110x4 y2 = − 10x2 y

3 5 7 e) –24a2 b3 c4 = –4a b c

8. Factorizar en cada caso: 3 2 a) P(x)=x +3x 3 2

2 3

2 2

b) F(x;y)=x y −x y +3x y

2

2. Indicar cuál o cuales son polinomios constantes: a) P(x)=50 b) F(x;y)=3Kx+y 2 c) M(n)=K

c) M(x;z)=x (x+z)+3(x+z)

9. Factorizar en cada caso: 2 2 a) P(x;y)=x y+x+xy +y

Rpta: ____________________ 3. Indicar cuál o cuales son polinomios lineales: a) P(x)=5x−1 2 b) F(x;y)=x +y c) M(a)=30 Rpta: ____________________ 4. Indicar cuál o cuales son polinomios cuadráticos: 2 a) P(x)=x +1 b) F(x;y)=xy−2 c) M(n)=n(n−1)+K

3

2

b) Q(x)=x +x +x+1

2

c) F(a;b)=a −ab+ac−a+b−c

10. Factorizar en cada caso: 2 a) P(x)=25x −4

Rpta: ____________________ 5. Efectuar: a) x(x+8)=

3

b) R(x;y)=8x +y

3

2

b) −2x(x −y)= c) (x+5)(x−5)= Colegios

44

TRILCE

Central: 6198 – 100

Álgebra 4

19. Factorizar: 81x −y

11. Siendo: P(x)=(x+1)(x–3)(z–1) indica el número de factores primos a) 1

b) 2

d) 4

indicando un factor primo

c) 3

a) 9x+y 2

e) 5

c) 9x +y 2 e) 3x−y

12. Indica la suma de factores primos de: 2

P(x)=(x–1) (x+1) a) 0

3

b) 1 2

d) 2x

2

3

13. Indica el factor primo que más se repite en: 10 8

5

P(x)=5 x (x–1) (y+3) a) (y+3)

b) 5

d) (x–1)

e) 5x

10

c) x

b) 2x(x+3)

d) x(6x+3)

e) (3x+1)(1+2x)

c) x(3x+2)

2

15. Factorizar: mx+m +xy+my

a) (a+b+c)(x–y)

b) (a+b+x)(c–y)

c) (a+b+c)(x–y+1)

d) (a+b+c)(x+y)

e) (a+b+c)(x+y–1) 21. Factorizar: ab+7a+8b+56 a) (a+b+1)(a+7)

b) (ab+8)(ab+7)

c) (a+b+7)(a+b+8)

d) (a+7)(b+8)

22. Factorizar: x –1 2

a) x(x–1)

b) x (x–1) 2

d) (x+1)(x –x+1)

2

b) (x+y)(x+m)

c) (x+y+m)(x–m)

d) (2x+n)(y+2m)

e) (2m+x)(y+2m)

3

23. Factorizar: (8x +1) 2

3

a) (8x+1)(x +1)

b) 8(x +1)

2

16. Factorizar: ax+x +ab+bx

2

b) (a+x)(ax+b)

c) (a+b)(x+b)

d) (a+b+x)(x–b)

e) (a+x)(x+a+b) 2

17. Factorizar: 4a –9 a) (4a+3)(4a–3)

b) (2a–3)(2a+3)

c) (4a+9)(4a–9)

d) a(4a–9)

2

e) a (4–9)

2

a) 2(x+1)

b) 2(y+1)

c) 2(x−y)

d) 2(x+y)

e) 2x+y 25. Factorizar:

e) (36x+25y)(36x–25y)

2

2

P(x;m)=x +2ax+a −m +4m−4

2

c) y (36x –25)

2

24. Factorizar: P(x;y)=x +2xy+y −25 e indicar la suma de sus factores primos.

2

2

d) (2x–1)(4x +2x+1)

e) (8x +1)(x–1)

a) (a+x)(x+b)

a) (6x+5y)(6x–5y)

2

c) (2x+1)(4x –2x+1)

2

2

2

c) (x–1)(x +x+1) e) (x –1)(x+1)

a) (x+m)(m+y)

18. Factorizar: 36x –25y

2

3

a) 3x(x+2)

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d) 3x+y

e) (a+8)(b+7)

2

14. Factorizar: 3x +6x

2

b) 9x−y

2

20. Factorizar: ax+bx+cx+ay+by+cy–a–b–c c) 2x

e) x +x

4

indicar un factor primo 2

b) x (36–25y) d) (36x+5y)(36x–5y)

a) x+a+m 2

c) x+a +m−2

b) x−a+m d) x+a+m−2

e) x+2a+m−1


45

14

Capítulo

Practica en casa 2

1. Siendo P(x;y)=5(x+3)(y+1)(z–5)

8. Factorizar: 36x –1

Indique el número de factores primos 2

2

9. Factorizar: 25m –4n

4

2. Siendo: P(x)=(x+5) (y+3) (x–5)

10. Factorizar: ax–bx+cx+ay–by+cy–a+b–c

Indique la suma de factores primos 10

7

5

3. Siendo P(x;y)=5 (x+1) (y–3) (z+1)

3

11. Factorizar: 27x +1

15

Indique el factor primo que más se repite 8

5

4. Factorizar: m +8m –6m

3

12. Factorizar: x –8 9

3

13. Factorizar: x +1

7

5. Factorizar: x (3a+2b)–x(3a+2b)–3a–2b 3 2

2

14. Factorizar: xy+5x+2y+10 7

2 3

6

5

4

3

2

15. Al factorizar: P(x)=x –x +x –x +x –x +x–1

6. Factorizar: x y (a–b)–x y (a–b)

a

b

c

se obtiene: (x +m)(x +n)(x –p)

7. Factorizar: ab+bc+ad+cd

siendo a>b>c; calcular:

a.c + b m+n+p

Tú puedes 2

1. Factorizar: 64x –(8x+2y)

8

2

indicando un factor primo a) 8x+y

b) (8x–3)

d) (x+y+8)

e) (4x–y+8) 2

2

c) 8x–y

d) m+n

2

b) m–n

2

c) m +n

2

2

8

5

6

b) 2

d) 4

e) 5 2 4 3

c) 3 2 3 3

2 3 5

5. Factorizar: n p z +n p z +n p z +n p z indicando el número de factores primos

e) m –n 4

5 3

a) 1

3 4 5

2

2. Factorizar: m np+mnp +mn p indicando un factor primo a) m+n+p

3 5

4. Factorizar: x +x y +x y +y +x y+y indicando el número de factores primos

a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

c) 3

6

3. Factorizar: x +x +1+x indicando el n° de factores primos a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

Colegios

46

TRILCE

c) 3

Central: 6198 – 100

Capítulo

Factorización II

15

Problemas para la clase 1. Indicar cuál o cuales de los siguientes polinomios son trinomios cuadrados perfectos: 2 a) P(x)=x +8x+16 2 b) Q(y)=y −10y−25 4 2 c) R(a;b)=a +14a +49 2 2 d) S(m;n)=m −mn+n

4. Desarrollar: a) P(x)=(3x−5)(x+2)

2

2

b) Q(x;y)=(4x +3y)(5x −y)

Rpta: _____________________ 2. Desarrollar: a) P(x)=(x+4)(x+9) 5. Efectuar las siguientes divisiones: b) Q(x)=(x−5)(x−6)

3 2 a) x − 6x + 11x − 6 x−1

c) R(x)=(x+12)(x−10) 3 2 b) 6x + 6 − 19x + x 2x − 3

d) S(x)=(x−15)(x+8)

3. Desarrollar: a) P(x;y)=(x+y).(x+2y)

6. Factorizar en cada caso: 2

a) x −11x+28= ________________________ 2

b) x +29x+100= _______________________ b) Q(x;y)=(x−3y).(x−5y)


a) x +17x−60= _________________________ 2

b) x −17−390= ________________________ c) R(a;b)=(a+6b).(a−4b)

8. Factorizar en cada caso: 2 a) x +12x+36= _________________________ 2

2

b) m −4mn+4n = ______________________ d) S(a;b)=(a−9b).(a+7b)


a) 6x +11x+3= ________________________ 2

b) 10x −22x+4= _______________________

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47

15

Capítulo

3

2

3

10. Factorizar: P(x)=x −6x +11x−6

2

18. Factorizar: x +x −7x−15 b) (x+3)(x +4x+5)

2

d) (x−3)(x+3)(x+2)

c) (x−3)(x −4x−5) 2

11. Si el polinomio: P(x)=x −10x+(2k+1) es un trinomio cuadrado perfecto: halle el valor de "k" a) 10 c) 12 e) 14

b) 11 d) 13 2

b) 2 d) 4

2

P(x;y)=2x −15xy+7y a) 2x+y c) x−y e) x+7y

2

b) 2x−y 2 d) 2x+y

2

b) (x−4)(x −3x+3)

2

d) (x+3)(x+1)(x−3)

2

e) (x+3)(x−1)(x−3) 3

2

20. Factorizar: x +4x +x–6 a) (x–1)(x+2)(x+3)

b) (x+1)(x+2)(x+3)

c) (x–1)(x–2)(x–3)

d) (x+1)(x–2)

3

2

a +b 2 a −b 2 2 a −3b

2

b) a+b 2 2 d) a +3b

b) 4 d) 9 2

16. Indicar un factor primo: F(x)=abx +bx+b(1−a) a) x−1 c) ax−a+1 e) x−a

2

2

a) (x+5) (x–2) c) (x+10)(x–1)

b) (x–1)(x+5)(x+2) 2

d) (x+1)(x–5)(x–2)

e) (x +x+2)(x–5)

15. Indica la suma de coeficientes de uno de los 4 2 factores primos de: P(x)=4x −13x +9 a) 1 c) 8 e) 5

3

21. Factorizar: x +6x +3x–10

2

14. Indique el factor primo cuadrático de: 4 2 2 4 P(a;b)=a −a b −12b

b) ax+1 d) x+1−a

17. Factorizar e indicar la suma de los términos independientes de sus factores primos: 4 2 P(x)=x (2x−1)−5x (2x−1)+4(2x−1) a) −2 c) 0 e) 5

2

e) (x–2)(x+3)(x+6)

13. Indique un factor primo del siguiente polinomio:

a) c) e)

3

19. Factorizar: x +7x +15x+12

c) (x+4)(x +x+1)

2

a) 1 c) 3 e) 5

e) (x−3)(x+3)(x−2)

a) (x+4)(x +3x+3)

12. Si el polinomio: F(x;y)=4x +10mxy+25y es un trinomio cuadrado perfecto, halle el valor 2 de m +1.

2

2

a) (x−3)(x +4x+5)

b) −1 d) 1

3

2

22. Indicar un factor primo de: x +8x +19x+12 a) x–1 c) x–4 e) x+4

b) x–3 d) x+2 3

2

23. Hallar un factor primo en: x –4x –67x+70 a) x+1 c) x–7 e) x+7

b) x–5 d) x+10 3

24. Al factorizar: 3x –21x+18; toma la forma: a(x–b)(x–c)(x–d) donde: b
b) 4 d) 6 3

2

25. Factorizar: 2x +x +x–1 2

a) (2x+3)(x –x+1) 2

c) (2x–1)(x +x+1)

2

b) (x+2)(2x +x+1) 2

d) (2x+1)(x –x+1)

2

e) (x +1)(2x+x–1) Colegios

48

TRILCE

Central: 6198 – 100

Álgebra Practica en casa 2

1. Factorizar: x +6x+9

3

2

3

2

9. Factorizar: x +2x –5x–6

2

10. Factorizar: x –11x +31x–21

2

11. Factorizar: x –8x +3x–24

2. Factorizar: 4x –4x+1

3

3. Factorizar: 9x +12x+4

Indica el número de factores primos lineales.

Indicar la suma de factores primos

3

2

12. Factorizar: x –4x+3

4. Factorizar: x +x–6 Indica el factor primo de mayor suma de coeficientes. 2

5. Factorizar: x +7x+12

3

2

13. Factorizar: x –3x –16x–12

3

2

14. Factorizar: 2x –x –x–3 Indica el término independiente del factor primo de mayor grado.

2

6. Factorizar: 6x –5x–21 Indica suma de factores primos

3

2

15. Al factorizar: 2x +7x +4x–4

3

7. Factorizar: x +7x +10

se obtiene: (ax+b)(x+a)

Indica el número de factores primos. 8

Indica el número de factores primos.

Indicar la suma de factores primos.

Indica el factor primo de término independiente par.

6

2

2

Hallar: ab

4

8. Factorizar: 10m +17m +3 Indicar el factor primo de mayor suma de coeficientes.

Tú puedes 2

1. Factorizar: P(abc)=(a+b+c) +3+4a+4b+4c, indicando el número de factores primos. a) 1

b) 2

d) 4

e) 5 4

c) 3

2

b) x +x+2

2

e) x +x–2

d) x –x+4

2

2

b) x –5x–1

2

e) x +1

a) x +5x–1 d) x +5x+1

2

2

c) x +x+3

2

2

c) x –5x+7

2

3

2

2. Factorizar: x +7x +16, indicando un factor primo. a) x +x+1

5

4. Indicar un factor primo: M(x)=(x–3) +x–2

2

5. Factorizar: P(x)=3x +2x +5x–2, indicando la suma de términos independientes de sus factores primos. a) 1

b) –1

d) –2

e) 3

c) 2

3. ¿Qué término hay que sumarle a 2 P(n;k)=n(n+5k)+3(kn+7n ) para que sea factorizable? a) 3nk

b) 6nk

d) 8nk

e) 2nk

www.trilce.edu.pe

c) 5nk


49

16

Capítulo

Fracciones Algebraicas I Problemas para la clase 2

1. Factorizar: P(x)=x +5x

7. Indica el MCD de los polinomios: 2 M(x)=x –25 2 N(x)=x +7x+10

2. Factorizar: f(x)=x(x+3)–8(x+3)

2

3. Factorizar: g(x)=x −x−6

8. Indica el MCM de: 2 3 F(x)=x(x–6) (x+1) (x–2) 2 4 G(x)=x (x–6)(x+1)

2

4. Factorizar: q(x)=x –9

2 9. Simplifica: x − 22x − 15 x −9

3

2

5. Factorizar: h(x)=x +6x +3x–10

6. Indica el MCM de los polinomios: 2 P(x)=x –x–12 2 Q(x)=x –9

Colegios

50

TRILCE

2 10. Simplifica: 2 x − 8x x − 6x − 16

Central: 6198 – 100

Álgebra 11. Relacionar las columnas correctamente: 9 6

Factores

A=a b 12 4 B=a b 6

comunes

A elevados al menor 4 9

exponente: a b

9

A=a .b 4 12 B=a .b

B

MCM=(x+3)(x–3) (x+6)

2

A=x –9 B=(x–3)(x+6)

Factores comunes y no comunes elevados D al mayor exponente: 12 6 a b

2

12. Completar los exponentes del MCD y MCM de los polinomios: 6

9

A=(x+4) (x–3) 8 2 4 B=(x+4) (x–3) (x+6) 2 5 C=(x+4) (x+6)

(x–3)

(x+6)

6

• El MCM de los polinomios: A=(x–2) ; 4 7 7 B=(x–2) ; C=(x–2) es: (x–2) ............. (

)

• El MCD de los polinomios: A=x+4 B=x–3; es "x" .................................. (

{

2

14. Simplifica: x − 22x − 15 x −9 b) x − 3 x−5

d) x + 5 x+3

e) x + 3 x−5

c) x − 5 x−3

c) x(x–4)

2 16. Simplifica: 6x (x − 1) 2x (x + 1)

a) 3(x+1) d) 3(x–1) www.trilce.edu.pe

b) 3x(x–1) e) x

c) x + 1 3x

)

)

b) 3x − 1 2x + 1 1 e) + 3x 1 − 2x

c) x + 3 2x − 1

b) 5x+1 2 e) 5x

c) 5x

6x 2 − 6y2 2x − 2y b) 3x e) x–y

c) 3y

3 2 21. Simplifica: x + 24x + x − 6 x +x−2

a) –x

b) 3–x e) x–3

c) x

3 2 22. Simplifica: x + 62x + 3x − 10 x + 4x − 5

a) x d) 2x

b) x+2 e) 2x+1

c) x–2

23. Luego de simplificar: (x + 1) (x − 3) +25 (x − 3) 36 − x calcula la suma del numerador y denominador a) 9x d) 3

b) –9 e) x–9

c) x+9

3 2 24. Luego de simplificar: x − x3 − 4x + 4 , calcula la x − 4x suma del numerador y denominador

2 2 15. Simplifica: 10x (x − 16) 5x (x − 4)

b) 2x(x+4) e) 5x(x+4)

a) 3x–3y d) 3x+3y

d) x+3

4

• El MCD de los polinomios: A=(x–3) 8 8 2 8 8 (x+5) ; B=(x–3) (x+5) es: (x–3) (x+5) .(

a) x + 5 x−3

b) 3x + 1 x−1 e) 2x − 1 x+1

2 19. Luego de simplificar: 122x + 5x − 3 , calcula la 8x + 10x + 3 suma del numerador y denominador.

20. Simplifica:

13. Indicar verdadero (V) o falso (F), según corresponda:

a) 5x(x–4) d) x(x+4)

a) 3x + 1 2x − 1 3 d) x − 1 2x − 1

a) 5x–1 d) 1

• MCD=(x+4) • MCM=(x+4)

a) 3x + 1 x+1 d) 3x − 1 x−1

2 18. Simplifica: 3x 2+ 2x − 1 2x + x − 1

C MCD=x+3

A=x –9 B=(x+3)(x+6)

2 17. Simplifica: 6x 2+ 7x − 3 2x + x − 3

a) 2x d) 2x+1

b) x–1 e) x+1

x 2 y 2 − 4y2 yx + 2y a) yx–2y b) yx+2y d) yx+2 e) yx+1

c) 2x–1

25. Simplifica: c) x(x+1)

c) yx


51

16

Capítulo

Practica en casa

Simplificar las siguientes fracciones: 1.

7^x–5h 3x–15

2.

6^x2 –y2h x–y

3.

x2 –3x–4 x 2 + 5x + 4

2 8. 15x2 − 2x − 8 10x + 7x − 12 2 2 9. (x − 2x) (x − 4) x (x + 2) 2 10. 2x + x x + 2x + 1 3 2 11. x − 5x + 2x2− 103 3x − 15 + 5x − x

2 4. x 2–5x + 6 x –x–6

3 2 12. x +2 x − x − 1 x + 2x + 1

^ 2 h 5. 10x x –1 2x^x + 1h

Simplifica: 13.

2^ 2 h 6. x x –9 x^x + 3h

(x + y) 2 + 11 (x + y) + 24 (x + y) 2 − 9 3

Luego de simplificar las siguientes fracciones, calcula la suma del numerador y denominador: 2 7. x2 + x − 6 x + 2x − 3

14. x2 − 7x + 6 x + 2x − 3 3 2 15. x + 2x2 − 4x − 8 x −4

Tú puedes 1. Simplifica: 3mn + 6kn + mc + 2kc 3mn + 6kn − mc − 2kc

(2x − y) 3 − 5 (2x − y) 4x 2 − y 2

a) n + 3c n−c

b) n − 3c n+c

d) n + c n−c

e) 3n − c 3n + c

a)

4x2 − 4xy + y2 − 5 2x + y

b)

(2x + y) 2 + 5 2x + y

(x + 2y) 3 + z3 2. Simplifica: (x + 2y) 2 − z2 y de como respuesta el denominador resultante

c)

(2x − y) 2 + 1 2x + y

d)

4x2 − 4xy + y2 + 5 2x − y

e)

2x + y 2x − y

a) x+y–z

b) x+y+z

d) x+2y–z

e) x–y+2z

3. Simplifica:

c) 3n + c 3n − c

c) x+2y+z

2 2 5. Simplifica: (1 + mx) 2 − (x + m2) 1 − mx + m − x

9x2 − 12xy + 4y2 27x3 − 8y3

a) 1–m

a)

3x − 2y 2 9x + 6xy + 4y2

b)

3x + 2y 2 x + 6xy + y2

c)

3x − 2y 9x + 6xy + 4y2

d)

3x − y 9x + 6xy + 4y2

e)

3x − y x2 + y2

Colegios

52

4. Simplifica:

2

TRILCE

2

d) m

b) m+1

c) m

e) m–x

2

Central: 6198 – 100

Capítulo

Repaso II

17

Problemas para la clase 4xy o 20x 1. Reducir: e 5y c 16y m 2

2 2. Simplificar: 2 x − 1 x − 4x − 5

2 3. Reducir: x2 + 3x − 4 x + 2x − 3

2 6. Simplificar: x +24x + 4 . x − 3 x+2 x −9

2 7. Simplificar: 3x − x − 2 ' 2 + 3x x−4 x

8. Reducir: c 2x2 − 2 m ' c 23x + 3 m 2x − 50 x − 4x − 5

9. Reducir: 3x + 7 + 2x − 5 + 1 − 5x x x x 2 4. Reducir: x2 − 4x − 21 x − 5x − 14

2 5. Simplificar: 2a 3− a − 15 4a − 25a

www.trilce.edu.pe

2 10. Reducir: 2x − 2x − 29 − 2x x − 6x + 9 x + 9 − 6x


53

17

Capítulo

11. Reducir: 3 • (a − 1) 2 = (a − 1)

2 2 17. Efectuar: c 24 m e x −26x + 9 oc x + 9 m 2 x −9 2x − 18

a)

2 • x2 ' x3 = y y

d) 0

12. Indica verdadero corresponda:

(V)

o

falso

(F)

según

• El valor que toma: 3n para n=2 es 0. n−2 ......................................................... ( • La fracción: 5n − 1 no está definida n−8 para n=8............................................ ( 13. Relaciona las columnas correctamente: a ab

A

3a 2 b2

15a3 b2 5ab4

B

1 b

121a4 c5 d7 11ac5 d8

C

a

ab b

D

11a3 d

2 14. Luego de simplificar: 2x2 + 7x + 3 2x − 7x − 4

Indica la suma del numerador y denominador a) 2x

b) 4x–3

d) 4

e) 5

c) 2x–1

d) 1

b) x+1

c) x–1

2

e) x –x+1

2 x−2 16. Reducir: c 3x2 + 2 m e 3x + o x −1 9x 2 − 4

a) x − 4 x−1

b)

2 x−1

1 x+1

e)

1 x−2

d)

Colegios

54

TRILCE

)

)

e)

c)

x2 + 9 (x + 3) 2

9 (x + 3) 2

2 2 18. Al simplificar: (x − 6x3 + 9) (x + 3x + 9) (x − 27) (x − 3) se obtiene:

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

2 2 19. Efectuar: x2 + x − 2 + x 2+ 7x + 12 x + 2x − 3 x + 6x + 9

a) –2 d) 1

b) –1 e) 2

c) 0

2 2x − 3 + x2 − 4 20. Efectuar: x + 2x 2 − x − 1 2 x 2 + 5 x + 2

a) x+1 d) 1

b) 2 e) 0

c) x

21. Efectuar: 7x2 − 35 + 1 x − 25 x + 5 a)

14 x+5

d)

49 (x + 5) 2

14 (x + 5) 2 8 e) x+5 b)

c)

9 2 (x + 5)

2 2 22. Reducir: x − 1 + 1 − x x+1 1−x

a) x d) –x

a) 0 d) 3

b) 2x e) –2x

c) 1

1 x−1

b) 1 e) 4

c) 2

24. Efectuar: ` x + 2 − x − 5 j^x2 + 3x − 4h x−1 x+4 a) 12x+1 d) 12x+4

c)

b) 1

23. Efectuar: 5x − 6 + 4x + 15 3 (x + 1) 3x + 3

2 2 15. Simplificar: e 2 x − 1 o e x2 + 2x − 3 o x − 2x + 1 x + 4 x + 3

a) x

x2 (x + 3) 2

b) 12x+2 e) 12x+5

c) 12x+3

2 25. Efectuar: ` x + 1 + x − 1je x 2− 1 o x − 1 x + 1 2x + 2

a) 0 d) 3

b) 1 e) 4

c) 2

Central: 6198 – 100

Álgebra 26. Efectuar: x2 + 5x + 4 + x2 + 8x + 12 + x2 + 10x − 11 x2 + 8x + 7 x2 + 9x + 14 x2 + 6x − 7 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 8

29. Efectuar: x2 − 3x + 2 x2 + 10x + 16 ' x2 + 6x − 16 oe 2 oG e 2 o =e 2 x + 3x + 2 x − 2x + 1 x −x−2

2 27. Efectuar: `x + 1 j`1 + 2 j − c x + 2x + 1m x+2 x x a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

2

a) –x –y d)

2

x2 + y2 2xy

2

b) x +y e) −

2

c)

(x2 + y2) 2xy

b) x+2 x+2

d) x+2 x–1

e) –2

c) x–2 x+1

2 2 3 x 4 9x 2 30. Efectuar: = (x + 3x2) . 27 −2 x G' 2 − 2 9−x (x + 3) − 3x (x + 3x)

x−y x+y x−y x+y + − m 'c m x+y x−y x+y x−y

28. Efectuar: c

a) x–2 x–1

a) x

xy x + y2

3 3

b) –3x

d) x +3x

2

2

e) –x

2

3

c) x –3x

2

3

Practica en casa 1. Relacionar las columnas correctamente: 8x − 8y ;x ! y 16x − 16y

A

x+4

x2 − 16 ; x ! 4 x−4

B

1 2

C

b a

D

1 4

2

ab + b ; a ! 0; a ! − b ab + a2 2

x +1 4x 2 + 4

• Si en la fracción: a , en la que b b!0, "a" se triplica y "b" se reduce a la mitad, entonces, la fracción se quintuplica......................................... ( 2 4. Simplificar: 6x2 − 7x − 3 ; x ! 1 ; 3 2 2 4x − 8x + 3

5. Reducir: (x2 + 2xy + y2) (x + 2y) ; x ! − y / x ! − 2y x2 + 3xy + 2y2

2. Reducir cada una de las fracciones: •

1 1+ 1 x

2 • x − 5x + 6 x 2 − 2x

2 6. Simplificar: 42x − 4x ; x ! 1 x − 2x + 1

=__________________

2 7. Reducir: a2 – 2a – 3 ; a ! –3; –1 a + 4a + 3

=__________________ 8. Reducir:

2 2 • a + 2ab + b =__________________ 3a + 3b

3. Indicar verdadero (V) o falso (F), según corresponda: 6n n−2 ( para: n=2; es 12.................................

• El valor que toma la expresión:

1 no está x 2 − 5x + 6 definida para x=3; x=2...................... (

• La

)

x2 − 4xy + 3y2 2 ; x ! y2 2 2 x −y

3xy − 15 9. Simplificar: 2 2 ; xy ! ! 5 x y − 25 x−y x+y 10. Efectuar: c 2 m; x ! ! y 2 mc 2 x + 2xy + y x − 2xy + y2 se obtiene una expresión de la forma: k (x − y) r . (x + y) p calcular: "k+r+p"

fracción:

www.trilce.edu.pe

)

)

2 y2 + y m 11. Efectuar: c x − 4 mc ; y ! 0 / x !! 2 xy + 2y x − 2


55

17

Capítulo

2 12. Dado: A = x + x − 12 x2 + x − 20

2 ; B = x2 − 7x + 12 x + 9x + 20

C = `x + 4 j ; x b Z x−4 2

• Durante un programa nacional para inmunizar a la población contra cierta variedad de influenza, los funcionarios del Ministerio de Salud aseguran que el costo por vacunar al "x"% de la población es de aproximadamente: 2 P(x) = e 150x o en millones de soles. 2

Simplificar: [(A)÷(B)]÷[C]

200x - x

13. Efectuar:

2 14. Simplificar la fracción: P(x) = 150x

1 1 1 1 `1 + x j`1 + x 1j`1 + x 2 j... `1 + x n j; x b Z + + +

200x - x2

15. ¿Cuál es el costo por vacunar al 50% de la población

Tú puedes 1 + 2p 2 o 1 -1 p + 2 1. Reducir: ep2 − c1 − m e 2 o p+2 p p +p+1 a) p–1

b) p+1

d) p+2

e) p–2 -1

p3 − 1o 2. Simplificar: e p−1 3

c) p

p (p + 1) + 2 p +p+1 2

a) p +p+1

b) p +1

d) p+1

e) 1

c) 0

y−x 3x + xy − y 3. Si: x–y=2, calcular el valor de: E = 2 1 − 2 2− 2 x3 + y3 x − xy + y x −y a) 0

b) 1

d) x

e) x–y

c) –1

4. Efectuar: `1 + 1 j`1 + 1 j`1 + 1 j... c1 + 1 m x x+1 x+2 x+p a)

x+p+1 x+1

b)

x+p+1 x−1

d)

x+p+1 x

e) x + 1 x+p

c)

x+p x+1

1 5. Hallar la suma: S = 2 1 + 2 1 ; + 2 1 + ... + 2 x + x x + 3 x + 2 x + 5x + 6 x + (2k − 1) x + k2 − k para x=25 ∧ k=5 a)

1 150

d) 1 20 Colegios

56

TRILCE

b)

1 120

e)

1 170

c)

1 50

Central: 6198 – 100

Capítulo

Fracciones Algebraicas II

18

Problemas para la clase 1. Halla el MCM de 2, 6 y 15

2. Halla el MCM de (x+2)(x–2) y (x+2)

2

2

3. Halla el MCM de x –3x y x –9

2 4. Simplifica: x − 16 ; x ≠ –4 x+4

2 5. Simplifica: x − 2x − 15 ; x ≠ 0 ∧ x ≠ 5 x (x − 5)

www.trilce.edu.pe


57

18

Capítulo

6. Relaciona las columnas correctamente: A

a−b c c a−c b d a'c b d a.c b d

13. 3x − 1 − x + 3 ; x ≠ 2 5x − 2 5x − 2 5

a.d b c a.c b.d ad − bc bd a−b c

B C D

2x 5x − 2 d) 2x + 4 5x − 2 a)

• a + x + 1 − a =__________; siendo x!–1 x+1 x+1 =__________; siendo x!1

=__________; siendo x!–1 • x − 1 ' x − 1 x+1 x+1 8. Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda: x + 1 2x + 2 • 2 ` x − 1j = 2x − 2 ; x ! 1.......................(

)

•

4 + x + 2 + − 12 = 1; x ! 6 .......... ( x−6 x−6 x−6

)

a) 9x + 2 24 9 x −2 d) 24

b) 9x + 2 6 9 x e) 24

c) 9x − 2 12

11.

b) 10x 13 11 x e) 24

5x − y 5x + y b) 30 60 5 x 1 5 x + −1 d) e) 60 30 12. 2x + 3 + x − 6 ; x ≠ 1 x−1 x−1 a) 1 b) 2 d) 4 e) 5 Colegios

TRILCE

2

c) 9x 8

c)

x − 5y 60

c) 3

c) 5x + 1 x−1

b) 5x2 − 1 x −1 e) 5x x+1

16. 2 + 23x ; x ≠ –5 ∧ x ≠ 5 x − 5 x − 25 10 x − 25 d) 10 x−5 2

b) x2− 10 x − 25 5 e) x + 10 x−5

c) 5x2 + 10 x − 25

2 2 17. 2x +22x . 2x − 3x ; x ≠ –1 ∧ x ≠ 0 ∧ x ≠ 3 2x x − 2x − 3 a) 2 b) 1 c) x+1 d) x–2 e) x

18. Opera: x2 − 1 − 1 − 1 x + x 2 x − 2 2x + 2 x ≠ –1 ∧ x ≠ 0 ∧ x ≠ 1 1 − 2x x (x2 − 1) d) x − 1 x+1

x − y 2x + y y − 4 x + + 12 15 30

a)

5x x −1 5 d) x − 1 x+1 a)

a)

10. x − 1 + 2x + 3x + 4 3 6 12 a) 11x 12 13 x d) 12

c) 1 a) x + 6 b) x + 2 x+2 x−2 e) 2 d) 5x − 2 x−2 15. 2 + 3 − 21 ; x ≠ –1 ∧ x ≠ 1 x+1 x−1 x −1

a)

x + y = x + y = 1; xy ! 0 ..................( y x y+x

9. x − 2 + 3x + 2 4 6

58

)

•

Efectúa las operaciones siguientes:

c) 2x − 4 5x − 2

14. 3x + 4 − 2x + 2 ; x ≠ –2 x+2 x+2

7. Efectúa:

• − x + 1 1−x 1−x

b) x − 4 5x − 2 e) x + 4 5x − 2

2x − 1 x (x2 − 1) e) 1 b)

c)

2x x2 − 1

2 19. Multiplica: 2x2 − 2 . x − 4x − 5 3x + 3 2x − 50 x ≠ –5 ∧ x ≠ –1 ∧ x ≠ 5

a) x − 1 3x d) 3x − 1 3x + 15

x+1 3x + 15 e) x − 1 3x + 15 b)

c) x − 1 15

2 2 2 20. Simplifica: 2x − 8x + 7 . x 2− 36 ' x2 − x − 42 x − 11x + 30 x − 1 x − 4x − 5 a) x b) –1 c) 1 d) x–1 e) x+1

Central: 6198 – 100

Álgebra Practica en casa Realiza las siguientes operaciones:

2 9. Multiplica: c x m`2 − 5 j ; x ≠ 0 ∧ x ≠ 5 2x − 5 x 2

1. 3x − 1 + x + 2 5 5

2 10. Opera: ` x + 3 je x 2− 3x o ; x ≠ –3 ∧ x ≠ 0 ∧ x ≠ 3 2x x −9

2. 6x − 5 − 5x − 6 7 7

2 2 11. Simplifica: c x + 6x m ' c x − 36 m 10 5

3. x − 1 + 2x − 1 2 3 4

2 12. Simplifica: x − 2x . 2 4 + x ' 1 x + 4 x + 3x − 10 x2 − 25

4. x + 1 − 4x − 3 4 5 2 5.

2 13. Simplifica: x − 36 ' (x + 6) (x − 6) x+4 2x + 8

3 + 5 − 2x x + 1 (x + 1) (x − 1)

14. Simplifica:

6. 3x − 2 − 2x + 2 ; x ≠ 0 3x 5x 2 2 7. x − 9 . x + x ; x ≠ –3 ∧ x ≠ 0 ∧ x ≠ 3 x + 3 x (x − 3)

8.

x3 + x . 2x ' 2 x 2 3 2 10x + 4x x − 3x + x − 3 5x − 13x − 6 15. Opera:

2

x ' x ; x ≠ –1 ∧ x ≠ 1 x − 1 x2 − 1

1 − 2 + 5 3x + 1 2x + 1 6x 2 + 5x + 1

Tú puedes 4. Simplifica:

2 1. Simplifica: − 3c − a + 2 a − ax 2a − 2c a − ac + cx − ax

a) 2/3

b) 2

d) 1

e) 3/2

c) 4/5

2. Simplifica: 2 2 4 m − n m3 − n3 e m + n − 3 3 o (m + mn + n ) + 2mn m +n 2

a) m +n

2

b) (m–n)

2

e) 2m n

d) (m+n)

2

c) n

2

4

3. Indica el numerador final luego de simplificar: c

x+y x−y x+y x−y − + mc m x−y x+y x−y x+y

a) x

-1

2

b) y

2 2

e) x+y

d) x y

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2

x3 − y3 2y 2xy + 4y + 2y e 4 − 2y − 2x + xy (2 − y) (x2 − 4) o a) 0

b) x

c) y

d) x+y

e) x–y

5. Simplifica: a2 + ab . a3 − b3 . ab − ad . ba + ad . c2 a2 b2 ab (a + b) bc + cd bc − cd 3 a) ` a j − 1 b

3 b) ` a j + 1 b

3 d) c b m + 1 a

3 e) a + 1 b

3 c) c b m − 1 a

c) 2xy


59

19

Capítulo

Radicación I Problemas para la clase

1.

3x+5x+2x= 2

x

3

2

5/8

=

3

2m +6m +3m +5m = 5. 4

4

4=

4

7x +8x –15x = 3

8=

4

16 =

5

32 =

6x–12x–7x=

2.

5

(–3) = 4

(–3) = 6. Relacionar:

9

2 = 10

2 =

64

A

4

1024

B

16

5

− 32

C

2

4

256

D

8

256

E

–2

10

4

0 =

3.

10 12 6

x .x .x =

7. Indicar verdadero (V) o falso (F) 5 m–11 6

x .x

x12 = x10 x25 = x- 40 4.

Colegios

60

x

1/2

=

x

1/3

=

x

2/3

=

TRILCE

.x =

5 + 3 4 = 3 9 ..........................(

)

6 + 2 = 8 ............................(

)

2 3 + 4 3 = 6 3 .....................(

)

12 . 3 = 6 ...............................(

)

− 16 =− 2............................... (

)

3

4

8. Calcular E = 6 64 − 4 81 + 3 125 − 49

Central: 6198 – 100

Álgebra 9. Efectuar M = 3 ( 3 − 1) + 2 ( 2 − 1) + 3 + 2 + 5

3 4 18. Simplificar: E = ( 8 − 27 ) ( 16 + 1) 3 (2 2 − 3)

a) –3 d) 2

b) –2 e) 3 4

19. Simplificar: L =

10. Efectuar J = 8 + 18 + 50

a) 2 d) –1 11. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

20. Reducir: M =

)

a) 1

232 = 2.............................. ( 5 + 6 = 11...........................(

)

d) 4 3

x + 5....................(

)

x+2+3 =

)

12. Relacionar correctamente: 8

A

3 3

27

B

3 2

12

C

2 3

18

D

2 2

13. Efectuar

28 + 63 − 175

a)

7

b) 2 7

d)

7+ 3

e) 0

a) 8 2 + 8 5 b) 8 2

c) 8 5

d) 8 2 − 8 5 e) 8 ( 2 − 1) 15. Efectuar 3 (1 − 8 ) + 12 + 3 2 + 18 a) 12 d) 13 16. Efectuar E = a) 2 d) 8

b) 14 e) 16 15

2

60

+

4 20

b) 4 e) 12

c) 15

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32. 3 24. 2 4 16. 3 72 + 6 18

3

2

c) 6

b) –1 e) 0

c) 2

2

16 − 6 4 + 3 54 o 3 2

a) 100 d) 1

b) 25 e) 5

c) 16

22. Reducir: 4 n-4 F = n 5 . n 125 . n 625 − n 5 (n 625 + n 5 ) a) –5 d) 4

b) 3 e) –6 2+1 / y =

Además: E =

c) –2

2−1

(x + y) 2 − (x − y) 2 (x + y) 3 − 6 2 5 (x + y)

Calcular: E+M a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

24. Reducir: G=

3+ 2 + 3− 2

a) –7 d) 21/2

80

17. Reducir: 2n V = n 6 n + 3 − 27 − 3 4 16 + 3 (5 32 − 1) 6 a) 1 d) 3

4

M=

14. Efectuar 2 2 + 3 ( 5 + 8 ) + 125

c) 6

b) 4 2 e) 3

21. Reducir: e

23. Si: x = c) 3 7

2 2 + 2 8 − 2 18 π2 − 3 7 b) 3 e) 0

8 + 50 = 7 2 ......................( 4 8

c) 1

3 − 2 + (2 3 + 3) (2 3 − 3) 3+ 2 ( 7 + 1 ) ( 7 − 1) b) 9 e) 5/2

c) 13

2 25. Calcular: B = ( 5 + 24 + 5 − 24 ) 2

a) 2 d) 8

b) 4 e) 10

c) 6

c) 2


61

19

Capítulo

Practica en casa

1. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: 45 + 125 = 8 5 ....................(

)

260 = 8 ...............................( 12 + 7 = 19 .........................(

)

− 32 − 3 − 27 = 1.....................(

)

5 6

5

)

2. Relacionar correctamente: A

8 2

128

B

6 2

98

C

4 2

32

D

7 2

5. Efectuar E =

6. Reducir: H = n

3

+

3

10. Simplificar:

5

3

32 − 24 64 + 212 8 o 4 2

4

( 3 + 2 ) ( 3 − 2) + 1 2 2+5 6

2 2 16^ x + 1h^ x − 1h − `^ x + 1h − ^ x − 1h j

2

12. Efectuar: ( 8 + 7 ) 2 − ( 56 + 1) 2 13. Efectuar ( 7 + 1) 2 + ( 7 − 1) 2 + 2 ( 7 + 1) ( 7 − 1)

(4 5 + 1) ( 5 + 1) (4 5 − 1) + (4 3 − 1) ( 3 + 1) (4 3 + 1)

4. Efectuar 2 3 − 2 ( 5 + 27 ) + 20 30

9. Reducir: M = e

14. Efectuar

18 + 50 − 72

15

3 +1+ 3 5 + 5 −1 5 +1

8. Reducir: M =

11. Efectuar

72

3. Efectuar

5 4 7. Simplificar: M = ( 12 − 32) ( 81 + 1) 5 (2 3 − 2)

3

5

15. Calcular:

f

4. Si: a =

2 − 1; b = 2+1

6

2

2 p f1 − 1 p 5 5 −1

2+

.

72n + 3 − 64 − 3 3 1000 7n

Tú puedes 1. Calcular: F =

3 2+

2 . 2 1− 1 3 3 −1

a)

3

b)

6

d)

3 −1

e)

6 +1

c)

3

2

2. Si: a = 1 + 1 ; b = 1 − 1 2 2 2 2 entonces E = a + 1 + b + 1 es igual a: a b a)

2

d) 0

62

TRILCE

2 2

Calcular: a b–ab

3

a) 0

b) 1

d) –24 2

e) –2 2

c) 2

5. Efectuar: 2 2 E = ( 12 + 8 + 3 + 2 ) + ( 27 − 18 − 3 + 2 ) 9 4

1 2

a) 7 d) 12

b) 9 e) 15

c) 10

2 2+ 3 + 2− 3 c m 3 3 +1 3 −1 b) 1 2

a) 2

Colegios

c)

e) –1

3. Efectuar M =

d)

b) –3

2+1 2−1

e)

c)

2

2 4 Central: 6198 – 100

Capítulo

Radicación II

20

Problemas para la clase x2 .a = x a (extraer un factor)

1. •

45 =____________________________

•

12 =____________________________

•

8

•

32 =____________________________

•

108 =____________________________

•

245 =____________________________

2

• x +5x+4

=____________________________ 6. Convertir a radicales simples: 8 + 2 15

x2 b (ingresar un factor)

2. x b =

• 2 5 =____________________________ • 6 3 =____________________________ • 2 7 =____________________________ • 4 11 =____________________________

7. Transformar a radicales simples: 9 − 2 20

• 7 3 =____________________________ • 8 2 =____________________________ n n

3. x .y =(x.y)

n

2

2

• 2

1/3

.4

1/3

=__________________________

• 5

1/2

.5

1/2

=__________________________

• 4 .3

=__________________________

8. Convertir a radicales simples: 5 − 24

4. Efectuar: • (x+2)(x–2)

=____________________

• ( 3 +2)( 3 –2) =____________________ • ( 3 +2) • ( 3 –2)

2

2

9. Convertir a radicales simples: 2+ 3

=____________________ =____________________

5. Factorizar: 2

• x –8x+15 10. Transformar a radicales simples: 10 + 19 2

• x –x–2

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63

20

Capítulo

Comunicación matemática 11. Relacionar correctamente:

18. Transformar en un solo radical doble: 8 + 60 − 5 − 24

7 + 2 12

A

6+ 2

a)

7 − 40

b)

10 + 40

8 + 2 12

B

3+ 2

d)

10 − 40

e)

5+ 2

8 + 2 15

C

5+ 3

5+2 6

D

3 +2

• El radical doble: 20 − 2 51 es equivalente a 17 − 3 .................... (

)

• El radical doble 6 + 32 es mayor que 7 + 2 .....................................(

)

• Al multiplicar 2 + 3 2 − 3 se obtiene 1........................................... (

)

• Todos los radicales dobles son transformables a radicales simples......(

)

Resolución de problemas 13. Convertir a radicales simples •

10 + 19 = __________________________

•

3 + 8 = ___________________________

•

5 + 6 = __________________________ 2

•

2x − 5 + 2 x2 − 5x − 6 =______________

______________________________________ 14. Reducir: A = 5 − 2 6 − 10 + 2 21 + 9 + 2 14 b) 3 + 1 e) 0

c)

3+ 2

a) 2 d) 8 16. Efectuar: E = a) 5 d) 2

b) 4 e) 12

c) 6

21 − 320 − 2 + 9 + 80 b) 5

e) 17. Si se cumple que:

c) 3 7

Colegios

64

TRILCE

b) 7 e) 4

a)

2+1

b)

3 +1

d)

3+ 2

e)

3 −1

21. Efectuar: M = n n!Zn>2 a) 2n 2 d) 2

c)

3 −1

3 + 2 . 2n 5 − 2 6 c) 1

b) n 2 e) n 2 + 3

22. Calcular "x" en a) 3 d) 6

2b − 3b 2 = b) 4 e) 7

x− 2 c) 5

23. Transformar a radicales simples la expresión: E=

5x − 2 + 24x2 − 14x − 5

a)

6x − 5 + 2

4x + 1 2

b)

5 + 2x + 2 6x + 5 + 2

6x − 3 2 4x − 1 2

c)

e)

6x − 5 + 4x + 1 6x − 5 − 2

4x + 1 2

24. Calcular: M=

2 + 5 − 3 6 − 2 + 8 + 2 12

a) 4 2

b) 4 3

d) 2 2

e) 3 3

c)

3

25. Simplificar: M = 2 1 + 2 1 + ... + 2 1 + 2 3 + 2 2 e indicar uno de los radicales simples.

5x − 2 + 2 6x2 − 7x − 3 = mx + n + px − m Calcular: "m+n+p" a) 8 d) 5

a) –2 b) –3 c) –4 d) –5 e) –6 20. Descomponer en radicales simples: 2 . 4 7 − 2 12

d)

15. Calcular "A+B–C" si: A = 7 + 2 12 B = 8 − 2 15 C = 9 − 2 20

7 + 40

19. Calcular el valor de: E = (3 + 7 ) (5 − 7 ) − 32 + 10 7

12. Indicar verdadero (V) o falso (F)

a) 3 − 1 d) –2

c)

c) 6

a)

3

b)

d)

2 2

e) 2 2

5

c)

6

Central: 6198 – 100

Álgebra Practica en casa 1. Relacionar correctamente

4. Reducir: E = 5 + 24 + 9 − 56 − 10 − 84

9 − 2 14

A

5 +2

9 − 2 18

B

7− 2

9 + 2 20

C

6+ 3

9 + 2 18

D

6− 3

5. Reducir: L =

6. Si se cumple que: 5x − 1 + 2 6x2 − x − 2 = ax + b + cx − a Calcular "a+b+c" 7. Transformar en un solo radical doble:

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) • El radical doble: 10 − 2 16 equivale a 2 ................................... (

M = 11 + 112 − 6 − 32 )

• Los radicales simples: 2 5 + 3 equivalen al radical doble 29 + 2 180 ...................................(

)

• El radical doble: 17 − 2 72 es igual a: 3 − 2 2 ......................................... (

)

• El radical doble 2x + 2 + 2 x2 + x equivale a los radicales simples: x + 1 + x ....................................... (

H = 5 + 2 3 ( 74 − 2 3 − 8 − 2 3 ) E=n

7 + 5 . 2n 12 − 2 35 ; (n ! Z; n > 2)

10. Descomponer en radicales simples: N=

2 . 4 17 + 2 72

11. Transformar a radicales simples: )

2 . 8 + 15 =________________________

•

2 . 18 + 35 =_______________________ 2

2x − 2 + 2 x − 2x − 15 = _____________ ______________________________________

y 2 − 2y − 3

y−1+

N=

12. Simplificar y transformar a radicales simples: L=

•

•

8. Calcular el valor de: 9. Efectuar:

3. Convertir a radicales simples:

•

28 − 300 + 19 + 192

2 + 2 2 + ... + 2 2 + 2 4 + 2 3 2 9 3 + 2 16 - x

13. Simplificar:

14. Si: 2b − 3b2 = x − 2 ; (5>b>1) Hallar el valor natural de "x" 15. Reducir: R =

4 4 − 2 6 − 2 5 + 10 − 2 5

2x + 2 x2 − 25 =_____________________

Tú puedes 1. Proporcionar el valor de: α.θ β Si: αx + θy + (αθ + β) xy es transformable a radicales dobles. a) 1/5 d) 1/3

b) 1/2 e) 1/6

c) 1/4

1 + 2x 1 − x2 ; 0
a)

x

d)

x+1

x−1 1−x

c) 2

3. Transformar a radicales simples: x + 1 2x − 1 2 4 www.trilce.edu.pe

b)

d)

x−1 8

e)

4. Si:

2 4

c)

2

x+1 2

P (x) + 2 Q (x) = ax + b + mx + 2 2

E=

e)

2 2

además: P(x)+Q(x)=8x +30x+17 Calcular: "a.b.m"

2. Indicar un radical simple de:

b)

a)

x+2

a) 35 d) 40 5. Calcular: racional. a) 5 d) 8

b) 70 e) 60 100

/

c) 80

( n − n − 1) , indicar la parte

n=1

b) 6 e) 10

c) 7


65

21

Capítulo

Radicación III Problemas para la clase

1. Efectuar: 3 2 + 5 2 − 6 2

6. Relacionar correctamente Cantidad Irracional

2. Efectuar: a) 2 . 8 =

b) 3 9 . 3 3 =

3. Efectuar: a) 3 x2 . 3 x4 =

b) 13 m5 .13 m8 =

4. Efectuar: a) ( 3 + 2 ) ( 3 − 2 ) =

Factor Racionalizante

13

x5

A

13

x2

13

x35

B

13

x8

13

x4

C

13

x4

13

x50

D

13

x9

7. Indicar verdadero (V) o falso (F) • El factor racionalizante de: 5 x3 es 5 2 x ..................................................(

)

• El factor racionalizante de x11 es x .................................................... (

)

• El factor racionalizante de 3 − 2 es − 3 + 2.............................................( 4 • Al racionalizar se obtiene 6 −2 6 + 2............................................... (

) )

8. Racionalizar el denominador de: 1 = _______________________________________ • 7 x3 1 = ______________________________________ • 9 x17 9. Racionalizar el denominador de: •

1 = 13 − 2 ___________________________

•

1 = __________________________ 15 + 10

b) ( 5 + 2) ( 5 − 2) =

5. Transformar a radicales simples: a)

7 + 2 12 =

b)

12 − 2 27 =

Colegios

66

TRILCE

10. Racionalizar el denominador de:

2 10 + 2 21

Central: 6198 – 100

Álgebra Comunicación matemática

18. Racionalizar el denominador: D =

11. Relacionar correctamente para que la cantidad racionalizada sea 2 11–3

A

– 11+3

11+3

B

(− 11 − 3)

– 11+3

C

11+3

– 11–3

D

11–3

)

• El F.R. de: 3 12 es 3 18 .....................(

)

• El factor racionalizante de 3 + 1 es 3 − 1............................................. ( • El factor racionalizante de

Resolución de problemas 13. Racionalizar el denominador de E = 5 42 49 a) 6 5 343

b) 6 5 7

d) 5 49

e) 5 343

6

d) 4 6

b) 2 6

c) 3 6

e) 5 6

2 3

a) x y 3 2 d) x y

2

b) xy 2 e) x y

c) xy

16. Al racionalizar: 4 6 3 se obtiene una expresión m 4 n , indicar: m×n. a) 18 d) 48

b) 20 e) 54

c) 24

17. Racionalizar el denominador de: E = a) 3 ( 7 + 2) d)

7 −1

www.trilce.edu.pe

b)

7 −2

e)

7 −3

)

)

c)

3 7 −2 7 +2

c) 9–3 2

2 + 5+ 3

b) 2 e) 5

b)

2 3 −1 c) 3

2 + 5+ 3

a) 0

3 + 5− 2

1 3+ 2

c) 2 2

5

e) 2 5

2

21. Efectuar: N = 3 + 2 − 3 2 a)

3

b) 2 3

d)

2

e) 2 2

1 3− 2 c) 0

22. Efectuar: 4 + 8 + 2 12

3 − 7 − 2 10

a) 1

b)

5

d) 0

e)

3

1 11 − 2 30 c) 2

23. Efectuar: E=

15. Indicar el denominador racionalizado de: xy H= 3 x5 y 7

4 + 3+ 5

20. Efectuar: A =

c) 6 5 49

14. Racionalizar el denominador de: B = 4 18 36 a)

e) 15–2 3

d)

2 − 1 es

1 − 2 ............................................... (

d) 12+3 2

a) 1 d) 4

3 ...................... (

12 es

b) 9+3 2

19. Efectuar: M =

12. Indicar verdadero (V) o falso (F) • El F.R. de:

a) 15+2 3

42 4− 2

3 − 9 + 2 18

a) 8 d) 3

4 + 8 + 2 12

b) 4 e) 5

1 5+2 6 c) 0

24. Indicar el denominador racionalizado de: 10 3+ 5+ 8 a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

25. Racionalizar: E =

c) 3

12 + 30 2+ 3+ 5

y reducir la expresión. a) 2 3 + 3 2 b) 3 3 + 2 2 c) 2 5 + 3 d)

3+ 5

e) 2 30


67

21

Capítulo

Practica en casa

1. Relacionar correctamente para que la cantidad racionalizada sea 3 7 –2

A

– 7 +2

7 +2

B

– 7 –2

– 7 +2

C

7 +2

– 7 –2

D

7 –2

7. Racionalizar el denominador de: G =

4 5 −2

8. Racionalizar el denominador de: H =

72 27 − 5

9. Racionalizar el denominador de: M =

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda • El factor racionalizante de: 3 7 es 3 49 ................................................. (

)

• El factor racionalizante de 27 es 3 .................................................... (

)

• El factor racionalizante de 8 + 1 es 8 − 1............................................... (

)

• El factor racionalizante de 3 − 1 es 3 + 1............................................... (

6. Racionalizar: 9 12 25 .37

10. Racionalizar el denominador de: 1 H= 10 − 2 21 11. Racionalizar el denominador de: F =

3. Dar la expresión racionalizada de: F = 9 3 4. Racionalizar el denominador de: B = 4 5 25 5. Indicar el denominador racionalizado de: J = 5 m.n m4 .n8

18 + 12 3+ 6

12. Efectuar luego de racionalizar cada fracción: 1 + 1 1 + 6+ 5 5 −2 7+ 6 5 + 7+ 2

1 − 2+1

1 + 5+ 3

1 + 7+ 5

13. Calcular: )

6 8+2 7

14. Reducir: 1 + 3 +1

6 7 −1 1 9+ 7

15. Indicar el denominador racionalizado de: 1 2+ 3 + 5

Tú puedes 1. La expresión racionalizada de: 1 equivale a: 2x + 5 + 2 x 2 + 5x + 6 a)

x+3+ x+2

c) x + 3 + x − 2 e) 1 2. Efectuar: C = c a) 1 d) 4

b)

x+3− x+2

d)

x+3− x+2 -1 2

10 + ^ 3 + 5 h m 5 +1 b) 2 c) 32 e) 5

26 − 2 7 = a + b ; ("a", "b" 3− 7 2 enteros positivos). Hallar a –b

3. Si se cumple:

a) 9 d) 2 Colegios

68

TRILCE

b) 15 e) 18

4. Después de reducir: 1 + 1 − 4 − 15 6 5 − 6 + 10 − 15 obtenemos: a)

6 + 10 + 15

c)

2+1

e)

5 −1

b) 3 + 5 + 2 d) 1

5. Hallar el valor de "x" en la siguiente igualdad: (6 256 + 9 8 ) 6x = 54 a) 1/2 d) 2

b) 1/3 e) 1/5

c) 1/6

c) 29

Central: 6198 – 100

Capítulo

Teoría de Ecuaciones

22

Problemas para la clase 1. Efectuar las siguientes operaciones:

6. Clasifica a las siguientes ecuaciones de acuerdo al número de sus soluciones:

• 5+2–4 =

I. 2x+5=2x+5 II. 3x+7=3(x+2)

• –3+7=

III. 2x+1=15 2. Reducir: • x+5x–8x= 7. Si x=5 es solución de: 3(x–2)+n=2x • 2m+4m+7m–9m=

Hallar "n"

3. Efectuar: • 4(x–2)=

8. Hallar "x" en la ecuación: 3x = 2 x+1

• 3(x–1)+3=

2

4. Desarrollar: (x+5) –x(x+2)=

9. Hallar "x" en la ecuación:

x−2 = 5

5. Factorizar: • mx+nx=

10. Despejar "x" en la ecuación: x–2b=a

• mx–3x=

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69

22

Capítulo

11. Hallar "x" de la ecuación: 3x+1=13 a) 3 d) 6

b) 4 e) 7

c) 5


b) 6 e) 12

c) 8

b) 13 e) 8

c) 9

Presenta solución única Presenta infinitas soluciones Es incompatible Su solución es 5

e) No presenta solución

b) {5} e) 5;7

c) {7}

16. Halle el conjunto solución de la siguiente ecuación: (5x+3)(x–2)=8(x–2) a) {2} d) {–2; 3}

b) {1; 2} e) {2; 9}

c) {2; 3}

17. Hallar el conjunto solución de la ecuación: x2 − 1 = 3 x−1 a) {1} d) {3}

b) {2} e) {4}

Se puede afirmar que:

Colegios

70

b) a+b e) 0

c) a.b

a a+1

d) 2a + 1 a

b) a + 1 a

(a ! 0)

c) 2a − 1 a

e) 3a + 1 a

22. Hallar "x" en la ecuación: ax–3=bx+a a) a + b a−3

b) a + 3 a−b

d) 1

e) a − 3 a−b

(a!b)

c) a − 3 a+b

a) a + 5b a+b

b) 2a + b a−b

d) 2a + 5b a−b

e) 3a + b a−b

24. Hallar "x" en: a) 0 d) 2

c) 5b + a a−b

x2 + x + 1 = x + 1 b) 1 e) –2

c) –1

25. Halle el conjunto solución de: x2 − 4 + x = x2 − 9 − 11 x+2 x−3

18. A partir de la ecuación: 4x + a) b) c) d) e)

c) 8

23. Halla "x" en la ecuación: ax–5b=2a+bx

15. Halle el conjunto solución de la siguiente ecuación: x(x–7)=5(x–7) a) 5 d) {5;7}

a) ab d) –(b–a)

a)

14. A partir de la ecuación: 5(x+2)=2(x+5)+3x Se puede afirmar que: a) b) c) d)

b) 6 e) 11

21. Hallar "x" en la ecuación: ax − 1 = a 2

13. Hallar x" en la ecuación: 4 (x − 3) = 4 10 a) 5 d) 12

a) 4 d) 10

x−2 = 1 3

20. Despejar "x" de la ecuación: x+b=a

5(x–2)+3(x+4)=66 a) 4 d) 40


c) { }

a) {–2} d) {–8}

b) {–6} e) {–8;6}

c) {–2;–6}

8 = 20 + 8 x−5 x−5

Presenta solución única Presenta infinitas soluciones Es incompatible Su conjunto solución es vacío cyd

TRILCE

Central: 6198 – 100

Álgebra Practica en casa 1. Hallar "x" en la ecuación: 2x+3=11 2. Hallar el conjunto solución de: 7(x–2)=35 3. Hallar "x" en la ecuación: (x − 2) = 3 9 4. La ecuación: 4(x+2)=3(x+1)+x+5 de acuerdo al número de soluciones se clasifica como: 5. Si: x=3 es solución de: 4(x–2)+n=9 Hallar: "n"

9. La ecuación: clasifica como:

8x +

4 = 40 + 4 , x–5 x–5


se

x+1= 4

11. Despejar "x" de la ecuación: x–m=a 12. Hallar "x" en la ecuación: mx − 1 = 3 m 13. Hallar "x" en la ecuación: ax+b=cx+d 14. Resolver la siguiente ecuación:

6. Halle el conjunto solución en la ecuación:

x+5 = 2 2

15. Hallar el conjunto solución de la siguiente ecuación: x + 2 − x + 1 = x − 3 5 4 3

x(x–4)=5(x–4) 7. Halle el conjunto solución de: (x+4)(x–1)=7(x–1) 8. Halle el conjunto solución de la ecuación: x2 − 4 = 4 x+2

Tú puedes 1. Si el C.S de la ecuación: 2 (x + 1) − 1 − x = x + 3 ; es: n + 1 $ n . 5 10 3 2

Hallar el valor de: n –3 a) 0

b) 6

d) 13

e) 46

c) 22

2. Si al resolver la ecuación en "x": ax+5=3x+b;

3. Hallar "x" en: a) 46a 15 d) 49a 15

5 x + a + 6 a = 4; a > 0 5x + a − 6a b) 47a 15 e) 50a 15

4. Halle el cardinal del siguiente conjunto: A={x∈R/x–5+ x − 9 =2+ x − 9 }

se obtiene infinitos valores para "x" que verifican

a) 0

b) 1

la igualdad. Hallar el valor de "a+b"

d) 3

e) 4

a) 6

b) 8

d) 12

e) 14

c) 10

c) 2

2 2 5. Hallar "x", en: x + m − x + n = m + n − 2; n m mn mn≠0

a) m+n d) n–m

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c) 48a 15

b) –2n e) –2m

c) m–n


71

23

Capítulo

Ecuaciones de 1er grado I Problemas para la clase

1. Simplifica las siguientes expresiones • –3x+4x–5x+6x–6x–7x=____________ 2

2

2

2

Resolver cada una de las siguientes ecuaciones 6. 5(x+3)+2(x−1)=7(x+2)−x

2

• x +2x +4x –3x +5x =____________ 2

2

2

• x +3x+3x –5x+6x =____________ 2. Multiplica los binomios • (x–2)(x+2)

=________________________

• (3+x)(3–x)

=________________________

• (x+4)(x–4)

=________________________

3. Multiplica los binomios • (x+1)(x–2)

=________________________

• (x–7)(x–8)

=________________________

• (x+9)(x–1)

=________________________

4. Desarrolla los binomios al cuadrado

• (x+3) • (x–4)

2

2

=____________________________

2

2

7. (x+3) +(x−3) =2x(x+3)−3

2

8. (3x+1)(x–2)=3x –12

9. Si la ecuación de incógnita "x":

(a–4)x=b+3 presenta infinitas soluciones; indicar el valor que adopta"ab".

=____________________________ 2

• (2x–3) =____________________________ 5. Factorizar: • ax + 3x

= ______________________

• mx – nx

= ______________________

10. Sea la ecuación: x3m–2+7m=10

si la incógnita "x" es de primer grado, hallar el conjunto solución.

• ax + bx – 3x = ______________________

Colegios

72

TRILCE

Central: 6198 – 100

Álgebra 11. Hallar el conjunto solución de la siguiente ecuación: 3(x+1)–2(x+3)=5–x a) {8}

b) {4}

d) {–1}

e) {5}

c) {2}

12. Calcular el valor de "x", en la ecuación: 4(x–2)+3(x+7)=9+3(x+7) a) 17/4

b) 13/4

d) 19/4

e) 7/4

c) 11/4

d) –1/8

e) 0

c) –3

14. Hallar "x" en la ecuación: 2

b) 6

d) 8

e) 9

c) 7

15. Determinar el valor de la incógnita en: 2

2

(x+3) +x+(x+4) =2(x+5) a) 9

b) 10

d) –9

e) –5 3

c) 11

2

16. Hallar "x": (x+2) =(x+1) +3x +7x–5 a) 3

b) 4

d) –4

e) –6

d) 43

e) 44

a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

c) 3

a) 0

b) 1

d) 25

e)

c) 5 5

a) 3

b) 4

d) 6

e) 7

c) 5

a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

c) 3 b

25. La ecuación: (a )x+256=27x+b es indeterminada: calcular el valor de "ab".

17. Si 6 es solución de: 5(x+m)+2(x–3m)=1 Indicar el valor que adopta "m" b) 41

a

21. Obtener "a +b ", si la ecuación de incógnita "x": ax+3=2bx+3b, es compatible indeterminada.

a

c) –3

a) 40

e) 48

24. Que valor no debe tomar "m" para que la ecuación en x: mx–1=3x+5, presente solución única.

2

3

d) 46

c) 45

23. Si la ecuación en "x": ax+5=5(x+4)+x, es absurda. Hallar "a".

2

(x–3)(x +3x+9)–x(x –4)=1 a) 5

b) 44

22. Si la ecuación en "x": (m–5)x = 1, 2 es incompatible. Hallar m

(x–3)(x+2)–(x+5)(x–1)=3x b) 1/8

a) 43 b

13. Hallar "x" en la ecuación: a) 2

20. Hallar "m+n", si la ecuación de incógnita "x": (m–15)x+(6m–3n)=0, presenta infinitas soluciones

a) 1

b) 4

d) 0

e) 9

c) 12

c) 42

18. Si 9 es raíz de: 5(x+n)–2(x–3n)=x–4, hallar "n". a) –5

b) –1

d) –3

e) –4

c) –2

19. Si la ecuación de incógnita "x": n+3

5–2(x –n+2)=7, Determinar: x+n

es

a) –4

b) –6

d) –8

e) –9

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de

primer

grado.

c) –7


73

23

Capítulo

Practica en casa

1. Hallar el conjunto de la siguiente ecuación: 5(x–2)–3(x+1)=5–x 2. Calcular el valor de "x" en la ecuación: 3(x–2)+2(x–3)=7(x–4)

m+5

9–4(x +m–7)=1 es de primer grado, determinar el valor de "x+m". 10. Hallar el valor de "m+n", si la ecuación de incógnita "x": (m–4)x+(3m–2n)=0 es indeterminada.

3. Hallar el valor de "x" en la ecuación: (x+5)(x–1)–(x–3)(x–2)=88 4. Indicar el valor de la incógnita al resolver la 2 ecuación: (x+5)(x –5x+25)–x(x+3)(x–3)=1

11. Obtener el valor de "ab", si la ecuación de incógnita "x": ax+8=b(3x+2) presenta infinitas soluciones.

5. Determinar el valor de la incógnita en: 2 2 2 (x–8) +(x–2) =2(x–4)

12. Si la ecuación en "x": (49n–9)x=2012 es absurda, hallar el valor de: n

3

2

3

6. Hallar el valor de "x" en: (x–2) +3x =(x–1) +2 7. Si: 3 es solución de la ecuación de incognita "x": 5 7(x+n)+3(x+2n)=5 indicar el valor que adopta "n". –1

8. Si: 4 es raíz de la ecuación de incognita "x": 2 2 (x+2n) –(x–2n) =1 entonces el valor de "n" es:

13. Si la ecuación en "x": mx–4=3(x–2)–x es inconsistente, hallar el valor de "m" 14. Si la ecuación: bx–4=7–2x es incompatible Indicar el valor que adopta "b". n

m

15. La ecuación: n –(m )x=3125–4x presenta infinitas soluciones, calcular el valor de: J = n + 2m

9. Si la ecuación de incógnita "x":

Tú puedes 1. Determinar el valor de la incógnita "x" en: 2

2

2

4. Resolver para "x" 2

(x+2a)(x –2ax+4a )+(2 2 ax) =(x +a) 2

(x+8a );

(a!0)

a) 2 2

b) 1

d) –2

e) 0

c) 2

b) 8 e) 30

c) 20

3. Calcular el valor de "x" en la ecuación: x + b + x = a (a − x) b a b2 b) ab a) a+b c) a−b 2 2 2 d) a b e) (a+b)

Colegios

74

TRILCE

2

3

3

Indique: "x−c" a) a

2. Calcular "x" en la ecuación: (x+3)(x+1)(x−2)(x−4)=(x−5)(x+4)(x+2) (x−3)+12(x−5)(x+4)+6x a) 4 d) 24

(b+c) = b − c + bc (b + c) ; bc!0 b−c x

d) a+b

b) b e) b − c a

c) c

5. Resolver la ecuación de primer grado definida para "x": 3 2 3 2 3 (x+a) −(x+b) +1=(x−a) +(x−b) +29a +2 2 (x+b ) a) −2 2 2 d) 2 +b

2

b) 2 2 e) −4b

c) −2b

2

Central: 6198 – 100

Capítulo

24

Ecuaciones de 1er grado II Problemas para la clase 1. Efectuar las siguientes operaciones:

•

8+ 2

• 4 (x–3) – 3 (x–5) =

• 8(m–n) + 5 (2m+n) =

Resolver las siguientes ecuaciones: 6. 2 x + 1 = x − 1 3 5 2 10

2. Calcular: • mcm (2; 3; 5; 7) =

• mcm (2; 6; 12; 9) =

3. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: •

x − 1 está definida; para x=2 ......... ( ) x−2

7.

8.

3 x − 1= 2 + 6

1 = 1 x−3 7−x

• x + 3 no está definida para x=3 ..... ( ) x−3 4. Simplifica las siguientes fracciones: •

x−3 3−x 9. 5x +

•

1 = 15 + 1 x−3 x−3

4−a+b a−4−b

5. Efectúa las siguientes operaciones: • 2 5 + 3 5 − 125 =

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10. Representar a través de una expresión algebraica los siguientes enunciados: • El exceso de A sobre B. • A es excedido por B.


75

24

Capítulo

11. Hallar el conjunto solución de: 2x − 2 x = x − 3 − 15 3 15 a) {–11}

b) {–10}

d) {–13}

e) {–14}

19. Hallar "x" en: 1 + 1 − 1 = 1 2x 4 10x 5 c) {–12}

b) $ − 3 . 2

d) $ − 4 . 3

e) $ − 1. 4

c) $ − 1. 2

13. Hallar el conjunto solución de: 5 (x − 2) − 4 (x + 1) = 2 − x 4 3 12 a) {0}

b) {–1}

d) { }

e) {2}

c) {1}

14. Hallar el conjunto solución de la ecuación: 5 (x + 5 ) = 3 (x + 3 ) a) { 5 + 3 }

b) { 5 − 3 }

c) { 5 − 2 3 }

d) { − 5 − 3 }

e) { − 5 + 3 }

3+ 2

d) − 2 − 3 16. Hallar "x" en:

b)

3− 2

c)

e) 1 1 +4 = 3 +2 x−2 x−2

a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

c) 3

17. Hallar "x" en: 3x + 7 + x = 1 + 8 x+2 x+2 a) –3

b) 1

d) 5

e) 4

d) –2

e) 0

c) –4/5

a) m

b) n

d) m–n

e) mn

c) m+n

21. La suma de tres números consecutivos es 12. Indicar el número mayor. a) 3

b) 7

d) 9

e) 10

c) 5

22. La tercera parte de la edad que tendré dentro de 12 años será igual a 15 años, ¿qué edad tengo? a) 31

b) 33

d) 35

e) 40

c) 34

23. El exceso de un número sobre 30 equivale al exceso de 45 sobre la mitad del número en mención. Hallar dicho número. a) 10

b) 20

d) 40

e) 50

c) 30

24. Si el cuadrado de un número N se agrega 11 se obtiene el cuadrado del consecutivo de N. Indicar la quinta parte del valor que adopta N.

15. Hallar "x" en: x − 2 − x − 3 = 2 3 2 6 a)

b) –6

20. Hallar "x" en: m (x + n) − n (x − m) = 1 m (m + n) + n (n − m)

12. Hallar el conjunto solución de: 2x − 1 = x + 2 3 10 5 a) $ − 2 . 3

a) –8

2− 3

a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

c) 3

25. Ana le pregunta a Claudia la hora y ella le responde: "Son las cinco séptimas horas de lo que falta para terminar el día", ¿qué hora es? a) 2 horas

b) 4 horas

d) 12 horas

e) 14 horas

c) 10 horas

c) 2

18. Hallar "x" en: 2x − 2 = 3 x−1 x+1 a) 2

b) 3

d) 5

e) 6

Colegios

76

TRILCE

c) 4

Central: 6198 – 100

Álgebra Practica en casa x+p x−q −1 = +1 q p

1. Hallar el conjunto solución de: 5x − 8 = 3x + 4 5 7

10. Hallar "x" en:

2. Hallar el conjunto solución de: 4x − 1 = 2x + 4 9 3 5

11. La mitad de la edad que tendrá Cecilia dentro de 13 años será igual a su edad actual disminuido en 7 años. ¿Cuál es la edad de Cecilia?

3. Resolver: 3 (x − 1) − 2 (x + 3) = 3 − x 4 3 6 4. Resolver:

2 (2x + 1) = 3x + 1

5. Al resolver la ecuación: x + 1 = 3 x−1 2 se obtiene el conjunto solución {a+ b }, hallar "a+b" 1 +9 = 7 +3 7−x 7−x 7. Hallar "x" en: 2x + 5 + 2x = 3 + 10 x+1 x+1 8. Hallar "x" en: 3x − 3 = 7 x−2 x+2 9. Hallar "x" en: 1 + 1 − 1 = 1 3x 6 15x 5 6. Resolver:

12. La mitad de la edad de Valentina excede a su sexta parte en 10 años. Indicar la edad de Valentina hace 5 años. 13. Hallar un número de tal manera que su quíntuplo aumentado en tres equivale a 28. 14. Un número es tal que sus dos quintas partes equivalen al cuadrado de diez. Hallar la mitad de dicho número. 15. El agua contenida en un pozo se agota en 3 horas. En cada hora el nivel del agua disminuye en la mitad más un metro, determinar la cantidad de agua al inicio.

Tú puedes 1. Si la ecuación lineal: 2 n n+2 3(a−3)−ax (x )=2(b+2n)+5x definida en "x", admite infinitas soluciones. Hallar el valor de "2a−b−n" a) 10

b) −1

d) 1

e) −6

c) 5

2. Resolver: 2 8x − 5 (x + 4)B = x − 3 − 2 (x + 2) 5 3 3 3 a) 2

b) −1

d) 4

e) 7

c) 5

3. En la ecuación en "x" 2 n (x−1)+x(10−7n)=14−9n Determine el valor de "n" para que dicha ecuación sea compatible indeterminada a) 0

b) 1

d) 5

e) 7

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4. Hallar el valor de "m" de tal manera que la 3 2 ecuación en "x": m x−2b+3xm =7−x(1+3m); sea incompatible a) 4

b) 3

d) 1

e) −1

c) 2

5. Don ramón cría cuyes en una granja. Él ha observado que si coloca 5 cuyes en una jaula, le sobra 4 cuyes; pero si coloca 7 cuyes en cada jaula, le sobran 2 jaulas. ¿Cuántas jaulas tiene Don Ramón? a) 9

b) 7

d) 3

e) 1

c) 5

c) 2


77

25

Capítulo

Repaso III Problemas para la clase

1. Factorizar las siguientes expresiones: 2

a) x −4

=________________________

2

b) 4x −1

6. Factorizar, indicar la suma de factores primos: 3

2

F(x)=x +2x −5x−6

=________________________

2

c) 25x −36

=________________________

2

d) 49x −81y

2

=________________________

2. Factorizar los siguientes trinomios 2

=______________________

b) x −4x+4

2

=______________________

2

=______________________

a) x +2x+1

c) 9x −6x+1

7. Factorizar, indicar el producto de los términos independientes de sus factores primos. 3

2

G(x)=x +3x −4x−12

2

d) 25x −40x+16 =______________________ 3. Factorizar los siguientes polinomios: 2

a) R(x)=x +11x+28 =___________________ 2

b) Q(x)=x −8x+15 =___________________ 2

=___________________

2

=___________________

a) x +125

3

=______________________

b) a −343

3

=______________________

6

=______________________

c) Z(x)=2x −5x+2 d) S(x)=6x −5x−6

8. Si una de las raíces del polinomio: 3 2 Q(x)=3x −4x −17x+6, es 3. Indicar la suma de coeficientes de uno de los otros factores primos.

4. Factorizar:

c) p −n

3

3

d) 8x +27y

3

=______________________

3

2

9. Si el polinomio: R(x)=2x +3x −11x−6 Se anula para x=−3 Indicar otro de sus factores primos

5. Factorizar los siguientes polinomios: 3

a) R(x)=x −x ______________________________________ 3

b) Q(x)=3x −45x−6x

2

______________________________________ 5

c) T(x)=5x +40x

2

2

10. El polinomio P(x)=x (x−5)−2(x−12), tiene un factor primo igual a (x+2). Determine la suma de los otros factores primos.

______________________________________ 4

3 2

2 3

d) M(a;b)=2a b−4a b +2a b

______________________________________ Colegios

78

TRILCE

Central: 6198 – 100

Álgebra 2 10

10 2

11. Factorizar: P(x;y)=4x y −9x y e indicar la suma de coeficientes de un factor primo. a) 5 d) 0

b) −5 e) 13

c) −3 4 8

c) (x+y+5)

b) (2x+3y+2) d) (4x+9y) 2

b) 2x+10 e) −10

c) 4x 4

2

2

2 2

b) 3x−y

d) x−y

4

c) x−9y

e) x−2y 3

3

17. Factorizar: P(m;n)=m −n +mn(m−n) a) (m+n)(m−n)

2

b) (m−n)(m+n)

2

3

c) (m−n) (m−2n) 3

e) (m+n) (m−n)

d) m (m−n)

3

3

2 4

4 2

2

3

e) (xy +9)

2

22. Factorizar: P(x)=x −39x−70; e indicar la suma de coeficientes de un factor primo. a) 4 d) −6

2

3

3

2

23. Factorizar: P(x)=x −7x −14x+120; e indicar la suma de sus factores primos. a) 3x−7 d) 3x−5

b) 3x−14 e) 3x−10

3

3

19. Factorizar: P(x;y)=(x +64)y −8(x +64) 2

2

2

2

a) (x+4)(x −4x+16)(y−2)(y +2y+4) b) (x+4)(x +4x+16)(y−2)(y −2y+4) 3

3

2

2

d) (x+4)(x−4) (y−2)(y+4) e) (x+4)(x−4)(x+y)

3

c) 3x−15

2

24. Factorizar: F(x)=x −2x −5x+6 La suma de factores primos lineales es: a) 3x+2 d) 3x+4

b) 3x−2 e) 3x+5

c) 2x−1

2

25. Factorizar: F(x)=x −5x −2x+24; la suma de los términos independientes de sus factores primo es: a) −11 d) 11

b) −10 e) 2 3

c) −5

2

26. Factorizar: F(x)=2x +7x +7x+2 Indicar uno de sus factores lineales. a) x+3 d) 2x−1

c) 2x+1

b) x−1 e) x−2 3

2

27. Factorizar: P(x)=2x −5x +x+2; indicar la suma de términos constantes de los factores primos. b) 1 e) −1

c) 2 2

b) 3 e) 5 3

c) (x+4)(x−4) (y−2)(y+4)

c) −1

b) 8 e) −2

a) 2 d) 4

3

3

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d) (x−7)(x+3)(x−4)

3

c) (x y+3)(x y −3x y+9) d) (x y+3)

c) (x+7)(x+3)(x−4)

28. Factorizar: F(x)=2x +5x −7x+2. Indicar el número de factores primos lineales.

2

b) (xy −3)(x y +3xy +9) 2

b) (x+4)(x−7)(x+3)

a) 0 d) −2

6 3

18. Factorizar: P(x;y)=x y +27 2 a) (x y)(xy+3) 2

a) (x−3)(x+7)(x+4)

3

16. Luego de factorizar: P(x;y)=x −10x y +9y Indicar un factor primo a) x −y

2

2

3

15. Factorizar: P(x)=x +36−13x ; e indicar la suma de sus factores primos. 2

2

2

d) 4a(a +12b )

3

14. Luego de factorizar: 2 2 P(x;y)=4x +4x+1−9y −6y−1 Indique el factor primo de mayor suma de coeficientes.

a) 2x −13 d) 0

2

2

e) (x+3)(x−5)(x−4)

b) (x−y+1) e) (x−y)

4

2

3

c) 4

a) (4x+9y+2) c) (4x+3y+2) e) (4x+9y+5)

2

2

b) 2a(a +12b )

21. Factorizar: P(x)=x −8x −5x+84

13. Indicar un factor primo de: 2 2 P(x;y)=x −4x+4−y +6y−9 a) (x+y) d) (x−y−5)

2

3

e) 5a(a +12b )

8 4

b) 3 e) 6

2

a) a(a +12b ) c) 3a(a +12b )

12. Luego de factorizar: P(x)=16x y −81x y Indique el número de factores primos a) 2 d) 5

3

20. Factorizar: P(a;b)=(a−2b) +(a+2b)

c) 1 2

29. Factorizar: F(x)=2x +x +5x−3. factor primo. a) 2x+1 d) 2x−3

b) 2x+3 e) x+3 3

Señale

un

c) 2x−1 2

30. Factorizar: P(x)=3x +(2x+1) , la suma de coeficientes de uno de sus factores primos es: a) −4

b) −3

c) −2

d) 3

e) 2


79

25

Capítulo

Practica en casa 10 2

2 10

3

1. Factorizar: P(x;y)=49x y −25x y 2

3

8. Factorizar: P(a;b)=a +b −ab(a+b) 3

3

6

5

3. Factorizar: P(x;y)=x y−xy

3

9. Factorizar: P(a;b)=(a −8)b +27(a −8)

2

2. Factorizar: P(x;y)=x −2x+1−y +2y−1

3

10. Factorizar: P(x;y)=x +7x −8

5

3

2

3

2

11. Factorizar: P(x)=x −6x +11x−6 4

2

4. Factorizar: P(x)=x −20x +64

12. Factorizar: P(x)=x −2x −33x+90 2

2

5. Factorizar: P(x;y)=x +3x−2xy+y −3y 6 2

3

2

13. Factorizar: P(x)=2x +x −11x−10

3 2

6. Factorizar: P(x;y)=x y +8x y

3

2

14. Factorizar: P(x)=6x +25x −24x+5 3

9 6

2

15. Factorizar: P(x)=12x −8x −13x−3

7. Factorizar: P(x;y)=x y −125

Tú puedes 1. Factorice el polinomio: 3

2

3. ¿Cuántos factores irreductibles en Q, presenta el

2

3

P(a;b)=ca +a bc+ab c+b c

polinomio?

y del valor de verdad de las siguientes proposiciones:

P(x)=1+x+x +x

I. Posee 3 factores primos.

2

a) 1 d) 2

3

b) 3 e) 4

c) 5

II. P(a;b) posee un factor primo lineal. III. La suma de los 2 2 a +b +a+b+c. a) VFF d) FVF

factores

b) FVV e) FFV 5

primos

es:

c) FFF

4. Factorice el polinomio Q, dar como respuesta la suma de sus términos independientes. 2

a) 1 d) 4

3 3

2. Factorizar: P(a;b)=a b−b a

Indicar el valor de verdad de las proposiciones:

III. Tiene un factor primo cuadrático.

Colegios

80

TRILCE

5

3

2

Luego, indique el número de factores primos

II. "ab" es un factor de P(a;b).

b) FVF e) FVF

c) −1

b) 7 e) 6

5. Factorizar: Z(n)=n +2n+1+n +n

I. Tiene un factor primo lineal.

a) VFV d) VFF

2

R(x)=(x +x+10)(x +x−4)+45

c) VVV

obtenidos. a) 2 d) 3

b) 1 e) 7

c) 5

Central: 6198 – 100

Capítulo

Sistemas de Ecuaciones I

26

Problemas para la clase 1. Despejar "x" en función de "y" de una de las siguientes ecuaciones: a) 2x=y b) x – 5=y+3 c) 2x+3y=–1 2. Despejar "y" en función de "x" de cada una de las siguientes ecuaciones: a) –7y=x b) –2x – y=25 c)

7x − 2y =y 3

3. Representar en forma canónica los siguientes sistemas: Zx−y = 11 ] 2 ( x y ) 3 ( x y ) = + − a) ) b) [ 3 7x + 11 = 2y + 21 ] x −1 = y+1 3 \ 2

8. Resolver el sistema por igualación

)

x + 2y = 3 ......... (I) x − 3y = 13 ......... (II)

9. Resolver por sustitución el siguiente sistema

)

x − y = 10 .......... (I) x + 3y = 2 .......... (II)

10. Resolver por reducción el siguiente sistema: 3x − y = 7 .......... (I) ) –5x + 2y = –9 .......... (II) 11. De los siguientes sistemas: I. )2x + y = 12 x–y=6 II. )3x + 2y = 19 2x + 3y = 16

4. Si: x=1 – y Sustituir en la expresión: E=2x – 3y Determine la expresión simplificada en términos de "y".

III. )5x – y = 23 4x + 2y = 24

5. Si: 2a+3b=1 Sustituir en: R=4a+5b De modo que R esté en términos de "a".

a) Sólo I

b) Sólo II

d) I y II

e) II y III

6. Cuál de los siguientes sistemas I. ) x + 2y = 7 ........ (I) x − y = 1 ......... (II) II. )3x + y = 7 ........ (I) x − 2y = 7 ........ (II) tienen como conjunto solución al par ordenado (3; 2) 7. Calcular: "m+n" si el conjunto solución del sistema mx + ny = 7 .......... (I) ) mx − 2ny = 4 .......... (II)

¿Cuáles tienen como conjunto solución al par ordenado (5; 2)? c) Sólo III

12. Calcular "a+b", si el par ordenado (3; –2) es solución del sistema:

)

ax + by = 13 2ax − by = 50

a) 6

b) 10

d) 15

e) 19

c) 11

13. La suma de dos números es 120 y su diferencia es 36. Hallar dichos números. a) 80 y 40

b) 86 y 34

d) 68 y 52

e) 82 y 46

c) 78 y 42

es el par ordenado (2; 1)

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81

26

Capítulo

14. Aplicando el método de igualación, resolver el siguiente sistema: Z 9−y ]x = 5 [ ]x = 7 − y 3 \ Indicar el valor de "xy" a) –1 d) –9

b) 2 e) 5

y

a) 4 d) 1/8 c) 4

7y + 23 5 * 2x = 3y + 11 x=

b) 1 e) –1

c) 0

16. Resolver por igualación:

Indique el valor de "x/y" b) 3/2 e) 15

c) 1/2

17. Cuatro cuadernos y cinco lapiceros cuestan 31 soles, mientras que cinco cuadernos y dos lapiceros cuestan 26 soles. ¿Cuánto cuestan dos lapiceros y tres cuadernos? a) S/.18 d) S/.15

b) S/.24 e) S/.19

c) S/.17

18. Resolver por el método de sustitución el sistema: 8x + 3y = 7 ........ (I) ) 4x + y = 3 ........ (II)

a) 1/2 d) 2

b) 1/3 e) 8

c) 1

19. Resolver el sistema por sustitución

Colegios

82

TRILCE

a) 221 y 109 d) 223 y 107

b) 20 años e) 25 años

c) 21 años

b) 220 y 110 e) 224 y 106

c) 222 y 108

24. Al resolver el sistema:

)

3x + 5y − 9 + 3x + 5y − 9 −

3x − 5y + 4 = 7 3x − 5y + 4 = 1

Calcular: x+y b) 2 e) 7

c) 3

25. Resolver el sistema: (x − 3) (y + 4) − 18 = xy ) (x − 5) (y + 6) − xy = 16

a) 18 d) 10

Hallar: (x.y) b) 2 e) 8

c) 3 cm

indicar: xy

3x + 5y = 4 .......... (I) ) 7x − 3y = 24 .......... (II)

a) 1 d) –2

b) 5 cm e) 1 cm

23. Un granjero tiene en su finca un total de 330 animales entre gallinas y cerdos, y un conteo de las patas de estos animales arrojó un total de 878 patas. ¿Cuántas gallinas y cuántos cerdos posee el granjero?

a) 1 d) 4

Indicar: (x.y)

c) 8

22. La suma de las edades de dos hermanos es 30 años, si dentro de 10 años la edad de uno será el doble de la edad que tuvo el otro hace 10 años, ¿cuál es la edad del mayor? a) 18 años d) 22 años

2y – 5 3 * 2y = 4x – 10 x=

b) 1/4 e) 1/2

21. El perímetro de un triángulo isósceles es 13 cm. Si el triple de uno de los lados congruentes excede al doble del lado desigual en 2 cm, ¿cuánto vale el lado desigual? a) 6 cm d) 2 cm

Indicar el valor de "x – y"

a) 2 d) 3/5

3 (x − y) + 2y = 2 (x + 7) − 5 ............. (I) ) 5 (x + y) − 1 = 3 (x + 4) + 2y ............. (II) Hallar: "x "

15. Resolver, aplicando el método de igualación en:

a) –2 d) –9

20. Resolver por sustitución el siguiente sistema:

b) –15 e) –12

c) –18

c) –3

Central: 6198 – 100

Álgebra Practica en casa 1. Cuáles de los sistemas:

9. Resolver el sistema por sustitución

I. ) 4x + 2y = 14 5x − 3y = 23

5x + 7y = 18 ........ (I) ) 3x − 5y = 20 ........ (II)

II. )5x + y = 19 3x + y = 7

Hallar: "xy" 10. Resolver por sustitución el siguiente sistema:

III. ) x + y = 3 4x + 5y = 11

)

tienen como conjunto al par ordenado (4; –1) 2. Calcular "a×b", si el par ordenado (–2; 5) es solución del sistema: 3ax + by = 46 ) ax − by = 2 3. La suma de dos números es 116 y su diferencia es 42. Hallar dichos números. 4. Aplicando el método de igualación, resolver el siguiente sistema: Z 7+y ]x = 3 [ ]x = 9 − y 5 \ Indicar el valor de "xy"

4 (x − y) + 3y = 3 (x + 5) − 13 .......... (I) 6 (x + y) − 7 = 4 (x + 3) + 3y .......... (II)

Hallar: "xy" 11. El perímetro de un triángulo isósceles es igual a 38 cm, si el quíntuplo del lado desigual excede al doble de uno de los lados congruentes en 10 cm. Determinar la longitud del lado desigual. 12. La edad de dos hermanos suman 45 años, si dentro de 20 años la edad de uno de ellos será el triple de la edad que tuvo el otro hace 5 años. Determine la diferencia de las edades de dichos hermanos. 13. Una familia de 9 miembros entre adultos y niños asisten a un espectáculo por el que un adulto paga S/.7 y un niño S/.3. Si el papá invirtió S/.43 por este buen espectáculo, ¿cuántos adultos y cuántos niños componen esta familia?

5. Resolver aplicando el método de igualación 14. Resolver el sistema:

5y + 17 7 * 3x = 2y + 7 x=

)

Indicar el valor de "x – y".

3x − 4y − 4 = 3 3x − 4y − 4 = 1

Calcular: x+y

6. Resolver por igualación:

15. Determinar el valor de "xy", sabiendo que:

5y − 1 3 * 5y = 4x − 2 x=

) y

4x + 5y − 13 + 4x + 5y − 13 −

x (y − 2) − y (x − 3) =− 14 ........ (I) y (x − 6) − x (y + 9) = 54 ........ (II)

x

Indique el valor de "x – y " 7. Siete corbatas y 3 correas cuestan 185 soles, mientras que 5 corbatas y 2 correas cuestan 130 soles, ¿cuánto cuestan 3 corbatas y 1 correa? 8. Resolver por sustitución el siguiente sistema 7x + 5y = 11 ........ (I) ) 3x + y = 7 ........ (II) x

Hallar: "y "

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83

26

Capítulo

Tú puedes

1. Hallar los valores de "a" y "b", si los sistemas:

)

ax + 2y = 5 bx + 3y = 10

2x + ay = 7 ) 3x + by = 8

1+1 x .................(1) y= 1−x x

son equivalentes, indicar "a×b" a) 3

b) 4

d) 6

e) 8

4. Encontrar "x" del sistema:

1+1 y .................(2) a= 1−y y

c) 5

2. Para el sistema definido en "x" e "y": 3x = a + 2y + 5b ; {a; b} ⊂ R ) 3y = 5a − 2 x − b

d)

x+y Hallar: 2 a) a – b

b) a+b

d) a

e) b

c) 2a+b

1 1−a

84

a (x + y) + 2 x + 3 y = 32 + 3 3 y − 2 x + a (x + y) = 8 + 3

a) 1

b)

2 +1

d) 3

e)

2

TRILCE

1 a+1

e) –a

1 3 =5 + 2x + 3y − 1 x − 2 y + 1 4 4 7 = 1 − 2x + 3y − 1 x − 2 y + 1 4 Hallar: 3x+y

Indicar el valor de "x"

Colegios

c)

5. Resolver:

3. Luego de resolver el sistema definido en "x" e "y".

)

b) 1 a

a) a

c)

a) 2

b) 4

d) 6

e) 7

c) 5

3 –1

Central: 6198 – 100

Capítulo

Sistemas de Ecuaciones II

27

Problemas para la clase 1. Resolver las siguiente ecuación: x + 1 = 7 2 2. Seleccione las ecuaciones lineales en: 2 a) 5x+y =1

b) 7x=3y

3. Cuál de las ecuaciones se verifica para x=2 ∧ y=–2 b) x+y=0 4. Despeje "x" de cada ecuación: a) 3x – y=0 b) x – y+5=0 5. Si x=–5 ∧ y=2 verifican la ecuación: x – 5+2y+7=n. Hallar "n" 6. Expresar el sistema en forma canónica: x – 7 = 2y + 3 ........ (I) ) 3x – y + 1 = x + 2y + 9 ........ (II) 7. El conjunto solución {(3; 1)} corresponde a: II. ) x + y = 4 x–y=2

8. Para que el sistema: )ax + y = 7 ...... (I) bx + y = 5 ...... (II) tenga solución única. ¿Cuál es la relación de "a" y b"? 9. Hallar "m" para que el sistema: mx + (m + 2) y = 5 ...... (I) ) 3x + 4y = 3 ...... (II) sea incompatible 10. Hallar "a+b" si el sistema ax + 4y = b + 3 ...... (I) ) 3x + 2y = 4 ...... (II) es compatible indeterminado www.trilce.edu.pe

a) ) x + y = 13 3x + 5y = –4

b) ) x + y = 6 x–y=5

c) )3x – 2y = 8 2x + 3y = 9

d) ) x + 5y = 13 3 x – 2 y = –4

e) ) x + 5y = 13 2x – 3y = –4 12. El conjunto solución {(3; 2)} corresponde al sistema:

a) 5x – y=8

I. ) x + y = –3 x–y=9

11. Expresar el sistema en forma canónica. Z x–3 ] 5 +y = 2 [ y+1 ]x+4 – =1 2 3 \

I. ) x + y = 5 x–y=3 III. )2x + y = 8 3x – 2y = 2 a) I d) I ó II

II. )5x + y = 17 2x – y = 4

b) II e) II ó III

c) III

13. De los siguientes sistemas: I. ) x + y = 13 x–y=5 III. )3x + 2y = 35 5x – 3y = 33

II. )2x + y = 20 3x – 2y = 23

¿Cuáles son equivalentes? a) I y II d) I; II y III

b) I y III c) II y III e) No hay sistemas equivalentes.

14. Relacionar correctamente: I. )10x + 6y = 2 5x + 3y = 1

a) Sistema compatible determinado

II. ) x + y = 3 2x + 2y = 1

b) Sistema compatible indeterminado

III. ) x + 2y = 5 2x + y = 7

c) Sistema incompatible

a) Ic,IIa,IIIb d) Ia,IIb,IIIc

b) Ia,IIc,IIIb e) Ib,IIa,IIIc

c) Ib,IIc,IIIa


85

27

Capítulo

15. Colocar un aspa (x) en cada recuadro según corresponda: Sistema de ecuaciones

'

Compatible Determinado Indeterminado

Incompatible

4x + 5y = 9

' '

3x + 4y = 5

'

4x + 7y = 15

b) –1 e) 5 y –5

x+y = 4

a) 2 d) 16/7

6x + 8y = 10

b) 3 e) 0

(a – 3) x + ay = 12 ...... (I) ) 3x – 5by = 18 ...... (II) tiene infinitas soluciones a) 25 d) 32

b) 20 e) 52

a) )3x + 5y =− 4 6x + 10y =− 8

Rpta: _____________

b) )mx + (m + 1) y = 10 mx + (m + 1) y = 2

Rpta: _____________

(a – 2) x + 3y = 12 ) (2 + a) x – y = 4

c) )2x − 3y = π − 2x − 3y = 7

Rpta: _____________

es incompatible. Hallar "a"

• Un sistema compatible indeterminado no tiene solución. • El sistema lineal incompatible tiene más de una solución. • El sistema lineal compatible determinado tiene infinitas soluciones. • Un sistema de ecuaciones de primer grado con dos variables puede tener tres soluciones.

(

)

(

)

(

)

(

)

18. Hallar los valores que toma "m" para que el sistema: (m + 2) x + y = 7 ...... (I) ) 5x + (m – 2) y = 4 ...... (II) sea compatible determinado b) m={2; –2} d) m∈R – {2; –2}

19. Hallar "m" si el sistema: (m – 1) x + 4y = 14 ...... (I) ) 6x + (m + 1) y = 21 ...... (II) TRILCE

c) 30

22. Si el sistema

17. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

Colegios

c) 4/3

21. Hallar: "–4ab" si se sabe que el sistema:

8x + 14y = 19

a) m∈R c) m∈R – {3; –3} e) m={3; –3}

c) 5

(3 – m) x + 5y = 4 ...... (I) ) 2y – (2 – m) x = 6 ...... (II)

16. Clasificar los siguientes sistemas; de acuerdo al número de soluciones que presentan.

86

a) –5 d) 1

20. Hallar "m" para que el sistema sea incompatible:

3x + 7y = 12 x+y = 7

no tiene solución

a) 3 d) –3

b) –1 e) 5

c) 10

23. Si el sistema definido en "x" e "y". (n + 2) x + 5y = 10 ) x + (n – 2) y = 2 es incompatible. Determinar el valor de "n". a) –2 d) 3

b) 2 e) c y d

c) –3

24. Si el sistema: )2y = 3 − ax 2y + 1 = (a − 2) x es compatible determinado, determine el valor que no debe tomar "a". a) 3 d) –2

b) 1 e) 20

c) 2

25. Si el sistema: )2y = 3 − (5 + m) x 3y + (3 + m) x = 2 no presenta solución. Halle el valor de "m". a) 9 d) 7

b) 8 e) –9

c) –8

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Álgebra Practica en casa 1. Expresar en forma canónica el siguiente sistema: Z 2x – 1 y – 1 ] 3 – 4 =3 [ ]x–4 + y+1= 1 3 \ 2 2. La siguiente gráfica:

• El sistema lineal compatible determinado tiene solución única. • Un sistema es compatible indeterminado, si presenta infinitos conjuntos soluciones. • Un sistema de ecuaciones de primer grado con dos variables puede tener dos soluciones. 7. Clasifica los sistemas de ecuaciones marcando en el casillero respectivo con un aspa (x).

(4; 1) corresponde al sistema: I. ) x + y = 5 2x – y = 6

II. )3x + y = 13 2x – 3y = 2

III. )3x – 2y = 10 x+y = 5 3. Cuáles de los siguientes sistemas: I. ) 4x + 3y = 19 3x – 2y = 10

II. )5x – y = 18 3x + y = 14

III. )7x + 2y = 32 2x – y = 6 son equivalentes. 4. Relacionar correctamente: a) Sistema incompatible I. )8x + 5y = 3 7x + 3y = 11 b) Sistema compatible II. )2x + 3y = 5 determinado 4x + 6y = 7 c) Sistema compatible III. ) 4x + 8y = 9 12x + 24y = 27 indeterminado 5. Clasificar los siguientes sistemas: a) )2x + 7y = 1 5x − 7y =− 1

Rpta: _____________

b) )(m + 1) x + my = 5 (m + 1) x + my = 7

Rpta: _____________

c) )5x + 7y = 1 10x + 14y = 2

Rpta: _____________

6. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda. • Un sistema es incompatible si tiene conjunto solución. www.trilce.edu.pe

Sistema de ecuaciones

'

3x – 4y = 7

'

2x + 2y = 6

Compatible Determinado Indeterminado

Incompatible

4x + 3y = 11 3x + 3y = 9

'

x+y = 2

'

3x + 2y = 4

x+y = 3 4x – 3y = 16

8. Para qué valores de "a" el sistema (a + 1) x + 7y = 13 ........ (I) ) 5x + (a – 1) y = 23 ........ (II) será compatible determinada 9. Hallar "m", si el sistema: (m – 1) x + 3y = 15 ........ (I) ) 4x + my = 20 ........ (II) es incompatible 10. Hallar "n", si el sistema: )(n − 4) x − 7y = n − 11 x + (n + 4) y = 8 no tiene solución 11. Hallar "ab", si el sistema: )(a − 3) x + 9y = 15 4x + (b − 5) y = 20 tiene infinitas soluciones 12. Si el sistema: )(a − 3) x + 4y = 12 (3 + a) x − y = 3 es incompatible. Hallar "a" 13. Si el sistema definido en "x" e "y" ax + 16y = 12 ) x + ay = 3 no tiene solución. Determine el valor de "a". 14. Si el sistema: )(m + 1) x + (n − 2) y =− 15 3x + 2y =− 5 es compatible indeterminado. Hallar "m.n" 15. Si el sistema: ) y (a + 2) = 9 − (a − 1) x 2y =− 3 − x no presenta solución. Hallar el valor de "a". Segundo año de secundaria

87

27

Capítulo

Tú puedes

1. Indicar verdadero (V) o falso (F), dado el sistema:

)

a1 + b1y = c1 a2 + b2 y = c2

)

a • es indeterminado, si: 1 = a2

b1 c ! 1 b2 c2

(

)

a1 b1 c1 • es incompatible, si: = = a2 b2 c2

(

)

a • es determinado, si: 1 ! a2

(

b1 b2

2. Al expresar en forma canónica el sistema: Z ]] x + 1 = y + 2 x –1 y – 2 [ x+y+2 ]] = a+3 x+y–2 a–3 \

a) 8

b) –9

d) 14

e) 16

88

TRILCE

)

ax – 6y = 5a – 3 ........ (I) 2x + (a – 7) y = 29 – 7a ........ (II)

sea indeterminado a) 3

b) 5

d) 9

e) –3

c) 7

4. Hallar el valor entero para "m" para que el sistema: (m + m2 + 1) x – 13y = 7 ........ (I) ) 2x + (1 – m) y = 5 ........ (II) sea incompatible a) –3

b) –1

d) 1

e) 3

c) 2

5. Si el sistema definido en "x" e "y": nx + 6y = 12 + x ) x + ny = 4 + 2y

se obtiene: mx+ny=10 px – qy=0 Calcular: "m+n+p+q+a"

Colegios

3. Hallar "a" para que el sistema

es incompatible. Indicar el valor de "n". c) 10

a) 4

b) –1

c) a y b

d) a o b

e) Imposible determinar

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Capítulo

Repaso IV

28

Problemas para la clase 1. Resolver: 7(x−5)−9(x+2)=3(x−1)−6(x+5)

7 (x + 5) − 2 (y + 9) =− 1 7. Resolver: ) 5 (x + 1) + 3 (y + 3) = 10 Determine el valor de "xy"

2. Resolver: (x−1)(x+3)=(x+3)(x−2)+77 Z 12 + 15 =− 3 ] x+1 y−1 8. Resolver: [ 6 − 9 =4 ] x \ +1 y−1 2

3. Resolver: (x+5) +(x−3)(x+3)=2(x+5)(x−1)

Indicar el valor de "x−y"

9. Según los gráficos: 4. Resolver: (6x+7)(2x+5)−(3x+4)(4x−7)=14 (x–5)m

Z ] y = 5x − 8 5 ] 5. Resolver: [ ] y 40 − 5x ] = 3 \ Indique el valor de "x"

7x − 3y =− 10 6. Resolver: ) 10x − 3y = 164 Determinar el valor de "x"

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(x–6)m

2(x–8)m El área del cuadrilátero excede al área del 2 triángulo en 57 m . Determine el perímetro del cuadrilátero.

10. En cierto colegio de Lima, sucede lo siguiente: El número de carpetas por aula excede en tres unidades al número de aulas y el número de profesores de dicho centro educativo excede en 7 unidades al número de aulas del colegio. Además, el cuadrado del número de profesores excede en 159 unidades al número de carpetas de todo el colegio. ¿Con cuántos profesores cuenta el colegio?


89

28

Capítulo

11. Hallar "x" en: 3(5−(2x−7))=4−(3(1+3x))+2x a) −5 d) −24

b) −7 e) −35

c) −17

12. Hallar "x" en: 4x + x = x + 11 5 4 2 10 a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

a) {12} b) {18} c) {36} d) {41} e) {42} 14. Sean: M=3−{x−4(3−x)}−(−x+3) N=4x−2(x−5)−(−2x+7) ¿Para que valor de "x" se da que: M=N

d) 8 9

b) 9 8 e) 15 8

c) − 9 8

15. Resolver: 5 `x − 1 j + 7 ` x − 1 j = 44 6 3 6 5 7 9 a) 4 d) 10

b) 5 e) 12

c) 6

16. Resolver: (x−1)(x−2)+(x−1)(x−3)=2(x−2)(x−3) a) 1 d) 3 7

b) 6 7 e) 11 3

c) 7 3

17. Resolver para "x": m `1 − m j + n `1 − n j = 1 n x m x b) m+n 2 2 d) m +n

a) m−n 2 2 c) m −mn+n 2 2 e) m −n

(x − 2) (y + 3) − xy = 29 .... (I) ) (x − 4) (y + 5) − xy = 41 .... (II) e indicar el valor de "x"

13. Resolver: 3x + 5 = 5x + 2 6 4

a) 0

20. Resolver el sistema:

Z x y ] − = 1 ... (I) a b 4 9 6 21. Resolver: [ y x 14 ... (II) ] + = \ 6a 5b 15 Hallar "y" a) 2a d) 2b

abc b) a+b+c

TRILCE

b) m∈R d) m∈R −{6; −6}

23. Para qué valor del parámetro "m" el sistema: (2m − 1) x + y = m ... (I) ) x + my = 2m − 1 ... (II) tiene infinitas soluciones. a) –1 d) 1/2

b) 0 e) 1

c) –1/2

24. Dar el valor o valores de "K" que hacen 3x + (K − 1) y = 12 ... (I) que el sistema: ) (K + 6) x + 6y = K ... (II) no admita solución. a) 1; 3 d) 3; –8

b) 2; 6 e) –8

c) 3

y ax−2by=1 4

b) 9 e) −4

3ax+by=4 6

e) a+b+c

Hallar: x/y

90

c) 3b

a) m∈R −{2; −2} c) m=±6 e) m∈R −{4; −4}

c) ab c

3x − 7y = 38 .... (I) 19. Resolver el sistema: ) 7x + 4y = 48 .... (II)

Colegios

b) 3a e) 6a

22. Determine el valor de "m" para que el sistema: mx − 12y = 7 ... (I) tenga solución única. ) 4x − my = 12 ... (II)

x + x + x − 1 = abc − x (a + b + c) ab bc ac

a) −16 d) 7

c) 13

25. Del gráfico:

18. Hallar "x" en:

a) a + b + c abc d) a − b c

b) 9 e) 23

a) 5 d) 17

c) −8

Calcular el valor de "ab a) 1 6

b) 3 4

d) 14

e) 6

x −1

" c) 21 8

Central: 6198 – 100

Álgebra Z y ] x + = m + n ... (I) m n m + −n 26. Resolver: [ y ... (II) ] x + = 2m m n \ Hallar "x" a) m(m+n) d) n(m+n)

b) n(m−n) e) mn

c) m(m−n)

27. Repartir 90 dólares entre tres personas, de manera que la tercera reciba 5 dólares menos que la segunda y ésta 10 dólares más que la primera. ¿Cuánto recibe la segunda? a) $35 d) $10

b) $30 e) $60

c) $20

28. Dividir el número 46 en dos partes tales, que 1/7 de una, más 1/3 de la otra sumen 10. Hallar o indicar la mayor de las partes. a) 12 d) 24

b) 18 e) 28

c) 22

29. La diferencia entre dos números es 38. Si se divide el mayor de los números por el menor, el cociente es dos y queda un resto de ocho. Determina los números. a) 23 y 15 d) 48 y 10

b) 30 y 68 e) 20 y 58

c) 59 y 21

30. Se cuenta que la legendaria fundadora de Praga, la reina: "Libussa" de Bohemia, eligió a su consorte entre tres pretendientes, planteo el siguiente problema: ¿Cuántas ciruelas contenía un canasto del cual ella saco la mitad del contenido y una ciruela más para el primer pretendiente, para el segundo la mitad de lo que quedó y una ciruela más y para el tercero la mitad de lo que entonces quedaba y tres ciruelas más, si con esto el canasto quedó vacío, decir cuántas ciruelas tenía el canasto? a) 38 d) 48

b) 28 e) 24

c) 18

Practica en casa 1. Hallar "x" en: 5{x−[−5+2x]}=3−{4(x−5)} 2. Hallar "x" en: 6 − 2x + x = 2x + 2 + 1 3 5 3. Resolver: x − 20 + x − 30 + x − 40 = 3 70 60 50 2

tenga solución única.

2

2

3

3

4. Hallar "x" en: 2(x−4) −(x−2) =(x−8)

5. Hallar "x" en: 6x(x−3)=(x+1) −(x−1) 6. Luego de resolver el sistema: 7x − 5y = 76 ... (I) ) 6x + 7y = 20 ... (II) Hallar: "x+y" 7. Resolver el sistema: (x + 5) (y + 4) = xy + 19 ... (I) ) (x + 4) (y + 5) = xy + 12 ... (II) Indicar: "xy"

8. Hallar: "m×n" para que el sistema de ecuaciones: (m − 1) x + (n + 9) y = − 1 ) 2mx − ny = 62 Admita como solución: x=5; y=9 9. Hallar "K" si el sistema: (K − 4) x − 7y = K − 11 ... (I) ) x + (K + 4) y = 2 ... (II)

10. Calcular "K" para que el sistema: (1 + K) x − 3y = K ) (3 − K) x + 2y = 4 11. Determine los valores de "a" y "b" tal que el ax + by = a ... (I) sistema: ) 2 (b − 2a + 12) x + y = 3 ... (II) tenga infinita soluciones, además: ab!0 dar como respuesta: "a+b" 12. Dos números consecutivos son tales que un cuarto del menor excede a un quinto del mayor en 1, encontrar los números. 13. De un cierto número de fichas se toman 3 y el resto se divide por 4; el cociente se aumenta en 4 se divide por 5 y el resultado es 2. Hallar el número de fichas. 14. Encontrar tres números consecutivos tales que si ellos son divididos por 10, 17 y 26 respectivamente, la suma de sus cocientes es 10. 15. Pagamos S/. 38 por un libro, un cuaderno y un lapicero. El precio del cuaderno es un quinto del precio del libro. El lapicero cuesta un tercio de lo que cuesta el cuaderno. ¿Cuánto cuesta el libro?

no tiene solución.

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91

28

Capítulo

Tú puedes Z 7 − 9 =2 ] 2x − 1 3 y − 1 4. Resolver: [ 2x + 16 =− 10 ] 27 \ 9y − 15

1. En la siguiente ecuación: 1 1 1 1x − 1 − 1 − 1 = 1 j B . 3 $ 3 83 ` 3 Hallar el valor de "x" a) 27

b) 81

d) 121

e) 360

Determine "xy" c) 120

2. Resolver la ecuación: x + a + x − a = x + b + 2 (x − b) , a ! b a−b a−b a+b a+b a) b

b) 2b

d) 4b

e) 6b

a) –2

b) 3 2

d) 8

e) –1

5. Del gráfico:

b) n + c a

c a+b

e) c − n a+b

d)

Colegios

92

TRILCE

y=bx+3

y

c) 3b

a

3. En una fiesta, Isabel juega el "tiro al blanco" con la condición de que por cada uno que acierte recibirá "a" soles pagará "b" soles por cada uno de los que falle. Después de "n" tiros ha recibido "c" soles. ¿Cuántos tiros dio en el blanco? a) bn + c a+b

c) 4

c) b + c a

1

x 2y + 6x =b 4

Determinar: " a + b " a−b a) 18

b) 5

d) 20

e) –10

c) 2

Central: 6198 – 100

Capítulo

Sistemas de Ecuaciones III

29

Problemas para la clase 1. Representar algebraicamente: "Los dos tercios de mi edad excede a tu edad en un año".

2. Representar simbólicamente: "La mitad de la diferencia de nuestras edades equivale al doble de tu edad disminuido en quince años".

3. Representar algebraicamente: "El quíntuplo de la diferencia de dos números equivale a la tercera parte de la suma de dichos números".

4. Representar simbólicamente: "Hace doce años nuestras edades sumaban la tercera parte de la diferencia del doble de mi edad y el triple de la tuya".

5. Despejar "a" en función de "b" y "c" 17a−7(a−b+2c)=9b−11(c−2b)

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6. La suma de dos números es 24 y su diferencia es 16 . Hallar dichos números.

7. Un cuarto de la suma de dos números es 45 y un tercio de su diferencia es 4. Hallar los números.

8. Hallar dos números sabiendo que si uno de ellos se suma con el doble del otro se obtiene 21 y que si este último se suma con el doble del primero resulta 18.

9. Hallar una fracción sabiendo que si se aumenta al numerador y al denominador 3 unidades se obtiene 2/3 y si ambos se disminuyen en 2 unidades resulta 1/2.

10. Dos cuadernos y tres lapiceros cuestan S/. 20 y tres cuadernos y dos lapiceros cuestan S/. 25. Hallar el precio del cuaderno y del lapicero.


93

29

Capítulo

11. La suma de dos números es 120 y su diferencia es 36. Hallar dichos números. a) 80 y 40 b) 86 y 34 c) 78 y 42 d) 68 y 52 e) 82 y 46 12. Cuatro cuadernos y cinco lapiceros cuestan 31 soles, mientras que cinco cuadernos y dos lapiceros cuestan 26 soles. ¿Cuánto cuestan dos lapiceros y tres cuadernos? a) S/.18 d) S/.15

b) S/.24 e) S/.19

c) S/.17

13. Con S/.68 se compran 3 melones y 4 sandías pero faltaría S/.4 para comprar un melón mas y una sandía menos, ¿cuál es el precio de una sandía? a) S/.15 b) S/.13 c) S/.12 d) S/.8 e) S/.6 14. La suma de las edades de dos hermanos es 30 años. Si dentro de 10 años la edad de uno será el doble de la edad que tuvo el otro hace 10 años. ¿Cuál es la edad del mayor? a) 18 años b) 20 años c) 21 años d) 22 años e) 25 años 15. La suma de las edades de Pedro y Luis en 1960 era los 5/7 de la suma de las edades de ambos en 1970. En 1980, la edad de Pedro era la mitad de la edad de Luis. ¿En qué año nació Luis? a) 1916 b) 1918 c) 1920 d) 1921 e) 1924 16. El perímetro de un triángulo isósceles es 13 cm. Si el triple de uno de los lados congruentes excede al doble del lado desigual en 2 cm. ¿Cuánto vale el lado desigual? a) 6 cm b) 5 cm c) 3 cm d) 2 cm e) 1 cm 17. La relación de los lados de un cuadrado y un triángulo equilátero es de 7 a 5. La diferencia de sus perímetros es de 130 cm. Determine la diferencia de las longitudes de sus lados. a) 10 cm b) 17 cm c) 20 cm d) 25 cm e) 30 cm 18. Un hombre y un niño hacen varios viajes juntos, llevando manzanas del campo a la casa. En cada viaje el hombre lleva 35 kg y el niño 15 kg. Transportando en total 650 kg, ¿cuánto habrá llevado cada uno, sabiendo que hacen el mismo número de viajes. a) 455 y 195 kg c) 475 y 175 kg e) 425 y 225 kg

Colegios

94

TRILCE

b) 375 y 275 kg d) 385 y 265 kg

19. En un depósito hay 40 celulares, de los cuales, algunos tienen 16 teclas y otros 20 teclas, la cantidad de teclas entre los 40 celulares es de 696. ¿Cuántos celulares de 20 teclas y cuántos de 16 teclas hay? a) 28 y 12 b) 22 y 18 c) 26 y 14 d) 17 y 23 e) 24 y 16 20. Un granjero tiene en su finca un total de 330 animales entre gallinas y cerdos, y un conteo de las patas de estos animales arrojó un total de 878 patas. ¿Cuántas gallinas y cuántos cerdos posee el granjero? a) 221 y 109 b) 220 y 110 c) 222 y 108 d) 223 y 107 e) 224 y 106 21. Un chofer conduce diariamente a una velocidad promedio de 60 km por hora en carretera y a 24 km por hora en ciudad, su tiempo diario de manejo sobre un recorrido de 330 km fue de 7 horas. ¿Cuánto tiempo condujo sobre carretera? a) 2,5 h d) 4,5 h

b) 5,5 h e) 3,5 h

c) 1,5 h

22. Halla una fracción sabiendo que si a sus términos (numerador y denominador) se les suma dos, se obtiene un fracción equivalente a 7 , pero si 9 se les resta dos a ambos términos de la fracción original se obtiene una fracción equivalente a 3 . 5 a) 5 b) 2 c) 5 2 7 7 d) 4 e) 11 9 7 23. Dos cilindros contienen un total de 85 galones de gasolina. Si del primero gasto la tercera parte y del segundo los 4 de su contenido, en el primer 5 cilindro quedarían 35 galones de gasolina más que en el segundo cilindro. Halla la cantidad de galones que contiene cada cilindro. a) 25 y 50 b) 60 y 25 c) 90 y 30 d) 50 y 40 e) 80 y 35 24. ¿Qué hora es? le pregunta Renzo a Mirko. Mirko le responde: Quedan del día 8 horas menos que las transcurridas. Decir: 'Qué hora es? a) 2 pm b) 4 pm c) 6 pm d) 8 pm e) 10 pm 25. Son más de las 3 sin ser 4 de esta madrugada pero dentro de 50' faltaran para las 5 a.m. el mismo tiempo que transcurrió desde las 2 hasta hace 50', ¿qué hora es? a) 3:10 d) 3:40

b) 3:20 e) 3:50

c) 3:30

Central: 6198 – 100

Álgebra Practica en casa 1. La suma de dos números es 116 y su diferencia es 42. Hallar dichos números.

10. Un tren sale de la ciudad de Chiclayo rumbo al este a 30 km/h. Dos horas más tarde, otro

2. Siete corbatas y 3 correas cuestan 185 soles,

tren sale a 45 km/h de la misma ciudad y en la

mientras que 5 corbatas y 2 correas cuestan 130

misma dirección sobre una vía paralela. ¿A qué

soles. ¿Cuánto cuestan 3 corbatas y 1 correa?

distancia de la ciudad dará alcance el segundo

3. Con 205 soles se compran 4 pelotas y 3 muñecas, pero faltaría 25 soles para comprar una pelota más y una muñeca menos. ¿Cuál es el precio de una muñeca? 4. La edad de dos hermanos suman 45 años. Si dentro de 20 años la edad de uno de ellos será el triple de la edad que tuvo el otro hace 5 años. Determine la diferencia de las edades de dichos hermanos.

tren al primero? 11. Una familia compuesta de 9 miembros entre adultos y niños asisten a un espectáculo por el que un adulto paga S/. 7 y un niño paga S/. 3. Si el papá invirtió S/. 43 por este buen espectáculo. ¿Cuántos adultos y cuántos niños componen esta familia? 12. Halla una fracción sabiendo que si a sus términos

tendría el cuádruplo de la de su hijo.

(numerador y denominador) se les suma 3, se obtiene una fracción equivalente a 7 pero si 6 se les resta 2 a ambos términos de la fracción

Hallar el promedio de las edades de ambos.

original se obtiene una fracción equivalente a 2.

5. La edad de un padre es el doble de la de su hijo. Si ambos tuvieran 20 años menos, el padre

6. El perímetro de un triángulo isósceles es igual a 38 cm. Si el quíntuplo del lado desigual excede al doble de unos de los lados congruentes en 10 cm. Determine la longitud del lado desigual. 7. La diagonal de un rectángulo mide 2 cm más que uno de los lados. Calcular

las

dimensiones

del

rectángulo,

sabiendo que su perímetro es de 14 cm.

13. Los cilindros contienen un total de 78 galones de gasolina. Si del primero gastó la mitad y del segundo los 3 de su contenido, en el primer 7 cilindro quedarían 9 galones de gasolina más que en el segundo. Halla la cantidad de galones que contiene cada cilindro. 14. Un alumno le dice a su amiga, cuando la suma

8. En un corral el número de patos excede en 4 al

de las cifras de las horas transcurridas sea igual

número de conejos. Además el número de patas

a las horas por transcurrir te espero donde ya tu

excede al número de cabezas en 24. ¿Cuántos

sabes. ¿A qué hora es la cita?

conejos hay?

15. Son más de las 2 sin ser las 3 de esta madrugada,

9. Un comerciante empleó 6720 nuevos soles en

pero dentro de 40 minutos faltarán para las 4

comprar trajes a 375 nuevos soles y sombreros a

a.m. el mismo tiempo que transcurrió desde la

45. Si la suma del número de trajes y el número de sombreros que compró es 54. ¿Cuántos trajes

1 hasta hace 40 minutos. ¿Qué hora es?

compró y cuántos sombreros?

www.trilce.edu.pe


95

29

Capítulo

Tú puedes

1. Si se pasara una moneda de la mano izquierda a la derecha, se tendría el mismo número de monedas en ambas manos, pero si se realizará la operación inversa, se tendría el doble número de monedas en la mano izquierda. ¿Cuántas monedas tengo en total? a) 10

b) 11

d) 13

e) 14

c) 12

b) 2n

d) 4n

e) 5n

resulta que un sexto de la parte mayor excede en 6 cm a un tercio de la parte menor. ¿Cuánto mide la parte mayor? a) 72 cm

b) 74 cm

d) 78 cm

e) 80 cm

c) 76 cm

5. Mathias le pregunta la hora a su tío Paolo y

2. Hace "n" años el promedio de tu edad y la mía era de "7n" años. Si dentro de "2n" años mi edad excederá a la que tu tenías hace "2n" años en "10n" años. ¿Qué edad tenías hace "4n" años?. Siendo n∈Z ∧ n≥1 a) n

4. Al dividir una varilla de 90 cm en dos partes

c) 3n

el para confundirlo le dice: Son más de las tres pero aun no son las cuatro. Si los minutos transcurridos desde las tres es dos veces más que lo que faltan transcurrir para que sean las cuatro. Si dio la hora exacta, ¿cuál es su respuesta? a) 3:43

b) 3:42

d) 3:45

e) 3:56

c) 3:50

3. Una persona compra objetos al precio de S/.48 y S/.42 pero no recuerda cuantas compró de S/.48 ni de S/.42, solamente recuerda que gasto S/.1542 y que el número de objetos de S/.48 no llega a diez. ¿Cuántos objetos de S/.48 compró? a) 4

b) 6

d) 9

e) 5

Colegios

96

TRILCE

c) 7

Central: 6198 – 100

Capítulo

Desigualdades

30

Problemas para la clase 1. Ordene de mayor a menor los siguientes números.

4

−3

0

−1

7

9

2. Ordene de mayor a menor los siguientes números. −1 2

−1

0

4 3

1

−7 5

1 2

....

5

p

....

4. Ordene de menor a mayor los siguientes números: 7

−1

0

2

4

− 3

−3

5. Entre que número enteros se encuentran los siguientes números racionales fraccionarios:

....

2 3

....

.... − 1 .... 5

6. Completa las siguientes proposiciones correctamente, según corresponda. (>, = , <)

www.trilce.edu.pe

a) 5

1

b) −7

−10

d)

3+1

16

..........(

)

5 b) 2 H6×5+2 ..........(

)

a) 40G43−3 2

..........(

)

2

d) 10 G3

3

..........(

)

8. Completa las siguientes proposiciones: a) La desigualdad 5>2 tiene el mismo significado que: ______________________. b) La desigualdad xH4 tiene el mismo significado que: ______________ o _______________.

....

.... − 11 .... ....

23 31

7. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda en las siguientes proposiciones:

c) 7×4H5 3. Entre que números enteros se encuentran los siguientes números irracionales.

c) 2 3

9. Completa las siguientes proposiciones: a) Si "a" es un número positivo entonces _______________________. b) Si "a" es un número negativo entonces _______________________. 10. Completa: a) 4Gx ∧ xG9 entonces: ___________________. b) xH8 ∧ x<11 entonces: _________________. 11. Si: −2Gx<3 Indicar el intervalo de: E=x+7 a) 5
b) 5
c) 5GE<10

12. Si: −1
b) −8

97

30

Capítulo

13. Si: −4
b) −9
c) −10
d) −10
e) −10
a) 0
b) 0GP<2

c) −2GP<0

d) −2
e) −3GP<0 15. Si: 4Gx<5 Indicar el intervalo de: S=3−4x a) −10
b) −17
c) −16
d) −12GS<14

e) −9GS<−4 16. Si: −70G2xG20 Indicar el intervalo de: H=−3x b) −40GHG115

c) −30GHG105

d) −50GHG175

e) −40GHG105 17. Si: −1<11−2x<1 Indicar el intervalo de: y=3x−10 d) 4
e) 5
c) 6
18. Cuántos números enteros: H(x)=8−x existen; si se sabe que: 1
b) 1

d) 3

e) 4

b) 1/5
c) 1/5GM<2/3

d) 1/5GMG2/3

22. Sea "x" la temperatura del departamento de Puno; esta cumple simultáneamente con las siguientes condiciones: x>1 y x<5. Se sabe por otro lado que por razones geográficas la temperatura de la capital depende de la función: P(x)= 3 2x + 1 ¿Cuál es el intervalo de variación de la temperatura de la capital? a) 4/5
b) 2/17
c) 1
d) 3/11
e) 2/5
a) −20GHG95

b) 5
a) 1/5
14. Si: 3
a) 2
21. Si: −3
c) 2

19. Si: 1
23. Si: −2
b) 4
c) 4
d) 4
e) 3GF<14 24. Si: 2GxG5, indique la suma del mayor y menor valor que toma la expresión: x + 3 . x−1 a) 1

b) 2

d) 4

e) 7

c) 3

25. Si: 4G x + 7 G13 x−5 Indicar el intervalo de "x"

a) 1/5
b) 1/5
a) 1
b) 6Gx<13

c) 1
d) 1/5
d) 7GxG9

e) 4GxG8

c) 6GxG9

e) 2
1 4+m

a) 1/9
b) 1/9
c) 1/9GH<1/4

d) 5GH<9

e) 1/9
Colegios

98

TRILCE

Central: 6198 – 100

Álgebra Practica en casa 1. Si a>b, indicar verdadero (V) o falso (F) IV. a+c>b+c V. 2a>a+b 2 VI. a >ab 2. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: −1 ( ) si −3
6. Si: (3x) ∈ <−60; 30> Indicar el intervalo de: a) P(x)=−5x b) Q(x)=700−25x 7. Si: (19−5x) ∈ <−21; 39] Además: (3x+7) ∈ [a; b> Hallar: "a+b" 8. Si x∈ <2; 3> entonces: ¿A qué intervalo pertenece:

3. Si: x−y>x ∧ x+y0 IV. xy<0 2 3 V. x >y 4. Si x∈<−3; 4] Determinar el intervalo de cada una de la siguientes expresiones: a) P(x)=2x+1 b) Q(x)=7x−11 5. Si: (3x−5) ∈ [4; 10> Determinar el intervalo de cada una de las siguientes expresiones: a) P(x)=10+2x b) Q(x)=2(x−11)

9. Si: x∈ <0; 3>, entonces, ¿a qué intervalo pertenece: 4 ? 2x + 5

4 ? 2 − 3x

10. Si: x∈ <−4; −3>, entonces, ¿a qué intervalo pertenece: 4x + 13 ? x+3 11. Si: 2 G 4x + 3 G 3, entonces, ¿a qué intervalo x+2 pertenece x? 12. Si: x∈ <−3; 2> Hallar el intervalo de: "3x+5" 13. Si: x∈ <3; 8> Hallar el intervalo de: 2−5x 14. Si: 2x+1 ∈<3; 7> Hallar el intervalo de: 3x+7 15. Si: 3x−2 ∈ <−8; 7> Hallar el intervalo de: 4−x

Tú puedes 1. Si: a>b>0, hallar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones. I.

b > a+b a+b a

III.

a2 + b2 > a

a) VFVV d) FVFV

2

2

II. a +b <2ab IV. ` a j − 1 < c b m − 1 b a b) VFVF e) FFVV

c) FFVF

2. Si: (3x−a+b) ∈ [2a+b; 4b−a>; a<0
b) b

e) 1 d) b a 3. Si x∈ <−2; 1], entonces: ¿A qué intervalo pertenece: www.trilce.edu.pe

c) a b

5 ? 2 − 3x

a) <0; 1> b) <−∞; 1> ∨ [2; +∞> c) <−∞; − 5 > ∨ [5; +∞> 8 d) < −∞; −5] ∨ < 5 ; +∞> 8 e) <−5; 5 > 8

4. Si: x∈ [1; 4] y se sabe que: m G x + 4 G n x+3 Calcular: "m+n" a) 13/7 d) 67/28

b) 19/28 e) 65/68

c) 17/4

5. Si: x + 7 ∈ [4; 13] x−5 2

Hallar el intervalo de: x −14x+46 a) [−5; 7> d) [−5; 25]

b) [−3; 25] e) <−1; 17]

c) [−3; 1]


99

31

Capítulo

Intervalos Problemas para la clase

1. Indique el intervalo haciendo uso de los símbolos de desigualdad que represente a todos los números "x" entre −2 y 5.

7. Represente gráficamente lo siguiente: a) −5
b) x∈[−2; 3] 2. Ordene los siguientes números reales: −7; −3; 0; 4; 3 ; −2; 2; −5

8. Del siguiente gráfico:

B

A 3. Si: a=−7 y b=5 donde a
−7

−2 6

10

¿Qué intervalo entre A y B, representa el área sombreada?

4. Si se tiene el conjunto: A={3, 5, 7} y B={−3, 3, 8} Dar la suma de elementos del conjunto A∪B 9. Si: A=<−3; 2], B=<0; +∞> Determine: a) A∪B

5. Si se tienen los conjuntos: A={3, 5, 8, 12} B={−7, −1, 5, 8, 14} Hallar la suma de elementos del conjunto A∩B.

b) A∩B

6. Representa gráficamente lo siguiente: a) x<−7 10. Si: A=<−2; 5]∪<7; +∞>, B=<−1; 9] Determine: A∩B b) xH4

Colegios

100

TRILCE

Central: 6198 – 100

Álgebra 11. Indique verdadero (V) o falso (F) V. En el intervalo [−3; −1] existen tres valores enteros. VI. El mayor valor en el intervalo <−4; 3> es 3. VII. La suma de todos los elementos enteros del intervalo <−2; 4> es 5. a) VVF d) FFV

b) VFV e) FFF

12. La representación intervalo:

−∞ a) <2; 5] d) <2; 5>

c) VFF

gráfica

corresponde

b) <3; 4> e) <1; 5]

c) <3; 6>

13. Representar gráficamente y relacionar:

I. [1; 4]

A. −∞ −1

II. <1; 5>

B. −∞

III. −1Gx<4

C.

D.

IV. x>5

−∞

−∞

a) IA, IIB, IIIC, IVD c) IB, IIC, IIID, IVA e) ID, IIA, IIID, IVC

+∞

4

+∞

5

1

+∞

5

4

1

+∞

b) ID, IIC, IIIA, IVB d) ID, IIC, IIIB, IVA

c)

7

8

3

8

b)

−3

8

15. Si: (x+7)∈<−3; ∞>, entonces representar gráficamente el intervalo de: "2x−1" a) c)

−21

c)

−1

7

17. Si: (1−x)∈<−3; 7>, entonces representar 2 gráficamente el intervalo de: "x −10"

−10

26

−10

26

c)

b)

26

10

18. Dados los conjuntos: A=<−5; 8>; B=<3; 11] Determinar cuántos números enteros hay en: A∪B. a) 13 d) 16

b) 14 e) 17

c) 15

19. Dados los conjuntos: M=<−3; 8>; N=<5; 10]; P=<−6; 1]. Determinar "a × b". Si M∪N∪P ∈
b) −40 e) 18

c) −60

20. Si: A=<−8; 2]; B=<−5; 10]; C=<7; 14] Son conjuntos numéricos cuya unión de los tres conjuntos se representa de la forma:

A −∞ m

n

C

B q

p

r

s +∞

Hallar: (m+s)+np+r−q

14. Si: x∈<−2; 3], entonces representar gráficamente el intervalo de: "x+5" a)

b)

5

a)

a)

+∞

5

2

al

16. Si: (2x−1)∈<−∞; −7], entonces representar 2 gráficamente el intervalo de: x −10

b)

−21

a) −5 d) 7

b) −3 e) 17

c) −1

21. Si A=<−10; 4] ∪ <0; 6> B=<−∞; 0> ∪ [2; +∞> Hallar: "A∪B" a) b) c) d) e)

<−10; 6> <−10; 0>∪<2; 6> <−∞; −10>∪<6; +∞> B R

−21

www.trilce.edu.pe


101

31

Capítulo

22. En cada caso halla A∩B

B

A a) −∞ 2

23. Dados los conjuntos: M=<−3; 2] A=[−1; 0] T=[0; 3]

4

5

+∞

9

B

A b) −∞ −1

3

7 4

A c) −∞

+∞

B

2

+∞

9

=<−3; 0] S=[−2; 2] Hallar: a) M∩A

b) A∩T

d) M∩S

e) M∩A∩T∩ ∩S

24. Sean los intervalos: A=[−1; 4] B=<2; 7] C=[5; 9] ¿Cuántas de las siguientes afirmaciones son verdaderas? I. A∩B=<2; 4>

d) −∞

−3 −1

A e) −∞

−2

III. A∩B∩C=

B

A 2

+∞

B 1

5

+∞

c) A∩T∩

a) 0

b) 1

d) 3

e) 4

II. A∩C= IV. B∩C=[5; 7] c) 2

25. Se dan los conjuntos en R : A=<−2; 9>−{3} B=<4; 8>−{5} C=[−3; 6>∪{7} Hallar: a) A∩B

b) A∩C

c) B∩C

d) A∩B∩C

Colegios

102

TRILCE

Central: 6198 – 100

Álgebra Practica en casa 1. Indique verdadero (V) o falso (F): I. En el intervalo [−2; 3] existen cinco valores enteros. II. El menor valor en el intervalo [−4; 2> es −4. III. La suma de todos los elementos enteros del intervalo <−3; 5> es 4. 2. Indicar a que intervalo corresponde el siguiente gráfico:

−∞

A. −∞

II. <2; 5]

2

5

B. −∞

III. −1
C.

IV. x<2

D.

+∞ +∞

2

−∞ −1

2

+∞

−∞ −1

3

+∞

4. Si: x∈ [−3; 2>, entonces representar gráficamente el intervalo de: "x−5" 5. Si: (x+10) ∈ <2; ∞>, entonces representar gráficamente el intervalo de: "3x−2" 6. Si: (5x−17) ∈ <−∞; −37], entonces representar gráficamente el intervalo de: "1−3x" 7. Si: (−2x) ∈ <−6; 8], entonces representar 2 gráficamente el intervalo de: "x +10" 8. Dados los conjuntos: A=<−7; 5>; B=<2; 8] determinar el número de cantidades entera que hay en: A∪B. 9. Dados los conjuntos: A=<−5; 6>, B=<3; 7], C=<−8; 8]; determine "a+b". Si: A∪B∪C ∈
−∞

a

b

c

d

Hallar: (a+c)+(f.e)+(d+b) 11. Si: P=<−12; 2]∪<5; 8> Q=<−6; 7>∪[4; 15> Hallar: "P∪Q" www.trilce.edu.pe

e

B

a) −∞ −4 −2 1

b) −∞ −7 −2

f

+∞

c) −∞

d) −∞

5 +∞

B

A

B −3

1

A e) −∞

+∞

8

−5

A

5 8 +∞

B

A

3. Relacionar cada intervalo según corresponda: I. [−1; 2>

A

+∞

3

−2

12. En cada caso hallar A∩B

B

6

−2 1

+∞

+∞

13. Dados los conjuntos: M=<−3; 1] A=[1; 7] T=<7; 13> =<8; 13> S=<−2; 6] Hallar: a) M∩A

b) A∩S

d) A∩T∩ ∩S

e) M∩A∩T∩ ∩S

c) A∩T∩

14. Sean los intervalos: A=<−3; −2> B=[−1; 2> C=<−2; 5] ¿Cuántas de las siguientes afirmaciones son verdaderas? I. A∩B=[−2; −1> II. A∩C={−2} III. B∩C=<−1; 2> IV. A∩B∩C= 15. Se dan los conjuntos en R A=<−4; 7>−{0} B=<−2; 8>∪{3} C=<−1; 6>−{3} Hallar: a) A∩B b) B∩C c) A∩C d) A∩B∩C


103

31

Capítulo

Tú puedes

1. De los siguientes enunciados: I. A=[−1; 2]∪<12; 20>; B=<−∞; −8]∪[5; 9> → A∩B=ø II. A=<−∞; −5>∪<6; −1]∪<2; +∞] → A∩B=<6; 10] III. A=[−6; −1]∪<3; 2>∪<5; 9] → A∩B=<−6; −1] Son verdaderos:

10];

+∞>;

B=<−5;

B=<−∞;

III. B∩C=<−2; 1]∪<5; 8]

b) Sólo II

d) I y II

e) I, II y III

IV. A∩B∩C=<−1; 1]∪{6}

c) Sólo III

2. Si: (1−2x) ∈ <2b+1; 1−6a] Además, el intervalo de "x", está representado gráficamente por: 4 − 7a 2

a) −11

b) 7

d) 10

e) Imposible determinar

I. (A∪B)∩C=<−∞; 7]...........................(

)

II. (A∩C)∪B=<−∞; −3>∪<6; 8>.....(

)

III. (C−A)=[8; +∞>............................... (

)

IV. A'=<−∞; −3]∪[8; +∞>..................(

)

d) FFVF

e) VVFV

Colegios

104

TRILCE

b) 1

d) 3

e) 4

c) 2

5. Sean los intervalos: A=<−3; 4]∪[7; 9> B=<−3; 1>∪<6; 8] C=<−4; 0>∪<7; 11>

I. (A∪B)∩(B∪C)

c) 0

3. Sean los conjuntos en R A=<−3; 8>; B=<−∞; 3]; C=[6; +∞> Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

b) FVFV

a) 0

Hallar:

Determinar:"a+b"

a) VFFV

¿Cuántas de las siguientes afirmaciones son verdaderas? I. A∩B=<−1; 2>∪<5; 6] II. A∩C=<−3; 1]∪[5; 7>

a) Sólo I

b−9 3

4. Sean los intervalos: A=<−1; 3]∪[5; 7> B=<−2; 2>∪<5; 6] C=<−3; 1]∪[6; 8>

c) FFVV

II. (A∪B)∩(A∩C)

III. A∩B

IV. B∩C

Central: 6198 – 100

Capítulo

Inecuaciones I

32

Problemas para la clase 1. Expresar de manera simbólica: a) Un número "x" menor que 8 b) El duplo de "x" mayor o igual que 32 c) La quinta parte de "x" menor o igual que 3 d) Los tres medios de un número "Z" es mayor que 15 2. Expresar el conjunto solución de cada caso del problema anterior, usando notación de intervalo. 3. Resolver cada caso indicando su conjunto numérico. a) Si: x∈ N ; x+3<7 b) Si: x∈ Z+ ; 2x – 3≤7 c) Si: x∈ Z- ; 5x>–25 4. Simboliza las siguientes proposiciones: a) 5 es menor que 15 .................. b) 3 es mayor que 1 .................. c) "x" es un número positivo .................. d) "y" es un número negativo .................. 5. Expresar simbólicamente las siguientes gráficas a)

b)

c)

3

5

+∞

x –∞

3

+∞

x –∞

7

+∞

6. Determine el intervalo solución de: a) 1 – x 1 b) 2 − x # 1 6 3 4 8 8. Resolver cada una de las siguientes inecuaciones. 2 2 a) (x – 3) >(x+2) b) (x+7)(x – 2)≤(x+6)(x – 2) www.trilce.edu.pe

11. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: I. Si 2x – 1>5 → x ∈<3; ∞> II. Si 3x+1≥7 → x ∈ [2; ∞> III. Si 5 – 2x≥7 → x ∈ [–1; ∞> a) VVV d) VFF

b) VVF e) FVF

c) VFV

12. De las siguientes proposiciones: I. 5 II. 1≤x – 3<2 → x ∈ [4; 5> III. 1< 2x + 1 ≤5 → x ∈<1; 7> 3 IV. –1< 1 − x <3 → x ∈<–5; 3> 2 ¿Cuántas son verdaderas? a) 4 d) 1

x –∞

9. Graficar la solución de cada uno de los siguientes sistemas. Z 2x −1 < 1 ] a) '2x − 1 # − 7 b) [ 3 x + 1 > − 10 ] 3x + 1 # 10 \ 2 10. Resolver en Z 7(x – 1)+10 ≤ 5(x+2) – 13 < 6(x+1) Determine el producto del máximo y mínimo valor que asume "x".

b) 3 e) ninguna

c) 2

13. Indicar verdadero o falso según corresponda: I. x+1>–5 → x ∈<–∞; –6> II. –3x – 1<5 → x ∈<–∞; –2> III. –2x+1>5 → x<–2 a) VVV d) FFV

b) FFF e) FVF

c) VFV

14. Resolver: 5(2x–1)–3(3x+1)≤7(2x+1)–5(3x–1) Indicar el mayor valor que puede tomar la incógnita. a) –9 d) 9

b) 10 e) N.A.

c) 11

15. Resolver: 2x + 1 − 3x + 1 > x − 1 − 2x + 1 3 2 6 4 Indicar el intervalo solución: a) [1; ∞>

b) − 3; 1 2

d) <–∞; 1>

e) − 3; − 1 2

c) 8 1 ; + 3 2


105

32

Capítulo

16. Resolver: 2 (2x – 1)(2x+1) – (x+1)(x – 1)≤3(x – 2) ¿Cuál de los siguientes valores no es solución para la inecuación? a) –95 d) 89

b) –155 c) 1 e) Todas son soluciones.

17. Resolver: 2 2 2 2 (2x – y) +(2x+y) – 2y >2(2x–1) +6x Indicar el mínimo valor entero de la incógnita "x" a) 1 d) 2

b) 5 e) –1

c) 0

18. Resuelve el siguiente sistema: (x − 4) (x + 2) $ (x − 5) (x + 7) ) (x − 3) (x + 2) < (x + 1) (x + 3) a) − 9 ; + 3 5

b) <–3; 1]

d) <–3; 1>

e) − 3; 27 B 4

c) − 9 ; 27 B 5 4

19. Resuelve el siguiente sistema de inecuación: ^x + 3h2 –^x–3h2 2 48 ) ^x + 6h2 + ^x–6h2 2 x^2x + 8h a) <4; 8> d) <6; 8>

b) <4; 9> e) <4; 11>

c) <5; 7>

20. Halla el conjunto solución del sistema de inecuaciones: x + 2 # x; x + 4 # x + 1; 2x + 17 > x 2 5 4 a) 0; 17 3

b) <1; 3>

d) 3; 17 3

e) 5; 19 3

c) 62; 17 3

21. Resuelve el siguiente sistema: 7x − 2 < 5x + 6 < 9 (x + 1) 2 3 5 a)

2; 3 5 2

d) 3 ; 18 2 11

c) <0; 1>

b) 1; 3 2 e)

1; 1 5 2

22. Resolver el sistema: Zx x−1 ]2+ 3 >3 [x+1 x − <1 ] 4 \ 3 a) <2; 5> b) <1; 3> d) <4; 8> e) <5; 8>

c) <4; 9>

23. Indicar la suma de valores enteros que verifican el sistema: Z 3x x − 2 ] 2 + 6 # 13 [ 2x x + 2 >2 − ] 4 \ 3 a) 10 b) 15 c) 20 d) 6 e) 18 24. Indicar el intervalo solución del sistema: Z 4x − 1 7x − 1 ] 3 +4 # 2 +2 [ 4x − 3 − x < 2 (x + 1) ] 2 3 \ c) [0; 5> a) 81; 13 b) 2; 13 2 2 e) [1; 6] d) 82; 13 2 25. Cuántos valores naturales verifican el sistema de inecuaciones: x+4 # x−2 G x+3 5 3 4 a) 3 b) 8 c) 5 d) 7 e) 9

Practica en casa 1. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: I. Si 4x+1>9 → x ∈<2; ∞> II. Si –3x+2>11 → x ∈ <–3; ∞> III. Si x ≥1 → x ∈ [2; ∞> 2 2. De las siguientes proposiciones: I. 5 II. –1 III. 2< 3x + 1 <5 → x ∈<–1; 3> 2 Colegios

106

TRILCE

IV. –1< 1 − x <1 → x ∈<–4; 2> 2 ¿Cuántas son verdaderas? 3. Indicar verdadero o falso según corresponda: I. –4x+1>9 → x>–2 II. –2x – 1≥5 → x≤–3 III. –x+3<5 → x>–2 4. Resolver: 7(3x – 1) – 5(4x+2)≥5(3x+1) – 4(4x – 2) Indicar el menor valor que toma la incógnita.

Central: 6198 – 100

Álgebra 5. Resolver: 3x − 1 − 2x + 1 < x + 4 − 3 x − 1 3 2 6 4 Indicar el intervalo solución. 6. Resolver: 2 (3x – 1)(3x+1) – (2x+1)(2x – 1)≤5(x – 2) Indicar el máximo valor de la incógnita. 7. Resolver: 2 2 2 2 (3x – y) +(3x+y) – 2y < 2(3x – 1) – 14 Indicar el máximo valor entero que asume la incógnita "x" 8. Resuelve el siguiente sistema: 2x+3 ≤ 3x+4 ≤ 4x+5 9. Resuelve el siguiente sistema (x − 3) (x + 1) $ (x − 4) (x + 3) ) (x + 4) (x + 5) < (x + 2) (x + 9) 10. Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones

11. Halla el conjunto solución del siguiente sistema de inecuaciones: x − 1 < x; x + 3 $ x − 1; 8x − 5 > x 3 2 4 12. Resolver el sistema: Zx−1 x−2 1 ] 4 + 5 > 4 [x x+2 <2 ] − 4 \2 13. Calcular la suma de valores enteros que verifican el sistema: Zx 2x + 3 ]2 +1 > 6 [ 2x + 1 x − 1 x + 1 $ − ] 2 4 \ 3 14. Indicar el intervalo solución del sistema: Z2 1 1 ] 3 (x + 1) − 6 # 6 (x + 9) [ 2 ( 2 x + 1) ] − 1 > − 3 (x + 1 ) − x − 1 3 2 2 6 \ 15. ¿Cuántos números naturales satisfacen siguiente sistema de inecuaciones? 1 # x−1# x + 7 2 4 3

(x + 4) 2 − (x − 4) 2 $ 64 ) (x + 5) 2 + (x − 5) 2 < 2 (x2 + x)

el

Tú puedes 1. Hallar el conjunto A sabiendo que: A = $ x d R / la proposición 2x + 5 > − x − 1 3 −2 sea falsa a) <–7; ∞> d) <–∞; –7]

b) [–7; ∞> e) <–7; 7>

c) <–∞;–7>

b) x>0 e) x∈Ø

c) x<1

3. Resolver la siguiente inecuación: x + x + x + x > 1+ 1+ 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 3 15 35 63 2 6 12 20 30 42 56 72

a) x> 1 2

b) x< 1 2

d) x<– 1 2

e) x>2

4. Resolver: (m + n) x + 1 $ m + n + 1 m+n

a) ;

1 ;+3 (m + n) 2

c) − 3;

1 E (m + n) 2

b) ;

1 ;+3 (m − n) 2

d) − 3;

1 E (m − n) 2

e) [0; +∞>

2

2. Resolver: (ax+1)(bx+1)1

siendo: m>n>0

c) x>– 1 2

5. Indicar el intervalo solución del sistema: Z 2x + 1 1 x+1 2 ] 6 +23 > 9 − 3 ]] 1 x x+1 [2 + 2 2 > 4 + 8 ] ] 2x + 1 + 5 > x + 1 4 \ 7 a) − 81; 43 3 5

b) − 55 ; 43 4 3

c) − 81; 55 3 4

d) − 55 ; − 81 4 3

e) − 55 ; 35 4 3

(m − n) x + 1 $ m − n + 1 m−n www.trilce.edu.pe


107

33

Capítulo

Inecuaciones II Problemas para la clase

1. Si: x – 3<7; hallar la suma de los números naturales que toma "x" 2. Resuelva las siguientes inecuaciones a) 3x − 1 < 11 2 b) 2x − 1 $ 5 3

luego indicar: xy 10. Si: x ∈ y son enteros positivos que verifican el sistema. x+y # 3 *x – y # 2 x$2 indicar: xy

3. Graficar los siguientes intervalos a) x ∈ <–7; 5] b) x ∈ [3; +∞> c) x ∈ <–∞; 4] 4. Representar gráficamente expresiones: a) 4 < x ≤ 7 b) –7 ≤ x < 3 c) – 1 < x < 1 2 5

las

siguientes

5. Luego de resolver, indicar la suma de valores enteros que verifique el siguiente sistema de inecuaciones. x − 3 < 5 ......... (I) ) 2x − 1 $ 5 .......... (II) 6. Si: x ∈ y son enteros positivos que verifican el sistema x>y ' x<3 x+y es igual a: 7. Resolver el sistema en enteros positivos Zx < 5 ] [y < 5 ] 2x + 3y > 19 \ luego indicar el valor de: xy 8. Resolver el sistema en enteros positivos: 3x < 2y ) x+y < 4 indicar: xy Colegios

108

TRILCE

9. Resolver el sistema en enteros: x+y<3 2x – y<1

11. Si "x" e "y" son enteros positivos que verifican el sistema: x − 3y > 2 ) x–y<7 Entonces x+y puede ser: b) 6 e) 9 ó 10

a) 5 d) 8 ó 9

c) 7 ó 8

12. Resolver el sistema en enteros positivos: x+y < 5 ) x−y > 1 indicar: xy a) 2 d) 5

b) 3 e) 6

c) 4

13. Resolver el sistema en enteros para luego indicar el valor de: x – y Z 5x − 3 > 2 ] [ 2x + y < 11 ]y > 5 \ a) 6 b) –6 c) 4 d) –4 e) 2 +

14. Resolver en Z Zx+y #1 ] ]] 7 y [ −1$x 5 5 5 ] ]] x $ 1 \3 Indicar el valor de y/x a) –1 d) 4/3

b) 2/3 e) 1

c) –4/5

Central: 6198 – 100

Álgebra +

15. Resolver en Z : Zx y ] − > 2 ] 3 5 15 [ x + y < 11 ] 2 2 ] > 3 y \

20. Un número entero es tal que su duplo, aumentado en siete unidades es menor que 101. Y su quíntuplo, disminuido en treinta unidades no es menor que 200. Hallar tal número.

2

Indicar el valor de x +y a) 4 d) 9

a) 40 d) 47

2

b) 16 e) 36

c) 25

16. Resolver en Z Zx y ]4+6 #1 ] [x − y # 1 ]] 2 x > 1 \ a) –2 d) 7 17. Resolver en Z Zx y ] − > 1 ]] 3 7 21 [ 3x + y < 13 ]y > 2 ] \x < 3

b) 4 e) 8

c) 6

+

2

a) 5 d) –7

2

b) 8 e) 9

c) –6

a) –5 d) 5

b) –4 e) –9

c) –8

19. Si: {x; y; z} 1 N ; resolver: Z 3y < 2x ] ] 4y > 8 [ ]] 2x + 5 < 2z \ z < 12

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b) 5 e) 8

dinero, gasta que los 2/3 de luego la mitad ¿Cuántos tenía c) 41

b) 90 e) 120

c) 100

24. Se compra un número par de naranjas, si se venden la cuarta parte, quedan menos de 59 por vender, y si se vendiera la sexta parte quedaría más de 64 por vender. ¿Cuántas naranjas se compraron? a) 64 d) 56

b) 78 e) 66

c) 82

25. Hallar un número entero y positivo, sabiendo que la tercera parte del que le precede disminuida en una decena, es mayor que 14, y que la cuarta parte del que le sigue, aumentado en una decena es menor que 29.

Indicar el menor valor de: E=x+y a) 4 d) 13

b) 1 e) 21

c) 56 años

23. Un carpintero hizo cierto número de sillas. Vende 49 y después le quedan por vender más de la mitad. Hace después 9 sillas y vende 20 quedándole menos de 41 sillas. ¿Cuántas sillas ha hecho sabiendo que inicialmente fabricó un número par de sillas? a) 80 d) 110

18. Resolver el sistema en los enteros: Z 2x − 5y > 30 ] [ x + 3y < − 22 ]y > − 8 \ Indicar: x+y

b) 54 años e) 58 años

22. José tiene cierta cantidad de S/. 10 y lo que le queda es más lo que tenía inicialmente, gasta y el saldo es menor que S/. 11. inicialmente? a) 61 d) 31

Hallar el menor valor de: y – x

c) 46

21. La edad de mi padre disminuida en su tercera parte no es mayor a 38 años. Pero, si al doble de su edad le disminuimos la tercera parte de su edad actual no es menos que 95 años. ¿Qué edad tiene mi padre? a) 55 años d) 57 años

Indicar el mayor valor de "xy"

b) 45 e) 48

c) 6

a) 57 d) 85

b) 63 e) 74

c) 49


109

33

Capítulo

Practica en casa

1. Resolver el sistema en enteros positivos: x+y < 6 ) x−y > 2 Indicar: xy 2. Resolver el sistema en enteros positivos e indicar el mayor valor de "x+y" x + 2y < 10 ) x−y > 4 3. Calcular los valores enteros de "x" e "y" que verifican el sistema: Z 5x − 3y > 2 ] [ 2x + y < 11 ]y > 3 \ Indicar: "x+2y" 4. Resolver en Z Zx+y <1 ] ]] 10 x−y <1 [ ] 6 ]] x $ 1 \5 Determinar el máximo valor de "x" 5. Resolver en Z Z y ] x − $ 11 2 2 ]] x + y #− 1 [3 2 6 ] ]] y > − 1 \5 Indicar el mínimo valor entero que puede tomar "y" 6. Resolver en Z Zx y ] − # 1 ]] 6 9 2 x+y #1 [ ] 3 ]] x > 1 \2 Indicar el valor de "xy" 7. Resolver en Z Zx−y $1 ] ]] 10 (x + y) [− 6 $ 1 ] ]] − y < 1 \ 10

8. Al resolver el sistema Z 5 < 3y − 2 x ] [5 < x + y ]11 > x + 2y \ + para {x; y}∈Z Calcular: E=x+y 9. Hallar las soluciones enteras y positivas del sistema: 2y < x * 4y > 7z x − 4 < 2z Calcular: x+y+z 10. Un número entero es tal que su triple, aumentado en once unidades es menor que 98. Y su duplo, disminuido en diecisiete no es menor a 39. Hallar dicho número. 11. Mi dinero es tal que, si tuviera la tercera parte más no sería mayor que S/. 1000. Pero, si tuviera la tercera parte menos no sería menos a S/. 500. ¿Cuánto dinero tengo? 12. Ricardo tiene cierta cantidad de propina, gasta $8 y lo que queda es más que los 3/4 de lo que tenía inicialmente; luego gasta la mitad y el saldo es menor que $13. ¿Cuánto tenía inicialmente? 13. Un panadero hizo cierto número de tortas. Vende. Vende 29 y después le queda por vender más de la mitad. Hace después 9 tortas y vende 10 quedándose menos de 30 tortas. ¿Cuántas tortas ha hecho inicialmente el panadero? 14. Hallar un número natural, sabiendo que la quinta parte del que le precede disminuida en una docena, es mayor que 4, y que la tercera parte del que le sigue, aumentado en una docena es menor que 40. 15. Tres supervisores cuentan el número de piezas que por minuto fabrica una máquina. El primero contó la mitad menos 3, el segundo contó la sexta parte y 7 piezas, y el tercero contó la cuarta parte y 5 piezas. Si el primero contó más piezas que el segundo, pero menos que el tercero. ¿Qué número de piezas arroja la máquina por minuto?

Indicar el máximo valor entero de "y" Colegios

110

TRILCE

Central: 6198 – 100

Álgebra Tú puedes 1. Luego de resolver en enteros el siguiente sistema: Zx + y + z > 8 ] ]x − y + z < 4 [ ]] z − y > 0 \z < 5 Indicar: y+z a) 7

b) 5

d) 3

e) 2

c) 4

2. Siendo "x", "y", "z" los valores enteros que satisfacen el siguiente sistema: Z x + y + z > 14 ] ]x − y + z < 6 [ ]] y < z \z < 7

4. Hallar los valores enteros de x, y, z que satisfacen el siguiente sistema Z x − 2y + z < 1 ] ]x − y + z > 1 [ ]] 4x + y − 2z < 1 \z < 4 Indicar: xyz a) 1

b) 8

d) 12

e) 27

c) 6

5. Entre Carlos y Daniel tienen menos de 6 hijos; Daniel tiene más hijos que Pablo y aunque Carlos tuviera un hijo menos, seguiría teniendo más hijos que Pablo. ¿Cuántos hijos tiene cada uno de ellos? Ordenar hijos de Carlos después Daniel y último de Pablo.

El valor de la expresión x y3 − z2 − 8 es:

a) 2, 1, 3

b) 1, 2, 3

a) 1 d) 4

d) 3, 1, 2

e) 1, 3, 2

b) 3 e) 2

c) 5

c) 3, 2, 1

3. Luego de resolver en Z Z2 ] (x − y) # 3 (x + y) 2 ]3 [ 1 (x − y) $ x ]6 ]y < 1 \ Indique el valor de "x" a) –1

b) 2

d) 3

e) 1

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c) 0


111

ÁLGEBRA 2º - 2017

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