Contents 1 Introduzione 1.1 Interazione radiazione-materia . . . . . . 1.2 Assorbimento e amplificazione della luce 1.3 Principio dell’oscillatore laser . . . . . . 1.4 Schemi di pompaggio . . . . . . . . . . .
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7 . 7 . 8 . 9 . 10
2 Interazione radiazione-materia 2.1 Teoria perturbativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Applicazione: atomo a due livelli . . . . . . . . . . . 2.1.2 Applicazione: assorbimento ed emissione stimolata . 2.2 Trattazione analitica dell’interazione radiazione-materia . . . 2.2.1 Oscillazione di Rabi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Trasparenza elettromagnetica . . . . . . . . . . . . . 2.3 Emissione spontanea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Decadimento non radiativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Tempo di vita e rendimento quantico . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Tempo di vita medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Rendimento quantico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Allargamento omogeneo di riga . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1 Allargamento collisionale in un gas . . . . . . . . . . 2.6.2 Allargamento naturale . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.3 Collisioni drogante-fononi . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Allargamento non omogeneo di riga . . . . . . . . . . . . . . 2.7.1 Effetto Doppler (per i gas) . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.2 Effetto Stark (per i solidi amorfi) . . . . . . . . . . . 2.8 Cross-Section . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9 Saturazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9.1 Saturazione all’assorbimento per riga omogenea . . . 2.9.2 Saturazione del guadagno per riga omogenea . . . . . 2.9.3 Saturazione dell’assorbimento per riga non omogenea
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12 12 13 15 17 17 18 19 22 23 23 23 24 24 27 28 28 28 30 30 32 32 33 34
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36 36 36 38 39
3 Ottica geometrica, ondulatoria e 3.1 L’equazione di Helmholtz . . . . 3.2 Equazione iconale . . . . . . . . 3.3 Onde stazionarie . . . . . . . . 3.4 Principio di Fermat . . . . . . . 3
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diffrattiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3.5 3.6
Equazione del raggio, ottica parassiale e matrici ABCD . . . . 39 Ottica diffrattiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4 Fasci di Gauss-Hermite 43 4.1 Definizione di fascio gaussiano T EM00 . . . . . . . . . . . . . 43 4.2 Fascio T EM00 in propagazione libera . . . . . . . . . . . . . . 44 4.3 Fasci T EMl,m di Gauss-Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5 Risonatori ottici 5.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Teoria geometrica dei risonatori . . . . . . . . . . . 5.3 Teoria elettromagnetica dei risonatori . . . . . . . . 5.3.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2 Calcolo dei modi dei risonatori senza perdite 5.3.3 Perdite nei risonatori . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (τc = +∞) . . . . . .
49 49 50 54 54 55 58
6 Laser in regime Cw 6.1 Rate-equation per laser a 4 livelli . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Rate-equation per N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.2 Rate-equation per Φ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.3 Potenza in uscita e numero fotoni in cavit´a . . . . . . . 6.1.4 Pumping-rate e potenza di pompaggio . . . . . . . . . 6.2 Emissione spontanea per un laser Cw . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Condizione di soglia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2 Condizione di sopra-soglia . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.3 Efficienza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Oscillazioni di rilassamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Cause di oscillazione monomodale . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.1 Allargamento di riga non omogeneo & spectral hole burning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.2 Allargamento di riga omogeneo & spatial hole burning 6.5 Laser Tuning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61 61 62 62 63 63 63 64 66 66 67 71
7 Q-switching 7.1 Aspetti generali . . . . 7.2 Fast switching . . . . . 7.3 Slow switching . . . . 7.4 Metodi di Q-switching
75 75 75 77 78
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4
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71 72 74
7.4.1 7.4.2 7.4.3
Prisma rotante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Q-switching elettro-ottico . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Q-switching acusto-ottico . . . . . . . . . . . . . . . . 79
8 Mode-locking 8.1 Dinamiche del regime mode-locking . . . . . . . 8.1.1 Regime free-running . . . . . . . . . . . 8.1.2 Regime mode-locking . . . . . . . . . . . 8.1.3 Osservazioni . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Metodi di mode-locking . . . . . . . . . . . . . . 8.2.1 Metodi di modulazione di ampiezza . . . 8.2.2 Metodi con assorbitore saturabile veloce 8.2.3 Metodi con le Kerr-lens . . . . . . . . . . 9 Tipologie di laser 9.1 Laser a stato solido . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.1 Caratteri generali . . . . . . . . . . . . 9.1.2 Laser a neodimio . . . . . . . . . . . . 9.1.3 Laser titanio-zaffiro . . . . . . . . . . . 9.2 Laser a gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.1 Caratteri generali . . . . . . . . . . . . 9.2.2 Pompaggio elettrico: caratteri generali 9.2.3 Tipi di laser a gas . . . . . . . . . . . . 9.2.4 Laser a He-Ne . . . . . . . . . . . . . . 9.2.5 Laser CO2 . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.6 Pompaggio elettrico: laser a CO2 . . . 9.2.7 Transizioni nel laser CO2 . . . . . . . . 9.2.8 Tipi di laser a CO2 . . . . . . . . . . . 9.2.9 Laser a eccimeri . . . . . . . . . . . . . 9.2.10 Laser a KrF . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Laser a semiconduttore . . . . . . . . . . . . . 9.3.1 Struttura elettronica dei solidi . . . . . 9.3.2 Laser a omogiunzione . . . . . . . . . . 9.3.3 Laser a doppia eterostruttura . . . . .
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80 80 81 81 83 85 85 86 88
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89 89 90 90 92 93 93 93 94 94 96 97 100 100 104 105 105 106 112 113
10 Propriet´ a del fascio laser 118 10.1 Monocromaticit´a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 10.2 Coerenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 5
10.2.1 Grado complesso di coerenza 10.2.2 Coerenza temporale . . . . . 10.2.3 Osservazioni . . . . . . . . . 10.2.4 Coerenza spaziale . . . . . . 10.3 Direzionalit´a . . . . . . . . . . . . . 10.3.1 Metodo far-field . . . . . . . 10.3.2 Metodo della lente sottile . 10.4 Brillanza . . . . . . . . . . . . . . .
del primo ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
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. . . . . . . .
. . . . . . . .
119 120 122 124 127 127 127 131
A Calcoli sulla teoria perturbativa
134
B Approssimazione di dipolo magnetico
136
C Radiazione di Corpo Nero
138
D Coefficienti di Einstein
142
E Ulteriori considerazioni sul Q-switching
143
F Riflessione di Bragg
150
G Relazione di Schawlow-Townes
152
6
1
Introduzione
1.1
Interazione radiazione-materia
Vi sono 4 possibili fenomeni legati all’interazione della radiazione elettromagnetica con la materia: 1. Assorbimento: Consideriamo un fotone che abbia energia pari a E = ~ω con ω ≈ ω0 (indichiamo con ω0 la pulsazione di risonanza dell’elettrone con cui il fotone interagisce). Quando questo fotone incide sull’atomo e quest’ultimo si trova nello stato elettronico fondamentale, allora pu´o avvenire l’assorbimento. dN2 = W12 N1 dt dove N2 ´e il numero di atomi (popolazione) nel livello 2, N1 ´e la popolazione del livello fondamentale e W12 ´e il rate di assorbimento. 2. Emissione stimolata: ´ il processo inverso all’assorbimento. Un fotone di frequenza ω ≈ ω0 E stimola l’emissione di un elettrone alla sua stessa frequenza ω0 semplicemente passandoci vicino. dN2 = −W21 N2 dt Dove W21 ´e detto rate di emissione stimolata. In questi appunti faremo l’approssimazione seguente: W21 = W12 = I σ(ω − ω0 ) = F σ(ω − ω0 ) ove I ´e l’intensit´a dell’onda incidente, F il ~ω flusso fotonico e σ(ω − ω0 ) ´e la cross-section. 3. Emissione spontanea: Questo tipo di decadimento, come il nome suggerisce, consiste nell’emissione di un fotone con ~k e φ casuali. dN2 N2 =− dt τem.sp. Dove τem.sp. ´e detto tempo di vita dell’emissione spontanea. Si noti inoltre che i processi sopra descritti avvengono tutti contemporaneamente ma con probabilit´a diverse. 7
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 −1
−0.5
0
0.5
1
Figure 1: grafico cross-section 4. Transizione non radiativa: Questo tipo di decadimento non comporta l’emissione di un fotone ma di un fonone, oppure ´e il risultato di un urto superelastico. N2 dN2 =− dt τN R Dove τem.sp. ´e detto tempo di vita dell’emissione non radiativa.
1.2
Assorbimento e amplificazione della luce
Consideriamo un fascio laser che incide su un materiale che modelliziamo, per semplicit´a, con 2 soli livelli che chiameremo 1 e 2. Sia dunque F (x) il flusso fotonico in x e F (x + ∆x) il flusso a una distanza x + ∆x. Il bilancio fotonico nel volume ∆S∆x e nel tempo ∆t risulta essere pari a: (F (x + ∆x) − F (x))∆S∆t = W21 N2 ∆S∆t∆x − W12 N1 ∆S∆t∆x Ricordando che W12 = W21 = F (x)σ(ω − ω0 ) e facendo il limite di ∆x → 0 si ottiene: dF = (N2 − N1 )F σ(ω − ω0 ) dx Dove N2 − N1 ´e detto inversione della popolazione. Vi sono due possibili casi a questo punto: • Se N2 − N1 > 0, posto g = (N2 − N1 )σ(ω − ω0 ) come coefficiente di guadagno (gain . . . ) si arriva all’amplificazione ottica: F (x) = F (0) exp(gx)
8
• Se N2 − N1 < 0, posto α = (N2 − N1 )σ(ω − ω0 ) come coefficiente di assorbimento si arriva all’assorbimento: F (x) = F (0) exp(−αx) Osserviamo che un materiale all’equilibrio termico che rispetta la staE tistica di Blotzmann e− kT ha E2 −E1 ~ω0 N2 = e− KT = e− KT < 1 N1
Quindi N2 − N1 < 0 e dunque il materiale si comporta come un assorbitore 1 .
1.3
Principio dell’oscillatore laser
Supponiamo di avere un materiale attivo posto tra due specchi. Se un fotone si trova all’interno e la sua traiettoria ´e perpendicolare agli specchi, il materiale verr´a eccitato ed altri fotoni uguali al primo verranno emessi; quello che si ottiene ´e un aumento del flusso fotonico2 . 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 50
100
150
200
250
300
350
400
Figure 2: Risonatore ottico Si osservi che lo specchio a destra ´e semiriflettente, ed ´e ci´o che permette al fascio laser di uscire dalla cavit´a. Ma quale ´e la condizione di soglia che permette al laser di formarsi e non fuoriuscire prima di essersi amplificato? Consideriamo un gruppo di fotoni che parte a sinistra del materiale 1 2
I materiali che non sono assorbitori prendono il nome di materiali attivi. Questo sistema ´e detto cavit´ a risonante ottica.
9
attivo lungo la direzione di l, perpendicolare agli specchi. Chiamiamo questo flusso F1 . Esso percorre tutta la cavit´a e passando per il mezzo attivo diviene F2 . Successivamente torna (in parte) indietro a seguito dello specchio semiriflettente, e noi ribattezziamo il flusso F3 . Infine, il gruppo di fotoni ripassa attraverso il materiale attivo, cambiando il nome in F4 , per riflettersi nuovamente nell’altro specchio: F5 . F2 = F1 egl F3 = R2 F2 = R2 F1 egl F4 = R2 e2gl F5 = F1 R1 R2 e2gl La condizione di soglia si ha quando il flusso non diminuisce, dunque per F1 = F5 . Posto γ = − ln(R1 )/2 − ln(R2 )/2 come perdita logaritmica del risonatore, dall’equazione F1 = F5 si ottiene che γ = gl. Inoltre dal momento che g = (N2 − N1 )σ(ω − ω0 ) si avr´a: N2 − N1 =
1.4
gl γ g = = = NT L σ σl σl
Schemi di pompaggio
Dal momento che un materiale all’equilibrio termico non pu´o funzionare da materiale attivo, diviene necessario pomparlo. Vi sono 3 metodologie diverse di pompaggio: 1. Schema a 2 livelli: (non funziona) Questo metodo si utilizzerebbe con atomi con 2 soli livelli . . . ma sfortunatamente si ottiene al massimo che N2 − N1 = 0. 2. Schema a 3 livelli: (assai inefficiente) Questo metodo comporta il passaggio degli elettroni da uno stato ground ad uno eccitato, seguito da un decadimento non radiativo in un livello metastabile. Il processo riesce a ottenere N2 − N1 > 0 ma ´e assai inefficiente. 3. Schema a 4 livelli: Questo metodo ´e quello che meglio funziona e consiste nel portare gli atomi ad un livello eccitato a cui segue un rapido decadimento in uno stato metastabile. Quindi si passa attraverso l’emissione stimolata ad un altro stato metastabile, e infine si ritorna al ground. 10
Si osservi che i decadimenti sugli stati metastabili sono rapidissimi; gli stati metastabili, al contrario, hanno dei τ assai lunghi. Il pompaggio determina una grande variazione degli stati degli atomi nel tempo: dN2 = Nground Wpump dt Nel nostro corso faremo la seguente approssimazione: Nground = Ntot dove Ntot ´e il numero totale di atomi. Dunque, il numero di atomi eccitati ´e piccolo. dN2 = Rpump dt Dove Rpump ´e il pumping rate.
11
2
Interazione radiazione-materia
In questo capitolo tratteremo, sfruttando la teoria quantistica detta semiclassica, l’interazione della radiazione con la materia. Il primo passo da fare ´e sviluppare un po’ di matematica per risolvere equazioni differenziali non lineari.
2.1
Teoria perturbativa
Sappiamo in generale che un elettrone ottico di un atomo ´e descritto da una Ψ(~r, t) che risolve l’equazione di Schroedinger: i~
~2 2 ∂Ψ(~r, t) b 0 Ψ(~r, t) =− ∇ Ψ(~r, t) + V Ψ(~r, t) = H ∂t 2m
Separando le variabili si ottiene ψn (~r) per la parte spaziale, autofunzione del seguente problema: b 0 ψn (~r) = En ψn (~r) H Possiamo descrivere una perturbazione come un termine aggiuntivo nell’operatore b =H b0 + H b p . La forma che noi ipotizziamo per H b p ´e: hamiltoniano: H b p = f (t)Pb H Dove f (t) = 21 (A(t)eiωt + c.c.)3 perturbazione monocromatica con A(t) lentamente variabile rispetto a T = 2π . Pb ´e un operatore hermitiano generico, ω incognita del nostro problema. La soluzione di questo problema ´e esprimibile come serie di funzioni: X Ψ(~r, t) = cn (t)ψn (~r)eiωt n
Matematicamente parlando, posto che la base di funzioni sia completa, se si riescono a trovare i coefficienti cn (t) si trova la funzione Ψ(~r, t) esatta, altrimenti si trova una soluzione approssimata4 . La base che prendiamo ´e quella delle autofunzioni ψn (~r); ma dato che la Ψ(~r, t) altro non ´e che una oscillazione nel tempo tra stati possibili, non si fanno approssimazioni ulteriori. |cn (t)|2 ´e la probabilit´a di avere, a seguito di una misura, En come 3 4
c.c. ´e l’acronimo per complesso coniugato. P Se si scrive una funzione come f (~r, t) = n cn (t)ψn (~r) non si perde di generalit´a.
12
valore della misura stessa. Svolgendo gli opportuni calcoli (vedi l’appendice A), si ottiene il seguente sistema di equazioni: X b p |ψl icl ei(ωn −ωl )t i~c˙n = hψn |H l
b p = f (t)Pb riscriviamo il tutto come: Ma poich´e H b p |ψl i = f (t)hψn |Pb|ψl i = f (t)Pnl hψn |H Definiamo Pnl come l’elemento di matrice della perturbazione.
2.1.1
Applicazione: atomo a due livelli
Studiamo ora il caso di un atomo a 2 livelli. Dunque, gli unici coefficienti sono c1 (t) e c2 (t)5 . Scrivendo in forma esplicita il sistema di cui sopra, si ottiene: ( b p |ψ1 ic1 ei(ω1 −ω1 )t + hψ1 |H b p |ψ2 ic2 ei(ω1 −ω2 )t i~c˙1 = hψ1 |H b p |ψ1 ic1 ei(ω2 −ω1 )t + hψ2 |H b p |ψ2 ic2 ei(ω2 −ω2 )t i~c˙2 = hψ1 |H Se sostituiamo l’elemento di matrice, otteniamo: i~c˙1 = f (t)P11 c1 + f (t)P12 c2 e−iω0 t i~c˙2 = f (t)P21 c1 eiω0 t + f (t)P22 c2 1 . Avendo definito ω0 = E2 −E ~ Supponiamo che P11 = P22 = 0; avremo che: i~c˙1 = f (t)P12 c2 e−iω0 t i~c˙2 = f (t)P21 c1 eiω0 t
Questo sistema ´e risolvibile se conosciamo le condizioni iniziali. Supponiamo che per t = 0, c1 (0) = 0 e c2 (0) = 1, ovvero l’elettrone sia nel secondo livello. Poniamo che la perturbazione sia debole e quindi f (t) ≈ 0. Di conseguenza, per t non troppo grandi, potremmo supporre che la popolazione di un certo materiale rimanga invariata, ossia tutti gli elettroni rimangano 5
Vale, come sempre, che |c1 (t)|2 + |c2 (t)|2 = 1.
13
al 2◦ livello (matematicamente ci´o si traduce nel considerare c1 (t) = c1 (0) e c2 (t) = c2 (0)). Possiamo quindi escludere la seconda equazione ed ottenere: i~c˙1 = f (t)P12 c2 e−iω0 t La soluzione vale: P12 c1 (t) = i~ Sostituendo f (t) =
1 (A(t)eiωt 2
P12 c1 (t) = i~
Z
Z
t
f (t)e−iω0 t dt
0
+ c.c.) si ottiene:
t
A(t)e
i(ω−ω0 )t
0
P12 dt + i~
Z
t
A∗ (t)e−i(ω+ω0 )t dt
0
La probabilit´a di transizione nel tempo W21 ´e definita come6 : |c1 (T )|2 T →∞ T
W21 = lim
Se supponiamo che ω ≈ ω0 , possiamo trascurare la parte dell’integrale non risonante.7 Siamo dunque arrivati a concludere che: Z P12 t A(t)ei(ω−ω0 )t dt c1 (t) ' 2i~ 0 Definendo lo spettro di potenza di A(t): Z 2 1 T i(ω−ω0 )t S(ω − ω0 ) := A(t)e dt T 0 Avremo che:
|P12 |2 S(ω − ω0 ) 4~2 Da notare che, se fossimo partiti da c1 (0) = 1 e c2 (0) = 0, avremmo trovato un’espressione per W12 = W21 . W21 =
6´
E importante che W21 T = |c1 (t)|2 << 1 poich´e lo abbiamo ipotizzato prima! Il motivo ´e dato dal fatto che ω + ω0 ´e molto pi´ u veloce come oscillazioni di ω − ω0 e nel piano delle fasi corrisponderebbe a delle piccole oscillazioni sovrapposte ad una curva principale. 7
14
2.1.2
Applicazione: assorbimento ed emissione stimolata
Applichiamo la teoria delle perturbazioni per descrivere il comportamento di un atomo quando su di esso incidono dei fotoni. Applicheremo l’approssimazione di dipolo elettrico. ~ polarConsideriamo un’onda e.m. che si propagaga lungo eˆz con il campo E 2π ~ izzato lungo eˆx . Posto k = λ eˆz , la forza agente sull’elettrone ´e pari a: ~ r, t) + ~v × B(~ ~ r, t)) F~ = −e(E(~ Quali sono le ipotesi dell’approssimazione di dipolo? 1. Dal momento che l’elettrone ´e molto leggero, si pu´o muovere velocemente e quindi il campo elettrico che vede ´e circa costante e pari a quello che attraversa il nucleo in ~rnuc . Dunque: ~ rnuc , t) + ~v × B(~ ~ rnuc , t)) F~ = −e(E(~ ~ ~ = |E| , possiamo trascurare il campo magnetico 2. Se |~v | << c , poich´e |B| c 8 e ottenere : ~ rnuc , t)) F~ = −e(E(~
Nel nostro caso inoltre, a causa delle polarizzazioni del campo, la forza vale: F~ = −e(Ex (~rnuc , t))ˆ ex Ma come ´e noto, in meccanica quantistica si lavora con l’energia, e quindi dobbiamo definire un potenziale per questa forza di interazione radiazionemateria. F~ = −∇(Hp ) ~ dove µ Classicamente, Hp = −~µ · E ~ = e~x ´e il momento di dipolo. Considerando gli operatori visti nella teoria generale e trattando il nostro caso specifico9 , otteniamo: b p (t) = eEx (t)~x = f (t)Pb H 8
Questa ´e la forza di Lorentz L’approssimazione di dipolo consiste nello sviluppare in serie di Taylor rispetto a ~r il ~ r, t) e fermarsi al primo ordine (quindi al campo costante). campo E(~ 9
15
Segue che: 1 f (t) = Ex (t) = (E0 eiωt + c.c.) 2 E che: Pb = e~x = µ~x Applicando la teoria e portando a termine i conti, otteniamo: W12 = W21 =
|µ12x |2 πE02 gL (ω − ω0 ) 2~2
Dove E0 ´e l’ampiezza massima del campo Ex (t) = E0 cos(ωt + φ(t)) e µ12 = hψ1 |e~r|ψ2 i.10 Dal momento che |µ12 |2 = |µ12x |2 +|µ12y |2 +|µ12z |2 , allora hkmu12 |i = 1 h|µ12x |i e quindi, per un materiale isotropo: 3 W12 = W21 =
|µ12 |2 πE02 gL (ω − ω0 ) 6~2
´ importante a questo punto, notare 3 cose: E 1. Una transizione ´e permessa se e solo se µ12 6= 0. Ma quando avviene ci´o? Dato che Z µn,m = hψn |e~r|ψm i = ψn e~rψm d~r L’unica possibilit´a per cui questo integrale non sia nullo ´e che la parit´a de ψn e ψm sia differente.11 2. Se una transizione risulta proibita, non ´e detto che lo sia in natura: la nostra trattazione infatti ´e approssimata! Per avere un’idea pi´ u generale dobbiamo considerare le approssimazioni successive: dipolo magnetico (vedi Appendice B), quadrupolo elettrico. . . 3. Se avessimo come campo incidente un’onda perfettamente monocromatica, varrebbe che: W12 = W21 = 10 11
|µ12 |2 πE02 δ(ω − ω0 ) 6~2
Quest’ultimo elemento ´e detto elemento di matrice di transizione di dipolo elettrico . le regole di selezione per un atomo idrogenoide sono: ∆l = ±1 ∆j = 0, ±1
16
Ma questo viola l’ipotesi della teoria perturbativa che A(t) sia lentamente variabile.
2.2
Trattazione analitica dell’interazione radiazione-materia
Torniamo alle equazioni accoppiate trovate con la teoria delle perturbazioni: i~c˙1 = f (t)P12 c2 e−iω0 t i~c˙2 = f (t)P21 c1 eiω0 t Applichiamo questo caso all’interazione radiazione-materia, in cui Pwv = µwvx e f (t) = Ex (t) = 21 (E0x (t)eiωt + c.c.). Si ottiene dunque: i~c˙1 = Ex (t)µ12x c2 e−iω0 t (1) i~c˙2 = Ex (t)µ21x c1 eiω0 t Facciamo un’altra approssimazione: ω = ω0 e E0x (t) ≈ costante. Sostituiamo, eliminiamo i termini non risonanti12 ed arriviamo a: i~c˙1 = 21 E0 µ12x c2 i~c˙2 = 12 E0∗ µ21x c1 E riassemblando i termini si ottiene: c˙1 = − 2~i E0 µ12x c2 c˙2 = − 2~i E0∗ µ21x c1 Se come condizioni iniziali poniamo c2 (0) = 1 e c1 (0) = 0 riusciamo a studiare analiticamente 2 casi notevoli. 2.2.1
Oscillazione di Rabi
Consideriamo E0 (t) = E0 . Definiamo frequenza di Rabi il valore ΩR = e senza perdere di generalit´a poniamo ΩR ∈ R. Avremo che: c˙1 = −iΩR c2 c˙2 = −iΩR c1 12
µ12x E0 2~
I termini non risonanti sono i termini che contengono (ω + ω0 ). Dal momento che (ω + u rapidamente di ei(ω−ω0 )t .Quindi ω0 ) >> (ω −ω0 ), l’esponenziale ei(ω+ω0 )t oscilla molto pi´ ´e possibile trascurare in prima approssimazione i termini non risonanti, poich´e causano delle variazioni cos´ı repentine che non disturbano, in generale, l’evoluzione delle equazioni.
17
Risolvendo il sistema e imponendo le condizioni iniziali si ottiene: c1 (t) = −i sin (ΩR t) c2 (t) = cos (ΩR t) Se avessimo portato la trattazione con la teoria perturbativa fino in fondo, avremmo ottenuto che |c1 (t)|2 = Ω2R t2 . Dal grafico risulta evidente la non adeguatezza della teoria per tempi lunghi. 5
4
3
2
1
0
−1
0
2
4
6
8
10
Figure 3: teoria esatta (blu) VS teoria perturbativa (rosso) Si noti inoltre che il seno e il coseno oscillano alla frequenza di Rabi. Dunque, dal momento che l’energia vale E = ~ω, la frequenza di Rabi ´e la misura dell’energia del dipolo elettrico. 2.2.2
Trasparenza elettromagnetica
Supponiamo ora che il campo incidente sia sinusoidale e inviluppato: Ex (t) = E0 (t)cos(ωt) ma non chirpato.13 Un esempio ´e dato dal grafico in figura 4: 12x Posto ΩR = E0 (t)µ si ha che: 2~ c˙1 = −iΩR (t)c2 c˙2 = −iΩR (t)c1 Imponendo che per t → −∞ si abbia c1 (−∞) = 1 la soluzione del sistema sar´a data da: 13
Un chirp ´e un segnale nel quale la frequenza varia linearmente con il tempo, crescendo (’up-chirp’) o decrescendo (’down-chirp’).
18
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
−0.2
−0.2
−0.4
−0.4
−0.6
−0.6
−0.8
−0.8
−1 −2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
−1 −2
2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
Figure 4: segnale non chirpato (sinistra) e segnale down-chirp (destra).
(
Rt c1 (t) = cos ( −∞ ΩR dt) Rt c2 (t) = −i sin ( −∞ ΩR dt)
Mentre per t → +∞, ossia quando l’interazione con l’impulso ´e inesistente, si avr´a che: |c1 (t)|2 = cos2 (A) |c2 (t)|2 = sin2 (A) R +∞ Con A = −∞ ΩR (t)dt denominata area dell’impulso di luce. In particolare si noti che: 1. Se A = nπ con n ∈ Z, si ha che c1 (+∞) = 1 e dunque l’elettrone ´e tornato nella sua posizione di partenza e dunque non si ha avuto assorbimento, quindi il materiale risulta trasparente. 2. Se invece A = (2n + 1) π2 con n ∈ Z, si ha che c2 (+∞) = 1 e l’impulso sar´a fortemente attenuato. Si noti come questo impulso riesca a generare inversione della popolazione.14
2.3
Emissione spontanea
Gli esperimenti ci mostrano chiaramente come un materiale, inizialmente con c2 (0) = 1, si ritrovi, in assenza di perturbazioni esterne e dopo un certo 14
Bisogna stare attenti al fatto che nella realt´a ´e quasi impossibile ottenere impulsi coerenti come quelli sopracitati.
19
tempo, con molti atomi nello stato ground. Inoltre, la funzione che descrive − t la variazione di c2 nel tempo ´e: |c2 (t)|2 = e τsp . Sfruttando la teoria semiclassica possiamo dire che il valor medio del momento di dipolo elettrico vale: h~µe i = −hΨ|e~r|Ψi Dove Ψ(~r, t) = ottiene che:
r)e−iωn t . n cn (t)ψ(~
P
Per un atomo a 2 livelli, sostituendo, si
h~µe i = −|c1 |2 hψ1 |e~r|ψ1 i − |c2 |2 hψ2 |e~r|ψ2 i + 2Re{c1 c∗2 hψ1 | − e~r|ψ2 ieiω0 t } Ponendo che hψ1 |e~r|ψ2 i = µ ~ 12 = µ ~ 21 e che µ11 = µ22 = 0 si ottiene: h~µi = −2~µ21 Re(c1 c∗2 eiω0 t ) Dunque, se c1 (t) e c2 (t) sono lentamente variabili nel tempo, si ha che h~µe i oscilla a frequenza ω0 con una ampiezza data da µ0 = 2|µ12 ||c1 ||c2 |. Se si considera il classico dipolo oscillante, la potenza irraggiata ´e pari a: Pirr =
nµ20 ω04 12π0 c3
Con n indice di rifrazione del mezzo e µ0 valor medio del dipolo elettrico. Poniamo: nµ212 ω04 P0 = 3π0 c3 E quindi riscriviamo la potenza irraggiata come: Pirr = P0 |c1 |2 |c2 |2 Il valor medio dell’energia dell’elettrone ´e pari a: hEi = E1 |c1 |2 +E2 |c2 |2 = E1 (1−|c2 |2 )+E2 |c2 |2 = E1 +(E2 −E1 )|c2 |2 = E1 +~ω0 |c2 |2 Dunque, deve valere che: dhEi = −Pirr dt Ovvero, sostituendo quanto trovato prima: ~ω0
d|c2 |2 = −P0 |c1 |2 |c2 |2 = −P0 |c2 |2 (1 − |c2 |2 ) dt 20
Definendo: τsp
3~π0 c3 = n|~µ12 |2 ω03
Si ha: d|c2 |2 |c2 |2 = (1 − |c2 |2 ) dt τsp Questa EDO si pu´o risolvere per separazione delle variabili rispetto a |c2 |2 e si trova: 1 t − t0 2 |c2 | = 1 − tanh 2 2τsp Il grafico della soluzione ha questa forma: 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Figure 5: grafico di |c2 (t)|2 Si noti come la funzione non parta dal valore 1. Di conseguenza si ha una contraddizione con l’ipotesi iniziale, in cui c2 (0) = 1. Per ovviare a questo problema si pu´o porre t0 → ∞. . . ma questo rende le cose non veritiere: il grafico con t0 → ∞ ´e una retta (ovvero, c2 (t) = 1 ∀t).15 Si noti inoltre come τsp ∝ ω13 e quindi il fenomeno dell’emissione spontanea 0 risulti trascurabile per ω03 piccolo (IR, microonde e onde radio), mentre ´e predominante nelle transizioni X. 15
La teoria quantistica corretta per descrivere questa interazione ´e la QED, nella approssimazione di Weisskopf-Wigner. Tuttavia, il valore τsp predetto dalla teoria semiclassica ´e corretto!
21
1 . Dunque, se la transizione risulta probita, ovvero quando Inoltre τsp ∝ |~µ12 |2 2 |~µ12 | = 0, τsp → ∞: non si ha un decadimento. Ma se il dipolo magnetico fosse non nullo, si avrebbe una costante di decadimento pari a 10−5 τelet . ´ questo lo stato metastabile. Piccola ma c’´e! E
2.4
Decadimento non radiativo
Se un atomo non ´e isolato pu´o accadere che un elettrone decada su un livello pi´ u stabile senza emettere radiazione elettromagnetica. I possibili processi sono: 1. Collisioni super-elastiche: Un atomo in uno stato eccitato A∗ decade in uno stato B stabile con un’aggiunta di energia cinetica dell’atomo B: A ∗ + B → A + B + KB 2. Trasferimento risonante di energia: L’energia di un atomo in uno stato eccitato A∗ si trasferisce ad un atomo B che abbia un livello energetico eccitato leggermente minore di quello di A∗ . Indicando con ∆E = A∗ − B ∗ come la differenza di energia tra i livelli eccitati A∗ e B ∗ , si pu´o scrivere la seguente equazione:16 A∗ + B → A + B ∗ + ∆E 3. Decadimento multi-fononico: Pu´o accadere che un drogante A∗ in un materiale solido cristallino o amorfo, passando allo stato ground, ecciti i modi vibrazionali senza emettere energia.17 ´ possibile descrivere il decadimento non-radiativo con la seguente equazione: E N2 dN2 =− dt N R τN R Dove τN R ´e il tempo di vita non radiativo del livello 2. 16 17
Per avere trasferimento risonante di energia deve valere che ∆E << kT . Questi modi normali posso essere modellizzati come quasi-particelle dette fononi.
22
2.5
Tempo di vita e rendimento quantico
I fenomeni visti in precedenza avvengono simultaneamente. Segue una piccola trattazione matematica. 2.5.1
Tempo di vita medio
Se si ha un atomo in uno stato eccitato e non vi sono stimoli esterni, si avranno, in contemporanea, emissione spontanea e decadimenti non-radiativi. La popolazione N2 del livello eccitato decade nel tempo secondo la legge: dN2 dN2 dN2 = + dt tot dt N R dt sp Dunque, sostituendo nell’equazioni i secondi termini delle due equazioni differenziali separate si ottiene: N2 dN2 N2 N2 =− − =− dt tot τN R τsp τ Dove ´e:
1 τ
=
1 τN R
+
1 τsp
´e il tempo di vita del livello N2 . La soluzione della EDO t
N2 (t) = N2 (0)e− τ 2.5.2
Rendimento quantico
Si definisce rendimento quantico di fluorescenza φ della transizione 1 → 2 il rapporto R +∞ P (t)dt 1 numero di f otoni emessi = 0 φ= numero di atomi interessati ~ω N2 (0)V dove P (t) ´e la potenza del campo e.m. irradiata, V ´e il volume che si sta considerando ed il denominatore rappresenta l’energia iniziale. Per calcolare P (t) si osservi che vale la seguente relazione: dN N (t) 2 2 V V = dt sp τsp
23
Dove Nτ2sp(t) V rappresenta il numero di fotoni emessi nell’unit´a di tempo. Dal momento che ogni fotone ha energia ~ω, si ha che: P (t) = ~ω
t N2 (t) ~ω V = V N2 (0)e− τ τsp τsp
Svolgendo l’integrale otteniamo φ =
2.6
τ τsp
Allargamento omogeneo di riga
Quando si parla di righe, si parla di spettri, ovvero di funzioni nel dominio delle frequenze. Un elettrone, come ´e noto, ha una sua frequenza di risonanza ω0 , ossia una frequenza alla quale oscilla naturalmente. Per quanto detto nei capitoli precedenti, se la radiazione elettromagnetica ha una frequenza ω ≈ ω0 sono possibili i fenomeni di assorbimento ed emissione stimolata.In prima approssimazione, una riga spettrale ´e una Delta di Dirac. 1
3
0.9 2.5 0.8 0.7
2
0.6 1.5
0.5 0.4
1
0.3 0.5
0.2 0.1
0 0 −1
−0.5
0
0.5
1
−1
−0.5
0
0.5
1
Figure 6: grafico della lorentziana & grafico della delta di Dirac. Vi sono alcuni fenomeni che comportano un allargamento di queste righe spettrali. Un allargamento di riga si dir´a omogeneo quando il suo effetto ´e quello di allargare in modo uniforme tutte le righe di tutti gli atomi della configurazione (e trasformare le righe in lorentziane invece che delta) indipendentemente dalla frequenza media a cui gli elettroni oscillano. Inoltre, tutti questi fenomeni sono simultanei tra loro.18 2.6.1
Allargamento collisionale in un gas
Consideriamo un atomo di un gas, investito da un’onda elettromagnetica monocromatica Ex = E0 cos (ωt). Ipotizziamo che per t = 0 si abbia |c1 (0)|2 = 18
Il profilo di riga totale si ottiene convolvendo le lorentziane di ciascun fenomeno; le larghezze a met´ a altezza, a seguito della convoluzione di lorentziane, si sommano.
24
1 (ovvero tutti gli atomi nello stato ground). Riprendiamo il sistema di EDO che abbiamo trovato con la teoria delle perturbazioni a pagina 17 e applichiamolo al nostro caso. Al solito si ottiene: i~c˙2 =
µ21x E0 i(ω0 −ω)t e 2
Imponiamo le seguenti ipotesi: • Ogni collisione avviene istantaneamente. • Ogni collisione ´e elastica (cio´e si conserva l’energia19 e il momento). Con queste ipotesi possiamo affermare che ogni urto varier´a al tempo t = tk in maniera casuale la fase di c2 , cio´e: − iφk c2 (t+ k ) = c2 (tk )e − Ove t+ k = tk + dt e tk = tk − dt; φk varia casualmente tra 0 e 2π. Dunque posso aggiungere un termine nella EDO20 che mi tenga conto dei salti di fase casuali. Potremmo usare questo artificio matematico: ! X µ21x E0 i(ω0 −ω)t e −~ φk δ(t − tk ) c2 i~c˙2 = 2 k
Del resto, se il campo in ingresso fosse nullo avremmo: ! X i~c˙2 = −~ φk δ(t − tk ) c2 k
P
φk δ(t − tk )) si semplifica in: ! X c˙2 = i φk δ(t − tk ) c2 = iθ(t)c2
E definendo θ(t) = (
k
k
Usando la separazione delle variabili si ottiene effettivamente: Rt
c2 (t) = c2 (0)ei 0 θ(t)dt = c2 (0)eiφ(t) Rt Rt P Dove φ(t) = 0 θ(t)dt = k φk 0 δ(t − tk )dt 19
Dunque non si pu´ o avere assorbimento e quindi non varieranno mai i moduli di c1 e
c2 . 20 La EDO iniziale dice come varia c2 se il campo incidente fosse un normalissimo campo ~ E monocromatico con eventuali possibilit´a di assorbimento.
25
2.5
2
1.5
1
0.5
0 0
1
2
3
4
5
Figure 7: grafico di φ(t) Dunque, al posto di c2 sostituiamo c2 = a2 eiφ(t) (soluzione della omogenea associata). Otteniamo: i~(a˙ 2 + iθ(t)a2 )eiφ(t) =
µ21x E0 i(ω0 −ω)t e − ~θ(t)a2 eiφ(t) 2
Semplifichiamo e otteniamo: i~a˙ 2 =
µ21x A(t) i(ω0 −ω)t e 2
Dove A(t) = E0 e−iφ(t) . Nell’ultima equazione scritta, si osservi come al posto del campo e.m. tradizionale E0 sia comparso un termine E0 e−iφ(t) che non ´e pi´ u monocromatico. Dunque, ´e come se l’atomo interagisse con un’onda fittizia non monocromatica del tipo E(t) = E0 e−iφ(t) cos (ωt). − 21 Si chiami τ = t+ si ha: k − tk l’intervallo tra 2 urti successivi; W21 = W12 =
|a2 (T )|2 |~µ12 |2 πE02 = (. . .) = gL (ω − ω0 ) T 6~2
τc Dove gL (ω − ω0 ) = π(1+(∆ωτ ´e una lorentziana. c )) Si osservi che la soluzione dell’ultima EDO scritta, corrisponde a una trasformata di Fourier quando si integra. Di conseguenza, se non ci fosse stato il 21
Questa grandezza ´e una variabile aleatori poissoniana p(τ ) =
τc
26
1 −τ /τc τc e
di valor medio
termine E = e−iφ(t) , avremmo ottenuto la trasformata di una costante, ovvero una delta di Dirac. ESEMPIO: • Si consideri una molecola di gas, alla temperatura T e pressione p, di massa m e raggio a. Il modello della teoria cinetica dei gas perfetti da √ mkT c ∝ p; tipicamente come risultato che τc = 16√πa2 p e quindi ∆νc = ∆ω 2π 1M Hz ∆νc ≈ torr p 2.6.2
Allargamento naturale
Ora si vuole trattare l’emissione spontanea senza usare la QED. Dal momento che nel punto precedente ´e stato utilizzato un artificio matematico che ha modificato l’equazione iniziale, utilizziamo lo stesso trucco per simulare l’emissione spontanea. Data un’onda monocromatica Ex (t) = E0 cos(ωt), vale che: µ21x E0 i(ω0 −ω)t c2 i~c˙2 = e − i~ 2 2τsp Perch´e funziona? Come prima, spegnendo il campo elettrico, si ottiene la seguente EDO: c2 i~c˙2 = −i~ 2τsp − 2τt
La cui soluzione ´e: c2 (t) = c2 (0)e
sp
. Dunque: − τt
|c2 (t)|2 = |c2 (0)|2 e
sp
coerenti con quanto mostrato dagli esperimenti. Anche in questo caso, come prima, risolviamo l’omogenea e quindi la particolare. La soluzione inomogenea sar´a della forma: c2 (t) = c¯2 ei(ω0 −ω)t . Sostituendo nella equazione originale, risolvendo e facendone il | · |2 , si ottiene: |c2 (t)|2 = |¯ c2 |2 =
|µ21x |E02 4~2
1 (ω − ω0 )2 +
1 2τsp
2
Si noti come |c2 (t)|, a regime, sia stazionario. Ci´o ´e dovuto al fatto che l’assorbimento e l’emissione spontanea si compensano a vicenda. Dovremo 27
dunque avere che i vari coefficienti per emissione spontanea, decadimento stimolato ed assorbimento si equivalgono tra di loro:22 |c2 (T )|2 = W21 |c1 (T )|2 − W12 |c2 (T )|2 τsp Dato che c2 << c1 ≈ 1, si avr´a che: |c2 (T )|2 ≈ W21 τsp Dunque:23 W21 =
|µ21x |E02 1 4~2 τsp
π|µ21x |E02 1 = 2~2 2πτsp 2.6.3
∆ω 2 +
1 (ω − ω0
1
1 2τsp
)2
+
1 2τsp
2 =
π|µ21x |E02 gL (ω − ω0 ) 2 = 6~2
Collisioni drogante-fononi
Le collisioni tra un atomo drogante e i fononi reticolari, causano un allargamento di riga che dipende fortemente dalla temperatura del solido.
2.7
Allargamento non omogeneo di riga
Un allargamento di riga non omogeneo, come il nome fa supporre, consiste nell’avere gli allargamenti delle singole righe spettrali dei singoli elettroni distribuite secondo una funzione media g ∗ (ω00 − ω0 ) a seconda della frequenza media a cui tali elettroni oscillano.24 Le principali cause per gli allargamenti non omogenei sono due e sono L’effetto Doppler e l’effetto Stark. 2.7.1
Effetto Doppler (per i gas)
In un gas gli atomi non sono in quiete e la distribuzione delle loro velocit´a ´ ben noto che un’onda, se il punto di sar´a quella di Maxwell-Boltzamann. E 25 ricezione ´e in movimento , subisce effetto Doppler : 22
emissione spontanea+emissione stimolata=assorbimento. Il termine omogeneo, per t → +∞, si anulla. 24 Di solito queste funzioni sono delle gaussiane a causa del teorema del limite centrale. 25 Il sistema di riferimento in movimento ´e quello con l’apostrofe.
23
28
vz ω =ω 1− c Al solito, supponiamo che la frequenza incidente sia ω = ω0 . Ponendo << 1 al fine di evitare gli effetti relativistici, otteniamo: ω0 vz ω0 = =: ω00 ≈ ω 1 + 0 c 1 − vcz 0
vz c
Dove ω00 ´e relativa all’atomo in moto. Dunque, nel sistema di riferimento dell’onda, ´e come se la frequenza di risonanza si fosse spostata da ω0 a ω00 . La distribuzione delle frequenza di risonanza ´e g ∗ (ω00 −ω0 ). Adesso ci proponiamo di calcolare la funzione g ∗ (ω00 − ω0 ). Sappiamo gi´a che la distribuzione delle velocit´a ´e: f (vx , vy , vz ) = Ce−
mβ (vx2 +vy2 +vz2 ) 2
Se non considero vx e vy come variabili ma solo vz ottengo: Z ∞Z ∞ 2 mvz f (vx , vy , vz )dvy dvx = C 0 e− 2kT f (vz ) = −∞ 0 −1
Dove (C )
=
R∞ 0
e
mv 2
− 2kTz
−∞
dvz =
q
0
2πkT m
ossia la costante di normalizzazione:
r
C =
m 2πkT
Dunque otteniamo che la distribuzione delle velocit´a vale: r m − mvz2 f (vz ) = e 2kT 2πkT Dunque il numero di atomi che hanno una velocit´a compresa tra vz ÷ vz + dvz ´e: dN = |N f (vz )dvz | Se l’intervallo delle frequenza di risonanza degli atomi ´e ω00 ÷ ω00 + dω00 potrei trovare la distribuzione g ∗ (ω00 − ω0 ) come: dN = |N g ∗ (ω00 − ω0 )dω00 | Uguagliando le 2 espressioni si ottiene: 29
dvz − ω0 ) = f (vz ) 0 g dω0 v Ricordando che ω00 = ω0 1 + cz , se si risolve per vz si ottiene vz = ω0 ), da cui: dvz = c 0 dω ω0 0 ∗
(ω00
c (ω00 ω0
−
Dunque si ottiene che: g
∗
(ω00
c − ω0 ) = f (vz ) = ω0
s
mc2 − m e 2πω02 kT
2 c2 (ω 0 −ω )2 0 0 2 2kT ω0
Si vede bene come questa funzione sia una gaussiana con FWHM26 pari a: r 2πω02 kT ∆ω0∗ = 2ω0 mc2 2.7.2
Effetto Stark (per i solidi amorfi)
I campi elettrici e magnetici all’interno di un materiale amorfo, non essendoci alcuna simmetria cristallina, sono diversi da zona a zona. A causa di tali disuniformit´a, gli allargamenti dipenderanno dalla zona irraggiata. Ma per il teorema del limite centrale, la distribuzione media finale sar´a una distribuzione gaussiana.
2.8
Cross-Section
Consideriamo un’insieme di atomi che abbiano una distribuzione non omogenea di frequenza di assorbimento g ∗ (ω00 − ω0 ) con anche una componente omogenea gL (ω − ω00 ) essendo ω la frequenza dell’onda monocromatica incidente sugli atomi. Dal momento che gli atomi con distribuzione non omogenea contribuiscono a far variare il termine W21 = W21 (ω − ω0 ) secondo la π|µ x |E02 gL (ω − ω0 ) avremo che il valore medio dato da: legge W12 (ω − ω0 ) = 21 6~2 Z Z π|µ21x |E02 ∗ 0 0 hW12 i = g (ω0 − ω0 )W12 dω0 = g ∗ (ω00 − ω0 )gL (ω − ω0 )dω00 6~2 26
Full Width Half Maximum ovvero larghezza a met´a altezza.
30
Posto ξ = ω00 − ω0 , si ha: hW12 i =
π|µ21x |E02 gT (ω − ω00 ) 6~2
R Dove gT (ω − ω0 ) = g ∗ (ξ)gL (ω − ω0 − ξ)dξ ´e definito profilo totale di riga 27 . Introduciamo l’intensit´a di un’onda e.m. monocromatica E(t) = E0 cos (ωt): ~ = ... = I = hSi
1 E02 = 0 cEo2 2µ0 c 2
Sostituendo l’intensit´a nella equazione precedente si ottiene: hW12 i =
π|~µ12 |2 I I g (ω − ω ) = σ12 (ω − ω0 ) T 0 3~2 0 c ~ω 2
µ12 | ω Ove σ12 (ω − ω0 ) = σ21 (ω − ω0 ) = π|~3~ gT (ω − ω0 ) ´e la sezione d’urto 0c per la transizione 1 ↔ 2. Per studiare come l’onda e.m. si diffonda in un materiale (ossia tenere in conto l’emissione stimolata e l’assorbimento), scriviamo l’equazione di bilancio fotonico:28
I(z)
∆S∆t ∆S∆t − I(z + ∆z) = (W12 N1 − W21 N2 )∆V ∆t ~ω ~ω
Facendo il passaggio al limite si ottiene: dI = −~ωW (N1 − N2 ) dz I Poich´e W = σ ~ω , abbiamo che:
dI = −σI(N1 − N2 ) dz Se (N2 − N1 ) risulta indipendente da I, allora si ha: I(z) = I(0)e−αz Ove α = (N1 − N2 )σ ´e detto coefficiente di assorbimento. Si noti come gT (ω − ω0 ) ´e la convoluzione di g ∗ con gL . Inoltre, se o g ∗ o gL hanno una piccola FWHM (e sono quindi simili a δ(ω − ω0 ) la convoluzione da come risultato la distribuzione pi´ u larga delle 2. 28 Ricordare che il numero di fotoni incidente ´e pari all’intensit´a del campo e.m. diviso per l’energia di un fotone. 27
31
2.9 2.9.1
Saturazione Saturazione all’assorbimento per riga omogenea
Consideriamo un sistema di atomi a due livelli e scriviamo le equazioni di bilancio (o rate-equation) per le popolazioni N1 e N2 . dN2 = − Nτ2 + W (N1 − N2 ) dt NT = N2 + N1 = costante Sfruttando la simmetria del sistema definiamo le nuove coordinate: ∆N = N1 − N2 NT = N1 + N2 Sostituendo le nuove coordiante si ottiene la seguente equazione: d∆N 1 NT = −∆N ( + 2W ) + dt τ τ Definiamo σ = W ~ω . Se I indipendente dal tempo, dopo un transitorio I iniziale, ∆N raggiunger´a il suo valore asintotico. All’equilibrio, si ha che d∆N = 0 e dunque: dt NT NT ∆N = = 1 + 2W τ 1 + I/IS ~ω Ove Is = 2στ ´e detta intensit´a di saturazione. Si noti come, in questo caso, non si potr´a mai ottenere un’inversione di popolazione (∆N < 0); qui si vede l’inadeguatezza del laser a 2 livelli. Supponiamo adesso che il materiale venga investito sia da un fascio di intensit´a I e frequenza ω0 (detto fascio di pompa) sia da un fascio I 0 << I che supponiamo non disturbi il ∆N (detto fascio di prova o probe). L’onda di probe vede un coefficiente di assorbimento pari a:29
α(ω) = σ(ω)∆N =
α0 (ω) NT σ(ω) = 1 + I/Is 1 + I/Is
Dove α0 = NT σ(ω) definita come coefficiente di assorbimento in assenza del fascio di pompa. Dunque l’effetto del fascio di pompa ´e quello di diminuire l’ampiezza del coefficiente di assorbimento, mantenendo per´o la forma funzionale. 29
Vedere la pagina 31 sulla cross-section.
32
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0 −3
−2
−1
0
1
2
3
Figure 8: variazione dei α(ω) rispetto alla I del fascio di pompa. 2.9.2
Saturazione del guadagno per riga omogenea
Si abbia un sistema di atomi a 4 livelli. Su questo sistema incidano sia un fascio di pompa (pumping) che una fascio di probe.
50
100
150
200
250
300
50
100
150
200
250
300
350
400
Figure 9: sistema a 4 livelli. Scriviamo la Rate-equation per il livello |3i. dN3 N3 = Rp − + W (N2 − N3 ) dt τ 33
Ponendo che N2 ≈ 0 e N4 ≈ 0 e ricordando che W = all’equilibrio30 si trova: N3 =
I σ (ω ~ω0 23
− ω0 ),
Rp τ Rp τ = 1 + Wτ 1 + I/Is
0 Avendo posto Is = τ σ23~ω . Il coefficiente di assorbimento (o meglio, di (ω−ω0 ) guadagno in questo caso) visto dall’onda di probe vale: g0 (ω) Rp τ −0 = g(ω) = σ23 (ω − ω0 )(N3 − N2 ) = σ23 1 + I/Is 1 + I/Is
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0 −3
−2
−1
0
1
2
3
Figure 10: variazione di g(ω) rispetto alla I del fascio di pompa.
2.9.3
Saturazione dell’assorbimento per riga non omogenea
Consideriamo un sistema di atomi con allargamento di riga non omogeneo. chiamiamo g ∗ (ω00 − ω0 ) la distribuzione della frequenza di risonanza ω00 . Sia σ(ω−ω00 ) la cross-section di assorbimento per gli atomi del sistema. Su questo sistema incidano un’onda di pumping e un’onda di probe. Il contributo dα(ω) al coefficiente di assorbimento della onda di probe dovuto agli atomi della 30
ovvero per
dN3 dt
= 0.
34
collezione aventi frequenza di risonanza nell’intervallo (ω00 ÷ ω00 + dω00 ) ´e dato da: dα(ω) = (dN1 (ω00 ) − dN2 (ω00 ))σ12 (ω − ω00 ) Ove Ni (ω00 ) ´e la popolazione del livello i-esimo con la frequenza di risonanza compresa tra ω00 ÷ ω00 + dω00 . Si fa dunque l’integrale e si ottiene: Z Z α(ω) = dα(ω) = (dN1 (ω00 ) − dN2 (ω00 ))σ12 (ω − ω00 ) Se vale che la frequenza dell’onda di pumping Ω sia diversa da ω (dove ω ´e la frequenza dell’onda di probe), si avr´a assorbimento dell’onda di probe da parte degli atomi del sistema che hanno frequenza di risonanza ω0 ≈ ω. Ma per ω ≈ Ω succede che gli atomi non possono assorbire altra radiazione31 a causa della saturazione. Dunque, in un grafico di α(ω) si avranno le spectral holes burning.32 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 −3
−2
−1
0
1
2
3
Figure 11: α(ω) e la spectral hole burning.
31
Hanno gi´ a assorbito tutta l’onda di pompa. Sono delle buche nello spettro, causate proprio dalla impossibilit´a da parte del materiale di assorbire tutte la radiazione incidente. Una buca ´e larga circa la FWHM della lorentziana della riga spettrale considerata. 32
35
3 3.1
Ottica geometrica, ondulatoria e diffrattiva L’equazione di Helmholtz
Studiamo adesso la propagazione di un fascio luminoso in un mezzo non dispersivo e non omogeneo. Utilizzeremo le equazioni di Maxwell: ~ =0 ∇·D ~ = − ∂ B~ ∇×E ∂t ~ ∇ · B = 0 ~ = µ0 ∂ D~ ∇×B ∂t ~ = E ~ 0 cos (ωt) , Cerchiamo le soluzioni per onde monocromatiche tipo E ~ =D ~ 0 cos (ωt) e B ~ =B ~ 0 cos (ωt). Vale la relazione D ~ = 0 r (x, y, z)E ~ = D 2 ~ essendo n(x, y, z) l’indice di rifrazione del mezzo. Sostituendo 0 n (x, y, z)E, queste soluzioni (in notazione complessa eiωt ) e queste relazioni, e cercando ~ si ottiene la seguente equazione: ∇ × (∇ × E) ~ − ∇2 E ~ = k 2 n2 (x, y, z)E ~ ∇(∇ · E) 0 ~ = 033 otteniamo: con k0 = ωc . Dal momento che ∇(∇ · E) ~ + k 2 n2 (x, y, z)E ~ =0 ∇2 E 0 che ´e conosciuta come equazione di Helmholtz.
3.2
Equazione iconale
Nella trattazione precedente non abbiamo mai definito il coefficiente dell’onda ~ 0 . Dal momento che non vogliamo risolvere Helmholtz ma monocromatica E allo stesso tempo non vogliamo nemmeno accontentarci di onde piane, prendiamo una forma d’onda simile a quella dell’onda piana34 per una componente ~ del campo E: E(x, y, z) = A(x, y, z)e±ik0 L(x,y,z) ~ = La prima equazione di Maxwell si pu´o anche scrivere come ∇ · E ρ = costante si dimostra la relazione. 34 la funzione L(x,y,z) ´e detta iconale 33
36
ρ 0
e supponendo
Sostituiamo dentro il laplaciano: ∇2 E = (∇2 A + ik0 A∇2 L ± 2ik0 (∇L) · (∇A) − k02 A|∇L|2 )eik0 L Sostituiamo in Helmholtz ed uguagliamo la parte reale e quella immaginaria a zero: 2 ∇ A − k02 A(|∇L|2 − n2 ) = 0 A∇2 L ± 2(∇L) · (∇A) = 0 Se passiamo all’approssimazione dell’ottica geometrica:35 λ0 = Otteniamo:
2π →0 k0
(|∇L|2 − n2 ) = 0 A∇2 L + 2(∇L) · (∇A) = 0
Dove |∇L| = n ´e detta equazione iconale mentre l’altra equazione del trasporto. Le superfici L(x, y, z) sono definite fronti d’onda, mentre le curve perpendi∇L , sono i raggi. colari a queste superfici, ovvero lungo la direzione eˆn = |∇L| Consideriamo una superficie equifase e la luce sia localizzata in un intorno Ω. Detta s l’ascissa curvilinea del raggio luminoso avremo che:36 δA ∇L 1 = ∇A · eˆn = ∇A · = (∇A · ∇L) δs |∇L| n Dall’equazione del trasporto risulta che: δA ∇2 L =− A δs 2n Da cui: A(s) = A(s0 )e
−
Rs s0
∇2 L dξ 2n
Si vede bene che se la luce parte nell’intorno Ω, allora pu´o evolvere secondo l’equazione, altrimenti, se parte da fuori l’intorno Ω (e quindi A(s0 ) = 0) non potr´a mai entrarvi.
35 36
Considerare nulli gli effetti della diffrazione. Indichiamo con δF δx la derivata direzionale.
37
ESEMPI • Onda piana: Se ci mettiamo nel vuoto l’equazione iconale diventa ∇L = 1 e dunque |∇L| = 1. Siano L(x, y, z) = z = costante le superfici equifase (dei piani perpendicolari all’asse z). Dunque i raggi sono paralleli all’asse ~z37 . Risolvendo l’equazione del trasporto: A(z) = A(z0 )e
∇2 L z0 2n dξ
Rz
δ2 z δz 2 z0 2n
Rz
= A(z0 )e
dξ
= A(z0 )e0 = A(z0 )
• Onda sferica: Questa volta, per trattare l’onda sferica, poniamo L(x, y, z) = r = p x2 + y 2 + z 2 che si dimostra avere |∇L|2 = 1. Se si scrive il laplaciano in coordinate sferiche38 , sostituendo r al posto di L, si ottiene ∇2 L = 2/r. Da cui: A(r) = . . . = A(r0 ) Dal momento che I(r) ∝ A2 (r), segue che I(r) ∝
3.3
A(r) r2
Onde stazionarie
~1 = E ~ 0 (ei(ωt−k0 z) + c.c.) e E ~2 = E ~ 0 (ei(ωt+k0 z) + c.c.) sono Dal momento che E soluzioni della equazione di Helmholtz, grazie alla linearit´a, ´e soluzione anche la loro somma. Dunque: ~ tot = E ~1 + E ~ 2 = 2E ~ 0 cos (k0 z)eiωt + c.c. = 4E ~ 0 cos (k0 z) cos (ωt) E Queste sono le onde stazionarie. Una loro peculiare caratteristica ´e che non trasportano energia. 37
Se si sostituisse nelle equazioni di Maxwell l’espressione ~ 0 (x, y, z)e±ik0 L(x,y,z) si arriverebbe ad un sistema siffatto: E ( ~ 0 = ±cB ~0 ∇L × E n2 ~ ~ ∇L × B0 = ± c E0 ~0 e B ~ 0 formino una terna ortogonale. Da cui si vede bene come ∇L, E δ δ 38 2 ∇ = r12 δr r2 δr
38
~ E(x, y, z)
=
3.4
Principio di Fermat
Il principio di Fermat ´e un principio variazionale39 e afferma che il cammino ottico γ percorso dalla luce ´e il minore tra tutti i cammini possibili α. Il cammino ottico ´e definito come (con s ascissa curvilinea): Z t Z P2 d~r(τ ) nds e s(t) = Σ(α) = dτ dτ α P1 Il nostro scopo ´e trovare Σ(γ) tale che Σ(α) > Σ(γ) per ogni α. Ricordando possiamo dire che il cammino ottico scelto dalla luce ´e quello che dt = nds c che minimizza il tempo di volo: Z 1 P2 T = nds c P1 Ora mostreremo che il principio di Fermat ´e coerente con l’equazione iconale, ovvero che la distanza tra due punti sulla funzione iconale L(x, y, z) ´e la minima possibile:40 Z P2 Z P2 δL δL ds ≤ |∇L · eˆt | ds ≤ δs ds = P1 P1 P1 δs Z P2 Z P2 ≤ |∇L|ds = nds = Σ(α)
Z |L(P2 ) − L(P1 )| =
P2
P1
P1
Dunque abbiamo appena dimostrato che Σ(α) ha un minimo e questo ´e proprio γ.
3.5
Equazione del raggio, ottica parassiale e matrici ABCD
Sia ~r = ~r(s) l’equazione di un raggio luminoso γ, essendo s l’ascissa curvilinea r . Inoltre, se γ ´e un raggio luminoso, di γ. Il versore tangente alla curva eˆt = d~ ds 39
Si tratta di un principio legato al concetto di minimizzare un funzionale integrale, studiabile attraverso il calcolo delle variazioni. 40 Sfrutteremo le relazioni seguenti: • γ = |L(P2 ) − L(P1 )| •
δL δs
= ∇L · eˆt
39
eˆt =
∇L , n
per cui: ∇L = n
d~r ds
Deriviamo ambo i membri rispetto a s: d~r d δL d n = ∇L = ∇ ds ds ds δs Inoltre, recuperando l’equazione iconale, possiamo scrivere: δL ∇ = ∇(∇L · eˆt ) = ∇n δs E dunque: d ds
d~r n ds
= ∇n
ˆ Definiamo i Supponiamo adesso di avere un raggio luminoso nel piano xOz. come la distanza del raggio dall’asse ottico ~z parametri r(z) e r0 (z) = dr ds z e l’angolo che il raggio forma rispetto a ~z ad una certa coordinata z. Si chiama approssimazione parassiale l’approssimazione per |r(z)| → 0 e per |r0 (z)| << π2 . In questa approssimazione vale che tan (θ) ≈ sin (θ) ≈ θ. Inoltre, dato ~r(s) = x(s)ˆ ex + z(s)ˆ ez , per parassialit´a, s ≈ z e quindi: r0 (z) ≈
x(z) ≈ r(z)
dr dz
Scrivendo in modo esplicito i termini dell’equazione precedente si ottiene: δn d n dx = δx ds ds d dz n ds = δn ds δz Passando all’approssimazione parassiale (ovvero s ≈ z), otteniamo: d (nr0 (z)) = δn dz δx d δn (n) = ds δz La seconda equazione ´e un’identit´a. Dunque, per concludere, otteniamo:41 ( dr(z) = r0 (z) dz 0 dr (z)n = δn dz δr 41
Notare anche che r(z) corrisponde a x(z).
40
Sviluppando il prodotto di derivate si ottiene: ( dr(z) = r0 (z) dz 0 dr (z) = − n1 r0 dn + dz dz
1 δn n δr
A patto di linearizzare le derivate di n rispetto a r in un intorno della cordinata oggetto di studio, il sistema ´e lineare a coefficienti non costanti. La soluzione si pu´o esprimere come: r(z1 ) A B r(z0 ) = r0 (z1 ) C D r0 (z0 ) Dove la matrice ABCD ´e la matrice di propagazione dei raggi luminosi.
3.6
Ottica diffrattiva
L’approssimazione scalare consiste nell’ipotizzare invariante la polarizzazione di un’onda che passa attraverso una apertura. Prendiamo un campo E(x, y, z) = ˜ y, z)eiωt + c.c. dove E˜ rispetta l’equazione di Helmholtz. Ricerchiamo E(x, una soluzione della forma: ˜ y, z) = U (x, y, z)eik0 z E(x, Per far valere l’ipotesi della approssimazione parassiale, ovvero che U (z) sia lentamente variabile rispetto a λ, dobbiamo avere: 2 δ U δU δU λ0 << |U (z)| e δz 2 λ0 << δz δz Con queste ipotesi calcoliamo il laplaciano:42 δ2U δU − 2ik0 − k0 U )eik0 z 2 δz δz Nell’ipotesi di parassialit´a trascuro completamente il termine di secondo grado nelle derivate. Sostituendo nell’equazione di Helmholtz si ottiene:43 ∇2 E˜ = (∇2⊥ U +
∇2⊥ U = 2ik0 2
2
δU δz
∂ ∂ Abbiamo definito ∇2⊥ := ∂x 2 + ∂y 2 . 43 Notare che questa equazione ´e formalmente identica alla equazione di Schroedinger stazionaria. Come ´e ben noto, le soluzioni di questa equazione tendono a delocalizzarsi. Giusto al fine di chiarezza, si ricorda che la diffrazione ´e la propriet´a del fascio di allargarsi asintoticamente durante la propagazione. 42
41
La soluzione di questa equazione ´e il seguente integrale: Z Z (x−x1 )2 +(y−y1 )2 i 2L U (x, y, z) = U (x1 , y1 , z1 )e−ik0 dx1 dy1 λL Σ Se nel sistema ottico fosse presente una matrice ABCD lungo il tratto considerato, l’integrale sarebbe: Z Z 2 +x2 )+D(x2 +y 2 )−2x x−2y y A(y1 1 1 i 1 2B dx1 dy1 U (x, y, z) = U (x1 , y1 , z1 )e−ik0 λB Σ ´ importante ricorQuesto integrale si chiama integrale di Huygens-Fresnel. E dare che siamo sempre in approssimazione parassiale.44
44
L’elemento C non compare nella equazione poich´e ´e dipendente dagli altri 3 e da det M = nnf1 .
42
4
Fasci di Gauss-Hermite
Si definiscono fasci gaussiani (o meglio di Gauss-Hermite) quelle distribuzioni di campo che si mantengono funzionalmente invariate durante la propagazione.
4.1
Definizione di fascio gaussiano T EM00
Cominciamo con l’analizzare il fascio gaussiano principale, detto T EM00 : U (x, y, z) = U0 e
−i
2 k0 (x2 1 +y1 ) 2q1
Figure 12: grafico del profilo I(t) e φ(t) di un fascio gaussiano. Dove q1 ´e un parametro complesso con Im(1/q1 ) < 0.45 Per dimostrare che la forma funzionale di questo fascio non cambia durante la propagazione, se mettiamo questa funzione nell’integrale di Fresnel46 , si ottiene: U (x, y, z) =
k0 2 2 U0 e−i 2q (x +y ) A + B/q1
Aq0 +B Dove q = Cq (chiamata legge ABCD). Dunque, un fascio con distribuzione 0 +D gaussiana si propaga rimanendo tale, l’unica cosa che cambia ´e il parametro q. 45
RR Questa condizione serve per avere ( Σ |U |2 dydx) < +∞, cio´e un campo confinato che trasporta energia finita (l’energia di un segnale ´e infatti la sua norma in L2 ). R 2 46 Per calcolare l’integrale si ´e fatto uso della seguente relazione: R e−αx +2βx dx = p π −β 2 /α con Re(α) > 0. αe
43
Ma qual ´e il significato fisico di questo parametro? Per prima cosa definiamo 1 1 λ0 = −i q R πW 2 Dove sia
1 R
> 0 sia
U (x, y, z) =
λ0 πW 2
> 0. Sostituendo tale valore in U (x, y, z), abbiamo:
k0 x2 +y 2 (x2 +y 2 ) 1 λi 2 2 U0 U0 e−i 2 (x +y )( R − πW 2 ) = e W 2 e−ik0 2R A + B/q1 A + B/q1
Dunque, riprendendo la formula a pagina 41, otteniamo che: ˜ y, z) ∝ e E(x,
x2 +y 2 W2
e−ik0
(x2 +y 2 ) 2R
e−ik0 z
L’intensit´a dell’onda ´e proporzionale a: I ∝ |E|2 = |U |2 ∝ e−2
x2 +y 2 W2
Da quest’ultima formula si capisce il significato di W: essa ´e indice di quanto sia largo il fascio, e per questo ´e chiamata spot-size. Per quanto riguarda la fase si ha che: x2 + y 2 − k0 z φ(x, y, z) = −k0 2R Se si impone φ(x, y, z) = costante si trovano i fasci equifase e si ottiene: z=−
x2 + y 2 + costante 2R
Questa funzione ´e un paraboloide il cui raggio di curvatura si chiama R.
4.2
Fascio T EM00 in propagazione libera
Consideriamo la matrice di propagazione nello spazio libero dal piano z1 = 0 al piano z1 = z: A B 1 z = C D 0 1 Dalla legge ABCD abbiamo che q = q1 + z con q1 = Re(q1 ) + iIm(q1 ) = Re(q1 ) + izR e supponiamo zR > 0. Modificando il piano di ingresso z1 , si 44
pu´o assumere, senza perdere di generalit´a, che Re(q1 ) = 0. Dal punto di vista fisico, ci´o equivale ad avere R → +∞, ossia avere un fronte d’onda planare. zR viene definito come paramentro di Rayleigh del fascio Gaussiano. Segue che: λ0 1 1 = −i = 2 q πW0 izR πW 2
E dunque zR = λ 0 . In generale q = z + izR , quindi possiamo fare il seguente calcolo: 1 1 z − izR 1 λ = = (. . .) = 2 = −i 2 q z + izR z + zR R πW02 Risolviamo parte reale e immaginaria rispetto a R e a W: 2 R(z) = z 1 + zzR r q r 2 2 z W (z) = λzπR 1 + zz = W 1 + 0 zR R Queste due equazioni descrivono la variazione di R e W durante la propagazione libera del fascio gaussiano lungo ~z. Segue ora una rapida analisi dei due grafici di queste funzioni: • Il grafico di W:
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0 −3
−2
−1
0
1
2
3
Figure 13: grafico di W. L’asintoto ´e la retta w = W0 zzR ; Per z = zR si ha che W (±zR ) = √ W0 2; ecco quindi il significato di zR : una dimensione caratteristica di 45
propagazione per la quale il fascio resta confinato. Un altro parametro importante ´e l’angolo di divergenza dell’asintoto θd . Vale che: θd = lim
z→+∞
W0 λ W (z) = = z zR πW0
(2)
Il punto a z = 0 ´e detto beam waist. • Il grafico di R:
3
2
1
0
−1
−2
−3 −3
−2
−1
0
1
2
3
Figure 14: grafico di R. Subito si nota come la massima curvatura del campo si abbia per z = zR (punti estremanti). Si osserva come i piani equifase tendano, per z → +∞ a diventare dei veri piani con R → +∞. A volte si fa uso di questa rappresentazione grafica:
50
100
150
200
250
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
Figure 15: grafico rappresentativo di W e R assieme. 46
L’espressione generale che fornisce l’evoluzione di un fascio gaussiano ´e: U (x, y, z) =
k0 2 2 U0 e−i 2q (x +y ) A + B/q1
Sapendo che q(z) = z+izR , A = 1, B = z, D = 1 e sapendo che si ottiene: 2 2 2 2 U0 − x 2+y −ik0 x +y W (z) 2R(z) U (x, y, z) = e e 1 − iz/zR √ b Ricordando che a + ib = a2 + b2 ei arctan a , si ha che:
1 q
=
1 λ −i πW 2, R
1 1 W0 i arctan zz R =r = e 2 1 − iz/zR W (z) −i arctan zz z R 1 + zR e Da cui si ricava: 2 +y 2 W0 i arctan zz − xW22+y(z)2 −ik0 x2R(z) Re e e U (x, y, z) = U0 W (z)
Il campo elettrico vale dunque: E(x, y, z, t) = U (x, y, z)eiωt−ikz + c.c. Assumendo per semplicit´a che U0 ∈ R, otteniamo: E(x, y, z, t) = 2U0
W0 − xW22+y(z)2 k0 e cos (ωt − kz − (x2 + y 2 ) + arctan (z/zR )) W (z) 2R(z)
Si nota, dall’ultima equazione scritta, che rispetto all’onda piana compare un termine in pi´ u, noto come fase di Guoy: ∆φ = arctan (z/zR ). 1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5 −5
0
5
Figure 16: grafico rappresentativo del termine di fase di Guoy. 47
Si vede come il passaggio dalla beam waist comporta una salto di circa π radianti. Si calcoli ora l’intensit´a del campo. Questa ´e l’espressione: W0 2 −2 x22+y2 e W (z) I(x, y, z) = I0 W (z) Dove I(0, 0, 0) ´e detta intensit´a di picco del fascio. Passiamo adesso a calcolare la potenza trasportata dal fascio: 47 Z Z +∞ Z Z +∞ 2 2 W0 −2 x 2+y W (z) Idxdy = I0 e dxdy = P = W (z) −∞ −∞ r W0 πW 2 (z) 2 π 2 = I0 ( ) = W0 I0 W (z) 2 2 Si osservi come non vi ´e alcuna dipendenza della potenza da z: questo perch´e non si ha assorbimento e/o creazione di energia. Si pu´o anche dimostrare che ˜ Confrontando questa espressione per I(0, 0, z) vale che: P = π2 W 2 (z)I(z). ˜ = I0 W2 02 . con quella di prima, deduciamo che: I(z) W (z)
4.3
Fasci T EMl,m di Gauss-Hermite
La forma generale dei fasci di Gauss-Hermite ´e la seguente: ! ! √ √ k 2x 2y −i 0 (x2 +y 2 ) U (x, y, z1 ) = U0 Hl Hm e 2q1 W (z1 ) W (z1 ) La peculiarit´a di questa funzione ´e quella di essere una autofunzione dell’integrale di Huygens-Fresnel. Se si inserisce questa funzione nell’integrale suddetto si ottiene: √ ! √ ! k0 2 2 2x 2y U0 Hl Hm e−i 2q (x +y ) U (x, y, z) = 1+l+m (A + B/q1 ) W (z) W (z) Aq1 +B Dove q = Cq . I polinomi Hl (ξ) sono a parit´a definita (l pari, polinomio 1 +D pari e viceversa) e presentano l zeri reali. Queste equazioni si indicano con T EMl,m .48 In generale, il modo T EMl,m presenta (l + 1)(m + 1) lobi : (l+1) lungo x e (m+1) lungo y.
R p 2 Ricordiamo, per completezza, che R e−ax dx = πa . 48 TEM ´e l’acronimo per Transverse Electric and Magnetic. 47
48
Figure 17: grafico del polinomio T EM12 .
5
Risonatori ottici
5.1
Introduzione
Un risonatore ottico ´e una struttura fisica costituita da pareti riflettenti che permettono alla luce di interagire pi´ u volte con il materiale attivo. Noi tratteremo, in questo capitolo, i risonatori in se, ovvero senza il materiale al loro interno. Questi risonatori vengono anche detti risonatori passivi. Rispetto alle cavit´a che ´e possibile realizzare per altre lunghezze d’onda, come le cavit´a a microonde, un risonatore ottico si distingue dagli altri per due motivi essenzialmente: • La lunghezza del risonatore ´e tale che L >> λ. Se infatti L ≈ λ si avrebbe uno spazio troppo piccolo per inserirvi, successivamente, il materiale attivo. • Il risonatore presenta una cavit´a priva di pareti laterali. Questa caratteristica serve a ridurre i modi normali presenti all’interno della cavit´a stessa. Le cavit´a ottiche aperte sono caratterizzate sia da perdite per accoppiamento49 sia da perdite di diffrazione. Tuttavia, nonostante la diffrazione, la 49
dovute agli specchi non perfettametne riflettenti.
49
quale tende a far divergere il fascio, all’interno della cavit´a le onde mantengono sempre la stessa forma funzionale. Per quanto riguarda la potenza all’interno della cavit´a, vale la formula seguente: t
P (t) = P0 e− τc Ove τc ´e il tempo di vita medio dei fotoni in cavit´a. Dunque il campo elettrico dentro la cavit´a avr´a una espressione tipo: ~ r, t) = E0 U ~ (~r)e− 2τtc cos (ωt) E(~ ~ (~r) dipende da come sono materialmente fatti i risonatori. U
5.2
Teoria geometrica dei risonatori
Cominciamo ad analizzare una cavit´a costituita da due specchi sferici, di diversa curvatura R1 ed R2 , posti uno di fronte all’altro ad una distanza L. Fissiamo un piano γ perpendicolare all’asse ottico all’interno del risonatore.
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220
50
100
150
200
250
300
350
Figure 18: risonatore sferico. Siano (r1 , r10 ), (r2 , r20 ), (r3 , r30 ), (r4 , r40 ), . . . i parametri parassiali sul piano γ di un raggio luminoso, quando esso ha percorso 1,2,3,4 . . . round trip. Possiamo anche costruire una lens guide equivalente ottenuta attraverso l’unfolding 50 del risonatore. Per costruire la lens guide, si sostituiscono agli specchi delle lenti sottili rispettando la relazione f1i = R2i .51 50 51
Dall’inglese sviluppo. La sostituzione ´e possibile poich´e lo specchio sferico e la lente sottile hanno le seguenti
50
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 100
200
300
400
500
600
Figure 19: esempio di lens guide. Diremo che un risonatore ´e stabile secondo l’ottica geometrica quando per n → +∞ si hanno rn ed rn0 non divergenti, ovvero se il raggio resta intrappolato nel risonatore ad ogni round-trip. Definiamo la matrice ABCD di round-trip del risonatore rispetto a γ la matrice ABCD che nella lens guide descrive la propagazione tra z = 0 e z = 2L. La condizione per la stabilit´a ´e che il modulo della semitraccia sia minore di 1: |A + D| |tr(ABCD)| = ≤1 2 2 Segue la dimostrazione. Come ´e noto, per un sistema parassiale vale che: r1 A B r0 = r10 C D r00 Allo stesso modo, per il secondo round-trip si ottiene: r2 A B r1 A B A B r0 = = r20 C D r10 C D C D r00 matrici ABCD:
1 1 f
0 1
e
.
51
1 2 R
0 1
Per ricorsione si ottiene:
rn rn0
=
A B C D
n
r0 r00
Diagonalizziamo questa matrice per poter calcolare la potenza n-esima. Sia A B M= : chiamiamo T la matrice degli autovettori e Λ = diag(λ1 , λ2 ) C D la matrice degli autovalori. Vale che: M = T ΛT −1 Osserviamo che: M 2 = M M = T ΛT −1 T ΛT −1 = T Λ2 T −1 Per ricorsione vale che: M n = T Λn T −1 Con Λn = diag(λn1 , λn2 ). Dunque avremo che: n rn λ1 0 r0 −1 =T T rn0 0 λn2 r00 Per n → +∞ si ha che rn , rn0 non divergono se e solo se |λ1,2 | ≤ 1. Calcoliamo dunque gli autovalori della matrice ABCD:52 (A − λ)(D − λ) − BC = AD − BC + λ2 + (A + D)λ = λ2 + 2 cos (θ)λ + 1 Dove abbiamo definito cos (θ) := λ1,2 = cos θ ±
√
A+D . 2
Otteniamo:
cos2 θ − 1 = cos θ ± i sin θ = e±iθ
Vi sono 2 situazioni: • Se | A+D | ≤ 1, allora θ ∈ R e si ha |λ1,2 | = 1. 2 52
Il determinante della matrice ABCD vale AD-BC ed ´e uguale, nel caso della lens guide, sempre e comunque, a 1.
52
| ≥ 1, allora53 θ = iφ, φ ∈ R e si ha |λ1 | = e−φ e |λ2 | = eφ • Se | A+D 2 Dunque, ∀φ ∈ R si ha che o λ1 o λ2 hanno modulo maggiore di 1. Dunque, al fine di avere stabilit´a si deve avere che: A + D 2 ≤1 Applichiamo adesso questa teoria ad un caso semplice con 2 specchi, posti uno di fronte all’altro. Prendiamo z = 0 nel primo degli specchi. Le matrici che entreranno in gioco saranno quelle di propagazione libera e quelle di riflessione in lenti sottili: 1 0 1 0 1 L 1 L M= − R21 1 − R22 1 0 1 0 1 Facendo i calcoli si ottiene che:54 A+D = 2(1 − L/R1 )(1 − L/R2 ) − 1 2 Definendo g1 = 1 − L/R1 e g2 = 1 − L/R2 si ha che: condizione di stabilit´a corrisponde a:
A+D 2
= 2g1 g2 − 1. La
−1 ≤ 2g1 g2 − 1 ≤ 1 ovvero 0 ≤ g1 g2 ≤ 1 Osserviamo che se g1 = g2 abbiamo che R1 = R2 ; vi sono dunque 3 tipi fondamentali di risonatori: 1. Risonatore piano-piano: g1 = g2 = 1 che comporta R → +∞ 2. Risonatore confocale: g1 = g2 = 0 che implica L = R (specchi con lo stesso fuoco). 3. Risonatore concentrico: g1 = g2 = −1 che implica L = 2R (specchi con lo stesso centro). 53
Se | cos θ| > 1 allora θ = iφ e dunque: cos (iφ) =
e−φ + eφ = cosh φ 2
la soluzione si otteneva per cosh φ = ± cos θ. 54 ´ E importante ricordare che il raggio di curvatura ´e positivo quando il raggio luminoso proviene da una direzione opposta a quella del centro della lente.
53
3
2
1
0
−1
−2
−3 −3
−2
−1
0
1
2
3
Figure 20: studio dei parametri g1 e g2 : il grafico di stabilit´a.
5.3 5.3.1
Teoria elettromagnetica dei risonatori Introduzione
Dato un risonatore ottico aperto, definiamo modi (o meglio, quasi-modi ) del risonatore le distribuzioni di campo e.m. della forma: t
E(x, y, z, t) = U (x, y, z, )eiωt− 2τc + c.c. τc ´e definito come il tempo di vita del modo e U (x, y, z) ´e il profilo spaziale del modo. Se il risonatore fosse chiuso (e non vi fossero perdite), si avrebbe τc → +∞. Nei risonatori laser, τc < +∞ a causa di: • Perdite diffrattive (la cavit´a ´e aperta). • Perdite di accomppiamento (specchio di uscita a riflettivit´a ρ < 1). • Perdite di scattering/assorbimento. La frequenza del modo ω e U (x, y, z) dipendono da 3 indici: n,m,l. Il primo, n, ´e detto indice longitudinale definisce la dipendenza di U (x, y, z) dalla coordinata z (n ´e il numero di nodi ); gli altri due termini m ed l sono i termini di moto trasversale e determinano la dipendenza di U (x, y, z) da x e y.55 Dunque: ω = ωn,m,l e U = Un,m,l (x, y, z) 55
Anticipiamo che i termini m ed l sono l’ordine dei polinomi di Hermite del fascio T EMm,l .
54
5.3.2
Calcolo dei modi dei risonatori senza perdite (τc = +∞)
Consideriamo un risonatore con due specchi sferici come in figura:
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220
50
100
150
200
250
300
350
Figure 21: risonatore sferico. All’interno di questo risonatore, come sar´a il profilo del campo? Se eseguiamo l’unfolding del risonatore possiamo vedere il campo in cavit´a come un campo equivalente che si propaga nella lens guide. ˜ y, z)eiωt + c.c. = U (x, y, z)ei(ωt−kz) + c.c. E(x, y, z, t) = E(x, Se ABCD ´e la matrice di round-trip, e se U (x, y, 0) ´e la distribuzione di campo in z = 0, per l’integrale di Huygens-Fresnel vale che: Z Z 2 +x2 )+D(x2 +y 2 )−2x x−2y y A(y1 1 1 i 1 2B U (x, y, 0)e−ik0 dx1 dy1 U (x, y, 2L) = λB Σ Possiamo riscrivere questo integrale come: Z Z U (x, y, 2L) = U (x, y, 0)K(x, x1 , y, y1 )dx1 dy1 Σ
Dove
i −ik0 A(y12 +x21 )+D(x2 +y2 )−2x1 x−2y1 y 2B e λB Il termine K(x, x1 , y, y1 ) prende il nome di Kernel (o nucleo) della trasformazione integrale. In modo sintetico, definendo l’operatore di HuygensFresnel : Z Z b = Kf f Kdx1 dy1 K(x, x1 , y, y1 ) =
Σ
55
Possiamo scrivere: b (x, y, 0) U (x, y, 2L) = KU Dunque avremo che: ˜ y, 2L) = U (x, y, 2L)e−ik2L = e−2ikL KU b (x, y, 0) = (K b E(x, ˜ y, 0))e−i2kL E(x, E dunque: ˜ y, 2L)ei2kL = K b E(x, ˜ y, 0) E(x, Inoltre il campo deve soddisfare la condizione di autoconsistenza 56 e dal momento che il piano γ ´e lo stesso: E(x, y, 2L, t) = E(x, y, 0, t) ∀t ˜ y, 2L) = E(x, ˜ y, 0). Ma del resto: E(x, ˜ y, 2L) = E dunque deve valere che: E(x, 1 b ˜ K E(x, y, 0), dove σ1 = e−2ikL . Usando queste due ultime equazioni si otσ tiene: b E(x, ˜ y, 0) = σ E(x, ˜ y, 0) K ˜ y, 0) sia autofunzione dell’operatore Questa equazione secolare mostra come E(x, b , con corrispondente autovalore σ. Se vi fossero delle perdite, dovremmo K b Nel caso in cui siano nulle le opportunamente modificare l’operatore K. ˜ perdite, E(x, y, 0) deve essere scelta tra i fasci di Gauss-Hermite, in quanto mantengono la stessa forma funzionale durante la propagazione. Ricordando che: √ ! √ ! k 2x 2y −i 0 (x2 +y 2 ) ˜ y, z) = U0 Hl E(x, Hm e 2q0 W0 W0 si ha: U0 b E(x, ˜ y, z) = K Hl (A + B/q0 )1+l+m
√
2x W0
√
! Hm
2y W0
!
k0
e−i 2q (x
2 +y 2 )
Aq0 +B Ove q = Cq per la legge ABCD. Per poter soddisfare alla relazione seco0 +D lare, devono verificarsi le seguenti uguaglianze: q = q0 σ = ei2kl = (A+B/q10 )1+l+m
Studiamo dunque queste due equazioni 56
Se non fosse autoconsistente interferirebbe con se stesso, annullandosi.
56
Aq0 +B da cui: 1. Dalla prima si ottiene che q0 = q = Cq 0 +D s 2 1 1 D−A A−D = ± + BC q0 B 2 2
Sapendo che cos θ =
A+D 2
e che AD − BC = 1 possiamo scrivere: 1 D−A 1 = ± i sin θ q0 B 2
Osserviamo che: > 1, θ risulta immaginario e avremo che 1 ´e • Nel caso in cui A+D 2 q0 ˜ y, 0) non risulta sempre un numero reale57 . Ma in questo caso E(x, spazialmente confinato 58 , cio´e la soluzione non ´e accettabile. < 1, θ risulta reale e avremo che 1 ´e un nu• Nel caso in cui A+D 2 q0 ˜ mero immaginario. In questo caso E(x, y, 0) risulta accettabile per Im(q0 ) < θ. Osserviamo che dunque esiste una sola autofunzione ˜ spazialmente confinata.59 per K 2. Dalla seconda equazione si ottiene: ei2kL = la relazione trovata poco fa otteniamo: A+
1 . (A+B/q0 )1+l+m
Sostituendo
A+D B D−A ± i sin θ = ± i sin θ = cos θ ± i sin θ = e±θ = A+ q0 2 2
Da cui: ei2kL = e±iθ(1+l+m) Segue che: 2kL = θ(1 + l + m) + 2nπ con 1 n ∈ N. E dunque: k = 2L (2nπ ± θ(1 + l + m)). Per concludere, le frequenze di risonanza νn,m,l sono date da:60 νn,m,l = 57
c 1 A+D (n ± arccos ( )(1 + l + m)) 2L 2π 2
Infatti: i sin (iφ) = i
e−φ − eφ eφ − e−φ =− = − sinh φ 2i 2
58
Se si svolgono i calcoli, si vede come l’esponenziale rimanga immaginario e ci´o implica che sulla retta reale si abbiano dei seni o coseni. 59 Da qui ci si riconduce al concetto di stabilit´a nell’ottica geometrica: un sistema ´e stabile (instabile) se ammette (non ammette) modi TEM spazialmente confinati. 60 Ricordiamo che: k = ωc = 2πν c .
57
Detta anche formula delle frequenze di risonanza dei modi T EMn,l,m . Definiamo l e m come indici di modo trasversali (essi determinano l’ordine dei polinomi di Hermite); definiamo n come l’indice di modo longitudinale (esso determina il numero di nodi in cavit´a) ESEMPIO • Risonatore confocale simmetrico: Sia dato un risonatore confocale. La sua matrice ABCD varr´a:
M=
1 0 − R2 1
1 R 0 1
1 0 − R2 1
1 R 0 1
=
−1 0 0 −1
Aq0 +B 0 = −q = q0 . Osserviamo che q = Cq −1 0 +D c 1 Le frequenze di risonanza sono date da: ν = 2L (n ± 2π π(1 + l + m)) = 1 (2n ± 1 + l + m). 4L ´ E interessante osservare che, fissando la frequenza ν, si possano avere frequenze degeneri, ovvero lo stesso valore di frequenza per diverse combinazioni di n,m,l.
5.3.3
Perdite nei risonatori
Come gi´a detto in precedenza, sono 3 le cause di perdita di energia in un risonatore: • Perdite per diffrazione; • Perdite per accoppiamento; • Perdite per scattering/assorbimento; La presenza di perdite nel risonatore, comporter´a la sostituzione dei modi E(x, y, z, t) = U (x, y, z)eiωt + c.c. con dei quasi-modi E(x, y, z, t) = t U (x, y, z)eiωt− 2τc + c.c., dove τc ´e detto tempo di vita dei fotoni nel modo in cavit´a. Indichiamo con P (t) la potenza dell’onda e.m. viaggiante che attravera γ. Sia TR = 2Lc c dove Lc ´e la lunghezza ottica (o cammino ottico) di singolo passaggio del risonatore. Sia T1 la transmissione (in potenza) dello
58
sopecchio 1 e T2 quella dello specchio 2. Li invece ´e un coefficiente che identifica le perdite interne ad ogni passaggio (diffrattive e di scattering). Per due passaggi (andata e ritorno) vale che: P (t + TR ) = (1 − T1 )(1 − T2 )(1 − Li )2 P (t) Introduciamo ora le perdite logaritmiche: γ1 = − ln (1 − T1 ) γ2 = − ln (1 − T2 ) γi = − ln (1 − Li ) Definito γ = 12 (γ1 + γ2 ) + γi otteniamo la seguente equazione alle differenze finite: P (t + TR ) = P (t)e−2γ Risolvendo questa equazione otterremo qualcosa tipo P (t) = P (0)e−t/τc ; facendo i calcoli risulta che τc = T2γR = Lcγc . Dunque il campo elettrico decade come: t E(t) = E0 eiωt− 2τc + c.c. Calcoliamone adesso la trasformata di Fourier :61 Z S(Ω) =
+∞
E0 e
0
iωt− 2τt c
2 = 2τc
2 i(ω−Ω)− 2τtc −iΩt 2 e e dt = |E0 | i(ω − Ω) − t
= |E0 |2
1 (ω −
Ω)2
+ ( 2τ1c )2
Notare che la forma funzionale ´e una lorentziana la cui FWHM ´e pari a ∆ωL = 1/τc . In generale, il valore di τc dipende dal modo che stiamo considerando. Definiamo il fattore di qualit´a Q il valore: Q = 2π
energia nel risonatore energia persa in un ciclo ottico
Definendo Φ(t) il numero di fotoni del modo nella cavit´a al tempo t, avremo: Φ(t) = Φ(0)e−t/τc 61
Stiamo calcolando lo spettro in potenza del segnale.
59
Per cui si avr´a che:62 Q = 2π
hνΦ(t) | dΦ |hν ν1 dt
Svolgendo alcuni semplici conti di sostituzione si ottiene: Q = 2πντc = Dove ∆νL =
∆ω 2π
ν ∆νL
´e l’allargamento di riga.
ESEMPIO: • Si consideri un laser He-Ne (λ = 630nm) dotato delle seguenti caratteristiche: T1 = T2 = 0.02, L1 = 0, L = Lc = 0.9m. Senza l’elemento attivo si avr´a che: τc = Lcνc = (. . .) = 3ns. Il fattore di qualit´a sar´a: Q = 2πντc = 4.7 · 108 . Si noti come l’allargamento di riga sia molto piccolo.
la derivata dΦ a di tempo, ν rappresenta dt rappresenta il numero di fotoni persi per unit´ la frequenza dell’onda e hν ´e l’energia del singolo fotone. 62
60
6
Laser in regime Cw
6.1
Rate-equation per laser a 4 livelli
Si consideri un risonatore tipo Fabry-Perot, con gli specchi posti a distanza L e contenente un materiale attivo (di lunghezza l e indice di rifranzione n). Sia N il numero di atomi di livello eccitato e Φ il numero di fotoni in cavit´a. Ipotizziamo, per semplificare il problema che: 1. Lo schema sia a 4 livelli con N3 ≈ N1 ≈ 0 2. L’allargamento spettrale di una transizione sia di tipo omogeneo. 3. Il laser oscilli di singolo modo T EM00 . 4. Sia valida l’approssimazione di onda piana. Facendo un grafico che includa sia i modi del laser sia la probabilit´a di transizione si ottiene qualcosa tipo: 1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0 −3
−2
−1
0
1
2
3
Figure 22: i modi e la probabilit´a di transire su quel modo.
61
6.1.1
Rate-equation per N
Sappiamo che N = N2 − N1 ≈ N2 . Dunque: dN = Rp − N/τ − W N dt Dove Rp ´e il pumping-rate, −N/τ rappresenta i decadimenti spontanei e W = hνI 0 σ(νmodo ) quelli stimolati (dove I ´e calcolata sull’atomo in questione). Cerchiamo ora di scoprire il legame tra I e Φ. Se U (x, y, z) ´e la densit´a di energia del campo, allora: Z Z Z 1 Φ= U (x, y, z)dxdydz hν ~ = 1 cE 2 = U c. Dunque, possiamo Sapendo che, per definizione63 I = hSi 2 64 scrivere che: Z Z Z Z 1 I IAb n(z) IAb Φ= dxdydz = dz = Lc hν c(r) hν c hνc Dove Lc = nl + 1(L − l) ´e il cammino ottico nel risonatore. Dunque: W =
cσ Iσ σc = Φ = BΦ con B = hν A b Lc A b Lc
(3)
Il fattore B rappresenta la probabilit´a di avere emissione stimolata quando Φ = 1. La prima rate-equation per la popolazione ´e quindi data da: dN = Rp − N/τ − BΦN dt 6.1.2
Rate-equation per Φ
Dobbiamo inserire sia le perdite del risonatore, sia i fotoni generati: dΦ = −Φ/τc + BΦN Va dt −Φ/τc rappresenta le perdite, BΦN Va rappresenta i fotoni generati nell’unit´a di tempo. Approssimando il fascio Gaussiano ad onda piana, si immagina che il laser sia un fascio cilindrico (da cui Va = Ab l). 63 64
L’intensit´ a ´e il valor medio del vettore di Poynting. Definiamo c(r) := c/n(r).
62
6.1.3
Potenza in uscita e numero fotoni in cavit´ a
La potenza in uscita ´e data da: Pout =
chν0 γ2 γ2 Φ hν0 = Φ 2γτc 2Lc
γ2 0 Dove Φhν rappresenta la potenza persa dal risonatore e 2γ rappresenta la τc frazione di potenza persa che compone il fascio laser in uscita dallo specchio ”2”. Infatti si ha che:
c cΦ 1 Φ =Φ γ= ( (γ1 + γ2 ) + γi ) τc Lc Lc 2 Dove τΦc rappresenta il numero di fotoni persi per unit´a di tempo. Ricordiamo che γ erano i coefficienti di perdita logaritmici. 6.1.4
Pumping-rate e potenza di pompaggio
Sia hνp = E3 − E1 , si avr´a, nel caso ideale (ovvero tutti gli atomi in |3i decadono in |2i), che: Ppumpi = hνp Rp Al Nel caso reale dobbiamo introdurre una efficienza di pompaggio ηp : Ppumpr =
6.2
hνp Rp Al > Ppumpi ηp
Emissione spontanea per un laser Cw
Il numero di fotoni emessi a seguito del fenomeno dell’emissione spontanea nell’unit´a di tempo ´e: τNsp Al. I fotoni emessi hanno fase e direzione casuale (rispettando sempre la condizione di modo normale, ma qualunque modo ´e lecito) e una distribuzione spettrale g(ν − ν0 ). L’influenza dell’emissione spontanea nella cavit´a di un laser si pu´o studiare con la QED e l’equazione ´e data da:65 dΦ Φ = − + BN Va (Φ + 1) dt τc 65
Si ricorda che Φ(t), ovvero il numero di fotoni in cavit´a, rappresenta solo il numero di fotoni nel modo principale per le ipotesi fatte all’inizio.
63
Dove il termine ”+1” ´e il termine extrafotonico dato dall’emissione spontanea. Per un laser sopra soglia il termine ”+1” ´e trascurabile, mentre diventa fondamentale per l’innesco dell’azione laser. Nel primo caso possiamo scrivere: dΦ Φ = − + BN Va Φ dt τc dove la condizione iniziale ´e Φ(0) = 1. Questa condizione iniziale rappresenta il rumore quantistico di fondo, sempre presente e di importanza fondamentale. 6.2.1
Condizione di soglia
Consideriamo gli stati stazionari di queste rate-equations: dN = Rp − Nτ − BΦN = 0 dt dΦ = − τΦc + BN Va Φ = 0 dt Il primo che si ottiene ´e:
N0 = Rp τ Φ0 = 0 x ’ = 1 − x/4 − x y y’=−y+yx
6
4
4
2
2
0
0
y
y
x’=1−x4−xy y’=−y+yx
6
−2
−2
−4
−4
−6
−6 −6
−4
−2
0 x
2
4
6
−6
−4
−2
0 x
2
4
6
Figure 23: piano della fasi in condizioni di instabilit´a e di stabilit´a. Studiamo la stabilit´a proponendo delle piccole variazioni delle equazioni: N (t) = N0 + δN (t) = Rp τ + δN (t) Φ(t) = Φ0 + δΦ(t) = δΦ(t) 64
Calcoliamo le variazioni per il sistema sostituendo le equazioni appena trovate:66 − BRp τ δΦ = − δN − BN0 δΦ δ N˙ = Rp − Rp − δN τ τ 1 δ Φ˙ = (− τc + BN0 Va )δΦ Dalla seconda, ponendo Φ(0) = 1 si ottiene: 1
δΦ(t) = e(− τc +BN0 Va )t La stabilit´a per il laser (ovvero Φ(t) → 0 per t → +∞) si ha se (− τ1c + BN0 Va ) < 0, ovvero per: N0 < Nth =
1 BVa τc
Nth ´e detta inversione di popolazione di soglia. Essendo N0 = Rp τ , il laser resta sotto la soglia se: Rp < Rth =
Nth 1 = τ BVa τc τ
Questo tipo di condizioni si identifica appunto con il termine laser sotto soglia. Da notare che in queste condizioni il laser non funziona. Studiamo ora il significato fisico del termine Nth :67 Nth =
Ab Lc γc γ 1 = = e dunque : γ = σlNth BVa τc Ab Lc cσl σl
La condizione di soglia ´e quindi il punto di equilibrio tra il guadagno e la perdita logaritmica. La potenza di soglia del laser ´e data da: Pth =
hνp Rth Al hνp Nth Al hνp Aγl hνp Aγ = = = ηp ηp τ ηp τ σl ηp τ σ
1 Si noti come Pth ∝ στ : questo parametro ´e molto importante per avere da un lato Pth basse ma dall’altro τ troppo piccoli. E questo termine andr´a accuratamente ricercato. 66 67
Trascuriamo tutti i termini non lineari tipo δN 2 o (δN δΦ). Sfruttiamo l’equazione (3) a pagina 62 e il fatto che Va = Ab l.
65
6.2.2
Condizione di sopra-soglia
In contrapposizione alla sezione precedente, studiamo il caso in cui Rp ≥ Rth , caso in cui si innesca l’azione laser. La soluzione, dopo un certo tempo, tende ad una azione stazionaria ma diversa da prima: dN = Rp − Nτ − BΦN = 0 dt dΦ = − τΦc + BN Va Φ = 0 dt Da cui si ottiene, oltre alla soluzione di prima: ( N0 = Nth= BV1a τc Φ0 =
Ovvero:
1 Bτ
Rp Rth
−1
γ N0 = Nth = σl 1 Φ0 = Bτ (x − 1)
Ove x = RP /Rth = Ppump /Ppumpth ´e detto parametro di sopra soglia. Si deve quindi richiedere che x ≥ 1 e che la soluzione risulti stabile. A causa della saturazione, quando Φ aumenta, il guadagno diminuisce: si raggiunger´a un equilibrio in cui le perdite e il guadagno sono le medesime. Da notare che per un laser in Cw soprasoglia avremo sempre (all’equilibrio) che N = Nth . Studiamo ora la potenza in uscita da un laser soprasoglia in Cw : Φ0 γ2 hν = 2Bτγ2τc γ hν(x − 1) per x ≥ 1 2τ γ c Pout = 0 per x ≤ 1 6.2.3
Efficienza
Si definisce il coefficiente di slope-efficiency la quantit´a ηs =
dPout . dPpump
Calcoliamo ora tale grandezza:68 ηs =
1 hν γ2 hν ηp γ2 hν ηp γ2 = = = Bτ τc Pth 2γ Rth Bτ τc hνp Al 2γ Nth Bτc hνp Al 2γ =
68
hν γ2 Ab l hν γ2 Ab ηp = ηp hνp 2γ Al hνp 2γ A
Ricordiamo che Pout ∝ x =
Ppump Ppumpth
.
66
Dal momento che tutti i termini della slope-efficiency sono tutti termini di efficienza minori di 1, si avr´a evidentemente che ηs < 1. Studiamo i quattro termini di efficienza: hν : hνp
1.
questo termine ´e definito quantum-efficiency ed ´e un termine indica con quanta energia escano i fotoni dalla cavit´a rispetto a come in essa sono pompati.
2.
γ2 : 2γ
questo termine ´e definito coupling-efficiency ed ´e un termine che indica quanta radiazione viene emessa come fascio laser utile rispetto alla radiazione persa.
3.
Ab : A
questa ´e la transverse-efficiency.
4. ηp : questa ´e la pumping-efficiency.
6.3
Oscillazioni di rilassamento
Dimostriamo adesso che un laser sopra soglia ´e stabile, ma se perturbato in maniera diversa, tende a tornare all’equilibrio in modi differenti, dipendenti dai tempi caratteristici τ e τc . Le rates-equations sono: dN = Rp − Nτ − BΦN dt dΦ = − τΦc + BN Va Φ dt La soluzione stazionaria (ponendo a zero le derivate) ´e data da: γ N0 = Ntl = Bτ1c Va = σl Φ0 = x−1 Bτ Dove x = RRthp ´e il solito paramentro di sopra soglia. Anche in questo caso, procediamo a fare una analisi della stabilit´a linearizzando il sistema: N (t) = N0 + δN (t) Φ(t) = Φ0 + δΦ(t) Sostituendo nel sistema delle rate-equations otteniamo: δ N˙ (t) = − δN − B(N0 δΦ + Φ0 δN ) τ ˙ δ Φ(t) = BVa Φ0 δN
67
Deriviamo nel tempo δ N˙ e sostituiamo δ Φ˙ nell’equazione per ottenere la seguente EDO di secondo grado: 1 ¨ δN + + BΦ0 δ N˙ + BN0 Φ0 BVa δN = 0 τ Ponendo 2/t0 = 1/τ + BΦ0 e ω02 = BN0 Φ0 Va B, otteniamo: ¨ + 2 δ N˙ + ω02 δN = 0 δN t0 Si osservi che:
2 = τ1 + BΦ0 = τ1 + τ1 (x − 1) = xτ t0 ω02 = BN0 Φ0 BVa = τ1c τ1 (x − 1) = x−1 τ τc
Passando all’equazione caratteristica e risolvendo per λ (che ricordiamo essere l’autovalore della matrice associata al sistema), si ottiene: q 1 λ1,2 = − ± i ω02 − (1/t0 )2 t0 Si noti come Re(λ1,2 ) < 0 anche quando ω02 < 1/t0 . Dunque la soluzione del sistema ´e sempre stabile. Tuttavia, ´e opportuno procedere con una attenta analisi dei due casi: • ω0 > 1/t0 : In questo caso λ1 e λ2 sono complessi coniugati e la soluzione che si ottiene ´e: q −t/t0 δN (t) = Ce cos (ωt + ψ) con ω = ω02 − (1/t0 )2 Il tempo caratteristico della sinusoide ´e τ = t0 e la soluzione arriva all’equilibrio oscillando; questa oscillazione ´e chiamata oscillazione di rilassamento. Nel piano delle fasi (N, Φ) si ha qualcosa tipo spirale • ω0 < 1/t0 : In questo caso λ1 e λ2 sono reali e la soluzione che si ottiene ´e: δN (t) = C1 eλ1 t + C2 eλ2 t In questo caso vengono a mancare le oscillazioni e si ha un decadimento doppio esponenziale verso l’equilibrio 68
x’=−x−y y’=x
2
1
1.5
1
0.5
0.5 y
0
−0.5
−1
0
−1.5
−2 −2
−1.5
−1
−0.5
0 x
−0.5 0
5
10
15
0.5
1
1.5
2
20
Figure 24: oscillazione di rilassamento e stabilit´a nel piano (N, Φ). 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0
1
2
3
4
5
Figure 25: il decadimento a doppio esponenziale. La condizione necessaria affinch´e un laser presenti oscillazioni di rilassamento ´e che τ > τc . Infatti, per avere oscillazioni di rilassamento, bisogna che (ω0 )2 > (1/t0 )2 . Cio´e: x − 1 x 2 > τ τc 2τ x−1 Ponendo f (x) = 4 x2 , la condizione diventa: τc τ Consideriamo solo gli stati soprasoglia, ovvero per x ≥ 1. Si osserva che, se τc /τ > 1 non vi sono intersezioni e dunque non si possono avere oscillazioni di rilassamento (linea rossa in figura 26). Vale il f (x) >
69
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
0
5
10
15
20
Figure 26: grafico per trovare le condizioni di oscillazioni di rilassamento. viceversa (linea verde). ESEMPI • Laser Nd-YAG (Laser a stato solido) La lunghezza d’onda di emissione vale λ = 1064nm. τ = 240µs. Cavit´a NPRR 69 , l = 11.5mm, T = 0.4%, γi = 0.5% e nY AG = 1.82. Posto γ ≈ γ2 + γ1 + γi ≈ 0.9%, avremo che: τc =
lnY AG Lc = = 7, 8ns cγ cγ
Dal momento che τ >> τc , si hanno oscillazioni di rilassamento. Ponendo x = 5, avremo: r 12 1 x−1 ≈ ω0 = ω = ω02 − t0 τ τc Da cui ν ≈ 238KHz. • Laser a GaAs (Laser a semiconduttore) Si ha che nGaAs = 3.35, R = 30% (forti perdite di accoppiamento). Ci´o porta ad avere ν ≈ 3. Sapendo che Lc = ln ≈ 300µm si deduce che τc = Lcνc ≈ 1.1ps. Il tempo di vita τ ´e dato dal tempo di vita interbanda che vale τ ≈ 3ns. Assumendo x = 1.5, ricaviamo ν ≈ 2GHz. 69
NPRR significa Non Planar Ring Resonator.
70
• Laser a He-Ne (laser a gas) Abbiamo τ ≈ 50ns con L = 50cm, γ = γ2 /2 = 0.005 e con T = 1%; n ≈ 1. Ricaviamo che τc = 322ns. Dal momento che τ < τc , non si avranno mai oscillazioni di rilassamento.
6.4
Cause di oscillazione monomodale
Un laser oscilla su un modo longitudinale a causa di un fenomeno chiamato spectral hole burning. La condizione per avere questo fenomeno ´e che ∆ν < ∆νg , dove ∆ν ´e la distanza tra due modi successivi e ∆νg ´e la larghezza della riga di guadagno. Per un Fabry-Perot, ad esempio, avremo che: c ∆ν = 2L Osserviamo che se la riga di guadagno ´e molto larga, essa conterr´a pi´ u modi, e quindi questi modi saranno permessi in cavit´a. 1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0 −3
−2
−1
0
1
2
3
Figure 27: esempio di modi normali in cavit´a e curva del guadagno. Un modo longitudinale di frequenza ν ´e moltiplicato per un coefficiente pari a g(ν) = σ(ν)N l, dove σ(ν) ´e la cross-section e N ´e l’inversione di popolazione e l ´e la lunghezza della cavit´a. Sia γ la perdita logaritmica, allora saremo soprasoglia per g(ν) > γ e sottosoglia per g(ν) < γ. Studiamo adesso i due diversi casi di oscillazione multimodo. 6.4.1
Allargamento di riga non omogeneo & spectral hole burning
Supponiamo che tutti i modi presentino lo stesso γ. Tracciamo quindi g(ν) al variare del rate di pompaggio. 71
• Per Rp < Rth siamo sottosoglia e quindi nessun modo presenta un guadagno maggiore delle perdite. • Per Rp = Rth abbiamo un solo modo longitudinale attivo, quello pi´ u vicino a ν0 • Per Rp > Rth abbiamo che il guadagno del modo attivo resta vincolato al valore delle perdite a causa dello spectral hole burning. Poi si attiveranno tutti i modi successivi i quali a loro volta ”scaveranno” delle buche nello spettro. La larghezza di queste buche varia perch´e stiamo considerando allargamenti non omogenei.
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0 −5
0
5
Figure 28: spectral hole burning nella curva del guadagno g(ν).
6.4.2
Allargamento di riga omogeneo & spatial hole burning
Per l’allargamento omogeneo, consideriamo le equazioni del laser in onda continua: Rp τ Rp < Rth N= Rth τ = Nth Rp ≥ Rth Dunque per Rp > Rth si ha che N = Nth ossia, la curva resta invariata.70 70
Nell’allargamento non omogeneo, si ha che N = N (ν).
72
2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 −5
0
5
Figure 29: curva del guadagno g(ν) al variare di Rp . In base a queste formule il laser dovrebbe oscillare a singolo modo (quello centrale in figura). Tuttavia, l’esperienza mostra che anche nei laser ad allargamento omogeneo si hanno pi´ u modi. Tale fenomeno ´e dato dalla creazione di ”buchi” nella distribuzione longitudinale dell’inversione di popolazione N (z); ci´o accade solo nei risonatori lineari. In questo caso, i modi hanno degli zeri sugli specchi71 e vale quindi la condizione di quantizzazione: n
λn = Lc 2
ovvero νn =
c n 2Lc
Consideriamo adesso il modo centrale νn0 (quello pi´ u intenso, in corrispondenza del massimo di g(ν)) e νn0 +1 . Per νn0 si osservano n0 + 1 nodi72 parte dei quali cadono all’interno del mezzo attivo. Dunque, in quelle posizioni gli atomi non presentano un’emissione stimolata da questo modo principale. Ergo, possiamo dire che vi saranno dei ”buchi” all’interno della distriduzione N (z): questo ´e il fenomeno della spatial hole burning. Si osservi inoltre che al centro della cavit´a il modo νn0 +1 presenta dei ventri in corrispondenza dei nodi di νn0 : dunque, per un valore sufficientemente grande di Rp si ha una oscillazione del modo νn0 +1 . 71
Gli specchi sono metallici e come ´e ben noto, l’onda non si propaga in un metallo; dunque deve essere nullo il campo all’interfaccia col metallo. 72 Punti in cui il campo ´e sempre nullo.
73
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−10
−5
0
5
10
Figure 30: oscillazione di due modi in cavit´a.
6.5
Laser Tuning
Nella fabbricazione dei laser si va incontro almeno a queste due difficolt´a tecniche: 1. Il laser pu´o presentare diverse possibili transizioni. Dunque sar´a necessario introdurre in cavit´a un filtro in frequenza. Questo problema si risolve introducendo nella cavit´a un reticolo di diffrazione (luce IR) oppure un prisma (luce visibile). 2. Alcuni laser possono avere un’ampia larghezza di riga e dunque sar´a necessario accordare lo spettro attorno ad una ben precisa ν0 . Il problema si risolve ruotando un prisma o un reticolo di diffrazione posti all’interno della cavit´a.
74
7
Q-switching
Un laser in Cw non ci permette di ottenere grandi potenze. Per avere impulsi brevi e elevata potenza, si pu´o operare in regime di Q-switching.
7.1
Aspetti generali
L’idea ´e quella di ottenere una forte inversione di popolazione N > Nth mediante un abbassamento transitorio del fattore di qualit´a Q. La potenza viene prima accumulata e poi viene rilasciata in un gigante impulso di luce (Durata circa pari a τc dell’ordine di 1 ÷ 10ns e potenza di picco di qualche MW). Inoltre questo metodo ´e applicabile ai laser con tempi di vita lunghi (µs o ms).
7.2
Fast switching
Supponiamo che Q sia basso, ovvero siano elevate le perdite del risonatore e che il laser sia sotto soglia 73 . Supponiamo inoltre che Rp presenti in t = 0 uno scalino. La rate equation per N vale: N dN = − + Rp dt τ integrando con N (0) = 0 si ottiene: N (t) = Ni (1 − e−t/τ ) Dove Ni = Rp τ . L’inversione di popolazione Ni che riusciamo a creare nel mezzo attivo ´e proporzionale a τ , dunque per avere Ni elevato ci serve un τ grande. Si utilizzeranno preferibilmente dei laser con transizioni debolmente permesse. A questo punto, per N = Ni e t1 = 2τ ÷ 3τ , eseguiamo una commutazione del fattore Q. Tale commutazione ´e istantanea (da cui il nome di fast-switching) dal valore basso al valore alto. A causa di questa rapidit´a consideriamo le rate-equations senza il termine di pompaggio e di decadimento spontaneo: dN = −BN Φ dt dΦ = − τΦc + BN Va Φ dt 73
Non si pu´ o quindi avere emissione stimolata causata dall’oscillazione di modi in cavit´a. Dunque W12 = 0.
75
Dove τc ´e riferito al risonatore con Q alto. Il sistema va risolto con le condizioni iniziali: N (0) = Ni e Φ(0) = 1.74 Studiamo il sistema in modo qualitativo. x’=−y y’=−y+xy
4
3
2
y
1
0
−1
−2
−3
−4 −4
−3
−2
−1
0 x
1
2
3
4
Figure 31: piano delle fasi del Q-switching. Posto x = N1 /Nth , avremo che N (t) ≈ N1 e dunque: x−1 Φ˙ = Φ τc Integrando si ottiene: Φ(t) = Φ0 e(t−t1 )x/τc Ove Φ0 = 1. Per t ≈ t1 , Φ(t) presenta crescita esponenziale. Ma al crescere di Φ, N diminuisce e quindi Φ cresce meno velocemente. Ma quando N = Nth = 0, ovvero abbiamo raggiunto il valore al tempo t = tp abbiamo che dΦ dt massimo di Φ (detto picco dell’impulso di Q-switching). Per t > tp avremo che N diminuisce per via della emissione stimolata; ma anche dΦ < 0 e quindi dt si ha una diminuzione anche di Φ. Da t = t1 ´e stato invertito il fattore di qualit´a e dunque N comincia a diminuire. La larghezza della campana ´e ∆τp ≈ 1.5τc ÷5τc . Da notare il fatto che N (t) pare convergere verso un valore definito. In realt´a non ´e vero: N decade con costante di tempo τ ma noi abbiamo fatto delle ipotesi all’inizio valide solo per tempi piccoli (in generale di 100ns).75 74 75
Extrafotone di emissione spontanea. Il tempo di switching deve essere molto minore di τd , ovvero il tempo tra t1 e il picco.
76
4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0
0
2
4
6
8
10
Figure 32: grafico temporale di Φ(t) (rosso) e N (t) (blu) durante il fast switching di γ (giallo).
7.3
Slow switching
Se il tempo di switching ´e paragonabile a τd (tempo che intercorre tra l’inizio dello switching ed il picco di switching), siamo in regime di slow-switching. In generale, nel regime di slow switching, si ha la formazione di impulsi satellite accanto all’impulso principale. 14
12
10
8
6
4
2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Figure 33: grafico temporale di Φ(t) (rosso) e g(t) = σlN (t) (verde) durante lo slow switching di γ(t) = e−t/τd (blu). Da osservare che i punti di intersezione nel grafico, ovvero quando γ(t) = g(t) si hanno per N = Nth .
77
7.4
Metodi di Q-switching
Si definiscono attivi quei metodi che necessitano di un segnale esterno per funzionare. Viceversa, gli altri sono i metodi passivi. Noi studieremo i metodi attivi. • Metodi attivi: – Prisma rotante – Cella di Pockels – Modulatore acusto-ottico • Metodi passivi: – Assorbitore saturabile 7.4.1
Prisma rotante
Se si pone un prisma a forma di parallelepipedo a base triangolare di fronte ad uno specchio semiriflettente (lo specchio di uscita del laser), se il prisma ´e ben orientato si ottiene una cavit´a risonante. Ma se il prisma ´e fuori asse per qualche milliradiante, il risonatore non ´e pi´ u allineato e dunque Q risulta molto basso. Se il prisma viene messo in rotazione ad una pulsazione ω ω ) si ottiene quindi una modulazione di (ovvero ad una frequenza di ν = 2π Q: tuttavia le frequenze di rotazioni meccaniche sono di circa 400Hz per un tempo di Q-switching di 400ns. Dunque, siamo nel regime di slow-switching. Il vantaggio del prisma rotante ´e la sua semplicit´a e la sua economicit´a. 7.4.2
Q-switching elettro-ottico
Il Q-switching elettro-ottico consiste nel porre all’interno del risonatore una cella di Pockels76 . Dunque, applicando un campo elettrico intenso alla cella, ´e possibile far variare gli indici di rifrazione e quindi modulare il fattore Q. Pi´ u precisamente, detti no e ne gli indici di rifrazione ordinario e straordinario, lo sfasamento subito dalle onde ordinaria e straordinaria risulta: 2πl ∆φ = (ne − no ) λ0 76
La cella di Pockels ´e costituita da un cristallo che presenta una polarizzabilit´a non lineare (ovvero una polarizzabilit´ a dipendente dal campo elettrico incidente sul materiale) e da un polarizzatore per sfasare opportunamente i campi di riferimento e di uscita.
78
Dove λ0 ´e la lunghezza d’onda del campo nel vuoto e l la dimensione trasversale della cella. Dunque, applicando ai capi della cella la giusta tensione V , si pu´o ottenere, ad esempio, che il campo in ingresso sia linearmente polarizzato e quello in uscita sia polarizzato circolarmente (∆φ = π/2 o lamina a λ/4). Se analizziamo questa situazione, ricordando che ad ogni cambio della direzione della polarizzazione si hanno delle perdite di intensit´a 77 , si nota come il fattore Q sia particolarmente basso. Se V = 0 non ho effetto elettro-ottico. Dunque, commutando V abbastanza rapidamente (non facile perch´e di solito V ∈ [1, 5]volt) si riesce ad ottenere un fast-switching. 7.4.3
Q-switching acusto-ottico
Il concetto consiste nello sfruttare il reticolo viaggiante che un’onda acustica crea propagandosi in un mezzo. Se prendiamo un trasduttore piezoelettrico e gli inviamo una tensione a radiofrequenza, esso si metter´a in vibrazione. Se ad esso colleghiamo una certa lamina trasparente, quest’ultima comincer´a a vibrare a sua volta. Inclinando opportunamente l’estremo opposto di questa lamina al fine di evitare riflessioni indesiderate, possiamo creare un reticolo viaggiante nella lamina. Infatti, l’onda sonora comporta compressioni e dilatazioni del materiale che corrispondono a variazioni di indice di rifrazione n. In ultima analisi, abbiamo creato un reticolo di diffrazione entro cui il campo elettrico incidente si propaga. La diffrazione, come ´e noto, comporta un allargamento del fascio e quindi una perdita di intensit´a. Definiamo il regime di Bragg come: 2πλL0 >> 1 nλ2a Con L0 spessore della cella acustico-ottica. Una parte dell’onda viene trasmessa ed un’altra deviata a θb = λ/λa detto angolo di Bragg. La massima deviazione si ha per θin = θb /2.
77
La legge di Malus dice che Iout = Iin cos2 (α), con α angolo tra polarizzazione del mezzo e del campo; Dunque Iout ≤ Iin
79
8
Mode-locking
Il regime di mode-locking ´e un regime nel quale il laser ´e forzato ad oscillare su pi´ u modi longitudinali fra i quali esiste una precisa relazione di fase. In tale regime il laser emette degli impulsi di breve durata separati l’uno dall’altro dal tempo di transito della luce nel risonatore. La durata degli impulsi ´e approssimativamente l’inverso della banda oscillante dei modi longitudinali agganciati in fase. La banda ´e limitata dalla larghezza della riga di guadagno del mezzo attivo.78
8.1
Dinamiche del regime mode-locking
Si consideri un mezzo attivo con una larghezza della riga di guadagno pari a ∆ωgain , avente i modi longitudinali separati da ∆ω = 2π Lc con L lunghezza del risonatore. Se il laser oscilla su pi´ u modi, in approssimazione di onda piana, il campo sar´a dato da: X An eiφn eiωn (t−z/c) + c.c. E(t) = n
Essendo An eiφn l’ampiezza complessa del modo n-esimo e ωn = ω0 + ∆ωn la frequenza longitudinale. Si osservi che l’onda ´e viaggiante.79 Prendiamo adesso come riferimento un piano a z = 0. Avremo: X X E(t) = An eiφn eiωn t + c.c. = An eiφn eiω0 t+i∆ωnt + c.c. = A(t)eiω0 t + c.c. n
n
P Si noti che il termine A(t) = n An ei(φn +∆ωnt) ha frequenza molto minore di ω0 , ovvero E(t) ´e quasi monocromatico. L’intensit´a I(t) ´e data da: 2 X 2 i(φn +∆ωnt) I(t) ∝ |A(t)| = An e n
Possiamo a questo punto distinguere due casi. 78
Esiste una differenza fondamentale rispetto al caso del Q-switching: quest’ultimo coinvolge un singolo modo, il mode-locking ne coinvolge pi´ u di uno. 79 Nell’esponenziale infatti abbiamo sia i termini di spazio che di tempo.
80
8.1.1
Regime free-running
In questo regime il laser tender´a ad oscillare spontaneamente su pi´ u modi80 e le sue φn saranno generate scorrelate. Inoltre An e φn potranno variare lentamente nel tempo. Poniamo di avere ad esempio un pettine con 2N + 1 modi (in frequenza) cos´ı fatto: A0 se |n| < N An = 0 altrimenti φn sia invece una variabile aleatoria. Un tipico grafico di I(t) ´e il seguente: 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
0
1
2
3
4
5
Figure 34: grafico di I(t) in free-running. Questa sequenza molto disordinata in realt´a si ripete continuamente con 2π = Lcc . I picchi di luce sono detti spikes e hanno la stessa periodicit´a TR = ∆ω una larghezza di: 1 1 ∆τp ≈ = (2N + 1)∆ν ∆νosc Si osservi che ∆νosc ´e la banda totale dei modi oscillanti. 8.1.2
Regime mode-locking
Imponiamo una relazione di fase tra le varie φn : φn+1 − φn = φ = costante. Ovvero, φn = nφ. In questo caso vale che: X X 0 A(t) = An ein∆ωt+inφ = An ein∆ωt n 80
n
Questo causa lo spectral e/o spatial hole burning
81
φ . Abbiamo ottenuto una serie di Fourier a coefficienti An . Se Ove t0 = t + ∆ω ipotizziamo che stia oscillando un pettine con 2N + 1 modi, tutti di ampiezza A0 , avremo che: N X 0 A(t0 ) = A0 ein∆ωt n=−N 0
Abbiamo una serie geometrica con ragione α = eiθ = ein∆ωt .81 Scrivendo la somma esplicita possiamo ricavare che: 0 sin (2N +1)∆ωt 2 A(t0 ) = A0 ∆ωt0 sin 2 Da cui ricaviamo la relazione: 2
I(t) = A20
sin
(2N +1)∆ωt0 2
sin2
∆ωt0 2
2π e si vede bene Questa ´e ancora una funzione periodica di periodo TR = ∆ω come sia presente un impulso di grande intensit´a seguito da altri pi´ u piccoli. La larghezza di questi impulsi principali vale circa:
∆τp ≈
1 2π = (2N + 1)∆ω ∆νosc
Con ∆νosc pari alla banda dei modi di oscillazione. Notare che l’intensit´a di picco raggiunge massimi molto elevati. 81
La somma di una serie geometrica si pu´o ottenere con il seguente ragionamento: SN =
N X
αn =
n=−N
Poi si osservi che: αSN =
1 1 1 + N −1 + N −2 + . . . + αN −1 + αN N α α α
1 1 + N −2 + . . . + αN + αN +1 αN −1 α
Da cui: (α − 1)SN = −
1 + αN +1 = αN +1 − α−N αN
Dunque: SN =
αN +1 − α−N α−1
82
20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Figure 35: grafico di I(t) in mode-locking. 8.1.3
Osservazioni
1. Distribuzione di An . Anche se la distribuzione di An non ´e uniforme i risultati continuano a valere. Realisticamente la distribuzione di An ´e circa e−|ω| : 0
A(t ) =
N X
0
A0 ein∆ωt
n=−N
A(t0 ) presenta un massimo per t0 = 0 (e per t0 = ±TR , ±2TR , . . .). Se ipotizziamo che ∆ωt0 → 0 e An variabile lentamente con n82 e che N → ∞, si ha: 0
A(t ) =
N X
in∆ωt0
A0 e
Z ≈
0
A(n)ein∆ωt dn
R
n=−N
Cio´e, nell’intorno di t0 = 0, la forma temporale dell’impulso ´e data dalla trasformata di Fourier dell’inviluppo spettrale di A(n) dei modi oscillanti. 2. Limitazione per trasformata di Fourier. In alcuni casi, la relazione di fase del mode-locking ´e data da φn = 82
Ovvero An − An−1 ≈ 0.
83
1.5
1
0.5
0 −10
−5
0
5
10
Figure 36: grafico di An in mode-locking. n2 φ2 + nφ1 con φ2 = 6 0. In questo caso la durata ∆τp non ´e limitata per Trasformata di Fourier, ossia: ∆τp > 1/∆νosc . 3. Mode-locking nel dominio del tempo. Ricordiamo la relazione: X E(z, t) = An eiωn (t−z/c)+iφn + c.c. n
Se φn = nφ, allora si ha che: X X E(z, t) = An eiωn (t−z/c)+inφ +c.c. = eiω0 (t−z/c) An ein∆ω(t−z/c)+inφ +c.c. n
n
Ovvero E(z, t) = A(t−z/c)eiω0 (t−z/c) +c.c., dove A(t−z/c) = L’intensit´a mediata sul ciclo ottico vale:
P
n
An ein∆ω(t−z/c)+inφ .
I(z, t) ∝ |A(t − z/c)|2 Se studiamo il grafico83 , osserveremo che nel tempo si ha solo un impulso di luce, di estensione spaziale ∆z = c∆τp , localizzato nel risonatore, viaggiante a velocit´a c. Il treno di impulsi che si osserva in uscita ´e dovuto alla periodicit´a del fenomeno. 83
Praticamente identico al grafico rosso della figura 36
84
8.2
Metodi di mode-locking
Come per il Q-switching, i metodi di mode locking si suddividono in metodi attivi e metodi passivi, a seconda che serva o meno un altro segnale da applicare all’apparato sperimentale. • I metodi attivi sono: – Modulazione di ampiezza (AM). – Modulazione di fase (FM). • I metodi passivi sono: – Assorbitore saturabile veloce. – Lente Kerr. – Assorbitore saturabile lento. 8.2.1
Metodi di modulazione di ampiezza
Il metodo consiste nell’inserire nel risonatore un modulatore di ampiezza, che moduli nel tempo le perdite logaritmiche. In questo modo il laser osciller´a in un regime non continuo. In particolare, vorremmo che l’impulso di mode locking attraversi il modulatore (supposto infinitesimo) negli istanti in cui le perdite sono minime. Definito Tm = 1/νm il periodo di modulazione di ampiezza, si ha che TR = Tm , dove TR ´e il tempo di transito della luce nel risonatore. Questo per evitare interferenze continue che impedirebbero ´ per questo che il mode-locking AM ´e detto il funzionamento del laser. E sincrono. Osserviamo inoltre che, al passaggio dell’impulso nel modulatore, abbiamo un accorciamento della ∆τ (e quindi un aumento di ∆ω)84 mentre al passaggio nel mezzo attivo si ha un aumento di ∆τ (e una diminuzione di ∆ω)85 . All’equilibrio i due fenomeni si compenseranno. Alla fine otterremo che: per allargamento omogeneo ∆τp = √ 0.45 ∆τp∗ =
νm ∆νgain 0.441 per ∗ ∆νgain
allargamento non omogeneo
84
Questo avviene poich´e le code dell’impulso sono maggiormente modulate rispetto al centro dell’impulso. 85 Questo avviene a causa della limitatezza della banda di guadagno.
85
Dove νm = 1/TR se si tratta del modo fondamentale e ∆νgain ´e la larghezza della riga di guadagno. Si noti che una riga ad allargamento non omogeneo sfrutta tutta lap banda di guadagno, mentre una riga ad allargamento omogeneo presenta: νm ∆νgain << ∆νgain . Segue che ∆τp > ∆τp∗ . Ci´o ´e dovuto allo spectral hole burning per l’allargamento non omogeneo86 e allo spatial hole burning per l’allargamento omogeneo87 . OSSERVAZIONI • Nel Fabry-Perot il modulatore ´e posto in prossimit´a degli specchi terminali. • Tipicamente, il modulatore ´e di tipo acusto-ottico in cui si genera un’onda acustica stazionaria. Quest’onda genera un reticolo di diffrazione nello spazio. I minimi saranno collocati nei nodi dell’onda stazionaria. Questo per la frequenza νm = 2νa , con νa frequenza dell’onda acustica. 8.2.2
Metodi con assorbitore saturabile veloce
Un assorbitore saturabile veloce ´e un sistema a due livelli non invertito (ovvero non pompato), con una elevata cross-section e tempo di decadimento τ piccolo (in genere, molto minore del tempo di durata dell’impulso ∆τp ). Le rate-equations dell’assorbitore sono: N2 dN2 =− + W (N1 − N2 ) dt τ ∆N = N2 − N1 Ntot = N1 + N2
Poniamo:
Sostituendo le nuove coordinate, otteniamo: d∆N Ntot ∆N = − − 2W ∆N dt τ τ Ovvero: τ
d∆N I = Ntot − ∆N − 2W ∆N = Ntot − ∆N (1 + ) dt Is
86
Il modulatore aggancia le fasi dei modi oscillanti e quindi ´e molto efficiente Il modulatore deve in primis mettere in oscillazione pi´ u modi e successivamente agganciarli in fase. Ci´ o comporta una minor banda sfruttabile 87
86
Dove Is = si ha che:
~ω 2στ
´e l’intensit´a di saturazione dell’assorbitore. Posto τ << ∆τp ∆N ≈
Ntot 1+
I(t) Is
Per I(t) << Is avremo che: ∆N ≈ Ntot (1 −
I(t) ) Is
Dunque l’assorbimento sar´a dato da: α(t) = σl∆N ≈ α0 (1 −
I(t) ) Is
Con α0 = σNtot l. Osserviamo che l’assorbimento dipende dal valore istantaneo di I(t). Si osservi come l’assorbimento sia minimo al picco e massimo alle code dell’impulso. Dal momento che τ >> TR , la saturazione del guadagno nel mezzo attivo risente dell’intensit´a media e non di quella istantanea. Di conseguenza, si generano delle finestre di guadagno, dette net gain windows 88 . Si osservi inoltre che gli impulsi di mode locking sono a secante iperbolica. 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0
0
5
10
15
20
Figure 37: il profilo di I(t) (blu) e le net gain windows lungo il profilo di α(t) (rosso) al di sotto delle perdite (giallo). 88
Dal momento che l’assorbimento ´e al di sotto del livello delle perdite, vi pu´o essere amplificazione della luce.
87
8.2.3
Metodi con le Kerr-lens
In questo metodo, una lente Kerr ´e inserita nel risonatore seguita da una fenditura. L’effetto Kerr ´e un effetto ottico di alcuni mezzi non lineari, per cui l’indice di rifrazione varia al variare del campo stesso che attraversa il mezzo, ovvero n = n1 + In2 . Sfruttiamo dunque questo effetto (detto di self-focusing). Sappiamo che: r2 2 2 I = I(r) = I0 e−2r /W ≈ I0 + 2I0 2 W Sul fascio ´e introdotto uno sfasamento ∆φ causato dalla lente Kerr: ∆φ =
2π 2n2 2 I0 r l λ0 W 2
Dove l rappresenta lo spessore della lente Kerr. Osservando la formula si nota che l’effetto della lente Kerr ´e lo stesso che si avrebbe introducendo una lente sottile di focale W2 fKerr = 4n2 lI0 (t) ´ opportuno Dunque un fascio gaussiano con I0 grande sar´a ben focalizzato. E ricordare che spesso la lente Kerr ´e il mezzo attivo stesso.
88
9
Tipologie di laser
I laser sono classificati in base al tipo di materiale attivo; ne esistono quattro tipi principali: 1. Laser a stato solido: Il mezzo attivo ´e costituito da ioni di metallo di transizione o di terra rara immersi in una matrice dielettrica (cristallina o vetrosa). 2. Laser a gas: Il mezzo attivo ´e costituito da un atomo/ione/molecola di gas. 3. Laser a semiconduttore: Laser in cui la transizione avviene tra due bande di semiconduttore. 4. Laser a liquido: Laser in cui il mezzo attivo ´e costituito da molecole disciolte in una soluzione liquida.
9.1
Laser a stato solido
I laser a stato solido si ottengono introducendo degli ioni di metalli di transizione e di terre rare in matrici dielettriche. Le matrici dielettriche possono essere: • Cristalline: tipicamente cristalli ionici come: Al2 O3 (zaffiro), Y LiF4 , Y V O4 • Granati: strutture cristalline sintetiche come lo YAG89 : Y3 Al5 O12 = 21 (3Y2 O3 + 5Al2 O3 ) • Vetri: La peculiarit´a dei vetri ´e che essi presentano dei campi elettrici interni che sono in grado di generare un allargamento di riga non omogeneo. 89
Lo YAG ´e un ottimo materiale perch´e al posto dell’Alluminio si possono sostituire i metalli di transizione e al posto dell’Ittrio si possono inserire le terre rare.
89
9.1.1
Caratteri generali
• Pompaggio: Sempre di tipo ottico. L’eccitazione avviene per assorbimento di fotoni. • Transizione proibita: La transizione di dipolo elettrico ´e proibita poich´e il tempo di vita del livello energetico di arrivo ´e molto lungo. • Laser a terra rara: Le terre rare che vengono iniettate nel dielettrico contengono l’orbitale atomico 4f occupato. Ma allo stesso tempo questo orbitale ´e schermato dai livelli 5s e 5p. Avremo perci´o una debole interazione con i fononi del reticolo.90 • Laser a metallo di transizione: I metalli di transizione presentano l’orbitale 3d occupato che potr´a interagire bene con i fononi del reticolo.91 9.1.2
Laser a neodimio
100
200
300
400
500
600 100
200
300
400
500
600
Figure 38: schema dei livelli del laser Nd:YAG. 90 Adotteremo la notazione di Russel-Sanders: (2S+1) LJ . 2S + 1 rappresenta la degenerazione di spin, L il momento angolare elettronico e J quello totale. 91 Adotteremo la notazione vibrazionale: .
90
Ricordiamo che N d = (Xe)4f 4 5d0 6s2 con matrici ospitanti tipo: YAG, YLF, YVO4 e vetro. Si osservi la figura che rappresenta lo schema di livelli del laser Nd:YAG. Le linee tratteggiate corrispondono a tempi brevissimi τ1 ∼ 100ps mentre le linee spesse corrispondono a τ2 ∼ 230µs. Dunque il laser pu´o funzionare in regime Cw . Si osservi che la transizione a 1064nm ´e solo una delle possibili transizioni permesse dall’effetto Stark.92 Il laser presenta un allargamento omogeneo di ∆ν ∼ 126GHz. Il laser pu´o funzionare nei seguenti regimi: 1. Continuo/Pulsed: • Pout ∼ 1kW , ηs ∼ 3% (pompaggio ottico) • Pout ∼ 15W , ηs ∼ 10% (pompaggio longitudinale) • Pout ∼ 100W , ηs ∼ 10% (pompaggio trasversale) 2. Q-switching 3. Mode-Locking (τp ∼ 5ps) Gli altri laser a neodimio sono: • Nd:YVO4 : maggiore cross section. • Nd:YLF: migliori propriet´a opto-meccaniche (λ = 1053nm). • Nd:Glass: larghezza di riga non omogenea 40 volte maggiore rispetto allo YAG (λ = 1054nm). APPLICAZIONI: • Operazioni meccaniche; • Operazioni mediche; • Pompaggio per Ti:Al2 O3 92
Ci´ o causa una separazione dei livelli degeneri 4 F3/2 e 4 I11/2 . Si osservi anche che la separazione tra 4 I11/2 e 4 I9/2 ha una energia E >> Kb T e dunque il laser, riferito a questi due stati ´e ancora a 4 livelli.
91
9.1.3
Laser titanio-zaffiro
Questo laser ´e un laser vibronico, che presenta delle curve di energia variabili con la distanza fra gli ioni di Ti3+ e gli ioni O2− . Il mezzo attivo ´e costituito da atomi di zaffiro (Al2 O3 ), drogato con molecole di ossido di titanio T i2 O3 . L’assorbimento porta lo ione Ti3+ =(Ar)3d1 in uno stato eccitato e subito dopo si avr´a un decadimento non radiativo dall’orbitale 3d, che comporta un moto oscillante smorzato. L’emissione subisce lo stesso smorzamento, a causa del forte allargamento di riga e di uno Stark-Shift.
50
100
150
200
250
300
350 50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
Figure 39: bande di emissione e assorbimento del laser T i : Al2 O3 . Da questi shifts risulta che la larghezza di riga vale ∆λ ∼ 1nm. La lunghezza d’onda vale λ = 790nm in emissione e λ ≈ 500nm in assorbimento. Dal momento che τ ∼ 3µs il laser pu´o funzionare in regime Cw . Dato che il fascio di pompa deve avere λ ≈ 500nm, spesso si usa un laser Nd:YAG da cui si ricava la seconda armonica. APPLICAZIONI: • In regime Cw o impulsato ´e utilizzato come sorgente accordabile. • Generazione e amplificazione di impulsi ultracorti.
92
9.2 9.2.1
Laser a gas Caratteri generali
La principale caratteristica di questi laser ´e che l’allargamento di riga ´e piccolo (minore di 1 GHz) ed ´e di tipo doppler. Questi laser vengono utilizzati con gas a bassa pressione (plaser < 10torr) e dunque sono trascurabili gli allargamenti collisionali. Si fa uso di pompaggio elettrico perch´e le bande di assorbimento sono molto strette ed il pompaggio ottico risulterebbe inefficacie. 9.2.2
Pompaggio elettrico: caratteri generali
Il pompaggio elettrico consiste nel mettere all’interno della cavit´a risonante (che contiene il gas), due elettrodi con una differenza di potenziale ∆V . Se ∆V ´e sufficientemente grande, si ha la rottura del dielettrico e la conseguente ionizzazione del gas e passaggio di corrente.93 L’eccitazione della specie X si ha dunque per impatto elettronico: X + (e− )∗ → X ∗ + e− La distribuzione delle velocit´a degli elettroni sono descrivibili con la statistica di Boltzmann e dunque, definendo Te la temperatura degli elettroni, hEi = kb Te . √ − E 1 E = mv 2 f (E) ∝ Ee kb Te , 2 Sia F il flusso di elettroni ad una energia ben definita, e sia Ng la densit´a del gas. Possiamo introdurre una cross-section σe ed ottenere: dF = −F σe Ng dz Dunque dF rappresenta la diminuzione del flusso elettronico nel tratto dz dovuta all’eccitazione di X.94 Dal momento che il processo non ´e risonante, σe (E) non presenta un picco di risonanza, bens´ı un’energia di soglia data da Ep = hνp e ∆Ep ≈ 1 ÷ 10Ep . Si cercher´a una temperatura Te tale che il massimo di f (E) sia vicino al massimo di σe (E). Sia p la pressione del gas 93
Le placchette metalliche per generare la d.d.p. possono essere messe in modo trasversale o longitudinale rispetto ai modi principali di oscillazione. 94 ´ E importante sottolineare che la diminuzione del flusso F si ha non perch´e gli elettroni siano assorbiti, ma perch´e cedono energia agli atomi.
93
e D la larghezza della cavit´a. Dalla termodinamica si ottiene che Te ∝ E/p. Svolgendo i calcoli, si ottiene che Te ∝ g(pD), ovvero ´e necessario ottimizzare g. 9.2.3
Tipi di laser a gas
Vi sono 3 tipologie di laser a gas: 1. Laser a gas di atomi neutri: Laser in cui il mezzo attivo ´e un gas neutro; in generale si tratta di un gas nobile, come per l’He-Ne. 2. Laser a gas di atomi ionizzati: Laser i cui il mezzo attivo ´e un gas ionizzato. Per far avvenire le transizioni elettroniche richieste servono spesso elevate correnti. Inoltre, questi laser emettono di solito nel visibile e nell’ultravioletto. 3. Laser a gas molecolari: Laser in cui il mezzo attivo ´e un gas molecolare; a sua volta possiamo distinguere tre sottocategorie: • Laser rotovibrazionali (IR: 5 ÷ 300µs). Ad esempio il laser a CO2 . • Laser vibrazionali puri (UV). Ad esempio i laser ad eccimeri. • Laser rotazionali puri (Mw: 25µs ÷ 1mm). 9.2.4
Laser a He-Ne
Questo ´e uno dei pi´ u importanti laser a gas nobili. Tale laser emette a diverse lunghezze d’onda (λ = 633nm, λ = 543nm, λ = 1.15µm, λ = 3.39µm). Le transizioni sfruttate per avere luce laser sono quelle del Ne, mentre l’He serve per facilitare il processo di pompaggio. Il laser opera a pressione p ∼ 0.5T orr. In figura sono mostrati i livelli elettronici di elio e neon. Si osservi come gli stati 21 s e 23 s sono metastabili. Osserviamo come i livelli 21 S1 e 23 S0 dell’elio sono quasi in risonanza con i livelli 3s e 2s del neon. Ci´o permette di avere un trasferimento risonante di energia tra elio e neon. Il trasferimento di energia ´e dunque efficiente95 e quindi i livelli 3s e 2s sono dei buoni livelli laser superiori. Possibili livelli 95
L’elio ´e inserito nel laser in quanto il pompaggio ´e pi´ u efficiente proprio per questa ragione.
94
Figure 40: schema dei livelli del laser He-Ne. inferiori sono il 3p e 2p. Se dunque si considerano tutti i possibili salti si spiegano i differenti colori dell’emisisone laser.96
Figure 41: schema di un laser He-Ne. I tempi di vita sono τs ∼ 100ns e τp ∼ 10ns che rendono possibile il funzionamento in regime Cw ma non quello in regime di Q-switching. L’allargamento di riga ´e di tipo doppler ∆ν0∗ ∼ 1.4GHz. La cavit´a risonante ´e circa L < 10 ÷ 20cm che ne permette il funzionamento a singolo modo. L’efficienza quantica ´e bassa: ηs ∼ 10−3 . La potenza in uscita ´e di 96
Per selezionare un solo colore si fa uso di specchi multidielettrici che selezionino la λ.
95
circa 10mW, senza essere monotona crescente con la densit´a di corrente ~j. Il motivo ´e legato alla saturazione di N2 al crescere di ~j: dN2 = k1 Nt j − k2 N2 − k3 jN2 dt Il termine k1 Nt j rappresenta il pompaggio per impatto elettronico, il termine k2 N2 rappresenta la diseccitazione alle pareti, dovuta alle collisioni superelastiche degli atomi con le pareti stesse e il termine k3 jN2 rappresenta la diseccitazione per impatto elettronico. L’equilibrio si ha per: N2 =
k1 Nt j k2 + k3 j
Se j ´e sufficientemente grande N2 ∼ kk31 Nt . Allo stesso modo si otterr´a per N1 una saturazione per j molto grande. In questo laser si ha che l’ottimo della temperatura elettronica si ha per Te = g(pD) ∼ 3.6 ÷ 4torr · mm. Ma dato che il guadagno ´e proporzionale a p ∼ D1 , conviene utilizzare D piccoli. Ma per D troppo piccolo si presentano perdite diffrattive: la D ottimale vale 2mm. APPLICAZIONI: • Applicazioni metriche (legate alla misura); • Bar-code reader; • Olografia 9.2.5
Laser CO2
Questo ´e uno dei pi´ u potenti (fino a 100kW di potenza di picco) e uno dei pi´ u efficienti (ηs ∼ 20 − 25%) laser che sono oggi a disposizione. La transizione avviene tra livelli rotovibrazionali di un medesimo livello elettronico, alle lunghezze d’onda di λ1 = 10.6µm e di λ2 = 9.6µm. Sottilineiamo il fatto che λ1 sia pi´ u probabile di λ2 . Il laser contiene, all’interno del mezzo attivo, una miscela di He, N2 e CO2 nei rapporti molecolari di 8:1:1. In particolare: • L’azoto migliora il pompaggio mediante trasferimento risonante di energia.
96
• L’elio serve a depopolare il livello laser inferiore permettendo il funzionamento del laser in regime Cw . Inoltre l’elio permette un raffreddamento della miscela, aumentandone la conducibilit´a termica. • La molecola di CO2 ´e lineare triatomica e dunque presenta 5 g.d.l. rototraslazionali e 4 g.d.l. vibrazionali. Avremo dunque 4 modi vibrazionali, di cui 2 degeneri di energie ν1 , ν3 , ν2 :97
Figure 42: schema dei modi normali della CO2 . Di seguito vi ´e un’immagine dei vari livelli energetici del laser a CO2 e delle loro transizioni. Si osservi che i livelli v = 0 e v = 1 di N2 sono praticamente uguali ai livelli (000) e (001) della CO2 . 98 9.2.6
Pompaggio elettrico: laser a CO2
Il pompaggio nel laser a CO2 ´e elettrico. Vi sono due fenomeni che comportano una promozione di elettroni: 1. Eccitazione per impatto elettronico diretto sulla CO2 : In questo caso avremo la seguente tranzione: CO2 (000) + (e− )∗ → CO2 (001) + e− 97
Il primo ´e un moto di stretching simmetrico, il secondo antisimmetrico e il terzo ´e un moto di bending 2 volte degenere. 98 La notazione (xyz) indica quale situazione rotovibrazionale stiamo considerando. Ad esempio, (001) ´e lo stretching antisimmetrico mentre (010) indica il bending.
97
Figure 43: schema dei livelli del laser a CO2 . La cross-section di questa transizione ´e superiore rispetto a quella per finire sugli altri livelli. Vi ´e un altro meccanismo, detto a cascata, che coinvolge dei livelli virtuali: CO2 (000) + (e− )∗ → CO2 (00n) + e− CO2 (00n) + CO2 (000) → CO2 (00(n − 1)) + CO2 (001) Si noti che l’equazione ´e valida solamente se si pu´o ipotizzare l’equispaziatura dei livelli energetici fino a n. Si raggiunger´a una situazione di equilibrio descritta dalla statistica di Boltzmann con temperatura vibrazionale Tv . 2. Trasferimento risonante: In questo caso abbiamo che: CO2 (000) + N2 (1) → CO2 (001) + N2 (0) + ∆E Dal momento che ∆E << kb T , il trasferiemnto risonante risulta favorito ed anche perch´e v=1 dell’azoto ´e metastabile. Studiamo ora i livelli laser superiore e inferiore: 1. Livello superiore: (001) Il livello laser superiore presenta τsp lungo99 sebbene le transizioni 99
Si ricorda che τsp ∝
1 , ω03
con ω0 nell’infrarosso.
98
(001) → (100)/(020)/(010) risultino permesse per dipolo elettrico. Il tempo di vita τsp sar´a determinato dalle collisioni, in particolare: X 1 = ak p k τsp k Dove ak rappresenta la costante collisionale e pk le pressioni parziali dei componenti della miscela gassosa. Per p ∼ 15torr e per una miscela con rapporti 8:1:1, si ha che τsp = 0.4ms 2. Livello inferiore: (100) e (020) Si osserva che i livelli (100), (020) e (010) termalizzano rapidamente.100 In particolare avremo le seguenti collisioni: CO2 (020) + CO2 (000) → CO2 (010) CO2 (100) + CO2 (000) → CO2 (010) Inoltre, tra i livelli (100) e (020) si instaura una risonanza di Fermi : un equilibrio dinamico tra gli stati (100) e (020). Il tempo di vita del livello laser inferiore ´e dunque determinato dal tempo di vita del livello (010). Il decadimento in questione ((010) → (000)) non pu´o per´o avvenire per rilassamento VV101 ma solo per rilassamento VT102 a notare che se il livello (010) rimane popolato, per la distribuzione di Blotzmann si dovr´a avere che i livelli (020) e (100) dovranno essere popolati, rendendo impossibile il funzionamento in regime Cw (problema di bottle-neck ). Ma dal momento che il decadimento VT risulta inefficiente tra molecole di CO2 , si inseriscono gli atomi di elio per facilitare il processo. Usando l’elio si ottiene che τinf ∼ 20µs e che τsup > τinf , permettendo il funzionamento in regime Cw . Inoltre l’elio, dal momento che ´e un buon conduttore termico, ´e utile per tenere bassa la temperatura del gas: dal momento che il livello (010) risulta superiore al livello (000) di pochi kb T , un aumento di temperatura potrebbe causare un popolamento di tale livello e di conseguenza anche degli altri per Boltzmann. 100
La termalizzazione consiste in un abbassamento generico dei livelli energetici degli atomi a seguito di urti con i vicini. La distribuzione dei livelli energetici d’equilibrio segue la statistica di Boltzmann. 101 Scambio energetico causato da urti vibrazionali. 102 Collisione superelastica.
99
9.2.7
Transizioni nel laser CO2
La transizione pi´ u probabile ´e quella per λ = 10.6µm (cio´e (001) → (100)). Dato che per´o si tratta di un gas, vi saranno anche delle righe rotazionali importanti. Sia P (l0 ) la probabilit´a di trovare una molecola nello stato rotazionale a energia Bl0 (1 + l0 ). Si ha che: P (l0 ) ∝ (2l0 + 1)e
−
Bl0 (1+l0 ) kb T
Si osservi che la probabilit´a segue la stastistica di Boltzmann, corretta dei livelli degeneri (2l0 + 1) che permettono di trovare il massimo: max(P (l0 )) ⇒ l0 = 21. La regola di selezione per la transizione rotovibrazionale richiede che ∆l0 = ±1. Dall’equazione si nota come ∆l0 = +1 sia favorita, la riga pi´ u frequente si ha per P (22). Per far oscillare altre righe, si fa uso del Laser Tuning. Per completezza, ´e opportuno sapere che la larghezza di riga ´e dovuta all’effetto doppler e vale circa 50MHz. 9.2.8
Tipi di laser a CO2
1. Laser a flusso assiale lento:
Figure 44: laser a flusso assiale lento. Come si vede dal disegno, il gas non ´e sigillato ma in continuo ricircolo. Lo scopo ´e di ripulire l’aria dalla CO, che impedirebbe il buon funzionamento del laser. Vi ´e scambio di calore con le pareti esterne, a loro volta collegate a un circuito di raffreddamento. Si aggiunge anche la limitazione in potenza a valori pari a 60W/m, infatti: Pout ∝
dN2 Va ∝ JNt Va ∝ JpD2 l = (JD)(pD)l dt 100
Ma per ottimizzare l’equazione devo minimizzare pD (temperatura elettronica) e massimizzare jD (dissipazione del calore per diffusione). La scarica ´e longitudinale e la pressione ottima p = 15T orr. 2. Laser a tubo sigillato: In questo laser il tubo ´e sigillato e non vi ´e ricircolo. Dunque ´e necessario impiegare dei catalizzatori per ridurre la formazione di CO. Si pu´o utilizzare: • Introduzione di piccole quantit´a di H2 O: CO∗ + OH → CO2∗ + H • Utilizzare catodi di Nickel a 600K. Anche qui la potenza ´e limitata a 60W/m. 3. Laser in guida d’onda capillare:
Figure 45: laser in guida d’onda capillare. Come il nome suggerisce, la cavit´a risonante ´e molto piccola (D ∼ 2 ÷ 4mm), in modo da ottenere una guida per il laser che riduca le perdite diffrattive (guide di BeO,SiO2 ,Al2 O3 ). La pressione ´e elevata (p ∼ 100÷200T orr) e di conseguenza anche il guadagno. Dunque ´e possibile costruire dei laser corti con questa tecnica. La potenza ´e comunque limitata a 60W/m. Dal momento che E/p = costante, si avranno campi elettrici elevati: quindi ´e opportuno usare scariche trasversali, che comportano un’emissione a radiofrequenza (ν = 30M Hz).
101
Figure 46: laser a flusso assiale veloce. 4. Laser a flusso assiale veloce: La miscela viene esportata dalla cavit´a ad alta velocit´a (50m/s), purificata con opportuni catalizzatori e reinserita. La dissipazione di calore avviene mentre la miscela viene asportata, grazie a degli scambiatori di calore. In conclusione si riescono a generare grandi potenze (1 ÷ 3kW ): ´e questa la ragione per cui vengono impiegati in ambito meccanico. 5. Laser ad elettrodi ad area estesa:
Figure 47: laser ad elettrodi ad area estesa. Per superare le limitazioni di potenza dei laser a flusso assiale lento, si pu´o usare una scarica trasversale a radiofrequenza con elettrodi vicini ad una distanza d << W . Ci´o comporta uno scambio di calore pi´ u efficiente (bench´e unidimensionale). La potenza di uscita vale: Pout ∝ 102
WL d
Dove WL ´e l’area degli elettrodi. I valori tipici di potenza per unit´a di superficie sono di 20kW/m2 . Tuttavia si hanno dei problemi sulla qualit´a del fascio e sulla stabilit´a della scarica. 6. Laser a flusso trasversale:
Figure 48: laser a flusso trasversale. Questo laser consente di superare la limitazione di potenza dei laser a flusso assiale lento. Rispetto ai laser a flusso assiale veloce richiede una velocit´a di flusso minore. Servono tuttavia maggiori pressioni (p ≈ 100T orr), maggiori campi elettrici ed ´e opportuno usare la scarica trasversale. Questi laser sono impiegati come laser ad alta potenza (1 ÷ 20kW ). 7. Laser a scarica trasversale a pressione atmosferica:
Figure 49: laser a scarica trasversale a pressione atmosferica.
103
I laser a scarica trasversale non possono operare in regime continuo a pressioni p > 100T orr a causa di instabilit´a della scarica elettrica (formazione di archi). Tuttavia possono funzionare in regime pulsed (tpump < 1µs). Per evitare la formazione di archi ´e comunque opportuno pre-ionizzare il gas con raggi UV. ∆ν ∼ 4GHz a p = 1atm (allargamento collisionale). Gli impulsi hanno τ < 1ns in regime di mode-locking. Questi laser vengono applicati per la marchiatura di materiali plastici. 9.2.9
Laser a eccimeri
Gli eccimeri sono delle molecole A2 che esistono in uno stato legato solo per livelli energetici non fondamentali (A∗2 ). 7
6
5 Stato fondamentale Stato eccitato 4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
Figure 50: Stati legati e non legati degli eccimeri. Il livello laser superiore ´e il livello elettronico eccitato A∗2 e il livello laser inferiore ´e lo stato fondamentale in cui la molecola ´e dissociata. La luce emessa ´e di solito nell’ultravioletto: sicuramente non ci possono essere transizioni vibroniche che emettano nel visibile, in quanto la molecola si dissocia. Inoltre, dal momento che la dissociazione ´e rapidissima si ha che τinf ´e molto piccolo. Adottiamo dunque uno schema a quattro livelli. Gli eccimeri pi´ u tipici sono: ArF (λ = 193nm), KrF (λ = 248nm), XeF (λ = 351nm) e XeCe (λ = 309nm).103 103
I gas nobili, nel livello eccitato, presentano una struttura elettronica equivalente a quella di un metallo alcalino, che si lega bene con gli alogeni.
104
9.2.10
Laser a KrF
• Reazioni di formazione: Il pompaggio ´e di tipo elettrico e comporta i seguenti processi in cascata: Kr + (e− )∗ → Kr∗ + e− Kr∗ + F2 → (KrF )∗ + F Oppure Kr + e− → Kr+ + 2e− e− + F2 → F − + F Kr+ + F − + (M ) → (KrF )∗ + (M ) Si noti come l’ultima reazione non possa avvenire spontaneamente, in quanto non si conservano le grandezze fondamentali (momenti ed energia). Se per´o nella reazione si introduce un terzo agente (M), ovvero un altro atomo (tipicamente si utilizzano gas nobili, come l’elio) che prenda parte al processo di urto, ´e possibile conservare tali grandezze. • Pressioni tipiche di operazione: In generale si hanno le seguenti pressioni parziali: p(Kr) = 120mbar, p(F2 ) = 6mbar e p(He) = 2400mbar. Il laser opera solamente in regime pulsed, onde evitare instabilit´a elettrica (poich´e le pressioni sono troppo alte). Gli impulsi di pompa sono dell’ordine di τp ≈ 10 ÷ 20ns. • Prestazioni: La potenza di uscita vale circa 100W, con repetition rate di 500Hz, ed efficienza ηs ∼ 2 ÷ 4%. • Applicazioni: Il laser trova impiego nell’ablazione di precisione di materiali plastici e organici, a causa dell’elevato assorbimento di tali materiali delle frequenze UV. Esso ´e anche utilizzato nella fotolitografia per applicazioni elettroniche.
9.3
Laser a semiconduttore
Cominciamo a studiare, con l’ausilio della meccanica quantistica, i materiali solidi. 105
9.3.1
Struttura elettronica dei solidi
Prendiamo l’equazione di Schroedinger e risolviamola nel caso di una buca di potenziale finita. Sia E1 l’energia al di sotto dell’energia minima della buca Emin ed E2 l’energia al di sopra di Emin . Si ha che: dψ(x) 2m = 2 (V (x) − E)ψ(x) 2 dx ~ Imponendo le condizioni di continuit´a della funzione e della derivata prima e la condizione di normalizzazione, si ottengono le soluzioni classiche: sinusoide nella buca ed esponenziali decrescenti attraverso le barriere di potenziale. In generale si pu´o dire che: lim ψ(x) = 0 (4) x→±∞
Se poniamo che E = E1 otteniamo che V (x) − E > 0 ∀x e quindi non potremmo ottenere la condizione (4). Dunque E2 deve essere un autovalore. Consideriamo adesso due buche rettangolari finite affiancate ad una distanza a. Se a ´e grande a sufficienza, il risultato ´e il medesimo di quello di una buca singola. Se invece la distanza a ´e piccola, si osserver´a una separazione delle energie, dovuta all’esistenza di una autofunzione pari ed una dispari. Se aumentiamo il numero di buche affiancate, per esempio per modellizzare un solido cristallino, otterremo una enorme separazione di tutti i livelli energetici delle N buche (che in questo caso modellizzano gli atomi). Se N → +∞ avremo le cos´ı dette bande continue di energia 104 . Si possono considerare tre tipologie di cristalli, a seconda della separazione tra i livelli occupati En e liberi En+1 : 1. Isolanti: Cristallo con En completamente occupato e con un energy gap tra En e En+1 pari a Eg >> kb T (gap HOMO-LUMO). 2. Semiconduttori: Cristallo in cui l’energy gap Eg tra En (completamente pieno) e En+1 vale Eg ∼ kb T . 3. Conduttori: In questo caso Eg = 0 e il livello En ´e riempito solo a met´a circa. 104
Si osservi che una ”banda” con N livelli pu´o ospitare 2N elettroni.
106
2 1.5 1 0.5 0 −0.5 −1 −1.5 −2
0
1
2
3
4
5
Figure 51: grafico dei livelli energetici in funzione della separazione tra le varie buche di potenziale. Si osservi che in un semiconduttore ´e sufficiente applicare un campo di piccola intensit´a per promuovere gli elettroni in banda di conduzione e creare dunque una corrente. Un modello un po’ pi´ u raffinato di quello delle buche rettangolari ´e il modello proposto da Bloch. Per poter descrivere in modo pi´ u corretto le buche di potenziale centrate sui singoli atomi, trova una autofunzione elettronica siffatta: ψ(x, t) = u(x)ei(kx−ωt) k ∈ R, infatti l’elettrone pu´o muoversi in qualunque direzione nella buca. Dal momento che il cristallo ´e una struttura periodica infinita, si pu´o affermare che u(x) = u(x + an) ∀n ∈ Z dove a ´e la distanza tra i centri delle buche.105 Da sottolineare il fatto che la funzione di Bloch descrive un solo elettrone delocalizzato. Se imponiamo che la ψ sia nulla ai limiti del cristallo, avremo con i = x, y, z. Ci´o comporta che il vettore ~k risulta quantizzato: ki = ni 2π Li la presenza di nodi e antinodi. Sostituendo nella equazione di Schroedinger la funzione di Bloch, si ottiene che:106 ( 2 2 Ec = ~2mkc 2 2 Ev = ~2mkv 105 106
~
In tre dimensioni la funzione di Bloch vale ψ(~r, t) = u(~r)ei(k·~r−ωt) . Si noti come le energie ricalchino quelle della buca di potenziale infinita.
107
Figure 52: grafico delle buche di potenziale coulombiano, tutte a distanza a. Ove mv e mc sono le masse efficaci della banda di valenza e della banda di conduzione dell’elettrone definite da: mc,v =
~2 d2 E | dk2 c,v k=0
Di solito si utilizza il seguente grafico per discutere le masse efficaci: 20 15 10 5 0 −5 −10 −15 −20 −5
0
5
Figure 53: grafico in funzione di k delle masse efficaci, tutte a distanza 2π/L. L’intervallo tra i due punti estremanti vale Eg ; Ev va verso il basso e Ec verso l’alto. Dal punto di vista delle occupazioni elettroniche, la curva di Ev rappresenta il limite degli stati occupati. Facciamo ora il seguente cambiamento di variabili: 108
Ec0 = Ec + Eg Ev0 = −Ev
Per gli elettroni in un semiconduttore si potr´a utilizzare la statistica di FermiDirac107 , secondo cui: 1 f (E 0 ) = E 0 −E 0 F 1 + e kb T Dove EF0 ´e l’energia di Fermi. Questa energia dipende dal drogaggio del materiale. Possiamo infatti distinguere due tipi di drogaggio: • Drogaggio di tipo n: Un esempio di drogaggio n ´e dato dall’inserimento di atomi di fosforo P in un cristallo di GaAs (gli atomi di fosforo sostituiscono chimicamente le molecole di GaAs). Poich´e il fosforo presenta 5 elettroni di valenza e le molecole di GaAs solamente 4, avremo un elettrone in eccesso che non si collocher´a in banda di valenza ma in banda di conduzione. Ci´o causa un aumento dell’energia di Fermi Ej . • Drogaggio di tipo p: Un esempio di drogaggio p ´e dato dall’inserimento di atomi di boro B in un cristallo di GaAs (gli atomi di boro sostituisono chimicamente le molecole di GaAs). Poich´e il boro presenta 3 elettroni di valenza e le molecole di GaAs solamente 4, avremo un difetto di elettroni. Ci´o causa una diminuzione dell’energia di Fermi Ej . Se il drogaggio ´e tale da far cadere il livello di Fermi dentro una banda, si parla di drogaggio degenere. Supponiamo di pompare un semiconduttore con un rate Rp . L’effetto sar´a quello di promuovere degli elettroni dalla banda di valenza in s´e stessa (pompaggio intra-banda) o dalla banda di valenza alla banda di conduzione (pompaggio inter-banda). Al primo fenomeno corrisponde un decadimento interbanda con τp ≈ 1ps, mentre al secondo fenomeno corrisponde un decadimento con τs ≈ 1ns. Dunque si possono considerare gli elettroni in banda 107
Ricordiamo che questa distribuzione rappresenta la probabilit´a di trovare un elettrone con una certa energia e non ´e dunque da considerare come una densit´a di probabilit´a. Se si vuole ottenere la densit´ a di probabilit´a, si deve moltiplicare FD per la funzione densit´a degli stati D(E 0 )
109
di conduzione come in uno stato metastabile. Quindi posso descrivere la popolazione di quest’ultima con la statistica di quasi-FD: 1
fc (E 0 ) = fv (E 0 ) =
E 0 −E 0 fc kb T
1+e 1 1+e
E 0 −E 0 fv kb T
Figure 54: grafico valido per ogni x in funzione di E della distribuzione degli elettroni in un cristallo drogato. Dove Ef0 v e Ef0 c si chiamano quasi-livelli di Fermi. Vediamo, qui di seguito, il motivo per cui un semiconduttore pu´o essere visto come un mezzo attivo
110
per un laser. Il rate di emissione sar´a proporzionale a:108 Wem ∝ fc (E20 )(1 − fv (E10 )) Il rate di assorbimento sar´a proporzionale a: Wabs ∝ fv (E20 )(1 − fc (E10 )) Se Wem > Wabs si potr´a avere amplificazione laser. Svolti i conti si avr´a che: e
0 −E 0 E1 fv kb T
>e
0 −E 0 E2 fc kb T
⇔ (E10 − E20 ) > (Ef0 v − Ef0 c ) ⇔ (E20 − E10 ) < (Ef0 c − Ef0 v )
Quest’ultima relazione prende il nome di Bernard-Duraffourg, e definisce la banda entro cui il semiconduttore si comporta da amplificatore ottico. L’amplificatore si caratterizza sia attraverso il rate di pompaggio Rp sia mediante il numero di elettroni nelle bande. Inoltre, i quasi-livelli di Fermi dipendono dal pompaggio. Si osservi come la condizione di trasparanza sia data da Eg = hν0 = Ef0 c − Ef0 v . A questa condizione ´e associato Rtr e una inversione Ntr , detta inversione di trasparenza. Si pu´o provare che il coefficiente di guadagno g(hν) presenta l’andamento in figura (55).
Figure 55: grafico del guadagno g(hν). Se chiamiamo γ = max(g(hν)) si ha che la soglia Nth la si ritrova per g = γ. 108
Il concetto ´e quello di dire che il rate di emissione dipende sia da quanti elettroni sono in banda di conduzione pronti a decadere fc (E20 ), sia quanti posti liberi ci sono in banda di valenza (1 − fv (E10 )) per accogliere questi elettroni.
111
9.3.2
Laser a omogiunzione
Questo laser fu uno dei primi ad essere costruiti. Lo si ottiene drogando fortemente una giunzione p-n (fino a portarla in uno stato degenere). Si noti che all’equilibrio termico il livello di Fermi ´e costante poich´e tale configurazione ´e quella ad energia minima.
Figure 56: schema di una giunzione degenere all’equilibrio termico, in cui il livello di Fermi ´e dentro le bande. Se applichiamo una tensione Vbias , otteniamo una configurazione differente e un livello di Fermi differente tra le due parti della giunzione (infatti non siamo pi´ u all’equilibrio termodinamico).
Figure 57: schema di una giunzione degenere con un potenziale di bias ad essa applicato. 112
Si noti come nella zona al centro della zona svuotata della giunzione il materiale si comporti da mezzo attivo poich´e viene rispettata la condizione di Bernard-Duraffourg (ovvero (E20 − E10 ) < (Ef0 c − Ef0 v )). Nelle altre zone, il materiale si comporta da assorbitore. In generale lo spessore della zona attiva vale ∆x ≈ 1µm. In particolare, il limite superiore ´e dato dalla ricombinazione di quei portatori minoritari che vanno nelle zone a loro opposte, la profondit´a √ di penetrazione ´e data da d = DτR , con D coefficiente di diffusione e τR il tempo di ricombinazione. Un grosso problema dei laser a omogiunzione ´e legato alle forti correnti ~jth che si generano a causa del grande potenziale Vbias che vi viene applicato. Vi sono due motivi principali che spiegano quest’ultima affermazione: • Dal momento che la zona attiva ´e limitata e serve una grande inversione di popolazione Nth , serviranno grandi correnti. • Dal momento che sono molte le zone di assorbimento, le perdite nel laser sono assai elevate, di conseguenza serviranno grandi correnti per mantenere l’inversione. Questo fatto caratterizza una struttura a omogiunzione. I due specchi sono le interfacce tra il semiconduttore e l’aria. Essi presentano una riflettivit´a pari a: nGaAs − 1 ≈ 0.3 R= nGaAs + 1 Con un guadagno sufficientemente alto potremmo avere luce laser in uscita: il fascio in uscita dipende dal guadagno interno e dalle perdite e ha uno spessore di circa 5µm. 9.3.3
Laser a doppia eterostruttura
Questo laser risolve tutti i problemi incontrati nel laser a omogiunzione. La giunzione p-n ´e costituita da GaAs al centro mentre gli strati esterni sono costituiti da (3AlAs+7GaAs)n . L’aggiunta di arseniuro di alluminio causa un forte aumento di Eg . Vi sono dei vantaggi notevoli ad aver introdotto l’arseniuro di alluminio: 1. L’effetto dell’aumento di Eg crea un carrier confinement, che inibisce la diffusione dei portatori in zona minoritaria riducendo la dimensione della zona attiva alla sola giunzione di GaAs. 113
Figure 58: Tipica struttura a omogiunzione.
Figure 59: Tipica struttura di una doppia eterogiunzione. 2. L’aggiunta di AlAs ha anche un altro vantaggio, detto photon confinement: in un materiale l’indice di rifrazione ´e inversamente proporzionale al gap tra la banda di conduzione e quella di valenza. Nella figura (59) si vede come il diverso indice di rifrazione comporti la creazione di una guida d’onda e di un fascio gaussiano in essa. 3. L’aumento di Eg comporta un minor assorbimento di fotoni. La corrente di soglia jth segue l’andamento in figura (60). Si noti come vi sia un minimo a dopt e che per d grandi, jth ∝ d. Infatti, per d elevati vale che: Rpth = η
jth Nth = ed τR
ovvero jth = 114
Nth ed ∝ d ητR
Per d → 0 sono dominanti gli effetti di diffusione che comportano un forte aumento di jth . In generale, dopt ≈ 0.1µm. 7
6
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
Figure 60: curva di jth in funzione della larghezza della zona di GaAs. GAIN GUIDED LASERS La configurazione tipica del laser ad eterostruttura ´e quella in figura:
Figure 61: Tipica struttura di laser gain-guided. La presenza degli strati di ossido permette di avere una selezione delle zone in cui passa la corrente. Inoltre s ≈ 5 ÷ 10µm. La spot-size ´e circa: d// ≈ s ∧ d⊥ ≈ 1µm Il laser pu´o oscillare nei modi T EMl,0 . Riducendo il valore di s si arriva a selezionare solo il modo T EM0,0 (che ´e il caso dei valori di qui sopra). Nelle 115
zone non invertite, tuttavia, si hanno ancora delle perdite. Se si utilizza un’altra configurazione (trattata di seguito), si possono ridurre anche queste ultime. LASER A GUIDA D’INDICE DI RIFRAZIONE
Figure 62: Tipica struttura di un laser a eterogiunzione migliorato. Nelle regioni laterali viene inserito un semiconduttore: Al0.35 Ga0.65 As. Quest’ultimo presenta un gap maggiore rispetto all’Al0.3 Ga0.7 As e quindi un indice di rifrazione minore: abbiamo cos´ı generato una guida d’onda che tende a confinare il campo nella giunzione GaAs. Si osservi inoltre che le giunzioni laterali sono polarizzate in inversa e quindi si ha conduzione solo nella zona attiva. L’uscita di questo laser ´e un fascio TEM00 astigmatico109 con d⊥ = 1µm e d// = 5µm. 2λ λ = πd e Studiamo ora la divergenza del fascio laser. Si ha che θd = πw c dunque: ( θd// = πd2λ// 2λ θd⊥ = πd > θd// ⊥ Dal momento che d⊥ < d// , si avr´a una dispersione pi´ u vistosa nella direzione di d⊥ : esister´a dunque uno zext tale che il fascio T EM00 subir´a una rotazione di π/2. Sar´a dunque necessario correggere questo astigmatismo con lenti particolari. 109
L’astigmatismo ´e il fenomeno per cui il campo elettrico viene distorto in modo differente a seconda della direzione che si considera, stando sul piano perpendicolare alla propagazione del campo.
116
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
0
2
4
6
8
10
Figure 63: Tipico spettro in potenza di un laser a semiconduttore. La distanza tra i modi vale ∆ν = 2Lc c ≈ 10 ÷ 100GHz. Inoltre Lc = nL ≈ n100µm. Si osservi come vi sia un forte allargamento di riga. Vi sono parecchie applicazioni dei laser a semiconduttore: pompaggio per laser a stato solido, lettori ottici, applicazioni nelle telecomunicazioni. Inoltre i diodi laser sono molto economici. Un problema in pi´ u sorge nell’ambito delle telecomunicazioni: diventa fondamentale selezionare un singolo modo. Dal momento che non ´e possibile filtrare i modi all’interno del semiconduttore, si utilizza una cavit´a DFB110 in cui si sfrutta la riflessione di Bragg per selezionare i modi opportuni. Infatti, si potranno propagare in cavit´a solo i modi con λ = λB = 2Λ˜ n, ove Λ vale due volte lo spessore di un film dielettrico (vedere l’appendice F). Inoltre, se costruiamo un profilo sinusoidale111 nella z). giunzione pn, avremo che n ˜ = hnef f i = hn(x, z)ix = n0 + sin( 2π Λ
110 111
D.F.B. ´e l’acronimo per Distributed feed back. Solo nella variabile z. Lungo le x sia costante.
117
10
Propriet´ a del fascio laser
Un fascio laser gode delle seguenti propriet´a: 1. Monocromaticit´a; 2. Coerenza spaziale e temporale; 3. Direzionalit´a; 4. Brillanza;
10.1
Monocromaticit´ a
Il fascio laser ´e un campo elettromagnetico che pu´o essere scritto nella forma: ˜ r, t) = E(~r, t) + c.c. E(~ Ove si ´e posto E(~r, t) = A(~r, t)eiω0 t−iφ(~r,t) con ω0 pari alla frequenza centrale del campo-laser e A(~r, t) e φ(~r, t) lentamente variabili su un ciclo ottico di periodo T = ω2π0 . Per un laser a singolo modo sia longitudinale che trasversale, A(~r, t) ´e, con ottima approssimazione, costante; φ(~r, t) fluttua nel tempo a causa della emissione spontanea. Queste fluttuazioni, che sono ineliminabili, comportano un limite al grado di monocromaticit´a della luce laser. Lo spettro in potenza di E(~r, t) ´e una lorentziana e la sua FWHM ´e data dalla relazione di Schawlow-Townes (riferirsi all’appendice G per maggiori dettagli): N2 2πhν0 (∆νc )2 N2 − N1 P Dove N1 e N2 sono le popolazioni dei livelli inferiore e superiore. P ´e la 1 potenza di uscita e ν0 = ω2π0 ´e la frequenza base del fascio. Infine, ∆νc = 2πτ c ´e la banda del risonatore ed ´e legata a τc , che ´e il tempo di vita dei fotoni nella cavit´a. Nel caso di un laser a 4 livelli si ha: ∆νosc =
∆νosc ∝
2πhν0 (∆νc )2 P
ESEMPIO
118
• Se prendiamo il laser He-Ne, con λ = 633nm, Pout = 1mW e τc = 1 = 4.7 · 105 Hz. Svolgendo i conti si ricava 3.3 · 10−7 s, da cui ∆νc = 2πτ c che ∆νosc ≈ 0.43mHz.112 Calcoliamo adesso il valore delle fluttuazioni φ(~r, t) che causerebbe un allargamento di riga pari a ∆νosc del modo oscillante. Considerando la cavit´a di Fabry-Perot si ottiene che νn = 2Lc c n. Differenziando avremo che: dνn = − Da cui ricaviamo che:
c dLc ndLc = −νn 2 2Lc Lc
dνn dLc = νn L c
Se imponiamo che dνn ∼ ∆νosc , otteniamo: ∆νosc Lc = 10−6 nm dLc ∼ ν0 Avendo posto Lc = 1m. Dal momento che questo valore, rispetto a 1m ´e trascurabile, la variazione di φ(~r, t) sar´a trascurabile a sua volta.
10.2
Coerenza
10.2.1
Grado complesso di coerenza del primo ordine
Riprendiamo il fatto che: ˜ r, t) = E(~r, t) + c.c. E(~ Ove si ´e posto E(~r, t) = A(~r, t)eiω0 t−iφ(~r,t) con ω0 pari alla frequenza centrale del campo-laser e A(~r, t) e φ(~r, t) lentamente variabili su un ciclo ottico di periodo T = ω2π0 . Definiamo la funzione di autocorrelazione del primo ordine la funzione seguente: Γ(1) (~r1 , ~r2 , t1 , t2 ) = hE(~r1 , t1 )E ∗ (~r2 , t2 )i Dove, al solito, h·i indica la media di insieme. Per un processo stazionario (laser in regime Cw ) la relazione dipende da τ = t2 − t1 e non dai due tempi 112
Un laser a GaAs presenta all’incirca ∆νosc ≈ 3M Hz.
119
in modo indipendente. Supponendo che E(~r, t) sia un processo ergodico, le medie di insieme coincidono con le medie temporali. Potremmo scrivere che: Z 1 T (1) ∗ Γ (~r1 , ~r2 , τ ) = hE(~r1 , t + τ )E (~r2 , t)i = lim E(~r1 , t + τ )E ∗ (~r2 , t)dt T →+∞ T 0 Definiamo l’intensit´a media nel tempo nel punto ~r come: I(~r) = Γ(1) (~r, ~r, 0) = hE(~r, t)E ∗ (~r, t)i = h|E(~r, t)|2 i = hA(~r, t)A∗ (~r, t)i Si definisce grado complesso di coerenza spazio-temporale la seguente grandezza: Γ(1) (~r1 , ~r2 , τ ) hE(~r1 , t + τ )E ∗ (~r2 , t)i = p γ (1) (~r1 , ~r2 , τ ) := p h|E(~r1 , t)|2 ih|E ∗ (~r2 , t)|2 i I(~r1 )I(~r2 ) Dal momento che E(~r, t) = A(~r, t)eiω0 t−iφ(~r,t) , si otterr´a: Γ(1) (~r1 , ~r2 , τ ) = hA(~r1 , t + τ )A(~r2 , t)eiω0 τ ei(φ(~r2 ,t)−φ(~r1 ,t+τ )) i = = hA(~r1 , t + τ )A(~r2 , t)ei(φ(~r2 ,t)−φ(~r1 ,t+τ )) ieiω0 τ Ove la funzione hA(~r1 , t + τ )A(~r2 , t)ei(φ(~r2 ,t)−φ(~r1 ,t+τ )) i risulta lentamente variabile sul ciclo di periodo T = ω2π0 . Analogamente avremo che: γ (1) (~r1 , ~r2 , τ ) = |γ (1) (~r1 , ~r2 , τ )|eiω0 τ −iφ(~r1 ,~r2 ,τ ) con i termini di modulo e fase, |γ (1) (~r1 , ~r2 , τ )| e φ(~r1 , ~r2 , τ ), lentamente variabili rispetto a eiω0 τ . Per la disuguaglianza di Schwartz, ricordando la definizione di γ (1) (~r1 , ~r2 , τ ), avremo che: |γ (1) (~r1 , ~r2 , τ )| ≤ 1 Infine, ´e bene osservare che per un campo rigorosamente monocromatico, γ (1) (~r1 , ~r2 , τ ) e Γ(1) (~r1 , ~r2 , τ ) risulteranno dipendenti da τ solo nel termine esponenziale eiω0 τ . 10.2.2
Coerenza temporale
Concentriamo l’attenzione su un punto fisso dello spazio ~r e studiamo la coerenza temporale del campo E(~r, t). In particolare, la funzione di autocorrelazione ´e data da: Z 1 T E(~r, t + τ )E ∗ (~r, t)dt lim T →+∞ T 0 120
Rimuoviamo la dipendenza da ~r per velocit´a di scrittura. Il grado complesso di coerenza sar´a pari a: γ (1) (τ ) =
Γ(1) (~r, ~r, τ ) I(~r)
Dove I(~r) = Γ(1) (~r, ~r, 0) = h|E(~r, t)|2 i. La funzione γ (1) (τ ) ´e detta grado complesso di coerenza temporale e gode delle seguenti propriet´a: 1. γ (1) (0) = 1 2. γ (1) (τ ) = (γ (1) )∗ (−τ ) 3. |γ (1) (τ )| ≤ 1 per la disuguaglianza di Schwartz. 4. Per un’onda rigorosamente monocromatica si ha che γ (1) (τ ) = eiω0 τ . Si noti che non ´e presente alcun termine di fase φ(~r, t) poich´e φ(~r, t) = φ(~r, t + τ ) ∀τ . Dunque si ha che |γ (1) (τ )| = 1 solo per onde rigorosamente monocromatiche. 5. Le fluttuazioni della fase e/o ampiezza del campo E(~r, t) fanno si che dopo un tempo τ grande, si abbia che E(~r, t + τ ) sia scorrelato da E(~r, t). Dunque |γ (1) (τ )| → 0 per τ → +∞. Un campo E(~r, t) avr´a una coerenza temporale perfetta se |γ (1) (τ )| = 1 ∀τ . Un campo E(~r, t) si dir´a totalmente incoerente se |γ (1) (0)| = 1 e |γ (1) (τ )| = 0 ∀τ 6= 0. L’andamento di |γ (1) (τ )| ´e di tipo gaussiano. 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 −3
−2
−1
0
1
2
3
Figure 64: Tipico grado di correlazione complesso |γ (1) (τ )|. 121
Si definisce il tempo di coerenza τc della radiazione e.m. nel punto ~r il valore τc tale che: |γ (1) (τc )| = 1/2 Pi´ u in generale, τc ´e definita come la deviazione standard della distribuzione. Dunque: R 2 (1) τ |γ (τ )|2 dτ 2 R R τc = |γ (1) (τ )|2 dτ R Il prodotto lc = τc c ´e detto lunghezza di coerenza del campo E(~r, t). Si ricorda che un laser pu´o avere delle lunghezze di coerenza pari a lc = 104 m e superiori. 10.2.3
Osservazioni
• Misura del grado di coerenza temporale |γ (1) (τ )|. Per misurare |γ (1) (τc )| si usa un interferometro di Michelson. Chiamiamo la distanza tra M e M1 L1 e la distanza tra M e M2 L2 . Tali distanze possono essere variate. Siano l1 e l2 i cammini ottici corrispondenti ai tragitti passanti per L1 e L2 . E(t) il campo sorgente. Il campo elettrico che giunge nel rilevatore vale: EF (t) = K1 E(t − l1 /c) + K2 E(t − l2 /c) K1 e K2 dipendono dai coefficienti di riflessione e trasmissione degli oggetti ottici dell’interferometro.
Figure 65: interferometro di Michelson, utilizzato per misurare |γ (1) (τ )|.
122
Nel nostro caso |K1 | = |K2 |. Il fotorilevatore misura l’intensit´a e dunque avremo: I = h|EF (t)|2 i = |K1 |2 h|E(t − l1 /c)|2 i + |k2 |h|E(t − l2 /c)|2 i+ +2Re(K1 K2∗ hE(t − l1 /c)E ∗ (t − l2 /c)i) Poniamo I0 = h|E(t)|2 i = h|E(t − l1 /c)|2 i = h|E(t − l2 /c)|2 i come l’intensit´a della sorgente e poniamo altres´ı K1 = |K|eiφ1 e K2 = |K|eiφ2 . Osserviamo che: hE(t − l1 /c)E ∗ (t − l2 /c)i = Γ(1) (~r, ~r, τ ) = I0 γ (1) (τ ) Ove τ = niamo:
l2 −l1 c
1 = 2 L2 −L . Mettendo insieme tutte le relazioni, ottec
I = 2|K|2 I0 (1 + Re(γ (1) (τ )ei(φ1 −φ2 ) )) Se113 φ1 = φ2 , ricordando che γ (1) (τ ) = |γ (1) (τ )|ei(ω0 τ −φ(τ )) si avr´a che: I = 2|K|2 I0 (1 + |γ (1) (τ )| cos(ω0 τ − φ(τ ))) 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0
0
1
2
3
4
Figure 66: grafico di
5
6
I . 2|K|2 I0
Si ricorda che, dal momento che γ (1) (τ ) ´e lentamente variabile rispetto a T = ω2π0 , si pu´o considerare I(τ ) localmente come una sinusoide pura. Localmente, ovvero in un intorno di τ , il valore di visibilit´a V: V = 113
Imax − Imin = |γ 1 (τ )| Imax + Imin
In realt´ a si pu´ o dimostrare che questa relazione ´e corretta.
123
Con Imax valore massimo di I nell’intorno. Lo stesso vale per Imin . • Relazione fra monocromaticit´a e coerenza temporale. Lo spettro di E(~r, t) misurato da uno spettrometro ´e pari, per il teorema di Winer-Kintchin, alla trasformata di Fourier della funzione di autocorrelazione Γ(1) (~r, ~r, t). Per un teorema dell’analisi di Fourier (l’equivalente del principio di Heisenberg) si ha che la varianza di |Γ(1) (~r, ~r, t)|2 (ovvero τc2 ) e quella di S 2 (ν) = (F{Γ(1) (~r, ~r, t)})2 (ovvero ∆νosc ) devono sottostare alle legge seguente: τc ∆νosc ≥
1 4π
L’uguaglianza vale se si tratta di gaussiane. 10.2.4
Coerenza spaziale
Consideriamo la funzione Γ(1) in τ = 0. Avremo che: Γ(1) (~r1 , ~r2 , 0) = hE(~r1 , t)E ∗ (~r2 , t)i Il grado complesso di coerenza sar´a dato da: Γ(1) (~r1 , ~r2 , 0) γ (1) (~r1 , ~r2 , 0) = p I(~r1 )I(~r2 ) Per un campo E(~r, t) = A(~r, t)eiω0 τ −iφ(~r,τ ) quasi monocromatico, ricordiamo che: γ (1) (~r1 , ~r2 , τ ) = |γ (1) (~r1 , ~r2 , τ )|eiω0 τ e−iφ(~r1 ,~r2 ,τ ) Con |γ (1) (~r1 , ~r2 , τ )| e φ(~r1 , ~r2 , τ ) lentamente variabili nel ciclo ottico T = ω2π0 . Fissiamo ~r1 e facciamo variare ~r2 sul fronte d’onda passante per ~r1 e tracciamo il grafico di |γ (1) (~r1 , ~r2 )|. Tale grafico risulter´a dipendente solo da ~r2 . Dunque, dato un fronte equifase piano avremo che il grafico di |γ (1) (~r1 , ~r2 )| risulta una gaussiana. Immaginiamo di secare la superficie con un piano orizzontale all’altezza 1/2. Chiameremo l’area circolare risultante area di coerenza Ac . Essa corrisponde a tutti i punti del piano equifase tali che |γ (1) (~r1 , ~r2 )| ≥ 1/2. Un fascio si dir´a in perfetta coerenza spaziale se risulta che |γ (1) (~r1 , ~r2 )| = 1 ∀~r1 , ~r2 sul fronte equifase. Inoltre, Ac rappresenta la dimensione fisica del 124
Figure 67: grafico di |γ (1) (~r1 , ~r2 )|. fascio. A questo punto ´e bene osservare che la relazione θd ∼ β Dλ , utilizzata a pagina 46, vale solo per fascio con coerenza spaziale perfetta. Altrimenti bisogna utilizzare θd ∼ β √λAc . Vale sempre che il fronte sia piano. Il grado di coerenza spaziale lo si misura con l’interferometro di Young. Consideriamo un punto P sullo schermo pi´ u esterno, ad un certo istante 114 di tempo t il campo elettrico varr´a: E(P, t) = K1 E(~r1 , t − l1 /c) − K2 E(~r2 , t − l2 /c) Ove l1 e l2 sono i cammini ottici che la luce compie al di l´a delle fenditure, ~r1 e ~r2 sono le posizioni dei due fori dell’interferometro e K1 e K2 sono delle costanti immaginarie. Calcoliamo ora l’intensit´a mediata nel tempo del campo nel punto P: I(P ) = hE(t)E ∗ (t)i = |K1 |2 h|E(~r1 , t − l1 /c)|2 i + |K2 |2 h|E(~r2 , t − l2 /c)|2 i+ +2Re(K1 K2∗ hE(~r1 , t − l1 /c)E ∗ (~r2 , t − l2 /c)i) Ovvero I(P ) = I1 + I2 + 2|K1 ||K2 |Re(Γ(1) (~r1 , ~r2 , τ )) 114
Si noti come, se il diametro del foro P’ vale d << λ, si ottiene: Z Z Z Z 1 E(P 0 ) i cos(θ) E(P ) = cos(θ)dΣ ≈ − dΣE(P 0 ) = K1 E(P 0 ) iλ r λ r Σ Σ
125
Figure 68: interferometro di Young. 1 . Dato che: Dove Ii = |Ki |2 h|E(~ri , t − li /c)|2 i per i = 1, 2 e τ = l2 −l c p Γ(1) (~r1 , ~r2 , τ ) = h|E(~r1 , t)|2 ih|E(~r2 , t)|2 iγ (1) (~r1 , ~r2 , τ )
Si ottiene che:
√
(1)
Γ (~r1 , ~r2 , τ ) =
I1 I2 (1) γ (~r1 , ~r2 , τ ) |K1 K2 |
Ordunque otterremo: I(P ) = I1 + I2 + 2
p I1 I2 Re(γ (1) (~r1 , ~r2 , τ ))
Ricordando che: γ (1) (~r1 , ~r2 , τ ) = |γ (1) (~r1 , ~r2 , τ )|eiω0 τ e−iφ(~r1 ,~r2 ,τ ) Otterremo infine che: I(P ) = I1 + I2 + 2
p I1 I2 |γ (1) (~r1 , ~r2 , τ )| cos(ω0 τ − φ(~r1 , ~r2 , τ ))
Il termine cosinusoidale della precedente espressione ´e chiamato termine di interferenza. Per piccole variazioni di τ avremo che I(P ) ∝ cos(ω0 τ ). Definiamo la visibilit´a dell’interferometro come: Imax − Imin V (P ) = ∈ [0, 1] Imax + Imin 126
√ √ Poich´e Imax = I1 +I2 +2 I1 I2 |γ (1) (~r1 , ~r2 , τ )| e Imin = I1 +I2 −2 I1 I2 |γ (1) (~r1 , ~r2 , τ )| avremo che: √ 2 I1 I2 |γ (1) (~r1 , ~r2 , τ )| V (P ) = I1 + I2 Osserviamo come V (P ) dipenda dal grado complesso di coerenza |γ (1) (~r1 , ~r2 , τ )|. Se poniamo l1 = l2 e |K1 | = |K2 |, ovvero creiamo dei fori uguali, e anche h|E(~r2 , t)|2 i = h|E(~r1 , t)|2 i, avremo che I1 = I2 , da cui: V (P ) = |γ (1) (~r1 , ~r2 , τ )| Dunque il grado complesso di coerenza ´e dato dalla visibilit´a delle frange di interferenza nel punto equidistante dai fori, supposti uguali in un esperimento di Young. In generale, se l1 = l2 avremo che √ 2 I1 I2 |γ (1) (~r1 , ~r2 , 0)| V (P ) = I1 + I2
10.3
Direzionalit´ a
La direzionalit´a del fascio laser ´e una propriet´a che indica la tendenza del ´ un campo E(~r, t) a rimanere confinato in una direzione preferenziale. E parametro strettamente legato alla divergenza. Esistono due metodi per studiare la divergenza 10.3.1
Metodo far-field
In questo metodo si studia l’angolo di divergenza θd = Wz(z) per z molto grande. Questo metodo ´e poco utilizzato proprio per il fatto che z deve essere molto elevato. 10.3.2
Metodo della lente sottile
La teoria scalare della diffrazione, trattata con l’analisi di Fourier ci porta a scrivere il seguente integrale di propagazione: Z Z 2 +x2 )+D(x2 +y 2 )−2x x−2y y A(y1 1 1 i 1 2B U (x1 , y1 , z1 )e−ik0 dx1 dy1 U (x, y, z) = λB R2 Dove i coefficienti A,B,C e D sono gli elementi della matrice di propagazione. Nel nostro caso, poniamo la lente sottile di focale f ad una distanza d1 dalla 127
sorgente del fascio studiato ed un fotorilevatore ad una distanza f dalla lente. Avremo che: 0 f 1 0 1 d1 A B 1 f = = − f1 1 − f1 (1 − df1 ) C D 0 1 0 1 Sostituendo i coefficienti nell’integrale di Huygens-Fresnel ed integrando, otteniamo: Z Z d1 k0 2 2 i U (x, y, z) = U (x1 , y1 , z1 )e−i 2f (1− f )(x +y )−i2π(x1 fx +y1 fy dx1 dy1 = λf R2 Z Z i −i k2f0 (1− df1 )(x2 +y2 ) e U (x1 , y1 , z1 )e−i2π(x1 fx +y1 fy ) dx1 dy1 = λf R2 i −i k2f0 (1− df1 )(x2 +y2 ) ˆ e U (fx , fy ) = λf y x Ove si ´e posto fx = − λf e fy = − λf e Uˆ (fx , fy ) ´e la trasformata di Fourier di U (x1 , y1 , z1 ). Osserviamo che: Z Z U (x1 , y1 , z1 )e−i2π(x1 fx +y1 fy ) dx1 dy1 = Uˆ (fx , fy ) = R2
Z Z =
U (x1 , y1 , z1 )e−ik(x1 θx +y1 θy ) dx1 dy1 = Uˆ (θx , θy )
R2
Ove si ´e posto θx = − fx e θy = − fy . Gli angoli θx e θy sono gli angoli di divergenza del fascio rispetto alle x e alle y. Consideriamo un fascio a perfetta coerenza spaziale: 1 r < d2 U (r) = 0 altrimenti Otteniamo che: I(r) =
2J1
krd 2f
2f krd
2 I0
Dove J1 ´e la funzione di Bessel al primo ordine e I0 ´e l’intensit´a di picco. I0 = I(0) = Pi 128
πd2 4λ2 f 2
Figure 69: grafico di I(x). Con Pi potenza del campo incidente. Ponendo x = kD r, questo ´e l’andamento 2f di I(x). Per calcolare l’angolo di divergenza si consideri il punto in cui I(x) = 0, ovvero x = 1.22π. Se r¯ ´e la distanza nel piano di arrivo rispetto al centro del , d il diametro del lobo centrale e f la distanza dalla sorgente, fascio, k = 2π λ si ha che: θd =
rˆ 2f 1 λ = 1.22π = 1, 22 f kd f d
Dunque, un fascio ad area circolare, perfettamente coerente presenta un angolo di divergenza pari a θd = 1, 22 λd . Se in generale abbiamo a che fare λ con un fascio gaussiano, si ´e provato a pagina 46 che θd = πW , dove W0 ´e la 0 spot-size del beam waist. In analogia col caso precedente, ponendo D = 2W0 , avremo 2λ λ θd = ≈ 0.64 πD D 129
Dunque un fascio gaussiano presenta una divergenza minore rispetto al fascio circolare. In generale, possiamo dire che un fascio perfettamente coerente presenta un angolo di divergenza pari a: θd = β
λ d
Il fattore β dipende da:115 1. Definizione di d. 2. Definizione di θd . 3. Profilo di ampiezza del campo. Studiamo adesso un fascio a parziale coerenza spaziale. Definiamo l’area di coerenza Ac come quell’area in cui si mantiene la fase praticamente invariata rispetto al punto P considerato. Se chiamiamo φ(P1 ) e φ(P2 ) due fasi in due punti dentro l’area Ac , allora φ(P1 ) − φ(P2 ) ∼ 0; inoltre, se φ(P3 ) ´e al di fuori di Ac , φ(P1 )−φ(P3 ) = casuale. Ovvero φ(P1 ) e φ(P3 ) risultano scorrelate. Se si considera un fascio laser con diametro D, al suo interno si riconosceranno dei piccoli fasci scorrelati tra loro di diametro d.116 Questo ”sottofascio” presenter´a una divergenza di: θd = β
λ d
Facendo i calcoli si pu´o mostrare che la divergenza del fascio intero ´e la stessa di quella di un singolo sottofascio: θD = β
λ λ >> β d D
Inoltre, per un fascio a parziale coerenza spaziale, si pu´o provare che: θd = β
λ dc
Ove il parametro β dipende da: 115
In generale, β ∼ 1. In questo modo,per studiare il problema del fascio a parziale coerenza spaziale ci si riduce a studiare molti problemi di fasci a coerenza perfetta. 116
130
Figure 70: rappresentazione pittoresca di un fascio a parziale coerenza spaziale con degli intorni coerenti al suo interno. 1. Definizione del diametro di coerenza dc . 2. Definizione dell’angolo di divergenza θD . Si noti che il profilo del campo non influenza direttamente il valore di β. I fasci perfettamente coerenti vengono definiti limitati per diffrazione. Viceversa i fasci non perfettamente coerenti vengono definiti non limitati per diffrazione.
10.4
Brillanza
La brillanza si definisce come potenza emessa per unit´a di angolo solido ed unit´a di superficie della sorgente: B(θ, φ) =
dP dΣ cos(θ)dΩ
B(θ, φ) ´e la brillanza, dP ´e la potenza infinitesima irradiata nell’angolo solido117 dΩ e dΣ cos(θ) = dΣef f ´e detta superficie efficace118 . Gli angoli θ e φ 117
Ricordiamo che l’angolo solido ´e un ”angolo 3D” che sottende una certa area della sfera unitaria. Dunque dΩ ∝ dΣ, ed in particolare R2 dΩ = dΣ. 118 Rappresenta la proiezione della superficie di partenza in modo perpendicolare al fascio.
131
sono le coordinate sferiche. L’unit´a di misura ´e dunque: [B] = m2Wsrad . Calcoliamo la brillanza in un fascio limitato per diffrazione (ovvero perfettamente coerente con θd = β λd ). Dato che la direzionalit´a ´e elevata, [cos(θ ≈ 0)] ≈ 1 e dunque: P 4P B= = Ac Ω πD2 Ω Se consideriamo un insieme chiuso a simmetria circolare sulla superficie sferica, otteniamo che: ∆Σ = π∆l2 = πR2 (∆θ)2 = R2 ∆Ω Da cui ∆Ω = π(∆θ)2 . Poniamo θd = ∆θ. Otteniamo: Ω=
πθd2
2 λ =π β d
Da ci´o ricaviamo che: B=4
P 4P D2 = 2 2 2 2 2 2 πD πβ λ π λβ
ESEMPIO: • Un laser a ioni di Ar con P = 10W , λ = 500nm presenta una brillanza data da: W 4 · 10 13 = 4 · 10 BAr+ 2 π (2/π)2 (5 · 10−5 )2 m2 rads A titolo di confronto, per una lampadina di mercurio con P = 100W si ha: W BHg+ = 105 2 m rads Da questo esempio si capisce come in effetti l’intensit´a non sia un buon parametro per descrivere la luce laser. Supponiamo di avere un sistema telescopico Il diametro del fascio in uscita sar´a D2 = ff12 D1 . Ma dato che la potenza ´e la stessa, nel caso in cui D2 < D1 , avremo: I2 =
P P > I1 = A2 A1 132
Figure 71: sistema telescopico con D2 < D1 . Si noti come l’intensit´a non si conservi attraverso un passaggio per un sistema ottico. La brillanza invece ´e data da: 4P B1 = 2 2 2 = B2 π λβ E dunque, a differenza dell’intensit´a, la brillanza ´e indipendente dal diametro del fascio. OSSERVAZIONE: • Prendiamo un fascio gaussiano che passa attraverso una lente. Nell’approssimazione dell’ottica geometrica si ottiene che r ≈ f θd . L’area del fascio sar´a pari a: λ2 A = πr2 ≈ πf 2 β 2 2 D L’intensit´a alla focale, posto che il fascio abbia potenza P , sar´a: If =
P P D2 D2 = = π B A πf 2 β 2 λ2 4f 2
L’intensit´a massima sar´a limitata dalle dimensioni fisiche della lente. In particolare: 2 π Dmax π If |max = B = B(N.A.)2 4 f 4 N.A. ´e l’apertura numerica di una lente e il suo valore risulta essere limitato (solitamente N.A. ∼ 10). 133
A
Calcoli sulla teoria perturbativa
Il problema che vogliamo studiare ´e il seguente: b r, t) = i~ ∂Ψ(~r, t) HΨ(~ ∂t Come gi´a specificato, compieremo le seguenti sostituzioni: b =H b0 + H bp H X Ψ(~r, t) = cl ψl (~r)eiωl t l
Dunque mettiamo le seguenti equazioni in quella originale e semplifichiamo il semplificabile: P X ∂( r)eiωl t ) iω t l cl ψl (~ b0 + H b p )( cl ψl (~r)e l ) = i~ (H ∂t l Che diventa: P X X ∂( l cl ψl (~r)eiωl t ) iωl t iωl t b b cl ψl (~r)e ) = i~ cl ψl (~r)e ) + Hp ( H0 ( ∂t l l E quindi: P X X ∂( r)eiωl t ) iω t iωl t l cl ψl (~ l b cl ψl (~r)e ) = i~ El cl ψl (~r)e ) + Hp ( ( ∂t l l Se si considera la derivata nel tempo e si svolgono i calcoli si ottiene: P X X ∂( l cl ψl (~r)eiωl t ) i~ = i~( c˙l ψl (~r)eiωl t ) + i~ iωl cl ψl (~r)eiωl t ∂t l l Ma sappiamo che ωl = E~l ; dunque, sostituendo nell’equazione iniziale, si P ottiene la semplificazione del termine l El cl ψl (~r)eiωl t . Abbiamo ottenuto quindi: X X bp( H cl ψl (~r)eiωl t ) = i~( c˙l ψl (~r)eiωl t ) l
l
134
Passando in notazione bra-ket: X X b p |ψl (~r)ieiωl t = i~( cl H c˙l |ψl (~r)ieiωl t ) l
l
Moltiplichiamo ora per hψn (~r)|e−iωn t ambo i membri e semplifichiamo: X X b p |ψl (~r)iei(ωl −ωn )t = i~( cl hψn (~r)|H c˙l hψn (~r)|ψl (~r)iei(ωl −ωn )t ) l
Ricordando che:
l
hψn (~r)|ψl (~r)i = 0 hψn (~r)|ψl (~r)i = 1
l 6= n l=n
Si ottiene: i~c˙l =
X
b p |ψl icl ei(ωl −ωn )t hψn |H
l
135
B
Approssimazione di dipolo magnetico
La prima approssimazione successiva a quella del dipolo elettrico ´e quella del dipolo mangnetico. Il termine di interazione classico vale:119 b p = −~µm · B ~ H La velocit´a areolare ´e definita come l’area spazzata dal raggio-vettore nell’unit´a di tempo: dS α= dt 1 Vale, come in un triangolo, che dS = 2 r(rdθ) e dunque si ha che: 1 dθ 1 α = r2 = r2 θ˙ 2 dt 2 ~ = ~r × p~ = mr2 θ˙ si ottiene che: Ricordando che il momento angolare vale L α=
~ |L| 2m
Sappiamo, dal teorema di Ampere che µ ~ m = IS~n dove I = − Te e S = αT . e~ Sostituendo tutto e definendo il magnetone di Bohr µB = 2m otteniamo: µm = −µB
~ L ~
Consideriamo il seguente caso semplice: un campo elettrico con ~k = k~ez polarizzato lungo ~x (e quindi un campo magnetico polarizzato lungo ~y ); otteniamo che ~ ·B ~ = µB L by By (t) = f (t)Pb b p = −~µm · B ~ = µB L H ~ ~ by . Svolgendo i soliti Abbiamo ottenuto che By (t) = f (t) e che Pb = µ~B L calcoli della teoria delle perturbazioni e risolvendo le EDO, si ottiene: mag mag W21 = W12 = 119
|P12 |2 πB02 gL (ω − ω0 ) 2~2
Stiamo considerando il modello di Bohr classico.
136
by |ψ1 i|2 . Con |P21 |2 = |P12 |2 = |hψ2 | µ~B L W mag Valutiamo adesso il rapporto W12elet per capire l’entita di questa migliore ap12 prossimazione. m 2 mag W12 B0 2 |P12y | 3 µB ) ' 10−5 = 3( ' 2 elet 2 E0 |µ12x | c erB W12
Dunque l’entit´a delle interazioni magnetiche ha una valenza 10−5 volte pi´ u piccola rispetto al campo elettrico. Per questo motivo si trascura il dipolo magnetico.
137
C
Radiazione di Corpo Nero
Il corpo nero ´e un oggetto che assorbe tutta la radiazione che incide su di esso. Esso viene immaginato come una cavit´a che mantiene costante la propria temperatura (termostato) con un piccolo foro da cui entra la radiazione. Su ogni singolo dS si deve avere che dE = 0 con dE = dEabs + dEem . Definiamo dt la densit´a di energia elettromagnetica come: 1 1 ρ = h E 2 i + h B 2 i 2 2µ Dove h·i indica la media temporale su un ciclo ottico120 . Definiamo la densit´a di energia spettrale ρν (ν) in modo che: Z +∞ ρν (ν)dν ρ= 0
Definiamo anche l’intensit´a spettrale di energia Iν e troviamone la relazione con ρν . Si consideri il campo elettrico incidente su una superifcie dS. Si ha che: ~ =E ~ 0 cos (ωt − ky) E Dunque:
c Iν (ν)dSdt = ρν (ν) dSdt n Per ragioni statistiche si divide il termine a destra per 4 e dunque si ottiene: c Iν (ν) = ρν (ν) 4n Si noti come ρν non dipende n´e dalla forma della cavit´a n´e dal materiale ma solo dalla radiazione incidente. Lo si pu´o dimostrare per assurdo: se avessi 2 corpi neri differenti posti uno di fronte all’altro con ρ1 > ρ2 e con in mezzo la sorgente, avrei una dissipazione di energia non giustificata. Dunque ρ1 = ρ2 . ~ ∂S = 0) e Dunque, cosidereremo la cavit´a fatta di metallo (e dunque E| a forma di parallelepipedo di lati L, 2a e 2a. Ricordando le equazioni di Maxwell: ~ =0 ∇·D ~ = − ∂ B~ ∇×E ∂t ~ =0 ∇·B ~ = µ0 ∂ D~ ∇×B ∂t 120
Tempo trascorso tra il fotone che entra e il fotone che esce.
138
Applicando il rotore alla seconda equazione si ottiene: ~− ∇2 E
~ 1 ∂ 2E =0 c2 ∂t2
~ r, t) = U ~ (~r)A(t). Dunque si ottiene: Separiamo le variabili: E(~ ~ (~r) − A(t)∇2 U
~ ~ (~r) ∂ 2 A(t) U =0 c2 ∂t2
~ (~r) = Ux (~r) + Uy (~r) + Uz (~r) si ottiene: Scomponendo U 2 2 ~ ~ x (~ ∇ U r) 1 = c12 ∂ ∂tA(t) 2 ~ x (~ A(t) U r ) 2 2 ~ ~ y (~ ∇ U r) 1 = c12 ∂ ∂tA(t) 2 ~ y (~ A(t) U r ) ~ 1 ∇2 U~ z (~r) = 12 ∂ 2 A(t) 2 ~ c ∂t A(t) U (~ r) z
2~
2~
2~
2
~
r) r) r) y (~ 1 z (~ x (~ = ∇U~ U(~ = ∇U~ U(~ = c12 ∂ ∂tA(t) = −k 2 . Dunque si ottenDunque ∇U~ U(~ 2 A(t) x r) y r) z r) gono due equazioni: l’equazione di Helmholtz e quella dell’oscillatore armonico. ∂A + ω2A = 0 ∇2 Ui + k 2 Ui = 0 e ∂t Con i = {x, y, z} e ω = kc. Risolvendo la prima si ottiene:
A(t) = A0 cos(ωt + φ) ~ r, t) = U ~ (~r) cos(ωt). Ponendo A0 = 1 e φ = 0 per semplicit´a si ha: E(~ Risolvendo Helmholtz si ottiene: Ux = ex cos(kx x) sin(ky y) sin(kz z) Uy = ey sin(kx x) cos(ky y) sin(kz z) Uz = ez sin(kx x) sin(ky y) cos(kz z) Con kx = mπ ,ky = mπ ,kz = mπ e k 2 = kx2 + ky2 + kz2 . Definiamo quindi le 2a L 2a frequenze dei modi normali, che sono quantizzate, in cavit´a: ! mπ 2 nπ 2 lπ 2 2 + + ωmln = c2 k 2 = c2 2a L 2a
139
Vogliamo ora trovare i vincoli di ~e = eˆx + eˆy + eˆz . Dalla prima equazione di Maxwell si ha che: ~ = 0 = ∂Ux + ∂Uy + ∂Uz = −ex kx sin(kx x) sin(ky y) sin(kz z)− ∇·U ∂x ∂y ∂z −ey ky sin(kx x) sin(ky y) sin(kz z) − ez kz sin(kx x) sin(ky y) sin(kz z) = = (~e · ~k) sin(kx x) sin(ky y) sin(kz z) = 0 Dunque si ha che ~e·~k = 0 e dunque i due vettori sono perpendicolari. Dunque, fissato k esistono 2 modi perpendicolari indipendenti. Dal momento che k ´e quantizzato, possiamo calcolare il numero di modi in un certo intervallo di frequenze N (ν). Si ha che:121 N (ν) = 2
)3 (1/8)(4/3)π( 2πν volume ottante di sfera c = π π π volume parallelepipedo 2a L 2a
Definendo pν come il numero di modi per unit´a di volume e per unit´a di frequenza, si ha: 1 dN (ν) 8πν 2 pν = = (. . .) = 3 V dν c Con V = 2a · L · 2a e con ρν = pν hEi. Dobbiamo anche considerare lo scambio di energia con la parete del corpo nero. Possiamo dire che ogni fotone ecciti un elettrone che comincia ad oscillare. Dal momento che siamo all’equilibrio termodinamico Etot deve essere costante e finita. Ovvero: Z ∞ Etot = V ρν dν < +∞ 0
Dal momento che siamo nell’ensemble canonico, applicando Boltzmann si ha che hEi = kb T . Da qui ricaviamo dunque la formula di Rayleigh-Jeans: 8π 2 ν kb T c3 Ma chiaramente questa formula ´e errata perch´e Etot = +∞. Il problema venne risolto da Planck, il quale ipotizz´o che l’energia fosse quantizzata. Se En = hνn si ha che: X 1 zc = e−βhνn = 1 − e−βhν n ρνRH =
121
Il 2 ´e dato appunto dai 2 modi indipendenti ∀k.
140
Da cui: hEi = −
hν ∂ ln(zc ) = (. . .) = βhν ∂β e −1
E dunque: ρν =
8π hν 3 c3 eβhν − 1
Facendo i calcoli si ottiene che h = 6.62681 · 10−34 Js.
141
D
Coefficienti di Einstein
Consideriamo un corpo nero in equilibrio termico al suo interno. I fenomeni che hanno luogo sono: • assorbimento; • emissione stimolata; • emissione spontanea; A causa dell’equilibrio N1 e N2 si devono conservare. Inoltre W12 = B12 ρν (ν0 ) e W21 = B21 ρν (ν0 ) e dunque: W12 N1eq = W21 N2eq + AN2eq Ricordando che N2eq = N1eq e−βhν0 , si ha: ρν (ν0 ) =
8π hν03 A = ρ = ν 12 βhν0 c3 eβhν0 − 1 B21 ( B e − 1) B21
Da cui si ricava che B12 = B21 = B e
A B
142
=
8πhν03 . c3
E
Ulteriori considerazioni sul Q-switching
Supponiamo che N e Φ, siano regolati dalle rate-equations seguenti: dN = Rp − BN Φ − τN2 dt dΦ = − τΦc + BN ΦVa dt In t = 0 si ha il Q-switching.
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0 −5
0
5
0 −5
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0 −5
0
5
0 −5
0
5
0
5
Figure 72: grafici di Rp (t), γ(t), N (t) e Φ(t).
1. Per t < 0 vi sono altissime perdite in cavit´a, e quindi avremo che: dN N = Rp − dt τ2 143
La soluzione di questa equazione ´e: N (t) = Rp τ2 (1 − e−t/τ2 ) Posto t = Tp = 3 ÷ 4τ2 , avremo che Ni ≈ Rp τ2 . Definiamo l’energia dell’impulso di pompa come: Ep = Pp Tp =
Rp hνp V Tp ∝ Rp ηp
E dunque: Ni Rp Ep = = =x Nith Rpth Epth Con Nith = γl /σl, con γl fattore di perdita per Q elevato (cio´e basse perdite). Dal momento che il valore di x viene fissato dall’esterno, conosciamo il valore di Ni = xNith . 2. Per t > 0 avremo perdite molto minori e dunque il termine τ2 sar´a molto elevato. Di conseguenza, N/τ2 ∼ 0. Inoltre, al cambio di Q, si ha anche che N1 > Nth . In conclusione otteniamo che le rate-equations sono: dN = −BN Φ − τN2 dt dΦ = − τΦc + BN ΦVa dt Osserviamo che dΦ = 0 quando N = BV1a τc = Nth = γl /σl. dt La potenza in uscita vale invece: P (t) = hν dΦ | = hνc γ22 Φ(t) . Dove dt 2 Lc dΦ | ´e la variazione del numero di fotoni causata dall’accoppiamento di dt 2 uscita. Definendo Φp come il numero di fotoni di picco, la potenza di picco sar´a: cγ2 Φp Pp = hν 2L Facendo il rapporto membro a membro tra le rate equations si ottiene: 1 Nth dΦ = Va − 1 = Va −1 dN BN τc Va N Separo le variabili e integro: Z
Φ(t)
Z
N (t)
dΦ = Φ(0)
N (0)
dN Va Nth − N
144
Z
N (t)
Va dN N (0)
Ordunque si ottiene: Φ(t) − Φ(0) = Va Nth ln
N (t) N (0)
− Va (N (t) − N (0))
Dove Φ(0) ´e l’extrafotone di emissione spontanea che ´e trascurabile rispetto a Φ(t). Quindi si ottiene: N (t) Φ(t) = Va Nth ln − Va (N (t) − Ni ) (5) Ni Dunque l’intensit´a di picco sar´a data da: Nth Φp = Va Nth ln − Va (Nth − Ni ) Ni Ricordando che x =
Ni , Nth
otterremo:
Φp = Va Nth (x − 1 − ln(x)) Da cui ricaviamo la potenza di picco: Pp = hν
cγ2 cγ2 γ Va Nth (x − 1 − ln(x)) = hν Ab l (x − 1 − ln(x)) = 2Lc 2Lc σl =
hν Ab γ2 (x − 1 − ln(x)) τc σ 2
Dove τc = Lcγc . L’energia dell’impulso ´e data da: Z +∞ Z Z cγ2 +∞ cγ2 +∞ E(t) = P (t)dt = hν Φ(t)dt = hν dΦ 2Lc 0 2Lc 0 0 Ma dalla seconda delle rate-equation, sostituendo dΦ otteniamo: Z +∞ Z +∞ Z +∞ Φ dΦ = φ(+∞) − Φ(0) = BN ΦVa dt − dt τc 0 0 0 Sapendo che Φ(+∞) ∼ Φ(0), avremo che: Z +∞ Z +∞ Z +∞ Φ N dt = BN ΦVa dt = Φdt τc Nth 0 0 0 145
Dalla prima delle rate-equations otteniamo che: dN = −BΦN dt e dunque dt = −
dN BN Φ
Passando all’integrale si ottiene: Z
N (+∞)
Z
+∞
dN = − N (0)
0
1 BΦN dt = − Va τc
Z
+∞
0
N φdt = Va τc (N1 −Ng ) Nth
Dunque, l’energia dell’impulso ´e pari a: E = hν
cγ2 Va τc (N1 − Ng ) 2Lc
Definendo l’efficienza di transizione 122 ηE := E = hν
Ni −Ng , Ni
avremo che:
cγ2 Va τc Ni ηE 2Lc
Riprendendo l’equazione (5) si ottiene che: Ng Ng Ni Φ(+∞) = Va Nth (ln − + )≈0 Ni Nth Nth Da cui si ricava che:
Essendo 1 − ηE = 1 − ηE ) + xηE = 0.
ln
Ng Ni
Ni −Ng Ni
=
+ ηE Ng , Ni
Ni =0 Nth
risulter´a valida la relazione: ln(1 −
Si osservi che per x ≥ 5 ηE ∼ 1. Dunque possiamo riscrivere l’energia dell’impulso come: E = hν
cγ2 cγ2 Lc cγ2 Lc σl Va τc Ni ηE = hν Ab l Ni ηE = hν Ab l Ni ηE = 2Lc 2Lc cγ 2Lc cγ σl = hνAb
γ2 1 Ni Ab γ2 ηE = hν ηE x 2 σ Nth σ 2
146
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
2
4
6
8
10
Figure 73: grafico di ηE (x). Per x ≥ 5 si ottiene: E = hν Aσb γ22 x. Calcoliamo adesso la durata dell’impulso di picco ∆τp . Per farlo, calcoliamo l’area del rettangolo intorno all’impulso: ∆τp =
E ηE x = τc Pp x − ln x − 1
E ancora, per x ≥ 5 avremo che τp ∼ ∆τp . Per concludere, calcoliamo il tempo di crescita (o build up time) dell’impulso. Definiamo il tempo di crescita td come il tempo tale che Φ(td ) = Φp /10, essendo Φp il valore del numero di fotoni di picco. Riprendiamo la seconda rate-equations: Φ dΦ = − + BN ΦVa dt τc Facciamo la seguente semplificazione: per t < td , si abbia N (t) ∼ N1 . Otteniamo: dΦ Φ Φ Ni Φ = (BNi τc Va − 1) = ( − 1) = (x − 1) dt τc τc Nth τc La soluzione di questa equazione differenziale ´e data da: Φ(t) = Φ(0)e(x−1)t/τc 122
Rappresenta il rapporto tra gli atomi diseccitati e quelli eccitati.
147
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0 −5
0
5
Figure 74: grafico di P (t). Ponendo Φ(td ) = Φp /10 e invertendo l’equazione si ottiene: τc Φp td = ln x−1 10Φi OSSERVAZIONE Per x ≥ 50, ovvero per i laser a pompaggio molto elevato, si ha che l’impulso ´e fortemente asimmetrico con la salita rapidissima. 0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
2
4
6
8
10
Figure 75: grafico di Φ(t). La salita infatti, ha un andamento esponenziale, come abbiamo stimato prima: Φ(t) = Φ(0)e(x−1)t/τc . La parte decrescente ha ancora andamento esponenziale, ma decresce con costante τc : Φ(t) = Ae−t/τc . La 148
ragione di quest’ultima ´e data dal fatto che il materiale risulta trasparente (e quindi non vi ´e inversione di popolazione), e dunque si hanno dei decadimenti per emissione spontanea.
149
F
Riflessione di Bragg
Studiamo l’andamento di uno strato multidielettrico: una successione di film sottili spessi t a diverso indice di rifrazione. Nel nostro caso avremo nhigh e nlow . Prendiamo il piano di uscita γ e calcoliamo l’onda riflessa R. L’onda uscente ´e data dalla somma, con opportuni sfasamenti, delle onde riflesse all’interfaccia di ogni strato.
Figure 76: schema di uno strato multidielettrico. In particolare avremo che: 2 • Sia r1,2 = nn11 −n . Se r1,2 > 0 l’onda non si sfasa, ma se r1,2 < 0 allora +n2 l’onda subisce uno sfasamento di ∆φ = π.
• Al bordo esterno ∆φ1 = 0. • Tra uno strato e l’altro ∆φ1 = 2kt˜ n+π, avendo posto n ˜ = 1/2(nH −nL ). Per avere interferenza costruttiva in uscita, dovremmo imporre che: ∆φ1 + 2mπ = ∆φ2 , con m ∈ N Svolgendo i conti si ottiene che: λm = 4˜ nt/m 150
Sia Λ = 2t, avremo che λm = 2Λ˜ n/m. Si definisce lunghezza d’onda di Bragg la seguente quantit´a: λB = 2Λ˜ n. Dunque uno specchio dielettrico permette la riflessione solo di onde con λ = λmB , con m ∈ N (ovvero la lunghezza d’onda di Bragg e le sue armoniche). Tutte le altre onde saranno trasmesse dallo specchio.
151
G
Relazione di Schawlow-Townes
Sia U l’energia e.m. del campo in questione immagazzinata in cavit´a e sia ∆τ l’intervallo di tempo caratteristico fra l’emissione spontanea di un fotone e il successivo. Il principio di indeterminazione afferma che: ∆τ ∆U ≈ ~ Sia Φ il numero di fotoni in cavit´a. Allora U = Φhν0 (ricordiamo che stiamo considerando un solo modo a frequenza ν0 ). Dunque: ∆U = ∆Φ(hν0 ) + Φh∆νosc Dato che ∆Φ << Φ possiamo scrivere che: ∆U = Φh∆νosc Ricordiamo che la rate equation per Φ ´e: dΦ Φ = − + BN ΦVa + BN Va dt τc Dove il termine BN Va ´e il solito extrafotone di emissione spontanea. Tale termine sar´a uguale a ∆τ : 1 ∆τ = BN Va Per un laser sopra-soglia si ha che N ≈ Nth = ∆τ ∼ τc =
1 : BVa τc
1 2π∆νc
Inoltre si ha che, posto γ2 = 2γ la potenza in uscita sar´a: Pout = τΦc hν0 . Ovvero: Pout τc Pout Φ= = hν0 2πhν0 ∆νc Sostituendo i termini cos´ı ricavati nell’equazione del principio di indeterminazione, si ha che: 2πhν0 (∆νc )2 ∆νosc ∼ P Quest’ultima ´e nota come relazione di Schawlow-Townes. 152
