TUGAS 2 MATA KULIAH MPMT5104 AL A LJABAR
Ole Oleh :
MIFTAHUL MIFTAHUL MUIN NIM. NIM. 50000 50000518 5182 2
PROGRAM PROGRAM MA GISTER GISTER PENDIDIKAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNIVERSITAS UNIVERSITAS TERBUK A UPBJJ SURABAYA 2013
Kerjakan soal-soal berikut! 1.
Tentukan apakah ruang berikut merupakan ruang vektor atau bukan a.
Himpunan semua pasangan bilangan riil ( x, y) dengan operasi-operasi ( x, y) + ( x , y ) = ( x + x + 1, y + y + 1) dan k ( x, y) = (kx, ky)
b.
2.
Himpunan semua matriks 2 x 2 yang berbentuk
Apakah B himpunan vektor di R2 dengan jumlah komponennya sama dengan nol 2
merupakan sub-ruang vektor dari R ?
3.
Misal U dan W adalah dua subruang dari ruang vektor V . Setiap vektor x V adalah dapat diekspresikan secara tunggal dalam bentuk x u w , dengan u U , dan w W , jika dan hanya jika U dan W adalah subruang yang saling komplemen. Buktikan pernyataan tersebut.
4.
Mana diantara 3 vektor berikut yang merupakan kombinasi linier dari u = (2,1,4), v = (1,-1,3), dan w=(3,2,5)?
5.
a.
(5,9,5)
b.
(2,0,6)
c.
(0,0,0)
Periksa apakah T : R3 M 22 dengan
merupakan
transformasi linear ?
6.
Misal V dan W adalah ruang vektor terhadap field F . Dengan penjumlahan dan perkalian skalar yang didefinisikan dengan cara biasa untuk pemetaan, L(V , W ) adalah sebuah ruang vektor terhadap F . Buktikan pernyataan tersebut!
Selamat mengerjakan!
Jawab
1.a. Misalkan W = {( x, y)
∈
2
R |( x, y) + ( x , y ) = ( x + x + 1, y + y + 1) dan k ( x, y) =
(kx, ky)}. W ruang vektor atau bukan, maka akan dibuktikan:
(W , +) adalah grup komutatif a, b ∈ lapangan R – {0} dan
( x1, y1), ( x2, y2) ∈ W berlaku:
i. a(( x1, y1) + ( x2, y2)) = a( x1, y1) + a( x2, y2) ii. (a + b) ( x1, y1) = a( x1, y1) + b( x1, y1) iii. (ab) ( x1, y1) = a(b( x1, y1)) iv. 1.( x1, y1) = ( x1, y1), dengan 1 adalah unsur identitas R – {0}. Ambil sebarang ( x1, y1), ( x2, y2) ∈ W . Misalkan a adalah sebarang skalar ∈ R –{0}. a(( x1, y1) + ( x2, y2)) = a( x1 + x2 + 1, y1 + y2 + 1) = (a( x1 + x2 + 1), a ( y1 + y2 + 1)) = (ax1 + ax2 + a, ay1 + ay2 + a)………….pers. 1 a( x1, y1) + a ( x2, y2) = (ax1, ay1) + (ax2, ay2) = (ax1 + ax2 + 1, ay1+ ay2 + 1) ……………pers. 2 Dari pers.1 dan 2 maka a(( x1, y1) + ( x2, y2)) ≠ a( x1, y1) + a( x2, y2). Sehingga W bukan ruang vektor atas lapangan R – {0}. Karena tidak terpenuhinya unsur i) a(( x1, y1) + ( x2, y2)) = a( x1, y1) + a( x2, y2)
( x1, y1), ( x2, y2)
∈
W dan
sebarang skalar a ∈ R –{0}.
1.b. Misalkan W = {M2(R )| M =
, a,b ∈ R}.
Dibuktikan apakah W merupakan ruang vektor atas lapangan R – {0}, maka:
(W , +) grup komutatif
Dibuktikan apakah (W , +) grup komutatif o
Berlaku sifat tertutup di (W , +) Ambil sebarang M, M’
∈
W , dengan
Dibuktikan apakah M + M’
∈
W.
,
M + M’
M + M’ o
∈
W bersifat tertutup.
Sifat asosiatif di (W , +) Ambil sebarang M, M’, M”
∈
W , dengan
,
,
Akan ditunjukkan bahwa (M + M’) + M” = M + (M’ + M”). (M + M’) + M”
= M + (M’ + M”). Berlaku sifat asosiatif di (W , +) o
memiliki unsur identitas di (W , +) Ambil sebarang M
∈
W.
sehingga M’ + M = M + M’ = M. M’ + M
adalah unsur identitas di (W , +),
= M + M’
=M terdapat unsur identitas di W yaitu . o
Setiap M ∈ W mempunyai invers Ambil sebarang M
∈
W. Misalkan
-1
adalah -1
inversnya maka: M + M = M + M = M’, dengan M’ adalah unsur identitas di W. -1
M +M
=M+M -1
-1
-1
M + M = M + M = M’
Berarti a’’ + a = 0, sehingga diperoleh a’’ = -a. Juga a’’ + b” + a + b = 0,
dengan mensubstitusikan a’’ + a = 0 pada persamaan tersebut diperoleh 0 + b” + b = 0; b” + b = 0; b” = -b.
Sehingga,
= -M -1
sehingga M = -M adalah invers
M
∈
W .
o
sifat komutatif di (W ,+) Ambil sebarang M, M’ ∈ W dengan ,
,
M + M’ = M’ + M. M + M’
= M’ + M Sehingga dapat disimpulkan (W , +) grup komutatif
x, y ∈ lapangan R – {0} dan
K, L
Ambil sebarang M1, M2 ∈ W dengan Misal x, y sebarang skalar ∈ R – {0}. i.
x(K + L) = xK + xL x(K + L)
= xK + xL
∈
W berlaku: dan
ii.
( x + y)(K) = xK + yK ( x + y)(K)
= xK + yK
iii.
( xy)(K) = x( yK) ( xy)(K)
= x( yK)
iv.
1.(K) = K, dengan 1 adalah unsur identitas R – {0} 1.(K)
= K Dari semua pembuktian telah ditunjukkan bahwa W merupakan ruang vektor atas lapangan R – {0}. 2
2
2. Misalkan B = {( α, ß) ∈ R | α + ß = 0}. Apakah B sub ruang vektor dari R . Ambil sebarang (α1, ß1), (α2, ß2)
∈
B, artinya (α1, ß1)
∈
R 2 dan
2
serta (α2, ß2) ∈ R dan α2 + ß2 = 0. Misalkan x, y sebarang ∈ R – {0}. x(α1, ß1) + y(α2, ß2) = ( x α1, x ß1) + ( y α2, y ß2) = ( x α1 + y α2, x ß1+ y ß2) 2
Sifat tertutup pada (R, +) sehingga ( x α1 + y α2, x ß1+ y ß2) ∈ R . ( x α1 + y α2) + ( x ß1+ y ß2) = x α1 + x ß1 + y α2 + y ß2 = x(α1 + ß1) + y(α2 + ß2) = x(0) + y(0) =0+0 =0 sehingga ( x α1 + y α2) + ( x ß1+ y ß2) ∈ B. 2
Jadi B sub ruang vektor dari R .
α1
+ ß1 = 0,
3. Untuk membuktikan pernyataan soal nomor 3 ini, kita melakukan dua pembuktian, Pertama akan dibuktikan
.
Kedua, Pertama: Ambil sebarang z ∈ U ∩W , z ∈U dan z ∈W z ∈ V z = 0 + z , 0 ∈ U dan z ∈ W z = z + 0, z ∈ U dan 0 ∈ W U ∩W = {0} V=U+W Terbukti U ∩ W = {0}dan U + W = V , sehingga U dan W adalah subruang yang saling komplemen. Kedua: Ambil sebarang x ∈ V = U + W x = u1 + w1 dan x = u2 + w2, dengan u1, u2 ∈U dan w1,w2 ∈ W maka x = x; u1 + w1 = u2 + w2; u1 – u2 = w2 – w1 u1 – u2 ∈ U dan w2 – w1 ∈ W ruas kiri dalam U dan ruas kanan dalam W kedua ruas adalah anggota U ∩W sehingga: u1 – u2 = w2 – w1 = 0 u1 – u2 = 0 dan w2 – w1 = 0 u1 = u2 dan w1 = w2 Dari pembuktian pertama dan kedua setiap vektor x V adalah dapat diekspresikan secara tunggal dalam bentuk x u w , dengan u U , dan w W , jika dan hanya jika U dan W adalah subruang yang saling komplemen.
4. u = (2,1,4), v = (1,-1,3), dan w = (3,2,5). Misal x, y, z sebarang skalar. a. Misalkan xu + yv +zw = (5, 9, 5). x(2,1,4) + y(1,-1,3) + z (3,2,5) = (5, 9, 5) sehingga diperoleh sistem persamaan: 2 x + y + 3 z = 5 x – y + 2 z = 9 4 x + 3 y + 5 z = 5
pers.1 pers.2 pers.3
Pers. 1 dan 2 2 x + y + 3 z = 5 x – y + 2 z = 9 + 3 x
+ 5 z = 14
pers. 4
Pers. 1 dan 3 2 x + y + 3 z = 5…………x 3 menjadi 6 x + 3 y + 9 z = 15 4 x + 3 y + 5 z = 5………..x 1 menjadi 4 x + 3 y + 5 z = 5 – 2 x
+ 4 z = 10
x
+ 2 z = 5
Pers. 4 dan 5 3 x + 5 z = 14 …………x 1 menjadi 3 x + 5 z = 14 x + 2 z = 5 ………….x 3 menjadi 3 x + 6 z = 15 – - z = -1 z = 1 Substitusi z =1 ke pers. 5 x + 2(1) = 5 x = 3 Substitusi x = 3 dan z = 1 ke pers. 1 2(3) + y + 3(1) = 5 6 + y + 3 = 5 y = -4 Didapatkan x = 3, y = -4 dan z = 1.
pers. 5
b. Misalkan xu + yv +zw = (2,0,6). x(2,1,4) + y(1,-1,3) + z (3,2,5) = (2,0,6) sehingga diperoleh sistem persamaan: 2 x + y + 3 z = 2
pers. 1
x – y + 2 z = 0
pers. 2
4 x + 3 y + 5 z = 6
pers. 3
Pers. 1 dan 2 2 x + y + 3 z = 2 x – y + 2 z = 0 + 3 x
+ 5 z = 2
pers. 4
Pers. 1 dan 3 2 x + y + 3 z = 2…………x 3 menjadi 6 x + 3 y + 9 z = 6 4 x + 3 y + 5 z = 6………..x 1 menjadi 4 x + 3 y + 5 z = 6 – 2 x x
+ 4 z = 0 + 2 z = 0 x = -2 z
Substitusi x =-2 z ke pers. 4 3(-2 z ) + 5 z = 2 -6 z + 5 z = 2 - z = 2 z = -2 Substitusi z = -2 ke pers. 5 x = -2(-2) x = 4 Substitusikan x = 4 dan z = -2 ke pers.1 2(4) + y + 3(-2) = 2 8 + y – 6 = 2 y = 0 Didapatkan x = 4, y = 0 dan z = -2
pers. 5
c. Misalkan xu +yv +zw = (0,0,0). x(2,1,4) + y(1,-1,3) + z (3,2,5) = (0,0,0) sehingga diperoleh sistem persamaan: 2 x + y + 3 z = 0
pers. 1
x – y + 2 z = 0
pers. 2
4 x + 3 y + 5 z = 0
pers. 3
Pers. 1 dan 2 2 x + y + 3 z = 0 x – y + 2 z = 0 + 3 x
+ 5 z = 0
pers. 4
Pers. 1 dan 3 2 x + y + 3 z = 0…………x 3 menjadi 6 x + 3 y + 9 z = 0 4 x + 3 y + 5 z = 0………..x 1 menjadi 4 x + 3 y + 5 z = 0 – 2 x x
+ 4 z = 0 + 2 z = 0 x = -2 z
Substitusi x =-2 z ke pers. 4 3(-2 z ) + 5 z = 0 -6 z + 5 z = 0 - z = 0 z = 0 Substitusi z = 0 ke pers. 5 x = -2(0) x = 0 Substitusi x = 0 dan z = 0 ke pers. 1 2(0) + y + 3(0) = 0 0 + y – 0 = 0 y = 0 Didapatkan x = 0, y = 0 dan z = 0.
pers. 5
5. Ambil sebarang α, ß ∈ R3, dengan α = (a1, b1, c1), ß = (a2, b2, c2) dan m,n sebarang ∈ R – {0}.
T: R3 M 22 dengan
transformasi linier
T(mα + nß)
= m T(α) + n T( ß) T(mα + nß) = m T(α) + n T( ß)
, ß ∈ R 3 dan m,n sebarang skalar ∈ lapangan
α
R – {0}, sehingga T transformasi linier.
6. akan dibuktikan
( L(V,W ), +) grup komutatif a) ( L(V,W ), +) memenuhi sifat tertutup Ambil sebarang T1, T2 ∈ L(V,W ). Buktikan T1 + T2 ∈ L(V,W ). Misal v1, v2 sebarang ∈ ruang vektor V dan skalar a, b sebarang ∈ lapangan F . (T1 + T2)(av1 + bv2) = T1(av1 + bv2) + T2(av1 + bv2) = T1(av1) + T1(bv2) + T2(av1) + T2(bv2) = aT1(v1) + bT1(v2) + aT2(v1) + bT2(v2) = a(T1(v1) + T2(v1)) + b(T1(v2) + T2(v2)) = a((T1 + T2)(v1)) + b((T1 + T2)(v2)) = a(T1 + T2)(v1) + b(T1 + T2)(v2) T1 + T2 ∈ L(V,W ) berlaku sifat tertutup di ( L(V,W ), +). b) ( L(V,W ), +) memenuhi sifat asosiatif Ambil sebarang T1, T2, T3 ∈ L(V,W ). Buktikan (T1 + T2) + T3 = T1 + (T2 + T3). Misal v sebarang ∈ ruang vektor V . ((T1 + T2) + T3)(v)
= (T1 + T2)(v) + T3(v) = T1(v) + T2(v) + T3(v) = T1(v) + (T2(v) + T3(v)) = T1(v) + (T2 + T3)(v) = (T1 + (T2 + T3))(v)
Berlaku sifat asosiatif di ( L(V,W ), +). c) ( L(V,W ), +) mempunyai unsur identitas Ambil sebarang T∈ L(V,W ). Misal T0 adalah unsur identitas, maka berlaku T0 + T = T + T 0 = T Misal v sebarang anggota dari ruang vektor V . (T0 + T)(v) = (T + T 0)(v) = T(v) T0(v) + T(v) = T(v) + T0(v) = T(v) Dengan demikian T0(v) = 0w
v di V . Jadi unsur identitasnya adalah fungsi
yang bernilai 0 w untuk sebarang v di V .
d)
L(V,W ) mempunyai invers Ambil sebarang T anggota L(V,W ). Misal T
-1
-1
-1
adalah invers, maka berlaku T + T = T + T = T0
Misal v sebarang anggota dari ruang vektor V . -1
-1
(T + T)(v) = (T + T )(v) = T0(v) -1
-1
T (v) + T(v) = T(v) + T (v) = 0w -1
T (v) = -T(v)
v di V . Jadi inversnya adalah fungsi yang mengawankan v
dengan -T(v) untuk sebarang v di V . e) ( L(V,W ), +) berlaku sifat komutatif Ambil sebarang T1, T2 ∈ L(V,W ). Buktikan T1 + T2 = T2 + T1. Misal v sebarang ∈ ruang vektor V . (T1 + T2)(v) = T1(v) + T2(v) = T2(v) + T1(v) = (T2 + T1)(v) Maka T1 + T2 = T2 + T1, sehingga berlaku sifat komutatif di ( L(V,W ), +). Sehingga ( L(V,W ), +) grup komutatif.
a, b ∈ lapangan F dan i.
T1 , T2 ∈ L(V,W ) berlaku:
a(T1 + T2) = aT1 + aT2 a(T1 + T2)(v) = a(T1(v) + T2(v)) = aT1(v) + aT2(v)
ii.
(a + b) (T1) = aT1 + bT1 (a + b) (T1)(v)
= a(T1)(v)+ b(T1)(v) = aT1(v)+ bT1(v)
iii. (ab) (T1) = a(bT1) (ab) (T1)(v) = T1(abv) = T1(a(bv)) = aT1(bv) = a(bT1(v))
iv. 1.(T1) = T1, dengan 1 adalah unsur identitas F 1.(T1)(v) = T1(1.v) = T1(v) 1.(T1)
= T1.
L(V,W ) ruang vektor atas lapangan F.
