AJUSTE DE CURVAS POR EL METODO DE MINIMOS CUADRADOS
1.1 INTRODUCCION
El método de mínimos cuadrados es un conjunto de pasos utilizado para aproximar un conjunto de puntos a un modelo, el cual puede ser lineal, cuadrado, exponencial, etc. Se basa en el principio de reducir la varianza al mínimo, adecuando a uno de los modelos anteriormente citados. Además nos brinda información importante sobre la tendencia que tendrá alguna variable en cuestión.
En el desarrollo de las prácticas experimentales se obtienen datos, de variables dependientes como de variables independientes. Se construye la grafica en un sistema de coordenadas rectangulares, donde se aprecia la nube de puntos (ò diagrama de dispersión), luego, se debe determinar a qué tipo de función se aproxima la nube de puntos que se tiene.
1.2 ECUACIONES DE CURVAS APROXIMANTES
Existen varios tipos de curvas aproximantes y sus ecua ciones más usadas se presentan a continuación: Línea recta
y = a + bx
Parábola o curva cuadrática
y = a+ bx +cx
Línea logarítmica
y = a + b ln x
Curva exponencial
y = a + ⁄
Curva geométrica
y = a +xb
Otras curvas Donde: a,b,c = constantes x = variable independiente y = variable dependiente
2
1.2.1 Ajuste de la curva de la línea recta por el método de los mínimos cuadrados
El tipo más sencillo de curva aproximadamente es la recta, cuya ecuación es: y = a + bx Donde: a = ordenada en el origen (valor de y cuando x= 0). b = pendiente de la recta. x = variable independiente. y = variable dependiente. El valor de las constantes (a=ordenada en el origen y b = pendiente de la recta), se puede determinar mediante: sistema de ecuaciones (ecuaciones normales) ò por formula. Sistema de ecuaciones (ecuaciones normales)
Mediante el sistema de ecuaciones; que se puede resolver por determinantes, sustitución o sumas y restas. Las ecuaciones son las siguientes: ∑ y = n a +b ∑ x 2
∑xy = a∑x + b∑ x
a = ordenada en el origen (valor de y cuando x= 0). b = pendiente de la recta. x = variable independiente. y = variable dependiente. n = numero de pares de datos.
Por fórmula
El valor de las constantes (a = ordenada en el origen y b = pendiente de la recta) también calcular por formula como se presenta a continuación:
∑ (∑ ) ∑∑ ∑ ∑
a=
∑∑∑ ∑ ∑
b =
PRACTICO No 1 Ejercicio No.1
Con los siguientes datos experimentales, realizar el ajuste de la curva aplicando el método de los mínimoscuadrados: x 1 3 4 6 8 9 11 14
y 1 2 4 4 5 7 8 9
PROCEDIMIENTO
a) Graficar la curva en el papel milimetrado y = f(x). b) Escribir la ecuación de la recta. c) Calcular las constantes (a = ordenada en el origen y b = pendiente de la recta) utilizando: las ecuaciones normales o por la formula (escriba la forma seleccionada) d) Calcular las sumatorias y colocar en forma de tabla como se muestra a continuación.
x 1 3 4 6 8 9 11 14 ∑x = 56
y 1 2 4 4 5 7 8 9 ∑y = 40
X 1 9 16 36 64 81 121 196 ∑x = 65.5
xy 1 6 16 24 40 63 88 126 ∑xy = 45.5
e) Reemplazar los valores de las sumatorias de las ecuaciones o formulas correspondientes y encontrar los valores de a y b.
a=
∑ (∑ ) ∑∑ ∑ ∑ a=
a= a = ∑∑∑ ∑ ∑ b =
b =
b =
b =
f) Reemplazar los valores de a y b en la ecuación de la recta. y = a + bx y = -0.027 + 0.718*1 y = g) Con esta ecuación ajustar la curva original; utilizando los mismos valores de x, calcular los nuevos valores de y`. h) Presentar estos valores en la tabla como se muestra a continuación:
x 1 3 4 6 8 9 11 14
y` 0.691 2.127 2.845 4.281 5.717 6.435 7.871 10.03
i) Graficar los puntos y luego unir los mismos, que debería dar como resultado, una recta
Ejercicio No.2
Se toma una muestra aleatoria a 8 ciudades de Bolivia y se determina por los datos del censo el porcentaje de graduados en las universidades privadas la mediana del ingreso económico de cada ciudad según el porcentaje de graduados, los resultados son los siguientes: Y mediana 4.4 3.8 4.9 4.2 5.4 6.2 7 7.6
X % graduados 6.0 6.3 6.7 7.2 10.2 12.5 17.0 23.9
Análisis Sigue los mismos pasos del ejercicio 1 y debe pronosticar: a) Cuanto será la medida, si el porcentaje de graduados es el 28 % (extrapolación) b) Cuanto será la medida, si el porcentaje de graduados es el 15 % (interpolación)
x 6.0 6.3 6.7 7.2 10.2 12.5 17.0 23.9 ∑x =
y 4.4 3.8 4.9 4.2 5.4 6.2 7 7.6 ∑y =
X 36 39.69 44.89 51.84 104.04 156.25 289 571.21 ∑x =
xy 26.4 23.94 32.83 30.24 55.08 77.5 119 181.64 ∑xy =
c) Reemplazar los valores de las sumatorias de las ecuaciones o formulas correspondientes y encontrar los valores de a y b.
∑ (∑ ) ∑∑ ∑ ∑
a=
a=
a = a =
∑∑∑ ∑ ∑ b =
b =
b =
b =
d) Reemplazar los valores de a y b en la ecuación de la recta. y`= a + bx y`= +*6 y`= e) Con esta ecuación ajustar la curva original; utilizando los mismos valores de x, calcular los nuevos valores de y`. f) Presentar estos valores en la tabla como se muestra a continuación: x y` 6.0 3.67 6.3 3.775 6.7 3.915 7.2 40.9 10.2 5.14 12.5 5.945 17.0 7.52 23.9 9.935 g) Graficar los puntos y luego unir los mismos, que debería dar como resultado, una recta
CONCLUCIONES
Después de haber tomado varios datos y a ver usado las fórmulas donde obtuvimos para a= -0.027 y para b=0.718 que luego remplazamos en, la formula de la recta donde posteriormente por el método de los mínimos cuadrados obtuvimos los valores x, y. Del mismo modo para el segundo ejercicio donde el valor de a=1.57 y el de b=0.35 también en este caso se tomo la formula de los mínimos cuadrados donde obtuvimos los valores para la recta de x, y. Como se vieron en los gráficos.
