Aeroelasticità e Acustica Nelle Strutture Aerospaziali by de Rosa

Aeroelasticità e Acustica nelle Strutture Aerospaziali appunti e spunti per discipline affascinanti

Torino, 2013

Sergio De Rosa PASTA-Lab Laboratory for Promoting experiences in Aeronautical STructures and Acoustics Dipartimento di Ingegneria Industriale Sezione Aerospaziale Università degli Studi di Napoli "Federico II" Via Claudio 21, 80125 Napoli, Italia [email protected]

Indice 1)  Inquadramento Generale (Interazione FluidoStruttura). 2)  Onde, Guide d’onda e Modi Propri di un Sistema Lineare. 3)  Sistema Tubo e Pistone. 4)  Introduzione all’Aeroelasticità. 5)  Instabilità Supersonica di un Pannello. 6)  Aeroelasticità Dinamica di un Profilo. 7)  Aeroelasticità Statica di Modellli Alari 2D e 3D. 8)  Cenno alle Forze Aerodinamiche Instazionarie 9)  Il Problema del Flutter (e la Risposta Dinamica). 10)  Buffett, Gallopping, Vortex shedding, Stall flutter. 11)  Metodi (Statistici) Energetici per Sistemi Lineari. 12)  Approccio modale per interpretazioni energetiche (EDA). 13)  Similitudini 14)  Introduzione al FEM spettrale. 15)  Cenni di Acustica (e AcustoElasticità) Interna dei Velivoli 16)  Potenza Acustica Radiata da Componenti Strutturali Piani. 17)  Un Modello Aero(Idro)Acusto-Elastico Completo: risposta di pannelli sotto l’azione dello strato limite turbolento 18)  Rappresentazioni Universali dei Dati AeroAcusto-Elastici.

1)  2)  3)  4)  5)  6)  7)  8)  9)  10)  11)  12)  13)  14)  15)  16)  17)  18) 

Inquadramento Generale (Interazione FluidoStruttura). Onde, Guide d’onda e Modi Propri di un Sistema Lineare. Sistema Tubo e Pistone. Introduzione all’Aeroelasticità. Instabilità Supersonica di un Pannello. Aeroelasticità Dinamica di un Profilo. Aeroelasticità Statica di Modellli Alari 2D e 3D. Cenno alle Forze Aerodinamiche Instazionarie Il Problema del Flutter (e la Risposta Dinamica). Buffett, Gallopping, Vortex shedding, Stall flutter. Metodi (Statistici) Energetici per Sistemi Lineari. Approccio modale per interpretazioni energetiche (EDA). Similitudini Introduzione al FEM spettrale. Cenni di Acustica (e AcustoElasticità) Interna dei Velivoli Potenza Acustica Radiata da Componenti Strutturali Piani. Un Modello Aero(Idro)Acusto-Elastico Completo Rappresentazioni Universali dei Dati AeroAcusto-Elastici.

84

R. L¨ ohner et al. CFD DNS Biomedical Applications

LES RANS

Advanced Aero/Hydroelasticity

Euler Conjugate Heat Transfer

Full Potential

Classic Aero/Hydroelasticity

Potential/ Acoustics No Fluid

Shock−Structure Interaction

CSD Rigid Walls

Ridid Body (6 DOF)

Modal Analysis

Linear FEM

Non−Linear FEM

Rupture/ Tearing

Prescribed Flux/Temperature Network Models

Thermal Stress Fatigue

Linear FEM Nonlinear FEM CTD

Fig. 2. CFD/CSD/CTD Space

CFD DNS

Arterial Flows Tents Parachutes Airbags

LES RANS Chip Cooling Engine Cooling Underhood Flows

Flutter Buzz Whipping

Euler Full Potential

Aerodynamics Galloping Noise Flutter

Potential/ Acoustics No Fluid Extrusion Material Forming

Blast−Structure Weapon Fragmentation

Rigid Walls

Ridid Body (6 DOF)

Modal Analysis

Linear FEM

CSD Non−Linear FEM

Prescribed Flux/Temperature Network Models Linear FEM

High Performance Engines High Mach Nr. Vehicles

Nonlinear FEM CTD

Fig. 3. CFD/CSD/CTD Application Areas

Rupture/ Tearing

1)  2)  3)  4)  5)  6)  7)  8)  9)  10)  11)  12)  13)  14)  15)  16)  17)  18) 


1)  2)  3)  4)  5)  6)  7)  8)  9)  10)  11)  12)  13)  14)  15)  16)  17)  18) 


1 La risposta di un oscillatore semplice e di un tubo

Si vuole analizzare l’interazione fluido-struttura tra un pistone e un tubo, valutando la variazione delle frequenze proprie del pistone per effetto della presenza di un fluido all’interno del tubo. Si analizzano prima il pistone e il tubo presi singolarmente, dopodiché si analizza il sistema accoppiato.

1.1 Equazioni omogenee del sistema acustoelastico Scriviamo le equazioni omogenee del pi´ u semplice sistema acustoelastico, rappresentato in Figura 1.1: un oscillatore meccanico accoppiato ad un tubo di lunghezza L.

Figura 1.1: sistema acustoelastico costituito da un oscillatore meccanico accoppiato con tubo di lunghezza L. L’oscillatore é rappresentato da una massa e una rigidezza concentrati, indicati rispettivamente dai simboli m e k, mentre nel tubo, allineato secondo un asse di riferimento x, é presente un fluido di velocitá caratteristica c e di densitá ⌦ 1 . 1

Si potrebbe schematizzare anche il fluido con propriet´ a concentrate, perdendo per´ o la componente spaziale che si vuole analizzare in questa trattazione.

4


L’incognita meccanica é lo spostamento x del pistone mentre l’incognita acustica é la pressione p(x, t), dove il simbolo t denota la variabile temporale. Si osservi che stiamo analizzando un sistema strutturale a propriet´ a concentrate (pistone) che interagisce con un sistema acustico a propriet´ a distribuite (tubo) attraverso un’area A (sezione del tubo e del pistone). Il sistema di equazioni che descrive il comportamento del sistema é x(t) + kx(t) = p(x, t)A ✏m¨ ⌃ 2 p(x,t) ⌃x2

=

2 1 ⌃ p(x,t) c2 ⌃t2

(1.1)

Nella prima equazione del sistema (3.3) é possibile identificare l’effetto del fluido sulla struttura, ovvero la forza agente sul pistone generata dalla pressione del fluido sulla sezione A. L’effetto reciproco, ovvero quello della struttura sul fluido, si vede nella condizione al contorno del tubo alla sezione x=0 1 dp ⇤⇤ = x ¨(t). (1.2) ⇤ ⌦ dx x=0 La (1.2) relaziona il gradiente di pressione con l’accelerazione del pistone alla sezione x = 0: se il pistone accelera verso destra (¨ x(t) > 0), a x = 0 il fluido dp espande ( dx |x=0 < 0). Sull’altra estremitá del condotto (x = L), supponiamo che il tubo é chiuso, e quindi la seconda condizione al contorno é dp ⇤⇤ = 0. ⇤ dx x=L

(1.3)

Prima di analizzare il sistema acustoelastico completo, si analizzano prima il pistone ed il tubo singolarmente. In tal modo, é possibile evidenziare gli effetti che l’accoppiamento comporta sulle frequenze proprie dei due sistemi.

1.2 L’operatore strutturale: il pistone 1.2.1 Analisi modale ´ opportuno richiamare brevemente i concetti base dell’oscillatore armonE ico, non soggetto ad alcuna forzante, mediante l’analisi modale. Analisi modale reale Nel caso di oscillatore non smorzato, l’equazione del sistema (in assenza di forzante) é m¨ x(t) + kx(t) = 0. (1.4) Scegliendo soluzioni armoniche del tipo

1.2 L’operatore strutturale: il pistone

x(t) = Xej⌅t

5

(1.5)

é possibile esplicitare l’equazione secolare ↵ 2 mX j⌅t + kX j⌅t = 0

↵ 2 m + k = 0.

(1.6)

Dalla (1.6) é possibile ricavare la pulsazione naturale dell’oscillatore ad un grado di libertá  k ↵0 = (1.7) m e quindi la frequenza propria dell’oscillatore  1 k f0 = . (1.8) 2 m Analisi modale complessa: oscillatore con smorzamento viscoso Se é presente uno smorzamento viscoso (vedi Capitolo 4), l’equazione omogenea associata diventa m¨ x(t) + bx˙ + kx(t) = 0

(1.9)

dove b é il coe⌅ciente di smorzamento viscoso. In questo caso, mediante la scelta di soluzioni armoniche complesse (p numero complesso) x(t) = Xept

(1.10)

l’equazione secolare diventa mp2 + bp + k = 0

p=

b±

b2 2m

4km

.

(1.11)

Si definisce per comoditá uno smorzamento critico bcr , che permette di discriminare le varie possibilitá di moto. Esso é funzione dei parametri strutturali, al pari della pulsazione naturale. bcr = 2 km

⌃=

(1.12)

b b = bcr 2 km

(1.13)

b = 2⌃↵0 m

(1.14)

Dalla (1.13) é possibile ricavare

e pertanto si riscrive la (1.11) come

6


p1,2 = ↵0

⌘

⌃±

La soluzione della (1.9) é quindi del tipo

◆ ⌃2

✓ 1 .

(1.15)

x(t) = X1 ep1 t + X2 ep2 t .

(1.16)

Al variare del valore di ⌃, é possibile classificare le soluzioni del sistema come riportato in Tabella 1.1. Tabella 1.1: classificazione delle soluzioni. Regime (⇥)

Tipologia delle radici complesse coniugate

Prima radice ⇧ ⌃ ⌥ ⇤0 ⇥ + j 1 ⇥ 2

Seconda radice ⇧ ⌃ ⌥ ⇤0 ⇥ j 1 ⇥ 2

subcritico critico (⇥ = 1)

reali coincidenti

⇤0 [ ⇥]

⇤0 [ ⇥]

supercritico

reali distinte

⇤0

(⇥ < 1)

(⇥ > 1)

⇧

⇥+

⌥

⇥2

1

⌃

⇤0

⇧

⌥

⇥

⇥2

Ovviamente, le diverse tipologie di radici al variare di ⌃ comportano la variazione del tipo di moto dell’oscillatore, come riportato in Tabella 1.2. Tabella 1.2: risposta strutturale al variare di ⌃. Tipo di moto (⇥) Periodico smorzato (⇥ < 1) aperiodico (⇥ = 1) aperiodico (⇥ > 1)

Forma risolutiva ⇥ ⇧ 2 x(t) = e( ⇤0 t) X1 e(j⇤0 t 1 ) + X2 e( ⇧ ⌃ ⌥ ⇥ Y1 e( ⇤0 t) cos j⇤0 t 1 ⇥ 2 + ⌅ x(t) = Xe(

j⇤0 t

⇥

1

2)

⌃

=

⇤0 t)

⇥ ⇧ x(t) = e( ⇤0 t) X1 e(⇤0 t ⇧ ⇤ ⌥ e( ⇤0 t) X1 cosh ⇤0 t ⇥ 2

2

⇥ ⌃ 2 1) + X 2 e( ⇤0 t = ⌅ ⇤ ⌥ 1 + X2 sinh ⇤0 t ⇥ 2 1)

1

⌅⌃

In Figura 1.2 sono rappresentati due esempi di risposta temporale di un oscillatore con smorzamento viscoso: nel caso subcritico (⌃ < 1) il sistema oscilla per un certo tempo prima di fermarsi; nel caso supercritico (⌃ > 1) il sistema non oscilla, ma torna in un tempo breve nelle condizioni di equilibrio.

1

⌃


(a) Caso subcritico, ⇥ < 1.

7

(b) Caso supercritico, ⇥ > 1.

Figura 1.2: esempi di risposta temporale di un oscillatore con smorzamento viscoso. Analisi modale complessa: oscillatore con smorzamento strutturale L’altro modello di smorzamento pi´ u comune é quello cosiddetto strutturale (vedi Capitolo ??), in cui si considera lo smorzamento proporzionale alla rigidezza della struttura secondo un coe⌅ciente immaginario j⌥. In questo caso, l’equazione omogenea associata dell’oscillatore é m¨ x(t) + k[1 + j⌥]x(t) = 0.

(1.17)

Scegliendo ancora soluzioni armoniche complesse del tipo x(t) = Xept

(1.18)

mp2 + [1 + j⌥]k = 0

(1.19)

l’equazione secolare diventa

da cui si ricava p2 =

k [1 + j⌥] m

p2 = ↵02 [1 + j⌥].

(1.20)

1.2.2 Risposta strutturale dell’oscillatore con forzante periodica L’analisi della risposta strutturale serve per inquadrare un possibile passaggio da un modello all’altro di smorzamento. Oscillatore non smorzato L’equazione del sistema é m¨ x(t) + kx(t) = f (t).

(1.21)

Scegliendo soluzioni armoniche del tipo (1.5) e una forzante armonica f (t) = F ej⌅t

(1.22)

8


l’equazione (1.21) diventa ( m↵ 2 + k)X = F

(1.23)

e quindi la risposta strutturale é X=

1 F 2 m ( ↵ + ↵02 )

x(t) =

(

F m ↵2 +

↵02 )

ej⌅t .

(1.24)

La funzione di trasferimento é H(↵) =

(

↵2

1 . + ↵02 )

(1.25)

Oscillatore in presenza di smorzamento viscoso Ripetendo i passaggi svolti nel caso di oscillatore non smorzato, é possibile scrivere anche la risposta strutturale del sistema in presenza di smorzamento viscoso x(t) =

(

↵2

+

F m 2 ↵0 ) +

2j⌃↵0 ↵

ej⌅t .

(1.26)

´ interessante riportare la funzione di trasferimento per analizzare dove lo E smorzamento influenza la risposta dell’oscillatore. Essa é data dalla H(↵) =

( ↵2 +

F m ↵02 ) +

2j⌃↵0 ↵

(1.27)

In Figura 1.3 é riportato l’andamento della funzione di trasferimento per un oscillatore avente una pulsazione propria ↵0 = 55rad/sec per tre valori di ⌃.

Figura 1.3: funzione di trasferimento di un oscillatore con smorzamento viscoso (↵0 = 55rad/sec) per diversi valori di ⌃.


9

Dall’esame della Figura 1.3, si evince che lo smorzamento é importante solo in un intorno della frequenza risonanza. La larghezza di questo intorno, denominata f , aumenta all’aumentare del livello di smorzamento. Si analizzano ora le singole componenti della funzione di trasferimento in presenza di smorzamento viscoso, per un valore fissato di ⌃. In Figura 1.4 sono rappresentate: • • • •

h(↵, 0.02), ovvero la funzione di trasferimento completa dell’oscillatore con ⌃ = 0.02; hK (↵, 0.02) = ⌅12 , ovvero la componente della funzione di trasferimento 0 dovuta alla rigidezza; hM (↵, 0.02) = ⌅12 , ovvero la componente della funzione di trasferimento dovuta alla massa; hD (↵, 0.02) = 2j 1⌅0 ⌅ , ovvero la componente della funzione di trasferimento dovuta allo smorzamento.

Figura 1.4: componenti della funzione di trasferimento per smorzamento viscoso ⌃ = 0.02.

Dalla Figura 1.4 é possibile osservare che: • • •

per basse frequenze (↵ ⌃ ↵0 ), la risposta é controllata dalla rigidezza; per alte frequenza (↵ ⌥ ↵0 ), é la massa a determinare il livello della risposta; in prossimitá della frequenza di risonanza (↵ = ↵0 ), l’elemento determinante é il livello di smorzamento.

Oscillatore in presenza di smorzamento strutturale Nel caso di smorzamento strutturale, la risposta strutturale dell’oscillatore é

10


x(t) =

↵2

(

+

F m ↵02 )

+ j⌥↵02

ej⌅t

(1.28)

e la funzione di trasferimento é x(t) =

(

↵2

1 . + ↵02 ) + j⌥↵02

(1.29)

Valgono le stesse osservazioni fatte nel caso di smorzamento viscoso, ovvero lo smorzamento influisce solo in prossimitá della frequenza di risonanza. 1.2.3 Forza dissipative Nel caso di smorzamento viscoso, la componente dissipativa delle forze di richiamo é data da FDV (t) = bx(t) ˙ = j↵bx(t) = 2jm⌃↵↵0 x(t)

(1.30)

mentre nel caso di smorzamento strutturale é FDS (t) = j⌥kx(t) = j⌥↵02 mx(t).

(1.31)

´ evidente che la forza dissipativa dovuta all’adozione di uno smorzamento E strutturale non dipende dalla frequenza, mentre l’adozione del modello viscoso é connessa ad una funzionalitá lineare con la frequenza di eccitazione. ´ interessante confrontare le due forze forze dissipative, al fine di trovare E un legame che permetta il passaggio da un modello di smorzamento all’altro. Rapportando membro a membro le (1.31) e (1.30), risulta FDS (t) ⌥↵02 ⌥ = = . FDV (t) 2⌃↵↵0 2⌃ ⌅⌅0

(1.32)

Quando le due componenti dissipative si eguagliano, si ottiene la relazione per passare da un modello di smorzamento all’altro (ovvero da ⌃ a ⌥ e viceversa): 1=

⌥ 2⌃ ⌅⌅0

⌃=⌥

↵0 . 2↵

(1.33)

In condizioni di risonanza (↵0 = ↵), risulta ⌃=

⌥ . 2

(1.34)

1.3 L’operatore acustico: il tubo Il tubo é un sistema monodimensionale in cui viaggiano onde longitudinali con una velocitá c che dipende dal mezzo (per l’aria, c é la velocitá del suono). L’equazione di partenza per l’analisi del problema é l’equazione delle onde

1.3 L’operatore acustico: il tubo

11

Figura 1.5: analisi del rapporto delle forze dissipative in funzione della frequenza.

2

p(x, t) =

1 ⌘ 2 p(x, t) c2 ⌘t2

(1.35)

dove: • • • • •

c é la velocitá caratteristica di propagazione dell’onda longitudinale; 2 é l’operatore di Laplace; t é la variabile temporale; x é la variabile spaziale; p(x, t) é la grandezza perturbata dal passaggio dell’onda, ovvero é una variazione di pressione.

Poiché il sistema considerato é monodimensionale, la (1.35) si puó scrivere come ⌘ 2 p(x, t) 1 ⌘ 2 p(x, t) = 2 . (1.36) 2 ⌘x c ⌘t2 Ipotizzando che il sistema tubo sia conservativo, é possibile disaccoppiare la dipendenza spaziale da quella temporale, ovvero p(x, t) = P (x)T (t).

(1.37)

Mediante la (1.37), é possibile semplificare la (1.36) in P ⇥⇥ (x)T (t) =

1 P (x)T ⇥⇥ (t) c2

P ⇥⇥ (x) 1 T ⇥⇥ (t) = 2 P (x) c T (t)

(1.38)

A⌅nché sia verificata l’eguaglianza (1.38), i due rapporti devono essere costanti, per cui T ⇥⇥ (t) = ↵2 (1.39) T (t)

12


P ⇥⇥ (x) ↵2 = 2. P (x) c

(1.40)

Avendo supposto il sistema conservativo, é su⌅ciente analizzare solo la variazione spaziale della pressione. La soluzione della (1.40) é del tipo P (x) = P1 sin

↵ ⇥ ↵ ⇥ x +P2 cos x = P1 sin(kx)+P2 cos(kx) = P1 e c c

jkx

+P2 ejkx

(1.41) dove k = ⌅c é il numero d’onda. Le costanti P1 e P2 sono determinate dalle condizioni al contorno. In particolare, le condizioni al contorno possono essere: • • • •

P (0) ⇤ = P0 , ovvero tubo aperto in x = 0; dP ⇤ = Q0 , ovvero tubo chiuso in x = 0; dx ⇤ x=0

P (L) ⇤ = PL , ovvero tubo aperto in x = L; dP ⇤ = QL , ovvero tubo chiuso in x = L. dx ⇤ x=0

Analizziamo tre tra le quattro possibili combinazioni. 1.3.1 Caso 1: tubo chiuso-chiuso In questo caso, le condizioni al contorno sono: dP ⇤⇤ =0 ⇤ dx x=0 dP ⇤⇤ =0 ⇤ dx x=L P ⇥ (x) = kP1 cos(kx) kP2 sin(kx) ⇥

P (0) = kP1 cos(k0) ⇥

P (L) = kP1 cos(kL)

(1.42) (1.43) (1.44)

kP2 sin(k0) = 0

(1.45)

kP2 sin(kL) = 0

(1.46)

Dalla (1.45) si ricava che P1 = 0. Dalla (1.46), é possibile ricavare gli autovalori k. kP2 sin(kL) = 0 kL = i (1.47) i (1.48) L con i {0, 1, 2, . . . N }. Dalla (1.48) si calcolano le frequenze naturali del sistema tubo chiuso-chiuso ic ↵i = (1.49) L ic fi = (1.50) 2L con i {0, 1, 2, . . . N }. La variazione di pressione é pertanto possibile scriverla come ki =

1.3 L’operatore acustico: il tubo

P (x) =

⇣

P2,i cos(ki x).

13

(1.51)

i=0

´ interessante calcolare il passo in frequenza (distanza modale) ⇧f , ovvero E la distanza tra un modo e quello successivo. ⇧f = fi+1

fi =

(i + 1) (i) c c= 2L 2L

(1.52)

L’inverso della distanza modale é la densitá modale n=

2L c

(1.53)

mediante la quale é possibile calcolare in modo statistico quanti modi risuonano in un dato intervallo in frequenza f . N=

f· n =

f

2L c

(1.54)

´ evidente che, a paritá di f , il numero di modi risonanti aumenta con la E lunghezza del dominio e diminuisce con l’inverso della velocitá caratteristica. Ad esempio, nell’intervallo (0; 10000)Hz, un dominio monodimensionale di sezione costante e lunghezza pari a L = 1m presenta all’incirca: • • •

60 modi, se pieno d’aria (c ⇧ 340m/sec); 20 modi, se pieno d’acqua (c ⇧ 1000m/sec); 4 modi, se d’alluminio o d’acciaio (c ⇧ 5000m/sec).

1.3.2 Caso 2: tubo aperto-aperto In questo caso, le condizioni al contorno sono: P (0) = 0

(1.55)

P (L) = 0

(1.56)

P (0) = P1 sin(k0) + P2 cos(k0)

(1.57)

P (L) = P1 sin(kL) + P2 cos(kL) = 0

(1.58)

Quindi

Dalla (1.57) si ricava che P2 = 0 e pertanto si ritrovano le condizioni (1.48), (1.49), (1.50), (1.66) del paragrafo precedente, con la sola esclusione del caso i = 0 (soluzione rigida): ⇣ P (x) = P1,i sin(ki x). (1.59) i=1

14


1.3.3 Caso 3: tubo aperto-chiuso In questo caso, le condizioni al contorno sono le (1.55) e (1.43), per cui P (0) = P1 sin(k0) + P2 cos(k0) = 0 P ⇥ (L) = kP1 cos(kL)

kP2 sin(kL) = 0

(1.60) (1.61)

Dalla (1.60) si ricava che P2 = 0. Dalla (1.61), é possibile ricavare gli autovalori k cos(kL) = 0 kL = + i (1.62) 2 con i {0, 1, 2, . . . N }. Noti i numeri d’onda, é possibile calcolare le frequenze proprie del tubo aperto-chiuso ↵i =

⇥ c 1 +i L 2

(1.63)

⇥ c 1 +i (1.64) 2L 2 {0, 1, 2, . . . N }. La risposta del sistema é pertanto ancora esprimibile ⇣ P (x) = P1,i sin(ki x). (1.65) fi =

con i come

i=0

Dal confronto degli autovalori e delle frequenze proprie del tubo apertochiuso con quelli del tubo aperto-aperto e chiuso-chiuso, risulta che essi sono differenti. Calcolando la distanza modale tra due modi successivi anche per il sistema tubo aperto-chiuso, risulta che esso resta invariato rispetto ai casi precedentemente analizzati. ⇧f = fi+1

fi =

⇥ c 1 +i+1 2L 2

⇥ c 1 c +i = 2L 2 2L

(1.66)

Pertanto, pur cambiando le frequenze naturali, la densitá modale resta immutata. 1.3.4 Spazio dei numeri d’onda e riepilogo delle frequenze naturali In tutti i casi esaminati, lo spazio dei numeri d’onda puó essere rappresentato come una retta in cui i modi sono equispaziati, con un intervallo ⇥ k = 2L . Riepilogando le frequenze naturali per i casi analizzati: • • •

ic tubo chiuso-chiuso fi = 2L , con i {0, 1, 2, . . . N }; ic tubo aperto-aperto fi = 2L ⌅, con i⇧ {1, 2, . . . N };

tubo aperto-chiuso fi =

c 2L

1 2

+ i , con i

{0, 1, 2, . . . N }.

In tutti i casi analizzati, sono costanti sia l’intervallo nello spazio dei numeri ⇥ c d’onda k = 2L che il passo in frequenza ⇧f = 2L .

1.4 Operatore acustoelastico

15

1.4 Operatore acustoelastico Una volta analizzati singolarmente l’operatore strutturale e quello acustico, é possibile esaminare l’operatore accoppiato acustoelastico. Date la (3.3) e le condizioni al contorno (1.2) e (1.3), assumiamo soluzioni armoniche del tipo x(t) = Xej⌅t (1.67) p(t) = P (x)ej⌅t

(1.68)

P (x) = P1 sin(kx) + P2 cos(kx)

(1.69)

Conseguentemente

P ⇥ (x) = kP1 cos(kx)

kP2 sin(kx)

(1.70)

Dalla prima equazione del sistema accoppiato (3.3) si ricava che X=

A m

P (0) . ↵ 2 + ↵02

(1.71)

Dalle condizioni al contorno imposte sul tubo kP1 cos(k0) kP1 cos(kL)

2

(0) A kP2 sin(k0) = ⇤⌅⌅2P+⌅ 2 0 m kP2 sin(kL) = 0

(1.72)

2

P2 A kP1 + ⇤⌅ =0 ⌅ 2 +⌅02 m kP1 cos(kL) kP2 sin(kL) = 0

In conclusione, si ottiene il seguente sistema risolvente ⌦ ↵ ⇤⌅ 2 P2 A k P1 0 2 2 ⌅ +⌅0 m = . 0 P2 cos(kL) sin(kL)

(1.73)

(1.74)

Scartando la soluzione banale (P1 = P2 = 0), scriviamo l’equazione secolare k sin(kL)

cos(kL)

A ⌦↵ 2 =0 2 2 ↵ + ↵0 m

tan ↵

L⇥ ⌦↵c A = 2 . c ↵ ↵02 m

(1.75)

Poiché la (1.75) é un’equazione trascendente, non esiste la soluzione in forma chiusa e pertanto bisogna studiarla graficamente. Denominando: ⇥ • ⌅(↵) = tan ↵ Lc il membro dipendente dall’operatore acustico; A • q(↵) = ⌅2⇤⌅c⌅2 m il membro dipendente dall’operatore strutturale; 0

16


Figura 1.6: studio grafico dell’equazione trascendente per il calcolo degli autovalori del sistema acustoelastico. in Figura 1.6 é riportato un andamento qualitativo di una generica risoluzione grafica. Gli autovalori del sistema acustoelastico sono dati dall’intersezione delle curve ⌅(↵) e q(↵). La Tabella 1.3 riporta una semplice analisi parametrica del problema, in cui la parte acustica é inalterata, mentre l’operatore strutturale viene opportunamente variato. Ció allo scopo di parametrare le frequenze naturali accoppiate in funzione di ↵2 m ⇥ = 02 . (1.76) ⌦c L Dalla tabella, si osserva chiaramente come i soli modi (e frequenze) interessati all’accoppiamento sono sempre il modo (unico) strutturale ed uno dei modi acustici; in particolare, si genera uno split della prima frequenza acustica, mentre le altre frequenze restano praticamente inalterate. Ció é legato al fatto che l’accoppiamento qui presentato é solo dinamico, e non é presente alcuna componente geometrica: quest’ultima entra in gioco quando anche l’operatore strutturale é decomposto secondo frequenze proprie e modi che si dispiegano nello spazio. Invece, nell’ambito della trattazione, si é considerato il pistone rigido e pertanto parliamo solo di accoppiamento dinamico.

1.5 Valutazione dell’accoppiamento Un primo modo per valutare l’effetto dell’accoppiamento in modo ingegneristico é basato sull’utilizzo di un paramentro statico, detto ⇤, che non tiene conto delle frequenze naturali disaccoppiate. Esso é cos´ı definito

1.5 Valutazione dell’accoppiamento

17

Tabella 1.3: effetto dell’accoppiamento sulle frequenze naturali acustiche in funzione del parametro ⇥.

=

2 ⇤0 m ⇥c2 L

Frequenze proprie [Hz] Disaccoppiate Accoppiate Strutturali Acustiche 0.0

0.0 18.7 137.3 272.6 408.4 544.3 680.3 816.2

136 = 0.045

272 408 544 680 816

13.7

0.0

0.0 127.6 146.3 272.9 408.5 544.3 680.3 816.2

136 = 4.588

272 408 544 680 816

137.6

0.0

0.0 135.4 238.0 274.7 408.7 544.4 680.3 816.2

136 = 13.95

272 408 544 680 816

240.0

⇤=

⌦A c2A ⌦S c2S

(1.77)

dove i pedici A e S sono relativi rispettivamente alla parte acustica e a quella strutturale e c e ⌦ sono rispettivamente la velocitá caratteristica e la densitá dell’operatore a cui si riferiscono. Per ⇤ ⌃ 1, l’effetto del fluido sulla struttura puó essere trascurato. Nel caso analizzato in questo capitolo, abbiamo un sistema strutturale a proprietá concentrate ed é facile dimostrare che ⇥ é leggibile come un ⇤ 1 . L’introduzione del parametro ⇤ permette anche il confronto tra gli effetti di due fluidi differenti, per fissati parametri strutturali. Ad esempio, andiamo a confrontare aria (⇤ar ) e acqua(⇤ac ): ⇤ar =

⌅ ⌦ c2 ⇧ S S ⌦ar c2ar

1

(1.78)

18


⇤ac =

⌅ ⌦ c2 ⇧ S S ⌦ac c2ac

1

(1.79)

Risulta evidente che l’accoppiamento é sempre pi´ u importante all’aumentare della densitá di massa corrispondente. Rapportando membro a membro la (1.79) e la (1.78) ⌦S c2S ⌅ ⌦S c2S ⇧ ⇤ac = ⇤ar ⌦ar c2ar ⌦ac c2ac

1

=

⌦ac c2ac . ⌦ar c2ar

(1.80)

Considerando i valori tipici di aria e acqua (cac ⇧ 3car e ⌦ac ⇧ 1000⌦ar ), si ha ⇤ac ⇧ O(104 ) (1.81) ⇤ar da cui si deduce che l’accoppiamento tra una data struttura ed un gas é quattro ordini di grandezza minore del corrispondente tra la stessa struttura ed un liquido, come era lecito e naturale aspettarsi.

1.6 Ancora sull’analisi modale accoppiata Consideriamo ancora il sistema 3.3, le condizioni al contorno (1.2) e (1.3) e le soluzioni armoniche (1.67) e (1.68). Nello spazio, consideriamo ora due onde armoniche, una retrocedente e l’altra antecedente, in senso complessivo (senza cioé considerare la sola parte reale o quella immaginaria): P (x) = P1 ej⌅x + P2 e P ⇥ (x) = jkP1 e⌅x

j⌅x

(1.82)

jkP2 e⌅x .

(1.83)

Essendo sempre valida la (1.71), dalle condizioni al contorno del tubo é possibile scrivere 2

⇤⌅ A jkP1 jkP2 = (P1 + P2 ) ⌅ 2 +⌅02 m jkL jkL P1 e P2 e =0

Introducendo la variabile =

⌦↵ 2 A ↵ 2 + ↵02 m

si ottiene il seguente sistema risolvente ⌃ ⌥ jk + jk + P1 P2 ejkL e jkL

(1.84)

(1.85)

=

0 0

(1.86)

Scartando ovviamente la soluzione banale (P1 = P2 = 0), scriviamo l’equazione secolare.

1.6 Ancora sull’analisi modale accoppiata

e

jkL

( + jk) + ejkL (

( + jk) cos(kL)

19

jk) = 0

( + jk)j sin(kL) + (

jk) cos(kL) + (

jk)j sin(kL) = 0 (1.87) A questo punto, é necessario annullare contemporaneamente e separatamente la parte reale e quella immaginaria: cos(kL) + k sin(kL) + cos(kL) + k sin(kL) = 0 jk cos(kL) j sin(kL) jk cos(kL) + j sin(kL) = 0 2 cos(kL) + 2k sin(kL) = 0 0=0

(1.88)

Dal sistema (1.88) si ricava che tan(kL) =

k

tan(kL) =

⌦c↵ A ↵ 2 + ↵02 m

ritrovando, come era lecito aspettarsi, il risultato espresso dalla (1.75).

(1.89)

1)  2)  3)  4)  5)  6)  7)  8)  9)  10)  11)  12)  13)  14)  15)  16)  17)  18) 


Introduzione all’Aeroelasticità Sergio De Rosa Dipartimento di Ingegneria Industriale Sezione Aerospaziale Università degli Studi di Napoli Federico II

2

Una Prima Definizione

•  L Aeroelasticità è la disciplina che tratta lo studio degli effetti delle forze aerodinamiche sulle strutture elastiche. •  Applicata ? Se ascolto dimentico, se vedo ricordo, se faccio capisco.

3

Risposta a Ciclo Aperto (Open Loop)

Carico (Input) Struttura (Sistema)

Nei sistemi a ciclo aperto lineari, non c è possibilità di indeterminazione: una volta assegnato il sistema, ed il suo ingresso sia una quantità nota, l uscita è univocamente determinata.

Esempi: Risposta Statica

{ F} = [ K]{ x}

Spostamento (Output)

Risposta Aeroelastica

[ M]{q} + [ K∗ ]{q} = [A (q )]{q} + {FD }

4

Risposta a Ciclo Chiuso (Closed Loop) Le condizioni finali possono essere equilibrate (quale tipo di equilibrio ?), ma possono condurre il sistema verso una divergenza (statica e/o dinamica) della risposta. Carichi Incrementali

Carichi

Sistema

Risposta

5

Profilo Elastico Torsionalmente (1/2) θ=θ0*exp(-jωt)

U α"

θ"

mθ"

θ"

Angolo d Attacco

α"

Profilo Elastico

Profilo Rigido

Rigidezza Torsionale

Portanza

6

Profilo Elastico Torsionalmente (2/2) •  Momento Aerodinamico dovuto all incremento di Portanza: ΔM =ΔL*a •  Momento di Richiamo Elastico: ΔMθ=mθ*θ"

A) ΔM e ΔMθ hanno lo stesso verso (Effetto Stabilizzante)" B) ΔMθ =0 (Indifferenza dell Effetto) C) ΔM e ΔMθ hanno verso opposto (Effetto Instabilizzante) C1) ΔM < ΔMθ (il profilo raggiunge l equilibrio)" C2) ΔM = ΔMθ (il profilo è in equilibrio indifferente)" C3) ΔM > ΔMθ (il profilo diverge)" " ""

7

Schema Funzionale in una Generica Condizione di Volo Meccanismo d Interazione Aeroelastica di tipo Dinamico Forze Aerodinamiche Instazionarie da Flusso Perturbato (raffiche, turbolenze, ecc.)

Comportamento Dinamico delle Strutture

Forze Aerodinamiche Instazionarie da Flusso Separato (sulle superfici portanti)

Forze Aerodinamiche Instazionarie da Vibrazioni Strutturali

8

Meccanismi Funzionali: Flutter (Vibrazione Autoeccitata)



9

Meccanismi Funzionali: Risposta Dinamica

Forze Aerodinamiche Instazionarie da Flusso Perturbato (raffiche, turbolenze, ecc.)



10

Meccanismi Fuzionali: Buffetting

Forze Aerodinamiche Instazionarie da Flusso Separato (sulle superfici portanti)



11

Il Concetto di Operatore

•  Semplicisticamente l operatore è un algoritmo matematico che trasforma una grandezza in ingresso in una in uscita. •  Suddivisione degli Operatori: –  Strutturale –  Inerziale –  Smorzamento –  Aerodinamico

Operatore Aeroelastico

12

Operatori Strutturali Lineari

•  Classificazione degli operatori lineari: –  strutturale: esplicita la risposta del sistema per la parte proporzionale agli spostamenti –  inerziale: esplicita la risposta del sistema per la parte proporzionale alle accelerazioni –  smorzamento viscoso: esplicita la risposta del sistema per la parte proporzionale alle velocità

 + cx + kx F = mx

13

Triangolo dell Aeroelasticità di Collar (1946)

A

E

I

14

Ramo A-E

! D Divergenza ! EC Efficacia dei Comandi ! IC Inversione dei Comandi ! DCE Distribuzione del Carico sul Velivolo Elastico ! SSE Stabilità Statica del Velivolo Elastico

15

Punto A e Ramo A-I ! DCR Distribuzione del Carico sul Velivolo Rigido ! SSR Stabilità Statica del Velivolo Rigido

! SDR Stabilità Dinamica del Velivolo Rigido

16

Ramo I-E

! ID Impatto Dinamico ! V Dinamica delle Strutture o Meccanica Vibratoria

17

. . . si entra nel triangolo AEI

! F Flutter ! B Buffetting ! RD Risposta Dinamica ! S DE Stabilità Dinamica del Velivolo Elastico

18

Triangolo dell Aeroservoelasticità

à cit sti ela vo

E

ser

ae roe las tic ità

A

aeroservodinamica

S

19

Triangolo dell Aeroacustoelasticità

s cu a tic

S

r oa ae

ae roe las tic ità

A

A

acustoelasticità

20

Tetraedro Aerotermoelastico di Garrick AHE HEI

Influenza della Temperatura sull Aeroelasticità Statica Influenza della Temperatura sulla Dinamica delle Strutture

Influenza della Temperatura

AHI sulla Stabilità del Velivolo

A H

E

I

21

Formulazione Simbolica dell Equazione Generale dell Aeroelasticità (1/3)

•  A(q) d2q/dt2+ B(q) dq/dt + C(q) q=A(q) q+QD –  A è l operatore inerziale –  B è l operatore di smorzamento –  C è l operatore di rigidezza –  A è l operatore aerodinamico –  Q è l operatore di disturbo (non dipende da q) –  q è la coordinata generalizzata.

•  Non è stata fatta alcuna ipotesi restrittiva per questa rappresentazione formale

22

Equazione Generale dell Aeroelasticità (2/3) Ipotesi : Linearità degli Operatori A,B, e C

(A+B+C)q=A(q)q+QD ed esplicitando le funzionalità col tempo:

d 2q dq A 2 +B +Cq = A( q )q + Q D dt dt Si può anche esplicitare analogamente l’operatore aerodinamico:

d 2q dq ( A − A) 2 + ( B − B) + ( C − C)q = Q D dt dt

23

Equazione Generale dell Aeroelasticità (3/3) Formulazione Matriciale:

([ A ] − [ A]){q}

+ ([ B] − [ B]){q }

+ ([ C] − [ C ]){q}

In corsivo è sempre indicato l operatore aerodinamico corrispondente.

= {Q D }

24

Esempi di Specializzazioni in Forma Matriciale

([A] − [ A]){q} + ([ B] − [ B]){q } + ([C] − [C]){q} = 0

Flutter

([ C] − [ C]){q} = {Q D }

Aeroelasticità Statica Divergenza

([ C] − [ C]){q} = 0

Stabilità Dinamica del Velivolo Rigido (a e b)

([ A] − [ A]){q} − [ B]{q } − [ C]{q} = {Q D } [ A]{q} = [ C]{q} + {Q D } Dinamica delle Strutture

[ A]{q} + [ B]{q } + [ C]{q} = {Q D }

1)  2)  3)  4)  5)  6)  7)  8)  9)  10)  11)  12)  13)  14)  15)  16)  17)  18) 


2 L’instabilit´ a dinamica (flutter supersonico) di un pannello

Si vuole analizzare la risposta di un pannello sottile lambito da un lato da un flusso supersonico, mentre dall’altro c’é un volume in quiete. Si parla di aeroelasticit´ a non portante poiché il flusso lambisce una sola faccia del pannello, e quindi non pu´ o generare portanza. Si scriveranno prima le equazioni del pannello isolato e successivamente si inserir´ a l’aerodinamica per risolvere il problema aeroelastico. Questo schema é stato sviluppato con la collaborazione dell’Ing. Ernesto Monaco.

2.1 Equazioni del moto di un pannello sottile Scriviamo le equazioni del moto per un pannello sottile non smorzato, caricato da una distribuzione di pressione generica p(x, y, t). Sia il pannello sottile di lati di lunghezza a e b, lungo gli assi x e y rispettivamente, in un sistema di riferimento cartesiano ortogonale Oxyz .

Figura 2.1: pannello aeroelastico e relativo sistema di riferimento. L’equazione del pannello sottile é

22

D


h⇣ @ 4 i @4 @4 ⌘ @ 2 w(x, y, t) + + w(x, y, t) + ⇢s h + p(x, y, t) = 0 (2.1) 4 2 2 4 @x @x @y @y @t2

o equivalentemente

Dr4 w(x, y, t) + m

@ 2 w(x, y, t) + p(x, y, t) = 0 @t2

(2.2)

dove: • • • • • • • •

w(x, y, t) é lo spostamento incognito del pannello; x e y sono le coordinate spaziali; t é la coordinata temporale; ⇢s é la densit´ a di massa del pannello; h é lo spessore del pannello; D é la rigidezza flessionale del pannello per unitá di apertura; p(x, y, t) é il carico di pressione che agisce sul pannello; m = ⇢s h é la massa del pannello.

2.1.1 Soluzione dell’equazione omogenea associata Supponendo che il pannello sia incernierato sui quattro lati (spostamenti e loro derivate seconde nulli), gli spostamenti del pannello sono cos´ı esprimibili: w(x, y, t) =

1 X 1 X p=1 r=1

sin

⇣ p⇡x ⌘ a

sin

⇣ r⇡y ⌘ b

qpr (t)

(2.3)

o equivalentemente w(x, y, t) =

1 X 1 X

pr (x, y)qpr (t)

(2.4)

p=1 r=1

dove pr (x, y) l’autovettore del problema omogeneo. Dalla (2.4) si comprende come si sia passati da una variabile tridimensionale w(x, y, t) al prodotto di due variabili: • •

pr (x, y) sono gli autovettori, che sono noti (avendo imposto le condizioni al contorno); qpr (t) é la variabile lagrangiana modale, dipendente solo dal tempo.

Gli autovettori soddisfano ovviamente l’equazione omogenea associata Dr4

pr (x, y)

2 !pr m

pr (x, y)

=0

dove gli autovalori !pr (pulsazioni proprie) sono dati da s D h⇣ p⇡ ⌘2 ⇣ r⇡ ⌘2 i 2 !pr = + ⇢s h a b

(2.5)

(2.6)

2.1 Equazioni del moto di un pannello sottile

23

con p, r 2 {1, 2, . . . , N }. Si osservi che per denotare un singolo autovettore pr (x, y) occorre una coppia di interi (p, r), che definisce in modo univoco un modo proprio di vibrare del pannello e la corrispondente pulsazione propria. In particolare la coppia d’interi (p, r) rappresenta il numero di semionde flessionali sviluppate secondo gli assi x e y, rispettivamente, come mostrato nella Figura 2.2.

Figura 2.2: autovettore

p=1,r=3 (x, y)

L’espansione modale qui presentata é applicabile anche a casi in cui le condizioni al contorno del pannello siano diverse da quelle del semplice appoggio. In tal caso, l’intero procedimento é approssimato (sviluppo di Rayleigh - Ritz) in quanto sia l’espansione dei modi spaziali sia le autosoluzioni temporali sono grandezze approssimate. Si noti inoltre che spesso é arduo classificare i modi propri mediante il conteggio delle semionde in due direzioni ortogonali: basti pensare che il pannello, in generale, potrebbe non essere dotato di regolaritá geometrica. Pertanto, l’espansione modale esatta presentata in questo capitolo é possibile solo in pochi casi. 2.1.2 Soluzione dell’equazione completa Nel paragrafo precedente, si é delineata una procedura per modellare l’operatore strutturale, trovando una soluzione per l’equazione omogenea associata. Si cercano ora soluzioni modali anche per l’equazione completa, in cui é presente un generico carico di pressione p(x, y, t). I passi da eseguire sono, in sequenza: 1. 2. 3. 4.

sostituire l’espansione modale (2.3) nell’equazione del moto (2.1); moltiplicare l’equazione cos´ı ottenuta per un nuovo autovettore mn (x, y); integrare sul dominio spaziale, ovvero sull’area del pannello; per la propriet´ a di ortogonalitá dei modi propri, le soluzioni non nulle si hanno solo se p = m e r = n.

24


Per ogni modo proprio considerato, si ottiene un’equazione del tipo Z aZ b 2 mpr q¨pr (t) + mpr !pr qpr (t) = p(x, y, t) pr (x, y) dx dy. (2.7) 0

0

Si noti che al secondo membro della (2.7) compare la capacitá che la generica distribuzione di pressione p(x, y, t) ha di compiere lavoro sul modo proprio mn (x, y). Al primo membro troviamo i termini modali, in particolare: •

la massa generalizzata, data da Z aZ b mprmn = ⇢s h pr (x, y) 0

0

= mpr = ⇢s h

Z aZ 0

•

mn (x, y) dx dy

=

b

1 [ pr (x, y)] dx dy = ⇢s hab. 4 0

(2.8)

2

Quindi, la massa generalizzata é pari ad la rigidezza generalizzata, data da

1 4

della massa totale del pannello;

2 kpr = mpr !pr .

(2.9)

2.1.3 Carico di pressione puntuale Nello sviluppo e↵ettuato sinora, la pressione é stata considerata un carico arbitrario e non specificato. Consideriamo il caso in cui la pressione sia di origine meccanica e puntualmente agente sul pannello in un punto (xF , yF ), ovvero p(x, y, t) = f (t) (x xF ) (y yF ). (2.10) Nella (2.10) si é fatto uso della funzione di Dirac (x xF ). In questo caso, la (2.7) diventa Z aZ b 2 mpr q¨pr (t) + mpr !pr qpr (t) = f (t) (x xF ) (y yF ) pr (x, y) dx dy. 0

0

(2.11)

Risolvendo, si ottiene 2 mpr q¨pr (t) + mpr !pr qpr (t) =

f (t) sin

⇣ p⇡x ⌘ F

a

sin

⇣ r⇡y ⌘ F

b

.

(2.12)

A questo punto, si ricercano soluzioni armoniche per la (2.12), imponendo che: qpr (t) = Apr e f (t) = F e

j!t

j!t

(2.13) (2.14)

p ´ facile dimostrare che la soluzione dell’equazione completa é con j = 1. E data dall’espansione

2.2 Aerodinamica instazionaria

w(x, y, t) = e

j!t

1 X 1 X

Apr sin

p=1 r=1

= Fe

j!t

1 X 1 sin X p=1 r=1

⇣

⇣ p⇡x ⌘

p⇡x a

a ⌘

sin

25

⇣ r⇡y ⌘

= b ⇣ ⌘ ⇣ ⌘ ⇣ ⌘ (2.15) p⇡xF r⇡yF sin r⇡y sin sin b a b . 2 mpr !pr mpr ! 2

Dato che la massa generalizzata é costante, come dimostrato nella (2.8), si pu´ o semplificare ulteriormente la (2.15), ottenendo in conclusione ⇣ ⌘ ⇣ ⌘ ⇣ ⌘ ⇣ ⌘ 1 X 1 sin p⇡x sin r⇡y sin p⇡xF sin r⇡yF X a b a b 4F w(x, y, t) = e j!t . 2 ⇢s hab !pr !2 p=1 r=1

(2.16) Per regolare il comportamento in condizioni di risonanza (! = !pr ), é necessario introdurre uno smorzamento; il metodo pi´ u semplice per introdurre lo smorzamento del pannello nel modello analitico é quello di considerare un modulo di elasticit´ a complesso. Nel caso in esame, si definisce una rigidezza flessionale complessa D(1 + ⌘), dove ⌘ il coefficiente di smorzamento. In tal caso, la risposta del pannello in presenza di smorzamento é pari a ⇣ ⌘ ⇣ ⌘ ⇣ ⌘ ⇣ ⌘ 1 X 1 sin p⇡x sin r⇡y sin p⇡xF sin r⇡yF X a b a b 4F e j!t . w(x, y, t) = 2 2 ) + j⌘! 2 ⇢s hab (! ! pr pr p=1 r=1 (2.17)

La (2.17) é l’equazione del pannello nelle ipotesi di pannello: • • •

isolato; forzato, con un carico puntuale in (xF , yF ); smorzato (che é l’ipotesi pi´ u forte per il modello di smorzamento assunto).

2.2 Aerodinamica instazionaria Nello sviluppo presentato al paragrafo precedente, si é supposto che il carico di pressione sia un termine noto, indipendentemente dalla sua origine. Si cercano adesso delle espressioni che rendano il fenomeno fisico dell’accoppiamento dei moti del pannello investito da una corrente di note proprietá. Impostiamo, quindi, l’operatore aerodinamico da accoppiare poi a quello strutturale, in vista del modello aeroelastico completo. Per trovare un’espressione delle forze aerodinamiche generalizzate, ovvero il secondo membro della (2.7), bisogna scrivere l’equazione di↵erenziale che regola il potenziale di velocitá per piccoli disturbi di un fluido irrotazionale, inviscido, parallelo all’asse x. Tale equazione é 2 ⌘ 1 ⇣ @2 @2 2@ r2 = + 2U + U (2.18) C @t2 @t@x @x2 dove:

26

• • •


é il potenziale di velocitá; U é la velocit´ a della corrente asintotica; C é la velocit´ a della corrente asintotica. Le condizioni al contorno per il potenziale sono: |z!1 = 0 (

@ |z!0 = @z

condizione asintotica @w @t

+U

@w @x ,

0,

sul pannello fuori dall’area del pannello

(2.19) (2.20)

A parte la condizione asintotica, é necessario so↵ermarsi sulla condizione al contorno definita sul pannello, che risulta essere una condizione di accoppiamento. Essa é indicativa dell’interazione del fluido con il pannello in vibrazione, poiché la vibrazione del pannello determina un disturbo sulla velocit´ a del fluido che lo lambisce. In particolare, la velocit´ a sul pannello é data dalla somma di due contributi: • •

@w @t ,

dovuta alla condizione di continuitá, secondo cui una particella di fluido sul pannello ha una velocitá pari alla velocitá di vibrazione del pannello stesso; U @w e la componente convettiva, dovuta al fatto che c’é un flusso di @x , che ´ massa che lambisce il pannello con velocitá U .

Al di fuori dell’area del pannello, la corrente é indisturbata, e pertanto il pannello definisce uno schermo (ba✏e) di disturbo. La soluzione del problema puó essere trovata adottando una doppia trasformata di Fourier (una rispetto alle coordinate spaziali ed una rispetto alla coordinata temporale) sia dell’equazione (2.18) che delle relative condizioni al contorno. A questo punto, é necessario introdurre un legame tra il potenziale di velocit´ a della corrente e la pressione, ovvero del carico aerodinamico che agisce sul pannello. Si introduce pertanto la relazione di Bernoulli p=

⇢f

⇣@

@t

+U

@ ⌘ @x

(2.21)

dove con ⇢f si é indicata la densitá di massa del fluido considerato. Nel caso di moto supersonico, in particolare per M1 > 1.5, é possibile semplificare la relazione di Bernoulli, descrivendo la distribuzione di pressione mediante la Piston Theory, che costituisce un notevole vantaggio. La Piston Theory é un modello locale tale che il carico agente in un punto del pannello é indipendente da quanto accade negli altri punti, come se su ognuno di essi agisse un pistone ad esercitare la pressione. Questo tipo di approccio fornisce una relazione tra lo spostamento w(x, y, t) del pannello, ovvero l’operatore strutturale, e la pressione p(x, y, t), ovvero l’operatore aerodinamico. In particolare, é possibile scrivere:

2.2 Aerodinamica instazionaria

not stationary piston theory

p=

stationary piston theory

p=

@w ⌘ +U @t @x ⇣ @w ⌘ ⇢f C U @x ⇢f C

⇣ @w

27

(2.22) (2.23)

Il vantaggio dell’utilizzo della Piston Theory é che, mediante alcuni passaggi matematici, si giunge a scrivere la parte aerodinamica associata alla vibrazione del pannello, cioé la distribuzione di pressione, nelle stesse coordinate modali utilizzate per l’equazione del pannello. Utilizzando le (2.3),(2.7),(2.22), é possibile ottenere: 2 mpr q¨pr (t) + mpr !pr qpr (t) + ⇢f U 2 Qpr (t) = 0

dove Qpr (t) =

Z aZ 0

b 0

p(x, y, t) ⇢f U 2

pr (x, y) dx dy.

(2.24)

(2.25)

La matrice Qpr é una matrice modale, e rappresenta il lavoro che la dis´ una matrice tribuzione di pressione p(x, y, t) svolge per il modo proprio pr . E piena, nella quale: • •

sulla diagonale, troviamo il lavoro che la distribuzione di pressione p(x, y, t) dovuta al modo ij svolge sul modo ij stesso; fuori dalla diagonale, troviamo il lavoro che la distribuzione di pressione p(x, y, t) dovuta al modo ij svolge sul modo mn , con (i, j) 6= (m, n);

Pertanto, per descrivere ogni termine della matrice Qpr sono necessari 4 indici, poiché il termine Qprmn esprime il lavoro compiuto dalle forze aerodinamiche dovute al modo pr-simo del pannello per gli spostamenti associati al modo mn-esimo. La forza generalizzata relativa al modo pr-esimo del pannello Qpr é data dalla somma dei contributi dei lavori compiuti dalle forze aerodinamiche di tutti i modi mn-esimi del pannello, ovvero: Qpr =

M X N X

Qprmn

(2.26)

m=1 n=1

Grazie alla Piston Theory, la matrice Qpr puó essere scomposta in una parte statica ed una dinamica, ottenendo Qpr =

M X N h X

m=1 n=1

M X N h i X i (d) Q(s) qmn (t)Sprmn + q˙mn (t)Dprmn . prmn + Qprmn = m=1 n=1

(2.27) Nella (2.27), la matrice Spr é la matrice statica, legata all’e↵etto aerodinamico stazionario, ed é rappresentativa della rigidezza introdotta dalla parte aerodinamica (si parla di matrice di rigidezza aerodinamica generalizzata); la matrice Dpr é la matrice dinamica, legata all’e↵etto aerodinamico instazionario, e tiene conto dello smorzamento introdotto dalla parte aerodinamica (matrice di smorzamento aerodinamico generalizzata).

28


Utilizzando la (2.22), é possibile andare a calcolare le matrici Spr e Dpr . Indicando con M1 il numero di Mach della corrente asintotica, é possibile scrivere:

Sprmn =

1 M1

1 = M1

Dprmn =

Z aZ

"Z0

b

@

0

b

sin 0

1 (U )(M1 )

1 = (U )(M1 )

pr (x, y)

@x ⇣ r⇡y ⌘ b

Z aZ

"Z0

⇣ n⇡y ⌘ b

dy

#"

=

p⇡ a

Z

a

cos 0

Dprmn =

(

a

sin

⇣ m⇡x ⌘ a

dx

#

(2.28)

pr (x, y) mn (x, y) dx dy 0

sin

⇣ r⇡y ⌘ b

sin

⇣ n⇡y ⌘ b

= #"Z

a

dy

sin

0

Risolvendo gli integrali (2.28) e (2.29), si ottiene: ( 0 ⇣ ⌘h Sprmn = (m p) cos[⇡(m+p)]+(m+p) cos[⇡(m p b M1

⇣ p⇡x ⌘

b

b

0

sin

mn (x, y) dx dy

4

(m p)(m+p)

⇣ p⇡x ⌘ a

p)] 2m

i

sin

⇣ m⇡x ⌘ a

dx

#

(2.29)

se r 6= n o p = m se r = n o p 6= m (2.30)

0 ab 4(U )(M1 )

⌘ Dpr

se r 6= n o p 6= m se r = n o p = m

(2.31)

La novit´ a dell’approccio e↵ettuato sta nell’utilizzare la base modale per sviluppare sia l’operatore strutturale che quello aerodinamico. Infatti, grazie all’ipotesi di lavoro della teoria del pistone, le equazioni si presentano tutte in funzione degli spostamenti del pannello, espressi dall’unica variabile modale q(t).

2.3 Equazioni aeroelastiche ´ possibile a questo punto impostare il problema aeroelastico nella sua E forma pi´ u immediata, sfruttando le relazioni sin qui ottenute. In particolare, considerando i modi del pannello con ordine massimo N lungo x ed M lungo y, é possibile scrivere un’equazione di questo tipo: 2 mpr q¨pr (t) + mpr !pr qpr (t) + ⇢f U 2

M X N h X

m=1 n=1

i qmn (t)Sprmn + q˙mn (t)Dprmn = 0

(2.32)

2.3 Equazioni aeroelastiche

29

con p 2 {1, 2, . . . , N } e r 2 {1, 2, . . . , M }. Si ricorda che, anche se di difficile lettura, il doppio indice é strettamente necessario in quanto la coppia d’interi definisce univocamente il modo del pannello. In forma matriciale, la (2.32) diventa: 9 8 9 2 2 38 !1,1 0 . . . 0 q¨1,1 (t) > q1,1 (t) > > > > > > > > > > > > 6 7> > > .. .. .. < = < = 6 7 . 1 1 0 . . . 0 . . 6 7 ab⇢s h[I] + ab⇢ h = s 6 7 .. .. .. > > > > 4 4 > > > > 4 5 . . . . . . . . . . > > > > . . > > > > : ; : ; 2 0 0 . . . !N,M q¨N,M (t) qN,M (t) 9 8 9 2 38 S1,1 1,1 . . . . . . S1,1 N,M > q1,1 (t) > q˙1,1 (t) > > > > > > > > > > 6 7> > > .. .. .. .. < = ⇢ U ab > < = 6 7 . . . . . 0 . . f 26 7 ⇢f U 6 [I] 7> .. .. .. .. . > > > M1 4 > > > 4 5> > > > > . . . . .. . . . > > > > : ; : ; SN,M 1,1 . . . . . . SN,M N,M qN,M (t) q˙N,M (t) (2.33) dove [I] é la matrice identica. Dalla (2.33) é possibile notare alcuni fatti salienti: •

• • • • •

per U = 0 il sistema d’equazioni si disaccoppia totalmente, ottenendo tante equazioni ad un grado di libertá quanti sono i modi del pannello scelti per la rappresentazione del fenomeno (scompare il problema aerodinamico, e resta il problema strutturale lineare); é solo grazie all’aerodinamica che il sistema d’equazioni di↵erenziali ordinarie del secondo ordine omogeneo é tale; il sistema, in generale, ammette delle (auto)soluzioni dipendenti da U (e quindi da M1 ); le matrici [S] e [D] al secondo membro, come giá accennato, possono essere definite rispettivamente come matrici di rigidezza e di smorzamento aerodinamiche; [D] é diagonale; [S] non é diagonale, e quindi non é possibile disaccoppiare i modi propri. L’analisi modale in questo caso non permette il disaccoppiamento delle equazioni, ma permette comunque di esprimere anche le forze aerodinamiche generalizzate mediante la stessa coordinata lagrangiana utilizzata per la risposta del pannello.

Si deduce pertanto che l’interazione fluido-struttura al variare della velocit´ a determina una variazione delle proprietá del pannello in termini di rigidezza e smorzamento che pu´ o portare ad un’instabilitá aeroelastica. L’analisi dell’instabilit´ a aeroelastica consiste nel ricercare quelle velocitá in corrispondenza delle quali: •

si annulla la rigidezza del sistema aeroelastico, ed in questo caso parliamo di divergenza (instabilitá statica);

30

•


si annulla lo smorzamento del sistema aeroelastico, ed in questo caso parliamo di flutter (instabilitá dinamica).

2.4 Sistema ad un grado di libert´ a Per comprendere meglio il significato dei singoli operatori e dei calcoli da e↵ettuare, é opportuno partire dal sistema aeroelastico pi´ u semplice, in cui si considera solo il primo modo del pannello (quindi con p = r = 1). L’equazione del sistema é 1 1 2 ab⇢s h¨ q1,1 (t) + ab⇢s h!1,1 q1,1 (t) + ⇢f U 2 S1,1 4 4

⇢f U ab q˙1,1 (t) = 0. M1 4 (2.34) Dato che S1,1 1,1 = 0, dividendo primo e secondo membro per ab 4 e ponendo per semplicit´ a q1,1 ⌘ q e !1,1 ⌘ ⌦, la (2.34) diventa: 1,1 q1,1 (t)

+

⇢s h¨ q (t) + ⇢s h⌦ 2 q(t) + ⇢f C q(t) ˙ =0

(2.35)

dove chiaramente C = MU1 é la velocitá del suono della corrente asintotica. Si cercano soluzioni armoniche del tipo q(t) = q0 e t . L’equazione secolare a cui si perviene é h ⇣⇢ C ⌘ i f 2 + + ⌦ 2 q0 = 0 (2.36) ⇢s h da cui si ricava

=

1 ⇣ ⇢f C ⌘ ± 2 ⇢s h

s

⇣ ⇢ C ⌘2 f ⇢s h

4⌦ 2 .

(2.37)

Dall’esame (2.37)⌘si puó dedurre che si ottengono autovalori comp⇣ della ⇢f C 2 lessi solo se ⇢s h < 4⌦ 2 . In tal caso, gli autovalori sono necessariamente complessi coniugati a parte reale negativa. Allo stesso tempo, é possibile constatare che nel caso di autovalori puramente reali, essi sono certamente minori di zero (al massimo nulli). Si ricordi a questo punto che per come si é sviluppata la procedura di estrazione degli autovalori, la condizione necessaria affinché si abbia instabilitá aeroelastica (panel flutter ) é che la parte reale dell’autovalore deve essere positiva, ovvero Re( ) > 0. Sulla base delle precedenti considerazioni, é possibile a↵ermare che: • • •

non é verificabile un’instabilitá instazionaria aeroelastica dei pannelli ad un grado di libert´ a; il sistema in queste approssimazioni non dipende dalla velocitá del flusso; se si esplicitasse l’operatore stazionario associato alla Piston Theory, nel caso di sistema ad un grado di libertá scomparirebbe del tutto la parte aerodinamica.

2.5 Sistema a due gradi di libert´ a

31

2.5 Sistema a due gradi di libert´ a Si esamino ora un sistema aeroelastico instazionario in cui si considerano solo i primi due modi del pannello (p = 1, 2; r = 1). L’equazione del sistema é  ⇢  2 ⇢ 1 1 ! 1 0 q¨1,1 (t) q1,1 (t) ab⇢s h + ab⇢s h 1,1 2 = 0 1 q¨2,1 (t) 0 !2,1 q2,1 (t) 4 4  ⇢  ⇢ ⇢f U ab 1 0 q˙1,1 (t) S S q1,1 (t) ⇢f U 2 1,1 1,1 1,1 2,1 . (2.38) S2,1 1,1 S2,1 2,1 q2,1 (t) M1 4 0 1 q˙2,1 (t) Dato che S1,1 1,1 = S2,1 ponendo per semplicit´ a • • • •

2,1

= 0, dividendo ambo i membri per 14 ab⇢s h e

q1,1 ⌘ q1 ; q2,1 ⌘ q2 ; !1,1 ⌘ ⌦1 ; !2,1 ⌘ ⌦2 ;

la (2.38) diventa ⇢

⇢f C q¨1 (t) + q¨2 (t) ⇢s h

⇢



q˙1 (t) q˙2 (t)

 ⇢f U 2 4 ⌦12 0 0 + 0 ⌦22 S ⇢s h ab 2,1

1,1

S1,1 0

2,1

!⇢

q1 (t) q2 (t)

=

⇢

(2.39) Si cercano ancora soluzioni del tipo q(t) = q0 e t . L’equazione secolare é la seguente ⇣

2

+

⌘⇣ ⇢f C + ⌦12 ⇢s h

2

+

⌘ ⇢f C + ⌦22 ⇢s h

⇣ ⇢ U 2 4 ⌘2 f S2,1 ⇢s h ab

Dalla (2.30), é possibile calcolare S1,1 2,1 = do nell’equazione secolare (2.40), si ricava: ⇣

2

+ ⇣

⌘⇣ ⇢f C + ⌦12 ⇢s h 2

+

2

+

⌘⇣ ⇢f C + ⌦12 ⇢s h

S2,1

11

=

1,1 S1,1 2,1 2 b 3 M1 .

= 0.

(2.40) Sostituen-

⌘ ⇣ ⇢ U 2 4 ⌘2 ⇣ 2 b ⌘2 ⇢f C f + ⌦22 + = 0 (2.41) ⇢s h ⇢s h ab 3 M1 2

+

⌘ ⇣ ⇢ U C 8 ⌘2 ⇢f C f + ⌦22 + =0 ⇢s h ⇢s ha 3

(2.42)

La (2.42) é un’equazione del quarto grado biquadratica caratterizzata da soluzioni note e dipendenti da: • • •

caratteristiche del pannello; quota (densit´ a e velocit´ a caratteristica del suono); velocit´ a asintotica.

0 . 0

32


´ possibile quindi e↵ettuare analisi parametriche delle variazioni degli auE tovalori di flutter. Quella che in questo ambito si ritiene pi´ u facilmente interpretabile permette di inseguire i valori delle parti reali e immaginarie dei quattro autovalori per un fissato numero di Mach al variare della velocitá del fluido. In altre parole, al variare della velocitá asintotica, la quota (e quindi la velocit´ a caratteristica del suono) varia in maniera tale che il numero di Mach si mantenga costante. Da un punto di vista matematico, ció corrisponde nel sostituire nell’equazione (2.42) C = MU1 , considerare il numero di Mach come una costante assegnata e U unica variabile indipendente del problema. Si osservi che l’autovalore é pari a = ⌘ + j!. I risultati ottenuti sono mostrati dalle Figure 2.3 e 2.4, in cui sono riportati rispettivamente gli andamenti di frequenze naturali ! = Im( ) e smorzamenti Re( ) ⇣ = Im( a asintotica. ) del sistema aeroelastico con la velocit´ ´ facilmente verificabile che i quattro autovalori del problema aeroelastico E sono caratterizzati da parti reali e parti immaginarie a due a due uguali e opposte tra loro, ovvero si ritrovano le stesse soluzioni mediante uno sfasamento di 180 gradi. Inoltre, é immediato constatare che le due soluzioni corrispondono per U = 0 (operatore aerodinamico assente) agli autovalori puramente strutturali. In tale ottica, é possibile interpretare l’analisi aeroelastica come la variazione degli autovalori strutturali dovuta ad un disturbo esterno di tipo aerodinamico. Dalla Figura 2.3 risulta che all’aumentare della velocitá, le frequenze proprie del sistema convergono ad un unico valore. Giunti alla velocitá di coalescenza, i modi propri sono in grado di scambiarsi energia. Questa é una condizione necessaria ma non sufficiente per avere panel flutter. La condizione fondamentale é riportata nella Figura 2.4: l’aumento di velocitá fa cambiare con continuit´ a lo smorzamento aerodinamico (lo smorzamento strutturale é

Figura 2.3: frequenze naturali del sistema instazionario al variare della velocitá a Mach fissato (M1 = 2).

2.5 Sistema a due gradi di libert´ a

33

Figura 2.4: smorzamenti del sistema instazionario al variare della velocitá a Mach fissato (M = 21 ). nullo in quanto si considera la struttura conservativa), ed in corrispondenza della velocit´ a di coalescenza uno dei due smorzamenti prima si annulla, poi diventa positivo. La frequenza di coalescenza e la corrispondente velocitá sono denominate di flutter , ed in accordo con quanto detto prima é possibile a↵ermare che la condizione di panel flutter si raggiunge quando il disturbo aerodinamico annulla lo smorzamento complessivo del sistema e porta a coalescenza le parti immaginarie dei due autovalori (pulsazioni). Fisicamente, in corrispondenza della velocit´ a di flutter i modi del pannello si accoppiano per via aerodinamica (ad esempio, il modo (1,1) introduce una distribuzione di pressione che lavora per il modo (2,1)), e quindi sono in grado di scambiarsi energia. Di conseguenza, il fluido invece di estrarre energia dalla struttura (dissipandola), la rifornisce di quest’ultima (permettendo l’accoppiamento tra i modi) proprio in corrispondenza di una frequenza propria del sistema accoppiato, creando una tipica situazione di instabilitá dinamica. Esaminiamo ora il sistema aeroelastico stazionario in cui si considerano ancora solo i primi due modi del pannello (p = 1, 2; r = 1). L’equazione del sistema é simile alla (2.38), con la sola di↵erenza che non é presente il termine instazionario q. ˙  ⇢  2 ⇢ 1 1 !1,1 1 0 q¨1,1 (t) q1,1 (t) ab⇢s h + ab⇢s h = 2 0 1 q¨2,1 (t) 0 !2,1 q2,1 (t) 4 4  ⇢ q1,1 (t) 2 S1,1 1,1 S1,1 2,1 = ⇢f U S2,1 1,1 S2,1 2,1 q2,1 (t)

(2.43)

Mediante le stesse assunzioni utilizzate per scrivere la (2.39), é possibile riscrivere la (2.43) come

34


Figura 2.5: frequenze naturali del sistema stazionario al variare della velocitá a Mach fissato (M = 21 ).

Figura 2.6: smorzamenti del sistema stazionario al variare della velocitá a Mach fissato (M = 21 ). ⇢

q¨1 (t) q¨2 (t)



 ⇢f U 2 4 ⌦12 0 0 + 0 ⌦22 ⇢s h ab S2,1

1,1

S1,1 0

2,1

!⇢

q1 (t) q2 (t)

=

⇢

0 . (2.44) 0

Cercando ancora soluzioni armoniche per la (2.44), e calcolando i termini della matrice [S], l’equazione secolare a cui si giunge é la seguente: ⇣

2

+ +⌦12

⌘⇣

2

⌘ ⇣ ⇢ U C 8 ⌘2 f + +⌦22 + = 0. ⇢s ha 3

(2.45)

A questo punto, é possibile svolegere un’analisi analoga a quella fatta per il sistema instazionario, diagrammando nelle Figure 2.5 e 2.6 l’andamento di

2.6 Generalizzazione

35

pulsazioni e smorzamento in funzione della velocitá del fluido (a numero di Mach fissato). Le dimensioni caratteristiche del pannello e del fluido sono inalterate rispetto al caso instazionario. I risultati dimostrano che modellando l’operatore strutturale mediante solo due gradi di libertá é possibile ricavare una velocit´ a d’instabilit´ a aeroelastica anche in condizioni aerodinamiche puramente stazionarie. L’unica variazione significativa rispetto al caso stazionario e che lo smorzamento non subisce variazioni fino alla velocitá di flutter (dato che la struttura é conservativa e non é presente la matrice di smorzamento aerodinamico [D]). Limiti della trattazione del sistema a due gradi di libert´ a ´ opportuno evidenziare che l’analisi e↵ettuata, per quanto particolarE mente utile da un punto di vista teorico per chiarire i meccanismi dell’instabilit´ a in questione, potrebbe portare a deduzioni errate se non interpretate adeguatamente. L’approccio utilizzato nell’analisi parametrica delle variazioni degli autovalori consiste nel fissare il numero di Mach supersonico a priori e ´ chiaro a questo collegare la variazione di velocitá con quella della quota. E punto che, se si andasse ad indagare a quale quota si otterrebbe la velocitá di flutter per il fissato numero di Mach, potrebbe risultare che tale fenomeno avvenga ben oltre l’atmosfera terrestre per alcune configurazioni geometriche del pannello scelto. Un tale risultato é chiaramente privo di riscontro fisico avendo scelto come densit´ a del fluido quella dell’aria. Inoltre, si deve notare che superata la frequenza di flutter una delle due soluzioni armoniche tende a zero, ovvero il sistema si porta in una condizione di divergenza statica (la frequenza di flutter tende ad una condizione in cui l’autovalore corrispondente é nullo): ció é un’approssimazione introdotta dal modello a pochi gradi di libertá.

2.6 Generalizzazione In forma matriciale, la relazione generale per un numero T = N · M di modi presenti nel sistema é mg [I]{¨ q (t)} + mg [⌦]{q(t)} + ⇢f U 2 [S]{q(t)} + ⇢f U 2 [D]{q(t)} ˙ = {0} (2.46) dove con [I] si é indicata la matrice identica, con [⌦] la matrice diagonale delle pulsazioni naturali al quadrato. Ordinando i termini, é possibile scrivere [I]{¨ q (t)} +

⇣⇢ U2 ⌘ ⇢f U 2 f [D]{q(t)} ˙ + [S] + [⌦] {q(t)} = {0}. mg mg

(2.47)

Una scrittura comoda e formalmente pi´ u corretta é la seguente: [I]{¨ q (t)} + [B(U )]{q(t)} ˙ + [C(U )]{q(t)} = {0}.

(2.48)

36


Riportiamo l’esame degli autovalori. Ció é possibile riscrivendo interamente il problema, passando peró ad un problema a 2T gradi di libertá nello spazio degli stati (raddoppia l’ordine del sistema di equazioni di↵erenziali, ma ci si riconduce ad un problema di estrazione degli autovalori perfettamente simmetrico).  ⇢  ⇢ ⇢ [0] [I] {¨ q (t)} [I] [0] {q(t)} ˙ 0 + = (2.49) [I] [B(U )] {q(t)} ˙ [0] [C(U )] {q(t)} 0 ⇢ {q(t)} ˙ Ponendo {z(t)} = = {Z}e t , ci si riconduce al problema agli {q(t)} autovalori (2.50). !   ⇢ [0] [I] [I] [0] 0 + {Z} = [I] [B(U )] [0] [C(U )] 0 

[0] [I] [I] [B(U )]

1





 [0] [I] [0] [I] + [I] [B(U )] [I] [B(U )]

[I] [0] = [0] [I]



1



[I] [0] = [0] [C(U )]

[B(U )] [ C(U )] = [I] [0]

⇢

0 0

⇢

0 0 (2.50)

Si osservi che nei passaggi precedenti si sono considerate le sub-matrici come fossero scalari. 1 L’implementazione della (2.50) in un foglio di calcolo permette di analizzare diversi casi di panel flutter. In particolare, nel paragrafo successivo vengono riportati diversi risultati, relativi a casi di↵erenti, ottenuti mediante un foglio elettronico Mathcad.

2.7 Soluzioni di riferimento Nel seguito sono riportate alcune soluzioni di riferimento relative ad un pannello: • • • •

in alluminio (modulo di Young E = 7.102 · 1010 P a, modulo di Poisson ⌫ = 0.33); di lati a = 20in, b = 14in e spessore h = 0.041in; con smorzamento strutturale ⌘S = 0.01; lambito da una corrente supersonica (M1 = 2) con densitá ⇢f = 0.525kg/m3 e velocit´ a caratteristica del suono pari a cf = 340m/s.

La di↵erenza tra i casi proposti sta nel tipo di modello (stazionario o instazionario) e nel numero T di modi scelto. 1

In particolare, si ha che



01 1b

1

=



b1 1 0

2.7 Soluzioni di riferimento

37

2.7.1 Modello stazionario, T = 2 Dalla Figura 2.7, si comprende come in prossimitá della velocitá di flutter le frequenze naturali vanno a coalescenza, allontanandosi dalle frequenze strutturali. Dalla Figura 2.8, invece, si evince come i valori degli smorzamenti modali sono inizialmente pari allo smorzamento strutturale ⌘s e non subiscono variazioni fino alla velocit´ a di flutter, in corrispondenza della quale uno dei due diviene positivo.

Figura 2.7: frequenze naturali al variare della velocitá (T = 2, stazionario).

Figura 2.8: smorzamenti al variare della velocitá (T = 2, stazionario).

2.7.2 Modello instazionario, T = 2 Dal confronto tra la Figura 2.9 e la Figura 2.7, risulta che le frequenze naturali hanno lo stesso andamento con la velocitá sia nel caso di modello stazionario che di modello instazionario. Diverso il comportamento dello

38


smorzamento. Infatti, mentre nel modello stazionario alle basse velocitá gli smorzamenti del sistema aeroelastico restano costanti e pari allo smorzamento strutturale, nel caso di modello instazionario essi deviano dallo smorzamento strutturale per e↵etto delle forze aerodinamiche che hanno un e↵etto smorzante. Anche in questo caso, comunque, in corrispondenza della velocitá di flutter uno degli smorzamenti diventa positivo, e quindi si passa in una condizione di instabilit´ a aeroelastica.

Figura 2.9: frequenze naturali al variare della velocitá (T = 2, instazionario).

Figura 2.10: smorzamenti al variare della velocitá (T = 2, instazionario).

2.7.3 Modello stazionario, T = 6 Nella Figura 2.11 sono rappresentati le frequenze naturali relative al primo, ´ possibile evincere che secondo e sesto modo proprio del sistema aeroelastico. E

2.7 Soluzioni di riferimento

39

quando il sistema considerato ha pi´ u gradi di libertá, puó capitare che non tutti siano influenzati dall’aerodinamica. Si osserva infatti che la pulsazione naturale corrispondente al sesto modo proprio di vibrare del sistema aeroelastico resta insensibile alle variazioni di velocitá, restando constantemente pari alla pulsazione naturale del pannello. Pertanto, questo modo non scambia energia con altri modi. Al contrario, le pulsazioni relative ai primi due modi propri di vibrare vanno a coalescenza all’aumentare della velocitá. Dalla Figura 2.12, in cui sono riportati gli smorzamenti relativi ai primi due modi propri di vibrare del sistema, é possibile osservare che in corrispondenza della velocit´ a di flutter, lo smorzamento del secondo modo proprio diventa positivo. La particolarit´ a rispetto al caso proposto nel paragrafo 2.7.1 é che il gradiente di ⌘2 é molto elevato, ed é rappresentativo di un flutter di tipo esplosivo.

Figura 2.11: frequenze naturali al variare della velocitá (T = 6, stazionario).

Figura 2.12: smorzamenti al variare della velocitá (T = 6, stazionario).

40


2.7.4 Modello instazionario, T = 6 Per quanto riguarda le frequenze, vale quanto detto nel paragrafo precente. Per quanto riguarda gli smorzamenti, essendo un modello instazionario, le forze aerodinamiche hanno un e↵etto smorzante alle basse velocitá. In prossimit´ a della velocit´ a di flutter, l’andamento degli smorzamenti cambia, ed in particolare quello relativo al secondo modo proprio di vibrare diventa molto rapidamente positivo, e data l’elevata pendenza della curva si puó parlare ancora di flutter esplosivo.

Figura 2.13: frequenze naturali al variare della velocitá (T = 6, instazionario).

Figura 2.14: smorzamenti al variare della velocitá (T = 6, instazionario).

1)  2)  3)  4)  5)  6)  7)  8)  9)  10)  11)  12)  13)  14)  15)  16)  17)  18) 


Studio Aeroelastico Dinamico di un Profilo Indice 1. INTRODUZIONE .................................................................................................... 2! 1.1 Equazioni del Moto ..................................................................................................... 2! 1.2 Adimensionalizzazione................................................................................................ 4!

2. OPERATORE STRUTTURALE ............................................................................. 6! 2.1 Analisi delle Autosoluzioni ......................................................................................... 6! 2.2 Risposta Forzata ........................................................................................................ 10!

3. OPERATORE AERODINAMICO 2D, INCOMPRIMIBILE, INSTAZIONARIO12! 3.1 Operatore Aerodinamico Instazionario Completo..................................................... 12! 3.2 Operatori Aerodinamici Quasi-Stazionari ................................................................. 14!

4. CONDIZIONI D’INSTABILITÀ (FLUTTER) ..................................................... 16! 4.1 Il Ruolo della Fase in un Sistema Monodimensionale .............................................. 16! 4.2 Il Ruolo della Fase in un Sistema Bidimensionale .................................................... 17! 4.3 Modello di PINE per il Flutter .................................................................................... 19! 4.4 Ricerca del Flutter ..................................................................................................... 20! 4.4.1 Metodo Vg ....................................................................................................................... 20! 4.4.3 Metodo p-k ...................................................................................................................... 21!

APPENDICI ............................................................................................................... 22! A. Funzione di Theodorsen ...................................................................................................... 23! B. Grafico dei Coefficienti Aerodinamici Instazionari Bidimensionali Incomprimibili .......... 24! C. Funzione di Sears ................................................................................................................ 28! D. Riepilogo delle Equazioni del Flutter in Forma Quasi-Stazionaria ................................... 29! E. Riepilogo delle Equazioni del Flutter in Forma Completa ................................................. 29!

1

1. Introduzione In queste note s’imposterà l’analisi di uno dei più semplici sistemi aeroelastici, in cui vi la possibilità di un’instabilità dinamica. 1.1 Equazioni del Moto Consideriamo un’ala infinitamente lunga, in cui le uniche rigidezze siano quelle flessionale (nel piano xz) e torsionale (intorno all’asse y). Tali rigidezze siano rappresentate da elementi noti e concentrati nell’asse elastico, e denotate dai simboli kh e k , rispettivamente. α

Fig.1: Schema del Profilo e dei Centri Caratteristici

z,w

U∞

configurazione di equilibrio iniziale

x,r O b

b ba h

bxα

CM AE AC

h(t) α(t)

generica configurazione deformata all’istante t Ricordiamo che se denominiamo u, v, e w gli spostamenti dei punti dell’ala in un riferimento Oxyz, dovremo essere capaci di ottenere la seguente relazione:

2

u ( x, y, z, t ) = u ( x, y, z, q1 , q 2 ,…, q N ) v( x, y, z, t ) = v( x, y, z, q1 , q 2 ,…, q N ) . w ( x, y, z, t ) = w ( x, y, z, q1 , q 2 ,…, q N )

(1)

dove con q i (con i ∈ N) si è indicata l’i-ma coordinata generalizzata. Il generico spostamento secondo l’asse z, nel caso d’ala infinitamente lunga, sarà quindi esprimibile secondo le uniche due incognite cinematiche:

w ( x, t ) = −h ( t ) − r tan(α( t )) .

(2)

L’ultima relazione, nel caso di piccoli disturbi (ovvero piccoli spostamenti e angoli d’attacco) diverrà:

u ( x, t ) = 0 v( x , t ) = 0

.

(3)

w ( x, t ) = −h ( t ) − rα( t ) Per completezza si è riscritto l’insieme completo degli spostamenti alari. Lo spostamento flessionale h, è stato assunto positivo verso il basso, mentre la torsione α, positiva oraria. Una possibile scelta (tra le infinite) delle coordinate generalizzate o lagrangiane è data proprio da h ed α. Scriviamo le energia potenziale e cinetica del sistema in esame:

U( t ) =

1 1 k h h( t ) 2 + k α α( t ) 2 , 2 2

b

T( t ) =

b

2 1 1  2   w ( x , t ) dm = h ( t ) + r α ( t ) dm . 2 −∫b 2 −∫b

[

]

(4)

(5)

In particolare, essendo il sistema a massa omogenea, si ha: b

2 1  2 1 h ( t ) dm = m h ( t ) ; ∫ 2 −b 2

[ ]

[ ]

b

b

1 [rα ( t )]2 dm = 1 [α ( t )]2 ∫ r 2 dm = 1 I α [α ( t )]2 ; ∫ 2 −b 2 2 −b

(6)

b

∫ rα (t )h (t )dm = α (t )h (t )S

α

.

−b

dove I è il momento d’inerzia di massa del segmento alare intorno all’asse elastico, e S è il momento statico del segmento alare rispetto all’asse elastico. Si ricordi che essendo m la massa del segmento alare: α

α

S α = mx α b ⇒ x α =

Sα , mb

(7)

e quindi x (positivo per centro di massa dietro all’asse elastico) è la distanza in semicorde tra centro di massa ed asse elastico. Applicando le equazioni di LAGRANGE1, otterremo le volute equazioni del moto, per le due coordinate generalizzate h ed α: α

1

Le equazioni di LAGRANGE per un insieme di N coordinate generalizzate, si esprimono come segue:

3

-m +S , α

Sα * &h( t ) # -k h % "+ I α () $α  ( t )! +, 0

0 * & h ( t ) # &Q h ( t ) # % "=% ". k α () $α( t )! $Q α ( t )!

(8)

Per brevità di scrittura, salvo dove strettamente necessario, si ometterà d’ora in poi di indicare la dipendenza temporale. Notiamo che le matrici dei coefficienti non sono consistenti come dimensioni2, infatti: [m]=[ML-1], [S ]=[M], [I ]=[ML], [h]=[L], [kh]=[FL-2], [k ]=[F], [Qh]=[FL-1], [Q ]=[F]. α

α

α

α

1.2 Adimensionalizzazione Prima di esplicitare gli operatori aerodinamici e di disturbo, conviene passare ad una opportuna adimensionalizzazione delle eq.(9). E’ ora conveniente esprimere le rigidezze mediante le pulsazioni naturali del sistema strutturale disaccoppiato (S =0): α

ω2h =

k kh ; ωα2 = α . m Iα

(9)

A questo punto dividendo la prima delle eq.(8) per il termine πρb2b e la seconda per πρb2b2, si otterrà:

0 m . πρb 2 . . Sα ./ πρb 3

0 mω 2h Sα   'h $ . πρb 3 + ! ! . πρb 2 + + Iα +& b # . ! !  " %α . 0 πρb 4 +, /

' Q $ 0 +' h $ ! h 3 ! + ! ! ! πρb !# . (10) 2 &b# = & I α ωα + !α ! ! Q α ! % " !% πρb 4 !" πρb 4 +,

Le coordinate generalizzate sono ora entrambe adimensionali così come i coefficienti delle matrici e le forze generalizzate. Introduciamo i gruppi adimensionali:

m =µ πρb 2

Sα x mb = α 3 = x αµ 3 πρb πρb

Iα mb 2 rα2 I = = rα2 µ; rα2 = α 2 4 4 πρb πρb mb

.

(11)

Si noti che: ρ è la densità del fluido alla quota considerata ed è [ρ]=[ML-3]; r è il raggio d’inerzia della sezione alare misurata in semicorde; µ è il rapporto di massa della sezione alare. Si può allora riscrivere l’intero sistema come segue: α

01 µ. /x α

 x α - '! h $! 0ω2h & # + µ. rα2 +, ! b ! /0 %α "

' Qh $ h ' $ 0 - ! ! !! πρb 3 !! #. +& b # = & rα2 ω2α , ! α ! ! Q α ! % " !% πρb 4 !"

(12)

Imponiamo che la forma temporale delle soluzioni e dei termini noti siano assegnati:

∂ ( ∂T & ∂t &' ∂q i

2

% ∂U ∂W ## + = con i ∈ {1,2… N} ∂ q ∂ q i i $

Ciò può non essere un problema sostanziale, ma lo è sicuramente dal punto di vista formale. Inoltre, l’utilità dei termini matriciali è proprio quella di poter comparare tra loro i singoli coefficienti, cosa che è possibile solo se essi vengono resi tutti omogenei.

4

h( t ) = h 0 e pt α( t ) = α 0 e pt

Q h ( t ) = Q h 0 e pt , Q α ( t ) = Q α 0 e pt

(13)

con p∈C e [p]=[T-1]. In tal modo si avrà la forma definitiva delle equazioni del moto per il problema in esame:

0 26 1 . µp 4 . 5x α /

2 h

xα 3 6ω + µ 4 rα2 12 50

' Qh0 $ h ' $ 0 3 - ! 0 ! !! πρb 3 !! #. 1 +& b # = & rα2 ω2α 2 +, ! α ! ! Q α0 ! % 0" ! 4 % πρb !"

5

(14)

2. Operatore Strutturale 2.1 Analisi delle Autosoluzioni L’operatore strutturale bidimensionale in oggetto è molto semplice e permette delle facili considerazioni. Consideriamo l’eq. omogenea associata al problema completo retto dall’eq.(15):

0 1 + &' h 0 #' &0# / ) % b " = % ". rα2 ω2α 0 )* ' α ' $0! $ 0!

xα 1 4ω2h + µ2 rα2 /0 30

. 24 1 , µp 2 , 3x α -

(15)

Per l’assenza di termini dissipativi di qualsiasi natura, le autosoluzioni non potranno che essere che di tipo armonico, tali quindi da verificare p=jω. Le soluzioni esisteranno, com’è ben noto, se e solo se il determinante della matrice dei coefficienti è nullo:

xα # &ω2h + µ$ rα2 !" %0

&1 − µω $ %x α 2

0 # ! = 0. r ω2α " 2 α

(16)

Risolvendo l’equazione secolare (biquadratica), le soluzioni (in termini di ω2) sono le seguenti:

ω12, 2 ω 2h

=

- ωα2 1 + ++ 2 , ωh

* (( ± )

2

& - ωα2 *# - ωα2 $1 + ++ 2 ((! − 4++ 2 $% , ω h )!" , ωh & x α2 # 2 $1 − 2 ! % rα "

* & x α2 # (( $1 − 2 ! ) % rα "

.

(17)

L’annullarsi del momento statico (x =0), il braccio sussistente tra centro di massa ed asse elastico (centro di rotazione della sezione considerata), disaccoppia completamente i due gradi di libertà strutturali, come d’altronde era già ovvio dato che x compare solo nei termini fuori della diagonale della matrice di massa; le forze non producono alcuna rotazione elastica e viceversa, i momenti non provocano flessione. Le pulsazioni naturali sono allora date da: α

α

ω12, 2 ω 2h

= x α =0

1 ω2 1 + // α2 0 ωh

. ,, ± -

+ 1 ωα2 )1 − // 2 )* 0 ω h 2

6

.( ,,& -&'

2

$ 1 ! 2 = # ωα . !" ω 2h

(18)

Per la ricerca degli autovalori, indeterminati a meno di una costante, si utilizza la prima delle eq.(16) da cui α 0 b / h 0 = ( −1 / x α )(1 − ω2h / ω2 ) ; imponendo arbitrariamente che i due autovettori abbiano h0/b=1 si ha che:

& Φ = $− 1 $ % xα E’ facile altresì dimostrare che: Φ x

1

2 h 2 1

, ω **1 − + ω α =0

1

) '' (

# 1 , ω )! . *1 − '! − x α *+ ω '("

&1 0# =$ !. %0 1 "

2 h 2 2

(19)

Il seguente foglio Mathcad riporta un

grafico dell’eq.(18), in altre parole le pulsazioni naturali strutturali accoppiate, in forma adimensionale. E’ stato posto, per brevità di scrittura:

7

ωα ≡ ζ; ωh

xα =≡ ξ . rα

Studio delle Autosoluzioni Strutturali

s 1( ζ , ξ ) ζ

1

ζ

2

1

ζ 1

2 2

2 4. ζ . 1

ξ

2

2 ξ .2

0.11 , 0.15 .. 9

s 2( ζ , ξ )

1

ζ

2

ζ

2 2

1

100

100

10

10

s 1( ζ , 0.3)

1

2 4. ζ . 1

ξ

2

2 ξ .2

s 1( ζ , 0 ) 1

s 2( ζ , 0.3)

1

s 2( ζ , 0 )

0.1 0.01

0.1

0.1

1

0.01

10

0.1

ζ

0.5 , 0.45 .. 0.5

1

15

0.9

s 1( 1 , ξ ) 10

s 2( 1 , ξ ) 0.8

s 1( 3 , ξ )

0.7 0.6

10

ζ

ξ

s 2( 3 , ξ )

1

0.5

0

5

0

0.5

0.5

ξ

0 ξ

Utilizziamo ora Mathcad per la ricerca delle autosoluzioni strutturali.

8

0.5

Studio dell'Operatore Strutturale Omogeneo µ ωh

40

xα

0.2

rα

rad 10. sec

ORIGIN

0.6222 ωn rad 100. sec

ωα Matrice di Massa 1 M

2

K

2

sec

eig

2

ωh

2

ωn

ωn

2 2 r α .ω α

1 M .K

D

i

rad

Matrice di Rigidezza

xα

xα rα

0.

1

eigenvals( D)

1 .. 2 Φ eig =

9.93 107.628

eigenvec D , eigi sec

2

Φ =

Matrice di Massa Generalizzata T Φ . M. Φ =

0.035 0.977

Matrice di Rigidezza Generalizzata

1.014 0 0

0.999 0.215

T Φ . K. Φ =

0.556

9

10.065 0 0

59.799

sec

2

2.2 Risposta Forzata

Risposta Forzata Diretta dell'Operatore Strutturale Smorzato 40

µ

xα

10.

ωh

0.2

rα

rad

b F

T1

ρ

0.75. m

F. 0.5. m

Mo

F 3

2 ω .µ.M

Dyn( ω )

π . ρ. b µ . K. ( 1

( 1).

1 M

Mo

T2

π . ρ. b

res( ω )

rad 100. sec

4

xα

xα rα

2

kg 1.225. 3 m

j

1

η

0.01

Matrice di Rigidezza 2

K

ωh

2

ωn

j. η) ω

T

1

rad 0. sec

ωn

Matrice di Massa

newton 1. m

Dyn( ω )

0.6222

ωα

sec

ORIGIN

2

ωn

2 2 r α .ω α

ωh ωh , .. ω α . 2 8 7

Coordinate Fisiche Adimensionali

1

0.1

0.01 res( ω ) 1 res( ω ) 2

0.001

1 10

1 10

1 10

4

5

6 0

0.5

1 ω ωα

10

1.5

2

Risposta Forzata Modale dell'Operatore Strutturale Smorzato 40

µ

T1

1.

0.2

rα

rad 10. sec

ωh

F

xα

newton

ωα

b

0.75. m

ρ

1.225.

Matrice di Massa

3

D

1 M .K

η

0.01

Mo

T2

M 4

π . ρ. b

eig

eigenvals( D) Φ

<1 >

xα rα

Φ

rad 0. sec

j

1

Matrice di Rigidezza 2

xα

ωh

K

2

2

ωn

eigenvec D , eig1

Φ

<2 >

2

ωn

2 2 r α .ω α

eigenvec D , eig2

Matrice delle Forze Generalizzate

Matrice di Massa Generalizzata Mg

3

1

ωn

kg m

1

F π . ρ. b

rad 100. sec

F. 0.5. m

Mo

m

0.6222

ORIGIN

T.

Fg

M. Φ T Φ .( 1

Matrice di Rigidezza Complessa Generalizzata K g Fg

k

x( k , ω )

. ω2

Mg

k, k

ω

Kg

k, k

T Φ .T

j. η) . K. Φ

ωh ωh , .. ω α . 2 8 7

Coordinate Modali

10

1 x( 1 , ω ) x( 2 , ω )

0.1

0.01

0.001

0

0.5

1 ω ωα

11

1.5

2

3. Operatore Aerodinamico 2D, Incomprimibile, Instazionario 3.1 Operatore Aerodinamico Instazionario Completo Si devono esprimere le forze aerodinamiche (la portanza ed il momento) agenti sul sistema in esame. Si formulerà la classica ipotesi di regime incomprimibile in modo da utilizzare la rappresentazione di THEODORSEN, attraverso la sua funzione C(k). La frequenza ridotta è stata indicata come sempre con k,

k=

ωb . U

(20)

Per il sistema in esame, le forze siano considerate positive se verso l’alto e i momenti positivi se antiorari. Al secondo membro delle equazioni del moto si ha, quindi:

' Qh0 $ ' − L $ !! πρb 3 !! !! πρb 3 !! & Q # ≡ & M #. ! α 04 ! ! ! !% πρb !" !% πρb 4 !"

(21)

Il momento è valutato intorno all’asse elastico:

M ≡ M AE = M AC + L( 1 2 + a h )b .

(22)

Separiamo per entrambe le caratteristiche aerodinamiche, i due contributi dovuti al campo circolatorio e a quello a circolazione nulla:

L = L( NC) + L(C) ;

M = M ( NC) + M ( C) .

(23)

In particolare, le forze ed i momenti assumeranno le seguenti espressioni:

 ; L( NC ) = πρb 2 Uα + h − a h bα

(

)

L( C ) = 2πρUbC( k )[ Uα + h + (1 2 − a h )bα ] ; (24)

 α *  − 1 2 Ubα − b 2 '% M ( NC) = πρb 2 (a h b Uα + h − a h bα 8 & . (25) ) M ( C) = 2πρUb 2 ( 1 2 + a )C(k ) Uα + h + ( 1 2 − a )bα

(

)

h

[

h

]

Si noti che riscrivendo opportunamente le espressioni precedenti, si possono separare i contributi dovuti alla flessione ed alla torsione, nelle componenti di massa, rigidezza e smorzamento aerodinamici. Facciamolo solo per la portanza:

12

 + [πρb 2 U]α + [(1 2 − a h )b2πρUbC( k)]α + L = [−a h bπρb 2 ]α . (26) [2πρUbC( k) U]α + [πρb 2 ]h + [2πρUbC( k)]h L’espressione precedente può facilmente essere utilizzata per estrarre i coefficienti aerodinamici quali c lα , c lα , c lα , c lh , c lh , c lh .In tal modo alcuni autori preferiscono esprimere le cosiddette derivative di flutter, ossia i coefficienti aerodinamici instazionari. Si noti inoltre che per ah=-1/2 (l’oscillazione avviene intorno al fuoco aerodinamico), si annulla la parte circolatoria del momento; ciò significa che la portanza (per la sua parte circolatoria) è situata effettivamente ad un quarto della corda del profilo (centro aerodinamico, il luogo nel quale il momento aerodinamico non cambia al variare dell’angolo d’attacco). E’ il caso di riportare l’espressione della funzione C(k) e gli andamenti della parte reale e della parte immaginaria, ricordando che: −1

[

]

C(k) ≡ F(k) + jG(k) = H1( 2) (k) H1( 2) (k) + jH (02) (k) . In appendice è riportata la classica rappresentazione, come parti reale ed immaginaria in funzione della frequenza ridotta. Imponiamo che la forma temporale delle coordinate generalizzate sia questa volta:

h ( t ) = h 0 e jω t

α( t ) = α 0 e jωt ,

(27) così da ottenere:

'- j $ h0 * !+ k α0 − b + a h α0 ( + ! ) L ! 2 !, =ω & # 3 πρb !2C( k ) - 1 α + j h 0 1 + 42 1 − a 1/ j a α * ! ; h h 0( + k2 0 !% b k 32 0k , ) !"

'- jα 0 $ h0 jα 0 α 0 * 2 ! +a h k − a h b + a h α 0 − 2 k + 8 ( + ! ) M ! 2 !, =ω & #; 4 πρb α h j α * 1 j 1 4 1 4 1 !2C(k )2 + a / 0 + 0 + 2 − a / 0 ! h + 2 h ( !% b k 32 32 0, k 0 k ) !"

(28)

(29)

e quindi:

. L 1 = ω2 ,− 1 + 2C( k ) 3 πρb k -

'h $ j . 1 41 1 j ++ ! 0 ! + a h + 2C( k) , 2 + 2 − a h / a h )) & b # ; (30) k 32 0k -k ** !% α0 !"

. , M 41 1 j 2 = ω , − a h + 2C( k )2 + a h / 4 πρb , 32 0k , -

j j 1 + 2 + ah − + + ) '! h 0 $! k 2k 8 )& b # 41 1. 1 4 1 1; j + ) ! α(31) 2C( k )2 + a h / , 2 + 2 − a h / ) % 0 !" 32 0- k 32 0 k * )*

ah

In termini matriciali:

13

' L $ !! πρb 3 !! C lh 2. & M #=ω , -C mh ! ! 4 !% πρb !"

C lα + '! h 0 $! & b #. C mα )* ! α ! % 0"

(32)

3.2 Operatori Aerodinamici Quasi-Stazionari Gli operatori aerodinamici cosiddetti quasi-stazionari, sono esprimibili semplicemente considerando quelli circolatori, in cui la funzione C(k) sia posta pari ad un valore unitario reale:

& -1 * # L( QS) = 2πρUb $ Uα + h + + − a h (α b! ; ,2 ) " %

(33)

-1 *& -1 * # M ( QS) = 2πρUb 2 + + a h ($Uα + h + + − a h (α b! . ,2 )% ,2 ) "

(34)

Notiamo che le approssimazioni quasi-stazionarie hanno un ordine d’importanza relativa:

L( QS )

& # $ -1 * ! = 2πρUb $ U α + h + + − a h (α b ! , ed analogamente per il momento.  ) ! $Stazionario Quasi −StazionarioI ,2 Quasi − Stazionari oII " %

E’ facile a questo punto costruire una tabella di tali coefficienti: L(QS) M(QS) h

h h

2πρUb

2πρUb 2 ( 1 2 + a h )

-

-

α

2πρU 2 b 2πρUb 2 [( 1 2 − a h )]

2πρU 2 b 2 ( 1 2 + a h ) 2πρUb 3 1 4 − a 2h

-

-

α  α

(

)

In termini matriciali, e consistentemente con quanto fatto in precedenza, avremo:

. L( QS ) + (( πρb 3 (( 2 (QS) - ( QS ) * = ω A (M ( (, πρb 4 ()

[

[A ] (QS)

& $ =$ $

%$. h0 + ( ( -b* (, α0 ()

]

2j k 2( 1 2 + a h )

j k

2 j # + (1 − 2a h ) 2 ! k k ! j #! &1 1 (1 + 2a h )$ 2 + ( 2 − a h ) ! k "!" %k

. (35)

Cerchiamo di capire la congruenza formale e dimensionale con le relazioni ben note dell’aerodinamica stazionaria. La portanza stazionaria per unità d’apertura è espressa come segue:

L(S) =

1 1 ρV 2 (c)c lα α = ρV 2 (2b)c lα α = ρV 2 bc lα α . 2 2

Considerando nel nostro caso, la portanza legata al solo angolo d’attacco: 14

(36)

L( QS) = πρb 3

2 2 2 ω α = πρb 3 2 V 2 α = 2πρbV 2 α , 2 k b

Ricordando che il profilo, per le ipotesi fatte, è una lastra piana( c lα

(37)

= 2π ), si avrà pertanto:

L(S) = ρV 2 bc lα α = 2πρV 2 bα = L( QS) ,

(38)

come ci si aspettava.

I coefficienti aerodinamici instazionari e quasi-stazionari, resi correttamente dimensionali, sono utilizzabili analogamente a quanto fatto nel caso stazionario. In appendice C sono riportati i grafici di tali coefficienti secondo dei fogli Mathcad.

15

4. Condizioni d’Instabilità (Flutter) 4.1 Il Ruolo della Fase in un Sistema Monodimensionale C’è un modo molto semplice per identificare ed inquadrare il fenomeno del flutter bidimensionale. Supponiamo, infatti, che il profilo sia rappresentato da una lastra piana ad angolo d’attacco nullo e che l’unico modo sia rappresentato da una flessione intorno all’asse elastico:

h( t ) = Re{h 0 exp( jωt )}.

(39)

Inoltre, consideriamo la generazione di forze aerodinamiche instazionarie, nella forma più semplificata possibile, in altre parole consideriamo la variazione d’angolo d’attacco come dovuta al solo modo elastico considerato:

α( t ) =

1 dh ( t ) 1 = Re{h 0 jω exp( jωt )}. U ∞ dt U∞

(40)

L’unico lavoro aeroelastico presente nel sistema sarà dato da:

dΠ = − L h dh = − L h

dh 1 dt ⇒ Π = − dt T

T=

2π ω

∫ 0

) dh ( t ) & Re{L h ( t )}Re ( %dt . (41) ' dt $

È stata considerata come unica forza aerodinamica, la portanza. Possiamo esprimerla come rapporto, r, della portanza istantanea rispetto al quella che si otterrebbe per un moto del profilo a velocità costante, h = h 0 ; inoltre si deve tenere presente che l’aerodinamica introduce uno smorzamento e ci sarà quindi un ritardo (o un anticipo) nella portanza prodotta dalla data variazione d’angolo d’attacco:

& h # 1 L h ( t ) = L0 ( t )r exp( jψ), L0 ( t ) = ρU 2∞Sc lα $$ 0 !! . 2 % U∞ "

(42)

Pertanto, risolvendo l’integrale si avrà:

π Π = − ρU ∞Sc lα ωh 02 r cos ψ . 2

(43)

Il segno del lavoro ci dice se l’oscillazione estrae energia dal fluido o viceversa: affinché si manifesti il flutter è necessario che sia Π>0. I valori di r e ψ sono, in generale, funzioni di REYNOLDS e MACH.

16

La funzione riportata nel grafico seguente è esprimibile grazie alle relazioni precedentemente introdotte. Si tratta, infatti, in questo caso, di esprimere solo i contributi dovuti alla flessione:

L h πρbU 0 b 2

γ(k) =

L( QS)

= − k 2 + 2C( k ) jk ;

L ( QS )

L

≡ r exp( jψ) =

h πρbU 0 b 2

= 2 jk

(44)

jk jk + C( k ) = + F( k ) + jG( k ) ; (45) 2 2

I raggi uscenti dall’origine del sistema di riferimento definiranno in modo univoco r e ψ. Si noti che per k=0, il valore di r è unitario mentre ψ è nullo. Fig. 2: Andamento della Funzione γ(k) sugli assi Reale ed Immaginario 2

1

r ( ) Im γ ( kk ( i) )

ψ 0

1

2

0

0.5

1

1.5

( ) Re γ ( kk ( i) )

2

4.2 Il Ruolo della Fase in un Sistema Bidimensionale Atteso dal paragrafo precedente che non vi può essere un’instabilità monodimensionale per configurazioni in cui la derivata del coefficiente di portanza è positiva, esaminiamo in cui i gradi di libertà siano due. Abbiamo le deformate di flessione e torsione del profilo alla stessa frequenza d’oscillazione: si può dimostrare che questa è condizione necessaria per l’esistenza del flutter. Il lavoro che occorre considerare è quello della portanza: T=

Π=

2π ω

∫L 0

T= α

h dt +

2π ω

∫L

h

h dt .

(46)

0

Gli altri contributi della portanza sono trascurabili. Si noti che il secondo integrale nell’espressione del lavoro è sempre negativo (cfr. paragrafo precedente). Il primo termine è nullo se h ed α sono in fase, ed è maggiore di 0 se h ed α hanno una fase di π/2. Ciò significa che solo se i due modi del profilo sono sfasati di un dato angolo sussisterà la 17

possibilità dell’insorgere del flutter. Le figure seguenti riportano in modo semplificato lo schema fisico. Fig. 3: Fase Nulla.

h = sin ( ωt ), α = sin ( ωt )

ωt

π/4

0

π/2

3π/4

π

5π/4

Velocità

3π/2

7π/4

2π

Profilo (Lastra Piana)

Portanza

Fig. 4: Fase di π/2.

h = cos(ωt ), α = sin (ωt )

ωt

0

π/4

π/2

3π/4

π

Velocità

5π/4

3π/2

7π/4

2π

Profilo (Lastra Piana)

Portanza

È inevitabile che, anche in presenza di smorzamento strutturale, l’unico operatore che potrà introdurre una fase variabile tra i modi del profilo è quello aerodinamico: tale sfasamento sarà funzione della frequenza ridotta e quindi della velocità di volo.

18

4.3 Modello di PINE per il Flutter Rinunciamo all’approccio dimensionale per seguire l’impostazione formale di Pine. In questo caso si considera come unico operatore aerodinamico, la portanza stazionaria:

, m Sα ) & h( t ) # ,k h *S ' %  " + * 0 ( t)! + + α I α ( $α

0 ) & h( t ) # ,0 − Scl α ) &0# = % " , (47) % "−q k α '( $α( t ) ! *+0 2Sebclα '( $0!

dove il simbolo q denota la pressione dinamica per unità di apertura, [FL-3]. Quindi:

-mp 2 + k h + 2 , Sα p

* & h # &0# S α p 2 + qScl α (% " = % " , I α p 2 + k α − 2qSebcl α ) $α ! $0!

(48)

per ottenere l’equazione secolare:

a 4 p4 + a 2 p2 + a 0 = 0 con a4 =

.

(49)

a2 = a0 = Discutiamo le possibili radici in base al segno dei coefficienti: a4 Δ a0 a2 Soluzioni

Tipo di Moto

>0 >0

<0

>0 >0 pI,1 = +jω1 pI,2 = -jω1 pI,2 = +jω2 pI,2 = -jω2 Armonico

Tipo di Stabilità Neutrale Controlla la tabella sulla divergenza

<0 <0 pI,1 = +σ1 pI,2 = -σ1 pI,2 = +σ2 pI,2 = -σ2 Aperiodico Divergenza

19

pI,1 = +jσ pI,2 = -jσ pI,2 = +jω pI,2 = -jω Aperiodico Armonico Divergenza

pI,1 = +jω1 pI,2 = -jω1 pI,2 = +jω2 pI,2 = -jω2 Oscillatorio

4.4 Ricerca del Flutter 4.4.1 Metodo Vg Riscriviamo l’intero problema in forma compatta e simbolica: − ω 2 [M ]{q} + [K ]{q} =

1 ρU 2 [A( M , k )]{q} 2

T

T

− ω 2 [Ψ ] [M ][Ψ ]{ζ } + [Ψ ] [K ][Ψ ]{ζ } =

, 1 ρU 2 [Ψ ]T [A( M , k )][Ψ ]{ζ } 2

(50)

[Ψ ]T [A( M , k )][Ψ ] = [R] e poi moltiplichiamo per l’inversa della matrice di rigidezza:

[K]−1 '%− ω2 [M]{q}+ (1 + jg)[K]{q}− 1 ρU 2 [A( M, k)]{q}$" = {0}⇒ 2

&

#

[K]−1 [M]{q}− 1 ρb 2 [K]−1 '% A( M2, k) $"{q} = 1 + 2jg {q}; 2

&

k

ω

#

si ottiene il problema agli autovalori che cercavamo:

[D( M, k)]{q} = 1 + 2jg {q}

. ω ⇒ [D( M, k )]{q}− λ{q} = {0}

(51)

Nel nostro caso specifico avremo: 2 h

1 71 / − µω2 5 / 6x α 0 2 8 6 − µω2 1ωh / 6 00 7

2 h

1ω +/ 00

xα 4 7ω + µ(1 + jg) 5 2 2 rα 3 60 −1

0 . 11 2 2, / rα ωα - 0 x α

' −L $ h ' $ 0 0 4 . ! ! !! πρb 2 !!'! h 0 $! #& b # ; 2 ,& b # = & rα2 ω2α 3 ,- ! α ! ! M !! α ! % 0" ! 4 % 0" % πρb !" −1

xα . 1ω2h + µ ( 1 + jg ) / rα2 ,00

0 . 1ω2h , / rα2 ω2α - 0 0

& L # 0 . '' πρb 2 '' &' h 0 #' &0# "% b " = % " , % rα2 ω2α - ' − M ' ' α ' $0! '$ πρb 4 '! $ 0 !

(52)

0 . 53 &' h 0 #' , %b" rα2 ω2α - 3 ' α ' 4$ 0 ! ; (53)

−1

20

/ - 2 - 8 ωh - 67 0 .

−1

0 5 81 3 6 r ω2α 4 7 x α 2 α

2 h

x α 5 / − 1 , 8ω +*6 rα2 34 -. µω2 *+ 7 0

−1 / 5ω2 0 2 5 1 xα 2 - h + - 34 0 rα2 ω2α 01 34 x α rα2 01 −1 - / − 1 , 5 ω2 2 0 5 C lh -- -- 2 ** 3 h 2 20 3 . . µω + 4 0 rα ωα 1 4 − C mh

' L $, * 0 5 !! πρb 2 !! * '! h 0 $! (1 + jg) '! h 0 $! # & b #= & b # ; (54) 3 & ω2 ! α ! rα2 ω2α 4 ! − M ! * ! α ! % 0" 4 *% 0 " %! πρb "! + −1

, * * '! h 0 $! (1 + jg) '! h 0 $! *& b # = & b #; ω2 ! α ! C lα 2 * !% α 0 !" % 0" * − C mα 01 *+

(55)

4.4.3 Metodo p-k Riscriviamo l’intero problema in forma compatta e simbolica adottando l’ipotesi che la soluzione temporale sia q=q0ept, con p=σ+jω:

(p [M] + [K]){q }= 12 ρU [A( M, k)]{q } 2

2

0

0

(56)

Notiamo che possiamo anche scrivere introducendo lo smorzamento γ e la frequenza ridotta k:

p=

σ' k$ k U U ' k$ % U " + jU = γ % U " + j k = (γk + jk ) ω& b# b b b & b#

Nel nostro caso specifico avremo:

&p 2 + ω2h µ$ % xα &p 2 + ω2h ⇒$ % xα

C lh ( k ) C lα ( k ) # 0* h 0 -* # 0* h 0 -* xα 2& /b, !/ b , = ω $ C mh ( k ) C mα ( k )!" * α * rα2 p 2 + rα2 ω2α " * α * % . 0+ . 0+ C lh ( k ) C lα ( k ) # # xα 2& − ω ! $ C ( k ) C ( k )! = 0 rα2 p 2 + rα2 ω2α " mα % mh "

&p 2 + ω2h ⇒$ % xα

;

C ( k) Clα ( k) # # 2 & lh − ω ! $ C ( k ) C ( k )! = 0 ; rα2 p 2 + rα2 ω2α " mα % mh " xα

21

(57)

(58)

Appendici

22

A. Funzione di Theodorsen Funzioni di Hankel del Secondo Tipo H( n , k )

Jn( n , k )

H0( k )

j. Yn( n , k )

1 .. 50

1

Funzione di Theodorsen

j. Y0( k )

J0( k )

i

i

j

ki

10

10

H( 1 , k ) H( 1 , k ) j. H0( k )

C( k ) 1.1

F( k )

Re( C( k ) )

G( k )

Im( C( k ) )

0

0.05

Gk i

0.1

0.15

0.2

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

F k i 1 0.9 F k i

0.8 0.7 0.6 0.5

0.001

0.01

0.1

1

10

k i 0

Gk i

0.1

0.2

0.001

0.01

0.1 k i

23

1

10

B. Grafico dei Coefficienti Aerodinamici Instazionari Bidimensionali Incomprimibili Coefficienti Aerodinamici Instazionari 2D in Regime Incomprimibile: Portanza H1( k ) C( k )

J1( k )

j. Y1( k )

H0( k )

j

1

j. Y0( k )

J0( k )

H1( k ) H1( k )

H0( k ) . j Distanza dell'asse elastico dall'origine del sistema di riferimento in semicorde: . . .h.a

C Lα k , a h

2 k .a h

j. k

2. C( k ) . 1 i

1 2

1. , 1.15 .. 4

a h . j. k k( i)

C Lh k , a h

10

i

2

k

2. C( k ) . j. k

1.4

4 Re C Lα ( k( i ) , 0.5) Im C Lα ( k( i ) , 0.5)

2

Re C Lα ( k( i ) , 0.2) Im C Lα ( k( i ) , 0.2)

0

0.01

0.1

1

10

k( i )

2 Re C Lh( k( i) , 0.5)

0

Im C Lh( k( i) , 0.5) Re C Lh( k( i) , 0.2) Im C Lh( k( i) , 0.2)

2

4

6

0.01

0.1

1 k( i)

24

10

Coefficienti Aerodinamici Instazionari 2D in Regime Incomprimibile: Momento j H1( k ) J1( k ) j. Y1( k ) H0( k ) J0( k ) j. Y0( k ) C( k )

H1( k ) H1( k )

Distanza dell'asse elastico dall'origine del sistema di riferimento in semicorde: . . h..a

H0( k ) . j

C Mα k , a h

1. 2 k 8

C Mh k , a h

2. C( k ) .

1

1

2 2 k .a h

1 2

2

a h . j. k i

a h . j. k

1 2. C( k ) . 2

ah . 1

1 2

a h . j. k

2 k .a h

1. , 1.15 .. 4

k( i)

10

i

1.4

2 Re C Mα ( k( i) , 0.5) Im C Mα ( k( i) , 0.5)

0

Re C Mα ( k( i) , 0.2) Im C Mα ( k( i) , 0.2) 2 0.01

0.1

1

10

1

10

k( i )

3 Re C Mh ( k( i) , 0.5)

2

Im C Mh ( k( i) , 0.5) Re C Mh ( k( i) , 0.2) Im C Mh ( k( i) , 0.2)

1

0

1 0.01

0.1 k( i )

25

Coefficienti Aerodinamici Quasi-Stazionari 2D in Regime Incomprimibile: Momento i

Distanza dell'asse elastico dall'origine del sistema di riferimento in semicorde: . . . .ah

C Mα k , a h

1 2. 2

ah . 1

1 2

1. , 1.15 .. 4

k( i)

a h . j. k

10

i

C Mh k , a h

j

1.4

1 2. 2

1

a h . j. k

1.5

Re C Mα ( k( i) , 0.2)

1

Im C Mα ( k( i) , 0.2) 0.5

0.01

0.1

1

10

1

10

k( i)

3

Im C Mh ( k( i) , 0.2)

2

1

0.01

0.1 k( i )

26

Coefficienti Aerodinamici Quasi-Stazionari 2D in Regime Incomprimibile: Portanza i

Distanza dell'asse elastico dall'origine del sistema di riferimento in semicorde: . . . .ah C Lα k , a h

1

2. 1

2

1. , 1.15 .. 4

k( i)

10

i

C Lh k , a h

a h . j. k

1.4

j

1

2. j. k

5.02377 Re C Lα ( k( i) , 0.5) 4 Im C Lα ( k( i) , 0.5) Re C Lα ( k( i) , 0.2)

2

Im C Lα ( k( i) , 0.2) 0.00150713 0.01

0.1

0.01

1 k( i )

10 2.51189

4 Im C Lh( k( i ) , 0.5) Im C Lh( k( i ) , 0.2)

2

0.01

0.1

1 k( i )

27

10

C. Funzione di Sears

j :=

−1

H0 ( k) := J0 ( k) − j ⋅ Y0 ( k)

C ( k) :=

H1 ( k) H1 ( k) + j ⋅ H0 ( k)

H1 ( k) := J1 ( k) − j ⋅ Y1 ( k)

φ ( k) := ( J0 ( k) − j ⋅ J1 ( k) ) ⋅ C ( k) + j ⋅ J1 ( k)

k := 0.01 , 0.02 .. 10 Funzione di Sears

0.2

0.1

Im (φ ( k) )

0

0.1

0.2

0.4

0.2

0

0.2

0.4

Re (φ ( k) )

28

0.6

0.8

D. Riepilogo delle Equazioni del Flutter in Forma Quasi-Stazionaria

$ 2 2 & µ ωh − ω & −µxαω 2 &%

(

$ & & +ω 2 & & & %

)

−µxαω 2

(

µrα2 ωα2 − ω 2

)

'* h . ), 0 , )+ b / + )(, α , - 0 0 $ 1 11 4 j' 2& 2 + 3 − ah 6 ) 5k( %k 2 2 11 4$ 1 1 1 4 j' 2 3 + ah 6& 2 + 3 − ah 6 ) 22 5% k 2 2 5k(

j 2 k 11 4j 2 3 + ah 6 22 5k

' )* . ), h0 , *, 0 ., / )+ b / = + , ,0 0 ), α , 0 0 ) (

E. Riepilogo delle Equazioni del Flutter in Forma Completa $ 2 2 & µ ωh − ω & −µxαω 2 &%

(

$ & & & & & +ω 2 & & & & & &%

)

−µxαω 2

(

µrα2 ωα2 − ω 2

−1+ 2C(k)

)

'* h . ), 0 , )+ b / + )(, α , - 0 0

j k

11 4j −ah + 2C(k) 3 + ah 6 22 5k

$ 1 11 4 j' j + ah + 2C(k) & 2 + 3 − ah 6 ) k 5k( %k 2 2 j j 1 ah ah2 − + + k 2k 8 11 4$ 1 1 1 4 j' +2C(k) 3 + ah 6& 2 + 3 − ah 6 ) 22 5% k 2 2 5k(

29

' ) ) ) )* h . ), 0 , *, 0 ., / )+ b / = + , ,0 0 , , ) α 0 0 )) ) )(

1)  2)  3)  4)  5)  6)  7)  8)  9)  10)  11)  12)  13)  14)  15)  16)  17)  18) 


1)  2)  3)  4)  5)  6)  7)  8)  9)  10)  11)  12)  13)  14)  15)  16)  17)  18) 


1)  2)  3)  4)  5)  6)  7)  8)  9)  10)  11)  12)  13)  14)  15)  16)  17)  18) 


1)  2)  3)  4)  5)  6)  7)  8)  9)  10)  11)  12)  13)  14)  15)  16)  17)  18) 


1)  2)  3)  4)  5)  6)  7)  8)  9)  10)  11)  12)  13)  14)  15)  16)  17)  18) 


Sommario !  Generalità sui fenomeni e sulle grandezze associate alla diminuzione della lunghezza d onda caratteristica. !  Cenni riassuntivi sulla metodologia SEA e della sua formulazione inversa. !  Tecniche e problematiche sperimentali: " Sistema di Acquisizione " Sistema di Eccitazione " Media Spaziale " Media sulle Condizioni di Eccitazione " Media in Frequenza

Cenni Introduttivi al SEA

S. De Rosa, F. Franco, F. Ricci

1

Perché Alta Frequenza ?

2

Alta Frequenza è un Termine Improprio

! Problemi di Comfort nei Mezzi di Trasporto

!  L improprietà nasce dal fatto che anche a basse frequenze di eccitazione, il numero di modi risuonanti in un dato intervallo in frequenza, può già essere elevato.

" Esperienze Dirette ed Indirette del D.P.A. : # Velivoli a (Turbo)Elica # Velivoli Turbopropulsi # Elicotteri # Metropolitane # Auto # Treni (Alta Velocità) # Navi

!  Si potrebbe anche avere uno smorzamento così elevato da inibire, fin dalle prime frequenze di eccitazione, la comparsa dei modi propri nella risposta (funzione di trasferimento). !  Si dovrà parlare allora di regioni in frequenza caratterizzate da elevati valori del fattore di sovrapposizione modale.

! E un Indice dell Efficacia (Efficienza) della Progettazione Meccanica

Ma cosa succede alla risposta strutturale quando aumenta la frequenza dell eccitazione armonica ? 3

4

Velocità Quadratica Media, [dB], di una Piastra Flessionale in funzione della Frequenza di Eccitazione, [Hz]

Richiami delle Nozioni di Base !  Modi e Frequenze Proprie (Autosoluzioni):

40

Variazione del Punto di Applicazione della Forzante (Spettro di Energia Costante)

60

logv ω ,

Lx Ly , 2.1 3.1

logv ω ,

Lx Ly , .9 .87

logv ω ,

Lx Ly , .3 .7

" Caratteristiche del Sistema Dinamico dipendenti # dalle Condizioni di Vincolo, # dalle Proprietà Elastiche, e # dalla Proprietà Geometriche.

80

CA LO

LI

I

L BA LO EG

!  Densità Modale, n: 100

" Caratteristica del Sistema Dinamico # dipendente dalle Proprietà Elastiche e Geometriche,

A OB GL

LI

# indipendente dalle Condizioni di Vincolo.

120

!  Smorzamento, η 140

1

10

100

1000

1 10

4

!  Fattore di Sovrapposizione Modale, m(f)=n(f) f η(f)

ω 2. π

5

6

. . . rileggiamo il grafico !

Classificazione dei Metodi di Analisi

Analisi Strutturale (Acusto-Strutturale)

40

Metodologie Numeriche e Sperimentali

60 Lx Ly logv ω , , 2.1 3.1 logv ω ,

Lx Ly , .9 .87

logv ω ,

Lx Ly , .3 .7

m 80

10

100

1

120

0.1

140

1

10

100

1000

1 10

Metodi Energetici m>>1

Metodi Modali m<<1

Densità Modale

Modi Propri

4

Frequenze Proprie

Energie Medie

Smorzamento Modale

Potenze Trasmesse

Risposta Modale

Energie Scambiate

ω 2. π

7

Cosa è il SEA ?

S.E.A.: Statistical Energy Analysis !  Il S.E.A. è stato oggetto di rinnovata Interesse attenzione agli inizi degli anni 90. !  Si può parlare di una tecnica che necessita della massima integrazione tra il modello fisico e la prova di laboratorio. !  Il SEA è così fortemente legato alla sperimentazione che l assenza di esperienze di laboratorio può condurre a conclusioni prive di senso (anche se apparentemente accettabili). !  Il SEA è : semplice numericamente, complesso intellettualmente.

8

!  Il SEA stima l energia dissipata e scambiata tra sottosistemi, in funzione della potenza ricevuta dall esterno. !  Le incognite sono energetiche e valgono o all interno del sottosistema. ent

S.E.A.

am !  Il sottosistema è un dominio spaziale orz sm nza caratterizzato da una singola modalità di ede p propagazione del disturbo strutturale (o im acustico): nza e t $ onde longitudinali po

F.E.M.

$ onde flessionali $ onde di taglio $ onde di torsione

e dal mo à t i s den

Anni 9

10

Esempio Formulazione SEA: 2 Gradi di Libertà

,η1 + η12 * −η + 12

Formulazione Generale del SEA

) & E1 # 1 & P1 # ⋅% "= ω% " η +η ' $P2 ! 2 21 ( $E 2 ! −η

N $ & η1 + ∑ η1 j j= 2 & & & − η12 & &  & & & −η 1N &%

21

n1η12 = n 2 η21 $( η1 + η12 ) n1 & simm. %

− η21 n 2 ' * e1 - 1 * P1 - * e1 - * E 1 / n1 + . = + .; + . = + . ( η2 + η21 ) n 2 )( ,e 2 / ω , P2 / ,e 2 / , E 2 / n 2 /



− η21 N

η2 +

∑η

j=1; j≠ 2



2j

N



ηi +

− η2 N

CPP (Coupling Power Proportionality) 11

∑η

j=1; j≠ i



' ) ) * P1 . ) * E1 . − ηN 2 ) , , , , ,E , 1 ,P , )+ 2 / = + 2 / ),  , ω ,  ,  ) ,E , ,- PN ,0 )- N 0 N −1 η N + ∑ η Nj ) )( j=1 − ηN1

ij

n i η ij = n j η ji 12

Esempio Formulazione SEA: 2 Gradi di Libertà

Sistemi Classici !  Vari sistemi possono essere studiati con la formulazione

P2

P1

SEA più semplice possibile: # Due Aste # Due Travi giunte ad angolo α # Due Pannelli giunti ad angolo α # Pannello ed Volume Acustico (Semianechoic Chamber, Reverberant Facility)

P12 Sottosistema 2: E2

Sottosistema 1: E1

P21 P1, DISSIPATA

) & E1 # 1 & P1 # ⋅% "= ω% " η +η ' $P2 ! 2 21 ( $E 2 !

,η1 + η12 * −η + 12

P2, DISSIPATA

−η

21

13

14

Smorzamento Complessivo (1/2)

Smorzamento Complessivo (2/2)

−1

η=

N

E 1η1 + E 2 η2 η # E & # E η & ⇒ = %1 + 2 ( %1 + 2 2 ( E1 + E 2 η1 $ E1 ' $ E 1η1 '

∑E η

E η + η2 ( a ): 1 = 1 ⇒ η = 1 E2 2

j

j=1 N

η=

E ( b ): 1 = 0 ⇒ η = η2 E2

∑E

E ( c): 2 = 0 ⇒ η = η1 E1

j =1

j

j

15

16

Formulazione SEA Inversa Eccitazione a Turno

$/- η1 + η12 !-- − η !. 12 #/ !-- η1 + η12 !"-. − η12

, 21 * * η +η * 2 21 +

$ ' $ ' ! E (1)1 ! 1 !P ! & = # 1& ⋅# ! (1) ! ω ! 0 ! " % "E 2 %

, −η 21 * * η +η * 2 21 +

$ ' $ ' ! E ( 2 )1 ! 1 !0 ! & = # & ⋅# ! ( 2) ! ω !P ! " 2% "E 2 %

−η

Power Injection Method (Metodo dell Iniezione di Potenza)

- E(1)1 + 0 + ( 2) +E 1 +, 0

E (1)1

− E (1) 2

− E (1)1

E (1) 2

E ( 2 )1

− E( 2)2

− E ( 2 )1

E( 2)2

1

{η} = ω [E 17

* ' η1 $ ' P $ 1 (! ! E (1) 2 !η12 ! 1 ! 0 ! (& # = & # ω 0 0 ( η21 ! ! !P ! E( 2)2 ( ) !% η2 !" % 2 " 0

(i)

−1

( j)

] {P } (i)

( j)

18

Obiettivo delle Prove

Sistema di Eccitazione

!  Non è superfluo specificare ulteriormente l obiettivo delle prove:

! Esso dovrebbe garantire:

" eccitare un sistema strutturale (acusto-strutturale) nel massimo intervallo in frequenza consentito dalla apparecchiatura a disposizione; " misurare direttamente: forze, velocità, impedenze; " realizzare una banca dati sufficientemente estesa per l analisi successiva dei risultati (misurazioni indirette):

" pulizia del segnale in tutto il range in frequenza che si deve investigare; " assicurare che il livello di potenza (interazione con la struttura) sia sufficiente all aumentare della frequenza di eccitazione,

P=

# analisi dei flussi, # ripetibilità dei risultati, # valutazioni degli scambi (coupling e direct loss factors), # ecc.

  1 Re{F∗ ⋅ v SISTEMA } 2

" trasparenza rispetto alla prova che si sta conducendo: minore influenza possibile sui risultati.

%  GENERALIZZAZIONE DEI RISULTATI ? 19

20

Sistema di Acquisizione

Media Spaziale

! Esso dovrebbe garantire:

Sottosistema: Piastra Irregolare

" pulizia del segnale in tutto il range in frequenza che si deve investigare:

&  sensori non a contatto, '  sensori a contatto. " assicurare che i livelli energetici sufficientemente leggibili all aumentare della frequenza di eccitazione, " trasparenza rispetto alla prova che si sta conducendo: minore influenza possibile sui risultati.

δ#

Acquisizione Eccitazione

!  Per ogni sottosistema i punti di acquisizione dovrebbero essere scelti: (  lontano dai vincoli (δ è funzione della frequenza di eccitazione); (  lontano dalle linee nodali; (  sufficientemente lontano dal punto di eccitazione (la velocità in un intorno del punto di eccitazione rappresenta dei valori singolari)

21

22

Media sulle Condizioni di Eccitazione

δ#

Acquisizione Eccitazione

!  Per ogni sottosistema i punti di eccitazione dovrebbero essere scelti: (  lontano dai vincoli (δ è funzione della frequenza di eccitazione); (  lontano dalle linee nodali; (  sufficientemente lontano dai punti di acquisizione; (  v i c i n o o l o n t a n o a l l a giunzione ?

Eccitazioni H

Acquisizioni

Piastre Irregolari

Generazione dei Primi Dati

1 2 3 .. .. .. .. .. .. M

1 2 3 .. .. N

V

Generalmente la Matrice H, per ogni sottosistema è quadrata ed è generalmente 3
!  La V deve essere indipendente dall ordine di media (righe e colonne). !  L analisi della singola matrice H, permette una buona analisi preliminare dei dati misurati: "  facilità di individuazione delle misure non corrette; "  p o s s i b i l i t à d i e v i d e n z i a r e eventuali non omogeneità di comportamento (ad es. : il posizionamento dell eccitazione rispetto alla giunzione); " ecc. 24

Medie Spaziali

Medie in Frequenza

!  In generale si avrà una media rispetto ai punti di acquisizione ed una rispetto ai punti di eccitazione. !  Che tipo di media è conveniente adottare ? Dipende dalla distribuzione dei dati (modello statistico). dB( vel ) =

! v2 $ * 10 1 N M ' ∑ ∑ )log # jk & , N M j=1 k =1 )( 10 " v 2REF % ,+

Media Logaritmica

!  La necessità di lavorare in bande in frequenza (ottave e terzi d ottava) è solo formale, in quanto è connessa alla definizione di densità modale (e quindi di fattore di sovrapposizione modale). !  In generale si lavorerà in banda stretta, quando possibile e, se necessario, si introdurrà a posteriori una ulteriore media per bande in frequenza. !  Quest ultima media non ha alcun effetto sulla qualità dei risultati: serve solo ad uno smoothing degli andamenti.

Media Aritmetica

! 1 1 dB( vel) = 10 log10 # 2 " N * M v REF

N

M

∑∑v j=1 k =1

2 jk

$ & %

!  E stato verificato che quando i dati sperimentali mostrano una sufficiente stabilità tra prova e prova, la scelta del tipo di media è ininfluente. 25

Organizzazione delle Prove: Singolo Sottosistema Misura della Potenza in Ingresso

Z= Powe r Input Velocità del Punto di Eccitazione

Forza del Punto di Eccitazione

Misura dell'Energia Totale

Organizzazione delle Prove: Sistema Complessivo (costituito da G sottosistemi) Misura della Potenza in Ingresso

F "1% ; n ∝ Re # & v $Z'

η = P ( Eω )

Z=

F ; n = n 1 +…+ n G v

Powe r Input Velocità del Punto di Eccitazione

−1

Forza del Punto di Eccitazione

1

{η} = ω [E

Misura dell'Energia Totale

Ve loc ità Me die Velocità per N punti di Acquisizione

26

(i)

−1

( j)

] {P } (i)

( j)

Ve loc ità Me die

Velocità per M punti di Eccitazione

Velocità per N punti di Acquisizione

Velocità per M punti di Eccitazione

27

28

Analisi delle Matrici di Varianza/ Covarianza

Critiche Fondamentali al SEA [Mace, 1994]

!  I dati misurati sperimentalmente dovranno essere utilizzati per il calcolo delle grandezze cercate. !  I dati si presenteranno sempre nella forma di un valor medio e di una deviazione standard (matrici di valori medi e matrici di deviazioni standard). !  Poiché il metodo SEA sia nella sua formulazione diretta quanto inversa, è legato ad una formulazione algebrica, converrà sempre adottare l analisi delle matrici di varianza/covarianza. !  Ciò consentirà un duplice obiettivo: " verificare l omogeneità dei dati elaborati rispetto a quelli misurati (a questo stadio, dovrebbero essere molto regolari), " controllare la possibile generalizzazione delle stime.

Il CPP è sempre applicabile

Il CPP è sempre applicabile

n i η( i ) ij = n jη( i ) ji

n i η( j) ij = n jη( j) ji

n i η( i ) ij = n jη( j) ji 29

La generalizzazione del CPP non sempre è applicabile 30

I Coupling Loss Factors possono essere negativi !

ηij non può essere negativo !

a nz rie pe Es a a nz nz rie rie pe pe Es Es a nz rie a pe nz Es rie pe Es a nz rie pe Strumento Es

!  E s t a t o d i m o s t r a t o c h e i coefficienti di perdita per accoppiamento possono diventare negativi. !  Esso è il risultato dell analisi di una configurazione in cui il SEA non può a rigori essere applicato. !  Se un coefficiente η ij diventa negativo, ciò significa che i due sottosistemi interessati si trovano in una instabilità energetica (il sottosistema con maggiore energia ne cede a quello che ne ha di meno): questa situazione non è prevedibile dal SEA, ma può essere evidenziata sperimentalmente.

Numerico

a nz rie a pe nz Es rie pe s E

Strumento Analitico

a nz rie pe Es

SEA

za en eri p s Strumento E

Sperimentale a nz rie pe s E

31

32

1)  2)  3)  4)  5)  6)  7)  8)  9)  10)  11)  12)  13)  14)  15)  16)  17)  18) 


6 I coefficienti di influenza energetici (dai modi all’energia)

L’utilizzo di modelli energetici é sempre pi´ u frequente per descrivere il comportamento vibrazionale alle alte frequenze di sistemi complessi. Il sistema é diviso in sottosistemi energetici e la risposta é descritta in termini di energia del sottosistema mediata sul tempo E e di potenza in ingresso al sottosistema Pin . Si osservi che queste, in teoria, sono risposte in frequenza discrete, ma sono solitamente mediate in frequenza (in particolare in banda di terzi d’ottava) in modo che il modello relazioni le energie dei sottosistemi mediante nel tempo e in frequenza e le potenze in ingresso. Il pi´ u importante degli approcci energetici é il SEA (ovvero Statistical Energy Analysis) (Ref. [15],[16]), il cui sviluppo ha avuto inizio dei primi anni ’60 proprio per la necessit´ a di predire il comportamento vibrazionale alle alte frequenze. In generale, il SEA stima l’energia dissipata e scambiata tra sottosistemi, in funzione della potenza ricevuta dall’esterno. L’applicazione del SEA coinvolge una serie di ipotesi che vengono specificate in questo capitolo. Infatti, poiché si tratta di un’analisi statistica, é necessario analizzare quali sono le condizioni per le quali la stima é rappresentativa della risposta dell’intero sistema. Negli anni ’80, l’incapacit´ a di comprendere quali fossero le ipotesi di validitá di questo approccio aveva portato ad un rallentamento del suo sviluppo, ma negli anni ’90 il SEA é stato oggetto di rinnovata attenzione grazie ai risultati raggiunti mediante una nuova tecnica energetica, l’EDA (Energy Distribution Approch) (Ref. [14],[20]). L’EDA ha permesso innanzitutto di evidenziare quali sono le ipotesi di validit´ a del SEA, ma soprattutto consente di ricavare la risposta energetica del sistema a partire dai modi propri del sistema stesso. In termini ingegneristici, tale a↵ermazione si traduce nel poter utilizzare i modi propri ricavati da un’analisi agli elementi finiti per un’analisi energetica alle alte frequenze. Nel corso di questo capitolo, vengono presentati le proprietá di un modello SEA e di un modello ED, in particolar modo quali sono le condizioni che consentono il passaggio dall’uno all’altro.

94


6.1 Modello SEA Dato un sistema strutturale, lo si suddivide in sottosistemi energetici, dove per sottosistema energetico si intende un dominio spaziale caratterizzato da una singola modalit´ a di propagazione del disturbo strutturale. Ogni sottosistema é eccitato da forze random, stazionarie e distribuite. Si assume che il sistema sia lineare e che l’eccitazione applicata sui diversi sottosistemi sia non correlata. La risposta del sistema é descritta dalle potenze in ingresso mediate nel tempo Pin e le energie dei sottosistemi E mediate su una certa banda in frequenza ⌦. Introduciamo in questo paragrafo un modello SEA, da confrontare poi con il modello ED ricavato nel paragrafo 6.2, cercando, se possibile, le condizioni che permettono il passaggio da un modello all’altro. Nel SEA, per ogni sottosistema r si scrive un’equazione di bilancio di potenza del tipo Pin,r = Pdiss,r + Pcoupl,r (6.1) dove Pin,r é la potenza in ingresso, Pdiss,r é la potenza dissipata e Pcoupl,r é la potenza netta scambiata dal sottosistema r con gli altri sottosistemi. In Figura 6.1 sono rappresentati gli scambi energetici che si instaurano in un sistema costituito da due sottosistemi energetici.

Figura 6.1: flussi di potenza tra due sottosistemi energetici.

6.1 Modello SEA

95

In particolare: • •

Pin,r = !⌘r Er 1 , dove ! é la frequenza di centro banda, ⌘r é il fattore di perdita per smorzamento (damping loss factor ) del sottosistema r e Er é l’energia del Psottosistema r; Pcoupl,r = s Prs , dove Prs é la potenza scambiata tra il sottosistema r e il sottosistema s. La potenza scambiata tra due sottosistemi r e s puó essere espressa come Prs = !nr ⌘r s

⇣E

r

nr

Es ⌘ ns

(6.2)

dove ⌘rs é il coefficiente di perdita per accoppiamento (coupling loss factor ) che regola gli scambi energetici tra i sottosistemi r e s, mentre nr é la densitá modale asintotica del sottosistema r. La (6.2) é un’assunzione fondamentale per il SEA secondo cui la potenza scambiata tra due sottosistemi é proporzionale alla di↵erenza di eneri gia modale ei = E e detta princini dei due sottosistemi. Tale assunzione ´ pio di proporzionalit´ a della potenza scambiata (o coupling power proportionally o CPP). La (6.2) puó anche essere espressa come Prs = !⌘rs Er

!⌘sr Es .

(6.3)

Pertanto, se il CPP é valido, i coefficienti di perdita per accoppiamento devono verificare la relazione di consistenza nr ⌘rs = ns ⌘sr .

(6.4)

Assemblando le equazioni sin qui elencate, é possibile scrivere Pin = L· E

(6.5)

dove L é la matrice dei fattori di perdita (sia di smorzamento che di accoppiamento) data da

1

Convenzionalmente, nel SEA si assume uno smorzamento strutturale, e quindi le equazioni del SEA vengono scritte in termini di fattore di perdita (damping loss factor ). Nel paragrafo 6.2, dove la risposta é scritta in termini di modi del sistema, si utilizza uno smorzamento viscoso per due ragioni. Innanzitutto, la potenza dissipata é proporzionale all’energia cinetica, che é la quantit´ a pi´ u facilmente misurabile. Inoltre, la relazione qui é approssimata ed é corretta solo in condizioni di risonanza, allorché energia cinetica e potenziale (mediate in frequenza) sono uguali. Per smorzamenti piccoli, é possibile passare da un modello all’altro sostituendo ⌘ = 2⇣, dove ⇣ é il fattore di smorzamento viscoso. In pratica, si introducono errori trascurabili, e qualora questi non lo fossero l’analista non potrebbe applicare il SEA.

96


2

⌘12 + ⌘12 + . . . ⌘12 6 ⌘ ⌘ + ⌘ + ··· 12 12 12 6 +! 6 ⌘ ⌘ 12 12 4 .. .. . .

⌘12 ... ⌘12 + ⌘12 + . . . .. .

...

3

7 7 . . .7 5 .. . (6.6) dove diag(· ) indica una matrice diagonale. La somma degli elementi appartenti alle colonne della matrice dei fattori di perdita per accoppiamento é pari a zero (la potenza netta scambiata in tutto il sistema é nulla). Si osservi che le equazioni del SEA sono valide in senso stretto nel senso di medie d’insieme, ovvero quando potenze ed energie sono mediate su un insieme di sistemi simili, ma leggermente di↵erenti. L = !· diag ⌘j

⌘12

Condizioni per la validit´ a di un modello SEA Il SEA coinvolge un determinato numero di assunzioni e approssimazioni, che possiamo suddividere in condizioni necessarie e condizioni desiderabili. Solo se sono soddisfatte tutte le condizioni, allora sicuramente é valido il CPP e la potenza scambiata tra due sottosistemi accoppiati dipende solo dalle loro energie modali e dai fattori di perdita per accoppiamento, ovvero é possibile e↵ettuare un approccio SEA classico. Innanzitutto, affinché il comportamento di un sistema possa essere descritto da un modello SEA, i parametri di tale modello devono soddisfare due condizioni necessarie: • •

la somma dell’r-esima colonna della matrice L deve essere uguale a !⌘r , poiché deve essere soddisfatto il principio di conservazione dell’energia; i termini fuori della diagonale devono soddisfare la condizione di consistenza, ovvero il principio di reciprocit´ a.

Se sono soddisfatte le condizioni necessarie, allora é valido il CPP e la potenza scambiata tra due sottosistemi accoppiati dipende solo dalle loro energie modali e dai fattori di perdita per accoppiamento. Inoltre, ci sono un certo numero di condizioni desiderabili, che permettono di classificare il tipo di modello SEA realizzato. La prima condizione desiderabile, e la pi´ u importante, riguarda i fattori di perdita per accoppiamento relativi a due sottosistemi non fisicamente collegati (fattori di perdita per accoppiamento indiretto, o indirect coupling loss factor ), che dovrebbero essere nulli. Le altre condizioni desiderabili riguardano, pi´ u in generale, i fattori di perdita per accoppiamento, che dovrebbero essere: • •

positivi; indipendenti dai fattori di perdita per smorzamento (almeno nell’approccio classico al SEA).

Inoltre, dato il generico fattore di perdita per accoppiamento ⌘rs , esso dovrebbe dipendere solo dalle proprietá locali della giunzione tra i sottosistemi r e s e

6.2 Modello ED

97

da quei sottosistemi collegati a quella giunzione, ma non dalle proprietá di altri sottosistemi distanti. In altre parole, dati i sottosistemi r e s, il coefficiente di perdita per accoppiamento ⌘rs é lo stesso sia se consideriamo i due sottosistemi isolati sia se li consideriamo parte di una struttura pi´ u grande 2 . Ovviamente, se tale condizione desiderabile é soddisfatta, l’analista guadagna un grosso vantaggio perché puó estrarre ogni coppia di sottosistemi dalla struttura pi´ u grande e calcolarne i coupling loss factor considerando tale coppia isolata. Se le due condizioni necessarie sono soddisfatte e i fattori di perdita per accoppiamento indiretto sono nulli (prima condizione desiderabile), allora il modello ottenuto é un modello propriamente SEA (proper-SEA model ) e la matrice L é detta matrice propriamente SEA (proper-SEA matrix ). In questo caso, l’analista ne guadagna un notevole vantaggio poiché é semplice relazonare i parametri del SEA allo smorzamento fisico ed ai componenti di accoppiamento. Se invece sono valide solo le condizioni necessarie, si ottiene un modello quasi-SEA, ed L é detta quasi-SEA matrix : in questo caso, é possibile eseguire, in teoria, un’analisi SEA-like, ma é necessario coinvolegere gli indirect coupling loss factor in quanto non sono pi´ u nulli. Vale la pena osservare che l’esistenza di fattori di perdita per accoppiamento indiretto non nulli ⌘ri (dove r e i sono due sottosistemi fisicamente non collegati) non implica che l’energia fluisca tra i due sottosistemi (non é possibile, non essendo collegati), ma significa che la potenza scambiata Prs tra due sottosistemi r e s vicini e fisicamente accoppiati dipende anche dall’energia di un terzo sottosistema i. Ovviamente, é chiaro che in questo caso la potenza scambiata Prs non é pi´ u calcolabile dalla (6.2), e quindi il CPP non é pi´ u valido il CPP e di conseguenza decadono anche altre assunzioni del SEA.

6.2 Modello ED In un modello ED, la relazione che lega le energie e le potenze in ingresso é E = A· Pin

(6.7)

dove A é la matrice dei coefficienti di influenza energetici nella banda in frequenza considerata. Mediante la (6.7), il sistema fisico é modellato come distribuzione di energia. L’elemento Ars é l’energia (mediata nel tempo e in frequenza) nel sottosistema r per unitá di potenza (mediata nel tempo e in frequenza) in ingresso nel sottosistema s. Generalmente, la matrice A é una matrice non simmetrica, tranne in alcune circostanze. A questo punto, é possibile ricavare i termini della matrice A dai modi del sistema, che é la novit´ a dell’EDA rispetto alle altre tecniche energetiche. Come 2

Ci´ o é in contrasto con un modello ED, in quanto i coefficienti di influenza energetici dipendono implicitamente dalle propriet´ a dell’intera struttura.

98


per il modello SEA, anche in questo caso, si suddivide il sistema in sottosistemi che sono eccitati da forze random, stazionarie e distribuite e si assume che il sistema sia lineare e che l’eccitazione applicata su diversi sottosistemi sia non correlata. Si fa l’ipotesi di smorzamento viscoso, sebbene i modi possano avere diverse larghezze di banda. 6.2.1 Risposta in frequenza discreta Consideriamo un sistema discreto eccitata in un punto x = x1 da una forza periodica f (x, t) = F ej!t (x x1 ) (x puó essere un vettore per strutture bio tri-dimensionali), dove F é l’ampiezza della forza. L’ampiezza della risposta dinamica in un punto x = x2 puó essere espressa in termini dei modi propri del sistema dalla (6.8) X W (!, x1 , x2 ) = ↵j (!) j (x1 ) j (x2 )F (6.8) j

dove

j (x)

é l’autovettore del modo j-esimo e ↵j (!) =

!j2

1 !2 + i

j!

(6.9)

é la recettanza modale del modo j-esimo (!j é la frequenza naturale del modo j-esimo). Come predetto, nella (6.9) si é assunto uno smorzamento viscoso, ovvero (6.10) j = 2⇣j !j = ⌘j !j . In particolare, secondo il metodo dell’half-power bandwidth (vedi Capitolo 4), si assume il fattore di smorzamento ⇣j proporzionale alla larghezza di banda j in cui esso agisce (dimezzando la potenza), sebbene ⇣ vari da modo a modo e quindi dipenda dalla frequenza. Alternativamente, come mostrato dalla (6.10), é possibile fare l’ipotesi di smorzamento strutturale con fattore di perdita ⌘, ma ci´ o comporta delle approssimazioni sulle equazioni che seguono (che sono esatte nelle ipotesi di smorzamento viscoso). Si osservi che i modi del sistema sono normalizzati rispetto alla massa generalizzata, e per la proprietá di ortogonalitá dei modi propri risulta essere valida la (6.11) Z ⇢(x)

j (x) k (x)

=

jk

(6.11)

dove ⇢( x) é la densit´ a di massa e jk é il delta di Kronecker (che peró, in questo caso, deve essere dotato di opportune dimensioni). 6.2.2 Densit´ a di energia cinetica, potenza in ingresso e conservazione dell’energia Definita la risposta del sistema, é possibile esprimere il proncipio di conservazione dell’energia in funzione delle caratteristiche modali del sistema.

6.2 Modello ED

99

La densit´ a di energia cinetica mediata nel tempo in x = x2 é pari a o 1 n1 DT (!, x1 , x2 ) = Re ⇢(x2 )! 2 W W ⇤ = 2 2 ⌘⇣ ⌘⇣ ⌘ X X⇣ 1 2 = ! 2 jk (!) (x ) (x )|F | ⇢(x ) (x ) (x ) j 1 k 2 2 j 2 k 2 4 j k

(6.12)

dove jk (!)

= Re{↵j (!)↵k⇤ (!)}

(6.13)

(l’asterisco * sta ad indicare il complesso coniugato). In particolare, nella (6.12), al secondo membro é scritto il prodotto di tre termini che dipendono, nell’ordine, da frequenza, sorgente x = x1 e ricevitore x = x2 . La potenza in ingresso mediata nel tempo é pari a Pin =

X1 1 Re{i!W (!, x1 , x1 )F ⇤ } = !2 2 2 j

dove jj

=h

2 2 j jj (!) j (x1 )|F |

1 !j2

2 !2

+

j!

2

i

(6.14)

(6.15)

Integrando la densit´ a di energia cinetica sull’intero sistema, é possibile calcolare l’energia cinetica totale. Dalla proprietá di ortogonalitá (6.11), segue che per ogni modo j-esimo vale Pin,j (!) = 2

j Tj

(6.16)

dove Tj é l’energia cinetica associata al modo j-esimo. La (6.16) é di certo un enunciato di conservazione dell’energia scritto modo per modo. In particolare, si approssima l’energia totale al prodotto di due volte l’energia cinetica totale per il termine j (che pu´ o essere sostituito da 2⇣j !j o ⌘j !j a seconda del modello di smorzamento adottato). 6.2.3 Coefficienti di influenza energetici Andiamo ora ad asplicitare i coefficienti di influenza energetici in termini dei modi del sistema. Si suppone che l’eccitazione applicata a diversi sottosistemi sia scorrelata, e pertanto é possibile considerare le eccitazioni una alla volta. In particolare, supponiamo di applicare un’eccitazione spazialmente distribuita del tipo rain-on-the-roof (pioggia sul tetto) sul sottosistema s e che agisce su una banda di frequenza ⌦. Per sollecitazione rain-on-the-roof si intende un’eccitazione casuale spazialmente distribuita, che sia delta-correlata e la cui ampiezza sia proporzionale alla densitá di massa locale ⇢(x) (ovvero Sf0 (x, !) = Sf (!)⇢(x)), mentre la densitá spettrale di cross-correlazione é nulla. In questo modo, l’eccitazione applica delle forze modali uguali a tutti i

100


modi del sottosistemi e inietta energia mediante le onde in maniera eguale in tutti i punti del sottosistema eccitato. In queste circostanze, il contributo della media quadratica dell’eccitazione f 2 nella banda in frequenza ! é f2 =

1 2 |F | = Sf (!)⇢(x) !, 2

(6.17)

dove la densit´ a spettrale Sf (!) potrebbe essere una funzione della frequenza, ma nel corso della trattazione é considerata costante per convenienza. Fatte le dovute considerazioni sul tipo di eccitazione, é possibile calcolare l’energia cinetica, mediata nel tempo e in frequenza, e la potenza in ingresso, mediata nel tempo. In particolare, la media in frequenza dell’energia cinetica del sottosistema r per una potenza in ingresso nel sottosistema s é ottenuta integrando la (6.12) sul sistema sorgente s e sul sistema ricevente r (in quanto stiamo parlando di una densit´ a di energia), oltre che sulla banda in frequenza considerata ⌦, ovvero Z 1 T (r) = DT (!, x1 , x2 )d! dx1 dx2 . (6.18) ⌦ !2⌦;x1 2s;x2 2r Nel caso di eccitazione rain-on-the-roof, é possibile scrivere energia cinetica media nel sottosistema r e potenza in ingresso media nel sottosistema s rispettivamente come XX (s) (r) T (r) = 2Sf (6.19) jk jk jk j

(r)

Pin = 2Sf

k

X

2

j

(s) jj

(6.20)

jk (!) d!

(6.21)

jj

j

dove: • jk

=

1 ⌦

Z

1 !2⌦ 4

!2

é la cross-modal power mobility, che dipende solo dalle frequenze naturali e dalla larghezza di banda dei modi; • Z (r) ⇢(x) j (x) k (x) dx (6.22) jk = x2r

é il cross-mode partecipation factor, che dipende solo dalla correlazione spaziale tra il modo j-esimo e il modo k-esimo nel sottosistema r. (r)

L’introduzione dei termini jk e jk permette di suddividere la caratterizzazione spaziale da quella in frequenza. Nei paragrafi successivi tali termini sono trattati pi´ u approfonditamente.

6.2 Modello ED

101

Dalla (6.20) si evince come la potenza in ingresso sia la somma delle potenze in ingresso di ogni modo, mentre dalla (6.19) si evince come l’energia cinetica sia la somma dei termini modali incrociati che coinvolgono una coppia di modi alla volta. A questo punto, é possibile ricavare i coefficienti di influenza energetici. Infatti, come gi´ a scritto all’inizio di questo paragrafo, il generico elemento Ars é l’energia (mediata nel tempo e in frequenza) nel sottosistema r per unit´ a di potenza (mediata nel tempo e in frequenza) in ingresso nel sottosistema s. Pertanto, é possibile scrivere Ars =

E (r) (s)

Pin

=

2T (r) (s)

Pin

=

P P j

P

(s) (r) jk jk jk . (s) j jj jj

k

j

(6.23)

Si osservi che i termini Ars sono esatti, perché non é stata fatta alcun tipo di ipotesi oltre alla linearit´ a del sistema e all’eccitazione non correlata. Integrali di frequenza

jk

e

jj

Il termine jk (Cross-modal power mobility) é un integrale di frequenza la cui ampiezza dipende innanzitutto dalle frequenze naturali dei modi j-esimo e k-esimo. Tale integrale va calcolato su una banda in frequenza ⌦ scelta in maniera opportuna. Data la (6.21), ricordando l’espressione di jk (6.13), é chiaro che jk é piccolo a meno che i modi j-esimo e k-esimo non siano entrambi risonanti in ⌦, ovvero !j , !k 2 ⌦. Inoltre, jk é particolarmente grande se i modi si sovrappongono, ovvero qualora le loro larghezze di banda half-power giacciono l’una sull’altra. In questo caso si parla di overlap.

Figura 6.2: esempio di overlap. La condizione analitica per avere overlap é |!j

!k | 

j

k

2

.

(6.24)

Un altro termine particolarmente grande é il termine di auto power mobility nel caso in cui il modo j-esimo sia risonante in ⌦. Vediamo ora in dettaglio l’espressione analitica dei termini jj e jk . Nell’ipotesi di smorzamento piccolo (tale da poter lavorare con modi reali) e jj

102


costante, quando i modi sono risonanti gli integrali di frequenza possono essere approssimati come 1 ⇡ (6.25) jj = ⌦8 j jk

=

⇡(!j + !k )2 ( j + k ) 1 h i ⌦ 16 ! 2 + ! 2 2 + ( ! + 2 j j k !k ) j k

(6.26)

Queste espressioni sono esatte se il limite di integrazione é (0, 1), qualsiasi sia il livello di smorzamento. La (6.26) puó essere ulteriormente semplificata se le larghezze di banda dei modi j e k sono uguali. Quindi, se j = k = , risulta 1 ⇡ 1 1 (6.27) ⇣ ⌘2 = jj ⇣ ⌘2 jk = ⌦8 ! ! ! ! 1+ j k 1+ j k dove tutti i termini essere riscritta come

jj

relativi a modi risonanti sono uguali. La (6.27) puó jk

dove µjk =

=

jj µjk

(6.28)

2 Mjk 1 = 2 2 1 + Sjk 1 + Mjk

Sjk = Mjk =

|!j

!k |

1 = Sjk |!j

(6.29) (6.30)

!k |

(6.31)

In particolare, Mjk é il fattore di sovrapposizione modale dei modi j e k, mentre Sjk é la separazione modale dei due modi. Il termine µjk agisce come un filtro, che determina quali coppie di modi contribuiscono significativamente alla risposta totale: µjk é prossimo all’unitá se i modi j e k si sovrappongono, altrimenti é prossimo a zero. Approssimativamente, possiamo scrivere ( 1, se |!j !k | < (overlap) µjk = (6.32) 0, se |!j !k | < (no overlap) Fattori di partecipazione (r)

(r) jk

e

(r) jj

Il termine jk (Cross-mode partecipation factor ) indica la correlazione della coppia di modi (jk) all’interno del sottosistema r. Per la (6.11), il principio di ortogonalit´ a dimostra che i modi globali j (x) e k (x) non si accoppiano (non scambiano energia) sull’intero sistema essendo ortogonali, e quindi ogni modo compie lavoro solo su se stesso. Diversamente, se si considera un singolo sottosistema, i due modi riescono a scambiarsi energia localmente, ottenendo

6.2 Modello ED

103

(r)

proprio il fattore di partecipazione jk . Per ogni sottosistema r, é possibile individuare quali sono le coppie che si scambiano pi´ u energia. Tale passaggio é fondamentale perché i fattori di partecipazione compaiono sia nell’espressione dell’energia cinetica che in quella della potenza. In particolare, nell’espressione (s) (r) di T (r) sono presenti sia jk che jk , che rappresentano l’energia che i modi globali j (x) e k (x) si scambiano rispettivamente nel sottosistema sorgente (s) s e in quello ricevente r. Nell’espressione di Pin , invece, compare il fattore di (s) auto-partecipazione modale jj , che indica come viene assorbito lo spettro di (s)

potenza Sf dal j-esimo modo. In particolare, il termine jj fornisce un’indicazione dell’energia cinetica immagazzinata nel sottosistema s dal modo j, e pertanto permette di classificare se il modo j é globale o locale: •

(s)

se jj é grande per la maggior parte dei sottosistemi appartenenti al sistema, allora il modo j-esimo é un modo globale, cioé la sua energia cinetica é estesa globalmente su tutto il sistema; (s) • se jj é significativo solo per pochi sottosistemi, allora il modo j-esimo é un modo locale, cioé la sua energia cinetica tende ad essere contenuta solo in quei pochi sottosistemi. I termini di auto partecipazione modale devono essere necessariamente positivi, mentre i termini incrociati possono essere sia positivi che negativi. Infatti, poiché ogni sistema di modi propri é ortogonale sull’intero sistema strutturale, se quest’ultimo é costituito da Ns sottosistemi, allora deve valere la relazione Ns X (s) (6.33) jk = jk s=1

´ opportuno sottolineare (Ref. [14],[27],[28]) che il valore medio (sui modi E presenti) del fattore di autopartecipazione nel generico sottosistema s é pari al rapporto tra la densit´ a modale nel sottosistema s e la densitá modale in tutto il sistema, ovvero ⇥ (s) ⇤ ns E jj = ⌫s = (6.34) ntot

dove ntot é la densit´ a modale totale nel sistema (la somma delle densitá modali di tutti i sottosistemi), ns é la densitá modale nel sottosistema s e quindi ⌫s é la frazione di densit´ a modale del sottosistema s. 6.2.4 Alcune propriet´ a dei coefficienti di influenza energetici Supponendo, per convenienza, che lo smorzamento sia costante per tutti i modi, i coefficienti di influenza soddisfano due proprietá: Ars

0

(6.35)

104


X

Ars =

1

(6.36)

r

Si osservi che la (6.36), ovvero che la somma di una generica colonna della matrice A é uguale a 1/ é una conseguenza del principio di conservazione dell’energia. Se invece i modi hanno diversi livelli di smorzamento, allora tale relazione non puó essere sviluppata direttamente per le energie dei sottosistemi, ma é possibile scrivere una relazione simile per le potenze dissipate. Infine, se lo smorzamento é piccolo, tale che il contributo dei modi non risonanti in ⌦ possa essere trascurato, alla luce di quanto detto sinora é possibile semplificare la (6.23) come Ars =

1

P P j

(s)

µjk jk P (s) k

j

(r) jk

,

(6.37)

jj

dove in questo caso si considerano solo i modi risonanti in ⌦.

6.3 Relazione tra SEA e EDA Nei paragrafi 6.1 e 6.2 sono state analizzate le condizioni di validitá di un modello SEA e EDA, rispettivamente. In particolare, riassumendo, un modello ED per la sua validit´ a richiede semplicemente l’ipotesi di linearitá del sistema e di eccitazioni non correlate. Un modello SEA richiede un numero considerevole di ipotesi (oltre alle due appena citate), e pertanto non é scontato che, come si potrebbe pensare, l’inversa della matrice dei coefficienti di influenza energetici A sia una matrice proper-SEA o quasi-SEA. In questo paragrafo ci proponiamo di determinare sotto quali condizioni é possibile invertire la matrice A ottenendo la matrice di un modello quasi-SEA L. Inoltre, tali condizioni sono indicative della possibilitá di utilizzare un modello SEA-like per la descrizione del comportamento del sistema, ovvero quando i risultati SEA sono significativi. Affinché L sia una matrice SEA é necessario che la somma dei termini della colonna r-esima sia pari a !⌘r e che i termini al di fuori della diagonale principale soddisfino il principio di consistenza. La matrice A pu´ o essere scritta come A=

1 (I !⌘

↵)

(6.38)

dove: • •

I é la matrice unitaria; lo smorzamento, rispettando le convenzioni del modello SEA classico, é espresso in termini di fattore di perdita;

6.3 Relazione tra SEA e EDA

•

105

i termini della matrice ↵ sono espressi da ↵rs =

P P j

rs

(r)

µjk jk P (s) k

j

(s) jk

.

(6.39)

jj

La somma delle colonne della matrice ↵, cos´ı espressa, é nulla. La matrice inversa X = A

1

pertanto puó essere scritta come X = !⌘I + !C

C = ⌘↵(I

↵)

1

(6.40)

= ⌘(↵ + ↵2 + ↵3 + . . . ).

(6.41)

Poiché é nulla la somma delle colonne della matrice ↵, allora é nulla anche la somma delle colonne della matrice C. Inoltre, riscrivendo la matrice ↵ come ! 1 ↵ = diag P (s) (6.42) j

dove

jj

é una matrice simmetrica cos´ı espressa X (s) XX = µjk jj rs j

j

(r) (s) jk jk

(6.43)

k

segue che ↵2 , ↵3 , . . . e quindi C nella (6.41) sono ottenuti dal prodotto di una matrice simmetrica per una matrice diagonale, come si evince dalla (6.42). A questo punto é possibile osservare che la matrice X trovata é costituita dalla somma di due matrici, in accordo con la formulazione SEA (6.6); in particolare, la matrice !⌘I (diagonale) é la matrice dei coefficienti di perdita diretta legati alla dissipazione interna; la matrice C rappresenta la matrice dei coefficienti di perdita per accoppiamento, con elementi fuori dalla diagonale Crs = ⌘rs . Ovviamente, affinché la trattazione sia corretta, é necessario che gli elementi di C soddisfino la relazione di consistenza, ovvero nr Csr = ns Csr .

(6.44)

P (r) La (6.44) é verificata se il rapporto j jj /nr é costante per tutti i sottosistemi, il che significa che i modi nella banda in frequenza scelta sono tali che ⇥ (r) ⇤ (r) = ⌫r (6.45) jj = E jj (r)

(r)

dove jj é il valore medio di jj per tutti i modi nella banda in frequenza ⌦. Pertanto, il principio di reciprocitá é soddisfatto se per la banda in frequenza (r)

⌦ scelta, il valor medio jj approssima sufficientemente bene la frazione di densit´ a modale espressa nella (6.34): ci deve essere un numero sufficiente di modi nella banda ⌦, e la loro energia cinetica deve essere, mediamente,

106


rappresentativa di tutti i modi del sistema, in termini di distribuzione di (r)

energia cinetica attraverso il sistema. Inoltre, poiché jj dipende solo dalle deformate modali dei modi in ⌦, il principio di consistenza non é influenzato né dal livello di smorzamento né dalle caratteristiche della giunzione tra i sottosistemi. Possiamo quindi concludere che la matrice X cos´ı determinata soddisfa sia il principio di conservazione dell’energia che, nel caso in cui valga la (6.45), il principio di consistenza. Essendo soddisfatte le due condizioni necessarie del modello SEA, é possibile a↵ermare che la matrice X é una matrice quasiSEA. In generale, per´ o, la matrice X non soddisfa le cosiddette condizioni desiderabili, e quindi non é una matrice proper-SEA. In particolare, nella matrice X é possibile che: • • • •

i fattori di perdita per accoppiamento siano negativi; i fattori di perdita per accoppiamento indiretto possano essere non nulli, e quindi possano esserci termini Crs non nulli per sottosistemi r e s non fisicamente accoppiati; i fattori di perdita per accoppiamento ⌘sr e ⌘rs dipendano sia dalle propriet´ a globali dell’intero sistema, sia dalle proprietá locali dei due sottosistemi (specialmente se lo smorzamento é piccolo); i fattori di perdita per accoppiamento generalmente dipendano dal fattore di perdita per smorzamento ⌘, soprattutto se lo smorzamento é sufficientemente piccolo.

Riassumendo, il CPP vale e il sistema puó essere modellato utilizzando un approccio quasi SEA, ma a di↵erenza del SEA classico é necessario tenere in conto anche le potenze scambiate tra sottosistemi non fisicamente collegati. Mediante un esempio numerico, riassumiamo quanto detto sinora, evidenziando quando i risultati di un’analisi SEA sono rappresentativi della risposta del sistema.

6.4 Esempio numerico Consideriamo il sistema in Figura 6.3 che comprende quattro aste in linea soggette a vibrazioni assiali. Le aste sono dello stesso materiale, e di↵eriscono per lunghezza e area della sezione trasversale. In particolare, le lunghezze sono state scelte in maniera tale che il rapporto tra le lunghezze di due aste sia irrazionale. In Tabella 6.1 sono riportate le proprietá geometriche delle aste (le lunghezze sono riportate alla quarta cifra decimale). La densit´ a modale dell’intero sistema é ntot = 1, e quindi il fattore di sovrapposizione modale é uguale al prodotto ⌘!. I modi propri del sistema sono calcolati mediante l’analisi modale. (r) La Figura 6.4 mostra i fattori di partecipazione modale jj per i primi cento modi propri per ogni sottosistema (j = 1, . . . , 100; r = 1, . . . , 4). Inoltre, per ogni sottosistema, la linea tratteggiata é rappresentativa del valore della

6.4 Esempio numerico

107

Tabella 6.1: propriet´ a geometriche delle aste (unitá arbitrarie). Asta

Area

Lunghezza

⌫

1 2 3 4

1 0.4 0.9 0.6

0.5171 0.8885 0.7072 1.0288

0.1646 0.2828 0.2251 0.3275

(r)

frazione di densit´ a modale ⌫r . Dalle figure si nota che i jj sono pi´ u o meno uniformemente distribuiti a seconda del sottosistema considerato, ma in ogni (r)

caso si percepisce che il valor medio jj coincide proprio con ⌫r . Tale convergenza non é verificata in assoluto, ma dipende dal numero di modi considerato, come mostrato in Figura 6.5. La Figura 6.5 mostra che la media in frequenza dei fattori di parteci(r)

pazione jj (rapportata alla frazione di densitá modale ⌫r del sottosistema r considerato) su una banda in frequenza ⌦ centrata sulla frequenza naturale del 50-esimo modo proprio é una funzione del numero di modi contenuti nella banda. In particolare, la media dei fattori di partecipazione tende alla frazione di densit´ a modale del sottosistema considerato solo se si considera un numero di modi sufficiente (nel caso rappresentato, sono necessari almeno 10 modi per avere convergenza). Questa convergenza indica, in accordo con la (6.45), che é possibile utilizzare un approccio quasi-SEA solo qualora nella banda in frequenza considerata vi é un numero di modi sufficiente. La Figura 6.6 mostra i fattori di perdita per accoppiamento diretto e indiretto !nr ⌘sr , in funzione di !⌘ per una banda in terzi d’ottava centrata sulla frequenza propria del 50-esimo modo proprio di vibrare. Tale banda contiene 13 modi propri. Su questa banda in frequenza, la larghezza di banda half-power = !⌘ é ritenuta costante, in modo tale che il fattore di sovrapposizione modale non dipenda dalla frequenza. I risultati calcolati sono approssimati, in quanto, come precedentemente giustificato, sono ignorati gli e↵etti dei modi non risonanti in questa banda ed inoltre per il calcolo dei termini jk é usata l’espressione approssimata (6.27) piuttosto che quella esatta. Gli errori introdotti da queste approssimazioni sono significativi solo per alti valori di = !⌘, quando il valore del fattore di sovrapposizione modale diventa elevato. In ogni caso, pu´ o essere ancora adottato un approccio quasi-SEA. In particolare, dalla Figura 6.6 si osserva che:

Figura 6.3: sistema strutturale costituito da quattro aste in linea.

108

• •


alcuni fattori di perdita per accoppiamento indiretto sono negativi, e tendono asintoticamente a zero per elevati valori dei fattore di sovrapposizione modale; per tutti i coefficienti di accoppiamento (sia diretto che indiretto) vale l’uguaglianza !nr ⌘sr = !ns ⌘rs , ovvero vale il principio di consistenza richiesto da un approccio SEA.

(r)

Figura 6.4: fattori di partecipazione jj (+) per i primi 100 modi propri e (- -) frazione di densit´ a modale ⌫r per le quattro aste.

6.4 Esempio numerico

109

Da quanto detto, si pu´ o evincere che é possibile passare da un modello EDA ad un modello SEA quando: • •

il valore del fattore di sovrapposizione modale é elevato; la banda in frequenza ⌦ su cui sono calcolati i valori medi deve contenere un numero sufficiente di modi.

Pertanto, i risultati statistici ottenuti da un approccio SEA sono rappresentativi della risposta dell’intero sistema strutturale solo se sono valide le condizioni suddette.

Figura 6.5: andamento della media in frequenza del fattore di partecipazione (r) jj ,

rapportato alla frazione di densitá modale ⌫r , in funzione del numero di modi presenti nella banda.

110


Figura 6.6: fattori di perdita per accoppiamento diretto e indiretto !nr ⌘sr funzione del fattore di sovrapposzione modale !⌘.

1)  2)  3)  4)  5)  6)  7)  8)  9)  10)  11)  12)  13)  14)  15)  16)  17)  18) 


Author's personal copy Mechanical Systems and Signal Processing 25 (2011) 969–980

Contents lists available at ScienceDirect

Mechanical Systems and Signal Processing journal homepage: www.elsevier.com/locate/jnlabr/ymssp

Letter to the Editor Structural similitudes for the dynamic response of plates and assemblies of plates

article info

abstract

Keywords: Structural similitude Energy distribution approach Scaling laws

A structural similitude is proposed for the analysis of the dynamic response of plates or assemblies of plates. The similitude is defined by invoking the energy distribution approach which allows the representation of all the fundamental parameters. Then, the similitude laws are defined by looking for equalities in the structural responses. Two test cases are herein discussed: the first involves a single plate response and the second is related to an assembly of two plates. Only the bending waves are taken into account. If the original damping values are kept, a complete similitude is defined in both the cases which allows to enlarge or reduce independently the plate surfaces and the thickness. An approximate similitude is defined if the damping is modified: in this case only a mean response can be predicted in similitude. & 2010 Elsevier Ltd. All rights reserved.

1. Introduction It is well-known that the possibility to transport the same engineering problem in different scales can offer several advantages. Thinking only to the geometry, a very small object could be investigated in a scale larger than the original one, so making easy the location of a given set of sensors. On the contrary, very large structural components can be analysed in a standard laboratory by using a concentrated set of excitation and acquisition instrumentation and with small surfaces to be controlled. The theory of the models and the analysis of the possible similitudes and analogies is a very large branch of the engineering literature and cannot be replicated here. An interesting summary of the similarity conditions between a full-scale model and a scaled one, by using the modal approach, is given in [1], with specific reference to dynamic response. A more general view of the problem is in [2], even if the main textbooks about this subject are the work in [3,4]. The approach of the similitudes between models is largely used in the aeroelastic tests where, during the wind tunnel measurements, the aircraft component is designed to represent the same natural frequencies or flutter speed and/or the wind-tunnel data have to be correlated to the flight-test ones, [5]. The relationships among mode shapes, natural frequencies, damping loss factors and energies are in [6] where the energy distribution approach (EDA) is introduced. EDA was specifically used in order to predict the original and scaled responses of linear dynamic systems, [7–9]. In detail, some investigations for a simple plate are in [7], and the extension to two plates is in [8]; the scaling between structural components with different modal density (a beam coupled with a plate) is introduced in [9]. The configurations were very simple but the results were very attractive when comparing them to those obtainable with large finite element models. In the present work, the idea is to enlarge the number of parameters in order to generate a complete similitude and to set-up similitude laws for some coefficients able to represent some of the items to be investigated. The adopted approach would formally invoke the process of full dimensional analysis, [3], but here it is preferred to work with the energy distribution approach (EDA) that allows the investigation of a dynamic system via the modes and natural frequencies in order to determine the power input and the energy associated to each subsystem. The work, after these introductive remarks, presents in Section 2 a summary of EDA. This approach is then used to define a similitude with a parent model tailored for representing some specific items under observation. Section 3 contains the numerical investigations concerning the dynamic response of a simple bending plate and an assembly of two bending plates. 0888-3270/$ - see front matter & 2010 Elsevier Ltd. All rights reserved. doi:10.1016/j.ymssp.2010.10.004

Author's personal copy 970

Letter to the Editor / Mechanical Systems and Signal Processing 25 (2011) 969–980

Despite their simplicity, the results show promising applications of the proposed similitude laws. List of symbols AEIC A AEIC rs cB E E f(P, t) h iu mgen n NM NP NS Pinput P(r) in Sf T(r) t x

Gjk d

Z m n r

fj cjk O

o oj

energy influence coefficient matrix surface area of the plate rsth member of the AEIC matrix bending wavespeed energy vector Young module excitation function of space, P, and time, t plate thickness imaginary unit generalized mass modal density number of modes number of points of the graph (frequency resolution of the response) number of subsystems power input vector power input to the rth subsystem spectral density force function kinetic energy of the rth subsystem time variable spatial coordinate vector modal operator between jth and kth mode Dirac d- function damping loss factor modal overlap factor Poisson module mass density jth eigenvector modal spatial operator between jth and kth mode generic frequency interval radian excitation frequency jth eigenvalue

2. The energy distribution approach (EDA) EDA is here recalled in order to define a similitude between original and scaled models. 2.1. Some remarks on EDA A structural (or structural-acoustic) dynamic model can be assembled by using a deterministic model based on its mode shapes and natural frequencies. This model can be now named as original. EDA allows using the eigensolutions (natural frequencies and global mode shapes) in order to obtain the distribution of energy in each subsystem. The structural subsystem is defined as a spatial domain characterised by specific waves. The system can be thought as an assembly of NS subsystems in which NM modes are resonating at each excitation frequency. Then, using EDA, it is possible to estimate the energy unknown vector, E, for a given power input vector, Pinput; this is done evaluating the energy influence coefficient matrix, AEIC: E ¼ AEIC Pinput ,

ð1Þ

with AEIC rs

¼

PP j

ðsÞ ðrÞ k Gjk cjk cjk ðsÞ j j j Gjj cjj

P

Zo

with

r,s 2 f1, . . . ,NSg

j,k 2 f1, . . . ,NMg

:

ð2Þ

Eq. (1) is directly evaluated by using a modal expansion theorem. Therefore, it is an exact relationship representing an energy balance. The use of an analytical relationship strengths the successive mathematical derivation instead of an energy balance equation based on the SEA formulation.



The energy response is defined in terms of some global parameters which depend on the modal properties of the system. The spatial coupling parameter for the generic rth subsystem is the following: Z ðrÞ cjk ¼ rðxÞfj ðxÞfk ðxÞ dx: ð3Þ x2r

ðrÞ

This term depends on the global mode shapes acting within the rth subsystem: specifically, the cjk term measures the generalised work inside the rth subsystem due to interaction between the jth and kth modes. The modes can be considered ðrÞ lagrangian coordinates and then the cjk term expresses the work of the generalised force (represented by the jth mode) for the generalised displacement (represented by the kth mode). The global mode shapes are considered mass-normalised and then the cjk terms are dimensionless. Further, for a single system, the only non-zero terms are the cjj thanks to the well-known orthogonality property. The frequency dependent members are here recalled: " ! !# Z 1 1 1 2 Gjk ¼ o Re ð4Þ d o: 4O o2O o2j $o2 þ iuZj o2j o2k $o2 þ iuZk o2k The frequency response operators can be approximated, [6]:

Gjj ffi Gjk ffi

1 p , 8O Zj oj

ð5Þ

ðoj þ ok Þ2 ðZj oj þ Zk ok Þ

p

16O ðo2 $o2 Þ2 þ ðZj o2 þ Zk o2 Þ2 j

k

j

:

k

ð6Þ

The term O represents a generic frequency band in which the system response is interrogated for a given excitation. Two approximations can be invoked: they are named large and small terms. The first represents the situation in which two modes well-overlap ðo2j ffi o2k Þ; the second is associated to the case in which two modes do not welloverlap,ðo2j $o2k Þ2 bðZj o2j þ Zk o2k Þ2 . In the next section, both will be explicitly expressed when dealing with the similitude. It has to be further noted that in EDA, (i) the loading was assumed to be proportional to mass density with zero crossspectral density Sf, [6], and then (ii) being Sf represented by the dimensional product of a squared force by a velocity ðF2 LT$1 Þ. The expressions of the input power to the sth subsystem and the kinetic energy for the rth subsystem complete the dynamic set for the analysis: X ðsÞ ðsÞ PIN ¼ 2Sf 2Zj oj Gjj cjj , ð7Þ j

T ðrÞ ¼ 2Sf

XX

ðrÞ Gjk cðsÞ jk cjk :

j

k

ð8Þ

The full development and complete set of equations are in [6]. 2.2. Definition of the similitude As announced, a full dimensional analysis is outside the aims of the present work. Here, it is intended to represent the fundamental variation of the few parameters that allow building an useful similitude. This similitude must be able to represent the dynamic response. The scaled model will be different from the original one: some of the parameters are increased, others will be reduced. It is expected to find the similitude laws for the selected parameters. This work is based on the following choices:

' The models under investigations are represented by bending plates. ' It is assumed that the material of the plates does not change: any variation of this can be interpreted as a variation in

' '

the distribution of the natural frequencies. For a generic assembly there is the possibility, in principle, of changing the material of each plate. This choice enlarges the possibility of getting the same results with different similar configurations, but it has been preferred to neglect the possibility to introduce this parameter, too, in order to keep the analysis as simple as possible. It is also easy to consider that in an experimental laboratory, the variation of the dimensions is a step easier than to change the material. The plates are excited by concentrated harmonic forces, f ðP,tÞ ¼ FðoÞdðPÞe$iuot . The structural damping is such that the system response can be obtained by using the real mode shapes and undamped natural frequencies: more complicated models, based on the complex mode shapes, do not add further contributions to the present developments and results.



The field of investigation is restricted to the analysis of the values of area, A, thickness, h, damping, Z and forces, F, since it is further assumed that FðoÞ ¼ F. The overline will always denote the scaled items. Then, a similitude is searched with this set: rA ¼

A , A

rh ¼

h , h

rF ¼

F , F

rZ ¼

Z : Z

ð9Þ

It is assumed that the global mode shapes, after imposing the similitude, remain unaffected:

fj ¼ f j :

ð10Þ

As consequence, one gets that the scaled spatial coupling parameters are equal: Z Z ðr Þ ðrÞ c jk ¼ r ðxÞf j ðxÞf k ðxÞ dx ¼ rðxÞfj ðxÞfk ðxÞ dx ¼ cjk : x2r

x2r

ð11Þ

Having assumed to work with bending plates, the natural frequencies are modified with the parameter ro , being ro ¼ rh =rA . The scaled auto and cross-modal frequency response operators are here defined:

G jj ffi G jk ffi

p

8OZ j o j

¼

p

8OðZj rZ Þðoj ro Þ

¼ Gjj

1 , rZ ro

3 ro rZ ðoj þ ok Þ2 ðZj oj þ Zk ok Þ

p

4 ðo2 &o2 Þ2 þr 4 r 2 ðZ o2 þ Z o2 Þ2 16O ro o Z j k j

k

j

ð12Þ

:

k

ð13Þ

These cross terms cannot be directly posed in similitude: the quantities involved are different functions of the scaling parameters defined for the natural frequencies and for the modal damping. The approximations before introduced are here used: they are named large and small terms. The situation in which two modes well-overlap ðo2j ffi o2k Þ is as follows: ðlargeÞ

G jk

ffi

p ðoj þ ok Þ2 ðZj oj þ Zk ok Þ 1 , rZ ro 16O ðZj o2j þ Zk o2k Þ2

ð14Þ

whereas if the two modes do not well-overlap, ðo2j &o2k Þ2 bðZj o2j þ Zk o2k Þ2 : ðsmallÞ

G jk

ffi

p ðoj þ ok Þ2 ðZj oj þ Zk ok Þ rZ : 16O ro ðo2j &o2k Þ2

ð15Þ

Then, the scaled auto and cross modal large and small terms are, respectively:

G jj ¼

1 G , rZ ro jj

ðlargeÞ

G jk

ðsmallÞ

G jk

ð16Þ

¼

1 GðlargeÞ , rZ ro jk

ð17Þ

¼

rZ ðsmallÞ G : ro jk

ð18Þ

It is evident the effect of a given modification of the damping between the original and scaled models. The role of the cross-modal terms is not exactly reproduced if rZ a1, even for the same distribution of the natural frequencies. This was already studied and discussed for a number of cases in which scaled finite element models were obtained just increasing the original damping value, [8], in order to reduce the computational efforts. According to the choice of scaling parameters, the excitation can be scaled, [6]: S f ¼ Sf

rF2 rmass

,

ð19Þ

being rmass ¼ rA rh :

ð20Þ

For the sake of completeness, it is useful to derive all the remaining parameters of the EDA with the scaling procedure: ! " 2 r2 X 1 ðsÞ ðsÞ rF P IN ¼ 2Sf F Gjj ðcðsÞ Þ ¼ PIN , ð21Þ jj rmass j ro rZ rmass



T

ðrÞ

ffi 2Sf

! " rF2 XX 1 rF2 ðrÞ Gjk ðcðsÞ Þðcjk Þ ¼ T ðrÞ : jk rmass j k ro rZ rmass ro rZ

ð22Þ

The scaled energy coefficients are A rs ¼

Ars : ro rZ

ð23Þ

Rather than discuss the overall development, it is here preferred to apply the scaling procedure to simple test cases in which the effect of the several parameters can be easily analysed and discussed.

3. Numerical test cases Table 1 reports the results of the most important parameters for the plate response (or an assembly response) in terms of the given set of parameters.

3.1. The response of a single plate A single plate undergoing bending vibration is considered. It is rectangular with simply supported edges and made of an homogeneous material; it is located in the xy-plane of generic Oxyz reference system. The analytical modal frequency response, the structural velocity at the point R(xR; yR), is here recalled for a mechanical excitation acting at the point S(xS;yS): vðo; S,RÞ ¼

fj ðSÞfj ðRÞ iuoFðoÞ X : 2 %o2 Þ þ iuZo2 mgen o ð j j j

ð24Þ

The symbol mgen denotes the plate generalised mass. The natural radian frequencies can be obtained from the relation: sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi " ! "2 ! "2 # 2 pjy Eh pjx oj ¼ þ , ð25Þ Lx Ly 12rð1%n2 Þ and the mode shapes are given by ! " ! " x y fj ðSÞ ¼ sin jx p S sin jy p S : Lx Ly

ð26Þ

The jth mode is mapped into wavenumber space with the two associated integers jx and jy. It is very simple to check that the scaled response can be written as follows: vðo; S,RÞ ¼

fj ðSÞfj ðRÞ rF iuoFðoÞ X ; 2 2 2r Þ rmass mgen ðoj ro %o2 Þ þiuZo2j ðro Z j

ð27Þ

Table 1 Derived parameters for single plates or assemblies of plates. Natural frequencies

later defined

Bending wavespeed

cB phð1=2Þ

Mass Modal density Modal overlap factor

mpAh A np h mpnZ

Frequency terms

Eq. (16) Eq. (17) Eq. (18)

Spectral density

Eq. (19)

Energy

Eq. (22)

Square velocity

T v2 p m

ro ¼ rh rA%1 1=2

rc ¼ rh rmass ¼ rh rA rn = rh% 1 rA rm ¼ rh%1 rA rZ

rG ' rh%1 rA rZ%1

rG ' rh%1 rA rZ%1 rG ' rh%1 rA rZ

rS ¼ rh%1 rA%1 rF2

rT ¼ rh%2 rZ%1 rF2

rsv ¼ rh%3 rA%1 rZ%1 rF2



the modified natural frequencies are vffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 u !2 3 " #2 2 u Eh p j p j t x y 4 5 ¼ oj rh oj ¼ þ rA 12rð1#n2 Þ Lx Ly

ð28Þ

From Eqs. (27) and (28), it descends that only for rh = rA the scaled plate will work with the same eigensolutions as the original ones. To get exactly the same local response, it has to be verified that rZ ¼ 1 and rF ¼ rmass ¼ rh rA : this choice is unique, if only the area and the thickness are modified. Figs. 1 and 2 illustrate the local behaviour of the dynamic response (modules of the local velocity) for two scaled models. In Fig. 1, the plate is larger and thicker than the original one; in Fig. 2, the similitude procedure leads to a reduction of both plate surface and thickness. On the right side of each figure, the complete set of parameters is reported: this is also reported in Table 2.

Fig. 1. Single plate response (I-A) for a generic couple of source–receiver points: velocity (m/s) vs. frequency (Hz).

Fig. 2. Single plate response (I-B) for a generic couple of source–receiver points: velocity (m/s) vs. frequency (Hz).



Table 2 Configurations for the single plate response. #

rZ

rA

rh

rF

ro

rmass

I-A I-B I-C I-D I-E

1 1 2 1 2

4 0.4 0.4 0.7 0.5

4 0.4 0.4 0.5 1.0

16 0.16 0.226 0.296 1

1 1 1 0.714 2

16 0.16 0.16 0.35 0.5

NP= 300, NM= 850, Z ¼ 0:03. A= 1.05, h = 0.002, F= 1.

Fig. 3. Single plate response (I-C) for a generic couple of source–receiver points: velocity (m/s) vs. frequency (Hz).

The variation of the damping changes the response amplitude, Fig. 3, as expected; there, the variations of the rh and rA are still such that the natural frequencies are kept: this is true in all the frequency range. The real poles of the system are kept while the amplitudes are reduced in this case of augmented damping. Even keeping the same material, a plate larger or smaller than the original one can be used for numerical modelling and/or for experimental purposes with the obvious advantages that each configuration can allow. Variations of the thickness and the area such that rh arA , lead to a modification of the distribution of the natural frequencies, Figs. 4 and 5. In both figures, the top parts present the results of the simple numerical interrogations of the original and scaled models, while in the bottom ones, the re-modulated responses are shown. Specifically, the curves referring to the similitude responses are plotted as follows:

! the frequency axis is oro ; pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ! the velocity axis presents the quantity v rh =rA . Having defined a similitude according to the content of the Table 1, it is always possible to switch from a representation to another according to the scaling laws of the involved parameters. This step can be performed by modifying both the axes and thus by invoking the similitude in the reversal direction. #1 The test presented in [7] is a particular one obtained with: rh = 1, rA ¼ b, rZ ¼ b , rF = 1 and then rsv = 1. The symbol b denotes a scaling coefficient, with b o1; all the analysis was made in terms of a given variation of b. There, the presented responses were not re-modulated since a reduction of the computational costs was pursued. It has to be noted that in the Figs. 1–5, the source and the receiver points are acting in the same dimensionless locations. The results are presented by using NP points for each graph and the frequency range of analysis is the half of the natural frequency of the last natural mode. The actual results allow the definition of a complete similitude, if rZ ¼ 1. The similitude is approximate if rZ a1: in such a case only a mean response can be replicated, as already shown in [7].



Fig. 4. Single plate response (I-D) for a generic couple of source–receiver points: velocity (m/s) vs. frequency (Hz); (a) direct response, (b) similitude response.

3.2. The response of a two plates assembly This configuration is reported in [8] and involves two rectangular plates in which only bending waves are allowed to travel. Along the common side, a pinned connection is assumed, thus allowing the continuity of the rotations and imposing null displacements; then an analytical solution can be obtained in terms of uncoupled mode shapes; the detail is not given here, Fig. 6. The results coming from the classical modal analysis, (CMA), are thus compared with those predicted by the statistical energy analysis (SEA), [10], and by invoking the similitude. A further hypothesis is now necessary, since one has to work with plate 1 and 2; it is assumed that the similitude coefficients, r, are the multiplier of each vector of parameters: (

h1 h2

)

¼ rh

(

h1 h2

)

,

(

A1 A2

)

¼ rA

(

A1 A2

)

,

(

Z1 Z2

)

¼ rZ

(

)

Z1 Z2 ,

(

F1 F2

)

¼ rF

(

F1 F2

)

:

ð29Þ

Author's personal copy Letter to the Editor / Mechanical Systems and Signal Processing 25 (2011) 969–980

977

Fig. 5. Single plate response (I-E) for a generic couple of source–receiver points: velocity (m/s) vs. frequency (Hz); (a) direct response, (b) similitude response.

The similitude involves all the parameters in the same way; clearly, it is possible to study also the case in which each of the parameters, belonging to the given plate, is scaled independently, but this falls outside the aims of the present work. The terms in Eq. (13) are the problem of any scaling choice since the Gjk do not scale as the Gjj and further, by invoking the approximations it was shown that the terms GðsmallÞ scale with different combination of ro and rZ if compared with jk GðlargeÞ . jk Again, a complete similitude can be obtained only by using rZ ¼ 1. Here, the mean square out-of-plane velocities, W1 and W2, of each plate are investigated as results of an average over three mechanical driving points on the first plate. The results of a complete similitude are given in Figs. 7 and 8, whereas Fig. 9 presents those coming from an approximate similitude: the latter approach was named asymptotic scaled modal analysis, [8]. Again, all the results are presented by using NP points for each graph and the frequency range of analysis is the half of the natural frequency of the last resonating mode. Table 3 presents a summary of the analysed configurations.



Fig. 6. Sketch of the two plates assembly.

Fig. 7. Two plates assembly (II-A): mean square velocity (m2/s2) vs. frequency (Hz).

4. Concluding remarks The structural similitude herein presented and discussed with analytical models, allows reproducing the local response of plates for any given choice of area, rA, and thickness, rh. This leads to the definition of similar plates in which the only parameter to be evaluated is the excitation level, rF. It is always possible to switch from the original model to the parent one and to perform the reversal step, if the similitude is complete. Specifically, in the present work the distribution of the altered natural frequencies is represented by ro ¼ rh =rA , while "1 the cost of the simulation of the bending wavelength is ro ¼ rA =rh . The scaled model presents only in principle a reduction of the computational costs since the re-modulation of the frequency axis requires the evaluation of an increased number of modes resonating in a frequency range wider than the original one. The only way to reduce the computational costs is to work by accepting the modification of distribution of the natural frequencies, and then a variation of the damping can be accordingly defined in order to get the mean square response. This can be done in the frequency range dominated by the high values of the modal overlap factors. In this case, one will work with an approximated similitude: it was named ASMA, asymptotic scaled modal analysis, [8].

Author's personal copy Letter to the Editor / Mechanical Systems and Signal Processing 25 (2011) 969–980

979

Fig. 8. Two plates assembly (II-B): mean square velocity (m2/s2) vs. frequency (Hz).

Fig. 9. Two plates assembly (II-C): mean square velocity (m2/s2) vs. frequency (Hz).

From an experimental point of view, the defined similitude offers numerous advantages since, in case of the complete one, all the dynamic items (natural frequencies, mode shapes and modal response) can be easily reproduced on the desired scale.



Table 3 Configurations for the assembly of two plates NP= 150, AT = (0.198, 0.162), FT = (1,0). #

NM

Z

h

rZ

rA

rh

rF

II-A II-B II-C

135, 108 570, 456 400, 320

0.03, 0.03 0.05, 0.05 0.05, 0.01

0.001, 0.003 0.001, 0.005 0.005, 0.001

1 1 2

0.2 0.5 0.5

0.2 3 1

0.04 3.674 1

Further steps will involve the adoption of finite element models and experimental measurements in order to face with more realistic assemblies. References [1] J. Wu, Prediction of the dynamic characteristics of an elastically supported full-size plate from those of its complete-similitude model, Computers and Structures 84 (2006) 102–114. [2] P. Kroes, Structural analogies between physical systems, British Journal for the Philosophy of Science 40 (1989) 145–154. [3] E. Szucs, Similitude and Modelling, Elsevier Science Ltd, 1980, ISBN:0444997806. [4] S.J. Kline, Similitude and Approximation Theory, Springer-Verlag, 1986, ISBN:0387165185. [5] C.H. Wolowicz, J.S. Bowman, Jr., W.P. Gilbert, Similitude requirements and scaling relationships as applied to model testing, NASA Technical Paper 14–35, 1976. [6] B.R. Mace, Statistical energy analysis, energy distribution models and system modes, Journal of Sound and Vibration 264 (2003) 391–409. [7] S. De Rosa, F. Franco, A scaling procedure for the response of an isolated system with high modal overlap factor, Mechanical Systems and Signal Processing 22 (2008) 1549–1565. [8] S. De Rosa, F. Franco, On the use of the asymptotic scaled modal analysis for time-harmonic structural analysis and for the prediction of coupling loss factors for similar systems, Mechanical Systems and Signal Processing 24 (2010) 455–480. [9] S. De Rosa, F. Franco, T. Polito, Analysis of the short and long wavelength coupling through original and scaled models, in: NOVEM 2009, Noise and Vibration: Emerging Methods, Keble College, Oxford (UK), April 2009, paper No. 28. [10] R.H. Lyon, R.G. De Jong, Theory and application of statistical energy analysis. Butterworth-Heinemann, ISBN: 0750691115, 1995.

S. De Rosa !, F. Franco, T. Polito ælab, Vibrations and Acoustics Laboratory, Department of Aerospace Engineering, Universita! degli Studi di Napoli ‘‘Federico II’’, Via Claudio 21, 80125 Napoli, Italy E-mail address: [email protected] (S. De Rosa)

12 April 2010 Available online 14 October 2010

! Corresponding author.

1)  2)  3)  4)  5)  6)  7)  8)  9)  10)  11)  12)  13)  14)  15)  16)  17)  18) 


Waveguides of a Composite Plate by using the Spectral Finite Element Approach E. Barbieri⇤ Department of Mechanical Engineering University of Bath, BA2 7AY Bath UK A. Cammarano, S. De Rosa, F.Franco ælab - Vibration and Acoustics Laboratory Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale Universita’ degli Studi di Napoli Federico II 80125 Via Claudio, Napoli September 27, 2007

Abstract This work presents the extension of an existing procedure for evaluating the waveguides and the dispersion curves of a laminate made up of thin orthotropic composite plate arbitrarily oriented. The adopted approach is based on one-dimensional finite-element mesh throughout the thickness. Sti↵ness and mass matrices available in literature for isotropic material, are here reported in full expanded form for the selected problem. The aim of the work is the development of a tool for the simulation of the most common composite materials. The knowledge of the wave characteristics in a plate allows the correct sizing of the numerical mesh for the frequency dependent analysis. The development of new sti↵ness matrices and the analysis for di↵erent heading angles are here detailed for taking into account the general anisotropic nature of the composite. The procedure concerns a standard polynomial eigenvalue problem in the ⇤ Corresponding

Author: [email protected]

1

wavenumber variable and is focused on the evaluation of the dispersion curves for all the propagating waves within the materials. A comparison with an analytical approach is also shown in the results using the Classical Laminate Plate Theory (CLPT). However limits of CLPT are outlined and SFEM can be successfully used to overcome such limitations. Keywords : waveguides dispersion composite plate wavenumber modal density PACS : 43.20.Bi 43.40.Dx 43.20.Mv

1

Introduction and Statement of the Problem

The wide and increasing use of innovative materials in the transportation engineering is one of the most fascinating challenges of the material science. In the aerospace field, this challenge can be defined as always open since the manufacturers are continuously looking for sti↵er, robust, long-life and lighter structural components. The need of such material performances has driven for a long time the attention to the fiber-reinforced composite materials and now they are a standard in several fields of transportation engineering design. One of the main problem of these innovative materials is their vibroacoustic behavior, since sometimes the lightness requirement is in conflict with the acoustic target. Hence, in the design phase there is the need of simulating the dynamic behavior of innovative materials. This target can be obtained by using the deterministic methods, (Cook et al., 1989), and energy ones, (Lyon, 1975). The deterministic techniques, such as the Finite Element Analysis (FEA), work by discretising the given wavelength. In principle, they can be used for evaluating the response at any excitation frequency, but the computational cost (CPU time) can become easily unacceptable. In absence of any analytical development, the deterministic techniques model directly the wavelength, by assigning at least five solution

2

points (four elements) for each complete wave (ref.(Cook et al., 1989) and (Cremer et al., 2005)). For increasing excitation frequency, the response becomes global, that is any quadratic mean can represent the overall behavior, and the possibility to discriminate the dynamic response among di↵erent points in space is lost. The best technique working under these conditions is the well-known Statistical Energy Analysis (SEA), ref.(Lyon, 1975). In (Ghinet et al., 2005) for example, a SEA method for the transmission loss of sandwich shells is illustrated, in which the dispersion properties of laminates are exploited. (Finnveden, 2004) studied the waveguides in thin-walled structures with a finite element formulation in order to compute group velocity and modal density as input to a SEA model. Wave propagation in laminated composite plates and rods (Baz, 2000), has been treated in depth by numerous authors in the past. (Datta et al., 1988) have applied a sti↵ness method for a laminate made of transversely isotropic laminae, while in (Nayfeh, 1991) dispersion curves for anisotropic laminates are analitically extracted by the means of the transfer matrix method. A similiar method can be found in (L. Wang, 2007) for the evaluation of the group velocities and their applications in nondestructive techniques. (Chitnis et al., 2001) used a higher-order theory displacement based formulation. In-plane elastic waves ˙ in composite panel are investigated in (Zak et al., 2006) with a spectral finite element approach in the time domain. (Birgersson et al., 2004) also used spectral approach for modelling turbulence-induced vibration in pipes. In FEA, the knowledge of the wavelength is absolutely mandatory for proceeding with the mesh sizing and for selecting the proper elements; in SEA, detailed information about the group velocity and the modal density are necessary for the characterization of the specific subsystem and for later moving to analyze the energy exchange through a wave approach. The wavenumber function vs. the excitation frequency, (dispersion curves) for each structural wave contains the subsystem

3

properties. Very recently two authors stressed this point with great attention (Shorter, 2004),(Mace et al., 2005). (Shorter, 2004) proposed an efficient approach for simulating an infinite flat plate, in which a low-cost one-dimensional finite element was used for simulating the propagating waves inside the materials. Further, (Mace et al., 2005) proposed to use directly a finite element model assembled for evaluating the modal response for getting the dispersion curves. Two dimensional approaches are also present in literature, (Johnson and Kienholz, 1982), and the work by (Heron, 2002) has to be considered as one of the first addressing the problem of the dynamic response of a generic laminate. An extensive analysis of the related literature is reported in (Shorter, 2004). Nevertheless, it is worth mentioning the applications of spectral finite elements in wave propagation for laminates, for example (Roy Mahapatra and Gopalakrishnan, 2003),(Mahapatra et al., 2006),(Chakraborty and Gopalakrishnan, 2006) in the frequency domain, whereas a time-domain based spectral element with high order shape functions are used in (Kudela et al., 2007). The present work is a straight extension of the approach proposed by (Shorter, 2004). A one dimensional finite element model is developed for a generic plate made by a laminate composite. The approach in (Shorter, 2004) assumes an isotropic stress-strain relationship through the use of two independent variables for each material. In the present work the proper sti↵ness and mass matrices are developed for each lamina introducing a local reference system, and the whole laminate is assembled in a global reference system. At that point a Spectral Finite Element Approach is used (SFEA), (Shorter, 2004),(Mace et al., 2005). The spectral term refers to the fact that the method is based on the wavenumber at a given excitation frequency rather than the classical analysis of natural frequencies. The SFEA used here is the same presented in (Shorter, 2004): a full three-dimensional displacement field within the laminate with 1D elements.

4

In the present development, a 3D orthotropic stress-strain relationship is used, (Jones, 1999), together with the proper transformation from the local reference system (lamina) to the global one (laminate). The problem for an homogeneous, isotropic plate is given in the section 2. While the dispersion properties of a homogeneous plate are indipendent from the heading angle

, for a generic

composite plate this is not true because of its anisotropic nature. Indeed, in an 2D orthotropic material for example, named x and y the principal directions of elasticity, being Ex 6= Ey , the wavenumber at a fixed frequency changes with the angle from x to y according to an elliptic pattern. Then, if an isotropic plate is considered, that pattern is circular. In section 3 an analytic formulation for a thin composite plate is derived, following the assumptions of the classical laminate plate theory (CLPT) (Jones, 1999). A displacements 3D free wave is then imposed to the thin plate leading to a polynomial eigenvalue problem in k where k is the wavenumber. Bending, shear and longitudinal waves can be easily identified from the resulting equations. Further, a spectral finite element method (SFEM) will be used for getting the dispersion curves for a generic composite plate and then compared to the analytical approach. These results are showed in section 6 in form of polar patterns at fixed frequency and spectra at fixed heading angle. The section 4 is devoted to the overall development of the required SFEM matrices. The section 5 is centered on the solution of the characteristic equation, and the results are presented in section 6. These results are for both an homogeneous and a composite plates. The work has been concluded in section 7 where some considerations are given about the validity of the CLPT. It is there demonstrated how the present numerical method can work with any configuration, overcoming the limitations of the standard theoretical models.

5

2

The homogeneous plate

A uniform thin and flat plate is here considered, made of an homogeneous material. From classical thin plate theory, (Leissa, 1993), it is well known that three waves will propagate in the material of thickness h: longitudinal, shear and bending waves. Each of these is associated with the respective wavenumber kl , ks and kb : kl2 =

(1

⌫ 2 )⇢ 2 ! E

ks2 =

2(1 + ⌫)⇢ 2 ! E

kb4 =

12(1 ⌫ 2 )⇢ 2 ! Eh2

(1)

It has to be noted in the Equation 1 the presence of longitudinal wave speed, Cl (!)2 =

E ⇢(1 ⌫ 2 ) ,

ing sti↵ness D =

the shear wave speed, Cs (!)2 = 2

Eh 12⇢(1 ⌫ 2 ) .

E 2⇢(1+⌫) ,

and the plate bend-

The generic group velocity and the wave length for

each wave can be defined by using the definition: Cg =

@! ; @kg

=

Cg f

(2)

and the modal density for a plate of area A (ref. (Lyon, 1975) ) ng (!) =

A k(!) 2⇡ 2 cg (!)

(3)

By using these relationships, any information for a predictive methodology, deterministic or energetic, can be get. In fact, the mesh of the predictive finite element model could be designed to work up to a given excitation frequency. The model will be completed with the boundary conditions. For the energy methods all is known about the plate, for given material and dimensions. Both the predictive models have to be completed with the damping information. In the next paragraphs, a finite element method (SFEM) will be used for getting the dispersion curves for a generic composite plate and then compared to the

6

analytical approach.

3

Analytical Structural Waveguides for a Thin Composite Plate

According to the assumptions of the classical thin plate theory, in a plane stress problem, the following equations of equilibrium can be written (Timoshenko and Goodier, 1970) @Nx @Nxy + @x @y

⇢s u ¨=0

(4)

@Nxy @Ny + @x @y

⇢s v¨ = 0

(5)

@ 2 Mx @ 2 My @ 2 Mxy + +2 2 2 @x @y @x@y

⇢s w ¨=0

(6)

where Nx , Ny , Nxy are shearing forces per unit length and Mx My bending moments per unit length and Mxy twisting moments per unit length, while ⇢s is the surface mass density. For a composite plate, the following relationships between forces - moments and strain - curvatures can be estabilished (Jones, 1999) N = A✏0 + B

(7)

M = B✏0 + D

(8)

where ✏0 are the strains of the middle plane 2

6 ✏x 6 ✏0 = 6 6 ✏y 4 ✏xy

2

3

@u @x

6 6 7 6 7 6 @v 7=6 7 6 @y 5 6 6 4 @u @v + @y @x 7

3 7 7 7 7 7 7 7 7 5

(9)

and  are the curvatures of the middle plane 2

6 x 6 =6 6 y 4 xy

2

3

6 6 7 6 7 6 7=6 7 6 5 6 6 4

@2w @x2

3

7 7 7 2 @ w 7 7 @y 2 7 7 7 2 @ w 5 2 @x@y

(10)

The following 3D displacements wave is assumed to propagate along the plate 2

3 2 3 u(x, y, t) U 6 7 6 7 6 7 6 7 6 v(x, y, t) 7 = 6 V 7 ej[k(cos( 6 7 6 7 4 5 4 5 w(x, y, t) W where

)x+sin( )y) !t]

(11)

is the heading angle of the wave, u,v and w are respectively the dis-

placement fields in the x,y and z axis, whereas U ,V and W are the respective magnitudes of the propagating wave. Substituting equations (7), (8), (10), (9) in (4), (5) and (6) and with the assumed displacements field (11), the following polynomial eigenproblem in k is obtained 2 6 6 6 6 4

32 3 2 3 jk 3 LT BP 7 6 U 7 U 6 7 76 7 6 7 7 6 V 7 + ⇢s ! 2 I 6 V 7 = 0 76 7 6 7 54 5 4 5 k 4 PT DP W W

k 2 LT AL

jk 3 PT BL

where

2

PT =



6 cos( ) 6 L=6 0 6 4 sin( )

0

3

7 7 sin( ) 7 7 5 cos( )

cos2 ( ) sin2 ( ) 2 sin( ) cos( )

8

(12)

(13)

(14)

If a symmetric laminate is considered, then B = 0 and the polynomial problem (12) can be de-coupled in the following 2 eigenproblems 2

3

2

3

(15)

k 4 PT DP W + ⇢s ! 2 W = 0

(16)

U 7 6 U 7 2 6 k 2 LT AL 4 5 + ⇢s ! I 4 5=0 V V

It can be seen from the equation (15) that, being coupled shear-longitudinal p waves, k / ! while from equation(16) for the flexural wave follows that k / !. Indeed, from equation (16) directly derives that the flexural wavenumber is kf ( , !) =

r 4

⇢s p ! T P DP

(17)

For the equation (15), if ⇠l and ⇠s are the two eigenvalues of the matrix LT AL, then ks ( , !) =

r

⇢s ! ⇠s ( )

ke ( , !) =

r

⇢s ! ⇠e ( )

(18)

Using equation (2), the group velocities can be easily evaluated

Cf = 2

4 4.1

s 4

PT DP p ! ⇢s

Cs =

s

⇠s ( ) ⇢s

Ce =

s

⇠e ( ) ⇢s

(19)

Assembly of Matrices Variational Formulation

With the intent of estabilish a finite element model, the Hamilton’s principle is used

Z

(T + U )dt = 0

9

(20)

where T is the kinetic energy and U is the strain energy. If a time average over a period is considered, then 1 T¯ = 2

Z

d˙ H ⇢ d˙ d⌦

(21)

⌦

where d is the displacements field, ⇢ is the mass density and the superscript H means hermitian ¯=1 U 2

Z

⌦

e

H

1 s d⌦ = 2

Z

eH Cx

y

e

d⌦

(22)

⌦

where e is the vectorized strain tensor and s is the vectorized stress tensor in the laminate reference system, Cx

y

is the stress-strain relationship matrix in

the laminate reference, ⌦ is the space domain made of a single element of length L and an arbitrary rectangular domain in the plane xy.

4.2

Finite Element Displacement Fields

Assumed as x the direction of propagating wave (Figure 1) with frequency !, wavenumber k and heading angle , the displacements field can be approximated as

2

3 u(z) 6 7 6 7 j[!t 6 d(x, y, z, t) = 6 v(z) 7 7e 4 5 w(z)

k(cos( )x+sin( )y)]

(23)

The equation (23) resemble the equation (11), with the only exception that in equation (11), the displacements refer to a plane stress problem, while in equation (23) a full 3D stress-strain problem is considered. The displacements at x = 0 for the single element of length L can be approximated by the following

10

Figure 1: 1D mesh one-dimensional interpolating function 2

3 2 u(z) 0 0 6 7 6 Ni (z) 6 7 6 6 v(z) 7 = 6 0 Ni (z) 0 6 7 6 4 5 4 w(z) 0 0 Ni (z)

32

3 q 76 u 7 76 7 7 6 q 7 = N(z) · q0 76 v 7 54 5 qw

(24)

with N(z) the matrix of shape functions (size 3⇥6) and q0 the vector of complex amplitudes of nodal displacements (Cook et al., 1989) Ni (z) =



1

11

z L

z L

(25)

2

2

6 qu 6 6 q 6 v 4 qw

4.3

3 u 6 1 7 6 7 3 6 u 7 6 2 7 6 7 7 6 7 7 6 v1 7 7=6 7 7 6 7 5 6 v2 7 6 7 6 7 6 w 7 6 1 7 4 5 w2

(26)

Definition of Sti↵ness and Mass Matrices

The strain in the element is

2

6 ✏xx 6 6 ✏ 6 yy 6 6 6 ✏zz e(x, y, z, t) = 6 6 6 yz 6 6 6 6 xz 4

xy

2

6 6 6 7 6 7 6 7 6 7 6 7 6 7 6 7 6 7=6 7 6 7 6 7 6 7 6 7 6 7 6 5 6 6 6 4 3

@ @x 0

0 @ @y

0

0

0

@ @z

@ @y @ @z

@ @x

0

0

0

@ @z

@ @x @ @y

0

3

7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7d 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5

(27)

By using the equation (23) e(x, y, z, t) = F(k, , z) · q0 ej[!t

12

k(cos( )x+sin( )y)]

(28)

where the strain-displacement matrix F(k, , z) (size 6 ⇥ 6) is given by 2

6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 F(k, , z) = 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4

jk cos( )Ni (z) 0

0

0

7 7 7 0 7 7 7 @Ni 7 7 7 @z 7 7 (29) jk sin( )Ni (z) 7 7 7 7 jk cos( )Ni (z) 7 7 7 7 5 0

jk sin( )Ni (z)

0

0

0

@Ni @z

@Ni @z

0

jk sin( )Ni (z)

3

jk cos( )Ni (z)

Now, it is necessary to introduce a stress-strain relationship for a 3D orthotropic material in the lamina reference OxL yL . For this kind of material, 9 independent engineering constants are needed (Jones, 1999) sL = CL · eL 2

6 6 6 6 6 6 6 6 6 SL = 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4

CL = SL 1

(30)

1 E11

⌫21 E22

⌫31 E33

0

0

0

⌫12 E11

1 E22

⌫32 E33

0

0

0

⌫13 E11

⌫23 E22

1 E33

0

0

0

0

0

0

1 G23

0

0

0

0

0

0

1 G31

0

0

0

0

0

0

1 G12

the matrix is simmetric, from Betti’s theorem, (Jones, 1999) ⌫ij ⌫ji = Eii Ejj

i, j = 1, 2, 3

3 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5

(31)

(32)

Then the following tensorial reference transformation between lamina reference 13

Figure 2: Reference Transformation between Lamina Reference OxL yL and Laminate Reference Oxy and laminate reference Oxy is introduced (Figure 2) Cx

y

= T(✓)

where ✓ is the angle between xL

1

CL RT(✓)R

yL axis and x

(33)

1

y axis (the z

axis is the

same for both references). 2

6 6 6 6 6 6 6 6 6 T(✓) = 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4

cos2 (✓)

sin2 (✓)

0

0

sin2 (✓)

cos2 (✓)

0

0

0

0

1

0

0

0

0

cos(✓)

0

0

0

sin(✓)

sin(✓) cos(✓) sin(✓) cos(✓) 0

0

0

2 sin(✓) cos(✓)

7 7 2 sin(✓) cos(✓) 7 7 7 7 0 0 7 7 7 7 7 sin(✓) 0 7 7 7 7 cos(✓) 0 7 7 7 5 2 2 0 cos (✓) sin (✓) 0

(34)

14

3

and

2

6 6 6 6 6 6 6 R=6 6 6 6 6 6 6 4

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

2

0

0

0

0

0

2

0

0

0

0

0

3 0 7 7 0 7 7 7 7 0 7 7 7 0 7 7 7 0 7 7 5 2

(35)

Then, the time averaged kinetic and the strain energies can be evaluated as 1 2 H ! q0 2

T¯ = ¯ = 1 qH U 2 0

Z

Z

N(z)T ⇢N(z)d⌦ q0

(36)

⌦

F(k, , z)H Cx

y F(k,

, z)d⌦ q0

(37)

⌦

Substituting equation (36) and equation (37) in equation (20), it can be obtained 

!2 T 1 q0 Mq0 + qT0 K(k, )q0 = 0 2 2

(38)

where the mass and sti↵ness matrices are defined as M=

Z

L

(39)

N(z)T ⇢N(z)dz

0

K(k, ) =

Z

L

FH (k, , z)Cx

y F(k,

, z)dz

(40)

0

where L is the length of the element. Furthermore, the equation (40) is consistent, i.e. they return for ✓ = 0 ,E11 = E22 = E33 = E, ⌫12 = ⌫31 = ⌫23 = ⌫ and G12 = G31 = G23 =

E 2(1+⌫)

the case for an uniform and isotropic plate. Since the

strain-displacement matrix only contains terms linear in k, the sti↵ness matrix

15

can be rewritten in the form K(k, ) = K2 ( )k 2 + K1 ( )k + K0 ( )

(41)

A single element has 6 degrees of freedom. The number of the eigenvalues that could be extracted from such an element is then 6, which is the exact number of the propagating waves (3 for both directions of travel). Moreover, even only one element can give good results for the dispersive relations in a homogeneous plate, as it will showed later. Then a rule of thumb for discretizing the thickness could be one or two elements per layer of the laminate. Being the proposed mesh a 1D discretization, all these matrices can be easily assembled in a straightforward way. Indeed, given the elastic properties of each layer, the matrices K0 , K1 , K2 and M are readily calculated. Afterwards, these matrices are expanded to the size of the total number of nodes, allocated in the right position and then all summed in order to give the assembled matrices of the whole thickness.

5

Characteristic Equation and Output Features

Using the above variational formulation, from equation (38) qT0

⇥

⇤ ! 2 Mq0 + K(k, )q0 = 0

8 q0

(42)

thus, the characteristic equation takes the following form [K2 ( )k 2 + K1 ( )k + K0 ( ) If

! 2 M]q0 = 0

(43)

and ! are fixed, the characteristic equation is a generalized quadratic eigen-

value problem for k and the dispersion curves result in varying the frequency, while at fixed ! the polar pattern is derived when the heading angle range be16

tween 0 and 360 . This kind of problem can be easily transformed in a linear one by the positions q1 = kq0 C2 = K2

C1 = K1

(44) C0 = K0

!2 M

(45)

so that 2 6 4

0 C2

I 1

C0

C2

1

C1

32

3 q 76 0 7 54 5 q1

2

6 I k4 0

32 3 0 7 6 q0 7 54 5=0 I q1

(46)

These eigenvalues can be divided in three groups: (i) purely real (ii) purely imaginary (iii) complex The (i) are referred as propagating oscillating waves, because from equation (23), they generates terms with no exponential decay. The waves that exhibit an exponential decay are named evanescent waves and they are of two types, nonoscillating (eigenvalues purely imaginary) and oscillating (complex eigenvalues). Evanescent waves are of no interest because they do not propagate along the material, but simply extinguish with time. The sign of real and imaginary part of the eigenvalues indicate the direction of travel of a given wave. The eigenvectors represent the cross-sectional wave shape associated with a given wave, at a fixed frequency. It should be noted that the eigenvectors refer to a 1D domain along the z

axis.

17

6

Results

6.1

Dispersion Curves and Eigenvector Plots

6.1.1

Homogeneous Plate

In this section the consistency with the isotropic case is shown together with the comparison with the analytical formulas (1) for an aluminium plate of thickness 0.0012m, density 2700kgm

3

, E = 71e9P a and ⌫ = 0.3296. As it can be seen

2

10

Wavenumber [m]

(a) 1

10

(b)

0

10

(c)

−1

10

100

200

300

400

500

600

700

800

900 1000

Frequency [Hz]

Figure 3: Homogeneous Plate: continuous line, analytical result; dotted line, SFEM results; (a) bending wave, (b) shear wave, (c) longitudinal wave

from Figures (3) and (4), there is a perfect agreement with the analytical results for both spectra and polar patterns, even if only two linear elements are used; the FE results converge using simply one element, too. It must be pointed out that the patterns are circular, due to the isotropic nature of the material, so the dispersion curves in Figure (3) are the same for every heading angle. This is

18

not the case for the composite plate, where a heading angle must be specified.

(a) Bending Wave Pattern at 1.5kHz

(b) Shear Wave at Pattern 1.5kHz

(c) Longitudinal Wave Pattern at 1.5kHz

Figure 4: Polar Patterns for the Homogeneous Plate: Continuos Line: Analytical; Diamond Line: SFEM

6.1.2

Composite Plate

The engineering properties on the plate are resumed in table 1. The transverse properties were set in order to satisfy the assumptions of plane stress on which the formulas used in section 3 are based. One element per layer was used in the analysis. These results agreed with the analytical ones, again with spectra as in Figures (5) and patterns as in Figures (6). As it can seen from these figures, the wavenumbers are strongly dependent from the heading angle, due 19

E11 E22 G12 ⌫12 ⇢ Thickness Lay-up Sequence

Material A 65e9 Pa 65e9 Pa 3.86e9 Pa 0.05 1467 kgm 3 2.37 mm [0A, 45B, 90B, 45B, 0B, 90B]S

Material B 145e9 Pa 7.79e9 Pa 4e9 Pa 0.34 1550 kgm 3 2.37 mm

Table 1: Engineering Properties of the Composite Plate to the anisotropic nature of the laminate. An immediate visualization of the wave as in Figures 7(a), (b) and (c) can be provided once the eigenvector q0 is obtained. Then, the displacement field can be get from equation (23) and then plotted over a 3D domain in the x,y and z axis. Since the domain is finite only in the z direction, the x and y limits of the domain can be chosen arbitrarily. The wave depicted in Figure 7(a) is a bending wave, whereas the one in Figure 7(b) is a shear wave and in Figure 7(c) a longitudinal wave is showed. Using equation (2) the group velocity can be evaluated from dispersion curves. Furthermore when area A of the rectangular flat plate is specified, from equation (3) the modal densities curves for the propagating waves can be computed. According to a SEA formulation, these modal densities need to be averaged over the heading angle (Ghinet et al., 2005). Moreover, following (Shorter, 2004) it is also possible to evaluate the structural damping loss factor (DLF) when a DLF for each lamina is specified. However these details are not given here.

20

(a) Dispersion Curves at

=0

(b) Dispersion Curves at

= 45

(c) Dispersion Curves at

= 90

Figure 5: Dispersion Curves for the Composite Plate: Continuos Line: Analytical; Symbols Line: SFEM. (f) flexural, (s) shear, (l) longitudinal 21

(a) Bending Wave Pattern at 1.5 kHz

(b) Shear Wave at Pattern 1.5 kHz

(c) Longitudinal Wave Pattern at 1.5 kHz

Figure 6: Polar Patterns for the Composite Plate: Continuos Line: Analytical; Diamond Line: SFEM

22

(a) Bending Wave at 4 kHz

(b) Shear Wave at 4 kHz

(c) Longitudinal Wave at 4 kHz

Figure 7: Eigenvector Plots for the Composite Plate at = 0 . Axis scales are equal, the thickness is much smaller than the wavelength

23

7

Limits of Classical Laminate Plate Theory

In this section the limits of the CLPT are illustrated. At this purpose, a characteristic adimensional number could be introduced µ=

h

where h is the thickness of the plate and

(47) is the smallest wavelength (usually

the flexural one). When µ << 1 the plate could be considered thin, since the h is much smaller than the characteristic length of the problem, which is the wavelength of the propagating wave. Since the

decreases with the increasing

of the frequency, at relatively high frequencies the analytical approach explained in section 3 is inadequate to predict the dispersion properties of the laminate plate, because the smallest wavelength is the same order of magnitude of the thickness. The plate indeed becomes thick. The frequency limit when such event occurs !lim is when µ ⇡ 1 k(!lim ) =

2⇡ h

(48)

New waveforms appear when ! >> !lim as it can seen from the dispersion plot in Figure 8 and from Figures 9. The bending wave in Figure 9(a) is slightly di↵erent from the one in Figure 7(a) and its dispersion curve di↵ers from the analytical theory. The wave 9(b) cannot be predicted from the CLPT since according to the eigenproblem (12), only 6 eigenvalues (3 for both directions of travel) are obtainable, whereas 8 eigenvalues come from the SFEM above 17 kHz. Thus, when the frequency increases, a SFEM approach is useful to overcome the limits of the CLPT.

24

Figure 8: Dispersion Curves for the Composite Plate: Continuos Line: SFEM; Dash-dotted Line: Analytical. (s) shear, (l) longitudinal, (a) and (b) new waveforms

25

(a)

(b)

Figure 9: Eigenvector Plots for the Composite Plate at = 0 : New Waveforms at 27 kHz. Axis scales are equal, the thickness is comparable with the wavelength

26

8

Conclusions

An extension to anisotropic laminates of an existing FEA based waveguide procedure was illustrated. The laminate is made up of orthotropic layers arbitrarily oriented. Using Hamilton’s variational principle, mass and sti↵ness matrices were developed. The followed approach is based on a one dimensional finite element discretization throughout the thickness,then a full 3D stress-strain relationship is required. An orthotropic constitutive relation is used so 9 independent variables are needed. A reference transformation between lamina and laminate was also necessary in order to introduce the lamina orientation. The resulting equation is expressed in terms of a quadratic eigenproblem in the wavenumber variable at a fixed frequency and heading angle. This problem was transformed into a linear one and easily solved with standard numerical routines. Dispersion curves and polar patterns are obtained for the case of an uniform isotropic and for a laminate composite plates. Comparison with analytical formulas available from the classical plate laminate theory showed good agreement with the FE results. Nevertheless, the analytical theory fails with the increasing of the frequency. In fact, CLPT can’t predict the appearance of new waveforms, whereas SFEM can identify new structural waveguides. Thus SFEM can overcome the limits of the CLPT, allowing a more satisfactory analysis of the dispersion properties at higher frequencies. The procedure can be easily completed by including the evaluation of the resulting loss factor, given the individual loss factor of each lamina and the group velocity curves of the propagating waves, as well as their modal densities. All the present evaluations and results have been obtained by using Matlab: the m-files can be requested to the first author.

27

References A. Baz. Spectral finite-element modeling of the longitudinal wave propagation in rods treated with active constrained layer damping. Smart Mater. Struct, 9:372–377, 2000. F. Birgersson, S. Finnveden, and G. Robert. Modelling turbulence-induced vibration of pipes with a spectral finite element method. Journal of Sound and Vibration, 278(4-5):749–772, 2004. A. Chakraborty and S. Gopalakrishnan. A Spectral Finite Element Model for Wave Propagation Analysis in Laminated Composite Plate. Journal of Vibration and Acoustics, 128:477, 2006. M. Chitnis, Y. Desai, and T. Kant. Wave propagation in laminated composite plates using higher order theory. Journal of applied mechanics, 68(3):503–505, 2001. R. Cook, D. Malkus, M. Plesha, and R. Witt. Concepts and Applications of Finite Element Analysis. John Wiley & Sons, 1989. L. Cremer, B. Petersson, and M. Heckl. Structure-Borne Sound: structural vibrations and sound radiation at audio frequencies. Springer, 2005. S. Datta, A. Shah, R. Bratton, and T. Chakraborty. Wave propagation in laminated composite plates. The Journal of the Acoustical Society of America, 83:2020, 1988. S. Finnveden. Evaluation of modal density and group velocity by a finite element method. Journal of Sound and Vibration, 273(1):51–75, 2004. S. Ghinet, N. Atalla, and H. Osman. The transmission loss of curved laminates and sandwich composite panels. The Journal of the Acoustical Society of America, 118:774, 2005. 28

K. Heron. Predictive SEA and anisotropic panels. In Proceedings of ISMA, Leuven, 2002. C. Johnson and D. Kienholz. Finite element prediction of damping in structures with constrained viscoelastic layers. AIAA Journal, 20(9):1284–1290, 1982. R. Jones. Mechanics of composite materials. Taylor & Francis, 1999. ˙ P. Kudela, A. Zak, M. Krawczuk, and W. Ostachowicz. Modelling of wave propagation in composite plates using the time domain spectral element method. Journal of Sound and Vibration, 302(4-5):728–745, 2007. F. Y. L. Wang. Group velocity and characteristic wave curves of Lamb waves in composites: Modeling and experiments. Composites Science and Technology, 67:1370–1384, 2007. A. Leissa. Vibration of Plates. Published for the Acoustical Society of America through the American Institute of Physics, 1993. R. Lyon. Statistical energy analysis of dynamical systems: theory and applications. MIT Press, 1975. B. Mace, D. Duhamel, M. Brennan, and L. Hinke. Finite element prediction of wave motion in structural waveguides. The Journal of the Acoustical Society of America, 117:2835, 2005. D. Mahapatra, A. Singhal, and S. Gopalakrishnan. A higher-order finite waveguide model for spectral analysis of composite structures. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 195(9&12):1116–1135, 2006. A. Nayfeh. The general problem of elastic wave propagation in multilayered anisotropic media. The Journal of the Acoustical Society of America, 89: 1521, 1991.

29

D. Roy Mahapatra and S. Gopalakrishnan. A spectral finite element model for analysis of axial–flexural–shear coupled wave propagation in laminated composite beams. Composite Structures, 59(1):67–88, 2003. P. Shorter. Wave propagation and damping in linear viscoelastic laminates. The Journal of the Acoustical Society of America, 115:1917, 2004. S. Timoshenko and J. Goodier. Theory of Elasticity [M]. New York: Mac Graw Hill Book Company, pages 328–333, 1970. ˙ A. Zak, M. Krawczuk, and W. Ostachowicz. Propagation of in-plane elastic waves in a composite panel. Finite Elements in Analysis and Design, 43(2): 145–154, 2006.

30

1)  2)  3)  4)  5)  6)  7)  8)  9)  10)  11)  12)  13)  14)  15)  16)  17)  18) 


Sommario • Indicatori del rumore interno • Generazione del rumore • Sorgenti di rumore: – Il propulsore, lo strato limite turbolento, le sorgenti interne.

• Sistemi per il controllo del rumore: – sistemi passivi e sistemi attivi

• Metodi previsionali per il calcolo del rumore interno • La messa a punto sperimentale • La campagna riduzione rumore dell’ATR Aircraft Interior Noise A.S. 1/6/04

Aircraft Interior Noise A.S. 1/6/04

Noise Index • Esistono numerosi indici di misura del rumore, e tra essi i più utilizzati per fornire un immagine del comfort acustico di un velivolosono: – OASPL – dBA – SIL3, SIL4, PSIL


Noise Index • L’OASPL e l’overall sound pressure level calcolato sullo spettro (010KHz) ed è normalmente utilizzato per quelle applicazioni in cui dominano le alte frequenze (velivoli a getto).


Noise Index • Il dBA e l’overall calcolato sullo spettro (0-12.5 KHz) cui è applicato il filtro A (effetto orecchio umano) ed è normalmente utilizzato per quelle applicazioni in cui dominano le basse frequenze (velivoli a elica). Aircraft Interior Noise A.S. 1/6/04

Spettro Lineare vs Spettro Filtrato A 100 90 80 70

SPL [dB]

60 Pesato A

50

Lineare

40 30 20 10 0 10

100

1000

10000

Frequency [Hz] Aircraft Interior Noise A.S. 1/6/04

Noise Index • Il SIL (Speech Interference Level) è una misura del disturbo acustico nelle frequenze del parlato: – SIL3 media aritmetica del SPL nelle bande di Ottave 500,1K, 2K Hz – SIL4 media aritmetica del SPL nelle bande di Ottave 500, 1K, 2K, 4K Hz

• E’ generalmente utilizzato per caratterizzare velivoli ad elevato comfort interno (Business Jet). Aircraft Interior Noise A.S. 1/6/04

Le sorgenti di rumore esterno: il propulsore • La maggiore sorgente esterna di rumore è il motopropulsore che sui moderni aeroplani da trasporto può essere di due tipi:

–turbofan –turboprop Aircraft Interior Noise A.S. 1/6/04

Il motore turbofan


Il motore turboprop


Il rumore generato da un turbofan • Il rumore generato dai moderni motori turbofan non risulta essere particolarmente critico per il rumore interno ad eccezione delle fasi di decollo e salita in cui si trova alla massima potenza.


Il rumore generato da un turbofan • In queste fasi le elevate velocità del fan e la ridotta lunghezza dell’inlet generano un sistema di onde d’urto all’interno dello stesso che sono la causa del cosiddetto “Buzzsaw Noise”. • In alcune fasi della crociera può essere predominante il rumore del getto che viene trattato con interventi specifici locali. Aircraft Interior Noise A.S. 1/6/04

Il rumore generato da un turbofan


Gli interventi per la riduzione del rumore generato da un turbofan


Il rumore generato da un turboprop • Lo spettro di rumore tipico generato da un turboprop è caratterizzato da toni a bassa frequenza in cui è concentrata la maggior parte dell’energia.

BPF

=

RPM xNum.Pale 60


Il rumore generato da un turboprop


Il rumore generato da un turboprop Typical propeller aircraft internal noise spectrum

10 dB

SPL [dB]

propeller tone noise

290

240

190

140

90

broadband noise

Frequency [Hz]


Sistemi per il controllo del rumore: De-Tuning della fusoliera


Sistemi per il controllo del rumore: Assorbitori Dinamici di Vibrazione • Gli assorbitori dinamici di vibrazione sono sono sistemi massa/molla a 1 DOF in grado di assorbire le vibrazioni delle ordinate “intonati” alle frequenze del propeller.

1 fn = 2p

K M


Sistemi per il controllo del rumore: Assorbitori Dinamici di Vibrazione


Sistemi per il controllo del rumore: Assorbitori Dinamici di Vibrazione without Tuned absorbers

with tuned absorbers


Sistemi per il controllo del rumore: Assorbitori Dinamici di Vibrazione Noise Level Distribution @ seated passenger head level Baseline with Tuned Vibration Absorbers 12000.00

12000.00

11500.00

11500.00

11000.00

11000.00

10500.00

10500.00

10000.00

10000.00

9500.00

9500.00

9000.00

9000.00

8500.00

8500.00 -2000.00

-1000.00

0.00

1000.00

2000.00

96.00 94.00 92.00 90.00 88.00 86.00 84.00 82.00 80.00 78.00 76.00 74.00 72.00 70.00 68.00 66.00 64.00 62.00 60.00 -2000.00

-1000.00

0.00

1000.00

Aircraft Interior Noise

2000.00

A.S. 1/6/04

Sistemi attivi per il controllo del rumore: ANC • I sistemi di controllo attivo del rumore si basano sul principio di emettere un rumore in “antifase” (secondary field) rispetto al rumore da controllare (primary field) in modo che il campo risultante (residual noise) sia minimo. Aircraft Interior Noise A.S. 1/6/04

Sistemi attivi per il controllo del rumore: ANC






Sistemi attivi per il controllo del rumore: ANVC • Una evoluzione dei sistemi di controllo del rumore è rappresentato dall’ Active Noise and Vibration Control, sistema che si basa sulla riduzione attiva delle vibrazioni che inducono rumore.


Sistemi attivi per il controllo del rumore: ANVC


Le sorgenti di rumore esterno: lo strato limite turbolento • La seconda principale sorgente di energia acustica è lo strato limite turbolento. • La turbolenza generata all’interno dello s.l. genera delle onde di pressione che eccitano e mettono in vibrazione i pannelli della fusoliera. Aircraft Interior Noise A.S. 1/6/04

Le sorgenti di rumore esterno: lo strato limite turbolento • Il contributo dello strato limite turbolento alla generazione del rumore risulta essere predominante nel range di frequenze medio-alte (1000-5000 Hz).


Sistemi per il controllo del rumore dello strato limite turbolento • Esistono diverse possibilità per il controllo del rumore generato dallo strato limite turbolento: – Ottimizzazione strutturale (spessore pannelli skin, spaziatura dei correnti) – Ottimizzazione del lay-up – Sistemi di sospensione attiva per il furnishing – Sistemi attivi distribuiti sullo skin Aircraft Interior Noise A.S. 1/6/04

Sistemi per il controllo del rumore dello strato limite turbolento Thermoacoustic blanket




Sistemi per il controllo del rumore dello strato limite turbolento Damping strutturale




Le sorgenti di rumore interno • Oltre alle sorgenti esterne, esistono sul velivolo tutta una serie di sorgenti di vibrazioni/rumore interne che contribuiscono in maniera significativa a modificare il livello di rumore interno. Aircraft Interior Noise A.S. 1/6/04

Le sorgenti di rumore interno Impianto distribuzione aria in cabina


Le sorgenti di rumore interno Effetto dell’airconditioning noise 95 90 85 80

Airconditioning ON

70 65 60 55

Airconditioning OFF

50

A.S. 1/6/04

12500

8000


10000

6300

5000

4000

3150

2500

2000

1600

1250

800

1000

630

500

400

315

250

200

160

125

100

80

63

50

40

32

25

45 20

SPLi [dB]

75

Metodi di calcolo per il rumore interno • Esistono diverse tipologie di metodi previsionali per la stima del rumore interno: – Metodi Deterministici (FEM, BEM) – Metodi Statistici (SEA) – Metodi Bilancio Energetico


Metodi Deterministici • I metodi deterministici FEM/BEM sono indicati per lo studio della trasmissione del rumore a basse frequenze. • Tale approccio è tanto più accurato quanto più è fitta la mesh del modello numerico. Aircraft Interior Noise A.S. 1/6/04

Approccio FEM per il calcolo della risposta strutturale V1 C1

frequenze naturali dell'ordinata di fusoliera dell' ATR-42

1.01 0.972 0.933

250

0.895 0.857 0.818 0.78 0.742

200 z

0.703 t

0.665

r

0.626 0.588 0.55

150

0.511

Hz

Z

0.473

Output X Set: Mode Y 4 16.34406 Hz Deformed(1.01): Total Translation Contour: Total Translation

0.434 0.396

100

Calcolo dei modi propri strutturali

50

0 A2

S2

A3

S3

A4

S4

A5

S5

A6

S6

modo

MSC/NASTRAN - pressurization effect MSC/NASTRAN - no pressurization effect experimental


Approccio FEM per il calcolo della risposta strutturale



450.00 400.00 350.00

EMA

300.00

R2 = 0.9844

250.00 200.00 150.00 100.00 50.00 0.00 0.00

50.00 100.00 150.00 200.00 250.00 300.00 350.00 400.00 450.00 FEA

Correlazione

Ideale

Lineare (Ideale)

Lineare (Correlazione)


Approccio FEM per il calcolo della risposta accoppiata struttura-acustica  [M s ]  − r [Α ]T f 

[0]   u&& [K s ] [Α]   u   F    +   =  ; M A   &p&  [0] [K A ]  p   0 

V1

Confronto SPL medio in camera ricevente

4.941

C1

4.633 4.324

130

4.015 3.706

3.088

110

2.78 2.471

100

2.162 1.853

90

1.544 1.235

80

0.9265

Y X

0.6177 0.3088 0.

SPL [dB]

Z

Valore sperimentale Val. numerico 1 Watt Val. Numerico 10 Watt

120

3.397

70 60 50 40 30 20 10 0 -10 0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

Frequenza [Hz]


1000

Approccio FEM per il calcolo della risposta accoppiata struttura-acustica V1 C10

Z X

Y


Approccio FEM per il calcolo della risposta accoppiata struttura-acustica

Eccitazione acustica sulla fusoliera

Risposta acustica della cabina alla BPF Aircraft Interior Noise A.S. 1/6/04



Metodi energetici • I metodi energetici si basano sul bilancio di energia interna ed esterna e dell’energia che si scambiano i diversi volumi che rappresentano la nostra cavità.


Metodi energetici

Eass + Eout = EBL + EEN + EPRO + EVOLAd Eass= Acoustic Power dissipated inside each elemental volume Eout= Outcoming Acoustic power from each elemental volume EBL= Incoming Acoustic Power inside each elemental volume due to turbulent boundary layer EEN= Incoming Acoustic Power inside each elemental volume due to propulsion noise EPRO= Acoustic Power generated inside each elemental volume (internal sources i.e. air conditioning EVOLAd = Incoming Acoustic power inside the elemental volume from each elemental volume Aircraft Interior Noise A.S. 1/6/04

Metodi energetici Eass

2 1 pavg = Π t ⋅a = Sa 4 ro c

Wtrai

2 TLwalli − 1 pavg = Si 10 10 4 roc

Incoming and Outcoming Acoustic power from/to each elemental volume

WBLi

2 TL − BLi 1 pavgBL = Sexti10 10 4 r oc

Incoming Acoustic Power inside each elemental volume due to turbulent boundary layer

WENi

2 TL − ENi 1 pavgEN = Sexti10 10 4 roc

Incoming Acoustic Power inside each elemental volume due to propulsion noise

Wp = I P ∑ Si = I p S i

Dissipated Acoustic Power

Acoustic Power generated inside each elemental volume (internal sources i.e. air conditioning) Aircraft Interior Noise A.S. 1/6/04

Metodi energetici Wref   PWLp +10log TLBLi Iref SPLBLi−TLBLi SPLENi −TLENi SPLADi−TLwalli     10 SPLint = 10log∑Sexti10 10 +10 10  + 4⋅10 + ∑Sinti ⋅10 10  i   i    TLwalli −    −10log∑Si ai +10 10   i  


Metodi energetici - Modello Cockpit di un velivolo da trasporto CO-PILOT

PILOT


Metodi energetici - Distribuzione del rumore all’interno del Cockpit di un velivolo da trasporto RISULTATI CABIN NOISE COCKPIT 120

PILOT

118

CO-PILOT

116 114

110 108 106 104 102

65

63

61

59

57

55

53

51

49

47

45

43

41

39

37

35

33

31

29

27

25

23

21

19

17

15

13

9

11

7

5

3

100 1

oaspl

112

VOLUMI


La messa a punto sperimentale • Una volta definiti e progettati i diversi interventi per la riduzione del rumore, vengono effettuate diverse tipologie di prove per la verifica e messa a punto.


La messa a punto sperimentale • Esistono tre diverse tipologie di prove: – prove di laboratorio su componenti (transmission loss, absorption, insertion loss). – prove su mock-up sperimentali full scale. – prove in volo. Aircraft Interior Noise A.S. 1/6/04

La messa a punto sperimentale: prove di transmission loss


Sommario • Indicatori del rumore interno • Generazione del rumore • Sorgenti di rumore: – Il propulsore, lo strato limite turbolento, le sorgenti interne.

• Sistemi per il controllo del rumore: – sistemi passivi e sistemi attivi

• Metodi previsionali per il calcolo del rumore interno • La messa a punto sperimentale • La campagna riduzione rumore dell’ATR Aircraft Interior Noise A.S. 1/6/04


Noise Index • Esistono numerosi indici di misura del rumore, e tra essi i più utilizzati per fornire un immagine del comfort acustico di un velivolosono: – OASPL – dBA – SIL3, SIL4, PSIL


Noise Index • L’OASPL e l’overall sound pressure level calcolato sullo spettro (010KHz) ed è normalmente utilizzato per quelle applicazioni in cui dominano le alte frequenze (velivoli a getto).


Noise Index • Il dBA e l’overall calcolato sullo spettro (0-12.5 KHz) cui è applicato il filtro A (effetto orecchio umano) ed è normalmente utilizzato per quelle applicazioni in cui dominano le basse frequenze (velivoli a elica). Aircraft Interior Noise A.S. 1/6/04

Spettro Lineare vs Spettro Filtrato A 100 90 80 70

SPL [dB]

60 Pesato A

50

Lineare

40 30 20 10 0 10

100

1000

10000

Frequency [Hz] Aircraft Interior Noise A.S. 1/6/04

Noise Index • Il SIL (Speech Interference Level) è una misura del disturbo acustico nelle frequenze del parlato: – SIL3 media aritmetica del SPL nelle bande di Ottave 500,1K, 2K Hz – SIL4 media aritmetica del SPL nelle bande di Ottave 500, 1K, 2K, 4K Hz

• E’ generalmente utilizzato per caratterizzare velivoli ad elevato comfort interno (Business Jet). Aircraft Interior Noise A.S. 1/6/04

Le sorgenti di rumore esterno: il propulsore • La maggiore sorgente esterna di rumore è il motopropulsore che sui moderni aeroplani da trasporto può essere di due tipi:

–turbofan –turboprop Aircraft Interior Noise A.S. 1/6/04

Il motore turbofan


Il motore turboprop


Il rumore generato da un turbofan • Il rumore generato dai moderni motori turbofan non risulta essere particolarmente critico per il rumore interno ad eccezione delle fasi di decollo e salita in cui si trova alla massima potenza.


Il rumore generato da un turbofan • In queste fasi le elevate velocità del fan e la ridotta lunghezza dell’inlet generano un sistema di onde d’urto all’interno dello stesso che sono la causa del cosiddetto “Buzzsaw Noise”. • In alcune fasi della crociera può essere predominante il rumore del getto che viene trattato con interventi specifici locali. Aircraft Interior Noise A.S. 1/6/04

Il rumore generato da un turbofan


Gli interventi per la riduzione del rumore generato da un turbofan


Il rumore generato da un turboprop • Lo spettro di rumore tipico generato da un turboprop è caratterizzato da toni a bassa frequenza in cui è concentrata la maggior parte dell’energia.

BPF

=

RPM xNum.Pale 60


Il rumore generato da un turboprop


Il rumore generato da un turboprop Typical propeller aircraft internal noise spectrum

10 dB

SPL [dB]

propeller tone noise

290

240

190

140

90

broadband noise

Frequency [Hz]


Sistemi per il controllo del rumore: De-Tuning della fusoliera


Sistemi per il controllo del rumore: Assorbitori Dinamici di Vibrazione • Gli assorbitori dinamici di vibrazione sono sono sistemi massa/molla a 1 DOF in grado di assorbire le vibrazioni delle ordinate “intonati” alle frequenze del propeller.

1 fn = 2p

K M


Sistemi per il controllo del rumore: Assorbitori Dinamici di Vibrazione


Sistemi per il controllo del rumore: Assorbitori Dinamici di Vibrazione without Tuned absorbers

with tuned absorbers


Sistemi per il controllo del rumore: Assorbitori Dinamici di Vibrazione Noise Level Distribution @ seated passenger head level Baseline with Tuned Vibration Absorbers 12000.00

12000.00

11500.00

11500.00

11000.00

11000.00

10500.00

10500.00

10000.00

10000.00

9500.00

9500.00

9000.00

9000.00

8500.00

8500.00 -2000.00

-1000.00

0.00

1000.00

2000.00

96.00 94.00 92.00 90.00 88.00 86.00 84.00 82.00 80.00 78.00 76.00 74.00 72.00 70.00 68.00 66.00 64.00 62.00 60.00 -2000.00

-1000.00

0.00

1000.00


2000.00

A.S. 1/6/04

Sistemi attivi per il controllo del rumore: ANC • I sistemi di controllo attivo del rumore si basano sul principio di emettere un rumore in “antifase” (secondary field) rispetto al rumore da controllare (primary field) in modo che il campo risultante (residual noise) sia minimo. Aircraft Interior Noise A.S. 1/6/04







Sistemi attivi per il controllo del rumore: ANVC • Una evoluzione dei sistemi di controllo del rumore è rappresentato dall’ Active Noise and Vibration Control, sistema che si basa sulla riduzione attiva delle vibrazioni che inducono rumore.


Sistemi attivi per il controllo del rumore: ANVC


Le sorgenti di rumore esterno: lo strato limite turbolento • La seconda principale sorgente di energia acustica è lo strato limite turbolento. • La turbolenza generata all’interno dello s.l. genera delle onde di pressione che eccitano e mettono in vibrazione i pannelli della fusoliera. Aircraft Interior Noise A.S. 1/6/04

Le sorgenti di rumore esterno: lo strato limite turbolento • Il contributo dello strato limite turbolento alla generazione del rumore risulta essere predominante nel range di frequenze medio-alte (1000-5000 Hz).


Sistemi per il controllo del rumore dello strato limite turbolento • Esistono diverse possibilità per il controllo del rumore generato dallo strato limite turbolento: – Ottimizzazione strutturale (spessore pannelli skin, spaziatura dei correnti) – Ottimizzazione del lay-up – Sistemi di sospensione attiva per il furnishing – Sistemi attivi distribuiti sullo skin Aircraft Interior Noise A.S. 1/6/04









Le sorgenti di rumore interno • Oltre alle sorgenti esterne, esistono sul velivolo tutta una serie di sorgenti di vibrazioni/rumore interne che contribuiscono in maniera significativa a modificare il livello di rumore interno. Aircraft Interior Noise A.S. 1/6/04

Le sorgenti di rumore interno Impianto distribuzione aria in cabina


Le sorgenti di rumore interno Effetto dell’airconditioning noise 95 90 85 80

Airconditioning ON

70 65 60 55

Airconditioning OFF

50

A.S. 1/6/04

12500

8000


10000

6300

5000

4000

3150

2500

2000

1600

1250

800

1000

630

500

400

315

250

200

160

125

100

80

63

50

40

32

25

45 20

SPLi [dB]

75

Metodi di calcolo per il rumore interno • Esistono diverse tipologie di metodi previsionali per la stima del rumore interno: – Metodi Deterministici (FEM, BEM) – Metodi Statistici (SEA) – Metodi Bilancio Energetico


Metodi Deterministici • I metodi deterministici FEM/BEM sono indicati per lo studio della trasmissione del rumore a basse frequenze. • Tale approccio è tanto più accurato quanto più è fitta la mesh del modello numerico. Aircraft Interior Noise A.S. 1/6/04

Approccio FEM per il calcolo della risposta strutturale V1 C1

frequenze naturali dell'ordinata di fusoliera dell' ATR-42

1.01 0.972 0.933

250

0.895 0.857 0.818 0.78 0.742

200 z

0.703 t

0.665

r

0.626 0.588 0.55

150

0.511

Hz

Z

0.473

Output X Set: Mode Y 4 16.34406 Hz Deformed(1.01): Total Translation Contour: Total Translation

0.434 0.396

100

Calcolo dei modi propri strutturali

50

0 A2

S2

A3

S3

A4

S4

A5

S5

A6

S6

modo

MSC/NASTRAN - pressurization effect MSC/NASTRAN - no pressurization effect experimental





450.00 400.00 350.00

EMA

300.00

R2 = 0.9844

250.00 200.00 150.00 100.00 50.00 0.00 0.00

50.00 100.00 150.00 200.00 250.00 300.00 350.00 400.00 450.00 FEA

Correlazione

Ideale

Lineare (Ideale)

Lineare (Correlazione)


Approccio FEM per il calcolo della risposta accoppiata struttura-acustica  [M s ]  − r [Α ]T f 

[0]   u&& [K s ] [Α]   u   F    +   =  ; M A   &p&  [0] [K A ]  p   0 

V1

Confronto SPL medio in camera ricevente

4.941

C1

4.633 4.324

130

4.015 3.706

3.088

110

2.78 2.471

100

2.162 1.853

90

1.544 1.235

80

0.9265

Y X

0.6177 0.3088 0.

SPL [dB]

Z

Valore sperimentale Val. numerico 1 Watt Val. Numerico 10 Watt

120

3.397

70 60 50 40 30 20 10 0 -10 0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

Frequenza [Hz]


1000

Approccio FEM per il calcolo della risposta accoppiata struttura-acustica V1 C10

Z X

Y



Eccitazione acustica sulla fusoliera

Risposta acustica della cabina alla BPF Aircraft Interior Noise A.S. 1/6/04



Metodi energetici • I metodi energetici si basano sul bilancio di energia interna ed esterna e dell’energia che si scambiano i diversi volumi che rappresentano la nostra cavità.


Metodi energetici

Eass + Eout = EBL + EEN + EPRO + EVOLAd Eass= Acoustic Power dissipated inside each elemental volume Eout= Outcoming Acoustic power from each elemental volume EBL= Incoming Acoustic Power inside each elemental volume due to turbulent boundary layer EEN= Incoming Acoustic Power inside each elemental volume due to propulsion noise EPRO= Acoustic Power generated inside each elemental volume (internal sources i.e. air conditioning EVOLAd = Incoming Acoustic power inside the elemental volume from each elemental volume Aircraft Interior Noise A.S. 1/6/04

Metodi energetici Eass

2 1 pavg = Π t ⋅a = Sa 4 ro c

Wtrai

2 TLwalli − 1 pavg = Si 10 10 4 roc

Incoming and Outcoming Acoustic power from/to each elemental volume

WBLi

2 TL − BLi 1 pavgBL = Sexti10 10 4 r oc

Incoming Acoustic Power inside each elemental volume due to turbulent boundary layer

WENi

2 TL − ENi 1 pavgEN = Sexti10 10 4 roc

Incoming Acoustic Power inside each elemental volume due to propulsion noise

Wp = I P ∑ Si = I p S i

Dissipated Acoustic Power

Acoustic Power generated inside each elemental volume (internal sources i.e. air conditioning) Aircraft Interior Noise A.S. 1/6/04

Metodi energetici Wref   PWLp +10log TLBLi Iref SPLBLi−TLBLi SPLENi −TLENi SPLADi−TLwalli     10 SPLint = 10log∑Sexti10 10 +10 10  + 4⋅10 + ∑Sinti ⋅10 10  i   i    TLwalli −    −10log∑Si ai +10 10   i  


Metodi energetici - Modello Cockpit di un velivolo da trasporto CO-PILOT

PILOT


Metodi energetici - Distribuzione del rumore all’interno del Cockpit di un velivolo da trasporto RISULTATI CABIN NOISE COCKPIT 120

PILOT

118

CO-PILOT

116 114

110 108 106 104 102

65

63

61

59

57

55

53

51

49

47

45

43

41

39

37

35

33

31

29

27

25

23

21

19

17

15

13

9

11

7

5

3

100 1

oaspl

112

VOLUMI


La messa a punto sperimentale • Una volta definiti e progettati i diversi interventi per la riduzione del rumore, vengono effettuate diverse tipologie di prove per la verifica e messa a punto.


La messa a punto sperimentale • Esistono tre diverse tipologie di prove: – prove di laboratorio su componenti (transmission loss, absorption, insertion loss). – prove su mock-up sperimentali full scale. – prove in volo. Aircraft Interior Noise A.S. 1/6/04





La messa a punto sperimentale: prove di transmission loss STRINGER TYPE EFFECT 57.00 54.00 51.00 48.00 45.00 42.00

P2 _reference P8_stringerTT

39.00 36.00 33.00 30.00 27.00 24.00 21.00 18.00 15.00 12.00 100

1000

10000

1/3 O.B. freq




Transmission Loss Dal valore ideale alla realtà


Prove di assorbimento acustico: Tubo a impedenza


Tuning dell’assorbimento acustico


La messa a punto sperimentale: prove su mock-up di fusoliera






La messa a punto sperimentale: prove di volo sul velivolo


La riduzione del rumore dell’ATR


La riduzione del rumore dell’ATR • All’inizio degli anni 90 fu deciso di lanciare il programma di riduzione rumore del velivolo ATR che doveva confrontarsi con turboprop veloci della stessa categoria ma significativamente meno rumorosi (Fokker 50, Dornier 328, Saab 2000).


La riduzione del rumore dell’ATR • Il target di progetto fissato fu che in crociera a 17,000 ft @303 Kts di velocità il livello medio di rumore i cabina fosse inferiore a 78 dBA e che il livello massimo in una singola posizione non eccedesse 83 dBA (partendo da un livello max di 94 dBA e un livello medio di 86 dBA) Aircraft Interior Noise A.S. 1/6/04

La riduzione del rumore dell’ATR • Il problema fu affrontato mediante definizione e applicazione di modifiche radicali: – Elica esapala con riduzione RPM – Irrigidimenti strutturali della fusoliera – Installazione TVA – Applicazione di skin damping – Definizione nuovo interior – Trattamento di tutte le sorgenti interne Aircraft Interior Noise A.S. 1/6/04

La riduzione del rumore dell’ATR • Il programma di sviluppo è durato 2 anni con circa 150 ore di prove di volo. • Il delta peso totale installato sul velivolo è circa 150 Kg. • Il costo totale del progetto è stato stimato pari a 1M$ per ogni dB di riduzione.


ATR72 - CABIN NOISE IMPROVEMENT@ Standard Cruise conditions Average Noise Levels over four seats 92

12

2 dBA 90

Interior noise level reduction ATR72-500 global dBA ATR72-200 global dBA

88

10

86 8

82 80

6

78 76

4

74 72

2

70 68

0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

Window location Flight Direction


dBA reduction

Global dBA level

84

1)  2)  3)  4)  5)  6)  7)  8)  9)  10)  11)  12)  13)  14)  15)  16)  17)  18) 


5 La potenza acustica radiata da un pannello piano

Si vuole caratterizzare una superficie piana dal punto di vista acustico, definendo i coefficienti caratteristici che meglio si prestano alla descrizione del comportamento di un pannello di materiale omogeneo soggetto ad un’onda sonora incidente. Vengono fornite prima le definizioni di base delle grandezze in gioco, e successivamente si suggerisce un approccio alle coordinate discrete per la derivazione delle stesse.

5.1 Potenza sonora incidente su componenti strutturali piani La potenza radiata da un operatore strutturale, posto in vibrazione per e↵etto dell’incidenza di un disturbo di pressione, é punto chiave per tutta la sua caratterizzazione acustica. Si consideri un’onda di pressione normale incidente su una data superficie elastica. Da essa consegue una potenza incidente, data da Z o 1 n ⇧i (!) = Re pi (!, P )v ⇤ (!, P ) dS , (5.1) 2 S dove P é il punto della superficie S del pannello (P (xP , yP , 0) ⌘ P (xP , yP )) caratterizzato da una velocitá v (l’asterisco indica l’operatore complesso coniugato), in cui si registra un livello di pressione pi ad una certa pulsazione !. ´ necessario ipotizzare un modello per la distribuzione di pressione incidente, E che per una generica onda piana puó essere il seguente pi (!, x, y) = pi (!)e

j c! (x sin ✓ cos +y sin ✓ sin ) 0

,

(5.2)

indicando con c0 la velocit´ a di propagazione del disturbo e con ✓ e le inclinazioni dell’onda incidente polare ed azimutale rispettivamente, come indicato in Figura 5.1. Per questo modello di pressione incidente, la potenza ad essa legata é semplicemente data da

74


Figura 5.1: inclinazione dell’onda di pressione normale incidente sul pannello.

⇧i (!) =

p2i (!)S cos ✓ ⇢0 c 0

(5.3)

dove ⇢0 é la densit´ a del mezzo in cui si propaga il disturbo.

5.2 Potenza sonora radiata componenti strutturali piani La potenza radiata dallo stesso operatore strutturale, per il quale la distribuzione di velocit´ a normale v produce il disturbo di pressione pt , é data da Z o 1 n ⇧rad (!) = Re pt (!, P )v ⇤ (!, P ) dS . (5.4) 2 S

Lord Rayleigh (Ref. [9]), nel 1896, fu il primo a studiare e definire la relazione tra velocit´ a strutturale e livello di pressione prodotto da un radiatore piano mediante la (5.5): p(!, P ) =

j! 2 ⇢0 2⇡c0

Z

e jk|P Q| v(!, Q) dS Q| S k|P

(5.5)

dove Q é un secondo punto generico preso sulla superficie vibrante (Q(xQ , yQ , 0) ⌘ P (xQ , yQ )) e k = c!0 é il numero d’onda del disturbo acustico. ´ immediato esprimere la potenza radiata in termini di spostamento w, E essendo v(!, Q) = j!w(!, Q): Z Z o ! 2 n j! 2 ⇢0 e jk|P Q| Re w(!, Q)w⇤ (!, P ) dS dS = 2 Q| S 2⇡c0 S k|P Z Z n o 4 ! ⇢0 sin(k|P Q|) + j cos(k|P Q|) = Re w(!, Q)w⇤ (!, P ) dS dS . 4⇡c0 k|P Q| S S (5.6) ´ possibile introdurre la cosiddetta funzione di radiazione E

⇧rad (!) =

R(!, P, Q) =

e jk(!)|P Q| . k(!)|P Q|

(5.7)

5.3 Definizione degli indicatori della potenza radiata

75

Tale funzione é simmetrica, ovvero R(!, P, Q) = R(!, Q, P ), e presenta una singolarit´ a di primo ordine, quindi eliminabile, nel punto P ⌘ Q, essendo |P

lim

Q|!0

sin(k|P Q|) = 1. k|P Q|

(5.8)

A questo punto, sfruttando le proprietá dei numeri complessi, é possibile scrivere: (R R Q|) w⇤ (!, Q) sin(k|P ! 4 ⇢0 k|P Q| w(!, Q) dS dS, se P 6= Q RSRS ⇤ ⇧rad (!) = 4⇡c0 w (!, Q)w(!, Q) dS dS, se P ⌘ Q S S (5.9) Specializzando la (5.9) per un pannello rettangolare di lati a e b rispettivamente lungo gli assi x e y, é possibile scrivere: i h 8 p 2 +(y ⌘)2 > sin k(!) (x ⇠) R R R R < a b a b ! 4 ⇢0 p w(!, x, y)w⇤ (!, ⇠, ⌘) d⌘ d⇠ dy dx, se (x, y) 6= (⇠, ⌘) 0 0 0 0 ⇧rad (!) = k(!) (x ⇠)2 +(y ⌘)2 4⇡c0 > :R aR bR aR b w(!, x, y)w⇤ (!, ⇠, ⌘) d⌘ d⇠ dy dx, se (x, y) ⌘ (⇠, ⌘) 0 0 0 0 (5.10)

5.3 Definizione degli indicatori della potenza radiata L’analisi della potenza radiata da una struttura é finalizzata alla determinazione di alcuni parametri capaci di fornire esaurienti informazioni relative alle propriet´ a di trasmissione del rumore. Gli stimatori pi´ u comunemente utilizzati per valutare la potenza radiata da una superficie piana elastica sono: • •

l’efficienza di radiazione (in inglese radiation efficiency) ; il potere fono-assorbente (in inglese trasmission loss) T L.

Essi dipendono sia dalla superficie vibrante considerata (materiale e condizioni al contorno) che dal fluido in cui essa é immersa, e non dipendono dal volume in cui essi sono misurati. 5.3.1 Efficienza di radiazione L’efficienza di radiazione é un parametro che esprime la potenza acustica radiata da una superficie vibrante, misurata relativamente al livello vibrazionale di quest’ultima. Formalmente essa é data da: =

⇧ ⇢cv 2 S

(5.11)

dove ⇧ é la potenza acustica radiata dalla superficie vibrante di area S che vibra con velocit´ a v in un mezzo di densit´ a ⇢ e velocitá caratteristica c. Nella

76


definizione di , pertanto, sono presenti sia la geometria della superficie considerata che le caratteristiche del mezzo in cui si propaga il suono. In alcuni testi, l’efficienza di radiazione di un componente strutturale é definita come il rapporto tra la potenza acustica radiata dallo stesso e la potenza acustica radiata teoricamente da un pistone infinitamente rigido, avente stessa area e stessa distribuzione di velocitá superficiale, ovvero: =

⇧rad , ⇧piston

(5.12)

dove ⇧piston = ⇢cv 2 S. Tale definizione trae origine dal fatto che un pistone rigido infinito é un radiatore perfetto. Se infatti consideriamo il movimento di un pistone rigido infinito, questo forza le particelle di fluido a muoversi su linee parallele normali al piano del pistone: non cé divergenza, cioé non c’é alcuna forza di reazione inerziale in quanto non ci sono bordi, e quindi la forza di reazione per unit´ a di area (ovvero la pressione) é dovuta esclusivamente ad e↵etti di compressione. Il rapporto ⇧ (5.13) R= 2 v é detto resistenza di radiazione. I parametri introdotti sinora sono globali, ovvero riferiti all’intera superficie vibrante, e sono indicatori dell’accoppiamento del campo acustico con l’intero pannello. Risulta conveniente calcolare l’efficienza di radiazione per ogni singolo modo naturale del pannello, in modo tale da identificare quale modo é causa di una maggiore radiazione di potenza acustica: in questo caso, si parla di efficienza di radiazione modale (Ref. [10]). La resistenza di radiazione del modo (m, n) del pannello é espressa come Rm,n = ⌦

⇧m,n ↵ |v(!)|2

(5.14)

dove ⇧m,n é la potenza⌦ acustica ↵ media radiata da un lato del pannello in seguito al modo (m, n) e |v(!)|2 é la media temporale e spaziale del quadrato della velocit´ a vibrazionale della superficie. Wallace (Ref. [10]) esprime quindi l’efficienza di radiazione del modo (m, n) di un pannello semplicemente appoggiato, di lati a e b, rispettivamente lungo gli assi x e y, come m,n

=

Rm,n ⇧ ⌦ ↵ = ⇢cab ⇢cab |vm |2

(5.15)

avendo assunto per il generico modo (m, n) un modello di velocitá superficiale pari a m⇡x n⇡y v(!) = vm sin( ) cos( ). (5.16) a b


77

Data la simmetria dell’intensitá acustica, ricavata a partire dalla (5.5), e definiti ↵ = ka sin(✓) cos( ), (5.17) = kb sin(✓) sin( ), é possibile calcolare per un campo di↵uso: ⇣ ⌘ ⇣ ⌘ cos ↵ cos Z ⇡2 Z ⇡2 ( 2 sin 2 sin 2 64k ab m,n = 6 2 2 ⇡ m n 0 0 [(↵/m⇡)2 1][( /n⇡)2

(5.18)

1]

)2

sin ✓ d✓ d . (5.19)

⇣ ⌘ se m é un intero dispari, sin ↵2 ⇣ ⌘ se invece m é pari; analogamente, si utilizza cos 2 se n é un intero dispari, ⇣ ⌘ sin 2 se invece n é pari. Nelle Figura 5.2 é mostrato l’andamento dell’efficienza di radiazione di diversi modi propri di vibrare di un pannello le cui caratteristiche sono descritte in Tabella 5.1. Nella (5.19), é necessario utilizzare cos

⇣ ⌘ ↵ 2

Tabella 5.1: caratteristiche geometriche e fisiche del pannello. lato a lato b spessore s

1m 0.5 m 0.005 m

densit´ a⇢ modulo di Young E modulo di Poisson ⌫

2700 Kg/m3 71 GP a 0.33

In particolare, si evince che qualsiasi sia il modo considerato, l’efficienza di radiazione tende asintoticamente ad 1, ovvero tutte le deformate del pannello tendono a diventare dei radiatori perfetti ad elevata frequenza. Resistenza di radiazione mutua L’efficienza di radiazione modale m,n sinora considerata é un indicatore del lavoro per unit´ a di tempo che la distribuzione di pressione generata dal modo (m, n) compie sul modo (m, n) stesso, ovvero é un coefficiente di autoinduzione. L’utilizzo dei soli coefficienti di auto-induzione semplifica notevolmente il calcolo della potenza complessivamente radiata dal pannello, in quanto ogni modo irradia una potenza acustica indipendente dalle altre deformate modali. In realt´ a, la distribuzione di pressione generata dal modo (m, n) svolge un lavoro anche il modo (i, j) generico (con i 6= m e/o j 6= n), ma spesso si tende a trascurare i coefficienti di mutua induzione (m,n),(i,j) a causa dell’elevata complessit´ a computazionale che questi comportano. Li e Gibeling

78


(a) Modo (1,1)

(b) Modo (2,1)

(c) Modo (1,2)

(d) Modo (2,2)

Figura 5.2: efficienza di radiazione della frequenza.

ij (f )

di diversi modi del pannello al variare

(Ref. [11]) forniscono un’espressione della mutual radiation resistance e il suo impatto dell’efficienza di radiazione complessiva del pannello. 5.3.2 Potere fonoisolante (in inglese Trasmission Loss) Il potere fonoisolante di una superficie, ad esempio un pannello, fornisce una misura in decibel della potenza acustica trasmessa Pt per una data potenza incidente Pi . Al fine di calcolare un’espressione per il trasmission loss TL, é utile considerare cosa accade quando un’onda sonora interagisce con una barriera infinita, che divide l’ambiente in cui é posta la sorgente sonora dall’ambiente ricevente. La Figura 5.3 mostra come parte dell’onda viene riflessa nell’ambiente sorgente, una parte assorbita dalla partizione e la restante parte trasmessa nell’ambiente ricevente attraverso la superficie stessa. Definendo • • • •

Pi la potenza dell’onda sonora incidente; Pr la potenza dell’onda riflessa nell’ambiente sorgente; Pa la potenza dell’onda assorbita dalla partizione (e dissipata in calore); Pt la potenza dell’onda trasmessa nell’ambiente ricevente (chiaramente, Pt = Prad );


79

Figura 5.3: decomposizione di un’onda sonora su una partizione. é possibile scrivere (dal bilancio dell’energia per unitá di tempo): Pi = Pr + Pa + Pt .

(5.20)

Dividendo ambo i membri della (5.20) per la potenza incidente Pi , si ottiene: 1 = ⇢ + ↵ + ⌧.

(5.21)

Nella (5.21) sono stati introdotti i coefficienti adimensionali: • • •

⇢ = PPri , detto coefficiente di riflessione; ↵ = PPai , detto coefficiente di assorbimento; t ⌧=P Pi , detto coefficiente di trasmissione;

ed ognuno di essi indica, rispettivamente, l’aliquota di potenza che é stata riflessa, assorbita e trasmessa. Il trasmission loss T L é definito a partire dal coefficiente di trasmissione ⌧ , ovvero: 1 T L = 10 log10 . (5.22) ⌧ T L indica, in deciBel, l’abbattimento che il suono subisce passando attraverso una parete, e quindi permette di quantificare la potenza persa nella trasmissione del suono tra due ambienti separati da un divisorio.

Figura 5.4: diminuzione della potenza sonora attraverso una parete avente un potere fonoisolante di 45dB.

80


Chiaramente, se ⌧ = 1 significa che tutta la potenza sonora si trasmette attraverso la parete, il cui potere fonoisolante é nullo. Questo é il caso, ad esempio, di una porta o finestra aperta in un’abitazione, per cui le onde sonore non hanno alcuno ostacolo durante la loro propagazione. Se invece ⌧ = 0, non c’é trasmissione di suono, ma questo é un caso puramente ideale, in quanto attraverso una partizione c’é sempre un’aliquota di potenza trasmessa, seppur piccola. Andamento del TL con la frequenza Il potere fonoisolante varia al variare dalla frequenza, oltre a dipendere dalle propriet´ a fisiche e geometriche della parete e dalle condizioni di vincolo cui questa é sottoposta. L’andamento teorico del potere fonoisolante di un pannello omogeneo e sottile é mostrato in Figura 5.5, in cui si individuano diverse zone in ciascuna delle quali prevale un certo fattore.

Figura 5.5: andamento tipico del trasmission loss di un pannello omogeneo al variare della frequenza. Innanzitutto, si pu´ o notare che il T L assume un valore minimo in corrispondenza della prima frequenza naturale del pannello, ovvero della frequenza del primo modo proprio di vibrare del pannello, dopodiché nella cosiddetta zona di risonanza il valore del potere fonoisolante oscilla con picchi e valli, rimanendo su valori piuttosto bassi. In particolare, il fenomeno di risonanza a basse frequenze si verifica quando la frequenza dell’onda acustica incidente é


81

uguale alla frequenza di uno dei modi propri: in questo caso, infatti, si verifica che la deformata modale ha una lunghezza d’onda uguale a quella dell’onda incidente, per cui il modo proprio sollecitato é trasparente al suono, e determina una riduzione complessiva del potere fonoisolante del pannello. Al primo modo normale é associata la pi´ u importante frequenza di risonanza, in corrispondenza della quale il T L raggiunge un minimo. Si noti come l’ampiezza delle valli di isolamento dipenda dal valore del fattore di smorzamento ⌘: pi´ u é elevato lo smorzamento, maggiore é l’energia meccanica vibratoria dissipata in calore. In pratica, se lo smorzamento é elevato, il pannello vibra meno, e quindi é meno trasparente al suono. Per valori della frequenza inferiori alla frequenza di risonanza naturale, la trasmissione sonora dipende essenzialmente dalla rigidezza (o, equivalentemente, dall’elasticit´ a) della struttura, e si ha una diminuzione di T L di 6 dB ogni raddoppio della frequenza. Si parla di zona della rigidezza. Per valori della frequenza compresi tra la zona di risonanza e una certa frequenza critica, il potere fonoisolante é governato dalla cosiddetta legge della massa: in questa zona, si ha un aumento del T L di 6 dB per raddoppio della frequenza e della massa, e il comportamento della struttura dipende esclusivamente dalla sua massa. In questa zona, é possibile utilizzare la seguente formula di previsione: T LM L,✓ = 10 log10

h⇣ ⇡⇢ f cos(✓) ⌘2 i s [dB] ⇢0 c 0

(5.23)

in cui ⇢s é la massa per unitá di superficie del pannello; f é la frequenza; ✓ é l’angolo di incidenza dell’onda sonora; ⇢0 c0 é l’impedenza acustica caratteristica dell’aria. La (5.23) vale in un campo sonoro di onde piane che arrivano sulla parete con un certo angolo di incidenza, e nel caso di incidenza normale (✓ = 0) pu´ o essere riscritta come: T LM L,✓=0 ⇡ 20 log10 (⇢s f )

42.5[dB].

(5.24)

Dalle (5.23)-(5.24) si comprende come un raddoppio della massa del pannello, a parit´ a di altri fattori, comporti un aumento di 6 dB del potere fonoisolante. Nel caso di campo mediamente di↵uso (ovvero onde incidente da tutte le direzioni con inclinazioni comprese tra ✓1 = 0 e ✓2 = 78, tipico di ambienti chiusi), la relazione pi´ u comunemente utilizzata é:

T LM L,dif f = 10 log10 ln

"

✓

0.978 ⇢⇢s0⇡f c0

◆2

2 ⇢s ⇡f ⇢0 c0 0.208 ⇢⇢s ⇡f 0 c0

1+

⇥

1+

2

⇤

#.

(5.25)

La validit´ a della legge della massa é limitata superiormente dal fenomeno della coincidenza, conseguenza del fatto che la velocitá del suono nell’aria

82


é costante al variare della frequenza mentre la velocitá delle onde flessionali nelle strutture varia con la frequenza. Le onde flessionali sono quelle che hanno maggiore importanza nella radiazione acustica delle strutture: ció é dovuto principalmente al fatto che la deflessione laterale degli elementi su cui si propagano le onde (cioé normale al piano delle onde) é rilevante rispetto alla lunghezza d’onda, e pertanto é in grado di perturbare il fluido adiacente. Nel caso di un pannello sottile, cioé di spessore molto inferiore alla lunghezze d’onda del suono alle frequenze in analisi, su cui si abbia propagazione in entrambe le direzioni di giacitura del pannello, la velocitá di propagazione delle onde flessionali é: v s u u E cb = t2⇡f s (5.26) 12⇢(1 ⌫ 2 )

dove E é il modulo di Young del materiale, ⌫ é il coefficiente di Poisson, ⇢ é la densit´ a, s lo spessore del pannello e f é la frequenza. Dalla (5.26) si deduce che le onde flessionali sono dispersive, ossia la loro velocitá di propagazione dipende dalla frequenza. Ció le di↵erenzia dalle onde sonore, che sono non dispersive, ed é questa la causa del fenomeno della coincidenza. Esiste, infatti, una frequenza, detta frequenza critica, in corrispondenza della quale le velocitá di propagazione del suono in aria c0 e delle onde flessionali cb coincidono, comportando una brusca riduzione del potere fonoisolante.

Figura 5.6: variazione delle velocitá di propagazione del suono in aria c e delle onde flessionali cb al variare della frequenza. Le onde sonore piane che incidono con un certo angolo su una parete sottile infinita originano nella parete un’onda flessionale forzata avente lunghezza d’onda tr , pari alla lunghezza d’onda di traccia dell’onda sonora incidente i sin(✓) , ovvero: tr

=

i

sin(✓)

,

(5.27)

dove i é la lunghezza d’onda dell’onda incidente. Il fenomeno della coincidenza si verifica quando, per un determinato angolo di incidenza, la lunghezza d’onda di traccia dell’onda sonora eguaglia la lunghezza d’onda b dell’onda flessionale libera, ossia: b

=

i

sin(✓)

=

tr .

(5.28)

5.4 Formulazione in coordinate discrete

83

Figura 5.7: coincidenza della lunghezza d’onda dell’onda flessionale libera e della lunghezza d’onda di traccia dell’onda sonora. In queste condizioni, l’onda di pressione acustica viene accompagnata nel suo movimento di compressione e rarefazione dall’onda flessionale sulla struttura e la stessa viene reirradiata dalla parte opposta senza subire attenuazioni, ed ecco perché si ha una forte riduzione di T L. La frequenza pi´ u bassa per la quale si verifica il fenomeno di coincidenza si ottiene per ✓ = 0; questa frequenza é chiamata frequenza critica ed é pari a: r c20 12⇢(1 ⌫ 2 ) fc = [Hz]. (5.29) 2⇡s E Per pannelli metallici, una formula che permette di calcolare la frequenza critica velocemente e con buona approssimazione é: fc =

12000 [Hz] s

(5.30)

dove s é lo spessore espresso in mm. Come nella zona di risonanza, la caduta di T L nella zona di coincidenza é tanto maggiore quanto minore é lo smorzamento. Al di sopra della zona di coincidenza, il potere fonoisolante T L torna ad aumentare con una pendenza teorica di 9 dB per raddoppio di frequenza, quindi superiore a quella che si verifica nel campo di validitá della legge della massa.

5.4 Formulazione in coordinate discrete Obiettivo del presente schema é fornire un approccio alle coordinate discrete per la caratterizzazione acustica di un pannello omogeneo. Prima di calcolare una formulazione in coordinate discrete i coefficienti per la descrizione

84


delle propriet´ a acustiche del pannello, si riprendono brevemente i concetti alla base dell’analisi della risposta strutturale. 5.4.1 Riepilogo della risposta strutturale in vacuo Si consideri un generico operatore strutturale piano rappresentato in N G coordinate discrete, ognuna delle quali rappresenta lo spostamento w(x, y) fuori dal piano in quella posizione del pannello. Si trascurano gli spostamenti u(x, y) e v(x, y) nel piano del pannello.

Figura 5.8: pannello discretizzato in N G = 40x20 coordinate adimensionali. L’equazione del moto nel caso di sistema non smorzato é: [M ]{¨ q (t)} + [K]{q(t)} = {f (t)}

(5.31)

dove [M ] é la matrice di massa, [K] la matrice di rigidezza, {q(t)} il vettore delle coordinate generalizzate e {f (t)} il vettore della forzante agente. Se si assumono una soluzione ed una forzante armonica del tipo {q(t)} = {w(!)}e

j!t

(5.32)

{f (t)} = {F (!)}e

j!t

(5.33)

il sistema pu´ o essere riscritto come segue: h [M ]{¨ q (t)} + [K]{q(t)} = {f (t)} ) [K]

i ! 2 [M ] {w(!)} = {F (!)} (5.34)


85

Se presente, lo smorzamento puó essere introdotto direttamente negli operatori modali, o semplicemente considerando la presenza di una matrice viscosa j![B]{w(!)} oppure introducendo una matrice di rigidezza complessa ⇥ ⇤ 1 + j⌘(!) [K]{w(!)}. Una volta caratterizzato il sistema descritto dalla (5.31) in modi e frequenze proprie, é possibile passare in coordinate modali {✓(!)} mediante la matrice modale [ ], ovvero {w(!)} = [ ]{✓(!)},

(5.35)

ottenendo un set di equazioni disaccoppiate del tipo: ¨ + ki ✓i (!) = fi (!), con i 2 {1, 2, . . . , N M }, N M  N G. mi ✓i (!)

(5.36)

Nella (5.36), mi é la massa generalizzata, ki la rigidezza generalizzata e fi la forza modale generalizzata, espressa dalla relazione: fi (!) =

T

{F (!)}.

(5.37)

La risposta del pannello espressa mediante gli autovettori é: {w(!)} = [ ][H(!)][ ]T {F (!)},

(5.38)

dove [H] é la matrice di trasferimento; essa é diagonale, e i suoi termini sono espressi da: 1 Hi (!) = . (5.39) mi ! 2 + ki Nel caso di sistema smorzato, é possibile tener conto del fattore di smorzamento ⌘ modificando la matrice di trasferimento. Ad esempio, assumendo un modello di smorzamento proporzionale (alla massa e alla rigidezza) i termini di [H] risultano cos´ı modificati: Hi (!) =

mi

!2

1 . + ki + j⌘i (!)ki

(5.40)

L’area equivalente nodale L’analisi della risposta strutturale e acustica di un pannello soggetto ad un carico di pressione mediante un approccio alle coordinate discrete richiede la necessit´ a di discretizzare anche il carico di pressione stesso. Pertanto, si introduce il concetto di area equivalente nodale per poter passare da un carico di pressione distribuito sull’intero pannello ad una forzante avente espressione T fi (!) = {F (!)}. La forza {F (!)} si esprime come: {F (!)} = [A]{p(!)}

(5.41)

dove {p(!)} é il carico di pressione agente e [A] é la matrice delle aree equivalenti nodali.

86


2

A1 60 6 A=6 . 4 ..

0 A2 .. .

... ... .. .

3

0 0 .. .

0 0 . . . AN G

7 7 7 5

(5.42)

La matrice [A] permette di assegnare ad ogni nodo i-esimo un’area equivalente nodale, pari a (nel caso di mesh omogenea): Ai =

(Nx

a· b 1)(Ny

1)

(5.43)

dove a e b sono le dimensioni del pannello rispettivamente lungo le direzioni x e y; analogamente, Nx e Ny sono il numero di nodi presenti sui due lati (Nx · Ny = N G). 5.4.2 Potenza radiata da un pannello in coordinate discrete Nel paragrafo 5.1, sono calcolate le formulazioni analitiche dei parametri acustici di nostro interesse. In particolare, andiamo parimenti a fornire un’espressione alle coordinate discrete per ognuno di essi. Per quanto riguarda la potenza radiata da un pannello piano, dalla (5.9) é intuitivo verificare che la sua espressione in coordinate discrete é pari a: ⇧rad (!) =

! 4 ⇢0 {w(!)}H [A][R(!)][A]{w(!)}, 4⇡c0

(5.44)

dove il pedice H indica la matrice hermitiana. Nella (5.44) si é introdotta la matrice di resistenza di radiazione [R(!)] definita come segue: 2 3 sin(k|r1,N G |) sin(k|r1,2 |) 1 . . . k|r1,N k|r1,2 | | G 6 sin(k|r1,2 |) 7 6 7 1 ... ... 6 k|r1,2 | 7 [R(!)] = 6 (5.45) 7, .. .. .. .. 6 7 . . . . 4 5 sin(k|r1,N G |) ... ... 1 k|r1,N G |

in cui ri,j é la distanza tra i due punti i,j. Usando le coordinate modali, é possibile esprimere il vettore degli spostamenti normali {w(!)} come: {w(!)} = [ ][H(!)][ ]T {F (!)}.

(5.46)

Sostituendo la (5.46) nella (5.44) si ottiene: ⇧rad (!) =

! 4 ⇢0 [ ][H(!)][ ]T {F (!)} 4⇡c0

H

[A][R(!)][A] [ ][H(!)][ ]T {F (!)} .

Scrivendo il prodotto centrale della (5.47) come

(5.47)


[⇤(!)] = [A][R(!)][A]

87

(5.48)

e considerando che, essendo [H(!)] una matrice diagonale, [H(!)]H = [H(!)]⇤ (dove ⇤ indica il complesso coniugato), allora la (5.47) puó essere ulteriormente semplificata: ! 4 ⇢0 {F (!)H [ ][H(!)]⇤ [ ]T [⇤(!)] [ ][H(!)][ ]T {F (!)} . 4⇡c0 (5.49) In conclusione, definendo la matrice di resistenza di radiazione modale ⇧rad (!) =

[Rrad (!)] =

! 4 ⇢0 T [ ] [⇤(!)][ ], 4⇡c0

(5.50)

l’espressione finale in coordinate discrete della potenza radiata é data da: ⇧rad (!) = {F (!)H [ ][H(!)]⇤ [Rrad (!)][H(!)][ ]T {F (!)}.

(5.51)

5.4.3 Potenza incidente su un pannello in coordinate discrete La formulazione in coordinate discrete della (5.1) é: ⇧inc (!) =

1 Re {p(!)H [A]{v(!)} , 2

(5.52)

per cui, una volta nota la pressione agente e la matrice delle aree equivalenti nodali, ed essendo {v(!)} = j!{w(!)}, é possibile scrivere ⇧inc (!) =

1 Re j!{F (!)H {w(!)} . 2

(5.53)

5.4.4 Efficienza di radiazione in coordinate discrete A partire dalla (5.12), ovvero dalla definizione dell’efficienza di radiazione come rapporto tra la potenza radiata da un pannello piano e quella radiata da un pistone infinitamente rigido, é possibile scrivere l’equivalente relazione in coordinate discrete: (!) =

! 4 ⇢0 H 4⇡c0 {w(!)} [⇤(!)]{w(!)} 2 ! ⇢ 0 c0 {w(!)}H [A]{w(!)} 2

=

! 2 {w(!)}H [⇤(!)]{w(!)} . (5.54) 2⇡c20 {w(!)}H [A]{w(!)}

Utilizzando le coordinate modali come descritto dalla 5.46, la (5.54) diventa: h i h i H ⇤ T T k(!)2 {F (!) [ ][H(!)] [ ] [⇤(!)] [ ][H(!)][ ] {F (!) h i h i . (5.55) (!) = 2⇡ {F (!)H [ ][H(!)]⇤ [ ]T [A] [ ][H(!)][ ]T {F (!)

88


(a) ⌘ = 0.04

(b) ⌘ = 0.08

(c) ⌘ = 0.1

(d) ⌘ = 0.2

Figura 5.9: efficienza di radiazione del pannello (f ) al variare della frequenza per diversi valori dello smorzamento. In Figura 5.9 é riportato l’andamento dell’efficienza di radiazione del pannello descritto in Tabella 5.1 per diversi valori dello smorzamento. La mesh utilizzata é quella illustrata in Figura 5.8. I grafici sono ottenuti considerando un’onda piana normale (✓ = 0). Dai grafici é possibile osservare che il pannello diventa un radiatore perfetto in corrispondenza della frequenza critica fc (riportata in tratteggio), qualsiasi sia il valore dello smorzamento.


89

5.4.5 Efficienza di radiazione modale auto e mutua In accordo con Wallace, Li e Gibeling, l’espressione (5.56) permette di calcolare l’efficienza di radiazione modale di una coppia di modi generica (i, j). In particolare, si presta al calcolo numerico sia delle self radiation efficiences (nel caso i = j) che delle cross mutual radiation efficiences (se i 6= j). H

(!)i,j =

k(!)2 { } [A][R(!)][A]{ } 2⇡ { }H [A]{ }

(5.56)

Nella Figura 5.10 é riportato il confronto tra le curve dell’andamento dell’efficienza di radiazione calcolate secondo il modello analitico di Wallace (vedi Figura 5.2) e i punti ottenuti mediante l’approccio discreto. Si considera il pannello di Tabella 5.1 senza alcun tipo di smorzamento. La mesh utilizzata é quella illustrata in Figura 5.8. In questo caso, in analogia con Wallace, si considera un campo sonoro perfettamente di↵uso.

(a) Modo (1,1)

(b) Modo (2,1)

(c) Modo (1,2)

(d) Modo (2,2)

Figura 5.10: confronto tra l’efficienza di radiazione modale calcolata analiticamente (—) e quella mediante approccio discreto (⇤) per diversi modi al variare della frequenza.

90


In Figura 5.11 sono riportati i coefficienti di accoppiamento per diverse coppie modali, ed in particolare si nota che: • •

ad elevate frequenze, tendono asintoticamente a zero, per cui é lecito trascurarli e considerare solo i coefficienti di auto-induzione; possono essere negativi, ovvero il modo acquista energia dal fluido.

Figura 5.11: efficienze di radiazione auto e mutua per il primo modo del pannello in funzione della frequenza.

5.4.6 Coefficiente di trasmissione e Trasmission Loss in coordinate discrete La formulazione del T L in coordinate discrete passa evidentemente attraverso la formulazione del coefficiente di trasmissione, che come detto é pari a: ⇧rad ⌧= . (5.57) ⇧inc Date le (5.46),(5.49) e (5.53), l’espressione del coefficiente di trasmissione diventa:


⌧=

! 4 ⇢0 4⇡c0

{F (!)H [ ][H(!)]⇤ [ ]T [⇤(!)] [ ][H(!)][ ]T {F (!)} 1 2 Re

j!{F (!)H [ ][H(!)][ ]T {F (!)}

,

91

(5.58)

da cui si calcola il trasmission loss applicando la (5.22). In Figura 5.12 sono illustrati gli andamenti del T L con la frequenza per diversi valori dello smorzamento per il pannello sinora analizzato. Inoltre, su ogni singolo grafico é riportato l’andamento della legge (5.24) e sono evidenziate anche tutte le frequenze proprie del pannello. Il modello di pressione incidente utilizzato é quello descritto dalla (5.3), con ✓ = 0 (onda piana normale). Dalla Figura 5.12 si vede chiaramente come un aumento dello smorzamento riduca nettamente le oscillazioni del T L, soprattutto nelle zone di risonanza e di coincidenza. Si noti inoltre come la legge di massa descriva con buona approssimazione l’andamento del potere fonoisolante nella zona centrale del grafico.

1)  2)  3)  4)  5)  6)  7)  8)  9)  10)  11)  12)  13)  14)  15)  16)  17)  18) 


Author's personal copy

ARTICLE IN PRESS

Journal of Fluids and Structures 25 (2009) 321–342 www.elsevier.com/locate/jfs

Hydrodynamic and hydroelastic analyses of a plate excited by the turbulent boundary layer E. Ciappia, F. Magionesia, S. De Rosab,!, F. Francob a INSEAN-Istituto Nazionale per Studi ed Esperienze di Architettura Navale, Via di Vallerano 139, 00128 Roma, Italy ælab-Acoustics and Vibration Laboratory, Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale, Universita` degli Studi di Napoli ‘‘Federico II’’, Via Claudio 21, 80125 Napoli, Italy

b

Received 4 October 2007; accepted 11 April 2008 Available online 11 October 2008

Abstract Recent studies have demonstrated that the characterisation of wall-pressure fluctuations for surface ships is of great interest not only for military applications but also for civil marine vehicles. A ship model towed in a towing tank is used to perform pressure and structural measurements at high Reynolds numbers. This facility provides ideal flow conditions because background turbulence and noise are almost absent. Free surface effects are naturally included in the analysis, although in the particular section chosen for the present study do not have significant consequences on pressure spectra. Scaling laws for the power spectral density are identified providing the possibility to estimate pressure spectra for different flow conditions and in particular for full-scale applications. The range of validity of some theoretical models for the cross-spectral density representation is analysed by direct comparison with experimental data of wall-pressure fluctuations measured in streamwise and spanwise direction. In a second phase, an indirect validation is performed by comparing the measured vibrational response of an elastic plate inserted in the catamaran hull with that obtained numerically using, as a forcing function, the modelled pressure load. In general, marine structures are able to accept energy mainly from the sub-convective components of the pressure field because the typical bending wavenumber values are usually lower than the convective one; thus, a model that gives an accurate description of the phenomenon at low wavenumbers is needed. In this work, it is shown that the use of the Chase model for the description of the pressure field provides a satisfactory agreement between the numerical and the experimental response of the hull plate. These experimental data, although acquired at model scale, represent a significant test case also for the real ship problem. r 2008 Elsevier Ltd. All rights reserved. Keywords: Wall-pressure fluctuations; High Reynolds number flow; High-speed vessels; Theoretical models; Vibrational response

1. Introduction Vibrations of elastic structures excited by the turbulent boundary layer (TBL) are of interest for interior and exterior noise emission problems in aeronautical, automotive and marine applications. In particular, new requirements in terms of comfort on board high-speed ships for passenger transportation have addressed the attention of the scientific community to the identification and to the characterisation of noise sources including those of hydrodynamic nature. Recent studies performed in the framework of the European RTD project NORMA (Noise Reduction for Marine !Corresponding author: Tel.: +39 081 7683581; fax: +39 081 624609.

E-mail address: [email protected] (S. De Rosa). 0889-9746/$ - see front matter r 2008 Elsevier Ltd. All rights reserved. doi:10.1016/j.jfluidstructs.2008.04.006


ARTICLE IN PRESS 322

E. Ciappi et al. / Journal of Fluids and Structures 25 (2009) 321–342

Nomenclature a Areai b c cB D d d0 d+ Fr g H H h i j k kc kB Lpp m, n me mn N NG NM ReW Ret Rpp Saa SW SF SFF u+ ut U

streamwise plate length equivalent area in finite element approach spanwise plate length speed of sound in water bending wave speed flexural stiffness of the plate sensor dimension nondimensional length: d0 ¼ d/d* nondimensional length: d+ ¼ dut/n Froude number acceleration of gravity structural transfer function diagonal matrix shape factor: H ¼ d*/W thickness of the plate imaginary unit index for the jth modal component acoustic wavenumber convective wavenumber bending wavenumber length between perpendiculars modal indices experimental added mass function numerical added mass function shape function vector in finite element approach number of grid of the finite element mesh number of mode shapes Reynolds number, ReW ¼ UW/n Reynolds number, Ret ¼ dut/n cross-correlation function plate acceleration response (auto-spectral density) matrix of the cross-spectral densities of the plate displacement matrix of the cross-spectral densities of the generalised load matrix of the cross-spectral densities of the equivalent load wall unit, u+ ¼ U/ut friction velocity free-stream velocity

Uc x y y+

convection velocity streamwise reference axis spanwise reference axis wall unit, y+ ¼ yut/n

Greek symbols g1 g3 G d d* Dx Dy Z Zp W y n x rs r t tw Fpp Fpp0 U o oj omn ˜ mn o

streamwise decay factor spanwise decay factor coherence function boundary layer thickness displacement thickness extension of each finite element in streamwise direction extension of each finite element in spanwise direction spanwise spatial separation plate modal damping coefficient momentum thickness phase function kinematic viscosity streamwise spatial separation plate material density fluid density time delay wall shear stress auto-spectral density of the wall-pressure distribution due to the turbulent boundary layer cross-spectral density of the wall-pressure distribution due to the turbulent boundary layer eigenvector matrix circular radian frequency natural circular frequency of the jth mode dry natural circular frequencies of the plate wet natural circular frequencies of the plate

Matrix and complex operators * T

complex conjugate operator transposition operator

Applications G3RD-2001-0393) demonstrated that, at least for new concept design fast ships, flow noise sources, e.g., the TBL, play an important role above 30 knots. The typical way to characterise wall-pressure fluctuations (WPF) is via experimental tests performed in suitable facilities like wind or water tunnels. In fact, direct numerical simulations (DNS) or large eddy simulations (LES) are often not applicable in the case of complex geometries and realistic flow conditions (high Reynolds numbers) due to the limitation of computational resources. DNS of WPF were performed by Choi and Moin (1990), analysing the channel flow problem for ReW ¼ UW/n ¼ 287. Furthermore, Chang et al. (1999) analysed the influence of the different TBL velocity components on the wavenumber pressure spectra in a channel flow for a Reynolds number, based on the channel half width, equal to 3200. Recently, Lee et al. (2005a) proposed a new methodology to calculate numerically wall-pressure spectra. The method uses the predicted mean flow field obtained from RANS calculations and a spectral


ARTICLE IN PRESS E. Ciappi et al. / Journal of Fluids and Structures 25 (2009) 321–342

323

correlation model, and integrates across the TBL. The method was validated both for an equilibrium flow at ReW ¼ 3582 and for a non-equilibrium flow resulting from flow over a backward-facing step. Using the same methodology, Lee et al. (2005b) characterised wall-pressure spectra for a surface ship model including the effects of hull curvature and of the free surface. The comparison of the scaled spectra, obtained while varying the axial location, and the distance from the free surface with spectra, obtained for an equilibrium flow, showed that, in several locations, the former deviate from the canonical case. On the other hand, there are many experimental works related to WPF, most of them devoted to the identification of the appropriate scaling laws for the auto-spectral density (ASD) for zero pressure gradient flow. The pressure ASD frequency range is subdivided according to the boundary layer regions that give contributions to wall-pressure spectra where different scaling variables hold. In particular, Farabee and Casarella (1991) identified four frequency ranges in their data: the low-frequency and the mid-frequency range where outer variables hold, the high-frequency range where inner variables hold, and an overlap scale-independent region proportional to o"1, whose extent depends on the Reynolds number. With respect to this point, Keith et al. (1992) presented the most extensive comparison among many available experimental data obtained in fully developed and developing channel flow, in fully developed pipe flow and in wind tunnel, over a wide range of Reynolds numbers, with the aim of identifying the best choice for the scaling parameters in the different frequency regions. Goody (1999) performed an experimental campaign in a two-dimensional boundary layer for ReW values ranging from 7800 to 23 400, investigating different combinations of scaling parameters. Finally, a detailed review of the state-of-the-art on this subject can be found in Bull (1996). The spatial characterisation of WPFs was first analysed by Corcos (1963) on the basis of measurements performed by Willmarth and Wooldridge (1962). Assuming the validity of separation of variables in the streamwise and spanwise directions, Corcos stated an exponential decay for the cross-spectral density (CSD) as a function of the similarity variables ox/Uc and oZ/Uc, where Uc is the convection velocity, and x and Z are the streamwise and spanwise spatial separation, respectively. Several authors have performed comparisons between measured CSD data and Corcos model (Blake, 1986; Bull, 1967); in particular, Farabee and Casarella (1991) from the analysis of their experimental data provided, at least in a certain nondimensional frequency range, a confirmation of this pressure behaviour for a wide series of spatial separations in streamwise direction and for different flow velocities or local Reynolds number values. The success of the Corcos model lies in its simplicity and in its predictive character since the model parameters are substantially case-independent. Nevertheless, it is generally stated that Corcos model gives a correct representation of the WPF behaviour in the convective domain, i.e. when the wavenumbers are close to the convective wavenumber kc ¼ o/Uc. On the contrary, in the sub-convective domain the white Corcos spectrum largely overpredicts the real amplitude. Since for several applications and in particular in the case of underwater and surface marine vehicles, the convective wavenumber is greater than the bending wavenumber kB ¼ o/cB, it is of primary importance to evaluate correctly the sub-convective domain of pressure spectra that corresponds to the high-sensitivity region for the structure. Several new models, some directly derived by the Corcos one (Efimtsov, 1982; Ffowcs Williams, 1982), others overcoming the Corcos multiplicative approach such as those by Chase (1980) and Smol’yakov and Tkachenko (1991), were developed to improve the estimation of pressure spectra in this region. A comparison between the predictions of the radiated acoustic power by rectangular plates was carried out numerically by Graham (1997); it was performed for different test conditions and applying the above models. It was there concluded that the use of sophisticated models such as the Chase one is needed only for structures that do not exhibit coincidence, but that for aircraft the best model is the one which provides an accurate description of the convective peak, thus suggesting the use of the Efimtsov model. Nonetheless, no experimental evidence supporting these conclusions was reported in Graham’s work. However, the spatial domain comparison between pressure experimental spectra and theoretical models cannot definitively indicate the best in describing the different wavenumber regions. It is usually possible to find a set of parameters for each model able to provide a good data fit. It is clear that most of the energy of WPF is concentrated around the convective peak and then any correlation data is mainly the representation of the convective character of the TBL. Unfortunately, only few experimental data concerning direct measurements of the wavenumber-frequency spectrum are available (Abraham, 1998; Choi and Moin, 1990; Panton and Robert, 1994; Farabee and Geib, 1991; Manoha, 1996) and, among them, a big spread of the spectra magnitude at low wavenumbers is present as reported for example by Hwang and Maidanik (1990). In order to overcome the limitations of flow measurements, an indirect approach to estimate the validity of different models for WPF representation, based on the analysis of the response of simple elastic structures to the TBL load, is proposed here. The same idea was recently applied by Finnveden et al. (2005), who compared the measured response of a flat plate with those obtained numerically using modelled pressure loads. This work presented the first and, to the authors’ best knowledge, the only correlation between aerodynamic and structural data measured in the same facility and with the same set-up. They suggested a modified version of the Corcos model by introducing a frequency and flow speed dependence on the parameters and of the Chase model by introducing two new parameters to better fit the




spanwise coherence to measurements. Despite the modifications made, the conclusion was that, above the aerodynamic coincidence (kc ¼ kB), only the Chase model, that does not make use of the multiplicative approach, provides a fair agreement with experimental data. In this work, the lower kB/kc ratio was 0.4 and the average difference between the modified Chase model predictions and the experimental data was 5 dB. Furthermore, Hambric et al. (2004), although retaining the multiplicative approach, proposed a modification of Corcos streamwise coherence to better represent the low wavenumber domain. The model was compared with the experimental response of an elastic plate measured by Han et al. (1999). The ratio between the structural wavenumber in flow direction and the convective wavenumber was between 0.3 and 0.8 and the agreement with the experimental data was quite good. On the other hand, Han et al. (1999) chose Smol’yakov and Tkachenko to model the surface pressure field. The comparison with measurements was performed using the energy flow analysis method to predict the numerical plate response thus, direct information about the validity of the pressure model are difficult to extract from their data. The aim of this work is to develop a general procedure based on the identification of the scaling laws and on the use of predictive models for the surface pressure field suitable for application to full-scale problems. In particular, the capabilities of Corcos and Chase models to predict the response of an elastic plate inserted in the hull of a ship model were investigated on the basis of hydrodynamic and vibration data acquired, at high Reynolds numbers, in a towing tank. In a first step, pressure data were analysed to provide their spectral characteristics. This analysis is fundamental to identify the scaling laws for the ASD and the free parameters contained in the CSD wall-pressure fluctuation models. The high Reynolds number achieved with this set-up provides an interesting extension to the previous analyses. In a second phase, a comparison between the numerical response of the plate obtained using the two models and the experimental response is provided. Since in the present problem the convection velocity is very low, the ratio between the bending and the convective wavenumber is sensibly lower than those previously analysed in the technical literature. This fact is fundamental for real size marine applications for which hydrodynamic coincidence appears, even for high-speed vehicles, at very low frequency. This first section is aimed to frame the work in the proper existing literature. Section 2 presents the experimental setup and all the data concerning the acquisition instrumentation. The treatment of the pressure data is the specific argument of Section 3. Section 4 is fully devoted to the analysis of the structural response and the final comparison between predictive and measured data. Section 5 presents the concluding remarks with some foreseen activities. For the sake of completeness, a graphic workflow has been also added in Chart 1.

2. Experimental set-up 2.1. Pressure measurements The experiments were performed on a 1:15 scale model ofpthe ffiffiffiffiffiffiffifast ffiffi catamaran Jumbo CAT (Fig. 1). The scale of the model was chosen according to Froude similarity: Fr ¼ U= gLpp where Lpp is the length between perpendiculars, i.e.

Chart 1. Logical workflow.



325

the length of the vessel along the waterline between the forward and aft perpendiculars, as depicted in Fig. 1. The maximum model width is 1.467 m, Lpp is 4.635 m and its draft in calm water conditions is 0.2 m. The experiments were carried out in the INSEAN towing tank no. 2 which is 220 m long, 9 m wide and 3.5 m deep and is equipped with a carriage that can reach a maximum speed of 8 m/s. The use of this kind of facility creates ideal flow conditions because background turbulence and noise are avoided. The measuring section was chosen in the stern part of the ship bottom where the hull surface is almost flat. To perform pressure measurements a 2 cm thick rigid plexiglas plate was inserted in the hull bottom where pressure transducers were positioned. The basic set-up is presented in Fig. 2 and consisted in an array of nine transducers in streamwise direction and five transducers in the spanwise direction flush-mounted with the plate at constant distance of 1 cm between each other. Additional tests were performed with 13 transducers mounted in streamwise direction within a maximum distance of 40 cm. Thus, the first pressure sensor was located at x/Lpp ¼ 0.88 while the last at x/Lpp ¼ 0.97. The minimum distance between transducers was constrained by the transducers’ maximum external size while the maximum distance was chosen according to the fact that for x/d*420 the longitudinal correlation is almost zero as demonstrated by previous measurements (Bull, 1967; Blake, 1986). Pressure signals were acquired in calm water conditions with fixed trim and sink and for two different ship model velocities: 3.31 m/s (25 knots) and 5.3 m/s (40 knots) corresponding to Fr ¼ 0.49 and 0.78, respectively. The measurement error in the carriage velocity was within 1% of the nominal mean velocity. Differential piezoresistive pressure transducers Endevco 8510-B, characterised by a maximum range of 2 psig and by a certified flat response until 14 kHz were used to measure pressure fluctuations. The transducers were statically calibrated in water using known water level heights. All the transducers showed a linear trend; however, the deviation around the regression line of the data points used for the sensitivity estimate was evaluated. The standard error of estimate was very low for all the transducers, of the order of 1%. Moreover, the total error due to thermal sensitivity, nonlinearity and pressure hysteresis, as reported in the data sheet, is around 1%. The rectangular sensing element has an area of 1 " 0.3 mm2, hence the effect of the finite size of the transducers surface can be expressed in term of the nondimensional parameters d0 ¼ d/d* and d+ ¼ dut/n, where d is the bigger sensor dimension. Pressure signals were acquired and amplified by the 16 channels acquisition system PROSIG; the sampling frequency was 12.5 kHz, the acquisition length was 15 s. Several repetitions of the test (typically 12–15) under nominally the same conditions were performed. The data record began a few seconds after the achievement of steady conditions. The

Fig. 1. Catamaran model and sketch of the reference length, Lpp.

Fig. 2. Set-up for pressure measurements (left) and top view of the installation of the plexiglas plate (right).




Table 1 Mean flow velocity parameters: numerical estimation U (knots)

U (m/s)

d (m)

d* (m)

H

ut (m/s)

ReW ¼ UW/n

Ret ¼ dut/n

d0 ¼ d/d*

d+ ¼ dut/n

25 40

3.31 5.31

0.12 0.113

0.0142 0.0137

1.27 1.3

0.11 0.1626

29 535 42 807

10 153 14 133

0.07 0.073

84 125

reaching of a stationary random process was verified by comparing the ensemble average value, autocorrelation and cross-correlation of the WPFs of different runs. Concerning the flow velocity field, the TBL mean parameters (as used in the data analysis and shown in Table 1) were obtained by available RANS simulations performed in the past over the whole model. This solution was, in this case, preferred because the experimental evaluation of the boundary layer velocity profiles in a towing tank, although possible, is a time-consuming process. In fact, it is clear that the acquisition time is limited for each carriage run, especially for the higher velocities, and that the time needed for the re-establishment of calm water conditions between two consecutive runs is at least 10 min. A detailed description of the numerical code is provided in Ciappi and Magionesi (2005) and in the references cited there. The numerical errors can be predictable in an uncertainty of about 4% in the estimation of the TBL parameters from the velocity profiles. 2.2. Vibration measurements Vibration measurements were performed replacing the rigid plate with a flexible one. The panel, made of plexiglas, is 0.58 m long, 0.2 m wide and 0.003 m thick, it was fixed to the hull model with some mastic in order to provide impermeable conditions and to reduce the transmission of model vibrations. A preliminary series of numerical analyses have been performed to exclude the presence of significant plate deformations due to static and dynamic pressure loads. In fact, for all the flow speeds under consideration, the maximum displacement was predicted to be 1% of the longitudinal plate dimension. The acceleration responses were acquired in eight different points (one for each carriage run) randomly chosen on the plate surface. A Bruël & Kjaer piezoelectric accelerometer type 4393 characterised by a sensitivity of 4.19 mV/g and a weight of 2.2 g was used for the acquisition. Its mass was negligible with respect to the plate mass in the frequency range of interest. The accelerometer signal was amplified by a Bruël & Kjaer amplifier type 2635 and acquired with a sampling frequency of 12.5 kHz by a National Instruments PXI 6052E acquisition system. Preliminary dry and wet calm water tests were performed with the same set-up and instrumentation to evaluate the plate’s natural frequencies, hence the added fluid mass and the modal damping factors. Two additional accelerometers were mounted on the ship’s hull and on the connecting system to acquire the spurious vibrations transmitted by the carriage structure.

3. Pressure analysis In the following sections, the results of the experimental programme devoted to the characterisation of wall-pressure spectra are presented. The purpose of this analysis was to verify the pressure scaling laws and to provide a general model for its spatial behaviour. To this aim, ASDs, streamwise and spanwise coherences and convection velocities were extracted from measurements. Although free surface effects were naturally present, pressure gradient values calculated on the basis of numerical simulations can be considered negligible in the measuring section. In Fig. 3, the velocity profiles obtained numerically, used to extract the mean TBL parameter values of Table 1, are shown in wall units y+, u+. From preliminary analysis it was decided to consider only the Corcos and Chase models as antagonists in this analysis. In fact, the Efimtsov model has the same trend as Corcos’ in the low wavenumber domain but, this last is to be preferred because describes the wall pressure by a simpler expression containing less empirical parameters. The Ffowcs Williams model was built to extend Corcos model to the acoustic domain, which is beyond the purpose of this analysis; finally, the Smol’yakov and Tkachenko model does not fit well the present hydrodynamic data. 3.1. Power spectral density: scaling laws The analysis of the scaling laws for the ASD is essential to understand the contribution of the different boundary layer regions to WPFs. Moreover, due to the particular section chosen to perform pressure measurements and the



327

Fig. 3. Streamwise velocity profiles: numerical estimation.

relatively high speed of this vessel, local Reynolds numbers were sensibly high (ReW ¼ 29 535 for 3.31 m/s and ReW ¼ 42 807 for 5.31 m/s), providing an interesting extension of the validity of the scaling laws for high Reynolds number. Following the frequency range division proposed by Farabee and Casarella (1991), three different spectral regions can be identified: at very low frequency, the spectra collapse using the classical outer flow variables d* and U, showing a o2 behaviour, advising that sources are associated with the large-scale structures. In the low-mid-frequency range, the pressure auto spectral densities collapse into a single curve when scaled with the friction velocity ut, the wall shear stress tw and d, implying that the mid-frequency structures are related with turbulence activity in the outer region of the boundary layer. In this interval, pressure spectra exhibit their maxima for od/ut ¼ 50. Finally, at high-frequency inner variable scale, which employs ut, tw and n, allows the collapse of the data independently of the Reynolds number, suggesting that sources are associated with the buffer region of the wall layer. Moreover, between mid- and highfrequency an overlap region, characterised by an o"1 decay, exists where both outer and inner variable scales hold. This region is related to the turbulence activity in the logarithmic part of the boundary layer and its extension depends on the Reynolds number value. Recently, Ciappi and Magionesi (2005), considering the frequency division stated by Farabee and Casarella provided another confirmation of the proposed scaling laws. ASDs were determined using 700 spectral averages for each signal and a Hamming window function is used to reduce bandwidth leakage. According to classical pffiffiffiffiffi theory of random data (Bendat and Piersol, 1991), the statistical convergence error was defined as !r ¼ 1= nd , where nd is the number of spectral averages. In the present analysis, the data random error was equal to 73.8%; thus, the uncertainty in the calculated pressure spectra, obtained by considering the above and all the previously defined experimental sources of error (see Section 2), was within the range of 71 dB. In Fig. 4, a typical ASD signal is displayed showing high peaks in the frequency region between 8 and 20 Hz due to structural vibrations of the carriage and of the connecting system. The peaks were eliminated, for the ASD analysis, using suitable relations based on the coherence function (Bendat and Piersol, 1991) between two pressure sensors located sufficiently far from each other to be correlated only by structural vibrations. The result of this cleaning procedure is shown in the same figure. Fig. 5 shows the cleaned ASD for the two different test velocities, scaled using outer flow variables: od=ut ; Fpp ðoÞu2t =t2w d; they are shown and compared with the results of Farabee and Casarella (1991) obtained for ReW ¼ 6050 and with the results of Blake (1970) [extracted from Lee et al. (2005a)] obtained for ReW ¼ 8210. From the inspection of the figure, it is evident that there is an excellent agreement of the present experimental curves in the low-mid-frequency range, i.e. for 20ood/uto1760. Moreover, for od/uto800, they are in a very good agreement with the Farabee and Casarella curve and in fair agreement with the Blake data. Finally, the scaled spectra achieved the maximum value for od/utE63. Low-frequency behaviour (od/uto5) is not analysed, since frequency resolution is too poor to obtain a realistic trend in this region. Fig. 6 shows the present wall-pressure spectra and the results of Bull and Thomas (1976), Farabee and Casarella (1991) and Blake (1970) scaled on inner flow




Fig. 4. Measured and cleaned pressure auto-spectral density.

Fig. 5. Wall-pressure spectra scaled on outer flow variables.

variables: on=u2t ; Fpp ðoÞu2t =t2w n. According to Blake (1986), attenuation in the spectra should occur approximately for od/U41.2 that implies on=u2t 40:3 or 0:42, depending on flow velocity. A collapse of the two sets of measurements occurs at high frequency, i.e. for 0:033oon=u2t o0:3. The Bull and Thomas and Blake data are in excellent agreement in the same frequency range, although the Blake curve is higher for higher nondimensional frequencies. On the contrary, the Farabee and Casarella curve shows quite a different trend, characterised by slower high-frequency decay. Differences can be due to spectra attenuation caused by the finite sensor dimensions and, when considering similar d+ values, to the use of different pressure transducers. In particular, the Farabee and Casarella and Blake data were obtained using open pinhole microphones with d+ ¼ 33 and 68, respectively, while the Bull and Thomas data were obtained using both filled pinhole microphones and piezoelectric transducers for d+ ¼ 44. For the present data,



329

Fig. 6. Wall-pressure spectra scaled on inner flow variables.

obtained with piezoresistive pressure transducers, d+ was equal to 84 for the lower velocity and to 125 for the higher. Bull and Thomas (1976) showed that the use of an open pinhole microphone leads to a higher amplitude of pressure spectra for on=u2t 40:1. This fact can explain the mismatch between different sets of measurements. Finally, due to the high Reynolds numbers, the overlap region had a considerable extension. From the analysis of the range of validity of the outer and inner scales or from the direct inspection of the range of validity of the o!1 law, included in both Figs. 5 and 6, it can be concluded that the overlap region extends in the range 0:033 Ret ¼ 335oðod=ut Þo1760 or 0:033oðon=u2t Þoð1760=Ret Þ ¼ 0:174 where the lowest value of Ret was used. 3.2. Cross-spectral density The spatial characterisation of WPFs is now analysed extracting from the experimental data the streamwise Fpp0 ðx; 0; oÞ and the spanwise Fpp0 ð0; Z; oÞ CSDs. Since the CSD is a complex quantity, as usual, the coherence function .qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð2Þ Fð1Þ Gðx; Z; oÞ ¼ jFpp0 ðx; Z; oÞj pp ðoÞ % Fpp ðoÞ, where in the square root appear the ASDs of the two pressure signals, is used to display the results and to discuss their comparison with the Corcos and Chase theoretical models. Coherence spectra were obtained for quite a large number of streamwise spacings (0:09px=dp1:44), while only few spanwise separations were considered ð0:09pZ=dp0:36Þ, as the coherence decay of the pressure field is very fast in this direction.

3.2.1. The Corcos model The model formulated by Corcos expresses the CSD as a product of functions in longitudinal and lateral direction separately. Moreover, he postulated that the CSD behaviour depends only on the similarity variables ox/Uc and oZ/Uc with a decay represented by an exponential function. The model for the CSD is given by Fpp0 ðo; x; ZÞ ¼ Fpp ðoÞ eiðox=U c Þ e!g1 jox=U c j e!g3 joZ=U c j ,

(1)

where g1 and g3 are the decay factors. The streamwise coherences relative to the free-stream velocity of 5.3 m/s are plotted against the CSD phase y(x, o) ¼ !ox/Uc in Fig. 7; different curves refer to different values of the nondimensional length x/d. It is evident that at high frequency a collapse of the coherence spectra into an universal curve occurs independently of the spatial separation. The theoretical streamwise coherence Gðx; oÞ ¼ eð!g1 jox=U c jÞ derived from Eq. (1) is plotted in the same figure with a decay coefficient g1 equal to 0.125. Slightly different values are reported in the literature: Bull (1967) found g1 ¼ 0.1, Farabee and Casarella (1991) found a decrease in the g1 value with increasing velocity passing from 0.145 for the lower one to 0.125 for the higher one. On the other hand, in the low-frequency region, a lack of similarity scaling




Fig. 7. Streamwise coherence at U ¼ 5.3 m/s.

Fig. 8. Spanwise coherence at U ¼ 3.3 m/s.

occurs because as far as ox/Uc-0 the coherences do not tend to unity as Corcos model predicts. Unit coherence would imply that the low-frequency components should be correlated for all spatial separations: this is physically unrealistic. From the observation of the figure it can also be noted that all curves exhibit a maximum that is indicated by Farabee and Casarella (1991) as the limit value below which the similarity variables do not hold anymore. The same considerations can be drawn for 3.3 m/s; in particular, the best fit of the experimental data is found for the same value of g1. Less experimental data concerning spanwise coherence are available in the literature: the value usually suggested for the decay coefficient g3 is 0.7 (Corcos, 1963; Blake, 1986; Bull, 1967). Fig. 8 shows curves of spanwise coherence relative



331

to the lower velocity for various nondimensional separations Z/d as a function of the similarity variable oZ/Uc. The thick solid line represents the Corcos model with g3 equal to 0.7. The exponential function seems to correctly estimate the measured coherences, above their maxima, for value of the nondimensional frequency oZ/Uc40.8. Also in this case, velocity variations seem not to have an influence on the decay coefficient value. 3.2.2. The Chase model A descriptive model of the wavenumber-frequency spectrum of turbulent wall-pressure was proposed by Chase (1980) with the intention of overcoming the limitations of models built to capture the characteristics of the convective domain only. Starting from the properties of the fluctuating velocity spectrum and considering its relation with the fluctuating pressure, Chase proposed a model able to correctly describe the pressure field in the convective and subconvective domains. The inverse Fourier transform of the Chase (1980) expression is here proposed in its complete form as determined by Josserand and Lauchle (1989) because, as it will be clear in the following, the assumptions at the basis of some simplifications made by Chase are not necessarily fulfilled. Thus, the complete Chase model in the spacefrequency domain is given by Fpp0 ðo; x; ZÞ ¼ Fpp ðoÞðC m f m e$zm e$iðox=U m Þ þ C t f t e$zt eiðox=U t Þ Þ, " # 2 Um $3 2 2 1 $ zm1 f m ¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi am 1 þ zm þ am mm þ 2iam mm zm1 , zm U 2c þ h2m u2t " " # # Ut z2t3 þ m2t z2t1 $3 2 2 f t ¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi at 1 þ zt þ at 1 þ mt $ þ 2iat mt zt1 , zt U 2c þ h2t u2t qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi am mm ox at mt ox am oZ at oZ ; zt1 ¼ ; zm3 ¼ ; zt3 ¼ ; zm ¼ z2m1 þ z2m3 , zm1 ¼ U Ut Um Ut qffiffiffiffiffiffiffiffimffiffiffiffiffiffiffiffi zt ¼ z2t1 þ z2t3 , rm rt ; Ct ¼ ; rm ¼ 1 $ rt , rt f t0 þ rm f m0 rt f t0 þ rm f m0 Um Ut 2 2 2 2 ¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a$3 f t0 ¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a$3 m ð1 þ am mm Þ; t ð1 þ at ð1 þ mt ÞÞ, 2 2 2 2 2 2 U c þ hm ut U c þ ht ut

Cm ¼ f m0

Um Ut 2 2 2 4 $1 2 2 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a$3 Fpp ðoÞ ¼ rm aþ r2 u4t o$1 a$3 m qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð1 þ mm am Þ þ rt aþ r ut o t ð1 þ at ð1 þ mt ÞÞ, 2 2 2 2 2 2 U c þ hm ut U c þ ht ut #2 $ % " U cm Uc 1 Ui ; a2i ¼ þ ; i ¼ m; t. hi ¼ qffiffiffiffiffiffiiffiffiffiffiffiffiffi ; U i ¼ 2 2 bm do 1 $ mi 1 $ mi ut 1 $ m2i

(2)

It can be noted that six free parameters have to be determined by comparison with experimental data. The values suggested by Chase, based on the comparison between the experimental data of Bull (1967) and limiting values of Eq. (2), are the following: bm ¼ 0.756, bt ¼ 0.378, mm ¼ 0.176, rt ¼ 0.389, and a+ ¼ 0.766. As pointed out by Chase, these values are not supposed to be universal, as already shown for example by the measurements of Finnveden et al. (2005). In fact, the attempt to fit the experimental data with the Chase model using these values for the free parameters gave unsatisfactory results. Thus, the first five parameters were evaluated using a nonlinear least-square formulation based on a trust-region approach. The best fit of the experimental streamwise and spanwise coherences for both velocity conditions is found for: bm ¼ 0.51, bt ¼ 0.35, mm ¼ 0.13, mt ¼ 0.4, and rt ¼ 0.3. Fig. 9 presents the comparison among the experimental streamwise coherence for U ¼ 5.3 m/s, the Chase model, using the identified parameters, and the Corcos model for different values of the ratio x/d. In Fig. 10, the same comparison is shown for the spanwise coherence relative to U ¼ 3.3 m/s. At this time, some considerations must be made: the coefficient bm gives the position of the ASD maximum that, according to the measurements occurs for od/utE60; on the other hand, using Chase relations, pffipresent ffi the maximum is given by o ¼ 2U c =bm d, thus bm ¼ 0.51 is required if Uc ¼ 0.65U is assumed. In fact, the value 0.756 suggested by Chase represented an average between the value 0.53 needed to fit the maximum in the Bull spectrum, thus very close to that already found, and the value 0.9 needed to fit the measured spatial correlation. Preliminary comparisons between the experimental CSD and the simplified Chase model gave a value for the coefficient mt sensibly higher than that suggested by Chase. Thus, it was evident that the hypothesis mm, mt51 at the basis of the simplifications




Fig. 9. Streamwise coherence: comparison with theoretical models.

Fig. 10. Spanwise coherence: comparison with theoretical models.

made by Chase was, in this case, not valid. For this reason, the complete form as in Eq. (2) is used to perform the analysis. It can be concluded that, except for mt and somewhat for mm, the values of the identified parameters are not so far to those found by Chase analysing pressure experimental data acquired in completely different flow conditions. Finally, a+ is obtained by a direct comparison with the measured ASD (see Fig. 11) when the other coefficients are fixed. This parameter determines the amplitude of the ASD spectrum and in particular of its maximum, the best agreement with experimental data is found for a+ ¼ 0.8. On the other hand, if the interest is not in the maximum but in



333

Fig. 11. Auto-spectral density: comparison with Chase model.

Fig. 12. Convection velocity at U ¼ 3.31 m/s.

the higher frequency scale-independent region, the value of a+ should be 1.5. However, to perform the structural analysis described in Section 4.3, the measured ASD was used.

3.3. Convection velocity Some other insights into spectral characteristics of the WPFs can be provided by examining the convection velocity Uc. The convection velocity can be obtained from the phase yðx; oÞ ¼ $ox=U c ðx; oÞ of the CSD. In Figs. 12 and 13, the





Fig. 14. Broadband convection velocity.

convection velocities divided by the free-stream velocity U, obtained for fixed spatial separations x/d, are plotted as a function of the dimensionless frequency od/ut. Different figures refer, as usual, to the two different free-stream velocities. Farabee and Casarella (1991) have observed a peak value of convection velocity for od/ut ¼ 50, independently of the x/d values. This peak corresponds exactly to the maximum observed in the spectra and to the value that separates the low and the high-frequency behaviour in the coherence function. This fact demonstrated that not only the lowest wavenumber components experienced a decay, but that they are also convected at lower overall velocity. In the present case, CSD analysis was performed without using noise cancellation technique to avoid phase alteration.



335

On the other hand, convection velocity obtained by a division for the CSD phase is very sensitive to small disturbances leading to unreasonable value of the convection velocity. For this reason, frequencies below 25 Hz were cancelled out from the graph. By inspection of Figs. 12 and 13, an increase of the convection velocity with the growing of the spatial separation is observed; this trend of Uc is related to an increasing dominance of large-scale events to the two-point correlation as the separation increases. For small separations, the correlation data and hence the convection velocity are dominated by the small-scale eddies close to the wall, which move with a lower velocity than the large-scale events. However, as far as spatial separation increases, the curves tend to collapse in a unique curve indicating that, even if the Taylor frozen flow hypothesis does not strictly hold for the smallest spatial separations, the convection velocity can be represented as a function of the single variable od/ut. Moreover, with increasing frequency, the convection velocities assume a flat trend. The dependence of the convection velocity on the spatial separation can be better highlighted from the analysis of the space-time correlation functions of the pressure signals. The convection velocity is obtained as the ratio x/t at which the cross-correlation Rpp(x,t) has a maximum. In Fig. 14, the convection velocities normalised with respect to the free-stream velocity for 3.31 and 5.31 m/s are depicted as a function of the nondimensional parameter x/d*. The experimental data are also compared with those obtained experimentally by Bull (1967) and numerically by Na and Moin (1996). The values of Uc range from 0.6 for the smaller separations associated with the small-scale structures, to 0.73 at higher separations, related to the larger ones. From the above considerations, as proposed by several authors, the convection velocity can be modelled with a constant average value between small- and large-scale convection velocities, in this case, equal to 0.65 U.

4. Structural response analysis 4.1. Identification of modal parameters Hammer impact tests were performed to determine dry and wet natural frequencies, and then the added fluid mass, ˜ mn modes and modal damping factors of the plate. The first 16 dry natural frequencies omn, wet natural frequencies o and their correspondence with the mode shapes were evaluated in two specific frequency ranges: the dry set in 125–769 Hz and the wet one in the 26–283 Hz. Thus, the experimental function of the added mass, mef ðoÞ, was estimated by the relation (Blevins, 1987): "! # " omn 2 e mf ðoÞ ¼ rs h $1 . (3) ˜ mn o Since the pressure load spectra exhibited a significant energy content up to 1 kHz, the modal parameters were evaluated in a larger frequency range, 0–3 kHz, by using a FE model of the plate. The experimental boundary conditions were reproduced by imposing zero displacement and adding rotational springs along the plate edges; their stiffness was tuned in order to replicate the experimentally measured natural frequencies. An approximated numerical/theoretical expression for the added mass, valid for structural waves having wavenumbers greater than the acoustic wavenumber k ¼ o/c, is provided by the relation (Fahy, 1985) r mnf ðoÞ ¼ , (4) k qffiffiffiffiffisffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

where ks ¼ k2m þ k2n is the primary effective wavenumber component of the vibration. Hence, the numerical wet natural frequencies were computed by the following expression: ! "$1=2 r ˜ mn ffi omn 1 þ o , (5) rs hks

where omn are the numerical dry natural frequencies computed by the aforementioned FE model. The primary wavenumber used in Eq. (5) corresponds to simply supported boundary conditions, i.e. km ¼ mp/a and kn ¼ np/b this last being the only one analytically known. It is clear that this assumption is valid as far as the frequency increases. In Fig. 15, the experimental and the theoretical added mass curves, mef ðoÞ and mnf ðoÞ, respectively, for the first 16 modes, are displayed showing a difference of about 23% for the first mode that decreases, as expected, with increasing mode order. Moreover, although natural modes of plates surrounded by unbounded fluids are not mathematically orthogonal, their shapes remain almost unchanged (Fahy, 1985). This result was partially verified by the experimental




Fig. 15. Added mass coefficient.

analysis. In fact, a modal identification was performed using a number of points, sufficient to identify the mode order and the position of nodes and maxima along some selected lines, but not to represent the whole mode shapes. In conclusion, to calculate the structural response with the numerical procedure described in the following section: (i) the dry modes provided by the FE analysis are used, (ii) the first 16 wet natural frequencies were obtained experimentally, and (iii) the remaining ones were estimated by using the dry natural frequencies provided by the FE analysis and Eq. (5). The structural modal damping coefficient, Z, was evaluated from wet hammer impact tests: it decreases from 0.034 for the first modes to a quite constant value around 0.018 for the higher modes. 4.2. Remarks on the prediction of structural response A procedure based on the finite element approach was presented and discussed in the recent literature to solve the response of a plate under a TBL excitation (De Rosa and Franco, 2007). Specifically, the Corcos model was used for comparing the numerical response with the exact one, and in order to define a general methodology, able to work for any TBL model at acceptable computational costs. For the sake of clarity, some details are herein briefly recalled. The cited finite element procedure is assembled by using the following equation suitable for all the methods working with discrete coordinates (Elishakoff, 1983); the CSD matrix of displacements of a structural operator represented by using NG degrees of freedom and NM mode shapes is given by SW ðoÞ ¼ UHðoÞSU ðoÞHðoÞ$ UT ,

(6)

SU ðoÞ ¼ UT SFF ðoÞU,

(7)

with

where U is the structural modal matrix (each column is an eigenvector sampled at the NG selected points), [NG % NM] and the generic term of H(o) is H j ðoÞ ¼ ½o2j ' o þ iZo2j )'1 , [NM % NM]. The translation of the distributed random loads to the set of NG points, in other words the way of representing the SFF, can be solved in the framework of the finite element method by using consistent approach, that is by using the shape function vector, N, belonging to each element: Z Z Z Z ðEÞ ðkÞ ðqÞ ðqÞ ðkÞ ðqÞ ðkÞ ðqÞ SCFF ¼ NT Fpp0 ðxðkÞ (8) 1 ; x2 ; x1 ; x2 ; oÞNdx1 dx1 dx2 dx2 , k;q xðkÞ 1

xðkÞ 2

xðqÞ 1

xðqÞ 2



337

where the double integers k and q indicate here two generic finite elements and the integration is related to the area of each of them. The vector N can be interpreted as the interpolating function basis selected by the analyst according to the specific problem and boundary conditions (Cook, 1981). Thus, Eq. (8) serves to evaluate a generic kqth member of the NE ! NE load matrix, where NE is the number of elements. A simplified approach could refer to each grid point rather than each finite element. This means that the load acting on the ith grid point will be the resultant of the distributed load working on the equivalent nodal area, say Areai, belonging to it. This area vector can be evaluated easily by using a static deterministic unit pressure load (De Rosa et al., 1994; Hambric et al., 2004). Accordingly, one gets the generic ijth member of the NG ! NG matrix: Z xi þðDx=2Þ Z xj þðDx=2Þ Z yi þðDy=2Þ Z yj þðDy=2Þ ðGÞ SCFF i;j ¼ Fpp0 ðxi ; xj ; yi ; yj ; oÞdyj dyi dxj dxi . (9) xi &ðDx=2Þ

xj &ðDx=2Þ

yi &ðDy=2Þ

yj &ðDy=2Þ

An area DxDy is assigned to both points P(xi, yi) and Q(xj, yj) and the double space integration refers to these finite domains. A further approximation could also be introduced, considering that the wall-pressure distribution due to the TBL in the low-frequency range does not fluctuate very quickly. In this case, the last integral could be approximated as follows: ðGÞ 2 SLFF i;j ¼ Fpp0 ðxi ; xj ; yi ; yj ; oÞ½DxDy( .

(10)

Obviously, the approximations represented by Eqs. (8)–(10) are associated with decreasing computational cost. The problem of the plate response under a convective random load, expressed in discrete form as described by Eqs. (6) and (7), can be accurately approached only when adequately resolving both the spatial distributions of the response function and of the forcing function; in particular, since in this case Uc5cB, the discretisation length, is ruled by the hydrodynamic load. In this work, Eq. (9) was used to calculate the SFF matrix because Eq. (10) was not adequate for the present simulations. In fact, in the frequency range of interest, Eq. (9) allows the avoidance of the numerical divergence of the structural response due to the incorrect representation of the pressure load, as approximated by Eq. (10). Some further details of the numerical simulations are given in the next paragraph. The finite element approach was used to generate the modal base, while the responses were calculated by a specific Fortran code. 4.3. Experimental analysis and comparisons The ASDs of the acceleration signals, experimentally measured in eight different points over the plate, were computed and the results averaged and compared with the results obtained by the numerical procedure exposed in the previous section. The numerical results were obtained applying Eqs. (6), (7) and (9) for both the Corcos and Chase models. The FE analysis was performed using 61 ! 21 grid points corresponding to a spatial discretisation of 1 cm in both directions. The integral in Eq. (9) was calculated using the trapezoidal rule. The hydrodynamic parameters inserted in Eq. (9) were those identified in Sections 3.1–3.3; in particular, the experimental ASD was used and the convection velocity was assumed constant over the whole frequency range and equal to 0.65U for both ship speeds. After having performed the convergence analysis, each integration domain was finally subdivided, for both velocity conditions, in eight intervals when the Corcos model was used and in 24 intervals when the Chase model was used instead. The Corcos numerical solution of integral in Eq. (9) was compared and validated by an analogous analytical solution (De Rosa and Franco, 2007). In both cases, the number of retained natural modes was 100. The response of the plate was computed for a frequency range between 1 and 1000 Hz (the step was 4.5 Hz) for the higher velocity and only between 1 and 600 Hz for the lower one, because above this frequency a refined mesh ffiffiffiffiffiffiffiffipbe pffiffiffiffiffimust ffiffiffi used to obtain convergence. In these frequency ranges, the ratio between the bending wavenumber kB ¼ 4 rs h=D o and the convective wavenumber kc (see Fig. 16) varied between 0.045 and 0.21 for the lowest velocity and between 0.057 and 0.35 for the highest velocity. Figs. 17 and 18 present the experimental and numerical averaged ASDs of the plate’s acceleration for 3.3 and 5.3 m/s, respectively. Unsurprisingly, an overestimation of the plate response is evident in the whole frequency range if the Corcos model is used; on the other hand, the numerical response obtained using the Chase model is undoubtedly in better agreement with experimental data. However, below 25–30 Hz both pressure spectra (although cleaned) and structural response are contaminated by the carriage vibrations transmitted to the model; thus, any comparison is meaningless. Above these frequencies, the agreement is really satisfactory until 420 Hz for the lower velocity case and until 650 Hz for the higher one. In the high-frequency part, the Chase model tends to slightly underestimate the experimental curve; this fact, more




Fig. 16. Bending and convective wavenumber ratio.

Fig. 17. Acceleration response spectra at U ¼ 3.3 m/s.

visible for 3.3 m/s, can be partly due to the poor spatial resolution of pressure transducers that attenuate the highfrequency part of the ASD spectrum. Finally, an evident mismatch between the experimental and the numerical curve, generated by the presence of high peaks in the experimental data, can be observed in Fig. 18 around 800 Hz probably due to local flow disturbances. To better quantify the difference between model and experimental results, the previous curves are plotted in Figs. 19 and 20 in third-octave bands. It can be seen that the root mean square of the difference between the response obtained applying the Chase model and the experimental data is 5.2 dB for the lower velocity and 4.1 for the higher one. The response obtained by using the Corcos model to represent the surface pressure field, overpredicts in both cases the experimental



339


Fig. 19. Acceleration response spectra at U ¼ 3.3 m/s, third-octave bands.

data resulting in an average difference of 18 dB. The small gap between the numerical predictions obtained by applying the Chase model and the experimental plate response that is less or, at least, of the same order of that found by Finnveden et al. (2005) demonstrated the validity of the developed procedure and the capability of the Chase model to represent the surface pressure field on a ship hull. However, a more careful determination of the added water mass in the whole frequency range can improve the numerical estimation, as well as a deep uncertainty analysis can better indicate the confidence interval of the present results.





5. Concluding remarks In this paper, a complete analysis of the coupled structural-fluid problem concerning the response of an elastic plate inserted in the bottom of a catamaran hull excited by the TBL WPFs, has been carried out. The hydrodynamic analysis, performed on a rigid plate at high Reynolds number and in equilibrium flow conditions allowed the determination of the appropriate scaling laws for the ASDs in the different frequency ranges. Moreover, the analysis of the cross-spectral densities in longitudinal and lateral flow directions was used to fit the theoretical models, available for the pressure representation, to the experimental data. Two theoretical models are analysed: the Corcos and Chase models. It was demonstrated that it is possible to find for both a complete set of free parameters that provide a fair agreement with experimental CSD data. Since spatial resolution was too poor to analyse the CSD behaviour at high frequency and since with this type of experimental analysis it was not possible to isolate the longest wavelengths, the studied pressure behaviour mainly concerned the characteristics of the convective domain. Thus, an indirect comparison based on the vibrational response of a plate was performed; in particular, the numerical structural responses obtained using the two models were compared with experimental measurements. The conclusion of this analysis is that, although the Chase model is complex and dependent on several empirical parameters, it provides a very good agreement with experimental data at low wavenumbers. The performed analysis can give interesting information also for the full-scale problem; in fact, considering realistic values of the hydrodynamic and of the structural parameters, coincidence conditions usually appear at very low frequency both for underwater and surface marine vehicles. The main disadvantage in using Chase model lies in its non-predictive character. In fact, it was shown that the original Chase parameters do not fit the experimental data; thus a new set of parameters have been determined and the complete version of the model has been used. It is clear that the aim of any numerical procedure is to produce robust predictive tools to be used at the design stage. Ongoing comparisons between pressure measurements performed on different ship models and for various flow conditions in terms of Reynolds number values are aimed to analyse the range of variability of the parameters and their dependence on the particular flow conditions.

Acknowledgement The research was supported by the Ministero dei Trasporti in the frame of ‘‘Programma Ricerche Luglio2006Dicembre 2007’’.



341

References Abraham, B.M., 1998. Direct measurements of the turbulent boundary layer wall pressure wavenumber-frequency spectra. ASME Journal of Fluids Engineering 120, 29–39. Bendat, J.S., Piersol, A.G., 1991. Random Data: Analysis and Measurements Procedure. Wiley, New York. Blake, W.K., 1970. Turbulent boundary-layer wall-pressure fluctuations on smooth and rough walls. Journal of Fluid Mechanics 44, 637–660. Blake, W.K., 1986. Mechanics of Flow Induced Sound and Vibration. Academic Press, Orlando. Blevins, R.D., 1987. Formulas for Natural Frequency and Mode Shape. Robert E. Krieger Publishing Company, Melbourne, FL. Bull, K.M., 1967. Wall pressure fluctuations associated with subsonic turbulent boundary layer flow. Journal of Fluid Mechanics 28, 719–754. Bull, M.K., 1996. Wall pressure fluctuations beneath turbulent boundary layers: some reflections on forty years of research. Journal of Sound and Vibration 190, 299–315. Bull, M.K., Thomas, S.W., 1976. High frequency wall pressure fluctuations in turbulent boundary layers. Physics of Fluids 19, 597–599. Chang, P.A., Piomelli, U., Blake, W.K., 1999. Relationship between wall pressure and velocity-field sources. Physics of Fluids A 11, 3434–3448. Chase, D.M., 1980. Modelling the wavevector-frequency spectrum of turbulent boundary layer wall pressure. Journal of Sound and Vibration 70 (1), 29–67. Choi, H., Moin, P., 1990. On the space-time characteristics of wall pressure fluctuations. Physics of Fluids A 2, 1450–1460. Ciappi, E., Magionesi, F., 2005. Characteristics of the turbulent boundary layer pressure spectra for high speed vessels. Journal of Fluids and Structures 21, 321–333. Cook, R.D., 1981. Concept and Application of Finite Element Analysis. Wiley, New York. Corcos, G.M., 1963. Resolution of pressure in turbulence. Journal of the Acoustical Society of America 35, 192–199. De Rosa, S., Franco, F., 2007. Exact and numerical responses of a plate under a turbulent boundary layer excitation. Journal of Fluids and Structures 24, 212–230. De Rosa, S., Pezzullo, G., Lecce, L., Marulo, F., 1994. Structural acoustic calculations in the low frequency range. AIAA Journal of Aircraft 31 (6), 1387–1394. Efimtsov, B.M., 1982. Characteristics of the field of turbulent wall pressure fluctuations at large Reynolds numbers. Soviet PhysicsAcoustics 28 (4), 289–292. Elishakoff, I., 1983. Probabilistic Methods in the Theory of Structures. Wiley, New York. Fahy, F., 1985. Sound and Structural Vibration. Academic Press, Orlando. Farabee, T.M., Casarella, M.J., 1991. Spectral features of wall pressure fluctuations beneath turbulent boundary layers. Physics of Fluids A 3, 2410–2420. Farabee, T.M., Geib, F.E., 1991. Measurements of boundary layer pressure fluctuations at low wavenumbers on smooth and rough walls. In: ASME Symposium on Flow Noise Modelling, Measurements and Control, NCA-vol. 11, FED-vol. 130, pp. 55–68. Ffowcs Williams, J.E., 1982. Boundary layer pressures and the Corcos model: a development to incorporate low wavenumber constraints. Journal of Fluid Mechanics 125, 9–25. Finnveden, S., Birgersson, F., Ross, U., Kremer, T., 2005. A model of wall pressure correlation for prediction of turbulence-induced vibration. Journal of Fluids and Structures 20, 1127–1143. Goody, M., 1999. An experimental investigation of pressure fluctuations in three-dimensional turbulent boundary layers. Ph.D. Thesis, Department of Aerospace and Ocean Engineering, Virginia Tech, USA. Graham, W.R., 1997. A comparison of models for the wavenumber-frequency spectrum of turbulent boundary layer pressures. Journal of Sound and Vibration 206 (4), 541–565. Hambric, S.A., Hwang, Y.F., Bonness, W.K., 2004. Vibrations of plates with clamped and free edges excited by low-speed turbulent boundary layer flow. Journal of Fluids and Structures 19, 93–110. Han, F., Bernhard, R.J., Mongeau, L.G., 1999. Prediction of flow-induced structural vibration and sound radiation using energy flow analysis. Journal of Sound and Vibration 227 (4), 685–709. Hwang, Y.F., Maidanik, G., 1990. A wavenumber analysis of the coupling of a structural mode and flow turbulence. Journal of Sound and Vibration 142, 135–152. Keith, W.L., Hurdis, D.A., Abraham, B.M., 1992. A comparison of turbulent boundary layer wall-pressure spectra. ASME Journal of Fluids Engineering 114, 338–347. Josserand, M.A., Lauchle, G.C., 1989. ERRATA: D.M. Chase JSV 1980. Journal of Sound and Vibration 128, 519–523. Lee, Y.T., Blake, W.K., Farabee, T.M., 2005a. Modeling of wall pressure fluctuations based on time mean flow field. ASME Journal of Fluids Engineering 127, 233–240. Lee, Y.T., Miller, R., Gorski, J., Farabee, T., 2005b. Predictions of hull pressure fluctuations for a ship model. In: Proceedings of International Conference on Marine Research and Transportation (ICMRT05), Ischia, Italy. Manoha, E., 1996. The wavenumber-frequency spectrum of the wall pressure fluctuations beneath a turbulent boundary layer. In: Proceedings of the AIAA Aeroacoustics Conference, AIAA paper 96-1758. Na, Y., Moin, P., 1996. Direct numerical simulation of turbulent boundary layers with adverse pressure gradients and separation. Report No. TF-68. Thermosciences Division, Department of Mechanical Engineering, Stanford University.




Panton, R.L., Robert, G., 1994. The wavenumber-phase velocity representation for the turbulent wall-pressure spectrum. ASME Journal of Fluids Engineering 116, 477–483. Smol’yakov, A.V., Tkachenko, V.M., 1991. Model of pseudosonic turbulent wall pressures and experimental data. Soviet PhysicsAcoustics 37 (6), 627–631. Willmarth, W.W., Wooldridge, C.E., 1962. Measurements of the fluctuating pressure at the wall beneath a thick turbulent boundary layer. Journal of Fluid Mechanics 14, 187–210.

1)  2)  3)  4)  5)  6)  7)  8)  9)  10)  11)  12)  13)  14)  15)  16)  17)  18) 


Journal of Fluids and Structures 32 (2012) 90–103

Contents lists available at SciVerse ScienceDirect

Journal of Fluids and Structures journal homepage: www.elsevier.com/locate/jfs

Analysis of the scaling laws for the turbulence driven panel responses E. Ciappi a,n, F. Magionesi a, S. De Rosa b, F. Franco b a b

CNR-INSEAN, Via di Vallerano 139, 00128 Roma, Italy Department of Aerospace Engineering, University of Naples ’’Federico II’’, Napoli, Italy

a r t i c l e in f o

abstract

Article history: Received 3 November 2010 Received in revised form 27 October 2011 Accepted 2 November 2011 Available online 5 December 2011

The high computational costs, associated to the numerical solution of the fluctuating pressure field generated at the wall by the turbulent boundary layer and of the induced structural response, push for the exploration of alternative methodologies of analysis. Wall pressure fluctuations spectra are often modeled using semi-empirical expressions based on the experimental evidence and on the identification of universal scaling laws. In this work the possibility to adopt a dimensionless representation, able to provide a universal expression for the structural response of plates under turbulent boundary layer excitations, is investigated with the help of pressure fluctuations and acceleration experimental data sets. The test article is a plane thin plate wetted by a fluid over one face, the boundary layer is fully developed and pressure gradient effects are negligible. The attention is devoted to the investigation and the definition of a normalization of the required axes: the excitation frequency and the power spectral density of the structural response. The analysis is initially based on analytical models for the structural response under turbulent boundary layer excitations. The proposed scaling laws are successively and successfully applied to four data sets measured in different conditions both in wind tunnels and in a towing tank. & 2011 Elsevier Ltd. All rights reserved.

Keywords: Wall pressure fluctuations Plate response Dimensional analysis Scaling laws

1. Introduction Turbulent boundary layer (TBL), inducing vibrations of elastic structures, is one of the major noise sources in naval, aerospace, and automotive engineering. It is well known that the numerical solution of this fluid structure interaction problem can be so computationally demanding as to be impractical for real application. In fact, direct numerical simulations (DNS) of the Navier–Stokes equations are generally limited to problems in which the local Reynolds number, based on the momentum thickness, is in the order of 300 (Choi and Moin, 1990). A significant reduction of the computational time can be certainly obtained using RANS (Reynolds Average Navier Stokes) simulations (Lee et al., 2005; Peltier and Hambric, 2007). In particular Peltier and Hambric proposed an original stochastic model for the representation of the space-time wall pressure spectrum that used statistical data obtained from RANS calculations. The values of ReW are in this case between 1400 and 8000. To overcome the limitations of actual CFD capabilities, the attention of the research community is mainly directed to the analytical characterization of the pressure field by the definition of scaling laws for the power spectral density (PSD) (Bull, 1996; Ciappi et al., 2009; Goody, 2004; Keith et al., 1992) and of predictive models (Corcos, 1964; Chase, 1980;

n

Corresponding author. Tel.: þ 39 065 0299 268; fax: þ39 065 070 619. E-mail address: [email protected] (E. Ciappi).

0889-9746/$ - see front matter & 2011 Elsevier Ltd. All rights reserved. doi:10.1016/j.jfluidstructs.2011.11.003


ARTICLE IN PRESS

Journal of Fluids and Structures 25 (2009) 321–342 www.elsevier.com/locate/jfs

Hydrodynamic and hydroelastic analyses of a plate excited by the turbulent boundary layer E. Ciappia, F. Magionesia, S. De Rosab,!, F. Francob a INSEAN-Istituto Nazionale per Studi ed Esperienze di Architettura Navale, Via di Vallerano 139, 00128 Roma, Italy ælab-Acoustics and Vibration Laboratory, Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale, Universita` degli Studi di Napoli ‘‘Federico II’’, Via Claudio 21, 80125 Napoli, Italy

b

Received 4 October 2007; accepted 11 April 2008 Available online 11 October 2008

Abstract Recent studies have demonstrated that the characterisation of wall-pressure fluctuations for surface ships is of great interest not only for military applications but also for civil marine vehicles. A ship model towed in a towing tank is used to perform pressure and structural measurements at high Reynolds numbers. This facility provides ideal flow conditions because background turbulence and noise are almost absent. Free surface effects are naturally included in the analysis, although in the particular section chosen for the present study do not have significant consequences on pressure spectra. Scaling laws for the power spectral density are identified providing the possibility to estimate pressure spectra for different flow conditions and in particular for full-scale applications. The range of validity of some theoretical models for the cross-spectral density representation is analysed by direct comparison with experimental data of wall-pressure fluctuations measured in streamwise and spanwise direction. In a second phase, an indirect validation is performed by comparing the measured vibrational response of an elastic plate inserted in the catamaran hull with that obtained numerically using, as a forcing function, the modelled pressure load. In general, marine structures are able to accept energy mainly from the sub-convective components of the pressure field because the typical bending wavenumber values are usually lower than the convective one; thus, a model that gives an accurate description of the phenomenon at low wavenumbers is needed. In this work, it is shown that the use of the Chase model for the description of the pressure field provides a satisfactory agreement between the numerical and the experimental response of the hull plate. These experimental data, although acquired at model scale, represent a significant test case also for the real ship problem. r 2008 Elsevier Ltd. All rights reserved. Keywords: Wall-pressure fluctuations; High Reynolds number flow; High-speed vessels; Theoretical models; Vibrational response

1. Introduction Vibrations of elastic structures excited by the turbulent boundary layer (TBL) are of interest for interior and exterior noise emission problems in aeronautical, automotive and marine applications. In particular, new requirements in terms of comfort on board high-speed ships for passenger transportation have addressed the attention of the scientific community to the identification and to the characterisation of noise sources including those of hydrodynamic nature. Recent studies performed in the framework of the European RTD project NORMA (Noise Reduction for Marine !Corresponding author: Tel.: +39 081 7683581; fax: +39 081 624609.

E-mail address: [email protected] (S. De Rosa). 0889-9746/$ - see front matter r 2008 Elsevier Ltd. All rights reserved. doi:10.1016/j.jfluidstructs.2008.04.006




Nomenclature a Areai b c cB D d d0 d+ Fr g H H h i j k kc kB Lpp m, n me mn N NG NM ReW Ret Rpp Saa SW SF SFF u+ ut U

streamwise plate length equivalent area in finite element approach spanwise plate length speed of sound in water bending wave speed flexural stiffness of the plate sensor dimension nondimensional length: d0 ¼ d/d* nondimensional length: d+ ¼ dut/n Froude number acceleration of gravity structural transfer function diagonal matrix shape factor: H ¼ d*/W thickness of the plate imaginary unit index for the jth modal component acoustic wavenumber convective wavenumber bending wavenumber length between perpendiculars modal indices experimental added mass function numerical added mass function shape function vector in finite element approach number of grid of the finite element mesh number of mode shapes Reynolds number, ReW ¼ UW/n Reynolds number, Ret ¼ dut/n cross-correlation function plate acceleration response (auto-spectral density) matrix of the cross-spectral densities of the plate displacement matrix of the cross-spectral densities of the generalised load matrix of the cross-spectral densities of the equivalent load wall unit, u+ ¼ U/ut friction velocity free-stream velocity

Uc x y y+

convection velocity streamwise reference axis spanwise reference axis wall unit, y+ ¼ yut/n

Greek symbols g1 g3 G d d* Dx Dy Z Zp W y n x rs r t tw Fpp Fpp0 U o oj omn ˜ mn o

streamwise decay factor spanwise decay factor coherence function boundary layer thickness displacement thickness extension of each finite element in streamwise direction extension of each finite element in spanwise direction spanwise spatial separation plate modal damping coefficient momentum thickness phase function kinematic viscosity streamwise spatial separation plate material density fluid density time delay wall shear stress auto-spectral density of the wall-pressure distribution due to the turbulent boundary layer cross-spectral density of the wall-pressure distribution due to the turbulent boundary layer eigenvector matrix circular radian frequency natural circular frequency of the jth mode dry natural circular frequencies of the plate wet natural circular frequencies of the plate

Matrix and complex operators * T

complex conjugate operator transposition operator

Applications G3RD-2001-0393) demonstrated that, at least for new concept design fast ships, flow noise sources, e.g., the TBL, play an important role above 30 knots. The typical way to characterise wall-pressure fluctuations (WPF) is via experimental tests performed in suitable facilities like wind or water tunnels. In fact, direct numerical simulations (DNS) or large eddy simulations (LES) are often not applicable in the case of complex geometries and realistic flow conditions (high Reynolds numbers) due to the limitation of computational resources. DNS of WPF were performed by Choi and Moin (1990), analysing the channel flow problem for ReW ¼ UW/n ¼ 287. Furthermore, Chang et al. (1999) analysed the influence of the different TBL velocity components on the wavenumber pressure spectra in a channel flow for a Reynolds number, based on the channel half width, equal to 3200. Recently, Lee et al. (2005a) proposed a new methodology to calculate numerically wall-pressure spectra. The method uses the predicted mean flow field obtained from RANS calculations and a spectral



323

correlation model, and integrates across the TBL. The method was validated both for an equilibrium flow at ReW ¼ 3582 and for a non-equilibrium flow resulting from flow over a backward-facing step. Using the same methodology, Lee et al. (2005b) characterised wall-pressure spectra for a surface ship model including the effects of hull curvature and of the free surface. The comparison of the scaled spectra, obtained while varying the axial location, and the distance from the free surface with spectra, obtained for an equilibrium flow, showed that, in several locations, the former deviate from the canonical case. On the other hand, there are many experimental works related to WPF, most of them devoted to the identification of the appropriate scaling laws for the auto-spectral density (ASD) for zero pressure gradient flow. The pressure ASD frequency range is subdivided according to the boundary layer regions that give contributions to wall-pressure spectra where different scaling variables hold. In particular, Farabee and Casarella (1991) identified four frequency ranges in their data: the low-frequency and the mid-frequency range where outer variables hold, the high-frequency range where inner variables hold, and an overlap scale-independent region proportional to o"1, whose extent depends on the Reynolds number. With respect to this point, Keith et al. (1992) presented the most extensive comparison among many available experimental data obtained in fully developed and developing channel flow, in fully developed pipe flow and in wind tunnel, over a wide range of Reynolds numbers, with the aim of identifying the best choice for the scaling parameters in the different frequency regions. Goody (1999) performed an experimental campaign in a two-dimensional boundary layer for ReW values ranging from 7800 to 23 400, investigating different combinations of scaling parameters. Finally, a detailed review of the state-of-the-art on this subject can be found in Bull (1996). The spatial characterisation of WPFs was first analysed by Corcos (1963) on the basis of measurements performed by Willmarth and Wooldridge (1962). Assuming the validity of separation of variables in the streamwise and spanwise directions, Corcos stated an exponential decay for the cross-spectral density (CSD) as a function of the similarity variables ox/Uc and oZ/Uc, where Uc is the convection velocity, and x and Z are the streamwise and spanwise spatial separation, respectively. Several authors have performed comparisons between measured CSD data and Corcos model (Blake, 1986; Bull, 1967); in particular, Farabee and Casarella (1991) from the analysis of their experimental data provided, at least in a certain nondimensional frequency range, a confirmation of this pressure behaviour for a wide series of spatial separations in streamwise direction and for different flow velocities or local Reynolds number values. The success of the Corcos model lies in its simplicity and in its predictive character since the model parameters are substantially case-independent. Nevertheless, it is generally stated that Corcos model gives a correct representation of the WPF behaviour in the convective domain, i.e. when the wavenumbers are close to the convective wavenumber kc ¼ o/Uc. On the contrary, in the sub-convective domain the white Corcos spectrum largely overpredicts the real amplitude. Since for several applications and in particular in the case of underwater and surface marine vehicles, the convective wavenumber is greater than the bending wavenumber kB ¼ o/cB, it is of primary importance to evaluate correctly the sub-convective domain of pressure spectra that corresponds to the high-sensitivity region for the structure. Several new models, some directly derived by the Corcos one (Efimtsov, 1982; Ffowcs Williams, 1982), others overcoming the Corcos multiplicative approach such as those by Chase (1980) and Smol’yakov and Tkachenko (1991), were developed to improve the estimation of pressure spectra in this region. A comparison between the predictions of the radiated acoustic power by rectangular plates was carried out numerically by Graham (1997); it was performed for different test conditions and applying the above models. It was there concluded that the use of sophisticated models such as the Chase one is needed only for structures that do not exhibit coincidence, but that for aircraft the best model is the one which provides an accurate description of the convective peak, thus suggesting the use of the Efimtsov model. Nonetheless, no experimental evidence supporting these conclusions was reported in Graham’s work. However, the spatial domain comparison between pressure experimental spectra and theoretical models cannot definitively indicate the best in describing the different wavenumber regions. It is usually possible to find a set of parameters for each model able to provide a good data fit. It is clear that most of the energy of WPF is concentrated around the convective peak and then any correlation data is mainly the representation of the convective character of the TBL. Unfortunately, only few experimental data concerning direct measurements of the wavenumber-frequency spectrum are available (Abraham, 1998; Choi and Moin, 1990; Panton and Robert, 1994; Farabee and Geib, 1991; Manoha, 1996) and, among them, a big spread of the spectra magnitude at low wavenumbers is present as reported for example by Hwang and Maidanik (1990). In order to overcome the limitations of flow measurements, an indirect approach to estimate the validity of different models for WPF representation, based on the analysis of the response of simple elastic structures to the TBL load, is proposed here. The same idea was recently applied by Finnveden et al. (2005), who compared the measured response of a flat plate with those obtained numerically using modelled pressure loads. This work presented the first and, to the authors’ best knowledge, the only correlation between aerodynamic and structural data measured in the same facility and with the same set-up. They suggested a modified version of the Corcos model by introducing a frequency and flow speed dependence on the parameters and of the Chase model by introducing two new parameters to better fit the




spanwise coherence to measurements. Despite the modifications made, the conclusion was that, above the aerodynamic coincidence (kc ¼ kB), only the Chase model, that does not make use of the multiplicative approach, provides a fair agreement with experimental data. In this work, the lower kB/kc ratio was 0.4 and the average difference between the modified Chase model predictions and the experimental data was 5 dB. Furthermore, Hambric et al. (2004), although retaining the multiplicative approach, proposed a modification of Corcos streamwise coherence to better represent the low wavenumber domain. The model was compared with the experimental response of an elastic plate measured by Han et al. (1999). The ratio between the structural wavenumber in flow direction and the convective wavenumber was between 0.3 and 0.8 and the agreement with the experimental data was quite good. On the other hand, Han et al. (1999) chose Smol’yakov and Tkachenko to model the surface pressure field. The comparison with measurements was performed using the energy flow analysis method to predict the numerical plate response thus, direct information about the validity of the pressure model are difficult to extract from their data. The aim of this work is to develop a general procedure based on the identification of the scaling laws and on the use of predictive models for the surface pressure field suitable for application to full-scale problems. In particular, the capabilities of Corcos and Chase models to predict the response of an elastic plate inserted in the hull of a ship model were investigated on the basis of hydrodynamic and vibration data acquired, at high Reynolds numbers, in a towing tank. In a first step, pressure data were analysed to provide their spectral characteristics. This analysis is fundamental to identify the scaling laws for the ASD and the free parameters contained in the CSD wall-pressure fluctuation models. The high Reynolds number achieved with this set-up provides an interesting extension to the previous analyses. In a second phase, a comparison between the numerical response of the plate obtained using the two models and the experimental response is provided. Since in the present problem the convection velocity is very low, the ratio between the bending and the convective wavenumber is sensibly lower than those previously analysed in the technical literature. This fact is fundamental for real size marine applications for which hydrodynamic coincidence appears, even for high-speed vehicles, at very low frequency. This first section is aimed to frame the work in the proper existing literature. Section 2 presents the experimental setup and all the data concerning the acquisition instrumentation. The treatment of the pressure data is the specific argument of Section 3. Section 4 is fully devoted to the analysis of the structural response and the final comparison between predictive and measured data. Section 5 presents the concluding remarks with some foreseen activities. For the sake of completeness, a graphic workflow has been also added in Chart 1.

2. Experimental set-up 2.1. Pressure measurements The experiments were performed on a 1:15 scale model ofpthe ffiffiffiffiffiffiffifast ffiffi catamaran Jumbo CAT (Fig. 1). The scale of the model was chosen according to Froude similarity: Fr ¼ U= gLpp where Lpp is the length between perpendiculars, i.e.

Chart 1. Logical workflow.



325

the length of the vessel along the waterline between the forward and aft perpendiculars, as depicted in Fig. 1. The maximum model width is 1.467 m, Lpp is 4.635 m and its draft in calm water conditions is 0.2 m. The experiments were carried out in the INSEAN towing tank no. 2 which is 220 m long, 9 m wide and 3.5 m deep and is equipped with a carriage that can reach a maximum speed of 8 m/s. The use of this kind of facility creates ideal flow conditions because background turbulence and noise are avoided. The measuring section was chosen in the stern part of the ship bottom where the hull surface is almost flat. To perform pressure measurements a 2 cm thick rigid plexiglas plate was inserted in the hull bottom where pressure transducers were positioned. The basic set-up is presented in Fig. 2 and consisted in an array of nine transducers in streamwise direction and five transducers in the spanwise direction flush-mounted with the plate at constant distance of 1 cm between each other. Additional tests were performed with 13 transducers mounted in streamwise direction within a maximum distance of 40 cm. Thus, the first pressure sensor was located at x/Lpp ¼ 0.88 while the last at x/Lpp ¼ 0.97. The minimum distance between transducers was constrained by the transducers’ maximum external size while the maximum distance was chosen according to the fact that for x/d*420 the longitudinal correlation is almost zero as demonstrated by previous measurements (Bull, 1967; Blake, 1986). Pressure signals were acquired in calm water conditions with fixed trim and sink and for two different ship model velocities: 3.31 m/s (25 knots) and 5.3 m/s (40 knots) corresponding to Fr ¼ 0.49 and 0.78, respectively. The measurement error in the carriage velocity was within 1% of the nominal mean velocity. Differential piezoresistive pressure transducers Endevco 8510-B, characterised by a maximum range of 2 psig and by a certified flat response until 14 kHz were used to measure pressure fluctuations. The transducers were statically calibrated in water using known water level heights. All the transducers showed a linear trend; however, the deviation around the regression line of the data points used for the sensitivity estimate was evaluated. The standard error of estimate was very low for all the transducers, of the order of 1%. Moreover, the total error due to thermal sensitivity, nonlinearity and pressure hysteresis, as reported in the data sheet, is around 1%. The rectangular sensing element has an area of 1 " 0.3 mm2, hence the effect of the finite size of the transducers surface can be expressed in term of the nondimensional parameters d0 ¼ d/d* and d+ ¼ dut/n, where d is the bigger sensor dimension. Pressure signals were acquired and amplified by the 16 channels acquisition system PROSIG; the sampling frequency was 12.5 kHz, the acquisition length was 15 s. Several repetitions of the test (typically 12–15) under nominally the same conditions were performed. The data record began a few seconds after the achievement of steady conditions. The

Fig. 1. Catamaran model and sketch of the reference length, Lpp.

Fig. 2. Set-up for pressure measurements (left) and top view of the installation of the plexiglas plate (right).




Table 1 Mean flow velocity parameters: numerical estimation U (knots)

U (m/s)

d (m)

d* (m)

H

ut (m/s)

ReW ¼ UW/n

Ret ¼ dut/n

d0 ¼ d/d*

d+ ¼ dut/n

25 40

3.31 5.31

0.12 0.113

0.0142 0.0137

1.27 1.3

0.11 0.1626

29 535 42 807

10 153 14 133

0.07 0.073

84 125

reaching of a stationary random process was verified by comparing the ensemble average value, autocorrelation and cross-correlation of the WPFs of different runs. Concerning the flow velocity field, the TBL mean parameters (as used in the data analysis and shown in Table 1) were obtained by available RANS simulations performed in the past over the whole model. This solution was, in this case, preferred because the experimental evaluation of the boundary layer velocity profiles in a towing tank, although possible, is a time-consuming process. In fact, it is clear that the acquisition time is limited for each carriage run, especially for the higher velocities, and that the time needed for the re-establishment of calm water conditions between two consecutive runs is at least 10 min. A detailed description of the numerical code is provided in Ciappi and Magionesi (2005) and in the references cited there. The numerical errors can be predictable in an uncertainty of about 4% in the estimation of the TBL parameters from the velocity profiles. 2.2. Vibration measurements Vibration measurements were performed replacing the rigid plate with a flexible one. The panel, made of plexiglas, is 0.58 m long, 0.2 m wide and 0.003 m thick, it was fixed to the hull model with some mastic in order to provide impermeable conditions and to reduce the transmission of model vibrations. A preliminary series of numerical analyses have been performed to exclude the presence of significant plate deformations due to static and dynamic pressure loads. In fact, for all the flow speeds under consideration, the maximum displacement was predicted to be 1% of the longitudinal plate dimension. The acceleration responses were acquired in eight different points (one for each carriage run) randomly chosen on the plate surface. A Bruël & Kjaer piezoelectric accelerometer type 4393 characterised by a sensitivity of 4.19 mV/g and a weight of 2.2 g was used for the acquisition. Its mass was negligible with respect to the plate mass in the frequency range of interest. The accelerometer signal was amplified by a Bruël & Kjaer amplifier type 2635 and acquired with a sampling frequency of 12.5 kHz by a National Instruments PXI 6052E acquisition system. Preliminary dry and wet calm water tests were performed with the same set-up and instrumentation to evaluate the plate’s natural frequencies, hence the added fluid mass and the modal damping factors. Two additional accelerometers were mounted on the ship’s hull and on the connecting system to acquire the spurious vibrations transmitted by the carriage structure.

3. Pressure analysis In the following sections, the results of the experimental programme devoted to the characterisation of wall-pressure spectra are presented. The purpose of this analysis was to verify the pressure scaling laws and to provide a general model for its spatial behaviour. To this aim, ASDs, streamwise and spanwise coherences and convection velocities were extracted from measurements. Although free surface effects were naturally present, pressure gradient values calculated on the basis of numerical simulations can be considered negligible in the measuring section. In Fig. 3, the velocity profiles obtained numerically, used to extract the mean TBL parameter values of Table 1, are shown in wall units y+, u+. From preliminary analysis it was decided to consider only the Corcos and Chase models as antagonists in this analysis. In fact, the Efimtsov model has the same trend as Corcos’ in the low wavenumber domain but, this last is to be preferred because describes the wall pressure by a simpler expression containing less empirical parameters. The Ffowcs Williams model was built to extend Corcos model to the acoustic domain, which is beyond the purpose of this analysis; finally, the Smol’yakov and Tkachenko model does not fit well the present hydrodynamic data. 3.1. Power spectral density: scaling laws The analysis of the scaling laws for the ASD is essential to understand the contribution of the different boundary layer regions to WPFs. Moreover, due to the particular section chosen to perform pressure measurements and the



327

Fig. 3. Streamwise velocity profiles: numerical estimation.

relatively high speed of this vessel, local Reynolds numbers were sensibly high (ReW ¼ 29 535 for 3.31 m/s and ReW ¼ 42 807 for 5.31 m/s), providing an interesting extension of the validity of the scaling laws for high Reynolds number. Following the frequency range division proposed by Farabee and Casarella (1991), three different spectral regions can be identified: at very low frequency, the spectra collapse using the classical outer flow variables d* and U, showing a o2 behaviour, advising that sources are associated with the large-scale structures. In the low-mid-frequency range, the pressure auto spectral densities collapse into a single curve when scaled with the friction velocity ut, the wall shear stress tw and d, implying that the mid-frequency structures are related with turbulence activity in the outer region of the boundary layer. In this interval, pressure spectra exhibit their maxima for od/ut ¼ 50. Finally, at high-frequency inner variable scale, which employs ut, tw and n, allows the collapse of the data independently of the Reynolds number, suggesting that sources are associated with the buffer region of the wall layer. Moreover, between mid- and highfrequency an overlap region, characterised by an o"1 decay, exists where both outer and inner variable scales hold. This region is related to the turbulence activity in the logarithmic part of the boundary layer and its extension depends on the Reynolds number value. Recently, Ciappi and Magionesi (2005), considering the frequency division stated by Farabee and Casarella provided another confirmation of the proposed scaling laws. ASDs were determined using 700 spectral averages for each signal and a Hamming window function is used to reduce bandwidth leakage. According to classical pffiffiffiffiffi theory of random data (Bendat and Piersol, 1991), the statistical convergence error was defined as !r ¼ 1= nd , where nd is the number of spectral averages. In the present analysis, the data random error was equal to 73.8%; thus, the uncertainty in the calculated pressure spectra, obtained by considering the above and all the previously defined experimental sources of error (see Section 2), was within the range of 71 dB. In Fig. 4, a typical ASD signal is displayed showing high peaks in the frequency region between 8 and 20 Hz due to structural vibrations of the carriage and of the connecting system. The peaks were eliminated, for the ASD analysis, using suitable relations based on the coherence function (Bendat and Piersol, 1991) between two pressure sensors located sufficiently far from each other to be correlated only by structural vibrations. The result of this cleaning procedure is shown in the same figure. Fig. 5 shows the cleaned ASD for the two different test velocities, scaled using outer flow variables: od=ut ; Fpp ðoÞu2t =t2w d; they are shown and compared with the results of Farabee and Casarella (1991) obtained for ReW ¼ 6050 and with the results of Blake (1970) [extracted from Lee et al. (2005a)] obtained for ReW ¼ 8210. From the inspection of the figure, it is evident that there is an excellent agreement of the present experimental curves in the low-mid-frequency range, i.e. for 20ood/uto1760. Moreover, for od/uto800, they are in a very good agreement with the Farabee and Casarella curve and in fair agreement with the Blake data. Finally, the scaled spectra achieved the maximum value for od/utE63. Low-frequency behaviour (od/uto5) is not analysed, since frequency resolution is too poor to obtain a realistic trend in this region. Fig. 6 shows the present wall-pressure spectra and the results of Bull and Thomas (1976), Farabee and Casarella (1991) and Blake (1970) scaled on inner flow




Fig. 4. Measured and cleaned pressure auto-spectral density.

Fig. 5. Wall-pressure spectra scaled on outer flow variables.

variables: on=u2t ; Fpp ðoÞu2t =t2w n. According to Blake (1986), attenuation in the spectra should occur approximately for od/U41.2 that implies on=u2t 40:3 or 0:42, depending on flow velocity. A collapse of the two sets of measurements occurs at high frequency, i.e. for 0:033oon=u2t o0:3. The Bull and Thomas and Blake data are in excellent agreement in the same frequency range, although the Blake curve is higher for higher nondimensional frequencies. On the contrary, the Farabee and Casarella curve shows quite a different trend, characterised by slower high-frequency decay. Differences can be due to spectra attenuation caused by the finite sensor dimensions and, when considering similar d+ values, to the use of different pressure transducers. In particular, the Farabee and Casarella and Blake data were obtained using open pinhole microphones with d+ ¼ 33 and 68, respectively, while the Bull and Thomas data were obtained using both filled pinhole microphones and piezoelectric transducers for d+ ¼ 44. For the present data,



329

Fig. 6. Wall-pressure spectra scaled on inner flow variables.

obtained with piezoresistive pressure transducers, d+ was equal to 84 for the lower velocity and to 125 for the higher. Bull and Thomas (1976) showed that the use of an open pinhole microphone leads to a higher amplitude of pressure spectra for on=u2t 40:1. This fact can explain the mismatch between different sets of measurements. Finally, due to the high Reynolds numbers, the overlap region had a considerable extension. From the analysis of the range of validity of the outer and inner scales or from the direct inspection of the range of validity of the o!1 law, included in both Figs. 5 and 6, it can be concluded that the overlap region extends in the range 0:033 Ret ¼ 335oðod=ut Þo1760 or 0:033oðon=u2t Þoð1760=Ret Þ ¼ 0:174 where the lowest value of Ret was used. 3.2. Cross-spectral density The spatial characterisation of WPFs is now analysed extracting from the experimental data the streamwise Fpp0 ðx; 0; oÞ and the spanwise Fpp0 ð0; Z; oÞ CSDs. Since the CSD is a complex quantity, as usual, the coherence function .qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð2Þ Fð1Þ Gðx; Z; oÞ ¼ jFpp0 ðx; Z; oÞj pp ðoÞ % Fpp ðoÞ, where in the square root appear the ASDs of the two pressure signals, is used to display the results and to discuss their comparison with the Corcos and Chase theoretical models. Coherence spectra were obtained for quite a large number of streamwise spacings (0:09px=dp1:44), while only few spanwise separations were considered ð0:09pZ=dp0:36Þ, as the coherence decay of the pressure field is very fast in this direction.

3.2.1. The Corcos model The model formulated by Corcos expresses the CSD as a product of functions in longitudinal and lateral direction separately. Moreover, he postulated that the CSD behaviour depends only on the similarity variables ox/Uc and oZ/Uc with a decay represented by an exponential function. The model for the CSD is given by Fpp0 ðo; x; ZÞ ¼ Fpp ðoÞ eiðox=U c Þ e!g1 jox=U c j e!g3 joZ=U c j ,

(1)

where g1 and g3 are the decay factors. The streamwise coherences relative to the free-stream velocity of 5.3 m/s are plotted against the CSD phase y(x, o) ¼ !ox/Uc in Fig. 7; different curves refer to different values of the nondimensional length x/d. It is evident that at high frequency a collapse of the coherence spectra into an universal curve occurs independently of the spatial separation. The theoretical streamwise coherence Gðx; oÞ ¼ eð!g1 jox=U c jÞ derived from Eq. (1) is plotted in the same figure with a decay coefficient g1 equal to 0.125. Slightly different values are reported in the literature: Bull (1967) found g1 ¼ 0.1, Farabee and Casarella (1991) found a decrease in the g1 value with increasing velocity passing from 0.145 for the lower one to 0.125 for the higher one. On the other hand, in the low-frequency region, a lack of similarity scaling




Fig. 7. Streamwise coherence at U ¼ 5.3 m/s.

Fig. 8. Spanwise coherence at U ¼ 3.3 m/s.

occurs because as far as ox/Uc-0 the coherences do not tend to unity as Corcos model predicts. Unit coherence would imply that the low-frequency components should be correlated for all spatial separations: this is physically unrealistic. From the observation of the figure it can also be noted that all curves exhibit a maximum that is indicated by Farabee and Casarella (1991) as the limit value below which the similarity variables do not hold anymore. The same considerations can be drawn for 3.3 m/s; in particular, the best fit of the experimental data is found for the same value of g1. Less experimental data concerning spanwise coherence are available in the literature: the value usually suggested for the decay coefficient g3 is 0.7 (Corcos, 1963; Blake, 1986; Bull, 1967). Fig. 8 shows curves of spanwise coherence relative



331

to the lower velocity for various nondimensional separations Z/d as a function of the similarity variable oZ/Uc. The thick solid line represents the Corcos model with g3 equal to 0.7. The exponential function seems to correctly estimate the measured coherences, above their maxima, for value of the nondimensional frequency oZ/Uc40.8. Also in this case, velocity variations seem not to have an influence on the decay coefficient value. 3.2.2. The Chase model A descriptive model of the wavenumber-frequency spectrum of turbulent wall-pressure was proposed by Chase (1980) with the intention of overcoming the limitations of models built to capture the characteristics of the convective domain only. Starting from the properties of the fluctuating velocity spectrum and considering its relation with the fluctuating pressure, Chase proposed a model able to correctly describe the pressure field in the convective and subconvective domains. The inverse Fourier transform of the Chase (1980) expression is here proposed in its complete form as determined by Josserand and Lauchle (1989) because, as it will be clear in the following, the assumptions at the basis of some simplifications made by Chase are not necessarily fulfilled. Thus, the complete Chase model in the spacefrequency domain is given by Fpp0 ðo; x; ZÞ ¼ Fpp ðoÞðC m f m e$zm e$iðox=U m Þ þ C t f t e$zt eiðox=U t Þ Þ, " # 2 Um $3 2 2 1 $ zm1 f m ¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi am 1 þ zm þ am mm þ 2iam mm zm1 , zm U 2c þ h2m u2t " " # # Ut z2t3 þ m2t z2t1 $3 2 2 f t ¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi at 1 þ zt þ at 1 þ mt $ þ 2iat mt zt1 , zt U 2c þ h2t u2t qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi am mm ox at mt ox am oZ at oZ ; zt1 ¼ ; zm3 ¼ ; zt3 ¼ ; zm ¼ z2m1 þ z2m3 , zm1 ¼ U Ut Um Ut qffiffiffiffiffiffiffiffimffiffiffiffiffiffiffiffi zt ¼ z2t1 þ z2t3 , rm rt ; Ct ¼ ; rm ¼ 1 $ rt , rt f t0 þ rm f m0 rt f t0 þ rm f m0 Um Ut 2 2 2 2 ¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a$3 f t0 ¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a$3 m ð1 þ am mm Þ; t ð1 þ at ð1 þ mt ÞÞ, 2 2 2 2 2 2 U c þ hm ut U c þ ht ut

Cm ¼ f m0

Um Ut 2 2 2 4 $1 2 2 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a$3 Fpp ðoÞ ¼ rm aþ r2 u4t o$1 a$3 m qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð1 þ mm am Þ þ rt aþ r ut o t ð1 þ at ð1 þ mt ÞÞ, 2 2 2 2 2 2 U c þ hm ut U c þ ht ut #2 $ % " U cm Uc 1 Ui ; a2i ¼ þ ; i ¼ m; t. hi ¼ qffiffiffiffiffiffiiffiffiffiffiffiffiffi ; U i ¼ 2 2 bm do 1 $ mi 1 $ mi ut 1 $ m2i

(2)

It can be noted that six free parameters have to be determined by comparison with experimental data. The values suggested by Chase, based on the comparison between the experimental data of Bull (1967) and limiting values of Eq. (2), are the following: bm ¼ 0.756, bt ¼ 0.378, mm ¼ 0.176, rt ¼ 0.389, and a+ ¼ 0.766. As pointed out by Chase, these values are not supposed to be universal, as already shown for example by the measurements of Finnveden et al. (2005). In fact, the attempt to fit the experimental data with the Chase model using these values for the free parameters gave unsatisfactory results. Thus, the first five parameters were evaluated using a nonlinear least-square formulation based on a trust-region approach. The best fit of the experimental streamwise and spanwise coherences for both velocity conditions is found for: bm ¼ 0.51, bt ¼ 0.35, mm ¼ 0.13, mt ¼ 0.4, and rt ¼ 0.3. Fig. 9 presents the comparison among the experimental streamwise coherence for U ¼ 5.3 m/s, the Chase model, using the identified parameters, and the Corcos model for different values of the ratio x/d. In Fig. 10, the same comparison is shown for the spanwise coherence relative to U ¼ 3.3 m/s. At this time, some considerations must be made: the coefficient bm gives the position of the ASD maximum that, according to the measurements occurs for od/utE60; on the other hand, using Chase relations, pffipresent ffi the maximum is given by o ¼ 2U c =bm d, thus bm ¼ 0.51 is required if Uc ¼ 0.65U is assumed. In fact, the value 0.756 suggested by Chase represented an average between the value 0.53 needed to fit the maximum in the Bull spectrum, thus very close to that already found, and the value 0.9 needed to fit the measured spatial correlation. Preliminary comparisons between the experimental CSD and the simplified Chase model gave a value for the coefficient mt sensibly higher than that suggested by Chase. Thus, it was evident that the hypothesis mm, mt51 at the basis of the simplifications




Fig. 9. Streamwise coherence: comparison with theoretical models.

Fig. 10. Spanwise coherence: comparison with theoretical models.

made by Chase was, in this case, not valid. For this reason, the complete form as in Eq. (2) is used to perform the analysis. It can be concluded that, except for mt and somewhat for mm, the values of the identified parameters are not so far to those found by Chase analysing pressure experimental data acquired in completely different flow conditions. Finally, a+ is obtained by a direct comparison with the measured ASD (see Fig. 11) when the other coefficients are fixed. This parameter determines the amplitude of the ASD spectrum and in particular of its maximum, the best agreement with experimental data is found for a+ ¼ 0.8. On the other hand, if the interest is not in the maximum but in



333

Fig. 11. Auto-spectral density: comparison with Chase model.


the higher frequency scale-independent region, the value of a+ should be 1.5. However, to perform the structural analysis described in Section 4.3, the measured ASD was used.

3.3. Convection velocity Some other insights into spectral characteristics of the WPFs can be provided by examining the convection velocity Uc. The convection velocity can be obtained from the phase yðx; oÞ ¼ $ox=U c ðx; oÞ of the CSD. In Figs. 12 and 13, the





Fig. 14. Broadband convection velocity.

convection velocities divided by the free-stream velocity U, obtained for fixed spatial separations x/d, are plotted as a function of the dimensionless frequency od/ut. Different figures refer, as usual, to the two different free-stream velocities. Farabee and Casarella (1991) have observed a peak value of convection velocity for od/ut ¼ 50, independently of the x/d values. This peak corresponds exactly to the maximum observed in the spectra and to the value that separates the low and the high-frequency behaviour in the coherence function. This fact demonstrated that not only the lowest wavenumber components experienced a decay, but that they are also convected at lower overall velocity. In the present case, CSD analysis was performed without using noise cancellation technique to avoid phase alteration.



335

On the other hand, convection velocity obtained by a division for the CSD phase is very sensitive to small disturbances leading to unreasonable value of the convection velocity. For this reason, frequencies below 25 Hz were cancelled out from the graph. By inspection of Figs. 12 and 13, an increase of the convection velocity with the growing of the spatial separation is observed; this trend of Uc is related to an increasing dominance of large-scale events to the two-point correlation as the separation increases. For small separations, the correlation data and hence the convection velocity are dominated by the small-scale eddies close to the wall, which move with a lower velocity than the large-scale events. However, as far as spatial separation increases, the curves tend to collapse in a unique curve indicating that, even if the Taylor frozen flow hypothesis does not strictly hold for the smallest spatial separations, the convection velocity can be represented as a function of the single variable od/ut. Moreover, with increasing frequency, the convection velocities assume a flat trend. The dependence of the convection velocity on the spatial separation can be better highlighted from the analysis of the space-time correlation functions of the pressure signals. The convection velocity is obtained as the ratio x/t at which the cross-correlation Rpp(x,t) has a maximum. In Fig. 14, the convection velocities normalised with respect to the free-stream velocity for 3.31 and 5.31 m/s are depicted as a function of the nondimensional parameter x/d*. The experimental data are also compared with those obtained experimentally by Bull (1967) and numerically by Na and Moin (1996). The values of Uc range from 0.6 for the smaller separations associated with the small-scale structures, to 0.73 at higher separations, related to the larger ones. From the above considerations, as proposed by several authors, the convection velocity can be modelled with a constant average value between small- and large-scale convection velocities, in this case, equal to 0.65 U.

4. Structural response analysis 4.1. Identification of modal parameters Hammer impact tests were performed to determine dry and wet natural frequencies, and then the added fluid mass, ˜ mn modes and modal damping factors of the plate. The first 16 dry natural frequencies omn, wet natural frequencies o and their correspondence with the mode shapes were evaluated in two specific frequency ranges: the dry set in 125–769 Hz and the wet one in the 26–283 Hz. Thus, the experimental function of the added mass, mef ðoÞ, was estimated by the relation (Blevins, 1987): "! # " omn 2 e mf ðoÞ ¼ rs h $1 . (3) ˜ mn o Since the pressure load spectra exhibited a significant energy content up to 1 kHz, the modal parameters were evaluated in a larger frequency range, 0–3 kHz, by using a FE model of the plate. The experimental boundary conditions were reproduced by imposing zero displacement and adding rotational springs along the plate edges; their stiffness was tuned in order to replicate the experimentally measured natural frequencies. An approximated numerical/theoretical expression for the added mass, valid for structural waves having wavenumbers greater than the acoustic wavenumber k ¼ o/c, is provided by the relation (Fahy, 1985) r mnf ðoÞ ¼ , (4) k qffiffiffiffiffisffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

where ks ¼ k2m þ k2n is the primary effective wavenumber component of the vibration. Hence, the numerical wet natural frequencies were computed by the following expression: ! "$1=2 r ˜ mn ffi omn 1 þ o , (5) rs hks

where omn are the numerical dry natural frequencies computed by the aforementioned FE model. The primary wavenumber used in Eq. (5) corresponds to simply supported boundary conditions, i.e. km ¼ mp/a and kn ¼ np/b this last being the only one analytically known. It is clear that this assumption is valid as far as the frequency increases. In Fig. 15, the experimental and the theoretical added mass curves, mef ðoÞ and mnf ðoÞ, respectively, for the first 16 modes, are displayed showing a difference of about 23% for the first mode that decreases, as expected, with increasing mode order. Moreover, although natural modes of plates surrounded by unbounded fluids are not mathematically orthogonal, their shapes remain almost unchanged (Fahy, 1985). This result was partially verified by the experimental




Fig. 15. Added mass coefficient.

analysis. In fact, a modal identification was performed using a number of points, sufficient to identify the mode order and the position of nodes and maxima along some selected lines, but not to represent the whole mode shapes. In conclusion, to calculate the structural response with the numerical procedure described in the following section: (i) the dry modes provided by the FE analysis are used, (ii) the first 16 wet natural frequencies were obtained experimentally, and (iii) the remaining ones were estimated by using the dry natural frequencies provided by the FE analysis and Eq. (5). The structural modal damping coefficient, Z, was evaluated from wet hammer impact tests: it decreases from 0.034 for the first modes to a quite constant value around 0.018 for the higher modes. 4.2. Remarks on the prediction of structural response A procedure based on the finite element approach was presented and discussed in the recent literature to solve the response of a plate under a TBL excitation (De Rosa and Franco, 2007). Specifically, the Corcos model was used for comparing the numerical response with the exact one, and in order to define a general methodology, able to work for any TBL model at acceptable computational costs. For the sake of clarity, some details are herein briefly recalled. The cited finite element procedure is assembled by using the following equation suitable for all the methods working with discrete coordinates (Elishakoff, 1983); the CSD matrix of displacements of a structural operator represented by using NG degrees of freedom and NM mode shapes is given by SW ðoÞ ¼ UHðoÞSU ðoÞHðoÞ$ UT ,

(6)

SU ðoÞ ¼ UT SFF ðoÞU,

(7)

with

where U is the structural modal matrix (each column is an eigenvector sampled at the NG selected points), [NG % NM] and the generic term of H(o) is H j ðoÞ ¼ ½o2j ' o þ iZo2j )'1 , [NM % NM]. The translation of the distributed random loads to the set of NG points, in other words the way of representing the SFF, can be solved in the framework of the finite element method by using consistent approach, that is by using the shape function vector, N, belonging to each element: Z Z Z Z ðEÞ ðkÞ ðqÞ ðqÞ ðkÞ ðqÞ ðkÞ ðqÞ SCFF ¼ NT Fpp0 ðxðkÞ (8) 1 ; x2 ; x1 ; x2 ; oÞNdx1 dx1 dx2 dx2 , k;q xðkÞ 1

xðkÞ 2

xðqÞ 1

xðqÞ 2



337

where the double integers k and q indicate here two generic finite elements and the integration is related to the area of each of them. The vector N can be interpreted as the interpolating function basis selected by the analyst according to the specific problem and boundary conditions (Cook, 1981). Thus, Eq. (8) serves to evaluate a generic kqth member of the NE ! NE load matrix, where NE is the number of elements. A simplified approach could refer to each grid point rather than each finite element. This means that the load acting on the ith grid point will be the resultant of the distributed load working on the equivalent nodal area, say Areai, belonging to it. This area vector can be evaluated easily by using a static deterministic unit pressure load (De Rosa et al., 1994; Hambric et al., 2004). Accordingly, one gets the generic ijth member of the NG ! NG matrix: Z xi þðDx=2Þ Z xj þðDx=2Þ Z yi þðDy=2Þ Z yj þðDy=2Þ ðGÞ SCFF i;j ¼ Fpp0 ðxi ; xj ; yi ; yj ; oÞdyj dyi dxj dxi . (9) xi &ðDx=2Þ

xj &ðDx=2Þ

yi &ðDy=2Þ

yj &ðDy=2Þ

An area DxDy is assigned to both points P(xi, yi) and Q(xj, yj) and the double space integration refers to these finite domains. A further approximation could also be introduced, considering that the wall-pressure distribution due to the TBL in the low-frequency range does not fluctuate very quickly. In this case, the last integral could be approximated as follows: ðGÞ 2 SLFF i;j ¼ Fpp0 ðxi ; xj ; yi ; yj ; oÞ½DxDy( .

(10)

Obviously, the approximations represented by Eqs. (8)–(10) are associated with decreasing computational cost. The problem of the plate response under a convective random load, expressed in discrete form as described by Eqs. (6) and (7), can be accurately approached only when adequately resolving both the spatial distributions of the response function and of the forcing function; in particular, since in this case Uc5cB, the discretisation length, is ruled by the hydrodynamic load. In this work, Eq. (9) was used to calculate the SFF matrix because Eq. (10) was not adequate for the present simulations. In fact, in the frequency range of interest, Eq. (9) allows the avoidance of the numerical divergence of the structural response due to the incorrect representation of the pressure load, as approximated by Eq. (10). Some further details of the numerical simulations are given in the next paragraph. The finite element approach was used to generate the modal base, while the responses were calculated by a specific Fortran code. 4.3. Experimental analysis and comparisons The ASDs of the acceleration signals, experimentally measured in eight different points over the plate, were computed and the results averaged and compared with the results obtained by the numerical procedure exposed in the previous section. The numerical results were obtained applying Eqs. (6), (7) and (9) for both the Corcos and Chase models. The FE analysis was performed using 61 ! 21 grid points corresponding to a spatial discretisation of 1 cm in both directions. The integral in Eq. (9) was calculated using the trapezoidal rule. The hydrodynamic parameters inserted in Eq. (9) were those identified in Sections 3.1–3.3; in particular, the experimental ASD was used and the convection velocity was assumed constant over the whole frequency range and equal to 0.65U for both ship speeds. After having performed the convergence analysis, each integration domain was finally subdivided, for both velocity conditions, in eight intervals when the Corcos model was used and in 24 intervals when the Chase model was used instead. The Corcos numerical solution of integral in Eq. (9) was compared and validated by an analogous analytical solution (De Rosa and Franco, 2007). In both cases, the number of retained natural modes was 100. The response of the plate was computed for a frequency range between 1 and 1000 Hz (the step was 4.5 Hz) for the higher velocity and only between 1 and 600 Hz for the lower one, because above this frequency a refined mesh ffiffiffiffiffiffiffiffipbe pffiffiffiffiffimust ffiffiffi used to obtain convergence. In these frequency ranges, the ratio between the bending wavenumber kB ¼ 4 rs h=D o and the convective wavenumber kc (see Fig. 16) varied between 0.045 and 0.21 for the lowest velocity and between 0.057 and 0.35 for the highest velocity. Figs. 17 and 18 present the experimental and numerical averaged ASDs of the plate’s acceleration for 3.3 and 5.3 m/s, respectively. Unsurprisingly, an overestimation of the plate response is evident in the whole frequency range if the Corcos model is used; on the other hand, the numerical response obtained using the Chase model is undoubtedly in better agreement with experimental data. However, below 25–30 Hz both pressure spectra (although cleaned) and structural response are contaminated by the carriage vibrations transmitted to the model; thus, any comparison is meaningless. Above these frequencies, the agreement is really satisfactory until 420 Hz for the lower velocity case and until 650 Hz for the higher one. In the high-frequency part, the Chase model tends to slightly underestimate the experimental curve; this fact, more




Fig. 16. Bending and convective wavenumber ratio.


visible for 3.3 m/s, can be partly due to the poor spatial resolution of pressure transducers that attenuate the highfrequency part of the ASD spectrum. Finally, an evident mismatch between the experimental and the numerical curve, generated by the presence of high peaks in the experimental data, can be observed in Fig. 18 around 800 Hz probably due to local flow disturbances. To better quantify the difference between model and experimental results, the previous curves are plotted in Figs. 19 and 20 in third-octave bands. It can be seen that the root mean square of the difference between the response obtained applying the Chase model and the experimental data is 5.2 dB for the lower velocity and 4.1 for the higher one. The response obtained by using the Corcos model to represent the surface pressure field, overpredicts in both cases the experimental



339



data resulting in an average difference of 18 dB. The small gap between the numerical predictions obtained by applying the Chase model and the experimental plate response that is less or, at least, of the same order of that found by Finnveden et al. (2005) demonstrated the validity of the developed procedure and the capability of the Chase model to represent the surface pressure field on a ship hull. However, a more careful determination of the added water mass in the whole frequency range can improve the numerical estimation, as well as a deep uncertainty analysis can better indicate the confidence interval of the present results.





5. Concluding remarks In this paper, a complete analysis of the coupled structural-fluid problem concerning the response of an elastic plate inserted in the bottom of a catamaran hull excited by the TBL WPFs, has been carried out. The hydrodynamic analysis, performed on a rigid plate at high Reynolds number and in equilibrium flow conditions allowed the determination of the appropriate scaling laws for the ASDs in the different frequency ranges. Moreover, the analysis of the cross-spectral densities in longitudinal and lateral flow directions was used to fit the theoretical models, available for the pressure representation, to the experimental data. Two theoretical models are analysed: the Corcos and Chase models. It was demonstrated that it is possible to find for both a complete set of free parameters that provide a fair agreement with experimental CSD data. Since spatial resolution was too poor to analyse the CSD behaviour at high frequency and since with this type of experimental analysis it was not possible to isolate the longest wavelengths, the studied pressure behaviour mainly concerned the characteristics of the convective domain. Thus, an indirect comparison based on the vibrational response of a plate was performed; in particular, the numerical structural responses obtained using the two models were compared with experimental measurements. The conclusion of this analysis is that, although the Chase model is complex and dependent on several empirical parameters, it provides a very good agreement with experimental data at low wavenumbers. The performed analysis can give interesting information also for the full-scale problem; in fact, considering realistic values of the hydrodynamic and of the structural parameters, coincidence conditions usually appear at very low frequency both for underwater and surface marine vehicles. The main disadvantage in using Chase model lies in its non-predictive character. In fact, it was shown that the original Chase parameters do not fit the experimental data; thus a new set of parameters have been determined and the complete version of the model has been used. It is clear that the aim of any numerical procedure is to produce robust predictive tools to be used at the design stage. Ongoing comparisons between pressure measurements performed on different ship models and for various flow conditions in terms of Reynolds number values are aimed to analyse the range of variability of the parameters and their dependence on the particular flow conditions.

Acknowledgement The research was supported by the Ministero dei Trasporti in the frame of ‘‘Programma Ricerche Luglio2006Dicembre 2007’’.



341

References Abraham, B.M., 1998. Direct measurements of the turbulent boundary layer wall pressure wavenumber-frequency spectra. ASME Journal of Fluids Engineering 120, 29–39. Bendat, J.S., Piersol, A.G., 1991. Random Data: Analysis and Measurements Procedure. Wiley, New York. Blake, W.K., 1970. Turbulent boundary-layer wall-pressure fluctuations on smooth and rough walls. Journal of Fluid Mechanics 44, 637–660. Blake, W.K., 1986. Mechanics of Flow Induced Sound and Vibration. Academic Press, Orlando. Blevins, R.D., 1987. Formulas for Natural Frequency and Mode Shape. Robert E. Krieger Publishing Company, Melbourne, FL. Bull, K.M., 1967. Wall pressure fluctuations associated with subsonic turbulent boundary layer flow. Journal of Fluid Mechanics 28, 719–754. Bull, M.K., 1996. Wall pressure fluctuations beneath turbulent boundary layers: some reflections on forty years of research. Journal of Sound and Vibration 190, 299–315. Bull, M.K., Thomas, S.W., 1976. High frequency wall pressure fluctuations in turbulent boundary layers. Physics of Fluids 19, 597–599. Chang, P.A., Piomelli, U., Blake, W.K., 1999. Relationship between wall pressure and velocity-field sources. Physics of Fluids A 11, 3434–3448. Chase, D.M., 1980. Modelling the wavevector-frequency spectrum of turbulent boundary layer wall pressure. Journal of Sound and Vibration 70 (1), 29–67. Choi, H., Moin, P., 1990. On the space-time characteristics of wall pressure fluctuations. Physics of Fluids A 2, 1450–1460. Ciappi, E., Magionesi, F., 2005. Characteristics of the turbulent boundary layer pressure spectra for high speed vessels. Journal of Fluids and Structures 21, 321–333. Cook, R.D., 1981. Concept and Application of Finite Element Analysis. Wiley, New York. Corcos, G.M., 1963. Resolution of pressure in turbulence. Journal of the Acoustical Society of America 35, 192–199. De Rosa, S., Franco, F., 2007. Exact and numerical responses of a plate under a turbulent boundary layer excitation. Journal of Fluids and Structures 24, 212–230. De Rosa, S., Pezzullo, G., Lecce, L., Marulo, F., 1994. Structural acoustic calculations in the low frequency range. AIAA Journal of Aircraft 31 (6), 1387–1394. Efimtsov, B.M., 1982. Characteristics of the field of turbulent wall pressure fluctuations at large Reynolds numbers. Soviet PhysicsAcoustics 28 (4), 289–292. Elishakoff, I., 1983. Probabilistic Methods in the Theory of Structures. Wiley, New York. Fahy, F., 1985. Sound and Structural Vibration. Academic Press, Orlando. Farabee, T.M., Casarella, M.J., 1991. Spectral features of wall pressure fluctuations beneath turbulent boundary layers. Physics of Fluids A 3, 2410–2420. Farabee, T.M., Geib, F.E., 1991. Measurements of boundary layer pressure fluctuations at low wavenumbers on smooth and rough walls. In: ASME Symposium on Flow Noise Modelling, Measurements and Control, NCA-vol. 11, FED-vol. 130, pp. 55–68. Ffowcs Williams, J.E., 1982. Boundary layer pressures and the Corcos model: a development to incorporate low wavenumber constraints. Journal of Fluid Mechanics 125, 9–25. Finnveden, S., Birgersson, F., Ross, U., Kremer, T., 2005. A model of wall pressure correlation for prediction of turbulence-induced vibration. Journal of Fluids and Structures 20, 1127–1143. Goody, M., 1999. An experimental investigation of pressure fluctuations in three-dimensional turbulent boundary layers. Ph.D. Thesis, Department of Aerospace and Ocean Engineering, Virginia Tech, USA. Graham, W.R., 1997. A comparison of models for the wavenumber-frequency spectrum of turbulent boundary layer pressures. Journal of Sound and Vibration 206 (4), 541–565. Hambric, S.A., Hwang, Y.F., Bonness, W.K., 2004. Vibrations of plates with clamped and free edges excited by low-speed turbulent boundary layer flow. Journal of Fluids and Structures 19, 93–110. Han, F., Bernhard, R.J., Mongeau, L.G., 1999. Prediction of flow-induced structural vibration and sound radiation using energy flow analysis. Journal of Sound and Vibration 227 (4), 685–709. Hwang, Y.F., Maidanik, G., 1990. A wavenumber analysis of the coupling of a structural mode and flow turbulence. Journal of Sound and Vibration 142, 135–152. Keith, W.L., Hurdis, D.A., Abraham, B.M., 1992. A comparison of turbulent boundary layer wall-pressure spectra. ASME Journal of Fluids Engineering 114, 338–347. Josserand, M.A., Lauchle, G.C., 1989. ERRATA: D.M. Chase JSV 1980. Journal of Sound and Vibration 128, 519–523. Lee, Y.T., Blake, W.K., Farabee, T.M., 2005a. Modeling of wall pressure fluctuations based on time mean flow field. ASME Journal of Fluids Engineering 127, 233–240. Lee, Y.T., Miller, R., Gorski, J., Farabee, T., 2005b. Predictions of hull pressure fluctuations for a ship model. In: Proceedings of International Conference on Marine Research and Transportation (ICMRT05), Ischia, Italy. Manoha, E., 1996. The wavenumber-frequency spectrum of the wall pressure fluctuations beneath a turbulent boundary layer. In: Proceedings of the AIAA Aeroacoustics Conference, AIAA paper 96-1758. Na, Y., Moin, P., 1996. Direct numerical simulation of turbulent boundary layers with adverse pressure gradients and separation. Report No. TF-68. Thermosciences Division, Department of Mechanical Engineering, Stanford University.




Panton, R.L., Robert, G., 1994. The wavenumber-phase velocity representation for the turbulent wall-pressure spectrum. ASME Journal of Fluids Engineering 116, 477–483. Smol’yakov, A.V., Tkachenko, V.M., 1991. Model of pseudosonic turbulent wall pressures and experimental data. Soviet PhysicsAcoustics 37 (6), 627–631. Willmarth, W.W., Wooldridge, C.E., 1962. Measurements of the fluctuating pressure at the wall beneath a thick turbulent boundary layer. Journal of Fluid Mechanics 14, 187–210.


Nomenclature Roman Symbols a AQ j Q k b cB cL D E f h Hi i kc Lj Lx Ly p PIN r R Rey Sp Sw Sw, U

mean

streamwise plate length joint acceptance between the jth and kth modes crosswise plate length flexural wave speed longitudinal wave speed plate stiffness Young’s modulus excitation frequency plate thickness ith term of structural transfer functions matrix for the plate imaginary unit convective wavenumber reciprocal of the structural transfer functions matrix, Hj(o)¼1/Lj(o) streamwise correlation length crosswise correlation length pressure input power absolute distance vector non-dimensional metric response Reynolds number based on momentum thickness power spectral density of the wall pressure distribution due to the turbulent boundary layer power spectral density of the plate displacement mean value of the power spectral density of the plate displacement over the structural domain free stream (undisturbed) velocity

Uc ut v w x Xpp y

91

convective velocity friction velocity cinematic viscosity out of plane displacement of the plate streamwise reference axis cross spectral density of the wall pressure distribution due to the turbulent boundary layer crosswise reference axis

Greek symbols

ax ay G

gj d d*

Z u

n xx xy l

rf rs F ci

o oj

streamwise correlation coefficient spanwise correlation coefficient spatial correlation function in the cross spectrum generalized mass coefficient for the jth mode turbulent boundary layer thickness displacement thickness structural damping factor Poisson’s ratio relative distance vector: n(xx,xy ) streamwise spatial separation spanwise spatial separation plate flexural wavelength fluid density material density dimensionless function—average value of the joint acceptance integral ith analytical mode shape of the bare plate (without any added mass) circular excitation frequency ( ¼2pf) natural circular frequency of the jth mode

Ciappi et al., 2009; Efimtsov, 1982) for the cross spectral density (CSD) of wall pressure fluctuations (WPF). These quantities represent the input for the structural analysis. The identification of the scaling laws permits to make pressure spectra independent of the test conditions (i.e. of Reynolds number) and extrapolate data at full scale from low Reynolds number laboratory experiments. The CSD models are supposed to be valid only under the hypotheses of two-dimensional fully developed turbulent boundary layer with zero pressure gradient acting on a flat plate and contain empirical parameters usually obtained from experimental data. Unfortunately, these parameters are not always universal but necessitate dedicated experimental campaigns to be defined. A comparison between the most popular CSD models can be found in Graham (1997) and Hambric et al. (2004). Besides being time demanding and expensive, a model scale experiment for this kind of measurements would only provide a partial information about the physics of the problem. For example, standard experimental set-up and data analyses for WPF characterization, that make use of a spatial domain comparison between measured CSD spectra and theoretical models, are inadequate to indicate which one is the best for the description of WPF in the different wavenumber regions. In fact, most of the energy of WPF is concentrated around the convective peak and any correlation data are mainly the representation of the convective character of the TBL. Only direct measurements of the wavenumberfrequency spectra could give significant insight, but only few experimental data have been made by using this approach (Abraham, 1998), due to the complexity of the experimental set-up and of the data analysis. For these reasons, the definition of a predictive model able to represent correctly the spatial variation of the wall pressure field, in all the frequency and wave-number ranges, is still an open issue. On the other hand, the numerical solution of the structural equations, especially when dealing with complex structures such as an aircraft fuselage or a ship hull, deserves some attention. When the structural wavelengths are small compared to the typical dimension of the problem, i.e. at high frequency, the number of degrees of freedom, necessary to calculate accurately the structural response, increases rapidly. In this frame, energy methods such as the Statistical Energy Analysis (Lyon and De Jong, 1995) can be invoked at high excitation frequencies. However, the definition of the input power, starting from a general model for the pressure cross spectral density not using the separation of variables, can be very

92


complicated and time consuming. Interesting advances are in Totaro et al. (2008) and in Totaro (2004), and those findings are here fruitfully used; other research works, which have addressed the problem of the computational cost versus the frequency bandwidth of interest (De Rosa and Franco, 2008; Hong and Shin, 2010; Ichchou et al. 2009), have to cited too. A chance to drastically reduce the computational time can be the identification of scaling laws for the structural response able to determine, at least for a certain class of problems, a unique representation of the response independent of the particular flow conditions or structural properties. In this work a dimensional analysis is used to recover the dimensionless parameters for the definition of the scaling laws for the required axes: the excitation frequency and the power spectral density of the response. The structure is a thin, flat and elastic plate with no pre-stresses wetted over one face by a stationary turbulent boundary layer in an incompressible flow with zero pressure gradient. The obtained dimensionless groups are used to report and compare on dimensionless scales three analytical responses obtained with the modal approach and, more important, four data sets measured in different conditions both in wind tunnels and in a towing tank. The functional relations between the physical parameters are discussed and an analytical expression for the dimensionless plate response is also derived. It is shown that the functional group in Totaro et al. (2008) is here found by invoking a dimensional analysis. It includes the main dimensional variables for the plate response and the fluid velocity, as expected. The collapse of the different experimental plate responses, as consequence of the choice of the dimensionless functional groups, is very encouraging. The proposed scaling laws are successively and successfully applied to four data sets measured in different conditions both in wind tunnels and in a towing tank. The work is structured as follows. After this introduction, Section 2 summarizes all the theoretical backgrounds for the evaluation of the modal and energy response of a plate under a convective and turbulent pressure load; further, it presents the dimensional analysis and the derivation of the dimensionless parameters governing the problem. In Section 3, all the experimental set-up and data are presented, together with the resulting dimensionless forms of the structural responses. Finally, Section 4 remarks the main achievements of the present work.

2. Theoretical models and dimensional analysis 2.1. Modal response The mechanical system under study is a thin, flat, homogeneous, isotropic plate with no pre-stress (no pressurization and no edge loadings), where only flexural waves are considered. The plate is mounted on an infinite rigid plane baffle flush with the TBL, and it is considered belonging to a xy plane; the flexural out-of-plane displacements, named wðx,y,tÞ, are along the z axis, while the flow is along the x direction. The side lengths are a and b, in the stream-wise and cross-wise direction, respectively. In the present analysis the aeroelastic coupling effects on the structural dynamic response of the plate can be taken into account by introducing the wetted natural frequencies and mode shapes. This information requires the evaluation of the added mass due to the fluid, which is generally negligible in air, but induces significant modifications in the modal parameters for heavy fluid like water (Ciappi et al., 2009). Moreover, a one-way coupling between the structure and the fluid is assumed, i.e. the elastic deformation does not affect the fluid dynamic field. The displacement cross spectral density between any arbitrary couple of points belonging to the plate, A(xA,yA) and B(xB,yB), due to an assigned stochastic distributed excitation, can be found with the following modal expansion as given in Elishakoff (1983): Sw ðxA ,yA ,xB ,yB , oÞ ¼

# " # " 1 X 1 X cj ðxA ,yA Þck ðxB ,yB Þ Sp ðoÞðabÞ2 AQ j Q k ðoÞ, U gj gk Lnj ðoÞLk ðoÞ j¼1k¼1

ð1Þ

with AQ j Q k ðoÞ ¼

gj ¼

Z

a 0

Z

0

Z

0

b

a

Z

0

a

Z

b 0

Z

b 0

"

X pp ðÞx,y,x0 ,y0 , o Sp ðoÞðabÞ2

#

cj ðx,yÞck ðx ,y Þ dydy0 dxdx0 ,

c2j ðx,yÞdydx; Lj ðoÞ ¼ rs h½o2j &o2 þ iZo2j ':

0

0

ð2Þ

ð3Þ

The symbol ci denotes the ith mode shape and oi the ith natural radian frequency. The integrals defined by the symbol AQjQk are well known also as the acceptances: joint acceptance for j¼ k, or cross acceptance for jak. The formulation contained in the Eqs. (1) and (2) can be applied to any structural operator once assumed its modal base. From the analysis of Eq. (2), it is evident that the quality of the predictions is strictly related to the spatial characterization of wall pressure fluctuations expressed in terms of its cross-spectral density function X pp .


93

2.2. Dimensional analysis In order to find a dimensionless representation for the structural response an approach based on dimensional analysis is here used. Within the present approach, the power spectral density of the plate displacement is considered as the output variable. It is well known that the cross spectral density of wall pressure fluctuations X pp can be written in general form as the product of the power spectral density Sp in a reference point and a spatial correlation function G between two points, whose distance is xx and xy in streamwise and spanwise direction, respectively, as shown in the following equation: X pp ðxx, xy, , oÞ ¼ Sp ðoÞGðxx, xy, , oÞ:

ð4Þ

Both terms of the right-hand side of Eq. (4) are in general complex functions of flow parameters. In particular, the single point spectral density depends on the boundary layer characteristic lengths d, d*, on the characteristic velocities U and ut and on the flow properties namely rf and v. According to the scaling laws provided by several authors (Ciappi et al., 2009; Keith et al., 1992) and on the corresponding analytical formulation (Goody, 2004), the role of d and d* is equivalent thus, only d is retained for the dimensional analysis. The semi-empirical models available in the scientific literature to represent the function G suggest different functional dependences on flow parameters. The most popular of them is the Corcos (1964) model, which considers the dependence on the convection velocity Uc, only, whereas more sophisticated models (Chase, 1980; Efimtsov, 1982) include also the dependence on d and ut. Thus, Eq. (4) can be rewritten in the more general form as X pp ¼ Sp ðo, d,U,ut , rf , nÞGðxx , xy , o, d,U c ,ut Þ:

ð5Þ

In view of a dimensional analysis related to the evaluation of the structural response, it is convenient to consider directly as one of the dimensional parameter the power spectral density of wall pressure fluctuations. In this case the dependence on rf and v, appearing only in the first term of Eq. (6), is not considered explicitly. The same considerations hold for U. Under the above assumptions, the plate response to the pressure field induced by a turbulent boundary layer, according to Eq. (1), can be represented as a generic function f depending on both the following dimensional fluid dynamic and structural variables: f ðSw ,Sp , o, d,U c ,ut , rs ,E, Z,h,a,b, xx , xy Þ ¼ 0,

ð6Þ

where rs is the material density, E the Young modulus, Z is the total damping coefficient (sum of the material and of the aero/fluid dynamic damping) and h, a, b are the plate thickness, length and width, respectively. In Eq. (6) there are 14 dimensional parameters thus, according to the Buckingham theorem (Buckingham, 1914), there are 11 dimensionless parameters governing the problem. The identification of these last is not unique but one set is given by sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Sw U c Uc 3 h h oh ut a b d xx xy ; r ; ; ; ; ; ; ; ; Z: ð7Þ ;E s 3 Sp Sp U c U c U c h h h h h h Then, the power spectral density of the plate displacement can be rewritten in the following form: 0 sffiffiffiffiffiffiffiffiffi sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 3 h @ U 3c h h oh ut a b d xx xy A g rs , , , , , , ,Z : , ,E Sw ¼ Sp Sp U c U c U c h h h h h Uc

ð8Þ

From the analysis of these parameters it is straightforward to define a dimensionless frequency

on ¼

oh Uc

:

ð9Þ

Eq. (9) can be also expressed by introducing the flow convective wavenumber kc ¼ ðo=U c Þ, the structural bending qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffi 4 2 wavenumber kB ¼ o ð12rS ð1&n2 Þ=Eh Þ, the flexural and longitudinal structural wave speed cB ¼ ðo=kB Þ and pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi cL ¼ ðE=rs ð1&n2 ÞÞ, respectively

on p

kc cB , kB cL

ð10Þ

thus highlighting that the dimensionless frequency relates the convective and the structural wavenumbers. At this stage a critical analysis of the identified parameters is fundamental to recognize which of them are the most significant for the plate response. Dimensionless ratios a/h and b/h are strictly related to the structural model used to describe the plate motion. In the present analysis only thin plates (i.e. governed by the Kirchoff equation) (Graff, 1991) are considered and then the value of these two parameters can be assumed definitely large. The dimensionless parameter d=h indicates the fluid-structure degree of coupling for conventional plates; it is excluded the analysis of the cases of thick and flexible plates. More specifically, it can be interpreted as a measure of the influence of the structural deformation on the flow field. Consistent numerical values of d and h for the present test cases indicate that

94


d=hb 1 moreover, since the order of magnitude of the displacement response is of the same order of magnitude than the plate thickness, it does not affect the fluid domain, indicating a one-way coupling between the structure and the fluid. Furthermore, if it is assumed that the major contribution to the plate response is due to diagonal terms of the crossspectral density matrix, xx/h and xy/h can be neglected too. Finally, although the ratio ðut =U c Þ for an equilibrium boundary layer over a flat plate is a function of the Reynolds number (Schlichting, 1978), its variation is small and can be considered of minor importance. Damping coefficient can be introduced by defining a complex longitudinal wave speed ðcnL Þ2 pcL 2 ð1&ðZ2 =4ÞÞ, (Cremer and Heckl, 1987); however, for the considered plates damping coefficient values are approximately the same thus, in what follows Z is neglected. The only two dimensionless parameters that seem important for the present problem are those involving the pressure power spectral density. Without any further considerations on the physics of the problem, the plate response can be dependent on one of them or on a combination of the two. Nevertheless, in order to make the plate response independent of the input it seems convenient to consider the ratio Sw/Sp as done already in Finnveden et al. (2005). Thus, it is possible to define three possible functional dependences for the spectral density functions related to the plate displacement, by evidencing also a generic function, g, of the dimensionless frequency, o* sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi!&2 3 h h Sw ¼ E gðon Þ, ð11Þ Sp U c Uc 0 sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffisffiffiffiffiffiffiffiffi 1&1 3 h @ h U 3c hA Sw ¼ rs E gðon Þ, Sp U c Sp Uc

ð12Þ

0 sffiffiffiffiffiffiffiffi 1&2 3 h @ U 3c hA Sw ¼ rs gðon Þ: Sp Uc

ð13Þ

" # " #2 Sw U c 2 S U rs E ¼ w c r2s c2L ¼ g II ðon Þ, Sp h Sp h

ð15Þ

" # " # Sw $rs %2 4 Sw E 2 U c 4 Uc ¼ ¼ g III ðon Þ: Sp h Sp h cL

ð16Þ

Accordingly, it is possible to define three dimensionless displacement functions of the dimensionless frequency o* only " # Sw E 2 Sw $rs %2 4 ¼ cL ¼ g I ðon Þ, ð14Þ Sp h Sp h

The capability of Eqs.(14)–(16) to produce a data collapse and the functional dependence on the dimensionless frequency is investigated in Section 3.2 from the direct analysis of the experimental data presented in Section 3.1. 2.3. Energy response The analysis of an energy model for the response of the plate can be difficult since a correct representation of the power input is needed. This aim is addressed in the work by Totaro (2004) and Totaro et al. (2008), using, as fundamental relationship, the modal response expressed in Eq. (1). Specifically, the main TBL models, due to Corcos, Corcos with Davies approximation (Davies, 1971), Efimstov and Blake, are investigated. In Totaro et al. (2008), the following representation is adopted: P IN ðoÞ ¼ Zo3 abrS hSw,mean ; P IN ðoÞpSp ðoÞ

ab U 2c 2rS h o2

rffiffiffiffiffiffiffiffiffi rh UFða,b,U c , o, rS ,cL Þ: D

ð17Þ ð18Þ

The dimensionless function F represents the average value of the joint acceptance integral in wavenumber space; this term depends on the selected model for the TBL excitation. PIN and Sw,mean denote the input power and the mean response. It is straightforward to get that " ! #&1 " # 2 Sw,mean ðoÞ h Uc 4 1 p UFða,b,U c , o, r2S ,cL Þ; Z 3 Sp ðoÞ oh r2S cL U c ! ð19Þ Sw,mean ðoÞ Zr2S cL U 3c n ð o Þ: ¼ g IV 2 Sp ðoÞ h


95

Fig. 1. Analytical responses for three different plates excited by a Corcos TBL source with Davies approximation. Table 1 Parameters for the configuration used in the analytical responses.

Material Density (kg/m3) Young’s modulus Plate thickness (mm) Plate length (m) Plate width (m) Fluid density (kg/m3) Speed of sound (m/s) Asymptotic speed (m/s) Damping loss factor

Conf 1

Conf 2

Conf 3

Aluminum 2700 7.1Eþ 10 0.5 0.4 0.3 1000 1000 5 0.02

Steel 7500 21.1E þ10 2.0 0.7 0.2 1.225 340 100 0.04

PVC 1400 4.5Eþ 9 1.0 0.372 0.22 1.225 340 72 0.05

Therefore, a full dimensionless response is again obtained and it evidences the same group highlighted in the previous section with a classical dimensional analysis, Eqs. (14)–(16). According to the present result, the dependence is with the fourth power of the reciprocal of the dimensionless frequency. All the remaining frequency dependence is left in the F function in which they can be attributed specifically to the difference among the TBL models. 2.4. Results The approximate solution of the Eq. (1), when the TBL source model is due to Corcos with the Davies approximation, is in Fig. 1; the main parameters for the tested plates are summarized in Table 1. It is evident how the functional groups associated in with the gIV function works well in unifying the responses. It has been also performed a full analysis of the problem by invoking a scheme in which the joint acceptance is solved analytically, Eq. (2); the results are in Fig. 2. The main difference among these analytical results is in the low frequency range, which is dominated by the first resonating structural modes. Rather than discussing all the possible effects of the adoption of any of the g formulations, moreover with reference to all possible TBL model, it has been decided to apply directly the derived g functions on the experimental data. 3. Experimental measurements 3.1. Description of the set-up The four data sets, considered for this analysis, regard incompressible and steady turbulent boundary layers in almost zero pressure gradient flow acting on thin and flat plates. The boundary conditions of the plates were neither measured nor estimated since this information is relevant only for the tuning of the predictive modal models: this falls outside the present aims.

96


Fig. 2. Analytical responses for three different plates excited by a Corcos TBL source.

Among the large amount of data available in the literature on wall pressure and induced structural vibrations, these experimental setups are the few ones able to provide, for each test case, information on both pressure fluctuations and structural deformations acquired in the same facility and in the same nominal conditions. As it is specified in the next section this aspect is fundamental for the validation of the proposed scaling procedure. The first two sets of data are extracted from a database containing measurements of wall pressure fluctuations and structural response acquired in the INSEAN towing tank. The first one is relative to an experimental campaign performed on a 1:15 model of a catamaran hull (Fig. 3). A thin PVC plate is inserted in the bottom of the hull in correspondence of the stern region; pressure and acceleration measurements are performed for model speeds of 3.3 m/s and 5.3 m/s, respectively. A complete description of this experimental campaign can be found in Ciappi et al. (2009). The second set of data belongs to an experimental setup designed to measure wall pressure fluctuations and the response of elastic portions of a 1:8 scaled bulbous model of a surface ship (Fig. 4). The considered data regard the stern measuring section where the flow reaches quasi stationary conditions and where pressure gradient effects, due both to water surface deformation and to structural curvature, can be neglected, (Magionesi and Ciappi, 2010a, 2010b). The elastic element inserted in the model is an PVC thin plate, the model velocity in this case ranges between 3.636 m/s and 6.36 m/s. A complete description of this experimental campaign can be found in Magionesi and Ciappi (2010a, 2010b). The last two sets of data are obtained from measurements performed in aerodynamic tunnels. The former is due to Finnveden et al. (2005) in the frame of ENABLE project: it consists of an aluminum plate exposed to flow velocities of 80, 100 and 120 m/s, respectively. The latter is part of the experimental campaign performed by Totaro et al. (2008) on four different plates of different geometries and materials. The data considered for this analysis regard the PVC plate for flow velocities equal to 35 and 50 m/s, respectively. Table 2 presents the principal characteristics of the four plates. Table 3 lists the principal mean flow TBL parameters of the 10 experimental test cases. The chosen four data sets have the aim to analyze complete different flow conditions and structural configurations. The power spectral densities of the plate responses are represented by their mean response over 8 points for plate 1, 3 points for plate 2 and 5 points for plate 3. The reference power spectral densities of wall pressure fluctuations are represented by their average over 10 points for plates 1 and 2 and 19 points for plate 3. Data for plate 4 are directly derived from Fig. 18 of the paper by Totaro et al. (2008) in terms of metric response R defined as R¼

o4 Sw ðrs hÞ2 Sp

:

ð20Þ

In the same work it is stated that the plate velocity response acquired with a laser vibrometer is averaged over 75 points. Values for the convection velocity are usually obtained from time domain cross-correlation analyses or from the phase of the cross spectral densities. The values of Uc used for the present analysis come from the results given in Ciappi et al. (2009), Finnveden et al. (2005), Magionesi and Ciappi (2010a, 2010b) and Totaro et al. (2008) and are listed in Table 3. It is important to remark that Eq. (20) represents the first attempt to make the power spectral density of the plate response dimensionless and independent of the power spectral density of WPF as done in Finnveden et al. (2005), De Rosa and Franco (2008) and Ciappi et al. (2009). However, the spatial characteristics of the fluid–structure interaction are not taken into account neither in the response axis nor in the frequency one. In the next section, it is shown that this representation does not lead to a collapse of the spectra. In fact, for the selected test cases, the fluid–structure coupling is

97


Fig. 3. Catamaran model and setup.

Test section

Fig. 4. Scaled (1:8) bulbous model.

Table 2 Dimensions of the plates and material properties.

Material Density (kg/m3) Young’s modulus Thickness (mm) Length (m) Width (m)

Plate 1

Plate 2

Plate 3

Plate 4

PVC 1190 3.2E þ9 3.0 0.6 0.2

PVC 1190 3.2Eþ9 3.3 0.242 0.144

Aluminum 2700 7.1Eþ 10 1.6 0.768 0.328

PVC 1400 4.5E þ9 1.0 0.6 0.3

98


of different kind in the frequency ranges of interest (sub-convective, convective and super-convective bandwidths). Furthermore, these frequency ranges can be completely different among all possible experimental configurations. As a consequence, the only normalization of the frequency axis is not sufficient, too.

3.2. Application of the scaling laws The proposed dimensionless forms of the structural response, Eqs. (9), (14)–(16), (19) are applied to the data sets described in Section 3.1. In Fig. 5 the ratio between the acceleration and the pressure power spectral densities are shown for the test cases mentioned before. Due to the difference between the test conditions of the four data sets in terms of both fluid dynamic and structural parameters, with particular reference to flow velocity values, the plate responses exhibited different amplitudes. This is particularly evident in the low-mid frequency range, 10C103 Hz. In this region, the sizeable gap in the curve level is related to the different values assumed by the ratio between the structural and the aero/fluid-dynamic wavenumbers. In particular for the aerodynamic case (Plates 3 and 4) structural wavenumbers are smaller than flow wavenumbers until the so-called coincidence frequency. Therefore, the structural responses are dominated by the convective components of the pressure field for a large part of the frequency range; in correspondence of the coincidence frequencies, around 700 Hz, they reach the maximum values. On the contrary, for Plate 1 and 2 the coincidence frequencies are below 1 Hz; this indicates that they receive energy mainly from the sub-convective component of the pressure field. As a consequence of this, the spectrum amplitude does not display a distinct maximum. It is interesting to analyze what happens if the metric response of Eq. (20) is adopted, as reported in Fig. 6. It is evident that the gap between different data sets remains large since the proposed dimensionless form does not produce a collapse

Table 3 TBL mean flow parameters. Plate

Fluid

1 and 2

Water

3

4

Air

d (mm)

ut (m/s)

Uc (m/s)

3.30 5.30 3.64 5.45 6.36

120.0 113.0 51.0 49.7 48.0

0.110 0.163 0.102 0.147 0.171

0.70 U

80.00 100.00 120.00 35.00 50.00

50.0

2.600 3.100 3.700 1.4 1.960

0.75 U

U (m/s)

53.0 55.0 85.0

Fig. 5. Ratio between acceleration and pressure power spectral densities.

0.65 U

0.62 U


99

between different curves of the same data set either. As already said this dimensionless form for the structural response does not contain any information about the spatial characteristics of the fluid–structure interaction. In Fig. 7 the same experimental curves are represented in terms of the ratio between the power spectral densities of the plate displacement and of the pressure. The considerations done for the contents of Fig. 5 hold in this case as well. In order to investigate the validity of the dimensionless functional relations provided by the dimensional analysis performed in Section 2.2, the plate spectra are scaled according to Eqs. (14)–(16) and the corresponding results are reported in Figs. 8–10, respectively. The first non-dimensional quantity, defined by Eq. (14), is represented in Fig. 8 on the y-axis to check its attitude to provide a universal scaling of the four data sets. The results clearly indicate an excellent collapse of the three curves relative to Plate 3; moreover, the curves relative to Plate 4 show the same trend in a quite similar non-dimensional frequency range and a complete superposition with the previous ones. Curves relative to Plate 1 and 2 exhibit a good collapse with the other ones mostly for the higher values of the dimensionless frequency well above the convective range. On the other hand, from the inspection of Figs. 9 and 10, it appears that Eqs. (15) and (16) do not lead to a collapse of the experimental data. The main difference between Eq. (14) and Eqs. (15) and (16) is the explicit presence of the flow velocity as one of the scaling parameters for the response axis (it always appears in defining, together with the plate thickness, the reference time scale of the dimensionless frequency axis). In particular, focusing on the curves relative to the

Fig. 6. Metric responses R.

Fig. 7. Ratio between displacement and pressure power spectral densities.

100


Fig. 8. Dimensionless plate displacement (Eq. (14)).


same plate, it is evident that the introduction of Uc to scale ðSw =Sp Þ seems to prevent the data to collapse. Additionally, it is worthwhile to highlight that, passing from Eqs. (15) to (16), that is, with a higher power of Uc in the dimensionless functional representation, the gap between the different curves increases considerably, confirming that the proposed dependence on the convective speed, Uc, is incorrect. With reference to Fig. 8, it is then possible to find the functional relation between the dimensionless response and the dimensionless frequency. Three distinct regions can be identified. Different slopes of the linear regression curves characterize each of them (in logarithmic scale); their expressions are well approximated by the simple relations 8 > > 4108 ðon Þ&4 > > > > > < 8 &8 Snw ¼ 110 ðon Þ > > > > > > 7 &3 > : 210 ðon Þ

oh Uc 0:07 o

oh Uc

o0:07;

oh Uc

o0:21;

ð21Þ

4 0:21;

and they are drawn for comparison in Fig. 8, along with the experimental measurements. Although these frequency regions cannot be recast exactly in terms of the ratio between the bending and the convective wavenumbers, some general considerations can be drawn. In particular, for low values of o*, the first relations of Eq. (21)


101

Fig. 10. Dimensionless plate displacement (Eq.(16)).


represent the amplitude of the response for frequencies that are around the coincidence frequency i.e., for values of kB =kc ( 1. The second and the third relations represent the amplitude of plate response in correspondence of frequencies for which the ratio kB =kc ( 1. It is straightforward now to introduce what already presented in Fig. 2, derived with reference to Eq. (19). This relationship is based on the balance between the input power and the energy content of the structural domain. In fact, it is the only dimensionless form directly involving the structural damping. Eq. (19) is shown in Fig. 11 when applied to the four sets of experimental data set. The experimental results, in this dimensionless form, are perfectly in agreement with those analytical presented in Fig. 2 and show a good collapse. It is worthwhile to recall that the analytical results are based on the Corcos TBL model and on structural and flow characteristics different from the experimental ones. The dimensionless curves of the experimental data separate in the low frequency bandwidth as already shown in the analytical results. It is possible to check that, in logarithmic scale, the experimental measurements collapse on a simple curve Snw ¼ 3:310&1 ðon Þ&4:8

oh Uc

40:04:

ð22Þ

102


Some remarks are needed about this regression: (i) the power of the dimensionless frequency is not equal to four because the g function includes the average value of the joint acceptance integral, which is a function of frequency, too; (ii) the law has been obtained by using the analytical responses presented in Fig. 2. At this time, some considerations on the usefulness and practical relevance of dimensionless relations can be done. As already underlined in this work, scaling laws for the power spectral density of WPF exist and are well established. Analytical expressions for pressure PSD make use of some basic TBL mean flow parameters such as the boundary layer thickness and the friction velocity. Thus, starting from the desired test conditions in terms of material properties, geometrical configurations and undisturbed flow velocity and, assuming that the convection velocity can be represented as a constant fraction of U, it is possible, from the knowledge of d and ut only, to give a quick estimate of the amplitude of the structural response spectra in the whole frequency range. It is not worthwhile to recall that Eq. (21) are obtained by invoking a dimensional analysis; on the contrary, Eq. (19) comes from an energy-based formulation. For all the results presented herein, the structural response has been considered a mean one, obtained through an average over the acquired locations. 4. Concluding remarks In this work the scaling laws for the response of an elastic thin plate excited by a steady turbulent boundary layer are derived. These laws are based on both a pure dimensional analysis and an energy response formulation. Simple analytical expressions for the dimensionless curves are provided and more important, the proposed scaling laws are used for representing a quite large amount of experimental data. These experimental data set involves four types of plates in air and in water flow, excited by a turbulent boundary layer, thus representing a severe test data set. With this data, it is shown, that all the presented experimental measurements collapse very close one to each other according with the dimensionless functions selected for the power spectral densities of the structural displacements. Then, the proposed representations could be usefully utilized to perform preliminary predictive steps. In fact, it has been demonstrated that it is possible to obtain an estimate of the power spectral densities of the displacement response in the whole frequency range, starting from the desired test conditions i.e. material properties, geometrical characteristics and flow velocities, from the knowledge of the boundary layer thickness and of the friction velocity necessary to define the pressure power spectral density. In this regard, it has been shown that both the relations obtained using dimensional analysis (Eq. (14)) as well as energy response formulation (Eq. (19)) produce a quite good collapse of all data sets. On the other hand, Eq. (19) describes the dependence between non-dimensional frequency and non-dimensional acceleration response with one simple expression valid in the whole frequency range providing a very quick estimate of the structural response. Notwithstanding, the use of Eq. (14) should be preferred for all cases where damping value is not easy to be identified for example when the considered panel is a section of a real and complex structure (ship, airplane, etc.). At this stage, the main aim has been to test the possibility to get a universal representation of the response able to include the fluid-structure coupling in all frequency and wavenumber ranges. It is evident that many other points remain to be investigated in order to widen the significance of the representation and thus to extend the proposed dimensionless forms to a more complicated structural components. References Abraham, B.M., 1998. Direct measurements of the turbulent boundary layer wall pressure wavenumber-frequency spectra. Journal of Fluids Engineering 120, 29–39. Buckingham, E., 1914. On physically similar systems; illustrations of the use of dimensional equations. Physical Review 4, 345–376. Bull, M.K., 1996. Wall pressure fluctuations beneath turbulent boundary layers: some reflections on forty years of research. Journal of Sound and Vibration 190, 299–315. Chase, D.M., 1980. Modelling the wavevector-frequency spectrum of turbulent boundary layer wall pressure. Journal of Sound and Vibration 70, 29–67. Choi, H., Moin, P., 1990. On the space-time characteristics of wall pressure fluctuations. Physics of Fluids A 2, 1450–1460. Ciappi, E., Magionesi, F., De Rosa, S., Franco, F., 2009. Hydrodynamic and hydroelastic analyses of a plate excited by the turbulent boundary layer. Journal of Fluids and Structures 25, 321–342. Corcos, G.M., 1964. The structure of the turbulent pressure field in boundary-layer flows. Journal of Fluid Mechanics 18, 353–379. Cremer, L., Heckl, M., 1987. Structure borne sound, 2nd Ed. Springer-Verlag, ISBN: 0-387-18241-1. Davies, H.G., 1971. Sound from turbulent-boundary-layer-excited panels. Journal of the Acoustical Society of America 49, 878–889. De Rosa, S., Franco, F., 2008. Exact and numerical responses of a plate under a turbulent boundary layer excitation. Journal of Fluids and Structures 24, 212–230. Elishakoff, I., 1983. Probabilistic Methods in the Theory of Structures. John Wiley & Sons, New York. Efimtsov, B.M., 1982. Characteristics of the field of turbulent wall pressure fluctuations at large Reynolds numbers. Soviet Phisics—Acoustics 28, 289–292. Finnveden, S., Birgersson, F., Ross, U., Kremer, T., 2005. A model for wall pressure correlation for prediction of turbulence-induced vibration. Journal of Fluids and Structures 20, 1127–1143. Goody, M., 2004. Empirical spectral model of surface pressure fluctuations. AIAA Journal 42, 1788–1794. Graff, K.F., 1991. Wave motion in elastic solids. Dover Publications, New York. Graham, W.R., 1997. A comparison of models for the wavenumber frequency spectrum of turbulent boundary layer pressures. Journal of Sound and Vibration 206, 541–565. Hambric, S.A., Hwang, Y.F., Bonness, W.K., 2004. Vibrations of plates with clamped and free edges excited by low-speed turbulent boundary layer flow. Journal of Fluids and Structures 19, 93–110.


103

Hong, C., Shin, K.K., 2010. Modelling of wall pressure fluctuations for finite element structural analysis. Journal of Sound and Vibration 329, 1673–1685. Ichchou, M.N., Hiverniau, B., Troclet, B., 2009. Equivalent ‘rain on the roof ’ loads for random spatially correlated excitations in the mid frequency range. Journal of Sound and Vibration 322, 926–940. Keith, W.L., Hurdis, D.A., Abraham, B.M., 1992. A comparison of turbulent boundary layer wall-pressure spectra. Journal of Fluids Engineering 114, 338–347. Lee, Y.T., Blake, W.K., Farabee, T.M., 2005. Modeling of wall pressure fluctuations based on time mean flow field. Journal of Fluids Engineering 127, 233–240. Lyon, R.H., De Jong, R.G., 1995. Theory and Application of Statistical Energy Analysis. Butterworth-Heinemann, London. Magionesi, F., Ciappi, E., 2010a. Characterisation of the response of a curved elastic shell to turbulent boundary layer. In: Proceedings of the Seventh International Symposium on Fluid–Structure Interactions, Flow–Sound Interactions, and Flow-Induced Vibration & Noise, Montreal, Canada. Magionesi, F., Ciappi, E., 2010b. Experimental investigation of turbulent boundary layer excitation acting on the sonar dome. In: Proceedings Internoise 2010, Lisbon, Portugal. Peltier, L.J., Hambric, S.A., 2007. Estimating turbulent-boundary-layer wall-pressure spectra from CFD RANS solutions. Journal of Fluids and Structures 23, 920–937. Schlichting, H., 1978. Boundary Layer Theory. McGraw-Hill, New York. Totaro, N., Robert, G., Guyader, J.L., 2008. Frequency averaged injected power under boundary layer excitation: an experimental validation. Acta Acustica 94, 534–547. Totaro, N., 2004. Caracterisation de Sources Aerodynamiques et Sous-structuration Pour la Method SEA. Ph.D. Thesis, INSA, Lyon, France, 04 ISAL 010.

Aeroelasticità e Acustica Nelle Strutture Aerospaziali by de Rosa

Recommend Documents