BAHAGIAN 1 Rene Descartes, ahli matematik Perancis yang terkenal pada abad ke-16 menemui keindahan sistem Koordinat Cartesian ketika beliau sedang baring sambil merenung seekor labah-labah di siling.
Rene Descartes dilahirkan pada 31 Mac 1596 . Beliau dilahirkan di La Haye ,France . Nama bapa beliau ialah Joachim Descartes iaitu seorang caunselor di Parlimen .Beliau mendapat pendidikan awal di Jesuit College of Henri IV , La Fleche di Anjou .Beliau mempelajari bidang sastera , matematik dan sains ketika disana semenjak berumur lapan tahun (1606) . Pada tahun 1614 , beliau sambung belajar dalam jurusan sivil danCannon Law di Poitiers . Sejurus itu , beliau menerima tauliah sarjana dalam Law Asidedari Law Degrees . Beliau meluangkan lebih masa mempelajari falsafah , ilmu tentangketuhanan dan perubatan . Pada
tahun
dikenalisebagai
1637
,
beliau
“Cartesian
menerbitkan
Geometry”
.
geometri
Oleh
yang
disebabkan
ketokohan beliau , beliau pernah digelar Pengasas Falsafah Moden dan Bapa Matematik Moden . Beliau telah meninggal
dunia pada 11 Febuari 1650 , ketika berusia 54 tahun akibat penyakit pneumonia . Rene Descartes merupakan salah seorang ahli falsafah barat moden . Beliaudikenali sebagai ahli falsafah , ahli matematik dan ahli sains yang terkenal . Ketinggianilmu telah melibatkan beliau dalam pelbagai bidang ilmuwan , misalnya bidang pendidikan , falsafah , pengiraan , dan sebagainya . Descartes adalah salah satu pemikir utama dalam Revolusi Saintifik
dan
Dunia
Barat
.
Beliau
banyak
mengeluarkanfalsafahnya sendiri dan juga menjadi pengikut aliran falsafah . Beliau mempunyaikemahiran yang tinggi dalam bidang sains dan matematik serta banyak menyumbangdalam bidang ini sehinggakan beliau mendapat pelbagai gelaran . Beliau turut dihormatidengan mempunyai system koordinat Cartes yang digunakan dalam geometri satah danalgebra .Beliau turut dikenali sebagai Cartesius . Sebagai pereka system koordinat Cartesdan mengasaskan geometri analisis , satu penghubung antara algebra dan geometri adalahamat penting dalam rekaan kalkulus dan analisis . Rene menjelajah dari utara ke selataneropah pada tahun 1619 – 1628 , dan beliau akhirnya menerangkan bahawa beliaumempelajari “the book of the world” . Ketika di Bohemia (1619) , beliau telah menciptageometri analitis , kaedah menyelesaikan
geometri
masalah
algebra
dan
algebra
masalahgeometrical . Di dalam matematik , system koordinat Cartes adalah satu system yangmenilai satu titik secara unik di
dalam satu satah menerusi dua nombor , biasanyadikenali sebagai koordinat – x atau koordinat – y satu titik . Bagi mentakrifkan titik itudua garis lurus yang beserenjang (paksi-x dan paksi-y) ditentukan bersama – sam dengan unit panjang yang ditandakan pada kedua – dua paksi (lihat rajah 1) . Sistem koordinatCartesian ini juga digunakan dalam ruang (yang mana tiga koordinat digunakan ) dan di dalam dimensi yang lebih tinggi .
Rajah 1 - Sistem Koordinat Cartesian. Empat titik ditandakan: (2,3) diwarnakan hijau,(-3,1) merah, (-1.5,-2.5) diwarnakan biru dan (0,0), asalan, diwarnakan kuning.Dengan menggunakan sistem
koordinat
Cartes
,
bentuk
–
bentuk
geometri
(sebagaicontoh lengkungan ) digambarkan oleh persamaan algebra , dinamakan persamaandipuaskan oleh koordinat –
koordinat titik yang terletah di atas bentuk berkenaan ,contohnya bulatan
berjejari
dua
mungkin
boleh
digambarkan
oleh
persamaan x2+ y2= 4
Rajah 2 - Sistem Koordinat Cartesian bulatan dengan berjejari 2 berpusatkan 2
asalandiwarnakan
merah.
Persamaan
bulatan
2
adalah x + y = 4. Dalam geometri , beliau memberikan pendedahan analitis geometrinya . Beliau jugamelengkapkan sistem yang dicipta oleh Francois Viete untuk menggambarkan kuantiti berangka yang pada mulanya hanya diketahui sebagai a,b,c,.... namun tidak diketahuisebagai x,y, z.....dan segiempat , kiub ,sebagainya . Perkara ini lebih memudahkan pengiraan algebra berbanding sebelumnya . Descartes dipaksa untuk menerbitkan ideanya , antaranya ialah La Dioptrique , La Geometries dan Les Meteors . Merujuk buku yangdikeluarkan Descartes , beliau lebih memilih
kepuasan dalam memperoleh ilmu pengetahuan daripada yang dikatakan oleh logik Aristotle . Buku – buku yang diterbitkanini lebih menghendaki keupayaan akal fikiran bagi mendapatkan idea baru danmenyelesaikan sesuatu masalah . Misalnya buku – buku yang dihasilkan menggunakan pendekatan pemerhatian dan menjalankan eksperimen bagi mengekalkan kesahihan ilmuyang dikeluarkan . Namun begitu , terdapat idea – idea yang dikeluarkan Descartes dikritik . Hal inidisebabkan oleh berlainan pendapat antara tokoh – tokoh pemikir . Misalnya dalam bukuyang diterbitkan iaitu Les Meteors , buku tersebut menerangkan tentang meteorologi dankepentingan mengkaji cuaca pada dasar saintifik . Idea ini dianggap mempunyaikesalahan , dan diuji kaji melalui eksperimen yang didemonstrasikan oleh Roger Bacon .Roger Bacon percaya bahawa air yang telah dimasak akan membeku dengan lebih cepat . Namun begitu Descartes mempunyai pendapat yang berbeza serta alasan yang tersendiri .Rene Descartes merupakan seorang tokoh yang menggunakan akal dengan sebaiknya .Beliau mempunyai keyakinan yang tinggi dalam melakukan sesuatu perkara .Sikapnya yang tidak mudah menyerah kalah dan berpegang pada kata – katanyamembuatkan beliau disegani ramai . Hal ini dapat dibuktikan melalui perungkapannyayang jelas menggambarkan diri nya , iaitu “ I think , therefore i’am . (cogito , ergo sum ) . Selain pengasas dalam falsafah matematik , Rene descartes juga merupakan
salahseorang pengikut utama aliran falsafah . Aliran falsafah yang diikiuti adalah Rasionalisme. Aliran falsafah ini turut disokong oleh tokoh – tokoh lain seperti Baruch Spinoza danGottfried Leibniz . Namun
begitu
,
aliran
ini
mendapat
tentangan
aliran
fikiranempirisisme yang disokong oleh Thomas Hobbes , John Locke , George Berkeley danDavid Hume . Aliran falsafah Rasionalisme merupakan aliran falsafah yang lebihmementingkan kredibiliti fakulti akal berbanding yang lain . Rasionalisme menyatakan bahawa segala ilmu pengetahuan tentang alam ini diperolehi melalui fakulti akal , bukannya melalui pengalaman , perasaan , imbasan mahupun hati / kalbu . Fahaman ini berpendapat bahawa sekurang – kurangnya sebahagian ilmu manusia bersumber daripadaakal tanpa bantuan deria lain iaitu pancaindera , hati / kalbu dan deria . Rasionalismemendapat pegangan utuh semase di tangan Descartes , pemikir falsafah moden Barat ,khususnya berkaitan dengan konsep ilmu sehingga epistimologi menjadi tumpuan kajianfalsafah . Epistimologi merupakan
kajian
tentang
ilmu
pengetahuan
.
PendekatanDescartes menjadi ikutan beberapa ahli falsafah ternama dalam pemecahan soal bagaimana akal bekerja sebagai alat yang menghasilkan ilmu . Sebilangan ahli falsafahyang telah dipengaruhi itu dikenali sebagai “kesangsian radikal “ . Menurut Descartes ,kebenaran adalah sesuatu yang kukuh ,tidak boleh hancurkan dan tidak goyah keranakebenaran adalah berdasarkan fakta dan bukti yang jelas . Kebenaran tidak boleh adakesangsian
, jika terdapat kesangsian dalam akal , maka idea tersebut perlu ditolak . Namun begitu , aliran falsafah rasionalisme ini mendapat tentangan dari aliranfalsafah lain , iaitu empirisisme . Golongan Empiris menolak pegangan golongan rasionalkerana berpendapat bahawa
ilmu
yang
berasaskan
rasional
tidak
mampu
menghasilkansesuatu yang baru , sebaliknya ilmu melalui empiris dapat menghasilkan sesuatu yang belum diketahui . Aliran falsafah empirisisme lebih mengutamakan kredibiliti pancaindera , kerana bagi mereka ilmu itu lebih mudah diperolehi melalui pengalaman ,cerapan , mahupun imbasan . Namun begitu , saya lebih memihak kepada aliran yangdipilih oleh Descartes . Hal ini kerana , dalam alam semesta ini , terdapat juga sesuatu benda yang bukan hanya mampu diukur berdasarkan pancaindera . Kaedah pancaindera ,terutamanya penglihatan sering menipu mata manusia . Selain itu , asas perkara sepertiruang , masa , logik dan matematik , tidak semua boleh dialami melalui pengalaman . perkara – perkara ini memerlukan keupayaan akal fikiran .
BAHAGIAN 2 Persatuan Matematik, persatuan Sains dan persatuan Sejarah ditugaskan untuk menceriakan kawasan yang diberikan kepada persatuan masingmasing. Agihan lokasi persatuan Matematik, persatuan Sains dan persatuan Sejarah yang diperuntukkan ialah kawasan X, Y dan Z masingmasing seperti dalam Rajah 1. Mereka dikehendaki mengenal pasti berbagai bentuk dan saiz kawasan yang diperuntukkan kepada mereka. Setiap kawasan dikehendaki menanam dan menyelenggara kehijauan tumbuh-tumbuhan di kawasan masing-masing untuk diselia sepanjang tahun.
Di mana AED adalah berbentuk lengkung bulatan berpusat di F. Jarak BG ialah 4m, jarak BC ialah 8m dan CD berjarak 6m, manakala AD selari dengan BC.
(a) Tentukan luas kawasan X,Y dan Z dengan menggunakan sekurang-kurangnya penggunaan
tiga
kalkulus.
kaedah
Tentusahkan
menggunakan perisian komputer.
yang
berbeza
jawapan
anda
termasuk dengan
(b) Jika kos semeter pagar ialah RM 30.00, berapakah jumlah kos yang diperlukan oleh Persatuan Matematik untuk memagar kawasan X ?
Kawasan X = 4.47 m + 4 m + 2 m + [ = 10.47 m + 12.57 m = 23.04 m Semeter
= RM 30.00
23.04 m
= RM X
X = 23.04 x 30 X = RM 691.20
X
2X
X
4]
Dengan dana sebanyak RM 350.00, bolehkah persatuan itu memagar kawasan tersebut? Huraikan jawapan anda.
Beri pendapat dan cadangan anda bagaimana pagar itu boleh dibina tanpa melibatkan penambahan peruntukan dana.
(c) Semasa Minggu Matematik, ahli persatuan ingin mengikat rantai bendera dari D ke F dan seterusnya ke satu titik E yang terletak di atas lengkung AD supaya membentuk suatu sektor yang bersudut 1 radian (i) Tandakan di manakah kedudukan titik E o
radian = 180
o
1 radian = 180 1 radian
o
= 57.27
(ii)
hitung panjang rantai bendera yang diperlukan
panjang rantai bendera = DF + EF 2
2
DF = 4 + 2
2
2
DF = 20 DF = DF = 4.47 m
DF = EF Panjang rantai bendera = 4.47 m + 4.47 m = 8.94 m
BAHAGIAN 3 Persatuan Sains bercadang membina sebuah kolam di kawasan Y seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 2. Kolam tersebut berbentuk suku bulatan berpusat di B dengan kedalaman 0.4 meter.
(a)
Untuk kesesuaian air yang diisi
daripada isipadu kolam, hitung
isipadu air yang diperlukan.
Luas kolam
=
x
x 42 2
= 12.571 m
2
Isipadu kolam = 12.571 m x 0.4 m 3
= 5.03 m
3
daripada isipadu kolam
= 5.03 m
daripada isipadu kolam
=? m
3
x 5.03 m 3
= 3.78 m
3
(b)
Jika air itu dipam ke dalam kolam dengan kadar malar 0.002 m3 s-1 Hitungkan :
(i) Kadar ketinggian paras air 3
0.4 m 0.02 m s 2
= 200 m s
-1
-1
(ii) Ketinggian paras air selepas 3 minit 2
-1
200 m s x 180 s = 36000 m
(iii) Masa
minimum,
dalam
minit,
yang
diperlukan untuk air mula melimpah keluar
daripada isipadu kolam = 5.03 m3 2
-1
3
200 m s s = 5.03 m 2
-1
3
s
= 200 m s 5.03 m
s
= 39.76 minit
(iv) Masa
minimum,
dalam
minit,
yang
diperlukan untuk air mula melimpah keluar jika kolam yang di bina memenuhi semua kawasan
persatuan
sains
dengan
kedalaman yang sama.
daripada isipadu kolam = 5.03 m
200 m2 s-1 s = 5.03 m3 2
-1
3
s
= 200 m s 5.03 m
s
= 39.76 minit
3
(c) Persatuan
Sejarah
dikehendaki
membina
suatu
tapak
berjubin
berbentuk sebuah bulatan supaya ianya terterap dalam segitiga CDF.
Anggarkan bilangan jubin yang berbentuk segi empat sama berukuran 20 cm yang perlu dibeli untuk memenuhi kawasan bulatan tersebut.
Luas XYZ
=[6x8]+
2
x
2
x4
2
= 48 m + 25.143 m 2
= 73.143 m
Luas Y
=
x 4 x 12 2
= 24 m
Luas X
2
= 25.143 m +
x 2 x 12
2
2
= 25.143 m + 12 m 2
= 37.143 m
2
Luas Z
2
2
= 73.143 m - 24 m - 37.143 m 2
= 12 m
Bilangan jubin yang diperlukan : 2
= 12 m [ 0.2 m x 0.2 m ] 2
2
= 12 m 0.04 m = 300 keping
