2013

Este folleto contiene tres pruebas resueltas de las pruebas de

selectividad de 2013:

INGLÉS LENGUA CASTELLANA   Y LITERATURA  LITERATURA  MATEMÁTICAS II

La Prueba de Acceso a la Universidad se divide en dos fases: fase general y fase específica. En la fase general, el alumnado deberá examinarse de las materias comunes (Lengua Castellana y Literatura, lengua extranjera, Historia o Filosofía y, en su caso, de la lengua cooficial) y de una materia de la modalidad elegida. En la fase específica, los alumnos podrán subir nota examinándose de otras materias de modalidad diferentes de aquella de la que se han examinado en la fase general.

ESTA COLECCIÓN TE VA A AYUDAR Porque está pensada para ti, para facilitarte la preparación de la Prueba de Acceso a la Universidad. Porque en ella descubrirás consejos sobre cómo preparar adecuadamente el examen y sobre cómo actuar durante este. Porque cada libro contiene pruebas de Selectividad de 2013 de todos los distritos universitarios de España. Porque todas las pruebas se ofrecen debidamente seleccionadas y muy claramente resueltas, lo que te permitirá preparar mejor tu examen.

Disponible en formato digital:  www.anayaeducacion.com/selectividad  www .anayaeducacion.com/selectividad

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42172 8 408190

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SELL EC SE ECTT IV IVID IDAD AD 2013 Pruebas de Acceso  a la Universidad Estos son los títulos de la colección que  Anaya  Ana ya ofre ofrece ce par paraa la pre prepar paraci ación ón de las Pruebas de Acceso a la Universidad. • •

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BIOLOGÍA  CIENCIAS DE LA TIERRA  Y MEDIOAMBIENTALES MEDIOAMBIENTALES FÍSICA  FRANCÉS GEOGRAFÍA  GRIEGO HISTORIA  INGLÉS LATÍN LENGUA CASTELLANA Y LITERA LITER ATURA  MATEMÁTICAS II MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II QUÍMICA 

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INGLÉS PRUEBA DE SELECTIVIDAD ACLARACIONES PREVIAS

 No se permite el uso del diccionario ni de ningún ning ún otro material didáctico.  Las preguntas preguntas deberán ser respondidas en inglés.  Duración de la prueba: 1 hora y 30 minutos.  Esta hoja no se entrega entrega y hay que responder todos los bloques de la propuesta elegida, A o B.

Opción A  Text  GOING TO UNIVERSITY IN BRITAIN

After school many British students studen ts go to university university. They apply to several universities and receive offers of a place on condition that they achieve certain grades in their A levels. Many universities receive some money from the state. The oldest and most famous are Oxford and Cambridge, though there are many other respected universities un iversities in the UK. Some universities are called red brick universities because they were built in the 19th Century with brick rather ra ther than stone. The newer universities have their buildings grouped together on a campus. A first degree, which is usually an Honours Degree, generally takes three years. Results are given in classes (that is, grades): a first is the highest class, second are often split between upper second and lower second, and below that is a third. Graduates may add the letters BA (Bachelor of Arts) or BSc (Bachelor of Science) after their name. Some graduates gradua tes go on to study for fo r a further degree, often a master’s degree or a doctorate (Ph.D.). At most British universities the academic year is divided into three terms. Throughout their degree course, students study a main subject, which is usually a mix of compulsory courses and electives. e lectives. Teaching methods may vary between universities. Some students have lectures and seminars (discussion groups) and there are practicals for those studying a science subject. At some universities universities students have tutorials or supervisions. su pervisions. 2

Students in Britain formerly had their tuition fees paid by the state and received a government grant to help them pay their living expenses. Now they only receive a loan towards their expenses, and from 1999 most also have to pay £1000 a year towards tuitions fees. The new arrangements have caused a great deal of concern among people who believe it should be free. Source: Oxford Guide to British and American Culture

Questions I

Reading Comprehension. Add TRUE or FALSE FALSE and copy the evidence from the text to support your answer. NO marks are given for only true or false. (2 points) 1. After school, school, most British British students go on to study at university university.. 2. The state state pays for for higher higher education. education. 3. Students study a main subject which is a combination of different types of  course units. 4. Nowadays, Nowadays, students students are given given a grant to pay their expenses.

II

A. Lexicon. Find words or phrases in the text that mean the same as these given. (1 point) 1. re reach

3. obligatory

2. reputable

4. something that causes anxiety; a source of unhappiness.

B. Phonetics. Answer the questions about phonetics below. below. (1 point) 1. Write a word from the text that include the same ending sound as “going” / ŋ /. 2. Write a word from the text that contains the same diphthong sound as “pay” /eɪ /.  /. 3. How is the “ed” pronounced in "respected" /t/ /d/ or / ɪd/? 4. How is the “s” pronounced in "respected" /s/ /z/ or / ɪz/? III

Use of English. Rewrite the following sentences starting with the words given. (3 points) 1. I have have been working with with computers computers for ten years. I started… 2. We have such intelligent English teachers that everyone is happy. happy. Our English teachers… 3. I am travelling travelling with with a friend. He can’t can’t speak English. English. The friend… 3

4. Someone threw threw away a cigarette cigarette in the rubbish bin yesterday. yesterday. Yesterday… 5. I didn’t study study hard enough. That is why I didn’t didn’t pass. If… 6. How long did it take you to go to Central London? It took…

IV  Composition. Write a composition of 100-125 words on the following topic. (3 points)

Advantages and Disadvantages of Studying Abroad.

Solución de la opción A  I 1. False: ‘After school many British students go to university’. 2. False: ‘Many universities receive some money from the state’ and students ‘have to pay £1000 a year towards tuitions fees’. 3. True: ‘students study a main subject, which is usually a mix of compulsory courses and electives’. 4. False: ‘Now they only receive a loan towards their expenses’.

II A. 1. reach: achieve 2. reputable reputable:: respected respected 3. obligato obligatory: ry: compulsor compulsory y 4. something that causes causes anxiety; a source source of unhappiness: unhappiness: concern B. 1. buildings; teaching; studying; living 2. they; place; grades; grades; state; famous; Cambridge; Cambridge; UK; may; may; BA; name; name; main 3. / ɪd/  4. / s / 

III 1. I started  working with computers ten years ago. 2. Our English English teache teachers rs are so intelligent that everyone is happy. 3. The friend friend (who/that) I am travelling with can’t speak English. 4. Yesterday esterday someone threw away a cigarette in the rubbish bin. 5. If I had studied hard enough, I would have passed. If I had studied harder, I would have passed. 4

6. How long did it take you to go to Central London? It took me two hours to go to Central London.

IV  More and more young people want to study abroad these days, but what are the advantages and disadvantages? On the one hand, studying abroad is a fantastic opportunity to meet new people, to discover new ideas and new cultures and to learn new languages. It broadens your mind and teaches you a lot about yourself and other people. On the other hand, studying abroad can be expensive, even if you have a grant. The course might also be very different from your course at home and you might not understand the classes. Perhaps you will have to study an extra year when you go home because of this. In conclusion, studying abroad has both advantages and disadvantages but it can be a very valuable experience. (125 words)

Opción B Text  LANCE ARMSTRONG’S DOPING

Lance Armstrong, the former cycling champion, has admitted to using drugs to improve his performance for the first time. In an interview with Oprah Winfrey Winfrey,, Armstrong Armstrong said he had used drugs during all seven of his Tour Tour de France wins, from 1999 to 2005. The confession took a long time to come. Despite having lost his Tour de France titles last year after a doping investigation, Lance Lan ce Armstrong always denied cheating. cheat ing. But he had been lying. lying . The 41-year-old American cyclist told Oprah Winfrey Winfrey he used drugs in every Tour de France contest he won. He took banned substances and used blood transfusions to increase his performance. Without drugs, he said, it wouldn’t have been possible to win. Armstrong said he kept repeating “one big lie” and conceded that his admission would be “too late” for most people. “All the fault and all the blame lies with me”, Lance Armstrong said. But he denied having forced other members of his team to dope.

5

LENGUA CASTELLANA Y LITERATURA  PRUEBA DE SELECTIVIDAD ACLARACIÓN PREVIA Realizar una de las dos opciones propuestas (A o B).

 Opción A  EL ACENTO

Vacuna difícil  difíci l 

E

l hecho de que los fármacos antivirales hayan convertido el sida en una dolencia controlable no resta un ápice de importancia a las investigaciones que persiguen una vacuna eficaz contra el virus de la inmunodeficiencia humana (VIH) que causa la enfermedad. Primero, porque el acceso a esos medicamentos sigue siendo, en el mejor de los casos, muy deficiente en los países en desarrollo, donde el alto precio de los fármacos se confabula con unas pésimas infraestructuras sanitarias para impedir su distribución a la población necesitada. Segundo, porque estos cócteles demandan a sus usuarios una disciplina que no todos están dispuestos a seguir. Y tercero, porque el VIH es un agente escurridizo que sigue variando dentro del cuerpo de cada paciente y buscando formas de hacerse resistente a los compuestos químicos que le atacan. La investigación del Servicio de Enfermedades Infecciosas y Sida del hospital Clínico de Barcelona sobre una vacuna experimental contra el VIH, conocida esta semana, merece por tan-

to todo el apoyo de la sociedad. Esto no quiere decir, sin embargo, que sea el momento de echar las campanas al vuelo y generar expectativas excesivas o infund infundada adas. s. unque el experimento realizado sobre 36 pacientes —que siguieron siendo tratados con los cócteles convencionales— ha demostrado una reducción notable de la carga viral, el efecto carece de la suficiente fuerza y estabilidad para conferirle utilidad en la práctica clínica. El objetivo de cualquier vacuna terapéutica, según reconocen los propios autores del trabajo, es lograr que la carga viral se reduzca hasta niveles indetectables en la sangre del paciente, lo que dista mucho de ser el caso, y además el efecto empieza a debilitarse a los tres meses de la administración y desaparece por completo al cabo del año. stas objeciones no suponen un argumento contra el trabajo del equipo de Barcelona. Muy al contrario, lo que revelan es la necesidad de apoyar y financiar esas investigaciones. La ciencia es casi siempre un camino tortuoso, pero sus apoyos financieros no deben serlo, por mucho que los resultados tarden en llegar.

A

E

 EL PAÍS, PAÍS, domingo 6 de enero de 2013 6

1 Comentario lingüístico (5 puntos): a) Tem emaa (0,5 puntos). b) Esquema de la estructur estructuraa del texto (1,5 puntos). c) Cohesió Cohesión n del texto texto (3 puntos). 2 Comentario crítico (2 puntos): Elabore un texto propio en relación con el contenido del texto propuesto, expresando, de forma razonada, su opinión personal, apoyándose en algún argumento y en algún conocimiento enciclopédico. Se requiere un mínimo de 100 palabras (2 puntos). 3 Lenguaje poético de Antonio Machado (3 puntos).

 Opción B ¿Qué cocino hoy? Crema parmentier con caldo de pollo

Rica receta para torpes... SARANAHUM

S

OY bastante mala para adivinar el precio de las cosas. Yo en el Precio Justo no hubiera ganado nunca. No sé si es que tengo diferente manera de considerar el valor de los productos, pero el caso es que no suelo acertar. Así que cuando voy a hacer la compra al mercado no dejo de llevarme sorpresas. Sin duda la mayor de todas fue la de ayer. Llevo ya varias recetas decepcionada con los caldos de pollo ya hechos que me encuentro, así que para esta decidí hacerlo yo. Fui a la carnicería y pedí una carcasa de pollo. Es decir, los huesos con la piel. ¿Cuánto creéis que cuesta eso? Venga, Venga, no hagáis trampa, pensadlo... Os lo voy a decir: 40 céntimos!!! Solo 40 céntimos!! cén timos!! Yo que ya había sacado mi billete de cinco euros, cuando me lo dijeron me dieron ganas de comprar diez. Ya sé que al fin y al cabo es solo hueso y bla bla bla pero no sé, me atraen profundamente las cosas

que valen menos de un euro. Me entran unas ganas irrefrenables de comprar uno para cada una de mis amigas pero claro, me llego a plantar en el Jesús Mari con tal detalle y de esta me encierran, seguro. Bueno, que me lío hablando de carcasas de pollo y no os cuento lo más interesante. Esta receta la saqué saqu é del nuevo libro de Angelita Alfara,  Las mejores recetas de siempre para torpes...  Esto... gracias Angelita por acordarte de mí y mandármelo, no me lo tomaré como una indirecta, jeje. Las ilustraciones son de Forges y la verdad es que como su nombre indica son muy fáciles. Esta estaba, además, deliciosa. Una crema de patata con beicon a la que yo además le añadí unos picatostes que le daban un toque perfecto. Ya sabéis que hasta que no le sumo todas las calorías posibles no me quedo contenta. Aishh (suspiro).

@

LA RECETA COMPLETA El paso a paso de la recta con fotos, en la web.

 Diario de Navarra, jueves 24 de noviembre de 2011

7 

1 Comentario lingüístico (5 puntos): a) Tem emaa (0,5 puntos). b) Tipología Tipología del texto texto (1,5 puntos). c) Adecuaci Adecuación ón del texto texto (3 puntos).

2 Comentario crítico (2 puntos): Elabore un texto propio en relación con el contenido del texto propuesto, expresando, de forma razonada, su opinión personal, apoyándose en algún argumento y en algún conocimiento enciclopédico. Se requiere un mínimo de 100 palabras (2 puntos).

3 Crónica literaria y perspectivismo en Crónica de una muerte anunciada  de Gabriel García Márquez (3 puntos).

Solución de la prueba Opción A  1 a) Tema. La Tema. La investigación contra la enfermedad e nfermedad del VIH. b) En el siguiente esquema se esquema se apreciará muy bien la estructura del estructura del texto, compuesto por tres partes, así como la diferencia entre las ideas principales (nuprincipales (numeradas con 1, 2, 3) y las secundarias (numeradas secundarias (numeradas con 1.1, 1.2, 1.3...): 1. Los fármacos contra el VIH no han solucionado totalmente el problema, debido a muy diversas causas: 1.1. Tienen un precio muy alto y se distribuyen mal en los países subdesarrollados. 1.2. Imponen al paciente una disciplina muy severa. 1.3. Dentro del paciente, el VIH sigue variando y desarrollándose. 2. La vacuna experimental contra el VIH elaborada en el hospital Clínico de Barcelona supone un paso adelante, pero tampoco es definitiva, sobre todo por dos razones: 2.1. Reduce mucho la carga viral, pero no la elimina del todo. 2.2. Sus efectos tienen una duración muy limitada. 3. Por tanto, hay que valorar positivamente todos los hallazgos de la investigación médica, pero se necesita mayor apoyo y mayor financiación para encontrar resultados más valiosos. 8

En este esquema se aprecia que la primera idea principal abarca el primer párrafo del texto. La segunda ocupa los  párrafos segundo y tercero. Y el párrafo final contiene la tesis, que coincide con la tercera idea principal. También se aprecia que las letras capitales del texto no están situadas adecuadamente: esa A del tercer párrafo debería ser normal, mientras que al comienzo del segundo sí se requiere una L. Por todo ello, nos hallamos ante una argumentación inductiva, puesto que los diversos argumentos anteceden a la tesis.  Entre los argumentos encontramos varios tipos: el de la idea 1.1 es de carácter socioeconómico y moral, pues apela a la solidaridad con los enfermos de VIH de países en vías de desarrollo. También se trata de un argumento argum ento de cantidad, pues en tales países es donde se concentra hoy la mayor parte de estos pacientes. El de la idea 1.2 corresponde a la calidad de la vida práctica de los usuarios. Los demás argumentos son de autoridad científica, por cuanto se basan en la ciencia médica del autor o autores del texto.

c) La cohesión del texto se demostrará atendiendo a los distintos tipos de rasgos lingüísticos. En el aspecto comunicativo o textual, nos encontramos con un emisor que trata con gran profesionalidad  el tema y que, al hacerlo en nombre de un periódico muy conocido y de tirada nacional, está dando a su argumentación un grado de autoridad muy convincente. convincente. El registro lingüístico empleado a lo largo del todo el texto es el formal, con la excepción de esa frase hecha propia del registro coloquial (el momento de echar las campanas al vuelo),  que introduce de una forma gráfica y llana un razonamiento de por sí más complejo. La función del lenguaje que predomina es la apelativa, en cuanto que el autor (o autores) llama de continuo nuestra atención hacia su valoración de los hechos; aunque también se utiliza la  representativa.  En efecto, como se desprende de la tesis, el texto no pretende tanto informar sobre la evolución de la lucha médica contra el SIDA como concienciar a la comunidad científica, a las autoridades civiles y a todos los ciudadanos de que esta guerra aún no está ganada y de que se necesitan muchos más apoyos. Todos estos rasgos señalados, si bien atienden más a la adecuación del texto con sus lectores, también le confieren unidad en la estructuración lingüística de sus enunciados, que no otra cosa es la cohesión. Esta propiedad del texto aparece reforzada por el empleo de algunos marcadores,   como el  primero,  primero, segundo y tercero para enumerar los argumentos iniciales; así como el uso de conectores de adición (y, además), de causa (porque) o de contraste (aunque, sin embargo, muy al contrario...). En cuanto a los elementos referenciales, se hace muy efectiva la anáfora,  especialmente con adjetivos determinativos demostrativos (esos medicamentos, estos cócteles, estas objeciones...). Asimismo, la recurrencia léxica  o semántica de las palabras (VIH, fármacos, virus y sus derivados...)  confiere al texto una cohesión permanente. 9

morfosintáctico, destaca la modalidad enunciativa de la maEn el aspecto morfosintáctico, yor parte de las oraciones, aunque la última, precisamente por contener la tesis, que es un llamamiento a la solidaridad de todos los lectores, presenta la modalidad imperativa. Tales oraciones suelen ser largas, tanto porque contienen diferentes proposiciones  debidamente enlazadas como porque llevan dentro de sí muchos sintagmas con largos adyacentes.  La longitud de las oraciones contribuye a la práctica de una lectura pausada y serena,   como conviene a un tema científico cuando se dirige a un público no especializado en la materia. Dentro de esas oraciones extensas predomina la subordinación adjetiva («que persiguen una vacuna eficaz...», «que sigue variando dentro del cuer po...», «lo que dista mucho...») y la adverbial, tanto causal («porque el acceso...», «porque estos cócteles...», «porque el VIH...»)  como concesiva (aunque el experimento realizado...) o modal (según reconocen los propios autores...). Los sustantivos suelen ser abstractos, debido al carácter del tema en cuestión, (investigaciones, reducción, reducción, adminisy muchos de ellos proceden de verbos (investigaciones, tración, objeciones...),  lo cual aporta al texto una mayor impresión de objetividad, a la vez que le permite abreviar  y paliar la larga extensión que, ya de por sí, tienen las oraciones. Los adjetivos suelen ser especificativos (fármacos  antivirales, población necesitada, compuestos químicos), como conviene a la objetividad del enfoque; pero también valorativos ( pésimas  pésimas  infraestructuras, expectativas excesivas e infundadas, acceso  deficiente), pues se trata de argumentar sobre hechos graves que exigen una solución urgente. Por su parte, abundan los verbos en presente habitual (confabula, demanda, merece...), pues se trata de  fenómenos que se repiten  de ordinario en nuestro tiempo. En el aspecto léxico-semántico  resultan muy significativas las siglas VIH, que tienen un carácter monosémico y economizan la manera de aludir a la enfermedad en cuestión. Las palabras derivadas, con frecuencia de verbos que se nominalizan, como ya se ha advertido, son propias de un texto que aborda una cuestión compleja y necesita vocablos no elementales, sino más precisos y matizados. Por último, la pretendida objetividad del autor demanda el empleo del significado denotativo, libre de adherencias subjetivas. subjetivas. 2

 Respuesta libre.

3

 El tema central de toda la obra poética de Antonio Machado es la conciencia dramática del Tiempo. Por supuesto que hay otros temas recurrentes como la muerte, la soledad, el  el amor, la solidaridad, Dios, el  el progreso progreso de España..., pero Machado cancionero o apócricasi nunca —solo en algunos poemas de su ciclo final,  De un cancioner  fo— se enfrenta a ellos directamente, sino que tales temas aparecen como consecuencias de su gran preocupación por el Tiempo, la grave realidad humana que a nuestro autor le toca vivir a diario. En la «Poética» que escribió para la antología de poesía española contemporánea publicada por Gerardo Diego en 1931, Machado  palabra esencial esencial en el tiempo. tiempo. En efecto, la poesía refleja define la poesía como  palabra los misterios de la vida humana tal como estos se experimentan a través del tiempo, 10

pues el tiempo es un cambio continuo que afecta a todo el ser del hombre.  Machado no sólo es consciente de esto, sino que vive esa conciencia dramáticamente. Y no se trata de un drama porque sea triste, aunque la emoción de muchos poemas tienda a la tristeza, sino porque el conocimiento que el hombre tiene de sí mismo cambia incesantemente con el Tiempo, y ese cambio es dramático —para bien o para mal— porque destruye cualquier estabilidad de la persona,  cualquier posición segura en el mundo, como les ocurre a los personajes de un drama. En el poema LXXVIII (¿Y ha de morir contigo el mundo mago / ...), perteneciente a Soledades. Galerías. Otros poemas, uno de los más definitorios de su personalidad poética, el Tiempo se erige en tema central y en causa de todo el dramatismo de sus preguntas, las preguntas más decisivas y difíciles que cada uno puede hacerse a sí mismo o a la persona amada. Y en ese poema LXXVIII, el Tiempo, siendo tema central, convoca convoca a varios de esos otros subtemas señalados más arriba: el amor y la existencia de un más allá eterno y, por tanto, de un Dios que otorgue eternidad a nuestra vida. También También aparecen dos subtemas de gran importancia en la obra machadiana: la memoria (donde guarda el recuerdo / los hálitos más puros de la vida) y los sueños (la mano / que tú querías retener en sueños). Y es que, para vencer la acción destructora del Tiempo, el poeta acude a la memoria y a los sueños o, mejor dicho, a la memoria activada por los sueños. La memoria le permite a Machado revivir el tiempo ya perdido y reparar de alguna manera esa implacable pérdida. Por los sueños, el poeta puede pue de inventarse un futuro más satisfactorio que el que cabe esperar según la lógica de la vida diaria. No obstante, lo más frecuente es que nuestro autor sueñe a la vez que recuerda,  es decir, que nunca visite su pasado para encontrarlo como en realidad fue, sino para mejorarlo, para reinventarlo gozosamente por su imaginación soñadora. Como escribe en su poema LXXXIX, De toda tu memoria solo vale / el don preclaro preclaro de evocar los sueños. Junto a la memoria y a los sueños,  el tercer recurso que utiliza Machado para salvarse de la destrucción del tiempo es la poesía,  pues por ella puede fijar para siempre cualquier experiencia vital intensa, que es inevitablemente pasa jera y que, que , de otra forma, for ma, quedaría que daría conde c ondenada nada al olvido o lvido.. Pero lo que a Machad Ma chado o más le interesa fijar para siempre en el poema es la memoria activada por los sueños, es decir, el rescate del pasado una vez que ha sido perfeccionado por los sueños. El otro gran recurso de que dispone el poeta para p ara afrontar la conciencia dramática del Tiempo es el amor, tanto el amor erótico como el amor solidario con todos sus semejantes. Mediante el amor, en efecto, el yo sale de sí mismo para encontrarse con otro yo distinto que lo enriquece y le hace olvidar la destrucción del tiempo. El amor es tiempo compartido que anula la memoria personal e invita al amante a soñar solo con el futuro, de modo que la vida se convierte co nvierte en una espera gozosa. Y esto ocurre tanto en el amor erótico como en el amor solidario con todos los hombres, los cuales exigen al yo salir de sí para construir juntos una u na realidad nueva que les sobreviva. 11

MATEMÁTICAS PRUEBA DE SELECTIVIDAD ACLARACIONES ACLARACIONES PREVIAS

Elija una de las dos opciones, A o B, y conteste a las cuatro cuestiones que componen la opción elegida. Si mezcla preguntas de las dos opciones, el tribunal podrá anular su examen. En el desarrollo de cada problema, detalle y explique los procedimientos empleados para solucionarlo. Se califica todo. La duración del examen será de 90 minutos.

Opción A  1  Determinar los valores de

a

y de

b

para que la función:

)

e ax  si  x  ≤ 0  f (x ) = 2a + bsen x   si 0 <  x 

sea derivable.

(2,5 puntos)

2  Resolver las siguientes integrales: a)

 8 

5 x + 3x  2

 8 

π

dx 

 x 

(1,25 puntos)

b)

0

6sen x  dx  5 – 3 cos x 

(1,25 puntos)

3  Dado el siguiente sistema de ecuaciones:

Z y + (m + 1) z = 2 ]]  x + 2z = 1 [  x + (m – 1) y + ]]2 x + my + z = –1 \

a) Discutirlo Discutirlo según según los valores valores de b) Resolv Resolverl erlo o para

12

m =

2.

m.

(1,5 puntos) (1 punto)

*

4  Dados la recta r :

 x – 2y + z = 0

y el punto P (1, 0, 1) exterior a r :

– x + 2y + z = 2

a) Hallar la ecuación ecuación en forma forma general del plano π que contiene contiene a r  y P. (1,25 puntos) b) Hallar la ecuación ecuación (como intersección intersección de dos planos) planos) de la recta s que pasa por P (1,25 puntos) y es paralela a la recta r .

Opción B 1  a) Determinar los valores de a, b y c sabiendo que la función  f ( x   x ) = x 3 + ax 2 + bx  +  + c tiene extremos relativos en  x = 1 y  x  =   = –3, y que corta a su función derivada derivada en  x = 0. Determinar asimismo la naturaleza de los extremos. (1,25 puntos) b) Calcular Calcular el el límite: límite:

lí m  x  8 2

 x  + 2 – 2

(1,25 puntos)

2 x  – 3 – 1

2  La figura siguiente muestra un rombo inscrito dentro de un rectángulo, de forma que los vértices del rombo se sitúan en los puntos medios de los lados del rectángulo. El perímetro del rectángulo es de 100 metros. Calcular las longitudes de sus lados para que el área del rombo inscrito sea máxima. (2,5 puntos)

3  Calcular las matrices  A y  B tales que: 5 A + 3B =

4  Dada la recta r :

*

e  o 2

– 4 15

 x – 2y + z = 0

 x

0

– z=0

3A + 2B =

e  o 1

–1

–2

9

(2,5 puntos)

y los puntos P (1, –2, 0) y Q (0, 1, 3):

a) Hallar la ecuación ecuación del del plano π que contiene contiene a r  y es paralelo a PQ. (1,25 puntos) b) Hallar la ecuación ecuación de la recta recta s perpendicular a r  que pasa por Q e interseca a r . (1,25 puntos)

13

Solución de la prueba Opción A 

)

e ax  si  x  ≤ 0 1  f (x ) = 2a + bsen x   si 0 <  x   x ) sea continua: • Para que  f ( x  lím  x  8

0–

e ax  =

lí m  x  8

0+

(2a + bsen x)

1 = 2a

8

8

= 1 2

a

 x ) es, en principio: • La deriv derivada ada de  f ( x   f ' ( x   x ) =

)

ae ax 

si  x  < 0

b cos x  si 0 <  x 

8

*

1 / 2 e 1 / 2

 f ' ( x   x ) =

x 

si  x  < 0 si 0 <  x 

b cos x 

 x ) sea derivable en  x  = Para que  f ( x   = 0:  f ' (0 (0–) = f ' (0 (0+); es decir:

1 = 2

b

 x ) sea derivable: • Por tanto, tanto, para para que  f ( x  a=

2  a)

 8 

1, b = 1 2 2 5 x + 3x   x 2

8 

dx  =

5 x   x 2

 9 

=

dx  +

 8 

π

0

6sen x  6 dx  = 3 5 – 3 cos  x 

3 x 

8 

π

0

dx  =

 x 2

 8 

5 dx  + 3  x 

= 5 ln  x  + 3

b)

8 

 x 1 / 2 2

dx = 5 ln x + 3

 x 

8 

x –3 / 2 dx = 

2 3 x –1 / 2 + k = 5 ln x  – + k  –1 / 2  x 

3sen x  dx = 2 ln 5 – 3 cos x  5 – 3 cos  x 

8

π

B

0

=

= 2(ln 8 – ln 2) = 2(3ln 2 – ln 2) = 2 · 2ln 2 = 4ln 2

Z y + (m + 1) z = 2 ]]  x + 3  a) [  x + (m – 1) y + 2z = 1 ]]2 x + my + z = –1 \

J1 K  M'  = K1 K2 L

m +1 m –1 2 m 1 1

 M  1

14

1

m +1

 M = 1 m – 1

2

2

1

m

= 4 – m2 = 0

8

m=±2

2N

O O –1P 1O

• Si m ≠

±2, ran ( M ) = ran ( M' ) = 3 = n.º de incógnitas. El sistema es compatible determinado.

• Si m =

2:

J1 1 3 2 N K O  M '  = K1 1 2 1 O; K2 2 1 –1O L P

ran (M )

= 2, pues pues

1 3 ≠ 0. 1 2

1 3 2 ran (M'   ) = 2, pues 1 2 1 = 0 . 2 1 –1 ran ( M )

= ran ( M' ) = 2 < n.º de incógnitas. El sistema es compatible indetermiindetermi-

nado. • Si m =

–2:

J1 1 –1 2 N K O 1 O;  M '  = K1 –3 2 K2 –2 1 –1O L P

1 1 ≠ 0. ran (M ) = 2, pues 1 –3 1 1 2 ran (M'   ) = 3, pues 1 –3 1 ≠ 0 . 2 –2 –1

ran ( M )

≠ ran ( M' ). ). El sistema sistema es es incompatible. incompatible.

b) Resoluci Resolución ón para para m = 2: Como el rango es dos, eliminamos la tercera ecuación por ser combinación lineal de las otras dos.

*

 x + y + 3z = 2  x + y + 2z = 1

Resolvemos por reducción:

*

 x + y + 3z = 2

– x – y – 2z = –1

 z =

1

Sustituyendo el valor de  z en las dos ecuaciones:

*

 x + y = –1 8 y = –1 – x   x + y = –1

Z x = t  ]] Las soluciones son: [ y = –1 – t  ] z = 1 \ 15

4  a) r ~

*

 x – 2y + z = 0

– x + 2y + z = 2

; P = (1, 0, 1) Hallamos un punto y un vector dirección de r pasándola a paramétricas: paramétricas:

r 

P

*

v r 

¿

Pr 

π

 x – 2y + z = 0

– x + 2y + z = 2

Z x  ]] = –1 + 2m r ~ [ y = m ]] z = 1 \

2 z = 2

8

v r y Pr P ,

 z = 1

8

 x  =  = 2 y – 1

Pr = (–1, 0, 1); v r  = (2, 1, 0)

Otro vector paralelo a π es Con P,

8

Pr P

= (2, 0, 0) .

calculamos π:

 x – 1 y z – 1

π~

2

1

0

2

0

0

=0

8

b)

π ~ z – 1 = 0

s r 

P

Como s es paralela a r , s~

 x  – 1

2

π

Z ]] x  – 1 2 [ s~ ]] x  – 1 \ 2

= =

y

1 z –1

8

s~

0

=

y

1

=

z –1

0

*

 x – 2y – 1 = 0

 z – 1 = 0

Opción B 1  a) f ( x   x ) = x 3 + ax 2 + bx  +  + c  f ' ( x   x ) = 3 x 2 + 2ax  +  + b • Si

 x = 1 es un extremo,  f ' (1) (1) = 0

• Si

 x = –3 es un extremo,  f ' (–3) (–3) = 0

8

3 + 2a + b = 0 –27 + 6a – b = 0 –24 + 8a

16

=0

8

a = 3, b = –9

3 + 2a + b = 0 8

27 – 6a + b = 0

v

s

= v

r 

.

 x ) corta a su derivada derivada en  x  =  = 0 • Si  f ( x 

8

 f (0) = f ' (0) (0)

8

c = b

8

c = –9

• Calculamos la naturaleza de los extremos tomando a = 3, b = –9 y c = –9:  f ( x   x ) = x 3 + 3 x 2 – 9 x  –  – 9  f ' ( x   x ) = 3 x 2 + 6 x  –  – 9  f '' ( x   x ) = 6 x  +  + 6  f '' (1) (1) = 12 > 0

8

 f '' (–3) (–3) = –12 < 0

b)

lím  x

8

2

mínimo en  x  =  = 1. 8

máximo en  x  =  = –3.

(  x  + 2 – 2) ( 2 x  – 3 + 1) 2–2 = lí m = 2 x  8 2 x  – 3 – 1 ( 2 x  – 3 – 1) ( 2 x  – 3 + 1)  x  +

= lí m

(  x + 2 – 2) ( 2x – 3 + 1) ( x  + 2 + 2) = (2 x – 3 – 1) ( x  + 2 + 2)

= lí m

( x + 2 – 4) ( 2x  – 3 + 1) = 2 ( x – 2) ( x  + 2 + 2)

= lí m

( x – 2) ( 2 x  – 3 + 1) = 2 ( x – 2) ( x  + 2 + 2)

= lí m

2 x  – 3 + 1 = 2 = 1 8 4 2 (  x  + 2 + 2)

 x  8 2

 x  8 2

 x  8 2

 x  8 2

2

 Se trata de un problema de optimización.

a

*

2a + 2b = 100 a·b  A = 2

!

condición

!

función que se ha de maximizar

b

Despejamos a en la condición y sustituimos sustituimos su valor valor en la función a maximizar: a = 50 – b

8

 A

=

(50 – b) · b = 25b – 1 b 2 2 2

Para hallar los posibles óptimos, igualamos a cero la derivada primera: A'  =  = 25 – b = 0

8

b = 25, a = 25

Comprobamos que se trata de un máximo con la derivada de rivada segunda: A''  =   = –1 < 0, máximo.

El rectángulo pedido es un cuadrado de lado 25 metros.

17 

3

Z ]5 A + 3B = ] [ ] ]3 A + 2B = \

e   o e   o 2

0

– 4 15 1

–1

–2

9

Resolvemos por reducción:

Multiplicamos la primera ecuación por 3 y la segunda por –5:

Z ]15 A + 9B = 6 0 ] –12 45 [   – 5 5 ] ]–15 A – 10B = 10 – 45 \

e   o e   o e  o e  o 1

– B =

5

–2 0

Sumamos:

–1 –5

8

B=

2

0

En el primer sistema, multiplicamos la primera ecuación por 2 y la segunda por –3:

Z ]10 A + 6B = ] [ ] ]–9 A – 6B = \

e   o e   o e o 1

 A =

4

 a) r  ~

4

0

–8 30 –3

3

6

–27

 

Sumamos:

3

–2 3

*

 x – 2y + z = 0

– z=0

 x

; P = (1, –2, 0); Q = (0, 1, 3)

P

Q r 

v

r 

¿

8

)

 x – 2y + z = 0 8  z – 2y + z = 0 8 y = z  x – z = 0

Pr 

Z x = t  ]] r  ~ [ y = t ]] z t  = \

Para obtener un punto y un vector de r , hallahallamos sus ecuaciones paramétricas:

 x

y

z

1

1 1 =0

–1 3 3

18

 x = z

Pr = (0, 0, 0); v r  = (1, 1, 1); PQ = (–1 , 3 , 3 )

Con (0, 0, 0), vr  y PQ , hallamos π: π~

8

8

π ~ – y +  z = 0

b)

Q SQ S 

Como S  é r , S  es de la forma (t , t , t ). ). Como r  2 s, v r  2 SQ 8 8

v r  SQ = 0 8 (1, 1, 1) (–t, 1 – t, 3 – t ) = 0 8 :

:

8 –t + 1 – t + 3 – t  = 0 8

v

r 

¿

r 

Sea S  =  = r  » s.

s

c

8 –3t + 4 = 0 8 t  = 4 3

m c

m

Por tanto, SQ = – 4 , 1 – 4 , 3 – 4 = – 4 , –1 , 5 . 3 3 3 3 3 3

Tomamos v s  = (– 4, –1, 5) que es paralelo paralelo a SQ y con Q = (0, 1, 1, 3) escribimos las ecuaciones de la recta s  buscada:

Z x  = – 4m ]] s ~ [ y = 1 – m ]] z = 3 + 5l  \

19