Actividades de la unidad I
1) De la historia de geometría escribe: a) ¿Quiénes desarrollaron desarrollaron la forma primitiva de la geometría? El desarrollo de la geometría primitiva fue paralelo al de los números y la aritmética. La Introducción de los numerales fue un paso decisivo en la abstracción que dejaba atrás las marcas de cuenta utilizadas por los hombres primitivos. Uno de los primeros esfuerzos serios datados se remonta a la antigua Mesopotamia hace 6000 años. A continuación repasaremos sus logros más importantes. Entre los que desarrollaron la geometría primitiva están: 1- Euclides 2- Tales de mileto 3- Arquímedes Entre otros……
b) ¿De dónde se deriva la palabra geometría? Su palabra proviene de los vocablos griegos geō (tierra) y metrein (medir). La geometría es la parte de las matemáticas que trata de las propiedades y medida del espacio o del plano, fundamentalmente fundamentalmente se preocupa de problemas métricos como el cálculo del área y diámetro de figuras planas y de la superficie y volumen de cuerpos sólidos o geométricos. El cuerpo geométrico es un cuerpo real considerado tan solo desde el punto de vista de su extensión espacial. La idea de figura es aun más general, pues se abstrae también de su extensión espacial. Así, el espacio tiene tres dimensiones, dimensiones, una superficie superficie solo dos, una una recta una y un un punto carece carece de dimensiones. La geometría se ocupa de la forma de un cuerpo independientemente de las demás propiedades del mismo. Por ejemplo, el volumen de una esfera es 4/3 πr3, aunque dicha esfera sea de cristal, de hierro o una gota de agua. c) ¿En qué consiste el tratado de Euclides denominado “Elementos” y como está estructurado? Es un tratado matemático y geométrico que se compone de trece libros, escrito por el matemático griego Euclides cerca del 300 a. C. en Alejandría. Los Elementos es considerados uno de los libros de texto más divulgados en la historia y el segundo en número de ediciones publicadas después de la Biblia (más de 1000). Durante varios siglos, el quadrivium estaba incluido en el temario de los estudiantes universitarios, y se exigía el conocimiento de este texto. Aún hoy se utiliza por algunos educadores como introducción básica de la geometría. este tratado (elementos) está estructurado por los postulados de Euclides, consiste en 21 que desarrollan lo que son los rectángulos, la congruencia congruencia etc.
2) Describe los postulados de Euclides y cuál es la controversia del V postulados? Los postulados de Euclides hacen referencia al tratado denominado Los Elementos , escrito por Euclides hacia el año 300 a. C., exponiendo los conocimientos geométricos de la Grecia clásica deduciéndolos a partir de cinco postulados, considerados los más evidentes y sencillos.1 Los postulados de Los Elementos son: 1. 2. 3. 4. 5.
Dos puntos cualesquiera determinan un segmento de recta. Un segmento de recta se puede extender indefinidamente en una línea recta. Se puede trazar una circunferencia dados un centro y un radio cualquiera. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí. Postulado de las paralelas. Si una línea recta corta a otras dos, de tal manera que la suma de los dos ángulos interiores del mismo lado sea men or que dos rectos, las otras dos rectas se cortan, al prolongarlas, por el lado en el que están los ángulos menores que dos rectos.
Al leerlo tal y como lo escribió Euclides y dentro de su contexto, se observa que el V postulado es mucho más complicado en su formulación que los otros cuatro. Euclides mismo no se sirve de él en sus primeras 28 proposiciones, como si intuyera o esquivara la problem ática de fondo. El problema es pues si realmente el V postulado es independiente de los otros cuatro, o bien puede deducirse de ellos (junto con las nociones comunes y las definiciones).
Durante más de dos milenios, numerosos geómetras pensaron que esta propiedad debería poder deducirse lógicamente de las otras cuatro, y se dieron a la tarea de tratar de demostrar el axioma de Euclides. Comenzaron esta tarea geómetras árabes (mientras, esa época en Europa eran tiempos obscuros)2 y el primero en hacerlo fue Omar Jayam, que dibujó un rectángulo (ahora llamado "cuadrilátero de Saccher i3 ), y suponiendo que dos de los ángulos son rectos, sin el quinto postulado no pudo demostrar que los otros dos fuesen también rectos, tan solo demostró que son iguales.2 Posteriormente otro geómetra árabe, Nasir al-Din al-Tusi hizo otro intento sin conseguirlo. Siglos más tarde un italiano, Girolamo Saccheri, continuó con el intento (por los años posteriores a 1700). Esta vez hizo un intento diferente, cambiando intencionalmente el quito postulado por uno que lo contradecía, trató de demostrar que se llega a un absurdo.3 Inicialmente tuvo mucho éxito llegando a un absurdo al partir que los otros dos ángulos del 'cuadrilátero de Saccheri' eran obtusos. Pero al continuar con el intento al suponer que esos otros dos ángulos eran agudos, se equivocó y erróneamente llegó a otro absurdo. (La causa del error fue probablemente influencia de sus creencias religiosas)3
3) Completa correctamente las siguientes cuestionantes: a) ¿Qué son términos primitivos? b) ¿Qué relación hay entre ellos? c) ¿Cómo se pueden ordenar las partes? d) ¿Cómo se relacionan entre sí los términos más primitivos? e) ¿Cuál es la diferencia entre segmento, rayo, semirrecta, plano y semiplano? f) ¿Qué son puntos colineales de un segmento?
4) Realiza un análisis del enfoque de Birkoff. 5) Enuncia los postulados de la recta, rayos, semi-rayos y segmentos. 6) Describe los postulados de separación del plano y el espacio. a) AB, BC y CD son tres segmentos consecutivos de una misma recta. Determine la longitud de cada uno de ellos sabiendo que AB= 5x-10, BC= 3x+6, CD= 2x+4 y AD=200 cm. b) En la siguiente figura el segmento AB= 9 BC y AC= 50 cm. Determine 1/AB, AB-BC y 3BC.
c) Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C, D de modo que AB=3BC, CD =4AB, AD = 320. Halla BC. d) En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D y E. Se sabe que BC es 2 veces AB, CD es dos veces DE y AE es 12. Calcula BD
Éxitos!!
