ACTIVIDAD EVALUACIÓN FINAL
DIEGO ALEJANDRO GONZALEZ ANGIE CATHERINE OBREGÓN CUELLAR ROSA ESTHER DAGER LUIS EDUARDO ORDÓÑEZ
TUTOR MILLER EDUARDO JIMÉNEZ
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA (UNAD) CURSO DE PENSAMIENTO LÓGICO Y MATEMÁTICO CEAD FLRENCIA 2014
INTRODUCCIÓN Una tabla de verdad es una tabla que muestra el valor de verdad de una proposición compuesta, para cada combinación de verdad que se pueda asignar. En el siguiente trabajo, se dará a conocer la forma apropiada de asignación en tablas de verdad. Estas tablas pueden construirse haciendo una interpretación de los signos lógicos, como: no, o, y, si…entonces, sí y sólo si, respectivamente. La interpretación corresponde al sentido que estas operaciones tienen dentro del razonamiento. Puede establecerse una correspondencia entre los resultados de estas tablas y la deducción lógico matemática. En consecuencia, las tablas de verdad constituyen un método de decisión para chequear si una proposición es o no un teorema.
OBJETIVOS General Comprender la forma de asignación y transformación de tablas de verdad. Específicos Aprender cual columna es la llamada de referencia. Entender en qué posición de la tabla van los valores de verdad. Identificar cuando se asigna la mitad de los valores verdaderos y la otra mitad falsos para la primera variable. Identificar cuando un razonamiento es deductivo o inductivo.
1. Se preguntó a 50 docentes de la ECBTI sobre los deportes que practicaban, obteniéndose los siguientes resultados: 20 practican solo futbol, 12 practican futbol y natación y 10 no practican ninguno de estos deportes. Con estos datos averigua el número de docentes que practican natación, el número de ellos que solo practican natación y el de los que practican alguno de dichos deportes. U = 50
u=50 1 F=20 2 F∩N=12 2 (Fun) =10 a) N=20 Docentes b) N-F=8 Docentes
12
20
8
10
2. En una encuesta realizada a 150 personas, sobre sus preferencias de tres productos A, B y C, se obtuvieron los siguientes resultados: 82 personas consumen el producto A, 54 el producto B, 50 consumen únicamente el producto A, 30 solo el producto B, el número de personas que consumen solo B y C es la mitad del número de personas que consumen solo A y C, el número de personas que consumen solo A y B es el tripe del número de las que consumen los tres productos y hay tantas personas que no consumen los productos mencionados como las que consumen solo C. Determina a) el número de personas que consumen solo dos de los productos, b) el número de personas que no consumen ninguno de los tres productos, c) el número de personas que consumen al menos uno de los tres productos. Consumen A = 82 Consumen B = 54 consumen solamente el producto A = 50 solo el producto B = 30 Consumen solo B y C = (A y C)/2 = Consumen solo A y B = 3(ABC) número de personas que no consumen los productos mencionados =número de personas que consumen sólo C.
U=15 A
50
3x
30
B
X=4 Y=16
Y/2 15
C
Siendo X los que consumen los tres productos, entonces los que consumen solo A y B = 3(ABC) =3X. Siendo Y los que consumen A y C, entonces los que consumen solo B y C =(A y C)/2 = (Y/2) A = 50 B = 30 (A∩B∩C) = x A∩B = 3x A∩C = y B∩C = (y/2) A es: 4x + y + 50 = 82 4x + y = 82 - 50 4x + y = 32 (1) B es: 4x + (y/2) + 30 = 54 4x + (y/2) = 54 - 30 4x + (y/2) = 24 (2) Resolviendo el sistema de ecuaciones (1) y (2) se obtienen X= 4, Y= 16.
Número de personas que consumen A y B: 82 + 30 + 8 = 120 Los que consumen C y otro producto son: 16 + 4 + 8 = 28 Los que no consumen ninguno de los productos son: 150 - 120 = 30 a) El número de personas que consumen sólo dos de los productos 12 + 16 + 8 = 36 personas. b) El número de personas que no consumen ninguno de los tres productos 30/2=15 personas c) El número de personas que consumen al menos uno de los tres productos. 12 + 4 + 16 + 8 = 40 personas
3. En una encuesta a 200 estudiantes unadistas se encontró que 68 habían tomado cursos de Lógica, 138 habían tomado cursos de Inglés y 160 cursos de Álgebra; 120, cursos de Inglés y de Álgebra; 20 cursos de Lógica pero no de Inglés; 13 cursos de Lógica pero no de Álgebra; 15 cursos de Lógica y de Álgebra pero no de Inglés. ¿Cuántos de los entrevistados no tomaron cursos de Lógica ni de Álgebra ni de Inglés? Solución: L: estudiantes que tomaron el corso de lógica A: estudiantes que tomaron el curso de algebra I: estudiantes que tomaron el curso de ingles Q: estudiantes que no tomaron ningún curso
U: 200
L: 68
I: 138 20
W 13 X 15
Y
Z Q=2
A: 160
Del conjunto L se tiene: 20+15+13+𝑥=68 →48+𝑥=68→𝑥=20 (1) Del diagrama 4 y del enunciado se tiene: X+Y=120, reemplazando (1) en esta ecuación se obtiene: 20X=120→Y=100 (2) Del conjunto A se tiene: 15+X+Y+Z=160, reemplazando (1) 𝑦 (2) en esta ecuación se obtiene: 15+20+100+Z=160→135+Z=160→Z=25 (3) Del conjunto I se tiene: 13+X+Y+Z=138, reemplazando (1) 𝑦 (2) en esta ecuación se obtiene: 13+20+100+W=138→133+W=138→W=5 (4) Q=(𝑈)−𝑛(𝐿∪𝐴∪𝐼)→Q=200−(20+15+13+𝑥+𝑤+𝑦+𝑧)→ Q=200−198→Q=2 Se da respuesta al interrogante: ¿Cuántos de los entrevistados no tomaron cursos de Lógica ni de Álgebra ni de Inglés? 2 estudiantes entrevistados no toman ningún curso.
4. Si el perrito, el gato y el caballo, como mascotas son abandonados, entonces son acogidos por la Protectora. Pero el perrito es abandonado, también el caballo. Luego, tanto el perrito como el caballo son acogidos por la Protectora. Rta: Variables: P: perrito Q: caballo R: son abandonadose S: acogidos por la protectora La variable gato no se repite en el texto, no hay manera de relacionarle en las proposiciones Proposiciones simples y compuestas: P1: si el perrito, el gato y el caballo como mascotas son abandonados P2: son acogidos por la protectora P3:el perrito es abandonado también el caballo (el perrito y el caballo son abandonados) ((p^q)→r)
P4: tanto el perrito como el caballo son acogidos por la protectora Lenguaje simbólico ((p^q)→(r)→s)→((p^q)→(r))→(p^q)→s p v v v v v v v v f f f f f f f f
q v v v v f f f f v v v v f f f f
r v v f f v v f f v v f f v v f f
s ( ( ( ( p ^ q ) →r ) →s ) →( ( p ^ q ) →r ) →( p ^ q ) ) →s v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v f v v v v v f f v v v v v v v v v v f f v v v v f f v v f v v v f f v v v v v v f v v v f f v f f v v v f f v v v v f f v v f f v v v v v v f f v v f v f f v v f v f f v v f f v v f f v v f v f f v f v v f f f f v v f v f f f f v v f f v v f v f f f f v f f v f f f f v v f f f f v f f v v v v v v f f v v v f f f v v v f f f v v v f f v f f v v v f f f v v f v f f v v f v v f f f v f f v f f v v v f f f v v f f f v f f v f f f f f v v f v f f f v v v v v f f f v v f f f f v v f f f f v v f f v f f f v v f f f f v f v f f f v f v v v f f f f f f f f f v v f f f f v f f f v f f f f f f f f f v f
5. “¿Por qué estamos estudiando en la universidad? Solemos creer que estamos estudiando en la universidad para tener un empleo. Si tenemos dinero, entonces podemos adquirir bienes. ¿Son los bienes materiales lo que más deseamos? Cuando compramos mejores equipos electrónicos, lo que deseamos es comunicarnos mejor, escuchar y ver mejor a otros seres humanos, esto es así, porque lo que más deseamos es el cariño sincero y la compañía inteligente. ¿Qué es lo que ha llevado al ser humano a la construcción de nuevo conocimiento? La respuesta es: solucionar problemas para mejorar la calidad de vida de los seres humanos. Con este fin estamos estudiando en la universidad. Estudiamos para servir.”
a. Si tenemos dinero entonces podemos adquirir bienes P Tenemos dinero Q Podemos adquirir bienes P→Q
P
Q
P→Q
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
b. Estudiando en la universidad si y solo si para obtener un empleo P Estudiando en la universidad Q Estudiando para obtener un empleo P P V V F F
Q Q V F V F
P
Q V F F V
c. Si compramos mejores equipos electrónicos entonces lo que deseamos es comunicarnos mejor P Compramos mejores equipos electrónicos Q Deseamos comunicarnos mejor P→Q P V V F F
Q V F V F
P
→ V F V V
q
d. Estudiamos en la universidad si y solo si es para servir P Estudiamos en la universidad Q Para servir P
Q
P V V F F
Q V F V F
P
Q V F F V
e. Lo que más deseamos es el cariño y la compañía inteligente P Lo que más deseamos es el cariño Q Compañía inteligente P^Q P V V F F
Q V F V F
P
^ V F F V
Q
6. Un número es divisible por 2 si la última cifra de dicho número es múltiplo de 2. Un número es divisible por 3 si la suma de las cifras de dicho número es múltiplo de 3. Pero dicho número no es divisible por 2 o no lo es por 3. Por tanto, la suma de las cifras de un número no es un múltiplo de 3 si la última cifra de un número es múltiplo de 2. P
Un número es divisible por 2
Q la última cifra de dicho número es múltiplo de 2 R Un número es divisible por 3 S la suma de las cifras de dicho número es múltiplo de 3
[(pq) (rs)] ~pv~r) ~s~q)] p q r
s ~ p
~ r
~ s
~ q
p q
r s
(pq) ~pv ~r (rs)
~s~ q
~pv~r) ~s~q)
V V V V V V V V F F F F F F F F
V F V F V F V F V F V F V F V F
F F V V F F V V F F V V F F V V
F V F V F V F V F V F V F V F V
F F F F V V V V F F F F V V V V
V V V V F F F F V V V V V V V V
V F V V V F V V V F V V V F V V
V F V V F F F F V F V V V F V V
F F F F F V F V F F F F F V F V
V V F F V V F V F F F F F V F V
V V V V F F F F V V V V F F F F
V V F F V V F F V V F F V V F F
F F F F F F F F V V V V V V V V
F F V V F F V V V V V V V V V V
[(pq) (rs)] ~pv~r) ~s~q)] V V F F V V V V F V F F F V F V
7. En una actividad lúdica para los estudiantes de un colegio, realizan la búsqueda de un tesoro, la idea es que el estudiante que participe descubra una nota escrita por el profesor, quien por su sentido creativo estructura los acertijos lógicos para la prueba. En la nota dice que ha escondido un tesoro en algún lugar de la casa campestre donde se encuentran. El profesor enumera cinco enunciados todos ellos verdaderos y reta a los estudiantes a que descubras dónde está el tesoro. He aquí los enunciados: a. Si la casa está cerca de una piscina, el tesoro no está en la cocina. b. Si el árbol de la entrada es un pino, el tesoro está en la cocina. c. La casa está cerca de una piscina. d. El árbol de la entrada es un pino o el tesoro está enterrado debajo de la bandera. e. Si el árbol de la entrada es un eucalipto, el tesoro está en el garaje. ¿Dónde está el tesoro? El estudiante ganador será quien responda que está enterrado debajo de la bandera
Razonamiento inductivo y deductivo Premisa 1 (particular) Si la casa está cerca de una piscina, el tesoro no está en la cocina. Premisa 2 (particular) Si el árbol de la entrada es un pino, el tesoro está en la cocina. Premisa Menor 3 (particular) La casa está cerca de una piscina. Premisa Mayor 4 (particular) El árbol de la entrada es un pino o el tesoro está enterrado debajo de la Bandera. Premisa 5 (particular) Si el árbol de la entrada es un eucalipto, el tesoro está en el garaje. Conclusión: El tesoro está enterrado debajo de la bandera Las premisas en negrilla son la menor y la mayor, porque de estas depende la conclusión, Premisa menor: la casa está cerca de una piscina, cuando nos dice esto ya sabemos que si la casa está cerca de una piscina el tesoro no estará en la cocina(premisa 2), por consiguiente la premisa mayor: El árbol de la entrada es un pino o el tesoro está enterrado debajo de la bandera, la letra O significa Disyunción, ósea que una de las dos opciones es; por consiguiente, si el árbol de la entrada es un pino- Falso (f) o (v), el tesoro está enterrado debajo de la - verdadero (V) esto equivale a verdadero ya que F v(disyunto) V es equivalente en tautología, a V(verdadero) ya que de alguna manera se cumple con la veracidad de la proposición. “La explicación anterior puede servir como respuesta a la pregunta- ¿Se verifica la conclusión propuesta?” P: El árbol de la entrada es un pino Q: el tesoro está enterrado debajo de la Bandera. “El árbol de la entrada es un pino V el tesoro esta enterrado de bajo de la bandera” p v v f f
q ( p v q ) v v v v f v f f v f v v f f v f
P: ya viene descartándose por la demás proposiciones que señalan que no es una opción viable
8. Si el estudiante unadista se enfoca siempre por su sentido de la responsabilidad, tiene que renunciar al disfrute de muchas diversiones, y si se guía siempre por su gusto de divertirse, a menudo olvidará su responsabilidad. O bien el estudiante unadista se guía siempre por su sentido de la responsabilidad, o bien siempre se orienta por su gusto de diversión. Si el estudiante unadista se guía siempre por su sentido de la responsabilidad, no descuidará a menudo su responsabilidad, y si siempre se guía por su deseo de diversión, no renunciará al disfrute de muchas diversiones. Luego, el estudiante unadista debe renunciar al disfrute de muchas diversiones si y sólo si no descuida a menudo su responsabilidad por aprender.
Razonamientos lógicos deductivos -
Premisa 1: El estudiante unadista se enfoca siempre por su sentido de la responsabilidad y renuncia al disfrute de muchas diversiones.
-
Premisa 2: Si el estudiante unadista se guía por el deseo de diversión, no renunciará al disfrute de muchas diversiones.
Razonamientos lógicos inductivos -
El estudiante unadista debe renunciar al disfrute de muchas diversiones, para no descuidar su responsabilidad de aprender.
Conclusión: El estudiante unadista debe renunciar al disfrute de muchas diversiones siempre y cuando no descuide frecuentemente su responsabilidad por aprender. El razonamiento es deductivo porque la conclusión no sale de las premisas.
Argumentos:
El estudiante unadista renunciará al disfrute de sus diversiones, si es responsable en su aprendizaje.
El estudiante unadista guiado por su responsabilidad, nunca descuidará sus responsabilidades.
Conclusión: Se concluye que si el estudiante unadista no es responsable, no renunciará al disfrute de sus diversiones; luego estará guiado por el deseo de diversión.
Sujeto: El estudiante unadista.
Predicado: Guiarse por el sentido de responsabilidad.
Premisa mayor: El estudiante unadista que quiere guiarse por el sentido de la responsabilidad, debe renunciar a sus diversiones. Premisa menor: El estudiante unadista debe enfocarse en la responsabilidad, si él renuncia a sus diversiones.
Conclusión: Se concluye que si el estudiante unadista no se guía por su sentido de responsabilidad, se orientará a su gusto por la diversión y descuidará sus responsabilidades.
f= Premisa mayor.
r = Premisa menor.
p= Conclusión
Premisas verdaderas
Conclusión verdadera
f
r
p
f→r
p→r
f→p
v
v
v
v
v
v
Respuesta: Es un argumento válido porque la conclusión es verdadera.
9. Si el Rector no pudo dar el discurso o los diplomas no llegasen a tiempo, entonces la fiesta de graduación tendría que cancelarse y los estudiantes se enojarían. Si la fiesta se cancelara, habría que devolver el dinero. No se devolvió el dinero. Por lo tanto, el Rector pudo dar el discurso. P El rector pudo dar el discurso. Q Los diplomas no llegasen a tiempo. R La fiesta de graduación se cancela. S Los estudiantes se enojarían. T Devolver el dinero. {[(~P v Q) → (R S)] (R → T)} → P
P Q R S T ~P (~P v Q) (R S)
V V V V V V V V V V V V V V V V F F F F F F F F F F F F F F F F
V V V V V V V V F F F F F F F F V V V V V V V V F F F F F F F F
V V V V F F F F V V V V F F F F V V V V F F F F V V V V F F F F
V V F F V V F F V V F F V V F F V V F F V V F F V V F F V V F F
V F V F V F V F V F V F V F V F V F V F V F V F V F V F V F V F
F F F F F F F F F F F F F F F F V V V V V V V V V V V V V V V V
V V V V V V V V F F F F F F F F V V V V V V V V V V V V V V V V
V V F F F F F F V V F F F F F F V V F F F F F F V V F F F F F F
(R → T)
[(~P v Q) → (R S)]
{[(~P v Q) → (R S)] (R → T)}
V F V F V V V V V F V F V V V V V F V F V V V V V F V F V V V V
V V F F F F F F V V V V V V V V V V F F F F F F V V F F F F F F
V F F F F F F F V F F F V V V V V F F F F F F F V F F F F F F F
{[(~P v Q) → (R S)] (R → T)} → P V V V V V V V V V V V V V V V V F V V V V V V V F V V V V V V V
CONCLUSIONES Comprender la forma de asignación, de ubicación, de creación de tablas y de solución con premisas. Conocer formas de respuesta con diferentes leyes. Comprensión de lecturas y problemas para una buena solución y estructura de la respectiva tabla de verdad. Estructuración de diagramas de venn para hallar soluciones. Saber construir con base de un problema, la solución adecuada. Que pueden ser tablas de verdad o diagramas de ven.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
http://huitoto.udea.edu.co/SistemasDiscretos/contenido/tablas_verdad.html http://www.zweigmedia.com/MundoReal/logic/logic6.html http://www.wikillerato.org/L%C3%B3gica_proposicional.html http://www.monografias.com/trabajos-pdf5/la-logica-proposicional/la-logicaproposicional.shtml http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/teoria_ conjuntos_pdas/conjuntos_3.htm http://es.wikipedia.org/wiki/Diagrama_de_Venn
