UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS – ESPE DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS CURSO DE NIVELACIÓN GEOMETRíA ANALíTICA – TÉCNICAS
ACTIVIDAD ENTREGABLE 3
Sr. Estudiante usted debe resolver estos ejercicios, escanearlos y envi enviar ar el archi archivo vo hasta hasta el viern viernes es 10 de febr febrero ero de 2017 2017.. El archivo debe tener el siguiente nombre: Aellido1!Aellido2!"ombre.#eometr$a!Anal$tica.E%
DEBER 8
pasa por el punto 1.-) Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa 2
circunferencia
(1 ; 4 )
y es tangente a la
en el punto (−2 ; 1 ) .
2
x + y + 6 x + 2 y + 5=0
Ubicam Ubicamos os el centrode centrode la circunf circunfer erenci encia a2
( x x + 6 x + 3 ) + ( y + 2 y + 1 )=−5 + 3 + 1 2
2
2
2
2
2
( x + 3 )2+ ( y + 1 )2 =5 → C (−3 ;−1 ) Recta que pasa por ambos centros C ( −3 ; −1 ) y (−2 ; 1 ) m=
1+ 1
−2 + 3
=2 ( − 2 ; 1 )
y −1 =2 ( x + 2 ) → y = 2 x + 5 : L Calcul Calculamo amoss laecuacion laecuacion dela de la cuer cuerda ( 1 ; 4 ) y (−2 ; 1 ) m=
1− 4
−2 −1
=1 → y − 4 =1 ( x −1 )
y = x + 3 mc =1
lamediatriz lamediatriz deun de una a cuer cuerda ( secante ) pasa porel centr centro o
{
( 1 ; 4 ) y (−2 ; 1 ) Punto Medio −1 5 1− 2 4 + 1 = Pm ; ;
(
2
pendiente perpendicular perpendicular : m=
{
( ) − =−( + )
m=−1 Pm
mediatriz
y
5
−1 2
x
2
)(
2
;
2
2
)
− 1 −1 = =−1 mc
1
5 2
→ y =− x + 2 : M
1 2
{
2 x + 5=− x + 2 (−1 ; 3) Centro L : y =2 x + 5 → C (− x =−1 ; y = 3 M : y =− x + 2
circunferencia 1: Centro (−1 ; 3 ) pasa pasa por ( 1 ; 4 )
(1; 4) →
( x + 1)2 +( y −3 )2=r 2
( 1 +1)2 +( 4 −3 )2=r 2 →r 2=5 Ecuacion general 2
2
( x + 1 ) +( y −3 ) =5 2
2
x + 2 x + 1+ y −6 y + 9 =5 2
2
x + y + 2 x −6 y + 5 =0
pasa por el punto 2.-) Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa x + 2 y −3=0 x + 2 y −3=0 → y =
(1 ;1 ) .
en el punto
−1 2
3
−1
2
2
x + mT =
(5 ; 9 )
Pendiente de la cuerda ( 1 ; 1 ) y ( 5 ; 9 ) mc =
−1 −1 =2 → mc mT =2 =−1 5− 1 2 9
y es tangente a la recta
pendientes perpendiculares por tanto lacuerda es el diametro
{(
(1 ; 1 ) y ( 5 ; 9 ) Punto Medio : Centro 1 + 5 1 + 9 =( 3 ; 5 ) C ; 2
2
)
( 5−1 )2 +(9 −1 )2 √ 80 2 √ 20 √ = = =√ 20 radio= = d
2
2
2
2
circunferencia : Centro ( 3 ; 5 ) r =20 2
( x −3 )2 + ( y −5 )2=20 2
2
x −6 x + 9 + y −10 y + 25 =20 2
2
x + y −6 x −10 y + 14= 0
3.-) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto 2
( 11 ; 4 ) y es tangente a la circunferencia
2
x + y −8 x −6 y =0. ubicamos centro y radio de la circunferencia
( x −8 x + 4 ) + ( y −6 y +3 ) =4 + 3 2
2
2
2
2
2
2
2
( x − 4 ) +( y −3 ) =25 Centro ( 4 ; 3 ) r =5 Triangulo rectangulo entre : C ( 4 ; 3 ) Punto de tangencia y ( 11 ; 4 ) !ipotenusa =√ ( 11−4 )
2
+( 4 −3 )2=√ 50
se calcula el radio deuna segundacircunferencia concentro en ( 11 ; 4 ) r 2=√ ( √ 50 )
2
2
− 5 2= 5 2
( x −11) +( y −4 ) = 5
2
puntosde interseccion de ambas circunferencias
{
( x −4 )2 +( y −3 )2=25 ( x −11)2 +( y −4 )2 =25
{
2
2
x − 8 x + 16 + y −6 y + 9 =25 2 − x + 22 x −121 − y 2+ 8 y −16 =−25
14 x + 2 y =112 → y = 56−7 x 2
2
( x − 4 ) +( 56 −7 x −3 ) =25
{
x 2−15 x + 56 = 0 x = 7 y =56 −7 ( 7 )= 7 x = 8 y =56 −7 ( 8 )= 0
{ {
P 1 ( 7 ; 7 ) ( 11 ; 4 ) 4 −7
−3
Rectatangente 1: m1= 11−7 = 4 → 3 x + 4 y − 49=0 y −7 =
−3 ( 4
x −7 )
P2 ( 8 ; 0 ) ( 11 ; 4 ) 4 −0
4
Rectatangente 2: m1= 11−8 = 3 → 4 x − 3 y − 8 =0 y − 8=
4 3
( x −8 )
4.-) Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos 4 x + 7 y + 5 =0.
centro está sobre la recta 2
2
( x −! ) +( y −" ) =r
2
(−1 ; −4 ) → (−1− ! )2 +(−4 −" )2=r 2
( 2 ; −1 ) → (2−! ) +(−1− " ) =r 2
2
2
(−1 ; −4 ) ; ( 2 ;−1 )
y cuyo
{
2
+ 16 + 8 " + " 2=r 2 −4 + 4 ! −!2−1− 2 " −" 2=−r 2 1+ 2 ! + !
−3 + 6 ! + 15 + 6 " =0 → 6 ! + 6 " =−12 C ( ! ; " ) → 4 x + 7 y + 5= 0
{
! + " =−2 → ! =−3 " =1 4 ! + 7 " =−5
(2 + 3 )2+(− 1−1 )2=r 2 → r 2=29 2
2
( x + 3) +( y −1 ) =29 2
2
x + 6 x + 9 + y −2 y + 1 =29 2
2
x + y + 6 x −2 y −19 =0
+ 4 y 2−16 x + 20 y + 25=0 . Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica que es tangente a la recta 5 x −12 y =1.
5.-) La ecuación de una circunferencia es
4 x
2
se busca el centro comunde ambascircunferencias x
(
4 (¿¿ 2− 4 x + 4 )+ 4 y
2
4 ( x −2 )
(
5 2
)
|
√ 5
2
1
2
2
( )
( x −2 ) + y +
2
25+ 16 + 25
2
( )− |=
2
5
)=−
16 → ( x − 2 )
−5
( x −! ) +( y −" ) =r 2
4
2
+(−12 )
2
25
( )=
+ y +
5 2
2
4
y el radio esladistancia a : 5 x −12 y −1=0
5 ( 2 )−12 2
5
+ 5 y + ¿
( )=
+ 4 y +
Centro 2 ;−
r= d =
2
2
2
=3 2
39 13
=3
2
2
x −4 x + 4 + y + 5 y +
2
25 4
− 9= 0
5
2
2
2
x + y −4 x + 5 y + = 0 → 4 x + 4 y −16 x + 20 y + 5=0 4
6.-) Hallar la ecuación de la tangente a la circunferencia
2
2
x + y + 2 x −2 y −39 = 0 , en el punto
(4 ; 5 )# se buscael centro dela circunferencia
( x + 2 x + 1 ) +( y − 2 y + 1 ) =39 +1 + 1 2
2
( x + 1)2 +( y −1)2 =41 →C (−1 ; 1 )
{
C (−1 ; 1 ) ( 4 ; 5 )
Pendiente del radio
m r=
{
5− 1 4+ 1
=
4 5
mT mr =−1
Pendiente de latangente
rectatangente
{
mT =
−5
y −5 =
4
4
mT =−1 5
(4 ; 5 )
−5 4
→ mT =
−5 4
→ 5 x + 4 y − 40=0
( x −4 )
7.-) Hallar la diferencia de las áreas, de las circunferencias tangentes a: x + 2 y −26= 0 ; 2 x − y + 8 =0 x + y − 10= 0. , si sus centros están sobre la recta: buscamoslos puntos deinterseccion entre todas las rectas
{
entretangentes x + 2 y = 26 x =2 y =12 $ ( 2 ; 12) 2 x − y =−8
{
tangente 1 ylineadecentros x + y =10 x =−6 y =16 % (−6 ; 16 ) x + 2 y =26
tangente 2 y linea de centros
{
(
x + y = 10 x =−6 y =16 C 2 ; 28 3 3 2 x − y =−8
)
¿ ¿ $ ( 2 ; 12 ) % (−6 ; 16 ) m $%= Pm
(
2 −6 12 + 16
;
2
2
−1 2
m1= 2
)= (−
2 ; 14 )
y − 14 =2 ( x + 2 ) → 2 x − y =−18
¿ ¿
ecuacionmediatriz $% ¿ Centro y radio conel Pmde $% : circunferencia1
{
2 x − y =−18 → x =−8 y = 38 C 1 3 3 x + y =10
√(
r 1 =d = − 2 +
Pm y −
(
32 3
)( +
¿ ¿
(
2
12+
3
3
2
=
3
2
2 28
$ ( 2 ; 12 ) C 2+
8
3
;
)
28 3
2 4
x
) √ 2
38
=
3
m $C =2 m 2=
( − )
−1 2
;
14 −
3
)( =
(
−8 3
;
38 3
)
20 9
−1 2
)
4 32 3
;
3
→ 3 x + 6 y = 68
¿ ¿
ecuacion mediatriz $C ¿ Centro y radio con el Pmde $C : circunferencia 2
{
3 x + 6 y = 68 → x = −8 y = 38 C 2 3 3 x + y =10
r 2= d =
√( + ) +( 4
8
3
3
2
32 3
−
38 3
(
−8 3
;
)
38 3
) =√ 2
20
&iferenciade areas : 2
2
$ 2− $ 1=' r 2 −' r 1 =20 ' −
20 9
' =
160 9
'unid
2
C ( 3 ; −1 )
8.-) El punto
2 x − 5 y + 18 =0
, es el centro de una circunferencia que intercepta en la recta
una cuerda, cuya longitud es igual a
6
. Hallar la ecuación de esta
circunferencia. distancia del centro a lacuerda
d=
|2 ( 3 )−5 (−1 )+ 18|= √ 2
2
2
+(−5 )
29
√ 29
= √ 29
lamediatriz de la cuerda pasa porel centro
y se forma un triangulorectangulo entre el puntomedio ( centro y punto de tangencia r 2=32 + ( √ 29 ) →r 2=38 2
Ecuacionde la circunferencia : C ( 3 ; −1 ) r =38 2
( x −3 )2 + ( y + 1 )2=38 2
2
x −6 x + 9 + y + 2 y + 1 − 38= 0 2
2
x + y −6 x + 2 y − 28=0
DEBER 9
1.-) Hallar la ecuación de la parábola de vértice en 2
P=1 ∴ 4 P= 4 → ( x + 1 ) = 4 ( y − 0 ) 2
2
2
(−1 ; −4 )
y foco en
(−1 ; 0 )
2
2
x + 2 x + 1= 4 y → x −4 y + 2 x + 1= 0
2.-) Hallar la ecuación de la parábola de eje vertical, si pasa por
(−1 ; 0 ) # ( x + 1 )2 =−4 P ( y −0 )2 → ( 1 + 1 )2= 4 P (−2 )2 → 4 P=1
( 1 ;−2 )
y su vértice está en
( x +1 )2 =−1 y 2 → x 2 + y 2 + 2 x + 1 =0 3.-) El vértice de una parábola está en la recta
3 x −2 y −19= 0
; su foco en la recta x + 4 y =0 y su
= directr! es x 2 . Hallar su ecuación. E)e principal y =" *oco ( f ; " ) +ertice ( ! ;" )
| p|=f −!= !−2 → f = 2 ! −2 + ( !; " ) → 3 x −2 y −19 =0 → 3 ! − 2 " =19 *oco ( f ; " ) → x + 4 y =0 → f + 4 " =0
{
f =8 f −2 !=−2 3 ! −2 " = 19 → !=5 f + 4 " = 0 " =−2
p=8 −5 = 3 → 4 p =12
( y +2 )2=12 ( x −5 ) → y 2+ 4 y −12 x + 64 =0
4.-) Hallar la ecuación de la parábola de eje "ori!ontal, que pasa por los puntos: (− 2 ; − 1 ) ; ( 4 ; 5 ) ; ( 4 ; − 3 ) .
( y − " )2 =4 p ( x −! )
( 4 ; 5 ) → (5 −" ) = 4 p (4 − !) 2
( 4 ; −3 ) → (−3− " )2 =4 p ( 4 −! ) 2
2
2
2
( 5− " ) =(−3− " ) nota : (−3− " ) =(3 + " ) 2
2
25−10 " + " = 9 + 6 " + " → 25− 9=6 " + 10 "
" =1
( 4 ; 5 ) → ( 5−1 )2= 4 p ( 4 −! ) → p ( 4 −! )= 4
(−2 ; −1 ) → (−1−1 ) = 4 p (−2 −! ) → p (−2 −! )= 1 2
p ( 4 −! ) 4 = → 4 −! =4 (−2 −! ) p (−2−! ) 1
4 −! =−8− 4 ! → 3 !=−12 → ! =−4
(5−1 )2= 4 p ( 4 + 4 ) → 4 p =
16 8
=2
( y − " )2 =4 p ( x −! ) → ( y −1 )2=2 ( x + 4 ) 2
2
y −2 y + 1=2 x + 8 → y −2 y −2 x −7 =0
+ ( 1 ;−3 ) 5.-) Hallar la ecuación de la parábola de eje "ori!ontal cuyo vértice es
y cuyo foco está
2 x + 3 y − 6=0.
sobre la recta
*oco ( x (− 3 ) → 2 x + 3 (−3 )−6 =0 → x = 6 *oco ( 6 ; −3 ) + ( 1 ;− 3) p= d =√ (1 −6 ) + (−3 + 3 ) =5 → 4 p =20 2
2
( x −! )2= 4 p ( y −" ) → ( x −1 )2=20 ( y −1 ) 2
2
x −2 x + 1= 20 y −20 → x − 2 x −20 y + 21=0
6.-) Hallar la ecuación de la parábola de foco en
( 4 ;−1 ) , eje focal x =4 , si pasa por el punto
(8 ; 2 )# $bre !acia arriba y + ( 4,−1− p )
( x −! )2= 4 p ( y −" )
( 8 ; 2 ) → ( 8− 4 ) =4 p ( 2 + 1 + P ) → 16 = 4 p (3 + p ) 2
2
16=12 p + 4 p → p
2
{
+ 3 p −4 =0 ( p− 4 ) ( p + 1 )=0 p= 4
+ ( 4,−5 ) 4 P=16
( x − 4 ) =16 ( y + 5 ) → x −8 x −16 y − 64 =0 2
2
7.-) Hallar la ecuación de la parábola, de directr!: x + y + 3=0
y su lado recto es de # unidades.
y + 3= 0
, si su foco está en la recta
Caso 1: si abre!acia arriba 4 p = 6 → 2 p = 3 → *oco ( f ;− 3 + 3 )=( f ; 0 )
( f ; 0 ) → f + 0 + 3=0 → f =−3 * (−3 ; 0) 3
(
p= + −3 ; −3 + 2
3 2
)=(−
3 ;−
3 2
)
( )
( x + 3)2 =6 y + 3 2
Caso 2: si abre !aciaaba)o 4 p = 6 → 2 p = 3 → *oco ( f ;− 3−3 ) =( f ;−6 )
( f ; 0 ) → f −6 + 3 =0 → f =3 * (3 ; 0 ) 3
(
p= + 3 ; −3 − 2
3 2
)(
= 3 ;−
9 2
)
( )
( x −3 )2=6 y +
9 2
8.-) Hallar la ecuación de la parábola, si se dan su foco
* ( 2 ; −1)
Punto sobre la parabola P ( x ; y ) &istancia P ( x ; y ) al *oco ( 2 ; −1 ) d P* = √ ( x − 2) +( y + 1 ) 2
2
&istancia P ( x ; y ) a la recta : x − y −1 =0
d Pr =
|1 x −1 y −1| | x − y −1| = 2 2 √ 2 √ 1 +(−1)
&efinicion geometricade parbola : d P* = d Pr
√ ( x −2 ) +( y +1 ) = 2
2
| x − y −1|
√ 2
2
2
→ ( x − 2 ) +( y + 1) =
( x − y −1 )2 2
y la directr!
x − y −1 =0.
2 ( x
2
2
−4 x + 4 + y 2 +2 y +1 )= x 2+ y 2+ 1 −2 xy −2 x +2 y 2
x + y + 2 xy − 6 x + 2 y + 9= 0
DEBER 10
1.-) Hallar la ecuación y la e$centricidad de la elipse que tiene su centro en el origen, uno de sus
vértices en el punto ( 0 ; −7 ) 2
( √ 5 ;
y pasa por el punto
14 3
)
.
2
y x a =7 → 2 + 2 =1 a b
( ) + (√ ) = 14
(
√ 5 ;
)
14 3
→
2
3 7
5
2
5 2
b
b
5
2
2
1→
= → b=3 9
4 9
5
+ =1 b
2
c =a −b → c =√ 49− 9=√ 40 =2 √ 10 2
2
2
2 2 c 2 √ 10 y x = = + =1 e → Elipse :
a
7
49
40
( √ ; 3 ) , tiene su centro en el origen, su 2 7
2.-) Hallar la ecuación de la elipse que pasa por el punto
eje %enor coincide con el eje x (
y la longitud de su eje %ayor es el doble de la de su eje
%enor. 2 a=2 ( 2 b ) →a =2 b
( ) √ 7 ; 3 2
2
2
y x → 2 + 2 =1 a b
( )
2
√ 7
2 ( 3 )2 9 7 + =1 → 2 + 2 = 1 2 2 (2 b ) 4b 4b b 1 4b
2
=
1 16
Elipse :
y
→ b =2 a= 4
2
16
+
x
2
4
=1
3.-) &na elipse tiene su centro en el origen y su eje %ayor coincide con el eje
ecuación sabiendo que pasa por los puntos 2
2
( √ 6 ;−1 ) → x 2 + y 2 =1 → 62 + 12 =1 a b a b 2
2
( 2 ; √ 2 ) → x 2 + y 2 =1 → 42 + 22 =1 a b a b
{
−12
4 8
a
2
2
− 2 =−2 b
4
2
a
b
→
+ 2 =1 2
2
+ 2 =1 → b
2
b
2
−8 2 =− =8 → a 1 2
1
a
= →b 2=4 2
( √ 6 ;−1 ) y (2 ; √ 2) .
x
. Hallar su
Elipse :
x
2
8
+
y
2
=1
4
4.-) El lado recto de una parábola, es el eje %enor de la elipse
41 x
2
+ 16 y 2 −656= 0 . Hallar su
ecuación. 41 x
2
656
+
16 y
2
656
=
656 656
2
x
→
16
+
y
2
41
=1 elipse ,ertical
2
b = 16 → 2 b= 8= 4 p → p= 2
parabola!acia arriba
parabola!acia aba)o
{
2 + ( 0,−2 ) 4 p =8 → x − 8 y −16 =0 2 ( x − 0 ) =8 ( y +2 )
{
2 + ( 0,2 ) 4 p =8 → x + 8 y − 16= 0 2 ( x −0 ) =−8 ( y −2 )
e
5.-) 'eter%inar la e$centricidad
de la elipse, si: a( su eje %enor se ve desde uno de los focos
-; for%ando un ángulo de 60 b( el seg%ento entre los focos se ve desde los vértices del eje
%enor for%ando un ángulo recto. a ¿ ∡%1 . * 1=
60 2
=30 - elipse : a 2=c 2 + b2
b a sen 30 -= → b= 2 a
√ () √
2
2 2 2 c =a −b → c = a −
√ 3 a
e=
c 2 = a a
a
2
2
=
3 4
2
a=
√ 3 a
= √
3
2
b ¿ ∡. % 1 * 1=
90 2
= 45 -→ / %1 . * 1 : isosceles
b =c → a =c + b → a =√ c + c = √ 2 c 2
2
2
2
1 2 c c = →e = √ e= = a √ 2 c √ 2 2
2
2
6.-) Hallar la ecuación de la elipse si se conoce su e$centricidad
ecuación de la directr! correspondiente
x + y −1=0
e=
1 2 , el foco
.
y =− x + 1 m1=−1 recta perpendicular : e)emayorm2=1 →0 = tan (1 ) =45 1 c e = = → 2 c = 2 !ipotenusa 2 a
cos ( 45 - ) =
d 2
→ d =√ 2 → x =3 + √ 2
rectae)e mayor : m2=1 ( 3 ; 0 ) y −0 =1 ( x −3 ) → y = x − 3
*oco 2
{ = + √ − =√ x =3 + √ 2
y 3
2
3
2
→ * 2 ( 3 + √ 2 ; √ 2 )
{
( ) elipse : P * 1+ P * 2=2 a * 1 ( 3 ; 0 ) * 2 3 + √ 2 ; √ 2 P ( x ; y ) a = 2 2 2 √ ( x −3 ) + ( y −0 ) + √ ( x −3 −√ 2 ) + ( y −√ 2 ) =2 ( 2 ) 2
2
( √ ( x− 3−√ 2 ) +( y − √ 2 ) ) =( 4 −√ ( x −3 ) + y ) 2
2
2
2
2
2
x + 9 + 2−6 x −2 √ 2 x + 6 √ 2 + y −2 √ 2 y + 2 =16− 8 √ ( x −3 ) + y + ( x −3 ) + y 2
2
2
2
2
2
x −6 x −2 √ 2 x + 6 √ 2−2 √ 2 y + 13=16 −8 √ ( x − 3 ) + y + x −6 x + 9 2
2
2
2
−2 √ 2 x + 6 √ 2−2 √ 2 y +13 =25 −8 √ ( x −3 ) + y2 2
8 √ ( x −3 )
2
+ y 2=25 + 2 √ 2 x −6 √ 2 +2 √ 2 y − 13
( 4 √ ( x −3 ) + y ) =( 6 +√ 2 x −3 √ 2 +√ 2 y ) 2
16 ( x
2
2
2
2
−6 x + 9 + y 2 )=54 + 12 √ 2 x −36 √ 2 + 12 √ 2 y + 2 x 2−12 x + 4 xy −12 y + 2 y 2
* ( 3 ; 0 )
y la
14 x
2
−4 xy + 14 y 2−12 ( 7 + √ 2 ) x +12 ( 1−√ 2 ) y + 36 √ 2 + 54 =0
7.-) Hallar la ecuación de la elipse, si el eje %ayor de longitud ), está en la recta
eje %enor de longitud *, está en la recta
2 x + y =0.
distancia P ( x ; y ) alarecta : 2 x + y =0
|2 x + y| 2 x + y = √ 22 +12 √ 5
1
x =
distancia P ( x ; y ) alarecta : x −2 y =0
1
y =
| x −2 y| x − 2 y = 2 2 √ 5 √ 1 +2 ( x 1 )
2
elipse oblicua :
(
2 x + y
√ 5 4
) +( 2
2
a
x − 2 y
√ 5 1
( y 1 )
2
+
{
=1 a=2 b =1 b
)=
2
2
( 2 x + y )2 ( x −2 y )2 + =1 1→ 20
(2 x + y )2+ 4 ( x −2 y )2= 20 4 x
2
+ 4 xy + y 2+ 4 x 2−16 xy + 16 y 2=20
8 x
2
−12 xy +17 y 2−20 =0
5
x −2 y = 0
, y su
DEBER 11
1.-) Los e$tre%os del eje conjugado de una "ipérbola, son los puntos
( 0 ; 3 ) y ( 0 ;−3 ) , y la longitud
de cada lado recto es #. Hallar la ecuación de la "ipérbola y su e$centricidad. b =3 →
2 b
a
2( 3 )
2
2
=6 →a =
6
=3
c 3 √ 2 2 2 =√ 2 c =√ a + b =√ 9 + 9 =3 √ 2 → e = = 3 a 2
2
2
2
x y − 2 =1 → x − y =1 2 9 9 a b
( ) 2.-) Hallar la ecuación de la "ipérbola de centro en el origen, si tiene un foco en 0 ; 5 y un vértice en ( 0 ; 2 ) . +uál es su e$centricidad 2
2
2
a =2 c =5 →b =c −a = 25− 4 =21 y
2
a
2
x
2
b
2
− =1 →
y
2
4
−
x
2
21
c a
= 1→ e= =
5 2
3.-) Hallar la ecuación de la "ipérbola de centro en
( 0 ; 0 ) , e$centricidad igual a *, si uno de sus
(0 ; 4 )#
vértices está en
c c a =4 → e = → = 2 → c = 8 a 4 2
2
2
2
b = c −a →b =64 − 16 =48 2
2
2
2
y x − 2 =1 → y − x =1 2 16 48 a b
( ) 4.-) Hallar la ecuación de la "ipérbola de centro en el origen, si pasa por P 0 ; 6 y una de sus x y asntotas tiene por ecuación 2 + 3 = 0 . 2
2
( 6 ) (0) y x − = − 2 =1 →a 2=36 1→ 2 2 2 a b a b 2
2
( 3 y + 2 x ) ( 3 y −2 x )= 0 → 9 y 2− 4 x 2=0 9 y
2
324
−
4 x
2
324
= 0→
y
2
36
−
x
2
81
=1
(−1 ; −5 ) y tiene por 5.-) Hallar la ecuación de la "ipérbola equilátera que pasa por el punto asntotas a los ejes coordenados. x y =(−1 ) (− 5 ) = 5 y =
5
x
6.-) Hallar la ecuación de la "ipérbola de focos en
( 3 ; 4 ) y (−3 ; −4 ) , si la distancia entre sus
directrices es -/0.
{
2
a 1 18 a=3 &irectriz : = c 2 5 c =5
{
m=
rectae)e principal
−4 −4 4 = (0 ; 0 ) −3 −3 3 4
y = x 3
3 x 9 relacion de triangulos : = → x = 5
y =
()
4 9 3 5
12
=
5
9 12
x y = 5
+
(
9 12 5
→ xy =
5
;
5
3
5
)
108 25
7.-) &no de los focos de una "ipérbola es el punto
(4 ; 5) y uno de sus vértices (1 ; 1 ) . 1i se sabe
que los puntos están en los lados opuestos del eje conjugado y que el lado recto es los */2 del eje transverso, calcular las coordenadas del otro foco. +ertice a *oco : d = √ ( 4 −1 )
2
+( 5−1 )2=5 → a +c =5 2
Lado recto =
2
2
2b
2
a
2 2 = ( 2 b ) →b = a
2
3
2
c =a + b → c = a +
a+
√ 13 a =5 →a = 3
{
3
( ) 2 3
2
a →c =
15 3 + √ 13
√ 13 a 3
=2.27 → c = √ ( 2.27 )=2.73 13
3
−1 4 = 4 −1 3 Ec # de recta → 4 x −3 y =1 4 y −1= ( x −1 ) m=
5
3
*oco ( f 1 ; f 2)
{
−3 f =1 √ ( f − 4 ) +( f −5 ) =2 ( 2.73) 4 f 1
2
2
2
1
3
2
2
2
f 1 = f 2 → ( f 1 −4 ) +( f 2−5 ) = 29.81 4
2
1.56 f 2 −16 f 2 + 11.19 =0
*oco ( 0.56 ; 0.75 )
{
f 1=
f 2=0.75 3 4
( 0.75 )=0.56
