2017
Aplicación de ecuaciones diferenciales: Modelo matemático de absorción biológica de drogas ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL DOCENTE: BIDDER CALAPUJA SAMBRANO
ALUMNOS:
Ccosco Mendoza Alvaro Machaca Luis Alfredo Rivera Mamani Hans Anthony Rodriguez Urviola Winy Kasandra
Aplicación de ecuaciones diferenciales: Modelo matemático de absorción biológica de drogas
OBJETIVOS DEL TRABAJO: a) Comprender de manera adecuada la forma de empleo del modelo matemático para absorción biológica de drogas b) Resolver problemas propuestos aplicando el modelo matemático de absorción biológica de drogas 2. DEFINICIÓN DEL PROCESO DE ABSORCIÓN: Proceso de asimilación de los medicamentos en el cuerpo estos tienen ciertas características y procesos que influyen tanto grupal como individualmente. 3. OBJETIVO DEL MODELO Conseguir una ecuación que exprese la concentración del medicamento en un determinado órgano después de cierto intervalo de aplicación. Dicha ecuación puede tener diversos usos. Una ecuación diferencial es una expresión que involucra derivadas de una f unción desconocida
4. ESPECIFICACIONES PARA EL EMPLEO MODELO Para propósitos de análisis matemático en biología, a menudo es conveniente considerar un organismo (tal como un humano, animal o planta) como una colección de componentes individuales llamados compartimentos. Un compartimento puede ser un
órgano (tal como el estómago, páncreas o hígado) o un grupo de células que actúan como una unidad. Un problema importante consiste en determinar la absorción de químicos, tales como drogas,por células u órganos. Esto tiene aplicación práctica en el campo de la medicina, puesto que puede suceder que ciertas drogas fatales puedan acumularse en un órgano o un grupo de células llevando a su destrucción.
Figura1: Modelo toxicológico monocompartimental
1
Aplicación de ecuaciones diferenciales: Modelo matemático de absorción biológica de drogas
5. EJEMPLO ILUSTRATIVO Y DESARROLLO DEL MODELO: El siguiente ejemplo nos servirá para ilustrarnos de los posibles problemas que puedan surgir.
3
Un líquido transporta una droga dentro de un órgano de volumen 500cm a una taza 3
de a
cm
3
y sale a una taza de b
seg
entra es c
cm
. La concentración de la droga en el líquido que
seg cm
3
.
seg
a) Escriba una ecuación diferencial para la concentración de la droga en el órgano en cualquier tiempo junto con las condiciones apropiadas. b) Resuelva la ecuación.
Solución de a):
3
Volumen V
3
a
cm
b
cm
seg seg
Si x representa la concentración de la droga en el órgano (esto es el número de gramos de droga por
cm
3
), la cantidad de droga en cualquier tiempo
t está
dada por:
2
Aplicación de ecuaciones diferenciales: Modelo matemático de absorción biológica de drogas
x
t
dx
ac b r x
dt
x0
V0 rt
0
1 1 ln ac b r x ln ac b r x0 ln V0 rt ln V0 r b r
ac b r x 1 V0 rt 1 ln ln V0 b r ac b r x0 r e
ac b r x ln( ) ac b r x0
1
1
br
e
ac b r x ac b r x0
V rt r ln 0 V 0 1
b r
1
V0 rt r V 0
ac b r x 0 b r ac b r x
b r
1 V0 rt r V 0
ac b r x V rt ac b r x V 0
b r
b r r
0
0
b r
ac b r x V ac b r x V rt r
0
b r
0
r
0
b r V 0 r ac b r x ac b r x 0 b r V0 rt r b r b r
r V b r x ac 0 V0 rt
r
ac b r x 0
b r
x
V 0 b r V0 rt
r
ac
ac b r x0 ........(1)
El número de gramos por segundo (
g
) que entra en el órgano en
s
tiempo t esta dado por:
3
a cm
seg
* c
g 3
cm
ac
g seg
…….(2)
El número de gramo por segundo que salen del organismo viene dado por:
3
Aplicación de ecuaciones diferenciales: Modelo matemático de absorción biológica de drogas
3
b cm
g x seg cm *
3
g bx
…….(3)
seg
Ahora la tasa de cambio de la cantidad de droga en el órgano es igual a la tasa a la cual entra la droga en el órgano menos la tasa a la cual la droga sale. Así, de (1), (2), (3) obtenemos (4). d dx
xV
ac
bx
…………(4)
Solución de b) Si asumimos que las concentraciones de la droga en en
t 0
es
x
0
entonces:
x
x
o
t 0
Si asumimos que a, b, c, y V son constantes, lo cual no se requiere son constantes de acuerdo a la formulación en la parte a) podemos reescribir la ecuación 4 así: V
dx ac bx …………..(5) dt
Resolviendo 5 por separación de variables y usando la condición inicial.
4
Aplicación de ecuaciones diferenciales: Modelo matemático de absorción biológica de drogas dx ac bx dt Vdx ac bx dt V
dx dt ac bx x dx 1 t x ac bx V 0 dt 1 * ln ac bx ln ac bx0
V
0
b
1 V
t 0
b t ac bx V 0
ln
a cb x
a cb x0
ln
e
ac bx
b
e V b
ac bx ac bx0
e V b
ac bx
e V b
bx e V
t
x
ac
ac e V
b
ac e V b
e V
t
* ac bx0
b
bx
t
* ac bx0 b
bx
t
t
t
ac
* ac bx0
t
ac
* bx0
* x0
ac b
……………(6)
Esta es la solución de una ecuación diferencial. Existen dos casos de interés: a) PRIMER CASO: a b , es decir, la tasa de entrada de la droga al órgano es igual a la que sale. Con esto la solución se convierte en:
x
b) SEGUNDO CASO: a
c
e
b y
b
t
V
* x0
x
0
x
c
. En este caso la tasa de entrada de la
droga al órgano es igual a la que sale y la concentración inicial de droga en el organismo es 0 entonces tenemos que:
x
c
ce
b
t
V
5
Aplicación de ecuaciones diferenciales: Modelo matemático de absorción biológica de drogas Podemos mencionar algunos ejemplos para los cuales se utilizan estas ecuaciones:
NOTA: Se puede presentar el caso en que conozcamos un rango de concentración en el cual es efectivo un medicamento en un órgano dado, pero sin llegar a ser letal para el órgano ni el resto del organismo, al órgano se le aplican una serie de dosis que mantendrán a concentración del medicamento dentro del rango previamente mencionado. entonces debido a que el organismo por acción natural expulsara el medicamento a un ritmo constante, la concentración bajara y puede llegar hasta a salir del rango de efectividad. Allí es donde utilizamos la ecuación para calcular los intervalos de tiempo para los cuales se debe suministrar el medicamento para mantener la concentración de la droga en el órgano sin llegar a ser letal.
6. EJERCICIOS: 6.1. Un líquido transporta una droga dentro de un órgano de
500cm
3
de volumen a una
3
tasa de entrada de
10
cm
y sale a la misma tasa. La concentración de la droga
seg
g
en el líquido es de 0.08
3
asumiendo que inicialmente la droga no está
cm
presente en el órgano, encuentre: a) la concentración de la droga en el órgano después de 30 seg y 120 seg , respectivamente, b) la concentración de estado estacionario.
Solución parte a) Datos: X 0
0 3
La taza de entrada es igual a la taza de salida por lo tanto :
10
cm
seg
C
0.08
g cm3
T1
,
30seg ,
T2
120seg
Dado que la concentración inicial en el órgano
x
0
0 y las tazas de entrada y
salida del líquido en el órgano son iguales se emplea la ecuación del segundo caso:
x
c
ce
b
t
V
Sustituyendo: para T 1
g g x 0.08 3 0.08 3 * e cm cm
3
30 seg *10 cm 3
500cm
seg
6
Aplicación de ecuaciones diferenciales: Modelo matemático de absorción biológica de drogas x
0.0360
g 3
cm
Sustituyendo: para T 2
g g x 0.08 0.08 * 3 3 e cm cm x
0.0727
3
120 seg *10 cm
seg
3
500cm
g 3
cm
6.1.1. Suponga que la máxima concentración de una droga presente en un órgano dado de volumen constante V debe ser C
max
. Asumiendo que el órgano
inicialmente no contiene droga, que el líquido que transporta la droga en el órgano tiene una concentración C
C
max
, y que las tasas de entrada y salida son
ambas iguales, demuestra que no se debe permitir entrar el líquido un tiempo mayor que: v b
c cmax
ln
c
Demostración: X
C
max
, C
C
max
Como la taza de entrada es igual a la taza de salida : X 0
0
Entonces la ecuación a utilizar será:
7
Aplicación de ecuaciones diferenciales: Modelo matemático de absorción biológica de drogas b
c ce V
x
b t c 1 e V
cmax
b
cmax
1 e V
c b
t
e V 1
1
b
b
e
b
ln e
bt v t
c cmax
t
ln
ln v b
c
c
V
cmax
c
t
t
t
c cmax
eV V
t
ln
c c cmax c
c cmax c c cmax
El análisis matemático de esta ecuación nos da a entender que mientras un tiempo t cumpla con la condición la concentración de droga en el organismo no excederá las condición de concentración máxima.
6.1.2. Trabaje el ejercicio anterior si la concentración inicial de la droga en el órgano es
x
0
.
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Aplicación de ecuaciones diferenciales: Modelo matemático de absorción biológica de drogas b
cx0 ce V
x
b t c x0 e V
cmax b
t
x0
e V 1 e
t
eV
ln e
V
b
t
v
c
c
t
V b
cmax
x0 c cmax
b
t
c x0 c cmax
t
ln
ln
b
c x0 c cmax c
x0 c cmax
6.1.3. Suponga que en el problema del texto la tasa (a) a la cual entra el líquido con concentración de droga constante (c) al órgano es mayor que la tasa (b) a la cual sale. Como consecuencia, suponga que el volumen del órgano se expande a una tasa constante (r) de modo que V en el órgano es
x
0
V0
rt . si
la concentración inicial de la droga
, muestre que la concentración en cualquier tiempo
t 0 es:
b r
ac V 0 x0 x bc b r V0 rt ac
r
Demostración: Taza de entrada=a Taza de salida=b Concentración de droga en el líquido= c Volumen del órgano V
V 0
rt
Derivando la ecuación tenemos que:
d dt
xV
ac bx
Sustituyendo en la ecuación d dt
x V
0
rt
ac bx
9
Aplicación de ecuaciones diferenciales: Modelo matemático de absorción biológica de drogas dx dt dx dt
V
rt
xr ac bx
V
rt
ac bx rx
0
0
dx V0
rt
ac b r x dt
Integrando en ambos lados:
x
t
dx
dt
ac b r x V
x0
rt
0
0
1 1 ln ac b r x ln ac b r x0 ln V0 rt ln V0 r b r
ac b r x 1 ln V0 rt 1 ln V0 b r ac b r x0 r e
ac b r x ln( ) ac b r x0
1
1
br
e
ac b r x ac b r x0
V rt r ln 0 V 0 1
b r
1
V rt r 0 V 0
ac b r x 0 b r ac b r x
b r
ac b r x0
1 r V rt 0 V 0
V0 rt ac b r x V 0
b r
b r r
b r
ac b r x V ac b r x V rt r
0
b r
0
r
0
b r r V ac b r x 0 br ac b r x0 V0 rt r b r b r
V 0 r b r x ac V0 rt
r
ac b r x 0
b r
V x 0 b r V0 rt ac
r
ac b r x0
10
Aplicación de ecuaciones diferenciales: Modelo matemático de absorción biológica de drogas 6.2. Un líquido transporta una droga dentro de un órgano de 450 cm 3 de volumen a una tasa de entrada de 10 cm 3/s y sale a una tasa de 8 cm 3/s. La concentración de la droga en el líquido es de 0.08 g/cm 3, asumiendo que inicialmente la droga no está presente en el órgano, encuentre a) La concentración de la droga en el órgano después de 25-115 s respectivamente.
SOLUCIÓN:
Cantidad de g/s que entren en el órgano: 10 cm 3/s x 0.08 g/cm3
Cantidad de g/seg que salen en el órgano : 8 cm 3/s * X g/s
Cantidad de gramos en el órgano: 450 cm3 * X
Pero el volumen de un órgano se considera constante. x
0
0
Luego: Cantidad de g/s en el órgano =
Luego usamos:
v
dx
dt
ac
V
dx dt
bx
Al resolver la ecuación, se obtiene:
x
ac b
ac t t x 0 e b
0
/V
Reemplazando datos para un tiempo t= 25 s:
10 *0.08 10 *0.08 8(25 0)/450 0 x e 8 8 La respuesta sería: x
g
0.03588
3
cm
Reemplazando datos para un tiempo t=115 s:
10 *0.08 10 *0.08 8(1150)/ 450 0 x e 8 8 Al resolver se obtiene:
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Aplicación de ecuaciones diferenciales: Modelo matemático de absorción biológica de drogas
x
g 0.0871
3
cm
3
6.3. La tasa de entrada de un material toxico acuoso en el órgano diana es de 12
cm
,
s
siendo la misma tasa la de salida, si se conoce que el volumen del órgano es de 750cm
3
, que la concentración del material tóxico en el líquido de entrada es de
g
0,05
cm
0,002
, y que la concentración inicial del material tóxico en el órgano diana es de
3
g 3
. Halle la concentración del material toxico a los 1 minuto y 5 minutos.
cm
a)
PARA t= 1 MINUTO: bt
x
c e
v
( x0
c)
12
x
x
0.05
g
cm3 g 0.0308 3 cm
e
cm3
*60 s s 750cm3
(0 0.05
g cm3
)
b) PARA t= 5 MINUTOS:
x
c e
bt
v
( x0
c) 3
12
x
x
0.05
g
cm3 g 0.0495 3 cm
e
cm
*300 s s 3 750cm
(0 0.05
g cm3
)
3
6.4. El ingreso de un líquido tóxico es de 14
cm
, siendo la misma tasa la de salida, el
s
volumen del órgano es de 600cm líquido de entrada es de 0,04
3
, que la concentración del material tóxico en el
g cm
toxico en el órgano diana es de 0
, y que la concentración inicial del material
3
g cm
3
. Halle la concentración del material toxico
para un tiempo de 1 hora.
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Aplicación de ecuaciones diferenciales: Modelo matemático de absorción biológica de drogas
x
bt
v
c e
( x0
c) 14
x
X
g
0.04
cm3 g 0.04 3 cm
cm3
*3600 s s 600cm3
e
(0 0.04
g cm3
)
6.5. Cuál es el tiempo en el que por el ingreso de un líquido tóxico al órgano diana, se g
alcanza una concentración de 0.5
3
si el valor inicial es de 0.03
cm
alimentación es de 22
cm
g cm
3
y la tasa de
3
, siendo la misma tasa la de salida, el volumen del órgano
s 3
es de 600cm de 0,045
g cm
3
, que la concentración del material tóxico en el líquido de entrada es .
x
e t
c e
bt
v
bt
v
( x0
t
c)
x c
ln(
x0
c
x c
x0
0.5
t
c
)*
v b
g
cm3 ln( g 0.03 3 cm
0.045
g 3
cm3 ) * 600cm g cm3 0.045 22 cm3 s
29.962s
7. CONCLUSIONES:
La aplicación de ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos de predicción facilita en gran medida diferentes labores, y brinda grandes beneficios, para el caso específico de modelo biológico de absorción de drogas se favorecen diagnósticos tempranos y tratamientos oportunos. La revisión de los modelos matemáticos existentes nos da la pauta para llevar a cabo la elaboración de nuevos modelos de ecuaciones diferenciales ordinarias que apoyen la resolución de problemas específicos distintas áreas como las Ciencias de la Salud. La combinación de las herramientas matemáticas y los conocimientos de las ciencias biológicas logrará una fusión de ciencias en beneficio de la humanidad.
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