Capítrrlo1 - Geometriaênõiitica:p(}nli+è téte:...................................
Capítulo3 - Geomet!.ia ônalÍticri5edçóes côhicas.. . ............ . ...................... 70 Í
5. Reconhec mentodecônicas..................................
Capítulo4 - Númeroscoírìplexos
................................... 93
100 142
2. O conjunto dosnúmeros compexos..............
142
3, Conjugado de um núrnero compexo...........
106
4. Dlvisão denúmeÍos cornplexos ..........................
107 5. Representação geornétrica dosnúmeros compexos..................................... t0B 'll'l 6. Módulode um númeTo cornpexo................... 7. Forma trlgonométrlca dosnúmeros complexos................_.......................... 113 8. Equações bÌnômias e trinônnÌas.............................. Atividades adlcionals...
123 1.27 130
3. Fun\;o po ^o.ì o .............................. 4. Vaor numérÌcode unì polinômio............ <
l^ '
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........................ ij5 j 36 ................................
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6. caizde ,.n po ' onio.. ....... ..... ...............
.................. .... ...................... ........ ..... 138
7
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139
po lnomials 8. Equaçôes ou a gébrÌca s...............
147
Ar i.idddê c onas . "d
161 162
166 t68
2. Termos de umapesquisa estatíst ca
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Ari\idddes èdc onas..
.................... ìBB
196 198 204 205 208 209 214 216 224 221 223 225 226 231
6. D"'ivadas deo Jr.asfurçóe..............................
236 238 242
f
263 325
GeemefrÍoenalÍiÍca: pantoercta Vi'ii:ü;xíïi'"--"rir
tabeleceu relaçõesentrecurvasno plano e equaçõesalgébricasem daas vaúáveís.As propried.adesgeométricasdas curvas foculares,ond,ecadapontof,ca perÍeitamehte r^m, assim,'traduzidas" por meiode equapor poiíçã,o. que identif,cado sua Imagine çõese osresultadosda álgebraforam íntervocêqueira índícar oncledeveser colocado pretadx geometrícawent4 E nósganhamos um pregonumaparede- bastadizer a qae conl ísso,poís temosmaitas vezesmaisía.ci altara eledeveestardo chãoe qual suadís' lidade com a Álgebra ou corna Geometría parede lànciaa uma laLeral.Fazendoisso, glaçasa essacomprees^o,e a pa.ssa.geln d.e voeêestaráaplicando ewttctmenteo púncíuma representação(algeb .a oa geométuípío de representaçãodospontos no pl,ano ca) à'oatrn toma clarososconceítosmate' cat'tesíat1o - a cacíaposíçã,ono plano fica mátícos. associ1.do am ponto. Descartesestova,acima de tado, empeFoi RenéDescartes(1596-1650), filóso- nhad,oem descobrírumafórmala quedisct"penso, por sua plinasseo mciocinioe unifcasseo conheci. logo erísto': fo famoso frase: que, percebendoessaconespondêncía,es- mento,Sua obut maisÍamosa.,o Discurso do metodoparabem ccinduzìr a razàoe procurar a verdadenas ciêÍrciag de 1637, contémLrèsapëndices que ilustramo "mètodo" com exemplospráticos. LÌtu desses apêndices,chamadoA Geomelúra,contém as ídéias básícasda Geometríaanalítica
t
(chamada anteriormentedc Geometri a cartesiana).Ësse simples apéndiceéconsiderado por algunsestudiosos o "maioÌ ava\ço, em um sópasso,11oprogresso d.ascíêncíaseratas: Oufro estudiosoda Matenàtica que colúríbaiu p6ríí o desenvolúmentoda GeometrÌaanaltticaíoi ofrancèsPiene Fefthat (1601-1665).Sua cohttibuiçào nes.eLampoeslànumtertodenominado lntroduçãoaoslugaresplanose sólidos escritopot voltade 1636.porémi publicado14 anosdepoisd,esuamorte.Assím aomoDe\cartes,Fermat associoueqaaçõesa curvasesuperíícíÊs, Ernborasejacomuma idëiadeque a Geometuíaanalítíca é uma redaçãa da Geometriaà Algebra,osescritosde Descartesmostram que saapreocupação era a. cottstraçãogeométrící e a possibílidaded,eencontrarum correspondente geométrícoàs operaçõesalgébricas.Já com rclação a Ferma.t,o usode coord,eadassurgeda aplícação da Álgebru da Renascença a problemas geométrícosda Antíguídade. Isso mostra qae os caminhospercorridos por elesforam índ,ependentes, O século XVIIÍoi, assim,marcadopor um grande avançona Matemátícaao ser esta desligadad,asimplesaplícaçao às necessídades econômíca,s e tecnológíca.s, Começaremos o estudoda Geometria analítíca, nestecapítulô,por seus elementospúmítívos, o ponto e a reta., obseruaqdocomo a recarsode processosalgéb cos ímprime uma precísão qasmedídase noscá.lcalos não e coLtrada na Geometriae como,por oatro lado, a representuçAo geométrícatorna concfetasas expressões algébrícas,na maíoría das wzes Ìão d,bstratas.
VamosÍecordafa âp icaçãodê representação de pontosno panocârtesiano. A lustração abaixo mosÍaumasaa ceaua.
r
a)Locallze a mesaque esténa terceiíafileka,a partirdã parede quecontêma lousa/e naprimerãíle ra,a partiÍdêparedeque contéma poíta,marc.ndo,acoÍì um X. b) Representa ndoasmesasnum p ano,de acoÍdocom oesquemaa seguiÍ,PaLrlo rnãrcoua suacorna letÍap. ExplÌque como estásltuadaa mesade Pauo (vocêpodetomarcornoexem ploa maneiÍadescritano Ìterna).
trtrtr trn n ntr tr n n tr
2e &
c)Seconslderarmos doiseÌxos, um coincjdÌndo corna pãredêda lousae outrocorÍìa parededa porta,sendosuainteÍsecção a oílgerndessesisterna de êlxos,e repreçentarmos a posjçãôde cadamesapormetodeLrrn parordenado (m,n),noquaméa distância da parededa ponaà mesae n a distância da paÍede da Ìousaà mesa,quaI par corresponderá à posçãoda rnesãde Pauo/ d) lvlaÍque,no esquemãacÌma,a mesade Rosa,representada poÍ (1,3)ea dê Martã, repÍesentadd por(2,4).
lt
I
10
. (onterto ttatemi,rka &Aptk4ôês
ff? sistemacanesianoortogonal Existeumacorrespondência biunívoca entreospontosdeum plânoeoconjuntodos paresordenãdosde números reais,istoé,a cadapontodo planocorresponde paroÍdenado (x,y)ea um único cadaparordenado(x,y) estáassociado um únìcopontodoplano.Arelaçãobiunívocâ nãoé única,dependedo sjstemade eixosonogonaisadotado. Paraestabelecer umadessas correspondências biunívocas sãousadosdoisêixosortogonais(eixoxê eixoy)que íotmam o sistemacattesianoottogonol, Aintese<çáo dos eixosx e y é o ponto O, chamadode o/iqemdo sjstema. Exemplo: Ao pãrordenadode númerosreâis: . (0,0)estáassociado o ponto O (origem), . (3,2)estáassociado o ponto Â; . ( 1,4)estáâssociâdo o ponto B; . ( 2, -3)está âssociado o ponto C; . (2,-1) estáâssociâdo o ponto D.
I
Considerando o ponto Â(3,2),dizemosque o número3 é a coordenadax ou a abacÍt9 do ponto Aeo númêro2 é a coordenadayou a oidênâdado oonto A, Observaçôês: 1.) Oseixosx e y chamam seeixoscoordenados e dividemo plânoem quâtro quddrontetcujaidentìÍcaçãoé feitâconformea fìgura. regiõeschamadâs O sinalpositivoou negativoda abscissâ e dâ ordenadavariade acordo quadrante. com o 2q) Seo ponto P pertenceao eixox, suascoordenadas sáo(a,0),com a C lR. 31) Seo ponto P pertênceaoeixoy,suascoordenadâs são(0,b),com b € lR.
O pontoOtO,0l pertence aosdoiseixos,
4ã) SeopontoP penence àbissetriz dosquadrantes Ímpares, suascoordenadastêm ordenãdô iqualàabscissa, ou seja,sãodotipo{â,â)coma e R.
5?) Seo ponto P pertenceà bìssetriz pares,suascoordenadastêm dosquadrantes abscissa e ordenadaopostas,òu seja,sãodotipo (a,-a)com â c lR,
Qpílülo1. GqgmeÍia ponto analÍtka: êÍeli
'tl
propostos Exercí
3. Nofetângu o daiigura,ÃE = 2aeBÌ = a. Dêascooroenadasdosvéftices do rcünguo
clc d)D
4. 0 \èlo dek,. \ab"roooLeo oo-.oP " ceà bss€trzdosquadÍantes ímpares, é:
a)-r. .plr "),+
dr+
. 2k pele-
"r+
5. O Éio da cìrcunfeÉncia da fglrmrnede2 undadesQuais sãoas coordenadês dospon tosA,B,CeD? 2. ÍVlarque nurnsisternâ de coofdenadas cartesianas ortogonaisospontos: a)Atr, íl Nt0, -ìl -21 blDtO,3) d ci4, 4)
cl qt3 :2).
dt-a---tã
hlM(-4,ol D Rt3,o)
e)P(-1, 5l
6" Sabendo queP[a b], comab > 0, emqu€quadrante s€ encontm o pontoP] 7. Sabendo queP[2m+ 1. -3rn 4] peftence aoterceifo quadEntedetermin€ ospossiv€is valofes feasde m
ffil Distânciaentredoispontos Dadosdois pontos, e B, a distânciâentreeles,que seráindicadapor d(A, B),é a medidado segmentode extremidâdesA e B,
Exemplos: te)
d{A,B) = 3 1:,
3e)
d (A , B )= 2 + 4 : 6 B(-2,4)
l.
L
3
ot-r,,rf'' " d ( 4 8 ) = 3 + 2 :s
d(A,B):4
1=3
t
12
. ConreÌro&Ad (àóe5 ÀlatemáÌ.à
ld(4,B)]']: 3':+ 2'?+ d(4,B): 14J
[d(4,8)]'z - 3: + 5, + d(A,B): út
Podêmogdeterminaruma expressãoque indica â dìstânciãentre A e B, quaisquerque sejâmA(xa,ya) yB). e B(xB, OtriânguloABC é retânguloem C,logopodemos usara relação de Pitágoras:
y^f 3 d(4, B) = úx, xJ' +(y, ld{A,B)1'?:(xB xÀ)':+ {yB- ya)'? Obseryaçâo:A expressão obtidâpâraâ dìstância€ntredoispontosA e B independeda localizâçáo deA e B,ou seja, valeparaA e B quaìsquer, Vejamosno 29,49e 6-Õ exemplosanalisados anteriormente:
2 e ) a (2 , - r ) e B(3 ,-1 )rd (A ,B ):ú 3 (r)I + ( r ) 1r ) l'
= \,6'+ C = ús:s
4q) a (2 , 1 ) e B ( -2 ,4 )+a i A e l :l i i2 tr2 )F+ ( a lf = ' 6' + *
= r ç= :
( 2 )F +I( - 3) - 2) l'= !6t+ ( - sf 6q) Â (2 , 2 ) e B ( 1 ,-3 )+d (4 ,B ):\,fr
= v5t
Concluímos, então,queadistância plano,talqueA(xa,ya) entredoispontosA e B quâisquerdo yB), e B(xB, é:
=arn.er= o(,, -
1. Umpor'ìto P(a,2) é eqüidstanredosponros A[3, B[2,4) Calcuea abscssa do pontoP. Resoluçâol ComoP é eqüidistante d€A € B, d€vernoster: = dtP,A) dtP,Bl =
',t'
* tv; vJ
@_,
I veirìqueparaostfes I ourÍosexemPros. ,, I
èg 6a+/+1=4 4a+ / +-6a+4a=4+4 I t= ) 2a:-2..2a=2:+a=1 Verifcandol
= Jt3 - aÍ + (r z)' = .,1t2 â)' + (4 2)'1.+
=1 G- a f' + r =út =[3
âf'+4 =
a],+l =(2-a),+4=
Então, a abscjssa do pontoP é ]
+4+
Gpílulol. Geomer aãna/írkãrponro Êrel.
queo ÍângLrocomvéncesA[ 2, 4]. 2. Demonstrc Bi 5. ll e ct-6 5)é sósceles. Resolução:
Corno 65 : I3 + 52,podernos queo tánguto afÍrnaf ABCé fetângulo emC.
4. Consdereurnpontop[x,y] ta queasLtadtstâncaaopon to A[3,2) é semprc duasvezes a suad stânc a aoponto B( 4 ll. Nessâs condçÕes, €ncontfeurnaequação queselasâtisfeita comascoordenadas do pontop. Resolução: Deacordocomo pÍoberna, d€vernosteÍ d(P A) = 2d(p B) o! sejê,[dtp,A)], = 4ldtp,Bll,
UrnÍángulo é isósceles qlandotem dos adoscon gruent€s(meddasiguaisl.Vamoscalc!af, então,as Ínedidas dos adosdorángLro ÁBC:
dtA.B)= \i[.t+ A' + 0
4), =
= " 6+s = " 4 ã = : ú d(4,c) = ít-6 + 2Ì + (5 aÌ =
. ,) -t2 ,r_41-\Jll _y.1. =9-6x+xr+4-4y+yz= =4fl6+8x+x,+ 1 2y+y,)= =9.6x1'x:+4-4y+yr: =64+32x+4xr+4 8y+4yr+ + -3x'z- 3y, - 38x+ 4y - 55 = 0 + = 3x'+ 3y'+ 38x- 4y+ 55 = 0
= ! ' i 6 + r = fi drB.C'- \ir 6-cJ
5
-J,-
6
Comod(4,Cl = d(B Cl,o trìánguto ABCé sósceres. osvéftcesAt- t, -3) Bt6,ll eCt2, 5), 3. CoJìsideEndo vefiqueseo rânguo ABCé fetângu o. Resoluçâo: Parusertfânglo fetánguoo quadrado de !m ado devesef guêlà somadosquadÉdos dosoutfosoots. dA.Bì -JL6-D
tt .3Ì
5, A Íìredatrzdeumsegnì€nto ABé a retaforrnâda pelos pontosqueeqüdstanì deA€ B. Encontre umarclâção enÍ€ ascoordenadas x e y do pontop[x,y), sabendo que ele pertence à medatrzdo segrnento AB, coÍn A[3,2]e Bt-2 41. Re6oluçào: SeP[x,y) pedence à medatdzdeAB,então dtP A; = 61pBl, ou seja.ldtp All, = ldtp Bll,
- Jrg--6
= J6s= t./ãFl,= os d ( 4cl , = J( 2+ rl, + i 5+31, =!6+4
=
= r: + "/iã [.,4ã],
diB,c) = ii2 - 6Í + t-5
=
t\ 3ì, _ t) /r _ (\ ._2)) (i _ (_ _Jl. , =rxr-ox+9+yz-4y14= =x?+4x+4+yr+By+16=' + 2x 12y 7=A)2x+12y= Ì êunadas Tnane |asde€xpTessafâ reação€nÌrerey.
rlz = !í6-1 36 =
= Jsz.+ (Jsz)"= sz
i1tg:Eqr'!@< E. Cacllea dstância entrcospontos dados al A{3 , € Btr,a) dl Mt0, 2l € N [./6, -2J bl Et3,-rl e F(3,51 el Pt3, 3l e qi 3,3l cl Ht-2, 5l e O(0,0l fl C(-a, 0l e D(0,3l A dopoJìro A[a.]J aoponro B[0,2]é guaa tgl Á dstáncia 3, CacLre " ovaorda âbscssã a
@
Quale a d stânciado ponïoA[cos a, senêJ ao porìto B(sena, -cos al?
I1. UmpontoP peftenc€ âo eixod€sâbscssâs e é €qüÌdis ra'redosoonLos AL .2JeBLt { euatssÍ;o a! coo. denadas do porìtoP) [?
A aosc'"ade - r oorÌoP é -6 e s. ã d stáncEaoponro q0 3) e J7a. DercÍn-F d o-oelaoaoo po-ro.
14
. tomexto Matemátka &Apkaçóe5
Ì 3" Consderc um pontoP[x,y] cujad stâncÌaao ponto A[5 3] ó sempíeduasvezes a dstância de Pao ponto Bí --'. \e5)dsco d çoes,escÍe/aJ 1a eq-cÉo quedevesefsatisfeita cornascooÍdenadas dopontoP.
l :1,Demonstfe q!e uÍntriângulocom vérticesA[0 5], Bt3,-21 e Ct-3, -21 é isósce€s e calcue o seu perímetÍ0.
L,l!s!ls jlvEqr quePdivideosegmentoiiB Sejam A,g e Ptrêspontosdoplanocartesìano,tais numarazãor = PB nadarazãodèseção. Observe nâfiguraâbaixoqueostÍângulosAPC e PBDsão semelhantes.
Então,temosì AP pB
X I_X P xp -xg
YE- Y' yp-ys
Coordenadas do pontomédiode um segmentode reta yB),vamosdeterminaras coordênadãs Dadoum segmentode íeta ABtal que A(xÀ,yÀ)e B(xB, de M, o ponto médiode A-B.
À(r"yJ O ponto médioé o ponto divisorquedivideo segmentoem duaspârte5iguais.SendoA e B os pontosextre' = L Ponanto: mosdo segmentoA-8,com ponto médioM,teremos4 t!18 ;ì;
.# = *
_+- r = v : - & -r -
. g /\48
yM - yB
I. -)
*yM - r - ys
= x , - x , = xÁ- xM = 2 xv= x" ,,= *" = l!+ y s - yo y*.- 2 yu - y^ - v,- y,- &+
Coordenadas do baricentrode um triângulo yB)e C(xc, yc),vamos Dôdoumtriângulo ABCdevértjces A(xa,ya, B{xB, dêtêÊ minaras coordenadas dec, baricenío dotriángulo ABC. SejaM o pontomédiodoladoBc.EntãoxM= laj-lL
y, = &+ " SejaGo bâricentro AMêmduaspartes, doÍiânguloquedividea medianã em oueumaé o dobrodaoutra,Nesse caso,E = z. GM
. GeomerÍladèlítka: CâpituloI
Ponanto: *, xc
,o =r= Xu
,o X u -r" " = 3xc:xÀ+xB+x.= xn = xot!+x.
.lq= cM
. *: } j + - r :} Y,- Y\ ys- y.-
- 3 yc= yo
". xc
t Y -Y}=zv" y,- Y \+Y 32
2xM= x Á x c â 3 x c = x a + 2 x M= 3 x o = * o + z Ì o & -
ys y. 2yM: y a- y c+ 3 y c= y a+ 2 y M + 3 y c= y À+ 2 1 =+ z 'n
6. Detemin€M, pontornédiode Ã8, nossegunr€scaal Ai3,-21 e Bi-t,
Resolução:
Y
como nal!a!
6)
\zz)
1Y. ],enuo.
bl Ato,7l e Bi6, 0l
"]
- a= - r .= t**=
Aí 1 .-Lì" Bí_] ' ì \2
|\
3)
3/
l3+v -. 24=-=13+y=48-y:35
Resolução: ConsideÉndo M[xM,yM],temos: alx".= '22 v",=
'22
'
LoSo, B[-]3,3b1. 8. Caculeoscornpf mentosdasmedanasdeumtf aÍrguo devertces A[2, 6],B(-4 2) e CtO,4l.
'=1=r !
-
-'
6ìx=_13
=
-:=
a
Mtr,-4) =i
bìr
:=::?
22-
Yv
7+A
7 -1 22
.i) "(.i)","ft v.,= ' 22
t2 J
r
=_
Resohrção: Obseruando a ÍguÍa,temos: M, é o pontornédiodo adoA-Bi M, é o pontomédìodo adom; M3 é o pontomédodo tadom Cálcuo dascoofdenâdas d€ Mjl x=
::=
un triângulo
l . ïodorriânguto
M Í_ ]. Lì \
4 2)
7, Umâdasextrem dadesde urnsegmento é o po|ro A(7, l3) e a ouÌÍaé o pontoBix,yl. SendoMt-3,2a) 0 pontornédto, deterÍnrne ascoordenadâs da extrerni_ dadeB do segÍnento.
Cálculo dascoordenád€s de M2i 0+2 = *= t ,46
triângulo.
Ma$mÍka. ontexto&Apkaçõe5
Cálcuo dascoordenadas de Ms: 04 2
v=
-
.1:t^
3
tP
v, v"
-
'
^
v t 3l-
y)-2i
6-36-3y
-211+3)-3(12á5)7=30+)?=6 Logo,P(S,6).
:3
Vâmoscacular,agorâ,os comprmentos das Ínedialúediane ÃMs,sendoA(2, -6) e Ms(-2,3): d(A,M3)= {(-2 -2Í + (3 + 6)'
,
Ì U. Seos vélKesde ur InángLlo sãoos pollocAf . l) Bt 2,3l e C(-4, 2), deteÍnìne ascooÍdenadas do bâfc€ntrcdessetâng!lo. Resolução:
lvledana 6M,,sendo B( 4,2)eM,(1,-l):
dtB.rvlt= \10+ 4I + l-1- 2)' =
=rr 5+s = l E i\,4ediana õM| sendoC(0,4l e Mi[-], -21:
= .\/(-r- ol' + t-2 - 4y d(c,r\,1,) 9. Dadosos pontosA[5, ]21 € B[]5, 31,deteÍmne o pontoPdo segmentoÂBta quea râzãoentreâsÍnedi' :. dasdeAPe PBsearouala 3 Resolução:
G:baricenÍo[pontod€ encontrc dasmedanas] xo + It + xc quexc = sabernos e
3
apz
5
PB3 Fazendo P[x,y),temos: .
2x^x,5x 3 x 15 .+2t\ - lb) - 3(5- x)r2x+5x=45=x=9
I + 3 + r-2 ì
2 3
30 = 15- 3r-
Loqo,ascoôÍdenádâs do barcenÍosão-i
sep, cl -*. * I.
e: 33
0u
15. DeteÍm à ne o pontomédiodo segmento de e*rrcmidâ- 18, Numtiárìguo sósceles, a aturae a med€narclátivâs bâse dâ des: sãosegmentos co ncldentes. Calcule a medidã âltumrelatvaà baseBCde urntriângulo devéÊ isósceles a)A[-],6) e B(-5,4l uces Ai5, 3), Bt2,'21e Ct8,2). b)A(r,-71 e B(3,-5) c) A(-r, O e B(5,-2) 19. \J.r osraleog"ÍÌo ABCD. M(l -2) e o oonlode e_ d)A( a, 2) eB(-2,-4) queA[q, 3) e contrcdasdiagonais AC e BD.Sabe-se 6(6. véÍtces vel ilueâs sào oors co1sec-ïvos. Ura \) 16. uÍnâ das e*uemìdades de um segÍnento é o ponro dagonàs as se cortam mutuamente ao Íneio, dercrmrne A[ 2, -2]. $bendo qle M[3, 2] é o pontomédio coofdenadas dos vért ces C e D. caculeas coordenâdas do ponto desses€gmento, B[x,y], queé a oltm extrernidade do sêgmento. 20. Delerm ne ascoordenadas do pontoP(x,yl quedivideo Apl 17. Câlcule os compÍimentos dãs medianas do tÍiângulo segÍre_lo A[2. 0) e Br'7.20ì 'ìa dzão_ cujosvédices sãoospontosA[0,0), B(4,2) e C(2,4) PB4
{
(ò p i t ülol'úeoneüià a n a trÌc à :o o n t0 ê rp Ìà
'17
.tïïli;."::.ï:",:",T:.:":.p^"::ï.1,-"-dlll"1" s ê9. ìê1r odó e\tre T ro a d el ?s . trê r' B j F r Ìrp .ocÍ
I
È s glas
Deterrnine o bâficenrrc dotÍiânsuro devértÌces 12,3J, ,
]
,"
6 l t,
Condiçãode atinlramentode três pontos Dizemosquetrêspontosdistintosestãoalinhados,ou quetrêspontossão colÌredres, quandoexÍsteumaretaque passapetostres. A, I e C sãotrêspontosalinhados. Vejamoso que ocoffequandotrêspontosA,B e C estãoalinhados:
AB AC AB Ac
Peloteoremade Tales: A,B, AB x, x A,C, ac A,B, A,C,
AB AC
O
h - y1
(D
Comparando Q e @, temos: x:
xr_Y:-Y,_y:-!, Yi-yj
_ Y t-Yt..> Xu
X,
Yz -l t X:X ,X:\X :X,
Y r-y,
= n*
+(x3 - xrxy, y,) (x, x,)(yj- yr)= o + xry,- x3y,-xJ,+ !ú
_x2,, +x,yt+xJt
+xry: - xry3+ xry3 xryr + x3yr- x3y,: O
Oprimeiro termodaiguãÍdade corresponde aoder"r, podemos DâL dizerque:
"""," lï; ;; ;l l"' y, rl
lí
=o.+
Verifìqu€ queo prìmêlÍo
SetrêspontosA(x| y1),B(xzyJ e C(x3,yj) estãoãtinhados, então:
]"' r' t D = lx, y, 1 l:0 lx: Y: l I L -*"0*.0*"0*o-o-.' I+ corunadâsabs.Èsas dospontos.
Obseruação:Fâzendoocâminhoinverso,podemosverifica r tambémquel
l'' y,v' 1'l -
SeD:]x,
J l x: Yr 1l
0,êntãoA(xi,yr),S(x,,y,)e C(x3, yJ sãopontoscotineares (recíproca dapr.priedade anteri.r).
t8
Màtêníio. tunrxlo&AplloÍôer
queospontos I l.VerÍquese os pontos Ai-3, 51,80, ll e C(3,-1) 12. Sab€ndo Aia, -4), Bt- 1,-2) e C(2,t) estãoalinhados. estãoainhados, câÌclleovaorde a. Resolução: Rêsoluçâo: Usando ascoordenadas, cacuiâmos o determinante: SeospontosestãoâlÌnhados, devemosteÍ:
13 5 r
D=l r
1 1 =-3+15-l-3-5-3=
3tl
2
1 :A
211
=+15 15=0 CornoD = 0,os pontosdadosestãoalinhados. Observaçâo:
Resovendo a equáqão, teÍnos: -2a-8-1+ / / -a=a,+ ) 2a-a=8+ 1+3a= -9âa= Logo, a: _3.
.i -3
13. Detêmneo valofdexdemodoqueospontosA[ 3,]l B[x,2] e C[-3, -]) sejaÍnos vértices de umnìesmo triángLro. Resolução: ParaqueA, B e C sejâmos vé(jcesde Ltmtfiânguo, eesnãodevemestaÍalinhados. Então,
l-: r rl geÒÍn€alcamente, queospontos AÍguÊrlustra, dados
z r l^ o It l l- 3 - r r l
eÍão 1JÌa Tìesìa Íelê.oL sejd,es6o" inhddo'.Tes ó o processoanaÍt co qLregêrântea prcp edade.
è x -x + 3 + Logo, x I -3.
d-3-'+d-\-3,0,
3 = 2 x + -6 + x + -3
23.Verifqueseos pontos: 25. Considerando umafetar que passapeospontos al A(0,2),8t 3, l) e C[4,5] esiãoalinhados; A(- I , 2l e B[4,2) e intercecta o eixoy nopontoP, blAt l, 31,Bt2,al eCt-4, 10Jpodemsef osvénces detemine ascoodenadas dooontoP. d€ uÍnmesmo t ângulo. 24. DeteÍm nex de maneraqueos pontos Ai3, 51,Btl, 3l e C(x,1)sejamosvértices de umt ângúlo.
âo de uma reta
Sejao â medidado ânguloquea retaÌforma com o eixox. A medidãddo ânguloé considerada do eixox para a retâÌ, no senüdoanti-horário, e denomina-se ,inclin acãoda tetaJ.
Qpilülo1 ' Gmmetria maítka:Fnroeera
19
Quantoà inclinaçãode retãsnão-parâlelas ao eixox, podemoster:
0o< a < 9 0 o
90o
Entáo,podemosdizerque,pârâcadaretaÍroângulo d é únìcoê talque O.< d < 180".
CoeÍicienteangularde uma Íeta Consideremos umaretarde inclinaçãod em relaçãoao eixox, o coeÍicienteangularoua dêclividadedessaretaré o númerorealm queexpressa â tangentêt.gonomêtrica de suaincrinaçãoa,ou seja: m = tg,g , Vamosobservaros várioscâsos,considerando Oo< a < l8O.:
Parao-0',temos m --tg0=tg0q:0.
Para90"< q < 'ì80', temostg cr< 0:ì m < 0.
4e)
Para0"
0=m>0.
Parae : 90', a tg a nãoé defìnida.Dizemosentão que,quandoor= 90o,istoé, quandoa retaé verti cal,elã nãotem declividade.
20
Àlatemát e . Conro(o &Aplka!Õês
Vejamosagoraque é possívelcalcularo coefìcienteangulardê uma retaa partìrdascoordenadas de dois de Comoparao=0'(retahorizontal)adeclividadeé0eparao:90'(retaverticât)nãohádeclividade,vamos ânalisar oscasosde 0'< a < 90'e 90'< o < 180": 1r)0.
d(C.B) d(4,C)
Av Ax
xz
Xr
Então:
-_ v,
v1
2r)90.
y1) A(x,,yr),B(x,,yr)e c(xtr, NotÍiânguloretángulo ABC(e é reto),temos: .l/a aÌ
d(A,c)
^v
Àx
Comotg(180" o) : -tg e, vem: tqo
-
v, 4
v, ,ì
x -x .
- Ìaa-:jL= -m
-
Àv
,2
Ax
X : -^ ,
,l
Então:
Obsêrvequex, + xÍjá quer nãoé paralela aoeìxoy. Podemos quaisquer concluirque, seA(xr,yr)eB(xr,yr)sãodoispontosdistintos naretaÌ, quenãoé paralela ao eixoy(xr+ xr),adeclividâde ouo coeficiente Ì,queindìcaremos porm,é dadapor: angulaÍde
^v ax
v. x:
v, Xr
Assim,temos duâsmaneira5 de obteÍ o coeficiente angular de umareta,quandoele existir: . conhecendoa inclinaçãooda reta,calculamos m = t9 d; y': . conhecendodois pontosA(xr,yr)eB(x/yr)dareta,calculamos m: x:
yr . Xr
Naprática,émaisdifÍcilobterâìnformâçáo sobreã inclinàçãoda reta,porissoé importantenuncaesquecerque Yr, Y: rn=J:-Jror.; ObseÌvaçáo:Agoravocêpode utilizâroutro métodoparaveriÍicaro âlinhamentode três pontos,comparandoos coeficientesangulâresdãsretasque passampelospontosdois a dois,Porexemplo,na veíiÍicâçáodo alinhamento de trê5pontosA{x| yì), B(x,,yr)e c(x3,y3)podgrn65vsrifiça1ssq66rÍs f!-l]!
=
Ficaa seucÍitério :. usaressemétodoou continuarutilizandoo determinanteparaverifìcaroalinhâmentoou náo de três pontos.
(apíülo1 ' GúmeíiâanaftìGrpoÌrro ercta
21
14. Calcule o coeÍciente angutar da rctaquepassapelospontosA[2,3)e B[4,D Resoluçâo: ' 7-3 4'2
4 =2oum= " = 2 242-
a =t
Oânsulooéasudo [0'
ì propostos Exercídos :ìi:.,Determine o coefrciefte anglrlar[ou dectivìdade) da |eraquepassâpetospontos: al4t3,2) e Bt 3, -r) bl At2,-3) e Bt-4,31 cl P,t3,2l e P,t3,-2) dl Prt l, 4l ê P,t3,2l el P(5,21e qt 2, -3) 0 4t200,100)e 8(300,801 ll:
Seo é a Íneddada Ìnclnâçãode urnêrctae m é a sua (o! coeÍìciente declivdâde angLtlat, cornplete a raDeEl
Equaçãoda reta quandosão conhecidosum ponto
Á(xo,yo) e a cieclividadem da reta
Jávimosquedoispontosd istintosdêterminam umareta,ou seja,dadosdoispontosd istintos, existeumaúnica rètaque pâssapelosdoispontos, Damesmaformã,um ponto A(xo,yo)e a declividadem dêterminâmumaretâÍ.Considerando p(x,y) um ponto genérlcodessareta,veremosque sepode chegaraumaequação,de variáveis x e, a panÍrdos númerosxo,yoe m, que seíâchamadaequacàoda rcta r.
15" DetenÌin€a equação da retar quepassapeloponÌo Al4.2l e tenìlnclinaçãode 45.. Resoluçâo: VarnosconsdefarLm pontop[x, y] q-uepenenceã NotfiânguloAPC [ô é fero],temos: ãT'
Dì
UIÀ, UJ
=y-2=Ã(x-4)=y-2
=y-2
x+4=0+-x+y+2=0+
Logo,a equação pedidaéx
y - Z = 0.
Os paÌes[x,y] quesatisfazem eçsaisualdãd€ (soluções da equâçãol r€presentam os pontosda rêtari t0, -21,[5,5J, tlo,8l,( t _t e oütr3s.
22
. (omeÍro MatemáÌka &Apkaçõe5
16, Deteffnine a equação da rctar quepassapeo pomo A[5,3) etemcoeícierìte angulafm = -2.
Sem = -2, entãoa Jìcinação de ré urnâìguo obtu, so,ou seja.tg 0 : 2. NotrlánglloACP, retángLr o eÍnC,emq!€ P[x,y] é urn p0nt0g€nófcoda rcta,Ìernos: 3 = -2[x
2=i-y (y
{J= yo)
fr(x
5)-
to)
1y - 3= -2x+ l0 = 2x- y - 3 t0 ={ = =2x+y t3=0 Então, a equação darctaré 2x + y - t3- 0
podemosobterâ equaçáoda retaque passâpor um ponto A(xo,yo)etem um coefìcienteânGenericãmente gularm:
Considerando um ponto P(x,y) qualquersobreareta,temos: m-
Y-Yo -
y-y":m(x-x^)
ObseÌvaçõesl 1e)Aequaçãoy % = m(x xo)independe de m serpositivoou nêgativoe da localização do pontoA. 2:) Sea retaé paralelaao eixo)ç temosm = 0 e â equaçáoda retasêrádadâpory = yo. 3ã)Sea retaé paralelââo eixoy,todosos pontosda retatêm a mesmaabscissa ea equaçáosêrádãdapor x: xô,
17. Deteffnine a €quaçãoda retaqle passapeloponro A(-1, 4) e Ìemcoefciente angul€r 2. R€dução:
R€solüção: Jásabernos comocalcuÌaro coefrciente angularda rcta determináda pelospontosA[ ], -21 e B[5,2):
Usando a equâção [y - yo]= m(x xJ, temos: Y-4=2[x t ]ll =r y - 4 = 2(x+ 1l +
n=Ys-]yA xe -Xa
.+y - 4- 2x+ 2=. -2x+y = 2x y+6=0
usando o pontoA[ ], -2l,temos:
6:0=
procLrmda Aequação é 2x y + 6 = 0. 18. Derermine a eqirâção da r€taquepassâpetospontos At-], -2) e Bts,2l. -
y-t
/ì-^(\
2+2 -4 5+l 6
|
=3y+€=2x+2ã2x
2 3
ll-i'2-'-t.'lJ3y
Aêqlaçãoda fetaABé 2x - 3y
4=0 4 = 0.
f
: CapÍtulo 1' 6!omèÍaanâtíriGrpontoercra
outta resolução: Chamando de P(x,y) um pontogenéÍico da retaAB, podemos aímãrqLt€P,A e I estãoalnhâdos. Logoi \V] l 2 ll:0:+-â+5y-2+10+y U=A= l-l 5 21 =-4x+6y+8=0= =4x-6y 8=0=2x 3y-4-0 A €quação dafetaAB é 2x 3y - 4 = 0. 19, DeteÍmÌne a equação da retanosseguintes casos: al r passapof [4, , e é paráteta ao e]xox. b) r passapor(4,, e é paË€taaoeixoy. Resolução:
0s pontosder têrnordenada 7,quaquerquesejaa Logo, a equação deré y = 7. Podemos jlstiÍcarassmi seÍé pâÉelaao tambérn €ixox temcoeftcient€ anguiaÍm = 0. Log0: Y
7=0(Ì
4l=y
7=a+y=7
oJ
êJ
Ser é pâralea âo eixoy, seuspontostêmabscissa 4, quaiquer quesejaâ ord€nâda. Logo,a eqLiação dâ fetaré x = 4
propostos Exerddos , r' DetenÌìne a eqLração da retaqLtesaÌisfaz âssegutnt€s condlgôes: a)A declvdade é 4 e passapelopontoA[2, -3). 29, b)A nclinâção é de 45'e passapetoponÌop(4, ll. pelopontoM[-2, S] e teÍncoeíicienre cJP€ssa €n_ gular0.
dJPassa pelospontosA[3,]) e Bt-5,41. p[-3, 4] eé pamtela el Passê peoponto auexoy. Vedftq!€se o pontop[2, 3) penence à fetaÌ quepassa pelos pontosA[ì, ]l e B(0, 31.
t Vimosque a êquaçãoda retaque passâpor um pontoA(xo,yo)com dêclividadem é dadaporl Y-Yo:m(x_xoj se escolhermos o ponto particulãr(0,n),istoé, o ponto em que a retaintersectâo eixoy, parao ponto (xoryÕ), teremos: y- n - m(x-0)+yn : mx+y= mx+ n .
o númeroreaI n, que é a ordènadado ponro em que â reta Intêrsectao eixoy, é chamado coeficiente linear
Lcoêt5crênre tinêÍ Lcoe6.iêntêanqúÌãÌ
MatemiÍie CorteÍto &Aplkàçôes
Essaforma é especialmenteimportantepoÍque permiteobter o coeficiente angularde uma retaa pâftirde uma equação, alémde expressar claÍamente a coordenãday em funçãode x. Éconhecidacomo formdfeduzidodã equãçáodareta.
íì 20. Detemne o coeÍcient€ ângulare o co€Íìc €nt€ neaf da fetadeequação 2x + 3y : I Resoluçào: 2x+3V=l=3v=
Zx+l:v:
SLrbstituindo rn = 3 naparne|a eqLração remos: 3-n=_5= n=_8=n=8 = 3x + 8. Logo,â equação coffespondenteéy
?x+] 33 Façao exercÍcior€solyido2l de
Logo,o coeÍcient€ angLraf é rn: : e o coeÍcente umaterc€ira rnanêirâ, usndo o lr 3 X Y ìI 21. Dêêrn êclo.rd .o. io" o" eo.d.aodd ."u. 5r -l passa pelos pontosA[],51e Bt-3, t). 3 t1 Resolução: Vârnos, incalm€nte, cacularo coefcient€ anguafd€ 22. Detemne â equação fe.llzidaclar€taquecoftaos ei xosnospontos[ 5, 0] e [0.3]. v" v. l5-6 Resolução: -3+t 2 A€quação é daforrnay = rnx+ n e.comoa Íetacorta Usando o pontoA[ ].5l.temos: o ex0y em[0.3],ternos n = 3. Y-Yr =mtx x,l+jr 5=3[x+]l+ Ficân'ìos então,comy = mx + 3. Comoa retapassa +y 5=3x+3+y=3x+8 Ìambem peoponto[ 5,0].vern: pouú!;op o( Looo. -3 -8. " "d"ei 0 = Íìr[ 5]+3=5m=3+rn=9 Autu resoiuÇàt 5 A equação Í€duzidê da rctaé dafoÍmay : mx+ n Logoa €qìração pfocuÉdê éy = :x + 3. Cornoea passapof [-] 5l temos: 5:m[ ]l+n 23. Delenìlne a €qlaçãofeduzdadarctar quepassa peta passapof [ 3, ]l,vern: Cornoea tambérn orrg€rn e tem inc Íìação de 60' I =mi 3l+n Resolução: 0svaofesdem e n seéocaculados pelaÍ€solução do A equâção ÍeduzÌda de r é dafoffnay = mx+ n Cornorpassapelaofgem(0,01,tenìosn = 0 Comoâ ncinação é de 60",então: fm -n = s ['+/=s n=] m=ts60'=!ã [3m lsÍl í:r 2rn:6=rn=3 Logo,a €qlaçãorcduzi.la.le re y = Jgx.
Exercício-spropostos :
Dadaa retaquet€rna eqLração3x + 4y = 7,detefmne s!a decividad€.
r" Determne a eqdaçãoda fetade coeÍicent€ arrgla m = 2 e queIntersecta y ponto o exo no A[0, 3J .l
peoponto Uínaretapassa P[ ], 5l €remcoefcien te anglrlâr rn= :-. Escreva a equaÇão darctanaforrna
Escr€vafa foffìraÍedu zda a eqLração da reta que passapeos pontos Plr-2.7) e P't-1, -51 Escfeva a eqLrâção: al darctabssetrizdos quadrânÌes ímparcs: bl dafetab ssetdz pâÍesi dosquadÉntes cl do exox; dl do exoy.
(apíÌulol. 6úÍìetdâanaíÌtc:ponroerch
Snrmasegmentáriada equação da reta Consideremos uma retaÌ que não pâssapor (0,0),inteÍsêctao êixox no ponto A{a,QJe Intersecta o eixoy no ponto A(0,b).
Calculando o coeíicienteangular,temos: o_b â-0
.
Usandoa foíma reduziday : mx + n, em que m = b
Y= -
x + b+ay=
b a ! n : b, u"r, a " -bx+ ab=bx + ay= ab
Podenos cì€gàrão m€smo resultãdo tonsiderando !m pontogenérìco Ptx,y) e
ã ll . . lt -,""," lo b r
Dividindoos doismembrosporâb (a + 0 e b + 0),têmos: bxâvabx =) - +::1 ---' + aDaoabati -=-
Estaé â formasegmenfárd daequação dâretaquenáopassâpor(0,0)e intersecta oseixosnospontos(ô,O) e (0,b). Exemplos: 1e)AfoÍma segmentáriâ daequação daretâquecorraoseixos em(5,O)e (0,_21"a .. -L = 1. 2e)Aretacujaequação naÍormasegmentária é I + I : .l (ortâoseixosem(5,0)ê (0,2). 39)Sey:2x 5 é a equaçâode umaÍetanaíormareduzidô, podemos chegaÍà formasegmentárÌa: = y 2x - s .+ 2x - y : s = 4 - ,L : r I j : :- + 55:-s 2 tssàretacorlaoseixoçem - . 0J e (0, 5, l\ .,
ì l
......,
24- Escrevâ naíonÌa segrnentáda a equação da rcÌaque passapelospontos[j, -]l e [-2, 4]. Resolução: Determinamos o coeÍcient€ angulâr: =_1::
m=
Usêndo o ponto[3, ]1,ternos: y+t=-[{
I
3]
vâÍnos obÌeraeqlraçâo naíormasegrnentáÍìâ: ^gom y+l=-[x-3]=5v+5=3À 9+ ì3x - 3x
qv=,r-3*-5Y 5y = t 4 -1
:l = t= -,
.
= -! 1 -, L = r 14
-14
Tb Outraresoluçao: ConsideraÍnos o pontogené co p(x,yl e fazemos:
l;ir -a
-x
4
12- 2-3y +4x= 0=
33;1-5y:14341-L=1 ' 14 -14 ã5
26
,
(onrexro íftremátka. &Artka.óes
propostos ExeÍ(í(ios 35, Escrevâ n€ foffnasegrnentáÍia a equação da retaque satisíaz asseguintes condçô€s: pelosponlosA(3,01e B[0,2] al Passa pelospontos blP€ss€ A(5,0.)_q temdecliviçade 2; 'c$kssapetospontoíp,3r: p"trâs); -3),e oìSudeq-açaoêo /,ore i - -ì - 5
' Nafg!É dada,o pontoO é a of gerndosstemâde coofdenadas oftogonais e OABCé uÍnquadrado de ado 4 Sabendo queM é o ponrornódio de O*Ae N, o poJìb médode OC,escreva a equação da rctaqlr€psssapor C e M e a equação da fetaquepassaporA e IÌ.
:i ii, NaíguÍEdâda, o pontoO é aoÍigemdosistema decooÊ denadas orrogonais e OABCé umquâdEdo de ado3. Escre s equ€çãoda rctasLrpoi€ dadiagona AC
Í
geratda reta ftll Equação Todaretado plânopossuiumaequaçãodêÍormai âx+by+c-O naquala,becsãoconstanteseâêbnãosãosimultaneamentenulos,Elaédenomifiàdaequaçãogeraldarcta. Exemplot
.y
ì :x
- I podeserescrità nàtormàgeralpor3x I ay -4=O-
xv = I pode 1erdadana Íormageíàlpor 5x 2y 10 = 0. t Z t . y:5, queé pârâlela ao eixoX podeserdàdaporox+ ìy- 5 =o, .
. x - 2,queé umâretavenical, podeserdadâpor 1x + 0y .y - 3 5(x- 1)podeserdada por5x - ly - 2 : 0. Observaçôes:
2=0.
13) Vimosque a equaçãoda retapode serescritade váriasformas,Na resoluçãode exercícios devemosescolhera maÍsconvenienteem relaçáoaosdadose à propostado problema. Assim: . nâformay- yo=m(x-xo,identifìcamosainclinaçãoddareta(m:tgC[)eumpontodareta(xo,yo); . nâ formareduziday: mx + n, jdentificamos â inclinaçáoo(m: tg o),o pontode interseciãodaretacom o eixoy (0,n) e aindâo ponto (1,m + n); I + + = t, idenrificâmos . naformasegmentària os pontosde intersetção da retacom oseixos:(â,O)e(0,b), b x
v tl . quandofazemosxr y, I :0, identiíicamos semfazêrcálculosdoispontosdâ rêtà(xr,yr)e{x/yr), 1 \Y, . aformageralax+ by + c:0 podeserobtidaâ partìrdequàlquer umadasantêriores.
Apftulol . GeoneÍia daÌítjorp0nÌo ereta
2ã)A mesma retapodeteÍ diversas representações naformâgeral, ou seja, x + 2y _ 1:O,2x+4y _2=0, x 2y + 1= 0 e inÍinitâsequações equivarentes a essa;.pore.r" i"reo,e pr"r"riuut ,,obterumd equação geraldareta,,a,,obìer d equacãogeralda "rcrever reta,,, comonoexercício resolvido 26abaixo,porexemplo, 31) Dadaumaequaçao gerardeumaretar: ax + by + c = o,seucoefìciente rapidamente " o"ã"_ì"r"0,'0" ' ""n"i", ,sanao.n. -.
ou-.
ffi---
4') A Í e t a r t a l q u e à x-b y.c-o i n re rse cràoseixosnospontosf- !,0ì"Í0,_.. 1. ll*,"*".,,",i- l \ à \ '
b/
Jobservàcò€s
,, Í
25. Escreva nasfomâs reduzÌda, segmentáfa e gera â ConoA,B e p estãoalÍìhados, devemos tefi eq!€çãoda rerâquepêssap€toporìto[], _6J e tem t Inctnação de t3b. ]' '] I 4 I = 0 = 4x+ 3y- 3 - 12- V+ 3x = 0 = Resolução: Pelosdadosdo prcblema é maiscoJìveniente escrcv€f rnr"r'en,ea.c-aL:oêorndg ,,.. n.. -,r. ,- 7x+ 2y - 15 = 0 Uomo a = 135". então: zr. \ê rgL' " ddd" .o po ro O e d o.i geì oo st,, I d orÌ=tga=tgt35o= l coo del add)otogonar e qB C Dê qLèr doo ae E,comoa retapassapor[], 6),temos: -n èdo3J2 -s.Íe\ê Lnà poLêç:ogpra, y+6=-t[x-]l oa retêdeÌetr nâdap€os ponÌosA e D. Daiveml
1s-: ri
5\_
| " --" . Ìorma segrnentãria:
\
|
y + 6 = - x + t = ì+y=
s=-]:+{ . fomao€ral: y + 6 = - x + l =x+y-t+6 =0 +
=r
+x+y+5=0
. Essa ÌPtãreminctinaçào deI35',passpetoponrc. r/, ôJ€ conãeixos €m[ 5,01eÍ0,_5ì. . O^rnân€ulo qu€etad€rêÍmina comoseixos e !m Inanguto retànsÌrto lsóscetes. cltcutea medtda dà
26, Dere-r-,ne ,.o
9",u,o" ,"trì*1,-o,o o",0.
pontosA[], 4) e"qur.;o B[3, 3) Resolução: Vanìos caÌcuâra dectivÌdade dâ feta:
Resolução: S€a ÍÌgu|aé !m quadÍ€doÌemosOA = OD. ADltdìooo eo,erêdeDttaoo.d.ro .érg-o,p€.g. lo AOD temos fAD -rAO| OOr.- ;J. i - lo{r ! OAJ_ 2[oA]:= 163 1941:= e = 64 =. spnoo êçcn. no is pr a d- coordenaoas o1oou,ar, temosAt-3,01, B[0. 3].Ct3,0l Dt0.3l umaequação geralda fetadeteffninâda peiosDonÌos AeDédadapor:
l' ] -:
v tl o
I = o + -s + 3 y -3 x = o +
lo 3 r l Conslderando o pontoA[], 41,ternos: Y-Y =mLx x j=y 4=-:[x-]l= 277 =y-4 =--x+_+2v-8= 7\+73 =7x+2y
15=0
Auïa resaluçaa: Corìsderamos unìporìtop[x,y] quatqlerda rctaque passapeospontosAe B.
=3x 3y+9=O=x-y+3=0 Loqo.Lr êequeÇão ge.dtoètetae\., _ j _ C .o. LreÌe^-Trne os oofÌosde i.te.òecç;ooê et oe equd_ 2yl2 - 0comoseixosxey ção3x Resoluçào: o pontode intercecção como exox t€rnordenada 0. Logo,íâzendo y = 0,temos 3x 2.0 tZ=0=3x-12=0=3x=12+ Então, a retacortro eixor noponto[4, 0].
26
. ConÌsÌo l\ìatemátka &Aplic!ôer
0 pontode intersecaão como elxoy temabscissa 0. Logqfazendox= 0,t€mos: '1 0-2y 12- O- ?r- 2 ,y -6 Então, ea cortao eixoy noponlo[0, -6]. Outa resolução: pâssâÍa equação Podemos dafoffnagerapaÍaa seg 3x - 2y - 12= 0 =3x 3*2y12xy 12 12 12
2y= 12..t 4
-6
Dàequação segrnentáÍiâ obt€Íìros os pontosprocuru dos[4,0] e [0, 6]. 29.Se umïiángulo temcomovérÌcesospontos A(t, t), Bt-2. -2) e Ci 3, 4J,detemifea fofinageraldas equaçôes dasretassupoftesdoslâdosdessetrìân gulo,
Resolução: Equação g€ÍâldareÌasuporte do ladoAB: _,
lj l,i
=0=x
2y-2+2
y+2x=O=
+ 3 x 3 y = 0 rx y -0 Equação ge|alda retasuporre do adoAC:
l "r vr ,' ll= 0= x
3y+ 4+ 3 y 4x= 0=
3 4 rl +-3x 4y+7=0+3x+4y 7=A Eqlaçãogerada fetasupod€do ladoBc:
l " -2' 'I l= 0 = l-2 13 4l = -6 x y
2 x -3 y -8 -6 + 2 y 4 x = 0 +
l4 : 0 = 6 x + y + 1 4 = 0
Formaparamétricada equaçàoda rêta Vimosquea equâçãode umaretapodeaparecernâsformasgeral,reduzidae segmentária, . Existemaisumâ,conhecidacomoformaparaméfíto,Nessêcaso,ascoordenadas x e y dos pontosda retasão dadasem funçãode umaterceiravariável, t, por meiode expressóes do 1-'9rau.A variávelté chamadade parâmetro. Exemblo: t r. A retaredetnida na torm" porornetri.opor. - I" :2t ìv [x-5+ì:6
L Y :2 s:1 0
queisso,qualquer Logo,(6,l0) é um pontodessareta.Í\4ais pontoP daforma(t + t, 2t)sêráumpontodessa . retaÌ. ObsêÍvâção: geraldet podemos Paradeterminar umâequãção obtêrtemumâdasequaçóes paramétricas e substituÊlonaoutral x : t + 1+t:x- Í y : 2 ( x 1) .+ y=2x-2i2x y 2 = 0 (equa ç ã go e radl er) t6,l0lnà | I Subltituà
@_.,
I
30. Dadas asequaçôes der n€fomapamméüca fx= 2t- l
l. -,oeleÍÍìlne |y=Í+z a) â equação feduzdade Íl bl a intersecção de r como eixox. Resolução: al Deteminamost nasegunda equação: 'y=l+2=l=y_2
Euaçlosenld€r. ,,
S!bstituindo naoltraequação: x=h 1.-x=29-2) 1=2y -
4
v = 1r + ! teouacào reduzcla derì 22'
= oftèrnos: b) Fazendoy 2x+:=0.ìx+5
0=x
Logo,r cortao eixoxenì [-5,0].
5
1=x=
t
.gcu!!grr,."Iqr-!q38- Erncadacaso,escreva umâequação geraldaretadef- {i nrdapelospontosA e B: a)At r,6) e Bt2,-31 b)At l,8) e Bt-5, ll l!3. cl At5, 0) e Bi-], 4l dl At3,3)e Bf, -51 '1e Seos oo"tosA{J 5' 8, -3. 8Jde.ern-aì Jaìè,etd, " cacuieo vabrd€ a paraqìreo pontoC(4,al pertençs
>ê0" 0o ole o porÌopfl. ì oerte.cêa tetaoeequdçào 3kx+ (k ' 3)y : 4,det€mlìe o vaÌorde k e escieva.a segur,umâforrnâgerdldaequação dessar€ta. Na ígurâ .ladâ,ABCDé um pamlelogranìo. DetermÌfe umaequaçâo g€|aldasfetassupoftes dassuasd agonats ACe BD.
t
4Ú. SeurntdânguoÌemcomovéftices os poJìtos A[2, 3] Bt4, ll e C(6 71,determ rìe umaequâção geÍaroa retasLrporte da Ínediana felatvaao adoBC. i 4i. Sabendo queos pontosA[2. O),B[0,4] e Cl4, 2l são os vêrtc€sde urntâÌìgLrlo,deterÍn ne umaequação ge€lclâsrctassuportes dos adosdessetriángulo.
Posi es relatÍvas de duas retas no lano DuâsretasÍe s contidasno mesmoplanosãopdÍatetas ou concoÍentes,Veia:
I n s= r pur"l"t",Iigr"i. (.9in.identes),se ldis t in t a s , s e rn s = U ser e s determinam quarroángulos retos conaorr"nr", Ip"rp"ndiculares, se Í e s determinam doisángulos loblíquas. agudose doisobtusos
r e s:paralelà5 distintas â e b: paràlelas igudis ou | // s,comrìs = Õ a e b: coincidêntês
â // b,coÍÌ.ì a n b: aouâ - b
e êf: concorrentes perpendiculares
e _tf
p e qiconcoÍentes oblÍquas p1q
-veÌerÌìosâ segukcomodeterminâr as posiçôes rerativas dê duâsretasdo mesmopranoâ partir,desuas equações.
Paralelismode duas retas 5econsiderarmos, porexemplo, umaretâr deequação 2x 3y+5=0eumâretasdeequãção4x_El=0, , qualterá posiçãoda a retarem relâçáoà rêtas? Notequeaprimeira êquaçãoequivaleô 4x _ 6y + .ì0= 0.Comparandocom 4x _ 6y_ I : Opeícebe.se que nãoexisteum ponto(x,y)quèpertença a res simultaneamente. Logo,re ssãoretaspar;leras distintas.
30
. comexto Matemátka &Apkaçõer Vejamosagoracomoessefato secaracteriza, analisando os coeficientes angularesdasduasretas:
. Coeficiente angularm1da retar: 2x
3y+5=O=
3y:
2x
5.-3y=2x+S=y:3111
Então,mi:;(D. . Coeficiênte angularm2da retasl =0= 4x-6Y-l 6y: 4x+1=6y=4x
1:-y:
4121 _+V: X 6636
X
Entào,m-::(D. Comparando@e@podemos verifica r quemr = mr. Sendoorâ inclinação reta Ìe o, inclinôção dà a dô retas,temos: mr: mr=tg dr = tg o, ãdr : o, (ore o! eÍão€ntre0" e 180") (r // s)e como | + -l saodistintas. 5eas inclìnações sâoiguais,as retassãopâralelâs 36 que Vejaasfìguras, moíram duasretasdístìntâse nãoverticais,quesãoparalelas:
: d, (-t9 dr tg or<ì m. = mr<.>r // s pâralelâs Duasretasnãoverticaisr e s são se,e somentese,seuscoefìcientes ângu laressãoiguais(mr = m,). Obseruaçõês: 1q) Seâsduasretassáoparalelas ao mesmoeixo,elassãoparalelas entresi,Nessecaso, não há necessidadede recorreraocoefìcientem,
coefìci€nte angular, elas
iguaisl. tpaEÌelas
t//s
à//h
Exemplos: = 4 ex: le)Asretas deequaçõesx 1 sãoparãlelâs. 2e)l{S íetâs deequâçõe5y - 2 ey - 7 sãoparalelas.
x= .l ey= 2
2e) UmâmôneiÍapráÌicadeverificaro paralelkmode duasretasé compararsuas equaçóesgerais. = + + + + Dadasduas retas,Ìes,talque r:ax by c 0e s:a'x b'x c':0, bastacompararmosâs Íazóes sêguintes: abc . ^dbc (Í : s),ou seja,a mesmaretarepresentada - Z, entàotemosduã5retasparalelas€oincidentes n ";= de duasformasdifeíentes,
CeomeÌíaanal rG:ponloereta
. 5e -abc - -
b-
.
í,
, entãotemosduasretaspàralelas distintas.
. 5e _ = -, entáotemosduasíetasconcorrenle\. 3e) Assim, podemos dizerquesêduasretasÌ: âx + by + c:0 e s:ax + ab' - a'b,êntãoelâssãoparalelas e vice-versa,
by + c = osãotat que3 = !, * r"p,
É muitoimportânte compreender que,seduasretassãoditas,,paralelas ,,pãratetâs iguais,,ou coÍncidentes", signifìca queerassáonarearidade umasóreta,podendoserrepresentada d! dr.,as Íormasditerentes. 4e) Duasretasdo mesmoprânocomcoefÌcientes ângurares diíerentes nãosãoparareras; rogo,sãoconcoÍentes.
Como0'< dl, o: < l8O.,temos:ar l or?c) t9 clr l tg a2ê) mr + m] <+ r e 5: concorrentes,
3l.Ve ìquea postção relatvadasrctasdadaspor suas equaçÕes: a)t:3x-y+2=0
Semr = rnzentãore ssâopaÉelas.Corno -l * :, elãssãopâmlelas e disÌintâs.
s:-+1=l
cJ r:x = I [Ì é paÉle]a so eixoyl s: y - 5 = 3[x - 4] + m = 3 [s nãoé paratêt€ a nennurn doserxos) Logo,re s sãoconcoffentes.
b)r:v=.Zx-r s:4X-6Y+5=0 c)r:x=8 s:y-5=3[x
4)
Resolução: al VanìosdeteÍninaro coeÍcienle angulârde r e s, usando a equação nálorrnar€duzida: Ì3\ v-2-02r)-3, r2i-.3,
32. Dadasâs retâsde equaçôes [k - ]lx + 3y - I = 0 e 2kx 2y + 5 = 0,enconÌre osvalorcs de k paraos quãisâsretassãoconcoffentes. Resolução: Varnos dete[ì]naroscoefcentes anguarcs: tk- l)x+ 3y- I = O=3y= -[k_]]+ I :e =y=-
k+l Ì -r+r _ x+ imr=---:: 3
2kx 2y+ 5 = a.+ 2y= 2kx+ s+y = t<,< +I + 2
Pam que as fêks sejam concoffentesdevernosÈr
=2y=-5r+20=vj=j^+t0v2 5 _' =^,=
ì
Semr * m?entãòre s sãoconcoffeni-ês.
Zr - t -r D.v= ' 33
=Z
s r \ - 6y - 5- 0- 6 )-!\Ì5 + 4.
- Y- - \r
' =y --:'
á'".-,
/T-
:
= +klt,+k+ l
/l -J\ê 4
" _t+
_
. Conrexio Mátemáìc &AplciÕés
32 33. Deteffnine umaequâção OeÍâlda Íetaquepâssâpeo pontoP[2,i3] e é pameaà retade equ€çãc 5x 2y+l=0.
Comomr = m,,temos: = --:=-2k=-4k+93
k-2
k
Resolução: =-2k+4k=8=)2k:8+k=4 Varnoscacularo coeÍcenteangularm da retacuja Como4+ 2 e 4 + 0,entãok = 4. equação é dada: 35. N€ Íig!É, ÂBCDé uín pa|aelogramo. Determ ne 5x..'.2y+l=0= 2y: 5x 1= equâção dareta-suporte do ladoÁ8. =2v=5x+t3v=:x+-:3m=1 ,?2 Deâcordo corno pÍobema, a retaprocurada devepassafpeo pontoP(2,-31 eteÍ o mesmo coeíciente an5
aLrlaÍ da retadada.o! seia.rn: : 2 Dâitemosl v-v. =rní)i
2ì'
^.1+v+3::rx 2'
:\-l:r2V )v-3 '22' -
+6- 5r- t0+
=5x-2y-16=0 .
procuÉda podesef Logo,a equação 5x-2y-16=0. Outft rcsaluçãa: determinafuÍna rek paÍalela à reta Queremos : 5x - 2y + I 0. Enü'o,a reÌaprocuradaé daÍorrnâ 5x-.2y+c=0. ComoP(2,-3) pertence â ela,temos: 5[2)- 2(-3) + c = 03 ]0 + 6 + c= 0+ prccu€daé 5x Logo,â equâção
2y
l6 = 0.
34.4s retasí e s, de equações 2x + (k 2ly 5 = 0 e : 4x + ky - I 0,respectvâmente, sãopâÍalelas. Nessascondiçôes, cãlcule ovaorde k. Rêsolução: = m2. Pelosdadosdo pÍoblemâ, devemostermr CácLrlo dem1 [coefcrente angllarde ]): = 2x+ [k- 2]y- 5 0=[k- 2Jy= -2x + 5+
â v' =
_ k-2
x+
lx
y
i'
17 6 14 8
l I =0=6x+4y+56 l
24 7y Ax=o=
+ -2x - 3y + 32 = A=t 2x + 3y - 32 = 0 Cácllo do coefciente angular dessareta: = -2t, + 32) 2x+3y 32 = 0 '\2-3y 2 '33
t=- ?
3 porg(8,ll e também Equação dareÌáquepassa tem : coeÍciente anouláÍ '3 Ín
-
k-2
?
y - y, = mti - x.)+y - r =
rn.=-----:,comk+2 k-2
-8)-(x
Cálcuode m2[coefìc enteanguarde s): 4x+ky I =0=lV=-4x+lã 4ìA -y=--x+--m,=-
Rosolução: Sendo ABCDìrrìrpaÉleosrèmo, temosAB // CDèAD//m Então, nossoproblema conssteemdeteminarâequaçãoda retaquepassapeo porìtoB e é paÊ elaà rctasuporte do ladoCD. Equâção da Íetasuporte do adoCDI
JV_33 _
,
1A
:\--_)3r-3--2x+
t6-t
=2x+3y-13=0 mml+0
Logo,âequação darctaproorrada é 2x+ 3y - 19= 0.
d
(apítulol. Geomêria malítka: Donro ereta
j Èxercícios propostos 'r r' QLral é a poséodarctar,deequa€otSx+ I 0y- 3 = 0, emr€laÉoà rctas deequação 9x + 6V- I - 0? ' Se as retâsde eqlaçôes[a + 3]x + 4y E = 0 e X + ay + I = 0 sãopa|alelas, calcule o Valoroea. . Emcacla câso,determ rìea equação da retâquepassa peo porìtoP e é paÍaleaà ÍetadaeqLração daoa: alP[],2)eBx+2y t=0
A fgum mos!Éurntmpézio ABCD.Deteffnine a equaçao õa retâ-supofte da bês€rn€nofdotÉpézio.
oP (2,re ;++=r c) P[2, 5] e x: 2
Intersecção de duas retas Afigura âbaixomostraduasretâs,Ìe s, que seintersectâmno ponto p(a, b),
ComoP pertence àsduasretãs, suascoordenâdas devemsatisfazeÍ, simultâneamente,as equaçóes dessas duasretas, Logo,pâradetêrminá-las, bastaresolver o sistema íormadopelasequãçóes oasduasretas. Observaçáo: Pelaresolução desistemàs podemos veriíicâ r a posição reJativa de duâsretasdeum mesmoplano.Assim, temos: . sistemâpossíveledeterminado(um únicopontocomum): retâsconcorrentesj . sistemapossíveleindeterminado(infinitospontoscomuns)tretas coincidentes; . sistemaimpossível(nenhum ponto comum):retâsparalelâs distintas,
36. DeteimÌne ascoordenadas dopontopde inteÍsecção das retas re s,deeqLrâções 3x+ 2y-7 = lex 2y-g- A, respectvamente. Resolução: O nossoproblema consiste emÍesovero sisreTna iof nìadopéâs€quêçôes dasduasretas:
+ 2y-7 -0 I3x. [x zy-s=o 4x_16=034x=t6+x=4 Substitundo nasegunda equação porexempo, ternos: 4 2y - I = A= -2y E .+ 2y = -E = 5
=y=" 7
Logo,ascoofdenadas do pontode nterc€cçâo sáo4 e
pí+-!ì 9z ou"u,r, 2) \ 37. Se as equações dasrctassuponesdosladoso€ um tdângulo sâoy= 2x L y: Sx- 4 €x = 5,cacLtle 6scoordenâdas dosvéftrces doÌdâng!lo.
Resolução: Osvértcesdotriángulo sãopontosde lnt€rsÊcção d€s rcÌas,toÍnâdas duasa duas,Assirn: PontodeinÌersecção dasrctasdeequações y = 2x _ .l e x=5: =2t51-l=10-t=9 lY=2x-l.)y Portanto, [5,9). Pontodeintersecçâo dâsrctasdeequa@es y = 5x_ 4 e x=5: . )" -' Ìy = 5x - a + y = 5t5l 4 =25 - 4= 21 Porranto, [5,2]l Pontodeinters€cção das€tês deequações y = 2x - I e Y=5x 4: [v=zx-t i_ Ly=5x-4 .rr\-3-, 5\ 4- 2\-'+5\ 2,-4 y=201 t=2_t=l Poftanto[1, lJ. Logo,os vértlcesdo trângulosãoos pontosCS,9), [5,2]) e tl, l)
34
. ConleÍro Mõtenátkà &Apkôçôe5
propostos [xeÍdcios i48" Determ ne o pontode efcontrodasÍetâsculasequaçÕessão: zLx+Zy-3=Aex-2y+7=Q blr2x+ y - I = 0 e 3x + 2y 4-0 c)2x+3y-8=0 e 2x 4y+ 13=0 -723 cJV=-X
3
- eV= - -
2 q Íx=t eJY= r+3 € l ly = Ì - r --
3
Qua é a equação da retaÍ quepassapelopontodê en controdâsrctastl et2 d€ equâções x y + 2 = oe 3x - y + 6 = 0, respectvâmente. e é paralela à rctas,
r{\qua6 sao ès coo-oe'aoasoog re-ücesoe Jì lro_gLo. sabendoqueas equaÇões dasrclassLrpodes de seusa-
dossãox+2y l=0,x
2y 7=0ey-5=0?
cujêequação éy = -:x - 1? = reks deequações 2x+ 3y 1 0, 50. D€monstfequeas 3x + 4y - I : 0ex+ y- 0 concoÍemnurn mesÍno 54. A Ígum dadaÍnostÍaumquad láterc0ABC.DeteÍmne ponto, ascoordenadas do pontode encortrcdasdlagofais. ]),B[5,2), C(6,5)e Dt2,4)sãoosváti5l,0s pontosA[1, cesdeumpâralelogÍârno. VaÍnos d€sgnafpofM[a, b] o pontode encontro dasdÌagonais dessepaÍalelogÉrno, Deterrnine as cooÍdenedas do ponÌoM e mostrcque M é o pontomédodãsdiagon€is. ABCD.SendoM o 52, A ÍìguÍadadarnosÍâumtrapézio pontode encontÍo dâsdiagonais do tmpézo,d€teÍìrneascoordenêdas do pontoM.
Perpendicularidade de duas retâs A fìguramostraa retãÌ, de inclinaçãodr, ê a retas, de inclìnaçáo a2,talqueÌes sãoperpêndiculares. PelaGeometriaplana,no triân9ulo APBtemos: d, = or - 90'+ tg o) - tg (or 901-tgarsen(d, + 90.) cosdi 1 (c + 90o) cos seno, t9 ar Sâbendoquetg o, = m, e tg 0r - mj,temos:
m,: -1, -ml
comm,,m,+ o
Então, seumaretat comcoefìciente angularm2,é perpendiculàra umaretaÌ, com coeficiente angular mt, temos:
m" =-1 -m1
(co m m,,m,+ o)
a passagem Justifìque senlor + 90"] costq + 90'l -s€n o1
Reciprocamente, comoa perpendiculara umârêtâporumpontoé únicã,êntáoumaretaquepassa peloponto Pdaretar e quetem.coefìcientê ãngularm2: -L coincide coma retas e é pelpendiculara Ì. Podemos concluir, então,quedadâsasretasÍê s,decoêfidentes angulates mr e mz temos: í-Ls(3m,:
]
o u , L ro . , m, :
'1
prática perpendìcularisÌìo Observação: lJmâmânêiÍa deverifìcaro dêduasretasr e s, gerais, dadasporsuâsêquôçóes tal queÌ: ax + by + c = 0 e s:a'x + b'y + c' = 0,é pêrcendiculares. verifìcarseã.a'+ b.b' : 0.SeissoocoreÍ, elassêrão
queâa'+ bb' = O, VerlÍÌque .-.-.-,^-_|
. GeometÍÌa ponlo dàlítkai ercta
38. Dêdd.as Íê'dr de eo ãloes 2\ 3) r - 0 e 40. DetemÌne a equâção da Ín€diatfz do segrnento cujas 3x 2y + I = 0, rnostre qu€eÌassôo perpendicularcs. extr€Ínrdêdes sãoos pontos A(3,, eB( 2, "). Re8olução: Cálculo do coeícenteaJìgllarmr clareÌad€ equaçao 2x+3y-5=0: 2x+3y-5=0+3y=-2x+S=) -33 2 '3 Cáculodo coeÍciente anguafm2dâ rctade equaçao 3x-2y+9=0: 3x-2y+9=0=-2y=
3x-g=
+ z y = s x + g +v=9 x+9 322
Resoluçãoi PeaGeomeÍia plana,sabemos qle a rn€diatdz de um segrnemo e urnarctapefpendicu araosegmento nos€Lr pontomédio. NâígLrÍ€, M é o pontomédiod€A=8. Cálculo do coeÍciente anguâfml da rct€-supoat€:
'2 Usando a condição de peÍpendicu afsrno: rnm^=l _: ll: = _ì '\ 3'\2,/
Cálculo do co€íìc enteangu€fm2da medatriz:
Í n' 66 "=__L:-!
t
Logo,asrcl€ssãopependcuiâÍes,
CdlcJoaês coo oe-êddooo por .o M.
39. Dadaa fetaÍcom equação 3x - 2y + 4 = 0 e o ponto P(], 31,deteffnine unraequação dârctas qÌrepassa pelopontoP e é pefpendculaf à Íeta.. Resolução: Cáiculo do coeíÌc enteanguarmr darcÌaÍ: 3x 2y+4=0r 2y= -3x-4)
2
l 2
2-4 y = --:-
A mediatÍzdeÃE é o tusar dospontos Seomé$icô P[x,y] laLque d[i A] = dtDBl,rstoe,aospontos deA € &Fà(ao exer€tclo Eüìdistantes rêsolvido 40 usândo essaÌnfonnação.
+2y=3x+4=v=1^+2 '2 3 2 Cáculodo coeÍciente €nguÌarm2 da Íetâs, sendo
O prcbleÍna, agom,fca rcduzdoa determinâf urrìa
m ,= - =Ín.= Íì1.
1, ) '
-=m-=-:
1
2
Equâção daÍetes: y - yj = r n,( x xrl+y+3= =y* :=
?tx-D=
- ?" +3 =ay + g = 2x+ 2+
eo-açãoda ,etaoLe oassaoetop"r" uí]. '2 " queterncoeftcieJìte angular -i:
y -y , = rn , [ r-x , )= y + r= -! í , , 6\ 5/q
t 2_
r'ì" t"
]ì2) I0\+Sr
=2 x+3 y+7 =0
-. o-y+ 3l0x+l2y+7=0
Logo, !Ínaequâçêo darctaprodrrada é2x+ 3y+ 7= 0.
L090,uma €quaçãoda med€trizdo segrnento é lox+l2y+7=0.
t- -t2y
l\ìâ1emáto. Conlexlo &Apliciões
Resolução: Céculodo coeÍcÌente anguâfm1da rctade €quação 3x+y t5=01 3x+y l5=0+y=-3x+15 mr= 3 Cálcuodo coeícenteanguêr m2 dâ r€tade equação 4x+ay+l=0: 4x+ay+l=0+ay= 4x l= 4Ìl >Y=â+o aa
4l- Consderando o pontoP(4,6) e â retâr de equação \ r ) - | -. 0.dete-Tir èsLoordêradrs da pro,eçâo oftogonalde Psobrea reiâí
rn.= -,a+0
Resolução: A ígurâ mostrao pontoP, prcjeção onogonade P sobrea Íelâr. P é o pontod€€ncontÍo darctarcoTna retâs, pependcllâra a pelopontoP. Cácuo do coefrciente angular mr daÍetar: x+y-l=0+y=-x+l mr= -l
Pelacondçãode p€rpendicu afsmo,teTnos: 14141 n ---' Ín ã -3 a 3 )a-12 43. DeterÍnine as coordenadâs do ponto B, sim€rnco do ponroAí4 2ì e"ì eavàoã retsL de eq-aç;o x+3y+10=0.
CácLrlo do coeÍciente angular m2da fetasr
m'Ínrl ,=- -L =
Resolução: A ÍguÍa rnostra o pontoB siÍnétÍico do pontoA em Íelação à rctaL ousejal
l =r
porP[4,6]e teÍncoefrcienEquação daretaquepassâ te arìgu aÍ l: y-yr = rn,[x- xì) =y 6 = ][x- 4) =) =)y-6=x-4=x y+2=0 não há necêssidade
Cálculo dâscooÍdenadas do pontoP [ fteÍsecçâo des comíl:
Jx+y- t= o [x-y+2=0 2x+1=0+,x=
l 2
-Lay-1=6=y:111=! 222 Logo, do pontoP' são--L e I, ou -22áscooÍdenadss sea Pl--: : I \ 2 2)
. a retaB passapoÍA e é peeendiculaf à retarl . M é o pontode ìntersecção dasretasI e s; . M é o pontomédodo segmenioAB. Cáculodo coeÍcìente anguarm, dâretâÍ: x+3y+10=0+3y=-x l0= I ãx-
ãy=
10 3
m.= l Cálcuodo coefcenteangulaÍ m. daretaB: .'' =-
42- Paraqle v€lofdoco€Íclente a asÍetasdeequaçôes 3 x+y t5 = 0e4x+ ay+ 1 = 0sãoper p e n d c u laresenïresi?
I = t,
1 =" I 3
Equação daretas: Y y, = m,[x x)=y-2:3(\-a)+ =y- 2 = 3x - l2ã3x-y10.=0
Gpriulol. Gêometriaàmtitka:oonÌ0eÍerà
Cálculo dascoordenadas do pontoM:
Jx+:y+to = o l sx y- ro =o '631= [x+Ví.+to=a l sx-it - 30=0 tox_20=0310x=20:+x=2 Substituindo x = 2 nasegunda equação, vem: 6 y-10=0+y= 4
Portanro, MC2,-4). SendoM o pontomédiode Ã8, vamosdelermnar B(x,yl i z = -: ì 4 = 4 + x = x = 0 . -4=
2+v -:+-B=2+yãy=
t0
Logo,o simétco do pontoA em reaçãoà retâr é Bi0,-t0l
ss.-oeteÍÍÍineaequâção darctrquepas$petopontopeé 59. O quad áterodafguraé umlosango, e seusvértices são pependidjarà reÌer €mc€dauÍndosseguntescasos, 0s pontosA[a, b), B(a + 4, b + 3], C[â + 7, b + 7) e âl P[-3, 2) e êqLração de ]| 3x + 4y , 4 : CÌ; D[a + 3. b + 4). ÍV]osÍequeas fetâsqr.tecoftémas b)P[2,6] e equação de r: 2x - y + 3 = 0; d agonas dêsselosango sãopeÍpendicularcs cJP[], 4) eequaçãodeix-y - I = 0j d)P(3,5) e equáção de r:y - 4 : 0 56.Qualdevesero valorde k paraqueas fetasr e s, dê equaçõeÍP!+-y,+5 = 0e3x + (k+ j)y 9 = 0, rcspectivarnente, peÍpendicularcs? sejarn 57. Dados a retar, deeqìração x - y + I =0,eoponro P[3,2],quaÌssãoascoordenadâs daproj€ção oÍrogo naldeP sobrcãÍeta|? D 58. DetermÌn€ ascoordenadâs dopontoN,sÌnìétrico âopofto 60. Descubfa sobÍe a retax - y + I =0um PontoP eqü! M[2,4)emre]ação à retâÌ, deequ€Éox y-6=0. drstante dospontosA(3,0) e qO,2). Fl-r
I l{{ Distânciade um ponto a uma reta Devemos recordâr, daGeometria plana,queâ distáncia de um pontoA à umôretaÌ é a medidâdo segmênto deextrenidadês emAe nasuaproJeção ortoqonatsoore Í,
44. Detefinine â distància do pontoA[3, S) à retaI, de equaçãox+2y-8=0. Resolução: A ígum mostra quea distância do pontoAà retaI é a distância entrcos pontosA e A,, sendoqueA, é s proleçâo oftogonaldo pontoAsobrca fetar Coeíìciente êngulaf der:
t
38
(onrexto Malematn. &Áotro(oej
2 Equação da retasr m, =
['+zí a=o 1 ''. - la x 7 - 2 = 0
x+8+v=-lx+4 '2
x+2y-8=0+2y=
5x-10=0=5x=10éx=2
L =2 -L
-L =rn ,
Substt!ndox = 2 nasegunda equação, temos: 212)-y-1=a=y=3
2 xj]+y-5=2[x 3)= 6+2x-y - I = 0 [equação
y-y,=m,[x .+y - 5:2x geÉ da retal por.odee,corCoode adasdeÃ:são€qJelasdo
Poftanto, A'[2,3J. Cálcuo dadistância entreA e A i
fx+zy a =o
d = v t 3 -2 1 ' + [ 5 - 3 ] ' = J r+ 4 = J 5
I2x- y- 1 =a.12)
Logo, â distância dopontoAàreraré.u6.
Seo processousâdono exercicioresolvido44 for aplicadoparao casogenéricode um ponto p(x",yo)e uma retaÌdeequaçãoax+by+c=0,chegaremosaumafórmulaparâocálculodadistânciâddeparl d:
fxemptol Vejaa distânciado ponto Â(3,5)à retârde equaçãox+ 2y - g: O,câlculadano exercícioresotvido44:
_ 1 1 .3 l :j l _ E
_ l3 + 10- 8l _
1'+2'z
45. Calcule ê distânc a doponto A à retaI noscasos: .1 4 1 '- 15"1Ia-L 43
=1
bl Ato ,0leÍ y- 4 = -;tx +ll RêsoluÉo: €JAequâção der devesercoocada geral: naforma ?
+
ã
= r =3x+4y= l2)3x+ 4y- 1 2 =a
A d slânca deA[- ], sl a ré:
.
3r - lì+4.5
xyl -1 ] -3 2 -5 |
12
5 ^125 OJ Í:y - 4 = -3[x + 1)=3y +2 x+3 y ,10=0 A(0,0) ._. - /2 0+3.0 o|^.U = _;'=TJ=ã
_ r0 _ ì 0.í4ã 13 Jr 3
46.Um tÍiângulotem os véfticesnos pontosA[], 21, Bt-3, rl e C[2, 5]. Câlclle€ medida da alturado ïângLro relative aolado BC. Resolução: Pelaf,gura,vemosquea medidêda altulãreativâaoladoB9l iguÊlà d stánca enlrêo pontoA e a retâ-suporte do tadoBC. B Equação dareÌasLrporte do adoBc:
=4x+5y+17=0 12= -2x- 2 +
Cálcuo damedida daaltura: d=
|aÀ. .ú=r+c õ +bv.
'l?
ì0t
r] = 0 + -x + 4 / + r5 +2+ 3 y rl
l-t0l
lt
1+a 2+1J
+ b'
gr srfi =F=n= " 3rl
Logo, a medda daaltura é 1@
4'+5'.
=
tr
GeoÌìeÍià anaftio: ponto e€ta
47. Sãodadas asÍetasres, deequaçôes z\ + 3y I0 = 0 e 2x + 3y - 6 = 0,respecÌivarnente. queessas Sabendo retassãoparalelas, caclie a dstãnciâ entreeas. Resoluçâol
Poftanto, P[-],4). Cáculodadrstáncia dePà fetas: P(-l,4les:2x+3y-6=0 _ axP+byP+c _ 2[-D+3.4
6Ì
.!1.t
L
= 641= F =4
r'/iã t3
Logo, a disúnca entreasretas é 1@ t3
plana,sabernos qLreâ dÈtáncaentre Da Geornetda duasrctaspâmlelas é gua à distâncâ d€ urnpontoP quaiquerde Lrma 0easa outraÍeta. CálcJode. .oo oe adasde ,lr oonroP q €qrer oa Teial: 2x+3y t0=0 Fazendo, âfbimrlêrnente, x = I, ternosl 2t-l)+3y l 0=0=e-2+3y l0=0+
É possív€l qu€,s€dmsrctas d€monstÌãr r:ax+ by + q = 0es:ax+ by + G = 0 sãoparalelas, eÌitãoa dhtância enrrêelãsé dàdapor:dfÌ, sl = -i!:il
* bi "5'Ìlsolvldo47. VerifÌqu€ no €x€rclcÌo
propostos Exerdcios .l Nosseguintes casos,caculeê dstênciado pontoP à retar: a)P[0,3)e4x+3y+]=0 b)P[1, 5]e3x-4y-2=0 c) P[3, 2]e2x+y+6=0 d)P(6,4ley-2=0
í:
Caculeè árcadoÍãnguo ÁBCd€fgura.
Sendo A o po_tooe e con o oa -erar de eo.s(áo Dadoo pontoP(3,21,deÌefinine a dstância de p atéa y x + - 4 = 0, corno exo x, deterrnne â dstânca '3úì rcu r, nos segutntes c€sos: dopontoA à rctâs, deeqlação3x - 4y + l0 = 0
a )r3 x + 4 y + 1 = 0
Sab;ndoqueasretasde eqLraçôes 4x - 3y + I = 0 e = pâ€eÌas,determ ne a distâncê - 4x 3y - 6 0 são entfeasduasreÌás.
otI+I:t 23 c )Y = 2 x -4
fl v-a=:f^ ' 5-
3ì
Sea distância do pontoP(0,pJ à rctar, d€ equação i:i.' Sea d stânca do pontoP(k,2l à fetar, de equaçao 4x + 3y ? = 0, é gua a 2 unided€s, det€Ímne a 3x+4y-40=0 é guaa4undedes,qua éovatoÍ p. cooroenaoa da coordenada k?
Ângulode duasrelas concorÍentes Lembrêmosque duasretasconcoíêntesdeterminamquatroângulosê que,conhecidoum deles,determinamosos demais: que: Obseruemos . Ìe5 sãoconcorrentês e determinamos ângulos dê medidas cqÊ,.yeô Ser € s sãopeQÊndicuh|ls,os .a+p+f+ô:360' qmtrc ánguÌos sãoÌEtos.Ser € . 0 = f eÊ = ô(opostos pêlovénice) s sãoobÌlquas, doisânsuÌos são . 0 + 9: Ê+"y=1 + ô = ò+a= 180. agudos € dols,obtusos.
Veremos comodeterminar umdosângulos porduasretasconÍormados correntes, Ìe s,a paftÌrdesuasequâções, Chamaremos esseángulode0,
40
. conÌèxto l\ìaremátka &Ápla{ões
la ca s0 lJmâreta,r, é paràlelaâo eixoxe a outra, s,é paralelaao eixoy;ou,então,umatem coefìciente angular ml e â outra, m2, tal que mr 'm2 = -1, Em àmbasas situaçóestemos Í e s perpenclÍcularês. Logo,0 : 90".
Exemplos: l e )r :y=4 1 '
10= 90 o
2 e )rty:2 x+ 6
= ri -+ J: i + r-rs + o :e o .
I
s r y s : - 1 { x+ + ) im ' m ' 2e caso
lJmadasretas,Í, é parâlelaao eixox e a outrâ,s,temcoefìcientêanoulârm : to o.
Nessecâso Íé paralela aoeixox e s é umatransversal, Então: rr: a + t g 0 : t 9 o r: m Considerando 0 o ân9uloagudoformadoporaes,podemos escrever: t g 0 : lm 0€osãoângulos
Exemplo:
r: v:s
I
e paràlelà ào eixox e s tem coeÍiciente angularm = 3, . ^ ".1r -.. s:y-.1=J(x+4il Loqo,o ânguloãgudo 0 formadopor r es é talquetg 0 = 3.
3a caso Umadasretas,r, é paralelaao eixoyeâ outÍô,s, tem coeficienteangìllarm,
0 + o : 90'+0 = 90' - d+tg 0 = t9 (90'- d) : cotge = Considerando e ãgudo,temos:
,oe=11 ' lm
Exeftplo: r:x = 4 (Ì paralela âo eixoy) t:2x + 6y - 1 = O+ 6y : -2x + 1 ) y :
111
11 tga
m
(apÍtulo 1 . Geomú ãamlirka:ponto ercti
41
o ángulo âgudo0,Íormâdo porÌe s,é talque:
r l^ 1t -;l
t90:
-
4a caso Asretasr e s,de coeficientes angurarês ri1 e m2,nãosáoparareras ãoseixos,sãoconcorentesr masnãosâo perpendiculares. Então: 0+ 9=a+6 = o - B + t g 0 = t g (o - B )=
t g a -t g B _ m, -m, 1+tga.tgÊ 1 + mrm,
Para0 âgudo,temosi t90=
1+
"f"1r
Exemplol r:y-4:3(x-5)+mr=3 t.
Xv2xv 1=,-7-' 2
-' to0=ll1 + 3(-2)
l12x
:]l
y-7)y-
2x!7:mr=
2
:1 r;=r-e:o r"
i [xeKí(ios DÍoDostos i [ì8- Dadasâsequações de Í € s, detemine0, umdosân
eJr:}7= _5x
gu0sÍormados porelasl a) r :Y=7 s:2Ì 3 y+5=0 blr :Y=4 x- 6 r s:y 3 = - -[x+5]
[x:r-3 lY=2Ï Ìlr:-+1=l s: lsx- 5y+2= 0
c) Ì:5 x+y- t=0 s:3 x- y+7 =0 dl r 4x- 3 =0 si Y= I
L_-I4Egjgf
6!). Determine a equaçâoda feta que passapeloponto P[2. 1) e fomìâuÍnângulode 45. coma retãoe equaçãoy=5x+3.
.q regiãotriangutar
Vejamoscomo deteíminara áreadê uma regiãotrjangularABCa panir dospontosÂ, Be C. PelaGeometriaplana,sabemosque a árêada regiãotriangulardafìgura é dadapori 1
s
_ (B c).(A H )
EmGeometriaanalítica,temos: . d(8,C),que êxpressa a medidado lôdo8Cj . a distânciâdeAà retâ{upone do lãdo BC,quê expressa a medidadâ alturaAH.
42
. comexto Mãtemárka &Apkações
CáÌcLr o da d stânciaentreo véftice,t € € feta-suporte
48. SeurntánguloABCt€Íncornovéftices os pon@s 40.2).B J leCí0 --J.céc,"aaeaoa egáo ÌranguEr.
= r2 x + 3 y + 3 = 0 , _ la x a + b y À + c _ | - tl í r3 Jt3 Cácu o daárca dafegìão trânguaf
Logoa árcada rcgâoÍangLrâf é -:-: ou 5,5undades ce arêâ
Consìdêrando os pontosnão-âlinhãdos Â(x|yr), B(xzy2)e ((x3,y3)e seguindoa seqüênciadoexercícioresolvido48,chegamos quefacilita a umaigualdâde o cálculo da áreâdâ regiãotÍiangularÂBC. se osvérticesde um triân9ulosãoos pontosA(xr,yr),B(xr,yr) e C(xr,yJ, entáoa áreâdêssãregiãotriangulaI é
oãoapor: 1
2
""""'=lil Í L.i:: Noteque essedeterminanteé o mesmoqueíoiestudadono item4 pâraverjficaroalinhãmentodetrêspontos, A conexáoêntreos doisassuntosettá no fato de que,setrêspontosqueseriamos vénicesde um ttìânguloestiverem alinhâdos, otriângulosedêgenêranum segmentode reta;nessecaso,é naturalquesuaáreasejazero. Exemplo! Vejamos comoficao cál(uloda áreada regiãotriângular ABCcomÁ('1,2), B(-3,1)ê C(0, t),já feitono exercícioresolvido48: 121
D= J 3 1 1 =1+3+6+1=11 I o -1 1
s=jt o =J t . ':)t .r r = l :' ,' Logo,â áreadaregiãotriangular é ]1 ou 5,5unidãdes deárêâ.
1&
(apÍtulo1 . Geonetria anaítlo: ponto ercta
49. Deterrnine a áÍeâda região tdanguarABCd€dosA,B
ec. al Ai r,21, Bt3,rl e Cta,0l bl AiO 0),BiO a) e Ci 5,0l Resolução:
bl A locaização deA,B € C p€ffnile concllifqueo ÌrÌânguo é retânguo €mA, comcatetos 4e5 rìredndo Logo: 4 5 __ ^ 2
=-l+4-2-6=-5
22
,..-
.
ì
lifl!r!19ltl0t9:Iqr s árcadâ regÌão Íanguarquetemcomo 74- Cacuiea árcâdo quadrlátefo de véftÌcesA[4. OJ, r7iì" Detennine Bt6,2)Ct2,al e Dto,21. vénlces ospontosA(4,0), Bt r,r)eC( 3,3). -,'l Âs retas-supodes ne a árcado quadÍllátefo de vértices[0, OJ, dos adosde !m tfángllotêÍncomo 75, Determ 21, 31. = = = t5 ,, i8, i3, eqlaçÕesx + 2y- I 0,y- 5 0ex - 2y- 7 0. Calcuea áreada Íegiãotriângu âr. 76' A áreadaÍguracolordanodagrama abaixo vale: 72. Um trangulot€rncomovérticesos pontosA[5, 3], BC4,2)e C[2,k).A áreadaregãotriângularÂBC nrede I undades. N€ssas condçôes, caculeovaloÍd€ k, 7lÌ. NaígLrm, a retar temequação x + 2y 4=0.DeÌerrnnea áreadafegãotrarìglrarA0B.
e) 4,5
ffi
Aplicaçôes à Geometria euclidiana
Escoha urnsÌstema deexoscoodenados adequado e probemâs resova, usando GeomeÍiã anâític3, ossegLrntes deGeometra eucldanâ: 50, SejaÁBCumtânguo retãngulo decatetos AB = rn, = que ÁC n € hipotenusa BC.À4ostre o comprlÍnento damedana Áf\4é Ìgualà metade dahÌpotenusa.
ResoluçËo: 0 Ínas convenente é co|ocafos Õorscal€tos sobre os €ixos coordenados; poften. to,ovéniceAdeve coincdrcomaoÍgem:
44
. Cont*to&Aplkaçôes Malemátka
Asòrr.Al0.0r.Br0.nJ ê CL'ì.0lloo d loo-cecoê! dosveni(-". . M| | O coìp."renÌoo" hrpo t J \/ ^. ^ ô
. a B Cêd fB. C ì
Jr
r
P o .o rp
rFno
q|]eosladosdo retângìr Supondo o tenham Ínedidas a € h, entãoosvértcesdoÍetângulo sãoAiO,0l,Bt0,b), C[a,b] e D(a,01eo pontoP(p,0l.Assirn, vamosobter asequaçôes dasduasdiagonais: DagonalACl
da nìedianaAN4é:
diA,lvll=
b0b
,ï' !o
t 'f 4:
h
y - 0 = :[x - 0] =ay= bxìAC:bx- aV= 0 DiagonaBD: b0b
Asslrn, dtÁ,Ml = - dtB.C),comoqLreÍíarnos rnosúaf q!âquef,consd€Íe Sl.Nunr ÍeÌângulo um pontoP pertencente a um dosladosdo rctánguod€ ladosa € b Vos|e qu. a sonddéòdrsrácêsde P d" o"qo rdesseÍeÌêngulo é consknte. Resolução: 0 mas conveniente é coocêfdos ladosdo Í€tânguo sobrcos eixoscoordenados, cornum dos vértces co ncidndo coma odgem,e o pontoP ernurndos proc€drn€mos, adosqueestãosobfeoseixos.Esses oLê r;o Ço ob igaro,os. àpê-àq\ (oT J.ora r eorn€trraanaÍtca parasimplillcâr a rcsolução de um prcb€ma plana, d€ Geometra que dadaa berdade ternoseÍìrescolher ondecolocarossstemasd€ exos qlâ1doee, r;o toreì op do" p êLoordFnâdoc
y - o = --Lx - u.l+ay
a0 = -bx-
=ìBDbx+ay-âb=0 A distáncia do pontoP(p, 0J à d€gonaÁC é dada pof:
bD a.0+0 Jb' + i-al'
bol ./b' + a'
A disÍânc â do pontoP[p,0]à diagonal BDé dadapor:
lb p + a . 0
abJ
b p -a b l
Corno, deacodocomosdadosnicais,teÍnos 0 < p < a, então bp
bD -âbï
Jb' + a'
,1b'+ a'z
.
'
bp+ab
bp _ 4 0
cornoque àrnosmostrêr
propostos ExeÍd(ios queo segmento queuneos pontosrnédos de 79.Dada uma feta Í: 2x + 3y - 1 = 0, obtenhauÍna 77. N4ostre dos lâdosde urntriángLr o: eqlaçâoqLrerepfesente um fexe de retasperpend al é paraleÌo aoteÍceiroladol bltern coÍnpÍirnento igLraà metadedo cornprirnento SO.Dadosoponto yolea retaÌ:ax + by + c = 0 com P(xo, do terceiÍolado. P É r,obtenha a €quação darctas: al pardlela 78.Dâdaumâretâr: 2x+ 3y - I : 0,obtenha a re quepâssapofPi umaequao feixede Íetasparâlelas ar bl perpend cularaíe quepassaporP. çãoquercpfesenle
f
g&yrs4.'-l{l!9uq Ì. O ponto[a. -b] perrence ao nt€Írofdo 2sqladranÌe Os pontos[-a b] e [ â, -b] p€rtencem f€specrvâ menrc, a0sq!admnÌes: allqe3, cl 3ee lq. €13'q€4, bl4s e ls
d l 4 -' e 3
2. Determneo pontoperlencenteà bissetrizdos quaoran, tesinrparcs eqüidisÌantes dosponros[4,BJe [6,2]. 3. Demonstre queos comprimentos dasd agorìars oe Lrnì reiângulo de lâdosâ e b sãoiguâis.[D/cá:Estabeeça Lrms stemade €xoscoordenados e Ìrubahe co|Ì os veftcesdo retângulo ) 4. DemonstrequeospontosAt6. j0l - j3l,Bt-Z,2l,Ctl3. e D[2], 5l sãoosvértcesconsecLrtivos cleLr ,lua, dÉdo.[.Sugestiio: VefiÍque q!e os adossão congrLr€f, lese qle osángulos sãoretos.l 5. EnconÍeLrnìa qLre equação s€jasaUsíe ta comascoof0 ê ad àr d ê crL oo. e- oo lo p. .
,
c t j" o. dr
pontoA[2.3]é s€npreglraia3.
" "o
6. ConsÌderc uÍntrlângllocoÍnadosq!€ ned€rna b ec sendoa a Íìedtdado adomaof L€mbfesed€ lue . a?= b, + c, {+rânguoÍetângllo . a, < b, + c, <+trángLr o acutânglrto . a, > b?+ c,
desses pontos é: aJt4,31. c) tt2,8). bl i5,21. dl t 3.51.
el t-5 6l
8. Até qle ponÌoo segrnento de extÍ€rnidad€s A[4 e Bl
2J
oe e s" o'o,ooooo-o .- . co qd oor" r ] queseLr conrprirnento tÍiplique? -r
alt 6 ,1) btt 5,01
cl t-4, rl dl t-3 2l
e) t 2,31
9. O corììpfÌmento da medÌana AíVldo ÍtângutoAtsLì cLrlosvédcessãoA[0,0) Bt3,r e Ct5, ]1.é a)2 c) 4. bJ3. dl 5 lO. 0 pontoP(xoyold v d€ o segrnento AB comAU 5l e Ao I B 16 qt.nar"r;o o ao , '..P8 ',r. guâla a) 10. c) 12. el 14 bJtl dJ 13.
I I. O baficenrfo de LrrntriânguÌo é G[5 ]) € ctoisue seus vértcessãoA[93] eB[1.2].O rerc€rcvédice.les setnãnguo é: .l (4.31. cl 16.al e) t8 6l bJt5 4l dl t7.sl.
12.'"",A
B rl
-c í \l ] _ ì ./ . . , -* , , . l
Íiânguo SeM, N e p sãoosponÌosmédios rìosÉoos do trlâÍìgulo ÁBC.o prcduÌodascoordenadâs do bari centfodo tfrângulo ÍVNpé.
" r;
o)
b);
oi
";ã
13. umaferirr passapetospontosA[2, 0] e B[0,4J.urnâ 0uÍ: rerâs passapetosponrosC( 4, 0l e D[0 2] 0 pontode ntercecção dasduasfetasé p[a,b]. Nessas condçõescalcue ascoofdenadas a e b cloponrop 14. Vostreque pararodosos vâtofes Íeais.tea e o, os pontosA[2 r4a 3 5a],8[2,3]eC[2+4b,3 5b] 15. Dados Alt,5l e Bt3, ll,detennneoponrorruqua a rcÌaÂB intercecr6 a bisseÍzdosqladÉnÌesÍ pares. 16. Sâbendo qLre Pta,b) Ai.O, 3) e Btt. 0l sãocoÌrreares e P.C[] 2] e D[0. t] tambéÌÌì sãoco nearcsderemrne ascoofd€nadas de p 17. Consclere osponros At6,21.Bt 2. t2) e Cta 6l.eô t|áng!o ABCDetemn€ o co€Ícenteanguêrda feta quecoftémê medanaobtdâa partrdovéftic€A. 18. DeÌ€rÍnrne a equação da r€Ìaquesatsíazâsseg!nres a) T€nì coefclefte angutaf
At2,-31
I
e passapetoponto
bl Pâssa peo pofto P[] Ul e é parale a aoexox. cl Passa petosporìtosA[],t) e B(-2 2) dJA incinação é de to0o€ passa peaoÍrgern. 19, Na frgufadãda,o pontoO é a ofgemdo sisÌema d€ coofd€nêdas ortogonais e OABCé |rrì rctânguoNes sascondtçÕes, escrcvâ a equação dâ fetâsuponeda cÍagonaA C
t
< - 0 o" 20.5e c er !,1" -a.c!"o cerae E. \ "" peo ponloA[k. k + 3]. cacle as coofdenadâs do 21.Na Íglra dada.o pontoO é orgenìdo s st€mâd€ cooúenadas caftesanas onogonas. 0ABé urnÌfãng! o eqüiLáterc de de adoI e BCDE é !m quadÉdo ladoL SeM é pontomédo de OBe N é pontomédo de D[.dpe-'ì-e Lìè eq rè\éoqe-ad; erèq.epasaporMeil.
29,Se !m tfânguolemcoínovéncesos pontosA[2, ]1, BÍ.r. dee lre a eqrdç;odd pr.reC02 supod€dâatu|afelativa aoladoAB dotrânguo a equação 30. Encontrc da rcìasmétca à f€ta 2x+ 3y 8 = 0 emfelaçâaàÍelax+ 2y- 2= a.
22. Passea equaçãoda rctade umadasfonnasconh€cidas 4 32 bly
6=
. -^ - ^ .^ --^ -^ ,..-,^ .
- l-i + 4 1
33, EncontÍe a m€didâ emgmusdoâng!o agudolonnado pelasretâsy x = I ey + [2 - J3]x = l0
p è Íâa ío Ímdg e ra
c)3x+ Sy- 36= 0 paraaforma segmenúria; [* =3 r 0l- < . Da|aaÌorrna oeTar. L y=r +2 dospontos deurns€grnento derctaÍ 23,4s coodenâdas 2t{l sã od a d aoo s rx= ev=t+2.onde0
24.Dèdoo.(âooa elaÌ oeec-a(áoI p. d. iod e d s . d - p o L " o ;oo .r o a o o
.,'
[..- r I
3l, Seurntfânguo temcomovértices os pontosA[2, 4] B( 6 2) e C[0,-2), qua é a áÍeado tr]ângulo ABC? í^ oaar.L a "i " r - - -"ôidâoe - laao.meaa" , quebssetrzde umânguo é a Íetaíorrnâda 32, Lernbrando poftodos queeqÜdlsÌâm ospontos dosadosdoângu0 encontre aseqLraç6es dasb sseuizes dosánguosforrna dospeâsÍetâs2x + 3y- I = 0e3x+ 2y+ I = 0.
l,
queosvédcesdeurntÍiânguosãoospontos S4,Sabendo A[nì,m),B[rn, Í]ìl e C[0,0],deteÍmn€a áreadâ Íe g âotanO!arABCemlunção dem 35.Obtenha â ât!Ë Íeatvaao adoACdoidângulo ABC, qu€A[],2) Bt2 4) eCis,3l sabendo quessequeçõesdas 36, Enmntre âáreadoüânglroem retas slponesdos adossão2x+y 6=0,x+y 8=0 37.\a'gJ a.M éo portorpoiodo aaoAap N eo pol toÌÁdo dorddo Bc D"ro s[e.a ait.drenF.qJeo compÍiÍnento do segmento N4Né igualà metad€do compÍìÍrìento do iadoÂ8.
7
.- 5
da retaqu€passa 25. Emcadacaso,determnea equação pelopontoP e é pa€€laà retada equação dada: a)P[4,-4)ex+y-5=0 blP[-],3)e2x-5y+7=0 c)Pl-4,2) ey - 2: A \ Y 2tì.^o.aerero.ãr"rard""o.aL;o - .u" '45 terrnineâ equação de umaretas queé paraeaàrctaÍ e passâpeo pontoA(3,l0l. 27, Seumafetar passapeo pontoA[ ] , 2l € é pam€laâ umâÍeÌas, det€nnnâdapelospontosBi2,3l eCt 1, al 28" NaíiguraABCDé umqLradrado DeterÍnine a equaÉo darek suporte do adoBC.
38.AfiguÍa mostraLrmt ângulofetânguo ABCno quâlM é o po_.o_ledoad - popnJ-aoro\FqueoLorpl ríìento darnedìana reatvaà hìpot€nusâ é igualàmeta de do cornpfmento dessãhpotenusa
i
s1rqrqlr'ql4br L CFEISP) A rcias é pefpendicuaf à rctare a retat é paraÌelaà reÌa s. Deteffninea eqLrâção dâ rcÌa s e a eqlaçãoda fetat
2. [P|C-SP)Deiermine a d]stárìcÌa do ponÌoO[], t) è retât,cujâ€qltaçâoéx + y - 3 = 0. 3- [FuvesÌ-SD Sejar a Íetaquepassapeo pontop[3,2] e ê pe|pendicu af à rck s, d€ equação y= x+ ] qualé€ dÌstáncia do ponroA[3,0]à rcrar? 4: [Fuvest-SD Catcule a distÉ nciaentrca rcta11,deequa ção3y = 4x - 2,e a retar,, de €quação 3y = 4x + B, quefr // Í, sabendo 5" (Vunêspl SejaI urnaretsquepassa peloponto(0,-21. PofdoispontosdoeÌxodasabscissas, dist€ntes enÍe s una Lrroade, traÇan.se pe-pe-dicJa ^. a essFe\0. Seestêsperpêndtculares intersectam rern dos ponÌos do prmeiroqladrantecujadistâncaé JtT unoaoes, estabeleça a equação de l 6. [UfscaÊSP) Cofsder€a fetar: [a + ]l,x + [a,- a]y- 4a,+a - I = 0 âl f\4ostrcqlteessarêtâpassapor umponÌocujascoor denadas nãodependern do p€râmeÍo a. bl Detemine a demodoqueÍ selapependculaÍè rcïa s:x I =0 7, IUFCCD A quantidade de paresordenados (x,yJras queI < x < y < 7, sendox e y núrnercs inteirosé: al 15. cl30. b)21. 8. (Uníof-CDSeemdeterminado pontodo ptanocanesrano a abscissa é mehorque a ordenada, €ntâoo q!adranteondeelenão podeestaré: a) prmeÍo. dlqu€no. b)segLrndo. el pfirnerc outercerc. cl terceirc. g. (UFC-CDSejamPt2,3) e q(-4, sl doisponrosdo pe é prcongado planoSeo segmento dê seupropro
cornffmentoatéo pontoM, ques€efcontmà esqLer_ dâde Q, erìtãoo ponloM é:
a)i-l o,D
1lì o í-'o. 2) \
bl l -i-.7 1 \2 )
'[-ï+J
10, (UecelSe(2,5) é o pontomédodo s€gmento de extrernos [5,y) e [x,7],entàoo vaÌordex + y é a)] cJ 3. b)2 dl 4. ï l, (UecelNatiguÍaafetarpas_ sâ pelospontos [4, 0) e [0, 3] e ABCD é !m quadrëdocujo vértce C está sobrer 0 p.nnet.ooessec €d?oo.eÌ
lo€desoo coror -
a) 6,4u. bl6,8u.
d)l u. '! 2. (UnlíorCEIUmârcfar coTtaLlmdosexoscênesanos no ponto[0, í3] e iem dectvdadede 30..O gráÍco
â retâÍ, Íepresentada nâíguÍa Considere [Unifof-CD
l7- (UecelA rciaquepassapeloponto[2, ]) e lonnâuÍn ângulode 45' comâ reta2x + 3y + 4 = 0 é dádapea equâçao: al2x - y - 3 = 0. cl3x - y - 5 = 0. = bJx-3y+ I 0. d)x-5y+3=0. 18, (UFC-CD devédDetermlne a áreado pamelogmmo ces[3,0],[]5, l2),[]3. 14)€ [1,2). 19. [Uniíêsp] é repfesênk Urnpontodo planocafiesano por do peláscoofdenadas [x + 3y,-x y] e também de a !m mesmosistema [4 + y, 2x + y), em rclação cooÍdenâdas. Nessas tyé iguala: condições, al 8. c_l I bJ 6. dl L
Suaequação é: a ) r f g x + y=t+Jí. o l . , f s x - y=r-'6 . cl .fex+y=
I
n6.
o í ax v: r + ' 5 . e)
'6x
+ y ='6 .
14. [Unifof-CD SêjaÍn asÍeÌâsr e s representadas naÍgu-
Aabscssado pontode intêrsecção de re s é:
-
-'22
:"6 s
20. (LJFBAI Um dosvérticesde !Ín quadrcdoABCDé A( 2, -ll. UÍnacifcunÍerénca nscftano qLradrado temcentfo[],31.A meddada d agon€doquadradoé:
a)s.,ã.
d+
bl5.
d) ,/it.
el 10.
21.0bmec-SP)PaÍaqueospontosdo panocanesano de (1,l), (a,2) ê (2, b) estejarn coofdenadas sobrcuma mesma fek é necessáfo e suÍÌcenteque: eJab=a-b. d)ab=a'z-b'z. blab = a + b. e)ab=4'z+b'z. 22.1-rto- cq selarr y=4.^, y-0ey=2as equaçôes dasrêtasÌ,6 et representadas nLrm sisterna de eixoscârtesiânos ortogonais, coÍnomostra o gÉfco abaxo.
- s"6+s
g " '6 + z
o.t z
^. s,6
7
15. (Uece)ljrnarctapassapeloponto[], 2l e intercepta ossemieixospostivosfoÍmando umtriángulo retêng!lo.Sea áÍeadessetriânguoé 4 unidades de áfea,enúo o coefciente anguaf da retaél a) -4. b) -3. c) -2. dl -1. 16. tUnlor-CElA nedidâ,emradianos, do ánguloagudo pelase€sdeequeções lor'Ìraoo J3r - y -' - 0 e
Se âs Íetasdadasnterceotam-se, duasâ d!as. nos pontos A, B e C,a árcadoÍiânguloABC, emlnidad€s al6. blL
el 16.
23. [Unifap)Eâdâsâs êquaçôes dâsretasÌ:y = x - ] e s:4J?:2x 3 pelo aJencontfe a retat pependicuar a s pâssândo ponto| ;
'I
c)12. dlr4.
l .
peasrctâsr,t e o bl calculea áreadaÍguradelmitada 6
24. [UFPBJ Emumalânìnatrianguafhornogênea, comvér trcesnospontosA[a, b], B[c,d] e Cfe,I o seuue|ro de massa é,pofdeíinição, o ponto /, +" +. r"rr-rt : I.Seo. ,encesoe.sara Ml - ;- " -j ó/ rninaestãonosponÌosA[0, 0], Btl2, 0l e Cto, 91,a dstância, emunidades de comprtrnento, do seucenrro de ÍìassaM à Í€Ìâque passapelospontosB e C, seÉ:
u ]1
!r :
c) tz
bl;.
dl 5
t) 4.
5
25. lvunesp]Dadosdos pontos, A e B, comcoordenadas caftesiânas [-2 ]le[1, 2),fespectivâÍì]ente, confor mea Ígura:
a) Calcule a distânca entrcA e B. b)sabendosequeascoofdenadas canesânas oo Da (, ,\ fcentrcdo ÍiánguloABCsào[._,yJ = ] j
' . J"''
cLrle ascoodenadâs C doÌrjànglto. [xc,yJ dovénìce
29" tUElVl PR)ConéidereA[-1,0],80, zl € C o Donro de nterseçâo entfeasretass:x + 3y + I = 0 e Í: 3x + y - 5 = 0. Nessascondçôes, êssÌnae o quefof 0lJ As coodenadas de C são[2, ]1. 021A reta1\,4N, oJìdeM e N são,fespectvaÍnente, 0s pontosmédiosde BCe AC,nãoé paral€la ão ladoAB 2- ]ì ori O Da,ceroootr,;noL'oqeC.el/ tJ 3/ 08) A equação da retât, parae€a AC € que passa pelobaricenÍoc do ÌfâlìgLrlo ÂBC,é
rlx + 3 Y
6
:=0.
l 6)A áÍesdotriâng!o AGC, ondec é o b€ cerìtro do t Í rá n o u t o  B c . è 1 1 , ì
3 32) A árcadotÍiânglloABCé o Íplo dâárcadotriân_ guo AGC,ond€c é o barcenìrodotriângulo ABC. 30. (UFS-SD O ánguo agudoíoÍmado pelasrcÌasdeequaçÕesx y+ 2 = 0e5x+y+ 20= 0temsuamedida, erngrEUs, comprcendida entrc: al 0" e 30'. d) 60' e 75' bl30"e 45. el 75' e 90'. cl 45" e 60'. 3I. IFGV-SP] a) Noplanocadesano, pamquevaoresd€ m asrems de eqLrações rnx + 2y + 4 = 0 e [Í] [s] mx- 4y + 5 - 0 sãopefpendcut€res? bl OJaaosldnciae-eas ed!(t)3\ - ay_ 0e [v]3x+4y+5=0?
32. (LJFPRJ Slponhaqueduaspadícu asp e q se rnovern noplanocartesano, d€ ÍnodoqueemcadainsranÌe ta 26. rl r.csrSn Osoon.o" Au.61.Bft.3Je C(\ . yJ sào partr'cula P ês?áno ponto(21,3 - t) e a partícuâ q esú vencesdo tÍiãngLlo ABC.\e.ìooM(.v. yv] ê Nía 5) no ponro[4t 3t 2]. cornbasenessas infonnaçôes, pontosmédios dosladosABeAc, respectivaÍn€nte. avareasseguintes âÍmatvas: al Calcule a distánca enÌr€ospontosM e N. ll As partículas colidem umacoma outrano Írs|anre bl Deterrnine gem da retasuporteoo ado a eqLrâção 5 BCdotdânguo ABC. 4 ll Anìbas âspartículas passam petoponto[4, rj. 27. (UFlVlc) Sejam A e B dos pontosdâ rctade equaçao = lll No = instante t I, a drstânca y 2x + 2,qle d stamduasundadesdaorgern.Nes entfeas p€rlícllas é secaso,a somadasabscssas J5 deAe B é: q Assnalêa alÌernâüva coneta. I ol 1 cl 5 or al Somente a affinatvâll é verdadeira. ",i bl Sornente a aftnÌativa é verdadeirã. 28. IFGVSP)A rerax + 3y 3 = 0 dvdeo ptanodeÌeÈ cì So_len,p asêitmatvà,e lsão\eÍoàdeÍët _ado n oeosr,enaça."sanooeei^os eÍr dosse-1asaÍmativasl€ llisãoverdadems. OSomente planosopostos. CadauÍndospontos(-2, 2l e (S,bl e)Sornente asafffnatvas I e I sãovedâdei|as. estásituado emurndesses doisserniplânos. Umpossí33. (ufscarSP)Consrd€re a rctaÌ: velv€lofde b é: (a+ 1)?x+(a,- a)y 4a2+ a- 1= a. x. aJMosÍr€queessaretapassãporLrmpontoculascoor_ ct et-l 4 42 "r+ d€nadas nãodependedì do paémetro a. b) Detemine a demodoqueÍ sejapercend b' 4l ] n9 cutarà retâ s.\-l=0.
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Irl,/J
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t a!,1f t | ?'leJirt il
pot ,),:, imagemdeumpontôcircutldddo ,. , ,,irlfrnitos autras,todosà mesmadís', ' .tâncí.t dele,é o que chamamosde circunferência-Ela estáprese te em nossa vitiaemquasetutloe a todomomentoJános
referímosa essaforma í! ítbertúra do capítulo 11 tlo volume2, qwúdo introduaimoso estudodos corposredondos,ressaltandoseus a.spectos pftiticos. Podeúdmos ílustrá- ld aquí com uma infinítlatle de etemplos, mas tlentre eles escolhemosum que acima d.e tudo
nlostra seu caráter estétíco, tãq amplamenteer,plorcdo na Arquttetura. O contornodo rítra.lpafece caffespolla,efaum4 cLt-
cunferência, e seupree chímento,completanda o círcuIa, de ama belezaindiscutívet, ]4osmôsúd sud ptapfle-
dadeíu dame tal, que é a eqüíd.istanÇíd de seuspontos
No .otidiatlo tls pfopríed,adesda círcunferência são aplícad,assem que ecessaría.mente se tenha co/tscíênci.td,elas.Por etetuplo, na constraçãode am poço, uma estacltéfrncada no terreno e um barbctnteé amarrado em sua base,coktend.ona outra ertremidadeum estile, te; ao girá'lo, uma círcunferênciaé desenhada no solo,delineandoa íutura boca do poço. Assím,a largura do poço correspondcniao doblo do comprime to d.obarbante- o díâmetro da circuflíerêncíq.. Colocadttkam sistemade eiros perpendicularesqueJormamo plano cartesiano, a cir-
L Clrcunferências ortogonais quesecorram sãocLrrvâs segundo ãnguosretos.P€oteorernâ de ptágoras, dirasc rcunÍerênclas de raÌosrr e 12,culoscenrros dis târnd um do ouÍo, sãoo.togonais seri + rj = d,
Deacordocoano textopodernos conclur queexsÌe L^
'áro
o "tá o. o". . o.
"oo"Làddp"
dec l
,ì
rcrencâs ortogonah.Transfra o desenho acmapafao seucacernoe conìpÍove queessas cÌcunferêncâs sat íazeÍnà defniç;ode oÍtogonais, deternìnando, por conííuçao, o triáng!o rerângLroâ easassoclâdo. 2. CircLrnfeÍêncÌas concêntrcâs são aqueasque possLrem o mesrno centroe laiosdiÍerentes:
Considerando queasnìedidas dosralosdessas circ!nre Íenciasvão d€ 1! â 10u (damaiorparaâ menor) uniformemente e identÌflcando-as poÍsuacor,det€rrn ne:
cutlíerê\cíaé u,istacomoumafigura geométrica e comotal podeserrepresentadaalgebrícamen_ te. Assím comofzemos no capítulo anteriot com o panto e a reta, determinítremosagora essa,represekla Çãopara a circunlcrëncia,pstend,endonossoestudoàs suasposiçõesrel,c.tivasaospoktos e às retasdopl.ttlo cartebÌ.ano, e destacandoa ítuportafite aplícaçAodestemetodo na resoluçãodeproblemasjá resolvídosgeometricamenteemDesenhogeométrico,
a) ascoordenad;s do centrodetodaseÌds; bl a mêddado râo derodase ds; c) â qLral clrcunferéncta peÍlence a ortgerndo slstema oÊcoor0enada5l d) as .oordenadas do ponto de nìaor absctssa da maiorcrcunlÊrênca; e) a d stâncado cenrroà oíigem 3. Naaberturâ docâpítu o'12dovol!meI deÍacoteção ,d.de o. r" ocd.dop..a a ", constrLrção da bandeÌabraseia:'parca calcuja das dimen\óe\,tama tepatbdsed taryuradesejada,dividinao ettaen 11portetì7uai\.Cadauno daspanes,eú consderadauma medìdaau nóduja. O camptinenta da bdndeircseráde2AmódulôL O dado o p-16 o" o-1e o- oèo" oo.è.o,é podeenconÍarno5iredo tNlv1ETRO] ww1,{/.ìnmetro.govbf Cornbas€nessãnforrnaçáo e observando o grãftco aDaxo,determin€: al ascoordenadasdos quâtrovértces.doosangoque âparec€ naíguÍadabandetra; b\" oo o--ìdo.oo - ooo. ooLõ . értaè la xâ"Ordem e Proqresso,; c) unìaen matvade medÌdado rao dessecÍcu o, consrderando a s metriada bândeÌa, d)ascooÍdenadar do pontoAndicado nográíco, cle êcoroocom a rnedidâ do raloêsrmêdâ
Í
52
Matemátka ' Onteft &Áplalões
Introduçâo problemas EmGeometria analítica, a Algebrae ã GêomeÍìâseintêgram. Assim, dêceomeÍiasáoresolvidos porprocessos geometricamente. algebíicos, e relaçóes algebrica5 sáointerpretadas porexemplo, que: Podemos lembràrdocàpÍtulo anterÌor, . a equação 3x + 2y - 5 : 0 representa umareta; . um pontodo planopodeserrepresentado pelopar(4, 3); . o ponto(4,3)pertence pory : à retarepresentada
2x+ 11)
. a retaqueconaoseixosem(5,0)e (0,3)temequaçao ] + {:
t.
Nestecapítulo, a íìguraestudadà seráa circunferência, Oamesmãmaneira comofizemoscoma reta,vamos geométricas. associar cadâcircunferência a umaequação e,apanirdaLestudaras suaspropriedades
DeÍinição pelâGeometriaplana,quecircunfeftnci'i Sabemos, é o conjuntodetodosos pontosde um planoeqüidistantes ponto de um fixo.
(nafìgura,o ponto O),e a distânciaconstanteé denomìnada O ponto fixo châma-se aenÍroda chcuníerência (nâfigurã,OA= OB= OC = r). circìrnfelênciâ Jggla
El Equaçãoda circunÍerência Considerandodeterminadâsituâçãoem quea dìstânciaentreos pontos P(x,y) e A(5,3)é iguâla 2, qual seráa relaçáoque sepode estabeìecer entrex ei? Pelafórmulada distân(ia,temos: d(P,A) : : 2,vem: Comod(P,A)
íx-5)'+{y - 3)', -2-lx
5 ), ly 3 J , -4 -a / -/ -] O x -6 y + 3 0 = O Logo,arelação estabelecida é (x - 5)'?+(y 3)']= 4 ou x'z+y'z- 10x- 6y + 30= 0. situados â umadhtância Oconjunto dospontosP(&y)queêstão 2 do pontoA(5,3)éacircunferência decentÍo (x 5)'?+(y 3)'?: 4é sâtisfeitâ portodosospontosP(x,y) dacircunferência A(5,3)e raio2.Assim, a relação dê (x (y centroA(5,3)e ràio2.Dizemos entãoque 5)'1+ 3)'::4 éa equação circunferência. dessô
Gpílülo2' GmÍiêtda malílkàra drudèrÉn(ia
Agom,genericãmente, considerando O(a,b)o centro,Ìo râioe P(x,y) um ponto da circunferênciâ, temos:
d (P .o )=J{x-a )'+(y - bf : r3 (x
a ), + (y b )r: a
Dâípodemosescreverque umacircunferênciâ de centroO(a,b)e raioÌtem equação:
ObsêÍvaçãorNo casopafticulârde o centroda circunferência estarnâ origem,ou sêja,a : b = O,a equaçãoda circuníerência é x2+ y2: l
aíÌuaçâonormal da circunferência .
(x - â)'z+ (y Ao desenvolvera equaçãodâ circuníerênciâ normdlou geld/da circuníerênciâl
b)2=.r2 obtemoso que se chamâde equação
xt - 2ax+ ar+ y?- 2by+b'z-É_-0 + :*+i- 2àx
2by+
.Émuitocomumna prátcâquea5circunferências poÍ suâequaçãogeral,como,porexemsejamrepresentâdas : plo,a circunferênciã x2+ y, 2x + 4y 4 0. À primekavìsta,êssaequaçãonão nos permiteidentiíicarnem o portanto,aprendera obter o raioe o centrode uma centronem o raiodã circunferência em questão,Precisâmos, partir geral,Têmos cìrcunferência a de suaequação dois métodosque podemserutilizados: l!) Método de completaÌ os qu.drâdos Nessemétodo,oobjetìvoé obterosquadradospeíeitos (x a),e (y b), a partiídasinformaçôes apresentadâsna equaçãogeral.Vejamôscomoelefuncionacom a equaçãonormalx: + y2 - 2x+ 4y 4 = Ol . a9rupam-se na equaçãonormalos termosem x e os termosem y, isolandono outÍo membroo termoìndependente, É interêssante deixarum espãçodepoisdostermosem x e dos termosem yÍ e ootsespâços no :4+-+
x2-2x+-+y1+4y+
:-. somam-5ea ambosos termosdã êquâçãôvâlore5convenientes, de modo que os termosem x e 05termosem y sêtrânsfoimem,cadaqúal,em um quâdrâdoperfeito,Na prática,usâmosos espaçosvâgospardescreveresses números,O númeroque complêtao quadradoperfeitoem x é o quadradoda metâdèdo coéfìcientede x, seo coeíiciente de x, for 1.Assim, comoo coeficiente dexé -2, metadede -2 é -t êoquadradode-j é t, somamosI emàmbo5ormembros: + 4Y+ x'1- 2x+ 1 + Y'1 1 +-=4+ Damesmãforma,o númeroquecompletâo quâdÍadopeíeito em yé o quadradoda metadedo coêficientêde y,. seocoeficientedey2íorl.Assim,comoocoeficiêntedeyé4,metadede4é2eoquadradode2é4,somâmos4 em amDos05 membros: x
2x
1
y, t4y
4
4-1
4
A5sim,temosos seguintêsquadradospeíeitos: x'z- 2x + 1+ Y'z+ 4Y + 4 = 4 + 1+ 4
r"-rr
r
(Y_2)' =-ì-
Portanto,aequaçãox2+y2-2x+4y-4:Orcpresentaumacircunferênciadecentro(1,-2)eràìo-ì
54
, Lontexto tualemãti.a &Apli(ações
Ob5eruâçâo:Se os coefìcientes de x2e y2 nãoforem 1,bastadividirtodâa equaçãonormalpor um númeroconvenientedeformaa torná-los 1, 2a) Método da compaÌação Nêssemétodo,devemoscompararoscoefÌcientes dostermosdasd uasequâçõe5, a equaçãodadâêâ teóricai x'1+Y2 2ax 2bY+là'z+b'1 t2):x2+y'z-2x+4y
4
Destaforma: -2a2= a:1 -2b:4+b: -2 â1+b2-í2=-4111+(-2)2-t2=:4.+1+4
t2=
4 =,t12: g ,) I : 3 (nãoexisteraionegativo)
Então,o centroda circunferência é (1, -2)e o raioé 3. O métodode completarquâdradosé o melhordosdois,pois não envolvememorizâção da formateóricada equaçãonormale oterecea possibilidâde detrabalharda mesmaformacom outrasequâções(nãosó a da circunfêrênciâ).Íúasíicaa seucrìtérìoa escolhado métodopaíaresolveros exercícios.
Condiçõesde existência Consideremos a equâçãogenéricaAx, + 8y, + Cxy+ Dx + Ey + F: O.parâquêela represente umâcircunferênciaé necessárioque sejamatendìdastrêscondições: . 1acondiçãotAi= B +0, ou seja,o coeficientedex2rem de serìguâlaocoeficiêntedeyì . 2acondição:C = o,ou seja,nãopodeexistiroprodutory. . 3acondjçãotD'z+ E'z 4AF > 0, ou sejâ,gâÍantimosque o raìoé raizde um númeropositivoe portantoum numeroreat.
l, Detemin€a equação de umacÍcuníefência comcen tÍo no pontoO(-3, r) e rao 3.
Resoluçâo:
RêsoluÉo:
II
= -3, b = I e r = 3 Péoproblema,ternosa llsandoa equação, vem: (x al'?+ty- bl'?=É=tx+31,+ 6/- ll,=3,+ =x,+y,+6x-2y+t=0 Logo,a equâção é [x + 3], + (y - r), : I o! x'z+y'z+6x 2y+l=0.
tx + tz + ty - ll, = I é a equação dacircunf€rência nabnìâ ÌEduzida exr+f+6x-2y+1=Oéã equa4ónâbrmageral.
2. Deterrnine a €quaçâo dacrcunferênca coTncentTo rìo quepassap€loponÌoP[2,3]. -21 e y'pontoA(1,
PelafgtrÉ,| = d[P,A) Então:
d(P,Al = {(2
tl, + t3 + 2), : " / / r+ 1 5 =
=,8a..>r=Jn (x al, + (y - b), = I,temos: Peaequaçãó (x - 1),+ (J + 2),= ?,r'Ã)'= = (x rl, + [ y + 2 ] , = 2 6 + . 9 x ,+ , 1 - 2 x + 4 y 2 1= A Logo,a (x- rl?+ ú + 21,= 26ou equaçãoé x , + y , -2 x + 4 y- 2 1= 0
Gp tu lo2. . eom qra1à , ,r.r! a í.u -Í.+ n (à
-
G€feÉ zando:Em uma crcuffefêr]ciade ceJìÍo Logo,aequaçãox? +y, + 2x 2y+6=0nãorepre C[ê,b) e fao r seuspontossatslazem a equação serlaumâcifcunfefência. l-x- a)2+ ty bl = r' RecpÍocarnente, umaeqla Devernos serìrpre ernbmfquel ' çãode vafáveisx e y €scrtanessafoÍna rcprcsenla urìracrclnferêJìcÌa de centroC[â,b] e mo Í > 0 um8equêçâo nastarávèisx € y representa lma crcunÌeÍência 3.Veffq!€sea €qLração se,e soment€ x, + y, 4x 8y + t9 = 0 se,podeser escdÌanâfoma: representa !fnacÍcunleéncia. Resoluçãol ix-al'?+0 bl':=f'z usandoo pfocesso coma€ tR,b € lR,Í € lRe r> 0. conhecido conìo completârnento dèqradrodo(p e Ìb ooqueL _ 2a. è, = [x a]:,terììosl " Auriarcsaluçãa: x'?+y'? 4x 8y+19=0= Ernx, +y, + 2x 2y + 6= 0remosA= B = j, =\'z 4^+ +!,-av+ c=0.D=2,E= 2eF=6 = -ìq + nãoé arendida pos _A 3qcondiÇâo .' 8\'6 (2)'+ | 2)' 4.1.6= ) I 6.Logo, a equação não -l feprcsenta urnâ = c rclrníeÉncra. (J= tx - 2)'?+(y- 41, t= 2),+ g q, =1, Logo,a equação lnìca repfes€nia UrnacrcunfererÌca 5. Obt€nha o €io € o cenrfodacifcunteÉncia dec€ntrc C[2,4)e Íao ]. x'1+f +6x 4y 12=A AutraresaluçãD: Resoluçâo: Ernx:+y, - 4x gy+ t9 = 0r€mosA= B = t, llétada de camptetar quatlrados c=0,D= 4,E= 8eF=lg r2+6\+ +v: 4v+ Âssirìì, atendernos àstréscondições de existênca =12+_+_ l?lA=Bl0 posA=B=l 3elD,+E'_4AF>0 pois( 41,+( 81,-4.1. t9=4 Logo,a eqLração incalrepresenta urnacircunfeénciâ. 4.Aeqlaçãox: +yl + 2x - 2y + 6 = 0 fepfes€nÌê urna crcLrnÍefénca? ErncasoafÍmaÌivo, dê ascoordenadas Resoluçâo: * +'f + x 4 + 6 =D+x, +n+f _ 2y= _6= =x':.+2x+1+f-2y+ l= 6+t+ = =tx+ll,+ty rl,= 4 Corno[x + ]1, é sempreposÌÌvoou nulo,b€mcomo ty 11,a sorna[x + ]), + [y - ]1, nuncaé negati_ vatenÌão,nãohá pontoqLr€satisfaça a retêção tx+11:+0/-tl,=-4
x' +6x+9+y'. 4y + 4 =12+I + 4 q, [x+3)' + [y-2]? = Pofiaftoaequaçãox, + y, + 6x- 4y t2 = 0 feprc sÊro.tu Í r-Íeíê1.â deLp,ìtÍo l , 2l e,oo 5 lr'létadada canpançãa x' + y2- 2ax 2by+ (ar+ br - t1 = = x'?+ y, + 6x - 4y - 12 = 0 ue lcrcunierêncá centfo(a,bl e |aoÍl -2a=6:râ=_3 a:+b'z É= -j2=l-B),+2, t,= 12= =9 + 4 - d = -12+É = 2b=f : b [nãoexiste raionegarÌvo) qÍì|ào o c€nÍodlcrÍcunfeÍênca e [ 3.2]eoraioeB
Exerddos propostos Dqas coofdenadês do ceJìtfoe o m o das cifcunfeéncrasrcprcsentadas pe as €quaèões:
altx-51.+ 0 4),= l b)(x-2)'z+y'=a cl tx + 3), + ty ty = t6 dl x,+ y, = l0 D€t€mne !ma equação dacÌcuníeÉnciâ quetem âl centrc€nìC(2,5l e mo 3 b)cenÍoemM[ 1,-4)eÂio\D cl centfoemQ(0, 2) e raio4 d) c€ntrc€rìrD(4 0l e raiob
Obtenha o Íaioe o centrcdascrcunfêÍêncas â segur [PaÉrcsolvef est€exercíco, useo métodoc]ecomptelaf qLraaraoos € o 0acompaÍaçãol a)zx,+ 2y, Bx+12y 6=A blx,+y,-6x-2y-6=0 ,1ssegunteseqlaçSesrepresenÌaÍn circunfeÉncas; deteF mneascoodenadas docentÍoeo Êioemc€dâcaso. alx,+y, 4x By+16=0 'blx: + y, + t2x - 4y 9 = 0 c)x'?+y,+8x+|=0
. ConÌexlo Matemátic &Ápliciõer
5.VeriÍquequasdasequaçôes âbaxorcprcsenÌâm cÊ cunfeÍênca: âlx,+y, 8x+6y+1=0 bìx'?+y,+xy+4x+6y-3=0 c)2x'1+y,+4x 2y+1=0 + 3y'? l2x lsy-6=0 dl3x'? el4x'? 4y'?.=0
6. VerfqLre entre ospontos 4t0,3),Bt7,2le C( t,3l qLraspeftencern à cÍclrníefência de eqlação ix - 3)'2.,+ ty +,11,= 25. 7.0 cènÍode umacrcuníefênca é o pontonrédodo segmênto AB,seJìdo A[2, -5] e B[-2, -3). Seo Íao
dessacÌeuníeénci€ é 1ã, deteffnine a suaequugao. 8.0s po_ro,Aíu. -2) e Bl?.0Jsàoase\Ì.enioaoes co diàrneirode umacìfclníefêncade centroC(a, b) e É o r. Delemineurnã€quação dessacrcLtníeÍênca. 9.llmâ circuníeÍênca de centrono ponb q[2, 0) passa pelooo-rode e co t o oasteto:r e s de eq râções x y- 2:0ex+y6=0 rcspectvarnente. Quaé a equação dessâc fcunfefència? lo.quais são os vâloresque k pod€assumfparaque a equação x, + y, 2x + IOy+ 13k= 0 fepresenfe urna cifcunferênca?
Posiçõesrelativasde um ponto e uma circunÍerência ).,de centroC(a,b)e raioÍ, âs possíveis Quândotemosum ponto P(xr,yr)eumâcircunferência posiçôesrelatìvasde Pe ì são: 1è) O ponto penenceà circunferência: Nêssecaso,ãscoordenadas do ponto devemsatisÍâzer ã equaçãoda ciícunfêÍênciã, ea distânciã entreP e Cé igualar.
2q) O ponto é internoà circunferência:
Nessecajo,a distânciado ponto ao centroé menorqueo raio.
3!) O pònto éexternoà circunÍerência:
Nesse caso,a distânciã do pontoaocentro é maiorqueorâio,
que a equâçãoda c;rcunferência (reduzidaou geral)é obtida ô panir da condiçãod(p,C) = r, Considerando
podemos escrever: . d(P,c) : r<ì (xj - â)'z+(yr bÌ = Ê r<ì (x,- aF + (yr bF > r, ê (xr- aF + (y,- b)'z r'z> 0 <+ P é externoa À
6. Dêa posçãodo pontoP Íeativaà cÍcuníerénciâ À: al P[3 2) eì:x,+y,- 6x+5= 0 blP[5, 1] e À:x,+ y, - 6x- 2y + 8 = 0
cl P[4,3) e tr:x'z+ y'z: 36 _ dl Pi 2, -31 e ì:(x + rl? + [y + 4], = h/5 )'?
i
anaíliGiacrcuúedn(ã Gèomètda
Resolução: al P[3,2] e Iix'z + y'? 6x + 5 = 0 Substìt!indo: 3r+2,, 6,3 + 5-9+4 _ t8+5= = 18 18= 0 Enlão, P € tr. blP[5, ]) e ],rx':+Y'?-6x- 2Y+ I = 0 SLrbstìtìrìndo: 6.5,2(_11 +I= 5,+(,1), =25+l -30+2+8=36 30=6>C EntãoPéexlernoâ). c) P(4,3)e Lix'?+y'z:36 SLrbstt!lndo: ]]<0 4,+3r_36=16+9_36= EntãoPéntemoa)! d) P(-2, -31 e r (x + ll'?+ ty + 4Y = t!6," S!bstltulndo: (-2+ l),+t-3+4Y tn6)'= I + I -s= =-3<0 â tr ÊntãoPénteÍno cÍcunscita ne lrna equaÉoda circLrnfeÍènca 7. DeteÍm 7, 41. Bt0,3) e C( aoÍiángllodevértcesA[].2), Resolução: é I: dacrcuníeÍênca Aequação b).=l t*-è1,+ ty . A[].2l É À:[] a)'+t2 bl'z=Í'zQ . 8t0,3) € À: to ay + t3 blz= É (, . c(-7, -4) € rr(-7 - aÌ + t 4-bl'=É@ gualando OeO, tenros: 4b + b'?: a':+ I - 6b + b?+ 1 2a+a2+4 2a+2b=4=-a+h=2 -lgualando O€ @, ternos: a, +9 - 6b+b'?- 49+ 14â+a'l + 16+ 8b+ b'?ì 4 +-l4a-14b=56+a+b= _ R"sohe-doossler" I l'_conaro. lâ+0=-4 a=-3eb=_1. Assm,À:[x + 3]'?+0/ + ll'?= É por exernpìo, a PamencoòtÍafo vaof de Í usamos, equação O 0-al'z+(2-bl'?=É= rf -J12- tt-t'z-í1 '25 pfocumda é a €quâção Poftanto, [x+3]'?+0i+l)'z=25
qlreo centrodâclrcunie' DaGeoÍnetr ; phna,l€mbrérnos oLlsela, réncra circünscrita a !Ín Íânguoé o circunc€ntro, Então, vamos do trángulo. é o enconüo dasmediaÍzes obreÍa equação de d-aòì"daì/pa e o oorlode nte' a será€sseponto secçâodelas.O centrcdacìrcuníerênc e o Ta|o seÉa o stanc a ooLenlo ê Jn dosl "s véÍlces MediatÍiz do ladoAB: m, =;---
= -l
*l l. |,_.-._
Ponto medo deAB:Ml:. : I \2 2) angular Então, a Í€tâquepassapof M corncoeíciente v-:=rl l+zv-s=2^,1 ' 2 \ ^ 2) =2x-2y+4=Aàx-y+2=a Medatrizdo adoBC: 43
.1
7A
r .= - I= - l= 'fr,
,
I
Ponio mëdo deBC Nl -;, -; \
z
z)
I
porN comcoefclente anglrlaÍ Então, a fetaquepassâ mr= -ló r
l= - r í * + 1 ì = z v+ r = 2 {- 7 = u ' +
2 2l \ é2x+2y+8:03x+y+4=0 CentrcO dacrcLrnierêncla: A intercecção dasduâsínediatrzes [qÌresãoÍetascon coffentesl é obtidapelâreso!çãodo sstema -,Feso'erooesses'senà,enconlla1 [x+y+4=0 ] Logo, O[-3, ]). mosx=-3ey= Raiodacifcunfeénciâ: Distáncia do centroaovértce B [poderâserquaqLreÍ : uÍndostÍésvértlcesl
o (0 . 8 )-í (-3 -0 r.
Í '
3l =Je
1 6 -s
Portanto, Íâo = 5. pÍocuEda Então, a €qLração é tx + 3l' + (y + ll'?= 25.
de equação a p0_ 12, Dadaa c rcunfeÍênca tr,deteÍnine I l. Dadoso pontoP e a c rclníerêncla ponto + 3 x'+ 2x 4y enì a tr. sçãode P f têlação - 0,qualéa posçãodo a essa crcunferêncâ? = P[3, -4] ern relação a) P[-] 2l e I:(x - 31'?+6/ + lY s'? que passapelÓs a eqlaçãoda clrc!íìfefênciá 13. Encontre b)P[2,2]e À:x'z+y'? lox + 8y I : 0 pontosP[0,o], Q[3,3)e R[0,8]. cJP(3,ll e ì:x'z+ t' - 8x-5= 0
Posiçõesrelâtivasde uma retã e ma circunferência Considerernos posiçóesde umaretaem relaçãoa uÍnacircunfeÍência: astrêspossíveis li) A retaté secante à cÌcunferência:
Nessecaso,a distânciâdo centroda circunferênciã à retaé menorque o raio,A íetae a circunferência têm dois pontos
PÌopri€dades de Ìetâ e da ckcunferência s€cantes: .ON TA S . M é pontômédiode AB IAB = 2AM] . TeoÌ€màde Pitácoras:
(o Ml, + I B MF = t B O y
23) A retatétangenteàcircunfeíência:
Nêssecaso,a distânciâdo centroda circunferência à retaé igualaoraio,Aíetae a circunfe_ rênciatêm um únicopontocornum,
3-') A fetat é exterÌoràcircunferência:
Nessecaso,a distânc;ãdo centroda cìrcuníerência à retaé maiorque o raio.A reta e a cifcunferêncìa náotêm ponto comum,
Vejamos, a panir dasequãções, como identificarqualdesses câsosseveriíica, 'ì 8.Sãodadasarctar d€€quâção2x+y I = 0,€a c rclnf€Íênca deeqlaçãox, + y2+ 6x 8y= 0.Qua é a posçãoda rctar €nìr€açãoà cfcunf€iênca? 'Resolução: VârÍoscacuaf, niciamente, ascoordenadas do centfo e o rao dacÍclrníefênca: x:+)?'?+6x 8y= 0+x'?+ 6x+y, - 8y= 0= ex,+ 6x+ 9 +yr-8y+ t6=9+ t6= + [x + 3)'?+ 6/ 4]':= 25 EntãoC( 3 4)er=5 Agorâvamosdeteiminâr a clisüncacìocenÍoà rcra :_
,T !ì+rfuì - l -!-
t
_______: _
.12'1 + 1'
2l "
./5
__:
1
J5
CompaÍân.lo d e Í, ternosd < r (1,3< bl Logo,a rcÌâr é secant€ à cfcunÍeréncia.
OutrarcsaluÇão: OsponÌoscomuns à rctae à c rcunfeÉnc a s€houver , sá0as soLrções do ssternafoÍmadopof suâsequaç0es: ]=0=y=l-2x [2x+y l8y=0 lx'+y'+6x Substtundoy nasegLnda €quação temos: x'z+y':+6x 8y=0+ +x,+[] -2x),+6x-8(t 2xl=0+ .r x, + I - 4x + 4x, + 6x - I + I 6x = o + =sx'?+l8x-7=0 0 cálcuode À seú suíciente pamdeteminar quantos ponbscornufstêrnâ rcÌae a c rcLrníefênca e daÍa posrção rearva.Então: A : l8r + 140= 324+ 140= 464>0 O vaor de > 0 ndicaa exstência de dos vâores ^ d€xe, conseqü€ntemente, feaFe d|stntos doispontos comuns â retae à cìÍcunleéncia Logo,a Íetaé secante à crclnierência.
. GemeÌíia CapÍtul02 malítG:âdÌonfeÍêncÌa
Observaçâo:Aresoução p€mìt€ descobdf quassão completa do sist€nìa osdoispontoscomuns à reiae à cÍcLrníeéncia. I' Quao comprlmento pea ÍeÌas:3y 4x + I = 0 nâ da cordadeterrìrinada crcunferêncìa x'?+y'?=25? Resolução: Os pontoscornuns à retâe à ciÍcunleéncis sãoas €ÌtrcnìdadesA e B dâ coda ÁB procuÍadâ. Assm,vamosresov€Ío sistenìa e obt€rospontosA e B dacodâ AB.
l.
I 1 4r1
I
II
v -/q
l3v-4^+l=0-v=: 3 3 t_ S!bsttundoy na laequação, temos: , 6,i Br - _ .. , Í.r ì'_r, ,^' Ft='z5= 3./ I I \3 Resolvendo a eqLrâção À=[-8], 4.25.t 224)= 22 464 -(-at' E-qw 2.25
a-z"uEí 5A
{ 25, B\ -tI
o t puEg 25
221= 0 = 25x'- 8N- 224= o I
4 - 12.,r6s r-,5
4 + r2.[t ^PAÍAXj=-rcrnOS -'
q( q+v,lw
\
3\
)
25 Í,
-3+16\Ãã 25
t 3
.^ Â;
^
.^Ã;\
[2525)
^ XT = HATa
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l€mOS.
q íq -r z ..6gì r '\
II
"
J
- - -( q n"Eí
s rouãt
'
s ro,6t ì
f2s25) FnalÍÍ€nte, obternos a d stâncÌa dÁ6entreos pontos A e B: ç
Ì\,
It 24V39 -J | í 32./39ì \ll 25 ll2sJ 1600.39 625
,,0.[9 25
Auta rcs,aluçã,a:
ì
I
8..6e
o
Mãtenálic. Cdntello &Aplieções
O pontoO temcoordenadas OB [0, 0J.O segnìento Ín€de5 [Éo). OIV]éa dlstânc a de O a s Então:
Logo:
= tOBÌ= (rvrB), + tí\irOl,
+fMBl,+
L=2sJt\,18: 25
4J3e
AB=2MB=:fja 5 I0-O pontoP(5 2l pertenc€ à cÍcuníefència de equalru \ - y z\ o\ 2/ - 0 Dete. nóê êqLa\do aa r€tattangênte a essacircLrníerênca ernP. Resoluçáo: Lemore seoeque,seumârcÌê I tangenca urnacircLrníeÉnca d€ centÍoC e Íaior €rnP, entãolé p€jgendìcuarà rctas|J' ponede CP. Caculândo ascoodenadas do centloCeor.ior,Ìemos x,+y,+2x-6y-27-0= ..>\2+2x+y' 6y=27,.. ) x2+ 2x+ I +yr-6y+9= 27+ I +9= =íJ(+ lì,+Ív 3ì2=37
En u o ,cc l r,:i r=e
'ã7 anguÌar Vamos det€rm naro coefciente mr dâ rctaque passa pelos pontos C[-].3l e P[5,2) 231 VaÍnosdetefininâr o co€ícenÌeangllafm2 da retat perp€ndicuafà retâquepassâp€losponÌosC e P:
r "= - - L =
l =6
6 "fr, Calcuamos êgoma equação dâ Íetat quepâssapeo pontoP[5,2Je temd€cvdade6: y 2=6tx-51ãy 2=6x 30=) +6x y 28=0 peddâé 6x y 28 = 0. Logo,â equação Outa rcsaluÇão: Obtemoso centÍoC[ 1,3) can.lo na pflmetrarcsa luÇíia. DeteÍmnamos a €quaçâo rcduzida da rctaCPe dea t mrnoso coefcient€ angulâr [mr]: xvl 3 I 0-'ì' 5\-2-l\ i 2\ n-
ls 2l ã 6 v = x + 1 7 e v=--L x+ L Z =' = I
666 A rctat procumdapassapof P(5,2) e é peÍpendcular à ÍeÌa aP ogo. s-L coeíce'ìlp èngLld p o. porà
í -lì u=, \
6,]
Erìtãoa equação detéy 6x-y-28=0.
2 = 6(x- 5) ou
Ì I.Areia deequâção x y + k:0 é tangente à c rclrnleÉnciadeeqlaçãox, + y, = L Calcule o valoÍde k. Resolução: Se â |e1aé tang€nte à cÍcunferència, a distâncra do centroaÌéa retaé iguâlâo|aìo. Cerìtro € raiodaciÍcuníeÉncia: x'?+y,:9+ [x 0),+ 6i - 0),= 3, Então,C[0,0)ef=3 Dstáncia do cenrro[0,0] à fetatx ty + k = 0: 1.0 I.0+[ f, ,
-
"[' r
'rE
Cáculode k sabendo qued = Í: t-
+=3-
r ^ = .3J2- [- a3Jz
OutrarcsaluÈo: Sea Íetâé tano€nte à circuníeÉncia, entãoo s st€rna pelasduas€quações fofinado ternurnaúnicasoluçãol lx y+k=0=âx=y-k l"
Lx'+]?'=9 Substtuindo x nasegunda equação, Ìemos: x'z+y'?=I + (V- t)'+ t': n .Jy,-2ky+k,+y, 9=0= =2f 2W+k,-s=0 PâÍâqle a solução sejaúncadev€Ínos ter = 0: ^72-0 l--t 8tk -9)-0-.r8\
-
-rç. 1 72:6arc = !? = $ =)
=k=aJl8
'
=a3/2
12.0 pontoP0, 2Jé exremo à circunferênca deeqlação : L Deternrine as eq!àções dâs tx ll: + 6? 21'? rctasÌângentes porP. à circLrnfefênca e quepassam Resoluçâo: P€aequação dada, ternos Ctt,2) e Í = J8
Í
Geoneniàìna a.a(runÍeren.a
ConsideÉndo o coefc enteangulaÍ m dasrcrâsq e t2. poderosesce\pr êq.oçâo ge dloF..a|e(dq.ê1 " bÍândoquepassanì pofP[], 2l y+2=.rlx 1))y+2 =rnx Íì+ 9rì]X-y 2 Ín:0
t llx y -2 Ioao
x -y
"
t t )= 0 =
x -y -t = 0 =
êo è, õF. ars -e.dstonae Ìes tr e t2 5:o
3=0€x+y+t=0.
. SeP p€íence à circuntuÉncìa, exiíeumaó reta quepassâ por P e é tangente à circunf€rêncià_
I
I3. Detemnea€quação dacrcunferéncia comcenrrono oonoC. ,r"o ê- dncieteê e.drdeeqJaçio x+y+2=0 Resolução:
. SeP é ext€rno, háduâshnCentes.
l
. SePè rnremo,não exisre lincenr€. Corno€ disÌância enÍ€ o centÍoCtl, 2) e a rcraoe equação mx- y - 2 rn= 0 deveserigualao |âoI, rn[]) I[2) 2-m _=võ= \/rn' + I
I
II
E
= ! ã=
1!
-4
+-+=V8 r/m'+t
-
=
--=r/8 ./m'+t
D p" Ío. oo-e1ê l or qLe o ao oo . . - tere ca " p" dd" e gi d ddsrá i dpnl eocoC F.retdL Enlão:
- 'lt+3+2t . t r ' =i l6=
+-=8+8m,+8=16+
j a m , - s - o +.m,- r = o =m, = r = =9m'=lenra=:l V"nos calc-aÍ dgod. ac eoLèçops oac ê os tr e t. sLrbsirtlindo o vâlorde m naeqlaçãogeÍal mx Y-2_m- 0. tllx-y-2
I = 0+x-y
3=0
Ì 4..Dadasurnareiar e urnacrcunleénciê ì, vefÍìquea posrção reatvade r e tr.Sehouvefpontoscorìruns (tange.ìle ó- sêcâmeì. det- ni-ê es.eòponto,. a)r:2x y+ 1=0etrx,+y,-2x=0 blÍ:Y=xeI:x'? +Y2+ 2x- 4Y- 4 : O cJr:x=Ì-4ey=2 Ìe ì:xz+y,-2x 6y 8=0
o .J2
ovu 2
 equaçãoda crcunierèncra pedida,sabendoqu€ a:l,b:3€Í=3J2.é: ú\ al'+ (y bl,=É=ix rl, + (y- 3),= l3,A)'=l ì[x ]), + 0i 3),=tB= +x,+y, 2x-6y 8=0
ì 5. Determ neascooÍdenadas dosponÌosernqúea rerar, de equação y = x + 5, ìnteEecta a crclníerêncade equaçâo x, + y, - l]x 2y + 2j : A i ã" A rctar, deequaçãox + y 3 = 0,ea circunfeéncia d€ equação [x + 2), + (! - 1)' = ]o sãosecantes nos pontosA e B. DeteÍÍìinea áreâdorriânguo cujosvértices sãoo c€n!! dacÍcunleÉncia e osporìlcs A e B.
{
. (ontexto M.temálkã &Àpli.ades Cor .d p -ìo i
o pla r de - a- o! ; o '
J 0. eé 2l. A ciÍclnfefència conìcentroc[], tl é rângenre à rerât crcuJìfeÉncia de eqlação x'z+ \c - 2x - 2y - 3 : A de equação x + y l0 = 0. Detemne a eqlaçãoda daretarem reação à crcLrnferénca? c rclrnÍefêIìca. Qla é a posção .. Sabendo quea feÌay = mxé tangente à crcunferênciê de ::l=QLrêlé a eqLrêção de cifc!nlerènca de c€ntfono eqlação x, + y, - l0X+ l6 - 0,cacue osV€ofesdem. pontoC[4, 4J e queé iângente aosdois€ xosde ' O pontoA[2, 3] pefience à c rcunf€rência de equação L00 dp1:drs x, + y, 2x 2y 3 = 0. DeteflÌne a eqltação da ? 3. DeteÍmnea equação deurnac rcunleÉndâ langente aoeixo Íetatangent€ à crcunferència nopontoA yeà e-adeeqLàção\ r. F q-e.erocen.ro'ìo x ei\o oeooonoP0.,ì F e o . cicun'ee1cade Êq a .ão l' r oa:sa1;s erastr e t2. ?/.i.4Íetax+y I I = 0 seccÌona a cirbuníerènca Li ll p c;o q rorqp-ìl-. d . .. fe-e c o déda. De'e Trle è< \2 + y, + 2x 3 = 0 nospontosAe B. Caculea equâções distânca dasretastl€ t2. do c€ntfoC à cordaAB
i
lFosiçôesralativaçde duas cãrcunferências
podemterdois,um ou nenhumpontocomum, DuascircunfeÍênciâs distintas podemosdescobrirquantose quâissãoos pontoscomunsreA partirdasequaçõesdasduascircunferências solvendoo sistemaformadopor elas.Alémdisso,podemosidentificara posiçãorelâtivausandoos dois raios€ a distânciaentreos centros. ConsidereumacircunfeÍência de centroCl e râioÌ1 e outrâde centroC2e raio12.A distâncìaentreos centros serád(C| C,). posiçóesÍelativâsdasduascircunfeÍências: Vejaas possíveis 1s) DoìsDontos comuns:
l ,j ,:l < d(q,c:)< r,+ r:
2-')Umpontocomum:
pòntod€tansência são
tangentes exterioÍfr ente d (c ,,c ,)= Í,+ f: Nenhum pont o c o m u m l
tangente5inteÍ orm€nte
dtcj,c,l = 0. umaclrcunterência nterna à ôutra
ciÍ(unfeÉn.i. ' Gmnìetdaanalíticra
14. VeÍiÍìque a posçãoÍeativàdas dLrascrcunferêncas d€das,Seforemsecantes ou tangentes, deteÍmne os pontoscom!ns: a)x'? +y'z= 30 e [x - 3],+ y?= e bJx,+y,-20x
dascÍcunfeÉncas e poÍ meiode seusraos (efiì que0scentÍos D|ando dascifcLrníeféncas e o ponto deÌangência estãosempfe a inhadosl
2y+100=0€
x,+y,-2x-2y
S8=O c)(N+ 2), + ly - 2), = r e r, + y: = r d) (x 31'?+(j/- 2)'?- e e x'z+f-6x-4y+12=A
t
Resolução: al ResoÌvendo o sist€Ína peasduasequações fofrnado circunfeÍências Ìãngentesetr€rnãmente \7T)
d(q,c:)= r, + rr
-30
= 9âx'z +y'?- 6x= O3 (x - 3)'?+Y'z =30-'6x=0=6x=30+x=5 Substituindo x naprirnera equaçâo, vemr \ -)']-30-25ry -5 , -c0=) 3y=
l!6
Logo,âs duascúcunferènciss sãosecantes e seus ponros comuns são[s, Jd] e [b, !6]. bl ResoÌvendo o s stema, temos:
l x "+ y ' - 2 a x 2 v+to o =o o e -o .r'j ' 1 ^ ' , ' - z ' - zy x +Í 2 a t- ? 4+1 a o =a ')-1 |
/,/ +c' + .'tf +ae=n -- 8.-1S8-08\-tg8+
3x:19931=11 t8
I Substituindo x naprmeirâequâÇão, vern: xz+y'z 2Ax-2y+1AA-0.) 3l l? + y':- 20.11 2y+ lOO= 0+ )y'z 2y+121-220+100=03 éY'z2y+1=A
Y=
2
=''
àsdLras [] l, ll é o únicopontocornum ctrcunferên ciês,portanto elassãotangent€s. comojá v mos,as c rcuníerênc podem estang€ntes serexaernas ou iniernas. Podernos determinar a sua posçãoreativâporÍì€ o dad stánca entreosc€ntrcs
ciÍcunferênciã5 tangentesinternãmenre
d(q,c,)=r, Ì,1 ConsdeÍando a pÍirne|a equação temos: \2 y
r00-020'-2) =x'/- 2A\+ 100+ y, - 2y + I = = - 100+ 100+ I = [x - ]0),+ - l), = l, 0i Entêo, Cr[]0, ll e fì - L /1gompetâs€gunda vem x'+y2-2x 2y-9a=0.) i),-2\ Ì -J - 2t, -983 tx- ll, + ty -1) = r00 = 10,
t
-
EnÌéo C2t. e.0. Calcianos.Fltào a otsl-, a erÌ.eos ce-.os C1 e c2:
d t c , , c=, ). v 6 0 r l+ 0 - r l' = i6 Ì = s Coríìo os €os medern fr = I e r?= t0 e 9= I l0,temosd[C],C?)= fr -r,. Logo,ascircunferênc assãotangentes intemarnente e o pontocomlmé [1], tl. c) Nêc rclníefência [x + 2], + 0/ - 2), = t, remos C(-2,2) e | = 1.
NacircunfeÍéncla x'z+ Jl = l,ternosC[0,0] eÍ = 1. Esboçândo o gráfco,podemos verqueasc rcLrnf€rêncâsnãotêrnpontocornum e sãoext€mas:
Agom,vaÍnosfesoveranaliticarnente Pelosisterna, temos:
-8)x-y=-2)x=y-2 Substitu ndox nasegunda eqlação
x , + y , = r =0 2 ),+'l =1 = =f 4 y+4 +f l =0 =a l 4 y+3= 0
+x':-6x+9+l 4y +4= 12+S+ 4= =tx-3)'?+0 2)'z=l Então, a crcunÍêÍênca 21,= ltenì [x 3],+0 C[3,2)e r= ].
t Comoas duasckcunfeÍèncâs têmo nTesmo centTo podemos afiÍmaÍque lconcéÍìt|cas]e Êlosd ferentes, e asnãotêmpontocomurne umaé lrìternaà out|a. 15. DeienÌineâ equação da circunfefência de centrcern extedoffnente a crcLtnferênca [8,4] e q!€ tangencia x,+y, 4x+8y-t6=0 Resolução: Nessecâso,6distância entfeoscentros é igualàsorna
A=16 24= 8<0 Se < 0, nãoexistesol!çãopaÍao s stemâ, então ^ as ciÍcunferéncias nãotêrnpontocomLrrn. Vejamos qualdasduassituaçôes severÍca: d(c,,C?)= rr+L
a en$eos centros Cr( 2, 2) e . Calcuandoa distânc cz(0,0),vem: d(c,,c,) = !G2 - o)' + (2 oÍ = !ã Comoosraìosrnedern rr = I e f?= I e Jí > I + t,temosd> r, + r.. Logo,ascircuníefências sãoexernas. = I ternCt3,2l dlA c rclníeréncia [x - 3]'z+ (y - 21'? x'z+y'?-6x-4y+12=0+
25. DadasasciÍcune'ènciasÀj e À- oescuorê suasoosi (sehouver): e seuspontoscomuns çôesÍelatvas al Àr:x'z+y'z- 4x - 8y- 5 : 0 ì.r:x'?+y'?2x 6y+1:0 blr,ìix-21,+(y-11,=4 À- l_x zì'?+fv + 2ì'z=)
Iniciamente, câlculârnos o c€ntro[C1]e o €io [l] .lâ c rcunlerênc â dâda: x'z 4x+4+y'z+8y+ 16= 16+4 + 16 + =tx-2)'1+(y+41,=36 Então, C,(2, 4J e fr - 6 Âgor€cacuamosa distânca enÍe oscentrcs Crt2,-4) e C,i8 al:
a='G'+*=.úoo=ro Cornod=f,+r?pod€mo d=fr+r, ã l0=6+rr=rr=4 A eoudçào píocuÍêd€ e a cà cicunlerFnna oFr" o 4 " centrc[8 4]: tx 81'z+(y al':= a'?ou x,+y,- t6x 8y+64=0
26. Aequação dâcrcLrnfeÍênca d€€io4 e concêntrica com a cÌcunferência deequâção x ' z + y , + 2 x -6 y + g = 0 é : a lx , + y ? + 2 x 6 y -6 = 0 . b lx ' ? + y , + 2 x -6 y + 6 = 0 . c )x , + y , + 2 x 6 y + 2 = 0 . d )x , + y , + 2 x 6 y 4 = 0 .
Gê0metria analÍtÌ.ar acirunfsêndà
tÍ-t I I I
s"j". s, sJr.. cn"unferênciss langenres ex1êrna-?S" trr e ),>: sãoduasc rcunfefèfcas corìcêntdcas, comì,r " quesr terncomoequação rnente, tais nteínêìÀ,.Sabendo que€ equEçâo de À é ír\ x, + y, - 2x- 4y+ 4 = 0 es2terncentrcnoporìro 6\' 8) -0eo e € áÍeâdo a-e , ircura. p0Í Àr e À, é iguaa 24n,deteínÌnea equação Ìormâ00 Ci5,-rl Calcule o ÍalodâcÍcunteéncia S2 de ì, nalofmagefa.
Aplica 16. Umengenheiro precÌsâ constÍuir urnaponteemíofina 0e arcode circuníefênciâ, sernehalìte a queaparece na fotoabaÌxo0 vãolivÍesobreo rio a servencido pelaponteé de 24 m, e a piasÍa centrai, segundo o arqutêto,devêfiá ter4 rndeatum.O engenhe ro,usan_ do seuscofhecmentos deGeorneta plana,já cacutou queo raiodo arcode crcunfeÉncia pfoletado peioarqurteto é de20Ín Agomee pÍecÌsa calculaf o tarnanho dasoutÉsqLatropilãstras (dussà €squerda rnenofes e duasà difeitadã p last|acentÉD. Segundo o prcieto, todâsaspibsÌmsesiãoa 4 m urnadaoutra,
Ponteeh Hamburgo, Alemanha.
remosqueo centrcda cifcunfêrêncÌa seú C(0, t6l poF0 rao tern20 m e a pt/astm maiortem4 m. puÍa obÉf 0 tarnanhodas pilastÉspeddas,pfecisêmos apenasdasofdenadas dospontosA e B, cujasâbs_ cBsassá0rcspedivamente 4 e 8. Nestè€xercício, a escoÌha do sisterna de exoscadesÌanos adequêdo é Íì1r.rÌ0 mportante parafâcilitar â fesoução,
A equação dâ cifcunferênca é, então, _6J.. ty 400.Pa-è oblenosão de-êdav-oo oon,oA.oasãsJo, J aêoscssè\."no"q-ícro 4'z+ (yÂ+ 16l,= 4003 (yÁ+ t6l, = 384= éyA + l6 = \r68a= 1s,60 =yA= 3,60rn Da mesrna íorma,paraobt€rrnos a odenadayo oo oono B bd:Ìas rosÌr , a .osciòsa \s _ I naeqJãção
Cornbasenas nformaçôes do prcblerna, escohaLtm sEterna de exoscoordenados conveniente e ohefhaa altLr|a quaÍopiÌastras dessas menorcs. Resolução: Escolhendo LtÍn sstema deexoscaÍtesanos quecoÌoqle a p lastracenlfalno eixoy e o vãoda ponteno eixor,
Escolha umststerna deexoscoordeÍìados âdequado € feso\è,LsaToo GeoÍIFtria and,rica. osseqJrrcsp ooelds oe
8: + [yB+ ]6Y = 400+ [yB+ j6], = 336.r +ys + 16= \Êãã 18,33 = y. = 2,33, Porcausêda smeÍa d€ pont€,as dlrasp lastrâsoo lado€sqLrefdo teËoo mesrnotarnafho desuascoffes_ pondentes no adod rcito.Assm,as piastrassãotas o " dJa<Én. op-o,iloo;ne-.e,2,?3n e oLasÌeTn 3,60rn.e â cent|a,comojásãbírrnos, teÍn4 m.
íDrcè: Cooque o \ênce oo àrgJo.etooo triangLlo te_ Énguto naorqem.J 30, llma c rcunlefêncE L estáinscrìta emunìtránguo eqüi_ látefodê ado2J3. [,40s!re que pa€ todopontode L, a 29,Obtenhâo ralodacrclfferênciainscnta numtrángulo sornadosquâdmdos de suasdistáncas âosÍês vénices rctângulo cujÕs catetos meçam 3 cme 4 cm, dotriângulo é constante.
Co]ìsdered!asc rcunfeÉnclas no p ano [UFG-G0) pelâsequaçõ€s caftesanod€scítas x, + y, = I0 e + (y _ yo)':= ] Deteflnneo pontoP(xo, yol tx - xol'? pafaqUeasdLras c fc!nÍerênc assejãmtângentes extefnas no pontoA[3, ]). (UFPR) Nosstemscadesano onogonaoxy,considefe a circunferénciã.y decentfoC[4,3) e rao r = 5 al Encontre a equação cânesana dac rcLtnferénca y. bl Encontreas coofdenadas dospontosde nteÍs€cção da circLrnferênca Ï como eixo0y .y cl SejaP o pontode nteÍsecção dã circuníerênca com o eixo0y, de ofuenadapositiva. Encontre a equaçõo dâ fetaquetangenca a circunfeÍênca rìessepontoP Sejêrìì C1e C2cfcunferências de,rcspectiUFlVlG) r'ane-Ìe cel or 01 e 02 e aos Ír e í2 y' pqlãç;o deC, éx, + y, loy + 15 = 0 eaequação deC2 éx'z+ y, + 2Ax+ l5 = 0.Sejanr Ae B ospontos cte inteÍsecção de Cl e C, Considemndo essasnfofrnâç0es a) deteftnneascoofdenadas de Oj € 02 e os m os rl bl deteÍmneascoordenadas de e Bi c) câculea árcado quadriáteÍo A0jB0, (Uncanìp-SPl As eqlaçôes(x + t), + y, = I e (x - 2)'z+ y'1= 4 f€prcsentam dLrâs crcunfefêncas cr.loscenÍosestãosobreo exodásabscssas êJlncoìtÍe :e e' s|er osoor oc oe .Êrsecç;o ca queasc rcunferéncas bl Encontfe ovalorde a e R a + 0,d€modoqueduas peo ponto[a,0] selamtangentes fet€squ€passam àsduasc rcunfefènclas (Uto-CElDetemì Íìe o vaorda constante a d€ rnooo . l^'+v'=qz que0 ssreìa0e eq-açoes tenìd i L3x+4y+z=a souçãorcalÚn ca (lnif€splEnìunìpanocârtesiano, sejaT o triângu o qle delirnita a rcgiãodefnidap€a nequações y<2,x>0ex-y<2. a- Ob€nhé!s eoLè)õ-.a" tooa)cs €rè5q ê sàoÁqü distantes dosÍês vértices dotr ângua T b) Obt€nha a equâção da crcunfeÉnca crclrnscÍita ao triânguoT deslacando o centro€ o É0.
a Í€tar de equação [UELPR]Consdere . 2\ ? - A Co* re'aç;oo rep€se1raçào geo-ê ïca daÍetar nop anocertes pod€ ano, seafrmar: pelaretare pelos exos ) AárcadotÍâng!oíomrado coo|denadost€rn qLredmdâ. ovaofdeI undade | Á c.cJ-'eF-r,soeeqLaçâo \' J- - 2 co- Ál 'odoo f;rg ro b . adopeè eldÍ e pFo. "\o. i| A.i"c.n.e-ê.cdd-equ€çro\'_ 2. z) - 0 ) üngenoaâ r€ÌEr. lU A |etaré percendìculafà reta2y + x + t0 = 0. qàÌeÍ aÌ\a qJ-coìÌé- rodàse"o -r d. co rea) el. bli€ll
c) e lv. dl e L
€l I llelV.
(UFC-CE) Sejâ.yurnacircunfeÉnciâ de Éo 2 cm,AB umd ârnetrc de.ye r e s fetastangentes ê.y,respectipoÍA e B, 0s pontosP e Q €stãofespectvavamente mentestLrâdos sobfer e s e sãotâisqle PQtambém tangencay SeAP = I cm,pod€-seaÍmnafcoffetaqueBq rnede: rnente a) 3 cÍì b) 4 cnì dJI crn. eJ8,5crn. (llFPRINopanocarl€sano, considerc ospontos A t0,l) Bt2,31,C(3 5)e a Íeta.deíinda pea€qua= + 3x 4y que 12.Sabendo â reÌaÌ dvd€ o çào pl3n0cad€srano ernduasregões,charn€das s€m, plânos, considefe asafÍmâtivas a seguÍ: ll0s pontosA e B estãono rnesrno sernpanode, lefmnâcopeafetar 2l A rctad€ternì nadapof A e C é perpend cllar à IeÌar 3l A c Ícunfefèncìa quepassa peÌospontosA,B e C inteEecta pontos a retarem dols dstlntos 4l0s pontosdo senìpano qle contémo pontoC satsÍâzem a desgualdad€ 3x + 4y< 12. Assina e a atemativa correta. al SofienteasãffinatvâsI € 2 sãovefdadeiras. bl Sonìente asãÍ ÍnatvâsI € 3 sãoveúadeirãs. cl Sornente asâfrnetjvâs 2 e 3 sãovedaderâs. dl Sornente asafrmetivas 2 e 4 sãovedadeÉs. el Sornente asafrmativas 3 e 4 sãovedãderâs.
F
tangentUecelÂeqlaçãode urnâdasc rcunferêncâs tesdo gÍáÍìco abaixoé x':+ y'. 2x + 2y 3 = A
b) 0,8!n dadede cornpfmento. cJ1,2!n dâded€ cornpfmento. dl2 !n dadesde conìpdrnento. auì'o Cr Con)idee os poltosì.dos op Ìooasas cordâsde compfrn€ntoI2 da circunferéncâ de equa çâox,+ y, + lox - 16y- tt = 0 Areuniãodesses pontosdetemÌna a crc!nferênca deequação alxz+y?+tOx+t6y+25=O b)x,+y,-lox+r6y+25-0 clx'z+y,+tOx-t6y+25=0 dlx:+y': lOx+8y+25=0. e)x,+y,+tox By+2b=0 '-G\ .SP AòcooÍoe'ìaoès do po .o dè c Íc "e êroa (x 81'? + 0 - 61':= 25 queÍÌcarnaisalastâdo da
A equação da outÍacÍcunfeÉncia é: alxz+y'?-8x-6y+10\/6=5 b)x2+y'?-8x 6y+ t0./6 = 0. c)x,+y,-8x-6y-50=0 d)x'?+y'? 8x 6y+16=so. Cl e C, sãocircunfeÉncias concêntrcas.0 |ao IUFC'CB deC2mede5eaequação deC, éx'z+ y'?- 6y+ 5 = 0 A equaÉod€C2é al x':+ y'- 6y- 16= 0. c)x'?+y'z- 6y= 0 blx,+y, 6y+16=0. d)x,+y,+6y=0 lFuvestSP]UnìquadÉdoestáinscÍitonlrmacrclrnfe rênca decentrc0, 2). Unìdosvéftices do quadÍêdo é o ponto[-3, -]). Deterrnine osoltÍostrésvértces do quadmdo. passa p€ospontosA[0.2), Urnacrcunfefência 0TA-SP) Bto,8)e C(8,8).Então o cenÍodacrclníeÍênca eo valordeseurao,Íespectivârnente, são: al[05]e6 bl[54]e5 cl [4 8] e 5,5. dl [4,5]e 5. el [4,6] e 5. (FGVSP) No plânocadesiâno, qLre a cÍcunlerència passapeo pontoP(], 3l € é concéntrca coma cÍcun fer-Ància x: + y'? 6x 8y I = 0 tema segunt€ alx'z+y':+6x+8y 40=0 blx':+ y': 3x 4y + 5 = 0. c)x':+y': 6x 8y+20=0. d)x'z+y':+3x+4y 25=0 elx?+y'? 3x+4y 19=0. (Unube[iìG]Considerc a crcunf€Íênca d€scftapea equação x':+ y': 2y = 0. Pode-se afrmafqle o cornpfmentoda cordaqu€a retad€ equação 6x 8y = 0 determ nanessacrcunf€rêncâ é gua al al I !n daded€ cornprmento
orlgern O[0 0] são: al tB 61. bl t4,31. cl t0,25)
d l0 3 ,r2 l. e)il2,e).
(UfêllDadas a c rcuníefènca tr:x':+y'?=125e a reta Ì. 2\ easeq.ra(Õesdas er€spa?e ':.deÌen lasa r€ quesãotangentes a tr. (llFPBIConsdeÉndo asseguntesproposìções relât \rasà c fcunÍeÍéncia x'z+ y'?- 4 no planocaftesâno, ìd€nlfq!e a(slverdêdeirc(sJl 0ll O pontoP( I ll é inieroràcircunfeéncia. 021O pontop[ 2 2] é extefofàcÍclníeféncia. 041O pontoP( rã, úl estásobrea circunferénc a. 08 a ÍetèdepoLdç;o . . . iìtó. êp.ao i rr--? Àr. ca erndos pontos. l6l Aretad€eqlaçãoy= x + 2 lnt€fcepta a c Íclrn ferênca€rnurnúnicoponto. Escreva ê sornados vaoresatrlbuídos à[s] prcpos ção(õesl veÍdâder|â[s] (Vunespl Conslderea cÍcuníeféncisx, + [y 2]'?- 4 € o pontoP(0, 3l al Encontre urna€quação ds reÌaqlr€passepor P e Ìang€ncie a crcLrní€rênca nurnpontoQ deabscissa postva bl Detefinine ascoordenadas do pontoQ. a cÍcunÍercnca [UFSC]Considerc = 16€ a reta C ix-ay+(y 3)'? Í: 4x+ 3y l0=0. Encontrc a sornadosnúmeÍos assocados à[s] pÍopo s ção[ôes] coÍrcta(sl 01)tìC=A. 0210 centrodeC é o ponto[3 4]. 041Ac rclnferêncra C nteÍc€pko €ixodasabscissês efir2 [dos] pontose o dasordenâdas eÍì I [unì] 081Adistâncada rctaÍ ao cenÌrod€ C é rnenofdo l6l A turnção y dadapea equação da.€t€r é decfes-
t
0 pontoPt3 bl ped€nc€ à cfclrnfeíência.le IPUC-SD cenlfo noponto c(0,3le rao5 câcueovaoÍdâcoordenada b.
ne a equação [FE-SP)Deternì da Íetatangente à cifcunÍerènca de eqLraçãox, + y, + 4x + 2y - I = Oe quepassa peloponro A(t, t).
Deterrn neLrnìa equação dac rcunferèncâ [FE|-SP] com c€núonopontoc[2, ]) e qle passa peo pontoA[], tl.
(PllC-SPl Dadosos poÍìtasÀ[ ], 2l B(0, 3l e Ctm,- ll: è)oereÍì po _!-"o "olm -:o .o,oqloooq " a c rcLrnferênca d€ centroC e Ía o 2!A sejatân genteà retadeterfn nadapeospontos Ae B; bJqua é a equação da medatz do segrnento AB?
(FESPIQualéo centrc e o rao dã c rcunfefénca de equação x':+ y'z= 2[x y] + rt (FGVSPIDeternr ne lrna eqltação da r€raqle passa peo centfodacircunleénca deequação x':+ y, - 4x 4y + 4 = 0eé parateâà fetar, de equação 2x + 3y = 0. Consdefe o quadrado [Vunesp) de adosparaeiosâos erxoscoodenados e crrcunsc.Ìo à crcunleréJìcra de equêção x: + y, - 6x 4y + 12 = 0 Detemìine as equaçÒ€s dasretasqLr€contèmas dtâgonais desse quâdrado neo cornpfmento 0lFBAIDeterm dacofdadeternì nadap€lanteÍs€cção da rctêÍ, de eqLração x+ y I = 0,coma c rcLrní€fênca de equação x':+y:+2x+2y-3=0 dac rcLrnfefênca tvunesplSejaAB o.liânìetro x, + y, - 6x 8y + 24 = 0 conUdo nafetaperpeJìd, cuafa y = x + 7.Calcue ascoofd€nâdas deA e B u.Fcs. q,etèro-êa.oy.o, _ r ê torqêtea .. cuní€rènca de equação x, + yl + 4x 2y + k = 0 Nessas cordtções, câc! e o vaof de k [FaapSP]Ufindoos pontosde nteÍsecção da cifcun ÍeËncia deequação x2+y, 4y- 4 = 0cornosexos de coofden€das, obtefemos umquadrát€fo.Câculea árcadessequadfáteÍo. SP)A rctar. de eqL]ação x y = 2, ntersecta [Fuvesr a c rclnferência d€eqlaçãox,+ f - 8x- 2y+ p= A nos pontosA e B. Nessascondções,determine a eqlaçãodarnedatz dâ cofdaABe mostrequea rne daÍiz conÌémo centrcC da c rc!nferênca
(Fuv€st-SPJ a) Ás ex1rcm dadesdo d âm€Ìrccle!Íìa crrcunfeÍênca são[ 3, ]) e [5, 5]. Deremnea equação dâ c fcunÍerênc a bl Deìernì ne a equâção que passa da crcunf€fênca .eGs peooo.to19.J3 e q-e é qe'ìre ês I 0 " eY=rf3x ErnuÍ]ìsstemad€ coordenadas ILJnicãrnp-SP) odogonas no pLano sãodâdoso ponto[5, -6] e a cÍclntefénca x'?+ I = 25.A panI do ponro(s, -61 traçanìseouasÌangentes a ea. FaçaLrma f gu|arepÍesentativa dessastuaçãoe câcue o cornpffiì€nto da cofdaqu€ Lneos pontosd€tangénca Sejârn A[0, 0],B[0,s] e C[4 3] ponros [FuveslsP] do planocaftesiano al Deteffntne o coefciente anglrlar darctaBC. bl DeteÍnine a €quação dâ rn€diaïfz do segmenro BC. 0 ponloA peftence a essarnediaÍtz? cl Cons deÍea cÍcunÍeÍênca quepassa poÍA BeC Det€rrn neaequação dareÌatangentea essacÌrc!n Ì€fenca no pontoA IUFSC]Det€mrn€ o raiodâ crcuníerêncra C,, cujo centfoé o pontode ntersecção da retar de eqlaÇão x_y- I = 0 coma rctas deeqlação 2x y+ I =0, queCr é tang€nt€ sabendo exteÍoÍmente à c fcuníe -êì.; C, dp-qLr(éo \' - .-' oj 4 - 0 Umcírc!o tang€nca [UFRGS) dos exospependcu arcsentTe s, comondcadonaÍÌguraa s€guif.
(UFU-À4G) A c rc!nf€rênca de equação x': + y, - 2x + 2y 5 : 0 poss! duasfetastan gent€s.tr et2,queaãoparalelas à retas de eqLração 3x + 4y I = 0. Detemrne âs eqlaçôesdasr€ras (EEN4-SD Dadaa crcuníefênc€ de€quação x, + y, = t. delermneasequações dasfetasqLre hesãotangentes peloponroP[2 0), exteforà c fcunfe e q!€ passam
UmpontoP docftc!o dlstaI d€umdosexose 2 do oLrtÍo. Nessas condiçô€s, a somâdospossíves vao resparao |aiodo círcuo é al 19. bl 20 c) 21. d) 22 e) 23.
{
9rt!u!as-qq!sr!s! l
peasequaçôes: Dêascoordenadas do centÍoe o rao dascircunferêncas representêdas a)[x+2)'z+(y+6)?=5 b)x, + (y 4), = l
2. As segunt€s equações rcprcsentam crcunferêncas delermfe ascoofdenadâs do centÍoe o Éo eTncadacaso: alx,+y,-6x+8y+5=0 b)x'+y'1-4y=A c)x'z+y'z-2x-2y=0 3. Veffquequaisdasequações abaixoÍepresentam circunfeÍônca a)(x-s)'z+(y-3)'?=-5 b)x'z+x+y'?-y=6 c)\?- 0\-2c-ir-0
Í
4.Verifques€aequaçãox'+f+2x+2y-2=0rcpresentâumacÍcunfeÉncia.EmcasoaÍrmativo,dêascoord€ do centfoe o |aioda circLrnferênca. que passapelospontos 5. DeteÍnlneurnaequação da cfcunfefênca Ai5, 0), Bt4,3) e C(-4. -3). [Sugesião:Chame o centrcde O[a,b) e useo fatodequed(Á,0l = d(8,0) = dtc, Ol = fJ 6. Qla s os valofesde m, n e p pâfaqle a equação3x'?+ Íny'? nxy+ 6x + 8y + p = 0 repres€nte Lrrn€ cfcunle. fênca? 7. 0 rnaoÍvalor intero d€ k, pa|aquea equação x, + y, + 4x 6y + k = 0 fepresent€ urnâcircunfeÉnciâ, é: b)12. c) 1l dJr0. B. DadasascÌcunfeÍêncÌas ìì e 12 descubra slas posições relativas e seuspontoscomuns [sehouver]l allr:x'?+y'z 8x 4y+10=0 l\2:x'z+ y'z- 2x - 10y+ 22 : 0 b)Ir:x'?+y'?=l6 trr:x'z+y'z+4y=0 9. DeteÍminando se o centroe o ruiodascìÍcunÍêrèn ciasx' + y' - 2y - 8 = 0 ex'?+I - 4x - 2y + 4 = 0, pode-se gamnür que al elasnãotèrnpontoerncomLrm. bl elassãosecanles. cl elessãotangentes exteomente. d) elassãotangentes nterioffnente ìO, As circunfeÍêncas de equâção x,+y, 2x+2y 10=0etx ll,+ty al secántes. . bl tangentes intemas, c) angentesextemas. dl exterÌores, sempontocomum e) intefores, seÍnponlocomurn.
ll,=
queo pontoM[], 3) nãopeÍtence I l. Sabendo à circunieÍênca deequâçãox, + F - Z\ + 4y - 3 = 0,determneseo ponto Mé nterno ouexlerno à c Ícunfeénciã
Ê
Geonretria anaÍff$cw* secçôes eômfems periododecercade300a 200/t.C. um plano, e o típo d,ecurvít dependíada Áurea' da ínclinaçâodesse plano,comomostramaf.foi denomínado'ld.ad.e Matemátícagregapor se destaca- gurqsabaíro. rem nessaépocatrêsgrandesxoues:Euclídes, Arqwmedese Apolònio.Emboraosdorsprimeírostenhamsidomaiscomentados, Apolônío,maísnovoqueeles,tevegM dedest1que, príncipalmetate fio desenvolvimento dosconceítos dassecções cônicas, acrcscertand,o aos já estutlos eeístentesofato de essascurvas poderemser obtidasa parLir de um üni"o sólído,o coneduplo (os estadosa teríorcs consideravam-nas secções obtídasem típos beu diferentesde cone),reto oa ablíqua.As planaseraft cortesdo conesegundo secçoes (Extra|dode hftp://nsthwo d.woIíron.can/ Conicsectian.htnl.Acessaen 12/5/2A07)
oï
DasobrasdeApolôníoquenãose perderam,a ma.ísimport1ntenãoAs Cônicas,que aperfeiçooue suPerou osestud,os íntefiores Sobreo assufito elípe íntroduzía as denominações se,pará.bolae hipérbole. a AstronomiLen' Especialmente co\trou, nas secçõescônícas,grande aplicação.Copérníco,Kepler,Halley e Ne14ton,por e,.emplo,f.zeram uso de paro e&plícarÍenôsuasconfgura,ções menosÍísicos, comoas tuajetóríLsdos pLanetasou a, twjetóríL descrítapor um projétíL Ao seremínseridasna Geometria analítíca, def.nidascomo lugaresgeo' métrícos(cofijuntosdepontosqueverírt.am uma.certqpropriedade),as secçõescôfiícasga haram am6.expressão algebrica,ampLíandottítda maís sua ímportânciae suaaplicabílídade. Nestecapítulovamospartír dasde' para lugaresgeométrícos fníções desses que as reprnefias equações algébricas estudar suaspropríedadese ídentqm, Faremosama ín' tì,f,carseuselementas. apetroduúo 6.0assuntoconsiderando que eitíos apresentam nqs as cônicas sendo para.lelosaoseíxoscoordenados, sua complementaçãoestudada maís t6rde,emcurs6 superíores.
até podeseÍ€ncontrada a partiÍde uÍÍìaexperlênca l. A eLipse N4u tasvezes ea étnbalhadano ensinofundarnental: divertida. . FixârÍì-sedos preqos demadeíaêurnâdigtànclâ nun-ìêtábua (porém qla quer do outÍo malor do quezero)Lrm . Umbarbante, maÌordo quea dlstáncaes de comprlffrento poí 5ua5exlreÍndades é amârrado co hidapaíaos pr€gos, pregos. do s nesses . Comum ápls,esÌcamos ao ÍÍìáxmo e,fÌncando o barbante descTevernos uma lnhâ,dandoLrma suâpontêna rÍìadelra vota lntelra. . Asslnì fìcaráde in€ada a € lpsenamad€lra. gurã uu zaa segulr e ldentfÌqueneè ose €mentos a f Observe oo\pèèàcor '-doo"-loses-ge'oaâ ^. stoé o èóê_ aospregos, à inh〠ao baÍbante. m€ntoscoÍÌespond€riarÍì
Ìpse do rile http://ptwlklpeda.org/wlkl/E EÍa fìguÍafoi extíaídê o,vocêpoderávê-aernríìovmento. Acessando aospregos. A e B os pontosquecorrespondem a) Denonìine prolongândo o até encontTaT essesegírìento llnindoos € pontos,Chame-os de da e1p9e deterrninamos doÌs contoÍno erÍìv-âr_ indicaoo comM o pontodê ellpse, Re P,Represente -e'o d 9L a.)Lpo do qLeo oâ bd e"eca 0. ea de dlstânca entreospregossejade 8 cnì,caculeasÍnedjdas Aq BPe Rqe a sonìaAlú+ N,48. conìa e ipse5eapÍoxmaímosmalse mai9 b) O queacontecerá ospregosuÍíìdo outro? dospanetaserame lp 2. FolKeperqÌremdeduzu queasórbltas antero osastrÔnomos comoacÍeditavam t case nãocÌrcL.rlaÍes, 'e9 _'ì," caoospo'copeírco D/-.e.è-berÍo e'.sè d€ de NewÌonOb a teorada grêvtação cobertadeu'p stas'para nelèos e ementos a óíbitae lptcaa seguiÍ,encontre servando daelpssequevocéconstrLriu.
Fiquta *t tail a de http//w
/gen.iïiestÒfr /Parc/LiI htt/ 536rú ecani.ôf htn l. l.e*aen 1ó/5/2447
l^ x"-L ji-
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,7
Matêmát o ' Contsxro &Apkaçõ".5
Introducão Considere asseguìntes sltuaçóês:
 trajetóriâ dê umprojétil,em quedalivre,é umarcodepaúbola.
tr giËm erntornodo Solnumatr4etória Osplanetas cujafoÍmaé umâe/ipse.
pressão O gráfìcoque rêlaciona evolumedeumgásatempeÊtunconstantê, comoo dafÌgura, é umaáipélbole.
Vejamahalgumãssituações emquêâparêcem a parábola, a elipsêe a hipérbole:
Parábola Origem Vamosconsiderar porumplanoparalelo umconecircular retoseccionado à gêtaÍiz,comomostrâm osdesenhossegulntes:
-&--4h-4,
Nessecaso, dizemosq ue foì obtidâumasecçãocôni.a.hamadapaúbola,
7t
(aDítulo3 . GeoÍìetdaanalítcarse(!Ões!ônkaj
DefiniÇãoe elementos
.F
no plânodo papel,umaretad e um pontoF que Inicialmente consideremos, a ela. nãoDêrtence
vamosmarcar, agora,umasériedepontosqueêttãoa uma isso mesmadistância do pontoíìxadoF e da retad. NaprátÌca, podeserfeitocomo auxíliode umôrégua,um esquadro, lápìs, alfÌnete e baÈante,
construìndoo gráficoponto à pontoteremogl
A parábola é o conjuntodetodosos pontosdo planoqueestãoà mêsma distância deF ed. Nafìguradevemos destacar: . o pontoF,focodâparábolà; . a retad, diretrizdapãrábola; . o pontoVvérticedaparábolã (pontomédiodeFD,distância deF atéd); . â retaquêpassa porF,perpendicu lar à dhetrlzd, quesechamaêixodesimetrìa parábolâ; dâ . a medidadeF--D, parâmetro (p)daparábola.
..- FD .vt=i= Z= c
p
. Todopontodaparáboh e todo t€messaÉiiopriedad€ pontodo planoquepossli pertence à €ssâpÌopri€dade paráboìa.
queparábola dospontosdoplanoquedistam ìgualmente deumaretâ é o lugargeométrico Assim, definimos pertencêntê à diretíz,chamado foco, fixad,chamada dileütz, e deumpontofixoF,não
Equaçãoda parábola da parábola formadaportodosos pontos A pôrt;rdo foco(F)e da diretriz(d),podêmoschêgarà equação = plano F) d(P,d). P(x,y)do talqled(P,
74
Marmátio, conrexto &Aptkàçõsr
quetem comodiretriza retade equaçáo Vamosdeterminar a equação da parábola x : -4 e comofocoo pontoF(6,2)i
t pontomédiodosegmento Ne5se caso,oVérticeéo FD,noqualF(6;2) eD(-4,2)i (É' -4
)+ )\ :__:_: vl _:______. | =ví] 2)
2) \2 Pêla'dlstância deV atéF encontramos o valordêc:
c=r/(o-t )' + (2 -2 )' 1 = 5 OspontosP(x,y)daparábola sãotalqued(P,F)= d(P,Q),emqueQ(-4,y):
d(p,D = dtp,ol.+ r,{xlÌF-I tíl zf = .,(x+ 4f + (y + (y- 2),= (x+ 4),- (x- 6),= /
+ 8x+ 16- /
+ (x- 6),+ (y- 2F= (x+ 4),+
',F + tzx, za= zox- zo+ (y- 2)z: 20(x- .ì)
Obseruemosquenaêquaçãoobtidaaparecemascoordênôdãsdovérticexv=têyv=2êtambém (Y- 2)':=20(x 1) +x" Y"+ V 4,5
vc
= 2g1t< (y - Z1z Reciprocamentq a paftìrdaequaçáo daparábolã, - 1),podemos chegaraovéfticee aovalor dç c(distância deVâ F oudêVà diretrízd)e,dal aofocoe à diretriz: = 20(x- 1)= 4. s(x- 1) (y 2)'z e m q u e V( ].2) e c=5. Esboçando o gráfìco, veml
Logo,F(6,2)ê diretrizx= -4.
(apílulol. 6e0mel óni.as aanalítkãrç.!ões
podemosdizerque a partirdo íoco e da diretrizé possíveldeterminaro vérticeV(Á,,y,,)e o Generalizando, vêja os casospossíveis: valorde
( y- vv) ' :=- 4c( x- \)
(y-yv)']=4c(x-Ç
estudamos Quàndo d€umâfun(ão sráfìco
(x- &)'z: 4c(y yJ
horizonial. Porquê?
(x-xv)z= -ac(y - yv)
.__
d
q_
quêvalea reclprocara partiÍdôequação podemos daparábola chegarâovérticee aovalor lembrâr Devemos de c e.daLao íocoe à dketriz. Observação:Novolumê1 dêstacoleção,estudamosasfunçóesquadráticasy : ax2+ bx + c, cujosgráficosforam chamadosde pãrábolâs.Nã verdàdeaquelasparábolase as€studadôsnestecapítulosãoas mesmas, poìsquôndousamosa técnicade completarquàdradospodemostransformarqualquêrêquâçáodo tipo y = ax':+ bx + c, vìstâno volumel, em nêstevolume. umado tipo (x - \,)'?: ì4c(y _ y,),comotemostrabalhado
l. DetêÍmne a equação da pafábo€de focof(0, -5) e = diretrizy 5. Rêsolüçâo:
Comoasdisiâncjas sãog|Jâis, temos: x'z+iy + 51'z=0'+ (y - 5)'?+
-r-í
a\ r'
y
av
,
.) x. = -2Ay F[0.-5] estáno exoy y = 5 é paÉleaao exox e V[0,0].AdistâncadeFaVé I-. ---.----=
Usanao a propredade de todopontoP[x,y] da páÍé
o P. F - J r .
o J -f)-5 Y -JJ
l y |'t'
Ad srà1c é dePà relry -. ê gJdã disl_cêdePaté [x,5], qlreé igualâ{(x - x} + iy - 5Ì
c=vu +t-5J_ =5 Usando diretarnente a fómua,temos: ix - \1'z= -4c(y yv)ã ì [x - o)'z=-4.5(y 0) +x'?= -20y Logo,€ equação é x'z= -20y. 2. Delerr _eo'ocoe à o 'êt1zca pãrabola oeequaçao Y' = 5x. Resolução: y'z= 5xcomo Pod€rnos escÍevef
iy o r , = 4 . ; s - o A distânc a dovénce(0,0l aofocoé c =
Obaêruação:0vaoÍ do coeÍcÌenÌe c ndcaa distân oa oo Íocoaoverl.è e , o seqüe1te-ìerre, è conca\l dadedapaÉbolâ.VejacomoexemposaspãÍáboasd exercício fesolvldo 3: emy'z= 8x(c = 4),a concâvdâdeéÍnaoÍque emy'= 4x[c = ]), pois4> l
= -f Looo, r[9, o)eaoretlzex
4.Deteminea equâção e as coordenadas do véniceda pafábo a quetemfocono pontoF(1,5) e a Íetadiretriz deequaçãoy= 3. Rê3olução: 0s dadosdo prcbernapefrnitern fazeÍurnesboçodo gráÍìco e,assm,identÍcâro tpo daequação: 3,EsboceosgráÍcosdasparábolâs de equâção a) y ' 1= x : b)y,=4< cly,=ex. Rcsolüção:
o y,=x=r. | x
D 0,-ì
tx xv), = aciy - y,l O védceé o pontornédiodeF--D. Então:
00,
Lr !
Vl-1 .-l :-i l= Vf t tì \2 2 )
L 12
Pela disé c s oeVa F e_cor'aÌros o \,€oroec
42
rí*,1 b)y'?=4x=4.]x
i I L! oo ,-|;
4
"t
tl
-t
c=i( r
D' + ts- ì'
=Jo+16 = 4
Podemos pfocLl€dal escrcver agoraa equação tx - xv),: 4cty- yv)+ [x 1), = 4. 4(y - 1),+ tx - ll'z= l6ty - 1) Logo, a equação é (x - l), = l6ty - 1l eVtl, ll. 5. Seurnapâráboa t€Íncomoequação x, - 4x - t2y - 8 = 0, d€terrn neascoofdenaoas oo vértLce, ascoordenadas do foco,a eqlaçãoda retadrctz dê paÉbola e a equação do e xode stmet|a Resolução: perfeitos, Competando osquadÍados temos: t"- 2y-B\'7-4\ l2v-8-o:\2 + x'z- 4x + ..1...= l2y + I + ..L.-=
c)
'?-4x+4 =12y+12à = lx - 2), = 12(y+ 1)=, [x - 2)2= 4. 3(y+ ]) em que\=2,yvI ec=3 -èzê-aoLn esooçodo graìco,ver: =
Logo, V(2,-lJ, F[2,2), a d retrzéy = -4 e o eixode smet|aéx=2.
ï
(apÍtulo3 . GeometÍia analitka:5eqõe5ón os
6. Deleriìe a eqJaÉo.ofocoFe a o ÍetÍ'zd oépê àoo queofocoesténo a comvéftrce V(-2, -3), sabendo quadoquadÍante, paÍaea dé aoeixoy e o peÍâmetfo, p,é8.
tl Rêsolução:
Resolucâo: p = I lndica ouec= 4,'2 ootsc= r. As inlomaçôes do pfoblemaevama um esboçodo gÍáÍco: tx - xv),= -4c(y - yv) Substtundox! = 0 e yv- 4 naeq!€ção, temósi [x - o)'= -4c(y a) = x'?= acty- 4] passapoÍP[2 ]l vem Comoa p€rábola 2, = -4c[]
4l +
12ç=4=x-]
'ogo d equèGo e' ' o. pa-àbota
Aposçãodêpâéboendcâqueaequação é dafoÍna (y yv)'= actx- xvl. Daí,vem
la
v( 2, 3l E( 2+4-3)-ç(2,-3) Dt-2 - 4,-31 + Dt-6, -3) dretfzx= -6 Substtundoaslnformaçôês nafórrnLra, ternos = = yvl'? (y + 4c(x xv) + 2), 4. 4(x+ 3)..1 6r =ì (y + 2)'z= l6(x + 3) Logo,a paráboa temeqlaçãoty + 2)'z= l6tx + 31, F(2, 3)edr€trzx= 6. 7. D€temnea €quaçâo da parábola cornexode sirneta perpendicularao eixox, vérticenopontoV(0,4)e que passap€lopontoP(2,1).
/----;-;--
t /
3 1ti 3-'
"t. 8. Vefíqle se os poíìtosA(3, 8) Btt, al, Cta, 2l € D[ 8, - ]0) peftencern ou nãoà pâíábola P devédc€ V[4,2]e focoF[],21. R€solução: A posiçãodâ paráboa indicaqueê equação é yul = da foÍna (y = -4ctx xvl. Peadistáncia de V atéF enconÌTarnos o v€tofde c:
c = lt r 1 + I + t r r l, = quec = 3, \ = 4 eyv = 2, a eqlaçãoda Sabendo paébolaéi 0 yvl'z= actx x!1.+ = (y 2),= a.3tx - 4l + ty - 2),= -12(x ar A paftifdâ equação, podemos verfcaÍa posçãode cada!m dospontos€mrclação à paÍáboaP At3,8l= t8 2l':l -12(3 - al =Ae P Btr, -4) = t 4-2),:-12(1 4)=BeP G[4,2] € P,pos é o véflc€da parábolâ D[ 8,-]01+ [ 10- 2)'= -12(-8 a)=
---
erccros l Dr000sÌ0s
: Detemìne a equação dapaúboadêfocoÍ e d retrzd nosseguintes casos: al F(9,0l e d:x = -g c) F[0,7] e d:y - 7 b)Ft0,-6)ed:y=6 dlFt 5,0led x=5
i
.;1,DeterÍnine o íoco,o védce€ a d rctz'da parábo a, a panirdasequações: a)Y'= 28x c) x, = lOy b)x'z=-4y dlv'= l6x
= -l2ye . Dadâsduaspaúbolas, deeqLraçôesx, x'?= 2y qualdelas temconcavidade rnaor?Esboce os gúfcospaÉcornprcvar suaÍesposta. DeÌeffnine a equação dapaúbolaquetern: âl foconopontoF[3,0] € difevizde equâção x = -3; = 3 evértceV(0, b)diferfizde equaçãoy 0ll cl foconopontoF[],2l e difelrizde equação x = -2; = 2 evértceV(-1,-3). d)difetdzdeequaçãox
78
À,Iâtemátkâ &ApkàçÓer ' conÌêxto
Ê. DeteÍmneascoofdenadas dofocoe a eouacãoda reta dÌretrzdasparábo asqle lêrnpofequação: porexemp]o, Lembre'se, de que2 = ,( [SugesÉo: a)*=4y
cl
b)y' = 2x
dl
8',
7- A parábola de equação x, - ôx + y + I = 0 intercecta o exox nospontosA e B. SendoV o védlcedâ pâúbolá, deteÍnì nêã árc€doÍiânguoVAB.
+))
'v elx'?=
8, DêterÍnlne a equaçâo daspaÍáboâs: â) devéfticeVC-1,4),exopáfêlelo áoexoye quepassâ p€o pontoA[3,0); b)d€véfticeV(4,2) elocoF[4,s].
!ì Êncontre âs coordenadas do vértce,as cooÍdenadas !]. Urnaparáboâtenì doíoco,a êquação dârctâd Íetrze a equação do eixo loconopontoF[3,]l e suadreÍlzéá rctâdeeqloqão desirneta daspaúbolas deeqLraçô€s: x = -l, DeteÍrnine a equação dapanáboa e os pontos a)y'z-6y- 12x+21= a emquea retadeeqLração x - y = 0 nter. sectâa parábo b ) x'z- 2 x- y+4=0 a.
Elipse Origem Vamos considerarum conecircular reto, Utílizândo |]m plânoinclinâdo em íelaçãoaoeixoe que intersectetodasas geratrizesdo cone,taíemosum cortecomornostrâm osdesênhos sêguintes:
Nessecaso, a seccãocônicaobtidaéchamãdaelipse.
M ffi
Seo phnofor
também é umas€cção
a'-----ì DeÍiniçâoe elementos inicìalmente, Consideremos, no planodo papel,doispontosfixost, e F,talquea distânciâêntíe elesseja2c.
i;, lmãgìnequevàmosmarcarumaséie de pontostâl quê â somade suasdistâncias aospontosfixosF, e F, seja sempreconstantee maiordoque 2c,Naprática,issopodeserfeitocomo auxíliodê um lápis,doisalfinêtes e balbante,
f
(ônlcs GDft/lo3 , GmneÌÌia analírkarse((Ões
Construindo o gráficopontoâ pontotêrêmos: AFI + AF,=BFr + BF,=CFI+CF,=..,=JFr+JF r: . . . = L F I + L F , = . . . = 2 â (c o n s t a n t e ), s e n d o 2 a > 2 c
Aelipseéoconjunto dêtodos os pontosdo planoque satisíazem essapropriedade,
queeiipsêé o lugalgeoúétrico Assim, definimos dospontosdeum planotãlquea somadesuasdistâncias a doispontosfÌxo,,dênominados focos,F1e F2,sejaconstânter igualà 2aê maiorquea distância entreos focos (2a> 2c). NafìguÍa,temos: . Fre F,sãofocosdaelipseea distância entreelesé a distância focal(2c)i . ÃE éo eixomaiorda queconsta elipsee (2â); suamedidá éa ioma dadefnição . õrã;é o eixomenordaelipsêcuja medidaé2b; . O é o centrodaelipsê(intêrsecção doseixosdaelipsee pontomédiode EE,Ã/l e EE,); = ! ç66rna-se .6 6úrns16g (O< ê < 1). excentricìdade da elipse ObseÌv.çõesr Í1) E;E= õÃ;, poisambostêm medidaa. 21) No notarqueb2+ c2= a2.Essa relâção éfunda^BrOFrpodêmos mentalnàdeterminação doselementos daeìipse.
A excenÍicidad€ indlcaquântoa elipse seaproxima de um sêgmento ou de uma circunfbréncia, confonÌese! vaÍorsê aproxlmà de I ou de 0, respedÍv?mente.
Equaçãoda elipse VamosinicialmenteconsideÍara elipsecom asexremidades do êixo maior nos pontosAÍ(-a,0) e Ar(a,0), do eixo menorem 81(0,b) e Br{0,-b)e, consêqüentemente, o centroemO(0,0). Considerêmos um ponto P(x,y)qualqueÍdacuruâ. quê: Peladefiniçãoobseryamos PFr+ PF,= 4F, + A,F,: A1A,- 2a
\
. contsxto lÏarsmátka &Adkãdes DaLtemosl
(x c)'?+ (y
+l*-.f
o)':
+Y + l*+.f +y -2. *f,,+.)'+y =za-.,("-.y+y
+( x+c),+y,-4a, +uf* .f +l -+" .Ír -.)'*l = l "nft- .f
-
/^J"-
(x+c) ' + ( y- o) '
1.
=4a,+(x -c ),+f =4à'- I
+(x - c Ì + y ' : = + -u* r f - S /
-2cx+ è -i
-
2
.f
rf +v' = /^' - /cx = afi - ç1'., ç : ã2 cx+
=] = a,[(x- c), + y,] = (a, .- cx), a,[x, 2cx + c, + yz]: a4- 2a2.x+ c2x2 .a a2x2_ 2t4+ a2<2+ d2y2: a4 2ekr+ czx2+ d2i) - c2x2+ à2y2: a4_ a2c2=) = (a, - c,)x, + aty, : a,(a,- c,) Naelipsetemos: a2=b2+<2 =) d2 c1=b2 Substituindona equâçáo,obtemos: b,x2+atr=arb2 lJmavezqueab + 0,vem: b'x' ã'b'
a'y' à'b'
a'b' ã'b'
emquea = oAr = oAr, c = oFr = oFrebtalqueb']= eÍFsede focosno êixox e centrona orìgem. Vêjamosagorai
í*"
x' a'
y) tr'
a'z c'?.Essaequôçãoé denorÍltnada equoçáorcduzidado
,\
seosfocosda elipseestáo sobreoeixoy e o centronaotigêm,conformê aíiguÍa,aequação reduzida daelipseé dadapor:
A rcciprocã é verdad€ìÌ?: y2 = l, equações dabnÌa , + b, ou coÌÌ â + b Íeprc9êntâm ellps€s, seja,ap€nas os pontosde umaelips€ stisftzem €s$ €quação.
GDÍh0l . Georìeíia analíue: se(çõe5 cônkas
Analogamente, chegamos àsequações daelipsecomcentÍoqualquer. Asslm, temosassêguintès equaçóês, yJ, e oseixosÊatalelosaos considerando o centroumpontoqualquer, O(xo, eixosx e yi 'le)EE é paralelo aoeixoI a = OA,,b: OB,e a>b.
2e)tE é paralelo aoêixoÌ, a : OA|b = OB1e a>b.
a
í
{
Ir
,
9. Detemne a equaçãoda elpsede focosFr[3,0) e quesãoas exÍernidades F2[ 3, 0] e vériices, dô e xô maiof,4[5,0Je A2[-5,0]. Re8olução: Pelosdadosdo problema, os focosestãono exo x e temosa=5ec=3, a, = b, + c, + 25 = b2+ I ) b, = 16 Nessecaso,a equaçìoreduzlda é: i:++=t=:+-L=l a' h' 25
(1,0)
16
Looo.€ eouâcão oÍocuÍsda é :: + -L = L 25 16
^\, ar=br+cr-ar=l+9=10 Comoosfocosestãolocalizados no elxoye o vérticeé V(0,0l,temos: '-. b'
I-=t+:--L=t=t0Ì, a' 1 l0
r \r=tú
Looo,aeouacão + L = I oLr oÍocuÍâdaêx'z 10 Iox'z+Y'?: 10.
tl. Dete-Írine osÍocose aseKremdadesdo elo maoÍ oê e ipsede equação 4x, + 25y,= 100. Resolução: I O. Jna e iosetenos'ocósnosoonÌos Fr(03)eF2(0.-3) Seo compÍrnenìo do exomenoÍdaelipseé 2,deteÍm nea equâção dêssâelipse. R66olução: Peosdadosdo problemâ, teÍnosl
vto,0l c=3
= r00= 1 4Ì'?+ 25v'? + !!J- = !!! ' t00 100 100254 Como25 > 4, o eii(oÍÍ;ior esténo eixox. Então: a'z=25+â=5
. ConrexÌo MãremáÌl(a &Api(aóe5 a, = b, + cr:+25 = 4 + c,ì .-c'=21.)c=Jà Logo,osfocossâoospontos
Resolução: z_=1 al:+ 254
F,(v2r0Je F,l \i2r,0l e as extrcm dadesdo exo maÌofsão
c' = a2- b2= 25 - 4 = 2t =
4is, 0)eA:t-5,01.
e= ttt_1!9= osl
r 2. corte,.nooos o^o.r, (0.Jr e r. (0. J:)eae. ; celtÍcid;de e-
v
, dFlerileaeoudc;odaeDo( 2'
Resolução: DeacoÍdocomos dedosdo proberna, teÍnos
5 5 2
- t,8
bl
I
255
cr=25
)1^-3v-36
rL
2
2 2 0 0 IB
+a=2c=2.Jí
''- - t-l b'à'912
9=16+c=4
e=;_=0,8
oooa eoJacào oÍocLÉdà e
912
'-t".
'v
4x'?+3y'z=36
0
13.lr-na e,pse.as e\t'e-ldaoes oo e.\oÌaor ;o os ponrosAi[6,0] e A,[-6, 0]. Sabendo qlrea e pse p.s.apeopoÌo Pf3.2ì.dereïi'le { a equdçèo. Resolução: Pelosdadosdo prcb€Ínatemos a = 6. Cornoo eixomaoresüsobreo exox, temos:
0
5 5 2 2
3 3 0 0 2,1
_+j_=lì_+L=l a: 36 b' b' Cornoa eipsepassapeo pontoP[3,2),temos:
25
941441 36b' 4h2b' 4
C=25-16=9+c=3
-l
4
+-=-ã0?=-
3
.
t6
e=:=0.6 5
t6
SubstiÌuindo naequação original, vem: ,-
1^ -l-::
-:'L-
,1\-2-l-
44
ã li r !4 =, o, Looo.a ecuacão orocuÍadaa 36 16 4x'z+27y' 1=144 a. t4,òacue a excenfrlcidade o esboçodo gúÍco decadâelipse: Êì-:-+r:l bìa+-L=l '2a I
c)fi+r-t
= tb
55
l
a, = b, + c, =12J3 | =b,+lJ3 l= =12=br+3ãbr=9 \"gLrdo o. dêdosdo p obera os'ocoseslãoocê lzadosno€ixoy. Assm,vem:
"
ObsêrvaçãotQuânto Ínaioro vaoÍ ce e = -, matsproxma òe rm segmõnto é a etipse
d
83
CapÍtuh 3 . CêometÍã a'ìalltka:iêqôêscôniaj
15. Deteffnine â equâção daelpsecorncentfoern[2, - ]1, exomaof2a= 6 € locoF1[0, -]1. Resolução: Pelosdadosdo probemaidentÍìcaÍìros a posçãoda
Daía eqmção:
ty y"l'
x"l'
tr
'r.= que Sabemos 2a:6=a=3 Calculando a dstânciado centro(2, -1) ao foco F1[0, -1], venìl c=J(2-0).+[-]+t).=2 Comoa=3ec=2,temos b,=a,_c,=9_4=5 SubsttLrndo osdadosnaeqlração, vêrn
t^ *"1' ty y"l'
 êô
17. As equaçÕes seguintes Íepresenlam urnac rcuniefênca, urnapaÉboae Lrmaelipse.ldentÍquecadauma deas€ seltsprincpaselementos, ê)y- Ãy-A' t 2-A blx,+y,-4x 6y-12=0 clx,+2y,+6x+4y+7=0 Resolução: aly,+4y-Bx+12=0= +f +4y+4=Ax 12+4.+ = 8x 8+6/+ 2l'= 8(x- r+(y + 2)'1 .+ (y + 2)'z= a '2A. - ll [equação deparábola) Dâíternos:
vtr,-2) Esboçando o gúfco,vern:
rv + tì':
fx - 21'l | ô.ô
Fâzendo c, = a? br,veÍn: c,=9 5=4=c=2 Daítemos: Fli2- 2, l) = Frto,l) F2Q+ 2,1).+F2(41) Logo,essaelipse terncentroO(2,tl e locosF,[0,]l e F,i4.11.
,.Âô
.lpcc,
p
ó ^qp
lx - 2)' 95
(y+D'
16-Aequdç;o5L or -20^ 8!- 6-0 ep eserta urn8elÌpse deeixomaiofpa€€loaoelxox. DetemResolução: ComoÂ,4, é pameoao exo x, devemos escfever a eqìJação nafoflÌa tx xnjty - y"J' .-d Desenvolvendo a equação dadã,ternos: 5x,+ 9y,_ 20x_ 18y_.16= 0 + + 5x, 20x+ 9y' l8y = 16= + 5[x'z-4xJ+ g(y'?-2y)= ]6+ =s[x'?- 4x+ 4) +901 - 2y+ ]) = 16+ 20+9+ + 5(x 2l' + 90/ rl, = 45 =
[x 2]'
ty rl'
95 que: Daequação, concuírnos centrcO[2,]l
Logo,a equaçãoé de LrmapaÉbolacom vétc€ Vl1,-2),c = 2 focoF[3, 2]edreüizx= -1. b)x,+y,-4x 6y-12=o+ =x,-4x+4+yr-6y+ I = 12+4+9+ 31,=25=5, ".(x-2)'z+ ty Logo,a eqlaçãoé de urnâcifcuníeÉnca de centfo C[2,3]e faio5. c)x,+2y,+6x+4y+7=0=) ..1(xÌ + 6x)+ 2(r'z+ 2y)= -7 ) .r l[x'z+ 6x+ 9] + 2M + 2y + 1) = -7 + I + 2 =.ìl[x+3],+20/+ tl, = 4+ Tr + ?ì'z
r! + rì2
DaÍ,têmos c(-3, 1l Como 4> 2,vern: 6 ' . -2 = )b = \ 1 , c r= a r-b r= 4 Z = Z = " = rE Logo, â€quaÉo édeurnã eipse decentrc C[ 3, ]) € íocos FIC-3 Jí, 1.r"1 z+..1í. D
8,1
À,latemáÌ G . Contexto &ADkadei
'ilC Detemine X8" Detefinine a equação dãelpseconhecendo: k € lRpaÍaqueo pontoA[ 2, k] peilença à do a)osfocosF1(3, 0) e Fr(-3, 0) e o comprimênto e ipsegx'z+ 4y,+ l8x 8y - 23 = 0. . elxomaor:3;. ^l: ^l: b) a )k = irjf : , osvéÍtices Ã(5, 0l e At(-s, 0) e a excenticidade 611=41!!1 2? Jb 5
'! 1. Determine 6scoordên6dâ6 dosíocoí âscoordeôadâs dasextremidsdes doeixomaior e a excentcidade das e ipsesde equâ9ão: aì l+ ! = ì
q 1 1 = 2 1 !^1l : 4 22
^1:
e )k = -t rjl1
^t-
c lt = 3 rjla
2
c)h,+f=2
Ì9"Aequâção9x,+4y,- t8x- t6y - | = 0édeuma eìipse.0s semi-exos maiofeÍnenofTnedêm: ' 25 aj 4e3 dl3 e 2. I b)4e2. el3et. i 2 0 eixomaiofde umaêlpseestáconlidono eixox. Sac)4e1. bendoqle o côntroé [0, 0], o comprirnento do eixo peospontos menoré6 e a distâncbfocalé 10,deterÍninea equação 2C. A equaÉodae ipseqle passa [2,0] [-2,0] 0â orpse. e [0,]l é: 'Ìl::" a)x, + 4y,= 4 do exo maiorde (]maelipsede equaQuâlée medida
b lx , + ! = 1 .
cão:+L=tt '3625
c )2 x , -4 y , = 1 1lr. Doisdosvértices de um quadiláteÍo sãoos focosda elipsede equação x'z+ 5l = 20.OsoutrosdoÌsvérti cessãoasextremidades do eixomenorda elpse.Cal culea áÍeado quadflátero.
?1. Encontre a equaçào dâ êlipse sbairo:
Ì 5" Emumaelipse,o centroé (-2, 4), um dosfocosé do eixomenofé l-2. 7) e umadas extremidades Detemine a equação dessa elipse. [-3,4). i 4- quaissãoasextremidâdes do eixomenorda €lpsede + 4y, - 4x - 8y + 4 = 0? equaçãox, ll
Dsdâsâsêliosês:. + L = ìê 94 \^
"r + r' 83 centricidade?
'r - L oJa delasrem maiorex-
Flipérbole 0rigem Vâmos aonslderôr umconeduploe um plâno qualquêtque seccioneas duasfolhasdo coneconforme mostrâm â5fi9uÍas:
v
\i/-*
/\
,D
22. A retay = âx+ I intercepta + 4y,= 1sornenaelipsex, tenumponlo. Carcule 8s7
E5
(aDítulo3'6e0metdaanaiílka:5ecôes.ônkõ
Nessecaso,a seccáocônica obtidaé denominadahipétbole.
ir;içâr:;r: *tr*mentos Iniclalmente, doispontosfixos,Fr e F2,deuín planocujadistânciâd(Fr,Fr)= 2.. Consideremos,
quevamosmôr€ar lmagine uma5ériedepontosnoplanotalque (emmóduio)de suasdistâncias aospontosfixosFr e F2 a diferença práticâ, issopodeserfeito sejasempreconstantee menorque2c,Na como âuxlliodêrégua,lápis, alfìnetese barbante.
= ...: lTFr- TF,l:2a (constânte),com 2a< 2c
O aonjuntodetodoi 05pontosdo planocome$a proptledâdedama-3êhip{ròoL.
|_-2.-'---__'-j
Assim,definimosque hipérboleé o lugârgeométricodos pontosp(x,y) de um plânotal que a diferença(em módulo)desuâsdÌstâncias â doispontosfìxosF1e F2é constãnte(2a< 2c),com F,F,= 2c. NafìguÍa,temos: . Fr e Fr,osfocosda hipérbole,sendoFrF,: 2c a distâncjafocal; .4, e A2, os vérticesda hipérbole,sendoArA, = ArF, AiFr = 2a (constânteda definição); . O,o ( enFoda hiperbole tponronèdio de E e de A 4)j . o númeroe = que é a excenÍicidadeda hipérbole(notequê e > t, poisc > a). ;, Observação:Considerando umâ hipérbolede focosF1e F: e védces A1e A2,vimos queFrF:= 2ce ArA,: 2a.Então, OF:: c e OA,= a.
de I br a eÌcentricidade, panÌelas [perp€nd'cuhres ao eixo rêaÌ].E sea âo ÌnÍìnÌto, à hÍpérbole semtsEras oposrãstcom
. Nasmesmas condlçõ€s d€ BrexisteBr,sobrea mediatriz de Ãô,taÌ
Seja81 um ponto da mediatrizde ÃE tal que o triânguloBrOA,sejaretángulo em O, como catetoõÃ medindoa e a hipotenusaú-
mêdindoG.Assim,chamando
de b a medidâdo catetoõEì, temosà: + b, = c, ou b2= c2- â2.
qu€qB,= 2b. . aôe cnamaao eixoEate \\, eixa g i n a ínérlo da hipërbole.
Equaçãoda hipérbole ConsÍderemos inicialmêntea hipérboledaÍigura, naquâl05focos penencemao eixox e o centroéa origêmO(0,0), Um ponto P(x,y) qualquerdã curvadeve sãtisfazer, de acordo com â defìnição,a seguintecondição:
lPF,- PF,l:2a
(x+cf +(y o F
ComoPF,:
(x - c)'z+ (y o)':, temos:
(x c)'z+y':l=2a+ (x
(x -c )' z + y ' )
c)r+y'?t2a
Elevandoâmbosos membrosao quadÍâdo,vem:
(x + c ) r + y ' z : ( xct+y,+4 a J(x-c)2 +y')+4a,.r ( x+c) ,+y,lx- c|, y,- 4^,= touf , 4, + I = L{t2cx
(tl
{
+ ccx- qa'= t+aü;õt+7=."
2
y' -4a, --4a,,lt\
u, : t"14-ã,
+I
67
(apítulo3'CeonìèÌflaanaliÌG:ç((oe5dnkõ
Elevando, novamente,os doismembíosao quadíado,obtemo5: crx, 2alcx+ aa= azf(x c), + t'l) crx,_ 2arcx+ aa: ar[x, 2cx+ c, + yr]r aa+r+ â4 = arxz_bkr+ + a2y11Cxz_ a2x2- a2y2: a2a2 a4:+crx, a2a2 :+ (c, - ar)x,- aryz: ar{c, a1 cr:ar+br=cr,âr=b, : a'zb'1. Substituindo(c'?- a'?)na equaçãoanterior,temosb1\'1- a'1yz Comoab *0,vem: b'r'
à-y'
a'b'l
;b r
;b r-a ,b- -
,l'
,'
J- br - i
em quea: oAr : oÁ2,c: oFr = oF, e bé talque b2:.2 a2. Essaíórmulaé denominadãequoçãorcduzidada hipéóole,quandoosfocosestáosobreo eixox e sãoeqüidis tãntesda origem. Vejaagora:
A rccÍprocâé veÌdadeira:
Casoosfocosestejâmsobíeo eixoy, a equaçãoreduzidadâ hipérboleserá:
ÌEpÌEsent m hipérbolet eslaêquação, satlsfâ?em
podemos generalìzaressaequaçáopaÍâ um centfoqualquer, Anâlogâmente, (reâle aoseixosxey,temos: Considerãndo o cenÍo da hipérboleO(xdyo)eoseixos imaginário)paraleÌos 1-')Eixoreaiparaleloao eixoxl
2-')Eixorealparaleloao eìxoy:
18. Detennine urnaequação dahipérbole deíocosFr[b,0) e F2f-5 0)ederérlie34,(3.01eA,í3.01. Rè9oluçãor Pelos dadosdo proberna, t€Ínos a:3 c, =a, + br325 = 9 + br=b, = 16 CoÍnoosfocosestãosobreo exox, vem ,_
Comoosfocosestãosobreo eixoye O[0,0),venì] ã'b'97 Logo,J-rê poLaçào d" lperooe e '7y, 9x2= 63.
-
0.,
21. Umah pérboe ternlocosnospontosFr(3,0) e
j_= t 3_
F,[-3,0] e passâ peopontoPh6,2)
-= t+
qualéa eqLragão dessah pérboe?
: 144 + l6x ' ?- gy ' ? Logo.ur a eo -a ç ã oo é h o á o o e é + l6x ' z_ gy ' z= 1 4 4
" ^ - ' o-
19. Deteffnineum€equaçãoda hipétuotedefocosFr[6 0] e F.[-6 0l e de e^centÍicdade oua a9 ?
Rêsolução: Resolução: CoÍÍoos focosestãosobÍeo exo x e o cerruoeÍrì (0,01, ternos:
:-
Comoa hipérbote passapelopontop[16,2), vern:
Peosdadosdo prcblema, temos: c=ô 3 c 3 2c 2.6 e:-:+-=-=a=-=-=4 2a2 c?= a, + br336 = t6 + br+br: 20 Cqmoosfocosestãosobreo eixoxe O[0,0),vem Y- -trrÀ. :. J--t-." /v/-80 a' b' t6 20 I oqo,Ln; eq-a(ãoda hioéooh e I '162A 5x'?-4y'?=80.
- I
-
r-Ãr, " -, a'
r > compírmeitodÒêlxonansvêGô
C:â,+b,+16=9+
br=
4 a'
-l :1= ì3 b'|
_:= r b,
fò
C ornoc,= a, + b, ec : 3,obternos:
9 = s ' + b r= a r= g b , (D (D emO, temos: Substtuindo .u
2O.Um€ hpérbole têm tocosnos pontosF,[0,4) e Ír[0, -4]. O segrnento Ã8, châÍÌìado eixotrarìsver sâl[o! real),tem coÍnpdmefto 6.Det€rm]ne urnaeqra çãodessahipéúole. Rôsolução: Pelosdâdosdo pÍoberna, temos 2â:6.+a=3,
l= = t
--
l -5b)
36 1/o-goi -o-
-
+h'+ú+A!í-9{
26=o=è
+b4-36=0+b{=36.+br:6 [\4âs a'z=9-br=9-6=3 SubsÌitu ndo€ssevalofnaequação feduzidâ da hipéf. bole,vern: x': ;
v'z tr-,=:
-.e
-,-2\1
Logo,a equaçãodâ hipéÈoleé: 2x2- y2:6.
-r1 _a -1- = 1 ou
22, Determ neo centro, oslocose osvértices da h percoe de equação 3x, - y, + t8x + 8y + 38 - 0.
r
(ônicaj opílulol . Gúmelômãlítka:s.iôes
89
Resolução: TÉnsíoÍmando nlciâlmente tenìos: a equação, 3x, y, + l8x + 8y+ 38 = 0.ì = 3[x'z+ 6x] - 6/'z- 8yl = -38 + =3[x,+ôx+9]- [jl-8y+ ]6)= -38 + 27- 16+ =3[x+3)'?-]0-4)'z:-27+ + ][y 4)'z- 3[x+ 3]'z=27+ ty
al' 279
[i + 3]'?
Resolução: gx'z l6v: = 144+ ::_ - lil = lll + ' 144 144 144 x2 \' t6 I Aeqmção ndic€qlreosíocosestãosobreo eixox com centrot0. 01,daí: a' := 16= a = 4 cr= ar+ br-t6+ 9= 25âc= 5 c5 a4 Logo,Fj(5, 0l e F,[ 5, 0], 4[4, 0] e A,[-4, 0] e a ex-
Daequação obtida, vern: centro:o[ 3,4) a'=27=a='Eì:3\E
.5
b ' z = e + b = Jt=3 c, = a, + b, = 27 + I = 36.+ c = 6
25, DeteÍninea equação dshipéÍboe deceftro[3,5],com umdosvéftcesem[], 5l e umdosíocoseÍn[- 1,5). Resolução: pelosdadosdo prcblenla, o exo rcalda h pérboe é parae o aoexoÍ clja equação é daÍorma: Logo,a hpérboetemcentroO(-3,4), vénices
i - :..
:"6ìeí
3.c 3"6ìeroLos,3.ror .
t-3, - 21.
tx - x.l,
ty
y"l,
dr i= Fazendo Lrmesboçodâ hpérboe,ternos:
23. Emurnahipérboe de centroO[5,5],a disúncaíocalé 2c=6eoeixofea2a= 2 é paÊeloaoe xox. Delefrninea equação dessahipérbole. Resoluçãor Doenunciado, vern: CenlrciO[5, 5] 2a=2=a=1
a=3-1-2 c:3-[ ]l=4 b,:c, ar=16_4:12
br=cr_a2=3r_tr=8 Seo eixoreaìé paralelo ao€ixox, a equação é dotlpo:
Slbsütuìndo osd€dosnafóÍnúla,obteÍnos:
(x
ir
^"1'
ly - y,)'
ooo,a eouacão e ''
x,),
t "' t8
\t
') - 1
gx'? I6y'z= 144 Deter24" Umah páboe ternequ€ção nìne as cooÍd€nadas dosíocos,as cooÍdenâdâs dos vértjces e a excentdcdade da h péÍboe
(y
y"l,
r ,.
t^ 3Ì
='-
[y s]'
412 prccurcda Logo, a equ€ção é (x
3l' 4W =
(v - sl'
t
pÍopostos [xer(kios ] Deteffninea equaçãoda hipéúole,dados: al os locosF1[8, 0] e F,(- 8 0l e os véd cesA, [5, 0] e
4i
5,ol
:lÍ.J.NuÍnahpérboedeexcenÍicidade gudâ a6, osveftrces sãoos pontos4[2, 0] e Ar(-2, 01.Deteffnine ascoor oenadês de seusfocos.
bl osvátces 4(3, 0) e A,[ 3, 0] e a d stánciâ entr€ :;S Considercnros a hipéfbole de eqlação4y, - x, = 16. osíocosiguàla8;. qualé € equação deurnacifcunfeÉnca cujocentrocoin cl osvéllcesAt[3, 0) e 4[ 3, 0] e a excentricidâde cde corn o centrc dâ hpérboe qlr€ passa pelosfocos e a 2 Quat dâ hipéÍbo e? Determ ne ascoordenadas dosfocos,âs coofdenadas dosvértices ea excentctdêd€ dashipéúolesdaseqLra::'I Calcu ea exc€nÍic dadee = 9. esboce o oráfcodemda ãa çÕes urnadashipérboles e reacone o vaÌofdee coma Íes a) 4x' - 25y'= 100 pectiva Ígura: l hì: =l -'t6 25 aJ -r=r cl:-l=l r t3 cr:x':-ayz= 36
f\ l\ \
"Jo
passa peoponneaequação dahipéfboleque \D€t€mì P(qr,ã,sl e tem ós focosnos ponrosF1[5.0) e
t5
F,t 5,01.
DFle-Íri'ì- d equdç o ad hp. oop cLjo. rocos sao Frt3,6l €F,t3, 6l eoexo magi náfoé2b= 6
Cacue o compriÍìento do s€gmento 4,4 los pontos AÍ e A, sãoüs védceslnumahlpéúolede equaçao 4x'-25y'1=100.
Quele a o,sl a' ìcéocdl hoeooe c a eqra áo e " 4x' ? 251 32x - t00y 136= 0?
\,ocLleo \êlo demodda "êhto-oo"d-eq-aç;o
p(í]5, 41. , " + = l passep€oponro
:'3,0 centrode urnahÌpérboeé o ponto[4, -3), seuexo rcâlé 2a = 6 e o etxoirnagnárloé 2b = 4. Deternìine â equação dessahipérboÌe € seusfocosFr e F2,sab€ndo que ao eixox. _ârnda iF, ó pãÍâielo
Assíntotasda hipérbole Vamosconsideraía hipérbole".
l. b'
. de cenLro na origeme eixoreàlhorizontà|.
lsolandoy nessâequação,obtemosì ,'
y)
x
D-
A_
-t-y
h =:rx
À- à':)ry=-"Jxr-à-
Vamosobservaragorao termo --, x, - a2que estána raizquadrada.Nelê,a é constante,poisé um valorfixonâ hipérbolê,masx é variável,ou seja,paracadaponto peatencente a hipérbole,xassumiráum valorrealdiferente, Então,vamosimaginârxassumindo valoresmuito aíastadosdo centroda hipérbole.Esses valorescorresponderiamã pontosdascuívâsmaise maisdistantesde A. e 4.. À medidaquex assume valores cadaver mdiores rno;entidoposirìvo do eiro dasabscisiasl ou cadavezmenores(no sentidonegativo),a diferençax, a?vaise aproximandocadavez maisdo própriox2,já quê â2,sendo quasedesprezível constante,fica pertodexr. Porexemplo,seâ = l, teremos: 2
20 2 000
4
400 4000000
3 399 3 999999
e assimpordiante. Então,podemosconsideraíque,paravaloresmuitograndes,ou muito pequenos(sexfor negativo,ao quadra_ b b do ficdposkivoeàdiferença eè mesmd),a y -. ,,,ç J equaçáo dà hipérbole ,.uproximadey - Vx, e, h
portânto,de y: Aax que sãoretasqu€ passampelaorigeme têm,respectivamente, declividades:q e lq.
t
(apílülol. G-Àomêtíiianàlitkã:se.!óesónicõ
A essasÍetâsdâmoso nomêdê asJírfotatque sãoas retasparaâsquaistendea curva,emboÍanuncaastoquem (poiso pêquenoâ2sempreestârá presente). gráfico podemos No facilmentedeterminâr pontosdessareta,constÍuindoo rêtângulo IMNPQ de5sahipérbole, que passapelospontosAl'42' 91e Br:
I observequeasdiagonaisdesseretángulosãoretasde declividades
e 9, respectiuamente.
Deagoraem diante,paratraçarmosográfìcodeumat'iperfotepoaenioscoï'eçar trãçando asassíntota s (bâsta ter os valoresde a, b e as coordenadas do centro)e depois,à mão livre,conduziÍmosas duascuruasque coÍnpõema hipérbole,semchegaratocaressas retas,masaproximandoascadavezmâisdelas. Generalizando, asequaçoesdasassrntotas seráo: h
y - yc = r:(x
- xc)
Geoeixorealforhorizontal)
- xc)
(seo eixoreaI for vertical)
".1 .
26. De.errre a. eo açdes oasp-r asïnrorês dah oeroo e deeor,aÇao -' 0,5 Resolução: Daequação,vem ots,zl fcentro ]a'=64=a=8 b'=36+b=ô LexoÍeahorzontal Equações dasassíntòks:
v
'
,=+-:fr
A
-8
5ì
/
4y- 8 = 3x - I 5 + 3x - 4y- 7 = 0
- \.y
r-
,,.
b-3r r4 )-z i-o
Logo,asequações dasretasassíntotas são3x - 4y - 7 = 0 € 3x + 4y - 23 = 0.
. (ontdto&ÂplÌoíÕer MaremiÍka
propostos Exer<ícios D€temneasequações dasassíntotâs da h púbo€ d€ equaç40:
_. tr - 31. 16
"
al gx'z - l6y'?=144
ty - 2), = ,
As eqlaçÕes dasâssíntotas de umahipérbole sãoy= 2x e y = -2x. Sea hipéúoeÌernvéftices4(3,01 eAr[-3,0], deteÍnì Íìea eqlaçãoda h péúole
Obseruemos a figura:
Quandotemos b = a, o retânguloIvìNPQse transformanum quâdrado.Nessecaso,ãs assíntotas tornam-se peÍpendiculares e a hipérboJe édenominadahlpérboleeqüilátera. A equaçãodessahipérboleeqüiláterade centroO(xo,yo)él
(x x,)': J
y)'
ty J
Seo centrodessa hipérbôle é o(0,01, suaequaéoé:
= '" r:t
ObseÌvaçãorUmadashipérboleseqúiláterasmaisfamosasé a que descreveâ relaçãoentrea pressãoe o volume de um gásperfeitoa temperaturaconstante,conhecidâcomo lei de Boylê,5egundo a qual o produtoda pÍessão pelovolumeésempreconstanteem condiçõesisotéÍmicas: PV: k. Entretanto,a equaçãoxy = k não se paÍecenadacom as hipérbolesestudadasaté âqui.O detalheé que todasas hipérbolesestudadastêm os eixosrealeimaginárioparalelos aoseixosx e y. Seoseixosrealeimaginárionãoíorem pâÍalelosaoseixosxey,apâÍeceÍáotermo xy na equaçãoda hÌpérbolee, maispârticularmente, seasassíntotas de umahipérboleeqüiláteraforemoseixosxey(eportantooseixosrealeimagìnárioestáosobreasretasy:xey entãoã equação da hipérbole sereduzàforma xy = !. Dessafoíma,o gráfìcoda lei de Boyleé reaÌmenteumâ hipéÍboleeqüiláteÍàtãl comoasestudadâsnêstecapítulo, com â difer€nçadeterum sistemâde coord€nadas rotacionôdode 45"em relaçãoâo sistemadecoordenadas mais adequado,que é o paraleloaoseixosreale imaginárioe adotadonestecapítulo.
27, Osíocosde umahipéúo€ eqüiáte|a sãoFr(1,8l e F2[1,0]. DeteÍnìln€ a equaçãodessah péúole Resolução: Peosdados doprcblema de duzmos: centro:o[],41, o porìtorné dodeiF,
posçaodah pérboe:€xo rcalépaÉe o ao eixoy vaor dadlstânciafocal: 2c = 8+c = 4 i+ tipode eqLaqão.
-
t"
\r
- I
Comoa h péÍboeé eqüláteÉ, temos c2= a2+ a2.:t2a2= j 6 = a2= I Loqo. a eouacào e4
88
-
r"
!:l
i
propostos Exer<ícios Detemine a equâção dahipébo€eqülátera: al defocos Fr(6,0le F,[-6,0]; bl de centro(2,4l e unìdosvénices enr[2,2].
Nurnahpéboleeqüát€mcomcentro€rn[0,0],a d sÌan ciaentreosvéncesé L Sabendo queoslocosestãosobre 0 exoy, delefinnea equação dessahpérbole.
Determine âscoord€rìadas dosfocose ascoofdenadasdosvéÍcesda hipérbo e eqüiláteÍa d€ equâção )<,-y,=2s
Consderc unrahipérboe eqülátera, conìcenrcem(0,0), cujosfocosFr € F2estãonoexox € qu€passa pelopon toPf 3. 2r.\es:d-co-d(Õe..cel.|ê"dÍeadoÌ âr guloPF,F,.
t iÍtii.:Ì lqgçilïjqjfi ìi; *,* ÍÌr3qÌiDi,i.,: N oca p ítu lo 2 ,vimosque,paÍâaequaç ã o g e ra lA x r+ B y r+ Cx y + Dx + E y + F = 0 re p Í e s e n ta r u m a c i r c píêcisâmos rência, atenderatrêscondiçóes: l s ) A= 8t0 3 e ) D '+ E' 4 AF> 0 Agora, precisamos vamos verquâiscondÍções terpaÍaqueô equação geral Ax'z+ B)t + Cxy+ Dx+ Ey+ F : 0 representê umaparáboÍa, umaelipseou uma hipérbole. .,i;irr'r1.r-Ì:1 1.)A = 0 e B * 0 ouA + 0 e B = 0 (ousejã,entre e B,apenas um podeexhtir) 2s)BD l0 ouAE+ 0 (aequação geÍalprecisa terduasvariáveis,x êy)
EmboraC:0nãosêja paÌa condlção n€cesúria termosparáboÌas, €Ììpses ou hipérbohr aquiestâmos que s€mpre conídenndo condiçõ€s valem seC : 0.
Observeçâo:5ea equaçãogeraltiver apenas umavariável(oux ou y), entãoela representará um par de retâsou o conjuntovazio,
1e)AB> 0eA * B(ousejà,4e g precisam serdiferentes eteÍo mesmosinal)
2s)BD'zAE'? - 4ABF> 0
, D) F'
ahernàrivàmente, [ou, ; ;
-*]
ì'i')t í{:1"J Is 1t)AB< 0 (ouseja, Aê B prêcisam tersinais dìÍerentes) 2ïBD'] - AE'z aABF, 0
, Tì ) F
àlternativamente, + - -IF) [ou, Observaç5o:5eBD,+ AE,- 4ABF= O,a equaçãogeralrepresentâ rá um pâr de retas. UmãmanêiËalternativa de sereconhecera cônicaé escrever âsêquaçôes nâformareduzidâusandocompletamento dequadrad05.
94
. Contqto Malemftkã &ÂDlkaeôB
28. No sÌstema de coordenadas cadesanêso qle é r€prcsentado emcadaequação abâixo? al 4x, + 9y, t6x 54y+ 6l = 0 b)3x'z 2y'z+4y 2=0 Resolução: a) CorÌroÁ= 4 e B = I sãodifercntes etêrno mesmo sina,temosumaprovável elipse, Se-doD Ib,l-- -5.e- - 6l rcros Ín, ' - l----:l - l,-j:1 -í,4 l" ' 324,38A
I
lAf - 241 Como388> 244,temosumaeipse. Logo,a €quação dadarepresenta umaelpse. OutrarcsaluÇãa Vamos obterâ equação rcduzida: 4x,-r6x+_+ql + 54y+_=-61 + =)4(x':- 4x+4) + S(y'? 6y+91=
+4(f -4x+
J+gtf -6y+J=-61
+
+_=
6l + 16+ 8l =4[x -2], +9[y- 3),= 36+
92 Logo,a equação fepresenta umaelpse bl Comoossinâs deA = 3 e B = -2 sãod ferentes, temosurnaprcvável hipérbo e. Sendo D = 0,E : 4e F = -2,temos: Ín, l:+:=a+1=n -' Â= R
B lA 8 l4T
3
2
Corno-8 = -8, entãorãoé !mâ hpéÍboe. Logo,a eqlaçãodadarepresenta umpardeÍetas. Outraresolução: =2 + _=3x, 3x'-2y'z+ 4y+ 2(J,- 2y+ ):2 + _à = rcdlzidade h pérboel .+3x'z - 2ly - ])'z 0 (rãoé lma eqLração Enlão:
lv3 ^ J-lv 2ív -ìl -0-
3x,- 2ú2 2y+ 1) =2+ (-D..
Lr3' I vz ( v r j. llv 3 ^v : t y t ll= o -
* - uã= o 'fzv =(f,s*+ f,zv 'lz)(Jz"Jív. ^líJ=o'J's* 'Jg*-.fzv+ú=o Logo,€ equação ÍepÍesefta umpârdeÍetês
' propostos ExeÌcícios 4C, Reconheça o querepresenta câdaequeçêo no p€no a)3x'z+2y, 12x+ 4y+ 2: A b) gx'z I6y2 36x 32y- 124= A c)x'z 2x y+4=0 =0 d)x'z+y,+2x-4y-ll e) 4x, 9y,+ 8x + l8y - 5 = 0
4ì,No sisternade cooÍdenadas cartesianas, a €quação 4x'z- 9l - 8x + 4 = 0 ércpres€ntada pof um[a]: al elpse. bl hiÈérbole. cl c rcunferênôia. dl paÉbolâ. el paf de rctas.
ffi Outrasaplicações 29. Dadaa íunçãoquadÉtica y = x, + 6x + 5, obtenha as coordenâdas do íocoda parébola querepresentâ o gÍáílcodessá íunção. Rêsolução: quadrâdos: Completando c_\. 6._ ) -\,'6.-5-) =y 5+9=x,+6x+9i =y+ 4 = (x+ 31,+[x + 3),-y+ 4 Cornpamndo coÍìr[x x!), = i4c[y yv],reÍnosque ascoodenadasdovédc€são [-3, 4JeopâÉmetro c é igua â
. Entãoas coofdenadas do Íoco são
-3 € 4 + -:, ousele.Fl -3, j 4
\
4)
I
30. Unìaqutelo pfojetouno saãocentraldeuÍnespaço cJrJ?ldJa.oareoes oêt"oot.ds opostès Lr€: oL tm, de formaqle duaspessoas, cornsLtascabeças posicorìadâs cada!ma no respectivo íocodaparábola de sla parcde, podeíamconvemar noffnalrnente, sem prccrsaf gritafSuaobÉ vrou urnsucesso, comtodos osvisitarìtes do espaço cutuÉ qlr€Íendo €xpeÍimentar o ta teeíonede par€de. Entrctanto, algufsvisitant€s têmdfculdad€de encontÉfo ponÌocoffetoondea conveBação é peíeita(nofocoda paÉbola)e Ícam mexendo a cab€çê atéconsegu f.
O pé direitodo sâlãoldstânciaenrreo châoe o teru.] Len3.2-Í. ao sd- d doLr at--"\Fl,.dtpetospol tosnocfìão€ notetoondea pârede parabócâcorneça eacabao pontodaparede m€isafastado d€ssa vetlrca estáa 64 cm.Aérndisso,âsdLrâs pafedes paÍabóicas sãoiguêise têmeixode s metdahofzontal pâssando a 1,60m do chãoQuâlé o mehorlugârpaÍase po sconar€ cabeçaparuurnaconvemâção p€deta em rclação à vefticêlctada acirna? Resolução: Prccisamos obteÍa eqLra a. Escoihe, Elo dâ parábo remosurns st€rna decooÈ d€nadas qu€s mad€quado p if,queo processo analírico. Poftânlo.o eixoy cojìcidÉ corn a vertcalctada no enuncrado e o eixoxcoincidrÉcomo eixod€simetÍia A escâaseráemcentÍme lf0s Assm as coord€nadas do véfticeserãoV[ 64,0], e dosponÌos, A[0, ]60) e A[0,-]60). A equação da paÉbolaé,emão: = actx+ 64)=y'? = 4c[x+ 64] tY- 01'? Substituindo o pontoA naequâçâo, temos: 160 160 :4cfo t6o + 64ì= 4c: r. = Ìnf 64 PoÍântoêscoodenadas dofoconest€s sterna decour d€nâdas são[-64 + ]00,01= [36,0]. O melhorlgar paÉ poscionaf a cab€ça é a 1,60rndo chão[ond€passao € xo de s metrada parábo a) e a 36 crnda ìnhavertcaldo péda pêrcde, queé o ponto do focoda paráboa
propostos I Exercícios 42. A tabea abaixo rnostra a excentf cÌdade daórbitãerprca ti:-1Dadaa funçãoquadrátca y = -4x, + 8x + 12,obtenha âo rcdordo Soldosoitop anetas do s sterna solârQual as coofdenâdâs do foco da paÉbolaquerepÍesentr o dosoènerês eìdd brèrê$pd-cidacorLrê.i,. rgÍáÍìcodessa funÉo. íeÉncia? PâÍaesseplaneta, percencacul€a djferença Lele t€ o |jÍì-e.ìo ooseTte \o Ìeno e do Tnarot. ,:;: quea ófbta d€ l,4efcúfio Sabendo erntomodo So tern excentricdade 0,206iqre o so é sempÍeum dosfocos 0 ,2 0 6 da eìpsedasóúitaspanetáÍras: quea undadeastronô 0007 rnica[]Al val€I paÉ a dstánciamédaentrco So € a 0017 TeÍa; queo pontoda óÍbtaernqLreo panetaestárìrais 0 093 aíastadodoSo charnas€aíéioe,noafélo,l/ì€fcúrio está 0048 a 0,47UAdo SoI e queo pontoda órbrâemqle o pla 0 .0 5 6 netaesú mas póx modoSolchanra sep€ é io,oDrenna, Urâno q,a4 emunrdades astfonôrnicas, a d stánciâ de[\4€fcúro aoSol 0 ,0 0 9 no perélo.Llsesuacaculadora sedesejaÍ.
igevrqasjs j
' DeteÍnine quetem: a equâção dêparábolâ al foconopontoF[ 5,0] e d rctfzde equação x = 5i bl foconopontoF[0,4] € véftjceV[0,0]i cl foconopontoFt3,5l€ dÍeÍiz deeqlaçãoy= ll dl foconopontoF[2, 2] evéíceV[2, 4]. ?. Deterrnineas coordenadas dofocoea equação dareta q!e têrnporequação: dlÍeÍlzdasparábolas lS0oesl€o Lernbre se.ooÍeÀeTnoo. de oue !'
, = /lìì
\2) ) al v'z=-6x
c) v'1= 2ú,.
b)x'z= 8y
au=|*
L Detemine a equação da€lpseconhecendo: aJosfocosF1[04] e Fr[0, 4] e as exÍernldades do eixonìaoÍ 4[0, 6] e A2[0,-6]l bl0s focosFr[0,4) € Fr[0 -4] e a excentÍicidêde 3 $. Deterrnine ascoordenadas dosfocos,as coordenadas dasextrernidades do exo maiore â excentrc dadedas e rps€sd€ equaçao èl4i,+9v,:36 bl.,+2yi:50
cì
3
+ L=l 6
1(ì. Considere a elipse9x, + 4y, l8x l6y I I = 0. EncontÍe os valofes do centrc,eixornaiof, exo menoÍ, d stánca íocae excenÍicidad€, assmcoTno osíocose ,3. Encontre as cooÍdenadâs do védiceas coordenâdês extrernidades de cadaeixo. doioco,a equação da retadrrctiz€ a equação do exo ' .5ejêTF. e F. o) o.o.oaepse::-f d€ sinì€tr a daspeÍáboas de equações: QLa) 2\9 alx'?+4x+8y+12=0; asequações quepassarn pea of dasciÍcunleréncias bly'z+2y 5x+ll =0. g€Íì elêm centros Fr e Fz? = x'z+ bxtem l!,0svaloÉsd€b paraosq aisa parábolay 'N2.DeÌerrnine _sèc: a equaçãoda hpérbole,dadosos focos j'ì p0nt0 Íela Ln c0 eÌ con.r c0Í a )al-le3 c) 3e I e)0e2 Ftt0,5)e F,tO, I eaexcentrcldade guala]. 3 b) 1e2. dlOe L '! iì. Deterrn neascooÍdenadas dosfocos,ascoofdenadas dos = x _ I e0(x)= 2x'? 5.Os gráfcosdef(x) - 3x + mse véÍÌcese â excentrc dad€dash péúo esd€ equaçôes: interceptam em um pontoapenas. 0 gÉfco dê g[x] l=l al"? -L:l cì | y ponto cortao eixo no deodenada: a'94 al I,5. c)o e) I,0. b) 4x'? gy'z= 36 dl r,0. ibl0,5. l4.Ache o certrc,osfocos,os vértc€se asequações das S. SejaV[h,k) o vértce daparábola deeqlação assíÍìtotas dah péúoegx'z- l6f - 36x-34? - 124: 0 y = 3 intef x'?- 4x - 4y + l2 = 0.A retâdeequação 'lS,Considefeuma hipéfbole ceptaa paÉbolânospontos,l e B. Deterrnine a área eqüáterâque passapeo pontoP[]3, -l2l e cujoeixorcalestácontÌdono exo do triángulo VAB. dasabscssas. SendoFl e F2os focosda hipéfbole, r. Erìcontfe asequações dasparábolas: deternì nea áfeadotriângulo PFÌF:. '16, Osponros Ar. Ar. Br e 82 são,iespectivament€, asextremdadesdo exo rea e imagnáÍioda hipérbole de .qLa(ão" --3664 do quad látefo4,4,, B, e 82 é: al 96. c) 24 bJ48. dl 64
Nes)e(a.order
Ì,/. Encontrc asequações dashipérboles:
t
S_Esrtqlrrqt!tr!3l y = -x'z- 4x+ 1. l, 0Jnfofco Seja apaÍábola deequação pelovértcedessa paÉ A equação dafek quepassa boae oeaoÍioeÍn dosstemâ cartesâno él a)2x+5y-0 b)5x+2y=o cl5x_2Y=0
dll3x+2y=0 ell3x 2y=0
2. IUFC-CDCaculea árcado quadfáteroquetemdois vénÌces coincidindo comosfocosdaelpse :| - | e oJtrosdoiscomase\uemidades oo 25 16 eixoÍnenorda e ipse. 3. IUFPA)DeteÍnine â disÌânc]a entreosfocosda eipse sx'z+gy'?-10x- 31 = 0. 4. [UFC-CE] inleÍsecção O núrnero de pontosde dascur= 4e: + | = I éiouaa vásx,+v, l5 2 a)0 cl 4. eJ6 d5.
8. (UFC-CE) 0 lugargeoméïicodos pontosdo plano cartesiano cujascooÍdenadâs sâtislâzern a equâção Y'-2y=3-x'é!Ín[ê]: âl pafde rctasconcoffentes. bl cÍcunfeÉncia. c) paÉbola. dl e lpse. el hipétuole. 9. [UEL-PR] EmuÍnapraçadispõe-se de !mâ regiãoÍe tangular pof l6 m de aruu€ de 20 Ín de cornprmento paÍâconstruir uÍnjâÍdm. exemplo de outÍoscânteiros,esledeverá ter a íormae Íotcae estafnscrtonessaÍegiãoretangular. PaÍaâguáo, seÍãocolocados as persofes nospontosquêcoÍespondern áosfocosda qua seráa dsténciâ elipse, entrcÒsêspercofes?
c ls rn d lr0 m
âJ4m bJ6m
e) 12.rl
10. [V!nesp)A fgurarcpresenta umâelpse
5. [Unifof-CE] NaÍguÍaabaxotem-se umaelips€.
SeOB- 2 crne 0C = 4 cm,a eq!âçãodessâ eipseé: *'* Y' :, ,t -' 12 4 24
r')
"r
ï+t
:1 .
el 1+ 4
L=l t6
4+ 4 -r.
A partf dos dádosdisponíves,a equaçãodessâelip'
aÌ-+ 4= l hì Lx+ ÒI g
6, íJeceìA rteseÉo oosg"êicosoa e açào\' - y - 0 edafunçãoy+x=3ocoÍe:
c )t x -s )' ? + 0 ,, t' - 5)'
p0nt0. al ernnenhum
t
bl ernâDenâs uÍnDonloPl : : I \2 2)
(\ -._57 | 3J
pÍ 9. 1ì. rr'oomo ' "l "r "o"nr" \ 2 2) dl ernexatament€ doispontos. 7, [Uece]Aequaçào x'z- y2- 2x + 4y - 3 = o Íeprcsentâurn[a]: al crcunfeÉnciâ. c) padbola. L'p l ,.-
. lì nÌ
r" 'ê
, " ^- . . ^"e n Ì e s
!Ly
,
'
/r 16
_r
,,=1 ly +1)' = 16
L\
._,
ì Ì. L'u\es,-ST A elpse eè €tav-2r + l, '24 \ +l=: do planocartesiâno, se intercepiârn nospontosA e B. pois,âÍfinârqueo pontomédodo segmento Pode-se, ABéi
"(++l "l.á+J
'[++J 'l+| ,[++J I2. [VLrn€sp) 0 conju'ìto detodosospontosP[x,y] do plano,corny + 0,pamosquaisxeysâtislazemâ equação
18. IUFPB)A plantabaxade urnprojetopaisagísrco encontm-se ìlust%da na ÍguÉ abaixo. A Íegiãocoorda coffesponde à partegÉrnadae está mtâda:nteÍnapeacircunferênca qle pêssapeloponto[2, 0], mente, COnCerlloraOÍigPÌ.ô.p. e tu rfl.e OeAe pseCetradanaoagem, comdolsdeseusvértcesnospontos (Á.0l e to J)
senl--|l=0èumè: al íamíi6de parábo as blíamíiade crcLrnferêncas centÍadas nâorigem. cl família de reks. passando peo pontoO[0,]1. dl parábola el cÍcunfefênciâ centrâdê naodgem. 13. [Uníof-CDSeja] a rctapependcularà bisseÍizdos quadrantes pêfese quecontéma intersecção dâspa = = (y úbolasde equaçôes x 3)'zex ty + 71, A equação deÌé: alx+y+23=0 d)x y+27=0. b)x+y+2t=a elx y 23=0. c)v,-y-21=A ì4. IUFPB]Urnarctatemcoefciefrte anglrarrn = le passapeo véftc€da paÉbola 4x - y'z+ 6y 5 = 0. Suaequação caftesana é: a)x+y-2=A dJ2x+y r=0. blx-y+3=0 elx+y l=0. clx-y-l=0 3=0. l3x+y I5. rl-CV-SD \o olanocanes;no. d cL^d oe eo.d\òps paÉÍnétrcas x = 2 coste y = 5 sent coÍnt € lRé: â) uÍnasenóide. d) Lrma crrcunf€Íênc a bl uÍnacossenóide el lma elipse. cl uÍna.hìpérbole.
A regiãocoofdapodeseÍdescftapeo conju|tol
al {tx,y) e b){tx,yl e cl {tx,vl e dl {(x,yl e el (x, vl € D (x, yl €
R' R'?gxr+16yr>1441. lR' x, + y, > 4 e9x,+ 16y,< t44). lR' x, + y, > 4 ou 9x, + t6V,< 144). lR' x'?+ y, < 4 e9x,+ l6y,< 144) lR'?
19- [Vurìesp] FxadoLrrns sternade coofdenadas onogo, nasernump ano,considefe ospontosO(0,0),4(0,2) e a retarde equação y= ] â) Sead sünciado pontoq[xo,2]ao pontoAéigualà dstâncÌa deQà ÍeÌaÌ, obtenha o vaoÍ dexo,sr.tpon bl Obten haa €quação do ugafgeoméÍco dospontos P[x,y) desseplanocujad stánciâ atéo pontoA é lgualàdislánca atéa retar
20. IUFBA]Consdere urnaeips€e Lrma h péÍboenoplâno 16. IUFCCD A eipseF do panocairesano xyobrdada caÍesiano, aÍnbas comcentronaorigeme exosde s eipseE:x'?+2y'? 6x+ 4y 25= 0 porLrmaüansametdâconcidindo comose xoscoordenados. Sabendo eqüdistanÌes da çâoqLreevaoslocosde E €mpontos guaa: origem esobreoelxoOxêdmite urn6€quação qJeocpolro\ÍJ or | ,j|. r I pete cer a er,pse e " \\ t l a) -: +y,=18. d)x'+2y'.=25 que(V2,0Je t2, ll p€nencem à hipéfbole, deterrìrinê os pontosde ntersecção dessas côncâs bl +L=6 el2Ár+3vr=49. 2a 21. iUníesplA pâráboay : x, - tx + 2 temvénceno pontot\, yJ.0 Lrgaf g€ornéÍico dosvéftices da pará _:+-L=t6 cì 32 boa qio dot\" o.onj.odo:nJreos.eas.e: " al unrâpaÉbolâ. (uFMcl 17. bl uÍìae pse. al UÍÍa €lpseé o cohjunto de pontosno pano cujâ cJuÍnmmode !m6 h púboe. soÍrrdd)d ).á c asadosooltoslÀoqFr.F2 é ìd dl uÍnarcta. constante igualak. DeterÍnine a eqLração da eips€ €l duasrctasconcoffentes. emquefr -v c.u/,È,\v 5,u/eK=b I 22, (UFBAIDeterm ne a Í€a do quadrláÌerc ABCD,no b)SejaC - la or-r'e-èrca d. cerúo .1. 0JF ?o Í. qua e C sãoosvédcesdacônica9x, 4y, = 36,e Dereì re os\aloresdeÍ pèÍèosouas a ller\eLç;o B e D sãoospontosde inteGecção dessacóncacorn de C coì'a elpsedo úer a1.êror r io.vEra. é etaq-e contéTè b;"sprr p ìeio quêd"1te / do "ejd
È
Númçrascernplws sdescoberta.s matemâ.tícas muítasvezesparecemser,a pri1Lípío,totalme te d.íssocíáves dequalquercorrespondentefia Natureza,fazentlo-nospensar que fiã.o possueh,Ìhplica.çâopftitíca. Por eremplo, o Ìnovímentoapare temefite desordenadodepartículasflo a\ cotl1oo quese vêquandoa luz íncicleeu lugarestnuito secos rcvelandomíÜop.nÍículasqueÍutuam em movimealos parecendo poeialealònos. 16,constituì objetoda Teofia do Caos,que etplica o funcíoname to de sístemascom.pleros e dí âmicos.O primeíro a obsewar essefenômenofoi o biólogoefísicoescocês Robert Brown (1773-1858),a quemé atribu[d,a a.teoríado movíme to brow11irlfio. Maís futrde, em 1905,Albeft Eihsteinpropôs que a matéríafosseconstítuíc1a demoléculas.O es'
tudo dessefenômeno deuorígema uma ova concepçãode movimelTto,desordenadoe aleatófio, d,enomínado por BenoítMakdelbrot (tncttemático polo ês, ascidoem 1924) de ftactal A Ceonetria eüc[idianajá nòo ?rasufciente para explicà-lo e cadavezmais sefazía presentee necessá.río oatrc típo de Geomehía,a não-euclídíqna, O primeíro destesíractais é chamado conjuntode Mândelbroteasoutrassãoréplícas dele contid,asnele. Por defniçã.o,o conjunto de Mandelbrot é o conjúnto dos polltos c do pla o complelo que satisfazem uma seqüêÌtcíaiteratfua, ísto é, que seíorma por repctiçàode uma ou mai' açoes. Osnutueros I omplexorapaíe(ewnose culoXVI motivadospelasresoluções deequade terceiro quarto graus. e Em 1545,o ções matemátícoitu íano Gírolamo Catuano (1501-1576) pablka seufamosolívro Ars MagÍâ, no qual trata da resoluçãoda equaçâode terceírogfttu do típo f + ax + b : 0. Oproblema:"Quale a medidâx, comumà
de daeqLração unìadasÍaíz€s I . EmAr Mdgnd, Cardanoapresenta ,rq., a.-b 0dd.po
d".,u.".tu
de um pa-
"\Jhúú "ubo base 15 unidadesde com ralelepípedo
área,sabendoque â diíerençaentre seusvolurnesé de 4 unidades?"corresponderiaax3 - lsx - q e,aplícandoseumafórmula deduzídapor ele,apa4, obtidada eipressão receriaa soluçã.o 42- 'l- r21 + :12+ -.1-127!caftla' nosepefgu tava corlo um númeroreal poderia se orígínar de uma expressão quecontínharaízesde númerosnegativosseestas ã,oeristíam.O maíscurioso é que era possíveloperarcom esses mesmoque ão tí' úmeros"esquisitosi vessemsentido,pois matematicamente osproblemasdavamcerto. Mak tarde,o matemáticoítaliano RaíaelBombe í (1526-1572)estudouo nabalha de Cardano e veri,ficouque rea[úenteessesúmercsfuncionavam'l soíreuraríaçoes11o Sua representaÇão até deconerdo tempo, queforamesctítos díoma deprodutopor fi , como,
poretemplo,.Frzr: ttJ-r.lro sa-
culo XVIII, Euler inttoduz o símboloi paw represefitar a raízquadradade I Assim,.F11í passaa sererpressopor geo11í. Finalmerlte,a represefitação métrícados úmeroscompleroselabo' Mda pelo matemátíco,astrônomoefínofnal siêoalemãoGauss(1777-1855), dos^ulo XVIII, tomoumaissígnirtcaü' fi seuestadoe ílplícabilídade. NestecapítuloestudítreTosa cô11scom' dost4úmeros truçãodo conjül1to pletos, defnindo suasoperaçõese re' prese tações,
Essa fónÌì! a ío sugêfda â € e porTartaqla,ollrofêmolo m.te rnãÌicotallanode5saépoca. a) Moír€ comocardanôseaeparoucom o nLlmeronf tzl ao qLreÍelolvjao problemi lentèÍefcontrar.s raizetda ÊqLração paral e rnenci onado e do epi pedo do.ubo b)V erl Íqueque4 é raÌzdaequaçao. 2. E m 1545,C ardanopropôsem !nì cl eseus vrosos€gunÌÊ paftesde modoqu€ seuproou probemâ D i vda l 0 eÌn dLrds a) Reqstreunìãequâçãoque Íâduza esseprcblema. q!e a equaçãoobi i da,manÌ€ndoas propri edades b)R €sol va sãoválldâsparaos núnìeÍosreaiç. ' perêo o - .b^,p,oD o.oor.€ 3. Eìì 197s,lúand€brot e5tudo! a equ.ção X, . : (X,.):+ Z, nà quâ Z= a+ b,l :: de LrmpÍogr.m a l en= 1,2,1, . A l favés rec!rsjvode côÌÌpltadof (Lrnìprogrâm, Ênì ioop),zvârlo! Ê o corìputadoÍ imprjm u na t," a os ponlôs X, r. aônsÌaÌouq!e, mpÍessa nat€a.A mp i rndo paracadi va r ordeZ,Lrmêfìqura€ra oe 5 u conti nh.mcopêsaproxrrnâdâ! ã5fl g!rasdescobrl que rnesmasliruto{ef.e nançal. o erÌÍaidone ErcmP !aidabÍ/.ompE!o.hrm hftp//blqeô.1Ì.5.om/s A.e*. tsn13/5/2007 . Você pode, ,:om os rec!Ísos maternáicos qu€ conhe.e ató aqora,deeenvover pe o meno5Lrnì pou.o e5sâseqúènciaao nìe.e consdeÍdndoXN= 0, depo s,façâX = (Xr)r+ Z e ii5slÍì Ldo poo" .o." oo" o,--i ,o " * 'f S rnp e5menteânote os resuÌados Ê observeâ seqúén.a en conÍãda. Ela dá origern ao conjunlo de \4and€brot e ês5e seráse! pr me ro contirtocoÍì a maternálicasobrea quã essê teoÍla fo .onírLrída.
f
Entreos conjuntosnuméricosjáconhecidostínhamosiniciâlmenteo conjuntodosnúmerosnaturais: \ = {0,r,2,3,...,n,_..} Paraque â subtraçãofosse semprêpossíver, erefoiestendidoe obtivemosoconjunto dosnúmerosinteiros: Z : Í..., -n,...,
2, -1,0, 1,2,...,n,...t
Paraquetambéma divisãoÍos5e possiver, estendemos esteúrtio'oe obtivemosoconjuntodosnúmerosracionais,que podemserescritosna formadefração,com numeradoredênominâdorinteiros:
t
Ìã Q: Jx= :,c o ma e Z , b € Z e b -O l Lol
EmQ,aúnicâ divisão por0.
= 2 nãopodeserresolvida, EmQ,a equaçãox, ouseja,assoluções x = 1â e x = _1ã nãopodemserrepresentadasporumafraçáoa,comb+oeaebpenencentesaz.nãe-rãsãoexemplosdosnúmeroschamad b de iÍâcionais(íI4. Da uniãodosracionaiscomos irracjonais surgemos númerosrêais(R): IR:QUIIÍ Portanto,podemosidentificarN comouma partedeZ,Z 0.Assim, Sabemos a equâçãox, + j :0 náotemsolução em R,pois: x':+1=03xr=-t+x::tafì e náo exìsteum númerorearx que elevadoao quadradoÍesulte-r. por isso,temosde estendero conjunto dos númerosreaisparàobter um novoconjuntochamadode conjuntodos,1úmeroscomplexos,
o conjuntoc é um conjuntocujoseremêntos- os númeroscomprexos- devemsertaisque oossamser somadose multiplicados, e tambémpossibilitemâ éxtraçâoda raizquadrada de um númeroneqatrvo.Looicàmên te, os númêrosreaisprecisamser erementosdesseconjuntoo, e as operaçôesde adìçãoe riurtipticaçio íeitas sobreos númerosreaisnô conjuntoo devemserâsmesmasjáconhecidas. Noteque,se issonãofosseobseívâdo, o (onjuntolR náoseriaum sub(onjunto de O. Ao longo do tempo,os erementosdo conjuntoo, os númêroscomprexos, foram deíinidosdê váriasformas. cau5s,por exemplo,defìniuos complexoscomoÉàresoÍdenadosde númerosredis. Hojeem dja,a notâçãopreferidaparadefìnir os elementoado conjuntocomplêxoé a formaalgébrÌcâ.
A formaalgébrica Todonúmerocomplexozpode serescritode maneìraúnicanaformâ:
:Ìz!ãg'bi
(ae lR,b e tRe i, : -t)
queum número , Obseruemos um númêrocomplexo. ou foma binomialde escíever é a farmaatgébrica Essa complexoescritonêssaformatêm dua5Pârtes:
z= o padê
+8J
Comol'z: -1,é comum encontÍarq{Ìemdefina
rcãl dê,
i : J r. u"!t"riu.
I Re(z): a
pÌEFrinrgs continunr
tâ | que i'z: -1 i é â unidadeimâginária, nãodefìnida do iéque permitequeno conjunto lDexistâraizdeíndicepardê númerosnegãtivos, Aexìstênciâ noconjuntolR. 5ex È O e x1: -25, entãox: a5i,pois: Porexemplo, : (si)'1 - 2s : ú1)' 25 : i?s'1 5e o númerocomplexopossuia unidãdeimagináíia(ou sejâ,seb + 0) eleé chamâdode imaginário' Devemosobservârtambémque,seb:0,temosz=a(númeroreal);esea:Oeb+0,temosz=bi,queéum númeroimâginárioPuro. Ëxemplos: 1'1Emz : 2 + 3ì.temosRe(, = 2 e ìm(z): 3. 2e)Emz - 3.temosRe(z) 3 ê lm(z' - 0 Ponanto,ze íeal 3e)Emz = -2i, temosRe(z)- 0 e lm(z): -2 Ponanto,z é um númeÍoimagináriopuÍo lJsandoa forma algébíca,as operaçóesde adição,subtraçãoe multiplicaçáosáoìntuitivasNá multìplicaçào, porêxemplo,bastaaplicaramesmapropriedadedistributivâusadana multiplicaçáodebinômios,porémobservan algumade decorarfórmulâs do queilé um númerorealevãle-1, Nãohá necessidâde ÊxêmDlol:
' r9 ( 2 + 3 0 + ( - 3 +4 0 :(2 -3 )t(3 +4 )i :-1 + 7Ì 2e()1+ 2 i ) ( 2 3 i )=1 .2 +1 (-3 D +(2 i )2 +( 2D( - 30:2- 3i+4i6i2:2+ i- 61 l) =2+ i+ 6- 8+i 3 e ) (+r D ( 3+ 2 D : (1- 3 )+ (l 2 )i = 2 1i: 2- i
z, : l + 3le complexos Ì''l. radososnúmeÍos e', zz= -2+ i, calct-) a)zt + 22 b)zh Resoluçqo:
a) z\+2 ,:11,+30+ l-2+ )= = ( 1 - 2 1+(3+rli= 1+41 : b) zrz,= [] + 3i)t-2 + l) =l( - 2 ) +l i+3i[ 2]+3j = = - 2 + i- 6i+ 3i':= 2 - si+ 3(-1)= = 1'1+2. 1 .3i + t3D'? c) 21- | + 3t)'2= = = I + 6l+91'z= 8+ 6 i I +6i+S (-ll üzt+ .tr = l +30+[ 2+D'?= = ( l +3 D+{4-4 +'?1=' = 0+3 1 +14-4i+t r)l = = 0 + 3) + (3- 4D= I + 3i+ 3 4=4 r
r'
compexoszr = 2 + 3l 2. Calc!e zr - z! dâdososnúmeros Resoluçãor z\-1:Q+3) =(2+r)+i3
( I + 4I = t2 + 3D+ tl - 4i]= 4Jì=3-
complexo: 3. Determlne o vaof rcâldex paÍâqueo númerc pufo = núrnero magináÍio al z [] - 2x) + 3 s€jaurn nao ,reo 5êd.n 2\-3ìi o)z [8-\ pufo náro cl z = 6 - [3x 5) sejaurnnúrnercfea]. rc410. dlz = tl - xl + tx - 1l sejao número Resolução: 2x)+3 a)z=(1 pêraquez selâ!m númercmâglnáno puroê neces = = pols lÍn[zJ 3 + 0 sáfoqle Re[z] 0, Então: I Re[z]= I 2x=0=x=-
Í
2 x)+3=Ír-z.l l
z=[]
+3i= 2) \ tl+3=0+3=3i[nú rneÍofnagnaft0
=[] PUÍoJ
= -1. Looo., -2 blz = i8 xl + i2x 3) Re[z]-0-8-.-0-À-8 P€Éx=8,temos: rn[z)=[2.8-3)=1310 VefÍcando,pamx=8: z=[8 8]+[2.8-3) =0+]3 = t3i[núme purol fo maginádo Logo,x = 8 c)z=6 i3x-5)i Paraquez sejarcalé necessário que rn(zl= !. = lm(z)
[3x- 5) =0+-3x+5
=0=x=
= 1: VerÍicando. oara '3 x
z=6
í.ì
5 l =6
1 3.; \.J
=6
I 3
ts-str=
0 =6[númercrea)
.5 -3 d)z=(l xl+ix rl tuÍèoLezser0 e .pcpsd, oquFR"r,,r- 0et"1vl- 0 Então: Re[z]=0+l-x=0ìx=l rn[z]-0=x-t=0+x=l Veriícando, parax = l: n-í' l.i ri-' , r -1. 0 0-0 Logo,x = L
6-Éi,=tr-tl-_l t=43=tt_l= i i3=lara=l'l l obsetue queaspotências dei começarn a sercp€trÍ depoisde ia.Demodogeml,temos: É"=tl"=l I .t-ll = -l .i,.i= r.t_ll .i=_ 0u seja: el t3-D3=i3 l(3-D= 2.3 ,atl-,-fg - ! 6, , j. =i8 6)t3 )=2a 8Ì-t8+6'= =24 26i-6=18 26 Íl (2 - 31, (3 l2i= =2' _ 2.2.3i+ (3D'- 16 _2i1= =4-12 +9, 6Ì+2,=4-t8i |: 5.Cac!eovaorde: al ia'g bl rm Resolução: €l N = r43.i= útr:. = O!, de out|arnaneiÍa: =t ry4i= ri= i blrú=(1,150=( rlso= l OLrde outmrnanerÍa: i ,!i = (r4)4.0= 0= r .l
cl 3 r5
i r6 = i
lli
Entã0,ternosl 3r5_i ,6= 3(-l t: P orranto, 3Ìr5 16= _t
:
3i 3.
I : -i
l
4. Eíelue asopefaçôes indicadas: alt6+5D+t3-40
blo-l t 3 -2 D cl tr + ltr tl dl Ìì. i,, i3,i!, i5,16. '
o
r=
I '= i'i= t-tli=
t , = t É 1 , =t_ rl ,=j i5= 4 = I =
I
J4= jL:i\ \
3
e)t3-D3 Í) (2 3)' - 13 i)2ì Resolu.ção: aJ t6+sil+(3 4ll=6+5 +3-4 =(6+31 +[5 4]Ì=9+i blir i 3+2I t3-2D=1 =[] 3l+(2 l)= 2+i cJ ||Ì!||_ U='|-l + |1- . = =t i,=1-[ ])=t+t=2
\-t
49 4 noo '
iroo:iô= t\ Ì00 4 [\o 20 25 =
J
is:F=
i\ rS l4 \_3 ï
r?í:ir=
t\ 74 [ 134 18 \2
6.Resolvaâ eqlaçãox, + 4x+ b = O. Resolução: 4+./5;r 2 erniR] [nìpossíve
-4 ! \'i
b) z-i 36 = i a3-zez+
resolvé l€,Assm,ternos: Em0 podernos
-4!\F.4
-
zti -22
+ 1,+ z=
-22=
2 =-2+
L000.2:---
:-2 \'= -2 Vedfcando, vemi a 2-l= S=x'+x'=(-2+D+t P=x'x'-l2+i)(-2 21 (= )-4+2i = 4 - t-tl:5 enuiox'z-Sx+ P = 0,oLts€ja, Satisfazendo x2+4x+5=0 complexo z tâlque 7. EncontÍe o número (-9+60; al42=z blz i33= i13- z 1+5 cliz=z Resolução: al 42=z ( -9+6Dã =42 z=-[-9+6D+32=9
ri
'22
e
2
a3+ ì36ì
6â
Logo,z:3-2i.
cllz=z-l+51 Comoz:a+b,temos: l+5ì= [a+bi]=a+bi =
b+a=te
ll + [ b + 5 ] i= l
[ -n = a
t
Í
tê= o+ !
b=b+5 t=-2b=4=b=-2 a= 2+5=3 Logo,z=3 21. 8- caclle o vaor de: cltl + 1". a)(l + )'; b)0 +Dn; Resolução: â) (l + il'z- l'?+ 2i+i'z= 1+2i+l-1)=2i b) 0 +tt,o= t0+ ïÌ' = t2il' =210. tD:1024.i'= 1024 cl 0 + Ì'=tl +L]a.tr +D= = 1024 (l+D= 1a24 1024
propostos ExeÍdcios 'I tDados osnúmeDs comp"*o"r, : t + zi t, = -l + :l e/ - / 2,cac-e a) 21+ z 2 . Ô ) z t- 22 c),zt z, .'d) (z\ + z)23
s)z:+ z,
)a+11+z ) ))2 ,
zr
'
complexo 6. Detemine o valofdex,rcâ,paraqueo núm€ro at(J -, - t sejaLì llrìeo nag à,ooJo. puro; bl [x'z- 1] + sejaumnúmeromagináfo Íea; cl x + (x'z- 4)isejaurnnúÍn€ro reâL0l dlx + xìsela o númeÍo ql" 4, .r - í\ - ^r 5pjoJr 1u'ìeroinàgrnà-
e ) l\+ z) + 1
n )1 +zâ -z: 2. Determine o número z emcadacasol 6'z1 a)32+4 -z b)32:z+ (3. Efetuel a)P
7, VefÍìque asseguntesigualdades: r+8i a)(2 3i)( 2+)= íl
It
1 ,"
bl ,.
o i"'
reali í) x + lx'z 7x + ]2liselâumnúmeÍo g) (l xD[x+ ]) sejaumnúmero rcal.
o(ú h)165+ 5i,o- t3lr i) tl 2D' D i6m r,ú
4.Sendoz= 2 - 2i,calcue: a) z' 5. Res olvoas s t e rn a]:-' :' 1 5 4 -tz z, e 22. de varláveLs
I
Ì
b li3 + li3 - )l- + -. l= 2 + l \Ò tu ) d )0
,) ( r - i' ã ) = D" = 4
queosnúÍneros cornpexos zr = I + e 2, = I 8. Ivlostrc I 2z+ 2 = o. sãoassouçÕes daequsção
i
geralda adção e mut plicâção 9. Encontre a expfessão supondo de númeÍoscoÍìrp€xosna foma aìgébÍìca, quezÌ= ar + bì ez2= a2+ h,. - 3. 1^ . = t+
então l0- PÍoveque.sezé unìnúmeÍocomp€xo, (1 + z)'= 1+ 2z+ z'
@ Conjugadode um númerocomplexo A propÍiedadedo inveÍsomukiplicativo podeserescrita da seguinte maneira: sez10, existeum úniconúme: 1, ro compiexo taique z, Comopodemosdeterminaro número1 nalormâalgébrica? Pàraisso,precisàmos detiniÍoque vema seroconjugàdode um númerocomplexo. O conjugadode um númerocomplexoz- (a,b) = a + bié o númerocomplexo Z = (a,_b) _ a Exemplo5: 1q)Sez:2 + 3i,entâoZ:2 3ì. 5e)Sez: i,entãoZ- -i. 2e)5e z = -3 4i, entáoZ : -3 + 4i. 6-')5ez: (2,3),entãoZ= (2, 3). = = 3e)Sez 2,entãoZ 2. 7e)5ez = (-1, -1) entãoZ : (-1, 1). 4e)Sez= 5i,entãoZ- 5i. 8e)Sez = 0,entãoZ: 0.
9. Detemine o núrnero cornp e,\oz talque2z- I =Z+ . Resolução: Considercmosz=a+b. ErtÁa2z- 1= 7+ië2la +bil - I =[a bD+r.+ è2a+2h 1=a b+
bi.
r+[2a - ]) + 2bi= a + [-b + ]l lgualando aspanesrcase irnagJìáfas, temos: 2a 1=a=>a=1 2b:-b+l+3b-l3b=
Propriedadesdo conjugado le)Sez=â+bi,então: 72 - à) b: (quee Íeal,posirivo ou nulo) l?= ã+_hi Dadosou hipoteses]: lz:a_ol Tese{zz-az+b,
Demonstração: Efetuandoo produto zZ,temos: zz = (â + bi)(a- bi):a:- (bD,-a,
(-1)b,:a,+
b,
2!)Parao númerocomplexo z,temosque: z - ZÕz é númeroíeal Demonstrâção: Sez:a+bi,temos: z=Zêâ + bi = a - bi(>bi = -bi<.]b = 0<ìzéreal 39iSezr e 22sãonumeros(om plexos,entào: + Zr(o cortjugadodâ somaé iguâlàsomadosconjugados) -Zj Demonstração: , sezr = a + biez2- c + dì,lêmos: z, + z,: (a + br)+ (c + di): (a + c)+ (b+ d)i = (a+ c) (b+d)i= a +c _ bi 4i1
di= (a
4e)Sez1e z, sãonúmeroscomplexos, então: Zi1 =Z 1.Zr(o .onjugadode um produtoindicadoé igualao produtodosconjugados)
bi)+ (c _ di)_
i
107
úmdexos Gpítulo4. Númsor
Demonstrãção: Sez,: u 16' e22=c+d,temos' zr4: (ac bd) +(bc+ ad)iàzã:G. Sabemostambémque: di 21- a-bi eZ2=.
bd)-(bc+ad)i
o
z,z: = (a bi)(c- di) : (ac bd) - (bc + ad)i O Comparando O e O, concluímosquel
a + bidek modo ll.Dadoz lO. Dadoz + 0.delemìne nâfoÍma nv€rso mutp calvode - I + 2i,encontreo página qle z. pfoposta €nterioD. na íl - I (questão zt-0uz L Resolução: po' tor inddor Resoluçãol B"st"n. prcaÍ ur"raoore oeno'ì )ea peo conj gaoooe z qJe è dlíeenLede 0. oois
ta + blta br) â: + b:
tâb z z à- +b ,
a,+b:
è,+b,
G} Divisãode númeroscomplexos A entredoisnúmeros o,ea^a"o", jt, = co compìexos, o quociente lfi -.r+
nâforÍnaa + b' o not"ro I 2. EscÍ€va
Resoluçãol "oto ",,o ;|
Resolução:
3
i
l í3Ìrì (3- i)[3+j]
il 9+r
3 l0
z, z,
1+ 2t 2+5
(1+ 2i)(2 5) [2+5i][2 5L]
' l0
12i 29
2'+5' 13.Fl"lLe
qle / ,obenoo
2te7 -? | xi. --'-
z12 4
29
l 29
12 29
1 29
-- _--\
/-:__ --;---
propostos I lxeÍcrdos J t;---__-I r r. ueÌennnez paÍa < ajz = l+ s ii
b)z = 2l c)z: A: d)z = -4 + 2il
e)z = 5: llz=3+3i gjz= I {l
fiz - \lt
2i.
'í?. Calcule z noscasos: 4i cl z: -l --a)z=3 D)z=7
] 3s- ^zr
=2
3i e z, = 315,6"t"rrn"
,F'-i-t-ft_È:.
15, Deteffnine o inverco muttiptcatÌvo dez, sabendo que a)z=2+4Ì c)z= 1 3) b)z= 1-2 Ê)z= 2+3 16" Eíetue êsdÌvÌsões ndimclas t+3i ^\ " r i
1+2i
I i t-. rr
bl_ 3+2
i
'! 7, Escrcva nalo[ì]az = a + bios núrnercs cornpexos:
b)zt + zz c) z,z, tt)zÌt + z, e)7ì,e 11 í) 7,zt
g)a + 12, ! 4. Encontfe z talqueZ+ 2zi- I = 2.
3-2 2+i
2+l i
",=(+)"
Representaão geométricados númeroscomplexos Conformefoi dito anteriormente,os númeroscomplexospodem ser representados de váriasformâs,Até agoravimosa forma algébricaã + bi, Outra maneirade repÍesentarum complexoz é âtÍàvésde um parordenadode númerosreais,Assih,sez: a + bi, podemosescreverquez = (a,b).(Gausssó usavaessanotação.) Poroutrolâdo,sabemosquê a cadaparde númerosreais(a,b) estáassociado um únicoponto do plano.Logo,podemosassociar â cadanúmerocomplexoz: a + bio pontoP do plânodecoordena dasa e b, istoé,P(a,b). O plâno cartesianono qual estáo representados os números complexos é denominadoplanocomplexo ou planodeArgand-Gauss. Dizemosque o ponto P(a,b)é o dÍlxodo númerocomplexoa + bi. ExêmploiVamosíepresentàr geometrica menteos númeroscomplexos 21=3 2|2,= 5,4= -2i,za-2 +i e zs: 2 +i. 21= 3 2i)(3,2) zr:5=(5,0) 2i.3lo,2) 4= za:2+ i,- (2,1) z5: -2+ i.+(-2,1)
Observâçóes: 1?)os números complexos reaispeitencem aoeixox,mantendo ô correspondência quarpara segundoa cadanú-
meroreàlexiste um pontoda Íeta, 2t) Osnumerosimaginários purospertencemao eixoy.
109
Gpítulo4. Numèú onp q6
3a) Osdemâisnumeroscomplexosla+bi,comâ+0eb+0)perterìaemâosváfiosquadíantes,dea(ordocomos sinâisdeaeb, 4q) PaÍacâdanúmerocomplexoexisteum únicoponto do planoe vÌce-veísa, 5?) Podemosassociãrâ cadacomplexoz : a + bi um únicovetor com carte extremÌdades no ponto o, origemdo sistemade coordenâdâs ponto sianâs,e no P(a,b), Nesseplânocomplexo,alémdo númerocomplexoz = a + bi, estão representados outrosdois númeroscomplexos,z1e 22'e a somade(diagonaldoparalelograÍno formâdoporzl ezz). les,zr + z,
i númeíoscomplexosz:a + bi aosvetorespermite o usodosnúmeroscomplexosem d iversos 69) Aassociaçãodos quais o sãovetoriais,Um exemplodìssoé o estudoda eletricidade em nívelsupeÍìor; camposnos a5grandezâs alunoque optãrpor um cuÍsosuperiorna áreadeexatâsdescobriráque correnteeléÍica,voltãgem,impedância,etc.sãotodosnúmeroscomplexos,
= 4+2,2,= -3i 14. Dados osnúmercs cornpexas a = planocornpexo, ospontoscoÍes e4 4, ocalze,no poncenÌes a caoanurì€ro. Resolução: zr= 4 + 21,è(-4.2) z, = 3i= (0, 3l 23=43i4,01
I6. Dadosos pontoscoÍespondentes corn aosnúmercs plexos âos zr ez. desculrÍa ospoftoscorÍespond€nÌes nLrmercs -z! e -22,
Resolução: P[],llìzr = I +i+-zr
: -l -i+
.ì P',[-r,-])
Qt 2.-l)=z?=
2
=
z,=2+1)Q'12 1)
15. Detefmne os númeroscorìrpexos coffespondentes aospontosA.B, C, D € E naÍìguÍaabaxo I 7. I o' d I e os porÌosoo pê o col espo' ìde.pcdo. -L rnercscornpexosz = a + b, nosseg!1ntescasos
âJa=s bla>0eb<0 Resolução: aJ a=3
cla<0eb=0
Resolução: A[3 0)=z=3
8 r c , 2 ) ' ) z =2 C12,1)=z=2+1 Dl 2, 1)=z=-2-i E[], ll=z=l-
= a + b, coma= 3 eb qualquef. Pontosz
. contexto l\,talemátka &Apto(ões
bla>oeb
18. Efetuealgébrica e georneÍicamente a adçãodosnúmeros complexos z, = I +2ie22= 4+i. Resoluçào: A gebricamente, ternos: z1+2,=11 +2i)+ (4+ l:5 +3:23 Geornetr câmenle, veTn: qLr€23coffesponde ObseÍve ao ponto[5, 3], ou seja = 5 + 3i. ao númerocomplexoz3
Pontosz=a+b,comâ>0€ Í.
c) a<0eb=0
Pontosz= a + bi,corna < 0 e b = 0.
ì 8. Nummesmoplanocornpexo,ocalize os pontoscor 21, Locaizeos pontosdo planocoÍespondentes aosnúmerespondenies = a + bi,nossegutntes aossegunlesnúÍneros complexosl rcscornpexosz casos: z1= -3+3i 22=1+ 4it4=2itzÃ= -4 a)b=-2 ela>0 zi= 2 - 3lt1= 3:27= 4. bla= I eb>0 f)a>2eh>3 '15Escreva os númercs complexos coffespondentes aos cJa=0eb>0 ooltosA.B.C.D.E e F do os o dla<3eb>-3 ?2- DeteÍnine ospossíve s vaoÍesreaisdea e b paraqueos pomoscoÍrespondentes aosnúmerosz = a + tì estejaÍÌì naregãocolo da.
20- Dadosos pontoscorrespondentes aosnúmeÍos corn pexoszj, 22e 23,oescub|a 0spontoscoÍespond€ntes ã0snuÍnercs coÍIpexos-zr -z"e \.
InterpÍetaçãogeométÌicado conjugado Geometricamente, o conjugadot de z é representadopelo simétricodezem relacãoâo eixox.
fll
(.pí!ulo4. Númeroi omdsos
proútoì íÏ,,eÍcíc''os E I ì
a"-t"
t-." *,t
coÍnp€xos da exoosnúmeros
"" € seusíespectivos conjugados dosabaixo alz=l+3i b)z=-l-i c)z=3i dlz=3 e)z= 3 - 2l l)z=-5+4i Oz= -2 lìlz= -5
:tri. Dadaa foLrfa,ocaize nelâ os númeroscomplexos -z,Z e -2.
f
lã Módulode um número.complexo Geometricamente, o módulo de um númerocomplexoé â distânciada origemdo sìstemade coordenadas O ao afixode z, Aplicandooteoremade PitágorasnotriânguloOAP,temos:
lzl2 :d2 +b '1+A = tE **
quadrantês. quêessaigualdadevaletambémpaÍaospontossituados noseixose nosdemais Observemos = porlzlo que, + podemos z a bi, z indica-se dadoum númerocomplexo chama'se módulode e Então dizeÍ número realDositivo ounulodado oor: FI com a Geometriaânâlíticâé que, pensandonos complexosz e w como ObseÌvação:LJmaconexáointeres5ãnte pontosno plano,o móduloda diferençaé ô distânciaentreosdois pontos:lz - wL= d(4 w).
númeÍos compexos: 19. Determlne o módulo dosseguntes
a ) z=2 +3 c) z= - 1
el Sez = -3, então: z = 3 =3 Íl Sez = 0, então: zl= 0 =0
2i
Resolução: alSez=2+3i,então:
z - 2 + s i l : ú +,
20. Descubfa a dstânciado ponto40, 2l ao ponlo Bt5,-rl. Resolução:
= {'i ã
b)Sêz= 3i,então:
z l : l 3 i l : i s =3
dtA,B)= J0 5)' + (2+ D'
c) Sez = -1 - 2i,então:
l z= l - t - 21 =rÇ 1 Y 1 1 4 dìSez=l.então: -2
,tl '22
=!'i + 4 =!6
z= I +2i ew=5-i z w=-4+3 d[A,B]= z-w = 1-,, + :i| =.úo+s
=s
112
. ComexÌ0 ruaÌemátka &AplÌc!ôes
Propriedadesenvolvendomódulo 1a)Sezé umriúmerocomplexo, então:
à: lzl' Demonstraçãol que: Sdbemos zZ: (a+ bixâ bi) : a, + b,
H: . , 6'+ b' Logo:
l,l' : (J^, + b, ), : a2+ b2= Ìz Porranro, zz- zl,.
i
2:) Sezé um númerocomplêxo,então:
4 =l 2 l Demonstração: Dadoz-a-bi,temos: 2=a-bi
="6'+d '1 la=16'+(br:!ã'+bt = lzl. Portanto,lz 3c) Se21e22sãonúmeroscomplêxos,êntáo:
z,z.l= )z,llz,l Demonstração: primeira propriedade,temos: Usandoa = (2.2,)(aÒ lzé,|'z A que: Massabêmos zi1 : z 1z)w Então, substituindo O emO vem:
lzhl' : ztz,zF, = {zFt)(z)2,): lzl, z,l,: lzllz,lf positivoou Comoo módulo é umnúmero podemosextraira nulo, raizquadrada emambosos membros echegamosao quê queríamosdemonstràrl
z,zJ: lz,llz,l
propostos Exercícios * ,,1
25. D€t€mneo módulode cadauÍndosseguntesnúrne a)z=t+l b)z= -3 - 2
e)z=3+4i flz=3
b) zÍ,
d z=3 +a J, dlz=í3
-J2i
Dz= .1,- "1,
26. DeteÍmine o Ínóduo de cadâurndosnúÍnercs com plexos: al (3
lt2 + 2il
bl '-
"'
,3+4i ' 2 +i
,. tr + r)(2+ 3D -
2 7 , s ez ,= t
ii
ôlz, + z,
,)+
D z,l,
gÍaÍcamente 28. Localize os núrnercs cornpexos z talquei
a)lz = 4 b l lz > a
cJz é um maginário puroe zi > 4 dlzl<2 eJz é uÍn maginário puroe zl < 3 que,sezl e 22sãodos números 29. Prove quas complexos t, b qLr€Ícomz, + 0,enÌàol:! = !1. lzz lz'
(apitulo4. NúmeÍoromdercj
11 3
LL FormatÍisonollglflgggggl!Ínglgr colplglg! por um ponto do plano,de coordenãdâs (â,b), Sabemosque um númerocomplexoz= a + bié representado por Essas sãoascoordenadas cartesianâ sdo ponto z, Veremosagoraqueessemesmoponto podeserrepresentado suascoordenodaspolarcs,que sã)o: por z ou p,representandoa 1?)o módulodovetord,indicado distância do pontoP à origemdo plâno(supondo
lzl+ 0)i 2e) oângulo0,emqueO<0<2r!,queovetordformacomoeixox.Esseângulo0échâmãdoo/gumentodez principalde z)e indicadopor arg(z). íou arqumento
t z:a +b i,z+ o
4 : p : . ,f,' + * aryQ):0
que: JávimosemTrigonometria cos0=
t4
sen0: fr
{como<0
Essas igualdades levama: .o 1 6 =- a lz -6=
1z1,cos0
se n e : ] = u:lzl.senrl tzl Substituindo valoÍes esses emz - a + bi,temos: z : a + bi = lzl.cos0+ lzl.sen0i :lzl(cos0+ i. s e n 0 ) PortaÍìto: z=l:l(c o s 0 + ì . s e n 0 i que é chamadaformdtf&onométrìco ou formapolot dez.
geornétÍica â representação e aforma tdgo ?1, Determin€ - nornétÍim do núrnero complexo dado: a)z=1+l b)z=r+16 clzI +i d)z = 2ì
Resolução: a)z=l+l 0<0<2'l
, (omeno Màtêmáti(a &Aptkô6et
!14_
zi=1 r + i;= .,(- r1r+ r' = a r. l5 c o s u = -= . . Ê = .12 )z
_
"ã
2
t; 2,122 Assim, a loma trigonornétrica dez é dadapor:
0 < 0 < 2 r!
t
= Jtl cosl + . senaI z= z[c060+r.sen0] 4 4) \
VeriÍcaçãoi
^, r"cos E" r E= L0Tn0 42
esen_=42
,( ..rE
vãì
12
2)
.,tÇ .lE 22
Ìemos
. '15 'tE
Logo, aforma tr gonométr caé dadapof: z = lz (c o s 0 + i. s e n 0 l=
22 22 b)z=r+iÌã b=v6 Enião:
l^' z = l r + , J 3 :!r,+(J3 )
b=2 Entãol
=,l t =z
-- _
3
=2
-b2 senb=
=7=t E
2
0
0<0<2ri
Podanto, â íoma t gonométrica é dadapof:
z- ,/[cos ori .* nor -rfc os ï \ó
I
2l= 2i = v0'+2' =la
ç656=- a= 9= 6 lz1 2
z2
a=-l
3,I 3,! ì +.sen-l 4 4)
t-l =vltms \ d)z = 2i
.* . * j
Logo, a forrna tÍgonométdca é dadapor: z = lz í c o0s + i. s e n6 ì = z í " o " 4 + i. . " n a ì \ 2 2) e lz = 3 a= 3 b=0
(apÍlulo4. Númss.omplexor
5
Então: z= -3 =3
Rêso||'|ção: .
I
1l
1tì
\
4
4)
aJz=rlcos-+r'sen-l= cos0=-:=_:=-l lz3
lí \ zlì
^(J,
=0-âÍg(zl=n
^b0_ zl
f 2
3
2 )
2
2\6 2
=
+ t"lz "E to1o. z: ",E+ t"lí.
0<0<2n
Í
o;z: Jãl cos] + r . sen]l = ' 610* . U = z 2) \
= n 6 . 0 + ' 6 . r = iJ ã Logo,a fomatgonométfcaé dadapor: z=3[cosrÌ+i.senÍ] 22. tscrevana íomìa algébdcaos seguintesnúÍneros
-
-(
n
rì
\
4
4)
+, .s enaI o l , = '6 Íco a s 2
\
7Í t ms +l ocjz=31 ^ \
o
2)
lÍ) sen I a^/
Logoz : ir6. . í 7Í 7Í\ cJz = dlcos-:- + .s€n-- l= o
\
o)
,r r = e l- " o " 4 + i 6 \ "-*6 I ì/l= l BIl L : -IJí +
9,(';)]
zr.
Logo,z= +16
íd;ú,ir;pnprõ;ì trsonomeÍ earonnâ E;. ;;;"';;;;Ínérrica ca dos seguintes números complexosi It-
êl zl cos + | .sen:- |
It-
bls[cos0+ì.sen0]
I
a l t3 +
bl -\i3 +i
tut| "' dr-n3-i I
| 3 l. LcÍe\a rè 'oÍnar'qo oneÌ caos seguites ìJ ne os
I I
Iti
.l I
I
I
compexos: al6
atz*zi cl 8.J3+8 2i
ils J o . ' ] 32- ta"ru," na formaaloeoricaos )ea- nleò nune os
I
\
-3nYr c.J cos-
,I
1tì
o
a)
+ 1. sen-
dl4[cosr!+.sen,r]
e; zlç65I1; ss.II \
4
4)
33, Determin€ o valordo aÍg[z]dosnúmeros cornplexos: t+iJ3 "r. - ---;---;
o' o e)2
.-Í
comole"os
J4.lJadoò os'ì-Ììeosco-npe\os z 1- V3iez -l: êl coloqle-os nafoÍmatrigonornéÍicã; bJefelueo produtozrz,e cooqueo na forrnatrlgonoqle lzjz,l= lzj z,l e que c) constare arcQÍ,) = arclzì + atglz,).
116
Maremát o . cônrexro&Apuodes
Multiplicaçãode númeroscomplexosna forma trigonométrica Consideíemos os núm€roscomplexosz,ez? dadosnaíormatÍ9onométrica: zÌ = lzÌ (cos0r + i . sen0r) z, = lz, (cos0, + i sên0r) zrz?= Ìzr(cosgr+ i.sen 0r)Ì2,(cos0,+ i.sen 0,) : lzr z,ì(cos0r + i.sen (]rxcos0,+ í. sen0,) = lz,llz?ll(cos 0, . cos0, - sen0, . sen0,)+ i(5en0] .cos0, + 5en0r.cos0,)l= lzjllzzllcos (01+ 0,)+ i.sen ((]j+ 0z)l Portànto: zrz, : lzj zrllcos(0r+ er) + i . sen(0r + 0r)l Assim,o produto de dois númeroscomplexosescritosna íorma trigonométricâé o númerocomplexocujo móduloé igualaoprodutodosmódulosdosfatores e cujoargumento é ìgualàsomadosargumentos dosfatores, Íeduzidaà le voka (0 < aryQÍ,) < 21Í).
n
-Í
,rì
Resolução: Substt!ndo osdados doprobema naíórmua temos:
z z ^ z z l c o sl^ '
|
\4
"2)ì,." " " Í"
:bl-l cos3Í +r.sen 3r! ì| 4 4) \
14
'ìl2ll
'
geoméidca Fazendo a nteÍpretâÇão desseproberna.
Emzrz, houv€Lrmarotsçãopostivaa zr d€ um âÍìgulo igualaoânguo de 22.Or.rseja nessecaso,holrveLrma _ Íoré(;ode j : èz,.C oroodrg-ìenrooer,ed e z. re.ebêu J n" oloÇ;ode :, o o od 10 z. e z- oêssà '2 ' "" Jd o rnool-lo a e a o, n-r.o oLo a l" 424 zrz,ó 6 quecoÍrcspofdea 2 3aú 4122.
ObsêÍv.ção:AÍórmulãda multiplicação de dois númeroscomplexos,segundoaqualbostomulíiplicarosmódulos e somarseusorgumentos, éválidaparaum númeroqualguerfinito d€ vãloÍes,lssonoslevaráà potenciaçãode nú meÍoscomplexos.
Divisãode númeroscomplexosna Íormatrigonométrica óadosos núme,os comp**o u * r.j,Tü]ii., " ilï,ì:";* r,, 2, - lz,l(cos o, + i' seno,) podemos obter o quociente
z1 z-
, para z) 0, àsqim: -
z , : l z ,) tcos10,- o,t+ i' sen{0r- 0,)l 4 llJ podeserfeitamostrando queoprodutode ÂdemonstÍâção de5sa relação fl porz, é iguôlâ21.
lcos(er er)+ i. sen(0i 0r)l
Í
de com o segundonÚmerodiferênte Assim,oquocientède doisnúmeroscomplexosnaformatrigonométrica, O,éo númeÍocomplexocujo móduloé o quocientedosmódulose cujo arïmento é â diferen(adosargumentos
riÌJ à ìÉvolta argldàda, reduzidà naordem dosdoirnúmeíos l0' .J
24. Calcue o quocente j| oara7 = 2lcosl: - + L, sen:: -\ le 4l 4 z, \
, - = g Í "o r l +.r" n Iì
2 2) \ Resolução: Substt!ndozr e z2nafómlla dada,ternos: '
; - i l . " . ({;) -(ï ; ll
4
de é o ârgutocôngruo !
at cuea < fL
< 2,1t.
pÍopostos Exercídos cornpexos i:;. Dadososnúrnefos / 5,r 7=6t .ns-+.s€n 6 \
5,! ì te 6)
í w = 3l cos:- + . s€n1-\ L caculezw,w2, 4) 4 \ zw wz
36. DprFrr ineo rur pro oTDÊ.oz,.rabe'dooLp z- = l0lcosr: + . s€nrl l e s.l ' 9 \
Llr + .s"n1lrì ,.- = 2oJtÍ"o, 18./ '
\
18
àrgumentos talque Osnúm€ros obtidos devem ter seus
Potenciação de númeroscomplexosna Íormatrigonométricaa primeirafórmulade De Moivre* A poténcia 2",n F 'N_,é dadapoÍ1"- z z -'z. 0 + i sen0),temos: z: ]zl(cos escritonafoÍmatrigonométrica Assim, seumnúmerocomplexozestá z ' 2.2.....2- z|.|z|.... |zI.lcos(eF0-... 0 i i. s e n { 0 ru -. 1 . 0 )ldên íàroè.
^,^- ;i"
;;;;,*
"
!o1.de
+ z" = lzl"Ìcos(n0)+ i . sen(no)l (fórmulãde De Ìúoivre) Paran 0,temos: (0. e) - i sen{0.0r1- l{cotO I i senO)- l{1 -Oìzo= lz,olcos
I
Assìm,podemosdizerque a potênciade ordemn de um númerocomplexoescritona formatrigonométricaè é i9uâlaoargumena n e cujoârgumento cujomóduloé igualâomódulodonúmeroelevado o númerocomplexo (0 < primeira < poí volta arg(2") 2t[) à to do númeromuhiplicado n, reduzido -'
(toozI rs4), francês. úãtêmárco ebçta. aeuorvre
1 18
. (onr..xto t\,taremár.a &Apkãçõs
25. Dadoo n-rreo u -z(crls"
,.'".Iì,a"."-'
z= 1
4
\
Resolução: NafoÍmâtÍigonoÍnétrca, temosi
zrc=0
ltu=
:(4'["*[,' ?).'*"(,' +)]
lvlasi
.senz.1l= 4)
í1-
35ír
442
+ .s€n 1|
4
\
35Ì colleòpordF a o .ovolal Ías. ::: 2
4)
NafoÍmaa gébrca,;em
,trì , - z l ' . o , r t .5 6 nn l - 2 l !l a . v2 lI
= ntí+
4)
'
12
? )
r !1- :31 /
2
tn 2
Eroe
3n r'"on Jl - a. ''' zo r 2 )
0u sea.i:1 é cónonro dê :: 2'2
',1í
--( cos7Ì +r.sen tÍ\ l= z- = 2õl 4 4) \
- )
\-
Í
(,+)' ("ã1"70rl
Logo. 27= l28lcos-:
4)
Logo:
, = frÍ*..l4 r *n lìl' = L\ '. 4.)l /= Z'lcosZ.ll+ 4 \
= Jtí"o. Zt + ..unZtì
Laso.zl = 6a\1, 26. Calcue a potênca[]
64^lt . )ro.
Rêsoluçáo: Umadasmaneirâs é Ínultiplicâr [] D pofee mesmo, u$ndo dezíatores. Outmé des€nvolver a expressão [1 ]r0 usandoo b nônìo de Newton.UmaterceiÍâ rnan€im é escrevef o núrnero comp/exo [] - l) nâfoÍrnatfgonométrica e usâfa fórmua de DeÍVlowe. As-
Portânto: z" = tr
jl* il,, = 2'Ícos \ 2
. *" !lì 2)
Nafoma a gébfca,te{ìosi, z'! = (l ),0= 32to+ ti-tll = =32,0 32i= 32i Logo, zro= -32i. 27.Detemhe,a rnenofvaof de n Ê lN., pam o qual l2í3i+ 2J éreaepositivo. Resolüção: Passando o núrnero z = 2 + Z16i pama formatrigo nornétric€:
. f ,- .,, lz= íz+l2v3] = J4+12=4
z=1-l ^a211 z42l
b = -1 EnÌão:
l z = J t r l ' + t D '=J2 cosu :
E
= 1 F.
.1,
I
3 L = !!1- = !1 1-|+0=1T60"ì 4 2 ) ""n o =zl lls€ndo€ íórmula de DeN,4oivÍe, ternosl z" = lzn[cosn0 + i . senn0) =
= cÍ"0"l1l+,.""ntlì s e no- b: ) a E ^ = g=
0<0<2n
\
z
3
3)
Parâqueznsejafeale postvo,devernostef sen-
=0
ç65!a ;' 6 3
Comon e N',Íaz€rnosl
n = 3 =se n
t:
'
- lir lj^
67t 3 -5 g n z i= 6 " " o " ! a = =cos2Í=l>0 Logo, o menof valorden e N*é6. Nessecaso,Ìemos: (:n6i+ z)" = +,f"o" z" + .sen 2írl = 4 0e6[fea posrtvol -
r r\6^
q = s€nn= o ecos!a 33
@---___.,
-t <0
I
paran = 4e n : s., Verifique
pÌopostos Ixercídos 3?. DeteÍm ne
"np
3r puru,
a ) 2 ,= r [
que z'?,f e f sabendo 39" Calcule osvalores daspotôncias
2=21ç6s3a1,ssnal 3
\
3)
aspotêncas: 40. Usando cacule a Íóffnula deDeMovre, a l0 -D3 bt t3 - 305 cl + ii2 ií2l
.,= 3[
t,, = .(
d lll
t"='l
í31
e) (r + J3iJ apo' JB De.err'reo p-odilo/,4 e dèa s! r êrpreBção Ínetrca,noscasos: | . .\ alz, = 2l cos++ 'sen;le
0 lv3 + J -(
2
\J
z,=sl co "1+'.s en* ì \
- 3f = c os - + b) z rl3Í
z
z)
'sen-
e
2 )
h)( 3l'' l Ï Sabendo qlreI = 2(cos30' + . serì30'l e = delefiì]ne z, 3(cos150'+ sen150"J,
2n 2n zr =co s e +L sen
Radiciação- Íaízesenésimasde númeroscomplexos Dadoum númeÍocomplexoz e um númeÍonaturaln, n > 1,defìnimosem C: ón = z. l de zé ú'rnnúinerocomptexorotal:Qrlè Raizênesima Exêmplos: 1e) 2, 2,2ie -2i sáoasraízesquartasdo númerocomplexo16 2, Pois2a= 16 2,Pois(-2)a=,16 2i,pois(2ì)a: 16 -2i, poisl-2i)a : 16 Há,portanto,em O,quatroraízesquartasde16 do númêrocomplexo-1. 29) i e -i sãoasraizesquôdrâdas pois i, i']: -1 -1, pois(-Ì)'?= 1 de ì. Há,portânto,emO, duâsËízesquadrâdas
39) 3 e -3 sãoasraízesquadradas do númerocomplexo9, 3, pois3'z: 9 -3, pois( 3), = 9 Há,portanto,em O, duasraízesquadradasde 9. 4e) 1, 1,i e -i sãoas raízesquartasdo númeÍocomplexol. 1,pois1": 1 -1, pois( ì)4: 1 i, poisia: 1 -i, pois( i)a: 1 Há,portanto,em O,quatroraízesquârtasde 1. 5e) A únicaraizquintâ de Oé 0,poh Oéo úniconúmeÍocomplexotalque 05: 0. A perguntaentáoé:Quàntassãoas raízesenésimasde um númerocomplexoz+ 0 e comopodemosdetermi_ ná-las?Veremos i5socom a segundofórmuladeDelúoivre,
f
A segundafórmulade De Moivre consideremosonúmerocomplexoz+otalquez=lzl(cose+i.sen0).Encontrarâsraízesenésimasdez significa determinãÍtodos os números complexos distintos do tipol lol(cosd + i. sen(r) de modo que o" = z paran > 1,ou seja,procurarnúmeroso tàl que: o:
+ i. sen0) lo (coso+ i. senc)1"= lzl(cos0 Aplicando a píimeÍraíórmulâ de DeMoivre,temosl o n(cosna+ ì. senno.): ]zl(cos0 + i. sen0) Daigualdade: on : Io[(cosnd + i. sennd) = z : lzl(cos(] + i. sene) n: vem o lzl,cosnd = cos0 e senn&: sen0.
Dêiof = z,temosl(ül=!4tl (sempre posirivo). reâte DecosnC[= cosB e senna = sen0,temosl e=o+zkr+a=
o +?kr
(comk e z)
Mas,paraque 0 < a < 27r,é necessário que O< k < n - 1. Assim, que: concluímos
0+2k,r e+2kn\ or = Vlzll cos.:::-:- + i.sen - - 'l (s e g u n d a f ó rmu la d e De Mo iv re )p a ra k = 0 , 1 , 2 , . . . , ( n _ t ) 'r- (nn ) Apósk:n-l,osvalorescomeçamàserêpetir,Então,de0an-l,temosnraízesdistintas. Obseruemos queessafórmulatambémpode serescírâasstml
-
-ï',l l .o,Í-9 \n |
k . 2 * . ì , i. * " 1 - 0 , k . - 2 Íì ì rn n ))
Assim,qualquernúmerocomplexoz, não-nulo,âdmiten raLesenésimasdis_ tintas.Todasêlastêm módulo iguai a ifif
e seusargumentosformamuma pro-
gressãoaritméticâde primeiroter.o 9 e razão4.
n
Geometrica mente,as n Íaízessãovérticesde um polígonoregulârden lados. Logo,sâbendouma delase sabendoquantassãono total,é Éossível obter às I raÍzesdesconl_ìecidas.
121
Capítulo4'NúmeÍos(omph)(os
28. Deterrnineas Íaízes cúbcâsde -i e nterprete asgeoResolução: & fi3nìa compleÌos Escrcvendo z nafor- Núm€Ìos maÌÍgonometnca,le- = 1 z aitêmarcumento naraa>oef
a=0
'
naraa<0.
Assrn,asraÍzes cúbicâs de -i são: Í lr ,!ì u"= lcos + .sen l= " 2 2) \ =eesA1;.ssna=61;.1= 22
(
tr
ur ì
o.= tcos +r.sen t= ' 6 6,] \
=n 6 +1 rf -"ti = r
tÍ
z n=
6
66s6-!=6 l
."n s =l=
.
^ ètgtz) -. = 3r o= 2
| -rl=
0<0<2Í
.iã 22
2
vã
vem: llsândoa segunda fórmula de DeMoivre,
jl:
I
= ì / il* . 2 133l
jll
+ 2kJr
+ zbT I
+,.sen-Ll
+t
/ r ìt= \
2)
l
lln 66
2)
2
( ttr tt'r \ o"= lt cos +.sen t= ' 6 6,, \
. = ,í"o"!t *, . ."n!1ì \
Ji
6
2
I lÍ
/
rì
vE
l
\
2)
2
2
geomeÍcamente, ntercretando âstrèsÍaÍzescúbicas estãosobreLrma crcLrníeÍênca d€ Íaiolo = I e dv d""ma cÌcunleféncia em três €fcoscongÍuentes de Att_èo." r0_-àn00u-r lÍèTgutoeolta€rc 0e veï.ês 6 Po,Pj e P2.Secac1rássernos @3, encontrarÊrnos @j= oo e P3coincd ria comPo.Ê assiÍnpoÍ d ânte:P! = Pl
\,/
i,/i=t(reapostvo) Còrnon = 3, entâok podeÉsef 0, 1 o! 2 Âssm, .paÍak=0: 3r 2"'23rl 3362
3,r
3,I 222/1Í 3336 .paÉk=2:
3n
7n
3Jr
I l,r 2
3n
-, 3
UD:evec.P
r! 2
-3
3
3n 7,! llJr ê, h
ô
6
lln 6
29. Encontfe l +i. as|aÊ€squaftas do número complexo Resoluçãol
r ì A ^. PA Ce Í 4 7 : o
zl=\11'+1' =J2
122
. (ontexro íÌ1arenáfta &Aotiedes
c o s- l1J.=v 5 Jr=
2
."" = v\tf"16 " .a * ' .." "aì t6/
senn= nr=
2
9n o,= "E( r/ztcos-+t.sen' t6 \
g,Ìì 16,
."' = ,ã Í*,r l+ ,.*"!a l \
, * ,i o,re,r"nto
Geornetricarn€nte, asqua$oraiesquartas €stãosobre Lrma cifcunfercncia de Éio V2 edvdema circunfe-
f;
énciaernquatroarcosconoruentes a !1 rad.forma' t6 do LrmquadÍado devéncesPo,Pj, P, e P3
n\ sen I
z= !ttco - ( s* +
4
\
.' *u,*'*.
t6.l
25tt . t:.1 25r ì @.= vl tcos +.sen-l 16 t6/ \
+ aie arcuÌÌìefto {; -a +,
. * o,,ru,n"n,o f;,.
16
4)
Âprcando a segundaíóÍmuâ de DeIVlovrc,temos: 0+2kn
r,l /-
l:
I
r's en0+2f,nì Jz^"
- - - J , tl*.1 ^
"
'*" r"
t)
,,r.nI
I
{J2 = ii2 Coíno n = 4,então k pod€Íá s€r0, 1,2e 3.AssiÍn:
30. Determine asraízes enésirnas do númeÍo compe\o t. Resoluçâo:
1l
.l_
= t6
çe56=1=1 l
i + 2íl 4
9n 4 4
seno= 9= o =0=afg[z]=0 t6
0<0<2n
. pank:2
L + "n
17í l
z=l[cos0+.sen0] Pelasegundã fóÍm!a de DeN4oivre, temos:
t6
O+zkÍ .r/ or=\/rlcos-+l \nn) enìqu€k = 0,t,2,3,.. [n
. pa r a k=3: -
'! 4 4
25,r 2brE 4 4 16
uoseaõ queos aÍaLrìe_Ìos r a1. - ' ì dpA d-
a /;o ::. t6
on t6
t6
.Jr 25fi 0rt6 16
As a /e s o u d -r" sd ez são
0+2kn \ ]1.
Portanto, as raízesenésirnas da undadesão dadâs pofi .írLr
\7 -ll cos-ii:+.sen n \ nl
'--l.l.-0 Í\)
t2l
123
. NúmeÍor Capítulo4 ompkms
Pofexempo, as Éízesquanêsda undâdesãoobtidas por[n= 4,k= 0,k= 1 k: 2,k= 3] oo=llcos0+ì
-
sen0)=1
= ll m s : : + t. s e nj l l l =l[0+ì]= 4 4) \
. pat ak = 21 a
ú - llcos+
!
.c ê n 4)
-'
..e
|
!T -
.0 ì-
-110 í--Ì
l
-i
€nésmâsdaundadeesGeometrcamente, asn Íaízes tãosobrea circunÍerência de mo I e dvdema cÍcunNest€ex€rn a feÉnciaernn oartesconqruentes -. plo,â crclrnferèncla íco|Jdivididaem quâtroaÍcos a a. conaruentes
ObseÍvação:Seo é !rnadasraízes erìésirnas de um númeÍo cornp€xoz e pr pr, ...,pi sãorâízes enésimas daundade, €ntão ôp|dp, .,dpisãoas mízesenésÈ q!afpamdetemrìinarâs rnasd€z Pof€xernpo, Íaízes tasde8l: 31= 8l = o = 3 (é Lrma râizquartade 8ll quaftas Comoas mÍzes da !ÍìÌdade sãopr = l, p, = , _l = = quatÍo de pa e rakesquaftas , entãoas F3 8l são: o p j =3 . 1
=3
o P , =3
:3
op3 = 3t-ll: op4=3i-D=
-3 3
propostos ExeÍcí(ior núrnefos 45. EnconÍeas Íâ2escúbicasdos segunt€síìúm€ros 42. Detemin€as€ízesquadmdas dosseguintes geoméÍca: compl€xos € dêsuafepfesentação geoÍnétrcá. sLra rcprcs€ntação compexose dê _ a)125 b) 27 cl8 dllr- ,ã geometricârììente asÉ2es: 43, Determneas mkes qLrâÌtês dos seguintes números 46, Caculee reprcsent€ al cúbìcas da un dade; geoméÍca cofnplexos € dêsuarepfesentação b)q! ntasda undêde .r) I s.v6j cl sextas daunidade.
b lr
!6
elJã+t
47. UÍìrhexágono d€ rcg! aÍ estáfscfto FacifcunJerência y'z= 4 e urndeseusvértices é o aÍìxode equaçãox'?+ z = 2i.DeteÍnine osoutfosc ncovénces.
44. Cscue ss raízes sexksde 729
e trinômias binômias ffi! Equações que pos5aserreduzidaà forma: Qualquerequação icoma e O e b C O.a , 0 e n F N) "*.-6-6 é chamadaequaçãobinômia. Pãrarêsolvê-lâ, isolamosxnno primeiromembroeaplicamosa segundafórmulade De Í\4oivrel
ãx n + b = 0 < ì x n : oe i. Essa equação admiten raÍzesenesimas
-h
:
Í
124
. conterto Matemálka &ÂDlk&ôês
Outro tipo muito comum de equaçáoque envolvenúmeroscomplexosé o que se pode rêduzirà chamada equaçãotìnômial ax,n+ bxn+ c = 0
(coma € O, b € O e c € O,a + 0, b + O e n € lN)
Pâraresolvê-la, fazemosumâmudançadevariável,xn: y, obtendoumaequâçãodo 2egrau: ay?+by+c:o cujassoluçõessãoy' e y". Recaímosentão poisy' = xi e y' = xn. nasequaçõesanteriores, Resolvendo-as, temosasraízesdaequaçãoinicial,
t 3l.Resolvaasequâçôes em0: al2x 3- 16i: 0 b)f + 26x3 27 = A
blx6+26x3-27=o Fazendo a rnudançâ devafávelf = y,temos y'/+ 26y 2-7=A)
Resolução:
a) 2x3 l6i= 0=2x3= 16r+x3:8 procurafas Vamos râízes cúbÌcas de 8: z-A a-0 lr=8
zetrtw
4 =!3+d
26!28 2
=>y=1ey':-27 Âgo|a.precisarnos resolver as equâçôes binôrni€s xr = I ex3= 27,ousejs,pfecsamos encontraÍas mÍzes cúbicas de I e d€ 27.
çss6 =9 =g I s6 n 6 =9 =1 -8=asizl: 8
- 4.11 27) 2
-26 !
!
2
0<0<2r
e=ar clz) =0
z=8i=8lcos -+ l .S e n ;l
0Ì=\tz
0+2kÍ
r,l
tcos \nn) n=3,k=0,k=t,k=2e0:0 oo=licos0+i.sen0l=l
I .se n0+2kJrì J
C o m o n =3 ,k=o ,k=t,k= z.Ja =ze g =L
2
. "= z Í c o sI+.se n a ì=" 6 + \
6
6)
..' = 2(*, lL + . \
6
"""
!"ì : _"ã r 6)
lou- : 2lc os : l :+ ,s e n :1 1 = , ' 6 6 ,/ \
\
." =,í"0" 4 * . \
,}
o^ """ 3)
ì: -l
2
2
'ã 2
+Eì=z t.
o-=31 cos_:+ . qênrl l= : +:_h i " 3 3) 2 2 \ or=3lcosn+i senn)= 3 5n 5n\ 3 3 i: -Í U=J|cos-+.sen]=_._í3 3 3) 2 2 \ ' Logo,o conj!nioso!çãodaeqlação x6+ 26x3 27=0é:
Logo,o conjunto souçãodaequsção 2x3- 16i= 0
'ãr,
3
2
z= 27..t zl= 27 0=ârg[z]=ri
r .^= 1 , - t " e s:{" 6 +l
o+ 2kr ì
4ì= _l * 6 ,. = ,f"o.4*,..-"n 3 3) '
'
u+2f,n
r ,í
22)
",6
r
g s-u E - + - , ! 3 - 3,
(âDitulo4. Númemsomplsú
I
48. Resolva emC: asequações alx3-8=0 b)x'z- =o clx4+l=0 dl xa i= 0 elx6+72s:0 Í1 2x5-64:0 glx4-(l+D=0
125
hlr?- r\, s-0 ilx4_lOx?+9=0 jlx!-r7x4+16=0 llx'z 2x+3=0 rnlx6+7x3-8:0 n)x6 26x3- 27 = 0 qLr€I + jJt é urnadâsseissouçõesda eqLra 49. Constate çãoxb+9x3+8:0
OutÍasaplica
32, Aplicaúa à ceonetria Llrnaaplcaçãompoftarìte da mutiplicação de núrn€roscoÍnplexos naforrnatrgonornéüca é possbi tar a rotação de coordenadas no pÌano.Novo!me 2 desta vnos algLrìasaprcaçòes dp n " riles; co ncoleçâo putação gráÍca.sendoumadelasâ roÌação de pontos emreaçãoà orgem.EssemesmopâpelanÌefiomente porumamaldzde Íotaçâopodeserdesernexefcido penhado pelosnúmeros poisnamutiplicacornpexos, de do s complexos nâ forÍìra trgonornétrca rn! ção tplcarn-seos módulose soÍnarn se os arcumentos. Podantose unìponto[a,b] deveserrotacionado, em Íelâçãoà origeín, emd gÍâusno sentdoant horáro. bâstârnulïpcaro núíneÍo complexo a + bi pelocompexoI lcoso + i. send]. D€acordocomo textoacima: do pontoA[3, 4J a)Encontre as novâscoodenadas apósumarotação de 90' nosentdoantihoráÍioem relaçâo à ofgem.
Rêsolução: 3l O pontoA[34] reprcs€nta geoÍneÍicamente ocom plexoz - 3 + 4 PaÉhavefuÍnarcÌêção de 90'no pÍecsarnos sentdoantr-hoÍáro, ÍnultipiicaÍ z p0Í I [cosg0'+ i. s€ngO'J. Como I [cos90'+ i. s€n90'J= i, entãobâstamutiplicar z poÍi. 4+3i=[ 4,3] t3+40.i= Então, as novascoordenadas do pontoA são 4 e 3, ouseja. A t-4.31. geob) 0 pontoA[]. 1) e o pontoB[3.4) representarn Íneiricamente oscompa\os w: I +iez=3+4i. Comoa rctâçãoé emtomodo pontoÂ, devemos rotacionaÍapenaso númerccomplexo à I queequivale difer€fçaz - w (nocaso,t = z - w = 2 + 3l e depoissomálo no!€mente comw Assim,comov stono iÌeÍna, parahaverumarotaçãode 90' nosenïdoant hoÉro pÍecsâmos multipcaf pof i € depossornar - w PoÈ a 'oldlio ê F_lro1 o de w
t=t2+31.= 3+2 t + w= 3 + 2 i+ l+ ì =
2+3i
Alsrr êsnovascoora"ndoas ao ponroB s;o 2 e 3, ou s€ja,B't 2 3) e A{1, l). 33. Fncontre asnovascoodenadâs do segmento Â8, corn At-1, 0l eBt5, 4l,apósumarotaçãoê€ 60'nosen bl Encontrc do segÍn€nto AB, as novascoofd€nâdâs ldo ant honár o ernreaçãoaopontoA. de 90"no comA[] ll e B[3,4] apósurnarotagão €Ínrelação ao pontoA. sentdoanlihorédo
126
(à ' contexro lÌlatemát &Apkade5
Resolução: p€lafotaçâopeddaè O complexo rcsponsáve .t; lícos60' + . sen601=I+lÌ 22 A[-l 0]=w=-l B[5 -4)=z=5 4 O cornplexotque Épreserìta ABé rl=6 4i. t5 4l-i /,
' 6 - 'lt| '
F\ u' lI -r.r"6 t
U Z
z' ,,6 -
= l2a/3+ 3l + L3a/3 2li Enrão w+r '=
nafeprcs€ntação a gébfcaa + bi. Alémdisso.usama notaçãow Z 0 pâma íormaVgonoméïca complexo w. lw [cos0 + i - s€n0] do númerc Baseado noteÌ1oacmafesovao problema a segur: Urnalonte d€tensãode\aar el caz22D zo',ainenlÀ _ojj ,nê uaaade ìpedánoà Z - tl0 o-ì. 0b e peafonte. nlraâ coffentefoÍnecda Resolução:
r +12v3+31+13J3 2l=
= l2\i3 + zl + l3v3 2l
Parael€tuaressadivisão,éprefetueltef UèZnafoma tÍ gonornètrca )áleÍtos| = 220Z0' = 220(cos 0' +i. sen0), e aoo-ao eci.drosobÌe-aíomar,go'oretncàdeZ Z= l0+ l0lcos0=
o! sejaB'12J3+ 2 3./3 - 2].0 ponto Asemãntém A[ ],01,após a Íotação 34, lplicaçãaà Engenhana elétìca F 'l flcLúo)deco-|e'ìte dre êdd,poe\e'ìplo.êsIo talações eétÍicasresdenciais, as gÍândezas elétrcas sãoanaisâdas como aLrxíìo dosnúrneros complexos, o qLrelaci tâ muitooscác! os A reaçãoU = Ri,estu dâdêna Fiscado ensnornédoe ques€Lti zadosnú mercsreais, tomaseU = Zi,emqueU é atensão, Zé a impedânca e i é a coÍ€nteelétrica, sendoqueessâs grandezas passarn a seÍrcprcsentadas aÍavésde nú meroscornpexos. PaÍaqlr€nãohalaconlusão entrei, . -lbolodd-ori"nre-le d -i r-dader.dSi'ìdia.o. pngFr'rêio. qe ri'oi rdn i conoLfloaoe"rdgndr'd
5Í]. Qualnúmefocompjexo, na formaalgébrica, devesef lsadopamsecorìseguir urnarotação de a) 45"antihoráro; c) 90"horáÍio. bl 180"antihoráÍio; i'
ConsdemndoaslnÍomìaçôes da e\erctd a resolvìda 34. rcsovao prcoremâl
t
Z:Jro'+r0'=t0J2
.tEl t0 =;l t0{2 l0 =.t2 -lé| 0 : a 5 " 2l 14.J2
,,/
Então: r0 | 0 . rovttm"4'" I i.:p rs'ì, i0!t.
-=z
."
: co",0' /5'l-.s€n(0'-45111a.12
= I r'â lcost 45) + . seni-4511=
= ,,,4 Í,É -4 ' ì= ,, 2 ) ''' 12 @u11J,t
4s1
Umafontede tensãode vaor efrcaz110z 0', fornece umacoffentede i = I I z 60' pa|aalmeftarumacafga. Z dessâmÍga? Qualéa irnpedânca 5íi. DâdoÃ8, hdodeurnÍânguo eqúiáterc ABC,coÍnÀ[2,]l e 8[6, 3], obi€nhâ queelepeftenc€ o védceC sabendo equèod'te "o
Atividades adicionais l Efetue asope€çõesndcadas, escrevendo o fesLrtado natoÍnaalgébdcaz:a+b a)C]-31 + ( 2 +5)
S.DeternìnexÊlR€y€R paÍaque 3.0= 13lx+y.i)tr
b ) c 3 + D + t 2 sD ()
(1
\
ì
cìl- :+ i l + l - :l+ \2 ,/ \3 ) dlo 5l t2 7l eì f l
ì
iì
I
6, Detefiì]neo númeÍocornplexo z = x + y. z'1=8.
i 2 -,
0 +(3-)-2 s ) t - 2 i ) - ( -3 D t2 +D n l r + l l - lz--l 'ì+l r+l I \
3'/
\
4./
l'
6)
r Ír*]ì*c-r -at D ( - 2 + 3 D + (r -2 l l +(3 ) ( 2 + 4 1 0+2 0 lt r lt \ mì l-:-rl-l +2rl \3 ) \2 ) nl i3 D t 2 )+i ol3+t a l
I
5l
l
n-r\l2 + | l ,l +l + | / \3 ./ \s -, ql2 tl ) 3 2, Efêtue asop€Íaçôes indicadas, €scrcvendo o res!tado naforÍnaalgébÍìcâz= a+ bi. a) (3 + 2)(2 4) b)0 2D(2 5l cl 0 + 3Dt2 2ltl 2ìl dl t2 + 3Di3D
e rÍl +zll l \2
,/(3
el )
I ('ã i)('ã + zr) s)ta 2D3 h l t 6 + 3 D t 34 ) + t5 -D tr +3 D D 0 - D ' 0 + D-0 .-l tl +r t t 2 - 5 D 0+3 ) D ( 1- D . m lt l + D ' n l 3 t 1+ i ) t 2 - D olt-l - l'zt2 - ) _. Ãì.^. - J pr /^ - ar t. ltz' -, oì f2 - r'ì+ r- f4 + 3ìl
o valofde.mparaqueo prcduto(2 + m)í3 + I €ì Qla sejauTntTnag naÍopuro7
a) 5 bt6 c) 7
7. O vaofde rses$7ds,rôé al 0. b) r. c) ]
ta que Í
dl
el i.
8. Se i repfesenta o númeao cornp€xocllo q!âdÉdo é igua a -1, d€term n€ o vaoÍ nlmérco da soma 1+ i+ ir + F +... + ir7. 9. O valordâsonìaI + +,+ Ì3+ ...+ irsi ondeié a lrìidad€ irnag nára,ó g!a a: al0. bl-1. c)1. dli. e)
10. Caculando o valofdaexpressâo +f+5+f+. + rr+ l' : + t + i+ ! + + f . + i4 , " " ' - -'
dJ + r .
alL lrl l cli-t.
el l+L
.i2 + l5o Ì l_-S mplfcândot2 D'0'j t_2_Drm.(_2Ì3 a)L dl5. b)2 + . c)2- 1 l2- Caclle [1 + lro 0 a) 32 b)32 c) 64
)ro dl64 e)32+ 32
ì 3, Escrev€ nâíonÌaz: â + b osnúrneDs comp exos: ^t; ',=(*Ì
'14, Proveq!€:
+) ì r ) ( r + D ( l+ D3 (r s ) 3 ( 7 + 2 D [(5 +4 0 +]l
I
4, Det€rrn neos núrnercs reasa € btas que =[b+]l+â.1 [9-a)+b.
dt8 e)l0
/ -/ . t , o ; o Lori gddod" diÍeíFrca ndicada é igualàdf€ÍençadosconlLrgadosl = a + b, €ntão (isroé,sez bJz+z = 2Re[z) z+Z=2a). = a + b, €ntão (istoé,sez cJz -z = 2lmtz) z-z=zbi). d)ã = z isto é, o conjlgadodo conllgadode !m nú rnerccomplexo é igwlao pfópronúrnercl.
dz
Ì 5, calcue: - .. r - , l+ 'r , --
(1- 2)' l 16. D€temjne o núÍn€ro cornpexo zta qu€: al . z + J lz
-
".2+ "l
l=b+
I
b)tl + ilz - tl + 2ilz= -g + 5. 1 7. Resova a equaçãa32 + 2 = 2z - 3.
t
-. 2 3íì.\- ìqLe.ol ètqJrs",er pos.qJô pdd qLêFq, e cos numeÍos compexos z1e 22 temossetnpÉ z1+ z2 < z1 + z', Depois' t€nteprovar / rr 3T.OTodJodon,meÍocomoleìor-l
dl iÍnpossíve ern R e possíve ern0.
(r
20, Cacr.re a distâncade t- l. -41 at0 31,usandodo$ processos d iefentes 8
-ì6
,.3
b)L
-_2 qi
\': I e.
2./
ô1 ú22+a=z
6l'R 38. Escfeva nâlormatrigonornétÍca ossegLrnt€s núÍÌìeÍos
23. Câlcueosvalores reêlsdea e b pêraque 24. í\Tlarque no p anocornpexoos núrneros complexos z=a+bila qlre: ala=2eb<3 b)2a+b=5 25. EÍr qu. quaoé-reícê o poÌo coÍÍesporoelÌe èo L . 2 f'meÍoConìPexo Z = -? 26. Calculeos valofesde:
bli D' (l 27. Deternr neovaorde
1Ç
z. e z^ è reDes€ntado 00
19, Dé exemplode op€Íaçãoq!€ selal al inìpossíveernlN e possíveernZ bl inìpossíveernZ e possíve€rn0; cl jÍnpossíveernQ e possívelemlR;
altzl
.tE
-
a)4= 1+ 4 b) z, = 5 - 3
3ã, PÍovequeo ponïornédio do segmefto de retaquelga
b) 21= 1e2, = 4 c ) 21= 4- 2 e 2 r= 1 d) 2, = - 2 * e 2 2 = -1 + 4
22. Detefinine zta que: a)z 1'1=22+i'zr
33, Escíeva asexprcssôes naformaa + bi. a)r 5 +t2+3i) b)(2+4D(4-2i) 34.Traceo v€tofcorrcspondente a cadâurndosnúmercs compexos abaxoe deteÍnine seumódulo:
18. EletuealgébÍica e geometÍicarnente â âdçãodosnú meroscomptexos z, e22'quanÕo: â)4=2+2 ezr= 4+3
2I. Encontre o núÍÌìeÍo ztâlq!€z':= l5
qlestãoanterioré pama adÈ 32,0 conlunroAda Íechado sto é, a adção dos A sempÍ€ d€ números de dá çã0, urnnúrn€ro deA? Epama rnllÌlplcação? I ustÍque.
c) ' il'z
dl
28. Usandoo resultado do exercíc o anterioÍ,deteÍmine (l e i)rr. lro il 29,ResovaenìCaequaçãox' 6x + l0 = 0. 30, Determ ne urnaequaçâo do 2qgra! que,erìr0, tenha comoEÍzes 5+2€-5-2. 3 1. Prcencha astabelas dasopemções de adiÇão e rnulÌÈ = {-1, l, -i. i,c). ' p cação noconjuntoA
at ,E + t"E
d )0 + D0
b)
e )- + f l + l
"r+
Í-ì -: -----: + f i+ I l+
D
39. Escrevâ naíomaalgébrica osseglintes números coÍì( cos3 n + dl-. vz \
c
n .--( oì Jt cos + |. 2 cl bl cos
+
3nì sen l 4/
s€n
nì I 2)
r€n
l
40, No p ânocartesiano abaxo ÍepÍesenkrnos urnreógo marcando l0 horas.
Seo ponïercdashorasrn€de5 cm e o pontero dos q|]e rninutos med€8 crn,entãoos núrneros complexos ndcamo ponteÍodashorase o ponterodosm nutos guas a são,Íespectivârn€nte, al s[cos30"+ . sen30"]e 8 bls(cos30' - . sen30"1e 8 c)s[cos]50'+ .sent50Je8[cos90' .sen901. dl5[cos]50' + .senl50J e8[cos90' + .sen901. . el 5(sen150'+ cos150"1 e 81. gÉíco quefepresenta 4I. Consdefe o seguÌnte o númerc complexoZ=a+b
47. Cacue o valofdassegLr nlespotências:
_,t
' lt ' , , , ,ì '1
i'
" '
i" "
,Í,/l .l
48. Escrcva naíoma a + b o núrnerc complexo f r,
,ls
z= l2r lcosa+ ,..enaì 12 12) ) L \ 49.CJ. ea<" -rqLdo?dd.apl 5- 2 tão:Obtenhaw= a + b d€ rnodoqu€ w'?=5 + l2l.l
9-ge.
SO,Sendo u = I + uíradasÉiz€sqLrartasde Lrm currrpe xo z det€rmneâsoutÍastrêsraízes. 51. As miesquadÍadas do númerc 3 + 4 oncl€=J r, a)12+ -2 I. bl{r + -r -il.
cl{3+,3 dl{4+,4
} j
qlaÍas deumnúrìrero 52. UmadasÍaízes complexoz é3 Âs outrasÌrêsÍaÍzes são: queo s€gm€nto Sabendo OZ med€duasundadesde compÍirìì€nto, âssnale a alÌemâÌjvâ corrcta
d z = n E+ i üz= \E +i
üz= \E+ \E dz=1
aE
c)Z= 1+ a?j que 42,4 fepresenlação de todosos númeÍos compexos têrno móduogua a umaconstânte, corno,por€xern pa. z =2,é glraa: al urnquadÉdo. dl unrâelpse. b) urnsernicífcuo €) umareta. cl urnacircunÍerênoa. 43. Repf""sente no planodeArgêndGaLrss, todososcom p exoslas que: = l; <1. a)12+1 bìz+l 44. Dosnúrnefos complexos z quesatsfâzern ê condição z 2 - 2i : 2. deletnirc princpali al o de maofargurnento b) o de maor móduo 45. R€prcsentando no panodeArcandGauss os compe xos2,ta que z - I + < I, obtemos. âJumacircunÍerénca de Ía o I bl umcÍcuod€centfo [ì, ]l e Éo l cl umareÌahoizonta paÍes. dl a bisseÌdz dosquadÉntes el Lrmsernchc! o. 46. No panocomplexo o conlunto dospontosz = x + yi tâlquelz0é: âl Lrmâ cifcuníerénc a bl !m cífc!o. cl Lrmquadfado centÉdonaofgem. dl Lrmserncíc! o. el !m segTnenrc 0e rcm.
o " 6 + ,6 ,,6 ,' 6 bl,6 + 3i,nã
3, 3
'ã.
dr''ã .,ã, ./ã. 53. Dadososíìúmeros complexos z= I
3i e w =
b)z cl arsM dl o qladmntedo afxod-"w elz+w t)w z gi z!!
11) z'
1!. lJ -w -l lm)J natormatrgonometca 54, Enconúe o número compexoztal qL)e 2z + , =2. 3s. 55. Resova âsseguntesequações emC: ê)2x, 6x+5=0 bJx,+2x 5=0 gfaLr 56. Det€nn neequaçô€s do segundo com€íz€s: -2r e, /: br iê' "13 57. Dâdoo númerc conìplexo z = I + !6 , calcul€: a)z,t quaftâs b)asmízes de z. 58.Osoo o. A B"CsàoosdI o do: xosz,= []
il,,z"=-
€2.:[l+D[]
-).
€spectvamente. AáreadotriânguoABCé iguâa: at2.
b'L
.l
dl
,8
Í
i:.ì
è$cq4q!srq@4q I . [Fuvest-SP) Det€mneosnúrnercs conìp €xosz ta q!e : = q!€U + dez. z Z 4eã 13.en é conjugado 2. []\,4ack z +z=2 + éurn SPIÂ souçâo daequação núrnero cornpexo cujomóduoél
,+
ul 9
= a + bicornb + 0ea,b,c É R.0 iO. ÚTASPISejamw conluntodos nÚrneros cornpexos z que veriÍcarna €qLraçâowz + wz + c = 0 descÍeve: aJurnpafÕefelâspame as. bl uÍÌìâcrc!ní€rência. dl umafetacorncoeíoente anqular m: 9
-rr
"l; ar.lvunesp) complexo SejaL o aÍxodonúrnero , = 16 + i sm ums stema.le coofdenadas caftesa nasxoy Det€flÌì ne o númeÍocomp€xob de módulo gla a I. cujoaÍxoM pedence aoqlartoqladrantee éta qle o ánguoLOMé reto
'i::..
4. lV!nesp)Considefe o rìúrnefo cornpexo
l
l:.
J
'' r 22
,ór o,e
J L[-ro "eonrleo
corìrp exov cujornódulo é jguala 2 e cllo arcurnenlo pÍlncipade u. pfncipaé o trpo do ârgurnento 5, (Fuv€sÈSPl a)Sez,= 6656, 1.s€nerezr-cos0:+.sen0r, cos(er+ 0,1+ i .sen[0r+ 0,]. bJMostrcqueo númeÍo conìpexo z = cos48' + . sen48"é É z daequação
I ' {0) de modoquez'sejâurnnúrnerc rca? '7. (Uncarnp SP)Achetodasas Íaies lreasecomplexas] = dê equação x6 7x3 8 0. . Ja.\ -e$rqê1oonJ"rn.rpo a."
po\eq.ForJ-
r í . , ã ì e. J
d.êoloç;ooop
.ì. .. crnp rD cdJp,iooSe part€fea d€z e complexo, o núrnerc rcalxé chamado pof + é indicado Re[z),ou sela.Re[x y] = x. tulostfe q.e o con. _odospo rosq re r . lâler dpa'alio p- p o oo o./.0J q"l t 2" - -L o. '-1 ,-. " ) , "o "r"" " é umac rcunfefèrìcia
ô é pd dFi\ê polgo o êr un.ddde. de i ó g a r. -o ^1-
" "[.
'2
dt 'v'
J,Ì.
e))Í
12- tLlFpB) q!a squerdo conl!nto S€janì x e y €lementos c={S=rn+ni m,n€Z},onde =í L Consi proposçôes deÍeas s€guintes e assinaecomV a[s] veÍdadeira[s] e cornF,a[s]Íasa[s]. [ ] Sey+o oqlocientea€c.
v
[ ] O prcduÌoÌy € G [ ] Ásomax+y€c. A seqüência corÍetaé: âl VFF d)WF. bl FVF. el VFV cl FFV fl FW Ì3, tvunesplS€a. b. c sãonúmercs inÌerospositvos tas quec= [â+ b], - l4i.ernque,= -l,ovâlordecé: a) 48. bl 36
5, IPUC-SP] Dadoo núrnerc complexo
rÊÍ0c0-0e\0,-l;I ' \'_/ bfcaxri+, + x + t:0.
I l. tlTÂSP)Considerc, no planocaÍesiano, Lm poligono reguaf cujosvé|!cessãoassol!çôes zb= ] dâequação
d )r4 e)t.
r4. LU'--rò (_]Uè_rc 7- a0rurero cono'eYo
|
.a
all€mativa incorÍetâ é: â) ËscÍito nalormaa gébfcaé z = 6 bl0nród!od€zé6 a Íad. c) O aÍqlmentodezé -2 d) Escrtonaformatrigonornétflca tern-se z = 6[cos,Ì+ i. senn] e z7êLn -,leoteal 15. IUFBAIS€ndoa" a pad€r€aldo númeÍocomplexo n.tu âln. d€terÍnlne | , paÍâcadanúmero
| -
S = a o + â r+ a r+ . . . I6. (lecelOvêoÍ dea,no nteruâ o f0, : Darco ouâl I 2) o núnìero complexo x = cosa + i.
x'=
.l: + 22
20. [UFqCs) geoO á 9Jo o rêdo o^ldsreo esêrld(õ-s métricas dosnúmerus complexos z = J3 + i€ z. é:
r, salsÌazl c );< è < l l
32
âr+ b)+
cr+
ô+
el rÌ.
5 17. [FGV-SP] que plano Ádrnita o centrodo complexo AfgandGâussconcidacomo centrode !m relógio,de ponleros comondcaaÍguÍa:
21. lUfscarsP)Se]am i a undadeirnagnára e an o n és m0tefinodeurnaprcgressão geométrica coÍnâ, 2€r. q + E + f3 +. -+ 3SealéumnúÍnefohpar,então e gua â: âJgiou 9. .d)8+iou8 bl-9+ ou I e)7+iou7-. cl9+ioug
Seo ponterodosrninutos tern2 unidades de compf m€nto,às llh55 sìrapontaestarásobreo número
22. [uefl Joãodesenhou ummapado qunü desuamsa, ondeenteffo!urncofreParâisso,usouLrmsistemâ d€ coofdenâdas retangLraÍes, colocando a ofgeÍnO n€ basede urnamangue |a,e os exosOxe 0y comsentì dosoeste leste€ sll-none,respectvamente. Câdapon to [x,y], nesse sistema, é a repfesentação deurnnúrne =x + y.xe lRy€ Re r= ] rocompexoz Parandcafaposição (x,,yrl € a distância d do coíreà oígem,Joãoescrcveu â segunteobseÍvação nocanlo do Ínapaxr + yì = (t + l, Cacule: (xr.y,); al ascoordenadas blovaofded.
uìI
3
o a ca
al r + a6i.
d) .*ã -
b l r+G.
e l '6 +.
cl t - r,6. 18. [UEL-PR) Nafiguraabaxo,o pontoP Íepfesenra lrn 'ì- ne o conple\oz 10 plè-od" A gend-Cdus!
que abaixo é z, s€b€ndo-se Qla dosnúmeros = oP \,iiã? al s+4 dJã b) 2 + 3i e) -a4ãi cl2-3i 19. [FatecSD Nafguráâbâixo, ospontosA, B e Csâoas irnagens dosnúmeÍos coÍnp€xos zl, 12e 23,no pano deArgândGâuss.
Se 4 = z,l= 4 =!6 zt+22+4éigrata: ")
(t -
r;:
"6)
í:i.
cl l3 + {3 li
e0=60',então
dl3 + !6i.
e)3i Jã.
23, lvunesp)Considerc os números compexos w= 2 e z=[1 +D. Determne al22e[w'zz+ w),ondezindicaoconjugadodez. queâ sequenc bl z è w . ÍVlostre a [t , z, w, ar,lw,J geornétÍica, ê uÍìa pfogressão deÌeffninando todos osseusteÍìtos€ a suaÍâzã0. 24. lFuvestSD Determ ne os números compleÌos z que t') =r"n( = t. sâtsíazem smlltaneamente., 2 \1+i ) lLembrctesl,= -l; sew = a + bi,corna e b reâis,
: ú' +f emaolq
= r.l etmtwl
25. [UFN4G] SejaS o conjunto de númercs corrpexusz t€rsqLr€lz [2 + 4) = 2 al No planocornplexo,lâça o;sboçode S, sendo z=x+ y, comx e y núrneros f€as. b) Deiemneo pontodeS rnas pfóxÌmo daorgern. 26. [UFN,IS) Considefeâs seguntes informações sobÍenúrnercscoÍnpexos: . UmnúÍnero complexo z podeseÍescÍitosobaíoÍrÌìa z = x + y, ondexe lRéa padeÍeay€ Réa paftemagináÍiâei=Jl. . O conjugado d€ !m número coÍnpexo z = x + yÌé = ìndicado por2 x -yi. e defnido Sejanì zr e 22númercs complexoa ÌaisqLre z: zi=2+16i e \+ 22=5 + . calcule a soma d€ parteÍealcoÍna pafteirnagnáÍia do núÍìreÍo Òom
plexo 26Cr- z,].
i
": ,Y o,e 'abetiadìzetp,t1qup momcntodp '::, iua Jatü.t\ào(ame'oúa u\ar lPt'a. 'ott outros'tmbolos na Lu!í\Ìdc 4ümerospara rctolvet problemas fiatefiáticosl Certamente,fio início aleseusestudosdeMatemátíca, vocêÍaziã contase resolvh problemas queti hãm bLlstate ligaç,1a.om o seúcotididt1o,até que chegauum po ta em que osproblemds eram mais compleuos; essemomentoíofttm i troduzidos artiÍícíos que Írci.lih:twlm a reprcsentaçãados componentesdo problema, ,om úo u udr14 'que5ub\t'tuLa ma t 4 ' ò-8 n td-édaíquerc ma erpressoo "a x da Etestão"! PoisvidHístória tambémÍaí assint. Voltandoaas.élebrespapiros egípctos,rtmos que na início os problemas trataram de sítuítçõesdD cotidiana e eram resolridosde um modosimples, quasepar tentati14. Mas cofi a tempo surgiram
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os simbolos,e a Aritmética se trdnsfomoú em Álgebra.Na wtdada Aútmétícd eÁlgebw coer.ísteme estdúltimd é, hoje,bemsoJìsticatla. O termo á\gebra wm do título do livo HisabaÌ-jabrwhl-muqabalah,escrítoemBagdá por wlta da aúo 825,pelo mdtemátíco/irãbe Múhommedú n Mu,a al.l(hoba4 -n ì (Meone. Jílho de Moisés,de Khowarizm). Ueja na Íoto umapágína dessaobra. O matemáticoAl-Khowarízmifoi quem prapÔsa feofg,rnizaçã.a dos termosque apãrecem 44 equdçãop1.fa se chegdrà soluçao.A Algebrusurgitia com essaf.nalicìad.e rcsolver equações , por issopaderiaaté serchamadã h ciêncíadas equações': següúdoBaumgart em Tópìcosde históriada Mâtemáticâ. Dizemos bquaçõesdlgébrícas"qua da stta campastasde temos qLtecottêmpotênciasde x (oudeoutraletraqualquerqueindiquea wriaveLl; a c\píe\ao qu?a \a4lrm echomatla polfuómrc. O maior expoentedex intÌicaa "gau" dopolínôqtmenLr.a gtnu da quaeìa. mio e. coú.eqü, Ass|fi,dìzemas"equaúadoseguncìo grau"qtnndo qssim o mdíofex.paente dex é2 e por diante. Desdeo séculoXVI são .a hecídasíórmulas para a detetmifiaçãade saluçõescleequag'aup 1òe.de 6tpqupt16 91íru.4 do 'egundo
esistíahá basta te tempoe nósa cotlheembocemos.omo'ÍórmulacleBhaskara, ra elajá fosseaplícadabema tesdesua erahíndue viveu o séepoca(Bhaskara culoXII), atíbuíndo-sea Al-Khowa.rizmí a deterceirograufoi desen' suad,eduçã.o; volvídapelonatemáticoNicolaFontana por Tdúaglia(que deBrescía,conhecido signfi.ca'gago')sand,odepoíspublicada por Cardano,(vercapítuloanteríor);e a d.equartogra.Ltpor FrufiçoísWète(noséculÍ,XVI). A procuracleuua fórmula quedcpoteminasseasraízesdeuma.equação que grau que quãtro e maior linomialde e clependesse apenascleseuscoertcíentes (adição, subãsseisopewções envolvesse divisao,potenciatftzção,multíplica.ção, só terminouem 1799, çaoe fttdícía.ção) publicouúmaobra quandoPaoloRufiì,ni na qual sobrea teoriadas equações, mostraqae a soluçãoa@búca (isto é, por meio de fórmula) de equãçoesde grau maiorquequatroé impossível, O estudodospolinômios(comsuas qpl,icaçõe,íoí tão a.mpla.mete exploque seseguiradopelosma.temáticos jti ram aos cìtudosqueseriaintetmi ávelettporseupercurso6qui. Osdesen' possíbilítLram o volvimentos algébricos muíto avançade áreas aparecimekto d.asdecálculo,entreelasa chamadaAnáprcparandoa camlise matemátíca, po para grantlesavançosn6 pesqaísa cíe tííica. Estecapítuloé deelicadoao estudo polínômíoseà resolução deequações d.os algebrícasde qualquergrau, Veremos desolucomoa alisaraspbssibilidades Ictla equaçã.o, chamad.as raízes ções, d.e va.ndoem co ta que n'ãod.íspomos que e d i atam en te s eus r mul a n e a ím fó for ç valores,sabetldo,e trctanto,queno ul1iversodos úmeroscomplexosnenhuma delasfica semso[uçã0.
ntêd-.gLroselma sãproveitou aoÌ-.rtado l. Umpequeno.onìÊrclâ ATACADÂO € comproìr300 pacotesde âmendoimtoÍado de d ferentes 5abeseq]rena suâcompÍahâviatrêstamanhos pacote(pequeno, nìédloe grande) e q!e o númerode pacotes pequenosÍootrip o do númÊro grandes de pacotes por pacotes grandes nd cândo x o númefo de comprados, a) êmTunção €xpresse, dex: . a quantdadede pacotes pequenosl . a quantidade de pa.otesgrandes. t€ a tab€a abaxo -"represente, emfLrnçãod€ b)Consu r a des'
AIACADAO O F E RT A !
AMENDOIMTORRADO EMPACOTE Pequeno- R$ 2,00 Médio - R$ 3,00 c) Se; despesaloÍ de RS860,00,qLrantospacotet de .acla tipo o b e . é q è o ó . p . è
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omp,rè,!o
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.rqLrrâ. a áreadessa saLa emfunç;od€urnadâsdirìensóes, a) Expresse a porA(r). lndicando D,
o
..-".'-.
dô.è A pè o .no
a q. o d-.
c) Calcue asdlnìensôe5dê 5aa paraunìaáredde 35m' dÊsuaâ tura,.onlorrne 3. Asdlmensôes de Lrma cdxadependem
o vô ume dessa a) Dê a expressão algébrca que representa caixa,ndlcando o porV(h) a eq!.çãoalqébrcaq!e pernìt€ calclrara aLt!rada b)Escrev. caixaquandoovo unì€é de 6 272ur. p€. parliclraÍldade dasme nÊÍe €xercício, c) Espe.ialnìente vocêé capazde det€rÍìnârâ âlturada dldasapresentadas, caxanascondçòesdo lÌemb, Expermente. rá comoresov€requa Ao onqodeí€ câpítulovorê descobr (quândo nãoholverparticu ardadet. çóesdesseupo
Í
134
íareÍìálkâ.(mtexto&AptiGções
Introducão Naresoluçãode problemas,é muíto comumocorreremsituaçóesem que a leiturae â compreensão do enunciadonos levama formularexpressões que permitemdepoisa resoluçáodo problemâpor meio de umaequação oriundadaséxpressóes obtidas.lmagineporexemploque,em determinados problemas, os enunciâdos noslevem àsseguintesfÌguras e suâsdimensôes:
Í
A primeirafiguíâé umaregiâoretangularde dimensões x e x + 3, cujo perímetroé indicadopelâêxpressão:
2x+ 2 (x + 3 ) o u 4 x + 6 e cujaáreaé indicâda po. + 3) ou x, + 3x "(x A segunda fÌguraé umcubocomarestasde medidâx, cujaáreârotaléindicâda por: e cujovolumeé expressopor: Aterceirafiguraé outrocubo com arestãsx+ 2, cujaáreatotâlé: 6(x + 2), ou 6(x, + 4x + 4) ou 6x2+ 24x+ 24 e cujo volumêéexpressopor: (x + 2)i ou x3+ 6x, + 12x+ 8 . Todâs essãsexpressóessão chamadasexprcssões polinomioisou polinômìoJe serãoobjeto de estudo nesteCaPitulo.
polinomialoupolinômiona variávelcomplexâxtoda expressão Chamâmos expressâo da forma: ânxn+an,lxn I +an rxn 2+...+a2x2+atx+ao . an,ai_ an r, 2,-"a2,ar,aosãonúmeroscomplexosdenominadoscoeficientês; . n é um númerointeiÍopositivoou nulo; . o maiorexpoentede x, com coeficientenão-nulo,é o grauda expressão. Veja,porexdmplo,asexpre5sôes polinomiais: polinomial 1e)4x+ 6:expressão do 1egrau(gÍâu1). polinomialdo 2Ê)x'z + 3x:expressão 2egrau(grau2). polinomialdo 3q)xriexpressão 3egrau(grâu3). 44)6x'? + (l - i)x+ 5:expressão polinomialdo 2egrau(grau2).
Quenom€seEáàs al óxs +óx,+6x+8
135
Gpítulo5. Pôllnômios
PeladefìniçãonáosãoexpÍessõespolinomìâìs: . x _b3x:! + 1,poiso expoenteda variávelxnãopodesernegâtìvo. 'z . x'+ +
denominador. - , poisà vàíiávelxnáopodeàpàíecerem
. xf + 5xã + 6, poiso expoenteda variávelxnãopode5eÍfracionário. .1Ç + o"Ç + 2, poìsavariávelxnão podeâparecersobradicâ|.
Funçãopolinomial polinomiais. ' polinomiaissãodenominadasfunçóes As íunçôescomplexasÍ O -t C dêíìnidaspor expressões . f(x)= 2x - 1 é umafunçãopolinomialde grâu1. . g(x): 3x, 2x 1 é umafunçãopolinomìaldegrau2 . h(x): x3 6x'?+ x - I é umafunçãopolinomìaìdegrau3. . p(x)= xa- ix: é umafunçãopoiinomialdegrau4. Então,toda funçãodefinidâpor: í(x)= aJtd+ a" - 1x" ' +
+a,x, +a1x+q
paratodo x complexo,é denominadafunçáopolinomialdêgraun,em quê n é um númerointeiropositivoounulo ea. ediferentede O. Seo graude umafunçáopolinomialfor0, entãoa funçãoé definidapor f(x) - ao,com ao+ 0. Exemplos:
19(x):s 2e)p(x):
2
Polinômio polìnomial)evice_versa, de formaque A cadaíunçãopolinomialassociase um.únicopolinômio(ouexpressão àsfunçõespolinomiaisou aospolinômìos nãohá conÍusãoemnosrefê rmosìndistintamente Exemplosl le) p(x): 5 é um poìinômiode grâu0 ou polinômioconstante. 2e)p(x): 2x + 1 é um polinômiodolq grau 3e)p(x): x')- 5x + 6 é um polinômiodo 2egrau
ìdenticamente nulo Polinômio nulo (Pin)comoo polinômiocujoscoeficien DeÍine-seo polìnômioidenticamente p(x):4"x" + 4" rxn-ì+ .. + arx + aoépolinômio nulo tessãotodosnulos.Assìm, = se,e Somente serai an r=.,,:ar:âo=0.
p[x)=[m'z- 1)x3+lrn+ ])x'1- x + 4, l. Dadoopolinômo o graìrde p(xl. comrn€ lR,discuta Resolução: oscoefcientes derCe x2iguâs a 0,temos: Fazendo rnr_l=0=m?=1=rn=+l l Ín+1=0+m=
coeficient€não-nulo,não s€d€fìnegrâupaÌãele.
. sem+l em+ l,opolnômoseÉdo3egÉt . sem = t, o potinômo serádo 2egÉu. . sem= t,opoinômiosetãdo tegmu..
t
. contexÌ0 Matemárkã &Áptc!ôes
2. Calcue osvaorcsdeâ, b e c paraosquas o poinòrnio p[x] = [a + b]x,+ (a b 4lx+[b+2c-6] Resoluçào:
l a+b=oO s€ p i ,l=0=1a b 4:0 O ^ lb+2c
6=0 0,
ReLrn ndoOe(D, temos: [j a + b = 0
la - D = 4 R esovendo o si sterna, obtemosa=2 eb= S!bsttuindob enì@, vern: b+ 2c- 6= 0ã 2+ 2c- 6= 012c= Logo,a= 2,b=
2 8=
2ec= 4.
pÍopostos Exercícios Ì. V€riÍique sesãopolinômos alptxl=2x3+x+4
blsr:r:."F + 2!Ç r
cl [x] : x'?+ 3xr + 4 dlhtx)=x5-l el q[x) = 4x5 ]
rl ptx)- 2
2. Emquecondçôes o gfaudopoinómìo ptxl= ia + 2lx,+ tb 3lx+ tc- tl é0? pâÉm c R.o gruudospoinômios: 3. Dscutr, al p[x]= [rn 4]x3+ [m+ 2)x,+ x + ]. b)pixl = trìì, 4lx4+ (rn 2)x+ Ín cl ptx)= trn,- l)xa+ lrn+ ]Jx3+ x, + 3
s ls ( x )= + 3 x hlq[x]=x3-x':+2x-2
deumpolinômio ffiValor numérico ConsìdeÍe um polinômiop(x)eum númerorealo. O valoí numéÍìcodo polinômiop{x)pârax: o é o númeroque seobtémsubstituindox por o e efetuandoos por p(a). cálculosneces5ários. Indica-se p(o)éovalornumérìco Então, de p(x)para x = d. Êxemolos: 1e)O valornuméricodê p(x): 2i(a 3x + 5 parax : 4 é: p(4)= 2(4)'1 3(4)+5:32-12+s:2s Logo,p(4)= 25. 2-o) Dadop(x):4xr - 3x':+ 5x 10,ovalordep(x)pâra x - 3 é: p(3)= a(3)3 3(3)'1+ 5(3)- 10 = 108- 27 + ]s 10 = 86 Logo,p(3)= 86. 3q)Sep(x): 3x:
7,então;pâra x : i,ovalornumérico de p(x)ép(i)= -3'
@ o *ro' nun'*i.o ao I polinómio
7:
Assim,de modo geral,dâdoo polinômiol p(x): a"x"+ a" rx'_ ì + aô ,xn , + ...+ arx+ ao ovalornumérico de p(x)para x: cÌé: '
I
nuloé 0 paraI I quàrquer v"ìoÍdex ., tO. I
p(o) = aícr"+ a" Jan I + an 2dn-2+... +.arcr+ ao
Observaçóes: le) Seo : l,ovalornuméricodep(x)éâ somadeseuscoefìcientes: p(1)= a^. 1i + a"_ r . 1" I +ân 2.1"':+...+a1 . 1 + ao- p(1)= an+ ai +ai_2+... +ar +ao I 2ã)Seo:0, ovalornumérico de p(x)é otêrmoindependente: p(0)= a" . 0" + a" r ' 0" I + a" , . 0"-, + ... + ar . 0 + aor p(0)= a0
117
p(x) = 2x3- x'z+ x + 5, cacule 3. Dadoo polinômio pt2l - pt-11. Resolução: 5eodÍêda-Íe e pros Cac. a-dopí2ì F o[ p(2)= 212)3 - (2)'1+2+ 5 = 16- 4 + 2 + 5 = 19 p(-r) =2i-l)3- i r)'?+[ ]l+5=-2-1 l+5=l ASS|Tn:
p(21-pi-ll=rs
r=18
4. Dadoo po nônìo, naloÍnraíatorada p(x)= (x, + 2),tx3 215, deteÍnine: coefcientes; a) a sornadosseus b)o termond€pendente. Resolução: bâstafazer: al PaÍaobtera somadoscoeÍÒientes, p0) = 0, + 2t,0. 2)5:3' . t tl5 = I . o) Daraootê o er_lo-depeldere bdsla;/e . p[o) = to'z+ 2]'zt03 2)s= 2'1' (-2)5 = = 4l-32) = 128 p[2] = 0, p[x]é do2egmu.Sabendoque 5- UnìpoinôÍnio p[-]) : l2 e p[0J= 6,escreva e d€terrnì o po]nòrnio
neptsl.
Resolução: S€p[x]é urnpolinôrnio do2egmu,suêlorÍÍaé: p[x]=af+bx+c Então: = 0 = a[2]'? p(21 + b[2J+ c= 0+ =4a+2b+c=0O p i-l)-1 2 + a t rJ ' ? + b (r) + c : 1 2 . ì = a b + c = l2 O ptOl= 6+a(01? + bt0l+ c = o= c = 60 Substtu ndo0 emO e (D,temos: f + a + z r. = a [ 2 a + b = 3 la b : 6 Ì a -b = 6 = I e b = 5. Resolvendo o sstema, obtemosa qle a = I,b = Sabendo
5ec=6,vainoses
p[x]= ax'? + bx+ c = x'z 5x+6 Agora,varnos caculafp[5]: pt5l = isl'?- 5t5l + 6 = 25 25 + 6 = 6 ogo.pí\ì-. -s\ oep[.ì 6.
propostos ExeÍcí(ios 4, Dadoptx)= x4- x
3, calc!e p[-2)
p(x): -3x3+x'?+x 2eg8l:É 5. Dados gí'. cêcLleof-lì
x'z+x l,
xa .3x'z+5 paÉx = 1ã. p(xl = 2x3 6x'z+mx+ n. 7. Cohsderemos o poinórnio m en Sepf2l = 0 e p( l) = -6, caclleosvaoresde
6. Caclrleovaor de p[x]
quept l) = 0 cacule ovaoÍdea ern 8. Sabendo = p[x] 2x3 4x'?- 3x + 2a
9. Detemneo polinôm o p[x] do lr'g|autal queptsj = l3 ePt3ì=7 I0, Calcueâ sonìâdoscoeÍcientes do polinômio ptxl=tx 2ltsix6 x+2f ì l Caculeo temroindepend€nte do polnômop[x] obtido desenvolvendo sea expr€ssão lx': 3x + 2]t8x! - 8x'z ll3. 12. ConsdeÍeo polinômio ptxl = aÍ3 + bxs+ cx'?+ d = = pill Se 7€ pt0l 2,qla ovaloÍdea+ b + c?
Fl lgualdadede polinômios Dìzemosque dois polinômiossãoi9uaisou ìdênticosse/e somentese,seusvaloÍesnuméÍicossãoiguaispara todo d e O.Assim: P(x): q(x)ie P (lt) = q(o') (v d €ol dois polinômios Pàraq ue issoaconteça,suadiferençap(x)- q(x)devesero Pin A5sim, p(x)e q{x)sáoiguarsse,e somentese,tem coefi(ienLesrespectivamente iguais(oscoefi(ien tesdostermosdemesmograusáotodosiguais). Exêmplor Dâdosos polinômiosp(x): ax3+ bx'?+cx + d e q(x):2xr + 5x2 4x + 3,temos: p(x): q(x)(ìa : 2,b : 5,c : -4ed = 3
Í
r1Ìêr
Íi
rnrvÀd 'ddôd"
6. Determine osvalofes de a, b, c, d e e de modoqueos osP[x]= ax4+ sx'z+ dx b e PonÔnr g[x) =2xr+ tb -3]x3+ t2c llx2+x+esejamiguais. Resolução: Pâmquep(x)- g[x],deverÌìosteÍ:
0=b 3=b=3 5=2c-t+2c:6=c=3 e: -b: -3 Logoa = 2,b:3,c = 3,d: I € =
3
propostos Exercícios '13.
Detemneosvaoresdeae b paÍaqueselamgLrasos polinômiosp(x)=3x+2e qtxl = ta + b)x?+ ta + 3lx + i2 b)
r Ì 4. Dados p[x]= [mx,+ nx+ p]txl t) e g[x)= 2x3+ 3X,- 2x 3,deterÍnine osvaoresdem,n e p parâquesetenhà p[x)= g(x).
4:-R
[r..flRaizde um polinômio quep{o)éovâloÍnumérico Jásabemos p(x)parâ do polinômio x: a. Seum númerocomplexoo é tal que p(e) = 0, entãoessenúmeroa é chamadode roDdo polinômiop(x). Exemplos: I e)Dadoo polinômiop{x)= x, - 7x + 10,temos: p(5):0i 5 é Íaizdep(x) p(3): -2 3 3 nãoé raizde p(x) 2e)Dadoo polinômiop(x)= x3 3x, + 2,temos: p(1)=0ã1éraizdep(x) p(3)= 2=3 nãoé íâizdep(x) 3e)O númeroi é raìzdo polinômiop(x): x, + t, poisp(i) = -t + I = 0.
7. Sabendo qLre -3 é razdep[x]= x3- 4x, âx+4s, calcul€ o vâlorde a. Resoluçâo: Se-3 é Íaizde p[x],entãop[ 3] = 0. DaÍl pt 3l = C-313 4[-3]'?-a[ 3]+48=0= = -27 - 36 + 3a + 48 : 0+3a - t5=a : 5 L090,a - 5 8.0 polnômo p[x] = x3+ ax'z+ bxsdrnite asEÍzes6 e l Cacue oscoefcentes a e b.
Resolução: Sep[x]admtea raz 6,entãop[6] = 0. p(6)= 63+ at6l, + b(6) = 0ã ì216 +36a + 6b: 0+36 + 6a+ b = 0 Sep[x]adrnite â Éiz l, entâop[]J = 0 ptl) = 13+ ail)'z+ btll = O3 r +â + b = 0 Varnos foÍmar,então, o sstema:
ro
(loa+ b= [a+b=-] = -7 e b = 6. Resolvendo o sisteÍÌra. obtemosê Logo,a=-7eb=6.
!ry-fgo'frypo:,!gt_r 1 5- VerÍqueseo núÊnerc 3.éraizdo polnôÍno p[x]=f 3x,+2x-6. 16. Delermine o valofdek nopolinômio al p[x] = x3+ 7x'? kx + 3, sâbendo qle x = -t é Íazdopolinôm o; bl pixl = 4x4- Bx3 [k + 5)x'1+(3k 2]x + 5 - k quex = 2 é mz do poinôrnio. sab€ndo
-l7. Calcue osvalores de a e b no potinômo: al p(xl = x3+ ta 2)x, + (t, 4)x 3, sabendo que I e I sàoraízes do poinôrnio; bl p[x)= x3+ ax,+ [b ]8lx+ I s€bendoqueté|az do polinômio e p[2] = 25 I B" DêterÍnine ovaordea pâraqle o númerc I do poinômio p[x] = x, 2x + a.
rsejuraz
139
QpÍtulo5. Polinônrios
Operaçõescom polinômios algébÍicas, como adiPormeio de exemplos,vamosretomaroperaçôesconhecidasno estudode expressões de um númerorealpor um polinômio.Emse da multìplicação ção,subtraçãoe multiplicaçãode polinômìos,além polinômios. guída,estudaremos a divisão de maisdetalhadamente 1 )Sep(x)=3x'z+2x l eq(x): -x3+4x'? 2x-5,temos: p(x)+ q(x)= -x3+ (3 + 4)x7+(2-2)x+l 1 -s)= -x3 + 7x'z-6 2r)Sep(x)= 3x,- 4x + I eq(x):5x': 3x + 4,temos: sejarnl s{pl = grâud€p[x], p(x)- q{x)= 3x':- 4x + 1 5x'?+3x 4:2x'z-x-3 s{ql = sÌ?udeqtxl. 3e)Dadop(x) - 2x1- 4x2 5x 3.lemos: Então: . grtpl ql < maiorwlor 7 . p(x):712x3 4x7+ 5x - 3) : 14x3- 28x']+ 35x 21 €nÍ€ sr{pl€ grtql, 4q)Dadosp(x): 3x 4 ê q(x)= -2x + s,temos: . sÍ{p . ql = gítpl + crtq} p(x)'q(x) = (3x - 4X 2x + 5) = -6xz + I5x + 8x - 20 : 6x'+ 23x 20
osvaloÍes de a, b e c pâÉ qlleseve fqu€ 9. DeÌeftnine a i0ualdad€ 2bl-c' f' 2cl'-6l la\ -r2d o\ :2x'-4. Resolução: O polinômo Íax'z+[2a + b]x + 2bl + + [cx,+ [3 - 2c)x- 6] podeserescÍitonaforma: [a + c]x, + (2a+ b + 3 - 2c)x+ 2b - 6 Logo,temos: [a + c]x'?+ [2a+ b + 3 - 2c)x+ 2b 6 = 2x''4 Vamos fomaf,então,o slstema:
[a +c=2 a D ]z+n *:- 2"=o
O
l2 b - 6 = 4 @ Daeqlação @,vern:
2b-e,= 4=2b=2)b=1 (D, obt€Ínos o novosstemâ: naequâção Substituindo la+c=Z la+c=2 2 2c= 4 l2a la-c= temosa=0,b= I ec=2. Resovendo o sist€rna Io.Sabenoooue ". +_i.\ 2 r-l ÍnlneosvâLorcs de a e b.
' :;.oer". r +r :
Resoluçâo: +'2)[x- 1] = x, + x 2,temos: Como{x 7x+8 a lx -r] + b (x + 2 1 (i+ 2 li\ -D \'+x 2 ax a+bx+2b t x + 2 lf x -ll t ã + b li+ t
-
7x+8 x'+x 2
a + 2 b l = " +7*, x+8
r - + r x^ r l
tef PaÉquea igualdade sevefÍque,devemos
fa+t= z l-a+2b=8 qesorve doosslFrd,obenosa- ' p b r. graus3, I l. Seospoinômosp, q e rtêm,Íespectvâmente, 5 e l, delerm neo gmudel cJp Í q. alp+q: b)p.q; Rêsolução: a) NasoÍna deurnpolnônìio degra!3 coÍÍurndeg|a!5 prerdlp For"o gêL Logoooaude'o I ql"5 b) No produtode unìpolnómode grau3 comumde i grauSorcsultadoterá grau3 + 5 = L clOgÍËudoprcdutop.ré3+l = 4.Nasubtração grauenffeo g|au4 dep r p.f q pÍev€lece o maior eog|au5 deq.Asslrn, ogrâ[email protected] ql é 5.
(iospropostos p[x)= x'? 4x+3,q[x]= 2x+4 osponômìos .l9. Dâdos e (xl - 2x3- 4x + 5, calcule:
a)ptxl + (xl bl qixl ptxl. cl 4. r[xJ. dl ptxl.qtxl. e)Iqtx)l'.
p[x)= ax'- 8x + b e ospolnômos 20. Dados q[x] =3x'?- bx + a c, deteÍnine a, b e c paraos quaisp[x] + q[x] é !m polnÒm o nuo
3 + 9j9 at. ouao
=
x x-3 x'-3x - L.cor nx+ oexr 3, calcue osvaoÍes dea, b e c,
t
]40
. (onreÍro MàÌematka &Âdnoes
22. Delennneosvalores Íeasdea e b pamq!e o binôrnio 24, Seospolinômios p, q e Í têmgraus2,3 e 4,rcspecÍva 2x, + l7 sejâigualàexpressão ment€, entãoo gÍâudo poiinômio p. q + ré tx'z+ b)'?- (x'?+ a,ltx,- aa al iguaÌal0 b) iguaa 9. abcÌ cl guaa5. 23,üo" aoq-ep,.\ 0 egr\t 3J.. t. dJrnenor ou iguala5. 0 lx -., eJrnenoÍou iguala4. delemin€osvalores dea e b pâraq!€ ptx) = gtÌ)
Divisàode polinômios
t
Dadosdois polinômiosp(x)e h(x),com h(x)não-nulo,dìvidiíp(x)por h(x)signifÌcaencontrardois potinómios q(x)e r{x)que satisfaçam asseguintescondiçóes: 1?)p(x)- h(x).q(x) + (x) 21)ogrâude (x)não podeserigualnemmaiorqueo graude h(x)oìrentâo(x) = 0. Assìm,dizemosque: . p(x)éodividendo; . h(x)éo divisor; . q(x)éo quociente, .(x)éoresto. Parâefetuara divisãode polinômios usaremos o métododa chave,semelhante ao empregaoo paÍanumero5Interros,
Métododa chave Consideremos a seguintedivisãode númeíosinteiros: 1r) 337| 8 l-r
2\
33:8+4
z") Àt
À7 -32
1 4 a=32 Subtraindo(ou somando como sinaltÍocado): 33 32=1
que: observemos
337 :
4.42
337 32 't7
-32 17 17:8->2
1 2 8 =16 17-16:1 +
1
."{",ï,".".F*" Vamosutilizaramesmatécnicaparaa divìsãode polinômios:
] e )x,5x+6 lx
lr,
3
2x:x: x'z 5x+6 x'+3x
'-'
2
x'-5x+6 -x2 + 3x
-2 x + 6 2 x -6 Trocandoosinal: x, + 3x
2 (x -3 )= -2 x + 6 Trocando o sinâl:2x 6
141
(apítulo5.Poiíìônioj
p(x) = x,-sx+6:ix
h(x) q(x) +(x) 3 )(x -2 )+ 0
'lt{{ dlvidendo
Veiamosoutradivisãode oolinômios: ]s) x4 +xr
7x'z+9x
1
x4+ xr 7x'z+9x 1 x4 3x3 + 2x': -2xr-5x'?+9x-1 2x'+6x'-4x
x4+ x3 -7x2 +9x x4 3x3+ 2x':
1
-2x' - 5x':+ 9x 1 xr(x,+ 3x 2):1+ 3x3- 2x' Trocândoo sinal:-xa - 3x3+ 2x2 x4 + x3 -7x7 +9x x1 3x3+ 2x':
-2x3 , x2 :
+ x1
1
2x
txz +9x
1
x':+ 5x 1
x4+ xr 7x'z+9x x4 3x3+ 2x'z
1
2x3-5x'z+9x-l 2xr + 6x'z 4x
1 (x t + 3 x -2 ): x , + 3 x -2 Trocando o sìnal: x2- 3x + 2
-2x(x'z+ 3x - 2) : 2x3 6x2+ 4x Trocândoo sinal:2xr+ 6x': 4x Podemosverificarq ue: ' xa+x3_1xr+9x
I = (x'?+ 3x - 2)(x'z - 2x+ 1)+ (2x+ 1)
12, Eíeiu€ a divisão dep[x): 2xa- 2x3 ]3x'z+ lox - l porh[x) = 2x'? + 4x - 3 efaçaa ver]Íìcâção. Resolução: 2x'z+4x 3
2x' - 2x3 13x' 2x' 4x' + 3x'?
qtxl .hixl + (xl = tx, 3x + rl[2x'+ 4x - 3] + + l 3x + 2) : (2x4- 2x3 l3x'z+ l3x - 31+ +[ 3x+2):2x4 2x3 ]3x,+lox-I:p[x) do polnô 13. Usando o método dâchave, efetlea divÌsão \ L. nopr\r -\ r\ b^ 8po1,l-\.
6x'- l,ox'+tox l 6x' + l2x' 9x 2x'+ x 1 2x'z-4x+3
-3x+2 Fazendo a verÍìcação, v€rn:
2x' 2x a 2x'+2x+a Lero e-sedeque' oìo r.r,
oorhhJ. 0.pt'Jê dMstud
. Contexto lMatemála &Aolkades
I4-0 poinómio ptxl = x3+ ax + b é,divisíve por lo.Calculeos vâlores d€ m e n de rnodoqueo Íesrodâ . h[xl = xz1 t" * r. *""sas condições, ca]culeosvao dvlsãod€ p[x) = xa+ rnx3 x, + nx + ] pof = x+ 2. htxl= x':+ x + I sejaiguâlâ(xJ Resolução: Resolução: O po nôÍniop[x] : xr + ax+ b deveseresfftocorno: Indcândo o qlocentepofq[x),temos: p(xl=htx).qtxl+(xl P[x)=x3+0x]+ax+b Llsando o rnétodo da chavetemos: Cornoo graude p[x]é 4 e o graude h(x)é 2, entãoo graLdFqhì e 2.Poldnro. q,\' - a\) + b\ + c. Daí x"+mxr-x':+nx+t-
i â -rl x+(b +l o ) Eíetlada a dvìsão, obiemos: f(x)= ta llx+[b+]01 Coroo ".oa-,".e opo noronro Lêrìos. a l-0=a=l b+10=0+b= l0 Logo,a=leb=-10. I5.0 polinômoptxl = x3 - 4x, - x + 4 é divsÍvelpoÍ htxl = x? 3x 4.Nessas condções,rcsolva a equa çãox3 4x'? x+4=0 Resoluçâo: x3
4x 2
x+4
PIXJ
:[x'?+ x + ])(ax': + bx+ c] +[x + 2] = qixl (xl htxl =ax4+[a+b]x3+[a+ +c+x+2=ax4+[a+ +[b+c+])x+c+2
b + c lx ' + [ b + c ] x + b lx 3 + (a + b + c )x , +
Peaiguâldade de polinôÍnìos, teÍnos:
a=ro
a+b=íì(D â+b+c= tO b+c+t=n@ c+2= I = c=-lO Conhecdos a = I ec=-l,ternos: = r =b=-l l+t-í Substitu ndoern0, ternos: I l=ÍÌì+rn=0 SubsttLr ndoern0, temos: t-,í+,/=n+n= I
Então: xi 4x, x+4=[x,-3x 4)(x ]) = Comox3 4x,- x + 4 0,vern: Logo,m=0en=-1 txl 3x-4ltx- ll:0 Poftnto,a fesouçãodaequação dadarecanarcsolução lT.Consldereâ divisãode p[x] por d[x),coÍnquociente orì e'estorl\.1rão-nJose o grèude p{\' e / e o deealações deg êL(ìelo, e".q. eji vbp ro" àre. g|auded[x)é 2. o quepodemos deduzifsobfeo gmu [x: 3x-4)[x- ]l=0 = x'? 3x 4=0o! d€ q[x)e o gÍaude (x]? x I =0 Resoivendo Resolução: a prirneÉ eqlação, temos: xu 3x-4:0+x=4ex: l 0 graud€ q[x)é a dferença entrco gËu de p[x] é de d[x].AssiÍn, R€solvendo ograudeq(x)é7 2 = 5. a segunda, vem: O graude (xl é Ínenofqueo gÍâude d[x], podanto Logo,S={-1,l,4J
143 23.SabendoqueopolnôÍnop[x)=f-6x'z+3x+]0édvsíveporh[x]=x-2,resovaâeqlação x3_6xr+3x+10=0
porx Divisão
prático - dispositivo dery+8lIig -a
Usandoométododachave,vâmoseíetuaradivisãodep(x):3x3-5x'?+i-2poíh(x):x-2.
3x3- sx':+ x-2 3x3+ 6x': f + x -2
q(x )= 3 x ' z + x + 3 (x): 4 Há,porém,umdispositivoquepermiteefetuarasdivisóespoÍpolinômiosdotipox.adeumamaneirâmâìs ptáticoou algo tmo deBriot-Ruffini. simplese rápidaréo chamadodispositivo coeÍìcientes dexdo dividendop(x) sinâltrocado
tetmo conStante do dividendo p(xJ
do quociente coefìcientês VejamosoroteirodessedispositÌvoprático,efetuândoa divisãode p(x):3xr
5x'z+x r
pÍìmeiío "abaixamos")o Repetimos(ou coefìciente do dividendo
3 ,2:6€ 6 + (-5)= Multiplìcâmos o termorepqtidopeìodivisore somâ moso produtocomo próximotermodo dÌvidendo. Peloquadro,temosi
q( x )= 3 x ' z + x + 3 (x ): 4
o mesmoresultadoobtido pelo métododachâve. LOgO:
3x3 sxr+x
+ x + 3)+ 4 2 = (x- 2)(3x3
l-t
2 por h(x): x - 2.
144
ÀlatemÍG. Contexto &ApkaçÕe5
18. Dvda ptxl = 2xr+ 7x3- 4x + 5 pofh[x)= x + 3. Resolução:
3+0
9+( 4J
t5 + 5
* -i----
l
{t
35
L0g0,2x: - 5x+ 2 = [x
ptxl
2][2x- l)
tax blqíxl
rtxì
!14
19. Determ neo quocente€ o fesÌo.lad vsãocle p[x] : 2x'? - 5x + 2 porh[x] = 2x l Resoluçâo: Obseveque,nestecaso,o coeÍciente dex nobìnôrno nãoé iguâa l; paraobÌero qlocientee o Éstoped dos dev€rnos d v dirtodosos coeícentesde p[x] e de procurado q(x), h[x]por2.Assm obtemos o quocente enquanto o festotambem Íc€OOrO p", , Í9 \2 nlão,-n o" 22
q. e. , r y- o+ f t x ) = o
htxl ptxl= {ax bl qtxl+ r[x]dividido porà + 0:
-10
= 2x3+ x'z 3x + 5 Quociente:q[x] Resto:(xl= lo Logo,2xr + 7x3 4x+5: = (x + 3l[2x3+ x, 3x + 5) - ]0.
4 9 =" ,
2
I
I
2l
Qlrociente:q[x]= x
bíÌì a
í \
bì.. à)
flxì à
20.Cêlcu€o valofdem de modoqueo polinôrnio
p[x)= 2x3+ 5x'z+mx+ ]2 sejad v síveÌ porh[x): x + 3. Resolução:
ì. ) PaÉquep[x) sejadvsív€lpof h[x]dev€Íìros ter festo
9* 11
-3Íì+3:0=3m=3=m=l Logo,m = l
lìíxl l 22 Apimndoo dispostvopfático, vern:
21. Eíetleadvsãodep[x] porq(x)parâ [4 + 2]x'z+ I x + 2 e q[x] = x Resolução: p[x]=x3
1 2
I
r sì
T-\t) 2
0
p(x): qtx)= x, Loso,
ax+ i
ilxe!?idgeÌii.stos-) ji?.Ap candoo disposìtvo pútco de Bfot-RuÍín.carcuÌe o quociente e o restodadvsãode: al p[x] = sx'?- 3x + 2 porh[x]= x + 3. bl ptxl : 2x, - rox, + 8x 3 porh[x] = x 5 cl p[x]= 2x3:3x'+x+ 2 porhtxl= 2x l dl p[x] =x'? 2x + I porhlx]= 3x + l iì8. Nosesquemas seguntesfo ap cadoo dspositivo prá p[x], ticode BÍiotRuffni;cacule, então,o dvidendo o q[x)e o festo(x). d vsorh[x],o quocienre
3l, Calcll€ ovalorde que a,sabendo p[x)= 2x3+ 4x, 5x+ aédvisívepof hix)=x-l
2i
t
Gpítulo5. Polinômios
145
p(x) 32. Efetue a d visãodo poinóÍnio por[x + i].
DeteÍnine o restodãdivisão do polinômo p(x)= 6x3- 2x'z+x+ I pofqtx):3x 6
Teorema de DAlembert p(x)poÍx a é p(a). E5teteorema dizqueorestodadivisãode um polinômio Antesdeíazera demonstração, vamosverificaroteoremapoÍ meiode um exercício, Vamosdeterminaro restoda divisãode p(x)= x3 - x2- 2x + 3 porx + 2 e comparálocom p( 2), . Usandoométododa chave:
x' + 2x'
x ' -3 x + 4
3x2+ 6x
4t+3 -4x 8 resto--->-5 . Utilizando práticode Briot-Ruffrni: o disposìtivo 5+resto
. Verificândo oteoremade D'Alembert: p( 2)=( 2)3\( 2)' 2 ( 2 )+ 3 :
8 -Á + /
+3:
s
AgoÍa,fârêmos a demon5tÍaçáo, q(x)eumrestoÌ,temos: Considerandoquê a divisãodep(x)porx a resulta umquociente p(x)= (x a)q(x)+ r Fazêndo x: a,vem: p(a): (a- a)q(a)+ r = 0. q(à)
22. calcueo Íestodádvisãod€ p[x] = 2x3 x, + 5x PoÍh[x]=x 4
3
Resoluçâo: De acofdocomo teorcnìadê DAlembeft, o restoé €uala: pial = 2(a)3- (a)'?+ sta) - 3 = =128-16+20-3=129 Logo,o restode'sta dÌvisão é 129. o vaor d€ â de modoque'o poinôrnio 23. Detemine p(xl = 2x3+ 5x'z âx + 2 sej€divisívepor htx) = x 2.
Resolução: Sep[x)é dv]síveporh(x)o festodadivisão é 0. EnÌão, peot€oremâ de D A embefi, temos: pl2)- A L 2è3 | 512Ì ae) -2 - 0 : = l6 + 20 - 2a+ 2 = 0=2a =38+a = 19 Logo, a = 19. p[x]édo 2qgra! Quândo p(x) 24. UÍnpolinôrnio dìvidìnros porx, porx - I e p0Íx + 2,obtemos Íestosl, 0 e 4, respectvarnente DeteÍmneo po nôÍniop[xJ Rêsolução: De acordocomo probemâ,p[x] é unìpo inôrno do 2e g|au.Então, eleé da formap[x] = ax'?+ bx + c.
146
, tuntêxtô Matemálkà &Aolkã(õês
Seg!ndooteoÍernâ de D Aernbei|temos: = + P(0) I + a(o)'z b(01+c= I=c= l p[]l = 0 ea[])'z + b[1]+ c = 0 +
O
= a + b + r =0 (D pt-2)= 4ì at-21'z + bi-2)+ c = 4) +4a-2b+l
=4 ú)
Reunndo0 ê (j), obtemos; Ía+b--l { l4a-2b=3 Resolvendo o s stema, temosâ: - e b: = lr. - Zx + I Loqo. -66orxl
-
propostos Exercícios J
Í 36. Calcüle o valordea a Ím de queo polnôÍiìo p(x)= x'z- ax + 2sejâdivisíve pof h[x] = x - 2.
34, Calcue o restodadvsãode: a)ptxl=2x3 ax'?+x rpoÍhtxl=x l blptxl =xa+zx'? x sporhlx]=x+3 p[x] = x'?- 3x + 2 é divisíve 35, Vefíqueseo polinômio
i
p o fx+ 3
37. Detenineb e c de modoqueo polinôÍnio p(xl = x' + x' + bx + csejâdvistuel pofh[x] = x - 2, = quando por g(x) mas, diüdido x + 2,dexerestoìguala 4.
Teoremado fator p(x), p{x). Se<éumaraizdeumpolinômio degraun > 0,entáox - c é umfatorde p(x)porx c resultaumquociente q(x)eumrestop(c)talque: Peloteorema de D'Alemben, a divisãode p(x)= (x c)q(x)+ p(c) 5ecéumaraizdep(x), entãop(c) 0 e temos: p(x):(x-c)q(x) Portânto, x - c é umÍâtordep(x). podemos (x - a)e por(x- b),comã * b,se,ê somentê Comoconseqüêncìà, dizêrquêp(x)édivisívelpor se, p(x)fordivisível por(x a)(x b).
25.lvlostrcquex- 6 é unìfatordep[x]= \ts- 6x'z+x - 6 e calcule o quociente de p[x]pofx 6.
Comop(2)= 0, entãox 2 é umiatorde p[x]. Então, vaÍnos aplcafBÍiot-Ruff ni:
Rêsolução: Âpicandoo dispostvopÉticode BrotRuffni,leÍnosl
q(x)= x'z+3x- 4 Logo, p(x)= ix - 2)[x,+ 3x 4] Logo,p(61= 0,q(xl= x, + I €ptxl = tx- 6)tx,+ l).
= x3+ 2x,- x - 2 27. VeriÍque seé€y€tê a dvsãodepE) por[x + 2][x+ ]). p(xJpara 26. Dadoptx) = x3+ x'? lOx + 8, determine Resolução: p[x]comopÍox = 3,x = 2 e x ! 0.Aseg!ìr,escrevê 5e oí-2) - 0pp( J - 0.a d,v.sáo serueÌ€ra. dutode doisíatorcs p ( 2 )= l-2 )3+ 2 1 2 ), | 2 )-2 = Resolução: = -8 + 8 + 2 -2 = 0 ptr -fl'-fì - A(3)-8-?1 c-30-8-14 p t -ll = (-l)3 + 2 t lF - i-1 ) -2 = = -1 + 2 + 1 -2 = A p(2 -(A'-(?',0f2l-8-8.4-2A 8-o pto) = (0)3+ io)'z- l0(0) + 8 = I Logo,âdivisãoéexata.
Gpítulo5. Polinônìios
147
28. DeÌefinine os vâlofesde a e b paÍaqueo polnômo p[x]= x3+ ax'z+bx+ 20sejadÌvistuel por(x + ]l(x - 41. Resolução: poÍ(x + t)(x - 4),eledeve Pamquep(x)sejadivisÍve por(x + t) e por(x 4). serdivisÍvel + I, temos: Sep(x)é divisfvelpoÍx p(-l)=0 + ( l)3+â( l),+b( l)+20:0= +-1 +a-b+20=0=a b= 19
pofx - 4,vern: Sep[x)é divisír'e p[4) -- 0 + [4]3+ a[4)'? + b(4) + 20 = 0 = +64+ l6a+4b+20=0 + 4â+b= 2l Então, teÍnosi
[à b=- ]s [4a+b=-21 Resolvendo o ssterna, obtemos â=
8 e b = ll Í
quex + 4 é fatordo polinômio 38. À,4ostrc 39" Dadop[x) = 2x3+ x, 5x + 2, d€teÍrnne p[x) para qlocientêde p[x] x= 2,x=-t,x=0,x= I ex = 2 AsegUìrescfeP[x]=x3 - x'z-18x+8 ecacue o va osíatofesde p(x).
polinomiais ou algébricas ffii Equações Denomina-se equoçdopolinomìaloualqéb catodâêquaçãoque podeseresc tâ nãforma: anxn+àn rxi r+,.. + a2x2+alx+ao= 0(coma"+0) em que os at(an,an r,.,,,a2,ar,aJ sãoelementos do conjuntodos númeroscomplexos, n € lN*e n é o gÍâu da equação. Exêmplos: 'ì-ô)3x+1 =Oéumâêquaçãoalgébricadolegrau.' 2e) x'?- 3x - 4 : 0 é umãequaçãoôlgébÍcado 2egrâu, 3e) x3- 2x'z+x - 2 = 0 é umaequaçãoalgébricado 3egrau. 4e) 1-.2x3 + x, + 2x 2=0éumaequàçãoalg'br'cado4egráu. 5e) 3x'z 2ix + 'ì = 0 é umaequaçãoalgébr'cado 2qgrau.
Raizou zero de uma equaçâopolinomialou âlgébrica Denomina-se rcizouzercda equaçáoalgébrìca + an rxn I +.,. + a2x2 + a1x+ ao= 0 anxn o valorc[de x que satisfazaigualdade,ou sêja,ovãlortalque: + an 1(|n +,..+alcr+ao:0 ancln Exêmplosr le) x'? 7x + 10 = 0 admitex:5 comoraiz:
(5)' 7(s)+ r0: 25- 3s+ 10= 0 2e) x3- 3x, + 2 = óadmitêx: 1 comorôiz:
( ] t - 3 ( r f + 2 - 1 -3
2 -0
3e)x4+xl- x) 4-0ãdmitex 2 comoraiz: (-2)1+( 2)3 ( 2)'z 4:16 I 4 4=0 4e) x, + 1 - 0admitex: i comoraiz: iz+1:-1 +'ì =0
r48
. Conre{ro&Ápl(à(õe! MatemátG
Conjuntosolução de uma equaçãoalgébrica Denomína-se conjuntosoluçãode umaequaçãoalgébricaoconjuntodasraízesda equação:
Exêmplos: ] e )x': 7x+1 0 =0
3 e )x 3 + x : -4 x -4 : 0
s:i 2 ,sÌ 2 r )3 x- 5 =0
4 e )x r+ t : 0 s : {-i, i}
t3l
propostos Exer<ícios 40, VerÍque dâda: seo x ndcado é razdaequação al x = 2t equaçãox3 - 2x'z- x + 2 = 0 b)x = -3i€qLraçãox3 + 6x,+ I lx + 6 = 0 clx= l;eqlaçãox! x3+2x, 1=0 dJx= 2 + 3iequaçãor, 4x+ 13= 0
4I. EnÕonlre o conjunto sol!çãoda equação x3 7x'?+l4x I = 0,sabendo quee€ é !m subcon jlntodeA = (0,1,2,3,4).
Determinação das raízesde uma equaçâoalgébrica Nossoobjêtivoé determ inaro conjuntosoluçáo foímadopelasraízes deumaequação algébrica, ouseja,resof :0, vereqìrâçõesdâ foÍmap(x) emquep(x)éumpolinômio. Jásabemos resolverequàçóês do1ee do2egraupormeiodefórmulas simples, alémdealgumas degraumaior que por do 2 meiodefatoraçáo ououtroartifício: . ax+ b = 0 (coma + 0)+x :,:
(raiz daequação deteqrau);
: :1 (Íãizesdaequaçãodo2egrau),emque^:b2-4ac. . ãxr+ bx + c = 0 (coma + 0)J x : -n-.Ã quepermitissem Durântê.muito tempo,êsforço, for". Í"i,o, p"r" lórmulas quarqueÍ resorveÍ equa"ncontràr por 2, degrau maiordoque como, êxemplo: çáoalgébrica . x 3 6l'] 7 x+60:o . x4_ 8x3_ 25x' + 44x+ 60 = 0 porfìm,queo melhormeioderesolvèr polinomiais VerifÌcou-se, essas equações seriafazerestimativas depossÍveÌs soluções. quenospêrmitam Nestetópico, nossoobjetivoé examinaralgunsmétodos estimar umaoumaisraízesde uma polinomial equaçáo e,assìm, determinar todaselas,
propostos Exercícios 42, CaìcueasÍaÍzes dasseguintes eqLraçôes algébÍicas: a)3x-12=0 d)lOx+5=0. b) J2x r=0. elx, 4x s=0. cl xr 6x+10-0 43. Ut izandoa íatôÉção, c€cue as mizesdâsequações âlgébrcas: alx3 4x'?+3x=0. blx3+2x'z+x+2=o cJxs+2x'?+9x+18=0. dlx3 2x'z+2x= 0.
[Srgesllies:No tem a, x[x'z- 4x + 3] = 0 no teÍn b, x'z[x+2] + l[x+ 2] = 0 .+ [x+ 2][x,+ ]l = 0.1
Seo prodú; é nulo,p€lomenos umdosíator€s é nulo. Exerôplo:lx + 2Ix, - I] : 0+x + 2 : Ooux, - I = 0. Reso vaaseqLraçôes algébricas emlR: ú-0 ãì\'-.\7 b.)'6 Jr' /-0 Noiterne, chârne x2de p; no itemb, charne [SugesÍõês: p.) x3de
149
(âpÍtulo5.Poinônìios
grau emfatoresde primeiro Decomposição queadmitÍemos Álgebrc, semdemonstraçãol fundomentaldo rcuo teorcma Em1792Gauss demonst : (reaìou náo). (n possui pelo p(x) grau > menos raiz complexa n 1) uma O de Todaequação algébrica polinômios grau podem nüm de n> 1 serdecompostos lJtilizândo esseteoremapodemosmostrarquêos produtodefatores do 1egrau, Exemplosr 1.?) 2 áraizde p(x)- x'z+ 3x - 10,poisp(2): 0. porx - 2 e temosi p(x)é dívisível peloteordôâde D'Alemben, Então, r)i
q r(x ): x + 5 Daívem: P(x): (x
2)q,(x)= (x
2)(x+ s)
2e) Iérâizdep(x):x3 2xz x+2,poisp( 1):0. Então,pelotêoremade D'Alembert,p(x)é divisívelpor x + 1 e temos:
1-3 2 0 q(x)= x'z- 3x+ 2 Daí vem: P(x)- (x + ])q(x) = (x + l)(x'z 3x + 2) obtemosas raízesl e 2,ou seja: Resolvendox'?-3x + 2 - 0, usandoa fórmulâde Bhaskara, q(x):x'z 3x+2:(x lxx-2) Dessemodo,podemosescrever: P(x)=(x+1Xx-2)(x-1) Vamosdemonstrãrquetodo polinômio: '
p(x)= anxn + an rxnr+
+arx'z+ârx+ao(comn>1)
podeseídecompostonum produtode fatoresdo 1egrau, ConsideÍemos, então,o polinômiop(x),de graun > 1. PeloteoÍemaíundamentâ| da Álgebra,p(x)admiteumaraizx1. Peloteoremade D'Alembert,p(x)é divisívelporx- xr. Assim,temos: p(x): (x - x,)qr(x) de graun - 1. em queqr(x)é um polinômio qr(x)admite umaraizx2 Álgebra, fundamentalda Peloteorema por q1(x) x x2 Assim,temos: é dìvìsível Peloteorêmâde D'Alembert, q,(x)=(x-x,)q,(x) de graun 2. em queqr(x)é um pqlinômio Logo,p(x)= (x - xr)(x xr)q,(xl PeloteoremafúndâmentaI da Algêbrâ,qr(x)admiteuma raizL ?eloteoremade D'Alembert,qr(x)é dlvisÍvelpor x - \'Assim,temos: q,(x)=(x-x3)qr(x) n 3. é um polinômiodegrau em queq3(x) = Logo,p(x) (x - xr)(x x,Xx- x3)q3(x)
processon vezes,chegamosa: Seguindoesse p(x): (x - xrxx - x,Xx x3)...(x - x").q"(x),comq" = a" Então,tem05: em quêxrsãoasraízesde p(x)e a" é ocoeficientedex'.
29. flmadasraizesda eqúçãa 2x3- 4x,- 2x + 4 : 0 é] R€solvâaequação. q,(x)=x'? 2x 3 D-eterminando asÍaÍzes de qr[x]= 0,obtemos: À=16 Resolução: SeI é Éz de p[x) = 0,temos ptxl= tx llqrtxl.=0ìx I =0ouq,(xJ=0 queo grcudeqr[x]é 2 esabendo Obsetuândo resoveÍ :0 urnaeqLração do 2egÉu,podemos dizefqueqr(x) ÌomeceâsoutÍâsEizes Determ nandoqj[x] remos:
qr(xl= 2x'z- 2x - 4 Delenninando asraízes deqr[x) = 0,vem: 2x' 2x-4=A Ã-4+32=36 2!6 = 2e) \ = 1
Logoâsoltrasraízes são2 e -1 e o conjLlnto solução daequaçãoéS={I1,2}
30. Resovaa eqLração xa x3- 7x,+x + 6 = 0,saDenoo que 2 e 1 sãoraízes daequação Resoluçâo: S€ 2 e 1 sãorâíz€s de p[x).temos: pixl = tx + 2)tx llqltxl = 0. p(xl poÍ x + 2 e, eÍìrsegudâ,o qlociefte Dividindo dessa dvsâopofx 1,v€rn:
,=
_ r_3er'= , Logo, S = { 2 -t,1,3).
l
3l, Detefinine osvaofesdea, b e c, sabendo qLteasÉÍzes daequaçâo 3x3+ax, + bx + c= 0sâot, I e5. Resolução: Se l, -l e 5 sãoÍaízesda equação p(xl = O,€nÌão p[x]é dvsÁ/elpoÍ x I,x+ lex 5. ll
3
3+a
3+a+b
i 3+a+b+c
Cornoosrestosdevern serigu€is a zeÍo,vem:
[3+a+b+c=0 3 13+b=0ãb= t5 ll5 + a = 0 + a = Substituindo osvalores dea € b ra pfmeira equaç]to, ã + ( r5 l+ ( / l + c = o = c = 1 5 Logo,a= 15,b= 3ec=15.
45. Sabendo que2 é razdaeqlaÉox3+ 2tr 5x+c=0, 417"Det€mìine o conjunto sotução dasequâções: ' calcueo valordec € o conjunto solução dâequaçâo. ê) '" - 8\r - 25\ 44\ | 60 - 0.sêoeao qLe - e 2 sãoduasd€suasraízes. &Ê. Rèsolva asequações âbaixo: b) x3 ix, + 4x - 4i = 0, sabefdoqueié umade suâs = . a) x\ 2x3+ x, + 2x 2 0,sabendo queduâsde suasraÍz€s são-1 e 1i que 2 é umadesuasrãÍzes. bl x3- /x'?+36= 0,sab€ndo
't5t
QpÍiulo5. Pollnômios
Mu lt iplic ida d ea r a i z Nadecomposiçãode um polinômiop(x)de graun > 0em um produtoden fâtores do 19gmu, podemosencontrardoisou maisfatoresidênticos, dãsquaisalgumâs Entãoem uma equaçãoalgébricãde grau n, obtemosn raÍzes, podemseri9uai5,ouseja,todaequaçãoalgébricadegrau n > 0tem, no máxìmo,n raÊ zesdistintas. indicaa multiplicidadeda íaí2, O númeÍodevezesquê umâ mesmaraizaparece ExemDlos: dìzele) No polinômiop(x)- x'?- 6x + 9 : (x 3)'z= (x - 3Xx- 3),há doisfâtoresidênticosa x 3. Nessecâso, que multiplìcidode 2. mos 3 é raiz duplo ou dê 2) =(x+1)'z(x 2),há doìsfâtoresidêntìcos a (x + 1)e 2-')Nopolinômiop(x)= x3- 3x 2=(x+1)(x+1)(x multipli 2,e2é raizsìmplesoude dizemosquê-1 é rotzduploou de multiplicidade umíator(x 2).Nêssecaso, 3)3(x+lF=(x-3Xx 3Xx 3)(x+1)(x+1), 3e) Nopolinômiop(x):x5-7x4+10x3+18x'?27x-27=lx (x que (x + idênticos a 1). Nesse câso, dizemos 3 e rrà Íiplo ou de ã 3)e dois íatores há trêsfatoresidênticos 2. multipficidade3e 1ê toizduploou de multiplicidade
S4.Dadaa equação x3+ ax'z- 8x + b = 0, calc!€os 32. Quaé a Ínultiplicdade d€ miz2 do polnòmio valoresde a e b de foÍmâqu€ 2 s€jaÍâz dLrpla da P(x)= x4- 5x3+ 6x':+ 4x - 8? equaçao. Resolução; Resolução: vasvezes, sucess Varnos eliminaf a Íâiz2 do poinôrnlo possíve. ternos E m nandoa Éz 2 duasvezes sucessvas, atéque ssonãosejaÍnajs 2a 4',4a
8+l)
Fazendo os f€stosiglas a z€ro,v€rn: Então:
pixl= tx 2F(x+ r) 3. Logo,2 é ÉiztÍiplaoude mutp lcidade * 3x3 3x'?+ 7x + 6 = 0, sa 33- Resolva a equação bendoque-1 é Eiz dupla.
(l) l4a+4-o -^ { (!) laa-8+b=0 Daequação O, v€rn: 4a+4-0=4a4=a=-l temos: Substitu ndoa = -l naequação@, -4-8+b=0+b:12 Logo,a= leb=12.
Resolução: estapodeserescrta Se -l é Íaz dupa da equação, nâforma(x + l)zq[x]= 0. 35. Determine Lrma equaçâo a gébdcado 4q gÍauque PamdereÍn"aÍqf\ì, oerenos.[']]i]à da eq-açãoa tenha I comoraizde mutp cdâde3 e 2 como €Lz I duasvezessucess vas: outraraiz. Resoluçâol
q(xJ=x'-5x+6 x'z 5x + 6 = 0. Caímos naequação x' = 3 e x'= 2. Resolvendo-a, ternos = Logo, S {- l, 2,3}.
[x+ ]l[x+ ]l(x+ ll[x 2] = 0= =[x+]13[x-2]=0=ì + [x3+ 3x':+ 3x + 1] tx 2l=o = +x4+x3_3xr_5x 2=0 Logo, € equa€opmcumdaé x4+x3 3x'? - 5x 2 = 0 ou quâqueroutm eqLrvaente a elâ,comoporexemplo 2x4+2x3_6x' lox 4_0.
152
, orìrêro&Aorkãoú MaÌenìãri(à
propostos Ixercícios 48. NaeqJaÉot\ i] I' F al f\ - t) - 0.q iassãoa: multiplicdades de suasraÍz€s? 49. Quaé a Ínultiplicdade da raiz 1 naequação x3+x? 3x 3=0? 50, Reso poinomia vaa equação x5+ 5x4+ 6xs 2x, 7x- 3 = O,sabendo que-l é taztrpladaeqLração.
52- Consderando a equaçâo (x 2y(x ll{x, + 3x 4l = 0, qua é a rnut plci queI é raizduptâ 53. Sabendo dâequação x3+ ax': 2x + b = 0, deteffnine o valordea + b 54. Determine po inoÍnial umaequação do 3e grcucom S = {3,5),sendo 3 raÌzdemutpicidade 2.
51. O númerc 3 é ÍâzdupladaequaÉo * - 7xr+ l3x'z+ 3x 18 = 0. Detemineas outms duasraízes da equação. Obaervação: a equaçãoaxz + bx + c:0 (al0): Quandore5olvemos .em R, istoe,com vârìáveis e coeficientes reàis,podemoster: > 0 + duasraÍzesreaisdistintas; ^A:0 + duãs raízes reaisiguais, ou sêja,umaraizrealdemultiplìcidade 2; À < 0+ nenhumaraizreal. . em O, istoé, com variávêlêcoeficientes complexos,podêmoster: Â = 0 = umaraizcomplexa de m ultiplicidade 2; Á + 0 = duasraízescomplêxãs distintas,
Qúqndodizêmosnk complexasignìfìcanúm€ro reãlou não,poh lR c,C.
Relaçõesde Girard Consideremoaaequaçãoalgébricado2-'grauaxr+bx+c=O(a+0)esejamxlex2agsuasraízes, A decomposição do primeìromêmbroem fatoresdo lq grâué:
axz+ bx + c: a(x_ \)(x
x,)
Desenvolvendo o pÍoduto,temos: ax,+ bx + c: alx,_ (xi + xr)x+ xrxrl
xr € x2 pódemsêrdlstlntâs
Dividindo todo5ostermospora,vêm: .bc a
: x'z- (xr+ xr)x+ xrx,
Pelaìgualdadede polinômios,temos:
-(x ,+x, ) : q = x , + x , :
!
x'xr : ! ì Conhecidas de estudosanteriores, essasrelaçóes seestabelecem entrêos coefìcientes e â5raízesde umaequado 2egrau.Veremos paraequaçóes em seguida algébricas çãoalgébrìca degraumaiordoque2. Considerêmosaequaçãoalgébricado3-ograuax3+bxr+cx+d=0(a+O)esejamxl,x2ex3assuasraizes. A suàdêcomposiçãoem fatoÍesdo l9 graué: ,. âxj + bx, + cy + d = a(x_ xrxx _ x,)(x= \) Desenvolvêndo o produto,temos: ax3+ bx, + cx+ d:ã[x3 . Dividìndotodosos termospor a, vem: "'
1 9"' 1 Í" aaa
(xr+x, +xj)xr+ (x1x,+ x]xr+ xrx3)x - \xrxjl
.. 9 : xr (xr + x, + x3)x,+ {xrx2+ \xr + x2xr)x\x2À3
153
(|PÍtulo5. Polinômios
Pelaigualdadede polinômios,temos:
1 x,+x,+xr 1= 9+ x, + x, + x, = - 9 x.x"+x,x,+x.x,- S
* , ". * . : 1
C on sid e r emos,agorô,aêquaçãoa lg é b ric a d o 4 e g râ u a t ' + b x 3 + c x ' )+ d x + e = 0 (a * 0 ) e s e j a m \ , x r , xaassuasraizes, Í fatoresdo 19grauè: A suadecomposiçáoem ax4+ bx3+ cx, + dx + e - a(x- xr)8 - xrxx xrxx
xa)
pârâo desenvolvimento, obtemos: Usandoomesmoraciocínlo \+x r+ x 3 + x a -
!
+ xrxo+ xrx.= ! xtxz+ xrx3+ \x4 + x2x3 xrx2x3 + xrx2xr+\xrx4 + t \\:
-+
=: xrxrx3xa âlgébrica degraun: considerando a equaçáo Deformaânáloga, aôxi+ an rxnr+an 2 x n -2 + . . . + 4 2 x 2 + a lx + a o : 0 relações entrea5raízes e oscoeficientesi deraízês x1,xr,\, x4,...,\, sãoválidas ô5seguintes 1ã)AsomadasraÍzes él
2e)O produtodas n raízes é:
3q)AsomadosprodutosdasrôÍzes,quandotomadas: a) duasa duas,é:
c) quaÍo a quatro,.é:
deGitdtd, deumaequação; lgebrica são denominadas rclaçóes e oscoeflciêntês Essas refações entreâsraízes
a
154
. Conrexro l\,lalemátka &Aptieloej
Logo,os outrcscoefcientes sãob = 4, c = 2 e d = 4 e â equação peddaé 2x3 4x, 2x+4=0.
38. Escreva asÍe açôesdec |ardparaa eqLração âtgébric€ 3xr 2x3- 5x,+ 3x + 7 = 0,sendoxl,xi, rB ex4as Resolução: '(
+x"+,("+r
'
=
I -t\
ljl:_ \3.1
t
3
) \, ,\" r \r \ ,\ - \À,- \+ - - l^ ' l\ó_, 5 3
r. 9 ' f ^ \ \ " + , . , . . , . r, , . -
í1\
l: l--' \J/
t7\ l \jx-x3x4=+l;l=; \ )-/ ' 39, Sendoxl x2 e x3asraÍz€s daequâção x3- 2x, 4x+1= 0,catcutexÍ +4 +x:. Resolução: Peasrelações que: de Grard,sabenros Partindo de -l :
x , + x r+ x 3 = 2 o xÌx,+ xr\ + xrx3= -4 O xjxr3= -r (i) ConsideÊndo a ÍeaçãoO, vamos eevâÍâmbos os
os sinais l, ãlternaÍìos
bcdef . o€- €+ pa ra
fnembTos â0 qu30€d0:
asslmpor dlânte,de acodo como grau daequa€o.
-
(x , + x , + x J , = 2 , = ) = 4+ + x1+ xt + xi+ 2\x, + 2xrx3 + 2x,x3 = + + x1 x; + x:+ 2(xrx,+ xrx3+ x,x3l 4 Como xjx,+ xrxs+ xr\ = 4,teÍnos: x j+ x l+ x : + 2 (-4 1= 4 ã +x1 +x,+xi 8=4=
+ xr+x1=12 -x: Loso, xi + x3+ x1= t2.
: 9x, + 23x- t5 : 0 estão 40,4s râ2esdaequaçãox3 €ÍnPA,Nessqcondçâ0, resolva a equação. Resolução: Sendoxl x2e \ as é zesoa eo .sçâolanos reore-
I
Gpílulo5. Polinômios
Pearclação de Gimrd, temos: xr+xr+x3=9=
+ "-
/ + "+" +/
=s=
dasraÍzes, teTnos: Comox, = d = 3 é Lrmá ptx)=tx-3lqixl=o
Assirn, s€xr = I, vem 20)=3 !=5 LogoS = {1,31. 42-As raÍzes da equsção 8x3 kx, + 7x I = 0, corn k e lR,sãotÉs números r€aisemPG.D€terrnìne essas TAIZêS.
Resolução: pof Seasíâízes estãoernPG,podemsefrcprcsentadas q[x]=x'z 6x+5:0 a eqLação, obtemos x' = 5 e x" = 1, Resolvendo Logo, S = {1,3,5}. 4l.Resovaaequaçãoxs5x':+ 7x - 3 = o sabendo queuÍna|az é dupla. Resolução: Comounì€raizé dupla vamosindicaras raízespor de GirâÍd, temos: Usando asrclâções xr +xr +xr:5ã2xj +xr-5 (D YX,+ X,X) + xx, = t )xi+ 2x1x'=| w xrxrx,=3+xlxr=3 (i) Darel€ção O, temos: 2\+x2=5+ x2= 5 - 2xi SubsutLr ndoem(iD,vem: )<1+2xj\= 7 = x1+ 2xj(5- 2x) = 7.) =x1+10xr.-4xï 7=o= .ì -3x1+ loxr 7 = o=3xí- lox,+ 7 = 0 Â=16
,rerqtq+uJ. Ljsando |Jmadasrclaçôes de Gimrd,temos:
r
t' - r ì
,
8 \8./ ]t'uma = + r dasraízesì 2' Substtr.tindo a Íalz-: naequação, vem /Ìi 8t -t \2)
/rL' kt _:t+7.: 2 \2)
!rZ
4242
l=0=
,-o +!=Z=k=ra
S e k = I 4, a eql açãoé 8x3- 14x' + ? 7x l
I = 0e
€ ,Ínã d.s ÍâDes Podernoqemào obref as o,tr"s
2
ÍaÍzes:
l
2
8x'? 10x+2=0+4x'z Vamos verícarqualdosvaoÍesdex1éÍ€izdÊequáção inicia: (7\ 32 7,pl | az oaequaçao) '\3,, 21 --L_ãoea 3p(1) = o+ I [é a raz dupa daequaçãoJ
I
q
5x+l=0
^=9 a4 -
42
propostos l i ExeÍcí(ios raízes xl x2 60. Sendo a, b e c asraízes daeqlação 2f + I3x'? - 5x+ I = 0, 3x3+ 2x, - x - 3 : 0 adrnite I 55" A equação deteÍm neovâÌofde a'?+b'?+c'z , Ì. ex, Escreva asrelaçôes de GiÍardpar€essâequâção. 6l, Osnúrneros a, b e c sãoasÍaízes da eqlaçãa ' 2x3- 4x2+ 3x - I = 0. Nessascondçôes,quelé o | | !alo-daê,PrF".ão | e osvaoÍesde m e n. i Ínnea terceÌarâizdaequação +b = 0. 62. qualéo valorde k nãeqlaçãoagébrica 57. Consdercrnos a eçuâÉopolìnorn a f- 2x'z+ax ps que números I e -3 sãoEÍzesda equâSabendo x3- 3x'z 6x + k - 0 paraqueas rakesda eqlação a equaçâo estejamem pÂ? ção,caculea terc€imÍeize escreva [a a _cl 5S As|a,,esdêeqÈ@opo.oìal\ -l5\'7 -l' 105-0 63 C€lcLeo oôrerr_rnÌedè .'.u, lo U . I " estãoemPA.Cacule€ssasÊkes. 59. Resolva âlgébÍimx3 3x'1- 6x + 8 = 0 a equação bendoqlrea, b e c sãoâsÍâízes da equação quea somad€duasdesuâsraízes é guaa 5 sabendo x3_sxr+4:0.
L' o r l
,
Í
Peseluisade raízesracionaisde unra equaçãoalgébricade rocÍicicntes inteiros Vimosque aseqüaçóespolinomiaisde grau maiordo que 2 nãotêm um processodetermìnadodê resolução poÍ meiodefórmulas.Devemosprocuíãr,então,umaou maisrãízespâracom elasencontrartodasâsÍa|zes, EpossÍveldemonstrarumâpropriedadequeauxiliâ na pesquisadas jnteiros. raÍzesÍâcionaisde umaequaçáoalgébricade coeÍicientes se o númerorâcionalq, com p e q primosentresi,e íaizde umâ ! temp e q q Dkerqueo número racional equãçãoâlgébÍicade coefìcientes inteiros: inteiìos e primos entresi equivale a diz€r anxi+ an rxn +a" 2xn-2+,.,+a:x2+ârx+ao=0 q que é umafmçãoìn€duível. entãopé divisorde a;e q é divisordea".
ì 43. p€scl!seasÍaízes EcÌonais daequâção 3x3+ 2x, 7x+2=0.
í2ì \3./
Resolução: Nâeqlaçãodada,teÍìosao= 2 e an= 3. p é divisoÍ de2 + p e { I , I , 2,21 qédivisorde3+q€{ l,l, 3,31 P"ldorop eddde, èqp o\d\es d,zeiraconats 5ão: I r rl " q 3 3 3 3l t Fazefdo a verÍcaçã0, temosl Pi l)=8 + -l[nãoémz] ptll = 0 = I étaiz
a s
tiqu€ú€nto: . n€mrodofum€ÍoÌ obtido€ Er dàeouacãoi q . essâpesquisa dê Ëíz€sracìonais sópodeserfeira emequaçõ€s comtodososco€fìcienrês intejrot 44. q"sohde eqJaçáo \"
3520 3x'?+5x 2=0 Á=25+24=49
9e1r ,r .- 2,2, q
ObseÍvação:Comoasolrtmsduasfaízes, aérnde t, laÍìbérnsãonúÍìreros racionaìs, elasseriarn descoberl€ss- ê oF,o-s€das€..s d.o ã s p o.òegus\F 2étê12 P(-2) -o+ Pl2)=2a=2nàoéÂiz Í Iì 40 I 0l l=-=--náoeraz I 3 \ 3,/
o Í-L ì=o = 1",' 3
( z\
\
l=
3,/
I
za 3
:: - o.ol
Fâzendo a p€sq!sa.temos: P[ ]) = o.ì -l é raz ptll=0+léEz
tJl
pl -
6 ' 0.
---ì
Í rl Logo, S = l-2,;,1f.
\3/
\
P€lâeqlraçâo dada,t€rnosao= 6 e â" - ] pédvsofde6=p € (-t, t, 2,2,-3,3, -6, 6l qédvsofdel=qe{ t,tl oêo p oo iecéd" po.s\es -ar,,e, racroirdis :ào: ".
.#
ê\
\' - 7\'
Resoluçâo:
A panirdêÍalzdescobertâ, veÍJr:
6636- \---
2 3
2 3
Obsevando qle -l e I sãom2esda equação, vâmos obtefasout|asduâsraízes:
Dai ternos: ptxl = tx + lltx
llqtxl = 0 € qtxl =x, +x - 6
tazendox,+ x 6 = 0 e resolvendo a €quâção, obtemosx=2ex =-3. Logo, S = { l,-3,1,2}.
(apÍiulo5. Polinômior
Cono o dr peddasapenasas Íàzesnler€s.eros I nãoéÍâiz P( l)=-2= p[]l=0=léÉiz Vamos deteffninar, ago|a,asoutÍasduasraízes
45. Deterrnine asrâízes inieìÍâs daeq!âçãoa gébrca 2x3+5xr_x_6:0. Resolução: Peaequâção dada,temosao= -6 e a" = 2. p é dìvisorde6áp€{ 1,1, 2,2, 3,3, 6,6} q 6 divisoÍ q de2 ) e l-1,1, -2,21
ptxl: tx- llq(x)e q(x)= 2x'z + 7x+ 6 Fazendo 2x,+ 7x + 6 : 0 e rcsolvendo a equâção, = 2. obr"ro.* = 1" z ""
oeJp-opneddde asposs\e$-aÍzes'd.o dr-s:o:
f . i-',,. -r,r,-,,,'-,,-++-++]
Logo,asÍaÍzesnteÍásdãequação sãoI €
2.
64. Pesqu neasraízes seasraÊesrcconals daseqlaçôesalgébicas: 65. Det€Ím dâequação a)2x3-x,-2x+1=0 x{+2x3_2xr+2x 3=0. bl4x4-4x3-3x,+4x-l=0 cl4x3-5x+1=0 d) 2x3- 1x'1+ 7x- 2 = 0
Raízescomplexasnão reais numa equaçãoalgébricade coeficientesreais Consideremos â equâçãoalgébricax'?- 2x + 2 = 0, que tem todos os coefjcientes reaise pode serresolvida pelachâmadafórmula de Bhaskara: x
z:,-+
2 -2i =x-r-rex
-
22 5={1 +i1
-t-l
ry
que a raiz1 + ié um númerocomplêxonão Íealea outraraiz,l - i, é o seuconjugado, Observemos Podemosdemonstrarque, se uma equaçãopolinomiâlde coeficientesreaisadmite como íâiz o número complexoa+ bi,comb + 0, entáoo (omplexoconjugadoa bitambémé râizdaequaçáo. Parâfazera demonstrâção, vamoslembrarantesas propriedadesdo conjugadode um númerocomplexo vistasno capítuloanterior. Dadosos númeroscomplexosz, e z, e sendo4 e 22 os seusrespectivos conjugâdos, temos: \-2.-4
4
zr = zr ê21é númeÍoreal
: 'i (ar Consideremos, âgorâ,a equaçãoalgébricade graun > 1,com todosos coefìcientes reais: anxn+an rx" I +,,.+alx+ao=0 Vâmossuporque o númerocomplexonão realz sejaraìzdessaequaçãdedemonstrarque; tambémé. Pro-
curejustificarcadapassagem, -t t âanz
;;,r+ an
f t.z +,.,+ a j z
jz
%
o -a .t
t"z- - ...- az
+ a o :u ã
+ a " (t) "+ a" i ( t) '- '+...+art+ao=0.>iétdiz
t
ao- o=
de Emumaequação algébricâ coeÍìclentes reak,sêÌ é raiz de multipllcldade m,Z tãmbémé raÍzde multiplicidade m.
. contexto Makmátia &Apti(açóer
158
Umadiferençaìmportanteentreequaçãoôlgébdcâde coefìcientes reaisde grauspar ê ímparé que â degrau ímpartemno mínimoumaraizreal,Obseryeos gráfico5ôbaixo,quê mostramtrêsfunçóespolinomiaisdo 3qgrau,
Notequehaveránomínimoumaraizreal.
p( x)=x'-3x+1
p (x ): x 3 -3 x + 2
p (x ): x 3 -3 x +3
Í polinomiaisdo 4egrau.Notequê nãohá necêssìdade Aspróximasfìgurasmostramo gráfìcode seisfunçóes de haverraizreal;quandohá,existemduasou quatro,poisasimaginárias vêm aospares.
p(r=3x4+4x3-t2x'?+36
3x4+4x3+,ì2xr+32
p(xl :3f+4x3-12x2+24
Nenhumarai2feà
p(xJ= 31+ 4x3- t2x' + 5
p(x)=3)c+ 4x3- 12x'z+ 4
46. Resovaasequaçôes abaxol ar\' - 9Í - 30" - z2r- 20- 0.sao€ndoque3 - | é urnaraizdaequação; que bl x5 3x4+ 5x3- lsx, + 4x - 12= 0,sabendo i e 2isãoEízes Rasolução: alx4- 9x3+ 30x'? - 42x+ 20= 0 Se3 + é €z daequação dada,enÌãoseuconjugado 3 - iétambém raizda equação. Logoi ptxl : lÌ - t3 + illlx - t3 - llq(xl = = ttx- 3)- lltx - 3l + ilqtx)= ltx - 31'z = - i'?lqtxl = [x, - 6x + ]olq[x]
3t' + 4x3- 12x'z+36
x'-gx3+30x'z-42x+20
x ' z -6 x + lo
-3x3+ 2ax'z -42x+20 +3x'-t8x'+3ox 2x'1-12x+20 -2x'.+12x-20 Então,q[x) = x'?- 3x + 2 Fazendox, - 3x + 2 = 0 e resovendoa equação, obtemosx'= 2ex" = 1 LoCo, S = {3 + ,3 -,2, 1).
Gpíülo5. Polinôm os
159
blx5 3x4+ 5x3- t5x, + 4x - 12 = 0
'fl=::ït
Sei € 2 sãomies, cornotodosos coeÍcientes são ga|antifqueseusconjuganúmeros reas,podemos dos-i e -2itambém sàoíaÈesResta descobffa quintaraiz,que6 urnnúrnero fea: t-35-154 1-3+i 4-3i 2i l-34 2i 1 3+2i 6i l-3 0 Logo,S={, ,2,
-12+4 -12 0
-12 0 0
2,3}.
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Resolução: O volLrme dacaxaé dadopoÍ: AB.h=[]4-2x),,x=200+ ì (196 56x+ 4x1x- 200= 0 + ì 4x3 56x,+ 196x- 200= 0 Dvd ndopof4,ternosa equação eqLr vaente x3-t4xr+49x-50=0 quex= 2 é LrÍnâ Doenuncado, sabemos Íêz dessa êq!a+ 49x s0édvsívelportx21. - l4x'z ção,enÌãoÉ l-isando o dispostvoprátcode Brot Rufiìn,têmos 49
50
Daítemosquex3- lAx, + 4gx- 50 = (x - 2) (x']- 12x+ 25).AsraÍzesdex'? l2x + 25 = 0são quadrados 47. Cortrndo-se de 2 crnde ladonoscantosde qu€dmda uÍnâlolha de papelèo de l4 cmde ladoe dobíê_do.os coìÍom^ ê ig-ra oblén-spJTa mir€sen tamÉa cljo volme é iguâa 200cms.EXstealguÍn oLrtrc vâlofdolado doqLradmdo a serrecortado eÍncadamnto parao qualovolurne dacaxaresuÌantetambém seja iguaa 200cm3? Qualé esse\€ oÍ,casoeleexsta?
o + J iJ " o n / il Comoo ladox do qusdmdo recortado deveserÍn€nof quemekdedo âdodo quadÍado rnaiof, então 6 + !4T nãoé aceitáve Assm,apenaso Jt I iaprox madanrente 2,68cmlé solução do pfobema. Logo,essevalorexlste;é Í6 mente2,68crnl.
r,4t lcm iaproxlmada-
ì propostos Exercícios Ë1i, Detefinine asrafzes dâsequâçóes: 6€. = quei é uÍna a)xa-x3-llx? x l 2 0,sabendo dasra2es; b)x4- 4x3+ 6x,- 4x + 5 = 0,sabendoqueiéuÍna 69" oasm zes. '17 qualdevesef o vaof d€ a pa|aque 2i sejaumadas Íaízesda equado xa- 3x3+ 6x'?+ ax + I = 0?
Os núrneros 1 e 2 + sãorâízesdâ eqlrãção algébrca x3+ €x'z+bx- c = 0,emqueâ, b ec sãocoeÍcenles rcais.Caculeo valoÍdo coeÍcent€c. O númêro 2 + é urnâdss|aÊ€sda€quação 3x3- l4x, + mx- I0 = 0, N€ssas condiçôes, caculeo vaofdem e â raizrea daêquação.
Métodosnuméricospararesoluçãode equaçôes (ouseja,por meiodefómulât nem5empre polinomiais A resolução algébrica da5equaçóes Está é po5sível. provôdoquenãoé possível gerôis. resolvertodas asequações comgtaumàìordo quê4 pormeiodefórmula5 Na prática,nemmesmoasde grau3 e 4 sãoresolvidas por métodosalgébrìcos. É muitocomum,quandosedeseja pormeiodemétodos obterumaraizreal,Íazê-lo numéricos. queseaproximam, Osmétodosnuméricos nosfornecem umaseqüência devalores coma precisão desejada, parailustração. daËiz procuradà.Vêjâmos métodos, umdesses apenâs Êo método dabissecçàol
Í
Matemát c ' Gntexto &Aplkãdes
p(o)e p(Ê)comsinaiscontráSe,paíad e Ê númêrosrêais,tivermos rios,istoé, p(o) . p(F) < 0, entáoexisteuma raizrealno interualolo, Bl. Esseteorema,conhecidocomoteoremade Bolzano,éfácilde serpêrcebidoobservandoa figuraao lado. Podemosmelhorara qualidadeda estimativâ,câlculandop(m) tal que m sejaponto médiodo intêruâlola,Bl.Assim,p(m) = 0 (e m é a raiz procuràda) ou p(m)10, dê tôlformaquep(m). p(cr)< 0 ou p(m).p(B)< 0. Entáo,podemosgrãdativãmente reduziro intervaloaté obtera precisão desejada.O uso de uma calculadora é imponante,pois o fundâmental aquinãoéfazercálculos, massabercomousarosresultâdos obtidos.
p( o) ' p( P) < o
exempo o rnétodode Newton,quepem te cheg€fà raz deselada masmpldaÍnentet no entânto, Ínétodos corno €sseexgerna glns conhecÍÌìentosÍnuto especíícos de Resoluçãoi l/ìâternát cê,o quefog€aoobjetvodestecâpítu o. Terosp() - cêp[zj . l .pola-op\isÌeurê-aiz 49. Det€Írn neumaraz readex3+ 2x + t0 = 0 usa'ruo o no ntervalollt2[. método d€ btssecção. = 1,5. 0 pontomédo do ntervaoll;21éonúÍn€Íonì p[],5) = -0,44, portánto exìsteurìraÍaizno rnteÍvalo R€solução: 21. Temosp( 2l = -2 e p[-]) = 7, poriânto 11,5t exsteuma 0 pontomédo do ìnteÍvalo ruzno ntêrvao ll,5;21é o núÍnero l-2;-1[ rn: I,75. O pontornédio do ntervaol-2;-l[é o número p[],751= 4.13,portanto m = -1,5 existeurnaÍâizno nteÍvao pi-1,5) = 3,6,portantoexsteLrmaraizno intervalo ll,5;1,7s1. 0 pontomédiodo intervalo 1,751é o núrnero ll,5; rn= I 625. 0 pontomédodo ntetuâol 2 -1,5[éonúmerc p[],6251= I 60,portanto Ín = -1,75. exsteuTna Tâzno nt€Ívao p[-],75J = 1,14,po(ântoexsteuTna mizno ntetva o 11,5i1,625[ -1,751. 0 pontomédio dointervelo I 6251é o númerc )-2: ll,5 0 pontomédo do niervalol-2t m = 1,5625. -1,751é o núÍneÍo = 0,52,poftanto p[]156251 rn= 1,875. exsteumamiznointefr'alo p[ ],8751= 0,34,poftanto 1,625[. existeuÍnaraizno nter 11,51 valol-1,875; I 75[. O pontoÍnédio nteÍvaloll.5; do 1,5625[éonúmêro O ponÌomédodo inÌervalo m = 1,5313. I -l ,875;-1,751éo núnre : -ì,8t25. ro rn p0 \J I 3) - 0.03.ponanto\ - .53Jae . -la êp o^i p( I81251:0,42, portanto exisÌe urnaÊz no nler podesercontnuadoaté maçãoÍazoáve0 processo vâlo 1,875; 1,81251. I qle seobtenha â precisão desejada, Sócomoelemento O ponÌomédodo nteÍva o l-1,875;-t,8t25[ é o proposta decornpaÉção, a mz daequação compÍec = 1,8438. número m sãode qlatfocasasdeclnìâs é I,5293.. = 0,04,poftantox = 1,84já é Lrma pt 1.84381 ObseÍvação:Coma ajudade umapanlhae etónica apfoximação podesercontinuado €zoáve.0 processo cornoo Excel@ da N,4icrosoft, otÊbahode c€cuaÍÍaí atéqueseobtenha a precisâo desejada Sóconroele . zesfcâ mLitoslÍnples. üisternoutrosmétodos numéri ínentodecornpa€ção, proposta a Eizda€quação corn queo apresentado prccisão cosâtémaisjnteressantes cornopor de quatrccasasdecirnas é -t,8474.
48. D€scubÉ!Ína raz fealde xa+ x - 7 = 0 usaroou método dâ biss€cção.
t-!-*t@) l'riì,Descub|a urnarâizrc6lpelo método dabtssecção, usan I planilha do uma ca cu âdorâ ou eetónca. I L
.a
}|
b)x5-x3+
t
Q_ttiyqalrlqrsrry quevalores 1, Para dea € lRo polnôm o p(x)= [a'z 9]x,+ [a + 3]x + 5 é do le g|a!? 2, Septxl = 2x3 kr'?+ 3x - 2k,pa|aquevaorcsde k ternospt2) = 4? p[x) é do 2q gra!.Sendopt]l = 0, 3, Um polinòmio = pi2l 7 e p(-ll = 4, escfevao polinômio p[x] e caculep[0] 4. Cacue a somadosco€Íìc entese o temo independen te de cadapolrìôm o abaxo: âl ptxl : 3(x - 2)5 b)q[x)- (x'+x 3]4tx+ll, 5. Cacule a e b paraqueospolnônì os p(x)= ax, 3x+ beqixl = [2 + ]x, - 3x + a - b setamgLrars. 6" Sao"noo oLea f-ncâofr"ì-
in-" 2\-" d\'-1À-5 depende de x e quef[n] = 3, detefmn€ o valorde
7 Sejanì Í e g dos po nômìosnãonulosde coefcentes rcais. Assinaea altemativâ cofieÌa. âl srau[ís] = g|au[D .gÊu [g) bl gra! (D > gÍau(fg) c) grau(íg) = gru! it + sÍâu tsl d) srau[í + s] = g|au[D + g|a! [g) el graLr [f + g] = max{grau[D,grau(g)] _r.g-., 8. S"ia'rosool'ìônosí-t. ' =xÁ h - 2x3+ x'?- 2x- L Câlcu e o polnôrnio íg h L DeterÍn ne o valorde k sâbendoque o polnômo pedeto 4xt l2x + ké urnquadÊdo 10.ljsando o nìétododa chave,efetuea divisão de p(xl porhixl quando: al p[x)=x3 + x,- x+ ] e h(x)=x+ 4 bl ptx) = x" - 10xr+ 24x'z+lox 24 e h[x]=x'z-6x+5 I l. Calcueosvalores reasdex paÍâque qle o po nômio x3 + 2x, + 8x + 7 = 0, sabendo p[x]- x3+ 2x'?+8x+ 7 édvsívelporx + 1. pÍátcode BfoÈRuffnr, 12. Apicandoo dsposiUvo calcule o quociente e o Íestodadvsãode: a) p[x)-x! + 3x'?+x 5 porh[x]=x+ 2. bl p[x] = 2x3- 7,x'z + 2x + l porh[x)=x 4. que 13. Cacue o vaof de a. sabendo = p[x] + + + + a + 3 édvsÍve 2x' ax' ]lx . [2a 14. Determ n€ o po nôrno p[x] do 3e gÉu quese ânula pâÍax= I e que,dvddo porx + 1,x - 2 ex + 2, apÍesenta restogua a 6
t
Ì 5. CaculeosvaoresÍeasde m sabendo queo restoda d v sãode: aJp[x):x3+ 3x'z+5x+ m porh(x)=x méigual .r,
bìor\ì-r ') doque2.
6po l-. -,
ë-e o.
'! 5, Calcu€ âsraízes dasseglrintes equações € gébfcasl al x,+9=0 clx,+4x+4=0. b l-3 x + 2 : 0 . d)x'1 2x+2=a. '17,Umpoinórnionteiroemx quandodividido porx + 2 0â resto5 e quandodivddo pof x - 2 dá festo13. porx, - 4? Qualéo restodadvsãodessepoinórnio ï8, Dadaê equação 2x3 rnx, 2x + 4 = 0, mcLre o valordem paraqueLrma dasmízes da equação seja2. A segu', cêlcJe asouL,êsdrlêsap.çoêo-ã\:o 19, Encontfe que2,4 e 3 osvaofesdea, b ec sâb€ndo .io dr,/e) ' - 0. da eo êção d o' 20.VeÍifquequalsdasexpressões abaixosãopoinômios navafávex e ndqueo grau: " a)\')+ .r/3\ - I el 2
o l* +
'f
r
t
L-L
cl . --1+
sl3i5
dl4x3 2x, + 4x
h) 7
21. Dadosospolinômios ptxl=(a tlx,-ta-b)x+[2a b+c)e q[x]= 4x'? - 5x + 1 determinea, b€ cpaÍaqu€: p(x)= q(x); al seterìha p[x) bJ sejaurnpoinômio nLr]o; p(x) cJ s€jaurnpoinômio do le gÍâu. p(x)- 9x3 l8x, + llx 22. Dados ospolnômos q[x)=3x'?-4x+ ] cacLle
al ptxl+ qtx) bl ptxl qtxl cl3ptxl.
6e
dl pt qixl. el lqtxll':. 0 ptxl: qtx)
23. Considefe o polnônìop[x] = 3x3- 2x, - l2x + k e al Se 2 é razdep(x),qla éovâofdek? b'Se. -' qla eo esooaaiv;ooep.'lpo\ 31 clSek= I - i,então 2 é oLrnãoé m z dep[x]? 24, R€solva asequações agébrcãs: a)x3 x,(5 + i) + x(6 + sD 6i = 0 sabendo quei e urnacasrazesi bl4x"+ 16xi+ l5x, 4x 4 = 0,sabendo que-2 é mizde mutiplcidâde 2; c \' 6, - __\) - 6, que3 0 0.rabFroo e urna0e suasÉzes; d)2x3 \'1-4x+2=0.
Í
A-Est q4lslElt 1- tvlack-SDDeteminem e lR pa€ qle o polinômio p(xl = (m - 4lx3+ [m'z- 16)x'z + [Ín + 4)x+ 4seja de g|au2. 2. (\,4€c\-SPl calcJe osvalo€soem. n e { p€€ osqJais opoÌinômop[x):[2m- ]lx3- [5n- 2]x'?+[3 - 24 e nuo. 3. IFEI-SPJ Sendop[x] = ax4+ bx3+ c e qtx) = âx3 bx c, deteímne os coeÍcientes a, b € quep[0] = 0, ptll = 0 e qtll = 2. c, sabendo 4. GUC-SPI Deteffnine osvaoresde m, n e p de modo quese tenha(m + n + plx4 [p + ]lx3 + mx, + + 2m. + [n .- p]x + n : 2rnxs+ [2p + Ux, + 'mx 5. (FaapSPJCaclle os valoÍesde a, b e c paÍaqueo polnômio pj(x)= a(x+ c)3+ b(x+ d) sejaidêntcoa p,[x)= xs+ 6x'z+]5x + 14. 6. (FElSPlDeteÍnine osvalorcs dea, b e csabendoque -=:=----+--:j:-l--x'-l x-l x'+x+1 p(xJé talque 7. (FuvestsDO polinõmio p(x)+ xpc2 xl = x'?+ 3 pâÍatodox real. DeteÍm nepiOl,ptrl e pt2l. p(x)ta 8. [Fuvest-SD urnpolnÕÍnio não-nulo Considerc quetpixlls: x'zpixl= xptx'?) pârâtodox realedeter âJo gmLde p[x];
b) p(xl.
lllJ [ ) O restoda divisão de !m poinôÍnio de gra! 25 poruÍnpoinôrnio degmu17podeseÍum polinômio deg€u 19. l\, ( ) A sornâdoscoefìcentes do polinômio x5(x5 +t x,tl0x ll+8éguââ5. Aseqüènciâ coÍreta, de cirnâpâÉ báixoé: âl VFFV. bl FVFV. cl VFVF. d) FWF. 14. (FCÌúSCSP) Nurna dlúsão depolinôrn o ernqueo dvdendo é degraun e o quodente é degraun - 4,mrnn € lN e n > 4,o graudolesiopodesff nomáÌimoiguaa: â13. b)4. cl5. dln 4. e)n-5. 15. (PUC-SD Calorle osvaores deâ e b paraqueo polinôporg[x) = [x - ]1,. rno p[x] = )C+ ax + b sejadiüsn/el 16. (PUC-SPI Cacue o vâlordeaparaqueo Íestod€divipolinôm sãodo o p(x)= ax3- 2x+ Iporh(xl=x-3 selêiguala4. 17. (lTA-SPl Determine os vaoresde a e b pa|aqueos polinômos p[x] = x3- 2ax,+ [3a+ b]x e g(x)= f - [a + 2b)x+ 2âsejamdivisíve s pof h[x]=x+l I8. [FuÍnec-N/ìG] Deiefinine m e n d€ modoque pcx)= 2xa- x3+ mx'z- nx + 2 sejadvsÍr'elpof (x-2l[x+ ]1. = * - 4f + mx':+ 4x + né 19. TUFPB) O polnômioptxl divstuelpor[x ])[x 2].C€lcule o\€lorde5m+ 2n.
g. (UFRGS) Se P(x)é um polnómode gÍau5, entãoo gpu de lPtxlls+ lP(x)]'?+2Ptx)é: al 3. el 30. bl 8. cl r 5. d) 20.
20, tFGV-SnDercrmine o pÍodlrtomn sabendoque o polnôÍniop[x) = x3 6x, + mx + n é divsíle poÍ
lO. IUFPR) Detemjne m e n de Ínodoqueo restoda divi sãodopoinômiop[x) = x5 mxs+ n porh(x): x3+ 3x'? seja(xl = 5
p(xl= axa sx'? 3bx+ a, 21, iFE-SP)Dâdoo poinômio cacueos ìorcsde a e b de modoqÌrep[x]sejadivi sive por g(x) : x'? I lsugestáo:Fâçâ
I l. (Furnec MG)Calcule m e n paraqueo poinÒrnio p(r) - 2\' . x' - 1rx7- n\ - 2 sejadi\isÍlelpor h(x)=x'? x 2
22, (UncampSD DeterÍnine o quociente e o restodadivisãodexrDo+x+lpofx, I
quep(x) = xs + px + q é divisÍvel 12. 0TASP)Sabendo poÍ h(x) : x'?+ ax + b e por g(x) = x'z+ rx + s, dequeb: -(a + r). Ínonstre (verdadeka) 13. (Uece)ColoqueV ouF [ialsa]nassegun' tesprcposiÉes: l) ( )0 quocente da dvsãode um polnômode grâ!n + 2 poÍumpolnômode graun - I é ' umpolinômio de grãu4. ll) ( ) 0 restoda dvisãode lrn polnôrnio de grau por polfômo g|au + n 1 um de n é umpolÈ gÍau que nôrniode menor n oué o polinômio identicarnente nulo.
ix - r)(x 21.
x,-r =(x+r)(x r).1
23. [UF|\/]GJ Ospolinômos P(x)= px, + qx - 4 e P(x+ l) = Q(2x)para Q[x]= x, + px + qsãotâìsque todox ÍeaLOslalo-esde p e q sâo: a)p=l eq=-4 d)p=4eq=0. b)p=2eq=4 e)p= 4eq=0. cip=4eq=-4 24. tunfoÍCD P:x 3,Q=x'?+3x+ I e queo R = (a + bJx3+ (a - b)x,+ c\ + d. Sabendo polnômio P. Q é idéntcoa R,mncui seque a+b+c+déiguaa: 253 a) 28. bl 13. cl el -26. 2
25- (Uece) SePtxl= (x - 1)[x3+ x, + x + ]3) + 5 e A ( i=
PTrì -s
P rl ì " p ê rê \
Q[0]é iguaa: al l3. b) 12.
/
e n Ëo o !a to.de
c)r r.
o 10.
26. [Uece)Seos númercs 2 e -3 sãoÉÍzesdâ equ€ção x3- 4x,+ px + q = 0,entãoo resultado dâdjvsãodo po nômiox3- 4x'?+ px + q porx'?+ x - 6é alx-1. b)x+1. c)x-5. d)x+5. 27. (lTA-SPl A dlüsãode uÍnpolinórnio P[x]poÍx, - x fe sLrltâ no quociente 6x, + 5x + 3 e festo-7x. 0 Íesto dadivisão de P[x]por2x + I é gla a: aJL b) 2. c)3. d)4. el5. 28. eUGRSISeosnúmeros -3,ae bsãoasraÍzes daequa çãox3+ 5x, - 2x - 24 = 0,calculeo \€lordea + b.
38, tEElVl-SPl Dadaa equação xs 9x, + 26x+ € : 0, deteriìe o valo-do coeiciên,F a oa e qle ãr a,,Fs dessaequação sejamnúrnercs naturais slcessvos 39. [Unicãrnp-SD quea eqlreção Sabendo xr - 2x, + 7x - 4 = 0 temruízes a, b ec, escrevâ, comseuscoefcentesnumércos, Lrmâ equação cÚbim quetênhe comoÊzesa+ l, b + I ec + ] 40, (UFlVllDet€mì nea paraqle a eqlaçãò xs+ 3x, + ax - 15= 0 apresente suasÍaÍzes eÍÍ PA. 41. IPUC-SD Quâissãoasmízesdâequação 3x3- 13x,+ t3x 3 = 0? 42. (FEl.sPlR€soN€ a equaÉocúbcatr
l29. íPUC-SPì Daooo oolnóÍnro r - l\ r rt' i* . peoemse:
37. (ÍVlackSDAs ra2esdaequâção x3- 6Ì, + kx + 64 = O estãoernPG.Nessas condições, mlcue o coefcentek,
,
2 0
al asÍaízes deÍ; b)o quocente e o restodadivisão deÍ poÍx,
l
2x, 3x + 6 = 0.
43.0ÌA SPJQuaissãoas|aÊesinterâsdâ equâção x3+4x2+2x-4=0? 44. [EÊN,4SPJ D€iemìneasÉÊesdaequaçâo
L.
_
, + 4x= A.+ 2)'+ 7.
que-2 é |az do poinôrnio 30. [PUC-SP) Sabendo
lx -r rl \ ol.p-ìque\€Ce<€lRdeÉlìire ll lo t "l
45. lFuvesfsP]ConsdeÍernos a equação xj + mx,+ 2x + n = 0, ernqle m e nsão núÍnercs rcals. O número I + ié umaralzdessâ equâção. Calcue, então, m € n.
31. [V!nesp]Sem ó ÉÌzdo poinôrnio rea p[, = x6- (rn+ 1Jx5 + 32,deterrnineo Íestodadivi sãode p(xlporx - L
46. CFuvesr SP)â) Qu€is sãoasraízes intelÍas do polinômo = x3 x'? 4? P[x] al Decomponha o poinôrniop(x) em um prodlttode doispolnômÌos, umdegÍauI e outrcde grâu2 bl Resolvâ p[x)< 4(x- 2]. € ineqLração
(9-
alovaordek; bl asdemais €Ízesdo poinômio.
32. (Fuvest-SPl O número 2 é raizdupia daequação âx3+ bx + l6 = 0, Caculeosvaoresdeâ e lr. 33- (lTASP)0s 1 iÌê os a. b e c $o âueòda eqLaçâo x3- 2x, + 3x 4 = 0 Nessas condlções, calcule o y616p6g11111 â0
34. IEEN]ì-SPI Determ neas€Ízesdaequação queurnadelasé dupa. x3 3x - 2 = 0, sabendo 35. (LFIVC)0s nure osa.b e còàoas aEesdaeqLação x3+x- I = 0.Nessas condçôes, calcue o valofde -
ogl +-+-l o cJ \â
36. [EE]\4SP) Dadaa equação a gébrca prcdltode 3x3- 16x'?+ 23x- 6:0 esâbendoqueo duasde sLras raÍzesé ìguêlâ I, câclle as €izesda equaçâo.
47- (Fuvest-SP) Resovaa eq!âção r' 5C - _3\)- 19\ l0 - 0 5aoenoo qLeo r L' = meÍocompexo + z I 2ié uÍì€ dassLras Éízes. 48- (Unic€ínp-SPl Achetodasasrâízes âscorn Inclusive plexasldaequação x5 x4+ x3 x, + x - I = 0. 49. (Unicarnp-SD queasrâÍzes lvlostÍe de x5+x4 +xe +x, + I = 0sàotambém ÍaÍzes de x6- 1 = 0. Celcule essas Íakes, 50. (FuvestsP) Consderc o poinórnio nãonuio p[x)= ao+ ârx+ af +...+ aixn,emquea0,a,,ar,.., ai estãoemPGde razãoq I 0. lt\ a) Caculepl : I \q,/ b) l\4osÍeque,pa|an par,o polinômop(x) nãotem @zrcal,
51. (UFGG0) Considere o polinómio p(x)= (x - 1)(x- 3F(x- 5)3(x- 7la(x- 9l5tx- lll3.
Ograudep[x)é guaa: a)6. b)21. c) 36.
d)720.
el I 080.
52, (UFRGS) Asornadoscoefic€ntesdo polinômio (x'?+ 3x - 3)50é al 0. bl l.
cJ 5.
d) 25.
54, (V!nesp)Sea, b, csão númercs reastasque ax, + b(x + l), + c[x + 2), = [x + 3], patatodox Íea,entâo ovalordea - b + cé: a) -5. b) -1. c) L d) 3. e)7. A respeÌto do polnômo 55- (UFPR) p(\'ì- ai -br - c\ - d se_do a b. c. d rúreros reais,considefe asseglintes aÍrÍnatvas: l) SeI éraizdep[x],entãoa+ b + c + d = 0. l) O rcstoda divisão de p(xlpof tx - kl é ptkl. lì Sea - 0 entãop(\'ìten duasra2es.e€s menos umaraizrcal. U Sed = 0,entãop(x)possuipelo Assinâle a alternativa coÍretâ al Somente âsâÍÍmâtivâs l, I e Vsãoverdade |as. b)Somente âsaÍìÍmativas le lVsãoverdadeÌas cl Somente asâÍìÍmativas I e Vsãoverdade |as. d)Sone'.easêÍrÍnàlivas .lle llsâove-dadeÍas el Somente asâíiÍmativas e lsãoverdade ras. Dividindo o polinômoP(x)poÍ x'?+ x - l 56. tÉGV-SPl quocienie gu€lâx 5 e rcstoOuâl obtérn-se â l3x + 5. O valorde P(ll é: a) 12 b) 13. cl 15. dJ16. el 14. xa+ x3- rnx'z - nx + 2, 57- (PUCPR)Dadoo polnôrnio deterÍnne m e n paraqueo mesmosejadivsívelpor x, x 2.Asomam+néiguala: b)7. cl 10. d) g. e) L al 6. p(x)pof!mpoinôrn o 58. (unÍesplA dvsãodeumpo nômlo k[x) temq(x) = xs + 3x'z+ 5 cornoquocentee (x) = = x2+ x + 7 comoresto. queo restodadviSabendo sãode16) porx é 2.o resrodadvsàode pírì po.x é: a) r0. b) 12 c) 17. d) 25. e)70. (x3 2x?- 4x + 8)r'z= 0, a rnul59. (UFBA)Nâequação . tiplcdadê daraizx= 2 é: al L b) 6. c) 12. d)24. el 36.
(,
FiD
acima, seÍ(4)= 0,Q(l) vae al 1. b) 3. c) 5.
d
4.
e)2.
61. IUFRGS] Naíguraabaxoesürcpresentado o gráÍco g|au deurnpolinômio de 3
€l 50.
Seâ expressão 53. IUFC-CD 2x+5 a b * . cnc€a c o sâcc.1sa" r z" _r z, _ r paratodonúÍneÍofealx + l+, tantes,é verdadeira 2 entãoovaoÍdea+bé: a) 2. bl L cll. d)2. el3.
60. flVlack-SPl ail + 5x, - ax + Alt, - a
Consdemndoo Íestor[x] e o quocenteQ(x)dadivsão
A sornadoscoeÍcentes dessepolnôrnio é: al 0,5. bl 0,75. c) l. dl 1,25. el I,5. 62. [UFIV]G) As d mensôes a, h e c, eÍncm,de umpâÍale epípedo felângulo sãoasm2esdo poinórnio p(x)= 6x3- 44x'z+lo3x- 77. a) Calcule o volurne desseparaÌelepÍpedo. pâralelepÊ bl Calcule a sornadasáreasdasfacesdesse pamlelepÊ c) Caculeo compriÍnento dadiagonaÌdesse 63. (UEL-PR) A eqlaçãox3 - lox'z+ax+ b:0têm uma ralziguala SobÍe 3 + 2i,Nela,aebsão núrnefos rcais. ess€eqüação. é coÍÍ€toaÍÍr'a-: a) -3 + 2 também é razdaequação. blA equação nãopossuiraízes reais. possuiuÍnaÉz irÍaciona. cJA equaçào O0valordeâé-37. el0 valoÍdeb é -52. 64. [UFPB) Considerando aspÍoposç6es sobrepolnómos, assnae comV â(s)verdaderâ!s)e coÍnF,a(s)fasa[s]. nãonulostaisque i ) Seiamítxl e g[x] polinômios f(2) = gt2l = 0. se ttxl é o restoda dvsâode f(x) porg[xJ,entãoÍ[2) = 0. r ì 0 pof_ônoÍ(ì - {r l 3( 2 ten -Ììa raz "teira. de grau3, entãoo [ ) Sef(x) e g(x]sãopoinórnios grâudo prodltof[x] g[x] é 9. A seqüéncia correta éi a)VFF dlVVF. bIFVF elVFV. c) TcV. rj FVV. p:lR-r lR deÍnidopor 65, [Unifap] Sêjao poinôrnio p(xJ= 2X3+ 3x, 8x + 3.Seosconiuntos A eB sãodeÍndosporA = {x € lR:p(xl= 0l e B={xetR:ptxl>01. a) DeÌeÍnine o conj!ntodetodosospontosx queper b) Detefinine x quepeÍo conjunto detodosospontos tencema B. p. c) Esboce uÍngrálcodo poìnôÍnio
A históriadas equaçôesalgébricas+ A históriarecentedas equâçóescúbìcâse quárticascomeçacom 05 matemáticositalianos,um pouco (GÍolamoCardano, 1501antesda traiçâode Cardano que publicou, em 1545,na suaobraÁrsMagno, 1576), êquaçóescúbicasrevelâdo o métodode resoìuçáoda5 a êle por Tartaglìâ(NiccolòFontanaTartaglìa,1499I557),sobjuramentode segredototal. Cardânojustifi_ cou a traiçãocom o pretêxtode que,ao tomar conhecimentodo trabâlhode Del Ferro(Scipionedel Ferro, nàohaviàsidoo úniconemo pÍÊ I465-ì526), Tartaglia meiroâ descobrira fórmulapârâíesolverascúbicas Realmente, DelFeío estudouascúbicâsantesde total segrêdo,Um pouco antegde sua Tartaglia,em morte,revelou-oa um aluno,que depoisousoudesafìarTãrtâgliaparaum duelo mãtêmáticosobreresolu_ Há cáode cúbicase pêrdeu,caindona obscuridade que náo eÍa sufi Del Ferro método de de o susDeiìas cìenteDarâresolvertodâs as cúbicas,pois Del Ferro náo conheciaos númerosnegativos(até então, sohìndujálidavabemcomasquanmenteâ Matemática
(equaçóes polinomiaìs quínticas de grau5) continuou quebra-câbeça porquâse 300anos,poistoum sendo dos acreditãvamquê elastambémpoderiamserresolvidaspor fórmulas;assim,muitos matemáticostenta-
tidadesnegatìvat. Junto com o método de resoluçãodas cúbicas,o Arsl\\ogna,deCa'dano,trâziatoda a discussãoâcerca da resolucáodasquánicas,resultadode um profundo estudode Ferrari{LudovicoFerrari,'ì522-1565),aluno de Cardano,em cimados resuhadosde TartãgìÌapara a publìcaliaíicoumuitofurioso(om ascúbìcas. TaÍtag çâodo AtsMagno,actsandoCardanode traidor'Ferrâri, por suavez,escreveuaTartâgliapedindodesculpas e desâfÌando-oa uma disputã pública.Tartaglianão Ferrarieadiouao estavaconvencidodêquederrotâria três anos máximoa disputa,que só ocorreuem ÍVlilâo, que acompâtoda a cidade disputa dêpois.Em uma levandoa melhor,demonstrannhou,Fêrraricomeçou profundada resoluçãoda5 mais do uma compreensáo equaçóesquártìcase cúbicas.Tartâglia,antevendoa derrota,fugiu de Ìvlilãoe abandonoua disputa No5 muiá publicàcáodoÁruMogr,d, ànosqueseseguiíam para rêa publicaram contrìbuiçóes tos matemáticos dâsequaçôescúbicase quáíticas. soluçã.o Soluçôêsde equâçõesalgébÍicasaté o quarto gràu (asquáfticas)são solúveiepoÍ fóÍmulasque enas quatro opeíaçóesaritmétìvolvem os coeficientes, case a extraçãode raízes.Entretanto,a resoluçáodas
ticas,porém,ao produzirum exemplode utilizôção Além delê, da íórmulã,percebeuque se engânara. também provou Gãlois,18'ì1-1832) Galois(Évãriste usandoa sua própriâteorÌa, essaimpo5sibilidadê Com isso,esse maistardechamadateoriade Galois, que morreunum dueloôos21 anosde gênioÍrancês, sãoou idàde,no5permitiuhojesaberquâisequações que por envolpassíveìs fórmulas não de iesoìução
a
?
ram,em vão,obter a Íórmula, pubììEm 1799,Ruffini(PaoloRuffìni,1765-1822) cou um trabalhoem que,excêtopor um pequênoengano, provava a impossibilidadêde resoluçãodas quínticaspor fórmula5.Entíetanto,esseengano não lhê deverìatirar o mérito de ter sido o primeìroa perceberessefato.Comones5aépocaera um contra_sênso acreditarque alguma equâçáoalgébricanão pudessesê. resolvidôpor meio dê fórmulas,RufíinimoÊ rêu sem poder corrigirsuâprovae sem serreconhecido poí ela. de A primeìraprovacorretada impossibilidade pelo resolveíasquÍnticaspor fórmuìasfoi publicada em norueguêsAbel (NieìsHenrikAbel,1802-1829) 1824.O curiosoé quê,trêsanosantes,Abelchegoua da5quÍnter obtidoa fórmulade resoluçáo acredìtar
vem os coeficientes,
Bibliogralia D^vs, Harcld Í . Tópicot de histótìo da MatemátÌcaporc Atuâ1,1992. usoemsaladeaula.SâoPaulo, nhttp://www-history.mcs.stand.ac.uk/history/Biogl dex.html http://www-hìstory.mcs.st-ànd.ac.uk/hìstory/HistTo: pics/Quâdratic_etc equations.html http://mêmbers.fortunecity.com/kokhuitan/polyneqn html
;Eãituoãão
NeÌo. pelorror ery FêíazJ\4achado
t
oletard.ados é umprocedimento fun-
damentalemqualqueráreadei teresseda nossavíd,a,Fazêmosíssott todn qdqui r um beflt momento.Bq6ta.querermos quelá vartosnóspesquísarpreçose qualida, de.Para conhecer operfl dosalunosdedetermínatla escola,elaboramosum questionáno e saímosà cdletuí.le respostqse, depok de cumprídaessaetapa.pod,emos sofuticarnossa pesqui.sa, analísandoa concmtraúo de respostnsfavoráveis a ce1Íos l ibitos ougostos, eassímíazemos, naprática,wna ânáJ$eestat3üca.Os noi.iario. no<Ìníormamdiaiamente d.adosnuuérícos reprcsefitadosem grcífrcos e abelas,formasJàceí: decomunicapor própria.s çào sercmdirelas,esquemàlicas, da.linguagemmatemlitica.Por íssoda é coqsideratlaum ramoda Matenkitíêaaplicada A palavra estatjstica sígfitflca,jasta.nente.hnàlisededados.Comociència,.urgiu mi. Ìêníosa.ntesde Crísto,se do, no ínícín,um6 simplescompilaçaode números.Acredíta-se
180 160 140 120 100 80
40 0
queseudesenvolvímento oconeadevíd,o a necessíd.ade dos goveftMntesde anhecerem aomoosrecursose bensestalctmd,ístribaíd,os pela populaçãoe d.oqaedíspunhao Estutdo. Até osdias d.ehojesã.oanheciàassuasaplícaçõesem fel6úo aos assantospúblícos,O censo, por eaemplo,acontece peúod,icamente eÍomeceelemektosímportantespara o pla,tejamentodopaís,De orígemlatín6, 6 pttlavra ceÍso sígnirt.abonjuntodosdad,osestatístícosdosha.bítafites de uma cídade,utado ou naúo: O maísarrtígodequeseternnotícía é o da China- diz-sequeem 2238a.C.o imperador Yaomand.ourealízar um censod,a populaçãoe daslavowascultívad,as. Porvolta de400a.C,,osromafiosjáfa.zíamregularmenteum levantamentod,apopulagio e d.o grau depobreza,como objetívodeestabelecer tatqs deímpostos.OprímeírocensonoBrasil íoi realízadoem 1872e, desde1936,quando íoi criadoo IBGE(ln.titutoBqjleírcde Geogwfra.eEsta.tística), aíontecea cad.a. d.ezano8 totuando-sea opevçào estatíslicamais importante paraadelerminaçào dopetfl sociodemogni,fcodopaís, dand.osubsídías para a
1
análísed.ed.ísúíbuiçãode tecursosdo FundodePaftícípaçãodosMunícípíos, O gáf,co d,6pttginít ao lado, ertraído do síteofcíal do IBGE,mostraa.popula,çAodo BM\íL, em milhõesde habitantes,nosúltímü censos, Apesarde asprímeims noçõese8tatísticasteremaparccídomaíto tempo.t rtesde Cfisto, íoí somelúenoséculo XVIII que o temo "esta.tktíca"se instituíu,por sugestãodo alemã.oGottjurbta e íried Achenwall (1719-1772), hístofiadoti que atfibuíu à Estatísti.a um cará,tercientíf,co,consíderando'a "um conjuntodeelementos socíoecorlômícosepol[ticosnosqua.isseasse ta o Estado", No século XIX destaca'seKarl Pearson(1857-1936)fundador doprí' meíro departa.mentoaniversítáriodedícadoà Estatktíca aplicada, tona do-a uma disciplínacíentíf,caindepend.ente,integrando'a com várias árcas ComespeciaL interesdo conhecímento. "bioestatktíca': contríse,10estud,oda baíu, ho campo da Psicología,com a pesquísa estat[stictt da evolução do comportamentohurttano. Por fornecer dados que embasam tod,otípo depesqaíslr,é uma dísciplína prcsenteemquasetodososcarsossuperiores.Nestecapítulo damoscontíïluidadeao estudoda Estútktica que você já deveter iniciado em séries6.hteriores,aprofundando-nosum poucomais ao abordarmosproblemnsque envolvemconceítos e temos maísespecíficos. Apesordaíreqüênciacomqaeaparece no nossodía'a-d,ía.uma vezquegráficose tabelqspovoamjorna.ise revísta.s, a.Estat^tíca pode noslevar a detalhes bastante soflstícados,que envolvem maior conhecimento técriíêo.
a
I. Segundo dadosde 2003,parar€duzÌr o consumo de agÍotóxico, dâ Europa dessemãterlal algunspâíses cobÍamdosprodutores O gráfÌco segt]nte mostra Lrrna taxasobÍeasvendasTea lzadês. paraâ é destlnada essataxaeÍntÍêspaíses PaftedaaÍrecadação paneédireclonada paíaa pesquisã, como objetvo fìscalizaçãoe de promovertécn casalternêtlvas deplantio. Í
do E Dinama'.âE NoÍuêsã tr RernoUn
pâíses de agro_ cobrarÍìaloÍtaxa sobreasvendas a)Quadesses prodLrtores? tóxÌcode seLrs corrTada unìareâçãoenÍeamaioT e a menorÌaxa b)Estabeleça poresses pakes. Lrra toD namarcavende c) SeemumsenìestÍe umpÍodLrÌoÍda quanto píoduçâo ele' dea9rotóxicg ta de l2500euÍosdasua governonesse peÍíodo? devepaqarao afìrmoua respetodas 2. Velao que o professor de N,,ìater.áÌica por 2s seus a unosdo 3e B:'No nìédiasdo bimesÍeobtidas 29b mestÍe,de todosos meusa unosda 39 séÍieB,3 fÌcaram ouÍo ado,6 comnìédia 5,5,enquanto 12fcaram con'ìó,0;poÍ obtveÍarnmédia7,0,ouÍos9,média8,5,e os6Íestantesticaram comÍnéda 9,5i poresseprofessoÍnurÍìa tabea. a)Arr!meosdadosdecârâdos B? ntos â unos havla na 3q 5érle b)Responda: Quâ folhadepapequâdrÌcuado,façaumgráícodebaÍat c) Nunìa queo plnteumaquâdÍícLra paracada3 alunose considere (x) asnotase o elxovertical(y)o elxohoÍlzontal repÍesenta oeaLunoS. nLrmero
1
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1
O usoda pesquisaé bastantecomumnasvárìasãtividadeshumanas. Exemplosa le) As indústriascostumam realízârpesquisasentreos consumidorêsantêsdo lânçamentodeum novo produtono 29) As pesquisas eleitoraisfornecemelementosparaque os candjdatôsdirêcionema câmpanha, 39) A pesquisado desempenhodos atletas,ou dasequipesêm uma partidârou em um campeonatointerfereno planejâmentodostreinamentos, 4e) Emissoras detevêutilizampesquisâs quemostrama preferêncìa dosespedadores pân organizar suâprogramação. A realização de uma pesquìsa envolvemuitasetapas,como a êscolhâda amostra,a coletãê org;nizaçãodos dados(iníormâções), o resumodessesdados(emtabelas,g ráficos,etc,)ê a interpretação dos resuEados, A parteda Matemáticâque tratadessêsassuntosé a EJÍdtÁficd, Nêstecapítulo,vamos estudarnoçõêsde Estatística,comoâ construçãoe ã interpretação de 9ráfìcoscomoos que seguem:
r
Intenção de voto por escolaridadedo eleitor [em0,6] An.lfãb€to!tun.i.nrii:zr$
4>
Fundam.ntàt(.mpt.to:11cb
4r
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J,,
Ábr
Mâió
Jun,
\32
lut.
-.àndidatoB
Termosde uma pesquisaestatística Populaçãoe amostra 5e quisermossaber,por exemplo,qual a matérìaíavoritãentreos alunosde uma classe,pooemosconsuEar todo5osalunosda classe. No entanto,issonão é possívelquândoqueremospesquisarsobrea intençãode voto doseleitoÍesdo estado de são Pãulo, poisnáopodemosconsultartodosos eleitoresque constituema populoçâoou o unìversoesíatístico, Recorremos, então,ao que se chamãde dmostld,ou sejã,um grupo de elêitoresque,consultados, permitem quê5echegueao resultadomaispróximopossíveldarealidâde. Écomumaparecerna publicação quantoseleitoresforam daspesquisas poisa escolhadâamostra con5ultados, (quantosequaiseleitores)éfundamental paraoresuttado. ChamandodeU o universoestatístico ede  umaãmostra,temos: ACU
lndivíduo ou objeto
Câdaelementoque compõea amostraé um indlyíduoou objefo.No exemploda intençãode voto, os indivi duosdapesquisasáopessoas.Quandoseconsideramalgumasmârcasdelámpadaparatestarâdurabilidade marcâé um objetoda pesquisa, t
a
169
Variável que pretendelançâÍum novo modelode caíÍoíazuma pesquisaparasondara Umaindústriaautomobilística preferênciâ númerode poÊas,potêncìado motor,preço,cot tamadosconsumidores sobÍetipo de combustívêI, dâ é umavdri{ível pesquisa. nho,etc.Câdãumadessascaracterísticâs ã escolhapode ser,porexemplo,entreálcoolegãsolinâ.Dizemosque esses NavaÍiável'tipode combustível", da variável"tipode combustível". sâovaloresou realizacóes
qualitativa Variável poÍ exemplo,asvariáveis podemsersexo,cor de cabelo, consideradas Emumapesquisâque envolvepessoãs, pois dpresenta m c9r4q esportefavoritoe grâude instrução,Nessecâsodizemosque asvâriáveissâoqualitotìvas, po$fueiçvalorerllmaqualiCadelouattib!t9).-dog ìndìvíduqspgsquisados. podemserorditdls,q uandoexÌsteumaordemnosseusvalo qualitatìvas Alémdisso,dizemosque ãsvariáveis quandoissonãoo(oíe, res,ou nomina6, Exêmplol "crau de instru!ão'é uma vaìovetquolilo vaoídinolja que seusvàloÍesÈodemser médio.5uperior.etc.ì. ordenadorífundàmental,
"Esportefàvorito"é uma wiável qulitalva nÕninàL justifique.
quaìrtitativa VaÍiável Quandoasvariávehde uma pesquisa5áo,poíexemplo,alturâ,peso,idadeem anose númeÍodeirmãos,dizepoisseu5possíveis valoressãonúmêros, mosque elassãoqúldrtitaÍivos, quando5etrãtade contagem{númerosinteiros),ou continuas,' quantìtâtivas podem serdlscretds, As variáveis quandosetratade medida(númerosreais). Exemplos: 1e) "Númerode irmáos"é umava ávelquantitotivodÀcletd,poispodemoscontar(0,1,2,etc.). contínua,umavezque pode sermedida{1,55m, 1,80m, 1,73m, etc.) 2e) 'Altuft' é umava ávelquontitotìvo umapesquisd: tiposde vàriávelde Quãdroresumodos Inomrnal IqualitativaL. I lorornàl
I I
A idad." €manosexàtos
Variável{ | | dìscreta Lquantitativa l Iconunuà
discrera t8,10,17,etc.l.
pÍoposto Exercício tern cadastEdos 1, UmaconcessionáÍia de autoÍnóveis sobr€a prêieÍêrìcia de e fezumapesquisa 3500clientes v€Fnellìo ou ê4rD compra emreaçaoa "cóf {bmnco, 'pf€ço',"número de pofiasilduasou quatfoje esÌêdo de conseft€ção [novoo! usad!].FoÉmconsultâdos iníofinações, rcsponda: 210 c ientes. D anÌedessas
.
dessa â) Qualéo unvercoestÊtístico e qualéa arnostra b)Qlaissãoasvâráves e qìraé o t po de cadauma? c) Quasos possíveis vaoÍesda vafável'cor' nessa
Freqüênciaabsolutae Íreqiiênciarelativa de umaexcursão,tenha sidofeitâuma pesquisasobre Suponhaque entreum grupo cletunstas,participântes que seguinte: o resultadodelatenha sidoo a nacionalidade de cadaum e Sérgio:bràsileiro;Râúl:ar Cláudia:brasileira; Ramón:espanhol;Laura:espanhola; Pedro:brasileiro; Âna:brasileirâ; gentìno;Néìson:brasileiro; Pablo:espanhol. Sílviã:brasileira;
,
t
170
. (ontexto MàÌemátka &Aptiaçôêr
O númerodevezesque um valorda variávelécitadorepresenta a freqüénard obsolutddaquelevalor. Nesseexemplo,a variávelé "nacionalidâde" e ã freqüênciaabsolutade cadâum de seusvaloíesé: brasileira, 6;espanholâ, 3;e argentjna, 1. Existetambéma ffeqüéncdrelativo,que rcgis.Úa aírcqüêncìaabsolutâêm relaçãoao totâl de citações. Nesseexemplo, temos: . fíeqüênciarelativada nacionalidade brasÌleira:6 em to ou A
ou I ou 0,6ou eo%;
. freqüênciaÍelativada nacionalidâde espanhola:3em 10 ou a
ou 0,3ou 3O%;
. freqüênciarelativâdâ nacionalidade argentìna:I em 1Oou 1
ou 0,1ou tOoÁ.
pode A feqiiência r€ÌatiYa ser expressà em lmção,
Podemosassociârafreqüênciarelativade um eventoà probabilidade de que eleocorra.Seo númerototaldê citaçóesfor suÍiciêntêmente grande,aíreqüênciàrelativaseestabilizâ em torno de um númeroque expÍes5a a probabilìdadede ocorrênciadesseevento.
ïabelade íreqúências (valores), A tabelâquê mostraa variávele suasÍealizaçóes com asfreqüências absoluta(FAJe íetârivâ(FR),é .hamadade tobeladefreqüências. Assim,usandoomesmoexemplo,temos: 6
FR 60% 30%
t0
t00%
!liqe@!d!CL
lOYD
, iI ExeÍcí(io oÍoDosto ..---I r .' 2.llÍngrupodea unosíoicons!tadosobfeotrnepa!stâdesla pr€íefênc a e osvotos íorarn fegÌstÉdos assm: Santos ras!; Cortnth o Z. Construa ansf f_] SãoPâr.r a tab€ta deífeqüéncas correspondente [; Patme a essapesquisa L
fabelascJeÍreqüências quantitâtivas dasvariáveis Jásâbemosque a variávelquantitativa tem seuspossívehvâloresindicadospor números.Veremos agoraque, na elaboração podemosdepararcom duâssituaçôes. de suastabelâsdefreqüências, Paraisso,vamostomar comoexemploum grupo de alunosdos quaisíoram Íegistrados a ìdade(em anos),o "peso"(emquilogramade a altura(emmetÍos). Albeno:14ã,49,0kg e 1,73m;
JoséLuís:14a,49,0kg e 1,74m;
Alexandre: 14 a,46,5kg e 1,66m;
Lúcio:14a,46,5k9 e 1,65m;
Carlos: 16à,53,0kg e 1,78m;
Íúarcos:15 a,48,0kg e 1,63m; Í\,4ário:14 â,48,5kg e 1,69mi
Cláudio: 15a,50,0kg ê 1,75m; Eduardo:14a,51,0 kg à 1,68m; Flávio: 15a,49,0kg e 1,70m;
MauÍcio:16a,50,0kg e 1,70m; Mílton:14a,52,0 kg e 1,75m,
GeÍaldo:14 a,440kg e 1,62m; Gilberto: 15â,51,0kg e 1,76m;
Roberto:15a,47,0kg e 1,69m;
Hélio:14â,48,3kg e 1,68m;
Sâul:l4 a,51,0k9 e 1,73m;
JoséCârlos:16 a,52,0kg e 1,79m;
sérgio:14 a,49,0kg e 1,66m.
I a
Renato: l4 a,46,0k9 e 1,72m;
r
171 PrimeiÌasituação: valores14 anos, comopossíveis da variável"idade",notamosquê âpârecem Ao elaborarã tâbelade freqüências 15anose 16anos; ldâde(ânot
ZZI
14
z
ì5
FR(fração)
Contâgêm 12
FR(%)
12 ,3 205 51 204
16
S€9undasituaçáo: Pàraa variável"âltura"aparecemmuitosvaloresdiferentes,o que toÍna inviávelcolocarna tabelãuma Ìinha comoveíemosa sêguir: paracadavalor,Emcasoscomoesse,agrupamosos valoresem ìntêrvalos(ou classês), registrada, obtendoa amplìtudetotâl 19)Câlculamosa diferença entrea maiore a menorâltura = m). 1,62m 0,17 ll,79num númeroconveniente 2e) Escoìhemos o númerode intervalos(geralm€ntesuperiora quatro),consideramos (clâsse) Noexemplo,pâra (um poucoacimada amplitudetotal)e determinamosaamplitudede cadaintervãlo fazemos0,18m r6 = 0,03m. 6 intervalos, ã tâbeladefreqúências: 3e) Elaboramos FR(d€cimal)
I ,65f-
1,64ín
1 ,ó 8 r-
1 ,7 1m
1 ,7 7t
1 ,8 0 m
obseÍvâçóes: (intervalos) foram obtÌdas,a partirde 1,62m, fazendoa adiçãode 0,03 13) Asclâssês (1,62+ 0,03: 1,65;1,65+ 0,03= 1,ó8;e assimpor clÍante). ìndicaintervãloíechadoà e5queídae abertoà dìreita.Assim,aaltura1,68m nãofoi registracla 2c) Osímbolof m 1,68f-l,71 1,68m, masno interuâlo em'ì,65f,--
"
'.
,. pr0p0st0 | Èxerocro
- "".. pesqulsâ da vafáve peso coÍnseLrs da rnesma i{" Usando os dâdos lpágìnaanteror],eâbofea tabeade freqüéncas ]-..--'
\ -':9 1 1 'i 1 l! " 9" t : l: ' *: " " . .
,
Vamosagoraíetomarostermosde Estâtística vistosatéaquì,pormeioda seguintesituaçào: Emumaescolâcom 5classesde 1esériedo ensinomédio,cadâumacom45alunos,foìfeitaumapesquisapara traçaroperfildâ l4 série.Paratanto,forâmselecionados 5 alunosdecadaclasse, que responderam a um questÍonário,a partirdo qualfoi elaboradâa seguintetabeta: '
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417\\ 166 4a !a2T. 165 66 17-5 63 ta!m 19I !', 1 6 5 5 7 64502 !!!!r
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38 38 38 40
35 34
A partìrdatâbeladada,podemosâfiÍmar: 1e) O universoestatGticoé constituídode225 alunos. 2e) A amostradessapesquisaé constituídade 25 aluno5. 3-Ô)"Cordecabelo"éumâvariávelqualitatìvanominal. 4s) "Númerode irmãos"é umavariávelquantitativadiscreta. 5e) "Desempenho em Matemática"éumavaíiávelqualitativa ordinal. "AltuÍa" 6e) é umava.iávelq uantÌtativacontínua. 7") Ddnçaé um vdloÍda varlavel hobby,cujaÍreqüèncta àbsolurà e 7 e cujàlreqüènciàíelativae ^1ou0,28ou28%. 8e) Atabelâdefreqüências da vâriável"número de iímãoí'éa s€guinte:
- lq!'elo qq'r!'39!
111
a
173 (emquilograma), com os valoresem classes: vâríável"peso" 9-') A tabelade frêqüênciâsda Amplitudetotal:66 38 - 28 Númerode intervalos:5 =6 Amplitude relatÌva:30:5
50r--
s6
i
propostos Exer<ícios PaÍaos exercÍcios 4, 5 e ô !t izeo quadÍoda págna antefot.
FoiÍeitoo levantam€nto dos sâláriosdosfuncionáfosde uÍnaernprcsa €, em seguda,fo eêboÉdaa ïabelade íteqüêncìas, comosvaoÍesdavariávelern classes. Corn-
al Dasvêfáveisdo quadrcquaissãoquaitatvasnobl quas sãoosvâorcsdavafiáve'sexo? cl Quaé a ffeqüência absoLrtâdo valof38 davaráv€ ìdnêq il leqJ'r.la elal,vael raç:o de " cma € poÍcentâgeml? dl Quaé o valorda vafável"corde cab€o , cujalÍ€ qÜéncìâ reatvaé 720,t? . ElâboÍe a tabeade frcqüéncas da va áve"d€sernp€ nhoemMatemática". . . Construa davaráveâltuÉ'lern a tabela deÍfeqÜêncas centÍrnetrosl, comosvaorcseÍì 6 nteÍvalos(c asses) A iabelaa seguifé rcs!tântedeurnapesqusasobrcos ''gêrìefos mLrscasrnaìsv€ndidos em!rna ojadeCDs osespãços. dq€nte!m diâ.Cornp€te FA
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960r-
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NâCopado lvlundo o B|asldisputou daÁlemanha [2006], oss€guntesjogos:Bras1 x 0Àrstrála; lx 0Crorica;Brasl2 Bms4xlJâpão;BÉsl3x0Gana;Brasi 0 x I FËnça. al Construa a tabelade frcqúêncas da varável'ïesulia dos, consÌderando os empa comovaloÍes asviÌórias, tese asderÍotas. bl Eabor€a tabelade írcqüêncas davaráv€lgos rnaÍ cadosporpartida", I gol,2Oos lsandocomovaorcs 3gose5gols.
ffi&rtesergssectrles g ráíicaforneceumavisãode conjuntomais A íepÍesentação A dri anoxxxxxxx Porisso,os rápidâque ã obseÍvação diretàdos dadosnumérìcos. Leti ci a xxxxxxx meiosde comunicãçãocomíreqúêncìa oferecema informãçãoestatísticapor meiode gráficos. MaÍi no xxxxxx Consideremos uma situaçãoem que,na votaçâopararepre1asériedo ensinomédio,um alusentanteevicê{epresentânteda noanotaosvotoscom um'x'ao ladodo nomedo candidato,enquantoseuscolegasvotam.Aoterminarâ votaçáo, podemosobservaro "desenho"aolado,
t
174
. Conterto Màtemáka &ÂDlkacôer
Não precisamos contaros votos parâsabêÍquem foi eleito.Pelos'xis",notamosque AdrianoÍoi o escolhido paíârepresentantee Lucjanaparavice, Com uma simplesolhâda,obtemosa informaçãode que necessitamos, Essâé uma característjca importante dosgráfìcosestatísticos,
Gráficode segmentos Atabelaque seguemostraa vendade livÍosem umalivrariano segundosemestÍedêdeterminadoano.
i
A situaçãodo exemploestabeleceuma coíesponpor paíesordenadosúulho, dênciaque podeserexpressa 350),(agosto,3O0),etc. Usândoe;xosèartesianos, localizapâres mosos seis ordenadose construímos um gráfìcode segmentos, Os gráficosde segmentossão utilizadospÍincipalmenteparamostÍara evoluçãodasfreqüênciasdosvãlo resde umavariáveldurante um certoperíodo.
sd.
Out,
Noú
Oez
A posiçãode cadasegmentoíndìcacrescimento, decréscimo ou êstabilidade. Jáa inclinâçáodo segmentosinaliràa inienrdadedocrescimento ou dodecÍe,(imo. Pelográficoanterior,vemosque: O gráfìco desegmento! . dejulho paraagostoâsvendascaíram; . de setèmbroparãoutubroasvendaspermaneceÍam estáveis; delinhas. sráfìco . o crescimento para de agosto setembrofoi mâior que ode outubroparanovembro; . o mêscom rnaiornúmerode vendasfoì dezêmbro; . no mêsde oulubrofoíamvendidos 400livÍos. O qu€ìndicao saldoda Exêmplos: r-r Crescimentoda populàçáobrasil€irad€ l94Oa 2O0O
2'q) sataoda latançacomêrdâlbrâsllêirâ êm2006 En US$nithó6
E
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175
(à GpÍtulo6. EstàÌút
;.-
;
pÍ0p0sr0s Èxercrcros , ' ,l . Ut izeo Sáí co d€segnìentos do exernplo dado(venda de livroslnapágnaanrefor e fesponda: sefiestrcasvendas subÉm? a) Eínqle peÍodosdo segundo asvendâs forâÍìrmâiorcs:ju iroou outubrc? bl EÍnqua destesdos meses foÉrìrmenoÍes? cl ËÍnqueÍnêsdo sem€strc asvendas venddos450livÍos? O EmqueÍnêsíoram du|ante o €no etvoo seguinte aproveLtamento PÍirneirc bimestre: nota7;segundo b m€stre: nota6; Umallnoaprcsentou gúÍco quarto 8;€ birnestre: nota 8. Construa urn de segÍn€ntos coffespondenÌe a ess6 stuação e, terceÍobimesÍe:nota parlfdele trc conc Lrsôes a alg|Jmas : An6lise osgÉfcosda introdução do capiluo Cpágina I681efesponda: Intençãodê voto poÍ *colaridade do eleitor (emooì Anàrab€tos ftin.lonak25%
v
4 ÍF
AbÍ,
Maio
lun.
preferido íundamenta â) Eml!nho,quâlocandidato entfeoseeiÌorescornensino completo? bl EmabÍI,qualâ poÍcentagern do canddatoA entr€ose etorcsde níves! peÍoÍ? cl Emquemésa porcenkgem dosquenãosab€Ín ernq!€rnvotaratngiuI60,tentreosanafabetos?
GráÍicode barras A panir do "desempenhoem Química"demonstradopelos alunosde umaclasse, um professorelâboroua seguintetabela:
FR
DesemDenhoem Químicâ 6
t0 t0 40
t5%
25% 35% 25% 100%
Comos dàdosda tàbelaé possivelconstruiro 9íáÍicode ba[as:
O gráficodebanas poderia ter rcÌacionado
a
i
Qpílulo6 . tstàtííiG
177
GráÍicode setores Emumrl,oppngcenter hátrêssalas decinemâ,eo númeÍode espectadores em cadaumâdelasnum determi nadodiadasemanô foide300nasalaA,200nâ B ê 500na C. Vejaessasituação representâdâ êmumatabeladefreqüênciase depoisem gÍáficosde setores: Sala
FA 300
B
200
c
500
''
fR
300 1000
3 10
30%
21 t0 5l 'to
20%
5
i 50%
2
Emcadagráfìcodesetoreso círculotodoindicao total {l 000espectadores ou I00%)ecadasetorindicaa ocupàçãode uma saìa.Naconstruçáodo gráíicode setores,determÍnâ-se o ângulocorrespondente a cadasetorpor Íegrade três.vejâ comoexemploo da salaAl Usandoâ freqüênciaabsoluta,vem:
!91 - --L
I OOO 3600 Usando â frêqüência relôtiva(em%),temos:
l l ---L
t00
3600 -
1s6s* rx- r08. - rosooo. ângulos doss€tores das salasBec.Useum
1s9"- tosoo ì08 - x- .
Exemplos: 1-')Leitores deumjornalavaliama manchetedodiâ anterior:
2e) Númerode chequescompensados e de caftõesde crédito(Í 991 2006):
/-
\'.\v Fonlet O E tado deS.Pdulo,10 jun. 2OO7
3-') Remunera(ão médiaêm maiode 2007por ramodeâtìvidade:
Fo Ìe.OE tododeS,Paulo,10jun.2047.
:
a
naÍÌsuraosángulos de A,Bec.
178
&apLiGçóèj i.latemát G' contexto
propostos Exer<ícios 16, Emumaeeiçãoconcorferam oscarddatosA, B e C€, 17, apurada â prmeìÍauma,os votosfoÉÍìros s€guintes: A: 50votos;B: 80 votos;C:60 votostbrancos e nulos (BN):l0votos. A partirdesses dadosconstÍua: aJâ tâbeâ delÍeqúênc asdessavaÍiáve: b)o gráícode baÍras, rclaconando osvalofes davarávelcoÍnasrcspêct vasfreqüèncias abso!tas; cl o gÍáfcodesetores, Íea conanoo0s vâores ca vanavecorn sLrâspor
quantotempo LuÍsaé nì! to organìzâda ê paÍâínostraÍ gasÌacoÍnsuâsaUvìdâdes constÍuiu Lrmgráfcode seto res.Observe o gráfco e responda: al quantas horâspoÍdiaLuísaestuda erÍ casâ? b) queporcentagem do diseâ gastâpaÉ doÍm? ouÍ* àrvrdàdêr ----l%"eíud'
êmG5à
1,*ffi..-",
í---Ë9
f
\ ' I "* / dom,r\rrràë@,a ConsÍustambém o gráÍcode baÍrascoffespondente
Histograma (interualos),é indicâdosporclàsses comumo usode um tipo de gráfico Quandoumavariáveltemseusvâlores conhecidoDorh,5rodrdmo. ExemDlo: Consideremos a "altura"(em centímetros)dos alunosde umâ classe, agrupâdaem interualos, e a seguiroshistogramas correspondentes àsfreqüênciâsabsolutâse íelatìvâs:
Alturâ(cnì) 140r150 150rI60 160rI70 170r180 180r190
. histogramacom asclâsses (interua los)relacionadas àsfreqüênciasabsolutaS:
. histogramacom as(lassesrelaciondddsàs Íreqüênciàs Ìelativas(emporcentageml:
a
FA
FR
6
15% 25% 30% 20% 10%
10 l2 8
Gpítulo6' fJhlisrie
119
Às vezesusamoscomo representante de cadaclâsseo vãlor médíocoÍrespondente (por exemplo,j55 representaa classe 150Ê160). Os s€gmentosque ligamem seqüênciaos pontosmédiosdas basessuperiores formamum gráficodesegmentosconhecidocomo polígonodo histogramo, que seÍáusadoem assuntosposteriores.
r
\ / \ ì40 rso 160 r70 130 Íso
Exemplo: Gol5mãrcad osemváriosmomentos deumapanida,nasquatroprimeiras íodadasdeum campeonato brasileÈ ío defutebol.
pr0p0Í0l Èxercrqo
' I FâzendoolevantamentodossaláÍiosdosvint€funconãfosde!mescftófo,Íoramobtidososseguntesvalo 650. aAO, 720.624.7AA,750,78A680,720,600,846 770.630,740.680,640,7I 0,250,680e 690A panifdees.construê: al a tabeadefreqüèncias coÍn5 cassesi bl q histogÉrna coÍf€spond€nte feacionando ÍaxasalaÍiae freqüència absouta Vimosos váriostìposde gráficosutilizadospararepresentareinterpretãrdadosestãtísticos, É importanteque sêescolha sempÍequdldeÍe,ê o marsadequàdoá situaçãoanalisàda. Écomum,em publicações como revistasejornais,ilustraÍos váriostipos de gráficoscom fìgurâsíelacìonãdas ao assunto,toÍnandoos maisatraentes, Esses sãoos gráficospictótìcosloupìctogramas).
Exemplos: 1ï
2e)
3ï
9
o cusÌoDÀcpMF BÍãsleìÍolÌabalhâ,êm médiâ,ieiediàsútê s poÍãno sópàk pâgâr à .onr burção. Dilsútêlslrâbalhâdoe póÌ rno
Clà$êhâin Clr$€médla Cl*rêálh (rendafamiliaÌ (Íêndâfamiià,enÍe (rêndaíàmiÌia, ni eÌi oÍaR $3000) R S 1.000e $l 0mi l aci mâdêR $r0mi )
úÌíõido de: FolhÒde S.Paula,tT )r.,2007 ,
o
ÀlatÊmiiÌ o . tonrqro&Aplkaçõej
180
a tabelade lÍeqüências e osgúÍcos de bafl. Construâ ms e de setofesparaa vafávelh'.bbydarÂbea da págna172. Resolução: CoÍtâg€m espoÍte[B
múscatlúl
I = 0 3 2 32qn 25 6
patnêção[P]
dançatDl
FR
FA
ZL-) Z
ZI
o tenìpoqle 2. Nâ realização de urnaprovafoi anotado
6 25
3 25
12qi
7 25
28lh
l : 004 25 25
1= 100
L31ss1= 360'
Então: l15 2 + 86.4+ 43,2+ 100,8 + 14,4= 360,0'
1440.ãx= j4,4.
A cada40ócoÍresponde urnsetorde 14,4'.
r00qt
pamconcuÊa [eÍnm nutos]:56t51' cadaa lJnogastou 57;49i5l | 5l; 46;50;50;47;44:57:53t sat4t 551 48i56149r5t; 47;46;54t52;55;45;49r50:48i5l. Â padrdesses dadosconstrual al a tabela defreqüéncias cornosvalores em5 classesi blo histogranìa Íeacionando as classes e suâsfre qüéncìas absoutas. Resoluçâo: âl Subtra ndoo menorva or do rnaiorva or.a ampliÌude totalseÉ: 57 43=14 quesão5 câssese escolhendo Sabendo o núÍnerc 15,a ârnplitud€ decâdaclâsse será: l5:5:3 Tempoimnl 43r
Contaqem
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E : 32s b( 8. 4% )- 8 . 1 4 ,4 "= 1 1 5 ,2 " M : 24% ( 6. 40 ,t)* 6 1 4 ,4 "= 8 6 ,4 " + 3 .1 4 ,4 4 = 4 3 ,2 o P : 120k 13. 4 q 0 ) Ú 2A%(7 ' 4%) -7 ' 14,4' = 1AA,8'
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FR
r 000,6
i
181
Càpíulo6 ' tsÌàrúÌka
/:-a;-------
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proporÌos I rxeÍcrcros J 'l c dadeío anotáda rnáxima dod a emLrma I $. A tenìpeÍEtura segu ntesdados: durant€ vntediase apresentou os ; "Cr 28,5'Cì 335'C; 30'Ct 32'C; 3l 'C; 3l 33 "Ci "C; 27 "Cì30'C;34'C;30,5 28'C;30,5'C;29,5'C; 26"C;3l'C; 3l "C;29'C:32"Cr31.5'C. comosvaorcs Construa o hislogÉrìra coÍespondente davaÍiáveern5 intevalos. peloestLrdo :'J" 0s qlarentáal!nosdeunìâcasseoptararn |a,entÍ€espanho in de umaínguaestrange , fÍancês, glèsou ta ano.Vejao gÉfco d€ baÍasao lado,qle a tabeade fegstÍaa escohae. a patf dele construa Íreqüéncias e o gráÍcode setoÍes.
| "jMedidasde tendênciacentral o de um grupo,podemosestabelecer uma únicaidadeque caracteriza A pârtiÍ da.ìdadedas pessoas grupotodo. a tempeíaturade várÌosmomentosem um mêsquâlquer,podemosdeterminarumasótempeConsiderândo raturaquefornec€umaidéiaâproximadadetodo o peÍíodo. de um alunono bimestre,podeÍnosÍegistrarcomâpenasumanotaseu Avaliandoâsnotasdosváriostrabalhos no bimestÍe. aproveitamento Em situaçóescomo essas,o númeroobtido é a medidado tendênciacentraldos váriosnúmerosusados.A médiooftméticaé à maisconhecidaentfe as medidasde modâ O usoda média,da tendêncÌàcentral.Alémdelâ,vamosestudartambémà medionaea moda.
Média aritmética(MA) que: e 20 anos,observamos um grupode pessoas com22,20,21,24 Considerando tO/ ^,. 22 20-21 2a )O '"-5 5 a médiade idadedo gÍupo é 21,4anos. Dizemos, então,que a médìâaÍitméticaou simplesmente locã|,regisúaram se l4"C às6h,15'C às7h, em determinado Se,ao medirde hoÍaem horaâ temperatura que: 15"Càs8h,18'Càsth,20 "c às10he 23 "Càs11h,observamos
14+15+1 5 + 1 8 + 2 0 + 2 3 quenopeÍíodo média Íoi 17,5 "c. das6hàs11ha tempeíatura Dizemos, então, que durante o 10,0e 7,0, realizou diversos trabalhos bimestre e obteve ãsnotãs7,5;8,5; Nocasodeurnaluno 7.5 8 . > ' I 0 , 0- 7 . 0 MA_
tt
. U, r,
44
Dìzemos, então,que nessebimestreo alunotevemédiâ8,25. x" de umavariável,a médìaaritméAssim,generalìzándo,podemosafirmarque,dadosos n valoresx| x:, x3,..., ticae o numeroobtidoda segLrintefoímal xr+xr+xr+,.,+xn
s, u s mDoroÀx
rsnÌÍKàr
dosnümeros x,, somatória queI variade I a n. sabendo
a
182
. conlexro&Aouoóes Matèmatie
Média aritmética pondeÍada Vejamos,agora,o casode um âlunoque realizaváriostrabâlhoscom pesosdiferentes,isto é, com grausde importânciadiÍerentes. SenodecoÍerdo bimestreeleobteve6,5na provà(peso2),7,0na pesquisa(peso3),6,0no debâte(peso1)e 7,0no trabalhode equipe(peso2),a suamédia,que neste<àsoé chàmadàmédjaaitméticopon
^^^
2.6,5+3 7,O+1 6, 0 + 2 . 7 . O 2+3+t+2
13+21+6+t4
--
I
5 4" :t:"
-_ -
Quândocalculamosamédiâaritméticade númerosqueserepetem,podemossimplifìcar. Dessamaneira,para obtera médiaaritmética de7,7,7,9,9,9,9,9,11 e 11,observamos ouei 37
59
211
21-45
22
88 8,8 3+5+2 t0 10 Dizemos, então,que 8,8é a médiaaritméticadosnúmeros7,9 e 1], comfreqüêncìâs 3,5 e 2, respectivamente. Observeque essetâmbémé um exemplode médiaponderada,com os pesossendoasfreqüências 3,5 e2. Á médiaaritméticâé usàdacomomedidade tendênciacentral,ou seja,comoformade, poÍ meiode um único número,dar umâ ìdéiadascaracterísticas de determinadogrupo de números,No entanto,é ìmportanteressaltar que em algumassituaçóesa presençade um valorbem maiorou bem menorque os demaisfazcom que a média aritméticanãoconsigatraçaro peífilcoíeto do grupo. por exemplo,um grupo de pessoas Considerernos, com idâdesde 2,3, 2, 1,2 e 50 ânos.A médiade idade,que è de l0 anos,não demonstÍãa5característìcas dessegrupo êm termosde idade,Emcasoscomo essesãousâdas outrasmedidasdetendênciacentral,comoamodoe âmediano.
21. Umt mede futebolrca zoualglrnaspartidâs e os fesultadosíoÉrn3al,4a2. la t,0 â 0,3 â 2,2 â I e queo tme nãoperde!nenhuÍna I a 0.Sab€ndo pa{igos da,calcueâ médiaafÌtÍnética dos bl sofridos. 22. Se um aunojá lez dos trabahose obteve8,5e 5,0, qualdeves€ra notâdo t€rceÌrctÉbalhopamquea rnédia aritméUca dosÍês seja7,0? 23, Qualé a médâ de idadede um grupoernque há 6 pessoas d€ l4 ânos,Ipessoas de 20€ 5 pessoas de l6 anos?
24, CacLrle â rnédiaa ÌméticapondeÍada de Lrmâlunoqle ooLe!"o b nedre8 0 â pro\a(poso 2)., 0 -€ pesqu'sd [peso3],9.0 no debate[peso1) e 5,0 no t%b€tlìode €quipelpeso2]. 25, A méda dasida.l€sdosI I funcionáfos de unìae0prcsa eÉ d€ 40 anos.L,Índosfuncionários se aposenÌou coÍìl 60 anos,sandodâ €rnpfesa. Â rnédade idâdedos t0 Íunconários passou Íestantes a ser: al40 anos. dl38ânos. bl39,8ânos. el37,8anos cl38,9anos.
Moda (Mo)
.,
Em Estatística, modaé a medidade tendênciacentraldeíinidacomo o vãloÍ maisíreqúentede um grupo de valoresobservados. No exemplodo grupo de pessoâs com idadesde 2,3,2, 1,2 e 50 anos,a modaé 2 anos(Ìúo: 2) e demonstra maisefìciênciâparâcaÍacterizarogrupo que â médiaaritmética. 5eâ temperatura medidâde horaem hora,das6h às11h,apresenrou os resultados 14.C,I5.C, j 5 "C,18.C, 20'C e 25'C, entáodizemosque nesseperíodoa modafoi 15'C,ou seja,Mo = ì5 "C. Nocasodeumalunoqueanotou,durantedezdias,otempogâ5toeú minutosparair de suâcâsaà escolae cujosregistros forâm15 min,14 min,18 min,15 min,14 min,25min,I6 min,t 5 min,j5 min e I6 min,a modaé 15 min,ou seja,À4o: 15min. Seasnotasobtidasporum alunofoÍam6,0,7,5;7,5;5,0;e 6,0,d;zemosquea moda é6,0e 7,5equea distribuição é bimodat. Comoé umadistÍbuição ObsêÌvaçáo:Quandonão há repêtiçãode números,como,por exemplo,paraos núríetos7,9,4,5e 8,náohá moda.
a
r
183
QDítulo6. EÍalísÌka
26. Considefe 126,I30,I26e 102e calcule: osnúÍneros al â Ínédia aritmética [N4A)l pondetada cornpesos2,3. I e 2, rcspectvamente; bla Ínédia aritmóïjca 0VlPl, (À4o) cJa Írodâ
Mediana(Me) A medianaé ouüa medidadetendênciacentral. medianaserá: AssÌm,dâdosn númerosem ordemcíescenteoudecrescente,â . o númeroqueocupaíaposiçáo cenúâlsen foí impar; . a médiaâritméticadosdoisnúmerosqueestìveremno centrosên for par. e7. Numâclâsse, foramanotadas asfaltasdurânteum períodode 15dias:3,5,2,o,2,1,3,4,5,7,0,2,3,4 Emordemcrescente, temos: o,o,1,2, 2 , 2 , 33,, 3,4,4,5,5,7,7
i
Como15é Ìmpar,otermo médioé o 8e. Logo,a medìanaé 3.simbolicamente,Me = 3. Asidadesdosalunosde umaequipesãoI2, 16,14 12,13,16,16e 17anos. Pârâdeterminaramedianadessêsvâlores,colocamosinìciâlmentena ordemcrescente(oudêcrescente)l 12,12,13,14,16,16,16,17 ;ì; pos4õ6 .êôtãis
que sãoo 49eo ã médiaaritméticaenüeos doiscêntrâis, Comotemosum númeropardêvalores(8),íazemos 59termos, Logo,â medianaé dadapor: 30 ".^_'ì4+16 _ 22 Simbolìcamente, Me: 15anos.
propostos ExeÍcí(ios 27. Duranteos setepflrneÌoslogos de LrÍÌr carnpeonato, 28. l, 1.4,3 e umtimemaÍcou, fespecÌvarnente,3,2, 2 gos. Determin€: êJá Ínédia de gos porpartida[MA)i bl â moda[tulo); c) a medj€n€ tMel
DesegundaJeifa os gastoscomaiÍìrentaa sábado, pessoa íomrnl5 13,I2,10,t4 e l4 reâis. çãod€ uma DeteÍrnine: al a nìédiadiáiade gasros [À/]Âll bl a moda(lvlol; (Me). cl â medìana
Média aritmética,moda e medianaa paÍtir das tabelas de Íreqüências absolutasdâstâbelasde freqüências dasvariáe âsfreqúências Utilizandoos valores(númerosou intervalos) podemoscalcularaMA,a ívìoe a lvlede seusvaloÍes, veìsquantitativas, ExeÌnplor: de irmãos"de cadaalunodeumaclasse: 19) Pesquisa sobre'númêro Médiaaftmétìco: 54 12-2 5'3 O+15t24'15 8.0+ì5.ì - l'llrmao MA 40 40 40
a
0 l
FÂ 8 15
2 3
12
totàl
40
5
184
, conrexro Mãtenátjc &Aptkaçóes Observaçâo:Embora1,7irmãoaparentementesejaum absurdo,é corretoum valor dessetipo, assimcomo 3,5golspor partìda,7,2medalhasporOlimpíada,etc.,poÌsa médiaaritméticaé uma medidadetendência.
A mâiorfreqüência é 15,que corresponde âo valor1 irmão.Logo,Mo : 1 irmão. Comoo total de freqüências é40 (númeropar),osvalorescentraissãoo 20ee o 21-. l4o \ Ir:=20e20+1=21 | \2 ) Secolocados na ordemcrescente,viÍãoosgvaÍoÍescorrespondentesa0irmão,seguidosdos 15valoresde I ìrmãoe assimpor diante.Então,o 20ee o 21evaloíesserão, âmbos,1irmão.Logo,Me = 111 : I irm;o 2e) Pesquisa sobre'peso'(emquilograma)deum grupo de pessoâs. P€5o(kq) 44t_ 44t 52t 5 6f
4A 52 56 60
l
O cálculoda mediad€ 6
umadivisãoque podenão
3 20
A pârtirdatabelôem que os pesosestãoagrupâdosem clâsses, consideramos,em cadaclasse, o sêuvâlormédio (VM)e ànexamosumanovacolunaà tabelâ.As$m,temos: 44
40-4a-44
-52-4A-56
52-60
56 4
:=2 2 40+2=42(freqúêncial) 44+2=46(fíeqüência3) 48 + 2: 50 (fÍeqüência 7) 52 + 2: 54 (freqüênciã 6) 56 + 2 :58 (freqüência 3) 42 46
44r
52
52f 56f_-
56 60
50 6
3 2A
54 58
Agora,podemoscalcular MA,Mo e lúe usandovaloresmédiose suasfreqüências, t 42
3 46+7.50 |6.54 20
3.58
Afreqüênciamãiot 7, indicao intervalo48r Logo,Mo : 50 kg.
42
138.350 t 324-174 : _1028 = 51,4kg 20 20
poÍ 50,queéo ponto médio. 52,representado
Comoo totaldas freqüências é 20 (númeÍopar),os dois valorescentraissãoo 10ee o 11-..Colocados os valo res médiosem ordem crescentee de acordocom suasÍreqüências, o 10eé 50 kg e o 11-'também.Logo, Ìúe= -'
a
2'
-- =sotd
r
185
propostos Exercícios ] Deteminea ívlA,a N,4o e a Me a partfdastabeasde Íreqüèncias. âl ldade'[ernanos]ernurngrupode l0 pessoas: ldade tem€nosl t3
? t5
b AllLÍE(eÌrô o.êr
(emreaisldos O hlstograma mostÉa distrbuçãosalarial funcionáos de umaemprcsaUsando osvaoresmédos dosinterva os,constma o poígonodo histograrna e, de pos,cac! e a lVlA,a À,40 e a Me. i !. UmapÍovacorn5 testesfolaplcada ernuÍìraclasse. O Le' a Ì€r p .oecrdr'.o do5d.erto,íor'eg no sÌ"do "eg. nle gÉfcol
'ìgÍ podê2 pÊ
Âltun tml
FA
tqt.-.r,9q.
?
1, 65f 1, 69f
1, 69 1. 73
6
1 ,1 1 t 1 ,7 7 t
117 1 ,4 1
Deterrnine a paftirdo gÉfco: al o número de alunos da classe; blâ pofcentagem dacassequeacedouos5 testes cJa porcentagem qu€acertou dâclâsse 3 ou mâs testes; dla í\44.a Mo e a [,4ede acedosporpessoa
Llnneqide!_q9_qEp9Ee9 usadas, comoa médiââritméticã, Jáestudamos asmedidas detendênciã cenüalmais a modaê ã mediâna, Elas têm como objetivoconcentrarem um úniconúmeroos diversosvalores de umavariávelq uantitãtìva. Nesteitem estudaremos casosem que elassãoinsuficientesVejamosa seguintesituação: que o candidâtodeve realizar3 provase obter,com suâs O cíitériode apíovaçãoem um concursoestabelece notas,médiaigualou maiorque6,0.Nessecâso,ã informaçãode queo candidatoobtevemédìa7,5é suficientepara concluiroue eleestáaorovado, Consideremos agoraoutrasìtuação: Umapessoaé encarregada de organizaratividadesde lazerparaum grupode6 pessoas e recebea informação de que a médíade idadedo gíupo é 20 anos.Nessecaso,apenasa informaçãoda médianáo é suficìentepâraplapoispodemoster gruposcom médiade idadede20anosecaracteÍísticas nejarasatividades, totalmentedifeíentes, Obseruemos algunsgíupospossíveis: . GÍupoA:20anos;20 ano5;20 anosi20anos;20anos;20ânos. 20 20-20+20-20-20 t20 --
. GíupoB:22anos;23 anos; l8 ânos; l9 anosj 20anosj 18anos, .. 22+ 2 3+ 18+ r 9 + 20+ r 8 -- 120-2 0 a n o s M A-
)
r86
Màtemálkà ' cofterlo&aplkâ(ôes
. GrupoC:6anos;62anos;39anos;4anos;8anos;1 ano, 6 62 39-a-a I t20 66
. No crupo nãohouv€dispenão. . A dispersão no crupoB é m€norque Comoa m€didadetendênciacentralnãoésuÍcientepãracaracteÍizãro no grupoC. . Dizemos queo crupoB é maig grupo C,é convenienteutilÌzarmedidasque expressem o graude dispersão qu€o C ou queo grupo homogêneo podrAo. de um conjuntode dados,Asmaisusadassãoa vdridnciaeo desvía queo B. C é maishêteÌogêneo
Variância(V) A idéiabásicade vaíiânciaé tomãr os desviosdos valoresxr em relaçãoà médiaaritmética(x. MA).ÍV1as a somadessesdesviosé iguãla0 (porumapÍopriedadeda média)-Umaopçãopossível, então,é considerarototaldos .quadíados (V)comoa médiadosquadÍãdos dosdesvios lúA)'eexpÌessaÍa vaÍiância dosdesvìos, ou sejal )(x
>(x, MA)' Porquetr[x
MA] = 02
Exemplo: VamosdescobriÍa vaÍiâncíãnosgruposA, B e C citadosânteÍÍormente: . GrupoA (20;20;20;20;20;20) IMA= 20 Desvios:20 20 - 0itodosiguaisa 0. quenãohouvedispeísão osvalores sáoiguais, dizemos Quandotodos e, por isso,avaÍiáncia é 0. (22; 23;18; 19;20;18) " GÍupoB À44: 20 Desvios,22 - 20:123 - 20:3;18 20= 2j19 20= 1t20 20:O:1A 20= 2 2'1 +3 '+( 2:)'+( r)'+o'+( 2F 4+ g + 4 + 1 + o + 4 22 -, 6-' 1) ' GrupoC (6;62;39;4;8; : l\44 20 Desvios:6 20= 1462 20 = 42;39 20:19i4 20= l6j8 20: 12;1-20= -19 196+1764+ 361+2s6+144+361 ,, _ ( 14)'+ 42' +i9' +(-i6F +( i2F +(-tgF 66 3082 -"^ 6 A variânciaé suficientepaÍa diferenciara dispersãodos grupos:o grupo A não tem dispersão(V : 0) ê o grupoCtemumadispeÍsão > 3,6). maiorquea do gÍupoB (513,6 Poíém,nãoé possíve I expressâr â vaÍiânciâna mêsmãunidãdedosvaloresdavariável,umavezqueosdesvios sãoelevâdos ao quadrado.Então,dêfìniu seà medidãde dispersãochãmada desviapadrão.
DesviopadÍão(DP) O desviopadrão(DP)é a raizquadradada variâncìa. Elefacilitâa interpretâção dos dados,poisé expressonâ mesmaunidadedosvâloíesobseÍvados(do conjuntodedados). queestamos NoexeÍnplo analisãndo,têmos: . 6rup6 4; pp : .r'6 : 6.r. .6nrp6 g;9P: !5É : t,Sano . GrupoCìDP= JS|ZS = 22,6anos
a
i
Gpítulo6. Êstatístka
187
Resumindo, sèxr,xr,xj,,..,xnsãoos n valoÍesde umavarìávelquantitativâ x, temos: È" i . A médìââritméticadosvaloresde x: MA : =r S í, .avariânciadex:V:r=l
MÁP n
. o oesvro padraooex: uP = {v ObsêÍvâçõesi 1a) Quandotodosos valoresda variávelsãoiguais,o desviopadrãoé0. 2-') Quantomaispróximode Oé o desviopadrão,maishomogêneâé a disïibuiçãodosvaloresda vanável. 3q) O desviopadrãoé expressonâ mesmâunidâdedavâriável.
3. Emumtre namento de saltoemalt!fâ.os atletasrealizaram 4 saltoscadaurn.VejaêsÍnârcas obtdaspoÍtÍêsauetas . atlela A:.148 cm,170crn, 155cme l3l cm; . atleÏa B: 145cm l5l cm,150cme 152crn; . atletâ c:i46 cm,l5l crn,143cme 160cm. al Qla delesobtevemelhorméda? bl Quadelesíoio rnais ÍeguaP Resolução: al Caculando a rnédia decadaateta,obtemos AtletaA: \/A_- t48 + 170+ t55 + t3t _ 604 _15
rr
AÌIETA B: ' + t5' l + 1-'5 0+ 1'5_2 = :::5 9 8 = 1149,5 ^. ^ = 145 4 9.5cÍn N4A
Atlerac: 146+ t5t + 143+ 160 = 600 = N/A_ 150crn Logoo atetaA obteve a mâiofrnédia, t5t cm. bl A rnaioffeguafdadeseráveriÍcada a paftÌ do desviopêdË0.Assm,temos:
( r 48 rsD'? + []70- t5D'+ 055- t 5 |' + il3 l
t s ì ' ? =4= 9+16l+16+400
Dp= 14so"l- rr cm Atleta B: .
L rt,"J'
L t," l
20,2. .0 ,fl r | -? ,c j -
2,2\
0,2\
625
1
29 ,-
gp = 1Ç,m z,zcn" Atleta C:
..
L4 l
'r[-]'o' 4
6,rr4a 4
ro o
66 -
o
-o' "
DP= \,fiã = 6.4crn poisseudesvio padÍão Logo, o ât€tâB foio rnâis regulaf, é o menor, aprcxirnâdamente 2,7cm.
786
--^_
r
I
.r88
i4ateÍìátc ' (omexto &Apka6e5
4. O histogrâma mostÉo resutadodeurnapesquisa sobrealtu|a(emcen tÍmeÍoslenteosaunosdeuÍÍacêsse.Câculeo desvo padÉodessa Rêsolução: Nohsrog"-1d.o.\êlores ddvdridvF ÇoirrelJose.po;.so rdTo. lsar oss€uspontosmédosl YVVVY (rrcqúènca 2)
(lieqüênca5l (]ie!üênca sl
6) trrcqiiènca
(lieqüênci€ a)
IVIéd a artmétca 2.156 + 5.162 + 8.168 + 6.174 + 4.180 2+5+8+6+4
159
1ó5
t7t
177
1Sa
312+ 810+ 1344+ 1 044+ 72A
z5
= 1!!9 = 16e2 ç,1
25 Desvios tx lvlAl: l56 l69,2= 13.21162169,2= 7,21168 169.2= 2[ ]3,21'+{
= 4,8 18A- 169.2 : r0.8 I.21174 169,2
7,2)'+8( 1.2)'+ 6[4.8]'7+ 4[]0,81' 25
+ 259,2+ |52 + 138,24 + 46656 348,48 25 pâdÉol Desvio
1224 :4896 25
oc = n[iso = o,sscm
propostos Exercícios 32.Em um concursoo crtéfio d€ apÍovaçãoevaem contaa méda€ o desvìopadÉoapósa fealização d€ 3 pÍovas. qLrenaspÍovasobteve,rcspectivamente, Calc!lea méda e o desvo pâdrãode Lrrncândidato 63 pontos,56 pontos e 64 pontos. 33. úr'lma casseasnotasobtdaspeosa unosloÍamâgÍupadas dasegLrinte manera 0f 2,0[] a unol;2,0f 4,0[6 a unos]i 4,0f 6,0[9 a unos]i6,0 f 8,0[8a!nos]; 8,0f 10,0(6 a unosl.A p8drdess€s dados: al constrLra o histogÉÍna; bì co'ìsr a o polrgono do hslogrérìa. c) calcuea rnédia, a rnodâ, a medanae o desviopâdrão.
Estatísticae probabilidade |. ..J Aestatística tambémé usadaparaestimarapíobâbilidadedeo€oÍrêncìa de um evento,pÍìncipalmenteq uando elanáo DodesercãlculadateoricamenteDelarazãoP :
. Quandosedizquea píobabilidade espaçoamostral de um aviãocairéde umaem um milhâo,é porquea íreqüênciarelativâde ocorrênciade acidentesé de um acidente a cadaum milhãodedecolagens. pode muAo longodosanos,ocorrerãomaisdêcolagens e essaprobabilìdade dar.Dosanos1960paracá,a freqúêncìarelativade acidentesaéreosno mundo diminuiucercade l5 vezes,lsso significaque a probabilìdade de o(orrerum acidentenosanos1960era 15vezesmaiordo que agora. quantidade de experimentos, melhorseráa estimativada probabilidadeusando-sea íreQuantomaiorfor a qüênciarelativa.Aojogãr umâmoedaduasvezes,é possívelqueocorraduasvezescara,SeriâabsurdoaÍrmar que
t
r89
. Gpítulo6. tsrãt|9l.a
a probabilidadede ocorrercarãé de 100%,poisa quantidadede experimentosé muito pequenae não pode ser utilizadaparatalafìrmação, Entretanto, aojogarumamoeda200vezes,épossível observâr algocomo94 carase 106 coroas;jogando 2000vezes,1034cârase 966coroas;20000 vezes,I0091 carasê 9909 coroas, quea freqüênciarelâtivatendeâo valorteóricode 5oyoparaa píobaPelatabelãao lado,portanto,percebe-se bilidadedeocorrercarae coroa.lssoéchamadode leidosqrcndesnúmerc' Previsóes do tempo, resultadoseleitorâis,mortalidãdecauìúneÌôd.Joqâdâ3 FA{(in) ft (can) sada por doenças,entre outrâs,são probabilidadescalculadas 2 2 100% usando-sefreqúêncìâsrelativasde pesquisasestatísticas. Nesses 200 94 casos,quanto mâiorfoÍ o históricode dadosa seranalisado,me2 000 I 034 51,7 20000 10091 so,45% lhor seráa previsão.
i 5.0 gÉfco ao ladomoslraa distfbuçãoda popLrlação b)Aparcnternente há lma tendéncia maof emsaìfas "l" e 2 doqueasouÍasíâces.ComoI200é Íaces braslerapofrcgôesdeâcordocoÍÍ o Pnad2007. !Tnnúrnefo razoave meftegÉnde,affeqüência reaquea popua Consderando Ìiva d€vefia ser aprcximadâmente igualâo vaorÌeóçãotota do Bmsi rcgstÍâda ico da probabìldade (q!e é de l6,6iltl.CornI200 to de apÍoxirnadârnente 184 o resultado teófco esperado s€Íiâo desarÍ logadas mihôesde hâbitant€s e que cercade 200Vezes podemos cadaface.Assim, aÍÍgáfco no oéngulodaregão rnaÍqueo dadoaparcnta nãoserhonesto. CentroOest€é de 25' ca7. 0 núrnerc deacdentesaéfeosno Brasil, entrel g79e cue â população da fegão 1998, caiu rnuito. FoÍam rcg stmdos 403 acidentes ern porcentâCentroOest€enì 1979 contru 7l em 1998. No rnesrnopeÍíodo, onúmeÍo geme emnúrnerc de hâbtantes. de vÕosa!menioucincovezes." Segundo essaaíma Rêsolução: (ã0.sê probabioaoFdp ocorer . 'ì ac,oente aeeo " 360'- 100% x: lttí em 1998ercP,qla eÉ essapfobabidadeemI979? = 13000000 25'- x 7o,t de 184000000 Resoluçãol queo núÍnerc Suponha devôosem1979sejax. EnÌãoi pa|a2007 Logo,a popuação da regãoCentfo-Oeste coÍesponde a apÍoxmadaÍnente 7ir,tda populaçao do Brasì|, ouseF,13000000 habitantes I200vêles.ob proo-seo )eçui'ì 6- Jì oêdolo lànçdoo
P=1=-=4 Em1979, a probablidade em: 403 403 ^ xP r
Logol 71 443 5P P,
248
355 75
^
403.5P 71
_- .--
lc€fcade 28 vezesÍnaior]
80 26 t6
8. Em uÍna gaÍaía opacaí€chadaexistem20 bor|Íìas, d stÍibuídas entretÍês cor€sjpreta,vermelhâe amaÍea Não é possívev€Í âs boinhasdentroda ganafa,exceto se vÉrÍnos a gaffaíade pontâcabeça,qltando al FaçauÍnatabeade fr€qüêncas Íeatvasexpress€numa das bolnhasvai pâ|a o gafgaloe é possívever do osíesukdosemporcentagern suacof.Ao longode vádosd as,repetiu-se2000vezes bl Nasuaopnião,o dâdologadoé hon€sÌo?JusÌifique. a segulnteoperação:chacoaihâva-se e tombava-sea gaffalapa€ entãoanotara cof da bolnhâque apaÍeca Resolução: no gârgao.Os Íesuhados obtidoslomÍnos seg! nies:
a)
248 355 75 80 26 t6
a
2D,1qh
co. dá holinha
29,6l]t
396 910
t5,oqt t0 ,5 %
694
serâquântid€de de cadaboinhadentrcda Quâldeve gaffaíâ?
MÍêmt.à ' (omexto &Apkaçõe5
190 Resolução: -o -o o qudnrdod" d- - pe r- oJ ; I a dô pod, rnosespeÉfquea freqÜência fe atvasejaapÍoxnìada d€freqüèn rnenteglalàprobabldadeleófcaA tabela Númêrode
Corno y e z de bolnhassãonúrnercs asquantidadesx, nteros. entãox= 4,y = 9 ez = 7. 9.Obsevea pesquisa abaxoencontTada ern l€nquete] urìrsllede espodes eÍÍ 12de llrnhode 2007sobrea expectativa dosìnt€mautas a respetoda ausênciâ de algunsjogadorcs naCopaArnéfca l.io
ii (oP. ^h.Ìkr/
Wffi'"o""' y boinhas /ssiÍìrsetveÍmos x boinhaspfetâs, veÍne hase z bolnhasaÍìrafelas. as prcbabldadesteófcas
r*r','ao,a.r,* n
r:s,3s%)
-r"r" @
no.'s*r
I
poí UOIFrpoí€ deíã enqLeÌ€prcmovidà 'Atênçáôio resuhado rêtêr€-se a freqüenÌãdor€s do r,tee nãoÌemvalorcienÌífico.
PofqLreexsteo êvsode qle o fesulÌado da enqu€te nãotemvalofcientirìco?
2A
lguaando-se as prcbabildades teóÍicascom as Íes r=0198=x:3.96 2A 2A
Resoluçãol Porque a pesqusanãofo feitacomumuniverco estâtístco [popLr ação)qLrepossaser geneEizado, de modoqle seLrÍesuLtâdo é mLrtoespecÍílco. Ea só se ÍefeÍ€à popuaçãod€ usuárasda nternet,frcqüerladorcsdo s/teSerainadequado diz€rqueâpÍoxmada queKaká mente61ryo da poplração brasi€iÉacÍ€diia Íaft:m! ta laltanâ CopaArnéfca,sabendo qlr€o perf daoopLldçiobaò e â "dèe .pdoDp do. L.L;
2a -=o3a7)7- 694
propostos I Exercícios I 000vezes, obtendoseo segLrinI :; : LlrndadofoiÌânçado
"l
E",," . rd
"b- "deÍ "oiF
"s r - ê
\ d. F\ pÊs s é
bl Na suaopinãoo dadologadoé honesto? JusuÍ
pefcenA E|rcpa(0,51 € a oceâna [0 2] têrnosmenofes tuais"Bâseado not€xtocac! e a prcbabidadede ocor fêncade urnacìd€nte aéÍeono Brcsi Érnumagaffafa drstr opacafechada exsteml0 boinhas, buídas entfeascoÍesaz! e brancaNãoé possÍve vefas bor'l"s cerÌ o ca ga afd.e .FÌòs" \r drno." aa dtd d€ ponÌacabeça,quândournadasbo nhasva pa|ao gafgaloe é possivelv€r s!â coÍ Ao longode váÍiosd as. repeti!se 2 000v€zesa s€glrinte operação: chacoalha va se e torÌìbava-se a gaffâlapaÍaentãoanotafa cofdâ bo nhaq!€ apafecano gaÍgao Os resltadosobtdos ÌoErn0sseguntes Número de vezes
i
É24
::l i i
a
I 376
o BÍas ÌemLrmdosnìenoÍ€s índc€sdeacìdentes aé porm hão feos.Aqu a ffeqüència é de 0,85acidente de decoLag€ns Essamédìaé rnasbaixaqle a de ou aospaíses laiinosi5,71, asátcos[3,8]e afrlcanos 0 31
N d p o\i r d \e,, " r q e ' oÍ ep" i dd e:sc ooFr"ção o d od " orobdbrhdèdÊ dequÊ èrorddbo' ìhâdoo"
€llllqaeiaqelqt l. Entre!m grupod€ funconáfos de uma€mpfesa fo Íeita!mâ p€squsasobresaáfos,tomando comofeÍe Énciao saáÍo minmo.Velaosdadosobtdos:5.r2.5: 7;4,3;31:6t3315,5;4 6,5i5 2,8i5.74.5:2;5:5.5; 2,9i5i 1.7;7 3t5.6;4,2;3,9. ElaboÍ€ a tabeladefieqüêncas consd€mndo a vêráve ''saáfo" corìr seusvaorcs emsescasses Intevâos].
7. Â méda êrtnìétcadasrdades de !m grupode pfoíessorese nspetofes é 40 Sea méda dasidades dospfo lessorcs é 35ea nédradasdadesdos nspetorcsób0 a mzãoenÌreo núm€rode nspeÌofes e o núrnerc de píoÌessofes e gLraa:
2. ljmaprcfessom anotouo núm€fodeíatâsdosa !nos durunte umsemesÍqdeacordocomosdas dasema
8. Amédiaartmétcadosáng!os nternos de Lrm hexãgo,
,ld . Ob)e a" ês ê. o o". , on. dog, . r . ooF, pq " rêa to: ê, ô 01. . ò". : "ês r dd e o- o o ê l
galera:32;quanaÍeÍa:321q! ntêíeira:48 sextafe É:60. 3. Du|ânÌe urnahoruloramanotados os!Ìposde veicutos qle passaÍam p€a ruaondeestást!êdaumaescoa€ Íoramobtidos oss€guinÌes dados:T. T Ì lvl.A,T,Ì,l\4, T,B.B,T,Ì,.A,Ì. T,C,T,[I T.T,Ì C B,T,ÌT,TÌ,A, T,Ì, T,À4,C Ì, T,Ì, Ì. B.T,T,lvl,B,A tM motoccreú C câmnhãoB: bccletaiAr arnb!ânciai T: carroJ Consttura !m gÉÍco de barras q!€ corÍ€spofcla a essâ
c) 213 d)2 | 1.
al r00' bl r20'
cl 140". dl 160"
e) 112.
t
€l 180'
9, Antôiiocone5 knìa urnav€ocdadede l0 krì/Íìe eÍn segLr da l0 knìê 5 km/hAveocdade rnédia, emknr/h, aJ 6
b) 6.5.
cl 7
dl7,5
€l 8.
ÌO. Consdefe !rnapÍog€ssão êftrnéticâ emqueo pÍ m€i rc e o úl1fiot€mosâoglas a t0 e 50 rcspecrivarnent€.Podernos afrmâfqueaméda aítmétcadetodosos t€r'nosé iguala: bl25 cl30. dì35 d2a e) 40
4. obseÍv€osgÉícoscomparatvos dataxad€ úÍbanza a vaf ável dé € a populâção apÍaxmâda I l - Ern!m grlrpode pessoasío p€sqlrisadã çãodo BËsl []991/2005) cada de násci0ìento . Os dados obtidos foÍam:60. 70, do Bms fessesdoisanos. 70 70.60.80,70,70.60,70 8A 7A .7A ,8A ,7A . al QLraé o tpo davarável ? bl Q!â é o núm€rode ndvíduosna pesquisâ? cl QLrântos e qla s são os va ofes [rea zações]da va d) ConstrLrê a tabea deJfeqü"Àncias. o gÍáfco de baÍas e 0 de seiorescoffespond€ntes à pesquisa. 12.Á a\
o.' dodo
Jd,o oe ìoêr pórdóoooa a
dehabÌânìêr I Ruhl t r uÍ bãno Fontê:http://tabnêr.datasus.qoybrkqt/ idb2006/a04uíhtm. Ace$o êm l617/2007.
Númerode íuncionórios
r 000.00
DeI991â 2005a pop!açãorufaldoBíâsaurììenrou ou d m Íìui!?Deqlantoporcento? O itrode ete do tipoA clstaR$3,60e do ripoB R$2,00N,4islururn.se 5 Ìtrosdo tpo A com3 lÌfosdo ÌlpoB.Qlantodevec!sÌaÍ,emfeas.o preçodo ltro da mistura?
6. Ern!mâc ass€de35âlLrnos há22 homens e l3 rnlrllre fes.Naprovade rnat€máica a nolamédiadoshom€ns Ío 4.8e a dasmuhefesíoi4.0Seê méda dêclass€o gla a M, d€t€mneo vaorde 10N,4.
,
êl Quaéa méda € qlraé ê mediânê dossalários d€ssa
1,.
bl Suponha q!e selanìconlÍâtados dos novoslunco náfoscomsaáfosd€ Rg2000.00 cada!rn. !a I l./ rânca danovadstÍblrção desêáfosícaé rnenor, gLraou rnaoÍ qLre a antefoÉ
..
I O. tUFG-GolA rnédia dasnotasdosa Lrnosd€ urnprofessor é gLraa 5,5.Ee observou que60l]toosatunos ootveÍaÍn nora de 5,5a l0 e qu€a médadâsnÕtas grupo desse deaunosfolde6,5,Nessecaso,considerândo o gfupod€alunosque ÌiveErnnotasnferorcsâ 5.5.a méda de suasnotasfo de: al 2,5. b)3,0. c) 3,5. dl4,0. el 4.5. Ì ì " [FLrvest-SP] Paraquefoss€íeto urnlevantamento sobÍeo número de nfÍâQô€s detÉnsito,ioÍamescohidosb0 motorisporessesmotoTstas tas.O núÍneÍo de nÍÉçõescometdas nosútmoscncoanos,pÍoduziLl a segu|!elaoeta: úmêÌo dê iníÌáçòes
l{úmem dê motorlstãs l0
ì5 l3 5 0
del0al2
d e t3 a tb
PodesêentãoaÍÍmafquea Ínédiado númercde nírações, pofmotorsta,nosú tirnoscinco3nos,paraessegrupo,está emrc: al 6,9ê 9,0 b)7,2e 93. cl7,5€ 9,6. dl7,8e 9,s. e)8,1e t0,2. 1 2, [UFPB)A ïabea abaxo aprcsenta poríaixade pontuação, o percentl]a de candidâtos naprovad scursvade N4ateÍnática do mS 2005/llFPB.
0
r0,l 36.3
5a8 9a12 13a16 1 7ê 2 4 21a24
13,2 5,6 2,6 0,9
FonteCopepe/UFP8
Cornbãs€nesses dados. é coTÍeto aíTÍnâr: pontos. a) [,4âis de ]00ÁobtveranìnomÍnlmo,13 bl Nomáximo,40% obtive|arn até4 pontos cl Maisde 70%obtiveraÍn, nomáxirno, I pontos.
pontos. d) lvlais de39óobtvêranì de t7a, nomáxÌmo,20 e) Mas de 4%obtiveÉm pontos. de t7 a 24
I3- (UEL-PRI DeacofdocornosdâdosaprcsenÌados pelaÌabela, é corretoafrmaÍ: Rêndlmonto/horâ êmreàb,sègundo nívetdêiístruçÕoê sêxo ReglõesMetÍopoliranas- l9go Eísiro
Emino
Enlino médio incomplelo
En3lno médio
Total
Dlúdlo Fed€ral
0l
2,47 l5l
357 2,44
3,49 219
1 ,6 9 1 ,2 7
242 t.6 0
3,01 2,02
2,04
1 ,0 9 0 ,7 1
t.5 3 087
2,18 1,26
2,17 t,80
2 ,4 2 1 ,6 9
2 ,9 4 r,9 6
3,74 2.58
3,38 2,48
t 98
6,68
t664 1252
6,56 4,47
9,09 6,90
375 2,96
3,94 2,61
10.12 7.14
3l 0 2,31
5,71 3.90
14,33 10,03
5,28 4,03
SslvadoÌ
SáoPaulo
FonteConvênlô D ÊEsVSEADL MÌB/FAÌ e convênlos Íêgionais, PED- Pesquisa deEmp.egoe Dese6prê9o ElaboÍação: DIEESE / jâneiÍode2000
pfopor â)O rìgfesso de muh€res no ensfosupeflof dosr€ndirnentos saafasenconoLr a equpafaçâo tfe ossexosnasfegôesm€tfopotênas oshornens sãornas bem b) NasfegiÕes apresentadâs. poss!em femLrnercdos do queas muhefes,pôfqLr€ rnas e€vado nÍveldenstrução cl A reaçãoenÍe êsvaráves sexoe escoaf dadepeÊ fen' a diÍer€nÇâ d€gênercdetemina rìrte iníerrqLre d m€ntos Ínenofes àsmLrhefes e flìL] dlA dí€rençaenÍe a rcnrunemção de horn€ns nacolunaEnsno sLrpenol. secot lhefes é menof parcda à dasdemals co!nas âbsoutadosfendfnentos entfehom€ns el A diÌerença ìnconr € mLrhercs na colunaEnsnoÍLrndarì€ntaì p eto' é rnaof nacidad€da fegão No|deste. fabfcaapenas dos rnodeosde tUtBAl Urnaerìrpfesa fnascu no.0smo sapato, sendo Lrrnlemin noe o oltfo Íem n nos são íabrcados nos númefos 35 36,37 deLos e 38.e cadapaf é venddo pof R$8000 0s nìodeos mâscul nossãoÍabrcadosnosnúmefos 38,39,40€ 4l e o p-e(oce .e d" a" "o" D" õ o$ 0000 0< o cì cosabaìxornostrâm as qlantdadeslem nìiharesde pofrnêspeafábfica. paÍ€slprod!zdâse vendLdas
. tlbnìec-SPl Chânìa-se medanad€ um conjunto de 50 dadosoÍdenados o núrneTo x eÍì ofdeTncfescenÌe dadop€a méda aftrnética €ntr€o 25ee o 26edado. paÍaas obsevenogÉÍcc a s€gulrLrrna fepfesenÌação notêsde 50 alunosdo pÍlnì€ro semestre de Clèncas EconÒrnicas nLr'Ìra determnadaprova
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Arnedlana Êconôdasnotasdos50ê Lrnos deCièncas m casne$aprovêe guâ a a)3. cl5 e)7 dl6 osfLrnconáÍos d€sentvunesplNunìacedaempÍ€sa, ,oL,e . 'ó .o èddde . êb.l-0.er ó _o-dp ro és d áÍiasÍabalhadas de acordocomo gráÍìcoi i1 I
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é coífetoaÍmaf CombasenessasníormaçÕes é gua a 0ll 0 pÍeçode vendarnédodossapatos R$88,00. é iglalâ 0210 pfeçode vendamedanodossapatos R$80,00. rnascLr 041A fecetâobtdaconìa vendadesapatos que82q0darecetâcoÍes nosrepresenk menos pondent€ aorÌìodeo f€rìn no 081Seâ vendado modeloÍenìn no for rcdlzidaeÍì pâssafão o 20qôosdolsrììod€os a conÍiburfcom pama recetada ernpresa montante nìesmo entre t6J Escohendoseaoacasourìrpafdesapatos, €muÍi mèsa pfobabldade Ìodosos prcduzdos 38 o! do modeoíerni de queee sejade núrnefo t6 . nú hendoseaoacaso urìrpard€sapatosde 32) Esco qle pÍobab do nìo mero38 a idadede ee sela deornascu noé guala-
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pofd a dua) EmÌrédiâ,quantas horaseesÍâbalharn ÉnteumaseTnana? bl NumadadaserÌranâ ocoÍeú lrn í€Íladode I dia. Qla a probabidadede elesl|abâhaÍ€rnâo menos 30 flofasnessã semana? ítl .rr p Sd 0 g ifco dbc\o ìon,d o oialdô éc dentesdetrânstona cdadede Campnêse o totalde acd€nt€s sernvítinìaspof 10000veícuos no peíodo enÌfe1997e 2003.Sabese quea íforada cdêdede poÍ 500000veÍcuos em2003 Canìplnês €rccompostâ e era4q!rn€nofern2002.
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toÈtdea. denres âcldente5$mvítimãs
Adaptadode:'unóio Enaisri.adocn.uldçdo EMDEC, en Conpinas2A022aü. Canpinas,
a) Calcueonúmerctoia descidentes detrânsho ocorddosemCarnpnas eÍn2003, b) CacLreo núÍneÍode acdentescornvÍtmasocorridosemCãrnpnas em2003.
T8.IFGV sP) a) Consdere n números reaisnãofulosxt, 12,\, .., xn.Emquecondçãoa vafânca dessesnúmeros é rìula? JustiÍÌque. bl DadostÍèsnúmercs reaisxl,x2€ xs,qualovatofde
Logo,a rnédia dasnotasds prcvafo: al 3,8. bl4,0. c) 4,2. d)4,4. e) 4,6.
2'1. (Vunespl O gráfcorcprcsenta, emmihaÍes deroneâdasa pÍodução noestado deSâo Pauode Ltm detêÍm nadoprcduto agrícola enÍeosanos det990e t998.
m queminimiza a exprcssão >(x - rn)'?? 19. IUFPR) Dadoumconjunto X = {xr,x2 x3,...,xn)coÍnn e ementos, deÍnmos€ Ínédia Xe o desviopadÉod de X por: _
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Umainformaçâo útllparaquerÍanalisa umconjunro oe dâdoscomoX é quea Ínâiôria desses dadospertence âo inteNao C = [X 2d, r + 2d]. SendoX = {:. 4.:. 3 } Lrm conuntô dêdâ.1ôs: 2 l 12 1)calcuea médiâÍ e o desviopadrão d. 2)veríquequâisdadosdo conjunto X ãcimapertencêmaointervaio C 20. (Fuvest-SP) provacontinha LJma cincoquestôes, cada umavaÌendo 2 pontos.EÍnsuacorreção, foramâl buÊ dasa câdaquestãoapenasas notas0 oLl2, casoa respostâ estivesse, fespectvamenle, effadaou ceda.A solÌìêdospontosobtdoserncadâqlestãoforneceu a notada pÍovadecadaaluno. proAoÍna dacoÍreção, duzu-sea seguintetabe â,conlendo a porcentagern de âcertos eÍncadaquestão: PorcentagêrÍ l
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3
60% 80%
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AnaÌsêndo quea pÍoduçâol o gráíco,observa-se al foicrescente entre1992e 1995, bl tevernédia de 40mltoneadasao ano. cl ern 1993ÌeveacÍéscirno de 30%eÍn reaçãoao anoânteriof. dl a pâftifde 1995foidecrcscente. el teveméda de 50 rniltoneladas aoano 22. [PUC-SP) o histogÉrna seguinte representa a distfbupessoas das estatLlrâs de 100 e as Íespectivasfrcção oiêìces.DoÍ"\e-npo, s te-ceÍècasse. qq-ló0j estãosltuadosll0Á das pessoas com estatu€sde 1,55rna 1,59m.A quintaclasse[]65 t70l châmê-s€ classe medisna. PelopontoM stladonac asseÍnedianã,traçàse - Ììa Íetaoa-alela èo e\o dasÍ eq:è-cas de modoa dividira áreadâ fgu€ foffnada peos nove retángLr osdasfÍeqüênciâs emduasÍegiões de mesma áfea.DeteÍmne a abscssâ do pontoM (rnediana das obseryâçõesl,
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sempredcsafioumentesespeculativa.s, gou vamosfalar dosparadrnos,ganfoí o I jo"ParadorNo que Aquiles, um ve2es de Aquiles'. Conta desa,fros lógicos, às apenas lldes depdLatns.Muitas vezesrecone- dosheróisda guerrade Ttóía,decidíuaposta.r Ãgos coerenteE umacoffid.tlcotuuma taftarugae qaopof ser mos a raciocíníosa.pdrehtemehte para. maisrápido,pemitiu queelainiciasse a corrique dbsurdas, mas escond,em contradições convencetmos alguémdequeaQoèverdadeiro. da 80m à sualrentaAo serdadaa largadano Na Filosofraé a dialétíca(a arte d.odiá.logo) mesmoínterualod,etempoemqueAquilesper8me Paraà.otn, coneuos80 m, a tartarugasedeslocou quepossibi[itaessaargumektação, do gregopuâdoksos,kohtrário à opiníãaco- enquahtoAquilesospefcoftia,a tartaruga.ahE contraditóría,uma dava fiaís 0,8 m, e d.ssímsucessívamente, mum",signífrca. eaposiçãa quelevaa algumacontradigìo. ZenàoconcluiuqueAquilesnuncaalançaria argurflentaçào padem a t"z.l'taruga, poíssemprehaveríaumpereursoa Nd Geometuia, fgwas impossívek cumpúr, por nas menorquefosse noslevara resultados absurdose awiliar Esseparadoxolevouos matemátícosao osdesekhos daarargumentações. Sãoídrkosos que conceitodelir te Oslaloresacimapodemser tistagrártcohola dêsFÁchet(1898-1972), representadas poï umaEeqüênci.a" contrad.izerlt osprincípiosmatemátícos. já estudada por vocè. Sedoíslddosdeum tuiâtÌgulodetemínatu (80:8; 0,8:0,08;0,008...), primeiro E uma 80 e raaio 0,1. plano, pod.efiamos parcs IdPG de teruo como ter os de um dosde um mumo triâtlgulokã.o'coplanares? Obseweque o compime to do percursod.e Aquílescorresponde à somadcssesterrnose, Essafguraé umparadotco! (século comoa PG é Wfiita' o ,11átimoquepodemos V a.C.)eraumfihZm,ãodeElêa sofoquereconia,aosparadaxo|pard cottstruír fazer é calcularpara qual valor "tende'essa que soma,E a essevalor damoso \ome de limite Uth d.eseusargumentos, seusMcíocít1ios. VocêpodeveúfcáJocomo a.u.tíliodeulka caLculaáoraou aplicarafótmula quevocêaprehdct Experitnekte, De qualquerforma, a conclusã.o dÊZenãoé apekasteórica,não correspohdeà iealidnde" O êokceítode limite estevepresenteao longode toda a históriada MatemáticaeÍoi do Cálfundamentalparu o desenvolvímento culoDiferchciale I tegal assuntoquehoiese apliú ernínúmerasárcis cie tífcas,
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l. OsfractaÌs sãobonsexemplos deapicação do concetode llnì Ì€. Háurn chamado fsponl?del\4en7et, obtda a pattt de \rt) cLrbo destemodoidlvdlndo-o com em27cubinhos deafestas 1
tamanrìo dasarestas org nais,removem sea p€çacentra Jdo (ouseja,7 do cuboe cadauÍndos6 cuboscentrals decadaface do )-.Lbot do.-mo.oo9ÀoaíI. oesse ô -o--,-o estag pÍocesso coracadauÍrìdos20cubosrestantes, € assm pordan prlmeirosesláq te,ÌndeÍinidamente. os,cujo Acompanheostrês pÍocesso gerandotodosos estágios é repetdoinfinitamente,
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Isaac Newton e Gottíried Wí[helm Leíb4í2, o primeiro inglês e o segundo alemão,Íora.m' contemporâneos(sécuh XWI) e mesmosem um saber do outro descobfiramsimulta eamenteosprincípíos do Cálculo.Nele,asíu çõesocupam um lugar central e seucomportame to é estudadoe interpretado.A íut1çãopode terporÌtosde desconti uidade e ínteressa determina.r se eríste um va.[orpa.ra o qual ela texde queseráo seulimite. Para D'Alembert, matefiá.tico íratlc^ do sé' culoXWII, a idéia de límíte era a "verda.deíra metafsica do Cálculo', referind.oseà acejta4o, por pa.rtede algunsmatemáticos,de que havia. um estágiointerrhediá,rioentre útua quahtidadeser e não ser alguma coka, deúdo à idéia de queuma quantídaãe"tendia"a ufi ralor, mas não chegavaa atingí-lo. Ma.is taúe, aind.a no século XVIII, Augustín:Louís Cauchy viria a dar a.oconceitode limite utu carâter arittfiético aíkda maispreci' so,apoiando-sena idéí.ad.evizifihakça, e é d.elca dcf,níçao dc limite que tuaís se aprotcimada que seconsiderahoje. Este capítulo propõe uma introd ao çíío assunto,indugurando nossajorada no carhikho de ama Matemática maís abstrata, tratada deíoma mais axalítica.
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Segundoestágio
ÌeÌceiroe5tágio
O paÍadoxo assoclãdo a e e é o sequf te: observequ€a cada perdesevolumecoma retlrada estégio doscubos, masga po s vãoaparecendo nham-se áreas, cadaveznìais'túneisi Vamoscomprováo. Chamando deà a meddada aíe5Ìa in cÌai a)caculea área totadocuboinca, b)cãculea áreatota apóso prìÍrìeÍoestág oì (qualéâ maior?); c) coÍnpaÍe-as d)caculeovo uÍnedaesponja apóso pr meÌroeÍágioemfun cubo; çãodovo umelnicialdo (qualéomãÌor?). e)compare'os Agorâ,reí ta Quandoo númerode estágostendeâ inflnÌo,o queacontece cofiìa áreae comovo um€da€sponja? Assm, poderÍìos definÌra Esponja de lúengercomoumobl?ro queten volumezerceáteainfÌnital geamétrìco 2. .ra dò) oroco"poró e Lode-.na r'çàoqLad'i-" magineque umadoceiíaqaneRS2,00com cadapudnì que produza(então, esseé o preçode cuÍo de um pld nr).Élãc quea qLrantdâde pordÌavarede imdgÌnar de plrdlnsvendidos acordocomo preçodecadaLrn Então, seja.xopíeçodevenda que05consìJrn de um pudiÍÍìe suponharnos dorescomprem (20- x)pudÌns€qLreessa quantda dÌariamente s€jataÍìbéma de produzlda dlarlamente. râ d q .o d '.. e.óae p. do qLe'ep'e.er "9" .pa d. parapÍoduzrtodosospudÌnsqueserãovendÌdos. queÍepresenta b)Escreva aexpressão conì ê quãntlaãrrecadada dláradospudins produzidos. a venda c) Expresse o lucroL obudocoma vendad ára dospLrdÌns enì funçãodo pÊçodevendade cadapudnì terá ucíosevendercadapld rn porR$3,00? Epor d) A doc€lra Ri 21,00? lustfìque o qréfcodafunçãolcro obtidano tem. no lnteJva e) Esbocê o emqueo lucroépostivo. f) Observe, no gráfìco, o queocoÍe co.no ucroq!andoo pre de vendadospldlnss€aproxlma de RS20,00, e ço unÌtário quando seaproxima de R$11,00.
198
ÍlA
. Comêxm l\ìàÍêmátl(à &Aplkàções
idéiaintuirivade timire
Vejamos âlgunscaso5 êmqueaparecêa idéiainformôleintLritiva delimite. ExemDlos: 1e)Consideremos umaregiãoquadrada deáreaiguala1.Numprimêiro êstágio, colorimos metadedêla: â,rÁ r^l ^ri À r.
r No estágioseguinte,colorimosmetadeda regiãoe maismetadêdoque restou: -
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oanecororida:
No próximo,colorÌmoso que haviasidocoloddoemâismetadêdoque restoui --'-=i^:Í,^"'. panê coloíidai
111a1=26"1or," 2488
Eassim, sucessivâ e indêfìnidamênte, a áreadaregiãocolorida resultantê vaitenden117 do a 1,Observemos como os valores-, :, - váo seâproximandode l. Dizemos, quandoo númerode estágiostende a então,que o ,mite dessedesenvolvimento,
nun
infÌnito,écolorafìguratoda,ouseja,obterumaárea
111
111
Z' t' n' ' õ'
' ee' roo'
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' 9 9 9 ' lo O O ' ' ; '
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que,à medidâquen cresce Observemos Indêfìnìdamêntê, o vôlorde-: vãi5eaproximando, vaitendendo,vai para0.Dizemos, convergindo então,que,quandon tendea infinito,o limitedaseqüência é iguala O. 3J)Consideremos a lunçáo exponencialt lR.. fi, t-f - íl ì'.
xtendendo a umvalor
a
199
GpÍtulo7. lntoduçãoàorlLmlÌês
qoê,à medidaque xtende a 0, Í(x)tendeô 1. Notêmostambémque,à medidaque x cresceindeOb5eruemos paraxÍendendo a infiflnldômente,f(x)têndea 0. Podemosentão dizerqueo limitedêssafunção exponencial, nito,é zero. queremos Observação:Emtodosoi êxemplosôcima,quandodizemos"sen tendêa ìnfìnito,,." ou "xtendea zêro,..", entremostrarque essasvariávekestãoseaptoximândodesses"valores"(atênção, infìnitonáoé um númerol)sem, tanto,serem iguaisaeles,lssoé especialmente útilen detêrminadas 5ituações matemáticas emquesedesejaoblêr um rêsuìtâdoquê só ocoffequandoumadeterminadavariávelaprêsentaum vàlorque muitasvezesela não pode têr (comodissemos, inÍìnitonão é número),Porissoa variávêl"têndea essevalo/',ou seja,a variávelse aproxima gradativamentê Eos resultâdosdecoÍentesdessasaprodês5êvalor,chêgandotãopertodelequantodesejamos.
ximações sáooslimites. e,dentreelas,vimosumâhipéÊ 4e) Nocapítulo 3 destelivrovimosashipélboles quereprêsentâ o gráfìcoqueexprime â relação boìeeqüilátera ìmportante, isotérmicas. entrepressão e volumedeumgásperfeito, êmcondìçóes podemos pensar:Ê possívelo volumeserzero? Anâlisando â siÍuação, imposível.O queé algode volumezero?Essa é uma Orô,é umasituação quenáoocorrenaprática, masquepodemos imâgisituação interêssante, o gráíìco, vemosquequandoa pressão âünarteoricamente, Obsêrvando mentatendendoa infìnìtoo volumêdiminui,tendendoa zero,Ponanto, paraa pressãotendendo ézero, a iníinito,o limitedovolume
{
pÍopostos ExeKídos I " Considefe a rcgãodo plânolmtadapeo tràngLroretánguod€ baseÍxa e gLraâ 4 cm.Façaa altLrÉ| se aprcxirnando de3, Ínass€Ínnuncâãtingir3,istoé,íaça a altuÍatendefa 3. CoÍnpete a tâbeladadae vefÍque paraquevaof estátendendo € árcadessârcgão.
3. Cons derea seoüenca a =
L.nE n+l
61-
a) Expiciteessaseqüéncia, os vâofêspara escfev€ndo n = l, 2,3,4,5,..,10,..., I 000, 100,..., b) Escrcv€ nafoma de íìúmero decirnaosteÍnosdâse qÜência do itemantefof, quândo c) Pamquevaof estátendendo n essaseqüência tendepa|anÍìnto? 4. Co_sdereo or; cod. - ìçêoog€rrìicà ll'J - og-\ quextendea l, f[x] tendep€ÍaquevâloÌ? al à rnedida blà Tedda quex Ìe'ìdepa-a.r'ì v€lorc"d8uel 1.èio-. f[x] iendeparaquanto?
2" 0 queocoÍre, dâh potenusade nolirnite, corna rnedid€ € meddâdeurn umtrânguloretángu o semantiverÍnos catetoconstante e a do oúro catetofor dirninundo tendendo a 0 [masnlncaiguala0]?
xtendendoa Lrmvalorcadavezmaor
. Contexto MateÍnálkã &Apkades
Fã Limitesde seqüências Vejamosalguns exemplos deseqüência e sêusrespectivos limites(quando existirem), le) Rêtomemos por: a seqüéncia.., deíinidapoíà, = -L, comn e lN*,ê explicitadâ 11111 1'' r ììr 2 '3 ' 4's'6'7'A 'g'
1 '1oO" rO"
1 1 1oO0" 'n'
'
ou,âinda,emrepresentaçáo decima ll 1;0,5;0,333...ì 0,25;0,2i0,16...j O,142; 0,125ì O,11 ...;O,1 ; ..r0,01 ; ...;0,001 ; ... que,à medida quencresce (tendendoa Obsêrvemos ìndeÍìnidamente infinito),otermoa": -L tendeaO.Indicamosassiml ou,então,assim:
ti,nl= o que lemos:limitede f quandon tendea ÍnlinÍtoè iguala 0. Nesse queô seqüëncia casodizemos converge para0,ouqueo limitedaseqüênciã é 0. Observaçâo:O número ê umao,ol-àpÍoxrmdçáo donumero iíacional ,r - l, út sgz...,isto I = 3,1?2857... '7 é,é umôaproximação den comerroàbsoluto menordoque0,0l.Jáont^.ro!:Z;I\ASZ...naoéu^u V7 0,001-aproximâção den - 3,141592... quexéuma€-aproximaçáode Demodogeral,5eeé umnúmero realpositivo, dizemos trsêe sóselx y] < €, proximaçáo y y (absohito) ou seja,umaa-a de é umâaproximâção de comerro menordo que€, quandodizemos: As5im, noexemplo acìma, lim f = o êstamos dizendoque,paràqualquernúmeroíealpositivoÊdado,sempreé po5sível encontrar um teÍmoda /!\
seqüência dessaseqüêncìa sáos-apíoximaçóes dêzero(O).porexemplo, I I a panirdoqualtodosostermos \n ,/ setomarmos e = 0,1,têremo,i ] o < e q r" n d o n > 1 nÊ ouseja, 1n
6 ç 6 q r6 n 4 q n ; 1
0,1
ou, ainda:
lf.o,tou"naon'''o 1 Logo,paran > 'ì0,-: é umà0,1-àpíoximàção dêzero(0),istoé,umaaproximãção dezero(0)comeío (absolu-
to)menor doque0,1. Para constataíìsso, basta verosvâlorês daseqüência: ,1 ' 1 1 121'.I1 1 1111 3' JJ lr
0,5;
J 0,333,.;
4' ' 0,25j
5'
6'
7'
8'
J
J
J
i 'J 0,125i
9' Oirrl..;
10' 0,1;
11'
12'
t3"'
T.I 1 O,O9O9O9;0,03333,.;0,076923,..
(.pítulo7 . llJroduÍãoaor imits
2el sejãa seqúèncià(4,)1F N', definidàpor a. - --L 1234567
1't '+'i
99
E 7'e"
e explicitaddpor:
999
r o o ' ' - r o oo "
ou,emrepresentação por: dêcimal, 0,5;0,666...; 0,75;0,8;0,83 3.; 0,a57 ...;O,A7 5;...;0,99;...j0,999; ,.. Obsetuemosque, queovalorde à medida n aumenta, tendendoa infìnìto, ovalordeI tendea l. pormais n+1 que,observando a seqüência peÍcebâmos de valoresdecimais, um crescimento nosvàl6rs56s --L, q1s3 n+1 nunca5erãomaiores que 1,poiso numêrador é sempremenorqueo denominador. Assim, o valorde I n+ l '1. Indìca cresce sêmnuncaultrapâssar mosâssiml n -+ ó= -J1
ou,atnoâ:
n+l
Um sÌrórrnode"ÌÌmite da s€qüência é 0" é dizer que â "s€qüênciaconveÌge
quelêmot:limhe de --ll, quandontendeainÍnìto,é ìguâlaL Nesse caso,olimiteda seqüência é.ì. n+l Vejamos,agora, algunscasosemque o limitenãoexisfe, 1P(aso Asêqúência(aJi€lN*,coma"=(-1)",explicitadapor-1,1,-1,1,j,...,(-l)n,...,oscita entre tej,não convêÍgindoparanúmêroalgum,Oíndicen pode crescerindefìnjdamente quê o termo annão5eaproximade ne_ nhum número.Dizemos,entâo,quenõoexisteo limite, seqúênciâs comoessasãochâmèdas diveryentes. 29aâso A seqüência2,4 8, I 6, 32,64,.,.,2",.,,nãoconvergeparanenhumnúmero,Nessecaso,em particular,dizêmo5 que eladivergepara+-. 2": +^lim Demodogerâ|,épossívelprovarque, paraà > l,temos: a": +6 "lim 39<âso -L, -]. -4-. 9 -19 Aseqüéncia(a")^€lN_talquea-exol;ciLàdâpor ---, n,l 2 3 4 5 nenhumnúmero,Nessêcâsoem panicular,dizemosqueeladivergeparâ @.Assiml
l. Câlcuei bl
2n + 5l nlirn. tn' -
-,
naoconvergePara
202
. Conlexlo À,latemátka & Aolicde!
Resoluçâo: A seqüêncê ancorna" = 5 é chanada seqúêncÌa constanle e podeserescrtaassirn: 5,5, 5, 5,... para Elaconvefge 5, ouseja:
, , ry_5 =5 Obsewaç ão: Deroooqeê
'ì
ì te oe Lna concra.e é rgualà
"-k[o
b) lirn [n3 2n + 5] Parao cálculo desseirnite, usamos ! m adííciocoocamos n3emevidénc a l-t ('-2'
-5)-
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tendea zerc. O mesmo 5
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Logo, m (f3-2n+51 = lrn n3=ObsewaçãoiPode sepfovarq!e: t n a'a d.7-...-an.Conìocons€qüênc a tenìos a. ér o, . ì 'Lb- lr' ... ''^b - l_ cJ hT '- " n-,3n'2+2n n-r
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m
3n+5
tn l 3n3
í:-rì
3+-
propostos I lxeÍ(iqos .l
t---_ nafo|rnadecmal€ i !1.Expciteostermosdasseqüénciss c0n$aÌeque: -3
{i- Entreasseqüénclas abaixo, digaquaissãoconvergentes e q!a s sãod veruentes e justfqLte: a11,01,0,1,0,
oâ"=l;l bl
m
l
=0
cj a (eqrencrd rc"ì € \' '
q". co-r,^ - ]l 2n-l -.
l pam . converce dJ A . êoüèL" ;J .
para4. converce
Ê N'. coT a^
:--::..
qLe
d lr 3 l. 3 . l. 3 . | 3 . . . . 23a
")",= l-r)
fl r, 2 3,4,5,6,. g)2,3.5,7, 11,13,17,... I I l hìt ]t 2 4 b 810" 2n
7- Qlandoumâseqüéncia an dveÍg€pam+ó, escÍevenos lin an -ó. e qJaldo dive-geoa-a-d. es r crcvernos a" = n{n* NosexercÍcios abaxo,dê os"vaores"dâsêxprcssões
al lrn n
dl im 2"
bl lm n'z
e) im [-n]
c)
8. CaculeosvaorcsdossegLtntes lirnitesr
( n5+ 5l nlm_
al lim 6 l+4n 2+7n
n+l
-
5 -n 2+3n
lm
cl lim
8n 2n+3
0l
dJ lm
n+5 3n+2
hl m
m
(n' - 2) [ 2n5+n+]ì
i Númercsreais como limites de seqüências Já estudâmosâ ãmplìãçãodosconjuntosnuméricosdesdeos naturais(lN)ãtéos reaÈ(lR).Vimosque existem quê sáochamadosdízìmos peiódìcos.Númerosdessetipo nãosãodecimais ceftosnúmêrosracìonais, como0,333..., exâtos,ma5podemservistoscomo "de(imaisinfìnitos",ou seja,um númerocom infinitascasasdecimais,Vimos tàmbémquea gerãtriz dê 0,333...é _ , poisi N = 0,333...ê10N= 3,333...ê10N= 3 + 0,333...<â 10N= 3 + N ê9N:3
(3 N:
I <+N: -
Essadízìmaperiódica,ou'decimalinfìnito',é obtìdaa partìrdeumaseqúênciainfinitaS^dê decimaisexatos: S.:0.3 S,:0,33 53:0,333 5,r 0,3333 1
que tende para-. lssoocorreporque,à medidaque n cresce,a quantidãdede "3" do termo Sntambémcresce, tendendoa infìnito(âquântidôdêdê'3'). Então5.tendeà dízimâperìódica0,333... quandon tendea infinito.Como tÌ a geratrizde 0,333... é ;,s, tendêa ; quandôn tendêâ infìnito. Assìm,à medidaq-ueo índicen ciesceindefÌnidamente, otermo S" vaisetornandocadavezmaispíóxamode
'ì
Jr
ouselâ:
n-.=s"-]
",T.s"=; Dizemos, então,quea seqüência 0,3;0,33;0,333;0,3333;...convergepara-L, ôu rem lirniteìguâla ]. De modogeral,todo númerorâcionalpodeservistocomolimitede seqüências dedecimaisexatos, Èxemplos: 1e) O númeroracional] podeservistocomolÍmìteda seqüêncÌaconstànte0,5;0,5;0,5;... 2 O númeroracional ; O númêroracìonal
podeservìstocomolimiteda seqüência0,6;0,66;0,666;0,6666;... podeservistocomolimitedâ seqüência 0,41;0,4141ìO,414141ì0,41414141ì.,,
:i - podêservistocomolimiteda seqüência O númeroracional constante -1; -t; -t; -1; -1,...
. conÌexÌo Malemáti.a &Aplkàçõer
Um númeroirracionale um limiteimportante Ao estudaros logaritmos naturais novolume1,vimosquea basedesses logaritmos erao númeroirracìonal e : 2,7182818294... (a")"€ lN*,t"fo*"" = (t * 1)", *tá explicìtada A seqüência abaixo: /
1 \o
r
t
tot
f -iJ,l '- rl,f.;J ,l '.;J f-,;J ' ,l '.* J JJJJ 2,0000 2,2500 2,3703 2,4414 r
r r" o
/
' ' ' ' l ''rooJ' ' l' ' J 2,7156
r
io'
'o*J
,
'[''
2,7169
2,5937 r
ì"'
2,7048
i
r
_ì' ' ""' " Í,l' sooooJ 'ooooJ J 2,7141
2,7142
poisseulimiteé umdoschamados Essa seqüência é importantq limites fundamenraii, e seuvaloré o número e, Atsim: .
ri. ír , -' ì" -
n+F\
n1
"
Obseftâçáo:Limitedaseqüência da somadostermosdeuma PGinÍìnita geométricas, Novolume1 destacoleçãoestudamosasseqüências e,entreelas,as progressões Vimostambémque possívelobteÍ para quando q é um valor a somade inÍìnitos teímosde umaPG a Íazão fortalqueO < ql< 1.Esse valoré o limitêdaseqüênciâ foÍmâdãpelâssomasdâ PG,Nâocâsiáo,obtivemosumâÍórmulaque nosdavao'vâlor da somainfinita".Essevaloré o limitêda somados termosdã PGparao númerode teÍmostendendoao infìnito. como estudadoanteriormente, a somados n primeirostermosda PGé dada por s- = 3í.91-a qì
oaraqualquer
razãoexcêtoq=l.Quando0
Se liÍn qô = 0 para0 < lql < ì, entào: ,_ à(q" -l) n-_ Ç_t que é a fórmulaestudedaanteriormente,
à(0-lÌ q,t
a( l) _ à q 1 l_q
9" Determ quesãolirnites neos números racionas dasseguintes seqüêncies elustiíqueos: al0,6;0,66;0,666;0,6666;... c)0,24;0,2424tA.242424t... bl0,9;0,99i0,999; 0,9999; ... dl3,3,3,3,3,. .
Gpílulo i . lìtmduçáo aoslimitês
205
Ël Limitesde Íunções No tópicoânteriorvimosos limitesde seqüências;agoíaêstudaremos o que vema sero lìmitede umafunção. ComessêconceitopodemosdescobriÍoque ocoÍe com afunçáonum determinadoponto,conhêcendoapenaso queestáacontecendo com elanospontos"bêmpróximoí' daqueledeterminado, Afunçãonem precisaestardefinidanaqueleponto.Oconcêitode limitede umafunçãoé de grandeutilidadeno cálculodiíerencial, assuntoa ser estudadoem nÍvelsupêrior.
ldéiaintuitivade limitede umaÍunção VâmosveÍessa idéiacom algunsexemplo9 lq) Consideremos o gráíicoda funçãoÍ lR + lR definidaporf(x) = x - 1.
que,à medidaqueosvalores Observemos dex seaproximam dê4 (sematìngi-lo), porvalores que4 menores (pelaesquerdâ) que4 (peladireita), ou porvaloresmaiores osvalores def(x)corÍespondentes seaproximam cadavezmaisde3.A tabelaa segujrmostraosvalores deÍ(, paraalgunsvalores dex:
Assim,podemosescrêvêrq uei . o limitêde f(x)quando xtendea 4 pelaesquerda é iguala3,ê indicamos f(x) = 3 _lim. . o lìmitede f(x)quando xtendea 4 peladireitaé igualà3, e indicamos: lim f(x) = 3 Esses limitessãochâmado, ti^it", tot"roi, roiosão iguais,asduasindicaçóes ânteriorespodemse resumir ", numaúnicâ; lim f(x) = 3 quandoxtende e lêmoslimitedeí{x) a 4é iquala3.
Considêremos a funçãoÍ lR- {l} -t lRdeÍinidaporf(x) =
(2 x + l)(x -1 )
Vamosestudar o limitedeÍ(x)quândox tendea 1, ouseja,limf(x).
206
. conÌ-ÂxÌo l\,laÌêmátÌo &Adkações
quê,nêstêcãso,â funçãonemestádefinidano ponto x : 'ì, Obseruemos ou seja,nãoexistef(1). Comox+ l,entãox 1 + 0 e podemos dividìrnumerôdor e denominâpor (x dor - 1)obtendo: f(x)=2"*tt**t' cujográfìcoestáao lado(aretadá"um salto"parax: ì, poisa funçãonão estádefinidanesseponto).Obseruenà tabelaabaixovaloresde x e f(x) próximo5de I e 3, respectivamente
i 0,9 0,99 0,999 0,9999 f{x) =2 x+r 2,4 2 ,9 4 2,994 2,9994
1,00011.001 L0l t,1 3,00023,002 3.02 3,2
gradativam€nte querpelàdiÍeita,porémsematingi-lo, x seaproxìma de 1,querpelaesquerda, o5vaQuando lorescorrespondentes de f(x)seaproximarn cadavezmaisde 3. Dizemos entáoquelimitede f(x)quôndox tendea1 é iguâìa 3 e escrevemos: limlf(x):3 emboraf(l )ìão exìsta.
Definição o gráfìcodafunçãof. Considêremos A medidôquêosvâlores dê x seâproximãm maisde um númêroã, pêladireitae pelaesquerda, deí(x)seàproe,emconsêqüêncìã, o5valores que ximamcadavezmaisd€umnúmeroL,dizemos o lìmitedef(x)quandoxtendea a é iguala L e escrevemos: lìmf(x): L
Éìmportanteobservarquequandosê nãoestamosinteressados câlculâ em f(a),mesmoqueeleexisxlimaf(x) ta, e simno comportamentode f(x)quandox seaproximade a, Nessesentido,nãohá necessidade de o valorx : a pêrtencerôo domínio de f e, portãnto,náoé nêcessá rio que
f(x) sejaigualaf(a).Namaìorìadoslimitesimpor*lim"
tantes,o pontoã nãopenenceao domínio, Exemplos: 1q) Consideremos â funçãof:lR + ìRdefinidapor ... lx' A,parax+2 Ìtxl = { ll,sex:2 que,conformexseaproxìmade 2, quet pelôêsquerObservemos da, quer pela dirëita,porém sem atingi-lo,os valoresde f(x) se aproxìmamcadâvezmaisde 0, Então,temos: lim f(x)= 0 NoÌemosque f(2) = 1. Logo,limf(x) + f(2).
(.pítulo7. lnÍôduçáoãosllmtes
Consideremos f:lBr R,defìnidaporf(x)= a função 1, + 2,r",,
t,
.ujográfico e à uniãodeduassemj-retas. "
que,quandoxse Obseruemos aproxima de I pelâêsquerdô,f(x)se aproxÈ madê 1.As5im: f(x) = 1 (limitelaterâlà esquerda) _lìnÌ E,qlandox seaproximade 1 peladireitâ,f(x)seaproximôde 2. Assim: = 2 (lìmitelateralàdiÍeita) rlim,f(x) Nessêcaso,dizemosqueo limitede f(x)nãoexistequãndoxtende â 1,pois 05limites à direitae à esquêrda sáodiferêntes. ObsêÍvâçáo:Paraqueexistaum limite ("lim"f(x)),devemexistire seriguaisoslimiteslâterais à esquerdà eàdireità, tsÌoe: tim f(x) = lim í(x): lim f(x)
propostos Exercícios 'l L Determ ne,'quando existif,o
r
mâf[x] nosseg!ntes '13. Considefe a íunçãoii R ì R deÍnidapoÍ [] .-| x,sex+3 (xl=j2
al
"""'.:,i /
[2,sex=3 â) Esboce o Oráíco d€í[x]. b) Detemì !ìef[3] c) DeÌerrn ne inì- ftrl e hrn (f\). d) Seexstir,deteffn neovaor de
fcx). xlirn3
14. Consd€re a Ílnçãoí lR-ì lRdeíndapof .--
h- oarar<:
I2x,paftx>2 al Esboce o gráftco def(x). bl Detefnìine m, ít\l e lrn ítx) c) S€existIdeieffnine o valorde rn?f[x). x I 5. Considefe a funçãol: R + R defnidapof .,Í3\+t.psa\+2 t"'=]opr,.r=, 6l Esboce o gÉÍco def(x) que m, f(xl + f(2). bl Verifque x I6. Considere a funÉof: R --,lRdeÍndapor 1 L Dadâa funçãof:,R + lR,defnidaporf[x] = 3x - l, construa !matabelaatíibuindo axvalofespfóxirnos de 2,íaçao géfco e calcue im, f(xl. x '12. Dada a função f: R {ll-)lR,deÍnidapor f[xJ= j--+, consÌrua umatabea atrìbuindo â xvaloÍespóx mosde I, façâo gfáÍcoe calcule mÌ f(xl. r
fx+l,par ax<2 ftxl=1a,paËx= 2 13,paÊx>2 a) Esboce o gráfco def[x]. b) D€teÍnne m" fGl e rm^ ftx) cl Seexsfif,deterÍnìne o vaoÍ
xlirn,
f[x].
lúatenìát o . Comexto &AplkôçÕes
doslimites ffi$Propriedades O cálculo de um limiteíjca maissimple5 a partirdesuâspropriedades operatórias.
Primeirapropriedade Ou seja,seexistiremos limites f(x) : Lr e O limitêdâ somâé igualà somados lìmites(quandoexistirem). xlima 1,,então: xlrlìa9(x) g(x)= L1+1, + gk)l: lim f (x) + *lim"If(x) "lima Exemplo: Im( x + J , = lr
Segundapropriedade Ou seja,se existirem os limites O limitedo produtoé iguâlao pÍodutodos limites(quandoexistiÍem). f(x): Lre limàg(x)= L,,então: _lim" : f(x)'lrjìà s(x)= L, .1, lim [f(x).s(x)l , "lim. Exenploil (5x): x:5' x = 5 3 : 15 le) 5' xlimxlim3 xlim3 xlim3 ( 3 x) = 2q) ,l i m , J,1",3 J'1",,:3 x|,1",x=3' 2 : 6 temos: comoconseqüência,5e umôdelâsé a funçãoconstante, k (x)= k f(x): kL(k€ lR) fk): L+ _lrlÌ, _lim" *lim" Outràconseqüência: : (x) + lima(-l)s(x): + ( l)s(x)l= 1)',lim"9(x)_lim"tflx) s(x)l ,lim"If(x) xlimà rlimaf(x)+( = limaíG)-,lim" g(x) doslimites(quândo Ouseja,o limiÍedàdiferença é igualàdifêrençâ existirem). Ëxêmplos: ] s ) l i m r k'z 2 x):limrx'?- lìml2x= limr (x . x ) 2 . limrx - limrx . limì x -2 . lì mrx = 2 e)xl i m(34x,- 2x+ 1):
4x,- lim32x+ l imr l = 4 . 3 . 3 -2 . 3 + l ,lìm definìdapor Generalizândo, sel lR+ lRé aíunçâopolinomial
=3ì
+ arx+ ao í(x): a"x"+ a"-rxn-ì+ . + â2x': temoslim f(x)= f{a).Eastâ calcularo valornuméricodâfunçãono pontoa. + 3x,-, x + 3): 2 . 13+ 3 . l, 3 e)l i m r ( 2 x3
1+ 3 = 2 + 3 -
1+3=7
Terceirapropriedade doslimites(quando existìrem ê quôndoolimitedo divisorfordiíeO limitedo quociente é igualâoquociente : = g(x) f(x) Lr ê Lr,com L, * 0, então: rentede 0).Ou seja,seexistirem xlimâ xlimu ..
f(x)
L,
xJa
9(x)
L,
i
Exemplos: le)
ì lim 1:
llm I r-4 =::
lim x
2
lim-{x7.1ì
v.-1 2-'l lim.^ xi2 x _ I 3e) lim ^
4
*t;m-A
t)
.). rì 2_t
5 l
-:?
Como lim(x
podemosâplicara 2) = 0,istoé,olimitedodivkorénulo,não propriedâde âcimã.Nestecaso,
devemosusarum artifícioe fazer:
x' q x 2
v + 2 )te 4 Lx,-2)
Então: lìm,-2 x
: 2
lim lx+2\:2+2=4
propostos Ixercí
el m l^" x, - 3ìro fl lirn í^+ 2ì5
rl_9, " ' o *' ' h
oJ trn -
oì rnì Bx + xì n.l m
d ) "! , x '
-x J r
3 x -1
Ì8. DeteÍnine osvaoresdossegLrintes lmites al 2x 1) rlrnr [3x,
..3
DrJr
xJox3+x,+x+1
b)r mo[4x3+2x,+x+2) cl mì [x4 x3+ x, + x + 1) " dlrliÍn [2x'z-x+2] I
2X+l
.. tl
3x'+x+l 2 x3+ 2x2+3x+2
"19o2 x " + x ' + 2 x + 4
ões contínuas Intuitivamentedizemosque umafunçãoé confínudnum ponto a do seudomíniose nesseponto elâ não dá "saltos'nêmapresenta"furo',Vejamosâlgunsexemplosl
A funçãoÍ é cortínuonopontox: a.
i
210
. ConldÌo &Apli.â(ôer l\,latemárka
A lunçào g é descontínuano ponto x = a. Seugráficodá um "sâlto"nêsseponto.
h é des.ont[nuono pontox = â. A funça)o seugrafìcoapresentè um"furo"nesseponto, ponto. istoé,elanãoestádeÍinidanesse
,
que a íunçãoÍestá defìnidano ponto x: a e, portanto,existeí(a).Vemostambémque Observemos Í(x) rlima = eque f(x) í(â). xlimã g(x),poìs,quãndox se A funçãog estádefinidano ponto x = a e, portanto,existeg(â).lúasnáo existe ,limu aproximade â pelaesquerda, o limiteé L1e, quandox seaproximãdea peladireita,o limiteé Lz com Lj + Lr. AÍunçáohnàoestódefinda no pontox: a, ou seja,nAoexi5teh(a),emboraexista lim h(x).
DeÍiniçãode Íunção contínua satisfeitas: Umafunçãoíécontínuanum pontox = a se,e somentese/asseguintescondiçóesêStiverêm 1e)existef{â); 2s)existelim f(x); 3s) lim f{x)= íâ).
A pÍmein condição pertence âodomÍnio deI
parax: a,dizemosque condições nãoé satisfeita emô. uma(oumãis)dessâs afunçãoédescontínua Quando queumaÍunçáo é contínua numaorjunÍoseíorcontínua desseconDizemostambém emtodososelementos junto.üzemossimplesmenteque quandoo for emtodosospontosdo seudomínio. umafunçáoé contínuâ Exemplo5 deÍunçôes 0):
c) A funçãologaÍítmìta I lRÌ J LR, f(x): log,x (a> 0 e a + 1):
(àpítulo7. lnlÌodüçáo msllmÌtes
zll
d) Asfunçóes trigonométricâa senoe co!5eno, ft lFì--t lR,f(x)= senxeÍ(x): cosx:
e) A tunçãomódulo
t
ft lR-ì lR,f(x)= lxl
f) Afunçãoraizenésima
f: lB+ lR,(x) = ú, comnnaturalpogitivo -
g)Afunção
por(x) = 1 í lB - {ol+ lR,defìnidê
que 0 não peítenceâo domínio.A funçãoé contínua Observemos lR- {0}.Ponanto,Íécontínua. h) A função
>o = ]4 = .11sex Í rR.-+ rR.derinida norírx) ' x l -l ,sex< o
- i:
_ _ _ -.I 1 ; ig: -T.Éi
I' i :l '!l
Afunçãofdáum'salto"nopontox=0.Ma5oponto0nãopertenceaodomíniodafunção,queélR*=lRPonanto,lécontlnua, A funçãotangente
tn-
{f
+ r.'r} rn,.omke z,f{x|=tex -
212
À4âlêmát o . contexto &Aplicçóe5
poderia pontos Afunçãotgxécontínuaem todosospontosdoseudomínio.Adúvida surgirnos masessesnão pertencemao domíniodafunçáo.Logo,Í é contínuâ.
frÌl
t't
ExemDlosde descontinuidades: a) Consideremos a funcão
Í Essafunçãonão estádefinidâ parax = I . Portanto,não existef(1). Assìm,a pÍìmeiracondiçãoda definiçãonão Logo,f nãoé contínuâem x = 1,emborasejacontínuaparatodosos pontosdo domínio. estásatisfeita, b)consideremosa funçáodefinidâpor
Ìlxl:<
[("*l)(" x-ì
]),r" * + l
flxl é continua€nì
l:,r""=t Nessecaso,f(1) : 3. Portanto,a primeiracondiçãoda definiçãoestásatisfeita. Alémdisso,liml í(x): 2j logo,a segundacondiçãotambémestásatisfeita. â teÍceira l\4aslimìflx):2efl1):3;logo, limr íx)* f(l)e, portânto, condição nãoestásatisfeitã. Logo,Ínãoé contínua em x = l. l
poríx) c) consideíen os a funçáoÍdefinida "
,
descontinua no pontox - l:
paràtodos os pontosdo
Nãoexist€f(1), poisa Íu nçãonãoestádefinidaparax = 1. Logo,a pÍimêiracondiçãonãoestásatisfeitâ. E,de fato, : Í é descontínua no pontox l. *" d) consideremos a fu nçãoao lado,dêrinidâporf(x) = {: -: 1 ll,parax>2 queí(2): 2j assim,aprimeiracondiçãoestásâtìsfêita. Obseruamos Vejamosquantovalemos limiteslateraisà esquerdae à direitade f(x)quando x tendea 2. lim- íx):2
e lin íx):
I
Como f(x) + f(x),entãonãoexisteo f(x),Poúãnto,a segundacondiçãonãoé satisfeita€ conxlim, "lin1 "l\ cluímosoueíé descontínua no Dontox : 2.
213
Qpítulo 7 . lntmduçãoaos limiÌer
propriedades Algumas dasfunçôescontínuas limites(l;miteda soma,limitedoproduto,etc.)temosasproprìedâComoconseqüência daspropriedadesdos g des dasfunçõescontínuas.Assim,se í e sãofunçõescontínuâsem um ponto x = a, também sêrãocontínuas 1 nes5êponÌoarÍuncóesÍ-g,Í-g,kí(k€lB).f9, (se9(a). o1e9of19çompostacomÍ). AtercêiÍâcondiçáodadeíiniçãode funçãocontínuanum pontox = a é
f{x) = f(a).Então,paradeterminar xlimâ o valordo limitede umafunçáocontínuâquandoxtende a a, bastadeterminarf(â).
2.Dete[ì]ne os vâlofesdos se0lntes irnitessabeÍìdo qle asfunções sãocontínlras emseusdomÍnos
n m {,f
rì
sl"lrnri2'\f)
"
hl"lirnrloS,(x3+ 7)l : log,[]3 + 7] = los,8= 3 rì
m isenx+2x l
'-+
r_ ts"n, ,-;
2'j
.Fr - | ,l
| --
t" ^ ' ]' 2 l?:e\ adrniÌe agLrmpontode descontinudâde. Resolução: Se essafunçãoadrnitiralglm pontode descontnu dade,eleseÍáx= 2. [,44slirn i(x) = 2 ê lirn l(x] = 2, o queacaffeta
l
lirn Ía\ì:2=ff2ì.
cl"ima3'=f[4]=34=81
Logo,a funçãoÍécontínua no pontox = 2. Écontínua também emtodoo domíinio R.
dl ims os,x=l(8)=log,8:3 r
'| 9.Asíunçôesâ segursãocontÍnuas ernsels dornínios
' f!4 * r" ì
DeteÍrnne os vaores dos seuslimilesnos pontos
al lm t2\ + cosxl .-:
dl
al im x3
fl
bl"9,i"
el liÍn t2- . og,xl
bì
aì hm fxr+x2+2ì
m
oo--^
cl lrn cosx 0l'x)2 lTn -'.x'+2x + 1
"
3. trê-lr F:e a r, Çdooe,ì oo 0o ,.,
al hrìì Ì'z= fí3ì = 3'): 9 bì [nì ]=ff3):
dÃ
-. '.-.-rì
d hl mì [log,[x3+ 7]l x .I
m iç=í16ì={,iiã=2
lm 2'
hl lm ,-14
lì
senx
lm
*, * u "l,r i.,.uF 2 I . Exoìcileouando d€d€scont nuidade exstreÍìr.osDontos dasseguntesíunções: a)(x)=l
" el lm xl bl ftx) ernseusdomÍ 20,4s funções â segLrif sãocontÍnuas nios.Determ ne os valoresdos seuslrntes nos pontosndicados:
- :t
dl ftxl = s€cx l
214
. Contexto&Aplc!Ões MaÉmárka
22. Esboce o gÍáÍcode mdâfunção.Observe ondeexistem"saltos" nogÉÍco e mostrequalcondição dadeÍniçãonãoestásstisíeita, apontãndo os pontosde descontnuidade:
a)í(xl =
a,P aÉ X -2
-x-2 x2
-..-
^,
-,---
Í(+t,parax<2 ll paÍ.x>2
tx + 2)tx 2l (x 2l , p a Ê x + 2
x,_9
bl (xl = a,pârãx=3 xt
6x'+1lx-6
t"?_,_Â ^ ".se,r+g ..-l" cjÌr!=1 x-3 5,sex=3
i 0,parax=0
23. Determ ne os vaoresd€ a paraos qlais as funções abaxosãocontÍnlas:
Um limitemuitoimportante: o limite ÍundamentaltrÍgonométrico Consideremos a funçáóf:lB* --t lRdeÍinidàpoÍ flx): I
qualéo valorde: e verifiquemos
;161!9!J! senx À medidaquexseàproxima nosdoissentidos de 0,a funçàof(x): seaproxima de l. A tabelaâbaixofoifeitacom o auxÍliodêumacalculadora, Éimportanteperceberquex estáem radiânos,pois x c lB.Sex náoestiverem radianos, o 1;r JSII ,-0
lssosignificaque:
Geometricamente, temos:
X
= 1 6566 yi;1;6e;
0,1 o,o2 0,99833 0,19998
0,01 0,00999
0,9983
o,99994
0,99993
(apftrio7 . lnÍoú4ãoaoslimites
215
observando a figura,vemosque: l/
senx \x
-\
2J
Tomandoo inverso,obtemosi
L>f
S enx
> l- _ _ L > 1 > 1 9 ! 1
x
tgx
Senx
x
senx
porsenx,obtendo: Comosenx > 0,pois '2 0 < x < +, multiplicamos ,-t
t"n*
taou
-{ < x < o. De mãneiÍaanálogâ,obtemosessaexpressàoquando 2 Assim,oara -Í t"n* >aos* ''
cosx < i!!r
_
<.ì
v^v
l
lim 1 :1
lim cosx: I
Como lim cosx:1e ìim I - l, entãoà Íunção:::j-j:, queestáentrecosx e l, temtambémlimiteigualaì quandox tendeâ 0, ou seja:
.,
senx _
lgla
4. Deteminêo valoÍde: cl lm
í
senx âl lim 3x
b l "9 o
.- +
dl lim
sen4x 2x
l91r
"-
2)
2
.- +
el liÍn
' Iì
\
,r íÍ- ' - xJ0\
ì- r+r "" o
x
cosx/
x
' . ir xi ocosx
dl NesÌe caso, Íazernos u : x - a então 2
x = u + a , e v e mo s o u e : 2
tg x
x+a<=u+o 2
"l ,lTo Resolução: senx 3x
'i-o
.. ì xro3 -
x-a
ít \-0\3 senÌ xeo x
sen4x 2x
,.
sen4x
xeo
4X
sen^ì ^ I 3
l 3
--+ el
1l
2
Ìlxl = ^ÌunÇêo
,. í sen4^ 4ì r-0\ 4x 2)
e comnlan0 ponÌo
2 r_r
r+0
2)
\
lm
)
sen\ r
-ínì \21
I
2
r
216
. Contexto lvaremátka &AplcÍÕes
LqqÍr:ryrytt 24, Detefinine osvaoÍesdoslimites: .. sen2x al- Tn 2^ '-a 0J tTn -
- ,.
u
llm -
ll-
m-
ll
,.+
nl
sen5x lm
fl linì j:rr:
2) \ 6\-3n
. [ c o s x -] ì ml- . rn _
sen3x
(^
...
senfx
ta-0eb-0)
to2x
hl lrìì í2^ . cossec rì
......
cos^+r ì
po | òlrqevro vlutrplrque \ cosx+
| /
I sen:x 0arax+o 25. ConsdeÍe a funÇão f1x)= ] r la,parax=o e dete[ì]ne a de rnodoquea funçãosejâcontínuâ no pontox : 0.
ã
Wlr-rtes-tlllttse Ëstudaremos agoraos chamados,mites/rtnitos de ÍunçôesÍ(x)quandox + a ou quandox -+ :t:-.
Limites infinitos de Í(x) quando x
- a, a € lR
Vejamosalgunsexemplos. . Consideremos a funçãof:lR" -+ lR definidapor í{x)
deÍLÌl tãograndes quantod€sejarmos tmaior proximo suÍìcient€mente de0. que,quandoxtende â 0 pelaesquerdaou peladireita,f(x)assumevâObservemos loresârbitrariamentegrandes,Assim: fk) = +* *limo
217
Gpílulo7' lntÍoduçãoaos imitos
'ì
. Consideíemos, àgord,d fun(ãoÍ lF
{l}+lRdefinidaporf{x)
que,quandox tendea 1 pelâdireitâ,f(x)âssume valorespositivosarbitrariamente Observemos grandes, Assim:
1; r L = 1 a'ì pelaesquerda, f(x)assu mevalores negativosde Quandoxtende módulos ârbitrâriamentegrandes, Assim: ti, n _ L = _ _ Nêssecaso, lim (x)+ lim f(x). ObsêÌvaçáo: quandodizemosqueexisteo L é umnúmeroreal(L€ R).Portanto, Quândolimáf{x): L,entãoeste porqueexiste limite,é umnúmero íeâlLtâlque f(x)= L.Nosexemplosque mosestudando, ió nãoé um esta xlim, númeroÍeale, portanto,náoexìste o lìmhe;enïetanto,o símboloió indicao queocoíê comf(x)quândox se aproxima cadavezmaisdea.
propostos Exercícios 26. Considere poffkJ a funç3oÍlF+- lRdeÍnrda
l
27, Esboce o gÉficodaflnção Í" ì f R {:+knl-tR
12)
[k e Z] deÍnidaporf(x) = tg x e deterÍnine: al lirn rq x bì im tox ,.ï
'-+'
28, Esboce o gÍáÍcodafunçãoi:R f[x] -
L
al lÌm -
pof {4}+ lRdennda
e detefmine l
l
Detemine:
at rl
or'9';
l
Limites de funções Í(x) quando x -* Vejamosalguns exemplos. I . consideremos a funçãoÍ R*+ lRdefinidapoÍf(x)=
29, Esboce o gúÍco da flnçãof(x) = f,n x e deteÍmlne Ìm ln x.
too
21E
observeínosque, quandoxtendea +ú,ovarorda funçãof(x)5eaproxÍmacada vezmaisde0,Âssim: lim ]=6 Damesmafoha, quôndox tendea -@, f(x)tambémseaproximacadâvez maisde O.Assim:
tiÍr+:o . Consideremotagora,a funçãoÍ lR*J lRdefinidapor f(x) =
Observemos que: lim I:o el
tim f :o . Consideremos, âgora,â funçãoÍ lR* J lRdefinidaporf(x) = x3i
Obseruemos q-ue:
t
219 . Consideremotainda,a funçãoÍ lR + lR definidapor f(x) : ex
observemosque:
30, Esboce osgáícosdasfunções abâxo e deteftnine, em 3Ì. Esboce o gÉíco datunçãoír R'r cadacaso,lÍì f[x] e x lm * f[x] r al f[x] = x'z
f(x) = :l
.rtr,,r: (;J"
blftxl=2x+3
e)(xl -
cl ítxl = x'z
Rdeínidapof
e d€tefÍnne:
al _qÌ-_Ítxl
xs
b l" ! m " ( D
0 (" )=2 '
Limite da Íunção polinomialquando x -* t6 . ConsidereÌnos a funçáopolinomial definidapor: = í(x) anx"+ a" rxn ' + ...+ arx,+ arx+ ao(an+ 0) NesSe ca5o, temos: lim fÍ{ Defâtp, li m . f( x)-
lim (a^x")
l i m {a,x'-à. .x" r- ... arx I a o )
colocàndoâ.x emevidên.ia
| ï , = r i m l a ^ x ' l ì a ' '+ a l ,---L'l à n X a .x'
\Ì
ax
ax ll
.
\t// êÍâ5 pafcêlâstêndêfr ã 0 quàndo x i
1e
Logo,o limitedafunçáopolinomialquandox :l:-e igualaolimiredo seutermode maiorgrau. Exenplos: . r , I I ì ìì le) lim (x' x) x lìllim x'|1----r - Im x \ ' x x' x-- 1) ' 't "
\*r
lìm (x3+x'z-x+1):
lim x3=--
lim (-x3 + x'z+2):
lim ( x3)= +*
220
Mitemálì(a &Adkades ' ConreÍÌo
4e) lim (4xÌ 2x, I x
lim 4x.
1)
5-') lim ( 2xa+ x3+ x'z+ 2x + 1) :
lim (-2xa)=--
. De modoanálogo, seg(x)=aixn+a^ rxn r+...+â1x+ao e h(x):b.x'+b. tão defìnìmos a íunçãoracionalf{x) comosendo: a"x"+ a. ,x"-r+..+ajx+ao
f(x)= S(x) h(x)
b,x' + b, rx' ' + ... + brx+ bo
I rxm + ...+ brx + bo,en-
((omh(x)+0)
lim f(x)= lim +-
t
Exemplos: 19
lim
2e) lim
lim
lim
x ' +x-l x ' : +x+1 3 x ' : +x 1 2 x'z+x+1 x3+2xt+x-1
" '\ í r *1 x -l x * l ìx ) aì - '\í r +x 1 x') :
lim
l tm
l i t 1= 1
x)
-3
2x',.2^
:
lim
lim x : + *
3
llm
-=
propostos Exercícios 32. Caclle m. ftxle lm. f(rl dasfunções: i x = alí[x] 3x3+2x'? x+l bl l[x] - 2x3+ x'z+ 4
33.Calcule oslmftes âbaixo:
al
cìfixì=lx5-x3+l 2 dlf(x)=-x'z+x+2 e)í[x) = -2x" + x' + x Ílf(x)=I2x'+x+2
rm
3x'+x+2 2x'z-x+1
dl
lm
Íl
liÍn
x'+x+l x+2
0l
cì
lm
x'+2x'+x+l x'+3x 2
Outrolimite muito importante:o limite fundamentalexponencial Consideremos a funçãodefinidapor f(x) : porx < -l oux>0,
['.+l
por 1 + , cujodomínioédado
I
> 0 com x 10, ou seja,
(apítülo7 imiÌès ' InroluÍãoao5
221
que: Epossívelprovar
'
.. ! 1ì. lim l1+ -: | -e --\ x)
lim lì + -: l: e
e
= 2,7182818284... em queeéo númeroirÍacionaldadopore Podemosdeduzirtâmbémque: I
lim { l+ x )" : e pois,fazendo x:
Exêmplos:
!
r1 timír +
'ì
Í
que,quando notamos u -ì a*,x -r0, e assim: / rJ lim lì -il .lim(l-x) o ,_,\ u)
+)'. +)
t,
= lim lll+ ,-r"L\
:
2r) tim fr +
f/
,
''l l l' =e'
/ " I
ì,'t.
mLl \l l +-l | : ,_l ir" 3 x/ l L
l,
r ,r ;
lim ll1+- ll
1
1t^
'^ = u,temos:l Fazendo3x
34. Calcueosseguintes irniÌes:
dl
lm
a) lim lt + 1l' x) I -n++€( t tm lr+al
eìm
[,.+Ì" ('.*)
x)
cl
/ ,\' m *l ll+-:l 3x) '-
0
iÍn
(,-+)
I 5, AplìcaÇãô à Geonetria ConsÌderc umcoÍìerctode mo da baser e geÍâtÍizg. 0 queacontece coma árcaatemdesseconeq!ândo o |ao ÍtendeaovaloÍg? Rêsolução: AáÍeâ aiemldoconeéAr = rrrc,deforrnaqlre ,h'nnnrg ro':.ou selaé a âÍeado cÍ c ' o o" raiog
6" Aplcaçãoà Físìca UmapãúculasemovmentasobrcumatrajetóÍia qua querobedecendo = à funçãohoÉriaS(t) 2t, + 5t 3, comS ernrnetros e I ernsegundos. queê LeÍnbrando velocdade rnédiaparapeÍcoreÍum intervalo detempo é dsdoporv = ^t
7r,
llatenát G' Conlexlo &Ap]kãçõs
rnédadapartícula no nteNao de a) qualâvelocdade 2sê3s? rÌìédia da pâdícula no intervalo de bl Qla a velocd6de 2a2 +xsegundos,cornxl 0? = 2 s (ou dapaftícula noinstantet c) Qla avelocidâde seja,cornxtendendoa zefol? Resolução: êlS[2]=8+10-3=15 s[3]=18+15 AS=30 At=3
3=30
15-15 2=l t5
^s ^tl
= I + r0- 3 = r5 b)s(2) St2+xl = 2i2+ xl'z+5i2+x) - 3 = -8+8x+ 2x,+ l0+ 5x 3=2x,+ l3x+ 15 ÀS- 2x'?+t3x + 15- 15:2x: + l3x 2=x
+ ]31 = 13rnls xlinìo[2x Avelocdadenoinstânte t = 2 s é I 3 Ínls. 7, Urnaexpefência cornurnnovotpodebactéfa moslroll quea população de bactérias, apóst das de injciada a cJ,turêpraoao. peldldnÇ;od t -
[Ì - l]' emqueB(tJé a quantidade de bactérias emmiharcse t é a duração daexp€ênciaemdias. a) Quâseú a população debactéras !m da deposde niciada a cultuÍa? b) Quaseráa populaçao de bactérlas Ìrêsdiasdepois de nicadââ cultura? cì O qre àconrecê'" cor è popLlaçào de baftérasão lo_9odo leìpo?Qra é oooula!;oiÍrre? " Resolução: al Btl) = l0 + bl Bt3l= l0 +
^i=[2+x] Y+ rtx+ulév=[2x+]31m/s noinstânÌe t = 2 s, podemos cl PaÉobtefa velocdade pâ|a velocdade xtendendo a zeÍo: cacuaro mlteda
0
"r -
- 12ml bâctéÍias 4,
:rl5m
bactéras
. Ír o + - - 9 - ì = r o +L .m " t '9 =
-" \
0t
ir+ D" / I hr to
o-
o T r o a c t é noas u,
t+* t sela,como passafdosdias infnÍto] [d astendendoa â população de bactérias lendea 10m L
pÍopostos ExercÍcios 35.LJmâ padículase movmentasobreumatmjetófa q!aq!€r obedecendo à ÍunçãohoÉda S[t] = t'z 4t + 3, cornS em melrcse t ernsegun qlrea veocdadeÍnédiâ pampercoÊ dos.LerìbÉndo rcÍ urn€spaço numintervalo detempoÀt é dâda r\s ^S no niervao a) Qua a veocdademédiada partículâ + 0? de4 a 4 + xseglrìdos,comx b-O.é a,"lo ddd-ddpani aroirslêr.e.- 4s [o! seja,cornxtendendoa zero]? que 36. UmestaconameritonocenÍodacdadepermite )e-. c re .e) e"ldcio'ì-rI p-lo .enooqJe desejaÍ o prcçopâra ufir desdeqle paglernpofess€sef,?iço. pofx hoÉsé p[x] = 2 + x. clienl€estacionaf al qualé o preçoda pf mei|ahoÍade €slacionamento? bìQJa e o p eçodd searrddho " d" "s.ècio1ê
cl Qualéo preçomédoporhoraseumclenteeskclo narpor4 horâs? dl Qualé o customédioporhomseumcllenteesïaconaÍporx Ììoms? el Qualserêo cLrsto médjoporhoÍaquando x tendea lnfnìto? O quesgnìÍÌca esseresultado? 37" Umaernpfesa de crlpseletfón costem!m custo C[x)= ] 000+ 2xpamfabtcaçãodex chlps,C[xJemdé laÍes,e d€cidiuter umlucrcde 20q1r navendadoschlirs al DeteÍmn€ o preçode vendade câdâcrli, seforem íabÍicadas 100unidad€s. bl Determin€ o prcçode vendade cadaúrj: seforem fabÍìcadas I000 !n dades. gÉdativamente cl0 quefazefpaÍâbâráteâr o custode cadacrlpsemrnudaralunção custo? dl Qualserao menorpreçode vendade cadacrlp,e €Ínquesituaçâo ssopodea ocoffeP
S-4lryuglsl-eaqs!Ë t
l Quando umaseqüênc â ân d v€Ígepam+-, escre = +-, equando v€mosnlLm-an para--, es diverue crev€moslirn_an= --. NosexeÍcícios abaixo. dêos n "valorcs" dasexpÍessões:
a) t-ì'ìl' "ry-
bl See^stir.d€terÍnrne hÍn íixl. 7. Esboceo gráÍicoda llrnçãof: R 'ì lR deÍìrìda por f(x)= lx, quaqlrefquesejax e I-2,2). a) Deternrne rm ítxl € lirn Ífxì.
b) liÍÌì i n'zl cl lm 2n,
d) inr (n5 5) el,n-.|\2/ liÍn l
6. Esboce o gnáícodafunçaoí: lR-r Rdefinida porf[x)= tr, qualquefquesejaxelR. al D€ternì ne lrn fGl e m Íirl
bl Se€xisti determn€ m fíxì. 8. ConsÌdercmos a ílnçâof: lR
l
{0J-r lRdeíjnidspoÍ
f[x] = r:r. Sex > 0,ent-o xi = x e,portanto, dosseguntesimttes: P. Cac! e osvalores a) lim (4n3+3n, + n - l) bl rm í.f2n''
Sex< 0 entãox = -x e, portanto,
n' + 2ì
ff\)=!:-r=
cJ mnran-+4 0l- lm-
2n:+n':
n J-
eJ[mn +!
a) Esboce o gÍáÍcode f[x]. que b) lvlosÍe nâoeÀiste m ff^1.
n
n - + n,
p, Deteffnine osvâorcsdosseguntes lmites:
3+ns I
n. ì+rn
n!
0 lm + ^ - " 2 + n + 2 r"
DJ m-
3. Consdereâ funçãof lRJ lRdeÍnldapor ' [x', parax < o fÍr.l : l z. oarar = o . I l2\.pêrax>0 a) Esboc€ o gÍáÍcodef[x]. bl Determrnem- ltxl e
m- ftrl
c) Seexstr, determine mof[x]. i 4" Delerni'ìe see\$Í, o lÌ
q-e '. ç;o ll\ sdoêroo "
l: lR+ lRé defnidapof q. ..", [*, - p"r, * . z 13,pamx,> 2 5- Esboce o grátcode cadaumâdasfLrnçôes abaixoe detennine o m f(xl. po tf ' - \. qJdrquer al'. lR lRdef,ìrda qJe "ejr xe R. po L' - \. q-dlqJeqJesejà bì' lR lRdêrrnrod xC R. I ì
I
XX
cl liÍn "
"
i'+2\+l o.l rrÍì1 x+l €lÍm^ Ìl
m-
x'+x
2
xl
Sl, IÍn , Vx' + 5 rrr^ Ín4L\/ x
\+zJ
lO. As íunçôesabaxosãocorìtínuas em seusdomínios. DetermÌne osvâorcsdossels limites nospontosindi a) lirn"Ilog,isenxll t+;
bl lrn 2" -x
cl .[m sen(n[ -]oS, xJ
Í
quando osporìtos dedesconünui11, Explcite, exisrircÍn, funçôes: dadedasseguintes
Detemineì
c)Í(x): mtgr
alÍtD=-
x3
bl im [-lparax < 0 l 2 , c s ooc e o g, ái c o d è l J -ç ã o ' rÍì - 1 0 .s e t - 0 I
lx,sex>0 "satos"nográfcoe mostre qual ObseÍve ondeexistem apontândoos condiçãoda deÍnição nãoestásatisíeita, pontosde desconlinu dade.
sào I 3. [sboceosg Éfcose verÍquesea. | _çôesaba|Ào ----
lsenx,pèÍar
lx.parar>0 Ícosr<.oarar < o bì"'frxl : { l2',para,>o
17. Esboceo gÉficoda funçãoí: lR'-+ lR definidapor í[x)=-,,
bl linì ftx) 18. Calclleos Ìmtesabaxol x3+x'z+x+1 . al mn- ' 3^'+2^.-^+2 bì hrn il 2x"+x'+x n+ @ xr+x+l
Íloo^r.Dara0l -:"
. I cosx llm -=-,x ,2
-,nostÍeoue
l
xt+x+l 0lmn)+6 x" +2x+2 el
3xt+x'+8
l l Tn -,rd_rr-
^tl
11;6L
It*t" t\lutiotiou e fíÌì oo, í suoesriào: ì l+cosx / {.osvaoresdosliÍnitesl 15. DeteÍnine .. tqx-senx -_,-0 a|!|m-c|||rnl-cos,{
e deterrnine:
al lim ffxl
..-Ítoç,* pâÍa0l
l4.Saoendo oJe lirn
x -2
- ,. sen3x !-0 s€n5X
- m- x+s enx oJ 16, Dadaa tunçào f: lR- i2Ì ) lRdefnidâpor x-3 .-'' x-2
19. Dadaa funçâof: lR-ì lRdeÍnÌdapor 'tt
-i
[,t,quandox>3 , esboceo qÍàÍco dF Í e r s 3 I x,quanao
quândo calculê, existr: a) f(xl xlm3 bl im Í(x) cl
xtmr
í[x)
3l
2O,SeJaÍ a Íunçãotêl quef[x] =
' x ' x -ll
lim fíxl è iouala:
--+ d+
dr+
br-;
-.
")+
"t
-i
1
l.rnuoo
Qlgl$gglerE:rtuq I . (Fuvest-SPJ Um comerc antedes€jarcalzârumagran de lqudaçãoanunciando x0ód€desconto emtodosos produtos, Pa€evitarpÍeluízo o coÍnerciante remaÍcaos produtos ântesda qudâção p devemsef auTnentãdos al Ernqle porc€ntagenr os prcdutosparaque,deposdo desconto, o comeÈ crante recebao valorniciâdasmeÍcâdofas? bl O queacontece p quando corna porcentâgem ova or do desconto dâlqLridêção seaproxima de t00qó? 2. IUFS/PSS-SO Analseass€ntenças seguintes: al Calculando-se [x3[2x ]ll, obrém-se 24. xlinì, bl hnì (cosx+sent:-
,-+
2
cl Sefé umaílnçãorcaldâdapof t(rt- "^ r,m,
'
x2 ítxl: s.
8. (PUCÀ/G)Consdefe o número V -oq 13. J? . Vi . V3 . ... . í3 J.OvEtor oeM. quando n s€toÍnaarbtraÍianrente gÍand€, él a) 2. bl2 . log,3. c) 3.
dl 3.l og3 2.
e l-
3 x ' -2 x ' 9. toeleÌ-PRlSeltxl =
x+4 , então 2x'+4x+2
lm . flt é guaa. a) 12.
bl 0.
cl L
cDInexsÌenre. e) 2.
cadar nêrorè1.iltr > I seidF"ã igL10, íLIFJ Para t para co-rposla de qlêd-adinhos de "doq g-ã s a :, d spostos daseounteíoÍma:
', odtdtodo,/2 enúo
3. TUFPA) Dadoo gÍáÍcoda funçâoy = l(x), podemos
Fné Íormâda porumaÍla deÍ qusdÍâd nhos,Ínajsurna Íìlade (n ll quadmdinhos, maisuÍnaÍìa de [n - 2) qLradradinhos e assm sucessivamente, sendoa útÌma Íìlacomposta de umsó quâdmdinho [a igura ilustrao cason-l C€lcule o irnitedaáreade F" quando n tendea inÍnto. â) m ftxl=b.
d) ìm í[x] : c.
bl ìm ftxl = c
e) lim ftxl = b.
aJL
cJ lim f[x] = 0
bl 0.
x r.,liÍn,f[x)êrgualâ. c) +*. dl --. e) Nãoexiste.
5. IPUCC-SP] 0 vaoÍde hrn a) -2. bl -l cl o.
ll
a)t.
b l0 .
7. tPUC-l\,4G) SeL a) 2.
e
d) L e) impossÍvelde sefcacllado.
6. iFUA-Al\l) O m' x+ 4
bl -1.
bl 4.
c) 2.
dl 0.
- "' 'in x É rn,entãopodeÍnos afrmaÍqlre:
Ì2- LLTUlVClSabenoo ou.
4. tcefetPR)Seftil = al I
I l. tFcí\itscsn o riÍn Ír "o"4*ì", .o\ì,cos2x., ^
x+3m
I. com 3
4
13. IPUC-SPl Sendoe â basedoslogãriÍnos nepefanos,
.t: _. x
a )n ì > 4 . b lÍ n < 4 . cl rne ll,41. d J rn c [ 4 , ] 1 . e)nãoexist€m ta que .
el Nãoexsre.
:'e:
4
d l r.
lm ,rl-
-.ovalordeL€:
c) 0.
dl I
el
l ã
d r.
e)2.
al 0. clL
hr. - .L
=(na,
Introduçãa estudodo comportamentode uma funçõo contínuasendooÍoco cene o cálculode tral nestaabord,agem límite ésuap ncípalferramenta,Uma reta quecortaama cutuatorfia-sesua tangette à medídaque aproximartos seuspontosde com a. curva,fazendo com que intersecçã,o os valores assumídospela função, nos pontospor ondepassaa seaante,aprc\i mem-secada vezmaís um d.ooutro.Esse "deslízar'd,areta ao longoda curvaforseucomportanecedadosque d,escrevem atravésdo cálmento.E issose consegue ' culo de límítes. O estudod,asfunçõu queaquí é íntrodudasetapasaÌúerioresda eszídodííerencía-se tado d,a,Matemriticapot tratar deqaa tiddFoi a.te descontínua.s e fião tuaisdíscreta.s,
tativa de encofituatalgoritmossemelhohtes queenvolviam aosexisLentes pan problemas quantídadesdíscretas(aquelnsque cofipreerrdemosnúmercsínteíros), comoo ailculo do a desmdcou mmq quelevouosmatemáticos cobürosprocessos derído ailcwlodíferencíal, vall.ae i tegal"para lídar comvariávekcontínuas (aquelasque envolvemqu.tntídades luito peqaenas,os ítíivitesimais,oa muito gra.ndes, a.squetÊndemao infníto). Se,pot um lado, nosJaltam exemplos palpáveisde sua aplicaçàona erperiência queau.xirc!idiana.por setraLardeprcresso lia.teoríctímeúte a elaboraçãode um projeto, por ouffo nospet"Ìniteressaltarque não há limitespara a e.xploraçã.o do racíocí io através da Matemátíca. Nas palavras de doís grahdesmLtemátí.osda atualídade,
l. Jápref!ncâfdoo apar€clnrenro próprto5 dosconcetros do cátc!o nunlt€sima, Keper corÌìã lntençãode calcLr ar nâprÉuca a éÌeado circ! o, propÕe!ma so !ção 'nruiÌivai bâseadâno 'prtfcípiodê contn! dêde':Ìmèqnavauma nÍn dêde de Íiâig! os Éóscetes comvértcesno centÍodocÍc! o,.om. turasde meddââproxÌma dâmenteiguà ao raio,tendoconìobatescordasinínÌresmi s do circuo.Sendoas5 quea áÍeado cír.Lrto, rn,.on. Lrtlr conìosomaaas áreasdos lnfinitostrlângulos, resLr tavaigua à merèdedo produio dorci ooóooê -ò.ooo I. o I d do
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À d;oooroo
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rôpê órda.
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póxirnada r.edidado rao, o5 adosde.âda Íâng! o rêm de se aproxmêrbastânte deâ,oqlefazcomqle hâja'nfnroírránquos b) Cà.! e a áreado circLr o sê9! ndo a propoÍa de Keper ConrÈ À
"Na Matemática,seâ experiência nãointervémdepoisquesedeuo primeiropasso,é porquenãoé maisprecisol' oontesdeMi.anda)
"Não é paradoxodizer que em nossosmomentosmais teóricospodemosestarmaispróximosde nossas aplicações maispráticas:A.N.whitehead) conJërimos a ídéíade que estacíêncíc! tem emsí seupróprio objetode estudo. O coaceítode derívadaapareceno séculaXVII descoberto por Leíbníze Newton,quancloo cálculojá estavasendo desenvolvídoem vfutudeda pleocupaçãode matemritícos, comoGalileu eKeple\ como conceítodequantidades indívísíveis. Ma.k taftle,o usodecoorclenadasa.dotadopor Fermate Descartes cotltribuíupara o arançoda análíseinrtnitusímaLÍ.cilítuda pela conjunção álgebra/geometría. Este tópico pode ser consíd.erado um elo e tre a conclasaodafonnaçAo matemátícad,oenshlomédíoe o írlícío daformação do ensinosuperior,Neste aryítalo serão íntrodazidas as iqterprctações algebríca e geotuétrica d,o co ceitode de vada de wmafunçã.oe suaspr imeírasaplícações.
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AqLr,as basesdos Íâng! 05 sãoas cordasdo cír.! o EnËo,d q!antotendei !asoma? .) Compêreo teslltadoen.ontÌadocorna fórn-ru a da áÌ€ado.írc! o quevocêconhece dl Vocêécàpèzdedes€nvolver rãcÌocínio anéoqo paraLrmaesfera no cãsodo cálcLrodô se! vo Lrme? 5u9€Íao:maqinea eíeÍa con-rpoíade pirãmlde5 coÍì vérlicesnocenÍo dè estera€ ba ses nunitesmaispróximasdâ sLrpeífíce. Nestecâpí1!o vocêtrabaharácom o.on.eÌro det.xa de vêria daros prtrneiros passos aqui. çãol Então,vèmo! 2. A ètuÍado ni vedeá!!ade!mreseruatóroconìaformadeum parèe epipedovarlo!d uíânteo periodoemqLreío abaÍecido, como
Alturâdaá9uâ(emmeirôt i
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ob"-"çã. í"ir";;í;;i;â;
1,5 lJ 2,5 2,5
:'r,o,u 2q hora 3chora 3c hora
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a) Qla ÍoÌocrescmênrodo níveldaáguadetie reser/atóroenÍe oi na dá i s horâeofi na da4ehora? b) OLranÌo o níreldaág!àcresceu porhoÊ,en'rmédiè, período? nesse qle o crescmentoriédio hoÍáÍÌodà a tlrè dè ágla no c) tulostÍe r€seÍvâtóro enireâ 1êe a 73 horanãofo ÌSUèao cÍe5cimenro médi ohoéri o€nÍeofnal dal a e4Êhora qle entÍea 5s e 7?hora,o nire da ágLrâ d) l\,1ostre âumento!em médi :horárama5do ql e entr€è tê e4qhora. 3. Estrnaseqle daquia t anos,a população d€ !ma ceriacomunlda D t..0d€.e; d.d. oo a) Qlalé a pôpLrâçãoatlaldessacorÌrLrn dãde? bl Qualseíáa popuâçãode5sècornLrn dâdedaq! a I ànol c) Quantoessâpopuaçãôcres.erá, eÌn médiâ,nessÊ leano? d)Ql a seráa pop! açãodesra.om!ndêdedâqua 2 ânos? e) QLrantoessapopLrlação crÊscerá, em méda, dLrranteesseç2
é
. contexto &Aplkaçôes MaterÌìári(à
228
a idéia de derivada Explorando deumafunção. Vamosiniciara explorâçáointuitivada idéiade delivddopor meioda idéiade votioçAo Consideremos o gráfìco:
Ì
t
que,quandoa variávelindependente x "passapor\evaiatéx1", o conjuntodevaloresdaÍunçâo Obseruemos 'passapor f{xJ e chegaatéf(x,)".chamâmosde voiaçãomédiaddÍunçáonessetrechoo quociente: f(x,)- f(xo)
Exemplor que Seavariávelindepêndênteé o tempote S é o espãçopercorridopor um ponto móvelnê55êtempo,temos Séfunçãodete escrevemos5- S(t),que éa equaçãohoráriâdo ponto materialemmovimento.
Entreos instantesto e tl, o ponto materialse deslocade s(to)até S(\). A variaçãomédiada funçãoS nesse 1Úecho oú avelocidade médiacom que o ponto mâterialsedeslocaentreto e tt é dadapor: s(t,)- s(to) v _ observemosque,fìxandox./ a vâíiaçãomédiada Íu nção,rêlôtivamenteà variaçáoda variável,náoé constante e dêpendedê xr, Assim,tomandováriosx1 câdâvez maispróximosde \, é possível(masnem sempre)que essa variaçãomédiatêndâ a um determinadovalor.Ocorrêndoisso,no limite,quandox1 tende a xd a variaçáomédia tende a um valor quê será chàmadode taxa de vaiação instantâneano ponto \. À tãxa dê variâçãoinstantâneãdâ por: íunçãono ponto xochamaúos de deivada daÍunçáoÍ em Íêlaçãoà variávelxno pontoxoe Íeprêsentamos
. í{xJ numalìnguãgem maisconvenìênte. Vamosescrevêìà ' FazendoÀx: f(xr) f(\), temos: xj xoêÀy:
pelarazão: Avariaçáo médiadêumaÍunçãoédada ^y Ax
_ f(x J- f{xo) _ f(xo + Áx)- í(xol ax Xr Xo
xl variâôdoparaseaproximârde\, vamoschâmá-loapenasde x, e a variaçãomédiada Comoconsideramos passâ, função entâo,a serdadapoí: Ày Áx
f(x)
f(xo) _ f(xo + Àx) f(x0) (taxade variaçãomédiada funçãono intervalo[xo,x]) X xo
da funçãoÍ no ponto xooua derivadado íunçãoí emrclaçãoàva ávelxnoponto Assim,a variaçãoinstantânea xoé dadapor: f'(xo):
Âlimo^y Àx DizerqueAx -ì o é o quedrzêr x r xo mesmo
r lx^l =
í(x) f(x^)
,.
llm x+ xo
xo
x
ou,ainda:
jqll
Í{xo) .limolq!-érl Exemplo:
No casodo ponto materialemmovimento,quandotr tendea to,a velocidademédiapodetendera um valoÊ no instanteto. limiteque daráa velocidadeinstantânea toeÀS--S(tr) sko),Lemos: ânr er ior. tazendo Át t Andlogdmenreao exemplo
Avelocidademédiaédada pelaÍâzão:
^s Àt
_ 5(t,) s(to)_ s{to+ t,
ro
s(t") ^t)
Comofìzemost1tenderã to,podemoschamá-loapenasdet, e a velocidademédiano intervalodetoa t1édadâ, então,Dor:
5(t)- s(to) S o + À0 S(t")
^s Àt
t-to
Logo,a velocidâdeinstantâneano instânteto é obtida quândofazemost tenderâ to ou, equivalentêmente, por \,,ìa velocìdadeinstantânea no ihstanteto,temos: quandofazemosÀt tenderâ O,Ponanto,representando v-,= 'i
lrm
r'-D
v-=
rrm -
rÌ-à
Àt
s(t)- 5(t")
.. v ,,, = l l m -
t-to
ou,âinda:
.. s(t^+ Ât) - 5(t.) v,. = ltm At
então,quea primeiraidéiade derivadade umãfunçãoínum pontoxodo seudomínioé avâriação Concluímos, que a funçãoÍsofÍeem relaçãoà vaíiávelxnum pontoxo.Quandoessavariáveléo tempo,a derivada instantânea de um ponto materialemmovimentonum deteÍminadoinstantet^ é â velocidadeìnstantánea
l. Quaéa dervadâ datunção f[D = x3noponto\ = 2, Resolução: pÍocuÍando Estamos t'(21e teÍnosxo: 2,f[x] = x3. Então: f(xì=rl2)=23=8 -' : (2 + Lx)3=, (xo + Àxl = ft2 + ^xl+ iÂx],] = = i2 + Àx)[4 + 4^x = I + 12^x+ 6[^x]'+ [Àx)3 Portanto: _'r t^or fr2ì = lim r_o ^x
ft2 +
:
lrÍn
=
ltÍn
+ 8Âx+ (^xl':l l5 liÍn lls
=
=
8Àx+ r^xl' ax
:
hm 8+
m
^\=8+0=8 Podernos probeÍnade outramâneiÍa: Íesolvefesse ta t"i x-3
f f3ì = trm xr3
x'+2x . =|lrn-=||ín x-3
ft2l ^xl
:
( 2+ L x )3 -2 3
+ Àxì Âr+0 ^Ìf8 ^x
15
m
[x':+ 2x) ]5 tx
3ltx+ 5l tx 3l
m fx+5ì=8
Logo,f'[3] = I
l + r 2^ x+6 tÁ À )':+t^xl r/
=,-
AX
:
Âín2+6^ {+t^r)'z1
_ ;:t
=
o
3. Ca,cJ \lmportoxo 0. e a d"riv€da aê. rç;o.,j Resolução: Esboçándo o gúÍco daiunçãoí[x) = x , vern
Â1
liÍn l2+
hÍn 6^x+
tm fò(1':=t2
'í *- 'í ! . _ _ - - -
Logo,f'Q)= 12. Podenros taÍnbéÍnresoiveressepfobemade ouÍâ maneira: í'txJ = -
hm 'r"r
xixo
'r^or
Í-
x-xí
n
ìs" r-rn Í'f2 l:
m ,-2
!r ^
- lrÍn _
Í\ì ., - Írnì '.',
'!-r= 2
tm ,-2
^
( x- 2 )(x'+2x+A )
ln ' ,
(x
2)
l i n 2 \'
"
n
"= 2
=x mr[f+]+4)= L -4 -q -1 -1 2
Loso, f'(21- l2 2. Dererminef'[3), quef[x] = x, + 2x. sâbendo Rêsolução: \=3 i [xJ=ít3 ]= s 'z+2.3=15 = t3 + ÂxÍ + 2[3+ ÂxJ: f(xo+ Âxl = f[3 + ^x] = I + 6Áx+ (Âx)'z + 6 + 2Áx: 15+ 8^x+ [^x), + r'[3]= liÍn Íi3 Àx) fi3)
x
0
_
" r-" Y| l- n
':Il
x-0
lâ vrmosquenâoexisleo mte da íunçàog(x) = IL quando xtendea 0,poisqLrando xtendeâ 0 pelâd rcÈ ta esselimiteé igualâ l; quandox tendea 0 pelaes qu€Ída, eleé gua a -t.
Í
vadas Gpírulo8. lntmd!çãoàsde
siÇ=si2l=2, 2.2+5= 5 st\ + À0=s(2+^0 = t2+ Át),- 2[2+ + 5 : ^t] : / + 4Lr+(Lt),- / - 2Àr+s: lÀr)'z + 2Át+s
Comoo I m te à d reitae o imte à esqueÍdasãodifercnles , c onc - ho s q u e ;o p \i (Ìe o | T --r.OJ s el a, nào e,i).p o rif
ír1 ì - ífn ì -i-:- e, poÍú-,o. -ão ê\ste
Portanto:
í't01.
v.., =
da lunçãof[x] = x no Logo,nãoexste a dedvâdâ qLra 4- UÍnpontoÍnalerals€ movesobfelma traletóÍia = quersegundo hoúraS(t) t'?- 2t + 5,eÍn a equâção qLreS é dadoernmeÍos[rn]et é dadoemsegundos no Ìns do pontornaterial a veocidâde [s]. DeterÍnine = tanteto 2 s. Resolução: Pfecrsamos deterrninar v =S' . TeÍnos
= =
im
tÍn
sit,+ À0- sttll Àt
(Ào'z+2a+d-l
m
Át Àír^, + rì -"-":1 :
lirn 2=
m ^l+
=A+2:2 Logo,vr!,r= 2 m/s.Assim, a velocdade no instant€ \=2séde2m/s.
propostos Exercícios DetenÌnea defvadadaíunçãol:lRJ Rdefrìidapor: ãJl[x]= 2x+ I noPontox= l; b)f(x)= x'z- I no pontox- 2. quel: R > R é defnidapoÍ DeterÍnine f'[2]. sabendo ltxl-x3-1. queí:lR ) lRé de ,r. DeteÍmnef'[]),seexistìÍ, sâbendo Ínidaporf[x] = x L : UÍnpontomaÌefasemovesobr€umaú4etóÍiasegun hoÍáraS[t] = 2t'z+ I [emqueS é dado doa equação DetemÍìeavelo emmetros€té dadoemseoLrndosl. = cidâdenoÍìstanteÌ 3 s.
a Umapatícua se movesobreumatmjetófiasegundo equaÉohoÉriadadaabaxo [eÍnqu€S é dadoemÍn€' emcadacaso, trcse t é dadoernseglndoslDeteftnine, indcado. avelocdade dâ pârtÍc!1a no instante a)S = 2t,+ l0Ì I noinstantet= 3 s. blS - t?+ 3tnoinstantêt:2s. = I s. c) S = ts + t, + 2t + I noìnstantet v A aceeÍação dâ veocidad€ a é a varlaçâo inslanlânea ou seja, é a deÉ emrelação aotêmpot nlm lnstante L, vadadaveocidadevno nskntetb:arq)= vi,,). Sabendada do queum pontomatedal temvelocidade varlável = 3t'?+ I, deÌeftnine peiaexpressâov eÍn suaacelemção,
â equação rj, llmapaÍtÍcula €mInhâÍetasegundo sernove e t ernsegundosj. hoÍária S[t] = 3t + 2 [S enìmetros Detemnea veocidadeda partícua no nsÌantet = 2 s
âJt= ls; blÌ=4s
@À
[;C A interpretaçãogeométricada derivada Jáestudamosem Geometriaanalíticaa inclinaçáoda reta.Vimosque,dadaumarêtar, seucoefìcienteangular 6=
Y:-Y'
em que Pl(xÌ,yr)e Pr(xr,yr) sâodois pontosquaisquerdaretaÍ.Châmandodeoo ânguloque rforma com oeixo x, o coeficientem é a tangentedecqou seja: m=tga
. Considerâmos d à paÍìr do eixo x, em diÌEção a r no sentidoanti-horário. . Não exìst€m quandor é paràlehao €Ìxo y.
232
. (onrexro MatemátÌo &Aptk.çõ6
Vejamos,agorã,o que vem a seta ìnc\naçãode funçóes(ou de curvas que as repíesentam) em um deteíminadoponto.Intuitivamente, a inclina= (xo, y de Í(x) (xo, em f(xJ) é à inclinaçãoda rcta tangenre em f(xo))ou ção simplesmente em \.
porexemplo,ã inclinaçãoda funçãof(x): x,, ou da curvaquea repíes€nta, Consideremos, no pontoxo
A inclinaçãoda secânteAB édadapor: f(xo I h) -t(Ç {xo rh) xo
_ txo I hrr h
xá -
2xoh h -2xo_h -r'
À medidaque B vai se apÍoximandode Â, ou seja,quandoh vaitendendoa 0, a retaABvai se ãproximando cadavezmaisda retatangentetem xo.lssosignifÌcaque â inclinaçãode f(x) : x, em \vaitendendo a 2x0. Numalinguagemmaisprecisa, escrevemos:
,.
f(x"+ h)- f (x . ) :
(2xo+ h) :2xo hlimo
queé exâtamentef'(\), a deíÍvadadafunçãof no pontoxo(comâ diferençadequeaqui(hâmamosoacréscimode h em lugardeÀx).Portanto,existindof'(xo),existÍráa íetatãngentee: f(xJ:tgd que é o coeficienteangularda Íetât, tangenteao gráfìcode y = f{x) no ponto {xo,f(xo)).Assintâ equaçãoda reta tangent€ao gráfìcodey: f(x)no ponto (\, f(xJ)édada por: ,,,.-,-
Y
f(xo)
ou:
y - Í{\): f'(xo)(x xJ
Obsêrvação:Paraôdmitirretatângenteem um determinadoponto,o gráficoda funçãonão podedar"salto"(não podeserdescontínuo nele)nemmudârbruscamente de dìreção(formar"bíco,,) nesseponto,Nãoâdmitemtangen, teem \osseguintes gïáfìcosde funções:
(apíüloI . lntmdudoàs dêíivadas
Retasparalelasao eixoy nãotêm coefìcienteangular,pois m : tg 90onãoestádeÍìnido.Assim, sea tangente ao gráíi(o de umafunçãonum ponto é paralelaao eixo y, ã funçãotambémnão admitederivadanesseponto e dizemosque náo exìstea tangenteao gráficopor esseponto. Sãoexemplosdissoas sêguintesfunções,nos pont05xo indicados:
r 5- Deterrììine â equâção dâ Íetatângente ao gráÍcoda lunção: â)f(x) - x'?no pontoxo= l; b)f(x) = x3no pontoxo= 2. Resolução: al ítxl = x'?no ponto\ = l A equaçãoda rcia tangenteao gráfcode f(x) = x'z noPonto\=1édâdaPol
Logo,y = 2x I é a eqLrâção dâ rctakngenteao gúÍco de f[x] = x'zno ponloxD= ] b) f[x] = x3no pontoxo= 2 ll2) = 23:8
f't2l= hrqof t 2 + h l-í t 2 l Írr+ hìe-Á ì
y ltrl = f'o)tx rl
Comoftll = l'?= l, bastacalcular f'(11: Í,r. ì '"y
t,m h _ :o
+ f0l :
\4 0 ' , !
t^ r r
= lim [r2h+6h'?+hr]
_
h
h
(r+h )-ftD =Ím
hlimo
( í +2h+h"
l)
le+r)
í t l2 + 6 h + h ' l
Poftanto: y-l(21 = íi2lix
2)ëy
8-121x
2)<)
= hlì m o[ 2 + h ]= 2
y
ftll - f'tlltx lJ {-y - I = 2tx- 1l<ì
Logo,y = 121- 166. fetatangente ao "Ouaçâoda gÍáÍcodeÍ[x] = xr noPonto xo= 2.
I
L Dadaa íunçãof: R + R deínidâpor f(x) = x'?+ 1, a)í'12)l b)a equaçâo da retatangente ao gúncode f[x] n0 = 2 Ponto\
9, Dadaa fLrnção i: lRJ lRdeínldaporf(x) = 4, 6stemlne: a)l'( 2)l bl a equaçãoda rctaiangenteao gÍáÍìcode f(x) no poflo
234
l\,falemftka &Aplìc!Õej ' Conlexto
10" Dada a tunção f:lRr RdeÍnidapoff[x] : x'?- 2x+ I, deteÍmnea equação da rerarângenÌe aográfcodef(x)no pon Ì ì" Dadoo gÉncoì al det€Ímnea eqLração dâ fetatangente ao gÍáÍìcoda iunçãoftxl = af no ponto queno pontoxo= 0 nãoexisteí'[0], ou selâ.nessepontonãoexistea bl veÍifÌque portantonãoexist€a Íetatang€nte. derivada;
derlvada ffi Funçâo ConsÌderêmos umafunçáoÍcom domínioE e l(l C E)o conjuntode todososx pãraos quaisexistea derivada que f'(x).A função â câdax € lassociaa derivadaí'(x)échamadade funçião defivodd.Aexpressãode Í'é dadapor:
fO=n,'t.!IjjL:l!9.
quef(xl = x'z,obtenha 6. Sabendo a íunçãoderivada, ou sjnìp esmente a dervacla, f'[x]. Resoluçâo:
li" t = nrt ! ., 9 a Ï A = n g ,
Il\'z+ 2Nh+ h':]
^:l
=hmo[2x+h]=2x Logo,f'(x) : 2x Sequiséssemosf'[]l,teÍíarnosí'[]l=2.1=2E.sequiséssernosf'[xi],reríanìosÍ'(xJ=2x0. 7. Detefinine a defvadadafunçãocosseno, ousela,deÌemine í'[x], sabendo queí[x] = cosx. Ems€guida, deteÍmine a equação daretatângente a f[x) no pontox, = a Resol$ção: f'..x): liÍÌì-
f(x + h) ftxl = costx + hl lrTn
cosx
[[cos| .cos h - sen{ .senh)
cosx]
h
= r g msx.[cosh ,I
]l
senhl
cosh-l
rì I [:a-
h
senh .. .. l rrn senr. l rrn h+ o l---;íi ì+ o -th
= cosx. 0 senx. I : -senx Logo,f'[x] = senx Equação da Íet€taìgenteaogúÍco def[x] no pontox,: a:
../xì \4'
.í,t ì \ 4, /
Jt
^4 "4
2
"2E
limo ì:ï r = 0 ê umaàplici4o h do limitefundamênhl trigonométrìco h
ÌIto i9!Ix : I veiao capÍtuto anterioÍ
215
CàDítulo 8 ' lntÍodu(aoà5de,ivadd
aogÉfcod€í(xl= cosx noponLogo. a Íetatangente tox^= aé d adapol rtxJ= í'txoltx- \l <-
y
vftì:Sftì=
"E 2
l,
<3V= '
2
\4.'\
4J
.tE(
nìl<+
2\ X+l
!ãì
l. I
2)
= [2(t+ h]3+ [r+ h] + ll [2É+ t+ ]l: = 2[t3+ 3t'?h + 3th':+h]l +t+ h + I 2rl -t I = 6rrh+ 6th,+ 2h3+ h 6 f h + 6 rh ' + 2 h ' + h vftl = lirn :
Porcnro, f[xJ = s€nx e a rctaprocurada é '
J , x+l -(+ -- l t E ". ' r E ì r 2
|| I
stt+ h) - stÌl
str+ h) s(rl=
4)
(lr"
hrn
Como
a ì-
* "' - Í f(4'/ r ì = fírÍ^ '
Resolução: que. veo.rdad";dddao"" d ri..d "l Lerbrâ10, de Sttl,o! seja:
llm
{
h (6 t ' + 6 rh + 2 h ' + t l
= liÍn f6f + 6Ìh+ 2h'?+1l = 6t?+ l Logo.v[t] = 6t'?+ l. bl PfocuÉrnos a veocidade no instante I : 2 s rstoé procurcmos S'[2] ouv[2] Podânto: vl2)=6 2'1+1=25
2)
Vejao gÉfco:
. L l d n o ', d 1 | ê
Logo.d\êocaãd"orpd
;
de 25m/s. olr cl  aceeração é dadap€ladervadâdâvelocdBde, s€jâ,a[t] = v'[t] ÂssÍÌr
airl = v'ttl : hm r::ri: .- I6tr+ hÌ + rl [6r + ]l h
t2th+ 6h': a obedecen 8. llmapadícuas€ÍnovesobrcuÍnatrajetór do à equação horária S(t) = 2t3+ t + I [S dâdo€fir mçtrose t dadoeÍnseglrndosl. Determ ne: emlunçãodoternpo; a) afunçâoveocldade no instante t = 2 s; bl a velocdade da p2ÍícLrlâ c) a Íunçãoaceleração emíunçãodo ternpo; t = 3 s. dlâ âceleração da panícu a no instant€
fítr2r+ 6hl m-=
h+0 Ìì = mo[]2t+ 6hJ= l2t h
r,
Logo,a[i) : ] 2t. dlA aceleÍação no instante t = 3 s é dad, po v'[3] ouat3l: at3l=12.3=36 Logo,a aceeração no insiante t : 3s da paftícula é de36 m/s,.
propostos Exercícios .. DeteÍmneasíunçôes deÍivadas dasfunções: al (xl = x3 dl rnixl = !ç bl ?txl = -2x'? c) g(x) = xr + x1
elhtxl:x'?+l
íl ntxl= I
ì .1, Usando o exefcíco anteof,deterrìrine: el h'tol a)Í'Cl) cl s't2l
b){'(-r)
r
I
dl m'ta)
Íl n'(3)
derivadas dasfunções: Determ neasfunçôes clg[xJ=1+senx a) f[x) : senx dl {[x] = I - cosx blh[x):2.cosx
15" Usando o ex€rcício anteÍoÍ,determ ne
"[+) ,)h'l+.J , "(+) cl s'tol
Ì E, Mostrcquea dervadadafunção: alf:lR ì lRdefnidaporf[x] : ax + b [emquea e b são númercs reas,a I 0) é iguala a; ì lRdeÍnidapoff[x] = k paraqLrâlquef bl constantefllR x€ R.ólguaa0; pofí[x]= xéiguaa l cJidentdadeÍ: RJ Rdefrndâ
Mãteíníi(a. Conterto &Âo|i.âder
de algumasfunçôeselementares [' JDerivadas Vejamos,agora,comosáoasderivâdâsde âlgumasfunçõêselementares.
Derivada da função aÍim: f(x) : ax * b, a e lR, b € lR Considerando f(x) = ax + b, temos: f(x
h) f(x) hhí-
à{x+h)-b-(ax-
b) _aí
,
Entáo: f'(x)-
Í
lim a-a
que: Logo,podemosescrever sef(x) = âx + b, entãof'(x): a Exemplos: l'q) Sef(x) = 2x + 3,entãof'(x)= 2. 2q) Sef(x) =
:-x + 5, entãof'(x):-
^.
Derivadaa. funçao iUentiOaOe: f(x) - x SenafunçãoafimdadaanteíioímentefizeÍmosâ:1eb:0,teremosafunçãoìdentidade(x)=xepodere sef(x) : x' êntãof'(x) : l
Derivada da função constante: Í(x) : k, k C lR : a = 0.Assim, Senafunção aÍimf(x):ax+ b fìzermos a :0e b: kteremosf'(x) sef(x): k entâof'(x): 0 Exemplos: le) Sef(x): 8,entãof'(x):0. 2q) se(x) : 1ã, entãof'(x)= o.
Derivada da função potência com expoente natural: f(x) : x', n C lN ConsìdeÍemosafunçãoÍlR+lRdefinidapor(x):xi,n€lN.Aderivadadeíédadapor: f(x I h)
,. '-
hJ o
f(x)
(x I h)"
, h)o
h
h
Usando o desenvolvimento do binômiode Newlon,temos:
u'r,,' ínì" í"ì*' \0/
"
\r/
n -í"ìu. --...*í rìu " í"ìn\2 / \n / \n,
nr , " "'- í n ì r , , " . , - . . . , í " Ì " o n \2/ \" r, Logo:
" .n ]- "
.[" i ,) " ' ri*l = l'9"'[' "."*"'.[l)*o'.... h
=,,,'L".' '
I
/n\
/
l l trx '-...-l \ 21 \n
ô
\
I
' l- nx lh l J 'x.h" l
'
x
Portanto,f'(x) = nxn ì. Assim, 1 sef(x)= x",n € lN,entãoÍ'(x)= nx"
Exernplos: 1q)5ef(x)= t', entãoí'(x)= óx5 2r) Sef(x): x'z,entãof (x): 2x.
Derivada da função cosseno: f(x) : 6s. x rcsolvido7 Ítostramosque: Noexerc[cio seÍ(x)= cos& entáof'(x)=
senx
Derivadada função seno:Í(x) : sen x SeÍ(x) = senx, então:
t "n ( " +
ri. f l* l: h-o
l) h
rhìJ sent-
t" n = ri ." n- u
:
llm
..os í2x+hì . t_ | = h\2./
t
Íh ì
-
ti.
h- o
,l n
t
2/ . ti,n .orÍ '*-j h-0 \.
2
l- t .o.
)
"
-.ot t
Logo: sef(x)- senx,êntãof'(x)= cosx
: Derivadado produtode uma constantépor umafunção:g(x) c'Í(x) comog(x)= c. f(x),temos:
c . Í(x hì - c f(x) -h
s,G)=.L'1,,eg+4:I'T" =..
ctf(x+ h) í(x)l . i'T" h
I[ÌIL-J.Í4 =.. 1'1*y n1;,' se9(x)= c ' f(x),entãog'(x) - c Í'(x)
Exemplos: 1e)Seí(x)- 2 senx,entãof'(x):2cosx. 2e)sef(x): 3. cosx,entãof'(x): (-3x-senx): 3 senx,
Derivadada Íunção logarítmica natural (base e): f(x) = 1n x quê: demonstrar Êpossívêl sef(x)= ?nx,êntãof'(x)= ;
l
obtidasâtéaqui: dasdeíivadas Vejaoquadro-resumo
Funçã í(r): ax + b(a,b € R )
DêÌiv.dâ f'(x) = a
íx)=x (x):k(keR) f({ = x" ln e lN)
r'(x): l
9!t =lt!x) (x )= { n x
q-EI'= !li4-
f'(x) = 0
=+ í(")
238
MàremiG . ConteÍto I Apkaçóej
da retatangente à c!Na: 9, ÉnconÍ€a equação al y = xt noponto xo= l; bly = ín x no pontoxo= 2 Resoluçâo: al y = x5nopontox! = l
r ' l' x ì = I = í r.'z ì = l ,'
Âssm,no PonÌoxo= 2,temos: \ -íí2'-1.2)r\ +v=lx+fínz '2
Itxl =x5=ftxJ = r(r) = 15= I f'txl = 5x4=f'trl =5 la=5 Noponto[], ll, t€rnos: I
lì ^
ì-j
2
?)-\
t ?
\
lì
ogo. a eq d!ào da e.d l"rgpnle: L,1d v i.
ì-
4 +y:5x Lagoa equâção da retâtângente à curvay = x5no ponio[], ll é y = 5x 4 bly=lnxnopontoxo=2 í[x] = {n x
2'L
noPontoxo=2éY= x+(?n2
fn \
1l
= 2? lO.Qualé a derivada dafunção í[x] : x3nopontox0 Resolução: Í'(x)= 3\'-Í'(2) = 3.2, = 12
ae! gqlyqse: ijP_te[figqgqgoperatórias que admìtiremos Vejãmos, ãgora,ãlgumaspíopriedades operatórias das derivadas, veÍdãdeiíâs sem de-
Derívãdade uma soma (ÕudiÍerençâ)de Íunções Aderivadada soma(oudiferença)deduãsfunçóesé iguâlàsomô{ou diferença)dàs derivadasdessasfunções. pontoe: Ou seja,seíe g sãofunções deriváveis no pontox,entãoÍ+ 9 (ouf g)tambémé derivávelnesse
=f'(x)+s'(x) (f+ s)'(x) :f'{x)- 9'(x) (f- s)'(x)
que 11. DeteÍnine f'[x),sabendo 7-\-r ?'' .lrLl d)'tl l blÍ[x]=lnx cosx elf[x):ax':+ bx+ c cl í[x] = 3xó Resoluçâo: aJf[x]=x'?+x+l
Í'[x]= [x,+x + ]l' = [x,]'+xr + l' = :2x+l+0 :2x+l Logo, f'[x] : 2x+ l blf[x]:{n x-cosx l'[x] = [{n x - cosx]' : [fn x]' - [cosx]' =
Porbnto, f't\l =
+ s€nÀ
cl f(xl = 3x5 = 3. g[x] Nestecaso, k = 3 e g(x)= x5.Então,f[x)
Logo: I'ixl = 3,s'tx) = 3.5x'= r5x' Ou,ainda: t3x5)'= 3tx5l'= 3.5x4= r5xr Logo,f'(xl - I 5xr dl í[x) = 3x'?+ 2x + ] í'txl = t3x'?+ 2x + ll' = t3xl' + tzx)' + l' = =3(x1' + 2x' + 1' 3. 2x+ 2. I + 0 = 6x+ 2 Logo.f'(x) = 6x + 2 e)í[x]=ax'z+bx+c f'txl = tâx?+ bx + cl' = tax,l' + tbx)' + c' = = am' + bx'+ c' = â.2x + b.l +0=2ax+b = 2ax+ b. Ponanto,l'[x] ObseÍvaÉo
O I opj, pnlF a o .
"r
oa ,pld ldnqe-
Ìe à turnção qladrática f[x] = ax?+ bx + c nopofto xoé dâdoporí'[xJ = 2axo+ b
(
Drtrl=Ì
r n" +z.co s,
Logo,r'()J=-
ru*r=[].2"-rz.*.,)'= =[*
-
J
= L
3x
*-;'*,''-",,'
&,,
2,,o.'r
:
*
2.sen\
I 2. Determine o co€ÍÌc €nteangulaf daretatang€nte à cLr f= l vay = x3+ x, + x + I nopontoxo Resolução: 0 coefc enteangular é dadopofí,(x0). Assm: ftx) = tx3+x, + x + ll,= tx),+ ix1,+ (x),+ 01,= =3x,+2x+t+0=3x,+2x+l
"
Logo Í'txJ =Í'fl) =3. l,+ 2. I + I =3 +Z+ I = 6 Poriânto, o co€ÍcÌ€nte anguaf procurado é iguala6
2 . . "n "
Derivadade uÍn produtode Íunçôes A deíivãda do produtodeduasfunções é;9ualàderivada dãpdmeira funçãovezes a segunda maisa primeira funçãovezes a derívada dasegunda. Ouseja,seÍ e g sãofunções derìváveis nopontox,entãofg tambémé derivá (fS)'(x):f'(x)s{x) + f(,s'(x) Exèmplo: Sef(x): 2x + 1 e g(x)= xs,temos: . (fs)(x)= 2x4+ x3+ (fs)'(x)= 8x3+ 3x: O . f'(x):2 e s'(x):3x2 . f'(x)S(x) = 2xre (x)S'(x): (2x+ 1)3x2 = 6x3+ 3x, . f'(x)g(x)+ f(x)g'(x): 2x3+ 6x3+ 3x2: 8x3+ 3x, O Comparando que(fg)'(x): f'(x)g(x)+ flx)g'(x). Q e @,ver;ficamos
bl ítxl = tx, + 3x+ tlifn x) '['] tJ 3, I rr\ | í\ 3, = [ 2 r+ 3 ] f n r + [ x ,+ 3 (+ lì -: =
tj í.ì.1
=2x.{nx+3.{nx+x+3+L o q oÍ t x l = 2 { í n 1 + 3 . (n x + ì + 3 + -
üerivaclade um quocientede funções A deíivâdado quocientede duasfunçõesé igualàderivadado numeÍadorvezes o denomtnaoormenoso nu_ meradorvezesa derivadado denomìnador, e tudo jssosobreo dênominâdorelevadoao quadrado.Ou seja,sefe 9 sãofunçóesderiváveisno ponto x, com g(r 10, entãoI tambémé derìvávelnesse ponto e
í r Y,.., flx)s(x)- íx)91x)
ltl'"'-
G("t--
t
Matemíka. cont*to&Âplkaçõe!
240 Exemploi Sef(x)= 3x'z- x - 10 e g{x)= x - 2,parax + 2,teúos:
_1 10
. í1ìt'.r= \s./
. f ' ( x) :6 x
;
,
(x-2)(3x+5) x-2
: : "+ s*{ !) ' 1 ,,1: 3 O \s,/
l eg '(x)=1
: (3x'z . f'(x)g(x): (6x- lxx - 2): 6x':- 13x+ 2 ef(x)g'(x) - x - l0)l : 3x'z x
l0
: (x - 2)'z: x2 4x + 4 . ts(x)1':
t
Logo: f ' ( x ) g( x) - f( x) g'(x)_ (6x'z-13x+2) (3x': x
Is(x)]':
1 0 ) _ 3 x 2 -1 2 x + 1 2 x ' -4 x + 4
3(x' 4x + 4) : 3 @
= f'(x)s(x)-f(x)s'(x) (De(iD, compãrando veriticamos aue ls(x)l' llJ'rxt
que: f'[x],sâbendo 14. Determine
Logo,í,txl =
a)ftxl -
cl ÌL* J= tgr= -
b)(x) = IIa c) f[x] = tg x d) f[x) = cotgx
l-{nx
senx
,,r..\ [senx]'cosx senr ' [cosx]' '.,. .""\
Rosolução:
cosx.cos x - senx. I senx)
ã)(x): -
=
x'tx+ll f ' G ) = t - --::t= tx'zÌix+ì [x + ]1'? 2 xCx+t)-x'?[]+01 [x + ])'z x'z+2x [x + ]l'
tx + rl':
cosx o lÌ L x j= c o rg x = [cosx]'sen x
cosx . [ser x)'
I senx)senx - cosx . cosx -sen',x- costx
.,.'",_
=secrx
Portanto, sef[x] = tg x,entãof'tx) - seCx
x(x+ 2) tx + llz
= *t^+1) rooo.rr^t (x+D.
l.
sen'x +cos'x
t{n x)'x {n x . (x)' * = __:
l.x- {nx.t
= -cossec,x
l-{nx Logo,sef[x] = cotgx, entãof'[x] =
cossec'? x.
Qpítulo6. lnÌroduçáoàsdeíivadãr
241
Derivadada Íunção composta
5eÍéderjvávelnopontoxegdêrivávelemf(x),entâoaíunçãocompostagoféderivávelnopontoxe: h'(x): (s of)'{x): s,((x))f(x) Exêmplo: Dadasasfunçõesf(x)=x'z1eg(,:y,,vamoscalcular(gof)'(r,depoìsg'(f(x))í,(x)econíìrmârquesã . (go fxx): g(flx) = g(x,- 1) (x2 l)2: x4- 2x, + I + (goD,(x):4x3 4x f'(x)- 2x 9'íy):2y g'((x)): s'(x'?- 1)= 2(x'? l) : 2x? 2 . s'(íx))í'{x)= (2x'z 2)2x:4x1 - 4x Portanto, temos(9ô 0'(x)= S'(flx))í'(x).
l
que: 15. Detemne h'(x),sabendo a) h[x] : sen(2x+ rl b) h[x] = sen[dnx] Resolução: al h(x)= sen(2x+ lJ = f[xl = 2x + I e g(yl = seny Nestecaso,y = (g o e h(x) D txl.Âsslm: Í'(x)= l2x+ 1)'=2 g'(Y)= cosy = cos[2x+ 1] Portânto: h'tx) : s'o/lf ixl = cos(2x+ 1) .2 =
bl htx) : sef iín x) Nestecaso,y=l[xJ -{nx
e g(y]=seny.
í'íxì= l S'[Y)= cosY= çes64n*1 = costfnx). L= L.cost{nxl h'txl= s'tylí'txl
-2.cos[2x+]l
I I
Derivada da função inversa
\
queadmiteinversa pontot comf(x)10, então: Seíé umaíunção eé derivávelno
= (f )'(f(x)) -f r'IxÌ pory = y(x),ã suãinvêrsa Ousejâ,sêâfunçáoérepresentada serádadaporx = x(y).E,assimi 'I
= sex: x(y), entãox'(y) tGt
MaremÍkà. (onreÍto &ldi.àçd6
Exemplo: Afunçãof(x):3x - 6é btetiva.Logo,existeí !, inversa deÍ, Podemos dêteíminâr f-'(x)fazendo: x=3y-6+3y : x + 6 + y : + x 1 + 2. ãx Agora,vamoscalculãrê compãrarf'(x)e(f r)'(x): . Í(x)= 3x 6+ f'(x):3
3
+2
Temos,entáo,f-r(x) :
.(f j)(x)=
x +2r(Ír)'(x)=: 33 l . Então,(f ì) íx) f,(x)
= 2x+1,det€Ímne (f r)'(yl. 16. Sef(x) Rêsolüçâo: y = í.a\)= 2x+ I =y'(xl = f'(x)= (2x+ ll' = 2
17. Sey= v2,6"1"-1n"derivada dasuanversa, " Rêsolução: y = x, .ì y,(x)= 2x
6- 1 r u1= l = l - - '' Í'(xl 2 Deout|aTnane m,temos: y = 2x+ I +y'(x) = 2 y = 2x+ I é dadapof A inversa dafunção vl 2
y_\,+\_Vy
--
-rt y t _
I
vt_t
-
I
I
2 r- Z , l;
ll
--
v'i'l 2 q!e,sedeÍivarmos observe a função x = l]-1 em 2
= ]. íelacão a v. obteÍemosr'fvì -2
&\
hifl Derivadasde outrasfunções Função logarítmica: Í(x) : |sg. 1 que,sef(x) : {n x (bâsee),êntãof'(x)= 1. Âgoraprocuramosf'{x)quandoÍx)- lo9"x. Recordamos Fazendoa mudançade base,tem05l loq- x . -" J log_x - log,ê . log"x loo x'" loô ê
Então: f(x): log"e. log"x
Usando a derivada do produto, temos: Í'(x) = (log" e)1
Ouseja:
,t'
qtilqq8 . Ìnrrcdução àsdeÍivadó
243
Funçãoexponencial:f(x) : 6r Sabemosque: f(x) = ar
r:-f.tog"e.f' tx) ou seja: f{") f'(*): , lo9" e comof(x)= a'e
log. e -L
- loq-a,temos: f'(x) = ar ' logêa : at ln a ''seflrdl-=al, ëntãof'(x)= a&,logêa = ax'ln a .
Obs€rvação:Seconsiderarmos o côsoparticularf(x): €È,teremos: Í'(x)=er.lne:ex.1=ex Ou sejal f'(x) : e' seÍ(x) = êx,então í{x) = er
que: neh'[x],sabendo 18, DeterÍn = âl htxl os"tx, + rl b) htxl = e' Resolução: al htxl = ogatx, + ll Ìmta-sede umafunçãocomposta. Assm: f[x]=x'z+1
ogae.
sol = eY
í'(x) = 2Y
ll
g'01 = -:. og"e=::--:, og.e y'ÌLrJ Então, vem: 't\ì - ...loq e. Í'ri - _-.log. ÌtYl r'+l 2x x':+l
2x
bl h[x)= e" T dtaseranoen oe - nâ'dnFo corposta.Assr: v=Ítxl=x'z
sty)= os"Y f'txl= 2x
\
L0g0,nuJ=-
e.2À
s'tyl = eY Entào, vern: = h'ixl g'tylí'txl= e!. 2x= e;' . 2x= 2xe" Logo, h'[x]= 2xer
-r"-
Funçãopotênciacom expoentereal Já estudamosa funçãopotênciacom expoentenaturale vimosque,sef(x) : x^,n ë lN,entáof'(x) : nx" ' Vamosgeneraliza r esseresultadoparal h(x):x"(x>0ecr€lR) quel Sabemos que a'q b =b) er""= x (lembremos
244
. ConÌeÍto&AdG(@s MàretubG
Então: s'
h(x):X"=(eh9":e"
Ìêmos aí umafunçãocomposta.Considèrandoy= f(x) : e.{n xe9(y) = ev,vem' lg'tY; =s' f (x )-o Portanto: h(x) -gív)f'(x)-e"
o
1l
"t-o"
Logo,h'(x)= ox" r,0elR. A5sìm:
-dx'I
;-o'x'x
"';-x"
Í
sef(x)= r, d e lR,x > 0,entâof'(x): o,c ' (a € LR, x > 0)
19. Determine a derivada dafunção:
t^
a)f(x)= Jx (x>O
cf(xf=+
bl ítx) : {f
d)hGl = ./6-
Então: l'lt) =
2x,
1=-2x1=-:2 I
RêsoÌrção:
LogoÌlxl=
-! = x' a)í(x)= ./x Entâo:
Obseveque,âo exlsÍe a derlvada no pontox = 0. = -:x ?
f/rxl = -:x2 22 Logo,f'(xl =
dl htxl = r6os x TÍata-se de umaÍlnçãocornposta. AssiÍn: Y=f[x)=cosx
ll
=.t sor
! 2lx
Então:
qre ro porÌo\ - 0 nio er,r,eddFr[3a". Obse've bljtxl=iÇ=xr Então: f ix- _l=
Portanto:
= h'ixl= s'(y)í'txl
. , (r 3
Logo. Ì Lx J = -.
f'[x) = -sen x I
3
I 3x3
3içt
=
I
,-..",,
l
ut-t
senxl =
=
l
2160sx
senx Observeque no ponto x = 0 nã,aexÌsteaderyada.
z!COS X
mo asderivadas e suâspropriedades: Vamosveragoraem doisq uadros-resu
(x)=k(kelR)
(a,bcelR,a*0) =ax+b(a,belB)
f'(x)=2ax+b
f'(x)= -senx
245
(aDÍülo8' lnÌrodmosdêrivúas
f' (x)= a' .{ n a
(alaulâda Dêrlvada f'(x)+ S'(x)
DerlvadàIndl
li) (f + s), (x)
rl(rl s 14 k.f' (x)
l
6à)(fi), (, ou x : x(,
_.
I
propostos ExeÍcícios íunções: i : . Delermrne ss deÍivadas dasseguintes xÁ d)(x): al í[x] = 100
b)(t = vç +x,
elí[x]=x,,+x
4
x3 clr txl - x;+x 0(xl=xt '18.DeteÍm dasseguintes funçôes: neasderivadas al l[x] = 3xa bl ltxl = {2x' - 2x
.
c)í[x]= l0x3+2x'? 1 dl ítxl = x"
i g, Deterrnineas dâssegLrntes funçôesi derivadâs = = + !x + k cl í[x] senx a)f(x) e'+ ín = = dl f[x) log, x - rg x b) f(xl cosx + a' ':i l. !òFs: dassegur'ìtes DeLernreã. de Naoês = a) f[x] x3 ln x b)f(x)= [x'?+ x + ]l[cosx] cJrLxJ=vx.senx d) f[x] = [ax, + bx + c)(ax + b] ' - Deren neasde tàdèsdassegJ e" ÍLrçõe' a)l[x):2 lnx+5 cosx bl í(x) =x'? cosx k tgx
Detemineasdervadas dasseguntesíunções: a)ftxl:--L cl f[x] = cotgx
b)(x) = I
2x r,:r DeterminJ íLrnções comas derivadas dasseg!intes postas: a) h(x)= s€nx'g dl hixl= {n ivx J bl htxl= logro tx':+ ll el hixl- e'"" c) hS)= .,ç' + x. 'l'
Detemineas derìvadas dassed€sfunçõ€sinversas gu ntesfunções: aly=f(x)- i[ c]y=l[x] =x3+ 1 b)y = f[x] = -x, + 2 dly = ítx): a"
' ' DeÌeÍnne as defivadas f!nçôes dâsseguinies
altul: {i b)(xl - iF I
cl fixl = x5
246
. conlexio&Aolicóes Malemátka
Estudodo comportamentode funcões podemos Pormeiodasderivadas estudarocomponamento de umâfunção:seé crêscente ou decrescente e quaisseusvaloresmáxìmosou mínimos,quandoêxistìrem,
FunçõescÍescentesou decrescentes quel Recordemos . íécres(êntêem umconjunto A C D(f)se,parôquaisquerxr € A ex2€ x, < xr+f(x,)< f(4)
^ntemosi
í{x)é crescentê êm[â,b] . f é dêcrêicente emumconjuntoA C D(f) se,paraquaisquer\e A e x2C À temos: x,f{x,)
x:b
f(x)é decrescente em [â,b] Observemos os seguintesgráficos:
rrxr:ts">oIo<"<]) Íê crescenteem [a,b]
r'(x]:toc
f'(x)=tgd:0
fé decrescente em [â,b] poisem lâ,blÍé constante De modo geral,valea seguintêpropriedade: DadaumaíunçáoÍcontínuano intervalo[a,b] edêrivávelnointeruàlo(a,b),temos: 5ef'(x)> 0em (a,b),êntãoíé crescenteem[a,b]. 5ef'(x)< 0em (â,b),êntãoÍ é decrescenteem [ô.b]. 5ef'(x) = 0 em (a,b),entãoÍé constanteêm [a,b].
I
t
247
Gpítulo8. lnÍôdutãoà5deÍvàda5
emque 20, Dâdáâ função aímf[x) = 2x + 3, veÍinque êláé crescente. conjunto Resolução: qualquef x e lR f'(x)= 2 ãi'(xl > o Parã
Confìrmê anàlisando o sráfìco def:
23. Dadâaílnçãof[x)= x3 6x'?+9x+ ]: al deiemn€ o conjlntoernqueÍ é cÍescenle ou de-
emlR. Logo, f[x)= 2x+ 3 é crescente 21. EÍnqueconlunto f(x)= -2x + 2 é decrcscente? Resolução: qualquef xe R f'[x]: -2 =l'(x) < o para
bl acheos pontosnosquasê tangente ao gráfcode f(x)é páÍalela aoelxox; c) esboce o gúÍìcodei(x) Resolução: aJi(xl = f 6x'z+9x+ I =f'[x] = 3x':- l2x + I S nalde f'[x]
f'(x) = 3xz tr* n ' sâole3. f'(xl > o 0,
Logo,Í é crcscente ern[ ü, ]l U t3 d). f'[x] < 0
Jáeblamos!€rificãrquandoa fündo do le sÌãu€ p€los a quadráti(a eramcrEscentes oü decr€scentes v€rificando s€uscoeficientes. Agoràestamos Por meiodesüa!deriwdas, asduasmaneiras, CompaÍE deÍnidapor 22.EÍnqLraconjunto a funçãoquadÍátca f(x) : xz- * - UU oudecrcscente? "r"r"unte Rosolução: i[x] = x, - x - 6 + f'(xl = 2x l Sinaìdêf'Cx): ffxl>0<+2x-l>o<+x>l -'
2
. f ì ì Í é cÍesceme nointervalo *J. LoSo, LZ. í'(x)< 0 <+2x- I <0èx
bl0s pontosnosquaisa Ìânsente ao gráícode í[x) é pa|aeaaoeixox sãotaisq!€ f'[x] = 0.lstoé í/[x]= 3x'z - 12x+ I = 0<ìx' = I ex"= 3 Poroutroado: f0l: 13- 6.l, + 9.I + I = I 6+9 + I =5 f[3]=33-6.3r+9.3+l =27 54+ 27+ 1= 1 Poldntoala gênrF ooq dr'o aeÍ(\'e pa'EFaao (1,5) € [3, ]1. eìxox nospontosde cooÍdenadâs cJEsboço do gÉico f'(x) postva zeÍo negativa z€ro positiva Í(x) cfescentetí cÍescentey' decrescente \
248
iãtenãti(a.(onterto&ÂDtkacôes
íçeÌríriospÍoportoÜ f;;;;;;;;ì;;;íunçôes oudecrescentes?
abaixosàocrescenres 2€1.Umpontomatedalse desloca segundo o gúico abaixo:
alf[x)=3x+6 bl f[x) = x, 6x + I c)f(x):x3-x'z-8x+l d)f(x): 3x+1 :17 DeterÍnine o conjunto em queas funçôesab€ixosão crescentes ou decrcscentes: al (xJ = e' b)(xl=senx,0
â) Emqueinstantes S é umafunçãocresceíìte do tempo? blEÍn que instântes S é umafunçãodècrescente do teÍnpo?
c)fcxl= {n x
= (x-313 3x: ?8. Consdêreâ fLrnçãoÍ[x] al determinêo conjunto noquaf(x)é crcscente oudeblacheos pontosnosquaisa tangênte âo gráflcode f(D é pamlela ao eixox; cl esboceo gníico de f(x).
3S, Seunrpontomâtefiãl se movede acordocoma funÉo honáÍia S[t] : 2ts 24t,+ 72t+ 3 [S dãdoemmetros e t dadoemsegundos), detefmine emqueinstantes o ponto rnateÍial temveÌocidade: al crescente; bl decrcscentê.
Máximose mínimos Vêjamos âgomoqueé máximoemínìmolocal(ourelativo)de umafuncão. Consideremos âsÍunções: le) f(x)= -x, + 6x - 5
quex = 3 é umpontodemáximo Dizemos locoldef(x): -l 2 Ê )Í( x) :x,- 5x+4
\2'
+ 6x- 5ê queÍ{3):4 éummáximo localdef(x).
4)
Dizemosquex=iéumpontodemlnìmolocaldef(x):*-sr*l"c*f[I) : -2 é umnínimo locot def(x). 3B)f(, defìnida em[a,b]
t
Capítulo 8 . lntÍodu!áoàsd*lvõdõ
249
Pontosde máximolocais:xr,xrex6. Máximoslocâisde f(x):f(x,t f(xa)e f(xó). Pontosde mínimolocais:x1,x!ex5. lvlínimoslocaisde f(x):f(xr),íx3) e íxs). Vizinhançade xo:intervaloabertoq ue contémxo. De modo gerâ|,dizemosque um ponto \ do domínio de uma Íunçâof é um ponto de máximolocalde Í se existiruma vizinhânçade xo de modo que, pârâtodo x pertencentea essavizinhança, tênhâmos(x) < (\), Nessecâso,f(xo)é dênominadomáximolocoldeÍ. Anâlogamente, dizêmosque um pontoxodo domíniode umâfunçãofé um pontodemínimolocaldel seexistir umavizinhançade xode modo que,paratodo x pertencentea essavizinhança, tenhômosf(x)> f(xo).Nêssecaso, f{xJ é denominàdom/nimo/ocdlde í Chamamos tambémde máximoabsolutode Ílx) ou somentemdximode f(x)o maiorvalorque a íunçãoatinge no seudomínìo,e mínimodó5olutodê Í(x) ou somentemírimo de f(x)o menorvaloratingidopoÍ f(x).Nafunçãof definidaem Ia,bl, do gÍáÍìcoanterior,Í(\)é o máximoabsolutode f(x)no intervalo[a,b]ef(\)é o mÍnimoabsoluto dê f{x)no intervalola,bl. observemosestesgráfìcos:
Ne5ses doiscaso5a retatangenteno ponto xo é horizontal,istoé, seucoeficienteangulaÍé iguala 0, ou seja, = f'(xô) 0. Observemos tambémque \ é ponto de máximolocalnum exemploe ponto de mínimolocalno outro. PodemosenunciarentáoumâDroDriedade. 5e umafunçãoÍdefìnida numavizinhônçado po.to xofor derivávelem\e\for ou de mínimolo(al de í entáof'íxJ - 0.
ponto de máximolocal
que a recíprocanão é verdâdeiÊ,ou seja,f'(xo)= 0 não acarretaque xo sejaponto de máximo Observemos localoude mínimolocal. Exemolo: (x) : x3+f'(x) :3x, âÍ'(0):
3 .0, = 0
Masx^:0 nãoé oontode máximolocalnemdê mínimolocal.
Maten;ÌG.(mreÍto &Apkõde5
Determinação iocais de máximose rnínimos Um ponto xotalque f'(\) = 0 é chamadode ponto.rÍticode í Vejamosagoraumapropriedadeque pêrmitiráindicarseum pontoé dê máximolocaloude mínimolocal. Considêremos uma funçãof defìnidanuma vizinhançade \, admitindoaté a derivadade segundaordem (f"(x))e tal quef'(xo):0. Assim . sêf"(xJ> 0,entãoxoé pontode mínimolocaldeÍ; . sef"(xJ< 0,entãoxoé pontode máximolocaldeí Vamosânâlisâressapropriedade, considerando comoexemploâ funcãoÍ do exercício rcsolviclo 23:
f(x):x: Ur ' *n**t
f'(x):3*u tr* u t f"(x):6x - 12 f'(x) : 0 e 3x'?- 12x + 9 = 0 <+ x' = 1 e x' : 3 (pontoscríticosde 0 (11):6.1 12: 6 < 0 (1é pontode máxìmolocal) = f'(3) 6.3 l2 = 6 > 0 (3é pontode mínimolocal)
24, Considefe a íunçãoi: ÌRr : fÍxl "2 x'
Ex'
Rdeínidapor
qualé o s nâ de í"[x] nosponloscrítcos Vejamos 2 e3.
+ t8x e determÌn€:
al os pontoscfftcosdeÍl b)ospontosde máxirno locae Tnín mo ocai cl os rnáxmosocas e osrnínirnos locais. Rebolução: alÍrr)-r
-lr'+t8À+r',^r -3À/ tb^ u 2" f'[x]= 0 <+3x,- l5x + 18= 0 <+x' : 2 ex" - 3 Assm,x' = 2 e x" = 3 sãoospontoscrfticos deí blf[x) = 3x'1-15x+ ]8 = í"[x)- 6x ]5
Pílntôsde iní{exão Considerem05 os gráÍcosdasfunções: le) f(x) : ;1u 1 6, 1 .1u O, ''
l"[2]=6.2 15= 3<0 CorÌro f"(2)< 0,xo= 2 é pontode máxirno loca. í"[3]- 6.3 - 15:3 > 0 Conìol"[3] > 0,xô: 3 é pontode mÍnimo local. c) À4áxirno loca: í(2)= 2',
;.2'1+18.2=14 l\,4ín Íìrolocal:
i131= j, - J! .3,1 ts.3 = Z 222
= 131
(apírülo8 . lnÍodução à5deÌivadas
2 e)f( x) :ax,+ bx+ c(â<0)
39 (x) : x3
{
4-o)f(x)- (x - â)3+ b(a >0eb > 0)
Observemosque,nocasodef(x)=ax'?+bx+çcoma>0,ográÍìcoestátotalmenteacimadaÍetâtangente, parteda curvaestáacimâ Nocasoa < 0,o gráfìcoêstátotalmenteabaixoda retâtângente.Nosoutrosdoisexemplos, pontoem queocoíeessa parte o mudança(o noterceÌío dacurua está abaixoda retatângente, da retatangentee pafticular, quândoâ retatangenteé paÍalelaao Em exemploe I no quartoexemplo)échamadode pontodeinflexdo. Eo câsodo pontoO. eixox (oucoìncidecom ele),o ponto de inflexãoe di\o pontodeinflexàohotizontol. :0 que, pontos Pâraidentifìcar de inflexãoverÌÍìcamos sendof"(xo) e f/(xo)+ 0,então .5ef'(xo) :0, xoé a abscissa do ponto de inflexãohorizontal; . sef'(xo)+ 0,xoé â abscissa do ponto de inflêxáocom tangenÌeoblíquaem Íelaçãoaoeixox.
25. Determine da do pontode iníìexão as coordenadas funçãoi bl í[x] = x3- 3x'z+4x - 12 a) f(x) = x3 Resolução: a) Paml[x] = x3,tenìos: í'txl = 3x'? f'txl = 6x
f" txl = ô
I I
Então: f ' (o l= 6 . . 0 -o l" Í 0 1= 6 + 0 i0ì-0 r \o - 0 e a ab.Liì"a deJT po Ìo d' n íexãohofzontal. fixl=x3ìftol=0 Logo,ss coordensdas do pontode infexãohoÍizon talsão[0,0].
. lllÍodu!ã0àsdeívadàr Càpítulo8
> 4,, partindo Varnos rnost|âfqLre4 deurnaafiffnação verdadeim e usando urnaftício lx. y)'1>o+\'1-2xy+y'>0 Somando 4xyernambososrneÍnbros, t€ÍÍos x'z+ 2xy+ y' > Axy) lx + y)2> 4xy Dvrdndoarnbos poÍ4,ternos osrnenìbfos
SubsttLr ndoO em(D temos: 7=2n1"a?! Adefvadadessa íunçãoemreiação a ré: qnl . 2V =-tr'-
r
^út=Anr \2
)
r\
ì-/
\/ \
r_ \
21rJ
Vì
|
2Í)
n' tr l=oer ;lr ' - - l=oSegundarêsoluçãolusaJìdo derv€das]: SendoR irnrreiángulo dedimensôes xey, seupeírne ltoéP = 2x+ 2ye afueadasuaregiãoéA = xy P- t!
P:2x+2v=v=
Cac!ando ê d€rivadade segundaoÍdem,obternos:
_'
2 fP \2 "
'
2x\
PÌ
2x'
2 ) 2x, +Px P 22 A dervadadaíunçãoÁ[x],emx é dadapor: p
A ' t Í l= a r + + ri V \l N 0pontoÍ= l .:l ,temos:
t
tl2"
DD
=0=x24 Calculando a defvadadeseg!ndâordem, t€Ínos A"(\) : -2 Ássirn, Â"(xl < 0 parâtodox. fogo, = *, = I 6 " pontode máxiÍno de A[x] O! seja.a áreaserárnáxima quandotv€mos:
'l=2\+2r )
C ornoh=
n=
I
= 2ne + 2nth A CoÍnoo volurne doci ndrcé dadopofV = ÍÉh, vem:
h=;@
-'-..'-.-
4v -an-!È
l- " "
v
1 2 n. .
V
,,temosl
V
=
V
=
"fr'r=l' "f tz^t l ^írrì: \ 2í)' _
28. Qras devem serasdlmensôes de umâlalâcilírìorrca oe volìrmetÌxoV, de forìlraqu€a quantidade de rnaÌefala serutilzadoparaa suâlâbÍicação sejaâ menorpossír'e ? Resoluçâo: Sejâh a altl|a da ataciín dfca e r o Íaiodasuabês€. | ---" m nlmzaÍ a sua Qìreremos i àr€atota:
I
,"n" o* *F =íll' e uTn \zftl ^.k+|ll, 1,",1
P 2x+2y _x+y 4. 4 2 queé o ladodo quadÉdode rnesÍno peÍírnetÍo qLr€o retângulo R, pois: 4l \2
.rl v-ì
^ ' lí\2n
A'[x]=-2 11 -
A'fxì=0+_2x+
Í
.l i V \I \ 2tÍ )
IV ìl 2Ã
uítr'ì; \2Ít) /v\:/vìr
"f;J l;l
Ví
_r
""\2") í/ì
_r,
1
-
2
Logo,h : 2r. Porlanto, asd mensôes dalatâc líndfcasão /V \I V ehoqieacê?16' - 2-. -l \2x ) As9Ír,d au ctl_drcèoê voLne Íxo e ateama^tTna temâturagua âodobrcdo raio, r-l
29. O custototadefabricação dex Lrnidades deumproduto é dadopofc[x) : (3x,+ 5x + ]921reais.Quanrâs unidades pamqle o customédeverão serfabÍicadâs dioseiâo menorpossfuel?
. conteno MatemátiG &Apkaçõls
254 Resoluçâo:
3 x ' + 5 x + 1 9 2 = 3 x + 5 + l9 l + cm[x]= númerode unidades fabricadas deLrnidades fabdc€das. comx>0 possetrâtâdenúrnero A deÍvada dessa Írnçãoé: c'- txl = 3 r ; 11'-'
c^( .) - 0 F3 - .19i-0-3
-+
6 1 è \ -e o L \ -
3
I Í
Co m o x>0 ,entãox=8. teÍnos: Cêlculando a defvada desegunda ofdern c:t'l=+tcor nx>01 PolanÌo. 0 " \ - 8 ó JT po_Ìoderìiiíro c;") pa|a que Logo, deveËosefíabfc€das 8 unidades. O customédo seÍáde R$53,00 o customédlos€jao ÍÍenorpossfvel, e o custototaldeR$424,00. do ponto[0 ]). 3o.Detemineo pontoda h péúolex'? y'?= I nìaspróxiÍno Resolução: quefemos d do ponto(x,y) da curvaaoponto[0, ]1.Assirn: rninmizara distânci€
t,' r, I -\,l :-0-rÌ-d-''
" -" t'
U- ) O
N4in mizafdoud2é a mesma cosa, D€x, y, = I, obteínosl
x,= I +y, O d2deD,temos: Subsrru ndo(DemO€ charnândo D6/l= I +Y'z+ tY ll'? A dedvada d€ssaturnção é dâdapor: D'(9=2y+2(r 1)=4y 2 D'tvl=C.?4v
2=gov=1 '2
ordem, vern: Calçuando a defvadâdesegLrndã D'O/)=4>0 "q"oí=ì \z)
o"v
oporroo",rn'ro.
-"
h perboe x'z- y'z= l
= ] emfi). obtemos: SLrbsttLr ndov '2 ^
l-\
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| | \,)
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- ' Éx - : - i - : t! /
F
oso.e-los duês so. ções: Pl* ì" "'l \" t\" ')-
.\
Y
2 ,\
sãocs pontosÍnaispfóxmosd€ [0, ]l dâ hlpéúole - l*"
propostos ' Exercícios
SS.DetemnedoisnúrnercsxeycujâsornasejaumnúrnercfxoSposiuvoecujoprodutoPsejaomaiofpossível íabdcâr urncopodefofrnaci índI cacomvoumeÍxo V. Quadevesefo rao dabasedo copopâmsegasÌaf 3 6. Prctend€-se o rnínimo de materal? oossíve
(àpÍtulo 8 . lntoddção ò ds 6da5
37. F rrerooosos eú_gJosoeiredigLaa36cÍr'.q.€" o de neror pe i'ì etÍo)
41. Mostreque [2,2)éopontodacuÍvay = x3- 3xqle está Ínas próxirno do ponto(11,t).
38. Entretodosos fetângulos de peÍrnetÍoiguala t6 cm, 42. Deteminê âsd mensôes de umacaxâÍetangular de b€se quâléo quetemáfeamáxirna? quadÊda, quesuâárcatotaléfixada seÍntâmpa, sabendo Ae seuvoumeé o maÌofpossível. 39, NuÍnâindústfa,o custode montageÍn é diÍetamenle prcporcjonal aonúmercdemáquinas utìlzâdas e o cus- 43. UÍnajanela ternâ fofrnade Ltmse, prcporciona to deoper€ção é inveBamente aonúrnero rnicÍcuosobreumfeünguo.Dede máquinas Lrtiiz€das. tefinineas diÍn€nsões Quandoé queo custotota é de rnodo que o peflmetro mírìimo? seja3,6 rn e a áreaa marofpossív€|. O custotota c(x)é dadopeâ soÍnedo cusro I Sugesião: _ /k"ìì r l. I demontâgem [\ x] como clstodeoperação ' I \x )) 40. 0 custototalde fabrcaçãodex Lrndâdesde urnprcduÌo neâsdirnensôes édâdopotc[x): 3x'z+ x + 4S.quanhsun]dades do cilndrcretodevoumernaxdevê 44, Detemì ÍãoserfabÍmdasparâqueo customédlos€jamínimo? m0quepodeserinscrito numaesfera de raioR.
da derivada Gl Outrasaplicações quemetade 31. (UNA1,,40) Sâbe-se dosprodutos expoÍ tadospeloBmsiveÍndosfecurcos natums pdrneira A dedvada daíunçãoE(x)= 41:- ,rz * U*- ll, pãÍax : 2, equivale pr à porcentagem dospÍodutos máÍios[caíé,rninér]o defeÍÍo,etcJ,queé der aJ36qÓ. bJ38%. c) 41q0. dl49%. Resolução: E'(x)= 12x'? - 6x + 5 = E'[2] = 4l Resposta:alteÍnatlva c. 32. tFÇC-SPl Um rnóveefetuáurn rnovrÍn€nto rctlín€o uniforÍneÍnente vaÍiadoobedecendo à equação hoÉds S=6- I 0t + 4,0t'?, emqueo espâço S é medido em metrcse o fstantet €m segundos. A velocidade do móvdno nstânte t = 4,0s,emm/s,vale: aJ l0 m/s. cl l0 m/s. €l32Ín/s bl0 rn/s. d) 22n/s
Umaíábricade sâpâtos teÍnum custoparaproduzifx saodlo:dadopo,Crrl - 3000+ 25r.cor C erì ?ais. Qualé o customarginalque essafábrcateráparãpro duzf ÍnaBumsapâto? Resolução: rn[x]= Cr[x]= 25 reas O custornafgnaldessafábrcâé constânte e iguâá R$25,00. 34. UÍÌìaíábrcad€componentes e etrônicos temumcusto paÍapfoduzfxcomponentes dadopoÍ
Resolução: Avelocid€de é â d€rivâda do espaçoi v(t)= s'Gl= l0+8tãv(4)=-10+32=22n/s Respoatâ:alternâtiva d. 33, ChaÍna-se custonìafginade pÍodução de um adgo o custoadicionapamse pÍoduziÍLrmarlgo alémda quantdade já previsra. Naprática, a funçãocustornaÈ gin€léa derivadada funçãocusto.
45. Cornosdadosdo exercício Íesolvido 34,determine: âl o nívede produção noqua o clsto rnârginâ é rnínmo;
ct i - ---: 160\ - 200.comc eÍnreas. 3000 2 Qualéo customarglnalque essaíáb catemparâprcduzf mas um componenle quandox = 0, x = 100, x = 400ex = 800? Resolução: 0 custornarcinalé a derivada do custo: I I00n m[0]= 260reas m[]00)= 170rcas m[400]= 20 reas = ]00 feas m[800) mtxl=C'frl=
^+260
b) o cr.rsto mafginalmÍn mo,
f
Srt!v!@4rqse!u l,Urna panículase desloc€de acordocoÍn a lei S(t)= t'?+ t (S dadoemmetroset emseglndosl. Detenìine: emfunçãodo tempo; al a suavelocidade b)a suâvelocidade no inskntet = I s; cl a acdemgão da partícu a eÍnfunçãodot€Ínpo; d)a acelerâção no nstante t = 4 s. 2. Um ponto materialse Ínovede scordocorn a ei eteÍn segundosl. S[t] = sent + t (S dadoemÍn€tros Caìcule: al â sla velocdâde emtunçãodotempo; bì_3 â suavelocidade nolnstante r = a s; emfLrnção doiêmpo; cl a suaacelemção no nstante r= I dla suaaceleacão '4
s
dasseguntesíunções: 3. Detemineâsdervâdâs â)f[x] = 3!ç x3 senx b)f(x)=x3.?nx- !ç.senx dasseguintes funçôes: 4. DeteÍmneasdedvadas Êr +l
o if*l = i." * bl fixl = secx 5. Deterrnine as defvadasdâsseguntesfunçõescoÍr postas: a) h[x] = cos(x2+ 1l
b)lì(x): ts t!ç) c)h .a=) e 'sen ll + *l \z
)
íunçõesl deÍivadas dasseguintes 6. Detemineas al ítxl = x' b)fixl = x 5 clftxl=dç+2 7. DeterÍnìne âsdefvadas dassegunlesflnçôes: âJf[x) - ?n (x3+ 2x] DlÌlxJ = -
c l t t "l = s "nr+.n F +z
o tco =r " n[ r , s i- *lJ 8. Emquasintervalos asíunçõesabâixosãocÍescentes a)f[x]=-x'?+3x-2 bl i(x) = x3- 3x'z+8x - 2
que urnpontomalerial 9. Sabendo se movede âcofdo corna funçãohorária S[t] = f + 2t + 3 [S dadoem rnetros e t dâdoernsegundosl, deterÍnine em que ntervâlo detemposuavelocdade é: a)crescent€; bl decrcscente. que,paÉquaquerfunçâo quadÉtìcâ 10. N4ostrc 't.j - a"7- or - c ra 0t,r -
h
^-
ê,llponto
deÌa.ir o ocalou oe r In,ÌoloLâ|"v ÍìáxlmolÕcâl ôLrmínmo ..âl
-- é 4a -T
queo Íetângulo I l lvlostre de árcamáxmânscdtonLrma cifcunÍ€Íénca de mroré urnqLradrado. de OLra 12. Moslreque,entÍetodosostrângLros isósceles peÍíÍnetÍo, o deáÍeamáxìrna é o trânguloeqülát€rc. do 13. Dei€mjneo pontoda cuÍvay'?= 4x rnaispróximo ponto[2, ]1. 14, Umpedaçode baòantede comprimento Lé coftado em duâspa|tes,umadelâssendodobradana foflna de umtdânguloeqüilétefo e a outranaíoÍmade uma cìrcuníeÉncla. Cornodevesef corbdo o baÍbante paÍaqle a somadasáfeasiÍnÌadas sejaâ maor 1 5. Dererinê o num"ropo.itr\ocujdsorè cor seL| \ ersosqaa rnenofpossNeL. 16. Dadaa fLrnção fdeÍn da poÍf[x] = 3xr 2x detemÈ ne,usando a deÍnção: aì a dprivadd deÍ'ìopo roque.êr"b..i\sa5 bl aíunçãode V3dadeÍ. 17. Usando asregrasde derivação, determine aJr'(xl quando l[x] = 5xr+ 2./( - 3 blf'(xl, quando í(xl = x. cosx; c) f ixl, quandoítxl= 3'+ €"i dì íí rl rrì or,ìndíìií\l : i:----l 2 e)tço f.r q-d'ìdor,'r-\7eaur -y Í[x) = x5 4x3+ 7 D í"[x],quando
:
lB. Ummóvesedesloca de acodocorna função S[t] = 2t3- t'z+ 2 (cornS dadoeÍnrnetrcs etdado ernsegundos) Det€mne: â)a funçãovelocdadee a velocidade no nstante t=3s. bl â íunçãoacee|açãoe a aceleÍãção no instante
f
GI-q-s@sl:rsqqsiq ï. [UEL-PR] A defvadadalunçãoÍ, d€ R em R.deÍìnda pof f[x] = 2x5+ 4x3+ 3x 6. no pontode abscssâ x=-1,éiguala: a) 25. bl 19.
6" lMackSP]Â d€ vadadafunçãoÍdadapof 2x 3x' 4 5 6x 2x':
c)s. dJ5. eJ3. 2. IPUCSP)Umapadíc!a rnov]rnenta-se sobrcumâreta, e a l€ honára domovrnento é dadaporS= 2t, 5t 2 escaafdo rnovimento é [Sl].AacdeÉção a) 2 n/s'z. bl4 m/s'z cl -5 m/s,. eJzeÍo. 3, IFCCSPI Umapartícula esráernmovÌmento, obede cendoà funçãohoráÍia x = 5 2t + t,, emufidadês dossÌernanlernacionalde unidad€s. A padícula sofre É revercão daveÌocdade Íìaposção€ no fstante: aJ13me-2s. bJSme ls. cl5me2s. dl5me0s.
4- (UELPRIA€qLraFo honíracleummóveéy = 1 1 21 s€ndoy süãaltuÍaemreaçãoaosolo,medida ernrne tfos,e t o núm€Íod€ segundos transcorfdos apóssLra paftida. quea veocidade Sabe-s€ do rnóveno nstante t = 3 s é dadapory'[3],ouseja,é ê deÍivada dey câlculâdaern3.EssavelocÌdade é iguala: a) 6 m/s.
bl r r m/s. cl 15m/s. d) 27n/s el 29m/s 5, tlvackSPJSeftxl a) 2. bl r. cl o.
entãof'[â)vae: dl a. e) 2a.
bJNãoexiste. cl 4x3 4. dl r 5x4. '-?-[UPE]Seadefvadâde segLrnda oÍdemde urnaíunção -a eoosi l r\" Fr Lr
Ìenaoaoeno.d,bì d.o.a\ i-
dade0acurvaquercprcsenta geometrcarnente a Juné parâ votâda cma ern b]; se fof negativa, a ção [a concavdade parabâxoern[a,b]. é voltada s€jag(xl = x3 - 2x'z_ x + 2, x € lR,a derivada de s€gunda ofdemde urnalunçãorcalÍ Então, a concavi.. dadeda curvaqueÍepresentaÍé: aJvotadaparâcirna, erntodo R. bJvotada pa€ baixo, emtodo R. cJv0tadapafac rna,nosinteÍvaos I < x < I ou x> 2. dJvotadapaÊ baixo, som€nte no ntervalo I < x < 2. el votadapamc ma,só no ntervaox> 2. IU10sP 5"ia'.L JJ J3 c a'LrÇèod-Í1dd lporf[x] = x3 3x.0 valormÍnmoabsolLrto de f e o vaormáxirno absoLrtodeÍsão,respectivârnente al 2e0. bl-2e18 c)0e21. d)-2e2 el0e18. 9. [PUC-PR) Ernum panel retangu ar de coÍnprmenÌo no [60 + x] cme de arg!É 80 crn,desejâseÍeservsr cantosupefiofesquerdo urnquadrado de ladox. Quai ovaord€x pamquea difer€nçâ entr€a árcado painel e a do quadrado sejââ rnaoÍpossível? aJ30 cnì bJ70 cm cl 50 cÍn dJ60crn eJ40 crn
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I . (ontexto &APlkâçôes Màtêmátia
Questõesdo Enem
ExameNacionaldoEnsinoMédio
2000 0 BÍasil,ernI 997comceÍcade 160 I 06habtantes,apresenÌou da o|demde 250000ÌEP [ton€lâda umcons!Ínode energiâ pÍoveniente fontesprl de diversas equivalente de petróleol, máflas. mínirnos 0 grupocorn€ndaíarnilafde ínaisdev íìtesaládos bmslerae uflizacercade l0% representa sqt da população no país. daeneÍgiâ iotâ conslmida mínimos reprc0 grupocomÍendafamilarde aÌéÍês saláÍios 30%do tota de enercia. s€nta50%da populaçâo e consome podeseconcluÍqueo consu Cornbasenessas infoÍmações, paËum ndMduo do grupode rcndaslr momédiodeenercia perioÍé x vezesÍnaiordo quepaÍaumindvíduo do gtupode r€ndainíeÍior0 vaoraproxmado dex é: e) 12,7. cl 6,3. a) 2,1. dl r0,5. bl 3,3. 2001 atìvidades nasrnaisdiv€fsâs l. Boapaneda águaLrïlizada quaidadepaÍâser aoârnbientecom humanas nãorctoÍna a gumdadosso novamente consr,rm da.0 gÍéfcoÍnostÍa deconsumo, breesseíâto,emteÍÍnosdossetoÍEs conrumoe B5tilüiíâôdêáquà nomundo {em bilhóes de m'/ano)
porgrupode 2. 0 gÉfcocomparao númerode homÌcÍdlos 100000habiÌantes entr€1995€ l9g8 nosEUA,emestadoscorne sempenade morte.
t 'Ero
eraaoscompenaaemone I
I
EíadosÉm penàdemônê
cod, copÍo, 6 ded*mbÍo dezooo
que: Cornbaseno gnáfco,podesealìÍÍnar seín al a taxadehomcídlos cresceu apenas noseslados penade mofte. bl nosestados compenade modeâ tâxade homicídos é menorquenosestados sempenade morte, cl no perÍodoconsideÉdo, os estadoscom penade ìoie apÍesenta€rì ta\asraioÍ"s d" horicídios. pefinaneceu dl entre1996e 1997a taxade homcídios estável nosestados compenade morte. compenâde Ínorte el a taxade hoÍnicÍdios nosestados caiupelamekdeno peíodoconsiderádo. dosjovens en3" Atabelaapresenta a taxadedesernprego tre 15 e 24 ânosestratícada combaseerndÍÍerentes categoÍias.
Consumo
Renitúlçáosêmquãlidade
Zr.o*';."*oa I co"ouaua" -on.À:ÂdàÊàôodel
l&,cun:a
I
C:Pnta? ptaalÕqd ho)".'do PdJto Er'Àia
15,3 10,7 t3,3
r.rat
ÀcLÁ'.JedlFd\oiì.aáorããÌedçldcpeLá) (Coo'd). driv'ddde\l-Lm"nài nW[oúr,N 9.4
que: Cornbâsenesses dados, é possívelafrmaÍ ao al rnaisdâ nìetade da águausadanãoé devolvida cico hidÍoógco. poludoras de bl asatvdadesndLrstÍiais sãoasmaiores á g!a .
cl maisdaÍnetadedaáguaresttuÍdas€mqlrâidadeparao consumo contéma gumÌeorde agÍotóÍcoouadubo. sern dl ceÍcade urnterçodo totalda águaresttuÍda qualdade dasâtividades enetgétims. é provenient€ humânss, dentrcasatividades e) o consumo domésÌico, quaidade. que e rcpõe água corn éo rnaisconsome
,Mulhcrar
'Rériáo
Su
I t,6
23Ê t8,8
20,6 19,4 25,7 l6l 16,4
8,9 l5,l
22.8
rz8
27,8
12,6 I t.0
7,3 FONTE PNAD/IBGE, 1998.
€s ConsideEndo apenasos dadosacirnae anaiisando possívelconcamcterÍst emprcgo, é casde candidatos a c uÍ quetefamrnenor chancede consegulo:
doEnem' txameNadona doEniinoÀlédio Queí6es
al mulheres, concllntesdoensinoÍnédio, mo|âdo|as da 2003 c dadedeSãoPaulo. locatzabl muheres,concluntes de cuÍsosupeÍiof, moradoms I . A eÍciénciãde anúncos nurnpainele etrônico do eÍÌì por uma cêrla avenidâ Ìnovimentada foi avâÌadâ da cÌdade do Ro de-laneÍo. urna €rnpÉsa. que, Os rcsutados mostràrarn em ÍÌrédia: cl homens, corncLrrso de pós-gÍâd!âção, morâdo€sde . odssaTpo da. 30000noro-isÌès e1]Í-ênrêéo pêi N,4afaus. neleletfôncoi dl homêns, comdoisânosdo ensinoíufdamentâ|, rno . 40%dosÍnotoristâs radorcs de Recíe qLr€passam obseryam o paneli el muheres, coÍnensinonìédioncompleto, . Lm TnesÍno moradoras passâtrêsvezespof semânâ motonsta de BeloHoÍìzonte. Segundo osdadosecirna, seumanúnclo de umprodLrto 2002 fcar exposto durante setediasnessepalne,é esperado queo núrnero queterão Ínínirno de rnotofstâs diferentes AÌabelareferesea umestldoreaizadoentr€1994e 1999sopatne obserwdo o sejal bÍevolência sexuacompessoâs dosexofemninonoBrasL al 15000. Lcvantamentodoscâsosde violênciarexual bl 28000. c) 42000. 'ï dl 71000. ' !il,ÌÌ -. el 84000. lua i.;. Quanti. 2.0 tabagsmo é r€sponsávelpor umagran[víciodefumoJ 13 ),7 21 t3 ,9 6 6 dequantdede prematurEs dedo€nças e mortes naatlall 0 16,7 l6 1 0 ,6 0 0 dade.0 nsUtuto Nacional do Cáncer divugouque90gÓ 0 0 dascasosdiagnasticadas 0 decâncÊrdepulnãae SAqh das co.asddgnostiado d- enÍ\Pmdpulnona'e'Èo I 1, 6 "ssaarè dcsaa consunode tabaca.PaÍale amente,forammosÌm 6 0 ,0 0 dososrcsutadosde umap€squsareaizada emuÍÌìgrupo 0 7 0 0 de 2000 oessoès con doerçd.de prn Jo, dasqLais 0 0 5 I q00sãocd)osdtag_o(icâdos d. c;.ì,e . e 500sãocal 0 16,7 42 27.8 t9 279 sosd agnosticados deeníìseÍna. l3 7,5 17 Combasenessâsinfomaçôes, podese estmarqueo I 5 ,3 5 número de flmantesdessegrupode 2000pessoas é, l3 11,7 25 r6,5 t8 26,5 a) 740. Ì()TAL G O t0 0 t5 l r00 68 100 b) I r00. (--)Nãoaplicável Fonle:)dndlda Unkonp.n,162.naio2001, cJ I 310. A padrdosdadosdatabelae parao grupoíemninoestudadl I 620. do,sãoíetasasseguintes affinações: el I750. . A rnulhefnão é poupada davioência sexuadomésticâ em 3. Parao rcgstrodeprÒcessosnâtlm s€ socaisdevem ser nenhurna dashixâseúras ndcadas. uUlizadâs parâ dfe€ntesescââsd€tempo.Pofexemplo, | . A maiofpartedasÍnLrher€s €dutasé agredda porparen a datação do slstema solâré necessáfa umaescalacle tesconsângüíneos paÍaa h stódado Btasilbasta bllhôesdeânos,enquânto
ri
ll.As adoescentes sãovftimas de quasetodosos tiposde agrcsso€s. lV Os pais,b ológicos, adotvose padrastos, sãoaúoresde mas de ] do" casosde vioênciasexualenvoNenoo 3 Évedader0apenas o queseaíÍmaeml âl le L b) le V cJ lle lV dJ,llelV l , ll€ lV
umaescaa de cerìtenas p€raosestLrdos deanos.Assim, rcêtvosaosuÍgiÍnento davidano plânetâ e paraoses tudosrclativos aosurgmentoda escfta,seriaadequado uülzâr,rcspectvamente, escalas dei Vida no planetã
"l I 9 9 el
EscÍita
m lhaÍesde ânos m lhõesde anos miharcs deanos mlh""a d" aa*
. contexto Matefiìálio &Aplictôes
4.
Te
Documento I
dê fêcundld.de no Bhsil
1970 1930 1990 2000 0BcE)
DocLrmento I Avaia se em cerc6de quatfo e Íneiobilhões de anosâ ida de da Terrà,pea compa€ção felativade entrea abundância diíêrentes isótoposde urãnio com suãs d feÍenlesmeasvidasradat vas. podernos aÍrmat os dos docuÍnentos, Considerando quepemt€ a dâtação queanat!rcza da do pensamênto TeÍÍaé de naturezal a) cientÍfca no prmeirce rnágca nosegundo. b) socâ no priÍneiro e poítcanosegundo. cl relg osano pÍiÍnerc e c entffca nosegundo. nosegundo. no pÍiÍneiro e económica d) religiosa no pÍimeiro e a gébfca nosegllndo. el matemáÌim
pode-seconclu I Comparando-se osdadosdosgráÍìcos, que: al o aumento rc âtvoda populadoruralé acompanhado pelâÍedução datâxadeíecunddade. b) quandopredom na\€a população Íural,âs rnuheÍes ü-hdr eÍ" red a trèsve.,es -rêrosÍro: doq.F l'oe. coÍn c) a dirninução dapopLl âçãoÍuÍalcoincide rclâiiva o aurnento do núrnero deÍLhosporÍnulhet morando dl qlantomâsâuÍnenta o núm€ro de pessoas emcdêdes, maiofpassa âserataxadelecunddade. o e) .oÍ"ra inte.ìòil de uÍba'ì/ação. c€çãoao p_oces
CORREIODA CIDADE DO ABASÍECII\4ENTO COI\4PROMFfl O novopóo agrcindustda eÍnnossacidadet€matraÍdo em urnenormee constante íuxo Ínrgrãtóro, resutando urnauÍnento emtomode 2000habLiântes da popuação pq!3!9 conforrne dadosdo nossocenso: t995 1997
2oíJ4 da populâção L Ao longodo séculoXX,âscâracterhticas asatembÍasleìrámudaÍam rnuito. OsgúfÌcosmostÍaÍn populaçãod3 cìdâdee docarnpo da dstÍibuiÉo çóesnâ (númerc deflhosporrnulher) e nâlaxadeíecLrnddade nopedodoentrc1940e 2000. ' Populàção urbar. èÍürâlnoBrà5il(%)
11965 15970
ì999
19985
2001 2003
23980 27990
de EssecÍesclmento teÍnaÍneaçado nossoforn€cirÍento queabastecem água,poisos manancais a cid€detérn parafomec€Í capacidade âté6 mlhõesde litrosde ágla poÍ d è. pF'piluld,pleocLpéda vai coÍì'esò€s.Jação. incìaÍ!mâ campanhâ visando estab€lecef uÍnconsLrm0 médiode.Éqltlaslollb,lalbahta!Ìç. A anáìseda notíciapermteconcuifque a medidsé oportLrnâ. Msntìdo êsseíuxomigÍatório e bernsucedida pâÍaabasa campanha, os Ínânânciais seÍãosuÍcientes tecere cidadeatéoínâlde: a) 2005. bl 2006. CJ2447.
dl 2008. e) 2009.
t
oueÍõer doÉnem' kameNadona d0En5imÀlédio
3, O exc€sso êrngrandes de\€ícuose oscongestionaÍneÍìtos Fs cidddes são e rd. oe r_eq:e- rêpoíagenlOs-neEs de tÍanspones utlllzados e a fofinacomosãoocupâdos téÍn ÍeÍls{osnessescongestÌonarnentos, alémde proble. ndsaÍrbenldcê p.o-óÍri o". No grélcoa segui.po \aoÍe" nëdios deÍr seobseÍvaÍ do r onsuno dFF-F! d pof passageiío e por qulômetÍorcdado,eÍn dfercntes pamv€iculos rneios deúanspode, emduascondiçôes de oclpaçãotnÚm€ro de pássageÍos): ocupaÉotípca e ocup3ção máxjrna. É5çtsoo 'áË
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e) o 0riente l\,4éd o e o NoÍte dâ África mantiveÍaÍn o percentuâl mesmo de populâção Íniserávei. 2. Podemos estirÍâroconsLrmo de energaelétrica de uma casaconsidemndo fontesdesseconsurno. as princpais Pensena sltuação em que apenasos ãparehosque constam dâ tabelâabaxofossemLrtizâdosdiariamente Tabela: A tabea Íornece e otempoefetivo de a potência usod áro de cadaaparelho dornéstico,
,ooo
-
gen€mizâdo bl regstÍâse !m aumento da população pobree misenáv€ . popuaçãopo c) naÁf caSubsaafana, o percentualde brefoi crescente. dl enì númerosabsoutosa situação dâ Êuropae da Áss Centmlé a rnehor dentretodasas regiôes
Âuìomóvel
1,5 3,3 02
lìÁetô
urbano Essedadosndcamquepoítrcâsd€ tÍansporte devem taÍnbéÍn levaremconÌaqìre€ ÍnaioÍefciênca no usodeeneEa ocoffepataos: b) automóves, compoucospassagercs. máxiÍna. cl Íanspotescoetivos, cornocupação dl €utomóve s,cornocupação máxirna. el trens,cornpoucospassagercs. 2005 l. Anâlseo qladroacercada d stribuição da misérano mundo, nosanosde 1987a 1998. : MaDe da mi6éÌia qre vlvecomÍìenosdeUS$I pord€ (emqól População Rêsião t0a7 1 9 9 0 t99:l t996 1 998* 26,6
27,6 25,2
4 ,2 t5 ,3
1 ,6 1 6 ,8 2 .4
4,0
5 .1
5,1
t9
29,O 28,1
t8
*PreÌminar (Fonte:BancoMundial,) l{dapÌado, GozetqMercontil,lJ de ourubro de 2001,p, A-ó,)
6
centrcsé rnaioÍdo queselmagina, comoÍnostra a pesp olssionars ouisaèo lddo,reêli/âda coì oò.ogêdoíes dosqJalrcp cpã . i ' besde rJtebodo qrodela1eiÍo. Dêacodocomess€sdâdos, o percentuâl dosjogadoresdosquatroclubesq!€ concuÍ|am o Ensno Médio é de aprcximadaÍnente: Ìôt l:1r2Jog.dorcs
o5
.
permiÌe aírmâÍque, A leturadosdadosaprcsentados no peÍodoconsdeÍ€do: eslá,proDoÍ a) no s! daAs a e naAfricaSubsaarana ciono'ìe te, a ndior co e-1.ëçãoda oopJlàÇão msedvel.
0 t0
3. A escoafdadedosjogadoresde fltebo nosgrandes
ls
423 400 4 8 5 46,3 24,â 24,O
t0 l0
Supondoque o mêstenha30 das e que o custode I kwhé de R$0,40,o coÌìsumo deenergla elétdca mensaldessa caseé de âproxiÍnadarnente: a) R$135. bl R$r 65. cJ R$190. dl R$210 e) R.$230.
r53 1 5 ,6 156
46,6
24,3
1 4 ,9 15,3
0,35
""*F aJ 14qó. bl 48. c) 54%. o 60l}b. €l 68qó.
. Contsto l\ìaÌemátÌ.a &Aplkaçóes
2006 I- A populaçâo ambÌentaltomou se gÍaveprob€Ínaa s€f peo mundoconternporáneo. enírentado No gÉfco seguinte. algunspaÍses estãoâgrupâdos deacodocoÍnas rcspecÌvasernssõesmédas arú s de CO2per capita, BBsi,Índiã,ndonésê, pakerdã
I
llllDoenças podemseÍ desencadea cârdovascularcs daspelâobesidâde decorrente dasnovâsd etásâli
china,MéxÌo,ChileÂEêntinà,
I Jãpáô,Cànàdá, Rú$ ã,U.Íânia,
A pâ(ifdesses dâdos, fo|amfetasasaíìrrnações abaxo. lJÂsfamllias bÍâsleiras, eÍn30 anos,aumerìtaEm mLtto o consumo de pÍoteínas € gÍãos,que,porseuato va of caóÍico,nãosãorccornendáves. lllO au're-.o ao -u sLnooeèlrìenlos Tr.o cèoncos devesefconsdemdoindicadorde aledaparaa saúde, podereduzÍa expectatva devidê lá quea obesìdade
T I I
ton.l.d$
d. CO: p€r.dpll,
A Eidd. de S.Paulô,217 DaM l.ôn àdàpràçóe\),
ConsideEndo ascaÍacteístic€s dospâíses c tâdos,beÍn comoasemissões médias ânuais deC0, pel capltandcadasnográÍco,âssnale a opçãocoff€tâ. al 0 Índicede ernissão de CO,percáp,ta dospaÍses da UniãoEuÍopéase equipâmâo de algunspaíses emeÍgemes. b) A Chna lança,em médâ, mas CA2per capìtana alqueos EuA. mosíera cl a iorìa daspÌrsoes deCO o-l /áplãde Braòil. irda e lndonésia é maiofqueo tolalpelos EUA. dl A emssãode CO,é tantomaorquantomerìos de senvolvdo é o pâís. el A rnédiâ de lançamenio de CO,em rcgiôes e paÍses por pessoa desenvovrdos é supeÍiofa 15toneladas
t
Écorretoapenas o queseaírmaem: al .
bl r. cl ll. dllel. €l lle ll
3. Nââvala€oda eícêncÌâde usÌnas quarìto à prcdLrção e âos rnpactos âÍnbienÌais utiizamse váÍioscrtérios, tas como:Íâzãoente prcduçãoefeïvaanualdeenerua elétÍc€e potêncanstalada oLrÍêzãoentrepoténcs instalada e áreainundada peo Eservatóro. NoquadÍoseguinte, es.espaÍáTelrossàoaplcadosàòdJ"srêior.s riopeuiLa. domundo: ltapu,noBmsl.eTrêsGargantas naChina.
12600lvlw
182001\lw
93bihõesde I 000kÍìr' Internet
Combasenessasnfoffnações, que avaÌeasaiÍmâtivas seseguern. ll A eneÍga eládcageradâânuanìeÍìÌee a capâcidade nonìin€máxima degeração da hidrcétricâde raipusão maoresqle asda hidEléÍicad€TrêsGaruantas lll taipué mas eÍicenteqLreTrêsGsruêntas no usoda potência r'ìstalada naprcdução d€ enercia elétfca. Ìll)A|azãoentrepotêncanstalaóa peo e árcainundada Íeseryatório é Ínaistuvoráve nahidreótricaTrêsGar gantas d0 queeÍnltaìpu. ÉcoÍÍetoapenas o ques€aÍìftnâ ern: Q]1,
Fpo.a3/5/2006kom adaptaçóet.
blt. clll. d)lell. ellell.
Revisãogeral Revisãodo EnsinoFundamentalÀngulosnotáveis: 30"
Potenciaçâo
1
PÌopÍiedades l e ) ao :l ( pa r a â+0) 2 ! ) â ô:l - l
5ï (a9' = a"': (a')"
( pàraa+0) 6c) (a. b)" = â". b^
3ê) an . âm = ân +m
'
\b/
2
"E 2
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't5
2
2
.rã 2 I
2
./5
b'
Potênciade expoenteracionat:a* : i,6; Notação
6oo
45'
3
ObseÌvâção: res), Seor+ P:90'(ou seja,complementa = = entãosend cosB e senB (os a. Relaçôêsfundâmêntàls: sen2 o + coszc!: 1
Produtosnotáveis (a + b)(a b) : â'z- b'? (a + b)'z: a'?+ 2ab + b'z (a b)'?: ã2- 2ab + b'z (a+b+cf =a'7-b'z <'z 2ab (a + b)3= a3+ 3a')b+ 3ab'z+ b3 {a - b)3: a3 3a'?b+ 3âb'z- b3
2àc+ 2h<
Fatoraçào de expressôes algébricas FatoÍcomumêm evidência:ax+ ay+ az: â(x+ y + z) Agrupamento: ax+ ay+ bx+ by- a(x+y)+ b(x+ y): = (x+ yxa+b ) - b'z= (a+ bxa b) DíeÌeriçadequadÌador'â'z TÌinômioquadredopêÍelto a'z+ 2ab+ b':: (a+ b)'z a, 2âb+br=(a _ b ), grau:ax'z+ TÌinômiodo2e bx + c = a(x \Xx xr), dotrinômio emquexr exr sáoasraÍzes Cubos ar + b3= (a+ b)(a'z-ab + b'z) a3- br = (a- bxa,+ ab +b,) a3+ 3a,b+ 3abz+ br : (a+ b)3 a3_ 3a'b+ 3ab, b3= (ã, b)3
Trigonomelria no triânguloretângulo ïêoÌemadê PitágoÌas:a2: b2+ c2 RâzôêstÍlgonométÌi
t9 a-
b c
t, (Vunespl A exprcssão a: !625 + 16-4 equivale al r,65. c) 0,825. eJ0,525. b ) r0 6 5 . dl0,625. 2. (Fuv€st-SPl Se416.5,5= d.l0i, comI < d < 10, entãonéguaa a) 24. bl25. c)26. t)27 e)28. (x - ])'z+ [x - ]13é equva 3. [UniforCü A expÍessão a)x3+x2 2. b) x3+ 2x, + 1.
cl x3 2xr+x. e)x3+x2 2x dl tx rl5.
4.tu.ccRseaA- - eB-
J3 +J2
.
- -V2 V3
entãoA+Béguala:
d -z',8. ul :nã.
d -zrã. al:n5
"l
z"E.
2ú .3ú + 6" .3 5, [UnêbBA]O v€oÍ dâexpressão 2" .3n + 6" .2 a) 12. el36 b)48. cl 6. dl l I;M
6. t'Fuvest SPì:l' ì/
- ' r0
=
of
c) 2".
or 4
d) 2n.
5
í2" \t
e-l |
|
\ r 0J
. Conrexro Matemátic &Ápllo!ões 7. GqVSD SirnpiÍÌcândo-se a ímção
sm'z+ 10m+ 5
rì
,-
I rr
,ì-T i trn -
Ín 5[m + ]l
M
.- m+l _ 5m
8. [Flvest SP]A díercnça enrreo clbo dasomadedoìs podesef: núrneros nteiros e e soma deseuscubos bJ5.
cl 6. d) 7.
'lO. (UfscaÊSPJ Selamm e n dos núrnercs reas.A desi guâdâdern, + n, > 2Ínnvale: a) soment€pâmm>0,n<0. bl paratodosos m e n reas. paraÍn > 0, n > 0. cl somente dlsomentepâÍãm=n=0. pâÉm e n interos. e) soment€ I Ì. (FátecSPISabese quea2- 2bc - b, - c, : 40 e a - b c = I0 coma, b e c números €ais.Então, o Vaordea+ b + cé guaa: alI b)2. cl4. dll0. e)2A . 12, [Fuvest-SP) Osvértcesde uÍntÍiângulo ÂBC,no plano canesano, sãoA[], 01,Bt0, rl e C(0, Então,o '6). ánguloBACmede: âl 60". cl30'. e) l5'. b) 45". d l8' 13. IUFCCEISejârn d e p osângulos agudosde uÍntrãn guloÍetángu o Sesend = senp esea Ínedida dahipotenLrsa é 4 cm,a árcadessetfánguo [erncm,]ó: a) 2. c)L el 16. bl 4. d)12. Ì4. IFGVSPIÂÍSUÍareprcsenÌa lmaÍleimden ivrosdèn ticos,emuÍnaestante de 2 rnetros e 20 cenÍÍnetros d€ comprmento.
m ,-
l
Á B : DC :2 0 c me AO= BC= 6 c m Nascondçõesdâdas,n é gua a:
a) 32. bl 33.
cJ34. dJ35.
al s["6 + zJu.c.
d :(16 + rl u.c.
rl ['6 + r] u.c.
el [e,6
r] u.c.
cJ :."6 u.c.
elL
9. [fuvestSP]A d íerença enÍe osquadrados de doisnú merosnatura s é 21.ljm dospossíveÌs valorcs da soma dosquadÍados desses doisnúmeros é: al 29. c) 132. bl s7 dl r84.
F-,12
15- (UFGCEI Sejam d, B e Oosánguios deumÍânguo.Seâs meddasdessesênguossãodiEÌãrnente proporciona sa I , 2 e 3,respectvâm€nte, e a bssetizdoânglloÍl mêdeduas Lrndadesde coÍnpriÍlìemo [u.c), a meddâ do peímetro d€ssetránguo é:
el36.
16. tFuvesfsD êl Quaa meddade2"?
b) CalcuLe eã + 901
17. (Unic€rnp posìrvos, SP)Dados osdoisnúmeros i6 e Vf. determneo maior. Ìü. [V i"esp) Se \ L
u l, " * \ t
- À cacLlêpÍr unçáooF ]
rt ' . * ]
'l9. [tuvesfsPJ al Sex + -: = b,calcule x, + -- . bl R€solvâ a equaÇâox'z5x+ 8
: ++
= 0.
20, tuncamp pedala SPIUmciclisra urnabciclekcomro _o dàsdenes-no d âne e comd stánc asentÍeosexos de1,20m.NLrm detefininado instante elevm o glldão em30'eo mânÌém posiçâo paraãndarem nesta cíÍcuo. Calcule pelas osÍaÌos doscÍrc!]os descritos rcdâs danteime tras€iE dabicìceta.
Conjuntos, conjuntosnuméricos e funçôes Conjuntos Número desubconjuntos deumconjuntoAcom n elep(A)= 2" mentos: OpeÌaçóes uniáo(u) (-) Diferença B
gêËl Rêvisão
(n) lntersecção -u'----'v
Complementarem relação aouniverso
B-_\
rí ))
\_x_-/ Ã., aC.,C;
ïpos deÍunçôes . Função injetivâ:ÍA.- B talquexr+ xzemAã + f(xr)+ f(x,)em B . Funçáo sobrejetiva:ÍA.* B talquelm(f)= B . Funçáobijetiva:f A* B tal quef é injetìvae sobrêjetiva sÍmultâneamente . Funcãocomposta Dâdâsãsfunçõêsfi A - B e g: B*C, denominamos funçãocompostade g e f a Íunçãog o f: A * C, que é definidapor(g of)(x) = g(flx)),x e A.
Número deelêmentos daunião: n ( A UB) - n( A) +n(B ) n(An B).
Coniuntos numéricos
Funções Dadosdoh conjuntos nãovaziosA e B,umôfunção quedizcomo dêAemB é umaregra associarcada elementox € Aa umúnicoelementoy € B, Usamos à seguinte notação: ÍA*B ou A I-B
Funçáoìnversa Dada uma funçáoí: A * B, bijetiva,denomina-se funçãoinveÍsâde fa funçáog: B- A talque, se f(a): b,entáog(b)= a,comàÊ e b € B. A3
queselê:fé umafunção deAemB.
^
'=(') . A: domíniode Í D(f) . Bicontradomíniode í CD(f) . O conjunto dosy obtidosé a ìmagemdeÍ lm(f)
SóexisteÍunção inversa deumafunçãobüetiva.
ffi 21. tUFBA)A representaÉo docoÍnplemenÍff de[M N]n P, emÍelação,b pelaregiãocolodda P,esláindicada del
D( f):{x € lRl2
|l
@
contexro lúatemáte. &Aplila{óer
Considerando-se essesdados,é coffeto€fÌnnarqueo númerc totaldeentrevistâdos foi: âJr 200. bl I500. cJ 1250. dl I350.
OJ
24. (PUC-SPl Sãodadososconjuntos A= {xe N lx é par},8- {xÊzl I
B -X = A n C, é : a ) { 0 ,r, 3 , 5 ). b l { -r, r, 3 , 5 , 6 1 . c l { r, 3 , 5 ).
CJ
dl {0,3, 5}. e) { r, 1,3,5}.
25. (UEL-PRI Obseve osseguintes númêÍosl t)2,212121...
r)3,212223...
lu3,r 4r 6 Vl \F
D; Assnalea atem€tÌv€ qlreidenÌrfica osnúmemsiÍâc onaisal le ll. cl l l el l . el l l eV bllelV d)l l eV 26, TUFPB) y, : 5,0131313... Selamosreaisyr = 0,333.... e y3 = 0,202002000... âs soAém disso,consdeÍam-se rnasSÌ = yj +y/S, =yr +y3e53=yr +yr+y3. pod€rnos Então, aÍmaf qLrel âl Íé Íraciona. cl Sr é iÍrEconal.el 53éÍãconâ|. b) yz é irÍâciona. dl 52 é imciona.
el
27- rUTCCn \een MeI{ onLntos q-e oossJer uìr dìi. coelemento eÍncornum, Seo númerc desubconluntos de 22, [PUC-PR) Emumapesqusa feitacoÍn120empregados M é iguaao dobrodo núÍnero de N, o de subconjuntos de uÍnaÍrma,veriÍÌco!-se o seguÌnte: número deeìem€ntos doconjunÌo N/ìU N é: . têrncasaprópda38 aJo triplodo númerc deelementos de M. . têrncurso supenor 42 @sa b) o triplodo número de elementos de I{. . têÍnpanodesaúde:70 cl o quádrupodo núÍnerc de eementos de M. . têmc€sa própra e pla dl o dobrodo núrnerc de elementos de M, nodesaúde:34 el o dobrodo núrnerc de elemenlos de I{. . témcâsa própÍia ecuÈ
sosuper0r:17 . témcLrfso supeforeplanode saúde:24 . têrncasapúpria,p anodesaúdee cursosupefori 15 qualaporcentagem quenãoseenquados€mpregados d|aÍnern nenhumadassituaçôesanteriores? [Sugeslãoi Ljtilzeo diagrama deVennparafacilitaÍ oscálculos.) a) 25ak c) 350,1] e) 45% bl 30% dJ40% 23. [UFN/ìG] EmuÍÌrapesquisa deopinião, ioÉÍnobtjdos estes . . . . . . . .
40%dosentrcvistados êemojornalA. 55%dosentrcvlsÌados lêemojornaB. 35%dosentrcvistados lêemo joma C. 12%dosentrevistados lêemosjornals A e g. 15%dosentrevistados léemosjornais A e C. 19%dosentrevistados éemosjornalsB e C, 70Ádosentrevistados léernostfêsjoríìais. I 35pessoas entrev stadas nãolêeÍnnenhuÍn dostrês
28- tìTASP)SelâÍnA uÍnconjuntocomI elementos e B um conjlntotalqueA U B conÌenhâ 12eleÍnentos. Enião, o núm€ro dee ementos deP(B/A)U P(O)é iguaai a)L c)20. e)L bl 16. dl 17 Observaçâo:Se X é urnconlLrìto, P[! denotao conjuntodetodosossubconjuntos deX. Á"/B=(xeAixÉB). 29. (Epcar-[,4c] Dadosos conjuntos A = {-1, 0, l, 2} e B = {0,l,2,3,4},assnaledentreasÍelaçôes seguintes a qLrerepÍesenta aternatva umaíun@o deAem B. a) {t-r,0),.t0,r), (1,2),0,3),(2,4,
b ) { t -1 ,r),(0 ,r),0 , 0 ),0 , 2 l} cl {(0,11,tr,01,t2,rl, t2,4l} (r,r),t2,4l} dl {t-r, r),(0,0), y de undades 30- (Faap-SD Durante ummês,o número produzdas deurndeteÍmÌnado bernemfunção donúrnerox defuncionádos empregados de acoÍdocoma lei
t
é y = 50!ç. Sabendoque l2l íuncionáfosestãoernpÍegâdos,o âcréscmode prcduçãocom a admissãod€
48 novosfLrnconiÍios é: âl 550. c) r00. h) 250. dl650.
e)200.
polnomais 3I. [FLrvest-SP) Pe 0s gráÍcosdeduasfunções nafiguraa seguir Q estãorcprcsenÌados
35. ttuvest SP)Afg!Ë abaxo r€pÍes€ntâ o SÉfco de uma fJlcão dâ Íor rd ÍfÀì -
' -1 hx+ .
mÉ
I . I * 5
Então. no intervalo [-4,8], P(x).Q[x] < 0 pam: b) 2
al ftnl = 2tn 41. blfi n) =n 6. c) f[n] = -n - 2.
dJftnl = n. el ítnl = n'?.
PodeseconcuiÍqueo vaoÍde b è: cl 0. bl t. d) 1.
e)2.
36. tMackSD S€t 1,2léocorìjunto Ínagern clelrnâtunção = f[x].entãoo conjunÌo irnageíf de g[x) 2 .í[x] + I é:
al l-r 21. b) | 2,rl.
cl l- r ,51. d)to,41.
el Í-4, -rl
portodasasesco 33, [UfRN)Sejam E o conjunto iorÍnado SejaTca ternpe€tuÍa emgraus CesuseT.a l€sde ensinomédiode Natale P o conjlfto formado 37. [Vunesp] Ínesrììa gmus ternperatLiE em ?hEnheit Essas duasespelosnúÍneros querepresentam a quantidade deprofes lFl pprdturd pea calas de e).ão Íeaoo ada) eq-d\ào soresde cadaescoado conjunto E. = sTF I 60.Considerc 9Ì. agora TK a mesma Ì€mpeÍanJE queacadaescoa deEassoca Sef:E - Pé aíun@o seu na escâa Kelvin. As escalâs estãorclaKevne Celsius númerodeprofessoÍes, então: = Tc+ 273.A equação pelâ que cionadâs eqlação TK a) Ínão podeserumaíunçâobijetota. reiaciona as esca as Fahrenhet e Kevr é: bJÍnão podeserumaiunFo njetorâ. c) Íé umafunçãosobrejetora. 9I, 2657 ,dl í é necessaramente urnâíünçãoinjetoÍa. 5 '5 9L 2 457 9I, 2617 y = f[x) quepossuern 34, [Unfesp)Háfunções a seguinte D J-= '5 propredade:a vaorcsdistinÌos vade x corr€spondem yl loresdistintos de Taisfun@es sãocharnadas injeto|as. 9r, - 2297 cl rr= abaxo, Quâ, dentreasfuhçôescujosgnífcosaparccern 5 é nletoÍa? 38- (Utucaf-SPl As funções fe g âssociârn, a cadanúmero a) b) por3 e por6,rcsnatuml, o rcstoda divisão do nÚmero pectivamente. sendoassm,pafãtodonÚmerc nat!€lx,
gtf[x]lé isuala: a) ftxl. c) 2(x). bl stx). d) 2s(x).
e)f(x)+ g(xl.
. tuntexto Malemálkã &Àplkâçoer
39. (UFPB) Considere a funçãof: 10,2l . * t0,31.deÍnida _unção - " por t.l - {'[,r10
4t - (ESPí\I-SPI Se Í e g sãofunçõêsÍeâisdefnìdaspof
[l+ z^+ a.se*= r g(t] ! Ìt! - j_ e - 3. e !ão lrx+4.s€x
al K= 0 b ) K = l.
e)K:a.
c)K=2.
oK= 3.
42. [Fâtec-S P] Sejaf a funçãode R emlRrepÍesentada no gráfìco abaxo.
0 grálìcodaíunçãog, de R ern R.defrnda por g[x) = f[í[x]1,intercepta o eixod€s: al ordenâdas no ponio[0,3J. /
1^
\
blabscssasnooonlol -:: o I \3 / cJ odenadas noponto[0,4J a1atscissas no ponto[ -{, o ] \e./ el orden€das no ponto[0,6). 43. tunit€D SejaÍ€ íunçãodeA emlRdeÍnidapor í[x) = ] 2x.Seo conjunto imagern deÍéo nteNalo [-3,]tl,oconjuntoAé: âll 5,21. c)l-5,11. e)ll,5i.
bl t-2,51.
d)tr, 51.
(,ffi-ffi 44. (FGVSPlNumacidade do Íìterior doestado deSãotàìrlo, umapÉvlae eitoÍalenüe2000fi iadosrevelou ass€guintes nforÍnações A, B e C, do a rcspeito detrêscandidatos (PD,queconcoÍÍeÍ€ìm l%Ítidoda Esperança atrêsc€fgos diferentes: l)TodososÍl adosvotârame nãohouveregìstrodevoto err b?_co.tdnpoLcodFvol0nJo. ll280 íÌliâdos votârâÍn a íavordeA e de B. Ill) 980frliados vota€matuvordeA oudeB, ÍnâsnãodeC. l\4 420fliadosvotâÍam âtuvofdeB, ÍnasnãodeA oudeC. \41220ÍìiadosvotaÍâÍn â íavofde B olrde C, masnào deA. 40, [AFA-SP) Sejafr [1, @J..* [-3,6] a funçãodefinida VD640filados\olamma favordeC, masnãodeA oudeB. porf[x):3x'?- 6x Seg [-3,ó)*[],óléafunção VID I40 fi iadosvotaram a tu\oÍdeA e deC, mâsnãode B. nveBadeí, entâo[9[6)- g[3]1'zé: DeterÍnine o número defiladosao PEque: al 5.i c)5-2r6. al votaÍaÍn â fâvordostrêscândidâtosl : b) 2.i6. - -, d) -5 + 2.,/6. bl votaÍâÍn â íâvordeâpenâs umdoscânddâtos.
t
45. [UFR.J) UÍnaamostmde ]00 caxasde pÍluiasantcon-
Funçãoafim
pea Nascebern cepcionais fabricadâs S,A.foienviada pâ|aa fscalização Uma íunção fi lR sanitára. Notestede qualidade, 60 lR chama'sefunçãaafim por conterem píìu quando existem dois números reais a e b tal que loÊm aprcvâdâs e 40 rcprovadas, lasde ladnha.Notestede quantidade,74 forâÍnapro- f(x) : ax + b, paratodo x e lR. poÍ conterem vâdase 26 reprovadas um númeroTneSeâ : 0,(x) : b éfunçãoconstante. nof de pílulasque o especiícado. O rcsltado dos Seb: 0,f(x)- axéíunçáolinêâr. doislestesmoslÍouque 14 caxasíomÍnrcprovadas Gêometricamente, b é a ordenadado ponto onde ernaÍnbosos testes.Quantas caixasfommapmvadas a retâ,que é gráfìcoda funçãof(x) : ax + b, intersecta ernambosostestes? o eixoOy,poìsparax = 0temosf(0): a.0 + b = b. 46. (Unicarnp-SPl0 índiceI demassa coÍpordld€ unìapes'1. ondeM e a | "sh' sa do corpo,dadâernqLrilogmrnas, e h é a aturada pessoa, em TneÍos. o índiceI permleclassÍcaÍuma pessoa adultadeacordocomâ seguinÌelabea: soaàolltae ddooDelafoÍrnLla |-
20< l< 25 25< < 30 l> 30
P,(\,y,) ê P,(x,,y,) v. v, ^v Âx xr
>29
al Caclleo ÍndiceI paÍauÍnarnulher cujamassaé de Xr 64,0kge cujââltura é deI,60Íì. CassifÌque'a segundo Onúmeroâ chama-se inrrnoçAooucoefìciente angua tar,ea acrma. /drdessa fêta em relação ôo eixo horizontalOx, paraqueumhomem b) Quâlé â aturarnhirna cujsÍnassa é de 922l(gnãosejaconsiderado obeso? Funçãoafim crescente,decrescente
47. [Vunesp]LJÍna funçãode vaÍávelreâlsatisfaz a cond-
a \,â aÇã0-[\ 2ì - 2Í[r) + fflì: qJalqe q .e se_a quef[3) = 6,deterÍnneo valorde: velx.Sabendo
e zeroda funçâo a > 0 *função crescente
â)ítrl; bl it5l.
44. [EÊ|\/]-SP) UÍnafunçãof: lRi * lRsatisfaz a seguÌnte propfedade: fla, b) - f[a] + f[b). a) Determine f(ll. quef(2)= I, determinef[8] b) Sabendo 49. [Ulscar-SP] quea Umapesquisa ecoógcâ determnou populaçâo (S) de sâposde umadetemnadaregiào, (m) de inrnedida emcentenas, depende da popuiaçâo setos,medidâem Ínilhares, de acordocomâ equação stÍr r - b) -
lt
A' poou'açao pors_avez. ce r-seroò
{-. vaÍiacoma pr€cipiÌação hJ de chuvaemcenúmetoq de acordocoma equação m(p)= 43p+ 25. al kpr€ssea popülação desaposcomofunçãoda prccipibção. bl Calcuea população desaposquando a precipitação é de 1,5cm. 50. (UFMI Selam ftx)=x'z+ 3x+ 4eg(x)= âx+ bduas as constanles reaisa e b oaraoue ; Determine (f o g)tx)- tg o D(x)pa€ todox rea.
x = r+ f (x ): 0 x > r+ f (x )> 0 x < r+ f (x )< 0 a < 0-
funçáodê
M.temáuo. Conrexro &ApllGçÕè!
55, CacuiequantoumapessoapâgouaoseinscÍevef 5 semanasapÓso iníco do cuÍso al R$62,50 d) R$78,50 paraasquestÕes o seglint€€nuncâdo [FaapSP)Considerc b) R$ 50,50 e) R$8250 51e 52: = c) R$ 74,s0 y f[x] nuÍnnteÍvâo detempox  varâçãodetemperatuE é dadapeaíunção 56. Expresse a taxade inscÍiçãoeÍníunçãodo núÍnerode s€f[xl: [m, 9)x,+ [m + 3)x + m - 3. Ínanas trânscorridâs doclrso. d€sdeo início a)T=12,50[12 x] dlT=12,50(x+121 51. Larcul"m de r odoquêo g olLo od l. _çãosejaJ'ì a bl T = 12,50x €)T=12,50x+12 ÉÌâpaÉleâa0exox clT=12,50x 12 clO 3 el-g a)3 blg O 52.Cãc! e m de rnodoq!€ o gÍáÍcoda funçãosejalma retae l[x] sejacrcscenÌe dl e e)0 êl 3 b)s cl3 gtáÍcadâ íunção :É1.tÀ4acksDA Ín€lhorrepresentação
58. IPUC-SnUrngÍupodeamgos"crou lma nov€undade de medidâpáraternperaturas: o gÍaul%totr Estabelece ram,enüio,LrÍna corr€spondênciâ eÍìÍeasmedldas deteÍÍ peatuÍasemgrEusCelsiusCCl,já conhecida, € emgÌ€Lrs PatotâCP),mostrEda naÌabelaabaixo:
= :-----:: é írxì " 2x-6
al
= 0,4er[3]= 06. quef(2) 5r, (FGVsnUmaíunção(réta quepa€x entre2 e 3 o géÍcosejauÍì segAdmitindo queo valor mento derelâ,podemos afrmaÍ dek,ta que ftk)= o,é: a) 2,4A. b)2,35. c) 2,45 d)2,54. d2,55.
0l
quea áOLrâ naLrnidade LernbEndo Íervea 100'C,então, PatotaelâÍerveÉâ al s6'. b) 88'. cl 78'. O 64'. el56'. 59. [EpcarMG)Urnbotijão degáscontérn ]3 kgdegás.Enr pordia,0,5kg do se! conteúdo. O Ínédia, é consumido, esboçodo gÍáÍìcoqlremelhofexpÍessa a Ínassay de gásnoboÌilão, erníunçãodex [dâsde conslmo]é:
54. LAFA'SPl SejâÍ urnalunçãorealdo prlmerc g|aucorn : de +ítlleíI ll =2 Í(0J.Então,ovaof f(0) 1
é 60. (FGVSP)Arualmente, ovaoÍ deurncoÍnpuÌadofnovo que R$3000,00. selr valor decresce Inearrnen S€bendo â) 3. bl -2,5. te como teÍnpo,de modoquedaqura I anosseLvalor paÍaasquesÌões (FaapSPJConsdere nt€enuncâdo o segLr serázero,podemos aÍìmarquedâquia 3 anos[conta 55e 56: dosd pdn de l_oje'o \aloroo.onpJtèdose.à nuÍì club€d€ natâçãoé de R$150,00 A taxade inscrlção a) R.$ r 875,00. d) R$r 850,00. pê a o cufsoide in)c ê!p S" uma Lnd pessoa Dessoa se re inscrcve c )o dê l22 seÍnanâs. ,er rnd". S€ b) R$r 8oo,oo. el R$r s00,00. o nÍciodo..errso,.a taxaé rcdlrzda linearment€. c) RNI825,00.
r[3]é:
c) 2.
dl -1,5.
t
Contsto &AplkaçÒes À,làtÊmàrka.
a vida a camada de ozônioprotege 64. IUELPR]Enquânto pode coÍnpro gás ozÔnìo na baixaatmosfera naTerra, o do aÍ o g ilco â segur€Íe€-seao Írelera quaidaoe do aÍ na Regãol\,4e da qualidade número devlolaçôes peíodo do entre rnmpÍeend no tropolitana deSãoPaulo, (]m que quantiem a 1995e 1999.Percebe-se momento ozôn o Íoiidèntica de daconcentração dadedevlolaçôes de caÍbono deviolaÉesdemonóxido à qu€ntidâde Númr.
d. vlohç64 p.r.nô
em Supondoque o últmo segmentor€presentado gÍáíìco prclongue indefìn dârnente, é coffeto cada se aímar que: o espaçopercoÍidopeo aJ nos l0 segundosniciais, peo móvelB. ÍnóvelAé maiofdoqueo peÍcoffido mó\€l nìciais, avelocdadedo bl depoisdos 5 segundos AéodobrcdadeB. do ÍnóveAé cl nospfmeircs2 segundos, a velocidade o tÍiploda de B. têma ìnicias, osdoismóveis dl depoisdos5 segundos mesma velocdade. movmento, el osdos móveis estãoemconstanle O conlunto solução dainequâção 67. (UFtulGl '-{rCR -3) d \-21 F ão.ovèloÍdeaé: dl10. e) 13. a) L b)2. c)7.
r995
de ônibuscom60 DuêsempÍesas dispõem 68- tUFV-[,4c] aÁguiâ DouÍada cobmlma lugaÍesPârâuÍnaexcu|são, por passâgeirc, en_ R$ 25,00 taxaÍxâ deR$400,00 rnais quantoa CisneBmncocobraumãtaxaÍxa de R$250,00 de exO núrnercnínimo maisF$29,00pof passageiÍo. para que Aguia Dourêda o contrâto corn a cuEionlstas é: lìqueÍìas baraÌoqueo contrato coma CisneBranco el40. a) 37. bl41. c) 38. d)39.
quefornece o valofmasaprcxiÍna Assinaleã alternaii\,ã deviolações. do dessaquantidade custa 69. 0bmec-SP) Umpãcotede 4 pilhasrccâÍÍegáveis el 99 c) 9l dl97 b) 87 al 83 R$25,00Urnrecaffegador de pihas,coÍì capacdade pârarecaregaf4 pìlhãsde umavez,custâRJ95,00e qLeassocia. a cadarÚ nerc 65. tlLv"slSP)SeaÍ a tunçéo geÍâR$0,20de cusiodeenergia elétfcâcâdavezqueé o x + 3 e x + 5. AssLm, reâlt o menoÍdosnúmems cus LrtlizâdopaÍErcmÍregar 4 pihas.UÍnapilhacomum v€lorÍnáximo deí[x] é: ta R$0,80e ternduraçãogLal€ot€ÍnpoqueumapLha e)7. cl4. d) 6. b)2. a_l L podeserúiizâdânumaparclho âtéprecrccaÍegável queuülza4 pi saf de nova caÍga. Se urÌì fotógrElo uÍna s, a posrção âbaixo reprcsentâm 66. IUELPR)0s gÍáÍcos porseÍnana as4 pihasr€ lhâscoÍnuns decidircompÍar dado emfunção dÒtempot, dosmóveis, eÍnmetros.de carr€gávels entãoeleteÍáÍecuperado e o ÍecaÍregador, emsegundos. o dnheiÍoinvestido nestacompra: â) emÍnenos de3 meses bl eÍnmâsde 3 e mefosde 6 ÍÍeses. de I meses. cl ernmaisde 6 e menos dl emmâisde 9 meses e Ínenos deumâno. el emrnâisde uÍnâno. 70. 0\/acksD A fgum mosüsos esboçosdosgúÍcos das queâscopâosprcços fundesA(x)e B[x),quefomecem dorasA e B cobrãmpa|aibzerx ópiâs de r]m€fo ha.
t
nevisão geÌd
Pamíazer360cópiâs, a copiâdora A cobÍa: a) R$200ê menosq!€ B. bJ R$5,00â nìasqueB queB. cl R$10,00a menos 9 dl do ouecobraL 2 preçocob€doporB. el o mesrno
76. (FGVSPJQuando umaíarníiatem urnârendamensaoe R$5 000,00, e â consorne Rg4800,00porrnês.euarìdo a rendaé de RgI000,00,e a consome Rg720000. a) Chãrnando de x a rcndamensal e de C o consurno, obtenha queo gÍáÍcode C enìfunçãod€x, sabendo C emfunçãode x é umaÍeta. bl Chamase polpançamensalda íanrÍia[p] à Íenda 71. (À71âck SPI UmaeÍnpr€sa mensamenoso coffespondente de telefon a ceulaÍoíeÍec€ consuÍno. Obtenha planosrnensais, PemÍ!nçãodexeencontre de 60 e 100rninuÌos. a preçosíxos e osvaoresdarendaparâ paËcadarnnutoemexcesso, propoÍconais. osquaisâ po!pançã é cobmda é rnaorqueRgI 000,00. umakría d€ R$3 00.LlÍnus!áfo opÌoupeo ptânode de boíìésopema uÍnclstofxo de 60m nutosâ!mcustomensa deR$105,00.Nop rne- 77. [Uíes)Urnfubricante R$ I por 200,00 mès(coÍespondente a àuglel,s€guro rc més,eleutlÌzoult0 minltos.Seee tivesse opÌado prestações e de máquinasl. O custovaÍiávepof bonéé p€loplanode ì00 mfutos,Ìefa econornizãdo: deR$2,00.Âtlamente sãocomercia izadas I000 undaal R$a0,00 dl R$55,00. desmensâlmente, â urnprcçounitáÍio de Rgb,00.Devibl R$45,00. el R$60,00. do à concorrêncâ no rnercado, seÉ necessaro naver c) R$50,00. lma rcduÇão de 30%no preçounúio de vendâ.parE 72. [fuvesfsP]Urnestaconanì€nto cob|aRg6,00peiapr! mânter se! ucÍonì€nsal, dequantodeverá sero aumen mdÉhomdeuso,Rl3 00porhora adicÌonaiercrn uÍn€ to naqlanidadevendida? despesa dráriade R$320,00. Considere se um d a ern 78. 0tunespl qLr€ Cornoresutado selamcobÍadas, de uÍnapesqu sasobÍea r€anototal,80 horasde€stacofamen to O núÍnero do pé de lrna pessoa, mínmode usuários paraqu€o enrcerìtí necessário Èio enlreo coÍnpÍimento rneúos,e o rìúmero(tâmanho) estacionarnento obtenhaucronessed a é do caÌç€dobrâstero,CaÍia obleveumâfórmula quedá,ernÍnédia, a) 25. bl 26. c) 27. dl 28. o núÍnerc inteiro e) 29. n do câlçado)eÍnfLrnÉodo comprìmerìto Ltamanho c, do pé, eÍn centíÍnetrosPelafórmula,tem se n = lxl, onde 7 rrdtcâo re oÍ Inrero-nâior [.] - -c oL 'gJd, 73, [unicamp-SPJ ìrãtransfomafgraus ?hÍenheLerfgEUs a x. Porexempo, se c = I cÍn,entãox = t8,25e cen.grddos usase a Íorr JrdC - :íf n = []8,251= 19.Cornbasenessafórmula: q_ - 32) o.ìopF al determneo número docaçadocoffespondenlea um éo número degÉusFahrenheite C é o núÍnero degraus pè culo comprm€nto é 22cm. ceftigrad0s. bl seo comprinrento do pédeumapessméc = 24cÍn, al ÌmnsfoÍrne 35 grauscentÍgÍádos eÍngrausFahrenheit. então elacaça37 Sec > 24 cm,essapessoã calça bl Quâla ternpe€tua (emgrauscentígradosl em queo 38 ou rnais. Detemin€ possÍr'e|, o rnaioÍcompÍimento númemde gt€ìrslãhÍenheit é o dobrodo número de em cerìlímetros, quepodeter o pé de umãpessoa gÍauscenÍgrados? quecalça38. 74. [Unicamp SP]O preçoa serpagopoÍ urnacorrdade 79. tunicãmp-SP) O cusrode umacoÍÍidâde táx e cofsl|iiáx inclu umaparce€ Íxa, denominad€ bande€da,e poÍ tuido JT valo i,ìoalqo,'t\o. 1]ais LnvaloÍqde!à-iá urnaparcela quedepende percoffida. da distânci€ Sea oro00 onalÍrente; percon,dã d stánc'a D nes!êcor-ibandeirada custâR$3,44ecadaquiômetm rodado clrs da.SabeseoLe.er . Ìà co idâ,ìaqLalÍoÍãÍrpe-cor" ta R$0,86,cacule: dos3 6 kÍn,a quantêcobrada ío de R.g8,25,e queem al o preçode umacorridade I I km; outmcofflda, de 2,8krn,â quânÌia bl a dsrâncêpercoÍrlda pof Lrmpassageiro quepagou cobËdafoideR_g Z2s. aJCacule ovaor nicaqo. R$21,50pelacorrida. b) Se ern um da de ü.aba ho, uÍn raxistaaffecadou 75. tFcVSPJUrìrvendedof rccebernensalmenre umsaaro R$75,00ern l0 corrdas,quantosquiómetros seu Íxo de R$800,00maisumacoÍnissão de 5% sobreâs câffopercoÍreLr naqleledìa? vendasdo Ínês.Fmge|al,a cadaduâshorase meâde 80. (fuvestsPl UmafunçãoÍ sarsbza identdade trabaho e e vendeo equivalente a R$500,00. Í[ax) = aÍ(x)pâÍatodosos números a) Quase! saáro mensal eÍnfunçãodo número x de Íeaisa e x. Além por hoÍâstrEbahadas mês? dlsso,sabese quef(4) = 2. Consldere andaa função g(rl - tx tì + 1 pam odoo rnero Íeatr. bl Seelecosturna trabaÌhâr 220ho|aspormês,o queé preíeÍve:!m aumentode 200áno sâláriofìxo,ou g(3). a) CaÌc!1e um aumentode 20qtlde 5qópara6%)na taxâde bJ DetermiÌìe f[x), parâtodox real. cl Resovaa equãçãog[x] = L
&ApLi(açõer Màtemáli.a ' Comdto
Concavidade da parábola
çãoquadnática quodr.iicaquan UmafunçãoÍ R* lB chama-se do existemnúmerosíeaisa, b e c, com a + 0, tâl que f(x)= ax'z+ bx + c parâtodox€ R. ÍtR-lB x - ax':+ bx + c
Formacanônica flx)= a(x mì':+k,emquem:
ã>0
h
ie )à
k=r(m)=
Zemsda funçãoquadÉtica ; *. j 1j:*
a*
(ÍoÌmì'llaque Íorneceãs 'âizes 2a da equãçãodo 2egÍau ax'?+ bx + c = 0) x
---:
ObseÌvãções: da 4acé.hàmadodisciminante le) OnúmeroÀ=b: = funçáoquadÍátìcâf(x) ax'?+bx + câx':+bx + ctemdois 2e)QuandoÀ> o,afunçãof(x)= zero5reaisdiferentes. : âx']+ bx + ctem um QuandoÀ = 0,âfunçãof(x) zeroÍealduplo. QuandoÁ< 0,afunçãoíx)=ax'z+ bx + c nãotem zerosreai5.
VéÍtice dadapor Ovérticede umaparábolâ : ladoassiml f(x) ax:+ bx + c,a + 0,podesercalcu -, / b ^ì b
RelaçõesentrecoeÍicientes e raízesda equaçãoquadrática ax 2+bx +c = 0 ( a * 0 J . Exjitindozerosreai5tal q're x = h ./a x " : - : '_, obtemoç: S= x i + x " :
b +" [ --;
h :
^"c
FoÍmafatorâda ax'1+bx + c: a(x x'Xx- x")= a(x'z sx + P)
GráÍicoda funçãoquadrática
o sr
é umaparábola. da funçãoquadíátìca
'"
Máximose mínimos < 0 Valormáxìmo:a
^ 4â
meÍode zemse concavidâde ^:0
lu --
^i
lv-
lP.
n
/\ /\
85, (UEL-PRl O Paneron, constÍuí.lo emAtenas, nacféca Ântgâ,exempifcao esto € as pfoporções oLrese en comramenìquasetodosos templosgr€gosDo ponÌo 8I. [FGV'SP] Sejaalunção l[x] = x: Ovaorde dev stadageomet a suafachada é rctang|Jìêr í[rn+ n] flm n] é: [vefÍgu m abâxol possu e meddas especais. obtdas da s€ a) 2m,+ 2r,. c)4nìn elO guinte Íìan€im toma se Lrm segrnento de cornp rnento b) 2r, d) 2rn'? L e d vde-seerìrduaspaftes.de tattorrnaqueâ mão 82. [FaapSP] ljm rcseryatófo esÌásenrloesvazado paÉ €nÍe o segrìrento rodoILJe a pârternaiof[x] sejaguâ rmpeza. A quantidad€ de águanoÍeseNatório, €rn trcs, à mzãoentrea parternaore a paÍe merìorA pafle t ho€s apóso €scaamefio ter começado, é dadopof maiosefaâ basedo fetánguo earnenof,aatum As V = 50[80 t],.Aquantidâde quesadorcseÈ deÉgua snalea alïernatva qle indicâessarâzão vatóaonasc ncopf me|ashorâsd€ escoamento é: ^ì2 a) Z8l250it os. dl 38 750 iÍos. ") Ê-bJ32 350 itÍos. el 320000itms cl 42500 tros '2 83. tUFBAIS€ndoftxl = tx 3)[x + 2] unraflnçãorcal, pode-se ^1: afrmaf: 0ll 0 conjunto magem daflnçãoé I õ 3[ 021O gúÍco daflnção nterc€pta o eixodasabscrssas -2 nospontos| 2. 0l e (3,01. J5 +3 041Afunçãoé crescente no nte|Va o [ 3,2]. 081O gúfco dafunçãotem vénicenoponro
l.r ?sì 16l PaËrodox < 2,t(xl > 0 3 Oeod".r p odog-è.ooo ur.do-, J\,4aÍque comoresposta a somâdosltenscorÍetos. 44. ryunesplO núrl]eo de cliagonais de Lirn po gono conv€xo de x adosé dâdopor Ntxl =
2
o p0igonopossuI d agonas,seunúrìrefo de ladosé: a Jr 0 . bl cl8 d)7 el6
86, lFlrvest SP]Sejarìr xl € L asmÍzes da eqlação l0x: + 33x- 7 - 0. O núrìrefonteÌorÍa s próxÍnodo nlmeÍo5xrx,+ 2[x + xr] é: a) 33 bl t0 cl z dltO e)33 ! qêq nr. L o\;o,/0pos d.asÍai,, feasr e s tas qLr€ f: 2s OsvaoÍesdeÍ e s sã0,rcs "ì: êbl 2€l
d]-2e
I
. conlexlo &ApliGióès Màtemátic
Nâscondçôesdadas,o custototâlmlnlmoeÍn qÌreã 88. iUFPB)Seí: lR- lR é uÍnafunçãoquâdtátcacLrjo podeoperaf, ernR$,é guâ a: empresa €bâixo, eflão: gÍáícoesú d€senhado el4400,00 cl4000,00. aJ 3600,00. â) f[x) = -x'z 2x + 3 d) 4200,00. bl3800,00. bl l(x) : -x': + 2x + 3. cl í[x] = -x'? + 2x - 3. 94- [fuveslsP] 0 vaof,eÍìrÍeas, de urìrapedrasemprccosa d) Ítxl = x'?- 2x 3. desuamassã igualaoquadÍado é sernpre nurneÍicamente e)f[x):x'z+2x+3. de I g|Ërnas uÍnadessâspedras, eÍngÍâÍnas.Infelìzment€ fo o maioÍ 0 prcjuízo caiue se pâÍtiuemdos pedaços. foide: possí!€1. EÍnreaçãosovaloÍorigna,o prelu2o al S2qó bl80%. c) 50ft. dl 20%. el 18% queÍeprcsentâ o gúfco de a Íìgura, 89, (tJFÌúGl observe Y= ax'z+b x+c
95, (UFPBIO gráÍcodalunção
falsaemr€açãoa essegrárco: Assjnâle a únicaâfÍrnattva c) b é postrvo. a) âc é negativo. bl b'?- Aacé Positivo. dJc é negalÚo.
L' ep-eseado_aÍìguzabaiv - Ír\ - --\ 200 5 xo,descrcve â trajetóa de (rmprcléti,ançadoa paÍiÍ da ongem.
a ênF emqulôÍneÍos, dados Sab€ndo seqLrexeysão ra rnáxiÍnaH e o âlmnceA do prcjéti são,respectivâ d) l0 kÍne 2 krn. €l 2 krne 20 km.
âl 2 krne 40krn. b J 4 0 k me 2 k m.
poÍ deÍÌnldas 90. IUELPRISejâmas íunçõesquadráticas c) 2 krne l0 kfil. l[x] = 3x'z- kx + 12.Serlsgúícos nãocortâÍno eLXo Âssinaea únicapropos à condição: 96. [UFSC) se,k satisÍz€r se,e somente çãocoÍÌeta. dasâbscissas gnáfco de umaparábolâ o A fìgu|a€ seguiÍreprcsentâ al k<0. o0 -. d) A equaçãonuncaterámÍzesrcâ6 seÍn : 0 el As mkesseÍãonulas, rea dadap0Í 92. iuEL-PRlA funçãoÍeâlI de vaÍiável : x'?+ l2x + 20,ternumvâlofi f(xJ iguala 16,parax = 6. a) Ínínirno, igualaI6, Parax = 12. b) mínimo, ìguala.56, c) máximo, PâÍax = 6 iguaLa 72,Parax = 12 d) Ínáximo, iguâla240,PâÍax = 20 e) máxirno, demercado queocustoporun]dade Sabe-se 93" IFGV-SPJ pea ÍLrçÈo é dado pÍodJ/oa enoÍesa de uns 'a 160,o_deC(\) é o cuslopol crÀl-x--:-::x é o totalde unidades Produzidas.
queumiìó suspenso enlrcduas 97, (Fuvest SD Suponha d [veÍ à distância diuâ h, sjiuâdas colunâs demesma deumaparábola f glrral, assurna aíoffnâ
d
tambémque: Suponha Ínínirna doÍo âosolosejaiguala 2 a âltut€ D ll) a ahu€ do Íìo sobrcum pontono soloquedista? de Lrma dascounassejaEU€lâ . dvae: Seh = :d entâo a) 14.
bl16.
c)18.
d120.
e)22
t
pordia;quândo dorescomparecem o preçoé R$15,00, poÍdiâ. comparecem 180frcqüentadoÍes al Adrnitindo queo preço@l relaciona secomo nú pordia(x) atÍavés ÍneÍod€íreqüentadores deuma fungãodo le grau,obtenha essaíunção. b) Nlm outrcparqueB, a reaçãoentÍep e x é dâdâ poÍ p = 80 - 0,4x.Quâ o pf€çoquedev€Íásef paÊmaxiÍn cobÍËdo zaÍa rec€ita d árâ?
98. 0JFPBI 0 domíno dafunçãof[,= al rR- {0}. bl {x€ Rlx > 01. cl{xeRlx>li. dl {xclRl-5 7 ou x< 3,assina e â âteÍnat v€coneia. al (x+ 3)(x 7)<0 b) (x+3)(x 7l>0 cl (x+ 3)(x 7)=0 d)x'z>49 e)x?<9 lOO. (FGVSPIO custod áfo de produção d€ uÍnaftisoé C = 50 + 2x + 0,1x,, ondexé a quanrdade dáfa produzida. Cadâundadedo produtoé venddspoÍ R$6,50Entrequevalorcs devevafafxpaÍanãohaveÍ Ve)uím? al 19
paEìloãf dut"nte4 106. 0-IFRJ) llfn avìão temcombustto€ horas.NapÍesença de lrn !€ntocomveocidadev kn/h nad ÍeçãoeseÍìtdodoÍnovimento, a\€locdadedoavão é de [300+ v) kmrì. Seo avãose desocaemsentido contnároao do\ento, sua\,€locidadeé de[300 v] knvh queo aúãoseabsteâ urnâd stâncâd doဠSuponha roportoe retorìea0p0nt0depairjda,consurn ndotodoo coÍnbusÌível, e queduEntetodoo traletoâ velocdâdedo ventoé constante e terna mesma dircÉoquea do movi meÍìtodo aüã0, aJ Determine d comoflnçãodev. paÍaqle vâof dev a d stância bl Determine d é má I 07. [Vunesp]Emumacdenteautomobì tutico, lo soâdaLrma regiãorciangulaf, cornornostrado naígura:
I O l . tuncarnp'SD Unìapiscna,cujacapacidade é deI 20m3, eva20 ho€sparaseresvazada. 0 loumede águana piscna,I hoÍ€saposo iníciodoproc€sso deesr"azìaÍnento, é dâdopelaíunçãoV(t) = a[b - t]'zpara0 < t < 20 e V[Ì]=0Pa|ãt>20 al Caculeasconstantes a e b. bl Façao gráfco daflnçãoV[tJpârât € I0,30]. lO2. TUFGCD As razesdaequaÉox'?- px + q = 0,onde p e q sãoconstantes. sãooscubosdasÍahesdâequâ€o x, + x + 1 = 0.DeterÍnine osvalores dep eq. I 03. [Vunesp]Consid€€umr€têngllocujopeímercé I 0 cm e ondexé a meddadeumdosados.DeteÍmine: al a árcado rctânguoernfunçãodex; bl o vaof de x parao qua a áreado Íetángu o sela mãxÍna.
[_l
Se17rnde coda [esticada e semsobEs]fo|amsuÍcentesparaceÍmrtfés ladosda reglão, a saber,os dos ladosmenoÍes de rnedida x e uÍn adornaiofde rneddây, dâdoseÍnmevos,determine: al â área[em m'?]da regiãosolada, eÍnfunçãodo taoomen0r; b) a rnedda dos ladosx e y da rcgão Íetangular, sabendoquea ár€ada regiãoerade 36 Ín'z,e a nedidddo lado1]erorera umnLÍnercntetrc.
I08. tFuvest SPISejaítxl = ax'?+.[1 - a]x + 1.ondea é umnúmercrcaldíeÍ€nte de zeÍo.Determ ne osvalorcsde a paraos quaisas rakesda equaÉof(D = 0 sãoreaise o número x = 3 pertence ao intervalo fe clradocornprcendido entÍeasraízes.
104, (UfeslUrìramcrcempr€sâ íabÍicâe vendejaquerâs. l09. iFGVSDA ÍecetaÍn€nsa[eÍnreas] de urnaernprcTodas âsjâqletasproduzdas sãocomercalizadas eo sa é R = 20000p 2000p,, ondepé o prcçod€ prêçode vendaé R$75,00por Lrnidade Se o custo vendade câdaunidâde < p < ]0). [0 totaldiárop€ÍaíabfcaÍx jaquetas é dadoernrcas pof paradafuma al Qualopreçop quedevesefcobmdo C[x]: x'?+ 25x+ 100,deteÍnine: receitâ de R$50000,00? paÍãque al o número dejaqletasaseremproduzidas b) fàrdqu€valorcsdep a receitaé nferjofa o lucrctotaldiário sejamáxmo; P$37500,00? bl o lucrcro9tdiá o máxiÍno. 1lO. (Ll-PElSe à eqJâçlo - n6, w *l-" ' cujodorníno ' "' é o conjunto q!ândoo prcço 105. (FGVSP)Nfm pâÍque dedveÍsô€sA, Lrma funçãorea y = ftxl qle 200íreqüenÌade ingÍesso é.R$10,00, veÍiÍÌca-se doo.ea|s.elcorlre o mãor vâororp p podesssuífl| .
l{atemátki, Conleno &Aplca(ões
ódulo,Íunçâomodular, logaritmo, funçãologarítmica Módulode um númeÍoreal O móduloou valatobsolufo de um númeroreãlr, q u er ep r e se n tamos porlr, é igualarseÍ>0eigu a l lí = Í,ser>0 r = -r,ser<0 ObseÌvaçáo: PâÍatodox € R,temos.vçt : F .
Nessâequivãlência, temos:
logaritmo Ic a: basedo logaritmo I lbì logãÍtmando condiçãodeexistência: log.b existequandoe
t
[b>o 5omenteouando { ' la > 0 e a + 1
Propriedades
Conseqüências dadeÍinição de logaritmo
1 . ) Pâr â tod o r € lR,temos 4 =J-r. = lx':= x'?. 2q) Paratodox € lR,temosx'zL
Funçãomodular
Considerando ascondições de existêncÌa, lemos: 1.) log"l =0 4c)l og?aN : N 2q) log.a:1 5q)l o9" x: l og" y< + x: y 3e) â"q.^= N
Denomina-se furçâo modulorà funçáoÍ, de R em = lR,talqueí(x) xl,ou sejãl
Propriedades
. .. : Ix,P a "'a=o ' '" ' ]-" ,p " ," *. o
Considerando ascondições de existência, temos: lq) lo9"(M . N) : los,íM+ los,N 2E) log, l- = log- l\/l loq_N 'N
Funçãoexponencial Dddoum númeroÍealâ (à 0 e à 1),denonina mosfunçãoexponencial deódseo umafunçãofde lReÍn Rï definidaporf(x) = a"ou Y = a*.
Gráficos dafunção exponencial O
3â) log. [4N= N . log" À4 4q) loqtrN :
::r- lmudançade base) tog"n
FunçãoIogarítmica Dadoum nuÍreroÍêdlâ(d 0ed 1ìdenoÌrnase lunçaalagoì nka de bo'ea umâÍ,rn(áof de R" eÌ Fì deínìdapoÍf(x) = log.x ou y = log"x. Obsêrvaçáo: A funçãologarítmica é â inversada função exponencial.
Gráficos daÍunção logarítmica 0a"3l
l">v.sea>l .lx
Logâritmode um número L se Dddo\ o\ númerosredisoo\ifvosae b. com a : b a', então o expíénÌe a chama-seloga tmodeb na
a+ 1 log"b: c <+a'\ b, coma e b positivose
= lo9"yv.sea>] InequàÉo:log,x> log_yê I y.se0 l\ "
l
nevisão 9êÍâl
111, tESPlVl SPIQla o sráÍÌcoqu€ rnehor reprcsenta Ê = flnçãoí:lR----+ lRtalqueí[x] x I +3? al
I13, [Unfesp] Consdere a ílnçãa []seo
àl
I 12- tFLrvesr SPJ0 mód!o x de urnnúmeÍo Íeâ x é deÍndoporx =x,sex>0,e x = x,sex<0 Das alemativas abaixo, â qLr€melhorr€prcsenta o gráÍco
I teúoseg!ftegÉíco:
. tumeÍo&Apkaçóes Mãtemálka
123. IUFCCÊl0 núm€rorcalx,posìtivo e diferente de 1, quesâtsfâzà equaÉo ìogr[2x].log, x:3 log,\çé rguala:
at 1,0
ú 2.
Ò 2tr8. ü4.
e)4{,.
lzz"= s'
124, toLJC-sD) Se1r"" , _, eìtao\-veiguald -t0 0j--
q-5 ^-
-8 c)--.
.5 eJ-
-2 oJ;
125. (N4ack-SPl O doÍnínodafunçãorca deÍìndapor 3x ^11 3', 2 [,4uhp candoosvzloresnteimsdex quesatisI I 4. IFGV-SD fazeÍn simuhaneamente asdesigualdades lx - 2l < 3 > e 3x 2 5, obtemos: a) 12. bl 60. c) 12. dl 60. r0 0.
al lo,rt bl lr,2[.
cl 12,3t. dl13,4t.
e)la,5t.
126, lUíscar SDSea á|eadotdângulo retângu o ABC,ndquef(n) cado nafg!Ía,é igualâ 3nconcluise é gualal
'| 15. IUFC-CEI a desi A somados nterosquesatìsíâzem guadadex-7>x+2+x 2é: c) 2. dl 15 e) 18. a) 14. b) 0. Sejaftxl = 2a+r Sea e b sãotaisque I16. iFuvesÌ-SPl íial = aítbl,pode-s€ aíÍnaÍ que: cla b:3. ela b=1. a)a+h=2. b)a+b=l d) a-b=2. 'l 17. fUtL Pc, Seo nur erc ea K sa cb,/d eq iã!ào 3'?*-4 3' + 3 = 0,enÌãolG é iSualal al 0oul
22 bl 0oul.
cllo!r.
ell o!3.
a) 2.
d1 z"E.
cl 3.
ü 3Jt.
e) 4.
I27, tl,ilack-SBA ÍìguramostÍao esboçodo gúfco da funçãoY= logs(x + b):
solução dâ in€quação I I 8. IAFASPI0 conjunÌo ,r 1.5é: < [0.oÌr [0,25] a) {xelR x<1}. cl{x€R l3J bl{xelR x>3}.
t 1 9. i un í€sp ) ovaofde"n,('t al n'?. bl 2n.
c) n.
, zn)e: ï;
d) 2log, n
e) log,n.
120, IUFMGISejan:8': "q i5 "&Á5Enlão, o v€lorden é: 25. dl53. al s'?. bl83. c) l2l.
quelog52 = 0,43elog53 = 0,68, AdÍìritlndo-se tUEL-PRI obtérnseparalog5l2 o\,€lofl e) a,2924. a) 1,6843. c) I,54. bl r,68. d Jr,rr.
122. CUFC CDOvalofdasoma 12399 og.o- | 0g.os, 09,T, alO.
bl-].
c) 2.
-r0gro-e: ü2.
el 3.
AáÍeado retãngulo assinalado é:
a)r.
br+
"r;
ü2.
")+
128. IFGVSPl.Daqui a t anos,o núÍnero de habitantes de uÍnac dadeseú N = 40000[],02}.O vaor det paÍa quea população dobrc€rnreaçãoà d€ holeé: loo2 Loo 2 -' logr02 '' - og I,O2 b) 50. el2(log2l[og ],02). cl tlog2l( og 1,02).
geÍal Revisào
Aat!m rnédia dotrcncodecertaespéce 138" TFGVSP) O gerentede pÍodução de umaindúsïa 129. iUfscâr-SPl quesedestnaà prcd!çãodemaderra, constru deáÍvoÍ€, evo! a kbea abaxo relaconando a prcd!ção modeo dosopeúrioscomsuaexperiênca. ui,desdeqLre é plantada, seg!ndoo seguìnte rnat€nìátco: h[t] : 1.5+ log3[t + ]1, comh(tl em árvorcs ío cortadâ rnetfos elem anos.s€uÍìradessas quandos€utrcncoaÌingLr3,5 rÍ de atura,o tempo 6 dâ p antação âté lemanos]lmnscordodo mornento o do coftefoide al s bl e' cl 5 dl4. e)2. 200
AcÍedtâo geÍent€quea prcd!çãoqse rclacona à experênca L atEvésda flnçãoq[t) = 500 A€ K, 'P do ê z7 2 ê k. r nJ"re-oeê pos,üvo queaspoeÉes do gerente al Consde€ndo de proquantos dLrção medessandústa estelam coffetas, pamqLreos sesde experiÔnc a serãonec€ssános ' op€Éfospossarn prcduzf425lnidades pofhora? qua prcduçâo possíve bl Dessemodo, s€ráa máxirna dosoperárlos dessaempÍesa?
do conluntodos 130, (FGVSP)A e B sãosubconjuntos núfiìeÍos reais(1Rldeffidospof A={xelR 2x+l= x+l - x)e o inreÍva o B=lxelR 2< x+l -21] Deternìirìe qle à e Bos uorrpe eâ representa à n E, sendo mentares d€A € B, Íespectvârnente, erì É açãoa lR. I3l.
I32.
tFuvest-SPl paËx rca o gráfcodaturnção al Esboce, l(x)=x 2 +l2x+ll x 6.0sínboloa ndicao valofabsoluto de Lrmnúmercíea a e é d€fndopofa=a,sea>0e a = a,sea<0 bl PaÍaquevaorcsÍeaisdex í[xJ> 2x + 2, Selam > 0 umnúmerc rea e selamfe g tFuv€st-SPl porí[x] = x'? 2 xl + I € íunções reas defnidas s[x]=mx+2rn al Esboce, nurnplanocartesiâno, osgráÍcosdeÍ e de .l oou€nooTn: ern:l 4 e âsÍâ2€sd€ÍLxJ= StxJquanoo m -1. bJ Lletermif de m, o núrnerc de râízes da cJ Deteffnine, emíunção equação f[x] = g[x]
exponenciais, deteÍnl 133. [V!nesp)Resolva asequaçôes vaoÍesdex nandooscoffespondent€s âl 7(r 3)+7(\ n+lti 1)=57 bll-l+l \3i I34.
l \3./
l l \3./
=
zo7
Sendoae b números eaispositvostaisque tUFC-CD log. è
z-4etoq b
2r8 cJ .ho\"or oea.
350
I39.
pa|a foi construída ivunesplUmaescalalogaítmrca representafvalores rnuitopeqlenosdeumavâÍávelx lsandoa fómulay = -logr0x.Alabeamostra dos oesses vâorcs:
1,9
4,9
èl Poro"" o d-.e "ro.r - , p icdrx2oaraoble r,1 b) Sex, = 0,9666991, tr. d€v€sef o vaìorco.res pondenle y3nessaescaa?
Progressôes ProgÍessâo aritmética(PA) Razâo:r=an-an I = âr + (n- 1Ì ou á": âp+ (n - p)r Termogeraì:an Trêstermosconsecutivos na PA(...,a, b,ç...):2b = a + c Notaçâoespecialde PAdetrêstermos:PA(x
r,&x + í)
Eqüidistáncia de termos:
og 2 = a e log 3 = b enì ax+ay=ap+aq<>x+y:p+q 135. 0lVlE-RllConsiderando ílnçãode a € b detemneo logaÍitrno do número (a' + anln somadosn Drimeirosterpgç 5 = nosstèmade base15. 2 Úìã = ar e S" 5" : a^ Observãçáo: Sr r 136. IFGV SD = (x + log + 2) 2. â) Reso vaa equação log[x - 2) geométrica(PG) Progressâo x.s: = l00x? bl Quasasraízes dêequação lr^^ \. r-ros' r^. v -4 q= o'. 137. tl nü T-sD Re.o\€ Razão: ]'oq =3 ",", lxY
. Contexto Matemátie &Âpla!óes
ermogeral:an: arqn ' ou a" = aeq" p
tftrÍmos urnÌerceirc ÍângLro comumdoscatetos rne dndo2 n F o o. rooporaco néf poÊ L<êooòêç| do trânguo.Se conunuaÍmos a construir Íiánguos .eÌo p d" r e"nafo "rc.è Ltpoen cdoo a0rÍérguo
Ìrêstermos consecutivos naPG(..., a,b,c,,,,): b':: ac Notação espe(:al dePGd"trur,orrnor, ,o I a.
\c
".
*o ì
)
Eqúidistância deteímos: âx.ây: ap.ãqê x + y: p + q = ar somadosn píimeiros teÌmo9:Sn
q"-l q1
al 15cm.
cJ14cm
b) I5\A c'n
d) I crn
el e"ã cm.
'146. [Fuv€st SD Emlnìa prcgrcssão aÍitmétca de temos postvos,os tÍèspf meircs teÍmossãoI - a. -ê, {ll a)2
= 9r Limiteda somaíoarã o . 11 ,-5 ] q
a O qlatotemìodessaPAé: bl3. cl 4. dl5.
el6.
147. [Uníesp]Seos pÍrnerosquatroteÍnosde umaprc gessãoaritmét casãoa. b 5a,d, entãoo quociente + e guarâl
140. [Vunesp] ConsdeÍe âs seqüências [a")e [b"] deÍni daspofa"I r = 2"e b"+r = 3', n + 0.Então, ovaof âl 2r r . 36
el 60
bl 02) 5.
l4l,
d l 6 r5
a1
bl8
c)6.
d)5.
e)4.
'142. 0Jnifespl pfrnos A sornadostemosquesãonúrnercs daseqüénca cljo reÍÍnogeraé dadopora" = 3n + 2 paÍannaturË,varando de I a 5 é: â)10 bll6 c)28. d133. el36 '143. 0JEL-PRI Umaprcgrcssâo aftrnétc€de n termos tem m,,ão igLdla3 Serelrarnosose no, deorde'ì 'ì pa o:deod"npa b ndËo.n.pogf-""ão aJ aÍitmétca d€ Íazào 2 bl aÍitméica de Ézão6 cJ êÍitmétca de ÍazãoL dl geornétcâ de €zão3. el geornéÍica de €zão6
defir011é: a)45. bl50.
-
' 5
' Sedo'[)
145; [Un]rio R-Jl Dadoumtriânguo retânguo clloscatetos medeÍìr 2 cm,construÍrnos umsegundo triángulo Íe tânguÌo onde!m doscatelos estáapoiado nahpote nusddo p-|Tero,e o o. ko cêl"roÌêde 2 cí Cors
@ a$rrro.oo.
al R$280,00. b) R$380,00. cl R$I610,00.
-el R$3240.00
149. tUFGCEI Asomadosl5 prime ÍostenÌosd€urruprogrp.ìàodiìó'
aJl0
a F r 0 . O 8 e p m d F c Ì êo A ê
bl15.
c)2a.
d)25.
e130.
I 50. (UFPBIUrnaescada Íoifeitacorn?Q b ocoscúbicos unssobÍeos oLtros,loÊ €uas,quelorarncoocados pihas, rìrando queapimeÍap haÌinhaap€ dernodo nasI bloco,a segunda,,biocos. 3 blocos, a tefceim. eâssrm sucessvament€,atéâ útmâp ha,confomeâ ígLr€abaixo.
ct
4l ftlt Ao o
5,0\èo'
€J65.
els
dosos Íneses, vemfazendo depóstos. cadamêscolocándoR$20,00a rnasdo queno mêsantedorDessâ foma.aoef€tlaro I 4edepósito, Ìeú depos Ìadoa qlran-
al 50. l5l.
cl 55. dl60.
d) ;
c o u q $ 0 0 0 0 - r l J d L o o p r .e t d o e p o - p d . ì ! d - to -
í44, (Ufsc€r SP) Umatunçãof é deíndarccu|Svam€nte coìoÍln +l.
c)2
l4g, tUFSSE)Nomêsd€maio.le rse6,umapessoa coo
(Vunespl 0s coelhos ser€prcduzem mas Ëp darnen te quea maoÍiadosrnamíferos. Consd€re urnacolò qle se niciacornum únco casalde niade coelhos co€lhos adultos e derotepora" o núTneo de câsas adutos destacoôniaaofnalden rneses Sear = l a, = I e,paran> 2,an+r= an+a^ r,onúmercde casais decoehosadultos nacolôna aof naldoqunto a)13
bl ;
;
tl tt
,
ddde d- aporau.op.çd -ç, add -
b)40.
cl 30.
el 10.
A seqüêncaa" é urnaPAesÍita.nente tFLrvest-Spl cÍesc€nte, de teÍnos postvos Então,a seqüência b"=3E n+1,é!ma: al PGcrcscente bl PAc|escente c) PGdecrcscente. DAdecfescente. '.e. dl PA 0J dêL|esce e) s€qüêncaque não é umaPA€ não é umaPG
f
. conler& lúâ1êmátlo &ApllcaÍões
queasemissoras SPJA AnateldeteÍÍnina de 164. iunicarnp rádioFIMutilzeÍn asireqüêncas de879a 1079À,4H2, e qre had LrÌê db€rçà oe 0.2lVHzertÍe eÌìrsso€s coÍnfreqúências vizinhasA cadaemissoÍa, identjfcada porsuafreqÜènciâ, é assocado uÍncana,queé umnú meÍonsturalquecom€çaem200.DestâíoÍmâ,à emis somcujaÍeqÜéncia é de8ZgMHzcoÍesponde o cânel 200;àsegunte,cujâfr€qüênciâ é de 88,1f\4H2, coÍÍ€s cerSu-i se: po deo c€ìa|20L p assrnpordr€ì.F. €l Quanl€s emissoms FÌúpodemfunconar[names mârcgiãol,rcspeitando-se o nteÍvao d€ ff€qüên c aspemìitdopelaAnatel? núÍneÍo docanâl QuaLo lÍeqüência? commaior paÍausoexbl Oscanals200e 285sãoreserv€dos cLs\o dai âdro)coruntarias QLald'reqiència do ca a 285 sLpodo qLe lodasd- lpoüèncas possiúels sãoúi izadas?
Ânguloraso:ângulode medidâ180'
Emumaseqüência de I númercs, aì,â,,..., I 65. (Unifespl a7,as,oscincopfmeiÍos Ìermosform€Ín urnâpmgres sãoartmélica[PA]de pdmeirc teÍmolt os trêsúlti' geornétca [PG)de p mosíomamurnaprogressão quea5= a6e a4: a7: meirotemo 2.Sabendo a) determine asmzóesdaPAe da PGi bl escrcva osoitotenÌosdessaseqüéncia.
Ãngulosformâdospor duas retasparalelascortâdâs por uma$ânsversal:
de 15000reses, umaioiinfec I ô6. [Ufes]EÍnuÍnrebanho tadapeovifus"mcl : C€dâanimalinfectâdo vivedois dãs,ao finaldosquaisinfecÌâoutrostés ânimais. Se (rmaúncavez,emquântoÌempo cadaÉs é níeclada o "mcl o(erminará a Ínetade do rebanho? ]5001: 8.75.1 [Dadorlog3 iguasestãoemumâmâdeìre 167, ivln€sp)Váfiasrábuas ra. espessuÍ€ decadatábua é 0,5cm.FormâseuÍna pihade úbuascoloc€ndo-se umatábuana p mem veze, emcadaumadasvezessegurntes, lantasquantasjáhouveÍem sidocolocadas anteriormente,
ÂnEuloreto:ângulodemedida90" Ânguloagudo:ângulo cujamedìdaestáentreO'e 90' Ângulo obtuso: ângulo cujâ mêdida êstá entre 90' e 180' Ângulos congruentes:ángulos que têm a mesma medidã(símbolo:=) par de ânguloscuja 5oma Ânguloscomplementares: dãsmedidasé 90' paÍ de ânguloscujasomadas Ângulossuplementares: medidasé I 80" Angulosadjacente5: ângulosque possuamum lâdo por elesnáo tôm comum e as regiõesdeterminadas mar5pontoscomuns
Íe a:retãsparâleÌas t retatransversal pelovértice âe eângulosopostos âe ê:ângulos corespondentes â ê 0: ângulos âlteÍnos externos ee e ângulos alternos internos
p i h a n âl l w z
p ih a n à 2 lve
p ir h ã n a 3 tvez
Detemine, aoÍna de s dessas opera$es: al quantas tíbuasteú a plha; bJa aiura,eÍnmetros, da pilha. rcâlde168. tUFC-CBConsidere a tunçãorcaldevafiável Íìnda pofftx) : 2 ". C€lcule ovaoÍ de ltol ítrl +(2) ít3l +(41 (5)+... geomárjcâde oto lermostem 1 6 9. [UFR, Uínâprcgressão pÍimeirctermoiguâlâ I 0.0 ogaÍitrìro decìÍnal do pÍodu to de sels Ìemos\,€le36.Achea Íazãod€pmgressão.
plana Geometria Angulos Figuraplânafomada por duâssemi-retas de mesmaotigem,
ôe A ângulos internos colaterais âe Â:ângulos colaterais externos
ïriângulos Polígonoque tem três lados(conseqüêntemente têm Íês vérticesê trêsângulosinternos).
Classificação detriângulos . /4.utdr,guro: . fqüildt€ro: tÍês ladosde póssultlès ãngúlosagudos. . Retdngulo: . bós.ei?s: possuidols dolsìâdorde Angulos agudos ê umrêto. . Oóturánguror possuidois . Ésca/enortrês ladosde ângulos agudos e um medidasdiferentes
t
geÍâl Reúsão
Propriedades dostriângulos
3a€.so: LLL
. lsóscêles: Osângulosdâ basetêma mêsmamedida. . Eqüilátêro:os três ángulos internostêm a mesma medidâ, iguala60'. . Rêtângulo:teorema de Pitágoras{o quadrado da hipotenusa é igualà somadosquadndosdoscatetos).
\
òomaoosanguìos Inlernos
tP
L_:
4 Y-7
Angulo externo
\r/
A
1\
Congruência detriângulos l!
/ì
|
\
Desigualdade triangular . Ao màioránguloopóe-se o maiorlàdoe, reciprocamente,aomaiorladoopõe-seo maiorângulo, . Amedida decadaladodeumtrìângulodeveser menor quê do a somadôs medidôsdos outrosdoislôdos.
QuadÍilátetos Polígonode quatroladose, portanto,de quatro vénices e quatroângulosinternos.
Quaisquer . Somadosángulos internos:360' . Duâsdiagonais 2! caso:ALA
Paralelogramos pordoisparesdeladorpôQuadriláterosfomad05 Íàte|os. PropÍied.dês lè) Émtodo pâralêlogramo, doisângulosopostossão congruentes e doisângulos nãoopostos sãosupls. mentarês l8O'). {somadasmedidas: 2-d)Emtodoparalelogíamo, os lâdosopostossãocongruenÌes, 39) Emtodoparalelogramo, asdiagonais cortam-se ao mêto.
: It
Ii I|
lr
. aofteÍto&ap kãçôú MaleÍÌìárka
rapézios
Teoremade Talês
quetêmapenas um pardeladospaQuadrÌìáteros ralelos:basemaioÍe basemenor,
í // s//t
TrapézioÍetângulo Todo trapézioque tem doÌs ângulosretos.Nele, àsduas um dos ladosque nãoé baseé perpendicular bases, TÍapézioisósceles Todo trapézioque teÍn doÌs lados não paralelos congíuentes,
acab b d
A5: bissetriz
n(n 5) _. uraqonars:o: ) : (n 2).180' Somâdosângulosinternos-S = 360" Somâdosângulosexternos:5e
Fo[ígonosregulares |
Ânquloexterno:a : :!
c
Ieoremada bissetrizde um ângulointemode um tÍiângulo
Polígonosconvexos
Ânsulointerno: a=
'-
(n 2).r80' =
L:!
Semelhança detÍiângulos
: ::L
ae+a =180"
Cevianasparticularese pontosnotáveis de um triângulo cêviana
Definiçáo
abc= = ; ; I
: k lrazaooe semernànça)
Casos desemelhança médlodo ladooposto
A, A
trlãngulo.
BisseÍiz
inscritã ânguloao mêÌoe tem circunÍerência
Â=ôJ
no raooopoÍo a esse Seqmentocom uma exõ€ínidade€murn vértlceeaoutra exÍemìdãdeno lado opoÍ oo u n o 5 e u pÍo ongarnênto, f or m an d o c o m e l e
pontode 0Í16úê1110: enconÍodas Íetas quecontêmas a l tu ,è sp,o d e n d o pertencerao exteíloí d o Íi â n g u l o .
cÌcunscífta ãotíiânErlo,
^B= EJ ^ faABc- ^DEF 29caso:LLL
AA
49: ! ! = 49f uec - r or r DE
EF
DF]
d
39caso:IAL
Posições relativas entreretae circunferência Tangêntes
Sê<.ntês (doispontor
v /:\
AB: BC -= AABC- ADEF DE
Teore mafundamental dasemernança
Posições relativas entreduas circunferências Sãodadasem funçãodo númerode pontoscoÍnunsàsciícunferências. Chamandode 01 e O, os centrose Í1 e 12os respecÌivosraios,sendorr > Í2,obteremos:
r// Eei
^ADE ^ABC
RelaçõesmétricasnostÍiângulos retângulos
Teoíemade Pitágoras: à?= b'?+ c':
CircunÍerência Figurageoméüicaformadãportodosos pontosde plano, um planoeqúidistantesde um dadopontodesse chamadocentro,
l\ìatemát &ApllciÕes .a . Conlèxlo
gulosem 0macircunÍerência
Angulo central
Segmento secante e segmento tangente a panrrdeummesmo ponto
(PAF=PB.PC
Polígonosregularesinscritosna circunferência
Angulo inscrito
Apótemaé um segmentocom uma extremidade no centroda circunferência ciÍcunscrita e outrano ponto médiode um de seuslãdos. 5e desenharmos inscÍitaao pouma circunferência lígonoregular, o apótemacoincidirá comseuraio.
Quadrado t,: r 'E
Angulo desegmento ' ABCéângulo desegmento.
Relações métricasna circunÍerência
^ :'Jí - 4)
Hexágono
-62
Cruzamento deduascordas
Triângulo eqüilátero r = ,- tt
PA.PB:PC.PD
Doissegmentos secantes a partirde um mesm0p0nrc
P A .P B :rc.P D
-1
2
Comprimento da circunfeÍência
t
genl nevisão
Áreas quadrada Areadaregião
Áreâdê uÌnaregiãotíangul.Ì
A:fabseno 2
Areada regiãolimitada por umtrapézio Area0a regrao retangular
Áreada regiãolimitada umpararerogramo
;t-l/
l.'^=*-,* 1',
B
7
;,
oa regtao por ttmttada ^rea umlosango
/
Areada regiâo triangular . 2
\r /
|
\t/
D. d 2
|
\r/
|
v..-I i.,.
ld" AÌ€a da_regláotriangular sendo conhe(idos05 tÌês lados(Fóínula dê HêÌon)
P:
-
Areadaregião porumhexágono limitada regular
â+b+c (semiperímetro) ---
ze'Jí A = ./p(p a)(p- b)(p- c) Áreadâ ÍêgiãolimitadapoÍ u|nt.iânguloeqüilátêro
Areadeumaregiãolimitada porum polÍgono regular n tados p: semiperímêtro
,'--\
e.tE
\_v
í.
li1 |
ì
2
. coúexto &Adkàçõss Maremátka
pelatrãns 173. 0JnaeÍp SDAsretasr e s sãointercepbdâs versat, conforrne aÍgura.
Areadocírculo
Areadosetorcircular
t _
;Rt
dg*'
360'
_
o,.a
2n
_
{
2tt+
O !€lof dex paraqueÍ e s sejamparalelas é: â) 20'. d)30". e) 35'. b) 26'. c) 28'. 174. (l.Jnno-Rl) As Íetâsrr e Í2 sào paraelas.0 vâoÍ do ânguoa, apÍesentado naÍguraa seguir, é;
PE)NaÍgureabaixoasretasre s sãoparâ I7O- (Cesesp lelase âsÍetasle v sãooeDendicua€s.
a) 40'.
bl4s'.
c) 50'.
d) 65".
el 130'.
NaÍguÉ,os pontosAeB estãonomêsmo ab€ixo, a única 175. (FGV-SPI Assinale, enÌão,denÍeas alternattvas plano que 0 contémas ÍetaspaÍalelas r e 5.Assinale "osángulos que complete correlamente a sentença: disÌjntosd€Êsã0.. pelovéftice'l O coÍnpeÍnentâres: al opostos congÍuentes: l el seÍnprc bl adjacent€s cJ suplementarcsl 171, (UF.JF MGINaíguÍââbaxoas|etasr e s sãopaÍâlelas o nafigurâvaLe: retat.0 ângulo € coírdaspofLrma â) 60'. cl 50". d) 20'. al30" NaÍguÍa,âs retasr e s sãopa|aeas,c I72. [F!vest-SP) ânguloI rnede45'e o ángulo2 rnede55' A nredida erng€us do ângulo3 él el 100. cl 60 d) 80. a) 50 b) 55.
b)50"
cl40"
d)70'
el60'
176. IUFG-GOINâÍgur€sbâixoâsretasÌ e s sãopaÍãlelas.
A medidâ doângulo b é: aJ 100". c) 110'. b) r20'. d) r40'.
177. [UFG-GO] Sedoisladosde urnldângulo rnedem res pectivamente 3 dÍÌìe 4 drn,podemos aÍrmarquea rnedida dotercero ladoé: €l lguaa5dm. bllguaaldm. cl iguala 1F cìm. dl menoÍque7 drn. el maor que7 dm. 178. IUFC-CE) Naígura,os segmentos de €ta AB,AC e CDsãocofgruentes, e o Lrm Ê é uÍì ánguoextemo, âng!o interno dotriánguloABD
I 81 . [Uerj)SeurnpoÍgonoterììtodososladosiguas,então todosos seusângLtosnteÍnossão guas.Pa|amos t|af queessaprcposção é hlsa,pode-selsaÍ como exemplo a fgu|adenorn nada: 3l osân90. bl trapézo.
cl rctângulo. dl qladrado.
182. IPUC-RJ) Osâ]ìgulos nteÍnosde urnquadÍiláterc medem3x - 45,2x+ 10.2x + t5 € x + 20 g|êusO rnenor ângLl o med€: al90' b) 65'. cl a5'. O 105'. e) 80'. 183. (Unifesp) Êmurnpa€leogramo, as rnedidas de dois ângulos iniernos consecutivos estãona |azãoI : 3. 0 êngulornenofdessepãÍâÌelograÍno rnede: el 45' bl50'. c) 55'. d) 60". e) 65..
D
Assnalea opçãoqu€contéma expressão coretâde P emtermosded. 2a a t9=3 " d) 3 blÊ=2o
e)Ê=
3d
2
cl p=g I79. tFuvest SD NafgLrraabaxotem-seqle AD = ÂE = CD CFeBA= BC.
184. tfuvest-S0ilm tmpézoretâfguo teÍnbâsess e 2 e aturê4. 0 perÍmetÍo desseÌrapézo é: a)13. bl14. cl 15 d)t6. e) 17. 185- [FaapSD A rnedidâ púxirnadecadaánguloex rnârs temodo heptágono regulaf damoedade R$0,25é: al 60'. bl 45'. c) 36". dl 83'. el 5r'
186. [UnitauSP] 0 poÍgonoregularconvexo €Íì que o 1iÌìerc de ãdosé igLaao 1JÌe o de oidgo,ìdi! eo aJ dodecágono. dJ hexágono. bl pentágono. el heptágono. c) decágono. I87. ([,4ack-S deurnpoígorro eguD Osâng!osexlernos lar Ínedern 20'. Então, o númêÍode diagonâts desse porg0n0ê: a) r 19. b) r35. c) 152. d190. el 104
Aoc Seoâng!ÌoEDFnìede 80',entãoo ângLtlo ABCmed€: a)20". b)30'. c) 50'. dl60'. e) 90'. 180. [UFI\,.4G1 CombasenosdadosdessaÍgurâ,pode-se alÍmâÍqueo m€iofsegrnento é: a) AB bl AE. cl EC. dl BC. el ED.
188. TUFPB) 0 númercde ladosdo.poligono quetem90 diagonais él dJ9. d 24. bl 5. ei fenlìumadas Éspostâs. cJ 15. 189. 0bmecSP) llrn Íìstemático gostariade rccobrifo clrãode slrasalacoÍnvárias peçâsde mesma íoÍna€ mesmo tamânho, colocando aspeçasumaao tadoda outrE, seÍn,.deixar espaços e semsobÍeposiçôes. Não pa|aesterecobÍirnento seÍ\7úiaÍn as peçascomo íoÊ matode a) tÍiángulo eqüláÌero b) quadmdq. cl osango. d) pentágono rcgular e) hexágono reguar.
. comexro &Apllca!ôes À,laremáuc l90,
CD
0 éi  medda,emgraus,do ânoìrlo d)38". âl32'. bl34'. c) 36' l9I.
c) 2 sãoÍiángllos sósceles de ânguloda basemedâ isósceles deângulo dindo50'e 4 sâotrlângllos basemedindo 30'. dl 2 sãotrânguaseqÚáterose 4 sãotrlângllosrctânguossósceles. eseJ 2 sãotrlànolrlos eqüilátercs e 4 sãotrângulos
(Fuvest-SPJ Nafgurâabãixo, ABCDEé Lrmpentágono €gular
eJ40'.
reguSD NaÍguÍâ,ABCDEé um pentágono 0\,4âck âf,EFéparãlelo a AB e BFépa|aeoa AE. A
'| 95. [UnitauSP)O segrnento de aftÍaçada da pemendcu do ado uÍn vértc€de um triângulo à retasLrporte opostoé denomnado: a) nì€diana. dl atu|a b) medatdz. el base. cl b ssei z. Ig6,
DC
A m edidado â n g u l od é : c J6 0 ' . a) 72" . bl 5 4 '
SP) Dos ángulosnternosde uÍn polígono 194. [Fuvest convexo medem130"cada!m e os demaisánguos de adosd0 lnternos rnedern 128"cadauÍn.0 núrnero poÍgonoé e) 17. al 6. b)1. cl 13. dl rô.
dl76".
êJ36'.
'192, (UníesplPenÌágonos podeÍn Íegllarcscongruentes de I97. uÍnaesttela lâdoa Lado, íormando sefconectados, nâ íguÍa.Nestas destacado cincopontas,confoÍme condições, o ângulo0 mede: al r08'. b) 72'. cl 54". d) 36". e) 18'.
'193. Ofscar-S en umdeterminado PlA ÍguraI Íepresent€ polgonâ sregula|es de7ladrlhos caxenoplano [] he seÍnsobrepos 2tdângulos, 4qladrãdosJ, xágono, ções
(Ufeslllm dosânguosinlemos deuÍÍ Íìánguloisósce_ lesnìede100'.QLralé a rnedida do ânguloagudolofinternos? mâdopeasbisseÍizes dosoutrcsángulos e) 140'. a) 20". bl40'. c) 60'. o 80'. . NestaÍgura, o quadËdoABCDesÌáinscÍito TUFMG) res e NA medem, notriângulo AN4 N,aljosladosAÍvl pectìvamente, m e n,
4-C ) .
mn
- ÍÌì+n
b)
2
daÍ gumâbaxo,considere 198. (ti EL-PRIDadoo tÍapézlo dos ados oÍiânguloCDXobtìdopelopÍoongâmento DAe CBdotÍâpézio. HguEr
Fi9ur.2
coocadospeÈ aos6ladrlhostnângulares Emrelação na daÍgLrâL cono t_drcado 'eitare_renosêspa@s lìgum2,é coÍêtodzerque: eqÜiláteros e 4 sãotf ânguosisósa) 2 sãotÍiângulos celesde ángulodâbasemedndol5'. lsÓse 4 sãotÍiângulos b) 2sãotrânguoseqüilátêros 30". celesde ânguloda basemedindo
A
D
5.m
B
7cm
AmedldadaâltuÍâdessetÍiângulo é: cJ6,0cm. dl5,5cm.
c el 5,0cm.
t
Rêvbãogenl
199" tMack'SPlNo teÍeno ABC da ÍgìiË, uÍnapessoa 204, 6pUg54 4ftrrm seguÌmostÍa p€rcora r|ajetória pretefdeconstruÌf preservandoa ridapor urnâpessoâparair do pontoX ao pontoY, urììaEsidênca, área camnhando verdedar€gãoassÌralada. SeBC= 80m.AC= 120m emterrenoplanoe sernobsúcuos Se = ea tivesse e f\4N 40 m,a árealvÉ paraa constÍuçâo, emme usadoo caminho rnaiscuftoparaiÍ deX a Y, tedapercoffido: trosqLradrados, é del aJ 15m. bl 16nì. cJ 17m. dl 18m. e) 19Ín.
aJ I 400. bl I600.
c) I800 dl2000.
2OO. tFuvesr-SPl Dados:âJìslloN16C= ânsuloBÂC; AB = 3,BC= 2 eAC= 4 Então, N4Céiguala: b) 2.
205. 0l EL-PR) ToÍneumafo had€ papelemfonÌadequâ dmdode ladoguaâ 2l cme nomeeosseusvértjces A, B, C, D, confomea Ígurâ] A seguif, de dobre-a, qle o védìceDíiquesobrco "l€do"AB 0gumaneira m 21.SêjaD' estanovaposçãodo védiceD e x a d stáncia deA a D'. 0
dl r. el 0,5.
2O1- [Fuvest SP]Nafgum.asdisÌânc asdospontosA e B à retaÍ vaern2 e 4. As prcjeçôesortogonaisdeA e B sobÍeessaretasãoos Dontos C e D. Sea meddade CD é g,a quedjstánca de C deverá estaro pontoE, do segrnenio cD, pâraquecÊA - DÊB? b)4 cl 5 dl 6 e)l 202. tvlâckSD A ÍìguÍaâ segurrepÍesentâ umâestÍutura de consÍução chamada tesolrÉdeielhâdo. Suâinc naçãoétã que,a cadaÍnetrodesocado nahorzontal, há(]mdeslocamento de 40 crnnavenlcal. Seo corn pnnenÌodè\rgaABé 5 n. dasalÌe-nàtNas a seguría quemelhorâproxiÍna o vâlordo compÍiÍnento daviga AC,ernrnetros, é:
A'_.J
D,
B
 íunçâoqueexp€ssââ áÍeado tfânguloÍetângu o soÍnbrcado ernfun@odexé: ala=
o,^= u
n
.
ìì00,".
,o:
tot;o
ela:- - - T
84
a) 5, 4.
bl6,7
c) 4,8.
dl5,9
el6,5.
203. (lvac(-Sn\-Ír | à-guo rcúngllo.ur cdleroéo dobrc dooLl.o.fntão€ ?ioe_up o ìrãiore o renordosseg mentosdetêrmnâdospea âhurâsobreâ h potenusa é: a) 2.
b)3
c)4.
d) 3 2
206. (PUC-SPI NaÍgura,ABé o diâmerro dacircunferência.o Ínenor dosarcosAC rnede: al 100". b) r20". c) 140". dJr50" el 160".
. Contexto Matemárila &Apkaçõ,.j
207. (UcsalBAI Nâfguraâbaixo, o Íângu o ABCé sós B.A Íneceese BDé a bissetÍizdo ângulodevéÍtrce dldaxdo ânguo assinaado é: al 55". b) 50'. c) 45'. dl 40". el 35".
212. tUFC-CDNafÌguraâbaixo, c€daquadmdinho dam€hateÍnìadoL Aárêado qLradLáterc ABCDé:
t
2O8. tFuvest-S Pl 0 valordex naf gu|aabaixo é: -20 c) 2A d)21
a) 18.
e) 22.
273. rUTÌM-\,4C1 \d lìgLldJ. B D E.G e I sáopo Ìosoe
cJ l. dl 4.
209. iVunesplErnuÍnaresidência, há umaáreade lazer cornumapiscnarcdondâ de 5 Ín de diárnetrc. Nessa áreahá urncoqueirc, Íeprcsent€do naÍìgumpor urn pontoq. Sea dislância de q [coqueirc] ao pontode (da piscina) tangéncìa T é 6 m,a dstáncia d = QP,do pisclna, coqueroà é:
langê1cd dedud:crcunÍeíê c asde€ o Íen reldçào quea d stânaosladosdo retânguLo ÁCFH.Sabendo ciaenl"eos , enuo)ddocrÍcü1fe èroase Í, a rdzào entrea árcada pan€sombreada daÍigurae a á|eado rcUngLlo ACFHé: 8 ".
2r-l 12 24 24
a) 4 nì.
Ì b)4,5m. c)5m.
d5,5m. e)6m.
210. (UFPBJ Enquânto conveÍsâvâm sobrernêtemáticá, Vcenteperguntou Íìeucarrotemrodas aoRonaldoi"Se de 0,35m de |aì0,qlantasvotasdaÉ umad€lasnuÍn perclrsode 70r!m?lA rcsposta correta será: a)100. b)101. c)112. d)125. e)1S8. 2l l, (UELPR)A bandeira deumtme defuteboltem o foÊ rnatode uÍn rctânguoMNPQ.0spontosA, B e C dividern o ladoIVNemquâtropârtesiguais. 0s tân gulosPIMÂe PCBsãocolofidos comÌrmadetemnada corCl o üânguo PABcoma corC2e o rcstante da bandeiÍa coÍna cor Ca.Sabese queascoresCl C, e Casãod lercntes entrcs. 0u€ poÍcentagem dâ pelacorC1? bandeira é ocup?da â) 12,5l]t bJ l5% c) 22,5% q 25r/a e) 28,5%
12 214. [Fuvest SP)Nâ fguÉ, OABé uÍnsetofcircuarcom centrcemO,ABCDé !m rctángulo e o segrnento CD é tangente emX aoãÍcode eÍrrerÌìos A e B d.' setoÍ cifcllar,SeAB= 2í3 e AD - l. entãoâ áÍeado se toÍOABé ìguala:
ê) a.
31
t )2 n . 33
4n "l d lil
3
R.vkãosenl
219. íVulesoìUTaeslatLade 2 Ír deakLrae un po. - oe 215. IÌJFPBNafgum a segur, deÌennine o ânguo queé opostoao adode menorcompriÍnenÌo.
5 r de a .-€ er;o ocaìizado) nuÍna.deirdde 'clinaçãoiglaìa45',cornomosl|aafgu|a.Adistância da basedo posteà baseda esútuaé 4 m,e o postetem urnaámpada acesanaexrrem dadesupefor
216. [UnÌcamp-SD UmfiBpózio retângulo é uÍnqladf áteplanoquepossuidoisângulosrctos,um rc convexo que, ânguloagudoa e umângulooblusoB.Suponha gua a m€dida selâ € cnco em umtaltmpézio, de Ê vezes a medida de d. al Calcule a medida de a, emg|a!s. de bl Mostrcqueo ânguloformadopeasbisseÍizes deÊéreto.
Adotando \A = l,4l e sabendoqle Ìantoo pusle quânto â estáÌua esúonaVenica, c€cLrle: a) o compfmento aproxmado da sombmda esÌátua pmjetada sob€a ladelra; b) â ér€adotrânguloXYZindicãdo naígura.
217. tUFC-CÊlConsiderc a figuma seguI ns qu€los segmenios de rctâAB e cD sãopependicuâres âo segmento de rctãBc.se AB - 19cm,BC= I2 crne € rnedida, emcentímetros, do CD = 14cm,detefinine segmentode retaAD.
220. IPUCFJI OscaÌetosde !m trângLrlo rctânsu o rÌE dem:oJIcm e zoJãcm.Acheo cornpfmento da bisseÍiz doângllor€todesse l]se Ìriângulo. [Srgesiâo serne hançadetângulos.) 221" (UFPBSela ABCurnïânguotalque AB = BC = 5 cÍne AC = 8 cm.quantoÍnede€rn mm,a ahuradesteÍiânguloemrcaçãoao âdoAC? 222- tUFFJ)NaÍìsuÍa, otânsu o AECé €qüiláterc eABCD é umquadrâdo de lado2 cm.Caculea dstância BE.
218. [Ufscar-SP) Umâpâcâdeâçoquadradava sertÍans foÍmâdeem uÍn octógono regular, recorkndose os quarocanÌosdo qLad?dode foÍ1]aè obte o raiopolfgono possÍvel, coÍnoÍnostÍa a ígu|a.
223. IUFSCINa fgum,O é o c€nÌmda^ciÍcunfeÉncia, o ângulo0AB rnede50',e o ânguo oBCmedel5'. De teffnine â medda,emgÍaus,do ângulooAC
rl SendoàTedda do ado do qLad?dorgLalaL. calcu-
le,emfunção deL: a) a medidâ dex; bJo peímetÍo dooctógono obÌido.
:.,: À,latemáta. Conrexto &Adi.aloer
:ì 224. [UFPB]NafÌguraabaxo.o segmento AB é tangente à c fcunferência de centroO, SeAB mede30 cÍn e BC mede18 cm,deteÍmine a medidade CD eín
225. t UE R'
Ur r a r o d ad p 0 .n d e d i á T e l rog i ,d e T r r d ela,s eÍ r e s o | | e g o r,s o b rpl Ìd s J p e -(i e' sà
228. TUFPD Natslquestao[ões] a seslirescreva ros parênteses [V] sefoÍvedadero ou [F] seforÍâlso. f ì Doislriá g-lo. eqüiateos quasqLe :ão semetnanles. ( I DoisÍiângulosretângulos sâosernelhantes se os c3tetosde umsãoprcpoÍcionas aoscatelos [ ] \un trârg-'oq-aq-eÍcèdéladoé ìaro qLea soma00sollToso0s. de urnquadráteÍose intercep[ ] Seas dagonais tarnnossels pontos médos,entãoessequadriáleroé umretãngu o. ( I SepelopontoÍnédìodo ladoAB de uÍntrángu o ABCtraçaÍmos umarcÌâparâlela ao ladoBC, entãoestâretáinterceptaÍá o âdoAC no sêu pontomédo.
Trigonometria Lei doscossenos '
parâ Determine o menornúÍnero de volÌascomplelas a rcdapercorrer urnad stâncamaiofquel0 rn.
226. iEEM-SPICalcule a áreâconstruída de (rmaparta peloes menlo,cLrjaplantâbâxâestáÍepresentada quemaâbaixo[d€spreze â espessuÍâ dasparedes).
x2: a2+ b2- 2abcoso
Lei dos senos
227. (UFPB)Naíguraabaixo, o quadmdo ABCDÍepresenta um pedaçode papeldeáreâ144cmzdo qualÍoi recortada uÍnap pa,naformádo poÌígono AECFA. Sa benooqueE e F sãoos oonlosÍrèdiosdoslaoosB-C qualaáÍea,eÍncm'z, e DC,rcspectÌvamente, do papel
=-
1:___::2R
GÌause radianos 180"= n rôd
Seno,cossenoe tangente . sen2x + cos2x: I . rç lx = -
Í
Revirãogênl
. 5imetria
TransÍormação em pÍoduto .."rl? . sexn+ sey:2 n . se n +
. Sinais
ooo
. s e nx - s e n y : 2 . s e n
' r. t
. s65x 1 ç65r: 2..or IÌI -L
..or I L -L
ì!I . cos x - cosy: z.sen
. sen ìl-
Funçãoseno Gráfico
OutrasrelaçõestÍigonométÌicas .cotqx: -
I tqx
cosx senx
,ì
. cossecx =
Características 'ì
.sec:x=l+tgzx .cosseczx=1 + cotg2x
Adiçãoe subtraçãode arcos .sen(a.+b)=sena.cosb+ senb. cosa . sen(a - b) = sena . cosb - senb. cosa
]s) Funçãosenoé a funçáode lR em lR defÌnidapor f(x) : senx 2e) Afunçãosenotem D: lR e lm: I 1, 11. 3e) Aíunçáosenonãoe injetivànemsobrejetiva. 4q) Afunçãosenoéfunçãoímpar,istoé, senx= -sen( x),Vx€lR. 5e) Afunçãosenoé periódicade períodop: 2Í.
Função cosseno Gráfico
. cos(a+ b): cosâ. cosb sena, senb . cos(a- b) : cosâ, cosb + sena,sen b toa+tob .tg {a + b) - _ ' {pdÍdos àÍcosem que à r_rqa.rqo tãngentefor definida) .tg(a
b):
tga-tgb 1+tga.tgb
Arco duploe arcometade .sen2a=2.senâ.cosâ . cos2a : co52ã sen2a . cos2ã : 2.cosza 1 . cos2â: 1 2 .sen2a -
2tq a
Características 1e) Odomínioé o mesmo:ÍlR ) lRtalque f(x): cosxtemD = lR. 2q) A ìmagemé a mesma: Í lR ì R tâlque f(x)=cosrtemlm = | 1,11. 3-') O períodoé o mesmo:a funçâocossenoé periódica de períodop : 2r. 4q) Afunçãocossenotambém nãoé nem injetivanem sobrejetiva. 5q) A funçãocossenoé par, isto é, cos x = cos (-xl, Vx Ê lR.
. conteÍto l\,lal'omárka &Aplkaçôês
Senóides dotipo y=a+b.sen(cx*d) ouY=a+b'cos(cx-d)
231" [Fuvest SP]Noquadfáteroa seguf, BC= CD= 3cÍn,ÂB= 2cm,ADC= 60"e4Éìì= 9O'.
O domíniodequalqueí senóide é sempíeD: R.O quevàíiàéà imàgeme o período. ParàobLeÍàimagem, bastalembraÍque l
\
1l
IJ
ILL
ObseÌvaçõê5: lc) Se b < 0, o gráfìcoÍìca sìmétricoao gráfÌcocom b > 0 Gimetriâem relâçãoâo eixox). 2q) Antesde desenhar o 9ráfico,é importantedeixar o pdrámetroc positivo.Parais50,usamo5a pari ( cx) = sen(cx)e dadede senoe cosseno:sen = cos{ cx) cos(cx). d
3q) Sed + 0,o gráficotranslada: unidades. c d positivo:ográfìcotransladaparaa direita. d negativo:ográficotransladaparaa esquerda,
A rnedjda, emcrn,do perírnetro do quadriátero é: al ll. b)12. cl 13. d) l4 e) 15. 232. IUFPAI emEdianosdeurn arcode 135? Quaa medida 5Jr . 'ì,! dl' t!-
Dt
2
c
4
dl Jr
4
233. [Fuvest-SP] 0 períÌetrodeumsetoÍcrculârde ËioR e ánguo centE medndoo radanosé ìg!a1ao peÉ metÍode umquadmdo de ladoR Então a é iguala: a " 332
a)2
cl]
dJ'"
e) l:
z,lta ex esianosegunooqua 234. IUFPB] Sesenx = 7
229. (Uniio-RIDesea-sp rFoi a a cldn.ia eí F oLas,que dadesB e C sobrcumnìâpa, sernescâa.Sabe-se = = ÂB 80 kme AC 120km,ondeA é urnacdade conhecida, comomostma ÍguÉ abaxo
dÍante, então aJtgxDl rgx:
o'4o 7
on4ã 49
cJlgx=
z'Eí
dltgx=
s"4ã
3
el nenhuma dasrcaçôesanterloÍes é verdadeira. Logo,a d stâncÌa €nü.eB e C, emkrn,é: €J menorqle 90. que100. b) maiorque 90e Ínenof que100e menor que110. cl maior dl maiorqueI l0 e menorqlie120. el rnaiorque 120. 230, tMack-SPl Tfês hasA, B e C aparecem nurnmapa. ern€scalaI : I0 000,cornonaÍgura.Dasalternatvas,a quemehoraprcxmaa distâncaen!rcas iÌhas Ae Bé: aJ 2,3km. b) 2,1km. cJ 1,9km. dl 1,4km ï\
\r..
D-______\. t,t
235- (Fu\r'esÌ-SP) O menoÍvalorde
I ,comxrea,e: 3-cosx
,r+ br+ d+ dr. er3. 236. (PUc-SPl A aÍiffnaçls66sx = ?!j 5 y6y666sm se.e .onerÌese.a éË q-e: al l>âoua>1. d)-2aoua>1. e) -4 a au a',3 237. [AFA-SP] 0 vaorde
I+a + ...+l+ .. ""nl\2 4 z' , aJ-1.
blo. Ò+
ì nen.e: )
d)1.
È
Rêvl$ogeíâl
238, [Ufac)O rnenof valofpositivo dex qlresatisfar a eL]ua çao2senx-l=0é:
, r + D+ c) + ü+ err
239. ttuvest-SP) O dobrodo senode urnângulo0, 0 < 0 < a. é oua aotriDlo do olrâd|ado desuaÌân2' genie.Logo,ovaorde seucosseno é:
")i ,9 ,* o'+"+
240. IUFCCE)Consderca equação cos,x cosx - 2:0. qL€pefPodeseaíÍmarquea somâdesuâssoluçôes tencern aointervâlo é: 10,4r!l a]l. bl I clo. d) aÍ. e)2n. 241. IPUCPRITodox do ntervalo â [0, 2n] quesâtisfâz t6"' l pouaç€o - ---!="- :- oe1e'ìce a0l'ìIe'Va|o a) 0
d)216'
I 242- iLEr, PRIse \ c Io,2,r1,ê-rãocosr - 2 "., " "" mentese,x sâtsfzefà condição:
[FuvestsP]No quadiáterc ABCDondeos ánglrlos B€ Dsâoretose osladostêm as rnedidas ndicadas, o valofde senÀe: -Ã
.ì-
"',
";
,. :.6 v)
..2
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246. [UeceJ qLradranre Sex é umarcodoprmeiro ra que 1 = ,ã enãosenr.é cuaa. to -2
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247. t\- esplsêco.
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p"-", (o ^ ì ",".". - \ 2) """
qLrea+ 0 e a+ I,ovaofdetg2xél
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2a.11 a' I..
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c) 2a.J1- a'
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248. t--ve.r Sn O( r re-oç Fdc
32 c)n
ou: oL:: 33
243. [Udesc) A expressão maissirnpespâra _l aJI blI c) 0.
oJ rg x.
1' sen!q fomam.nestaoÍdern.urnaoÍoorcssilo âít ' 1' Ínétim.Ëntàoo valordesena é
"..rE
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e) 4,'
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1-1931'.tgl4'
, 'E-s ^ l:
./ã
249. [iVâck-SP] A ngu€rnostra o; esboços dosgÉÍcos t oastuaçõps L\' -.e f ]eqirt coslrrt endo \x,
244, IAFASP]Ovaordaêxpressão cos35' [sen25' + cos55")+ + sen35". (cos25' - sen55"1+ +
",
é
a )m= 2 k
dl m = ,,/l.
bJ rn =k
e)
.l cJ rn = ãK
= 'ì,
-+k
. onrexto l\,latemátka &AplcaiÕer 250, IUELPR]O conjunto imagem dafunçãoy: lR..* lR, y=2lcos2x+1é: al 10,21. bl Ir,3l. c) I 1,31. ü I-2,21. el t-2,01.
bl
do triângulo ABC,eÍnfunçãode a,
< o<
.
251. tFuvesÌ-SPl Afglm a s€guiÍmostrapartedo gráíco daíunção: al senx.
r
q / sen cJ 2 senx. dJ 2 sen2x. e) sen2x.
t 254. IUFoBJsecos0 - 06e0c I 0 -ì : I. calcu"ovdro L ' ) delosene
255- tVunesplNumafábrlcade cefàrnca,pfoduzem se lajotâstÍang! arcs.Cadapeçaterna formade um triângulo isósceles cujosladosiguas medeml0 c.ìr, e o ángLrlo da basetem Ínedda x, comornostÍâa Íìgum.
âJ Determine a aturâh(x),â baseb(x)e a áreaA[x) decadapeça,emfun@ode senx e cosx. bl Determiner, de modoqueA(xls€jaiguala50cm'?. 252. [Flvest-S P)NaÍgurâabaxo,O é o centroda c rcun a €la,o ânguo íerêncade rao 1,a r€taAB é sec€nte t; = lÌ. 0 '4ínede60"e sena
256, IUFIVG]DeteÍm fe todososvalores de x penencenlesâoinrenalo(0.nl quesàr,qaà/er é eqLação 3tgx+2cosx=3secx. 257. (fuvest-SDDeterÍnine assouçôes da equação x sen'?x]= 0 queestão [2 cos'zx+ 3 senx)[cos'? no ntervalo [0,2n]. 258. [Vunesp) Areaçãoy= A + 0,6senlo(t - ,] expriÍnea proíundldadey doÍnar,emmêtTos, eÍnumadoca, àst horas dodia,0< t < 24,naqualoa€umento é expresso em |adafìos. al Dadoquena maÍéaltaa pÍofund dadedo mafna docaé 3,6m,obtenha ovâordeA. qlr€o p€ríodo bl Consderândo dâsmaésé de l2 ho ras,obtenha o v€lofdeí0.
Geometria espacial a) DeteÍmÌne sen(OÂg) emí{rnçãode AB. bl Caclle AB.
Geometriaespacialde posição pordoispontosdistintos. lJmaretafìcadeterminadà lJmplanoíicâdeterminadopoí:
253. (UnÍesp)CornbasenaÍguraa seguir, queÍepresen. tÍê5pontosnáo:colinêâíes; k o cÍrculotrìgonométrico e os exosda tangente e . duasretâsparalelas distintas; da cotangentei . n. duasretascoficoÍíentes; al c€lcue a árcadotfánglloABC,pemd = . umaretae um pontofotádela. 3
sições relativas deduasretasnoespaço I paíalelas coplanares J PeÍpendiculares concoíêntêt1 , ,, distintas loottquas | Duàsretasnoêspaço I ortoqonais j reversas Inao-orrogonars (paralelas coincidentes iguais)
Posições relativas deumaretae umplanonoespaço a retaé paralela aoplano(r//od
Umaretate umplanoa noespaço
a retâestácontidãno plano(r C 0) a retaintersectà o plâno
fa
](f-La) I a retaé oblíquaãoplano{rl d)
Posições relativas dedoisplanos noespaço lParalelos . pêÍpendiculares distintos J I Doisplânosnoespaço secânÌes 1 .., loottquos I (paralelos coincidentes iguais)
Poliedros Relaçáode Euler:V-Â + F = 2
PÍismas Paralelepípedo retoretangular .
Cubo
= 1f,'+b'+ci Oiagonal'O ÁIeatotal:AÍ= 2(ab+ac+ bc) = Volume:V abc
plano retaé perpendjcularao
&aplkàçõs Matemárka ' contexlo
asrcgulares
Tronco decone
AB:áreada ba5e(polígonode n lados) AF:áreâde umaface(retángulo)
m
Árealateral:\=n'AF Areatotal,\ = 2As+ Ar Volume:V= As. h
Pirâmides PtÍâmide íegt)lar
4
T H -,' ÂL: ngl(rr+ rr) U---"-----\ v: .\-.' $(l'+,,'.,+r.) Êsíera |
t
*\) 3
As:áreada base(polígonodê n lados) Ar:áreadaface(triângulo)
Fuso A íuso_eq'& s_d,"d
Áreâlateral:AL=n'Ar Areatotãl:,\ = AB+ Al
21r
4nR'z 3óo'
a^.h Volume:V: -ï
ïroncodepirâmide Cunha v :ïl B +J B b +bl V"*h"
dÍ-,
1nÉ 3
360'
_
o"d
2rç
Cilindro AL: 2nRh AÌ=2nR(R+h)
í'ç.çi.-\ \:|:'E:_! 259.
Cilindroeqüilátero:h = 2R
Cone g'?=h'z+R'? AL: TrRg AÌ=nR(g+R) .,
7rR'zh 3
Coneeqüilátero: h :2R a árealâteral: Ángulodo setor(ircularque equivale 2,rR (emrãolanos) I
IUFPBI Ma|que C nas áÍrmâlivascoffetase E n€s
er|adas. .delermnam somente 1, ( )Trêspontoscolneares Lrmplâno. 2. ( lPoÍ urnpontode umaretaÍ dadapassêso menle umpanoO,perpendculaÍ a r, urnpâno. 3. ( ) DuâsretasconcoÍrentes deterÍninarn 4 [ ]A projeção de umaretar sobreum plánoo é sernprcouvaT€Ias. 5. [ )Se.uÍnp anointercepta doispianosparae os, as ntersecções sãorcïasparalelas. sobre 6.[ ) Urníexede planosparaeosdeÌefininâ propoÍcionâis. duastransversa s segrnentos Aseqüência coffetaobtidâé: âl ECCCEC. cl ECËCCC.
bl ccEEcc.
d)ccEccE.
e) ECCECC.
R€|/hãog€lal
260. IUELPRIA rctaré a nte$ecção dosplanosperp€n diculares a e B Ospontos A e B sãotaisqueA € o, A e p, B € B,B É o.ÂsÉÌasABer: al sãorcversas b) sãocoincidentes. c) podern serconcoffentes. O podeÍnserparaelas. el podeÍnserpeÍpend culâres 261. (UFRN)Na cadeiËrcprcsentada na Ígum abaixo, o encosto é pefpend cuaf ao assento e esteé paraeo a0cnão.
263. (UFCCD Urnpoiedroconvexo sótemfacesÍtânguârese quadrdngulares. See e tem20arcsÌas e 10véf t c€s,entãoo númerc delacestrÌangu arcsér a)12. bl]] clr0. d)L e)8. 264. IUELPR)Aumentando seem I rna aturaoe umpa ÉlelepÍp€do, seuvoluÍìre aurnenta 35 m3e suâáÍea tota auÍìenta24 Ín,.Sea árc€aterEldo parâleepípe do originaé 96 nì,,entãoo volurne ofg na él âl 133m3. c) 140m3. el 154Íns. bl 135m3. d) 145m3. 265. (UFIVIG) 0 vo|Jmede umacâix€cúb caé 216trrcs.A medida de sLra dÌagonaeÍì c€ntírnetros, éi a) 0,8!6
cl 60
bl 6
atoo,6.
el 900\6.
266, 0TASPIDadoumprisma hexagonal Égutâr,sâoe-se quesuaatLr|arnede3 cm e quesuaáÍeââterêlé o dobÍodaá€a desuâbase.O vouÍnedestepfsm€,ern
d 27\8. bl r3.rã. Sendoassim: âl OsplanosEFNe FGJsãopa€elos. bl HGé umsegmento derctacomumaosplãnosEFN E EFH, cl OsplanosH J e EGNsãoparalelos. dl EFé umsegÍn€nto de rctacornum aosplanosEFN E EHG.
c) 12.
el 1716.
alsq 'ã.
267, IFE SP)Delrnavga de rnêdei|a de seçâoquadrada deladoI0 cmextmseumêcunhadealtuËh = t5 cm, conforme a fg!|a. 0 volurne da cunhaé: al 250crn3 dl I 000cm3. bl 5oocm3 el I 250cm3. cl 750cm3.
262. [UEL-PR) Paraexplcara naturcza do mundo,Platão "l..,lapresenta aleoriêsegundo a qua os'quatro ele Íìentosadmitdoscomoconstituìntes do mundo o fogo,o ar,a água€ 6 ter|a- [...]devern ter â fonna de só dosreg! arcs.I...1Paranãodeixafde ío|aum sólidoregulaf, aÍbuiu ao dodecaedro â rcprcsenÌa264. 'uecelA d.eABCooÌelËedroVABCeLr riá-gJo dâ forrna de todo o un verso l do IDEVLN, Kerh. eqÜláteÍode lâdo3 cme a retapassando peo véftice Matenática:a ciênciadaspadrdes.PortorPortoEdpependicuara estaíace ntercepta-ê V € em seu tora,2002.p.tI9.1 centrcO. Sea arcstêVAdo tetraedro é 5 cm, então a AsÍguÍâsâ segu| rcpresenïam essessóidosgeomérnedda, em cÍn do segrnento V0 é: tricos,qLre sãocharnados de po edÍosÍegLrarcs.
o
,ll.;>ffiSO@ "[ã.
ol .,/iã.
a "6.
a ',tn.
269, (tlece)Nlmap ÉrnidequadÉngu aÍ regutafuÍnaarcs,
Fogo
Ìerc
ÁS*
ta clabas€rnede2\A crne umaarcstaateraÍnede 16ã cm o volume dessapiérncle,emcm3,é:
ú7'E
D8'E
ds'lr.
alroú.
| êao Un ooledÍoe JT so oo in 'ÌádopoÍ porgo_os. poledroteÍnurncerlonúmerc de polígonos emtomo 270. IUELPR]As superficies de umcuboe de umoctae de c€davértice. Umadasígu|asanteriores repÍesent€ drofegLrlar lnt€rpenetram se,dândoorigern à ÍguraF um octaedrc. A sornadasmedldas dosânguloseÍìl rnostrada a segur.Sobrecâdaíacedo cuboe evamse piÉÍìrdesquetêma basequâdmdâ tornodecadavédcedesseoctaedrc é: e asíacesemíori a) 180'. c) 270". e)324' rnade tânguos eqüiláteros. 0s védcesdasbases bl 240'. dl300' das pirámdesesÌãoocaizâdos nos pontosÍnédi
. conrexro Màtemálkà &Aplicçó6
Aareslado cubo dasaÍ€stâs do cuboe do ocÌâ€drc. pelaÍmede2 cm.Qualo volumedo sólidolimltado gLrmF? a) 12c m 3. b) 14 cm3. cl 18crn3 dl 16 crn3. e) 20 cm3.
274. (Udesc)Umcubode adoh é nscrlionumclindrode rnesrna altt]Iá. Aárealatemdesseci ndrcé
e) uÍh'z
". r*r"ã
a):*r'zrã.
275. il-lELPRIUrnconec rcllaÍretotematu|ad€ 8 crne Ëo da basemedlndo6 crn Qua é, erncentímetros quadrados, suaárealat€Ía? a) 2aÍ bl 30r! cl 40ir dl 50,! €J60r
271. [UFlVlG] observe €sraf gLrË:
276. [UFRGS] de 20crndediâmetÍo Umapaneâcilíndfca estácornp€tamente cheìade massaparadoce,sem exceder de docesem sìraâltuÍade 16cm 0 númeÍo lomatode bolinhas de 2 cm de râo quese podem obtefcomtodaa massaél al 300 b) 250. cl 200.
O 150
e) 100.
277. (UFPDCorìsdeÍeumtanque coma Íomad€urncone invertido de rao da base 6 rìr e atlrraI rn.Dexase um cubo,cljas NessaÍìgurâ,estãorcpfes€ntâdos ca fdentro uma esl€Í6 d€ rao3 m.Assna€ dotanque ârcsras rn€dern, cadauma3 crn,e a piÍâmde N,4ABC do centroda a alternatva coÍ€spondente à dstância quepossutrèsvéncesem comLrrn corno cubo.o €sÍera aovérticedo cone. por o M s.Ja sê sobr"o p olo'lganento ca a pì d alaflì bl2rn cl5m d)l0m el6m [/ì e IVC nterceptam BD do clrbo.0s segmentos o? -rds oFr\e. Lbo Í es pen\ dr F' llF.no( oo' ì t o ) N p
seesP e o segrnento ND medeI crn.Considerando _ld!õ-s, \oLrÊ oue 0 0. sa" n'o é coÍÍerc.'irnd piÉÍìrde IVINPD é,erncÍn3: a) 6
b)4
"r+
d*
aproxmadade umat€ÍÍosâ 272. (úEL PR)/\ capacdade _úaocor aÍorn"dpres"nlêdà'ìaÍ9.ceo-lé: "" el3 768m". âl I 135rn3 cl 2 187m3. bl I 8oorn3 d) 2742 tr,3.
Lrmajaffa é uÍncilndrccÍcular 273, tUFV-N/G) O inteÍiorde SeíosseretÍadoI tro retoe contémV liÌÍosde áOLrâ. e a âltuÍadaág!a,nesta destaágua,o mio,o dlârnetro Se,ao aritmética. eÍdern,formafamurnapÍogÍessão I ltrc deáguanajaffa,€scontfláÍio, fosseâdicionado urnapro odem,ÍoffnâriaÍn sasg|êíìdeás,narnesÍnâ gressão geornéÍica. OvaoÍdeV é: c) L d)z el5 a) 6. bl4.
poss]ri l0íacescomtfès 274. [UFPDUnìpoledÍoconvexo lados,l0 íacescornquatÍoladose I facecomdeza dos.Determine o número devé.tices desÌepoledÍo deÌrma 279- [UncampsP]ÂÍigutâabaixoé a plânícação
ï
dl E'co'.e o vao de x e'ì .'r'ho os.de n odo quea capacidâd€ dessacaixasejade 50liÌÍos. b) Se o ÍnaterâlutilzadocustaR$ 10,00por rnetro qLad€do, q. è e o (-slod' -nd dp'(a
RêvldogeÍôl
281. [UF[,1G) ConsideE umtetraedro €gulafde védicêsA, 246' [Ufes) O sêtorcrcular sombreado, coín6 cmderao, B,Ce D,cujas que êre€tas medem r Considerc,êíìdâ, trênsfoÍma-se nâsupertÍc e ate]?l dêumcone, âpós"coM e Í{ sãoporìtos médios dasarestas BDê CD,€spontilhados. aoem" de6eus boÍdos como llusÍad'o nas pectivamente. Câlcule a áreadotdângllo Al\,4 N. igumsa soguirl 282. (UerD Observe ,s flg!Ésa seglh: oo
+l'\ A
Á
B
 =B
êl Qualemêdrda doralodabêsedesse cone? b) Qualovoumedo conetêndo essâbase e a superficÌelêteÉldescfitâ anterormente?
,.1 c
B
+,/l\
^^
6m
o
atuo u
A ígurÊ| mostrâa formado toldodo ufiâ baÍÌãca,e a íglrâ ll,suarespectiv€ planifcaÉo,composta de doistrapézios isósceles congÍuentes e doistdângulos, Calculei â) o distáncs h ds aresta AB 60pÌÊno CDEF; bl o volumedo sólidode vértices A, B, C, D, E e D, Ínostrâdo nafguraI,emfungão de h.
287- (Uíscar.sPj Emurnaanchonete, uÍncâsadenamoÍadosrcsovedlvÌdirumataçadem,4k srakecoÍnasdimensões most€das nodesenho. s) Sabendo-sê queâ taçáestâvâ totamente cheae queêles bebe€ÍÌìtodo a nilk shakê cacuequalfoi o voluíne, ôrn pelocÊsê|. mL,inoeddo Adoten:3, bl Seumdeles bebersozinho até . a mêtgde da ahura do copo,
quântodo vollmetol6l,ôÍììpoÍEent€geÍn, teÍábe2g:ì. (UFPE) NaÍÌgu€ a seguko cuboremarestâiguata bid0? I cm ê ê prâmideteÍnurnvérticeno cêntlode ums devidrotemo fomatode uÍncofacee comobasea faceopostr.SêV cmsé o volume 288. (UFRI)Umaampola ne cujaâltuEmede5 cm.quandoã âmpoaé posta daorâmÌde, determ ne ] V '3 sobreumasupefldehodzontal, a aturado lhuldoem seuint6oréde 2 cm (Íìgurâ tl.
284. (Unifesp) Umrecp ente,contendo águs,temâ Íorma de uÍr cl_d'o crculsÍrcrodeahuÍâh = 50 cÍn€ €io r = 15 cm.Esterccipiente contérnI ltro dê ág!â ã menosquesuâcêpacidade tota, a) Cacllê o voumede águacontidono clindro(use ,r:3,14) , bl Quadevesefo mioR de umaesfeÍadeiêro quê, introduzid€ no citndroe totâlmente submer6â,lâçâ lransbordaÍem exâtamente 2 litrcsdeágua?
285. (V!nesp) LJmretángllo dê meddâs3 cm e 4 cmíaz !mâ rctaçâo coÍnpeta em tomo de seuladomaior, conforme a lust|ação. Adolando n = 3,14: aJ encontÍea áÍeatotgldâfigurageEda; b) encontrc o\olumedafÌguÈgeÍEda,
Determine quando â âiturE h do lÍquido a âmpola é vi radadec€beç€parabÊixo(ÍguÍE2).Lembrete: volo. fáÍeada b66eìx falturaì 3
Matrizes, determinantes e sistemasIineares Matrizes lúãtrizé umatabêla, Matri,m x n]h,lilh"t ln aotunns
Elemento aurestánalinhaI e nacolunâ,
It
. contexto Àìàr"amárl(a &Adkaçôê!
'Matriz quadrada
4ï dêt (kA): kn. dêt A (k é um númerorea!en é a ordêmdeA)
m= n ( o r d e m n )
lqxl Ic\d|
Sistemaslineares
-1'
(SPD:sistema determinado possÍvel e detêrmlnôdo)
!diagonal principal
(1") identidade Matriz Sistema
rr ot [r001 !=lo ,1,13=lol ol
(SPl: sistema indeterminado possÍvel e indeterminado)
L0 0 1l
(SlI sistema impossível) impossÍvel
Matriz nula[0'n, ou0J " o ol fo [o olI =t n t: o =t -,r
L000l
1L00j
Iax+by=c
Niìatriz transposta deA é a màtrizarcujasìinhas A matriztrânsposta ascolunas deA, sãoordenadamentê
".S"
xe
sãonulos: Quandotodosostermosindependentes
= ABm p x
I -s- * , 1
1t l Matrizinversa seA. A r=l=A A e A-1sãoinversâs
la x + b y = o lc x + d y -0
r '^.
Determinantes ô umamaDet9rminante é um númeroassociado trìzquadrada.
deordemI Determinante x t :x
2 Determinante deordem la bl .l =ad-bc col
Determinante deordem 3 la b c e fl =ô e i+bfg+cdh ceg-bdi-ãfh ld
s h il
principais Propriedades 2ï d"t A-' : -L 3e) det (AB): det A.det B
lD+ o -ì s P D lD = 0 -ì S p t o u5 l
(SHJ Sistema homogêneo
Multiplicação dematrizes 4 ,,
ld x + e y = f a b d el
ffi ordern, é de289. IUFRGS) A matzA = (aJ,desêgunda = j fr'ìida ât 2i Então,A Aié Por
3l n To L.oI
r [o -'l 0 L3
l
:l " l-1, -2]. [o ") 12 0l
o 3l ^,I 0] [-3
290.(uFs sE) são dada"..,",r* a= B=
llr ; ] . 4
ll ,'1"
* r , ' x = A r +2 8o, n dAer éa
rnatztransposta deA,é igualâ:
o -' .].
" fL- 5
I I
r- L|'r -'1. rl -31.
12 "ì- 1 0 - r l
al t ILa- , ,l o Tl ,a Árll
Reviráog€nl
291. Ú.jEL-PRI Sejamas Ínatrizes  e B, rcspecüvamerìte, 3 X 4 e p X q. Sea matrizAB é 3 X 5, eitãoé verda- 2 9 8 . de quel alp=seq=5 dlp=geq=1. blp=4€q=5 elp=3eq=3 clP=3€q=5 292. t\,irnesp)SeA B e C fo€m matrzesquadradas qualsquefdeordem n,assinale â únicaalternatva verdad€ Ía: al AB = BA. b) SeAB= AC,entãoB = C. c) SeA, = O" [rnatdz nula),entãoA = On.
dl ABc= AtBcl. e ) ( A+ B l ,=/J+2 A B +8 ,.
293. (l.Jece) Selamâs rnatdzes Ml e M2 a seguI e consÈ derca operáção entreestasmatrzes: /, nì /" -l.lV-= . "\ [,4 =l 'le
\r 0 ,
[r r./
( t -t\ - L N,,ì"N4.ivr.l\l"= | ' 3 -2) \
p + q é igualai Nessas condições al 5 b)6. c)7. dl8. 294, [FGv-SnSerês raÌ z A - l
| ,qsor b,.r,,"ee\u r,/
rnentos dêÍìatrizArooé a)102. b)118. c) 150. d)l7s.
e1300
295, [UFV-MG) sejarn èsm€rÍizes | ] :tt)le \z
/"
l \4 - l ',
\- ,
_1\
'lo_dexeysão jnercs€a E e M
v ,/
é a ma$zinvercâ deA. Então o produto xy é:
d + , r + d + d r ; "r+
/^
M-e s p )s e raa ì e / v
-|" \c
!\
" |o -o " u , o, . d,
€ d e lR,Seos núrnercs a, b, c e d, nestâoldêm, consiÌtuem Lrmá PGde |azãoq, o detefinnênt€desta matz é igualâ: a) 0. b) L cl q,a3. d) q3â,. el 2q3€,.
la a a
299. U.ìitauST 0 \s oÍ do oere-rranr. la o o cono prcdutode 3 iatores é: la b c al abc. d) (a + c)ia - bl . c. .c. bl a[b + c) e) [a + b][b + c][a+ c). cl a(a- bltb cl. 3OO, (PUC-PR)Paraumamaï z quadÍâda ,\ x n,considerc asseguntesêÍÍmaçôes: ll Sea rnâtdz Bi x né obÌidaa padrd€A, p€rrnlrando-seduâscolunas, entãodetB = detA. lll Seduas nhasda maÍz A sãoidêntcas, então detA = 0. lll det(kAl = k. detÂ,oÌìdek é (rmrcal. Itl SenooAÌ a raÌÍz r€'sposú oeA, erúo det(Arl = -det A Podernos que: âÍìÍmâr al Ìodasâs€íÌmações sâofasâs. bl Sonìênt€ urnaaÍrmação éverdadeim. cl Sornente urnaaÍrÍnação é lasa. dl SoÍnente duâsaÍrÍnaçôes sãovedade |as, el Todás asafrmaçôes sãoverdadeiras, 301. [FuvesfsP]SeA é urnamâtnz2 x 2 fve|sÍr'""| que satisfuz A, = 24,entãoo determinânre d€Aseú: âJ0. bl l. c)2. dl3. el4. 302, IUFC-CDSejarÌì A e B maïzes3 x 3 tarsque detA = 3 e detB = 4. Entãodet[4. 28] é gua al â)32. bl48. c) 64. dl80. el 96. 303, (UFPB) SendoI a matrzÌdeftdâdede ordem2 e M = 8, entãoo detemÈ rma nalriz2 x 2,la queN/43 nantede M é igu€al aJ64. b) 8 c) 4. d)2 ê) L
296, (V!nesplConsderca maÍzA = (al)r, r, defnidapof al= I +2 + l, parat < i < 2,1 < j < 2.0 detef- 304, (Fuvest-SP) Urnslp€Ímèrcado adqufu deteÍgentes minânte d€Aé: nosarcmasimão€ cocoÁ cornpm foientÍegLre, eÍn a)22. baâd€em l0 câixas, b)2 cl 4. d) -2. e) -4. corn24 f|ascoserncadaceixê. quecêdacaixacontinha Sabendo 2 frascos de deter 297. (Uêcêl Seo deterrninante darnâÍiz genlesa maisno arornamãodo quenoaromacoco, 0 número defrascos entrcgues, noaromalmã0,foi: al 1l0. b)120. c)130. dll40. e)150.
^[i;
o. 305. -lJ,'nr,. ro"o0",",rn"*"
í | -r" -7ì rnatnz B= | ..léiguala 34, -3nì \- 4 êntãorìr - n, é glala: al 4. b) 5. c) 6.
a) /,
Trêspacientes Lrsarn, tuFll\,4-t\4cl emconjuntoI B3Omg pofmêsde urncertornedmmento eÍncápsuas.0pâ crenteAusacápsu asde5 mg,o pacerìteB,de 10mg, e o paciente c, de 12rng.0 pacente A tomarnetade juntos do númercde cápsllâsd€ B e oslrêstomarn 180cápsu aspornìés.O pâciente C tomaurnnúmerc porrnêsiguala: decápsulas a)30. bì 60 c) /.. oj 90. e) 2A
&AplkaçóÊs Matemátka. coniexro
3 0 6. [Unfesp) considerc osstemâ deequaçôes [x-v=z Íear,I-b€qLeê ondec é umac0ns1â1te
I
no Intenof sejauÍnparoldenado solução do Sistêma (x > 0, y > 0l do sstemad€ do pÍimeroqLradÍante oÍtogonaìs comorgeÍnern(0,0),é eixoscaÍtêsionos quel necessá o e suiciente
álc+-1.
dl
bl c> -1.
e)
clc<-1
2
t 2
2
15À+v -z =0 inearl-\ -y l2 -l é: 307. [UEL-DR] 0 sisrena Y+z=2 l3, e indeteÍmlnado, aJ homogèneo b) impossível e indeteffninado. c) possÍvele dêtem nado, d) impossÍúe e deleminado. ndêtemnado, el possfuelo [âx +3v' =2 308. [UEL-PR) 0 sisrena I ^ ^époss'veede Lzx -v =u terÍninadol â) paÍaqualquet valofde a. paraâ = 0. b) somente cJ somentepaÍaâ = 6. Osea+0. ê) ses + -6. 160 horas 309. IFGV-S Íâbaha no máxirno D Umapessoê pormès,programando computadorês. e consertando pelotrábÊlho éde R$40,00porhoË SuereÍnuneração de de prcgramação e R$20,00por horade conserto x h0 tâÍnbémqueelatrabêlhâ computâdor, sabe-se € y hoÍascomconserto râspormêscompÍog€msção ganhândo ao menosR$5000,00 de computâdores, poigonaliorÍnâpormèscomessetÍabalho. A rêgìào (x,yl él par€sordenados dâportodosos possÍveis
e)
2 x 2 dotipo 3 I O. (VunespJ Cons dereasmatrzes Teais f c o sx s e n x l = AÍxì -' |I senr, cosx]I. ACx). A(xl. êl Calcu e o produto dex e [0,2t!]paraos b) DeterÍnine todososvaLores .A(a : quals A(x) A(x).
geral Eevlsão
sto paÍacadaLra dasd"ogêãs,esltloiadicâdos na ÉDeê
311. (UFC-CEI A matfzquadEda M, deordem n > I, sa= IVI- l, onde| é a matrizdentilsfâza equação l\4'z dadede oÍdernn > L Deteffnine, emtermosde M € L a rnatriz N,4,003. ,1 f r 3I2- LLfscaFsol Seaì as ìaÍzes A - 1,^ -, . :ElI Lroo0 l
Â
f l o oo .o r o I €B=l -, _ J] 1 ^ I.C â l cu l e : L
313, [Fuvest-SP] Calcu€osdeteffninantes:
a 0l
A= 0 1 lleB =
0 - r rl
: ; ' ;l
314. i1ç"ç501 Daoaa natr,zA=l \
_ 3 ./
R$r0,00
D
R$12,00
B R$14,00 R$1s,00
Sejaxa quantdade decax€sdomedcamento, dodepóstoD1,quedeverá seÍenviada à drogana A ey a quântdade de caxasdo mesmodepósto quedeveú serenvadaà drogaraB a) Expfesse: . eÍìrflnçãodex, o gásioG^comÍEnsporte pa€ enviaÍosmedcamentos à drogao A; . eÍìrfunçãodey, o gâstoGscomtrânsponê pêr€ì enviaÍosmedcamentos Bi à díogaíia . eÍnfunçâodexêy, o gâstoiotalGpsmâtendef asouasoTogaTas. que no depósiÌo bl Sabe-se Dr existeÍn exataÍnente 40caxasdo rnedÌcarnenìo soicitâdoe qle o gasÌo totaG pa|aseatendefa êncoÍnenda deveÉserde R$890,00,queé o gâstomÍniÍnonascondiçôes dadas, CoÍnbasen sso,detefinine, sêpaËdáÍnente, que as quantdades de caix6sde medicaÍnentos salrãodecadadepósito, Dr e O., paÍacadadrcgaa,A e B, e osgastosG^e GE.
al o deteÍninante da Ínatrz(B - A)i b) a matriznverca da rnatrz(B - A).
11
D
I.uraratlz
quedet(AB)= 26' B, [2 x 2),e sabendo al expresse detB emteffnosdê a. bì S€ndoB=l" " I cacreovaordea \6 4,/
315. (Ufes)Durãnte osÍenos,lrmplotonotoudoispontos pefgososnumc rcuitode Fórmu â l. Âpósã feixâde argada, havalma depressêo nápistâe, mâisâdiânte, !má manchâde óeo. Correndo semprcno mesmo sêntdoconsec!uânotafa d slâncÌade 2310m dê Análisecombinatória ârgâda âtée rnenchâ de óleoe nasvolassegunles, anotoLr 2420rndÒpontodedeprcssão e atéa argada Fatorial 2820r da ìancha€lé€ depressão.0-€ o corp i(n inteiropositivo) mentod0 c rclito?
Análisecombinatória e probabilidade
316. (UFPBIDetemì ne o valorde k pa|aqueo s slemaÈ I x+2y +22 =1 I _ear1 ) - ! -62 -- 1ãote_La souÇão. =0 + 2y +k2 [5x
317. (Uncamp SD ConsdeÍe o sisternâ Ìneafâbaxono quãlaé urnpaÉrneÍo rcál: [a x+ y+ z= t I x+ av+ z=z I
y+az=-3 lx+ al Mostrequeparaa= I osisternaémpossÍve. bì Enconr€ os\?o€s do paÍáTeÌÍo a oaÍaosq. èrso sistema ternsolução únlca. 3I8.
iarrnacêutco terndoisdepó Uunesp)Um aboratório sitos,Dr e D2.Pa|aatendeÍa umaencomenda, deve envar30cãixas iguaiscontendo uÍndeterÍninado nre dicamento à dÍogaÍia A e 40 caxasdo rnesmo t po € do mesríìo medÌcarnento à drogaraB. 0s gastoscorn porcaxade rnedicarnento, tÍanspofte, de cadadepó
0!=0 1!:1 n l: n (n- 1 )(n 2 )' . . . . 2 . ' l (n > 2 )
Permulaçdo simples de r?elemenlos Pn: nl
AÍanjosimples Aranjossimplêsdê n elementos tomadosp a p (p < n)sãoosâgrupamêntos quê ordênados difercntes podem se fomârcolhp dosn elementos dados. anP =nl
(n
p)!
Combinação simples Combinações simplêsdê n elementos tomados (p p < p elêa n)são os subconjuntos com exatamente P q podem mentosuesê fotmarcomosn elemêntos dados, -n l
l l p=* *
pl(n- p)l
. Cont,.xto Matemárka &Apkôçóe5
Permutação den elementos
Probabilidade
A permutaçãode n elementosdos quaiscrsãode um tipo, p dê outroe.y dê olrtro,com d + P + 1 = n, é oãdapor: n! p",p,1 " &lBl'y!
I
l=C"" = - -
\P,/
'
/n\
ínì
nl
Probabilidade doevento complementar
(pàràn>pe n,p€ N)
P l( n -P l l
Probabilidade dauniãodedoiseventos
[a : b
p(AU B): p(A)+ p(B)- p(An B)
l."J - lu J - i " + u = "
Probabilidade condicional
Triângulo dePascal
p(A,/B) - '"::: -' É p(An B)- p(tuB).p{B)
=l:l
'
ptó)
Eventos independentes
11
:0(l
12 1
:t;)(r)(;)
13 3 1
= ( ;) ( l ( l
SeAê Bforemeventos independentes, então = p(B). P(An B) P(A)
1 4 6 41 :(;)(f 1 s 1 ; ro
o
A e Ã: eventos complementares p (Ã )= 1 -p (A )
Números binomiais /n ì
número deresultados favoráveis po5síveis número totaldêrêsultados
tf
: "
ffi
tl
nl _l 3I9. fPUc-RJ) se ( n+ 2) r+( n+ r ) r a)n=2. cln= 5
0tf Btl
bl n = 12.
dln=7
.ì u,
2Í1
320. [Unifesp) Ovatof de "r, [!1+
í'ì
\s/
[;) [;)[;)
48
)
c) n. dl2 og, n.
a) n'?.
bl 2n.
i:
1n
l:l
( :) ( f
Observaçôer:
32L (l,lecr<-sD sell ì = 28,então n vale: \2)
a)7.
bl8
c)14.
d126.
e156.
322. [Faap-SP) 0s valorcs d€xque satisfazem a g!âdâde
/nì t'n R elà oStifel:l l+l ' cáde
\p /
\
\p +u
i ' n t í n t / n r tn ì I l-l rl l. I lr l0/ \1, \2/ \3i
l:Ì
/n+lì
|
\p +1 .1
f n \ ín ì rl l -l l=2ln r./ \n,
íI r 2 ìl = l r ' r 2 ìl sao: \3\
r./ \r + r./
â ll e 4 . b )1 e 3 . c l3 e 4 . d )2 e 3 . 323. (Untau-SD 0 terrno indepêndente dex nodesenvor'
Binômio deNewton Temo geraldê(x + y)":Tk+ r
r\6
vimentodelx+:lé: x, \
: ll]. 'n
al r0.
rb)30.
cJ40.
324. IFGVSP) q!e: Sabendo
. x êy sãonúmeÍos postvos;
d) 16.
e)20.
Í
g.íal n.vhão
. x4+ 4x3y + 6x'y'+ 4V + = t6l p00em0s quel concrurf 'r' .7 ar x=ã . c l x = -,
b ) x=
4'2
elx=
-
325- (UEL-PR) SeumdosteÍmosdo desenvotvimento do (x + aJ5,coma e lR,é 80x'z, binôÍìrio entãoo vêof oeae: al 6. b) s. cl 4. dl3. e)2. 326. (V!Íìesp) Consdereâ identif câçãodaspl€casdeve! cuos,cornpostas detrêsleimssegudasde 4 dígros. Sendoo afabetoconstituído d€26leims, o número de p acaspossíVeìs pensando de serernconsltLrídas, em possír'eis todasãs cornbìnações de 3 letrassegudas de 4 dígitos, é: aJ3 r20. dJ r56000 000. bl 78624000. e) r75760000. 334" cJ 88586040 327, (N4ack SP)Considere todosos númems de 3 agafsmosfoTmados coTn osâgâfismos l,2,3,5,7e L Denparcscom€xatal€ eles,a quantidade de números gLraìs mente2 agarisÍnos é: a) 17. b) 18. c) 15. d)22 e)24.
(UËPBlAs cafteasde umbingosãoconstruídas, d sÍbLr ndo-seos ÌnteiÍos de I a 75 semrepetição em uÍì-aabeade c_coli-L"soorci- o , oLr"s A p irF ? iegunda. le cêio.a-d la e qJ i colJ-do sào poÍ. i-lercs.-oci teldosl . r5l.| 6.30 'or"radas 13. 151Í.6 60 e lbl -5 €specÌvarete \ao \e á conside ddd" ordF'Ìr eÍncddacoluna. Poferer plo,ascanelas âbaxosãoconsidemdas idêntcas. l6
3
35
64
1J 45 59 70 20 3l
l6
t0
35 55 64
2A 45 23
6ì
6l
59 75
I
21
49 72
I
21 40 49 72
t0
23
57 75
3
17 ! l
57 70
0 total d€ cârÌelasque se podemconstrur dessa a) 15015. b)5.rsr.
cl 755.tb dl5,5.75t.
e)3 0035.
umare IUFPB)Na íglta abaxo,esú repÉsentâda g ãodop ânolmtadapofumquadrado delado5 cm. qua A egiãoloitoÌalrnente sLtbdividida empequenos dEdosde lâdo0,5cm,agunsdosquaishachumdos. qLtadrados Se Lrrndosp€quenos fof seleconado ao acasoâ probabldade deeleserhachurâdo él
qle se 328, tUEt-PRlUrnnúÍìreÍo capÌcLra é urnnúrnero podeerindistlntament€ ernarnbos ossêntdos,daes queda paÍaa direitaou da d retã paÍaa esquedâ EÍnurnhote de umacldade,onde [exemploi5335). osjogadoÍes deurntjÍnesehospedã€m, o núrnerc de qlaftosetaigualao núrnero paÍesde 3 de capicuas algafsmos. ouantosêrãÍnosquâ(osdo hote? b)40 c) 80 dl90 €l 100 ú2A 329, fUFC-CD 0 rúTeroderarei_êssegJ_coêsqr eispo. demosdispor3 homens e 3 mllheres eÍntÉs bâncos fxos,detalfoÍmaqueernc€dâbancofque !m casa, semlevarerncontaa posìç3o do casalno banco, é al L bl18. c)24 d)32. e)36. 330. [Unfor-CDConsder€ todosos anagran]as da pala qle começam pelaletra vrâDIPLo[/ìATA e teÍmÌnan] A. quantosdesses anagÊrnastêmtodasasconsoan
teslunt€s? ál l80 bl360
c)72A
dl I 080 e) I440
= {1,2,3) 331, (UEL-PR) SejaÍn osconjuntosA e = B {0,1,2,3,.4).O totaldefunções injetoÍas deA po mBé: al 10. b)15. c) 60. d) 120 e)125. 332. (UFMG) Duas dascinqüenta cadeiras deurnâsâê sepordosaunos. rãoocupadas 0 númêÍo dêm€nerÍ€s possÍve distintas s queesses alfos terãopaÉesco paraoclrpálas,é herduasdascinqüenta caderas, a) 1225. b)245A c)2'4.
d)aSr.
eJh0:.
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n -' 51
^,2
dr+
" r; o4
í--res,-SP)J'ì recen'eareìtoíerelo.èssegJ_res caÍâcteÍstcas sobÍea Ìdadee a escoafdadeda po pulãção de umâcidade. PopulaÉo
. (ontexto &ÂplloÍÕes Mâtêmátia
grupode500esfudântes umé €scoidioÍnas. Se,nesse lhìdoao ac€so, a pÍobabllldade de queêlerealzepelo menosLrmadessâsduasativdades,3toé, pmtiqueum é: tipode esporteou ÍreqÜente uÍncuÍsode idioÍnas,
F!ndamentsl incofipleto
, )+ br: . ": 3 o9
oi
a umapessoa dacìdade, âo6c€so, Sefof sorteada, (com_ probabil teÍcurso slrpeioÍ dadedeestapêssoa qr. {n ] = ----[ 341, ltuvest-sP) LeÍnbran6o pletoouincompleto) é: t o7 o't'.- ì1 e) 10,nqo. cl 8,45qb. âl 6,r2qó /Â\ â ) c a lc ú e l; l; dl 9,570ll. b ) 7 ,27 . 8 bolâsbEncase De urnauínâcontendo 336. (UEL-PR) sacam-se, âo 6caso,duas l0 bolasprctas,idènlicas, semfeposlção, A cof da pÍi_ bolsssucessvamentê, A segundabolaé prcta. mei|abolanãoé Íeveladá. de a pÍldisso,qualé 6 pÍobabilidadô Sabendo-se meimbolaserbranca? .- 80 _ 306
" 17
-8 cJ
-56 dJ ããã
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/ì2ì tl t4J bl siÍnpiÍque € íraÇêo --; Í',ì
l5/
cl detemineosìnteÌ!s n e p de modoque ínì
7
ínì
ínì
{ p r _ ( p + r / _ lp + 2 . /
123 337. (VunespJ PaÍâurÌìapâftidadefL.Íebo , a probabilldade probabilldaé 0,2e a deojogadoÍR nãoserescÊlado Bpsl€vra ìBN4EC 342. [Ìbnìec-SP] Considele quêa é 0,7Sabendo de de o jogadorS sefescalado qlantâs palawâs podern seÍfoínadâs aJDeteffnine da escal€ção de !m delesé independente escalação uma,duas. líês,quatrc utilizândo, semr€petiÉo, serem de os dosjogadores do ou$o,a prcb€bilidade pâlâvm. L BC, ouascincoletÍasdessâ [PoÍexemplo, e: escolaoos al 0,06. b) 0,r4.
e) 4,72.
c) 0,24.
o 0,56.
MEC,CÊM,IMECe a púpÍiapdavÉISMECdeveÍnserincluídas nestâcontagem,J notem b) Coocândo consideÉdas todasaspalavras deterrnine a posigão anterior emoÍdem âlfobé|c6, nesta list,dap€lavÍa IBMEC.
sâolançâdos.AprcDois dados nãovciâdos 338, tUÊL-PRl Ínaior ou asoma deseuspontos babIdade deobleÍ-se guala 5 éi quantos pod€mos de4 algâismos 343, (UFRJI númêrcs ,.5 quais ao rnenos foÍmar nos o algarismo 2 âparcce -l -2 -,2 ' l8 -'12 -6 lmavez) goaba, uti- 344. (UFBA) "Blocos depeças lalógico8 é lmacoleção deab€caxi, aceÍola, 339, TUFRND Dspondo-se peças qlantos 48 consde ÌúatemátìcÉ. São de sâbolizsda noensino ranja, m€çâ, mamão e melão, cÊlculê eaÍnaprepaÍai 3 cores verúelh€ pode-se truídas combnando-se fesdiferentes umsuco,usando-se [azul, (ldangulaf, quâdfod8, 'três Íeiangular e cfÍela),4 formas frutasdistntas, epequenoJ ê 2espessurEs cllaf),2taÍnanhos [g[9nde quad€do 4 x 4.DeseÉdadoumtabueiro (grcssa umacof,uma 345, (llVlE-R, e lna).Cadapeçatemâpenâs jâ-se part quadrEdo infe of d reito a r doquaatingir o SeurÌecÍiança ÍoÍma. Ln tamanho e LnaespessuÍE, permtÌdos dÍadoslperioresquerdo, Osrnoviínentos pegarumapeça,aleatoriâmenÌê, a pÍobabllidade de pelas são setasl os rcpresontados e grande é: essapeçaserám6rela -. i q
1
b)+
',3 ^ìl
dì l
umapesquisa foi Éalzada 340. (wnesp)EÍnuÍncolégìo deseusalunos. sobrcasatividadês extracuÍÌcllarcs 240pÍatc€vaÍn umtipo entrevlstados, Dos500€lunos Dequantasìmane Íasistoé po6sÍvel? e 180freqüenta\€m umclrsodeidiomâs deesoorte. Umaprov€constade 10testesde mútipla atvidades, ousêja,pÍatlc€- 346. CFGV-SP] 120rcdizav€m estasdrJas v€mum lioo oe esoonee 'ÍeqüentrvaÍnJm cuÍsode
e apênasu $colha,cadaum coln5 atematlvas
t
Rwkão seRl 'chutaftodasasrespostas: coÍetâ.se um€lLrno (lVlel l\4ediana píobab a) Q!âlâ ldâdedee e acertar todosostestes? Dadosn números emordemcÍescente ou decresb) Qualâ prcbabilidade de ee acertafexatamente cente,a mediana seÉ: 2 testes? pa|adetectaf 347, [UFR]lUrnnovoexerne ceftado€nçafo p€ssoas, testadoèmtrczentas sendoduzentas sadas ê cernporlador€s da la doença. Apóso testeveÍfcolrse qLre, dos Êudosrcíerentes a pessoas sadias, centoe sêtenta resultaÍârn negatvos e dosÌaudos rcpodadoms fer€ntes a pessoas dâdoença, noventa resutãÍâ.npostvos al Sorteândo ao acasourndess€strezenÌos laudos, câculea prcbabidadede queelesejapositivo. b) Softeâdo unìdostÍezenÌos aLrdos, vedfco!-seque ee eÍâpositivo. Det€rÍn ne € pmbabidadede que a pessoa coffespondente ao alrdosoÍ1eaoo rcnrìa reamênteâ doença. 348. tUnBDD A prcbabidadede queurnanoitede no 3. veÍnbrcseia '3 Íìubadaé de Emurnanote ruÍraoa,a probabldade deq!€ urncoehocara emurnêamad
.o númeroque ocupata posiçãocentralse n for ímpãr; . â médiaaritmética que estivêrem dosdoisnúmeros nocentrosen fot par,
g,l Variância :),(x - MAf V='=
padfão[DP] Desvio
op: w Noçõesde Matemáticafinanceira
I xéa%deP:x= a.P hêé de - e,ernurnanotenãonublada, é de lu 100 36 gueos lensseguintes comovefdadeiÍo 01]íalso. (fJ deatualização 0l A probabildade de quea íìoitede 1qde novernbrc Fator sejanubadae de queumcoelhocaanaarrnadha
nestarnêsmâ noteé OLra a 2, 9 l) A pÍobabilldâde de queurnco€ho caiâernume âmâdilhâ, estelâ â notenubadao! não,é guâ
: I + taxa f> Iiaumento----->f f < l: desconto----+f = 1 - tâxa f: 'ìrnãovariou
3 e descontos sucessivos que,n€ noìteernqle um coelhoca na AúinentOs 2) Sabe-se probabil amadilha,a dadedeqìreumaraposa rnat€ 1 .. l . umcoelho é de . e nâsoutÉsnoites. é de . Â 5 t0 Jurcs simples prcbabidadedeque o coehocaanaaTTnad haoli a |aposamateumcoeh0,ernurnanottede noveTn M:montante tìro.é de
7
. 2A
Estatística e Matemática financeira Noçõesbásicasde Estâtística N4édia aítméticê{N4AJ xr+xr+x3+,,.+xi
s,
nn
Moda(Mol EmEstatística, modaéa medidadetendêncìacenÍãldefinidacomoo valormaisíÍeqúente de um grupo devaloresobseÍvados,
C:capital total i:jurosdo período i:taxadejuros e númerodeperíodos j= Cit e M: C+ j
Juros compostos r vr :c( l+D,
j=M
Valor firturo presente Valor (1+ i)"
c
f =' ì + i
. comexto MãremátlG &Apliações
(ffi ân349. IFGV-SPJ n!m&cosleÍnvÊf UÍnconjuntodedados conclur que: ca lgla a zerc.Podemos a) a méda tarÍbémvalezeí!. b) a medanatambém vâlezêro. c) a modatarnbém valezero, d) o desviopadÍãotarnbéÍn vâe zero. eJtodososvalo€sdesseconjlntosãoguasa zeÍo, 350, [FGV-SP) SejaÍumaiunçãode lNemq,dadapof Írr-t t<"
a)3.
b13,5.
") +
O 4.
e) 5.5.
DeacoÍdocorno gÉfico,visitaram a exposição: poÍdla. al 3 pessoas bJ 100pe$oasno sétiÍno d â. cl /!u pessoas eTnzu oEs. dl 1050pêssoâs êm60diás. e) 9 850pessoas ern60 das.
355. tuFlvlc)A médiadasnotasna pÍovade MâteÍnática de umatrrmácom30 âlunoslo de 70 pontos.NepaÊ qle osnúmerosxeyfazem 351, [Pucc-sP)Sabe-sê nhumdosaunosobtevenotalnie or â 60 pontos,0 te dêumconjunto de 100númercs, culomédaadtménúmero máxirno dealunosquepodemter obÌidonota x ey desseconjunto, a médiâ tÌcaé 9,83RetiEndo-se gua â g0 pontosél â&Ínética dosrúmercsÍestanteg seré8,5. áJ13. dl 16. bl 10. c) 23. Se3x - 2y = 125,entãol 356. (UFC-CEI A rnédia aÍhmética dasnotasdosaunosde eJx=75. alx=S5. clx=80. urnatuíÍnafomâdâpof25meninas e 5 rneninos é iglal dly = 55. â 7 Sea Ínédia é igual aÍitnrét cadasnotrsdosmeninos quoa médio aftmética de5 nú352, (Fuv€$-sn Sabe-se a 6,a médo âdlmético dasnotasdasrneninas é iguaai posluvo6, a) 6,5. bj7,2. c)7,4. d)7,8. e) 8,0. distintos, estÍitamente é 16.o mêrosnteifos
podeassum | é: maorvaorqueumdesses inteiros 357, iuecel AplcandoR$ 10000,00 a jurossmplesde cJ50. dl 70. eJ100. â) 16. b)20. (considere 353, (PUC-S á segliÍaprcsentâ adistrkJLr P)0 hlstogÍáma pequena nLrms dasfuxassâlârlais 9ãodêfreqüênca empÍesa,
1,2%aomês 1 mèscorn30 dasl,dlrsnte 18diasobtém-se t]mrendiÍnento de: al R.$120,00. c) R$72,00. b) R$8100 dl R$68,00.
358. tUFC-CD ÊJoëooo-5Te-oséenpÍesloJRs500.00 ses,nos sterna deiuÍosslÍnples, a umataxadejumsfxa e mensol Í€cebeu umtotâ Senoína dos5 mesesJosé de R$600,00, foide: entãoa taxaÍxa mensââpllc€dá a)
0
500
1000
1s00
2000
2500
pode-se Cor osdados dispo_rteis. conclJ' queÊné diade$essêárosé, aproximadamente: d) RJ640,00. à) R$42o,oo. b) R$536,00. ê) RJ708,00. c) R$5€2,00.
354. [UEL-PR) d€dos referen0 gÍáícoa seg].rir apTesentâ tesaonúmero devlsltaftes emumaeâeÍâdeáne, de CânddoPoÍtinaÍì. du€nte!mê exposiÇão
359. (FCV-SP) à taxâ Urncapitolâplcâdoâ lurossirnpes, de2,5%aomês,típlca eml a) 75 Íneses. c) 85 meses. eJ 95 Íneges. b) 80 "ìes€s o) 90 neses. 300. (tJeDUmlojstaoferece ao clieÍìte 5qÓde desconto quepagafsuascompÍas à vlsta.PamcaculoÍo vâloÍ coÍndesionto,o vendedor !sê sLraÍnáquna caÌcuâdorddo seguinte modol
t*J ['I G']G T -
L
L----l
Umoutmmodo decâlculaf o valoÍcomdesconto se 3 pfeçotota dasmeÍcadoÍias pofi multiplcâfo a) 0,05. b) 0,5. c) 0,s5. dl 1,05.
R.viúog€Ìal
361. (UrìiÍio-RJ) Íà|acompr€f uÍntênisde R$70,00, Renáto deuLrmchequepfé-dâtado dê 30 diâsÍìovaorde RS74.20. A taxade iuroscobrada fo del al 0,60,t ao rnês. d) 42q6aomês b) 4,29ó ao mês. el 60%ao més. cl 6%ao rnês, 362, (UEL-PRI EÍnumaliquidação ospreços dosaÍtgosde umaolasãorcdÌrzidos de 200/tde s€uvalorTerminavora-aosprcçoso-rgF da€ iqudação e p eÌende_do que porcenlagem naF,0e oevemsef acrcsooos os preçosdálqu dação? a) 27,5% b)25% c) 22,5qhd)21% e)20% 363. [Ufac)Urnterrenofoivenddo pof R$]6500,00com urrr LrcÍode lOqóteÍn seguidá,foi íevendidopor R$20'00.000 luco lo.aldasduast€nsaçòes reprcsenta sobrco custon cÌaldo teffenoumpercen tlalde: âJ 38,00i]ó. cl 28,00%. e) 25.454/a. bl40,00% dJ51,80%. 364" (Uece)LJmap€ssoanvestiuR$3000,00 ernaçôes. No píirneronrèsde âpicsção, elâpedeu30%do\,€lorinvestdoNosegundo mês,elarecuperou 400Á do quehaviaped do ErnpoÍcentagern, cornrelaçâo ao valorinciálmentê investdoao inâl do sêglndomès
nouve um: a) ucrodel0%. bl prcjuho de10%
cJ llcro de l€gô. dl preju|ode ]8gt.
aSla c,a. Er agJTasdessas taoJ_l^as ío?r e' conÍadostexlosmaternétcos dâtêdosde cercâde "poÍ 2000a.C.ErnuÍndessestextos,pergunkva-se quânÌotempo quandeveseapicêfumâdetermnáda t'€de drherc ajJos coTpostos oe 20foaoanopèra quee€ dobre?': (Adaptado de: EVES, Howâd./riroduçãaà Históiada MatenláübaCampinas: Edto|a da p.7D Unicâmp, 1995. Nosdiasde hoje,qualêquâção s€ri€uti zadapâmrcsolvef tal pÍoblemã? a) (1,2)1= 2 c )c 1 , 2 )r= 2 e )r' = 1 , 2 b) 2t= 1.2 cJ2r=1,2
369. IFGV-SDNumâpequenalh€,há 100pessoas que trabahãÍnna únicaernpresa alÌexst€nte. Seussaá ros [eÍnn]oedaocal)têmâ seguinte distribuição de frcqüêncas: Sâlárlot $ 50,00 I t00,00
$ r50,0!
' Freqúência 30 €0 t0
al Quaa médâ dossaárosdas100pessoas? b) Quaa vaÍiância dossaláÍios? Qualodesvopâdrão dossâáfos?
370. (UFRllA altuÍãmédiade urngrupode qunhentos e trêsrecrutas quenern é de l,8l Ín,Sabe-se taÍnbém 365. [UFV-lV]Gl A sorveteria DoceSaborproduzurnt po de todosos Íecrutas do gÍupotérna mesma alura Dlga soÍvete aocustode R$12,00o qulo,cadaquiodesse secadaurnadâsâfrmâções a segLtir é vedadem,la soÍvete é venddo por!m preçodetalfomaque,mesparaurnaconc!sa ou seos dadossãoinsuícentes Ìo dando- Ìr des(o-tode ì00tparaoÍeg-ès,o p osã0,EÍncadâceso,juslÍque suarcsposta. pdetáÍio âindaobtérn!m lucrode 200/0 sobreo pÍeço pelornenos al 'Há,nogÍupoeÍnquestão, uÍnÉcruta decusto.0 pr€çodevendedo q! lo dosoívete é: quemedemaisde l,8l Ín € p€lornenosum que al R$18,00. c) R$16,00. e) R$14,00. medemenosde l,8l rnl b) R$22,00. d) R$20,00. que b) "Há,nogrupoemquestão, rnaisde uÍnÍecruta quemedeme mede ma s de 1,81 m ê ma s de !m 366. (fuvestSP)A c€daanoquepassa, o\€orde urncarfos de 1,81rnl rodimin!ìde300óernrclação âoseuvalofnoânoãntefiorSev foÍ o valordo caÍÍono primeìÍo ano,o seu 37I. rFGV-SPI co-runto oe l0 vaores_- ìe cosr.\r. -'Ì] valoÍnoo tavoanoseÍá: g!â á l00eváfâncâ x3 ...'xro, temmédìa a tmétlco á) io,r?v cl (o,r3v. e) [0,3]sv iguaÌa 20 SeadcionaÍmos 5 a cadavaloÍ,istoé, se bl (0,3)7v d) (0,3)€v. obtlverrnos o conjunto [\ + 5], [x, + 5], [x3+ 5] ...,
(xìo + o:
367. (UFNIG) A quantlade R$15 000,00é ernprestada a ál Quaa médado novoconjunto devaores? jr"os uÍrala\èdejuÍosde 20ooaonès Aplicaldo-se 0usriflquel. coÍnpostos, o vaorquedeverá serpÊgopaÍEa qì.ritabJ Qua a vadânca do novoconjlntode vaorcs? tÍêsÍneses deoos,é: cãodadÍvlda, 0ustifquel. a) R$4000,00. d R$42000,00. 372. (Vunesp) um capitalde R$I000,00é âplcâdod!rânb) R$2s 920,00. e) R$48000,00. c) R$40920,00. a) Encontre o rendÍnento dâápic€Éo,nopeíodo, con 368. IUELPRIUÍndostraÇos caÍacteístÌcos dosacnaoos sideÍando êtaxêdejurcssimples de loq,b aomés. âqueoógcosdâl/ìesÒpolâÍnia bJ Determine é â g€ndequênÌdade o rendrnentodaáplicaÉo,nopeÍÍodo, con de Ìeno!,elcttoseTns.a Tna ora sobrcÉbunhâsoe siderando ataxade iuroscomDostos dê I 00úaornês.
. conÌexÌo À,latemárka &AplÌoÍÕes parceade R$1980,00, 1 rnësapósa compÍae o sa373, irGV-SP) do em 2 rneses após a compÍa. duÍante a) LJrn capitalC fo ap cadoâ jurossiÍnples ol Quao \,€or à v stado apafelho de som? I 0 mesesgeËndouÍnrnontante de R$ì 0 000,0 0 bl Se um conslmdor cornpEf o apãÍelho de soma poTsua essernontante, vez,fo taÍnbérn 6plcadoa pÍazo parcea "Corcov€do", qLrâlo na rede valor da jurcssimples, à ÍnesTnalaxa da durântel5 meses, fnal, venciye 2 Ín€ses âpós â compÍa? gerando aplicaçãoante or, um montântede R$13750,00. de C? Quáloválor 378. IUFRJJ A reded€ lojasS strepavendepof cr€diário à taxa b) LJrn capitalC é aplicado a juroscoÍnpostos com urnataxade juÍosmensalde 10% UÍìracerta de 2%aoÍnés.Tfêsrneses depois, urnoutÍocapital mercadofa, cujopreçoà vstâé P,seÉvendida a pÉiguala C é aplicado também€ juroscompostos, 20 de acordocom o segunt€ planode pagaÍÌrento: poíérnàtãxade3%aomês.Durante quantotempo R$100,00 de entrada, umapÍesração de R$240,00 a pá|adaf uÍnrnono le captaldeveÍcar aplicado serpagaeÍn30 diase oLtrtÍa de R$220,00a sefpaga tânteigualaodo 2ec€pitâl? Vocêpodedeixarindiem60 dias.DetemineP,ovaoÍ devenda à vistadescaoo0 Íesuu00. sa mercadoTa, escolâr,com 374. (V!nesp)LJrnboeto de mensaldâde p€Íal0/8/2006,possuivalornominal vencirnento de R$740,00. ál Seo boeto for pagoatéo dia20/7/2006,o valata do sercobradoseráR$703.00Quálo percentual desconto concêdìdo? ha b) Seo boletofof pagodepos do diá10/8/2006, veíácobEnçadejurosde 0,259b sobreo valofnoSeíoÍpagocom minaldoboeto,pordiadest|áso. qual 20diasde atÍaso, o valoÍa s€rcobr€do?
Geometriaanalítica Pontoe reta Ponto Distância entredoispontosl a = ,,i{x,- x^)' + (y, - y^)' /-
!-
!-
\
375. tFuvest-SP) llm comerciante comprac€lças, câmisâs ponto médio Ml i!--l-jq ZA--:--U-L I e saiase as revende coÍnlucrcde 20qó,40qó€ 30qt \22) paga ÍEspectivsÍnente. o pÍeçox queo comeÍciante Condlçãode alinhamento detrêspontos: por uÍnac€lçaé trêsvezeso queelepagapor uma cârnisâ o queelepagapof umasaia, t e dussvezês l"^ Y^ ljrn ceftoda, um clientecompíouduáscalças, duas lx s Y B l: o carnisas e duassaiase obteveumdesconto de l00ó llxc Yc I sobreo pÉç0tota. a) Quantoesseclientepagoupof suacompTE eÍn Reta ílnçãodeÍ) anoular daretaim - to o - !:lq bÌ Qualo ucroaprcxirnado, em porcentagem, obtdo coeficiente
(sêxÂ+ xJ aptás 376. CUnB-DD EÍnuÍnacidade,há 10000pessoes pâr€o Íìefc€dode t|abaho.No momento, apenâs 7000 estãoempre$da8. A cedââno,l0% dasque peÍdemo empÍego, estãoempÍegadas enquanto 600ó se eÍnprcgarConsldasdesempregâdês conseguêÍn qle o número deÍando depessoas aptasparao Ínercâpemaneça c€cuÌeo peÍcendo detrabalho o mesÍno, pessoas tua de empregadas daqua 2 ânos,Desprcze c€soexista, a paneíracionár a deseurcsultádo,
Equaçóes daretal .y - yo= m(x- xo)(fundamental) . y = t n x + n (re d u z id a ) . a x + b y + c = 0 (g e ra l) . I + -L : 1 (s e o me n t á ria ) qn paralelas: Retas mr : m2 perpêndicularesi Rêtas mt . m2:
1
377. (FGV-SPI Lúciâ"e a rede"CoÍcovado' 0 "N4agâzne permercadòs de.h vendern umadeteminada mârcâde DÍstância entrepontoe reta pelomesmo apa|eho de sorndo tìpoHomeCinema, prcçoà vista.Navenda a pÍazo, aÍnbas aslojascobram r_ lôxp+byp+c l00óaomês,coÍnplanos ataxadejuroscoÍnpostosde a'+bt dê pãgamêntos dlstnios.CompÍando a prdzono "Magazne Lúcia, urnconsum;dof devepagarR$2000,00 Distância entÍeduasretasparalelas no ato dâ comprae R$3025,00 deposde 2 rneses, enquánto nÊrcde"corco\€do" elepodelevaro aparelho semdesembolsaf dinheiroalglm,pagandouma
t
g.lal n.vkão
porduas Angulo formado t -o o =
mr-m' l1+mrm,
Equações dahipérbole comcentro na origem
Áreadotriângulo
íi '=ir"r,",*",=]ï1 Gircunferência . (x - a)'? + (y - b)'z= P(reduzidà) . x'?+ y':- 2ax- 2by+ (au+ b, - r'z)= 0 (noÍmal)
Secçõescônicas Equações da parábola comventcena origem
-b
c
6ra"n1 6;656s.g = :9 Assíntotâs: bx - ay:0
e bx+ôy=0
375. (Unifesp) tjr. pontodo paro câ1esãao é êpreserrado pelascoodensdas (x -l 3Í -x - y) et€mbém pol y, + y], 2x + emreláçào â urnmesmodsteÍÌade [4 coordenadêsiN$tas condições, xré rgLro aì al -8. bl--6 c) 1. elg. d L
380. (UEL-PR) Considere os pontos A[1,-2), B(2,0)ê Ct0,-l). 0 comprmento damedânâ dotfáng!o - ABC, reatvâêo adoAC,él
Equaçôes daelipse comcen o na 0ngem
d 8\E
cìqJã.
u] onã.
dl3ú.
34 '2 "1
38Í . I TA-SP) Ìrêspontos de coodenadas, respectivarnen/ te,t0,01,ib,2b)e (5b,0), coÍnb > 0,6ã0vértces de um fêtângulo. As cooÍdenâdss do quadovérlcesão oaoâsporl al (-b, -bl. d) tsb,-2b1. b) (2b,-b). e) (2b,-zb). c) (4b,- 2bl.
382. (UPF-RSI0s pontos A(-r, rl, B(2,-2) e Ci3,4l: al estão alinhados. bì 'o-"rânJT trángLro Íerâ1gulo. cl fomâmumtrángulo isósce es. dl forrânJT trángLlo esca enode42u.a. e) form6m t]mtr1ángulo escaeno dei0,5u.a.
Excentricidade: e= f
383. 0bmêc-SPltraraqueospontosdoplanocadesianod (1,l), (a,2)ê (2,b)estejam coordenodas sobreuma nesnêÍetaé necessáro e suíce-teqJe: â )a b = 6 -b . d )a b = a , -b , . b )a b = s + b . êJâb=4,+b,. c )a b = b -a .
Marêmát ca. (onrexro &Ápl!à!óe5
384, [FGV-SP) No pânocâftesafo,o pontoPque perteny = x e é eqÜidistante dospon ce à retsdeeqLrâção a[5,7) tem abscssa igusla: tosA[- ],3l e a)3,1. bl3,3. c) 3,4. d)3,5. e)3,2. 385. [VJlespìN- Ìì s Íe.1áoecooroenaoos canesianaso ge€l dá ángulafe a equação togonas,o coeÍcie'rte retaquepassapelospontosP e q, sendoP[2,]) e o o sirnétrco, em rcaçãoâo eixoy, do pontoQ'[],2) são,resp€ctrvamente: al -l: x-:y 33 ol
2
r=0.
a)l
2x-3!-t=0.
el--\
ì-3y-s=0. 3V+o=0.
5=0.
cl -l:x+3Y 3
386. [UFP)A fetar passapeospontos(], 2) e [3, ]J e interceptâ osêixoscoofuenados nospontosP e Q. 0 entreP e q é: vaofnumércodadistância
. svt
vi
. sví
"j,"2e J4
c)x+2Y=0. 391, (Faar-l\iÌG) dâs Se P(a,b) é o pontode intercecção lgx-3v-7=o ' feÌás{ emãoa-béio-ãla: l3x+6},-14=0
a)3 b)+ "r+
'3
3
392. (FGV-SD Noplânocârtesiano, exstemdoisvaoresde m demodoquea distànca do pontoP[m,]) à retáde equãção 3x + 4y + 4 = 0 seja6;a somadestesvâlo€s é: ^.
t6
-
l8
-
2A
3 393. (UniÍo-FJ) Aequaçãox?+ y'z- 4x + 6y - 3 = 0 é deuÍnac rcunfeÍènc a cLrja somãdoraioe dascôofdenadasdo centfoé iguala a) -2 c) 5. d)L el ls. b)3.
10
!5
390. IUELPR)Considere os ponros A(1,-2), Bt2,0) e . C(0,-1) A equação dotr daÍetasuporte daalturg ângulo ABC,relativa aoladoBC,é: aJ2x+y=0. d )2 x + y -2 = 0 . b l 2 x -y = 0 . e )2 x -y + 2 = 0 .
regu' 387. tUflNn-NIG) AÍìgurarepresenta umpentágono de nosìstema de coordenadas cêrtesìânas IaTABCDE ponto penence y gem A aoeixo e o segÍnento 394. [uEL-PR) or o. 0 sãodados: /r \ noeixox. Aeqlaçãoda BC,demedidêl, estácontido urnaciícLrnferência decentfoCl :, I l: que o segmento AB é: reÌa contérn alY=-tg72" x+sen72' uÍr po^ÌoTl ;. - I I qJepenence a cÍcunÍerê_ci8. blY=tg72"x-sen36' \z ./ c)Y=tg36'x-cos36' A €quação dacrcunfeÍênc a dadaél d) )7= -tg 72" x + cos72' a) 4x'z+41- 12x- gy- 3 = 0. e) Y = t9 36"'x + cos72' b)4x'+4y'z-12x-B}r-4=0 cl 3x'z+y'z- 6x 4y - 2 = 0. d)3x,+y,-6x 4y-4=0
388. [Fuvest-SPJ dospontos(x,y] dopl€nomr0 conjunto quesâtisÍázem t'?- t - 6 = 0,onde t = x - yl, tesiano dJumapaÍábolâ. €) duaspaúbolas.
. al Lrmarctâ. bl dubsrctâs. cJ quatÍorcús.
quea Íetar, deequação 389" tUFRcSl sâbe-se ax+ by= 0,é pa€elaà retat, deeqlação g váb: 3x- 6y+ 4 = 0,então, Ìr ll
e) 2.
'2 "1 ^r..u,,lx-y=6 queuneos pontosde nter395, tUFc-cElo segmento secção da retâ2x + y - 4 = 0 comos exoscoordenadosdeteÍmÌna umdiâmetro de uÍnacrcunfeÍênca. A €quação dessacircuníeÉncia é: al(x-])'?+6/-2)'?=5.' b)(x-])'?+(y 2F=20 cl [x - ])'z+ (Y- 2)'z= 25 d)(x+])'?+6/+2)'z=5. e)[x+])?+(y+2)'z=20.
Í
396. (Vunesp) Â êqLração da elpsede focosF,[-2, 0), F2(20) e eiÀomãor g-ala 6 e daoèpor.
ar + â= r . ro
O 6 +;=r
b) + r= r s
ai+|1:t
' I
Consider€ â regiào sombfeâda ClJnifespl nêÍguÍa,depeo eixo0x e peasÍetasdeeq!âçÕesy 2x limit€da -
t5
\
Ne$ascondições, expresse, ernfunção dek: al a área A[k]da|€gião sornbreadê; bl o p€ÍmeÍodo trÌângLr o quede miiaa regiào sombrcada, 397, TUFPB) UmafetâtemcoeÍciente afgLtar m = -t e passa pelovértjce dâp€dbolâ 4x- y, + 6y- 5:0. Suaequação cártesián€ é: a lx+y2 =0 o2x=y-l=0 blx- y+3 =0. elx+y-t=0 clx- y- l=0 . D 3x=y-3=0
4O1. CFaïec-SP) 0s pontos A(1,2),B e C(5,-21 pertencema umâmesma reta,Detemine o poÍìtoB,sabendoqle eleé doexoOx,
4O2. (UFN/ìG) Cons dêreâ parábola deequação y = 8x - 2x' e â Íetaquecontérn osponios(4,0) e A e B ospoiìtos dâinterceção [0,8].Sejam entrca rêtêe a pâráboa Deterrnine â equâção damediatrz dosegmento AB. 398. [PUC-PR] Naíglr€segurìte,teÍìros Íepresentadas as pory= x e y = x':. funções deflnidês 4O3. (Fuvest-Sq pelaofgemO e peloponA retss passa toAdo priÍneirc quadrante. A retáré peÍpendicularà retâs, nopontoA, e intercepta o eixox nopontoB e 0 exoy nopofioC,Deterrnine o coeÍìciente angulaf dessea árcadotriângulo OBCíofo Íiplodaárcado tíângulo 0AB. 404, (UFN4G) Observe âÍgura: A fegãopinbdaé deÍndapof: a) ((x,y)€ lR,| 0 < x<.vã ex
3gg- (Ufscaf-SP) 0s pontosA(3,6), B[],3l e C[xc,ycJsão véftices do tÍiângulo ABC,sendoM(xM,yM)e N(4,b) pontosmédios dos adosAB eAC,respectvarnente, a) C6lcule a dislânc a entÍeospontosM e I{. geraldêretasuporte bl Deteminea equaçâo do lado 405.
BCdotrlângulo ABC.
Nessaígura,a circunfefència tângencia a rcta da = 2XnopontoPde abscissax = 2 etânequaçãoy gencis, também, o eÌxox. Determine o Íaioe ascooÍdenâdas dotcentro dâ circunÍeÉncia, (UFGCD-Efcontre umaequa@o dâ rct! tâneênte à
cLrrya x'z_ 2x+ I = 0 noponto0, 1).
. contexto MalAmárka &AdkiçÕes
(l e fórmula deMoivrel polinômios Potenciação Números complexos, Sejaz - p(cos0 + i sen0),então: e equações algébricas (n0)+ ìsen(no)l zn: pnlcos Ìtlúmeroscomplexos
Polinômios
Fonna algébrica
l| âx"
z : â+b i =a Partêrêaldez:Re(z) Partêimaginária dez:lm(z)= b Unidade imâginárla: l,talquei'?= -1
.o"6ç;qnlq -JL
expoente
u"r;5u"1
p(x)=à,Ì a. x"a" )t' ) ...-â,P-à,x-ao êm quê: ân 1/an- 2, ., a2,a| aosâo número5complexos ' ãn, denominadoscoeficientes; . n é um númerointeiropositivoou nulo; . o maiorexpoentedê)ç com coeficientenão nulo,é o graudo polinômio.
Plrtência deI
i" = iR,ondeRé o restoda divisãodê n por 4:
n!-:
Po lìn ô mid io€ n tica m ennulelo[PlN]
Rq
p(x)= anx"+ an-rxn-1+... + arx+ aoéo polinô= an r =.,,: ar: ao:0. mio nulo<,ran Obrervâção:Náose defÌnegrauparao PlN,
Conjugado {ZJ Sez: a + bi,entãoz= a - bi.
Va lonr u m é r ìco d eu mp o lin ô m io
Plano deGauss
Ovaloínumérìco dep(x)para x = oé p(or). : SeP(d) 0,entãod é râizdeP(x).
Dìvisão depolìnômios p(x) h(x)
-=ptxl:n(xj.q(xj+(xl (x) q(x) Graude (x) < graude h(x) Graude q(x): graudê p(x)- graude h(x)
Teorema doresto
[,1ódulo [p] r - r - ^-
D--
p(x)por(x a) o rertodadivisãode umpolinômio é p(â).
":
Teorem[ì do fatcr
,Argumento {0) b sêne:-F
toe:-
Forma trÌgonométrica z : p( cos0 +ise n0)
naïorma NlulÌìplicêção e divisâo tÌ"igonornétrica sêndoir= pr(cos 0r+ isener)e = z, pr(cos0, + + i sen0r),temos: (er+ 0,)+ isen(0r+ 0r)] zrz,= prp,lcos
- 0,)+ i sen(0,- 0,)ì +zz = +Pz Icos(e,
b
Sec é umaraizde p(x),entâo(x - c) é um fator p(x). de
Equações algébricas Teorema fundamental daAlgebra OFAI p(x)= 0 degraun (n> 1) Todaequâçáo â|gébrica possuipelo (realou mênos náo), umãraizcomplexa
Deconposiqão emfatores do primeiro grau Todopolinômiopodeserdecomposto emfâtores do 1qgrau: p(x): a"(x- \)(x - xr)(x x3) ,,,'(x-x")em quêx]sãoasraízes dep(x)ea. é ocoefìcìênte dex".
g€Í.1 Rêvirão
ultiplicidade dasra2es
A seqüéncia corÍetâ é: al VFF c] FFV. b] FVF. d] VVF.
queumamesma Éo númerodevezes raìzâparece, 1 vez:raizsimplê5 2 vezes:râizdupla ou multìplicidade 2 3 vêzesrraiztriplaou multiplicidade3
408. (Pazu-N/cl o quocen,u e cruu, fl a )3 + 2 . b )2 + 2 .
n vezes:raizde multiplicidaden
c)1+2i. d)2 + i.
e)2+3.
4O9. lUfscarSP]Sejanì i a unidâdemagnária ean o n ési motermo geornétc€coma, = 2aj. deurnaprogrcssão Sear é urnnúrneoímp€f, então 1+ ÌE+ a +... + E,étguaa: aj I oLr-gi. dl 8+ olr 8 i. bJ-9+iou-9 e)/+tot/ t. cl 9+ oug
Relações deGirard GÍâu2 ã x , + b x + c = â ( x xrxx-xr) . s :xr +xr =;
e) VFV. O FVV.
-h
Grâu3 axr+ bx, + cx + d : a(x- xlxx - xrxx- xr) -h : . 5 : x.+x- +x- -
410- lvunesp)Â f gu|arepÉsenta, no pÌanocoÍnpexo, Lrm senìcÍcúlode centronâofgem€ rao l. Indiquepor ReCzl,rn[z]e zi a pârterca, a pafte maginária eo mÓduode umnúrneÍo complexo z = X + yl,respecti, vamente, ondei indicâa undadeimaginára
. x.x^+ x.x^+ x-x-= -c . r : xr xr xr :; Grau4 a)C+bxr+o(,+dx+e=a(x-\Xx
x,Xx \Xx-xa) A únicaaternatvaqLr€ quedes contémascondìções cÉv€Íntotalrnente pano o slrbconlunlo q!€ r€predo sentaa regÌão sombreada, incLu ndosuaíroÍrre ra,e. al Re[z)> 0, rn[z]> 0 e zl<1 b) Re[z)> 0, Inr[z]< 0 € lz < l c)Re[z)>0e z>] dllrn[z]>0e z>1. e)Re[z]>0€lz<1.
.S=xr+xr+x3+xa=; . xrx, + \x3 + xlx4+ xrx3+ xrx4+ x3x4 - ; . xtx2x3+ \x2x4 + xrx3x4+ xÃxa = ; = . r.: xrxrx3xa -
Raízes complexas nãoreaìs
4ll.
tunube-[,lc) Considercos númeroscomptexos z = x + iy,emquex,ye lRe i, = I, quetêrÌ móduo iguala !6 e culasrcp€sentâções geoméidcâs en= cont|amse sobrca paÉbolay xz ,, Oano "on coÍn p anocomplexo. Sew é a sornadesses núrnercs pexos,entãolw ó gua a: 406. (Vunesp) S€ a, b, c sâonúmerosntercspostivos a b) 3. cl 2. o) Jr. "6 taisquec = [a + bi],- l4i,emquei, = I,ovaiof 412. IUELPR]Sejaz !m númerc decé: cornpexo de rnódulo 2e drgJ.rerlo Drncipal 120'.O juqãoo ala8. dez €: b136. c)24. dl 14. e)t. "o g z 2 J í . d) r + iJt. 4(I7 (UFPB) Selam reyelemenrosquasquefdiconjunto G = {g=m+ n lm, n e Z), ondei= J:t. Conslb) 2 + 2ia6. el 1 + i.rã. proposições dereâs seguintes e assinâÌ€ comV a[s] c) r - lJt. verdadeirals] e coÍnF,a[s]fusa(s)
Seâ + bi Íor raizde p(x),entáoa seíá, p(z)=0
I É c. [ )sey+0, o quociente t [ )0prodlloxyec.
[ ]Aso m ax+y€G.
bi também
413. [Vunesp] que Seâ, b,c sãonúmeÍos reaistas âx,+ b[x+ ]), + c[x + 2),= [x + 3], paratodox rea,então ovalordeab + cé: 3l -5.
bl -1.
c) L
dl3.
e)7.
ComexÌo &Aplicloer MõteÍÌìíka.
o xb+ I por do polinôm dadivisão 414- [Uece]O rcsultado x+le: c) x4+ ] a)x4+x3+xr+x+l blxr x3+x, x+1. dJx4-1. p[x) = x5 + 2axa+ 2b ê 415. tPUC-Rl)Seo poinórnio dvsÍvepor[x +])'z,entãoâ somaa + b vale: bl I
al]
c)2.
, ) oz
g eh é3 0nú 0 gra!dospolinômiosÍ 416. lFuvestsP] polnÓÍn grau pode do o nâ0nuo seÍ o rnercnâtLrmln seì f. [g + h] see somente dl 3 < n<9. aln=6 el 3
de Asomadetodasasrâízes [UF[,4G) (x) : t2x,+ 4x - 30lt3x-rl éi
oi urf o-i ,-i
423. IPUC-PRI Sendor e y númercs.eaispostrvostaisque ]roqlvVyl-
ogz F |
l"-ú=-.
â)r0.
b) 30.
vye iguar a. . o prod.rto
c)50.
d60
t cujo o númerocomplexo 424. (L)FCCE)S€ i reprcsenta da quadrado o valornurnérico é iguala -1, determine sornaI + i + i'?+ i3+ ... + 'z7. complexo. 425. [Vunesp] Sejaz = I + ium núÍnero na forÍna trigonomarica, a) Escrcva z ez3 rcâis de de coeÍìcientes b) DeteÍm ne o poLjnômìo e coeÍgra!, qle rakes tem z e rnenof lz'?como iguâla 1, ciêntedomnanle o polinômio 426. [UFPA]Consjderc P(xJ= x3+ 2x, + mx+ n, cornm,n e lR.Sâbendo por x + 2 ê P(xl-2édivisl queP(x)+ 2 é divisível de m e n. osvalores velpoí x 2, detenÌìine r"r
t" \ A= a nãlri,,
427- "!-^e\p).onside€
'1 2 0
s + s en+I. b l2 l co + 5nì | 5,! - zlcos-+rsen-1. cJ \ó qn\ t 41Í dl2lcos-;-+rsen-1. \ó lIÍ\ t 7n €J2lms-+rsen-l
"ltl"l
x I
Limitese derivadas Limites Limites importantes
d€ 7sgÍâup(xl,comcoeÍ419. CbmecsPlLJmpolnônììo polinômios c €ntesÍeais,é divsÍvelpelos = q[x)- 2x'? Ier[x) x'z+3x+ 4 senéonúme p(x),então: ro de râízes rcaisdo polinômo eln>5 c)2
a- i
l
p[x). deAé umpoinómio O determinante Íaz de p[x). a) VerlÍque se2 é Lrma b) Determine todasâs Íakesde p[x).
\b
a-|
y
l0
q"\
c)t
e)25.
d )t
.,
lim 1 = o 1;6 L=1 limll+
Senx .
lim ll+ -:
| =e
lim (1+ x)ï = e
l-e
Propriedades dosìimites
d2
1.) l!ì" tf(x)+ s(x)l: _limÍ(x)+lim s(x):q+1, é raìz 2ê) qLea unidad€mâginária Sâbendo tÍ(x).s(x)l: _l'Iì"í(x)'lim g(x): L1'12 421. TUFIN/-['4G] ,]'!ì" : xÁ+ 3x'z+ 2 0, o prcdÌrtodâssuas da equaçâo é igualâ: 3u) ri' lql = !! oul|asirésraÍzes a) 2. .
ú? i
c ì2 l .
d )/
i
e" .
,,. g(x)
L,
geÉl Revisão
nçÕes contÍnuas
Propriedades operatórias dasderivadas
Umafunçáoé contínua numpontoa do seudomÊ nio se nesseponto ela não dá "saltos"nem apresenta . existef(a); . existe lim f(x);
tE)(f + 9),(x) (f s)'(x)
f'(x) + S'(x) f'(x) s'k)
2.) (kf)1x)
k.f' (x)
. lim (x) = f(a).
34)(fs)'(x)
f'(x)ek)+ r(x)s'(x)
Derivadas
eÊr | - kxr
f'(x)s(x) f(x)s'(x) tg(")l'
5ê)(s o f)'(x)
q (yìr'(x)
6q)(f ÌXy)ou x = x(y)
-I
Ì l x^J= "
..
Àv lr m . : = ..
Á,
0 ax
f(x" +
f(x)- í(x^) N- i!
x- xi
í(x ^x)
Equação dareta
f' (x)
o, ^'(u): l y' (x)
Comportamento dasfunçôes
y-f(xó):f'(xoxx-xo)
Função derivada f'(x): lim
\s./
Í(x + h) f(i)
Derivadas dealgumas funções elementares
Dadâuma funçáoÍ contínuano intervãlo[ã, b] e derivávelnoìntervãlo(a,b),temos: 1r) Sef'(x)> 0 em (a,b),entãofé cÍescenteemIa,bl. 2q) Sef'(x)< 0 em (a,b),entãofé decrescente em [a,b]. 3e) sef'(x)= 0 em (a,b),entãof é constanteem [a,b].
Máximos e mínimos 5e umafunçâoídefinídânumavizinhança do ponto \ for derivávelem xoe xofor ponto de máximotocal ou de mínimolôcâldeí entãof(xo)= 0. .5ef"(xo)> 0,entãox0 é pontodemínimolocaldeÍ.
(x) = k(k€ lR) flx) : x^ (n € lN)
. Sef'(xo)<0,entãoxo é pontodemáxìmolocaldeÍ f'(x)=2ax+b
(x):ai+ b(ã,be R)
Pontos deinflexão Paraidentificarpontosde inflexãoverificamos que, 5endof"(xJ= 0 e Í'l(xJ + 0, então: . se f'(\) = 0, xo é a abscissa do ponto de ìnfìexâoho-
s'(x): c'Í(x)
rizontal; . sef'{xd - 0. é a àbscislado ponto de inflexáocom \ tangenteobliquâem relaçãoao eixox,
f'(x)=-+, 428. 1t-e a 1,161s".'6e trm-i----il
'1 e
" ' 3 a/3x- 6 -./x
al 216.
u1+,6.
cl o16.
at enã.
429. [UEL-PR) Aeqlaçãohonífade uÍnmóveté yf' (x )= s e c x .tg x f' (x )= c o s s ê c x .cotgx
2t serdoy sLêê . m en reldçào ao .olo. ; rnedda emrnetros, e t o núrnerc de s€gundos t|ans corrdosapóssuapâftida. quea velocdade Sabe-se do móvelÍìo instânte t - 3 s é dadapoÍy'[3],o! seja
Mãtemíio. contexro &Aplì.aióes
é é a deÍivada d€ y caclladaem3. Essaveocldade iguala: d) 27n/s. aJ6 Ín/s. el 29 m/s. bl I I m/s.
436. tPUc-MGì o vEtoÍ d al
-.
B- 2
bl +-.
d
2
cl 8.
437- (UFPhl o vatof de im +a 430. [ceiètÍvG]A dedvada dafunção f(x) = senx + cosx + 1gx. nopontox = ,!, é: c).P. dl l a) -2. bl I 431. [PUGN/ìG] Ovâordadervedadatunçãoí[x] = ú-:; ponto no [-2,3] é:
"f
-;
")*
br+
bl 0.
Al
d) 2.
432, IUEL-PRI0vaordo iÍniterT, ,
d+
ü1
b);
,2 -,5
x-3 ,,t]
-
2
CoSX
433, [UEL-PR) A equãçãoda Íetatangenteà cuÍvade =_x3 equaçâoy + 2x I, nopontoemquex= l, é: dly=-3x+1. a)y=5x+1. e)Y=-4x+1. b)y=+x+l . c)v-3. de 5termos 434, [CeíerPR) NurnaPGd€cÍescente i'-4x':+3x p oo a- e Eua a a0scl55a 3x-g pontornáxiÍno dafunçãol(x) = 2x'z+ 72x- I Dessaforma,a ÍazãodestaPGé guâ a:
d .r5
SenX
obtemos:
-12.
ü Jr.
2
€)nda.
")+ 439. fFEt-sPl cacute
c) -1.
é:
dl4
438. tFc[,4scsP] ca clrândoo sen2r - cos2x l "-L
2
'-4 {x c) 8.
a) 2.
dl 0.
h
A, B e C, 440, (UtRll Considerc o ÍiânguloT, devértrces ta queos ánguìos  e Ê sãoâgudos. SejaH a atlrã reatvaao adoAB.PsÍacadanúmercnatu|an, selâ F" a Ígu|aÍoÍmadap€launão d€ n retângu osjusta postosconüdos emT [vejanaÍguÍa o cason = 4]. Cadaretãngulo a AB terndoisladosperpendcLrares Ínedindo ÂC a BC [o rnâioÍ --l- e Lrmlâdoligando n+l dosretângulos teÍnurn adocontdo eÍnABI
a) 3.
o+
blã
"r+ 435. fUF.JF IVGìSabendo oue rm I
alj '2
I
COS1
blo
cì r.
dt -1.
F.er. lunÇao q e d à eace T é a, calcL oe Saoêloo a ede n. a dleÍenÇa e_tÍea areaTe€ " eade Fn liÍntedaáÍeáde F. quando ntendeã níinto? QuaLo J!stiÍque.
Í
. Conr-Âxro Marêmáftâ &Aplio(ões 4 2 .k - 1: 3x 2y 4 = A
s o r. = - 1
4 4 , à r ae a 4 6 .a lv =
5S .N 00 4l
qle as rctassupon€dâsd ãgôiáCm e 8-Dsâop€r 59. Pa€môstrar pendcLares bastaques€lscoeicientes ân9úâresmr em?res pecÌvãmente, selam tarquemrmj= l TemosAbl (â;A (a+ 4b+ 31 C G+ Zb+ 1) eD tê+ 3.b+ 41
4 ía = -4 o u a = l q+s b ìv -
4x + 6
57.Í2.31
5y + l
43. Retasupone dadaoonaAC 4x + 3y 1 6 : 0 diagona B D: 2x
. C ákuo oo.oê' ì(F.Fa-9. t m,ca er" -..ooreoeÀ e L-I
*.u"l ,,;J
e) Todosos ponÌossãocomlns.
b) P ( - 2. 5l
"r
''- x,-x^ 7ti1
d) P(2 4) .
ãl!u o do coê'irÉr F d o t. m,c. e.-'.ooreoeBD
Pf 1.ì
íq '
/ â\ a] 4s.{ s.g:(rzO e [4
=l=
xo-xs
a +3 _ [ a +4 )
Á +3 2 / a
t
ít a
I
Comomrm,:ì então aseias$ponêdêfu eB-D sãopepen
uo. o-Lì "l.,-1. 61.a) 2 Seô pôntôP é coúumàstés rctas,erìtàaP petenceâ lnrers€cçáo 62.i dêr e. €t ânbém â! p o .e x e m p l ô PaÉrcsov€ro pmblêma, obteremos â intêrccçãodêr e s € vedfca 66,al ; r€mosseo pontoobtdop€n€nce à retaL . nieBecção pofexempo,2x + 3y I :0 e deduasdas reias,
c) ,\6
b)ï
63.3
6a.D = aouÒ-
d)2
q
65. ì2
o;; -t2,
roúd
y l=0+y=ì = I nâp neiÉequação Súbsrundoy t€môs: 67-k= qouk= a 3 2x + 3. ì ì = 03 2 x + 3 l=0+2x= 2+x= I 0 pontoPdent€Becçáodas dLâsrctas €scohidas é P[ ì, ì]. . Vamós veÍÍffse P( I l) p€rtenc€ à terceira reÌasubstitundo .7 ascoodenadas deP naequaqao daeÌa: o íeas peÍpêna(uraes e Ì9 rJ: ; x + Y = 0+ I +l=0 Comoo pomoP pertencê àsÍês €tâs,en1ãô êlasôonórremneste rl l g0= r aJtoo= : ponÌo. .
os.u=ir *r "u=q '2
5 r.M lr , 3 SelaM o pontomédiodefu e B-D. Opontomédodefu é: y ^ny .ì í " ^*, . l r+ 6 r+ s ì
| ,
í7
, ) l t ""ì)
, ) l,
l
70,4
7t.84,5
72.k=
74,12
7 5 -3 3
76,e
Ì6 0L k= ì6
77. VâmosâdoÌaf!m s stemade ê[ôs ôoôrdenâdos ondêúm dosvéÍti cesdo lrânguo coincdecoma ofgem,€ um dosladosesÌiisobÍe
O ponto médo d€ B-Dé ,.+y"ì - (s+2 :|. -ì-l --, f í\Â+\h
2+ a\
(i
^\ , )=lì")
Logo,M épontômédiôd€AC e BD
- "(i +) 5 5 .a14x 3y + ì 3= 0
à., ".3.v= clx+y
73,4
* [;;J 5=0 Osvénices doÍ ângulo sãoÂ[0 0];Btb ol € Ctx,yl
opor r ou r ôdio d e Ac êMí I \2
: ìê o p ó .r,i N r" d o deB ( e 2|
xíllr2 -Lì 2) | aì A retd supoÍiêdo se€nênio lVN re Ì .oF .ie.tê 6 gL â - = 0, poisas ordenadasde M e N são âs mesmas.Porbnto a retá s! poÍte de MN é hof zontale. €nrão,paml€a à rcta suponedo sêg mentoAB, @mo queríìrmoB mosÌGr bl O complnrenÌodeAB é guâlab. o comprmentode ÌMNé gu6lâ:
lo+' \
2
"t'tv 2)
a^c .
2)
Ponântô. metâdedo comprimenÌo
\ re -5 2 e \ 5 -o
= 1718 EnÌão, m, = AB, + m, Assim. oânsuoÊércro. Damesna fomaosoutrcs ánguossãôretos. 6y+ 4= 0
6. Ìriàngulo €scâenôeobru!ànguo. 7,c
a.â
0.d
10.b
rz . a = ! e o = !
ta .2 x + 3y + k : 0 k e l R 7 9 . 3x 2y + k = 0, k € l R 8 0 ,â) ax+ by- ( a\ + b y J= 0
b l b x -a y + { a y o b Ç = 0
14.S eÁ [2+ 4â3-5a];B [2 3]eC { 2+ 4b,3 sblestão al nhados, eniaoa d€iêmnânte deveseriguâla 0 Logo:
Atividades adicionais 1.b
3Ì
"o-
" t ilr
5.x?+ y,-4x
v\' \2
Logo, os ádossãomngruenies. tumpmvmqueosânsubs mostmrque  Ê,ôeôsao retosOasta o é etârìgu o Gp cando o t€orema dePtigomsl ^ABC
= 6+ r2a+ 6
ì0b+ [3 sa][2+ 4b]
2, t5,5l
3. É po$íwl escolhefquaìqler sstêma de eixos coorden€dosênre Ìantoé @renientequea orgemcolncdacom!m dG vértÉs do paEtuc tar a demonstEção. retángulo
5b)(2+ 4âl 2(3- 5a)=
3(2+ 4bl t3
: a + p á + a -: 6 + a + Á tú -a
ní - zoú - a
:zá + y6 + zsa6-6+ yú =o
LógoA S€Cestãoânhados
16.PÍ1.qì
15. 12,2)
\2
i. _z
2)
5
!a.al x+ 2y+ 4:0 b)y:
1
PaEelculafasmedida8 dasdiasonab OBe ACdwmos ieras@oÊ denâdâs de suasexúeíìdads. ObseMndoa Ísum t€nìosO(0.0)l Ata,0l:B(â. b) e c{0.bl.
19.y= I+ 4
dt o.B l = V ( â 0l ' + i b
y: 22.ò ++2
0l'=Vã'+b'
d( Ac l í ( 0- a) ' - (b -0 )' Logoa O,BJ= oÍÁ Cì.
,i a ' + b
bl x
-3
20,A(2.q
y
c)i+i=l dJx+y-5=0
2y+ 16= 0
23. A,A
,t SeABCDé umquadEdo, entãosels adossãocongruenÌ€s € os
6u=?!+11 '5 5 "
25.êl y= -x
28,y= Vdmc6lcularâsmedidas deseúsâdosl
, r, r. = J;- )r" = .r'a. = ' "Ì "ii : tz +u = dtB.c) = .vh3 + 2y+ ü o- 2I : "Ezs "Ess dlL .D lVt = r'' , \ '0. =Gq zu.=,4. = ' al,q. e' =
v22;-64 J2 s 9 _
cìv=2
zz.v=L+E
,6.y= -ï+ !q
oO .a V;o - .2'-r- l-r
21.x
1+ r
29.4^+ 5v ìo= o
30.2x-3y+ 38= 0
11.22
32-x Y + 2= A e\+ y= 0 33. 60,
3ó. m'
aâ" J]lL 17
. rqí0.!ì oorc,ee ocnLo meao aeÀõ.
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4 *A
. contexro À,latemátka &AplaçÕes a" 6\
' rlt
..aio a. ec tJ Poq,"" Ponto
vamos vr = orcwrcue f.
26' a)
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38. Ìemosos sesurÍs pontos:A(0. 0).B(b 01.C(0.
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Para reïletir
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6. al CoNdeEndoosinÍnitosvaoresposíreispama. asinf. tasr€ lâedâdas pof G + r)? x +G :-a l y 4 â :+ â I -o r erám qúesecruzâr pârâqúeexstâ!m pontoinde nlm únicôpoÍì1o pendenl€nrente d€a, porondeeìaspâss€m. quasqu€fdêa Asslm,supondo dos valorcs [aqucudadosamen paEtuctafoscálculosl t€ *co hidos t€m6: a= 0: r : x - l= 0+ x :l a= 1: r . 2Y 6 :A)Y = 3 Sêo pôntôúncoexislr,e € 1€úqle ser[]. 3l pos é a nlercec çaoÕbtdadasduasretasacma Verf€ndoo ponto0,3l naequação der temos: + G , -a ).!-4 a ? + a l) , t I = 0 -a ,+ 2 a + I + G+ + 3a' - 3a- 4a' + a I =0+0=0 (verdâde ol. 0úsejâ.a retâpassãpor [] . 3) independent-"mênlê
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14 al NCohápontocomum e a ëta é extêrior à drcunÍeènc a. bl os poilos(2 2)e {-1. -l) sãocomlns à €1ae à circunterénca. ouseja,6 rctaé secante à circunferêncÉ. cl t-2, 0l é ô úiicô poÍìiomm!m. Logo,a reÌâé rângentêà cÍ 15.tô.-ìt ê (3,2)
q,4ã
16.4
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Capítulo2 Abertura
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27,4
28.(x 3)' + C v 4l z= 49ít
29.rc m
30.0 nasconren,el ee @ l oc.cddul ooqr' ès,en6oo.à gJlò sobrc€lguÍnexo coordenado. Por construção, os cênìrosdãs crcunferências determin6mos pof das mediatrìzes de dois segmenÌos deteÍÍìÌnâdos lenónlro â umdospoÍÍosdeirteNcÉo, , duascordad.Unmososcentros obtendoo lr ánguo Etànguo.
2. a) C(4,s) b) I u, 2u. 3u, 4u, 5u ,6u ,7 u 8 u ,9u e 1 0 u cl À 9! cncunreÉncia,; demo I u. d) t4, r8l el a!6 3. ãl (42s;rz5) [2s;4,2O;{45,75; ì7,s];[25;45,75) bl (25 rz5l cl 3,7s d A(3375ìlZ5)
cômo olado dotânsuro ere2"t .,.,r"""",
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Assm.osvéÍtes dorránguo sãoA(0,3l B[ ì6, o] ec(!6. ol. O énì'o dac rcunfeéncia é o ba enlo dolrlánguo, poÍtantoestá â
A s(Í.âeq-.çãoda Lim nI dad l ur: O(0,l ' e Òr- €i oé Ì
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Para reÍletir
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Capítulo5 AbeÌtuÍa
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17. al 3h36nrn bl 30qó
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24.7,4
25,17,2atros
26, a) 121
bl 121,5
26.d cl 126
bl r.2€3
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24. al 13Eas
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I,* t8. al
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MA = 745ilúo = 850: = 7so ^4e c) 72,5rh bl ì z,sq,b d l úA :3,r5rl úo= 3: 4e= 3 32. MA : ôl ;D P= 3,56
3s.5)ebl
0,0 2! 4,0 6,0 q0 10,0 600 ó50 700 750 300 350
cl lvlA= 5,3;Mo= s,0;Me : 5.0iDP- 2,4
l r, â) 157
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I 6, 0 166 11,1 17,5
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1960
3 5. 0, 000085qô
al 5 al 5
1930
Atividades adicionais Ì.
I
2,6
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a25 25
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4, 4t - 53 5,3 f-6,2
a
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2A 20 12 100
= R$l 500.00 12-â) llA = R$2000.00rNte
questõesde vestibular
. Na seSundajera é o maiôrind @ de laltasrcgist€do. . Nâ tefça-feime na quânaé ô úenof índicede tulrasregistr€do . Na qu nta e na sex1a.o índe de tu lae vohaa subir
1, b
2.d
3,c
5.d
G.c
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13.c
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9.d
14.01.02, Ì6
16.al sho€spordia
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14.al A v€nânca é nul aseÌodos guas,posnesr ê GvâorestoÍem Gsô,osvaio6 indlvlduais sãotodostguaisà nréda; entâoasdi teÉiçâsxi- MÁsãoiulas. b) Ovaor é a médiaaritméüca enÍe\, x, e \. À,]
c
B
19.D x = 3.25;d= -r:
ÂÌ
4, Dimlnui!êmâpilximadament€ ì3ft 5- R13 .00
6.4 5
7. e
2l Ìodos A. b
9. a
10.c
2íJ-d
2t.e
22,167
. tuftex1o &Apkações Maremáti(â
Para reÍletir
'EsponetuvoÍto quaitaÌva. poisseus%lores úo quadads é vadávê posnãôexiste gosÌrrôunãodeumêspone. Énominal. dosindividuos. gEduação en seuôva oÍes obüdocomâsexPortaço*e o montante A dilíençá enÍe o montante
3.0
1,5 2.4 25
douniveBo sãopesqursados oseeúêntos Quandotodos
5,3 5993 5999998
2.999 29999S9
A árcatendea 6 quandoa a tlrâ tendea 3 Elâlendeà n€didâdô eteto constantê. -lt _'i2
2 3 4 5
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1a 5 6 lr ror' rooì, . ; 0,ss0099.; bl (0.5; 066..r 0,751 0,80,333. i 09090..ì 099S00099 l
5.aJn= 2:a.= 3rn= 4 âi = Ì n* ì0ai = 0333..' = 0,003003.. = ì000:a" n = t00 an= 0,0303...rn n tendea inínilo,."tendea 0. Quãndo bl n= l :4" = 0,5 n= ì0 a"= 0,000976: n = l oo.a.= ZaB .ì0 3ì í rende a n1ìnlo..tendea 0. Quando c)-d" 2 - 5 a" = o.obo.. ' 0a 0' ft4.: = 0,50075.. n = r00:ai = 0507s..; n = 1000:a,
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t EumadìsÍibuição emqueâ modaserepet€lrèsvezes.
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pmpredad€ ârinét€s dasmédiâs Pofseruma
poìspamn tendendo ã nÍnto ai= b) Econversente
Gapítulo7
pam3. cl É!mâseqüéncâcônsiánte e,portanto, conver!ênte pos ì. 3, d) oivêrgefÌê,
AbeltüÌa c) A,, > Ábd,
bl A r : 8a' )
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3.
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Ìend€â o;mbém.
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. ComeÍo &Aplkaçõêr Màtemárì(a
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dl lm ft0 = -i ri, - +e) rlm-Ítx): rixl = +-; I lim it : +-; l i m i(ì = -Í(xl = +-i
lm Í(xl = +*
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bl ì 44, â ) G
el o dl +!
tÍ(x): +-; jim r(4 = --
35. 86. a) Rt 3,00 b) Rl Ì,oo
im rtxl= -;
lm Ítrl = *
c) F$1.50
€) R$1.00
.2+ x
Evidenremente, nehhum clentemnsêcuié alingr $se custoÍìédio, posnscamente porinÍnit6s é impossÍve deixaf o caÍoestacionâdo hous.Alémdi$o o dsto toG tnãoo cusÌomédio)teiderá ni 'iô nito,delornrâqle nâosera pagáve .
s.al o cadãw mas. lâbricáda c) Aumentar a qmnÜdade dl 2,40dólares já qoeé mpossíve tubr@rntu' lssonunca ocoíe a napÍátc€, d*sê vâlÕr é possível chegáfbemprÓximo Ìos chirs,Enlretanto,
bl l
ro. al o
cl 6
b) ì4
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c)t-kr,kez
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12.
Atividades adicionais r.6 l*
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b) -
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djo 13. a)
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bl L,m-rtxl:0
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5. 0l
i[x] é d&orìtinuânopontox : I I - @ s'
-. r qìk
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iixl = k
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b) Nãoexiste.
16.61
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b t0
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b) ximoÍ(x)= ì _r ,rgo ftxl: + Como _lim-.Í(x)
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(x). então ião exsteÌlmr0i(xl
*
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Ouestõêsdê vestibular
2.12
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b)4 3. N ãoexsre
6. â) 22m/s
2.a)v
5.3m/s
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b)7 Íi^
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7. al 6 m/s,
bl 24m/s?
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PaÍarefletir
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CapítuloI
dll
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2, âl r,8m b) 0,6m porhoÉ
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.senx + !x
,cosx
-
dl 3a'?x: + 4âbx+ b, + âô
2 r.al?
cl Máxmo ôôár 1: nírimôrôcâ0
5 s enx
b ) 2x . c os x- x ' ?.s €xn k .s & ' ? x
22.at!911 1]l!!1
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. N4áxim l ooc a : 4 m í n m oo @ l : 0
2a, a) 3í7
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. {0.4 3f
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25. al --ì-
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26- a) CrcscentepaE todo dômínô R. b) Crêscentepái€ x € [3, +-) ê dêcrscente parax e [ * 3] cl cr€scentenos ntefra os |
tÁ t3
@. ;
porìtos Não* sreÍn dêmáxúonêmdemínmoo6is tì 6)
e Í2. +é) € decrcscenteno
I |
dl DeôreMemeem todo domínioR.
orcÉve
f-llr - l e1 10 . + ee1 | ; ' " '
d
. @ c A. ên?"n
NãóhápoÍìÌosdemh monemdemtumo oéis t2, ìl
It rl cl cresceÍìte emlB1. 24. â) Cresce,ìte nosinteNâos i
-,
2l € t4, +-). e decEsGnt€no
33. f(xl = ax3+ bx,+ d + d â'. 0 PE@ d*mct€f \ serpontod€ nnexão, 20. al Em12 4 51.
b) Em [ 22] ê [ 4, 5i6l
r'(xJ= 0.r, txJ+ 0
Í' txl = 3ax:+ 2bx+ c
rr^ r= 0 . " + z t = o -^ = ? ! = ! 3l.alle ã Comôf"(x) = 6a + 0, poisa I 0 eftáo x! = b) Ìvláxmôo6l:
i mÍnmolocal:ì
únicopontode nfl€xãod€ i[x]
. Contexto luarem&ìe &Âdieções 34. âì Pontos crÍ @s. : .: + 2Lr o!r:: ^
Atividades adicionais
+ Ar
g Pontodemâimo o€l: a: DoÍìtodemínimoo@l: 44 3tr
-.
b) Porì1o cúicorx- -r Ponto demínmolo6lrx = PoÍÍodei.nqão x = 2
7Ì
-.
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r. ál v{rl= -2t + Ì bl -l m^
cl 6[t] = 2 dl 2 m/s,
2. al v{tl = cosÌ+ I a bl ;mÀ
cl attl= snt .6 d -;m^:
s.a)-f
= cl PoÍÍocÍiri@:x
-3x,.senx x,. cosx
b) 3x,.{ nx+ x?,!+ 2{x
PontodemÍnmo o€l r =
J;. cosx
. fÍìx-Íe + rl - ar r. -^e l ',tì6. âl 2' .sentr,+ ìl
Nãohópomode rìíexão. dl PoÍÍoscrfricNx: a + 2l,s 2
Drrsr 'sêc\ cl :.msl ]+ .] \z
c. al
2x{
"f -:6Vx"
bl 5x6
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, ". iIl? e * ' tà. côs1+ sen.l -. " ." .,"
37. Éo quadrado de6 m delado. 33. Éo quadmdo de4 o'Ììdelâdo. 3s. O clstotot6leerámínmoq!ândoo custode montàgem tôr iguaaô
c) osx+ + dJ- -2\+*cl.++l \
ar. Sêjâ o poÍìto PdacúM y = tr 3xmáispÌóximo deQ(l ì, ì1.Entêo, P temóoÍdenadasP(Áf - 3x).Â$ m: Dt x ) : d' = { x - ì D ,+ tri -3 x 1 ),e m q u e d = d G oJ. D( x :l x , - 22x +l2 l + (tr+ 9 x ? + r - 6 x r- 2 tr+ 6 x )= = x6- 6xr- 2x3+ lox' - l6x + 122 D'(x) = 6xs- 24x3- 6x'z+ 20x- 16 Qleemosprcw queo poíìtopocuudoé [2,2]. Nolêque: D' Q ): 8, 25_ 24 ,2 3_ 6 . 2 1+ 2 A .2 _ 1 6= 0 D'tc<)- 30x1- 72\' - 1u + 2A Se\ = 2 tormÍnimo local,enlãoDÉ(21 > 0; = 3A . 2\ Dr Q ) 12 2 ' 1 2 2 + 2 0 = 1 A A> O Então, xú= 2 é mínimo. Logo: yr - 22- 3, 2= 2 Asm, {2,2lé o poniodey = x3- 3xmâispóx mode[]1,ll.
-- iA ,F
tI.o.." ,* n," no o.at creser.o menaoí-2l \
n," nr,o
L2) b) CÉscente em1odoo domÍnio lR. pontodêlR. s. 3l Emnenhum =0 =0 ro. Mâ"1Íìro lÍi{l M,",." Ifl",l r' (" ,1- 0 l Í t\ol < 0 r[x]= âx' z+ bx+ cta+ 0) Í' i xl = 2ax+ b Í' (x):0 = % x+ b = 0ìx= --:
- e rciodâ 4+r
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o ì = . í -o ì ' * o í
oì*"=
2è)
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2or-4dLa
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2R
6) s00componenles
/)
fl(,) 2d áì Sê3 .0 enÌ:o/ã 0 e " ') 0 t.--erosn ,nô oe bl se a < 0 entao2a< 0 ê r'(x) < 0 (teemosmáximo locaI.
v5Ã
43. Dmênsò*do eÈnauioh = '- :mse /'= 4+a a.unt,en"", , = -!À 4+r n'6 .. .44.'=-ieh=ã
I
.o-t sec'ç F
PoÍìio demóximo tocáx=a+2kt 2 ponto Nâotem de nne/éo.
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2a) o' 2a
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Logo,se a > 0 temosmínmo loel
b) r0 lêâis
o ì *. 0,".",.,''"r"..Í-9-aì f-+ 4á) \ za 4ô) \ )à
x,+'f=4,-y=J4Í'-x'
2P = 2x+ 2y+ y= P
= xy: xr4l I Áreaaodonsuo:a
2^n = \n= A l i l = { Jy' ,
vamos obte'A'(x)eA'(xl:
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2 P x=l
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t 3P(P'- 2Px)- iP:- 3Px)Pl
{ 4 r' , i ' -_
lP" - 2Pl.1
=o+aÉ =2{ +xi = zc=4= nE
3P3+6P1x P3+ 3P1x -4P3+ 9P1 {p'
eamts x, = 11ã poÍìtode máximoou mínmo loca, de@masobter Â'ixl:
ztxli
lp,
2plJ1
4P ' +9P ' I
(4t' - 2xr'J4Í'' x' - tlt' A"(x)=
2n(Jq'
x'j
=_-
,^.: -'"-,tL "'-, ''.,ì -''"ç' = x':] [4É
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2\[At'? x'1)+ (\t'z
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Se{tÇ
< 0,€ntãór0 é pôniod€ máxmoloca.
Í = v =P
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Bxl + 2x'+ 4xl- 2x" Logo,os ladosdo trânguo são tfânguo é €qÜétêm. 13. 0,21
I
i4. A á@ máxmâócoÍê auândôrodoo bârbântê é usadoDaEhz€f a
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15. ì
At\'=
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Entáo: Logo. \ = ÍaE é pomodemáximo. yr = 14(
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16.al 2s
bl 6x
t7. a) l6x':+ -
^? e) 2x
= 1 A ( 2 ( = t.l 2
Loso. oErânsuoéw quadmdode âdor\ã.
18. al v(tl = 6t'? 21iv(s)= 4am/s b) a(1)= 1h 2t312)= 22n/s,
2
. Contsto &Apli.açóer l\ìatemáÌka
Revisâogeral
Ouestõesde vestibutar l. d
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a.d
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ParareÍletir
16. al 2':r
ítxl = x'
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sol= y' {soD0)= e(rtxll= G'l'= x'
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too l'[x] = 6xi í'{xl = 3x':
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Respostas Vamosélcu aÍ as m€didas deseúsâdos
Capítulo1
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