95 Ejercicios Resueltos de Intereses Compuestos

95 Ejercicios Resueltos DE Intereses Compuestos

Ingenieria economica (Universidad Francisco de Paula Santander)

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AUTORES: ASTRID DANIELA JIMENEZ CONTRERAS KAREN STEFANY CABALLERO GONZALES DIANA KATHERINE ESTUPIÑAN PATIÑO SILVANA CAMILA JAIMES GAFARO JUAN GUILLERMO ROJAS OLEJUA JUAN DIEGO PINEDA CIFUENTES WILLIAM ANDRES ORTEGA PEÑARANDA NINI JHOJANA ALVAREZ BACCA

JENNIFFER ALEJANDRA GUERRERO BUENO YESSICA JULIETH GELVES DÍAZ MARÍA FERNANDA VALBUENA GRANADOS DANNA LIZBETH CONTRERAS MEZA ZAYDA LUCY GELVEZ DUARTE LEIDDY CAROLINA MONTOYA REMOLINA DIANA CAROLINA CALDERON OYOLA PEDRO GONZALEZ RODRIGUEZ

LUIS ANTONIO MARQUÉS CUEVAS ALIX CAMILA FERNANDA ARÉVALO CASTRO PAULA ANDREA MERIÑO PEÑALOZA HECTOR ELIAS MENDOZA CARDENAS

ANTONIO VICENTE GRANADOS GUERRERO DOCENTE

INGENIERÍA ECONOMICA

UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER FACULTAD DE INGENIERÍAS INGENIERÍA INDUSTRIAL

SAN JOSÉ DE CÚCUTA 2018 Distributing prohibited | Downloaded by Cesar Farfan ([email protected])

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95 EJERCICIOS RESUELTOS DE INTERÉS COMPUESTO ___________________ _________ ___________ _

ELABORADO POR ESTUDIANTES DE QUINTO SEMESTRE DE INGENIERÍA INDUSTRIAL ___________________ _________ ___________ _

2018


PRÓLOGO

En el momento actual de una economía globalizada, los conceptos teóricos de la Ingeniería Económica o las Matemáticas Financieras son fundamentales para apoyar la toma de decisiones acertadas sobre el manejo optimo del dinero. Los estudiantes universitarios de esta materia, que quieren llegar a tener un dominio aceptable de la misma, consideran que es imprescindible complementar los conceptos teóricos, mediante la resolución de problemas Es por esto que el documento que se presenta a continuación, el cual forma parte de un conjunto de cuatro módulos elaborados por un grupo alumnos de la materia de Ingeniería Económica del Plan de Estudios de Ingeniería Industrial de la Universidad Francisco de Paula Santander, pretende ser una herramienta útil para apoyar el trabajo académico de los alumnos de las facultades de Ingenierías, Administración, Economía, Contaduría Pública y carreras afines en el estudio y aprendizaje de la Ingeniería Económica o las Matemáticas financieras, con una colección variada de ejercicios resueltos de Intereses Simples, Intereses compuestos, Anualidades y Gradientes, que logren estimularlos en la reflexión, la búsqueda y la investigación.

Ingeniero Antonio Vicente Granados Guerrero Docente Cátedra Universidad Francisco de Paula Santander


El interés compuesto es aquel interés que se cobra por un crédito y al ser liquidado se acumula al capital (Capitalización el interés), por lo que, en la siguiente liquidación de intereses, el interés anterior forma parte del capital o base del cálculo del nuevo interés. Este sistema, al capitalizar los intereses hace que el valor que se paga por concepto de intereses se incremente mes a mes, puesto que la base para el cálculo del interés se incrementa cada vez que se liquidan y acumulan los respectivos intereses. Este sistema es ampliamente aplicado en el sistema financiero. En todos los créditos que hacen los bancos sin importar su modalidad, se utiliza el interese compuesto. La razón por la que existe este sistema, es porque supone la reinversión de los intereses por parte del prestamista.


LAS FORMULAS QUE SE UTILIZARON EN EL SIGUIENTE SOLUCIONARIO SON LAS SIGUIENTES: I=P+1 F=P(1+ i)n i = tasa de interés efectiva vencida y además congruente con el

número de periodos PROCEDIMIENTO PARA TRANSFORMAR UNA TASA DE INTERES NOMINAL EN UNA TASA DE INTERES EFECTIVA 1. Transformar la tasa de interés nominal a efectiva. 2. Transformar la tasa de interés anticipada a vencida. 3. Transformar la tasa de interés efectiva vencida de un periodo a efectiva vencida de otro periodo. FORMULA PARA TRANSFORMAR TASAS DE INTERES EFECTIVA ( 1 + ia) = ( 1 + is) 2 = ( 1 + it ) 4 = ( 1 + ib) 6 = ( 1 + im) 12 = ( 1 + iq) 24 = ( 1 + isem) 48 = ( 1 + id ) 360 TENIENDO EN CUENTA QUE: 1 AÑO = 360 DIAS 1 AÑO = 12 MESES 1 AÑO = 48 SEMANAS 1 AÑO = 2 SEMESTRES 1 AÑO = 4 TRIMESTRES 1 AÑO = 6 BIMESTRES


EJERCICIO PRIMERO Un socio de una empresa aportó $ 125.000.000, al finalizar el quinto año se retiró de la sociedad; llegando a un acuerdo con los demás socios le entregaron $172.000.000. ¿Qué rendimiento anual obtuvo de su inversión en esa empresa? PRIMER PASO: Hacer un dibujo que represente el ejercicio.

F= $172.000.000 0

i= ¿? n=5 años

P= $125.000.000

NOTA: El período cero (0) representa el día de hoy, ahí se sitúa P (inversión).


SEGUNDO PASO: La fórmula que se usará.

F = Pi TERCER PASO: Resolver el ejercicio.

F = Pi .. = ..i i= 0,0659= 6,59%


¿Cuántos años hay que esperar para que después de depositar hoy $250.000.000 en una cuenta de ahorros que reconoce el 5% trimestral pagadero mensual, podamos retirar $ 388.000.000?

PRIMER PASO: Hacer un dibujo que represente el ejercicio.

F= 388.000.000 0

i= 5% trimestral pagadero mensual n= ¿?

P= $250.000.000 NOTA: El período cero (0) representa el día de hoy, ahí se sitúa P (inversión).


SEGUNDO PASO: Convertir el porcentaje de interés en el tiempo estipulado, que es anual. 5% trimestral pagadero mensual

% anual

4 trimestres=12 meses 1 trimestre=3 meses

pagadero mensual = ,% = , mensual i = % trimestral meses i = i i = , i = ,  i = , = ,% TERCER PASO: La fórmula que se usará.

F = Pi F = Pi .. = .., CUARTO PASO: Resolver el ejercicio.

n= 2,26 años


¿En cuántos años se cuadruplicará una inversión hecha hoy con un interés compuesto del 24% anual pagadero semestral?


F= 4P 0

i= 24% anual pagadero semestral n= ¿?

P NOTA: El período cero (0) representa el día de hoy, ahí se sitúa P (inversión).

SEGUNDO PASO: Convertir el porcentaje de interés en el tiempo estipulado, que es anual.


24% anual pagadero semestral

% semestral

1 año=2 semestres

semestral i = % anual pagadero semestres = % = , semestral i = i    i = , i = ,   i = , = ,% TERCER PASO: La fórmula que se usará.

F = Pi CUARTO PASO: Resolver el ejercicio.

F = Pi P = P, PP =  ,  = , n= 6,12 años


Una persona deposita hoy $ 45.000.000 en una corporación de ahorro que paga el 2.7% trimestral pagadero bimestral. Tres años después deposita $ 62.000.000, un año más tarde deposita $ 50.000.000, y dos años después decide retirar la cuarta parte del total acumulado hasta ese momento. Hallar el saldo en la cuenta de ahorros cinco meses después del retiro.


0

n

= 3 años

P= $45.000.000

n

$62.000.000

= 1 año

n



X= F- *F = 2 años

n

= 5 meses

$50.000.000

i= 2,7% trimestral pagadero bimestral


R= ¿?

NOTA: El período cero (0) representa el día de hoy, ahí se sitúa P (inversión).

SEGUNDO PASO: Convertir los porcentajes de interés en el tiempo estipulado, que son anual y mensual. 2,7% trimestral pagadero bimestral

% anual

4 trimestres=6 bimestres 1 trimestre=1,5 bimestres

pagadero bi m estral i = ,% trimestral = ,% = , bimestral , bimestres i = i i = , i = ,   i = , = ,% 2,7% trimestral pagadero bimestral

% mensual

4 trimestres=6 bimestres 1 trimestre=1,5 bimestres

pagadero bi m estral i = ,% trimestral = ,% = , bimestral , bimestres i = i , =  i  i = ,   i = , = ,% Distributing prohibited | Downloaded by Cesar Farfan ([email protected])

TERCER PASO: Las fórmulas que se usarán.

F = Pi++  Pi+  Pi 

X= F- *F

R = X i CUARTO PASO: Resolver el ejercicio. Realizar la operación hasta el momento en que se retiró la cuarta parte del total acumulado.

F = Pi++  Pi+  Pi F = ..,  ..,  .., F= $232.963.751



X= F- *F



X= 232.963.751- *232.963.751 X= $174.722.813

Realizar la operación con el dato anterior obtenido, para hallar el saldo en la cuenta de ahorros cinco meses después del retiro.

R = X i R = .. , R= $ 182.691.927


Una empresa adquiere un préstamo por $ 120.000.000 al 22,5% anual pagadero mensual y firmó un pagaré por $ 248.000.000. ¿Qué plazo le concedieron para cancelar la deuda y los intereses?


 0

VT

= $248.000.000

i= 22,5% anual pagadero mensual n= ¿?

= $120.000.000


NOTA: El período cero (0) representa el día de hoy, ahí se sitúa

VT

(inversión).

SEGUNDO PASO: Convertir el porcentaje de interés en el tiempo estipulado, que es anual. 22,5% anual pagadero mensual

% anual

1 año=12 meses

mensual i = ,% anualpagadero meses = ,% = , mensual i = i i = ,  i = ,   i = , = ,% TERCER PASO: La fórmula que se usará.

V = VTi CUARTO PASO: Resolver el ejercicio.

V = VTi .. = .., n= 3,26 años


EJERCICIO # 6 ¿Cuánto deberá pagar una persona dentro de 3 años por una deuda que adquirió hoy de $ 15.600.000, si la tasa de interés que le cobra la entidad es del 3,2% bimestral?

Solución. En primer lugar se realiza la gráfica correspondiente:

Se debe transformar la tasa de interés bimestral a una tasa de interés anual: En un año hay 6 bimestres.

 = ,  = , = ,%  Distributing prohibited | Downloaded by Cesar Farfan ([email protected])

Aplicar la fórmula de interés compuesto:

 =   = ..,

En donde F es el valor futuro, P es el valor presente y “n” es igual a 3 años

Luego F = 27.499.533,23

Respuesta. El valor que debe pagar la persona a los 3 años por el valor de la deuda es de $ 27.499.533,23


¿Cuánto se tendrá en su cuenta bancaria el día 25 de mayo del 2018 si el 7 de noviembre de 2016 la abrió con $6.300.000, el 3 de enero del 2018 hizo un depósito por $15.000.000 y el 10 de febrero de 2018 retiró $9.500.000? Suponga intereses del 7.2% anual pagadero trimestral.

Solución. Primero realizamos la gráfica respectiva:

Con la aplicación del celular “calculadora de días” determinamos la cantidad de días “n”:

La cantidad de días que hay entre el 7/11/16 y el 3/01/18 es de 422 = n


La cantidad de días que hay entre el 3/01/18 y el 10/02/18 es de 38 = n La cantidad de días que hay entre el 10/02/18 y el 25/05/18 es de 104 = n

Transformar la tasa de interés nominal a una tasa de interés efectiva diaria:

Tomar como punto focal la fecha 25 de mayo del 2018: en este punto, la suma de todos los retiros serán igual a la suma de todas las consignaciones. Se debe llevar todas las consignaciones y retiros a este punto focal teniendo en cuenta el número total de días correspondiente.

Aplicamos la formula

..  .. = ..   422+38+104 = 564 = n1 38+104 = 142 = n2 104 = n3

Con el programa de la calculadora SOLVE, se determina el valor de “X” X = 12.784.604

Respuesta. La cantidad de dinero que hay a la fecha 25 de mayo del 2018.


¿Con cuánto se cancela hoy un crédito que se obtuvo hace 7 meses por $500.000? Considere intereses del 17.4% anual y que hace 3 meses se abonaron $200,000

Solución. Primero se realiza la gráfica:

P es el valor del crédito que se obtuvo hace 7 meses Se debe determinar el valor de “X”

Antes es necesario transformar la tasa de interés anual vencida efectiva a una tasa de interés mensual vencida efectiva: en un año hay 12 meses.


Tomar el punto focal hoy, es decir el mes 7: Aplicamos la formula.

 .  = . Con el programa de la calculadora SOLVE, se determina el valor de “X”

X = 340.997

Respuesta. Para cancelar el crédito se debe pagar $ 340.997


Obtenga el tamaño de cada uno de los 3 pagos que se realizan el 18 de septiembre de 2018, 3 de noviembre de 2019 y 28 de enero de 2020 para cancelar un préstamo por $48.300.000, realizado el 5 de agosto de 2016, con intereses del 12.6% semestral pagadero bimestral considerando que cada uno es un 20% menor que el anterior.

Solución. Primero se realiza la gráfica:

La primera cuota tiene un valor X La segunda cuota es: X2 = X - 0,2 X, es decir X2 = 0,8 X La tercera cuota es: X3 = X2 – 0,2 X2, es decir X3 = 0,8 X2, que será: X3 = 0,8 (0,8X) = (0,8)2 X



Entre el 5/08/16 y el 18/09/18 la cantidad de días que hay es de 774 = n Entre el 18/09/18 y el 3/11/19 la cantidad de días que hay es de 411 = n Entre el 3/11/19 y el 28/01/20 la cantidad de días que hay es de 86 = n Transformar la tasa de interés nominal a una tasa de interés efectiva diaria: En un semestre hay 3 bimestres y en un bimestre hay 60 días.

Tomar como punto focal la fecha 3 de noviembre del 2019: en este punto todas las deudas deben ser igual a todos los pagos. Aplicamos la formula.

 ,     ,  + = ..

Con el programa de la calculadora SOLVE, se determina el valor de “X”

X = 40.051.618, por lo tanto el valor de las demás cuotas será:


¿Cuánto debe invertirse el 3 de febrero del 2017, al 5.18% de interés anual pagadero quincenal para disponer de $35.000.000 el 9 de mayo del 2018?

Solución. Grafica de la situación:


Entre el 03/02/17 y el 09/05/18 la cantidad de días que hay es de 460 = n


Transformar la tasa de interés nominal a una tasa de interés efectiva diaria:

Ahora se aplica la formula general:

 =  .. = ,  = .,.

, en donde F es el valor futuro y P es el valor presente que en este caso

lo denotamos con la letra “X”

X = 33.426.545

Respuesta. Debe invertirse una cantidad de $ 33.426.545


¿Cuál es el precio de un automóvil usado que se adquiere con un anticipo del 40% y 6 cuotas trimestrales de $6.300.000 cada una, y que incluyen intereses de 1.75% mensual.

Solución. Realizamos la gráfica en primer lugar:

El valor de las 6 cuotas trimestrales es la misma es decir que: X1 = X2 = X3 = X4 = X5 = X6 = 6.300.000 Transformar la tasa de interés mensual a una tasa de interés trimestral:

Se toma como punto focal el trimestre 3:


Con el programa de la calculadora SOLVE, se dete rmina el valor de “X” X = 52.720.147

Respuesta. El precio del automóvil era de $ 52.720.147


Se compra una motocicleta en $7.250.000 con un pago inicial del 30% y 4 pagos bimestrales que decrecen $100.000 cancelando intereses del 12% semestral pagadero trimestral ¿De cuánto es cada pago?

Solución. Realizamos la gráfica en primer lugar:


Pago inicial: 7.250.000 x (0.30) = $ 2.175.000

∶ Transformar la tasa de interés nominal a una tasa de interés efectiva bimestral: En un semestre hay dos trimestres y en un trimestre hay 1.5 bimestres.

El punto focal es el bimestre 2:

 = ..      .  .−..    −.    + + .., = ..,  ,     .    .    ,.   , Con el programa de la calculadora SOLVE, se determina el valor de “X” X = 1.541.941,80

Respuesta. El valor del primer pago es de $ 1.541.941,80 El valor del segundo pago es de $ 1.541.941,80-100.000 =1.441.941,80 El valor del tercer pago es de $ 1.541.941,80 – 200.000 = 1.341.941,80 El valor del cuarto pago es de $ 1.541.941,80 – 300.000 = 1.241.941,80


María Mujica tiene los capitales de $126 000.000 y $94 000.000, que por razones de riesgo están colocados a distintas tasas de interés. Como fueron colocados a plazo fijo de un año, al final del mismo se tiene que la suma de los intereses generados por estos dos capitales es una cantidad de $12.460.000. Adicionalmente, se tiene que el interés generado por uno de los capitales supera al otro en $1.280.000. ¿Cuáles son las tasas de interés anuales con la que estuvieron colocados dichos capitales?

Solución. Se deben realizar dos gráficas, una para cada capital: Para el capital 1.


Para el capital 2.


Se presta una cantidad de dinero, desde el 05/03/17. Durante los primeros 90 días, le pagaron 1,8% mensual y el resto del tiempo a 12% anual. ¿Cuál es la cantidad de dinero inicialmente prestada si la deuda el 28/09/18 es de $22.235.000?

Solución.

El punto indicado en la gráfica indica 90 días transcurridos y hasta ese tiempo se maneja la tasa de interés de 1,8 % mensual. Se determina con la aplicación “calculadora de días” que entre las dos fechas de la gráfica

existen 572 días.


Primero transformo las tasas de interés dadas a una tasa de interés diaria:

Se toma como punto focal los 90 días:

Con el programa de la calculadora SOLVE se determina que: X = 18.159.366

Respuesta. La cantidad de dinero inicialmente prestada fue de $ 18.159.366


Se coloca $22.000.000 hoy a una tasa de 28% anual con capitalización trimestral por 5 años. Sin embargo, los meses 15 y 24 se retiran $5.000.000 y $6.000.000 respectivamente; a finales del mes 40 se efectuó un depósito igual a $3.000.000. ¿Qué cantidad hay al término del año 5?

Solución. Grafica:

El mes 60 corresponde a 5 años transcurridos desde la consignación de los $ 22.000.000 En la gráfica las flechas hacia arriba indican retiros y las flechas hacia abajo indican consignaciones. Primero transformar la tasa de interés nominal a una tasa de interés efectiva mensual:


Se toma como punto focal el mes 40:

Con el programa de la calculadora SOLVE se determina que: X = 62.498.157

Respuesta. La cantidad de dinero inicialmente prestada fue de $ 18.159.366


Hace 11 meses deposité $ 500.000 y, 4 meses después retire $ 250.000. ¿Cuánto tendré acumulado hoy si hace tres meses deposité $ 300.000 y el interés que reconoce es del 4,7% bimestral?

Solución Para los primeros 2 meses tenemos 500.000 + (500.000 * 4.7%) = 523,500 Para los siguientes 2 meses tenemos 523,500 + (523,500 * 4.7%) = 548,104.5


Al retirar los $250.000 pesos nos quedan 548 104.5 – 250.000 = 298,104.5 De lo que podemos obtener al solucionar de la siguiente manera 298,104.5 + (298,104.5 * 4.7%) = 312,115.4115 312,115.4115 + (312,115.4115 * 4.7%) = 326,784.8358 Mas el depósito de $300.000 pesos se obtiene: 326,784.8358 + 300,000 =626,784.8358 Con la cuota de interés por los 2 meses nos queda 626,784.8358 + (626,784.8358 * 4.7%) = 656,243.72 Con la cuota de interés de 1 mes nos da como resultado 656,243.72 + (256,243.72 * 4.7%) / 2 =

671, 488.4

Esto es lo que se obtendrá del acumulado de 3 meses después y 2 meses después.


Una persona recibió una herencia de $ 1.500.000.000 y quiere invertir una parte de este dinero en un fondo de jubilación. Piensa jubilarse dentro de 15 años y para entonces desea tener $ 30.000.000.000 en el fondo. ¿Qué parte de la herencia deberá invertir ahora si el dinero estará invertido a una tasa del 2% mensual? Grafica

Solución Con los datos que nos ofrece el ejercicio sabemos que la tasa de interés mensual es del 2%. En 1 año hay 12 meses Interés mensual = (1+ i



Im = (1 + 0.02



- 1

-1


Im = 0.268 Con la ecuación de interés compuesto obtenemos la siguiente expresión



F = P (1 + i



30.000.000.000 = P (1.268

Al reemplazar cada dato y solucionar se tiene que

P=

....

P = 851, 789.832

Por lo tanto el capital que debe invertir para llegar a la jubilación es de 851.789.832


Un capital estuvo invertido 4 años a una tasa del 7,5% Trimestral, si se hubiera invertido al 2,5% mensual, habría producido $1.634.872 más de intereses. ¿Cuál es el capital que se invirtió? Solución Con los datos que nos ofrece el ejercicio podemos obtener una tasa de interés del 7.5% trimestral y del 2.5% mensual En 1 año hay 4 trimestres, por ese motivo se divide entre 4 para pasar la tasa de interés a anual. Tasa de interés =

.% = 0.018 anual

En este caso se divide entre 12 ya que vamos a pasar de mensual a anual Tasa de interés =

.% = 0.00208 anual

Acá nos otorgan el valor de la anualidad, es decir el valor constante del periodo A = 1,634.872


Reemplazando en la ecuación podemos obtener que: P=A

++−  . +.%+.%%− . +.%+.%%−

P= 1.634.872

+

P = 5, 475.723


Una persona debe $5.500.000, con vencimiento en 20 meses e intereses del 7.5% Trimestral pagadero bimestral anticipado hasta el mes 8 y del 5% bimestral pagadero quincenal de ahí en adelante. Cuanto debe cancelar al final del período de deuda? Grafica

Solución Como debe pagar el 5% y el 7.5% para poder determinar el porcentaje total se debe realizar la siguiente operación I tba =

..% = 5%


Ib vencido =

− = 0.05

.−. = 0.0526

5.26%

De lo que se obtiene un 5.26% ahora al reemplazar podemos observar que

 Im = (1.0526  – 1 = 0.0259



Ibpq =

% = 0.0125

2.59% m

1.25%

Y al elevar este valor al cuadrado nos encontramos con



Im= (1.0125 – 1 = 0.0251

2.51%

Para finalmente





F = 5, 500,000(1.0259 (1.0251 F = 9, 086,523

Y el valor total a pagar al final del periodo de la deuda es 9.086.523 pesos


Las dos quintas partes de un capital están invertidos al 2,35% mensual pagadero semanal y el resto al 15% semestral pagadero quincenal; si los intereses anuales son $ 1.159.503. ¿Cuál es el capital?

Solución De los datos dados en el ejercicio podemos evidenciar que, debido a que el capital está invertido a un porcentaje de 2.35% obtenemos que En 1 mes laboral hay 4 semanas I mpse = 2.35% / 4 = 0.587% se Y sabiendo que el resto está a un 15%semestral obtenemos que En 1 semestre hay 12 quincenas I spq = 15% / 12 = 1.25 % q


Al reemplazar los datos obtenidos en la siguiente expresión



Interés = (1+ i

– 1

1 año tiene 48 semanas Ia = (1.00587)48 – 1 = 32.43 % a = 0.3243 1 año tiene 24 quincenas



Ia = (1+1.25%

- 1 = 0.3473 -------- 34.73%

Ahora este porcentaje equivale a F = P (1+i) 1.159.503 = 2/5 P (1.3243) + 3/5 P (1.3473) P = 866,529

Finalmente resolvemos toda la expresión mediante la siguiente expresión, y obtenemos que el capital es: 866,529


Un señor tiene hoy una deuda por valor de $70.000.000 y le cobran un interés de 3.5% mensual. A su vez, el señor dispone hoy de $50.000.000 los cuales deposita en una cuenta al 7% mensual. ¿Dentro de cuánto tiempo (meses) el monto que tenga en la cuenta le será suficiente para cancelar la deuda existente? SOLUCION: Lo primero al resolver es plantear la gráfica sabiendo que: I: 3.5% mensual P1:70.000.000 F1: ?

I: 7% mensual P2:50.000.000 F2: ?

70.000.000

F1=? n=?

0 50.000.000

F2=?


El periodo 0 en el diagrama económico representa el día de hoy, para el desarrollo de este ejercicio se debe tener presente que: 

Se tiene que todas las flechas hacia arriba son iguales a todas las flechas hacia abajo

Por lo tanto F1=F2 y aplicando la fórmula de futuro

 = 

... = .. . Despejando n por solve = 10 meses

R/ Dentro de 10 meses tendrá en la cuenta el monto suficiente para cancelar la deuda existente.


Un inversionista cuenta con excedentes de $10.000.000, los cuales no requerirá durante los próximos tres años. Una institución financiera le asegura una tasa del 22% anual. Por otra parte, tiene la opción de depositar sus recursos en un Banco, el cuál le pagará la tasa de interés que al inicio de cada año esté vigente en el mercado. Si la tasa para el primer año es del 25% anual, para el segundo año de 22% anual y para el tercer año 20% anual, determinar en qué institución le conviene efectuar su depósito.

SOLUCION: la solución de este ejercicio se hara en dos partes analizando las dos opciones que se contempla. 

Primera institución

Se realiza el diagrama económico sabiendo que : P= 10.000.000 I: 22%anual n= 3 años F= ?


F=?

1

3 años I=22% anual

10.000.000

Se procede halla el valor de F aplicando la formula

 = .., 

 = 

= $18.158.480

Segunda institución

Se realiza el diagrama económico sabiendo que: 

La tasa de interés para el primer año es de 25% anual



La tasa de interés para el segundo año es de 22% anual



La tasa de interés para el tercer año es de 20% anual F=?

I=25% anual

I=22% anual 1 AÑO

I= 20% anual 2 AÑO

3 AÑO

10.000.000

Para la solución de este ejercicio se aplica la fórmula: F = P (1 + i1) x (1 + i2) x (1+ i3) F = 10.000.000 (1+0.25) x (1+0.22) x (1+0.2N)= $18.300.000 R/ se llega a la conclusión que la mejor opción para el inversionista es la segundo institución puesto que por medio de ella se obtienen más ganancias.


Se obtiene un crédito de $20.000,000 a 40 días con el 24% de interés anual pagadero semanal; ¿Qué cantidad debe pagar al concluir el plazo de la deuda?

SOLUCION: Se realiza el diagrama económico sabiendo que: P=20.000.000 n=40 días I=24% aps F=?

F=?

1 I=24% a s

40 días

20.000.000


El ejercicio nos pide calcular una cantidad en un futuro por tal motivo se utiliza la siguiente ecuación:

 =  Antes de reemplazar en ella debemos convertir la tasa de interés, el primer paso es pasa los años a semanas:

%  = ,%  Después convertimos las semanas a días:



 = ,   = ,%  = .. ,

diario

Después de este procedimiento reemplazamos en la ecuación:

F=

$20.538.957


Un comerciante deposita $20.000.000 en un fondo de inversiones que garantiza un rendimiento del 30% anual anticipado, si la persona retira su depósito 124 días después de haber consignado el dinero. ¿Cuánto recibe? SOLUCION: Se realiza el diagrama económico sabiendo que: P: 20.000.000 I: 30% anual anticipado n=124 días

F= ?

1

124

IT= 30% a

P= 20.000.000


El ejercicio nos pide calcular una cantidad en un futuro por tal motivo se utiliza la siguiente ecuación:

 =  Antes de reemplazar en ella debemos convertir la tasa de interés anticipada a efectiva:

.−. = . Después la convertimos a interés diario:

 = . = ,%  = ... Reemplazamos en la ecuación:

F:

22.610.887


Una persona desea adquirir un terreno dentro de 6 meses supone que la cuota inicial que tendrá que pagar para esas fechas será de $40,000.000. Si desea tener esa cantidad dentro de 6 meses ¿qué cantidad debe invertir en su depósito de renta fija que rinde el 6% de interés anual?

SOLUCION: se realiza el diagrama económico sabiendo que: n=6 meses F= 40.000.000 I= 6% anual

40.000.000

I= 6% anual

P=?


6 meses

Como nos piden hallar con una cantidad en un tiempo presente se aplica la siguiente ecuación:

 = +  Transformamos el interés anual a mensual:

 = ,   = ,% Reemplazamos en la ecuación de presente:

 = .+,. F=38867108,52


Un padre de familia promete a cada uno de sus dos hijos, que al terminar la carrera le entregará a cada uno $14.000.000 para que realicen un viaje. Si al primero le faltan 2 años para terminar y al segundo 3 años. ¿Cuánto debe invertir hoy en un fondo que paga el 7.3% trimestral pagadero mensual a fin de poderles cumplir la promesa? SOLUCION: Grafica.

Transformar la tasa de interés nominal a una tasa de interés efectiva anual.


Tomar como punto focal el día de hoy y aplicamos las operaciones respectivas


Una persona hace 4 años depositó $9.000.000 y hoy el banco le está entregando la cantidad de $13.500.000 La persona desea saber que tasa interés le concedió el banco; lo único que si recuerda que la inversión era interés bimestral SOLUCION: Grafica.

Despejar de la formula general de interés compuesto la tasa de interés que será anual


Ahora se transforma la tasa de interés anual a una tasa de interés bimestral y se tiene:


Una persona va a una agencia de automóviles usados y adquiere uno cuyo valor es de $65.000.000, la compra la realizó de la siguiente manera: Una cuota inicial del 25% y el resto a pagar a dos años, con una tasa de interés del 20% anual por el primer año y del 12% semestral de ahí en adelante. Determinar dicho valor. SOLUCION: Grafica.

Transformar la tasa de interés 2 que esta semestral a una tasa de interés anual.


Tomar como punto focal el año 1 y realizar las operaciones respectivas.


Un empresario contrajo una deuda, para que se le instalara un refrigerador de un gran tamaño por la cantidad de $47.650.000 a una tasa de interés del 25% anual pagadero semana por un periodo de 5 años. Si la forma de pago con cuotas iguales en los años 2,4 y 5 de que monto son cada una. SOLUCION: Grafica.

Transformar la tasa de interés nominal a una tasa de interés efectiva anual, como se ve a continuación.


Tomar como punto focal el año 2 y realizar las operaciones respectivas.

El valor de las tres cuotas corresponde a 37.653.177 cada una


Una persona puede adquirir una colección de artículos pagando $28.000.000 al contado, o bien mediante una cuota inicial de $15.000.000 al momento de la venta y cancelando otro $15.000.000 al cabo de dos años. Si puede invertir ese dinero al 8.5% anual. ¿Qué forma de pago es más conveniente? SOLUCION: Grafica.

En la gráfica se puede apreciar las dos opciones que son: de contado o a crédito. La F significa el valor presente de la deuda a crédito para poder compararla con la opción de contado.


Determinar el valor presente de la deuda a crédito:

Al comparar los dos valores se puede apreciar que la mejor opción es a crédito.


David Espinoza ha logrado reunir un capital de $33.000.000. Una persona le ofrece pagar 12% de interés anual. Por los riesgos que esta operación representa, sólo decide depositar 1/3 de su capital, por un lapso de tiempo de 8 meses, y el resto del capital logra colocarlo al 9% anual, por un lapso de tiempo, de tal forma que se generaría por estas dos operaciones una ganancia total de $2.860.000 ¿Cuánto tiempo tendría que estar colocado el segundo capital? SOLUCION Para este problema se deberá plantear dos graficas

(1)

 =    = %



 = ,,  ∗,, = ,,  = ,  = , = ,% (2)

 Distributing prohibited | Downloaded by Cesar Farfan ([email protected])

 =?  = %

 = ,,   = ,, ,, ,  ,   = ,  ,    = ,  = , = ,%  = ´., = ´,. ´.,´. = ,. ´. ., = ´., Se procede hallar el primer futuro

La ganancia generada en la primera grafica será igual

La ganancia producida en la segunda grafica será

El futuro dos será igual al valor presente más las ganancias 2

 = ´. ´., = ´.,

Como inicialmente nos piden hallar es el tiempo de la gráfica número 2 y teniendo el futuro 2, se hace uso de la formula

De ella se despeja n

 =   ´., = ´.,  =  


Manuel Machuca es un prestamista y le expresa a Pedro Barrientos que si coloca su capital al 3,5% mensual por un lapso de tiempo, le genera un monto de $20.000.000 Finalmente, logra colocar este capital al 4,5% mensual por el mismo tiempo, generándose un monto de $36.000.000 Pedro quiere saber. ¿Cuál es el tiempo y el capital a colocar?

SOLUCION Para resolver este problema, en primer lugar se deberá plantear dos gráficas para visualizar las dos situaciones que se nos presenta

 =     = $ ..

 = $ ..  = .%  



 = .%  




Como el problema nos afirma que el presente es igual para ambos casos

  =     De ellas se despeja el periodo

 = 

   = 

... = ...  = .  

Teniendo el valor del periodo se despeja el presente

  = ....  =   = ,,.


El señor Manuel Cortés tiene un capital de $ 12.000.000 que logra colocarlo a una tasa de interés anual del 4,2%. Pasado un tiempo, le ofrecen una tasa de interés anual del 5%, considerando la mejora en la tasa, decide retirar su capital y el interés generado y colocarlo por 6 meses más que en la anterior operación. Al final, Manuel logra obtener por la segunda operación, entre el nuevo capital y el interés generado, $ 16.000.000. ¿Cuál fue el lapso de tiempo en que estuvo colocado el capital en la primera operación?

SOLUCION

´.

 = .%  

 = .%   = % 

  = 

 = %    

 = ´.

 = .%   = .% 


En este problema nos piden hallar el n, después de haber planteado la gráfica, se procede realizar los respectivos cálculos

.. = ...  ∗ . +  = . 


La señorita Vanesa Álvarez tiene un capital de $9.500.000 Este capital estuvo prestado y ha logrado generar una cantidad, de tal forma que aumentada en un 8% sería $1.450.000 La señorita Vanesa sabe que su capital estuvo prestado por un año y lo que quiere saber es. ¿A qué tasa mensual estuvo prestado? DATOS   

 = ,,  = ,,  =?

 = ,,

 =    = ,,  = ,,  =    =?


En este problema únicamente nos piden calcula la tasa de interés Reemplazando los datos

 =   ´. = ´.   = .% 


Se presta un determinado monto de dinero por 1 año al 1% mensual. Si pasados los 6 meses se tiene en total $25.000.000 ¿Cuál será la cantidad de dinero que se tendría al finalizar el año?

SOLUCION En este problema nos piden hallar el valor del futuro final DATOS   

    = ,,  =    = %   = ,, 



  =    = % 


En primer lugar se deberá hallar el presente

Luego se halla el futuro final

´. = ,  = ,,. F = ´.,,  = ’.,


Isaac mattos tiene una capital que, por conveniencia, lo divide en dos partes. Una parte o primer capital es colocado a una cierta tasa de interés durante 4 meses. El resto que es mayor en $50.000.000 al primer capital, es colocado a la misma tasa de interés durante 7 meses. La diferencia entre los intereses generados asciende a $2.250.000 y la suma de estos intereses son $6.250.000 ; calcular el monto de estos capitales y la tasa de interés Solución: Lo primero a resolver el ejercicio es plantear dos graficas diferentes para cada parte, teniendo en cuenta que: 

P1= X, donde P1 es el valor presente de la primera parte.



P2= $50.000.000+ X, donde P2 es el valor presente de la segunda parte.



I1+I2=$6.250.000, colocando esta ecuación en función de una variable nos da que I1=$6.250.000 – I2, generándonos una ecuación 2.




I1-I2=$2.250.000, reemplazando la ecuación dos en esta ecuación nos da que: $6.250.000 – I2-I2=$2.250.000, por lo tanto I2= $2.000.000.



Despejando

de

la

ecuación

dos

el

valor

de

I2,

nos

da:

I1+$2.000.000=$6.250.000, por lo tanto I1= $4.250.00 Ahora utilizo la fórmula de futuro

 = 

, para poder generar dos ecuaciones en

función del interés y así igualarlas para que me dé la respuesta.

⁄    = ()⁄     ⁄   =    = () 

Despejando la ecuación de futuro en función del interés me da: Ahora reemplazo datos tanto de la parte1 como de la parte 2:

,

    ⁄   ⁄    ( ..)⁄  = (......)⁄    = $.. .  = $...  = $..  = $.. $..   ⁄ ⁄      = ()   = ()   ⁄  ⁄  .  .   .  .   .  .   .  .    = ( .. )   = ( .. )   = ,%  = ,% = $..  = ,% $.. ,  = ,% Ahora igualo

:

=

Los 1 se cancelan ya que están en lados opuestos, luego despejo X con la función SHIFT MODE en la calculadora fx 570 ESPLUS, dándonos un valor de Teniendo el valor de x, ya tendría el valor de P1, Luego reemplazo P2,

lo que es igual a

-Ahora reemplazo y hallo

-Ahora reemplazo y hallo

Mensual

Mensual

RTA: Monto1 Monto 2=

, tasa de interés1=

tasa de interés 2=

Mensual.

Mensual.


Una empresa inmobiliaria ofrece una inversion que duplicara su dinero en 10 años ¿Qué tasa de interes semestral le estaban ofreciendo? Solución: Lo primero a resolver el ejercicio es plantear una gráfica, teniendo en cuenta que: 

F=2X, donde F es el valor futuro.



P=X, donde X es el valor presente.



n=10 años, donde n es el tiempo.

 =    =   =    = .  = .%   = .⁄   

Para este ejercicio debemos aplicar la fórmula de futuro: Reemplazando los datos en la formula nos da:

Pasando X a dividir a 2X, las X se cancelan quedando solo:

Después resolvemos la ecuación con la función SHIFT MODE en la calculadora fx 570 ESPLUS, dándonos un valor de en porcentaje:

, que multiplicado por 100 me da

.


Ahora convierto esta tasa anual a semestral: Donde ½ es igual a que un año tiene dos semestres. Resolviendo esta ecuación nos da:

 = ,%

RTA: La tasa de interés semestral es de 3.53%.


Dos hermanos tienen ahorrado cierto capital que difiere en $10.000.000. Un prestamista les paga por ese capital el 2% y 6% anuales respectivamente, la operación es por seis meses. Se sabe, además que, si estos hermanos juntaran sus capitales, les pagarían 8% por 12 meses y sería superior en $15.000.000 al total de los intereses obtenidos en el primer caso. ¿Cuál es el capital que tienen ahorrado estos hermanos? Solución Lo primero que hago es plantear una ecuación para poder ver cuánto tiene cada hermano A-B= 10.000.000 :

A=10.000.000+B.

Luego procedo a graficar lo que tiene ahorrado cada hermano, teniendo en cuenta: 

F es el valor futuro.

GRAFICA A.

Transformo la tasa de interés de interés anual a interés mensual, para ello uso la fórmula:

 = ./

-1=0.165% mensual.


Ahora uso la fórmula de futuro

 =     = .

, reemplazando datos y ejecutando

operaciones en la calculadora nos da: Ia=P*i*n=

.

= 0.01A

= 1.01A. Los intereses de A son

GRAFICA B.


 = ./

-1=0.487% mensual.


 =     = .

operaciones en la calculadora nos da: Ib=P*i*n=

.

= 0.03B

, reemplazando datos y ejecutando = 1.03B. Los intereses de B son

GRAFICA (A+B).


 = ./

-1=0.643% mensual.

 =     = .  .


, reemplazando datos y ejecutando

operaciones en la calculadora nos da: A+B son I(A+B)=P*i*n=

= 1.08(A+B). Los intereses de

= 0.08(A+B)

Ahora planteo que los intereses de los hermanos unidos menos el de los hermanos individuales deben ser igual a $15.000.000, además reemplazo los valores de A.


0.08(A+B)-0.01A -0.03B =15.000.000 0.08 (10.000.000+2B)-0.01 (10.000.000+B) -0.03B =15.000.000

Despejando B por la operación SHIFT SOLVE de la calculadora fx570 ESPLUS, nos da que el valor de B= $119.166.667, y luego por despeje hallo el valor de A es igual a: A = 10.000.000+119.166.667 = $129.166.667 RTA: El capital de los hermanos es, el hermano A tiene $129.166.6 67 y el hermano B tiene $119.166.667.


Una familia ha logrado reunir un capital de $75.000.000 Para diversificar

el riesgo, un

tercio de este capital es colocado durante 15 meses al 24% anual, mientras que los dos tercios restantes son colocados durante 4 meses a una tasa de interés, de tal modo que al final del plazo el interés generado en total asciende a $17.500.000¿Cuál es la tasa de interés mensual a la que se colocó el segundo capital? Solución Lo primero que hay que hacer es realizar una gráfica, teniendo en cuenta: 

P=$75.000.000, donde P es el valor presente o capital.



Se manejan dos tasas de interés en diferentes tiempos.



I=$17.500.000, donde I es el interés generado.

Para observar bien cada procedimiento, decidimos separar la gráfica en dos partes:


Luego plantamos lo que el ejercicio nos decía: P1= (1/3) ($75.000.000)= $25.000.000 P2= (2/3) ($75.000.000)= $50.000.000 Lo primero que hicimos fue convertir el interés anual a mensual:

./

i=

-1= 1.81% mensual

Luego decidimos aplicar la fórmula de futuro:

 = 

, reemplazando y



ejecutando operaciones en la calculadora nos da: F1=(25.000.000(1+0.0181 $32.718.740.

=

Con lo que pudimos concluir que lo que se ganó (I1)= 32.718.740 – 25.000.000=$7.718.740 Para hallar el I2 planteamos la siguiente ecuación: I2=17.500.000- I1, que reemplazando datos y ejecutando operaciones en la calculadora nos da: I2=17.500.000- 7.718.740= $9.781.260. Por lo tanto planteamos la ecuación de futuro para 2, donde F2=P2+I2, reemplazando datos y colocando en la calculadora nos da: F2=$50.000.000+$9.781.260= $59.781.260.

 = 

Luego para hallar la tasa de interés de dos, despejamos de la fórmula de futuro





, que reemplazando datos nos da: $59.781.260= ($50.000.000(1+im ), ahora

llevamos esta ecuación a la calculadora para poder resolverlo por la operación SHIFT SOLVE de la calculadora fx570 ESPLUS, nos da que el valor del im=4.57% mensual RTA: El interés mensual que se debe colocar en el segundo capital es de 4,57% mensual.


Giancarlo Álvarez tiene dos opciones; la primera, depositar su dinero al 1,2% trimestral por un periodo de 2 años. Una segunda opción en el caso de que incremente el primer depósito en $12.000.000 durante 1 año, le pagarían 2,6% semestral con lo que se generaría un monto igual al doble del capital original. ¿Cuál es el dinero depositado y el monto de la primera opción? Solución Lo primero que debemos hacer es realizar gráficas donde se observe el ejercicio, teniendo en cuenta que: 

P1= X y P2= X+12.000.000, donde P son los depósitos.



F2= 2X ya que es el doble del capital original, donde F es el valor futuro.

Lo primero que hay que hacer el convertir las tasas de interés:


De interés trimestral a anual: De interés semestral a anual:

 = ,  = . = .%  = ,  = . = .%   =   

.

Luego despejo x de la ecuación de futuro en 2: queda:

 =  ...

.

, Reemplazando datos nos

, luego por la operación SHIFT SOLVE

de la calculadora fx570 ESPLUS, nos da que el valor de

 = ..,

Por lo tanto ya tendría el valor de P1 que es igual a X, por lo tanto despejo la ecuación de futuro en 1: nos queda:

 =  

, Reemplazando datos y ejecutando operaciones en la calculadora

 = ..,.

que es igual a

 = ..,

RTA: El dinero depositado es de $13.335.163,095 y el monto de la primera opción es de 14.671.229,221


Determinar la tasa trimestral a través de la cual se triplica un capital en cuatro años Grafica del problema 3P 0 4 años P

ia =?

Se calcula la tasa de interés despejando de la ecuación

 =    =    =    Reemplazando y resolviendo

 =   = . = .% Distributing prohibited | Downloaded by Cesar Farfan ([email protected])

Se transforma la tasa teniendo en cuenta la siguiente relación según sea el caso

   =    =   =   =   =    =    =    Se desea transformar de interés anual a trimestral, por lo tanto:

 =  Despejando it

 =    Reemplazando y resolviendo

 = .  = . = .%  = .%


Usando la comparación de tasas, decidir la mejor alternativa entre invertir en un fondo de inversión que paga el 25% anual pagadero trimestral o invertir en una empresa comercial que garantiza cuadruplicar el capital en 43 meses. Para la solución de este problema como se indica, se deben comparar las tasas de interés y definir cuál es mayor, pues se quiere invertir. A mayor tasa de interés mayores intereses. la tasa de interés puede ser diaria, semanal, quincenal, mensual, bimestral, trimestral, semestral o anual, siempre y cuando ambas sean iguales para poder comparar. En este caso, se analizará la propuesta con tasas de interés mensual Se llamará propuesta A al fondo de inversión y Propuesta B a la empresa comercial Propuesta A El problema indica ya una tasa de interés, por lo tanto, solo es transformarla a la tasa de interés con la cual se quiere analizar y se transforma de la siguiente manera: Primero se debe transformar la tasa nominal a efectiva así

%  = .% = .


Se transforma la tasa de interés trimestral a mensual partiendo de la siguiente relación:

   =    =   =   =   =    =    =   

Así

 =     =     = .  = . = .%

Despejando y reemplazando

Propuesta B

Grafica Correspondiente

4P

0

P

43 meses

im=?

Despejando el im de la ecuación

 =   =      =   =    =   = . = .%  = .%

La mejor propuesta es la B invertir en la empresa comercial


Una persona tiene tres deudas: la primera de ellas por $7´000.000 con vencimiento en 10 meses y una tasa de interés del 23% Efectivo anual; la segunda por $5´500.000 con vencimiento en 15 meses y una tasa del 25% anual pagadero mensual; y la tercera por $7´520.000 con vencimiento en 18 meses y una tasa del 12% anual pagadero trimestral. ¿Qué tasa de interés anual deberá ofrecerle una entidad financiera para que pague toda la deuda cancelando $25.000.000 en el mes 12? Grafica correspondiente F1

F2

F3

15

18

12 0

10 i1 = 23%a $25.000.000 i2 = 25%apm

i3 = 12%apt


meses

P1 = Deuda de $7.000.000 F1 = Futuro de la deuda de $7.000.000 P2 = Deuda de $5.500.000 F2 = Futuro de la deuda de $5.500.000 P3 = Deuda de $7.520.000 F3 = Futuro de la deuda de $7.520.000

Las deudas se grafican en la fecha de su vencimiento, por tal motivo se debe calcular el futuro de cada una, luego trasladar todas las flechas hacia arriba y flechas hacia abajo, hasta el punto focal determinado e igualarlas. El punto focal puede ser cualquiera, mes 10,15,8,3,12 etc., se tomará en este caso el mes 12 como punto focal para facilitar el calculo Para determinar el valor del futuro se deben transformar las diferentes tasas de interés, a una tasa de interés mensual i1

i2

i3

 =               =     = .  = . = .%

%  = .% = . %   = %   =  Distributing prohibited | Downloaded by Cesar Farfan ([email protected])

 =    = .  = . = .% Una vez calculadas las tasas de interés, se procede a calcular el futuro de cada deuda

 =    = $... = $..,  =    = $... = $..,  =    = $... = $..,

Una vez conocido el futuro de cada deuda se procede a trasladar todo al punto focal indicado Nota: al momento de trasladar a un punto focal determinado, todas las flechas hacia arriba se igualan a las flechas hacia abajo Nota: Siempre los traslados entre fechas, si se hacen de izquierda a derecha se multiplica

 = 

y si es de derecha a izquierda se divide

 = + 

Para este ejercicio, el interés con el que se evalúa la deuda o con el que se trasladan las flechas, es la incógnita del problema, por lo tanto:

.,  $.., $.. = $..,  $.  = . = .% Esta tasa de interés negativa indica que no es posible pagar toda la deuda realizando un solo pago de $25.000.000 en el mes 12. Tendría tal vez que realizar un pago más alto u otro pago en otra fecha de diferente valor.


Un prestamista analiza una transacción comercial llevada con anterioridad en la que invirtió un capital a la tasa de interés 6,5% mensual, la cual se convirtió en $ 3.600.000. Si hubiese invertido a la tasa de interés del 5% mensual y un año menos que en el caso anterior, el interés sería de $ 450.000 Obtener: a) Lo invertido por el prestamista. b) El tiempo de esta operación en años Grafica Correspondiente $3.600.000 0 n1 meses P

6.5%m

F2 = P + 450.000

n1-12

P 5%m Distributing prohibited | Downloaded by Cesar Farfan ([email protected])

meses

Datos del problema P=?

Capital invertido

F1 = $3.600.000 Capital obtenido en la primera inversión i1 = 6.5%m

Tasa de interés de la primera inversión

i2 = 5%m

Tasa de interés de la segunda inversión

n1 =?

Meses transcurridos en la primera inversión

F2 =?

Capital que se obtendría en la segunda inversión

n2 = n1 – 12

Meses transcurridos en la segunda inversión (se resta 12 debido a que un año tiene 12 meses)

Para la solución de este problema se debe jugar con las ecuaciones que se conocen para tratar de darle solución a las incógnitas La solución es la siguiente

 =     = . $..  =   =     =    = − Se igualan las dos ecuaciones F2 y se reemplaza P

− =  . $.  .   $.  .   − .   = . .  .


Con ayuda de la calculadora se resuelve y el resultado es: n1= 19 meses Por lo tanto n2 = 7 meses

 .    =   = $. . = $.. El prestamista invirtió $1.088.077 y el tiempo de esta operación fue de 1 año y 7 meses


Una persona tiene hoy una deuda de $23.000.000, comprometiéndose a cancelar tal deuda dentro de 360 días, a una tasa de interés de 1% mensual. Contando con efectivo, dentro del plazo previsto realiza ciertos pagos de $13.500.000 el día 90, $4.500.000 el día 180 y $500.000 el día 270. ¿Cuál será el pago final el día 360? Grafica del problema

$13.500.000

0

90

$4.500.000

$500.000

180

270

X

360 días

$23.000.000

1%m

Para la solución de este tipo de ejercicios, como el problema pide un futuro, se llevan todas las flechas hacia arriba y flechas hacia abajo hasta el punto focal determinado en donde se encontrará el futuro.


Primero se debe transformar la tasa de interés para poder trasladar las flechas arriba y flechas abajo en el punto focal indicado.

 =   =   = .   = . = .% Se trasladan todas las flechas hasta el punto focal, teniendo en cuenta el periodo entre cada flecha (pagos y deuda)

... = ... ...  ..   ...  ...  ...  .. =  Resolviendo

 = .. Este pago de 5.861.419 saldara la deuda pendiente al momento de ser cancelado en el día 360


Un inversionista estudia tres proyectos: el primero tiene un rendimiento del 25% anual pagadero mensual; el segundo del 30% Efectivo Anual y el tercero del 2,5% Efectivo Mensual. ¿Cuál de los tres proyectos es más atractivo?



25% anual pagadero mensual



30% efectivo anual



2.5% efectivo mensual

Para el primer proyecto: La tasa de interés del 25% anual la dividimos en el número de meses que trae un año ya que es pagadero mensual, así:

% = .% mensual = 0.02083

 =   =    Distributing prohibited | Downloaded by Cesar Farfan ([email protected])

 = .    = . = .% ia = 28.07%

Para el segundo Proyecto: La tasa de interés no se debe transformar debido que ya está en efectivo anual para hacer las respectivas comparaciones de los proyectos.

ia= 30%

Para el tercer Proyecto: La tasa de interés está en efectivo mensual lo que quiere decir que solo debemos convertirla a tasa de interés efectiva anual:

 =   =     = .    = . = 34.5%

ia= 34.5%

conclusión: La mejor opción es el proyecto 3 ya que tiene la tasa de interés anual más alta lo cual indica mayor rendimiento.


Un concesionario de vehículos ofrece su último modelo que tiene un valor de $75´000.000 con el siguiente plan de financiación: Una tercera parte de contado, el resto se paga a un año. ¿Cuánto deberá pagar un cliente que compra el vehículo al finalizar el año, si el concesionario cobra una tasa de interés del 22,5% anual pagadero mensual? Hallamos la tercera parte del valor del vehículo $75.000.000 lo dividimos en 3, ese resultado nos da $25.000.000 que es la cuota inicial en el plan de financiamiento lo que quedaría como deuda serían los $50.000.000 restantes.

 =  

$25.000.000 0

22,5% anual pagadero mensual

12

Meses

$50.000.000

La línea de tiempo se manejó con un periodo de 12 meses correspondientes a 1 año.


Convertimos la tasa de interés 22.5% anual pagadero mensual a una tasa de interés mensual de la siguiente forma: el interés 22.5% anual pagadero mensual se divide en los meses que hay en el año porque es pagadero mensual.

.% = .%  Hallamos el futuro de la deuda de $50.000.000 de la siguiente forma:

 = P i  = $.. .  = .., Conclusión: El cliente deberá pagar un monto de $62.485.818,83


¿Qué banco es preferible para depositar los ahorros: el banco A que ofrece una tasa de interés del 7% anual pagadero trimestral o el banco B que ofrece una tasa del 7,25% anual pagadero semestral? Banco A: Tasa de interés 7% anual pagadero mensual Primero se debe transformar la tasa nominal a efectiva así: dividiendo la tasa de interés en el número de meses que trae un año

% = .%  0.583%= 0.00583

Ahora transformamos la tasa de interés mensual a una tasa de interés anual así:

 =   =    Distributing prohibited | Downloaded by Cesar Farfan ([email protected])

 = .    = . = .%  = .% Banco B: Tasa de interés 7.25% anual pagadero semestral. Primero se debe transformar la tasa nominal a efectiva así: dividiendo la tasa de interés en el número de semestres que trae un año.

.% = .%  .% = . Ahora transformamos la tasa de interés semestral a una tasa de interés anual así:

 =   =     = .    = . = .%  = .% Conclusión: La mejor opción es la del banco B ya que da una mayor tasa de interés.


Una persona ahorra $23´000.000 en una entidad bancaria el 10 de agosto del 2017; ¿Cuándo tendrá en su cuenta $27´500.000, si la entidad bancaria reconoce una tasa de interés del 8,5% anual?

$27.500.000 10/08/2017 i= 8.5% anual

n=?

Días

$23.000.000 Lo primero que haremos es convertir la tasa de interés anual a una tasa de interés diaria, ya que nos dan una fecha y necesitamos saber el día en el que la persona obtendrá el valor de $27.500.000. Empleamos la siguiente fórmula para transformar la tasa de interés anual a una tasa de interés diaria.

 =  Despejando:


 =     = .    = . = .% Queremos saber qué día esta persona tendrá en su cuenta $27.500.000, nos dan el día en que deposito su dinero, la cantidad de dinero que depósito y la tasa de interés que se manejará, entonces reemplazamos respectivamente:

Emplearemos la siguiente formula:

 =   $. .  = $. . .  Usando el programa Solve de la calculadora casio fx-570 Plus el resultado de n es: n= 790 días 790 días tienen que transcurrir a partir del 10 de Agosto 2017 para que la persona obtenga $27.500.000 a partir de esa fecha; entonces, ya teniendo el número de días, calculamos la fecha usando la aplicación *calculadora de fechas*

10 de Agosto 2017 + 790 días = 9 de Octubre 2019

Conclusión: el 9 de octubre tendrá en su cuenta $27.500.000


¿Qué es más conveniente: invertir en una sociedad que garantiza duplicar el capital invertido en 10 años, o depositar el dinero en una cuenta de ahorros, que ofrece una tasa de interés del 6% anual pagadero trimestral? Para solucionar este ejercicio, se debe analizar las dos propuestas por separado y determinar la tasa de interés de cada una. Propuesta A = Invertir en la sociedad Propuesta B = Cuenta de ahorros Para la propuesta B no es necesario realizar grafico pues no se tienen los datos suficientes, solo se transforma la tasa de interés nominal a efectiva de la siguiente manera

%  = .% = .

La tasa de interés efectiva trimestral es transformada a una tasa de interés efectiva anual usando la siguiente relación según sea el caso

 =  =  =  =  =  =  =  En este caso se utilizará la siguiente ecuación, se despeja la tasa de interés necesaria, se reemplaza y resuelve


 =   =     = .  = . = .% Para la propuesta A si es necesario realizar la gráfica correspondiente 2P

0

10 Años

P ia =? Se aplica la ecuación del futuro teniendo en cuenta que el futuro será el doble del presente por lo tanto la ecuación queda así:

=  =  =  =   =    =    = . = .%  = .% Conclusion: Según el analisis realizado se identifica que es conveniente optar por la propuesta A ya que tiene un interes mas alto, por lo tanto los interese ganados seran mayores para el inversionista.


Karla desea vender una pulsera de oro y recibe, el 22 de marzo de 2017, las siguientes ofertas: a) $11.789.900 de contado, b) $ 3.500.000 de cuota inicial y se firma un pagaré de $9.180.000 con vencimiento el 16 de agosto de 2017 y c) $6.300.000 de cuota inicial y se firman dos pagarés: uno por $3.630.000 a 30 días de plazo y otro por $3.980.000 con fecha de vencimiento el 17 de julio de 2017. ¿Cuál oferta le conviene más si el rendimiento normal del dinero es de 2,5% mensual?

Primer paso: Hacer un dibujo alusivo del problema. PROPUESTA A $11.789.900 de contado. PROPUESTA B ¿F?

$9.180.000

$3.500.000 147 días 22 de marzo de 2017

i = 2,5% mensual

16 de agosto de 2017


PROPUESTA C ¿F?

$6.300.000

$3.980.000

$3.630.000 87 días

30 días 22 de marzo de 2017

21 de abril de 2017

17 de julio de 2017

i = 2,5% mensual NOTA: El número de días calculado se realiza mediante una aplicación llamada “calculadora de días” en Play Store.

12 meses = 360 días 1 mes = 30 días

Segundo paso: ¿Qué nos preguntan? Nos preguntan el futuro:

¿F?

y la mejor propuesta que le dé más dinero.

Tercer paso: Tenemos que usar todos los términos con las mismas unidades. Se cambia el porcentaje de interés con respecto al tiempo. En este caso el tiempo es diario.

i = i , =  i i = ,   i = , = ,%


Cuarto paso: Planteamos la fórmula que usaremos.

F = Pi Quinto paso: Resolver el ejercicio a partir de la fórmula planteada y lo que nos preguntan. Propuesta A $11.789.900 de contado, por lo tanto, no hay interés.

Propuesta B

F = Pi F = .. ..   . F = $13.855.500 Propuesta C

F = Pi F = .. ..   ,  ..   . F = $14.400.953 La mejor propuesta es la C


$7.540.000 fueron invertidos al 2% mensual de interés compuesto mensualmente por un dos años y medio, a) Obtenga el valor futuro al final de ese tiempo y b) ¿Cuánto más se ganó con el interés compuesto que lo que se hubiera ganado con el interés simple?

Primer paso: Hacer un dibujo alusivo del problema. ¿F?

i = 2% mensual

n = 2 años y medio

$7.540.000 NOTA: 0,5 años = 6 meses 1 año = 12 meses 2 años = 24 meses 2 años y medio = 30 meses


Segundo paso: ¿Qué nos preguntan? Nos preguntan el futuro con la tasa de interés simple y compuesto:

¿F?

Tercer paso: Planteamos las fórmulas que usaremos.

F = Pi F = P i ∗ n Cuarto paso: Resolver el ejercicio a partir de las fórmulas planteadas y lo que nos preguntan. Con interés compuesto:

F = Pi F = ..   . F = $13.657.666 Con interés simple:

F = P  i ∗ n F = ..   , ∗  F = $12.064.000 El interés compuesto ganó $1.593.666 más que el interés simple


Al comprar un equipo quedé debiendo $ 3.500.000 los cuales debo cancelar con cualquiera de las siguientes dos opciones: a) A los 4 meses $ 2.500.000 y a los 7, $2.005.250 b) Pagar a los 7 meses $ 4.246.688,29. ¿Qué forma de pago es más conveniente a un interés del 2,5% mensual?

Primer paso: Hacer un dibujo alusivo del problema. Opción A

$2.005.250

$2.500.000 7 meses

4 meses i = 2,5% mensual $3.500.000 Opción B

$4.246.688.29 7 meses i = 2,5% mensual $3.500.000


Segundo paso: ¿Qué nos preguntan? Nos preguntan el futuro de las dos opciones:

¿F?

Tercer paso: Planteamos la fórmula que usaremos.

F = Pi Cuarto paso: Resolver el ejercicio a partir de la fórmula planteada y lo que nos preguntan. Opción A

F = Pi F = ..   ,   ..   ,  F = $5.143.144 Opción B

F = Pi F = ..,   ,  F = $5.047.977 La mejor opción es la B, ya que paga $95.167 menos que la opción A


Isabel le presta a su hermano $33.500.000 por 8 meses, cobrándole una tasa de intereses simple del 1,8% mensual. Al final de este tiempo, deposita el monto obtenido en una cuenta de ahorros que le paga un 0.456% cada semana. ¿Cuánto dinero tendrá al cabo de 2 años?

Primer paso: Hacer un dibujo alusivo del problema.

F

¿ ?

8 meses i = 1,8% mensual $33.500.000

F

¿ ?

2 años

F

i = 0,456% semanal

¿ ?


Segundo paso: ¿Qué nos preguntan?



Nos preguntan el futuro después de ingresar el monto a la cuenta de ahorros: ¿ ?

Tercer paso: Tenemos que usar todos los términos con las mismas unidades. Se cambia el porcentaje de interés con respecto al tiempo. En este caso el tiempo es anual y mensual. i = 0,456% semanal a % anual.

i = i  i = , i = ,   i = , = ,% i = 0,456% semanal a % mensual.

i = i     i =  , i = ,   i = , = ,% F = Pi F = Fi

Cuarto paso: Planteamos las fórmulas que usaremos.


Quinto paso: Resolver el ejercicio a partir de las fórmulas planteadas y lo que nos preguntan.

F = Pi F = ..   , F F = Fi F = ..   , F = $38.639.102

= $59.801.169


Se compra un equipo por valor de $19.900.000, vida útil de 3 años. Se debe repararla dos años después de comprada por un valor de $2.880.000. Si la máquina produce ingresos de $9.400.000 al final de cada año. La tasa de interés es del 24% anual. ¿Debo comprarla?

Primer paso: Hacer un dibujo alusivo del problema. i = 24% anual 1 año

2 años

F

¿ ?

$2.880.000

$19.900.000

F

¿ ?

i = 24% anual 1 año $9.400.000

1 año

1 año $9.400.000

$9.400.000


Segundo paso: ¿Qué nos preguntan? Nos preguntan la rentabilidad que da al comprar este computador. Debemos hallar lo que nos produce los gastos y las ganancias, para saber cuál es la rentabilidad del equipo.

Tercer paso: Planteamos la fórmula que usaremos.

F = Pi Cuarto paso: Resolver el ejercicio a partir de la fórmula planteada y lo que nos preguntan. Pérdidas Flechas arriba, igual a flechas abajo.

F  = ..  , .. , F F = .. , .. , .. F Rentabilidad = F  F = $..$.. = $.. = $41.513.017

Ganancias

= $35.509.440

No es factible comprar el equipo, ya que nos ocasiona pérdidas de $6.003.577


Se tiene un capital de $ 9.000.000, que es colocado el 1/3/2016 por el que pagan 6% anualmente, y el 23/8/2017, por un apuro, retiran $3.600.000 ¿Cuál es el saldo al 24/12/2017?

Solución

F=? 3.600.000 540 días

1/3/16

123 días 23/8/17

PF 24/12/17

P= $9.000.000

Lo primero para resolver el ejercicio es plantear la gráfica hecha anteriormente, luego observamos que nos dan fechas en las cuales se realizan consignaciones y retiros, por lo que debemos transformar la tasa de interés anual a una tasa de interés diaria, de la siguiente manera:

 =   Se eleva a la 360 el idiario, debido a que en un año hay 360 días. Reemplazamos los datos que nos da el ejercicio en la formula anteriormente planteada:


. =    . =   . =  Despejando id de la formula anterior, tenemos:



 = .   =

0.000162 =0.0162% diario

Una vez hallada la nueva tasa de interés, debemos hallar la cantidad de días que hay entre las fechas de consignaciones y retiros. Luego, procedemos a hallar F, que es lo que nos pide el ejercicio y para esto trasladamos todas las consignaciones y retiros a la fecha focal utilizando la tasa del 0.0162% y usamos el siguiente principio: Todas las flechas hacia abajo se igualan a todas las flechas hacia arriba y llevamos todo al punto focal (PF) que en este caso establecimos como la fecha 24/12/17.

...% = ...%  F Se multiplica por (1+0.0162%) debido a que el PF se encuentra hacia la derecha y se elevan a los respectivos días que hay entre cada consignación y retiro y el PF. Despejamos F de la anterior ecuación: F = $6.347.941


Un prestamista coloca su dinero con la condición que se lo devuelvan dentro de 4 y 14 meses $7.500.000 y $15.000.000, respectivamente. Recibe la contraoferta de parte del prestatario de cancelar la deuda con un solo pago a los 7 meses, si le cobra una tasa de interés mensual del 1.5% por lo que el prestamista acepta. ¿Cuál es el pago que tendrá que realizar éste?

Solución

X 14 meses

4 7

15.000.000

$7.500.000

Para hallar X, que representa el pago que el prestatario tendrá que cancelar a los 7 meses, se utiliza el principio que nos dice que todas las flechas hacia arriba se igualan a todas las flechas hacia abajo, teniendo en cuenta que nuestro punto focal en este caso es el mes 7:

..% X = ...%  . Se observa que primero se multiplica la primera consignación por 1 + el interés, elevado a la cantidad de meses que hay entre esa consignación y el PF. Se multiplica debido a que el PF se encuentra a su derecha.


Por otro lado, observamos que para la segunda consignación se divide sobre 1 + el interés, elevado a la cantidad de meses que hay entre la fecha en la que se realizó la consignación y la fecha del PF. Se divide debido a que el PF se encuentra a su izquierda. Resolviendo la ecuación planteada anteriormente, tenemos: R/.

X = $..


El gerente de producción de una empresa conoce que la máquina principal de su proceso de producción, actualmente en uso, llegará al final de su vida útil dentro de 3 años, para esa época será necesario adquirir una nueva máquina, la cual se estima costará unos US $200.000. Se estima que la máquina actual para esa época podrá ser vendida en US $50.000. Determinar el valor que se debe depositar hoy en un certificado de depósito a término de 3 años para asegurar la compra de la nueva máquina, si la entidad financiera garantiza una tasa de interés del 7.5% anual.

Solución

F = $150.000

0

n = 3 años i =7.5% anual

P=?

Observamos que la cantidad que en realidad necesita la empresa para garantizar la compra de la nueva máquina es de US $150.000, debido a que la máquina nueva costará unos US $200.000 pero la máquina vieja podrá ser vendida en US $50.000, es decir, les haría falta US $150.000 para comprar la nueva máquina. Ahora, para hallar P, que hace referencia al valor que debe depositar la empresa para asegurar la compra de la nueva máquina, se puede hallar utilizando la siguiente formula:


 =    Donde F es la cantidad que la empresa debe retirar dentro de 3 años para poder adquirir la nueva máquina, P es el valor que se debe depositar hoy e i es la tasa de interés que garantiza la entidad financiera, en este caso, la tasa de i nterés y el ‘’n’’ ya concuerdan debido a que ambos se dan en años, así que no hay que realizar ninguna transformación en la tasa de interés. Despejando P y reemplazando los datos de la formula anteriormente planteada, tenemos:

.% P = . R/.P = US $.


Una empresa dispone de $38.500.000 para hacer un ahorro que está destinado para reponer una máquina que se estima que en el futuro tendrá un costo de 45.500.000. Si el banco reconoce una tasa de interés del 9,5% anual. ¿Por cuántos días la empresa deberá constituir el CDAT, para recibir el dinero necesario para comprar de contado la maquinaria?

Solución

F= 45.500.000 n =? días i = 9.5% anual

P= $38.500.000

Se observa que el ejercicio me pide hallar la cantidad de días que la empresa deberá constituir el CDAT, pero la tasa de interés que reconoce el banco es anual, así que debemos transformar


la tasa de interés anual a una tasa de interés diaria, lo hacemos utilizando la siguiente ecuación:

 =   . =   . =  . = 

Reemplazamos los datos que nos da el ejercicio en la formula anteriormente planteada:

Despejando id de la formula anterior, tenemos:

 = .   =

0.000252=0.0252% diario

Ahora, ya teniendo la tasa de interés y ‘’n’’ en los mismos términos, procedemos a hallar ‘’n’’, que es lo que nos pide el ejercicio, para esto usamos la siguiente formula:

 =   .. = ...%

Reemplazamos la ecuación con los valores que nos da el ejercicio:

Realizando la anterior operación, tenemos que la empresa deberá constituir el CDAT por 668 días. R/. n = 668 días


Una empresa invierte sus excedentes financieros que suman $2.250.000.000 en un banco durante un año. a) Si el banco reconoce una tasa del 4% trimestral; ¿Cuál será el Interés que la empresa recibirá al cabo del año?

Solución

F=?

i = 4% Trimestral

P = $2.250.000.000

Observamos que la tasa de interés que reconoce el banco es trimestral y me piden hallar el interés anual que recibirá la empresa, así que debemos transformar la tasa de interés anual a una tasa de interés trimestral, usando la siguiente ecuación: ( 1 + ia ) = ( 1 + itrimestral ) ( 1 + ia ) = ( 1 + 0,04)

4

4

1 + ia = 1.1698 ia = 1.1698 -1

ia = 0.1698 = 16.98% anual


Ahora, para hallar I, que es lo que nos pide el ejercicio, utilizamos la siguiente ecuación: I = F – P Así que debemos hallar el valor de F, con la siguiente formula:

 = 

= 2.250.000.000

.

F = 2.632.050.000

Una vez obtenido el valor de F, podemos hallar I: I = F – P I = 2.632.050.000 – 2.250.000.000 R/. I = $382.050.000


Se colocan hoy $20.000.000 en una institución financiera, a una tasa efectiva de 32% anual, para cancelar una deuda que vence dentro de 34 meses. El deudor se propone hacer ajustes inmediatos (depósitos o retiros) cuando se modifique la tasa de interés de la colocación, a fin de cancelar la deuda en la fecha prevista. Al final del mes 14 la tasa de interés bajó a 20% anual capitalizable trimestralmente y al final del mes 29 la tasa aumentó a 27% efectiva anual. Calcular el valor de los dos ajustes. Solución: Lo primero al resolver el ejercicio es plantear la gráfica: F=? 0

 = $..

 = % 

34 meses

Debido a que lo que me piden hallar es el valor de los dos ajustes cuando se cambia la tasa de interés, debo hallar el valor futuro evaluando todo con el primer interés: Utilizamos la ecuación:

 =  Distributing prohibited | Downloaded by Cesar Farfan ([email protected])

Recordar que la tasa de interés y los periodos deben estar iguales, y en este se observa que la tasa de interés esta anual y los periodos en meses, por lo cual se debe pasar todo a meses, se debe cambiar la tasa de interés anual a mensual, para esto se utiliza la siguiente relación:

 =    =     = ,    = ,%  =  Despejamos el

y se reemplazan los valores:

Una vez hallado el interés, se calcula el valor futuro con base a la ecuación:

Donde F es el valor futuro, P el valor presente o el de hoy y n es el número de periodos.

Se sustituyen los valores:

 = $.. ∗ ,  = $.. Después de hallar el valor F, se procede a hallar el valor del primer ajuste para lo cual se debe volver a plantear la gráfica:

 = $..

Retiros 0

14

 = %   = $..

X

 = % 

34 meses

Depósitos


Para hallar el valor del primer ajuste, pero como la tasa de interés esta anual pagadero trimestral se debe pasar a mensual, para esto primero se divide en el número de trimestres que tiene un año:

 % = %   =    =     = ,    = ,% Se utiliza la siguiente relación:

Despejamos el


Tomamos como punto focal X y llevamos todo a ese punto:

$.. $.. ∗,   = ,  .       =  $.  $.  .   ∗ ,     ,  = $.. Se despeja X

Ese valor hallado es el del primer ajuste, para hallar el valor del segundo ajuste, se debe volver a plantear la gráfica:

 = $..

Retiros 0

14

 = %   = %   = $..  = $..

29

Y

 = % 

34 meses

Depósitos


Para hallar el valor del primer ajuste, pero como la tasa de interés esta anual se debe pasar a mensual, para esto se utiliza la siguiente relación:

 =    =     = ,    = ,% Despejamos el


Tomamos como punto focal Y, llevamos todo a ese punto, igualando todas las flechas que van hacia abajo con las que van hacia arriba, tomando en cuenta el número de periodos que hay desde donde esta hasta donde se va a llevar:

 ∗ ,  $..∗ ,   $.. ∗,   =  $. ,.  .     ,  = $.  $.  .   ∗ ,   ∗   $..  ,∗ ,  = $. Como se observa el valor del segundo ajuste dio negativo, esto lo que indica es que el sentido que se tomo es incorrecto y en vez de ser un deposito es un retiro. NOTA: Se observa que en algunos casos el valor se multiplica (1+i) si el valor se va a llevar de la izquierda a la derecha, pero si se desea llevar de la derecha a la izquierda lo que se debe hacer es el valor dividirlo (1+i) R/ El valor del primer ajuste es de $4.068.051 y el segundo es de $728.835


¿Cuánto tendría que pagar por concepto de interés una persona que adeuda $30.000.000, si

la liquida la misma 6 meses después y le cobran el 25% de interés anual? Lo primero que se debe hacer es plantear la gráfica:

F=? 0

 = % 

 = $..

6 meses

Recordar que la tasa de interés y los periodos deben estar iguales, y en este se observa que la tasa de interés esta anual y los periodos en meses, por lo cual se debe pasar todo a meses, se debe cambiar la tasa de interés anual a mensual, para esto se utiliza la siguiente relación:

 =      =        = ,   Despejamos el



 = ,% Debido a que lo que se pide es lo que se debe pagar por concepto de interés se utiliza la ecuación:

 =    =  

De esta despejamos I, que es lo que tendría que pagar por concepto de interés:

Pero para poder utilizar esta ecuación se debe tener F, este se halla a través de la ecuación:

 =  Donde F es el valor futuro, P el valor presente o el de hoy y n es el número de periodos. Se sustituyen los valores:

 = $.. ∗ ,  = $.. Una vez hallado este valor hallamos lo que se tendría que pagar por concepto de interés:

 = $.. $..  = $.. R/ Lo que se debe pagar por concepto de interés es $3.547.091


Una persona compra un reproductor de discos compactos que cuesta $1.000.000, paga una cuota inicial de $500.000 y acuerda pagar 4 cuotas trimestrales de $150.000 cada una. ¿Qué tasa de interés quincenal le están cobrando? Lo primero que se debe hacer es plantear la gráfica:

$.

$.

$.

1

2

$. $.

0 3

4 trimestres

 = $.. Lo que se debe hacer es llevar todo al punto focal, igualando las flechas que van hacia abajo con las que van hacia arriba:

  $.   $.   $.   $.. = $.  $.        Distributing prohibited | Downloaded by Cesar Farfan ([email protected])

NOTA: Se observa que se desea llevar de la derecha a la izquierda por lo tanto, lo que se debe hacer es el valor dividirlo (1+i) y el valor al que se eleva depende de cuantos periodos se deben desde donde está hasta el punto focal Utilizando solve:

 = ,%  =      =     = ,    = ,%

Como el interés, se pide quincenal se debe pasa de acuerdo a la siguiente relación:

Despejamos el


R/ La tasa de interés que se le está cobrando es del 1,24%


Una persona vendió un terreno que no ocupaba por $25.000.000, al mismo tiempo tomo la decisión de invertir ese dinero en una Entidad Financiera el cual le ofrecen un rendimiento del 4% semestral pagadero bimestral, su intención es dejar ese dinero 4 años en el banco, ¿Cuánto tendrá al final del tiempo estipulado? Lo que se debe hacer es plantear la gráfica: F=? 0

 = $..

 = % 

4 años

Primero se debe pasar de un interés semestral pagadero bimestral que es un interés nominal a un interés efectivo bimestral para seguidamente convertirlo en un interés anual. Se divide en 3 ya que en un semestre hay 3 bimestres.

 %  = ,% 

Se pasa la tasa anual, con la siguiente ecuación:


 =    =     = ,    = ,% Despejamos el


Como ya se tiene la tasa de interés anual se puede hallar el valor futuro con la siguiente fórmula:

 =  Donde F es el valor futuro, P el valor presente o el de hoy y n es el número de periodos. Se sustituyen los valores:

 = $.. ∗ ,  = $.. R/ Se tendrá al final del tiempo estipulado $34.328.247


Una persona ganó un premio por la cantidad de $1.800.000.000 y los quiere invertir en el banco a interés compuesto, la Institución bancaria le está ofreciendo un rendimiento del 5.6% anual pagadero semestral, una vez aceptado lo quiere dejar en un tiempo de 8 semestres ¿Qué cantidad de dinero recibirá al final de esa inversión? Lo primero que se debe hacer es plantear la gráfica: F=? 0

 = ,% 

 = $...

8 semestres

Después se debe pasar de una tasa nominal a una tasa de interés efectiva. Se debe dividir en 2 ya que es el número de semestres que hay en un año.

, %  = ,% 

Como ya se tiene la tasa de interés semestral se puede hallar el valor futuro con la siguiente fórmula:

 =  Distributing prohibited | Downloaded by Cesar Farfan ([email protected])

Donde F es el valor futuro, P el valor presente o el de hoy y n es el número de periodos Se sustituyen los valores:

 = $... ∗ ,  = $... R/ Se tendrá al final del tiempo estipulado $2.245.005.568


Se invierten $22’000.000 al 1,5% mensual por 3 años. ¿Cuál es la cantidad acumulada al

término de ese tiempo? ¿A cuánto asciende el interés ganado ?

Solución: Para poder realizar el ejercicio es necesario tener en cuenta los siguientes pasos: EL PRIMER PASO consiste en representar de manera gráfica lo que dice el ejercicio. F= ¿?

1,5% mensual

3 años

P=22’000.000

EL SEGUNDO PASO consiste en transformar la tasa de interés de manera que el tiempo y la tasa de interés sean equivalentes respecto al periodo utilizado, es decir sean congruentes. Además identificar los datos relevantes en el ejercicio.

    =   Distributing prohibited | Downloaded by Cesar Farfan ([email protected])

1 año=12 meses. Despejamos interés anual:

  = ,   = ,  = . % 3 años

Anual

i

n

22’000.000

presente, P

EL TERCER PASO ES IDENTIFICAR que formula de interés compuesto utilizar, como nos están preguntando sobre la cantidad acumulada en determinado tiempo usaremos la fórmula de futuro. F=

 

F= futuro; P=presente; i= tasa de interés efectiva vencida; n=#periodos EL CUARTO PASO consiste en reemplazar los datos en la formula correspondiente:

,

F=22’000.000

F= 37599355,44

cantidad acumulada al término de ese tiempo

EL QUINTO PASO es calcular cuánto asciende el interés ganado, para ello primero hay que determinar que formula es idónea para la solución: I=F-P I= interés; F= futuro; P= presente. El SEXTO PASO consiste en reemplazar los datos en la formula anterior I=37599355,44-22’000.00= 15599355,44

asciende el interés ganado


¿Qué cantidad de dinero se habrá acumulado al cabo de 5 años si se invierten $800.000 al 2,1% bimestral capitalizable mensual? Para realizar el ejercicio es necesario tener presente los siguientes pasos: EL PRIMER PASO consiste en plasmar la gráfica con el objetivo de analizar mejor el ejercicio. F=¿?

2,1% b.c.m P=800.000

EL SEGUNDO PASO consiste en transformar la tasa de interés a efectiva vencida, congruente con “n”.

Sabiendo la siguiente equivalencia:


5 años

1 bimestre= 2 meses.

% = ,%  

Ahora la pasamos simplemente a anual:

        =   1 año=12 meses. Despejamos interés anual:

  = ,    = , = ,%

Anual.

EL TERCER PASO consiste en identificar la fórmula idónea para la solución del ejercicio, como nos pregunta sobre la cantidad de dinero acumulado, es necesario utilizar la fórmula de futuro: F=

 

F= futuro (¿?) P= presente (800.000) i = tasa de interés (13,35% anual) n= # periodos. (5 años) EL CUARTO PASO se trata de reemplazar los datos en la respectiva fórmula.

,

F= 800.000

F= 1496916,617

dinero que se habrá acumulado.


Se invirtieron $20’000.000 en un banco por 5 años. Cuando se realizó el depósito, el banco

estaba pagando el 5,6% trimestral pagadero bimestral. Tres años después la tasa cambió al 1,8% mensual. Calcule el monto al finalizar los cinco años.

Solución: EL PRIMER PASO es graficar los datos que nos presenta el enunciado. F

i 1: 5,6% t.p.b

3 años

i 2:=1,8%m

P=20’.000.000


5 años

EL SEGUNDO PASO consiste en transformar las tasas de interés a efectivas vencidas y de manera que sean congruentes n. i 1= 5,6% t.p.b

,% =3,73% bimestral. 

Ahora proseguimos a convertirla en anual

     =   1 año=6 bimestre. Despejamos interés anual:

  = ,    = ,  = ,%

Anual.

Ahora transformamos i 2, de mensual a anual.

     =   1 año=12 meses. Despejamos interés anual:

  = ,   = ,  = , %

Anual.

EL TERCER PASO es identificar los datos relevantes para dar solución al ejercicio. Presente (P)=20’000.000

i 1= 24,57% anual i 2= 23,87% anual

Tasa de Interés

n= 5 años (periodos)


EL CUARTA PASO consiste en identificar la fórmula, enuncia que hay que calcular el monto final, entonces usaremos la fórmula de futuro. F=

 

EL QUINTO PASO se trata de reemplazar los datos en la ecuación. F=

´...

F= 59320207.87

Calculo del monto al finalizar.


Una persona debe pagar en 22 meses $ 2.000.000. ¿Cuál debe ser el valor del depósito que se haga hoy en una cuenta que paga el 8% efectivo semestral para poder retirar esa suma ?

Solución: EL PRIMER PASO consiste en realizar este ejercicio del cual es pertinente graficar para tener un mayor análisis del ejercicio.

2.000.000

8% semestral

22 MESES

P= ¿?

EL SEGUNDO PASO: Identificamos los datos que se encuentran inmersos en el ejercicio. n = 22 meses.

Tiempo que transcurre desde P hasta F.


i = 8% efectivo semestral F = $2.000.000

tasa de interés

valor futuro que se debe pagar.

EL TERCER PASO: transformamos la tasa de interés, para que este en los mismos términos que n. 8% efectivo semestral a efectivo mensual. Equivalencias: 1 semestre alberga 6 meses. 8%= 0.08. TRANSFORMANDO:

       =      1 semestre=6 meses. Despejamos interés mensual:



   =    ,  = , = ,%

Mensual, efectivo mensual.

EL CUARTO PASO consiste en identificar la fórmula para la solución del ejercicio. Como hay que hallar el depósito de hoy, se debe calcular el valor de P.

+ 

P=

EL QUINTO PASO trata de reemplazar los valores.

+...

P=

P= 1508569,874

P= presente; F= futuro (2.000.000); i= tasa de interés (0,0129 m);n=22 depósito de hoy.


Se invierte un capital a razón de 36 % anual capitalizado trimestralmente. Si se conoce que los intereses ganados durante un cierto año son de $500.000, determine el capital al final de ese año. Solución: Para poder realizar el ejercicio, debemos tener en cuenta los siguientes pasos. EL PRIMER PASO es ideal graficar para poder analizar el ejercicio. F

36%a.c.t P


1 año

EL SEGUNDO PASO consiste en identificar los datos del enunciado, donde I=500.000, que son los intereses ganados durante el año, por otra parte, la tasa de interés tiene valor de 36% a.c.t. EL TERCER PASO consiste en transformar la tasa de interés a efectiva vencida, congruente con n. 36% a.c.t

% anual

% = 9% trimestral (1 año= 4 trimestres).             =      4 trimestres=1 año Despejamos interés anual:

   =    ,   = , ,  = ,, % %

Anual efectiva.

EL CUARTO PASO consiste en plantear las ecuaciones necesarias para la solución del ejercicio. I= 500.000 F=P+I I=F-P F=

    , .  

EL QUINTO PASO consiste en reemplazar los datos en la formula. F=P

500.000=P

Despejando P= 1214771,623= F=12214471,623+500000=1714771,623


La empresa tiene una deuda de $80.000.000 a 15 meses a una tasa de interés del 28% anual pagadero semanal y esta vence dentro de 4 meses; además tiene otra deuda con el mismo banco de $90.000.000 contratada a dos años con una tasa de interés del 30% anual pagadero quincenal con vencimiento dentro de 17 meses. El administrador de esta empresa le ofrece al Banco una reestructuración de los créditos mediante 3 pagos de la siguiente forma el primero de inmediato el segundo a un año y el tercero a 24 meses. La institución bancaria le ofrece un rendimiento del 36%. Calcular de cuánto debe ser cada pago ya que serán iguales



convertimos los intereses nominales a efectivos y por ultimo aplicamos la fórmula de transformación de tasas de intereses efectivos para que la tasa de interés este en el periodo que la necesitamos, en este caso Meses.


 ..%  = .%   % = .%  = .   = ,%   = .   = .%

I=36%a

m

 im %// =  / .   =  (1+ia)=

2.59% mensual



Se aplica el concepto donde la

∑ FLECHAS ARRIBA = ∑ FLECHAS ABAJO P I

usando la siguiente formula, en donde se reemplazan los datos ( teniendo en cuenta la fecha focal, es decir:

...  ...  = .   .  .... = .  [.]  = .. Nota: Nuestro punto de referencia es la fecha focal (12 meses)

Respuesta: El valor de la cuota a cancelar es de $91.331.115


,

),

El Sr. Rosales invirtió un capital en el Banco y quiere saber en qué tiempo su capital que invirtió que era de $12,500.000 aumenta y se convierte en $17,000.000. La Institución bancaria le está ofreciendo una inversión del 18.3% de inter.



Teniendo en cuenta los datos obtenidos reemplazamos en la fórmula de valor Futuro.

 = $..  = .%  = .%   = $..  =   Distributing prohibited | Downloaded by Cesar Farfan ([email protected])

.. = ...  = .  Respuesta: para que la inversión del Sr. Rosales se convierta en $17.000.000 deben transcurrir 21.96 meses.


Un comerciante adquiere un lote de mercancía con valor de $634.270.000 que acuerda liquidar haciendo un pago de inmediato de $115.000.000 y un pago al final de cuatro meses después: Acepta pagar un 30% anual pagadero semanal de interés sobre su saldo. ¿Cuánto deberá pagar dentro de cuatro meses?



Convertimos la tasa de interés nominal a efectiva y después la pasamos al periodo en que la necesitamos (meses).

 =  % = .%  = .  = .% Distributing prohibited | Downloaded by Cesar Farfan ([email protected])




∑FLECHAS ARRIBA = ∑FLECHAS ABAJO PI

usando la siguiente formula, en donde se reemplazan los datos ( teniendo en cuenta la fecha focal, es decir:

634.270.000=115.000.000+

 .

X=573.176.919

Respuesta: el valor a pagar dentro de cuatro meses será de $573.176.919


,

),

Una persona no recuerda que capital invirtió y lo único que se acuerda es que fue a un plazo de 10 meses, a una tasa de interés del 4.3% semestral pagadero mensual, cuando la Señora fue al banco a recoger su dinero le entregaron $12,589.000. ¿Cuánto invirtió?



Se aplica la conversión de interés nominal a interés efectivo.



Por ultimo tomando en cuenta los datos obtenidos, reemplazamos en la fórmula de

. % = .%

valor Futuro y despejamos para hallar valor presente.

F = P I


$.. = . P = $11.722.130

Respuesta: la inversión inicial fue de $11.722.130


Un individuo compró un automóvil nuevo por el cual pago $95,500.000 el 2 de enero de 2017, y lo vende el 1 de junio del 2018 en $115,000.000. Aparte del uso que ya le dio, del seguro que pagó, y otros gastos que hizo, considerando sólo los valores de compra y venta, ¿Fue conveniente como inversión la operación realizada si la tasa de interés del mercado era del 28% anual.



Con la ayuda de “calculadora de días” sabremos cuantos días han transcurrido desde

el día que lo compro hasta el día que lo vendió. N° de días desde el 02/01/2017 hasta el 1/06/2018 = 515 días 

Convertimos el interés anual a interés diario

 = .   = .% 




Aplicamos la ecuación de valor Futuro con los datos obtenidos.

 =    = ... F



=135.881.132

Hacemos una breve comparación entre el precio real del automóvil el día 01/06/2018 y el precio en que lo vendió el mismo día, llegamos a la siguiente conclusión:

Lo vendió en $115.000.000 y el precio según los intereses y días transcurridos era de $135.881.132 Conclusión: No fue conveniente


Una persona deposita $20.000.000 en un Banco que abona el 6% anual. Si desde el fin del primer año hasta el fin del cuarto año retira $2.000.000 cada vez. Determine el monto acumulado al final del año 9. $2.000.000

$2.000.000 $2.000.000 $2.000.000

F

P.F. 1

2 i =

3

4

9 Años

6% anual

P= $20.000.000

Solución: -Se define un punto focal (P.F.) en la gráfica, en este caso el año 3, donde los depósitos van a ser iguales a los retiros, a partir de ahí se calcula F, pero: Si el monto está antes del punto focal se asume como F:

 =   = + 

Si el monto está después del punto focal se asume como P:

-La ecuación queda:

.. ..,  .., ..  ,   , = ..  , Distributing prohibited | Downloaded by Cesar Farfan ([email protected])

-Resolviendo:

..  ....  ..,  , = .. -Se despeja y calcula la incógnita F:

 = .. .. ....  .., ∗ , F=

$ 22.081.133,13

R/: Esta persona tendrá acumulado al final del periodo de 9 años un monto por un valor de $ 22.081.133,13


Se coloca una cantidad de dinero así: durante 9 meses a 20 % anual capitalizado semestralmente, por los siguientes 4 meses a 30 % anual capitalizado mensualmente, por 8 meses más a una tasa de 27 % anual capitalizado trimestralmente y, finalmente, por 15 meses más a una tasa de 24 % anual capitalizado trimestralmente. El monto al término de la operación fue de $12.000.000. Determine el capital inicial y la tasa efectiva anual de la operación. F= $ 12.000.000 i2= 30% a.p.mensual n1= 9 mes i1= 20% a.p.semestral

n2= 4 mes

n3= 8 mes

i3= 27% a.p.trimestral

n4= 15mes i4= 24% a.p.trimestral

P

Solución: -Se procede a cambiar las tasas de interés de nominal a efectiva y el tiempo de modo que coincidan al periodo, en este caso se cambia todas las tasas a mensual.

 = % .. = %     = ,  = , = ,%  Distributing prohibited | Downloaded by Cesar Farfan ([email protected])

 = % ..  = ,%   = % .. = ,%   = ,   = , = ,%   = % .. = %     = ,  = , = ,%   =   =          =              ,  = ,  ,. ., -Se plantea la ecuación, en este caso se utiliza la fórmula:

-Se despeja la incógnita P y se sustituyen valores

P=

$ 5.918.175,566

-Se calcula la tasa efectiva anual de la operación según el gráfico F= $ 12.000.000



n= 3 años

P = $la5.918.175,566 -Se utiliza siguiente ecuación, según la gráfica:

 =  Distributing prohibited | Downloaded by Cesar Farfan ([email protected])

-Despejando y resolviendo para la tasa de interés:

 =     = √ . ...,  i= 0,2657 =

26,57% anual

R/: El capital inicial tendrá un valor de $ 5.918.175,566 con una tasa de interés del 26,57% anual


Un padre, al nacimiento de su hijo, deposita en una institución financiera la cantidad de $5.000.000. La institución le abona el 2% anual pagadero trimestralmente. Cinco años más tarde, nace una niña y entonces divide el monto del depósito en dos partes: una de 3/10 para el hijo y el resto para la hija. ¿Qué cantidad tendrá cada uno cuando el hijo cumpla 21 años?

F1

P1 = 3/10 F

Ft

F

F2

P2 = 7/10 F ó F – P1

n1= 5 años

i =

2% a.p.trimestral

n2= 16 años

P= $ 5.000.000

Solución:

-Se procede a cambia la tasa de interés de nominal a efectiva y el tiempo de modo que coincida con el periodo, en este caso se cambia a anual, sabiendo que un año son 4 trimestres.

 = % ..  = ,%  Distributing prohibited | Downloaded by Cesar Farfan ([email protected])

 = ,   = , = ,%  -Se calcula el valor acumulado en el lapso de 5 años “F”, se utiliza la fórmula:

 =   = .. ∗  , F=$

5.523.110,6

-Con F se calcula la proporción de cada hijo

 =  ∗.., = ..,  = ..,.., = .., -Con los nuevos depósitos de cada hijo, se calcula los montos que tendrán en el tiempo restante.

 =   = .., ∗ ,  =   = .., ∗ , F1 =

$ 2.278.184,86

F2 =

$ 5.315764,58

R/: Cuando el hijo cumpla la edad de 21 los montos respectivos para cada uno serán: el hijo tendrá $ 2.278.184,86 y la hija $ 5.315764,58


El gerente de producción de una empresa conoce que la máquina principal de su proceso de producción, actualmente en uso, llegará al final de su vida útil dentro de 3 años, para esa época será necesario adquirir una nueva máquina, la cual se estima costará unos US $200.000. Se estima que la máquina actual para esa época podrá ser vendida en US $50.000. Determinar el valor que se debe depositar hoy en un CDT de 3 años para asegurar la compra de la nueva máquina, si la entidad financiera garantiza una tasa de interés del 7.5% anual.

i =

7,5% anual

n= 3 años

P

Solución: -La nueva máquina tiene un valor de $200.000 pero si se vende la máquina actual se obtienen $50.000 menos para asegurar la compra, con esto se calcula el valor futuro por el cual se depositará: F= 200.000 – 50.000 = $ 150.000


-La tasa de interés se deja igual, ya que está efectiva y en la misma unidad de tiempo que el periodo. i= 7,5% anual

-Se procede a despejar el presente en la formula y se calcula el valor que se debe depositar.

 =   =   .   = , P=

$ 120.744,08

R/: Según lo que falta para reunir el dinero de la nueva máquina la persona debe invertir un monto igual a $ 120.744,08 a un periodo de tres años


Una bicicleta tiene un valor de contado de $ 2.500.000. A plazos exigen una cuota inicial de $ 1.000.000 y el resto financiado para ser cancelado con tres cuotas de $ 1.000.000; $ 500.000 y $ 198.305,30, dos, cinco y nueve meses después de recibida la bicicleta. Encontrar el interés de financiación. X= $2.500.000

n1= 2 meses

n2= 3 meses

P.F.

n3= 4 meses

Hoy



P1= $1.000.000

P2= $500.000

P3= $198.305.30

= $1.000.000

Solución: -Se define un punto focal (P.F.) en la gráfica, en este caso el mes 5, donde las cuotas van a ser iguales a los pagos, a partir de ahí se calcula F, pero hay que tener en cuenta qué: Si el monto está antes del punto focal se asume como F:

 = 

Si el monto está después del punto focal se asume como P:

 = + 


-La ecuación queda:

, .. ∗  .. ∗  .  . = .. ∗  -Resolviendo para la incógnita i, quedaría:

 = , = ,%  R/: El interés de financiación de la bicicleta va ser de 3,5% mensual


Una persona quiere invertir en el banco la cantidad de $65.000.000 por un tiempo de 4 años y medio, el Banco le está ofreciendo un rendimiento del 5% anual pagadero semanal. ¿Cuánto recibirá al final de los 4.5 años?

F =?

n = 4.5 años ί = 5% aps

P= $ 65.000.000

Se sabe que

F = P ί

Se pasa los intereses a mensual debido que n es un exponente en la fórmula es adecuado utilizar un numero entero y no un decimal


4.5 años

X

1 año

12 meses

meses X = . años∗  año =  meses

Como el interés que se da en el ejercicio es anual, se debe pasar la tasa de interés nominal a una tasa de interés efectiva para haber una relación homogenizada entre ί y n. ίm =

ί  

ί = 5% aps

ί:  % = . % semanal ίm:.   = . ≈ .% mensual F = ... = $ ..

Al tener el interés a la misma relación de ί con n aplicamos la formula

F = Pί

Respuesta: la persona recibirá al final de los 4.5 años $ 81.377.520


Una empresa dedicada a la venta de bienes raíces desea invertir en el banco la cantidad de $250.000.000 en una inversión que la institución bancaria le ofrece, que es del 8% semestral pagadero mensual, ¿Cuánto obtendrá esta empresa si hace la inversión en un tiempo de 3 años 6 meses? F =?

n = 3.5 años ί = 8% spm

P= $ 250.000.000 Se sabe que

F = P ί

Se pasa los intereses a mensual debido que n es un exponente en la fórmula es adecuado utilizar un numero entero y no un decimal 3.5 años

X

1 año

12 meses

meses X = . años∗  año =  meses Distributing prohibited | Downloaded by Cesar Farfan ([email protected])

Como el interés que se da en el ejercicio es anual, se debe pasar la tasa de interés nominal a una tasa de interés efectiva para haber una relación homogenizada entre ί y n. ί= 8% spm

ί:  % = .% mensual

Al tener el interés a la misma relación de ί con n aplicamos la formula

F = .. . = $..

F = Pί

Respuesta: la empresa obtendrá si hace la inversión en un tiempo 3 años y 6 meses es $435.499.504


Se desea invertir la cantidad de $175.000.000 en el Banco. La inversión tendrá una duración de 2.5 años la tasa de interés corresponde al 18% anual por el primer año y de 22% anual de ahí en adelante. ¿Cuánto nos dará el banco al final del tiempo estipulado?

F =? 1 año= 12 meses

ί =18% anual

ί =22% anual

n = 2.5 años

P= $ 175.000.000 Se pasa los intereses a mensual debido que n es un exponente en la fórmula es adecuado utilizar un numero entero y no un decimal 2.5 años

X

1 año

12 meses

meses X = . años∗  año =  meses Distributing prohibited | Downloaded by Cesar Farfan ([email protected])

Como el interés que se da en el ejercicio es anual, se debe pasar la tasa de interés nominal a una tasa de interés efectiva para haber una relación homogenizada entre ί y n. En el ejercicio tenemos dos tasas de intereses una que va del punto P que es hoy hasta 1 año o 12 meses y otra tasa de interés que va del mes 13 hasta el mes 30.

ί     ί = .  = . ≈ .% mensual ί = .  = . ≈ .% mensual ίm =

Las dos tazas de interés se multiplican con el valor presente para hallar el valor que le dará el banco en el tiempo estipulado

F = Pίί Reemplazamos los valores en la ecuación:

F = .. .. = $ .. Respuesta: el banco les dará al final del tiempo estipulado $278.259.724


Se desea encontrar el monto que representan $5.500.000 por un tiempo de 3 años 10 meses a una tasa de interés del 28% anual pagadero quincenal F =?

n = 3 años y 10 meses ί = 28% apq

P= $ 5.500.000

Se sabe que

F = P ί

Primero hay que pasar el tiempo a una sola unidad de tiempo 3 años

X

1 año

12 meses

meses X =  años∗  año =  meses X= 36 meses + 10 meses = 46 meses

En el ejercicio nos dan la tasa de interés nominal debemos pasarla a una tasa de interés efectiva para haber una relación homogenizada entre ί y n.


ί: 28% apq

ί   ί:  % = .% quincenal ίm:.   = . ≈ .% F = ... = $.. ίm =

Luego reemplazamos los valores de la ecuación inicial,

Respuesta: el monto que representa $5.500.000 por 3 años y 10 meses es $16.010.454


En cuantos semestres se pueden reunir la cantidad de $75.000.000, si solamente tiene un capital de $60,000.00 y el banco le otorga por ese dinero una tasa de interés del 7.34% anual. F = $75.000.000

n =? ί = 7.34 % anual

P= $ 60.000.000

F = Pί  =  ί In FP = Inί Sabemos que

Despejando se tiene

De donde

, luego aplicamos logaritmo tenemos

    =  +ί

Como la tasa de interés está dada en término anual, pasamos la tasa de interés a semestral porque el número de periodos será en semestres. ί= 7.34 % anual

ί  

ίs=


ίs = .   = . ≈ .% semestral Se sabe que

....  n = +. = . semestres

Respuesta: los semestres que se pueden reunir $75.000.000 son 6.3 semestres


Una inversión de $ 2.000.000 se efectúa a 15 años. Durante los primeros 8 años la tasa de interés es del 4.5% Semestral efectivo. Posteriormente, la tasa desciende al 4% Semestral efectivo, durante 4,5 años. El resto del tiempo la tasa aumenta a 1,25% Mensual efectivo ¿Cuál es el monto final de la inversión realizada?

2000000

.

8 4.5%st

12.5 4%st

15 1.25%m F

Datos: P= 2000000 i = 4.5%semestral ,4%semestral,1.5%mensual n = 15 años


Como el valor de n está en años lo primero que tendremos que hacer es pasar las tasas de interés a tasa de interés anual. Utilizan las igualdades (1 +ist) ^2 = (1 + ia) Despejando la tasa de interés anual

Ia = (1 + ist) ^2 - 1 = (1+ 4.5%)^2 – 1 1 = 9.2025% anual Ia = (1 + ist) ^2 - 1 = (1+ 4%)^2 – 1 1 = 8.16% anual Con la tasa mensual despejamos la siguiente igualdad la tasa anual (1 + ia) = (1 +im) ^12

ia = (1 + im) ^2 - 1 = (1+ 1.25%)^12 – 1 1 = 16.075% anual por lo siguiente se utilizará la fórmula de fututo en interés compuesto, pero tomando en cuenta con que tasa de interés se está trabajando por su respectivo tiempo. F= p (1+i) ^n F= 2000000(1+9.2025%)^8(1+8.16%)^4.5(1+16.075%)^2.5 =

8035336.86

Por lo tanto, el monto final de la inversión es de 8035336.86


Si un apartamento se adquiere hoy por $ 180.000.000 y por efectos de la inflación y otros factores su valor aumenta a razón de un 3% anual, ¿cuánto podrá valer dentro de 15 años?

F 0.

15.

180000000

Datos: P= 180000000 i = 3%anual n = 15 años En este caso podemos ver que la tasa de interés es anual y la variable n nos la dan en años así que no es necesario cambiarla. Se pide el costo del apartamento en los próximos 15 años por lo tanto utilizaremos la fórmula de futuro F= p (1+i) ^n Como podemos ver ya tenemos todos los datos entonces simplemente remplazamos F= 180000000(1+3%)^15 =

280434135


Una persona abrió un Certificado de Depósito a Término con $ 14.200.000, los tres primeros bimestres le reconocieron el 2,8% bimestral y luego los renovó por dos trimestres más por 7% Trimestral ¿Cuánto tenía al finalizar el año?

¿F=? 2.8%b 0.

7%T 6

12.

14200000 Datos P=14200000 n = 12 meses i = 2.8% bimestral, 7%trimestral Aplicamos la siguiente formula: F= p (1+i) ^n Tenemos todos los datos que necesitamos y no es necesario cambiar ninguna tasa de interés ya que en los primeros 3 bimestres se trabaja con una tasa bimestral y en los dos siguientes trimestres se trabaja con una tasa trimestral. F= 14200000 (1+2.8%)^3(1+7%)^2 =

17661811.43

Al finalizar se va a tener un total de 17661811.43


¿Cuál es el valor presente de $ 11.800.000 que vencen dentro de 3 años, si la tasa de interés es del 3,2% bimestral? 11800000

0.

3.

P Datos: F= 11800000 i = 3.2% bimestral n = 3 años Cambiamos la tasa de interés de bimestral a anual con la siguiente igualdad (1 +ib) ^6 = (1 + ia) Despejando la tasa de interés anual Ia = (1 + ib) ^6 - 1 = (1+ 3.2%)^6 – 1 1 = 20.8% anual Despejamos p de la siguiente ecuación F= p (1+i) ^n P=

F

=

(1+i) ^n

11800000

=

6693930.585

(1+ 20.8%)^3

6693939.585 es el valor que presente que se debe para que dentro de tres años su deuda suba a 11800000.


C

Si depositamos hoy $ 12.000.000, dentro de 6 meses $ 5.320.000 y 4 meses después de realizado el anterior depósito, $ 2.800.000, ¿Cuánto se tendrá acumulado 19 meses después de efectuado el primer depósito si se reconoce el 15% semestral pagadero mensual?

F 0 12000000

6

10

5320000

2800000

19

Datos: Po = 12000000 P6=5320000 P10=2800000 i = 15% spm n=19meses en primer lugar, hay que transformar la tasa de interés a mensual, como la tenemos en semestral pagadero mensual la tenemos que cambiar a mensual pagadero mensual.


1 año = 2 semestres = 12 meses 15% s p m * 2/12 = 2.5% mpm Utilizando el modelo de la ecuación de fututo para cada uno de sus valores presentes F= p (1+i) ^n Corremos los 12 millones hasta el final del plaza, los cuales se tendrían que mover 19 meses, los 5320000 se tendrían que mover 13 meses y por último los 2800000 se moverían 9 meses. F = 12000000 (1+ 2.5%)^19 + 5320000(1+ 2.5%)^13 + 2800000(1+2.5%)^9 F=

30014297.3

Cuando se cumplan los 19 meses se tendrá un acumulado de 30014297.3


Se desea obtener al final de 6 meses $14.000.000, para ello se hace una consignación de $14.000.000 en un Banco que ofrece un rendimiento del 5.8% anual de interés.

solución: Se realiza el grafico F

Is =5.8% anual

14.000.000 

Se cambia la tasa de interés de anual a mensual efectiva, con la fórmula de igualdades:

  ,  =  im   = .   = . = ,% mensual Distributing prohibited | Downloaded by Cesar Farfan ([email protected])



Se utiliza la siguiente ecuación, en la cual se reemplazan los datos y se halla el valor futuro, es decir:

F = PI  F = .. ,  F = 14.400.328

RTA/ Realmente dentro de 6 meses se obtendrá $14.408.069 teniendo un rendimiento del 5.8% anual de interés.


Se pide un préstamo al Banco por $19,500.000 a un plazo de 10 meses con una tasa de interés del 22% anual, Cuánto dinero se debe cancelar al final del período de préstamo?

solución: Se realiza el grafico

F

Is = 22% anual

N =10 meses

19.500.000



Se cambia la tasa de interés de anual a mensual efectiva, con la fórmula de igualdades:

  ,  =  im     = .  = . = .% mensual




Se utiliza la siguiente ecuación, en la cual se reemplazan los datos y se halla el valor futuro, es decir:

F = PI   F = .. , F = 23.012.449

RTA/ Se debe cancelar al final del período del préstamo $23.012.449 por un plazo de 10 meses.


Una Compañía tiene una deuda con el Banco de $50,000.000 con un vencimiento a 3 meses, $24,000.000 con vencimiento a 6 meses y $13,500.000 a 9 meses, el interés está ya incluido, quiere reestructurar su deuda de la siguiente manera: dos pagos iguales un con vencimiento a los 6 meses y el otro a un plazo de 12 meses: Determinar el importe de cada uno de los nuevos documentos si se sabe que el Banco le ofrece un rendimiento para la reestructuración del 28%. anual pagadero quincenal.

solución: Se realiza el grafico, las deudas se colocan arriba (el valor del préstamo) y los pagos abajo, los cuales se toman como X y se toma como fecha focal 6 meses, es decir:

24.000.000

50.000.000

3 meses

6 meses

13.500.000

12 meses

9 meses

X X I: 28% APQ




Se cambia la tasa de interés de nominal a efectiva, usando el procedimiento:




I quincenal =  % = .%quincenal ,  =  im      = ,   = . = .%mensual

la siguiente formula, (

∑ FLECHAS ∑ ARRI B A = FLECHAS ABAJ O P I  

, usando

), en donde se reemplazan los datos, teniendo en

cuenta la fecha focal, es decir:

..   = X   .X .. .  ..  . X = 48.237.569

NOTA: Se dice que si la deuda o el pago está en posición de izquierda a derecha res pecto a la fecha focal que es nuestro punto de referencia, se usa la formula anterior normalmente, pero si al contrario va de derecha a izquierda, se usa la misma fórmula, pero se divide. Además, estando en la fecha focal no corre interés. RTA/ El importe de cada uno de los nuevos documentos es de $48.237.569, sabiendo que el Banco le ofrece un rendimiento del 28%. anual pagadero quincenal.


La Compañía compra artículos por $55,000.000 y le ofrecen hacer tres pagos iguales uno en 2 meses, el siguiente en 4 meses y el último a 6 meses, la empresa que se los vendió le otorgo crédito pagando al momento el 25% del valor de la mercancía y la tasa de interés que le aplica es del 14% semestral pagadero mensual. Diga usted a cuánto asciende cada documento.

Solución: se realiza el grafico, las consignaciones se colocan arriba, las cuales se toman como X, abajo (el valor del préstamo) y se toma como fecha focal 4 meses. (25%) (55.000.000)

X

X

2 meses

55.000.000



4 meses

X

6 meses

I: 14% SPM

Se cambia la tasa de interés de nominal a efectiva:

I =  % = .% mensual


NOTA: No se aplica la fórmula de igualdades, porque al dividir en los periodos de pagos la tasa, esta queda en efectiva en ese periodo.



∑FLECHAS ARRIBA = ∑FLECHAS ABAJO P I .. .  X ∗.  X  .X = ..  .


,

usando la siguiente formula, en donde se reemplazan los datos (

),

teniendo en cuenta la fecha focal, es decir:

X = 15.066.329

NOTA: Se dice que si la consignación o el valor del préstamo está en posición de izquierda a derecha res pecto a la fecha focal que es nuestro punto de referencia, se usa la formula anterior normalmente, pero si al contrario va de derecha a izquierda, se usa la misma fórmula, pero se divide. Además, estando en la fecha focal no corre interés. RTA/ Asciende cada documento a $15.066.329 teniendo la tasa del interés del 14% semestral pagadero mensual.


Claudia pretende acumular $35,000.000 y para eso 6 meses antes abre una cuenta con $7,500,000 ganando intereses del 6.63% anual. Dos meses después deposita otros $10,300.000 ¿Cuánto deberá depositar 3 meses después de la apertura para lograr su objetivo?

solución: se realiza el grafico, el futuro se coloca arriba (lo que quiere lograr), los depósitos son las flechas de abajo, el ultimo lo coloco X porque no lo conozco, y se toma como fecha focal el futuro (35.000.000).

35.000.000

6 meses

7.500.000

2 meses

3 meses

10.300.000

X

I: 6.63% anual Distributing prohibited | Downloaded by Cesar Farfan ([email protected])



Se cambia la tasa de interés de anual a mensual efectiva, usando la fórmula de igualdades:



,  =  im       = .  = . = ,% mensual ∑FLECHAS ARRIBA = ∑FLECHAS ABAJO PI


,

usando la siguiente formula, en donde se reemplazan los datos (

),

teniendo en cuenta la fecha focal, es decir:

.. = .. .   .. .  X ∗. X = 16.466.724

NOTA: Se dice que si el futuro o los depósitos están en posición de izquierda a derecha res pecto a la fecha focal que es nuestro punto de referencia, se usa la formula anterior normalmente. Además, estando en la fecha focal no corre interés. RTA/ Deberá depositar 3 meses después de la apertura para $= 16.466.724 para lograr su objetivo.


95 Ejercicios Resueltos de Intereses Compuestos

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