7. SERIES UNIFORMES O ANUALIDADES
7.1 DEFINICIÓN
Una serie uniforme ó anualidad es un conjunto de pagos iguales hechos a
intervalos iguales de tiempo. Dichos pagos pueden ser realizados cada día,
cada trimestre, cada año etc. Un caso típico de una serie uniforme es el
pago de arrendamiento, ya que cada mes se paga una cantidad igual.
El estudio de las series uniformes o anualidades es de mucha importancia en
finanzas, entre otras razones, porque es el sistema de amortización más
común en los créditos comerciales, bancarios y de vivienda. Este sistema de
pagos permite que el financiador, cada vez que recibe el pago de la cuota,
recupere parte del capital prestado.
Antes de entrar de lleno a estudiar las series uniformes ó anualidades, es
necesario definir algunos términos
Renta ó pago. Es el pago periódico y de igual valor
Período de renta: En el tiempo que transcurre entre dos pagos.
7.2 CONDICIONES PARA QUE UNA SERIE DE PAGOS SEA UNA ANUALIDAD
Para que un conjunto de pagos , se considere una anualidad debe cumplir con
las siguientes condiciones.
Todos los pagos deben ser iguales
Todos los pagos deben ser periódicos
Todos los pagos son llevados al principio ó al final de la serie, a la
misma tasa, a un valor equivalente, es decir, la anualidad debe tener un
valor presente equivalente y un valor futuro equivalente.
El número de pagos debe ser igual al número de períodos
7.3 CLASIFICACIÓN DE LAS SERIES UNIFORMES ó ANUALIDADES
a. Serie uniforme ordinaria o vencida: Cuando el pago se efectúa al final
del período. Ej: ocurre generalmente con los pagos por
electrodomésticos comprados a plazos.
b. Serie uniforme diferida: Cuando entre la fecha inicial y la
correspondiente al primer pago hay un tiempo muerto o de gracia
constituido por dos o más períodos. Ej: un préstamo bancario en el que
el pago de las cuotas se inicia un año después de recibir el
desembolso del préstamo.
c. Perpetuidad: Cuando el número de pagos es indefinido, no existe el
último pago. Ej: cuotas de mantenimiento de una carretera, como la
anualidad perpetua supone que los pagos son indefinidos, no existe
valor futuro..
d. Serie uniforme anticipada: Cuando el pago se efectúa al principio del
período. Ej: el caso más común está constituida por los pagos
mensuales de arrendamiento.
7.4 DIAGRAMA DE FLUJO CORRESPONDIENTES A LAS DIFERENTES SERIES UNIFORME.
a. Serie uniforme ordinaria o vencida
" "
b. Serie uniforme anticipada
" "
c. Perpetuidad
" "
d. Serie uniforme diferido
" "
7.5 VALOR FUTURO DE UNA SERIE Ó ANUALIDAD VENCIDA
Es un valor ubicado en la fecha del último pago, equivalente a toda la
serie de pagos iguales y periódicos
" "
F = A (1+i ) n -1
i
El valor futuro equivalente a una serie de pagos iguales vencidos queda
ubicado en la fecha en que se hace el último pago.
Ejemplo: Una corporación financiera recibe dinero al 2,5% mensual de
interés, si el inversionista promete efectuar 40 depósitos mensuales
iguales y retirar el dinero y los intereses devengados al final del mes 40.
Una persona interesada en este plan. ¿Cuánto acumularía si deposita
$100.000 mensuales al final de cada uno de los próximos 40 meses?
" "
Estableciendo una ecuación de equivalencia con fecha focal el mes 40:
F = A (1+i ) n -1 ( F = 100.000 (1+0.025)40 -1
i 0.025
F = 6´740.255,35
7.6 VALOR DE LA CUOTA EN FUNCIÓN DEL VALOR FUTURO
Conocido el valor futuro (F) equivalente a una serie de pagos iguales, la
tasa de interés periódica efectiva (i) y el número de pagos (n), se desea
calcular el valor de la cuota igual y periódica. De la fórmula anterior
despejamos el valor de A y se obtiene.
A = F i .
(1+i) n-1
Ejemplo: Una compañía de textiles posee una máquina cuya vida útil es de 15
años. Se ha previsto que el valor de la máquina en aquel entonces será de
$20.000.000, y desea establecer un sistema especial de depreciación que le
permita acumular la suma requerida para comprar la nueva máquina una vez se
haya terminado la vida útil de la existente ¿Qué suma debe destinar
anualmente si los intereses devengados por el fondo son del 27% efectivo
anual?
" "
A = F i = 20.000.000 0,27
(1+i)n-1 (1+0,27)15-1
A = 154.010,70 suma que se debe depositar anualmente si el fondo paga el
27%
anual.
7.7 VALOR PRESENTE DE UNA SERIE Ó ANUALIDAD VENCIDA
Es un valor ubicado un período anterior a la fecha del primer pago,
equivalente a una serie de pagos iguales y periódicos.
" "
P = A (1+i)n-1
i (1+i)n
El valor presente estará ubicado al principio del período en el que se hace
el primer pago (A).
Ejemplo: Una compañía de seguros ha aprobado la pensión de invalidez a uno
de sus clientes, lo cual asciende a $500.000 mensuales durante los próximos
80 meses época en la cual se espera que el asegurado deja de existir. La
compañía de seguros desea saber ¿Qué suma de dinero debe invertir hoy en un
fondo de inversión que paga el 27% efectiva anual mes anticipado para
cubrir el pago futuro?
" "
En primer lugar se debe determinar el valor de la tasa de interés efectiva
mensual ó periódica mensual.
ie = n (1+i) - (1) * 100
ie = 12 (1+0.27) - (1) * 100
ie = 2.011% periódica mensual
Estableciendo la ecuación de equivalencia con fecha focal el punto 0
P = A (1+i)n-1 = P = 500.000 (1+ 0.02011)80 -1
i (1+i)n 0.02011 (
1+0.02011)80
P = 1.980.736,3
7.8 VALOR DE LA CUOTA EN FUNCIÓN VALOR PRESENTE
Conocido el valor presente (P), la tasa de interés (i) y el número de pagos
(n) podemos calcular el valor de la cuota (A).
De la fórmula anterior despejamos el valor de (A) y se obtiene:
A = P i(1+i)n
(1+i)n-1
Ej; Un lote de terreno que cuesta $20.000.000 se propone comprar con una
cuota inicial del 10% y 12 cuotas mensuales con una tasa de interés del 2%
mensual. Calcular el valor de las cuotas?
"20.000.000 "
" "
Valor a financiar 20.000.000 – 2.000.000 = 18.000.000
A = P i(1+i)n
(1+i)n-1
A = 18.000.000 0.02 ( 1+0.02)12
(1+0.02)12-1
A = 1.702.072,74
7.9 SERIE UNIFORME Ó ANUALIDAD DIFERIDA
Es aquella en la que el primer pago se realiza unos períodos después de
efectuada la operación financiera. El momento en que queda formalizada la
operación financiera se llama Momento de Convenio. En un ejemplo de una
anualidad diferida, un préstamo bancario en el que el pago de las cuotas se
inicia un año después de recibir el desembolso del préstamo.
En las anualidades diferidas el tiempo que transcurre sin amortización de
capital se llama período de gracia o tiempo muerto. No obstante durante el
período de gracia hay causación de intereses.
En las anualidades diferidas se pueden presentar dos casos:
Cuando durante el período de gracia los intereses causados no se cancelan
periódicamente, si no que se van capitalizando. En este caso, al final
del período de gracia el capital habrá aumentado y, por lo tanto, para
calcular el valor de los pagos iguales se debe tener en cuenta este valor
equivalente.
Cuando durante el período de gracia los intereses causados se pagan
periódicamente. En este caso, al final del período de gracia el capital
inicial permanece constante.
Ejemplo del primer caso: Cuando los intereses causados no se pagan.
Se adquiere hoy un electrodoméstico financiado con 18 cuotas mensuales
iguales de $150.000 cada una, debiendo cancelar la primera cuota dentro de
5 meses. Si la operación financiera se realiza a una tasa de interés
periódica del 3% mensual. Calcular el valor del electrodoméstico
" P =? "
Se calcula al valor presente de la serie de pagos iguales.
P = A (1+i)n -1
i (1+i)n
P = 150.000 (1+0.03)18 -1
0,03(1+0,03)18
P = 2.063.026,96
El valor presente de una anualidad vencida queda ubicado al principio del
período en que se hace el primer pago, o sea, que el valor de P1 obtenido,
está ubicado en el mes 4. Como se pide calcular el valor del
electrodoméstico tenemos que calcular el valor presente en el momento cero.
Para calcular aplicamos la fórmula básica:
P = F (1+i)-n
P = 2.063.026,96 (1+0.03)-4
P = 1.832.972,73
Ejemplo del segundo caso: Cuando los intereses causados se pagan.
Cuando los intereses se pagan el valor de P1 es igual a P, ya que lo único
que hace diferente una unidad monetaria a otra es el valor de los
intereses. Como los intereses se van pagando durante el período de gracia
el valor del electrodoméstico no cambia. Es decir, para este caso, el valor
del electrodoméstico es de $2.063.026,96
Ej: Se están debiendo $3.800.000 a una tasa de interés del 2% periódica
mensual, para cancelarlos por medio de 6 cuotas mensuales iguales,
pagándose la primera 4 meses después de adquirir la obligación. Calcular el
valor de las cuotas.
" " " "F1=?" " "
"3.800.000" " " " " "
" " " " " " " "
"0 "1 "2 "3 "4 " "mese"
" " " " " " "s "
" " " " " " " "
7.12 VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA
El valor presente de una serie de pagos iguales anticipados será el valor,
que en el momento de realizada la operación financiera, sea equivalente a
toda la serie.
P = A + A (1+i)n-1 -1
i (1+i)n-1
Ej: Se tiene una obligación que un momento se había pactado cancelar con 18
cuotas iguales de $150.000 cada una por mes anticipado. Se decida a última
hora, cancelarla de contado. Si la tasa de interés acordada es del 3%
mensual. Hallar el valor?
P=? " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "
" " " " " " "0 "1 "2 "3 "4 "5 "6 "7 " " " "11 "12 "13 " " " "17 "meses " "
" "
" " " " " " " " " " " " " " " " " "
P = A + A (1+i)n-1 -1
i (1+i)n-1
P = 150.000 +150.000 (1+0.03)17-1
0.03 (1+0.03)17
P = 150.000 + 1.974.917,771
P = 2.124.917,77
Ej: El señor Pedro le financian en vehículo en Marcali Ltda., con las
siguientes condiciones. Una cuota inicial de $5.000.000, 18 cuotas
mensuales iguales de $500.000 pagadera en forma anticipada y dos cuotas
extraordinarias de $1.000.000 cada una en los meses 6 y 12, Si la tasa de
financiación es del 4% periódica mensual, se pide calcular el valor de
contado del vehículo?
P=? " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "
" " " " " " "0 "1 "2 "3 "4 "5 "6 "7 " " " "11 "12 "13 " " " "17 "meses " "
" "
" " " " " " " " " " " " " " " " " "
Se elige el momento cero como fecha focal para plantear la ecuación de
valor.
El valor del vehículo (P) será igual.
P = C.I. + VP anualidad anticipada + VPcuota 6 + VP cuota 12
C.I = $5.000.000
VP anualidad anticipada = A + A (1+i)n-1 -1
i (1+i)n-1
VP anualidad anticipada = 500.000 + 500.000 (1+0.04)17 -1
(0.04) (1+0.04)17
VP anualidad anticipada = 500.000 + 6.082.834,427
VP anualidad anticipada = 6.582.834,43
VP cuota = F (1+i)-n
VP cuota 6 = 1.000.000 (1 +0.04)-6
VP cuota 6 = 790.314,53
VP cuota 12 = 1.000.000 (1 + 0.04)-12
VP cuota 6 = 624.597,94
Conociendo el valor presente de la anualidad anticipada más el valor
presente de cada una de las cuotas extraordinarias.
El valor del vehículo (P) será igual.
P = 5.000.000 + 6.582.834,43 + 790.314,53 + 624.597,04
P = 12.997.746
Ej: El dueño de una propiedad recibe tres ofertas de compra
PRIMERA OFERTA: $32.000.000 de contado
SEGUNDA OFERTA: Cuota inicial $5.000.000, 24 pagos mensuales vencidos de
$1.500.000 y un pago único dentro de 30 meses por
$2.500.000
TERCERA OFERTA: 12 pagos mensuales anticipados de $2.500.000 y un pago
Único de $5.000.000 en el mes 18
Si la tasa de interés de oportunidad es del 2% mensual ¿Qué opción se debe
aceptar?
Las tres ofertas se deben analizar en forma independiente utilizando una
misma fecha de comparación. Como la primera oferta está en el momento cero
(precio de contado) para la solución del ejercicio elegimos está fecha
focal para las otras ofertas.
Análisis de la segunda oferta:
P=? " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "
" " " " " " "0 "1 "2 "3 " " " " " " " "23 "24 "25 " " "29 "30 "meses " " "
"
" " " " " " " " " " " " " " " " " "
La ecuación de valor se plantea de la siguiente forma:
P = C.I. + VP anualidad vencida + VP cuota 30
P = 5.000.000 + 1.500.000 (1 + 0.02)24 -1 + 2.500.000 (1+0.02)-30
(0.02 (1+0.02)24
P = 5.000.000 + 28.370.888,4 + 1.380.177,22
P = 34.751.065,62
Análisis de la tercera oferta:
P=? " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "
" " " " " " "0 "1 "2 "3 " " " " "11 "12 "13 " " " "17 "18 " "meses " " " "
" " " " " " " " " " " " " " " " " "
La ecuación de valor se plantea de la siguiente forma:
P = VP anualidad anticipada + VP cuota 18
P = 2.500.000 + 2.500.000 (1+0.02)11 -1 + 5.000.000 (1 + 0.02)-
18
0.02 (1++0.02)11
P = 2.500.000 + 24.467.120,11 + 3.500796,87
P = 30.467.916,98
Resumen de ofertas:
PRIMERA OFERTA: $3.200.000
SEGUNDA OFERTA: $34.751.065,62
TERCERA OFERTA: $30.467.916,98
Se debe aceptar la segunda oferta por tener un valor presente mayor.
7.13 VALOR DE LA CUOTA EN UNA ANUALIDAD ANTICIPADA
Corresponde al valor de la cuota, de una serie de cuotas, que se pagan al
principio del período.
Despejando A de la siguiente fórmula:
P = A + A (1+i)n-1 -1
i (1+i)n-1
P = A 1+ (1+i)n-1 -1
i (1+i)n-1
A = P .
1+ (1+i)n-1 -1
i (1+i)n-1
Ej: Se recibe un préstamo de $10.000.000 para pagarlo en 12 cuotas
mensuales iguales, pagaderas en forma anticipada. Si le cobra el 4% de
interés periódica mensual. Cuál es el valor de las cuotas?
10.000.000 " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "0 "1
"2 "3 "4 "5 "6 "7 "8 "9 "10 "11 "meses " " " "
" " " " " " " " " " " "
Para calcular el valor de las cuotas anticipadas aplicamos la siguiente
fórmula:
A = P .
1+ (1+i)n-1 -1
i (1+i)n-1
A = 10.000.000 .
1 + (1+ 0.04)11 -1
0.04 ( 1 +0.04)11
A = 1.024.540,12
Ej: Al comprar una vivienda se quedan debiendo $50.000.000 para pagarlos en
4 años con cuotas mensuales anticipadas y una cuota única al final del
plazo de $10.000.000, si la tasa de financiación es del 3% periódica
mensual.
Calcular el valor de cada una de las cuotas?
50.000.000 " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "0 "1 "2 "3
"4 "5 " " "45 "46 "47 "48 "meses " " " "
" " " " " " " " " " " "
Si elige el momento cero para plantear la ecuación de valor.
P = VP anualidad anticipada + VP 48
50.000.000 = A + A (1+0.03)47 -1 + 10.000.000 (1+0.03)-48
0.03 (1+0.03)47
50.000.000 = A + A (25, 02470) + 2.419.988,0
47.580.012 = 26.02470A
A = 1.828.263,61
7.14 VALOR FUTURO DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA
Cuando se determinó la forma de calcular el valor futuro de una anualidad
vencida, el valor futuro se encuentra en la fecha del último pago, con la
limitación que el último pago no devenga interes. Se trata ahora de
calcular el valor futuro de una anualidad en la que los pagos se hacen al
iniciarse el período.
En el flujo de caja que se aprecia a continuación el valor futuro de una
anualidad anticipada aparece un período después de realizado el último pago
lo que indica que este pago si devenga intereses.
Anualidad vencida Anualidad anticipada
" " " "F " " " " " " " " "F " " " " " " " " " " " " " " " " " " "
"0 "1 "2 "3 "4 " " " " "0 "1 "2 "3 "4 " " " " " "
" " " " " " " " " " " " " " "
Se observa que la anualidad vencida comienza con período y término con
pago, y la anualidad anticipada comienza con pago y termina con período.
F = A (1+i)n-1 (1+i)
i
F = A (1+i)n+1 - (1+i)
i
Ej: Luz María recibe al principio de cada mes la suma de $500.000 por
concepto de arriendo de una bodega de su propiedad. En el mismo momento que
recibe el pago del arriendo deposita la mitad en una cuenta de ahorros que
le reconoce una tasa de interés del 3% periódica mensual. Ella desea saber
cuánto tendrá disponible al final del año.
El flujo de caja se muestra a continuación:
" " " "F " " " " " " " " "F " " " " " " " " " " " " " " " " " " "
"0 "1 "2 "3 "4 "5 "6 "7 "8 "9 "10 "11 "12 "meses " " " "
" " " " " " " " " " " " " " "
Aplicamos la fórmula:
F = A (1+i)n – 1 (1+i)
i
F = 250.000 (1 + 0.03)12 -1 (1+ 0.03)
0.03
F = 3.548.007,39 (1+ 0.03)
F = 3.654.447,61
Si aplicamos la fórmula
F = A (1 +i)n+1 – (1+i)
i
F = 250.000 (1+0.03)13 – (1+ 0.03)
0.03
F = 3.654.447,61
EJERCICIOS PROPUESTOS
1). Una empresa comercial vende equipos de sonido con una cuota inicial de
$500.000 y 24 cuotas mensuales de $185.500. Si se carga el 30% anual con
capitalización mensual, hallar el valor de contado. Respuesta:
$3.817.664.87
2). Una persona debe pagar una cuota de $60.000 trimestrales durante 5
años. Si no efectúa los 4 primeros pagos, ¿Cuánto debe pagar al vencer la
quinta cuota, para poner al día su deuda, si la tasa de operación es del
30% anual con capitalización trimestral? Asuma que los intereses de mora
son iguales a los intereses corrientes. Respuesta: $348.503.46
3). Pedro Picapiedra debe pagar durante 10 años una cuota de $100.000
semestrales pactados al 16% semestral. Al efectuar el noveno pago, desea
liquidar su saldo con un pago único ¿Cuánto debe pagar en ese momento para
liquidar su deuda? Respuesta: 502.864,44
4). Calcular el valor futuro y el valor presente de la siguiente serie de
pagos:.
a) 12 pagos mensuales de $100.000 cada uno a una tasa de interés del 36%
CM
b) 18 pagos trimestrales anticipados de $200.000 cada uno a una tasa del
9,0% trimestral
Respuesta: a) F=1.419.203 P=$995.400 b) F=9.003.692 P=1.908.726
5). Calcular el valor de contado de un equipo industrial comprado así:
$150.000 de cuota inicial y 12 pagos trimestrales de $80.000, a una tasa de
interés del 40% anual capitalizable trimestralmente. Respuesta: $
695.095,34
6). Calcular el valor de los depósitos semestrales necesarios en una cuenta
de ahorros que paga el 30% anual con capitalización semestral, para tener
en 5 años un capital de $19.560.000. Respuesta: $963.370.34
7). Hallar el valor futuro equivalente de la siguiente combinación de
pagos, utilizando la tasa de interés igual al 2% periódica mensual. Un pago
de $5.000 vencido el tercer mes, un pago de 18.000 vencido el 5 mes, un
pago de $45.000 al principio del mes 7, y una anualidad de $25.000 que se
inicia al finalizar el período 9 y termina en el período 17. Respuesta:
$329.243.30
8). Una entidad financiera le ofrece un préstamo de $1.000.000 a 3 años, a
una tasa de interés del 34% capitalizable trimestralmente, y usted puede
cancelarlo por medio de cuotas mensuales iguales.
a) Halle el valor de cada cuota
b) Si después de pagar la cuota No. 30, usted decide cancelar el saldo
con un solo pago único. ¿de cuánto debe ser ese pago? Respuesta: a)
$44.155.88 b) $241.238.25
9). Un terreno que vale de contado $25.000.000 se va a financiar de la
siguiente forma: cuota inicial igual al 8%, 36 cuotas mensuales iguales
pagaderas en forma anticipada y una cuota extraordinaria final del mes 18
de $2.500.000. Si la tasa de interés que le cobran es del 26% anual
capitalizable mensualmente, calcular el valor de las cuotas. Respuesta.
$840.006.558
10). El propietario de una casa tiene las siguientes alternativas:
a) Venderla hoy de contado por $44.500.000
b) Arrendarla por $400.000 mensuales vencidos durante 3 años, cuando la
espera vender en $36.800.000
Si la tasa de interés es del 48% anual capitalizable mensualmente, ¿Cuál
decisión debe tomar? Respuesta: aceptar la primera alternativa
11). Usted desea comprar un vehículo que vale de contado $25.000.000. El
concesionario acepta financiarlo con una cuota inicial y 36 cuotas
mensuales iguales, cobrando una tasa de interés del 3.5% periódica mensual.
Usted solamente dispone de $600.000 mensuales. Calcule el valor de la cuota
inicial. Respuesta. $12.825.703.71
13). Calcular el valor de contado de un activo que financiado se puede
adquirir así: cuota inicial equivalente al 20% del valor de contado y 24
cuotas mensuales de $800.000, más una cuota extraordinaria de $2.000.000
pagadera en el mes 6. La tasa de interés cobrada por la financiación es del
30% anual capitalizable mensualmente. Respuesta:$ 20.040.728
14). Calcular el valor de contado de una propiedad vendida en las
siguientes condiciones: $3.000.000 pagados en el día de hoy; $150.000 por
mensualidades vencidas durante 2 años, y un último pago por $350.000 un mes
después de pagada la última mensualidad. Para el cálculo utilice el 36%
anual con capitalización mensual. Respuesta: $5.707.493.27
15). Hoy adquiere un equipo de sonido y se compromete a cancelarlo con 18
cuotas mensuales anticipadas, cada una por valor de $85.000. Si le cobran
una tasa de interés del 3% mensual, ¿Cuánto le cuesta el equipo de contado?
Respuesta: $1.204.120.07
16). Si desea comprar una nevera. El cliente se encuentra ante dos
opciones:
a) Compra a crédito bajo las siguientes condiciones: cuota inicial de
$350.000 más 12 cuotas mensuales anticipadas de $100.000
b) Compra de contado por $1.400.000
El rendimiento del dinero es del 4% periódica mensual. ¿Cuál opción le
conviene más al cliente? Respuesta: primera opción
17). El Banco Ganadero le concede un préstamo de $10.000.000 a una tasa del
36% C.T. vencido. Usted consigue un período de gracia de un año, durante el
cual el banco le cobra el 2,5% mensual de intereses y los intereses no se
pagan, sino que se capitalizan. El préstamo tiene un plazo de 3 años,
incluido el período de gracia, y se va a cancelar en cuotas trimestrales.
Calcule el valor de cada cuota. Respuesta: $2.429.869,52
-----------------------
A = 750.000 X =?
A A A A
A = 150.000
A = 500.000
5.000.000 1.000.000 1.000.000
5.000.000 A = 1.500.000
2.500.000
A = 2.500.000
5.000.000
A =?
A =? 10.00.000
A
A = 250.000
ࠀ࠳ଓଠେஇெ൹ූ๗ིཿ။ၦჭᅣᅲᆁᆅᆇᆉᆊᆌᆍᆘᆙᆛᆞᆟᆫቝቼኋኌኒናኛኜኞኢኣእኦኸኻኼወ፹፺፻ᎊ᎙ᎨᎩᎫᎯᎱᎻᎽᏁᏂ
쯶쯫쯫뷫 뗶 쯫쯫쯫 Ëᔏ ᘀ歨൷㔀脈̚jᘀ歨൷唀Ĉ䡭Ѐ䡮Ѐࡵ
̨jᔀ 㕽ᘀ歨൷䌀၊唀Ĉ䩡䡭Ѐ䡮Ѐࡵᔔ 㕽ᘀ歨൷䌀၊愀၊ᔔ 㕽ᘀ歨൷䌀ي愀يᘆ歨൷ᘉ歨൷
-----------------------
MATEMATICA FINANCIERA
Sexto Semestre
Facultad de Contaduría
Ing. Luis Alberto García
