UNIDAD 6 SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES 6.1 MÉTODOS DE UN PASO Se dice que una ecuación diferencial es cualquier ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes, y se representa de la siguiente forma: y ′ = f ( x, y )
Los métodos de un paso tienen como objetivo obtener una aproximación de la solución de un problema planteado de valor inicial en cada punto, basándose en el resultado obtenido para el punto anterior. Los métodos de un paso que se presentan en este tema son los siguientes: • • •
étodo de !uler. étodo de !uler mejorado "étodo de #eun$. étodo de %unge&'utta.
METODO DE EULER !ste método se utili(a para encontrar la solución a ecuaciones diferenciales ordinarias "!)*$, esto es, cuando la función fun ción involucra solo una variable independiente: y ′ = f ( x, y )
!l método se basa de forma general en la pendiente estimada de la función para extrapolar desde un valor anterior a un nuevo valor:
+uevo valor -alor anterior pendiente / tama0o de paso !n términos matemáticos es, yi +1 = y i + φ h
)e esta manera, la formula, se aplica paso a paso para encontrar un valor en el futuro y as1 tra(ar la trayectoria de la solución.
!l método de !uler utili(a la pendiente al inicio del intervalo como una aproximación de la pendiente promedio sobre todo el intervalo. La primera derivada ofrece una estimación directa de la pendiente en 2i φ = f ( xi , y i )
)onde
f ( xi , yi )
es la ecuación diferencial evaluada en
La estimación se sustituye en la ecuación quedar1a: y 0 i +1 = y i + f ( xi + y i ) h
y i +1 = yi + φ h
xi
y
yi
.
, entonces
!sta fórmula se conoce como método de !uler. Se predice un y
nuevo valor de
usando la pendiente "igual a la primera
derivada en el valor original de sobre todo tama0o de paso 3.
x
$ para extrapolar linealmente
Ejemplo: con el método de !uler integre numéricamente la ecuación dy dx
3
2
= −2 x + 12 x − 20 x + 8.5
desde x4 3asta x5 con una tama0o de paso 4.6. La condición inicial en x4 es y7. La solución exacta esta dada por la ecuación: y = −0.5 x 4 + 4 x 3 − 10 x 2 + 8.5 x + 1
Soluci!: Se utili(a la ecuación método de !uler:
y i +1 = yi + f ( xi + yi ) h
para implementar el
y( 0.5) = y ( 0 ) + f ( 0,1)0.5 y ( 0 ) = 1
donde
ya la pendiente estimada en
x = 0
es:
f ( 0,1) = −2( 0 ) + 12( 0) − 20( 0) + 8.5 = 8.5 3
2
8or lo tanto, y ( 0.5) = 1.0 + 8.5( 0.5) = 5.25
La solución verdadera en 4
3
x = 0.5
es:
2
y = −0.5( 0.5) + 4( 0.5) − 10( 0.5) + 8.5( 0.5) + 1 = 3.211875
9s1, el error es: E t = valor verdadero − valor aproximado = 3.21875 − 5.25 = −2.03125
!xpresada como error relativo porcentual, segundo paso, y (1) = y ( 0.5) + f ( 0.5, 5.25) 0.5
[
= 5.25 + − 2( 0.5) + 12( 0.5) = 5.875
3
2
]
− 20( 0.5) + 8.5 0.5
ε t = −63%
.!n el
La solución verdadera en y entonces, el error relativo porcentual es de
x = 1.0
− 95.8%
es
3.0
.
MÉTODO DE EULER ME"ORADO #MÉTODO DE $EUN%. !s un método para mejorar la estimación de la pendiente emplea la determinación de dos derivadas en el intervalo, una en el punto inicial y otra en el punto nal. Las dos derivadas se promedian después con la nalidad de obtener una mejor estimación de la pendiente en todo el intervalo. !n el método de !uler la pendiente al inicio de un intervalo es: y ′ = f ( x i , y i )
La cual se usa para extrapolar linealmente a
y i +1
y 0 i +1 = y i + f ( xi , y i ) h
y i +1
!n el método de #eun la es una predicción intermedia conocida como ecuación predictor. !sta permite la estimación de la pendiente al nal del intervalo. y i′+1
=
f ( xi +1 , y 0 i +1
Las dos pendientes calculadas, al inicio y al nal del intervalo se pueden combinar para obtener una pendiente promedio para el intervalo y ′ =
yi′ + y i′+1 2
=
f ( xi , yi ) + f ( xi +1 , y 0 i +1 ) 2
!stá pendiente promedio se utili(a después para extrapolar yi
linealmente desde 3asta yi +1 = yi +
f ( xi , yi ) + f ( xi +1 , y 0 i +1 ) 2
y i +1
con el método de !uler
h
Se conoce como ecuación correctora o corrector. !l método de #eun es un procedimiento predictor&corrector, el método de #eun es el ;nico método predictor&corrector de un solo paso. y 0 i +1 = y i + f ( xi , y i ) h
8redictor,
yi +1 = yi +
f ( xi , yi ) + f ( xi +1 , y 0 i +1 ) 2
h
MÉTODO DE RUN&E'(UTTA. Los métodos de %unge&'utta "%'$ logran la exactitud del procedimiento de la serie de =aylor sin necesitar el cálculo de derivadas de orden superior. !xisten muc3as variantes, pero todos tienen la forma generali(ada de la ecuación: y i +1 = y i + φ ( xi + y i , h ) h φ ( xi , yi , h )
)onde se conocen como función incremento, la cual puede interpretarse como una pendiente representativa en el intervalo. La función incremento se escribe en forma general como: φ = a1 k 1 + a 2 k 2 + + a n k n
)onde las a son constantes y las > son k 1 = f ( xi , y i ) k 2 = f ( xi + p1 h, y i + q11 k 1 h ) k 3 = f ( xi + p 2 h, y i + q 21k 1 h + q 22 k 2 h )
k n = f ( xi + p n 1 h, y i + q n −
k h + q n
1,1 1
−
1, 2
−
k 2 h + + q n
1, n −1
−
k n 1h ) −
)onde las p y las q son constantes. Se debe observar que las > son relaciones de recurrencia. !s decir, > 7 aparece en la
ecuación >?, la cual aparece en la > @, etc. es una evaluación funcional, esta recurrencia vuelve ecientes a los métodos %' para cálculos en computadoras. !s posible tener varios tipos de métodos de %unge&'utta empleando diferentes n;meros de términos en la función incremento especicada por n. !l método de %unge&>utta de primer orden n7, es en si el método de !uler. ás adelante los métodos de %' de segundo orden usan la función incremento con dos términos n?. !sos métodos de segundo orden serán exactos si la solución de la ecuación es cuadrática.
METODO DE SE&UNDO ORDEN La versión de segundo orden de la ecuación es:
y i +1 = y i + φ ( xi + y i , h ) h
y i +1 = y i + φ ( a1 k 1 + a 2 k 2 ) h
)ónde: k 1 = f ( xi , y i ) k 2 = f ( x i + p1 h, y1 + q11 k 1 h )
a1 , a 2 , p1 , q11
Los valores de y i 1 = y i + φ ( a1 k 1 + a 2 k 2 ) h +
se eval;an al igualar la ecuación
con la expansión de la serie de =aylor 3asta el término de segundo orden.
