สอวน วิชา คณิตาสตร์ (ศูนย์ ม.อ.)
ชุมนุมอัจฉริยภาพคณิตศาสตร์ ม. ต้น
ตอนที่ 1 ข้ อสอบแบบเติมเฉพาะคาตอบ 30 ข้ อ ข้ อละ 3 คะแนน + 1. ค่า ที่ทาให้ =
2. กาหนดให้ (
) เป็ นคาตอบของระบบสมการ
3. จานวนของตัวประกอบทีเ่ ป็ นบวกทังหมดของ ้
4. ถ้ า
(
) =
5. รากที่สามของ
=8
(
วันเสาร์ ที่ 23 สิงหาคม 2557 เป็ นเท่าใด
+
และ
= 45
)
แล้ วค่า
มีคา่ เป็ นเท่าใด
(
(
)
ค่า
เป็ นเท่าใด
เป็ นเท่าใด
)
เป็ นเท่าใด
1
ชุมนุมอัจฉริยภาพคณิตศาสตร์ ม. ต้น
6. กาหนดให้ ค่าของ
( )
สอวน วิชา คณิตาสตร์ (ศูนย์ ม.อ.)
วันเสาร์ ที่ 23 สิงหาคม 2557
=
เป็ นเท่าใด
7. กาหนดให้ เป็ นเลขหลักหน่วยของ เป็ นเท่าใด
และ เป็ นเลขหลักหน่วยของ
แล้ วหลักหน่วยของ
(
)
2
สอวน มอ (ส.ค. 2557)
8. ถ้ า
=
=
=…
= 15
9. ผลบวกของจานวนเฉพาะที่หาร
แล้ วค่าของ
… …
เป็ นเท่าใด
ลงตัวเป็ นเท่าใด
10. กาหนดให้ = โดยที่ และ เป็ นจานวนเฉพาะที่แตกต่างกัน ให้ เป็ นจานวนเต็มบวกที่หาร ลง คือ แล้ วค่าของ เป็ นเท่าใด ตัว ถ้ าผลรวมทังหมดของ ้ คือ 3,024 และผลรวมทังหมดของ ้
3
4
สอวน มอ (ส.ค. 2557)
11. จานวนที่อยูใ่ นรูปเศษส่วนอย่างตา่ เป็ นจานวนเต็ม มีทงหมดกี ั้ ่จานวน
=
โดยที่
เป็ นจานวนเต็มบวก ที่ทาให้ 60 เป็ นจานวนเต็ม และ
12. กาหนดให้ เป็ นจานวนเต็มบวกที่น้อยที่สดุ ซึง่ เมื่อหารด้ วย 10 เหลือเศษ 8 และเมื่อหารด้ วย 8 เหลือเศษ 6 และ เมื่อหารด้ วย 6 จะเหลือเศษ 4 เมื่อหารด้ วย 4 เหลือเศษ 2 และเมื่อหารด้ วย 2 เหลือเศษ 0 จานวนที่มากที่สดุ ที่เป็ น ตัวหารของ แต่น้อยกว่า เท่ากับเท่าใด
13. กาหนดให้ เป็ นจานวนเต็มที่มี 10 หลัก และประกอบไปด้ วยเลขโดดเพียง 2 ตัว คือ 4 และ 9 เช่น 4499449949, 94949494 ฯลฯ จานวน ที่น้อยที่สดุ ทีหารด้ วย 6 ลงตัวมีคา่ เป็ นเท่าใด
สอวน มอ (ส.ค. 2557) ) ให้ 14. สาหรับจานวนเต็มบวก และ ใดๆ กาหนดให้ = ( ค่าเฉลีย่ ของค่าสูงสุดกับค่าตา่ สุดของสมาชิกในเซต มีคา่ เป็ นเท่าใด
={
|
=
5
}
แล้ ว
15. กาหนดให้ และ เป็ นจานวนเต็ม และนิยามให้ เป็ นเศษเหลือจากการหารผลคูณของ กับ ด้ วย 5 พิจารณาสาหรับ = {0, 2, 4, 6} และ = {1, 3, 5, 7} ถ้ า = { ∈ | = } ={ ∈ | = และ ∈ } ผลบวกของจานวนสมาชิกในเซต และ เป็ นเท่าใด
16. สินค้ า A ติดราคาขายไว้ 13,500 บาท สินค้ า B ติดราคาขายไว้ 10,000 บาท ราคาทังสองของสิ ้ นค้ านี ้รวม ภาษี มลู ค่าเพิม่ 7% แล้ ว เมื่อหักภาษี จากสินค้ า A ผู้ขายได้ กาไร 20% และได้ กาไรจากสินค้ า B 15% ราคาต้ นทุน ของสินค้ าทังสองชนิ ้ ดรวมกันเป็ นเท่าใด
6
สอวน มอ (ส.ค. 2557)
17. นมผสมปริ มาณ 10 ลิตร มีสว่ นประกอบของน ้านม 50% น ้าผลไม้ 30% และน ้าตาล 20% ถ้ าต้ องการปรับ ส่วนผสมใหม่แต่คงปริ มาณนมผสมเท่าเดิม 10 ลิตร โดยการลดปริ มาณน ้าผลไม้ และน ้าตาลไม่ตา่ กว่า 15% และ 10% ตามลาดับ อยากทราบว่าปริ มาณน ้านมสัดส่วนใหม่ตา่ งจากสัดส่วนเดิมกี่ลต ิ ร
18. ผู้รับเหมาทาสีบ้านหลังหนึง่ จ้ างคนงานผู้ชาย 5 คน และ ผู้หญิง 2 คน จะทาสีเสร็ จในเวลา 14 วัน ถ้ าจ้ างคนงาน ผู้ชาย 3 คน และผู้หญิง 5 คน จะทาสีเสร็ จในเวลา 17 วัน ถ้ าจ้ างคนงานผู้ชาย 4 คน และผู้หญิง 5 คน จะทาสีเสร็ จ ในเวลากี่วนั
19. ในงานแต่งงานของเจ้ าบ่าวเจ้ าสาวคูห่ นึง่ มีคนในงานทังหมด ้ 50 คน เจ้ าของงานได้ ให้ หมายเลขตังแต่ ้ 3 ถึง 50 แก่ แขกที่มาร่วมงาน โดยเจ้ าบ่าวเองเป็ นหมายเลข 1 ส่วนเจ้ าสาวเป็ นหมายเลข 2 โดยกาหนดให้ ผ้ รู ่วมงาน รวมทัง้ เจ้ าบ่าวเจ้ าสาวเอง ทักทายจับมือกันได้ ด้วยเงื่อนไขต่อไปนี ้ คนที่มีหมายเลข จะจับกับคนทีม ่ ีหมายเลข + 1 สาหรับ = … 9 คนที่ 50 จับกับคนที่ 1 คนที่มีหมายเลขคูจ่ ะต้ องจับกับคนที่มีหมายเลขมากกว่าตัวเองทังหมดเสมอ ้ เมื่อทุกคนจับมือกันครบตามเงื่อนไขแล้ ว อยากทราบว่าในงานนี ้จะมีการจับมือทักทายกันทังหมดกี ้ ่ครัง้
สอวน มอ (ส.ค. 2557)
20. กาหนดให้
(
)= ( )
ถ้ า
( )
21. กาหนดให้
เป็ นพาราโบลาที่มีสมการ = = ถ้ า เป็ นจุดยอดของ แล้ ว รูปสีเ่ หลีย่ ม มีพื ้นที่เท่ากับเท่าใด
,
( ) = 12
แล้ วค่าของ
7
( ) เป็ นเท่าใด
และ เป็ นพาราโบลาที่มีสมการ เป็ นจุดยอดของ โดยที่ และ เป็ นจุดตัดของ
และ
22. กาหนดให้ เป็ นผลบวกของจานวนจริ งสองจานวน โดยทีจ่ านวนแรกแปรผันตรงกับ จานวนที่สองแปรผกผันกับ และมีเงื่อนไขว่า เมื่อ = 1 จะได้ = 7 และเมื่อ = 2 จะได้ = ถ้ า = 5 แล้ ว มีคา่ เป็ นเท่าใด
8
สอวน มอ (ส.ค. 2557)
23. กาหนดให้ = 0 1 ∘ 3 ⨂ 4 ⨁ 2 เมื่อ เท่ากับ เป็ นเท่าใด
, ∘, ⨂, ⨁
เป็ นตัวดาเนินการบวกหรื อลบก็ได้ ความน่าจะเป็ นที่ มีคา่
24. สีเ่ หลีย่ มคางหมู ABCD มี AB // CD โดยที่ AD = CD = BC และ เท่าใด
3B ̂ D = B ̂ D
ขนาดของมุม ĈD เป็ น
D
25. จากรูปที่กาหนดให้ ถ้ าอัตราส่วนของเส้ นรอบรูป ∆TBC กับ ∆DAT เป็ น 1:2 แล้ วความยาวของ AB เป็ นเท่าใด
4√ C
A
60°
T
30°
B
สอวน มอ (ส.ค. 2557)
26. กาหนดให้ วงกลม O มี AB เป็ นเส้ นผ่านศูนย์กลาง และ C เป็ นจุดบนเส้ นรอบวง ถ้ าลากเส้ นจากจุด C พบส่วนต่อ ของเส้ นตรง BA ที่จดุ E และ EC ตัดวงกลมทีจ่ ดุ D ถ้ า DE = OA แล้ วอัตราส่วนของ C ̂ B : D̂A เป็ นเท่าใด
G
27. กาหนดให้ ลกู บาศก์ ABCDEFGH โดยมี BG, DG และ BD เป็ นเส้ น ทแยงมุมของรูปเหลีย่ ม BFCG, CDHG และ ABCD ตามลาดับ ถ้ า AB = 4 แล้ วพีระมิดที่มี C เป็ นจุดยอด และมี ∆BDG เป็ นฐาน มี พื ้นที่ผิวเป็ นเท่าใด
F
E
D
C B
28. จากรูป ∆Q เป็ นสามเหลีย่ มมุมฉาก โดยมีด้าน Q และ Q ยาว 2 และ 7 หน่วยตามลาดับ ต่อขยายส่วนของเส้ นตรง Q และ Q ออกไปทีละ 1 หน่วยออกไปเรื่ อยๆ ทาให้ ได้ สว่ นของเส้ นตรง ยาว หน่วยสาหรับทุกค่า และ ยาว หน่วย สาหรับทุกค่า ค่า ที่ทาให้ สเี่ หลีย่ ม มีพื ้นที่เป็ น 2014 ตารางหน่วยเป็ นเท่าใด
H
⋮
Q
A
9
10
สอวน มอ (ส.ค. 2557)
29. ลูกเต๋ามีลกั ษณะเป็ นรูปลูกบาศก์ มี 6 หน้ า แต่ละหน้ ามีบอกแต้ มบนหน้ าลูกเต๋าตังแต่ ้ 1 ถึง 6 ดังรู ป ในการโยนลูกเต๋า 2 ลูก สีแดงกับสีน ้าเงินพร้ อมกัน ให้ แทนผลรวมของแต้ มบน หน้ าลูกเต๋า โดย เป็ นจานวนกาลังสองสมบูรณ์ถ้า √ เป็ นจานวนเต็ม ความน่าจะเป็ นที่ ผลบวกของแต้ มบนหน้ าลูกเต๋มเป็ นจานวนกาลังสองสมบูรณ์เป็ นเท่าใด
30. จากการเก็บข้ อมูลของสถานีตารวจแห่งหนึง่ เกี่ยวกับจานวนของอุบตั ิเหตุที่ เกิดขึ ้นบริ เวณสีแ่ ยกซึง่ ถนนสองสายมาตัดกัน จากรูป A, B, C, X, Y, Z เป็ น ชื่อถนน ส่วนตัวเลขคือจานวนครัง้ ของอุบตั เิ หตุทเี่ กิด เช่น 8 เป็ นจานวนครัง้ ของอุบตั ิเหตุที่เกิดบนถนนสาย A และสาย X ความน่าจะเป็ นของอุบตั ิเหตุ ที่เกิดขึ ้นบนถนน A หรื อ ถนน Z เป็ นเท่าใด
A
8
5
6
B
7
5
4
3
3
5
X
Y
Z
C
สอวน มอ (ส.ค. 2557)
ตอนที่ 2 ข้ อสอบแบบแสดงวิธีทา 2 ข้ อ ข้ อละ 5 คะแนน 1. กาหนดให้ ABC เป็ นสามเหลีย่ มที่มี AE, BF และ CD เป็ นเส้ นมัธยฐาน โดยที่ FH = AE และ FH // AE ต่อ BH และ HE จงพิสจู น์วา่ BH = DC
C
H
F
A
11
E
D
B
2. ถังใส่ไอศกรีมรูปทรงกระบอกรัศมีฐาน 10 เซนติเมตร แช่อยูใ่ นถังรูปลูกบาศก์สงู 20 เซนติเมตร โดยที่ถงั ทังสองมี ้ ความสูงเท่ากัน ถ้ าปรากฏว่าน ้าแข็งที่อยูใ่ นถังแช่ละลายเป็ นน ้า และมีปริ มาตรเท่ากับปริ มาตรของไอศกรี มที่เหลืออยู่ ครึ่งถัง จงหาว่าระดับน ้าในถังแช่สงู กี่เซนติเมตร (ตอบติดค่า )
12
สอวน มอ (ส.ค. 2557)
เฉลย 1. 146 2. 9 3. 64 4. 121 5. 101 6. 0.25 7. 4 8. 10
9. 282 10. โจทย์ผิด 11. 45 12. 59 13. 4,444,444,494 14. 2172.5 15. 5 16. ≈ 18640.80
17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24.
25. 26. 27. 28. 29. 30. 1. 2.
0.65 14 626 10√ 11 22.5
4 + 2√ 3:1 24 + 8√ 2010
-
แนวคิด 1. 146 = 4× + = 4× + +2× = (4 + 1 + 2) = ดังนัน้ = 146
2.
+2× ( ) =
9 (
=
ดังนัน้ ดังนัน้
)=
9(
)
→
=
=
( → (
)( )
(
(
) =
)(
นล )
นล
= (
จากสูตรจานวนตัวประกอบ จะได้ จานวนตัวประกอบ 4. 121 แทน = 0 จะได้
(
แทน
(
=1
จะได้
) = =
(
)
256
) = =
(
)
0
+
(
) (
ล
= (น
) =
= (
) =
= (3 + 1)(3 + 1)(3 + 1) = (4)(4)(4) = 64
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) +
) = (
(
) = 9(
ล) ได้
+
= 11
)
)( = 25
= 0
5. 101 สังเกตว่า เข้ าสูตรกาลังสามสมบูรณ์ น )
) = (
→
+
แทน = 256 จะได้ ลบ 11 ตลอด จะได้ ( ดังนัน้
= (
)(
( ) = 9
=
3. 64 สังเกตว่า เข้ าสูตรกาลังสามสมบูรณ์ น =
) = (
)(
นล )
(
นล ) = (
ล
) = 121
= (น )
ล) ได้
)
สอวน มอ (ส.ค. 2557)
จะได้ รากที่สาม 6.
=
=
=
13
101
0.25 =
(
=
)
( )(
( ( )(
)
จะเห็นว่า จับคู่ 1 กับ 99 โดย
( )(
)
( )(
=
)( )
( )(
)
(
(
)
( )(
)
)
=
)( )
(
)
( )(
( )( ( )(
)
=
) ( )(
=
2
)( )
)
)
( )(
)
( )( ) ( )( ))
(
=
)
ที่มีสว่ นเท่ากันได้ (เหลือ 50 ไม่มีค)ู่
( )(
(
=
(
)
9 กับ 51
…
)
( )(
)
( )(
( )(
=
ทานองเดียวกัน
)
, 2 กับ 98 , 3 กับ 97 (
)
(
)
)
=
(
(
) ( )( (
=
( )( ( )( ( )(
รวมกับตัวไม่มคี สู่ องตัว คือ
=
จะได้
= 2
1
2 =
1
ดังนัน้
และ
1
( ) =( ) =
)
)
)
→
=
( )( )
= 2
จะเห็นว่า กลุม่ เลขคี่ จะได้ 2 และกลุม่ เลขคู่ จะได้ 2 → หักกันเป็ น 0 พอดี เนื่องจาก … 9 มีเลขคี่มากกว่าเลขคูอ่ ยู่ 1 ตัว ดังนัน้ จะหักกันเหลือกลุม ่ เลขคี่ 1 กลุม่ =
) ( )(
)) )
=
2
ได้ ผลรวม = 2 =
= 0.25
7. 4 ลองแทน = … ใน ดู จะพบว่าหลักหน่วยของ คือ 9 9 … → วนซ ้าทุกๆ 4 ตัว เนื่องจาก 238 หารด้ วย 4 เหลือเศษ 2 ดังนัน้ หลักหน่วยของ คือ 9 → = 9 ส่วนหลักหน่วยของ คือ … → วนซ ้าทุกๆ 4 ตัว เนื่องจาก 2537 หารด้ วย 4 เหลือเศษ 1 ดังนัน้ หลักหน่วยของ คือ → = 2 ) จะได้ ( ) = (9 = → จะหาหลักหน่วยได้ จากหลักหน่วยของ และหลักหน่วยของ คือ … → วนซ ้าทุกๆ 4 ตัว เนื่องจาก 2014 หารด้ วย 4 เหลือเศษ 2 ดังนัน้ หลักหน่วยของ คือ 4 = หลักหน่วยของ 8. 10 จะได้ แทนใน
= 15
,
= 15
…
=
… …
จะได้ =
9.
(
)
(
)
(
) …
(
)
… ( (
… …
) )
=
= 10
282 =( = (257)(
จะได้ คาตอบ
)(
) = ( )( )( ) →
)(
)(
เป็ นจานวนเฉพาะทุกจานวน
= 257 + 17 + 5 + 3 = 282
) = (
)(
)(
)(
)
14
สอวน มอ (ส.ค. 2557)
10. โจทย์ผิด จานวนเต็มบวกที่หาร ลงตัว จะมี 1 , , , ดังนัน้ = …( ) และ = …( ) จาก (2) จะได้ = → แทนค่าจาก (1) ได้ = → = 2(1007) แต่เนื่องจาก 1007 = 19 × 53 ดังนัน้ 2(1007) จะไม่สามารถเขียนเป็ นจานวนเฉพาะ 2 จานวนคูณกันได้ ดังนัน้ ข้ อนี ้ โจทย์ผิด หมายเหตุ : แต่ถ้ายอมให้ 1007 เป็ นจานวนเฉพาะ จะตอบ = 2 + 1007 = 1009 11.
45
จะเป็ นจานวนเต็มได้ แสดงว่า และ ต้ องหาร 60 ลงตัว เนื่องจาก 60 = จะได้ วา่ และ จะมีตวั ประกอบ 2 ได้ ไม่เกิน 2 ตัว มี 3 และ 5 ได้ ไม่เกิน 1 ตัว และห้ ามมี ตัวประกอบอื่น เนื่องจาก เป็ นเศษส่วนอย่างต่า ดังนัน้ และ ห้ ามมีตวั ประกอบซ ้ากันด้ วย จะเห็นว่า จานวนแบบของ และ จะเท่ากับ จานวนแบบในการแจก 2, 2, 3, 5 ให้ และ โดยไม่จาเป็ นต้ องแจก 60 =
และ
=
→
หมดทุกตัว (เช่น ถ้ า ได้ 2 สองตัว และ ได้ 5 จะได้ = = ) ซึง่ จะแบ่งขันตอนได้ ้ ดงั นี ้ ขันที ้ ่ 1: แจก 3 → จะเลือกให้ หรื อ ให้ หรื อ ไม่แจก → รวม 3 แบบ ขันที ้ ่ 2: แจก 5 → จะเลือกให้ หรื อ ให้ หรื อ ไม่แจก → รวม 3 แบบ ขันที ้ ่ 3: แจก 2 → จะเลือกให้ ได้ 2 แบบ (คือ ให้ หรื อ ) หรื อให้ ได้ 2 แบบ (คือให้ หรื อไม่แจก 1 แบบ → รวม 2 + 2 + 1 = 5 แบบ รวมทุกขันตอน ้ จะได้ จานวนแบบ = 3 × 3 × 5 = 45 แบบ
หรื อ )
12. 59 จะเห็นว่า ตัวหารจะมากกว่าเศษอยู่ 2 เสมอ ดังนันถ้ ้ าเอาตัวหารไปหาร + 2 จะทาให้ เศษเพิ่ม 2 กลายเป็ นหารลงตัว นัน่ คือ + 2 จะหารด้ วย 10, 8, 6, 4, 2 ลงตัว → + 2 น้ อยสุด = ค.ร.น. 10, 8, 6, 4, 2 = = 120 ดังนัน้ น้ อยสุด = 120 – 2 = 118 ตัวหารมากสุดของ ที่น้อยกว่า จะต้ องหาร แล้ วได้ ผลหารน้ อยที่สดุ แต่ > 1 → ผลหาร = 2 จะได้ ตวั หารมากสุดที่น้อยกว่า คือ = 59 13. 4,444,444,494 หารด้ วย 6 ลงตัว = หารด้ วย 2 และ 3 ลงตัว หารด้ วย 2 ลงตัว = หลักสุดท้ ายเป็ นเลขคู่ → หลักสุดท้ ายต้ องเป็ น 4 หารด้ วย 3 ลงตัว = ผลบวกเลขโดดทัง้ 10 หลักต้ องหารด้ วย 3 ลงตัว → ต้ องการ น้ อยสุด ต้ องให้ มี 4 เยอะๆ 9 น้ อยๆ → มี 9 หลักเดียว มี 4 เก้ าหลัก ได้ ผลบวกเลขโดด = 9(1) + 4(9) = 45 หารด้ วย 3 ลงตัว ดังนัน้ น้ อยสุด คือ 4,444,444,494
สอวน มอ (ส.ค. 2557)
14. 2172.5 ) = 66 หา ที่ = 66 ก่อน → ( เนื่องจาก เป็ นจานวนเต็มบวก จะได้ < เสมอ จะเห็นว่า 66 แยกเป็ นสองตัวคูณกัน โดยที่ตวั หน้ าน้ อยกว่าตัวหลัง ได้ = 1(66) , 2(33) , 3(22) , 6(11) ดังนันจะได้ ้ ( ) ที่เป็ นไปได้ ทงหมดคื ั้ อ (1, 65) , (2, 31) , (3, 19) , (6, 5) ดังนัน้ = { 65 1 , 31 2 , 19 3 , 5 6 } = { 65(66) , 31(33) , 19(22) , 5(11)} จะได้ คา่ เฉลีย่ ของค่าสูงสุดกับค่าต่าสุด = ( ) ( ) = ( )( )( ) = = 2172.5 15. 5 หา ก่อน จะได้ เศษจากการหารผลคูณของ กับ 1 ด้ วย 5 เท่ากับ ลองแทน = 0, 2, 4, 6 จะเห็นว่า = 0, 2, 4 จะทาให้ ประโยคดังกล่าวเป็ นจริ ง ดังนัน้ = {0, 2, 4} หา ต้ องแทน = 1, 3, 5, 7 เพือ่ หา = จะได้ ( ) คือ (1, 3) , (3, 4) , (5, 0) , (7, 1) แต่ ∈ { } ดังนัน้ จะเหลือแค่ (1, 3) , (7, 1) จะได้ = {3, 1} จะได้ มีสมาชิก 3 ตัว , มีสมาชิก 2 ตัว ดังนัน้ ผลบวกจานวนสมาชิกของ และ = 3 + 2 = 5 16. ≈ 18640.80 ภาษี มลู ค่าเพิม่ 7% คือ ต้ องการได้ เงินจากการขาย 100 บาท แต่ต้องเก็บภาษี เพิ่ม 7 บาท จึงต้ องติดราคา 107 บาท สินค้ า A ติดราคา 13500 บาท → ได้ เงินจริ งหลังหักภาษี = บาท กาไร 20% คือ ขายได้ เงิน 120 บาท จากทุน 100 บาท → จะได้ ทนุ ของสินค้ า A = ทานองเดียวกัน สินค้ า B จะได้ เงินจากการขายหลังหักภาษี = บาท → ทุนของ B = ดังนัน้ ต้ นทุนรวม = ≈ 10514.02 + 8126.78 = 18640.80 17. 0.65 ข้ อนี ้ ผมเดาว่า คนออกข้ อสอบ ตังใจจะให้ ้ ลดลง 15% และ 10% ของปริ มาณเดิม ตอนแรก มีน ้าผลไม้ = 3 ลิตร → ลดลง 15% จะคิดเป็ น = 0.45 ลิตร มีน ้าตาล = 2 ลิตร → ลดลง 10% จะคิดเป็ น = 0.2 ลิตร ดังนัน้ เพิ่อให้ คงปริ มาตรนมผสมเท่าเดิม จะต้ องเพิ่มน ้านมเท่ากับปริ มาณน ้าผลไม้ กบั น ้าตาลที่หายไป = 0.45 + 0.2 = 0.65 ลิตร 18. 14 ให้ ผ้ ชู าย และผู้หญิง ทางานได้ วนั ละ และ ส่วน เสร็ จใน 14 วัน คือ ทาได้ วนั ละ หน่วย → เสร็ จใน 17 วัน คือ ทาได้ วนั ละ หน่วย → 5(1) – ( ) → จะตัดกันหมด เหลือ 9
แทน ใน (1) จะได้
=
(
)(
)
=(
=
…( )
=
…( )
= =
)(
)
(
)(
)
=(
)(
)
= →
(
)(
)
=(
)(
→ )
=(
)(
)
15
16
สอวน มอ (ส.ค. 2557)
ดังนัน้ ผู้ชาย 4 คน ผู้หญิง 5 คน ทาได้ วนั ละ
=(
)(
)
(
)(
)
=(
)(
)
=
→
เสร็ จใน 14 วัน
19. 626 จากเงื่อนไขสองอันแรก จะได้ คนที่ 1 จับมือคนที่ 2 , คนที่ 2 จับมือคนที่ … คนที่ 50 จับมือคนที่ 1 → มีการจับมือทังหมด ้ 50 ครัง้ จากเงื่อนไขที่สาม : คนที่ 2 (ซึง่ จับมือคนที่ 3 ไปแล้ ว) จะต้ องจับเพิ่มกับคนที่ … → คิดเป็ น 50
4+1 = 47 ครัง้
คนที่ 4 (ซึง่ จับมือคนที่ 5 ไปแล้ ว) จะต้ องจับเพิ่มกับคนที่
…
→
⋮
คนที่ 48 (ซึง่ จับมือคนที่ 49 ไปแล้ ว) จะต้ องจับเพิ่มกับคนที่ 5 ดังนัน้ จะมีการจับมือทังหมด ้ 20. แทน
= 1,
แทน
=2
= 1,
แทนค่า
=1
จะได้ จะได้
(
( ) = 12 = 6 =
( ) ( ) ( )
( ) = ( ) =
( )
…
) =
( ) ( ) ( )
( )(
มี มี →
=
=
=
=
แก้ ระบบสมการ
(
)
( )
→
=
= ( =(
→
) )
)
= =
=
→
→
→
(
(
=
) )
=1
√
( )(
)
=
√
พล็อต จะเห็นว่าพิกดั ของ A และ เท่ากัน และ พิกดั ของ และ เท่ากัน ดังนัน้ จะได้ สเี่ หลีย่ มที่เส้ นทแยงมุมตังฉากกั ้ น
× ผลคูณเส้ นทแยงมุม =
(
(
)) (( √
√ )
(
√ ))
= 10√
11
2(2)
แทน
(
)
เอาพาราโบลาสองอันบวกกัน ได้ แทน = 1 ใน ได้ 1 =
=
22. ให้
(
0=
(–1+√ , 1)
(–1,–4)
)( )
) ( )( ) …( )
=
(–1–√ , 1)
= 50 + 576 = 626 ครัง้
( )
→
=
)
)(
(
คิดเป็ น 1 ครัง้
→
…( )
(–1, 6)
จะได้ พื ้นที่ =
)
( ) ( )( ( ) + 2
( ) จาก (2) ใน (1) : 6 = ( ) 4 = 3 ( ) = ( )
21. 10√ จะได้ จุดยอด จะได้ จุดยอด หาจุดตัด
(
คิดเป็ น 45 ครัง้
จากข้ อมูลที่โจทย์ให้ จะได้ 7 = (1) : จะตัดกันได้ → – 7 = ใน (1) จะได้ = = 5 ดังนัน้ =
…( ) →
และ
= =2
=
…( )
สอวน มอ (ส.ค. 2557)
ดังนัน้ ถ้ า
= 5 จะได้
= ( )
= 11
23. จานวนแบบทังหมด ้ : มี 4 เครื่ องหมาย แต่ละอันเป็ นได้ 2 แบบ → จานวนแบบทังหมด ้ = = 16 แบบ จานวนแบบที่ ได้ 2 จะแบ่งกรณีนบั ตามเครื่ องหมาย ⨂ หน้ า 4 ถ้ า ⨂ เป็ น + จะได้ 4 เป็ นบวก แสดงว่าตัวที่เหลือต้ องรวมกันได้ 6 → ได้ แบบเดียว คือ ที่เหลือเป็ นลบหมด → = 2 ถ้ า ⨂ เป็ น จะได้ 4 เป็ นลบ แสดงว่าตัวทีเ่ หลือต้ องรวมกันได้ 2 → เครื่ องหมาย ∘ หน้ า 3 จะเป็ นลบไม่ได้ ไม่งนจะได้ ั้ 3 ซึง่ ทีเ่ หลือ 0, 1, 2 จะไม่ชนะ 3 → ดังนัน้ ∘ ต้ องเป็ น + ดังนัน้ ที่เหลือต้ องรวมกันได้ 1 ซึง่ จะได้ แบบเดียว คือ 0 + 1 – 2 = 1 → จะได้ 0 + 1 – 2 + 3 – 4 = 2 รวม 2 แบบ จะได้ ความน่าจะเป็ น = = 24.
22.5 C
D
B
A
เนื่องจาก AD = BC และ B̂D ≠ B ̂ D ดังนัน้ จะวาดได้ เป็ นคางหมูหน้ าจัว่ ดังรูป ให้ B̂D = จะได้ B ̂ D = 3 จากคางหมูหน้ าจัว่ จะได้ ÂC = และ CD̂A = 3 ด้ วย ° ดังนัน้ = ° → = = 45°
เนื่องจาก ∆CBD เป็ น ∆ หน้ าจัว่
° ̂
→ C ̂D =
°
=
(
°)
=
°
= 22.5°
25. 4 + 2√ จะได้ AD̂T = 30° ดังนัน้ ∆DAT ~ ∆TBC จากเส้ นรอบรูป ∆TBC : ∆DAT = 1:2 และ ∆DAT ~ ∆TBC ดังนัน้ TC : DT = 1:2 ด้ วย ( ) =( √ ) ให้ TC = จะได้ DT = พีทากอรัสที่ ∆DTC จะได้ 5
จะได้ AT = DT cos 60° = 2(4)( ดังนัน้ AB = AT + TB = 4 + 2√ 26.
และ
√
TB = TC cos 30° = (4)( ) = 2√
3:1 C D
E
)=4
= 80 = 4
A
O
B
จากสมบัติวงกลม จะได้ OA = OD = OC = จาก DE = OA จะได้ DE = ด้ วย ดังนัน้ จะได้ ∆DEO เป็ นหน้ าจัว่ ให้ D̂A = จะได้ D ̂ A = ด้ วย จาก ∆DEO จะได้ OD̂C = D̂A + D ̂ A = 2
จาก ∆ODC เป็ นหน้ าจัว่ ดังนัน้ ̂ = OD̂C = 2 จาก ∆CEO จะได้ C ̂ B = ÔC + ̂ = + 2
= 3 → C ̂ B : D̂A =
: =3:1
17
18
สอวน มอ (ส.ค. 2557)
27.
24 + 8√
พีทากอรัส จะได้ BD = √ อีกสามด้ านที่เหลือ จะมีพื ้นที่ = ดังนัน้ พื ้นที่ผิว = 24 + 8√ 28. 2010 จะได้ Q = 2 , Q
จะได้ พื ้นที่
Q
=7, Q
= 4√ = DG = G
=
=8, Q =
(Q
=
(
โจทย์ต้องการให้
(
( √ ) = 8√
… → Q =
=9 … → Q
ที่แรเงา
=
ฐาน ∆BDG มีพื ้นที่ = √
= 24
=3, Q
→
= ∆
)(Q
=
Q
∆ Q
)
(Q )(Q
)( )(
)
(
= 2014
) )(
นัน่ คือ
)
=
( (
) )( ) (
= 2014 →
) Q )
=
=
= 2010
29. โยน 2 ลูก ออกได้ ลกู ละ 6 หน้ า → จานวนแบบทังหมด ้ = = 36 แบบ แต้ มรวมต่าสุด = 2 , สูงสุด = 12 → จานวนกาลังสองสมบูรณ์ที่อยูใ่ นช่วง 2 ถึง 12 จะมีแค่ 4 กับ 9 จานวนแบบที่ได้ แต้ มรวมเป็ น 4 หรื อ 9 จะมี (1,3), (2,2), (3,1) กับ (3,6), (4,5), (5,4), (6,3) รวม 7 แบบ ดังนัน้ ความน่าจะเป็ น = 30. จานวนอุบตั ิเหตุทงหมด ั้ = 8 + 5 + 6 + 7 + 5 + 4 + 3 + 3 + 5 = 46 ครัง้ เป็ นอุบตั ิเหตุบนถนน A หรื อ Z (รวมตัวเลขแถวบน กับ หลักขวา โดยไม่นบั ซ ้า)= 8 + 5 + 6 + 4 + 5 = 28 ครัง้ ดังนัน้ ความน่าจะเป็ น = = 31. ลาก DE และ CH ดังรูป จาก D และ E อยูก่ ึ่งกลางด้ าน ∆ จะได้ DE // AC …( ) F E จาก ∆ คล้ าย จะได้ DE = …( ) จาก FH = AE และ FH // AE จะได้ AEHF เป็ นด้ านขนาน A B D ดังนัน้ EH // AF // AC และ EH = AF = …( ) จาก (1), (2), (3) จะได้ D, E, H อยูบ่ นเส้ นตรงเดียวกัน โดย DH // AC และ DH = AC ดังนัน้ ADHC เป็ นด้ านขนาน → จะได้ วา่ CH = AD = DB และ CH // AD // DB ดังนัน้ DBHC เป็ นด้ านขนานด้ วย จึงสรุปได้ วา่ BH = DC C
H
สอวน มอ (ส.ค. 2557)
32. ทรงกระบอก มี = 10 , = → ไอศกรี มครึ่งถัง มีปริ มาตร = ( )( ) = 1000 ปริ มาตรทรงกระบอกที่สงู ให้ น ้าสูง จะได้ ปริ มาตรน ้า = ปริ มาตรกล่องที่สงู 1000 10
= ( = =
)(
)( ) 4
( )( ) ( )
เครดิต ขอบคุณ อ.สฮาบูดีน สาและ สาหรับข้ อสอบ ขอบคุณ คุณ Pol Celona สาหรับวิธีทาข้ อ 11 ขอบคุณ คุณ Kheng Phongphun J กับ คุณ บุญชัย อึงพินจิ พงศ์ ที่ช่วยบอกจุดผิดในเฉลยข้ อ 15 และ ขอบคุณ สมาชิกในกลุม่ คณิตมัธยมปลาย ที่ชว่ ยเฉลยข้ อสอบส่วนใหญ่ให้ ผมดูเป็ นแนวทางในการทาเฉลยด้ วยครับ
19
