BAB IV ANALISA LENTUR PENAMPANG PERSEGI 4.1
DASAR TEORI Sebagaimana diketahui bahwa metode perencanaan yang
dipakai saat ini khususnya yang dituangkan didalam Peraturan beton (SNI 03–2847–2002) adalah metode kekuatan batas (Ultimit) mengacu terhadap ACI yang sebenarnya sudah membahas metode kekuatan batas ini sejak peraturan ACI 1956. Secara mendasar metode kekuatan batas disini adalah dengan jalan mengalikan beban kerja dengan faktor tertentu (λ) seperti tertuang dalam
persamaan
3.1
sampai
dengan
3.8
untuk
mencakup
kemungkinan pelampauan beban dan variasi dari pemisalan yang digunakan didalam perencanaan. Kekuatan rencana (Kekuatan ultimit) dari suatu penampang diperoleh dengan jalan mengalikan kekuatan nominal
dengan
suatu
faktor
reduksi
kekuatan
(φ)
untuk
memperhitungkan variasi yang merugikan dari kekuatan bahan, pengerjaan,
dimensi,
pengendalian
dan
tingkat
pengawasan,
sekalipun semuanya masih dalam batas toleransi yang dapat diterima. Sebagai dasar dari perhitungan kekuatan nominal (teoritis) dibahas oleh F Stussi pada tahun 1932 yang menunjukkan distribusi dari tegangan tekan untuk suatu balok yang telah mencapai kekuatan teoritis (nominal) nya seharusnya memiliki bentuk umum seperti diperlihatkan di dalam gambar 4.1. C merupakan penjumlahan tegangan-tegangan tekan yang bekerja pada daerah tekan beton sebesar
C = k1.k3 . f c '.x.b Struktur Beton I
(4.1)
4- 1
εcu=reg. hancur
k3.fc' k2.x
d
h
xb
Cc'
ab=β1.xb
As
T=As.fy
εs=εy=fy/Es
b
(a) Balok bertulangan (b) Kondisi regangan (c) kondisi tegangan Tunggal bila Mn tercapai
Bila Mn tercapai
Gambar 4.1 : Kondisi kekuatan lentur nominal Mn tercapai sedangkan gaya taik T akibat tulangan tarik sebesar
T = As . f y
(4.2)
Keseimbangan mengharuskan C = T, sehingga
x=
As . f y k1.k3 . f c '.b
(4.3)
sehingga kekuatan lentur nominal bisa dihitung
M n = As . f y (d − k2 .x )
(4.4)
dengan substitusi x maka diperoleh
k A f ⎞ ⎛ M n = As . f y ⎜⎜ d − 2 s y ⎟⎟ k1.k3 . f c '.b ⎠ ⎝
(4.5)
Besarnya k2/(k1.k3) berkisar antara 0,55 dengan 0,63
4.2
DISTRIBUSI TEGANGAN PERSEGI DARI WHITNEY Pada tahun 1930-an Whitney menyarankan penggunaan dari
suatu distibusi tegangan tekan pengganti yang berbentuk persegi
Struktur Beton I
4- 2
yang lebih sederhana dari distribusi tegangan sebelumnya yang berbentuk parabola. k3.fc'
0.85fc' k2.x
a/2
Cc' a=β1.x
x
Cc'
d
h As
T=As.fy
T=As.fy
b
(a) Balok
(b) Kondisi tegangan sebenarnya
(c) Distribusi tegangan persegi dari whitney
Gambar 4.2 : Distribusi tegangan whitney Seperti tercantum pada gambar 4.2 dipakai tegangan persegi dengan besar rata-rata 0,85.fc’ dengan tinggi a = β1.x , sedemikian hingga a/2 = k2.x. Menurut ACI 318-99M chapter 10 besarnya β1 ditetapkan sebagai berikut :
β1 = 0,85
untuk fc’ ≤ 30 MPa
β1 = 0,85 – 0,05((fc’+7) – 30)
untuk fc’ > 30 MPa
tetapi nilai β1 tidak boleh diambil kurang dari pada 0,65 (ACI 10.2.7.3) Dengan menggunakan tegangan persegi ekivalen, kekuatan lentur Mn dapat diperoleh dengan menggunakan gambar 4.2 sebagai berikut :
C = 0,85. f c '.b.a
(4.6)
T = As . f y
(4.7)
dengan menggunakan prinsip keseimbangan dengan memisalkan tulangan mencapai leleh ebelum hancurnya beton maka didapatkan
Struktur Beton I
4- 3
a=
As . f y 0,85. f c '.b
a⎞ ⎛ M n = As . f y ⎜ d − ⎟ 2⎠ ⎝
(4.8)
(4.9)
Substitusi persamaan (4.8) kedalam persamaan (4.9) didapatkan
A .f ⎞ ⎛ M n = As . f y ⎜⎜ d − 0,59 s y ⎟⎟ f c '.b ⎠ ⎝ 4.3
(4.10)
LENTUR TULANGAN TUNGGAL Pada dasarnya lentur tulangan tunggal memiliki pengertian
tulangan terpasang hanya pada daerah yang mengalami tarik sedangkan pada daerah yang mengalami tekan hanya dipasang tulangan praktis. Penerapan lentur tulangan tunggal bisa pada elemen balok bisa juga untuk elemen pelat. Persamaan kekuatan momen tulangan tunggal mengacu terhadap gambar 4.3 adalah sebagai berikut :
Cc '= 0,85. f c '.a.b
(4.11)
T = As . f y
(4.12)
Cc ' = T
(4.13)
a=
As . f y 0,85. f c '.b
a⎞ ⎛ M n = Cc ' atauT ⎜ d − ⎟ 2⎠ ⎝
Struktur Beton I
(4.14)
(4.15)
4- 4
Dalam bentuk lain persamaan (4.3) dapat dituliskan
0,85. f c '.a.b = ρ .b.d . f y ⎛ fy ⎞ ⎟⎟d a = ρ .⎜⎜ ⎝ 0,85. f c ' ⎠
(4.16)
Substitusi persamaan (4.16) kedalam persamaan (4.15) diperoleh
⎛ ρ ⎛ f y ⎞ ⎞⎟ ⎟⎟d M n = ρ .b.d . f y ⎜⎜ d − ⎜⎜ ⎟ f 2 0 , 85 . ' c ⎝ ⎠ ⎠ ⎝
(4.17)
dengan membagi persamaan (4.17) dengan bd2 didapatkan koofisien lawan (coefficient of resistance) yang dinyatakan dengan Rn dan menuliskan
fy
m=
0,85. f c '
kemudian
Rn =
Mn ⎛ 1 ⎞ = ρ . f y ⎜1 − ρ .m ⎟ 2 b.d ⎝ 2 ⎠
(4.18)
dengan memecahkan persamaan pangkat dua pada persamaan (4.18) maka didapatkan kebutuhan tulangan tarik
ρ=
1 ⎛⎜ 2.m.Rn 1− 1− ⎜ m⎝ fy
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
(4.19)
εcu=0.003
d
h
xb
0.85fc'
ab=β1.xb
As
b
Cc'
T=As.fy
εs=εy=fy/Es
Gambar 4.3 : Lentur tulangan tunggal
Struktur Beton I
4- 5
Cc’ dalam hal ini merupakan gaya yang disebabkan oleh bagian beton yang mengalami tekan, T adalah gaya yang ditimbulkan akibat adanya tulangan tarik terpasang sedangkan a merupakan tinggi blok tertekan untuk elemen beton yang mengalami tekan. Contoh : Rencanakan penulangan lentur balok kantilever pada potongan I-I seperti tergambar
I
P
q
I
600 1.5 m
d'=40 mm 300
Adapun dipersyaratkan mutu beton (fc’) = 22.5 MPa, Mutu baja (fy) = 400 MPa. Balok kantilever dibebani beban mati merata (qD) = 4 t/m’ (belum termasuk berat sendiri balok), beban hidup merata (qL) = 2 t/m’. Seperti tampak dalam gambar ada beban terpusat mati di ujung balok kantilever (PD) = 3 t, sedangkan beban terpusat di ujung balok kantilever (PL) = 1,5 ton. Berat jenis beton (BJ) = 2400 kg/m3 Penyelesaian : Perhitungan beban :
Beban mati :
BS balok
0,30 x 0,6 x 2400 = 432
qD
4000
kg/m’
= 4000 kg/m’ Total qD = 4432 kg/m’ PD
Beban hidup
qL
= 2000 kg/m’
PL
= 1500 kg
= 3000 kg
q(ult) = 1,2.4432 + 1,6.2000 = 8518,4 kg/m’
Struktur Beton I
4- 6
Perhitungan momen : M(ult)
= 8518,4 x 1,5 x 1,5/2
= 9583,2
kg-m’
= 3000 x 1,2 x 1,5
= 5400
kg-m’
= 1500 x1,6 x 1,5
= 3600
kg-m’
= 18583,2
kg-m
M(ult)
= 185.832.000 N-mm
Mn =
185.832.000 = 232.290.000 N − mm 0,8
d = 600 – 40 – 10 – 19/2 =540,5 mm
Rn =
232.290.000 = 2,65 300 x540,52
ρb =
0,85 x0,85 x 22,5 ⎛ 600 ⎞ ⎜ ⎟ = 0,0244 400 ⎝ 600 + 400 ⎠
ρ max = 0,75 x0,0244 = 0,0183
ρ min =
1,4 = 0,0035 400
m=
400 = 20,915 0,85 x 22,5
ρ=
1 ⎛⎜ 2.20,915.2,65 ⎞⎟ 1− 1− = 0,0072 ⎟ 20,915 ⎜⎝ 400 ⎠
ρmin < ρ < ρmax As = 0,0072 x 300 x 540,5 =1167,5 mm2
n=
1167,5 0,25 xπx19 2
= 4,12buah pasang 5 buah
Kontrol : 1. jarak
300 − 40 − 40 − 10 − 10 − (5 x19) = 26,25mm > 25mm 4
2. Kemampuan penampang
Struktur Beton I
4- 7
As(aktual) = d(aktual)
a=
5 x0,25 xπx19 2 = 1417,64mm 2
= 600 – 40 –10 –19/2 = 540,5 mm
1417,64 x 400 = 98,83mm 0,85 x 22,5 x300
98,83 ⎞ ⎛ M n = 0,85 x 22,5 x98,83 x300⎜ 540,5 − ⎟ = 278.463.426,5 Nmm 2 ⎠ ⎝ M n = 278.463.426,5 N − mm > Mn = 232.290.000 N − mm Gambar Sketsa : 5D19
600 2D19
300
4.4
LENTUR TULANGAN RANGKAP Definisi : Lentur tulangan rangkap merupakan salah satu
metoda
atau
cara
perencanaan
tulangan
lentur
yang
mana
kemampuan penampang untuk memikul lentur merupakan kombinasi dari tulangan tarik (As) dan tulangan tekan (As’) dikalikan lengannya. Adapun langkahnya bisa dilakukan dengan melakukan coba-coba garis netral (x) sampai dengan tulangan tarik sudah tidak mampu lagi untuk memikul momen akibat beban luar, sehingga diperlukan adanya tulangan tekan.
Struktur Beton I
4- 8
εcu=0.003
As' d
h
0.85fc'
Cs'
ab=β1.xb
xb
0.85fc'
Cc'
As
T1=As.fy
T=As.fy
εs=εy=fy/Es
b
(a) Penampang tulangan rangkap
(b) Diagram (c) Diagram (d) Diagram regangan
tegangan
tegangan
Gambar 4.4 : Diagram tegangan regangan lentur tulangan rangkap Didalam
perencanaan
tulangan
rangkap
ini
pada
prinsipnya
penampang beton yang tertekan dibuat sekecil mungkin dengan cara membuat posisi garis netral yang letaknya lebih mendekati pada tulangan tekan atau As’ dengan tetap memperhatikan komposisi tulangan tarik (As) dan tulangan tekan (As’) Seperti terlihat pada gambar 4.4. (c) sebenarnya merupakan komponen tegangan tulangan tunggal dengan komponen beton tertekan Cc’ dan komponen tulangan tarik T1 dengan tetap memperhatikan prinsip keseimbangan bahwa Cc’ sama dengan T1 atau dalam arti lain dapat dituliskan persamaan matematikanya sebagai berikut :
Cc ' = T1
(4.20)
0,85. f c '.a.b = Asc . f y
(4.21)
adapun kemampuan penampang untuk memikul momen tulangan tunggal
a⎞ ⎛ M n1 = Cc ' ⎜ d − ⎟ 2⎠ ⎝
Struktur Beton I
(4.22)
4- 9
Apabila ternyata kemampuan penampang tulangan tunggal seperti tertuang pada persamaan 4.22 tidak mampu memikul momen yang terjadi yang diakibatkan beban luar dan beban dirinya sendiri maka diperlukan bantuan tulangan tekan seperti terlihat pada gambar 4.4.(d). Dalam hal ini juga berlaku prinsip keseimbangan yang mana Cs’ sama dengan T2 atau dapat dituliskan
Cs ' = T2
(4.23)
apabila tulangan tekan leleh maka,
As '. f y = Ass . f y
4.24)
kemampuan pikul momen bila tulangan tekan leleh,
M n2 = Ass . f y (d − d ")
(4.25)
apabila tulangan tekan tidak leleh maka,
As '. f s ' = Ass . f y
(4.26)
kemampuan pikul terhadap momen bila tulangan tekan tidak leleh,
M n2 = Ass . f s ' (d − d ")
(4.27)
kemapuan total penampang yang direncanakan tulangan rangkap untuk memikul momen merupakan penjumlahan kemampuan momen akibat penampang beton tertekan Cc’ dengan akibat tulangan tekan Cs’ sehingga,
M n = M n1 + M n2
(4.28)
Adapun tinggi blok beton tertekan bisa diperoleh dengan,
C =T
(4.29)
C = Cc '+Cs '
(4.30)
T = T1 + T2
(4.31)
dengan menyelesaikan persamaan 4.29 diperoleh,
Struktur Beton I
4- 10
a=
( As − As ') f y
(4.32)
0,85. f c '.b
atau,
a=
As . f y − As ' f s ' 0,85. f c '.b
(4.33)
Adapun langkah perencanaan tulangan rangkap sebagai berikut: 1.
Ambil suatu harga x ≤ 0,75 Xb
xb = 2.
600 .d 600 + f y
Ambil Asc berdasarkan x Rencana
Asc = 3.
0,85.β1. fc'.b.x fy
Hitung Mnc
β .x ⎞ ⎛ M nc = Asc . f y ⎜ d − 1 ⎟ 2 ⎠ ⎝ 4.
Hitung Mn – Mnc Apabila :
5.
7.
Perlu tulangan tekan
Mn – Mnc ≤ 0
Tidak perlu tulangan tekan
Bila perlu tulangan tekan maka
Cs ' = T2 = 6.
Mn – Mnc > 0
M n − M nc (d − d ")
Kontrol tulangan tekan leleh
⎛ d" ⎞ f s ' = ⎜1 − ⎟600 ≥ f y x⎠ ⎝
leleh fs’ = fy
⎛ d" ⎞ f s ' = ⎜1 − ⎟600 < f y x⎠ ⎝
tidak leleh fs’ = fs’
Hitung tulangan tekan perlu dan tulangan tarik tambahan
Struktur Beton I
4- 11
As ' = 8.
Cs ' ( f s '−0,85. f c ')
Ass =
T2 fy
Tulangan perlu As = Asc + Ass As’ = As’
9.
Kontrol kekuatan
φ.Mn ≥ Mu Contoh : Rencanakan
penulangan
lentur
balok
kantilever
pada
potongan I-I seperti tergambar
q
I
P 600
I
1.5 m
d'=40 mm 300
Adapun dipersyaratkan mutu beton (fc’) = 22.5 MPa, Mutu baja (fy) = 400 MPa. Balok kantilever dibebani beban mati merata (qD) = 4 t/m’ (belum termasuk berat sendiri balok), beban hidup merata (qL) = 2 t/m’. Seperti tampak dalam gambar ada beban terpusat mati di ujung balok kantilever (PD) = 3 t, sedangkan beban terpusat di ujung balok kantilever (PL) = 1,5 ton. Berat jenis beton (BJ) = 2400 kg/m3 Penyelesaian : Perhitungan beban :
Beban mati : BS balok 0,30 x 0,6 x 2400
= 432
kg/m’
= 4000 kg/m’
qD
Total qD = 4432 kg/m’ PD
Struktur Beton I
= 3000 kg
4- 12
Beban hidup
qL
= 2000 kg/m’
PL
= 1500 kg
q(ult) = 1,2.4432 + 1,6.2000 = 8518,4 kg/m’ Perhitungan momen : M(ult)
= 8518,4 x 1,5 x 1,5/2
= 9583,2
kg-m
= 3000 x 1,2 x 1,5
= 5400
kg-m’
= 1500 x1,6 x 1,5
= 3600
kg-m’
=18583,2
kg-m
= 185.832.000
N-mm
M(ult)
d’ = 600 – 40 – 10 –19/2 = 540,5 mm (prediksi)
xb =
600 .540,5 = 324,3mm 600 + 400
x direncanakan 85 mm
Asc =
0,85.0,85.22,5.300.85 = 1036,3mm 2 400
0,85.85 ⎞ ⎛ M nc = 1036,3.400⎜ 540,5 − ⎟ = 209.080.775,5 N − mm 2 ⎠ ⎝ 185.832.000 M n − M nc = − 209.080.775,5 0,8 M n − M nc = 23.209.224,5 N − mm Cs ' = T2 =
M n − M nc 23.209.224,5 = = 48.252,02 N (d − d ") (540,5 − 59,5)
⎛ 59.5 ⎞ f s ' = ⎜1 − ⎟600 = 180MPa < f y = 400 MPa 85 ⎠ ⎝ As ' =
tidak leleh
48.252,02 = 299,93mm 2 (180 − 0,85.22,5)
Struktur Beton I
4- 13
Ass =
48.252,02 = 120,63mm 2 400
Sehingga : As
= 1036,3 + 120,63
As’
= 299,93 mm2
n=
1156,93 0,25 x3,14 x19 2
= 1156,93 mm2
= 4,08bh
pasang 5 buah
Kontrol :
300 − 40 − 40 − 10 − 10 − (5 x19) = 26,25mm > 25mm 4
1. jarak
2. Kemampuan penampang As(aktual) = As’
(Aktual) =
d(aktual)
a=
5 x0,25 xπx19 2 = 1417,64mm 2 2 × 0,25 × π × 19 2 = 567,06mm 2
= 600 – 40 –10 –19/2 = 540,5 mm
(1417,64.400 − 567,06.180) = 81.04mm 0,85 x 22,5 x300
81,04 ⎞ ⎛ M n = 0,85 x 22,5 x81,04 x300⎜ 540,5 − ⎟ 2 ⎠ ⎝ = +567,06.180(540,5 − 59,5)
M n = 281.570.255,5 N − mm > M n = 232.290.000 N − mm Gambar Sketsa :
5D19
600 2D19
300
Struktur Beton I
4- 14
