5. 2 MODELOS LINEALES: PROBLEMAS PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA REPASO DE MATERIAL Problemas 37 a 40 de los ejercicios 4.3 ● Problemas 37 a 40 de los ejercicios 4.4 ●
INTRODUCCIÓN La sección anterior se dedicó a sistemas en los que un modelo matemático de segundo orden va acompañado de condiciones iniciales. Es decir, condiciones suplementarias que se especifican en la función desconocida y su primera derivada es un solo punto. Pero con frecuencia la descripción matemática de un sistema físico requiere resolver una ecuación diferencial lineal homogénea sujeta a condiciones en la frontera, es decir, condiciones específicas de la función desconocida o en una de sus derivadas o incluso una combinación lineal de la función desconocida y una de sus derivadas en dos (o más) puntos diferentes.
DEFLEXIÓN DE UNA VIGA Muchas estructuras se construyen usando trabes o vigas y estas vigas se flexionan o deforman bajo su propio peso o por la influencia de alguna fuerza externa. Como veremos a continuación, esta deflexión está gobernada por una ecuación diferencial lineal de cuarto orden relativamente simple.
()
(a)
(b) FIGURA 5.2.1 Deflexión de una viga homogénea.
Para empezar, supongamos que una viga de longitud es homogénea y tiene secciones transversales uniformes a lo largo de su longitud. En ausencia de carga en la viga (incluyendo su peso), una curva que une los centroides de todas sus secciones transversales es una recta conocida como eje de simetría. Véase la figura 5.2.1a. Si se aplica una carga a la viga en un plano vertical que contiene al eje de simetría, la viga, como se muestra en la figura 5.2.1b, experimenta una distorsión y la curva que conecta los centroides de las secciones transversales se llama curva de deflexión o curva elástica. La curva de deflexión se aproxima a la forma de una viga. Ahora suponga que el eje coincide con el eje de simetría y que la deflexión medida desde este eje, es positiva si es hacia abajo. En la teoría de elasticidad se muestra que el momento de flexión en un punto a lo largo de la viga se relaciona con la carga por unidad de longitud mediante la ecuación
() ()
Además, el momento de flexión
= (). () () =,
(),
(1)
es proporcional a la curvatura de la curva elástica
(2)
donde e son constantes; es el módulo de Young de elasticidad del material de la viga e es el momento de inercia de una sección transversal de la viga (respecto a un eje conocido como el eje neutro). El producto se llama rigidez flexional de la viga. Ahora, del cálculo, la curvatura está dada por . Cuando la deflexión y ( x x ) es pequeña, la pendiente , y por tanto . Si se permite que , la ecuación (2) se convierte en . La segunda derivada de esta última expresión es
/1 + (′)/ = / ≈ 1 ( ) ′≈0 1 + ′ = ′′ = = (3)
≈′′
Si se utiliza el resultado en (1) para reemplazar ecuación diferencial de cuarto orden
en (3), se ve que la deflexión () satisface la
= () .
(4)
Las condiciones de frontera asociadas con la ecuación (4) dependen de cómo estén apoyados los extremos de la viga. Una viga en voladizo está empotrada o fija en un extremo y libre en el otro. Un trampolín, un brazo extendido, un ala de avión y un balcón son ejemplos comunes de tales vigas, pero incluso árboles, astas de banderas, rascacielos y monumentos, actúan como vigas en voladizo, debido a que están empotrados en un extremo y sujetos a la f uerza de flexión del viento. Para una viga en voladizo la deflexión debe satisfacer las siguientes dos condiciones en el extremo fijo :
()
=0
•• ((00))==00 = •• (())==00 / ( ) = / = apoyado simplemente abisagrado = 0 = 0 fulcro
porque no hay flexión y porque la curva de defl exión es tangente al eje la curva de deflexión es cero en este punto).
En
(en otras palabras, la pendiente de
las condiciones de extremo libre son
porque el momento de fl exión es cero y porque la fuerza de corte es cero.
La función
se llama fuerza de corte. Si un extremo de la viga está o (a lo que también se conoce como apoyo con perno o ) entonces se debe tener y en ese extremo. En la tabla 5.1 se resumen las condiciones en la frontera que se relacionan con (4). Véase la figura 5.2.2.
FIGURA 5.2.2 Vigas con varias condiciones de extremo.
EJEMPLO 1 Una viga empotrada
Una viga de longitud una carga constante
,0<.
está empotrada en ambos extremos. Encuentre la deflexión de la viga si está uniformemente distribuida a lo largo de su longitud, es decir,
( ) =
SOLUCIÓN De (4) vemos que la deflexión
() = .
satisface
(=0)
Debido a que la viga está empotrada tanto en su extremo izquierdo como en su extremo derecho , no hay defl exión vertical y la recta de deflexión es horizontal en estos puntos. Así, las condiciones en la frontera son
(=)
(0) = 0, (0) = 0, () = 0, () = 0. =0 =0 / = / = + . () = ++ + + 24 ( ()0) = 0 ( ()0) = 0 =0 = 0 =0 =0 () = + + = 0 + + 24 = 0 2+3 + 6 = /24 = /12 () = 24 12 + 24 () = 24 () =24, = 1
Se puede resolver la ecuación diferencial no homogénea de la manera usual (determinar observando que es raíz de multiplicidad cuatro de la ecuación auxiliar y luego encontrar una solución particular por coeficientes indeterminados) o simplemente se integra la ecuación sucesivamente cuatro veces. De cualquier modo, se encuentra la solución general de la ecuación que es
Ahora las condiciones condiciones restantes
y
y
dan, a su vez, aplicadas a
y
, mientras que las producen las
ecuaciones simultáneas
Resolviendo este sistema se obtiene
o
Eligiendo
y
y
. Así que la deflexión es
, obtenemos la curva de deflexión de la figura 5.2.3.
FIGURA 5.2.3 Curva de deflexión para el ejemplo 1.
EIGENVALORES Y FUNCIONES PROPIAS Muchos problemas de aplicación requieren que se resuelva un problema con valores en la frontera en dos puntos (PVF) en los que interviene una ecuación diferencial lineal que contiene un parámetro . Se buscan los valores de l para los que el problema con valores en la frontera tiene soluciones no triviales, es decir, no nulas.
EJEMPLO 2 Soluciones no triviales de un PVF Resuelva el problema con valores en la frontera
+=0, (0) = 0, () = 0. =0,<0 >0 SOLUCIÓN =0 = 0 ==0+ = 0 (0)==00 () = 0 CASO I: =0 <0 = CASO II: = 0 = = = 0 = ℎ + ℎ (0) (0) = ℎ 0+ ℎ 0 = .1 + .0 = . (0 )ℎ= 0 = 0 ≠ 0,= 0ℎ ≠=0 ℎ ( ) = 0 = 0 =0 > 0 = CASO III: + + = 0 = = =0 = + () = 0 (0) = 0 = 0 = = 0, = 0 =0 ≠0 = 0 = = = = , =1,2,3,… = (/) = 1 4 9 = , = , = ,…, Consideraremos tres casos:
y
.
Para la solución de es . Las condiciones aplicadas a esta solución implican, a su vez, y . Por tanto, para solución del problema con valores en la frontera es la solución trivial .
y
la única
Para es conveniente escribir , donde denota un número positivo. Con esta notación las raíces de la ecuación auxiliar son y . Puesto que el intervalo en el que se está trabajando es finito, se elige escribir la solución general de como . Ahora es
y por tanto, significa que . Así . La segunda condición requiere que . Para ; en consecuencia, se está forzado a elegir . De nuevo la solución del PVF es la solución trivial . Para
se escribe , donde es un número positivo. Debido a que la ecuación auxiliar tiene raíces complejas y , la solución general de es . Como antes, produce y por tanto . Ahora la última condición ,o
se satisface al elegir . Pero esto significa que . Si se requiere se satisface siempre que sea un múltiplo entero de .
, entonces
Por tanto, para cualquier número real distinto de cero, es una solución del problema para cada . Debido a que la ecuación diferencial es homogénea, cualquier múltiplo constante de una solución también es una solución, así que si se desea se podría simplemente tomar . En otras palabras, para cada número de la sucesión
la función correspondiente en la sucesión
= , = 2 , = 3 ,…., es una solución no trivial del problema original.
= /, = 1,2,3,... =(/)
Los números para los cuales el problema con valores en la frontera del ejemplo 2 tiene soluciones no triviales que se conocen como eigenvalores (valores propios). Las soluciones no triviales que dependen de estos valores de o simplemente , se llaman funciones propias (eigenfunciones).
, = (/)
PANDEO DE UNA COLUMNA VERTICAL DELGADA En el siglo xviii, Leonhard Euler fue uno de los primeros matemáticos en estudiar un problema con eigenvalores y analizar cómo se pandea una columna elástica delgada bajo una fuerza axial compresiva. Considere una columna vertical larga y delgada de sección transversal uniforme y longitud . Sea la defl exión de la columna cuando se aplica en la parte superior una fuerza compresiva vertical constante, una carga , como se muestra en la figura 5.2.4. Al comparar los momentos de flexión en algún punto a lo largo de la columna, se obtiene
()
= +=0,
(5)
donde es el módulo de Young para la elasticidad e es el momento de inercia de una sección transversal respecto a una recta vertical por su centroide.
FIGURA 5.2.4 Pandeo de una columna elástica bajo una fuerza compresiva. EJEMPLO 3 La carga de Euler Encuentre la deflexión de una columna homogénea vertical y delgada de longitud carga axial constante si la columna se fi ja con bisagras en ambos extremos.
sujeta a una
SOLUCIÓN El problema con valores en la frontera por resolver es
+=0, (0), () = 0. =0
Primero observe que es una solución muy buena de este problema. Esta solución tiene una simple interpretación intuitiva: Si la carga no es suficientemente grande, no hay deflexión. Entonces la pregunta es ésta: ¿para qué valores de se dobla la columna? En términos matemáticos: ¿para qué valores de P el problema con valores en la frontera tiene soluciones no triviales?
Al escribir
=/
, vemos que
+=0, (0), () = 0
es idéntico al problema del ejemplo 2. Del caso III de esa descripción se ve que las deflexiones son que corresponden a los eigenvalores Desde el punto de vista físico, esto significa que la columna experimenta flexión sólo cuando la fuerza compresiva es uno de los valores Estas fuerzas diferentes se llaman cargas críticas. La deflexión correspondiente a la carga crítica más pequeña , llamada carga de Euler , es y se conoce como primer modo de pandeo.
() = (/) 1,2,3,... = /
= /=/, = = /,=1,2,3,... () = (/) =1,=2 =3 =/2 = 4 / =/3 =2/3 = 9 /
Las curvas de deflexión del ejemplo 3 que corresponden a y se muestran en la figura 5.2.5. Observe que si la columna original tiene alguna clase de restricción física en , entonces la carga crítica más pequeña será , y la curva de deflexión será como se muestra en la figura 5.2.5b. Si se ponen restricciones a la columna en y en , entonces la columna no se pandea hasta que se aplica la carga crítica y la curva de deflexión será como se muestra en la figura 5.2.5c. Véase el problema 23 de los ejercicios 5.2.
FIGURA 5.2.5 Curvas de deflexión que corresponden a las fuerzas compresivas
, ,
.
CUERDA ROTANDO La ecuación diferencial lineal de segundo orden
+=0 (6) / +(/)=0 / +(1/)=0 / +(/)=0 ()
se presenta una y otra vez como un modelo matemático. En la sección 5.1 vimos que la ecuación (6) en las formas y son modelos para el movimiento armónico simple de un sistema resorte/masa y la respuesta armónica simple de un circuito en serie, respectivamente. Es evidente cuando el modelo para la deflexión de una columna delgada en (5) se escribe como que es lo mismo que (6). Se encuentra la ecuación básica (6) una vez más en esta sección: como un modelo que define la curva de deflexión o la forma que adopta una cuerda rotatoria. La situación física es similar a cuando dos personas sostienen una cuerda para saltar y la hacen girar de una manera sincronizada. Véase la figura 5.2.6a y 5.2.6b.
FIGURA 5.2.6 Cuerda rotatoria y fuerzas que actúan sobre ella
Suponga que una cuerda de longitud con densidad lineal constante (masa por unidad de longitud) se estira a lo largo del eje y se fija en y . Suponga que la cuerda se hace girar respecto al eje a una velocidad angular constante . Considere una porción de la cuerda en el intervalo , donde es pequeña. Si la magnitud de la tensión que actúa tangencial a la cuerda, es constante a lo largo de ésta, entonces la ecuación diferencial deseada se obtiene al igualar dos formulaciones distintas de la fuerza neta que actúa en la cuerda en el intervalo Primero, vemos en la figura 5.2.6c se ve que la fuerza vertical neta es
,+∆ ,+∆.
∆
= 0 =
= . (7) = (+∆) =′().
≈
Cuando los ángulos y (medidos en radianes) son pequeños, se tiene y . Además, puesto que y , son, a su vez, pendientes de las rectas que contienen los vectores y también se puede escribir
≈
Por tanto, la ecuación (7) se convierte en
≈ (+∆) ′().
(8)
Segundo, se puede obtener una forma diferente de esta misma fuerza neta usando la segunda ley de Newton, Aquí la masa del resorte en el intervalo es ; la aceleración centrípeta de un cuerpo que gira con velocidad angular en un círculo de radio es . Con pequeña se toma . Así la fuerza vertical neta es también aproximadamente igual a
∆
=.
=
=∆ =
≈ ( ∆) ,
(9)
donde el signo menos viene del hecho de que la aceleración apunta en la dirección opuesta a la dirección positiva. Ahora, al igualar (8) y (9), se tiene
(+∆) () (+∆) () = ( ∆) ∆ + =0 (10) ∆ / + = 0. (11) = 0 = () (0) = 0 () = 0
Para cercana a cero el cociente de diferencias en (10) es aproximadamente la segunda derivada . Por último, se llega al modelo
Puesto que la cuerda está anclada en sus extremos en y de la ecuación (11) satisfaga también las condiciones frontera
, esperamos que la solución y .
COMENTARIOS i ) Los eigenvalores no siempre son fáciles de encontrar, como sucedió en el ejemplo 2; es posible que se tengan que aproximar las raíces de ecuaciones como o . Véanse los problemas 34 a 38 en los ejercicios 5.2. ii ) Las condiciones de frontera aplicadas a una solución general de una ecuación diferencial dan lugar a un sistema algebraico homogéneo de ecuaciones lineales en las que las incógnitas son los coeficientes de la solución general. Un sistema algebraico homogéneo de ecuaciones lineales es siempre consistente porque por lo menos tiene una solución trivial. Pero un sistema homogéneo de ecuaciones lineales con incógnitas tiene una solución no trivial si y sólo si el determinante de los coeficientes es igual a cero. Podría ser necesario usar este último hecho en los problemas 19 y 20 de los ejercicios 5.2.
= ℎ = 1
EJERCICIOS 5.2 Deflexión de una viga En los problemas 1 a 5 resuelva la ecuación (4) sujeta a las condiciones de frontera adecuadas. La viga es de longitud y es una constante.
() = , =24 = 1
1. a) La viga está empotrada en su extremo izquierdo y libre en su extremo derecho y
0<<
.
b) Use un programa de graficación para trazar la curva de deflexión cuando Solución:
2. a) La viga está apoyada simplemente en ambos extremos, y
() = , 0 < <
y
.
.
b) Use un programa de graficación para trazar la curva de def lexión cuando Solución:
=24 = 1 y
.
3. a) La viga está empotrada en su extremo izquierdo y apoyada simplemente en su extremo derecho, y
() = , 0 < <
.
b) Use un programa de graficación para trazar la curva de deflexión cuando Solución:
=48 = 1 y
.
4. a) La viga está empotrada en su extremo izquierdo y apoyada simplemente en su extremo derecho, y
() = (/), 0 < < .
b) Utilice un programa de graficación para trazar la curva de deflexión cuando
1c) .
= 2 = y
Usando un programa de graficación para encontrar raíces (o de una calculadora gráfica) aproxime el punto en la gráfica del inciso b) en el que ocurre la máxima deflexión. ¿Cuál es la máxima deflexión? Solución:
5. a) La viga está simplemente soportada en ambos extremos y
() = ,0<<.
b) Utilice un programa de graficación para trazar la curva de deflexión cuando
=36 = 1 y
.
c) Usando un programa de graficación para encontrar raíces (o de una calculadora gráfica) aproxime el punto en la gráfica del inciso b) en el que ocurre la máxima deflexión. ¿Cuál es la máxima deflexión? Solución:
6. a) Calcule la deflexión máxima de la viga en voladizo del problema 1. b) ¿Cómo se compara con el valor del inciso a) con la deflexión máxima de una viga que tiene la mitad de largo? c) Encuentre la deflexión máxima de la viga apoyada del problema 2.
d) ¿Cómo se compara la deflexión máxima de la viga con apoyos simples del inciso c) con el valor de la deflexión máxima de la viga empotrada del ejemplo 1? Solución: Solución:
7. Una viga en voladizo de longitud
está empotrada en su extremo derecho y se aplica una fuerza de libras en su extremo izquierdo libre. Cuando el origen se toma como su extremo libre, como se ilustra en la figura 5.2.7, se puede demostrar que la deflexión de la viga satisface la ecuación diferencial
=() 2 .
()
Encuentre la deflexión de la viga en voladizo si
() = , 0 < < (0) =0,() = 0. y
FIGURA 5.2.7 Deflexión de la viga en voladizo del problema 7. Solución:
8. Cuando se aplica una fuerza compresiva en lugar de una fuerza de tensión en el extremo libre de la viga del problema 7, la ecuación diferencial de la deflexión es
Resuelva esta ecuación si Solución:
=() 2 . () = , 0 < < (0) = 0 , () = 0. y
Eigenvalores y funciones propias En los problemas 9 a 18 determine los eigenvalores y las funciones propias del problema con valores en la frontera dado.
9. + = 0, (0) =0, () = 0 Solución:
10. + = 0, (0) =0, (/4) = 0 Solución:
11. + = 0, ′(0) =0, () = 0 Solución:
12. + = 0, (0) =0, ′(/2) = 0 Solución:
13. + = 0, ′(0) =0, ′() = 0 Solución:
14. + = 0, () =0, () = 0 Solución:
15. +2 +(+1) =0, (0) =0, (5) = 0 Solución:
16. +( +1) = 0, ′(0) =0, ′(1) = 0 Solución:
17. + + = 0, (1) =0, () = 0 Solución:
18. + + = 0, ′(−) =0, (1) = 0 Solución:
En los problemas 19 y 20 determine los eigenvalores y las funciones propias del problema con valores en la frontera dado. Considere sólo el caso .
= , > 0 19. () =0, (0) = 0, (0) = 0, (1) = 0, (1) = 0 Solución:
20. () =0, ′(0) = 0, (0) = 0, () = 0, () = 0 Solución:
Pandeo de una columna delgada 21. Considere la figura 5.2.5. ¿Dónde se deben colocar en la columna las restricciones físicas si se quiere que la carga crítica sea Solución:
? Dibuje la curva de defl exión correspondiente a esta carga.
22. Las cargas críticas de columnas delgadas dependen de las condiciones de extremo de la
(=0)
columna. El valor de la carga de Euler en el ejemplo 3 se obtuvo bajo la suposición de que la columna estaba abisagrada por ambos extremos. Suponga que una columna vertical homogénea delgada está empotrada en su base y libre en su parte superior y que se aplica una carga axial constante en su extremo libre. Esta carga causa una deflexión pequeña como se muestra en la figura 5.2.8 o no causa tal deflexión. En cualquier caso la ecuación diferencial para la deflexión es
()
(=)
+=.
FIGURA 5.2.8 Deflexión de la columna vertical del problema 22.
=0
a) ¿Cuál es la deflexión predicha cuando ? b) Cuando , demuestre que la carga de Euler para esta columna es un cuarto de la carga de
=0
Euler para la columna que está abisagrada del ejemplo 3. Solución:
23. Como se mencionó en el problema 22, la ecuación diferencial (5) que gobierna la deflexión
()
de una columna elástica delgada sujeta a una fuerza axial compresiva constante es válida sólo cuando los extremos de la columna están abisagrados. En general, la ecuación diferencial que gobierna la deflexión de la columna está dada por
+ = 0. (0) =0,(0) =0,() =0,() = 0
. Suponga que la columna es uniforme ( es una constante) y que los extremos de la columna están abisagrados. Muestre que la solución de esta ecuación diferencial de cuarto orden sujeta a las condiciones límite es equivalente al análisis del ejemplo 3. Solución:
24. Suponga que una columna elástica delgada y uniforme está abisagrada en el extremo empotrada en el extremo
=
.
=0
y
a) Use la ecuación diferencial de cuarto orden del problema 23 para encontrar los valores propios
, las cargas críticas
, la carga de Euler
y las deflexiones
().
b) Use un programa de graficación para trazar la gráfica del primer modo de pandeo.
Solución:
Cuerda rotando 25. Considere el problema con valores en la frontera presentado en la construcción del modelo matemático para la forma de una cuerda rotatoria:
+ =0, (0) = 0, () = 0.
Para y constantes, defina las velocidades críticas de la rotación angular como los valores de para los cuales el problema con valores en la frontera tiene soluciones no triviales. Determine las rapideces críticas y las deflexiones correspondientes Solución:
().
26. Cuando la magnitud de la tensión deflexión o forma
()
no es constante, entonces un modelo para la curva de que toma una cuerda rotatoria está dado por
[() ]+=0. 1 < < () = a) (1) = 0 , () = 0 >0.25 = √ (4 +1)/ () = −/ ( ), = 1,2,3,.... b) =1,2,3 = 1 Suponga que
y que
Si son
y
.
, demuestre que las velocidades críticas de rotación angular y las deflexiones correspondientes son
Utilice un programa de graficación para trazar las curvas de deflexión en el intervalo . Elija . Solución:
1,
para
Diferentes problemas con valores en la frontera 27. Temperatura en una esfera Considere dos esferas concéntricas de radio
.
Véase la figura 5.2.9. La temperatura problema con valores en la frontera
donde
y
()
= =,<
y en la región entre las esferas se determina del
+2 =0, () = , () = , ()
son constantes. Resuelva para
.
FIGURA 5.2.9 Esferas concéntricas del problema 27. Solución:
28. Temperatura en un anillo La temperatura
()
en el anillo circular mostrado en la figura 5.2.10 se determina a partir del problema con valores en la frontera
+ =0, () = , () = ,
FIGURA 5.2.10 Anillo circular del problema 28. donde
y
son constantes. Demuestre que
Solución:
) ln(/). () = ln(/ln(/)
Problemas para analizar
+=0 = 0 =1 0<<1
29. Movimiento armónico simple El modelo
para el movimiento armónico simple, que se analizó en la sección 5.1, se puede relacionar con el ejemplo 2 de esta sección. Considere un sistema resorte/masa libre no amortiguado para el cual la constante de resorte es, digamos, Determine las masas que se pueden unir al resorte para que cuando se libere cada masa en la posición de equilibrio en con una velocidad diferente de cero, pase por la posición de equilibrio en segundo. ¿Cuántas veces pasa cada masa por la posición de equilibrio en el intervalo de tiempo ? Solución:
= 10 /.
30. Movimiento amortiguado Suponga que el modelo para el sistema resorte/masa del
+2 +=0
problema 29 se reemplaza por . En otras palabras el sistema es libre pero está sujeto a amortiguamiento numéricamente igual a dos veces la velocidad instantánea. Con las mismas condiciones iniciales y la constante de resorte del problema 29, investigue si es posible encontrar una masa que pase por la posición de equilibrio en segundo. Solución:
=1
En los problemas 31 y 32, determine si es posible encontrar valores y (problema 31) y valores de (problema 32) tal que el problema con valores iniciales tenga a) exactamente una solución no trivial, b) más de una solución, c) ninguna solución, d) la solución trivial.
>0 . +16 = 0, (0) = , 2 = Solución:
. +16 = 0, (0) = 1, () = 1 Solución:
33. Considere el problema con valores en la f rontera
+ = 0, ( ) = (), () = ′( ). a) Al tipo de condiciones en la frontera especificadas se le llaman condiciones frontera periódicas. Dé una interpretación geométrica de estas condiciones. b) Determine los eigenvalores y las funciones propias del problema. c) Usando un programa de graficación para trazar algunas de las funciones propias. Compruebe su interpretación geométrica de las condiciones frontera dadas en el inciso a). Solución:
34. Muestre que los eigenvalores y las funciones propias del problema con valores en la frontera
+ = 0, (0) = 0, (1)+(1) = 0 = = = , = 1,2,3,...
son y , respectivamente, donde consecutivas de la ecuación tan . Solución:
son las raíces positivas
Tarea para el laboratorio de computación 35. Use un SAC para trazar las gráficas que lo convenzan de que la ecuación
= =0
del problema 34 tiene un número infinito de raíces. Explique por qué se pueden despreciar las raíces negativas de la ecuación. Explique por qué no es un eigenvalor aun cuando es una solución obvia de la ecuación . Solución:
= 0 =
36. Usando un programa para determinar raíces de un SAC aproxime los primeros cuatro valores
,,
propios Solución:
y
para el PVF del problema 34.
En los problemas 37 y 38, determine los eigenvalores y las funciones propias del problema con valores en la frontera. Use un SAC para aproximar los primeros cuatro valores propios y .
37. + = 0, (0 ) = 0, (1) 12 (1) = 0 Solución:
,,
38. () = 0, (0) = 0, (1) = 0, (1) = 0 = , > 0 [Sugerencia: considere sólo Solución:
.]
