RESUME RESUMEN N DE DE TEMAS TE MAS DE MÁQUI MÁQUI NAS ELÉCTRI EL ÉCTRICAS CAS EN LAS LA S MÁQUINAS ELÉCTRICAS PÉRDIDAS EN
– Pérdidas eléctricas: en el cobre. – Pérdidas magnéticas: en el hierro. – Perdidas mecánicas: por rozamiento. – Perdidas adicionales. PÉRDIDAS PÉRDIDAS ELÉCTRICAS ELÉCTRI CAS Pcu =
å ii2Ri = å ii2 r cu Slii = r cu j 2vCu
i =1; 2; 3;..., para cada circuito de la máquina. 2 r cu =0,0215 W mm /m. Kg/dm m3. g cu =8,9 Kg/d Ri ® resistencia de cada circuito de la máquina li ® longitud de cada circuito de la máquina Si ® sección de cada circuito de la máquina j ® densidad de corriente vCu ® volumen del cobre de los circuitos de la máquina
Multiplicando y dividiendo por gCu: Pcu = 2,41 jc2uGcu
L as uni unidade dadess son: son: W, A/mm2 y Kg Kg. Para C. A. la ecuación anterior se debe multiplicar por 1,1 (para una frecuencia de 50 Hz). Densidades de corriente usuales: Máquinas grandes: 3 A/mm2 Maquinas chicas: 5 A/mm2 Maquinas refrigeradas: más de 5 A/mm2. L as pérdi pérdida dass en el cobre son funci función del cua cuadrado drado de la den densi sida dad d de corri corrien ente te y del del peso del del material. PÉRDIDAS PÉRDIDAS MAGN MA GNÉTI ÉTICAS CAS Se clasifican en: – Pérdidas por histéresis – Pérdidas por corrientes parásitas Pérdidas por histéresis 2 PH = n f v Bm (Fórmul ula a empíri pírica) ca) ax (Fórm
PH ® pérdidas por histéresis n ® coeficiente de Steinmetz frecuenci cuencia a del del flujo ujo ma magnéti gnético co f ® f ® fre v ® volumen del material
Bmax ® inducción máxima P érdidas por corrientes parásitas 2 Pp = g r v d2 f 2 Bm ax
PP ® pérdidas por corrientes parásitas coeficiente ciente que toma toma en cuenta las constantes constantes de la ecuaci ecuación ón g ® coefi r ® resistividad del material v ® volumen del material espesor de la la chapa chapa d ® espesor frecuenci cuencia a del del flujo ujo ma magnéti gnético co f ® f ® fre Bmax ® inducción máxima
El valor de d puede ser 0,35 o 0,50. P érdidas tot totales ales en el hierro
Se enti entien ende de por tal a la la suma suma de las pérdi pérdida dass por histére histéresi siss y por corri corrien entes tes pará parási sitas. tas. 2 G PFe = p0 C Bm ax Fe
PFe ® pérdidas totales en el hierro [W] cifra de pérdi pérdida dass [W/K [W/Kg] g] para para un Wb/m2 y 50 Hz P0 ® cifra C =1 para 50 Hz y 1,26 para 60 Hz peso del del materi terial al activo ctivo [K g] GFe ® peso Bmax ® inducción máxima [Wb/m2]
PÉRDIDAS MECÁNICAS PM = aNr + bNr2 Pm ® pérdidas mecánicas a y b ® constantes Nr ® velocidad de giro
VARIA VA RIACIÓN CIÓN DE DE LAS L AS PÉRDIDAS PÉRDIDAS EN EL HIERRO HI ERRO 1.– Inducción constante 2 + gr vd2 f 2B2 PFe = Ph + Pp = n fvB fvBm ax max
(
2 PFe = af + af 2 Bm ax
2.– Frecuencia constante I dem. 3.–Tensión constante
E = 4,44 fNB fNBmaxS @ U U U = kfBmax Þ Bmax = kf 2
æ U ö 1 Ph = n fvçç ÷÷ = K 1 f è kf ø æ U ö Pp = gr vd2 f 2çç ÷÷
2
= K 2
è kf ø
RENDIMIENTO P = PCu + PFe + Pm + Pad P ® pérdidas en una máquina eléctrica. Pa = Pu + P Pa ® potencia absorbida. Pu ® potencia útil o potencia entregada por la máquina. P h= u Pa h =rendimiento efectivo.
P -P h= a Pa
= 1-
P P = 1Pa Pu + P
(convencional)
VARIA VA RIACIÓN CIÓN DEL DEL RENDIM RENDIMIENTO IENTO EN FUNCIÓN FUNCIÓN DE DE LA L A POTENCIA POTENCIA P = UI (C.C.)
P = UI cos (C.A.)
P = UI 3 cosj (C.A. trifásica)
P = KI P f = Pm + PFe
Pf ® pérdidas fijas. Pv = PCu = KI 2 = xP 2 Pv ® pérdidas variables. h
=
P P = P + Pf + Pv P + Pf + xP 2
2 dh P + Pf + xP - p( 1+ 2xP ) = =0 2 dP 2 P + P + xP
(
f
)
P + Pf + xP 2 - P - 2xP 2 = 0 Pf = xP 2 = Pv
RENDIMIENTO CÍCLICO (o de energías) h=
Au Aa
Au ® energía entregada o útil Aa ® energía absorbida. 24
24
Au = Pudt;
Aa = Padt
0
0
ò
Integrando gráficamente: Au =
ò
å PuDt; h
=
Aa =
å PuDt å PaDt
(para un día)
å PaDt
CALENTAMIENTO Y ENFRIAMIENTO CALENTAMIENTO q = 0,239´ 10-3 P q ® calor generado por las pérdidas [KCal/s] P ® pérdidas totales [W]
Para un cuerpo homogéneo: q = J i - J a q ® sobreelevación de temperatura. J i ® temperatura del lugar donde se genera el calor J a ® temperatura del aire (40°C)
Ecuación diferencial del equilibrio termodinámico: dQ = qdt = Gcdq + Shq dt q ® calor generado por las pérdidas por unidad de tiempo dt ® intervalo de tiempo considerado G ® peso del cuerpo homogéneo c ® calor específico del cuerpo homogéneo dq ® incremento de la temperatura en el tiempo dt S ® superficie emisora total del cuerpo homogéneo
h ® coeficiente deemisión del cuerpo homogéneo q ® temperatura correspondiente al dt considerado.
Para la temperatura de régimen: dq = 0 Þ q = Shq max q max =sobreelevación máxima de temperatura. q q max = Sh
Para resolver la ecuación diferencial:
Para t = 0:
q Gc dt = dq + q dt Sh Sh Gc T = (constante de tiempo) Sh q maxdt = Tdq + q dt T dt = dq q max - q t = - T ln(q max - q ) + C C = T lnq max
Luego: q t t = T ln max Þ q max - q T
t q max = ln Þ e T q max - q
=
q max q max - q
æ - t ö ç ÷ q = q maxç 1- e T ÷ ç ÷ è ø Constante de tiempo: si no se transmite calor al medio ambiente qdt = Gcdq Gc Gc q t = q Þ t = q Sh q max
Para q = q max: t=
Gc = T Sh
La constante de tiempo T es el tiempo que tardaría la máquina para alcanzar la temperatura máxima si la disipación fuese nula. Para calcular T se puede emplear: T =
Gcq max q
ENFRIAMIENTO Admitimos:
q = q max
y q = 0, luego: 0 = Gcdq + Shq d Gcdq = -Shq dt Gc 1 dq = -dt Sh q 1 1 - dt = dq q T t - = lnq + cte T
Para t = 0, q = q max, luego: cte = - lnq max q t - = lnq - lnq max = ln q max T
t q e T = q max t q = q maxe T
TEMPERATURA LÍMITE q max =
q P = 0,239´ 10- 3 Sh Sh
La temperatura máxima alcanzada por una máquina eléctrica es función directa de las pérdidas y función inversa de las superficies emisoras y del coeficiente de emisión. q l
³ q max + q a
q l =temperatura límite
La temperatura límite es aquella que puede soportar la aislación de una máquina sin perjudicarse y asegurando una razonable vida útil. DETERMINACIÓN DE LA TEMPERATURA MÁXIMA Método gráfico
Partiendo de
q maxdt = Tdq + q dt dq q max = T + q
dt
q = q max - T
considerando incrementos finitos
dq d
q = q max - T
x=
Dq Dt
Dq Dt
q = q max - Tx
POTENCIA NOMINAL Según Normas IRAM RÉGIMEN NOMINAL: es el conjunto de las condiciones de funcionamiento para las cuales la máquina ha sido construida. Comprende: la tensión, la potencia, la clase de servicio, la intensidad de corriente, el factor de potencia, la velocidad, etc. nominales. POTENCIA NOMINAL: es la potencia que la máquina puede desarrollar cuando las restantes condiciones son las nominales, sin que la sobreelevación de temperatura en sus diversos órganos sobrepase la temperatura límite. Según el tipo de máquina se tiene: – En generadores de CC es la potencia eléctrica nominal en bornes, medida en KW. – En generadores de CA es la potencia eléctrica aparente nominal en bornes, medida en KVA. – En motores es la potencia mecánica nominal disponible en el eje de giro, en CV o en KW. – En convertidores es la potencia eléctrica nominal en bornes secundarios, en KVA o en KW. TIPOS DE SERVICIO SERVICIO CONTINUO: se caracteriza por el funcionamiento ininterrumpido de la máquina a régimen nominal, durante tiempo ilimitado. SERVICIO TEMPORARIO: se caracteriza por el funcionamiento de la máquina, a régimen nominal, durante un lapso determinado y de manera que, en el período de reposo, su temperatura descienda hasta la del medio ambiente. SERVICIO INTERMITENTE: se caracteriza por el funcionamiento de la máquina, a régimen nominal, durante un lapso determinado seguido de un reposo, también determinado, durante el cual su temperatura no descienda hasta la del medio ambiente. CICLO DE TRABAJO T T = tm + tr
T T ® ciclo de trabajo tm ® período de marcha tr ® período de reposo.
CAPACIDAD DE SOBRECARGA Partiendo de Pu Pu + P hPu + hP = Pu Þ æ 1 ö P = Puçç - 1÷÷ è h ø h=
hP = Pu - hPu
Reemplazando P: æ 1 ö çç - 1÷÷ Sh = P u 3 0,329´ 10 è h ø 0,239´ 10- 3 æ 1 ö q max = Puçç - 1÷÷ Sh è h ø q max
Para determinar el tiempo de sobrecarga tomamos q = q l:
despejando t:
æ - t ö ç ÷ q l = q maxç 1- e T ÷ ç ÷ è ø q max q max - q l
t = T ln
TRANSFORMADORES Ley de Faraday–Lenz dj dt dj e2 = - N2 dt e1 = - N1
e1 ® fem en el primario e2 ® femen el secundario N1 ® número de espiras del primario N2 ® número de espiras del secundario j ® flujo común a los dos arrollamientos.
j = F maxsenw t = F maxsen2p ft
dj = -2p fN1F max cosw t dt dj e2 = - N2 = -2p fN2F max cosw t dt E 1m = - j 2p fN1F max E 2m = - j 2p fN2F max e1 = - N1
E1m y E2m ® valores máximos de las fem F max ® valores máximo del flujo E 1 = - j
2p fN1F max = - j 4,44 fN1F max 2
E 2 = - j
2p fN2F max = - j 4,44 fN2F max 2
E1 y E2 ®valores eficaces. E1 = E2
N1 =k N2
k ® relación de espiras o de transformación.
TRANSFORMADOR EN VACÍO Corriente de vacío: I 0 = I p + I m
I 0 ® corriente de vacío I p ® corriente de pérdidas I m ® corriente de magnetización. PFe = I pU 1 P0 = PFe + I 02R1 P0 ® potencia absorbida en vacío. DU R1
= I 0R1
DUR1 ® caída ohmica de tensión en el circuito primario.
- E d1 = DU X 1 = j I 0X1 DUX1 ® caída inductiva debida al flujo de dispersión
R1 ® resistencia del circuito primario X1 ® reactancia de dispersión del circuito primario
U1 ® tensión aplicada al primario Ed1 ® fem inducida en el circuito primario por el circuito primario por el flujo disperso del mismo. U 1= - E 1 + I 0R1 + j I 0 X1
TRANSFORMADOR EN CARGA Existen tres flujos: j ® flujo principal que concatena ambos arrollamientos j d1 ® flujo de dispersión del primario j d2 ® flujo de dispersión del secundario X1 = w L1 = 2p fL1 X 2 = w L2 = 2p fL2 X1 ® reactancia de dispersión del primario X2 ® reactancia de dispersión del secundario w ® pulsación L1 ® coeficiente de autoinducción del primario L2 ® coeficiente de autoinducción del secundario E 2 = U 2 + I 2R2 + j I 2X 2 R2 ® resistencia del circuito secundario Z1 = R1 + jX1 Z2 = R2 + jX 2 Z1 ® impedancia propia del primario Z2 ® impedancia propia del secundario.
Siendo: I 1Z1 << E1
resulta
E1 @ U 1
de donde I 0N1 = I 1N1 + I 2N2 (no teniendo en cuenta la dispersión) I 1 ® corriente del primario en carga I 2 ® corriente del secundario en carga N I I 0 = I 1+ I 2 2 = I 1+ 2 N1 k I I1= I0- 2
I 21 =
- I2
(-I2 es negativo por ser desmagnetizante) I 21 ® corriente del secundario referida al primario. N E U I k= 1 = 1 @ 1 @ 2 N2 E2 U 2 I 1
CORRIENTE DE VACÍO Considerando F max=constante y que I m adelanta 90° respecto de E1, se tiene: I m = jC1E 1;
por ser I p opuesto a E1, se tiene: I p = -C2 E 1
Sumando ambas corrientes I 0 = I p + I m = - E 1( C2 - jC1) C1 y C2 ® constantes de proporcionalidad (C2 – jC1) ® tiene el carácter de una admitancia, luego I 0 = - E 1( G0 - jB0 ) = - E 1Y 0
Y0 ® admitancia de excitación G0 ® conductancia de excitación B0 ® susceptancia de excitación.
CONVERSIÓN DE PARÁMETROS E 1 = kE 2 = kU 2 + kI 2( R2 - jX 2 ) I 2 = -kI 21
(
E 1 = kE 2 = kU 2 - k2 I 21( R2 - jX 2 ) = kU 2 - I 21 k2R2 - jk2X 2 E 1 = E 21 = U 21 - I 21( R21 + jX 21) = U 21 - I 21Z21 E21 = kE2 ® fem del secundario referida al primario U 21 = kU 2 ® tensión del secundario referida al primario R21 = k2R2 ® resistencia del secundario referida al primario X 21 = k2X 2 ® reactancia del secundario referida al primario Z21 = k2Z2 = k2R2 + jk2X 2 ® impedancia del secundario referida al primario
De igual forma se puede llegar a:
)
Y Y01 = 02 ® admitancia de excitación referida al primario 2 G G01 = 02 ® conductancia de excitación referida al primario 2 B B01 = 02 ® susceptancia de excitación referida al primario. 2
TRANSFORMADOR REDUCTOR Magnitudes referidas al primario
Magnitudes referidas al secundario
U 21 = kU 2
U U 12 = 2
I I 21 = 2
I 12 = kI 1
R21 = k2R2 ; X 21 = k2X 2
R X R12 = 21 ; X12 = 21
Z21 = k2Z2 = k2R2 + jk2X 2
Z Z12 = 21
G B02 G01 = 02 B = ; 01 2 2
G02 = k2G01; B02 = k2B01
Y Y01 = 02 2
Y02 = k2Y01
Rc1 = k2Rc ; Xc1 = k2Xc
R X Rc2 = 2c ; X c2 = 2c
Zc1 = k2Zc
Z Zc2 = 2c
CIRCUITO EQUIVALENTE E 2 = I 2 Z2 + U 2 = I 2 Z2 + I 2 Zc = I 2 Z 2 T Zc ® impedancia de carga Z2 T = Z2 + Zc I E 1 = kE 2 = kI 2 Z2 T = 2 k2 Z2 T = I 21Z2 T 1
_______ N I 0N1 = I 1N1 + I 2N2 Þ I 0 = I 1 + I 2 2 N1 I I 21 = 2 = I 0 - I 1 = - Y 0 E 1 - I 1
_______ E 1 = ( I 0 - I 1) Z2 T 1 = ( - Y 0 E 1 - I 1) Z2 T 1 E 1 + E 1 Y 0 Z 2 T 1 = - I 1Z 2 T 1; E 1(1+ Y 0 Z2 T 1) = - I 1Z 2 T 1
I 1Z 2 T 1 1+ Y 0 Z2 T 1 _________
E1 = -
æ ö ç ÷ æ ö Z 1 2 T 1 ç ÷ ÷÷ = I 1 Z1 + U 1 = - E 1 + I 1Z1 = I 1çç Z1 + 1 ç ÷ 1+ Y 0 Z 2 T 1 ø è + Y 0 ÷ ç Z 2 T1 è ø U Z e1 = 1 = Z1 + I1
1 1 Z2 T 1
+ Y 0
Z e1 = Re1 + jX e1 Re1 = R1 + R21; Xe1 = X1 + X 21
RENDIMIENTO P h= u Pa
U I cos 2 = 22 U 1I 1 cosj 1
h ® rendimiento del transformador
Pu ® potencia útil (entregada) Pa ® potencia absorbida. h=
Pu P -P P P = a = 1- = 1Pu + P Pa Pa Pu + P
2. donde P = PFe + PCu = PFe + Re1I 21
POTENCIA NOMINAL: es la potencia para la cual ha sido construido el transformador, y está representada por el producto de la tensión secundaria nominal por la corriente secundaria nominal. Es la potencia aparente que la máquina puede suministrar indefinidamente, sin perjudicarse, trabajando al régimen para el cual ha sido concebida. PN = U 2N I 2N
La potencia útil nominal es: PUN = PN cosj 2
El factor de demanda se define como: I d= 2 I 2N
La potencia de pérdidas en el hierro puede ser considerada constante e igual a una pequeña fracción de la potencia nominal.
PFe = aPN = G01U 12 con 0
Las pérdidas en el cobre acarga nominal son una fracción de la potencia nominal 2 R = bP PCuN = I 21 e1 N N
con 0
Para una carga cualquiera, definida por el factor de demanda d 2 R = d2I 2 R = d2P 2 PCu = I 21 e1 CuN = d bPN 21N e1
Luego: PN a + d2b h = 1PN d(* ) cosj 2 + a + d2b
(
)
a + d2b h = 1d cosj 2 + a + d2b I U cos 2 Pu (*) d = 2 2 = Þ Pu = dPN cosj 2 I 2N U 2 cosj 2 PN cosj 2
Para determinar el rendimiento máximo derivamos respecto de d:
( 2db) d cosj 2 + a + d2b - a + d2b ( cosj 2 + 2db) dh =2 dd d cosj + a + d2b
(
El numerador debe ser nulo:
2
)
( 2db) d cosj 2 + a + d2b - a + d2b ( cosj 2 + 2db) = 0 2d2bcosj 2 + 2d3b2 + 2dba - d2bcosj 2 - acosj 2 - 2d3b2 - 2adb = 0 d2bcosj 2 = acosj 2 d2b = a
El rendimiento es máximo cuando las pérdidas en el cobre son iguales a las pérdidas en el hierro. dmax =
El rendimiento máximo será:
aPn PFe a = = b bPn PCuN
2a a b
2
æ a ö a + çç ÷÷ b 2a è b ø = 1 = 1h max = 12 a a æ a ö a j cos + 2 a 2 ç ÷ cosj 2 + a + ç ÷ b b b cosj + 2a b 2 è b ø a a b b h = 1-
2 ab cosj 2 + 2 ab
REGULACIÓN La regulación se define como: U -U r = 12 2 (Norma A.I.E.E.) U2
A
B
C
2 = (U + I R cosj + I X senj ) 2 + ( I X cosj - I R senj ) 2 U 12 2 2 e2 2 2 e2 2 2 e2 2 2 e2 2 1 æ C 2 ö 2 A = Bç 1+ 2 ÷ ç B ÷
è ø Desarrollando por el binomio de Newton y despreciando el tercer termino y posteriores: æ 1 C 2 ö 1C2 ç ÷ A = B 1+ = B+ ç 2 B2 ÷ 2 B è ø U 2 + I 2Re2 cosj 2 + I 2Xe2senj 2 1 ( I 2X e2 cosj 2 - I 2Re2senj 2 ) 2 U 2 r= + U2 2U 2 U 2 + I 2Re2 cosj 2 + I 2X e2senj 2 U 2
Como U 2 + I 2Re2 cosj 2 + I 2X e2senj 2 difiere poco de U2: 2
ö U I R I X I R U 1æ I X r = 2 + 2 e2 cosj 2 + 2 e2 senj 2 + çç 2 e2 cosj 2 - 2 e2 senj 2 ÷÷ - 2 U2 U2 U2 2è U 2 U2 ø U 2 I R I X QR = 2 e2 ; Qx = 2 e2 U2 U2 1 r = QR cosj 2 + QX senj 2 + (QX cosj 2 - QRsenj 2 ) 2 2
La regulación porcentual es: r% = r ´ 100
luego haciendo
I R I X QR = 2 e2 100; Qx = 2 e2 100 U2 U2
resulta
r% = Qr cosj 2 + QX senj 2 +
Caída porcentual total:
(QX cosj 2 + QRsenj 2 ) 2 200
Z I Q = e2 2 100 = QR2 + QX2 U2
AUTOTRANSFORMADORES Para un estudio aproximado se desprecian – la corriente magnetizante – la corriente de pérdidas y se trabaja con valores absolutos. Se cumple que
N E k= 1 = 1 @ N2 E2 I = I2 - I1 n = N1 - N2 I 1n = IN2
Para un autotransformador reductor: I 2 > I1
I 2 U1 @ I1 U2
I 2 es opuesta a I 1
I 1( N1 - N2 ) = ( I 2 - I 1) N2;
N1 - N2 + N2 = N2
N1 I 2 = = K N2 I 1 I 1( N1 - N2 ) = IN2 N1 I - 1= = k - 1 N2 I1 I I 1 I k= 2 = 2 ; = 1I1 I 2 - I k I2
I2 I1
I 1 k-1 = 1- = I2 k k U1 =k U2 Un n k- 1 = = U 1 N1 k Un = k- 1 U2
La potencia aparente entregada en el secundario es: U 2I 2
La potencia transformada por la bobina del secundario es: U 2I
Esta es la potencia de dimensionamiento de la máquina. k - 1 ö U 2I = U 2I 2æ ç ÷ è k ø
La diferencia de las dos es
k - 1 ö æ k - 1 ö = U I æ 1- 1+ 1 ö U 2I 2 - U 2I = U 2I 2æ ç ÷ = U 2I 2ç 1÷ ç ÷ k ø 2 2è k ø è k ø è U 2I 2 - U 2I = U 2I 2
1
Es la potencia que pasa directamente sin transformarse. k-1 1 ö U 2I = U 2 I 2 = U 2I 2æ ç 1- ÷ k è k ø
Ventajas del autotransformador: – Menor costo – Menor tamaño – Mayor rendimiento – Mejor regulación – Menor corriente de vacío. Inconvenientes del autotransformador:
– Mayor corriente de cortocircuito – Conexión eléctrica entre el primario y el secundario. TRANSFORMADORES EN PARALELO Primer transformador U 1' ' U 12 = = U '2 + I '2 Z'e2 '
Segundo transformador
U 1'' ' ' U 12 = ''
Por estar en paralelo: '
= U '2' + I '2' Z'e'2
''
'
''
U 1 = U 1 = U 1; U 2 = U 2 = U 2 ' ' ' ' ö '' æ '' '' '' ö U 1 = k' æ çU 2 + I 2 Ze2 ÷; U 1 = k' ' çU 2 + I 2 Ze2 ÷ è ø è ø ' ' ' '' '' '' k' æ çU 2 + I 2 Ze2 ö÷ = k'' æ çU 2 + I 2 Z e2 ö÷ è ø è ø
'
'
'' ''
k' I 2Z e2 - k' ' I 2Ze2 = ( k' ' -k' )U 2
La corriente total tomada por la carga es: ' '' '' ' I = I 2+ I2 Þ I 2 = I -I 2 '
'
''
1 ''
k' I 2 Ze2 - k' ' I Ze2 + k' ' I 2 Ze2 = ( k' '-k' )U 2 ' ' '' ö '' I 2æ ç k' Ze2 + k' ' Ze2 ÷ - k' ' I Ze2 = ( k' ' -k' )U 2 è ø ' I2=
''
( k'' -k' )U 2 + k'' I Ze2 '
''
k' Ze2 + k'' Ze2
Igual para I''2: '' I2 =
'
- ( k' '-k' )U 2 + k' I Ze2 '
''
k' Ze2 + k' ' Ze2
Para k'¹ k''e I = 0: '
''
I 2 = -I 2 = I c I c ® corriente de circulación entre ambos transformadores.
Para k' = k'' e I ¹ 0:
''
Ze2
' I2=
' '' Ze2 + Z e2
I
'
Ze2
'' I2 =
' '' Ze2 + Ze2
I
De donde: '
I2 '' I2
Para que ambas corrientes estén en fase:
''
ZE2
= ' ZE2
tga ' = tga '' R'e2 R''e2 = X'e2 X''e2
Condiciones para una correcta conexión en paralelo de transformadores: – Igual polaridad – Igual relación de transformación – Igual grupo de conexión – Iguales tensiones nominales – Relación de impedancias equivalentes inversamente proporcionales a las corrientes nominales. – Igual relación resistencias / reactancias. TRANSFORMADORES TRIFÁSICOS Las transformaciones trifásicas pueden ser: – Con tres transformadores monofásicos – Con un transformador trifásico. Conexión Yy Dd Yd Dy
TIPOS DE CONEXIÓN Relación de tensiones (r) 3E1 r= =k 3E2 E r= 1 =k E2 3E1 r= = 3k E2 E k r= 1 = 3E2 3
Yz
3E1 2 k = E2 ö æ 3 2 3ç ÷ cos30° è 2 ø E1 2 r= = k E ö 3 2 3æ ç 2 ÷ cos30° è 2 ø
r=
Dz
Conexión en V
En triángulo: I L = 3I F = 3I n
En conexión V: IL = IF = In
Las potencias son: En D: En V:
PD = 3UI PV = UI PV 1 = = 0,58 PD 3
La potencia suministrada se reduce al 58%. ALTERNADORES NOMENCLATURA p: número de pares de polos P: número de polos (P = 2p) m: número de fases Q: número de canaletas del estator t : paso polar b: paso de bobina o ancho de bobina b/t = l : factor de paso q = Q/p = t : número de ranuras por polo n = Q/mp: número de ranuras por polo y por fase q' = Q/m: número de ranuras por fase c: número de capas o lados de bobina que tiene cada canaleta a o : grados geométricos a e : grados eléctricos.
FRECUENCIA Y NÚMERO DE POLOS
f =
Np NP = 60 120
N®[RPM];
f ® [1/s]
GRADOS ELÉCTRICOS Y GEOMÉTRICOS e a
2a e a ° = = p P
FUERZA ELECTROMOTRIZ INDUCIDA Para flujo sinusoidal: E = 2,22 Z f f f
E: fuerza electromotriz por fase [volt] Zf : número de conductores activos, por fase f : frecuencia [Hz] f : flujo de un polo [Wb].
Para b
b 2
Llamaremos factor de reducción: E p b b p kr = b = sen = sen = senl t 2 2 2 2 b por ser t = p (eléctricos) y l = . t
Factor de distribución
Para unbobinado concentrado (fem en fase): E = Eb1 + Eb2 + L + Ebn E: femdel grupo de bobinas de la fase Eb1; Eb2;...: fuerzas electromotrices de cada bobina componente del grupo.
Para bobinado distribuido (fem fuera de fase): kd =
Para todas las bobinas iguales:
E Eb1 + Eb2 + Eb3
(según figura)
kd = kd: factor de distribución. Según figura: b =
t
=
180e
E nEb
;
180e a = n
90e E = 2OAsen = 2OAsen 2 m a 90e Eb = 2OAsen = 2OAsen 2 nm b
90e sen m kd = 90e n sen n
Luego, la fem en una fase resulta: E = 2,22kr kd Z f f f
kr: factor de reducción del paso.
Factor de bobinado:
kb = kr .kd E = 2,2 kb Z f f f
ARMÓNICAS DE LA fem Suponiendo una distribución del flujo magnético de forma rectangular: j =
4 æ 1 1 ö f ç senw t + sen3w t + sen5w t + L÷ p è 3 5 ø
Cada armónica produce una fem de la misma frecuencia. Una cualquiera puede expresarse como: Er = 2,22krr kdr Z fr f rf r
r: orden de la armónica.
El valor eficaz de la fem resultante es:
f r = rf
E = E12 + E22 + E32 + L
Los factores dereducción y de distribución se calcula como:
p rb = sen rl 2 2 æ 90e ö ÷ sençç r m ø÷ è kdr = æ 90e ö ÷ n senç r ç nm ÷ è ø
krr = sen
Debido a que el ángulo eléctrico para cada armónica es r veces el de la fundamental. Para anular las armónicas: p ö p krr = senæ ç rl ÷ = 0 Þ rl = p Þ 2 è 2 ø
l =
2 r
Las femde las tres fases resultan: e0R = 2E1senw t + 2E3sen3w t + 2E5sen5w t + L e0S = 2E1sen(w t - 120) + 2E3sen3(w t - 120) + 2E5sen5(w t - 120) + L e0 T = 2E1sen(w t - 240) + 2E3sen3(w t - 240) + 2E5sen5(w t - 240) + L
Reduciendo los ángulos al valor inferior: Fase directa
e0R = e0S = e0 T =
Fase nula
Fase inversa
2E1senw t + 2E3sen3w t + 2E5sen5w t + L 2E1sen(w t - 120) + 2E3sen3w t + 2E5sen5(w t - 240) + L 2E1sen(w t - 240) + 2E3sen3w t + 2E5sen5(w t - 120) + L
Sistema de fase directa (6r+1): w; 7 w; 13 w; etc. Sistema de fase nula (6r+3): 3 w; 9 w; 15 w; etc. Sistema de fase inversa (6r+5): 5 w; 11 w; 17 w; etc. Para una conexión "estrella" las tensiones de línea son: eRS = e0R - e0S eST = e0S - e0 T e TR = e0 T - e0R
En las tensiones de línea no están presentes las armónicas de orden 6r+3. Por ello: U LINEA < 3U FASE
La consecuencia de esto es que por el neutro circula una corriente de frecuencia triple, respecto de la de línea, ya que las restantes frecuencias (6r+3) resultan de poca importancia.
En la conexión triángulo, poco usada, existe en su interior corrientes debidas a la 3° armónica de las fem. CAMPO MAGNÉTICO DEL ROTOR Densidad superficial de corriente o napa de corriente A: A=
ZI d
[A-conductor-radian] o [A-conductor-centímetro]
Z ® cantidad de conductores en una canaleta I ® corriente que pasa por cada conductor dx® distancia medida sobre la superficie del rotor.
La fuerza magnetomotriz puede expresarse como: F=
ZI (cada dos conductores forman una espira) 2
Si consideramos un rotor en el cual los conductores de la bobina están distribuidos un su superficie, en un ángulo q 0 , la corriente de un diferencial de arco (un conductor) es: dI = Adq
y la fem:
dF = Adq
Tratándose de una onda rectangular: dF =
4 Adq æ 1 1 ö ç seng + sen3g + sen5g + L÷ p 2 è 3 5 ø
La amplitud de la fundamental es, para un dq : dF1max =
4 Adq p 2
La fem resultante es la suma geométrica de la fem de cada espira. Para determinar la resultante se define el coeficiente: q 0 q 0 2 Rsen sen Cuerda AB 2 = 2 k= = q 0 Arco AB Rq 0 2 La amplitud de la fundamental para q 0 es:
F1max =
4
q q 4 A 0 k = Asen 0 = 2F1 p 2 p 2
Comúnmente se construye el rotor con q 0 = 23p : F1max =
De donde:
4 p
A
3 = 1,1A 2
F1max = 1,05 Fmax
CAMPO MAGNÉTICO DEL INDUCIDO Número de conductores por canaletas: z =
Z Q
Z Número de conductores por fase y por polo: z f = zn = mP Z Número de espiras por fase: N f = 2mP
Fmmpor polo y por fase: ( Ni ) =
Zi (para un campo alternativo) 2mP
Tres campos alternativos iguales, igualmente desplazados en el espacio y alimentados por un sistema trifásico perfecto forman un campo rotante de amplitud 3/2 veces la amplitud de cualquiera de sus componentes. Luego la amplitud del campo rotante es:
( NI ) =
3 Z 2I 2 2mP
(para un campo rotante)
Expresión válida para una distribución sinusoidal de la fmm en el entrehierro y para una sola bobina por polo y por fase de paso integral. Para tener en cuenta que la onda de flujo es rectangular tomamos la componente fundamental, multiplicando por 4/p. Para tener en cuenta un bobinado distribuido y de paso acortado empleamos el factor de bobinado kb, luego: 3 Z 2I 4 ZI Z Q ( NI ) = kb = 1,35 kb = 1,35 Ik 2 2mP p mP Q mP b
( NI ) = 1,35znIkb I : valor eficaz de la corriente en una cualquiera de las fases.
ESTUDIO FUNCIONAL DEL CAMPO DEL ESTATOR Se denomina reacción del inducido al campo rotante que se origina por efecto de las corrientes
del estator. Tomando la primera armónica de la fuerza magnetomotriz (según figura) tenemos: f = N f i senq i = 2I cosw t = I max cosw t
Luego:
f = N f I max cos t senq 1 1 f = ( N f I max ) éê sen(q - w t) + sen(q + w t)ùú 2 ë2 û
Para las tres fases: 1 1 f R = ( N f I max ) éê sen(q - w t) + sen(q + w t)ùú 2 ë2 û 1 1 f S = ( N f I max ) éê sen(q - 120 - w t + 120) + sen(q - 120 + w .- 120t)ùú 2 ë2 û é 1 sen(q - 240 - w t + 240) + 1 sen(q - 240 + w t - 240)ù f = N I ( ) T f max ê úû 2 ë2
Sumando la fmm de las tres fases del estator obtenemos el campo rotante: f = f R + f S + f T =
3 ( N I ) sen(q - w t) 2 f max
La amplitud de este campo es: F=
3 (N I ) 2 f max
La velocidad angular es w . Si se considera la onda rectangular, la amplitud de la primera armónica es: F=
43 ( N f I max) = 1,9( N f I max) p 2
La reacción de armadura o reacción del inducido es un campo rotante complejo compuesto por: – Una primera armónica que produce un campo directo – Una quinta armónica que produce un campo rotante inverso de velocidad cinco veces mayor – Otros campos de menor importancia –No se encuentra presente la tercera armónica. CUPLA ACTUANTE SOBRE EL ROTOR Despreciando las pérdidas mecánicas y las pérdidas magnéticas: Pmec = Pe
Pmec ® potencia mecánica Pe ® potencia eléctrica Pe = Pu + Pep
Pu ® potencia útil Pep ® potencia eléctrica de pérdidas Pmec = Pe = 3ui + 3i 2R = 3( u + iR)i = 3ei = -3iN
Por otra parte:
dj d
Pmec = CW C ® cupla W ® velocidad angular geométrica W =
1 dq p dt
q ® ángulo eléctrico
Reemplazando e igualando: C C = -3piN
d dq
1 dq d = -3iN p dt dt
(– por oponerse al movimiento)
La napade corriente del estator es: a=
å zi d
a ® napa de corriente instantánea z® número de conductores por canaleta i ® corriente que circula por cada conductor dx® distancia entre ejes de dientes
La sumatoria se debe a que en una canaleta se pueden encontrar conductores de diferentes fases (corrientes de distintos sentidos). Para un determinado instante: a = 2Asenq q ® ángulo descripto a lo largo del entrehierro.
CAMPO DEL ENTREHIERRO EN CARGA ALTERNADOR A ROTOR LISO (CIRCUITO MAGNÉTICO NO SATURADO)
f 01 = 2FI 1senq f 01 ® primera armónica de la fmm del rotor.
f I 1 = 2FI 1sen(q + d 1)
f I1 ® primera armónica de la reacción de inducido.
La fmmresultante es: f c = 2Fcsen(q + d )
f c ® fmm resultante en carga.
La reacción de inducido se puede descomponer en: FI 1t = FI 1send 1
(componente transversal)
FI 1d = FI 1 cosd 1
(componentedirecta)
Esta última puede ser magnetizante o desmagnetizante, según sea el factor de potencia de la carga. ALTERNADOR A POLOS SALIENTES
b01 = 2B01senq
b01 ® inducción debida a los polos. f I 1 = 2FI 1sen(q + d 1) f I1 ® fmm del estator. f I 1d = f I 1 cosd 1 = 2FI 1sen(q + d 1) cosd 1 f I 1t = f I 1send 1 = 2FI 1sen(q + d 1) send 1 f I1d ® componente según el eje directo f I1t ® componente según el eje transversal. Esto constituye la doble reacción de Blondel
Del mismo modo, las corrientes: I = I d + It
Los coeficientes de proporcionalidad entre B y F , kd y kt, son (para una máquina con circuito magnético saturado): B kd = I 1d FI 1d B kt = I 1t FI 1t kd/kt es igual a la unidad para rotores lisos y aproximadamente 0,7 para los de polos salientes. Por ser kd ¹ kt la onda de flujo (primera armónica) no está en fase con la fmm. Para obtener el campo resultante se superponen la tres ondas, si el circuito no está saturado. Caso contrario se suman las fmm del eje directo y luego se compone esta suma con la del eje transversal.
FUNCIONAMIENTO DEL ALTERNADOR A ROTOR LISO CON CIRCUITO MAGNÉTICO NO SATURADO La feminstantánea en cada fase es:
e = u + iR
El flujo total que pasa por las N espiras de una fase es: L = Nj
Luego: e= -
dL = u + iR d
El flujo totalizado L se compone de: L0 ® flujo totalizado producido por los polos del rotor LI ® reacción de armadura. L = L0 + LI dL dL dL =- 0- I dt dt dt di e = e0 - Ls d e0 = e+ Ls
di di = u + iR + Ls d d
Ls ® inductancia sincrónica o cíclica.
Utilizando fasores y valores eficaces: E 0 = U + I R + jw Ls I
Llamando reactancia sincrónica al valor: X s = w Ls
tenemos: E 0 = U + I R + jX S I = U + I ( R + jX S ) = U + I Z S
Donde ZS es la impedancia sincrónica y vale: Z s = R + jX s DETERMINACIÓN DE LA IMPEDANCIA SINCRÓNICA
Se hace mediante una característica de vacío y una característica de cortocircuito de la máquina. Con el alternador en corto circuito se tiene: E = Zs I cc
Como Xs >>R: E @ j I cc X s
Con valores obtenidos de las características de vacío y corto circuiro: Zs =
Midiendo R, se puede calcular:
E I cc
=
AC ´ escala AB ´ escala
X s = Zs2 - R2
Este es el método aproximado de Behn–Eschenburg. FUNCIONAMIENTO DEL ALTERNADOR A ROTOR LISO CON CIRCUITO MAGNÉTICO SATURADO En este caso el flujo magnético de la máquina lo consideramos compuesto por: a) FLUJO ÚTIL: flujo en el entrehierro compuesto por las fmm del rotor y del estator (no proporcional a i). b) FLUJO DISPERSO o DE DISPERSIÓN: flujo no encadenado en su totalidad por los conductores de la fase (proporcional a i). El flujo disperso produce una fem que vale: ed = - Ld
Empleando fasores:
di dt
E d = - jLd I = jX d I
Ld ® inductancia de dispersión Xd ® reactancia de dispersión.
El flujo en el entrehierro se compone de: L = Lu + Ld = Lu + Ld I Lu produce la fem en carga ec: dL ec = u d Luego: dL dL di = - u - Ld dt dt dt di u + iR = ec - Ld dt Empleando fasores: E = U + I R + j I X d Las fuerzas magnetomotrices son: F c = F0 + F I
y las corrientes de excitación: i 0 = i c - ke I
i0 ® corriente de excitación en vacío ic ® corriente de excitación para producir ec I ® corriente de una fase en carga ke ® coeficiente de equivalencia entre las corrientes del rotor y del estator.
Si la máquina no está saturada el triángulo OAB es semejante al OFE: BA = J w keI CA = jw ( Ld + ke) I
de donde:
Ls = Ld + ke Característica de corto circuito
Para este caso en particular tenemos: E c = ( R + jw Ld ) I cc @ jw Ld I cc
por se R<
Reemplazando: k0ic = Ld I cc k0i0 - k0keI cc = w Ld I cc k0i0 = I cc( k0ke + w Ld ) I cc =
k0i0 w Ld + k0ke
Característica a corriente reactiva
Del diagrama fasorial: U = E c - jw Ld I DU d = X d I n i0 = ic + keI
Determinación de la reactancia de dispersión y del coeficiente de equivalencia.
Para ello se requiere: – Característica avacío y una característica de corriente reactiva, o – Característica a vacío, característica de corto circuito y un solo punto de la característica a corriente reactiva. 1° caso: Del triángulo de Potier: Xd =
DU d
=
OM ´ escala In
In kI O' M ´ escala ke = e n = In In
2° caso: DU d
A' B' ´ escala In In B' C' ´ escala ke = In Xd =
=
FUNCIONAMIENTO DEL ALTERNADOR A POLOS SALIENTES CON CIRCUITO MAGNÉTICO NO SATURADO. MÉTODO DE BLONDEL Consideramos las siguientes fmm: – fem debida al flujo de los polos E0 – fem debida al flujo creado por la corriente I di del estator – fem debida al flujo creado por la corriente I t del estator.
De donde se tiene:
E di = - jw Ldi I di E t = - jw Lt I t E 0 = U + I R + J w Ldi I di + jw Lt I t
Determinación experimental de las reactancias
Los parámetros a determinar son: Xdi y Xt. Xdi se puede determinar de igual forma que en el caso del alternador a rotor liso. Xdi y Xt de pueden determinar además, en forma aproximada, por el método del resbalamiento reducido.
– Se alimenta el estator con tensión reducida (sin saturación y con pequeña cupla). – Se hace girar el rotor a velocidad algo distinta del campo rotante (sin excitación)
– Se obtiene la representación gráfica de la tensión y la corriente en el estator. La corriente será mínima y la tensión será máxima cuando los polos del campo rotante pasen frente al eje directo. La corriente será máxima y la tensión será mínima cuando los polos del campo rotante pasen frente al eje transversal. Esto es debido a que Ldi > Lt. Por lo que (según figura), despreciando la resistencia de fase, se tiene: EF ´ escala GH ´ escala AB ´ escala Xt = w Lt = CD ´ escala X di = w Ldi =
Para máquinas de gran potencia es más fácil calcula Xt a partir de Xdi como: Xt @ 0,7X di
FUNCIONAMIENTO DEL ALTERNADOR A POLOS SALIENTES CON CIRCUITO MAGNÉTICO SATURADO En este caso se considera el flujo del estator compuesto por: – Flujo útil – Flujo disperso. A la fem generada se la considera compuesta por la suma de Edi + Et; por lo que, según lo visto para el alternador de rotor liso con circuito magnético saturado, tenemos E di + E t = U + I R + jw Ld I
La fem Et de reacción de armadura según el eje transversal resulta proporcional a It debido a que el flujo correspondiente se establece en el aire, por lo que la saturación no tiene influencia, luego: E t = - jw kt I t kt ® coeficiente de reacción transversal. Por lo cual: E di = U + I R + jw Ld I + jw kt I
Según figura, por semejanza de triángulos: HC = jw kt I
BC = jw Ld I + jw kt I = jw ( Ld + kt ) I
Con la dirección OC se descompone la corriente en I di e It, pudiendo luego construirse el diagrama fasorial. MARCHA DE ALTERNADORES EN PARALELO Máquina N° 1:
e1 = 2E cos2p f 1t
Máquina N° 2:
e2 = 2E cos 2p f 2t v = e1 - e2 = 2E( cos2p f 1t - cos2p f 2t)
Para trabajar en paralelo debe cumplirse: de donde V=0
E1 = E2 ; q = 0
æ f + f ö æ f - f ö v = e1 - e2 = -2 2Esen2p ç 1 2 ÷t´ sen2p ç 1 2 ÷t è 2 ø è 2 ø f + f f 0 = 1 2 @ f 2 f - f f b = 1 2 2
(Frecuencia fundamental) (Frecuencia de batido)
La conexión en paralelo requiere: 1.- Igual secuencia de las dos ternas 2.- Igual modulo de la tensión en las tres fases 3.- Igual frecuencia 4.- Igual fase para las tres tensiones de fase. ALTERNADORES TRABAJANDO EN PARALELO Proyectando sobre el eje directo y sobre el eje transversal los fasores del diagrama: E 0 = U cosa + I di Xdi 0 = U sena - I t Xt E - U cosa I di = 0 X di It =
U sena Xt
U = U cosa - jUsena ; I = I t - jI di *
P = 3U I
*
U conjugado de U
P = 3(U cosa + jUsena )( I t - jI di ) = 3(UI t cosa + UI di sena ) - j 3(UI di cosa - UI tsena )
Potencia activa: Pa E0U U2 U2 Pa = 3 sena + 3 sena cosa - 3 sena cosa X di Xt X di E0U U 2 æ 1 1 ö÷ Pa = 3 sena + 3 çç sen2a X di 2 è X t X di ø÷
ö E0U U 2 æ çç 1 - 1 ÷÷sen2a C=3 sena + 3 Ns X di 2Ns è Xt X di ø
MOTORES ASINCRÓNICOS TRIFÁSICOS La base de la existencia de la cupla motora es la diferencia de velocidad entre el campo rotante y el rotor (se debe cumplir que Ns>N). N -N s= s Ns s® resbalamiento Ns ® velocidad del campo rotante N ® velocidad del rotor. N = Ns - sN = Ns(1- s) =
60 f (1- s) p
La velocidad relativa Nr entre el campo rotante y el rotor es: 60 f Nr = Ns - N = Ns - Ns(1- s) = Ns(1- 1+ s) = sNs = s p
Para N=Ns ® s=0; para N=0® s=1. Análisis de funcionamiento
Para rotor bloqueado:
N p N = 0 ® f 2 = f 1 = s 60 f 1 ® frecuencia de la corriente del estator f 2 ® frecuencia de la corriente del rotor.
Para el motor en marcha: Ns > N > 0 ®
N p N p f 2 = r = s s = f 1s 60 60
La fem en cada fase del rotor con el mismo bloqueado es: E 2 = - j 2,22kr kd z f f 1F F ® flujo creado por el campo rotante.
Para este caso la reactancia de dispersión por fase del secundario será: X 2 = 2p f 1L2
La femen marcha normal es: E 2s = - j 2,22kr kd z f sf 1F
Y la reactancia de dispersión: X 2s = 2p f 1sL2
De donde: E 2s = sE 2 y X 2s = sX 2
La impedancia de cada fase del rotor, para una velocidad cualquiera es: Z2s = R2 + jX 2s = R2 + jsX 2
La corriente que circula por fase del rotor es: E sE2 E2 E2 I 2s = 2s = = = R2 R Z2s æ R2 ö + jX 2 ( R2 + jX 2 ) + æ sç + jX 2 ö÷ ç 2 - R2 ÷ è s ø s è s ø
Llamamos resistencia ficticia de carga Rc al valor:
Luego:
R 1- s Rc = 2 - R2 = R2 s s I 2s =
E2 Z2 + Rc
CIRCUITO EQUIVALENTE La femE2 se la puede repartir en: sE 2 y (1- s) E 2
Del circuito equivalente: sE 2 = I 2s ( R2 + jsX 2 ) = I 2s ( R2 + jX 2s ) X ö æ R E 2 = I 2sç 2 + j 2s ÷ s ø è s
Multiplicando por (1–s): 1- s 1- s ö (1- s) E 2 = I 2sæ + jX 2s ç R2 ÷ s s ø è
Llamando Zc a la impedancia equivalente a la carga:
(1- s) E 2 = I 2s Zc POTENCIA Y CUPLA La potencia desarrollada en el resistor imaginario Rc representa la potencia mecánica desarrollada por fase (Pm), la que se transforma en: – Potencia útil (Pu) – Pérdidas mecánicas (pm) Pm = 3R2
1- s 2 I =P +p s 2s u m
Reemplazando I 2s (tomando el módulo de E2s): E22s 1- s E22s E22s2 1- s 1- s 3E22(1- s) R2 Pm = 3 2 R2 =3 R2 = 3 2 2 2 R2 = 2 s s s éæ R ö 2 ù Z2s R2 + s X 2 æ R2 + s2X 2 ö 2 2 ç 2 sêç ÷ + X 2 ú 2÷ è ø êëè s ø úû
La cupla resulta: Pm 3´ 0,975E22( 1- s) R2 3´ 0,975E22(1- s) R2 3´ 0,975E22R2 Cm = 0,975 = = = 2 N éæ R ö 2 ù é ù ù 60 f R2 ö 60 f éæ R2 ö 2 æ 2 2 2 2 sN êç ÷ + X 2 ú s (1- s)êç ÷ + X 2 ú s êç ÷ + X 2 ú p p êëè s ø êëè s ø úû êëè s ø úû úû pE22 sR2 Cm = K = Cu + cm f R22 + X 22s2