4. TRIGONOMETRI I A. Trigonometri Dasar y r cos α = x r y tan α = x
sin α =
B. Perbandingan trigonometri sudut sudut Istimewa (30º, 45º, 45º, 60º) Nilai perbandingan trigonometri sudut istimewa dapat dicari dengan menggunakan segitiga sikusiku istimewa (gb. 1 dan gb.2) αº
sin
cos
30
½
½ 3
45
½
60
½ 3
2
2
½ ½
tan 1 3
3 1
3
gambar 1
gambar 2
C. Perbandingan Trigonometri sudut berelasi 1. Sudut berelasi (90º – α) a) sin(90º – α) = cos α b) cos(90º – α) = sin α c) tan(90º – α) = cot α 2. Sudut berelasi (180º – α) a) sin(180º – α) = sin α b) cos(180º – α) = – cos α c) tan(180º – α) = – tan α 3. Sudut berelasi (270º – α) a) sin(270º – α) = – cos α b) cos(270º – α) = – sin α c) tan(270º – α) = cot α 4. Sudut berelasi (– α) a) sin(– α) = – sin α b) cos(– α) = cos α c) tan(– α) = – tan α
D. Identitas Trigonometri sederhana 1. tan α =
sin α cos α
2. ctan α = cos α sin α
3. sec α =
1 cos α
4. csc α = 5. sin
2
α +
1 sin α
cos
2
α =
1
6. 1 + cot2α = csc2α 7. tan
2
α +
1 = sec
2
α
Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPA
http://www.soalmatematik.com E. Koordinat Kutub dan Cartesius : Merubah dari koordinat kartesius ke kutub : Merubah dari koordinat kutub ke kartesius
F. Rumus–Rumus dalam Segitiga 1. Aturan sinus
:
2. Aturan Kosinus
:
a = b = c = sin A sin B sin C 2
2
2r
2
a = b + c – 2bc cos A
3. Luas segitiga a) L = ½ a · b sin C
: ∆ dengan kondisi “sisi sudut sisi”
a 2 ⋅ sin B ⋅ sin C b) L = 2 sin(B + C)
: ∆ dengan kondisi “sudut sisi sudut”
c) L =
s( s − a)(s − b)( s − c ) , s = ½(a + b + c)
4. Jari–jari lingkaran dalam segitiga rd =
5. Jari–jari lingkaran luar segitiga
rl =
6. Rumus luas segi n beraturan Jika panjang jari-jarinya diketahui
360 n
L = π r ⋅ sin 2 2
: ∆ dengan kondisi “sisi sisi sisi”
luas ∆ 1 keliling ∆ 2
a
=
abc 4 luas∆
2 sin A
Jika panjang sisinya diketahui 2
n ⋅ S
o
L=
2 ( n − 2)⋅180 2n
o
⋅ sin
( n −2 )⋅180 n
2 sin
o
Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e-book kumpulan soal UN
27
Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPA
http://www.soalmatematik.com SOAL 1. Luas suatu segitiga adalah
11 14
2
cm , panjang
kedua sisinya 5 cm dan 9 cm. nilai cos sudut apit kedua sisi yang diketahui adalah … a. 12
3
b. 12
2
c. d. e.
1 3 1 2 1 4
b. c. d.
17 28 3 7 30 34
11 14 = { 45 = 4
1 ⋅ 5 ⋅ 9 sin C 2 45 2 sin C} × 45 2
sin C =
3
1 2
=
y r
→ x =
22
2 −1 =
3
maka: cos C =
2
2. Nilai cos ∠BAD pada gambar adalah …
a. 17 33
PENYELESAIAN Gunakan Rumus 3. a) L = ½ a · b sin C
x r
=
3 2
= 12
3 ………………(a)
Gunakan bantuan tali busur BD
o
o
e. 33 35
Jumlah dua sudut yang berhadapan dalam segi-4 adalah 180° , sehingga: ∠A + ∠C = 180° ∠C = 180° – ∠A Panjang BD dapat dicari dengan menggunakan ∆ BCD dan ∆ BAD (i) ∆ BCD 2 2 2 BD = 3 + 3 – 2 ⋅ 3 ⋅ 3 cos C = 9 + 9 – 18 cos (180 ° – A) = 18 – 18 (–cos A) = 18 + 18 cos A …………………(1) (ii) ∆ BAD 2 2 2 BD = 4 + 6 – 2 ⋅ 4 ⋅ 6 cos A = 16 + 36 – 48 cos A = 52 – 48 cos A ………………..(2)
Dari pers. (1) dan pers. (2) diperoleh 2
2
BD = BD 18 + 18 cos A = 52 – 48 cos A 18 cos A + 48 cos A = 52 – 18 66 cos A = 34 cos A = 34 = 17 …………(a) 66 33
Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e-book kumpulan soal UN
28
Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPA
http://www.soalmatematik.com SOAL
PENYELESAIAN Panjang CD dapat ditentukan dengan menggunakan bantuan luasan segitiga.
3. Diketahui segitiga ABC dengan panjang sisi AB = 3 cm, AC = 4 cm, dan ∠CAB = 60°. CD adalah tinggi segitiga ABC. Panjang CD = … cm a.
2 3
3
b. 3 c. 2 d. e.
3 2
3
1 2
2 3
AB
∆ ABC = ∆ ABC 1 ⋅ CD = AB ⋅ AC sin 2
A
CD = 4 sin 60 ° CD = 4 ⋅ 12
4. Seorang siswa SMA ingin menaksir tinggi gedung PQ yang tegak lurus permukaan tanah horizontal AP. Di A ia melihat puncak gedung Q dengan sudut 30º dan di B dengan sudut 60º. Jika AB = 10 meter dan tinggi mata siswa tersebut 1½ meter dari permukaan tanah, maka PQ terletak di antara ….. m
3 = 2 3 ………………(e)
Menentukan panjang P’Q (i) ∆ A’B’Q tan 30º = 1 3
3 =
P' Q A' B ' P' Q
10 + B ' P'
P’Q = 13
( 3 = 1,7321).
3 (10 + B’P’) ……………(1)
(ii) ∆ B’P’Q tan 60º =
3 = P’Q = a. b. c. d. e.
P' Q B ' P' P' Q
B ' P '
3 B’P’ …………………….(2)
Dari pers. (1) dan pers. (2) diperoleh:
8½ – 9 9 – 9½ 9½ – 10 10 – 10½ 10½ – 11
P’Q = P’Q { 13 3 (10 + B’P’) =
3 B’P’}×
3 3
10 + B’P’ = 3 B’P’ 3B’P’ – B’P’ = 10 2B’P’ = 10 B’P’ = 10 = 5 2 Maka P’Q =
3 B’P’ = 5 3
Dengan demikian: PQ = P’Q + PP’ = 5 3 + 1,5 = 8,5 lebih + 1,5 = 10 lebih ……………..(d)
Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e-book kumpulan soal UN
29
Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPA
http://www.soalmatematik.com SOAL 5. Pada segitiga lancip ABC diketahui panjang sisi
PENYELESAIAN
x cos B = 4 = , maka
AC = 4cm, AB = 5 cm, dan cos B = 4 ,
5
5
maka cos C = … a.
3 5
b.
1 4
c.
3 4
e.
2
−4
jadi: sin B =
7
2
=3
3 5
Gunakan aturan sinus
d. 1 7 3 1 2
5
y=
r
c
7
b
=
sin C 5 sin C
=
sin B 4 3 5
4sin C = 3 sin C =
3 4
=
jadi: cos C =
y r
7 4
= 1
4
2 19
b.
3 19
c.
4 19
2
2
3 29
=
7
7 ………………….(b)
2
4 ⋅ 19 = 2 19 …………………...(a)
7. Diketahui ∆ PQR dengan PQ = 464 2 m, ∠PQR = 105º, dan ∠RPQ = 30º. Panjang QR = … m
Gunakan aturan sinus karena kondisi segitiganya “sudut sisi sudut”
a. 464 3 b. 464 332 2
d. 232 2 e. 232
2
= 136 – 60 = 76 = 4 ⋅ 19 BC =
c.
−3
BC = 10 + 6 – 2 ⋅ 10 ⋅ 6 cos 60 ° = 100 + 36 – 120 ⋅ 12
d. 2 29 e.
2
Gunakan aturan kosinus karena kondisi segitiganya ‘sisi sudut sisi”
6. Pada segitiga ABC diketahui sisi AB = 6 cm, AC = 10 cm, dan sudut A = 60 °. Panjang sisi BC = … a.
4
, maka x =
∠R
= 180° - ( 30° + 105°) = 45°
QR
sin 30
= o
PQ
sin 45
⇔ o
QR 1 2
=
464 2 1 2
2
QR = 464 ………….(b) Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e-book kumpulan soal UN
30
Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPA
http://www.soalmatematik.com SOAL 8. Diketahui segitiga ABC dengan AB = 7 cm, BC = 5 cm, dan AC = 6 cm. Nilai sin ∠BAC = … 5 a. 7 2 b. 6 7 24 c. 49 2 d. 7 1 e. 6 7
PENYELESAIAN
Gunakan aturan kosinus, karena kondisi segitiganya “sisi sisi sisi”
2
2
2
5 = 6 + 7 – 2 ⋅ 6 ⋅ 7 cos A 25 = 36 +49 – 84 cos A 25 = 85 – 84 cos A 84 cos A = 85 – 25 = 60 cos A = y= Jadi: sin A =
60 84
=
72 2 6 7
4 ⋅3⋅ 5 4 ⋅3⋅ 7 −5
=
2
2 7
=
=
5 7
=
x r
, maka
24 = 2 6 6 …………………(b)
9. Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A ke pelabuhan B sejauh 60 mil dengan arah 40 ° dari A, kemudian berputar haluan dilanjutkan ke pelabuhan C sejauh 90 mil, dengan arah 160° dari B. Jarak terdekat dari pelabuhan A ke C adalah … mil a.
30 2
b. 30 5 c.
30 7
d. 30 10 e.
30 30
berdasarkan gambar di atas panjang AC dapat dicari dengan menggunakan aturan kosinus. 2
2
2
AC = 60 + 90 – 2 ⋅ 60 ⋅ 90 cos 60 = 3.600 + 8.100 – 2 ⋅ 5400 ⋅ 12 = 11.700 – 5.400 = 6.300 = 7 ⋅ 9 ⋅ 100 BC
=
9 ⋅ 100 ⋅ 7 = 30 7 ……………..(c)
Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e-book kumpulan soal UN
31
Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPA
http://www.soalmatematik.com SOAL 10. Dua buah mobil A dan B, berangkat dari tempat yang sama. Arah mobil A dengan mobil B membentuk sudut 60°. Jika kecepatan mobil A = 40 km/jam, mobil B = 50 km/jam, dan setelah 2 jam kedua mobil berhenti, maka jarak kedua mobil tersebut adalah … km a.
PENYELESAIAN
Gunakan aturan kosinus, karena kondisi segitiganya “sisi sudut sisi”
10 21
b. 15 21 c.
20 21
Jarak AC dan BC setelah 2 jam adalah AC = 40 km/jam × 2 jam = 80 km BC = 50 km/jam × 2 jam = 100 km
d. 10 61 e.
20 61
Sehingga jarak AB setelah 2 jam adalah: 2
2
2
AB = 80 + 100 – 2 ⋅ 80 ⋅ 100 cos 60° = 6.400 + 10.000 – 2 ⋅ 8.000 ⋅ 12
= 16.400 – 8.000 = 8.400 = 21 ⋅ 4 ⋅ 100 4 ⋅ 100 ⋅ 21 = 20 21 …………….(c)
AB = 11. Diketahui segiempat PQRS dengan PS = 5 cm, PQ = 12 cm, QR = 8cm, besar sudut SPQ = 90°, dan besar sudut SQR = 150 °. Luas PQRS adalah …
(i) tentukan panjang sisi QS QS = = a. b. c. d. e.
2
46 cm 2 56 cm 2 100 cm 2 164 cm 2 184 cm
52
+ 12
2
25 + 144 =
169 = 13
(ii) tentukan luas ∆PQS dan ∆QRS • luas ∆PQS = L1 L1 = 12 ⋅ 12 ⋅ 5 = 30 •
luas ∆QRS = L2 L2 = 12 ⋅ QS ⋅ QR sin 150° = 12 ⋅ 13 ⋅ 8 sin (180 – 30) = 13 ⋅ 4 ⋅ sin 30 = 13 ⋅ 4 ⋅ 12 = 26
Jadi: Luas PQRS = L1 + L2 = 30 + 26 = 56 ……………(b)
Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e-book kumpulan soal UN
32
Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPA
http://www.soalmatematik.com SOAL 12. Diberikan prisma tegak segitiga ABC.DEF
PENYELESAIAN
dengan panjang rusuk AB = 6 cm, BC = 3 7 , dan AC = 3 cm. Tinggi prisma adalah 20 cm. Volume prisma adalah …
(i) Tentukan luas alas ABC •
menentukan besar sudut A 2
2
2
( 3 7 ) = 3 + 6 – 2 ⋅ 3 ⋅ 6 cos A 9 ⋅ 7 = 9 + 36 – 36 cos A 36 cos A = 45 – 63 = – 18
a. 55 2
x 1 cos A = − 18 = – = , diperoleh 2 36 r
b. 60 2 c. 75 3 d. 90 3
22
y=
− ( −1)
e. 120 3 sehingga sin A =
3 2
2
3
=
= 12
3
luas ABC adalah: L = 12 AC ⋅ AB ⋅ sin A = 12 ⋅ 3 ⋅ 6 ⋅ 12 = 92
3
3
(ii) Volume Prisma V = luas alas × tinggi = 92
3
× 20
= 90 3 ………………(d)
Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e-book kumpulan soal UN
33