4-Teoria de Reduccion de Fuerzas II

UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA FACULTAD DE INGENIERIA

ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

MECANICA DE SOLIDOS I TEORIA DE REDUCCION DE FUERZAS II

Ing. JOSE A. HIDALGO REYES Docente del Curso

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MOMENTO DE UN PAR

2 • Ing. JOSE A. HIDALGO REYES



MOMENTO DE UN PAR

Un par se define como dos fuerzas paralelas que tienen la misma magnitud, con direcciones opuestas, y están separadas por una distancia perpendicular d. Como la fuerza resultante es cero, el único efecto de un par es producir una rotación o tendencia a rotar en una dirección específica.




MOMENTO DE UN PAR El momento producido por un par se denomina momento de par. Podemos determinar su valor encontrando la suma de los momentos de ambas fuerzas del parrA con respecto a cualquier arbitrario. los vectores de posición y rB están dirigidos desde punto el punto O hasta los puntos A y B que se encuentran sobre la línea de acción de -F y F. El momento del par calculado con respecto a O es, por tanto:




MOMENTO DE UN PAR Es más fácil tomar momentos con respecto a un punto que se encuentre sobre la línea de acción de una de las fuerzas. Si se elige el punto A, entonces el momento de -F con respecto a A es cero, y tenemos :

un momento de par es un vector libre es decir, puede actuar en cualquier punto ya que M depende sólo del vector posición r dirigido entre las fuerzas y no de los vectores de posición rA y rB, dirigidos desde el punto arbitrario O hasta las fuerzas 5 • Ing. JOSE A. HIDALGO REYES



MOMENTO DE UN PAR FORMULACION ESCALAR El momento de un par, M, de la figura , es definido poseyendo una magnitud de : donde F es la magnitud de una de las fuerzas y d la distancia perpendicular o brazo de momento entre las fuerzas. La dirección y el sentido del momento de par son determinados mediante la regla de la mano derecha. En todos los casos, M actúa perpendicularmente al plano que contiene esas fuerzas.




MOMENTO DE UN PAR FORMULACION VECTORIAL :

El momento de un par puede expresarse también mediante el vector producto cruz es decir :

La aplicación de esta ecuación se recuerda fácilmente si se piensa en tomar los momentos de ambas fuerzas con respecto a un punto que se encuentre obre la línea de acción de una de las fuerzas. Por ejemplo, si los momentos se toman con respecto al punto A , el momento de -F es cero con respecto a este punto, y el momento de F se define a Por tanto, en la formulación, r se multiplica vectorialmente (producto cruz) por la fuerza F a la cual está dirigida.

• Ing. JOSE A. HIDALGO REYES

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MOMENTO DE UN PAR

PARES EQUIVALENTES :

Para que un par se equivalente a otro se debe cumplir: • Magnitud del momento resultante igual • Sentido de giro del momento el mismo. • Estar en planos paralelos




MOMENTO DE UN PAR

MOMENTO DE UN PAR RESULTANTE : Como los momentos de par son vectores

libres, pueden aplicarse en cualquier punto P sobre un cuerpo y ser sumados vectorialmente. Por ejemplo, los dos pares que actúan sobre planos diferentes del cuerpo mostrado en la figura pueden ser reemplazados por sus correspondientes momentos de par M1 y M2, figura, y luego esos vectores libres pueden ser desplazados al punto arbitrario P y sumarse para obtener el momento de par resultante MR = MI + M2, mostrado en la figura. Si más de dos momentos de par actúan sobre el cuerpo, podemos generalizar este concepto y escribir el vector resultante como :










MOMENTO DE UN PAR




MOMENTO DE UN PAR




MOMENTO DE UN PAR




MOMENTO DE UN PAR




TRASLACION DE UNA FUERZA EN SU PLANO




TRANSLACION DE UNA FUERZA EN EL PLANO Supongamos tener un cuerpo plano y un punto A en el cual está aplicado la fuerza F1 y en un punto B en el cual está aplicada la fuerza F2. Queremos ahora que las fuerzas F1y F2 estén aplicadas en el punto C.




TRANSLACION DE UNA FUERZA EN EL PLANO Si por el punto C trazo una paralela a la dirección de F1 y una paralela a F2. Si sobre la paralela a F1 coloco dos fuerzas colineales de igual intensidad a F1 y sentido contrario, no varió para nada el sistema. Si sobre la paralela a F2 que pasa por el punto “ C” hago lo mismo ,tampoco me variará el sistema. 18 • Ing. JOSE A. HIDALGO REYES



TRANSLACION DE UNA FUERZA EN EL PLANO Me quedan determinado dos pares de fuerzas cuyos momentos son M1 y M2. También los momentos M1 y M2 se los puede trasladar (la propiedades pares de fuerza) hacia fuera del plano y los puntos A y B quedan libres y en el punto C quedan aplicadas dos fuerzas F1 y F2. Fig. 2 . También se puede componer M1 y M2 y obtener un momento resultante.




RESULTANTE DE UN SISTEMA DE FUERZAS NO CONCURRENTES NI PARALELOS.




SISTEMA DE FUERZAS PARALELAS. Se denominan así a aquellas fuerzas cuyas rectas de acción son paralelas entre sí. Pueden ser de igual o distinto sentido. Fuerzas paralelas de igual sentido :

La resultante de un sistema de dos fuerzas paralelas de igual sentido cumple con las siguientes condiciones: a) Es paralela y del mismo sentido que las componentes. b) Su intensidad es igual a la suma de las intensidades de las componentes. 21 • Ing. JOSE A. HIDALGO REYES



SISTEMA DE FUERZAS PARALELAS.

Método Gráfico: para obtener gráficamente la resultante de un sistema de fuerzas paralelas de igual sentido, se representa F1 a continuación y sobre la recta de acción de F2 ( F'1) y F2 a continuación y sobre la recta de acción de F1 (F'2). La resultante del sistema pasará por el punto intersección de las rectas que unen el extremo de F'1 con el punto aplicación de F'2 y viceversa.





Método Analítico d ------------------------------------------------x d-x -------------------------------------------------

El punto de aplicación de la resultante (R) cumple con : F1.x = F2 . (d-x). El cual nos aportara una ecuación de la que podemos obtener “x” que es la distancia de una de las fuerzas al punto de aplicación de la resultante. • Ing. JOSE A. HIDALGO REYES

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Fuerzas paralelas de sentido contrario: La resultante de un sistema de dos fuerzas paralelas de sentido contrario cumple con las siguientes condiciones: a) Es paralela a ambas fuerzas y del mismo sentido de la mayor. b) Su intensidad es igual a la diferencia de las intensidades de las componentes. c) Su punto de aplicación es exterior al segmento que une los puntos de aplicación de ambas fuerzas, situado siempre del lado de la mayor y determina dos segmentos que cumplen con la relación de Stevin. 24 • Ing. JOSE A. HIDALGO REYES




Método Gráfico: para obtener gráficamente la resultante de un sistema de fuerzas paralelas de sentido contrario (F1 < F2), se representa F1 sobre el punto de aplicación de F2 ( F'1), con sentido contrario a F1 ,y F2 sobre el punto de aplicación de F1 (F'2) con igual sentido que F2. La resultante del sistema pasará por el punto intersección de las rectas que unen los puntos de aplicación de F'1 y F'2 y los extremos de ambas.





Método Analítico

d+x -------------------------------------------------------__________________________________ d x ----------------------------------------------------------

El punto de aplicación de la resultante (R) cumple con : F1.x = F2 . (d-x). El cual nos aportara una ecuación de la que podemos obtener “x” que es la distancia de una de las fuerzas al punto de aplicación de la resultante. • Ing. JOSE A. HIDALGO REYES

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Conclusiones: Resultantes de sistemas de fuerzas paralelas

Se halla la Resultante , y reducimos el Sistema a un Sistema Fuerza Par en el origen de coordenadas.

Para calcular el nuevo punto de aplicación de R, lo haremos igualando: 27 • Ing. JOSE A. HIDALGO REYES






Solución:













Como la fuerza R y el vector del par MRo son perpendiculares entre sí, el sistema fuerza-par encontrado puede aún reducirse a una fuerza única R. El nuevo punto de aplicación de R se seleccionará en el plano de la placa, de tal manera que el momento de R con respecto a “o” sea igual a

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Llamando al vector posición del punto de aplicación deseado “x” y “z” sus coordenadas, tenemos:




PAR TORSOR




PAR TORSOR

La fuerza R y el vector del par M1 tienden a la vez, a trasladar el cuerpo rígido, sobre el cual actúan, en la dirección de R y a hacerlo rotar alrededor de la línea de acción de R . La línea de acción de R se conoce como el eje del torsor, y el cociente es llamado paso del torsor.




Reducir el torsor mostrado en la figura a un sistema que conste de dos fuerzas perpendiculares al eje y aplicadas en A y B, respectivamente. R = 60 lbs. M = 400 lb.pulg a = 5 pulg. b = 10 pulg.










SISTEMAS EQUIVALENTES DE FUERZAS





El punto O está sobre la línea de acción de la fuerza:

Considere el cuerpo mostrado en la figura a, el cual está sometido a la fuerza F aplicada en el punto A . Para aplicar la fuerza en el punto O sin alterar los efectos externos sobre el cuerpo, aplicaremos primero fuerzas iguales pero opuestas F y -F en O, como se muestra en la figura b. Las dos fuerzas indicadas mediante la raya que las atraviesa pueden ser canceladas, dejando la fuerza en el punto O como se requiere, figura c.





El punto 0 no está sobre la línea de acción de la fuerza: Este caso se muestra en la figura a, donde F va a desplazarse hacia el punto 0 sin alterar los efectos externos sobre el cuerpo. Siguiendo el mismo procedimiento que antes, primero aplicamos fuerzas iguales pero opuestas F y -F en el punto 0, figura b. Aquí las dos fuerzas señaladas mediante una raya transversal forman un par que tiene un momento perpendicular a F y es definido por el producto cruz M = r X F. Como el momento de par es un vector libre, puede ser aplicado en cualquier punto sobre el cuerpo como se muestra en la figura c. En adición a este momento de par, F actúa ahora en el punto 0 como se requiere.





Resultantes de un sistema de una fuerza y un par : Cuando un cuerpo rígido está sometido a un sistema de fuerzas y momentos de par, a menudo es más sencillo estudiar los efectos externos sobre el cuerpo reemplazando el sistema por una sola fuerza resultante equivalente actuando en un punto específico O y un momento de par resultante.





Reducción adicional de un sistema de una fuerza y un par

De la teoría anterior podemos ver que si un sistema de fuerzas ubicados en diferentes puntos del cuerpo se pueden trasladar a un punto “O” obteniéndose como resultante.




modo que el sistema de fuerzas actuando en la figura (A) es equivalente al sistema de la figura C.













La losa que aparece en la figura 4-45a está sometida a cuatro fuerzas paralelas. Determine la magnitud y la dirección de una fuerza resultante equivalente al sistema dado de fuerzas y localice su punto de aplicación sobre la losa.




Requerimos que el momento con respecto al eje x de la fuerza resultante, figura 4-45b, sea igual a la suma de los momentos con respecto al eje x de todas las fuerzas presentes en el sistema, figura 4-45a.
















MECÁNICA DE SOLIDOS I

GRACIAS • Ing. JOSE A. HIDALGO REYES

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