MOMEN INERSIA LUASAN MOMEN INERSIA dari suatu luasan merupakan konsep abstrak dalam ilmu mekanika bahan. Konse onsep p ini ini buk bukan meru merupa pak kan sif sifat dari dari luas luasan an,, tet tetapi api lebi lebih h meru merupa pak kan besa besarran mate matema mati tiss murn murnii dan dan meru merupa pak kan konse onsep p yang yang sang sangat at pent pentin ing g dala dalam m memp mempel elaj ajar arii meka mekani nik ka baha bahan. n.
a y x o A
Y
X
KETERANGAN; A = Luasan bidang datar a = Luasan bidang kecil-kecil X = Koordinat sumbu horizontal Y = koordinat sumbu vertikal x = jarak lu luasan san a dengan ti titik su sumbu ara arah X y = jarak lu luasan san a dengan ti titik su sumbu ara arah Y O = titik sumbu
Ix adalah Momen Inersia arah sumbu X-X Iy adalah Momen inersia arah sumbu Y-Y Momen Inersia Luasan adalah jumlah luasan kecil-kecil (a) masing-masing dikalikan dengan kuadrat jarak (lengan momen) dari sumbu yang dilihat. Ix adalah jumlah dari perkalian masing-masing luasan (a) dan kuadrat kuadrat dari lengan momen y atau Ix = Σa.y2 Iy adalah jumlah dari perkalian masing-masing luasan (a) dan kuadrat kuadrat dari lengan momen x atau Iy = Σa.x2 BY : TUKIMUN,ST.,MT
BY : TUKIMUN,ST.,MT
BY : TUKIMUN,ST.,MT
Contoh Soal : Hitung Momen Inersia terhadap sumbu sentroid X-X pada luasan seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut ini : a. Gunakan rumus Eksak b. Gunakan metode pendekatan dan bagi luasan menjadi 4 bagian mendatar sejajar sumbu X-X. c. Gunakan metode pendekatan dan bagi luasan menjadi 8 bagian mendatar sejajar sumbu X-X. Bagaimana hasilnya....????
PENYELESAIAN: A. DENGAN RUMUS EKSAK
20 cm X
SUMBU SENTROID
40cm X 20 cm
Ix
= bh3 / 12 = 20 x (403) / 12 = (20 x 64.000) /12 = 1.280.000 / 12 = 106.666,67 cm 4
20cm
BY : TUKIMUN,ST.,MT
b. Luasan dibagi menjadi 4 sejajar sumbu X-X
y1
Diketahui ; Y1 = 10 + 5 = 15 cm Y2 = 5cm
20 cm SUMBU SENTROID
X y2
40cm 20 cm
Maka : Luas a1 = a2 : 10 x 20 = 200 cm2 Ix
20cm
= Σa.y2 = 2 x (a1.y12 + a2.y22) = 2 x (200 . 15 2 + 200 . 5 2) =2 x (45000 + 5000) = 100.000 cm 4
Bandingkan dengan momen inersia dengan hitungan eksak (teoritis), presentasi error adalah ; 100.000 – 106.666,67 x 100 % = -6,25% 106.666,67
BY : TUKIMUN,ST.,MT
b. Luasan dibagi menjadi 8 sejajar sumbu X-X
20 cm
y4
Diketahui ; Y1 = 2,5 cm ; y2 = 5 +2,5 = 7,5 cm Y3 = 5 + 5 + 2,5 = 12,5 cm ; y4 = 5+5+5+2,5 =17,5 cm
y3
40cm Maka : Luas a1 s/d a4 : 5 x 20 = 100 cm 2
y2
X
y1 SUMBU SENTROID
20 cm
20cm
Ix = Σa.y2 = 2 x (a1.y1 2 + a2.y22 +a3.y32 + a4.y42) = 2 x (100 . 2,5 2 + 100 . 7,5 2 + 100 . 12,5 2 + 100 . 17,52 ) =2 x (625 + 5625 + 15625 + 30625) = 105.000 cm 4
Bandingkan dengan momen inersia dengan hitungan eksak (teoritis), presentasi error adalah ; 105.000 – 106.666,67 x 100 % = -1,56% 106.666,67
BY : TUKIMUN,ST.,MT
Maka kesimpulannya adalah : Semakin kecil pembagian ukuran suatu luasan, maka akan diperoleh nilai yang semakin mendekati eksak (kebenaran).
Momen Inersia adalah merupakan sifat geometris sehingga momen inersia tidak dipengaruhi oleh jenis bahan.
BY : TUKIMUN,ST.,MT
RUMUS PERPINDAHAN (TRANSFER FORMULA) Rumus perpindahan adalah penentuan momen inersia suatu luasan terhadap sumbu tidak sentroid. a = Luasan bidang Y X
X
Sumbu Sentroid
d
X’
X’ Sumbu tidak Sentroid
Gambar : Momen Inersia terhadap sumbu tidak sentroid Momen Inersia luasan terhadap sumbu sembarang X’ -X’ yang sejajar terhadap sumbu sentroid X-X disebut Parallel axis theorem, ditentukan dengan Rumus ;
I = Io + ad2
I = Momen inersia luasan thd sumbu tertentu Io = Momen inersia thd sumbu sentroid A = Luasan D = Jarak tegak lurus diantara sumbu sejajar akibat perpindahan jarak. BY : TUKIMUN,ST.,MT
MOMEN INERSIA LUASAN KOMPOSIT Seringkali suatu luasan disusun oleh berbagai komponen luasan (komposit). Masingmasing luasan komponen boleh jadi memiliki sumbu sentroid yang berbeda. Jika luasan disusun oleh ( n ) komponen luasan dinyatakan dengan luasan (a1, a2, a3,....a..dst), maka Rumus Perpindahan akan diterapkan pada masing-masing luasan komponen. Sehingga momen Inersia adalah Jumlah dari momen-momen inersia semua komponen luasan. Sehingga secara matematis dapat dinyatakan:
I = (Io1 + a1.d12)+ (Io2 + a2.d22)+........ (Ion + an.dn2) Sehingga :
I = Σ (Io + ad2)
BY : TUKIMUN,ST.,MT
Contoh Soal : Hiitung momen inersia terhadap sumbu sentroid X-X dan Y-Y suatu luasan komposit sebagaimana ditunjukkan gambar beriikut ini: Y b1 Diketahui ; a3 b1 = 304 mm = 30,4 cm t1 b2 = 150 mm = 15 cm h = 356 mm = 35,6 cm h a2 t1 = 25 mm = 2,5 cm X X t2 = 25 mm = 2,5 cm t3 = 25 mm = 2,5 cm t3 a1 Y
t2 b2
Gambar : Luasan Komposit
BY : TUKIMUN,ST.,MT
Penyelesaian: Sumbu vertikal Y-Y adalah sumbu sentroid yang merupakan sumbu simetri. Untuk menentukan titik sumbu sentroid X-X, dipilih sumbu referensi di bagian bawah luasan komposit yang akan dibagi menjadi 3 komponen persegi panjang sebagaimana gbr berikut: Y Perhitungan luasan dan jarak a3
Luasan komponen
y3
a2
a1
X
X
y2
a2
y1 a1 Sumbu Referensi
a3
Y
Σ
BY : TUKIMUN,ST.,MT
A (cm2)
Y (cm)
Ay (cm2)
(15x2,5) = 37,5
1,25
46,875
(30,6x2,5) = 76,5
17,8
1.361,7
(30,4x2,5) = 76
34,35
2.610,6
190
4.019,175
Maka :
Y = Σay : Σa = 4019,175 : 190 = 21,15 cm
Kemudian hitung momen inersia terhadap luasan komposit dengan mengacu sumbu sentroid X-X, sehingga jarak perpindahan adalah: Y
3 d
d1 = 21,15 – 1,25 = 19,9 cm d2 = 21,15 – 17,8 = 3,35 cm d3 = 34,35 – 21,15 = 13,2 cm
2 d
X
X Sumbu sentroid 8 , 7 1
5 1 , 1 2
1 d
Momen inersia masing-masing luasan komponen berupa kotak maka:
bh3 I = Sumbu Referensi
12
Y Sehingga:
Io1 = (15.2,53)/12 =19,53 cm4 Io2 = (2,5.30,63)/12 =5969,3 cm 4 Io3 = (30,4.2,53)/12 =39,58 cm 4 BY : TUKIMUN,ST.,MT
Maka Momen inersia dari luasan komposit terhadap sumbu sentroid X-X adalah: Ix = Σ (Io + ad2) = ((19,53 + 37,5 . (19,9)2) + ((5969,3 76,5. (3,35)2) + ((39,58 + 76 . (13,2)2) = 34979,54 cm4 Momen Inersia terhadap sumbu sentroid Y-Y lebih mudah dihiitung karena sumbu sentroid masing-masing luasan komponen berimpit (coincide) dengan sumbu Y-Y. Maka bentuk ad2 untuk masing-masing luasan komponen adalah Nol. Rumus perpindahan menunjukkan bahwa momen inersia luasan komposit adalah jumlah dari momen inersia luasan komponen terhadap sumbu sentroidnya yang berimpit dan sejajar terhadap sumbu sentroid Y-Y. Momen inersia terhadap sumbu sentroid Y-Y adalah:
Iy = Σ Io = Σbh3 / 12 = 2,5.(15)3/12 + 30,6.(2,5)3/12 + 2,5.(130,4)3/12 = 6596 cm4 Maka : Ix = 34979,54 cm4 Iy = 6596 cm4 BY : TUKIMUN,ST.,MT
RADIUS GIRASI Radius Girasi dari suatu luasan dinyatakan sebagai jarak dari sumbu referensi terhadap suatu luasan yang dapat dianggap berada pada titik tertentu tanpa mengalami perubahan momen inersianya. Pengertian yang lebih praktis adalah hubungan antara momen inersia dan luasannya. Radius girasi diberi simbol dan dinyatakan sebagai: r = akar dari momen inersia dibagi luas penampangnya r=
I/A
Dimana ; R = Radius Girasi terhadap sumbu tertentu (mm) I = Momen Inersia tterhadap sumbu yang sama (mm4) A = Luasan Penampang (mm2) Radius Girasi merupakan fungsi dari momen inersia. Rumus Radius Girasi untuk bentuk geometris sederhana dapat dilihat pada tabel 3.1 ( sifat-sifat luasan).
BY : TUKIMUN,ST.,MT
Contoh Soal: Hitung Radius Girasi terhadap sumbu sentroid X-X dari suatu luasan sebagaimana ditunjukkan oleh gambar berikut: Diameter lubang = 150 mm Y a1 X
X
a2
0 0 1
0 0 1
150
Y
150
Gambar : Luasan Komposit Penyelesaian: Perhatikan bahwa luasan komposit disusun oleh luasan dari persegi panjang dan lingkaran (lubang, dinyatakan dengan nilai negatif). Setelah menentukan luasan komposit dan menghitung momen inersia terhadap sumbu sentroid X-X, kemudian menghitung radius girasi terhadap sumbu sentroid X-X.
BY : TUKIMUN,ST.,MT
Perhitungan Luasan : a1 = p x l = 30 x 20 = 600 cm 2 a2 = ¼ phi. d 2 = 3,14.(152) / 4 = 176,7 cm2 Sehingga, A = a1-a2 = 600 – 176,7 = 423,3 cm 2 Momen inersia untuk masing-masing luasan terhadap sumbu sentroidnya adalah: I01 = bh3 / 12 = 30 . (20 3) / 12 = 20000 cm 4 Io2 = phi.d4 / 64 = 3,14 . 15 4 / 64 = 2485 cm 4 Maka momen inersia untuk luasan komposit adalah : Ix = Io1 – Io2 =20000 – 2485 = 17515 cm 4. Sehingga Radius Girasi terhadap sumbu sentroid X-X adalah : rx =
Ix / A
17515 / 423,3 = 6,43 cm
Jadi Radius Girasi thd sumbu sentroid X-X = 6,43 cm
BY : TUKIMUN,ST.,MT
MOMEN INERSIA POLAR Kita sudah mempelajari momen inersia luasan terhadap sumbu yang terletak pada bidang luas. Selanjutnya, kita akan mempelajari momen inersia suatu luasan terhadap sumbu yang tegak lurus bidang luasnya yang disebut sebaggai momen inersia polar. Z Pada gambar disamping : Sumbu Z-Z adalah sumbu tegak lurus terhadap bidang luasan. Maka momen Inersia Y X terhadap sumbu Z-Z adalah jumlah y perkalian masing-masing luasan a r o dan kuadrat lengan momen r. x Momen inersia Polar diberi Notasi J, X Y maka : Z
J = Σ ar2
Gambar : Momen Inersia Polar
Untuk segitiga siku-siku :
r2 = x2 + y2 Masukkan ke persamaan :
J = Σ ar2 = Σ a.(x2 + y2) = Σ ax2 + Σ ay2 BY : TUKIMUN,ST.,MT
Maka :
J = Ix + Iy
Contoh Soal : Hitung momen inersia polar untuk poros lingkaran berlubang dengan diameter luar 10 cm dan diamater dalam 7,5 cm
7,5 10
Dari tabel 3.1. (sifat-sifat luasan) maka untuk bentuk lingkaran momen inersia terhadap titik pusat berat adalah: JCG =( phi/32 ) x (d 04 – di4) =( phi/32 ) x (10 4 – 7,54) = 671,12 cm4
Contoh Soal: Untuk luasan berbentuk T sebagaimana ditunjukkan pada gambar, hitunglah: 1. Momen inersia sentroid 2. Radius Girasi terhadap bidang sentroid 3. Momen Inersia Polar sumbu tegak lurus terhadap bidang luas yang melalui sentroid Penyelesaian: Sumbu sentroid X-X dari luasan komposit telah dinyatakan dalam gambar: 1. Hitung I, momen inersia a1 dan a2 terhadap sumbu sentroidnya adalah sejajar terhadap sumbu sentroid X-X luasan komposit, yaitu: BY : TUKIMUN,ST.,MT
Y
125
125
Momen inersia terhadap sumbu X-X adalah: Io1 = bh3/12 = 25 . 5 3 / 12 = 260,42 cm 4 Io2 = bh3/12 = 5 . 25 3 / 12 = 6510,42 cm 4
50
X
X SUMBU SENTROID
75 250
100
Y
100
50
Gambar : Luasan Komposit
Jarak perpindahan dinyatakan dengan d sesuai gambar disamping sehingga: Ix = Σ(Io +ad2) = ((260,42 + 125.(7,5) 3) + ((6510,42 + 125.(7,5) 3) = 52994,795 + 59244,795 = 112239,59 cm 4
Momen inersia terhadap sumbu Y-Y adalah dengan ad2 = nol Iy = Σ(Io + ad2) = Σ Io = Σ bh3 / 12 = (5 x (25)3 / 12) + (25 x (5)3 / 12) = 6771 cm4
Luas total dari bentuk gambat penampang T diatas adalah : A = a1 + a2 = (25 x 5) +(5 x 25 ) = 125 + 125 = 250 cm 2
BY : TUKIMUN,ST.,MT
b. Radius Girasi terhadap sumbu sentroid adalah: rx = rx =
Ix / A 112239,59 / 250 = 21,18 cm
ry =
Iy / A
ry =
6771 / 250 = 5,28 cm
c. Momen inersia polar terhadap sumbu Z-Z melalui titik pusat berat CG dihitung sebagai berikut: JCG = Ix + Iy = 112239,59 + 6771 = 119010,59 cm 4
BY : TUKIMUN,ST.,MT
BY : TUKIMUN,ST.,MT
