UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE ZACATECAS
MODELADO MATEMÁTICO Y CONTROL PARA LEVITACIÓN MAGNÉTICA Alma Azucena Arjón Puente Elva Nahivy Mandujano García
Tesis de Licenciatura presentada a la Unidad Académica de Ingeniería Eléctrica de acuerdo a los requerimientos de la Universidad para obtener el título de
INGENIERO EN COMUNICACIONES Y ELECTRÓNICA
Directores de tesis: M. en C. Miguel Eduardo González Elías e Ing. Alejandro Chacón Ruiz
UNIDAD ACADÉMICA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Zacatecas, Zac., 24 de agosto de 2007
APROBACIÓN DE TEMA DE TESIS DE LICENCIATURA
Alma Azucena Arjón Puente Elva Nahivy Mandujano García PRESENTES De acuerdo a sus solicitudes de tema de Tesis de Licenciatura del Programa de Ingeniería en Comunicaciones y Electrónica, con fecha 25 de Mayo de 2007, se acuerda asignarles el tema titulado:
MODELADO MATEMÁTICO Y CONTROL PARA LEVITACIÓN MAGNÉTICA Se nombran revisores de Tesis a los profesores M. en C. Miguel Eduardo González Elías e Ing. Alejandro Chacón Ruiz, notificándoles a ustedes que dispone de un plazo máximo de seis meses, a partir de la presente fecha, para la conclusión del documento final debidam ente revisado.
Atentamente Zacatecas, Zac., 27 de Mayo de 2007
Ing. José Antonio Álvarez Pérez Director de la Unidad Académica de Ingeniería Eléctrica
AUTORIZACIÓN DE IMPRESIÓN DE TESIS DE LICENCIATURA
Alma Azucena Arjón Puente Elva Nahivy Mandujano García PRESENTES La Dirección de la Unidad Académica de Ingeniería Eléctrica les notifica a ustedes que la Comisión Revisora de su documento de Tesis de Licenciatura, integrada por los profesores M. en C. Miguel Eduardo González Elías e Ing. Alejandro Chacón Ruiz, ha concluido la revisión del mismo y ha dado la aprobación para su respectiva presentación. Por lo anterior, se les autoriza a ustedes la impresión definitiva de su documento de Tesis para la respectiva defensa en el Examen Profesional, a presentarse el 24 de agosto de 2007
Atentamente Zacatecas, Zac., 16 de Agosto de 2007
Ing. José Antonio Álvarez Pérez Director de la Unidad Académica de Ingeniería Eléctrica
APROBACIÓN DE EXAMEN PROFESIONAL
Se aprueba por unanimidad el Examen Profesional de Alma Azucena Arjón Puente y Elva Nahivy Mandujano García presentado el 24 de agosto de 2007 para obtener el título de:
INGENIERO EN COMUNICACIONES Y ELECTRÓNICA
Jurado: Presidente: M. en C. Miguel Eduardo González Elías
Primer vocal: Ing. Alejandro Chacón Ruiz
Segundo vocal: M. en I. Claudia Reyes Rivas
Tercer vocal: M. en I. Aurelio Beltrán Telles
Cuarto vocal: M. en C. Victor Hernández Ávila
RESUMEN La levitación magnética es un tema que ha ganado importancia en los últimos años, gracias a las múltiples aplicaciones que se le pueden dar, como por ejemplo, el tren de levitación magnética, o maglev, es un tren suspendido en el aire por encima de una vía, entre 10 [cm] y 15 [cm] , siendo propulsado hacia adelante por medio de las fuerzas magnéticas (atractivas y
repulsivas). La ausencia de contacto físico entre el carril y el tren hace que la única fricción sea la del aire, por lo que se pueden conseguir muy altas veloci dades con un consumo de energía razonable. Otro ejemplo es el almacenamiento de energía median te los volantes de inercia, ya que permite hacer girar indefinidamente una rueda superconductora inmersa en un campo magnético de manera que almacene la energía mecáni ca. Este tipo de dispositivo se estudia para la aplicación en trenes o de aerogeneradores (Cedex). Así mismo la levitación también se aplica en medicina cardiovascular con un sistema de asistencia ventricular, compuesto por un ventrículo de asistencia centrífu go y un motor, que proporciona soporte temporal en caso de insuficiencia cardiaca o de fallo ventricular. Es por ello que en este proyecto se ha propuesto desarrollar un control para este tipo de sistema, basándose en investigaciones realizadas anteriormente, en donde el objetivo principal es regular la posición de una bola de metal en levitación. En una primera instancia es necesario obtener el modelo matemático que describa el comportamiento del sistema de levitación, y para ello se ha construido un electroimán y en base a éste obtener los parámetros necesarios para la obtención del modelo. Posteriormente se diseña un sistema de control automático que permita regular la posición del objeto a levitar, utilizando
v diferentes tipos de controladores. Finalmente se procede a validar el esquema de control propuesto, simulando el comportamiento del sistema de control en VisSim. El método de linealización que se utiliza es el de Linealización Exacta por Retroalimentación, el cual consiste en transformar el sistema no lineal srcinal en un modelo equivalente, pero con un comportamiento lineal sobre un punto de operación. Después de haber realizado éste proyecto, se ha llegado a la conclusión de que el tema de Levitación Magnética es un campo muy amplio a estudiar dentro del área del Control Automático, ya que las características no lineales que presenta son un ejemplo clave que describe los sistemas de la vida real. También se ha comprobado que este tipo de sistemas no lineale s puede ser controlado utilizando adecuadame nte las herramientas adquiridas con los conocimientos de Control Automático. El modelado matemático realizado en este proyecto así como el sistema control propuesto, puede ser utilizado como material didáctico y servirá como plataforma de desarrollo para futuras aplicaciones, tales como la implementación física del sistema para desarrollar un equipo didáctico para laboratorio.
vi
Contenido General Pag.
Resumen . . . . . . .
...... .......
...... .......
...... ...
iv
Lista de figuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii Lista de tablas . . . . . . .
...... .......
...... .......
......
xi
Nomenclatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xii 1
1.1 Descripción del proyecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Justificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.5 Descripción del documento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2
Levitación Magnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.2 Electroimán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2.1 Características principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.3 Generación de un campo magnético con electroimanes . . . . . . . . . . . . . 9 2.4 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.4.1 Tren de levitación magnética MAGLEV . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.4.2 Aerogeneradores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.4.3 Levitrón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.5 Posibles aplicaciones futuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.5.1 Lanzadera espacial de levitación magnética . . . . . . . . . . . . . . . 15
3
Modelado Matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 3.2 3.3 3.4
17
Descripción física del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Circuito eléctrico del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Modelado matemático del sistema magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Representación en espacio de estados del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . 23
vii
Pag.
4
Linealización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
4.1 Linealización por realimentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.1.1 Linealización entrada-salida por realimentación . . . . . . . . . . . . . 25 4.2 Aplicación de la linealización entrada-salida al sistema de levitación magnética 29
5
Diseño del Sistema de Control para el Levitador . . . . . .
.......
.....
35
5.1 Diseño de controladores para respuesta sobreamortiguada . . . . . . . . . . . . 35 5.1.1 Control por cancelación de polos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 5.1.2 Control con lugar geométrico de raíces . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 5.1.3 Control en espacio de estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 5.2 Diseño de controladores para respuesta subamortiguada . . . . . . . . . . . . . 41 5.2.1 Control por cancelación de polos con PI . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 5.2.2 Control con lugar geométrico de raíces . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 5.2.3 Control en espacio de estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6
Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1 6.2 6.3 6.4
...........
50
Respuestas obtenidas para sistema sobreamortiguado . . . . . . . . . . . . . . Respuestas obtenidas para sistema subamortiguado . . . . . . . . . . . . . . . Respuesta de la planta a movimientos senoidales . . . . . . . . . . . . . . . . Representación animada del sistema de levitación magnética . . . . . . . . .
Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50 53 57 . 58
59
Apéndices Apéndice A:
Programación con bloques en VisSim . . . . . . . . . . .
Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
...... 63
60
viii
Lista de figuras Figura
Pag.
1.1
Diagrama esquemático del sistema de levitación magnética. . . . . . . . . . . . .
2.1
Suspensión electrodinámica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.2
Componentes de un electroimán. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.3
Electroimán tipo herradura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.4
Electroimán al vació. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.5
Electroimán circular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.6
Electroimán de núcleo fijo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.7
Electroimán conductor recto (únicamente cable). . . . . . . . . . . . . .
2.8
MLX01 Prototipo japonés que alcanzó los 550 [km/h]. . . . . . . . . . . . . . . .
2.9
Aerogeneradores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10 Levitrón. . . . . . . .
...... .......
...... .......
.....
2
10 12
13 ......
14
2.11 Lanzadera espacial de levitación magnética. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......
15
3.1
Sistema de suspension magnética. . . . . . . . . . . . .
3.2
Circuito eléctrico del sistema. . . . . . . .
3.3
Fuerza magnética creada por el campo magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.4 4.1
Representación gráfica de los valores medidos y estimados. . . . . . . . . . . . . 23 Respuesta subamortiguada del sistema linealizado . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.2
Respuesta sobreamortiguada del sistema linealizado . . . . . . . . . . . . . . . . 34
...... .......
. . . . . . . 17 . . . . . . . . 18
ix
Figura
Pag.
5.1
Respuesta sobreamortiguada de la planta linealizada. . . . . . . . . . . .
.....
36
5.2
Ubicación de los Polos y los Ceros de la planta. . . . . . . . . . .
5.3
Ubicación de los Polos y los Ceros del Sistema en lazo cerrado. . . . . . . . . . . 39
5.4
Respuesta subamortiguada de la planta linealizada. . . . . . . . . . . . .
5.5
Ubicación de los Polos y Ceros de la planta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6
Ubicación de los Polos y Ceros del Sistema en lazo cerrado. . . . . . . . . . . . . 45
6.1
Respuesta del control PI para la planta sobreamortiguada ideal. . . . . . . . . . . .
6.2
Respuesta del control PI para la planta sobreamortiguada real. . . . . . . . . . . . 51
6.3
Respuesta del control PI para la planta sobreamortiguada ideal. . . . . . . . . . . .
51
6.4
Respuesta del control PI para la planta sobreamortiguada ideal. . . . . . . . . . . .
52
6.5
Respuesta del control en espacio de estados para el sistema sobreamortiguado ideal. 52
6.6
Respuesta del control en espacio de estados para el sistema sobreamortiguado real.
6.7
Respuesta del co ntrol PID por can celación de polo s para el sist ema subamortiguado ideal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.8
Respuesta del co ntrol PID por can celación de polo s para el sist ema subamortiguado real. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6.9
Respuesta del control PID por prueba y error para el sistema subamortiguado real.
. . . . . . . . . 38
.....
42 44
50
6.10 Respuesta del LGR con red de adela nto y controlador PID para el sist ema subamortiguado ideal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 6.11 Respuesta del LGR con red de adela nto y controlador PID para el sist ema subamortiguado real. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 6.12 Respuesta ideal. . . . utilizando . . . . . . . . . control . . . . . . en . . .espacio . . . . . . .de. .estados . . . . . . para . . . . un . sistema subamortiguado 56 6.13 Respuesta utilizando control en espacio de estados para un sistema subamortiguado real. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
53
54
x
Figura
Pag.
6.14 Respuesta utilizando cancelación de polos para un comportamiento senoidal de la planta sobreamortiguada real. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 6.15 Animación del sistema de levitación magnética. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.1 Programa final control PI. . . . . . . .
...... .......
A.2 Programación del bloque de voltaje. . . . . . . . .
.......
...... .... ...... ....
A.3 Programación del bloque de modelo del levitador. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58 60 61 62
xi
Lista de tablas Tabla
Pag.
3.1
Valores medidos y estimados. . . . . . . .
...... .......
. . . . . . . . 22
4.1
Valores de las ganancias para respuesta Submortiguada . . . . . . . . . . . . . . .
4.2
Valores de las ganancias para respuesta sobreamortiguada . . . . . . . . . . . . . 34
33
xii
Nomenclatura f (x)
Función f respecto a x de un campo vectorial
g(x)
Función g respecto a x de un campo vectorial
i(t)
Corriente que circula por el electroimán
v(t)
Voltaje aplicado al electroimán
y(t)
Distancia entre el electroimán y la bola
Y (s)
Transformada de Laplace de la salida de la planta
V (s)
Transformada de Laplace de la entrada de la planta
dB
Variación del Campo Magnético en función de N
L
Inductancia
R
Resistencia del electroimán
m
Masa de la bola
µr
Permeabilidad magnética del núcleo del electroimán
r
Radio del solenoide
B
Campo Magnético del electroimán
N
Número de vueltas del electroimán
xiii x
Distancia entre un punto cualquiera y alguna de las vueltas del solenoide
Lf
Derivada Lie del campo vectorial f
Lg
Derivada Lie del campo vectorial g
yf
Valor final que alcanza la salida de la planta
Vcte
Voltaje aplicado a la planta
Mp
Máximo sobrepaso de la planta
tb
Tiempo cuando la salida de la planta alcanza 0.632 veces el valor final
ts tp
Tiempo de asentamiento Tiempo pico
Td
Tiempo de derivación
Ti
Tiempo de integración
ζ
Coeficiente de amortiguamiento
ωn
Frecuencia natural
ωd
Frecuencia natural no amortiguada
σ
Parte real de la planta
K
Ganancia del controlador
Kc
Ganancia del compensador
Kp
Ganancia del proporcional
Ki Ke
Ganancia Integral Ganancia que relaciona el valor final de la planta con el valor aplicado
xiv Kv
Ganancia derivativa
z
Cero del compensador
p
Polo del compensador
x
Vector de estado
A
Matriz de estado
B
Matriz de entrada
C
Matriz de salida
D
Matriz de trasmisión directa
I
Matriz identidad
h
Campo escalar
u
Entrada escalar
y
Salida Escalar
ytb
Equivale a 0.632 veces el valor final de la planta
µ0
Permeabilidad magnética del vacío
g
Aceleración gravitacional
m
Metros
cm
Centímetros
mm
Milímetros
V
Volts
A
Amperes
xv Ω
Ohms
Hz
Hertz
seg
Segundos
H
Henrios
rpm
Revoluciones por Minuto
Capítulo 1
Introducción La levitación magnética es un tema que ha ganado importancia en los últimos años, gracias a las multiples aplicaciones que se le pueden dar, como por ejemplo, el tren de levitación magnética, o MAGLEV, es un tren suspendido en el aire por encima de una vía, entre 10 [mm] y 15 [cm], siendo propulsado hacia adelante por medio de las fuerzas magnéticas (atractivas y repulsivas). La ausencia de contacto físico entre el carril y el tren hace que la única fricción sea la del aire, por lo que se pueden conseguir muy altas veloci dades con un consumo de energía razonable [1]. Otro ejemplo es el almacenamiento de energía mediante los volantes de inercia, ya que permite hacer girar indefinidamente una rueda superconductora inmersa en un campo magnético de manera que almacene la energía mecáni ca. Este tipo de dispositivo se estudia para la aplicación en trenes o de aerogeneradores (Cedex). Así mismo la levitación también se aplica en medicina cardiovascular con un sistema de asistencia ventricular, compuesto por un ventrículo de asistencia centrífu go y un motor, que proporciona soporte temporal en caso de insuficiencia cardiaca o de fallo ventricular [2]. Es por ello que en este proyecto se ha propuesto desarrollar un control para este tipo de sistema, basándose en investigaciones encontradas en la literatura [3], [4], en donde el objetivo principal es regular la posición de una esfera de metal en levitación.
2
1.1 Descripción del proyecto En este proyecto se pretende diseñar el control para un sistema de levitación magnética, donde se desea controlar la corriente de un electroimán la cual determina la posición a la que se eleva una bola de metal. El esquema general del sistema se representa en la figura 1.1.
Figura 1.1 Diagrama esquemático del sistema de levitación magnética.
En una primera instancia es necesario obtener el modelo matemático que describa el comportamiento del sistema de levitac ión, y para ello se construyó un electroimán para en base a éste calcular los parámetros necesarios para la obtención del modelo. Posteriormente se diseña un sistema de control automático que permita regular la posición del objeto a levitar, utilizando diferentes tipos de controladores, y finalmente se procede a validar el esquema de control propuesto, simulando el comportamiento del sistema de control en VisSim ECD (Embedded Controls Developer).
1.2 Antecedentes La levitación magnética es un tema que se ha venido estudiando desde hace varios años, esto debido a que el hombre siempre ha buscado la forma de oponerse a la Ley de la Gravedad. Concluido que la levitación es un fenómeno que puede llevarse a cabo en ciertas condiciones especiales.
3 Además, se ha buscado que la levitación de un cuerpo tenga un movimiento deseado, por lo que se han diseñado diversos sistemas de control para conseguirlo. El control automático surgió para poder lograr que un sistema o proceso pueda mejorar su desempeño dinámico y que las variables de interés alcancen los valores deseados [5]. En Japon y Alemania es donde más se ha estudiado éste tema, y se han logrado mantener varios cuerpos en levitación, el máximo logro que se ha tenido es el tren de levitación magnética [4]. En los 90’s, en la Universidad de la Republica de Uruguay [ 6], se realizó un tipo de control automático para la levitación magnética, utilizando un sensor óptico, en donde se dieron cuenta que la planta a controlar es fuertemente no lineal por lo que es necesario la aplicación de herramientas de diseño más avanzadas. En 1994, investigadores de la Escuela Militar de Ingenieros, México, D.F. [7]; realizaron un sistema de levitación magnética controlado con Lógica Difusa y Control Clásico, para utilizarlo como herramienta de laboratorio, en donde se comprobó que el Control de Lógica Difusa arrojó mejores resultados que el Control Clásico. Cabe señalar que el sensor utilizado para detectar la posición de la esfera es un LVDT (Linear Differential Variable Transformer), ya que este funciona variando el voltaje de la salida con respecto al desplazamiento de su núcleo. En 1997, en el departamento de Ingeniería en Electrónica, de la Universidad College, Galway, Ireland [8]; diseñaron un Sistema de Levitación Magnética, basándose principalmente en el diseño del núcleo del electroimán, el cual es tipo E, como el que se usa para el diseño de transformadores, y en base a sus dimensiones se diseñó el control, sin restar importancia a la inductancia y a los diferentes parámetros involucrados para el diseño del control de Compensadores. En el 2004, investigadores del Centro de Investigación de Robótica, Electrónica y Automatización de Amiens, Francia [3]; desarrollaron un Sistema de Control de Levitación Magnética, basándose en el Principio Fundamental de la Dinámica, utilizando el método experimental para la obtención de la ecuación que describe el comportamiento de la Fuerza magnética respecto al voltaje aplicado.
4
1.3 Justificación Se ha realizado este proyecto con la finalidad de mejorar uno de los métodos más prácticos encontrados en la literatura [ 3]. Además se pretende proponer un sistema con un control automático que sirva como herramienta de apoyo para el Laboratorio de Robótica, PLC y Automatización de la Universidad Autónoma de Zacatecas. Se optó por desarrollar este proyecto debido a las características no lineales de la planta, ya que la mayoría de las plantas a controlar son lineales, y un laboratorio de Control, debe incluir plantas no lineales, para probar los diferentes tipos de controladores, y que los alumnos se familiaricen más con las plantas no lineales, ya que en el mundo real las plantas a controlar no son perfectamente lineales. Ya que la levitación magnética ha ido evolucionando desde los primeros estudios que se realizaron sobre ésta desde el año de 1986 [ 9], hasta la actualidad, pues estos estudios han sido la base para el desarrollo de la implementación en avances tecnológicos como lo son el tren de levitación magnética, aerogenerador es, giroscopios, sin mencionar que es un sistema ejemplar para utilizarse como equipo didáctico en las universidades debido a sus características no lineales.
1.4 Objetivos El objetivo principal de la tesis es realizar un control para el Sistema de Levitación Magnética utilizando las herramientas modernas como el software de programación VisSim ECD, para manipular el objeto en Levitación de la forma más conveniente de acuerdo a las condiciones deseadas. Los objetivos generales de la tesis se describen a continuación
• Mejorar el sistema de control para levitación magnética propuesto en [3]. • Diseño de un sistema didáctico para el Laboratorio de Robótica, PLC y Automatización. • Modelar Matemáticamente el sistema de levitación magnética.
5
• Diseñar un sistema de control que permita realizar la levitación magnética para diversos tipos de comportamiento.
• Diseño de un sistema de control de levitaci ón simulado en tiempo real en el
entorno de
VisSim ECD.
1.5 Descripción del documento En este apartado se presenta una breve descripción de los capítulos contenidos en este documento de tesis.
Capítulo 1. Se hace una descripción de los antecedentes, justificación y objetivos, e introducción sobre el tema en general, dando a conocer los trabajos realizados anteriormente por otros investigadores.
Capítulo 2. Se definen los conceptos básicos sobre un sistema de levitación magnética, iniciando por la definición de un electroimán y el campo generado por este mismo. Además se describe el sistema de levitación y sus aplicaciones mas comunes.
Capítulo 3. Se hace el desarrollo necesario para la obtención del modelo matemático de un sistema de levitación magnética.
Capítulo 4. Se presenta el proceso de linealización del modelo matemático por Realimentación. Capítulo 5. Se diseña el control adecuado para la planta a controlar, utilizando diferentes técnicas.
Capítulo 6. Se presentan los resultados obtenidos del proyecto, así como las simulaciones para distintos tipos de comportamiento.
Conclusiones.
Capítulo 2
Levitación Magnética 2.1 Introducción La levitación es, sin lugar a dudas, un fenómeno que siempre ha cautivado la imaginación del ser humano . Hoy en día, se conocen unos cuantos mecanismos físicos que permiten sostener un objeto flotando sin contacto mecánic o alguno con el suelo. No obstante, cuando se pretende explorar este atractivo fenómeno a sistemas de interés científico o tecnológico, aparecen serias dificultades. En particular, las aplicaciones basadas en efectos dinámicos (un colchón de aire, por ejemplo) requieren un ingente aporte de energía, y las que tratan de evitar este problema mediante la estática (como las basadas en imanes que se repelen) son altamente inestables. Una mínima perturbación sobre el objeto levitante lo expulsa irreversiblemente de su posición de equilibrio. Existen dos métodos para obtener la levitación magnética: suspensión electromagnética y suspensión electrodinámica.
Suspensión Electromagnética. Se ha probado que la levitación no puede ser estable bajo magnetismo estático; hay varias maneras de resolver este problema, el uso de materiales diamagnéticos es uno. Las sustancias diamagnéticas rechazan el campo magnético; este efecto se puede utilizar para crear la levitación de objetos ligeros . Particularmente las sustancias superconductores son diamagnéticos perfectos, permitiendo la elevación de objetos más pesados.
7
Suspensión Electrodinámica. En este método se usan campos elec trodinámicos. En donde las cargas producen magnetismo y los imanes móviles producen electricidad; Esto se debe a que ambos fenómenos se han unificado bajo concepto del campo electromagnético. Diversos tipos de conductor es y/o de imanes móviles se pueden utilizar para generar el empuje vertical estable necesitado para la levitación, figura 2.1.
Figura 2.1 Suspensión electrodinámica.
En resumen, se le llama Levitación Magnética al fenómeno de suspender un objeto por medio de un campo magnético generado por uno o más electroimanes.
2.2 Electroimán Tal como su nombre lo indica, un electroimán es un imán que funciona gracias a la electricidad. Se compone de un material ferromagnético denominado núcleo, alrededor del cual se ubica un cable conductor de forma espiral llamado solenoide. En la figura 2.2 se muestran los componentes de un electroimán. En 1820, el físico danés Hans Christian Oersted descubrió que la corriente eléctrica que circulaba por un conducto atraía la aguja de una brújula colocada en sus proximidades. Había hallado el vínculo entre electricidad y magnetismo. Uno de los muchos científicos intrigados por el descubrimiento de Oersted fue el inglés William Sturgeon, quien descubrió que, al atravesar la corriente un conductor enrollado sobre una barra de hierro en forma de herradura, se formaba lo que denominó un electroimán, capaz de levantar veinte veces su propio peso [11].
8
Figura 2.2 Componentes de un electroimán.
Su ventaja sobre los imanes naturales está principalmente en proporcionar un campo magnético más intenso y de duración indefinida. Además, al poder controlarse la señal de corriente eléctrica aplicada, es posible adaptar el campo producido de acuerdo a las necesidades del caso.
2.2.1 Características principales El funcionamiento del electroimán se fundamenta en la ley de Ampere, de acuerdo a la cual, si se hace circular corrien te eléctrica por un conductor, se creará un campo magnético a su alrededor. En el caso del electroimán, el campo generado fluirá por el núcleo ferromagnético (circuito magnético) en una misma dirección, e inducirá a las partículas del núcleo a alinearse en esta dirección, obteniéndose un imán. En su construcción suele utilizarse hierro como núcleo, y un conductor de cobre recubierto por material aislante, como barniz o plástico. La fuerza que ejerza el electroimán sobre algún objeto está directamente relacionada con la corriente que circule por el conductor, además del número de vueltas del mismo. Además también influye el material del cual está compuesto el núcleo del electroimán los materiales mas usuales son el acero dulce, y la ferrita debido a cuentan con buenas propiedades magnéticas. Existen diferentes tipos de electroimanes dependiendo de la forma del núcleo, en las figuras 2.3, 2.4, 2.5 y 2.6 se muestran algunos casos.
9
Figura 2.3 Electroimán tipo herradura.
Figura 2.4 Electroimán al vació.
Figura 2.5 Electroimán circular.
2.3 Generación de un campo magnético con electroimanes Se sabe que una corriente eléctrica es capaz de crear un campo magnético, si la corriente que circula por un conductor recto (figura 2.7), las líneas de fuerza que forman son circunferencias concéntricas al conductor, cuyos planos son perpendiculares al campo magnético producido, de esta manera no tiene polaridad, es decir que no hay una región donde pueda
10
Figura 2.6 Electroimán de núcleo fijo.
considerarse que salen las líneas de fuerza (polo norte) y otra región de donde las líneas entran (polo sur).
Figura 2.7 Electroimán conductor recto (únicamente cable).
Cuando las corrientes se aplican a un alambre en forma circular o bien en nuestro caso a un solenoide compuesto por varias espiras, las líneas de fuerza del campo magnético producido tiene la misma geometría que las líneas de fuerza del campo magnético alrededor de un imán de barra. Entonces, en una espira o un solenoide con corriente se forman polos magnéticos en ambos lados. Por fuera del solenoide las líneas magnéticas van del polo norte al polo sur, y viceversa, como se muestra en la figura 2.4 . Si dentro del solenoide se coloca un núcleo ferromagnético por la influencia del campo magnético el núcleo se magnetiza aumentando grandemente la intensidad del campo magnético. Un dispositivo como éste recibe el nombre de electroimá n, siendo capaz de ejercer fuerzas sobre otros electroimanes, imanes, u objetos compuestos de hierro. Estas fuerzas solo ejercen cuando el embobinado del electroimán es recorrido por una corriente eléctrica y siendo
11 esta es variable fuerza que ejerce también . Cuando la corriente desapa rece también la fuerza magnética. Después de conocer las características del electroimán, se puede plantear el sistema de levitación magnética con electroimanes como lo ilustra la figura 1.1.
2.4 Aplicaciones La levitación magnética ha dado srcen a muchas aplicaciones, a continuación se hace una breve descripción de algunas aplicaciones
2.4.1 Tren de levitación magnética MAGLEV Antes de nada conviene hacerse a la idea de qué es un tren de levitación magnética o en su forma abreviada MAGLEV. Un MAGLEV es un vehículo que utiliza las ondas magnéticas para suspenderse por encima del suelo e impulsarse a lo largo de un carril-guía. Los MAGLEV en el futuro, se podrían convertir en una alternativas al transporte actual ya que se llegado ya a una velocidad de 300 [mph] (más de 500 [km/h]) con un prototipo y necesitaría solamente un 40% del combustible usado por un automóvil por pasajero y milla. Este menor consumo es consecuencia de la reducción del rozamiento al ir el MAGLEV literalmente suspendido sobre el suelo; esto es, sin tocarlo. Un MAGLEV es más confortable que un coche, a avión o tren debido a sus precisos sistemas de amortiguación. En detrimento el MAGLEV requiere su propio carril y no puede ser usado en vías normales. Estos rieles se podrían poner al lado o incluso en medio de los actuales carriles. En los últimos años se ha visto que la gente rehúsa abandonar el uso del automóvil para viajes de menos de 100 [millas] (160.9 [km]), mientras que los aviones son más eficientes en viajes de más de 500 ó 600 [millas]. Por lo tanto los viajes que quedan entr e estas distancias son los que serán cubiertos por los trenes de alta velocida d o por los trenes de levitación magnética. Sustituyendo los vuelos cortos entre partes de un mismo país (ineficientes) por estos trenes se conseguiría reducir la congestión que sufren las autopistas y ayudaría a evitar la saturación en aeropuertos, aparte de crear puestos de trabajo en una amplia gama de industrias.
12 La tecnología utilizada por los MAGLEV es americana y fue creada a mediados de los años 70’s y desarrollada por alemanes y japoneses. Estos últimos han construido pequeñas líneas maglev, la primera en 1960 y la segunda en 1996. La primera tuvo como finalidad verificar la teoría básica de MAGLEV y la segunda estudiar temas más avanzados para hacer pruebas de alta velocidad con el MLX01 con el que se consiguió una velocidad de 550 [km/h] en 1998, el cual se muestra en la figura 2.8.
Figura 2.8 MLX01 Prototipo japonés que alcanzó los 550 [km/h].
El precio de las líneas maglev es actualmente 30 millones la milla lo que queda muy lejos de los aproximadamente 10 millones que cuesta una línea de alta velocidad normal. Sin embargo se espera que en un futuro este precio baje e incluso llegue a hacerse comparable al de las líneas normales [1].
2.4.2 Aerogeneradores Diseñadores chinos revelaron, durante la Exposición Asia Energía Eólica 2006 [ 14], el primer aerogenerador que funciona con levitación magnética permanente. El dispositivo, llamado generador MAGLEV, ha sido anunciado como un logro rupturista en la evolución mundial de la tecnología de energía eólica (figura 2.9). El generador fue desarrollado por el Instituto de Investigación Energético de Guangzhou, bajo supervisión de la Academia China de Ciencias. Se espera que el generador MAGLEV eleve la capacidad de generación energética en un 20% por encima de los aerogeneradores tradicionales [2].
13
Figura 2.9 Aerogeneradores.
Según el jefe científico responsable de la tecnología, el generador puede reducir drásticamente la carestía operativa de las granjas eólicas; casi hasta en un 50%. Según él, esto haría descender el coste del [kVa/h] de energía eólica por debajo de los 5 centavos de dólar USA. El jefe de Zhongke Energy afirmó durante la exposición que el MAGLEV es capaz de utilizar vientos con velocidades iniciales tan bajas como 1.5 metros por segundo, y su velocidad de corte inferior (la velocidad mínima a la que empieza a generarse energía) es de apenas 3 [m/s]. El Worldwatch Institute, citando a la agencia de prensa Xinhua Noticias, afirma que la nueva tecnología podría potencialmente llenar el vacío energético en aquellas localizaciones que no cuentan con conexión a la red eléctrica al aprovechar los recursos eólicos de baja velocidad que previamente eran no aprovechables. Con un número cada vez mayor de inversores, chinos e internacionales, uniéndose al floreciente mercado mundial de la energía eólica, se espera que esta tecnología cree nuevas oportunidades en áreas del globo donde los vientos son bajos, tales como regiones montañosas, islas, observatorios y estaciones repetidoras de televisión. Además, el generador MAGLEV será capaz de proveer iluminación artificial a lo largo de la red de carreteras, aprovechando así las corrientes creadas por los vehículos a medida que pasan.
14
2.4.3 Levitrón El levitrón puede hacer más trucos que un hurón: realmente levita en el aire, desafiando a la gravedad. El juguete funciona sin pilas y puede mantener levi tando la peonza (trompo, peón o piuca es es un juguete de madera, de forma cónica y terminado en una punta metálica) entre 5 y 7 minutos. El secreto es una combinaci ón de imanes en la base, que empujan hacia arriba otro imán de la misma polaridad situado en la base de la peonza. Está demostrado que no existe ninguna configuración de imanes que pueda producir un efecto de repulsión antigravedad estable en materiales y condiciones normales (Teorema de Earnshaw) pero el juguete solventa ese problema concentrando la repulsión en un punto concreto a poca altura, y esto es lo importante: dejando que el efecto giro scópico de la peonza haga el rest o. La peonza simplemente intenta mantenerse fija en ese punto, como en las demostraciones de giroscopios moviéndose sobra la punta de una pequeña torre que sirve como base que se pueden ver en otros vídeos. Manejar el levitrón no es fácil: tiene que estar muy bien nivelado, hay que hacer rotar la peonza a una velocidad bastante precisa (entre 20 y 30 [rpm]) y hay que ajustar el peso con cuidado mediante unos pequeños accesor ios de calibración. Pero, cuando se consigue, garantiza horas de diversión, asombro y charla, tanto por el hecho de que funcione sin pilas como por la magia de la aparente anti-gravitación. Modelos de levitrón funcionando en el vacío, o que contrarrestan el rozamieto ambiental con pequeños chorros de aire o impulsos magnéticos pueden permanecer girando varios días sin problema, figura 2.10, [2].
Figura 2.10 Levitrón.
15
2.5 Posibles aplicaciones futuras Una de las tantas posibles aplicaciones futuras es la que se muestra en la siguiente sección.
2.5.1 Lanzadera espacial de levitación magnética La NASA está estudiando la utilización de tecnología MAGLEV para crear un sistema que asista en el despegue de una nave espacial, figura 2.11 [15].
Figura 2.11 Lanzadera espacial de levitación magnética.
Una pista operacional tendría unos 2400 [m] de longitud y sería capaz de acelerar al vehículo a unos 1000 [km/h] en 9.5 segundos, el que luego debería cambiar a motores a bordo para completar la salida al espacio. La parte más costosa de una misión a una órbita terrestre baja son los primeros segundos, el despegue. La mayor parte de este gast o se debe al peso de la nave esp acial, y como un vehículo MAGLEV utiliza electricidad para acelerarse, el peso de la nave espacial al momento del despegue podría ser de hasta un 20% menos que en un cohete normal. Además este sistema es reutilizable, ya que la pista que se usa para acelerar al vehículo se queda en el suelo. Otros beneficios son que la electricidad no contamina y es mucho más barata. Cada lanzamiento realizado utilizando tecnología MAGLEV (con vehículos a escala real) consumiría cerca de $75 (setenta y cinco dólares) de electricidad en el mercado actual. Un sistema MAGLEV de este tipo sería no necesaria (idealmente) ningún tipo de mantenimiento, ya que no hay partes
16 móvibles y no existe contacto entre el vehículo y la pista. Tanto es así que se espera que un sistema MAGLEV funcione durante 30 años. Se espera que en las proximas decadas un sistema MAGLEV sea utilizado para mandar al espacio pequeños satélit es de comunicación por sólo unos miles de dólares por libra. Dentro de 20 años esta tecnología sería utilizada para poner vehículos mucho más grandes en órbita por sólo cientos de dólares por libra, un gran contraste con el valo r actual de $10 000 (diez mil dólare s) por libra. Pruebas con nav es a escala se realizan en la actualidad en la NASA.
Capítulo 3
Modelado Matemático En esta sección de hace el desarrollo matemático necesario, para encontrar la ecuación que describa el comportamiento del sistema.
3.1 Descripción física del sistema En la figura 3.1 se muestra el esquema de un sistema de levitación magnética, en el que una bola de metal se suspende mediante la fuerza magnética producida por el campo magnético del electroimán, por el cual fluye una corriente controlada por realimentación a través de una medición óptica de la posición de la bola.
Figura 3.1 Sistema de suspension magnética.
donde y(t) es la distancia entre el electroimán y la bola, v(t) es el voltaje de alimentación del electroimán, i(t) es la corriente que circula por el electroimán, R es la resistencia del
18 electroimán, L es la inductancia del electroimán, m es la masa de la bola y g es la aceleración gravitacional. En este proyecto el modelado matemático del sistema está basado en la ecuación del Segundo Principio de Newton, según la literatura [ 3]. Utilizando el principio fundamental de Dinámica, la ecuación del movimiento de la bola esta dada por la ecuación (3.1). m
d2 y(t) = mg dt2
− F (t)
(3.1)
donde F (t) es la Fuerza magnética del control.
3.2 Circuito eléctrico del sistema El circuito que representa el sistema se muestra en la figura 3.2:
Figura 3.2 Circuito eléctrico del sistema.
Resolviendo la malla de la figura 3.2 se obtiene la ecuación (3.2) v(t) = R(t) + L
di(t) d(t)
(3.2)
19
3.3 Modelado matemático del sistema magnético El analisis matématico se obtiene de la literatura [ 3], de la cual se pretende mejorar el control. La fuerza magnética del control entre el solenoid e y la esfera puede ser determinada considerando el campo magnético en función de la separación entre el solenoide y la esfera. Para determinar las no linealidades del modelo, calculamos la fuerza magnética creada por el campo magnético en un punto específico M , el cual puede ser variabl e, como se muestra en la figura 3.3.
Figura 3.3 Fuerza magnética creada por el campo magnético
Considerando que el solenoide tiene un radio r , y una longitud l, una corriente que que fluye a través de la bobina i. El campo magnético creado por el número de vueltas de la bobina ndx se describe de la siguiente forma:
dB =
µ0 µr i 2r
x −3 2 /
2
r2
+1
ndx
(3.3)
donde dB es el campo magnético variable en función del número de vueltas del solenoide, µ0 es la permeabilidad magnética en el vacio, µr es la permeabilidad magnética del nucleo, x es
la distancia entre el punto M y el elemento ndy , el cual representa el extremo del electroimán. La variable y puede expresarse la siguiente forma
20
(3.4)
y = r cot(θ)
donde θ es el ángulo que se forma del punto M a una de las vueltas del solenoide. Sustituyendo la ecuación (3.4) en la ecuación (3.3) se obtiene lo siguiente: 0 r dB = µ µ i (sin( θ)) dθ 2
(3.5)
Utilizando esta notación, el campo magnético con un intervalo de (θ1 − θ2 ) está dado por B=
µ0 µr i (cos ( θ2 ) 2
(3.6)
− cos( θ )) 1
donde cos( θ2 ) =
y
(y + l)
(y + l)2 + r 2 y
cos( θ1 ) =
2
2
y + r
donde θ 1 es el ángulo que se forma del punto M al extremo más cercano del solenoid e, y θ2 es el ángulo que se forma del punto M al extremo más lejano del solenoide.
Por lo tanto B queda expresada de la siguiente forma µ0 µr i B= 2
(y + l) (y + l)2 + r 2
−
y y2 + r2
(3.7)
Por otro lado, el campo magnético del electroimán depende de el número de vueltas, con lo cual los radios r1 y r2 son variables. Usando esta propiedad se tiene
dB =
µ0 µr i 2
(y + l) y (y + l) + r − y + r ndr 2
2
Por lo tanto el campo magnético total está dado por
2
2
(3.8)
21
B=
µ0 µr i (y + l)sin −1 2
r 2
y+l
− sin
−1
r r + y sin−1
1
y+l
1
y
− sin
−1
r 2
y
(3.9)
entonces el la fuerza magnética puede ser expresada como sigue F =
B2 S 2µ0
(3.10)
donde S es el material por el cual pasa el flujo magnético. Finalmente se obtiene
F = C i2 (y + l)sin −1
r 2
y+l
− sin
−1
r r + y sin−1
1
y+l
1
y
− sin
−1
2
r 2
y
(3.11)
en donde 2
C=
(µ0 µr n2 ) S 8µ0
Cabe resaltar que la expresión analítica de la fuerza magnética, resulta muy compleja. Por lo tanto los parámetros de los cuales depende la fuerza magnética son medidos de forma experimental, como lo son la corriente aplicada, y la posición de la bola. Es por ello que el autor propone aproximar la siguiente expresión
C (y + l)sin −1
r 2
y+l
− sin
−1
r r 1
y+l
+ y sin−1
1
y
− sin
−1
como una función polinomial 1 b0 + b1 y + b2 y 2 +
···+b y n
n
Tomando el la posición en el punto de equilibrio se tiene mg = F =
i2 b0 + b1 y + b2 y 2 +
···+b y n
n
en donde la expresión anterior puede ser expresada de la siguiente manera
2
r 2
y
22
i2 = b 0 + b1 y + b2 y 2 + mg
···+b y n
n
(3.12)
Este método consiste en determinar por mínimos cuadrados, la corriente requerida para levantar la bola y mantenerla en levitac ión, para diferentes posiciones. Los datos utilizado s para obtener el polinomio característico son los que se muestran en la tabla 3.1, donde la masa de la esfera utilizada es de m = 0.055 [kg], la inductancia de la bobina es de L = 0.4 [H] y la resistencia de alambre es de R = 6 [ ]. Tabla 3.1 Valores medidos y estimados.
Posición (m) Corriente (A) Fuerza 0.0015
0.38
0.27
0.0030
0.45
0.38
0.0055
0.50
0.48
0.0085
0.55
0.57
0.0110
0.61
0.69
0.0140
0.66
0.81
0.0165
0.70
0.92
0.0195
0.76
1.08
0.0225
0.82
1.27
0.0250
0.92
1.58
0.0280
1.02
1.95
La Fuerza magnética en función de los términos de la corriente aplicada y la posición de la bola queda expresada de la siguiente forma, F =
i2 b0 + b1 y + b2 y 3 + b3 y 4
(3.13)
Aplicando el método de mínimos cuadrados se obtuvieron los valores de de los coeficientes −0.9165, b3 = 1.1994.
b0 = 0.0304, b1 = 0.7159, b2 =
La figura 3.4 muestra la respuesta de los valores medidos experimentalmente.
23
Figura 3.4 Representación gráfica de los valores medidos y estimados.
3.4 Representación en espacio de estados del sistema Se define el vector de estados como
xT = (x1 , x2 , x3 ) = i,y,
dy yt
(3.14)
Definiendo las variables x1 , x2 , y x3 u = v(t) x1 = i(t) x2 = y(t) x3 = y(t) ˙
donde u es el voltaje de entrada, x 1 es la corriente que circula por el electroimán, x 2 es la posición de la esfera, y x3 es la velocidad de la esfera. Las ecuaciones para la representación de estado resultantes son (derivando cada una de las variables): R x˙ 1 =
−Lx
1
1 + Lu
x˙ 2 = x 3
(3.15) (3.16)
24
x˙ 3 = g
1 − v(t) =g− m m
x21 b0 + b1 y + b 2 y 3 + b3 y 4
(3.17)
Representando las ecuaciones anteriores en forma matricial se tiene que
xx˙˙ = g− x˙ 1
−
3
Donde
m
1
x1
L
x3
2
1
R L
x21 b0 +b1 y +b2 y 3 +b3 y 4
− x f (x) = g− x g(x) = 0 u 0 R L
+ 0 u
1
3
1
m
x21 b0 +b1 y +b2 y 3 +b3 y4
(3.18)
0
(3.19)
1
L
(3.20)
Capítulo 4
Linealización Muchos de los estudios que se han realizado sobre el modelado de un sistema de levitación magnética, se han basado en el método de Linealización por Series de Taylor, en donde involucran todos los parámetro s del electroimán. Pero este método a resultado restri ngido, ya que sólo es confiable para variaciones pequeñas del sistema, y para puntos de equilibrio específicos. Por lo que el autor propone utiliz ar el método de Linealización por Realimentación, el cual se describe a continuación.
4.1 Linealización por realimentación Este tipo de linealización, puede resolverse de dos formas, linealización entrada-estado, en la que la ecuación de estado comple ta se linealiza exact amente. Linealización entradasalida, en la que solo la respuesta entrada-salida se linealiza, mientras que una parte del sistema permanece no lineal. La forma de linealización que se utiliza en este proyecto, es la de linealización entradasalida, por lo tanto, solo se hace una introducción a este método.
4.1.1 Linealización entrada-salida por realimentación La linealización entrada-salida, es una técnica por medio de la cual se puede obtener relaciones entrada-salida lineales de sistemas no lineales a través de la realimentación no lineal de estado, lo que implica un modelo exacto, en oposición a la linealización por expansió n en
26 series de Taylor, que conlleva a un modelo aproximado. Esta linealización que se obtiene realimentando los estados cancela las no linealidades suaves de la planta, con lo cual se genera una relación lineal entre salida y una nueva excitación v . una vez que se tiene esta relación lineal se aplica un control lineal que permite obtener la dinámica lineal estable deseada [16].
4.1.1.1 Linealización entrada-salida El desarrollo de conceptos de geometría no lineal junto al grado relativo y la dinámica cero han permitido ampliar el análisis de los sistemas no lineales. El grado relativo es el número de veces que la salida y(t) necesita ser derivada para que la entrada u(t) aparezca. En el caso de un sistema lineal, para una función de transferencia dada es la diferencia entre el número de polos y ceros. Considerando el sistema descrito por las ecuaciones x˙ = f (x) + g(x)u
(4.1)
y = h(x)
donde x es el vector de estado y tiene dimensiones n
1, u es la entrada escalar e y es la
salida escalar del sistema. Las funciones f y g son campos×vectoriales de → ; y h es un campo escalar ( → ). Se dice entonces que es sistema ( 4.1) tiene un grado relativo p , si n
n
n
en la p-ésima derivada de la salida aparece el término u(t). Si se deriva la salida con respecto al tiempo se tiene, y˙ =
∂h x˙ = ∂x
(4.2)
∇h (f (x) + g(x)u)
donde ∇h denota el gradiente de la función h. Teniendo en cuenta la notación de la derivada
Lie de un campo vectorial f es una función escalar notada como: derivada de la salida del sistema, con esta notación, resulta:
∇h · f = L h, la primera f
y˙ = L f h(x) + Lg h(x)u
Si continuamos calculando la segunda derivada denotada por y¨ se obtiene que
(4.3)
27
y¨ = L 2f h(x) + Lg Lf h(x)u
(4.4)
y repitiendo este proceso hasta la p-esima derivada y p = L pf h(x) + Lg Lpf−1 h(x)u
(4.5)
donde Lpf h(x) corresponde a Lf Lpf−1 h(x) . Nótese que u solo se presentara cuando
el producto Lg Lpf−1 h(x) = 0. Así para un sist ema con un grado rel ativo p, el conjunto de derivadas corresponde a:
y˙ = L f h(x) y¨ = L 2f h(x)
.. .
(4.6)
y i = L if h(x)
.. .
y (p) = Lpf h(x) + Lg Lpf−1 h(x)u
Cuando el sistema ( 4.1) tiene grado relativo p , su linealización entrada-salida se alcanza con la realimentación: u=
1 Lg Lpf−1 h(x)
p f
−L h(x) + v
(4.7)
y se tiene una ecuación diferencial lineal entre la salida y y la nueva excitación v de la forma: y (p) = υ
(4.8)
Por lo tanto, la técnica de linealización entrada-salida pretende utilizar controladores no lineales en plantas no lineales intentando obtener una respuesta lineal del conjunto plantacontrolador.
28 Ahora el problema se concentra en diseñar un controlador para la relación (4.8) utilizando técnicas lineales. Cuando el grado relativo p es definido y p ≤ n, se puede tomar y, y,...,y ˙
(p−1)
como nuevo conjunto p variables de estado, es decir T
z=
z1 z2
Derivando (4.9) se tiene
···
zp
=
y y˙
···
y (p−1)
z z. z˙ = .. z
T
(4.9)
2 3
(4.10)
p
υ
La salida ahora está definida como y = z 1 y υ como la nueva entrada de control. Por otra parte, la dinámica cero es el comportamiento "interno" del sistema cuando las condiciones iniciales y la acción de control restringen las trayectorias de estado para que y se mantenga a cero. supongamos que el grado relativo en el sistema (4.1) es p ≤ n. Se define M , un subconjunto con dimension n − p, como:
M= x
∈ Ω : h(x) = 0,...,L
p−1 f
h(x) = 0
(4.11)
Se llama dinámica cero a la dinámica del sistema (4.1) restringida a M . Para utilizar con éxito la técnica de linealización entrada-salida se requiere que la dinámica cero del sistema sea estable, esta dinámica existe siempre y cuando el grado relativo sea inferior al orden del sistema. Los sistemas con dinámica cero inestable, sistemas de fase no mínima, son mas fáciles de controlar que los sistemas de fase mínima en los cuales la dinámica cero es asintóticamente estable.
29
4.2 Aplicación de la linealización entrada-salida al sistema de levitación magnética Primeramente se debe encontrar la transformación en espacio de estados de z = y(x), y el control de lazo cerrado de la forma u = a(x) + b(x)vc con b(x) no singular, tal que parte del sistema obtenido de lazo cerrado demuestre que es completamente lineal en z . Se define el vector z como sigue
y (x) h(x) z = y (x) = L h(x) 1 2
(4.12)
f
L2f h(x)
y3 (x)
Utilizando la ecuación de la derivada de Lie n
Lf h(x) =
∂h(x) f (x) i=1
∂x i
(4.13)
i
donde n es el número de variables contenidas en el vector de transformación z . Resolviendo para cada variable del vector de transformación, donde h(x) = y = x 2 3
Lf h(x) =
i=1
∂h (x) i ∂x i
f (x) =
∂x 2 ∂x 1
(f1 ) +
∂x 2 ∂x 2
(f2 ) +
L h(x) = 0 × − x + 1 × (x ) + 0 × g − R L
f
1
3
∂x 2 ∂x 3
(f3 )
x21 1 m b0 +b1 y +b2 y 3 +b3 y4
x21 1 m b0 +b1 y +b2 y 3 +b3 y4
Lf h(x) = x 3
(4.14)
y L2f h(x) = Lf Lf h(x) = L f x3 L2f h(x) =
∂x 3 ∂x 1
(f1 ) +
∂x 3 ∂x 2
∂x 3 ∂x 3
(f ) + (f ) L h(x) = 0 × − x + 0 × (x ) + 1 × g − R L
2 f
L2f h(x) = g
−
1
2
3
3
x21 1 m b0 +b1 y +b2 y 3 +b3 y 4
Por lo tanto el vector de estados queda de la siguiente forma:
(4.15)
30
y (x) h(x) z = y (x) = L h(x) =
x2
1 2
x3
f
L2f h(x)
y3 (x)
g
derivando el vector z
z˙ = g − d dt
−
x21 1 m b0 +b1 y +b2 y 3 +b3 y 4
x˙ 2 x˙ 3 x21 m b0 +b1 y+b2 y 3 +b3 y 4
1
(4.16)
(4.17)
Una de las condiciones que se necesitan para que exista una realimentación de estados es la siguiente (4.18)
u = b(x) + a(x)v
definiendo a(x) como 2
a(x) = Lg Lf h(x) u
sabiendo que L2f h(x) = g
(4.19)
x21 3 4 0 + b1 y + b2 y + b3 y
− m1 b
(4.20)
entonces
a(x) = L g L2f h(x) = L g g
x21 3 4 0 + b1 y + b2 y + b3 y
− m1 b
(4.21)
derivando nuevamente 3
∂L 2f h(x)
i=1
∂x i
Lg L2f h(x) =
Lg L2f h(x) =
∂ ∂x 1
g
x21 3 4 0 + b1 y + b2 y + b3 y
− m1 b
(4.22)
gi (x)
1 L
+
31
+
∂ ∂x 2
− m1 b
g
∂
+
∂x 3
g
x21 + b y + b 2 y 3 + b3 y 4 0 1
− m1 b
x21 3 4 0 + b1 y + b2 y + b3 y
(0)+
(4.23)
(0)
Por lo tanto a(x) queda como a(x) =
1 2x1 mL b0 + b1 y + b2 y 3 + b3 y 4
(4.24)
y defiendo b(x) como b(x) = L3f h(x) = L f
g
x21 3 4 0 + b1 y + b2 y + b3 y
− m1 b
(4.25)
derivando nuevamente 3
L3f h(x) =
2
∂L h(x) f (x) f
∂x i
i=1
Lf L2f h(x) =
+
+
∂ ∂x 3
g
(4.26)
i
2 1 3 2
∂ g − 1 − R x + x ∂x mb +b y+b y +b y L ∂ 1 x ∂x 2
1
0
g
− mb
0
1
3
2 1
+ b1 y + b2 y 3 + b3 y 4
x21 3 4 0 + b1 y + b2 y + b3 y
− m1 b
g
1
4
(x3 ) +
x21 2 3 4 0 + b1 x2 + b2 x2 + b3 x2 + b4 x2
− m1 b
−
2R/ x21 L 1 1 x3 x21 (b1 + 3b2 x22 + 4b3 x32 ) Lf L2f h(x) = + m b0 + b1 y + b2 y 3 + b3 y 4 m (b0 + b1 y + b2 y 3 + b3 y 4 )2
(4.27)
(4.28)
por lo tanto b(x) queda expresada como b(x) =
1 2 2LR (b0 + b1 y + b2 y 3 + b3 y 4 ) + x3 (b1 + 3b2 x22 + 4b3 x32 ) x m 1 (b0 + b1 y + b2 y 3 + b3 y 4 )2
(4.29)
32 sustituyendo a(x) y b(x)
z˙ =
x˙ L h(x) + L L h(x) u x˙ 2 3
3
g
f
(4.30)
2 f
y finalmente
z˙ =
x˙ 2 x˙ 3 b(z ) + a(x)
u
(4.31)
Una vez linealizado el sistema no lineal se puede escribir el sistema de forma lineal
donde
z˙ = Az + Bv y = Cz
c
(4.32)
0 1 0 A= 0 0 1 0 0 0 0 B= 0 1 C= 1 0 0
Una vez que el sistema de ( 4.32) es lineal y controlable puede ser estabilizado por realimentación de estados utilizando el control
v=
−Kz + v
c
(4.33) donde K = (−k1 , k2 , k3 ) se determina por asignación de polos P = (p1 , p2 , p3 ), por lo
tanto
33
v=
− (k z
1 1
+ k2 z2 + k3 z3 ) + vc
(4.34)
donde vc es la posición de referencia. Después de que se encontraron las ganancias del controlado r se prosigue a evaluar el sistema, y se llega a la conclusión de que la respuesta del sistema depende de estas ganancias, no obstante cabe mencionar que el sistema logra estabiliz arse, esto significa que la bola levita y se mantiene en esa posición, además de que si se varia la posición de referencia, también varia la respuesta del sistema en función de vc , pero presenta una anomalía ya que la bola no llega a la posición de referencia vc , si no que sólo se acerca a ella. En la tabla 4.1 se muestran los valores de las ganancias, para una respuesta subamortiguada. Tabla 4.1 Valores de las ganancias para respuesta Submortiguada k1
5000
k2
1000
k3
11000
La gráfica de la figura 4.1 muestra la respuesta del sistema linealiz ado, donde se observa que la posición de la bola no llega al valor deseado ya que la posición deseada es de 0.0175 [m], y el valor entregado es de 0.016 [m].
Figura 4.1 Respuesta subamortiguada del sistema linealizado
34 Modificando las ganancias del controlador para obtener una respuesta sobreamortiguada. En la tabla 4.2 se muestran las ganancias para lograr la respuesta deseada. Tabla 4.2 Valores de las ganancias para respuesta sobreamortiguada k1
5000
k2
1000
k3
2000
En la gráfica de la figura 4.2 se muestra la respuesta amortiguada del sistema linealizado, y se comprueba nuevamente que la respuesta no llega la valor deseado ya que la posición deseada es de 0.025 [m] y la respuesta que entrega es de 0.012 [m]. Es por ello que el siguiente capítulo se ha dedicado al diseño de los controladores para que los sistemas lleguen al valor deseado, sin importar el tipo de respuesta del sistema linealizado.
Figura 4.2 Respuesta sobreamortiguada del sistema linealizado
En las gráficas de las figuras 4.1 y 4.2 se observa que la respuesta del movimiento es negativa, esto se debe a que el autor considera que el sentido de la fuerza de gravedad es positivo, y por lo tanto el movimiento de la bola atraída por la fuerza de gravedad será positivo. Dado que el sistema de control genera la fuerza necesaria para vencer la fuerza de gravedad y producir la levitación de la bola, entonces el movimiento de la bola en levitación se representa con una señal negativa.
Capítulo 5
Diseño del Sistema de Control para el Levitador Una vez que se tiene el sistema linealizado, se diseña el control del sistema para dos tipos de respuesta en especial, una respuesta de sistema sobreamortiguada y otra subamortiguada. En el presente capítulo se diseñaron tres tipos de controladores por las tres siguientes técnicas:
• Control por cancelación de polos • Control con lugar geométrico de raíces • Control en espacio de estados 5.1 Diseño de controladores para respuesta sobreamortiguada El cálculo de la función de la transferencia para una respuesta amortiguada se obtiene, tomando como referencia la gráfica de la figura 5.1 correspondiente a la planta linealizada, de la cual se tomaron los siguientes valores para el cálculo de dicha función ytb = (0.12seg)(0.632seg) = 0.07584 tb = 0.03874seg yf = 0.0758 Vcte = 0.025volts
36
Figura 5.1 Respuesta sobreamortiguada de la planta linealizada.
Haciendo los cálculos necesarios para obtener los valores de las variables para la función de transferencia, se tiene que b=
1 1 = = 25.8131 tb 0.03874
d = (yf )b = (0.0758)(25.8131) = 12.1494 Vcte 0.025
La función de transferencia de la planta amortiguada es Y (s) d 12.1494 = = V (s) s+b s + 25.8131
(5.1)
5.1.1 Control por cancelación de polos El controlador PI, citando [5], se describe por:
V c(s) 1 = Kp 1 + E (s) Ti s
=
Kp 1 s+ s Ti
(5.2)
El ajuste del control por cancelación de polos consiste en crear un cero con el controlador PI que se cancele con el polo de la planta. 1 =b Ti
(5.3)
37 La función de transferencia del sistema en lazo cerrado una vez cancelado el polo y el cero es: Y (s) dKp = Yd (s) s + dKp
(5.4)
Se ajusta la ganancia K p en función del tiempo de asentamiento. Si se considera que el tiempo de asentamiento ts sea cuando la señal alcance el 98% del valor final. dKp ts
−e
0.98AdKe = AdKe 1
− lndK0.02 ≈ dK4
ts =
p
(5.5)
(5.6)
p
Después de haber obtenido los datos necesarios, se hace el cálculo de las ganancias para el control por cancelación de polos [5], como sigue Kp =
4 4 = = 0.4703 ts d (0.7)(12 .1494)
Ki =
Kp 0.4703 = = 12.1251 tb 0.39
5.1.2 Control con lugar geométrico de raíces Como primer paso, según [ 5], se calculan los polos deseados para la respuesta transitoria deseada, con un sobrepaso Mp = 0.2 y un tiempo pico de tp = 0.7[seg] ζ=
1
π
+ 1 = 2
− ln(Mp )
π
ωd =
=
t
1ω− ζ d
2
+ 1 = 0.455 2
π
− ln(0.2)
= 4.4879
0.7
p
ωn =
π
1
=
√14.4879 − 0.455
2
= 5.039
38 Por lo tanto los polos deseados son Parte _real = σ = ωn ζ = (5.039) (0.455) = 2.293 Parte _imaginaria = ω d = 4.4879
Después se ubican los polos del sistema en lazo cerrado en el plano complejo s , lo cual se ilustra en la figura 5.2.
Figura 5.2 Ubicación de los Polos y los Ceros de la planta.
En la figura se aprecia que el polo de la planta se encuentra muy alejado de los polos deseados, por lo tanto se optó por aplicar una red de adelanto la cual se representa con la siguiente ecuación Kc s
s + z
(5.7)
s+p
Para lo cual se propuso un cero ubicado en s =
− 25.81 para que cancelar el polo de la
planta, y un polo ubicado dos veces la parte real del polinomio deseado el cual se encuentra en s =
−4.586, para que éste choque con el polo del control integran y alcanzar los polos
deseados. Esto se ilustra en la figura 5.3. Para realizar el calculo de la ganancia Kc se utiliza
|G(s)H (s)| = 1
(5.8)
39
Figura 5.3 Ubicación de los Polos y los Ceros del Sistema en lazo cerrado.
donde G(s) representa la red de adelanto y la planta, y H (s) representa el sensor, el cual en este caso es 1. La ecuación general de la red de adelanto es Kc s
s + z s+p s + 25.81 12.15 K s (s + 1.38) s + 25.81
(5.9)
=1
c
Kc =
s=−2.293+j 4.4879
1
s+25.81 s(s+1.38)
12.15 s+25.81
= 2.09046180 s=−2.293+j 4.4879
Kp = Kc = 2.09046
5.1.3 Control en espacio de estados Según [5], primeramente se representa el sistema en forma controlable [x] ˙ = [ 25.8131][ x] + [12.1494] u
−
y = [1 ] [x] + [0] u
40 Ahora se forma la representación del sistema de control en lazo cerrado
˙ (A B ) B 0 x = − K K x + y x˙ 1 x−C 0 x y= 1 0 x x˙ (−25.8131 − 12.1494K ) 12.1494K x 0 = + y x˙ − 1 0 x 1 x y= 1 0 1
1
i
d
N
N
1
N
1
1
i
N
N
1
xN
El polinomio característico del sistema en lazo cerrado resulta
s 0 (−25.8131 − 12.1494K) 12.1494K ¯ = det − det sI − A 0 s −1 0 ¯ = det s + (25.8131 + 12.1494K ) −12.1494K det sI − A 1 0 ¯ det sI − A = s + (25.8131 + 12.1494K ) s + 12.1494K i
i
2
1
i
Ahora es necesario encontrar el polinomio deseado según las características de la respuesta transitoria esperada, en donde el valor deseado es de 0.025 [m] con un sobrepaso de Mp = 20% y un tiempo pico de tp = 0.05 [seg]. s2 + 2ζωn s + ωn2
El coeficiente de amortiguamiento se calcula de la siguiente forma 1 ζ=
π − ln(Mp )
1
+ 1 = 2
π
− ln(0.2)
+ 1 = 0.4559 2
La frecuencia ωd que determina la parte imaginaria de los polos deseados se calcula con el tiempo pico
41
ωd =
π π = = 6.2832 tp 0.5
La frecuencia natural ωn es igual a ωn =
El polinomio deseado es
ωd
6.2832
=
1 − ζ
2
2
= 7.06
√1 − 0.4559
s2 + 6.436s + 49.843
Comparando el polinomio característico del sistema en lazo cerrado y el polinomio deseado s2 + (25 .8131 + 12.1494K1 ) s + 12.1494Ki s2 +
6.436s
+
49.843
Las ecuaciones para calcular las ganancias K1 y Ki son 25.8131 + 12.1494K1 = 6.436 K1 =
6.436−25.8131 12.1494
=
−1.5949
12.1494Ki = 49.843 Ki =
49.843 12.1494
= 4.1025
5.2 Diseño de controladores para respuesta subamortiguada Primeramente se hizo el calculo de la función de la transferencia, tomando como referencia la gráfica 5.4 correspondiente a la planta linealiza da, de la cual se tomaron los siguientes valores tp = 0.104seg ts = 0.44seg yp = 0.01 yf = 0.0085
42 donde tp es el tiempo requerido para que la respuesta alcance el primer pico de sobrepaso, ts es el tiempo que se tarda la respuesta para que alcance un intervalo alrededor de
±5% del valor final, y
p
es el valor del primer pico de sobrepaso , yf es el valor final.
±2% o el
Figura 5.4 Respuesta subamortiguada de la planta linealizada.
La formula general para la función de transferencia, según [ 5], para un sistema subamortiguado es Y (s) ωn2 = Ke 2 V (s) s + 2ζωn s + ωn2
(5.10)
haciendo los cálculos necesarios para obtener las variables requeridas por la formula de la ecuación (5.10). ωd =
Mp =
yp
π 3.1416 = = 30.2 0.104seg tp
−y
f
yf
=
0.01
− 0.0085 = 0.15 0.01
donde Mp es el valor del pico máximo medido a partir del valor final.
43
ζ=
1
π − ln(Mp )
+ 1 =
ωd = 1 ζ2
ωn =
1
2
−
Ke =
+ 1 = 0.517 2
π
− ln(0.15)
√1 −30.2 0.517
2
= 35.28
yf 0.0085 = = 0.34 A 0.025
Finalmente la función de transferencia de la planta es la siguiente. Y (s) 1244.75 = 0.34 2 V (s) s + 36.48s + 1244.75
(5.11)
5.2.1 Control por cancelación de polos con PI Como siguiente paso se hacen los cálculos de las ganancias del controlador PI, tomando como tiempo de asentamiento ts = 1.1 [seg] , [5]. Td =
Ti =
Kp =
1 = 2ωn ζ 2
× 35.281 × 0.517 = 0.027
1 1 = = 0.029 ωn2 Td 1244.75 0.027
×
4 = Td Keωn2 ts 0.027 Ki =
4
× 0.34 × 1244.75 × 1.1 = 0.3182
Kp 0.3182 = = 10.97 0.029 Ti
5.2.2 Control con lugar geométrico de raíces Como primer paso se determinaron los polos deseados del control, para un sobrepaso de 0.2 y un tiempo de asentamiento de 0.5 [seg] [5]. Haciendo los cálculos necesarios se obtuvieron los siguientes parámetros
44
ζ=
1
π − ln(Mp )
+ 1 =
1ω− ζ
+ 1 = 0.455 2
π
− ln(0.2)
π π = = 6.283 tp 0.5
ωd =
ωn =
1
2
d
2
Por lo tanto los polos deseados son
=
√1 6.283 − 0.455
2
= 7.055
Parte _real = σ = ωn ζ = (7.055) (0.455) = 3.32103 Parte _imaginaria = ω d = 6.283
Y los polos de la planta G(s) =
432.215 s2 +36.48s+1244.75
son
s1 = s2
−18.24 + j30.2 = −18.24 − j30.2
La representación del Lugar Geométrico de Raíces se ilustra en la figura 5.5.
Figura 5.5 Ubicación de los Polos y Ceros de la planta.
donde se observa que los polos de la planta se encuentran muy alejados de los polos deseados, es por eso que se opta por aplicar una red de adelanto y un controlador PID, en donde
45 el controlador PID sirve para cancelar los polos de la planta y la red de adelanto propon e dos polos que choquen entre y alcancen los polos deseados, esto se observa en la figura 5.6.
Figura 5.6 Ubicación de los Polos y Ceros del Sistema en lazo cerrado.
La representación matemática del controlador PID es
Kp 1 1 Td s2 + s + s Td Ti Td
(5.12)
Para obtener los parámetros Td y Ti del controlador PID, se igualan las ecuaciones 1
s2 +
Td
+
s
1 Ti Td
s2 + 36.48s + 1244 .75 1 Td
= 36.48
Td = 1 Ti Td
Ti =
1 36.48
= 0.027
= 1244.75 1 1244.75Td
=
1 (1244.75)(0.027)
= 0.0293
Para realizar el calculo de la ganancia Kc se utiliza
|G(s)H (s)| = 1
(5.13)
46 donde G(s) representa la red de adelanto, el controlador PID y la planta, y H (s) representa el sensor, el cual en este caso es 1. La ecuación general de la red de adelanto y el controlador PID es Kc
1 K T p
s+p
d
s
s2 +
1 1 s+ Td Ti Td
Se propone K c = 1, para que solo quede la ganancia K p como incognita, por lo tanto la ecuación queda Kp =
Kp =
s + Td s
1 s+p
0.027
1
s
s+6.4206
Kp =
2
1
s+ Td
1 Ti Td
1
432.215 s +36.48s+1244.75 2
1 (s + 36.48s + 1244.75) 2
0.027
1 (432.215)
1 s+6.4206
s
s=−3.2103+j 6.2331
432.215 s2 +36.48s+1244.75
s=−3.2103+ j 6.2331
= 4.266180 s=−3.2103+ j 6.2331
Kp 4.266 Ki = = = 147.103 Ti 0.0293
Kv = K p Td = (4.266)(0.027) = 0 .115
5.2.3 Control en espacio de estados El modelo matemático del sistema es Y (s) 1244.75 = 0.34 2 V (s) s + 36.48s + 1244.75
(5.14)
donde Y (s) es la posición de la esfera y representa la salid a, y V (s) es el voltaje aplicado y representa la entrada del sistema. Como primer paso se despejó la derivada de mayor orden
47
Y (s) (s2 + 36.48s + 1244.75) = 423.215 V (s)
·
y¨ + 36.48y˙ + 1244.75y = 423.215v y¨ = 423.215v
− 36.48y˙ − 1244.75y
Dado que el modelo del levitador magnético es un sistema de segundo orden con una entrada y una salida, entonces se deben tener dos variables de estado [ 5], se determinó que las variables de interés son la posición Y (s) y el voltaje V (s), entonces las variables de estado son x1 = y x˙ 1 = y˙ = x 2 x˙ 2 = y¨ = 423.215u
expresándolo en forma matricial, se tiene
x˙ =
0
1
x˙ 2
1
¯ Calculando A
0 −1244.75 ¯= A
−36.48
0
x2
423.215
u
1 0 x + [0] u 1
x2
¯= A
1
x + 1
−1244.75 −36.48 y=
0 −1244.75 ¯= A
− 36.48y˙ − 1244.75y
(A − BK ) −C
− −1
0 423.215
0
0 − −36.48 423.215K
0
K
0
K2
1
1
−1
BKi
0 1
423.215K2
K 423.215 0
0
i
423.215K 0 0
i
48
0 ¯= A − (1244.75 + 423.215K ) 1
1
− (36.48 + 423.215K ) 2
−1
0
i
0
¯ se tiene que Calculando det sI − A
423 .215K 0
s 0 0 ¯ = det 0 s 0 det sI − A 0 0 s 0 1 0 − − (1244.75 + 423.215K ) − (36.48 + 423.215K ) 423 .215K 1
2
−1
det sI
− A¯
i
0
0
s
= det 1244.75 +1423.215K
1
−1
0
s + 36.48 + 423.215K2
−423.215K
0
s
i
− A¯ = s (s + 36.48s + 423.215K s) + (1244.75s + 423.215K s + 423.215K ) ¯ = s + (36.48 + 423.215K ) s + (1244.75 + 423.215K ) s + 423.215K det sI − A det sI
2
2
3
2
1
2
1
i
i
Se propone Mp = 0.5 y t p = 0.5 para el calculo del polinomio deseado el cual es s2 +
2ζωn s + ωn2 , en donde ωd =
π π = = 6.2832 tp 0.5
1 ζ=
π
− ln(Mp )
ωn =
1
+ 1 = 2
1ω− ζ d
2
=
+ 1 = 0.215 2
π
− ln(0.5)
√16.2832 − 0.215
2
= 6.434
49 Por lo tanto el polinomio queda s2 + 2.766s + 41.39 ¯ es mayor a segundo orden y el poliEn este caso el polinomio resultante de det sI − A
nomio deseado es de segundo, entonces los polos resultantes se utilizan para calcular los ceros de la planta. Pero como esta planta no tiene ceros, los polos restantes se colocan de cinco a diez veces alejados a la izquierda de la parte real de los polos deseados para que no influyan en el comportamiento transitorio. σ = ω n ζ = (6.434) (0.215) = 1 .383 10σ = 13.83 2
3
2
s + 2.766s + 41.396 (s + 13.83) = s + 16.596s + 79.658s + 572.50
Comparando el polinomio característico del sistema en lazo cerrado y el polinomio deseado
s3 + (36 .48 + 423.215K2 ) s2 + (1244.75 + 423.215K1 ) s + 423 .215Ki s3 +
16.596s2
+
79.658s
Las ecuaciones para calcular las ganancias K1 , K2 y Ki son 423.215Ki = 572.50 Ki =
572.50 423.215
= 1.35
1244.75 + 423.215K1 = 79.658 K1 =
79.658−1244.75 423.215
=
−2.752
36.48 + 423.215K2 = 16.595 16.595−36.48
K2 =
423.215
=
−0.046
+
572
.50
Capítulo 6
Resultados Una vez diseñados los controladores, se simula el sistema y las respuestas que se obtienen con las ganancias calculadas para cada controlador.
6.1 Respuestas obtenidas para sistema sobreamortiguado Las respuestas del sistema con las ganancias calculadas con el método de cancelación de polos se muestran el las figuras 6.1 y 6.2.
Figura 6.1 Respuesta del control PI para la planta sobreamortiguada ideal.
En la figura 6.2 se observa que la salida de la planta si llega al valor deseado pero con un adelanto de 0.25 [seg].
51
Figura 6.2 Respuesta del control PI para la planta sobreamortiguada real.
Las respuestas obtenidas utilizando el método de LGR (Lugar Geométrico de Raices) se muestran en las figuras 6.3 y 6.4.
Figura 6.3 Respuesta del control PI para la planta sobreamortiguada ideal.
Simulando el sistema con las ganancias encontradas utilizando el control por espacio en estados, se obtiene para un valor deseado de 0.025 [m] las respuestas de las figuras 6.5 y 6.6.
52
Figura 6.4 Respuesta del control PI para la planta sobreamortiguada ideal.
Figura 6.5 Respuesta del control en espacio de estados para el sistema sobreamortiguado ideal.
En las figuras 6.3, 6.4, 6.5 y 6.6 se observa que el control diseñado funciona solamente para la planta ideal, y no adecuadamente en la planta real, ya que la linealización no es muy eficiente para comportamientos de segundo orden.
53
Figura 6.6 Respuesta del control en espacio de estados para el sistema sobreamortiguado real.
6.2 Respuestas obtenidas para sistema subamortiguado Las respuestas obtenidas con las ganancias calculadas por el método de cancelación de polos son las que se muestran en las figuras 6.7 y 6.8.
Figura 6.7 Respuesta del control PID por cancelación de polos para el sistema subamortiguado ideal.
54
Figura 6.8 Respuesta del control PID por cancelación de polos para el sistema subamortiguado real.
En la figura 6.8 se observa que el controlador logra llevar la respuesta de la planta al valor deseado, pero no presenta el comportamiento que se le pide; por lo que se propuso un ajuste en los valores de las ganancias, para así conseguir el comportamiento adecuado. Los valores de las ganancias del controlador PID se ajustaron a prueba y error, hasta obtener la respuesta deseada la cual fue satisfactoria, esto se ilustra en la figura 6.9.
Figura 6.9 Respuesta del control PID por prueba y error para el sistema subamortiguado real.
55 Las respuestas obtenidas por el LGR para el sistema subamortiguado son las mostradas en las figuras 6.10 y 6.11.
Figura 6.10 Respuesta del LGR con red de adelanto y controlador PID para el sistema subamortiguado ideal.
Figura 6.11 Respuesta del LGR con red de adelanto y controlador PID para el sistema subamortiguado real.
Las respuestas obtenidas para el control en espacio de estados se muestran en las figuras 6.12 y 6.13. En las figuras 6.10, 6.11, 6.12 y 6.13 se observa que la planta ideal acepta los dos métodos de control, mientras que la planta real no acepta ninguno de los dos, ya que como se había
56
Figura 6.12 Respuesta utilizando control en espacio de estados para un sistema subamortiguado ideal.
Figura 6.13 Respuesta utilizando control en espacio de estados para un sistema subamortiguado real.
mencionado anteriormente la linealización no es lo suficientemente eficaz para sistemas de segundo orden.
57
6.3 Respuesta de la planta a movimientos senoidales Después de comparar los diferentes controladores, se verificó que el control por cancelación de polos, para una planta sobreamortiguada, es el más eficiente. Es por ello que éste control se utilizó para hacer otra de prueba a la planta, como es el caso de aplicar un movimiento senoidal y que el control logre que la planta tenga este tipo de comportamiento. Para realizar esta prueba se le aplica a la planta una función senoidal con una frecuencia f = 0.5 [hz] y una amplitud de 0.01 [m] , sumada a una constante de 0.015 [m] , esto para que
la planta primeramente llegue al valor de 0.015 [m] y posteriormente comience el movimiento senoidal.
Figura 6.14 Respuesta utilizando cancelación de polos para un comportamiento senoidal de la planta sobreamortiguada real.
En la figura 6.14 se observa que la respuesta de la planta tiene el comportamiento deseado, con una amplitud de 0.01 [m] , por lo que se comprueba que el control es eficaz tanto para al aplicarle un valor constante como para un valor variable.
58
6.4 Representación animada del sistema de levitación magnética Para representar el comportamiento de la bola para los diferentes controladores diseñados, se realizó una animació n en donde se observa la bola levitar a la distancia deseada, la cual es dada por el usuario. Una vez que se encuentra en levitación la bola, es posible variar su posición, por lo tanto se aprecia como cambia de una posición a otra. Cabe mencionar que el rango de linealización del sistema es tan solo de 2 [cm] por lo que al aumentar la posición a mas de 3.5 [cm] . (esto quiere decir que la esfera se acerca al electroimán) la fuerza del electroimán es mayor por lo tanto trata de atraer a la esfera provocando oscilaciones al estar levitando. En la figura 6.15 se ilustra la animación del sistema
Figura 6.15 Animación del sistema de levitación magnética.
59
Conclusiones Al finalizar este proyecto, se llegó a la conclusión de que el tema de Levitación Magnética es un campo muy amplio a estudiar dentro del área del Control Automático, ya que las características no lineales que presenta son un ejemplo claro que describe los sistemas de la vida real, a los que nos enfrentamos a diario. Se comprobó que los sistemas no lineales, como es el caso de la Levitación Magnética, pueden ser controlados y manipulados adecuadamente, utilizando convenientemente las herramientas adquiridas con los conocimientos de Control Automático. Después de haber diseñado los controladores, la planta la cual representa el sistema de Levitación Magnética, con comportamientos sobreamortiguado y subamortiguado, se puede comprobar y valorar la eficiencia de cada tipo de controlador, las cuales son muy buenas sólo para las plantas ideales, puesto que cada uno de ellos tiene características especiales, y se elige el adecuado para cada tipo de necesidade s. En cambio para las plant as reales el único método de control que entregó las respuestas deseadas en el Método de Cancelación de Polos, por lo que para esta linealización el método más conveniente para diseñar el control es el anteriormente mencionado. El seguimiento de trayectoria para la señal senoidal utilizando el control por cancelación de polos da buenos resultados, por lo que se comprueba la efectividad de este método. La linealización del sistema y el modelado matemático realizados en este proyecto fueron tomados de un trabajo previo, por lo que la propuesta de este proyecto es mejorar el control para obtener resultados óptimos. Por lo que este proyecto puede ser utilizado como material didáctico que servirá como plataforma de desarrollo para futuras aplicaciones, tales como la implementación física del sistema para desarrollar un equipo didáctico para el laboratorio.
60
Apéndice A: Programación con bloques en VisSim
Figura A.1 Programa final control PI.
61
Figura A.2 Programación del bloque de voltaje.
62
Figura A.3 Programación del bloque de modelo del levitador.
63
Referencias [1] "MAGLEV-Tren de Levitación Magnética", http://www1.ceit.es/Asignaturas/transportes/Trabajos_pdf_00_01/MAGLEV.pdf [2] "Aplicaciones de la Levitación Magnética", http://www.cienciapopular.com/n/Ciencia/Superconductividad/Superconductividad.php [3] Ahmed El Hajjaji, M. Ouladsine, "Modeling and Nonlinear Control of Magnetic Levitation Systems". Transactions on Industrial Electronics, Vol. 48, No.4, IEEE, Agosto 2001 [4] Sawada Kazuo, "Development of magnetically levitated high speed transport system in Japan". Transactions on magnetics, Vol 32. No.4, IEEE, July 1996. [5] M. Eduardo Gonzalez Elías, "Ingeniería de Control I y II" . Universidad Autónoma de Zacatecas [6] Gabriel Eirea, Marcelo Acosta, Raúl Bartesaghi, Rafael Canett i, "Levitador Magnético: un prototipo experimental para la enseñanza y la investigación en el área del control automático". Instituto de Ingeniería Eléctrica de la Facultad de Ingeniería (Universidad
de la República, Uruguay) [7] Ubaldo Espinosa, Alejandro Aceves L., Alejandro Vefa y Cuauhtemoc Carbajal, "Sistema de Levitación Magnética controlado con Lógica Difusa y Control Clásico" . Escuela Militar de Ingenieros, Mexico, D.F., 1994 [8] William G. Hurley, Werner H. Wölfle, "Electromagnetic Design of a Magnetic Suspension System". Transactions on education, Vol 40. No.2, IEEE, May 1997 [9] William G. Hurley, Werner H. Wölfle, "Electromagnetic Design of a Magnetic Suspension System". Transactions on education, Vol 40. No.2, IEEE, May 1997 [10]¿Que es levitación levitation.shtml
magnética?
[11] "Electroimanes". Microsoft Encarta 2007
,http://www.tech-faq.com/lang/es/magnetic-
64 [12] José R. Espinoza C. "Apuntes Introducción al Análisis de Sistemas No-Lineales 543 703" . Universidad de Concepción Facultad de Ingeniería Depto. de Ingeniería Eléctrica, 5ta. edición, Julio 2005 [13] Katsuhiko Ogata "Ingeniería de control Moderna" .Prentice Hall, Julio 2004 [14]"China Anuncia Primera Turbina Eólica con Levitación Magnética" , http://www.astroseti.org/noticia_2333_China_anuncia_primera_turbina_eolica_levitacion _magnetica.htm [15]"Estudio de las aplicaciones Practicas de http://www.fceia.unr.edu.ar/ fisica3/MagLev.pdf
la
Levitacion
Magnética"
,
[16] María Isabel Arteaga Orozco "Control no Lineal de Convertidores Conmutados CC/CC: Análisis de Prestaciones y Verificación Experimental". Tesis Doctoral, Instituto de Organización y Control de Sistemas Industriales, Universidad Politécnica de Cataluña, Noviembre 2006
