4. Ideal Pada Bab 3 telah dibahas mengenai ring beserta sifat-sifatnya. Pada bab ini akan dibahas suatu struktur bagian dari ring yang disebut dengan ideal. Ideal merupakan subring dari R yang memiliki sifat-sifat khusus. Sifat-sifat ideal akan digunakan pada bab-bab selanjutnya.
Definisi 4.1 (Ideal) Dik Diket etah ahui ui R ring ring komut komutat atif if denga dengan n ele eleme men n sat satua uan n dan I ⊆ R . Himpunan I disebut ideal pada R jika dan hanya jika I memenuhi ketiga aksioma berikut:
(i).
I ≠ ∅
(ii).
a − b ∈ I ,
∀a, b ∈ I
(iii). ar = ra ∈ I , ∀a ∈ I , ∀r ∈ R . Ideal I disebut ideal trivial jika I = {0} dan disebut ideal sejati jika I
≠ R.
Contoh 4.2
Ideal-ideal pada ring
berbentuk n dengan n merupakan bilangan bulat.
Teorema 4.3 Diketahui R ring komutatif dengan elemen satuan dan I ideal pada R, maka ketiga pernyataan berikut ekuivalen:
(i).
I ideal ideal seja sejati ti
(ii). 1 R ∉ I (iii). Jika u unit pada R, maka u ∉ I . Bukti.
( i ) ⇒ ( ii ) Diandaikan 1 R ∈ I , maka untuk setiap r ∈ R berlaku r.1 R = r ∈ I dan dengan demikian I = R . Muncul kontradiksi dengan hipotesa bahwa I ideal sejati.
Struktur Aljabar – Ideal © Wijna 2008. http://wijna.web.ugm.ac.id
( ii ) ⇒ ( iii ) Diandaikan ada unit u∈ I . Karena u unit maka terdapat v ∈ R sehingga uv = vu = 1 R ∈ I . Muncul kontradiksi dengan hipotesa bahwa 1 R ∉ I .
( iii ) ⇒ (i ) Jika I tidak memuat unit, akibatnya 1 R ∉ I dan dengan demikian I ≠ R .
Teorema 4.4 Jika R ring komutatif dengan elemen satuan dan P ⊆ R dengan P ≠ ∅ , maka himpunan
⎧n ⎫ I = ⎨∑ pi ri pi ∈ P, ri ∈ R, n ∈ ⎬ merupakan ideal pada R. ⎩ i =1 ⎭ Bukti.
Karena P ≠ ∅ , maka terdapat suatu elemen pada P. Jika dipilih r i = 0 untuk setiap i = 1,..., n , maka
n
∑ p r = 0∈ I i i
untuk setiap pi ∈ P . Karena 0 ∈ I , akibatnya I ≠ ∅ .
i =1
Diambil sebarang a , b ∈ I , maka a =
n
m
∑ p r dan b = ∑ q s i i
i i
i =1
dengan m , n ∈ , pi , qi ∈ P ,
i =1
dan ri , si ∈ R untuk setiap i = 1,..., n . Diperhatikan bahwa, a − b =
n
m
n
m+ n
m
∑ p r − ∑ q s = ∑ p r + ∑ q (− s ) = ∑ x y ∈ I i i
i =1
i i
i =1
i i
i =1
i
i =1
i
i
i
untuk
i =1
suatu xi ∈ P dan ri ∈ R . Diambil sebarang s ∈ R dan a ∈ I , maka a =
n
∑ p r dengan i i
i =1
m, n ∈ , pi ∈ P , dan ri ∈ R untuk setiap i = 1,..., n . Karena R ring komutatif, maka n ⎛ n ⎞ n ⎛ n ⎞ sa = s ⎜ ∑ pi ri ⎟ = ∑ spi ri = ∑ pi ri s = ⎜ ∑ pi ri ⎟ s = as ∈ I . i =1 ⎝ i =1 ⎠ i =1 ⎝ i =1 ⎠
Jadi, terbukti bahwa I merupakan ideal pada R.
Struktur Aljabar – Ideal © Wijna 2008. http://wijna.web.ugm.ac.id
Definisi berikut merupakan akibat dari Teorema 4.4. Definisi 4.5 (Pembangun Ideal) Diketahui R ring komutatif dengan elemen satuan dan P ⊆ R dengan P ≠ ∅ .
⎧n ⎫ Himpunan I = ⎨∑ pi ri pi ∈ P, ri ∈ R, n ∈ ⎬ disebut ideal yang dibangun oleh P dan ⎩ i =1 ⎭ dinotasikan P . Himpunan P disebut pembangun (generator) ideal P . Jika P = {a} , maka a
= P . Jika Q = P ∪ {a} maka P, a = Q .
Contoh 4.6
(i).
Untuk sebarang R ring komutatif dengan elemen satuan, berlaku 1 R = R .
(ii). Diketahui {2} ⊂ , maka 2 = {2r r ∈ , n ∈ } = 2 . (iii). Diketahui
[ x]
himpunan semua polinomial peubah tunggal dengan
indeterminate x atas bilangan real. Diketahui
[ x]
merupakan ring terhadap
operasi penjumlahan dan perkalian polinomial biasa. Jika dipilih {1, x} ⊂ [ x ] , maka 1, x = {a + bx a, b ∈ } ⊂ [ x ] .
Definisi 4.7 (Pembangun Berhingga) Diketahui R ring komutatif dengan elemen satuan dan I ideal pada R. Ideal I dibangun secara berhingga (finitely generated) jika dan hanya jika terdapat himpunan berhingga P ⊆ R sehingga I = P .
Contoh 4.8
Karena 2 = 2 , maka ideal 2 pada
Struktur Aljabar – Ideal © Wijna 2008. http://wijna.web.ugm.ac.id
dibangun secara berhingga.
Teorema 4.9 Diketahui R ring komutatif dengan elemen satuan dan I , J masing-masing merupakan ideal pada R, maka kedua sifat berikut berlaku:
(i). I ∩ J merupakan ideal pada R (ii). I + J merupakan ideal pada R. Bukti.
(i). Karena I dan J masing-masing merupakan ideal, maka 0∈ I , J dan akibatnya 0 ∈ I ∩ J . Dengan demikian I ∩ J ≠ ∅ . Diambil sebarang a , b ∈ I ∩ J , maka a , b ∈ I dan a , b ∈ J . Karena I dan J merupakan ideal, maka a − b ∈ I dan a − b ∈ J . Dengan demikian a − b ∈ I ∩ J . Diambil sebarang a ∈ I ∩ J , maka a ∈ I dan a ∈ J . Karena I dan J ideal,
maka untuk sebarang r ∈ R , berlaku ar = ra ∈ I dan ar = ra ∈ J . Dengan demikian ar
= ra ∈ I ∩ J .
Jadi, terbukti bahwa I ∩ J merupakan ideal pada R.
(ii). Diperhatikan bahwa
I + J = { x + y x ∈ I , y ∈ J } . Karena I dan J masing-masing
merupakan ideal, maka 0∈ I , J dan akibatnya 0 = 0 + 0 ∈ I + J . Dengan demikian I
+ J ≠ ∅ . Diambil sebarang a, b ∈ I + J , maka a = x1 + y1 dan b = x2 + y2 untuk suatu
x1 , x2 ∈ I dan y1 , y 2 ∈ J . Karena I dan J merupakan ideal, maka x1 − x2 ∈ I dan y1 − y2 ∈ J . Dengan demikian a − b = ( x1 + y1 ) − ( x2 + y2 ) = ( x1 − x2 ) + ( y1 − y2 ) ∈ I + J .
Diambil sebarang a ∈ I + J , maka a = x1 + y1 untuk suatu x1 ∈ I dan y1 ∈ J . Karena I dan J ideal, maka untuk sebarang r ∈ R , berlaku x1r = rx1 ∈ I dan y1r = ry1 ∈ I . Dengan demikian ar = x1r + y1r = rx1 + ry1 = ra ∈ I + J . Jadi, terbukti bahwa I + J merupakan ideal pada R.
Struktur Aljabar – Ideal © Wijna 2008. http://wijna.web.ugm.ac.id
Definisi 4.10 (Ideal Utama) Diketahui R ring komutatif dengan elemen satuan dan I ideal pada R. Ideal I disebut ideal utama (principal ideal) jika dan hanya jika I dibangun oleh tepat satu elemen pada R, yaitu I = a untuk suatu a ∈ R .
Definisi 4.11 (Daerah Ideal Utama) Diketahui R ring komutatif dengan elemen satuan. Ring R disebut daerah ideal utama
(principal ideal domain) jika dan hanya jika R daerah integral dan setiap ideal pada R merupakan ideal utama.
Contoh 4.12
Himpunan bilangan bulat
merupakan daerah ideal utama, karena setiap idealnya
berbentuk n = n , dengan n = {0,1,2,...} .
Definisi 4.13 (Ideal Prima) Diketahui R ring komutatif dengan elemen satuan dan I ideal pada R. Ideal I disebut ideal prima (prime ideal) jika dan hanya jika I ideal sejati dan untuk setiap a, b ∈ R dengan ab ∈ I dan a ∉ I berakibat b ∈ I .
Definisi 4.14 (Ideal Maksimal) Diketahui R ring komutatif dengan elemen satuan dan I ideal pada R. Ideal I disebut ideal maksimal jika dan hanya jika I ideal sejati dan untuk setiap ideal sejati J pada R dengan I ⊆ J berakibat J = I .
Contoh 4.15
Ideal p pada ring
dengan p bilangan prima merupakan ideal prima sekaligus ideal
maksimal. Akan tetapi ideal {0} pada ring maksimal.
Struktur Aljabar – Ideal © Wijna 2008. http://wijna.web.ugm.ac.id
merupakan ideal prima dan bukan ideal
Teorema 4.16 Jika R ring komutatif dengan elemen satuan dan I ideal pada R , maka himpunan J
= {a ∈ R ( ∃m ∈ ) , a m ∈ I } merupakan ideal pada R.
Bukti
Jika dipilih m = 1 , akan berakibat I ⊆ J dan dengan demikian J ≠ ∅ . Diambil sebarang m n a, b ∈ J , maka a ∈ I dan b ∈ I untuk suatu m, n ∈ . Dapat dipilih bilangan v = mn ,
sehingga
⎛ mn ⎞ i mn −i ∈ I dan dengan demikian a − b ∈ J . Diambil a ( −b ) ⎟ i =0 ⎝ i ⎠ mn
( a − b) = ∑ ⎜ v
sebarang r ∈ R dan a ∈ J . Karena a ∈ J , maka a m ∈ I untuk suatu m ∈ . Perhatikan m
m
bahwa ( ra ) = r m a m = a m r m = ( ar ) ∈ I , sehingga dengan demikian ra = ar ∈ J . Jadi, terbukti bahwa J merupakan ideal pada R.
Definisi berikut merupakan akibat dari Teorema 4.16. Definisi 4.17 (Ideal Radikal) Diketahui R ring komutatif dengan elemen satuan dan I ideal pada R . Himpunan
{a ∈ R ( ∃m ∈ ) , a berlaku sifat I
m
∈ I} disebut ideal radikal atas I dan dinotasikan dengan
I dan
⊆ I . Ideal I disebut ideal radikal jika dan hanya jika I = I .
Contoh 4.18
Diketahui 12 merupakan ideal pada ring
.
Perhatikan bahwa 12 dapat difaktorkan
menjadi 12 = 22 ⋅ 3 , dengan kata lain elemen-elemen pada 12 adalah ( 22 ⋅ 3) ⋅ r dengan r ∈ . Bentuk himpunan J
= {a ∈ ( ∃m ∈ ) , a m ∈12} . Perhatikan bahwa 6 ∈ J
karena dapat dipilih m = 2 , sehingga 6 2 = ( 22 ⋅ 3 ) ⋅ 3∈ 12 . Akan tetapi 2 ∉ J dan 3 ∉ J , m m karena untuk setiap m ∈ berlaku 2 ∉ 12 dan 3 ∉ 12 . Karena 6 ∈ J , akibatnya
6 ⋅ r ∈ J untuk sebarang r ∈ . Jadi, diperoleh J = 6 atau dengan kata lain
Struktur Aljabar – Ideal © Wijna 2008. http://wijna.web.ugm.ac.id
12 = 6 .
Sumber:
Becker T. and Weispfenning V., 1993, Gröbner Bases: A Computational Approach to Commutative Algebra, Springer-Verlag New York inc., New York. Cox D., Little J. and O’Shea D., 1992, Ideals, Varieties, and Algorithms: An Introduction to Computational Algebraic Geometry and Commutative Algebra, SpringerVerlag New York inc., New York. Fraleigh J. B., 1994, A First Course in Abstract Algebra, Addison-Wesley Publishing Company inc., United States.
Struktur Aljabar – Ideal © Wijna 2008. http://wijna.web.ugm.ac.id