CORRELA CORRELACIONES CIONES GENERALIZADAS GENERALIZADA S PARA PREDECIR PREDECIR LAS PÉRDIDAS PÉRDIDAS DE PRESIÓN POR FRICCIÓN
Para el cálculo de las caídas de presión cuando los fluidos fluyen en tuberías, uno de los métodos generalizados mas comunes de trabajo es hacerlo en función de dos (2) variables adimensionales llamadas el número de Reynolds y el factor de fricción de Fanning. El número de Reynolds es un número adimensional que relaciona la densidad del fluido con su velocidad, su viscosidad y el diámetro de la tubería por el cual fluye y es definido como: N Re
=
r Vd Vd m
(5.1)
Substituyendo la velocidad promedio del fluido como el producto del caudal por el área del tubo y de una vez aplicando una constante para usar unidades de campo se obtiene:
N Re
= 378 .95
r Q m d
(5.2)
El factor de fricción de Fanning es otro número adimensional de mucho uso en mecánica de fluidos y relaciona el esfuerzo de corte y la energía cinética del fluido mediante la siguiente relación: f =
t w 1 / 2 r v 2
(5.3)
Es sabido que el esfuerzo de corte en la pared del tubo es igual a: t w
=
d DP 4 L
(5.4)
Que en unidades de campo es :
tw =
3d DP L
(5.5)
Al remplazar el esfuerzo de corte, ecuación 5.4, en la definición del factor de fricción, ecuación 5.3, se obtiene, f =
DP
d 2
2 r V L
(5.6)
Realizando algunas conversiones de se obtiene la siguiente expresión para el el cálculo del factor de fricción de Fanning: f =
1
DPp 2 d 5
32 r LQ 2
(5.7)
La ecuación 5.7 cual en unidades de campo se convierte en: f = 154.79
DPd 5 2 r LQ
(5.8)
Resolviendo la ecuación 5.8 para DP, se obtiene:
DP =
f r LQ 2
154.79d 5
(5.9)
Esto quiere decir que una vez conocido el valor del factor de fricción, la caída de presión se puede calcular con la ecuación 5.9. Se recuerda que en el presente trabajo las unidades de campo para los diferentes parámetros son: Caudal, Q, en gal/min. Diámetro, d, en pulgadas. Longitud, L, en ft. Presión, P, en psi
Densidad, r , , en lb/gal Factor de fricción, adimensional. Número de Reynolds, adimensional. Esfuerzo de corte, lbf /ft /ft2
El factor de fricción se debe calcular con los datos del problema para luego ser usado en la ecuación 5.9 para calcular la caída de presión. El cálculo del factor de fricción depende de sí el régimen de flujo es laminar o turbulento lo cual es dependiente del valor del número de Reynolds cuando se está en flujo laminar y del número de Reynolds y de la rugosidad cuando se está en flujo turbulento. Si el régimen de flujo es laminar, el factor de fricción de Fannig para una gran mayoría de los fluidos que fluyen en tuberías cilíndricas es igual a: f =
16 N Re
(5.10)
Si el régimen de flujo es turbulento,
el factor de fricción fricción se puede calcular
haciendo uso de diferentes correlaciones empíricas que se presentarán con mas detalle mas adelante. El número de Reynolds y el factor de fricción, ya sea el de Fanning o el de Moody, tradicionalmente se han graficado en escala logarítmica en un diagrama que comúnmente es llamado diagrama de Moody. (ver figura 5.1). Hay que aclarar que el ipso de fricción definido por Moody es igual a cuatro (4) veces el factor de fricción definido por Fanning. Por ello es importante aclarar en los cálculos cual de los dos factores de fricción se está usando en un momento dado. . La ecuación de Moody esta dada por: 2
DP f
=
f r LV 2d
(5.11)
Figura 5.1 Factor de fricción de Moody
Cuando se calculan caídas de presión para tuberías que no están en posición horizontal, al gradiente de presión originado por la fricción hay que agregarle el gradiente de presión originado por la cabeza hidrostática del fluido. En unidades de campo, la presión hidrostática en tubería vertical se puede calcular con la siguiente expresión: DPh
= 0.052 r h
(5.12)
CALCULO DE DP PARA FLUIDOS NEWTONIANOS NEWTONIANOS
A continuación se presentan una serie de correlaciones y ecuaciones para calcular caídas de presión por fricción de flujo de fluidos Newtonianos en tuberías.
Tubería Rect Rect a y Flujo Laminar
Se iniciará con la correlación desarrollada por Hagen
Poiseuille. Esta expresión
es la más común para determinar el factor de fricción para este tipo de condiciones.
f =
16 N Re
(5.12)
Tubería Tubería Enrollada y Flujo Laminar
El flujo a través de tubería enrollada, caso que se presenta en forma muy común en la industria petrolera, se diferencia del flujo por una tubería recta debido a la presencia de patrones de flujo secundarios causados por el desbalance entre las fuerzas actuando en la dirección dirección radial de la tubería enrollada. Estos patrones de flujo secundarios están compuestos de remolinos de rotación invertida que se oponen al flujo y comúnmente llamados Vórtices de Dean, los cuales causan un incremento en las pérdidas de presión por fricción. fricción. White investigó la influencia de la curvatura sobre la resistencia al flujo del agua para N Re mayores que 9000. Él hizo la observación de que el flujo puede ser mantenido laminar para NRe mucho más grandes que los posibles en una tubería recta. Esta afirmación afirmación fue luego verificada por Taylor en su investigación experimental del flujo turbulento de agua en tuberías curvas. Por esto es necesario determinar el tipo de flujo que se presenta en el carrete utilizando la ecuación 5.13, el número de Reynolds crítico NRec es el punto donde se determina el tipo de flujo que se presenta en un sistema, es decir, donde el flujo laminar termina y se inicia el de transición para continuar en flujo turbulento.
0.5
N Re c
é r öù = 2100 ê1 + 12æ ç o ÷ú è R øû ë
(5.13)
Este NRec para el carrete esta en función de la curvatura, por tal razón es necesario determinar esta expresión por cada vuelta del carrete. carrete. Al determinar el valor del NRec es necesario comparar este valor con el NRe (para fluidos Newtonianos) ó NReg (para Fluidos bajo la Ley de la Potencia) y si NRe ó NReg es mayor que NRec entonces el flujo es turbulento, si es menor por lo tanto el flujo es laminar (ver Fig. 5.2)
D = Diámetro Externo del CT
R i
R i+1 i+1
R i+2 i+2
R i+3 i+3
R n
Radio del Core del Reel
Figura 5.2 Diagrama de tubería enrollada y su terminología Al utilizar esta expresión para ejemplos reales de carretes se llega a la conclusión que en un carrete de tubería enrollada se podrían presentar simultáneamente dos tipo de flujos, el laminar y el turbulento, a un caudal determinado. determinado.
Esto es
importante puesto que puede ser necesario utilizar dos ecuaciones para determinar las pérdidas por fricción fricción en el carrete, la una sería para flujo laminar laminar y la otra flujo turbulento. El NRec para tuberías rectas se utiliza con un valor de 2100. Una correlación desarrollada por Hasson ofrece un significativo calculo de delta P a través de tuberías enrolladas enrolladas y lisas. Estas relaciones esta expresadas por:
16 æ r o ö ç 0.556 + 0.0969 N æ f = ÷ Re ç N Re ç è R ø
è
0.5
ö ÷ ÷ ø
(5.14)
La ecuación es valida para el rango entre 22 < NRe (r o/R)0.5 < 2.000 y teniendo en cuenta que (r o/R) < 0.066. Tubería Tubería Recta Recta y Lis a con Flujo Turbulento
En primer lugar se tiene una ecuación simplificada para factores de fricción, ésta fue desarrollada por Blasius para tuberías lisas y rectas, con fluidos newtonianos y con valores de NRe menores de 100 000. f =
0.0791 N Re
0.25
(5.15)
Para este mismo tipo de condiciones se tiene otra ecuación implícita derivada por Prandt: 2
é ù 1 f = ê [ë 4log Nre ( ( f )) -0.4]ûú
(5.16)
Continuando con el tipo de correlaciones bajo las condiciones anunciadas anteriormente, se llega a la ecuación determinada por Drew que es una de las ecuaciones más comúnmente utilizada. La expresión es la siguiente y es válida para el rango entre 3000 < N Re< 3.000.000: f = 0.0014 + 0.125(N Re)
-0.32
(5.17)
Tubería Recta, Rugosa en Flujo Turbulento
En este caso se considera que la tubería presenta cierto grado de rugosidad. Existen varias expresiones presentadas por diferentes investigadores para este tipo de condiciones. En 1984 Chen desarrolló la siguiente expresión para el tipo de condiciones anunciadas anteriormente, la expresión conseguida por Chen es la siguiente: f
=
1
é ìï e é 1 æ e ö1.1098 5.0452 ê- 4 log í log ê + ç ÷ êë ïî 3.7065d N Re êë 2.8257 è d ø
5.8506 ù ü ïùú 0.8981 ú ý N Re úû ïþúû
(5.18)
La expresión determinada por Shenoy que es una de las mas recientes es la siguiente:
é ù ê ú N Re ú C = 3.57 log ê ê æ 2 e ö1.14 ú ê N Re ç 0.8398 ÷ + 6 .5 ú d ø ë è 10 û
(5.19)
2
é1ù f = ê ú ë C û
(5.20)
Otra expresión muy conocida para este tipo de condiciones (fluido newtoniano, tubería recta y rugosa, en flujo turbulento) es la ecuación de Colebrook que también es una correlación explícita y que debe ser resuelta por iteraciones sucesivas.
1 f Cole
æ e 1.255 ö ÷ = -4 log çç 0.269 + ÷ d N f Re Cole ø è
(5.21)
El factor de fricción f Cole Cole aparece en ambos lados de la ecuación, por lo tanto la solución de la ecuación de Colebrook requiere iteraciones y la convergencia se logra luego de 4 o 5 iteraciones. Esta expresión es importante ya que puede ser adicionada dentro de algunas ecuaciones que determinan el factor de fricción en tuberías enrolladas, cuando se presenta rugosidad y en tuberías lisas, esta se utilizara más adelante. Tubería Tubería Enrol Enrol lada, lada, Lisa con Flujo Turb ulento
La primera expresión es la de Ito desarrollada desarrollada en el año de 1987. Este autor propuso formulas empíricas para el factor de fricción extraídas de sus estudios experimentales. La primera ecuación propuesta por este este autor fue:
0.5
0.076 æ r ö f = 0.00725ç o ÷ + 0.25 è R ø N Re
(5.22)
De acuerdo a Ito, la ecuación anterior es valida para el rango: 0.034 < N Re (r o/R)2 < 300 la cual incluye todas las combinaciones de carretes y unidades de coiled
tubing usados en la industria hoy en día. Las correlaciones correlaciones de Ito combinan combinan los efectos del flujo de fluidos a través de curvas con un cálculo del factor de fricción para la hidráulica de tuberías lisas. La expresión [0.00725 (r o/R)0.5], referido como el factor C (término de curvatura ), incluyendo el coeficiente empírico [0.076/N Re 0.25
], este es derivado de los datos experimentales de Ito.
Más tarde pruebas para flujo a través de coiled tubing helicoidal fueron realizadas por Mishra y Gupta (Ref. 11). Estos autores encontraron un coeficiente de 0.0075 dando gran exactitud cuando se comparan las predicciones con los datos de pérdidas de presión presión de la correlación de Ito. La explicación de Ito para para bajos coeficientes del factor C puede ser atribuida al hecho de que él usó únicamente
una sección de ondulación sencilla en sus pruebas. Esto no proveía proveía suficiente longitud de flujo para que los Vórtices de Dean fueran completamente desarrollados sobre la longitud de su aparato de prueba. En contraste a las pruebas de Ito, los aparatos de prueba usados por Mishra y Gupta se componían de múltiples enrolles helicoidales, los cuales permitían un desarrollo completo de los efectos de los Vortices de Dean como para ser medidos. Por esto, el el valor empírico de 0.0075 es recomendado y será adoptado adoptado para el coef coeficiente iciente del fact factor or C . El segundo término en la ecuación de Ito, [0.076/NRe 0.25], fue desarrollado como la mejor aproximación a sus datos experimentales para una vuelta de tubería hidráulicamente lisa (cero rugosidad). Este componente del factor de fricción es aproximadamente 4% menor que el comúnmente usado en la ecuación de Blasius, ver ecuación 5.15. Esta diferencia entre el segundo término de Ito y la ecuación de Blasius esta dentro de la exactitud de los datos experimentales de Ito. De estas observaciones, Reed Reed y Sas Jaworsky en Septiembre Septiembre de 1997 sugieren sugieren una nueva ecuación la cual incorpore un coeficiente supuesto del factor C y reemplaza el componente de Ito del factor de fricción para flujo a través de secciones de tubería rectas por el f Cole Cole, ver ecuación 21. La nueva ecuación del factor de fricción para fluidos newtonianos en flujo turbulento (f CT,T CT,T) a través una sola vuelta de tubería enrollada es: 0.5
æ r ö f CT ,T = 0.0075ç o ÷ + è R ø
f Cole
(5.23)
f Cole Cole esta definido previamente.
Esta nueva ecuación combina el factor C de Mishra y Gupta para efectos de flujo turbulento a través de tuberías enrolladas con una buena relación de estabilidad
para flujo de fluidos a través través de tuberías rectas rectas con rugosidad en la pared. Para estimar convenientemente la adición de fricción causada por la curvatura en la tubería enrollada se deben calcular los factores de fricción por cada vuelta de tubería, ó realizar la sumatoria de cada fila de tubos que están sobre el carrete. Note que f Cole Cole es independiente de los efectos de curvatura y podría permanecer constante para un fluido, tubería y rata de bombeo específicos, por esto la ecuación puede ser utilizada tanto para tuberías lisas como para rugosas.
La ecuación 5.24 representa la metodología de cálculo para determinar el efecto de f CT,T CT,T y longitud de tubería enrollada sobre el carrete (L Reel):
éæ r ö0.5 ù L Re el f CT .T = 0.0075å êçç o ÷÷ D Li ú + ( f Cole L Re el ) úû i = 1 êè Ri ø ë N
(5.24)
Las ecuaciones para determinar los factores de fricción en el carrete tienen en cuenta el efecto de la curvatura del tubo. El resultado de LReel y f CT,T CT,T son entonces empleados por la ecuación estándar de Fanning para calcular pérdidas totales de presión por fricción a través de tubería enrollada sobre un carrete. Si la tubería es una sarta que disminuye disminuye su diámetro con su longitud, la ecuación podrá ser aplicada para cada segmento en el cual diámetro interno es igual a DI como una constante.
Tubería Tubería Enrollada, Rugosa Rugosa y en Flujo Turbu lento
La primera de estas ecuaciones fue desarrollada por Scrinivasan, la expresión es la siguiente:
f=
0.084 æ r o ö N Re
0.2
0.1
ç ÷ è R ø
(5.25)
La segunda es la ecuación 5.22 y para toda la longitud de tubería enrollada sería la ecuación 5.23. Estas ecuaciones pueden ser utilizadas tanto para tuberías lisas como para tuberías rugosas. FLUIDOS NO NEWTONIANOS Fluidos de la Ley Ley de la Potenci Potenci a
Para los fluidos que se comportan bajo la ley de la Potencia se presentan varias correlaciones para determinar los factores de fricción. De igual forma existen varias correlaciones para determinar las pérdidas de presión por fricción en tuberías enrolladas. El modelo de la ley de la potencia es uno de los modelos que mejor representa los sistemas de fluidos encontrados en la industria petrolera y por ello han sido objeto de mucho estudio. Recordando lo escrito en secciones anteriores, la ley de la potencia tiene dos parámetros a saber:: n que es llamado í ndice de comportamiento de flujo, y K que es llamado el índice de consistencia .
Cuando se tienen caracterizaciones del fluido obtenidas de un viscosímetro Fann 35 A, los dos parámetros del modelo se pueden determinar de la siguiente manera: n
= 3.32 log
q 600 q 300
(5.26)
K = 5.1
q 300 n
511
(5.27)
Hay que aclarar que lo ideal es evaluar los parámetros del modelo de la ley de la potencia a las ratas de corte correspondiente a los rangos objeto de investigación. Ello es muy fácil cuando se tienen datos experimentales que cubren rangos amplios de ratas de corte y esfuerzos de corte como los obtenidos en viscosímetros de múltiples múltiples velocidades. Para los fluidos bajo la ley de la potencia es importante tener en cuenta que el NRe, se presenta como un NRe generalizado y por lo tanto está en función de n y K. N Re
=
N Re g
r Vd Vd
=
m
r Vd m a
(5.28) (5.29 )
La ecuación 5.28 es la definición del número de Reynolds para fluidos Newtonianos mientras que la ecuación 5.29 es la definición del del número número de Reynolds para fluidos de la Ley de la Potencia. En este último caso la viscosidad aparente m a, esta definida por: m a
= K g n -1
(5.30)
Como la rata de corte está definida por: g
=
8 V d
(5.31)
Substituyendo las ecuaciones 5.30 y 5.31 en la 5.29 para obtener el número de Reynolds generalizado se obtiene:
N Re g
=
r Vd
æ 8 V ö K ç ÷ è d ø
n -1
(5.32)
La ecuación 5.32 también se puede escribir como: 2-n
n
N Re g
=
d r V
n-1
K 8
(5.33)
Reemplazando m por m a en la ecuación general del NRe, donde m a en unidades de campo es igual a: m a
= 47880 K g n - 1
(5.34)
La ecuación de NReg para fluidos bajo la ley de la potencia en unidades de campo estaría dada por: N Re g
=
378 .95 r Q 47880 K g n -1d
(5.35)
Como la rata de corte, g , en unidades de campo es: g
= 39.206
Q 3
d
(5.36)
Remplazando la rata de corte g en la ecuación 5.35 se obtiene:
N Re g
N Re g
=
378 .95 r Q Q ö æ 47880 K ç 39.206 3 ÷ d ø è
K 39.206
=
7 .9145 x10
-3
Q
n -1
n -1
d 3n
-3
r d 3 n -4 Q 2 -n
39.206
(5.37)
d
r Q
= 7 .9145
n -1
N Re g
n -1
K
(5.38)
d
(5.39)
En unidades de campo el número de Reynolds generalizado sería igual a: 3 n -4
N Re g
=
0.3103 é r d 39.206 n
ê ë
Q
K
2-n
ù ú û
(5.40)
Esta sería la ecuación para determinar NReg para fluidos no newtonianos que se comportan bajo la ley de la potencia. Es importante explicar que el límite entre el régimen de flujo laminar y el turbulento para un fluido modelado por la ley de la potencia esta dado por las siguientes desigualdades: Si (3470 – 1370n) < N Reg entonces flujo laminar Si (3470 – 1370n) > N Reg entonces flujo turbulento Como a conocimiento de los autores del presente trabajo para tuberías enrolladas no existen estudios para determinar el valor del número de Reynolds crítico de fluidos de la ley de la potencia, siguiendo los resultados obtenidos para el mismo caso pero con los fluidos Newtonianos, los autores recomiendan el uso de la siguiente correlación para determinar el valor crítico del número de Reynolds :
0.5
é r öù = (3470 - 1470n) ê1 + 12æ ç o ÷ú è R øû ë
N Re cg
(5.41)
Si el NRecg es menor que NReg el flujo es turbulento, si es mayor el NRecg que el NReg el flujo será laminar. Luego de determinar el factor de fricción para cualquier condición determinada es necesario calcular DP y este calculo se hace por medio de la siguiente ecuación:
DP f
=
f r LQ
2 5
154.79 d
(5.42)
La ecuación 5.42 es la que se utiliza para determinar el DP para cualquier condición una vez el el factor de fricción es conocido. Las diferentes opciones para para determinar el valor del factor de fricción se relacionan a continuación. Tubería Tubería Rect Rect a con Flujo L aminar
Si el NReg < (3470
1370n), la relación entre el factor factor de fricción fricción y el número número de
Reynolds es la siguiente: f =
16 N Re g
(5.43)
Tubería Tubería Enrollada y Flujo Laminar
Mientras el flujo de fluidos newtonianos en tuberías curvas ha sido el tema de numerosas publicaciones técnicas, la información de lo concerniente al flujo de fluidos no newtonianos es más bien escasa, pero si se encuentran para algunos casos como como para fluidos bajo la ley de la potencia.
Para este caso caso
específicamente no existe ninguna ecuación para determinar el factor de fricción, sin embargo se utiliza la correlación de Hasson realizada para fluidos
newtonianos. Para usar la correlación mencionada mencionada se debe tener tener en cuenta el valor de g , para luego determinar la viscosidad aparente. Después de conocer el valor de la viscosidad aparente se remplaza éste en la ecuación del NRe para fluidos newtonianos. Al realizar esta operación se obtiene obtiene un valor igual al al NReg y de esta manera se hace uso de la correlación de Hasson para este tipo de condiciones.
æ ç 0.556 + 0.0969 = f N Re g ç è 16
æ r ö N Re g ç o ÷ è R ø
0.5
ö ÷ ÷ ø
(5.44)
Tubería Tubería Rect Rect a, Lisa en Flujo Turbulento
Si el NReg > (4270
1370 n), entonces el flujo es turbulento y una buena
expresión a utilizar es la correlación de Schuh, que esta dada por : f =
a N Re g
b
(5.45)
Las variables a y b están dadas por: a
=
b
=
log 10 ( n ) + 3.93 50
1.75 - log 10 ( n ) 7
(5.46)
(5.47)
Para este mismo caso se presentan varias correlaciones entre las cuales se tienen la de Dodge & Metzner que Metzner que básicamente se utiliza para fluidos viscoelásticos y que esta definida como: æ n ö é ù ç 1- ÷ ê 4 log( N Re g f è 2 ø ) 0.4 ú C = ê - 1.2 ú 0.75 n n ú ê ë û
2
é1ù f = ê ú ë C û
(5.48)
Otra ecuación para este caso de flujo turbulento de fluidos de la ley de la potencia en tuberías no rugosas fue presentada por Shenoy. La expresión de Shenoy es: 2
é ù ê ú ê ú ê ú 1 f = ê é 1 ù ùú é nê ú ê N ë 0. 615 û ú ê 4 log ê Re gé 1 ù ú ú ê nê úú ê ë1+ 0.75n úû ú ê ë 6.5 ûû ë
(5.49)
El rango de aplicación teniendo en cuenta el NReg, esta entre 4000 < NReg< 106. Shenoy realizó una comparación entre varias expresiones del mismo tipo y los resultados de su expresión fueron más precisos. La ecuación de Keck, Waren y Gary, que trabaja bajo las mismas condiciones y especialmente para fluidos de fracturamiento base hidroxipropil guar (Ref. 4):
é 1 f = ê ëê [ A log ( N Re g
2
ù ú f ) + B ]ûú
(5.50)
Los parámetros A y B se determinan por: A = 14.9 n -1.6 d0.13 B = 53.9 n -1.9 d0.27
Tubería Recta, Rugosa en Flujo Turbulento
Las experiencias realizadas por Shenoy son de las más recientes y por lo tanto se relacionan en este trabajo. trabajo. El factor de fricción es calculado por Shenoy siguiendo siguiendo la siguiente correlación: 2
é ù ê ú ê ú ê ú 1 ê ú f = ê 1.14 ú - 3. 75 ê æ 8 .55n.656 ö n ú ç d ÷ ú ê 4 log 10 ç ÷ ê 2 e ÷ ú ç êë è ø úû
(5.51)
La ecuación 52 se diferencia de la ecuación 53, ya que esta última última se utiliza para tuberías completamente rugosas (Ref. ( Ref. 14):
é ù ê ú ê ú é 1 ù nê ú ê ú N Re g ë 0.615 û ú C = 16 log ê 1.14 ê ú n é 1 ù æ ö 1 n é ù ê 1+ 0.75 n ú ú ê 2 e ÷ nê ë û úç ê N Re g ë 0.615 û ç 8 .5 n - 3.75 d ÷ + 6 .5 ú ç ÷ êë úû è 10 5.656 ø 2
é1ù f = ê ú ë C û
(5.52)
Tubería Tubería Enrollada, Rugosa Rugosa y en Flujo Turbu lento
Entre los muy pocos estudios sobre esta materia están los de Mashelkar y McCann que son muy conocidos.
Ellos condujeron muchos muchos experimentos y
estudios teóricos del flujo laminar de fluidos no newtonianos y viscoelásticos a través de tubería enrollada. Sin embargo, embargo, las correlaciones correlaciones empíricas propuestas para cálculo del factor de fricción para flujo turbulento de fluidos no newtonianos tienen un rango rango muy limitado de aplicación en la ingeniería. Consecuentemente se requiere que trabajos más exhaustivos se desarrollan desar rollan en esta área.
Para fluidos no newtonianos, flujo turbulento y tuberías enrolladas se tiene la ecuación de Mashelkar, la expresión esta dada por (Ref. 1):
f
a * ( r o / R ) 0.5
=
[ N
Re g
( r o / R )
1 / 28
]
B
(5.53)
Bn +1
El desarrollo de la ecuación de Mashelkar presenta algunos parámetros empíricos como se indican en la tabla 5.1. Tabla 5.1 Parámetros de la Ecuación de Mashelkar n
a
b
a*
1
0.079
0.25
0.07185
0.9
0.077
0.257
0.08186
0.75
0.0755
0.269
0.06566
0.5
0.0725
0.293
0.06325
Existe otra correlación que fue desarrollada para este caso y es la correlación de McCann. Esta ecuación esta dada por: 0.1
æ r ö 0.265aç o ÷ è R ø f = 0.8b N Re g
(5.54)
a y b se determinan de las ecuaciones 5.47 y 5.48. Fluidos Plástico de Bingham
El modelo plástico Bingham es de dos parámetros a saber:
· Viscosidad Plástica ( m p) · Punto de Cedencia (t o)
Los dos parámetros se pueden determinar de datos obtenidos del viscosímetro Fann 35 A usando las velocidades de 600 y 300 RPM mediante las siguientes relaciones: m p = q 600 600
q 300 300
t o = q 300 300 - m p
Antes de hacer cualquier cálculo de caída de presión se debe determinar el régimen de flujo en el cual se encuentra el fluido. Para determinar el régimen de flujo de los fluidos plásticos Bingham es necesario tener en cuenta un parámetro denominado número de Hedstrom NHe pues este parámetro es necesario para determinar el valor del número de Reynolds crítico NRecPB. La ecuación de NHe en unidades de campo esta dada por: N He
=
37100 rt 0 d 2
m P
2
(5.55)
El NRecPB esta en función de a c, y para calcular a c es necesario reemplazar el valor de NHe en una función y aplicar un método método iterativo para su solución En este caso se aplica Newton Rapson para obtener el valor de a c.
La ecuación para
determinar a c esta dada por: a c
(1 - a c )
3
=
N He
16800
(5.56)
La parte derecha de la ecuación 5.57 es un valor constante ya que NHe se conoce, la función de a c esta dada por: f (a c ) = 0 = a c (1 - a c )
-3
-
N He
16800
(5.57)
Para utilizar el método de Newton Rapson es necesario calcular la derivada de la anterior función, la derivada sería igual a:
Derf (a c ) = 3a c (1 - a c )
-4
+ (1 - a c )-3
(5.58)
El valor de NRecPB se determina mediante la siguiente expresión: N Re cPB
1 4ù é 4 a a c ú + 1 c ê 3 3 = N He ê ú a 8 c ê ú ëê ûú
(5.59)
Para calcular el número de Reynolds de los fluidos plásticos Bingham el valor de la viscosidad que se usa para altas ratas de corte es el valor de la viscosidad plástica. Esto se hace porque a altas ratas de corte estos dos valores se aproximan. Ya en unidades de campo el NRePB dado por: N Re PB
=
928 r Vd
m P
(5.60)
Si el valor de NRePB es menor que el NRecPB entonces el flujo es laminar y la caída de presión para secciones rectas se determina de la siguiente manera:
é V m P + t 0 ù 2 ú 1500 D 225 d ë û
DP = L ê
(5.61)
Si el valor de NRePB es mayor que el NRecPB entonces el flujo es turbulento y la caída de presión para tramos de tubería recta se determina de la siguiente manera:
é r 0.75V 1.75 m P0.25 ù DP = L ê ú 1.25 1800 d ë û
(5.62)
Como se puede observar las ecuaciones anteriores se desarrollan teniendo en cuenta los dos parámetros del modelo plástico Bingham m p y t o.
Es importante aclarar que para tubería enrollada no existe ninguna ecuación para fluidos del modelo Plástico de Bingham a conocimiento de los autores de este trabajo, por lo tanto se debe buscar modelar los fluidos bajo la ley de la potencia . Fluido s Hersc Hersc hel-Bulkley (Ley de la Potencia Potencia Modif icada)
El modelo de la ley de la potencia modificada es uno de los modelos que mejor representa el comportamiento real de los fluidos, sin embargo, por ser un modelo de tres parámetros lo ha hecho muchas veces difícil de manipular y de ser objeto de desarrollo de ecuaciones y correlaciones que permitan establecer un relación entre el caudal y las caídas de presión por fricción en diferentes geometrías de flujo. Recordar que la ecuación general para este modelo esta dada por: = t o + Kg n t =
(5.64)
Para calcular el esfuerzo de corte se tiene que: t =
d DP
4 L
(5.63)
Y la rata de corte es definida como: g
=
8V d
=
32Q 3
d
(5.64)
Al sustituir las ecuaciones 5.65 y 5.66 en la 5.64 se obtiene la ecuación teórica para relacionar caudal con presión en régimen laminar para fluidos HerschelBulkley. d DP f
4 L
n
æ 32Q ö = t 0 + K ç 3 ÷ è d ø
(5.65)
Despejando DPf :
DP =
4 L é êt 0 d êë
32Q ö + K æ ç 3 ÷ è d ø
n
ù ú úû
(5.66)
Para este modelo reológico no existen correlaciones para ningún tipo de condiciones turbulentas, ya sean tuberías rectas ó enrolladas, además tampoco existe ninguna ecuación que simule el comportamiento laminar para tuberías enrolladas. El modelo de la ley de la potencia modificada, también conocido como modelo Herschel-Bulkley, es muy utilizado para describir el comportamiento reológico de las espumas.
