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I- LA METHODES DES ELEMENTS FINIS La méthode des éléments finis est une méthode de résolution approchée d'équations aux dérivées partielles. D'une manière plus simple il s'agit de remplacer un problème compliqué pour lequel a priori on ne connaît pas de solution, par un problème plus simple que l'on sait résoudre. D'une manière pratique la méthode est en grande majorité des cas mise en oeuvre via des codes de calcul informatiques (le code Aster, le code FRANC-2D/L, le code FORGE2 Multimatériaux,…) .
Ces outils de calcul sont aujourd'hui largement utilisés industriellement.
Dans ce mémoire, on s'inspiré d'un programme des éléments finis élaboré par le Pr. F.LAHNA sous le FORTRAN. I.1
Importance de la méthode
De très nombreux problèmes physiques s'expriment sous forme d'équations aux dérivées partielles soumises à des conditions aux limites particulières [3]. •
Mécanique de la rupture,
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Mécanique des solides déformables,
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•
Mécanique des fluides, Conduction thermique, Électromagnétisme… Quelques exemples de problèmes mécaniques résolus de manière courante par
éléments finis : •
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Dimensionnement des structures pour des engins de transports ferroviaire, routier, naval ou aéronautique, Dimensionnement de pièces de sécurité en génie civil par exemple, Simulation numérique d'état ultime, tel le comportement de centrale nucléaire dans le cas de dysfonctionnement… De manière industrielle, l'objectif est souvent la diminution des coûts, en cernant
mieux la réalité physique. D'autre fois par exemple via la simulation, l'objectif est d'investiguer des domaines difficiles ou dangereux. Par exemple, que se passe-t-il lorsqu'un TGV prend feu à mi-chemin dans le tunnel sous la manche? Quel élément est-il préférable d'améliorer dans les structures? Bien qu'une expérimentation finale grandeur nature soit souvent le seul arbitre définitif, il est beaucoup plus aisé d'utiliser une simulation pour chercher à optimiser les paramètres. Remarques sur les termes de dimensionnement et de simulation:
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Dimensionnement :
l'objectif est de trouver la bonne dimension, ou le bon matériau,
répondant avec une marge de sécurité suffisante à une contrainte donnée : exprimée par exemple en charge ou en déplacement. Simulation :
l'objectif est d'étudier le comportement d'une pièce ou structure, qui
éventuellement n'existe pas encore, dans différentiels plages de fonctionnement : normale ou exceptionnelle. I.2
Intérêts et limitations de la méthode des éléments finis
La méthode permet d'aborder le quasi totalité des phénomènes et particularités de la mécanique du solide :
Les phénomènes de comportement statique en petites et grandes transformations, c'està-dire grandes déformations et/ou grands déplacements, Les différentes classes de lois de comportement existantes, des lois simples linéaires, aux lois pouvant être fortement non-linéaires comme l'élasto-visco-plasticité, Les phénomènes thermiques et/ou thermomécaniques couplés, Les phénomènes d'instabilité de flambage, Les phénomènes transitoires et/ou dynamiques qui regroupent les cas d'impacts lents (crash) ou rapides dans le domaine militaire, les cas de vibrations de structures ou même vibrations acoustiques, Etc… Au rang des performances de la méthode, remarquons aussi qu'elle n'est pas limitée
par une géométrie particulière, il est possible d'étudier des pièces de taille et de forme quelconque. Dans le cas où ces données sont complexes, elles n'entraînent qu'un surcoût de temps de calcul. Ainsi le calcul est seulement borné par la puissance de l'ordinateur utilisée. En terme de précision des résultats, celle-ci n'est en général limitée que par la précision interne de stockage de l'ordinateur et par le temps que l'on désire consacrer à la résolution, temps dépendant également de la puissance du calculateur. Concernant les limitations de la méthode, il faut noter une assez grande complexité de mise en oeuvre, d'autant plus importante que l'on aborde des phénomènes et/ou géométries et/ou comportements matériels complexes. Par exemple il est possible de simuler une opération complète de mise en forme par emboutissage, ou un phénomène de crash d'automobile, ou encore le comportement d'un implant osseux, mais ces possibilités ne sont réellement accessibles qu'à un public spécialisé.
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Néanmoins dans le cas de structures et de sollicitations assez simples qui était naguère étudié essentiellement via les techniques de la résistance des matériaux, les logiciels de calcul moderne fondés sur les éléments finis apportent un gain de performance non négligeable tout en pouvant rester simples d'utilisation. Par contre, il n'est pas rare que l'utilisateur ainsi initié aux éléments finis, vu les possibilités de la méthode, manifeste un intérêt croissant pour des calculs de plus en plus complexes [3]. I.3 Généralités sur la résolution de problèmes aux dérivées partielles
Bien que la connaissance de ces équations soit parfois ancienne, plusieurs datant de plus d'un siècle, seuls très peu de cas peuvent être résolus exactement (analytiquement) par les mathématiques classiques. A partir du début du siècle et surtout après la seconde guerre mondiale deux tendances se sont fait jour pour tenter d'obtenir une solution approchée via des méthodes numériques c'est-à-dire hors résolution analytique. La méthode directement issue des mathématiciens, les différences finies, s'appuie sur des bases rigoureuses et la convergence vers la solution exacte est garantie. La méthode des éléments finis est issue des mécaniciens. Cette méthode s'est développée d'une manière très intuitive à ses débuts et rien ne prouvait a priori une convergence vers la solution exacte. De nos jours les éléments finis sont entrés de plein pied dans le monde des mathématiques. Dans de nombreux cas on a pu montrer la convergence absolue de la méthode, mais d'un point de vue général le problème est encore ouvert [3]. I.3.1
Comparaison des méthodes différences finis et éléments finis
Dans le cas d'équations aux dérivées partielles du premier et du second ordre, cas le plus fréquent, la méthode des éléments finis est en général plus performante que celle relative aux différences finies, ce qui explique leur large emploi. Par exemple en mécanique des solides déformables, les différences finies sont rares. Dans le cas d'équations aux dérivées partielles du nième ordre > 2, les éléments finis posent de nombreux problèmes, difficiles à résoudre, que n'ont pas les différences finies, qui elles permettent aisément d'exprimer une dérivée d'ordre n [3]. I.4
Description générale de la méthode des éléments finis
La méthode englobe trois domaines principaux. •
Les méthodes de discrétisation qui permettent de transformer un problème continu en une approximation discrète, 41
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•
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Les méthodes variationnelles qui permettent de transformer une équation aux dérivées partielles (EDP) en une forme approchée "variationnelles", Les méthodes numériques qui permettent de résoudre les systèmes d'équations linéaires, non linéaires,...
II- LE MAILLAGE Dans la méthode des éléments finis, l’étape du maillage est primordiale. Elle peut directement conditionner la précision des résultats obtenus. C’est pourquoi le choix du mailleur est très important. II.1 Les types de maillage
Un maillage est une structure polyédrique dont les faces sont des triangles (triangle à 3 noeuds, triangle à 6 noeuds à bords droits ou curvilignes :
Figure III.1 (a): Maillage triangulaire (3 et 6 nœuds).
Ou des quadrangles, Quadrangle à 4, 8 ou 9 noeuds :
Figure III.1 (b): Maillage quadrangle (4, 8 et 9 nœuds).
Un maillage permet d’approcher des objets géométriques en vue de simulations numériques, cependant un bon maillage doit éviter des triangles trop aplatis : Exemple d’un maillage en triangle (Réalisé par RDM6):
Figure III.1 (c): Exemple du maillage triangulaire réalisé par RDM6.
Exemple d’un maillage quadrangle (Réalisé par RDM6): 42
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Figure III.1 (d): Exemple du maillage quadrangle réalisé par RDM6.
II.2 Mailleur et remailleur automatique
Les qualités d’un mailleur sont principalement [1]: •
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•
La robustesse : quelle que soit la géométrie proposée, il doit être capable de construire, si possible automatiquement, un maillage correspondant ; La précision : le maillage doit coller le plus possible au contour de la géométrie, de façon à avoir le minimum de perte de volume ; La régularité : la qualité des éléments du maillage doit être bonne et suffisamment régulière, afin de minimiser l’approximation réalisée par la méthode des éléments finis ; La souplesse : on doit pouvoir mailler plus finement certaines zones de la pièce où les phénomènes que l’on désire étudier sont plus fins ; La rapidité : la rapidité d’un mailleur à créer un maillage est un paramètre important, qui prend encore plus de poids lorsque l’on désire développer un remailleur automatique. La capacité à évoluer : il doit être suffisamment « modulable » pour pouvoir générer de nouveaux types d’éléments, ou lui imposer une structure particulière.
III- Méthodes de calcul des facteurs d’intensité de contrainte KI et KII : I.5
Méthodes de calcul :
L’apparition de la méthode des éléments finis a permis d’étudier la mécanique de la rupture d’un point de vue numérique, proposant ainsi des solutions plus précises à des problèmes plus complexes. Apparurent alors une multitude de méthodes permettant de calculer les facteurs d’intensité de contraintes, le taux de restitution d’énergie, ou encor de découpler les différents modes de rupture. Parmi ces nombreuses méthodes, on citera quatre méthodes qu’on classera en deux catégories [2]:
Méthodes directes. Méthodes énergétiques.
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III.1.1 Méthodes directes :
Pour la méthode directe on peut en retenir deux autres aussi ; une première basée sur l’expression des champs de déplacement au voisinage immédiat du front de la fissure, et une deuxième utilisant l’expression du champs des contraintes. III.1.1.1 Méthode directe avec champ déplacement (isotrope): (is otrope):
On considère le cas plan, l'axe OX1 dans le prolongement de la fissure et OX2 perpendiculairement à la fissure et prenons les coordonnées polaires r et θ [6].
Figure III.1.1 : Systèmes d'axes par rapport à la fissure
L'expression du champ des déplacements u s'écrit asymptotiquement sous la forme [4]:
(III.1)
Avec µ =
E
2(1 + ν )
déformation plane
le module de cisaillement et ν le coefficient de Poisson ; k = 3-4 ν en
et k =
3 − ν dans l'hypothèse des contraintes planes. 1 + ν
Pour un matériau isotrope, (CHAN, AL et FAWKES) ont montré qu’en mode d’ouverture, les meilleurs résultats peuvent être obtenus à partir de la composante verticale en I
arrière du front de la fissure ( u
2 ( θ
= Π
)
) donne des résultas raisonnables.
En mode II et pour un matériau isotrope, la composante horizontale en arrière du front I I
de la fissure ( u
1 ( θ
= Π
)
) donne aussi des résultats raisonnables.
III.1.1.2 Méthode directe avec champ des contraintes (isotrope):
Parallèlement le champ des contraintes σ s'écrit indifféremment en déformation plane ou contrainte plane [6]:
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(III.2)
Pour un matériau isotrope, (CHAN, AL et FAWKES) ont montré encore une fois qu’en mode d’ouverture, les meilleurs résultats peuvent être obtenus à partir du champ des I
contraintes σ 22 en avant du front de la fissure (σ 22 (θ = 0 )) donne des résultats satisfaisants. Et en mode II et toujours pour un matériau isotrope, on obtient de bons résultats avec II
le champ des contraintes en arrière du front de la fissure. (σ 11 (θ = π )) III.1.2 Méthodes énergétiques :
Les deux Méthodes énergétiques sont alors basées sur le calcul du taux de restitution d’énergie Gm (m=I, II). III.1.1.1 Méthode énergétique (Méthode de complaisance) :
Comme ça été mentionné dans le premier chapitre, le facteur d’intensité de contrainte Km est relié au taux de restitution d’énergie par des formules de type [2]:
Gm = K
² m .k m (α i j )
(III.3)
Ainsi on peut déduire que la connaissance de Gm, nous permet d’accéder à Km. PARIS et SIH ont montré que le taux de restitution d’énergie Gm est relié à la complaisance par la formule :
Gm =
Pm ² ∂Cm ( a )
2
.
∂a
; m = I , II
(III.4)
Où Pm est la charge appliquée à l’éprouvette et où Cm(a) est la complaisance de la structure ayant une fissure de longueur a. La méthode consiste à calculer la complaisance Cm(a) d’une structure fissurée pour certain nombre de longueurs, et à évaluer à partir de la formule ci-dessus le taux de restitution d’énergie Gm, d’où Km. III.1.1.2 Méthode de la propagation virtuelle δ a :
Cette méthode consiste à faire propager la fissure de manière virtuelle et d’une quantité ∆a , entre autre on considère que lors d’une application d’une charge de traction à l’éprouvette étudiée, on découvre une propagation de la fissure a d’une valeur de ∆a ce qui nous permet alors de calculer ainsi Gm à l’aide de la formule : 45
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Gm =
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Pm ² ∆C m ( a )
2
.
∆a
; m = I , II
(III.5)
On peut remarquer que plus la quantité ∆a est faible, plus la valeur du taux de restitution d’énergie Gm est précise. I.6
Différents éprouvettes étudier :
Les éprouvettes auxquelles nous allons nous intéresser sont les suivantes [7]: III.1.1 Eprouvette SEC (Single Edge Crack):
Il s’agit d’une plaque semi-infinie, soumise à une contrainte homogène, et possédant une fissure latérale de longueur 2a. Pour ce type de géométrie, le facteur d’intensité de contraintes pour le mode d’ouverture pure (mode I), vaut : KI =1,122 σ (πa)-1/2
(III.6)
Figure III.2.1: Eprouvette Single Edge Crack
III.1.2 Eprouvette DEC (Double Edge Crack):
Il s’agit d’une éprouvette carrée, de largeur w, comportant deux fissures latérales de longueur a, et soumise à une contrainte homogène. On a alors :
(III.3)
Figure III.2.2: Eprouvette Double Edge Crack
Conclusion : Dans ce chapitre nous avons essayé de donner un aperçu général sur la méthode des éléments finis, le maillage et citer quelques méthodes numériques du calcul de facteur d’intensité des contraintes kI. Pour le calcul du facteur d’intensité des contraintes, il y a deux types de méthodes : Les méthodes directes :
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Avec champs des contraintes.
Avec champs des déplacements.
Les méthodes énergétiques :
Méthode de complaisance
Méthode de la propagation virtuelle
Dans le chapitre qui suit, on se limitera dans la méthode de complaisance pour la détermination des facteurs d’intensité de contraintes de plusieurs matériaux isotropes et les comparer avec ceux trouver à partir de la formule de KANNINEN, aussi chercher la limite de la formule pour différentes dimensions d’éprouvette utilisée.
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